ဝီကီပီးဒီးယား mywiki https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%97%E1%80%9F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွေးနွေးချက် အသုံးပြုသူ အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက် ဝီကီပီးဒီးယား ဝီကီပီးဒီးယား ဆွေးနွေးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွေးနွေးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွေးနွေးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွေးနွေးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွေးနွေးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွေးနွေးချက် မုခ်ဝ မုခ်ဝ ဆွေးနွေးချက် စာမူကြမ်း စာမူကြမ်း ဆွေးနွေးချက် TimedText TimedText talk မော်ဂျူး မော်ဂျူး ဆွေးနွေးချက် Event Event talk 0 1634 1060840 1057780 2026-10-31T12:10:18Z Koparlay 143382 /* ပုဂံမင်းဆက်များ */ မင်းညီနောင် 1060840 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ပုဂံအင်ပါယာ | official_name = ပုဂံဧကရာဇ်နိုင်ငံ (Pagan Kingdom) | native_name = ပုဂံပြည် | settlement_type = သမိုင်းဝင် ပထမမြန်မာနိုင်ငံတော် | image_skyline = Pagan Empire -- Sithu II.PNG | image_caption = ခရစ်နှစ် ၁၂၁၀ ဝန်းကျင် ဒုတိယနရပတိစည်သူမင်းလက်ထက် ပုဂံပြည်၏ ပိုင်နက်ပြ မြေပုံ | subdivision_type = တည်နေရာ | subdivision_name = [[မြန်မာနိုင်ငံ]] (အရှေ့တောင်အာရှ) | established_title = အင်ပါယာအစ (အနော်ရထာ နန်းတက်) | established_date = ၁၁ ဩဂုတ် ၁၀၄၄ <ref name="AungThwin">Aung-Thwin, Michael A. (1985). ''Pagan: The Origins of Modern Burma''. University of Hawaii Press, pp. 21–35.</ref> | extirpated_title = အင်ပါယာနိဂုံး (မြင်စိုင်းက သိမ်းပိုက်) | extirpated_date = ၁၇ ဒီဇင်ဘာ ၁၂၉၇ <ref name="Lieberman">Lieberman, Victor B. (2003). ''Strange Parallels: Southeast Asia in Global Context, c. 800–1830, Vol. 1: Mainland Mirrors''. Cambridge University Press, pp. 88–112.</ref> | seat_type = မင်းနေပြည်တော် (မြို့တော်) | seat = [[ပုဂံ]] (၈၄၉–၁၂၉၇) | leader_title = ပထမဆုံး ဧကရာဇ်ဘုရင် | leader_name = [[အနော်ရထာ]] (၁၀၄၄–၁၀၇၇) | leader_title1 = အထွတ်အထိပ်ရောက်ချိန်မင်း | leader_name1 = [[နရပတိစည်သူ(ပုဂံ)|ဒုတိယနရပတိစည်သူ]] (၁၁၇၄–၁၂၁၁) | leader_title2 = နောက်ဆုံး ဧကရာဇ်ဘုရင် | leader_name2 = [[နရသီဟပတေ့]] (၁၂၅၆–၁၂၈၇) | blank_name_sec1 = ကိုးကွယ်သည့်ဘာသာ | blank_info_sec1 = [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]] (အဓိက)၊ [[မဟာယန]][[ ဗုဒ္ဓဘာသာ]]၊ [[အရိယမဂ်|အရည်းကြီးနတ်ကိုးကွယ်မှု]]၊ [[ဟိန္ဒူဘာသာ]] | blank1_name_sec1 = အသုံးပြုသည့်ဘာသာစကား | blank1_info_sec1 = [[မြန်မာဘာသာစကား|ရှေးမြန်မာစာ]]၊ [[မွန်ဘာသာစကား|မွန်]]၊ [[ပျူဘာသာစကား|ပျူ]]၊ [[ပါဠိ]]၊ [[သက္ကတဘာသာ|သက္ကတ]] | blank2_name_sec1 = အခြေခံငွေကြေး | blank2_info_sec1 = ဒင်္ဂါးစနစ်မရှိပါ (ဆန်၊ စပါး၊ ရွှေ၊ ငွေနှင့် အလေးချိန်စံနှုန်းပြု အစစ်ခံပတ် စသည်ဖြင့် ကုန်ဖလှယ်သည်) <ref name="AungThwin1985">Aung-Thwin, Michael A. (1985). ''Pagan: The Origins of Modern Burma''. University of Hawaii Press.</ref> | population_total = ၁,၅၀၀,၀၀၀ – ၂,၀၀၀,၀၀၀ ခန့် | population_as_of = ၁၃ ရာစုအစ ခန့်မှန်းခြေ <ref name="Lieberman"/> }} {{မြန်မာ့သမိုင်း}} '''ပုဂံဧကရာဇ်နိုင်ငံ''' သို့မဟုတ် '''ပုဂံအင်ပါယာ''' သည် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်းအတွင်း [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ]]တို့ အခြေချနေထိုင်ခဲ့ကြပြီးနောက် ခရစ်နှစ် ၁၁ ရာစုမှ ၁၃ ရာစုအတွင်း ထူထောင်ခဲ့သည့် သမိုင်းဝင် ပထမမြန်မာနိုင်ငံတော် ဖြစ်သည်။ ပုဂံအင်ပါယာသည် အထွတ်အထိပ်ရောက်ချိန်တွင် ယနေ့ခေတ် မြန်မာနိုင်ငံ၏ မြေပြန့်ဒေသ အများစုအပြင် အိမ်နီးချင်း ယိုးဒယား (ထိုင်း) နှင့် မလေးကျွန်းဆွယ် မြောက်ပိုင်းအထိ နိုင်ငံရေးနှင့် စစ်ရေးဩဇာ ဖြန့်ကျက်နိုင်ခဲ့သည်။ ပုဂံခေတ်သည် ဗမာတို့၏ စာပေ၊ ဗိသုကာ၊ ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာနှင့် ယဉ်ကျေးမှု အုတ်မြစ်များကို စနစ်တကျ ပုံသွင်း တည်ဆောက်ခဲ့သည့် သမိုင်းဝင် ရွှေခေတ်ဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် သမိုင်းသုတေသနများအရ ပုဂံခေတ်ကာလကို ခရစ်နှစ် ၁၀၄၄ (အနော်ရထာ နန်းတက်) မှ ၁၂၉၇ (မြင်စိုင်းမြို့တော်သို့ အာဏာစက် ပြောင်းရွှေ့) အထိ သတ်မှတ်ကြပြီး၊ ရာဇဝင်ကျမ်းများ၌မူ ပုဂံမင်းဆက် ပျက်သုဉ်းကာ [[ပင်းယခေတ်|ပင်းယမြို့]] တည်သည့် သက္ကရာဇ် ၆၇၄ (ခရစ်နှစ် ၁၃၁၂) အထိ သတ်မှတ်ဖော်ပြလေ့ ရှိသည်။<ref name="Hmannan">တွန်းသင်းတိုက်ဝန် မဟာစည်သူ ဦးထွန်းညို (၂၀၀၃)။ ''မှန်နန်း မဟာရာဇဝင်တော်ကြီး (ပထမတွဲ)''။ ပြန်ကြားရေးဝန်ကြီးဌာန၊ မြန်မာနိုင်ငံ။</ref> မြန်မာ့ ရိုးရာအရ "ကြာအိုးအံ ပုဂံတည်" ဟူသော [[ဆိုရိုးစကား]]အရ (ကြာ = ၂ ၊ အိုး = ၁ ၊ အံ = ၁) သက္ကရာဇ် ၂၁၁-ခုနှစ် (ခရစ်နှစ် ၂၄၉ သို့မဟုတ် ၁၀၇) ၌ သမုဒ္ဒရာဇ်မင်းက စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်ဟု ရာဇဝင်များ၌ ဆိုသော်လည်း၊ ရှေးဟောင်းသုတေသနဆိုင်ရာ ကာဗွန်သက်တမ်းတိုင်းတာချက်များအရ ပုဂံသည် ၈ ရာစုနှင့် ၉ ရာစုခန့်မှသာ မြို့ပြအဖြစ် အစပြုခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="Hudson2001">Hudson, Bob et al. (2001). "The Origins of Bagan: New Dates and Old Inhabitants". ''Asian Perspectives'', 40(1), pp. 48–74.</ref> == သမိုင်းကြောင်း == === အစောပိုင်းကာလနှင့် မြို့ပြအစ === အစောပိုင်းတွင် တိဗက်-ဗမာနွယ်ဖွား [[ဗမာလူမျိုး]] တို့သည် ၉ ရာစုခန့်တွင် [[နန်ကျောက်]] နိုင်ငံ၏ လွှမ်းမိုးမှုများကြောင့် တိဗက်ကုန်းမြေမြင့်နှင့် နန်ကျောက်နယ်စပ်တို့မှတစ်ဆင့် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်း ဒေသသို့ စိုက်ပျိုးရေးအတွက် ဝင်ရောက်လာခဲ့ကြသည်။ ထိုမှတစ်ဆင့် ဧရာဝတီမြစ်ကမ်းပေါ်ရှိ ပုဂံဒေသတွင် ခိုင်မာသော စိုက်ပျိုးရေးနှင့် စစ်ရေးဗဟိုချက်တစ်ခုကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="AungThwin2005">Aung-Thwin, Michael A. (2005). ''The Mists of Rāmañña: The Legend That Was Lower Burma''. University of Hawai'i Press, pp. 15–35.</ref> မြန်မာရာဇဝင်များတွင် သမုဒ္ဒရာဇ်မင်းမှစ၍ ပုဂံပြည် ပျက်သုဉ်းချိန်အထိ မင်းဆက် ၅၅ ဆက် ရှိခဲ့သည်ဟု ဆိုသော်လည်း၊ အနော်ရထာမင်း မနန်းတက်မီကာလ မင်းဆက်များမှာ ဒဏ္ဍာရီဆန်သော ရာဇဝင်လာ အချက်အလက်များသာ ဖြစ်ပြီး ကျောက်စာ အထောက်အထား ခိုင်မာစွာ မတွေ့ရသေးပေ။<ref name="Harvey1925">Harvey, G.E. (1925). ''History of Burma: From the Earliest Times to 10 March 1824''. London: Longmans, Green and Co., pp. 18–25.</ref> === အင်ပါယာ တည်ထောင်ခြင်းနှင့် ရွှေခေတ် === ခရစ်နှစ် ၁၀၄၄ တွင် [[အနော်ရထာ]] မင်း နန်းတက်လာခြင်းသည် ပုဂံအင်ပါယာ၏ အစပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ အနော်ရထာမင်းသည် မြန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်းဒေသများကို စည်းလုံးခဲ့ရုံမက [[ထေရဝါဒ ဗုဒ္ဓဘာသာ]]ကို စနစ်တကျ သက်ဝင်ယုံကြည်လာခဲ့ပြီး သထုံပြည်မှ ပိဋကတ်သုံးပုံနှင့် သံဃာတော်များကို ပင့်ဆောင်ကာ သာသနာပြုခဲ့သည်။ အနော်ရထာ၊ [[ကျန်စစ်သား]] (၁၀၈၄–၁၁၁၃) နှင့် [[အလောင်းစည်သူ]] (၁၁၁၃–၁၁၆၇) မင်းများလက်ထက်တွင် ပုဂံသည် ဗိသုကာ၊ စာပေနှင့် သာသနာရေးတွင် ခေတ်ပြိုင် ခမာအင်ပါယာ (Khmer Empire) နှင့်တန်းတူ အရှေ့တောင်အာရှ၏ အင်အာကြီး အင်ပါယာတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name="Luce1969">Luce, G.H. (1969). ''Old Burma: Early Pagán''. Artibus Asiae and New York University, pp. 45–90.</ref> [[နရပတိစည်သူ(ပုဂံ)|ဒုတိယနရပတိစည်သူ]] (၁၁၇၄–၁၂၁၁) လက်ထက်တွင် ပုဂံ၏ စိုက်ပျိုးရေး၊ အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် အခွန်အတုတ် စနစ်များသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့ပြီး မြန်မာ စာပေနှင့် ယဉ်ကျေးမှု ရောနှောရာမှ ဗမာစကား ပြောဆိုသူများ၏ ကိုယ်ပိုင် ယဉ်ကျေးမှု ပိုမိုခိုင်မာလာခဲ့သည်။<ref name="Lieberman"/> === အင်ပါယာ ကျဆင်းခြင်းနှင့် ပျက်သုဉ်းခြင်း === ပုဂံအင်ပါယာ ပျက်သုဉ်းရခြင်းတွင် အချက်များစွာ ပါဝင်သည်။ စေတီပုထိုးပေါင်း သန်းနှင့်ချီ၍ ဆောက်လုပ်လှူဒါန်းခဲ့ကြသဖြင့် သံဃာပိုင်အခွန်လွတ် မြေယာများ လွန်စွာ များပြားလာပြီး နိုင်ငံတော်၏ အခွန်ဘဏ္ဍာ ရရှိမှု ကျဆင်းလာခဲ့သည်။<ref name="AungThwin1985"/> ၁၃ ရာစုနှောင်းပိုင်း [[နရသီဟပတေ့]] မင်းလက်ထက်တွင် မွန်ဂို-ယွမ်မင်းဆက် ကူဘလိုင်ခန်၏ တပ်မတော်နှင့် [[ငါးရှေ့ပွဲခင်း]] အပါအဝင် စစ်ပွဲများ ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၂၈၇ တွင် မွန်ဂိုတို့၏ ကျူးကျော်မှုကြောင့် ပုဂံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးစနစ် ပြိုကွဲခဲ့ရသည်။ စစ်ပွဲအပြီးတွင် နန်းတက်သည့် [[ကျော်စွာ (ပုဂံ)|ကျော်စွာ]] မင်းလက်ထက်၌ ပုဂံ၏ ဩဇာမှာ မှက္ခရာ၊ မြင်စိုင်းနှင့် ပင်းယ တည်ထောင်သော ရှမ်း-ဗမာကပြား [[ရှမ်းညီနောင်သုံးဦး]] (အသင်္ခယာ၊ ရာဇသင်္ကြံ၊ [[တစ်စီးရှင်သီဟသူ|သီဟသူ]]) တို့၏ လက်အောက်သို့ ရောက်ရှိသွားခဲ့သည်။ ခရစ်နှစ် ၁၂၉၇ တွင် ရှမ်းညီနောင်တို့က ကျော်စွာမင်းကို နန်းချ၍ မြင်စိုင်းသို့ မြို့တော်ပြောင်းရွှေ့ခဲ့ခြင်းဖြင့် ပုဂံအင်ပါယာ၏ ဧကရာဇ်စနစ် သမိုင်းဝင် နိဂုံးချုပ်ခဲ့ရသည်။<ref name="ThanTun1988">သန်းထွန်း, ဒေါက်တာ (၁၉၈၈)။ ''ခေတ်ဟောင်း မြန်မာရာဇဝင်''။ မဟာဒဂုံ စာပေ၊ စာ ၁၄၅–၁၇၀။</ref> == အုပ်ချုပ်ရေးစနစ် == [[ပုဂံ|ပုဂံအင်ပါယာ]]၏ အုပ်ချုပ်ရေးစနစ်သည် ဗဟိုဦးစီးချုပ်ကိုင်မှုစနစ် နှင့် ဒေသန္တရ နယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ရေးတို့ကို ပေါင်းစပ်ထားသော စနစ်ဖြစ်သည်။ မင်းဧကရာဇ်သည် တိုင်းပြည်၏ အချုပ်အခြာအာဏာပိုင် အဓိပ္ပာယ်ရှိသော စကြဝတ္တေးမင်း သို့မဟုတ် ဘုရားလောင်း အဖြစ် ရာဇဓမ္မနှင့်အညီ အုပ်ချုပ်သူဖြစ်ပြီး၊ အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့်သော အုပ်ချုပ်ရေး အဆောက်အအုံဖြင့် အုပ်ချုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="AungThwin1985" /> === ဗဟိုအုပ်ချုပ်ရေး === ဗဟိုမင်းနေပြည်တော်တွင် ဘုရင်မင်းမြတ်၏ အာဏာစက်ကို အကောင်အထည်ဖော်ရန်နှင့် တိုင်းရေးပြည်ရာများကို စီမံခန့်ခွဲရန် မဟာသမန် (အမတ်အဖွဲ့) နှင့် သေနာပတိတို့ ပါဝင်သော ဗဟိုအုပ်ချုပ်ရေးအဖွဲ့များ ရှိခဲ့ကြသည်။ ဘုရင်၏ အမိန့်တော်များကို စီမံခန့်ခွဲခြင်း၊ တရားစီရင်ခြင်း၊ အခွန်အတုတ် စေခိုင်းခြင်းနှင့် စစ်ရေးကိစ္စများကို တာဝန်ယူရသော အမတ်ချုပ်နှင့် သေနာပတိများ ရှိသည်။တရားစီရင်ရေးတွင် ဓမ္မသတ်ကျမ်းများနှင့် ရိုးရာဓလေ့ထုံးတမ်း ဥပဒေများကို အခြေခံ၍ တရားစီရင်ခဲ့ကြသည်။ ကျောက်စာပါ အထောက်အထားများအရ ဒေသန္တရ တရားရုံးများနှင့် မင်းမူပါး တရားရုံးများ သီးခြားရှိခဲ့ပြီး အမျိုးသမီးများသည်လည်း တရားရင်ဆိုင်ပိုင်ခွင့်နှင့် သက်သေအဖြစ် ထွက်ဆိုပိုင်ခွင့်များ ရှိခဲ့ကြသည်။<ref name="ThanTun1988" /> === နယ်မြေအုပ်ချုပ်ရေးနှင့် မဏ္ဍလစနစ် === ပုဂံအင်ပါယာ၏ ပိုင်နက်ကို ဗဟိုအာဏာစက် သက်ရောက်မှုအပေါ် မူတည်၍ ဇုန် (၃) ခု ခွဲခြားအုပ်ချုပ်ခဲ့သည်။မဇ္ဈိမဒေသ (ဗဟိုအဓိကနယ်မြေ)တွင် ပုဂံမြို့တော် အပါအဝင် ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်း လှေတွင်း ၁၁ ခရိုင်နှင့် မင်းဘူး ၆ ခရိုင် စသည့် စိုက်ပျိုးရေးနှင့် စီးပွားရေး အဓိကကျသော နယ်မြေများကို ဘုရင်က တိုက်ရိုက်အုပ်ချုပ်သည်။ ပြည်နယ်နှင့် နယ်စားနယ်မြေများမှာ မြို့တော်နှင့် ဝေးကွာသော တိုင်းနယ်များကို မင်းညီမင်းသားများနှင့် သစ္စာခံ မြို့စား/နယ်စားများ (ဥပမာ- သထုံ၊ တနင်္သာရီ၊ ရခိုင် စသည်) အား လွှဲအပ်အုပ်ချုပ်စေသည်။နယ်စပ်ဒေသရှိ [[ရှမ်းလူမျိုး|ရှမ်း စောဘွားနယ်များ]] နှင့် ပတ်ဝန်းကျင် တိုင်းပြည်များသည် ပုဂံထံ သပ္ပာယ်လက်ဆောင်နှင့် အခွန်ပဏ္ဏာ ဆက်သသော သစ္စာခံအဖြစ် တည်ရှိကြသည်။<ref name="Lieberman2003">Lieberman, Victor B. (2003). ''Strange Parallels: Southeast Asia in Global Context, c. 800–1830''. Cambridge University Press, pp. 90–105.</ref> === စစ်ရေးနှင့် အခွန်အတုတ်စနစ် === စစ်ရေးစနစ်တွင် အမြဲတမ်းတပ်မတော် အနည်းငယ်သာ ထားရှိပြီး စစ်မက်ဖြစ်ပွားချိန်တွင် နယ်စား၊ မြို့စားများက မိမိတို့နယ်မြေအလိုက် ရဲမက်အင်အား စုဆောင်းပေးရသော ဗဟိုပြု ရဲမက်စုဆောင်းရေးစနစ်ကို ကျင့်သုံးခဲ့သည်။ တိုင်းသူပြည်သားများထံမှ စပါး၊ ဆန်၊ သီးနှံနှင့် အခြား ကုန်ပစ္စည်းများဖြင့် အခွန်ကောက်ခံခဲ့သည်။ ထို့ပြင် မြေယာ၊ ရေနံတွင်းနှင့် ကုန်သွယ်ခွန်များအပေါ် မူတည်၍ ဘဏ္ဍာရေးကို စီမံခဲ့ကြသည်။<ref name="AungThwin1985" /> == လူဦးရေနှင့် တိုင်းရင်းသား လူမျိုးများ == ပုဂံအင်ပါယာသည် လူမျိုးပေါင်းစုံ၊ ယဉ်ကျေးမှုပေါင်းစုံ ရောနှောနေထိုင်ရာ ဒေသဖြစ်သော်လည်း ခရစ်နှစ် ၁၁ ရာစုမှ ၁၃ ရာစုအတွင်း နိုင်ငံရေး၊ စစ်ရေးနှင့် စီးပွားရေးအရ အဓိက လွှမ်းမိုးနိုင်ခဲ့သော အုပ်ချုပ်သူ လူတန်းစားမှာ တိဗက်-ဗမာ အုပ်စုဝင် [[ဗမာလူမျိုး|ဗမာ (ထိုခေတ်အခေါ် မြမ္မာ)]] များ ဖြစ်သည်။ ပုဂံခေတ် အုပ်ချုပ်သူ လူတန်းစားဖြစ်သော မင်းဆွေမင်းမျိုး၊ အမတ်ကြီးများ၊ သေနာပတိများနှင့် နယ်စားပယ်စား အများစုမှာ ဗမာလူမျိုးများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အင်ပါယာ ဖြန့်ကျက်လာသည်နှင့်အမျှ ဧရာဝတီမြစ်ဝှမ်း တစ်လျှောက် နေရာယူလာခဲ့ကြပြီး မူလဒေသခံများဖြစ်သော [[ပျူလူမျိုး|ပျူ]] နှင့် [[မွန်လူမျိုး|မွန်]] တို့ကို လူမှုရေးနှင့် ယဉ်ကျေးမှုအရ တဖြည်းဖြည်း သဟဇာတဖြစ်စွာ ပေါင်းစပ်သွတ်သွင်း နိုင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Lieberman2003" /> === ဘာသာစကားနှင့် ယဉ်ကျေးမှု လွှမ်းမိုးခြင်း === အုပ်ချုပ်သူ ဗမာလူမျိုးများ၏ လူဦးရေနှင့် ဩဇာအာဏာ ပြန့်နှံ့လာမှုကို ပုဂံခေတ် ကျောက်စာများက သက်သေပြလျက်ရှိသည်။ ၁၁ ရာစု အစောပိုင်းတွင် မွန်နှင့် ပျူဘာသာစကားများကို ရုံးသုံးအဖြစ် အဓိက သုံးစွဲခဲ့သော်လည်း၊ ၁၂ ရာစု ([[နရပတိစည်သူ (ပုဂံ)|ဒုတိယ နရပတိစည်သူ]]မင်း လက်ထက်) မှစ၍ မြန်မာစာသည် အင်ပါယာ၏ အဓိက ရုံးသုံးနှင့် ဆက်သွယ်ရေး ဘာသာစကား ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဗမာစကားပြော လူဦးရေသည် အင်ပါယာ၏ ဗဟိုချက်မှစ၍ ကျေးလက်ဒေသများအထိ လျင်မြန်စွာ တိုးပွားလာခဲ့ပြီး ပျူလူမျိုးများသည် ဗမာလူမျိုးများအကြားသို့ လုံးဝ ရောနှော သွားခဲ့သည်။<ref name="ThanTun1988" /> ထို့ကြောင့် ပုဂံခေတ်သည် ဗမာလူမျိုးများ လူဦးရေအရရော၊ နိုင်ငံရေးအရပါ မြန်မာနိုင်ငံ၏ အဓိက အင်အားစုအဖြစ် အခိုင်အမာ အမြစ်တွယ် ပြန့်နှံ့ထွန်းကားလာသော အရေးအကြီးဆုံး ကာလအဖြစ် သမိုင်းပညာရှင်တို့က သတ်မှတ်ကြသည်။<ref name="Luce1969" /> == ပုဂံမင်းဆက်များ == ခေတ်သစ် သမိုင်းနှင့် ကျောက်စာ အထောက်အထားများအရ ခိုင်မာစွာ အတည်ပြုနိုင်သော ပုဂံမင်းဆက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြသည်။<ref name="AungThwin"/><ref name="Lieberman"/> {| class="wikitable" |- ! စီးနင်းသူ မင်းများ !! နန်းစံနှစ် (အေဒီ) !! မှတ်ချက် |- | [[ကွမ်းဆော်ကြောင်ဖြူ]] || ၉၆၄–၉၈၆ || ရာဇဝင်လာ မင်းဆက် |- | [[ကျဉ်စိုး]] || ၉၈၆–၉၉၂ || ကွမ်းဆော်၏ သားတော် |- | [[စုက္ကတေး]] || ၉၉၂–၁၀၄၄ || ကွမ်းဆော်၏ သားတော် |- | [[အနော်ရထာမင်း]] || ၁၀၄၄–၁၀၇၇ || ပုဂံအင်ပါယာကို စတင်ထူထောင်သူ |- | [[စောလူး]] || ၁၀၇၇–၁၀၈၄ || အနော်ရထာ၏ သားတော် |- | [[ကျန်စစ်သား]] || ၁၀၈၄–၁၁၁၃ || အနော်ရထာ၏ စစ်သူကြီး/ဘုရင် |- | [[အလောင်းစည်သူ]] || ၁၁၁၃–၁၁၆၇ || ကျန်စစ်သား၏ မြေးတော် |- | [[နရသူ (ပုဂံ)|နရသူ]] || ၁၁၆၇–၁၁၇၁ || အလောင်းစည်သူ၏ သားတော် |- | [[နရသိင်္ခ]] || ၁၁၇၁–၁၁၇၄ || နရသူ၏ သားတော် |- | [[နရပတိစည်သူ(ပုဂံ)|ဒုတိယနရပတိစည်သူ]] || ၁၁၇၄–၁၂၁၁ || နရသူ၏ သားတော် (ရွှေခေတ်) |- | [[ထီးလိုမင်းလို]] || ၁၂၁၁–၁၂၃၅ || နရပတိစည်သူ၏ သားတော် |- | [[ကျော်စွာ (ပုဂံ)|ကျစွာ]] || ၁၂၃၅–၁၂၅၁ || ထီးလိုမင်းလို၏ သားတော် |- | [[ဥဇနာ (ပုဂံ)|ဥဇနာ]] || ၁၂၅၁–၁၂၅၄ || ကျစွာ၏ သားတော် |- | [[နရသီဟပတေ့]] || ၁၂၅၄–၁၂၈၇ || တရုတ်ပြေးမင်း (မွန်ဂိုစစ်ပွဲ) |- | [[ကျော်စွာ (ပုဂံ)|ကျော်စွာ]] || ၁၂၈၇–၁၂၉၇ || မင်းညီနောင်တို့၏ ဩဇာခံ |- | [[စောနစ်]] || ၁၂၉၇–၁၃၂၅ || ပုဂံနယ်စားအဆင့် မင်း |- | [[စောမွန်နစ်]] || ၁၃၂၅–၁၃၆၈ || ပုဂံနယ်စားအဆင့် မင်း |} == ကိုးကား == {{reflist}} {{ပုဂံ}} [[ကဏ္ဍ:ပုဂံခေတ်]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ့သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:အရှေ့တောင်အာရှရှိ ခေတ်ဟောင်းအင်ပါယာများ]] cux60zu82tp4rpaf0rogqe4jzb6cukp 1 2246 1060851 1060833 2026-10-31T13:12:22Z Ninjastrikers 22896 Restored revision 1059021 by [[Special:Contributions/Pristome|Pristome]] ([[User talk:Pristome|talk]]) (TwinkleGlobal) 1060851 wikitext text/x-wiki {{archives}} 409sw0day6alqfknbres3ufyag7h2rb 0 2937 1060940 1052408 2026-11-01T00:32:44Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060940 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name=Google LLC|logo=Google 2026 logo.svg|logo_upright=1.1|logo_caption=The [[Google logo]] used since 2026|logo_alt=Each letter of "Google" is colored (from left to right) in blue, red, yellow, blue, green, and red.|image=Googleplex HQ (cropped).jpg|image_upright=1.1|image_caption=Google's headquarters, the [[Googleplex]]|former_name=Google Inc. (1998–2017)|type=[[Subsidiary]]|traded_as=|industry={{Unbulleted list | [[Internet]] | [[Cloud computing]] | [[Computer software]] | [[Computer hardware]] | [[Artificial intelligence]] | [[Advertising]] }}|founded={{Start date and age|1998|09|04}}{{efn|Google was incorporated on September 4, 1998, however, since 2002, the company has celebrated its anniversaries on various days in September, most frequently on September 27.<ref>{{Cite magazine |last=Fitzpatrick |first=Alex |date=September 4, 2014 |title=Google Used to Be the Company That Did 'Nothing But Search' |url=https://time.com/3250807/google-anniversary/ |magazine=[[Time (magazine)|Time]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=October 16, 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191016175103/https://time.com/3250807/google-anniversary/ |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |date=September 27, 2019 |title=When is Google's birthday – and why are people confused? |url=https://www.telegraph.co.uk/technology/2019/09/27/when-is-googles-21st-birthday-doodle/ |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20220110/https://www.telegraph.co.uk/technology/2019/09/27/when-is-googles-21st-birthday-doodle/ |archive-date=January 10, 2022 |url-access=subscription |url-status=live |work=[[The Daily Telegraph]]}}{{cbignore}}</ref><ref>{{Cite web |last=Griffin |first=Andrew |date=September 27, 2019 |title=Google birthday: The one big problem with the company's celebratory doodle |url=https://www.independent.co.uk/life-style/gadgets-and-tech/google-birthday-surprise-spinner-date-problem-start-company-a7968951.html |website=[[The Independent]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=January 12, 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210112103548/https://www.independent.co.uk/life-style/gadgets-and-tech/google-birthday-surprise-spinner-date-problem-start-company-a7968951.html |url-status=live }}</ref> The shift in dates reportedly happened to celebrate index-size milestones in tandem with the birthday.<ref>{{Cite web |last=Wray |first=Richard |date=September 5, 2008 |title=Happy birthday Google |url=https://www.theguardian.com/business/2008/sep/05/google.mediabusiness |website=[[The Guardian]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=January 12, 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210112103550/https://www.theguardian.com/business/2008/sep/05/google.mediabusiness |url-status=live}}</ref>}} in [[Menlo Park, California|Menlo Park]], [[California]], United States|founders={{Unbulleted list | [[Larry Page]] | [[Sergey Brin]] }}|hq_location=[[Googleplex]]|hq_location_city=[[Mountain View, California]]|hq_location_country=U.S.|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Ubl | [[Sundar Pichai]] ([[Chief executive officer|CEO]]) | [[Ruth Porat]] ([[President (corporate title)|President]] and [[Chief investment officer|CIO]]) | [[Anat Ashkenazi]] ([[Chief financial officer|CFO]]) | [[Thomas Kurian]] ([[CEO]] of [[Google Cloud Platform|Google Cloud]]) }}|products={{Ubl | [[Android (operating system)|Android]] | [[Google Nest|Nest]] | [[Google Pixel|Pixel]] | [[Google Search|Search]] | [[Google Workspace|Workspace]] | [[Fitbit]] | [[Waze]] | [[YouTube]] | [[Gemini_(chatbot)|Gemini]] | [[List of Google products|Full list]] }}|parent=[[Alphabet Inc.]]|subsid={{Ubl | [[Adscape]] | [[Cameyo]] | [[Charleston Road Registry]] | [[Google DeepMind|DeepMind]] | [[Endoxon]] | [[FeedBurner]] | [[ImageAmerica]] | [[Kaltix]] | [[Google Nest|Nest Labs]] | [[reCAPTCHA]] | [[YouTube]] | [[ZipDash]] }}|website={{URL|https://google.com/}}|footnotes=<ref>{{Cite web |date=January 16, 2015 |title=Company – Google |url=https://www.google.com/intl/en/about/company/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150116073513/https://www.google.com/intl/en/about/company/ |archive-date=January 16, 2015 |access-date=September 13, 2018}}</ref><ref>{{Cite web |last=Claburn |first=Thomas |date=September 24, 2008 |title=Google Founded By Sergey Brin, Larry Page... And Hubert Chang?!? |url=https://www.informationweek.com/applications/google-founded-by-sergey-brin-larry-page-and-hubert-chang!/d/d-id/1072309 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110628231125/http://www.informationweek.com/news/internet/google/210603678 |archive-date=June 28, 2011 |access-date=January 22, 2017 |website=[[InformationWeek]] |publisher=[[UBM plc]]}}</ref><ref>{{Cite web |title=Locations – Google Jobs |url=https://www.google.com/about/jobs/locations/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20130930200600/http://www.google.com/about/jobs/locations/ |archive-date=September 30, 2013 |access-date=September 27, 2013}}</ref><ref name="Wakabayashi2019" />|module={{infobox network service provider|child=yes|asn=15169}}}}'''ဂူဂဲလ် အယ်လ်အယ်လ်စီ''' (Google LLC) (အသံထွက်: /ˈɡuːɡəl/, ဂူးဂဲလ်) သည် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုအခြေစိုက် ဘက်ပေါင်းစုံလုပ်ငန်းရှင် ကမ္ဘာကျော် ကော်ပိုရေးရှင်းနှင့် နည်းပညာကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အွန်လိုင်းကြော်ငြာ (online advertising)၊ [[ဝဘ်ရှာဖွေရေးစက်စနစ်|ရှာဖွေရေးအင်ဂျင်]] (search engine) နည်းပညာ၊ [[တိမ်တိုက် ကွန်ပျူတာ|ကလောက် ကွန်ပြူတင်း]] (cloud computing)၊ [[ကွန်ပျူတာ ဆော့ဖ်ဝဲရ်|ကွန်ပြူတာဆော့ဖ်ဝဲလ်]] (computer software)၊ [[ကွမ်​တမ်​သီ​အို​ရီ|ကွမ်တမ် ကွန်ပြူတင်း]] (quantum computing)၊ [[အီးကောမတ်စ်နှင့် ဂျီအမ်အက်စ်|အီး-ကောမတ်စ်]] (e-commerce)၊ စားသုံးသူ [[အီလက်ထရွန်းနစ်|အီလက်ထရောနစ်]]ပစ္စည်းများ (consumer electronics) နှင့် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (artificial intelligence - AI)တို့ကို အဓိကထား၍ လုပ်ဆောင်သည်။ [[ဘီဘီစီ]] (BBC) က ၎င်းအား "ကမ္ဘာပေါ်တွင် အစွမ်းအထက်ဆုံး ကုမ္ပဏီ" <ref>{{Cite news|last=Jack|first=Simon|date=November 21, 2017|title=Google – powerful and responsible?|language=en-GB|work=[[BBC News]]|url=https://www.bbc.com/news/business-42060091|url-status=live|access-date=March 29, 2022|archive-date=March 29, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220329031631/https://www.bbc.com/news/business-42060091}}</ref> ဟု ရည်ညွှန်းခဲ့ပြီး ဈေးကွက်လွှမ်းမိုးမှု၊ ဒေတာစုဆောင်းမှု (data collection) နှင့် ဉာဏ်ရည်တုနယ်ပယ်ရှိ နည်းပညာဆိုင်ရာ အားသာချက်များကြောင့် ကမ္ဘာပေါ်တွင် တန်ဖိုးအရှိဆုံး အမှတ်တံဆိပ်များ (most valuable brands) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web|last=McCormick|first=Rich|date=June 2, 2016|title=Elon Musk: There's only one AI company that worries me|url=https://www.theverge.com/2016/6/2/11837566/elon-musk-one-ai-company-that-worries-me|url-status=live|access-date=March 29, 2022|website=[[The Verge]]|language=en|archive-date=March 29, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220329031133/https://www.theverge.com/2016/6/2/11837566/elon-musk-one-ai-company-that-worries-me}}</ref><ref>{{Cite web|date=October 20, 2020|title=Justice Department Sues Monopolist Google For Violating Antitrust Laws|url=https://www.justice.gov/opa/pr/justice-department-sues-monopolist-google-violating-antitrust-laws|access-date=March 29, 2022|website=U.S. Department of Justice|language=en|archive-date=January 20, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210120170848/https://www.justice.gov/opa/pr/justice-department-sues-monopolist-google-violating-antitrust-laws|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|title=Land of the Giants: The Titans of Tech|url=https://plus.cnn.com/plus/title-2244411|access-date=April 18, 2022|website=CNN+|language=en|archive-date=April 17, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220417230628/https://plus.cnn.com/plus/title-2244411|url-status=live}}</ref> [[အမေဇုံ (ကုမ္ပဏီ)|အမေဇုန်]] (Amazon)၊ [[အက်ပဲ|အက်ပဲလ်]] (Apple)၊ [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|မေတာ]] (Meta) နှင့် [[မိုက်ခရိုဆော့ဖ်]] (Microsoft) တို့နှင့်အတူ ဂူဂဲလ်၏ မိခင်ကုမ္ပဏီဖြစ်သော အယ်လ်ဖာဘက် (Alphabet Inc.) သည် "နည်းပညာ ကြီးငါးကြီး" (Big Tech) ဟု ခေါ်ဆိုကြသော နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီး ငါးခုအနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== ဂူဂယ်သည် ၁၉၉၆ ဇန်နဝါရီလတွင် [[လယ်ရီပေ့ချ်]] (Larry Page) နှင့် [[ဆာဂေး ဘရင်]] (Sergey Brin) ဟူသော [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]မှ ပီအိပ်ချ်ဒီ ကျောင်းသား ၂ ယောက် တင်သွင်းခဲ့သော Search Engine အကြောင်း ရေးသားထားတဲ့ စာတမ်းတစ်စောင်မှ စတင်ခဲ့သည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့၏ Search Engine ကို BackRub လို့ အမည်ပေးခဲ့သည်။ ဆိုဒ်တစ်ခု၏ အရေးပါမှုကို သူ့ကို ရည်ညွှန်းထားတဲ့ backlinks တွေပေါ်မူတည်ပြီး ခန့်မှန်း သတ်မှတ် ဖို့ ဒီဇိုင်းထုတ်ထားခြင်းကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ယင်းမတိုင်မီက ထိုနည်းစနစ်ကို သုံးထားသော Rankdex အမည်ရှိ search engine တစ်ခု ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်သည်။ သူတို့ နှစ်ယောက်သည် သီးစစ်လုပ်နေစဉ်အတွင်း ဂူဂယ် ဖြစ်လာမည့် search engine အတွက် အခြေခံများ တည်ဆောက်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့ search engine ၏ လိပ်စာသည် [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]၏ subdomain တစ်ခုဖြစ်သော google.stanford.edu အနေဖြင့် စတင်ခဲ့သည်။ google.com ဒိုမိန်း ကို ၁၉၉၇ စက်တင်ဘာလ ၁၅ ရက်နေ့တွင်မှ မှတ်ပုံတင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၈ စက်တင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် Google Inc. ကို သူငယ်ချင်းတစ်ယောက်၏ ကားဂိုထောင်ထဲတွင် စတင်ခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို စတင်နိုင်ရန်အတွက် လိုအပ်သော ငွေ အရင်းအနှီးကို [[Sun Microsystems]] ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သူ Andy Bechtolsheim က ဒေါ်လာ ၁၀၀၀၀၀ တန် ချက်လက်မှတ်တစ်ခု စတင် ထုတ်ပေးရာမှ အခြားရင်းနှီးမြုပ်နှံသူများ ပါဝင်လာပြီး စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁.၁ သန်းအထိ တိုးတက်များပြားလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=":0">{{Cite journal|last=Brin|first=Sergey|author-link=Sergey Brin|last2=Page|first2=Lawrence|author-link2=Larry Page|year=1998|title=The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine|url=http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|journal=Computer Networks and ISDN Systems|volume=30|issue=1–7|pages=107–117|citeseerx=10.1.1.115.5930|doi=10.1016/S0169-7552(98)00110-X|archive-url=https://web.archive.org/web/20150927004511/http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|archive-date=27 September 2015|access-date=17 December 2019|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite journal |last=Barroso |first=L.A. |last2=Dean |first2=J. |last3=Holzle |first3=U. |date=April 29, 2003 |title=Web search for a planet: the google cluster architecture |journal=IEEE Micro |volume=23 |issue=2 |pages=22–28 |doi=10.1109/mm.2003.1196112 |quote=We believe that the best price/performance tradeoff for our applications comes from fashioning a reliable computing infrastructure from clusters of unreliable commodity PCs.|url=https://semanticscholar.org/paper/8db8e53c92af2f97974707119525aa089f6ed53a }}</ref> ၁၉၉၉ မတ်လ တွင် [[ဆီလီကွန်]] တောင်ကြားတွင် ရှိသော Palo Alto သို့ ကုမ္ပဏီကို ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ထိုအဆောက်အဦးများကို [[ဂူဂယ်ပလက်စ်]]အဖြစ် လူသိများလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ်သည် ရိုးစင်းသော ဒီဇိုင်းနှင့် လွယ်ကူစွာ အသုံးချနိုင်မှုတို့ကြောင့် အသုံးချသူ အများစုက နှစ်သက်ခဲ့ကြသည်။ ၂ဝဝဝ ခုနှစ်က စတင်ပြီး ဂူဂယ်တွင် Search Keywords တွေကို အခြေခံသော ကြော်ငြာများ စတင် ထည့်သွင်းလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ် အမည် စတင်ဖြစ်ပေါ်လာပုံမှာ "googol" (၁ နောက်မှ သုည ၁၀၀ လုံး) ဟူသော စာလုံးကို "google" ဟု မှားပေါင်းရာက စလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ကာ ''Merriam Webster Collegiate Dictionary'' နှင့် ''Oxford English Dictionary'' များတွင် google ၏ အဓိပ္ပာယ်ကို "အင်တာနက်မှ အချက်အလက်များရယူရန် ဂူဂယ် Search Engine ကို အသုံးပြုခြင်း" ဟု ၂၀၀၆ မှ စတင်ကာ ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်စင်တာများ== ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ ဂူဂယ်သည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]] တွင် [[အချက်အလက်စင်တာ]] ၆ ခု၊ [[ချီလီနိုင်ငံ]]၊ [[ဖင်လန်နိုင်ငံ]]၊ [[အိုင်ယာလန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဘယ်လ်ဂျီယံနိုင်ငံ]]၊ [[စင်ကာပူနိုင်ငံ]] နှင့် [[ထိုင်ဝမ်]]တို့တွင် စင်တာ ၁ ခုထိ ထားရှိလည်ပတ်နေသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်အတွင်းက နောက်ထပ် အာရှတိုက်တွင် အချက်အလက်စင်တာ ၃ ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် အမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်း၂၀၀ ထပ်မံ ရင်းနှီးမြုပ်နှံမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းအချက်အလက်စင်တာများကို [[စင်ကာပူ]]၊ [[ထိုင်ဝမ်]]နှင့် [[ဟောင်ကောင်]]တို့တွင် တည်ဆောက်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ''[[ဝါရှင်တန်ပို့စ်|ဝါရှင်တန်ပို့စ် သတင်းစာ]]''က ဂူဂယ်၏ အချက်အလက်စင်တာများကြား အချက်အလက်များပေးပို့မှုသည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ အမျိုးသားလုံခြုံရေးအေဂျင်စီ]]မှ "MUSCULAR" ဟုခေါ်သော ပရိုဂရမ် နှင့် တားဆီးထားပြီး အချက်အလက်ပေးမှုများကြားတွင် မည်သို့မှ စာဝှက်ထားခြင်း (encrypt) မရှိကြောင်း ရေးသားခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ၂၀၁၃ ခုနှစ် နောက်ပိုင်းတွင် အချက်အလက်ပေးပို့မှုများတွင် စာဝှက်ထားမှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ထုတ်ကုန်နှင့် ဝန်ဆောင်မှုများ== ဂူဂယ်၏ အဓိက ဆားဗစ်သည် Google web search engine ဖြစ်သော်လည်း အခြား ထင်ရှား လူကြိုက်များသော ဆားဗစ်များ ရှိသည်။ Google ၏အခြားဆားဗစ်တစ်ခုဖြစ်သော [[ဂျီမေးလ်]] သည်လည်း ထင်ရှားသော အီလက်ထရောနှစ် စာပို့စနစ်ဖြစ်သည်။ [[Google Reader]]၊ [[Google Document]]၊ [[Google Photo]] အစရှိသည်တို့သည် ၎င်း၏ အခမဲ့ ဆားဗစ်များဖြစ်ကြသည်။ အခမဲ့ ဆားဗစ်ဟုဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့ သတ်မှတ်ပေးထားသော ၁၅ [[GB]] ပြည့်သွားပါက ငွေပေး၍ ဝယ်ယူအသုံးပြုနိုင်သည်။ [[Google chrome|Google Chrome]] သည်လည်း သွက်လက်ပေါ့ပါးသော Browser တစ်ခုဖြစ်သည်။ ===[[ဆော့ဖ်ဝဲ]]များ=== ဂူဂယ်သည် သူ၏ Google Web Mail Service ထဲတွင် ဖုန်းဝန်ဆောင်မှုအသစ် ထပ်မံထည်သွင်းလိုက်သည်။ ယခင်က ဖုန်းခေါ်ဆိုနိုင်သော်လည်း [[Gtalk]] တွင် @gtalk2viop ဆိုသော address ကိုတဆင့်ခံပြီး ဖုန်းနံပါတ်ရိုက်ထည့်မှ ခေါ်ဆိုနိုင်ခဲ့သည်။ ယခု feature အသစ်တွင် Phone feature အပြည့်ပါဝင်လာသောကြောင့် ခေါ်ဆိုမှု ပိုမိုအဆင်ပြေလာသည်။ [[နိုင်ငံကုဒ်]] ကိုလည်း တပါတည်း တွဲထည့်ပေးထားသည်။ ၎င်း feature အသစ်တွင် ခေါ်ဆိုမှု မှတ်တမ်း၊ ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုနှုန်းထားနှင့် [[အွန်လိုင်း]]မှ ငွေအလွယ်တကူခြေနိုင်သော လုပ်ဆောင်ချက်များ ထည့်ပေးထားသည်။ === စီးပွားရေး ထုတ်ကုန်များ === ၂၀၀၂ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဂူဂဲလ်ရှာဖွေရေးပစ္စည်း (Google Search Appliance) ဟု အမည်ရသော ပရိုဂရမ်ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ကြီးမားသော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် နည်းပညာ ရှာဖွေမှုများကို ပိုမိုထောက်ပံ့ပေးနိုင်မည် ဖြစ်သည်။ ၃ နှစ်ကြာသောအခါ သေးငယ်သော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် ရည်ရွယ်သော မီနီဗားရှင်း ကိုမိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ် နှောင်းပိုင်းတွင် စိတ်ကြိုက်ရှာဖွေရေး။ စီးပွားရေး အက်ဒီရှင် (Custom Search Business Edition) ကို စတင်ရောင်းချခဲ့သည်။ ယင်းသည် ဂူဂယ်ဝက်ဘ်ဆိုဒ်] ကို ကြော်ငြာများမပါဝင်ဘဲ အသုံးပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ဝန်ဆောင်မှုကို အွန်လိုင်းဝန်ဆောင်မှုအဖြစ် ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ဂူဂယ် [[အက်ပလီကေးရှင်း]] များကို ပိုမိုဝန်ဆောင်မှု ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျီမေးလ် နှင့် ဂူဂယ်ဒေါ့စ် တို့ကို ကိုယ်ပိုင်[[ဒိုမိန်း]]ဖြင့် အသုံးပြုနိုင်အောင် ပြုလုပ်ပေးခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ဝန်ဆောင်မှုများကို Edition အမြောက်အမြား ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အခြေခံ အခမဲ့ (စံသတ်မှတ်ထားသော Edition)၊ စီးပွားရေး၊ ပညာရေး နှင့် အစိုးရအတွက် စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==ကော်ပိုရိတ်ရေးရာ နှင့် ယဉ်ကျေးမှု== ''[[ဖော်ကျွန်းမဂ္ဂဇင်း]]'' ၏ ဖော်ပြချက်အရ ဂူဂယ်ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၀၇၊ ၂၀၀၈ နှင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တို့မှ အလုပ်လုပ်ရန်အတွက် အကောင်းဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံရသည်။ ၂၀၀၉ နှင့် ၂၀၁၀ ခုနှစ်တို့တွင် စတုတ္ထနေရာတွင် ရပ်တည်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ တွင် ဘွဲ့ရလူငယ်များအတွက် အလုပ်လုပ်ရန် ဆွဲဆောင်မှုအရှိဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ခံထားရသည်။ ဂူဂယ်၏ လုပ်ငန်းရေးရာ ဆောင်ပုဒ်များမှာ "မကောင်းတာမလုပ်ဘဲ ပိုက်ဆံရနိုင်တယ်"၊ "သင်ဟာ တူညီဝတ်စုံမဝတ်ဘဲ လူအများလေးစားရသောလူဖြစ်နိုင်သည်"၊ "အလုပ်ကို စိန်ခေါ်ရမည်ဖြစ်ပြီး၊ စိန်ခေါ်မှုဟာ ပျော်စရာဖြစ်သင့်ပါတယ်" တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အချက်အလက်များအရ ဂူဂယ်တွင် ဝန်ထမ်း ၄၇၇၅၆ ဦး အလုပ်လုပ်နေကြကာ ဆော့ဝဲလ် ရေးသူ ၁ သောင်းကျော် ပါဝင်ပြီး ရုံးခွဲ ၄၀ ကျော်တွင် ရုံးစိုက်ထားသည်။ == ကိုးကား == {{reflist|2}} [[Category:ဂူဂယ်]] [[Category:ကွန်ပျူတာ ကော်ပိုရေးရှင်းများ]] gue2d8gz61omu3w5ln8t9sag61z5y6u 1060991 1060940 2026-11-01T09:41:01Z ~2026-57869-70 150257 priavicy prive deilosd tool product all mail used .com system all serves 1060991 wikitext text/x-wiki privacy picicle prives login acound goole used.com ==သမိုင်းကြောင်း== ဂူဂယ်သည် ၁၉၉၆ ဇန်နဝါရီလတွင် [[လယ်ရီပေ့ချ်]] (Larry Page) နှင့် [[ဆာဂေး ဘရင်]] (Sergey Brin) ဟူသော [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]မှ ပီအိပ်ချ်ဒီ ကျောင်းသား ၂ ယောက် တင်သွင်းခဲ့သော Search Engine အကြောင်း ရေးသားထားတဲ့ စာတမ်းတစ်စောင်မှ စတင်ခဲ့သည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့၏ Search Engine ကို BackRub လို့ အမည်ပေးခဲ့သည်။ ဆိုဒ်တစ်ခု၏ အရေးပါမှုကို သူ့ကို ရည်ညွှန်းထားတဲ့ backlinks တွေပေါ်မူတည်ပြီး ခန့်မှန်း သတ်မှတ် ဖို့ ဒီဇိုင်းထုတ်ထားခြင်းကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ယင်းမတိုင်မီက ထိုနည်းစနစ်ကို သုံးထားသော Rankdex အမည်ရှိ search engine တစ်ခု ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်သည်။ သူတို့ နှစ်ယောက်သည် သီးစစ်လုပ်နေစဉ်အတွင်း ဂူဂယ် ဖြစ်လာမည့် search engine အတွက် အခြေခံများ တည်ဆောက်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့ search engine ၏ လိပ်စာသည် [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]၏ subdomain တစ်ခုဖြစ်သော google.stanford.edu အနေဖြင့် စတင်ခဲ့သည်။ google.com ဒိုမိန်း ကို ၁၉၉၇ စက်တင်ဘာလ ၁၅ ရက်နေ့တွင်မှ မှတ်ပုံတင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၈ စက်တင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် Google Inc. ကို သူငယ်ချင်းတစ်ယောက်၏ ကားဂိုထောင်ထဲတွင် စတင်ခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို စတင်နိုင်ရန်အတွက် လိုအပ်သော ငွေ အရင်းအနှီးကို [[Sun Microsystems]] ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သူ Andy Bechtolsheim က ဒေါ်လာ ၁၀၀၀၀၀ တန် ချက်လက်မှတ်တစ်ခု စတင် ထုတ်ပေးရာမှ အခြားရင်းနှီးမြုပ်နှံသူများ ပါဝင်လာပြီး စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁.၁ သန်းအထိ တိုးတက်များပြားလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=":0">{{Cite journal|last=Brin|first=Sergey|author-link=Sergey Brin|last2=Page|first2=Lawrence|author-link2=Larry Page|year=1998|title=The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine|url=http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|journal=Computer Networks and ISDN Systems|volume=30|issue=1–7|pages=107–117|citeseerx=10.1.1.115.5930|doi=10.1016/S0169-7552(98)00110-X|archive-url=https://web.archive.org/web/20150927004511/http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|archive-date=27 September 2015|access-date=17 December 2019|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite journal |last=Barroso |first=L.A. |last2=Dean |first2=J. |last3=Holzle |first3=U. |date=April 29, 2003 |title=Web search for a planet: the google cluster architecture |journal=IEEE Micro |volume=23 |issue=2 |pages=22–28 |doi=10.1109/mm.2003.1196112 |quote=We believe that the best price/performance tradeoff for our applications comes from fashioning a reliable computing infrastructure from clusters of unreliable commodity PCs.|url=https://semanticscholar.org/paper/8db8e53c92af2f97974707119525aa089f6ed53a }}</ref> ၁၉၉၉ မတ်လ တွင် [[ဆီလီကွန်]] တောင်ကြားတွင် ရှိသော Palo Alto သို့ ကုမ္ပဏီကို ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ထိုအဆောက်အဦးများကို [[ဂူဂယ်ပလက်စ်]]အဖြစ် လူသိများလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ်သည် ရိုးစင်းသော ဒီဇိုင်းနှင့် လွယ်ကူစွာ အသုံးချနိုင်မှုတို့ကြောင့် အသုံးချသူ အများစုက နှစ်သက်ခဲ့ကြသည်။ ၂ဝဝဝ ခုနှစ်က စတင်ပြီး ဂူဂယ်တွင် Search Keywords တွေကို အခြေခံသော ကြော်ငြာများ စတင် ထည့်သွင်းလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ် အမည် စတင်ဖြစ်ပေါ်လာပုံမှာ "googol" (၁ နောက်မှ သုည ၁၀၀ လုံး) ဟူသော စာလုံးကို "google" ဟု မှားပေါင်းရာက စလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ကာ ''Merriam Webster Collegiate Dictionary'' နှင့် ''Oxford English Dictionary'' များတွင် google ၏ အဓိပ္ပာယ်ကို "အင်တာနက်မှ အချက်အလက်များရယူရန် ဂူဂယ် Search Engine ကို အသုံးပြုခြင်း" ဟု ၂၀၀၆ မှ စတင်ကာ ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်စင်တာများ== ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ ဂူဂယ်သည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]] တွင် [[အချက်အလက်စင်တာ]] ၆ ခု၊ [[ချီလီနိုင်ငံ]]၊ [[ဖင်လန်နိုင်ငံ]]၊ [[အိုင်ယာလန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဘယ်လ်ဂျီယံနိုင်ငံ]]၊ [[စင်ကာပူနိုင်ငံ]] နှင့် [[ထိုင်ဝမ်]]တို့တွင် စင်တာ ၁ ခုထိ ထားရှိလည်ပတ်နေသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်အတွင်းက နောက်ထပ် အာရှတိုက်တွင် အချက်အလက်စင်တာ ၃ ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် အမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်း၂၀၀ ထပ်မံ ရင်းနှီးမြုပ်နှံမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းအချက်အလက်စင်တာများကို [[စင်ကာပူ]]၊ [[ထိုင်ဝမ်]]နှင့် [[ဟောင်ကောင်]]တို့တွင် တည်ဆောက်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ''[[ဝါရှင်တန်ပို့စ်|ဝါရှင်တန်ပို့စ် သတင်းစာ]]''က ဂူဂယ်၏ အချက်အလက်စင်တာများကြား အချက်အလက်များပေးပို့မှုသည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ အမျိုးသားလုံခြုံရေးအေဂျင်စီ]]မှ "MUSCULAR" ဟုခေါ်သော ပရိုဂရမ် နှင့် တားဆီးထားပြီး အချက်အလက်ပေးမှုများကြားတွင် မည်သို့မှ စာဝှက်ထားခြင်း (encrypt) မရှိကြောင်း ရေးသားခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ၂၀၁၃ ခုနှစ် နောက်ပိုင်းတွင် အချက်အလက်ပေးပို့မှုများတွင် စာဝှက်ထားမှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ထုတ်ကုန်နှင့် ဝန်ဆောင်မှုများ== ဂူဂယ်၏ အဓိက ဆားဗစ်သည် Google web search engine ဖြစ်သော်လည်း အခြား ထင်ရှား လူကြိုက်များသော ဆားဗစ်များ ရှိသည်။ Google ၏အခြားဆားဗစ်တစ်ခုဖြစ်သော [[ဂျီမေးလ်]] သည်လည်း ထင်ရှားသော အီလက်ထရောနှစ် စာပို့စနစ်ဖြစ်သည်။ [[Google Reader]]၊ [[Google Document]]၊ [[Google Photo]] အစရှိသည်တို့သည် ၎င်း၏ အခမဲ့ ဆားဗစ်များဖြစ်ကြသည်။ အခမဲ့ ဆားဗစ်ဟုဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့ သတ်မှတ်ပေးထားသော ၁၅ [[GB]] ပြည့်သွားပါက ငွေပေး၍ ဝယ်ယူအသုံးပြုနိုင်သည်။ [[Google chrome|Google Chrome]] သည်လည်း သွက်လက်ပေါ့ပါးသော Browser တစ်ခုဖြစ်သည်။ ===[[ဆော့ဖ်ဝဲ]]များ=== ဂူဂယ်သည် သူ၏ Google Web Mail Service ထဲတွင် ဖုန်းဝန်ဆောင်မှုအသစ် ထပ်မံထည်သွင်းလိုက်သည်။ ယခင်က ဖုန်းခေါ်ဆိုနိုင်သော်လည်း [[Gtalk]] တွင် @gtalk2viop ဆိုသော address ကိုတဆင့်ခံပြီး ဖုန်းနံပါတ်ရိုက်ထည့်မှ ခေါ်ဆိုနိုင်ခဲ့သည်။ ယခု feature အသစ်တွင် Phone feature အပြည့်ပါဝင်လာသောကြောင့် ခေါ်ဆိုမှု ပိုမိုအဆင်ပြေလာသည်။ [[နိုင်ငံကုဒ်]] ကိုလည်း တပါတည်း တွဲထည့်ပေးထားသည်။ ၎င်း feature အသစ်တွင် ခေါ်ဆိုမှု မှတ်တမ်း၊ ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုနှုန်းထားနှင့် [[အွန်လိုင်း]]မှ ငွေအလွယ်တကူခြေနိုင်သော လုပ်ဆောင်ချက်များ ထည့်ပေးထားသည်။ === စီးပွားရေး ထုတ်ကုန်များ === ၂၀၀၂ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဂူဂဲလ်ရှာဖွေရေးပစ္စည်း (Google Search Appliance) ဟု အမည်ရသော ပရိုဂရမ်ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ကြီးမားသော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် နည်းပညာ ရှာဖွေမှုများကို ပိုမိုထောက်ပံ့ပေးနိုင်မည် ဖြစ်သည်။ ၃ နှစ်ကြာသောအခါ သေးငယ်သော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် ရည်ရွယ်သော မီနီဗားရှင်း ကိုမိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ် နှောင်းပိုင်းတွင် စိတ်ကြိုက်ရှာဖွေရေး။ စီးပွားရေး အက်ဒီရှင် (Custom Search Business Edition) ကို စတင်ရောင်းချခဲ့သည်။ ယင်းသည် ဂူဂယ်ဝက်ဘ်ဆိုဒ်] ကို ကြော်ငြာများမပါဝင်ဘဲ အသုံးပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ဝန်ဆောင်မှုကို အွန်လိုင်းဝန်ဆောင်မှုအဖြစ် ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ဂူဂယ် [[အက်ပလီကေးရှင်း]] များကို ပိုမိုဝန်ဆောင်မှု ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျီမေးလ် နှင့် ဂူဂယ်ဒေါ့စ် တို့ကို ကိုယ်ပိုင်[[ဒိုမိန်း]]ဖြင့် အသုံးပြုနိုင်အောင် ပြုလုပ်ပေးခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ဝန်ဆောင်မှုများကို Edition အမြောက်အမြား ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အခြေခံ အခမဲ့ (စံသတ်မှတ်ထားသော Edition)၊ စီးပွားရေး၊ ပညာရေး နှင့် အစိုးရအတွက် စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==ကော်ပိုရိတ်ရေးရာ နှင့် ယဉ်ကျေးမှု== ''[[ဖော်ကျွန်းမဂ္ဂဇင်း]]'' ၏ ဖော်ပြချက်အရ ဂူဂယ်ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၀၇၊ ၂၀၀၈ နှင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တို့မှ အလုပ်လုပ်ရန်အတွက် အကောင်းဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံရသည်။ ၂၀၀၉ နှင့် ၂၀၁၀ ခုနှစ်တို့တွင် စတုတ္ထနေရာတွင် ရပ်တည်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ တွင် ဘွဲ့ရလူငယ်များအတွက် အလုပ်လုပ်ရန် ဆွဲဆောင်မှုအရှိဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ခံထားရသည်။ ဂူဂယ်၏ လုပ်ငန်းရေးရာ ဆောင်ပုဒ်များမှာ "မကောင်းတာမလုပ်ဘဲ ပိုက်ဆံရနိုင်တယ်"၊ "သင်ဟာ တူညီဝတ်စုံမဝတ်ဘဲ လူအများလေးစားရသောလူဖြစ်နိုင်သည်"၊ "အလုပ်ကို စိန်ခေါ်ရမည်ဖြစ်ပြီး၊ စိန်ခေါ်မှုဟာ ပျော်စရာဖြစ်သင့်ပါတယ်" တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အချက်အလက်များအရ ဂူဂယ်တွင် ဝန်ထမ်း ၄၇၇၅၆ ဦး အလုပ်လုပ်နေကြကာ ဆော့ဝဲလ် ရေးသူ ၁ သောင်းကျော် ပါဝင်ပြီး ရုံးခွဲ ၄၀ ကျော်တွင် ရုံးစိုက်ထားသည်။ == ကိုးကား == {{reflist|2}} [[Category:ဂူဂယ်]] [[Category:ကွန်ပျူတာ ကော်ပိုရေးရှင်းများ]] 4ox054vtld2vr32oo6w2sripolvgwqv 1060992 1060991 2026-11-01T09:41:21Z Pristome 136669 Undid edits by [[Special:Contribs/~2026-57869-70|~2026-57869-70]] ([[User talk:~2026-57869-70|talk]]) to last version by InternetArchiveBot 1060992 wikitext text/x-wiki {{Infobox company|name=Google LLC|logo=Google 2026 logo.svg|logo_upright=1.1|logo_caption=The [[Google logo]] used since 2026|logo_alt=Each letter of "Google" is colored (from left to right) in blue, red, yellow, blue, green, and red.|image=Googleplex HQ (cropped).jpg|image_upright=1.1|image_caption=Google's headquarters, the [[Googleplex]]|former_name=Google Inc. (1998–2017)|type=[[Subsidiary]]|traded_as=|industry={{Unbulleted list | [[Internet]] | [[Cloud computing]] | [[Computer software]] | [[Computer hardware]] | [[Artificial intelligence]] | [[Advertising]] }}|founded={{Start date and age|1998|09|04}}{{efn|Google was incorporated on September 4, 1998, however, since 2002, the company has celebrated its anniversaries on various days in September, most frequently on September 27.<ref>{{Cite magazine |last=Fitzpatrick |first=Alex |date=September 4, 2014 |title=Google Used to Be the Company That Did 'Nothing But Search' |url=https://time.com/3250807/google-anniversary/ |magazine=[[Time (magazine)|Time]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=October 16, 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191016175103/https://time.com/3250807/google-anniversary/ |url-status=live }}</ref><ref>{{Cite web |date=September 27, 2019 |title=When is Google's birthday – and why are people confused? |url=https://www.telegraph.co.uk/technology/2019/09/27/when-is-googles-21st-birthday-doodle/ |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20220110/https://www.telegraph.co.uk/technology/2019/09/27/when-is-googles-21st-birthday-doodle/ |archive-date=January 10, 2022 |url-access=subscription |url-status=live |work=[[The Daily Telegraph]]}}{{cbignore}}</ref><ref>{{Cite web |last=Griffin |first=Andrew |date=September 27, 2019 |title=Google birthday: The one big problem with the company's celebratory doodle |url=https://www.independent.co.uk/life-style/gadgets-and-tech/google-birthday-surprise-spinner-date-problem-start-company-a7968951.html |website=[[The Independent]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=January 12, 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210112103548/https://www.independent.co.uk/life-style/gadgets-and-tech/google-birthday-surprise-spinner-date-problem-start-company-a7968951.html |url-status=live }}</ref> The shift in dates reportedly happened to celebrate index-size milestones in tandem with the birthday.<ref>{{Cite web |last=Wray |first=Richard |date=September 5, 2008 |title=Happy birthday Google |url=https://www.theguardian.com/business/2008/sep/05/google.mediabusiness |website=[[The Guardian]] |access-date=September 27, 2019 |archive-date=January 12, 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210112103550/https://www.theguardian.com/business/2008/sep/05/google.mediabusiness |url-status=live}}</ref>}} in [[Menlo Park, California|Menlo Park]], [[California]], United States|founders={{Unbulleted list | [[Larry Page]] | [[Sergey Brin]] }}|hq_location=[[Googleplex]]|hq_location_city=[[Mountain View, California]]|hq_location_country=U.S.|area_served=တစ်ကမ္ဘာလုံး|key_people={{Ubl | [[Sundar Pichai]] ([[Chief executive officer|CEO]]) | [[Ruth Porat]] ([[President (corporate title)|President]] and [[Chief investment officer|CIO]]) | [[Anat Ashkenazi]] ([[Chief financial officer|CFO]]) | [[Thomas Kurian]] ([[CEO]] of [[Google Cloud Platform|Google Cloud]]) }}|products={{Ubl | [[Android (operating system)|Android]] | [[Google Nest|Nest]] | [[Google Pixel|Pixel]] | [[Google Search|Search]] | [[Google Workspace|Workspace]] | [[Fitbit]] | [[Waze]] | [[YouTube]] | [[Gemini_(chatbot)|Gemini]] | [[List of Google products|Full list]] }}|parent=[[Alphabet Inc.]]|subsid={{Ubl | [[Adscape]] | [[Cameyo]] | [[Charleston Road Registry]] | [[Google DeepMind|DeepMind]] | [[Endoxon]] | [[FeedBurner]] | [[ImageAmerica]] | [[Kaltix]] | [[Google Nest|Nest Labs]] | [[reCAPTCHA]] | [[YouTube]] | [[ZipDash]] }}|website={{URL|https://google.com/}}|footnotes=<ref>{{Cite web |date=January 16, 2015 |title=Company – Google |url=https://www.google.com/intl/en/about/company/ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150116073513/https://www.google.com/intl/en/about/company/ |archive-date=January 16, 2015 |access-date=September 13, 2018}}</ref><ref>{{Cite web |last=Claburn |first=Thomas |date=September 24, 2008 |title=Google Founded By Sergey Brin, Larry Page... And Hubert Chang?!? |url=https://www.informationweek.com/applications/google-founded-by-sergey-brin-larry-page-and-hubert-chang!/d/d-id/1072309 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110628231125/http://www.informationweek.com/news/internet/google/210603678 |archive-date=June 28, 2011 |access-date=January 22, 2017 |website=[[InformationWeek]] |publisher=[[UBM plc]]}}</ref><ref>{{Cite web |title=Locations – Google Jobs |url=https://www.google.com/about/jobs/locations/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20130930200600/http://www.google.com/about/jobs/locations/ |archive-date=September 30, 2013 |access-date=September 27, 2013}}</ref><ref name="Wakabayashi2019" />|module={{infobox network service provider|child=yes|asn=15169}}}}'''ဂူဂဲလ် အယ်လ်အယ်လ်စီ''' (Google LLC) (အသံထွက်: /ˈɡuːɡəl/, ဂူးဂဲလ်) သည် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုအခြေစိုက် ဘက်ပေါင်းစုံလုပ်ငန်းရှင် ကမ္ဘာကျော် ကော်ပိုရေးရှင်းနှင့် နည်းပညာကုမ္ပဏီတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အွန်လိုင်းကြော်ငြာ (online advertising)၊ [[ဝဘ်ရှာဖွေရေးစက်စနစ်|ရှာဖွေရေးအင်ဂျင်]] (search engine) နည်းပညာ၊ [[တိမ်တိုက် ကွန်ပျူတာ|ကလောက် ကွန်ပြူတင်း]] (cloud computing)၊ [[ကွန်ပျူတာ ဆော့ဖ်ဝဲရ်|ကွန်ပြူတာဆော့ဖ်ဝဲလ်]] (computer software)၊ [[ကွမ်​တမ်​သီ​အို​ရီ|ကွမ်တမ် ကွန်ပြူတင်း]] (quantum computing)၊ [[အီးကောမတ်စ်နှင့် ဂျီအမ်အက်စ်|အီး-ကောမတ်စ်]] (e-commerce)၊ စားသုံးသူ [[အီလက်ထရွန်းနစ်|အီလက်ထရောနစ်]]ပစ္စည်းများ (consumer electronics) နှင့် [[ဉာဏ်ရည်တု]] (artificial intelligence - AI)တို့ကို အဓိကထား၍ လုပ်ဆောင်သည်။ [[ဘီဘီစီ]] (BBC) က ၎င်းအား "ကမ္ဘာပေါ်တွင် အစွမ်းအထက်ဆုံး ကုမ္ပဏီ" <ref>{{Cite news|last=Jack|first=Simon|date=November 21, 2017|title=Google – powerful and responsible?|language=en-GB|work=[[BBC News]]|url=https://www.bbc.com/news/business-42060091|url-status=live|access-date=March 29, 2022|archive-date=March 29, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220329031631/https://www.bbc.com/news/business-42060091}}</ref> ဟု ရည်ညွှန်းခဲ့ပြီး ဈေးကွက်လွှမ်းမိုးမှု၊ ဒေတာစုဆောင်းမှု (data collection) နှင့် ဉာဏ်ရည်တုနယ်ပယ်ရှိ နည်းပညာဆိုင်ရာ အားသာချက်များကြောင့် ကမ္ဘာပေါ်တွင် တန်ဖိုးအရှိဆုံး အမှတ်တံဆိပ်များ (most valuable brands) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web|last=McCormick|first=Rich|date=June 2, 2016|title=Elon Musk: There's only one AI company that worries me|url=https://www.theverge.com/2016/6/2/11837566/elon-musk-one-ai-company-that-worries-me|url-status=live|access-date=March 29, 2022|website=[[The Verge]]|language=en|archive-date=March 29, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220329031133/https://www.theverge.com/2016/6/2/11837566/elon-musk-one-ai-company-that-worries-me}}</ref><ref>{{Cite web|date=October 20, 2020|title=Justice Department Sues Monopolist Google For Violating Antitrust Laws|url=https://www.justice.gov/opa/pr/justice-department-sues-monopolist-google-violating-antitrust-laws|access-date=March 29, 2022|website=U.S. Department of Justice|language=en|archive-date=January 20, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210120170848/https://www.justice.gov/opa/pr/justice-department-sues-monopolist-google-violating-antitrust-laws|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|title=Land of the Giants: The Titans of Tech|url=https://plus.cnn.com/plus/title-2244411|access-date=April 18, 2022|website=CNN+|language=en|archive-date=April 17, 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220417230628/https://plus.cnn.com/plus/title-2244411|url-status=live}}</ref> [[အမေဇုံ (ကုမ္ပဏီ)|အမေဇုန်]] (Amazon)၊ [[အက်ပဲ|အက်ပဲလ်]] (Apple)၊ [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|မေတာ]] (Meta) နှင့် [[မိုက်ခရိုဆော့ဖ်]] (Microsoft) တို့နှင့်အတူ ဂူဂဲလ်၏ မိခင်ကုမ္ပဏီဖြစ်သော အယ်လ်ဖာဘက် (Alphabet Inc.) သည် "နည်းပညာ ကြီးငါးကြီး" (Big Tech) ဟု ခေါ်ဆိုကြသော နည်းပညာကုမ္ပဏီကြီး ငါးခုအနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== ဂူဂယ်သည် ၁၉၉၆ ဇန်နဝါရီလတွင် [[လယ်ရီပေ့ချ်]] (Larry Page) နှင့် [[ဆာဂေး ဘရင်]] (Sergey Brin) ဟူသော [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]မှ ပီအိပ်ချ်ဒီ ကျောင်းသား ၂ ယောက် တင်သွင်းခဲ့သော Search Engine အကြောင်း ရေးသားထားတဲ့ စာတမ်းတစ်စောင်မှ စတင်ခဲ့သည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့၏ Search Engine ကို BackRub လို့ အမည်ပေးခဲ့သည်။ ဆိုဒ်တစ်ခု၏ အရေးပါမှုကို သူ့ကို ရည်ညွှန်းထားတဲ့ backlinks တွေပေါ်မူတည်ပြီး ခန့်မှန်း သတ်မှတ် ဖို့ ဒီဇိုင်းထုတ်ထားခြင်းကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော် ယင်းမတိုင်မီက ထိုနည်းစနစ်ကို သုံးထားသော Rankdex အမည်ရှိ search engine တစ်ခု ရှိနှင့်ပြီး ဖြစ်သည်။ သူတို့ နှစ်ယောက်သည် သီးစစ်လုပ်နေစဉ်အတွင်း ဂူဂယ် ဖြစ်လာမည့် search engine အတွက် အခြေခံများ တည်ဆောက်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ အစပိုင်းတွင် သူတို့ search engine ၏ လိပ်စာသည် [[စတန်းဖို့ဒ် တက္ကသိုလ်]]၏ subdomain တစ်ခုဖြစ်သော google.stanford.edu အနေဖြင့် စတင်ခဲ့သည်။ google.com ဒိုမိန်း ကို ၁၉၉၇ စက်တင်ဘာလ ၁၅ ရက်နေ့တွင်မှ မှတ်ပုံတင်ခဲ့သည်။ ၁၉၉၈ စက်တင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် Google Inc. ကို သူငယ်ချင်းတစ်ယောက်၏ ကားဂိုထောင်ထဲတွင် စတင်ခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို စတင်နိုင်ရန်အတွက် လိုအပ်သော ငွေ အရင်းအနှီးကို [[Sun Microsystems]] ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သူ Andy Bechtolsheim က ဒေါ်လာ ၁၀၀၀၀၀ တန် ချက်လက်မှတ်တစ်ခု စတင် ထုတ်ပေးရာမှ အခြားရင်းနှီးမြုပ်နှံသူများ ပါဝင်လာပြီး စုစုပေါင်း ဒေါ်လာ ၁.၁ သန်းအထိ တိုးတက်များပြားလာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name=":0">{{Cite journal|last=Brin|first=Sergey|author-link=Sergey Brin|last2=Page|first2=Lawrence|author-link2=Larry Page|year=1998|title=The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine|url=http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|journal=Computer Networks and ISDN Systems|volume=30|issue=1–7|pages=107–117|citeseerx=10.1.1.115.5930|doi=10.1016/S0169-7552(98)00110-X|archive-url=https://web.archive.org/web/20150927004511/http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf|archive-date=27 September 2015|access-date=17 December 2019|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite journal |last=Barroso |first=L.A. |last2=Dean |first2=J. |last3=Holzle |first3=U. |date=April 29, 2003 |title=Web search for a planet: the google cluster architecture |journal=IEEE Micro |volume=23 |issue=2 |pages=22–28 |doi=10.1109/mm.2003.1196112 |quote=We believe that the best price/performance tradeoff for our applications comes from fashioning a reliable computing infrastructure from clusters of unreliable commodity PCs.|url=https://semanticscholar.org/paper/8db8e53c92af2f97974707119525aa089f6ed53a }}</ref> ၁၉၉၉ မတ်လ တွင် [[ဆီလီကွန်]] တောင်ကြားတွင် ရှိသော Palo Alto သို့ ကုမ္ပဏီကို ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ထိုအဆောက်အဦးများကို [[ဂူဂယ်ပလက်စ်]]အဖြစ် လူသိများလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ်သည် ရိုးစင်းသော ဒီဇိုင်းနှင့် လွယ်ကူစွာ အသုံးချနိုင်မှုတို့ကြောင့် အသုံးချသူ အများစုက နှစ်သက်ခဲ့ကြသည်။ ၂ဝဝဝ ခုနှစ်က စတင်ပြီး ဂူဂယ်တွင် Search Keywords တွေကို အခြေခံသော ကြော်ငြာများ စတင် ထည့်သွင်းလာခဲ့သည်။ ဂူဂယ် အမည် စတင်ဖြစ်ပေါ်လာပုံမှာ "googol" (၁ နောက်မှ သုည ၁၀၀ လုံး) ဟူသော စာလုံးကို "google" ဟု မှားပေါင်းရာက စလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ကာ ''Merriam Webster Collegiate Dictionary'' နှင့် ''Oxford English Dictionary'' များတွင် google ၏ အဓိပ္ပာယ်ကို "အင်တာနက်မှ အချက်အလက်များရယူရန် ဂူဂယ် Search Engine ကို အသုံးပြုခြင်း" ဟု ၂၀၀၆ မှ စတင်ကာ ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ==အချက်အလက်စင်တာများ== ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ ဂူဂယ်သည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]] တွင် [[အချက်အလက်စင်တာ]] ၆ ခု၊ [[ချီလီနိုင်ငံ]]၊ [[ဖင်လန်နိုင်ငံ]]၊ [[အိုင်ယာလန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဘယ်လ်ဂျီယံနိုင်ငံ]]၊ [[စင်ကာပူနိုင်ငံ]] နှင့် [[ထိုင်ဝမ်]]တို့တွင် စင်တာ ၁ ခုထိ ထားရှိလည်ပတ်နေသည်။ ၂၀၁၁ ခုနှစ်အတွင်းက နောက်ထပ် အာရှတိုက်တွင် အချက်အလက်စင်တာ ၃ ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် အမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်း၂၀၀ ထပ်မံ ရင်းနှီးမြုပ်နှံမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းအချက်အလက်စင်တာများကို [[စင်ကာပူ]]၊ [[ထိုင်ဝမ်]]နှင့် [[ဟောင်ကောင်]]တို့တွင် တည်ဆောက်မည်ဟု ကြေညာခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ''[[ဝါရှင်တန်ပို့စ်|ဝါရှင်တန်ပို့စ် သတင်းစာ]]''က ဂူဂယ်၏ အချက်အလက်စင်တာများကြား အချက်အလက်များပေးပို့မှုသည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ အမျိုးသားလုံခြုံရေးအေဂျင်စီ]]မှ "MUSCULAR" ဟုခေါ်သော ပရိုဂရမ် နှင့် တားဆီးထားပြီး အချက်အလက်ပေးမှုများကြားတွင် မည်သို့မှ စာဝှက်ထားခြင်း (encrypt) မရှိကြောင်း ရေးသားခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ၂၀၁၃ ခုနှစ် နောက်ပိုင်းတွင် အချက်အလက်ပေးပို့မှုများတွင် စာဝှက်ထားမှုများ ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ==ထုတ်ကုန်နှင့် ဝန်ဆောင်မှုများ== ဂူဂယ်၏ အဓိက ဆားဗစ်သည် Google web search engine ဖြစ်သော်လည်း အခြား ထင်ရှား လူကြိုက်များသော ဆားဗစ်များ ရှိသည်။ Google ၏အခြားဆားဗစ်တစ်ခုဖြစ်သော [[ဂျီမေးလ်]] သည်လည်း ထင်ရှားသော အီလက်ထရောနှစ် စာပို့စနစ်ဖြစ်သည်။ [[Google Reader]]၊ [[Google Document]]၊ [[Google Photo]] အစရှိသည်တို့သည် ၎င်း၏ အခမဲ့ ဆားဗစ်များဖြစ်ကြသည်။ အခမဲ့ ဆားဗစ်ဟုဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့ သတ်မှတ်ပေးထားသော ၁၅ [[GB]] ပြည့်သွားပါက ငွေပေး၍ ဝယ်ယူအသုံးပြုနိုင်သည်။ [[Google chrome|Google Chrome]] သည်လည်း သွက်လက်ပေါ့ပါးသော Browser တစ်ခုဖြစ်သည်။ ===[[ဆော့ဖ်ဝဲ]]များ=== ဂူဂယ်သည် သူ၏ Google Web Mail Service ထဲတွင် ဖုန်းဝန်ဆောင်မှုအသစ် ထပ်မံထည်သွင်းလိုက်သည်။ ယခင်က ဖုန်းခေါ်ဆိုနိုင်သော်လည်း [[Gtalk]] တွင် @gtalk2viop ဆိုသော address ကိုတဆင့်ခံပြီး ဖုန်းနံပါတ်ရိုက်ထည့်မှ ခေါ်ဆိုနိုင်ခဲ့သည်။ ယခု feature အသစ်တွင် Phone feature အပြည့်ပါဝင်လာသောကြောင့် ခေါ်ဆိုမှု ပိုမိုအဆင်ပြေလာသည်။ [[နိုင်ငံကုဒ်]] ကိုလည်း တပါတည်း တွဲထည့်ပေးထားသည်။ ၎င်း feature အသစ်တွင် ခေါ်ဆိုမှု မှတ်တမ်း၊ ဖုန်းခေါ်ဆိုမှုနှုန်းထားနှင့် [[အွန်လိုင်း]]မှ ငွေအလွယ်တကူခြေနိုင်သော လုပ်ဆောင်ချက်များ ထည့်ပေးထားသည်။ === စီးပွားရေး ထုတ်ကုန်များ === ၂၀၀၂ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ဂူဂဲလ်ရှာဖွေရေးပစ္စည်း (Google Search Appliance) ဟု အမည်ရသော ပရိုဂရမ်ကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ကြီးမားသော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် နည်းပညာ ရှာဖွေမှုများကို ပိုမိုထောက်ပံ့ပေးနိုင်မည် ဖြစ်သည်။ ၃ နှစ်ကြာသောအခါ သေးငယ်သော အဖွဲ့အစည်းများအတွက် ရည်ရွယ်သော မီနီဗားရှင်း ကိုမိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၂၀၀၆ ခုနှစ် နှောင်းပိုင်းတွင် စိတ်ကြိုက်ရှာဖွေရေး။ စီးပွားရေး အက်ဒီရှင် (Custom Search Business Edition) ကို စတင်ရောင်းချခဲ့သည်။ ယင်းသည် ဂူဂယ်ဝက်ဘ်ဆိုဒ်] ကို ကြော်ငြာများမပါဝင်ဘဲ အသုံးပြုနိုင်သည်။ သို့သော် ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ဝန်ဆောင်မှုကို အွန်လိုင်းဝန်ဆောင်မှုအဖြစ် ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ဂူဂယ် [[အက်ပလီကေးရှင်း]] များကို ပိုမိုဝန်ဆောင်မှု ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျီမေးလ် နှင့် ဂူဂယ်ဒေါ့စ် တို့ကို ကိုယ်ပိုင်[[ဒိုမိန်း]]ဖြင့် အသုံးပြုနိုင်အောင် ပြုလုပ်ပေးခဲ့သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ဝန်ဆောင်မှုများကို Edition အမြောက်အမြား ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အခြေခံ အခမဲ့ (စံသတ်မှတ်ထားသော Edition)၊ စီးပွားရေး၊ ပညာရေး နှင့် အစိုးရအတွက် စသည်ဖြင့် အမျိုးမျိုးထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ==ကော်ပိုရိတ်ရေးရာ နှင့် ယဉ်ကျေးမှု== ''[[ဖော်ကျွန်းမဂ္ဂဇင်း]]'' ၏ ဖော်ပြချက်အရ ဂူဂယ်ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၀၇၊ ၂၀၀၈ နှင့် ၂၀၁၂ ခုနှစ်တို့မှ အလုပ်လုပ်ရန်အတွက် အကောင်းဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းခံရသည်။ ၂၀၀၉ နှင့် ၂၀၁၀ ခုနှစ်တို့တွင် စတုတ္ထနေရာတွင် ရပ်တည်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၀ တွင် ဘွဲ့ရလူငယ်များအတွက် အလုပ်လုပ်ရန် ဆွဲဆောင်မှုအရှိဆုံးကုမ္ပဏီအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ခံထားရသည်။ ဂူဂယ်၏ လုပ်ငန်းရေးရာ ဆောင်ပုဒ်များမှာ "မကောင်းတာမလုပ်ဘဲ ပိုက်ဆံရနိုင်တယ်"၊ "သင်ဟာ တူညီဝတ်စုံမဝတ်ဘဲ လူအများလေးစားရသောလူဖြစ်နိုင်သည်"၊ "အလုပ်ကို စိန်ခေါ်ရမည်ဖြစ်ပြီး၊ စိန်ခေါ်မှုဟာ ပျော်စရာဖြစ်သင့်ပါတယ်" တို့ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် အချက်အလက်များအရ ဂူဂယ်တွင် ဝန်ထမ်း ၄၇၇၅၆ ဦး အလုပ်လုပ်နေကြကာ ဆော့ဝဲလ် ရေးသူ ၁ သောင်းကျော် ပါဝင်ပြီး ရုံးခွဲ ၄၀ ကျော်တွင် ရုံးစိုက်ထားသည်။ == ကိုးကား == {{reflist|2}} [[Category:ဂူဂယ်]] [[Category:ကွန်ပျူတာ ကော်ပိုရေးရှင်းများ]] gue2d8gz61omu3w5ln8t9sag61z5y6u 0 2972 1060925 1043961 2026-10-31T22:43:17Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060925 wikitext text/x-wiki {{Retaining title}} {{infobox programming language | name = Ruby | logo = [[File:Ruby logo.svg|frameless|100px]] | paradigm = [[Multi-paradigm programming language|Multi-paradigm]]: [[Object-oriented programming|Object-oriented]], [[Imperative programming|imperative]], [[Functional programming|functional]], [[Reflective programming|reflective]] | designer = [[Yukihiro Matsumoto]] | developer = Yukihiro Matsumoto, et al. | typing = [[Duck typing|Duck]], [[Dynamic typing|dynamic]], [[Strong typing|strong]] | scope = Lexical, sometimes dynamic | implementations = [[Ruby MRI]], [[YARV]], [[Rubinius]], [[MagLev (software)|MagLev]], [[JRuby]], [[MacRuby]], [[RubyMotion]], [[HotRuby]], [[IronRuby]], [[Mruby]] | influenced = [[Coffeescript]], [[Clojure]], [[Crystal (programming language)|Crystal]], [[D (programming language)|D]], [[Elixir (programming language)|Elixir]], [[Falcon (programming language)|Falcon]], [[Groovy (programming language)|Groovy]], [[Ioke (programming language)|Ioke]],<ref>{{cite web | url=http://ioke.org/ | title=Ioke | last=Bini | first=Ola | work=Ioke.org | accessdate=2011-07-21 | quote=inspired by Io, Smalltalk, Lisp and Ruby | archivedate=21 July 2011 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20110721091046/http://www.ioke.org/ }}</ref> [[Julia (programming language)|Julia]],<ref>{{cite web |url=http://docs.julialang.org/en/stable/manual/introduction/ |title=Introduction — Julia Language 0.4.1 documentation |publisher= |accessdate=13 November 2015 |archivedate=17 November 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151117030037/http://docs.julialang.org/en/stable/manual/introduction/ }}</ref> [[Mirah (programming language)|Mirah]], [[Nu (programming language)|Nu]],<ref>{{cite web | url=http://programming.nu/about | title=About Nu™ | last=Burks | first=Tim | work=Programming Nu™ | publisher=Neon Design Technology, Inc. | accessdate=2011-07-21 | archivedate=24 July 2011 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20110724191313/http://programming.nu/about }}</ref> potion, [[Reia (programming language)|Reia]], [[Rust (programming language)|Rust]], [[Swift (programming language)|Swift]]<ref name="lattner2014">{{cite web|url=http://nondot.org/sabre/|title=Chris Lattner's Homepage|last=Lattner|first=Chris|date=2014-06-03|accessdate=2014-06-03|publisher=Chris Lattner|quote=The Swift language is the product of tireless effort from a team of language experts, documentation gurus, compiler optimization ninjas, and an incredibly important internal dogfooding group who provided feedback to help refine and battle-test ideas. Of course, it also greatly benefited from the experiences hard-won by many other languages in the field, drawing ideas from Objective-C, Rust, Haskell, Ruby, Python, C#, CLU, and far too many others to list.}}</ref> | license = [[Ruby License|Ruby]], [[GNU GPL|GPLv2]] or [[2-clause BSD]] license<ref>{{cite web|url=http://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/COPYING?view=markup|title=[ruby] Contents of /trunk/COPYING|publisher=|accessdate=2 May 2015|archive-date=20 March 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170320052254/https://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/COPYING?view=markup}}</ref><ref>{{cite web|url=http://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/GPL?view=markup|title=[ruby] Contents of /trunk/GPL|publisher=|accessdate=2 May 2015|archive-date=21 March 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220321143223/https://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/GPL?view=markup}}</ref><ref>{{cite web|url=http://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/BSDL?view=markup|title=[ruby] Contents of /trunk/BSDL|publisher=|accessdate=2 May 2015|archive-date=21 March 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220321143246/https://svn.ruby-lang.org/cgi-bin/viewvc.cgi/trunk/BSDL?view=markup}}</ref> | website = {{url|www.ruby-lang.org}} | wikibooks = Ruby Programming | slogan = ''A programmer's best friend'' | year = {{start date and age|1995}} | latest_release_version = 2.3.3 | latest_release_date = {{Start date and age|2016|11|21}}<ref name="ruby-announce">{{Cite web |url=https://www.ruby-lang.org/en/news/2016/11/21/ruby-2-3-3-released/ |title=Ruby 2.3.3 Released |website=Ruby Programming Language |publisher= |date=2016-11-21 |accessdate=2016-11-21 }}</ref> | programming_language = [[C (programming language)|C]] | influenced_by = [[Ada (programming language)|Ada]],<ref name="nov2pro"/> [[C++]],<ref name="nov2pro"/> [[CLU (programming language)|CLU]],<ref name="bini"/> [[Dylan (programming language)|Dylan]],<ref name="bini"/> [[Eiffel (programming language)|Eiffel]],<ref name="nov2pro"> {{cite book | last=Cooper | first=Peter | title=Beginning Ruby: From Novice to Professional | url=https://archive.org/details/beginningrubyfro0000coop_l9d5 | edition=2nd | series=Beginning from Novice to Professional | year=2009 | publisher=APress | location=Berkeley | isbn=1-4302-2363-4 | page=[https://archive.org/details/beginningrubyfro0000coop_l9d5/page/101 101] | quote=To a lesser extent, Python, LISP, Eiffel, Ada, and C++ have also influenced Ruby.}} </ref> [[Lua (programming language)|Lua]], [[Lisp (programming language)|Lisp]],<ref name="bini"/> [[Perl]],<ref name="bini"/> [[Python (programming language)|Python]],<ref name="bini"/> [[Smalltalk]]<ref name="bini"> {{cite book | last=Bini | first=Ola | title=Practical JRuby on Rails Web 2.0 Projects: Bringing Ruby on Rails to Java | url=https://archive.org/details/practicaljrubyon00bini | year=2007 | publisher=APress | location=Berkeley | isbn=1-59059-881-4 | page=[https://archive.org/details/practicaljrubyon00bini/page/n30 3] | quote=It draws primarily on features from Perl, Smalltalk, Python, Lisp, Dylan, and CLU.}} </ref> | operating_system = [[Cross-platform]] | file_ext = .rb, .rbw }} Ruby ဟာ [[reflective]], [[Dynamic]], [[Object-Oriented Programming Language]] ပါ။ သူ့ရဲ့ syntax ကတော့ Perl နဲ့ Smalltalk ကဲ့သို့တော့ Object-oriented Features တွေပါဝင်ပေါင်းစည်းထားပြီး [[Python]], [[Lisp]], [[Dylan]] နဲ့ [[CLU]] ရဲ့ features တွေကိုလည်း မျှဝေထားပါတယ်။ Ruby ဟာ single-pass [[interpreted language]] ပါ။ သူဟာ C နဲ့ ရေးထားတဲ့ free software မှ implementation လုပ်ထားပါတယ်။ == သမိုင်း == Ruby ကို Yukihiro "Matz" Matsumoto က ရေးသားခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ February 24, 1993 က စတင်ခဲ့ရာ 1995 မှ Public လုပ်နိုင်ခဲ့သည်။ Ruby ဆိုတာ ကျောက်မျက်ရတနာ နာမည်ကို [[Perl]] ၏ နာမည်ကို နောက်တဲ့နေနဲ့ နာမည်ပေးခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ [[File:Yukihiro Matsumoto.JPG|thumb|Yukihiro "Matz" Matsumoto]] March 2007 တွင် version 1.8.6 ကိုထုတ်ခဲ့သည်။ ယခုအခါ 1.9 ကို development လုပ်နေသည်။ ruby ကို [[Jruby]] အဖြစ် [[Java (programming language)|Java]] platform အတွက် နှင့် [[Microsoft]] က [[Iroruby]] ကို [[.NET Framework]] အတွက်ထုတ်လုပ်ပြီး [[rubinius]] ကတော့ [[Smalltalk]] virtual machines အတွက်ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist|2}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [http://www.ruby-lang.org/en/ Ruby language home page] * [http://www.railslodge.com A ruby documentation community] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191203145217/http://www.railslodge.com/ |date=3 December 2019 }} * [http://www.ruby-doc.org ruby documentation site] * [http://dmoz.org/Computers/Programming/Languages/ruby/ ruby programming language] at the Open Directory Project * [http://www.mentalpointer.com/ruby/index.html Ruby User Guide Mirror] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071011232108/http://mentalpointer.com/ruby/index.html |date=11 October 2007 }} * [http://www.ruby-lang.org/en/documentation/ruby-from-other-languages/ Ruby From Other Languages] * [http://www.headius.com/rubyspec/index.php/Main_Page Riki: Ruby language and implementation specification] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071112110855/http://www.headius.com/rubyspec/index.php/Main_Page |date=12 November 2007 }} * [https://web.archive.org/web/20131020065957/http://www.eqqon.com/index.php/Ruby_C_Extension_API_Documentation_(Ruby_1.8) Writing C Extensions to Ruby (MRI 1.8)] [[ကဏ္ဍ:ပရိုဂရမ်းမင်း ဘာသာစကား]] ap7mjsktuec0a26aeqch71vmub2roq5 0 3581 1060839 1058552 2026-10-31T12:08:59Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060839 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} '''ကိန်း''' (number) ဆိုသည်မှာ ပမာဏများကို ရေတွက်ရန်၊ တိုင်းတာရန်၊ အမှတ်အသားပြုရန်၊ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] အဆင့်ကိုလိုက်၍ အစဉ်လိုက်စီရန်နှင့် နှိုင်းယှဉ်ရန်အတွက် အသုံးပြုသော သရုပ်မဲ့ [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] အရာဝတ္ထု (abstract mathematical object) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |website=CNRTL |title=Nombre: Nombre ordinal |url=https://www.cnrtl.fr/definition/nombre}}</ref><ref>{{cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181004081907/http://www.oed.com/view/Entry/129082 |archive-date=2018-10-04 |url-status=live}}</ref> သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းဟူသော သဘောတရားသည် အရာဝတ္ထုများကို ရေတွက်ခြင်းနှင့် အရွယ်အစားများကို ခန့်မှန်းခြင်းစသည့် အခြေခံအယူအဆများမှတစ်ဆင့် တဖြည်းဖြည်း ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။ ဤကဲ့သို့ ပြောင်းလဲလာမှုကြောင့် ကိန်းများသည် သရုပ်မဲ့လေ့လာတွေ့ရှိချက်များကို တိကျသော တိုင်းတာမှုများနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးနိုင်ခဲ့ပြီး လက်တွေ့အသုံးချ သိပ္ပံပညာရပ်များ၌ မပါမဖြစ်သော အဓိကအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လာခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last1=Bigelow |first1=John |last2=Butchart |first2=Sam |editor-last=Borchert |editor-first=Donald M. |title=Encyclopedia of Philosophy |chapter=Number |year=2005 |isbn=978-0-02-866072-1 |publisher=Macmillan Reference USA}}</ref> လူသားတို့၏ သိမြင်နားလည်နိုင်စွမ်းအတွက် အရေးပါသော အခြေခံအုတ်မြစ်တစ်ခု ဖြစ်သော်ငြားလည်း ကိန်းဟူသော သဘောတရားအပေါ် အားလုံးလက်ခံနိုင်မည့် ယေဘုယျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (general definition) တစ်ခုတည်းဟူ၍ သီးသန့်မရှိပေ။ အဓိကကျသော ကိုးကားကျမ်းအများအပြား၌ ကိန်းဆိုသည်မှာ လူသားတို့၏ နားလည်သဘောပေါက်မှုတွင် အခြေခံအကျဆုံးဖြစ်သောကြောင့် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရန် ခက်ခဲကြောင်း မှတ်ချက်ပြုထားကြသည်။<ref>{{cite book |title=Le Petit Robert de la langue française |publisher=Dictionnaires Le Robert}}</ref><ref>{{cite web |title=Trésor de la Langue Française informatisé |url=http://atilf.atilf.fr/}}</ref><ref>{{cite book |title=Le Petit Larousse illustré |publisher=Éditions Larousse}}</ref> သီးခြားကိန်းတစ်ခုစီကို အပြောနှင့် အရေး ဘာသာစကားများတွင် ကိန်းစကားလုံးများအပြင် နျူမရယ် (numeral) သို့မဟုတ် ဂဏန်း (digit) ဟုခေါ်သော တိကျသည့် သင်္ကေတများဖြင့်လည်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် "ဆယ့်တစ်" သည် ကိန်းစကားလုံးဖြစ်ပြီး <math>11</math> သည် ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော နျူမရယ်ဖြစ်သည်။ ဘာသာဗေဒတွင် နျူမရယ်ဆိုသည်မှာ <math>5</math> ကဲ့သို့သော သင်္ကေတတစ်ခုကို ရည်ညွှန်းနိုင်သကဲ့သို့ <math>500</math> ဟူသော တန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည့် "ငါးရာ" ကဲ့သို့သော ကိန်းအမည်ပေး စကားလုံး သို့မဟုတ် စကားစုကိုလည်း ရည်ညွှန်းနိုင်သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် "ဒါဇင်" ကဲ့သို့သော အခြားစကားလုံးများသည်လည်း နျူမရယ်များပင် ဖြစ်ကြသည်။ သင်္ကေတအသစ်များကို တစ်ခုချင်းစီ မှတ်သားနိုင်စွမ်းမှာ ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့်အတွက် မည်သည့်ကိန်းကိုမဆို ထိရောက်စွာ စီစဉ်ပြသနိုင်ရန် ဒသမကိန်းစနစ် ဟိန္ဒူအာရပ်နျူမရယ်စနစ် (decimal Hindu–Arabic numeral system) ကဲ့သို့သော နျူမရယ်စနစ်များ (numeral systems) ကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုလာကြသည်။<ref>{{cite journal |title=numeral, adj. and n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129111 |journal=OED Online |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-date=2022-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220730095156/https://www.oed.com/start;jsessionid=B9929F0647C8EE5D4FDB3A3C1B2CA3C3?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F129111 |url-status=live}}</ref> နေ့စဉ်သုံးဝေါဟာရများတွင် ဤကွဲပြားချက်များမှာ ဝေဝါးနေတတ်သည်။ သို့ရာတွင် သရုပ်မဲ့ကိန်းများ၊ ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော ဂဏန်းသင်္ကေတများ၊ ကိန်းစကားလုံးများနှင့် ဂဏန်းစာသားများကိုသာ အသုံးပြုထားသည့် ဖုန်းနံပါတ် သို့မဟုတ် ISBN ကဲ့သို့သော ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုများအကြား ခြားနားချက်ကိုမူ ဂရုပြု၍ ခွဲခြားသိမြင်ရမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ချာတွင် ကိန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာတွက်ချက်မှုများ (mathematical operations) မှတစ်ဆင့် အချင်းချင်း သက်ရောက်မှုရှိကြသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တွက်ချက်မှုများတွင် ကိန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ကိန်းများကို အဝင်ကိန်း (input) အဖြစ် လက်ခံပြီး အထွက်ကိန်း (output) အဖြစ် ကိန်းတစ်ခုကို ပြန်လည်ထုတ်ပေးသည်။ တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (unary operation) များသည် ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုသာ အဝင်ကိန်းအဖြစ် လက်ခံတွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် နောက်ဆက်တွဲတွက်ချက်မှု (successor operation) တွင် အဝင်ကိန်းတိုင်းကို <math>1</math> ပေါင်းပေးသဖြင့် <math>4</math> ကိုထည့်သွင်းပါက <math>5</math> ဟူ၍ ထွက်လာမည်ဖြစ်သည်။ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) များသည် ကိန်းနှစ်ခုကို လက်ခံပြီး အထွက်ကိန်းတစ်ခုကို ပြန်ထုတ်ပေးသည်။ အကျွမ်းတဝင်အရှိဆုံးဖြစ်သော [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းခြင်း]] (addition)၊ [[နုတ်ခြင်း|နုတ်ခြင်း]] (subtraction)၊ [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်း]] (multiplication)၊ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (division) နှင့် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation) တို့သည် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ ဖြစ်ကြပြီး သုညဖြင့် စားခြင်း ကဲ့သို့သော အခြေအနေများတွင် ကန့်သတ်ချက်အချို့ ရှိသော်လည်း ၎င်းတို့ကို [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) ၏ စည်းမျဉ်းများအရ သတ်မှတ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကို ရိုးရာအားဖြင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] ဂဏန်းသင်္ချာ (integer arithmetic) အတွင်း၌ လေ့လာကြပြီး [[ကိန်းသီအိုရီ|ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) ၏ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ဘာသာရပ်ခွဲများတစ်လျှောက်တွင်လည်း ဆက်လက်၍ ချဲ့ထွင်လေ့လာကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် ကိန်းဟူသော သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားသည် စဉ်ဆက်မပြတ် ကျယ်ပြန့်တိုးတက်လာခဲ့သည်။ အခြေခံအကျဆုံးဖြစ်သော [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) ကို သမိုင်းမတင်မီခေတ်ကတည်းက အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ပြင်သစ်နိုင်ငံ လေးပရာဒဲလ် (Les Pradelles) ဒေသ၌ တွေ့ရှိရသော အစောပိုင်း ရေတွက်မှတ်တမ်း (tally stick) ဟုယူဆရသည့် အစဉ်လိုက် အရာကိုးခုပါသော ခွေးအ (hyena) အရိုးကို ထောက်ရှု၍ နီယန်ဒါသဲလ် (Neanderthals) လူသားများသည် လွန်ခဲ့သော နှစ်ပေါင်း <math>60,000</math> ခန့်ကတည်းက ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို မှတ်တမ်းတင်ခဲ့ကြဖွယ်ရှိကြောင်း တွေ့ရသည်။<ref>{{cite journal |last=d'Errico |first=Francesco |title=From number sense to number symbols. An archaeological perspective |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences |date=2018-01-01 |url=https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5784044/}}</ref> ဘီစီ <math>2000</math> ခန့်ရောက်သောအခါ အီဂျစ်နှင့် ဘေဘီလုံလူမျိုးများသည် ထက်ဝက်ကဲ့သို့သော [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း]] (fraction) များနှင့် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်နေကြပြီဖြစ်သည်။ <math>7</math> ရာစု အိန္ဒိယနိုင်ငံတွင်မူ သုည (<math>0</math>) နှင့် အနုတ် <math>1</math> (<math>-1</math>) ကဲ့သို့သော [[အနုတ်ကိန်း|အနုတ်ကိန်းများ]] (negative numbers) အပေါ် ပုံစံတကျ နားလည်သဘောပေါက်မှုများ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ဤသည်မှာ ဗလာဖြစ်၍ ဘာမှမရှိခြင်းကိုပင် တွက်ချက်နိုင်သော တန်ဖိုးတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးလိုက်ခြင်းဖြစ်ရာ အခြေခံကျလှသော ဒဿနပိုင်းဆိုင်ရာ အပြောင်းအလဲတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။<ref>{{cite news |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |title=The Origin of Zero |last=Matson |first=John |work=Scientific American |access-date=2017-05-16 |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20170826235655/https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |archive-date=2017-08-26 |url-status=live}}</ref><ref name="Hodgkin2005">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88 |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |last=Hodgkin |first=Luke |date=2005-06-02 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-152383-0 |pages=85–88 |language=en |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190204012433/https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88 |archive-date=2019-02-04 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite book |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema0003merz |page=[https://archive.org/details/historyofmathema0003merz/page/198 198] |year=2011 |publisher=John Wiley & Sons}}</ref> <math>2</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သို့မဟုတ် ပိုင် (pi) ကဲ့သို့သော [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (irrational numbers) ၏ အယူအဆကို ဘီစီ <math>4</math> ရာစု ရှေးဟောင်းဂရိနိုင်ငံ၌ စတင်ဖန်တီးခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်း အစ္စလာမ္မစ် ရွှေခေတ် (Islamic Golden Age) အတွင်း ပိုမိုတွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |chapter=The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematics |first=T. K. |last=Puttaswamy |title=Mathematics across cultures: the history of non-western mathematics |editor-first=Helaine |editor-last=Selin |date=2012 |publisher=Springer Science & Business Media |location=Dordrecht |isbn=978-94-011-4301-1 |pages=409–422 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=DbsqBgAAQBAJ&pg=PA408}}</ref> ဥရောပ ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ် (European Renaissance)အတွင်း [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်များ]] (imaginary numbers) ၏ အယူအဆ တိုးတက်လာခဲ့ရာမှတဆင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ကို ကျယ်ပြန့်လှသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နယ်ပယ်အဖြစ်သို့ တိုးချဲ့နိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie: The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |year=1954 |orig-year=1637 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60068-0 |access-date=2011-04-20}}</ref><ref name="Hodgkin2005" /><ref>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Grand dictionnaire encyclopédique Larousse |title=Nombre |url=https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/nombre/54801 |access-date=2023-10-01}}</ref><ref>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Encyclopædia Britannica |title=Number |url=https://www.britannica.com/science/number |access-date=2023-10-01}}</ref> <math>19</math> ရာစုနှင့် <math>20</math> ရာစုအစောပိုင်း ကာလများအတွင်း သင်္ချာပညာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ (axiomatically) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်လာခဲ့ကြသည်။ ထိုအခါ ကိန်းများ၏ သဘောတရားသည် ထပ်မံကျယ်ပြန့်လာခဲ့ပြီး [[အနန္တ|အနန္တ]] (infinite) အရွယ်အစားများ၊ စံမဟုတ်သော [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (non-standard analysis) မှ အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ (infinitesimals) နှင့် [[အစုသီအိုရီ|အစုသီအိုရီ]] (set theory) မှ အနန္တလွန်ကိန်းများ (transfinite numbers) ကိုပါ ထည့်သွင်းစဉ်းစားလာကြသည်။ သင်္ချာပညာရှင်များသည် မူလကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို အမွေခံထားပြီး ပင်ကိုသိစိတ် (intuitive) ဖြင့် နားလည်ထားသော သဘောတရားများကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalizations) များအဖြစ် လုပ်ဆောင်ပေးသည့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (<math>p</math>-adic numbers) နှင့် ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ (hypercomplex numbers) ကဲ့သို့သော ကွဲပြားသည့် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ]] တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) ကိုလည်း ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းတို့ကို "ကိန်းများ" အဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းမှာ တစ်ခါတစ်ရံ၌ တိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြားမှုထက် သမားရိုးကျ အမည်ပေးသတ်မှတ်ချက်တစ်ခုသာ ဖြစ်နေတတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Gouvêa |first=Fernando Q. |title=The Princeton Companion to Mathematics |chapter=II.1, The Origins of Modern Mathematics |page=82 |publisher=Princeton University Press |date=2008-09-28 |isbn=978-0-691-11880-2 |quote=Today, it is no longer that easy to decide what counts as a 'number.' The objects from the original sequence of 'integer, rational, real, and complex' are certainly numbers, but so are the p-adics. The quaternions are rarely referred to as 'numbers,' on the other hand, though they can be used to coordinatize certain mathematical notions.}}</ref> စင်စစ်အားဖြင့် ကိန်းများကို သင်္ချာသီအိုရီသက်သက်အတွက်သာမက ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာများကို ဖော်ပြရန်၊ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (equations) ကို ဖြေရှင်းရန်နှင့် သတင်းအချက်အလက်များကို လျှို့ဝှက်သင်္ကေတပြောင်းရန် (encode) အတွက်ပါ အသုံးပြုကြသည်။ ရူပဗေဒနယ်ပယ်၌မူ ၎င်းတို့ကို ရေးနိုးကိန်း (Reynolds number) သို့မဟုတ် ကွမ်တမ်ကိန်းများ (quantum numbers) ကဲ့သို့သော အတိုင်းအတာမဲ့ ပမာဏများ (dimensionless quantities) အဖြစ် မကြာခဏ တွေ့ရလေ့ရှိသည်။ == ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြင်း (Classification of Numbers) == ကိန်းများကို ၎င်းတို့၏ [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အသုံးပြုမှုများအပေါ် မူတည်၍ အမျိုးအစားအဖုံဖုံ ခွဲခြားနိုင်သည်။ ဤသို့ အမျိုးတူကိန်းများအားလုံးကို စုဝေး၍ [[အစု|အစုများ]] (sets) အတွင်းသို့ စနစ်တကျ ခွဲခြားထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် ကိန်းစနစ်များ (number systems) ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ သမိုင်းကြောင်းနှင့် သင်္ချာပညာရပ်၏ တိုးတက်မှုအဆင့်ဆင့်အရ ကိန်းစနစ်များသည် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများကို]] ဖြေရှင်းနိုင်ရန် အချင်းချင်းငုံထားသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (nested subsets) ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် တိုးချဲ့တည်ဆောက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]]မှသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အထိ အစုများ၏ ဆက်သွယ်ချက်ကို <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math> ဟူ၍ ယေဘုယျအားဖြင့် မှတ်ယူနိုင်သည်။ ကိန်း (number) ဟူသော သရုပ်မဲ့ သဘောတရား (abstract concept) နှင့် ၎င်းကို ကိုယ်စားပြုရေးသားသော နျူမရယ် (numeral) တို့မှာ မတူညီပေ။ ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုပင် ရေးသားပုံစနစ် တစ်မျိုးမကသုံး၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် တန်ဖိုးပမာဏ 8 ကို ဒသမကိန်းစနစ် ဟိန္ဒူအာရပ်နျူမရယ်စနစ် (decimal Hindu-Arabic numeral system) သုံး၍ 8 ဟု ရေးနိုင်သလို ရောမ နျူမရယ် (Roman numeral) သုံး၍ VIII ဟုလည်းကောင်း ကွန်ပျူတာများအသုံးပြုသည့် ဘိုင်နရီ (binary) စနစ်ဖြင့် 1000 ဟုလည်းကောင်း ရေးနိုင်သည်။ မည်သို့ပင် ရေးသားစေကာမူ အဆိုပါ သင်္ကေတအားလုံးသည် ကိန်းဟူသော တူညီသည့် သရုပ်မဲ့ပမာဏ (abstract quantity) တစ်ခုတည်းကိုသာ ကိုယ်စားပြုကြသည်။ အခြေခံအားဖြင့် တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုသော ကိန်းစနစ်များကို အောက်ပါဇယားဖြင့် အကျဉ်းချုံး လေ့လာနိုင်ပါသည်။ <center> {| class="wikitable" style="text-align: left; width: 85%;" |+ ခေတ်သစ်သင်္ချာပါ အခြေခံ ကိန်းစနစ်များ (Fundamental Number Systems) |- ! style="text-align: center;" | သင်္ကေတ ! style="text-align: center;" | ကိန်းစနစ် ! style="text-align: center;" | အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ပါဝင်သောကိန်းများ |- ! style="text-align: center;" | <math> \mathbb{N}</math> ! သဘာဝကိန်းများ<br>(Natural numbers) | လူတို့ နိစ္စဓူဝရေတွက်ခြင်းအတွက်သုံးသော ကိန်းများဖြစ်သည်။ 0, 1, 2, 3, 4... သို့မဟုတ် 1, 2, 3, 4... စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ |- ! style="text-align: center;" | <math> \mathbb{Z}</math> ! [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]<br>(Integers) | သဘာဝကိန်းများနှင့် ၎င်းတို့၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်များ (additive inverses) ပေါင်းစပ်ထားသော စနစ်ဖြစ်သည်။ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ |- ! style="text-align: center;" | <math> \mathbb{Q}</math> ! [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]<br>(Rational numbers) | <math>\frac{a}{b}</math> သဏ္ဌာန်ရှိ အတိအပပြနိုင်သော [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်းများ]] (fractions) ဖြစ်ပြီး <math>a</math> နှင့် <math>b</math> သည် ကိန်းပြည့်များဖြစ်ကာ ပိုင်းခြေ (denominator) <math>b</math> သည် သုညနှင့် မညီသော <math>b \neq 0</math> အခြေအနေဖြစ်သည်။ |- ! style="text-align: center;" | <math> \mathbb{R}</math> ! [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]<br>(Real numbers) | ကိန်းစစ်မျဉ်း (real number line) ပေါ်ရှိ ကိန်းများအားလုံး ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့တွင် ရာရှင်နယ်ကိန်းနှင့် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] အားလုံး ပါဝင်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ စုဆုံသော [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (convergent Cauchy sequences of rational numbers) ၏ [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]] (limits) အဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ |- ! style="text-align: center;" | <math> \mathbb{C}</math> ! ကိန်းထွေးများ<br>(Complex numbers) | <math>a+bi</math> သဏ္ဌာန်ရှိကိန်းများဖြစ်ပြီး <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>i</math> ဟူသော [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]] (imaginary unit) သည် ညီမျှခြင်း <math>x^2+1=0</math> ကို ပြေလည်စေသော -1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည်။ |} </center> ဤအခြေခံ ကိန်းစနစ် 5 မျိုးအပြင် အဆင့်မြင့် သရုပ်မဲ့ [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် ကိန်းထွေးများစနစ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ထားသော စနစ်များရှိသေးသည်။ ၎င်းတို့မှာ သင်္ကေတ <math>\mathbb{H}</math> ဖြင့်ပြသည့် [[ကွာတာနီယွန်|ကွာတာနီယွန်များ]] (quaternions) နှင့် သင်္ကေတ <math>\mathbb{O}</math> ဖြင့်ပြသည့် အော့တိုနီယွန်များ (octonions) ကဲ့သို့သော ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ (hypercomplex numbers) စနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် နေ့စဉ်လက်တွေ့ တွက်ချက်မှုများနှင့် ခေတ်သစ်သိပ္ပံနည်းကျ ညီမျှခြင်းအများစုအတွက်မူ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) ဖြစ်သည့် <math>\mathbb{C}</math> ဖြင့် အဆုံးသတ်ထားသော အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းစနစ်များက လုံလောက်သော အခြေခံအုတ်မြစ်ကို အပြည့်အဝ ထောက်ပံ့ပေးထားသည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများသည် ကလပ်စစ်ကယ် ရူပဗေဒ (classical physics) မှသည် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) အထိ အကျုံးဝင်သည်။ === သဘာဝကိန်းများ (Natural numbers) === {{main|သဘာဝကိန်း}} လူတို့ နိစ္စဓူဝ ထိတွေ့ရင်းနှီးမှု အများဆုံးနှင့် သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် တစ်ပိုင်းတစ်စဖြစ်သော ပမာဏများ (discrete quantities) ကို ရေတွက်ရန်နှင့် အစဉ်လိုက်စီစဉ်ရန်အတွက် အသုံးပြုသော အခြေခံကိန်းအမျိုးအစားမှာ [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] ဖြစ်သည်။ သဘာဝကိန်းများကို ရေတွက်ကိန်းများ (counting numbers) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ဂဏန်း (digit) 1, 2, 3, 4, ... စသည်တို့မှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သာဓကအားဖြင့် ဘော်ဘာကီ 1968<ref>Bourbaki, N. Elements of Mathematics: Theory of Sets. Paris, France: Hermann, 1968. </ref>၊ ဟာမော့စ် 1974<ref>Halmos, P. R. Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1974. </ref> နှင့် Wolfram MathWorld<ref name="wolfram_n">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html Natural Number]." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</ref> စသည့် အချို့သော သင်္ချာပညာရှင်များနှင့် စာအုပ်စာတမ်းများတွင် သုညကို သဘာဝကိန်းဟု သတ်မှတ်ပြီး ကျန်အချို့က သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် မထည့်သွင်းပါ။ မည်သို့ဖြစ်စေ သဘာဝကိန်းများ အစု၏ အသုံးများသောသင်္ကေတမှာ <math> \mathbb{N} </math> ဖြစ်သည်။ သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်း သို့မဟုတ် မသတ်မှတ်ခြင်းကို ရှင်းလင်းစေချင်သောအခါတွင် သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_0</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{\geqslant 0}</math> တို့ကို သုညပါသော အနုတ်မဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (non-negative integers) အတွက် အသုံးပြုကြပြီး သင်္ကေတ <math>\mathbb{N}_1</math>၊ <math>\mathbb{N}^*</math> နှင့် <math>\mathbb{Z}_{>0}</math> တို့ကို သုညမပါသော တိကျစွာ အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (strictly positive integers) အတွက် အသုံးပြုကြသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကြည့်လျှင် အစောပိုင်းကာလများက ၎င်းတို့ကို ကိန်းများဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသော်လည်း [[အနုတ်ကိန်း]]၊ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]]နှင့် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] ပေါ်ပေါက်လာပြီးနောက်ပိုင်းတွင် မူလရေတွက်ကိန်းများကို တိကျစွာခွဲခြားရန် သဘာဝကိန်းဟူသော ဝေါဟာရကို စတင်သုံးစွဲလာခဲ့ကြသည်။ 1484 ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ်ပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ရှူကေး က သဘာဝကိန်းစဉ်ဟူ၍ လည်းကောင်း 1763 ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ အီမာဆန် က အင်္ဂလိပ်ဝေါဟာရ natural number ဟူ၍ လည်းကောင်း စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ 19 ရာစုတွင် သဘာဝကိန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းခုံမှုများစွာရှိခဲ့ပြီး လီယိုပို ကရိုနက်ကာ က ဘုရားသခင်သည် ကိန်းပြည့်များကို ဖန်ဆင်းခဲ့ပြီး အခြားအရာအားလုံးမှာ လူသားတို့၏ ဖန်တီးမှုသာဖြစ်သည်ဟုပင် ဆိုခဲ့ဖူးသည်။ ကိန်း 0 ကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းသည် ကာလကြာရှည် ငြင်းခုံစရာဖြစ်ခဲ့သော်လည်း 1960 ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) တို့၏ လိုအပ်ချက်များကြောင့် သုညကို ထည့်သွင်းအသုံးပြုခြင်းမှာ တွင်ကျယ်လာခဲ့ပြီး လက်ရှိတွင် ISO 80000-2 ကဲ့သို့သော နိုင်ငံတကာစံနှုန်းများကပါ ပုံစံတကျ စံသတ်မှတ်ပေးထားသည်။ ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော ခေတ်သစ်သင်္ချာစနစ်များတွင် သဘာဝကိန်းများကို ပီအာနို [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (Peano axioms) နှင့် ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း ၏ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံတို့ဖြင့် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ပီအာနိုစနစ်တွင် <math>0</math> ကို အခြေခံအစပြု အစုဝင်အဖြစ်ထားရှိကာ ကိန်းတစ်ခုစီတိုင်းအတွက် နောက်ဆက်တွဲ [[ဖန်ရှင်]] (successor function) ကို အသုံးပြု၍ အဆုံးမရှိသော သဘာဝကိန်းစဉ်ကို [[သင်္ချာဆိုင်ရာဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း|သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း]] (mathematical induction) ဖြင့် ခိုင်မာစွာ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဖွန်နွိုင်းမန်း၏ နည်းလမ်းအရမူ <math>0</math> ကို [[ဗလာစု]] (empty set) <math>\emptyset</math> အဖြစ် သတ်မှတ်၍ သဘာဝကိန်းများကို [[အစု|အစုများ]]အဖြစ် အဆင့်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဂုဏ်သတ္တိများအရ သဘာဝကိန်းများ အစု <math>\mathbb{N}</math> သည် [[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[မြှောက်ခြင်း]]တို့အတွက် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (closure property)၊ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity)၊ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) နှင့် [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) တို့ ပြည့်စုံကြသည်။ သို့သော် ၎င်းတို့တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်များ မရှိခြင်းနှင့် [[နုတ်ခြင်း]]အတွက် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ မရှိခြင်းတို့ကြောင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခုအဖြစ် မဖွဲ့စည်းနိုင်ဘဲ ဖလှယ်ရ ဆီမီးကွင်း (commutative semiring) တစ်ခုအဖြစ်သာ ရပ်တည်ကာ အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ === ကိန်းပြည့်များ (Integers) === {{main|ကိန်းပြည့်}} တွက်ချက်ခြင်း၊ ရေတွက်ခြင်းနှင့် တိုင်းတာမှုများတွင် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]]သက်သက်ဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ၊ အထူးသဖြင့် အနုတ်လက္ခဏာပြ တန်ဖိုးများကို ဖော်ပြရန် လိုအပ်လာသောအခါ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များကို]] သုံးရသည်။ သုညအပါအဝင် သဘာဝကိန်းများဖြစ်သော 0, 1, 2, 3, 4, ... စသည်တို့နှင့် ၎င်းတို့၏ အနုတ်ကိန်းများဖြစ်သော -1, -2, -3, -4, ... စသည်တို့ကို စုပေါင်း၍ ကိန်းပြည့်များဟု ခေါ်သည်။ ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ရှိရင်းစွဲ သဘာဝကိန်းများနှင့် [[ပေါင်းခြင်း]] ဟူသော [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation) ကို အခြေခံထားသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>-n</math> ဆိုသည်မှာ အပေါင်းကိန်း <math>n</math> နှင့် ပေါင်းပါက [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဖြစ်သည့် သုညကို ရရှိစေမည့် အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းပြည့်များ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သဘာဝကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော်လည်း ကိန်းပြည့်တိုင်းသည် သဘာဝကိန်းမဟုတ်ပေ။ ကိန်းပြည့်များ အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ရေးသားလေ့ရှိပြီး ဤသည်မှာ ကိန်းများဟု အနက်ရသည့် ဂျာမန်စာလုံး Zahlen ကို အရင်းပြု၍ သုံးစွဲထားခြင်းဖြစ်သည်။<ref>Dummit, D. and Foote, R., Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., p. 1, 2004.</ref> ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော သင်္ချာသီအိုရီများတွင် <math>\mathbb{Z}</math> အစုသည် [[အနန္တ]] (infinite) ဖြစ်သော်လည်း ၎င်း၏ အစုဝင်များကို [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများ]]အဖြစ် စနစ်တကျ အလှည့်ကျခွဲခြားခြင်းဖြင့် သဘာဝကိန်းများနှင့် တစ်ခုချင်းစီ အပြန်အလှန် ပုံဖော်နိုင်သောကြောင့် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) အစုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများအရ ကိန်းပြည့်များသည် ပေါင်းခြင်းနှင့် [[မြှောက်ခြင်း]] တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားပြီး အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) ကို ခွင့်ပြုသော [[ပကတိတန်ဖိုး]] [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (absolute value norm) ရှိသောကြောင့် ၎င်းကို ယူကလစ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ထို့ပြင် ပေါင်းခြင်း တွက်ချက်မှုတစ်ခုတည်းအောက်တွင် ထုတ်လုပ်ကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော လွတ်လပ်သော [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (free abelian group on one generator) လည်း ဖြစ်သည်။ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) တွင်မူ <math>\mathbb{Z}</math> သည် သဘာဝကိန်းများ၏ [[မိုနွိုက်]]မှ ဆင်းသက်လာသော ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု (Grothendieck group) ဖြစ်သည့်အပြင် သင်္ကေတ <math>\mathsf{Ring}</math> ဖြင့်ပြသော [[ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (category of rings) ၌ [[အစ အရာဝတ္ထုနှင့် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု|အစ အရာဝတ္ထု]] (initial object) အဖြစ်ပါ အရေးပါသော နေရာမှ ပါဝင်သည်။ ထူးခြားချက်အနေဖြင့် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) နယ်ပယ်တွင်လည်း [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်မျဉ်း]] <math>\mathbb{R}</math> မှ စက်ဝိုင်းမျဉ်း <math>S^1</math> သို့သွားသော စံ ဖုံးအုပ် ပုံဖော်မှု (standard covering map) ၏ ပူးလ်ဘက် (pullback) ရပ်ဝန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ကိန်းပြည့်များကို ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်ပြီး အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ [[ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင်မူ ဤအခြေခံသဘောတရားကို ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) အဖြစ် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ ယေဘုယျပြု လေ့လာကြသည်။ === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational numbers) === {{main|ရာရှင်နယ်ကိန်း}} [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] ဆိုသည်မှာ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> ဟူသော သင့်လျော်ရာ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏]] စားလဒ် (quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြကာ ၎င်း၏တန်ဖိုးကို အတိအပပြနိုင်သည့် ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ပိုင်းဝေ (numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ပိုင်းခြေ (nonzero denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် 1/3, 7/8 နှင့် -1/2 စသည်တို့မှာ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ရေးသည်ဖြစ်စေ ဒသမကိန်း (decimal number) အဖြစ် ချရေးသည်ဖြစ်စေ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ မြန်မာဘာသာဖြင့် ရေရွတ်သောအခါ ၎င်းတို့ကို သုံးပုံတစ်ပုံ၊ ရှစ်ပုံခုနစ်ပုံ၊ အနုတ် နှစ်ပုံတစ်ပုံ စသည်ဖြင့် ပိုင်းခြေကိန်းကို ဦးစွာ ရေရွတ်လေ့ရှိပြီး တစ်စုံတစ်ခုကို အညီအမျှပိုင်းပြီးနောက် လိုအပ်သောပမာဏကို ယူခြင်းဟု အနက်ကောက်ယူနိုင်သည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းမှာ ကိန်းတစ်ခု၏ တန်ဖိုးပမာဏကို အတိအကျ သတ်မှတ်နိုင်ရန်အတွက် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အရေးကြီးသည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အချိုးဟု အနက်ရသော ဂျာမန်စကားလုံး Quotient ကို အရင်းပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို 1960 ပြည့်လွန်နှစ်များဆီက ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင်အဖွဲ့ နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ ရေးသားသော Algèbre ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက် အသုံးပြုခဲ့သည်။<ref name="wolfram_q">Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Rational Number]." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.</ref> ကိန်းတစ်ခုတည်းကို အပိုင်းကိန်းဖြင့်ရေးရာတွင် ပုံစံတစ်မျိုးထက်ပို၍ ရေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် 2/4 နှင့် 1/2 နှစ်မျိုးစလုံးမှာ ထပ်တူညီသော ကိန်းတစ်ခုတည်းကိုပင် ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့အတူ အနုတ်ကိန်းဖြစ်သော -1/2 ကို <math>\frac{-1}{2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း <math>\frac{1}{-2}</math> အနေဖြင့်လည်းကောင်း ရေးနိုင်သော်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် အနုတ်လက္ခဏာကို ပိုင်းဝေတွင်ထား၍ ရေးခြင်းက ပို၍တွင်ကျယ်သည်။ ကိန်းပြည့်တိုင်းနှင့် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းတိုင်းသည်]] ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်ကို သတိပြုသင့်သည်။ သာဓကဆိုသော် သဘာဝကိန်း 5 ကို 5/1 ဟု ရေး၍ရသောကြောင့် ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်သည်။ သို့သော် 1/2, 4/5 နှင့် -13/14 ကဲ့သို့သော ကိန်းများစွာမှာမူ ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော သီးသန့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများသာ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော ခေတ်သစ် [[အစုသီအိုရီ]]အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] [[ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား|ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ]] (equivalence classes of ordered pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ထားသည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဂုဏ်သတ္တိများအရ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် စား၍ရသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (divisible abelian group) တစ်ခုဖြစ်ပြီး သုညကိုဖယ်ထုတ်ထားသော <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည်လည်း [[မြှောက်ခြင်း]]လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် [[ထပ်တူရအစုဝင်]] 1 ပါရှိသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် [[ဖီးလ်ဒ်]] သီအိုရီ (field theory) ဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများအရ <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (integral domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံးသော ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) သုညရှိသော ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (perfect field) တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (finite extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (separable extensions) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျဖြစ်သော ကိန်းများအားလုံးကို [[ကိန်းရင်း|ကိန်းရင်းများ]] (algebraic numbers) ဟုခေါ်ပြီး ကိန်းစစ်မျဉ်းပေါ်ရှိ <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းများကိုမူ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျမဟုတ်သော [[ကိန်းလွန်|ကိန်းလွန်များ]] (transcendental numbers) ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>\mathbb{Q}</math> ဖီးလ်ဒ်သည် ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော အတိုင်းအတာ 1 ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) အဖြစ် တည်ရှိရုံသာမက [[P-အခြေခံကိန်း|p-အခြေခံကိန်း]] ပြည့်စုံစေခြင်းများ (p-adic completions) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\mathbb{Q}_p</math>၊ ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Galois theory) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean triples) ရှာဖွေခြင်းကဲ့သို့သော အဆင့်မြင့် သင်္ချာနယ်ပယ်များတွင်လည်း မရှိမဖြစ်သော အဓိကအခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုကြသည်။ === ကိန်းစစ်များ (Real numbers) === {{main|ကိန်းစစ်}} လက်တွေ့တိုင်းတာရာတွင် သုံးသည့်နံပါတ်များနှင့် အဆက်မပြတ် ပမာဏတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော ကိန်းများအားလုံးမှာ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ တစ်နည်းဆိုသော် ကွက်လပ်များ သို့မဟုတ် ပျောက်ဆုံးနေသော အမှတ်များမပါဝင်ဘဲ ကိန်းစစ်မျဉ်းပေါ်တွင် နေရာချထား၍ရသော ကိန်းအားလုံးကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်မျဉ်းဆိုသည်မှာ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် နံပါတ်များကို အညီအမျှတိုင်းတာ၍ မှတ်သားထားသော အလျားလိုက်မျဉ်းဖြစ်သည်။ လက်တွေ့ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသုံးပေတံမှာ ကိန်းစစ်မျဉ်း၏ တစ်စိတ်တစ်ဒေသဖြစ်သည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်တစ်ခုနှင့်]] နောက်ကပ်လျက်ကိန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေးကို 1 လက်မဟု သတ်မှတ်ပါလျှင် 1 ပေရှည်သော ပေတံသည် 0 နှင့် 12 အပါအဝင် ၎င်းကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကိန်းစစ်များအားလုံးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ သာဓကဆိုရသော် 2.5 ဆိုသည့်ကိန်းကို 2 လက်မနှင့် 3 လက်မကြား အလယ်တည့်တည့်အမှတ်ဖြင့် လည်းကောင်း 1/3 ကို 0 နှင့် 1 ကြား သုံးပုံတစ်ပုံနေရာဖြင့် လည်းကောင်း ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ ထို့အတူ [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်း]]ဖြစ်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ (mathematical constant) <math>\pi</math> သည်လည်း 3 နှင့် 4 ကြားရှိ တစ်နေရာတွင် တိကျစွာ တည်ရှိနေပေမည်။ ဤကိန်းစစ်များ အစုတစ်ခုလုံးကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကိန်းစစ်များကို ဒသမကိန်းပုံစံသုံး၍လည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]]ဖြစ်သော အပိုင်းကိန်း 1/2 ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါက 0.5 ဖြစ်၍ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal number) ဖြစ်ပြီး 1/3 ကဲ့သို့သော ကိန်းများမှာမူ 0.333... သို့မဟုတ် <math>0.\bar{3}</math> ဟူ၍ နောက်တွဲ 3 ဂဏန်းမှာ အဆုံးမရှိ ထပ်ကာထပ်ကာ ပေါ်နေရာ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း (repeating decimal) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကဲ့သို့ အပိုင်းကိန်းပုံစံ၊ ဒသမပုံစံဖြင့်ရေး၍ ရသော ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သို့သော် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် လုံးဝရေး၍မရသော ကိန်းစစ်များစွာလည်း ရှိသည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\pi</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းများကို ဒသမကိန်းပုံစံဖြင့်ရေးပါက 1.41421356... နှင့် 3.141592654... ဟူ၍ ဂဏန်းတွဲမှာ ဆုံးလည်းမဆုံး ပြန်လည်းမထပ် ဖြစ်နေရာ ၎င်းတို့ကို ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-repeating decimal) သို့မဟုတ် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) များဟု ခေါ်သည်။ ဤသို့ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း၊ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်းနှင့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း အားလုံးကို စုပေါင်း၍ ကိန်းစစ်များအဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ပို၍စနစ်တကျနှင့် ခေတ်သစ် သင်္ချာနည်းကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်လိုပါက [[ကဲကုလပ်]] (calculus) နှင့် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (analysis) မှ သဘောတရားများကို အသုံးပြုကြသည်။ သင်္ချာနည်းအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (complete ordered field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်တစ်ခု ဟူသည်မှာ ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင် ကော်ချီကို အစွဲပြုခေါ်ဆိုသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ၏]] [[စုဆုံမှတ်]] သို့မဟုတ် ယင်းကိန်းစဉ်များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ထို့ပြင် ဂျာမန်သင်္ချာပညာရှင် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း တီထွင်ခဲ့သော ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများ (Dedekind cuts) ကို အသုံးပြု၍လည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများမှနေ၍ ကိန်းစစ်များကို ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> သည် ကွက်လပ်မရှိ ပြည့်စုံနေသောကြောင့် ၎င်းသည် ကော်ချီကိန်းစဉ်တိုင်း၏ စုဆုံမှတ်များအားလုံး ပါဝင်သည့် အသေးဆုံးသော အစုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ရှေးခေတ် အီဂျစ်၊ အိန္ဒိယနှင့် ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်များခေတ်ကတည်းက အပိုင်းကိန်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို လေ့လာခဲ့ကြသော်လည်း 17 ရာစုရောက်မှသာ ပြင်သစ်ပညာရှင် ရီနေ ဒေကားတ် က [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်များ]] (imaginary numbers) နှင့် ခွဲခြားရန် ကိန်းစစ်ဟူသော နာမဝိသေသနကို စတင်တီထွင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ 19 ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဂျော့ ကန်တာ သည် ကိန်းစစ်များသည် ရေတွက်၍မရသော [[အနန္တ]] (uncountable infinity) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများအစု]] <math>\mathbb{N}</math>၊ ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) အဖြစ် အဆင့်ဆင့် တည်ရှိနေပြီး ယင်းကို <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> အဖြစ် မှတ်သားနိုင်သည်။ ဤကိန်းစစ်စနစ်သည် [[ဂျီဩမေတြီ]]၊ ကလပ်စစ်ကယ် ရူပဗေဒနှင့် အဆက်မပြတ် ရပ်ဝန်းများ (continuous spaces) ဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများအတွက် အရေးအပါဆုံးသော သင်္ချာအခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) === {{main|ကိန်းထွေး}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]] အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ]] မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် [[ပိုလီနိုမီရယ်]] ညီမျှခြင်း (polynomial equation) <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက 1 နှင့် -1 ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) နှစ်ခုရှိသော်လည်း <math>x^2+1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ 1 သာထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။ ဤအခြေအနေကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -1 ရရှိသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဖြစ်သော <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ ၎င်းကို [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]] (imaginary unit) ဟု ခေါ်သည်။ <math>i</math> သည် -1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်သကဲ့သို့ <math>-i</math> သည်လည်း -1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ၎င်းကို တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြေရှင်းရာမှ စတင်လိုအပ်လာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ရီနေ ဒေကားတ်က ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သော်လည်း အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းစစ်များနည်းတူ မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |url=https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=[https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr/page/87 87] |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> အထက်ပါ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများကို]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု ဆိုသည်မှာ <math>a+bi</math> သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်တွဲလုံးကို ဆိုသည်။ ဤတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြပြီး <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) နှင့် <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) ဟု ခေါ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>2+3i</math>၊ <math>-2+(1/3)i</math> နှင့် <math>4-\pi i</math> တို့ဖြစ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) အားဖြင့် ကိန်းစစ် 4 ကို <math>4+0i</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြပြီး ကိန်းစစ်စနစ်သည် ကိန်းထွေးစနစ်၏ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း]] (subfield) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းထွေးတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များအတွင်း မပါဝင်ကြတော့ပါ။ ဤကိန်းထွေးများ အစုတစ်ခုလုံးကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> သုံး၍ ရေးသားသည်။ ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက <math>\mathbb{C}</math> ဆိုသည်မှာ သရုပ်မဲ့ [[အက္ခရာသင်္ချာ]] အရ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ကိန်းထွေးဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] <math>(a, b)</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ပြီး <math>i=(0,1)</math> ဟုထားကာ တိကျသော [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်းနှင့်]] [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းများဖြင့်]] ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် ခိုင်မာစွာ ဖွဲ့စည်းထားသည်။<ref name="Rudin1976">{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0070856134 |pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/12 12]-14}}</ref> ထို့အပြင် ၎င်းကို စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> ၏ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခုအနေဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> [[ဂျီဩမေတြီ]]ရှုထောင့်အရ <math>\{1,i\}</math> ကို [[အခြေအစု|စံအခြေအစု]] (standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသည့်]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] ([[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] သို့မဟုတ် အာဂန် ပုံကြမ်း) ပေါ်ရှိ အမှတ်များအဖြစ် ၎င်းတို့ကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |title=Geometry: A comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> ၏ [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] (complex conjugate) မှာ <math>\bar{z} = x-yi</math> ဖြစ်ပြီး<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=[https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm/page/15 15]–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ၎င်းကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများ၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) <math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> နှင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်းတွက်ချက်မှုများကို]] လွယ်ကူစွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ထို့အပြင် [[အွိုင်လာ ပုံသေနည်း]] (Euler's formula) <math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများကို ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (polar form) <math>z = r e^{i\varphi}</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ခြင်းကြောင့် မြှောက်ခြင်း၊ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းနှင့် ကိန်းရင်းများ တွက်ချက်ရာတွင် များစွာရိုးရှင်းထိရောက်စေသည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းသေမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း၌ ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> သည် အပြည့်အဝ အပိတ်ဖြစ်နေသော စနစ်ဖြစ်သည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ နယ်ပယ်တွင် ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် ကော်ချီကိန်းစဉ်တိုင်း စုဆုံမှတ်ရှိသော [[ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အနန္တအမှတ်ပေါင်းထည့်ကာ တိုးချဲ့ထားသော ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) နှင့် [[ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်|ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ]] (holomorphic functions) ကို လေ့လာသည့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) တို့သည် ခေတ်သစ်သင်္ချာနှင့် ရူပဗေဒတို့တွင် အလွန်အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်လျက်ရှိသည်။ === ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက် (Relationships Between Types of Numbers) === [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းတိုင်း]] [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်။]] ဤအချက်ကြောင့် သဘာဝကိန်းများ အစု <math>\mathbb{N}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ အစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ [[အစုပိုင်း]] တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ပြောလေ့ရှိသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ သို့သော် ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်း ဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာပါ။ အကြောင်းမှာ သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ ရှိ၍ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းများ အစုနှင့် ကိန်းပြည့်များ အစုနှစ်ခုမှာ မတူညီပါ။ ဤသည်ကို <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> ဟု ရေးနိုင်သည်။ ဤ <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>\mathbb{N}\neq \mathbb{Z}</math> နှစ်ချက်ကို ပေါင်း၍ <math>\mathbb{N}\subsetneq \mathbb{Z}</math> ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။ ထိုအခါ ကိန်းများ အစုအမျိုးမျိုးကြား ဆက်နွယ်မှုကို အောက်ပါအတိုင်း [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ချာသင်္ကေတများသုံး၍]] ရေးနိုင်သည်။ <center> <math> \mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C} </math> </center> == ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ (Types of Integers) == === စုံကိန်းနှင့် မကိန်း (Even and Odd Numbers) === {{main|စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)}} [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ထဲတွင် ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... အစရှိသည်တို့ကို [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers) ဟု ခေါ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် 2 ဖြင့် စား၍ပြတ်သော သို့မဟုတ် အကြွင်းမကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ ယူကလစ် (Euclid) ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အရ မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>k</math> အတွက်မဆို <math>n = 2k</math> ပုံစံဖြင့် တိကျစွာရေးသားနိုင်သော ကိန်းများဖြစ်သည်။ သုညကို 2 ဖြင့်စားလျှင် အကြွင်းသုညသာ ကျန်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>0 = 2(0)</math> ဖြစ်သောကြောင့် သုညသည်လည်း စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ နှစ်ခုတွဲ အစုံလိုက် အစုံလိုက် တွဲ၍ရသော ပမာဏများ ဖြစ်သောကြောင့် စုံ ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို သုံးခြင်းဖြစ်သည်။ မြန်မာပြည် ကျေးလက်ဒေသအချို့တွင် တစ်စုံကို “တစ်ပြူ”<ref name="မြကေတု">မြကေတု။ “ကလေးမှတ်ဉာဏ် တစ်ပြူ တစ်လံ။” စာပေတန်ဆောင်။ 1967။</ref> ဟုလည်း ခေါ်လေ့ရှိရာ ကိန်းပြည့် 2 ကို မြန်မာလို တစ်ပြူဟု ခေါ်သည်လည်း ရှိသည်။ မြန်မာကျေးလက်ရှိ ကလေးများ ရေတွက်တတ်စေရန် 2, 4, 6, 8, 10 စသည့် စုံကိန်းပြည့်များ (even integers) ကို “တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အကျိုး”<ref name="မြကေတု"></ref> ဟု စကားပုံဆောင်၍ မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။<ref name="ext_blog">စုချစ်။ “[http://suuchitthu.blogspot.sg/2012/10/blog-post_13.html တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အချိုး (အကျိုး/ချိုး)]။” စုချစ်သူ။ 2012။</ref> စုံကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များကို [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ဟုခေါ်သည်။ ..., -3, -1, 1, 3, ... စသည့် ကိန်းပြည့်များမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။ အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် 2 ဖြင့်စားသောအခါ အကြွင်း 1 ကျန်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် <math>n = 2k + 1</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို မကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ စုံကိန်း[[အစု]]နှင့် မကိန်းအစုကို သင်္ကေတအဖုံဖုံ သုံး၍ကိုယ်စားပြုတတ်ကြသည်။ [[အုပ်စုသီအိုရီ]] (group theory) နှင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သီအိုရီ (ring theory) မှလာသည့် <math>2\mathbb{Z}</math> နှင့် <math>2\mathbb{Z}+1</math> ကို စုံကိန်းအစုနှင့် မကိန်းအစု အသီးသီးတို့ကို ဖော်ပြရန် သင်္ချာပညာရှင်များကြားတွင် သုံးလေ့ရှိသည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိများအရ စုံကိန်းပြည့်များအစု <math>2\mathbb{Z}</math> သည် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] [[ထပ်တူရအစုဝင်|ထပ်တူရ]] (multiplicative identity) မပါဝင်သော [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး၊ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်]] (maximal ideal) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> သည် [[အစုဝင်]]နှစ်ခုသာပါဝင်သော [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် မကိန်းပြည့် နှစ်လုံးကို ပေါင်းပါက စုံကိန်းသာ ရရှိသဖြင့် ၎င်းတို့သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (closure property) မရှိဘဲ ကွင်းတစ်ခုအဖြစ် လုံးဝ ဖွဲ့စည်းနိုင်ခြင်း မရှိပေ။ သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ရှုထောင့်မှ ကြည့်လျှင် ပိုက်သာဂိုရီယန်များ (Pythagoreans) သည် မကိန်းများကို အဖိုဂုဏ်သတ္တိနှင့် မြင့်မြတ်ခြင်း (divinity) ရှိသည်ဟု ယူဆခဲ့ကြပြီး၊ စုံကိန်းများကိုမူ အမဂုဏ်သတ္တိများအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer">{{Citation |last1=Boyer |first1=Carl B. |author-link1=Carl Benjamin Boyer |last2=Merzbach |first2=Uta C. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |chapter=4}}</ref> [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီနည်းအရ]] အစက်များ (dots) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုရာတွင် မကိန်းများကို "နိုမွန်များ" (gnomons) အဖြစ် ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် စတုရန်းကိန်းများကို တည်ဆောက်နိုင်ပြီး၊ စုံကိန်းများကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် "ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းများ" (oblong numbers) ကို ဖြစ်ပေါ်စေကြောင်း ၎င်းတို့က လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer" /> === သုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ (Prime Integers) === {{main|သုဒ္ဓကိန်း}} 1 ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့် (positive integer) တစ်ခုသည် ၎င်းကိန်းပြည့်ကိုယ်တိုင်နှင့် [[ကိန်းပြည့်]] 1 မှအပါး အခြား ဆခွဲကိန်း (factor) မရှိပါက ၎င်းကိန်းပြည့်ကို [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းပြည့်]] (prime integer) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ကြသည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် သုဒ္ဓကိန်း (prime number) တစ်ခုကို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် 1 မှအပါး အခြားမည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်နှင့်မှ စား၍မပြတ်ပါ။ သာဓကအားဖြင့် ဆိုရသော် 2, 3, 5, 7, ... အစရှိသည်တို့မှာ အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းပြည့် 2 သည် တစ်ခုတည်းသော အပေါင်းစုံကိန်းဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး၊ ကျန် အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းများမှာ မကိန်းများဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများ၏ လူသိများသော အထက်ဖော်ပြပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အပြင် ပို၍ ယေဘုယျကျသော၊ ပို၍ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]သီအိုရီ (ring theory) တွင် တွေ့နိုင်သည်။ ၎င်းအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် သုညမဟုတ်သော [[ယူနစ် (ကွင်းသီအိုရီ)|ယူနစ်]] (unit) မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့် <math>x</math> သည် ကိန်းနှစ်ခု၏ [[မြှောက်လဒ်]] (product) <math>ab</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း စား၍ပြတ်မှသာ ထိုကိန်းပြည့် <math>x</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းဟု ခေါ်သည်။ ဤသည်မှာ ယူကလစ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Euclid's lemma) အရ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ယူနစ်ဆိုသည်မှာ 1 နှင့် -1 ကို ဆိုလိုပြီး စား၍ပြတ်ခြင်း ဆိုလိုရင်းမှာ <math>x</math> သည် <math>a</math> ကိုသော်လည်းကောင်း <math>b</math> ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်ခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ သာဓကအရ ကိန်းပြည့် 2 ကို ကြည့်ပါ။ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကိုမဆို 2 ဖြင့်စား၍ပြတ်ပါက ထိုကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း 2 ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်။ ထို့ကြောင့် 2 သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ကိန်းပြည့်များ[[အစု]]ထဲရှိ -2, -3, -5, -7, ... စသည်တို့သည်လည်း အနုတ်သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများကို [[သင်္ချာ|သင်္ချာသန့်သန့်]]နယ်ပယ်တွင်သာမက အသုံးချ သင်္ချာ (applied mathematics)၊ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ (computer science) နှင့် ခေတ်သစ် ကုဒ်ဝှက်ရေးသားခြင်း (cryptography) စသည့် နယ်ပယ်အသီးအသီးတို့တွင် တွေ့နိုင်သည်။ 1 ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို သုဒ္ဓကိန်းများသက်သက်သာ သုံး၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် (unique) ဖြစ်သော သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (prime factorization) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ဤအချက်ကို [[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Arithmetic) ဟုခေါ်ပြီး၊ ၎င်းကို အသုံးပြု၍ <math>\sqrt{2}</math> သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]]ဖြစ်ကြောင်းကိုပါ ခိုင်မာစွာ သက်သေပြနိုင်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းများသည် [[အနန္တ]]တည်ရှိကြောင်းကို ယူကလစ်က ရှေးခေတ်ကတည်းက သက်သေပြခဲ့ပြီး၊ ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံကိုမူ ဘာထရန်၏ ယူဆချက် (Bertrand's conjecture) နှင့် အီရာတိုစ်သီးနီးစ်၏ ဆန်ခါ (Sieve of Eratosthenes) တို့ဖြင့် လေ့လာကြသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ သက်သေမပြရသေးသော အဆိုများ (unproved conjectures) လည်း များစွာရှိ၏။ ၎င်းတို့အနက် <math>2</math> ထက်ကြီးသော စုံကိန်းတိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည် ဆိုသည့် အဓိက ဂိုးဘတ်ခ်၏ အဆို (strong Goldbach's conjecture) သည် ယနေ့တိုင် သက်သေမပြနိုင်သေးသော အဆိုအဖြစ် အလွန်ထင်ရှားသည်။ တစ်ဖက်တွင်လည်း <math>7</math> ထက်ကြီးသော မကိန်းတိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်း သုံးခုပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို (weak Goldbach's conjecture) ကိုမူ လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော မကိန်းများအတွက် အိုင် အမ် ဗီနိုဂရာဒေါ့ဗ် က 1937 တွင် စတင်သက်သေပြခဲ့ပြီး 2013 ခုနှစ်တွင် ဟာရယ်လ် ဟယ်လ်ဖ်ဂေါ့တ် (Harald Helfgott) က အပြည့်အစုံ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သဖြင့် သီအိုရမ်တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများ (Fermat primes) အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာလည်း ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးသော ပဟေဠိတစ်ခုအဖြစ် ကျန်ရှိနေဆဲဖြစ်သည်။ === အခြား ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ (Other Types of Integers) === အထက်ဖော်ပြပါ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အပြင် [[သင်္ချာ]]နှင့် အခြားပညာရှင်များ လေ့လာစူးစမ်းသည့် ထူးခြားသော အခြား ကိန်းပြည့်[[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများ]] (integer sequences) လည်း များစွာရှိသေးသည်။ ထင်ရှားသော သာဓကများမှာ သဘာဝတရား၏ ကြီးထွားမှုပုံစံများနှင့် ဆက်စပ်နေသော ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် (Fibonacci sequence) နှင့် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်အပေါင်းဆခွဲကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် တူညီနေသော ဆခွဲပေါင်းကိန်း (perfect number) တို့ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့ကို အွန်လိုင်း ကိန်းပြည့်ကိန်းစဉ်တန်းများ စွယ်စုံကျမ်း (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences သို့မဟုတ် OEIS) တွင် [https://oeis.org/A000045 A000045] နှင့် [https://oeis.org/A000396 A000396] အဖြစ် အသီးသီး လေ့လာနိုင်သည်။ အခြားသော စိတ်ဝင်စားဖွယ် ကိန်းစဉ်တန်း အမျိုးအစားပေါင်း မြောက်မြားစွာကိုလည်း အဆိုပါ [https://oeis.org OEIS] ဝက်ဘ်ဆိုက်တွင် အလွယ်တကူ ဝင်ရောက်ရှာဖွေ လေ့လာနိုင်ပါသည်။ == ကိန်းထွေး အမျိုးအစားများ (Types of Complex Numbers) == === ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းယောင် (Real and Imaginary) === အထက်ပါ [[#ကိန်းထွေးများ (Complex numbers)|ကိန်းထွေးများ]] ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ၊ အထူးသဖြင့် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) မရှိသော [[ပိုလီနိုမီရယ်]] [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (polynomial equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများကို]] အသုံးပြုရန် လိုအပ်လာသည်။ ကိန်းစစ်များအစုနှင့် ကိန်းထွေးများအစုတို့အကြား ဆက်နွယ်ချက်မှာ <math>\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}</math> ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းစစ်တိုင်းသည် ကိန်းထွေးဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေးများစွာလည်း ရှိသည်။ ထိုသို့ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေးများကို ယေဘုယျအားဖြင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်များ]] (imaginary numbers) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံသဏ္ဌာန်ရှိ ကိန်းများကိုမူ ကိန်းယောင်သီးသန့်များ (pure imaginary numbers) ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနေရာတွင် <math>b</math> မှာ ကိန်းစစ်ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>i</math>, <math>-i</math>, <math>3i</math>, <math>(5/7)i</math> နှင့် <math>-\pi i</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်သော <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် သုည သို့မဟုတ် အနုတ်ကိန်းဖြစ်သော <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>5i</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများ (exponents) သည် စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ လှည့်လည်နေသည်။ ၎င်းလှည့်လည်ပုံမှာ <math>i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် 4 ကြိမ်မြောက် [[ယူနစ်ရင်း]] (4th root of unity) တစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ဟီးရွန်း၊ ကာဒါနိုနှင့် ဘွန်ဘယ်လီတို့က ဤသဘောတရားကို စတင်ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြပြီး 1637 ခုနှစ်တွင် ရီနေ ဒေကားတ် က ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် ကိန်းယောင်ဟူသော ဝေါဟာရကို နှိမ့်ချသည့် သဘောဖြင့် စတင်သုံးစွဲခဲ့သည်။<ref>René Descartes, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380.</ref> ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ ခေတ်သစ်[[သင်္ချာ]] (modern mathematics) တွင် ကိန်းသုညကိုမူ ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> ကိန်းစစ်များကို ကိန်းစစ်မျဉ်း (real number line) တစ်ခုတည်းဖြင့် ဖော်ပြ၍ရသော်လည်း ကိန်းထွေးများကိုမူ [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) ဟုခေါ်သော အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော (two-dimensional) ကိန်းမျဉ်းနှစ်ခုဖြင့်သာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (real axis) ပေါ်တွင် ရှိကြပြီး ကိန်းယောင်သီးသန့်များသည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (imaginary axis) ပေါ်တွင် တည်ရှိကြသည်။ [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] အဓိပ္ပာယ် (geometric meaning) အရ <math>i</math> ဖြင့် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းသည်]] ကိန်းထွေးပြင်ညီပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခုကို မူလနေရာ (origin) ဗဟိုပြု၍ 90 ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် (counterclockwise) လှည့်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤကိန်းယောင်သီးသန့်များ အစုကို <math>i\mathbb{R}</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆင့်မြင့်သင်္ချာတွင် ကိန်းယောင်သီးသန့်များသည် [[လီအက္ခရာသင်္ချာ]] (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထို့အပြင် [[အွိုင်လာ ပုံသေနည်း]] (Euler's formula) <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ကို အသုံးပြု၍ <math>i</math> နှင့် အခြား သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ (mathematical constants) ကို ဆက်စပ်ပေးသော အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု <math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> ကိုလည်း ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ထားသည်။ === ရာရှင်နယ်ကိန်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (Rational and Irrational Numbers) === [[#ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational numbers)|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) တိုင်းသည် [[ကိန်းစစ်]]ဖြစ်သော်လည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များစွာလည်း ရှိသည်။ ထိုသို့ [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း]] (fraction) <math>a/b</math> အနေဖြင့် အတိအကျ ဖော်ပြ၍ မရနိုင်သော ကိန်းစစ်များကို [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဟု ခေါ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် ဒသမကိန်းပုံစံ (decimal format) ဖြင့် ဖော်ပြသောအခါ အဆုံးမသတ်သည့် ဒသမကိန်း (non-terminating decimal number) နှင့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-repeating decimal) များမှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\sqrt{2}</math> နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ <math>\pi</math> တို့မှာ အီရာရှင်နယ် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ခေတ်သစ် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ရှိ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) သဘောတရားအရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ[[အစု]] <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သော [[အနန္တ]] (countably infinite) သာဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသော (uncountable) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ် ကိန်းစစ်များ အစု <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> သည်လည်း ရေတွက်၍မရသောအစု (uncountable set) ပင်ဖြစ်သည်။ အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (measure theory) ဆိုင်ရာ တိကျသည့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရဆိုလျှင် ကိန်းစစ်မျဉ်းပေါ်ရှိ ကိန်း အားလုံးနီးပါး (almost all) မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများသာ ဖြစ်ကြပြီး ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure) မှာ သုညသာ ဖြစ်သည်။ === ကိန်းရင်းနှင့် ကိန်းလွန် (Algebraic and Transcendental Numbers) === [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို]] [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များသာ ပါဝင်သည့် သုညမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း (polynomial equation) <math>P(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> တစ်ခု၏ ကိန်းရင်း (root) အဖြေအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်ပါက ၎င်းကိန်းထွေးကို [[ကိန်းရင်း]] (algebraic number) ဟု ခေါ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် ကိန်းပြည့် -3 မှာ <math>x^2-9=0</math> ၏ အဖြေတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အတူ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည်]] <math>bx-a=0</math> ညီမျှခြင်း၏ အဖြေဖြစ်ရာ ၎င်းတို့အားလုံးမှာ ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\sqrt{3}i</math> တို့မှာ [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]]နှင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်]] အသီးသီး ဖြစ်ကြသော်လည်း <math>x^2-2=0</math> နှင့် <math>x^2+3=0</math> တို့၏ အဖြေများ အသီးသီးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတို့မှာလည်း ကိန်းရင်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ ယင်းသို့ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း၏ အဖြေအဖြစ်မျှ ဖော်ပြ၍မရသော ကိန်းများရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် ကိန်းရင်းမဟုတ်သော ကိန်းထွေးများဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းကိန်းထွေးများကိုမူ [[ကိန်းလွန်|ကိန်းလွန်များ]] (transcendental numbers) ဟု ခေါ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\pi</math>, <math>e</math> နှင့် <math>2^{\sqrt{2}}</math> အစရှိသည်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ကိန်းရင်းများ[[အစု]]သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်သော်လည်း ကိန်းလွန်များအစု <math>\mathbb{T}</math> ၏ [[အစုအရွယ်အစား]]မှာ <math>2^{\aleph_0}</math> ဖြစ်၍ ရေတွက်၍မရနိုင်ပေ။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး အားလုံးနီးပါးသည် ကိန်းလွန်များသာ ဖြစ်ကြသည်။ 1844 ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် လီယူဗေးလ် က ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Diophantine approximations) ကို အသုံးပြု၍ လီယူဗေးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) ဟုခေါ်သော ကိန်းလွန်များ တည်ရှိမှုကို ပထမဆုံး သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ကိန်းလွန် သီအိုရီ (transcendence theory) ၏ အဓိက သီအိုရမ်များ (theorems) ဖြစ်သော လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann-Weierstrass Theorem) က <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> တို့၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို ခိုင်မာစွာ သက်သေပြပေးခဲ့သည်။ ဂဲလ်ဖွန်-ရွှနိုင်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond-Schneider Theorem) က ဟီလ်ဘတ် ၏ သတ္တမမြောက် ပြဿနာ (Hilbert's seventh problem) ကို ဖြေရှင်းပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ဤကိန်းလွန်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို အဲလစ်ပတစ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (elliptic functions)၊ မော်ဂျူလာ ပုံစံများ (modular forms) နှင့် <math>L/K</math> ကဲ့သို့သော အလိုရှိရာ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ခြင်းများ (arbitrary field extensions) အပေါ်တွင်ပါ ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ ယေဘုယျပြု (generalize) လေ့လာကြသည်။ == သမိုင်းကြောင်း (History) == === ကိန်းများစတင်အသုံးပြုလာခြင်းနှင့် ဝေါဟာရများ (Early Usage of Numbers and Terminology) === သမိုင်းဦးမတင်မီခေတ်ကပင် လူသားတို့သည် ကိန်းများကို စတင်အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည့် အထောက်အထားများ ရှိသည်။ တိရစ္ဆာန်အရိုးစသည့် ပစ္စည်းများတွင် အစင်းရာများဖြင့် တာလီမှတ်ကာ ရေတွက်ခဲ့ကြသည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Marshak, A. The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation. London: Weidenfeld & Nicolson, 1972, pp. 81ff.</ref> သို့သော် တာလီစနစ်တွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုး (positional value) သဘောကို အသုံးမပြုသောကြောင့် ကြီးမားသောပမာဏများ တွက်ချက်ရာတွင် အကန့်အသတ်များစွာ ရှိသည်။ ရှေးအကျဆုံးသော ကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် အီဂျစ်၊ ရောမ၊ ဟီဘရူးနှင့် ဂရိကိန်းစနစ်များတွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးမပြုသော်လည်း နောက်ပိုင်းပေါ်ပေါက်လာသည့် ဘေဘီလုံ ကိန်းစနစ်၊ အိန္ဒိယကိန်းစနစ်တစ်မျိုး၊ တရုတ်ကိန်းစနစ်တစ်မျိုးနှင့် မာယာကိန်းစနစ်တို့တွင်မူ နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို စတင်တွေ့ရှိလာရသည်။<ref>&ldquo;Numeral system&rdquo;. Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica Inc., 2014. Web. 25 Dec. 2014 <[http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system http://www.britannica.com/EBchecked/topic/422375/numeral-system]>.</ref> သင်္ချာသမိုင်းကြောင်း၏ အချိန်အများစုတွင် ယခုအခါ [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]]ဟု ခေါ်ဆိုသော ရေတွက်ကိန်းများကို ကိန်းများဟုသာ ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် အလယ်ခေတ် နှောင်းပိုင်းနှင့် 17 ရာစုကြားတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းစနစ်များသည် [[အနုတ်ကိန်း]] (negative number)၊ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) နှင့် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) စသည့် တန်ဖိုးများ ပါဝင်လာသည်အထိ ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သောကြောင့် မူလ ရေတွက်ကိန်းများကို ဤသဘောတရားအသစ်များမှ တိကျစွာ ခွဲခြားရန် လိုအပ်လာခဲ့သည်။ 1484 ခုနှစ်တွင် ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ရှူကေး က သဘာဝကိန်းစဉ် (natural progression) ဟူသော ဝေါဟာရကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ အတိအကျဖြစ်သော အင်္ဂလိပ်စကားစု natural number ကို အစောဆုံး အသုံးပြုခဲ့သူမှာ 1763 ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ အီမာဆန် ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို 1771 ခုနှစ်ထုတ် Encyclopaedia Britannica တွင် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Chuquet |first=Nicolas |title=Le Triparty en la science des nombres |date=1881 |orig-date=1484}} </ref><ref> {{Citation |last=Emerson |first=William |title=The method of increments |date=1763 |page=113}} </ref> 19 ရာစုတွင် သဘာဝကိန်းများ၏ ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ အခြေခံနှင့်ပတ်သက်၍ လီယိုပို ကရိုနက်ကာ က ဘုရားသခင်သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များကို]] ဖန်ဆင်းခဲ့ပြီး အခြားအရာအားလုံးမှာ လူသားတို့၏ ဖန်တီးမှုသာဖြစ်သည်ဟု ဆိုခဲ့သော်လည်း အွန်ရီ ပွန်ကာရေး ကမူ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များကို]] နားလည်နိုင်ခြင်းမှာ လူသားတို့၏ စိတ်စွမ်းအားကြောင့်သာဖြစ်ကြောင်း ငြင်းခုံခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Poincaré |first=Henri |title=La Science et l'hypothèse |date=1905 |orig-date=1902}} </ref><ref> {{Citation |last=Weber |first=Heinrich L. |title=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |date=1891–1892 |pages=5–23}} </ref> === သုည၏ သဘောတရားနှင့် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု (Concept and Development of Zero) === သုညကို စတင်၍ အမှတ်အသားပြုသူတို့မှာ ဆူမားရီးယန်းများ ဖြစ်သည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။<ref name="yale_zero">Wallin, N. &ldquo;[http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp The History of Zero.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160825124525/http://yaleglobal.yale.edu/about/zero.jsp |date=25 August 2016 }}&rdquo; From YaleGlobal Online--Web. 25 Dec 2014.</ref> သို့သော် သုည၏ တကယ့်သဘောတရားနှင့် နေရာလိုက်တန်ဖိုး စသည်တို့ကိုမူ ဆူမားရီးယန်းတို့ အသေအချာ နားလည်ခဲ့ပုံမရချေ။ သင်္ချာအခြေခံများကို အီဂျစ်တို့ထံမှ သင်ယူခဲ့သည့် ဂရိပညာရှင်များသည်လည်း ထိုသဘောကို နားလည်ကြောင်း အထောက်အထား အခိုင်အမာ မတွေ့ရပေ။<ref name="yale_zero"></ref> သုညကို သင်္ကေတအဖြစ်သာမကဘဲ သဘောတရားတစ်ခုအဖြစ်ပါ အသေအချာ စတင်အသုံးပြုခဲ့သူများမှာ အိန္ဒိယလူမျိုးများဖြစ်သည်။<ref name="yale_zero"></ref> 650 CE တွင် ဗြဟ္မဂုတ္တ သည် သုညကိုသုံး၍ [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) တွက်ချက်မှုများကို စနစ်တကျ လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> သက္ကတဘာသာစကားဖြင့် သုညကို sunya ဟုခေါ်ရာမှ မြန်မာဘာသာရှိ ပါဠိမွေးစားစကားလုံး သုည ဖြစ်လာဟန်ရှိသည်။ အာရပ်ကုန်သည်များသည် ဗြဟ္မဂုတ္တ၏ သင်္ချာကျမ်းကိုပါ ပြန်လည်သယ်ဆောင်လာကြရာ 773 CE တွင် ဘဂ္ဂဒက်မြို့သို့ သုညသဘောတရား ရောက်ရှိလာသည်။ 9 ရာစုနှစ်တွင် အယ်လ်ခိုဝါရစ်ဇမီ သည် သုညပါ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများကို]] စတင်လေ့လာခဲ့ပြီး သုညကို sifr ဟုခေါ်ခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> 879 CE သို့ရောက်သော် သုညကို ယခုခေတ် ဘဲဥပုံဖြင့် ရေးသားလာကြသည်။ 12 ရာစုတွင် စပိန်မှတစ်ဆင့် အင်္ဂလန်သို့ ရောက်ရှိလာသောအခါ သုညကို အလွယ်တကူ တုပပြင်ဆင်ရေးသားနိုင်သည်ဟုဆိုကာ ဥရောပရှိ အစိုးရများက ပိတ်ပင်ခဲ့ဖူးသည်။<ref name="yale_zero"></ref> သို့သော် ကုန်သည်များက လျှို့ဝှက်သုံးစွဲခဲ့ရာမှာ sifr မှ ရွေ့လျောလာသည့် cipher ဆိုသည့် စကားလုံးမှာ ဝှက်စာ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရလာသည်။<ref name="yale_zero"></ref> နောင်တွင် ရီနေ ဒေကားတ်၊ နယူတန် နှင့် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် တို့က သုညကို အသုံးပြု၍ ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် [[သင်္ချာ|ခေတ်သစ်သင်္ချာကို]] တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="yale_zero"></ref> ကိန်း <math>0</math> ကို [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ၏]] [[အစု]]တွင် ထည့်သွင်းသင့် မသင့်ဆိုသည်မှာမူ ကာလကြာရှည် ငြင်းခုံစရာဖြစ်ခဲ့သည်။ 1727 ခုနှစ်တွင် ဖွန်တနယ်လ် က <math>1</math> ကိုသာ အခြေခံ[[အစုဝင်|အစုဝင်အဖြစ်]] ငြင်းခုံခဲ့ပြီး 1889 တွင် ဂျူဆက်ပေ ပီအာနို သည်လည်း သူ၏ ပုံစံတကျ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်ကို]] <math>1</math> မှ အစပြုခဲ့သော်လည်း နောင်တွင် <math>N_0</math> ဖြင့် မွမ်းမံခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Peano |first=Giuseppe |title=Formulaire des mathematiques |location=Paris |publisher=Gauthier-Villars |date=1901 |page=39}} </ref> သို့သော် 1960 ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် [[အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) နှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) လိုအပ်ချက်များကြောင့် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ်၊ ဘော်ဘာကီ၊ ပေါလ် ဟာမော့စ် တို့၏ ထောက်ခံမှုဖြင့် သုညကို ထည့်သွင်းအသုံးပြုလာခဲ့ပြီး ISO စံနှုန်းများဖြင့်ပါ ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ပေးခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Bourbaki |first=N. |title=Elements of Mathematics: Theory of Sets |location=Paris, France |publisher=Hermann |date=1968}} </ref><ref> {{Citation |last=Halmos |first=P. R. |title=Naive Set Theory |location=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1974}} </ref><ref> {{Citation |title=ISO 80000-2:2019 Quantities and units Part 2: Mathematics |publisher=International Organization for Standardization |date=2019}} </ref> === အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း (Early Usage of Negative Numbers) === အနုတ်ကိန်းဟူသည့် သဘောတရားကို အစောဆုံး ဘီစီ 100 နှင့် ဘီစီ 50 အကြားတွင် တရုတ်လူမျိုးတို့ သိမြင်နားလည်ခဲ့ပုံရသည်။<ref name="utexas_m326k">Smith, M. K. &ldquo;[https://www.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html History of Negative Numbers].&rdquo; From M326K: Foundations of Number Systems--Web. 25 Dec 2014.</ref> သင်္ချာအနုပညာနှင့် ပတ်သက်သည့် အခန်းကိုးခန်း အမည်ရ တရုတ်ကျမ်းတွင် အပေါင်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများကို အနီရောင်အစက်ပြောက်များဖြင့် လည်းကောင်း အနုတ်မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို အနက်ရောင်အစက်ပြောက်များဖြင့် လည်းကောင်း ခွဲခြားရေးသားထားသည်။<ref>Staszkow, R. and Bradshaw R. The Mathematical Palette (3rd ed.). Thomson Brooks/Cole, p. 41, 2004.</ref> 3 ရာစုနှစ်အတွင်း ဂရိပညာရှင် ဒိုင်အိုဖန်တပ်စ် က သူ၏ [[ဂဏန်းသင်္ချာ|ဂဏန်းသင်္ချာကျမ်းတွင်]] <math>4x+20=0</math> ညီမျှခြင်းမှ ရရှိသည့် အနုတ်ကိန်းအဖြေကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု မှတ်ချက်ချဖူးသည်။<ref>Smith, David E. [http://www.amazon.com/History-Mathematics-Vol-Dover-Books/dp/0486204308 History of Mathematics], Vol. 2. Dover, p. 258, 1958.</ref> 7 ရာစုနှစ်ရောက်မှသာ အိန္ဒိယပညာရှင် ဗြဟ္မဂုတ္တ က နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို အနုတ်ကိန်းများသုံး၍ စနစ်တကျ ဖြေရှင်းပြခဲ့ပြီး လိုက်နာရမည့် စည်းမျဉ်းများကိုပါ ရေးသားခဲ့သည်။<ref>Cajori, Florian. [https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&source=gbs_navlinks_s History of Mathematics], 5th ed. New York: Chelsea, p. 94, 1991.</ref><ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s A History of Mathematics: An Introduction], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 226, 1998.</ref> သို့သော် 9 ရာစု အယ်လ်ခိုဝါရစ်ဇမီ က အနုတ်ကိန်းများကို ရှောင်ရှားခဲ့ပြီး<ref>Katz, Victor J. [https://books.google.com/books?id=vV8PAQAAMAAJ&source=gbs_navlinks_s A History of Mathematics: An Introduction], 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 245, 1998.</ref> 12 ရာစု ဘက်ရှ်ကာရာ က အနုတ်ကိန်းရင်း (root) ကို ယူစရာမလိုဟုလည်းကောင်း ရှူကေးက အဓိပ္ပာယ်မရှိသော နံပါတ်များအဖြစ်လည်းကောင်း ရီနေ ဒေကားတ် က အဖြေမှားများအဖြစ်လည်းကောင်း ရှုမြင်ခဲ့ကြရာ 19 ရာစု နောက်ပိုင်းရောက်မှသာ အနုတ်ကိန်းများကို တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာကြသည်။ === ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေးများဆီသို့ တိုးချဲ့လာခြင်း (Expansion to Real and Complex Numbers) === ခေတ်သစ် ကိန်းစနစ်များသည် ရေတွက်ခြင်းမှသည် [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) ဆိုင်ရာ ပမာဏများဆီသို့ အဆင့်ဆင့် တိုးချဲ့လာခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဘီစီ 600 ခန့်တွင် အိန္ဒိယ ဗေဒကျမ်းပြု ပညာရှင်များက <math>\sqrt{2}</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းများတွင် တိကျသော [[အပိုင်းကိန်း]]မရှိကြောင်း သိရှိခဲ့ကြပြီး ဘီစီ 500 တွင် ဂရိ ပိုက်သာဂိုရပ်စ်ဂိုဏ်းသားများက [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] တည်ရှိမှုကို ပထမဆုံး သက်သေပြခဲ့ကြသည်။ အလယ်ခေတ် အာရပ်သင်္ချာပညာရှင် အဘူ ကာမေးလ် က ယင်းအီရာရှင်နယ် ပမာဏများကို [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ အရာဝတ္ထုများအဖြစ်]] တိုက်ရိုက်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ 16 ရာစုတွင် ဆိုင်မွန် စတီဗင် က ဒသမကိန်း သင်္ကေတများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး 17 ရာစုတွင် ဒေကားတ် က [[ကိန်းစစ်]] ဟူသော ဝေါဟာရကို စတင်တီထွင်ခဲ့သည်။ 19 ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ဂျော့ ကန်တာ၊ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း နှင့် ကော်ချီ တို့က ကိန်းစစ်များကို ခေတ်သစ် [[အစုသီအိုရီ|အစုသီအိုရီနှင့်]] [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (analysis) ရှုထောင့်များမှနေ၍ ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများ (Dedekind cuts) နှင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (Cauchy sequences) အဖြစ် ခိုင်မာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင် အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်း က အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုကို ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့ပြီး 1545 တွင် ကာဒါနို နှင့် 1572 တွင် ဘွန်ဘယ်လီ တို့က [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းကို]] ရေးဆွဲခဲ့သည်။ 1637 တွင် ဒေကားတ်က ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို နှိမ့်ချသည့်သဘောဖြင့် [[ကိန်းယောင်]]ဟု တီထွင်ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။<ref>René Descartes, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380.</ref> သို့သော် နောင်တွင် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ ကော်ချီ၊ ဂေါက်စ် တို့၏ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုများနှင့် ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်၏ [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) ကိုယ်စားပြုမှုများကြောင့် ၎င်းတို့သည် [[သင်္ချာ|ခေတ်သစ်သင်္ချာ၏]] မရှိမဖြစ် အရေးပါသော အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ == ကိုးကားများ (References) == {{Reflist|2}}{{DEFAULTSORT:ကိန်းhtml}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] 2s9lxxxn1avsnvru40b10o9seoephrq 0 4115 1061008 1059528 2026-11-01T11:44:16Z Mkant00 135890 1061008 wikitext text/x-wiki [[File:Euclid.jpg|right|thumb|220px|ဘီစီအီး ၃ ရာစုမှ ဂရိ သင်္ချာပညာရှင် ယူကလစ် (ကွန်ပါထောက်တံ ကိုင်ထားသူ) ကို ပန်းချီဆရာ ရာဖယ် က ၎င်း၏ "အေသင်သားတို့ ကျောင်းတော်" အမည်ရ နံရံဆေးရေး ပန်းချီကားကြီးတွင် စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်၏ ပုံမှာ မည်သည့်မီဒီယာတွင်မှ မကျန်ရစ်ဘဲ ဤသရုပ်ဖော်ချက်သည် ပုံဖော်သူ အနုပညာရှင်၏ စိတ်ကူးဉာဏ် ကွန့်မြူးချက်သာ ဖြစ်သည်။]] '''အသိပညာနှင့် စူးစမ်းလေ့လာခြင်း''' ဟု အနက်ဖွင့်ဆိုနိုင်သော ရှေးဂရိဝေါဟာရ μάθημα (máthēma) မှဆင်းသက်လာသည့် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို မြန်မာဘာသာစကားဖြင့် "ရေတွက်ခြင်း" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ရှေးပါဠိဝေါဟာရမှတစ်ဆင့် "သင်္ချာ" ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင် သင်္ချာ၏ သဘောသဘာဝနှင့် ပတ်သက်၍ ပုဂ္ဂိုလ်ကျော်များက ရှုထောင့်အမျိုးမျိုးဖြင့် ဖွင့်ဆိုခဲ့ကြသည်။ စွယ်စုံရပညာရှင် ဂယ်လီလီယို (Galileo) က သဘာဝတရားကို ကျမ်းတစ်စောင်ဟု တင်စားခဲ့ပြီး ၎င်းကျမ်းကို သင်္ချာဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားထားကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="Machamer2014">{{Citation |last=Machamer |first=Peter |year=2014 |title=Galileo Galilei |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=CSLI, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/win2014/entries/galileo/ |edition=Winter 2014}}</ref> သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) က သင်္ချာကို သိပ္ပံပညာရပ်များ၏ ဘုရင်မအဖြစ် တင်စားခဲ့သည်။<ref name="Beiler1964">{{citation |last=Beiler |first=Albert H. |title=Recreations in the Theory of Numbers (Dover Recreational Math) |publisher=Dover Publications |place=Mineola, NY |edition=2nd |year=1964 |isbn=978-0486210964 |page=1}}</ref> ထို့အပြင် ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) က သင်္ချာသည် မလွှဲမသွေဖြစ်ရမည့် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်များကို ကောက်ချက်ချသော သိပ္ပံပညာရပ်ဖြစ်ကြောင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။<ref name="Peirce1881">{{Citation |last=Peirce |first=Benjamin |title=Linear Associative Algebra |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |issue=1 |year=1881 |pages=97-229 |doi=10.2307/2369153 |url=http://www.jstor.org/stable/2369153 |publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref> ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြချက်]] (proof) ဖြင့် စစ်ဆေးအတည်ပြုနိုင်သော သရုပ်မဲ့ သဘောတရားများ (abstract concepts) နှင့် ပတ်သက်သည့် ဖော်ပြချက်များ (statements) ကို ဖော်ထုတ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို [[ကိန်း|ကိန်းများ]] (numbers)၊ ပမာဏများ (magnitudes) နှင့် ပုံသဏ္ဌာန်များ (forms) ဆိုင်ရာ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခုအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံး မူလအစသည် သမိုင်းမတင်မီခေတ် လူသားတို့၏ ကိန်းနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်တို့တွင်ရှိသော ဆင်တူညီမှုများကို တဖြည်းဖြည်း သတိပြုမိလာခြင်းမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုနှင့် အများအပြားကဲ့သို့သော ရိုးရှင်းသည့် ခြားနားချက်များကို သိမြင်မှတ်မိခြင်းမှသည် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) ဆိုသည့် သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (abstract property) အထိ ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ အလားတူပင် ရက်ကန်းရက်ခြင်း၊ အိုးလုပ်ခြင်းနှင့် ခြင်းတောင်းရက်လုပ်ခြင်းတို့တွင် တွေ့ရသော ရှေးခေတ်လူသားတို့၏ ဒီဇိုင်းများသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ၊ ထပ်တူညီမှု (congruence) နှင့် [[ခေါက်ချိုးညီ|အချိုးညီမှု]] (symmetry) တို့အတွက် အခြေခံအလေးထားမှုကို ပြသနေပြီး ယင်းက [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch1">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=1}}</ref> အစောပိုင်း သင်္ချာစနစ်များသည် အတွေ့အကြုံနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအပေါ်တွင် များစွာ အခြေခံထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှေးခေတ် အီဂျစ်တွင် ဂျီဩမေတြီသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် စိုက်ပျိုးမြေတိုင်းတာခြင်းအတွက် ကိရိယာတစ်ခုအနေဖြင့် အဓိက တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် နိုင်းမြစ်၏ နှစ်စဉ်ရေကြီးမှုများကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch2">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=2}}</ref> တစ်ချိန်တည်းတွင် ရှေးခေတ် ဘေဘီလုံ သင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းများအပေါ် များစွာအခြေခံပြီး အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများ (algorithms)၊ ဇယားများနှင့် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (equations) ကို ခန့်မှန်းခြေ ဖြေရှင်းခြင်းတို့အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch3">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=3}}</ref> ချက်ချင်း အသုံးချရန်ထက် ဉာဏ်ရည်ပိုင်းဆိုင်ရာ သိချင်စိတ်ပြင်းပြမှုက တွန်းအားပေးသည့် ပုံစံတကျ (formalized) ပြီး ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ် (deductive science) တစ်ခုအနေဖြင့် သင်္ချာသည် ရှေးခေတ် ဂရိလူမျိုးများနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်။ သေးလ် (Thales) နှင့် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် ဤဘာသာရပ်ကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ ဖွဲ့စည်းမှုဆီသို့ ရွှေ့ပြောင်းပေးခဲ့သည်ဟု အသိအမှတ်ပြုခံရသည်။ သူတို့သည် အခြေခံမူများမှတစ်ဆင့် သီအိုရမ်များ (theorems) ကို သင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြသည့် အစောပိုင်း အစဉ်အလာများကို တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch4">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=4}}</ref> နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာ ကြာလာသောအခါ သင်္ချာသည် တည်ဆောက်ပုံ (structure) နှင့် သရုပ်မဲ့ ယုတ္တိဗေဒ (abstract logic) တို့၏ ကျယ်ပြန့်ပြီး အထူးပြုလွန်းသည့်အပြင် စည်းလုံးညီညွတ်သော ဘာသာစကားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြာထွက်လာခဲ့သည်။ == သင်္ချာ၏ ကဏ္ဍရပ်များ (Areas of Mathematics) == [[File:Alexander Grothendieck.jpg|right|thumb|220px|အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck, 1970)]] ပညာရပ် ကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်းသည် သဘာဝအလျောက် ကွဲပြားသော်လည်း အလွန်အမင်း အချင်းချင်း ချိတ်ဆက်နေသော ဘာသာရပ်ခွဲများစွာအဖြစ် ပိုင်းခြားသွားသည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာ (modern mathematics) သည် ပမာဏများ (quantities)၊ [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ]] (algebraic structures)၊ [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] [[ရပ်ဝန်း|ရပ်ဝန်းများ]] (geometric spaces) နှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပြောင်းလဲခြင်း (continuous change) ကဲ့သို့သော အခြေခံ လေ့လာစရာ သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (mathematical objects) အရ သော်လည်းကောင်း၊ ၎င်းတို့၏ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ]] (axiomatic) နှင့် နည်းနာဆိုင်ရာ ဘောင်များ (methodological frameworks) အရ သော်လည်းကောင်း ကွဲပြားခြားနားသည့် နယ်ပယ်စုံ ပညာရပ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ သင်္ချာပညာရပ်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ရာတွင် အဓိကစံနှုန်းတစ်ခုမှာ သင်္ချာဘာသာရပ် ခွဲခြားသတ်မှတ်မှုစနစ် (Mathematics Subject Classification - MSC) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် သင်္ချာဘာသာရပ်ကို နိုင်ငံတကာ သုတေသနသိုလှောင်ရာဌာနများနှင့် ဂျာနယ်များတွင် အသုံးပြုသည့် အဆင့်ဆင့်ခွဲခြားထားသော အက္ခရာ-နံပါတ်စဉ်စနစ်တစ်ခုအဖြစ် စနစ်တကျ ဖွဲ့စည်းထားသည်။<ref>Apostol (1974), p. 1.</ref> === အခြေခံသဘောတရားများ၊ သင်္ချာယုတ္တိဗေဒနှင့် ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (Foundations, Mathematical Logic, and Category Theory) === [[File:Commutative diagram for morphism.svg|thumb|220px|မော်ဖစ်ဇင် <math>f: A \to B</math>, <math>g: B \to D</math>, <math>h: A \to C</math> နှင့် <math>k: C \to D</math> တို့သည် <math>g \circ f = k \circ h</math> ကို ပြည့်မီကြောင်း သရုပ်ဖော်ထားသည့် [[ပုံကြမ်း|ဖလှယ်ရပုံကြမ်း]]]] သင်္ချာအခြေခံသဘောတရားများ (foundations of mathematics) နှင့် သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ (mathematical logic) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ယုတ္တိဆင်ခြင်မှု၏ (mathematical reasoning) ဝါစင်္ဂ (syntax)၊ အနက်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (semantics) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ ခိုင်လုံမှုတို့ကို (axiomatic validity) ပုံစံတကျ (formal) ဖြစ်စေသည်။ * '''သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ (Mathematical logic):''' အဆိုများဆိုင်ရာကဲကုလပ် (propositional calculus) နှင့် ပထမအဆင့် ပရက်ဒီကိတ် ယုတ္တိဗေဒ (first-order predicate logic) အပါအဝင် ကောက်ချက်ချစနစ်များကို (deductive systems) ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ နယ်ပယ်ခွဲများတွင် သက်သေပြချက်သီအိုရီ (proof theory — ပုံစံတကျ ကောက်ချက်ချမှုများ၏ (formal derivations) တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု၊ ဖြတ်တောက်မှု ဖယ်ရှားခြင်းနှင့် (cut-elimination) ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်များတစ်လျှောက် (formal axiomatic systems) ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (consistency) လေ့လာခြင်း) နှင့် မော်ဒယ်သီအိုရီ (model theory — ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုသီအိုရီများကို ပြည့်မီစေသည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများ၏ (mathematical structures) အတန်းအစားများကို (classes) လေ့လာခြင်း) တို့ ပါဝင်သည်။ * '''[[အစုသီအိုရီ|နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော အစုသီအိုရီ]] (Axiomatic set theory):''' [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို]] (axiom of choice) ပါဝင်သော ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် နဂိုမှန်အဆိုများ (Zermelo–Fraenkel axioms — <math>\mathsf{ZFC}</math>) မှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ ပြဋ္ဌာန်းလေ့ရှိသည့် ရှေးရိုးသင်္ချာ (classical mathematics) အတွက် စံပြု အခြေခံဘောင် (standard foundational framework) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် သင်္ချာဆိုင်ရာအရာဝတ္ထုများကို တင်းကျပ်သော အစုဝင်ဖြစ်မှု ဆက်သွယ်ချက်များ (membership relations) <math>\in</math> ဖြင့် ထိန်းကျောင်းထားသည့် [[အစု|အစုများအဖြစ်]] (sets) ပုံစံတကျ ဖြစ်စေသည်။ * '''ထပ်ကျော့သီအိုရီ (Recursion theory) / တွက်ချက်နိုင်စွမ်းသီအိုရီ (Computability theory):''' ကျူးရင်း စက်များ (Turing machines) နှင့် ထပ်ကျော့ဖန်ရှင်များကို (recursive functions) ပုံစံတကျ ဖော်ထုတ်ရာမှ စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပြီး သင်္ချာဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာများကို ၎င်းတို့၏ [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းအရ]] (algorithmically) ဖြေရှင်းနိုင်စွမ်း (decidability) နှင့် ဖြေရှင်းမရနိုင်မှု ဒီဂရီများ (ကျူးရင်း ဒီဂရီများ — Turing degrees / degrees of unsolvability) အလိုက် အဆင့်ခွဲခြားသည်။ * '''[[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ]] (Category theory):''' သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို အရာဝတ္ထုများ၏ (objects) [[အညွှန်းတပ်စုစည်းမှု|စုစည်းမှု]] (collection) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) ဟုခေါ်သော ဦးတည်ချက်ပြမြှားများအဖြစ် (arrows) ပုံစံတကျ ဖော်ပြသည့် လွှမ်းခြုံသော တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ (category) <math>\mathcal{C}</math> တစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုများ၏ အတန်းအစား (class of objects) <math>\operatorname{Ob}(\mathcal{C})</math> နှင့် အရာဝတ္ထုအစုံ <math>A, B</math> တိုင်းအတွက် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] (associative) ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များ (identity morphisms) ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော မော်ဖစ်ဇင်များ၏ စုစည်းမှု <math>\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A, B)</math> (အကယ်၍ <math>\mathcal{C}</math> သည် ဒေသအလိုက်သေးငယ်ပါက (locally small) အစုတစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိသည်) တို့ ပါဝင်သည်။ ကတ်တဂိုရီများအကြား တည်ဆောက်ပုံထိန်း ပုံဖော်မှုများကို [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ဖန်တာများအကြား အသွင်ပြောင်းလဲမှုများကို [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ === ကိန်းသီအိုရီနှင့် ဂဏန်းသင်္ချာ (Number Theory and Arithmetic) === [[File:Pierre de Fermat.jpg|right|thumb|220px|ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat)]] [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math>၊ [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် ၎င်းတို့၏ ကျယ်ပြန့်သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာနှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ၏ (generalizations) ဂုဏ်သတ္တိများကို စစ်ဆေးလေ့လာသည်။ ရှေးခေတ်တွင် လော်ဂျစ်စတစ်နှင့် (logistic) [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ လော်ဂျစ်စတစ်သည် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်တွေ့အသုံးချနည်းစနစ် (practical technique of computation) ဖြစ်ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာသည် ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို (properties of numbers) ဒဿနိကဗေဒအရ သို့မဟုတ် သဘောတရားရေးရာအရ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ် ကိန်းသီအိုရီသည် အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်လာသော ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ အစောပိုင်း မှတ်တိုင်များတွင် ဂရိလူမျိုးများ၏ ကိန်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း ပါဝင်ပြီး ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers)၊ ဆပေါင်းကိန်းများ (composite numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်းများ]] (even numbers)၊ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]] (odd numbers) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းများ (perfect numbers) တို့ ပါဝင်သည်။ အခြားမှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ [[အနန္တ]] (infinitely many) ရှိကြောင်း ယူကလစ်၏ (Euclid) သက်သေပြချက် ဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch7">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=7}}</ref> ဤဘာသာရပ်သည် မရေမရာ ညီမျှခြင်းများ သို့မဟုတ် [[ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း|ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို]] (indeterminate (Diophantine) equations) လေ့လာခြင်းမှတစ်ဆင့် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုများကို ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus)၊ ဗြဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များက ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch11">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=11}}</ref> ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၎င်း၏ Disquisitiones Arithmeticae စာအုပ်ဖြင့် ဤနယ်ပယ်ကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူသည် [[ထပ်တူကျမှုဆက်သွယ်ချက်|ထပ်တူကျမှုဆက်သွယ်ချက်များ၏]] ခေတ်သစ်သင်္ချာကို (modern mathematics of congruences) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး [[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Arithmetic) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch23">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=23}}</ref> မျက်မှောက်ခေတ် ကိန်းသီအိုရီတွင် အောက်ပါ အဓိက နယ်ပယ်ခွဲများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာနှင့် အဆင့်မြင့် ဂဏန်းသင်္ချာ (Elementary arithmetic and higher arithmetic):''' အခြေခံတွက်ချက်မှုများ (elementary operations — [[ပေါင်းခြင်း]] (addition)၊ [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication)၊ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]] (division))၊ ကိန်းပြည့်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ စား၍ပြတ်ခြင်း (divisibility)၊ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (prime factorization) နှင့် [[မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ|မော်ဂျူလာ]] [[ထပ်တူကျမှုဆက်သွယ်ချက်|ထပ်တူကျမှုဆက်သွယ်ချက်များ]] (modular congruences) <math>a \equiv b \pmod m</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ * '''[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (Algebraic number theory):''' [[ဖီးလ်ဒ်|ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ]] (algebraic number fields) <math>K/\mathbb{Q}</math> နှင့် ၎င်းတို့၏ [[ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း|ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းများ]] (rings of integers) <math>\mathcal{O}_K</math> ကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အဓိကအကြောင်းအရာများတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓအိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K</math> မှတစ်ဆင့် ဖြေရှင်းသည့် အစုဝင်များ၏ သီးသန့်မဟုတ်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (non-unique factorization)၊ အိုင်ဒီးလ်အတန်းအစား အုပ်စု (ideal class group) <math>\operatorname{Cl}(K)</math> နှင့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ယူနစ်သီအိုရမ် (Dirichlet's unit theorem) တို့ ပါဝင်သည်။ * '''[[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (Analytic number theory):''' ကိန်းပြည့်များနှင့် သုဒ္ဓကိန်း ပြန့်ကျက်ပုံဆိုင်ရာ (distribution of prime numbers) ပုစ္ဆာများကို ဖြေရှင်းရန် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (complex analysis) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (real analysis) တို့မှ နည်းလမ်းများကို အသုံးချခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Knopfmacher (1990), p. 15.</ref> အဓိက ကိရိယာများတွင် မျိုးထုတ် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများနှင့်]] (generating Dirichlet series) ရီးမန်း ဇီတာဖန်ရှင် (Riemann zeta function) တို့ ပါဝင်သည်။ <math display="block">\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \quad (\operatorname{Re}(s) > 1)</math> * '''ဂဏန်းသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ (Arithmetic geometry):''' [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (algebraic geometry) နှင့် ကိန်းသီအိုရီတို့ကို ပေါင်းစပ်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်မဟုတ်သော ဖီးလ်ဒ်များ (non-algebraically closed fields — ကိန်းဖီးလ်ဒ်များနှင့် [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်|အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်များ]] (finite fields) ကဲ့သို့သော) အပေါ်ရှိ စကင်းမ်များ (schemes)၊ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေးများနှင့် (algebraic curves) အဘီလီယန် အဖြေစုများ၏ (abelian varieties) ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။ === အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra) === [[File:Evariste Galois.jpg|right|thumb|220px|အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois)]] [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (algebra) သည် သတ်မှတ်ထားသော နဂိုမှန်အဆို အစုများနှင့် (axiom sets) ကိုက်ညီသည့် တွက်ချက်မှုများဖြင့် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသော ပုံစံတကျ စနစ်များကို စူးစမ်းလေ့လာသည်။ သမိုင်းဆိုင်ရာ ကျယ်ပြန့်သော အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာသည် ဆင့်ကဲတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ စကားပြောဟန် (rhetorical)၊ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) နှင့် သင်္ကေတဟန် (symbolic) တို့ဖြစ်သည်။ စကားပြောဟန်သည် စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝရေးသားခြင်း ဖြစ်ပြီး အတိုကောက်ဟန်သည် အတိုကောက်အချို့ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်ကာ၊ သင်္ကေတဟန်သည် အက္ခရာများနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများကို အသုံးပြုသော ခေတ်သစ် အသုံးအနှုန်း ဖြစ်သည်။ ဘေဘီလုံနှင့် အီဂျစ်လူမျိုးများသည် အခြေခံ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများနှင့်]] (linear equations) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို (quadratic equations) စတင်ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဉာဏ်သစ်သွေးသစ်ခေတ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို (Gerolamo Cardano) နှင့် လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ (Lodovico Ferrari) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် သုံးထပ်ညီမျှခြင်း (cubic equation) နှင့် လေးထပ်ညီမျှခြင်း (quartic equation) တို့အတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများကို (algebraic solutions) ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် စကစ်ပီယွန် ဒယ်လ် ဖဲရိုး (Scipione del Ferro) နှင့် နီကိုလို ဖွန်တာနာ တာတာဂလီယာ (Niccolò Fontana Tartaglia) တို့၏ သုံးထပ် အဖြေကို ကနဦး ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch15">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=15}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အက္ခရာသင်္ချာသည် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများကို]] (polynomial equations) လေ့လာခြင်းမှ သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများကို (abstract structures) လေ့လာခြင်းသို့ သိသာစွာ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) ၏ [[အုပ်စုသီအိုရီ]] (group theory) ဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်၊<ref name="MB_Ch24">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=24}}</ref> ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) ၏ ဖလှယ်၍မရသော [[ကွာတာနီယွန်|ကွာတာနီယွန်များကို]] (non-commutative quaternions) တီထွင်မှုနှင့် ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) ၏ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာတို့နှင့်အတူ (algebra of logic) အက္ခရာသင်္ချာသည် ရိုးရာကိန်းများနှင့် အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာမှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ယင်းသည် တိကျသော နဂိုမှန်အဆိုများနှင့် (axioms) ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမများဖြင့် (laws of combination) သတ်မှတ်ထားသော သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို (abstract systems) လေ့လာခြင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာတွင် အောက်ပါ အဓိက မဏ္ဍိုင်ကြီးများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''[[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့အက္ခရာသင်္ချာ]] (Abstract algebra):''' အဓိက အက္ခရာသင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ** '''[[အုပ်စုသီအိုရီ]] (Group theory):''' [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] (associative) [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု]] (binary operation)၊ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) နှင့် [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များဖြင့်]] (inverse elements) အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups) <math>(G, \cdot)</math> ကို လေ့လာသည်။<ref>Whitehead (2002), p. 12.</ref> နယ်ပယ်ခွဲများတွင် အဆုံးရှိအုပ်စုသီအိုရီ (finite group theory)၊ လီ အုပ်စုသီအိုရီ (Lie group theory) နှင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုသီအိုရီ (representation theory) တို့ ပါဝင်သည်။ ** '''ကွင်းနှင့် ဖီးလ်ဒ်သီအိုရီ (Ring and field theory):''' [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) <math>(R, +, \cdot)</math> ([[မြှောက်ခြင်း]]သည် [[ပေါင်းခြင်း]]အပေါ် [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ|ဖြန့်ဝေနိုင်သော]] (distributive) စနစ်) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) <math>(F, +, \cdot)</math> (သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) ရှိသည့် <math>0 \ne 1</math> ဖြစ်သော သာမန်မဟုတ်သည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရကွင်းများ]] (commutative rings)) ကို လေ့လာသည်။<ref>Adamson (2007), p. 3.</ref> ဂယ်လ်ဝါသီအိုရီ (Galois theory) သည် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်းများနှင့် (subfields) [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု|ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု၏]] (Galois group) [[အုပ်စုပိုင်း|အုပ်စုပိုင်းများအကြား]] (subgroups) အပြန်အလှန် ဆက်သွယ်မှုမှတစ်ဆင့် ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ချက်များ၏ (field extensions) အချိုးညီမှုများကို (symmetries) ပုံစံတကျ ဖော်ထုတ်သည်။ ** '''[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးသီအိုရီ]] (Module theory):''' [[စကေလာ|စကေလာများကို]] (scalars) စိတ်ကြိုက်ကွင်း <math>R</math> တစ်ခုအတွင်း တည်ရှိခွင့်ပြုခြင်းဖြင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (vector spaces) ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်သည်။ * '''[[မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ|မျဉ်းဖြောင့်အက္ခရာသင်္ချာနှင့်]] မျဉ်းဖြောင့်အစုံအက္ခရာသင်္ချာ (Linear and multilinear algebra):''' ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] <math>V</math>၊ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) <math>T: V \to W</math>၊ [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices)၊ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းများ]] (dual spaces) <math>V^*</math> နှင့် [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်များ]] (tensor products) <math>V \otimes W</math> ဆိုင်ရာ သီအိုရီ ဖြစ်သည်။ * '''[[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရအက္ခရာသင်္ချာ]] (Commutative algebra):''' အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီအတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအဖြစ် အသုံးတော်ခံသည့် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း|ဖလှယ်ရကွင်းများ]]၊ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓအိုင်ဒီးလ်များနှင့်]] (prime ideals) မော်ဂျူးများ (modules) အပေါ် အဓိကထား လေ့လာသည်။ * '''[[ဟိုမိုလော်ဂျစ်ကယ် အက္ခရာသင်္ချာ|ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာအက္ခရာသင်္ချာ]] (Homological algebra):''' [[ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်|ချိတ်တန်းကွန်ပလက်စ်များ]] (chain complexes)၊ [[တိကျသော ကိန်းစဉ်|တိကျသော ကိန်းစဉ်များနှင့်]] (exact sequences) <math>\operatorname{Ext}</math> နှင့် <math>\operatorname{Tor}</math> ကဲ့သို့သော [[ဆင်းသက်ဖန်တာ|ဆင်းသက်ဖန်တာများမှတစ်ဆင့်]] (derived functors) ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကတ်တဂိုရီများအတွင်းရှိ [[ဟိုမိုလော်ဂျီ|ဟိုမိုလော်ဂျီနှင့်]] (homology) [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] အုပ်စုများကို (cohomology groups) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။ === ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Geometry and Topology) === [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|right|thumb|220px|ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes)]] [[File:Poincare disc hyperbolic parallel lines.svg|thumb|220px|ဟိုက်ပါဘောလစ်ဂျီဩမေတြီကို အဖွင့်ယူနစ် အပိတ်ပြား (open unit disk) တစ်ခုအတွင်း ပရိုဂျက်ရှင်းချထားသည့် ပွန်ကာရေး အပိတ်ပြားမော်ဒယ် (Poincaré disk model)။ ဟိုက်ပါဘောလစ်မျဉ်းများကို ဗဟိုဖြတ် အချင်းမျဉ်းများအပြင် နယ်နိမိတ်စက်ဝိုင်းအား ထောင့်မှန်ကျ ဖြတ်သန်းသွားသည့် စက်ဝိုင်းဝန်းပိုင်းများဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ဤပုံတွင် စက်ဝိုင်းဝန်းပိုင်းများအဖြစ် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြထားသည်။]] [[File:Two coordinate charts on a manifold.svg|thumb|220px|မန်နီဖိုးပေါ်ရှိ ထပ်နေသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များကို ယူကလစ်ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^n</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသည့် ကိုဩဒိနိတ်မြေပုံချပ်နှစ်ခုနှင့် ၎င်းတို့အကြား ကူးပြောင်းမှု (coordinate charts and transition map)]] [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) သည် ပုံသဏ္ဌာန်များ၏ (shapes) ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (spatial properties)၊ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများနှင့်]] (measurements) အသွင်ပြောင်းလဲမှုများကို (transformations) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြီး [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) သည် [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homeomorphisms — နှစ်ဖက်ဆက် အပြန်အလှန် တစ်ထပ်တည်းကျ ပုံဖော်မှုများ / bicontaneous bijections) နှင့် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်ပြောင်းလဲမှုများ (continuous deformations — [[ဟိုမိုတိုပီ]] ထပ်တူညီမှုများ / homotopy equivalences) အောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ တည်ရှိနေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို (invariants) စူးစမ်းလေ့လာသည်။ မူလအစတွင် "မြေတိုင်းတာခြင်း" (earth measurement) အဖြစ် စတင်ခဲ့သော ဂျီဩမေတြီသည် ဂရိလူမျိုးများလက်အောက်တွင် ကောက်ချက်ချ သိပ္ပံပညာရပ်တစ်ခု (deductive science) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၎င်း၏ အထွတ်အထိပ်မှာ ယူကလစ်၏ (Euclid) Elements စာအုပ်ဖြစ်ပြီး နှစ်ထောင်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ဤဘာသာရပ်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch7" /> ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို (algebraic equations) ဂျီဩမေတြီ မျဉ်းကွေးများတွင် (geometric curves) အသုံးချခြင်းဖြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီကို (analytic geometry) ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ ယင်းက ဂျီဩမေတြီကို [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများပေါ်တွင်]] (coordinate axes) ပုံဖော်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=17}}</ref> ၁၉ ရာစုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တော်လှန်ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို တွေ့ကြုံခဲ့ရပြီး နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Lobachevsky) နှင့် ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယူကလစ်၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုကို (parallel postulate) ဖယ်ရှားလိုက်လျှင်ပင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂျီဩမေတြီများ (consistent geometries) တည်ရှိနိုင်ကြောင်း ပြသခြင်းဖြင့် ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီကို (non-Euclidean geometry) တိုးတက်စေခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် ကွေးညွှတ်နေသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (curved metric spaces) အလွန်ယေဘုယျကျစွာ လေ့လာမှုကို မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဤလေ့လာမှုကို ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီဟု (Riemannian geometry) ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းသည် နောက်ပိုင်းတွင် ယေဘုယျ နှိုင်းရသီအိုရီ (General Relativity) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တစ်ပြိုင်နက်တည်းတွင် ကနဦး၌ နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းအဖြစ် (analysis situs) ပေါ်ထွက်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းပုံများ၏ (spatial configurations) ပင်ကို အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ အသွင်အပြင်များကို (qualitative aspects) လေ့လာခြင်းဖြစ်ပြီး ဤအသွင်အပြင်များသည် ပြောင်းပြန်ဆက်စပ်မှုပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော တစ်-တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ သို့မဟုတ် [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homeomorphisms) အောက်တွင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာဂုဏ်သတ္တိ|မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ]] (invariant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို လူအများက "ရာဘာချပ် ဂျီဩမေတြီ" (rubber-sheet geometry) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိကြသည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] သို့မဟုတ် စီစဉ်တွဲစပ်မှုဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (combinatorial topology) စတင်တည်ထောင်ခဲ့ပြီး ပုံသဏ္ဌာန်များကို [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများအဖြစ်]] (manifolds) ရှုမြင်ကာ ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်နေမှုကို (connectivity) လေ့လာခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များသည် အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) အတွက် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြပြီး [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] (elements) ပတ်ဝန်းကျင်များကြားရှိ (neighborhoods) ဆက်သွယ်ချက်များအပေါ်တွင်သာ အပြည့်အဝအခြေခံ၍ သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်းများကို (abstract spaces) တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> မျက်မှောက်ခေတ်တွင် ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အောက်ပါ နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် စနစ်တကျ လေ့လာသည်။ * '''[[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ|ယူကလစ်နှင့်]] ပေါင်းစပ်ဂျီဩမေတြီ (Euclidean and synthetic geometry):''' ထပ်တူကျမှု (congruence)၊ ပြိုင်တူဖြစ်မှုနှင့် (parallelism) ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်မှုများကို (geometric constructions) သတ်မှတ်ပေးသည့် ယူကလစ်၏ အဆိုကြမ်းများအပေါ် (Euclid's postulates) အခြေခံထားသော ပြန့်ကားသော ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ (flat space) ရှေးရိုး နဂိုမှန်အဆို လေ့လာမှု (classical axiomatic study) ဖြစ်သည်။<ref>Eves (1963), p. 19.</ref> * '''ယူကလစ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီ (Non-Euclidean geometry):''' ပြိုင်မျဉ်းကြိုတင်အဆို မပါဝင်ဘဲ ဖော်ထုတ်ထားသည့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဘောင်များ ဖြစ်ကြသည်။ ** '''ဟိုက်ပါဘောလစ်ဂျီဩမေတြီ (Hyperbolic geometry):''' ကိန်းသေအနုတ် ကွေးညွှတ်မှုဖြင့် (constant negative curvature) ထင်ရှားပြီး ပေးထားသော မျဉ်းတစ်ခုပေါ်တွင် မရှိသည့် မည်သည့်အမှတ်မှမဆို ထိုမျဉ်းနှင့် ပြိုင်နေသော မျဉ်းပြိုင်ပေါင်း မရေမတွက်နိုင်အောင် များပြားစွာ (infinitely many parallel lines) တည်ရှိနိုင်သည်။<ref>Greenberg (2007), p. 142.</ref><ref>Faber (1983), p. 88.</ref> ** '''အဲလစ်ပတစ်ဂျီဩမေတြီ (Elliptic geometry):''' ပြိုင်မျဉ်းများ လုံးဝမတည်ရှိသည့် ကိန်းသေအပေါင်း ကွေးညွှတ်မှုဖြင့် (constant positive curvature) ထင်ရှားသည်။ * '''[[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (Differential geometry):''' ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများပေါ်ရှိ (smooth manifolds) ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာရန် [[ကဲကုလပ်|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ကဲကုလပ်နှင့်]] အင်တီဂရယ်ကဲကုလပ် (differential and integral calculus)၊ တန်ဆာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနှင့် (tensor analysis) မျဉ်းဖြောင့်အစုံအက္ခရာသင်္ချာတို့ကို (multilinear algebra) အသုံးချသည်။<ref>Courant (1937), p. 5.</ref> အဓိက ပညာရပ်ခွဲများတွင် ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ ([[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) မက်ထရစ်တန်ဆာ (metric tensor) <math>g</math> တပ်ဆင်ထားသော)၊ ဆင်ပလက်တစ်ဂျီဩမေတြီ (symplectic geometry) နှင့် ရစ်ချီ ကဲကုလပ် (Ricci calculus — ပကတိ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ကဲကုလပ် / absolute differential calculus) တို့ ပါဝင်သည်။<ref>Ricci & Levi-Civita (1900), p. 125.</ref> * '''[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ]] (Algebraic geometry):''' [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းများဖြင့်]] (polynomial equations) အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နေရာရပ်ဝန်းများဖြစ်သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများနှင့် (algebraic varieties) ၎င်းတို့ကို စကင်းမ်များအဖြစ် (schemes) ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်မှုများကို လေ့လာသည်။ ခေတ်သစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီသည် [[အစည်း|အစည်းသီအိုရီ]] (sheaf theory) နှင့် [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ|အစည်းဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (sheaf cohomology) အပေါ် များစွာ မှီခိုလျက်ရှိသည်။<ref>Tennison (1975), p. 8.</ref> * '''တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology):''' ** '''ယေဘုယျတိုပေါ်လော်ဂျီ (General topology) / အစုသီအိုရီအခြေခံတိုပေါ်လော်ဂျီ (Point-set topology):''' [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) <math>(X, \tau)</math> ပေါ်တွင် အဖွင့်စုများ (open sets)၊ ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods)၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity)၊ ကျစ်လျစ်မှုနှင့် (compactness) ဆက်စပ်နေမှုဆိုင်ရာ (connectedness) သဘောတရားများကို နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ ဖော်ထုတ်သည်။ ** '''[[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Algebraic topology):''' ရပ်ဝန်းများကို ဟိုမိုတိုပီ ထပ်တူညီမှုအထိ (up to homotopy equivalence) အဆင့်ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို (algebraic invariants — အခြေခံအုပ်စု (fundamental group) <math>\pi_1(X)</math> နှင့် [[ဟိုမိုလော်ဂျီ|ဆင်ဂူလာဟိုမိုလော်ဂျီ အုပ်စုများ]] (singular homology groups) <math>H_n(X)</math> ကဲ့သို့သော) တည်ဆောက်သည်။ ** '''ဒစ်ဖရန်ရှယ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (Differential topology):''' [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော မန်နီဖိုးများနှင့်]] (differentiable manifolds) ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို (smooth maps) [[ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (diffeomorphism) အထိ စူးစမ်းလေ့လာပြီး မော့စ် သီအိုရီ (Morse theory)၊ ခွဲစိတ်မှုသီအိုရီ (surgery theory) နှင့် ကိုဘော်ဒစ်ဇင် (cobordism) ကဲ့သို့သော ကိရိယာများကို အသုံးချသည်။ === သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Mathematical Analysis) === [[File:Karl Weierstrass.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)]] [[File:Dedekind.jpeg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind)]] [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (analysis) သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes)၊ [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]] (limits) နှင့် အနန္တ လုပ်ငန်းစဉ်များကို (infinite processes) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ ဖြစ်ပြီး အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (infinite series)၊ အဆက်မပြတ်ဖန်ရှင်များနှင့် (continuous functions) ဒစ်ဖရန်ရှယ်အော်ပရေတာများနှင့် အင်တီဂရယ်အော်ပရေတာများကို (differential and integral operators) လေ့လာသည်။ ၎င်း၏ အစောဆုံး မူလအစမှာ ဂရိလူမျိုးများ၏ "ကုန်စင်အောင်လုပ်ခြင်း နည်းလမ်း" (method of exhaustion) တွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို ကနိုင်းဒပ်စ်မှ ယူဒေါက်စပ်စ် (Eudoxus of Cnidus) က သဘောတရားရေးရာအရ တီထွင်ခဲ့ပြီး အာခီမီးဒီးစ် (Archimedes) က ဧရိယာများနှင့် (areas) ထုထည်များကို (volumes) ရှာဖွေရာတွင် စနစ်တကျ အသုံးချခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch8">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=8}}</ref> ၁၇ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် အိုင်းဆက် နယူတန် (Isaac Newton) နှင့် ဂေါ့တ်ဖရီးဒ် ဗီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့သည် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများဆိုင်ရာ (infinitesimals) သဘောတရားများကို စုစည်း၍ [[ကဲကုလပ်|ကဲကုလပ်ကို]] (calculus) သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် [[ထိမျဉ်း|ထိမျဉ်းများ]] (tangent lines) သို့မဟုတ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များကို]] (derivatives) ရှာဖွေရန် ယေဘုယျ [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို]] (algorithms) ထောက်ပံ့ပေးသည်။ ထို့ပြင် ဧရိယာများ သို့မဟုတ် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်များကို]] (integrals) ရှာဖွေရန်အတွက်လည်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။<ref name="MB_Ch19">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=19}}</ref> ၁၉ ရာစုတွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy)၊ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို "ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်း" (arithmetized) ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ၎င်းကို ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် (geometric intuition) မှီခိုနေရခြင်းမှ ဖယ်ရှားပေးခဲ့ပြီး စုဆုံမှတ်များ၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) နှင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] (real numbers) တိကျသေချာသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် အခြေခံသည့် တိကျခိုင်မာသော အခြေခံအုတ်မြစ်ပေါ်တွင် (rigorous foundation) တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> မျက်မှောက်ခေတ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် အောက်ပါ အဓိက ကဏ္ဍရပ်များ ပါဝင်သည်။ * '''ကိန်းစစ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Real analysis):''' [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်]] (real numbers) <math>\mathbb{R}</math>၊ [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေးရပ်ဝန်းများ]] (metric spaces)၊ စုဆုံမှတ်များ၊ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] (sequences)၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း၊ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (differentiability) နှင့် [[ရီးမန်း အင်တီဂရယ်]] (Riemann integral) နှင့် [[လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်|လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်များကို]] (Lebesgue integrals) တိကျခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ခြင်း ဖြစ်သည်။ * '''ကိန်းထွေးခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex analysis):''' [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးကိန်းရှင်များဆိုင်ရာ]] ဖန်ရှင်များ (functions of complex variables) <math>f: U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> ကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် <math>f: U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> တစ်ခုသည် အဖွင့် အရင်းအမြစ်စု (open domain) <math>U</math> အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်း၌ ကိန်းထွေး-ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ပါက (complex-differentiable) [[ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်|ဟိုလိုမောဖစ်]] (holomorphic) ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ၎င်း၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (real and imaginary parts) <math>u, v</math> သည် ကော်ချီ-ရီးမန်း [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများကို]] (Cauchy–Riemann equations) ပြည့်မီစေကြောင်း ညွှန်ပြသည်။ <math display="block">\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> * '''အတိုင်းအတာသီအိုရီနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Measure theory and integration):''' ဆစ်ဂ်မာအက္ခရာသင်္ချာများ (<math>\sigma</math>-algebras) ပေါ်ရှိ အပေါင်းလက္ခဏာ အတိုင်းအတာများ (positive measures) <math>\mu</math> မှတစ်ဆင့် အလျား၊ ဧရိယာနှင့် ထုထည်တို့ကို (length, area, and volume) ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ပြီး [[လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်|လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းနှင့်]] (Lebesgue integration) <math>L^p</math> ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်းများအတွက် (function spaces) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ * '''ဖန်ရှင်နယ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis):''' အတိုင်းအတာအနန္တ တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional topological vector spaces)၊ အဓိကအားဖြင့် [[ဘာနက် ရပ်ဝန်း|ဘာနက် ရပ်ဝန်းများနှင့်]] (Banach spaces) [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) <math>\mathcal{H}</math> အပြင် ၎င်းတို့အပေါ် သက်ရောက်သည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာများ၏]] (linear operators) စပက်ထရယ် ဂုဏ်သတ္တိများကို (spectral properties) လေ့လာသည်။ * '''ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ (Differential equations):''' ** '''ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ (Ordinary differential equations — ODEs):''' အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) တစ်ခုတည်း၏ ဖန်ရှင်များနှင့် ၎င်းတို့၏ ဆင်းသက်ချက်များ ပါဝင်သည့် ညီမျှခြင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ** '''[[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ]] (Partial differential equations — PDEs):''' ကိန်းရှင်စုံ ဖန်ရှင်များနှင့် (multivariable functions) ၎င်းတို့၏ ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (partial derivatives) ပါဝင်သည့် ညီမျှခြင်းများ ဖြစ်ပြီး ဒုတိယအဆင့် ညီမျှခြင်းများကို အဓိကအားဖြင့် အဲလစ်ပတစ် (elliptic)၊ ပါရာဘိုလစ် (parabolic) နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် (hyperbolic) ညီမျှခြင်းများအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားသည်။ * '''ဟာမိုနစ်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Harmonic analysis):''' ဒေသအလိုက်ကျစ်လျစ်သော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများတစ်လျှောက်]] (locally compact abelian groups) လှိုင်းများ၏ [[ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ|ထပ်ဆင့်ခြင်း]] (superposition) အဖြစ် ဖန်ရှင်များနှင့် အချက်ပြလှိုင်းများကို (signals) ဖော်ပြရန် ဖူရီယေး ကိန်းစဉ်တန်းများနှင့် (Fourier series) ဖူရီယေး အသွင်ပြောင်းခြင်းများကို (Fourier transforms) ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်သည်။ * '''[[ကဲကုလပ်|ပြောင်းလဲမှုဆိုင်ရာ ကဲကုလပ်]] (Calculus of variations):''' [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ]] ဖန်ရှင်နယ်များ (real-valued functionals) <math>J[y] = \int_{x_1}^{x_2} L(x, y(x), y'(x)) \, dx</math> ကို အဆုံးအဖြတ်အခြေအနေ (critical / stationary condition — <math>\delta J = 0</math>) ဖြစ်စေသည့် တည်ငြိမ်ဖန်ရှင်များကို (stationary functions) ရှာဖွေသည့် နည်းလမ်းများကို ဖော်ထုတ်ပေးပြီး မဖြစ်မနေလိုအပ်သော ပထမအဆင့် အခြေအနေတစ်ရပ်အဖြစ် အွိုင်လာ-လာဂေါင့် ညီမျှခြင်းများကို (Euler–Lagrange equations) ရရှိစေသည်။ === ပိုင်းစသီးခြား သင်္ချာနှင့် စီစဉ်တွဲစပ်မှုသင်္ချာ (Discrete Mathematics and Combinatorics) === ပိုင်းစသီးခြား သင်္ချာ (discrete mathematics) သည် အခြေခံအားဖြင့် ရေတွက်နိုင်သော (countable) သို့မဟုတ် ဆက်တိုက်မဖြစ်သော တည်ဆောက်ပုံများကို (discrete structures) စူးစမ်းလေ့လာသည်။ * '''စီစဉ်တွဲစပ်မှုသင်္ချာ (Combinatorics):''' အဆုံးရှိသော သို့မဟုတ် ရေတွက်နိုင်သော သီးခြားဖွဲ့စည်းမှုပုံစံများကို (finite or countable discrete configurations) လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ နယ်ပယ်ခွဲများတွင် ရေတွက်မှု စီစဉ်တွဲစပ်မှုသင်္ချာ (enumerative combinatorics — မျိုးထုတ်ဖန်ရှင်များမှတစ်ဆင့် (generating functions) သတ်မှတ်ထားသော စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသည့် ဖွဲ့စည်းမှုပုံစံများကို ရေတွက်ခြင်း)၊ အစွန်းရောက် စီစဉ်တွဲစပ်မှုသင်္ချာ (extremal combinatorics — အကြီးဆုံး သို့မဟုတ် အငယ်ဆုံး ဖွဲ့စည်းမှုပုံစံများကို သတ်မှတ်ဆုံးဖြတ်ခြင်း) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ စီစဉ်တွဲစပ်မှုသင်္ချာ (algebraic combinatorics) တို့ ပါဝင်သည်။ * '''[[ဂရပ်သီအိုရီ]] (Graph theory):''' ထိပ်စွန်းမှတ်များ (vertices) <math>V</math> နှင့် အနားများ (edges) <math>E</math> ၏ [[အစု|အစုများ]] (sets) ပါဝင်သည့် ဂရပ်များ (graphs) <math>G = (V, E)</math> ကို စူးစမ်းလေ့လာသည်။ အဓိက သဘောတရားများတွင် ဆက်စပ်နေမှု (connectivity)၊ ပြင်ညီဖြစ်မှု (planarity)၊ ဂရပ်အရောင်ခြယ်ခြင်း (graph coloring) နှင့် ကွန်ရက်[[စီးဆင်းမှု|စီးဆင်းမှုများ]] (network flows) ပါဝင်သည်။ * '''အစီအစဉ်သီအိုရီ (Order theory):''' [[တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစု|တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းအစဉ်ကျသောအစုများ]] (partially ordered sets — posets) နှင့် လတ္တစ်များ (lattices) အပါအဝင် နှိုင်းယှဉ်ခြင်းဆိုင်ရာ သဘောတရားကို (concept of comparison) ပုံစံတကျ ဖြစ်စေသည့် [[ဘိုင်နရီ ဆက်သွယ်ချက်|ဘိုင်နရီဆက်သွယ်ချက်များကို]] (binary relations) စူးစမ်းလေ့လာသည်။ === စတော့ကတ်စတစ်နှင့် အသုံးချသင်္ချာသိပ္ပံများ (Stochastics and Applied Mathematical Sciences) === အသုံးချသင်္ချာသည် (applied mathematics) လက်တွေ့စမ်းသပ်မှု၊ ရူပဗေဒနှင့် တွက်ချက်မှုစနစ်များကို (empirical, physical, and computational systems) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် သင်္ချာဆိုင်ရာ သရုပ်မဲ့သဘောတရားများကို (mathematical abstractions) ဖော်ထုတ်ပေးသည်။ [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်းသီအိုရီသည်]] (probability theory) ၁၇ ရာစုတွင် ဘလေ့စ် ပက်စ်ကယ် (Blaise Pascal) နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) တို့ကြား ကံစမ်းကစားနည်းများနှင့် (games of chance) ပတ်သက်၍ စာပေးစာယူပြုလုပ်ရာမှ စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch17" /> ၎င်းကို ၁၉ ရာစု အစောပိုင်းတွင် ပီယား ဆိုင်မွန် လာပလေ့စ် (Pierre-Simon Laplace) က အဓိကကျသော သိပ္ပံနည်းကျ ကိရိယာတစ်ခုအဖြစ် (scientific tool) စနစ်တကျ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch22">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=22}}</ref> ၂၀ ရာစုတွင် အသုံးချသင်္ချာသည် ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) နှင့် အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ ရှေ့ဆောင်လမ်းပြခဲ့သည့် [[ဂိမ်းသီအိုရီ]] (game theory)၊ ဆိုက်ဘာနက်တစ်နှင့် (cybernetics) ကွန်ပျူတာသိပ္ပံကဲ့သို့သော (computer science) နယ်ပယ်များသို့ အကြီးအကျယ် ကျယ်ပြန့်လာခဲ့သည်။ ကွန်ပျူတာများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနကို အခြေခံမှစ၍ ပြောင်းလဲစေခဲ့ပြီး ကိန်းဂဏန်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုပညာတွင် (numerical analysis) အထောက်အကူပြုခဲ့ကာ အရောင်လေးမျိုး ယူဆချက်ကဲ့သို့သော (Four-Color Conjecture) ရှုပ်ထွေးသည့် သင်္ချာသီအိုရီများကို သက်သေပြရန်အတွက် ကြီးမားလှသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စွမ်းအားကို (computational power) ထောက်ပံ့ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> မျက်မှောက်ခေတ် အသုံးချသင်္ချာနှင့် စတော့ကတ်စတစ်တွင် အောက်ပါ အဓိက နယ်ပယ်ခွဲများ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။ * '''ဖြစ်တန်စွမ်းသီအိုရီနှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ စာရင်းအင်းပညာ (Probability theory and mathematical statistics):''' ** ဖြစ်တန်စွမ်းသီအိုရီသည် [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း|ဖြစ်တန်စွမ်းရပ်ဝန်း]] (probability space) <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> ပေါ်ရှိ အန်ဒရီ ကိုးလ်မိုဂိုရော့ဗ် (Andrey Kolmogorov) ၏ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများမှတစ်ဆင့်]] (axioms) မသေချာမှုကို (uncertainty) ပုံစံတကျ ဖြစ်စေပြီး [[ကျပန်းကိန်းရှင်|ကျပန်းကိန်းရှင်များ]] (random variables)၊ [[စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ်|စတော့ကတ်စတစ်လုပ်ငန်းစဉ်များ]] (stochastic processes)၊ မာတင်ဂေးလ်များနှင့် (martingales) စတော့ကတ်စတစ် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများကို]] (stochastic differential equations) လေ့လာသည်။ ** သင်္ချာဆိုင်ရာ စာရင်းအင်းပညာသည် (mathematical statistics) ပါရာမီတာ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (parameter estimation)၊ အဆိုပြုယူဆချက် စမ်းသပ်စစ်ဆေးခြင်းနှင့် (hypothesis testing) ရီဂရက်ရှင်ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုတို့အတွက် (regression analysis) သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဖော်ထုတ်ပေးသည်။ * '''ဒိုင်းနမစ်စနစ်များနှင့် အာဂေါဒစ် သီအိုရီ (Dynamical systems and ergodic theory):''' တိကျသော စည်းမျဉ်းများအရ အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲလာသော (time-evolving) စနစ်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြီး အထိုင်မှတ်များ (fixed points)၊ လမ်းခွဲထွက်ခြင်းများ (bifurcations)၊ ထူးဆန်းသော ဆွဲဆောင်စနစ်များနှင့် (strange attractors) မပြောင်းလဲသော အတိုင်းအတာများကို (invariant measures) စူးစမ်းလေ့လာသည်။ * '''သင်္ချာရူပဗေဒ (Mathematical physics):''' ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီတွင် (general relativity) [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) နှင့် ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်တွင် (quantum mechanics) အော်ပရေတာအက္ခရာသင်္ချာ (operator algebras) ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒသီအိုရီများ၌ သင်္ချာဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများကို တိကျခိုင်မာစွာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်စေပြီး အသုံးချခြင်း ဖြစ်သည်။ * '''သင်္ချာဆိုင်ရာ အကောင်းဆုံးဖြစ်အောင်ညှိနှိုင်းတွက်ချက်ခြင်း (Mathematical optimization):''' ကန့်သတ်ချက်များအောက်တွင် (constraints) ရည်မှန်းချက်ဖန်ရှင်များကို (objective functions) အများဆုံး သို့မဟုတ် အနည်းဆုံး ဖြစ်စေရန် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ နည်းပညာများကို (algorithmic and analytical techniques) ဖော်ထုတ်ပေးပြီး မျဉ်းဖြောင့် ပရိုဂရမ်ရေးဆွဲခြင်းနှင့် (linear programming) ခုံးသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတို့ကို (convex analysis) လွှမ်းခြုံထားသည်။ * '''ကိန်းဂဏန်းခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုပညာ (Numerical analysis):''' ဆက်တိုက်ဖြစ်သော သင်္ချာပုစ္ဆာများကို ချဉ်းကပ်တွက်ချက်ရန် တည်ဆောက်မှုဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများကို (constructive algorithms) ဒီဇိုင်းရေးဆွဲ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြီး ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တည်ငြိမ်မှု (numerical stability)၊ ကိန်းပြည့်ပြုအမှားများနှင့် (round-off errors) တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စုဆုံမှုကို (numerical convergence) ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းသည်။ == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ခေတ်သစ် တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုများ (History and Modern Developments) == === ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီ - ပေါင်းစပ်ခြင်း၊ ပရိုဂျက်တစ်၊ မက်ထရစ်နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်ဆောက်ပုံများ (Modern Geometry: Synthetic, Projective, Metric, and Differential Structures) === [[File:Carl Friedrich Gauss.jpg|right|thumb|220px|ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ်]] [[File:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|right|thumb|220px|နီကိုလိုင်း လိုဘာချက်ဗ်စကီး]] [[File:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|right|thumb|220px|ယာနို့စ် ဘိုလိုင်]] [[File:Beltrami.jpg|right|thumb|220px|ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ]] [[File:Felix Christian Klein.jpg|right|thumb|220px|ဖဲလစ် ကလိုင်း]] [[File:August Ferdinand Möbius.png|right|thumb|220px|ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ်]] ဆယ့်ကိုးရာစုသည် [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) တွင် တော်လှန်ရေးတစ်ရပ်ကို မြင်တွေ့ခဲ့ရပြီး ၎င်းကို တင်းကျပ်သော [[ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီ]] (Euclidean geometry) မူဘောင်မှ အချင်းချင်းချိတ်ဆက်နေသော ဂျီဩမေတြီစနစ်များ၏ ကျယ်ပြန့်သော စုစည်းမှုအဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းပေးခဲ့သည်။ ဤစနစ်များ၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းမှုသည် ယူကလစ် ဂျီဩမေတြီကို ပုံမပျက် ရွေ့လျားမှု အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (rigid motion transformations) အောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariants) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းကို သုည ကွေးညွှတ်မှု (zero curvature) နှင့် <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော မက်ထရစ် (metric) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည်။ ယူကလစ် မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (non-Euclidean geometries) တွင် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry)၊ အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) နှင့် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော [[စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဂျီဩမေတြီ|စက်လုံး ဂျီဩမေတြီ]] (spherical geometry) တို့ ပါဝင်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အနုတ် ကွေးညွှတ်မှု (constant negative curvature) ရှိသည်။ အဲလစ်ပတစ် သို့မဟုတ် စက်လုံး ဂျီဩမေတြီသည် ကိန်းသေ အပေါင်း ကွေးညွှတ်မှု (constant positive curvature) ရှိသည်။ အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) သည် ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်း (parallelism) နှင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင်ရှိခြင်း (collinearity) တို့ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) အပေါ် အာရုံစိုက်သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီ (projective geometry) သည် နှစ်ထပ်အချိုး (cross-ratio) နှင့် ဒွန်တွဲမှု (duality) ကဲ့သို့သော ပရိုဂျက်တစ်ဖြစ်ခြင်းများအောက်ရှိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဗဟိုပြုသည့် လွှမ်းခြုံနိုင်သော မူဘောင်တစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian geometry) သည် ပြောင်းလဲနိုင်သော ကွေးညွှတ်မှု (variable curvature) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dx_i\,dx_j</math> တို့ဖြင့် အုပ်ချုပ်ထားသော ယေဘုယျပြုထားသည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]]ကို (<math>n</math>-dimensional manifolds) လွှမ်းခြုံထားသည်။<ref name="MB_Ch24">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=24}}</ref> ခေတ်သစ် ဂျီဩမေတြီသည် အက်ခိုး ပေါ်လီတက်ကနစ် (École Polytechnique) ၌ ဂတ်စပတ် မွန်ချ် (Gaspard Monge) ကို ဗဟိုပြုသော အစောပိုင်း ၁၉ ရာစု ပြင်သစ်ကျောင်းမှ စတင်ခဲ့သည်။ မွန်ချ်၏ ကျောင်းသားများသည် ဤနယ်ပယ်ကို လမ်းကြောင်းမျိုးစုံသို့ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ချားလ်စ် ဒူပင်း (Charles Dupin) သည် မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ သီအိုရီကို (theory of surfaces) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဆိုက်ကလိုက် (cyclide) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ သီအိုဒို အိုလီဗီယာ (Théodore Olivier) သည် သင်ကြားရေးအတွက် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂျီဩမေတြီ ကြိုးမော်ဒယ်များကို (three-dimensional geometric string models) ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခဲ့သည်။ ချားလ်စ်-ဂျူးလ်စ် ဘရီယန်ချွန် (Charles-Jules Brianchon) သည် ပက်စ်ကယ် (Pascal) ၏ ဆန်းကြယ်သော ဆဋ္ဌဂံ သီအိုရမ်အတွက် (Pascal’s mystic hexagram theorem) ပရိုဂျက်တစ် ဒွန်တွဲ (projective dual) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် "အမှတ်" (point) နှင့် "မျဉ်း" (line) ဟူသော သဘောတရားများကို အချင်းချင်းဖလှယ်လိုက်သောအခါတွင် ပြင်ညီ ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီရှိ သီအိုရမ်များသည် မှန်ကန်နေဆဲဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုခဲ့သည်။ ရောန်-ဗစ်တာ ပွန်စလတ် (Jean-Victor Poncelet) သည် ၎င်း၏ ၁၈၂၂ ခုနှစ်ထုတ် Traité des propriétés projectives des figures စာအုပ်တွင် ပရိုဂျက်တစ် ဂျီဩမေတြီကို သီးခြားလွတ်လပ်သော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) မူဝါဒနှင့် အနန္တအမှတ်များ (ideal points) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းအားလုံးက မျှဝေပိုင်ဆိုင်ထားသော အနန္တရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် [[ကိန်းယောင်]] စက်ဝိုင်းအမှတ်များ (conjugate imaginary circular points) နှစ်ခုကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းအမှတ်များကို <math>I</math> နှင့် <math>J</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မီရှဲလ် ရှားလ် (Michel Chasles) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းတည်းပေါ်ရှိ အမှတ်လေးမှတ်၏ နှစ်ထပ်အချိုးကို (cross-ratio) အလေးပေးဖော်ပြခဲ့ပြီး ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ :<math>\frac{c - a}{c - b} : \frac{d - a}{d - b}</math> သူသည် ဤနှစ်ထပ်အချိုးသည် ပရိုဂျက်တစ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (projective transformations) အောက်တွင် ပကတိ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိရှိကြောင်းကို (invariant) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပေါင်းစပ် မက်ထရစ် ဖန်ရှင် ဂျီဩမေတြီ (synthetic metric geometry) တွင် ဂျက်ကော့ဘ် ရှတိုင်းနား (Jakob Steiner) သည် ယူကလစ် တည်ဆောက်ပုံများအားလုံးကို မျဉ်းဖြောင့်တံတစ်ခုနှင့် (straightedge) ဗဟိုကို (center) ရှင်းလင်းစွာပေးထားသော အထိုင်စက်ဝိုင်းတစ်ခုတည်းကိုသာ (single fixed circle) အသုံးပြု၍ အပြီးသတ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ သူသည် သုံးထပ်ကိန်းမျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ဆယ့်ခုနစ်ကြောင်းကိုလည်း (twenty-seven straight lines on a cubic surface) လေ့လာခဲ့ပြီး ထောင့်ကို ထိန်းသိမ်းထားသော အသွင်ပြောင်းခြင်းဖြစ်သည့် (angle-preserving transformation) ပြောင်းပြန်လှန် ဂျီဩမေတြီ (inversive geometry) ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ် <math>P</math> နှင့် <math>P'</math> တို့သည် အချင်းဝက် (radius) <math>r</math> ရှိပြီး ဗဟို <math>O</math> ၌ရှိသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် စပ်လျဉ်း၍ အချင်းချင်း ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည် (inverse)။ ၎င်းတို့သည် <math>(OP)(OP') = r^2</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို ယူလီယပ်စ် ပလွတ်ကာ (Julius Plücker) က ပြန်လည်အသက်ဝင်စေခဲ့ပြီး သူသည် ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အတိုကောက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို (abridged notation) တီထွင်ခဲ့သည်။ ပလွတ်ကာ၊ ဩဂတ်စ် ဖာဒီနန် မိုးဘီးယပ်စ် (August Ferdinand Möbius)၊ ကားလ် ဝီလ်ဟမ် ဖွိုင်ယာဘတ် (Karl Wilhelm Feuerbach) နှင့် အက်တီယန် ဘိုဘီလီယာ (Étienne Bobillier) တို့သည် တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ (homogeneous coordinates) ကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို[[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]]တွင် <math>t = 0</math> သည် အနန္တရှိ မျဉ်းကို (line at infinity) ကိုယ်စားပြုသည်။ ပလွတ်ကာသည် မျဉ်း ကိုဩဒိနိတ်များ (line coordinates) ကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် <math>(u, v, w)</math> ဖြစ်ကြပြီး မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များဟူသော သဘောတရားကို အမှတ်တစ်ခုကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဟူသော ဒွန်တွဲသဘောတရားအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးခဲ့သည်။ ၁၈၃၄ ခုနှစ်တွင် သူသည် ရိုးရိုးဆုံမှတ်များနှင့် ရိုးရိုးအချွန်မှတ်များသာ ရှိသော ဆမခွဲနိုင်သော ပရိုဂျက်တစ် ပြင်ညီမျဉ်းကွေး (irreducible projective plane curve) တစ်ခု၏ အဆင့် <math>n</math>၊ အတန်းအစား (class) <math>m</math>၊ ဆုံမှတ်များ (nodes) <math>\delta</math>၊ အချွန်မှတ်များ (cusps) <math>\kappa</math>၊ ငြိမ်နေသော ထိမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အကွေ့မှတ်များ (stationary tangents/inflections) <math>\iota</math> နှင့် ထိမျဉ်းနှစ်ထပ်များ (bitangents) <math>\tau</math> တို့ကို ဆက်စပ်ပေးသော ညီမျှခြင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ :<math>m = n(n - 1) - 2\delta - 3\kappa \quad \text{and} \quad n = m(m - 1) - 2\tau - 3\iota</math> :<math>\iota = 3n(n - 2) - 6\delta - 8\kappa \quad \text{and} \quad \kappa = 3m(m - 2) - 6\tau - 8\iota</math> ယူကလစ်၏ ပဉ္စမမြောက် ကြိုတင်အဆိုကို (Fifth Postulate) သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းမှုသည် ၎င်းမပါဘဲ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှု (consistent) ရှိသော ဂျီဩမေတြီများ တည်ရှိနိုင်ကြောင်းကို သင်္ချာပညာရှင်များက ပြသနိုင်ခဲ့ချိန်တွင် အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ဤအချက်ကို စောစီးစွာကတည်းက သီးသန့် အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော် နီကိုလိုင်း အိုင်ဗန်နိုဗစ်ချ် လိုဘာချက်ဗ်စကီး (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) သည် ၁၈၂၉ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ ယာနို့စ် ဘိုလိုင် (János Bolyai) သည် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း ယူကလစ် မဟုတ်သော ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ၏ (non-Euclidean hyperbolic geometry) ပထမဆုံး ပုံစံတကျ စနစ်များကို ထုတ်ဝေခဲ့ကြသည်။ ဤဂျီဩမေတြီတွင် တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်ပေါင်းလဒ်သည် (angle sum) ၁၈၀ ဒီဂရီထက် တိကျစွာ လျော့နည်းသည်။ ယူဂျင်နီယို ဘယ်လ်ထရာမီ (Eugenio Beltrami) သည် ၁၈၆၈ ခုနှစ်တွင် ဆူဒိုစက်လုံးမျက်နှာပြင် (pseudosphere) ပေါ်တွင် ဤဂျီဩမေတြီကို ဒေသအလိုက် လက်တွေ့ဖော်ဆောင်ခဲ့ပြီး အပိတ်ပြား မော်ဒယ်မှတစ်ဆင့် ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့သည်။ [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) ကို ၁၈၂၇ ခုနှစ်တွင် ဂေါက်စ်က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သူသည် ဂေါက်ရှန်း ကွေးညွှတ်မှု (Gaussian curvature) <math>K</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး ကွေးနေသော ကိန်းရှင်ကြားခံ မျက်နှာပြင်တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) သည် နှစ်ထပ်ကိန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံ (quadratic differential form) <math>ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2</math> အပေါ် မူတည်ကြောင်းကို အတည်ပြုခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) ၏ ၁၈၅၄ ခုနှစ် ဟာဘီလီတေးရှင်း ဟောပြောချက်သည် ၎င်းကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော မန်နီဖိုးများအထိ (n-dimensional manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် သူ၏ အာလန်ဂန် အစီအစဉ် (Erlanger Programm) မှတစ်ဆင့် ဤကွဲပြားနေသော ဂျီဩမေတြီများကို ပေါင်းစပ်ခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီကို တိကျသော အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (invariant properties) အား လေ့လာခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ - တည်ဆောက်ပုံများ၊ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များနှင့် နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Abstract Algebra: Structures, Noncommutative Systems, and Axiomatization) === [[File:Arthur_Cayley.jpg|right|thumb|220px|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Hermann_Grassmann_etching.jpg|right|thumb|220px|ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|220px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Noether.jpg|right|thumb|220px|အမ်မီ နိုသာ (1900)]] ဆယ့်ကိုးရာစုနှင့် နှစ်ဆယ်ရာစုများအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာသည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းမှ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures)၊ တွက်ချက်မှုများ (operations) နှင့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) တို့ကို သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်။ ယင်းက [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (fields) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းနိုင်ရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာ၏ (symbolic algebra) အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ဂျော့ချ် ပီးကော့ (George Peacock) နှင့် ဩဂတ်စတပ်စ် ဒီ မော်ဂန် (Augustus De Morgan) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ပီးကော့သည် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (arithmetical algebra) သင်္ကေတ အက္ခရာသင်္ချာမှ ခွဲခြားပြသခဲ့သည်။ ဒီ မော်ဂန်ကမူ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ကေတများသည် (operational symbols) အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်းများသာဖြစ်ကြောင်း (arbitrary abstractions) ငြင်းဆိုခဲ့သည်။ ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် ယုတ္တိဗေဒနှင့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာကို (algebra of logic) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် စကြဝဠာ အစု (universal set) ကို <math>1</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ဗလာစု (null set) ကို <math>0</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ပေါင်းစပ်စု (union) ကို <math>+</math> ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ကို <math>\times</math> ဖြင့်လည်းကောင်း သတ်မှတ်ပြသခဲ့ပြီး ထပ်တူရပေး နိယာမ (idempotent law) <math>x^2 = x</math> ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဖလှယ်၍မရသော စနစ်များ (noncommutative systems) သည် ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလျံ ရိုဝမ် ဟာမီလ်တန် (William Rowan Hamilton) က မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law of multiplication) ကို စွန့်လွှတ်ကာ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကို တီထွင်လိုက်ချိန်တွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ :<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math> :<math>ij = k = -ji, \quad jk = i = -kj, \quad ki = j = -ik</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဟာမန် ဂရပ်စ်မန်း (Hermann Grassmann) သည် <math>n</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော မျဉ်းဖြောင့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (linear vector spaces) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး [[ကေးလီ-ဟာမီလ်တန် သီအိုရမ်|ကေးလီ-ဟာမီလ်တန် သီအိုရမ်ကို]] ဖော်ထုတ်၍ <math>2 \times 2</math> ကိန်းအုံများအတွက် သက်သေပြခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းတွင် ဂျိမ်းစ် ဂျိုးဆက် ဆေးလ်ဗက်စတာ (James Joseph Sylvester) သည် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (invariant theory) ကို မြှင့်တင်ပေးခဲ့သည်။ ဘင်ဂျမင် ပီးယားစ် (Benjamin Peirce) နှင့် ချားလ်စ် ဆန်ဒါးစ် ပီးယားစ် (Charles Sanders Peirce) တို့သည် မျဉ်းဖြောင့် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] အက္ခရာသင်္ချာများ (linear associative algebras) ကို ဆက်လက် အမျိုးအစားခွဲခြားခဲ့ကြသည်။ ယင်း၏ အထွတ်အထိပ်ရလဒ်အနေဖြင့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) နှင့် ကွာတာနီယွန်များသည်သာလျှင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ကိန်းစစ် ဖက်စပ်ရ အစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဤအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း သီအိုရမ်ကို (classification theorem) ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် (Ferdinand Georg Frobenius) က ၁၈၇၇ ခုနှစ်တွင်လည်းကောင်း၊ စီ အက်စ် ပီးယားစ်က ၁၈၈၁ ခုနှစ်တွင် သီးခြားစီလည်းကောင်း ပုံစံတကျ အတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အုပ်စုများ၊ ကွင်းများနှင့် ဖီးလ်ဒ်များကို သဘောတရားအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခြင်းက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) ကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အချိုးညီမှုများနှင့် (symmetries) ချိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ကိန်းရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရရန်မှာ ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) အုပ်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) သည် ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓ]]ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique prime factorization) ကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]]ရင်းများ (algebraic integers) ၏ ကွင်းများတွင် အိုင်ဒီးလ်များကို (ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းတွင် ဂျေ အိတ်ချ် အမ် ဝက်ဒါဘန်း (J. H. M. Wedderburn) သည် ဆီမီးရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာများအတွက် (semisimple algebras) တည်ဆောက်ပုံ သီအိုရမ်များကို (structure theorems) ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ အန်းစ် ရှတိုင်းနစ်ဇ် (Ernst Steinitz) သည် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) ကို နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) သည် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေများ (ascending chain conditions) ကို အသုံးပြု၍ နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော ကွင်းသီအိုရီ (axiomatic ring theory) ကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ဂေါ့လော့ ဖရေဂါ (Gottlob Frege) နှင့် ဂျူဆက်ပီ ပီယာနို (Giuseppe Peano) တို့က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဖရေဂါသည် ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ယုတ္တိဗေဒမှ ဆင်းသက်ရယူရန် ကြိုးစားခဲ့ပြီး ပီယာနိုသည် [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အတွက် နဂိုမှန်အဆို အခြေခံအုတ်မြစ်ကို (axiomatic foundation) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ - တိကျသေချာမှု၊ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်များ၊ နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Analysis: Rigor, Real and Complex Variables, and Measure Theory) === [[File:Bernhard_Riemann_3.jpg|right|thumb|220px|ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (1862)]] [[File:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|right|thumb|220px| ကော်ချီ၏ ကျောက်ပုံနှိပ်ပုံ (1840)]] ကဲကုလပ် (calculus) သည် ၁၉ ရာစုတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များမှ တိကျသေချာသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (rigorous mathematical analysis) သို့ ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။ ဤအပြောင်းအလဲသည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် စုဆုံမှတ်များကို (limits) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများကို (logical circularity) ဖယ်ရှားရန် လိုအပ်ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာရခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="MB_Ch23">{{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011 |chapter=23}}</ref> ၁၈၆၉ ခုနှစ်တွင် ချားလ်စ် မေရေး (Charles Méray) ကလည်းကောင်း၊ ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် အခြားသင်္ချာပညာရှင်များကလည်းကောင်း ကိန်းစစ်များအတွက် သီးခြားလွတ်လပ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass)၊ ဟိုင်းနရစ် အေဒူအာ့တ် ဟိုင်းနား (Heinrich Eduard Heine) နှင့် ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) တို့သည် မေရေးနည်းတူ ကိန်းစစ်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] စုဆုံ ကိန်းစဉ်များ (convergent sequences of rational numbers) သို့မဟုတ် အခြေခံ ကိန်းစဉ်များကို (fundamental sequences) အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်းသည် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းကို (Dedekind Cut) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို]] (irrationalities) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းအားလုံးကို ဘုံမပါသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (disjoint subsets) နှစ်ခုအဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို (complex analysis) အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) က စနစ်တကျ တိုးတက်စေခဲ့သည်။ သူသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို (Cauchy-Riemann differential equations) ဆင်းသက်ရယူခဲ့သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများမှာ <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math> ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် သူသည် အကြွင်း ကဲကုလပ်နှင့်အတူ (residue calculus) ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ဟိုလိုမောဖစ် ဖန်ရှင်များအတွက် ကော်ချီ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ်ကို (Cauchy's integral theorem) <math>\oint f(z)\,dz = 0</math> သက်သေပြခဲ့သည်။ ဘန်းဟတ် ရီးမန်း (Bernhard Riemann) သည် တန်ဖိုးများစွာရှိသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (multivalued functions) တစ်ပြေးညီဖြစ်စေရန် (uniformize) ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များမှတစ်ဆင့် (Riemann surfaces) တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ချဉ်းကပ်နည်းတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် ဇီတာ ဖန်ရှင် (zeta function) <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}</math> ၏ သုညမှတ်များနှင့် ပတ်သက်သော ရီးမန်း ယူဆချက်ကိုလည်း (Hypothesis) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်သည် ဤဖီးလ်ဒ်ကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆက်လက်တည်ရှိခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် (analytic continuation) တင်းကျပ်စွာ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ခေတ်သစ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) နှင့် အတိုင်းအတာ သီအိုရီတို့သည် (measure theory) အီမီးလ် ဘိုရဲလ် (Émile Borel) မှတစ်ဆင့် တိုးတက်လာခဲ့သည်။ သူသည် ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုကို (countable additivity) အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) ပေါ်တွင် အတိုင်းအတာ သီအိုရီကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) သည်လည်း ဤနယ်ပယ်ကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး သူသည် ၁၉၀၂ ခုနှစ်တွင် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်ကို (Lebesgue integral) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ လီဘက်ဂ်သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ထက် ပုံရိပ်အစုကို (range) ပိုမိုသေးငယ်စွာ ထပ်မံပိုင်းခြားခြင်းအားဖြင့် အလွန်အမင်း [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များကို]] (discontinuous functions) အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (integrability) ရှိစေခဲ့သည်။ ယင်းက [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်|ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်ကို]] (Fundamental Theorem of Calculus) ချဲ့ထွင်ပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Topology and Functional Analysis) === [[File:Curie_and_Poincare_1911_Solvay.jpg|right|thumb|220px|ဆိုးလ်ဗေး ညီလာခံတွင် မာရီ ကျူရီ နှင့် ပွန်ကာရေးတို့ စကားပြောဆိုနေစဉ် (1911)]] [[File:Hilbert.jpg|right|thumb|220px|ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)]] [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Topology) သည် နှစ်ဆယ်ရာစု သင်္ချာတွင် အဓိကကျသော ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အွန်ရီ ပွန်ကာရေး (Henri Poincaré) သည် ၁၈၉၅ ခုနှစ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (algebraic topology) တည်ထောင်ခဲ့သည်။ သူသည် အရိုးရှင်းဆုံးပုံ ဟိုမိုလော်ဂျီကို (simplicial homology) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ဗက်တီ ကိန်းများကို (Betti numbers) အသုံးပြု၍ ဗဟုဂံပုံသေနည်းကို (polyhedral formula) ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာရှိ မန်နီဖိုးများအထိ (manifolds) ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ထို့အပြင် သူသည် အခြေခံအုပ်စုကို (fundamental group) လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သူ၏ ပွန်ကာရေး ဟိုမိုလော်ဂျီ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Poincaré homology sphere) ကို ဖော်ထုတ်မှုသည် ပွန်ကာရေး ယူဆချက်ဆီသို့ (Poincaré conjecture) ဦးတည်စေခဲ့သည်။ အယ်လ် အီး ဂျေ ဘရောင်းဝါး (L. E. J. Brouwer) သည် အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (fixed-point theorem) အပါအဝင် အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရမ်များကို (topological invariance theorems) ဆက်လက် သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[အစုသီအိုရီ]]အခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီကို (Point-set topology) မောရစ် ဖရေးရှေး (Maurice Fréchet) နှင့် ဖဲလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) တို့က တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ဖရေးရှေးသည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို]] (metric spaces) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) နှင့် ခွဲခြားခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများကို (separation axioms) အသုံးပြု၍ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် (topological spaces) နဂိုမှန်အဆို စနစ်ကို (axiomatic system) ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည်လည်း (functional analysis) တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများကို (inner product spaces) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ စတီဖန် ဘာနက် (Stefan Banach) သည် ပြည့်စုံသော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို]] (complete normed vector spaces) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ လော်ရင့် ရွှာ့ဇ် (Laurent Schwartz) ၏ ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီသည် (theory of distributions) ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာကဲ့သို့ (Dirac delta) ယေဘုယျပြုထားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] (generalized functions) တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === နှစ်ဆယ်ရာစု ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းခြင်း - ဘော်ဘာကီ၊ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Twentieth-Century Synthesis: Bourbaki, Category Theory, and Algebraic Geometry) === [[File:Weil.jpg|right|thumb|220px|အန်ဒရေး ဗေးလ် (1956)]] [[File:NBourbaki 3.png|right|thumb|220px|ဘော်ဘာကီ ညီလာခံ (1951)]] ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်သည် သရုပ်မဲ့ တည်ဆောက်ပုံများ (abstract structures) နှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဆက်စပ်မှုများ (categorical relationships) ကို အလေးပေးခြင်းဖြင့် အရင်ကမရှိဖူးသော ပေါင်းစပ်ညီညွတ်မှုကို ရရှိခဲ့သည်။ ၁၉၃၄ ခုနှစ်မှစတင်၍ ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင်များ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့သည် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ဟူသော ကလောင်အမည်ဖြင့် စာပေထုတ်ဝေလျက် အတွဲများစွာပါဝင်သော Éléments de mathématique (သင်္ချာ၏ အခြေခံများ) ကို ရေးသားပြုစုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ နည်းစနစ်သည် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (axiomatic method) ကို တင်းကျပ်စွာ လိုက်နာမှုနှင့် ယေဘုယျ တည်ဆောက်ပုံများမှ (general structures) တိကျသော အသုံးချမှုများဆီသို့ (specific applications) ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တိုးတက်မှုကို (logical progression) အလေးပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (Category theory) ကို ဆင်မြူရယ် အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Samuel Eilenberg) နှင့် ဆောင်းဒါးစ် မက်လိန်း (Saunders Mac Lane) တို့က ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် တည်ထောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်ခွဲများကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်များကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန် ကတ်တဂိုရီများ (categories)၊ [[ဖန်တာ|ဖန်တာများ]] (functors) နှင့် [[သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း|သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (natural transformations) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် အွန်ရီ ကာတန် (Henri Cartan) နှင့် အိုင်လန်ဘာ့ဂ်တို့သည် ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ကို ဖန်တီးရန် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) နှင့် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တို့ကို ပေါင်းစပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဤကာလအတွင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Algebraic geometry) သည် တော်လှန်ပြောင်းလဲခြင်း ခံခဲ့ရသည်။ အော်စကာ ဇာရစ်စကီး (Oscar Zariski)၊ ဘီ အယ်လ် ဗန် ဒါ ဗေဒင် (B. L. van der Waerden) နှင့် အန်ဒရေး ဗေးလ် (André Weil) တို့သည် ဤဘာသာရပ်ခွဲကို တိကျသေချာသော [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (rigorous commutative algebra) ဖြင့် အခြေခံချပေးခဲ့ကြသည်။ ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များနှင့် ၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ယန် လီရေး (Jean Leray)၊ ယန်-ပီယာ ဆဲရ် (Jean-Pierre Serre) နှင့် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) တို့သည် [[အစည်း|အစည်းများ]] (sheaves)၊ စကင်းမ်များ (schemes)၊ တိုပို့စ်များ (topoi) နှင့် အေတဲလ် ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (étale cohomology) ဟူသော ဘာသာစကားမှတစ်ဆင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို လုံးဝအသစ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ဤမူဘောင်သည် ပီယာ ဒေလင်း (Pierre Deligne) အား ၁၉၇၄ ခုနှစ်တွင် အနက်ရှိုင်းဆုံးသော ဗေးလ် ယူဆချက်များကို သက်သေပြရန် လုပ်ဆောင်နိုင်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === ယုတ္တိဗေဒ၊ အခြေခံအုတ်မြစ်များနှင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာ (Logic, Foundations, and Computational Mathematics) === [[File:1925 kurt gödel (cropped).png|right|thumb|220px|ကာ့တ် ဂိုဒယ် (1925)]] [[File:Alan_Turing_portré.jpg|right|thumb|220px|အလန် ကျူးရင်း (1930s)]] ၁၉၀၀ ပြည့်နှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) ၏ အခြေခံဆိုင်ရာ ပြဿနာများ (foundational problems) နှစ်ဆယ့်သုံးခု တင်ပြချက်မှ ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုခံရသော ၂၀ ရာစုသည် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) နှင့် တွက်ချက်ခြင်း (computation) ဆိုင်ရာ အခြေခံ မေးခွန်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ယုတ္တိဗေဒ (logic) တွင် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုများမှ (logical axioms) ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို ဆင်းသက်ရယူရန် ဘာထရန် ရပ်ဆဲလ် (Bertrand Russell) နှင့် အဲလ်ဖရက် နော့သ် ဝှိုက်ဟတ် (Alfred North Whitehead) တို့၏ ကြိုးပမ်းမှုများသည် ကာ့တ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ ၁၉၃၁ ခုနှစ် မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (Incompleteness Theorems) ကြောင့် အနှောင့်အယှက်ဖြစ်စေခဲ့သည်။ မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ပုံစံတကျ နဂိုမှန်အဆိုစနစ်မဆို (consistent formal axiomatic system) အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို (basic arithmetic) လုပ်ဆောင်နိုင်သောအခါ ၎င်းသည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော အဆိုများကို (undecidable propositions) ပါဝင်စေပြီး ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (own consistency) သက်သေမပြနိုင်ကြောင်း ဂိုဒယ်က ပြသခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်၏ ပထမဆုံး ပြဿနာဖြစ်သော ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) ၏ တိုးတက်မှုသည် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ဂိုဒယ်က ၎င်း၏ နှိုင်းရ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို (relative consistency) သက်သေပြခဲ့ပြီး ပေါလ် ကိုဟင် (Paul Cohen) က ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် အတင်းအကျပ် ပြောင်းလဲခြင်းနည်းလမ်းကို (method of forcing) အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို (independence) သက်သေပြခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> တွက်ချက်မှု သီအိုရီ (theory of computation) ကို အလန် ကျူးရင်း (Alan Turing) က ၁၉၃၆ ခုနှစ်တွင် ပုံစံတကျ တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ကျူးရင်းသည် တွက်ချက်ခြင်းအတွက် စကြဝဠာ သဘောတရားရေးရာ မော်ဒယ်ကို (universal theoretical model) မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤမော်ဒယ်ကို ကျူးရင်း စက်ဟု (Turing machine) သိကြသည်။ ထို့ပြင် သူသည် ရပ်တန့်ခြင်း ပြဿနာ၏ (halting problem) ဖြေရှင်း၍မရနိုင်စွမ်းကို (insolvability) သက်သေပြခဲ့ပြီး ယင်းက ဟီလ်ဘတ်၏ ဆုံးဖြတ်ချက် ပြဿနာကို (decision problem) ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) သည် အီလက်ထရောနစ် ကွန်ပျူတာ တည်ဆောက်ပုံ (electronic computer architecture)၊ ဂိမ်းသီအိုရီ (game theory) နှင့် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) ကို ရှေ့ဆောင်ဖန်တီးခြင်းဖြင့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ သင်္ချာကို ဆက်လက်တိုးတက်စေခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မကြာသေးမီ ဆယ်စုနှစ်များအတွင်း နာမည်ကြီး ယူဆချက်များအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်း (Resolution of Famous Conjectures in Recent Decades) === [[File:Richard_Hamilton_1982_(reprint;_headshot).jpg|right|thumb|220px|ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (1982)]] [[File:Perelman, Grigori (1966) Upright.jpg|right|thumb|220px|ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (1993)]] [[File:Andrew Wiles, Boston 1995.JPG|right|thumb|220px|အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (1995)]] နှစ်ဆယ်ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် နှစ်ဆယ့်တစ်ရာစု အစောပိုင်းကာလများကို အဆင့်မြင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မူဘောင်များနှင့် (advanced analytical frameworks) ကွန်ပျူတာ အကူအညီများမှတစ်ဆင့် (computer assistance) ကာလရှည်ကြာ တည်ရှိနေခဲ့သော သမိုင်းဝင် ပြဿနာများအား ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းဖြင့် အမှတ်အသားပြုခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ၁၈၅၂ ခုနှစ်တွင် စတင်ယူဆခဲ့ပြီးဖြစ်သော အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ် (Four-Color Theorem) သည် ကဲနတ် အက်ပယ်လ် (Kenneth Appel) နှင့် ဝုဖ်ဂန်း ဟာကင် (Wolfgang Haken) တို့က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရှောင်လွှဲ၍မရသော ဖွဲ့စည်းပုံများကို (unavoidable configurations) အကဲဖြတ်ရန်အတွက် အားလွှဲပြောင်းခြင်း နည်းလမ်းကို (method of discharging) အသုံးပြုခြင်းသည် ပထမဆုံး အဓိကကျသော ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်အဖြစ် (computer-assisted mathematical proof) မှတ်တမ်းဝင်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နောက်ပိုင်းတွင် ရောဘတ်ဆန်၊ ဆန်ဒါးစ်၊ ဆီးမိုး နှင့် သောမတ်စ် တို့က ၁၉၉၇ ခုနှစ်တွင် ပိုမိုရိုးရှင်းလွယ်ကူအောင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၅ ခုနှစ်တွင် ကော့ခ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်ကို အသုံးပြု၍ ဂွန်သီယာ နှင့် ဗာနာ တို့က ပုံစံတကျ စစ်ဆေးအတည်ပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="MB_Ch24" /> အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification of Finite Simple Groups) သည် ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာသော ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ ကြိုးပမ်းမှုအပြီးတွင် ပြီးမြောက်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဖိုက်-သွန်မဆင် မကိန်းအစဉ် သီအိုရမ်က (Odd-Order Theorem) မကိန်းအစဉ်ရှိသော အဆုံးရှိအုပ်စုတိုင်းသည် ဖြေရှင်းရအုပ်စု (solvable group) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့ပြီးနောက် အဆိုပါ အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းက မည်သည့် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်း[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite simple group) မဆို [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group)၊ [[အလှည့်ကျ အုပ်စု]] (alternating group)၊ လီ-အမျိုးအစား (Lie-type) သို့မဟုတ် ဖရိုဖရဲဖြစ်နေသော အုပ်စုများ (sporadic groups) ၂၆ ခုထဲမှ တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။ နောက်ဆုံး ဆူဒို-ပါးလွှာသော ကွာဟချက်ကို (quasi-thin gap) အက်ရှ်ဘာကာ နှင့် စမစ်သ် တို့က ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် ပိတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat’s Last Theorem) ကို နှစ်ပေါင်း ၃၅၀ ကျော်ကြာပြီးနောက် ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဂါဟတ် ဖရေး (Gerhard Frey) ၏ မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (non-modular elliptic curves) ဖွဲ့စည်းမှုနှင့် ကန် ရီဘတ် (Ken Ribet) ၏ <math>\varepsilon</math>-ယူဆချက် (<math>\varepsilon</math>-conjecture) သက်သေပြချက်တို့ကို အခြေခံ၍ အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် (Andrew Wiles) က ပြသခဲ့ရာတွင် ဆီမီး-တည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် (semistable elliptic curves) တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ်ကို တိုက်ရိုက် သက်ရောက်မှုရှိကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ်သည် ၁၉၉၅ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။ သူ့ကို ရစ်ချတ် တေလာ (Richard Taylor) က ကူညီပေးခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> ပွန်ကာရေး ယူဆချက် (Poincaré Conjecture) ကို ဝီလီယံ သာစတန် (William Thurston) ၏ ဂျီဩမေတြီအသွင်ပြောင်းခြင်း ယူဆချက် (Geometrization Conjecture) နှင့် ရစ်ချတ် ဟာမီလ်တန် (Richard Hamilton) ၏ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ညီမျှခြင်း (Ricci flow equation) <math>\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2 R_{ij}</math> မိတ်ဆက်မှုတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ဂရီဂေါ်ရီ ယာကော့ဗ်လီဗစ်ချ် ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Yakovlevich Perelman) သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်နှင့် ၂၀၀၃ ခုနှစ်အတွင်း ခွဲစိတ်မှု နည်းပညာများကို (surgery techniques) အသုံးပြု၍ ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို (Ricci flow singularities) ကျော်လွှားခြင်းဖြင့် သက်သေပြချက်ကို အပြီးသတ်နိုင်ခဲ့သည်။<ref name="MB_Ch24" /> === မြန်မာ့ သင်္ချာသမိုင်း (History of Burmese Mathematics) === မြန်မာ့သိပ္ပံပညာနှင့် သင်္ချာသမိုင်းကြောင်းသည် ရှေးခေတ်ကာလများကတည်းက အခြေတကျ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ခဲ့သည်။ အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်ထားသော သင်္ချာကျမ်းများအနက် တစ်ခုမှာ ၁၄ ရာစုနှစ်ဦးပိုင်းတွင် ဇင်းမယ်မြို့၌ ရှင်ဉာဏဝိလာသ ရေးသားပြုစုခဲ့သော "သင်္ချာပကာသက" ကျမ်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကျမ်းကို အခြေခံ၍ ခရစ်နှစ် ၁၅၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ပလိပ်ရွာအရှေ့ရှိ မြို့သစ်မြို့နေ ရှင်သီရိမင်္ဂလက "သင်္ချာပကာသကဋီကာ" ကို ထပ်မံပြုစုခဲ့ပြီး ညောင်ကန်ဆရာတော် ရှင်ကဝိန္ဒ၏ တပည့် ရှင်မုနိန္ဒသာရက "သင်္ချာပကာသက စာကိုယ်နိဿယ" ကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဘိုးတော်ဘုရား (ဗဒုံမင်း) လက်ထက် (၁၇၈၂–၁၈၁၉) တွင် အိန္ဒိယနှင့် သီဟိုဠ်တို့မှ ကျမ်းပေါင်း ၂၀၀ ကျော်ကို ယူဆောင်လာခဲ့ပြီး မြန်မာဘာသာသို့ ပြန်ဆိုစေခဲ့ရာမှ သင်္ချာပညာရပ်သည် ပိုမိုထွန်းကားလာခဲ့သည်။ ထင်ရှားသော သမိုင်းဝင်အထောက်အထားတစ်ခုမှာ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သော "ဂဏန်းသင်္ချာ ပညာဝဍ္ဎနကျမ်း" ဖြစ်သည်။ ဤကျမ်းကို အပိုင်းလေးပိုင်းခွဲခြားထားပြီး တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပုစ္ဆာပေါင်း ၁၇၅ ပုဒ်ကို တွက်နည်းအဖြေများနှင့်တကွ စနစ်တကျ ပြုစုထားသည်။ ပထမပိုင်းတွင် အလေးချိန်၊ အကွာအဝေး၊ ထုထည် (Volume) နှင့် အချိန်နာရီတို့ကို တိုင်းတာသည့် ယူနစ် (Unit) ဆိုင်ရာ ကိန်းသင်္ချာအကြောင်းကို ဖော်ပြထားသည်။ ထို့အပြင် "ခု" မှစ၍ သုည ၁၄၀ လုံးပါဝင်သော "အသင်္ချေ" တိုင်အောင် ရေတွက်ခေါ်ဝေါ်သည့် နည်းစနစ်များ ပါဝင်သည်။ ဒုတိယပိုင်းတွင် လုပ်ငန်းခွင်သုံး တိုင်းထွာတွက်ချက်နည်းများကို "ဂဏန်းဆယ်ပါး" ခေါင်းစဉ်ဖြင့် ဖော်ပြထားပြီး စပါး၊ ဆန်၊ ရွှေ၊ ငွေ၊ ဆီမီး၊ ရထား၊ သစ်ပင်၊ လှေ၊ သားရေနှင့် မြေစသည့် ကဏ္ဍများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရွှေကို အဆင့်ဆင့် သန့်စင်ရာတွင် ဇမ္ဗူရဇ်ရွှေကဲ့သို့ အသန့်စင်ဆုံးအဆင့်ရရှိရန် တွက်ချက်မှုများ၊ သစ်ပင်၏ အမြင့်ကို ဂျီဩမေတြီ (Geometry) အသုံးပြု၍ ရှာဖွေခြင်းများနှင့် မြေကွက်များ၏ ဧရိယာ (Area) တွက်ချက်ခြင်းများ ပါဝင်သည်။ တတိယပိုင်းတွင် ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (Arithmetic progression)၊ ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric progression)၊ မရေမရာ ညီမျှခြင်း (Indeterminate equation)၊ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (Algebraic equation)၊ ဆခွဲကိန်း (Factor) နှင့် ဘုံသုဉ်းကိန်းရှာဖွေခြင်းစသည့် သင်္ချာနည်းစနစ် ၁၆ မျိုးကို ပုစ္ဆာပေါင်း ၇၆ ပုဒ်ဖြင့် ရှင်းလင်းထားသည်။ စတုတ္ထပိုင်းတွင် ရှေ့ပိုင်းနည်းစနစ်များကို အခြေခံထားသော လက်တွေ့အသုံးချ ပုစ္ဆာ ၃၀ ပုဒ် ပါဝင်သည်။ ဤကျမ်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို လေ့လာခြင်းအားဖြင့် ရှေးခေတ်မြန်မာတို့သည် စက်ဝိုင်း၊ စက်လုံး၊ ထုလုံးနှင့် ထုချွန်များ၏ ဧရိယာနှင့် ထုထည်ရှာဖွေခြင်းမှစ၍ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများအထိ အဆင့်မြင့်မားသော သင်္ချာပညာကို လက်တွေ့အသုံးချနိုင်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။<ref name="MyoThantTyn">ဒေါက်တာ မျိုးသန့်တင်။ ''ရှေးခေတ် မြန်မာသိပ္ပံကျမ်းများ''။</ref> == ကိုးကား == {{Reflist|2}} * {{Citation |last=Adamson |first=Iain T. |title=Introduction to Field Theory |publisher=Dover Publications |date=2007 |isbn=978-0-486-46266-0}} * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |date=1974 |isbn=978-0-201-00288-1}} * {{Citation |last=Courant |first=Richard |title=Differential and Integral Calculus |volume=1 |edition=2nd |publisher=Interscience |date=1937 |isbn=978-4-87187-838-8}} * {{Citation |last=Eves |first=Howard |title=A Survey of Geometry |volume=1 |publisher=Allyn and Bacon |date=1963}} * {{Citation |last=Faber |first=Richard L. |title=Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry |publisher=Marcel Dekker |date=1983 |isbn=0-8247-1748-1}} * {{Citation |last=Greenberg |first=Marvin Jay |title=Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History |edition=4th |publisher=W. H. Freeman |date=2007 |isbn=978-0-7167-9948-1}} * {{Citation |last=Knopfmacher |first=John |title=Abstract Analytic Number Theory |edition=2nd |publisher=Dover Publications |date=1990 |isbn=0-486-66344-2 |zbl=0743.11002}} * {{Citation |last1=Merzbach |first1=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2011}} * {{Citation |last1=Ricci |first1=Gregorio |last2=Levi-Civita |first2=Tullio |title=Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications |journal=Mathematische Annalen |volume=54 |issue=1–2 |pages=125–201 |date=1900 |doi=10.1007/BF01454201}} * {{Citation |last=Tennison |first=Barry R. |title=Sheaf Theory |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |volume=20 |publisher=Cambridge University Press |date=1975 |isbn=978-0-521-20784-3 |mr=0404390}} * {{Citation |last=Whitehead |first=Carol |title=Guide to Abstract Algebra |edition=2nd |publisher=Palgrave |date=2002 |isbn=978-0-333-79447-0}} [[Category:သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ပင်မ အကြောင်းအရာ ဆောင်းပါးများ]] 9m2bki276xrjo89naa5d8jax6aam3pe 0 4465 1060848 704344 2026-10-31T12:51:43Z Koparlay 143382 /* */ 1060848 wikitext text/x-wiki [[အနော်ရထာ]]လက်ထက်မှ စတင်ကာ အင်အားကြီးခဲ့သော ပုဂံသည် ၁၃ရာစုအလယ်မှစကာ အကြောင်းအမျိုးမျိုးကြောင့် အင်အားနည်းပါးလာပြီး နောက်ဆုံးတွင် မြောက်ဘက်မှတရုတ်နိုင်ငံကို သိမ်းပိုက်ပြီး တောင်ဘက်သို့ ဆက်လက်နယ်ချဲ့လာသည့် မွန်ဂိုတို့၏ တိုက်ခိုက်ဖျက်စီးမှုကြောင့် ပျက်စီးခြင်းသို့ရောက်ရသည်။ မွန်ဂိုတို့ အပြန်တွင် ကျစွာမင်း ကိုပုဂံတွင် နန်းတင်ခဲ့သော်လည်း အမှန်တကယ် ဩဇာကြီးနေသည် မှာ မင်းညီနောင် သုံးဦးဖြစ်သည်။ ပုဂံမင်းများ လုံးဝ ဩဇာမရှိတော့ချိန်တွင် ထိုမင်းညီနောင်သုံးဦးမှ ပင်းယမြို့တည်တစ်စင်းရှင်သီဟသူမှဆင်းသက်လာသည့် သတိုးမင်းဖျားက [[အင်းဝ]]တွင် နန်းတည်ကာ အင်းဝမင်းဆက်(၁၃၆၄-၁၅၂၇/၁၅၅၅)ကို တည်ထောင်သည်။ တည်ထောင်စတွင် အထက်မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဒေသများကို သိမ်းသွင်းနိုင်ကာ အင်အားကြီး မင်းနေပြည်တော်ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒုတိယ နန်းတက်သည့် မင်းကြီးစွာစော်ကဲ လက်ထက်မှစကာ အောက်အရပ် ရာမညမှ မွန်ပဒေသရာဇ်များ မညီညွှတ်သည်ကို အခွင့်ကောင်းယူသည့် အနေဖြင့် စစ်ပြုခဲ့သည်။ ထိုမှအစပြုကာ [[အင်းဝ-ဟံသာဝတီ အနှစ်လေးဆယ်စစ်]] ဖြစ်ပွားသည်။ မင်းကြီးစွာစော်ကဲနောက် နန်းတက်သည့် [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား|ဆင်ဖြူရှင်]]၊ [[ပထမမင်းခေါင်|ဘုရင်မင်းခေါင်]] တို့လက်ထက်များအထိတိုင် တိုက်ခိုက်ခဲ့ရသည့် စစ်ပွဲဖြစ်ပေသည်။ ထိုမင်းများနောက် နန်းတက်သည့် မင်းများလက်ထက်တွင်လည်း တိုင်းပြည်အေးချမ်းရေးကို လိုလားစွာ ဆောင်ရွက်ကြသည်မရှိသလောက် နည်းပါးသဖြင့် အချိန်ကြာသည် နှင့်အမျှ အင်အားဆုတ်ယုတ်လာပြီး နောက်ဆုံးတွင် လက်အောက်ခံ ပဒေသရာဇ်များဖြစ်သည့် ရှမ်းစော်ဘွားများအင်အားကြီးလာသည်။ နောက်ဆုံးမင်းဖြစ်သည့် ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ လက်ထက်တွင် ပြည်မင်း သတိုးမင်းစော နှင့် ရှမ်းစော်ဘွား မိုးညှင်းစလုံ၊၎င်း၏သား သိုဟန်ဘွားတို့က အင်းဝကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်လိုက်ကြသည်။ ထိုနောက်သိုဟန်ဘွား နန်းတက်သည်။ သိုဟန်ဘွားလုပ်ကြံခံရပြီးနောက် နန်းတက်သည့် အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်းနှင့် မိုးဗြဲနရပတိတို့ လက်ထက်များတွင် ဟံသာဝတီကို သိမ်းပိုက်လိုက်သည့် တောင်ငူမှ [[တပင်ရွှေထီး]]နှင့် စစ်ပြိုင်ရန်ကြိုးပမ်းသော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။ ထိုနောက်နန်းတက်သည့် [[စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ]] လက်ထက်တွင် [[ဘုရင့်နောင်]]၏ လက်သို့ ကျရောက်ရတော့သည်။ အင်းဝမင်းဆက်ကို လေ့လာလျှင် စတင်တည်ထောင်သူ သတိုးမင်းဖျားမှ ကလေးကျေးတောင်ညို ထိကို '''သတိုးဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ မိုးညှင်းသတိုးမှ ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ ထိကို '''မိုးညှင်းဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ သိုဟန်ဘွား၊အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်းနှင့် မိုးဗြဲနရပတိ သုံးဆက်ကို '''ရှမ်းဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ(စည်သူကျော်ထင်)ထိ သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော် အချို့သမိုင်းပညာရှင်များက စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ နှင့်အတူ ဘုရင့်နောင်၊နန္ဒဘုရင်တို့လက်ထက်များတွင် လက်အောက်ခံအဖြစ် နန်းတင်သည့် သတိုးမင်းစော၊ [[မင်းလက်ယာ]] နှင့် မင်းရဲကျော်စွာတို့ကို မြန်မာဆက်ဟူ၍လည်းကောင်း ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။ '''နှင်းကျသည် အင်းဝတည်''' [[ဆိုရိုးစကား]]အရ (နှင်း = ၇၊ ကျ = ၂၊ သည် = ၆) ၇၂၆-ခုနှစ်၌ တည်ထောင်သည်။ <ref>ဂီတစာဆို ယုဝစိုးမြင့် ရေး၊ ကူနီနန်းမှ ပခန်းကျော် နှင့် နတ်သမိုင်းစစ်တမ်းများ၊ ၁၉၈၇-ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ၊ စာ- ၁၅</ref> ==အင်းဝမင်းများ== ===ပထမအင်းဝခေတ် မင်းဆက်များ=== # [[သတိုးမင်းဖျား]] (၁၃၆၄-၁၃၆၇) # [[မင်းကြီးစွာစော်ကဲ]] (၁၃၆၇-၁၄၀ဝ) # [[အင်းဝဆင်ဖြူရှင်|ဆင်ဖြူရှင် တရဖျား]] (၁၄၀ဝ) # [[ပထမမင်းခေါင်|ပထမ မင်းခေါင်ကြီး]] (၁၄၀ဝ--၁၄၂၂) # [[သီဟသူ(အင်းဝ)| ဆင်ဖြူရှင် သီဟသူ]] (၁၄၂၂-၁၄၂၅) # [[မင်းလှငယ်]] (၁၄၂၅) # [[ကလေးကျေးတောင်ညို]] (၁၄၂၅-၁၄၂၆) # [[မိုးညှင်းသတိုး| မိုးညှင်းမင်းတရား]] (၁၄၂၆-၁၄၃၉) # [[မင်းရဲကျော်စွာ (အင်းဝ)|မင်းရဲကျော်စွာ]] (၁၄၃၉-၁၄၄၂) # [[နရပတိ (အင်းဝ)]] (၁၄၄၂-၁၄၆၈) # [[ပြည်စုန်သီဟသူ| ပြည်စုန်မင်းသီဟသူ]] (၁၄၆၈-၁၄၈၀) # [[ဒုတိယ မင်းခေါင်]] (၁၄၈၀-၁၅၀၁) # [[ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ]] (၁၅၀၁-၁၅၂၇) # [[သိုဟန်ဘွား]] (၁၅၂၇-၁၅၄၂) # [[အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်း]] (၁၅၄၂-၁၅၄၅) # [[မိုးဗြဲနရပတိ]] (၁၅၄၅-၁၅၅၁) # [[စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ| စည်သူကျော်ထင်]] (၁၅၅၁-၁၅၅၅) ===ဒုတိယ အင်းဝခေတ်၊ ညောင်ရမ်းခေတ်=== # [[ညောင်ရမ်းမင်းတရားကြီး|မင်းရဲနန္ဒမိတ်]] (၁၅၉၇-၁၆၀၅) # [[အနောက်ဘက်လွန်မင်း]] (၁၆၀၅-၁၆၂၈) # [[သာလွန်မင်း]] (၁၆၂၈-၁၆၄၈) # [[ပင်းတလဲမင်း]] (၁၆၄၈-၁၆၆၁) # [[ပြည်မင်း]] (၁၆၆၁-၁၆၇၂) # [[နရာဝရ|နရာဝရမင်း]] (၁၆၇၂) # [[မင်းရဲကျော်ထင်]] (၁၆၇၂-၁၆၉၈) # [[စနေမင်း]] (၁၆၉၈-၁၇၁၄) # [[တနင်္ဂနွေမင်း]] (၁၇၁၄-၁၇၃၃) # [[မဟာဓမ္မရာဇာဓိပတိ|ဟံသာဝတီပါမင်း]] (၁၇၃၃-၁၇၅၁) {{ညောင်ရမ်းခေတ်}} ===တတိယ အင်းဝခေတ်=== # [[ဆင်ဖြူရှင်မင်း]] (၁၇၆၃-၁၇၇၆) # [[စဉ့်ကူးမင်း]] (၁၇၇၆-၁၇၈၂) # [[ဖောင်းကားစား မောင်မောင်]] (၁၇၈၂) (၇)ရက် ===စတုတ္ထအင်းဝခေတ်=== # [[ဘကြီးတော်(စစ်ကိုင်းမင်း)]] (၁၈၁၉-၁၈၃၇) {{ကုန်းဘောင်ခေတ်}} ==ဘုရင်ခံများ== # သတိုးမင်းစော # မင်းလက်ယာ # မင်းရဲကျော်စွာ သတိုးမင်းစော၊၎င်းနောက် [[နန္ဒဘုရင်]] နန်းစောင့်ထားသည့် မင်းလက်ယာ နှင့် နန္ဒဘုရင်၏သားတော် အိမ်ရှေ့မင်းဖြစ်လာမည့် မင်းရဲကျော်စွာတို့ကို ပါရေတွက်ကာ မင်းဆက် ၂၀ အထိလည်း ပြဆိုတတ်သည်။ {{မြန်မာနိုင်ငံ}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:အင်းဝခေတ်]] 6g5cop5lhvlcud8ikfocoknba3mr3h2 1060849 1060848 2026-10-31T12:52:42Z Koparlay 143382 /* */ 1060849 wikitext text/x-wiki [[အနော်ရထာ]]လက်ထက်မှ စတင်ကာ အင်အားကြီးခဲ့သော ပုဂံသည် ၁၃ရာစုအလယ်မှစကာ အကြောင်းအမျိုးမျိုးကြောင့် အင်အားနည်းပါးလာပြီး နောက်ဆုံးတွင် မြောက်ဘက်မှတရုတ်နိုင်ငံကို သိမ်းပိုက်ပြီး တောင်ဘက်သို့ ဆက်လက်နယ်ချဲ့လာသည့် မွန်ဂိုတို့၏ တိုက်ခိုက်ဖျက်စီးမှုကြောင့် ပျက်စီးခြင်းသို့ရောက်ရသည်။ မွန်ဂိုတို့ အပြန်တွင် ကျစွာမင်း ကိုပုဂံတွင် နန်းတင်ခဲ့သော်လည်း အမှန်တကယ် ဩဇာကြီးနေသည် မှာ မင်းညီနောင် သုံးဦးဖြစ်သည်။ ပုဂံမင်းများ လုံးဝ ဩဇာမရှိတော့ချိန်တွင် ထိုမင်းညီနောင်သုံးဦးမှ ပင်းယမြို့တည်တစ်စီးရှင်သီဟသူမှဆင်းသက်လာသည့် သတိုးမင်းဖျားက [[အင်းဝ]]တွင် နန်းတည်ကာ အင်းဝမင်းဆက်(၁၃၆၄-၁၅၂၇/၁၅၅၅)ကို တည်ထောင်သည်။ တည်ထောင်စတွင် အထက်မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဒေသများကို သိမ်းသွင်းနိုင်ကာ အင်အားကြီး မင်းနေပြည်တော်ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဒုတိယ နန်းတက်သည့် မင်းကြီးစွာစော်ကဲ လက်ထက်မှစကာ အောက်အရပ် ရာမညမှ မွန်ပဒေသရာဇ်များ မညီညွှတ်သည်ကို အခွင့်ကောင်းယူသည့် အနေဖြင့် စစ်ပြုခဲ့သည်။ ထိုမှအစပြုကာ [[အင်းဝ-ဟံသာဝတီ အနှစ်လေးဆယ်စစ်]] ဖြစ်ပွားသည်။ မင်းကြီးစွာစော်ကဲနောက် နန်းတက်သည့် [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား|ဆင်ဖြူရှင်]]၊ [[ပထမမင်းခေါင်|ဘုရင်မင်းခေါင်]] တို့လက်ထက်များအထိတိုင် တိုက်ခိုက်ခဲ့ရသည့် စစ်ပွဲဖြစ်ပေသည်။ ထိုမင်းများနောက် နန်းတက်သည့် မင်းများလက်ထက်တွင်လည်း တိုင်းပြည်အေးချမ်းရေးကို လိုလားစွာ ဆောင်ရွက်ကြသည်မရှိသလောက် နည်းပါးသဖြင့် အချိန်ကြာသည် နှင့်အမျှ အင်အားဆုတ်ယုတ်လာပြီး နောက်ဆုံးတွင် လက်အောက်ခံ ပဒေသရာဇ်များဖြစ်သည့် ရှမ်းစော်ဘွားများအင်အားကြီးလာသည်။ နောက်ဆုံးမင်းဖြစ်သည့် ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ လက်ထက်တွင် ပြည်မင်း သတိုးမင်းစော နှင့် ရှမ်းစော်ဘွား မိုးညှင်းစလုံ၊၎င်း၏သား သိုဟန်ဘွားတို့က အင်းဝကို တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်လိုက်ကြသည်။ ထိုနောက်သိုဟန်ဘွား နန်းတက်သည်။ သိုဟန်ဘွားလုပ်ကြံခံရပြီးနောက် နန်းတက်သည့် အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်းနှင့် မိုးဗြဲနရပတိတို့ လက်ထက်များတွင် ဟံသာဝတီကို သိမ်းပိုက်လိုက်သည့် တောင်ငူမှ [[တပင်ရွှေထီး]]နှင့် စစ်ပြိုင်ရန်ကြိုးပမ်းသော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။ ထိုနောက်နန်းတက်သည့် [[စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ]] လက်ထက်တွင် [[ဘုရင့်နောင်]]၏ လက်သို့ ကျရောက်ရတော့သည်။ အင်းဝမင်းဆက်ကို လေ့လာလျှင် စတင်တည်ထောင်သူ သတိုးမင်းဖျားမှ ကလေးကျေးတောင်ညို ထိကို '''သတိုးဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ မိုးညှင်းသတိုးမှ ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ ထိကို '''မိုးညှင်းဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ သိုဟန်ဘွား၊အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်းနှင့် မိုးဗြဲနရပတိ သုံးဆက်ကို '''ရှမ်းဆက်'''ဟူ၍လည်းကောင်း၊ စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ(စည်သူကျော်ထင်)ထိ သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော် အချို့သမိုင်းပညာရှင်များက စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ နှင့်အတူ ဘုရင့်နောင်၊နန္ဒဘုရင်တို့လက်ထက်များတွင် လက်အောက်ခံအဖြစ် နန်းတင်သည့် သတိုးမင်းစော၊ [[မင်းလက်ယာ]] နှင့် မင်းရဲကျော်စွာတို့ကို မြန်မာဆက်ဟူ၍လည်းကောင်း ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။ '''နှင်းကျသည် အင်းဝတည်''' [[ဆိုရိုးစကား]]အရ (နှင်း = ၇၊ ကျ = ၂၊ သည် = ၆) ၇၂၆-ခုနှစ်၌ တည်ထောင်သည်။ <ref>ဂီတစာဆို ယုဝစိုးမြင့် ရေး၊ ကူနီနန်းမှ ပခန်းကျော် နှင့် နတ်သမိုင်းစစ်တမ်းများ၊ ၁၉၈၇-ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ၊ စာ- ၁၅</ref> ==အင်းဝမင်းများ== ===ပထမအင်းဝခေတ် မင်းဆက်များ=== # [[သတိုးမင်းဖျား]] (၁၃၆၄-၁၃၆၇) # [[မင်းကြီးစွာစော်ကဲ]] (၁၃၆၇-၁၄၀ဝ) # [[အင်းဝဆင်ဖြူရှင်|ဆင်ဖြူရှင် တရဖျား]] (၁၄၀ဝ) # [[ပထမမင်းခေါင်|ပထမ မင်းခေါင်ကြီး]] (၁၄၀ဝ--၁၄၂၂) # [[သီဟသူ(အင်းဝ)| ဆင်ဖြူရှင် သီဟသူ]] (၁၄၂၂-၁၄၂၅) # [[မင်းလှငယ်]] (၁၄၂၅) # [[ကလေးကျေးတောင်ညို]] (၁၄၂၅-၁၄၂၆) # [[မိုးညှင်းသတိုး| မိုးညှင်းမင်းတရား]] (၁၄၂၆-၁၄၃၉) # [[မင်းရဲကျော်စွာ (အင်းဝ)|မင်းရဲကျော်စွာ]] (၁၄၃၉-၁၄၄၂) # [[နရပတိ (အင်းဝ)]] (၁၄၄၂-၁၄၆၈) # [[ပြည်စုန်သီဟသူ| ပြည်စုန်မင်းသီဟသူ]] (၁၄၆၈-၁၄၈၀) # [[ဒုတိယ မင်းခေါင်]] (၁၄၈၀-၁၅၀၁) # [[ရွှေနန်းကျော့ရှင်နရပတိ]] (၁၅၀၁-၁၅၂၇) # [[သိုဟန်ဘွား]] (၁၅၂၇-၁၅၄၂) # [[အုန်းဘောင်ခုံမှိုင်း]] (၁၅၄၂-၁၅၄၅) # [[မိုးဗြဲနရပတိ]] (၁၅၄၅-၁၅၅၁) # [[စစ်ကိုင်းနရပတိစည်သူ| စည်သူကျော်ထင်]] (၁၅၅၁-၁၅၅၅) ===ဒုတိယ အင်းဝခေတ်၊ ညောင်ရမ်းခေတ်=== # [[ညောင်ရမ်းမင်းတရားကြီး|မင်းရဲနန္ဒမိတ်]] (၁၅၉၇-၁၆၀၅) # [[အနောက်ဘက်လွန်မင်း]] (၁၆၀၅-၁၆၂၈) # [[သာလွန်မင်း]] (၁၆၂၈-၁၆၄၈) # [[ပင်းတလဲမင်း]] (၁၆၄၈-၁၆၆၁) # [[ပြည်မင်း]] (၁၆၆၁-၁၆၇၂) # [[နရာဝရ|နရာဝရမင်း]] (၁၆၇၂) # [[မင်းရဲကျော်ထင်]] (၁၆၇၂-၁၆၉၈) # [[စနေမင်း]] (၁၆၉၈-၁၇၁၄) # [[တနင်္ဂနွေမင်း]] (၁၇၁၄-၁၇၃၃) # [[မဟာဓမ္မရာဇာဓိပတိ|ဟံသာဝတီပါမင်း]] (၁၇၃၃-၁၇၅၁) {{ညောင်ရမ်းခေတ်}} ===တတိယ အင်းဝခေတ်=== # [[ဆင်ဖြူရှင်မင်း]] (၁၇၆၃-၁၇၇၆) # [[စဉ့်ကူးမင်း]] (၁၇၇၆-၁၇၈၂) # [[ဖောင်းကားစား မောင်မောင်]] (၁၇၈၂) (၇)ရက် ===စတုတ္ထအင်းဝခေတ်=== # [[ဘကြီးတော်(စစ်ကိုင်းမင်း)]] (၁၈၁၉-၁၈၃၇) {{ကုန်းဘောင်ခေတ်}} ==ဘုရင်ခံများ== # သတိုးမင်းစော # မင်းလက်ယာ # မင်းရဲကျော်စွာ သတိုးမင်းစော၊၎င်းနောက် [[နန္ဒဘုရင်]] နန်းစောင့်ထားသည့် မင်းလက်ယာ နှင့် နန္ဒဘုရင်၏သားတော် အိမ်ရှေ့မင်းဖြစ်လာမည့် မင်းရဲကျော်စွာတို့ကို ပါရေတွက်ကာ မင်းဆက် ၂၀ အထိလည်း ပြဆိုတတ်သည်။ {{မြန်မာနိုင်ငံ}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:အင်းဝခေတ်]] jkw4oy0h5axhxo1zy6zh5sjuzgycwa9 0 4564 1060844 727482 2026-10-31T12:46:10Z Koparlay 143382 /* */ 1060844 wikitext text/x-wiki '''သတိုးမင်းဖျား''' (၁၃၄၅-၁၃၆၇)ကို [[အင်းဝမင်းဆက်]]အား စတင်တည်ထောင်သူ၊ [[အင်းဝမြို့]]ကို စတင်တည်ထောင်သူအဖြစ် အသိများကြသည်။ [[ပင်းယမြို့]]နှင့် [[စစ်ကိုင်းမြို့]]များကို မြောက်ပိုင်းဒေသမှ ရှမ်းအကြီးအကဲ '''သိုချီဘွား'''က တိုက်ခိုက်ဖျက်ဆီးပစ်ခဲ့သည့်နောက် နှစ်ပေါင်း ၅၀မျှ မငြိမ်မသက်ဖြစ်နေသည့် မြန်မာနိုင်ငံအလယ်ပိုင်းကို ပြန်လည်သိမ်းသွင်းခဲ့သည်။ တိုတောင်းလှသည့် နန်းသက်(၃နှစ်)အတွင်းတွင် နယ်ပယ်ချဲ့ထွင်ရေးနှင့် တိုင်းပြည်တည်ငြိမ်ရေးကို အထူးအလေးပေး ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ သတိုးမင်းဖျားသည် တကောင်းမင်းဆက် သတိုးဆင်ထိန်းနှင့် [[စစ်ကိုင်းမြို့]]တည် [[အသင်္ခယာ စောယွန်း]]၏ သမီးတော် စိုးမင်းတို့၏ သာတော်ဖြစ်သည်။ မိခင်၏ အဘိုးမှာ [[ပင်းယမြို့]]တည် [[တစ်စီးရှင်သီဟသူ]]ဖြစ်သည်။ငယ်မည်မှာ ရာဟုလာ ဖြစ်ပြီး နောင်တွင် သတိုးမျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာ၍ သတိုးမင်းဖျားဟု တွင်သည်။ <ref>လယ်တီဦးလှပိုင်၊ စစ်ကိုင်းမြို့ ထူပါရုံဘုရားသမိုင်း၊ ၁၉၆၉၊ စာ-၂</ref> စစ်ကိုင်းတွင်ရှိနေစဉ်က ဘထွေးတော်သူ မင်းပြောက်က မြောက်ပိုင်းမှ စစ်ကိုင်းသို့ သိမ်းပိုက်ရန် ချီတက်လာသည့် သိုချီဘွား၏ တပ်များကို သတိုးမင်းဖျားဖြစ်လာမည့် '''ရာဟုလာ'''အား တကောင်းမှနေ၍ ခုခံရန် တာဝန်ပေးသည်။ ရွပ်ရွပ်ချွံချွံ ခုခံသော်လည်း အင်အားချင်းမမျှသဖြင့် ဆုတ်ခွာရလေသည်။ မင်းပြောက်လည်း အမျက်ထွက်သဖြင့် ရာဟုလာအား ကြခတ်ဝရာ သို့သံခြေချင်းခတ်၍ ပို့လေသည်။ နောင် ရှမ်းတို့ စစ်ကိုင်းအားတိုက်လာလျှင် မင်းပြောက်လည်း ကြခတ်ဝရာသို့ တိမ်းရှောင်လာလျှင် အငြိုးဖြင့် သတ်လေသည်။ ထို့နောက် စစ်ကိုင်းသို့သွားကာ သတိုးမင်းဖျားဘွဲ့ဖြင့် မင်းပြုသည်။ တစ်လအကြာတွင် ပင်းယမှ နရသူမရှိသည့်နောက် နန်းတက်လာသည့် [[ဥဇနာပြောင်]]အား တိုက်ခိုက်နန်းချကာ ပင်းယ-စစ်ကိုင်း နှစ်ပြည်ထောင်တွင် မင်းလုပ်လေသည်။ ဥဇနာပြောင်၏ မိဖုရား [[စောဥမ္မာ]]ကို မိဖုရားဆက်မြှောက်သည်။ (စောဥမ္မာသည် [[မင်းကြီးစွာစော်ကဲ]]၏ နှမတော်ဖြစ်သည်။) ==အသက်အငယ်ဆုံး မြို့တည်မင်း== သက္ကရာဇ်(၇၂၆)ခုနှစ် ကဆုန်လ၌ စစ်ကိုင်းပျက်၍၊ နယုန်လ၌ ပင်းယမြို့ ပျက်လေသည်။ ပင်းယနှင့် စစ်ကိုင်းကို သိမ်းပြီး တပေါင်းလတွင် ရတနာပုရ အဝမြို့ဟု သမုတ်လျက် ထီးသစ်နန်းသစ်၊ မြို့တော်သစ်တည်လေသည်။ သတိုးမင်းဖျားကို အသက်အငယ်ဆုံး မြို့တည်မင်းအဖြစ် ရှေးမှတ်တမ်းများတွင် ဖော်ပြထားသည်။ အရှင်စန္ဒလင်္ကာ ပြုစုသော မဏိရတနာပုံကျမ်း၌ အင်းဝမြို့တည်စဉ်အခါက သတိုးမင်းဖျားသည် အသက် (၁၉)နှစ်အရွယ်သာ ရှိသေးသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ စစ်ကိုင်းမြို့တည် အသင်္ခယာ စောယွန်းသည်လည်း စစ်ကိုင်းမြို့တည်စဉ်က အသက် (၂၀)သာ ရှိသေးသည်ဟု ဆိုကြသည်။ အသင်္ခယာ စောယွန်းသည် သတိုးမင်းဖျား၏ အဖိုးတော်စပ်ခြင်းကြောင့် ထိုမင်းနှစ်ပါးသည် မြန်မာ့သမိုင်းတွင် အသက်အငယ်ဆုံး မြို့တည်နန်းတည် မြေးအဖိုးမင်းနှစ်ပါးအဖြစ် စံတင်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ နန်းတက်ချိန်တွင် နန်းတော်တည်ဆောက်ထားသည်မှာ စေ့စပ်သေသပ်ခြင်းမရှိသည်ကိုတွေ့သဖြင့် “တရိန်းမစပ်” ဟုဆိုလေသည်။ ထိုစကားကိုကြားသော ပုဏ္ဏားပရောဟိတ်နှင့် ပညာရှိတို့က နန်းသက် သုံးနှစ်သာခံမည်ဟု ကြို၍ နိမိတ်ဖတ်လေသည်။ <ref>ဗိုလ်ရှိတ်(ရတနာပူရ) ရေး အင်းဝနန်းစံ မင်းများနှင့် သမိုင်းဝင်နေရာများ၊ ၂၀၁၆-ခုနှစ်၊ ဇူလိုင်လ၊ စာ-၆၁</ref> အရည်းကြီးရှင်ယောင်များအား သုတ်သင်ပုံ၊ [[သူခိုးကြီးငတက်ပြား]]အားဖမ်းဆီးပုံ နှင့် ဓားပြတစ်ဦးအား သတ်ဖြတ်ပြီးနောက် အလောင်း၏ ရင်ဘတ်ပေါ်တွင် ထမင်းစားပြပုံများ ကို မြန်မာရာဇဝင်များတွင် ဖွဲ့နွဲ့ရေးသားဖော်ပြကြသည်။ စကုစား သိင်္ခဗိုလ်ပုန်ကန်သည်ကို သွားရောက်နှိမ်နှင်းနေစဉ် [[ကျောက်ရောဂါ]]ဖြင့် လွန်လေသည်။ ကွယ်လွန်ခါနီးတွင် မိဖုရား[[စောဥမ္မာ]]ကို နှမြောသဖြင့် အတွင်းတော်သား ငနုအား သွားရောက်ကွပ်မျက်စေသည်။ သတိုးမင်းဖျားလွန်လျှင် မှူးမတ်တို့က ရမည်းသင်းစား သီလဝကို နန်းအပ်ကြသော်လည်း သီလဝက '''မိမိမှာ တစ်သက်တွင် သုံးခါသာ ရယ်ဖူးသဖြင့် ဣန္ဒြေကြီးလွန်းလှသည်။ မင်းအဖြစ်နှင့်မတန်၊ ထို့ကြောင့် သတိုးမင်းဖျား၏ ယောက်ဖတော်၊ မင်းရိုးမင်းမျိုးလည်းမှန် ပြီး အပေးအကမ်းရက် ရောသူ အမြင့်စား တရဖျား စွာစော်ကဲကို နန်းအပ်ပါ။''' ဟုဆိုသဖြင့် မင်းကြီးစွာစော်ကဲ အင်းဝထီးနန်းကို စိုးစံသည်။ == ရည်ညွှန်းကိုးကား == * မသက်ဇင်ဘလော့ [http://www.mathetzin.com/search/label/%E1%80%95%E1်%80%AF%E1%80%82%E1%80%B6%E1%80%B1%E1%80%81%E1%80%90%E1%80%B9%20%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%80%E1%80%B9%E1%80%9E%E1%80%AF%E1%80%A5%E1%80%B9%E1%80%B8%E1%81%BF%E1%80%95%E1%80%AE%E1%80%B8%20%E1%80%B1%E1%80%94%E1%80%AC%E1%80%80%E1%80%B9%20%E1%80%BB%E1%80%99%E1%80%94%E1%80%B9%E1%80%99%E1%80%AC%E1%82%8F%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%B9%E1%80%84%E1%80%B6]{{Dead link|date=December 2021 }} == ကိုးကား == {{reflist}} {{အင်းဝခေတ်}} [[ကဏ္ဍ:အင်းဝမင်းဆက်]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] l4r8eno4yffo739bptlnd1u90i66gvc 0 4565 1060850 685868 2026-10-31T12:54:39Z Koparlay 143382 /* */ 1060850 wikitext text/x-wiki '''မင်းကြီးစွာစော်ကဲ''' (၁၃၃၀-၁၄၀၀) သည် အင်းဝ ပထမမင်းဆက်တွင် ဒုတိယနန်းစံသောဘုရင်ဖြစ်သည်။ မယ်တော်မှာ ပုဂံတရုတ်ပြေးမင်း၏သားတော် သီဟသူနှင့် [[မင်းညီနောင်သုံးဦး|မင်းညီနောင် ၃ ပါး]]၏နှမတော် တို့သင့်ရာတွင် မြင်သည့်သမီးတော် ရှင်မြတ်လှဖြစ်၍ ခမည်းတော်မှာ နန်းကျကျော်စွာ၏သားတော် သရက် မင်းရှင်စောဖြစ်သည်။ အင်းဝဘုရင် [[သတိုးမင်းဖျား]] ၏ နှမရှင်စောကြီးနှင့်ထိမ်းမြားသဖြင့် ဘုရင်၏ယောက်ဖတော်ဖြစ်ရာ သတိုးမင်းဖျား နတ်ရွာစံသောအခါ ၇၂၉ ခုနှစ်တွင် ပြည်သူအများကကြိုက်ညီ ၍ မင်းမြှောက်သဖြင့် ထီးနန်းကိုရသည်။ မင်းမဖြစ်မီက စစ်ကိုင်းဆင်ဖြူရှင်ထံ ခစားခဲ့ဖူး၍ တလုပ်မြို့၊ ရမည်းသင်းမြို့ တို့ကိုစားရသည်။ သတိုးမင်းဖျားလက်ထက်တွင် အမြင့်မြို့ကို စားရသဖြင့် အမြင့်မင်းဟုလည်း တွင်သည်။ သတိုးမင်းဖျားက မင်းကြီးစွာစော်ကဲ၏နှမ စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်သဖြင့်လည်း အပြန်အလှန် ယောက်ဖတော်စပ်သည်။ သတိုးမင်းဖျားနတ်ရွာစံသော် မှူးမတ်တို့က နန်းလျာမရှိသဖြင့် ရမည်းသင်းစား သီလဝကို နန်းအပ်ကြသော်လည်း သီလဝက ငြင်းဆန်ကာ ဘုရင့်ယောက်ဖဖြစ်သည့် အမြင့်စား တရဖျားစော်ကဲအား နန်းအပ်ရန်ပြောဆိုသဖြင့် စွာစော်ကဲ အင်းဝတွင်နန်းတက်ရသည်။ မရည်ရွယ်ဘဲ ထီးနန်းကို ရသဖြင့် ''မရွယ်ဘဲနှင့် စော်ကဲမင်းဖြစ်သည်'' ဟု ဆိုရိုးစကား တွင်သည်။ မင်းဖြစ်သော် စစ်ကိုင်း စိုးမင်းကိုယ်တော်ကြီး၏ သမီး စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်သည်။ ကန်စွန်းနိမ့်ရွာသူ မိဘေဇာကိုလည်း မိဖုရား မြှောက်သဖြင့် သားတော် မင်းဆွေ၊ မင်းသိဒ္ဓတ်နှင့် သမီးတော် ရှင်မြတ်လှကို ဖွားသည်။ မင်းဆွေမှာ အင်းဝ [[ပထမမင်းခေါင်]]အဖြစ် နန်းမွေဆက်ခံမည့်သူ ဖြစ်သည်။ မင်းကြီးစွာစော်ကဲသည် ကျောက်ဆည်ခရိုင် ဆီးတော်ဆည်နှင့် မိတ္ထိလာကန်တို့ကို ပြုပြင်ဆည်ဖို့သည်။ ထိုမင်းလက်ထက်တွင် လက်စွဲတော် ရာဇသင်္ကြံဘွဲ့ခံ ငမောက်နှင့် ပညာရှိအမတ် ဝန်စင်းရွာသား မင်းရာဇာတို့ ပေါ်ထွန်းသည်။ မွန်တို့နှင့် ၃ ကြိမ် စစ်တိုက်ရသည်။ <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၉)</ref> နန်းတက်ပြီးနောက် မွန်တို့ဒေသ ရာမညတွင် ဟံသာဝတီမှ ရာဇာဓိရာဇ်(ဗညားနွဲ့) နှင့် ဦးရီးတော်များမညီမညွှတ်ဖြစ်နေကြောင်းသိရပြီး မြောင်းမြစား လောက်ဖျားက ဟံသာဝတီကို အတူတကွပူးပေါင်းတိုက်ခိုက်ရန် စာပေးပို့ စည်းရုံးသောကြောင့် ဟံသာဝတီသို့ စစ်ချီလေသည်။ သို့ရာတွင် ငယ်ရွယ်ပြီး အစွမ်းအစရှိသူ ရာဇာဓိရာဇ်အား အနိုင်ရအောင်မစွမ်းဆောင်နိုင်ဘဲ တပ်ဆုတ်ပြန်ခဲ့ရသည်။ ထိုနောက် အင်းဝပိုင် ကူထွတ်(ယနေ့မြန်အောင်) နှင့် အလွဲတို့ကို ရာဇာဓိရာဇ်က လာရောက်တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်သဖြင့် ပြန်လည်တိုက်ခိုက်တွန်းလှန်သည်။ အမတ်များလျှောက်တင်မှုကြောင့် ရာဇာဓိရာဇ်အလျှော့ပေးကာ ကူထွတ်နှင့် အလွဲတို့ကို ပြန်လည်ပေးအပ်သဖြင့် သစ္စာပြုပြီး စစ်ပြေငြိမ်းကြသည်။ မွန်ဘုရင်ရာဇာဓိရာဇ်က ဘကြီးတော်ဟု ခေါ်ဆိုလေးမြတ်ခြင်းပြုသည်။ နန်းသက်တစ်လျှောက်တွင် နိုင်ငံတော် စည်ပင်သည်။ သက္ကရာဇ် ၇၆၂တွင် မင်းကြီး စွာစော်ကဲ နတ်ရွာစံပြီး သားတော် [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား]] နန်းတက်၏။ <ref>ရာဇာဓိရာဇ်အရေးတော်ပုံကျမ်း- [[ဒေါက်တာ နိုင်ပန်းလှ]]</ref> == ကြင်ဘက်များ == သီလဝ နှမ ခမည်းမိကို တောင်နန်းတင်သည်တွင် - # သား [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား|ဆင်ဖြူရှင် တရဖျား]] # နှမ မင်းပတ္တမြား၊ မြောက်သားမှာ တလုပ် ရာဇသူ # ညီမ စောစလာကဒေဝီ၊ မြောက်သားမှာ (စည်သူမင်းဦး သား စည်သူသမ္ဘဝ သား) မြင်စိုင်း စည်သူ # ညီမ မင်းခေါင်မယ်တော် # မောင် ရန်အောင်မင်းရဲ (ခမည်းတော်ရှိစဉ် လွန်) ရှင်စောကြီးကို နန်းတင်ရာ၌ - # သမီး စောမြတ်ကဲ (ခမည်းတော်ရှိစဉ် လွန်) # မောင် စောဆွေနှစ် စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်ရာ - # စောချမ်းသာ၊ မြောက်သားမှာ ဥဇနာ (အမျိုးအနွယ်ကို မဆို) # ကျော်စွာ (မထင်ရှား) စောတော်ဦး (ခေါ်) စောဦးကို နန်းတင်သည်တွင် - # စိုးမင်းဝိမလာဒေဝီ ကန်စွန်းနိမ့်ရွာသူ စောဘေဇာ၌ - # [[မင်းခေါင်ဘုရင်များ|မင်းဆွေ]] # မင်းသိဒ္ဓတ် # မင်းလှမြတ်၊ [[ရာဇာဓိရာဇ်]] မိဖုရား သုပဘာဒေဝီ == ကျမ်းကိုး == <references/> {{အင်းဝခေတ်}} [[ကဏ္ဍ:အင်းဝမင်းဆက်]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] szsv20e7i5k4ztyvo46qmd28ip83igy 1060855 1060850 2026-10-31T13:15:34Z Ninjastrikers 22896 [[Special:Contributions/Koparlay|Koparlay]] ([[User talk:Koparlay|ဆွေးနွေး]]) ၏ ပြင်ဆင်မှုကို [[User:2400:AC40:705:DF66:ED84:C7A8:124E:645D|2400:AC40:705:DF66:ED84:C7A8:124E:645D]] ၏ နောက်ဆုံးတည်းဖြတ်မူသို့ နောက်ပြန် ပြန်ပြင်ခဲ့သည် 685868 wikitext text/x-wiki '''မင်းကြီးစွာစော်ကဲ''' (၁၃၃၀-၁၄၀၀) သည် အင်းဝ ပထမမင်းဆက်တွင် ဒုတိယနန်းစံသောဘုရင်ဖြစ်သည်။ မယ်တော်မှာ ပုဂံတရုတ်ပြေးမင်း၏သားတော် သီဟသူနှင့် [[ရှမ်းညီနောင်သုံးဦး|ရှမ်းညီနောင် ၃ ပါး]]၏နှမတော် တို့သင့်ရာတွင် မြင်သည့်သမီးတော် ရှင်မြတ်လှဖြစ်၍ ခမည်းတော်မှာ နန်းကျကျော်စွာ၏သားတော် သရက် မင်းရှင်စောဖြစ်သည်။ အင်းဝဘုရင် [[သတိုးမင်းဖျား]] ၏ နှမရှင်စောကြီးနှင့်ထိမ်းမြားသဖြင့် ဘုရင်၏ယောက်ဖတော်ဖြစ်ရာ သတိုးမင်းဖျား နတ်ရွာစံသောအခါ ၇၂၉ ခုနှစ်တွင် ပြည်သူအများကကြိုက်ညီ ၍ မင်းမြှောက်သဖြင့် ထီးနန်းကိုရသည်။ မင်းမဖြစ်မီက စစ်ကိုင်းဆင်ဖြူရှင်ထံ ခစားခဲ့ဖူး၍ တလုပ်မြို့၊ ရမည်းသင်းမြို့ တို့ကိုစားရသည်။ သတိုးမင်းဖျားလက်ထက်တွင် အမြင့်မြို့ကို စားရသဖြင့် အမြင့်မင်းဟုလည်း တွင်သည်။ သတိုးမင်းဖျားက မင်းကြီးစွာစော်ကဲ၏နှမ စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်သဖြင့်လည်း အပြန်အလှန် ယောက်ဖတော်စပ်သည်။ သတိုးမင်းဖျားနတ်ရွာစံသော် မှူးမတ်တို့က နန်းလျာမရှိသဖြင့် ရမည်းသင်းစား သီလဝကို နန်းအပ်ကြသော်လည်း သီလဝက ငြင်းဆန်ကာ ဘုရင့်ယောက်ဖဖြစ်သည့် အမြင့်စား တရဖျားစော်ကဲအား နန်းအပ်ရန်ပြောဆိုသဖြင့် စွာစော်ကဲ အင်းဝတွင်နန်းတက်ရသည်။ မရည်ရွယ်ဘဲ ထီးနန်းကို ရသဖြင့် ''မရွယ်ဘဲနှင့် စော်ကဲမင်းဖြစ်သည်'' ဟု ဆိုရိုးစကား တွင်သည်။ မင်းဖြစ်သော် စစ်ကိုင်း စိုးမင်းကိုယ်တော်ကြီး၏ သမီး စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်သည်။ ကန်စွန်းနိမ့်ရွာသူ မိဘေဇာကိုလည်း မိဖုရား မြှောက်သဖြင့် သားတော် မင်းဆွေ၊ မင်းသိဒ္ဓတ်နှင့် သမီးတော် ရှင်မြတ်လှကို ဖွားသည်။ မင်းဆွေမှာ အင်းဝ [[ပထမမင်းခေါင်]]အဖြစ် နန်းမွေဆက်ခံမည့်သူ ဖြစ်သည်။ မင်းကြီးစွာစော်ကဲသည် ကျောက်ဆည်ခရိုင် ဆီးတော်ဆည်နှင့် မိတ္ထိလာကန်တို့ကို ပြုပြင်ဆည်ဖို့သည်။ ထိုမင်းလက်ထက်တွင် လက်စွဲတော် ရာဇသင်္ကြံဘွဲ့ခံ ငမောက်နှင့် ပညာရှိအမတ် ဝန်စင်းရွာသား မင်းရာဇာတို့ ပေါ်ထွန်းသည်။ မွန်တို့နှင့် ၃ ကြိမ် စစ်တိုက်ရသည်။ <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၉)</ref> နန်းတက်ပြီးနောက် မွန်တို့ဒေသ ရာမညတွင် ဟံသာဝတီမှ ရာဇာဓိရာဇ်(ဗညားနွဲ့) နှင့် ဦးရီးတော်များမညီမညွှတ်ဖြစ်နေကြောင်းသိရပြီး မြောင်းမြစား လောက်ဖျားက ဟံသာဝတီကို အတူတကွပူးပေါင်းတိုက်ခိုက်ရန် စာပေးပို့ စည်းရုံးသောကြောင့် ဟံသာဝတီသို့ စစ်ချီလေသည်။ သို့ရာတွင် ငယ်ရွယ်ပြီး အစွမ်းအစရှိသူ ရာဇာဓိရာဇ်အား အနိုင်ရအောင်မစွမ်းဆောင်နိုင်ဘဲ တပ်ဆုတ်ပြန်ခဲ့ရသည်။ ထိုနောက် အင်းဝပိုင် ကူထွတ်(ယနေ့မြန်အောင်) နှင့် အလွဲတို့ကို ရာဇာဓိရာဇ်က လာရောက်တိုက်ခိုက်သိမ်းပိုက်သဖြင့် ပြန်လည်တိုက်ခိုက်တွန်းလှန်သည်။ အမတ်များလျှောက်တင်မှုကြောင့် ရာဇာဓိရာဇ်အလျှော့ပေးကာ ကူထွတ်နှင့် အလွဲတို့ကို ပြန်လည်ပေးအပ်သဖြင့် သစ္စာပြုပြီး စစ်ပြေငြိမ်းကြသည်။ မွန်ဘုရင်ရာဇာဓိရာဇ်က ဘကြီးတော်ဟု ခေါ်ဆိုလေးမြတ်ခြင်းပြုသည်။ နန်းသက်တစ်လျှောက်တွင် နိုင်ငံတော် စည်ပင်သည်။ သက္ကရာဇ် ၇၆၂တွင် မင်းကြီး စွာစော်ကဲ နတ်ရွာစံပြီး သားတော် [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား]] နန်းတက်၏။ <ref>ရာဇာဓိရာဇ်အရေးတော်ပုံကျမ်း- [[ဒေါက်တာ နိုင်ပန်းလှ]]</ref> == ကြင်ဘက်များ == သီလဝ နှမ ခမည်းမိကို တောင်နန်းတင်သည်တွင် - # သား [[ဆင်ဖြူရှင်တရဖျား|ဆင်ဖြူရှင် တရဖျား]] # နှမ မင်းပတ္တမြား၊ မြောက်သားမှာ တလုပ် ရာဇသူ # ညီမ စောစလာကဒေဝီ၊ မြောက်သားမှာ (စည်သူမင်းဦး သား စည်သူသမ္ဘဝ သား) မြင်စိုင်း စည်သူ # ညီမ မင်းခေါင်မယ်တော် # မောင် ရန်အောင်မင်းရဲ (ခမည်းတော်ရှိစဉ် လွန်) ရှင်စောကြီးကို နန်းတင်ရာ၌ - # သမီး စောမြတ်ကဲ (ခမည်းတော်ရှိစဉ် လွန်) # မောင် စောဆွေနှစ် စောဥမ္မာကို မိဖုရားမြှောက်ရာ - # စောချမ်းသာ၊ မြောက်သားမှာ ဥဇနာ (အမျိုးအနွယ်ကို မဆို) # ကျော်စွာ (မထင်ရှား) စောတော်ဦး (ခေါ်) စောဦးကို နန်းတင်သည်တွင် - # စိုးမင်းဝိမလာဒေဝီ ကန်စွန်းနိမ့်ရွာသူ စောဘေဇာ၌ - # [[မင်းခေါင်ဘုရင်များ|မင်းဆွေ]] # မင်းသိဒ္ဓတ် # မင်းလှမြတ်၊ [[ရာဇာဓိရာဇ်]] မိဖုရား သုပဘာဒေဝီ == ကျမ်းကိုး == <references/> {{အင်းဝခေတ်}} [[ကဏ္ဍ:အင်းဝမင်းဆက်]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] b71wonk40dlaoet9wgbsagv60oror72 0 5948 1061005 1050574 2026-11-01T11:28:15Z Aye myint phyu 149046 /* */ စာအမှားပြင် 1061005 wikitext text/x-wiki {{Infobox military unit | unit_name = တပ်မတော် (လေ) | image = {{ubl |[[File: Emblem of the Myanmar Air force.svg|frameless|250px]]|အထိမ်းအမှတ်တံဆိပ် ---- |[[File:Emblem or Shoulder Sleeve Insignia of the Myanmar Air Force.svg|frameless|200px]]|လက်ရုံးတံဆိပ်}} | image_size = | caption = | start_date = ၁၅ ဒီဇင်ဘာ ၁၉၄၇<ref>{{cite web|title=Mynamar Air Force - Narrative History|url=http://www.aeroflight.co.uk/waf/aa-eastasia/burma/burma-af-home.htm|work=Aeroflight|accessdate=15 December 2013|archive-date=14 December 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20131214025513/http://www.aeroflight.co.uk/waf/aa-eastasia/burma/burma-af-home.htm|url-status=dead}}</ref> | country = {{flag|မြန်မာနိုင်ငံ}} | allegiance = | branch = [[လေတပ်]] | type = | role = ဝေဟင်ပိုင်နက်ကာကွယ်ရေး၊ လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး၊ ပြည်တွင်းပုန်ကန်မှု တန်ပြန်စစ်ဆင်ရေး | size = တပ်ဖွဲ့ဝင် ၂၃၀၀၀<br>[[လေယာဉ်]] ၂၈၁ စင်း<br>[[ရဟတ်ယာဉ်]] ၁၀၂ စင်း<br> စုစုပေါင်းအစင်းရေ ၃၈၃ စင်းခန့် | command_structure = {{Armed forces|Myanmar}} | garrison = ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(လေ)၊ စစ်ရုံး၊ [[နေပြည်တော်]] | garrison_label = ဌာနချုပ် | equipment = | equipment_label = | nickname = လေတပ်၊ အဲဖို့စ် | motto = {{ubl | ''တက်နိုင်ဖျားရောက်'' ၊ |''တောင်ပံဖြန့်ချိ အောင်ပွဲဆီသို့'' ၊ |''ဝေဟင်စိုးမိုးမည်'' ၊ }} | colors = | colors_label = | march = | mascot = | battles = | anniversaries = | decorations = | battle_honours = <!-- Commanders --> | commander1 = [[ရဲဝင်းဦး|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ရဲဝင်းဦး]] | commander1_label = [[တပ်မတော်ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်]] | commander2 = [[ထွန်းအောင်|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းအောင်]] | commander2_label = [[ကာကွယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန|ကာကွယ်ရေးဝန်ကြီး]] | commander3 = [[ထွန်းဝင်း|ဗိုလ်ချုပ်ကြီး ထွန်းဝင်း]] | commander3_label = [[ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)]] | commander4 = ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး လစ်လပ် | commander4_label = စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) | identification_symbol = [[File:Roundel of Myanmar.svg|130px]] | identification_symbol_label = စစ်လေယာဉ်တံဆိပ် | identification_symbol_2 = [[File:Air Force Ensign of Myanmar.svg|250px]] | identification_symbol_2_label = လေတပ်အလံ | identification_symbol_3 = [[File:Fin Flash of Myanmar.svg|100px]] | identification_symbol_3_label = လေယာဉ်အမြီး အမှတ်အသား | identification_symbol_4 = [[File:Air Force Ensign of Burma (1948-1974).svg|200px]] | identification_symbol_4_label = လေတပ်အလံဟောင်း (၁၉၄၈–၁၉၇၄) | aircraft_attack = [[:en:Nanchang Q-5|A-5M]], [[:en:Mil Mi-35|Mi-35]] | aircraft_bomber = [[:en:Nanchang Q-5|A-5M]] | aircraft_electronic = | aircraft_fighter = [[မစ်(ဂ်)-၂၉|Mikoyan MiG-29]], JF-17, [[ဆူခွိုင်း ၃၀|SU-30]] | aircraft_recon = [[:en:Soko G-4 Super Galeb|Soko G-4]] | aircraft_patrol = | aircraft_trainer = [[:en:Yak-130|Yak-130]],[[:en:Guizhou JL-9|FTC-2000G]], [[:en:Hongdu JL-8|K-8W]], [[:en:Grob G 120TP|G 120TP]], [[:en:HAL HJT-16 Kiran|HJT-16]] | aircraft_transport = [[:en:Shaanxi Y-8|Y-8D]], Beechcraft 1900, [[အေတီအာရ်-၄၂|ATR 42]] | aircraft_helicopter_attack = [[:en:Mil Mi-35|Mi-35]] | aircraft_helicopter = [[:en:Mil Mi-2|Mi-2]], [[:en:Mil |Mi-17]], [[:en:Kamov Ka-27|Ka-28]] }} '''တပ်မတော် (လေ)'''သည် မြန်မာ့[[တပ်မတော်]]၏ ဝေဟင် တိုက်ခိုက်ရေး အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို [[မြန်မာ့ပြည်တွင်းပဋိပက္ခများ|ပြည်တွင်းပုန်ကန်မှု]] တန်ပြန်တိုက်ခိုက်ရေးအတွက် အဓိက အသုံးပြုခဲ့ပြီး ၂၀၀၈ ခုနှစ် မေလက [[နာဂစ်မုန်တိုင်း]] တိုက်ခတ်မှုဖြစ်စဉ်အပြီးတွင် ကယ်ဆယ်ရေး တာဝန်များအတွက်ပါ အသုံးချလာခဲ့သည်။ ၂၀၂၁ ခုနှစ်မြန်မာ့တပ်မ‌တော်မှစစ်အာဏာသိမ်းမှုမှစ၍ မြန်မာ့လေတပ်မှ လေယာဉ်များကို အကြမ်းဖတ်သမားများအ‌ေခြပြုကျေးရွာများကိုလေကြောင်းတိုက်ခိုက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင်တွင် အသုံးပြုလာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/over-70-civilians-trapped-by-myanmar-junta-airstrikes-on-sagaing-village.html|title=Over 70 Civilians Trapped by Myanmar Junta Airstrikes on Sagaing Village|date=12 August 2022|website=The Irrawaddy}}</ref> ကိုလိုနီခေတ် ၁၉၄၀ ဇွန်လတွင် ‌ဗြိတိသျှတို့က ‌ဗမာ့အပျော်တမ်းလေတပ်ယူနစ် (Burma Volunteer Air Unit) ကို ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့ပြီး ၁၉၄၁ မတ်လခန့်တွင် ဗမာ့အပျော်တမ်းလေတပ် (Burma Volunteer Air Force) ဟူ၍အမည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ မြန်မာနိုင်ငံကို ဂျပန်တို့ဝင်ရောက်လာသည့် ၁၉၄၂ ၌ အင်္ဂလိပ်တို့တပ်ဆုတ်သွားသောအခါ အဆိုပါလေတပ်သည်လည်း ပါသွားခဲ့ရုံသာမက အခြားလေတပ်ယူနစ်အဖြစ်လည်း ပြောင်းလဲဖွဲ့စည်းခြင်းကိုခံခဲ့ရသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.rafmuseum.org.uk/research/online-exhibitions/never-forgotten-the-raf-in-the-far-east/smaller-national-groups/|title=Smaller National Groups|website=Royal Air Force Museum}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.aeroflight.co.uk/waf/aa-eastasia/burma/burma-bvaf-home.htm |title=Burma Volunteer Air Force |access-date=6 February 2023 |archive-date=27 March 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220327035157/http://www.aeroflight.co.uk/waf/aa-eastasia/burma/burma-bvaf-home.htm |url-status=dead }}</ref> ၁၉၄၅ ခုနှစ် မြန်မာနိုင်ငံသို့ အင်္ဂလိပ်တို့ပြန်ရောက်ပြီးနောက် မြန်မာနိုင်ငံအတွက် လေတပ်ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းပေးရေးများကို ဆောင်ရွက်ရာမှ ၁၉၄၇ ဒီဇင်ဘာတွင် "ဗမာ့လေတပ်မတော်" (Burma Air Force) အဖြစ်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၅၅ တွင် တပ်မတော် (ကြည်း၊ ရေ၊ လေ) ပေါင်းစည်းရေးမူအရ တပ်မတော် (လေ) ဟု‌အမည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။<ref>{{cite book |last= |first= |author-link= |date= ၂၀၂၂ |title= အောင်ကောင်းစုံ အထွေထွေသိစရာ၊ မှတ်စရာ ဗဟုသုတမှတ်စု (၂၀၂၂–၂၀၂၃) |url= |location= ရန်ကုန် |publisher= ဧကရီစံစာပေ |page= ၃၁၇ |isbn=}}</ref> ==သမိုင်းကြောင်း== === လွတ်လပ်ရေးရပြီးစခေတ် (၁၉၄၈-၂၁၀၂) === တပ်မတော်(လေ)ကို မြန်မာနိုင်ငံ ဗြိတိသျှတို့၏ လက်အောက်တွင် ရှိနေဆဲကာလ ၁၉၄၇ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁၆ ရက်နေ့တွင် စတင် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၄၈ ခုနှစ်တွင် စစ်သည် ရာဂဏန်း အနည်းငယ်နှင့်အတူ [[Airspeed Oxfords]] အစင်း ၄၀၊ [[de Havilland Tiger Moths]] အစင်း ၁၆ စင်း၊ [[Austers]] ၄ စင်းနှင့် [[Supermarine Spitfire]] ၃စင်းတို့ ပါဝင်သည် လေတပ်ဖွဲ့သစ်အား လွှဲပြောင်း ရယူခဲ့သည်။ စတင်ဖွဲ့စည်းချိန်မှစ၍ တပ်မတော် (လေ) ၏ အဓိကတာဝန်သည် ပြည်တွင်းပုန်ကန်မှု တန်ပြန်စစ်ဆင်ရေးများတွင် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး၊ ထောက်ပံ့ရေးနှင့် [[တပ်မတော် (ကြည်း)]] အား အနီးကပ်လေကြောင်း အထောက်အကူပေးရေးတို့ ဖြစ်သည်။<ref name="Myoe">Myoe, Maung Aung: Building the Tatmadaw</ref> နိုင်ငံ၏ ပင်မလေတပ်အခြေစိုက်စခန်းဖြစ်သည့် မင်္ဂလာဒုံလေတပ်စခန်းဌာနချုပ်ကို ၁၉၅၀ ဇွန်လ ၁၆ ရက်နေ့တွင် ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး အမှတ် ၁ လေယာဉ်အုပ်၊ လက်နက်ကိရိယာများ ထိန်းသိမ်းရေး တပ်ဖွဲ့နှင့် ဗမာ့လေတပ်မတော် - ဗဟိုဌာနချုပ်နှင့် ပျံသန်းမှု သင်တန်းကျောင်းတို့ကို ဤအခြေစိုက်စခန်း၏ လက်အောက်တွင် ထားရှိသည်။ လအနည်းငယ် ကြာပြီးနောက် ၁၉၅၀ ဒီဇင်ဘာလ ၁၈ ရက်နေ့တွင် [[Douglas Dakota]] ၉ စင်း ပါဝင်သည့် အမှတ် ၂ လေယာဉ်အုပ်ကို သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယဉ်အုပ်အဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြန်သည်။ ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် မင်္ဂလာဒုံ လေတပ် အခြေစိုက်စခန်း လက်အောက်တွင် အဆင့်မြင့် ပျံသန်းရေး တပ်ဖွဲ့ကို de Havilland Vampire T55s လေယာဉ်များဖြင့် ထပ်မံဖွဲ့စည်းလိုက်ကာ ၁၉၅၃ ခုနှစ် အကုန်ပိုင်းတွင် ဗမာ့လေတပ်၌ မင်္ဂလာဒုံ၊ မှော်ဘီနှင့် ြမန်မာနိုင်ငံ အလယ်ပိုင်း မိတ္ထီလာတို့တွင် အဓိက အခြေချ လေတပ်စခန်းကြီး သုံးခု ရှိလာခဲ့သည်။<ref name="Myoe">Myoe, Maung Aung: Building the Tatmadaw</ref> ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် မြန်မာလေတပ်သည် [[အစ္စရေး]]မှ Supermarine Spitfire အစင်း ၃၀ နှင့် [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း]]မှ Supermarine Spitfire အစင်း ၂၀ တို့ကို ဝယ်ယူခဲ့ပြီး ၁၉၅၄ ခုနှစ်တွင်မူ [[ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း]]မှ Hunting Provost T-53 အစင်း ၄၀ နှင့် de Havilland Vampire Mark T55s ၈ စင်းတို့ကို ဝယ်ယူခဲ့ပြန်သည်။ ၁၉၅၅ ခုနှစ် နှောင်းပိုင်းတွင် ဗမာ့လေတပ်မတော်သည် မင်္ဂလာဒုံတွင် ပြုပြင်ထိန်းသိမ်းရေး လေတပ်စခန်း တစ်ခု၊ အမှတ် ၅၀၁ လေယာဉ်အုပ်စု (မှော်ဘီလေတပ်စခန်း) နှင့် အမှတ် ၅၀၂ လေယာဉ်အုပ်စု (မင်္ဂလာဒုံ လေတပ်စခန်း) တို့ကို ထပ်မံ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၅၆ တွင် မြန်မာ့လေတပ်သည် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]] မှ [[Cessna 180]] ၁၀ စင်း ကို ဝယ်ယူခဲ့ပြန်သည်။ ယင်းနှစ်တွင်ပင် [[Kawasaki Bell 47Gs]] ခြောက်စင်းဖြင့် ပထမဆုံး ရဟတ်ယာဉ် တပ်ဖွဲ့ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ နောက်တစ်နှစ်အကြာတွင် မြန်မာ့လေတပ်သည် ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်းမှ [[Hawker Sea Fury]] လေယာဉ် ၂၁ စင်းနှင့် ကနေဒါမှ de Havilland Canada DHC-3 Otters ကိုးစင်းကို ဝယ်ယူခဲ့သည်။ ၁၉၅၆ ခုနှစ် ဇွန်လ ၂၉ ရက်တွင် ဗိုလ်ဒေါ်လှသန်းက စက်မဲ့ဂလိုက်ဒါကို တစ်ဦးတည်း မောင်းနှင်ပြသခဲ့ခြင်းဖြင့် တပ်မတော် (လေ) ၏ အမျိုးသမီးများ သမိုင်းကဏ္ဍသစ်ကို ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>https://news-eleven.com/article/241848</ref> ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]]မှ Kawasaki Bell 47G ခုနစ်စင်းနှင့် [[Vertol H-21 Shawnees]] ၁၂ စင်းတို့ကို ထပ်မံ ဝယ်ယူခဲ့သည်။ ငါးနှစ်ကြာပြီးနောက်တွင် အမှတ် ၅၁ လေယာဉ်အုပ် (de Havilland Canada DHC-3 Otter နှင့် Cessna 180 လေယာဉ်များ) နှင့် အမှတ် ၅၃ လေယာဉ်အုပ် (Bell 47G၊ Kaman HH-43 Huskies နှင့် Aerospatiale Alouettes ရဟတ်ယာဉ်များ) တို့ကို မိတ္ထီလာတွင် ထပ်မံ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref name="Myoe">Myoe, Maung Aung: Building the Tatmadaw</ref> === ခေတ်မီအစီအစဉ် (၁၉၉၀ - လက်ရှိ) === ==== ၁၉၉၀ ကာလများ ==== တပ်မတော် (လေ)အနေ နဲ့ ပတ်ဝန်းကျင်နိုင်ငံများနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် နည်းပညာမျိုးဆက်ကွာဟမှုများ ရှိနေရာမှ ၁၉၉၀ ပြည့် နှစ်ဝန်းကျင်တွင် ဒုတိယမျိုးဆက် ဂျက်တိုက်လေယာဉ်များ၊ ဘက်စုံသုံးစွမ်းရည်မြင့်မားသည့် ရဟတ်ယာဉ်များ စတင်အသုံးပြုလာခဲ့သည်။ ၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် လက်နက်တပ်ဆင်ထားသည့် Soko G-4 Super Galeb လေယာဉ်များကို မြန်မာ့တပ်မတော်က [[ယူဂိုစလားဗီးယားနိုင်ငံ|ယူဂိုစလားဗီးယား]]နိုင်ငံမှ ဝယ်ယူခဲ့သည်။<ref>https://frontiermyanmar.net/mm/news/5971{{Dead link|date=May 2025 }}</ref> ၁၉၉ဝ ကနေ ၂ဝဝဝ ပြည့်နှစ် ကြားထဲ F-7 အစင်း ၆ဝ ကျော်ကို [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]] ဆီက အသုတ်လိုက် အသုတ်လိုက် စတင် ဝယ်ယူခဲ့သည်။ ၃ဝ မမ စက်သေနတ် နှစ်လက်နဲ့ အတူ ဝေဟင်ထဲမှာ ပစ်ခတ်တိုက်ခတ် နိုင်တဲ့ ဒုံးကျည်တွေ တပ်ဆင်ထားတဲ့ F-7 တွေကို အဓိက အားဖြင့်တော့ ကြားဖြတ် တိုက်လေယာဉ် အဖြစ် အသုံးပြုခဲ့တာ ဖြစ်သည်။<ref>https://www.bbc.com/burmese/media-45881701</ref> ==== ၂ဝဝဝ ကာလများ ==== ၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင်စတုတ္ထမျိုးဆက်တိုက်လေယာဉ်များ စတင်အသုံးပြုလာနိုင်သည့် အတွက် အိမ်နီးချင်းနိုင်ငံများ၊ ဒေသတွင်း နိုင်ငံများကို အမီလိုက်နိုင်လာခဲ့သည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစပြီး တိုက်ပွဲဝင်နိုင်သည့် လေယာဉ်များတိုးတက်စေရေး၊ စွမ်းအားမြင့် လေယာဉ်များဖြစ်စေရေး၊ အရည်အချင်း ပြည့်ဝသည့် လေသူရဲများ၊ အင်ဂျင်နီယာများ၊ မြေပြင်တပ်ဖွဲ့ဝင်များ မွေးထုတ်ပေး နိုင်ရေးကိုလည်း အလေးထားဆောင်ရွက်လာသည်။<ref>https://www.seniorgeneralminaunghlaing.com.mm/10624/တပ္မေတာ္ေလ၏ဖြဲ႕စည္းတည္/{{Dead link|date=March 2021 }}</ref> အထူးသဖြင့် [[ရုရှားနိုင်ငံ|ရုရှား]] မှ Mi-24 နဲ့ Mi-17 ရဟတ်ယာဉ်တွေအပြင် MiG-29([[အမ်အိုင်ဂျီ-၂၉]]) တိုက်လေယာဉ်၊ Pechora-2 လေကြောင်းကာကွယ်ရေးစနစ်တွေနဲ့ အခြားကိရိယာတွေ ဝယ်ယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/8081 |access-date=4 October 2019 |archive-date=16 November 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181116140539/https://frontiermyanmar.net/mm/news/8081 }}</ref> [[File:The Prime Minister, Shri Narendra Modi inspecting the guard of honour, at the Ceremonial Reception, in Nay Pyi Taw, Myanmar on September 05, 2017. The President of Myanmar, Mr. U. Htin Kyaw is also seen (2).jpg|thumb|လေတပ်ဂုဏ်ပြုတပ်ဖွဲ့အား [[သမ္မတအိမ်တော် (နေပြည်တော်)|သမ္မတအိမ်တော်]]၌ တွေ့ရစဉ်]] ==== ၂ဝ၁ဝ ကာလများ ==== ၁၉၉၀ ခုနှစ် မှစပြီး မြန်မာလေတပ်တွင် အများအားဖြင့် တရုတ်နှင့် ရုရှားတို့မှ တိုက်လေယာဉ်များကို အသုံးပြုသော်လည်း ၂ဝ၁၃ ခုနှစ်တွင် အီးယူ၏ ဒဏ်ခတ်မှု ရုပ်သိမ်းချိန်ကတည်းက စတင်ကာ [[ဥရောပ]]လုပ် လေယာဉ်အုပ်စု ဝယ်ယူရရှိခဲ့သည်။ [[ဂျာမနီနိုင်ငံ|ဂျာမနီ]]နိုင်ငံက Grob [[G120TP]] လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် ၁၂ စင်းကို မြန်မာလေတပ်က ဝယ်ယူထားပြီး ၂ဝ၁၇ ခုနှစ်၊ ဧပြီလတွင် ဝယ်ယူရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင် လေ့ကျင့်ရေးဂျက်တိုက်လေယာဉ် [[K-8 W လေယာဉ်|K-8 W]]၊ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးနှင့် လေကြောင်း ကင်းထောက်အတွက် အသုံးပြုသော [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]ထုတ် ATR-42 နှင့် အမေရိကန်ထုတ် [[BEECH 1900 D]] လေယာဉ်များ တပ်တော်ဝင် အခမ်းအနားပြုလုပ်ခဲ့သည်။ K-8 W လေ့ကျင့်ရေးဂျက် တိုက်လေယာဉ်များသည် အပေါ့စားတိုက်ခိုက်ရေးတာဝန်များ ထမ်းဆောင်နိုင်ပြီး ခေတ်မီအဆင့်မြင့်ရှေ့တန်း ဂျက်တိုက်လေယာဉ်များ မောင်းနှင်မည့် လေသူရဲများကို ကြားခံလေ့ကျင့်ပေးနိုင်သော အပေါ့စားတိုက်ခိုက်ရေးအမောင်းသင် ဂျက်လေယာဉ်အမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ K-8 W လေယာဉ်များကို တရုတ် CATIC ကုမ္ပဏီနှင့် မြန်မာကာကွယ်ရေးပစ္စည်း ထုတ်လုပ်ရေးအရာရှိချုပ်ရုံးတို့ ပူးပေါင်း၍ မြန်မာနိုင်ငံအတွင်း တပ်ဆင်ထုတ်လုပ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://7daydaily.com/story/32577 |accessdate=4 October 2019 |archivedate=27 February 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150227001534/http://7daydaily.com/story/32577 }}</ref> ထို့ပြင်၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် အဆင့်မြင့် လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်အမျိုးအစားဖြစ်သည့် [[Yak-130]] လေယာဉ် ၁၂ စီးကိုလည်း ရုရှားမှ မှာယူသည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာတွင် တပ်မတော် (လေ) နှစ် (၇၀) ပြည့် နှစ်ပတ်လည်နေ့၌ Yak -130 အမျိုးအစား လေယာဉ် ၆ စီးအပြင် [[နယ်သာလန်နိုင်ငံ]]ထုတ် [[Fokker- 70]] အမျိုးအစားလေယာဉ် ၂ စီးနှင့်၊ ATR 42-320 အမျိုးအစား လေယာဉ် ၂ စီး စုစုပေါင်း ၁၀ စီး ကို တပ်တော်ဝင်အဖြစ် ကြေညာခဲ့သည်။<ref>https://frontiermyanmar.net/mm/news/7583{{Dead link|date=May 2025 }}</ref>၂၀၁၈ ဒီဇင်ဘာတွင် တပ်မတော် (လေ) နှစ် (၇၁) ပြည့် နှစ်ပတ်လည်နေ့၌ တပ်မတော် (လေ) အတွက် [[JF-17]] အမျိုးအစား တိုက်လေယာဉ်လေးစီး၊ ပြင်သစ်၏ အဲဘတ်စ်နှင့် [[အီတလီနိုင်ငံ|အီတလီ]]၏ လီယိုနာဒိုကုမ္ပဏီတို့ ဖက်စပ်ထုတ်လုပ်သည့် ATR 72-500s လေယာဉ်နှစ်စီးနှင့် Airbus Helicopters က ထုတ်လုပ်သည့် AS365 ရဟတ်ယာဉ်တစ်စီးကို အင်အားဖြည့်တင်းခဲ့သည်။ JF-17 တစ်စီးကို အကြမ်းဖျင်းဒေါ်လာ ၂၈ သန်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://7daydaily.com/story/144857 |accessdate=4 October 2019 |archivedate=3 April 2019 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190403051704/http://www.7daydaily.com/story/144857 }}</ref> JF-17 တိုက်လေယာဉ် ၁၆ စီးအတွက် ခန့်မှန်းခြေ အမေရိကန်ဒေါ်လာ သန်း ၅၆ဝ တန်ဖိုးရှိ ပါကစ္စတန်နှင့် စာချုပ်တစ်ခုအရ မြန်မာက ဝယ်ယူရရှိခဲ့သည်။ JF-17 ကို Pakistan Aeronautical Complex (PAC) ပါကစ္စတန်နှင့် တရုတ်၏ Chendu Aircraft Corporation တို့က ဖက်စပ်ထုတ်လုပ်ထားသည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/12947 |access-date=4 October 2019 |archive-date=23 March 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190323134136/https://frontiermyanmar.net/mm/news/12947 }}</ref> <ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/5104 |access-date=4 October 2019 |archive-date=24 August 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170824003338/http://frontiermyanmar.net/mm/news/5104 }}</ref> ၂၀၁၈ထိ တပ်မတော်ပိုင်လေယာဉ်၊ ရဟတ်ယာဉ်များတပ်တော်ဝင်ခြင်းအခမ်းအနားကို (၉)ကြိမ်ကျင်းပပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် ၂၀၁၈ ဒီဇင်ဘာတွင် [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ|အိန္ဒိယ]]က မြန်မာနိုင်ငံသို့ [[Kiran]] အမျိုးအစား နှစ်ယောက်စီး အမောင်းသင်ဂျက်လေယာဉ် ခြောက်စီး ပေးအပ်ရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/12535 |access-date=4 October 2019 |archive-date=23 March 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190323140424/https://frontiermyanmar.net/mm/news/12535 }}</ref> [[File:Su-30 MKI Trishul formation.jpg|thumb|ရုရှားထုတ် Su-30 (ဆူခွိုင်း ၃၀) ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ်များ]] မြန်မာနဲ့ ရုရှားတို့သည် Su-30 ([[ဆူခွိုင်း ၃၀]]) ဂျက်တိုက်လေယာဉ် ၆ စီးအတွက် သဘောတူညီချက်ကို ၂၀၁၈ ခုနှစ်က လက်မှတ်ရေးထိုးခဲ့ကြသည်။ အဆိုပါလေယာဉ်များသည် ရာသီမရွေး တိုက်ပွဲဝင်နိုင်သည့် အင်ဂျင်နှစ်လုံးတပ် Su-30 ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ် အမျိုးအစားဖြစ်ကာ တစ်စီးလျှင် အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၃၅ သန်းကျော် တန်ဖိုးရှိမည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/14120 |access-date=4 October 2019 |archive-date=22 September 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190922231709/https://frontiermyanmar.net/mm/news/14120 }}</ref> Su-30 တိုက်လေယာဉ်များသည် အခြားစတုတ္ထမျိုးဆက် တိုက်လေယာဉ်များထက် သာလွန်မှုရှိသော စတုတ္ထမျိုးဆက်လွန် တိုက်လေယာဉ်များဖြစ်ပြီး လေယာဉ်ဆီ အပြည့်ဖြည့်ပြီး ပျံသန်းလျှင် ကီလိုမီတာ ၃၀၀၀ (မိုင် ၁၈၆၀) အထိ ပျံသန်းနိုင်ခြင်းကြောင့် စစ်ဆင်နိုင်မှု အကွာအဝေး ကြီးမားသည်။<ref>{{Cite web |url=https://elevenmyanmar.com/news/36395 |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |access-date=5 October 2019 |archive-date=14 May 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210514025534/https://elevenmyanmar.com/news/36395 |url-status=dead }}</ref> တပ်မတော်(လေ)အတွက် ဆူခွိုင်း Su-30 တိုက်လေယာဉ်တွေကို ဝယ်ယူဖို့ ပြင်ဆင်ရာမှာ လေတပ် ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် ဗိုလ်ချုပ်ကြီး [[မောင်မောင်ကျော်]] ကိုယ်တိုင် ရုရှားနိုင်ငံ မော်စကိုမြို့ ကူဘင်ကာ လေယာဉ်ကွင်းမှာ ၂၀၁၈ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁၇ ရက်က စမ်းသပ်မောင်းနှင်ပျံသန်းမှု လုပ်ခဲ့သည်။<ref>https://burma.irrawaddy.com/news/2018/08/24/167718.html</ref> တပ်မတော် (လေ) တွင် အမျိုးသမီးအရာရှိအချို့ လေသူရဲလောင်းများအဖြစ် စတင်လေ့ကျင့်ဆောင်ရွက်နေသည်။<ref>{{Cite web |url=https://elevenmyanmar.com/news/27571 |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |access-date=4 October 2019 |archive-date=14 May 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210514025531/https://elevenmyanmar.com/news/27571 |url-status=dead }}</ref> ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် အဆိုပါအမျိုးသမီးအရာရှိ လေသူရဲလောင်း ၆ ဦးက တဦးချင်း မောင်းနှင်ပျံသန်းမှု(Solo)ကို အောင်မြင်စွာပျံသန်းနိုင်ခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။<ref>https://burma.irrawaddy.com/lifestyle/travel/2018/04/26/157024.html</ref> ၂၀၁၉ ခုနှစ် ၇၂ နှစ်မြောက် တပ်မတော်(လေ)နေ့ တွင် JF-17 B ဘက်စုံသုံး တိုက်ခိုက်ရေး လေယာဉ် ၂ စင်း၊ Yak-130 အပေါ့စား တိုက်လေယာဉ် ၆ စင်းနှင့် MI-35 P တိုက်ခိုက်ရေး ရဟတ်ယာဉ် ၂ စီး စုစုပေါင်း လေယာဉ်၊ ရဟတ်ယာဉ် ၁၀ စင်း တပ်တော်ဝင်သည်။ တရုတ်- ပါကစ္စတန် ပူးတွဲထုတ်လုပ်သည့် JF-17 ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ် အမျိုးအစား ပါဝင်ပြီး၊ ကြားဖြတ် တိုက်ခိုက်ရေးနှင့် အပေါ့စား ဗုံးကြဲလေယာဉ်များ အဖြစ်ပါ အသုံးပြုနိုင်ကြောင်း၊ အလားတူ ရုရှားလုပ် Yak – 130 မှာ အပေါ့စား တိုက်ခိုက် ရေးလေယာဉ် အဖြစ်သာမက လေ့ကျင့်ရေးတွင်လည်း အသုံးပြုနိုင်ကြောင်း သိရသည်။<ref>https://burma.irrawaddy.com/news/2019/12/16/210883.html</ref> ==== ၂ဝ၂ဝ ကာလများ ==== ၂၀၂၀ ခုနစ် (၇၃) နှစ်မြောက် တပ်မတော်(လေ) နေ့တွင် G 120TP အခြေခံလေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် ၂ စင်း၊ Y-12 အမျိုးအစား သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် ၂ စင်း၊ Beech 1900 အမျိုးအစား သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် ၁ စင်း စုစုပေါင်းလေယာဉ် ၅ စင်း တပ်တော်ဝင်ခဲ့သည်။ <ref>https://www.dvb.no/post/429092</ref> ၂၀၂၁ (၇၄) နှစ်မြောက် တပ်မတော်(လေ) နှစ်ပတ်လည်နေ့၌ လေယာဉ်၊ ရဟတ်ယာဉ် တပ်တော်ဝင်ခြင်း အခမ်းအနား၌ Yak_130 လေယာဉ် K-8 အမောင်းသင် ဂျက်တိုက်လေယာဉ်၊ ATR-72600 အလက်စားသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးလေယာဉ်၊ Y-12 လူနှင့် ကုန်ပစ္စည်းများသယ်ခြင်း ရှာဖွေကယ်ဆယ်ရေး ဆောင်ရွက်နိုင်သည့် လေယာဉ်၊ Eurocopter ရဟတ်ယာဉ် စသည်ဖြင့် တပ်တော်ဝင်ခဲ့ကြသည်။ ၂ဝ၂၂ ခုနှစ် (၇၅)နှစ်မြောက် စိန်ရတုနှစ်ပတ်လည်နေ့အခမ်းအနားတွင် Su-30 SME စတုတ္ထမျိုးဆက်လွန်ဘက်စုံသုံး အကြီးစား တိုက်လေယာဉ်များ၊ FTC 2000 G ဘက်စုံသုံးအပေါ့စားတိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ်များ၊ Ka-28 ရေငုတ်သင်္ဘောတိုက်ဖျက်ရေး ရဟတ်ယာဉ်များ တပ်တော်ဝင်သည်။<ref>https://news-eleven.com/article/241787</ref> ၂၀၂၃ ခုနစ် (၇၆) နှစ်မြောက် တပ်မတော်(လေ) နှစ်ပတ်လည်နေ့ကို [[နေပြည်တော်]] အေ‌လာလေတပ်ဌာနချုပ်၌ ကျင်းပခဲ့ပြီး Su-30 SME စတုတ္ထမျိုးဆက်လွန် ဘက်စုံသုံး အကြီးစားတိုက်လေယာဉ် ၂ စင်းတပ်တော်ဝင်ခဲ့သည်။ <ref>https://news-eleven.com/article/285613</ref> == လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက်ပိုင်း ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ)များ == {|class="wikitable" style="font-size: 95%; text-align: center;" |+ '''ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ် (လေ) များစာရင်း''' ! style="background:#efefef;" | စဉ် ! style="background:#efefef;" | ပြန်တမ်းဝင်အမှတ် ! style="background:#efefef;" | ရာထူးအဆင့်နှင့်အမည် ! style="background:#efefef;" | စတင်ရက် ! style="background:#efefef;" | ပြီးဆုံးရက် ! style="background:#efefef;" | တာဝန်သက်တမ်းကာလ ! style="background:#efefef;" | မှတ်ချက် |- | ၁။ | လေ ၁၀၂၀ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး]] [[စောရှီးရှိုး]] | ၁၁ ဒီဇင်ဘာ ၁၉၄၇ | ၈ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၄၉ | {{age in years and days|1947|12|11|1949|2|8}} | |- | ၂။ | လေ ၁၀၀၉ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်မှူးကြီး]] သူရ အက်စ်ဂျေခင် | ၁ ဧပြီ ၁၉၄၉ | ၁၅ ဇွန် ၁၉၅၀ | {{age in years and days|1949|4|1|1950|6|15}} | |- | ၃။ | လေ ၁၀၀၅ | style="text-align: left;" | ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ တော်မီတီကလစ် | ၉ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၅၁ | ၂၆ နိုဝင်ဘာ ၁၉၆၃ | {{age in years and days|1951|2|9|1963|11|26}} | |- | ၄။ | လေ ၁၀၄၂ | style="text-align: left;" | ဗိုလ်မှူးချုပ် [[သောင်းဒန်]] | ၁၃ ဒီဇင်ဘာ ၁၉၆၃ | ၇ မတ် ၁၉၇၄ | {{age in years and days|1963|12|13|1974|3|7}} | |- | ၅။ | လေ ၁၀၄၇ | style="text-align: left;" | ဗိုလ်မှူးချုပ် သူရ စောဖြူ | ၈ မတ် ၁၉၇၄ | ၁၈ မတ် ၁၉၈၀ | {{age in years and days|1974|3|8|1980|3|18}} | |- | ၆။ | လေ ၁၀၅၉ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်]] ကိုကြီး | ၁၉ မတ် ၁၉၈၀ | ၃ နိုဝင်ဘာ ၁၉၈၅ | {{age in years and days|1980|3|19|1985|11|3}} | |- | ၇။ | လေ ၁၁၂၇ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] တင်ထွန်း | ၄ နိုဝင်ဘာ ၁၉၈၅ | ၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၉၂ | {{age in years and days|1985|11|4|1992|2|5}} | |- | ၈။ | လေ ၁၁၉၃ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] သိန်းဝင်း | ၆ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၉၉၂ | ၁၅ ဇွန် ၁၉၉၅ | {{age in years and days|1992|2|6|1995|6|15}} | |- | ၉။ | လေ ၁၃၁၂ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] တင်ငွေ | ၁၆ ဇွန် ၁၉၉၅ | ၁၄ နိုဝင်ဘာ ၁၉၉၇ | {{age in years and days|1995|6|16|1997|11|14}} | |- | ၁၀။ | လေ ၁၃၃၄ | style="text-align: left;" | [[ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] ကျော်သန်း | ၁၅ နိုဝင်ဘာ ၁၉၉၇ | ၁၄ ဇွန် ၂၀၀၁ | {{age in years and days|1997|11|15|2001|6|14}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၁) |- | ၁၁။ | လေ ၁၅၈၁ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်]] မြင့်ဆွေ | ၁၃ ဇွန် ၂၀၀၁ | ၇ မတ် ၂၀၀၂ | {{age in years and days|2001|6|13|2002|3|7}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၁၁) |- | ၁၂။ | လေ ၁၆၈၂ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[မြတ်ဟိန်း]] | ၈ မတ် ၂၀၀၂ | ၁၃ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၃ | {{age in years and days|2002|3|8|2013|2|13}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၁၇) |- | ၁၃။ | လေ ၁၇၅၄ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] ခင်အောင်မြင့် | ၁၄ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၁၃ | ၂ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၈ | {{age in years and days|2013|2|14|2018|1|2}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၂၀) |- | ၁၄။ | လေ ၁၉၂၅ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[မောင်မောင်ကျော်]] | ၃ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၈ | ၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၂ | {{age in years and days|2018|1|3|2022|1|9}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၂၆) |- | ၁၅။ | လေ ၁၉၈၂ | style="text-align: left;" | [[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းအောင်]] | ၁၀ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၂ | ၁၀ ဧပြီ ၂၀၂၆ | {{age in years and days|2022|1|10|2026|4|10}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၂၉) |- style="background:#F5FFFA;" | ၁၆။ | လေ ၂၁၃၀ | style="text-align: left;" | '''[[ဗိုလ်ချုပ်ကြီး]] [[ထွန်းဝင်း]]''' | ၂၁ ဧပြီ ၂၀၂၆ | လက်ရှိ | {{age in years and days|2026|4|21}} | [[စစ်တက္ကသိုလ်|စတသ]] (၃၄) |} ==တပ်မတော်(လေ)ထိပ်တန်းအရာရှိကြီးများ== (ဇွန်လ၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ်) #(လေ-၁၉၈၂) ဗိုလ်ချုပ်ကြီးထွန်းအောင် - ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်(လေ) #(လေ-၂၀၈၀) ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီးဇော်ဝင်းမြင့် - စစ်ဦးစီးအရာရှိချုပ်(လေ) #(လေ- ) ဗိုလ်ချုပ်လှညွှန့် - အရှေ့ပိုင်းလေတပ်ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်မှူး #(လေ-၂၁၃၀) ဗိုလ်ချုပ်ထွန်းဝင်း - အနောက်ပိုင်းလေတပ်ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်မှူး # (လေ-၂၀၇၄) ဗိုလ်ချုပ်စိုးတင်လတ် - တောင်ပိုင်းလေတပ်ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်မှူး # (လေ-၂၀၇၉) ဗိုလ်ချုပ်ဝင်းမောင်သိန်း - လေကြောင်းအတတ်သင်လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူး # (လေ- ) ဗိုလ်ချုပ်ကျော်ကျော် - လေယာဉ်ထုတ်လုပ်ရေးနှင့်ပြင်ဆင်ရေးဌာနချုပ်မှူး (မင်္ဂလာဒုံ) # (လေ-၂၀၀၆) ဗိုလ်မှူးချုပ်ကျော်မိုးသက် - လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးအရာရှိချုပ်(လေ) # (လေ-၁၉၆၂) ဗိုလ်မှူးချုပ်မြင့်သောင်း - မြေပြင်အတတ်သင်လေတပ်စခန်းမှူး # (လေ-၂၁၀၁) ဗိုလ်မှူးချုပ်ကျော်သက်နိုင် - စစ်ဦးစီးဗိုလ်မှူးချုပ်(လေ) # (လေ-၂၁၁၅) ဗိုလ်မှူးချုပ်ဇော်ဝင်းထွန်း - စစ်ဦးစီးစက်မှုလက်မှုအရာရှိချုပ်(လေ) # (လေ-၂၂၈၈) ဗိုလ်မှူးချုပ်မြတ်မင်းသန်း - လေကြောင်းစစ်ဆင်ရေးသင်တန်းကျောင်း၊ ကျောင်းအုပ်ကြီး ==လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှူးများ== (ဇွန်လ၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ်) #(လေ-၂၀၈၂) ဗိုလ်မှူးချုပ်မောင်မောင်စိုး - မင်္ဂလာဒုံလေတပ်စခန်း #(လေ-၂၁၇၃) ဗိုလ်မှူးချုပ်စွမ်းလှိုင်မင်း - တောင်ငူလေတပ်စခန်း #(လေ-၂၁၈၉) ဗိုလ်မှူးချုပ်သိန်းထူး - မြစ်ကြီးနားလေတပ်စခန်း #(လေ-၂၀၇၇) ဗိုလ်မှူးချုပ်မျိုးမင်းထွန်း - နမ့်စန်လေတပ်စခန်း #(လေ-၂၂၅၈) ဗိုလ်မှူးချုပ်ရဲမျိုးသန့် - ပုသိမ်လေတပ်စခန်း #(လေ-၂၂၂၃) ဗိုလ်မှူးချုပ်သန်းနိုင်ညွှန့် - မကွေးလေတပ်စခန်း #(လေ-၂၁၁၉) ဗိုလ်မှူးချုပ်ဇော်မင်းဦး - မြိတ်လေတပ်စခန်း #(လေ-၂၁၂၈) ဗိုလ်မှူးချုပ်သိန်းထွန်းဦး - ဟုမ္မလင်းလေတပ်စခန်း == ရာထူးအဆင့်များနှင့် အဆောင်အယောင် == [[File:Myanmar Air Force Pilot Wing.svg|thumb|လေသူရဲ တောင်ပံတံဆိပ်]] {{main|တပ်မတော် (လေ)၏ ရာထူးအဆင့်များနှင့် အဆောင်အယောင် တံဆိပ်များ}} === ပြန်တမ်းဝင် အရာရှိများ === {| style="border:1px solid #8888aa; background-color:#f7f8ff; padding:5px; font-size:95%; margin: 0px 12px 12px 0px;" {{Ranks and Insignia of Non NATO Armed Forces/OF/Blank}} {{Ranks and Insignia of Non NATO Air Forces/OF/Myanmar}} |} === အခြားအဆင့်များ === {| style="border:1px solid #8888aa; background-color:#f7f8ff; padding:5px; font-size:95%; margin: 0px 12px 12px 0px;" {{Ranks and Insignia of Non NATO Air Forces/OR/Blank}} {{Ranks and Insignia of Non NATO Air Forces/OR/Myanmar}} |} == ဖွဲ့စည်းပုံ == === အုပ်ချုပ်ရေးနှင့် ထောက်ပံ့ရေးယူနစ်များ === * ကာကွယ်ရေးဦးစီးချုပ်ရုံး(လေ)၊ ကာကွယ်ရေး ဝန်ကြီးဌာန (နေပြည်တော်) * လေယာဉ်ထုတ်လုပ်ပြင်ဆင်ရေးဌာနချုပ် (မင်္ဂလာဒုံ/ မိတ္ထီလာ) * မြေပြင်အတတ်သင်လေတပ်စခန်းဌာနချုပ် (မိတ္ထီလာ) * လေကြောင်းအတတ်သင်လေတပ်စခန်းဌာနချုပ် (မိတ္ထီလာ ရှမ်းတဲ) * လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်များနှင့် လေတပ်စခန်းများ ==== လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်များ ==== # [[မင်္ဂလာဒုံ လေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|မင်္ဂလာဒုံ လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ (ယခင် အမှတ် ၅၀၂ လေတပ်စခန်း) # ဧလာ လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်။ (နေပြည်တော်လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်) # [[မိတ္ထီလာလေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|မိတ္ထီလာ လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ # [[တောင်ငူလေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|တောင်ငူ လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ # [[မြိတ်လေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|မြိတ် လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ # [[မြစ်ကြီးနားလေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|မြစ်ကြီးနား လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ (ယခင် အမှတ် ၅၀၃ လေတပ်စခန်း) # [[မကွေးလေတပ်စခန်း ဌာနချုပ်|မကွေး လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]။ # ပုသိမ် လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်။ # ဟုမ္မလင်း လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်။ # နမ့်စမ် လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်။ # ကျောက်ထုလေတပ်စခန်းဌာနချုပ်။ [[File:Shante Airbase Meiktila.jpg|thumb|လေကြောင်းအတတ်သင်လေတပ်စခန်းဌာနချုပ် (ရှမ်းတဲ)]] ==== လေတပ်စခန်းများ ==== # မှော်ဘီ လေတပ်စခန်း။ (ယခင် အမှတ် ၅၀၁ လေတပ်စခန်း) # ကိုကိုးကျွန်း လေတပ်စခန်း။ # တံတားဦး လေတပ်စခန်း။ # နေပြည်တော် လေတပ်စခန်း။ ==== လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်များ ==== {{main|လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့}} လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့သည် [[တပ်မတော်|မြန်မာ့တပ်မတော်]]၏ [[စစ်လက်ရုံး]]တပ်ဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖွဲ့စည်းပုံအရ [[တပ်မတော် (ကြည်း)|တပ်မတော်(ကြည်း)]]၌ ပါဝင်သော်လည်း လုပ်ငန်းတာဝန်ပိုင်း၌ သဘောသဘာဝအရ [[တပ်မတော် (ရေ)|တပ်မတော်(ရေ)]]၊ အထူးသဖြင့် [[တပ်မတော် (လေ)|တပ်မတော်(လေ)]]နှင့် ပို၍ဆက်စပ်မှုရှိလေသည်။ လက်ရှိ လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့၏ အရာရှိချုပ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေသူမှာ ဒုတိယဗိုလ်ချုပ်ကြီး တစ်ဦး ဖြစ်ပြီး ဒုတိယအရာရှိချုပ် တာဝန်ထမ်းဆောင်နေသူမှာ ဗိုလ်ချုပ်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် လက်ထောက် အရာရှိချုပ် (၃)ဦးရှိပြီး၊ [[တပ်မတော် (ကြည်း)|ကြည်း]]/ [[တပ်မတော် (ရေ)|ရေ]]/ [[တပ်မတော် (လေ)|လေ]] တပ်ဖွဲ့ အသီးသီးမှ ဗိုလ်မှူးချုပ် အဆင့်ရှိသူ တစ်ဦးစီကို ခန့်အပ်ထားသည်။ # [[အမှတ် (၁) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၁)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] # [[အမှတ် (၂) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးစခန်းဌာနချုပ်|အမှတ်(၂)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - မြိတ် # [[အမှတ် (၃) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၃)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - လွိုင်လင် # [[အမှတ် (၄) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၄)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - သထုံ # [[အမှတ် (၅) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၅)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - မှော်ဘီ # အမှတ်(၆)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ် # [[အမှတ် (၇) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၇)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - ကျောက်ဆည် # [[အမှတ် (၈) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၈)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - နေပြည်တော် # [[အမှတ် (၉) လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေး ကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်|အမှတ်(၉)လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေး စစ်ဆင်ရေးကွပ်ကဲမှုဌာနချုပ်]] - ဆိပ်ဖြူမြို့ == လက်ရှိအသုံးပြုနေသော စစ်လေယာဉ်များ == [[File:Myanmar Air Force MiG-29 MRD.jpg|thumb |ရုရှားထုတ် [[မစ်(ဂ်)-၂၉]] ဘက်စုံသုံး [[တိုက်လေယာဉ်]] (မင်္ဂလာဒုံ လေယာဉ်ကွင်း)|alt=]] [[File:Myanmar Air Force Shaanxi Y-8 MRD.jpg|right|thumb|[[ရန်ကုန်အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာလေဆိပ်]]မှ ပျံတက်နေသော Shaanxi Y-8 လေယာဉ်တစ်စင်း]] [[File:Myanmar Air Force Nanchang A-5C Fantan MRD-1.jpg|thumb|Nanchang Q-5 မြေပြင်တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ် (မင်္ဂလာဒုံ လေယာဉ်ကွင်း)|alt=]] [[File:Myanmar Air Force Fokker F27 MRD.jpg|right|thumb|မြန်မာ့လေတပ်၏ ဖော်ကာ အက်ဖ်၂၇]] {| class="wikitable" ! style="text-align:center; background:#acc;"|လေယာဉ် ! style="text-align: center; background:#acc;"|ထုတ်လုပ်သည့်နိုင်ငံ ! style="text-align:l center; background:#acc;"|အမျိုးအစား ! style="text-align:left; background:#acc;"|မူကွဲ ! style="text-align:center; background:#acc;"|တာဝန်ထမ်းဆဲ ! style="text-align: center; background:#acc;"|မှတ်ချက် |- ! style="align: center; background: lavender;" colspan="7" | [[တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ်]] |- | [[အမ်အိုင်ဂျီ-၂၉|MiG-29]] [[မစ်(ဂ်)-၂၉]] | {{RUS}} |[[ကြားဖြတ် တိုက်လေယာဉ်]] / ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ် | | ၃၈ <ref>https://www.flightglobal.com/download?ac=98881</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23">{{cite web |last= |first= |url= http://forms.flightglobal.com/WorldAirForces2015?product=PREM&mode=DOWNLOAD&DMDcode=FGWC4&fcid=%7B05ceef25-b72e-4bea-9a83-a7ab7d02e55a%7D_FC078_PREM_201412&fcfileext=pdf |title= World Air Forces 2015 pg. 23 |work= |publisher= Flightglobal Insight |year= 2015 |doi= |accessdate= 20 April 2015 |archive-date= 19 October 2017 |archive-url= https://web.archive.org/web/20171019075444/http://forms.flightglobal.com/WorldAirForces2015?product=PREM&mode=DOWNLOAD&DMDcode=FGWC4&fcid=%7B05ceef25-b72e-4bea-9a83-a7ab7d02e55a%7D_FC078_PREM_201412&fcfileext=pdf }}</ref> | ၅ စင်းသည် လေ့ကျင့်ရေးအတွက် အသုံးပြုလျက်ရှိသည်။ |- | Sukhoi Su-30 ([[ဆူခွိုင်း ၃၀]]) | {{RUS}} |ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ် | Su-30SME | ၈ - ၁၀စင်းခန့်<ref>{{cite web|url=https://www.militaryfactory.com/aircraft/by-country.php?Nation=Myanmar#google_vignette}}</ref><ref>{{cite web|url=https://www.dhakatribune.com/asia/2022/07/12/myanmar-receives-two-russian-su-30-fighter-jets-as-junta-chief-visits-moscow |title=Myanmar receives two Russian Su-30 fighter jets |publisher= dhakatribune.com |date=|accessdate=3 September 2022}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.defencenet.ae/5823/myanmar-takes-delivery-of-russian-sukhoi-su-30-jets-monitor/|title=Myanmar Takes Delivery of Russian Sukhoi Su-30 Jets: Monitor|date=4 November 2022|website=Defencenet.ae}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/myanmar-receives-first-shipment-russias-su-30-fighter-jets-ria-2023-09-10/|title=Myanmar receives first shipment of Russia's Su-30 fighter jets, RIA reports September 10, 2023}}</ref> | ၄စင်း မှာယူထား |- | JF-17 Thunder | {{CHN}}/{{PAK}} |ရေငုပ်သင်္ဘောတိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ် / ဘက်စုံသုံး တိုက်လေယာဉ် | | ၁၁<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref>{{cite web|url=http://armstrade.sipri.org/armstrade/page/trade_register.php|title=Trade Registers|website=armstrade.sipri.org|language=en-gb|accessdate=2018-04-09|archive-date=14 April 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20100414022558/http://armstrade.sipri.org/armstrade/page/trade_register.php}}</ref> | ၅စင်း မှာယူထား |- | [[Nanchang Q-5]] | {{CHN}} |မြေပြင်တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ် | [[Nanchang Q-5#Export variants|F-5B]] |၂၁<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Chengdu J-7]] | {{CHN}} |တိုက်လေယာဉ် | [[Chengdu J-7#Export variants|F-7M]] | ၃၆ <ref>https://www.flightglobal.com/download?ac=98881</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | ၆ စင်းသည် လေ့ကျင့်ရေးအတွက် အသုံးပြုလျက်ရှိသည်။ |- |[[Shenyang J-6]] |{{CHN}} |တိုက်လေယာဉ် |[[Shenyang J-6#Variants|F-6]] |၁<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | [[MiG-19]] ၏ တရုတ်ဗားရှင်း |- ! style="align: center; background: lavender;" colspan="7" | [[စစ်ဘက်သုံး သယ်ယူပို့ဆောင်ရေးယာဉ်|သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ်]] |- | [[အေတီအာရ်-၄၂|ATR-42]] | {{FRA}} | VIP ခရီးသည်တင် လေယာဉ် | |၆<ref>{{cite web |url= http://www.planespotters.net/Airline/Myanmar-Air-Force |title= Myanmar Air Force Fleet |publisher= planespotters.net |date= |accessdate= 16 April 2015 |archivedate= 7 March 2016 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20160307092205/https://www.planespotters.net/airline/Myanmar-Air-Force }}</ref> | |- | [[အေတီအာရ်-၇၂|ATR-72]] | {{FRA}} | VIP ခရီးသည်တင် လေယာဉ် | | ၄<ref>{{cite web|url=https://www.deviantart.com/silver-70chev/art/Myanmar-Air-Force-920428053}}</ref> | |- | [[Shaanxi Y-8]] |{{CHN}} | သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | |၈<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[CASA-295]] | {{ESP}} | လေကြောင်း ကင်းထောက်လှမ်းရေး / သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | | - | ၂စင်းမှာယူထား<ref>{{cite web|url=https://www.deviantart.com/silver-70chev/art/Myanmar-Air-Force-920428053}}</ref> |- | [[Harbin Y-12]] | {{CHN}} | သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | |၇<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | Fokker 70 | {{NLD}} | VIP သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | |၇<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | Fokker F-27 | {{NLD}} | သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | |၅<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Britten-Norman Islander|BN-2]] | {{UK}} | ဘက်စုံသုံး / သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | | ၅<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Beechcraft 1900| Beech 1900]] | {{USA}} | ဘက်စုံသုံး / သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | | ၇ | |- |[[Pilatus PC-6 Porter| Pilatus PC-6]] |{{SWI}} | ဘက်စုံသုံး / သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး လေယာဉ် | | ၁၆<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> |[[ STOL]] capable aircraft |- ! style="align: center; background: lavender;" colspan="7" | [[ရဟတ်ယာဉ်]] |- |[[Mil Mi-38]] |{{RUS}} |ဘက်စုံသုံး | | ၃ | ၁၅ စင်းဝယ်ယူထား |- |[[Mil Mi-2]] |{{POL}} |ဘက်စုံသုံး / ဆက်ဆံရေး | |၂၁<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Mil Mi-8]] | {{RUS}} | ဘက်စုံသုံး | |၁၃<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref> | |- | [[Mil Mi-17]] | {{RUS}} | ဘက်စုံသုံး | |၁၂<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |[[Bell UH-1 Iroquois| Bell UH-1]] |{{USA}} |ဘက်စုံသုံး | |၁၄<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |[[Mil Mi 24|Mil Mi-24]] |{{RUS}} |တိုက်ခိုက်ရေး |[[ Mil Mi-24 variants#List of Variants|Mi-35]] |၂၄<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Kamov Ka-27]] | {{RUS}} |တိုက်ခိုက်ရှာဖွေရေးနှင့် ကယ်ဆယ်ရေး | [[Kamov Ka-27#Variants|Ka-28]] | ၂<ref name="shephardmedia.com">{{Cite web|title=Myanmar Air Force bolsters fleet with the commission of new aircraft|url=https://www.shephardmedia.com/news/air-warfare/myanmar-air-force-inducts-new-aircraft|access-date=2023-01-10|website=shephardmedia.com|language=en}}</ref> | |- |[[Aérospatiale Alouette III| Alouette III]] |{{FRA}} |ဘက်စုံသုံး | |၁၃<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |[[PZL W-3 Sokół|W-3 Sokół]] | {{POL}} | ဘက်စုံသုံး | |၁၉<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |Eurocopter AS365 Dauphin | {{FRA}} | ဘက်စုံသုံး | |၅ |ရေကြောင်းထောက်လှမ်းရေး |- ! style="align: center; background: lavender;" colspan="7" | [[လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်]] |- | Yakovlev Yak-130 | {{RUS}} |အဆင့်မြင့်လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်/အပေါ့စား တိုက်လေယာဉ် | | ၂၄<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref> | ၁၀စင်း မှာယူထား<ref>{{cite news|title=Russia to Deliver 6 Additional Yak-130 Aircraft to Myanmar|url=https://sputniknews.com/military/201802071061420720-russia-deliver-yak-myanmar/|website=Sputnik News|accessdate=2018-04-09|location=Singapore|date=7 February 2018}}</ref> |- |G 120TP | {{GER}} | အခြေခံ လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် | |၂၀ | |- |[[Soko G-4 Super Galeb| Soko G-4]] |{{YUG}} |လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်/အပေါ့စား တိုက်လေယာဉ် | |၂၂<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref> | |- | [[Chengdu J-7]] | {{CHN}} |ပြောင်းလဲ လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် | [[Chengdu J-7#Export variants|FT-7]] | ၆<ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- | [[Hongdu JL-8]] | {{CHN}}/{{PAK}} |လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်/အပေါ့စား တိုက်လေယာဉ်/သောင်းကျန်းမှုတန်ပြန်စစ်ဆင်ရေး |[[Hongdu JL-8#Variants|K-8W]] | ၆၀ <ref>https://www.flightglobal.com/download?ac=98881</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/><ref name="CHS">{{cite web | url=http://www.elevenmyanmar.com/local/ceremony-held-acquisition-new-military-aircraft | title=Ceremony held for acquisition of new military aircraft | publisher=Eleven Myanmar | accessdate=21 April 2015 | archivedate=28 October 2018 | archiveurl=https://web.archive.org/web/20181028151850/http://elevenmyanmar.com/local/ceremony-held-acquisition-new-military-aircraft }}</ref> | မသိရှိ <ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> |- |- | [[Pilatus PC-7| PC-7]] | {{SWI}} | အပေါ့စား လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် | | ၁၇<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |[[Guizhou JL-9]] | {{CHN}} |အဆင့်မြင့်လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ်/အပေါ့စား တိုက်လေယာဉ် |[[Guizhou JL-9#Variants|FTC 2000G]] |၆ | ၆၀ စင်းခန့်မှာယူထား <ref>https://www.janes.com/amp/myanmar-air-force-inducts-new-ftc-2000gs/ZnlJK3dHVU9mZ28xajRJVkc5dVI5VFp1cVMwPQ2</ref><ref>{{Cite news|url=https://www.janes.com/amp/myanmar-air-force-inducts-new-ftc-2000gs/ZnlJK3dHVU9mZ28xajRJVkc5dVI5VFp1cVMwPQ2|title=Myanmar Air Force inducts new FTC-2000Gs|first=Anthony Davis|last=Beech|work=Janes Defence |date=8 December 2022|via=janes.com}}</ref> |- | [[MTX-1A]] | {{MMR}} | လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် | [[MTX-1B]] | မသိရှိ |ပြည်တွင်းထုတ်<ref>{{cite web|url=https://www.janes.com/amp/myanmar-air-force-inducts-new-aircraft/ZnlJK3dHVU9mZ28xajRJVkc5dVI5VFp1cVMwPQ2}}</ref> |- |[[PC-9]] | {{SWI}} | လေ့ကျင့်ရေး လေယာဉ် | |၁၈<ref>{{cite web |url=https://www.militaryfactory.com/modern-airpower/aircraft-myanmar-burma-air-force.php</ref><ref name=" World Air Forces 2015 pg. 23"/> | |- |[[Eurocopter EC120 Colibri| Eurocopter EC120]] | {{FRA}} | ဘက်စုံသုံး/လေ့ကျင့်ရေးရဟတ်ယာဉ် | |၄<ref>{{cite web|url=http://www.globalnewlightofmyanmar.com/vice-senior-general-soe-win-attends-launching-of-new-aircrafts-and-helicopters/|title=Vice Senior General Soe Win attends launching of new aircrafts &#91;sic&#93; and helicopters|date=15 December 2016|agency=[[Myanmar News Agency]]|publisher=Global Newslight of Myanmar|accessdate=2018-04-09}}</ref> | |- ! style="align: center; background: lavender;" colspan="7" | [[ဒရုန်းများ]] |- | Unknown | {{RUS}} | တိုက်ခိုက်ရေး/‌ကင်းထောက် | - | - | ၃၀၀၀ခန့်မှာယူထား<ref>https://www.bbc.com/burmese/articles/ce43q70xqr9o.amp</ref> |- | [[CASC Rainbow]] | {{CHN}} | တိုက်ခိုက်ရေး/ကင်းထောက် | [[CASC Rainbow|CH-3A]] | ၃၀စင်းခန့် <ref>https://www.csis.org/analysis/tatmadaw-deploys-chinese-made-uavs</ref><ref>https://defence-blog.com/chinas-armed-ch-3-drone-spotted-in-myanmar/?amp</ref> | |- | [[CASC Rainbow]] | {{CHN}} | တိုက်ခိုက်ရေး | [[CASC Rainbow|CH-4]]<ref>https://www.csis.org/analysis/tatmadaw-deploys-chinese-made-uavs</ref> | ၂၀စင်းခန့် | |- | [[Yellow Cat]] | {{MMR}} | ကင်းထောက် | [[Yellow Cat|A-2]] | ၂၂စင်းအထက် | [[တရုတ်]]နိုင်ငံမှ [[CASC Rainbow|CH-3A]]ကိုလိုင်စင်ယူ၍ ပြည်တွင်း၌ထုတ်လုပ်သည်။ |- | Sky02 | {{CHN}} | ကင်းထောက် | | ၁၁စင်းခန့် | |- | [[Orlan-10]] | {{RUS}} | ကင်းထောက် | [[Orlan-10E]] | ၂၀၀စင်းခန့် | <ref>https://www.thedefensepost.com/2021/01/26/russia-sells-myanmar-orlan-10e-drones/</ref> |- | [[Elbit Skylark]] | {{ISR}} | ကင်းထောက် | Skylark I-LEX | မသိရှိ | <ref>{{Cite web |url=https://www.arakanarmy.net/post/three-sons-of-soldiers-from-myanmar-army-came-to-collect-the-uas-drone-were-captured-by-arakan-army |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |access-date=4 August 2024 |archive-date=12 August 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240812063600/https://www.arakanarmy.net/post/three-sons-of-soldiers-from-myanmar-army-came-to-collect-the-uas-drone-were-captured-by-arakan-army |url-status=dead }}</ref> |- | DSO V15 | {{ISR}} | ကင်းထောက် | | မသိရှိ | |- | [[CASC Rainbow]] | {{CHN}} | ကင်းထောက် | [[CASC Rainbow|CH-2]] | | <ref>https://www.rfa.org/burmese/program_2/military-council-drone-attacks-05102024003512.html</ref> |- | [[Camcopter S-100]] | {{AUS}} | ရေကြောင်းကင်းထောက် | | ၁၈စင်း | ရေတပ်အတွက်အသုံးပြုနေ/ ပြည်တွင်း၌ထုတ်လုပ်လျက်ရှိ <ref>https://www.rfa.org/burmese/program_2/myanmar-army-buy-drone-illegally-03232022182504.html</ref> |- | Orion-2 UAV | {{RUS}} | တိုက်ခိုက်ရေး | | မသိရှိ | ရုရှားနိုင်ငံထံမှဝယ်ယူထား |- | CZ55 | {{CHN}}/{{MMR}} | ကင်းထောက်/တိုက်ခိုက်ရေး | | မသိရှိ | ပြည်သူ့စစ်တပ်ဖွဲ့များတွင်အသုံးပြုလျက်ရှိ<ref>https://burmese.thanlwintimes.com/2023/12/29/%E1%80%90%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%95%E1%80%BC%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%92%E1%80%9B%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%85%E1%80%85%E1%80%BA%E1%80%86%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%B1%E1%80%B8/</ref> |- |} === ရေဒါများ === မြန်မာလေတပ်တွင် သုံးဖက်မြင်စောင့်ကြည့်ရေး YLC-2 ရေဒါ၊ P-37 ကြိုတင်သတိပေးရေဒါစနစ်၊ JLP-40 ကာကွယ်ရေးရေဒါအပါအဝင် ရေဒါအများအပြားနှင့် ပေါင်းစပ်လေကြောင်းကာကွယ်ရေးရုံးနှင့်ချိတ်ဆက်ထားသည့် Galaxy EWR စနစ် တပ်ဆင်ထားသည်။<ref>https://web.archive.org/web/20201031065753/https://www.indrastra.com/2015/12/ANALYSIS-Myanmar-Integrated-Air-Defense-System-0516.html?m=1</ref> == အမှတ်အသား == [[ဖိုင်:Roundel of Myanmar.svg|thumb|မြန်မာ့စစ်လေယာဉ်တံဆိပ်|150x150px]] [[ဖိုင်:Fin Flash of Myanmar Air Force.svg|thumb|လေယာဉ်အမြီး အမှတ်အသားပုံ|150x150px]] မြန်မာ့ [[စစ်လေယာဉ် တံဆိပ်]](ဗဟိုတွင် အဝါရောင် အကွက်နှင့် အပြာရောင် အနားသတ်မျဉ်းများ ပါသော အဖြူရောင် တြိဂံ)ကို များသောအားဖြင့် နေရာ ခြောက်မျိုးတွင် ရေးဆွဲထားသည်။ တပ်မတော် (လေ) ၏ အမှတ်စဉ် မှတ်သားမှု စနစ်သည် တပ်ဖွဲ့နှင့် လေယာဉ်တစ်စင်းချင်းစီ၏ ကိုယ်ပိုင်အမှတ်တို့ကို ခွဲခြားပေးသည်ဟု သိရသော်လည်း အတည်ပြုနိုင်ခြင်း မရှိပါ။ ရှေးကျသော လေယာဉ် အများစုတွင် "UB" အက္ခရာနှင့်စပြီး ဗမာ ကိန်းဂဏန်းများပါသည့် အမှတ်စဉ်များကို တွေ့ရသည်။ တစ်ခါတစ်ရံ အမှတ်စဉ်များကို အဖြူရောင် အနားသတ်မျဉ်းများဖြင့် ရေးဆွဲတတ်သည်။ တိုက်ခိုက်ရေး လေယာဉ်များတွင်မူ ယေဘုယျအားဖြင့် အမှတ်စဉ် အနက်ရောင်များကို တွေ့နိုင်သည်။ ==၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်နောက်ပိုင်း မတော်တဆမှုများ စာရင်း == {| class="wikitable" ! style="text-align: center; background:#acc;"|လေယာဉ် ! style="text-align:l center; background:#acc;"|ထိခိုက်သည့်ရက်စွဲ ! style="text-align: center; background:#acc;"|ထိခိုက်မှု ! style="text-align:left; background:#acc;"|အကြောင်းအရင်း |- |F-7 | ၂၀၁၀ | ပျက်စီး | ဆင်းသက်စဉ် ပျက်ကျမှု |- | Mig-29 | ၁၁ ဇွန်လ ၂၀၁၄ | ပျက်စီး | ဟိုက်ဒရောလစ်ပိုက် ပေါက်ကွဲမှု |- | Beechcraft 1900 | ၁၀ ဖေ‌ဖော်ဝါရီလ ၂၀၁၆ | ပျက်စီး | ပြေးလမ်းမှထွက်ခွာစဉ် စက်ချို့ယွင်းမှု |- | F-7 | မတ်လ ၂၀၁၆ | အနည်းငယ်ထိခိုက် | ပြေးလမ်းချော်မှု |- | Mi-2 | ၁၅ ဇွန်လ ၂၀၁၆ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | A-5 | ၂၂ ဇွန်လ ၂၀၁၆ | အမြှီးပိုင်းထိခိုက် | လေကြောင်းရန်ကာကွယ်ရေးလက်နက်ဖြင့် ပစ်ချမှု |- | Y-8 | ၇ ဇွန်လ ၂၀၁၇ | ပျက်စီး | ရာသီဥတုဆိုးဝါးမှု |- | G-4 | ၅ စက်တင်ဘာလ ၂၀၁၇ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | F-7 | ၃ ဧပြီလ ၂၀၁၈ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | F-7 | rowspan="2"|၁၆ အောက်တိုဘာလ ၂၀၁၈ | rowspan="2"|ပျက်စီး | rowspan="2"| ‌ရာသီဥတုဆိုးဝါးမှု |- | F-7 |- | Y-8 | ၅ စက်တင်ဘာလ ၂၀၁၉ | အနည်းငယ်ထိခိုက် | ဆင်းသက်စဉ် ပြေးလမ်းချော်မှု |- | Mi-17 | ၆ မတ် ၂၀၂၀ | အမြှီးကျိုး | ဆင်းသက်စဉ် စက်ချို့ယွင်းမှု |- | Mi-35 | ၃ မေလ ၂၀၂၁ | ပျက်စီး | [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]] မှပစ်ချခဲ့မှု |- | Beechcraft 1900 | ၁၀ ဇွန်လ ၂၀၂၁ | ပျက်စီး | ရာသီဥတုဆိုးဝါးမှု |- | F-7 | ၈ ဩဂုတ်လ ၂၀၂၁ | အနည်းငယ်ထိခိုက် | လေတပ်အတွင်း ပေါက်ကွဲမှု |- | A-5 | ၁၆ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၀၂၂ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | Mi-17 | ၂၉ မတ်လ ၂၀၂၂ | အမြှီးကျိုး | ဆင်းသက်စဉ် စက်ချို့ယွင်းမှု |- | PT-6 | ၁၉ နိုဝင်ဘာလ ၂၀၂၂ | အနည်းငယ်ထိခိုက် | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | Grob-120 TP | ၂၈ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၀၂၃ | အနည်းငယ်ထိခိုက် | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | H120 | ၁၅ ဇွန်လ ၂၀၂၃ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | K-8W | ၁၁ နိုဝင်ဘာလ ၂၀၂၃ | ပျက်စီး | ပစ်ချခံရမှု |- | Mi-17 | ၃ ဇန်နဝါရီလ ၂၀၂၄ | ပျက်စီး | [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]] မှပစ်ချခဲ့မှု |- | FTC-2000G | ၁၆ ဇန်နဝါရီလ ၂၀၂၄ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | Y-8 | ၂၃ ဇန်နဝါရီလ ၂၀၂၄ | ကိုယ်ထည်နှစ်ပိုင်းကျိုး | ပြေးလမ်းချော်မှု |- | Eurocopter AS365 | ၂၉ ဇန်နဝါရီလ ၂၀၂၄ | ပျက်စီး | ပစ်ချခံရမှု |- | Mig-29 | ၂၉ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၀၂၄ | ပျက်စီး | စက်ချို့ယွင်းမှု |- | Eurocopter AS365 | ၂ ဩဂုတ်လ ၂၀၂၄ | ပျက်စီး | ရာသီဥတုဆိုးဝါးမှု |- | Mi-17 | ၂၀ မေ ၂၀၂၅ | ပျက်စီး | ပစ်ချခံရမှု |- | Mi-17 | ၂၀ မေ ၂၀၂၅ | ထိခိုက် | ပစ်ချခံရမှု |- | F-7 | ၁၀ ဇွန် ၂၀၂၅ | ပျက်စီး | ရာသီဥတုဆိုးရွားမှု |- | FTC-2000G | ၁ ဇူလိုင် ၂၀၂၅ | ပျက်ကျ | ရာသီဥတုဆိုးဝါးမှု၊​ စက်ချို့ယွင်းမှု (ပစ်ချခဲ့ဟု KNLA ပြော) |- | တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ် | ၃ ဩဂုတ် ၂၀၂၆ | ပျက်စီး | Bird Strike (ငှက်ဖြင့် တိုက်မှု) |} == မတော်တဆ နှင့် ထိခိုက်ပျက်စီးမှုများ == * ၂၀၁၆ တွင် Beechcraft 1900 လေယာဉ်တစ်စီး နှင့် Mi-2 ရဟတ်ယာဉ် ၁စီးပျက်ကျခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/2005 |access-date=4 October 2019 |archive-date=23 August 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170823125638/http://frontiermyanmar.net/mm/news/2005 }}</ref> * ၇ ဇွန် ၂၀၁၇ တွင် တပ်မတော်(လေ)မှ စန်းရှီ ဝိုင်-၈ လေယာဉ်သည် [[မြိတ်မြို့|မြိတ်]]မှ [[ရန်ကုန်]]သို့ ခရီးစဉ်၌ ပျက်ကျခဲ့သည်။{{main|၂၀၁၇ မြန်မာ့လေတပ် စန်းရှီ ဝိုင်-၈ ပျက်ကျခြင်း}} * ၂၀၁၇ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာ ၅ အတွင်းကလည်း တပ်မတော်(လေ)မှ G-4 အမျိုးအစားလေယာဉ် တစ်စီးသည် ဧရာဝတီတိုင်းဒေသသကြီးအတွင်း ပျက်ကျသွားခဲ့ပြီး လေယာဉ်မှူးသေဆုံးသွားသည်။ * ၂၀၁၈ ဧပြီတွင် တောင်ငူလေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှ လေ့ကျင့်ပျံသန်းနေသည့် အက်ဖ်-၇ လေယာဉ်တစ်စီး ပျက်ကျသွားခဲ့ရာ လေယာဉ်မှူးသေဆုံးသွားသည်။<ref>{{Cite web |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |url=https://frontiermyanmar.net/mm/news/9092 |access-date=4 October 2019 |archive-date=16 November 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181116101328/https://frontiermyanmar.net/mm/news/9092 }}</ref> * ၂၀၁၈ အောက်တိုဘာလတွင် မကွေးလေတပ်စခန်းဌာနချုပ်မှ F-7 တိုက်လေယာဉ်နှစ်စီး ပျက်ကျသွားပြီး လေယာဉ်မှူးနှစ်ဦးနှင့် မြေပြင်ပေါ်မှ ကျောင်းသူတစ်ဦး သေဆုံးသွားသည်။<ref name="nyt">{{Cite news |url=https://www.nytimes.com/2018/10/16/world/asia/myanmar-fighter-jet-crash-student.html |title=2 Myanmar Fighter Jets Crash, Killing Pilots and an 11-Year-Old |newspaper=The New York Times |date=16 October 2018 |access-date=18 October 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181017182808/https://www.nytimes.com/2018/10/16/world/asia/myanmar-fighter-jet-crash-student.html |archive-date=17 October 2018 |url-status=live |df=dmy-all |last1=Beech |first1=Hannah |last2=Nang |first2=Saw }}</ref> * ၂၀၂၁ ခုနှစ် မေလ ၃ ရက်နေ့တွင် [[ကချင်ပြည်နယ်]]၌ တပ်မတော်လေက လေကြောင်းပစ်ခတ်မှုများ ပြုလုပ်ခဲ့ရာတွင် [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]]က မိုးမောက်မြို့အနီးတွင် ရဟတ်ယာဉ်တစ်စီးကို ပစ်ချနိုင်ခဲ့သည်။ မည်သည့်ရဟတ်ယာဉ်အမျိုးစားဖြစ်သည်ဆိုသည်နှင့် အသုံးပြုခဲ့သော ဝေဟင်ပစ်လက်နက်အမျိုးအစားတို့ကို တပ်မတော်လေနှင့် KIA တို့မှ ထုတ်ဖော်ပြောကြားခဲ့ခြင်းမရှိပေ။<ref>{{Cite web|url=https://edition.cnn.com/2021/05/04/asia/myanmar-military-helicopter-parcel-bomb-intl-hnk/index.html|title=Kachin rebels shoot down military helicopter as parcel bomb kills 5 in central Myanmar}}</ref> * ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၁ ရက်နေ့တွင် [[ပြင်ဦးလွင်မြို့]] အနီးစခန်းလေဆိပ်သို့ ဆင်းသက်ရာတွင် Beechcraft 1900 အမျိုးအစား လေယာဉ်ပျက်ကျခဲ့ရာ ပျဉ်းမနား ဈေးကုန်းဆရာတော် ဒေါက်တာဘဒ္ဒန္တကဝသာရ အပါအဝင် ၁၂ ဦးသေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |url=https://www.channelnewsasia.com/news/asia/myanmar-military-plane-crash-kills-12--including-senior-monk-14992124 |title=Myanmar military plane crash kills 12, including senior monk |work=CNA|date=11 Jun 2021}}</ref> * ၂၀၂၁ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၈ ရက်နေ့တွင် [[မကွေး လေတပ်စခန်းဌာနချုပ်|မကွေးလေတပ်စခန်းဌာနချုပ်]]တွင် ပေါက်ကွဲမှုနှစ်ခု ဖြစ်ပွားခဲ့ရာ လေယာဉ်အချို့ ထိခိုက်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ အဆိုပါ ပေါက်ကွဲမှုကို ဗိဿနိုးပြည်သူ့ကာကွယ်ရေးအဖွဲ့က ပြုလုပ်ခဲ့သည် ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|date=16 August 2021|title=Myanmar Rebels Damage Aircraft During Airbase Attack|work=The Irrawaddy|url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/myanmar-rebels-damage-aircraft-during-airbase-attack.html/amp|access-date=24 August 2021}}</ref> * ၂၀၂၂ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၆ ရက်နေ့တွင် စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး၊ [[အုန်းတော (တောင်)ရွာ၊ စစ်ကိုင်းမြို့နယ်|အုန်းတောကျေးရွာ]]အနီးတွင် A-5 တိုက်လေယာဉ်တစ်စီး ပျက်ကျခဲ့ လေယာဉ်မှူးတစ်ဦး သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|date=16 February 2022|title=One military council fighter jet crashes|work=DVB news|url=http://burmese.dvb.no/archives/517324|access-date=16 February 2022}}</ref><ref>{{cite web |title=၂၀၂၁ မြန်မာစစ်အာဏာသိမ်း- တိုက်လေယာဉ်ပျက်ကျမှု လေယာဉ်မှူးသေဆုံးတယ်လို့ စစ်ကောင်စီပြော - ဘီဘီစီ မြန်မာ {{!}} အထူးသတင်း {{!}} နောက်ဆုံးရ သတင်း {{!}} နောက်ဆုံးရခေါင်းစဉ် သတင်း {{!}}မြန်မာသတင်း |url=https://www.bbc.com/burmese/live/burma-60389755 |website=BBC News မြန်မာ |access-date=၁၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၂၂ |language=my-MM}}</ref> *၂၀၂၂ ခုနှစ် မတ်လ ၂၉ ရက်နေ့တွင် Mi-17 အမျိုးအစား ရဟတ်ယာဉ်တစ်စင်းသည် ချင်းပြည်နယ်၊ [[ဟားခါးမြို့]]အနီးတွင် ပျက်ကျခဲ့ရာ လူငါးဦး ဒဏ်ရာရရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.irrawaddy.com/news/burma/myanmar-junta-helicopter-crashes-in-chin-state.html|access-date=2022-03-30|date=2022-03-29|title=Myanmar Junta Helicopter Crashes in Chin State|publisher=[[The Irrawaddy]]}}</ref> * ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် H120 လေကျင့်ရေးရဟတ်ယာဉ်တစ်စီးသည် စက်ချို့ယွင်းမှုကြောင့် [[လယ်ဝေးမြို့နယ်]]၊ လယ်ဒါကြီးရွာ အနောက်တောင်ဘက် ငါးမိုင်ခန့်အကွာ၌ ပျက်ကျခဲ့ရာ လိုက်ပါလာသည့် ရဟတ်ယာဉ်မှူးနှင့် သင်တန်းသားတစ်ဦး သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=ရဟတ်ယာဉ်ပျက်ကျမှုကြောင့် လေတပ်အရာရှိနှစ်ဦးသေဆုံး – Myanmar Now |url=https://myanmar-now.org/mm/news/38038/ |publisher=Myanmar Now |access-date=၁၇ ဇွန် ၂၀၂၃ |date=၁၆ ဇွန် ၂၀၂၃}}</ref> *၂၀၂၃ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာလ ၁၁ ရက်နေ့တွင် K-8W အမျိုးအစား လေ့ကျင့်ရေးလေယာဉ်တစ်စင်းသည် ကရင်နီပြည်နယ်၊ ဖရူဆိုမြို့အနီးတွင် ပျက်ကျခဲ့သည်။ ဒေသခံတော်လှန်ရေးအဖွဲ့က ပစ်ချခဲ့သည်ဟု ဆိုခဲ့ပြီး မြန်မာလေတပ်ကမူ စက်ချို့ယွင်းမှုကြောင့် ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |title=Incident Hongdu K-8W Karakorum 3942, |url=https://aviation-safety.net/wikibase/347782 |access-date=2024-01-20 |website=aviation-safety.net}}</ref> * ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၃ ရက်နေ့တွင် ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်က Mi-17 ရဟတ်ယာဉ်အား ကချင်ပြည်နယ် [[ဝိုင်းမော်မြို့နယ်]]အနီးတွင် FN-6 MANPAD ဖြင့် ပစ်ချခဲ့ရာ ရဟတ်ယာဉ်ပေါ်ပါရှိသော လူခုနစ်ဦးစလုံး သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Accident Mil Mi-17 , |url=https://aviation-safety.net/wikibase/349577 |access-date=2024-01-20 |website=aviation-safety.net}}</ref> * ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၁၆ ရက်နေ့တွင် [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]]က FTC-2000G လေ့ကျင့်ရေး/တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ်ကို ရှမ်းပြည်နယ်မြောက်ပိုင်း၊ [[ကွတ်ခိုင်မြို့နယ်]]၊ [[နမ့်ဖတ်ကာ (၂)ရွာ၊ ကွတ်ခိုင်မြို့နယ်|နမ့်ဖတ်ကာရွာ]]အနီးတွင် ပစ်ချခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=Junta Fighter Jet Shot Down By KIA in Northern Shan State |url=https://www.bnionline.net/en/news/junta-fighter-jet-shot-down-kia-northern-shan-state |access-date=2024-01-20 |website=Burma News International |language=en}}</ref> * ၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် တပ်မတော်လေ၏ Y-8 လေယာဉ်တစ်စင်းသည် အိန္ဒိယနိုင်ငံ၊ မီဇိုရမ်ပြည်နယ်၊ Lengpui လေဆိပ်တွင် ပြေးလမ်းချော်ကာ ပျက်စီးခဲ့သည်။<ref name="Y8d">{{cite web| URL=https://www.eurasiantimes.com/chinese-shaanxi-y-8d-aircraft-crashes-in-india-was/|date=2024-01-23|access-date=2024-01-27|publisher=The EurAsian Times|title=Made In China Shaanxi Y-8 Aircraft Crashes In India; Was Operated By Myanmar To Ferry Its Soldiers|first=Ashish|last=Dangwal}}</ref> *၂၀၂၄ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၉ ရက်နေ့တွင် [[ကရင်အမျိုးသား လွတ်မြောက်ရေး တပ်မတော်|ကရင်အမျိုးသားလွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]]က ထိုင်း-မြန်မာနယ်စပ် [[မြဝတီမြို့]]အနီးတွင် တပ်မတော်လေ၏ Eurocopter AS365 ရဟတ်ယာဉ်တစ်စင်းကို ပစ်ချခဲ့ရာ ဗိုလ်မှူးချုပ်အေးမင်းနောင်၊ ဗိုလ်မှူးစိုးလွင်ထွန်း၊ ဗိုလ်မှူး တိုးဦးနှင့် အခြားနှစ်ဦးတို့ သေဆုံးခဲ့သည်။<ref>{{cite web| URL=https://www.irrawaddy.com/news/burma/five-myanmar-junta-officers-killed-in-helicopter-crash.html |date=2024-01-29|access-date=2024-01-30|publisher=Irrawady|title=MFive Myanmar Junta Officers Killed in Helicopter Crash}}</ref> * ၂၀၂၄ ခုနစ် ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၉ ရက်နေ့တွင် တပ်မတော်(လေ) ၏ တိုက်ခိုက်ရေးဂျက်လေယာဉ်အမျိုအစား MiG-29 သည်မကွေးတိုင်း‌ဒေသကြီး စလင်းမြို့နယ်တွင် စက်ချို့ယွင်းပျက်ကျကာ ပိုင်းလော့နှစ်ဦးလေထီးဖြင့် လွတ်မြောက်ခဲ့သော်လည်း လေယာဉ်မှာမီးလောင်ပျက်စီးခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web |title=Junta Fighter Jet crash in magway State |url=https://apnews.com/article/mig-jet-fighter-crash-magway-6baa3a10b61205c4ff406acae47d51cd}}</ref> * ၂၀၂၄ ခုနစ် ဩဂုတ်လ ၂ ရက်နေ့တွင် တပ်မတော်(လေ) ၏ [[Eurocopter AS365 Dauphin]] တစ်စင်း ရေဘေးသင့်ကယ်ဆယ်ရန် မှော်ဘီလေတပ်စခန်းမှထွက်ခွာစဉ် ပျက်ကျခဲ့သည်။ ထိုပျက်ကျမှုအတွင် ‌တောင်ပိုင်းတိုင်း လေတပ်ကွပ်ကဲရေးမှူးချုပ် ဗိုလ်ချုပ် စိုးတင်လတ်နှင့် တွဲဘက်လေယာဉ်မှူး တို့သေဆုံးခဲ့သည်။ <ref>https://myanmar-now.org/mm/news/55797/</ref> * ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဇူလိုင် ၃ ရက်နေ့တွင် [[ဖားဆောင်းမြို့နယ်|ဖားဆောင်းမြို့]]အနီး၊ ကျောက်လုံးကြီးရွာတဝိုက်၌ ပျက်ကျခဲ့သော FTC-2000G တိုက်လေယာဉ်အမျိုးအစားကို တွေ့ရသည်။ ကရင်နီတော်လှန်‌ရေးပူးပေါင်းတပ်များက ယင်းစစ်တပ်တိုက်လေယာဉ်ကို ပစ်ချနိုင်ခဲ့သည်ဟု ပြောဆိုပြီး၊ “FTC-2000G က နည်းပညာပိုင်း ချို့ယွင်းမှုများတာကြောင့် စက်ချွတ်ယွင်းပြီး ပျက်ကျတာဖြစ်နိုင်သလို ရာသီဥတုဆိုးရွားတာကြောင့် ဖြစ်နိုင်တယ်” ဟု CDM တပ်ကြပ်ကြီးနောင်ရိုးက ပြောခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.bbc.com/burmese/live/cn4138kp9dnt?post=asset%3A9ea0a549-3884-4ef1-87cc-217a0820c0ff#asset:9ea0a549-3884-4ef1-87cc-217a0820c0ff|title=ကရင်နီမှာ စစ်တပ်တိုက်လေယာဉ်တစ်စင်းကို ပစ်ချခဲ့တယ်လို့ KNDF ပြော|accessdate=၂၀၂၅-၇-၄|publisher=ဘီဘီစီ မြန်မာ}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://burmese.dvb.no/post/712891|title=ပျောက်ဆုံး တိုက်လေယာဉ် ဖားဆောင်းမြို့အနီး ပျက်ကျနေ|accessdate=၂၀၂၅-၇-၄|publisher=ဒီဗွီဘီ}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://ayartimes.com/?p=56209|title=ကရင်နီတပ်ပေါင်းစုက ဖားဆာင်းအခြေစိုက် ခလရ-၁၄၃ တပ်ရင်းကို သိမ်းပိုက်နိုင်ခဲ့သည့်အပြင် လေကြောင်း တိုက်ခိုက်ရန်လာသည့် ဂျက်ဖိုက်တာကိုပါ ပစ်ချနိုင်ခဲ့|accessdate=2025-7-3|publisher=Ayeyarwaddy Times}}</ref> * ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဩဂုတ်   ၃ ရက်နေ့ နံနက် ၅ နာရီ ၁၆ မိနစ်ခန့်တွင် ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး၊ မှော်ဘီမြို့၏ အရှေ့တောင်ဘက် မီတာ ၈၅၀၀ ခန့်အကွာ ညောင်နှစ်ပင်ကျေးရွာအနီး ဝေဟင်တွင် တပ်မတော်(လေ)မှ တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ်တစ်စီးသည် လေ့ကျင့်ပျံသန်းရေး ဆောင်ရွက်စဉ် ငှက်တစ်ကောင်ဖြင့်တိုက်ခိုက်မှု (Bird Strike) ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ထိုငှက်သည် အင်ဂျင်ခန်းအတွင်းသို့ဝင်ရောက်သွားခဲ့သဖြင့် အင်ဂျင်မီးလောင်မှုဖြစ်ပွားခဲ့ရာ လေယာဉ်မှူး သည် လူနေအိမ်ရှင်းသည့်အရပ်မျက်နှာဘက်သို့လှည့်၍ Eject ပြုလုပ်၍ ခုန်ထွက်ခဲ့ရသည်။လေယာဉ်မှာမူ ပျက်စီးသွားခဲ့ကာ ထိုဖြစ်စဉ်တွင် လေယာဉ်အမှုထမ်းများ ထိခိုက်ဒဏ်ရာရရှိမှုမရှိကြောင်း စစ်တပ်သတင်းက ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |title=တပ်မတော်(လေ)မှ တိုက်ခိုက်ရေးလေယာဉ်တစ်စီး လေ့ကျင့်ပျံသန်းရေး ဆောင်ရွက်စဉ် ငှက်တစ်ကောင်ဖြင့် တိုက်ခိုက်မှု (bird strike ) ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး မတော်တဆမှုဖြစ်ပွား |url=http://www.moi.gov.mm/news/86156 |access-date=2026-08-03 |website=Ministry Of Information |language=en}}</ref> == အခြားလေ့လာရန် == * [[လေကြောင်းရန် ကာကွယ်ရေးတပ်ဖွဲ့]] * [[တပ်မတော် (ရေ)]] * [[တပ်မတော် (ကြည်း)]] == ကိုးကား == {{reflist}} {{တပ်မတော် (လေ)}} {{တပ်မတော်}} [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော်| ]] [[ကဏ္ဍ:တပ်မတော် (လေ)| ]] b5z7x70r1nnxps8fgatvny0cz5r3mti 0 8203 1060930 1030725 2026-10-31T23:27:44Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 0 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060930 wikitext text/x-wiki {| border="0" cellpadding="2" style="margin-left:7px; width: 24em; font-size: 90%; text-align: left;float:right;border:1px solid #D3D3D3; background-color:#F8F8FF; " |- | colspan="2" style="text-align: center; font-size: 130%; font-weight: bold;" | '''ကျိုတိုမြို့ (京都市)''' |- | colspan="2" style="text-align: center" |[[File:Kyoto montage.jpg|center|300px]] |-valign="top" | colspan="2" style="text-align: center" |ကျိုတိုမြို့ |-valign="top" |'''ဧရိယာ''' |827.90 km² |-valign="top" |'''လူဦးရေ''' |1,465,917 (2008) |-valign="top" |'''ဝက်ဆိုက်''' |[http://www.city.kyoto.jp/koho/eng/index.html City of Kyoto] {{Dead link|date=October 2026 }} |} '''ကျိုတိုမြို့''' (京都) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]] ဟွန်ရှူးကျွန်း အလယ်ပိုင်း ဒေသတွင် တည်ရှိသည့် ရှေးဟောင်း မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ လူဦးရေ ၁ သန်းခွဲခန့် ရှိပြီး ဂျပန်၏ မြို့တော်ဟောင်း ဖြစ်သည်။ ဤမြို့သည် ဂျပန်ယဉ်ကျေးမှု စတင်ထွန်းကားရာ မြို့ဖြစ်သည်။ "အရှေ့ဖျား ရောမမြို့တော်" ဟုလည်း တွင်သည်။ ဂျပန်နိုင်ငံတွင် စတုတ္ထအကြီးဆုံးမြို့ကြီးဖြစ်၍ ၇၉၄ ခုနှစ်မှ ၁၈၆၈ ခုနှစ်တိုင် မင်းနေပြည်တော် ဖြစ်ခဲ့သည်။ ကမ္ဘာပေါ်၌ အလှဆုံးသော မြို့ကြီးတစ်မြို့လည်း ဖြစ်သည်။ ရှေးဟောင်း အနုပညာ၏ လက်ရာဖြစ်သော အဆောက်အုံကြီးများ၊ လှပသော ပန်းဥယျာဉ်များ၊ ဘုံအဆင့်ဆင့်ရှိသော စေတီပုထိုးများ၊ ကျောင်းကန်တန်ဆောင်းကြီးများဖြင့် သိုက်မြိုက်တင့်တယ်လှသော မြို့ကြီးဖြစ်သည်။ အဆောက်အအုံနှင့် လမ်းများတည်ဆောက်ထားပုံမှာ တရုတ်ဆန်သည်။ လမ်းမကြီးများမှာ ဖြူးဖြောင့်ကျယ်ဝန်းပြီး တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ထောင့်မှန်ကျကျ ဖြတ်လျက် ရှိလေသည်။ <!-- == သမိုင်း == [[Image:Kyoto-map-c1940-after-Maraini.jpg|thumb|left|160px|]] Although [[archaeology|archaeological]] evidence places the first human settlement on the islands of Japan to approximately [[10,000 BC]], relatively little is known about human activity in the area before the 6th century AD. During the 8th century, when the powerful [[Buddhist]] clergy became involved in the affairs of the Imperial government, the [[Emperor]] chose to relocate the capital to a region far from the Buddhist influence. [[Emperor Kammu]] selected the village of Uda, at the time in the Kadono district of [[Yamashiro Province]], for this honor.<ref>Kyoto Exhibitors' Association (1910) ''Kyoto'' Kyoto Exhibitors' Association of the Japan-British exhibition, Kyoto, p. 3 [http://worldcat.org/oclc/1244391 OCLC 1244391]</ref> The new city, '''[[Heian-kyō]]''' (平安京 "tranquility and peace capital"), became the seat of Japan's imperial court in 794, beginning the [[Heian period]] of [[Japanese history]], named after Chinese word for capital city, ''jingdu'' (京都). In Japanese, the city has been called '''Kyo''' (京), '''Miyako''' (都) or '''Kyo no Miyako''' (京の都). In the 11th century, the city was renamed Kyoto ("capital city").<ref>Lowe, John. (2000). ''Old Kyoto: A short Social History,'' p. x.</ref> Kyoto remained Japan's capital until the transfer of the government to [[Edo]] in 1868 at the time of the [[Meiji Restoration|Imperial Restoration]]. (Some believe that it is still a legal capital: see [[Capital of Japan]].) After [[Edo]] was renamed [[Tokyo]] (meaning "Eastern Capital"), Kyoto was known for a short time as '''Saikyo''' (西京 ''Saikyō'', meaning "Western Capital"). An obsolete spelling for the city's name is '''Kioto'''; it was formerly known to the West as '''Meaco''' or '''Miako''' ({{lang-ja|都}}; miyako, meaning "the seat of Imperial palace" or "capital".). Another term commonly used to refer to the city in the pre-modern period was '''Keishi''' (京師), meaning "metropolis" or "capital". The city suffered extensive destruction in the [[Ōnin War]] of 1467-1477, and did not really recover until the mid-16th century. Battles between samurai factions spilled into the streets, and came to involve the court nobility (''[[kuge]]'') and religious factions as well. Nobles' mansions were transformed into fortresses, deep trenches dug throughout the city for defense and as firebreaks, and numerous buildings burned. The city has not seen such widespread destruction since. There was some consideration by the [[United States]] of targeting Kyoto with an [[atomic bomb]] at the end of [[World War II]] because, as an intellectual center of Japan, it had a population "better able to appreciate the significance of the weapon." <ref>Wyden, Peter. (1984). ''Day One: Before Hiroshima and After'', page 196.</ref> In the end it was decided to remove the city from the list of targets due to the insistence of [[Henry L. Stimson]], Secretary of War in the Roosevelt and Truman administrations. The city was largely spared from conventional bombing as well, although small-scale air raids did result in casualties. As a result, Kyoto is one of the few Japanese cities that still has an abundance of prewar buildings, such as the traditional townhouses known as ''[[machiya]]''. However, modernization is continually breaking down the traditional Kyoto in favor of newer architecture, such as the [[Kyoto Station]] complex. Kyoto became a [[city designated by government ordinance]] on [[September 1]], [[1956]]. In 1997, Kyoto hosted the conference that resulted in the [[Kyoto Protocol|protocol]] on [[greenhouse gas]] emissions that bears the city's name. --> == ယဉ်ကျေးမှု == ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ရှေးမြို့တော်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည့် ကျိုတိုမြို့သည် ကံကောင်းထောက်မစွာပဲ [[ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်]] အတွင်း [[ဟီရိုရှီးမားမြို့|ဟီရိုရှီးမား]]နှင့် [[နာဂါစာကီမြို့|နာဂါစာကီ]]ကဲ့သို့ ဗုံးကျဲဖျက်ဆီးခြင်း မခံခဲ့ရပေ။ ကျိုတိုမြို့သည် ဂျပန်နိုင်ငံတွင် ရှေးမူရှေးဟန်များကို အကောင်းဆုံး ထိန်းသိမ်းနိုင်သည့် မြို့တစ်မြို့ဖြစ်သည်။ ဘုရားကျောင်းနှင့် နတ်ကွန်း ၂၀၀၀ ခန့်၊ နန်းတော်၊ ပန်းခြံနှင့် အခြား ရှေးရိုးဟန် အဆောက်အအုံ အများအပြားကို တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ထို့အပြင် သာသနာရေးအချက်အချာမြို့ဖြစ်သည်။ တန်ဆောင်းကျောင်းကြီးများမှာ ကြီးမားခန့်ညားသော သစ်ပင်ကြီးများအကြား၌ မြေခုံအဆင့်ဆင့်နှင့် တင့်တယ်စွာ တည်ရှိကြသည်။ ယင်းတို့အနက် ဘုရားကျောင်းတစ်ခုမှာ ကမ္ဘာပေါ်၌ အကြီးဆုံးသော သစ်အဆောက်အအုံကြီးဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကရ အဆောက်အအုံမှာ ဂျပန်မင်းများ စံပျော်ခဲ့သော နန်းတော်ကြီးနှင့် နီဂျိုရဲတိုက်ကြီးဖြစ်သည်။ ထိုရဲတိုက်ကြီးမှာ ၁၅ ရာစု၊ စံပြဗိသုကာလက်ရာ ဖြစ်သည်။ ကျိုတိုမြို့တွင် တက္ကသိုလ်နှစ်ခုရှိသည်။ ခေတ်မှီ စက်ရုံအလုပ်ရုံများ မရှိချေ။ ပိုးထည်၊ [[ကြွေထည်]]၊ ပန်းထိမ်၊ ပန်းပု စသော လက်မှုလုပ်ငန်းများကိုသာ လုပ်ကိုင် ကြသည်။ ထိုလုပ်ငန်းများတွင် အခြားဂျပန်မြို့များက ကျိုတိုမြို့ကို မယှဉ်နိုင်ကြချေ။ ကျိုတို ဆင်ခြေဖုံးတွင် လက်ဖက်ပင် အကြီးအကျယ်စိုက်ပျိုးသည်။ ကျိုတိုလက်ဖက်ခြောက်မှာ ဂျပန်နိုင်ငံတွင် အကောင်းဆုံးဖြစ်သည်။ သို့သော် ပြည်ပမတင်ပို့ဘဲ နိုင်ငံတွင်း၌သာ သုံးစွဲလေသည်။ နှစ်ပေါင်း တစ်ထောင်ကျော် မင်းနေပြည်တော်ဖြစ်ခဲ့ရာမှ မေဂျီဘုရင်လက်ထက်တွင် တိုကျိုသို့ မြို့တော်ပြောင်းလိုက်သည်။ သို့သော်ငြားလည်း ဂျပန်မင်းများသည် ကျိုတိုနန်းတော်ကြီး၌သာလျှင် ဘိသက်ခံလေ့ရှိကြသည်။ ဒုတိယ ကမ္ဘာစစ်အတွင်းက ဂျပန်မြို့ကြီးများအနက် ကျိုတိုတစ်မြို့သာလျှင် မဟာမိတ်တို့၏ ဗုံးကြဲတိုက်ခိုက်ခြင်းမှ ကင်းလွတ်ခဲ့လေသည်။ ကျိုတိုလူဦးရေမှာ ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ် သန်းခေါင်စာရင်းအရ ၁၁, ၀၁၈, ၅၃ ဖြစ်သည်။ == ဓာတ်ပုံများ == ဘုရားကျောင်းများ <gallery> Image:KamigamoJinjya Saiden.jpg|[[Kamigamo Shrine]]<br /> (上賀茂神社) Image:Shimogamo 01.jpg|[[Shimogamo Shrine]]<br /> (下鴨神社) Image:Japan 2006 - Kyoto - Toji Pagoda.JPG|[[Tō-ji]] (東寺) Image:Kiyomizudera sakra01.jpg|[[Kiyomizu-dera]] (清水寺) Image:Saihouji-kokedera02.jpg|[[Saihō-ji]] (西芳寺) Image:Tenryu-Ji Garden.jpg|[[Tenryū-ji]] (天龍寺) Image:Kinkaku3402CBcropped.jpg|[[Kinkaku-ji]] (金閣寺） Image:RyoanJi-Dry garden.jpg|[[Ryōan-ji]] (龍安寺) Image:Nishihonganji4.jpg|[[Nishi Hongan-ji]]<br />(西本願寺) Image:Nijo Castle 1.jpg|[[Nijō Castle]] (二条城) Image:DaigojiKondo3237.jpg|[[Daigo-ji]] (醍醐寺) Image:GinkakujiTemple.jpg|[[Ginkaku-ji]]　(銀閣寺) Image:Ninnaji3.jpg|[[Ninna-ji]] (仁和寺) Image:Kozanji Kyoto Kyoto11s5s4592.jpg|[[Kōzan-ji]] (高山寺) </gallery> ==ပွဲတော်များ== <gallery> Image:Minami Kannonyama Gion Matsuri Yoiyama.jpg|[[Gion Matsuri]] (祇園祭) Image:Aoi-Matsuri-01.jpg|[[Aoi Matsuri]] (葵祭) Image:JidaiMatsuri Gohouren.jpg|[[Jidai Matsuri]] (時代祭) Image:Gozanokuribi Daimonji2.jpg|[[Gozan Okuribi]] (五山送り火) </gallery> == ကိုးကား == {{reflist|2}} [[Category:ကျိုတိုမြို့]] [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ မြို့များ]] jo54meupb24d7fcytl8t14a7cofdjtj 0 9648 1060958 422000 2026-11-01T04:01:35Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060958 wikitext text/x-wiki [[File:English_Bill_of_Rights_of_1689.jpg|right|thumb|နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း၁၆၈၉ (အင်္ဂလန်) ]] နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းသည် တိုင်းပြည်တစ်ပြည် ၏ နိုင်ငံသားများ ၏ အရေးအကြီးဆုံးသော အခွင့်အရေးများ ကို ပြုစုထားသော စာရင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို ဥပဒေ မူ ကြမ်းများ ၏ ရည်ရွယ်ချက်မှာ အခွင့်အရေးများကို ချိုးဖောက်ခြင်းများအား [[အစိုးရ]]မှ ကာ ကွယ်ပေးရန်ဖြစ်သည်။ "နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်း" ဟူသော အသုံးအ နှုန်းသည် အင်္ဂလန် မှ ဆင်းသက်လာပြီး ၎င်းသည် နိုင်ငံသားများ၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်း ၁၆၈၉ ကို ရည်ညွှန်းသည်။ နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းသည် ခိုင်မာ စွာ အမြစ်တွယ်နေခြင်း သို့မဟုတ် ခိုင်မာစွာအမြစ်တွယ်မှုမရှိခြင်း ဖြစ်နိုင်သည်။ == မူကြမ်း၂ခု၏ခြားနားချက် == ခိုင်မာစွာ အ မြစ်တွယ်နေသော နိုင်ငံသား တို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းသည် ပုံမှန် လုပ်ထုံးလုပ် နည်းများ မှတစ်ဆင့် နိုင်ငံ၏ ဥပဒေပြု လွှတ်တော်မှ ပြင်ဆင် မွမ်းမံခြင်း သို့မဟုတ် ရုပ်သိမ်းခြင်း ကို မပြုလုပ်နိုင်ပါ။ ၎င်းအစား သာလွန်သော အများစု သို့မဟုတ် ဆန္ဒခံယူပွဲ လိုအပ်သည်။ နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံ၏ အခြေခံဥပဒေ အစိတ်အပိုင်း ဖြစ်လေ့ရှိသောကြောင့် အခြေခံဥပဒေ ဆိုင်ရာ ပြင်ဆင်မှုများနှင့်သက်ဆိုင်သော အထူး လုပ်ထုံးလုပ်နည်းများကို လိုအပ်နိုင်သည်။ ခိုင်မာစွာ အမြစ်တွယ်ခြင်းမရှိသော နိုင်ငံသား တို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းသည် ပုံမှန် ဥပဒေ ပြု အဖွဲ့ကပြဋ္ဌာန်းထားသော ဥပဒေအစု ဖြစ်သောကြောင့် ဥပဒေပြု[[လွှတ်တော်]]၏ ဆန္ဒအတိုင်း ပြင်ဆင် မွမ်းမံခြင်း သို့မဟုတ် ဖျက်သိမ်းခြင်းကို ပြုနိုင်သည်။ တရားစီရင်ရေးတိုင်းသည် ၎င်း၏ နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းတွင် ရှင်းလင်းစွာဖော်ပြထားသော အခွင့်အ ရေးများကို ကာကွယ်ခြင်းအား ပြဋ္ဌာန်းထားခြင်း မရှိပါ။ ဩစတြေးလျ ပြည်နယ် အများအပြားတွင် လက်ရှိဖြစ်ပွားနေသော အငြင်းပွားမှုများ ရှိသော် လည်း [[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ|ဩစတြေးလျ]] သည် အခွင့်အရေးများ၏ အခြေခံဥပဒေဆိုင်ရာ နှင့် ဥပဒေပြုခြင်းဆိုင်ရာ မူကြမ်း မရှိသည့် တစ်ခုတည်းသော အနောက်တိုင်း နိုင်ငံဖြစ်သည်။ ဩစတြေးလျ ဝန်ကြီးချုပ် ဟောင်း ဂျွန်ဟောင်းဝပ် သည် ဩစတြေးလျအတွက် နိုင်ငံသားတို့၏ အခြေခံ ရပိုင်ခွင့်များ ဖော်ပြချက် တစ်ရပ်မှာ ရွေးကောက်တင်မြှောက် ခံထားရသော နိုင်ငံရေးသမားများ လက်မှ လုပ်ပိုင်ခွင့် အာဏာကို ရွေးကောက်တင်မြှောက်ခြင်းမခံရသည့် တရားသူကြီးများ နှင့် ဗျူရို ကရက်များ ထံသို့ လွှဲပြောင်းပေးသည့် သဘောသက်ရောက်သည့် အတွက် ကန့်ကွက်ခဲ့ သည်။ဗစ်တိုးရီးယား နှင့် ဩစတြေးလျမြို့တော် နယ်မြေဒေသ (ACT) (အေစီတီ) တို့ သည်သာ လူ့အခွင့်အရေးဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်းတစ်ရပ်ရှိသော နိုင်ငံ၏ ပြည်နယ်ဒေသများ ဖြစ်သည်။ == အရေးကြီးသောနိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ဥပဒေမူကြမ်း == # ဟမ္မူရာဘီ ကိုဓဥပဒေကျမ်း ၊ "ကျောက်သားပေါ်တွင် ရေးထွင်းထားသော" တိုက်ရိုက်အား ဖြင့် လူသားတိုင်းအတွက် အကျုံးဝငသည့် ဥပဒေများ နှင့် ပြစ်ဒဏ်များ ပါဝငသည့် သက်တမ်း အနှစ် ၄,၀၀၀ ရှိပြီဖြစ်သော စာရွက် စာတမ်းတစ်ခု (ဤနည်းအတိုင်း တစ် ဆင့်ခံ လွတ်လပ်ခွင့်များ) ။ ထိုခေတ်ကာလအတွင်းတွင် အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသ မှ အလားတူ ဥပဒေကျမ်း အများအပြားအနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ # ကလယ်ဆီသီနင်း(စ်) (ဘီစီ ၅၀၈၊ ဂရိ) ရေးခဲ့သော ရွေးကောက်တင် မြှောက်ခံရသည့် ခေါင်းဆောင်များနှင့် အစိုးရ၏ ကွဲပြားသော အဖွဲ့ခွဲများကို ခွင့်ပြုသည့် အေသင် ဒီမိုကရေစီ ကို တည်ထောင်ခြင်း ၊ ရှေးဟောင်း အေသင် ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေ ။ # မဂ်နာ ကာတာ ( ၁၂၁၅ ၊ အင်္ဂလန်) # ၁၂၂၂ ၏ ရွှေရောင် ကျွဲရိုင်း ( ၁၂၂၂ ၊ ဟန်ဂေရီ) # ဒူဆန် ၏ ဥပဒေကျမ်း ( ၁၃၄၉ ၊ ဆာဘီးယား) # ပက်တာ ထုံးနည်း ( ၁၅၇၃ ၊ ပိုလန်) # ဟန်နီစီယန် ပိုဒ်ခွဲ ( ၁၅၇၃ ၊ ပိုလန်) # အခွင့်အရေးများ အသနားခံလွှာ ( ၁၆၂၈ ၊ အင်္ဂလန်) # နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း၁၆၈၉ (အင်္ဂလန်) နှင့် အခွင့်အရေး တောင်းဆိုခြင်းဆိုင်ရာ အက်ဥပဒေ ၁၆၈၉ ( စကော့တလန်) ဤအရာသည် ထိုအချိန် အခါအတွင်းရှိ ဗြိတိသျှ ကိုလိုနီအားလုံးကို အကျုံးဝငပြီး နောက်ပိုင်းတွင် နိုင်ငံများဖြစ်လာ သော ထိုကိုလိုနီများ၏ ဥပဒေများတွင် ခိုင်မာစွာ အမြစ်တွယ်ခဲ့သည် - ဥပမာ ဩစ တြေးလျတွင် ကိုလိုနီ ဥပဒေများ အကျုံးဝင်မှု အက်ဥပဒေ ၁၈၆၅ နှင့် အတူ ဖြစ်ပေါ် ပြီး ဝက်(စ်)မင်စတာ၏ လွှတ်တော်မှအတည်ပြုသည့် ဥပဒေ ၁၉၃၁ မှ ပြန်လည် အတည်ပြုခြင်း ခံရ သည်။ # ဗာဂျီးနီးယား နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း (ဇွန်လ ၁၇၇၆) # [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၏ လွတ်လပ်ရေး ကြေညာချက် နိဒါန်း( ဇူလိုင်လ ၁၇၇၆) လူသားများနှင့် နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ကြေညာချက် ( ၁၇၈၉ ၊ ပြင်သစ်) # အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေ ပါ နိုင်ငံသားများ၏အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း( ၁၇၈၉ တွင် ပြီးစီးခဲ့ပြီး ၁၇၉၁ တွင် လက်မှတ်ရေးထိုးအ တည်ပြု ခဲ့သည်) # ဂရိနိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေ (၁၈၂၂ ၊ Epidaurus (အက်ပီဒါယူရပ်(စ်)) # ဖင်လန်နိုင်ငံ၏ အခြေခံ အခွင့်အရေးများနှင့် လွတ်လပ်ခွင့်များ ( ၁၉၁၉) [citation needed] # ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ အခြေခံ လူ့အခွင့်အရေး ကြေညာချက် ( ၁၉၄၈) # [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ|တရုတ်ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ]]ရှိ နိုင်ငံသားများ၏ အခြေခံ အခွင့်အရေးများနှင့် တာဝန် ဝတ္တရားများ ( ၁၉၄၉) # လူ့အခွင့်အရေးဆိုင်ရာ ဥရောပ ညီလာခံ (၁၉၅၀) # အိန္ဒိယနိုင်ငံသားများ၏ အခြေခံ အခွင့်အရေးများ ( ၁၉၅၀) # သွယ်ဝှက်ညွှန်းဆိုသော နိုင်ငံသားတို့၏အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမး (ကနေဒီ ယန် ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံ ဥပဒေတွင်ပါဝင်သော သဘောတရား တစ်ခု) # ကနေဒီယန် နိုင်ငံသားတို့၏အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း (၁၉၆၀) # အခွင့်အရေးနှင့် လွတ်လပ်မှုများဆိုင်ရာ ကနေဒီယန် ပဋိညာဉ် စာတမ်း ( ၁၉၈၂) # ဘရာဇီး(လ်) နိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံ ဥပဒေ ၏ ပိုဒ်ခွဲ ၅ ( ၁၉၈၈) # နယူးဇီလန် နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်းအက်ဥပဒေ ( ၁၉၉၀) # ဟောင်ကောင် နိုင်ငံသားတို့၏ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်းအမိန့်ပြန်တမ်း (၁၉၉၁) # တောင်အာဖရိက နိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေ အခန်း၂ ၊ နိုင်ငံသားတို့၏အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာဥပဒေမူကြမ်း ( ၁၉၇၈) # လူ့အခွင့်အရေး အက်ဥပဒေ ၁၉၉၈ (ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း) # ဥရောပ သမဂ္ဂ၏ အခြေခံ အခွင့်အရေးများဆိုင်ရာ ပဋိညာဉ် စာတမ်း (၂၀၀၆) == ကိုးကား == <references/> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * [https://web.archive.org/web/20130624075829/http://www.archives.gov/exhibits/charters/charters.html Transcript of the original U.S. Bill of Rights] * [http://www.history.com/topics/bill-of-rights The History Channel: Bill of Rights] [[Category:ဥပဒေ]] 9uypzovmo7dl4pdvrbxwcqlleh569tz 0 10644 1060914 1055600 2026-10-31T22:02:43Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060914 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:6sided dice.jpg|thumb|အရောင်လေးမျိုးရှိသော ခြောက်မျက်နှာပါ အန်စာတုံးလေးတုံး။ ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော မျက်နှာပြင် ခြောက်ခုစလုံးကို မြင်တွေ့နိုင်သည်။]] '''ဖြစ်တန်စွမ်း (probability)''' ဆိုသော ဝေါဟာရတွင် အဓိပ္ပာယ်များစွာ ရှိသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ လက်တင်စကားလုံး '''probabilitas''' မှ ဆင်းသက်လာပြီး သေချာမှု (certainty) သဘောတရား၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ၎င်းသည် [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏]] (event) '''ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော (probable)''' သဘာဝကို အကဲဖြတ်ခြင်းလည်း ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုးတစ်ခုသည် ၎င်း၏ သေချာမှုအတိုင်းအတာကို (degree of certainty) ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း ဖြစ်သည်။ ဖြစ်တန်စွမ်းသည် တိကျသော သင်္ချာသိပ္ပံပညာရပ် (mathematical science) တစ်ခုအဖြစ် တိုးတက်လာခဲ့ပြီး ၎င်းကို '''ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (probability theory)''' သို့မဟုတ် '''ဖြစ်တန်စွမ်းများ (probabilities)''' ဟု ရိုးရှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကြသည်။ အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းသည် သုည နှင့် တစ် ကြားရှိ [[ကိန်းစစ်]] (real number) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းဂဏန်း ပိုကြီးလေ အဖြစ်အပျက် ဖြစ်ပေါ်လာရန် '''စွန့်စားရနိုင်ခြေ (risk)''' သို့မဟုတ် '''ဖြစ်နိုင်ချေ (likelihood)''' ပိုများလေ ဖြစ်သည်။ ဖြစ်တန်စွမ်းကို သိပ္ပံနည်းကျ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာသမိုင်းတွင် မကြာသေးမီကမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အချို့သော ဖြစ်စဉ်များ အထူးသဖြင့် ကံစမ်းကစားနည်းများ၏ (games of chance) ကျပန်းဖြစ်မှု (randomness) နှင့် ပင်ကိုအားဖြင့် ကြိုတင်ခန့်မှန်း၍မရနိုင်သော သဘာဝများကို လေ့လာခြင်းကြောင့် ဆယ့်ရှစ်ရာစုမှစ၍ ဖြစ်တန်စွမ်း လေ့လာမှုသည် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဤစူးစမ်းလေ့လာမှုများက သင်္ချာပညာရှင်များကို သီအိုရီတစ်ခုအား ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် (formalize) ပြုလုပ်စေခဲ့သည်။ ထိုသီအိုရီသည် နောက်ပိုင်းတွင် မိုးလေဝသပညာ (meteorology)၊ ဘဏ္ဍာရေး (finance) နှင့် ဓာတုဗေဒ (chemistry) ကဲ့သို့သော ကွဲပြားသည့် နယ်ပယ်များတွင် အသုံးချမှုများကို တွေ့ရှိခဲ့သည်။ == အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းများ (Probabilities of an Event) == ဖြစ်တန်စွမ်းသည် ကျပန်းဖြစ်မှုကို (randomness) ကိန်းဂဏန်းဖြင့် ဖော်ပြရန် တိုင်းတာမှု (measure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ နှစ်ဆယ်ရာစုအစောပိုင်းတွင် ရရှိခဲ့သော သင်္ချာနည်းကျ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းသည် (formalization) ယနေ့တိုင်အောင် စံအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲ ဖြစ်သည်။ [[အဖြစ်အပျက်]] <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို <math>\mathbb{P}(A)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အဖြစ်အပျက် ဖြစ်ပေါ်လာမည့် ဖြစ်နိုင်ချေကို ကိုယ်စားပြုသော သုည နှင့် တစ် ကြားရှိ တန်ဖိုးတစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အကယ်၍ <math>\mathbb{P}(A)=1</math> ဖြစ်ပါက ယင်းအဖြစ်အပျက်ကို အားလုံးနီးပါး သေချာသည့် အဖြစ်အပျက် (almost sure event) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အကယ်၍ <math>\mathbb{P}(A)=0</math> ဖြစ်ပါက အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ကို သုည အဖြစ်အပျက် (null event) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအဖြစ်အပျက်များသည် ဖြစ်ပေါ်လာရန် ဖြစ်တန်စွမ်း သုညဖြစ်ကြောင်း ညွှန်ပြသည်။ အထူးသဖြင့် စမ်းသပ်မှုတစ်ခုကို (experiment) တူညီသော အခြေအနေများအောက်တွင် ထပ်ခါတလဲလဲ ပြုလုပ်နိုင်ပြီး အောင်မြင်သော ရလဒ်များကို (outcomes) ဇယားပြုစုနိုင်သည့်အခါတွင် အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို ကြိမ်ဖန်များစွာ အခြေခံသော ချဉ်းကပ်မှု (frequentist approach) ကို အသုံးပြု၍ အကဲဖြတ်နိုင်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ကို အခြေခံ ရလဒ်များ (elementary outcomes) အားလုံး ပါဝင်သော [[နမူနာ ရပ်ဝန်း|နမူနာရပ်ဝန်း]] (sample space) <math>\Omega</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်း]] (subset) တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ တိကျခိုင်မာသော သီအိုရီ အခြေခံအုတ်မြစ်တစ်ခု တည်ဆောက်ရန် အန်ဒရေး ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် (Andrey Kolmogorov) သည် အောက်ပါ ဖြစ်တန်စွမ်း [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (probability axioms) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) <math>\mathbb{P}</math> သည် အောက်ပါတို့ကို ပြည့်စုံစေရမည်။ # မည်သည့် အဖြစ်အပျက် <math>A</math> အတွက်မဆို <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math> ဖြစ်သည်။ # <math> \mathbb P(\Omega) = 1</math> ဖြစ်သည်။ # <math> A\cap B=\emptyset</math> ဟု ပေးထားပါက <math> \mathbb P(A \cup B)=\mathbb P(A) + \mathbb P(B)</math> ဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျခိုင်မာစွာ ဆိုရလျှင် နမူနာရပ်ဝန်း <math>\Omega</math> သည် စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ (σ-algebra) <math>\mathcal A</math> တစ်ခုနှင့် တပ်ဆင်ထားသည်။ အဖြစ်အပျက်များကို ဤ စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ၏ အစုဝင်များအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) <math>P</math> သည် စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ <math>\mathcal A</math> မှ အပိုင်းအခြား <math>[0,1]</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသော [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး အထက်ပါ နဂိုမှန်အဆိုများကို လိုက်နာသည်။ ဤနေရာတွင် တတိယ နဂိုမှန်အဆိုကို စုံတွဲအလိုက် ဘုံမပါသော (pairwise disjoint) အဖြစ်အပျက်များ၏ ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှုအထိ (countable additivity) တိုးချဲ့ထားသည်။ အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏ ဖြစ်ပေါ်မှု သို့မဟုတ် ဖြစ်တန်စွမ်းသည် အခြားတစ်ခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းနှင့် ပတ်သက်၍ မည်သည့် သတင်းအချက်အလက်မျှ မပေးပါက အဖြစ်အပျက် နှစ်ခုကို '''အမှီအခိုကင်းသော (independent)''' အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ဤအခြေအနေကို <math> \mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဘက်မလိုက်သော ခြောက်မျက်နှာပါ အန်စာတုံးတစ်ခုကို ခေါက်၍ <math>1</math> ရရှိရန် ဖြစ်တန်စွမ်းနှင့် နောက်ထပ် အမှီအခိုကင်းသော ဒုတိယအကြိမ် ခေါက်ရာတွင် <math>1</math> ရရှိရန် ဖြစ်တန်စွမ်းသည် ၎င်းတို့၏ သီးခြား ဖြစ်တန်စွမ်းများ၏ (marginal probabilities) မြှောက်လဒ်ဖြစ်ပြီး <math>(1/6) \times (1/6) = 1/36</math> ဖြစ်သည်။ ဤမူဘောင်သည် အဖြစ်အပျက် <math>B</math> ဖြစ်ပေါ်မှုအပေါ် အခြေခံ၍ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို '''ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် (conditionally)''' အကဲဖြတ်ခြင်းကိုလည်း ခွင့်ပြုသည်။ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော အခြေအနေမဟုတ်သောအခါ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း၏ (conditional probability) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် <math> \mathbb P(A\mid B)=\mathbb P(A\cap B)/\mathbb P(B)</math> အရ တစ်ခု၏ ဖြစ်ပေါ်မှုသည် အခြားတစ်ခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို (probability distribution) ပြောင်းလဲစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ပထမ အန်စာတုံးတွင် <math>6</math> ပြထားကြောင်း သိရှိထားလျှင် စံ အန်စာတုံး နှစ်တုံး၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>12</math> နှင့် ညီမျှရန် ဖြစ်တန်စွမ်းမှာ <math>1/6</math> ဖြစ်သည်။ ရှုပ်ထွေးသော ဖြစ်တန်စွမ်းများကို အကဲဖြတ်ရန် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း အများအပြား တည်ရှိသည်။ စံ သီအိုရီများတွင် '''ထည့်သွင်း-ဖယ်ကြဉ် မူဝါဒ (inclusion-exclusion principle)''' ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် '''စုစုပေါင်း ဖြစ်တန်စွမ်း နိယာမ (law of total probability)''' နှင့် '''ဘေးစ် ၏ သီအိုရမ် (Bayes' theorem)''' တို့လည်း ပါဝင်သည်။ == ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (Probability Theory) == ပတ်စကယ် နှင့် ဖဲမ တို့၏ စာပေးစာယူများကို သိရှိပြီးနောက် ခရစ္စတီယန် ဟိုင်းဂန် သည် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် ဖြေရှင်းချက်များကို အခြေခံ၍ ၁၆၅၇ ခုနှစ်တွင် ကံစမ်းကစားနည်းများတွင် ကျိုးကြောင်းဆင်ခြင်ခြင်းအကြောင်းဟူသော '''De ratiociniis in ludo aleae''' ကျမ်းကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ဤစာသားသည် ဖြစ်တန်စွမ်းနှင့် ပတ်သက်သည့် ပထမဆုံး ပြည့်စုံသော ကျမ်းအဖြစ် ရပ်တည်လျက်ရှိသည်။ ထိုကျမ်းတွင် ဟိုင်းဂန် သည် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့ပြီး အလောင်းအစားများကို ခွဲဝေခြင်းနှင့် မဲပုံးမော်ဒယ်များကို (urn models) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာနည်းကျ ချဉ်းကပ်မှုများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=Probabilities: Historical approach and definition. |url=http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=9 July 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120709182251/http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html |url-status=dead }}</ref> အခြား အခြေခံကျသော စာသားနှစ်ခုတို့မှာ ဂျေးကော့ ဘာနူးလီ ကွယ်လွန်ပြီးနောက် ထုတ်ဝေသော '''Ars Conjectandi''' (၁၇၁၃) နှင့် အေဗရာဟမ် ဒီ မွိုင်ဗာ (Abraham de Moivre) ၏ '''The Doctrine of Chances''' (၁၇၁၈) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ဘာနူးလီ ၏ စာအုပ်သည် ထပ်ခါတလဲလဲ စမ်းသပ်မှုများအတွက် ကြီးမားသော ကိန်းများဆိုင်ရာ နိယာမ၏ (law of large numbers) အစောဆုံး တိကျသော ဖော်ပြချက်ကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့ပြီး၊ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] သဘောတရားမှာ နောက်ပိုင်း သင်္ချာဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုများမှတစ်ဆင့် ဆင့်ကဲပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=A history of probability up to Laplace |url=http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=24 November 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061124101450/http://cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html |url-status=dead }}</ref> ဒီ မွိုင်ဗာ ၏ စာအုပ်သည် ဖြစ်တန်စွမ်းအတွက် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ၏ (combinatorics) အသုံးချမှုကို များစွာ ကျယ်ပြန့်စေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Hacking |first=Ian |title=The Emergence of Probability |date=1975}}</ref> ၁၈၉၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အီမိုင်း ဘိုရဲလ် (Émile Borel) ၏ အတိုင်းအတာသီအိုရီနှင့် (measure theory) တိုင်းတာနိုင်သော [[အစု|အစုများ]] (measurable sets) မိတ်ဆက်ခြင်းအပြီးတွင် စံပြ ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီသည် ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။ ဤအတိုင်းအတာသီအိုရီအခြေခံ နမူနာပုံစံကို အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) မှ ၎င်း၏ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) သီအိုရီမှတစ်ဆင့် စနစ်တကျ ချဲ့ထွင်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=History of probability from Borel to the Second World War |url=http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=24 November 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061124102720/http://cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html |url-status=dead }}</ref> ဗဟိုစုဆုံမှတ် သီအိုရမ်၏ (central limit theorem) ပထမဆုံး ခေတ်သစ်ပုံစံကို ၁၉၀၁ ခုနှစ်တွင် အလက်ဇန္ဒား လီယာပူးနော့ဗ် (Aleksandr Lyapunov) မှ ဖော်ထုတ်ခဲ့ပြီး<ref>{{Citation |title=Between De Moivre and Laplace |url=http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/smel/articles/etoiles/cadre_etoiles.html}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် ပေါလ် လေဗီ (Paul Lévy) သည် ၁၉၂၀ နှင့် ၁၉၃၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အဓိက တိုးတက်မှုများကို ဆက်လက်ဖော်ဆောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် အန်ဒရေး မားကော့ဗ် (Andrey Markov) သည် ကြီးမားသော ကိန်းများဆိုင်ရာ နိယာမကို အမှီအခိုရှိသော ကိန်းရှင်များ၏ (dependent variables) ကိန်းစဉ်များဆီသို့ (sequences) ယေဘုယျပြုရန် မူဘောင်တစ်ခုအနေဖြင့် မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းများ (Markov chains) ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=DicoMaths: Markov Chain |url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/markov.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=14 June 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150614102230/http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=.%2Fm%2Fmarkov.html |url-status=dead }}</ref> မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းများသည် နောက်ပိုင်းတွင် ဘရောင်းနီးယန်း ရွေ့လျားမှုမှသည် (Brownian motion) ဂူဂဲလ်၏ ပေ့ချ်ရန့် (PageRank) ကဲ့သို့သော ခေတ်သစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းများအထိ (algorithms) ဖြစ်စဉ်များကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ရန်အတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၉၃၃ ခုနှစ်သို့ရောက်မှသာ ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီသည် အသုံးချ နည်းစနစ်များ၏ ဖရိုဖရဲ စုစည်းမှုတစ်ခုမှ အန်ဒရေး ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် ၏ နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံများဖြင့် (axiomatic foundations) အမြဲတမ်း ခိုင်ခံ့စွာ ကျောက်ချထားသော တိကျခိုင်မာပြီး ကိုယ်တိုင်ရပ်တည်နိုင်သည့် သင်္ချာဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ကူးပြောင်းသွားခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=An article on the establishment of the axiomatization of probabilities |url=http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf}}</ref> ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် ကီယိုရှီ အီတိုး (Kiyoshi Itô) သည် [[ကဲကုလပ်|စတော့ကတ်စတစ် ကဲကုလပ်]] (stochastic calculus) မူဘောင်ကို တီထွင်ခဲ့ပြီး အီတိုး ၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်ကို (Itô's lemma) ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။<ref>{{Citation |title=Biography of Itô on the MacTutor site |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ito.html}}</ref> ဤကြီးမားသော တိုးတက်မှုသည် စတော့ကတ်စတစ် ကဲကုလပ်နှင့် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]]အကြား (partial differential equations) သေချာရေရာသော အချိတ်အဆက်တစ်ခုကို တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး ဖြစ်တန်စွမ်းကို စံပြ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနှင့် (classical analysis) ပေါင်းစည်းပေးခဲ့သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် သင်္ချာပညာရှင် ဝုဖ်ဂန် ဒိုဘလင် (Wolfgang Doeblin) သည် ၁၉၄၀ ပြည့်နှစ် ဇွန်လတွင် ၎င်း၏ စစ်တပ်ရှုံးနိမ့်ပြီးနောက် မိမိကိုယ်ကို အဆုံးစီရင်ခြင်း မပြုမီ အလားတူ သီအိုရီမူဘောင်တစ်ခုကို အမှီအခိုကင်းစွာ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သိပ္ပံအကယ်ဒမီတွင် ချိပ်ပိတ်၍ အပ်နှံထားသော သူ၏ လက်ရေးမူများသည် ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်အထိ ဖွင့်မကြည့်ဘဲ ကျန်ရှိနေခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last1=Bru |first1=Bernard |last2=Yor |first2=Marc |title=Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin |journal=C. R. Acad. Sci. Paris, Series I |volume=331 |date=2000}}. On Doeblin's life, see {{Citation |last=Bru |first=Bernard |title=La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les archives parisiennes |journal=Math. Inform. Sci. Humaines |volume=119 |date=1992 |pages=5-51}} and {{Citation |title=Biography of Doeblin on the MacTutor site |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Doeblin.html}}</ref> === နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Axiomatization) === နှစ်ဆယ်ရာစုအစောပိုင်းတွင် ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် သည် ကျပန်းဖြစ်မှုကို (randomness) တိကျခိုင်မာသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ လေ့လာမှုပြုလုပ်ရန် လိုအပ်သည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများကို]] စနစ်တကျ ပြုစုခဲ့သည်။ သူသည် ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော အခြေခံ ရလဒ်များအားလုံး (elementary outcomes) ပါဝင်သည့် [[နမူနာ ရပ်ဝန်း|နမူနာရပ်ဝန်းကို]] (sample space) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ထို့နောက် နမူနာရပ်ဝန်း၏ တိုင်းတာနိုင်သော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (measurable subsets) ပါဝင်သည့် စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ရလဒ်များ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းများကို တွက်ချက်ရန် ဤအရာအပေါ်သို့ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) တစ်ခုကို သက်ရောက်စေခဲ့သည်။ ရရှိလာသော [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း]] (probability space) <math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> သည် ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် ၏ နဂိုမှန်အဆို သုံးခုကို ပြည့်စုံစေရမည်။<ref name="Sinai6">{{Citation |last=Sinaï |first=Yakov |title=Probability Theory: An Introductory Course |date=1992 |page=6}}</ref> # '''အနုတ်မဟုတ်ခြင်း''' (Non-negativity) - [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်တစ်ခု၏]] ဖြစ်တန်စွမ်းသည် သုည နှင့် တစ် ကြားရှိ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math> A\in \mathcal A</math> အတွက်မဆို <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math> ဖြစ်သည်။ # '''ပုံမှန်ဖြစ်စေခြင်း သို့မဟုတ် ယူနစ် အတိုင်းအတာ''' (Normalization or unit measure) - နမူနာရပ်ဝန်းတစ်ခုလုံး၏ ဖြစ်တန်စွမ်းမှာ တစ် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math> \mathbb P(\Omega) = 1</math> ဖြစ်သည်။ # '''ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှု''' (Countable additivity) - အချင်းချင်း ဖယ်ကြဉ်သော (mutually exclusive) စုံတွဲအလိုက် ဘုံမပါသည့် (pairwise disjoint) အဖြစ်အပျက်များ၏ မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော [[ကိန်းစဉ်]] (countable sequence) <math> A_1,A_2,\dots \in \mathcal A</math> အတွက်မဆို မည်သည့် <math> i\neq j</math> တွင်မဆို <math> A_i\cap A_j=\emptyset</math> ဖြစ်ပါက <math> \mathbb{P} \left( \bigcup_{i\geq 1}A_i \right) = \sum_{i\geq 1}\mathbb{P} (A_i)</math> ဖြစ်သည်။ === ကျပန်းကိန်းရှင်များ၊ ဖြန့်ဖြူးခြင်းများနှင့် ဝိသေသလက္ခဏာ သတ်မှတ်ချက်များ (Random Variables, Distributions, and Characterizations) === ကျပန်းဖြစ်စဉ်များကို (random phenomena) ထိရောက်စွာ မော်ဒယ်တည်ဆောက်ရန် ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီသည် ကျပန်းကိန်းရှင်များကို (random variables) မှီခိုသည်။ ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုသည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိနိုင်သည်။ (real-valued) ၎င်းသည် ကျပန်း[[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] (vectors) ကဲ့သို့ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimensions) မျိုးစုံရှိနိုင်သည်။ သို့မဟုတ် ၎င်းကို ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများ (complex spaces) ဆီသို့ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ကိန်းစစ် ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုသည် (real random variable) အခြေခံရလဒ် <math>\omega\in \Omega</math> တစ်ခုစီကို သီးခြား စမ်းသပ်မှုအကောင်အထည်ပေါ်လာခြင်း (experimental realization) <math> X(\omega)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော တိုင်းတာနိုင်သည့် (measurable) [[ဖန်ရှင်]] <math> X:\Omega \rightarrow \mathbb R</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Le Gall93">{{Citation |last=Le Gall |first=Jean-François |title=Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires |date=2006 |page=93}}</ref> ကျပန်းကိန်းရှင်တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းဖြင့် (probability distribution) အခြေခံအားဖြင့် ဝိသေသလက္ခဏာ သတ်မှတ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာတစ်ခု (probability measure) ဖြစ်သည်။ ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို ပေါင်းစု ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function - CDF) မှတစ်ဆင့် သင်္ချာနည်းအရ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ပကတိ အဆက်မပြတ် ကိန်းရှင်များအတွက် (absolutely continuous variables) ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function - PDF) ကို အသုံးပြုသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ ကိန်းရှင်များအတွက်မူ (discrete variables) ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (probability mass function - PMF) ကို အသုံးပြုသည်။ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းများကို မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value)၊ စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ မိုမန့်များ (statistical moments)၊ ကွဲလွဲချက် (variance) နှင့် ကိန်းရှင်များစွာအကြားရှိ အမှီအခိုကင်းသော တည်ဆောက်ပုံ (independence structure) စသည့် ကန့်သတ်ကိန်းများမှတစ်ဆင့် (parameters) မကြာခဏ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာကြသည်။ === စုဆုံခြင်း နှင့် စုဆုံမှတ် သီအိုရမ်များ (Convergence and Limit Theorems) === ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များဖြစ်သော]] <math> (X_n, n\in \mathbb N)</math> ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းသည်]] (mathematical analysis) [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ၏]] (limits) တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို လိုအပ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကွဲပြားသော စတော့ကတ်စတစ် စုဆုံခြင်း (stochastic convergence) ပုံစံများစွာ တည်ရှိသည်။<ref name="Bertoin34">{{Citation |last=Bertoin |first=Jean |title=Probabilités : cours de licence |date=2000 |page=34}}</ref> ယင်းတို့မှာ အခြေခံဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာများ၏ (probability measures) စုဆုံခြင်းဖြစ်သော '''ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution)'''၊ '''ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability)'''၊ '''အားလုံးနီးပါး သေချာသော စုဆုံခြင်း (almost sure convergence)''' နှင့် <math>L^p</math> စုဆုံခြင်းဟုလည်းခေါ်သော '''ပျမ်းမျှအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean)''' တို့ ဖြစ်ကြသည်။ === စတော့ကတ်စတစ် ကဲကုလပ် (Stochastic Calculus) === [[ကဲကုလပ်|စတော့ကတ်စတစ် ကဲကုလပ်]] သည် အချိန်နှင့်အမျှ ကျပန်း (randomly) ဆင့်ကဲပြောင်းလဲနေသော (evolve) စနစ်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် သင်္ချာဆိုင်ရာ မူဘောင်ဖြစ်သည်။<ref name="Yor15">{{Citation |last1=Revuz |first1=Daniel |last2=Yor |first2=Marc |title=Continuous Martingales and Brownian Motion |date=2004 |page=15}}</ref> အချိန်ကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကန့်သတ်ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် (discrete parameter) သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math> 0,1,2,\dots </math> ဖြင့် ကန့်သတ်ကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ အနန္တ ကိန်းစဉ် <math> (X_n,n\geq 0)</math> ကို ထုတ်ပေးသည်။ စံပြ ဥပမာများတွင် ကျပန်းလမ်းလျှောက်မှုများနှင့် (random walks) တစ်ပိုင်းတစ်စ-အချိန် (discrete-time) မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းများ ပါဝင်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အချိန်ကို အဆက်မပြတ် (continuous) ကန့်သတ်ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် (parameter) သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math> t\in \mathbb R_+</math> သို့မဟုတ် <math> t\in \mathbb R</math> ဖြစ်ပြီး အဆက်မပြတ်-အချိန် စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ် (continuous-time stochastic process) <math> (X_t,t\geq 0)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ စတော့ကတ်စတစ် ကဲကုလပ် သည် ထိုကဲ့သို့သော လုပ်ငန်းစဉ်များ၏ အရေးကြီးသည့် ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို (properties) ခွဲထုတ်ပြသသည်။ မားကော့ဗ် ဂုဏ်သတ္တိ (Markov property) အရ အနာဂတ် အခြေအနေများ၏ (future states) ကန့်သတ်ချက်ပါ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် (conditional probability distribution) လက်ရှိ အခြေအနေအပေါ်တွင်သာ (current state) တိကျစွာ မူတည်နေပြီး အတိတ်သမိုင်းကြောင်းကို (past history) စာရင်းအင်းအရ (statistically) သက်ဆိုင်မှုမရှိစေကြောင်း ပြဋ္ဌာန်းသည်။ ထပ်တလဲလဲဖြစ်ခြင်း (recurrence) နှင့် အကူးအပြောင်းဖြစ်ခြင်း (transience) ဟူသော သဘောတရားများသည် မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းတစ်ခုသည် ပေးထားသော အခြေအနေတစ်ခုဆီသို့ အနန္တအကြိမ်အရေအတွက် (infinitely often) ပြန်လည်ရောက်ရှိမည်လား သို့မဟုတ် နောက်ဆုံးတွင် ၎င်းကို လုံးဝစွန့်ခွာသွားမည်လား ဆိုသည်ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။ ထို့အပြင် မာတင်ဂေးလ် (martingale) သည် လက်ရှိ သတင်းအချက်အလက် စစ်ထုတ်မှုအောက်တွင် (current information filtration) အနာဂတ် အခြေအနေတစ်ခု၏ ကန့်သတ်ချက်ပါ မျှော်မှန်းချက်သည် (conditional expectation) လက်ရှိ အခြေအနေနှင့် တိကျစွာ ညီမျှနေသည့် (precisely equal) သီးခြား စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ==ကိုးကား== [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] lwgauxswxurilx3kni23khwubd9envo 0 13851 1060871 1054129 2026-10-31T14:00:59Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060871 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} {{Short description|ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း ပါဝင်သော ကိန်း}} [[File:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|right|ကိန်းထွေး (Complex number) <math>z</math> ကို အာဂန် ပုံကြမ်းဟု ခေါ်ဆိုသော ပုံကြမ်းပေါ်ရှိ အပြာရောင် တည်နေရာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာ]] သို့မဟုတ် အနီရောင် အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ် ကိန်းစုံတွဲ <math>(a, b)</math> ဖြင့် မြင်သာအောင် ကိုယ်စားပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါပုံကြမ်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>Re</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>Im</math> သည် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ဖြစ်သည်။ <math>i</math> သည် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။]] သင်္ချာပညာတွင် '''ကိန်းထွေး''' (Complex number) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစနစ် (Number systems) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် [[ကိန်းစစ်]] (Real number) များကို <math>i</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော သီးခြားအစုဝင်တစ်ခုဖြင့် တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ <math>i</math> ကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် <math>i^2= -1</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ အထက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းစစ် မရှိသည့်အတွက် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) က <math>i</math> ကို [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်]] (Imaginary number) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေးကိုမဆို <math>a + bi</math> ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>a</math> ကို ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>b</math> ကို ကိန်းယောင်ပိုင်း (Imaginary part) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများ၏ [[အစု|အစု]]ကို <math>\mathbb{C}</math> သို့မဟုတ် '''C''' သင်္ကေတ တစ်ခုခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဝေါဟာရအရ ကိန်းယောင်ဟု ခေါ်ဆိုသော်လည်း ၎င်းတို့သည် စိတ်ကူးယဉ်သက်သက် မဟုတ်ဘဲ သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းစစ်များနည်းတူ တကယ့်တည်ရှိမှုများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် အလွန်သေးငယ်သော စကေးရှိ သဘာဝတရား၏ လုပ်ဆောင်ချက်များကို ရူပဗေဒနည်းကျ ရှင်းလင်းရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ကိန်းစစ်များကဲ့သို့ပင် သဘာဝတရားနှင့် ထူးခြားစွာ တစ်သားတည်းကျနေပြီး ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကမ္ဘာကြီးကို သိပ္ပံနည်းကျ ဖော်ပြရန် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ <ref>{{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger Penrose |title=The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics |url=https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr |publisher=Oxford University Press |year=1989 |page=[https://archive.org/details/emperorsnewmind00penr/page/87 87] |isbn=978-0-19-851973-7}}</ref><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (mathematician) |title=Professor Stewart's Incredible Numbers |publisher=Basic Books |year=2015 |isbn=978-0-465-04271-5}}</ref> ကိန်းထွေးများသည် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (Polynomial equations) အားလုံးအတွက် အဖြေများကို ရရှိစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်နယ်ပယ်တွင် အဖြေမရှိသော ညီမျှခြင်းများအတွက်ပင် အဖြေရှာပေးနိုင်သည်။ သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း <math>x^2-1=0</math> ကို ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်အဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း <math>x^2+1=0</math> တွင်မူ ကိန်းစစ်အဖြေ တစ်ခုမျှမရှိပေ။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ပြီး ၎င်းကို တစ်ထပ်ပေါင်းပါက သုညနှင့် မည်သို့မျှ ညီမည်မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားရန် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရရှိသည့် <math>i</math> ကို တီထွင်ခဲ့ရသည်။ <math>-i</math> သည်လည်း -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းထွေးများ၏ လိုအပ်ချက်သည် တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများကို ကာဒါနို (Cardano) ၏ နည်းလမ်းဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အဖြေရှာရာမှ အဓိကပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Earl2024">{{cite web |last=Earl |first=Richard |title=Introduction to Complex Numbers |url=https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex.pdf |publisher=Mathematical Institute, University of Oxford |year=2024 |access-date=2024-01-15}}</ref> ပိုမိုတိကျစွာ ဆိုရလျှင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) အရ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ကိန်းသေမဟုတ်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းတိုင်းတွင် ကိန်းထွေးအဖြေတစ်ခု အမြဲတမ်းရှိသည်ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းထွေးများကို ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associative property)၊ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (Commutative property) နှင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive laws) တို့အပြင် <math>i^2=-1</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းကို အသုံးပြု၍ သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးတိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိပြီး ၎င်းသည် သုညမှလွဲ၍ အခြားကိန်းထွေးများဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်ပေါ်စေနိုင်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် ကိန်းထွေးများသည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်လာပြီး ကိန်းစစ်များသည် ၎င်း၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) ဖြစ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကြောင့် <math>a + bi = a + ib</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မည်သည့်ပုံစံဖြင့် ရေးသားမည်ဆိုသည်မှာ သတ်မှတ်ထားသော အစဉ်အလာအပေါ် မူတည်သည်။ ကိန်းထွေးများသည် <math>\{1,i\}</math> ကို စံအခြေအစု (Standard basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသည့် ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Real vector space) တစ်ခုကိုလည်း ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤစံအခြေအစုသည် ကိန်းထွေးများကို ကာတီးရှန်း ပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပေးပြီး ၎င်းကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယင်းက ကိန်းထွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ တွက်ချက်မှုများကို ဂျီဩမေတြီနည်းကျ ဖွင့်ဆိုရှင်းလင်းခွင့် ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ၏ အလျားလိုက်ဝင်ရိုးအဖြစ် ပုံဖော်ထားသည်။ အလားတူပင် <math>i</math> ၏ ကိန်းစစ် ဆတိုးကိန်းများသည် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ် (Polar coordinates) ဖြင့်လည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းတွင် အချင်းဝက်ကို ကိန်းထွေး၏ ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးမှ တိုင်းတာသော ထောင့်ကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (Argument) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းထွေးများသည် ကြွယ်ဝသော တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့သည် တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် တစ်ခု၊ ကိန်းစစ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space) တစ်ခု ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (Definition and basic operations) == [[File:Complex_numbers_intheplane.svg|right|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီတွင် ဖော်ပြထားသော အမျိုးမျိုးသော ကိန်းထွေးများ။]] [[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|ကိန်းထွေးတစ်ခုကို ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံကြမ်းဖြင့် ပြနိုင်သည်။]] ကိန်းထွေး (Complex number) ကို ကိန်းစစ်များ (Real numbers) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (Ordered pair) <math>(a, b)</math> တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ မတူညီလျှင် <math>(a, b)</math> နှင့် <math>(b, a)</math> တို့ကို မတူညီသော အရာများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေး <math>x = (a, b)</math> နှင့် <math>y = (c, d)</math> တို့၏ ညီမျှခြင်းတွင် <math>a = c</math> နှင့် <math>b = d</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>x = y</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေးများ၏ အပေါင်း တွက်ချက်မှုကို <math>x + y = (a + c, b + d)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး မြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုကို <math>xy = (ac - bd, ad + bc)</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976">{{cite book |last=Rudin |first=Walter |author-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0070856134 |pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/12 12]-14}}</ref> ထိုအပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုတို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များအရ ကိန်းထွေးများအားလုံးပါဝင်သော [[အစု|အစု]]သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခုဖြစ်လာသည်။ ဤဖီးလ်ဒ်တွင် <math>(0, 0)</math> သည် သုည၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်ပြီး <math>(1, 0)</math> သည် တစ်၏ အခန်းကဏ္ဍတွင် ပါဝင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့အတွက်မဆို <math>(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)</math> နှင့် <math>(a, 0)(b, 0) = (ab, 0)</math> ဟူသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>(a, 0)</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းထွေးများသည် ပုံမှန်ကိန်းစစ်များနှင့် ထပ်တူညီသော ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုင်ဆိုင်ကြရာ <math>(a, 0)</math> အား <math>a</math> နှင့် အတူတူဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်နိုင်ပြီး ကိန်းစစ်စနစ်သည် ကိန်းထွေးစနစ်၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) တစ်ခုသာဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။<ref name="Rudin1976"/> အနုတ်တစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဟူသော နားလည်ရန်ခက်ခဲသည့် သဘောတရားကို အသုံးမပြုဘဲ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>i = (0, 1)</math> ဟူသော အစီအစဉ်ကျအတွဲအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အထက်ပါ မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>i^2 = -1</math> ဖြစ်ကြောင်းကို <math>i^2 = (0, 1)(0, 1) = (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0) = (-1, 0) = -1</math> ဟု ပုံစံတကျ သက်သေပြနိုင်သည်။ ဂျီဩမေတြီအရ ဤအစီအစဉ်ကျအတွဲများကို စံကိုဩဒိနိတ်များပါရှိသော ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်တစ်မှတ်၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုပြင်ညီကို ''ကိန်းထွေးပြင်ညီ'' သို့မဟုတ် ''အာဂန် ပုံကြမ်း'' ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Pedoe |first=Dan |author-link=Daniel Pedoe |title=Geometry: A comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988 |isbn=978-0-486-65812-4}}</ref> စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို အခြားသော အက္ခရာသင်္ချာ နည်းလမ်းပေါင်းများစွာဖြင့် ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref name="nLab">{{cite web |author=nLab authors |title=Complex Numbers |url=https://ncatlab.org/nlab/show/complex+number |website=nLab |access-date=2024-01-15}}</ref> ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (Isomorphic)။ ဤတွင် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> သည် ပိုလီနိုမီရယ် <math>x</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (Equivalence class) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> ပုံစံရှိ <math>2 \times 2</math> ကိန်းစစ် ကိန်းအုံများ၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းအဖြစ်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ထိုတည်ဆောက်ပုံတွင် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့သည် ကိန်းထွေး ဂဏန်းသင်္ချာကို ထင်ဟပ်စေသည်။ === အပေါင်းနှင့် အနုတ် (Addition and subtraction) === ကိန်းထွေးနှစ်ခုဖြစ်သော <math>a =x+yi</math> နှင့် <math>b =u+vi</math> တို့ကို ပေါင်းရာတွင် ၎င်းတို့၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းများနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို သီးခြားစီ ပေါင်းရသည်။ ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] ပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူ သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ယင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display=block>a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.</math> အလားတူပင် နုတ်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ <math display=block>a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.</math> ဤစနစ်တွင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>0=0+0i</math> ဖြစ်ပြီး ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်မှာ <math>-z=(-x)+(-y)i</math> ဖြစ်သည်။ === မြှောက်ခြင်း (Multiplication) === ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display=block>(a+bi) \cdot (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i.</math> ဥပမာအားဖြင့် <math>(2-i)(3+4i) = 2 \cdot 3 - ((-1) \cdot 4) + (2 \cdot 4 + (-1) \cdot 3)i = 10 +5i.</math> ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဤအချက်တွင် <math>i^2 = i \cdot i = -1</math> ဟူသော အခြေခံပုံသေနည်းသည် သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ ဤစနစ်အတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ <math>1=1+0i</math> ဖြစ်သည်။ === ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်၊ ပကတိတန်ဖိုး၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် နှင့် စားခြင်း (Complex conjugate, absolute value, argument and division) === [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|upright=0.8|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ <math>z</math> နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် <math>\bar{z}</math> တို့၏ ဂျီဩမေတြီ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ၏ ''ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်'' (Complex conjugate) ကို <math>\bar{z} = x-yi</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |author-link=Tom M. Apostol |title=Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |year=1981 |pages=[https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm/page/15 15]–16 |isbn=978-0-201-00288-1}}</ref> ဂျီဩမေတြီအရ <math>\bar{z}</math> သည် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုးကို အခြေပြု၍ <math>z</math> ၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (Reflection) ဖြစ်သည်။ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် [[အင်ဗော်လူးရှင်း|အင်ဗော်လူးရှင်း]] (Involution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ကြိမ်ပြုလုပ်ပါက မူလကိန်းထွေးကို ပြန်လည်ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>\overline{\overline{z}}=z</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာများအပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributive property) သက်ရောက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}</math>၊ <math>\overline{zw} = \overline{z}\overline{w}</math> နှင့် <math>\overline{(z/w)} = \overline{z}/\overline{w}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> သင်္ချာရှုထောင့်အရ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဆက်မပြတ် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] [[အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်|အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Automorphism) တစ်ခုတည်းသာ ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ်များကို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariant) အဖြစ် ကျန်ရှိစေသည်။<ref name="nLab" /> ကွန်ဂျူဂိတ်သည် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများကို ထုတ်ယူရန်အတွက် အက္ခရာသင်္ချာနည်းလမ်း တစ်ခုကို ထောက်ပံ့ပေးသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display="block">\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2}, \quad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}</math> မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> အတွက်မဆို မြှောက်လဒ် <math display=block>z \cdot \overline z = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>z</math> ၏ ''ပကတိတန်ဖိုး''၊ တစ်နည်းအားဖြင့် မော်ဂျူးလပ်စ် သို့မဟုတ် ပမာဏကို <math>|z|</math> ဟု သင်္ကေတပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square root) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန် ခွင့်ပြုပေးသည်။ <math display="block">|z|=\sqrt{x^2+y^2}.</math> ယင်းသည် <math>z\bar{z} = |z|^2</math> ဟူသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="nLab" /> ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>|z|</math> သည် မူလနေရာ (Origin) မှ ကိန်းထွေး <math>z</math> ကို ကိုယ်စားပြုသော အမှတ်အထိ အကွာအဝေး ဖြစ်သည်။ ပကတိတန်ဖိုးသည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိကို ပြည့်စုံစေသည်။ ထို့ပြင် အောက်ပါအတိုင်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality) ကိုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>||z|-|w||\le|z+w|\le |z| + |w|</math> ယင်းအပြင် <math>\operatorname{Re}(z)\le |z|</math> နှင့် <math>\operatorname{Im}(z) \le |z|</math> အချက်များလည်း မှန်ကန်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ မည်သည့် ကိန်းထွေးနှစ်ခု <math>z</math> နှင့် <math>w</math> အကြား အကွာအဝေးကိုမဆို <math>|z - w|</math> ဖြင့် ဖော်ပြပေးသည်။ တြိဂံ မညီမျှခြင်းများအပြင် <math>z = 0</math> မဟုတ်လျှင် <math>|z| > 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>|zw| = |z||w|</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိများလည်း အမြဲမှန်ကန်သည်။ ထို့အပြင် <math>a_1, \dots, a_n</math> နှင့် <math>b_1, \dots, b_n</math> တို့သည် ကိန်းထွေးများဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Schwarz inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref name="Rudin1976"/> <math display=block>\left| \sum_{j=1}^n a_j \bar{b}_j \right|^2 \le \sum_{j=1}^n |a_j|^2 \sum_{j=1}^n |b_j|^2</math> ကွန်ဂျူဂိတ်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အလိုရှိရာ ကိန်းထွေး <math>w = u + vi</math> ကို သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x + yi</math> ဖြင့် စားခြင်းအား တွက်ချက်နိုင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို ပိုင်းခြေ၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် မြှောက်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block> \frac{w}{z} = \frac{w\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{w\bar{z}}{|z|^2} = \frac{(u + vi)(x - iy)}{x^2 + y^2} = \frac{ux + vy}{x^2 + y^2} + \frac{vx - uy}{x^2 + y^2}i. </math> အကယ်၍ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z = x+yi</math> အတွက် ပိုင်းခြေစစ်စစ် <math>1/z</math> ကို ရှာဖွေလိုပါက အထက်ပါနည်းအတိုင်း <math>\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} +\frac{-y}{x^2+y^2} i</math> အဖြစ် လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေး <math>z \ne 0</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် သို့မဟုတ် အခြေပြထောင့် <math>\varphi</math> (argument or phase) သည် အပေါင်းကိန်းစစ်ဝင်ရိုးနှင့် အချင်းဝက် ဗက်တာကြားရှိ ထောင့်ဖြစ်ပြီး <math>\arg z</math> ဟု ရေးသားသည်။ ၎င်းကို <math>\cos \varphi = \frac{x}{|z|}</math> နှင့် <math>\sin \varphi = \frac{y}{|z|}</math> တို့ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး သုညအတွက်မူ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်ကို သတ်မှတ်မထားပေ။<ref name="Earl2024" /> === ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Polar form and Euler's Formula) === ပကတိတန်ဖိုး <math>r = |z|</math> နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ရှိသော မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z</math> အတွက်မဆို အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် မှန်ကန်သည်။ <math display=block>z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi)</math> ဤထပ်တူညီမှုကို <math>z</math> ၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ <math>e^x</math>၊ <math>\cos x</math> နှင့် <math>\sin x</math> တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ကို ကိန်းထွေး နယ်ပယ်သို့ တိုးချဲ့ခြင်းဖြင့် '''အွိုင်လာ ပုံသေနည်း''' (Euler's formula) ဟု လူသိများသော အခြေခံ ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <ref name="Earl2024" /> <math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်]] (Complex exponential function) အသုံးပြု၍ အများဆုံးနှင့် အသေသပ်ဆုံး ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math display=block>z = r e^{i\varphi}</math> ကိန်းထွေးနှစ်ခုကို ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံဖြင့် ပေးထားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်နှင့် စားလဒ်ကို အလွန်ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ တွက်ချက်ရာတွင် ပကတိတန်ဖိုးများကို မြှောက်ရမည် သို့မဟုတ် စားရမည် ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များကို ပေါင်းရမည် သို့မဟုတ် နုတ်ရမည် ဖြစ်သည်။ <math display=block>z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}</math> <math>e^{i\varphi}</math> အဖြစ် ဖော်ပြသော မော်ဂျူးလပ်စ် <math>1</math> ရှိသည့် ကိန်းထွေးများကို ယူနီမော်ဂျူလာ (unimodular) ဟုခေါ်သည်။ ၎င်းတို့သည် စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) <math>S^1</math> ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{T}</math> အဖြစ်လည်း ရေးသားဖော်ပြသည်။ <math>\mathbb{C}^\times = \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> ဖြစ်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုရှိ သုညမဟုတ်သော မြှောက်ခြင်းသည် ဂျီဩမေတြီသဘောတရားအရ အရွယ်ပြောင်းခြင်း နှင့် လှည့်ခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times \cong S^1 \times \mathbb{R}_{>0}</math> ဟူသော တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ်အဖြစ် ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>S^1</math> သည် လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုပြီး ထိုလှည့်ခြင်းများကို ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် <math>\varphi</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့ပြင် အပေါင်း ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}_{>0}</math> သည် တစ်ပြေးညီ အရွယ်ပြောင်းခြင်းကို ကိုယ်စားပြုပြီး ၎င်းသည် ပမာဏများကို ဖော်ပြခြင်းဖြစ်သည်။ === ထပ်ကိန်းများ နှင့် ကိန်းရင်းများ (Powers and roots) === ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်း (n-th power) ကို ဒေ မွာဗ်၏ ပုံသေနည်း (de Moivre's formula) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ယင်းပုံသေနည်းကို မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>\varphi</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> အတွက်မဆို အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှ တိုက်ရိုက် ဆင်းသက်ရယူထားခြင်း ဖြစ်ပြီး အနုတ်ကိန်းပြည့် <math>n < 0</math> ဖြစ်ပါက <math>z \ne 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။<ref name="Earl2024" /> <math display=block> z^{n} = (r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math> ကိန်းထွေး <math>z</math> ၏ <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display=block>z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math> ဤတွင် <math>0 \le k \le n - 1</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z^n = 1</math> ညီမျှခြင်းတွင် ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဟု လူသိများသော မတူညီသည့် အဖြေ <math>n</math> ခု ရှိသည်။ အာဂန် ပုံကြမ်းတွင် <math>n \ge 3</math> အတွက် အဆိုပါ ကိန်းရင်းများသည် [[ယူနစ်စက်ဝိုင်း]]အတွင်း ဆွဲသားထားသော ပုံမှန် အနား <math>n</math> ခုပါ ဗဟုဂံ (regular polygon) တစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းမှတ်များ (vertices) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး၊ <math>n = 1</math> နှင့် <math>n = 2</math> အတွက် အမှတ်တစ်ခုနှင့် မျက်နှာချင်းဆိုင် အမှတ်တစ်စုံတို့ကို အသီးသီး ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref name="Earl2024" /> <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုရှိ အစုဝင်တိုင်းသည် ယူနစ်ရင်း (root of unity) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{C}^\times</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်း (finite subgroup) တိုင်းသည် [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု|ဆိုက်ကလစ်]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို အကြီးဆုံး အစဉ် <math>n \in \mathbb{N}</math> ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုမှ ထုတ်လုပ်ပေးပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းတို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\left\{ e^{2\pi i \frac{k}{n}} \mid k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \right\}</math> ဤအစုဝင်များအားလုံးသည် ယူနစ်စက်ဝိုင်း (unit circle) <math>S^1</math> ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ အဆုံးရှိ အုပ်စုပိုင်းများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စုသည် <math>\mathbb{C}^\times</math> ၏ အလိမ် အုပ်စုပိုင်း (torsion subgroup) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ ထိုစားလဒ်အုပ်စုသည် ယူနစ်ရင်းများအားလုံး ပါဝင်သော အုပ်စု <math>\mu_\infty</math> ဖြစ်သည်။ ဤ အလိမ် အုပ်စုပိုင်းသည် ၎င်း၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ပြည့်စုံစေခြင်းဖြစ်သော စက်ဝိုင်းအုပ်စု <math>S^1</math> တွင် သိပ်သည်းသည် (dense)။ <math>S^1</math> သည် 1-စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of algebra) === အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးများ <math>a_0, \dots, a_n</math> အတွက်မဆို <math>a_n \neq 0</math> နှင့် ပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒီဂရီ သည် <math>n \ge 1</math> ဖြစ်ပါက <math display=block>a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တိကျစွာ ကိန်းရင်း <math>n</math> ခု ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဤနေရာတွင် ထပ်တူညီသော ကိန်းရင်းများကိုပါ ထည့်သွင်းရေတွက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> ကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (Algebraically closed field) တစ်ခုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ်အရ ပိုလီနိုမီရယ်တွင် တိကျစွာ ကိန်းစစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါဝင်ပါက မည်သည့် ကိန်းထွေး ကိန်းရင်းများမဆို ကွန်ဂျူဂိတ် စုံတွဲများအဖြစ်သာ တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>z_0</math> သည် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\overline{z_0}</math> သည်လည်း ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။<ref name="Earl2024" /> === အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း နှင့် ပြည့်စုံမှု (Metric space and completeness) === ကိန်းထွေးများအားလုံး ပါဝင်သော ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (Metric space) တစ်ခုကို ဖန်တီးပေးသည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့အကြားရှိ သင်္ချာဆိုင်ရာ အကွာအဝေး (Distance) ကို ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုးကို အသုံးပြု၍ <math>d(x, y) = |x - y|</math> ဟု တိုက်ရိုက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref name="Rudin1976"/> ကိန်းထွေးပြင်ညီသည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (Complete metric space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ကိန်းထွေးများပါဝင်သော မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ် (Limit) တစ်ခုဆီသို့ အောင်မြင်စွာ စုဆုံသည် (Converge) ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း၌ မည်သည့်ဟာကွက်မျှ မရှိကြောင်းကို ဤအချက်က ဖော်ပြနေသည်။<ref name="Rudin1976"/> === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ နှင့် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Extended complex plane and complex analysis) === [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|upright=0.9|ကိန်းထွေးပြင်ညီကို ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် အပေါ်သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြင့် ထင်ဟပ်ဖော်ပြခြင်း။]] သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\mathbb{C}</math> သို့ အနန္တရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{C}_\infty</math> ဟုခေါ်သော '''တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ''' (Extended complex plane) ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\mathbb{C}</math> ကို အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) ဖြစ်သည်။<ref name="nLab" /> ၎င်းကို ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (Stereographic projection) မှတစ်ဆင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် တစ်ခုပေါ်သို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (Bijective mapping) ဖြင့် ဆက်စပ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းကို '''ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင်''' (Riemann sphere) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤရပ်ဝန်းတွင် မျဉ်းများနှင့် စက်ဝိုင်းများကြား ကွဲပြားမှု ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ မျဉ်းများကို အနန္တကို ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းများအဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref name="Earl2024" /> ကိန်းထွေးအလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ကို တိကျစွာ လေ့လာခြင်းသည် သင်္ချာပညာရပ်၏ အကိုင်းအခက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်များကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ (Holomorphic functions) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ထိုပညာရပ်ကို '''ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ''' (Complex analysis) ဟု လူသိများသည်။ ကိန်းထွေးအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုသည် ကိန်းစစ်အလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှုထက် များစွာပို၍ တင်းကျပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များတွင် ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိနေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ခြင်းနှင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြင့် သဘာဝကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်ခြင်းတို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Earl2024" /> == ကိုးကားချက်များ (References) == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] gcfijof2l6bq6k815yt7kd34dtyes9q 0 16089 1061006 1043525 2026-11-01T11:38:47Z ~2026-58128-35 150259 /* Straw Hat Priates */ 1061006 wikitext text/x-wiki {{Infobox animanga/Header | image = one piece.gif | caption = ဝမ်းပိစ်ကာတွန်းဇာတ်လမ်း ပိုစတာ | genre = {{ubl|[[:en:Adventure fiction|Adventure]]<ref name="VizOfficial"/> |[[:en:Fantasy]]<ref name="VizOfficial">{{cite web|url=https://www.viz.com/one-piece|title=The Official Website for One Piece|publisher=[[Viz Media]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20210211210332/https://www.viz.com/One-Piece|archive-date=February 11, 2021|url-status=live}}</ref>}} }} {{Infobox animanga/Print |type = Manga |author = [[:en:Eiichiro Oda]] |publisher = [[:en:Shueisha]] |publisher_en = {{ubl|[[:en:Madman Entertainment]] ([[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ|ဩစတြေးလျ]])|[[:en:Viz Media]] ([[မြောက်အမေရိက]]/[[ယူနိုက်တက် ကင်းဒမ်း|ယူကေ]])}} |demographic = ''[[:en:Shōnen manga|Shōnen]]'' |imprint = [[:en:Jump Comics]] |magazine = [[:en:Weekly Shōnen Jump]] |magazine_en = {{ubl|[[:en:Shonen Jump (magazine)|Shonen Jump]]|[[:en:Weekly Shonen Jump (American magazine)|Weekly Shonen Jump]]}} |first = July 22, 1997<!-- Please do NOT change the release date without first discussing it on the talk page. --> |volumes = 115 |volume_list = List of One Piece manga volumes }} {{Infobox animanga/Other |title = Anime television series |content = * [[:en:One Piece (TV series)|''One Piece'']] (1999–present) }} {{Infobox animanga/Other |title = Media franchise |content = * [[:en:List of One Piece media|List of ''One Piece'' media]] ** [[:en:List of One Piece films|List of ''One Piece'' films]] ** [[:en:One Piece (2023 TV series)|''One Piece'' live action series]] ** [[:en:List of One Piece video games|List of ''One Piece'' video games]] ** [[:en:Music of One Piece|Music of ''One Piece'']] }} {{Infobox animanga/Footer|portal=no}} '''ဝမ်းပိစ်''' သည် ၁၉၉၇၊ ဇူလိုင်လ ၁၉ ရက်နေ့တွင် စတင်ထွက်ရှိခဲ့ပြီး ယနေ့ထိတိုင် ထွက်ရှိဆဲဖြစ်သော ဂျပန်အခန်းဆက် ကာတွန်းစာအုပ် ဖြစ်သည်။ ရေးသားသူမှာ [[ဂျပန်လူမျိုး]] [[ကာတွန်းဆရာ]] အီးချီရိုအိုဒါ ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ကာတွန်းတွင် အဓိက ဇာတ်ကောင် အဖြစ် လူဖီ(Monkey.D.Luffy) ဟူသော ကောင်လေးတစ်ယောက် ပါဝင်သည်။ ထိုကောင်လေး သည် ၁၇နှစ်မျှသာရှိသေးသော ပင်လယ်ဓားပြ ခေါင်းဆောင်တစ်ယောက်ဖြစ်ချင်သည့် ကောင်လေး တစ်ယောက်ဖြစ်သည်။ သူ၏ အခြားတစ်ပါးသောရည်ရွယ်ချက်မှာ ဝမ်းပိစ်ဟုခေါ်သော ကမ္ဘာ့ အကြီးဆုံးသော ရတနာသိုက် ကိုရှာဖွေရန်ပင်ဖြစ်သည်။ ထိုကောင်လေးသည် မှော်သစ်သီး ကို စားမိသောကြောင့် သူ၏ စွမ်းအားမှာ အံ့မခန်းပင်ဖြစ်သည်။ မှော်သစ်သီးကို စားသုံးမိသောကြောင့် သူ၏ခန္ဓာကိုယ်သည် ရာဘာကဲ့သို့ လိုသလို ဆွဲဆန့်ခြင်းများပြုလုပ်နိုင်ပေ၏။ ထိုသို့ အရေပြားဆွဲဆန့်၍ တိုက်ခိုက်ခြင်းသည် သူ၏ အဓိက တိုက်ကွက်ဖြစ်လာပေသည်။ ထိုကောင်လေး ၏ရည်ရွှယ်ချက်များကို အကောင်အထည်ဖော်ရန် အတွက်ထွက်လာခဲ့သော ခရီးလမ်းတွင် သူသည် သူငယ်ချင်းကောင်းများစွာကိုလည်း ပိုင်ဆိုင်ခဲ့သည်။ ထိုသူများမှာ အစဉ်လိုက်အားဖြင့် ဓားသမား ဇိုရို၊ လမ်းပြ နာမီ၊ လိမ်တတ်တဲ့ လက်ဖြောင့်တပ်သား ယူဆော့၊ စားဖိုမှူး စန်ဂျီ၊ လူစကားပြောနိုင်သောဆရာဝန် တိုနီချော့ပါ၊ ရှေးဟောင်း သုတေသန ပညာရှင် နီကိုရော်ဘင်၊ သင်္ဘောပြင်တဲ့ စက်ရုပ်လူ ဖရန်ကီ၊ ဂီတသမား ဘရုခ် နဲ့ မာလိန်မှူး ဂျင်ဘီ တို့ပင်ဖြစ်သည်။ ထိုသူများအနက် နာမီနှင့် ရော်ဘင်တို့ သည် မိန်းကလေးများ ဖြစ်ပြီး ကျန်သူများသည် ယောက်ျားလေးများ ဖြစ်သည်။ ထိုသူငယ်ချင်းများကလည်း ဝမ်းပိစ် ဟူသော ဂျပန်ကာတွန်းကို ပိုမိုအောင်မြင်အောင် စွမ်းဆောင်နိုင်ခဲ့သည်။ ထို ကာတွန်းသည် ရယ်ရွှင်စရာများ နှင့်အတူ ဝမ်းနည်းကြေကွဲစရာများလဲ ပါတတ်ပြန်၏။ ထိုကာတွန်းအခန်းဆက်စာအုပ်သည် အောင်မြင်လာသောကြောင့် ကာတွန်းကားများအနေဖြင့်သော်လည်းကောင်း ဖြန့်ချိကြပြန်သည်။ သို့ဖြစ်သောကြောင့် ပိုမို၍ အရှိန် အဟုန်မြှင့်ကာ အောင်မြင်ခဲ့ပေသည်။ ကာတွန်းအခန်းဆက်များမှာ စာအုပ်ရေ အများဆုံး အနေနှင့် ၃.၈ သိန်းအထိရောင်းချနိုင်ခဲ့သည်။ ထိုကြောင့်လည်း ဂျပန်နိုင်ငံ ၏သမိုင်းကြောင်းတစ်လျှောက်တွင် ရောင်းအားအကောင်းဆုံးအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့သည်။ == One Piece World == [[File:Onepiece-welt (2).png|upright=1.18|right|thumb|The globe of the ''One Piece'' world.]] == ဇာတ်ကွက် == Straw Hat Pirates (麦わら海賊団 Mugiwara Kaizokudan?) ဟာ One Piece series မှာ အဓိကဇာတ်ကောင်တွေ ဖြစ်ပြီး Monkey D. Luffy က အဓိက ဇာတ်ဆောင်အဖြစ် ပါဝင်ပါတယ်။ ဒီဇာတ်လမ်းတွဲကို ဂိုး ဒီ ရော်ဂျာ အမည်ရှိသော ပင်လယ်ဓားပြတို့ ထိပ်ခေါင် ကြီး ကိုကွပ်မျက်ခြင်းက အစပြုခဲ့သည်။ သူမသေခင်တွင် တနည်းအားဖြင့် ဝမ်း ပိစ် ဟို အမည်ခေါ်တွင်သည့် သူရဲ့ ရတနာများတည်ရှိသည့်နေရာ သဲလွန်စကို လူပေါင်းများစွာတည်ရှိသည့် လူသတ်ကွင်းတွင် ကြေညာခဲ့သောကြောင့် သူ့ သေဆုံးမှုသည် မဟာ ပင်လယ်ဓားပြခေတ်ကြီးကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး မရေမတွက်နိုင်သော ပင်လယ်ဓားပြများသည့်သူ့ ရတနာသိုက်ကိုရှာဖွေရန် ဂရမ်းလိုင်း (Grand Line ) ဟိုခေါ်တွင်သော အရပ်ဆီသို့ အသီးသီးချီတက်ခဲ့ကြသည်။ သို့ရာတွင် ထို ဂရမ်းလိုင်း ဟူသောအရပ်သည် လွန်စွာများ ရက်စက်ကြမ်းကြုတ်ပြီး ပင်လယ်ပြင်အခြေအနေရာသီဥတုမှာလည်း ခန့်မှန်းရခက်ခဲသဖြင့် အမြောက်အမြားမှာသေဆုံးခဲ့ရသည်။ ရော်ဂျာ သေဆုံးပြီးအနှစ်နှစ်ဆယ်ခန့်ကြာသောအခါတွင် မန်ကီ ဒီ လူဖီ (Monkey. D . Luffy ) အမည်ရှိ လူငယ်လေး သူလွန်စွာမှအားကျလှသော ဆံနီ ရှန့် (Red Haired Shank) အမည်ရှိ နာမည်ကြီးပင်လယ်ဓားပြတစ်ယောက် အားပေးမှုကြောင့် အဆိုပါ ဝမ်းပိစ် (One Piece) အမည်ရှိ ရတနာသိုက်ကိုရှာဖွေရန် အရှေပိုင်းပင်လယ်ပြာ (East Blue ) မှ ခရီးထွက်ခဲ့သည်။ လမ်းတစ်လျှောက်တွင် သူသည် ကောက်ရိုးဦးထုပ်(Straw Hat) အမည်ရှိ ပင်လယ်ဓားပြအဖွဲ့ကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သည်။ Luffyရဲ့ ကောက်ရိုးဦးထုပ်လေးကတော့ Red-Haired Shanks က Luffy ငယ်စဉ်မှာ ပေးခဲ့တာဖြစ်ပါတယ်။ "Straw Hats" ဆိုတာကတော့ Luffy ရဲ့အမှတ်အသားဖြစ်တဲ့ ကောက်ရိုးဦးထုပ်လေးကို ကိုယ်စားပြုသလို တစ်ခါတစ်ရံ "Luffy Pirates" တွေကိုလည်း Series အစောပိုင်းမှာ ခေါ်လေ့ရှိပါတယ်။ အဆိုပါခရီးလမ်းတွင် အမြဲတမ်းလမ်းပျောက်တက်သော ရဲရင့်သည့် ဓားသမား ရော်ရိုနိုဝါ ဇော်ရိုး(Roronoa Zoro) ၊ ပိုက်ဆံနှင့် လိမ္မော်သီးကိုလွန်စွာမှ မက်မောပြီး သူတစ်ပါးပစ္စည်းခိုးရာတွင် တစ်ဖက်ကမ်းခတ်ထူးချွန်သော နာမီ (Nami) အမည်ရှိ လမ်းပြကောင်မလေး ၊ လွန်စွာမှ ကြောက်တက်ပြီး သူမတူအောင် လိမ်လည်တက်သော ဥဆောပု (Usopp) ၊ ချောမောလှပသော မိန်းမမှန်သမျှ ဖွန်ကြောင်တက်သည့် စာဖိုမှူး ဆန်ဂျီ (Sanji) အသွင်ပြောင်းလဲနိုင်ပြီး ဆေးပညာကျွမ်းကျင်သည့် ဒေါက်တာ တိုနီတိုနီ ချော့ပါ ( Tony Tony Chopper ) အမည်ရှိ သမင်လေး ၊ သိရခက်သော ရှေးဟောင်သုတေသန ပညာရှင် နီကိုရိုဘင် (မူလ က ကောက်ရိုးဦးထုပ်အဖွဲ့ ရဲ့ရန်သူဟောင်း ဖြစ်ခဲ့သည် ) ၊ လျှပ်ပေါ်လောလီသည့် လူတစ်ပိုင်း စက်ရုပ်တစ်ပိုင်း ဆိုင်ဘော့ (Cyborg) တစ်ဦးဖြစ်သည့် သင်္ဘောပြင်ဆရာ ဖရန်ကီ (Franky) နှင့် အရိုးခြောက် အနုပညာရှင် ဘရုတ်ဒ်ခ် (Brook) တို့ဖြစ်ကြသည်။ အဆိုပါသူတို့ ဖြတ်သန်းခဲ့သည့် ခရီးတစ်လျှောက်တွင် မြောက်မြားစွာသော ရန်သူများနှင့်ကြုံတွေ့ခဲ့ရသည်။ ၎င်းတို့မှာ ရေတပ်သားများ ၊ ရှီချီဘူခိုင်း (Shichibukai ) ခေါ် ပင်လယ်ရဲ့ စစ်ဘုရင်ခုနှစ်ယောက် (Seven Warlords of the Sea ) ၊ နေမင်း (Sun Priates) ပင်လယ်ဓားပြအဖွဲ့ ဟောင်းရဲ့ အားလုံ (Arlong) အမည်ရှိ ရေသူထီး (အားလုံကိုအနိုင်ရပြီးနောက်ပိုင်းတွင် လူဖီမှာ ဘီလီ (Billi) သန်းသုံးဆယ်ပေါက်ဈေးဖြင့်စဖွင့်ကာ ဆုတော်ငွေ ဝရမ်းထုတ်ခြင်းကိုခံရသည်။ ) တို့အပြင် ဘာရိုကွီး (Baroque Work) အမည်ရှိ အာလာဘစတာ (Alabasta) တွင်ပြည်တွင်းစစ်ဖြစ်အောင် ဖန်တီးနေသော လျှို့ဝှက်အဖွဲ့အစည်း (ထိုအဖွဲ့အစည်းကိုအောင်မြင်ပြီးနောက်ပိုင်းတွင် လူဖီရဲ့ ၀ရမ်း ဘီလီ฿ (Billi) သန်းတစ်ရာအထိ ဆုကြေးငွေပေါက်ခဲ့ပြီး ၎င်းရဲ့ ပထမဆုံးတွဲဖက် (nakama) ဖြစ်သည့် ရော်ရိုနိုဝါ ဇော်ရိုးမှာမှု ဘီလီ သန်းခုနှစ်ဆယ်ပေါက်ခဲ့သည်။) ၊ လူဖီကဲ့သို့ပင် ပင်လယ်ဓားပြထိပ်ခေါင် ဘ၀ကိုရည်မှန်းသော မုတ်ဆိတ်နက် (BlackBread ) အမည်ရှိ ပင်လယ်ဓားပြနှင့် ၎င်းရဲ့အပေါင်းပါများကိုရင်ဆိုင်ရပါသေးသည်။ ထို့အပြင်လူဖီတို့ တစ်သိုက်သည် အန်နာရူ အမည်ရှိ ကောင်းကင်တွင်လွင့်မျောနေသော ကျွန်းပျံများပေါ်တွင်လည်း တိုက်ပွဲများဖြစ်ခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အာဟိုကီဂျီ အမည်ရှိ ရေတပ်ဗိုလ်ချုပ်ကြီးနဲ့ တွေ့မိကာ အဆိုပါ ဗိုလ်ချုပ်ကြီးက Poneglyph ကိစ္စတွင် Robin ပါဝင်ပတ်သတ်နေကြောင်းသတိပေးပြောကြားခဲ့သည်။ ထိုနောက် ကမ္ဘာနိုင်ငံကြီးများအစည်းအရုံးရဲ့ထောက်လှမ်းရေးဖြစ်သော CP9 ( နီကိုရိုဘင် ရဲ့ မွေးရပ်မြေကိုမီးရှို့ဖျက်ဆီးခဲ့သော) ဖြင့်ရင်ဆိုင်တိုက်ခိုက်ရပြန်သည်။ CP9 ကိစ္စတွင် Enies Lobby အမည်ရှိ ကမ္ဘာနိုင်ငံကြီးများဆိုင်ရာ တရားရုံးတည်ရှိရာ မြို့တစ်ခုလုံးကို ဖျက်ဆီးခဲ့သောကြောင့် လူဖီအပါအဝင် ကောက်ရိုးဦးထုပ် ပင်လယ်ဓားပြတစ်ဖွဲ့လုံး ဆုကြေးငွေဖမ်း၀ရမ်းထုတ်ခြင်းခဲ့ရရာအောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ လူဖီသည် မူလ ဖမ်းမိ၀ရမ်းငွေ ဘီလီ သန်းတစ်ရာမှ သန်းသုံးရာသို့လည်းကောင်း ၊ ဇော်ရိုးသည် ဘီလီးသန်းတစ်ရာနှစ်ဆယ်သို့လည်းကောင်း ၊ ဥဆောပု သည် ဘီလီ လေးဆယ့်ငါးသန်းသို့လည်းကောင်း ၊ နာမိသည် ဘီလီ ဆယ်ခြောက်သန်းသို့လည်းကောင်း ၊ ဆန်ဂျီသည် ဘီလီ သန်းခြောက်ဆယ်သို့လည်းကောင်း ၊ နီကိုရော်ဘင်သည် ဘီလီ သန်းရှစ်ဆယ်သို့ လည်းကောင်း ၊ ဖရမ်ကီသည် ဘီလီ လေးဆယ့်ငါးသန်းသို့လည်းကောင်း အသီးသီးမြင့်တက်လာခဲ့သည်။ ထိုသို့ ဆုငွေမြင့်တက်လာသည်နှင့်အမျှ ကောက်ရိုးဦးထုပ် ပင်လယ်ဓားပြအဖွဲ့သည် ရေတပ်အင်အားစုရဲ့ကြောက်ရွံမှု ၊ ကမ္ဘာအဖွဲ့အစည်းများရဲ့အာရုံစိုက်မှု ၊ အခြားသောပင်လယ်ဓားပြများရဲ့လေးစားမှုကိုခံလာရပြီး အဆိုပါ ဆုငွေများကိုမက်မောပြီးလိုက်လံလုပ်ကြံသူများလည်းများပြားလာသည်။ Water 7 Arc အထိသူတို့ရဲ့ ပထမဦးဆုံး တရားဝင် သင်္ဘောကတော့ "Going Merry" (ゴーイング・メリー号 Gōingu Merī-gō?,) ဖြစ်ပြီး Enies Lobby Arc အပြီးမှာတော "Thousand Sunny" (サウザンドサニー号 Sauzando Sanī-gō?) လို့ခေါ်တဲ့ သင်္ဘောအသစ်ကို ရရှိခဲ့ပါတယ်။ Straw Hat Pirates မှာ အဖွဲ့ဝင် (၉) ဦးရှိပြီး သူတို့အားလုံးရဲ့ ဆုကြေးစုစုပေါင်းဟာတော့ billi f800,000,050 ရှိပါတယ် ထိုနောက် သူတို့ ရဲ့ခရီးတစ်ဝက်ကိုရောက်ရှိပြီးနောက်ဆက်လက်၍ ကမ္ဘာသစ်အမည်ရှိသော နေရာသို့ ဆက်လက်ချီတက်ကြပြန်သည်။ ထို့သို့ချီတက်ရန်ပြင်ဆင်နေစဉ် အခြား ရေတပ်ဗိုလ်ချုပ်တစ်ဦးဖြစ်သည့် ကီဇာရု (Kizaru) ရဲ့နှိမ်နှင်းခြင်းကို ခံရသောကြောင့် ဆာပိုလီ ကျွန်းစုများ ( Sabaody Archipelago)မှ ကမ္ဘာတစ်ဖက်စီသို့တသီးတခြားကွဲပြားသွားကြသည်။ ထိုအချိန်တွင် လူဖီရဲ့သွေးသောက်ညီအကိုတစ်ဦးဖြစ်သည့် ပင်လယ်ဓားပြထိပ်ခေါင် ရော်ဂျာရဲ့သားဖြစ်သော ပေါ်တိုဂတ်စ် ဒီ အေ့စ် (Portgas D. Ace ) ကိုသေမိန့်ချခဲ့သည်။ ထိုအမိန့်ကို ပင်လယ်ဓားပြအချို့ကမကျေနပ်ကြ၍ အေစ့် ကိုကယ်ရန်ပြုလုပ်ရာမှ မရင်းဖို့ တိုက်ပွဲ (Marine Ford) တိုက်ပွဲဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ အဆိုပါ စစ်ပွဲကို ကမ္ဘာဒုတိယအကြီးဆုံးရေတပ်တိုက်ပွဲကြီးဟုပြောစမှတ်ပြုကြပြီး ထိုတိုက်ပွဲတွင် ပင်လယ်ဓားပြဘုရင်လေးပါး (Four Emperor of Sea ) , (Yonuku) မှတစ်ဦးဖြစ်သည့် မုတ်ဆိတ်ဖြူ (whitebread) ကိုယ်တိုင်ဦးစီး၍ သူ့ရဲ့ မွေးစားသားလည်းဖြစ်သည့် အေ့စ်ကို ကယ်တင်ရန် စစ်ပွဲဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ သို့သော် ထိုစစ်ပွဲကြောင့် မုတ်ဆိတ်ဖြူရော အေစ်ပါ ကျဆုံးခဲ့ပြီး လူဖီမှာလည်း ဒဏ်ရာအပြင်းအထန်ရခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် လူဖီသည် သူ၍ crew များနှင့်တွေ့ဆုံပြီး ၎င်းတို့ရဲ့အစွမ်းအစ ခွန်အားများတိုးတက်လာစေရန် နှစ်နှစ်ခန့်လေ့ကျင့်ခဲ့သည်။ သူတို့ဟာ အဲဒီလိုကွဲပြားနေတဲ့ (၂) နှစ်အတွင်းမှာ တစ်ယောက်နဲ့တစ်ယောက် အပြန်အလှန်ကူညီကြဖို့ အပြင်းအထန်ကို လေ့ကျင့်ခဲ့ကြပါတယ်။ (၂)နှစ်ပြည့်လို့ပြန်ဆုံပြီးတဲ့နောက်မှာ Straw Hat Pirates တွေဟာ ကမ္ဘာသစ်ဆီကို ဆက်လက်ထွက်ခွာလာခဲ့ပါတယ်။ သူတို့ဟာ ရှီချီဘူခိုင်း (Shichibukai) ထဲကတစ်ယောက်ဖြစ်တဲ့ Trafalgar Law နဲ့မိတ်ဖွဲ့ပြီး ပင်လယ်ဓားပြဘုရင်လေးပါး (Four Emperor of Sea ) , (Yonuku) ထဲကတစ်ယောက်ဖြစ်တဲ့ (Kaido the Beast) နဲ့ အခြား ရှီချီဘူခိုင်း (Shichibukai) တစ်ယောက်ဖြစ်တဲ့ Donquixote Doflamingo ကို ရန်တိုက်ပေးဖို့ကြိုးစားခဲ့ပါတယ်။ == မီဒီယာ == === မန်ဂါ (သို့) ကာတွန်း === {{main|ဝမ်းပိစ် ကာတွန်း အတွဲများ စာရင်း}} === မူလ ကာတွန်း ဗီဒီယိုများ === === Anime ဇာတ်လမ်းတွဲများ === {{main|ဝမ်းပိစ်episodes စာရင်း}} === ကာတွန်း ရုပ်ရှင်များ === {{main|ဝမ်းပိစ် ရုပ်ရှင် စာရင်း}} === ဂိမ်းများ === {{main|ဝမ်းပိစ် ဂိမ်းစာရင်း}} == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့် == ;ဂျပန်ဘာသာ * [http://www.j-onepiece.com/ Official manga website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110224185638/http://www.j-onepiece.com/ |date=24 February 2011 }} of ''Weekly Shōnen Jump'' * [http://www.toei-anim.co.jp/tv/onep/ Official anime website] of Toei Animation * [http://wwwz.fujitv.co.jp/b_hp/onepiece/index.html Official anime website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121001014229/http://wwwz.fujitv.co.jp/b_hp/onepiece/index.html |date=1 October 2012 }} of Fuji Television ;အင်္ဂလိပ်ဘာသာ * [http://onepiece.viz.com/ Official manga website] of Viz Media * [http://www.shonenjump.com/mangatitles/op/manga_op.php Official manga website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070810012225/http://www.shonenjump.com/mangatitles/op/manga_op.php |date=10 August 2007 }} of Shonen Jump (magazine)|''Shonen Jump'' * [http://www.onepiece.com.au/grandline/ Official website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160110161646/http://www.onepiece.com.au/grandline/ |date=10 January 2016 }} of Madman Entertainment * [http://onepieceofficial.com/ Official anime website] of Funimation Entertainment ;မြန်မာဘာသာ * [http://my.onepiece.wikia.com/wiki/One_Piece_Wiki ဝီကီယာ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110723213451/http://my.onepiece.wikia.com/wiki/One_Piece_Wiki |date=23 July 2011 }} 99ue6lxkgoyvbog6i5eq1aa74nxhqgs 0 18347 1060964 1058679 2026-11-01T05:08:08Z Kantabon 45503 fixed 1060964 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name =ရမည်းသင်း ခရိုင် | official_name = | native_name = | other_name = | settlement_type = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|မန္တလေးတိုင်းအတွင်းရှိ ခရိုင်]] | image_skyline = | imagesize = | image_caption = | image_flag = | flag_size = | image_seal = | seal_size = | image_shield = | shield_size = | image_blank_emblem = | blank_emblem_type = | blank_emblem_size = | nickname = | motto = | image_map = File:Yamethin district in Mandalay region.svg | mapsize = | map_caption = မန္တလေးတိုင်းအတွင်းတည်နေရာ | pushpin_map = Myanmar | pushpin_label_position = bottom | pushpin_mapsize = | pushpin_map_caption =မြန်မာနိုင်ငံအတွင်းတည်နေရာ | subdivision_type = နိုင်ငံ | subdivision_name = [[မြန်မာနိုင်ငံ]] | subdivision_type1 = [[မြန်မာနိုင်ငံတိုင်းဒေသကြီးများ|တိုင်းဒေသကြီး]] | subdivision_type2 = [[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်ပေါင်း]] | subdivision_type3 = | subdivision_name1 = [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး|မန္တလေး]] | subdivision_name2 = ၂ | subdivision_name3 = | established_title = Settled | established_date = | seat_type = | seat = | parts_type = | parts_style = | government_footnotes = | government_type = | leader_title = | leader_name = | leader_title1 = <!-- for places with, say, both a mayor and a city manager --> | leader_name1 = | total_type = <!-- to set a non-standard label for total area and population rows --> | unit_pref = | area_footnotes = | area_magnitude = | area_total_sq_mi = | area_land_sq_mi = | area_water_sq_mi = | area_water_percent = <!-- Elevation --------------------------> | elevation_footnotes = <!--for references: use <ref> </ref> tags--> | elevation_m = | elevation_ft = | elevation_min_m = | elevation_min_ft = <!-- Population -----------------------> | population_total = ၅၁၈,၃၈၄<ref>{{Citation|date= 26 August 2014|title= Provisional Results Census 26 August 2014 FINAL|publisher= ပြည်သူ့အင်အားဦးစီးဌာန|page= ၁၈|url= http://www.dop.gov.mm/wp-content/uploads/2012/12/Census_Provisional_Results_2014_ENG1.pdf|accessdate= February 25, 2015|archive-date= 12 September 2014|archive-url= https://web.archive.org/web/20140912105647/http://www.dop.gov.mm/wp-content/uploads/2012/12/Census_Provisional_Results_2014_ENG1.pdf|url-status= dead}}</ref> | population_as_of = ၂၀၁၄ | population_footnotes = | population_density_sq_mi = <!-- General information ---------------> | population_note = | postal_code_type = Postal codes | postal_code = | area_code = | website = | footnotes = | coordinates = {{Coord|20|53|N|95|53|E|region:MM|display=inline,title}} <!-- Area/postal codes & others -------->| p2 = <!-- etc. up to p50: for separate parts to be listed--> <!-- Politics ----------------->| elevation_max_m = | elevation_max_ft = | timezone = [[မြန်မာ စံတော်ချိန်|MST]] | utc_offset = 6:30 | timezone_DST = | utc_offset_DST = }} '''ရမည်းသင်းခရိုင်''' ({{lang-en|Yamethin District}})သည် [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]အတွင်း ပါဝင်သော ခရိုင်ဖြစ်သည်။ ခရိုင်ရုံးစိုက်ရာမြို့မှာ [[ရမည်းသင်းမြို့]]ဖြစ်သည်။ ==သမိုင်းကြောင်း== ရမည်းသင်းခရိုင်တွင် ယခင်က ရမည်းသင်းနယ်နှင့် ပျဉ်းမနားနယ်တို့ပါဝင်ခဲ့ကာ ၂၀၀၆ခုနှစ်တွင် ပျဉ်းမနားနယ်သည် တပ်ကုန်း၊ ပျဉ်းမနား၊ လယ်ဝေးမြို့နယ်များနှင့် [[ပျဉ်းမနားခရိုင်]]ဟူ၍ တိုးချဲ့ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။၂၀၀၉ခုနှစ်တွင် ပျဉ်းမနားခရိုင်သည် နေပြည်တော်ခရိုင်ဖြစ်သွားပြီး ၂၀၁၃ခုနှစ်တွင် ဥတ္တရနှင့် ဒက္ခိဏဟူ၍ ခရိုင်(၂)ခု ထပ်မံခွဲခြားခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://myanmar.gov.mm/naypyitaw-council|title=နေပြည်တော်ကောင်စီနောက်ခံသမိုင်း|archive-date=2 February 2021|access-date=8 October 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210202044017/https://myanmar.gov.mm/naypyitaw-council|url-status=dead}}</ref>ထို့ကြောင့် ၂၀၂၁ခုနှစ်တွင် ရမည်းသင်းခရိုင်၌ ရမည်းသင်းနှင့် ပျော်ဘွယ်မြို့နယ် (၂)ခုသာ ကျန်ရှိသည်။<ref>{{cite news|url=https://myanmar.mmtimes.com/national-news/nay-pyi-taw/26135-2017-05-03-10-44-59.html|title=ပြန်လည်ရေးဆွဲနေသည့် မြို့ပြစီမံကိန်း|accessdate=8 October 2021|archivedate=24 February 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210224024621/https://myanmar.mmtimes.com/national-news/nay-pyi-taw/26135-2017-05-03-10-44-59.html}}</ref> ==ပါဝင်သောမြို့နယ်များ== [[File:Yamethin tsp in Yamethin district.svg|thumb|ရမည်းသင်းခရိုင်မြို့နယ်များ {{legend|#E31A1C|ရမည်းသင်းမြို့နယ်}} {{legend|#0000FF|ပျော်ဘွယ်မြို့နယ်}}]] ရမည်းသင်းခရိုင်တွင် ပါဝင်သည့် မြို့နယ်များနှင့် မြို့များမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ *[[ရမည်းသင်းမြို့နယ်]] **[[ရမည်းသင်းမြို့]] *[[ပျော်ဘွယ်မြို့နယ်]] **[[ပျော်ဘွယ်မြို့]] ==ပထဝီဝင်အနေအထား== ===နယ်နိမိတ်=== ရမည်းသင်းခရိုင်သည် မန္တလေးတိုင်းအတွင်း တောင်ဘက်အစွန်တွင် တည်ရှိသည်။ ရမည်းသင်းခရိုင်၏ အရှေ့ဘက်တွင် [[မိတ္ထီလာခရိုင်]]နှင့် [[ရှမ်းပြည်နယ်]]မှ [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ တောင်ဘက်တွင် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေမှ ဥတ္တရခရိုင်၊ အနောက်ဘက်တွင် [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး|မကွေးတိုင်း]]မှ [[မကွေးခရိုင်]]၊ မြောက်ဘက်တွင် မိတ္ထီလာခရိုင်တို့ တည်ရှိသည်။ အကျယ်အဝန်းအားဖြင့် ၄၂ဝ၁ စတုရန်းမိုင်ရှိသည်။ ===မြေမျက်နှာသွင်ပြင်=== ရမည်းသင်းခရိုင်၏ အရှေ့ဘက်တွင် [[ရှမ်းရိုးမ|ရှမ်းရိုးမတောင်တန်း]]၊ အလယ်တွင် မင်းဝံတောင်တန်း၊ အနောက်တွင် [[ပဲခူးရိုးမတောင်|ပဲခူးရိုးမ]]တောင်တန်းများ တည်ရှိသည်။ ပျော်ဘွယ်ဘက်ခြမ်းတွင်မူ အလယ်ပိုင်းသည် မြေပြန့်ဖြစ်သည်။ ကျောက်စရစ်များ ရောပြွန်းနေသော မြေများပြီး အချို့မှာ မြေဆီလယ်မြေများဖြစ်ကာ သဲမြေအနည်းငယ်ရှိသည်။ ===ရေဆင်း=== ခရိုင်အတွင်း ချောင်းအနည်းငယ် စီးဆင်းနေသည်။ ===ရာသီဥတု=== ရမည်းသင်းခရိုင်၏ ရာသီဥတုမှာ အများအားဖြင့် ပူအိုက်စိုစွတ်သည်။ ရမည်းသင်းခရိုင်၏ ထူးခြားချက်မှာ မြောက်ပိုင်းနှင့် တောင်ပိုင်းရာသီဥတုအခြေအနေ ကွဲပြားခြားနားလျက် ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။ ခရိုင်ကို အရှေ့နှင့် အနောက် ဖြတ်စီးသော ဆင်သေချောင်း၏ မြောက်ဘက်ပိုင်းနှင့် တောင်ဘက်ပိုင်းတို့သည် ချောင်းနှင့် မိုင်အနည်းငယ်မျှ ကွာဝေးရုံမျှနှင့် ရာသီဥတုအခြေအနေချင်း ရုတ်ခြည်းအားဖြင့် သိသိသာသာ ကွာခြားသည်ကို တွေ့ရ၏။ ဆင်သေချောင်း၏ မြောက်ဘက်ရှိ [[ရမည်းသင်းမြို့]]နယ်တွင် မိုးခေါင်ရေရှား ရပ်ဝန်း၏ ရာသီဥတုအခြေ အနေမျိုးရှိ၍ ချောင်း၏ တောင်ဘက်ရှိ ပျဉ်းမနားမြို့နယ် (ယခု ဒက္ခိဏခရိုင်အတွင်းပါဝင်) ၌မူ မြန်မာနိုင်ငံ အောက်ပိုင်း၏ ရာသီဥတု အခြေအနေမျိုးကို တွေ့ရှိရသည်။ ရမည်းသင်းခရိုင်ကို မြေညီပိုင်း၊ ကုန်းမြင့်ပိုင်း၊ သစ်တောပိုင်းဟူ၍ သုံးပိုင်းပိုင်းခြားနိုင်သည်။ ဆင်သေချောင်း၏ မြောက်ဘက်ရှိ ရမည်းသင်းမြို့နယ်သည် မိုးပါး၍ ခြောက်သွေ့သောနယ်ဖြစ်၏။ ရမည်းသင်းခရိုင်တစ်ခုလုံးတွင် တောင်သူလယ်သမားတို့ စိုက်ပျိုးရေးကို အောင်မြင်စွာ လုပ်ကိုင်ရန်အတွက် မိုးကို စိတ်မချရချေ။ အထူးသဖြင့် ရမည်းသင်းမြို့နယ်တွင် မိုးခေါင်မည်ကို တောင်သူလယ်သမားတို့ စိုးရိမ်ကြောင့်ကြရလေသည်။ ပျဉ်းမနားမြို့နယ် မြောက်ပိုင်းနှင့် ရမည်းသင်းမြို့နယ်တွင် ဆန်စပါး စိုက်ပျိုးရန်အတွက် မိုးရေမှာ မလုံလောက်သဖြင့် လယ်ယာများသို့ ဆည်မြောင်းများဖြင့် ရေသွင်းဖြည့်တင်းပေးရသည်။ ==လူဦးရေ== ၂၀၁၄သန်းခေါင်စာရင်းအရ ၂၀၁၄ခုနှစ်တွင် ရမည်းသင်းခရိုင်၏ လူဦးရေမှာ ၅၁၈,၃၈၄ ဖြစ်ကာ ကျား ၂၄၄,၆၀၃နှင့် မ ၂၇၃,၇၈၁ ဖြစ်သည်။ ပျော်ဘွယ်မြို့နယ်သည် ရမည်းသင်းမြို့နယ်ထက် လူဦးရေ ပိုများသည်။ ခရိုင်လူဦးရေ၏ ၁၁.၆ရာခိုင်နှုန်းသည် မြို့ပြတွင် နေထိုင်ကြသည်။<ref name="census-2014">{{cite book|title=သန်းခေါင်စာရင်း အစီရင်ခံစာ|publisher=လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အားဦးစီးဌာန|location=နေပြည်တော်|date=မေ ၂၀၁၅|series=၂၀၁၄ ခုနှစ် မြန်မာနိုင်ငံလူဦးရေနှင့် အိမ်အကြောင်းအရာသန်းခေါင်စာရင်း|volume=၂|pages=၅၈|url=https://drive.google.com/file/d/0B067GBtstE5TeUlIVjRjSjVzWlk/view}}</ref> ==စီးပွားရေး== ရမည်းသင်းခရိုင်သည် မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအတွင်း စီးပွားရေးကောင်းမွန်သော ခရိုင်ဖြစ်သည်။ စိုက်ပျိုးရေးနှင့် သီးနှံပွဲရုံများ အဓိကလုပ်ကိုင်ကြပြီး မွေးမြူရေးကိုလည်း စီးပွားဖြစ် လုပ်ကိုင်ကြသည်။ ပဲ၊ ငရုတ်၊ ဆီထွက်သီးနှံများ၊ မန်ကျည်းသီး၊ စပျစ်သီး၊ ကွမ်း၊ ဝါ၊ မုန့်ကြွပ် စသည်ဖြင့် ထွက်ရှိပြီး ရန်ကုန်၊ မန္တလေးသို့ တင်သွင်းသည်။ ရမည်းသင်းခရိုင် မြေညီပိုင်းတွင် ဆန်စပါးကို အများဆုံး စိုက်ပျိုး၍ မိုးခေါင်ရေရှား အသီးအနှံများကို ယာများ၌ စိုက်ပျိုးကြသည်။ ခရိုင်မြောက်ပိုင်း အနောက်ဘက်ရှိ ရိုးမတောင်ခြေ အရပ်ဒေသများ၌ မိုးခေါင်ရေရှားရပ်ဝန်းသီးနှံပင် သက်သက်တို့ကို စိုက်ပျိုးကြသည်။ ရေရနိုင်သော ချိုင့်ဝှမ်းများ၌ကား ဆန်စပါးကို စိုက်ကြသည်။ ရမည်းသင်းခရိုင် သစ်တောနယ်မှာ ကျယ်ဝန်းလှသဖြင့် ငလိုက်ချောင်းကို နယ်ခြားသတ်မှတ်ထား၍ ချောင်း၏ မြောက် ဘက်ကို ရမည်းသင်းသစ်တောနယ်ဟူ၍လည်းကောင်း၊ တောင်ဘက်ကို ပျဉ်းမနားသစ်တောနယ်ဟူ၍လည်းကောင်း သီးသန့်ခွဲခြားထားခဲ့သည်။ ယခုတွင် ရမည်းသင်းနယ်သာ ရှိ​တော့သည်။ သစ်တောမှ သစ်များကိုထုတ်ယူရာတွင် ဆင်များကို အသုံးများသည်။ မီးရထားလမ်းမကြီးနှင့် ဆက်သွယ်ထားသော သံလမ်းများတစ်လျှောက်မှ သစ်ဆွဲမီးရထားကလေးများဖြင့်လည်း သစ်များကို ထုတ်ယူကြသည်။ ရမည်းသင်း သစ်တောနယ်တွင် ဆင်သေချောင်းအားဖြင့် မျှောချကြသည်။ ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== ရမည်းသင်းခရိုင်သည် ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေးကောင်းမွန်သည်။ မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးသို့ ဝင်ရာအပေါက်ဖြစ်ကာ ရန်ကုန်-မန္တလေး ပြည်ထောင်စုလမ်းသည် ခရိုင်အတွင်း ရမည်းသင်းနှင့် ပျော်ဘွယ်မြို့များကို ဖြတ်သန်းကာ မိတ္ထီလာသို့ ဆက်လက်ရောက်ရှိသည်။ ထို့အပြင် မိတ္ထီလာ-တောင်ကြီး-ကျိုင်းတုံ ပြည်ထောင်စုလမ်းနှင့် ရန်ကုန်-မန္တလေး ပြည်ထောင်စုလမ်းကို ဆက်သွယ်သည့် ဖြတ်လမ်းသည် ပျော်ဘွယ်မြို့အဝင်မှ ဖြတ်သန်းသွားကာ မိတ္ထီလာခရိုင် သာစည်မြို့နယ်၊ [[ဘုရားငါးဆူ (တောင်)ရွာ၊ သာစည်မြို့နယ်|ဘုရားငါးဆူ]]ရွာအနီးတွင် သွား၍ဆုံသည်။ ထို့အပြင် နတ်မောက် - ပျော်ဘွယ်လမ်းဖြင့် မကွေးတိုင်းဒေသကြီးသို့သွားလာနိုင်ကာ ထိုလမ်းမှတဆင့် [[ရန်ကုန်-မန္တလေး အမြန်လမ်း]]သို့ တက်ရောက်နိုင်သည်။ ==ပညာရေး== ရမည်းသင်းခရိုင်တွင် အခြေခံပညာကျောင်းများအပြင် [[နည်းပညာတက္ကသိုလ်(ရမည်းသင်း)|နည်းပညာတက္ကသိုလ်]] တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ==ကျန်းမာရေး== ရမည်းသင်းမြို့တွင် ခုတင်(၁၀၀)ဆံ့ ခရိုင်ဆေးရုံ၊ ပျော်ဘွယ်မြို့တွင် ခုတင်(၅၀)ဆံ့ မြို့နယ်ဆေးရုံများအပြင် တိုက်နယ်ဆေးရုံများလည်းတည်ရှိကာ ခုတင် (၃၂၆) ဝန်ဆောင်မှုပေးနိုင်သည်။ == ကိုးကား == {{reflist| <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၁၁)</ref> }} {{မန္တလေးတိုင်း}} {{မြန်မာတိုင်းနှင့် ပြည်နယ်များ}} [[Category:မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိခရိုင်များ]] 9ydz7kef55aayvunsjge6flqqy0l8iv 0 20710 1060847 1051298 2026-10-31T12:51:14Z Mkant00 135890 1060847 wikitext text/x-wiki {{redirect|အပိုင်းဂဏန်း|သင်္ချာပညာရပ်သုံး ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း}} [[File:Cake quarters.svg|thumb|လေးပုံတစ်ပုံ ဖယ်ရှားထားသော ကိတ်မုန့်တစ်ခု။ ကျန်ရှိနေသည့် လေးပုံသုံးပုံကို အစက်ချမျဉ်းများဖြင့် ပြသထားပြီး အပိုင်းကိန်း <math>1/4</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။]] '''အပိုင်းကိန်း (Fraction)''' သည် လက်တင်စကားလုံး ''fractus'' မှ ဆင်းသက်လာပြီး ကျိုးပဲ့သောဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ၎င်းသည် အရာတစ်ခုလုံး၏ အစိတ်အပိုင်း သို့မဟုတ် တူညီသော အစိတ်အပိုင်းများ၏ အရေအတွက်ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ တိကျသေချာသော [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]] (rigorous mathematics) တွင် အပိုင်းကိန်းတစ်ခုကို <math>m/n</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားထားသော နျူမရယ် (numeral) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့မှာ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) ဖြစ်ကာ <math>n \neq 0</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ထိုအပိုင်းကိန်းမှ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) သို့မဟုတ် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) နှင့် ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ကွဲပြားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>1/2</math> နှင့် <math>2/4</math> တို့သည် ကွဲပြားသော အပိုင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသော်လည်း တိကျစွာ တူညီသော ရာရှင်နယ်ကိန်းကို ကိုယ်စားပြုကြသည်။<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref> ရိုးရှင်းသော အပိုင်းကိန်း (simple fraction) တစ်ခုတွင် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (integer numerator) နှင့် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (integer denominator) တို့ ပါဝင်သည်။ ပိုင်းဝေဟူသည် လက်တင်ဘာသာဖြင့် ရေတွက်သူ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ်တပ်သူဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ပိုင်းခြေဟူသည် လက်တင်ဘာသာဖြင့် အမည်ပေးသူ သို့မဟုတ် သတ်မှတ်ပေးသူဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ပိုင်းဝေသည် ဖော်ပြနေသော တူညီသည့် အစိတ်အပိုင်းများ၏ အရေအတွက်ကို ကိုယ်စားပြုပြီး ပိုင်းခြေသည် အရာတစ်ခုလုံး သို့မဟုတ် ယူနစ်တစ်ခုကို အစိတ်အပိုင်းမည်မျှဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း ညွှန်ပြသည်။<ref>{{Citation |last=Schwartzman |first=Steven |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |publisher=Mathematical Association of America |date=1994 |isbn=978-0-88385-511-9}}</ref> အခြေခံအားဖြင့် ပိုင်းဝေသည် တည်ကိန်း (dividend) နှင့် ကိုက်ညီပြီး ပိုင်းခြေသည် စားကိန်း (divisor) နှင့် ကိုက်ညီသည်။<ref>{{Citation |last=Wu |first=Hung-Hsi |title=The Mis-Education of Mathematics Teachers |journal=Notices of the American Mathematical Society |volume=58 |issue=3 |pages=372–384 |date=2011}}</ref> အခြေခံ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ထပ်တူညီမှုအတွက် အသုံးဝင်သော ဥပမာများကို ဆက်လက်ဖော်ပြပါမည်။ ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေကို လေ့လာကြည့်မည်ဆိုလျှင် ဥပမာအားဖြင့် အပိုင်းကိန်း <math>3/8</math> တွင် ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ 8 သည် အရာတစ်ခုလုံးကို တူညီသော အစိတ်အပိုင်း ရှစ်ခုအဖြစ် ခွဲခြားထားခြင်းကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ 3 သည် အဆိုပါ အစိတ်အပိုင်းများအနက်မှ တိကျသော အရေအတွက် 3 ခုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ == အမျိုးအစားများ == အပိုင်းကိန်းများကို ၎င်းတို့၏ [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ဂုဏ်သတ္တိများ (mathematical properties) အပေါ် အခြေခံ၍ အမျိုးအစားများစွာ ခွဲခြားထားသည်။ ရိုးရှင်းသော အပိုင်းကိန်း (simple fraction) သို့မဟုတ် သာမန် အပိုင်းကိန်း (common or vulgar fraction) ဆိုသည်မှာ <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] ဖြစ်ကာ <math>n \neq 0</math> ဖြစ်ကြသည့် <math>m/n</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားထားသော [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]]ဖြစ်သည်။ အပိုင်းကိန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သည် 1 ထက် တိကျစွာ ငယ်နေပါက ယင်းကို '''အပိုင်းကိန်းအစစ် (proper fraction)''' ဟု သတ်မှတ်ပြီး ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် 1 နှင့် ညီမျှခြင်း သို့မဟုတ် 1 ထက် ကြီးနေပါက '''အပိုင်းကိန်းယောင် (improper fraction)''' ဟု သတ်မှတ်သည်။ "အပိုင်းကိန်းယောင်" ဟူသော သဘောတရားသည် 17 ရာစုတွင် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး အပိုင်းကိန်းဟူသည် အခြေခံအားဖြင့် 1 ထက်ငယ်သော အပိုင်းအစဟု အဓိပ္ပာယ်ရခြင်းကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |last=Perry |first=B. |last2=Perry |first2=J. |title=Mathematics I |date=1981}}{{Citation |last=Record |first=Robert |title=Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts... |date=1654}}</ref> အပိုင်းကိန်းတစ်ခု၏ ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေတို့သည် [[သုဒ္ဓကိန်း|နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များ]] (coprime integers) ဖြစ်နေသောအခါ ယင်းကို ဆမခွဲနိုင်သော အပိုင်းကိန်း (irreducible fraction) သို့မဟုတ် အရှင်းဆုံးပုံစံရှိသော အပိုင်းကိန်း (fraction in lowest terms) ဟု ခေါ်သည်။ နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့တွင် 1 နှင့် -1 မှလွဲ၍ အခြား ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ မည်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်းကိုမဆို အပေါင်းအပိုင်းခြေရှိသော ဆမခွဲနိုင်သော အပိုင်းကိန်းအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ပုံစံတစ်ခုတည်းဖြင့်သာ ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>{{Citation |last=Scott |first=William |title=Elements of Arithmetic and Algebra |date=1844}}{{Citation |last=Sally |first=J.D. |last2=Sally |first2=P.J. |title=Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers |publisher=American Mathematical Society |date=2012 |isbn=978-0-8218-8798-1}}</ref> အပိုင်းကိန်း အမျိုးအစားများအတွက် ဥပမာများကို လေ့လာနိုင်သည်။ အပိုင်းကိန်းအစစ် နှင့် အပိုင်းကိန်းယောင် တို့၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် ပကတိတန်ဖိုးအပေါ်တွင် တိကျစွာ မှီခိုသည်။ <math>3/4</math> နှင့် <math>-3/4</math> တို့သည် အပိုင်းကိန်းအစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ <math>|3/4| < 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>|-3/4| < 1</math> ဖြစ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ <math>5/4</math> နှင့် <math>-5/4</math> တို့သည် အပိုင်းကိန်းယောင်များ ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ <math>|5/4| \ge 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>|-5/4| \ge 1</math> ဖြစ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ဆမခွဲနိုင်သော အပိုင်းကိန်း နှင့်ပတ်သက်၍ <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) သို့မဟုတ် <math>\gcd</math> သည် 1 ဖြစ်နေပါက အပိုင်းကိန်း <math>p/q</math> ကို ဆမခွဲနိုင်သော အပိုင်းကိန်းဟု သတ်မှတ်သည်။ အပိုင်းကိန်း <math>12/18</math> တွင် <math>\gcd(12, 18) = 6</math> ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို ဆခွဲ၍ရနိုင်သည်။ ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေတို့ကို 6 ဖြင့် စားလိုက်ပါက <math>\gcd(2, 3) = 1</math> ဖြစ်သည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဆမခွဲနိုင်သော ပုံစံ <math>2/3</math> ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ <math>1/n</math> ကဲ့သို့သော ပိုင်းဝေ 1 ဖြစ်နေသည့် အပေါင်းအပိုင်းကိန်းကို ယူနစ်အပိုင်းကိန်း (unit fraction) ဟု ခေါ်သည်။ ယူနစ်အပိုင်းကိန်း နှစ်ခုကို မြှောက်ခြင်းသည် အခြား ယူနစ်အပိုင်းကိန်းတစ်ခုကို အမြဲတမ်းရရှိစေသော်လည်း [[ပေါင်းခြင်း]]၊ [[နုတ်ခြင်း]]၊ သို့မဟုတ် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]တို့တွင် ယေဘုယျအားဖြင့် ထိုသို့ မရရှိနိုင်ပေ။ ထူးခြားချက်မှာ မည်သည့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းကိုမဆို မတူညီသော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ် (sum) အဖြစ် ရေးသားနိုင်ပြီး ၎င်းတို့ကို သမိုင်းကြောင်းအရ အီဂျစ် အပိုင်းကိန်းများ (Egyptian fractions) ဟု ခေါ်သည်။<ref>{{Citation |last=Solomon |first=Pearl Gold |title=The Math We Need to Know and Do in Grades 6-9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments |edition=2nd |publisher=Corwin Press |date=2007 |isbn=978-1-4129-1726-1}}{{Citation |last=Guy |first=Richard K. |title=Unsolved problems in number theory |publisher=Springer-Verlag |date=2004}}</ref> ဒသမ အပိုင်းကိန်းများ (decimal fractions) မှာ ပိုင်းခြေများသည် 10 ၏ ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ (integer powers) ဖြစ်သော အပိုင်းကိန်းများဖြစ်ပြီး များသောအားဖြင့် ဒသမခွဲခြားသင်္ကေတ (decimal separator) ၏ ညာဘက်ရှိ ဂဏန်းများဖြင့် ရည်ညွှန်းဖော်ပြသည်။ <math>\gcd(p, q) = 1</math> ဖြစ်သည့် ဆမခွဲနိုင်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p/q</math> တစ်ခုသည် <math>q</math> သည် <math>b</math> ၏ ထပ်ကိန်းတစ်ခုကို စားနိုင်မှသာလျှင် ပေးထားသော အခြေ (base) <math>b</math> တွင် အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal) ဖော်ပြချက် ရှိမည်ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref> ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၊ အီဂျစ် အပိုင်းကိန်းများ နှင့် ဒသမကိန်းများအတွက် ဥပမာများကိုလည်း လေ့လာနိုင်သည်။ အီဂျစ် အပိုင်းကိန်းများစနစ်တွင် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို တိကျစွာ ကွဲပြားသော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ ဤစနစ်တွင် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>3/4</math> ကို <math>1/4 + 1/4 + 1/4</math> အဖြစ် ရေးသား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းကို မတူညီသော ပိုင်းခြေများဖြစ်သည့် <math>1/2 + 1/4</math> အဖြစ် ခွဲခြမ်းရမည်ဖြစ်သည်။ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း နှင့်ပတ်သက်၍ <math>\gcd(p, q) = 1</math> ဖြစ်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p/q</math> တစ်ခုသည် <math>q</math> ၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ (Prime factors) အားလုံးသည် အခြေ ၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများလည်း ဖြစ်နေမှသာလျှင် ပေးထားသော အခြေ <math>b</math> တွင် အဆုံးသတ်မည်ဖြစ်သည်။ အခြေ 10 တွင် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း 2 နှင့် 5 တို့ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>1/8</math> သည် အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်းဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်း၏ပိုင်းခြေ <math>8 = 2^3</math> တွင် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း 2 သာလျှင် ပါဝင်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>1/8 = 0.125</math> ဖြစ်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် <math>1/3</math> သည် အခြေ 10 တွင် အဆုံးမသတ်ပေ။ အကြောင်းမှာ ၎င်း၏ပိုင်းခြေတွင် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း 3 ပါဝင်နေပြီး ယင်းသည် 10 ၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း မဟုတ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဥပမာ <math>2\frac{3}{4}</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းရော (mixed number or mixed numeral) သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်တစ်ခုနှင့် အပိုင်းကိန်းအစစ်တစ်ခုတို့၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်ပြီး ယှဉ်တွဲလျက် ရေးသားလေ့ရှိသည်။<ref>{{Citation |last=Wingard-Nelson |first=Rebecca |title=Ready for Fractions and Decimals |publisher=Enslow Publishers |date=2014}}</ref> မူလတန်းကျောင်းများတွင် နေ့စဉ်တိုင်းတာမှုများအတွက် ကိန်းရောများကို အလေးပေးသင်ကြားသော်လည်း ပိုမိုမြင့်မားသော သင်္ချာဘာသာရပ်များတွင် ကိန်းရောများကြောင့် တက္ကသိုလ်ကျောင်းသားများ မကြာခဏ ရှုပ်ထွေးမှုများ ဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့ကိုစွန့်လွှတ်ကာ အပိုင်းကိန်းယောင်များကိုသာ အသုံးပြုကြသည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (algebra) တွင် ယှဉ်တွဲရေးသားခြင်းသည် ပေါင်းခြင်းမဟုတ်ဘဲ [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) ကို ရည်ညွှန်းသည်ဖြစ်ရာ ဥပမာအားဖြင့် <math>4x</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။<ref>{{Citation |last=Wu |first=Hung-Hsi |title=Understanding Numbers in Elementary School Mathematics |publisher=American Mathematical Society |date=2011}}{{Citation |last=Gardiner |first=Tony |title=Teaching Mathematics at Secondary Level |publisher=Open Book Publishers |date=2016}}{{Citation |last=Lee |first=M.A. |last2=Messner |first2=S.J. |title=Analysis of concatenations and order of operations in written mathematics |date=2000}}</ref> သမိုင်းကြောင်းအရ ပိုင်းဝေ၊ ပိုင်းခြေ၊ သို့မဟုတ် ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် အပိုင်းကိန်းများ ဖြစ်နေပါက ယင်းကို ကွန်ပလက်စ် အပိုင်းကိန်း (complex fraction) ဟု သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး အပိုင်းကိန်းတစ်ခု၏ အပိုင်းကိန်းကို ကွန်ပေါင်း အပိုင်းကိန်း (compound fraction) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အဘိဓာန်များသည် ဤဝေါဟာရများကို ခေတ်မမီတော့ဟု ယူဆခြင်း သို့မဟုတ် ၎င်းတို့ကို အပြန်အလှန် အစားထိုး အသုံးပြုခြင်းများ ရှိကြသည်။<ref>{{Citation |last=Trotter |first=James |title=A complete system of arithmetic |date=1853}}{{Citation |last=Barlow |first=Peter |title=A new mathematical and philosophical dictionary |date=1814}}{{Citation |title=Collins English Dictionary}}</ref> == သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံ (Abstract algebraic structure) == သရုပ်မဲ့ [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) တွင် အပိုင်းကိန်းများကို [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ]] (ordered pair) <math>(r, d)</math> များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်ထားပြီး ပိုင်းခြေ <math>d</math> သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော [[အစု]] (multiplicatively closed set) <math>D</math> အတွင်း ပါဝင်သည်။ အပိုင်းကိန်းနှစ်ခု <math>r/d</math> နှင့် <math>s/e</math> တို့သည် <math>re = sd</math> ဖြစ်လျှင် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟု သတ်မှတ်သည်။ <math>(2, 3)</math> နှင့် <math>(4, 6)</math> တို့ကို စမ်းသပ်စစ်ဆေးရာတွင် <math>2 \cdot 6 = 12</math> နှင့် <math>3 \cdot 4 = 12</math> အသီးသီးရရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် တူညီသော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားအတွင်း ပါဝင်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ ထို့အပြင် ယေဘုယျကွင်းများ (general rings) တွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာဖြင့် <math>x \in D</math> အစုဝင် (element) တစ်ခုခုအတွက် <math>x(er - ds) = 0</math> ဖြစ်လျှင်လည်း ၎င်းတို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ [[ဂဏန်းသင်္ချာ|ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ]] တွက်ချက်မှုများ (arithmetic operations) သည် အားလုံးရင်းနှီးပြီးဖြစ်သော စည်းမျဉ်းများအတိုင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့မှာ <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math> နှင့် <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math> တို့ဖြစ်သည်။ ဤတွက်ချက်မှုများသည် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် အတန်းအစားအပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိဘဲ သင်္ချာနည်းကျ မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း (well-defined) ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |last=Stepanov |first=S.A. |title=Encyclopedia of Mathematics}}{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုမှ အပိုင်းကိန်းများ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring of fractions) တစ်ခုကို တည်ဆောက်ရာတွင် သုညမပါဝင်သည့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>D</math> တစ်ခုကို ရွေးချယ်သည်။ ရရှိလာသော ကွင်း <math>D^{-1}R</math> တွင် <math>D</math> ၏ [[အစုဝင်]]တိုင်းသည် ယူနစ် (unit) ခေါ် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင် (invertible element) ဖြစ်လာပြီး အစုဝင်တိုင်းကို <math>r/d</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>D</math> တွင် သုညစားကိန်းများ (zero-divisors) မပါဝင်ပါက <math>R</math> ကို <math>D^{-1}R</math> ထဲသို့ ထည့်သွင်းပေးသော [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) <math>\pi(r) = r/1</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။<ref>{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> မူလကွင်း <math>R</math> သည် သုညစားကိန်းများ မပါဝင်သည့် [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (integral domain) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>D = R \setminus \{0\}</math> ဖြစ်ပါက ရရှိလာသော အပိုင်းကိန်းများ၏ ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုဖြစ်လာကာ ၎င်းကို အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) ဟု ခေါ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း <math>R</math> ကို ငုံထားသော (containing) အငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာဆိုရလျှင် <math>D^{-1}R</math> သည် စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ (universal property) တစ်ခုကို ပြည့်စုံစေသည်။ ၎င်းမှာ <math>R</math> မှ အခြားကွင်း <math>S</math> ဆီသို့ <math>D</math> ၏ အစုဝင်အားလုံးကို ယူနစ်များထံ ပုံဖော်ပေးသော [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homomorphism mapping) တစ်ခုရှိပါက <math>D^{-1}R</math> မှ <math>S</math> သို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> အပိုင်းကိန်းများ၏ သဘောတရားသည် ကိန်းပြည့်များမှ ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) အထိ ကျယ်ပြန့်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် နှစ်ခုဖြင့် အပိုင်းကိန်းတစ်ခုကို ဖန်တီးသောအခါ ၎င်းကို အပိုင်းကိန်း <math>p(x)/q(x)</math> ပုံစံရှိ ရာရှင်နယ် [[ဖန်ရှင်]] (rational function) ဟု ခေါ်သည်။ ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်တိုင်းသည် ပိုင်းခြေ သုညနှင့် ညီမျှသော တိကျသည့် အမှတ်များမှလွဲ၍ ကိန်းမျဉ်းပေါ်ရှိ နေရာတိုင်းတွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) နှင့် အဆက်မပြတ် [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ]] (continuously differentiable functions) ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref> ထို့အပြင် အပိုင်းကိန်းများ၏ သဘောတရားသည် ကွင်းများမှ [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (modules) အထိ ကျယ်ပြန့်သည်။ <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) <math>M</math> နှင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အစု <math>D</math> တို့အတွက် အပိုင်းကိန်းများ၏ မော်ဂျူး (module of fractions) <math>D^{-1}M</math> တွင် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ <math>m/d</math> ပါဝင်သည်။ ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေခြင်း (localization) ဟုခေါ်သော ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် [[တိကျသော ဖန်တာ]] (exact functor) တစ်ခုဖြစ်ပြီး [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ]] (tensor products) နှင့် ဖလှယ်၍ရသည် (commutes)။<ref>{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ပါရှိသော အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း <math>R</math> တစ်ခုအတွက် အပိုင်းကိန်း အိုင်ဒီးလ် (fractional ideal) သည် သုညမဟုတ်သော <math>d \in R</math> တစ်ခုအတွက် <math>dA \subseteq R</math> ဖြစ်သည့် <math>K</math> ၏ <math>R</math>-မော်ဂျူးပိုင်း (<math>R</math>-submodule) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အပိုင်းကိန်း အိုင်ဒီးလ်ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်း <math>x \in K</math> ဖြင့် ထုတ်လုပ် (generated) ပါက ၎င်းကို ပရင်စီပယ် အပိုင်းကိန်း အိုင်ဒီးလ် (principal fractional ideal) ဟု ခေါ်သည်။<ref>{{Citation |last=Dummit |first=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-43334-7}}</ref> ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ နှင့်ပတ်သက်၍ သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာတွင် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းတစ်ခု၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်အတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌ <math>\frac{x^2 - 1}{x - 1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်နှင့် <math>\frac{x + 1}{1}</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ်တို့သည် သင်္ချာနည်းကျအရ ထပ်တူညီသော အစုဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ <math>(x^2 - 1) \cdot 1 = (x - 1)(x + 1)</math> ဖြစ်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းတို့ကို [[ကိန်းစစ်]] ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Real analysis) တွင် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် (Pointwise) ဖန်ရှင်များအဖြစ် တန်ဖိုးရှာဖွေရာ၌ <math>\frac{x^2 - 1}{x - 1}</math> သည် <math>x = 1</math> အမှတ်တွင် ဖယ်ရှားနိုင်သော [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း]] (Removable discontinuity) တစ်ခုကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။ သို့သော်လည်း <math>x + 1</math> သည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် အခြားနယ်ပယ်များတွင် အသုံးပြုမှု == မျဉ်းဖြောင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]]တွင်လည်း အပိုင်းကိန်းများသည် ထူးခြားစွာ ပါဝင်သည်။ ဟီလ်ဘတ် [[ကိန်းအုံ]] (Hilbert matrix) သည် စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်ဒိုင်ယာဂွန်နယ် (anti-diagonal) တစ်လျှောက်ရှိ အစုဝင်များသည် ထပ်တူညီသော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြကာ <math>H_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}</math> ပုံသေနည်းဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ဖီးလ်ဘတ် ကိန်းအုံ (Filbert matrix) သည် ပိုင်းခြေများအဖြစ် ဖီဘိုနာချီကိန်းများ (Fibonacci numbers) ပါဝင်သော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများကို အသုံးပြုသည်။ ဤကိန်းအုံနှစ်ခုစလုံးသည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ချည်းသာ ပါဝင်သော ပြောင်းပြန်ကိန်းအုံများ (inverse matrices) ရှိသည့် ရှားပါးသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။<ref>{{Citation |last=Choi |first=Man Duen |title=Tricks or treats with the Hilbert matrix |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |issue=5 |pages=301–312 |date=1983}}{{Citation |last=Richardson |first=Thomas M. |title=The Filbert matrix |journal=Fibonacci Quarterly |volume=39 |issue=3 |pages=268–275 |date=2011}}</ref> ဟီလ်ဘတ် ကိန်းအုံ တွင် အစုဝင်များကို <math>H_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}</math> အဖြစ် တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားသည်။ အတန်း 2 နှင့် တိုင် 2 တို့၏ ဆုံမှတ်အတွက် တိကျသောတန်ဖိုးမှာ <math>H_{2,2} = \frac{1}{2+2-1} = 1/3</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) နှင့် [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) တို့တွင် အဆင့် <math>n</math> ရှိသော ဖာရေး ကိန်းစဉ်တန်း (Farey sequence) <math>F_n</math> ၌ သင့်လျော်စွာ စဉ်ဆက်ထားသော အရှင်းဆုံးပုံစံရှိသည့် အပိုင်းကိန်းနှစ်ခု <math>a/b < c/d</math> တို့သည် ကပ်လျက် (adjacent) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>bc - ad = 1</math> နှင့် <math>b + d > n</math> နှစ်ရပ်စလုံး ပြည့်စုံခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ တိကျသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေ <math>|ad - bc| = 1</math> ပြည့်စုံမှုသည် အပိုင်းကိန်းနှစ်ခုနှင့် သက်ဆိုင်သော ဖို့ဒ် စက်ဝိုင်းများ အချင်းချင်း ထိစပ်နေမှုကို အတိအကျ သတ်မှတ်ပေးသည်။ကိန်းမျဉ်း (number line) ပေါ်တွင် ဖို့ဒ် စက်ဝိုင်းများ (Ford circles) အဖြစ် ဂရပ်ဆွဲသောအခါ ကပ်လျက် အပိုင်းကိန်းများသည် ပြီးပြည့်စုံစွာ ထိစပ်နေသော (tangent) စက်ဝိုင်းများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကပ်လျက် အပိုင်းကိန်းနှစ်ခု၏ ပကတိ ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် အမြဲတမ်း တိကျစွာ ယူနစ်အပိုင်းကိန်း <math>1/(bd)</math> ဖြစ်သော်လည်း ယူနစ်အပိုင်းကိန်းတစ်ခု ကွာခြားရုံမျှဖြင့် အပိုင်းကိန်းနှစ်ခုအား သင်္ချာနည်းကျအရ ကပ်လျက်ဖြစ်စေရန် မလုံလောက်ပေ။<ref>{{Citation |last=Ford |first=L.R. |title=Fractions |journal=The American Mathematical Monthly |volume=45 |issue=9 |pages=586–601 |date=1938}}</ref> ဖာရေး ကိန်းစဉ်တန်း ၏ ကပ်လျက်ဖြစ်မှုနှင့်ပတ်သက်၍ ဆမခွဲနိုင်သော အပိုင်းကိန်းနှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>a/b</math> နှင့် <math>c/d</math> တို့သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေဖြစ်သော <math>|ad - bc| = 1</math> ကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းတို့သည် ထိမျဉ်းအဖြစ် ထိစပ်နေသော (Tangent) ဖို့ဒ် စက်ဝိုင်းများ ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ <math>1/2</math> နှင့် <math>2/5</math> တို့ကို စမ်းသပ်ကြည့်ရာတွင် <math>|(1 \cdot 5) - (2 \cdot 2)| = |5 - 4| = 1</math> ရရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် ကပ်လျက်ဖြစ်ကြသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် <math>1/2</math> နှင့် <math>1/4</math> တို့ကို စမ်းသပ်ကြည့်ရာတွင် <math>|(1 \cdot 4) - (2 \cdot 1)| = |4 - 2| = 2</math> ရရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် ကပ်လျက်မဖြစ်ကြပေ။ == ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Real analysis) == ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] အားလုံးပါဝင်သော အစုကို <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ၎င်းတို့သည် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရ နိယာမ]] (commutative law)၊ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ နိယာမ]] (associative law) နှင့် [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ|ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ]] (distributive law) ကဲ့သို့သော [[ပေါင်းခြင်း]]၊ [[မြှောက်ခြင်း]]နှင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]] အစီအစဉ်များအတွက် စံ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) အားလုံးကို ပြည့်စုံစေသော အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) အတွင်း သိပ်သည်းသော (dense) အစုဖြစ်ပြီး သင်္ချာနည်းကျအရ မည်သည့် ကွဲပြားသော [[ကိန်းစစ်]] (real number) နှစ်ခုကြားတွင်မဆို ၎င်းတို့ မည်မျှပင် နီးကပ်နေစေကာမူ ရာရှင်နယ် အပိုင်းကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိနေကြောင်း အာမခံချက်ပေးသည်။ အပိုင်းကိန်း အရေအတွက် [[အနန္တ]] (infinite) ရှိပြီး ကိန်းမျဉ်းပေါ်တွင် သိပ်သည်းစွာ ပြည့်နှက်နေသော်လည်း အပိုင်းကိန်းအားလုံးပါဝင်သော [[အစု]]သည် သင်္ချာနည်းကျအရ ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်သည်။ မည်သည့်အပိုင်းကိန်း <math>b/a</math> ကိုမဆို [[ကိန်းပြည့်]]စုံတွဲတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ၎င်းတို့ကို [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝ ရေတွက်ကိန်းများ]]နှင့် တစ်-တစ် ကိုက်ညီမှု (one-to-one correspondence) အဖြစ် အစီအစဉ်တကျ နေရာချထားနိုင်သည်။<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref> ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ သိပ်သည်းမှု (Density of Rationals) ကို လေ့လာကြည့်မည်ဆိုလျှင် <math>a < b</math> ဖြစ်သည့် မည်သည့် ကိန်းစစ်နှစ်ခု <math>a</math> နှင့် <math>b</math> မဆိုအတွက် <math>a < q < b</math> ဖြစ်စေမည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိသည်။ <math>1/3</math> နှင့် <math>1/2</math> ကြားတွင် ၎င်းတို့၏ တိကျသော [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (Arithmetic mean) သည် အဆိုပါ ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို ပေးစွမ်းနိုင်သည်။ ၎င်းမှာ <math>\frac{1/3 + 1/2}{2} = \frac{5/6}{2} = 5/12</math> ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် အပိုင်းကိန်းစနစ်သည် ကွက်လပ်များ ပါဝင်နေသောကြောင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များစွာအတွက် လုံလောက်မှုမရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>p^2 = 2</math> ဖြစ်စေမည့် ရာရှင်နယ် အပိုင်းကိန်း <math>p</math> ဟူ၍ မရှိပါ။ ၎င်းတို့၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများ (squares) သည် 2 နှင့် အလွန်နီးကပ်သော အပိုင်းကိန်းများကို ရှာတွေ့နိုင်သော်လည်း တိကျစွာ 2 နှင့် ညီမျှမည်မဟုတ်သောကြောင့် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (irrational numbers) တည်ရှိရန် လိုအပ်လာသည်။ ထို့အပြင် ကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် နှစ်ထပ်ကိန်း (perfect square) မဟုတ်ပါက ၎င်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ကို အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပေ။<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}{{Citation |last=Hewitt |first=Edwin |last2=Stromberg |first2=Karl R. |title=Real and Abstract Analysis |publisher=Springer-Verlag |date=1965}}</ref> အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ပါဝင်သော တွက်ချက်မှုများတွင် သုညမဟုတ်သော အပိုင်းကိန်း <math>r</math> ကို မည်သည့် အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>x</math> နှင့်မဆို ပေါင်းစပ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) (<math>r + x</math>) နှင့် မြှောက်လဒ် (product) (<math>rx</math>) တို့သည် အမြဲတမ်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းသာ ထွက်ပေါ်လာမည်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x</math> ၏ အပိုင်းကိန်း အစိတ်အပိုင်း ကိုမဆို <math>\{x\} = x - [x]</math> [[ဖန်ရှင်]]ဖြင့် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>[x]</math> သည် <math>x</math> တွင်ပါဝင်သော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့် (greatest integer) ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်သည် ကိန်းပြည့်များရှိရာ နေရာများတွင် ရိုးရှင်းစွာ [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း]] (discontinuity) ရှိသော်လည်း ကျန်နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသည်။<ref>{{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |publisher=McGraw-Hill |date=1976 |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref> 2 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှု (Irrationality) နှင့်ပတ်သက်၍ <math>(p/q)^2 = 2</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p/q</math> မျှ မတည်ရှိပေ။ အလွန်တိကျသော ရာရှင်နယ်ကိန်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (Rational approximation) ဖြစ်သည့် <math>99/70</math> ကို အသုံးပြုပါက <math>(99/70)^2 = 9801/4900</math> ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို တွက်ချက်လိုက်သောအခါ <math>2 + \frac{1}{4900}</math> ထွက်ပေါ်လာပြီး ယင်းက <math>9801/4900 \ne 2</math> ဖြစ်ကြောင်း တိကျစွာ သက်သေပြနေသည်။ အပိုင်းကိန်း အစိတ်အပိုင်း ဖန်ရှင် (Fractional part function) ကို <math>\{x\} = x - \lfloor x \rfloor</math> အဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\lfloor x \rfloor</math> သည် <math>x</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် <math>x</math> နှင့် ညီမျှသော အကြီးဆုံး ကိန်းပြည့် ဖြစ်သည်။ အပေါင်းကိန်း <math>x = 3.75</math> အတွက် <math>\lfloor 3.75 \rfloor = 3</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရလဒ်အနေဖြင့် <math>3.75 - 3 = 0.75</math> ကို ရရှိသည်။ အနုတ်ကိန်း <math>x = -1.25</math> အတွက် <math>\lfloor -1.25 \rfloor = -2</math> ဖြစ်သောကြောင့် ရလဒ်အနေဖြင့် <math>-1.25 - (-2) = 0.75</math> ကို ရရှိသည်။ == ယူနစ်အပိုင်းကိန်းနှင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Series) == ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများ]] များစွာ၏ အခြေခံ တည်ဆောက်မှုအစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ အပေါင်း ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်ကို ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (harmonic series) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ယင်းသည် သင်္ချာနည်းကျအရ ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (alternating harmonic series) သည် စုဆုံသည် (convergent) ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ပေါင်းလဒ်သည် 2 ၏ သဘာဝ [[လော့ဂရစ်သမ်]] (natural logarithm) ဖြစ်သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်း (Leibniz formula) က အလှည့်ကျ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>\pi/4</math> နှင့် ညီမျှကြောင်း ပြသသည်။ ထို့အပြင် နာမည်ကျော် ဘာဆယ် ပြဿနာ (Basel problem) ၏ အဖြေက နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ထားသော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>\pi^2/6</math> နှင့် ညီမျှကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Boas |first=R.P. |last2=Wrench |first2=J.W. |title=Partial sums of the harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=78 |issue=8 |pages=864–870 |date=1971}}{{Citation |last=Freniche |first=Francisco J. |title=On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series |journal=The American Mathematical Monthly |volume=117 |issue=5 |pages=442–447 |date=2010}}{{Citation |last=Roy |first=Ranjan |title=The discovery of the series formula for pi by Leibniz, Gregory and Nilakantha |journal=Mathematics Magazine |volume=63 |issue=5 |pages=291–306 |date=1990}}{{Citation |last=Ayoub |first=Raymond |title=Euler and the zeta function |journal=The American Mathematical Monthly |volume=81 |issue=10 |pages=1067–1086 |date=1974}}</ref> ၎င်းတို့၏ တိကျသော ဥပမာများကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားသည်။ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းကို <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \dots</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ (Partial sums) ၏ [[ကိန်းစဉ်]]သည် အကန့်အသတ်မရှိ (Without bound) ကြီးထွားလာပြီး ၎င်းသည် အဆုံးရှိသော [[စုဆုံမှတ်]] (Limit) တစ်ခုဆီသို့ ချဉ်းကပ်ခြင်း မရှိပေ။ အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်းကို <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \dots</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည် (Converges conditionally)။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် ပုံသေနည်းကို <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \dots</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ဘာဆယ် ပြဿနာ၏ ပေါင်းလဒ်ကို <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + \dots</math> အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း== အစောဆုံး တွေ့ရှိရသော အပိုင်းကိန်းများမှာ ရှေးခေတ် အီဂျစ်လူမျိုးများ အသုံးပြုခဲ့သော ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ ဖြစ်သည်။ ဘီစီ 1650 ခန့်က ရေးသားခဲ့သော နာမည်ကျော် Rhind Mathematical Papyrus တွင် ယူနစ်အပိုင်းကိန်းများ၏ ကျယ်ပြန့်သော ဇယားများ ပါဝင်ပြီး Horus-eye အပိုင်းကိန်းများကဲ့သို့သော အစောပိုင်း သက်သေအထောက်အထားများသည် ဘီစီ သုံးထောင်စုနှစ်အထိ သက်တမ်းရှိသည်။ နောက်ပိုင်း ရှေးခေတ်ဂရိတွင် ဘီစီ 530 ခန့်က ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagoras) ၏ နောက်လိုက်များသည် 2 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိန်းပြည့်များ၏ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရကြောင်း နာမည်ကျော် သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီး ဤသို့ဖြင့် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း|အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]၏ သဘာဝကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။<ref>{{Citation |last=Eves |first=Howard |title=An Introduction to the History of Mathematics |edition=6th |publisher=Saunders College Publishing |date=1990 |isbn=978-0-03-029558-4}}{{Citation |last=Chace |first=Arnold Buffum |title=The Rhind Mathematical Papyrus |publisher=Mathematical Association of America |date=1927}}</ref> သင်္သကရိုက်ဘာသာဖြင့် ''amsa'' ဟုခေါ်သော ပိုင်းဝေကို ''cheda'' ဟုခေါ်သော ပိုင်းခြေအထက်တွင်ထားရှိသည့် ခေတ်သစ် အပိုင်းကိန်းပုံစံသည် အေဒီ 400 ခန့်က Bakhshali လက်ရေးစာမူနှင့် 628 ခန့်က Brahmagupta ၏ လုပ်ငန်းခွင်များ စသည့် အိန္ဒိယ သင်္ချာမှ မြစ်ဖျားခံလာခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်းတို့ကို ကြားတွင် အပိုင်းကိန်းမျဉ်း (fraction bar) မပါဘဲ အထက်အောက် ဒေါင်လိုက် ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Citation |last=Miller |first=Jeff |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |date=2014}}{{Citation |last=Filliozat |first=Pierre-Sylvain |title=Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature |publisher=Hindustan Book Agency |date=2004}}</ref> အလျားလိုက် အပိုင်းကိန်းမျဉ်းကို 1200 ခန့်တွင် နေထိုင်ခဲ့သော မော်ရိုကိုနိုင်ငံမှ မွတ်ဆလင် [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာရှင်]] အယ်လ်-ဟာဆာ (Al-Hassār) ၏ လုပ်ငန်းခွင်များတွင် ပထမဆုံး တွေ့ရှိရပြီး နောက်ပိုင်း 13 ရာစု ဥရောပတွင် လီယိုနာဒို ဖီဘိုနာချီ (Leonardo Fibonacci) မှတစ်ဆင့် ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Cajori |first=Florian |title=A History of Mathematical Notations |volume=1 |publisher=Open Court Publishing Co. |date=1928 |isbn=978-0-486-67766-8}}</ref> ဒသမ အပိုင်းကိန်းများကို 1585 ခုနှစ်တွင် ဆိုင်မွန် စတီဗင် (Simon Stevin) ၏ ''De Thiende'' လက်ကမ်းစာစောင်မှတစ်ဆင့် လူသိများလာစေခဲ့သည်။ စတီဗင်က ထိုသို့ လူသိများအောင် ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်း ဒသမ အပိုင်းကိန်းများကို လွန်ခဲ့သော ရာစုနှစ်ငါးခုက 10 ရာစုမှ ဘဂ္ဂဒက် သင်္ချာပညာရှင် Abu'l-Hasan al-Uqlidisi နှင့် နောက်ပိုင်း 15 ရာစုမှ ပါရှန်း သင်္ချာပညာရှင် Jamshīd al-Kāshī တို့က အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref>{{Citation |last=Struik |first=Dirk Jan |title=A Source Book in Mathematics, 1200–1800 |publisher=Princeton University Press |date=1986 |isbn=978-0-691-02397-7}}{{Citation |last=Berggren |first=J. Lennart |title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam |publisher=Princeton University Press |date=2007 |isbn=978-0-691-11485-9}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] dujh2z7j3y7k5greq4qpntng2dmqlqw 0 51563 1060845 1049440 2026-10-31T12:49:13Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060845 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group) ဖြစ်သည်။ အသေးစိတ်အားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့် ပိုင်းခြေများရှိသော ထုတ်လုပ်ကိန်းများ <math>a_1/b_1, \dots, a_m/b_m</math> ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အုပ်စုပိုင်းအတွက် <math>L = \operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_m)</math> သည် ပိုင်းခြေများ၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>g = \gcd\left(\frac{a_1 L}{b_1}, \dots, \frac{a_m L}{b_m}\right)</math> သည် အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါ အုပ်စုပိုင်းကို <math>g/L</math> က ထုတ်လုပ်ပေးပြီး ၎င်းသည် <math>(g/L)\mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်အချို့သည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု ဖြစ်ကြပြီး အချို့မှာ ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဟုတ်ကြပေ။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle</math> သည် ဆိုက်ကလစ် အုပ်စုပိုင်းအစစ် ဖြစ်ပြီး ဒိုင်ယာဒစ် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ((Dyadic Rational Numbers) အုပ်စုပိုင်းဖြစ်သည့် <math>\mathbb{Z}[1/2] = \{m/2^k : m \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}</math> သည် ဆိုက်ကလစ်မဟုတ်သော အုပ်စုပိုင်းအစစ် ဖြစ်သည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းသေမဟုတ်ဘဲ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း ၁ ဖြစ်သော ပရစ်မစ်တစ် ပိုလီနိုမီရယ် (primitive polynomial) <math>p(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ [[ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်]] ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုရှိ၍ <math>p</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှလွဲ၍ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ပြီး <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull သို့မဟုတ် Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime သို့မဟုတ် Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို တစ်ပြိုင်နက် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>(s, t) \neq (0, 0)</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] n3x1bgz2dq3mta34dddp2qmbn1qn3b5 1060846 1060845 2026-10-31T12:51:10Z Mkant00 135890 1060846 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} {{redirect|ရာရှင်နယ်ကိန်း|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်း|ကိန်း|မူလတန်းသုံး အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်း}} '''ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း (Rational number)''' ဆိုသည်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] (Integer) နှစ်ခု၏ အချိုး (Quotient) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း (Fraction) <math>\frac{a}{b}</math> အနေဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>a</math> သည် ကိန်းပြည့်ပိုင်းဝေ (Integer Numerator) ဖြစ်ပြီး <math>b</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်ပိုင်းခြေ (Nonzero Integer Denominator) ဖြစ်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\frac{1}{3}</math>၊ <math>\frac{7}{8}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2}</math> စသည်တို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းသည် အရေးပါသော ကန့်သတ်ချက် ဖြစ်သည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[အစု]] (Set of Rational Numbers) ကို သင်္ကေတ <math>\mathbb{Q}</math> ဖြင့် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် အချိုးဟု အနက်ရသော စကားလုံး Quotient မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတကို သင်္ချာပညာရှင် နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) ၏ ကျမ်းများတွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ [[အစုသီအိုရီ]] (Set Theory) အရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> မှတစ်ဆင့် [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ၏]] ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence Classes of Ordered Pairs) အဖြစ် ပုံစံတကျ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ <math>b \neq 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ <math>(a, b)</math> များအပေါ်တွင် <math>(a, b) \sim (c, d)</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>ad = bc</math> ဖြစ်ခြင်းဟူသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) ကို သတ်မှတ်သည်။ ထိုအခါ အပိုင်းကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> သည် အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အရ <math>(a, b)</math> ပါဝင်သော ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား ဖြစ်လာသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Positive Rational Numbers) အစုကို <math>\mathbb{Q}^+</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ရာရှင်နယ်များ (p-adic Rationals) အစုကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Group Theory Properties) == === အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}, +)</math> === ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (Addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian Group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (Commutative Group) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် စား၍ရသော [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Divisible Group) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အလိုရှိရာ [[အစုဝင်]] <math>a \in \mathbb{Q}</math> နှင့် သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> တိုင်းအတွက် <math>kx = a</math> ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် <math>x \in \mathbb{Q}</math> တည်ရှိသည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ အုပ်စု (Finitely Generated Group) မဟုတ်ပေ။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အုပ်စုပိုင်း]] (Finitely Generated Subgroup) တိုင်းသည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic Group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းအုပ်စုပိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပြီး [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group) ဖြစ်သည်။ အသေးစိတ်အားဖြင့် အပေါင်းကိန်းပြည့် ပိုင်းခြေများရှိသော ထုတ်လုပ်ကိန်းများ <math>a_1/b_1, \dots, a_m/b_m</math> ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အုပ်စုပိုင်းအတွက် <math>L = \operatorname{lcm}(b_1, \dots, b_m)</math> သည် ပိုင်းခြေများ၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>g = \gcd\left(\frac{a_1 L}{b_1}, \dots, \frac{a_m L}{b_m}\right)</math> သည် အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါ အုပ်စုပိုင်းကို <math>g/L</math> က ထုတ်လုပ်ပေးပြီး ၎င်းသည် <math>(g/L)\mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ (Proper Subgroups of Finite Index) မရှိပေ။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အုပ်စုပိုင်းအစစ်အချို့သည် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု ဖြစ်ကြပြီး အချို့မှာ ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု မဟုတ်ကြပေ။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle</math> သည် ဆိုက်ကလစ် အုပ်စုပိုင်းအစစ် ဖြစ်ပြီး ဒိုင်ယာဒစ် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ((Dyadic Rational Numbers) အုပ်စုပိုင်းဖြစ်သည့် <math>\mathbb{Z}[1/2] = \{m/2^k : m \in \mathbb{Z}, k \ge 0\}</math> သည် ဆိုက်ကလစ်မဟုတ်သော အုပ်စုပိုင်းအစစ် ဖြစ်သည်။ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ကိန်းပြည့်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{Z}</math>၊ ကိန်းစစ်များ၏ အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{R}</math> နှင့် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] အပေါင်းအခြေခံ အုပ်စု <math>\mathbb{C}</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (Isomorphic) မဖြစ်ပေ။ ထို့အတူ <math>\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}_2</math> သည်လည်း <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် မဖြစ်ပေ။ သို့သော် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Vector Spaces) အဖြစ် ရှုမြင်ပါက <math>\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>\mathbb{R}</math> တို့သည် အပေါင်းအခြေခံ အဘီလီယန်အုပ်စုများအဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ === မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>(\mathbb{Q}^\times, \times)</math> === သုညကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q} \setminus \{0\}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^\times</math> နှင့် အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့သည် မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) <math>1</math> ပါရှိသော [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^+</math> ကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] (Prime Number) <math>p</math> များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\{1/p \mid p \text{ is a prime}\}</math> ဟူသည့် အစုက ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု <math>\mathbb{Q}^\times</math> သည် <math>\mathbb{R}^\times</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}^\times</math> တို့နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] မဖြစ်ပေ။ === စားလဒ်အုပ်စု <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> === အပေါင်းအခြေခံ စားလဒ်အုပ်စု (Quotient Group) <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်များသည် ကိုဆက်များ (Cosets) ဖြစ်ကြသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကိုဆက်တိုင်းတွင် <math>0 \leq q < 1</math> အပိုင်းအခြားအတွင်း ကျရောက်သော ကိုယ်စားပြု ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>q</math> တစ်ခုတည်းသာ အတိအကျ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အဆုံးရှိ အစဉ် (Finite Order) ရှိသော်လည်း ဤအုပ်စုအတွင်း၌ အလိုရှိသလောက် ကြီးမားသော အစဉ်ရှိသည့် အစုဝင်များ ပါဝင်သည်။ <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of Unity) အားလုံးပါဝင်သော မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ကဲ့သို့ပင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည်လည်း စား၍ရသော အုပ်စု ဖြစ်ပြီး အဆုံးရှိ အညွှန်းကိန်းရှိသော အုပ်စုပိုင်းအစစ်များ မရှိပေ။ == ကွင်း နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Ring and Field Theory Properties) == === ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံနှင့် ဝိသေသတန်ဖိုး=== ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် <math>1 \neq 0</math> ဖြစ်သော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (Commutative Ring with Identity) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တိုင်းတွင် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative Inverse) တည်ရှိသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (Integral Domain) ဖြစ်သော ကိန်းပြည့်များအစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ပုံစံတကျ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field of Fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Z}</math> ကို ငုံထားသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အသေးငယ်ဆုံး ဖီးလ်ဒ် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (Characteristic) သည် သုည ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတွင် <math>\mathbb{Z}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ကွင်းပိုင်း (Subring) ပါဝင်ပါက ထိုကွင်းပိုင်းမှ ထုတ်လုပ်ပေးသော <math>F</math> ၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Prime Subfield) သည် <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (Subfield) မဆို <math>\mathbb{Q}</math> ကို ငုံထားရမည် ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသောကြောင့် ပြည့်စုံသော ဖီးလ်ဒ် (Perfect Field) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (Irreducible Polynomial) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော ပိုလီနိုမီရယ် (Separable Polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (Finite Extension) တိုင်းသည် ခွဲထုတ်၍ရသော တိုးချဲ့ချက်များ (Separable Extensions) ဖြစ်ကြသည်။ === ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်များ (Quadratic Fields) === <math>D</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌ နှစ်ထပ်ကိန်း (Perfect Square) မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \{a + b\sqrt{D} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}</math> သည် <math>\mathbb{C}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>D > 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော အစုဝင် <math>a + b\sqrt{D}</math> တိုင်း၏ ပြောင်းပြန်ကို <math>\frac{a - b\sqrt{D}}{a^2 - Db^2}</math> ဖြင့် ပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ နှင့် ဆမခွဲနိုင်မှု (Polynomial Rings and Irreducibility) == <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Polynomial Ring) <math>\mathbb{Q}[x]</math> သည် ယူကလစ်ဒ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain)၊ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (Principal Ideal Domain) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) ဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (Rational Functions) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}(x)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းပါ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (Polynomial Ring with Integer Coefficients) <math>\mathbb{Z}[x]</math> ၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည်လည်း <math>\mathbb{Q}(x)</math> ပင် ဖြစ်သည်။ === ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း သီအိုရမ် (Rational Root Theorem) === <math>p(x) = a_n x^n + \dots + a_0</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ အရှင်းဆုံးပုံစံ (Lowest Terms) ရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{r}{s}</math> သည် <math>p(x)</math> ၏ ကိန်းရင်း (Root) ဖြစ်ပါက <math>r</math> သည် ကိန်းသေကိန်း (Constant Term) <math>a_0</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်ပြီး <math>s</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (Leading Coefficient) <math>a_n</math> ၏ ဆခွဲကိန်း ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (Corollary) အနေဖြင့် <math>p(x)</math> သည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>1</math> ဖြစ်သော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (Monic Polynomial) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်များသာ ဖြစ်ရမည်။ === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် နှင့် အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် === ဂေါက်စ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Gauss' Lemma) အရ ကိန်းသေမဟုတ်ဘဲ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း ၁ ဖြစ်သော ပရစ်မစ်တစ် ပိုလီနိုမီရယ် (primitive polynomial) <math>p(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> သည် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ [[ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်]] ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အိုင်ဆင်စတိုင်း စံသတ်မှတ်ချက် (Eisenstein's Criterion) အရ ဒီဂရီ <math>n \ge 1</math> ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x) = a_n x^n + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]</math> အတွက် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တစ်ခုသည် ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းကို စား၍မပြတ်ဘဲ (<math>p \nmid a_n</math>)၊ ကျန်မြှောက်ဖော်ကိန်းအားလုံးကို စားပြတ်ကာ (<math>p \mid a_i</math> for all <math>0 \le i < n</math>)၊ <math>p^2</math> သည် ကိန်းသေကိန်းပိုင်းကို စား၍မပြတ်ပါက (<math>p^2 \nmid a_0</math>) ထိုပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x)</math> သည် ရာရှင်နယ် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်း၌ [[ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်]] ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>n \geq 2</math> အတွက် <math>x^n - p</math> တွင် ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများ မရှိနိုင်ပေ။ == မော်ဂျူး နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း သီအိုရီ (Module and Vector Space Theory) == === <math>\mathbb{Z}</math>-[[မော်ဂျူး]] အဖြစ် <math>\mathbb{Q}</math> === [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စုတိုင်းသည်]] <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး (<math>\mathbb{Z}</math>-module) ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်မြှောက်ခြင်း သက်ရောက်ချက်အောက်တွင် <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Injective Module) ဖြစ်ပြီး ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ၎င်းအား စား၍ရသော အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် တူညီသည်။ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အင်ဂျက်တစ် အဖုံးအုပ် (Injective Hull) သို့မဟုတ် အင်ဂျက်တစ် အိတ်စွပ် (Injective Envelope) သည် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> သည် တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး (Flat Module) ဖြစ်သော်လည်း ပရိုဂျက်တစ် မော်ဂျူး (Projective Module) မဟုတ်ပေ။ စားလဒ် မော်ဂျူး <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> သည် အင်ဂျက်တစ် မော်ဂျူး ဖြစ်သော်လည်း တိကျမှုထိန်းသိမ်းပေး မော်ဂျူး မဟုတ်ပေ။ === တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ (Tensor Products) === အကယ်၍ <math>A</math> သည် အဆုံးရှိ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Finite Abelian Group) သို့မဟုတ် အလိမ် အဘီလီယန်အုပ်စု (Torsion Abelian Group) တစ်ခု ဖြစ်ပါက တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (Tensor Product) <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} A = 0</math> ဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများသို့ တိုးချဲ့လိုက်ပါက [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးတစ်ခုလုံး]] သုညသို့ ပြိုကျသွားသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} = 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}^n</math> လည်း ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math> တို့သည် ဘယ် <math>\mathbb{Q}</math>-[[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Left <math>\mathbb{Q}</math>-modules) အဖြစ် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (1-dimensional Vector Spaces) ဖြစ်ကြသည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ === <math>\mathbb{Q}</math> ကို ၎င်း၏အပေါ်၌ ပြန်လည်အခြေခံသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector Space) အဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ <math>n \in \mathbb{Z}^+</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}^n</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ် အခြေခံသည့် စံ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (Standard n-dimensional Vector Space) သို့မဟုတ် အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (Affine Space) ဖြစ်သည်။ == ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (Galois Theory and Algebraic Number Theory) == === ကိန်းရင်းများနှင့် ကိန်းလွန်များ === <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်သော (Algebraic over <math>\mathbb{Q}</math>) [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] အားလုံး၏ [[အစု]]သည် ကိန်းရင်းများ (Algebraic Numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (Countable Set) ဖြစ်သောကြောင့် ဒီဂရီ (Degree) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် <math>\mathbb{Q}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အရေအတွက်သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းရင်းများအားလုံး၏ အစု <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များအစု <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရသောအစု (Uncountable Set) ဖြစ်ပြီး <math>\bar{\mathbb{Q}}</math> သည် ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ မဟုတ်သော ကိန်းလွန်များ (Transcendental Numbers) ဖြစ်သည့် <math>\pi</math> နှင့် <math>e</math> စသည်တို့ အနန္တအပြား ရေတွက်၍မရအောင် တည်ရှိနေကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ === ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ကိန်းပြည့်ရင်းများ === <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ [[ဖီးလ်ဒ်]] တိုးချဲ့ချက်ကို ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (Number Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက်အတွင်း၌မဆို ပါဝင်သော အစုဝင် <math>\alpha</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (Minimal Polynomial) သည် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများသာ ပါရှိပါက ထိုအစုဝင်ကို ကိန်းပြည့်ရင်း (Algebraic Integer) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်း၌သာ သီးသန့်တည်ရှိသော ကိန်းပြည့်ရင်းများသည် ပုံမှန် ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> ပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက် (Quadratic Extension) ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (Squarefree Integer) <math>D</math> အတွက် <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းသည် <math>D \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\sqrt{D}]</math> ဖြစ်ပြီး <math>D \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math> ဖြစ်သည်။ === ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီနှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်များ === ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (Primitive Element Theorem) အရ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညရှိသော ဖီးလ်ဒ်၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းသည် ရိုးရှင်းသော တိုးချဲ့ချက် (Simple Extension) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက်တိုင်းကို [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုတည်း]] ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် <math>x^n - 1</math> ၏ ကိန်းရင်းအားလုံးပါ ဖီးလ်ဒ် (Splitting Field) ကို <math>\mathbb{Q}(\zeta_n)</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်းများ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (Cyclotomic Field) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ဒီဂရီသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် [[ဖန်ရှင်]] (Euler's Totient Function) <math>\phi(n)</math> နှင့် တိကျစွာ ညီမျှပြီး ၎င်း၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois Group) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ ကရိုနက်ကာ-ဝီဘာ သီအိုရမ် (Kronecker-Weber Theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> ၏ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိ အဘီလီယန် ဂယ်လ်ဝါ တိုးချဲ့ချက် (Abelian Galois Extension) တိုင်းသည် <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်တစ်ခုခုအတွင်း၌ အမြဲတမ်း ပါဝင်နေသည်။ ထို့ပြင် ကိန်းပြည့် <math>n</math> တိုင်းအတွက် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (Symmetric Group) <math>S_n</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် အမြဲတမ်း ဖြစ်တည်နိုင်သည်။ အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[x]</math> အတွင်း၌ <math>S_n</math> ကို ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စုအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ အနန္တတိုင်အောင် တည်ရှိသည်။ == ပုံမှန်ပုံစံ နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများ (Canonical Forms, and Valuations) == === ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ === မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Linear Transformation) သို့မဟုတ် ကိန်းအုံ (Matrix) တစ်ခု၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (Rational Canonical Form) သည် အဆိုပါ ကိန်းအုံ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ပါဝင်သော မူလ[[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်း၌သာ အပြည့်အဝ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်နိုင်သော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (Eigenvalues) ပါဝင်ရန်အတွက် ဖီးလ်ဒ်ကို ထပ်မံတိုးချဲ့ရန် လိုအပ်သော ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan Canonical Form) နှင့် မတူဘဲ မူလဖီးလ်ဒ်အတွင်း၌သာ တည်ရှိနိုင်သည်။ === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းနှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ <math>\mathbb{Q}</math> တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း]] (p-adic Valuation) <math>v_p</math> တည်ရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\frac{a}{b}</math> တိုင်းကို <math>a_1</math> နှင့် <math>b_1</math> တို့သည် <math>p</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (Relatively Prime or Coprime) ဖြစ်သည့် <math>p^n(\frac{a_1}{b_1})</math> သဏ္ဌာန်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ချက် ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Metric) ဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion) ပြုလုပ်ပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic Numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိသည်။ === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း <math>a^2 + b^2 = 1</math> အတွက် ရာရှင်နယ် အဖြေများ <math>a, b \in \mathbb{Q}</math> ကို တစ်ပြိုင်နက် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>(s, t) \neq (0, 0)</math> တို့အတွက် <math>a = \frac{s^2 - t^2}{s^2 + t^2}</math> နှင့် <math>b = \frac{2st}{s^2 + t^2}</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများ (Parameterization) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Rational Number |work=MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html}} [[ကဏ္ဍ:အခြေခံ_သင်္ချာ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ]] sb1dv4cgd5581ms0jek8w3xfihn6jmj 0 51565 1060883 1052654 2026-10-31T14:47:50Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060883 wikitext text/x-wiki တစ်ထက်ကြီးသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>p</math> တစ်ခုတွင် အပေါင်းဆခွဲကိန်း (positive divisor) အနေဖြင့် ၁ နှင့် <math>p</math> ကိုယ်တိုင်သာရှိပါက ၎င်းကို သုဒ္ဓကိန်း (prime number) သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းပြည့် ဟုခေါ်သည်။ တစ်ထက်ကြီးပြီး သုဒ္ဓကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းများကို ဆပေါင်းကိန်း (composite number) ဟုခေါ်သည်။ [[ကိန်း]] <math>1</math> သည် အထူးကိန်းဖြစ်ပြီး သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆပေါင်းကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း မသတ်မှတ်ပါ။ <math>2</math> သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်း (even number) ဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး ကျန်ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးမှာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) များဖြစ်ကြသည်။ [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာတွင်]] သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့ကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ နှင့် စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Definitions and Divisibility Properties) == [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းသီအိုရီ]] (ring theory) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ပိုမိုတိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုသည်။ သုညမဟုတ်သလို ယူနစ် (unit) လည်း မဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>p</math> တစ်ခုသည် ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် <math>ab</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် <math>a</math> ကိုသော်လည်းကောင်း <math>b</math> ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များစနစ်တွင် ယူနစ်များမှာ <math>1</math> နှင့် <math>-1</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းများသာမက <math>-2</math>, <math>-3</math>, <math>-5</math> စသည့် [[အနုတ်ကိန်း|အနုတ်ကိန်းများကိုလည်း]] သုဒ္ဓကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအခြေခံ စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိ (divisibility property) ကို '''ယူကလစ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်''' (Euclid's lemma) မှ ဆင်းသက်ရရှိသည်။ အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် <math>ab</math> ကိုစား၍ပြတ်ပြီး <math>a</math> ကိုစား၍မပြတ်ပါက ၎င်းသည် <math>b</math> ကိုသာ တိကျစွာစား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အောက်ပါအတိုင်း တိုးချဲ့အသုံးပြုနိုင်သည်။ * '''ဆခွဲကိန်းများစွာ ပါဝင်ခြင်း -''' သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် ကိန်းပြည့်များစွာ၏ မြှောက်လဒ် <math>a_1 \cdot a_2 \cdots a_n</math> ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် အဆိုပါ ကိန်းပြည့်များအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ * '''သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်ခြင်း -''' အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးသည် အပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြပါက သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> သည် အခြားသုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ် <math>q_1 \cdot q_2 \cdots q_n</math> ကို စား၍ပြတ်သည့်အခါ <math>p</math> သည် ၎င်းသုဒ္ဓကိန်းများအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုနှင့် တိကျစွာ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှရမည်ဖြစ်သည်။]] သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို <math>1</math> နှင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်ဖြင့်သာ စား၍ပြတ်သောကြောင့် ထိုသို့ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ကိန်းပြည့်ကွင်းသဘောအရမူ ယူနစ်မြှောက်ဖော်ကိန်း ကွာခြားချက်အထိသာ ထပ်တူကျသဖြင့် <math>p = \pm q_i</math> ဖြစ်သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) == တစ်ထက်ကြီးသော [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်တိုင်းသည်]] သုဒ္ဓကိန်းများ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အခြေခံတည်ဆောက်ပုံအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤသဘောတရားကို [[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Arithmetic) အဖြစ် ပုံသေထုတ်ပြန်ထားသည်။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ အဆိုပါ ဖော်ပြချက်သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်းမစဉ်းစားပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။ သက်သေပြချက်ကို အပိုင်းနှစ်ပိုင်းဖြင့် ခွဲခြားထားသည်။ * '''တည်ရှိမှု (Existence) -''' ကိန်းတစ်ခုသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် <math>1</math> ထက်ကြီးသော အငယ်ဆုံး ဆခွဲကိန်းတစ်ခု ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းဆခွဲကိန်းမှာ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းဖြင့် စားလိုက်သောအခါ ပိုမိုငယ်ရွယ်သော ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ထိုငယ်ရွယ်သောကိန်းသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်နေသေးပါက အထက်ပါလုပ်ငန်းစဉ်ကို ထပ်မံလုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ ကိန်းများ ဆက်တိုက်ငယ်သွားမည်ဖြစ်ရာ အဆုံးတွင် အဆုံးရှိသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ * '''တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness) -''' ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းမြှောက်လဒ် နှစ်စုဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု မှတ်ယူကြပါစို့။ ၎င်းတို့ကို ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီထားပါက ပထမ[[အစု]]မှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစု၏ မြှောက်လဒ်တစ်ခုလုံးကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အထက်တွင်ဖော်ပြခဲ့သော စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိအရ ပထမအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းနှင့် ထပ်တူညီရမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းတူညီသောကိန်းများကို ချေဖျက်ခြင်းဖြင့် အစုနှစ်ခုလုံးရှိ သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး တူညီကြောင်း တွေ့ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ '''သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း''' (prime factorization) တွင် တူညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အကြိမ်ကြိမ်ပါဝင်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကိန်းများ (exponents) အသုံးပြု၍ စုစည်းရေးသားခြင်းကို ပုံမှန်ပုံစံ (canonical form) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်း <math>n</math> ၏ ပုံမှန်ပုံစံကို <math>n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_r^{k_r}</math> ဟု ရေးသားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>k</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး <math>p_1 < p_2 < \dots < p_r</math> အတိုင်း ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီစဉ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>360</math> ၏ သုဒ္ဓကိန်းများကို <math>360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5</math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းသည် ကိန်းစနစ်တိုင်းတွင် အလိုအလျောက် မှန်ကန်သော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပါ။ အပေါင်းစုံကိန်းများ သီးသန့်ပါဝင်သော ကိန်းစနစ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်နိုင်သည်။ ၎င်းစနစ်တွင် အခြားစုံကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော စုံကိန်းကို '''e-သုဒ္ဓကိန်း''' (e-prime) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ဤစနစ်တွင် <math>60</math> ကို <math>60 = 2 \cdot 30</math> သို့မဟုတ် <math>60 = 6 \cdot 10</math> ဟူ၍ မတူညီသော e-သုဒ္ဓကိန်းများဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်းများ]]မပါဝင်သောကြောင့် ပုံမှန် သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ ပျက်ယွင်းသွားခြင်းဖြစ်သည်။ အခြေခံသီအိုရမ်ကို အသုံးပြု၍ <math>\sqrt{2}</math> သည် '''[[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]]''' (irrational number) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagorean) ပညာရှင်များ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သော ဤအချက်ကို ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>\sqrt{2}</math> ကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) <math>a/b</math> ဟု မှတ်ယူပါစို့။ ထို[[အပိုင်းကိန်း]]သည် အချိုးအကျဆုံးဖြစ်ပြီး <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တွင် <math>1</math> မှလွဲ၍ အခြားဘုံဆခွဲကိန်း မရှိဟု ယူဆရမည်ဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်လိုက်ပါက <math>2 = a^2 / b^2</math> ဖြစ်ပြီး <math>a^2 = 2b^2</math> ကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>b</math> သည် <math>a^2</math> ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>b</math> သည် <math>1</math> ထက်ကြီးပါက အခြေခံသီအိုရမ်အရ <math>b</math> တွင် အနည်းဆုံး သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>p</math> သည် <math>b</math> ကိုစား၍ပြတ်ပြီး <math>a^2</math> နှင့် တစ်နည်းအားဖြင့် <math>a</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တွင် ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိဟူသော မူလယူဆချက်နှင့် ဆန့်ကျင်နေသည်။ ထို့ကြောင့် <math>b = 1</math> ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး <math>a^2 = 2</math> သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်၍ <math>2</math> မရနိုင်သောကြောင့် မူလယူဆချက် မှားယွင်းပြီး <math>\sqrt{2}</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ == သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးခြင်း (Testing for Primality) == [[ကိန်း]]တစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးရန် တိုက်ရိုက်အကျဆုံးနည်းလမ်းမှာ ငယ်ရွယ်သော ကိန်းများဖြင့် စား၍စမ်းသပ်ခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းအားလုံးဖြင့် စမ်းသပ်ရန်မလိုအပ်ပါ။ ဆပေါင်းကိန်း <math>a > 1</math> တိုင်းတွင် <math>\sqrt{a}</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်း ဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ ဆပေါင်းကိန်း <math>a</math> ကို <math>a = bc</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>b \le c</math> ဟု ယူဆပါစို့။ <math>b</math> ကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက <math>b^2 \le bc = a</math> ဖြစ်လာသည်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ရှာလိုက်ပါက <math>b \le \sqrt{a}</math> ကို ရရှိသည်။ <math>b</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု ပါဝင်ရမည်ဖြစ်ရာ ထိုဆခွဲကိန်းသည်လည်း <math>\sqrt{a}</math> ထက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>509</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဟုတ်မဟုတ် စစ်ဆေးရာတွင် <math>\sqrt{509}</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် <math>23</math> ထက် ငယ်သော သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်သည့် <math>2</math>, <math>3</math>, <math>5</math>, <math>7</math>, <math>11</math>, <math>13</math>, <math>17</math> နှင့် <math>19</math> တို့ဖြင့်သာ စားကြည့်ရန် လိုအပ်သည်။ မည်သည့်ကိန်းနှင့်မျှ စား၍မပြတ်ပါက <math>509</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။ ဤသဘောတရားကို အခြေခံ၍ ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာပညာရှင် အီရာတိုစ်သီးနီးစ် (Eratosthenes) သည် '''အီရာတိုစ်သီးနီးစ်၏ ဆန်ခါ''' (Sieve of Eratosthenes) ဟုခေါ်သော နည်းလမ်းကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် သတ်မှတ်ထားသော ကန့်သတ်ချက် <math>n</math> အောက်ရှိ သုဒ္ဓကိန်းအားလုံးကို ရှာဖွေနိုင်သည့် နည်းလမ်းဖြစ်သည်။ <math>2</math> မှစ၍ <math>n</math> အထိ [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များကို]] ရေးချရမည်ဖြစ်သည်။ ပထမဆုံးကိန်း <math>2</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး <math>2</math> ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အားလုံးကို စာရင်းမှ ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ချေဖျက်မခံရသော ကိန်း <math>3</math> ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး ၎င်း၏ ဆတိုးကိန်းများကို ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို <math>\sqrt{n}</math> အထိရောက်သည်အထိ လုပ်ဆောင်ပါက စာရင်းတွင် ကျန်ရှိနေသော ကိန်းများအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တဖြစ်တည်မှု (Infinitude of Primes) == သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက်သည် [[အနန္တ]] (infinite) ဖြစ်ကြောင်း ယူကလစ် (Euclid) က ရှေးခေတ်ကတည်းက သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြချက်အရ သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိ[[အစု]] (finite set) အဖြစ် <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math> သာရှိသည်ဟု ယူဆပါစို့။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးကို မြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းထည့်ပါက ကိန်းအသစ် <math>P = (p_1 \cdot p_2 \cdots p_n) + 1</math> ကို ရရှိသည်။ အခြေခံသီအိုရမ်အရ <math>P</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း <math>p</math> တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>p</math> သည် မူလစာရင်းထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပါက ၎င်းသည် မြှောက်လဒ်ပိုင်းကို စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>p</math> သည် <math>P</math> နှင့် မြှောက်လဒ်ပိုင်းတို့၏ ကွာခြားချက်ဖြစ်သော <math>1</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့်သုဒ္ဓကိန်းမှ <math>1</math> ကို စား၍မပြတ်နိုင်သဖြင့် ဤသည်မှာ ဝိရောဓိ (paradox) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိမဖြစ်နိုင်ပါ။ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး၏ မြှောက်လဒ်ကို <math>p^\#</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ယူကလစ် ပုံသေနည်းမှ ရရှိလာသော <math>p^\# + 1</math> ပုံစံ ကိန်းများကို '''ယူကလစ် ကိန်းများ''' (Euclid numbers) ဟုခေါ်သည်။ အချို့သော ယူကလစ် ကိန်းများမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသော်လည်း အမြဲတမ်းမဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>13</math> အထိ သုဒ္ဓကိန်းများကို မြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းပါက <math>30031</math> ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>59 \cdot 509</math> နှင့် ညီမျှသည် ။ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သော ယူကလစ် ကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးသော သင်္ချာပြဿနာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[အနန္တ|အနန္တဖြစ်တည်မှုကို]] အခြားသော [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုဖြင့်လည်း သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>2</math> မှစတင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားပါ။ နောက်ဆက်တွဲကိန်းများကို ရှေ့ကိန်းများအားလုံးမြှောက်၍ <math>1</math> ပေါင်းခြင်းဖြင့် ဖန်တီးသည်။ ဥပမာ <math>n_1 = 2</math>, <math>n_2 = n_1 + 1 = 3</math>, <math>n_3 = (n_1 \cdot n_2) + 1 = 7</math> အစရှိသဖြင့်ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်ရှိ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခုမျှ ဘုံပါဝင်သော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း မရှိနိုင်ပါ။ ဘုံဆခွဲကိန်းရှိပါက ၎င်းသည် ကွာခြားချက် <math>1</math> ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ကိန်းအသစ်တိုင်းတွင် မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများ ပါဝင်နေသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အနန္တဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။ == ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံ အတိုင်းအတာ (Distribution and Size) == <math>n</math> ကြိမ်မြောက် သုဒ္ဓကိန်းကို <math>p_n</math> ဟု သင်္ကေတပြုပါက မညီမျှခြင်းများ (inequalities) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အရွယ်အစားကို ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယူကလစ်၏ သက်သေပြချက်အရ <math>p_n \le (p_1 \cdot p_2 \cdots p_{n-1}) + 1</math> ဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ ပိုမိုတိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းအရ <math>p_n</math> သည် အမြဲတမ်း <math>2^{2^{n-1}}</math> အောက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n \ge 1</math> တိုင်းအတွက် ကြီးမားလှသော <math>2^{2^n}</math> ထက်ငယ်သည့် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံး <math>n + 1</math> ခု ရှိသည်။ ၁၈၄၅ ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် ဘာထရန် (Joseph Bertrand) အဆိုပြုခဲ့ပြီး ချေဘီရှက်ဗ် (Chebyshev) သက်သေပြနိုင်ခဲ့သော ဘာထရန်၏ ယူဆချက် (Bertrand's Conjecture) ကို အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယင်းအဆိုအရ ကိန်းပြည့် <math>n \ge 2</math> တိုင်းအတွက် <math>n</math> နှင့် <math>2n</math> အကြားတွင် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲတမ်း ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>p_n < 2^n</math> ဟူသော ပိုမိုကျဉ်းမြောင်းသည့် ကန့်သတ်ချက်ကို ရရှိသည်။ သုဒ္ဓကိန်းများသည် အနန္တဖြစ်သော်လည်း ၎င်းတို့၏ ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံမှာ အလွန် ပုံမှန်မဟုတ်ပေ။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် အလွန်နီးကပ်စွာ တည်ရှိပြီး တစ်ခါတစ်ရံတွင် ကြီးမားသော ကွာဟချက်များ ရှိသည်။ <math>11</math> နှင့် <math>13</math> ကဲ့သို့သော ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသည့် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] သုဒ္ဓကိန်းစုံတွဲများကို '''အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ''' (twin primes) ဟုခေါ်သည်။ အဆိုပါ အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ အဖြေမထွက်သေးသော ပြဿနာဖြစ်သည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကွာဟချက်သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားနိုင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို သုဒ္ဓကိန်းများ လုံးဝမပါဝင်သော ဆက်တိုက်ဖြစ်သည့် ဆပေါင်းကိန်း <math>n</math> ခုပါဝင်သည့် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲရှာဖွေနိုင်သည်။ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>(n + 1)! + 2</math> မှ <math>(n + 1)! + (n + 1)</math> အထိ ကိန်းများကို စဉ်းစားပါ။ ပထမကိန်းသည် <math>2</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်ပြီး နောက်ဆုံးကိန်းသည် <math>n+1</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ကိန်းတိုင်းတွင် ဆခွဲကိန်းတစ်ခုစီ အတိအကျရှိနေသဖြင့် ၎င်းတို့အားလုံးသည် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အထူးသုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပုံသေနည်းများ (Special Primes and Formulae) == <math>1</math> များကိုသာ ထပ်တလဲလဲ အသုံးပြုရေးသားထားသော ကိန်းများကို '''ရပ်ပ်ယူနစ်''' (repunit) ဟုခေါ်သည်။ <math>1</math> များ <math>n</math> ကြိမ်ပါဝင်သော ရပ်ပ်ယူနစ်ကို <math>R_n = (10^n - 1) / 9</math> ဟု တွက်ချက်နိုင်သည်။ ၎င်းကိန်းများသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရန် အလွန်ခဲယဉ်းသည်။ <math>R_n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်နိုင်ရန်အတွက် <math>n</math> ကိုယ်တိုင်သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည် ဟူသော အခြေခံစည်းမျဉ်းရှိသည်။ သို့သော် <math>n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်တိုင်း <math>R_n</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းမဖြစ်နိုင်ပါ။ ဥပမာ <math>R_3 = 111</math> ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် <math>3 \cdot 37</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ရပ်ပ်ယူနစ် သုဒ္ဓကိန်းများ အလွန်နည်းပါးစွာသာ ရှာဖွေတွေ့ရှိထားသည်။ မည်သည့် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်ကိုမဆို]] <math>4</math> ဖြင့်စားသောအခါ ရရှိသည့် အကြွင်းကို မူတည်၍ <math>4n</math>, <math>4n+1</math>, <math>4n+2</math> သို့မဟုတ် <math>4n+3</math> ပုံစံများအဖြစ် ခွဲခြားနိုင်သည်။ <math>4n</math> နှင့် <math>4n+2</math> များသည် <math>2</math> မှလွဲ၍ ကျန်စုံကိန်းများဖြစ်သောကြောင့် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] သုဒ္ဓကိန်းများသည် <math>5,13,17</math> ကဲ့သို့သော <math>4n+1</math> သို့မဟုတ် <math>3,7,11</math> ကဲ့သို့သော <math>4n+3</math> ပုံစံ တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ <math>4n+1</math> ပုံစံ ကိန်းများကို အချင်းချင်းမြှောက်ပါက ရလဒ်သည်လည်း <math>4n+1</math> ပုံစံသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ယူကလစ်၏ သက်သေပြချက်နည်းတူ <math>4n+3</math> ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ <math>4n+1</math> ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ [[အနန္တ]]ရှိကြောင်းကိုမူ '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ သီအိုရမ်''' (Dirichlet's Theorem) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြရသည်။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ အစကိန်း <math>a</math> နှင့် ကွာခြားချက် <math>b</math> တို့တွင် <math>1</math> မှလွဲ၍ ဘုံဆခွဲကိန်း မရှိပါက အဆိုပါ '''[[ဂဏန်းသင်္ချာ]] [[ကိန်းစဉ်]]''' (arithmetic progression) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ <math>4n+1</math> တွင် <math>1</math> နှင့် <math>4</math> ကြား ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့် [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်မှ]] သုဒ္ဓကိန်းများချည်း သီးသန့် အဆုံးအစမရှိ မပါဝင်နိုင်ပါ။ ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ကိန်းပြည့်များကို ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ အဖြေထုတ်ပေးမည့် ပုံသေနည်း သို့မဟုတ် [[ဖန်ရှင်]] (function) များကို ရှာဖွေခဲ့ကြသည်။ လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) ၏ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) ပုံသေနည်း <math>f(n) = n^2 + n + 41</math> သည် အလွန်ထင်ရှားသည်။ <math>n=0</math> မှ <math>39</math> အထိ ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ ရရှိသော်လည်း <math>40</math> ထည့်သွင်းသောအခါ <math>41^2</math> ကို ရရှိသဖြင့် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သွားသည်။ ကိန်းသေမဟုတ်သော မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်မျှ သုဒ္ဓကိန်းများကိုချည်း သီးသန့် မထုတ်ပေးနိုင်ကြောင်း သက်သေပြထားပြီးဖြစ်သည်။ ပိုလီနိုမီရယ် မဟုတ်သော ပုံသေနည်းများတွင်မူ ဒဗလျူ အိတ်ချ် မေးလ်စ် (W. H. Mills) ၏ မေးလ်စ် ပုံသေနည်း (Mills's formula) သည် ထင်ရှားသော နမူနာတစ်ခုဖြစ်သည်။ တိကျသော [[ကိန်းစစ်]] <math>r</math> အတွက် <math>\lfloor r^{3^n} \rfloor</math> သည် အမြဲတမ်း သုဒ္ဓကိန်း ဖြစ်လာသည်။ သို့သော် ၎င်း <math>r</math> ၏ တန်ဖိုးကို အတိအကျ မတွက်ချက်နိုင်သဖြင့် လက်တွေ့အသုံးချ၍ မရနိုင်ပါ။ == ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများ (Fermat Primes) == [[ကိန်းပြည့်]] <math>k \geq 0</math> များအတွက် :<math>F_k = 2^{2^k}+1</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းကို '''ဖဲမကိန်း''' (Fermat number) ဟုခေါ်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သော ဖဲမကိန်းကို '''ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း''' (Fermat prime) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၁၆၄၀ ခုနှစ်တွင် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) က <math>F_k</math> ကိန်းများအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်မည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ သို့သော် <math>F_5=4294967297</math> သည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကိန်းတွင် <math>641</math> သည် ဆခွဲကိန်းတစ်ခုအဖြစ် ပါဝင်ကြောင်း အွိုင်လာ (Euler) က ၁၇၃၂ ခုနှစ်တွင် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ လက်တွေ့တွင် ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ <math>k=0,1,2,3,4</math> အတွက် <math>F_k</math> များကိုသာ သုဒ္ဓကိန်းများအဖြစ် သိရှိထားသည်။ အောက်ပါ အခြေခံမေးခွန်းများမှာမူ ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးဘဲ ကျန်ရှိနေဆဲဖြစ်သည်။ *ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တတည်ရှိသလား။ *ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သော ဖဲမကိန်းများ အနန္တတည်ရှိသလား။ <math>k=5,\ldots,32</math> အတွက် ဖဲမကိန်း <math>F_k</math> များသည် ဆပေါင်းကိန်းများဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ သို့ရာတွင် အချို့သော ကိန်းများဖြစ်သည့် <math>k=20</math> နှင့် <math>k=24</math> တို့အတွက် တိကျသော ဆခွဲကိန်းများကို မသိရှိရသေးပေ။ ထို့အပြင် <math>12 \leq k \leq 32</math> ကြားရှိ ကိန်းများအတွက် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းမှာလည်း မပြည့်စုံသေးပါ။ အခြားသော သီးခြားကိန်းများဖြစ်သည့် ဥပမာ <math>k=3329780</math> သည်လည်း ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ကြောင်း သိရှိထားသည်။ ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိသာဖြစ်သင့်ကြောင်း အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော တိကျမှုမရှိသည့် သက်သေပြချက်များ (heuristic arguments) ရှိသည်။ ထို့အပြင် ဖဲမ ကိန်းများသည် အဆမတန် လျင်မြန်စွာ ကြီးထွားလာသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် သုဒ္ဓကိန်းများအကြားတွင် သုညသိပ်သည်းဆ (zero density) သာ ရှိနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိခြင်းသို့မဟုတ် အနန္တဖြစ်ခြင်း ဆိုသည်မှာ ယနေ့တိုင် သက်သေမပြနိုင်သေးသော ပုစ္ဆာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ မည်သို့ပင်ဆိုစေကာမူ သင်္ချာပညာရှင် အသီးသီးက ကွဲပြားသော အဆိုများကို တင်ပြထားကြသည်။ အချို့က ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိသာဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြသည်။ အချို့ကမူ ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း ငါးခုသာရှိသည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဧမီလ် အာတင် (Emil Artin) ကမူ ဖဲမ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက်သည် အဆုံးရှိဖြစ်သော်လည်း ငါးခုထက် ပိုများမည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ == သက်သေမပြရသေးသော အဆိုများ (Unproved Conjectures) == <math>4</math> ထက်ကြီးသော စုံကိန်းတိုင်းကို [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] သုဒ္ဓကိန်း နှစ်ခု၏ [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းလဒ်အဖြစ်]] ရေးသားနိုင်သည် ဟူသော ဂိုးဘတ်ခ်၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် အလွန်ထင်ရှားသည်။ ယင်းကို အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ယင်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို (Weak Goldbach Conjecture) တွင် <math>7</math> ထက်ကြီးသော မကိန်းတိုင်းကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း သုံးခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု ဆိုခဲ့ပြီး၊ အဆိုပါ အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုကို ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် ဟာရယ်လ် ဟဲလ်ဖ်ဂေါ့တ် (Harald Helfgott) က အပြည့်အဝ သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီး ဖြစ်သဖြင့် ယခုအခါ သီအိုရမ်တစ်ခု ဖြစ်သွားပြီဖြစ်သည်။ အကယ်၍ အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ပါက အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုသည်လည်း အလိုအလျောက် မှန်ကန်မည်ဖြစ်သည်။ ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် အိုင် အမ် ဗီနိုဂရာဒေါ့ဗ် (I. M. Vinogradov) က လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော မကိန်းများအတွက် အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ကြောင်း အစောပိုင်း၌ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုနှင့် မကိုက်ညီသော စုံကိန်းများ၏ အချိုးအစားသည် သုညရာခိုင်နှုန်းသို့ ချဉ်းကပ်သွားကြောင်းကိုလည်း ၎င်းက သက်သေပြခဲ့သည်။ ဆေးလ်ဗက်စတာ (Sylvester) ၏ အဆိုအရ <math>4</math> ထက်ကြီးသော စုံကိန်း <math>2n</math> တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်ပြီး တစ်ခုသည် <math>n/2</math> ထက် ကြီး၍ အခြားတစ်ခုသည် <math>3n/2</math> ထက် ငယ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဒီ ပိုလီနက် (de Polignac) က မကိန်းတိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုနှင့် <math>2</math> ၏ ထပ်ကိန်း တစ်ခု ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သော်လည်း <math>509</math> နှင့် <math>877</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းများကြောင့် ၎င်းအဆို မှားယွင်းကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Burton |first=David M. |title=Elementary Number Theory |edition=7th |publisher=McGraw-Hill |date=2010 |isbn=978-0-07-338314-9}} * {{Citation |author=nLab authors |title=Fermat number |date=June 2026 |edition=Revision 4 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Fermat+number}} [[ကဏ္ဍ:သုဒ္ဓကိန်းများ]] 0ned01bgqvaw1mdv0olakfx2dj9upf8 0 54846 1060969 679802 2026-11-01T06:19:37Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 2 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060969 wikitext text/x-wiki [[Image:Magellanic Clouds ― Irregular Dwarf Galaxies.jpg|thumb|အသေးနှင့် အကြီး မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်]] '''မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်'''နှစ်ခု (သို့မဟုတ် ''နက်ဗျူလေး မက်ဂျလင်'')<ref name="allen">{{cite book |author= Allen, R. H.|author-link= Richard Hinckley Allen |date=1963 |title=Star Names: Their Lore and Meaning |url= https://archive.org/details/starnamestheirlo00alle|edition=Reprint |publisher=Dover Publications Inc |location=New York City, New York |isbn=<!--0486210790--> |pages=[https://archive.org/details/starnamestheirlo00alle/page/294 294]–295 }}</ref> သည် ပုံစံအတည်တကျမရှိသော ဂယ်လက်ဆီပု (သို့မဟုတ်) အရန်ဂယ်လက်ဆီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသည် တောင်ဘက်ကောင်းကင်တွင်တည်ရှိပြီး [[Local Group]] ၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်ကာ [[နဂါးငွေ့တန်း ဂယ်လက်ဆီ]]အား ဗဟိုပြုကာလှည့်ပတ်နေသည်။<ref>[http://adsabs.harvard.edu/abs/2009MNRAS.392L..21S ''Implications of recent measurements of the Milky Way rotation for the orbit of the Large Magellanic Cloud'']</ref> သူတို့နှစ်ခုစလုံးသည် ဘားတန်းပုံစံဖြစ်သောကြောင့် တခါတရံ ယင်းတို့အား မက်ဂျစ်လစ်နစ် ခရုံပတ်ပုံစံ ဂယ်လက်ဆီများအဖြစ် ပြန်လည်းခွဲခြားသည်။ ဂယ်လက်ဆီနှစ်ခုမှာ * [[ကြီးမားသော မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်]] (LMC) * [[သေးငယ်သော မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်]] (SMC) ==သမိုင်း== မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်များအား ပိုလီနီဆီယံဟု လူသိများကြပြီး လမ်းပြအမှတ်အသားများ ဖြစ်ကြသည်။ မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်အား အာရှ အနောက်ဘက်ခြမ်းတွင် ပထမရာစုနှစ်ကတည်းက သိထားကြသည်။ ကြီးမားသော မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်ကိုမူ ပါရှန်းလူမျိုး နက္ခတ္တပညာရှင် AI Sufi မှအမည်ပေးခဲ့သည်။<ref>{{cite web | title=Observatoire de Paris (Abd-al-Rahman Al Sufi) | url=http://messier.obspm.fr/xtra/Bios/alsufi.html | accessdate=22 July 2011 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070416144810/http://messier.obspm.fr/xtra/Bios/alsufi.html | archive-date=16 April 2007 | url-status=dead}}</ref><ref>{{cite web | title=Observatoire de Paris (LMC) | url=http://messier.obspm.fr/xtra/ngc/lmc.html | accessdate=22 July 2011 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170622160536/http://messier.obspm.fr/xtra/ngc/lmc.html | archive-date=22 June 2017 | url-status=dead}}</ref> သူ၏ ''Book of Fixed Stars'' ဟူသောစာအုပ်တွင် မှတ်သားခဲ့သည်မှာ တိမ်တိုက်အား အာရေဘိယနှင့် ဘဂ္ဂဒတ်မြို့မှ မမြင်ရပေ။ ==သွင်ပြင် လက္ခဏာများ== ==မီနီ မက်ဂျလစ်နစ် တိမ်တိုက်== ==ကျမ်းကိုး== {{Reflist|30em}} [[Category:Local Group]] [[Category:မဂ္ဂလန်တိမ်]] {{Astronomy-stub}} 1bchb7a84xw6kpsz0iz3hc7g8fizy3n 0 56148 1060882 712914 2026-10-31T14:14:29Z ~2026-58003-25 150226 1060882 wikitext text/x-wiki {{Copyedit}} {{Update}} {{Cleanup}} {{Automatic taxobox |name=Cockroach |fossil_range={{fossilrange|145|0}} Cretaceous–recent |image=Snodgrass common household roaches.png |image_upright=1.15 |image_caption ='''Common household cockroaches'''<br/>A) [[:en:German cockroach]]<br/>B) [[:en:American cockroach]]<br/>C) [[:en:Australian cockroach]]<br />D&E) [[:en:Oriental cockroach]] (♀ & ♂) |taxon=Blattodea |subdivision_ranks=မျိုးရင်းများ |subdivision = [[:en:Anaplectidae]]<br/> [[:en:Blaberidae]]<br/> [[:en:Blattidae]]<br/> [[:en:Corydiidae]]<br/> [[:en:Cryptocercidae]]<br/> [[:en:Ectobiidae]]<br/> [[:en:Lamproblattidae]]<br/> [[:en:Nocticolidae]]<br/> [[:en:Tryonicidae]] }} ပိုးဟတ်ကြောင့် မည့်သည့် ရောဂါများ ရတတ်ပါသလဲ။ ကမ္ဘာမှာ ပိုးဟပ် ဖြစ်လာတာ နှစ်သန်းပေါင်း ၂၉၅-၄၅၄ ရှိပေမဲ့ သူတို့ အသွင်သဏ္ဌာန်က ပြောင်းသွားတယ်လို့ မရှိဘူး။ မျောက်လိုကနေ လူဆိုတာ ဖြစ်လာတယ်။ ပိုးဟပ် အမျိုးအစား များတယ်။ ဩစတေးလျမျိုးက ၉ cm ရှည်ပြီး၊ ၃ဝ grams လေးတယ်။ ၃ မီလီမီတာလောက်သာ ပုရွက်ဆိတ် သာသာ ရှည်တဲ့ မြောက်အမေရိကန်မျိုးက အသေးဆုံး ဖြစ်တယ် အတောင် အကားဆုံးက တောင်အမေရိကန်မျိုး ရ လက္မ အထိ ရှိတယ်။ Hissing noise, Chirping noise လို အသံ ထွက်နိုင်တယ်။ အဆူညံဆုံးက Madagascar က ပိုးဟပ်တွေဘဲ။ အဆုပ်ဆိုတာ မပါဘူး။ အမက တသက်မှာ တခါသာ မိတ်လိုက်ပြီး၊ ၈ ဥအုတယ်။ ညမှာသာ လှုတ်ရှားကြတယ်။ ပူတာ စိုတာ ကြိုက်တယ်။ ခြောက်တဲ့နေရာ ကြိုက်တဲ့ အကောင်လဲ ရှိပါတယ်။ ပိုးဟပ်တွေနဲ့ ဆက်စပ်နေတဲ့ ရောဂါ ခန့်မှန်းခြေ ရောဂါ အမျိုးပေါင်း ၅ဝ လောက်ရှိနိုင်တယ်လို့ Terminix International က ပိုးမွှားပညာရှင် Stoy Hedges က ပြောထားတယ်။ Auburn University က entomology လက်ထောက်ပါမောက္ခ Dr. Xing Ping Hu ပြောတာက ရောဂါတွေ သယ်ဆောင် ပေးနေတာ သေခြာတယ်။ ဗက်တီးရီးယား ၃၂ မျိုး (Salmonella, Staphylococcus, Streptococcus)၊ (ဖန်းဂတ်) လို ၁၇ မျိုး၊ (ပရိုတိုဇိုးဝါး) ၃ မျိုး၊ (ဗိုင်းရပ်စ်) ၂ မျိုးပါတယ်။ ရောဂါတွေက အဆိုးကြီးတွေတော့ မဟုတ်ပါ။ ကူးစက်ရင်တော့ မြန်တယ်။ ရောဂါတွေကတော့ Dysentery ဝမ်းကိုက်၊ Typhoid တိုက်ဖွိုက်၊ Poliomyelitis သူငယ်နာ-အကြောသေ၊ Diarrhea, Gastroenteritis အစာလမ်းရောင်-ဝမ်းပျက်၊ Food poisoning အစာဆိပ်သင့်၊ TB တီဘီ၊ Cholera ကာလဝမ်း၊ Leprosy အနာကြီး၊ Hepatitis အသဲရောင်၊ Bubonic plague အကြိတ်-ပလိပ်၊ Urinary ဆီးလမ်းပိုးဝင်ခြင်း၊ သိသာတာက Allergic (အလာဂျီ) နဲ့ Asthma ပန်းနာလူနာ ၅ဝ% က ဒီအကောင်နဲ့ မတည့်ဘူး။ ခြင်တွေ မှက်တွေလိုတော့ ရောဂါပိုးတွေကို သူတို့ကနေ တိုက်ရိုက် သယ်ပို့ပြီး လူတွေကို ကူးစက်စေတာတော့ မဟုတ်ပါ။ ဒီအကောင်တွေက ညစ်ပတ်တဲ့၊ မသန့်တဲ့ နေရာတွေလဲ လျှောက်သွားနေတာမို့ သူတို့ကိုယ်မှာ မလိုလားအပ်တာတွေ ပေကျံနေတယ်။ အစားအသောက်တွေကို ပိုးဟပ်ရဲ့ သွားရည်၊ မစင်တွေကနေ မသန့်တာတွေ ကူးစက်ပေလာစေတယ်။ ပိုးဟပ်ကို လူတွေ မကြိုက်ကြ၊ မခံနိုင်ကြတာက Smell ဆိုးဝါးလွန်းတဲ့အနံ့ ဖြစ်မယ်။ ဆိုးတဲ့ အနံ့က သူတို့ရဲ့ Antenna နှာမောင်းလို နေရာက လာတာပါ။ ပိုးဟပ်တွေက အသက်ပြင်းတယ် ပြောရမယ်၊ သူတို့ သက်တမ်း ၁ နှစ်သာ ရှိပေမဲ့ ရေမသောက်ဘဲ ၂ ပါတ်၊ စားစရာမရှိဘဲ ၁-၃ လ အထိ ရှင်နိုင်တယ်။ ခေါင်းပြတ် ဩားတာတောင် ၁ ပါတ်ကြာ အသက်ရှင်နေနိုင်တယ်။ ဓာတ်ရောင်ခြည်ကို အတော် ခံနိုင်တယ်။ အနုမြူစစ်ပွဲ ဖြစ်ရင် လူတွေသေပြီး၊ ဒီအကောင်တွေ ကျန်နေမယ်တဲ့။ Fruit fly တွေလောက်တော့ မခံနိုင်ပါ။ [[Category:အင်းဆက်များ]] og3jnsmy6ygun6ycagd7gm155ep4bqo 0 57181 1060908 1050838 2026-10-31T19:00:04Z နေနီဝန်း 89694 /* လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက်ပိုင်း */ ၁၉၇၂ မှ 1060908 wikitext text/x-wiki [[မြန်မာနိုင်ငံ]] ၏ အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများမှာ ခေတ်အဆက်ဆက်ပြောင်းလဲမှုများရှိခဲ့သည်။ {{Infobox subdivision type | name= မြန်မာနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ | alt_name= Administrative divisions of Myanmar | alt_name1= | alt_name2= | alt_name3= | alt_name4= | map= {{Myanmar Administrative Divisions Image Map}} | category= [[ပြည်ထောင်စုစနစ်]] | territory= [[ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်]] | upper_unit= | start_date= | start_date1= | start_date2= | start_date3= | start_date4= | legislation_begin= | legislation_begin1= | legislation_begin2= | legislation_begin3= | legislation_begin4= | legislation_end= | legislation_end1= | legislation_end2= | legislation_end3= | legislation_end4= | end_date= | end_date1= | end_date2= | end_date3= | end_date4= | current_number= စုစုပေါင်း ၁၅ ခု <br />(တိုင်းဒေသကြီး ၇ ခု၊ <br />ပြည်နယ် ၇ ခု၊ <br />ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ ၁ ခု) | number_date= ၂၀၂၁ခုနှစ်စာရင်း<ref name="DMEL">{{Cite book |title=Deciphering Myanmar's Ethnic Landscape: A Brief Historical and Ethnic Description of Myanmar's Administrative Units |url=https://www.idea.int/publications/catalogue/deciphering-myanmars-ethnic-landscape-brief-historical-and-ethnic-description |access-date=2025-05-12 |publisher=International IDEA |date=2022 |language=en |doi=10.31752/idea.2022.57 |last1=Jap |first1=Jangai |last2=Courtin |first2=Constant |isbn=978-91-7671-577-2 }}</ref> | type= | type1= | type2= | type3= | type4= | status= | status1= | status2= | status3= | status4= | exofficio= | exofficio1= | exofficio2= | exofficio3= | exofficio4= | population_range= ၂၈၆,၆၂၇ ([[ကယားပြည်နယ်]]) - ၇,၃၆၀,၇၀၃ ([[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]) | area_range= {{convert|7054|km2}} ([[နေပြည်တော် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ]]) - {{convert|155,801|km2}} ([[ရှမ်းပြည်နယ်]]) | government= [[ပြည်ထောင်စုအစိုးရအဖွဲ့|ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်အစိုးရ]] | government1= | government2= | government3= | government4= | subdivision={{plainlist|*[[ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း]] *[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ|ခရိုင်]] နှင့် [[ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] *[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ|မြို့နယ်]] *[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့များ|မြို့]] နှင့် [[ကျေးရွာအုပ်စု]] *[[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရပ်ကွက်များ|ရပ်ကွက်များ]] နှင့် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ ရွာများ|ကျေးရွာများ]]}} }} {{မြန်မာနိုင်ငံ၏ နယ်မြေအပိုင်းအခြားများ}} [[မြန်မာနိုင်ငံ ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈)|၂၀၀၈ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]]အရ<ref name="2008Con">ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈ခုနှစ်) [https://natlex.ilo.org/dyn/natlex2/r/natlex/fe/details?p3_isn=79572]</ref> ပြည်ထောင်စုသမ္မတမြန်မာနိုင်ငံတော်ကို အောက်ပါအတိုင်း အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသအမျိုးအစား ၁၁မျိုး အဖြစ် အဆင့်ဆင့်ခွဲခြားနိုင်သည်။ {|class=wikitable !အမျိုးအစား!!အင်္ဂလိပ်အခေါ်အဝေါ်!!အရေအတွက် |- |colspan="3"|တိုင်းဒေသကြီးများ ၊ ပြည်နယ်များနှင့် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေများကို နိုင်ငံတော်အဖြစ်စုစည်းသည်။ |- |ပြည်နယ်||State||၇ |- |တိုင်းဒေသကြီး||Region|||၇ |- |ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ||Union Territory||၁ |- |colspan="3"| *ခရိုင်များကို တိုင်းဒေသကြီး သို့မဟုတ် ပြည်နယ်အဖြစ်စုစည်းသည်။ *ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသတွင် ထိုဒေသအတွင်းရှိ မြို့နယ်များကို ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ အဖြစ် စုစည်းသည်။ *ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းတွင် ထိုတိုင်းအတွင်းရှိမြို့နယ်များကို ခရိုင်အဖြစ်စုစည်းပြီး ယင်း ခရိုင်များကို ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းအဖြစ် စုစည်းသည်။ *တိုင်းဒေသကြီးတစ်ခု သို့မဟုတ် ပြည်နယ်တစ်နယ်တွင် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း သို့မဟုတ် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသရှိပါက ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသနှင့် ခရိုင်များကို တိုင်းဒေသကြီးသို့မဟုတ် ပြည်နယ်အဖြစ် စုစည်းသည်။ |- |ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း||Self-Administered Division||၁ |- |ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ||Self-Administered Zone||၅ |- |ခရိုင်||District||၁၂၁ |- |colspan="3"|မြို့နယ်များကို ခရိုင်အဖြစ် စုစည်းသည်။ |- |မြို့နယ်||Township||၃၃၀ |- |colspan="3"| *ကျေးရွာအုပ်စုနှင့်ရပ်ကွက်များ သို့မဟုတ် မြို့များကို မြို့နယ်အဖြစ်စုစည်းသည်။ *ရပ်ကွက်များကို မြို့ သို့မဟုတ် မြို့နယ်အဖြစ်စုစည်းသည်။ *ကျေးရွာများကို ကျေးရွာအုပ်စုအဖြစ်စုစည်းသည်။ |- |မြို့||Town||၅၂၃ |- |ရပ်ကွက်||Ward||၃၄၇၀ |- |ကျေးရွာအုပ်စု||Village Tract||၁၃၅၉၀ |- |ကျေးရွာ||Village||၆၃၂၁၄ |} တိုင်း(Division)များကို ၂၀၁၀ ဩဂုတ်လတွင် တိုင်းဒေသကြီး(Region)များအဖြစ် ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ခဲ့သည်။<ref name="weekly">{{cite news |title=တိုင်းခုနစ်တိုင်းကို တိုင်းဒေသကြီးများအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရ တိုင်းနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရ ဒေသများ ရုံးစိုက်ရာ မြို့များကို လည်းကောင်း ပြည်ထောင်စုနယ်မြေတွင် ခရိုင်နှင့်မြို့နယ်များကို လည်းကောင်း သတ်မှတ်ကြေညာ |publisher=Weekly Eleven News |date=2010-08-20 |url=http://www.news-eleven.com/index.php?option=com_content&view=article&id=4375:2010-08-20-12-39-51&catid=42:2009-11-10-07-36-59&Itemid=112 |accessdate=2010-08-23 |language=မြန်မာဘာသာ}}</ref> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]နှင့် [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး]]များမှလွဲ၍ ကျန်တိုင်းဒေသကြီးလေးခုမှာ မြို့တော်များ၏ အမည်များအတိုင်းဖြစ်သည်။ [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး]]သည် လူဦးရေအများဆုံးနေထိုင်သည့် ဒေသဖြစ်ကာ [[ကယားပြည်နယ်]]မှာ လူဦးရေအနည်းဆုံးနေထိုင်ရာ ဒေသဖြစ်သည်။ ကုန်းမြေဧရိယာအရ ရှမ်းပြည်နယ်မှာ အကြီးဆုံးဖြစ်ပြီး ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီးမှာ ဧရိယာအသေးဆုံးဖြစ်သည်။ ရှမ်းပြည်နယ်သည် (၆၁၀၉၀)စ/မိုင် ကျယ်ဝန်းပြီး ဒုတိယ အကျယ်ဆုံး တိုင်းဒေသကြီးမှာ စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး (၃၆၅၃၅)စ/မိုင် ကျယ်ဝန်းသည်။ ==အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေဒေသများ== ===ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ၊ တိုင်းဒေသကြီးနှင့် ပြည်နယ်များ=== {| class="wikitable sortable" !align="left"|အင်္ဂလိပ်အမည်!!align="left"|မြန်မာအမည်!!align="left"|မြို့တော် !align="left"|[[အလံ]] !align="right"|[[ISO 3166-2:MM|ISO]]<ref>[[ISO 3166-2:MM]] (မြန်မာနိုင်ငံဒေသများအတွက် [[International Organization for Standardization|ISO]] [[ISO 3166-2|3166-2]] ကုဒ်များ)</ref> !align="left"|နေရာဒေသ !align="right"|လူဦးရေ (၂၀၁၄) !align="right"|ဧရိယာ <small>(km²)</small> !align="right"|အမျိုးအစား |- | Ayeyarwady | [[ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီး|ဧရာဝတီ]] | [[ပုသိမ်မြို့]] | [[File:Flag of Ayeyarwady Region.svg|75px]] | MM-07 | အောက်ပိုင်း | ၆,၁၈၄,၈၂၉<ref name="mip">{{cite book|title=ပြည်ထောင်စုအစီရင်ခံစာ : မြန်မာနိုင်ငံလူဦးရေနှင့် အိမ်အကြောင်းအရာသန်းခေါင်စာရင်း|publisher=လူဝင်မှုကြီးကြပ်ရေးနှင့် ပြည်သူ့အင်အားဝန်ကြီးဌာန|location=နေပြည်တော်|date=2015|series=The 2014 Myanmar Population and Housing Census|pages=၁၂}}</ref> | ၃၅,၀၃၁.၈ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Bago | [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး|ပဲခူး]] | [[ပဲခူးမြို့]]{{sup|၁}} | [[File:Flag of Bago Division.svg|75px]] | MM-02 | အောက်ပိုင်း | ၄,၈၆၇,၃၇၃<ref name="mip"/> | ၃၉,၄၀၂.၃ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Chin | [[ချင်းပြည်နယ်|ချင်း]] | [[ဟားခါးမြို့]] | [[File:Flag of Chin State.svg|75px]] | MM-14 | အနောက်ပိုင်း | ၄၇၈,၈၀၁<ref name="mip"/> | ၃၆,၀၁၈.၈ | ပြည်နယ် |- | Kachin | [[ကချင်ပြည်နယ်|ကချင်]] | [[မြစ်ကြီးနားမြို့]] | [[File:Flag of Kachin State.svg|75px]] | MM-11 | မြောက်ပိုင်း | ၁,၆၈၉,၄၄၁<ref name="mip"/> | ၈၉,၀၄၁.၈ | ပြည်နယ် |- | Kayah | [[ကယားပြည်နယ်|ကယား]] | [[လွိုင်ကော်မြို့]] | [[File:Flag of Kayah State.svg|75px]] | MM-12 | အရှေ့ပိုင်း | ၂၈၆,၆၂၇<ref name="mip"/> | ၁၁,၇၃၁.၅ | ပြည်နယ် |- | Kayin | [[ကရင်ပြည်နယ်|ကရင်]] | [[ဘားအံမြို့]] | [[File:Flag of Kayin State.svg|75px]] | MM-13 | တောင်ပိုင်း | ၁,၅၇၄,၀၇၉<ref name="mip"/> | ၃၀,၃၈၃ | ပြည်နယ် |- | Magway | [[မကွေးတိုင်းဒေသကြီး|မကွေး]] | [[မကွေးမြို့]] | [[File:Flag of Magway Region.svg|75px]] | MM-03 | အလယ်ပိုင်း | ၃,၉၁၇,၀၅၅<ref name="mip"/> | ၄၄,၈၂၀.၆ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Mandalay | [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး|မန္တလေး]] | [[မန္တလေးမြို့]] | [[File:Flag of Mandalay Region (2010-2021).svg|75px]] | MM-04 | အလယ်ပိုင်း | ၆,၁၆၅,၇၂၃<ref name="mip"/> | ၃၇,၉၄၅.၆ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Mon | [[မွန်ပြည်နယ်|မွန်]] | [[မော်လမြိုင်မြို့]] | [[File:Flag of Mon State (2018).svg|75px]] | MM-15 | တောင်ပိုင်း | ၂,၀၅၄,၃၉၃<ref name="mip"/> | ၁၂,၂၉၆.၆ | ပြည်နယ် |- | Rakhine | [[ရခိုင်ပြည်နယ်|ရခိုင်]] | [[စစ်တွေမြို့]] | [[File:Flag of Rakhine.svg|75px]] | MM-16 | အနောက်ပိုင်း | ၃,၁၈၈,၈၀၇<ref name="mip"/> | ၃၆,၇၇၈.၀ | ပြည်နယ် |- | Shan | [[ရှမ်းပြည်နယ်|ရှမ်း]] | [[တောင်ကြီးမြို့]]{{sup|၂}} | [[File:Flag of the Shan State.svg|75px]] | MM-17 | အရှေ့ပိုင်း | ၅,၈၂၄,၄၃၂<ref name="mip"/> | ၁၅၅,၈၀၁.၃ | ပြည်နယ် |- | Sagaing | [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး|စစ်ကိုင်း]] | [[မုံရွာမြို့]] | [[File:Flag of Sagaing Region (2019).svg|75px]] | MM-01 | မြောက်ပိုင်း | ၅,၃၂၅,၃၄၇<ref name="mip"/> | ၉၃,၇၀၄.၈ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Tanintharyi | [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး|တနင်္သာရီ]] | [[ထားဝယ်မြို့]] | [[File:Flag of Tanintharyi Region.svg|75px]] | MM-05 | တောင်ပိုင်း | ၁,၄၀၈,၄၀၁<ref name="mip"/> | ၄၄,၃၄၄.၉ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Yangon | [[ရန်ကုန်တိုင်းဒေသကြီး|ရန်ကုန်]] | [[ရန်ကုန်မြို့]] | [[File:Flag of Yangon Region.svg|75px]] | MM-06 | အောက်ပိုင်း | ၇,၃၆၀,၇၀၃<ref name="mip"/> | ၁၀,၂၆၇.၇ | တိုင်းဒေသကြီး |- | Naypyidaw | [[နေပြည်တော် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ|နေပြည်တော်]] | [[နေပြည်တော်]] | [[File:Flag of Naypyidaw Union Territory.svg|75px]] | MM-18 | အလယ်ပိုင်း | ၁,၁၆၀,၂၄၂<ref name="mip"/> | ၇,၀၅၄ | ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ |} : {{sup|၁}} [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၏ မြေမျက်နှာသွင်ပြင် အနေအထားအရ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး အရှေ့ပိုင်းနှင့် အနောက်ပိုင်းကို [[ပဲခူးရိုးမ]]တောင်တန်းကြီးဖြင့် ကာဆီးထားသည်။ ထို့ကြောင့် ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး၏ မြို့တော်နှင့် [[မြန်မာနိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးမြို့များ စာရင်း|အကြီးဆုံးမြို့]]မှာ ပဲခူးမြို့ဖြစ်သော်လည်း ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အရှေ့ပိုင်း) ၏ အုပ်ချုပ်ရေးရုံးများသည် ပိုမိုအချက်အချာကျသည့် [[တောင်ငူမြို့]]၌ လည်းကောင်း၊ ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး (အနောက်ပိုင်း) ၏ အုပ်ချုပ်ရေးရုံးများသည် [[ပြည်မြို့]]၌ လည်းကောင်း အသီးသီး ရုံးစိုက်သည်။'' : {{sup|၂}} [[ရှမ်းပြည်နယ်]]သည် ဧရိယာကြီးမား ကျယ်ပြန့်လှသဖြင့် ရှမ်းပြည်နယ်၏ မြို့တော်မှာ [[တောင်ကြီးမြို့]] ဖြစ်သော်လည်း ရှမ်းပြည်နယ်၏ အုပ်ချုပ်ရေးရုံးများမှာ ရှမ်းပြည်နယ် (တောင်ပိုင်း) အတွက် တောင်ကြီးမြို့တွင် လည်းကောင်း၊ ရှမ်းပြည်နယ် (မြောက်ပိုင်း)အတွက် [[လားရှိုးမြို့]]တွင် လည်းကောင်း၊ ရှမ်းပြည်နယ် (အရှေ့ပိုင်း) အတွက် [[ကျိုင်းတုံမြို့]]တွင် လည်းကောင်း အသီးသီးရုံးစိုက်သည်။ ထို့ကြောင့် ရှမ်းပြည်နယ်တွင် အုပ်ချုပ်ရေးရုံးစိုက်ရာမြို့ (၃)မြို့ ရှိသည်။ ===ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရစီရင်စုများ=== [[File:SAZs & SAD of Burma.png|thumb|ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရစီရင်စုများ]] {| class="wikitable sortable" ! align="left" |မြန်မာအမည် ! align="left" |အင်္ဂလိပ်အမည်!! align="left" |မြို့တော်!!align="left"|နေရာဒေသ ! colspan="2" align="right" |မြို့နယ်များ !align="right"|အမျိုးအစား |- | colspan="7" |[[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] တွင် |- | [[နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] | Naga Self-Administered Zone | [[လဟယ်မြို့]] | မြောက်ပိုင်း | colspan="2" | လေရှီးမြို့နယ်၊ လဟယ်မြို့နယ်၊ နန်းယွန်းမြို့နယ် | [[ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] |- | colspan="7" |[[ရှမ်းပြည်နယ်]] တွင် |- | [[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] | Danu Self-Administered Zone | [[ပင်းတယမြို့]] | အရှေ့ပိုင်း | colspan="2" | ရွာငံမြို့နယ်၊ ပင်းတယမြို့နယ် | ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ |- | [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] | Pa-O Self-Administered Zone | [[ဟိုပုံးမြို့]] | အရှေ့ပိုင်း | colspan="2" | ဟိုပုန်းမြို့နယ်၊ ဆီဆိုင်မြို့နယ်၊ ပင်လောင်းမြို့နယ် | ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ |- | [[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] | Pa Laung Self-Administered Zone | [[နမ့်ဆန်မြို့]] | အရှေ့ပိုင်း | colspan="2" | နမ့်ဆန်မြို့နယ်၊ မန်တုံမြို့နယ် | ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ |- | [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]] | Kokang Self-Administered Zone | [[လောက်ကိုင်မြို့]] | အရှေ့ပိုင်း | colspan="2" | ကုန်းကြမ်းမြို့နယ်၊ လောက်ကိုင်မြို့နယ် | ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ |- | rowspan="2" | [[ဝကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း]] | rowspan="2" | Wa Self-Administered Division | rowspan="2" | [[ဟိုပန်မြို့]] | rowspan="2" | အရှေ့ပိုင်း |ဟိုပန်ခရိုင် | ဟိုပန်မြို့နယ်၊ မိုင်းမောမြို့နယ်၊ ပန်ဝိုင်မြို့နယ်၊ | rowspan="2" | ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း |- |မက်မန်းခရိုင် |နားဖန်းမြို့နယ်၊ မက်မန်းမြို့နယ်၊ ပန်ဆန်း(ပန်းခမ်း)မြို့နယ် |} ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းသည် တိုင်းဒေသကြီး/ပြည်နယ်/ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ အဆင့်နှင့် ခရိုင်အဆင့်တို့ကြား အဆင့်အတန်းရှိပြီး ကိုယိပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများသည် ခရိုင်အဆင့်ဖြစ်သည်ဟု ယူဆနိုင်သော်လည်း ၂၀၀၈ အခြေခံဥပဒေအရ တူညီသောအဆင့်အတန်းရှိသည်ဟုသတ်မှတ်ထားပါသည်။ ==အုပ်ချုပ်ရေးစနစ်== [[File:Myanmar states location.svg|thumb|right|{{legend|red|ပြည်နယ်များ}}{{legend|#fefee4|တိုင်းဒေသကြီးများ}}]] ပြည်နယ်များ၊ တိုင်းဒေသကြီးများနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများ၏ အုပ်ချုပ်ရေးပုံစံကို ၂၀၀၈ ခုနှစ် [[မြန်မာနိုင်ငံအခြေခံဥပဒေ(၂၀၀၈)|ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ]]တွင် ဖော်ပြထားသည်။<ref>http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Constitution_of_Myanmar_of_2008.pdf</ref> ===ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီးများ=== ပြည်နယ်နှင့်တိုင်းဒေသကြီးများကို ဝန်ကြီးချုပ်၊ ဝန်ကြီးများနှင့် ရှေ့နေချုပ်များပါဝင်သည့် ပြည်နယ်အစိုးရနှင့် တိုင်းဒေသကြီးအစိုးရများက အုပ်ချုပ်သည်။ ရွေးကောက်ခံကိုယ်စားလှယ်များနှင့် တပ်မတော်သား ကိုယ်စားလှယ်များ ပါဝင်သည့် [[ပြည်နယ်လွှတ်တော်]] သို့မဟုတ် [[တိုင်းဒေသကြီးလွှတ်တော်]]တို့သည် ဥပဒေပြုအာဏာပိုင်များဖြစ်သည်။ ===နေပြည်တော်ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ=== ပြည်ထောင်စု သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံတော် ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံ အခြေခံဥပဒေ (၂၀၀၈ ခုနှစ်) အရ ပုဒ်မ (၅၀) တွင် [[နေပြည်တော်]]ကို ပြည်ထောင်စုနယ်မြေအဖြစ် သတ်မှတ်ထားကြောင်း၊ သမ္မတ က တိုက်ရိုက်အုပ်ချုပ်ကြောင်း ပြဋ္ဌာန်းထားသည်။ ===ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းများ=== စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအတွင်းတွင် *နာဂ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ ရှမ်းပြည်နယ်အတွင်းတွင် *ပလောင် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ *ကိုးကန့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ *ပအိုဝ်း ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ *ဓနု ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ *ဝ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း ==သမိုင်းကြောင်း== ===ဗြိတိသျှကိုလိုနီခေတ်=== ၁၉၀၀ ခုနှစ်တွင် မြန်မာနိုင်ငံသည် [[ဗြိတိသျှရာဇ|ဗြိတိသျှအိန္ဒိယ]]၏ လက်အောက်ခံဒေသတစ်ခုဖြစ်ခဲ့ပြီး အောက်မြန်မာနိုင်ငံနှင့် အထက်မြန်မာနိုင်ငံဟူ၍ နှစ်ပိုင်းခွဲအုပ်ချုပ်ခဲ့သည်။ အောက်မြန်မာနိုင်ငံတွင် ရခိုင်ပြည်နယ်၊ ဧရာဝတီ၊ ပဲခူးနှင့် တနင်္သာရီဒေသများပါဝင်ပြီး မြို့တော်မှာ ရန်ကုန်မြို့ဖြစ်သည်။ အထက်မြန်မာနိုင်ငံတွင် မိတ္ထီလာ၊ မင်းဘူး၊ စစ်ကိုင်း၊ ရှမ်းပြည်မြောက်ပိုင်းနှင့် ရှမ်းပြည်တောင်ပိုင်းတို့ပါဝင်ကာ မြို့တော်မှာ မန္တလေးမြို့ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ် ကချင်ပြည်နယ်နှင့်ချင်းပြည်နယ်တို့သည် တောင်တန်းဒေသများ၊ ကယားပြည်နယ်သည် ကရင်နီနယ်များ၊ ရှမ်းပြည်နယ်ဖြစ်သောနယ်မြေဒေသသည် ပဒေသရာဇ်ရှမ်းပြည်နယ်စု၊ ယနေ့ခေတ်ရှမ်ူပြည်နယ်ရှိ"ဝ"ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းသည် "ဝ"နယ်များ၊ ရခိုင်ပြည်နယ်သည် ရခိုင်တိုင်း စသည်ဖြင့်တည်ရှိခဲ့သည်။ လက်ရှိ မွန်ပြည်နယ်မှ မော်လမြိုင်ခရိုင်နှင့် သထုံခရိုင်တို့သည်လည်းကောင်း၊ လက်ရှိ ကရင်ပြည်နယ်တွင် ပါဝင်နေသော နယ်မြေဒေသအချို့သည် သံလွင်ခရိုင်အဖြစ်လည်းကောင်း၊ လက်ရှိ ထားဝယ်ခရိုင်နှင့် မြိတ်ခရိုင်တို့သည်လည်းကောင်း တနင်္သာရီတိုင်းတွင်ပါဝင်ခဲ့သည်။ လက်ရှိ ရန်ကုန်တိုင်းရှိ မြောက်ပိုင်းခရိုင်၊ တောင်ပိုင်းခရိုင် နယ်မြေများသည် ပဲခူးတိုင်းအတွင်းတွင်လည်းကောင်း၊ လက်ရှိ ကချင်ပြည်နယ်မှ ဗန်းမော်ခရိုင်နှင့် မြစ်ကြီးနားခရိုင်များမှ နယ်မြေအချို့သည် စစ်ကိုင်းတိုင်းတွင်လည်းကောင်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၁၉၄၀ပြည့်နှစ်တွင် မင်းဘူးတိုင်းကို မကွေးတိုင်းအဖြစ် အမည်ပြောင်းခဲ့ပြီး မိတ္ထီလာတိုင်းကို မန္တလေးခရိုင်အောက်သို့ ရွေ့ပြောင်းခဲ့သည်။ ===လွတ်လပ်ရေးရပြီးနောက်ပိုင်း=== ၁၉၄၈ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီ ၄ ရက်နေ့တွင် လွတ်လပ်ရေးရရှိပြီးနောက်ပိုင်း ချင်းတောင်တန်းဒေသကို ရခိုင်တိုင်းမှ ခွဲထုတ်ကာ ချင်းဝိသေသတိုင်းအဖြစ်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ စစ်ကိုင်းတိုင်းအတွင်းရှိ [[ဗန်းမော်ခရိုင်]]နှင့် မြစ်ကြီးနားဒေသများကို ပေါင်းကာ [[ကချင်ပြည်နယ်]]အဖြစ်သို့လည်းကောင်း၊ [[ကျိုက္ခမီမြို့|အမ်းဟတ်]]၊ [[သထုံခရိုင်|သထုံ]]နှင့် တနင်္သာရီတိုင်းမှ [[တောင်ငူခရိုင်]]များကို [[ကရင်ပြည်နယ်]]၏ရှေ့ပြေး ကော်သူလေးအထူးဒေသအဖြစ်လည်းကောင်း ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ကရင်နီနယ်များကို ကရင်နီပြည်နယ်အဖြစ်ဖွဲ့စည်းပြီး ပဒေသရာဇ်ရှမ်းပြည်နယ်စုနှင့် ဝပြည်နယ်များကိုပေါင်း၍လည်း [[ရှမ်းပြည်နယ်]]အဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၅၂ ခုနှစ်တွင် ကရင်နီပြည်နယ်ကို [[ကယားပြည်နယ်]]အဖြစ် အမည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ အခြေခံဥပဒေပြင်ဆင်ချက်ဖြင့် ၁၉၅၄ခုနှစ်တွင် ကော်သူလေးအထူးဒေသနှင့်ထပ်တိုးနယ်မြေများကို ကရင်ပြည်နယ်အဖြစ်တရားဝင်ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ [[တော်လှန်ရေးကောင်စီ]] အစိုးရလက်ထက်တွင် ၁၉၆၂ ခုနှစ် ပြည်ထောင်စု မြန်မာနိုင်ငံ နယ်ခြားဒေသအုပ်ချုပ်ရေးဥပဒေအရ တည်ရှိခဲ့သော ရခိုင်တိုင်းရှိ [[မေယုနယ်ခြားခရိုင်]]ကို [[စစ်တွေခရိုင်]]အောက်တွင် မောင်းတောခရိုင်ခွဲအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ ကျိုင်းတုံ၊ မိုင်းတုံ၊ တာချီလိတ်၊ ကွမ်းလုံနယ်ခြားခရိုင်များကို [[ကျိုင်းတုံခရိုင်]]၊ [[ကွမ်းလုံခရိုင်]]များအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ကချင်ပြည်နယ်ရှိ အရှေ့ပူတာအိုနယ်ခြားခရိုင်ကို [[ပူတာအိုခရိုင်]]အဖြစ်လည်းကောင်း သတ်မှတ်၍ လောခေါင်နယ်ခြားခရိုင်ကို မြစ်ကြီးနားခရိုင်အောက် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ ၁၉၆၄ ခုနှစ်တွင် ကရင်ပြည်နယ်ကို ကော်သူးလေပြည်နယ်ဟု အမည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ၁၉၇၂ ခုနှစ်တွင် ပဲခူးတိုင်းမှ ဟံသာဝတီနှင့် မှော်ဘီခရိုင်တို့ကို ခွဲထုတ်ပြီး ရန်ကုန်တိုင်း အဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ တနင်္သာရီတိုင်းမှ မော်လမြိုင်ခရိုင်နှင့် သထုံခရိုင်တို့ကို တနင်္သာရီတိုင်း(၁)၊ မြိတ်ခရိုင်နှင့် ထားဝယ်ခရိုင်တို့ကို တနင်္သာရီတိုင်း(၂) အဖြစ် ခွဲခြမ်းခဲ့ပြီး တနင်္သာရီတိုင်း(၁)၏မြို့တော်အဖြစ် [[မော်လမြိုင်မြို့]]နှင့် တနင်္သာရီတိုင်း(၂)၏ မြို့တော်အဖြစ် [[ထားဝယ်မြို့]]တို့ကိုသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင်ပင် ခရိုင်၊ ခရိုင်ခွဲနှင့် မြို့နယ်ခွဲများကို ဖျက်သိမ်းခဲ့သည်။ ၁၉၇၄ ခုနှစ် အခြေခံဥပဒေသစ်အာဿာတည်သောအခါ ချင်းဝိသေသတိုင်းကို [[ချင်းပြည်နယ်]]အဖြစ် ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ခဲ့ကာ မြို့တော်ကိုလည်း [[ဖလမ်းမြို့]]မှ [[ဟားခါးမြို့]]သို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ တနင်္သာရီတိုင်း(၁)သည် [[မွန်ပြည်နယ်]]၊ တနင်္သာရီတိုင်း(၂)သည် တနင်္သာရီတိုင်း ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ရခိုင်တိုင်းကိုလည်း ရခိုင်ပြည်နယ်အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ကော်သူးလေကိုမူ ကရင်ပြည်နယ်အဖြစ် ပြန်လည်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ၁၉၉၅ ခုနှစ်နောက်ပိုင်းတွင် [[ကချင်လွတ်မြောက်ရေးတပ်မတော်]]နှင့် ငြိမ်းချမ်းရေး သဘောတူညီချက်အရ မြစ်ကြီးနားခရိုင်ထဲမှ [[မိုးညှင်းခရိုင်]]ကို အသစ်ခွဲထုတ်ဖွဲ့စည်းသည်။ တပ်မတော်အစိုးရအဖြစ် [[နိုင်ငံတော် ငြိမ်ဝပ်ပိပြားမှု တည်ဆောက်ရေးအဖွဲ့]] တာဝန်ယူပြီးနောက် ၁၉၈၈ခုနှစ်တွင် မြို့နယ်များကိုစုစည်း၍ မြို့နယ်စုများဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ၁၉၉၂ခုနှစ်တွင် မြို့နယ်စုများကို ခရိုင်များအဖြစ်ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ခဲ့ပါသည်။ [[နိုင်ငံတော် အေးချမ်းသာယာရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးရေးကောင်စီ]]မှ ၁၉၉၇ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၁၅ ရက်နေ့မှ စတင်ပြီး တာဝန်ယူပြီးနောက် နိုင်ငံတော်၏ စီးပွားရေး၊ လူမှုရေး၊ အုပ်ချုပ်ရေး အခြေအနေများအရ မြို့၊ ရွာ၊ ရပ်ကွက်များ ပြင်ဆင်ဖွဲ့စည်းမှုများကို ဆက်လက်ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထိုသို့ပြုလုပ်ရာတွင် [[ပြည်ထဲရေး ဝန်ကြီးဌာန]]၏ ၂၇.၈.၉၉ ရက်စွဲပါ အမိန့်ကြော်ငြာစာအရ ပဲခူးတိုင်း အနောက်ပိုင်းရှိ ပြည်ခရိုင်နှင့် သာယာဝတီခရိုင်တို့ကို ပေါင်းစည်း၍ ပဲခူးတိုင်း (အနောက်ပိုင်း) တိုင်းခွဲအဖြစ် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ ===၂၀၀၈ ခုနှစ် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေ=== ၂၀၀၈ ခုနှစ် ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ တိုင်းခုနစ်တိုင်းကို တိုင်းဒေသကြီးများအဖြစ် အမည်ပြောင်းလဲကြောင်း ပြဋ္ဌာန်းထားသည်။ း နေပြည်တော်မြို့တော်ပါဝင်သည့် ပြည်ထောင်စုနယ်မြေနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းများကို သတ်မှတ်ကြောင်း ပြဋ္ဌာန်းထားသည်။<ref name="2008Con"/> ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများမှာ- *(က) စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးရှိ [[လေရှီးမြို့နယ်]]၊ [[လဟယ်မြို့နယ်]]နှင့် [[နန်းယွန်းမြို့နယ်]]တို့ကို စုစည်းပြီး [[နာဂကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ *(ခ) ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ [[ရွာငံမြို့နယ်]]နှင့် [[ပင်းတယမြို့နယ်]]တို့ကို စုစည်းပြီး [[ဓနုကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ *(ဂ) ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ [[ဟိုပုန်းမြို့နယ်]]၊ [[ဆီဆိုင်မြို့နယ်]]နှင့် [[ပင်လောင်းမြို့]]နယ်တို့ကို စုစည်းပြီး [[ပအိုဝ်းကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ *(ဃ) ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ [[နမ့်ဆန်မြို့နယ်]]နှင့် [[မန်တုံမြို့]]နယ်တို့ကို စုစည်းပြီး [[ပလောင်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ *(င) ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ [[ကုန်းကြမ်းမြို့နယ်]]နှင့် [[လောက်ကိုင်မြို့နယ်]]တို့ကို စုစည်းပြီး [[ကိုးကန့်ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ]]၊ *(စ) ရှမ်းပြည်နယ်ရှိ [[ဟိုပန်မြို့နယ်]]၊ [[မိုင်းမောမြို့နယ်]]၊ [[ပန်ဝိုင်မြို့နယ်]]၊ [[နားဖန်းမြို့နယ်]]၊ [[မက်မန်းမြို့နယ်]]နှင့် [[ပန်ဆန်းမြို့နယ်|ပန်ဆန်း(ပန်းခမ်း)မြို့နယ်]] ခြောက်မြို့နယ် တို့ကို ခရိုင် နှစ်ခရိုင်ဖွဲ့ပြီး [[ဝ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်း]]။ ၂၀၁၀ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၂၀ ရက်နေ့တွင် တိုင်းခုနစ်တိုင်းကို တိုင်းဒေသကြီးများအဖြစ် လည်းကောင်း၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရတိုင်းနှင့် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသများ ရုံးစိုက်ရာ မြို့များကို လည်းကောင်း၊ ပြည်ထောင်စုနယ်မြေတွင် ခရိုင်နှင့်မြို့နယ်များကို လည်းကောင်း သတ်မှတ်ကြေညာခဲ့သည်။<ref name="weekly"/> ==အခြားကြည့်ရန်== *[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] *[[မြန်မာနိုင်ငံရှိ မြို့နယ်များ]] *[[မြန်မာနိုင်ငံ ပြည်နယ်နှင့် တိုင်းဒေသကြီးများ၏ အလံများ]] *[[ISO 3166-2:MM]] ==ကိုးကား== {{reflist}} ==ပြင်ပလင့်ခ်များ== * [http://statoids.com/umm.html Statoids] {{မြန်မာတိုင်းနှင့် ပြည်နယ်များ}} {{မြန်မာနိုင်ငံ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံ၏ နယ်မြေအပိုင်းအခြားများ| ]] eli8qtrrmmgpr24lt34r17cl8amc01l 0 57238 1061003 782543 2026-11-01T11:19:10Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1061003 wikitext text/x-wiki {{Infobox book | name = အချိန်၏သမိုင်း အကျဉ်း | image = BriefHistoryTime.jpg | caption = | author = [[စတီဖင်ဟော့ကင်း]] | country = | language = [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာ]] | genre = Popular science | published = 1988 (Bantam Dell Publishing Group) | media_type = Book and pdf | pages = 256 | isbn = 978-0-553-10953-5 | dewey = 523.1 21 | congress = QB981 .H377 1998 | oclc = 39256652 |followed_by = Black Holes and Baby Universes and Other Essays }} '''အချိန်၏သမိုင်းအကျဉ်း: မဟာပေါက်ကွဲမူမှ တွင်းနက်များ'''စာအုပ်သည် ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဗြိတိသျှလူမျိုး ရူပဗေဒပညာရှင် [[စတီဖင်ဟော့ကင်း]] ရေးသားခဲ့သော လူကြိုက်များသည့် [[သိပ္ပံ]]စာအုပ်ဖြစ်သည်။<ref>''A Brief History of Time'' is based on the scientific paper {{cite journal|title=Wave function of the Universe|date=1983|journal=Physical Review D|volume=28|issue=12|page=2960|doi= 10.1103/PhysRevD.28.2960|author=J. B. Hartle|author2=S. W. Hawking|bibcode = 1983PhRvD..28.2960H }}</ref> နှစ်ပေါင်း ၂၀ အတွင်း အုပ်ရေပေါင်း ၁၀ သိန်းကျော်ရောင်းခဲ့ရကာ<ref>{{cite news| url=https://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/1549770/Hawking-to-experience-zero-gravity.html | location=London | work=The Daily Telegraph | first1=Natalie | last1=Paris | title=Hawking to experience zero gravity | date=26 April 2007 }}</ref> အရောင်းရဆုံး ဖြစ်လာခဲ့သည်။ သက္ကရာဇ် ၂၀၀၀ ခုနှစ်တွင် [[ဘာသာစကား]]ပေါင်း ၃၅ မျိုးသို့ ဘာသာပြန်ဆိုခြင်း ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{cite news|url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/1599719.stm|title=Hawking's briefer history of time |date=15 October 2001 |publisher=news.bbc.co.uk|accessdate=2008-08-06}}</ref> [[မြန်မာဘာသာ]]သို့လည်း ကျော်ဇေယျာ (ပုသိမ်)က ''အချိန်၏သမိုင်းအကျဉ်း''ဟု ဘာသာပြန်ဆိုခဲ့သည်။ == အကျဉ်းချုပ် == ဟောကင်းသည် [[စကြဝဠာဗေဒ]]နယ်ပယ်တွင်ရှိသော အကြောင်းအရာမျိုးစုံအား လူပြိန်းနားလည်အောင် ရှင်းပြရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ ယင်းတို့တွင် [[မဟာစကြဝဠာ ပေါက်ကွဲမှုကြီး]](Big Bang) [[တွင်းနက်]]များနှင့် အလင်းကတေ့ာများ ပါဝင်သည်။ သူ၏ အဓိကရည်မှန်းချက်မှာ အကြောင်းအရာအား ခြုံငုံကာပေးရန်ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ရှုပ်ထွေးသော [[သင်္ချာ]]ဆိုင်ရာအကြောင်းများကိုလည်း နားလည်အောင် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ ၁၉၉၆ ခုနှစ်တွင် ဟောကင်းသည် အချိန်ခရီးသွားခြင်း တွင်းပေါက်များနှင့် အချိန်၏မူလအစတွင် ကွမ်တမ် ဆင်ဂူလာရတီ မပါသော [[စကြဝဠာ]]တို့ တည်ရှိနိုင်မှုအား ဆွေးနွေးခဲ့သည်။ == ရုပ်ရှင် == ၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် Errol Morris သည် စတီဖင်ဟော့ကင်းအကြောင်း အတ္ထုပ္ပတ္တိဇာတ်လမ်းကားရိုက်ကူးခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ယင်းဇာတ်ကားသည် စတီဖင်ဟော့ကင်း၏ အတ္ထုပ္ပတ္တိကိုသာ ရိုက်ကူးခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး စာအုပ်ဗားရှင်းအကြောင်း မဟုတ်ခဲ့ပေ။ == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပ လင့် == * [https://web.archive.org/web/20220125225437/http://www.mansionbooks.com/BookDetail.php?bk=205 Photos of the first edition of ''A Brief History of Time''] [[Category:ရူပဗေဒ စာအုပ်များ]] o2iiilsq2ssb6drx2uk9vplxgzqxfo0 0 59293 1060994 1052074 2026-11-01T09:47:00Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060994 wikitext text/x-wiki {{Infobox |bodystyle = width:25em; |title = လေ့လာနိုင်သော စကြဝဠာ |image = [[File:Observable Universe with Measurements 01.png|300px]] |caption = လေ့လာနိုင်သော စကြဝဠာကို အကျဉ်းချုပ်သရုပ်ဖော်ထားပုံ၊ အစက်ကလေးများသည် [[မဟာဂလက်ဆီ အစုအပြုံ|ကြယ်စုထွေး]] (supercluster) အစုအဝေးများအား ဖော်ညွန်းပြီး [[Virgo Supercluster]] သည် အလယ်ဗဟို၌ တည်ရှိသည်။ ယင်းသည် [[နဂါးငွေ့တန်း ဂယ်လက်ဆီ|နဂါးငွေ့တန်း]]၏ မိခင်ဖြစ်သော်လည်း မြင်သာရန် ​သေးငယ်လွန်းလှသည်။ |label1 = အချင်း |data1 = ၈.၈×၁၀^၂၆ m {{nowrap|(၂၈.၅ [[Parsec|Gpc]] သို့မဟုတ် ၉၃ [[အလင်းနှစ်|Gly]])}}<ref>{{cite book|author1=Itzhak Bars|author2=John Terning|title=Extra Dimensions in Space and Time|url=http://books.google.com/books?id=fFSMatekilIC&pg=PA27|accessdate=2011-05-01|date=November 2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-77637-8|pages=27–}}</ref> |label2 = ထုထည် |data2 = ၄×၁၀^၈၀ m³<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=volume+universe What is the Universe Made Of?]</ref> |label3 = ဒြပ်ထု (ordinary matter) |data3 = ၁၀^၅၃ kg<ref name="Paul Davies 2006 43">{{cite book | author = Paul Davies | title = The Goldilocks Enigma | url = http://www.amazon.com/Goldilocks-Enigma-Universe-Just-Right/dp/0547053584/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1372701918&sr=1-1&keywords=goldilocks+enigma | accessdate = 1 July 2013 | date = 2006 | publisher = First Mariner Books | isbn = 978-0-618-59226-5 | page = 43– }}</ref> |label4 = သိပ်သည်းမှု |data4 = ၉.၉×၁၀^-၃၀ g/cm³ ([[အာကာသ]]၏ ၁ ကုဗမီတာလျင် [[ပရိုတွန်]] ၆ လုံးနှင့်ညီမျှသည်)<ref>http://map.gsfc.nasa.gov/universe/uni_matter.html January 13, 2015</ref> |label5 = သက်တမ်း |data5 = ၁၃.၇၉၉ ± ၀.၀၂၁ [[ဘီလီယံ]] နှစ်<ref name="Planck 2015">{{cite journal | author = Planck Collaboration | date = 2015 | title = Planck 2015 results. XIII. Cosmological parameters (See Table 4 on page 31 of pfd). | arxiv = 1502.01589 }}</ref> |label6 = ပျမ်းမျှအပူချိန် |data6 = ၂.၇၂၅၄၈ ကက်လ်ဗှင် (2.72548 Kelvins)<ref>{{Cite journal | last1 = Fixsen | first1 = D. J. | title = The Temperature of the Cosmic Microwave Background | url = https://archive.org/details/sim_astrophysical-journal_2009-12-20_707_2/page/916 | journal = The Astrophysical Journal | volume = 707 | issue = 2 | pages = 916–920 | date = December 2009 | doi = 10.1088/0004-637X/707/2/916 | bibcode = 2009ApJ...707..916F | arxiv = 0911.1955 }}</ref> | label7 = ပါဝင်သော အရာများ | data7 = [[ဘက်ရီယွန်|သမားရိုးကျ]] [[ဒြပ်|ဒြပ်သားမျိုး]] (၄.၉%)<br />[[ကိုယ်ပျောက်ဒြပ်ဆန်း]] (၂၆.၈%)<br />[[လောကနှံ့စွမ်းအင်]] (၆၈.၃%) }} {{Cosmology}} '''လေ့လာနိုင်သော စကြဝဠာ'''({{lang-en|Observable Universe}})ဟူသည် ပစ္စုပ္ပန်ကာလတွင် [[ကမ္ဘာ]]မှ လေ့လာနိုင်စွမ်း ရှိသမျှသော [[စကြဝဠာ]] ရပ်ဝန်းကို ဆိုလိုသည်။ [[အလင်း]]နှင့် ([[ဒြပ်ဆွဲအား]]ဖြစ်စေ) အခြားသော [[ဘိုဇွန်|သက်ရောက်မှု]] များသည်လည်း [[နှိုင်းရသီအိုရီ]]စဉ်းစားပုံ၌ တစ်နေရာမှ တစ်နေရာသို့ အချိန်ယူ၍ လာ၍သည်၊ ထိုသို့ အချိန်တစ်ခု ကြာပြီး ရောက်လာမှ လူတို့အဖို့ မြင်ရခြင်းနှင့် ကြားရခြင်း၊ သံလိုက်တို့အဖို့ ဆွဲငင်ခြင်းနှင့် တွန်းကန်ခြင်း၊ ဒြပ်ထုတခုခုအဖို့ ဒြပ်ဆွဲမှုကြောင့် စတင်ပြုတ်ကျခြင်း၊ စသည့် အရာများ နောက်ဆက်တွဲအဖြစ် ဖြစ်ပျက်ရသည်။ ထိုသို့ သဘောတရားလည်း ရှိလျက်၊ လောကကြီး ကျယ်ဝန်းလာနေခြင်း (expanding universe) သီအိုရီမျိုး ယူဆကြည့်လျှင် အဝေးအခေါင်မှ [[ဂယ်လက်ဆီ|ကြယ်စု]]များက ကျွန်ုပ်တို့ထံမှ မြန်လွန်းနှုန်းဖြင့် ရွေ့ကွာသွားပါက ၎င်း၏ တည်ရှိမှုကြောင့် နောက်ဆက်တွဲပေါ်သော (မြင်ရခြင်း၊ ဒြပ်ချင်း ဆွဲငင်ခြင်း စသည့်) သက်ရောက်မှုများလည်း ကျွန်ုပ်တို့အဖို့ မဖြစ်ပေါ်နိုင်တော့ပါ။ ထိုအခါမျိုးတွင် ၎င်းအရာ၏ ဖြစ်တည်မှုက ကျွန်ုပ်တို့အပေါ် သက်ရောက်မှု အလုံးစုံ ကင်းသွားသဖြင့် ''ကျွန်ုပ်တို့၏'' '''သက်ရောက်လောက (observable universe)''' အတွင်း မပါဝင်တော့ဟုသာ ဆိုရပေမည်။ ယခုလက်ရှိ တွေ့ကြုံတိုင်းတာရချက်များအရ '''သက်ရောက်လောကဝန်း'''၏ အချင်းဝက်မှာ ၄.၄×၁၀^၂၆ m {{nowrap|(14 [[Parsec]] သို့မဟုတ် [[အလင်းနှစ်|အလင်း]] 46.5 နှစ်စာ)}} ခန့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book|author1=Itzhak Bars|author2=John Terning|title=Extra Dimensions in Space and Time|url=http://books.google.com/books?id=fFSMatekilIC&pg=PA27|accessdate=2011-05-01|date=November 2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-77637-8|pages=27–}}</ref><br> <br> ''စကြဝဠာ'' ခေါ် ''လောကဓာတု'' အတွက်မူ စကြဝဠာစာမျက်နှာ၌ ''အခေါ်အဝေါ်လျော်ကန်စွာ'' လေ့လာနိုင်သည်။ ဤစာမျက်နှာမှာ [[ရူပဗေဒ]]ဖြင့် လေ့လာအပ်သော ခပ်သိမ်းလောက (the whole universe)၏ တစ်စိတ်တပိုင်းကို ဆိုလိုသည်။<br> universe = [[ခပ်သိမ်းလောက]]<br> cakkaval = [[စကြဝဠာ]] (Universe အတွင်း တစ်စိတ်တပိုင်းအဖြစ်သာ ပါဝင်သည်ဟု ယူဆရသော အဝန်းအဝိုင်း)<br> ဤစာမျက်နှာတွင် ဖော်ပြသော '''သက်ရောက် လောကဝန်း''' (the observable universe) ဆိုသည်မှာ လူသားတို့၏ လက်ရှိနည်းပညာ အားနည်းသေးမှုကြောင့် ဤအပိုင်းကို ကျော်လျက် မလေ့လာနိုင်ခြင်းကို မဆိုလိုပါ။ လောက(Universe)တွင် [[အခြေခံ သက်ရောက်မှုကြီး|သက်ရောက်မှု]]တိုင်းသည် အချိန်ယူလျက် ရွေ့လျားရသေးခြင်း သဘောတရားကြောင့် ဖြစ်တော့၏။ == အကြမ်းဖျင်း ဖော်ပြချက် == လောက(Universe)၏ အာကာသ-အချိန် သင်္ချာသဘောသရုပ်က [[တပြန့်ညီမှု|တပြန့်ညီစွာ]]တည်ရှိသည်ဟု ယူဆလျှင် [[ကြုံတွေ့ဇာတ်ကောင်|ကြည့်ရှုတိုင်းတာသူ (observer)]]အနေနှင့် လောက(Universe)၏ မည်သည့်နေရာမှ လေ့လတိုင်းတာသည်ဖြစ်စေ အတူတူနီးပါးပင် မြင်ရပေမည်။ ကမ္ဘာမြေမှ လေ့လာနိုင်သော [[ကြယ်စု]]အရေအတွက်မှာ အနည်းဆုံး ၂ [[ထရီလီယံ]] (၂,၀၀၀,၀၀၀,၀၀၀) ခန့် ရှိလေသည်။<ref name="Conselice">{{cite journal|title=The Evolution of Galaxy Number Density at z < 8 and its Implications|author=Christopher J. Conselice et al|journal=The Astrophysical Journal|volume=830|issue=2|year=2016|arxiv=1607.03909v2|bibcode=|doi=10.3847/0004-637X/830/2/83}}</ref><ref name="NYT-20161017">{{cite news |last=Fountain |first=Henry |title=Two Trillion Galaxies, at the Very Least |url=http://www.nytimes.com/2016/10/18/science/two-trillion-galaxies-at-the-very-least.html |date=17 October 2016 |work=New York Times |accessdate=17 October 2016 }}</ref> ''လေ့လာနိုင်သော'' ဟူသည့်စကားလုံးသည် ခေတ်သစ်သိပ္ပံပညာများအပေါ် မမူတည်ပေ။ လောကနှံ့ မိုက်ကရိုဝေ့ဖ်နောက်ခံ ([[:en:Cosmic Microwave Background]] Radiation: CMBR) ကို ပညာရှင်များ အချိန်ယူကာ တိုင်းတာခဲ့ကြရာ [[မဟာပေါက်ကွဲမှု]]ကတည်းက ပြန့်ကားလာသည့် လောက(Universe)၏ မြေပုံကို ရေးဆွဲနိုင်ခဲ့သည်။ CMBR မှရလဒ်ကို အခြေခံတွက်ချက်မှုများအရ လက်ရှိ မိမိတို့ မြင်နိုင်သမျှ အလင်း၏အကွာအဝေးသည် ၁၄ [[ဘီလီယံ]] [[Parsec]] ([[အလင်းနှစ်]] ၄၅.၇ ဘီလီယံ) ရှိသည်။ ယဉ်တွဲရွေ့လျားအကွာအဝေးသည် ၁၄.၃ ဘီလီယံ [[Parsec]] (အလင်းနှစ် ၄၆.၆ ဘီလီယံ) ရှိကာ ၂% ပိုများသည်။<ref name="mapofuniverse">{{cite journal|last = Gott III|first = J. Richard|display-authors=4|author2=Mario Jurić |author3=David Schlegel |author4=Fiona Hoyle |author5=Michael Vogeley |author6=Max Tegmark |author7=Neta Bahcall |author8=Jon Brinkmann |title = A Map of the Universe|url=http://www.astro.princeton.edu/universe/ms.pdf|journal = The Astrophysics Journal|volume = 624|issue = 2|page = 463|date = 2005|doi = 10.1086/428890|bibcode=2005ApJ...624..463G| arxiv=astro-ph/0310571}}</ref> လောက(Universe)သည် အချိန်နှင့်အမျှ ပြန့်ကားနေသော​​ကြောင့် ''အလိုက်ပြောင်းအကွာအဝေး (comoving distance)'' ဟုသုံးသည်။ ၂၀၁၅ ခုနှစ်အရ လောက(Universe)၏သက်တမ်းအဖို့ အကောင်းဆုံးမှန်းဆချက်မှာ ၁၃.၇၉၉ ±၀.၀၂၁ ဘီလီယံနှစ်ဖြစ်သည်။<ref name="Planck 2015"/> သို့သော် လောက(Universe) ပြန့်ကားမှုအရ '''သက်ရောက်လောကဝန်း (Obserbable Universe)'''၏ အချင်းသည် ၂၈.၅ [[Parsec|''gigaparsec]] (အလင်းနှစ် ၉၃ ဘီလီယံ) ရှိသည်ဟုဆိုသည်။ <ref>{{cite book|author1=Itzhak Bars|author2=John Terning|title=Extra Dimensions in Space and Time|url=http://books.google.com/books?id=fFSMatekilIC&pg=PA27|accessdate=1 May 2011|date=November 2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-77637-8|pages=27–}}</ref> ထို့ကြောင့် လေ့လာနိုင်သော လောက(Universe)၏ အနားစွန်းသည် အလင်းနှစ် ၄၆.၅ ဘီလီယံ ရှိပေမည်။<ref>[http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html#DN Frequently Asked Questions in Cosmology]. Astro.ucla.edu. Retrieved on 2011-05-01.</ref><ref name=ly93>{{cite web|last = Lineweaver|first = Charles|author2=Tamara M. Davis|date = 2005|url =http://www.scientificamerican.com/article/misconceptions-about-the-2005-03/|title = Misconceptions about the Big Bang|publisher = Scientific American}}</ref> == သက်ရောက်လောက (Observable Universe) သည် လောက(Universe) တစ်ခုလုံး၏ တစ်စိတ်တပိုင်း == [[File:Observable universe logarithmic illustration.png|thumb|left|250px|သက်ရောက်လောက(Obserbable Universe)၊ အနုပညာရှင်မှ ပုံဖော်ချက် (ဓာတ်ပုံမှတ်တမ်း မဟုတ်): [[နေအဖွဲ့အစည်း]]၊ [[ဂြိုဟ်|ဂြိုဟ်များ]]၊ [[Oort Cloud]],[[အယ်လဖာ စင်တောရိ]]၊ ပါဆီယပ်လက်မောင်း၊ [[နဂါးငွေ့တန်း ဂယ်လက်ဆီ]]၊ [[အင်ဒရိုမီဒါ ဂလက်ဆီ]]၊ အနီးအနားမှ[[ကြယ်စု]]များ၊ ကော့စမစ် ပင့်ကူအိမ်၊ ကော့စမစ် မိုက်ခရိုနောက်ခံလှိုင်း၊ [[မဟာပေါက်ကွဲမှု]]၏ မမြင်နိုင်သော ပါလစမာ။]] လောက(Universe)၏ အရွယ်အစားကို မသိရပေ၊ ယင်းသည် အနန္တလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။<ref>{{cite book |first=Andrew |last=Liddle |date=2015 |publisher=John Wiley |title=An Introduction to Modern Cosmology |url=https://www.google.com/books/edition/An_Introduction_to_Modern_Cosmology/4lPWBgAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&dq=infinite+universe+observable&pg=PA33&printsec=frontcover}}</ref> လောက(Universe)၏ အချို့သောအပိုင်းများသည် မဟာပေါက်ကွဲမှုကတည်းက ထုတ်လွှင့်သည့်အလင်းများ ကမ္ဘာမြေရှိ ခြေရာခံကိရိယာများသို့ ရောက်ရှိရန် ဝေးကွာလွန်းလှသည်။ ထို့ကြောင့် ယင်းတို့သည် လေ့လာနိုင်သော လောက(Universe)၏အပြင်ဘက်တွင် တည်ရှိနေသည်။ အနာဂတ်တွင် ဝေးကွာသော ကြယ်စုများ၏ အလင်းသည် ကမ္ဘာမြေသို့ရောက်ရှိရန် အချိန်ပိုမိုကြန့်ကြာပေလိမ့်မည်။ [[မဟာပေါက်ကွဲမှု]]ကတည်းက ပြန့်ကားသွားသော အဝေးမှဂလက်ဆီများသည် မိမိတို့ဆီရောက်ရန် အချိန်ယူရသည်။ ထို့ကြောင့် အနာဂတ်တွင် အဝေးမှ ဂလက်ဆီများအား (အရင်က မမြင်ဖူးသော) မြင်တွေ့ရပေမည်။ သို့သော် ယနေ့အခါ၌ လောက(Universe)သည် ​စွမ်းအင်နက်ကြောင့် လောကပြန့်ကားနှုန်းသည် အလျင်နှုန်း တိုးပြောင်းလျက် ပြန့်ကားနေသည်။ ယခုအတိုင်းဖြင့် ဆက်လက်ပြန့်ကားနေမည်ဆိုပါက [[အနီရောင်အရွေ့]]ကြောင့် အဝေးမှ ကြယ်စုများ မြင်ကွင်းမှ ထာဝရ ပျောက်ကွယ်သွားပေလိမ့်မည်။<ref>{{cite journal|last = Krauss|first = Lawrence M.|author2=Robert J. Scherrer|title = The Return of a Static Universe and the End of Cosmology|url = https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2007-10_39_10/page/1545|journal = General Relativity and Gravitation|volume = 39|issue = 10|pages = 1545–1550|date = 2007|doi = 10.1007/s10714-007-0472-9|arxiv=0704.0221|bibcode = 2007GReGr..39.1545K }}</ref><ref>[http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=102715275 Using Tiny Particles To Answer Giant Questions]. Science Friday, 3 Apr 2009. According to the [http://www.npr.org/templates/transcript/transcript.php?storyId=102715275 transcript], Brian Greene makes the comment "And actually, in the far future, everything we now see, except for our local galaxy and a region of galaxies will have disappeared. The entire universe will disappear before our very eyes, and it's one of my arguments for actually funding cosmology. We've got to do it while we have a chance."</ref> အလန် ဂုထ် (Alan Guth) ၏ လောကဖောင်းပွခြင်းသီအိုရီအရ လောက(Universe)သည် မဟာပေါက်ကွဲမှုအပြီး ၁၀^-၃၇ စက္ကန့်အကြာတွင် စတင်ခဲ့သည်။ ယင်းအဆိုအရ လက်ရှိ လောက(Universe)သည် လေ့လာနိုင်သောလောက (observable universe)ထက် အဆပေါင်း ၃×၁၀^၂၃ ရှိနိုင်သည်ဟုဆိုသည်။ <ref>{{cite book|author=Alan H. Guth|title=The inflationary universe: the quest for a new theory of cosmic origins|url=http://books.google.com/books?id=P2V1RbwvE1EC&pg=PA186|accessdate=1 May 2011|date=17 March 1998|publisher=Basic Books|isbn=978-0-201-32840-0|pages=186–}}{{Dead link|date=January 2023 }}</ref> အချို့ကမူ လေ့လာနိုင်သောစကြဝဠာထက် အဆပေါင်း ၂၅၀ ရှိသည်ဟုဆိုကြသည်။<ref>Universe Could be 250 Times Bigger Than What is Observable - by Vanessa D'Amico on February 8, 2011 http://www.universetoday.com/83167/universe-could-be-250-times-bigger-than-what-is-observable/</ref> == ကြယ်များကို ရေတွက်ခြင်းဖြင့် လေ့လာမှု == [[File:HubbleUltraDeepFieldwithScaleComparison.jpg|thumb|259x259px|''Hubble Ultra-Deep Field'' ၏ ပုံရိပ်ဖြစ်ပြီး '''သက်ရောက်လောကဝန်း (obervable unierse)''' တစ်ခုလုံးကို ကောင်းကင်ဧရိယာတစ်ခုလုံးပမာဏဖြင့် ဖော်ညွန်းထားကာ ပုံတွင် အနီစက်ဖြင့်ပြထားသည်။ အစက်တစ်ခုချင်းစီသည် ကြယ်စုများဖြစ်ပြီး အဝေးကွာဆုံးမှအလင်းသည် လွန်ခဲ့သောနှစ်ပေါင်း ၁၄ [[ဘီလီယံ]]မှ ဖြစ်သည်။]] ကြယ်အရေအတွက်အား တိတိကျကျသိရှိရန် နည်းလမ်းမရှိပေ၊ သို့သော် လက်ရှိအသိပညာဖြင့်ဆိုပါက သာမန်အားဖြင့် ၁၀^၂၂ မှ ၁၀^၂၄ ရှိလေသည်။<ref>{{cite news|title=Astronomers count the stars|publisher=BBC News|date=July 22, 2003|url=http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/3085885.stm|accessdate=2006-07-18 }}</ref><ref>[http://www.npr.org/blogs/thetwo-way/2010/12/01/131730552/ "trillions-of-earths-could-be-orbiting-300-sextillion-stars"]</ref><ref>{{cite journal|last = van Dokkum|first =Pieter G.|author2=Charlie Conroy|title = A substantial population of low-mass stars in luminous elliptical galaxies |url = https://archive.org/details/sim_nature-uk_2010-12-16_468_7326/page/940|journal = Nature|volume = 468|issue = 7326|pages = 940–942|date = 2010|pmid = 21124316|doi = 10.1038/nature09578 |bibcode = 2010Natur.468..940V |arxiv = 1009.5992 }}</ref><ref>[http://www.universetoday.com/24328/how-many-stars/ "How many stars?"]</ref> ယင်းအတိုင်းအတာပမာဏအား ပြေလည်စေရန် နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ ကြယ်စုတို့၏ အရေအတွက်ကို ခန့်မှန်းရန်ဖြစ်ပြီး ကြယ်စုတစ်ခုချင်းစီတွင် ပါဝင်သော ပျမ်းမျှ ကြယ်အရေအတွက်နှင့် မြှောက်ရန်ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၄ ခုနှစ် ''Hubble Ultra-Deep Field'' ပုံရိပ်အရ ခန့်မှန်းခြေ ကြယ်စုရေမှာ ၁၀,၀၀၀ ဖြစ်သည်။<ref>[http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2004/28/text/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160927055058/http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2004/28/text/ |date=27 September 2016 }}| NASA, Hubble News Release STSci - 2004-7</ref> နှိုင်းယှဉ်ရသော် ယင်းမှ ဖမ်းမိသည့် ကောင်းကင်၏ ဧရိယာသည် တစ်ဘက်စီတွင် ၃.၄ arc minutes ရှိသည်။ ထိုပုံရိပ်များသည် လပြည့်ဝန်းအရွယ်အစားနှင့် ကာမိစေရန် ပုံပေါင်း ၅၀ ကျော်လိုအပ်ပေလိမ့်မည်။ ယင်းဧရိယာသည် ကောင်းကင်တစ်ခုလုံးအတွက် နမူနာဆိုပါက လောက(Universe)တွင် ကြယ်စု(ဂယ်လက်စီ)ပေါင်း ၁၀၀ ဘီလီယံ ရှိလေသည်။<ref>{{cite book|author=James R Johnson|title=Comprehending the Cosmos, a Macro View of the Universe|url= http://www.amazon.com/s/ref=nb_sb_ss_i_0_17?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=comprehending+the+cosmos&sprefix=Comprehending+the%2Cstripbooks%2C308| accessdate=1 July 2013 |isbn=978-1-477-64969-5|page=36}}</ref> မကြာသေးခင် ၂၀၁၂ ခုနှစ်က ဟာဘယ်သိပ္ပံပညာရှင်များသည် နှိုင်းယှဉ်ဖွယ်ရှိသော ဧရိယာထက် ကြယ်စုပမာဏ ပိုများသည့် ပုံရိပ်အား ''Hubble Extreme Deep Field'' ဖြင့် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite press release | url=http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2012/37/image/a/ | accessdate=1 July 2013 | title=Hubble Goes to the eXtreme to Assemble Farthest Ever View of the Universe | date=25 September 2012 | archive-date=17 December 2016 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161217223210/http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2012/37/image/a/ | url-status=dead }}</ref> သို့သော်လည်း ယင်းပုံရိပ်အား အခြေခံကာ ပြီးပြည့်စုံသည့် ကြယ်အရေအတွက်ကို တွက်ချက်ရန် မိမိတို့အနေဖြင့် နောက်ထပ်ယူဆချက်များ လိုအပ်ပေသည်။ ဂယ်လက်စီကြီးများနှင့် [[ဂလက်ဆီပု]]များ၊ ယင်းတို့တွင် ပါဝင်သော ပျမ်းမျှ ကြယ်အရေအတွက် စသည်တို့ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ယုတ္တိတန်သော ရွေးချယ်စရာမှာ ဂယ်လက်စီပေါင်း ၁၀၀ ဘီလီယံနှင့် ဂယ်လက်စီတိုင်းတွင် ပျမ်းမျှကြယ်အရေအတွက်ပေါင်း ၁၀၀ ဘီလီယံဟုဖြစ်သည်။ ရလဒ်မှာ ကြယ်အရေအတွက်ပေါင်း ၁၀^၂၂ ဖြစ်သည်။ တဖန် မိမိတို့သည် [[နဂါးငွေ့တန်း ဂယ်လက်ဆီ]]တွင် ပျံ့နှံ့လျက်ရှိသော ကြယ်တို့၏ ပျမ်းမျှထုထည်အား လိုအပ်သည်။ နဂါးငွေ့တန်း ဂယ်လက်ဆီတွင် [[ကြယ်]]အများစုသည် M အမျိုးအစားကြယ်များဖြစ်ကြပြီး [[နေ]]၏ ၃၀% ထုထည်သာရှိကြသည်။ ကြယ်အမျိုးအစားတို့၏ ထုထည်အား ပျမ်းမျှယူဆလိုက်ပါက နေထုထည်၏ ၅၁.၁% ရှိကြကုန်သည်။ <ref>{{cite book|author=James R Johnson|title=Comprehending the Cosmos, a Macro View of the Universe|url= http://www.amazon.com/s/ref=nb_sb_ss_i_0_17?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=comprehending+the+cosmos&sprefix=Comprehending+the%2Cstripbooks%2C308|accessdate=1 July 2013|isbn=978-1-477-64969-5|page=34}}</ref> နေ၏ထုထည်သည် {{val|2|e=30|u=kg}} ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် လက်ခံနိုင်ဖွယ်ရှိသော စကြဝဠာထဲမှ ကြယ်တစ်ခုချင်း၏ ထုတည်မှာ ၁၀^၃၀&nbsp;kg ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကြယ်များအားလုံး၏ထုထည်သည် ကြယ်အရေအတွက် (၁၀^၂၂) နှင့် တူညီသည်။ == အဝေးကွာဆုံး အရာဝတ္ထုများ == ၂၀၁၁ ခုနှစ်အရ ထုတ်ပြန်ကြေညာခဲ့သည့် အဝေးကွာဆုံးသော ဂလက်ဆီသည် UDFj-39546284 ဖြစ်သည်။ ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် ဂါမာရောင်ခြည် လောင်ကျွမ်းမှု GRB 090423 အား တွေ့ရှိခဲ့ကာ [[အနီရောင်အရွေ့]] ၈.၂ ရှိလေသည်။ ယင်းမှ ညွန်ပြသည်မှာ လောက(Universe)က သက်တမ်းအားဖြင့် ၆၃၀ မီလီယံနှစ်သာလျှင် ရှိသေးသည့်အချိန်မှ ကြယ်တစ်စင်းပေါက်ကွဲရာက ရောက်လာသော အလင်းဖြစ်ပေသည်။<ref name="NASAGRB">[http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2009/28apr_grbsmash/ New Gamma-Ray Burst Smashes Cosmic Distance Record – NASA Science] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110310193130/http://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2009/28apr_grbsmash/ |date=10 March 2011 }}. Science.nasa.gov. Retrieved on 2011-05-01.</ref> ပေါက်ကွဲမှုသည် လွန်ခဲ့သောနှစ်ပေါင်း ၁၃ ဘီလီယံနှစ်အကြာက ဖြစ်ပွားခဲ့သောကြောင့် အလင်းနှစ် ၁၃ ဘီလီယံအား မီဒီယာများတွင် အကျယ်တဝင့် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။<ref>[http://www.universetoday.com/43517/more-observations-of-grb-090423-the-most-distant-known-object-in-the-universe/ More Observations of GRB 090423, the Most Distant Known Object in the Universe]. Universetoday.com (2009-10-28). Retrieved on 2011-05-01.</ref> [[အနီရောင်အရွေ့]] ၈.၂ ၏ မှန်ကန်သော အကွာအဝေးသည့် ၉.၂ Gpc ဖြစ်ပေမည်။ သို့မဟုတ် အလင်းနှစ် ၃၀ ဘီလီယံနှစ် ဖြစ်လေသည်။<ref>{{cite journal |author=Meszaros, Attila |display-authors=etal |journal=Baltic Astronomy |volume=18 |title=Impact on cosmology of the celestial anisotropy of the short gamma-ray bursts |pages=293–296 |date=2009 |arxiv=1005.1558 |bibcode=2009BaltA..18..293M }}</ref> အခြားသော အဝေးကွာဆုံးအရာဝတ္ထုမှာ Abell 2218 အလွန်မှဖြစ်ကာ ကမ္ဘာမြေမှ အလင်းနှစ် ၁၃ ဘီလီယံဖြစ်သည်။<ref>[http://www.spacetelescope.org/news/heic0404/ Hubble and Keck team up to find farthest known galaxy in the Universe|Press Releases|ESA/Hubble] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200610223151/http://www.spacetelescope.org/news/heic0404/ |date=10 June 2020 }}. Spacetelescope.org (2004-02-15). Retrieved on 2011-05-01.</ref> မိမိတို့ ယခုလက်ရှိ ကမ္ဘာမြေမှမြင်ရသည့် ယင်းဂယ်လက်ဆီ၏ အလင်းသည် မဟာပေါက်ကွဲမှုဖြစ်ပြီး နှစ်ပေါင်း ၇၅၀ မီလီယံမှ ဖြစ်ပေသည်။<ref>{{Cite web |title=MSNBC: "Galaxy ranks as most distant object in cosmos" |url=http://www.msnbc.msn.com/id/4274187/ |accessdate=21 March 2016 |archivedate=23 October 2012 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121023124917/http://www.msnbc.msn.com/id/4274187/ }}</ref> ==မိုးကုတ်စက်ဝိုင်းများ== မိမိတို့ လောက(Universe)ကို လေ့လာနိုင်စွမ်းသည် လောကလုံးဆိုင်ရာ မိုးကုတ်စက်ဝိုင်း (cosmological horizon) ကန့်သတ်ချက်များကို မကျော်လွန်စွမ်းလေရာ လောက(Universe)တွင် ဖြစ်ပွားသည့် များလှစွာသောဖြစ်ရပ်များအား သတင်းအချက်အလက်ရယူရာတွင် များစွာကွဲပြားလှသည်။ နာမည်အကျော်ကြားဆုံးသော မိုးကုတ်စက်ဝိုင်းသည် အမှုန်မိုးကုတ်စက်ဝိုင်း (particle horizon) ဖြစ်ပြီး မိမိတို့မြင်ရသည့် တိကျသောအကွာအဝေးအား ကန့်သတ်ထားသည်။ ယင်းသည် လောက(Universe)၏ သက်တမ်းကြောင့် ဖြစ်လေသည်။ လောက(Universe)သည် သက်တမ်းအားဖြင့် ၁၃ ဘီလီယံဆိုပါက မိမိတို့အနေဖြင့် အလင်းနှစ် ၁၃ ဘီလီယံကျော်ထက်ပိုဝေးသော အကွာအဝေးအား မြင်တွေ့ရမည်မဟုတ်ပေ။ အခြားသော မိုးကုတ်စက်ဝိုင်းများမှာ အနာဂတ်တွင် ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော လောက၏ ပြန့်ကားမှုများကြောင့်ဖြစ်ပြီး ယင်းသည်အမှုန်မိုးကုတ်စက်ဝိုင်းထက် ပိုမိုကျယ်ပြန့်လှပေသည်။ {{wide image|Earth's Location in the Universe (JPEG).jpg|2000px|လက်လှမ်းမီနိုင်သမျှလောကအတွင်းမှ ကမ္ဘာမြေ၏တည်နေရာ (''[[:File:Earth's Location in the Universe SMALLER (JPEG).jpg|အစားထိုးပုံရိပ်]]'')}} {{wide image|Observable_Universe_Logarithmic_Map_(horizontal_layout_english_annotations).png|2250px|လက်လှမ်းမီနိုင်သမျှလောက၏ မြေပုံ၊ ဘယ်မှညာသို့- အာကာသယာဉ်နှင့် နက္ခတ္တဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများကို ကမ္ဘာ၏အနီးအနားပုံစံဖြင့် စီထားသည်။}} == အကိုးအကား == {{Reflist|20em}} ==ပြင်ပလင့်များ== * [http://www.youtube.com/watch?v=K8V8Iy9Tozk Calculating the total mass of ordinary matter in the universe, what you always wanted to know] * [http://www.mpa-garching.mpg.de/galform/millennium/ "Millennium Simulation" of structure forming] – Max Planck Institute of Astrophysics, Garching, Germany * [http://www.physics.usyd.edu.au/sifa/MSPM/An Visualisations of large-scale structure: animated spins of groups, clusters, filaments and voids] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140901212925/http://www.physics.usyd.edu.au/sifa/MSPM/An |date=1 September 2014 }} – identified in SDSS data by MSPM (Sydney Institute for Astronomy) * [http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html Cosmology FAQ] * [http://www.sciencedaily.com/releases/2007/04/070419125240.htm Forming Galaxies Captured In The Young Universe By Hubble, VLT & Spitzer] * [http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery NASA featured Images and Galleries] * [http://www.cnn.com/2003/TECH/space/07/22/stars.survey/ Star Survey reaches 70 sextillion] * [http://www.phys.ksu.edu/personal/gahs/phys191/horizon.html Animation of the cosmic light horizon] * [http://arxiv.org/abs/astro-ph/0305179 Inflation and the Cosmic Microwave Background by Charles Lineweaver] * [http://www.astro.princeton.edu/universe/ Logarithmic Maps of the Universe] * [http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/ List of publications of the 2dF Galaxy Redshift Survey] * [http://www.atlasoftheuniverse.com/universe.html The Universe Within 14 Billion Light Years – NASA Atlas of the Universe] – Note, this map only gives a rough cosmographical estimate of the expected distribution of superclusters within the observable universe; very little actual mapping has been done beyond a distance of one billion light years. * [http://www.youtube.com/watch?v=17jymDn0W6U Video: "The Known Universe", from the American Museum of Natural History] * [http://ned.ipac.caltech.edu/ NASA/IPAC Extragalactic Database] * [https://web.archive.org/web/20150520111239/http://irfu.cea.fr/cosmography Cosmography of the Local Universe] at irfu.cea.fr (17:35) ([http://arxiv.org/abs/1306.0091 arXiv]) * [http://www.astronoo.com/en/articles/size-of-the-universe.html Size and age of the Universe] – at Astronoo [[ကဏ္ဍ:ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ စကြဝဠာ]] [[ကဏ္ဍ:လေ့လာနိုင်သော စကြဝဠာ]] fw4ppibfp3ffkupph2ufubbkopjqnyr 0 65406 1060879 1039037 2026-10-31T14:10:36Z Chenzeyan29 141880 1060879 wikitext text/x-wiki {{Infobox language family | name = လိုလို-ဗမာဘာသာစကားများ | native_name = <span style="font-size: 85%; font-family: 'Microsoft Yi Baiti', sans-serif;">ꆈꌠꊿꌋꁱꂷ</span> (ယီဘာသာ) | altname = Lolo-Burmese languages | region = [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[တရုတ်နိုင်ငံ]] (ယူနန်ပြည်နယ်)၊ [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၊ [[လာအိုနိုင်ငံ]] နှင့် [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ]] <ref name="Thurgood2003">Thurgood, Graham; LaPolla, Randy J., eds. (2003). *The Sino-Tibetan Languages*. Routledge. ISBN 978-0-7007-1129-1.</ref> | familycolor = Sino-Tibetan | fam1 = [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက်]] | fam2 = [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|တိဗက်-ဗမာ]] | child1 = [[ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ်]] (Burmish) | child2 = [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ|လိုလိုနွယ် / ယီနွယ်]] (Loloish / Yipho) | child3 = [[မရုနွယ် ဘာသာစကားများ|မရုနွယ်]] (Mruish) <ref name="Bradley1997">Bradley, David (1997). "Tibeto-Burman languages and classification". *Tibeto-Burman Languages of the Himalayas*, Papers in Southeast Asian Linguistics, No. 14, Pacific Linguistics, pp. 1–71.</ref> | ISO639-5 = tbq-lob | map = Lolo-Burmese languages map.svg | mapcaption = လိုလို-ဗမာဘာသာစကားများ ပျံ့နှံ့တည်ရှိပုံပြ မြေပုံ }} '''လိုလို-ဗမာဘာသာစကားအုပ်စု''' ({{lang-en|Lolo-Burmese languages}}) သို့မဟုတ် '''ယီ-ဗမာဘာသာစကားအုပ်စု''' သည် [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက် ဘာသာစကားမိသားစု]]ဝင် [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ]]၏ အဓိက ကိုင်းခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Thurgood2003" /> ဤဘာသာစကားအုပ်စုကို အဓိကအားဖြင့် [[ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ]] (Burmish) နှင့် [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ]] (Loloish/Yipho) ဟူ၍ ခွဲခြားထားသည်။<ref name="Bradley1997" /> ဤဘာသာစကားအုပ်စုတွင် [[မြန်မာဘာသာစကား]]၊ [[နော့ဆူဘာသာစကား|ယီဘာသာစကား]]၊ [[လားဟူဘာသာစကား]]၊ [[လီဆူဘာသာစကား]] နှင့် [[အာခါဘာသာစကား]] စသည့် ဘာသာစကားများ ပါဝင်ပြီး အရှေ့တောင်အာရှကုန်းမ ဒေသအနှံ့အပြားနှင့် တရုတ်နိုင်ငံ တောင်ပိုင်း (အထူးသဖြင့် ယူနန်ပြည်နယ်) တို့တွင် အဓိက ပြောဆိုကြသည်။<ref name="Thurgood2003" /> ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ လေ့လာချက်များအရ တက်ကျသံ (Tonal system) တည်ဆောက်ပုံ စနစ်ပြည့်စုံခြင်းနှင့် သဒ္ဒါကျောရိုး ဝါကျဖွဲ့စည်းပုံ (Subject–Object–Verb) တူညီခြင်းတို့ကြောင့် ဤအုပ်စုကို တိဗက်-ဗမာအုပ်စုအတွင်း သီးခြားကိုင်းခွဲတစ်ခုအဖြစ် ခိုင်မာစွာ သတ်မှတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Matisoff2003">Matisoff, James A. (2003). *Handbook of Proto-Tibeto-Burman: System and Philosophy of Sino-Tibetan Reconstruction*. University of California Press. ISBN 978-0-520-09843-5.</ref> == ဘာသာစကားအုပ်စုအမည် == ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ် မတိုင်မီကာလများက "လိုလို" (Lolo) ဟူသော အသုံးအနှုန်းကို တရုတ်ဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားရာတွင် လူမျိုးစုအမည်ကို နှိမ့်ချလိုသော သဘောဖြင့် တိရစ္ဆာန် (အထူးသဖြင့် ဝက် သို့မဟုတ် ကျား) ကို ရည်ညွှန်းသည့် အက္ခရာဘေးတွဲ (Radical) များဖြင့် ရေးသားလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုအသုံးအနှုန်းကို လူမျိုးစုဝင်များက ရှောင်ရှားလေ့ရှိကြသည်။<ref name="LingSinica">{{Cite web |title=History of Loloish Terms |url=http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf |accessdate=27 June 2016 |archivedate=21 November 2020 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20201121004655/https://web.archive.org/web/20201121004655/http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf }}</ref> ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ် နောက်ပိုင်းတွင် တရုတ်အစိုးရသည် "လိုလို" ဟူသည့် အက္ခရာကို အသံတူသော်လည်း နှိမ့်ချမှုမပါဝင်သော အခြားအက္ခရာတစ်မျိုးဖြင့် အစားထိုး ပြောင်းလဲသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်တရုတ်ဘာသာစကားတွင် ထိုလူမျိုးစုကို ခေါ်ဝေါ်ရန် "ယီ" (Yi/彝) ဟူသော စကားလုံးကို တရားဝင် အသုံးပြုလာခဲ့သည်။ တရုတ်အစိုးရသည် "ယီ" ဟူသော စကားလုံးကို ရွေးချယ်ရာတွင် ရှေးဟောင်းယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အသုံးအဆောင် ကို ဆိုလိုသည့် အဆင့်မြင့်အက္ခရာကို အသုံးပြု၍ ဂုဏ်ပြုဖော်ပြခဲ့သည်။ ဘာသာဗေဒပညာရှင်များကြားတွင် ဤဘာသာစကား မိသားစုကို ခေါ်ဝေါ်ပုံမှာ ကွဲပြားမှုရှိသည်။ရောဘတ်ရှာဖာ (Robert Shafer)က ၁၉၆၆ မှ ၁၉၇၇ ခုနှစ်အတွင်း ၎င်း၏ သုတေသနများတွင် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများကို "ဘားမစ်" (Burmic) ဟူသည့် အသုံးအနှုန်းဖြင့် သုံးနှုန်းခဲ့သည်။တရုတ်ပညာရှင်များက "မြန်-ယီ" (Mian-Yi/缅彝) ဟု သုံးနှုန်းကြပြီး "မြန်" (Mian) မှာ ဗမာ ကို ဆိုလိုပြီး "ယီ" (Yi) မှာ ယီလူမျိုးစု အမည်ဖြစ်သည်။ ယခုအခါ နိုင်ငံတကာ ဘာသာဗေဒလောကတွင် "လိုလို-ဗမာနွယ်" (Lolo-Burmese) သို့မဟုတ် တရုတ်အသုံးအနှုန်းကို မှီငြမ်းသော "မြန်-ယီ" (Mian-Yi) ဟူသော အသုံးအနှုန်းများကို အများဆုံး အသုံးပြုလျက်ရှိသည်။<ref name="LingSinica" /> == ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ ဝိသေသလက္ခဏာများ == လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသည် ဘိုးဘေးတစ်ဦးတည်းမှ ဆင်းသက်လာသည့်အားလျော်စွာ သဒ္ဒါတည်ဆောက်ပုံ၊ အသံစနစ်နှင့် ဝေါဟာရများတွင် အောက်ပါအတိုင်း နီးကပ်စွာ ဆက်နွယ်နေကြသည်။ === သဒ္ဒါတည်ဆောက်ပုံ === ဤဘာသာစကား မိသားစုဝင်များအားလုံးသည် ကတ္တား-ကံ-ကြိယာ စနစ်ကို အသုံးပြုကြသည်။<ref name="Bradley1997" />အရာဝတ္ထုများကို ရေတွက်ရာတွင် "ခု၊ ကောင်၊ ယောက်" စသည့် သင်္ချာပစ္စည်းများကို အသုံးပြုသည့်စနစ်မှာ ဗမာ၊ လီဆူနှင့် ယီဘာသာစကားများတွင် အလွန်တူညီကြသည်။ === အသံစနစ်နှင့် အသံနေအသံထား (Phonology and Tones) === လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသည် အသံနိမ့်မြင့် (Tonal) ရှိသော ဘာသာစကားများ ဖြစ်ကြသည်။ များသောအားဖြင့် အခြေခံ အသံနိမ့်မြင့် (၃) မျိုး သို့မဟုတ် (၄) မျိုး ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ (ဥပမာ - ဗမာစာတွင် အောက်ကမြစ်၊ ရိုးရိုးနှင့် ဝစ္စပေါက် အသံများကဲ့သို့)။ ရှေးဦး တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကား (Proto-Tibeto-Burman) တွင် ရှိခဲ့သော ဗျည်းတွဲများ သည် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသို့ ရောက်ရှိလာသောအခါ တဖြည်းဖြည်း လျော့ပါးသွားပြီး ရိုးရှင်းသော ဗျည်းသံများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားကြသည်။<ref>Matisoff, J. A. (2003). Handbook of Proto-Tibeto-Burman. University of California Press.</ref> === ဝေါဟာရ ဆက်နွယ်မှု === အခြေခံဝေါဟာရများကို နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ခြင်းဖြင့် ၎င်းတို့၏ ဆက်နွယ်မှုကို အောက်ပါဇယားအတိုင်း တွေ့မြင်နိုင်သည် - {| class="wikitable" |- ! အဓိပ္ပာယ် !! ရှေးဦး လိုလို-ဗမာနွယ် (PLB) !! ဗမာ !! လီဆူ !! ယိ (Yi) |- | မီး || *amiy || မီး (Mee) || ꓮ ꓟꓲ (A-mi) || amur |- | နှစ် (၂) || *C-nyis || နှစ် (Hnit) || ꓠꓬꓲ (Nyi) || nyi |- | ငါး (၅) || *wa/nga || ငါး (Nga) || ꓥ (Nga) || ngu |- | သေခြင်း || *siy || သေ (Thay) || ꓢꓰ (Se) || shi |- | နား (နားရွက်) || *na || နား (Nar) || ꓠꓮ (Na) || na-bo |} <ref>Matisoff, J. A. (2003). The Lolo-Burmese Stock. Handbook of Proto-Tibeto-Burman.</ref> ==အမျိုးအစားခွဲခြားမှုဆိုင်ရာ အငြင်းပွားဖွယ်ရာများနှင့် ဆက်စပ်ဘာသာစကားများ== === နာခီနွယ် ဘာသာစကားများ (Naxish Languages) === နာခီနွယ် (နာခီ သို့မဟုတ် မိုဆို) ဘာသာစကားအုပ်စု၏ အနေအထားကို ရှင်းရှင်းလင်းလင်း သတ်မှတ်နိုင်ခြင်း မရှိသေးသော်လည်း ပညာရှင်အများစုက လိုလိုနွယ်နှင့် ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများနှင့်အတူ ယှဉ်တွဲလျက် အုပ်စုကွဲတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ထားကြသည်။ ၎င်းနှင့်ပတ်သက်၍ အယူအဆ နှစ်ရပ်ရှိသည်။ လာမာ (၂၀၁၂) က နာခီနွယ်အုပ်စုသည် လိုလိုနွယ်ဘာသာစကားများအတွင်းမှ အုပ်စုကွဲတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref>Lama, Z. (2012). Subgrouping of Nisoic (Sino-Tibetan). University of Texas at Arlington.</ref> Guillaume Jacques ကမူ ၎င်းသည် [[ချန်းဘာသာစကားအုပ်စု |ချီယန်နွယ်]] (Qiangic) ဘာသာစကားအုပ်စုမှ ဖြစ်သည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ === ပျူဘာသာစကား (Pyu Language) === ဗမာစကား မတိုင်မီက အထက်မြန်မာနိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ပြောဆိုခဲ့ကြသော [[ပျူ လူမျိုး|ပျူဘာသာစကား]]ကိုလည်း လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားမိသားစုအတွင်းမှ ဖြစ်သည်ဟု ရံဖန်ရံခါ သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော် အသေးစိတ် ကျကျနန ခွဲခြားလေ့လာရန် အထောက်အထားများစွာ မရှိသေးသည့်အတွက် တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားမိသားစုအတွင်း အမျိုးအစား ခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း မပြုဘဲ ထားရှိခြင်းက အသင့်တော်ဆုံးဖြစ်သည်ဟု ပညာရှင်အချို့က ယူဆကြသည်။ === မြိုဘာသာစကား (Mru Language) === တရုတ်-တိဗက်နွယ် မိသားစုအတွင်းရှိ အမျိုးအစား ခွဲခြားမသတ်မှတ်နိုင်သေးသော အခြားဘာသာစကားတစ်ခုဖြစ်သည့် [[မြိုဘာသာစကား]] (Mru) မှာမူ လိုလို-ဗမာနွယ်မိသားစုနှင့် အလွန်နီးကပ်စွာ ဆက်နွယ်နိုင်သည်ဟု ယူဆရသည်။ === ပိုင်လမ်ဘာသာစကား (Pai-lang Language) === အေဒီ ၃ ရာစုနှစ်ခန့်က ပြောဆိုခဲ့ကြသော [[ပိုင်လမ်ဘာသာစကား]]သည် တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများတွင် အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်တွေ့ရှိရသော ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်နိုင်ပြီး လိုလိုနွယ်အုပ်စုမှ ဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ပညာရှင်များက ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Hill, N. W. (2014). "Notes on the Pai-lang Songs." Bulletin of SOAS.</ref> == အုပ်စုပြင်ပဘာသာစကားများနှင့် ဆက်နွယ်မှု == ဘာသာဗေဒပညာရှင်များဖြစ်ကြသော Guillaume Jacques နှင့် Alexis Michaud (၂၀၁၁) တို့က နာခီ-ချီယန်နွယ် (Na-Qiangic) နှင့် လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ဟူသည့် အဓိကအုပ်စုကြီးနှစ်စုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် ဗမာ-ချီယန်နွယ် (Burmo-Qiangic) ဘာသာစကားအုပ်စုတစ်ခု ရှိသည်ဟု အဆိုပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="Jacques">Jacques, Guillaume, and Alexis Michaud. 2011. "Approaching the historical phonology of South-East Asian languages." Journal of the Southeast Asian Linguistics Society.</ref> ဤအဆိုပြုချက်အရ လိုလို-ဗမာနွယ်ဝင် လူမျိုးများသည် ချီယန်နွယ်ဝင်များနှင့် ပိုမိုနီးကပ်သော သမိုင်းဦး ဆက်နွယ်မှုရှိနေကြောင်း ဖော်ပြနေသည်။ ထို့အတူ David Bradley (၂၀၀၈) ကလည်း လိုလို-ဗမာနွယ်နှင့် ချီယန်နွယ် အုပ်စုခွဲနှစ်ခုကို ပေါင်းစည်း၍ အရှေ့ပိုင်း တိဗက်-ဗမာ (Eastern Tibeto-Burman) ဟူသော အုပ်စုခွဲတစ်ခုကို အဆိုပြုခဲ့သည်။<ref>Bradley, David. 2008. "The Position of Namuyi in Tibeto-Burman." In Linguistics of the Tibeto-Burman Area.</ref> ဤလေ့လာမှုများက တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ၏ ရှုပ်ထွေးသော ဆက်နွယ်မှုများကို ပိုမိုရှင်းလင်းစေရန် ကြိုးပမ်းထားခြင်း ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတွင်း အမျိုးအစားခွဲခြားမှု == လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ၏ အတွင်းပိုင်းအုပ်စုခွဲပုံနှင့် ပတ်သက်၍ ဘာသာဗေဒပညာရှင်များအကြား အယူအဆ အမျိုးမျိုးရှိကြသည်။ အထင်ရှားဆုံး အဆိုပြုချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - === ဘရက်ဒလေ (၁၉၉၇) ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားမှု === ဒေးဗစ်ဘရက်ဒလေက လိုလို-ဗမာနွယ်ကို အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် ခွဲခြားခဲ့သည် -<ref name="Bradley1997" /> • လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ** [[မြိုဘာသာစကား|မြို (Mru)]] ** လိုလို-ဗမာ ဗဟိုချက်အုပ်စု (Core Lolo-Burmese) *** ဥဂွန်-ဗမာနွယ် (Ugong-Burmish) **** [[:en:Gong_language|ဥဂွန် (Ugong)]] **** [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ် (Burmish)]] *** [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ |လိုလိုနွယ် (Loloish)]] === လာမာ (၂၀၁၂) ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားမှု === လာမာသည် ဘာသာစကား ၃၆ မျိုးကို ဝေါဟာရနှင့် အသံစနစ်များ နှိုင်းယှဉ်လေ့လာပြီးနောက် မွန်ဇီနွယ် (Mondzish) အုပ်စုကိုပါ ထည့်သွင်း၍ အောက်ပါအတိုင်း အဆိုပြုခဲ့သည်။ သို့သော် လာမာသည် မြိုနှင့် ဥဂွန်တို့ကို လိုလို-ဗမာနွယ်အုပ်စုအတွင်း ထည့်သွင်းခဲ့ခြင်း မရှိပေ။<ref>Lama, Z. (2012). Subgrouping of Nisoic (Sino-Tibetan). University of Texas at Arlington.</ref> • လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ** [[:en:Mondzish_languages|မွန်ဇီနွယ် (Mondzish)]] ** လိုလို-ဗမာ ဗဟိုချက်အုပ်စု (Core Lolo-Burmese) *** [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ် (Burmish)]] *** [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ |လိုလိုနွယ် (Loloish)]] == ကိုးကား == {{Reflist|2}} == ကျမ်းကိုးစာအုပ်များ == * Bradley, David (1997). "[http://sealang.net/sala/archives/pdf8/bradley1997tibeto-burman.pdf Tibeto-Burman languages and classification]". In ''Tibeto-Burman languages of the Himalayas, Papers in South East Asian linguistics''. Canberra: Pacific Linguistics. * {{Cite journal|first=David|last=Bradley|title=The Characteristics of the Burmic Family of Tibeto-Burman|journal=Language and Linguistics|year=2012|volume=13|issue=1|pages=171_192|url=http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf|archive-date=21 November 2020|access-date=27 June 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121004655/http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf|url-status=dead}} * Huang, Bufan [黄布凡], ed. (1992). ''A Tibeto-Burman Lexicon'' (''TBL'') [藏缅语族语言词汇]. Beijing: Minzu University Press [中央民族学院出版社]. * Lama, Ziwo Qiu-Fuyuan (2012), ''Subgrouping of Nisoic (Yi) Languages'', thesis, University of Texas at Arlington ([https://www.webcitation.org/6AdB9D07H?url=https://dspace.uta.edu/bitstream/handle/10106/11161/Lama_uta_2502D_11591.pdf archived]) * Van Driem, George (2001). ''Languages of the Himalayas: An Ethnolinguistic Handbook of the Greater Himalayan Region.'' Brill. * Yunnan Province Geography Gazetteer Committee [云南省地方志编纂委员会] (1998). ''Yunnan Province Gazetteer, volume 59: ethnic minority languages and orthographies gazetteer'' [云南省志卷59: 少数民族语言文字志]. Kunming: Yunnan People's Press [云南人民出版社]. * ''Zangmian yuyin he cihui'' (''ZMYYC'') [藏缅语语音和词汇] (1991). Beijing: Social Sciences Press [中国社会科学出版社]. [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဘာသာစကားများ]] [[ကဏ္ဍ:အိန္ဒိယနိုင်ငံ၏ ဘာသာစကားများ]] 6g5a9nazvrcftjxq1k5o9ma7e5gt30h 1060880 1060879 2026-10-31T14:12:13Z Chenzeyan29 141880 /* ဘရက်ဒလေ (၁၉၉၇) ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားမှု */ 1060880 wikitext text/x-wiki {{Infobox language family | name = လိုလို-ဗမာဘာသာစကားများ | native_name = <span style="font-size: 85%; font-family: 'Microsoft Yi Baiti', sans-serif;">ꆈꌠꊿꌋꁱꂷ</span> (ယီဘာသာ) | altname = Lolo-Burmese languages | region = [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[တရုတ်နိုင်ငံ]] (ယူနန်ပြည်နယ်)၊ [[ထိုင်းနိုင်ငံ]]၊ [[လာအိုနိုင်ငံ]] နှင့် [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ]] <ref name="Thurgood2003">Thurgood, Graham; LaPolla, Randy J., eds. (2003). *The Sino-Tibetan Languages*. Routledge. ISBN 978-0-7007-1129-1.</ref> | familycolor = Sino-Tibetan | fam1 = [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက်]] | fam2 = [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|တိဗက်-ဗမာ]] | child1 = [[ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ်]] (Burmish) | child2 = [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ|လိုလိုနွယ် / ယီနွယ်]] (Loloish / Yipho) | child3 = [[မရုနွယ် ဘာသာစကားများ|မရုနွယ်]] (Mruish) <ref name="Bradley1997">Bradley, David (1997). "Tibeto-Burman languages and classification". *Tibeto-Burman Languages of the Himalayas*, Papers in Southeast Asian Linguistics, No. 14, Pacific Linguistics, pp. 1–71.</ref> | ISO639-5 = tbq-lob | map = Lolo-Burmese languages map.svg | mapcaption = လိုလို-ဗမာဘာသာစကားများ ပျံ့နှံ့တည်ရှိပုံပြ မြေပုံ }} '''လိုလို-ဗမာဘာသာစကားအုပ်စု''' ({{lang-en|Lolo-Burmese languages}}) သို့မဟုတ် '''ယီ-ဗမာဘာသာစကားအုပ်စု''' သည် [[တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ|တရုတ်-တိဗက် ဘာသာစကားမိသားစု]]ဝင် [[တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ]]၏ အဓိက ကိုင်းခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="Thurgood2003" /> ဤဘာသာစကားအုပ်စုကို အဓိကအားဖြင့် [[ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ]] (Burmish) နှင့် [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ]] (Loloish/Yipho) ဟူ၍ ခွဲခြားထားသည်။<ref name="Bradley1997" /> ဤဘာသာစကားအုပ်စုတွင် [[မြန်မာဘာသာစကား]]၊ [[နော့ဆူဘာသာစကား|ယီဘာသာစကား]]၊ [[လားဟူဘာသာစကား]]၊ [[လီဆူဘာသာစကား]] နှင့် [[အာခါဘာသာစကား]] စသည့် ဘာသာစကားများ ပါဝင်ပြီး အရှေ့တောင်အာရှကုန်းမ ဒေသအနှံ့အပြားနှင့် တရုတ်နိုင်ငံ တောင်ပိုင်း (အထူးသဖြင့် ယူနန်ပြည်နယ်) တို့တွင် အဓိက ပြောဆိုကြသည်။<ref name="Thurgood2003" /> ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ လေ့လာချက်များအရ တက်ကျသံ (Tonal system) တည်ဆောက်ပုံ စနစ်ပြည့်စုံခြင်းနှင့် သဒ္ဒါကျောရိုး ဝါကျဖွဲ့စည်းပုံ (Subject–Object–Verb) တူညီခြင်းတို့ကြောင့် ဤအုပ်စုကို တိဗက်-ဗမာအုပ်စုအတွင်း သီးခြားကိုင်းခွဲတစ်ခုအဖြစ် ခိုင်မာစွာ သတ်မှတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref name="Matisoff2003">Matisoff, James A. (2003). *Handbook of Proto-Tibeto-Burman: System and Philosophy of Sino-Tibetan Reconstruction*. University of California Press. ISBN 978-0-520-09843-5.</ref> == ဘာသာစကားအုပ်စုအမည် == ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ် မတိုင်မီကာလများက "လိုလို" (Lolo) ဟူသော အသုံးအနှုန်းကို တရုတ်ဘာသာစကားဖြင့် ရေးသားရာတွင် လူမျိုးစုအမည်ကို နှိမ့်ချလိုသော သဘောဖြင့် တိရစ္ဆာန် (အထူးသဖြင့် ဝက် သို့မဟုတ် ကျား) ကို ရည်ညွှန်းသည့် အက္ခရာဘေးတွဲ (Radical) များဖြင့် ရေးသားလေ့ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုအသုံးအနှုန်းကို လူမျိုးစုဝင်များက ရှောင်ရှားလေ့ရှိကြသည်။<ref name="LingSinica">{{Cite web |title=History of Loloish Terms |url=http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf |accessdate=27 June 2016 |archivedate=21 November 2020 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20201121004655/https://web.archive.org/web/20201121004655/http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf }}</ref> ၁၉၅၀ ပြည့်နှစ် နောက်ပိုင်းတွင် တရုတ်အစိုးရသည် "လိုလို" ဟူသည့် အက္ခရာကို အသံတူသော်လည်း နှိမ့်ချမှုမပါဝင်သော အခြားအက္ခရာတစ်မျိုးဖြင့် အစားထိုး ပြောင်းလဲသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်တရုတ်ဘာသာစကားတွင် ထိုလူမျိုးစုကို ခေါ်ဝေါ်ရန် "ယီ" (Yi/彝) ဟူသော စကားလုံးကို တရားဝင် အသုံးပြုလာခဲ့သည်။ တရုတ်အစိုးရသည် "ယီ" ဟူသော စကားလုံးကို ရွေးချယ်ရာတွင် ရှေးဟောင်းယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အသုံးအဆောင် ကို ဆိုလိုသည့် အဆင့်မြင့်အက္ခရာကို အသုံးပြု၍ ဂုဏ်ပြုဖော်ပြခဲ့သည်။ ဘာသာဗေဒပညာရှင်များကြားတွင် ဤဘာသာစကား မိသားစုကို ခေါ်ဝေါ်ပုံမှာ ကွဲပြားမှုရှိသည်။ရောဘတ်ရှာဖာ (Robert Shafer)က ၁၉၆၆ မှ ၁၉၇၇ ခုနှစ်အတွင်း ၎င်း၏ သုတေသနများတွင် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများကို "ဘားမစ်" (Burmic) ဟူသည့် အသုံးအနှုန်းဖြင့် သုံးနှုန်းခဲ့သည်။တရုတ်ပညာရှင်များက "မြန်-ယီ" (Mian-Yi/缅彝) ဟု သုံးနှုန်းကြပြီး "မြန်" (Mian) မှာ ဗမာ ကို ဆိုလိုပြီး "ယီ" (Yi) မှာ ယီလူမျိုးစု အမည်ဖြစ်သည်။ ယခုအခါ နိုင်ငံတကာ ဘာသာဗေဒလောကတွင် "လိုလို-ဗမာနွယ်" (Lolo-Burmese) သို့မဟုတ် တရုတ်အသုံးအနှုန်းကို မှီငြမ်းသော "မြန်-ယီ" (Mian-Yi) ဟူသော အသုံးအနှုန်းများကို အများဆုံး အသုံးပြုလျက်ရှိသည်။<ref name="LingSinica" /> == ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ ဝိသေသလက္ခဏာများ == လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသည် ဘိုးဘေးတစ်ဦးတည်းမှ ဆင်းသက်လာသည့်အားလျော်စွာ သဒ္ဒါတည်ဆောက်ပုံ၊ အသံစနစ်နှင့် ဝေါဟာရများတွင် အောက်ပါအတိုင်း နီးကပ်စွာ ဆက်နွယ်နေကြသည်။ === သဒ္ဒါတည်ဆောက်ပုံ === ဤဘာသာစကား မိသားစုဝင်များအားလုံးသည် ကတ္တား-ကံ-ကြိယာ စနစ်ကို အသုံးပြုကြသည်။<ref name="Bradley1997" />အရာဝတ္ထုများကို ရေတွက်ရာတွင် "ခု၊ ကောင်၊ ယောက်" စသည့် သင်္ချာပစ္စည်းများကို အသုံးပြုသည့်စနစ်မှာ ဗမာ၊ လီဆူနှင့် ယီဘာသာစကားများတွင် အလွန်တူညီကြသည်။ === အသံစနစ်နှင့် အသံနေအသံထား (Phonology and Tones) === လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသည် အသံနိမ့်မြင့် (Tonal) ရှိသော ဘာသာစကားများ ဖြစ်ကြသည်။ များသောအားဖြင့် အခြေခံ အသံနိမ့်မြင့် (၃) မျိုး သို့မဟုတ် (၄) မျိုး ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ (ဥပမာ - ဗမာစာတွင် အောက်ကမြစ်၊ ရိုးရိုးနှင့် ဝစ္စပေါက် အသံများကဲ့သို့)။ ရှေးဦး တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကား (Proto-Tibeto-Burman) တွင် ရှိခဲ့သော ဗျည်းတွဲများ သည် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများသို့ ရောက်ရှိလာသောအခါ တဖြည်းဖြည်း လျော့ပါးသွားပြီး ရိုးရှင်းသော ဗျည်းသံများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားကြသည်။<ref>Matisoff, J. A. (2003). Handbook of Proto-Tibeto-Burman. University of California Press.</ref> === ဝေါဟာရ ဆက်နွယ်မှု === အခြေခံဝေါဟာရများကို နှိုင်းယှဉ်ကြည့်ခြင်းဖြင့် ၎င်းတို့၏ ဆက်နွယ်မှုကို အောက်ပါဇယားအတိုင်း တွေ့မြင်နိုင်သည် - {| class="wikitable" |- ! အဓိပ္ပာယ် !! ရှေးဦး လိုလို-ဗမာနွယ် (PLB) !! ဗမာ !! လီဆူ !! ယိ (Yi) |- | မီး || *amiy || မီး (Mee) || ꓮ ꓟꓲ (A-mi) || amur |- | နှစ် (၂) || *C-nyis || နှစ် (Hnit) || ꓠꓬꓲ (Nyi) || nyi |- | ငါး (၅) || *wa/nga || ငါး (Nga) || ꓥ (Nga) || ngu |- | သေခြင်း || *siy || သေ (Thay) || ꓢꓰ (Se) || shi |- | နား (နားရွက်) || *na || နား (Nar) || ꓠꓮ (Na) || na-bo |} <ref>Matisoff, J. A. (2003). The Lolo-Burmese Stock. Handbook of Proto-Tibeto-Burman.</ref> ==အမျိုးအစားခွဲခြားမှုဆိုင်ရာ အငြင်းပွားဖွယ်ရာများနှင့် ဆက်စပ်ဘာသာစကားများ== === နာခီနွယ် ဘာသာစကားများ (Naxish Languages) === နာခီနွယ် (နာခီ သို့မဟုတ် မိုဆို) ဘာသာစကားအုပ်စု၏ အနေအထားကို ရှင်းရှင်းလင်းလင်း သတ်မှတ်နိုင်ခြင်း မရှိသေးသော်လည်း ပညာရှင်အများစုက လိုလိုနွယ်နှင့် ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများနှင့်အတူ ယှဉ်တွဲလျက် အုပ်စုကွဲတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ထားကြသည်။ ၎င်းနှင့်ပတ်သက်၍ အယူအဆ နှစ်ရပ်ရှိသည်။ လာမာ (၂၀၁၂) က နာခီနွယ်အုပ်စုသည် လိုလိုနွယ်ဘာသာစကားများအတွင်းမှ အုပ်စုကွဲတစ်ခုဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ခဲ့သည်။<ref>Lama, Z. (2012). Subgrouping of Nisoic (Sino-Tibetan). University of Texas at Arlington.</ref> Guillaume Jacques ကမူ ၎င်းသည် [[ချန်းဘာသာစကားအုပ်စု |ချီယန်နွယ်]] (Qiangic) ဘာသာစကားအုပ်စုမှ ဖြစ်သည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ === ပျူဘာသာစကား (Pyu Language) === ဗမာစကား မတိုင်မီက အထက်မြန်မာနိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် ပြောဆိုခဲ့ကြသော [[ပျူ လူမျိုး|ပျူဘာသာစကား]]ကိုလည်း လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားမိသားစုအတွင်းမှ ဖြစ်သည်ဟု ရံဖန်ရံခါ သတ်မှတ်ကြသည်။ သို့သော် အသေးစိတ် ကျကျနန ခွဲခြားလေ့လာရန် အထောက်အထားများစွာ မရှိသေးသည့်အတွက် တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားမိသားစုအတွင်း အမျိုးအစား ခွဲခြားသတ်မှတ်ခြင်း မပြုဘဲ ထားရှိခြင်းက အသင့်တော်ဆုံးဖြစ်သည်ဟု ပညာရှင်အချို့က ယူဆကြသည်။ === မြိုဘာသာစကား (Mru Language) === တရုတ်-တိဗက်နွယ် မိသားစုအတွင်းရှိ အမျိုးအစား ခွဲခြားမသတ်မှတ်နိုင်သေးသော အခြားဘာသာစကားတစ်ခုဖြစ်သည့် [[မြိုဘာသာစကား]] (Mru) မှာမူ လိုလို-ဗမာနွယ်မိသားစုနှင့် အလွန်နီးကပ်စွာ ဆက်နွယ်နိုင်သည်ဟု ယူဆရသည်။ === ပိုင်လမ်ဘာသာစကား (Pai-lang Language) === အေဒီ ၃ ရာစုနှစ်ခန့်က ပြောဆိုခဲ့ကြသော [[ပိုင်လမ်ဘာသာစကား]]သည် တိဗက်-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများတွင် အစောဆုံး မှတ်တမ်းတင်တွေ့ရှိရသော ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားတစ်ခု ဖြစ်နိုင်ပြီး လိုလိုနွယ်အုပ်စုမှ ဖြစ်ဖွယ်ရှိသည်ဟု ပညာရှင်များက ခန့်မှန်းကြသည်။<ref>Hill, N. W. (2014). "Notes on the Pai-lang Songs." Bulletin of SOAS.</ref> == အုပ်စုပြင်ပဘာသာစကားများနှင့် ဆက်နွယ်မှု == ဘာသာဗေဒပညာရှင်များဖြစ်ကြသော Guillaume Jacques နှင့် Alexis Michaud (၂၀၁၁) တို့က နာခီ-ချီယန်နွယ် (Na-Qiangic) နှင့် လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ဟူသည့် အဓိကအုပ်စုကြီးနှစ်စုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် ဗမာ-ချီယန်နွယ် (Burmo-Qiangic) ဘာသာစကားအုပ်စုတစ်ခု ရှိသည်ဟု အဆိုပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="Jacques">Jacques, Guillaume, and Alexis Michaud. 2011. "Approaching the historical phonology of South-East Asian languages." Journal of the Southeast Asian Linguistics Society.</ref> ဤအဆိုပြုချက်အရ လိုလို-ဗမာနွယ်ဝင် လူမျိုးများသည် ချီယန်နွယ်ဝင်များနှင့် ပိုမိုနီးကပ်သော သမိုင်းဦး ဆက်နွယ်မှုရှိနေကြောင်း ဖော်ပြနေသည်။ ထို့အတူ David Bradley (၂၀၀၈) ကလည်း လိုလို-ဗမာနွယ်နှင့် ချီယန်နွယ် အုပ်စုခွဲနှစ်ခုကို ပေါင်းစည်း၍ အရှေ့ပိုင်း တိဗက်-ဗမာ (Eastern Tibeto-Burman) ဟူသော အုပ်စုခွဲတစ်ခုကို အဆိုပြုခဲ့သည်။<ref>Bradley, David. 2008. "The Position of Namuyi in Tibeto-Burman." In Linguistics of the Tibeto-Burman Area.</ref> ဤလေ့လာမှုများက တရုတ်-တိဗက်နွယ် ဘာသာစကားများ၏ ရှုပ်ထွေးသော ဆက်နွယ်မှုများကို ပိုမိုရှင်းလင်းစေရန် ကြိုးပမ်းထားခြင်း ဖြစ်သည်။ == အုပ်စုတွင်း အမျိုးအစားခွဲခြားမှု == လိုလို-ဗမာနွယ် ဘာသာစကားများ၏ အတွင်းပိုင်းအုပ်စုခွဲပုံနှင့် ပတ်သက်၍ ဘာသာဗေဒပညာရှင်များအကြား အယူအဆ အမျိုးမျိုးရှိကြသည်။ အထင်ရှားဆုံး အဆိုပြုချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် - === ဘရက်ဒလေ (၁၉၉၇) ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားမှု === ဒေးဗစ်ဘရက်ဒလေက လိုလို-ဗမာနွယ်ကို အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် ခွဲခြားခဲ့သည် -<ref name="Bradley1997" /> • လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ** [[လော်ဝေါ်ဘာသာစကား|မရူ(Mru)]] ** လိုလို-ဗမာ ဗဟိုချက်အုပ်စု (Core Lolo-Burmese) *** ဥဂွန်-ဗမာနွယ် (Ugong-Burmish) **** [[:en:Gong_language|ဥဂွန် (Ugong)]] **** [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ် (Burmish)]] *** [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ |လိုလိုနွယ် (Loloish)]] === လာမာ (၂၀၁၂) ၏ အမျိုးအစားခွဲခြားမှု === လာမာသည် ဘာသာစကား ၃၆ မျိုးကို ဝေါဟာရနှင့် အသံစနစ်များ နှိုင်းယှဉ်လေ့လာပြီးနောက် မွန်ဇီနွယ် (Mondzish) အုပ်စုကိုပါ ထည့်သွင်း၍ အောက်ပါအတိုင်း အဆိုပြုခဲ့သည်။ သို့သော် လာမာသည် မြိုနှင့် ဥဂွန်တို့ကို လိုလို-ဗမာနွယ်အုပ်စုအတွင်း ထည့်သွင်းခဲ့ခြင်း မရှိပေ။<ref>Lama, Z. (2012). Subgrouping of Nisoic (Sino-Tibetan). University of Texas at Arlington.</ref> • လိုလို-ဗမာနွယ် (Lolo-Burmese) ** [[:en:Mondzish_languages|မွန်ဇီနွယ် (Mondzish)]] ** လိုလို-ဗမာ ဗဟိုချက်အုပ်စု (Core Lolo-Burmese) *** [[ဗမာနွယ်ဘာသာစကားများ|ဗမာနွယ် (Burmish)]] *** [[လိုလိုနွယ် ဘာသာစကားများ |လိုလိုနွယ် (Loloish)]] == ကိုးကား == {{Reflist|2}} == ကျမ်းကိုးစာအုပ်များ == * Bradley, David (1997). "[http://sealang.net/sala/archives/pdf8/bradley1997tibeto-burman.pdf Tibeto-Burman languages and classification]". In ''Tibeto-Burman languages of the Himalayas, Papers in South East Asian linguistics''. Canberra: Pacific Linguistics. * {{Cite journal|first=David|last=Bradley|title=The Characteristics of the Burmic Family of Tibeto-Burman|journal=Language and Linguistics|year=2012|volume=13|issue=1|pages=171_192|url=http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf|archive-date=21 November 2020|access-date=27 June 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20201121004655/http://www.ling.sinica.edu.tw/files/publication/j2012_1_08_4916.pdf|url-status=dead}} * Huang, Bufan [黄布凡], ed. (1992). ''A Tibeto-Burman Lexicon'' (''TBL'') [藏缅语族语言词汇]. Beijing: Minzu University Press [中央民族学院出版社]. * Lama, Ziwo Qiu-Fuyuan (2012), ''Subgrouping of Nisoic (Yi) Languages'', thesis, University of Texas at Arlington ([https://www.webcitation.org/6AdB9D07H?url=https://dspace.uta.edu/bitstream/handle/10106/11161/Lama_uta_2502D_11591.pdf archived]) * Van Driem, George (2001). ''Languages of the Himalayas: An Ethnolinguistic Handbook of the Greater Himalayan Region.'' Brill. * Yunnan Province Geography Gazetteer Committee [云南省地方志编纂委员会] (1998). ''Yunnan Province Gazetteer, volume 59: ethnic minority languages and orthographies gazetteer'' [云南省志卷59: 少数民族语言文字志]. Kunming: Yunnan People's Press [云南人民出版社]. * ''Zangmian yuyin he cihui'' (''ZMYYC'') [藏缅语语音和词汇] (1991). Beijing: Social Sciences Press [中国社会科学出版社]. [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံ၏ ဘာသာစကားများ]] [[ကဏ္ဍ:အိန္ဒိယနိုင်ငံ၏ ဘာသာစကားများ]] hmxcb94bohehs2f9uf8u9vccgwquzf1 0 72176 1060954 955742 2026-11-01T02:50:52Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060954 wikitext text/x-wiki {{Infobox dot-com company | name = တွစ်တာ | logo = [[File:X logo 2023.svg|100px]] | logo size = 100px | founder = ဂျက် ဒေါ့ဆေး<br />နော့ရှ် ဂလက်စ်<br />ဘဇ် စတုန်း<br />အီဗင် ဝီလျံ | chairman = [[အီလွန် မက်စ်]] | owner = {{Unbulleted list|[[Odeo]] (၂၀၀၆)|[[Obvious Corporation]] (၂၀၀၆–၂၀၀၇)|[[Twitter, Inc.]] (၂၀၀၇–၂၀၂၃)|[[X Corp.]] (၂၀၂၃–လက်ရှိ)}} | CEO = [[:en:Linda Yaccarino|လင်ဒါ ယက္ကာရီနို]] | industry = [[အင်တာနက်]] | revenue = {{gain}} အမေရိကန်ဒေါ်လာ ၂.၅၂ ဘီလီယံ (၂၀၁၆)<ref name=fy>{{Cite news| author= Jeremy Quittner | title=Twitter Balance Sheet | date=October 3, 2013 | url=https://www.google.com/finance?q=NYSE%3ATWTR&fstype=ii&ei=qzRgU8CuL4mSqwHgRg | publisher =Google | accessdate = November 14, 2013}}</ref> | net_income = | alexa = {{decrease}} ၁၆ [http://www.alexa.com/siteinfo/twitter.com] {{small|{{nowrap|(ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ၊ ဖေဖော်ဝါရီလ ၂၀၁၇)}}}}<ref>{{cite web |url= http://www.alexa.com/siteinfo/twitter.com |title= Twitter.com Site Info |publisher= [[Alexa Internet]] |accessdate= February 1, 2017 |archivedate= 22 April 2020 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20200422054633/https://www.alexa.com/siteinfo/twitter.com }}</ref> | registration = လိုအပ် | language = မျိုးစုံ (အများအပြား) | company_type = အများပိုင် (အများနှင့် သက်ဆိုင်သော) | foundation = {{start date and age|2006|3|21}} | location_city = ဆန်ဖရန်စစ္စကို၊ ကယ်လီဖိုးနီးယား | location_country = အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု<ref>{{cite web|url=https://about.twitter.com/company|title=About Twitter, Inc.|accessdate=17 February 2017|archivedate=28 October 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151028165550/https://about.twitter.com/company}}</ref> |coordinates={{coord|37.7768|-122.4166|display=inline,title}} | area_served = ကမ္ဘာတစ်လွှား | subsid = ဗိုင်းန် (Vine)<br/>ပယ်ရီစကုပ် (Periscope) | num_employees = ၃၈၆၀ (ဇွန်လ၊ ၂၀၁၆)<ref>{{cite web |accessdate=May 2, 2014 |url=https://about.twitter.com/company |title=Twitter Company Info |publisher=Twitter |date=February 6, 2015 |archivedate=28 October 2015 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151028165550/https://about.twitter.com/company }}</ref> | website_type = သတင်းနှင့် လူမှုကွန်ယက် ဝန်ဆောင်မှု | num_users = {{increase}} ၅၃၅&nbsp;သန်း (ဇွန် ၂၀၂၃)<ref>{{Cite news |last=Corse |first=Alexa |date=2023-07-07 |title=In Remaking Twitter, Elon Musk Created an Opening for Rivals |language=en-US |work=Wall Street Journal |url=https://www.wsj.com/articles/by-remaking-twitter-elon-musk-created-an-opening-for-rivals-c6c8310d |access-date=2023-07-09 |issn=0099-9660}}</ref> | launch_date = {{start date and age|2006|7|15}} | current_status = သက်ဝင်နေဆဲ }} '''''[[တွမ်ဟန့်ခ်|တွ]]စ်တာ''''' ({{lang-en|Twitter}}၊ '''တွတ်တာ''' ဟုလည်း စာလုံးပေါင်း) သည် အွန်လိုင်း သတင်းနှင့် လူမှုဆက်သွယ်ရေး ကွန်ရက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မှတ်ပုံတင်ထားသော အသုံးပြုသူများသည် ယခင်က ''တွိစ်'' ဟုခေါ်သည့် စာလုံးရေ ၁၄၀ ထိသာ ရိုက်ထည့်နိုင်အောင် ကန့်သတ်ထားသော်လည်း ၂၀၁၇ နိုဝင်ဘာလ ၇ ရက်နေ့တွင် [[ဂျပန်ဘာသာ]]၊ [[တရုတ်ဘာသာ]]၊ [[ကိုရီးယားဘာသာ]]မှလွဲ၍ ကျန်ဘာသာစကားများကို စာလုံးရေ ၂၈၀ အထိ နှစ်ဆ တိုးမြှင့်ပေးခဲ့ပြီး ထိုစာတိုများကို ရေးတင်ခြင်း ပြုလုပ်နိုင်သည်။ မှတ်ပုံတင်မထားသော အသုံးပြုသူများကမူ ၎င်းတို့ကို ဖတ်ခြင်းသာ ပြုလုပ်နိုင်မည်။ အသုံးပြုသူများသည် တွစ်တာကို ဝက်ဘ်ဆိုဒ်၊ မိုဘိုင်းလ် အက်ပ် သို့မဟုတ် ဖုန်းစာတိုပို့စနစ် (SMS) စသည့် နည်းလမ်းများဖြင့် သုံးနိုင်သည်။<ref>[http://support.twitter.com/groups/34-apps-sms-and-mobile/topics/153-twitter-via-sms/articles/14014-twitter-via-sms-faq# "Twitter via SMS FAQ"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120406101819/http://support.twitter.com/groups/34-apps-sms-and-mobile/topics/153-twitter-via-sms/articles/14014-twitter-via-sms-faq |date=6 April 2012 }} Retrieved April 13, 2012.</ref> တွစ်တာကုမ္ပဏီ၏ ရုံးချုပ်သည် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]၊ [[ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ်]]၊ [[ဆန်ဖရန်စစ္စကိုမြို့|ဆန်ဖရန်စစ္စကို]]တွင် တည်ရှိ၍၊ ကမ္ဘာတစ်ဝန်း ရုံးခွဲ ၂၅ ခုအထက် ရှိသည်။<ref>[https://about.twitter.com/company "About Twitter"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151028165550/https://about.twitter.com/company |date=28 October 2015 }} Retrieved April 24, 2014.</ref> တွစ်တာကို ဂျက် ‌ဒေါ့ဆေး၊ နော့ရှ် ဂလက်စ်၊ ဘဇ် စတုန်းနှင့် အီဗင် ဝီလျံတို့က ၂၀၀၆ ခုနှစ်၊ မတ်လတွင် ဖန်တီးခဲ့ပြီး၊ ဇူလိုင်လတွင် စတင်လွှင့်တင်ခဲ့ရာ ကမ္ဘာအနှံ့ လူပေါင်းများစွာ တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည်။ ၂၀၁၂ ခုနှစ်တွင် သန်း ၁၀၀ မကသော တွစ်တာ အသုံးပြုသူများသည် တစ်နေ့လျှင် တွိစ်ပေါင်း သန်း ၃၄၀ ကို တင်ခဲ့ကြပြီး၊<ref>{{cite web |url=https://blog.twitter.com/2012/twitter-turns-six |author=Twitter |title=Twitter turns six |date=March 21, 2012 |publisher=Twitter |access-date=17 February 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130513220043/https://blog.twitter.com/2012/twitter-turns-six |archive-date=13 May 2013 |url-status=dead}}</ref> "တွစ်တာရှာဖွေရေးစနစ်" တွင် တစ်နေ့လျှင် ရှာဖွေမှု အကြိမ်ရေပေါင်း ၁.၆ သန်းခန့် ဝန်ဆောင်မှုပေးခဲ့ရသည်။<ref name="Twitter_500" /><ref>{{cite web |url=https://blog.twitter.com/2011/engineering-behind-twitter%E2%80%99s-new-search-experience |author=Twitter Search Team |title=The Engineering Behind Twitter's New Search Experience |date=May 31, 2011 |accessdate=June 7, 2014 |work=Twitter Engineering Blog |publisher=Twitter |archivedate=25 March 2014 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140325080255/https://blog.twitter.com/2011/engineering-behind-twitter%E2%80%99s-new-search-experience }}</ref><ref>[http://blog.twitter.com/2012/03/twitter-turns-six.html "Twitter turns six"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130325140010/http://blog.twitter.com/2012/03/twitter-turns-six.html |date=25 March 2013 }} Twitter.com, March 21, 2012. Retrieved December 18, 2012.</ref> ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် တွစ်တာသည် လည်ပတ်မှုအများဆုံး [[ဝက်ဘ်ဆိုဒ်]] ၁၀ ခုထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး၊ "အင်တာနက်၏ ဖုန်းစာတိုပို့စနစ်" ဟု တင်စားခြင်းခံရသည်။<ref>{{cite web |url= http://www.alexa.com/topsites |title= Top Sites |publisher= [[Alexa Internet]] |accessdate= May 13, 2013 |archivedate= 26 December 2018 |archiveurl= https://web.archive.org/web/20181226070416/https://www.alexa.com/topsites%20 }}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.business-standard.com/india/news/swine-flu%5Cs-tweet-tweet-causes-online-flutter/356604/ |title=Swine Flu's Tweet Tweet Causes Online Flutter |date=April 29, 2009 |first=Leslie |last=D'Monte |work=Business Standard |quote=Also known as the 'SMS of the internet', Twitter is a free social networking service |accessdate=February 4, 2011}}</ref> ၂၀၁၆ ခုနှစ်၊ မတ်လတွင် တွစ်တာသုံးသူဦးရေ သန်း ၃၁၀ အထိ ရှိလာသည်။<ref name="Twitter"/> ၂၀၁၆ ခုနှစ်၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု သမ္မတရွေးကောက်ပွဲနေ့တွင် (အသုံးပြုသူများက ကမ္ဘာ့အရှေ့ပိုင်းစံတော်ချိန် ည ၁၀ နာရီတွင် တွိစ်ပေါင်း သန်း ၄၀ တင်ခဲ့ခြင်းဖြင့်) တွစ်တာသည် အရေးကြီးသတင်းအချက်အလက်များ၏ ရင်းမြစ်တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့ပေသည်။<ref name="2016 US presidential election"/> ယခုအခါ တွစ်တာကို မြန်မာနိုင်ငံမှ [[စိုင်းစိုင်းခမ်းလှိုင်]] အပါအဝင် ထင်ရှားသော နိုင်ငံတကာ အနုပညာရှင်များ၊ နိုင်ငံရေးခေါင်းဆောင်များ၊ လုပ်ငန်းရှင်များ၊ သတင်းဌာနများက ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုနေကြသော်လည်း၊ မြန်မာနိုင်ငံတွင်မူ အသုံးနည်းနေသည်ဟု ဆိုရပေမည်။October 27, 2022 တွင် Elon Musk မှTwitter ကိုဝယ်ယူခဲ့သည်။ ==အခြားကြည့်ရန်== * [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်]] * [[လင့်ခ်အင်န်]] == ကိုးကား == {{Reflist|30em|refs= <ref name="Twitter_500">{{cite web | url=http://techcrunch.com/2012/07/30/analyst-twitter-passed-500m-users-in-june-2012-140m-of-them-in-us-jakarta-biggest-tweeting-city/ | title=Twitter Passed 500M Users In June 2012, 140M Of Them In US; Jakarta 'Biggest Tweeting' City | work=TechCrunch| date=July 30, 2012}}</ref> <ref name="2016 US presidential election">{{cite web |first1=Mike |last1=Isaac |first2=Sydney |last2=Ember |title=For Election Day Influence, Twitter Ruled Social Media |url=http://www.nytimes.com/2016/11/09/technology/for-election-day-chatter-twitter-ruled-social-media.html |publisher=''The New York Times'' |date=November 8, 2016 |accessdate=November 20, 2016}}</ref> }} [[ကဏ္ဍ:အမေရိကန် ဝဘ်ဆိုဒ်များ]] [[ကဏ္ဍ:အန်းဒရိုက် ဆော့ဝဲလ်]] [[ကဏ္ဍ:အိုင်အိုအက်စ် ဆော့ဖ်ဝဲလ်]] {{Website-stub}} 1jsmkwh8qacq4if2ntuow7tob1i4ess 10 75946 1060859 366930 2026-10-31T13:31:07Z Ninjastrikers 22896 1060859 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#invoke:Progress box|main}} {{#ifeq:{{NAMESPACE}}|တမ်းပလိတ် |{{#ifeq:{{Last word|{{PAGENAME}}}}|progress |{{Progress box/Instantiated doc}} [[Category:Wikipedia progress templates]] }} }}</includeonly><noinclude> {{Documentation}} </noinclude> 8nqf9u91zhdpz9apd75m7334t6s6iq0 828 75948 1060862 366928 2026-10-31T13:36:28Z Ninjastrikers 22896 1060862 Scribunto text/plain -- This module implements [[Template:Purge]]. local p = {} local function makeUrlLink(url, display) return string.format('[%s %s]', url, display) end function p._main(args) -- Make the URL local url do local title if args.page then title = mw.title.new(args.page) if not title then error(string.format( "'%s' is not a valid page name", args.page ), 2) end else title = mw.title.getCurrentTitle() end if args.anchor then title.fragment = args.anchor end url = title:fullUrl{action = 'purge'} end -- Make the display local display if args.page then display = args[1] or 'Purge' else display = mw.html.create('span') display :attr('title', 'Purge this page') :wikitext(args[1] or 'Purge') display = tostring(display) end -- Output the HTML local root = mw.html.create('span') root :addClass('noprint') :addClass('plainlinks') :addClass('purgelink') :wikitext(makeUrlLink(url, display)) return tostring(root) end function p.main(frame) local args = frame:getParent().args return p._main(args) end return p 7zn4wpraqp0o2q6ovvb2j9zno19p3zp 828 75950 1060861 424802 2026-10-31T13:33:43Z Ninjastrikers 22896 1060861 Scribunto text/plain -- This module contains configuration data for [[Module:Progress box]]. return { -- The date at which to start checking for existing categories, in YYYY-MM -- format. ['start-date'] = '2004-03', -- The heading for the subtotals ['subtotal-heading'] = 'အခွဲစုစုပေါင်း', -- The format used for maintenance category dates. This should be input that is -- valid for the #time parser function. ['date-format'] = 'F Y', -- The format of dated maintenance categories for this wiki. -- Parameters: -- $1: the category base, e.g. "Articles to be split" -- $2: the formatted date, e.g. "May 2015" -- $3: preposition joining the category base and the date, e.g. "from" -- $4: optional suffix ['dated-category-format'] = '$1 $3 $2 $4', -- Default preoposition to use with the category-format message. ['dated-category-format-from'] = 'မှ', -- Display text for the link to the undated articles category. ['undated-articles-label'] = 'ရက်စွဲမပါသော ဆောင်းပါးများ', -- The format of categories containing all pages for a particular maintenance -- task. This message is preprocessed. -- Parameters: -- $1: The undated category ['all-articles-category-format'] = '{{lcfirst:$1}} အားလုံး', -- Heading for the "all articles" row. ['all-articles-label'] = 'ဆောင်းပါးများ အားလုံး', -- Display text for the purge link. ['purge-link-display'] = '(refresh)', } fgzwsj495690xpicmxkdn7caru347tc 0 83549 1060998 752464 2026-11-01T10:10:33Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060998 wikitext text/x-wiki {{Infobox website | logo = Wikidata-logo-en.svg | screenshot = Wikidata.png | caption = ဝီကီဒေတာ၏ ပင်မစာမျက်နှာ | url = {{Official URL}} | commercial = မရှိ | type = {{hlist|class=nowrap |အသိပညာအခြေပြု|[[ဝီကီ]]}} | registration = Optional | language = Multilingual | owner = [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း]] | author = ဝီကီမီဒီယာ အသိုက်အဝန်း | alexa = {{nowrap|{{DecreasePositive}} 12,901 {{smaller|({{as of|2017|11|01|alt=November 2017}})}} <ref name="alexa">{{cite web |url=http://www.alexa.com/siteinfo/Wikidata.org |title=Wikidata.org Site Info |publisher=[[Alexa Internet]] |accessdate=2017-11-01 |archivedate=3 September 2017 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170903072643/https://www.alexa.com/siteinfo/wikidata.org }}</ref>}} | name = ဝီကီဒေတာ | location = | launch date = {{start date and age|2012|10|30|df=y}} }} '''ဝီကီဒေတာ'''ဆိုသည်မှာ [[ဝီကီ|အများမှ ပူးပေါင်းတည်းဖြတ်သည့်]] အသိပညာအခြေပြု ပရောဂျက်တစ်ခုဖြစ်ပြီး [[ဝီကီမီဒီယာ ဖောင်ဒေးရှင်း]]မှ စီမံခန့်ခွဲသည်။ [[ဝီကီပီးဒီးယား]]ကဲ့သို့ ဝီကီမီဒီယာ ပရောဂျက်များအတွက် ဒေတာရင်းမြစ်များအဖြစ် ပေးနိုင်စေရန် ရည်ရွယ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://www.wikimedia.de/wiki/Pressemitteilungen/PM_3_12_Wikidata_EN|title=Data Revolution for Wikipedia|date=March 30, 2012|publisher=Wikimedia Deutschland|accessdate=September 11, 2012|archiveurl=https://www.webcitation.org/6AbXpDAbW?url=http://www.wikimedia.de/wiki/Pressemitteilungen/PM_3_12_Wikidata_EN|archivedate=11 September 2012|deadurl=no}}</ref> [[Wikimedia Commons]] ကဲ့သို့ပင် မီဒီယာဖိုင်များအား သိုလှောင်နိုင်ပြီး ထိုဖိုင်များကို ဝီကီမီဒီယာ ပရောဂျက်အားလုံးတွင်  ခွင့်ပြုထားပြီး လွတ်လပ်စွာ တဖန်ပြန်၍ အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဝီကီဒေတာကို Wikibase ဆော့ဝဲလ်ဖြင့် လည်ပတ်သည်။<ref>{{cite web|url=http://wikiba.se|title=Wikibase — Home|publisher=}}</ref> == သဘောတရား == ဝီကီဒေတာသည် document-oriented database ဖြစ်ပြီး အချက်အလက်များတွင် အဓိကထားသည်။ အချက်အလက်တိုင်းသည် အကြောင်းအရာတစ်ခု (သို့မဟုတ်  ဝီကီပီးဒီးယား ထိန်းသိမ်းရေးအတွက် အသုံးပြုသော အုပ်ချုပ်မှု စာမျက်နှာများ)ကို ကိုယ်စားပြုပြီး ထိုသည်တို့ကို သီးသန့်ကိန်းဂဏန်းများဖြင့် သတ်မှတ်ထားကာ ထိုဂဏန်းများအစတွင် အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ Q ဖြင့် စတင်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့်  [[နိုင်ငံရေး]]ဟုသော အကြောင်းအရာအတွက် အချက်အလက်မှာ [[wikidata:Q7163|Q7163]] ဖြစ်သည်။  [[File:Datamodel_in_Wikidata.svg|center|thumb|484x484px|ဤပုံတွင် Wikidata ရှိ အရေးကြီးသော အခေါ်အဝေါ်များကို ပြသထားသည်။]] == တိုးတက်ပြောင်းလဲလာမှု သမိုင်း == ဤပရောဂျက်အား ဖန်တီးရာတွင် Allen Institute for Artificial Intelligence၊  Gordon and Betty Moore Foundation နှင့် [[ဂူဂယ်|ဂူဂယ် အင်စတီကျူ]]တို့၏ ထောက်ပံ့လှူဒါန်းမှုများဖြင့် ပြုလုပ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး စုစုပေါင်း [[ယူရို|€]]၁.၃ မီလီယံဖြင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news|title=Paul Allen Invests In A Massive Project To Make Wikipedia Better|first=Boonsri|last=Dickinson|url=http://www.businessinsider.com/paul-allen-invests-in-wikidata-project-2012-3?IR=T|newspaper=Business Insider|date=March 30, 2012|accessdate=September 11, 2012}}</ref><ref>{{cite news|title=Wikipedia’s Next Big Thing: Wikidata, A Machine-Readable, User-Editable Database Funded By Google, Paul Allen And Others|first=Sarah|last=Perez|url=https://techcrunch.com/2012/03/30/wikipedias-next-big-thing-wikidata-a-machine-readable-user-editable-database-funded-by-google-paul-allen-and-others/|newspaper=TechCrunch|date=March 30, 2012|accessdate=September 11, 2012|archiveurl=https://www.webcitation.org/6AbXqmANO?url=http://techcrunch.com/2012/03/30/wikipedias-next-big-thing-wikidata-a-machine-readable-user-editable-database-funded-by-google-paul-allen-and-others/|archivedate=11 September 2012|deadurl=no}}</ref> အစောပိုင်း ဤပရောဂျက်ကို ဝီကီမီဒီယာ ဂျာမနီမှ ကြီးကြပ်ကွပ်ကဲခဲ့ပြီး အပိုင်းသုံးပိုင်း ခွဲ၍ ဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။<ref name="wikidata_on_meta">{{cite web|url=https://meta.wikimedia.org/wiki/Wikidata|title=Wikidata - Meta|publisher=}}</ref> # ဘာသာစကားအချင်းချင်းကြား ချိတ်ဆက်မှုကို ထိန်းချုပ်ကွပ်ကဲခြင်း&#x20;– မတူညီသော ဘာသာစကားများ ရေးသားထားသော အကြောင်းအရာတူ ဝီကီပီးဒီးယား ဆောင်းပါးများကြား ချိတ်ဆက်ပေးခြင်း # ဝီကီပီးဒီးယားအားလုံးအတွက် infobox data များကို ဗဟိုနေရာအဖြစ် ထောက်ပံ့ပေးခြင်း # ဝီကီဒေတာရှိ အချက်အလက်များတွင် အခြေခံထားသော စာရင်းဆောင်းပါးများအား ဖန်တီးခြင်းနှင့် အဆင့်မြှင့်တင်ခြင်း == လိုဂို"WlKl == လိုဂိုပေါ်ရှိ ဘားများတွင် "WIKI" ဟုသော စကားလုံးကို  [[မော့၏ အချက်ပြသင်္ကေတ|မော့ အချက်ပြသင်္ကေတ]]ဖြင့် ဝှက်၍ ရေးထားသည်။<ref>[[c:File talk:Wikidata-logo-en.svg#Hybrid|commons:File talk:Wikidata-logo-en.svg#Hybrid]]. Retrieved 2016-10-06.</ref> == ကိုးကား == {{Reflist|30em}} == ထပ်မံဖတ်ရှုရန် == * Denny Vrandečić, Markus Krötzsch: ''[https://web.archive.org/web/20170829042018/http://korrekt.org/papers/Wikidata-CACM-2014.pdf Wikidata: A Free Collaborative Knowledge Base]''. Communications of the ACM. ACM. 2014 (preprint). * Claudia Müller-Birn, Benjamin Karran, Janette Lehmann, Markus Luczak-Rösch: ''[http://eprints.soton.ac.uk/377397/1/paper-1.pdf Peer-production system or collaborative ontology development effort: What is Wikidata?]'' In, OpenSym 2015 - Conference on Open Collaboration, San Francisco, US, 19 - 21 Aug 2015 (preprint). == ပြင်ပလင့်များ == * {{Official website|mobile=https://m.wikidata.org/}} {{ဝီကီမီဒီယာဖောင်ဒေးရှင်း}} [[Category:ဝီကီမီဒီယာ ပရောဂျက်များ]] pvtgitdmos2gujncw05ot4mg2gihvbw 0 84057 1060852 1043718 2026-10-31T13:13:04Z Ninjastrikers 22896 [[သက်တန့်မှော်]] မှ [[သက်တံမှော်]] သို့ စာမျက်နှာကို ပြန်ညွှန်းချန်မထားဘဲ Ninjastrikers က ရွှေ့ခဲ့သည်: စာလုံးပေါင်းအမှား 1043718 wikitext text/x-wiki {{Infobox book series | name = Rainbow Magic | books = | author = Daisy Meadows | image = | caption = The current ''Rainbow Magic'' logo | title_orig = | translator = | illustrator = Georgie Ripper (၂၀၀၃-၀၇)<br>Orchard Books illustrators (၂၀၀၈-လက်ရှိ) | cover_artist = Georgie Ripper (၂၀၀၃-၀၇)<br>Orchard Books illustrators (၂၀၀၈-လက်ရှိ) | country = ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း | language = အင်္ဂလိပ် | genre = ကလေး စိတ်ကူးယဉ်စာပေ | publisher = Orchard Books | pub_date = ၂၀၀၂-လက်ရှိ | english_pub_date = | media_type = ပုံနှိပ်နှင့် eBook | preceded_by = | followed_by = }} '''''သက်တန့်မှော်''''' ({{lang-en|Rainbow Magic}}) သည် Working Partners<ref>{{cite web|title=Working Partners Ltd|url=http://www.workingpartnersltd.co.uk/}}</ref> မှ ပထမဆုံး ဖန်တီးခဲ့ပြီး လက်ရှိတွင် HIT Entertainment မှ ပိုင်ဆိုင်သော ကလေးသူငယ် စိတ်ကူးယဉ် ဇာတ်လမ်းတွဲ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ Orchard Books မှ ထုတ်ဝေဖြန့်ချိပြီး ကလေးသူငယ်စာအုပ်များအဖြစ် ကျော်ကြားသည်။<ref name="HitBrand">{{cite web|title=Hit Entertainment - Our Brands - Rainbow Magic|url=http://www.hitentertainment.com/corporate/brandRainbow.aspx|publisher=Hit Entertainment|accessdate=2011-05-31|archivedate=13 December 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171213011426/http://www.hitentertainment.com/corporate/brandRainbow.aspx}}</ref> စာအုပ်များကို စာရေးဆရာများစွာက ''Daisy Meadows'' ဟုအမည်ခံ၍ ရှဲဒိုးအနေဖြင့် နောက်ခံရေးသားခဲ့ကြပြီး Georgie Ripper က သရုပ်ဖော်ပုံများ ရေးဆွဲထားသည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:၂၀၁၀ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[Category:အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[Category:ဗြိတိသျှ ကလေးစာပေ]] {{stub}} gfl868pcgstbepe08qkw8doggsas840 0 87984 1060935 1039499 2026-11-01T00:09:21Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 3 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060935 wikitext text/x-wiki ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ (ဥပမာ - ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ) သည် Gazprom ကုမ္ပဏီမှ နှစ်စဉ်ကျင်းပသည့် နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ လူမှုအစီအစဉ် ဖြစ်သည်။ အစီအစဉ်၏ ရည်ရွယ်ချက်မှာ ဘောလုံးကစားခြင်းဖြင့် မတူညီသော ဓလေ့ထုံးစံများနှင့် နိုင်ငံသားဖြစ်မှုများကို လေးစားတတ်စေရန်အတွက် နိုင်ငံမျိုးစုံမှ ကလေးများအား ပျိုးထောင်ပေးရန်၊ ငယ်ရွယ်သော မျိုးဆက်တစ်ခုကို မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော တန်ဖိုးများဖြင့် မြှင့်တင်ပေးရန်နှင့် ကျန်းမာရေးနှင့် ညီညွတ်သော လူနေမှုပုံစံမှ အကျိုးကျေးဇူး ရရှိစေရန်တို့ ဖြစ်သည် <ref><nowiki>https://www.sportindustry.biz/news/football-friendship-project-returns</nowiki></ref> ။ အစီအစဉ်၏ မူဘောင်အတွင်းတွင် နိုင်ငံပေါင်းစုံမှ အသက် ၁၂ နှစ်အရွယ်ရှိသော ဘောလုံးကစားသူများသည်  <ref>inserbia.info/today/2014/04/gazproms-football-for-friendship-2014</ref> နှစ်စဉ် နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များဖိုရမ်၊ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံရှစ်၊ နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့တို့တွင် ပါဝင်လုပ်ဆောင်ကြသည်။<ref>www.newswire.ca/en/story/1505319/europe-and-asia-to-meet-within-football-for-friendship-international-children-s-social-project-of-gazprom</ref>။ အစီအစဉ်ကို ဖီဖာ၊ ယူအေးအက်အေ၊ ယူအန်၊ အိုလံပစ်နှင့် မသန်စွမ်း အိုလံပစ် ကော်မတီများ၊ နိုင်ငံပေါင်းစုံမှ အစိုးရများနှင့် ဘောလုံးအဖွဲ့ချုပ်များ၊ နိုင်ငံတကာ ပရဟိတအဖွဲ့များ၊ အများပြည်သူ အဖွဲ့အစည်းများ၊ ကမ္ဘာပေါ်ရှိ ထိပ်တန်း ဘောလုံးကလပ်များက ပံ့ပိုးပေးထားသည်။<ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/reviews/futbol-dlya-druzhby-2018-obyavleny-imena-uchastnikov-programmy-ot-rossii-1401229/</ref> အစီအစဉ်ကို ကမ္ဘာတဝှမ်းတွင် စီစဉ်ဆောင်ရွက်သူမှာ AGT Communications Group (Russia) ဖြစ်သည်။<ref>www.prnewswire.com/news-releases/young-football-players-from-24-countries-of-europe-and-asia-meet-at-third-international-childrens-football-for-friendship-forum-506472841.html</ref> == နောက်ခံသမိုင်း == === ၂၀၁၃ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === ပထမဆုံး နိုင်ငံတကာ ကလေးများညီလာခံ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ်ကို ၂၀၁၃ ခုနှစ်၊ မေလ ၂၅ ရက်နေ့တွင် လန်ဒန်မြို့၌ ကျင်းပခဲ့သည်။ ဘူဂေးလ်ရီးယား၊ ဂရိတ်ဗြိတိန်၊ ဟန်ဂေရီ၊ ဂျာမဏီ၊ ဂရိ ၊ ရုရှား၊ ဆားဘီးယား နှင့် စလိုဗေးနီးယား စသော နိုင်ငံပေါင်း ၈နိုင်ငံမှ ကလေးပေါင်း ၆၇၀ ဦး ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည် ။ ရုရှားနိုင်ငံကိုယ်စားပြု အသင်းပေါင်း ၁၁သင်း ပါဝင်ခဲ့ပြီး ၎င်းမှာ ရုရှားနိုင်ငံ၏ မြို့ ၁၁ မြို့ကို ကိုယ်စားပြုကာ ၎င်းမြို့များသည် ၂၀၁၈ ခုနှစ် ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလား လက်ခံကျင်းပမည့်မြို့များဖြစ်ကြသည်။ ဇင်းနစ်၊ ချဲလ်ဆီး၊ ရှော်ကေး ၀၄၊ ခရာဗင်ညာဇဗက်ဇဒါ၊ တို့မှ လူငယ် အသင်းများ၊ ဂဇ်ပရွန်းမ် ကလေးများ အားကစားနေ့ အထိမ်းအမှတ် ချန်ပီယံအသင်းများ၊ ဖာခဲလ်ပွဲတော် အထိမ်းအမှတ် ချန်ပီယံအသင်းများ အစရှိသည့် အသင်းများ ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည်။<ref><nowiki>https://archive.today/20150515191023/http:/fcbusiness.co.uk/news/article/newsitem=2379/title=franz+beckenbauer+kicks+off+gazprom%92s+%91football+for+friendship%92+campaign</nowiki></ref> ပွဲတော်အတွင်း၊ ပါဝင်ဆင်နွှဲသော ကလေးများ အနေဖြင့် အခြားနိုင်ငံများမှ ၎င်းတို့နှင့် သက်တူရွယ်တူ ကလေးများ၊ နာမည်ကြီး ဘောလုံးသမားများ နှင့်စကားပြောဆိုခဲ့ကြပြီး ၂၀၁၂/၂၀၁၃ ဝင်ဘလေအားကစားကွင်း တွင် ကျင်းပခဲ့သည့် ယူအီးအက်ဖ်အေ ချန်ပီယံလိဂ် ဗိုလ်လုပွဲသို့ တက်ရောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>www.ntv.ru/sport/627113</ref> ညီလာခံ၏ ရလဒ်များကို အိတ်ဖွင့်ပေးစာ အဖြစ်ရေးသားခဲ့ပြီး ကလေးသူငယ်များမှ ကျင့်ဝတ်နှင့်တန်ဖိုး ၈ မျိုးဖြစ်သော ချစ်ကြည်မှု၊ ညီမျှမှု၊ တရားမျှတမှု၊ ကျန်းမာမှု၊ ငြိမ်းချမ်းမှု၊ သစ္စာတရားရှိမှု၊ အောင်မြင်မှု နှင့် ရိုးရာယဉ်ကျေးမှုတို့ကို ဖော်ဆောင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းနောက် အဆိုပါပေးစာကို ယူအီးအက်ဖ်အေ၊ ဖီဖာနှင့် အိုင်အိုစီ <ref><nowiki>https://www.fifa.com/about-fifa/marketing/sponsorship/partners/gazprom.html</nowiki></ref>တို့မှ အရာရှိများသို့ ပေးအပ်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၃ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ရုရှားသမ္မတဖြစ်သူ ဗလာဒီမာပူတင်နှင့် ဗိုက်တယ်လီ မွတ်ကို၊တို့ဖြင့်တွေ့ဆုံခဲ့စဉ်အတွင်း ဆပ်ဘလတ္တာမှ ပေးစာအားရရှိ ကြောင်းပြောဆိုခဲ့ကာ ၎င်းအနေဖြင့် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပွဲအား စတင်ရန်အသင့်ရှိကြောင်း ပြန်လည်ပြောကြား လာခဲ့သည် <ref><nowiki>https://web.archive.org/web/20150522173321/http:/www.epochtimes.de/service/vladimir-putin-und-fifa-praesident-joseph-s-blatte-bei-football-for-friendship-222</nowiki></ref>။ === ၂၀၁၄ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === ဒုတိယ အကြိမ်မြောက် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစား အစီအစဉ်မှာ ၂၀၁၄ခုနှစ် မေ ၂၃ မှ ၂၅ အထိ လစ်စဘွန်းမြို့တွင် ကျင်းပခဲ့ပြီး နိုင်ငံပေါင်း ၁၆ နိုင်ငံမှ လူငယ်ပေါင်း ၄၅၀ ကျော်တို့အား ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည်။ ၎င်းနိုင်ငံများမှာ ဘယ်လာရုစ်၊ ဘူဂေးရီးယား၊ ဂရိတ်ဗြိတိန်၊ ဟန်ဂေရီ၊ ဂျာမဏီ၊ အီတလီ၊ နယ်သာလန်၊ ပိုလန်၊ ပေါ်တူဂီ၊ ရုရှား၊ ဆားဘီးယား၊ ဆလိုဗေးနီးယား၊ တူရကီ၊ ယူကရိန်း၊ ပြင်သစ်နှင့် ခရိုအေးရှား တို့ဖြစ်သည်။ ဘောလုံးသမား ကလေးငယ်လေး များအနေဖြင့် နိုင်ငံတကာ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် ပွဲတော်ကို ပါဝင်ဆင်နွှဲ ခဲ့ကြပြီး ယူအီးအက်ဖ်အေ ချန်ပီယံလိဂ် ဗိုလ်လုပွဲစဉ် ၂၀၁၃/၂၀၁၄ သို့တက်ရောက် အားပေးခဲ့ကြသည်။<ref>www.euronews.com/2014/05/27/football-for-friendship-teaching-values-through-football</ref> နိုင်ငံတကာ အပျော်တမ်း လမ်းပေါ် ဘောလုံးပွဲစဉ် ၂၀၁၄ ၏ချန်ပီယံမှာ ဘင်ဖီကာ လူငယ်အသင်း(ပေါ်တူဂီ)နိုင်ငံမှဖြစ်သည်။ ဒုတိယအကြိမ်မြောက် ပွဲတော်၏ ရလဒ်မှာ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစား အစီအစဉ် ၏ ခေါင်းဆောင်တစ်ဦးကို ရွေးကောက်ခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုသူမှာ ပေါ်တူဂီနိုင်ငံမှ ဖီလစ်ပီ ဆွာရက်ဇ် ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ ဇွန်လတွင် အဆိုပါ ခေါင်းဆောင်၏ လှုပ်ရှားဆောင်ရွက်မှုများအနေဖြင့်၊ နဝမအကြိမ်မြောက် နိုင်ငံတကာ လူငယ် ဘောလုံးပွဲစဉ်သို့သွားရောက်ခဲ့ပြီး အန်ဒရေရီးဗစ်ခ်ျ မိုရိုဇော့ဗ်ဆိုသူနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။<ref name=":8">www.lazionews.eu/settore-giovanile/oltre-450-ragazzi-riuniti-da-gazprom-in-occasione-del-secondo-forum-internazionale-football-for-friendship/</ref> === ၂၀၁၅ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === တတိယအကြိမ်မြောက် နိုင်ငံတကာ လူမှုပရိုဂရမ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစား အစီအစဉ်ကို ဘာလင်မြို့၌ ၂၀၁၅ ခုနှစ် ဇွန်လက ကျင်းပခဲ့သည် <ref name=":0">www.noodls.com/viewNoodl/28582380/oao-gazprom/young-football-players-from-24-countries-of-europe-and-asia-</ref>။ အာရှတိုက်မှ ပါဝင်ဆင်နွှဲကြသော ကလေးသူငယ်များမှာ အထူးသဖြင့် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ တရုတ်ပြည်၊ ကာဇက်စတန် တို့မှ ကလေးဘောလုံးအသင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့အနေဖြင့် ပထမဆုံးပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြခြင်းဖြစ်သည်။ စုစုပေါင်းအားဖြင့်၊ နိုင်ငံပေါင်း ၂၄ နိုင်ငံမှ ကလေးဘောလုံးအသင်း ၂၄သင်းက တတိယ အကြိမ်မြောက်ပွဲတော်တွင်ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည်။<ref name=":0" /> ဘောလုံးသမားလေးများ အနေဖြင့် အခြားနိုင်ငံမှ ၎င်းတို့နှင့် သက်တူရွယ်တူ များ၊ နာမည်ကျော် ဘောလုံးသမားများနှင့် ဖရန့်ဇ် ဘက်အန်ဘူရာ ပရိုဂရမ် ၏ တစ်ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ သံကိုယ်စားလှယ်များနှင့်ပါ စကားလက်ဆုံ ပြောခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် နိုင်ငံတကာ အပျော်တမ်းလမ်းပေါ်ဘောလုံးပွဲစဉ်ကိုလည်း ကလေးဘောလုံးအသင်းများပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသည်။<ref name=":0" /> နိုင်ငံတကာ အပျော်တမ်း လမ်းပေါ် ဘောလုံးပွဲစဉ် ၂၀၁၅ ၏ ချန်ပီယံမှာ ရက်ပစ်ဂျူနီယာ အသင်း(ဩစတျေးလျ)မှ ဖြစ်သည်။<ref name=":0" /> တတိယအကြိမ်မြောက် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစား ပရိုဂရမ် အခမ်းအနားသို့ ကမ္ဘာ့ထိပ်တန်း စာနယ်ဇင်းများမှ စာနယ်ဇင်းသမားပေါင်း ၂၀၀ ခန့် တက်ရောက် ခဲ့ကြပြီး ဥရောပ နှင့် အာရှဒေသမှ လူငယ်သတင်းထောက် ၂၄ ဦးလည်းတက်ရောက် သတင်း ရယူခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ နိုင်ငံတကာ ကလေးများဆိုင်ရာ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေရေး ဌာန မှ အဖွဲ့ဝင်များဖြစ်ကြသည်။<ref name=":0" /> ၂၀၁၅ ခုနှစ်၏ ထိပ်တန်ုးအခမ်းအနား မှာ ကျင့်ဝတ်နှင့်တန်ဖိုး (၉) မျိုး ဖလား ဆုချီးမြှင့်ပွဲဖြစ်သည်။ ၎င်းပွဲစဉ်တွင် ဆုချီးမြှင့်ခံရသည့် အနိုင်ရရှိသော အသင်းမှာ ဘာစီလိုနာ ဘောလုံးအသင်းဖြစ်သည် ။ အနိုင်ရရှိသည့် အသင်းကို ပွဲတော်တွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲနေကြသော ကလေးများမှ ရွေးချယ်ပေးခဲ့ကြခြင်း ဖြစ်ပြီး နိုင်ငံပေါင်း၂၄နိုင်ငံတွင်ပြုလုပ်ခဲ့သည့် ကမ္ဘာလုံးဆို်င်ရာ မဲခွဲဆုံးဖြတ်ပွဲ တွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့ပြန်သေးသည်။<ref name=":0" /> ညီလာခံပြီးဆုံးချိန်တွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲသူအားလုံး တို့သည် ဘာလင်မြို့ရှိ အိုလံပစ် အားကစားကွင်းတွင် ၂၀၁၄/၂၀၁၅ တွင်ကျင်းပခဲ့သော ယူအီးအက်ဖ်အေ ချန်ပီယံ လိဂ် ဗိုလ်လုပွဲ သို့တက်ရောက်ခြင်း ပုံမှန်အစီအစဉ်ကို လုပ်ဆောင်ခဲ့ကြသည်။<ref>www.prnewswire.com/news-releases/young-football-players-from-24-countries-of-europe-and-asia-meet-at-third-international-childrens-football-for-friendship-forum-506472841.html</ref> === ၂၀၁၆ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === နိုင်ငံတကာ ကလေးများ လူမှုရေးဆိုင်ရာပရိုဂရမ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အားကစား အစီအစဉ် ၂၀၁၆ ခုနှစ် ၏စတင်မှုကို အွန်လိုင်း ဖျော်ဖြေရေးစာနယ်ဇင်းများညီလာခံ ၏အစိတ်အပိုင်း တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ အဆိုပါညီလာခံကို မတ်လ ၂၄ ရက်၊မြူးနစ်မြို့ တွင် ဖရန့်ဇ် ဘက်အန်ဘူရာ၏ ပရိုဂရမ် ၏ ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ သံကိုယ်စားလှယ် ၏ပူးပေါင်းပါဝင် ဆောင်ရွက်မှုဖြင့်ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>www.mirror.co.uk/sport/football/news/franz-beckenbauer-reveals-hes-barcelona-7695610</ref> စတုတ္ထမြောက် ပရိုဂရမ်တွင် အဇာဘိုင်ဂျန်၊ အယ်ဂျီးရီးယား၊ အာမေးနီးယား၊ အာဂျင်တီးနား၊ ဘရာဇီးလ်၊ ဗီယက်နမ်၊ ကာဂျစ်စတန် နှင့် ဆီးရီးယား တို့မှ လူငယ် အသင်းသစ် 8 သင်း ပါဝင်ခဲ့ကြပြီး ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ကြည်သည့် အသင်းစုစုပေါင်း အရေအတွက်သည် ၃၂ သင်းအထိရှိလာခဲ့သည် <ref>www.sgb-sports.com/index.php/fourth-gazprom-football-for-friendship-project-launches/</ref>။ ဧပြီ ၅ ရက်နေ့တွင် ၂၀၁၆ခုနှစ်၏ ထိပ်တန်းပွဲစဉ် ဖြစ်သော တန်ဖိုး (၉)မျိုး ဖလား၏ မဲပေးပွဲ စတင်ခဲ့သည် ။ ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အားပေးသူပရိသတ် များက အနိုင်ရရှိသည့် အသင်းကို ရွှေးချယ်ရာ၌ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ သို့သော်အဆုံးအဖြတ်ကိုမူ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး ပရိုဂရမ် တွင် ပါဝင်ခဲ့သူများမှ မဲပေးဆုံးဖြတ်ကြခြင်းဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ဖလားကို ဘိုင်ယန်ဘောလုံးအသင်း(မြူးနစ်) မှရရှိခဲ့သည်။ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အားကစား အစီအစဉ်တွင် ပါဝင်ခဲ့သူများက အထောက်အပံ့ လိုအပ်နေသော ကလေးငယ်များအတွက် ပံ့ပိုးမှုပေးရန် ၊နိုင်ငံအရပ်ရပ်မှ ကလေး များအား ကိုယ်စွမ်းကိုယ်စ တိုးပွားလာရန်၊နှင့်လိုအပ်သမျှကို ကူညီဖြည့်ဆည်းပေးနိုင်ရန် အသင်း၏ လှုပ်ရှား ဆောင်ရွက် မှုများကို မှတ်တမ်းတင်ခဲ့ကြသည်။ <ref>rbth.com/sport/2016/06/01/gazprom-brings-soccer-crazy-kids-to-milan-for-uefa-champions-league-final_599353</ref> စတုတ္ထ အကြိမ်မြောက် နိုင်ငံတကာကလေးများ ညီလာခံ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် နှင့် ကလေးများ၏ နိုင်ငံတကာ အပျော်တမ်းလမ်းပေါ်ဘောလုံး ပွဲစဉ် မှ နောက်ဆုံး ဗိုလ်လုပွဲစဉ်ကို ၂၀၁၆ခုနှစ် ၊မေလ ၂၇မှ ၂၈ ရက်နေ့များ၌မီလန်မြို့တွင်ကျင်းပခဲ့သည်။  ၎င်းပွဲစဉ်၏ အနိုင်ရရှိသည့်အသင်းမှာ ဆလိုဗေးနီးယားနိုင်ငံမှ Maribor အသင်းဖြစ်သည်။ ညီလာခံပြီးဆုံးချိန်တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့သူများမှ ယူအီးအက်ဖ်အေ ချန်ပီယံလိဂ် ဗိုလ်လုပွဲစဉ်ကို ပုံမှန်အစီအစဉ်အတိုင်း တက်ရောက် အားပေးခဲ့ကြသည် ။ ပွဲတော်၏အခမ်းအနားသို့ ကမ္ဘာ့ထိပ်တန်း စာနယ်ဇင်းများမှ စာနယ်ဇင်းသမားပေါင်း ၂၀၀ ဦးနှင့်အထက် တက်ရောက် ခဲ့ကြပြီး သတင်း ရယူခဲ့ကြသည်။ ထို့ပြင်နိုင်ငံတကာ ကလေးများဆိုင်ရာ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေရေး ဌာန မှ အဖွဲ့ဝင်များလည်းတက်ရောက်ခဲ့ကြသည်။ ပါဝင်ဆင်နွှဲသော နိုင်ငံများမှ လူငယ် စာနယ်ဇင်းသမားများ လည်းပါဝင်ခဲ့ကြသည်။<ref name=":1">www.beyondsport.org/articles/fourth-international-football-for-friendship-forum-brings-together-young-footballers-from-three-continents/</ref> ဆီးရီးယား ကလပ်ဖြစ်သော အိုင်-ဝါဒါးမှ လူငယ်ဘောလုံးသမားများသည် စတုတ္ထအကြိမ်မြောက် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် တွင် ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ယခင်ကပါဝင်ခဲ့ခြင်းမရှိပါ။ ပရိုဂရမ်တွင်ပါဝင်သော အသင်းများ အနက် ဆီးရီးယားနိုင်ငံမှ အသင်းတစ်သင်း ပါဝင်လာခြင်း နှင့် ဆီးရီးယား ကလေးသူငယ်များ မီလန်မြို့ရှိ ၎င်းအခမ်းအနားသို့ လာရောက်လည်ပတ်ခြင်းမှာ ၎င်းတို့နိုင်ငံ၏ လူသားချင်းဆိုင်ရာ အထီးကျန်ရပ်တည်မှုများကို စိန်ခေါ်ရန် အရေးကြီးဆုံး ခြေလှမ်းများပင်ဖြစ်သည်။ ရုရှား တူဒေး နိုင်ငံတကာ ရုပ်သံလိုင်းမှ အာရပ်အားကစား အယ်ဒီတာ ဘုတ်အဖွဲ့ သည် ဆီးရီးယားနိုင်ငံ ဘောလုံးအဖွဲ့ချုပ် ၏ ကူညီပံ့ပိုး မှုဖြင့် ပရောဂျက်တွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့ကြသော ကလေးများအကြောင်း ကို “စစ်ပွဲ မရှိသော ၃ရက်တာ” အမည်ရ သတင်းမှတ်တမ်း ရုပ်ရှင် ဖြင့် မှတ်တမ်းတင် ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလ ၁၄ရက်နေ့တွင် ဒမားစကပ်မြို့ တွင်ပြုလုပ်သော ၎င်းရုပ်ရှင်၏ ပထမဆုံမိတ်ဆက်ပြသပွဲကို လူပေါင်း ရ၀၀၀ နှင့်အထက် ကတက်ရောက် ကြည့်ရှုခဲ့ကြသည်။<ref name=":1" /> === ၂၀၁၇ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === ၂၀၁၇ခုနှစ် နိုင်ငံတကာ ကလေးများဆိုင်ရာ လူမှုရေး ပရောဂျက် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစား အစီအစဉ် ကိုကျင်းပခဲ့သောနေရာမှာ စိန့်ပီတာစ်ဘက် မြို့(ရုရှား) ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ဇွန်လ ၂၆ ရက်နေ့မှ ဇူလိုင် ၃ ရက်နေ့ အထိ နောက်ဆုံးအခမ်းအနားများကိုလည်း ၎င်းနေရာတွင်ပင် ကျင်းပသွားမည် ဖြစ်သည်။<ref>www.live5news.com/story/34934258/fifth-season-of-gazproms-football-for-friendship-international-childrens-project-launched</ref> ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင်မူ ပါဝင်ဆင်နွှဲသော နိုင်ငံပေါင်းသည် ၃၂ နိုင်ငံမှ ၆၄ နိုင်ငံအထိ တိုးမြင့်လာခဲ့သည်။ ပထမဆုံးအနေဖြင့် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးအားကစားပရိုဂရမ် သို့ မက္ကစီကို နိုင်ငံနှင့် အမေရိကန်နိုင်ငံ မှ ကလေးသူငယ်များတက်ရောက်ခဲ့ကြသည်။ ထိုသိုဖြင့် ပရောဂျက်ကို အာဖရိက၊ ယူရေးရှား၊ မြောက်အမေရိက၊ တောင်အမေရိက အစရှိသော ကမ္ဘာ့တိုက်ကြီး ၄တိုက်မှ လူငယ် ကစားသမားများ ဖြင့်ပေါင်းဖွဲ့ထားခဲ့သည်။<ref name=":2">finance.dailyherald.com/dailyherald/news/read/33918303/Fifth_Season_of_Gazprom's_Football_for_Friendship_International_Children's_Project_Launched</ref> ပဉ္စမအကြိမ်မြောက် တွင် ပရိုဂရမ်ကို ခံယူချက်အာဘော်တစ်ခုဖြင့် ပြည့်စုံလေးနက်စေခဲ့သည်။ ၎င်းမှာ နိုင်ငံတစ်နိုင်ငံဆီမှ လူငယ် ဘောလုံးသမားလေး တစ်ဦးချင်းစီသည် ပရိုဂရမ်ကို ကိုယ်စားပြုသည် ဟူ၍ဖြစ်သည်။ နိုင်ငံတကာ ချစ်ကြည်ရေး အသင်း ၈သင်းတွင် ဖွဲ့စည်းထားသော ကစားသမားလေးများသည် အသက် ၁၂နှစ်ရှိသော ယောက်ျားလေး၊မိန်းကလေးများဖြစ်ကြပြီး မသန်မစွမ်းကလေးငယ် လေးများလည်း ပါဝင်ကြသည် ။<ref name=":2" /> လွတ်လပ်စွာမဲနှိုက်မှုပုံစံဆောင်ရွက်ရာတွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲသည့် နိုင်ငံများ၏ ကိုယ်စားလှယ်များအတွက် အသင်းများနှင့် ကစားပွဲဆိုင်ရာနေရာအလိုက် ဖွဲ့စည်းမည့်နိုင်ငံများကို ဆုံဖြတ်ခဲ့သည်။ မဲနှိုက်ဆုံးဖြတ်မှု ကို အင်တာနက်တွင်သတင်းရယူတွေ့ဆုံသည့် ပုံစံဖြင့် ကျင်းပပါမည်။ ချစ်ကြည်ရေးအသင်း ၈သင်း၏ နည်းပြများမှာ လူငယ်နည်းပြများ ဖြစ်ကြသည် - ရီနီး လမ်းပါ့တ် (စလိုဗေးနီးယား)၊ စတီဖန် မက်ခစ်မိုဗစ်ခ်ျ (ဆားဘီးယား)၊ ဘရန်ဒန် ရှာဘာနီ (ဂရိတ် ဗြိတိန်)၊ ချာလီ ရှီု (တရုတ်)၊ အနာတိုလီ ချင်တူလိုရက်ဗ် (ရုရှား)၊ ဘော့ဂ်ဒန် ခရိုလက်ဗ်စကီ (ရုရှား)၊ အန်တော့ဗ် အိုင်ဗန်နော့ဗ် (ရုရှား)၊ အမ်မာ ဟန်စ်ချင် (နယ်သာလန်)တို့ဖြစ်ကြပြီး ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် ဆိုင်ရာ နိုင်ငံတကာ စာနယ်ဇင်းဌာန မှ ကိုယ်စားလှယ်ဖြစ်သူ လီလီယာ မက်ဆွတ်မိုတို (ဂျပန်)၊ လည်း အခမ်းအနားသို့ တက်ရောက်ခဲ့သည်။<ref name=":3">www.newswit.com/.gen/2017-03-17/bafb838790ea60129b53d1add5e4ee99/</ref> ၂၀၁၇ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံး အစီအစဉ် ကမ္ဘာ့ဖလား ပွဲစဉ်တွင် အနိုင်ရရှိသည့်အသင်းမှာ လိမ္မော်ရောင် အသင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းအသင်းတွင် နိုင်ငံ ၉နိုင်ငံမှလူငယ် ကစားသမားလေးများနှင့် လူငယ်နည်းပြများပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ ရီနီး လမ်းပါ့တ် (စလိုဗေးနီးယား)၊ ဟွန်ဂျန်မာဗင်တူ (စင်္ကာပူ)၊ ပေါလ်ပူရစ် ပထမ မွန်တားနား (စပိန်)၊ ဂါဘရီရဲ မန်ဒိုဇာ (ဘိုလီးဗီးယား)၊ ရာဗန် ကာဇီမော့ဗ် (အဇာဘိုင်ဂျန်)၊ ခရစ်စီမာ စတန်နီမီရော့ဗ် စတန်းချက်ဗ် (ဘူဂေးလ်ရီးယား)၊ အိုင်ဗန်ကတ်စကို (အာဂျင်တီးနား), ရိုမန် ဟိုးရော့ခ် (ချက်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ)၊ ဟမ်းဇာ ယူစက် နူရီ အယ်လ်ဟာဗတ် (လစ်ဗျား) တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref name=":3" /> နိုင်ငံတကာ ကလေးများ ပွဲတော် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အားကစား အစီအစဉ် သို့ ဗခ်တော ဇဗ်ကော့ဗ် (ပီဂျေအက်စ်စီ ဂဇ်ပရွန်း ဒါရိုက်တာ ဘုတ်အဖွဲ့ ၏ ဥက္ကဋ္ဌ )၊ ဖတ်မ ဆာမူရာ (ဖီဖာ အထွေထွေ အတွင်းရေးမှူး)၊ ဖီလစ်ပီ လီ ဖလော့ခ် (ဖီဖာ အထွေထွေ ကြော်ငြာကိစ္စဆိုင်ရာ ညွှန်ကြားရေးမှူး)၊ ဂီယူလီယို ဘပ်တစ်စတာ (ဘရာဇီး ဘောလုံးသမား)၊ အိုင်ဗန် ဇာမိုရာနို (ချီလီ တိုက်စစ်မှူး)၊ အလက်ဇန်းဒါး ခါဇာခေါ့ဗ် (ရုရှား ဘောလုံးသမား)နှင့် အခြားဧည့်သည်တော်များကို လူငယ်မျိုးဆက်သစ်တို့ အကြား အဓိက လူ့ကျင့်ဝတ်တန်ဖိုး မြှင်တင်ပေးလိုသော ရည်ရွယ်ချက် ဖြင့် ဖိတ်ကြားခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref name=":4">www.euronews.com/2017/07/06/football-brings-kids-together</ref> ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင်၊ စီမံကိန်းဆောင်ရွက်မှုသည် စိန့်ပီတာစ်ဘက် မြို့[40]တွင်ကျင်းပသည့် နောက်ဆုံးအခမ်းအနားသို့တက်ရောက်ခဲ့ကြသော နိုင်ငံပေါင်း၆၄နိုင်ငံမှ ၆၀၀,၀၀၀ဦးနှင့်အထက် လူများ၊ ကလေးငယ်ပေါင်း ၁,၀၀၀ကျော်နှင့် အရွယ်ရောက်ပြီးသူတို့အပေါ်စီမံကိန်းမှ အကျိုးသက်ရောက်မှု ရှိစေခဲ့သည်။<ref name=":4" /> === ၂၀၁၈ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === ၀၁၈ တွင် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အစီအစဉ်၏ ခြောက်ကြိမ်မြောက်ရာသီကို ဖေဖော်ဝါရီလ ၁၅ ရက်နေ့မှ ဇွန်လ ၁၅ ရက်နေ့အထိ ကျင်းပရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ပိတ်ပွဲအခမ်းအနားများကို ၂၀၁၈ ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလားပွဲ မတိုင်မီလေးတွင် မော်စကို၌ ကျင်းပခဲ့သည်။ အစီအစဉ်၌ ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများတွင် ကမ္ဘာပေါ်ရှိ နိုင်ငံနှင့် ဒေသပေါင်း ၂၁၁ ခုကို ကိုယ်စားပြုသော ဘောလုံးသမားများနှင့် ဂျာနယ်လစ်များ ပါဝင်ခဲ့သည်<ref>www.euronews.com/2018/02/16/football-for-friendship-sets-stage-for-2018-world-cup</ref>။ ၂၀၁၈ အတွက် အစီအစဉ် တရားဝင်စတင်ခြင်းကို ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲအတွက် မဲနှိုက်ရွေးချယ်ခြင်း တိုက်ရိုက်ထုတ်လွှင့်မှုဖြင့် ပြုလုပ်ခဲ့ကာ ရလဒ်အနေဖြင့် နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးအသင်း ၃၂ သင်း – ချစ်ကြည်ရေး အသင်းများ[53] – ကို ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ <ref>www.thedailystar.net/sports/football/time-defender-bangladesh-1543027</ref>။ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဆိုင်ရာ မစ်ရှင်တစ်ခုနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ကာ ၂၀၁၈ နိုင်ငံတကာ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အသင်းများကို ရှားပါးပြီး မျိုးပြုတ်မည့် အန္တရာယ်ရှိနေသည့် တိရစ္ဆာန်မျိုးစိတ်များ အမည်ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပေးခဲ့သည် - ချစ်ကြည်ရေး အစီအစဉ်အတွက် ၂၀၁၈ ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ၏ နိုင်ငံတကာ ချစ်ကြည်ရေး အသင်းများ{{columns-list|2| # အာဖရိကဆင် # [[ကိုမိုဒိုနဂါး]] # ကီပွန်ဂျီမျောက် # [[ကမ္ဘာလိပ်|ကုန်းလိပ်ကြီး]] # အဒ်ရာဂဇဲဆိတ် # [[သစ်ကျုတ်]] # [[ကြံ့]] # အိန်ဂျဲငါးမန်း # [[ဝင်ရိုးစွန်းဝက်ဝံ]] # လီမာမျောက် # မြောက်အမေရိက ဝက်ဝံကြီး # ဝေလငါးမန်း # မျောက်မောင်းမ # မြွေဟောက်ဘုရင် # [[ချင်ပန်ဇီမျောက်ဝံ]] # အိန္ဒိယမိချောင်း # အနောက်ပိုင်းဂေါ်ရီလာမျောက်ဝံ # အင်ပါရီရယ်သစ်တောက်ငှက် # တောဆိတ် # မျက်နှာဖြူမျောက် # [[ကွားလားကောင်|ဩစတြေးလျဝက်ဝံ]] # ဆီဘားရီးယန်းကျား # ဂရက်ဗီမြင်းကျား # အော်ရာဂူတန်လူဝံ # ဝက်ဝံကြီး # မန်ဂျဲလန်းနစ် ပင်ဂွင်း # ရော့သ်စ်ချိုင်းသစ်ကုလားအုတ် # ဟန့်ဘက်ခ်ဝေလငါး # အာဖရိကအမဲလိုက်ခွေး # [[ခြင်္သေ့]] # [[ရေမြင်း]] # ဂါလာပါဂေါ့စ်ဖျံ }} ထို့အတူ သဘာပတ်ဝန်းကျင်ဆိုင်ရာ မူဘောင်အတွင်းတွင်လည်း မျိုးပြုတ်မည့်အန္တရာယ်ရှိနေသော မျိုးစိတ်များကို ကယ်တင်နေသည့် အဖွဲ့အစည်းများအား ပံ့ပိုးပေးကြရန် ကမ္ဘာ့လူမှုအသိုင်းအဝိုင်းကို တိုက်တွန်းအားပေးနေသည့် Happy Buzz Day နိုင်ငံတကာ အစီအစဉ်ကိုလည်း ၂၀၁၈ မေလ ၃၀ ရက်နေ့တွင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ရုရှား၊ ယူအက်စ်အေ၊ နီပေါလ်နှင့် ဗြိတိန်<ref>www.chronicle.co.zw/russia-opportunity-for-zim-youngsters/</ref> ရှိ အမျိုးသားဥယျာဉ်များနှင့် ဘေးမဲ့တောများက အစီအစဉ်တွင် ပူးပေါင်းပါဝင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် မော်စကိုတွင် ပြုလုပ်သော ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ၏ အပြီးသတ်အစီအစဉ်များတွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများသည် ပတ်ဝန်းကျင်နှင့် ကိုက်ညီသည့် သဘာဝဓာတ်ငွေ့သုံး ဘတ်စ်ကားများဖြင့် သွားလာခဲ့ကြသည် <ref>www.africanews.com/2018/02/17/football-for-friendship-draw-held-ahead-of-the-2018-world-cup//</ref>။ ၂၀၁၈ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အစီအစဉ် တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသော နိုင်ငံများနှင့် ဒေသများ - {{columns-list|colwidth=15em| # ဩစတြေးလျ ဓနသဟာယနိုင်ငံ # ဩစတြီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # အဇာဘိုင်ဂျန်သမ္မတနိုင်ငံ # အယ်လ်ဂျီးရီးယား ပြည်သူ့ ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု ဗာဂျင် ကျွန်းစု # အမေရိကန် ဆမိုးအား # အန်ဂွီလာ # အင်တီဂွါနှင့် ဘာဘူဒါနိုင်ငံ # အီဂျစ် အာရပ် သမ္မတနိုင်ငံ # အာဂျင်တီးနားသမ္မတနိုင်ငံ # အာရုဘာ # ဘာဘေးဒိုးစ် # ဘလိဇ် # ဘာမြူဒါကျွန်းစု # ဗင်နီဇွဲလား ဘိုလီးဘားရီးယန်း သမ္မတနိုင်ငံ # ဘော့စနီးယားနှင့် ဟာဇီဂိုဗီနား # ဗြိတိန်ဗာဂျင် ကျွန်းစု # ဘာကီနာ ဖာဆို # လူဇင်ဘတ် ဂရန်းဒျုအုပ်ချုပ်ခံ နိုင်ငံ # ဟန်ဂေရီ # ဥရုဂွေး အရှေ့တိုင်း သမ္မတနိုင်ငံ # ဂါဘွန် သမ္မတနိုင်ငံ # ဂီနီသမ္မတနိုင်ငံ # ဂျီဘရော်လ်တာ # ဘရူနိုင်း ဒါရုဆလမ် # အစ္စရေးနိုင်ငံ # ကာတာနိုင်ငံ # ကူဝိတ်နိုင်ငံ # လစ်ဗျားပြည်နယ် # ပါလက်စတိုင်းပြည်နယ် # ဂရီနာဒါ # ဟယ်လင်နစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဂျော်ဂျီယာ # တီမောလက်စ်တေ ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ကွန်ဂို ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဆောင်တူမေးနှင့်ပရင်စီပီ ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဒီမိုကရက်တစ် ဆိုရှယ်လစ် သမ္မတ သီရိလင်္ကာနိုင်ငံ # ဒိုမီနီကန်သမ္မတ # ဂျော်ဒန် ဟတ်ရှီမိုက် ဘုရင့်နိုင်ငံ # အာဖဂန်နစ္စတန် အစ္စလာမ် သမ္မတနိုင်ငံ # အီရန် အစ္စလာမ် သမ္မတနိုင်ငံ # မောရီတေးနီးယား အစ္စလာမ် သမ္မတနိုင်ငံ # အီတလီသမ္မတနိုင်ငံ # ယီမင်သမ္မတနိုင်ငံ # ကေမန် ကျွန်းစု # ကနေဒါ # တရုတ် ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ # တရုတ်တိုင်ပေ (ထိုင်ဝမ်) # အန်ဒိုရာ မင်းသားအုပ်ချုပ်ခံ နိုင်ငံ # လီချင်စတိုင်း မင်းသားအုပ်ချုပ်ခံ နိုင်ငံ # ဂိုင်ယာနာ ဖက်စပ် သမ္မတနိုင်ငံ # ကိုရီးယား ဒီမိုကရက်တစ် ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ # ဘာရိန်း ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဘယ်လ်ဂျီယမ် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဘူတန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဒိန်းမတ်ဘုရင့်နိုင်ငံ # စပိန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ကမ္ဘောဒီးယား ဘုရင့်နိုင်ငံ # လီဆိုသို ဘုရင့်နိုင်ငံ # မော်ရိုကို ဘုရင့်နိုင်ငံ # နယ်သာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # နော်ဝေ ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဆော်ဒီအာရေးဗီးယား ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဆွာဇီလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ထိုင်း ဘုရင့်နိုင်ငံ # တွန်ဂါ ဘုရင့်နိုင်ငံ # ဆွီဒင် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ကာဂျစ်သမ္မတနိုင်ငံ # ခူရာကာအို # လာအို ပြည်သူ့ ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # လတ်ဗီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # လက်ဘနွန်သမ္မတနိုင်ငံ # လစ်သူယေးနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # မလေးရှား # မော်လ်ဒိုက်သမ္မတနိုင်ငံ # မက္ကဆီကိုပြည်ထောင်စု # လူမျိုးစုပေါင်းစုံ ဘိုလီးဗီးယားနိုင်ငံ # မွန်ဂိုးလီးယား # မောင့်စဲရက် # ဘင်္ဂလားဒေ့ရှ် ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ # လွတ်လပ်သော ပါပူအာနယူးဂီနီနိုင်ငံ # လွတ်လပ်သော ဆမိုးအားနိုင်ငံ # နယူးဇီလန် # နယူး ကယ်လီဒိုနီးယား # တန်ဇန်းနီးယား ပြည်ထောင်စု သမ္မတနိုင်ငံ # အာရပ်စော်ဘွားများပြည်ထောင်စု # ကွတ် ကျွန်းစု # တာခ့်စ်နှင့်ကေကစ်ကျွန်းစု # အယ်လ်ဘေးနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # အန်ဂိုလာသမ္မတနိုင်ငံ # အာမေနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # ဘီလာရုစ်သမ္မတနိုင်ငံ # ဘီနင်သမ္မတနိုင်ငံ # ဘူဂေးရီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # ဘော့စ်ဝါနာသမ္မတနိုင်ငံ # ဘူရွန်ဒီသမ္မတနိုင်ငံ # ဗာနူအာတူသမ္မတနိုင်ငံ # ဟေတီသမ္မတနိုင်ငံ # ဂမ်ဘီရာသမ္မတနိုင်ငံ # ဂါနာသမ္မတနိုင်ငံ # ဂွာတီမာလာသမ္မတနိုင်ငံ # ဂီနီ-ဘီစ်စာဥသမ္မတနိုင်ငံ # ဟွန်ဒူးရပ်စ်သမ္မတနိုင်ငံ # ဂျီဘူတီသမ္မတနိုင်ငံ # ဇမ်ဘီယာသမ္မတနိုင်ငံ # ဇင်ဘာဘွေသမ္မတနိုင်ငံ # အိန္ဒိယသမ္မတနိုင်ငံ # အင်ဒိုနီးရှားသမ္မတနိုင်ငံ # အီရတ်သမ္မတနိုင်ငံ # အိုင်ယာလန်သမ္မနိုင်ငံ # အိုက်စလန်သမ္မတနိုင်ငံ # ကာဇက်စတန်သမ္မတနိုင်ငံ # ကင်ညာသမ္မတနိုင်ငံ # ဆိုက်ပရပ်စ်သမ္မတနိုင်ငံ # ကိုလံဘီယာသမ္မတနိုင်ငံ # ကွန်ဂို သမ္မတနိုင်ငံ # ကိုရီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # ကိုဆိုဗိုသမ္မတနိုင်ငံ # ကို့စ်တာရီကာသမ္မတနိုင်ငံ # အိုင်ဗရီကို့စ်သမ္မတနိုင်ငံ # ကျူးဘားသမ္မတနိုင်ငံ # လိုင်ဘေးရီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # မော်ရေရှားစ်သမ္မတနိုင်ငံ # မာဒါဂတ်စကာသမ္မတနိုင်ငံ # မက်ဆီဒိုးနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # မာလာဝီသမ္မတနိုင်ငံ # မာလီသမ္မတနိုင်ငံ # မောလ်တာသမ္မတနိုင်ငံ # မိုဇမ်ဘစ်သမ္မတနိုင်ငံ # မောလ်ဒိုဗာသမ္မတနိုင်ငံ # နမီးဘီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # နိုင်ဂျာသမ္မတနိုင်ငံ # နီကာရာဂွါသမ္မတနိုင်ငံ # ကာဘိုဗာဒ သမ္မတနိုင်ငံ # ပါကစ္စတန် အစ္စလာမ် သမ္မတနိုင်ငံ # ပနားမားသမ္မတနိုင်ငံ # ပါရာဂွေးသမ္မတနိုင်ငံ # ပီရူးသမ္မတနိုင်ငံ # ပိုလန်သမ္မတနိုင်ငံ # ပေါ်တူဂီသမ္မတနိုင်ငံ # ရဝန်ဒါသမ္မတနိုင်ငံ # ဆန်မာရီနိုသမ္မတနိုင်ငံ # ဆေးရှဲလ်သမ္မတနိုင်ငံ # ဆီနီဂေါသမ္မတနိုင်ငံ # ဆားဘီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # စင်္ကာပူသမ္မတနိုင်ငံ # စလိုဗေးနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # ပြည်ထောင်စု သမ္မတ မြန်မာနိုင်ငံ # ဆူဒန်သမ္မတနိုင်ငံ # ဆူရာနမ်သမ္မတနိုင်ငံ # ဆီအဲရာ လီအိုနီသမ္မတနိုင်ငံ # တာဂျီကစ္စတန်သမ္မတနိုင်ငံ # ထရီနီဒတ်နှင့်တိုဘာဂိုသမ္မတနိုင်ငံ # တာ့ခ်မန်နစ္စတန်သမ္မတနိုင်ငံ # ယူဂန်ဒါသမ္မတနိုင်ငံ # ဥဇဘက်ကစ္စတန်သမ္မတနိုင်ငံ # ဖီဂျီသမ္မတနိုင်ငံ # ဖိလစ်ပိုင်သမ္မတနိုင်ငံ # ခရိုအေးရှားသမ္မတနိုင်ငံ # ချဒ်သမ္မတနိုင်ငံ # မွန်တီနိဂရိုး # ချီလီသမ္မတနိုင်ငံ # အီကွေဒေါ သမ္မတနိုင်ငံ # အီကွေတိုးရီးယဲ ဂီနီ သမ္မတနိုင်ငံ # အယ်လ်ဆာဗေးဒိုးသမ္မတနိုင်ငံ # တောင်ဆူဒန်သမ္မတနိုင်ငံ # ကင်မရွန်းသမ္မတနိုင်ငံ # ရုရှား ဖက်ဒရေးရှင်း # ရိုမေးနီးယား # အထူးအုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ ဟောင်ကောင် တရုတ် ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ # ပွာတိုရီကို၏ လွပ်လပ်သော တွဲဖက်ပြည်နယ် # မြောက်အိုင်ယာလန် # စိန့်ဗင့်ဆင့်နှင့် သည်ဂရဲနာဒင်းစ် # စိန့်လူစီအာ # ဆီးရီးယား အာရပ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဆလိုဗက်ကီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # ဘဟားမား ဓနသဟာယနိုင်ငံ # ဒိုမီနီကာ ဓနသဟာယနိုင်ငံ # ဂရိတ်ဗြိတိန်နှင့် မြောက်အိုင်ယာလန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # ယူနိုက်တက်စတိတ် # ဆော်လမွန်ကျွန်းစု # ဗီယက်နမ် ဆိုရှယ်လစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ကိုမိုရိုစ်ပြည်ထောင်စု # အထူးအုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ မကာအို တရုတ် ပြည်သူ့ သမ္မတနိုင်ငံ # အိုမန် ဘုရင့်နိုင်ငံ # တီဟက်တီ # ဂူအမ် နယ်မြေဂူအမ် နယ်မြေ # တိုဂိုသမ္မတနိုင်ငံ # တူနီးရှားသမ္မတနိုင်ငံ # တူရကီသမ္မတနိုင်ငံ # ယူကရိန်း # ဝေးလ်စ် # ဖာရိုး ကျွန်းစုများ # နီပေါ ဖက်ဒရယ် ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # အီသီယိုးပီးယား ဖက်ဒရယ် ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဘရာဇီး ဖက်ဒရယ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဂျာမနီ ဖက်ဒရယ် သမ္မတနိုင်ငံ # နိုင်ဂျီးရီးယား ဖက်ဒရယ် သမ္မတနိုင်ငံ # ဆိုမာလီယာ ဖက်ဒရယ် သမ္မတနိုင်ငံ # စိန့်ကစ်နှင့်နီဗီစ် ဖက်ဒရေးရှင်း # ဖင်လန်သမ္မတနိုင်ငံ # ပြင်သစ်သမ္မတနိုင်ငံ # ဗဟိုအာဖရိကသမ္မတ # ချက်သမ္မတ # ဆွစ်ဇာလန် ကွန်ဖက်ဒရေးရှင်း # စကော့တလန် # အီရီတရီအာ # အက်စတိုးနီးယားသမ္မတနိုင်ငံ # တောင်အာဖရိကသမ္မတနိုင်ငံ # ဂျမေကာ # ဂျပန် }}၂၀၁၈ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံရှစ်တွင် နိုင်ငံတကာ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးအသင်း ၃၂ ပါဝင်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ကြသည်။ အစီအစဉ်၏ သမိုင်းကြောင်းတလျှောက်တွင် ပထမဆုံး အကြိမ်အဖြစ် ဗိုလ်လုပွဲတွင် လူငယ်အစီအစဉ် တင်ဆက်သူအဖြစ် ဆီးရီးယားမှ Yazan Taha<ref>https://www.sovsport.ru/others/lifestyle/articles/1059219-shikarnyj-futbol-krepkaja-druzhba</ref> နှင့် လူငယ်ဒိုင်လူကြီးအဖြစ် ရုရှားမှ Bogdan Batalin<ref>https://www.sovsport.ru/others/lifestyle/articles/1058343-ih-podruzhil-futbol</ref> တို့က ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသည်။ ၂၀၁၈ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံရှစ်တွင် အနိုင်ရရှိသော အသင်းမှာ "ချင်ပန်ဇီများ" ဖြစ်ပြီး ဒိုမီနီကာ၊ စိန့်ကစ်နှင့်နီဗစ်၊ မာလာဝီ၊ ကိုလံဘီယာ၊ ဘီနင်နှင့် ကွန်ဂို ဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံတို့မှ လူငယ်ကစားသမားများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ရုရှားနိုင်ငံ ဆရန့်စ်ခ်မြို့မှ ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူ လူငယ်ဖြစ်သည့် Vladislav Poliakov<ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/news/yunyy-trener-iz-rossii-stal-chempionom-mira-po-futbolu-dlya-druzhby-1420530/</ref> မှ အသင်းကို နည်းပြခဲ့သည်။ ခြောက်ကြိမ်မြောက်ရာသီ အစီအစဉ်တွင် နောက်ဆုံးပြုလုပ်သည့် အစီအစဉ်မှာ ၂၀၁၉ နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲဖိုရမ်ဖြစ်ပြီး ယင်းကို ဇွန်လ ၁၃ ရက်နေ့တွင် Centre for Oceanography and Marine Biology "Moskvarium" တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ ယင်းအစီအစဉ်ကို Viktor Zubkov (Gazprom ကုမ္ပဏီ၏ ဒါရိုက်တာများအဖွဲ့ ဥက္ကဋ္ဌ)၊ Olga Golodets (ရုရှားအစိုးရ ဖက်ဒရေးရှင်း၏ ဒုဥက္ကဋ္ဌ)၊ Iker Casillas (စပိန်ဘောလုံးသမား၊ လက်ရွေးစင်အသင်း ခေါင်းဆောင်ဟောင်း)၊ Aleksandr Kerzhakov (ရုရှားဘောလုံးသမား၊ ရုရှားလူငယ် ဘောလုံးအသင်း၏ နည်းပြ) တို့အပြင် ကမ္ဘာတဝှမ်းရှိ သံရုံးပေါင်း ၅၄ ခုမှ ကိုယ်စားလှယ်များနှင့် အခြားဧည့်သည်များ တက်ရောက်ခဲ့ကြသည် <ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/reviews/more-schastya-druzhby-i-futbola-1428124/</ref>။   ဖိုရမ်တွင် ခြောက်ကြိမ်မြောက်ရာသီအတွက် အောက်ပါကစားသမားများအား အကောင်းဆုံး လူငယ်ကစားသမားများအဖြစ် ဆုပေးခဲ့ကြသည် - ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ် သမ္မတနိုင်ငံမှ Deo Kalenga Mwenze (အကောင်းဆုံးရှေ့တန်း)၊ ဘီနင်မှ Yamiru Ouru (အကောင်းဆုံး အလယ်တန်း)၊ ဝေးလ်မှ Ivan Volynkin (အကောင်းဆုံး ဂိုးသမား) နှင့် ဘရာဇီးလ်မှ Gustavo Cintra Rocha (အကောင်းဆုံးကစားသမား)<ref name=":9">https://www.sovsport.ru/others/lifestyle/articles/1059219-shikarnyj-futbol-krepkaja-druzhba</ref>]။ အာရူဘာနိုင်ငံမှ Sakali Ascension  သည် ၂၀၁၈ ချစ်ကြည်ရေး၏ ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အစီအစဉ်၏ အကောင်းဆုံး ဂျာနယ်လစ်ဖြစ်လာခဲ့သည်။ သူမသည် သမုဒ္ဒရာပိုင်းဒေသမှ လူငယ်များအား သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ကို ပိုမိုသတိထားမိလာစေရန် အားပေးတိုက်တွန်းသော ဘလော့ဂ်တစ်ခုကို ဦးစီးဆောင်ရွက်ပါသည် <ref name=":9" />။ ဖိုရမ်တွင် ပြီးခဲ့သော ရာသီတွင် ပါဝင်ခဲ့သူဖြစ်သည့် အိန္ဒိယနိုင်ငံမှ Ananya Kamboj <ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/reviews/more-schastya-druzhby-i-futbola-1428124/</ref>၏ စာအုပ်ပြသခြင်းနှင့် လက်မှတ်ထိုးပေးခြင်း အစီအစဉ်ကိုလည်း ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ Ananya သည် ငါးကြိမ်မြောက် ကျင်းပသည့် ၂၀၁၇ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲပြီးနောက် "My journey from Mohali to St. Petersburg" စာအုပ်ကို ရေးသားခဲ့ပြီး လူငယ်ဂျာနယ်လစ်တစ်ဦးအဖြစ် သူမ၏ အတွေ့အကြုံကို ရေးသားဖော်ပြခဲ့သည်။ ယင်းစာအုပ်တွင် ကမ္ဘာကြီးကို ပိုမိုကောင်းမွန်စေရန် ပြောင်းလဲရာတွင် အကူအညီဖြစ်စေသည့် အစီအစဉ်၏ တန်ဖိုးကိုးခု အကြောင်းကိုလည်း ရေးသားခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ဖိုရမ်ပြီးနောက် ဇွန်လ ၁၄ ရက်နေ့တွင် လူငယ်ကစားသမားများနှင့် ဂျာနယ်လစ်များသည် ရုရှားနိုင်ငံရှိ ၂၀၁၈ ဖီဖာကမ္ဘာ့ဖလားပွဲ ဖွင့်ပွဲအခမ်းအနားတွင် ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ "Luzhniki" အားကစားကွင်းအတွင်း၌ ကလေးများသည် ယင်းနှစ်အတွက် အစီအစဉ်တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ခဲ့ကြသော နိုင်ငံနှင့် ဒေသပေါင်း ၂၁၁ ခု၏ အလံများကို ကြီးကျယ်ခမ်းနားစွာ မြှောက်ခဲ့ကြသည်<ref>https://rsport.ria.ru/russia2018_news/20180615/1138055010.html</ref>။ ယင်းနောက်တွင် ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ၌ ပါဝင်ဆောင်ရွက်ကြသော လူငယ်များသည် အဖွင့်ပွဲစဉ်ဖြစ်သည့် ရုရှားနှင့် ဆော်ဒီအာရေဗျအသင်း ပွဲစဉ်ကို ကြည့်ရှုခဲ့ကြသည်။ ရုရှားဖက်ဒရေးရှင်း၏ သမ္မတဖြစ်သူ Vladimir Putin က ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲမှ ရုရှားလူမျိုး လူငယ်သံတမန်ဖြစ်သူ Albert Zinnatov ကို အဖွင့်ပွဲစဉ်အား အတူကြည့်ရှုရန် သူ၏အထူးသီးသန့် ပွဲကြည့်စင်နေရာသို့ ဖိတ်ခေါ်ခဲ့သည်။ ယင်းနေရာတွင် လူငယ်သည်ကမ္ဘာ့ဖလား ချန်ပီယံရှစ်မှ ဘရာဇီးလ်လူမျိုး Roberto Caros နှင့် စပိန်လူမျိုး Iker Casillas တို့ကို စကားပြောဆိုရန် အခွင့်အရေး ရခဲ့သည်<ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/news/yunyy-posol-futbola-dlya-druzhby-vstretilsya-s-prezidentom-rossii-na-chm-v-moskve-1424143/</ref>။ မော်စကိုတွင်ကျင်းပသော ပိတ်ပွဲအစီအစဉ်များတွင် နိုင်ငံနှင့်ဒေသပေါင်း ၂၁၁ ခုမှ ကလေးများနှင့် လူငယ်ပေါင်း ၁၅၀၀ ကျော်တို့သည် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများ ဖြစ်လာကြသည်။ အရေအတွက်အားဖြင့် လူငယ်ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူပေါင်း ၂၄၀,၀၀၀ ကျော်<ref>https://www.sport-express.ru/football/gazprom/news/uchastniki-futbola-dlya-druzhby-iz-211-stran-i-regionov-pribyli-v-moskvu-1419265/</ref> ပါဝင်သော အစီအစဉ်ပေါင်း ၁၈၀ ကျော်ကို ခြောက်ကြိမ်မြောက်ရာသီအတွင်း ကမ္ဘာ့ဒေသအမျိုးမျိုးတွင် ကျင်းပခဲ့ကြသည်။   ၂၀၁၈ တွင် အာဏာပိုင်များ၏ ကိုယ်စားလှယ်များသည် ပရောဂျက်ကို ပံ့ပိုးခဲ့ကြသည်။ Olga Golodets က နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များဖိုရမ်တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများနှင့် ဧည့်သည်များအတွက် ရုရှားသမ္မတ Vladimir Putin ၏ ကြိုဆိုရေးမိန့်ခွန်းကို ဖတ်ပြခဲ့သည်<ref>{{Cite web |url=https://regnum.ru/news/2430800.html |title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ |access-date=11 April 2019 |archive-date=10 April 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190410114206/https://regnum.ru/news/2430800.html |url-status=dead }}</ref>။ ရုရှားအစိုးရ ဖက်ဒရေးရှင်း၏ ဥက္ကဋ္ဌဖြစ်သူ Dmitry Medvedev က ခြောက်ကြိမ်မြောက် နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ ဖိုရမ်တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများနှင့် ဧည့်သည်များအတွက် ကြိုဆိုရေး တယ်လီဂရမ်တစ်ခုကို ပေးပို့ခဲ့သည်<ref>http://government.ru/gov/persons/183/telegrams/32841/</ref>။ မေလ ၂၃ ရက် မိန့်ခွန်းပြောကြားရာတွင် ရုရှား MIA ၏ တရားဝင် ကိုယ်စားလှယ်ဖြစ်သူ Maria Zakharova ယနေ့ခေတ်တွင် ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အစီအစဉ်ကို ရုရှားနိုင်ငံ၏ နိုင်ငံတကာ လူမှုရေး မူဝါဒ၏ လူသားအကျိုးဆောင်ရွက်သော အရေးကြီးသည့် အစိတ်အပိုင်းအဖြစ် ကမ္ဘာ့လူမှုအသိုင်းအဝိုင်းက အသိအမှတ်ပြုကြကြောင်း ထည့်သွင်းပြောကြားခဲ့သည်<ref>http://www.mid.ru/ru/press_service/spokesman/briefings/-/asset_publisher/D2wHaWMCU6Od/content/id/3231268##23</ref>။ ဖီဖာသည် အစဉ်အလာအရ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပြိုင်ပွဲ အစီအစဉ်ကို ပံ့ပိုးပေးခဲ့သည်။ အပြီးသတ် အစီအစဉ်များအား မော်စကို၌ ကျင်းပရာတွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများနှင့် ဧည့်သည်များအဖြစ် လူပေါင်း ၅၀၀၀ ကျော်ရှိခဲ့ကြောင်း အဖွဲ့အစည်းက သတိပြုမိခဲ့သည်<ref>https://www.fifa.com/worldcup/news/211-countries-and-regions-took-part-in-the-sixth-international-football-for-frie</ref>။ === ၂၀၁၉ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး အစီအစဉ် === သတ္တမအကြိမ်မြောက် ရာသီ ဖြစ်တဲ့ နိုင်ငံတကာကလေးသူငယ်များဆိုင်ရာ “ Football For Friendship” လူမှုရေးအစီအစဉ်အား၂၀၁၉ ခုနှစ် မတ်လ ၁၈ ရက်နေ့တွင် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး<ref>{{cite web |last1=Leader |first1=Daily Times |title=Markets |url=http://business.dailytimesleader.com/dailytimesleader/news/read/37931695/Football_for_Friendship_Launches_Its_Seventh_Season |website=Daily Times Leader |access-date=၈ ဇူလိုင် ၂၀၂၂ |language=en |archive-date=19 December 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201219130508/http://business.dailytimesleader.com/dailytimesleader/news/read/37931695/Football_for_Friendship_Launches_Its_Seventh_Season |url-status=dead }}</ref> အစီအစဉ်၏နောက်ဆုံးလှုပ်ရှား ဆောင်ရွက်မှုများကို မေလ ၂၈ ရက်မှ ဇွန်လ ၂ ရက်အထိတိုင်အောင် မက်ဒရစ်မြို့၌ ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{cite web |last1=Friendship |first1=Gazprom Football for |title=International Day of Football and Friendship Celebrated in Schools Around the World |url=https://www.prnewswire.com/news-releases/international-day-of-football-and-friendship-celebrated-in-schools-around-the-world-300837486.html |website=www.prnewswire.com |access-date=၈ ဇူလိုင် ၂၀၂၂ |language=en}}</ref> အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာဘောလုံးအားကစားနှင့်ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို ဧပြီ လ ၂၅ ရက် နေ့ တွင်ဥရောပ၊ အာရှ၊ အာဖရိက၊ မြောက်အမေရိကနှင့်တောင်အမေရိကနိုင်ငံပေါင်း ၅၀ ကျော်တွင်ကျင်းပခဲ့သည်။ ရုရှားနိုင်ငံ ဘောလုံးအဖွဲ့ချုပ် (RFS) သည်လည်း အခမ်းအနားသို့တက်ရောက်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |last1=International |first1=Sputnik |title=Int'l Football for Friendship Forum 2019 in Madrid Unites Kids' Soccer Experts From Around the Globe |url=https://sputniknews.com/agency_news/201905301075473427-forum-children-experts/ |website=Sputnik International |language=en |date=NaN}}</ref> PJSC (Gazprom) ၏ ကလေးသူငယ်များဆိုင်ရာလူမူရေးအစီအစဉ်ဖြစ်တဲ့ “ Football For Friendship ” ၂၀၁၉ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ ဖိုရမ်အား မေလ ၃၀ရက်နေ့၌ မက်ဒရစ်မြို့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ ဖိုရမ်သည် ကမ္ဘာတဝှမ်းမှ ကျွမ်းကျင်သူများဖြစ်သောဘောလုံးနည်းပြများ၊ ကလေးအသင်းများမှဆရာဝန်များ၊ နာမည်ကျော်သရုပ်ဆောင်များ၊ နိုင်ငံတကာမီဒီယာများမှသတင်းထောက်များ၊ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာဘောလုံးအကယ်ဒမီများနှင့်အဖွဲ့ချုပ်များ မှကိုယ်စားလှယ်များပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Most nationalities in a football (soccer) training session |url=https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/547224-most-nationalities-in-a-football-soccer-training-session |website=Guinness World Records |language=en-gb}}</ref> ကမ္ဘာပေါ်ရှိတိုင်းရင်းသားပေါင်းစုံအများဆုံးပါဝင်တဲ့ ဘောလုံးလေ့ကျင့်မှုကို မေလ ၃၁ ရက်နေ့တွင်မက်ဒရစ်မြို့၌  ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ “Football For Friendship” လေ့ကျင့်မှု၏ရလဒ်အနေဖြင့်  GUINNESS WORLD RECORDS တရားဝင် ဂင်းနစ်ကမ္ဘာ့စံချိန်ဝင်အသိအမှတ်ပြုလက်မှတ်အားရခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Football for Friendship Young Participants became correspondents of international media |url=https://tass.com/press-releases/1061492 |website=TASS}}</ref> သတ္တမကြိမ်မြောက်ရာသီအတွင်း ဥရောပ၊ အာဖရိက၊ အာရှ၊ မြောက်အမေရိကနှင့် တောင်အမေရိကမှလူငယ်စာနယ်ဇင်းသမား ၃၂ ဦးသည်အစီအစဉ်၏ နောက်ဆုံးလှုပ်ရှားမှူများကို ကူညီပံ့ပိုးပေးခဲ့ပြီး အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာနှင့်အမျိုးသားသတင်းမီဒီယာတို့ပူးပေါင်းပြင်ဆင်မှု ကိစ္စရပ်များတွင်ပါဝင်ခဲ့သော  “Football For Friendship” အစီအစဉ်၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာကလေးများစာနယ်ဇင်းစင်တာကိုဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။<ref>{{cite web |last1=International |first1=Sputnik |title=End of Seventh Season of Football for Friendship in Madrid |url=https://sputniknews.com/society/201906041075611076-football-friendship-madrid/ |website=Sputnik International |language=en |date=NaN}}</ref> သတ္တမကြိမ်မြောက်ရာသီ ၌ ပါဝင်သူများသည် လီဗာပူးလ်ဘောလုံးအသင်းအား လူမှုရေးစံပြအသင်းအဖြစ်(Nine Values Cup)(အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာကလေးသူငယ်များဆိုင်ရာလူမှုရေးအစီအစဉ်၏ -Football for Friendship ဆု)ကိုပေးအပ်ခဲ့သည်။ ဇွန်လ (၁) ရက်နေ့မှာတော့ မက်ဒရစ်မြို့ ယူအီးအက်ဖ်အေ ဘောလုံးကွင်းမှာ သတ္တမမြောက် ရာသီရဲ့ အထွတ်အထိပ်ဖြစ်သော  “Football For Friendship” အစီအစဉ် ၏ ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံ ဖိုင်နယ်ပွဲစဉ်ကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ရလဒ်များအရ (Antiguan Racer ) အသင်းသည် (Tasmania Devils) အသင်းနှင့် ပုံမှန်ချိန်တွင် (1-1) ရလဒ်ဖြင့်သရေကစားခဲ့ပြီး ပင်နယ်တီရလဒ်ဖြင့် အနိုင်ရရှိခဲ့ကာ ပထမဆုအား ဆွတ်ခူးသွားခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Football for Friendship: Sportsmanship has no borders |url=https://www.euronews.com/2019/06/06/football-for-friendship-international-programme-for-kids-breaks-records-and-teaches-sports |website=euronews |language=en |date=6 ဇွန် 2019}}</ref> === ချစ်ကြည်ရေးအတွက်ဘောလုံး - ၂၀၂၀ === ၂၀၂၀ ခုနှစ်တွင် နိုဝင်ဘာ ၂၇ ရက် မှ ဒီဇင်ဘာ ၉ ရက်နေ့အထိအွန်လိုင်းဒီဂျစ်တယ် ပလက်ဖောင်းပေါ်တွင် “Football For Friendship” ရှစ်ကြိမ် မြောက်ရာသီ၏ နောက်ဆုံးလုပ်ရှား ဆောင်ရွက်ချက်များကိုအွန်လိုင်း ပုံစံဖြင့် ကျင်းပခဲ့သည်။  ကမ္ဘာ့နိုင်ငံပေါင်း (၁၀၀) ကျော်မှတက်ရောက်သူပေါင်း (၁၀၀၀၀)ကျော်တို့သည် အဓိကလှုပ်ရှား ဆောင်ရွက်မှုများတွင်ပူးပေါင်းပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ အစီအစဉ်၏ ရှစ်ကြိမ်မြောက်အတွက် multiplayer အွန်လိုင်းသရုပ်ပြဘောလုံးကစားနည်း (Football for Friendship World)ကိုတီထွင်ခဲ့သည်၊ ထိုကစားနည်းပေါ် အခြေခံ၍ ၂၀၂၀  “Football For Friendship” ကမ္ဘာ့အွန်လိုင်းချန်ပီယံပွဲ ကိုကျင်းပခဲ့သည်။ ထိုကစားနည်းကို ၂၀၂၀၊ ဒီဇင်ဘာ ၁၀ ရက်နေ့ ကမ္ဘာ့ဘောလုံးအားကစားနေ့ မှစ၍ ကမ္ဘာတစ်လွှား မှ ဒေါင်းလုတ် ရယူနိုင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |last1=International |first1=Sputnik |title=New 'Football for Friendship' Simulator to be Released on World Football Day |url=https://sputniknews.com/sport/202011051081023614-new-football-simulator-football-for-friendship-to-be-released-on-world-football-day/ |website=Sputnik International |language=en |date=NaN}}</ref> အသုံးပြုသူများသည်  “Football For Friendship” အစီစဉ်၏ အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ထားရှိသောစည်းမျဉ်းစည်းကမ်းများအရ ပွဲများတွင်ပါဝင်ရန်အခွင့်အရေးရှိသည်။  ထိုကစားပွဲ သည် ချစ်ကြည်ရင်းနှီးမှု၊ ငြိမ်းချမ်းရေးနှင့်တန်းတူညီမျှမှု စသည့် အစီအစဉ်၏အဓိကစံထား သောအရာများကိုအခြေခံထားသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.gazprom-football.com/football-for-friendship/news/newsdetail/children-from-over-100-countries-to-take-part-in-football-for-friendship-eworld-championship/|title=မော်ကွန်းတင်ပြီးမိတ္တူ|access-date=19 December 2020|archive-date=18 October 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20211018020211/https://www.gazprom-football.com/football-for-friendship/news/newsdetail/children-from-over-100-countries-to-take-part-in-football-for-friendship-eworld-championship/}}</ref> “Football For Friendship” ၂၀၂၀ ၏ ကမ္ဘာ့ အွန်လိုင်းချန်ပီယံပွဲ၏ Open Draw အခမ်းအနားအား နိုဝင်ဘာ ၂၇ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Football for Friendship |url=https://footballforfriendship.com/friendship-camp/ |website=footballforfriendship.com |access-date=19 December 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210115083647/https://footballforfriendship.com/friendship-camp/ |archive-date=15 January 2021 |url-status=dead}}</ref> နိုဝင်ဘာ ၂၈ မှ ဒီဇင်ဘာ ၆ ရက်နေ့အထိတိုင်အောင် ကလေးများအတွက်လူသားချင်း စာနာထောက်ထားမှုနှင့်အားကစားပညာရေးဆိုင်ရာအစီအစဉ်များပါသောနိုင်ငံတကာ အွန်လိုင်းချစ်ကြည်ရင်းနှီးမှုစခန်းအားဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Football for Friendship |url=https://footballforfriendship.com/experts-forum/live-broadcast/ |website=footballforfriendship.com |access-date=19 December 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201204005358/https://footballforfriendship.com/experts-forum/live-broadcast/ |archive-date=4 December 2020 |url-status=dead}}</ref> နိုဝင်ဘာ ၃၀ရက်နေ့ မှဒီဇင်ဘာ ၄ ရက်နေ့အထိတိုင်အောင် အပြည်ပြည်ဆိုင်ရာအွန်လိုင်းဖိုရမ်  “Football For Friendship” ၏ အစီအစဉ်များကိုကျင်းပခဲ့ပြီးကလေးသူငယ်ဆိုင်ရာအားကစားဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုအတွက်စီမံကိန်းများကိုတင်ပြခဲ့သည်။  ကျွမ်းကျင်သော ဂျူရီအဖွဲ့သည် “Football For Friendship”  နိုင်ငံတကာဆု ရရှိရန်အတွက် လျှောက်ထားသောစီမံကိန်းများ၏တင်ဆက်မှု အသီးသီးအား အရေးထားခဲ့သည်။ ဒီဇင်ဘာ ၇ ရက်မှ ၈ ရက်နေ့အထိ(Football For Friendship) အွန်လိုင်းပြိုင်ပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။  ဒီနှစ်ချန်ပီယံလုပွဲကို ဒီဂျစ်တယ်အွန်လိုင်းပလက်ဖောင်းပေါ်မှာကျင်းပခဲ့ပြီး၊အဲ့ဒီအတွက်လည်း multiplayer သရုပ်ပြဘောလုံးကစားနည်း (Football for Friendship) အားအထူးပြုလုပ်ပေးခဲ့သည်။ ဒီဇင်ဘာ ၉ ရက်နေ့မှာ “Football For Friendship” ဂရန်းဖိုင်နယ် ပွဲစဉ်အား ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{cite web |title=Football for Friendship |url=https://footballforfriendship.com/world-championship/ |website=footballforfriendship.com |access-date=19 December 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210114171143/https://footballforfriendship.com/world-championship/ |archive-date=14 January 2021 |url-status=dead}}</ref> အစီအစဉ်၏ ရှစ်ကြိမ်မြောက် ရာသီကာလအတွင်းကုလသမဂ္ဂ၏ ၇၅ နှစ်မြောက် နှစ်ပတ်လည်အထိမ်းအမှတ် အဖြစ် နိုင်ငံအသီးသီးမှကလေးများအတွက် ဝက်ဘ် ကွန်ဖရင့် များပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အစီအစဉ်၏ ရှစ်ကြိမ်မြောက်ရာသီအတွင်း ကမ္ဘာတစ်ဝန်းမှာရှိတဲ့ ဖရီးစတိုင်ဘောလုံးကစားသမားများနှင့်ပူးပေါင်း၍ အပတ်စဉ် “ငါရှိနေတဲ့ အားကစားရုံ ” အမည်ဖြင့်  ရှိုးပွဲ အားထုတ်လွှင့်ပြသခဲ့သည်။ ဖရီးစတိုင်ကစားသမားသည် အစီစဉ်မှာပါဝင်တဲ့ငယ်ရွယ်သောသံတမန်လေးများအား တင်ဆက်မှုတိုင်းတွင်ကစားနည်းလှည့်ကွက်များသင်ကြားပေးခဲ့သည်။ တင်ဆက်မှု အပိုင်းတစ်ခုစီ၏ အဆုံးတွင် ကစားကွက်အကောင်းဆုံးစွမ်းဆောင်ရည်အတွက် ပြိုင်ပွဲတစ်ခု အားသတ်မှတ်ကြေညာပေးခဲ့သည်။ ရှိုးပွဲသည် ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာ အွန်လိုင်းမာစတာ အတန်းဖြင့်အဆုံးသတ်ခဲ့ပြီး ထိုအစီစဉ်သည်လည်း ဒုတိယအကြိမ်အဖြစ် ၂၀၂၀ခုနှစ်၊ ဒီဇင်ဘာ ၆ ရက်နေ့တွင် ပါဝင်သူဦးရေ အရေအတွက်မှာ ဂင်းနစ်ကမ္ဘာ့စံချိန်မှတ်တမ်းဝင်ဖြစ်လာခဲ့သည် ။ “Football For Friendship” အစီစဉ်မှ လူငယ်သတင်းသမား တွေရဲ့အပတ်စဉ်ထုတ်လွှင့်ပြသတဲ့ ရှိုးပွဲမှာကလေးများသည်ကမ္ဘာတစ်ဝန်းလုံးရှိ အပြုသဘောဆောင်သောသတင်းများကိုပရိသတ်များအား မျှဝေချပြခဲ့သည်။ == ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ကမ္ဘာ့ချန်ပီယံရှစ်ဘောလုံးပွဲ == နိုင်ငံတကာကလေးသူငယ်ဘောလုံး တံခွန်စိုက်ပြိုင်ပွဲကို ချစ်ကြည်ရေးအစီအစဉ်အတွက် ဘောလုံး၏ ကန့်သတ်ဘောင်အတွင်း ကျင်းပခဲ့သည် ။ ချန်ပီယံရှစ်တွင်ပါဝင်ဆင်နွှဲသည့် အသင်းများ – ချစ်ကြည်ရေးအသင်းများ – ကို အဖွဲ့မဲနှိုက်ရာတွင် ဖွဲ့စည်းခဲ့သည် <ref>www.chelseafc.com/news/latest-news/2014/06/chelsea-foundation-plays-part-in-children-forum.html</ref>။ ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘေားလုံးစည်းကမ်းများအပေါ် အခြေခံပြီး အသင်းများကို ဖွဲ့စည်းသည် - တစ်သင်းထဲတွင် နိုင်ငံသား၊ လိင်နှင့် ကိုယ်ခန္ဓာပိုင်းဆိုင်ရာ စွမ်းဆောင်ရည်များ ကွဲပြားသည့် အားကစားသမားများ<ref>rbth.com/sport/2014/05/30/big_soccer_for_little_europeans_37075.html</ref>။ == ချစ်ကြည်ရေးအတွက် နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ၏ ဖိုရမ် ဘောလုံးပွဲ == ချစ်ကြည်ရေးအတွက် နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ၏ ဖိုရမ် နှစ်ပတ်လည် ဘောလုံးပွဲတွင်၊ ပရောဂျက်အတွက် ငယ်ရွယ်သော ပါဝင်ဆင်နွှဲသူများနှင့် လူကြီးများက ကမ္ဘာတစ်ဝန်းလုံးတွင် အစီအစဉ်တန်ဖိုး မြှင့်တင်ခြင်းနှင့် တိုးတက်ရေးကို ဆွေးနွေးကြသည်။ ဖိုရမ်အတွင်း ကလေးသူငယ်များသည် အခြားနိုင်ငံများမှ ရွယ်တူကစားသမားများ၊ နာမည်ကျော်ဘောလုံးကစားသမားများ၊ ဂျာနယ်လစ်များနှင့် ပြည့်သူ့အချစ်တော်များနှင့် တွေ့ဆုံစကားပြောပြီး ၎င်းတို့၏ ရွယ်တူများကြားတွင် ကမ္ဘာလုံးဆိုင်ရာတန်ဖိုးများကို လွတ်လပ်စွာမြှင့်တင်ရန် အနာဂတ်တွင် ဆက်လက်လုပ်ဆောင်သွားမည့် လူငယ်သံတမန်များလည်း ဖြစ်လာကြသည်။ == နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ၏ သတင်းမီဒီယာစင်တာ == ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘောလုံးပွဲ အစီအစဉ်၏ အထူးဝန်ဆောင်မှုမှာ နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ၏ သတင်းမီဒီယာစင်တာ ဖြစ်သည် ။ ယင်းအား ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘောလုံးပွဲ အစီအစဉ်အောက်တွင် ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ပထမဦးဆုံး ဖွဲ့စည်းခဲ့သည်။ သတင်းမီဒီယာစင်တာတွင် လူငယ်ဂျာနယ်လစ်များက ၎င်းတို့နိုင်ငံများရှိ အစီအစဉ်၏ ပွဲများကို ပြောပြပါသည်<ref>www.itsroundanditswhite.co.uk/2014/04/15/football-for-friendship-are-on-the-hunt-for-talented-young-journalists/</ref> - နိုင်ငံအဆင့်နှင့် နိုင်ငံတကာ အားကစား မီဒီယာအတွက် သတင်းများ ပြင်ဆင်ပေးသည်၊ ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘောလုံးပွဲ တီဗွီအစီအစဉ်အတွက် လိုအပ်ပစ္စည်းများဖန်တီးရာတွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲသည်၊ ကလေးသူငယ်များ၏ ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘောလုံးပွဲ သတင်းစာနှင့် အစီအစဉ်၏ တရားဝင် ရေဒီယိုအသံလွှင့်ရုံ ။ နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များ၏ သတင်းမီဒီယာစင်တာက အကောင်းဆုံးလူငယ်ဂျာနယ်လစ် နိုင်ငံအဆင့်ပြိုင်ပွဲများ ၏ ဆုရရှိသူများ၊ လူငယ်ဘလော့ဂ်ဂါများ၊ ဓာတ်ပုံဆရာများနှင့် စာရေးဆရာများကို စုစည်းပေးပါသည်။ သတင်းမီဒီယာစင်တာ လူငယ်ဂျာနယ်လစ်များက "ကလေးသူငယ်များနှင့် ပတ်သက်သည့် ကလေးသူငယ်များ" ပုံစံကို အကောင်အထည်ဖော်ပြီး အစီအစဉ် အတွင်းမှ ၎င်းတို့၏အမြင်ကို တင်ပြသည်။ <ref><nowiki>https://web.archive.org/web/20160304111738/http:/www.getbucks.co.uk/news/local-news/12-year-old-bucks-boy-best-young-9095138</nowiki></ref> == နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ == ချစ်ကြည်ရေးအတွက် ဘောလုံးပွဲ အစီအစဉ်အောက်တွင်၊ နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို ဧပြီလ ၂၅ ရက် <ref><nowiki>https://web.archive.org/web/20150522194216/http:/theindependent.sg/blog/2015/04/27/kids-from-24-countries-in-europe-and-asia-are-celebrating-international-day-of-football-and-friendship/</nowiki></ref>တွင် ဂုဏ်ပြုကျင်းပသည်။  ဤပိတ်ရက်ကို ၂၀၁၄ မှ စတင်၍ နိုင်ငံပေါင်း ၁၆ နိုင်ငံ]တွင် ပထမဆုံးအကြိမ် စတင်ကျင်းပခဲ့သည်။ ဤနေ့တွင်၊ ချစ်ကြည်ရေးပွဲများ ၊ စုပေါင်းလှုပ်ရှားမှုများ၊ ရေဒီယိုမာရသွန်များ၊ မာစတာအတန်းများ၊ ရုပ်မြင်သံကြားရှိုးများ၊ လေ့ကျင့်ရေးဆက်ရှင်များဖွင့်ခြင်း၊ စသဖြင့်တို့ကို ကျင်းပခဲ့သည်။ ဂုဏ်ပြုအခမ်းအနားတွင် လူပေါင်း ၅၀,၀၀၀ ကျော် ပါဝင်ဆင်နွှဲခဲ့သည်။<ref name=":5"><nowiki>https://www.theguardian.com/football/2015/apr/26/said-and-done-blatter-putin-david-cameron</nowiki></ref> ၂၀၁၅ ခုနှစ်တွင်၊ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို နိုင်ငံပေါင်း ၂၄ နိုင်ငံတွင် ဂုဏ်ပြုကျင်းပခဲ့သည်။ ပွဲတော်အတွင်း၊ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပွဲနှင့် အခြားပွဲများ ကျင်းပခဲ့သည်။ ဂျာမနီတွင်၊ ရှော့ကေး ၀၄ ဘောလုံးသမားများက လေ့ကျင့်ရေးဆက်ရှင်ဖွင့်ပွဲတစ်ပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်၊ ဆားဘီးယားက တီဗွီရှိုးတစ်ပွဲကျင်းပခဲ့သည်၊ ယူကရိန်းတွင်– မိသားစုများ၊ ကလေးသူငယ်များနှင့် လူငယ်များအတွက် ပြည့်သူဝန်ဆောင်မှုများ၏ လက်စ်ခ်မြို့တော်စင်တာတွင် မှတ်ပုံတင်ထားသည့် ဗိုလင်း အက်ဖ်စီ ဂျူနီယာအသင်းနှင့် ကလေးသူငယ်များက ပြိုင်ပွဲတစ်ပွဲ ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့သည်။<ref name=":5" /> ရုရှားတွင်၊ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို ဧပြီလ ၂၅ ရက်တွင် မြို့ပေါင်း ၁၁ မြို့တွင် ဂုဏ်ပြုကျင်းပခဲ့သည်။ အစီအစဉ်၏ အဓိကတန်ဖိုးများကို ပြန်လည်အမှတ်ရစေရန် ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံးပွဲများကို ဗလာဒီဗာစ်တော့၊ နိုဗိုဆီဘရပ်စ်၊ ရဲကတာရင်ဘတ်၊ ခရပ်စ်နိုရာ့စ်ခ်၊ ဘာနူရယ်၊ စိန့်ပီတာစ်ဘတ်နှင့် ဆာရန့်စ်ခ်တို့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ အိုလံပစ်မီရှူးတိုင် လက်ဆင့်ကမ်းအပြေးပွဲ ၂၀၁၄ မှ မီးရှူးတိုင်ကိုင်ဆောင်သူများ၏ ပါဝင်ဆင်နွှဲခြင်းနှင့်အတူ ချစ်ကြည်ရေးပြန်ကစားပွဲကို တိုင်ခရပ်စ်နိုရာ့စ်ခ်တွင်၊ ဆိုချီနှင့် ရိုစတော့ဗ်အွန်ဒွန်းတို့ ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ကြသည်။ မော်စကိုတွင်၊ မျက်မမြင်အားကစားအဖွဲ့ချုပ်၏ ပံ့ပိုးမှုဖြင့်၊ တန်းတူအခွင့်အရေးပြိုင်ပွဲတစ်ပွဲကို စီစဉ်ခဲ့သည်။ မေလ ၅ ရက်တွင်၊ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့အား နစ်ဇနီ နော့ဗ်ဂိုရော့ဒ်နှင့် ကာဇန်တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင်၊ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို နိုင်ငံပေါင်း ၃၂ နိုင်ငံတွင် ဂုဏ်ပြုကျင်းပခဲ့သည်။ ရုရှားတွင် မြို့ကိုးမြို့ဖြစ်သည့် မော်စကို၊ စိန့်ပီတာစ်ဘတ်၊ နိုဗိုဆီဘရပ်စ်၊ ဘာနူရယ်၊ ဘာအိုဘစ်ဒ်ရှန်၊ အာခတ်၊ ခရက်စ်နိုဒါ၊ နစ်ဇနီ နော့ဗ်ဂိုရော့ဒ်နှင့် ရိုစတော့ဗ်အွန်ဒွန်းတို့တွင် ကျင်းပခဲ့သည်။ နစ်ဇနီ နော့ဗ်ဂိုရော့ဒ်က ဗိုလ်ဂါ အက်ဖ်စီမှ လူငယ်ဘောလုံးသမားများနှင့် ကလေးသူငယ်များအတွက် သွေးပူလေ့ကျင့်ခန်းနှင့် သင်တန်းများ ကျင်းပပေးသည့် ကလပ်မှ လူရွယ်ကစားသမားများအတွက် ချစ်ကြည်ရေးပွဲတစ်ပွဲ ကျင်းပပေးခဲ့သည်။ နိုဗိုဆီဘရပ်စ်တွင် ကျင်းပခဲ့သည့် ချစ်ကြည်ရေးပွဲတွင်၊ မသန်စွမ်းကလေးငယ်များက နိုဗိုဆီဘရပ်စ်ဒေသအသင်း ရာမက်ခ်-စီဘာတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ 2017 ခုနှစ်တွင်၊ ဘောလုံးနှင့် ချစ်ကြည်ရေးနေ့ကို နိုင်ငံပေါင်း 64 နိုင်ငံတွင် ဂုဏ်ပြုကျင်းပခဲ့သည်။ ဆားဘီးယားနိုင်ငံ ခံစစ်ကစားသမား ဘရန်နီစလဗ် အိုင်ဗန်နိုဗစ်ခ်ျနှင့် ဒတ်ခ်ျတိုက်စစ်မှူး ဒါ့ခ်ကူရစ်တို့ပါဝင်သည့် နာမည်ကျော် ဘောလုံးသမားများက ကမ္ဘာတစ်လွှားရှိ ပွဲများတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ဂရိတွင်၊ နိုင်ငံလက်ရွေးစင်အသင်းနှင့် ဥရောပဘောလုံးချန်ပီယံရှစ် ၂၀၀၄ ခုနှစ် ချန်ပီယံဖြစ်သူ သီအိုဒိုးရက်စ် ဇာဂိုရာကစ်က ပွဲတက်ရောက်ခဲ့သည်။ ရုရှားတွင်၊ ဇင်းနစ် အက်ဖ်စီက ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် ချစ်ကြည်ရေးအစီအစဉ်အတွက် ဘောလုံး သံတမန်ဖြစ်သူ ဇာခါဘတ်ရက်ခ်အတွက် အထူးလေ့ကျင့်ရေးဆက်ရှင်တစ်ခု လက်ခံကျင်းပခဲ့သည်။ လေ့ကျင့်ရေးဆက်ရှင်တွင်၊ ဇင်းနစ် အက်ဖ်စီမှ ဂိုးသမား ရူရီ လိုဒီဂျင်က ဇာခါ၏ စွမ်းရည်ကို ချီးကျူးခဲ့ပြီး သူနှင့်အတူ ဂိုးဖမ်းခြင်း၏ လျှို့ဝှက်ချက်ကို မျှဝေခဲ့သည်။ === '''ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲ၏ တန်ဖိုးကိုးခု''' === ၂၀၁၃ မေလ ၂၅ ရက်နေ့တွင် ကျင်းပခဲ့သော ပထမဆုံး နိုင်ငံတကာ ကလေးသူငယ်များဖိုရမ်တွင် ဗြိတိန်၊ ဂျာမနီ၊ ဆလိုဗေးနီးယား၊ ဟန်ဂေရီ၊ ဆားဘီးယား၊ ဘူလ်ဂေးရီးယား၊ ဂရိနှင့် ရုရှားတို့မှ လူငယ်သံတမန်များက အစီအစဉ်၏ အောက်ပါပထမဆုံး တန်ဖိုးရှစ်ခုကို စီစဉ်သတ်မှတ်ခဲ့ကာ အိတ်ဖွင့်ပေးစာတစ်စောင်ဖြင့် ပေးပို့ခဲ့သည် - မိတ်ဆွေဖြစ်ခြင်း၊ ညီမျှခြင်း၊ မျှတခြင်း၊ ကျန်းမာရေး၊ ငြိမ်းချမ်းရေး၊ အလေးထားခြင်း၊ အောင်မြင်မှုနှင့် ဓလေ့ထုံးတမ်းများ ဖြစ်ကြသည်။ စာအား အောက်ပါနိုင်ငံတကာ အားကစားအဖွဲ့အစည်းများ၏ ဦးဆောင်သူများထံသို့ ပေးပို့ခဲ့သည် - နိုင်ငံတကာ ဘောလုံးအဖွဲ့ချုပ် ဖက်ဒရေးရှင်း (ဖီဖာ)၊ ဥရောပသမဂ္ဂ ဘောလုံးအဖွဲ့ချုပ် (ယူအီးအက်ဖ်အေ)နှင့် နိုင်ငံတကာ အိုလံပစ် ကော်မတီ။ ၂၀၁၃ စက်တင်ဘာလတွင် Joseph Blatter သည် Vladimir Putin နှင့် Vitalii Mutko တို့နှင့် အစည်းအဝေး လုပ်နေစဉ်အတွင်း စာကို လက်ခံရရှိကြောင်း အတည်ပြုခဲ့ပြီး ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲကို ပံ့ပိုးပေးရန် အသင့်ရှိကြောင်း ကြေညာခဲ့သည်<ref name=":8" />။ ၂၀၁၅ တွင် တရုတ်၊ ဂျပန်နှင့် ကာဇက်စတန်တို့မှ ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများသည် ချစ်ကြည်ရေး ဘောလုံးပြိုင်ပွဲတွင် ပါဝင်ပူးပေါင်းခဲ့ကြပြီးနောက် ကိုးခုမြောက် တန်ဖိုးဖြစ်သည့် - ဂုဏ်သရေကို အဆိုပြုခဲ့သည်<ref>http://www.joblenobl.ru/news/287-v-ramkakh-programmy-futbol-dlya-druzhby-uchrezhden-kubok-devyati-tsennostej</ref>။ == နိုင်းအဖိုးတန်ဖလား == နိုင်းအဖိုးတန်ဖလားသည် နိုင်ငံတကာကလေးများ၏ ချစ်ကြည်ရေးအတွက် လူထုအစီအစဉ် ဘောလုံးပွဲအတွက် ဆုဖလားဖြစ်သည်။ ပရောဂျက်၏ တန်ဖိုးများဖြစ်သည့် ချစ်ကြည်ရေး၊ တန်းတူညီမှု၊ တရားမှု၊ ကျန်းမာရေး၊ ငြိမ်းချမ်းရေး၊ သစ္စာရှိမှု၊ အောင်မြင်မှု၊ ရိုးရာများနှင့် ဂုဏ်ပြုမှုစသည့် တန်ဖိုးများကို အကောင်းဆုံးကြိုးစားလုပ်ဆောင်ပေးသူများအတွက် ဖလားကို နှစ်စဉ်ချီးမြှင့်ခဲ့သည်။ ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အားပေးသူပရိသတ် များက အနိုင်ရရှိသည့် အသင်းကို ရွှေးချယ်ရာ၌ပါဝင်ခဲ့ကြသည်။ သို့သော်အဆုံးအဖြတ်ကိုမူ ချစ်ကြည်ရေးဘောလုံး ပရောဂျက် တွင် ပါဝင်ခဲ့သူများမှ မဲပေးဆုံးဖြတ်ကြခြင်းဖြစ်သည်။ နိုင်းအဖိုးတန်ဖလား ပိုင်ရှင် ဘောလုံးအသင်းများမှာ - ဘာစီလိုနာ (၂၀၁၅)၊ ဘိုင်ယန်မြူးနစ် (၂၀၁၆)၊ အယ်လ် ဝါဒါ (အထူးဆု)၊ ရီးရဲမက်ဒရစ် (၂၀၁၇) တို့ဖြစ်သည်။ <ref>www.euronews.com/2017/07/17/f4f-nine-values-cup-2017-goes-to-real-madrid</ref> == ချစ်ကြည်ရေးလက်ကောက် == ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံးပွဲ၏လုပ်ဆောင်ချက်အားလုံးသည် တန်းတူညီမှုနှင့် ကျန်းမာသော ဘဝနေထိုမှု၏ သင်္ကေတတစ်ခုဖြစ်သော ချစ်ကြည်ရေးလက်ကောက် လဲလှယ်မှုဖြင့် စတင်ပါသည်။ လက်ကောက်သည် အပြာနှင့် အစိမ်းချည်မျှင်များပါဝင်ပြီး ပရိုဂရမ်၏ တန်ဖိုးများကို မျှဝေသည့် မည်သူမဆို ဝတ်ဆင်နိုင်သည် ။ <ref name=":6"><nowiki>https://www.theguardian.com/football/2015/apr/26/said-and-done-blatter-putin-david-cameron</nowiki></ref> ဖရန့်ဇ် ဘက်အန်ဘူရာ၏ အဆိုအရ "လှုပ်ရှားမှု၏ သင်္ကေတမှာ နှစ်ရောင်စပ်လက်ကောက်ဖြစ်သည်၊ ၎င်းက ရိုးရှင်းပြီး ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံး၏ ရှိရင်းစွဲတန်ဖိုးများအဖြစ် နားလည်နိုင်သည်။ အစီအစဉ်တွင်ပါဝင်သူ လူငယ်များက - ဒစ်ခ် အက်ဗီုကတ်ထ်၊ ဒီဒီရာ ဒရော့ဘာ၊ မက်စ် မေရာ၊ ဖက်ထ်မ ဆာမူရာ၊ လီယွန် ဂိုရက်ခါ၊ ဒိုမီနီကို ခရစ်ဟီတို၊ မိုက်ကယ် ဆယ်လ်ဂါဒို၊ အလက်ဇန်းဒါး ခါဇာခေါ့ဗ်၊ ဒီမာ့စ် ပီရော့စ်၊ မီရိုဒရက်ဂ် ဘိုဇိုဗစ်၊ အက်ဒီလီနာ ဆော့နီခိုဗာ၊ ရူရီ ခါမင်းနက်စ်တို့ အပါအဝင် နာမည်ကျော် အားကစားသမားများနှင့် ပြည့်သူ့အချစ်တော်များ၏ လက်ကောက်ဝတ်များတွင် ချစ်ကြည်ရေးလက်ကောက်များကို ချည်နှောင်ပေးကြသည်။  <ref name=":6" /> == ရာသီအလိုက် ပါဝင်ဆောင်ရွက်သူများ၏ လှုပ်ရှားမှုများ == ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံးပွဲမှ လူငယ်ဘောလုံးသမားများက တရားဝင်ရာသီအပြင်ဘက်တွင် မျိုးစုံသောပွဲများတွင် ပါဝင်ဆင်နွှဲကြသည်။ ၂၀၁၃ ခုနှစ် မေလတွင်၊ မာရီဘောဂျူနီယာ ဘောလုံးအသင်း (ဆလိုဗေးနီးယား) က ကမ္ဘောဒီးယားကလေးသူငယ်များ <ref>sport.rbc.ru/article/172216/</ref>နှင့်အတူ ရန်ပုံငွေ ချစ်ကြည်ရေးပွဲ ကျင်းပခဲ့သည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၁၄ ရက် ဆိုချီတွင်၊ ဖီဖာဥက္ကဋ္ဌ ဆပ်ဘတ္တလာ <ref>en.kremlin.ru/events/president/news/19222</ref>နှင့် ရှရှားပြည်ထောင်စု၏ သမ္မတတို့၏ တွေ့ဆုံမှုအတွင်း ပရိုဂရမ်တွင်ပါသည့် ရုရှားမှ ပါဝင်ဆင်နွှဲသူများက ဗလာဒီမာပူတင်နှင့် ဆွေးနွေးခဲ့သည်။ ၂၀၁၄ ခုနှစ် ဇွန်လတွင်၊ ပြင်သစ်သမ္မတ ဖရန့်ဆို့စ် ဟိုလန်ဒီက ပြင်သစ်နှင့် နိုင်ဂျီးရီးယား<ref name=":7">www.leparisien.fr/politique/mondial-2014-hollande-invite-deux-clubs-amateurs-a-l-elysee-pour-france-nigeria-28-06-2014-3960541.php</ref> တို့၏ ၂၀၁၄ ဖီဖာ ကမ္ဘာ့ဖလားကို ကြည့်ရန် အီလီစီးနန်းတော်သို့ ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံးပွဲ၏အဖွဲ့ဝင်တစ်ဦးဖြစ်သူ တာဗာနီအသင်းအား ဖိတ်ကြားခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ် ဧပြီလတွင်၊ ၂၀၁၅ ခုနှစ် ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံးသံတမန် ရူရီ ဗစ်ချက်က ပရောဂျက်တွင်ပါဝင်ခဲ့သည့် ၎င်းတို့၏အတွေ့အကြုံကို မျှဝေရန်ဘီလာရုဇ်၏ အသန်မာဆုံးလူသား ခီရေးလ် ရှင်မ်ခိုနှင့် ဘိတ် အက်ဖ်စီမှ လူငယ်ဘောလုံးသမားများနှင့် တွေ့ဆုံခဲ့သည်။ ရူရီ ဗစ်ချက်က ချစ်ကြည်ရေး၊ တရားမျှတမှု၊ ကျန်းမာသော ဘဝနေထိုင်မှု စသည့် ပရောဂျက်၏ တန်ဖိုးများကို မြှင့်တင်ရန် ခီရေးလ် ရှင်မ်ခိုအား အချက်ပြတုတ်တံပေးခဲ့ရင်း ချစ်ကြည်ရေးသင်္ကေတ လက်ကောက်တစ်ခု ပေးခဲ့သည်၊  <ref name=":7" /> == ဆုငွေများနှင့် ဆုများ == ချစ်ကြည်ရေးပရိုဂရမ်အတွက် ဘောလုံးပွဲက ပြိုင်ပွဲမျိုးစုံကို အနိုင်ရခဲ့ပြီး ရုရှားနှင့် နိုင်ငံတကာဆုများကို ပိုင်ဆိုင်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့တွင် - "နိုင်ငံတကာပူးပေါင်းဆောင်ရွက်မှု ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေး" အမျိုးအစားတွင် "ရုရှား၏ အကောင်းဆုံးလှုမှု ပရောဂျက်များ"၊ "ပူးတွဲလှုမှုရေးဝတ္တရား" ၂၀၁၆ [4] အမျိုးအစားတွင် နိုင်ငံတကာ စီးပွားရေးဆက်ဆံသူများ အသင်း (IABC) ရွေငန်းဆု၊ "ကမ္ဘာမြေကြီးအတွက် အကောင်းဆုံးလူမှုပရောဂျက်" (၂၀၁၆) ခေါင်းစဉ်တွင် ဆာဘားဆုများ၊ "အကောင်းဆုံးနိုင်ငံတကာမဟာဗျူဟာ" (၂၀၁၇)<ref>www.socialbuzzawards.com/social-buzz-awards-2017/best-international-strategy/how-to-make-kids-voices-to-be-heard-globally</ref> ခေါင်းစဉ်တွင် လူမှုလှုပ်ရှားမှုဆုများ၊ "အကောင်းဆုံမီဒီယာမဟာဗျူဟာ" (၂၀၁၇)<ref><nowiki>http://www.internationalist-awards.com/new-digital-awards/</nowiki></ref> ခေါင်းစဉ်တွင် ဆန်းသစ်သော ဒစ်ဂျစ်တယ် မားကတ်တင်းနည်းလမ်းများအတွက် နိုင်ငံတကာရေးရာလှုပ်ရှားသူဆုများ၊ "ရုရှား၏ အကောင်းဆုံးလှုမှုပရောဂျက်" (၂၀၁၈) ခေါင်းစဉ်တွင် "ငွေလေးသည်တော်"၊ နှင့် "ငွေလေးသည်တော်" (၂၀၁၈) ဆုကြီးတို့ ပါဝင်သည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist|2}} [[Category:လူငယ် ဘောလုံး ပြိုင်ပွဲများ]] gz2fpv4kkvrgkmis0avssw8bm5u9ory 0 92837 1060993 1023481 2026-11-01T09:41:42Z Michi 41231 1060993 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဝမ်ဟော့တိ | english_name = Wang Hedi | image = Dylan Wang.jpg | caption = | birth_name = | birth_date = {{birth date and age|1998|12|20|df=y}} | birth_place = [[လဲ့ရှန်မြို့]], စိချွမ်းပြည်နယ်, [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]] | occupation = သရုပ်ဆောင်၊ အဆိုတော် | alma_mater = Sichuan Southwest Vocational College of Civil Aviation | years_active = ၂၀၁၆–လက်ရှိ | nationality = [[တရုတ်လူမျိုး]] | othername = Dylan Wang }} '''ဝမ်ဟော့တိ''' ({{lang-en|'''Wang Hedi'''}}; ၂၀ ဒီဇင်ဘာ ၁၉၉၈ မွေး) သည် ပရော်ဖက်ရှင်နယ်အမည် '''Dylan Wang''' ဖြင့် လူသိများသော တရုတ်သရုပ်ဆောင်နှင့် အဆိုတော်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ် ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Meteor Garden'' တွင် တောက်မင်စစ်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ရာမှ လူသိများလာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://burma.irrawaddy.com/lifestyle/entertainment/2018/07/21/164463.html|title=လူကြိုက်များနေတဲ့ တရုတ် F4 ဇာတ်လမ်းတွဲသစ် "Meteor Garden 2018"|publisher=The Irrawaddy|date=21 July 2018|author=မစ်ကီ|accessdate=26 July 2018|language=my}}</ref> ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ''Love Between Fairy and Devil'' ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ အဓိကဇာတ်ကောင်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://entertainment.inquirer.net/|title=Love Between Fairy and Devil|publisher=Philippine Daily Inquirer}}</ref> ၎င်း၏ အခြားထင်ရှားသော လက်ရာများတွင် ''Only for Love'' (၂၀၂၃)၊ ''Guardians of the Dafeng'' (၂၀၂၄) နှင့် ၂၀၂၆ ခုနှစ်ထွက် သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် ''Per Aspera Ad Astra'' တို့ ပါဝင်သည်။ == ဘဝအစနှင့် ပညာရေး == ဝမ်ဟော့တိကို ၁၉၉၈ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာ ၂၀ ရက်နေ့တွင် တရုတ်နိုင်ငံ၊ စိချွမ်းပြည်နယ်၊ လဲ့ရှန်မြို့ တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ ၎င်း၏ မိဘများသည် ဆေးဝါးစက်ရုံတစ်ခုတွင် အလုပ်လုပ်ခဲ့ကြပြီး နောက်ပိုင်းတွင် အသားကင်တုတ်ထိုးဆိုင်တစ်ဆိုင် ဖွင့်လှစ်လုပ်ကိုင်ခဲ့ကြသည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက ဘတ်စကက်ဘောအားကစားကို စိတ်ဝင်စားခဲ့ပြီး အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ်တွင် ပညာသင်ကြားရန် ချန်ဒူးမြို့သို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ ထို့နောက် လေယာဉ်အမှုထမ်းဖြစ်ရန် ရည်ရွယ်၍ Sichuan Southwest Vocational College of Civil Aviation တွင် ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံးအကြိမ် ကျင်းပသည့် Sichuan Campus Celebrity Gala ပြိုင်ပွဲ၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=微博校园红人盛典落地西南，联动多方打造蜀地红人成长平台-美通社PR-Newswire |url=https://www.prnasia.com/story/164726-1.shtml |access-date=2026-11-01 |website=www.prnasia.com |language=zh-cn}}</ref><ref>{{Cite web |last=顾馨 |title=Hoops & dreams |url=https://www.chinadaily.com.cn/a/202403/19/WS65f8b711a31082fc043bd4b6.html |access-date=2026-11-01 |website=www.chinadaily.com.cn}}</ref> == အနုပညာခရီး == === ၂၀၁၆–၂၀၁၇: အနုပညာလမ်းကြောင်းအစ === ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် Sichuan Campus Celebrity Gala ပြိုင်ပွဲ၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် Youku ၏ ရုပ်သံအရည်အချင်းစမ်းသပ်ပြိုင်ပွဲ ''Super Idol'' (超次元偶像)<ref>{{Cite web |last=张天磊 |title=《超次元偶像》何炅不舍落泪 王鹤棣逆袭[1]- 中国日报网 |url=https://web.archive.org/web/20180720195200/http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm |archive-url=http://web.archive.org/web/20220910051039/https://web.archive.org/web/20180720195200/http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm |archive-date=2022-09-10 |access-date=2026-11-01 |website=web.archive.org}}</ref> တွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးအဆင့်၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ''Meteor Garden'' ၏ အခြားသရုပ်ဆောင်များဖြစ်သော Darren Chen၊ Connor Leong နှင့် Caesar Wu တို့နှင့်အတူ Harper's Bazaar China မဂ္ဂဇင်းတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm|title=《超次元偶像》何炅不舍落泪 王鹤棣逆袭|publisher=China Daily|date=17 August 2017|accessdate=23 July 2018|language=zh|archivedate=20 July 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180720195200/http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08-17/content_30721621.htm}}</ref><ref>{{cite news|url=http://fashion.huanqiu.com/news/2017-11/11360008.html|title=新《流星花园》F4登时尚芭莎封面震撼首发|date=6 November 2017|publisher=Huanqiu Fashion|language=zh|accessdate=24 July 2018|archivedate=24 July 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180724153937/http://fashion.huanqiu.com/news/2017-11/11360008.html}}</ref> === ၂၀၁၈–၂၀၂၁: သရုပ်ဆောင်အဖြစ် စတင်အောင်မြင်လာခြင်း === ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် ''Meteor Garden'' ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသား တောက်မင်စစ်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါဇာတ်လမ်းတွဲသည် ဂျပန် manga ''Boys Over Flowers'' (花より男子) ကို အခြေခံထားပြီး Hunan TV နှင့် Netflix တို့မှ ဇူလိုင် ၉ ရက်နေ့တွင် စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://www.straitstimes.com/lifestyle/entertainment/meet-the-new-shancai-and-f4-in-the-2018-meteor-garden-tv-reboot|title=Meet the new F4 and Shancai in the 2018 Meteor Garden TV reboot|publisher=The Straits Times|date=10 November 2017|accessdate=23 July 2018|archive-date=26 June 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180626082731/https://www.straitstimes.com/lifestyle/entertainment/meet-the-new-shancai-and-f4-in-the-2018-meteor-garden-tv-reboot}}</ref><ref>{{Cite web |last=Network |first=The Jakarta Post/Asia News |date=2018-07-19 |title=‘Meteor Garden 2018’: Same old recipe but girls still love it |url=https://entertainment.inquirer.net/284519/meteor-garden-2018-old-recipe-girls-still-love |access-date=2026-11-01 |website=INQUIRER.net |language=en}}</ref> ထိုနှစ်တွင် ''The Inn 2'' ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်၌လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် ''Super Penguin Basketball Celebrity Game'' ၌ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ''Ever Night 2'' ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး ၂၀၂၁ ခုနှစ်တွင် ''The Rational Life'' နှင့် ''Miss the Dragon'' ဇာတ်လမ်းတွဲများ၌ ဆက်လက်ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုကာလအတွင်း ''Summer Palace'' နှင့် ''The Irresistible'' အပါအဝင် ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များတွင်လည်း အဓိကပါဝင်သူတစ်ဦးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Corporation |first=ABS-CBN |title=Dylan Wang returns to ABS-CBN as a deadly fighter in hit series "Ever Night: War of Brilliant Splendours" |url=https://corporate.abs-cbn.com/newsroom/news-releases/2022/10/26/dylan-wang-returns-abs-cbn-ever-night?lang=en |archive-url=http://web.archive.org/web/20250815112042/https://corporate.abs-cbn.com/newsroom/news-releases/2022/10/26/dylan-wang-returns-abs-cbn-ever-night?lang=en |archive-date=2025-08-15 |access-date=2026-11-01 |website=corporate.abs-cbn.com |language=en}}</ref> === ၂၀၂၂–၂၀၂၄: ပိုမိုကျော်ကြားလာခြင်းနှင့် ဂီတလှုပ်ရှားမှု === ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် ''Hello, Saturday'' အစီအစဉ်၏ တင်ဆက်သူအဖွဲ့ဝင်တစ်ဦး ဖြစ်လာခဲ့ပြီး ခရီးသွားလက်တွေ့အစီအစဉ် ''Wonderland'' ၏ ဒုတိယရာသီတွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ထုတ်လွှင့်ခဲ့သော စိတ်ကူးယဉ်အချစ်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Love Between Fairy and Devil'' တွင် တုန်းဖန်ချင်းချန်းအဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ရာမှ ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''All Out Action'' နှင့် ''Basketball Buddies'' အပါအဝင် အခြားဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များတွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Zhang |first=Jing |date=2023-01-05 |title=China’s Next Big Thing? Who Is Louis Vuitton’s Latest Ambassador Dylan Wang? {{!}} Jing Daily |url=https://jingdaily.com/posts/louis-vuitton-ambassador-dylan-wang |access-date=2026-11-01 |website=jingdaily.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=Esquire |title=2022MAHB年度先生｜王鹤棣：主动的幸运 |url=https://mp.weixin.qq.com/s/j87iQuyB-Fh2Kh9Yev_WRQ |access-date=2026-11-01 |website=微信公众平台}}</ref> ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် ''Unchained Love''၊ ''Never Give Up''၊ ''Youth in the Flames of War'' နှင့် ''Only for Love'' ဇာတ်လမ်းတွဲများ၌ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ''Seaside Tango'' (海边探戈) တေးသီချင်းကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=郑恺、陈钰琪主演新剧《今日宜加油》2月21日开播，王鹤棣加盟 — 新京报 |url=https://www.bjnews.com.cn/detail/167651374114663.html |access-date=2026-11-01 |website=www.bjnews.com.cn}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-01-24 |title=Dylan Wang: Rise of China’s Newest Drama Star - RADII |url=https://radii.co/article/dylan-wang |access-date=2026-11-01 |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=腾讯音乐榜2023年度榜单正式揭晓：薛之谦、周深、袁娅维、时代少年团纷纷上榜 |url=https://www.sohu.com/a/www.sohu.com/a/754032018_523234 |access-date=2026-11-01 |website=www.sohu.com |language=zh-CN}}</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် NBA All-Star Celebrity Game ၌ ပါဝင်ခဲ့ပြီး သမိုင်းနောက်ခံစိတ်ကူးယဉ်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Guardians of the Dafeng'' တွင် အဓိကပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Montgomery |first=Gregg |date=2024-02-19 |title=Chinese actor reigns on social media during NBA All-Star Game weekend |url=https://www.wishtv.com/news/entertainment-news/chinese-actor-reigns-on-social-media-during-nba-all-star-game-weekend/ |access-date=2026-11-01 |website=WISH-TV |language=en-US}}</ref> အဆိုပါဇာတ်လမ်းတွဲကို ဒီဇင်ဘာလတွင် စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''Dreams of Youth'' (少年梦) အမည်ရှိ အယ်လ်ဘမ်ကို ဒီဇင်ဘာ ၁၆ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး ဒီဇင်ဘာ ၂၈ ရက်နေ့တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၊ ဘန်ကောက်မြို့၌ ပထမဆုံး D.PARTY တစ်ကိုယ်တော်ဖျော်ဖြေပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2024-02-05 |title=Chinese star Dylan Wang wants his body of work to have ‘diversity’ |url=https://www.straitstimes.com/life/entertainment/chinese-star-dylan-wang-wants-his-body-of-work-to-have-diversity |access-date=2026-11-01 |work=The Straits Times |language=en |issn=0585-3923}}</ref><ref>{{Cite web |title=王鹤棣SEEWE音乐厂牌全新说唱专辑《少年梦》正式上线！ |url=https://mp.weixin.qq.com/s/f_pfchNZaRwJF0e_RVVLfg |access-date=2026-11-01 |website=微信公众平台}}</ref><ref>{{Cite web |last=ข่าวสด |date=2025-01-08 |title=สดบันเทิง - ดีแลน หวัง สุดจึ้ง ‘D.PARTY’ คอนเสิร์ตใหญ่ครั้งแรกในชีวิต |url=https://www.khaosod.co.th/entertainment/news_9579694 |access-date=2026-11-01 |website=ข่าวสด |language=th}}</ref> === ၂၀၂၅–လက်ရှိ: ရုပ်ရှင်နှင့် ရုပ်သံလုပ်ငန်းများ === ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ''I Dreamed a Dream'' မှတ်တမ်းရုပ်ရှင်နှင့် ဇာတ်လမ်းသရုပ်ဖော်မှု ပေါင်းစပ်ထားသော ရုပ်ရှင်တွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် စိတ်ကူးယဉ်သမိုင်းနောက်ခံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Live Long and Prosper'' ကို ရိုက်ကူးခဲ့ပြီး ခရီးသွားလက်တွေ့အစီအစဉ် ''Wander Together'' တွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလမှ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လအထိ ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=《咸鱼飞升》官宣 主演阵容堪称豪华！ |url=https://ent.china.com/movie/newszh/11005281/20250515/48336402_all.html |access-date=2026-11-01 |website=ent.china.com}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-12-17 |title=IFFR reveals its main competition line-ups |url=https://cineuropa.org/en/newsdetail/471524/ |access-date=2026-11-01 |website=Cineuropa - the best of european cinema |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=《宇宙闪烁请注意》爆笑发布会燃动哈尔滨 “宇宙爆闪团”引爆解压狂欢-地方新闻-北国网 |url=https://liaoning.lnd.com.cn/system/2025/12/25/030540587.shtml |access-date=2026-11-01 |website=liaoning.lnd.com.cn}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် မကာအိုမြို့၌ ဒုတိယအကြိမ် D.PARTY ဖျော်ဖြေပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=D-PARTY Concert by Dylan Wang in Macau Causes a Stir, Douyin Search Index Reaches 123 Million |url=https://en.kapanlagi.com/celebrity/d-party-concert-by-dylan-wang-in-macau-causes-a-stir-douyin-search-index-reaches-123-million.html |access-date=2026-11-01 |website=En.KapanLagi.com |language=id}}</ref> ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ထွက်ရှိခဲ့သော သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် ''Per Aspera Ad Astra'' တွင် ရွှီထျန်းပျောင်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''The Inn 2026'' ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်တွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး သမိုင်းနောက်ခံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Empress Reborn'' ကို စတင်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=王鹤棣宋茜主演电影《星河入梦》延期上映_广州日报大洋网 |url=https://news.dayoo.com/gzrbrmt/202504/17/170636_54814056.htm |access-date=2026-11-01 |website=news.dayoo.com}}</ref><ref>{{Cite web |last=聯合新聞網 |title=王鶴棣、孟子義《將門獨后》殺青！劇情介紹與看點：一場勢均力敵的權謀救贖 |url=https://reading.udn.com/read/story/124409/9701063 |access-date=2026-11-01 |website=琅琅悅讀 |language=zh-Hant-TW}}</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် ရိုက်ကူးခဲ့သော စုံထောက်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Light to the Night'' ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် Youku မှ စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့ပြီး နိုင်ငံတကာတွင် Netflix မှတစ်ဆင့်လည်း ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''Wander Together'' ၏ ဒုတိယရာသီကိုလည်း ရိုက်ကူးလျက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-21 |title=Netflix Acquires Simulcast Rights to C-Drama Thriller Series 'Light to the Night' |url=https://www.whats-on-netflix.com/news/light-to-the-night-c-drama-coming-to-netflix/ |access-date=2026-11-01 |website=www.whats-on-netflix.com |language=en-US}}</ref> == ဖလင်ထုတ်လုပ်ရေး == === ရုပ်ရှင်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ဇာတ်ရုပ် ! မှတ်စု |- | ၂၀၂၅ | ''I Dreamed a Dream'' | 青春梦 | | မှတ်တမ်းရုပ်ရှင်နှင့် ဇာတ်လမ်းသရုပ်ဖော်မှု ပေါင်းစပ်ထားသော ရုပ်ရှင် |- | ၂၀၂၆ | ''Per Aspera Ad Astra'' | 星河入梦 | ရွှီထျန်းပျောင် | သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် |} === ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ဇာတ်ရုပ် ! ကွန်ရက် ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၈ | ''Meteor Garden'' | 流星花园 | တောက်မင်စစ် | Hunan TV | |- | ၂၀၂၀ | ''Ever Night 2'' | 将夜2 | | Tencent Video | |- | ၂၀၂၁ | ''The Rational Life'' | 理智派生活 | ချီရှောင် | Mango TV | |- | ၂၀၂၁ | ''Miss the Dragon'' | 遇龙 | နဂါးဘုရင် | Tencent Video | |- | ၂၀၂၂ | ''Love Between Fairy and Devil'' | 苍兰诀 | တုန်းဖန်ချင်းချန်း | iQIYI | |- | ၂၀၂၂ | ''Unchained Love'' | 浮图缘 | ရှောင်တော် | iQIYI | |- | ၂၀၂၃ | ''Never Give Up'' | 今日宜加油 | | iQIYI | |- | ၂၀၂၃ | ''Youth in the Flames of War'' | 战火中的青春 | | Jiangsu TV | |- | ၂၀၂၃ | ''Only for Love'' | 以爱为营 | ရှီယန် | Mango TV | |- | ၂၀၂၄ | ''Guardians of the Dafeng'' | 大奉打更人 | ရှုချီအန်း | Tencent Video | |- | ၂၀၂၅ | ''Live Long and Prosper'' | 咸鱼飞升 | | Mango TV | ရိုက်ကူးပြီး |- | ၂၀၂၆ | ''Light to the Night'' | 黑夜告白 | | Youku | |- | ၂၀၂၆ | ''Empress Reborn'' | 将门独后 | ရှဲ့ကျင်းရှင်း | Tencent Video | ရိုက်ကူးပြီး |} === ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! အင်္ဂလိပ်ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ပါဝင်မှု ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၇ | ''Super Idol'' | 超次元偶像 | ပြိုင်ပွဲဝင် | နောက်ဆုံးအဆင့် အနိုင်ရရှိ |- | ၂၀၁၈ | ''The Inn 2'' | 亲爱的·客栈第二季 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၁၉ | ''Super Penguin Basketball Celebrity Game'' | 超级企鹅联盟 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၁ | ''Summer Palace'' | 元气满满的哥哥 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၁ | ''The Irresistible'' | 元气满满的哥哥 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၂ | ''Hello, Saturday'' | 你好，星期六 | တင်ဆက်သူအဖွဲ့ဝင် | |- | ၂၀၂၂ | ''Wonderland 2'' | 五十公里桃花坞2 | အဓိကပါဝင်သူ | ဒုတိယရာသီ |- | ၂၀၂၂ | ''All Out Action'' | 全力以赴 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၂ | ''Basketball Buddies'' | 打球嘛朋友 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၅–၂၀၂၆ | ''Wander Together'' | 宇宙闪烁请注意 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၆ | ''The Inn 2026'' | 亲爱的客栈2026 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | | ''Wander Together 2'' | 宇宙闪烁请注意2 | အဓိကပါဝင်သူ | ရိုက်ကူးဆဲ |} == ဂီတလက်ရာများ == === တေးသီချင်းများနှင့် အယ်လ်ဘမ်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! အင်္ဂလိပ်ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! အယ်လ်ဘမ် ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၇ | "We Are Dreamers" | | | ''Super Idol'' အစီအစဉ်၏ ဇာတ်ဝင်တေး |- | rowspan="4" | ၂၀၁၈ | "For You" | | rowspan="4" | ''Meteor Garden'' OST | rowspan="2" | Darren Chen၊ Connor Leong နှင့် Caesar Wu တို့နှင့်အတူ |- | "Creating Memories" | 创造回忆 |- | "No Trivial Matter" | 非同小可 | |- | "Don't Need to Think" | 想都不用想 | |- | ၂၀၂၃ | "Seaside Tango" | 海边探戈 | | တစ်ကိုယ်တော်တေးသီချင်း |- | ၂၀၂၄ | ''Dreams of Youth'' | 少年梦 | ''Dreams of Youth'' | အယ်လ်ဘမ်၊ ဒီဇင်ဘာ ၁၆ ရက်တွင် ထုတ်ဝေ |} === ဖျော်ဖြေပွဲများ === {| class="wikitable" |- ! ရက်စွဲ ! ဖျော်ဖြေပွဲ ! နေရာ ! မှတ်စု |- | ၂၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ | D.PARTY | Impact Arena၊ ဘန်ကောက်၊ ထိုင်းနိုင်ငံ | ပထမဆုံး တစ်ကိုယ်တော်ဖျော်ဖြေပွဲ |- | ၁၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆ | D.PARTY | Galaxy Arena၊ မကာအို | ဒုတိယအကြိမ် ဖျော်ဖြေပွဲ |} == ကြော်ငြာနှင့် အမှတ်တံဆိပ်များ == ဝမ်ဟော့တိသည် နိုင်ငံတကာနှင့် တရုတ်နိုင်ငံရှိ အမှတ်တံဆိပ်များစွာနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ Louis Vuitton ၏ House Ambassador နှင့် Guerlain၊ Yadea၊ Bose တို့၏ Global Ambassador အဖြစ် ခန့်အပ်ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |title=路易威登正式宣布王鹤棣出任品牌代言人 |url=https://www.vogue.com.cn/fashion/brand_news/news_17g497ad3518bdd3.html |access-date=2026-11-01 |website=www.vogue.com.cn}}</ref><ref>{{Cite web |last=antaranews.com |date=2025-01-13 |title=Yadea hits 100 million units in global sales, with the new announcement of global ambassador Dylan Wang |url=https://en.antaranews.com/news/341282/yadea-hits-100-million-units-in-global-sales-with-the-new-announcement-of-global-ambassador-dylan-wang |access-date=2026-11-01 |website=Antara News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-09-12 |title=Bose推出QuietComfort消噪耳机Ultra II ，携手全能艺人王鹤棣共启「声音境棣」​ |url=https://www.ellechina.com/fashion/news/a66059889/bosequietcomfortultra-ii/ |access-date=2026-11-01 |website=ELLE China |language=zh-CN}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိ တရုတ်နိုင်ငံတွင် Adidas၊ Pepsi၊ Hennessy၊ Head & Shoulders နှင့် Lay's အပါအဝင် အမှတ်တံဆိပ်များကို ကိုယ်စားပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Spötter |first=Ole |date=2026-03-30 |title=Adidas celebrates football with retro market in Shanghai |url=https://fashionunited.uk/news/fashion/adidas-celebrates-football-with-retro-market-in-shanghai/2026033087150 |access-date=2026-11-01 |website=FashionUnited |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=时尚COSMO-炽烈绽放，闪耀黑夜 与轩尼诗炽夜中国区代言人王鹤棣一起，探索夜的无尽魅力 |url=https://www.cosmopolitancn.com/cosmo/detail/37537 |access-date=2026-11-01 |website=www.cosmopolitancn.com}}</ref><ref>{{Cite web |title=Pepsi unveils new logo and identity; colours 120 markets in electric blue |url=https://www.campaignasia.com/article/pepsi-unveils-new-logo-and-identity-colours-120-markets-in-electric-blue/nad960z45bb0crt1r0mkypa60c |access-date=2026-11-01 |website=Campaign Asia |language=en-US}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:၁၉၉၈ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[Category:တရုတ် အမျိုးသား ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] [[Category:တရုတ် အဆိုတော်များ]] 1d4atglmbmwofuuedr5g0nu6hi9hs6l 1060995 1060993 2026-11-01T10:05:29Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 2 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060995 wikitext text/x-wiki {{Infobox person | name = ဝမ်ဟော့တိ | english_name = Wang Hedi | image = Dylan Wang.jpg | caption = | birth_name = | birth_date = {{birth date and age|1998|12|20|df=y}} | birth_place = [[လဲ့ရှန်မြို့]], စိချွမ်းပြည်နယ်, [[တရုတ်ပြည်သူ့သမ္မတနိုင်ငံ]] | occupation = သရုပ်ဆောင်၊ အဆိုတော် | alma_mater = Sichuan Southwest Vocational College of Civil Aviation | years_active = ၂၀၁၆–လက်ရှိ | nationality = [[တရုတ်လူမျိုး]] | othername = Dylan Wang }} '''ဝမ်ဟော့တိ''' ({{lang-en|'''Wang Hedi'''}}; ၂၀ ဒီဇင်ဘာ ၁၉၉၈ မွေး) သည် ပရော်ဖက်ရှင်နယ်အမည် '''Dylan Wang''' ဖြင့် လူသိများသော တရုတ်သရုပ်ဆောင်နှင့် အဆိုတော်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ ၂၀၁၈ ခုနှစ် ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Meteor Garden'' တွင် တောက်မင်စစ်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ရာမှ လူသိများလာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://burma.irrawaddy.com/lifestyle/entertainment/2018/07/21/164463.html|title=လူကြိုက်များနေတဲ့ တရုတ် F4 ဇာတ်လမ်းတွဲသစ် "Meteor Garden 2018"|publisher=The Irrawaddy|date=21 July 2018|author=မစ်ကီ|accessdate=26 July 2018|language=my}}</ref> ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ''Love Between Fairy and Devil'' ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ အဓိကဇာတ်ကောင်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://entertainment.inquirer.net/|title=Love Between Fairy and Devil|publisher=Philippine Daily Inquirer}}</ref> ၎င်း၏ အခြားထင်ရှားသော လက်ရာများတွင် ''Only for Love'' (၂၀၂၃)၊ ''Guardians of the Dafeng'' (၂၀၂၄) နှင့် ၂၀၂၆ ခုနှစ်ထွက် သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် ''Per Aspera Ad Astra'' တို့ ပါဝင်သည်။ == ဘဝအစနှင့် ပညာရေး == ဝမ်ဟော့တိကို ၁၉၉၈ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာ ၂၀ ရက်နေ့တွင် တရုတ်နိုင်ငံ၊ စိချွမ်းပြည်နယ်၊ လဲ့ရှန်မြို့ တွင် မွေးဖွားခဲ့သည်။ ၎င်း၏ မိဘများသည် ဆေးဝါးစက်ရုံတစ်ခုတွင် အလုပ်လုပ်ခဲ့ကြပြီး နောက်ပိုင်းတွင် အသားကင်တုတ်ထိုးဆိုင်တစ်ဆိုင် ဖွင့်လှစ်လုပ်ကိုင်ခဲ့ကြသည်။ ငယ်စဉ်ကတည်းက ဘတ်စကက်ဘောအားကစားကို စိတ်ဝင်စားခဲ့ပြီး အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ်တွင် ပညာသင်ကြားရန် ချန်ဒူးမြို့သို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ ထို့နောက် လေယာဉ်အမှုထမ်းဖြစ်ရန် ရည်ရွယ်၍ Sichuan Southwest Vocational College of Civil Aviation တွင် ပညာသင်ကြားခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ပထမဆုံးအကြိမ် ကျင်းပသည့် Sichuan Campus Celebrity Gala ပြိုင်ပွဲ၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=微博校园红人盛典落地西南，联动多方打造蜀地红人成长平台-美通社PR-Newswire |url=https://www.prnasia.com/story/164726-1.shtml |access-date=2026-11-01 |website=www.prnasia.com |language=zh-cn}}</ref><ref>{{Cite web |last=顾馨 |title=Hoops & dreams |url=https://www.chinadaily.com.cn/a/202403/19/WS65f8b711a31082fc043bd4b6.html |access-date=2026-11-01 |website=www.chinadaily.com.cn}}</ref> == အနုပညာခရီး == === ၂၀၁၆–၂၀၁၇: အနုပညာလမ်းကြောင်းအစ === ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် Sichuan Campus Celebrity Gala ပြိုင်ပွဲ၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။ ၂၀၁၇ ခုနှစ်တွင် Youku ၏ ရုပ်သံအရည်အချင်းစမ်းသပ်ပြိုင်ပွဲ ''Super Idol'' (超次元偶像)<ref>{{Cite web |last=张天磊 |title=《超次元偶像》何炅不舍落泪 王鹤棣逆袭[1]- 中国日报网 |url=http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm |archive-url=https://web.archive.org/web/20220910051039/https://web.archive.org/web/20180720195200/http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm |archive-date=10 September 2022 |access-date=2026-11-01 |website=web.archive.org |url-status=dead}}</ref> တွင် ဝင်ရောက်ယှဉ်ပြိုင်ခဲ့ပြီး နောက်ဆုံးအဆင့်၌ အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ''Meteor Garden'' ၏ အခြားသရုပ်ဆောင်များဖြစ်သော Darren Chen၊ Connor Leong နှင့် Caesar Wu တို့နှင့်အတူ Harper's Bazaar China မဂ္ဂဇင်းတွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08/17/content_30721621.htm|title=《超次元偶像》何炅不舍落泪 王鹤棣逆袭|publisher=China Daily|date=17 August 2017|accessdate=23 July 2018|language=zh|archivedate=20 July 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180720195200/http://ent.chinadaily.com.cn/2017-08-17/content_30721621.htm}}</ref><ref>{{cite news|url=http://fashion.huanqiu.com/news/2017-11/11360008.html|title=新《流星花园》F4登时尚芭莎封面震撼首发|date=6 November 2017|publisher=Huanqiu Fashion|language=zh|accessdate=24 July 2018|archivedate=24 July 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180724153937/http://fashion.huanqiu.com/news/2017-11/11360008.html}}</ref> === ၂၀၁၈–၂၀၂၁: သရုပ်ဆောင်အဖြစ် စတင်အောင်မြင်လာခြင်း === ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် ''Meteor Garden'' ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ခေါင်းဆောင်မင်းသား တောက်မင်စစ်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါဇာတ်လမ်းတွဲသည် ဂျပန် manga ''Boys Over Flowers'' (花より男子) ကို အခြေခံထားပြီး Hunan TV နှင့် Netflix တို့မှ ဇူလိုင် ၉ ရက်နေ့တွင် စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news|url=https://www.straitstimes.com/lifestyle/entertainment/meet-the-new-shancai-and-f4-in-the-2018-meteor-garden-tv-reboot|title=Meet the new F4 and Shancai in the 2018 Meteor Garden TV reboot|publisher=The Straits Times|date=10 November 2017|accessdate=23 July 2018|archive-date=26 June 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180626082731/https://www.straitstimes.com/lifestyle/entertainment/meet-the-new-shancai-and-f4-in-the-2018-meteor-garden-tv-reboot}}</ref><ref>{{Cite web |last=Network |first=The Jakarta Post/Asia News |date=2018-07-19 |title=‘Meteor Garden 2018’: Same old recipe but girls still love it |url=https://entertainment.inquirer.net/284519/meteor-garden-2018-old-recipe-girls-still-love |access-date=2026-11-01 |website=INQUIRER.net |language=en}}</ref> ထိုနှစ်တွင် ''The Inn 2'' ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်၌လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်တွင် ''Super Penguin Basketball Celebrity Game'' ၌ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၀ ပြည့်နှစ်တွင် ''Ever Night 2'' ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ပြီး ၂၀၂၁ ခုနှစ်တွင် ''The Rational Life'' နှင့် ''Miss the Dragon'' ဇာတ်လမ်းတွဲများ၌ ဆက်လက်ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုကာလအတွင်း ''Summer Palace'' နှင့် ''The Irresistible'' အပါအဝင် ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များတွင်လည်း အဓိကပါဝင်သူတစ်ဦးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Corporation |first=ABS-CBN |title=Dylan Wang returns to ABS-CBN as a deadly fighter in hit series "Ever Night: War of Brilliant Splendours" |url=https://corporate.abs-cbn.com/newsroom/news-releases/2022/10/26/dylan-wang-returns-abs-cbn-ever-night?lang=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20250815112042/https://corporate.abs-cbn.com/newsroom/news-releases/2022/10/26/dylan-wang-returns-abs-cbn-ever-night?lang=en |archive-date=15 August 2025 |access-date=2026-11-01 |website=corporate.abs-cbn.com |language=en |url-status=live}}</ref> === ၂၀၂၂–၂၀၂၄: ပိုမိုကျော်ကြားလာခြင်းနှင့် ဂီတလှုပ်ရှားမှု === ၂၀၂၂ ခုနှစ်တွင် ဝမ်ဟော့တိသည် ''Hello, Saturday'' အစီအစဉ်၏ တင်ဆက်သူအဖွဲ့ဝင်တစ်ဦး ဖြစ်လာခဲ့ပြီး ခရီးသွားလက်တွေ့အစီအစဉ် ''Wonderland'' ၏ ဒုတိယရာသီတွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ထုတ်လွှင့်ခဲ့သော စိတ်ကူးယဉ်အချစ်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Love Between Fairy and Devil'' တွင် တုန်းဖန်ချင်းချန်းအဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့ရာမှ ပိုမိုကျော်ကြားလာခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''All Out Action'' နှင့် ''Basketball Buddies'' အပါအဝင် အခြားဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များတွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Zhang |first=Jing |date=2023-01-05 |title=China’s Next Big Thing? Who Is Louis Vuitton’s Latest Ambassador Dylan Wang? {{!}} Jing Daily |url=https://jingdaily.com/posts/louis-vuitton-ambassador-dylan-wang |access-date=2026-11-01 |website=jingdaily.com |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=Esquire |title=2022MAHB年度先生｜王鹤棣：主动的幸运 |url=https://mp.weixin.qq.com/s/j87iQuyB-Fh2Kh9Yev_WRQ |access-date=2026-11-01 |website=微信公众平台}}</ref> ၂၀၂၃ ခုနှစ်တွင် ''Unchained Love''၊ ''Never Give Up''၊ ''Youth in the Flames of War'' နှင့် ''Only for Love'' ဇာတ်လမ်းတွဲများ၌ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ထိုနှစ်တွင် ''Seaside Tango'' (海边探戈) တေးသီချင်းကို ထုတ်ဝေခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=郑恺、陈钰琪主演新剧《今日宜加油》2月21日开播，王鹤棣加盟 — 新京报 |url=https://www.bjnews.com.cn/detail/167651374114663.html |access-date=2026-11-01 |website=www.bjnews.com.cn}}</ref><ref>{{Cite web |date=2023-01-24 |title=Dylan Wang: Rise of China’s Newest Drama Star - RADII |url=https://radii.co/article/dylan-wang |access-date=2026-11-01 |language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web |title=腾讯音乐榜2023年度榜单正式揭晓：薛之谦、周深、袁娅维、时代少年团纷纷上榜 |url=https://www.sohu.com/a/www.sohu.com/a/754032018_523234 |access-date=2026-11-01 |website=www.sohu.com |language=zh-CN}}</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် NBA All-Star Celebrity Game ၌ ပါဝင်ခဲ့ပြီး သမိုင်းနောက်ခံစိတ်ကူးယဉ်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Guardians of the Dafeng'' တွင် အဓိကပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Montgomery |first=Gregg |date=2024-02-19 |title=Chinese actor reigns on social media during NBA All-Star Game weekend |url=https://www.wishtv.com/news/entertainment-news/chinese-actor-reigns-on-social-media-during-nba-all-star-game-weekend/ |access-date=2026-11-01 |website=WISH-TV |language=en-US}}</ref> အဆိုပါဇာတ်လမ်းတွဲကို ဒီဇင်ဘာလတွင် စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''Dreams of Youth'' (少年梦) အမည်ရှိ အယ်လ်ဘမ်ကို ဒီဇင်ဘာ ၁၆ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး ဒီဇင်ဘာ ၂၈ ရက်နေ့တွင် ထိုင်းနိုင်ငံ၊ ဘန်ကောက်မြို့၌ ပထမဆုံး D.PARTY တစ်ကိုယ်တော်ဖျော်ဖြေပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{Cite news |date=2024-02-05 |title=Chinese star Dylan Wang wants his body of work to have ‘diversity’ |url=https://www.straitstimes.com/life/entertainment/chinese-star-dylan-wang-wants-his-body-of-work-to-have-diversity |access-date=2026-11-01 |work=The Straits Times |language=en |issn=0585-3923}}</ref><ref>{{Cite web |title=王鹤棣SEEWE音乐厂牌全新说唱专辑《少年梦》正式上线！ |url=https://mp.weixin.qq.com/s/f_pfchNZaRwJF0e_RVVLfg |access-date=2026-11-01 |website=微信公众平台}}</ref><ref>{{Cite web |last=ข่าวสด |date=2025-01-08 |title=สดบันเทิง - ดีแลน หวัง สุดจึ้ง ‘D.PARTY’ คอนเสิร์ตใหญ่ครั้งแรกในชีวิต |url=https://www.khaosod.co.th/entertainment/news_9579694 |access-date=2026-11-01 |website=ข่าวสด |language=th}}</ref> === ၂၀၂၅–လက်ရှိ: ရုပ်ရှင်နှင့် ရုပ်သံလုပ်ငန်းများ === ၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် ''I Dreamed a Dream'' မှတ်တမ်းရုပ်ရှင်နှင့် ဇာတ်လမ်းသရုပ်ဖော်မှု ပေါင်းစပ်ထားသော ရုပ်ရှင်တွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် စိတ်ကူးယဉ်သမိုင်းနောက်ခံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Live Long and Prosper'' ကို ရိုက်ကူးခဲ့ပြီး ခရီးသွားလက်တွေ့အစီအစဉ် ''Wander Together'' တွင်လည်း ပါဝင်ခဲ့သည်။ အဆိုပါအစီအစဉ်ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလမှ ၂၀၂၆ ခုနှစ် မတ်လအထိ ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=《咸鱼飞升》官宣 主演阵容堪称豪华！ |url=https://ent.china.com/movie/newszh/11005281/20250515/48336402_all.html |access-date=2026-11-01 |website=ent.china.com}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-12-17 |title=IFFR reveals its main competition line-ups |url=https://cineuropa.org/en/newsdetail/471524/ |access-date=2026-11-01 |website=Cineuropa - the best of european cinema |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=《宇宙闪烁请注意》爆笑发布会燃动哈尔滨 “宇宙爆闪团”引爆解压狂欢-地方新闻-北国网 |url=https://liaoning.lnd.com.cn/system/2025/12/25/030540587.shtml |access-date=2026-11-01 |website=liaoning.lnd.com.cn}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလတွင် မကာအိုမြို့၌ ဒုတိယအကြိမ် D.PARTY ဖျော်ဖြေပွဲကို ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=D-PARTY Concert by Dylan Wang in Macau Causes a Stir, Douyin Search Index Reaches 123 Million |url=https://en.kapanlagi.com/celebrity/d-party-concert-by-dylan-wang-in-macau-causes-a-stir-douyin-search-index-reaches-123-million.html |access-date=2026-11-01 |website=En.KapanLagi.com |language=id}}</ref> ဖေဖော်ဝါရီလတွင် ထွက်ရှိခဲ့သော သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် ''Per Aspera Ad Astra'' တွင် ရွှီထျန်းပျောင်အဖြစ် ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''The Inn 2026'' ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်တွင် ပါဝင်ခဲ့ပြီး သမိုင်းနောက်ခံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Empress Reborn'' ကို စတင်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=王鹤棣宋茜主演电影《星河入梦》延期上映_广州日报大洋网 |url=https://news.dayoo.com/gzrbrmt/202504/17/170636_54814056.htm |access-date=2026-11-01 |website=news.dayoo.com}}</ref><ref>{{Cite web |last=聯合新聞網 |title=王鶴棣、孟子義《將門獨后》殺青！劇情介紹與看點：一場勢均力敵的權謀救贖 |url=https://reading.udn.com/read/story/124409/9701063 |access-date=2026-11-01 |website=琅琅悅讀 |language=zh-Hant-TW}}</ref> ၂၀၂၄ ခုနှစ်တွင် ရိုက်ကူးခဲ့သော စုံထောက်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Light to the Night'' ကို ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဧပြီလတွင် Youku မှ စတင်ထုတ်လွှင့်ခဲ့ပြီး နိုင်ငံတကာတွင် Netflix မှတစ်ဆင့်လည်း ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ''Wander Together'' ၏ ဒုတိယရာသီကိုလည်း ရိုက်ကူးလျက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-04-21 |title=Netflix Acquires Simulcast Rights to C-Drama Thriller Series 'Light to the Night' |url=https://www.whats-on-netflix.com/news/light-to-the-night-c-drama-coming-to-netflix/ |access-date=2026-11-01 |website=www.whats-on-netflix.com |language=en-US}}</ref> == ဖလင်ထုတ်လုပ်ရေး == === ရုပ်ရှင်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ဇာတ်ရုပ် ! မှတ်စု |- | ၂၀၂၅ | ''I Dreamed a Dream'' | 青春梦 | | မှတ်တမ်းရုပ်ရှင်နှင့် ဇာတ်လမ်းသရုပ်ဖော်မှု ပေါင်းစပ်ထားသော ရုပ်ရှင် |- | ၂၀၂၆ | ''Per Aspera Ad Astra'' | 星河入梦 | ရွှီထျန်းပျောင် | သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ်ရုပ်ရှင် |} === ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ဇာတ်ရုပ် ! ကွန်ရက် ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၈ | ''Meteor Garden'' | 流星花园 | တောက်မင်စစ် | Hunan TV | |- | ၂၀၂၀ | ''Ever Night 2'' | 将夜2 | | Tencent Video | |- | ၂၀၂၁ | ''The Rational Life'' | 理智派生活 | ချီရှောင် | Mango TV | |- | ၂၀၂၁ | ''Miss the Dragon'' | 遇龙 | နဂါးဘုရင် | Tencent Video | |- | ၂၀၂၂ | ''Love Between Fairy and Devil'' | 苍兰诀 | တုန်းဖန်ချင်းချန်း | iQIYI | |- | ၂၀၂၂ | ''Unchained Love'' | 浮图缘 | ရှောင်တော် | iQIYI | |- | ၂၀၂၃ | ''Never Give Up'' | 今日宜加油 | | iQIYI | |- | ၂၀၂၃ | ''Youth in the Flames of War'' | 战火中的青春 | | Jiangsu TV | |- | ၂၀၂၃ | ''Only for Love'' | 以爱为营 | ရှီယန် | Mango TV | |- | ၂၀၂၄ | ''Guardians of the Dafeng'' | 大奉打更人 | ရှုချီအန်း | Tencent Video | |- | ၂၀၂၅ | ''Live Long and Prosper'' | 咸鱼飞升 | | Mango TV | ရိုက်ကူးပြီး |- | ၂၀၂၆ | ''Light to the Night'' | 黑夜告白 | | Youku | |- | ၂၀၂၆ | ''Empress Reborn'' | 将门独后 | ရှဲ့ကျင်းရှင်း | Tencent Video | ရိုက်ကူးပြီး |} === ဖျော်ဖြေရေးအစီအစဉ်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! အင်္ဂလိပ်ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! ပါဝင်မှု ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၇ | ''Super Idol'' | 超次元偶像 | ပြိုင်ပွဲဝင် | နောက်ဆုံးအဆင့် အနိုင်ရရှိ |- | ၂၀၁၈ | ''The Inn 2'' | 亲爱的·客栈第二季 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၁၉ | ''Super Penguin Basketball Celebrity Game'' | 超级企鹅联盟 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၁ | ''Summer Palace'' | 元气满满的哥哥 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၁ | ''The Irresistible'' | 元气满满的哥哥 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၂ | ''Hello, Saturday'' | 你好，星期六 | တင်ဆက်သူအဖွဲ့ဝင် | |- | ၂၀၂၂ | ''Wonderland 2'' | 五十公里桃花坞2 | အဓိကပါဝင်သူ | ဒုတိယရာသီ |- | ၂၀၂၂ | ''All Out Action'' | 全力以赴 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၂ | ''Basketball Buddies'' | 打球嘛朋友 | ပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၅–၂၀၂၆ | ''Wander Together'' | 宇宙闪烁请注意 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | ၂၀၂၆ | ''The Inn 2026'' | 亲爱的客栈2026 | အဓိကပါဝင်သူ | |- | | ''Wander Together 2'' | 宇宙闪烁请注意2 | အဓိကပါဝင်သူ | ရိုက်ကူးဆဲ |} == ဂီတလက်ရာများ == === တေးသီချင်းများနှင့် အယ်လ်ဘမ်များ === {| class="wikitable" |- ! နှစ် ! အင်္ဂလိပ်ခေါင်းစဉ် ! တရုတ်ခေါင်းစဉ် ! အယ်လ်ဘမ် ! မှတ်စု |- | ၂၀၁၇ | "We Are Dreamers" | | | ''Super Idol'' အစီအစဉ်၏ ဇာတ်ဝင်တေး |- | rowspan="4" | ၂၀၁၈ | "For You" | | rowspan="4" | ''Meteor Garden'' OST | rowspan="2" | Darren Chen၊ Connor Leong နှင့် Caesar Wu တို့နှင့်အတူ |- | "Creating Memories" | 创造回忆 |- | "No Trivial Matter" | 非同小可 | |- | "Don't Need to Think" | 想都不用想 | |- | ၂၀၂၃ | "Seaside Tango" | 海边探戈 | | တစ်ကိုယ်တော်တေးသီချင်း |- | ၂၀၂၄ | ''Dreams of Youth'' | 少年梦 | ''Dreams of Youth'' | အယ်လ်ဘမ်၊ ဒီဇင်ဘာ ၁၆ ရက်တွင် ထုတ်ဝေ |} === ဖျော်ဖြေပွဲများ === {| class="wikitable" |- ! ရက်စွဲ ! ဖျော်ဖြေပွဲ ! နေရာ ! မှတ်စု |- | ၂၈ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၄ | D.PARTY | Impact Arena၊ ဘန်ကောက်၊ ထိုင်းနိုင်ငံ | ပထမဆုံး တစ်ကိုယ်တော်ဖျော်ဖြေပွဲ |- | ၁၇ ဇန်နဝါရီ ၂၀၂၆ | D.PARTY | Galaxy Arena၊ မကာအို | ဒုတိယအကြိမ် ဖျော်ဖြေပွဲ |} == ကြော်ငြာနှင့် အမှတ်တံဆိပ်များ == ဝမ်ဟော့တိသည် နိုင်ငံတကာနှင့် တရုတ်နိုင်ငံရှိ အမှတ်တံဆိပ်များစွာနှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ Louis Vuitton ၏ House Ambassador နှင့် Guerlain၊ Yadea၊ Bose တို့၏ Global Ambassador အဖြစ် ခန့်အပ်ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{Cite web |title=路易威登正式宣布王鹤棣出任品牌代言人 |url=https://www.vogue.com.cn/fashion/brand_news/news_17g497ad3518bdd3.html |access-date=2026-11-01 |website=www.vogue.com.cn}}</ref><ref>{{Cite web |last=antaranews.com |date=2025-01-13 |title=Yadea hits 100 million units in global sales, with the new announcement of global ambassador Dylan Wang |url=https://en.antaranews.com/news/341282/yadea-hits-100-million-units-in-global-sales-with-the-new-announcement-of-global-ambassador-dylan-wang |access-date=2026-11-01 |website=Antara News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-09-12 |title=Bose推出QuietComfort消噪耳机Ultra II ，携手全能艺人王鹤棣共启「声音境棣」​ |url=https://www.ellechina.com/fashion/news/a66059889/bosequietcomfortultra-ii/ |access-date=2026-11-01 |website=ELLE China |language=zh-CN}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ်အထိ တရုတ်နိုင်ငံတွင် Adidas၊ Pepsi၊ Hennessy၊ Head & Shoulders နှင့် Lay's အပါအဝင် အမှတ်တံဆိပ်များကို ကိုယ်စားပြုခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Spötter |first=Ole |date=2026-03-30 |title=Adidas celebrates football with retro market in Shanghai |url=https://fashionunited.uk/news/fashion/adidas-celebrates-football-with-retro-market-in-shanghai/2026033087150 |access-date=2026-11-01 |website=FashionUnited |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=时尚COSMO-炽烈绽放，闪耀黑夜 与轩尼诗炽夜中国区代言人王鹤棣一起，探索夜的无尽魅力 |url=https://www.cosmopolitancn.com/cosmo/detail/37537 |access-date=2026-11-01 |website=www.cosmopolitancn.com}}</ref><ref>{{Cite web |title=Pepsi unveils new logo and identity; colours 120 markets in electric blue |url=https://www.campaignasia.com/article/pepsi-unveils-new-logo-and-identity-colours-120-markets-in-electric-blue/nad960z45bb0crt1r0mkypa60c |access-date=2026-11-01 |website=Campaign Asia |language=en-US}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[Category:၁၉၉၈ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:သက်ရှိထင်ရှားပုဂ္ဂိုလ်များ]] [[Category:တရုတ် အမျိုးသား ရုပ်ရှင်သရုပ်ဆောင်များ]] [[Category:တရုတ် အဆိုတော်များ]] klti0812evg5vvjqk1yrqewxjelyy4a 0 109776 1060863 1060648 2026-10-31T13:41:09Z SoeThiha5 80839 /* သမိုင်းကြောင်း */ 1060863 wikitext text/x-wiki {{refimprove}} {{Infobox University |name = မိုးညှင်းတက္ကသိုလ် |image = |caption = |logo = |logo_size = 120px |motto = ပညာရည်တိုး နိုင်ငံအကျိုး |former_names= |established = {{start date and age|df=yes|09|12|2003}}<ref name="bgh"/> |location = [[မိုးညှင်းမြို့]] <br> [[ကချင်ပြည်နယ်]] |coor = |type = အများဆိုင် |staff = |rector = ဒေါက်တာမဉ္ဇူမင်း |students = |undergrad = |postgrad = |city= |website = {{URL|http://www.mnuni.edu.mm/}} }} '''မိုးညှင်းတက္ကသိုလ်''' ({{lang-en|Mohnyin University}}) သည် [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[ကချင်ပြည်နယ်]]၊ [[မိုးညှင်းမြို့နယ်]]၊ ရွာသစ်ကုန်းကျေးရွာအုပ်စုတွင် တည်ရှိသော တက္ကသိုလ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း == [[File:Main building of Mohnyin University.jpg|thumb|မိုးညှင်းတက္ကသိုလ်ပင်မဆောင်]] ၂၀၀၃ခုနှစ် မေလ ၁၄ရက်နေ့တွင် စတင် တည်ဆောက်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၃ခုနှစ် ဒီဇင်ဘာလ ၉ရက်နေ့တွင် မိုးညှင်းဒီဂရီကောလိပ်အဖြစ် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၀ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၃၁ရက်နေ့တွင် မိုးညှင်းတက္ကသိုလ်ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၂၀၂၃ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလတွင် မိုးညှင်းတက္ကသိုလ်၏ပထမဆုံး ဘွဲ့နှင်းသဘင်အခမ်းအနားကို အောင်မြင်စွာ ကျင်းပခဲ့သည်။<ref>မိုးညှင်းတက္ကသိုလ် ၂၀၂၂-၂၀၂၃ နှစ်လည်မဂ္ဂဇင်း စာမျက်နှာ-၆ မှ</ref><ref name="bgh">{{cite web|url=http://www.mnuni.edu.mm/?page_id=1729&lang=my|title=Background History|accessdate=|archivedate=10 May 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210510004455/http://www.mnuni.edu.mm/?page_id=1729&lang=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} {{မြန်မာနိုင်ငံရှိတက္ကသိုလ်များ}} [[Category:ကချင်ပြည်နယ်အတွင်းရှိ တက္ကသိုလ်များ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံရှိ ဝိဇ္ဇာသိပ္ပံတက္ကသိုလ်နှင့်ကောလိပ်များ]] {{Myanmar-university-stub}} 4mdeaxqjw5fhq0nu5daxc48v6c365hp 0 115163 1060936 1030556 2026-11-01T00:15:19Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 2 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060936 wikitext text/x-wiki {{Infobox criminal |name=ချားလ်(စ်)မန်ဆန် |image=MansonB33920 8-14-17 (cropped).jpg |caption=မန်ဆန်ကို ကော်ကိုရန် ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်တွင် ၂၀၁၇ ဩဂုတ်လက တွေ့ရစဉ်။ |birth_name=ချားလ်စ်မိုင်းလ်မက်ဒေါ့စ် |birth_date={{birth date|၁၉၃၄|၁၁|၁၂}} |birth_place=[[စင်စနက်တီ]], [[အိုဟိုင်းယိုးပြည်နယ်]]၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု |death_date={{death date and age|၂၀၁၇|၁၁|၁၉|၁၉၃၄|၁၁|၁၂}} |death_place=[[ဘေ့ကာစ်ဖီးလ်(ဒ်)၊ ကယ်လီဖိုးနီးယား]]၊ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု |occupatoin=အဆိုတော် - တေးရေးဆရာ |known_for=[[မန်ဆန်မိသားစု]] လူသတ်သမားများ၊ [[တိတ် လူသတ်သမားများ]] |charge=လူသတ်မှု၊ လျှို့ဝှက်ကြံစည်မှု<!-- See appeals-court decision at http://online.ceb.com/calcases/CA3/61CA3d102.htm -->|penalty=သေဒဏ် (ကယ်လီဖိုးနီးယား၌ သေဒဏ်ဖျက်သိမ်းပြီးသည့်နောက် ခြေချုပ်နှင့်တသက်တကျွန်း ပြောင်းလဲကျခံဖွယ်ရာရှိ) |spouse={{unbulleted list|{{marriage|ရိုစလီဝီလစ်(စ်)|1955|1958|end=div}} |{{marriage|လီယိုနာစတီဗန်(စ်)|1959|1963|end=div}}}} |children=၂ ဦး (၁ ဦး အဆိုရှိ) |partners=[[ဆူဇန်အက်တ်ကင်း(စ်)]]၊ [[မာရီဘရူးနာ]] နှင့် [[တက်စ်ဝက်ဆန်]] အပါအဝင် [[မန်ဆန်မိသားစုဝင်များ]] |height={{height|ft=5|in=2|out=cm}}<ref>{{cite web|url=https://www.npr.org/2017/11/20/565303969/charles-manson-leader-of-murderous-cult-dies-at-83|title=Charles Manson, Leader of Murderous Cult, Dies at 83|publisher=NPR|accessdate=January 19, 2019}}</ref> <small>သို့</small> {{height|ft=5|in=6|out=cm}}<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/?id=fozN5LkhB8sC&pg=PA223&lpg=PA223&dq=height+indicated+on+the+California+Department+of+Corrections+record+card+reprinted+on+page+118+of+The+Manson+File#v=onepage&q=height+indicated+on+the+California+Department+of+Corrections+record+card+reprinted+on+page+118+of+The+Manson+File&f=false|title=Swinging Single: Representing Sexuality in the 1960s|first1=Hilary|last1=Radner |first2=Moya|last2=Luckett|date=April 12, 1999|publisher=U of Minnesota Press|via=Google Books|isbn=978-0-8166-3351-7}}</ref> <small>depending on source</small> |parents={{plainlist| * ကာနယ် ဒဘယ်လျူ အေ့ချ် စကော့(တ်) စီနီယာ နှင့် nbsp;(ဖခင်) * ကက်သလင်းမက်ဒေါ့(စ်) (မိခင်) * ဝီလျံမန်ဆန် (ပထွေး) }} |imprisoned= |signature=File:Charles Manson signature2.svg }} '''ချားလ်စ်မိုင်းလ်မန်ဆန်''' ({{lang-en|Charles Milles Manson}}; né '''Maddox''', ၁၉၃၄ နိုဝင်ဘာ ၁၂ - ၂၀၁၇ နိုဝင်ဘာ ၁၉) သည် အမေရိကန် ရာဇဝတ်သား နှင့် ဂိုဏ်းခေါင်းဆောင်တစ်ဦးဖြစ်သည်။ ၁၉၆၇ နှစ်လယ်တွင် မန်ဆန်မိသားစုဟု လူသိများလာသော ကယ်လီဖိုးနီယားအခြေစိုက် စိတ်တူကိုယ်တူအဖွဲ့ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၉ ဇူလိုင်နှင့် ဩဂုတ်၌ မန်ဆန်၏ နောက်လိုက်များက ကွင်းဆက် လူသတ်မှု ၉ မှုကို နေရာ ၄ နေရာတွင် ကျူးလွန်ခဲ့ကြသည်။ မန်ဆန်နှင့် အခြားပါဝင်သူများအကြား အငြင်းပွားနေဆဲ ဖြစ်သော်လည်း လူမျိုးရေးစစ်ပွဲအား စတင်ရန် အကွက်ချကြံစည်ခဲ့သည်ဟု လော့စ်အန်ဂျလိစ် ကောင်တီ ခရိုင်ရှေ့နေက ဆိုသည်။<ref>{{Cite book|title=Goodbye Helter Skelter|last=Stimson|first=George|publisher=The Peasenhall Press|year=2014|isbn=978-0-9913725-8-4|location=California|pages=5}}</ref> လူ ၇ ဦးသေဆုံးမှုအတွက် ပထမဒီဂရီ လူသတ်မှုနှင့် လူသတ်ရန် ပူးပေါင်းကြံစည်မှုဖြင့် ၁၉၇၁ တွင် စီရင်ချက်ချခံရသည်။ လူသတ်မှုများအတွက် မန်ဆန်က အတိအလင်း အမိန့်မပေးခဲ့ဟု တရားရုံးက လက်ခံခဲ့သော်လည်း သူ၏ အတွေးအခေါ်က ပေါ်ပေါ်ထင်ထင်ပူးပေါင်းကြံစည်မှုမြောက်သည်ဟု ၎င်းတို့က ချေပခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://law.justia.com/cases/california/court-of-appeal/3d/61/102.html|title=People v. Manson|website=Justia Law|language=en|access-date=2019-05-11}}</ref> ဂယ်ရီဟင်းမန်းနှင့် ဒေါ်နယ်ရှီးယားတို့ သေဆုံးမှုအတွက် ပထမဒီဂရီလူသတ်မှုအဖြစ် မန်ဆန် စီရင်ချက်ချခံရသည်။ မန်ဆန်မိသားစုတည်ထောင်စဉ်က မန်ဆန်မှာ ပြစ်မှုအမျိုးမျိုးအတွက် စာရိတ္တပြုပြင်ဌာနများ၌ သက်တမ်းတစ်ဝက်ခန့် နေထိုင်ခဲ့ရသော ထောင်ထွက်ဟောင်း အလုပ်လက်မဲ့တစ်ဦးဖြစ်သည်။ လူသတ်မှုများ မဖြစ်ပွားမီက the Beach Boys တည်ထောင်သူ အဖွဲ့ဝင် ဒရမ်မာ ဒန်းနစ်စ်ဝီလ်ဆန်နှင့် ကံအားလျော်စွာ ပေါင်းစည်းမှုမှတဆင့် လော့စ်အန်ဂျလိစ် တေးဂီတနယ်ပယ် အစွန်အဖျား၌ တေးရေးတေးဆိုဖြစ်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၈ တွင် ယင်းအဖွဲ့က မန်ဆန်၏ သီချင်း "Cease to Exist" ကို "Never Learn Not to Love" ဟု အမည်ပြောင်းပြီး ဘီခြမ်းလုံးချင်းတေး အဖြစ် ထည့်သွင်းခဲ့သော်လည်း မန်ဆန်အား အမည်တပ်ဖော်ပြခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ ဘီတဲလ်စ် အဖွဲ့ အထူးသဖြင့် ("ဝှိုက်အယ်လ်ဘမ်" ဟုလည်း လူသိကြ) သော ၁၉၆၈ ထုတ် နားဆင်သူအလိုကျ ခေါင်းစဉ်တပ်နိုင်သည့်အယ်လ်ဘမ်အား စွဲလမ်းနေခဲ့သည်ဟု လော့စ်အန်းဂျလိစ် ခရိုင်ရှေ့နေက ပြောကြားသည်။ အဖွဲ့၏ တေးစာသားအား မိမိသဘောဖြင့်မိမိ အဓိပ္ပာယ်ကောက်ကာ ကျရောက်လုဆဲ ကမ္ဘာပျက်မည့် လူမျိုးရေးစစ်ပွဲအား ဖော်ညွှန်းရန် "Helter Skelter" ဆိုသည့် အသုံးကို မွေးစားခဲ့သည်။ မန်ဆန်နှင့် သူ၏နောက်လိုက်များဖြစ်သော အမျိုးသမီးငယ်များက ဤကဲ့သို့လူသတ်မှုများကျူးလွန်ခြင်းက ထိုစစ်ပွဲလျင်လျင်မြန်မြန်စတင်မည်ဟု ယုံကြည်ကြကြောင်း အစိုးရရှေ့နေက တရားခွင်၌ ထွက်ဆိုသည်။ မန်ဆန်၏ သူငယ်ချင်း ဘော့ဘီဘိုဆောလေး အပြစ်မှ လွတ်စေရန် ကြံစည်၍ တိတ်-လာဘီယန်ကာ လူသတ်မှုများအား ပုံတူကူးကျခဲ့ခြင်းဟု အခြားကာလပေါ်တွေ့ဆုံမေးမြန်းခန်းများနှင့် မန်ဆန်၏ ရှေးဦးပြစ်မှုများအတွက် ဒဏ်ငွေချမှတ်သည့် တရားခွင်၌ ထွက်ဆိုသူများက ခိုင်ခိုင်မာမာပြောဆိုသည်။<ref>{{Cite web|url=http://www.cielodrive.com/manson-murders-motive-copycat.php|title=Manson Murders Motive {{!}} Copycat Motive|website=www.cielodrive.com |access-date=2019-05-11}}</ref><ref name=":0">Day, James Buddy (Director). 2017. ''Charles Manson: The Final Words'' (Documentary). Pyramid Productions.</ref> မန်ဆန်၏ နာမည်ဆိုးစတင်ကျော်ကြားချိန်ကပင် သူနှင့်ဆက်နွယ်သည့် ပေါ့ယဉ်ကျေးမှုထွန်းကားလာပြီး ရူးသွပ်မှု၊ အကြမ်းဖက်မှု နှင့် အော့နှလုံးနာဖွယ်ရာတို့၏ ပြယုဂ်ဖြစ်လာခဲ့လေသည်။ သူကျူးလွန်ခဲ့သော ရာဇဝတ်မှုများအတွက် စွဲချက်တင်ခံရပြီးနောက် သူရေးသားတင်ဆက်ထားသော တေးသံသွင်းသီချင်းများကို ထုတ်ဝေခဲ့ရာ ''Lie: The Love and Terror Cult'' (၁၉၇၀) မှာ ဦးဆုံးဖြစ်သည်။ အချို့သီချင်းများကို တေးသံရှင်များစွာက သီဆိုခဲ့သည်။ မန်ဆန်အား မူလက သေဒဏ်ချမှတ်ခဲ့သော်လည်း ကယ်လီဖိုးနီးယားအထက်တရားရုံးက ၁၉၇၂ ၌ ပြည်နယ်တွင်းသေဒဏ် ပြဋ္ဌာန်းချက်အား ဖျက်သိမ်းလိုက်သည့်အတွက် ခံဝန်ချက်ရနိုင်သည့် ထောင်ဒဏ်တစ်သက်အဖြစ် ပြောင်းသွားသည်။ ကော်ကိုရန်ရှိ ကယ်လီဖိုးနီးယား ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်တွင်း ထောင်ဒဏ်တစ်သက်ကျခံခဲ့ပြီး ၂၀၁၇ နှောင်းပိုင်း အသက် ၈၃ နှစ်တွင် သေဆုံးသည်။ == ငယ်စဉ်ဘဝ == === ငယ်ဘဝ === ချားလ်စ်မန်ဆန်ကို ၁၉၃၄ နိုဝင်ဘာ ၁၂ တွင် အသက် ၁၆ နှစ်အရွယ်ရှိ ကက်သလင်း မန်ဆန်-ဘောင်ဝါ-ခါဗန်ဒါ ခေါ် နီးမက်ဒေါ့စ် (၁၉၁၈-၁၉၇၃) က [[အိုဟိုင်းယိုးပြည်နယ်]]၊ စင်စနက်တီ အရပ်ရှိ စင်စနက်တီ တက္ကသိုလ် အကယ်ဒမစ် ကျန်းမာရေးစင်တာ၌ မွေးဖွားခဲ့သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.theclever.com/15-lesser-known-facts-about-charles-manson/ |title=15 Lesser-Known Facts About The Late Charles Manson |date=November 21, 2017 |publisher=The Clever |last=Woods|first=Jared |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171129074434/https://www.theclever.com/15-lesser-known-facts-about-charles-manson/ |archivedate=November 29, 2017 |df=mdy-all}}</ref> သူ့အား ပထမ၌ "အမည်မဲ့မက်ဒေါ့စ်" ဟု မှည့်ခဲ့သော်လည်း<ref>{{cite web |url=http://www.accuracyproject.org/cbe-Manson,Charles.html |title=Internet Accuracy Project: Charles Manson, a website dedicated to providing accurate information on the web |publisher=Accuracyproject.org |access-date=October 28, 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210224141140/https://www.accuracyproject.org/cbe-Manson,Charles.html |archive-date=24 February 2021 |url-status=dead}}</ref><ref name="bugliosi">{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=136–7}}</ref><ref>{{harvnb|Manson|1988|p=28}}</ref><ref name="mom">{{cite newspaper|last=Smith|first=Dave |title=Mother Tells Life of Manson as Boy|newspaper=[[Los Angeles Times]]|date=Jan 26, 1971}}</ref> ရက်သတ္တပတ် အနည်းငယ်အတွင်း  '''ချားလ်စ် မိုင်းလ်စ် မက်ဒေါ့စ်''' ဟု အမည်ပြောင်းမှည့်ခေါ်ခဲ့သည်။<ref name="bugliosi"/><ref>Reitwiesner, William Addams. [http://www.wargs.com/other/manson.html Provisional ancestry of Charles Manson] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305010208/http://www.wargs.com/other/manson.html |date=March 5, 2016}}; retrieved April 26, 2007.</ref> မန်ဆန်၏ မွေးဖခရင်းမှာ [[ကင်တပ်ကီပြည်နယ်]] ကတ်လတ်စဘာ့ဂ် မှ ကာနယ်ဝေါကာဟန်ဒါဆန် စကော့တ် စီနီယာ (၁၉၁၀-၁၉၅၄) ဖြစ်ဟန်ရှိပြီး<ref>{{cite web |url=http://www.accuracyproject.org/cbe-Manson,Charles.html |title=''Internet Accuracy Project: Charles Manson'' |publisher=Accuracyproject.org |access-date=October 28, 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210224141140/https://www.accuracyproject.org/cbe-Manson,Charles.html |archive-date=24 February 2021 |url-status=dead}}</ref> ကက်သလင်းမက်ဒေါ့စ်က ဖခင်ရင်းအမှန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြလိုမှုဖြင့် သူ့အား စွဲချက် တင်ရာ ၁၉၃၇ တွင် agreed judgment အနေဖြင့် ဆုံးဖြတ်ချက်ကျသည်။ မန်ဆန်မှာ သူ၏ မွေးဖခင်ကို သိရှိခဲ့ဟန် မတူပေ။<ref name="bugliosi"/><ref name="mom" /> စကော့တ်က နယ်ခံဆန်စက်များတွင် လုပ်တလှည့်နားတလှည့်ဖြင့် လုပ်ကိုင်ပြီး လူလိမ်တစ်ဦးအဖြစ် နာမည်ကျော် သည်။ ကာနယ်မှာ သူ့နာမည်ရင်းမျှသာဖြစ်သော်လည်း စစ်တပ်ကာနယ် (ဗိုလ်မှူးကြီး) ဟု မက်ဒေါ့စ်အား ပုံမှားရိုက်ယုံကြည်စေသည်။ မက်ဒေါ့စ်က ကိုယ်ဝန်ရှိနေပြီဖြစ်ကြောင်း စကော့တ်အား ပြောသည့်အခါ စစ်တပ်တာဝန်ဖြင့် အဝေးသွားရမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြောခဲ့သည်။ လများစွာကြာပြီးသည့် နောက်တွင်မှ ပြန်လာမည့် ရည်ရွယ်ချက်သူ့တွင် မရှိကြောင်း သူမ သဘောပေါက်သွားသည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|p=22}}</ref> ၁၉၃၄ ဩဂုတ် မန်ဆန်မမွေးမီတွင် ဝီလျံ ယူဂျင်း မန်ဆန် (၁၉၀၉-၁၉၆၁) နှင့် မက်ဒေါ့စ် လက်ထပ်ပြီး ချားလ်စ်၏ မွေးစာရင်းမှတ်ပုံတင်ပေါ်၌ ထိုသူ၏ အလုပ်အကိုင်ကို အခြောက်လျှော်လုပ်ငန်း "အလုပ်သမား" ဟု ဖော်ပြထားသည်။<ref name="Guinn p.23">{{harvnb|Guinn|2013|p=23}}</ref> မက်ဒေါ့စ်မှာ မောင်ဖြစ်သူ လူသာနှင့်အတူ တကြိမ်လျှင် ရက်ပေါင်းများစွာ စိတ်လွတ်ကိုယ်လွတ် အရက်သွားသောက်နေခဲ့ရာ ချားလ်စ်ကို ကလေးထိန်းများနှင့် ပစ်ထားခဲ့သည်။ မန်ဆန်၏ စွဲချက် "တာဝန်အလုံးစုံလစ်ဟင်းမှု" ကို တရားရုံး က လက်ခံသည့်အတွက် ၁၉၃၇ ဧပြီ ၃၀ တွင် လင်မယား ကွာရှင်းသည်။<ref name="Guinn p.23" /> ၁၉၃၉ ဩဂုတ် ၁ ရက်တွင် မက်ဒေါ့စ် နှင့် လူသာ၏ ရည်းစား ဂျူလီယာဗစ်ကာတို့ ၂ ဦး မကြာသေးမီက သိကျွမ်းသော ကြေးရတတ်ဖြစ်ဟန်ရှိသည့် ဖရန့်ခ် မာတင်နှင့် ညနေအရက်ဝိုင်းထောင်နေစဉ် ၎င်းတို့ ၂ ဦးက သူ့အား လုယက်ရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ကြပြီး မက်ဒေါ့စ်က သူ့မောင်အား ဖုန်းဆက်အကူအညီတောင်းသည်။ အသုံးမကျသော သူခိုးများ ဖြစ်ကြ ရာ နာရီပိုင်းအတွင်း ဖမ်းဆီးခံရသည်။ ၇ ပတ်အကြာ တရားရုံးတင်စစ်ဆေးမှု၌ လူသာကို ထောင်ဒဏ် ၁၀ နှစ် နှင့် ကက်သလင်းကို ထောင်ဒဏ် ၅ နှစ် ချမှတ်လိုက်ရာ<ref>{{harvnb|Guinn|2013|p=27}}</ref> မန်ဆန်မှာ အနောက်ဗဂျီးနီးယားနယ် မက်မချန်ရှိ ဦးလေးနှင့် အဒေါ်ဖြစ်သူထံ သွားရောက်နေထိုင်ရသည်။<ref name="ketchup">{{cite news |url = https://www.nytimes.com/2013/08/07/books/a-new-look-at-charles-manson-by-jeff-guinn.html |title = Long Before Little Charlie Became the Face of Evil |date = August 7, 2013 |work = The New York Times |access-date = January 7, 2016 |url-status=live |archiveurl = https://web.archive.org/web/20150930225705/http://www.nytimes.com/2013/08/07/books/a-new-look-at-charles-manson-by-jeff-guinn.html |archivedate = September 30, 2015 |df = mdy-all }}</ref> ၁၉၄၂ တွင် သူ့မိခင် ခံဝန်ဖြင့် လွတ်လာသည်။ သူမမိခင် ထောင်မှ လွတ်လာပြီးနောက် ရှေ့ပိုင်းရက်သတ္တပတ်များက သူ့ဘဝတွင် အပျော်ဆုံးအချိန်ဟု မန်ဆန်က ပြောဆိုသည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|p=36}}</ref> အနောက်ဗဂျီးနီးယားနယ် ချားလ်စတန်သို့ မန်ဆန်မိသားစုပြောင်းရွှေ့ပြီး မိခင်ဖြစ်သူက ညနေတိုင်း အရက်သောက် နေစဉ် မန်ဆန်က ကျောင်းပြေးနေခဲ့သည်။ သူမမှာ အလစ်သုတ်မှုအတွက် အဖမ်းခံရသော်လည်း အပြစ်ဒဏ်ချခြင်း မခံရပေ။ အင်ဒီယားနာပလစ်သို့ ပြောင်းရွှေ့ပြီးနောက် မက်ဒေါ့စ်က အမည်မဖော်အရက်စွဲသူများ အစည်းအဝေးသို့ တက်ခဲ့ရာ လူးဝစ်အမည်ရှိ အရက်ဂျိုး တစ်ဦးနှင့် တွေ့ဆုံပြီး ၁၉၄၃ ဩဂုတ်တွင် လက်ထပ်သည်။ မန်ဆန်မှာ အမြဲလိုလို ကျောင်းပြေးနေသည့်အပြင် စတိုးဆိုင်များနှင့် အိမ်မှ စတင် ခိုးယူခဲ့သည်။ ၁၉၄၇ တွင် မန်ဆန်အတွက် ယာယီ မွေးစားအိမ်ကို မက်ဒေါ့စ်က ရှာဖွေခဲ့သော်လည်း သင့်တော်သည့်အိမ်ကို မတွေ့ခဲ့ပေ။ အင်ဒီယားနား တဲရာဟော့တ် အရပ် ရှိ ကတ်သလစ်ဘုန်းတော်ကြီးများ ဦးစီးသော ဆိုးသွမ်းယောက်ျားလေးများအတွက် ဂီဘော့လ်တ် ကျောင်းသို့ မန်ဆန်အား ပို့ရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်သည်။ မကြာမီ သူ့မိခင်ထံပြန်ပေးလေရာ မိခင်က ကျောင်းသို့ပြန်ပို့သည်။ ၁၉၄၇ ခရစ္စမတ်ကို ဦးလေးနှင့်အဒေါ်အိမ်၌ ကုန်လွန်ခဲ့ပြီး သေနတ်ခိုးယူစဉ် အဖမ်းခံရသည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|pp=37–42}}</ref> === ကနဦးကျူးလွန်မှုများ === မန်ဆန် ဂျီဘော့လ်သို့ပြန်လာခဲ့သော်လည်း ၁၀ လ ကြာသည့်အခါ အင်ဒီယားနာ့စ်ပလိစ်သို့ ထွက်ပြေးခဲ့သည်။ သူ့မိခင်ထံ ပြန်မသွားတော့ဘဲ အခန်းတစ်ခန်းငှားကာ ညဘက်တွင်ဆိုင်များအား ဖောက်ထွင်းခိုးယွင်းပြီး အသက်မွေးလျက် ရှိသည်။ နောက်ဆုံးတွင် အဖမ်းခံရပြီး စာနာတတ်သည့် တရားသူကြီး တစ်ဦးက [[နီဘရားစကားပြည်နယ်]] အိုမဟာရှိ လူငယ် ပြုပြင်ရေးဌာန ဘွိုင်းစ်တောင်း သို့ သူ့အား ပို့ခဲ့သည်။ ၄ ရက်ကြာသည့်အခါ သူနှင့် ဘလက်ကီနိုင်ရဲလ်ဆန် အမည်ရ ကျောင်းသား တစ်ဦးတို့ ကား ခိုးပြီး သေနတ် တစ်လက်ရအောင်လည်း ကြိုးပမ်းနိုင်ခဲ့သည်။ [[အီလီနွိုင်းပြည်နယ်]]ရှိ နိုင်ရဲလ်ဆန်၏ ဦးလေးအိမ်သို့ သွားရာလမ်း၌ ကုန်စုံဆိုင်နှင့် ကာဆီနိုဆိုင်တို့အား ယင်းသေနတ်သုံးပြီး လုယက်ခဲ့သည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|pp=42–43}}</ref><ref>{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=136–146}}</ref> နိုင်ရဲလ်ဆန်၏ ဦးလေးမှာ စီးပွားဖြစ်သူခိုးတစ်ဦးဖြစ်ရာ ကောင်လေးများရောက်သည့်အချိန်၌ အလုပ်သင်အဖြစ် လက်ခံလိုက်သည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|p=43}}</ref> ၂ ပတ်ကြာပြီးနောက် Peoria စတိုးအား ညအချိန် ဝင်ရောက်စီးနင်းမှုအတွင်း အဖမ်းခံရသည်။ စုံစမ်း မေးမြန်းမှုအတွင်း အခြား စောစောပိုင်း လက်နက်ကိုင်လုယက်မှု ၂ ခုနှင့် ဆက်နွယ်နေကြောင်း သိရှိရသည်။ စည်းကမ်း တင်းကျပ်သည့် ပြုပြင်ရေးကျောင်း အင်ဒီယားနား ယောက်ျားလေးများကျောင်း သို့ မန်ဆန်အပို့ခံရသည်။ ကျောင်းဝန်ထမ်းများ၏ အားပေးအားမြောက်မှုဖြင့် အခြားကျောင်းသားများက သူ့အား အဓမ္မပြုကျင့်ခဲ့ကြောင်း မန်ဆန် က ပြောသည်။ "အရူးဂိမ်း"ဟု ခေါ်သည့် ကိုယ့်ကိုကိုယ်ကာကွယ်သည့် နည်းကို မန်ဆန်က ဖန်တီးခဲ့သည်။ ကာယအားဖြင့် ကိုယ့်ကိုကိုယ်မကာကွယ်နိုင်သည့်အခါ အာခေါင်ခြစ်အော်ခြင်း ရှုံ့မဲ့ခြင်းနှင့် လက်များကို ဝှေ့ရမ်းခြင်းဖြင့် ရူးနေသူဟု သူ့အား ဖိနှိပ်သူက ထင်သွားအောင် ပြုလုပ်သည်။ မအောင်မြင်သည့် ကြိုးပမ်းမှုများစွာရှိခဲ့ပြီးနောက် ၁၉၅၁ ဖေဖော်ဝါရီတွင် အခြား ယောက်ျားလေး ၂ ဦးနှင့်အတူ ထွက်ပြေးလွတ်မြောက်ခဲ့သည်။<ref name="Guinn p.45">{{harvnb|Guinn|2013|p=45}}</ref><ref name="bc13746">{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=137–146}}</ref> ခိုးယူလာသောကားဖြင့် ကယ်လီဖိုးနီးယားသို့ မောင်းပြေးစဉ် တရားခံပြေး ၃ ယောက် ယူတာ၌ အဖမ်းခံရသည်။ လမ်းတလျောက် ဆီဆိုင်များအား လုယက်ခဲ့ကြသည်။ အခိုးခံကားကို နယ်ကျော်မောင်းနှင်လျှင် ဒိုင်ယာအက်ဥပဒေကို ချိုးဖောက်သဖြင့် ဖက်ဒရယ်ရာဇဝတ်မှုမြောက်သည်။ ဝါရှင်တန်ဒီစီရှိ ယောက်ျားလေးများအတွက် အမျိုးသား လေ့ကျင့်ရေးကျောင်းသို့ မန်ဆန် အပို့ခံရသည်။<ref name="bc13746" /> ရောက်လျှင်ရောက်ချင်း ဉာဏ်စွမ်းရည်စစ်ဆေးမှု ပြုလုပ်ခဲ့ရာ စာမတတ် သော်လည်း အိုင်ကျူ ၁၀၉ (နိုင်ငံ့ ပျမ်းမျှ ၁၀၀) ရှိကြောင်းတွေ့ရသည်။ ရိုင်းစိုင်းရန်လိုသည်ဟု သူ့အမှုကိုင်က သူ့အပေါ် မြင်သည်။<ref name="Guinn p.45" /><ref name="bc13746" /> === ပထမအကြိမ် အကျဉ်းကျခြင်း === စိတ်ပညာရှင်၏ ထောက်ခံချက်ဖြင့် ၁၉၅၁ အောက်တိုဘာတွင် မန်ဆန်ကို လုံခြုံရေးနည်းသည့် Natural Bridge Honor Camp စခန်း သို့ လွှဲပြောင်းလိုက်သည်။ အဒေါ်ဖြစ်သူက ထောင်ဝင်စာလာတွေ့ပြီး သူမအိမ်၌ ပေးနေကာ အလုပ်ရှာ ခွင့်ပြုမည်ဖြစ်ကြောင်း တာဝန်ရှိသူများထံ ပြောသည်။ ခံဝန်ကြားနာမှုအတွက် ၁၉၅၂ ဖေဖော်ဝါရီတွင် အချိန်စာရင်း ချထားသည်။ သို့သော် ဇန်နဝါရီ၌ ယောက်ျားလေးတစ်ဦးအား ဓားထောက်၍ အဓမ္မကျင့်စဉ် အဖမ်းခံရသည်။ ဗာဂျီးနီးယား ပြည်နယ် ပစ္စဘာ့ဂ်ရှိ ဖက်ဒရယ်ပြုပြင်ရေးစခန်းသို့ လွှဲပြောင်းခဲ့သည်။ ထိုနေရာတွင် "စည်းကမ်း အကြီးအကျယ် ချိုးဖောက်မှု ၈ မှု နှင့် ယင်းအနက် ၃ မှုမှာ လိင်တူဆက်ဆံမှု" တို့ကို ရှေ့ဆက်ကျူးလွန်ခဲ့သည်။ ၁၉၅၅ နိုဝင်ဘာလ၌ ၂၁ နှစ်ပြည့် မွေးနေ့တွင် ကျရောက်မည့် လွတ်ရက်အထိ အကျဉ်းကျခံရမည်ဖြစ်သော အိုဟိုင်းယိုးပြည်နယ် ချီလီကို့သ်ရှိ လုံခြုံရေးအမြင့်ဆုံး ပြုပြင်ရေးစခန်းသို့ ရွှေ့ပြောင်းလိုက်သည်။ ကောင်းကောင်းမွန်မွန်နေထိုင်သည့်အတွက် မက်ခ်မေချန်၌ အဒေါ် ဦးလေးတို့နှင့် အတူနေထိုင်ရန် ၁၉၅၄ မေလတွင် ထောင်မှစောလွှတ်လိုက်သည်။<ref>{{harvnb|Guinn|2013|p=52}}</ref> [[File:Charles_Manson_mugshot_FCI_Terminal_Island_California_1956-05-02_3845-CAL.png|right|thumb| တာမင်နယ်ကျွန်း ဖက်ဒရယ် စာရိတ္တပြုပြင်ရေး ဌာနတွင် ၁၉၅၇ မေ ၂ က ရိုက်ကူးထားသော ဓာတ်ပုံ ]] ၁၉၅၅ ဇန်နဝါရီ၌ ဆေးရုံစားပွဲထိုး ရိုစလီဂျင်းဝီးလစ်စ် အား လက်ထပ်သည်။<ref name="emmons">{{harvnb|Manson|1988}}</ref> အိုဟိုင်းယိုးပြည်နယ်မှ မန်ဆန် ခိုးယူလာ သော ကားဖြင့် သူနှင့်အတူ ကိုယ်ဝန်သည်ဇနီးတို့ လော့စ်အန်ဂျလိစ်သို့ ရောက်ရှိလာပြီး ၃ လခန့်အကြာ အောက်တိုဘာ၌ နယ်ကျော်ကားခိုးယူမှုအတွက် ဖက်ဒရယ်ရာဇဝတ်မှုဖြင့် နောက်တစ်ကြိမ် အဖမ်းခံရပြန်သည်။ စိတ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ဆန်းစစ်လေ့လာမှုပြုပြီးနောက် ၅ နှစ် စောင့်ကြည့်ကာလ ချမှတ်ခံရသည်။ ဖလော်ရီဒါပြည်နယ်၌ စွဲဆိုခံရသော အလားတူပြစ်မှုအတွက် လော့စ်အန်ဂျလိစ် ကြားနာမှုတက်ရောက်ရန် ပျက်ကွက်သဖြင့် အင်ဒီယားနားပလိစ်၌ ၁၉၅၆ မတ်လတွင် အဖမ်းခံရသည်။ စောင့်ကြည့်ခွင့်ပြုချက်ကို ရုပ်သိမ်းခံရပြီး ကယ်လီဖိုးနီးယား ဆန်ပက်ဒရို တာမင်နယ်ကျွန်း တွင် ထောင်ဒဏ် ၃ နှစ်ကျခံရန် စီရင်ချက်ကျခံရသည်။<ref name="bc13746" /> မန်ဆန် အကျဉ်းကျနေစဉ် ရိုစလီက သားဖြစ်သူ ချားလ်စ်မန်ဆန် ဂျူနီယာအား မွေးဖွားသည်။ တာမင်နယ်ကျွန်း၌ ပထမအကြိမ် အကျဉ်းကျစဉ်က ရိုစလီနှင့် ထိုစဉ်က အတူနေမန်ဆန်၏မိခင်ဖြစ်သူတို့ ထောင်ဝင်စာ လာတွေ့သည်။ ၁၉၅၇ မတ်လ၌ ၎င်း၏ ဇနီးထောင်ဝင်စာလာမတွေ့တော့ဘဲ မိခင်ဖြစ်သူကသာ ရိုစလီမှာ အခြားယောက်ျားတစ်ဦးနှင့် အတူနေထိုင်နေပြီဖြစ်ကြောင်း မန်ဆန်အား အသိပေးသည်။ ခံဝန်ကြားနာမှု မစတင်မီ ၂ ပတ် အလို မန်ဆန်က ကားခိုးယူထွက်ပြေးရန် ကြိုးစားခဲ့သည်။ ၅ နှစ် စောင့်ကြည့်ကာလ ပြစ်ဒစ်ချခံရပြီး ခံဝန်ခြေချုပ်ငြင်းပယ်ခံရသည်။<ref name="bc13746" /> === ဒုတိယအကြိမ် အကျဉ်းကျခြင်း === ကွာရှင်းခွင့်ကို ရိုစလီရရှိသည့် ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင်ပင် မန်ဆန်က ၅ နှစ် ခံဝန်ခြေချုပ်ကို စက်တင်ဘာ၌ ချမှတ်ခံရသည်။ နိုဝင်ဘာ၌ ၁၆ နှစ် သမီး ၁ ဦးအတွက် ပြည့်တန်ဆာခေါင်းလုပ်ပေးနေပြီး မိဘချမ်းသာသည့် မိန်းကလေးတစ်ဦးထံမှလည်း ထပ်တိုး အထောက်အပံ့များ ရယူနေသည်။ စာပို့သေတ္တာမှ ခိုးယူလာသည်ဟုဆိုသည့် ယူအက်စ် ငွေစာရင်းဌာန ချက်လက်မှတ် အတုကို ငွေသားပြောင်းရန် ကြိုးပမ်းမှုစွဲချက်အတွက် အပြစ်ရှိကြောင်း ၁၉၅၉ စက်တင်ဘာတွင် လျှောက်ထားခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင် စွဲချက်အား ရုပ်သိမ်းလိုက်သည်။ ပြည့်တန်ဆာမှုအတွက် ဖမ်းဆီးခံမှတ်တမ်းရှိသော လီယိုနာအမည်ရ အမျိုးသမီးငယ်တစ်ဦးက တရားရုံးတွင် သူမနှင့်မန်ဆန်မှာ "နှစ်နှစ်ကာကာမြတ်နိုးသက်ဝင်နေပြီး…ချာလီသာလွတ်လာပါက လက်ထပ်ကြမည်" ဟု "ငိုကြီးချက်မ တောင်းပန်မှု" ပြုခဲ့သောကြောင့် မန်ဆန်အား ၁၀ နှစ် ဆိုင်းငံ့ပြစ်ဒဏ် နှင့် စောင့်ကြည့်ကာလ ချမှတ်ခဲ့သည်။<ref name="bc13746" /> နှစ်မကုန်မီ ယင်းအမျိုးသမီးနှင့် မန်ဆန် အမှန်တကယ်လက်ထပ်ခဲ့ရာ သူမအနေဖြင့် မန်ဆန်အား ဆန့်ကျင်ထွက်ဆိုရန် မလိုအပ်စေရန် ပြုလုပ်ခဲ့ခြင်းဟု ယူဆရသည်။<ref name="bc13746" /> လီယိုနာနှင့် အခြားအမျိုးသမီးတစ်ဦးအား ပြည့်တန်ဆာပြုလုပ်ခိုင်းရန် ရည်ရွယ်၍ [[နယူးမက္ကဆီကိုပြည်နယ်|နယူးမက္ကဆီကို]]သို့ ခေါ်ဆောင်သွားသော ကြောင့် မန်းအက်ဥပဒေအား ချိုးဖောက်မှုဖြင့် မန်ဆန် ထိန်းသိမ်း စစ်ဆေးခံရသည်။ သူ့အား လွှတ်ပေးလိုက်သော်လည်း စုံစမ်းစစ်ဆေးမှုအဆုံးမသတ်သေးကြောင်း မန်ဆန်က မှန်မှန်ကန်ကန် ခန့်မှန်းနိုင်ခဲ့သည်။ စောင့်ကြည့်ကာလ ချိုးဖောက်သောအားဖြင့် ပျောက်ကွယ်သွားစဉ် ဘန့်ချ်ဝရမ်း ထုတ်ခဲ့သည်။ မန်းအက်ဥပဒေအား ချိုးဖောက်မှုအတွက် ရုံးတင်စစ်ဆေးမှုကို ၁၉၆၀ ဧပြီတွင် ထုတ်ပြန်သည်။<ref name="bc13746" /> အမျိုးသမီး ၂ ဦးအနက် ၁ ဦးအား ပြည့်တန်ဆာမှုဖြင့် ဖမ်းဆီးပြီးသည့်နောက် မန်ဆန်ကို ဇွန်လ၌ လဲဒို တက္ကဆက်၌ ဖမ်းဆီးပြီး လော့စ်အန်ဂျလိစ်သို့ ပြန်လည်ပို့ဆောင် ခဲ့သည်။ ချက်လက်မှတ်ငွေသားပြောင်း ပြစ်မှုအတွက် ချမှတ်ထားသည့် စောင့်ကြည့်ကာလအား ချိုးဖောက်ခဲ့သည့် အတွက် ထောင်ဒဏ် ၁၀ နှစ် ကျခံရန် သူ့အား အမိန့်ချခဲ့သည်။<ref name="bc13746" /> စောင့်ကြည့်ကာလပယ်ဖျက်လိုက်ခြင်းအား အသနားခံရန် ၁ နှစ်ခန့် ကြိုးစားခဲ့သော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ပေ။ ၁၉၆၁ ဇူလိုင်တွင် လော့စ်အန်ဂျလိစ် ကောင်တီအကျဉ်းထောင်မှ ဝါရှင်တန် မက်နေးလ်ကျွန်းရှိ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု အကျဉ်းစခန်းသို့ ရွှေ့ပြောင်းခံရသည်။ ထိုနေရာ၌ ဘာကာခါးပစ်စ် ဂိုဏ်း ခေါင်းဆောင် အယ်လ်ဗင် "ခရီးပီး" ခါးပစ်စ် ထံမှ ဂစ်တာသင်ခန်းစာယူပြီး ဖီးလ်ကော့ဖ်မန်း ဟောလိဝုဒ်ရှိ ယူနီဗာဆယ်စတူဒီရိုမှ တစ်စုံတစ်ဦး၏ ဆက်သွယ်ရန် လိပ်စာကို အခြားထောင်သားထံမှ ရယူခဲ့သည်။<ref>{{cite web |access-date=July 2, 2012 |url=http://www.lostinthegrooves.com/short-bits-2-charles-manson-and-the-beach-boys |work=Lost in the Grooves |title=Short Bits 2 – Charles Manson and the Beach Boys |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120718010206/http://www.lostinthegrooves.com/short-bits-2-charles-manson-and-the-beach-boys |archivedate=July 18, 2012 |df=mdy-all |date=April 13, 2006}}</ref> မန်ဆန်၏ မိခင်က သားဖြစ်သူနှင့် နီးနီးကပ်ကပ် နေနိုင်ရန်အတွက် မက်နေးလ်ကျွန်းတွင် ၎င်းအကျဉ်းကျနေစဉ်အတွင်း ဝါရှင်တန်ပြည်နယ်သို့ ပြောင်းရွှေ့ကာ အနီးအနား တွင် စားပွဲထိုးအဖြစ် လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်ဟု ဂျက်ဖ်ဂွင်း၏ ၂၀၁၃ မန်ဆန်ကိုယ်ရေးအတ္ထုပတ္တိ၌ ရေးသားထားသည်။<ref name="Rule/Guinn">{{cite magazine |last=Rule |first=Ann |title=There Will Be Blood |journal=The New York Times Book Review |date=August 18, 2013 |page=14 |access-date=}}</ref> မန်းအက်ဥပဒေ စွဲချက်အား ရုပ်သိမ်းလိုက်သော်လည်း ငွေစာရင်းချက်လက်မှတ်အား ငွေသားအဖြစ်ပြောင်းရန် ကြိုးပမ်းချက်မှာ ဖက်ဒရယ်ဥပဒေချိုးဖောက်မှုအဖြစ် တည်ရှိနေဆဲဖြစ်သည်။ "သူ့အပေါ်အာရုံစိုက်လာအောင် လုပ်ချင်စိတ် ကြီးကြီးမားမား" သူ့တွင်ရှိသည်ဟု ၁၉၆၁ စက်တင်ဘာ မန်ဆန် နှစ်စဉ်ရီဗျူးက မှတ်ချက်ပြုသည်။ ဤ လေ့လာမှတ်သားပြုမှုမှာ ၁၉၆၄ စက်တင်ဘာတွင် ပဲ့တင်သံပြန်လာခဲ့သည်။<ref name="bc13746" /> ၁၉၆၃ တွင် လီယိုနာက ကွာရှင်းခွင့်ရခဲ့ပြီး သူမနှင့် မန်ဆန်တို့တွင် ချားလ်လူသာ အမည်ရှိ သား ၁ ဦးရခဲ့သည်ဟု ထွက်ဆိုသည်။<ref name="bc13746" /> ၁၉၆၅ ခုနှစ်တွင် the Monkees အတွက် လူရွေးခဲ့သော်လည်း မအောင်မြင်ခဲ့ဟု ရေပန်းစား လူပြောသူပြောစကားများက ဆိုခဲ့သော်လည်း ထိုအချိန်က မန်ဆန်မှာ မက်နေးလ်ကျွန်း၌ အကျဉ်းကျခံနေဆဲဖြစ်သောကြောင့် မှန်ကန်ခြင်းမရှိပေ။<ref>{{Cite web |url=http://www.snopes.com/radiotv/tv/monkees.asp |title=Did Charles Manson Audition for The Monkees? |website=snopes.com |access-date=July 5, 2018}}</ref> လွတ်ရက်စောလွှတ်ရန် ပြင်ဆင်သည့်အနေဖြင့် ၁၉၆၆ ဇွန်တွင် မန်ဆန်ကို တာမင်နယ်ကျွန်းသို့ ဒုတိယအကြိမ် ပို့ဆောင်ခဲ့သည်။ မန်ဆန်၏ လွတ်ရက်ဖြစ်သော ၁၉၆၇ မတ် ၂၁ တွင် သူ့အသက် ၃၂ နှစ်၏ ထက်ဝက်မကကို အကျဉ်းထောင်နှင့် အခြားစခန်းများတွင် ကုန်လွန်ခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ အဓိကအားဖြင့် ဖက်ဒရယ်ဥပဒေကို ချိုးဖောက်မှုကြောင့်ဖြစ်သည်။ အမှုချင်းအတူတူဆိုသော်ငြား ဖက်ဒရယ်ပြစ်ဒဏ်များမှာ ပြည်နယ်ပြစ်ဒဏ်များထက် ပြင်းထန်သည်။<ref name="bc13746" /> အကျဉ်းထောင်မှာ သူ့အိမ်ဖြစ်နေပြီသောကြောင့် ဆက်လက်နေခွင့်ပေးရန် တာဝန်ရှိသူများထံ ခွင့်ပြုချက်တောင်းခဲ့သည်။<ref name="bc13746" /> == ၁၉၈၆-၁၉၇၁ - ဂိုဏ်းဖွဲ့ခြင်း ၊ လူသတ်မှုများနှင့် တရားရင်ဆိုင်ခြင်း == [[File:Charles-mansonbookingphoto_(enlarged)_1971_(cropped).jpg|alt=Manson's|thumb|၁၉၆၉ ရိုက်ချက် ]] မန်ဆန်က ထောင်မှလွတ်သည်နှင့် နောက်လိုက်နောက်ပါများအား ဆွဲဆောင်စည်းရုံးရာ အများအားဖြင့် ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ် အနီးတဝိုက်မှ မိန်းမငယ်များဖြစ်ကြပြီး နောက်ပိုင်းတွင် ၎င်းတို့အား မန်ဆန် မိသားစုဟု အမည်ပေးလိုက်ကြသည်။ ၁၉၆၉ ဇူလိုင်တွင် ဂယ်ရီဟင်းမန်းအား သတ်ဖြတ်မှု၌ ၎င်းအဖွဲ့ပါဝင်ခဲ့ပြီး ၁၉၆၉ ဩဂုတ်လ၌ ရုပ်ရှင်မင်းသမီး [[ရှယ်ရွန်တိတ်]]နှင့် အခြားသူ ၄ ဦးအား သူမ၏ အိမ်၌ သတ်ဖြတ်ခဲ့ခြင်း၊<ref name="KXTV family">{{cite news |last1=Renee |first1=Alexa |title=The Manson family: Who are they and where are they now? |url=http://www.abc10.com/news/local/the-manson-family-who-are-they-and-where-are-they-now/423180658 |access-date=November 5, 2017 |publisher=KXTV |date=November 2, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170331113904/http://www.abc10.com/news/local/the-manson-family-who-are-they-and-where-are-they-now/423180658 |archivedate=March 31, 2017 |df=mdy-all}}</ref> နောက်ရက်၌ လီနိုနှင့် ရို့စ်မေရီ လာဘီယန်ကာတို့အား သတ်ဖြတ်ခြင်းတို့ကြောင့် နာမည်ဆိုးဖြင့် နိုင်ငံအနှံ့ သတင်းမွှေးခဲ့သည်။ တက်စ်ဝက်ဆန် နှင့် အခြား မိသားစုဝင် ၃ ဦးက မန်ဆန်၏ ညွှန်ကြားချက်ဖြင့် တိတ်-လာဘီယန်ကာ လူသတ်သမားများအား ကွပ်မျက်ခဲ့သည်။<ref name="Tate-LaBianca">{{cite news |last1=Lawrence |first1=Jonelle |title=Manson Family murders: Key players in the Tate-LaBianca killings |url=http://abc7.com/news/manson-family-murders-key-players-in-the-tate-labianca-killings/782755/ |access-date=November 5, 2017 |publisher=ABC7 Los Angeles |date=June 14, 2015 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150617012558/http://abc7.com/news/manson-family-murders-key-players-in-the-tate-labianca-killings/782755/ |archivedate=June 17, 2015 |df=mdy-all}}</ref><ref name="More murders">{{cite news |last1=Hamilton |first1=Matt |title=Manson follower's chilling murder description: 'We started stabbing and cutting up the lady' |url=http://beta.latimes.com/local/lanow/la-me-ln-manson-followers-chilling-description-20160415-story.html |access-date=November 5, 2017 |work=Los Angeles Times |date=April 15, 2016 }}{{Dead link|date=December 2020 }}</ref> အခြားတိုက်ခိုက်မှုများ ၊ ခိုးမှုများ နှင့် ရာဇဝတ်မှုများအားလည်း မိသားစုဝင်များက ကျူးလွန်ခဲ့ပြီး လင်းနက် "စကွိကီ" ဖရောမ်က အမေရိကန်သမ္မတ[[ဂဲရက် ဖို့ဒ်]]အား ဆက်ခရာမန်တို့၌ လုပ်ကြံသတ်ဖြတ်ရန် ကြိုးစားခဲ့သည်။<ref name="Gerald Ford">{{cite news |last1=Schmidt |first1=Dick |title='Pure luck' led to famous photo of would-be President Ford assassin |url=http://www.sacbee.com/news/local/history/article171154912.html |access-date=November 5, 2017 |work=The Sacramento Bee |date=September 5, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170905170515/http://www.sacbee.com/news/local/history/article171154912.html |archivedate=September 5, 2017 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်နောက်လိုက် အချက်အချာကျသောအဖွဲ့ဝင်များတွင် တေးဂီပညာရှင် နှင့် သရုပ်ဆောင်ဟောင်း ချားလ်စ် တက်စ်ဝက်ဆန်၊ တေးဂီတပညာရှင်ဟောင်း နှင့် လိင်ညစ်ညမ်းသရုပ်ဆောင် ရောဘတ် ဘိုဆောလီ၊ စာကြည့်တိုက်မှူး ဟောင်း မာရီဘရန်းနာ၊ ဆူဇန်အက်ကင်၊ လင်ဒါကတ်ဆာဘီယန်၊ ပက်ထရစ်ရှာ ကရန်ဝင်ကယ်လ် နှင့် လက်စလီဗန် ဟောတန်တို့ ပါဝင်သည်။<ref name="InsideFamily">{{cite web |title=Charles Manson's Son Says He Wishes He'd Gotten to Know Him Before His Death |url=https://www.insideedition.com/charles-mansons-son-says-he-wishes-hed-gotten-know-him-his-death-54566 |website=insideedition.com |publisher=Inside Edition Inc, CBS Interactive |accessdate=24 August 2019}}</ref><ref name="ViceBob">{{cite web |last1=Kovac |first1=Adam |title=We Spoke to Charles Manson’s Guitarist About Making Art While Serving Time for Murder |url=https://www.vice.com/en_us/article/bn5wwd/we-spoke-to-charles-mansons-guitarist-about-his-life-making-art-and-music-while-serving-time-for-murder-298 |website=vice.com |publisher=Vice Media |accessdate=24 August 2019}}</ref><ref>{{cite web |last1=Milne |first1=Andrew |title=Meet Bobby Beausoleil: The Haight-Ashbury Hippie Who Became A Manson Family Murderer |url=https://allthatsinteresting.com/bobby-beausoleil |website=allthatsinteresting.com |publisher=PBH Network |accessdate=24 August 2019}}</ref> အဖွဲ့ဝင်များစွာ ပြစ်ဒဏ်ကျခံနေဆဲဖြစ်သော်လည်း ဂရိုဂန်မှာ ၁၉၈၅ တွင် ခြေချုပ်ဖြင့် လွတ်မြောက်ခဲ့ပြီး ကတ်ဆာဘီယန်မှာ မန်ဆန်အား ရုံးတင်စစ်ဆေးမှု၌ သက်သေခံပေးမှုကြောင့် ကင်းလွတ်ခွင့် ရခဲ့သည်။<ref name="CrimeMuseum">{{cite web |title=Charles Manson and the Manson Family |url=https://www.crimemuseum.org/crime-library/famous-murders/charles-manson-and-the-manson-family/ |website=crimemuseum.org |publisher=Crime Museum, LLC |accessdate=24 August 2019}}</ref> မန်ဆန်ကိုယ်နှိုက်က မည်သူတစ်ဦးတစ်ယောက်ကိုမျှ သတ်ဖြတ်ခြင်းသော်လည်းကောင်း သတ်ဖြတ်ရန်ကြိုးပမ်းခြင်း သော်လည်းကောင်း မပြုလုပ်ခဲ့ဟု တွေးထင်ကြသော်လည်း မူးယစ်အရောင်းအဝယ်သမား ဘားနာ့ဒ် ခရိုးအား ၁၉၆၉ ဇူလိုင် ၁ တွင် သေနတ်ဖြင့် ပစ်ပြီး သေစေရန်ပစ်ထားခဲ့သည်ဟူသော သက်သေအထောက်အထားများရှိသည်။ ခရိုးမှာမူ အသက်ရှင်ခဲ့သည်။<ref name="bugliosi" />{{rp|99–113}}<ref name="bugliosi" />{{Rp|91–96}}<ref>https://www.cbc.ca/news/world/charles-manson-family-cult-followers-1.4409873</ref> (မန်ဆန်ကိုယ်တိုင် သူ၏အမှုလိုက်ရှေ့နေအဖြစ် ဆောင်ရွက်ခြင်းကို တရားရုံးက ပယ်ချလိုက်သည့်နေ့) ၁၉၇၀ မတ် ၆ ရက်၌<ref>{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=258–269}}</ref> ''[[Lie: The Love and Terror Cult|LIE]]'', an album of Manson music, was released.<ref>{{harvnb|Sanders|2002|p=336}}</ref><ref>[https://www.amazon.com/dp/B000005X1J ''Lie: The Love And Terror Cult''] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080228180319/http://www.amazon.com/dp/B000005X1J |date=February 28, 2008}}. ASIN: B000005X1J. Amazon.com. Access date: November 23, 2007.</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20091027093515/http://geocities.com/theancientrocker/manson.html Syndicated column re LIE release] Mike Jahn, August 1970.</ref> မန်ဆန်၏ တေးဂီတအယ်လ်ဘမ် ''LIE'' ကို ဖြန့်ချိသည်။ မန်ဆန်ရေးစပ်ထားသော "Cease to Exist" ကို the Beach Boys ဂီတအဖွဲ့က စာသား ပြင်ဆင်ရေးဖွဲ့ သီဆိုပြီး "Never Learn Not to Love" ဟု ခေါင်းစဉ်တပ်ထားသည့် သီချင်းပါဝင်သည်။<ref>{{harvnb|Sanders|2002|pp=64–65}}</ref><ref>[http://www.cinetropic.com/blacktop/circus.html Dennis Wilson interview] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071215054300/http://www.cinetropic.com/blacktop/circus.html |date=December 15, 2007}} ''Circus'' magazine, October 26, 1976. Retrieved December 1, 2007.</ref> လအနည်းငယ်ကြာသည်အထိ အယ်လ်ဘမ်ချပ်ရေ ၂၀၀၀ အနက် ၃၀၀ သာ ရောင်းချရသည်။<ref name="RSstory">''Rolling Stone'' story on Manson, June 1970: {{cite web |url=https://www.rollingstone.com/coverwall/1970 |title=Coverwall – Rolling Stone |access-date=August 25, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20161223060301/http://www.rollingstone.com/coverwall/1970 |archivedate=December 23, 2016 |df=mdy-all}}</ref> == ၁၉၇၁-၂၀၁၇ တတိယအကြိမ်မြောက် ထောင်သွင်းအကျဉ်းကျခြင်း == === ပြစ်ဒဏ်ချမှတ်ခြင်း === အဘ္ဘီဂေးလ် အန်း ဖော်လ်ဂျာ၊ Wojciech Frykowski ၊ စတီဗင် အားလ် ပဲရန့်၊ ရှယ်ရွန် တိတ် ပိုလန်စကီး၊ ဂျေး ဆဘရင်း၊ လီနိုနှင့် ရို့စ်မေရီ လာဘီယန်ကာ တို့ သေဆုံးမှုအတွက် ပထမဒီဂရီလူသတ်မှု ၇ မှု နှင့် လူသတ်မှုကျူးလွန်ရန် ပူးပေါင်း ကြံစည်မှု ၁ မှုနှင့် ပတ်သက်ပြီး လော့စ်အန်ဂျလိစ် ကောင်တီ ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်သို့ ၁၉၇၁ ဧပြီ ၂၂ ရက်နေ့တွင် မန်ဆန်အား ပို့ဆောင်သည်။ သေဒဏ်ချမှတ်ခံရသော်လည်း သေဒဏ်ကို အခြေခံဥပဒေနှင့်မညီဟု ၁၉၇၂ တွင် အမိန့်ချမှတ်လိုက်ရာ ခံဝန်ရနိုင်သည့် ထောင်ဒဏ်တစ်သက်သို့ ပြောင်းလဲချမှတ်လိုက်သည်။ မူရင်းသေဒဏ်မှာ ၁၉၇၇ ဖေဖော်ဝါရီ ၂ ရက်တွင် တစ်သက်တစ်ကျွန်းသို့ ပြောင်းသွားသည်။ ၁၉၆၉ ဇူလိုင် ၂၅ ၌ ဂီတပညာရှင် ဂယ်ရီဟင်မန်း သေဆုံးမှုအတွက် မန်ဆန်တွင် အပြစ်ရှိကြောင်း လော့စ်အန်းဂျလိစ် ကောင်တီ တရားရုံး၌ ၁၉၇၁ ဒီဇင်ဘာ ၁၃ တွင် ပထမဒီဂရီလူသတ်မှု အမိန့်ချမှတ်သည်။ ၁၉၆၉ ဩဂုတ်လ၌ ဒေါနယ်လ် ဂျရုမ်း "ရှော့တီ" ရှီအ သေဆုံးမှုအတွက် ပထမဒီဂရီလူသတ်မှုဖြင့်ပင် အပြစ်ရှိကြောင်း စီရင်ချက်ချခံရသည်။ လက်ရှိတွင် သေဒဏ်ကျခံနေရဆဲ အကျဉ်းသားမည်သူမဆို ... ၎င်းသေဒဏ်ချမှတ်ခံထားရသည့် ပြစ်မှုနှင့်စပ်လျဉ်းသည့် အမိန့်ဒီကရီ က ပြဋ္ဌာန်းထားသော ထောင်ဒဏ်တစ်သက်သော်လည်းကောင်း သို့တည်းမဟုတ် ခံဝန်မရသည့် ထောင်ဒဏ်တစ်သက်သော် လည်းကောင်း သင့်တင့်သည့် အစားထိုးပြစ်ဒဏ်အတွက် ဆုံးဖြတ်ချက်အား တရားရုံးက ပြင်ဆင်ပေးပါရန် အထက် တရားရုံး၌ ''habeas corpus''  စီရင်ချက်အတွက် အသနားခံစာလျှောက်တင်နိုင်မည်။" ဟု ''ကယ်လီဖိုးနီးယား နှင့် အန်ဒါဆင်'' ၁၉၇၂ စီရင်ဆုံးဖြတ်ချက်၏ နိဂုံး စာမျက်နှာအောက်ခြေပါ ရှင်းလင်းချက်၌ ဖော်ပြပါရှိသည်။<ref>[http://online.ceb.com/calcases/C3/6C3d628.htm ''People v. Anderson''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071009165711/http://online.ceb.com/calcases/C3/6C3d628.htm |date=9 October 2007 }}, 493 P.2d 880, 6 Cal. 3d 628 (Cal. 1972), footnote (45) to final sentence of majority opinion. Retrieved April 7, 2008.</ref> သို့ဖြစ်ရာ ထောင်ဒဏ် ၇ နှစ် ကျခံပြီးနောက် မန်ဆန်အတွက် ခံဝန် လျှောက်ထားနိုင်ရန် လိုအပ်ချက်ပြည့်မီစေခဲ့သည်။<ref name="bc488">{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|p=488}}</ref> သူ၏ ခံဝန်လျှောက်ထားမှု ပထမအကြိမ်ကြားနာမှုကို ၁၉၇၈ နိုဝင်ဘာ ၁၆ ၌ ဗခါဗီးလ်ရှိ ကယ်လီဖိုးနီးယား ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ ဌာနတွင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး ၎င်း၏အသနားခံစာ ပယ်ချခံရသည်။<ref>{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|p=498}}</ref><ref>{{cite web |title=Charles Manson Family and Sharon Tate-Labianca Murders – Cielodrive.com |url=http://www.cielodrive.com/charles-manson-denied-parole.php |access-date=April 24, 2012}}</ref> === ၁၉၈၀-၁၉၉၀ ခုနှစ် === [[File:FolsomStatePrison.jpg|right|thumb| Folsom ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်၊ Manson ၏အချုပ်ခန်းများမှ တစ်ခု ]] ၁၉၈၀ ခုနှစ်များအတွင်း မီဒီယာများနှင့် အင်တာဗျူး ၄ ခု ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ပထမ ၁ ခုကို ကယ်လီဖိုးနီးယား ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဌာနတွင် အသံသွင်းခဲ့ပြီး ၁၉၈၁ ဇွန် ၁၃၌ အန်ဘီစီရုပ်သံလိုင်း တွမ်ဆနိုင်ဒါ၏ တူမောရိုးရှိုးအစီအစဉ်မှ ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ဒုတိယ ၁ ခုကို ဆန် ကွမ်တင် ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်၌ ရိုက်ကူးပြီး ၁၉၈၆ မတ် ၇ ရက်တွင် စီဘီအက်စ် ရုပ်သံလိုင်း ချာလီရို့စ်၏ နျူးစ်နိုက်တ်ဝတ်ချက် အစီအစဉ်မှ ထုတ်လွှင့်ပြသခဲ့ရာ ၁၉၈၇ ခုနှစ်အတွက် အကောင်းဆုံးအင်တာဗျူး နိုင်ငံ့သတင်းဆိုင်ရာ အမ်မီဆုကို ရရှိခဲ့သည်။<ref name="Diary of a Mad Saloon Owner">Joynt, Carol. [http://www.nathanslunch.com/diary_aprilmay_2005.htm ''Diary of a Mad Saloon Owner''] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20110714155203/http://www.nathanslunch.com/diary_aprilmay_2005.htm |date=July 14, 2011 }}. April–May 2005.</ref> တတိယ ၁ ခုကို ၁၉၈၈ တွင် ဂျရဲလ်ဒို ရီဗဲရာနှင့် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး မာရ်နတ်အယူ ပင်မချိန် အထူးအစီအစဉ်၏ တစိတ်တပိုင်းအဖြစ် ထုတ်လွှင့်ပြသခဲ့သည်။<ref>{{cite news|title=Rivera's 'Devil Worship' was TV at its Worst|author-link=Tom Shales|first=Tom|last=Shales|newspaper=[[The Mercury News|San Jose Mercury News]]|date=October 31, 1988}}</ref> ဆနိုင်ဒါနှင့် အင်တာဗျူးစဉ်ကပင် မန်ဆန်၏ နဖူးပေါ်၌ ယခင် တရားရုံးတင်စစ်ဆေးစဉ်က ကြက်ခြေခတ် အမှတ်အသားရှိခဲ့သော နေရာတွင် နာဇီစင်္ကြာအမှတ်အသား ရေးထိုးထားသည်ကို တွေ့ရသည်။<ref>{{cite news |title=Hearts and Souls Dissected, in 12 Minutes or Less |url=https://www.nytimes.com/2007/07/31/arts/television/31tomo.html |work=New York Times |date=July 31, 2007 |access-date=October 31, 2009 |quote=Appraisal of Tom Snyder, upon his death. Includes photograph of Manson with swastika on forehead during 1981 interview. |first=Dave |last=Itzkoff |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120111234610/http://www.nytimes.com/2007/07/31/arts/television/31tomo.html |archivedate=January 11, 2012 |df=mdy-all}}</ref> ''စူပါစတား ချားလ်စ် မန်ဆန်''  (၁၉၈၉) မှတ်တမ်းအစီအစဉ်အတွက် နီကိုလတ်စ် ရှရက်က မန်ဆန်နှင့် တွေ့ဆုံမေးမြန်း ခဲ့ပြီး မန်ဆန်မှာ ရူးသွပ်နေသူမဟုတ်ဘဲ ကြံရာမရသည့်အဆုံး ယင်းသို့ပြုမူခြင်းဟု ရှရက်က မှတ်ချက်ချသည်။<ref>{{cite av media|title=Charles Manson Superstar|date=1989}}</ref><ref>{{cite av media|work=Interano Radio|title=Interview with Nikolas Schreck|date=August 1988}}</ref> ၁၉၈၄ စက်တင်ဘာ ဗကာဗီးလ်ရှိ ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဋ္ဌာနတွင် မန်ဆန်အကျဉ်းကျနေစဉ် ထောင်သား ဂျန် ဟုမ်းစထရောမ်က paint thinner များ‌ မန်ဆန့်ကိုယ်ပေါ် လောင်းချပြီး မီးတင်ရှို့ခဲ့ရာ ခန္ဓာကိုယ် ၂၀ ရာခိုင်နှုန်းကျော်တွင် ဒုတိယနှင့်တတိယအဆင့် မီးလောင်ဒဏ်ရာများရခဲ့သည်။ ခရစ်ရှနား ရွတ်ဆိုမှုကို မန်ဆန်က ကန့်ကွက်ပြီး နှုတ်ဖြင့် ခြိမ်းခြောက်ခဲ့သည်ဟု ဟုမ်းစထရောမ်က ရှင်းပြသည်။<ref name="bc497">{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|p=497}}</ref> ၁၉၈၉ နောက်ပိုင်းတွင် ကင်းစ်ကောင်တီ ကော်ကိုရန် ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ်အကျဉ်းထောင် စောင့်ကြပ်ခံ အဆောင်၌ အကျဉ်းကျခဲ့သည်။ သာမန်ထောင်သားများ၏ အန္တရာယ်ပြုမှုခံရဖွယ်ရာရှိသည့် ထောင်သားများအား ယင်းအဆောင်တွင် ထားရှိသည်။ ဆန်ကွမ်တင် ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်၊<ref name="Diary of a Mad Saloon Owner" /> ဗကာဗီးလ်ရှိ ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာဌာန၊<ref name="bc497" /> ဖော်လ်ဆမ်ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်နှင့် ပယ်လီကန်ဘေး ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်တို့ တွင်လည်း အကျဉ်းချခံရဖူးသည်။<ref name="Sun Journal" />{{citation needed|date=November 2017|reason=Still need cite for Folsom State Prison}} ၁၉၉၇ ဇွန်လတွင် အကျဉ်းထောင်စည်းကမ်းထိန်းသိမ်းရေးကော်မတီက မန်ဆန် မူးယစ်ဆေးဝါးကုန်ကူးနေကြောင်း တွေ့ရှိရသည့်အတွက်<ref name="Sun Journal">{{cite news |title=Manson moved to a tougher prison after drug charge |url=https://news.google.com/newspapers?id=z1IpAAAAIBAJ&sjid=MmsFAAAAIBAJ&pg=5539%2C3207462 |access-date=January 16, 2013 |newspaper=Sun Journal |date=August 22, 1997 |agency=AP |location=Lewiston, Maine |page=7A}}</ref> ဩဂုတ်တွင် ပယ်လီကန်ဘေး ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်သို့ ပြောင်းရွှေ့ခံရသည်။<ref name="Sun Journal" /> === ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်များမှ – ၂၀၁၇ === [[File:Manson-June-2011.jpg|thumb| မန်ဆန် ၊ အသက် ၇၆ ၊ ၂၀၁၁ ဇွန်လ ]] ကယ်လီဖိုးနီးယားဆန်ကွမ်တင် ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်တွင်း ပြုလုပ်ခဲ့သည့် ၁၉၈၇ တွေ့ဆုံမေးမြန်းခန်းအပြည့်အစုံ ''The Mind of Manson'' ကို ၂၀၀၇ စက်တင်ဘာ ၅ ရက်တွင် အမ်အက်စ်အဲန်ဘီစီက ထုတ်လွှင့်ပြသသည်။ "ခြေကျဉ်းခတ်မထားသော၊ တောင်းပန်လိုစိတ်အလျဉ်းမရှိသော၊ ထိန်းမနိုင်သိမ်းမရ" မန်ဆန်၏ တိပ်ခွေသည် "မယုံနိုင်စရာကောင်းလောက်" သည့်အတွက် ၇ မိနစ်စာကိုသာ ''The Today Show'' တွင် နဂိုက ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။<ref>Transcript, [http://www.msnbc.msn.com/id/20623572/ ''MSNBC Live''] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071111190639/http://www.msnbc.msn.com/id/20623572/ |date=November 11, 2007}}. September 5, 2007. Retrieved November 21, 2007.</ref> နဖူးပြောင်စပြုလာပြီဖြစ်ပြီး ထင်ရှားနေဆဲ နာဇီစကြာအမှတ်အသားပါ နဖူးပြင်၊ မီးခိုးရောင် မုတ်ဆိတ်ကျင်စွယ်နှင့် ဆံပင်တို့ဖြင့် တွေ့မြင်ရသည့် မန်ဆန်၏ ဓာတ်ပုံကို ကယ်လီဖိုးနီးယား စာရိတ္တပြုပြင်ရေး စခန်း အရာထမ်းများက ၂၀၀၉ မတ်လတွင် လူထုထံ ပြသခဲ့သည်။<ref>{{cite news |title=New prison photo of Charles Manson released |publisher=CNN |date=March 20, 2009 |url=http://www.cnn.com/2009/CRIME/03/19/california.manson.photo/index.html |access-date=July 21, 2009 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090729031627/http://www.cnn.com/2009/CRIME/03/19/california.manson.photo/index.html |archivedate=July 29, 2009 |df=mdy-all}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် မန်ဆန်ကို ဆဲလ်ဖုန်းနှင့်တကွ ဖမ်းမိပြီး ကယ်လီဖိုးနီးယား၊ နယူးဂျာစီ၊ ဖလော်ရီဒါ နှင့် ဗြိတိသျှကိုလံဘီယာတို့ရှိ သူများနှင့် အဆက်အသွယ်ပြုလုပ်ထားသည်ဟု ၂၀၁၀ ၌ ''Los Angeles Times''  သတင်းစာက ရေးသားသည်။ ရာဇဝတ်မှုပြုရန် ရည်ရွယ်ချက်ဖြင့် ဖုန်းအသုံးပြုခဲ့ခြင်း ရှိမရှိကို မသိရဟု ကယ်လီဖိုးနီးယား စာရိတ္တ ပြုပြင်ရေးဋ္ဌာန ပြောရေးဆိုခွင့်ရှိသူ ၁ ဦးက ထုတ်ဖော်သည်။<ref>{{cite web |last=Wilson |first=Greg |url=http://www.nbclosangeles.com/news/weird/Cell-Phone-Charles-Manson-Busted-with-a-Mobile-111256244.html?dr |title="Cell" Phone: Charles Manson Busted with a Mobile |publisher=NBC Los Angeles |date=December 3, 2010 |access-date=October 28, 2012 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121019214923/http://www.nbclosangeles.com/news/weird/Cell-Phone-Charles-Manson-Busted-with-a-Mobile-111256244.html?dr |archivedate=October 19, 2012 |df=mdy-all}}</ref> ဟန်နရီရိုးလင်းစ်၏ ထုတ်လုပ်မှုဖြင့် ''Completion'' ဟု ခေါင်းစဉ်တပ်ထားသော အကူးစတစ်ခ်ပေါ့သီချင်းများပါဝင်သည့် အယ်လ်ဘမ်ကို အသံသွင်းခဲ့သည်။ ချပ်ရေ ၅ ခုကိုသာ ထုတ်လုပ်ခဲ့သည် - ၂ ခုမှာ ရိုးလင်းစ်နှင့် သက်ဆိုင်ပြီး ကျန် ၃ ခုမှာ မန်ဆန်နှင့်သက်ဆိုင်ပုံရသည်။ အယ်လ်ဘမ်ကို ဖြန့်ချိခြင်းမရှိခဲ့ပေ။<ref>{{cite news |last1=Michaels |first1=Sean |title=Henry Rollins produced Charles Manson album |url=https://www.theguardian.com/music/2010/dec/15/henry-rollins-charles-manson |work=[[The Guardian]] |date=December 15, 2010 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171029173114/https://www.theguardian.com/music/2010/dec/15/henry-rollins-charles-manson |archivedate=October 29, 2017 |df=mdy-all }}</ref> == နာမကျန်းမှု နှင့် သေဆုံးခြင်း == ကော်ကိုရန် ကယ်လီဖိုးနီးယား ပြည်နယ်အကျဉ်းထောင်၌ ထောင်ဒဏ်ကျခံနေစဉ် ၂၀၁၇ ဇန်နဝါရီ ၁ ရက်တွင် အစာအိမ် သွေးယိုမှုဝေဒနာ ခံစားရသည့်အတွက် ဘိတ်ကာစ်ဖီးလ်ဒ်မြို့လယ်ရှိ မာစီဆေးရုံသို့ အပြေးအလွှားပို့ဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web |last1=Winton |first=Richard |last2=Hamilton |first2=Matt |last3=Branson-Potts |first3=Hailey |url=http://www.latimes.com/local/lanow/la-me-manson-bleeding-20170104-story.html |title=Killer Charles Manson's failing health renews focus on cult murder saga |work=Los Angeles Times |date=January 4, 2017 |access-date=January 4, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170105032947/http://www.latimes.com/local/lanow/la-me-manson-bleeding-20170104-story.html |archivedate=January 5, 2017 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်မှာ ပြင်းပြင်းထန်ထန် နာမကျန်းဖြစ်နေကြောင်း သတင်းပေး ၁ ဦးက ''Los Angeles Times''  ထံပြောသည်။ ခွဲစိတ်မှုခံယူရန် "အားနည်းလွန်း" နေသည်ဟု ဆရာဝန်များက စဉ်းစားကြကြောင်း တီအမ်ဇက်က သတင်းပို့ သည်။<ref>{{cite web |url=https://www.rte.ie/news/2017/0107/843268-charles-manson/ |title=US killer Manson 'too weak' for surgery |publisher=RTÉ |date=January 7, 2017 |access-date=January 7, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170108100259/http://www.rte.ie/news/2017/0107/843268-charles-manson/ |archivedate=January 8, 2017 |df=mdy-all}}</ref> ဇန်နဝါရီ ၆ တွင် ထောင်သို့ ပြန်လည်ပို့ဆောင်ခဲ့ပြီး ခံယူနေသည့် ကုသမှုအား ထုတ်ဖော်မပြောခဲ့ပေ။<ref>{{cite news |last1=Winton |first1=Richard |last2=Christensen |first2=Kim |url=http://www.latimes.com/local/lanow/la-me-ln-manson-returned-to-prison20170106-story.html |title=Charles Manson is returned to prison after stay at Bakersfield hospital |work=Los Angeles Times |date=January 7, 2017 |access-date=January 7, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170107085511/http://www.latimes.com/local/lanow/la-me-ln-manson-returned-to-prison20170106-story.html |archivedate=January 7, 2017 |df=mdy-all}}</ref> ဘိတ်ကာစ်ဖီးလ်ဒ်ရှိ‌ ဆေးရုံ ၁ ရုံသို့ ပြန်လည်ရောက်ရှိသွားပြီဖြစ်ကြောင်း ၂၀၁၇ နိုဝင်ဘာ ၁၅၌ စာရိတ္တပြုပြင်ရေးဋ္ဌာန၏ ခွင့်ပြုချက်မရရှိသော သတင်းပေး ၁ ဦးက အတည်ပြုလိုက်သည်။<ref>{{cite news |last=Tchekmedyian |first=Alene |url=http://beta.latimes.com/local/lanow/la-me-charles-manson-hospitalized-20171115-story.html |title=Charles Manson hospitalized in Bakersfield; severity of illness unclear |work=Los Angeles Times |date=November 15, 2017 |access-date=November 16, 2017 }}{{Dead link|date=December 2020 }}</ref> ဖက်ဒရယ်နှင့် ပြည်နယ်ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ အတွင်းရေးဥပဒေအား လိုက်နာသောအားဖြင့် ကယ်လီဖိုးနီးယား စာရိတ္တပြုပြင်ရေးနှင့် ပြန်လည်ထူထောင်ရေး ဌာနက ဤသတင်းကို အတည်မပြုခဲ့ပေ။<ref>{{cite web |url=http://www.abc15.com/news/national/charles-manson-s-condition-still-unannounced |title=Charles Manson's condition still unannounced |author=Scripps National Desk|date=November 17, 2017 |publisher=ABC 15 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171118211630/http://www.abc15.com/news/national/charles-manson-s-condition-still-unannounced |archivedate=November 18, 2017 |df=mdy-all}}</ref> နိုဝင်ဘာ ၁၉ ဆေးရုံတင်ပြီး ၄ ရက်အကြာ၌  အသက်ရှုလမ်းကြောင်းချို့ယွင်းမှု နှင့် အူမကြီးကင်ဆာတို့၏ နောက်ဆက်တွဲအနေဖြင့် နှလုံးရပ်ပြီး သေဆုံးခဲ့သည်။<ref name=death>{{cite magazine |url=https://www.rollingstone.com/culture/news/charles-manson-dead-at-83-w458873 |title=Charles Manson Dead at 83 |magazine=Rolling Stone |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171120192522/http://www.rollingstone.com/culture/news/charles-manson-dead-at-83-w458873 |archivedate=November 20, 2017 |df=mdy-all }}</ref><ref>{{cite news |url=http://www.tmz.com/2017/11/19/charles-manson-dead-at-83/ |title=Charles Manson Dead at 83 |work=[[TMZ]] |date=November 19, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171120061831/http://www.tmz.com/2017/11/19/charles-manson-dead-at-83/ |archivedate=November 20, 2017 |df=mdy-all}}</ref><ref>{{cite web |url=https://news.cdcr.ca.gov/news-releases/2017/11/19/inmate-charles-manson-dies-of-natural-causes/ |title=Inmate Charles Manson Dies of Natural Causes |publisher=[[California Department of Corrections and Rehabilitation]] |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171120064948/https://news.cdcr.ca.gov/news-releases/2017/11/19/inmate-charles-manson-dies-of-natural-causes/ |archivedate=November 20, 2017 |df=mdy-all |date=November 19, 2017}}</ref> မန်ဆန်၏ အိမ် နှင့် ကိုယ်ခန္ဓာကို တောင်းရန် လူ ၃ ဦးက ဆန္ဒဖော်ပြသည်။<ref name="nydailynews-2017-11-24">{{cite news |last1=Dillon |first1=Nancy |title=Battle erupts over control of Charles Manson's remains, estate |url=http://www.nydailynews.com/news/national/battle-erupts-control-charles-manson-remains-estate-article-1.3654743 |work=New York Daily News |date=November 24, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171127013510/http://www.nydailynews.com/news/national/battle-erupts-control-charles-manson-remains-estate-article-1.3654743 |archivedate=November 27, 2017 |df=mdy-all}}</ref><ref name="nydailynews-2017-11-28">{{cite news |last1=Feldman |first1=Kate |title=Charles Manson's secret prison pen pal Michael Channels wants murderer's body |url=http://www.nydailynews.com/news/national/charles-manson-prison-pen-pal-michael-channels-remains-article-1.3663746 |work=New York Daily News |date=November 28, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171205194620/http://www.nydailynews.com/news/national/charles-manson-prison-pen-pal-michael-channels-remains-article-1.3663746 |archivedate=December 5, 2017 |df=mdy-all}}</ref><ref name="nypost-2017-11-28">{{cite news |last1=Perez |first1=Chris |title=Manson's pen pal files will and testament to get his body |url=https://nypost.com/2017/11/28/mansons-pen-pal-files-will-and-testament-to-get-his-body/ |work=New York Post |date=November 28, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171205093047/https://nypost.com/2017/11/28/mansons-pen-pal-files-will-and-testament-to-get-his-body/ |archivedate=December 5, 2017 |df=mdy-all }}</ref> မန်ဆန်၏ ကျန်ရစ်ပစ္စည်းများအား ပိုင်ဆိုင်မှုရယူလိုကြောင်း မန်ဆန်၏ မြေး ဂျေဆန်ဖရီးမန်းက ထုတ်ဖော်ပြောသည်။<ref>{{cite news |last1=Rubenstein |first1=Steve |title=Manson's grandson hopes to claim remains, bring them to Florida |url=http://www.sfchronicle.com/news/article/Manson-s-grandson-hopes-to-claim-remains-bring-12375963.php |work=San Francisco Chronicle |date=November 21, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171122032844/http://www.sfchronicle.com/news/article/Manson-s-grandson-hopes-to-claim-remains-bring-12375963.php |archivedate=November 22, 2017 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်၏ စာပေးစာယူမိတ်ဆွေ မိုက်ကယ် ရှနယ်လ်တွင် ၂၀၀၂ ဖေဖော်ဝါရီ ၁၄ ရက်စွဲပါ သေတမ်းစာရှိပြီး ယင်းစာအရ မန်ဆန်၏ နေအိမ်ခြံမြေ တစ်ခုလုံးနှင့် သူ၏ကိုယ်ခန္ဓာကို သူ့အား လွှဲခဲ့သည်။<ref name="TMZ 2017-11-24">{{cite news |title=Charles Manson Will Surfaces Pen Pal Gets Everything |url=http://www.tmz.com/2017/11/24/charles-manson-will-entire-estate-body-left-to-friend/ |work=TMZ.com |date=November 24, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171126050555/http://www.tmz.com/2017/11/24/charles-manson-will-entire-estate-body-left-to-friend/ |archivedate=November 26, 2017 |df=mdy-all}}</ref><ref>{{cite news |title=Charles Manson's Pen Pal, Grandson Battle For His Body |url=http://www.tmz.com/2017/11/29/charles-manson-cremation-halted-body-sought-by-two-people/ |work=TMZ.com |date=November 29, 2017 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171129195609/http://www.tmz.com/2017/11/29/charles-manson-cremation-halted-body-sought-by-two-people/ |archivedate=November 29, 2017 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်၏ သူငယ်ချင်း ၁ ဦးဖြစ်သူ ဘန် ဂူရက်ကီတွင် ၂၀၁၇ ဇန်နဝါရီ ရက်စွဲပါ သေတမ်းစာရှိပြီး စာအရ အိမ်ခြံမြေနှင့် ကိုယ်ခန္ဓာကို သူ၏ သားဟုဆိုသည့် မက်သရူး ရောဘတ်စ်ထံ ပေးခဲ့သည်။<ref name="nydailynews-2017-11-24" /><ref name="nydailynews-2017-11-28" /> ဖရီးမန်းနှင့် ရောဘတ်စ်တို့ သွေးသားတော်စပ်မှုရှိမရှိကို ၂၀၁၀ စီအဲန်အဲန် သတင်းဌာနက ဒီအဲန်အေ တိုက်ဆိုင်စစ်ဆေးမှုပြုခဲ့ရာ တော်စပ်မှုမရှိကြောင်း တွေ့ရသည်။  (ရောဘတ်စ်နှင့်မန်ဆန် အကြား တိုက်ဆိုင် စစ်ဆေးမှုကို ကြိုးပမ်းခဲ့သော်လည်း ရလဒ်မှာ "မသန့်စင်" ဆိုသည်။)<ref name="specter" /> ၂၀၁၈ မတ် ၁၂ တွင် မန်ဆန်၏ ကိုယ်ခန္ဓာနှင့် ပတ်သက်ပြီး ကယ်လီဖိုးနီးယားပြည်နယ်ရှိ ကဲန်း ကောင်တီ အထက်တရားရုံးက ဖရီးမန်းအား အနိုင်ပေးခဲ့သည်။ ၂၀၁၈ မတ် ၂၀ တွင်  ယခင်ကပြောခဲ့သည့်အတိုင်း မန်ဆန်အား ဖရီးမန်းက မီးသင်္ဂြိုဟ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Melley |first1=Brian |title=Grandson wins bizarre battle over body of Charles Manson |url=https://www.washingtonpost.com/national/religion/bizarre-battle-over-body-of-charles-manson-won-by-grandson/2018/03/12/51601c38-2653-11e8-a227-fd2b009466bc_story.html |accessdate=March 12, 2018 |work=Washington Post |agency=AP |date=March 12, 2018 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180313035757/https://www.washingtonpost.com/national/religion/bizarre-battle-over-body-of-charles-manson-won-by-grandson/2018/03/12/51601c38-2653-11e8-a227-fd2b009466bc_story.html |archivedate=March 13, 2018 |df=mdy-all}}</ref> == ကိုယ်ပိုင်ဘဝ == === ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှု === ထောင်သား လေနီယာရိုင်းနာ၏ အကူအညီဖြင့် ၎င်းနှင့်အတူ အကျဉ်းကျနေစဉ်အတွင်း ယင်းဘာသာတရားကို လေ့လာ လိုက်စားပြီးနောက် ၁၉၆၁ ဇူလိုင်တွင် ဆိုင်းယန်တိုလော်ဂျီမှာ သူ၏ ဘာသာတရားဖြစ်သည်ဟု မန်ဆန်က ပြောသည်။<ref>{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|p=200}}</ref> သို့သော် ဆိုင်းယန်တိုလော်ဂျီ ဘုရားကျောင်း အဖွဲ့ဝင်မဟုတ်ပေ။<ref name="mallia1998">{{Cite news |last=Mallia |first=Joseph |title=Inside the Church of Scientology&nbsp;– Church wields celebrity clout |work=[[Boston Herald]] |page=30 |date=March 5, 1998}}</ref><ref>{{Cite news |first=Steven V. |last=Roberts |title=Charlie Manson, Nomadic Guru, Flirted With Crime in a Turbulent Childhood |work=[[New York Times]] |page=84 |date=7 December 1969}}</ref><ref>{{Cite news |last=Goodsell |first=Greg |title=Manson once proclaimed Scientology |work=Catholic Online |publisher=www.catholic.org |date=February 23, 2010 |url=http://www.catholic.org/national/national_story.php?id=35505 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100227053826/http://www.catholic.org/national/national_story.php?id=35505 |url-status=dead |archive-date=February 27, 2010 |accessdate=2010-02-24 |df= |archivedate=27 February 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100227053826/http://www.catholic.org/national/national_story.php?id=35505 }}</ref> မန်ဆန်က နာရီပေါင်း ၁၅၀ ကြာအောင် ပြန်လှန် သုံးသပ်ပြီးနောက် ဆိုင်းယန့်တိုလော်ဂျီမှာ "ရူးသွပ်လွန်း" သည် ဟု ကြေညာသည်။<ref>https://www.cs.cmu.edu/~dst/Library/Shelf/cooper/scandal_behind_scandal.html</ref> === ပတ်သက်ဆက်နွယ်မှုများနှင့် သားသမီးများ === လော့စ်အန်ဂျလိစ် တေးဂီတမိတ်ဆက် နှင့် တေးရေးဆရာ မက်သရူးရောဘတ်စ်က သူသည် မန်ဆန်၏ သွေးသားဖြစ်နိုင် ကြောင်းကို ညွှန်းနေသည့် ပေးစာများနှင့် အခြားအထောက်အထားများအား ၂၀၀၉ တွင် ဖွင့်ချလိုက်သည်။ ရောဘတ်၏ မွေးမိခင်ရင်းမှာ မန်ဆန်မိသားစု၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်ခဲ့ပြီး မန်ဆန်၏ မတရားကျင့်ခံရသည့်အခါ ၁၉၆၇ နှစ်လယ်တွင် အဖွဲ့မှ ပြန်ထွက်လာခဲ့သည်။ ကိုယ်ဝန်ကြီးရင့်ပြီး ၁၉၆၈ မတ် ၂၂ တွင် မီးဖွားရန်အတွက် မိဘအိမ်သို့ ပြန်လာပြီး ရောဘတ်အား မွေးစားမည့်သူရှာခဲ့သည်။ မိသားစု အဖွဲ့က လူသတ်မှုများ စတင်မကျူးလွန်ခင် ၂ နှစ်အလို ၁၉၆၇ ခုနှစ်အတွင်း သူမနှင့် လိင်ဆက်ဆံရေးရှိခဲ့ဖူးပြီး ဖခင်ဖြစ်နိုင်ကြောင်း မန်ဆန်ကိုယ်တိုင်က ထုတ်ဖော်ပြောဆိုသည်။<ref>Borland, Huw, "[http://news.sky.com/skynews/Home/World-News/Charles-Manson-Matthew-Roberts-Says-Manson-Family-Murders-Serial-Killer-Is-My-Long-Lost-Dad/Article/200911415463172 Man Finds His Long-Lost Dad Is Charles Manson] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091126020110/http://news.sky.com/skynews/Home/World-News/Charles-Manson-Matthew-Roberts-Says-Manson-Family-Murders-Serial-Killer-Is-My-Long-Lost-Dad/Article/200911415463172 |date=November 26, 2009}} {{cite web |url=http://news.sky.com/story/1100003/youngest-manson-family-member-denied-parole |title=Archived copy |access-date=November 18, 2015 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091126020110/http://news.sky.com/skynews/Home/World-News/Charles-Manson-Matthew-Roberts-Says-Manson-Family-Murders-Serial-Killer-Is-My-Long-Lost-Dad/Article/200911415463172 |archivedate=November 26, 2009 |df=mdy-all}}", ''Sky News Online'', November 23, 2009. {{cite web |url=http://news.sky.com/story/1100003/youngest-manson-family-member-denied-parole |title=Archived copy |access-date=November 18, 2015 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20091126020110/http://news.sky.com/skynews/Home/World-News/Charles-Manson-Matthew-Roberts-Says-Manson-Family-Murders-Serial-Killer-Is-My-Long-Lost-Dad/Article/200911415463172 |archivedate=November 26, 2009 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်၏ သွေးသားရင်း မြေး ဂျေဆန်ဖရီးမန်း နှင့် မက်သရူးရောဘတ်စ်တို့အကြား ဒီအဲန်အေ စစ်ဆေးမှုကို ၂၀၁၂ ၌ စီအဲန်အဲန် သတင်းဋ္ဌာနက ပြလုပ်ခဲ့ရာ  တော်စပ်မှုမတွေ့ရပေ။<ref name="specter">{{Cite web|url=https://www.cnn.com/2012/04/23/us/ohio-manson-grandson/index.html|title=Two men relate to same haunting specter – Charles Manson|last=Marquez|first=Miguel|publisher=CNN|date=April 24, 2012|access-date=2019-05-14}}</ref> မန်ဆန်ကို သူ၏ဖခင်အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ရေး ရောဘတ်စ်၏ နောက်ပိုင်းကြိုးပမ်းမှု များမှာလည်း မအောင်မမြင်ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.thedailybeast.com/charles-mansons-body-is-on-ice-under-a-fake-name-10|title=The Battle Over Charles Manson's Corpse|first=Kate|last=Briquelet|date=March 8, 2018|website=Daily Beast}}</ref> အကျဉ်းကျခံ မန်ဆန် နှင့် အသက် ၂၆ နှစ်အရွယ်ရှိ အက်ဖ်တန် အီလိန်း "စတား" ဘာတန် တို့ စေ့စပ်ကြောင်းလမ်း ပြီးစီးကြောင်း ၂၀၁၄ တွင် ကြေညာပြီး နိုဝင်ဘာ ၇ ရက်တွင် ထိမ်းမြားမှုအသိအမှတ်ပြုလိုင်စင် ရယူခဲ့သည်။<ref>[http://time.com/3590836/charles-manson-marriage-afton-elaine-burton-star/ 5 Things to Know About the 26-Year-Old Woman Charles Manson Might Marry] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150106131006/http://time.com/3590836/charles-manson-marriage-afton-elaine-burton-star/ |date=January 6, 2015}} ''Time''. Retrieved January 5, 2015.</ref> ဘာတန်အား "စတား" ဟူသောအမည်ကို မန်ဆန်ကိုယ်တိုင်ပေးခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ၉ နှစ်ကြာသည့်တိုင် မန်ဆန်အား ထောင်ဝင်စာ သွားတွေ့ခဲ့ပြီး သူ အပြစ်ကင်းစင်ကြောင်း ကြေညာသည့် ဝက်ဘ်ဆိုဒ်အချို့ကိုလည်း ထောင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite news |last1=Deutsch |first1=Linda |title=Charles Manson Gets Marriage License |url=https://abcnews.go.com/US/wireStory/ap-exclusive-charles-manson-marriage-license-26978380 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141117232054/https://abcnews.go.com/US/wireStory/ap-exclusive-charles-manson-marriage-license-26978380 |archivedate=November 17, 2014 |publisher=ABC News |agency=Associated Press |access-date=November 17, 2014 }}</ref> မင်္ဂလာဆောင် မဆင်နွှဲရဘဲ ထိမ်းမြားမှုအသိအမှတ်ပြုလိုင်စင်မှာ ၂၀၁၅ ဖေဖော်ဝါရီ ၅ တွင် သက်တမ်းကုန်ဆုံးခဲ့သည်။<ref name=post /> သူသေဆုံးပြီး နောက် သူ၏ ရုပ်အလောင်းအား ခရီးသွားများအား ဆွဲဆောင်မှု တစ်ခု အဖြစ် အသုံးချနိုင်ရန်အတွက်သာ မန်ဆန်ကို လက်ထပ်ရန် ဘာတန်နှင့် သူငယ်ချင်း ခရိတ် "ဂရေးဝို့လ်ဖ်" ဟမ်းမန်တို့က ကြံစည်ထားကြောင်း ပေါ်သွားသည့်အတွက် မင်္ဂလာဆောင်ကို ဖျက်သိမ်းလိုက်သည်ဟု ဂျာနယ်လစ် ဒဲနီရယ်လ်စီမုန်းက သတင်းပေးပို့သည်။<ref name="post">{{cite news |url=https://nypost.com/2015/02/08/charles-mansons-fiancee-wanted-to-marry-him-for-his-corpse-source/ |title=Charles Manson's fiancee wanted to marry him for his corpse: Source |work=The New York Post |date=February 8, 2015 |access-date=February 2, 2015 |last=Sanderson|first=Bill |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150208164216/http://nypost.com/2015/02/08/charles-mansons-fiancee-wanted-to-marry-him-for-his-corpse-source/ |archivedate=February 8, 2015 |df=mdy-all}}</ref><ref name="independent corpse">{{cite news |url=https://www.independent.co.uk/news/people/charles-manson-wedding-off-after-it-emerges-that-girlfriend-afton-elaine-burton-just-wanted-his-corpse-for-display-10034793.html |title=Charles Manson wedding off after it emerges that fiancee Afton Elaine Burton 'just wanted his corpse for display' |work=The Independent |date=February 9, 2015 |access-date=February 11, 2015 |last=Hooton|first=Christopher |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150210220731/http://www.independent.co.uk/news/people/charles-manson-wedding-off-after-it-emerges-that-girlfriend-afton-elaine-burton-just-wanted-his-corpse-for-display-10034793.html |archivedate=February 10, 2015 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်က သူဘယ်သော အခါမျှ သေမည်မဟုတ်ဟု ယုံကြည်ပြီး ဘာတန်နှင့် ဟမ်းမန်တို့ သူ့အား ထောင်ဝင်စာဆက်တွေ့နေရန်နှင့် လက်ဆောင်များ ယူလာစေရန်အတွက်သာ လက်ထပ်မှုကို နည်းလမ်းတရပ်အနေဖြင့် သုံးခဲ့ကြောင်း စီမုန်း၏ သတင်းပေးချက်အရ သိရသည်။ စီမုန်းက ပူးတွဲစာရေးသူ ဟိုက်ဒီဂျော်ဒန်လေး နှင့်အတူ မန်ဆန်၏ အကျဉ်းကျဘက် အချို့၏ အကူအညီဖြင့် မန်ဆန်အကြောင်း စာအုပ်ရေးသားပြီး ထုတ်ဝေမည့်သူအား ရှာဖွေခဲ့သည်။ မင်္ဂလာဆောင် မဖြစ်မြောက်ရခြင်းမှာ ပို့ဆောင်ရေးအခက်အခဲကြောင့်မျှသာဟု ဘာတန်က သူမ၏ ဝက်ဘ်ဆိုဒ်တွင် ဖော်ပြသည်။ မန်ဆန်မှာ ကူးစက်မှုဝေဒနာခံစားနေရသောကြောင့် အကျဉ်းထောင်ဆေးပေးခန်း၌ ၂ လခန့် ဆေးကုသခံနေရသဖြင့် ထောင်ဝင်စာလာတွေ့သူများကို လက်ခံခြင်းမပြုနိုင်ကြောင်း နှင့် ထိမ်းမြားမှုအသိအမှတ်ပြုလိုင်စင်ကို သက်တမ်းတိုးရန် အပြင် မင်္ဂလာဆောင် အကောင်အထည်ဖော်ရန် မျှော်လင့်ကြောင်း သူမက ပြောသည်။<ref name=post /> === စိတ္တဗေဒ === ၂၀၁၂ ဧပြီ ၁၁ ၌ ၁၂ ကြိမ်မြောက် ခံဝန်ကြားနာမှုကို မန်ဆန်တက်ရောက်ခဲ့ခြင်းမရှိဘဲ ထောင်မှ လွတ်ခွင့်လည်း ငြင်းပယ်ခံရသည်။ ၁၉၉၇ မတ် ၂၇ တွင် ခံဝန်ကြားနာမှုပြီးနောက် နောက်ပိုင်းကြားနာမှုမှန်သမျှကို မန်ဆန် တက်ရောက်ရန် ငြင်းဆိုသည်။ မန်ဆန်တွင် "ချုပ်ခြယ်တတ်သည့်အမူအကျင့် ရာဇဝင်" နှင့် schizophrenia နှင့် ယုံမှားသံသယလွန်ကဲ ထင်ယောင်ထင်မှား ဖောက်ပြန်မှု အပါအဝင် "စိတ်ကျန်းမာရေးပြဿနာ" များ ရှိသည့်အတွက် လွတ်မြောက်ခွင့်ပေးရန် အန္တရာယ်ကြီးလွန်းသည်ဟု ယင်းတရားခွင်၌ ခုံအဖွဲ့က မှတ်ချက်ချသည်။<ref>{{cite news |url=http://latimesblogs.latimes.com/lanow/2012/04/charles-manson-quickly-denied-parole.html |title=Charles Manson Quickly Denied Parole |newspaper=Los Angeles Times |date=April 11, 2012 |access-date=April 11, 2012 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120411181326/http://latimesblogs.latimes.com/lanow/2012/04/charles-manson-quickly-denied-parole.html |archivedate=April 11, 2012 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်သည် စည်းမျဉ်း ၁၀၈ ခုအား ချိုးဖောက်မှုအတွက် တိုင်ကြားမှုများ ရှိထားပြီး နောင်တရမှု မပြ ၊ ရာဇဝတ် ကျူးလွန်မှုဖြစ်စေသည့် အကြောင်းအချက် များအား သိမြင်မှုမရှိ ၊ ရာဇဝတ်မှုများ၏ အတိုင်းအဆကို နားလည်မှု ကင်းမဲ့ ၊ လူသားတို့၏ နာကျင်ခံစားရမှု အပေါ် မကြုံဖူးလောက်အောင် ဂရုမထား ၊ ခံဝန်အစီအစဉ်မရှိဟု ခုံအဖွဲ့က အမှတ်အသားပြုသည်။<ref>{{cite web |url=http://cielodrive.com/charles-manson-parole-hearing-2012.php |title=Parole Hearing: Charles Manson 2012|website=cielodrive.com |access-date=November 4, 2017 }}</ref> နောင် ၁၅ နှစ်အတွက် မန်ဆန်အတွက် ခံဝန်မစဉ်းစားရန် ၂၀၁၂ ဧပြီ ၁၁ ရက် ကြားနာမှု က ဆုံးဖြတ်လိုက်ရာ ၎င်း အသက် ၉၂ နှစ်ပြည့်ချိန် ၂၀၂၇ ခုနှစ်အထိ သက်ရောက်သည်။<ref>{{cite web |last=Jones |first=Kiki |url=http://www.kionrightnow.com/story/17385763/charles-manson-denied-parole |title=Murderer Charles Manson Denied Parole – Central Coast News KION/KCBA |publisher=Kionrightnow.com |date=April 11, 2012 |access-date=August 19, 2012 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120413172109/http://www.kionrightnow.com/story/17385763/charles-manson-denied-parole |archivedate=April 13, 2012 }}{{cite web |url=http://www.pressherald.com/2012/04/11/manson-skips-12th-parole-hearing-may-be-his-last/ |title=Mass murderer Charles Manson denied parole |access-date=November 18, 2015 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151118190205/http://www.pressherald.com/2012/04/11/manson-skips-12th-parole-hearing-may-be-his-last/ |archivedate=November 18, 2015 |df=mdy-all |date=April 11, 2012}}</ref> == အမွေအနှစ် == === ယဉ်ကျေးမှုအပေါ် သက်ရောက်မှု === ၁၉၇၀ ဇန်နဝါရီမှစ၍ မန်ဆန်အား မြေအောက်သတင်းစာ ''Los Angeles Free Press''  နှင့် "တစ်နှစ်တာအတွက်အကျော်ကြားဆုံးပုဂ္ဂိုလ်" အဖြစ်''Tuesday's Child''  က ပွေ့ဖက်ကြိုဆိုခဲ့ကြသည်။ ၁၉၇၀ ဇွန်လ ''Rolling Stone''  ၏ ကာဗာစတိုရီ "ချားလ်စ်မန်ဆန် - သက်ရှိထင်ရှား အန္တရာယ်အများဆုံး ပုဂ္ဂိုလ်၏ အံ့ဖွယ်ဇာတ်လမ်း" ၏ ဇာတ်ကောင်ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>[https://www.rollingstone.com/culture/news/charles-manson-the-incredible-story-of-the-most-dangerous-man-alive-19700625 "Charles Manson: The Incredible Story of the Most Dangerous Man Alive"]. ''[[Rolling Stone]]''. {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170808142504/http://www.rollingstone.com/culture/news/charles-manson-the-incredible-story-of-the-most-dangerous-man-alive-19700625 |date=August 8, 2017}} Retrieved May 30, 2015.</ref> ယင်းဇာတ်လမ်းအား ပြင်ဆင်နိုင်ရန်အတွက် ''Rolling Stone''  မှ စာရေးသူတစ်ဦးက လော့စ်အန်ဂျလိစ် ခရိုင်ရှေ့နေ၏ ရုံးခန်းသို့သွားရောက်ခဲ့စဉ်<ref>[https://www.rollingstone.com/photos/gallery/5392212/1970_rolling_stone_covers/photo/12/large/vanmorrison Manson on cover of ''Rolling Stone''] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090410034106/http://www.rollingstone.com/photos/gallery/5392212/1970_rolling_stone_covers/photo/12/large/vanmorrison |date=April 10, 2009}} rollingstone.com. Retrieved May 2, 2007.</ref> မန်ဆန်အား ပေါ့ယဉ်းကျေးမှုနှင့် တွဲဖက်ပေးနိုင်မည့် သွေးသံရဲရဲ "Healter Skelter" ဓာတ်ပုံကြောင့် ကြက်သေသေသွားခဲ့သည်ဟု ဆိုသည်။<ref name="Christ a Con Man">{{cite news |last1=Dalton |first1=David |title=If Christ Came Back as a Con Man: Or how I started out thinking Charlie Manson was innocent and almost ended up dead |url=http://www.gadflyonline.com/home/archive/October98/archive-manson.html |accessdate=November 29, 2017 |work=Gadfly |agency=Gadfly Online |date=October 1998 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20161001084642/http://www.gadflyonline.com/home/archive/October98/archive-manson.html |archivedate=October 1, 2016 |df=mdy-all}}</ref> မန်ဆန်မှာ "ပြန်ကြွလာတဲ့ ခရစ်တော်" သို့တည်းမဟုတ် "တို့ခေတ်ရဲ့ အော့နှလုံးနာစရာ ပြယုဂ်" သတ်မှတ်နိုင်ရေးအတွက် မြေအောက်သတင်းစာ တွင် အငြင်းပွားခဲ့ကြောင်း အစိုးရရှေ့နေ ဗင်းဆင့်ဘတ်ဂလီအိုစီက ''Helter Skelter'' ပူးတွဲစာရေးသူ ကတ်ဂျန်ထျီအား ထောက်ပြပြောဆိုခဲ့သည်။ နာဇီဝါဒထောက်ခံသူလည်းဖြစ် မန်ဆန်၏ နောက်လိုက်လည်းဖြစ်သူ ဂျိမ်းစ်မန်ဆန်က နာဇီလိုလားသည့် အကြမ်းဖက်သမား အက်တမ်ဝါဖန် ဒဗစ်ရှင်ကဲ့သို့ လက်ယာအစွန်းရောက် လှုပ်ရှားမှုများအား လွှမ်းမိုးသည့် အဖွဲ့အစည်း ယူနီဗာဆယ်အော်ဒါ ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။<ref name=seeds>{{cite news |work=The New York Times |page=5 |url=https://www.nytimes.com/1981/11/22/magazine/the-seeds-of-terror.html |title=The Seeds of Terror |access-date=February 2, 2014 |date=November 22, 1981 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140309015156/http://www.nytimes.com/1981/11/22/magazine/the-seeds-of-terror.html |archivedate=March 9, 2014 |df=mdy-all}}</ref> ယူနီဗာဆယ်အော်ဒါ၏ အမည် နှင့် အမှတ်တံဆိပ်ဖြစ်သည့် တရားချိန်ခွင်ကြား နာဇီစကြာကို မန်ဆန်က အဝေးမှ ဖန်တီးခဲ့သည်။ ထိုစဉ်က ဥရောပ၌ တည်ရှိသော "မန်ဆန်လိုလားသူဂိုဏ်း" ကို မန်ဆန်၏ သီချင်းများ နှင့် "သူ့အားထောက်ခံသည့် သီချင်းများ" ကို တီးခတ်သီဆိုသည့် ရော့ခ်ဂီတအဖွဲ့ ၇၀ ခန့် က ကိုယ်စားပြုသည် ဟု ဘီဘီစီ ဝန်ထမ်း ၁ ဦး၏ ပြောဆိုချက်ကို Bugliosi က ၁၉၉၄ ခုနှစ်ထုတ် ဖြစ်ရပ်မှန် စာအုပ် ''Helter Skelter'' စကားကြွင်း၌ ကိုးကားသည်။<ref name="bc48891">{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=488–491}}</ref> === ဂီတ === မန်ဆန်၏ အသံသွင်းတိပ်ခွေများ - ဂီတသာမက စကားပြောကို ဖြန့်ချိခဲ့သည်။ ယင်းအယ်လ်ဘမ်များအနက်က တစ်ခုဖြစ်သော ''The Family Jams'' တွင် မန်ဆန်နှင့်အခြားသူများအဖမ်းခံရပြီးနောက် ၁၉၇၀ တွင် သယ်ဖမ်မလီက အသံသွင်းထားသော မန်ဆန်၏ တေးသီချင်းများ စီဒီ ၂ ချပ်ပါဝင်သည်။ ဂစ်တာတီးခတ်သူနှင့် ပင်တိုင်အဆိုကို စတိဗ်ဂရိုဂန်က ဆောင်ရွက်ပြီး<ref>{{harvnb|Bugliosi|Gentry|1974|pp=125–127}}</ref> လင်းနက်တ်ဖရောမ်၊ ဆန်ဒရာ ဂွတ်ဒ်၊ ကက်သရင်း ရှဲ နှင့် အခြားသူများကလည်း အသံအားဖြည့်ပေးသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.amazon.com/dp/B0002UXM2Q|title=The Family Jams|asin=B0002UXM2Q|date=2004|website=Amazon.com}}</ref> ဖြန့်ချိစဉ်က အသစ်အဆန်းဖြစ်သော ဂီတ ကဗျာ နှင့် စကားပြော အယ်လ်ဘမ် ''One Mind'' ကို Creative Commons လိုင်စင်ဖြင့် ၂၀၀၅ ဧပြီတွင် ဖြန့်ချိသည်။<ref>[https://www.pcmag.com/article2/0,1759,2281577,00.asp Charles Manson Issues Album under Creative Commons] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090710115248/http://www.pcmag.com/article2/0,1759,2281577,00.asp |date=July 10, 2009}} pcmag.com. Retrieved April 14, 2008.</ref><ref>[http://blog.limewire.com/posts/1679 Yes it's CC!] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081227054309/http://blog.limewire.com/posts/1679 |date=December 27, 2008 }} Photo verifying Creative Commons license of ''One Mind''. blog.limewire.com. Retrieved April 13, 2008.</ref> အမေရိကန် ရော့ခ်ဂီတအဖွဲ့ Guns N' Roses က မန်ဆန်၏ "Look at Your Game, Girl” ကို ၎င်းတို့၏ ၁၉၉၃ ထုတ် ''"The Spaghetti Incident?"''  အယ်လ်ဘမ်၏ စာရင်းမသွင်းထားသော ၁၃ ပုဒ်မြောက် တေးသီချင်းအဖြစ် အသံသွင်းခဲ့သည်။<ref name="bc48891" /><ref>[{{AllMusic|class=album|id=r188450|pure_url=yes}} Review of ''The Spaghetti Incident?''] allmusic.com. Retrieved November 23, 2007.</ref><ref>[http://www.themusichype.com/guns-n-roses-biography/ Guns N' Roses Biography] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170113071640/http://www.themusichype.com/guns-n-roses-biography/ |date=January 13, 2017}} {{cite web |url=http://www.themusichype.com/guns-n-roses-biography/ |title=Archived copy |access-date=January 10, 2017 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170113071640/http://www.themusichype.com/guns-n-roses-biography/ |archivedate=January 13, 2017 |df=mdy-all}} themusichype.com. Retrieved January 11, 2017.</ref> အမေရိကန်ရော့ခ်ဂီတအဖွဲ့ မရီလင်မန်ဆန်၏ ''Portrait of an American Family'' အယ်လ်ဘမ် "My Monkey" သီချင်းတွင် "I had a little monkey / I sent him to the country and I fed him on gingerbread / Along came a choo-choo / Knocked my monkey cuckoo / And now my monkey's dead." ဟူသော စာသားများ ပါဝင်သည်။ ထိုစာသားများမှာ  မန်ဆန်၏ LIE အယ်လ်ဘမ်ပါ "Mechanical Man" မှ ယူထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Lyrics of "Mechanical Man" {{cite web |url=http://www.lyricsmania.com/mechanical_man_lyrics_charles_manson.html |title=Charles Manson – Mechanical Man Lyrics |access-date=November 18, 2015 |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151118220240/http://www.lyricsmania.com/mechanical_man_lyrics_charles_manson.html |archivedate=November 18, 2015 |df=mdy-all}}</ref> ခရစ်(စ်)ပင်ဂလိုဗာက ၁၉၈၉ တွင် ဖြန့်ချိသည့် ''The Big Problem ≠ The Solution. The Solution=Let It Be''  အယ်လ်ဘမ်တွင် "Never Say 'Never' to Always" ကို ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ Kasabian၊ Spahn Ranch နှင့် Marilyn Manson ကဲ့သို့ ဂီတဖျော်ဖြေတင်ဆက်သူများက ၎င်းတို့၏ အမည်များကို မန်ဆန်နှင့်သူ၏အတွေးအမြင် များမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.ukula.com/TorontoArticle.aspx?SectionID=2&ObjectID=1465&CityID=3 |title=Ukula Music :: speaking with Kasabian on their first trip to America |work=[[Ukula]] |first=Graeme |last=Maclean |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070310145534/http://www.ukula.com/TorontoArticle.aspx?SectionID=2&ObjectID=1465&CityID=3 |archivedate=March 10, 2007 |accessdate=August 8, 2013}}</ref><ref name="SR-band">{{cite web |url=http://www.nme.com/blogs/nme-blogs/2161440-2161440 |title=Charles Manson's musical connections |accessdate=November 22, 2017 |work=NME |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171121161428/http://www.nme.com/blogs/nme-blogs/2161440-2161440 |archivedate=November 21, 2017 |df=mdy-all |date=November 20, 2017}}</ref><ref name="longhard">{{cite book |title=The Long Hard Road out of Hell |last=Manson |first=Marilyn |publisher=HarperCollins |year=1998 |isbn=0-06-098746-4 |pages=85–87 }}</ref> ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:၁၉၃၄ မွေးဖွားသူများ]] [[Category:၂၀၁၇ ကွယ်လွန်သူများ]] [[Category:အမေရိကန် အမျိုးသား ပြစ်မှုကျူးလွန်သူများ]] [[Category:အမေရိကန် လူသတ်သမားများ]] [[Category:အမေရိကန် ဂီတပညာရှင်များ]] er0pcxlcugb1mfzdpf5c2y9zazeo7ci 0 134806 1060960 1055049 2026-11-01T04:51:58Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060960 wikitext text/x-wiki {{Infobox ကမ္ဘာ့အမွေခံနေရာများ | WHS = ပီထရာ | ပုံ = [[File:Petra Jordan BW 21.JPG|300px]] |ပုံခေါင်းစဉ်= ပီထရာရှိ အယ်ခတ်နေး (ဘဏ္ဍာတိုက်)ရှေ့တွင် တွေ့ရသော ကမ္ဘာလှည့်ခရီးသွားများ | နိုင်ငံ = {{အလံ|ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ}} | အမျိုးအစား = ယဉ်ကျေးမှု | စံနှုန်း = i,iii, iv | ID = ၃၂၆ | ဒေသ = အာရှနှင့် ပစိဖိတ် | နှစ် = ၁၉၈၅ | ဆက်ရှင် = နဝမအကြိမ် |သက်တမ်းတိုးခြင်း = | ဝက်ဘ် = http://whc.unesco.org/en/list/326 }} ပီထရာမြို့အား ဒေသခံနေထိုင်သူများမှ ရပ်ခ်မူးဟု သိကြပြီး ဂျော်ဒန်နိုင်ငံတောင်ပိုင်းရှိ သမိုင်းဝင်မြို့နှင့် ရှေးဟောင်းသုတေသနဆိုင်ရာ မြို့တစ်မြို့ ဖြစ်သည်။ ပီထရာမြို့သည် ပင်လယ်သေမှ အေကွာဘာပင်လယ်ကွေ့အထိရှိသော အာရာဘာတောင်ကြား၏ အရှေ့ဘက်တောင်ပံ အဖြစ်ရှိသော တောင်ကုန်းများဝိုင်းရံနေသော ချိုင့်ဝှမ်းအတွင်း ဂျဘဲ အယ်လ်-မတ်ဘာတောင်ကုန်းများတဝိုက်တွင် တည်ရှိသည်။ ပီထရာတဝိုက်ရှိ နေရာများမှာ ဘီစီ ၇၀၀၀ ခုနှစ်ခန့်ကပင် လူတို့ စတင်နေထိုင် ခဲ့ကြပြီး နာဘာတေးယန်းလူမျိုးတို့သည် တစ်ချိန်တွင် သူတို့တိုင်းပြည်၏ မြို့တော် ဖြစ်လာမည့်နေရာတွင် အစောဆုံး ဘီစီ ၄ရာစုခန့်မှစ၍ နေထိုင်ခဲ့ကြပုံ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ရှေးဟောင်းသုတေသနဆိုင်ရာ တွေ့ရှိချက်များအရ ဘီစီ ၂ ရာစု ခန့်မှ နာဘာတေးယန်းတို့ နေထိုင်ခဲ့သည့် အထောက်အထားများကိုသာ တွေ့ရပြီး <ref name="NGlost">{{cite news |title= Petra. The "Lost City" still has secrets to reveal: Thousands of years ago, the now-abandoned city of Petra was thriving. |author= Mati Milstein |work= National Geographic |date= |url= https://www.nationalgeographic.com/history/archaeology/lost-city-petra/ |access-date= 27 December 2019 |archive-date= 10 October 2019 |archive-url= https://web.archive.org/web/20191010181043/https://www.nationalgeographic.com/history/archaeology/lost-city-petra/ |url-status= dead }}</ref> ထိုအချိန်က ပီထရာသည် မြို့တော်အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိနေပြီ ဖြစ်သည်။ နာဘာတေးယန်းတို့မှာ ယခင်က ခြေသလုံးအိမ်တိုင် သွားလာနေကြသော အာရပ်လူမျိုးများ ဖြစ်ပြီး သူတို့သည် ပီထရာအား ဒေသအတွင်း အဓိကကျသော ပင်မ ကုန်သွယ်ရေးဗဟိုဌာန အဖြစ်တည်ထောင်ခြင်းဖြင့် အနီးအနားဒေသများအား ကုန်သွယ်ရေးလမ်းကြောင်းများ ဖြစ်စေခဲ့သည်။ <ref>{{cite book |author= Jack D. Elliott, Jr. |title= The Nabatean Synthesis of Avraham Negev: A Critical Appraisal |editor= Joe D. Seger |work= Retrieving the Past: Essays on Archaeological Research and Methodology in Honor of Gus W. Van Beek |year= 1996 |publisher= Eisenbrauns |isbn= 9781575060125 |url= https://books.google.com/books?id=2PWC98JLn7QC&pg=PA56 |page= 56 |access-date=27 December 2019 }}</ref> ကုန်သွယ်မှုပြုခြင်းကြောင့် နာဘာတေးယန်းတို့အတွက် သိသာသော အမြတ်အစွန်းများ ရရှိခဲ့ပြီး ပီထရာသည် သူတို့၏ ကြွယ်ဝမှုများ ပေါင်းဆုံရာ ဖြစ်လာခဲ့သည်။ နာဘာတေးယန်းတို့မှာ လွင်တီးခေါင် သဲကန္တာရများတွင် နေထိုင်ခြင်းနှင့် ကျင့်သားရနေသူများ ဖြစ်သဖြင့် သူတို့၏ ရန်သူများနှင့် မတူဘဲ တိုက်ခိုက်မှုများကို ဒေသရှိ တောင်ကုန်းထူထပ်သော မြေမျက်နှာသွင်ပြင်ကို အားပြု၍ ခုခံတိုက်ထုတ်နိုင်ခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် မိုးရေစုဆောင်းခြင်း၊ စိုက်ပျိုးမွေးမြူခြင်းနှင့် ကျောက်ဆစ်ထုခြင်း တို့တွင် အလွန် ကျွမ်းကျင်ကြသည်။ ပီထရာသည် အေဒီ ၁ ရာစုတွင် စည်ပင်ဝပြောခဲ့ပြီး နာဘာတေးယန်းဘုရင် စတုတ္ထမြောက် အာရီတပ်စ်၏ ဂူဗိမာန်ဟု ယူဆရာသော ခပ်ဇနေး အဆောက်အဦးကို တည်ဆောက်ခဲ့ကြပြီး ၎င်း၏ လူဦးရေမှာ ၂၀,၀၀၀ အထိ အမြင့်ဆုံး ရှိလာခဲ့သည်။ <ref>{{cite web|url=https://www.nationalgeographic.com/archaeology-and-history/magazine/2016/01-02/petra/|title=Petra Lost and Found|work=National Geographic|date=2 January 2016|accessdate=8 April 2018|archivedate=8 April 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180408210210/https://www.nationalgeographic.com/archaeology-and-history/magazine/2016/01-02/petra/}}</ref> နာဘာတေးယန်းတိုင်းပြည်သည် ရောမအင်ပိုင်ယာ၏ လက်အောက်ခံနိုင်ငံ ဖြစ်လာခဲ့သော်လည်း အေဒီ ၁၀၆ တွင်မှ လွတ်လပ်ရေး လုံးဝ ဆုံးရှုံးခဲ့သည်။ ပီထရာသည် ရောမတို့၏ လက်အောက်သို့ ကျရောက်ခဲ့ပြီး ၎င်းတို့က နာဘာတေးယားကို လက်အောက်ခံအဖြစ် သွတ်သွင်းကာ အာရေးဘီးယား ပီထရာယေးဟု အမည်ပြောင်းလဲ​ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ ပင်လယ်ကုန်သွယ်ရေး လမ်းကြောင်းများ ပေါ်ထွန်းလာခြင်းနှင့် အေဒီ ၃၆၃ တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သော ငလျင်ကြောင့် အဆောက်အဦး အများအပြား ပြိုကျပျက်စီးခဲ့ပြီးနောက် ပီထရာ၏ အရေးပါမှု ကျဆင်းလာခဲ့သည်။ ဘိုင်ဇန်တိုင်းခေတ်တွင် ခရစ်ယာန် ဘုရားရှိခိုးကျောင်း အချို့ကို တည်ဆောက်ခဲ့သော်လည်း မြို့၏ အခြေအနေမှာ ဆက်လက်ယိုယွင်းလာခဲ့သည်။ အစ္စလာမ်ခေတ်အစောပိုင်းတွင် ခြေသလုံးအိမ်တိုင် အချို့မှ လွဲ၍ မြို့တွင် နေထိုင်သူမရှိတော့ပေ။ ၁၈၁၂တွင် ယိုဟန်း လူဝစ် ဘတ်ဟာ့ဒ်မှ ပြန်လည်ရှာဖွေတွေ့ရှိသည့် အချိန်အထိ ကမ္ဘာပေါ်ရှိ လူများမှ ရှိမှန်းပင် မသိကြတော့ပေ။ မြို့သို့ရောက်ရှိရန် အတွင် ဆစ် ဟု ခေါ်သော {{convert|1.2|km|mi|adj=mid|-long}} မျှ ရှည်လျားသော ချောက်ကမ်းပါးမှ ဝင်ရောက်ရပြီး ထိုမှဝင်ရောက်လျှင် ခပ်ဇနေးသို့ တိုက်ရိုက် ရောက်ရှိသည်။ ကျောက်ဆစ်ဗိသုကာ ပညာများနှင့် ရေသွယ်စနစ်များကြောင့် ထင်ရှားသော ပီထရာအား နှင်းဆီမြို့တော် ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြပြီး မြို့အတွင်း ထုဆစ်ထားသော ကျောက်တုံးများ၏ အရောင်ကြောင့် ဖြစ်သည်။ <ref name="Jordan Tourism board">[http://www.visitjordan.com/Default.aspx?Tabid=63 Major Attractions: Petra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161104133425/http://visitjordan.com/Default.aspx?tabid=63 |date=2016-11-04 }}, Jordan tourism board</ref> ပီထရာသည် ယူနက်စကို၏ ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်နေရာ အဖြစ် ၁၉၈၅မှ စတင် စာရင်းဝင်လာခဲ့သည်။ ယူနက်စကိုမှ ပီထရာအား "လူတို့၏ ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်များတွင် အဖိုးအတန်ဆုံး ယဉ်ကျေးမှု အရည်အသွေးများထဲမှ တစ်ခု" ဟု ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="unesco">{{cite web|url=https://whc.unesco.org/archive/advisory_body_evaluation/326.pdf |title=UNESCO advisory body evaluation |accessdate=2011-12-05}}</ref> ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် အယ်လ်-ခပ်ဇနေးအား ကမ္ဘာ့အံဖွယ်အသစ် ၇ ပါးတွင် တစ်ခုအဖြစ် မဲပေးရွေးချယ်ခြင်း ခံရသည်။ ပီထရာသည် ဂျော်ဒန်နိုင်ငံ၏ ပြယုဂ်ဖြစ်ပြီး ဂျော်ဒန်နိုင်ငံတွင် ကမ္ဘာလှည့်ခရီးသွားများ အများဆုံး လည်ပတ်ရာနေရာတစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၀ ခုနှစ်တွင် လာရောက်လည်ပတ်သူ ၉၁၈,၀၀၀ ဦး အထိ ရှိခဲ့ပြီး ထို့နောက်တွင် ဂျော်ဒန်တစ်ဝိုက်ရှိ နိုင်ငံများသို့ သက်ရောက်ရိုက်ခတ်မှုရှိခဲ့သော အာရပ်နွေဦးတော်လှန်ရေးကြောင့် ခရီးသွားဦးရေ ခဏတာမျှ ကျဆင်းခဲ့သည်။<ref>[https://web.archive.org/web/20111117043619/http://www.aljazeera.com/news/middleeast/2011/01/2011128125157509196.html Thousands protest in Jordan], January 28, 2011. Retrieved May 20, 2019.</ref> ထို့နောက်တွင် ခရီးသွားဦးရေ ပြန်လည်များပြားလာခဲ့ပြီး ၂၀၁၉တွင် စံချိန်အဖြစ် ၁.၁ သန်း အထိ ရှိလာခဲ့ကာ ၁ သန်း အထက်သို့ ပထမဆုံးအကြိမ် ရောက်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ <ref>{{cite web|url=https://www.jordantimes.com/news/local/rose-red-city-petra-wraps-2019-record-breaking-1135300-visitors|title=Rose-red city of Petra wraps up 2019 with record-breaking 1,135,300 visitors|work=The Jordan Times|accessdate=6 January 2020|date=6 January 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200105233219/http://www.jordantimes.com/news/local/rose-red-city-petra-wraps-2019-record-breaking-1135300-visitors|archive-date=5 January 2020|url-status=dead}}</ref> ကိုဗစ်-၁၉ ကပ်ရောဂါကြောင့် ခရီးသွားဦးရေမှာ ၂၀၂၀ မတ်လမှစ၍ သုညအထိ ကျဆင်းသွားခဲ့သည်။ ထိုသို့ ခရီးသည် မရှိသည်ကို အသုံးချရန်အတွက် ဘဏ္ဍာတိုက်၏ ရှေ့တွင် ရှာဖွေတူးဖော်ရန် ဂျော်ဒန်အစိုးရမှ ခွင့်ပြုပေးခဲ့သည်။<ref>{{cite web|url=https://www.theguardian.com/world/2020/may/15/ghosts-replace-crowds-as-covid-19-rattles-jordans-ancient-city-of-petra|title=Ghosts replace crowds as Covid-19 rattles Jordan's ancient city of Petra|work=The Guardian|date=15 May 2020|accessdate=23 May 2020}}</ref> <br><gallery class=center caption="ပီထရာမြို့"> Petra-Khazne al-Firaun-18-Cafe-2010-gje.jpg Petra-Khazne al-Firaun-08-Offizielle-2010-gje.jpg Petra-32-Tempel-Koenigswand-2010-gje.jpg Petra-Theater-06-Kamelreiter-2010-gje.jpg Petra-Jabal al-Madbah-06-Auftstieg-2010-gje.jpg Petra-Opferplatz-04-2010-gje.jpg Petra-El Deir-Klostergrab-14-2010-gje.jpg Petra-Jabal al-Deir-22-Teestube-2010-gje.jpg </gallery> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[Category:အာရှရှိ မြို့များ]] [[Category:ဂျော်ဒန်နိုင်ငံရှိ ကမ္ဘာ့အမွေအနှစ်နေရာများ]] d2cvboelnib08q2jdg9ze0rvl2mh3na 0 204447 1060913 698158 2026-10-31T21:49:16Z ~2026-58024-90 150243 1060913 wikitext text/x-wiki {{အကိုးအကားမဲ့}} အရှင်စန္ဒိမာ(အောင်လံ)ကို [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] [[သနပ္ပင်မြို့|သနပ်ပင်မြို့နယ်]] အနောက်တံခွန်တိုင်ကျေးရွာနေ ခမည်းတော် ဦးသိန်းအောင်၊ မယ်တော် ဒေါ်ခင်မြတို့မှ ကောဇာသက္ကရာဇ် (၁၃၁၄) ခုနှစ် ကဆုန်လပြည့်ကျော် (၅) ရက် နံနက် (၄) နာရီအချိန်တွင် မီးရှူးသန့်စင်ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ မွေးချင်း (၇) ယောက်ရှိသည့်အနက် တတိယမြောက်သားရတနာ ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်မှစ၍ လောကီအတန်းပညာများကို သင်ကြားခဲ့သည်။ အသက် (၂၄) နှစ်အရွယ်တွင် မိဘနှစ်ပါး၏ ပစ္စယာနုဂ္ဂဟဖြင့် [[မင်္ဂလာဒုံမြို့နယ်]]၊ ကျိုက္ကလဲ့ရွှေကျင်ကျောင်းကြီးတွင် ဘဒ္ဒန္တဇဝနကို ဥပဇ္ဈာယ်ပြု၍ ရဟန်းဘောင်သို့ တက်ခဲ့သည်။ သဲအင်းဂူဆရာတော်ဘုရားကြီး၏ တပည့် ဆရာတော်ဦးသီရိဓမ္မထံတွင် (၉) ရက် တရားစခန်းအားထုတ်ပြီး ၎င်းနှင့်အတူ မှော်ဘီသဲအင်းဂူဌာနချုပ်၌ ပထမဝါကပ်၍ တရားကျင့်ကြံအားထုတ်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်ဦးသီရိဓမ္မထံ၌ (၅) နှစ်တာ တရားအားထုတ်ရင်း သာသနာပြုခဲ့သည်။ ရဟန်း (၂) ဝါအရတွင် ဖခင်ဖြစ်သူ သေဆုံးသဖြင့် (၆) ဝါအရတွင် ကျန်ရစ်သူမိခင်ကြီးနှင့် ညီငယ်များကို လုပ်ကျွေးရန် ဝတ်ကြောင်ဘဝသို့ သက်ဆင်းခဲ့ရသည်။ (၁၉၉၆)ခုနှစ်တွင် ပြည်မြို့ တီတွဒ်ကုန်းလမ်းသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဌာနမှ ဦးခင်ဝင်း-ဒေါ်သန်းသန်းမြင့်တို့၏ ပစ္စယာနုဂ္ဂဟကို ခံယူကာ [[မှော်ဘီမြို့နယ်]]၊ သဲအင်းဂူဝိပဿနာဌာနချုပ်မှ ဘဒ္ဒန္တဝါယာမ(ဘီးလင်းဆရာတော်) ကို ဥပဇ္ဈာယ်ပြု၍ ရဟန်းဘောင်သို့ ဒုတိယအကြိမ် တက်ခဲ့သည်။ (၂၀၀၀) ခုနှစ်တွင် [[အောင်လံမြို့]]၊ စက်ရုံရပ်ကွက်၌ တိုက်ခွဲအမှတ် (၃၂)၊ သဲအင်းဂူဝိပဿနာဓမ္မရိပ်သာကို စတင်ထူထောင်၍ ယခုအချိန်ထိ သာသနာပြုလျက်ရှိသည်။ ဆရာတော်သည် 'ယောဂီအခြေခံ သိမှတ်ဖွယ်၊ (၉) ရက်စခန်း နိဗ္ဗာန်လမ်းတရားကျင့်စဉ်၊ သောတာပတ္တိမဂ် ရှူဖွယ်' စသော ကျမ်းများကိုလည်း ပြုစုထားသည်။သဲအင်းဂူ တိုက်ခွဲအမှတ် (၃၂) ဝိပဿနာဓမ္မရိပ်သာ သည်ယနေ့တိုင် အမေရိက ဥရောပနှင့် အာရှနေရာအနှံ့အပြားရှိ တရားဓမ္မ ရှာဖွေကြကုန်သော မြန်မာလူမျိုး များအပါအဝင်ကမ္ဘာသူ ကမ္ဘာသား တို့အား တရားရိပ်သာများ အွန်လိုင်းတရားစခန်းများ ဖြင့် တရာဓမ္မ ဆက်လက်ဖြန့်ပွါးလျက်ရှိသည်။ hka9d7e9yydmlb37ynyd3hlpwnl0ito 1060982 1060913 2026-11-01T08:53:27Z Ninjastrikers 22896 [[Special:Contributions/~2026-58024-90|~2026-58024-90]] ([[User talk:~2026-58024-90|ဆွေးနွေး]]) ၏ ပြင်ဆင်မှုကို [[User:Bhonebsm|Bhonebsm]] ၏ နောက်ဆုံးတည်းဖြတ်မူသို့ နောက်ပြန် ပြန်ပြင်ခဲ့သည် 698158 wikitext text/x-wiki {{အကိုးအကားမဲ့}} အရှင်စန္ဒိမာ(အောင်လံ)ကို [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]] [[သနပ္ပင်မြို့|သနပ်ပင်မြို့နယ်]] အနောက်တံခွန်တိုင်ကျေးရွာနေ ခမည်းတော် ဦးသိန်းအောင်၊ မယ်တော် ဒေါ်ခင်မြတို့မှ ကောဇာသက္ကရာဇ် (၁၃၁၄) ခုနှစ် ကဆုန်လပြည့်ကျော် (၅) ရက် နံနက် (၄) နာရီအချိန်တွင် မီးရှူးသန့်စင်ဖွားမြင်ခဲ့သည်။ မွေးချင်း (၇) ယောက်ရှိသည့်အနက် တတိယမြောက်သားရတနာ ဖြစ်သည်။ ငယ်စဉ်မှစ၍ လောကီအတန်းပညာများကို သင်ကြားခဲ့သည်။ အသက် (၂၄) နှစ်အရွယ်တွင် မိဘနှစ်ပါး၏ ပစ္စယာနုဂ္ဂဟဖြင့် [[မင်္ဂလာဒုံမြို့နယ်]]၊ ကျိုက္ကလဲ့ရွှေကျင်ကျောင်းကြီးတွင် ဘဒ္ဒန္တဇဝနကို ဥပဇ္ဈာယ်ပြု၍ ရဟန်းဘောင်သို့ တက်ခဲ့သည်။ သဲအင်းဂူဆရာတော်ဘုရားကြီး၏ တပည့် ဆရာတော်ဦးသီရိဓမ္မထံတွင် (၉) ရက် တရားစခန်းအားထုတ်ပြီး ၎င်းနှင့်အတူ မှော်ဘီသဲအင်းဂူဌာနချုပ်၌ ပထမဝါကပ်၍ တရားကျင့်ကြံအားထုတ်ခဲ့သည်။ ဆရာတော်ဦးသီရိဓမ္မထံ၌ (၅) နှစ်တာ တရားအားထုတ်ရင်း သာသနာပြုခဲ့သည်။ ရဟန်း (၂) ဝါအရတွင် ဖခင်ဖြစ်သူ သေဆုံးသဖြင့် (၆) ဝါအရတွင် ကျန်ရစ်သူမိခင်ကြီးနှင့် ညီငယ်များကို လုပ်ကျွေးရန် ဝတ်ကြောင်ဘဝသို့ သက်ဆင်းခဲ့ရသည်။ (၁၉၉၆)ခုနှစ်တွင် ပြည်မြို့ တီတွဒ်ကုန်းလမ်းသယ်ယူပို့ဆောင်ရေးဌာနမှ ဦးခင်ဝင်း-ဒေါ်သန်းသန်းမြင့်တို့၏ ပစ္စယာနုဂ္ဂဟကို ခံယူကာ [[မှော်ဘီမြို့နယ်]]၊ သဲအင်းဂူဝိပဿနာဌာနချုပ်မှ ဘဒ္ဒန္တဝါယာမ(ဘီးလင်းဆရာတော်) ကို ဥပဇ္ဈာယ်ပြု၍ ရဟန်းဘောင်သို့ ဒုတိယအကြိမ် တက်ခဲ့သည်။ (၂၀၀၀) ခုနှစ်တွင် [[အောင်လံမြို့]]၊ စက်ရုံရပ်ကွက်၌ တိုက်ခွဲအမှတ် (၃၂)၊ သဲအင်းဂူဝိပဿနာဓမ္မရိပ်သာကို စတင်ထူထောင်၍ ယခုအချိန်ထိ သာသနာပြုလျက်ရှိသည်။ ဆရာတော်သည် 'ယောဂီအခြေခံ သိမှတ်ဖွယ်၊ (၉) ရက်စခန်း နိဗ္ဗာန်လမ်းတရားကျင့်စဉ်၊ သောတာပတ္တိမဂ် ရှူဖွယ်' စသော ကျမ်းများကိုလည်း ပြုစုထားသည်။ 6gbi5gce5bhd26oypr183bsbb703iba 0 205501 1061004 1058851 2026-11-01T11:26:09Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1061004 wikitext text/x-wiki [[File:Food Sundanese Restaurant, Jakarta.jpg|thumb|right|260px|ဥပမာအဖြစ် ဖော်ပြထားသော အင်ဒိုနီးရှား ဆွန်ဒန်ဟင်းလျာပွဲ - ''[[အီကန် ဘာကာ]]'' (ငါးကင်), ''[[နာဆီ တင်းဘဲ]]'' (ငှက်ပျောဖက်တွင်းထုပ်ထားသော ထမင်း), ''[[အာယမ် ဂိုရင်း]]'' (ကြက်ကြော်)၊ ''[[ဆမ်ဘယ်]]''၊''[[တန်ပေး]]''ကြော်နှင့် [[တို့ဟူး]]နှင့် ''[[ဆာယု အာဆမ်]]''၊ ''ကိုဘိုကန်''ဟုခေါ်သော လက်ဆေးရန် သံပရာသီးထည့်ထားသော ရေဇလုံဖြစ်သည်။]] '''အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာ'''များသည် ကျွန်းစုနိုင်ငံဖြစ်သည့် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံဟူ၍ ဖြစ်လာစေခဲ့သော မတူကွဲပြားသော ဒေသများ၏ ရိုးရာချက်ပြုတ်နည်းစုစည်းမှုဖြစ်သည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသည် လူမျိုးစု ၁၃၀၀ ခန့်<ref>{{cite web|url=https://www.bps.go.id/news/2015/11/18/127/mengulik-data-suku-di-indonesia.html|title=Mengulik Data Suku di Indonesia|publisher=Badan Pusat Statistik|access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁|date=18 November 2015}}</ref> နှင့် ကျွန်းစုပေါင်း ၁၇,၅၀၈ ကျွန်းတွင် လူနေထိုင်ရာကျွန်းပေါင်း ၆၀၀၀ နီးပါး ရှိသော ကမ္ဘာ့အကြီးဆုံးသော ကျွန်းစုနိုင်ငံ<ref name="foodbycountry-Indonesia">{{cite web | title = Food in Indonesia | work = Food by Country | url = http://www.foodbycountry.com/Germany-to-Japan/Indonesia.html}}</ref><ref name="epicurina">[http://www.epicurina.com "Indonesian Cuisine."] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170823205443/http://www.epicurina.com/ |date=23 August 2017 }} [http://www.epicurina.com Epicurina.com] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170823205443/http://www.epicurina.com/ |date=23 August 2017 }} . Accessed May 2021.</ref> ဖြစ်ပြီး ပေါကြွယ်ဝသော အမျိုးစုံသည့် ဟင်းချက်နည်းနှင့် ဟင်းလျာများသည် တိုင်းပြည်၏အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုသဖွယ်ဖြစ်နေခဲ့သည်။ များစွာသော ဒေသဟင်းလျာများသည် ဒေသယဉ်ကျေးမှုတွင် အခြေတည်ပြီး ပင်လယ်ရပ်ခြားလွှမ်းမိုးမှုအနည်းငယ်ရှိသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတွင် ရိုးရာဟင်းချက်နည်းပေါင်း ၅,၃၅၀ ခန့်ရှိပြီး ၎င်းတို့ထဲမှ ၃၀ ခန့်ကို အရေးကြီးသော ဟင်းလျာများအဖြစ် မှတ်ယူထားသည်။<ref name="Tumpeng-JPost">{{cite web | title=Celebratory rice cone dish to represent the archipelago | url=http://www.thejakartapost.com/news/2014/02/10/celebratory-rice-cone-dish-represent-archipelago.html | author=Nadya Natahadibrata | publisher=The Jakarta Post | date=10 February 2014 | access-date=9 July 2014၁၆ မေ ၂၀၂၁}}</ref> သာမန်ဒေသစားသောက်ဆိုင်များမှ လမ်းဘေးစားသောက်ဆိုင်များထိနှင့် ထိပ်တန်း ဒေါ်လာဖြင့်ပေးချေရသော အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများတွင် ဆန်၊ ခေါက်ဆွဲနှင့် ဟင်းရည်တို့ ပါဝင်ကြသည်။ အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများသည် ဒေသအလိုက် ကွဲပြားမှု များစွာရှိပြီး အခြား မတူခြားနားသည့် လွှမ်းမိုးမှု များစွာလည်းရှိသည်။<ref name="epicurina"/><ref name="belindo">[http://www.belindo.com/default.aspx?navid=84 "Indonesian food."] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110910074608/http://www.belindo.com/Default.aspx?NavID=84 |date=10 September 2011 }} [http://www.belindo.com Belindo.com] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110907235631/http://www.belindo.com/ |date=7 September 2011 }}. Accessed July 2011.</ref><ref>{{cite web|url=http://www.cuisinenet.com/glossary/indon.html|title=Indonesian Cuisine|publisher=Diner's Digest|access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110409014335/http://www.cuisinenet.com/glossary/indon.html|archive-date=9 April 2011|df=dmy-all|accessdate=16 May 2021|archivedate=9 April 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110409014335/http://www.cuisinenet.com/glossary/indon.html}}</ref> ဥပမာအားဖြင့် ဆူမားတြားဟင်းလျာများတွင် ''[[ဂူလိုင်]]''နှင့် ကာရီ(Curry)ကဲ့သို့ မဆလာနိုင်သော အသားနှင့်အရွက်ဟင်းတို့တွင် မကြာခဏဆိုသလို အရှေ့အလယ်ပိုင်းနှင့် အိန္ဒိယလွှမ်းမိုးမှုများကို တွေ့ရပြီး ဂျာဗားဟင်းလျာများသည် ဒေသဟင်းလျာပိုဆန်ပြီး<ref name="epicurina"/> တရုတ်လွှမ်းမိုးမှု အနည်းငယ်တွေ့ရသည်။ အရှေ့အင်ဒိုနီးရှားမှ ဟင်းလျာများသည် အိုးရှန်းနီးယားဒေသဟင်းလျာများ (ပိုလီနီးရှန်းနှင့် မဲလန်းနီးရှန်းဟင်းလျာများ)နှင့် တူညီသည်။ အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများတွင် တရုတ်ဟင်းလျာ၏ ပါဝင်ပစ္စည်းများဖြစ်သော [[ဘက်မီ|ခေါက်ဆွဲ]]၊ အသားလုံးနှင့် [[:en:Lumpia|spring rolls]](လွန်ပီယား) ကဲ့သို့သော အစားအစာများကိုတွေ့နိုင်သည်ဟု လုံးဝနီးပါး လက်ခံထားကြသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသမိုင်းတလျှောက်တွင် နိုင်ငံ၏ တည်နေရာနှင့် သဘာဝရင်းမြစ်များ ပေါကြွယ်မှုကြောင့် ကုန်သွယ်မှုလုပ်ငန်းတွင် ပါဝင်လာခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားဒေသခံတိုင်းရင်းသားတို့၏ နည်းပညာနှင့် အဆောက်အဦတို့သည် အိန္ဒိယ၊ အရှေ့အလယ်ပိုင်းနှင့် တရုတ်တို့၏ လွှမ်းမိုးမှုများရှိနေပြီး ဥရောပ၏ လွှမ်းမိုးမှုများကိုပါ တွေ့မြင်ရသည်။ ဒတ်ချ်တို့မှ ကျွန်းစုအများစုအား ကိုလိုနီမပြုမီ စပိန်နှင့် ပေါ်တူဂီကုန်သည်တို့သည် ကမ္ဘာသစ်(New World)ထုတ်ကုန်များကို သယ်ဆောင်လာခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားကျွန်းများဖြစ်သည် မာလုကူကျွန်းများသည် “ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်ကျွန်းများ”ဟု နာမည်ကျော်ကြားပြီး အင်ဒိုနီးရှားနှင့် ကမ္ဘာ့ဟင်းလျာများသို့ လေညင်းနှင့် ဇာတိပ္ဖိုလ်သီးအစရှိသည့် ဒေသထွက်ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်များကို အသုံးပြုနိုင်စေရန် မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများသည် တိကျသေချာသော ပါဝင်ပစ္စည်းများနှင့် ''ဘွန်ဘူ'' အမွှေးအကြိုင်အနှောတို့မှရရှိသော စုံလင်များပြားသည့် အနံ့အရသာတို့ဖြင့် တည်ခင်းလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite web |title=Flavours of Indonesia, Balinese Food |publisher=Destination Asia |url=http://www.destination-asia.com/indonesia/about/taste/ |access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140817043725/http://www.destination-asia.com/indonesia/about/taste/ |archive-date=17 August 2014 |df=dmy-all |accessdate=16 May 2021 |archivedate=17 August 2014 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140817043725/http://www.destination-asia.com/indonesia/about/taste/ }}</ref> အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများသည် အနံ့အရသာ ကြွယ်ဝကြပြီး ချို၊ချဉ်၊ငံ၊ခါး စသည့် အခြေခံအရသာများပေါင်းစပ်ပါဝင်သည့် အနံ့ကဲပြီး ပူစပ်သော ဟင်းလျာများအဖြစ် အများအားဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိကြသည်။ ပူစပ်သော အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာအများစု၏ အနံ့အရသာသည် ''ဆမ်ဘယ်'' ဟုခေါ်သော ပူစပ်သည့် အင်ဒိုနီးရှားငရုတ်ဆော့စ်တစ်မျိုးမှ ဖြစ်လေ့ရှိပြီး ပုဇွန်စိတ်ကလေးငါးပိ၊ ကြက်သွန်နီကလေးတို့ပါဝင်ကာ မတူကွဲပြားသော စိတ်ကြိုက်ပါဝင်ပစ္စည်းများဖြင့် အသုံးပြုလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် အင်ဒိုနီးရှားထမင်းဝိုင်းများတွင် အဓိကစားဖွယ်အဖြစ် ပါဝင်လေ့ရှိသည်။<ref name="CNN40-Indonesia">{{cite news | title = 40 Indonesian foods we can't live without | work = CNN | author = Sara Schonhardt | date = 25 February 2016 | url = http://edition.cnn.com/2016/02/24/foodanddrink/40-indonesian-foods/ | accessdate = 16 May 2021 | archivedate = 6 April 2017 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20170406201321/http://edition.cnn.com/2016/02/24/foodanddrink/40-indonesian-foods/ }}</ref> အဓိကအင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာ[[ချက်ပြုတ်ခြင်း|ချက်နည်း]] ၇ မျိုးမှာ [[ကြော်ခြင်း]]၊ ကြပ်တိုက်ခြင်း၊ [[ကင်ခြင်း]]၊ [[ကျိုခြင်း|ပြုတ်ခြင်း]]၊ [[ပေါင်းခြင်း]]၊ Roasting၊ [[လှော်ခြင်း]]၊ [[ဆီပူထိုးခြင်း]] တို့ဖြစ်သည်။ [[File:Indonesian food during Eid.jpg|thumb|260px|''[[Opor ayam]]'' (curry style), ''[[gulai]], [[ketupat]]'', diced [[potatoes]] with spices, and [[bawang goreng]] served during ''[[Lebaran]]'' ([[Eid al-Fitr]]) in Indonesia]] အချို့သော နာမည်ကျော်သည့် အင်ဒိုနီးရှား အစားအသောက်များဖြစ်သော ''နာဆီ ဂိုရင်း'' <ref name="bali-travel-life.com">{{cite web |url=http://www.bali-travel-life.com/nasi-goreng.html |title=Nasi Goreng: Indonesia's mouthwatering national dish |access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100706164129/http://www.bali-travel-life.com/nasi-goreng.html |archive-date=6 July 2010 |df=dmy-all |accessdate=16 May 2021 |archivedate=6 July 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100706164129/http://www.bali-travel-life.com/nasi-goreng.html }}</ref>၊ ''ဂါဒိုး-ဂါဒိုး''<ref>{{Cite web |title=Gado-Gado {{!}} Gado-Gado Recipe {{!}} Online Indonesian Food and Recipes at IndonesiaEats.com |url=http://indonesiaeats.com/gado-gado-surabaya-recipe-indonesia-eats-rasa-malaysia/ |access-date=16 May 2021 |archive-date=27 December 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161227202318/http://indonesiaeats.com/gado-gado-surabaya-recipe-indonesia-eats-rasa-malaysia/ }}</ref><ref name="thegutsygourmet.net">{{cite web|url=http://www.thegutsygourmet.net/natl-indonesia.html|title=National Dish of Indonesia Gado Gado|access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20100612052913/http://thegutsygourmet.net/natl-indonesia.html|archive-date=12 June 2010|df=dmy-all}}</ref>၊ ''[[ဆာတေး]]''<ref name="Indonesian food recipes: Satay">{{cite web |url=http://indonesianfoodrecipes.com/indonesian-satay-variants/ |title=Indonesian food recipes: Satay |access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁ |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100812035126/http://indonesianfoodrecipes.com/indonesian-satay-variants/ |archive-date=12 August 2010 |df=dmy-all |accessdate=16 May 2021 |archivedate=12 August 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100812035126/http://indonesianfoodrecipes.com/indonesian-satay-variants/ }}</ref> နှင့် ''[[ဆိုတို]]'' <ref name="A Soto Crawl">{{cite web|url=http://eatingasia.typepad.com/eatingasia/2009/03/soto-crawl.html|title=A Soto Crawl |publisher=Eating Asia|access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁}}</ref> ကဲ့သို့သော ဟင်းလျာများကို နိုင်ငံအနှံအပြားတွင် တွေ့ရပြီး အမျိုးသားဟင်းလျားများအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ သို့ပေမယ်လည်း အင်ဒိုနီးရှား၏ အမျိုးစုံလင်သော ဟင်းချက်နည်း ရိုးရာတို့၏ မတူကွဲပြားမှုတို့နှင့် ချည်နှောင်ထားသော ဟင်းလျာ ဖြစ်သောကြောင့် ဟူ၍ ''တန်ပန်း'' အား တရားဝင် အမျိုးသား ဟင်းလျာအဖြစ် အင်ဒိုနီးရှား ခရီးသွားနှင့် စီးပွားရေး အခွင့်အလမ်းဖန်တီးမှု ဝန်ကြီးဌာနမှ ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ရွေးချယ်ခဲ့သည်။<ref name="Tumpeng-JPost"/> ထိုသို့ ရွေးချယ်ခဲ့သော်လည်း ထိုဝန်ကြီးဌာနမှပင် ၂၀၁၈ ခုနှစ်၌ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ အမျိုးသား ဟင်းလျာ ၅ မျိုးကို ရွေးချယ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့မှာ ''ဆိုတို''၊ ''ဆာတေး''၊ ''ရန်ဒန်း''၊ ''နာဆီ ဂိုရင်း'' နှင့် ''ဂါဒိုး-ဂါဒိုး'' တို့ဖြစ်သည်။<ref name="Kompas.com-Makanan-Nasional">{{Cite news|url=https://travel.kompas.com/read/2018/04/10/171000627/kemenpar-tetapkan-5-makanan-nasional-indonesia-ini-daftarnya|title=Kemenpar Tetapkan 5 Makanan Nasional Indonesia, Ini Daftarnya - Kompas.com|last=Media|first=Kompas Cyber|work=KOMPAS.com|access-date=2018-04-18|language=id}}</ref> [[File:Sate Ponorogo.jpg|thumb|260px|အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသည် ''[[ဆာတေး]]'' တို့၏ မူလဒေသဖြစ်ပြီး နိုင်ငံ၏ အမျိုးသားဟင်းလျာထဲမှ တစ်ခုဖြစ်ကာ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတစ်လျှောက်တွင် မတူကွဲပြားသော အမျိုးအစားများရှိကြသည်။]] ယနေ့အချိန်တွင် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံမှ မူလအစဖြစ်သော အချို့သော နာမည်ကျော်ဟင်းလျာများသည် အိမ်နီးချင်းနိုင်ငံများဖြစ်သည့် [[မလေးရှား]]နှင့် [[စင်ကာပူနိုင်ငံ]]များတွင်လည်း စားသုံးမှုများရှိ၍နေသည်။ ဆာတေး၊ အမဲသား ''ရန်ဒန်း'' နှင့် ''ဆမ်ဘယ်'' အစရှိသော အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများသည် မလေးရှားနှင့် စင်ကာပူနိုင်ငံတွင်လည်း ကျော်ကြားသော ဟင်းလျာများဖြစ်ကြသည်။ ပဲပုပ်ကို အခြေခံသော တိုဖူးနှင့် တန်ပေး တို့၏ မတူကွဲပြားသော ပုံစံများနှင့် ဟင်းများသည်လည်း အလွန်နာမည်ကျော်ကြားကြသည်။ တန်ပေးအား ဂျာဗားလူမျိုးတို့၏ တွေ့ရှိမှုဟု မှတ်ယူကြပြီး ပဲပုပ်ကို အခြေခံထားသော အစားအစာအား အချဉ်ဖောက်၍ ထုတ်လုပ်ထားခြင်းမျိုးဖြစ်သည်။ အခြားသော အချည်ဖောက်သည့် အစားအစာတစ်မျိုးမှာ အွန်ဂျွန်းဖြစ်ပြီး တန်ပေးပြုလုပ်ပုံနှင့် အချို့မှာ တူညီပြီး အသုံးပြုသည့် မှိုအမျိုးအစားများကို ကွဲပြားပြီး အခြားမတူကွဲပြားသော အခြေခံပစ္စည်းများကို အသုံးပြုထားကာ အနောက်ဂျာဗားပြည်နယ်တွင် နာမည်ကျော်ကြားလှသည်။ SBS Australia မှ အင်ဒိုနီးရှားအစားအစာများသည် “အနံပြင်းပြင်းနှင့် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အမျိုးအစားအရောင်အသွေး စုံလင်သော အစားအစာများထဲမှ တစ်ခု” ဟုဖော်ပြကြသည်။<ref>{{cite web |title=About Indonesian food | date=6 September 2013 |publisher=SBS Australia| url=http://www.sbs.com.au/food/article/2008/07/01/about-indonesian-food |access-date=၁၆ မေ ၂၀၂၁ }}</ref> Kira Jane Buxton of Mashed တွင် “နှံစပ်ကျယ်ပြန့်သော” နှင့် “မတူကွဲပြားသော” ဟူ၍ ဖော်ပြထားသည်။<ref name="Buxton">{{Cite news|first=Kira Jane|last=Buxton|url=http://www.mashed.com/45511/incredible-indonesian-dishes-need-try-immediately/|title=Incredible Indonesian dishes you need to try immediately|work=Mashed.com|access-date=2017-12-11|language=en-US}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း == [[File:KITLV 40091 - Kassian Céphas - Relief of the hidden base of Borobudur - 1890-1891.jpg|thumb|right|300px|၉ ရာစုနှစ် [[ဗောရောဗုဓော]]ဘုရားကြီး၏ ကာ‌မာဝီဟန်ဂါပြတိုက်ရှိ ဖောင်းကြွရုပ်တုတွင် [[စပါးကျီ]]နှင့် စပါးစိုက်ပျိုးခြင်းတွင် ကြွက်များသောင်းကျန်းသည့် ကပ်ဆိုက်ရောက်နေပုံအား သရုပ်ဖော်ထားသည်။]] အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာအများစုနှင့်ပတ်သက်သော ကောင်းမွန်သည့် မှတ်တမ်းမှတ်ရာများ မရှိသော်ငြားလည်း ဒေသခံတို့၏ အလေ့အထနှင့် ပါးစပ်ရာဇဝင်များတွင် ကြီးစွာမူတည်နေသော ရှည်လျားသော သမိုင်းကြောင်းများ ရှိသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ သို့ပေမယ့်လည်း ဂျာဗားဟင်းလျာများ ချက်ပြုတ်သည်ကို ဖော်ပြထားသော ရှားပါးသော ဖြစ်ရပ်တစ်ခုရှိပြီး နည်းပါးသော်လည်း အတော်လေး ကောင်းမွန်သော ရိုးရာချက်ပြုတ်မှုကို ဖော်ပြထားခြင်းဖြစ်သည်။ မတူကွဲပြားမှုများသည် အင်ဒိုနီးရှား အရှေ့ပိုင်းရှိ [[:en:Papuan people|ပါပူအာမျိုးနွယ်စု]]တို့၏ ''ဘာကာ ဘန်ဒူ'' သို့မဟုတ် Stone-grilled yams နှင့် တောဝက်များ ချက်ပြုတ်သည့် အလေ့အထမှ ရှုပ်ထွေးလှသည့် ယနေ့ခေတ် ပေါင်းစပ်ထားသော အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများထိ ကျယ့်ပြန်လှသည်။ အင်ဒိုနီးရှားကျွန်းစုများ၏ လူမျိုးစုများ ကွဲပြားမှုသည် နှံစပ်ကျယ်ပြန်သော ပေါင်းစပ်ခြင်းများအဖြစ် ထောက်ပံ့ပေးခဲ့ပြီး ဒေသခံ ဂျာဗား၊ ဆူဒန်၊ ဘာလင်၊ မီနန်၊ မလေးနှင့် အခြားသော ဒေသရိုးရာဟင်းချက်နည်းများအား ရာစုနှစ်ချီ ကြာမြင့်ခဲ့သော အိန္ဒိယကုန်သည်များနှင့် ပင်လယ်ရပ်ခြား ဆက်ဆံမှုများ၊ တရုတ်တို့ လာရောက်အခြေချနေထိုင်မှုနှင့် ဒတ်ချ်ကိုလိုနီပြုခြင်းတို့ဖြင့်လည်း ရောစပ်ခြင်းများ ရှိလာခဲ့သည်။<ref name="Buxton"/> ၉ ရာစုနှစ်တွင် [[ဗောရောဗုဓော]]နှင့် ပရမ်ဘမ်နမ်ရှိ ဖောင်းကြွပန်းပုများတွင် ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးမှုကို ဖော်ပြထားလေရာ ဆန်စပါးသည် အင်ဒိုနီးရှား လူမှုအဖွဲ့အစည်းအတွက် မရှိမဖြစ် အဓိက စားစရာဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ များစွာသော ဂျာဗားကျောက်စာများတွင် ရှေးခေတ်ဟင်းလျာများကို ဖော်ပြထားလေရာ သမိုင်းပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့မှ အချို့ကို အဓိပ္ပာယ်ဖော်နိုင်ပြီ ဖြစ်သည်။ ၈ ရာစုနှင့် ၁၀ ရာစုနှစ်ကြား မဲဒေါင်ဘုရင့်နိုင်ငံခေတ်တွင် ရေးထိုးထားသော ကျောက်စာများတွင်လည်း ရှေးခေတ်ဟင်းလျာများကို ဖော်ပြညွှန်းဆိုခဲ့ရာ ၎င်းတို့ထဲမှအချို့မှာ ''Hadaŋan haraŋ'' (ကျွဲသားနုတ်နုတ်စဉ်းထားသော အသားဆာတေးတစ်မျိုးဖြစ်ပြီး ယနေ့ခေတ် ဘာလီဆာတေးတစ်မျိုးဖြစ်သော ''လစ်လစ်'' နှင့် ဆင်တူသည်။)၊ ''Hadaŋan madura'' (အုန်းသကြားအချိုတွင် ထည့်ပြုတ်ထားသော ကျွဲသား)နှင့် ''Dundu puyengan'' (သံပရာပင်စိမ်းခတ်ထားသော ငါးရှဉ့်) တို့ဖြစ်ကြသည်။ အခြားကွဲပြားသည့် ''Haraŋ-haraŋ'' (အသားကင်)တို့မှာ ''Celeṅ/wök'' (ဝက်သား)၊ ''Hadahan/kbo'' (ကျွဲ)၊ ''Kidaŋ/knas'' (သမင်) သို့မဟုတ် ''Wḍus'' (ဆိတ်) တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref>{{cite web | title = Makanan Zaman Kuno | work = Jawa Kuno | url = http://jawakuno.com/makanan-jaman-kuno/ | language = id | accessdate = 14 June 2021 | archivedate = 14 June 2021 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20210614025419/http://jawakuno.com/makanan-jaman-kuno/ }}</ref> ရှေးခေတ် အဖျော်ယမကာများမှာ ''Nalaka rasa'' (ကြံရည်)၊ ''Jati wangi'' (စံပယ်ပန်းဖြင့်ပြုလုပ်သော အဖျော်ယမကာ)နှင့် ''Kinca'' (မန်ကျဉ်းရည်) တို့ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ကွဲပြားသည့် ''Kuluban'' (ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်တို့ဖြင့် တည့်ခင်းသော ဟင်းသီးဟင်းရွက်ပြုတ်ဖြစ်ပြီး ယနေ့ခေတ် ''အုပ်ရပ်'' နှင့် ဆင်တူသည်)နှင့် ''Phalamula'' (အုန်းသကြားရည်ဖြင့် တည့်ခင်းသော သစ်သီးဥနှင့်သစ်မြစ်ပြုတ်) တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref name="tempo-1">{{cite news | title = Hanya Ada Di Candi Sojiwan: Menu Hidangan Raja Mataram Kuno | work = TEMPO.CO | date = 22 February 2017 | url = https://travel.tempo.co/read/848941/hanya-ada-di-candi-sojiwan-menu-hidangan-raja-mataram-kuno | language = id}}</ref> အခြားသော ရှေးခေတ် အသီးအရွက်ဟင်းလျာများထဲတွင် ''Rumwah-rumwah'' (''လာလပ်'')၊ ''Dudutan'' နှင့် ''Tetis'' တို့ဖြစ်ကြသည်။<ref name="Historia-food">{{cite web | title = Cita Rasa Kuliner Nusantara | author = Yudi Anugrah Nugroho | date = 18 December 2013 | work = Historia | url = http://historia.id/kuliner/cita-rasa-kuliner-nusantara | language = id | access-date = 14 June 2021 | archive-date = 23 January 2018 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180123101459/http://historia.id/kuliner/cita-rasa-kuliner-nusantara }}</ref> ၉ ရာစုနှစ်က ရှေးခေတ် ဂျာဗား ကာကာဝင် ရာမာယဏ(Kakawin Ramayana)တွင် သိရီဂါတ(Trigata) မှ သီတာအား ဆက်သသည့် စာမြိန်ဖွယ်တချို့ဖြစ်သည့် ''လန်ဒူဂါ တာတလာ-တီလာ'' (ဆီဖြင့် ချက်သော)နှင့် ''မိုဒါကန်ဒါ ဆာဂူလာ'' (သကြားဖြင့်ပြုလုပ်သော အချိုမုန့်)တို့ကို ဖော်ပြထားသည်။ (လင်္ကာ အပိုဒ် ၁၇.၁၀၁)<ref name="Historia-food"/> ၁၀ ရာစုမှ ၁၅ ရာစုအတွင် ရေးထိုးခဲ့သော များစွာသော ဂျာဗားကျောက်စာများတွင် အစားအစားများစွာကို ဖော်ပြထားသည်။ ထိုဟင်းလျာများထဲမှ အချို့ကို ဂျာဗားအစားအစာများအဖြစ် ယနေ့ခေတ်တွင် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထိုသို့သတ်မှတ်ထားသော အစားအစာများထဲတွင် ပီဂျဲ၊ ပင်ဒန်း၊ ရာရောဝန်(ရာဝန်)၊ ရူရူဂျက် (ရူဂျက်)၊ ကူရုပု (ကရုပု)၊ ဝါဂျ် နှင့် ဒိုဒေါကဲ့သို့သော အချိုမုန့်များ၊ ဒါဝတ် ကဲ့သို့သော သောက်စရာဖျော်ရည်များ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news|url=http://www.beritasatu.com/kuliner/245385-menguak-fakta-menu-lalapan-sunda-lewat-prasasti-taji.html|title=Menguak Fakta Menu Lalapan Sunda Lewat Prasasti Taji|work=beritasatu.com|access-date=ဩဂုတ် ၁၂၊ ၂၀၂၁|language=id|accessdate=12 August 2021|archivedate=20 December 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171220203148/http://www.beritasatu.com/kuliner/245385-menguak-fakta-menu-lalapan-sunda-lewat-prasasti-taji.html}}</ref> ၁၅ ရာစုတွင် ရေးသားခဲ့သော ဆောင်ယောင်း ဆစ်ဆာ ကန်ဒန်း ကာယဲ့စီယန်စာမူ(Sanghyang Siksa Kandang Karesian manuscript) တွင် ယနေ့ခေတ်တွင် အများစားသုံးဆဲဖြစ်သော ဆွန်ဒန် အစားအစာများအား ရေးသားခဲ့လေရာ ထိုအထဲတွင် ''လာဝန်နာ'' (အငံ)၊ ''ကာဒူကာ'' (အပူအစပ်)၊ ''သိရီကာ'' (အခါး)၊ ''အမ်ဘာ'' (အချဉ်)၊ ''ကာဆာယာ'' (အနံ့ကဲ)နှင့် ''မဓူရာ'' (အချို)တို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news|url=https://www.dream.co.id/culinary/terungkap-asal-mula-menu-lalapan-150127t.html|title=Terungkap, Asal Mula Menu Lalapan {{!}} Dream.co.id|work=Dream.co.id|language=id|access-date=ဩဂုတ် ၁၂၊ ၂၀၂၁}}</ref> ၁၃ ရာစုမှ ၁၅ ရာစုတွင် ကမ်းခြေတွင် နေထိုင်ကြသော အင်ဒိုနီးရှားလူ့အဖွဲ့အစည်းတွင် ကာရီ(Curry)ကဲ့သို့သော ဟင်းချက်နည်းများ ပြောင်းလဲလာပုံ အထောက်အထားများကြောင့် ထိုဒေသ၌ နေထိုင်သူတို့သည် [[အိန္ဒိယ]]နှင့် အရှေ့အလယ်ပိုင်းမှ ဟင်းချက်နည်းပုံစံတို့ကို စတင်လက်ခံလာသည်ဟု ယူဆရသည်။ အထူးသဖြင့် ဤဖြစ်ရပ်များကို အာချေးဒေသ၊ အနောက်ဆူမားတြားရှိ မင်နန်းကာဘောင်၊ ဆူမားတြားနှင့် မလေးကျွန်းဆွယ်ရှိ မလေးဆိပ်ကမ်းများတွင် တွေ့ရသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဤသို့သော လွှမ်းမိုးမှုရှိသော ဟင်းချက်နည်းရိုးရာတို့ကို ''ကာရီ''(kare)၊ ''ရိုတီ ဂျာနီ''နှင့် ''ဂူလိုင်း'' ကဲ့သို့သော ဟင်းလျာများတွင် အိန္ဒိယရိုးရာ စံဟင်းချက်နည်းလွှမ်းမိုးအား တွေ့ရသည်။ ဝက်သားကို ပယ်စွန့်သော မူစလင် အစားအစာဥပဒေဖြစ်သည့် ဟာလာကို တိုက်တွန်းအား‌ပေးသော အစ္စလာမ်မစ်ယုံကြည်ကိုးကွယ်မှုကို လက်ခံယုံကြည်လာသည်နှင့်အတူ ဤဟင်းချက်နည်းတို့ကိုလည်း လက်ဆင့်ကမ်း သယ်ဆောင်လာခဲ့ကြသည်။ အခြားတဖက်တွင်လည်း ကုန်းတွင်းပိုင်းတွင် နေထိုင်ကြသည့် ဒေသခံမျိုးနွယ်စုတို့၏ ဘာတက်နှင့် ဒါယက်စားအစာများတွင် ၎င်းတို့၏ နေ့စဉ်အစားအစာများ၌ တောကောင်သား၊ ဝက်သားနှင့် သွေးခဲတို့နှင့် ချက်ပြုတ်သော ဟင်းလျာများပါဝင်သည့် လက်ဟောင်း ဩစထရိုနီးရှန်းဟင်းချက်နည်းရိုးရာတို့ကို ထိန်းသိမ်းထားကြသည်။ [[File:Common Spices in Bali, Indonesia.jpg|thumb|left|ငရုတ်ကောင်းစေ့၊ လေးညှင်း၊ သစ်ကြံပိုး၊ ဇာတိပ္ဖိုလ်သီးတို့ပါဝင်သော အင်ဒိုနီးရှား ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်(''ဘွန်ဘူ'') ဖြစ်သည်။ ၁၆ ရာစု ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်ကုန်သွယ်ရေးတွင် ဂုဏ်သတင်းကျော်ဇောခဲ့ပြီး မည်မျှပင်ဝေးကွာသော အင်ဒိုနီးရှားကျွန်စုကိုမဆို ဥရောပကုန်သည်တို့သည် ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်ရင်းမြစ်ကို ရှာဖွေရန်အလို့ငှာ သွားရောက်ခဲ့ကြသည်။]] ဂျာဗား မာတာရမ်ဆူလ်တန်နိုင်ငံ၏ ဆူလ်တန် အာဂွန်းအတွက် ဒတ်ချ်အရှေ့အိန္ဒိယကုမ္ပဏီ၏ သံတမန်ဖြစ်သော ရစ်ကလော့ ဗန် ဂိုး၏ ၁၇ ရာစုအမြင်များအရ{{efn|group=lower-roman|1=as mentioned in Anthony Reid "Southeast Asia in Commerce 1450–1680 Volume I: The Land Below the Winds"}} ဂျာဗားတွင် ပွဲတော်တွင်း အသား(သိုး၊ ဆိတ်နှင့် ကျွဲ)တို့ကို စားသုံးသော နည်းစနစ်များမှာ ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်တို့ဖြင့် နှယ်ထားသော အသားကို ကင်ခြင်းနှင့် ကြော်ခြင်းတို့ဖြစ်ပြီး ဥရောပနှင့် မတူညီသည်မှာ ဂျာဗားသားတို့သည် ထောပတ်အစား အုန်းနို့ကိုသာ အသုံးပြုခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Historia-food"/> တရုတ်ရွေ့ပြောင်းအခြေချနေထိုင်သူများသည် ၁၅ ရာစု မာဂျပါဟစ်ခေတ်အစောဆုံးသော ကာလမှစ၍ အင်ဒိုနီးရှားကျွန်းစုတွင် အခြေချလာခဲ့ကြရာ ဒတ်ချ်ကိုလိုနီကာလတွင် များပြားလာခဲ့သည်။ တရုတ်နေထိုင်သူများသည် တရုတ်ဒယ်အိုးစောက်နှင့် ဆီအနည်းငယ်အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည့် [[မွှေကြော်ခြင်း|မွှေကြော်နည်း]]ကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။<ref name="Historia-food"/> ထို့ပြင် သူတို့သည် အသစ်သော တရုတ်ဟင်းလျာအချို့ဖြစ်သော ပဲငံပြာရည်{{efn|group=lower-roman|1=later was localized as ''kecap manis'' (sweet soy sauce) with generous addition of palm sugar}}၊ ခေါက်ဆွဲနှင့် ပဲပုပ်မှ တိုဖူးပြုလုပ်နည်းတို့ကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ပဲပုပ်ဖြင့် ပြုလုပ်ခြင်းလုပ်ငန်းမှ ''တန်ပေး''(အချဉ်ဖောက်ထားသော ပဲပုပ်တုံး)အား မမျှော်လင့်ပဲ တွေ့ရှိခဲ့ခြင်း ဖြစ်နိုင်သည်။ သင်းပဲအား ရည်ညွှန်းသည့် အစောဆုံးတွေ့ရသော အကိုးအကားမှာ ၁၈၁၅ ခုနှစ်တွင် ရေးထိုးခဲ့သည့် ဂျာဗားပေစာတစ်ခုဖြစ်သော ဆရတ် ချန်တီနီတွင် ဖြစ်သည်။<ref>''The Book of Tempeh'', 2nd ed., by W. Shurtleff and A. Aoyagi (2001, Ten Speed Press, p. 145)</ref> နယ်မြေသစ်ရှာဖွေသော ခေတ်အတွင်း ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင် ကုန်သွယ်မှု၏ အရှိန်အဟုန်မြင့်လာမှုသည် ဥရောပကုန်သည်များအား အင်ဒိုနီးရှားကမ်းခြေသို့ သယ်ဆောင်လာခဲ့သည်။ နောက်ဆက်တွဲအကျိုးဆက်အဖြစ် ၁၉ ရာစုတွင် ဒတ်ချ်အရှေ့အိန္ဒိယကုမ္ပဏီမှ ကိုလိုနီထူထောင်ခြင်းကို ခံခဲ့ရလေသည်။ ဥရောပအစားအစာများ အထူးသဖြင့် ဒတ်ချ်နှင့် ပေါ်တူဂီတို့မှ လွှမ်းမိုးမှုကို တွေ့ရပြီး ဥရောပချက်ပြုတ်နည်းများဖြစ်သည့် ပေါင်မုန့်ဖုတ်ခြင်း၊ ပေစထရီ(Pastry)၊ ကွက်ကီးနှင့် ကိတ်မုန့်ဖုတ်ခြင်းတို့ ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားဟင်းချက်နည်းရိုးရာအား သေချာစွာ ကြည့်ရှုပါက မတူကွဲပြားသည့် လွှမ်းမိုးမှုများ ရှိသည်ကို တွေ့ရမည်ဖြစ်သည်။ အစားအစာချက်ပြုတ်သည့် နည်းလမ်းများနှင့်စပ်လျဉ်း၍ ဒေသတစ်ခုစီတွင် နောက်ဆုံး၌ ဒေသခံအကြိုက် အရသာဖြင့် ပျံ့နှံသွားခဲ့လေသော ပြောင်းလဲတိုးတက်မှုတစ်ခု ဖြစ်ထွန်းလာခဲ့သည်။<ref name="Historia-food"/> == ဓလေ့၊ တည့်ခင်းဧည့်ခံခြင်းနှင့် သုံးဆောင်ခြင်း == [[File:Sundanese Food 01.JPG|thumb|right|''နာဆီ'' (ထမင်း)၊ ''လောက်-ပေါက်'' (အရံဟင်းလျာ)နှင့် ''ဆာယု-မာယု'' (ဟင်းသီးဟင်းရွက်)တို့ပါဝင်သော အင်ဒိုနီးရှား ရိုးရာထမင်းဝိုင်း]] အင်ဒိုနီးရှား ရိုးရာစားပွဲတွင် ပင်မစားဖွယ်အဖြစ် ပေါင်းထားသော ထမင်းပါဝင်ပြီး အသီးအရွက်၊ ဟင်းရည်နှင့် အသား သို့မဟုတ် ငါး အရံဟင်းလျားတို့ဖြင့် ဝန်းရံခင်းကျင်းထားသည်။ ထုံးတမ်းစဉ်လာ မိသားစုစားပွဲတွင် ပေါင်းထားသော ထမင်းနှင့် များစွာသော အခြားဟင်းလျာတို့ဖြင့် တည့်ခင်းထားသော စားပွဲပတ်လည်တွင် ဝိုင်းဖွဲ့ စားသောက်ကြသည်။<ref name="foodbycountry-Indonesia"/> ဟင်းလျာတိုင်းကို အားလုံးအတွက် ရည်ရွယ်၍ ပန်းကန်ပြား သို့မဟုတ် ပန်ကန်လုံးအကြီးထဲတွင် ထည့်ထားပြီး ဟင်းလျာတစ်ခုတိုင်းစီတွင် ကိုယ်စားသည့် ပန်းကန်ပြားထဲသို့ ထည့်ခတ်ရန် ဇွန်းကိုယ်စီ ထည့်ထားသည်။ ပထမဦးစွာ မိသားစုဝင်တိုင်းတွင် တစ်ဦးချင်းစီအတွက် ပန်ကန်ပြားတစ်ခုစီတွင် ထမင်းများကို ထည့်၍ထားသည်။ အများအားဖြင့် မိသားစု၏ အသက်အကြီးဆုံးသော ပုဂ္ဂိုလ် သို့မဟုတ် ခင်ပွန်းမှ စတင်စားသုံးနိုင်ခွင့်ရှိပြီး<ref name="Etiquette"/> ထိုသို့ အဦးပထမ စားမှသာလျှင် မိသားစုကျန်သောသူများမှ စားကြသည်။ မိသားစုဝင်တိုင်းသည် သူတို့၏ ပန်ကန်ပြားများသို့ အားလုံးအတွက် ထည့်ထားသော ဟင်းပန်ကန်များမှ ဟင်းကို ခတ်ယူစားသုံးကြသည်။ [[File:Indonesian Food.png|thumb|left|''နာဆီ ဂိုရင်း-ဆာတေး''အား ကြက်ဥကြော်နှင့် နိုင်ငံခြားသားများအကြား အကြိုက်များသော ''ကရုပု''နှင့်အတူ တည့်ခင်းထားသည်ကို တွေ့ရပုံ]] ကိုယ်စီအတွက် တည့်ခင်းထားသော ပန်ကန်ပြားတွင် ထမင်း၏ ပတ်လည်၌ နှစ်မျိုး၊ သုံးမျိုး သို့မဟုတ် ထို့ထက်ပိုသော ဟင်းတို့ဖြစ်သည့် အရွက်၊ ငါး သို့မဟုတ် အသားနှင့် အခြား ပါဝင်နိုင်ဖွယ်ရှိသော အကြော်ဟင်းများဖြစ်သည့် ကရုပုနှင့် ဆမ်ဘယ်တို့အား ပုံ၍ စားသုံးကြသည်။ အင်ဒိုနီးရှားယဉ်ကျေးမှုတွင် ဂျပန်ရိုးရာနှင့် မတူညီသည့်ပုံစံဖြစ်သည့် စားသောက်စဉ်တွင် ကိုယ်စီပန်ကန်ပြားတစ်ခုစီ၌ မတူညီသော အရသာရှိသည့် ဟင်းလျာတို့ကို တွဲဖက်စားသုံးသည်ကို တွေ့မြင်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤအလေ့အထကို များသောအားဖြင့် နာဆီ ဂျန်ပေါ၊ နာဆီ ပါဒန်းသို့မဟုတ် ဘူဖေးစားပွဲများတွင် တွေ့နိုင်သည်။ သို့သော် ဟင်းရည်များကို ကိုယ်စီပန်ကန်လုံးအသေးများနှင့် ခတ်ယူစားသုံးကြသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ခေတ်ပေါ်အင်ဒိုနီးရှား စားသောက်ဆိုင်များတွင် အစုံတွဲစပ်ဟင်းလျာပွဲများကို ရရှိနိုင်ပြီဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဂျပန်ရိုးရာအစားအစာများကဲသို့ သီးခြား ကိုယ်တိုင် စားသုံးသည့် အလေ့အထကို ဖြစ်လာစေရန်ရည်ရွယ်ပြီး လင်ဗန်း၊ ကြိမ် သို့မဟုတ် ဝါးဖြင့် ပြုလုပ်ထားသော ထည့်စရာထဲတွင် ခင်းထားသော ပန်ကန်ပြားပေါ်၌ ထမင်းပတ်လည်တွင် ဟင်းများထည့်ရန် သီးခြားနေရာများ ပါဝင်သည်။ ဤသည်ကို နာဆီ ဘာလီ၏ တည်ခင်းမှု ပုံစံတွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။ [[File:Nasi Campur.jpg|thumb|right|ဝါးဖြင့်ရက်လုပ်ထားသော ပန်းကန်တွင် ထမင်း၏ပတ်လည်၌ အသားတုံးများနှင့် အသီးအရွက်အရံဟင်းများဖြင့် ဝန်းရံထားသော တကိုယ်စာ နာဆီ ဘာလီအား တည့်ခင်းထားမှုကို တွေ့ရပုံ]] အင်ဒိုနီးရှားအစားအစာများကို စားသုံးရာတွင် များသောအားဖြင့် ဇွန်းအား ညာဘက်လက်၌လည်းကောင်း၊ ခရင်းအား ဘယ်ဘက်လက်၌လည်းကောင်း(အစားအစာအား ဇွန်းအတွင်းသို့ ထည့်ရန်) ထား၍ စားသုံးလေ့ရှိကြသည်။ ဥရောပစားသောက်မှုဓလေ့နှင့်မတူညီသည်မှာ ထမင်းစားစာပွဲတွင် ဓားအား မထားရှိပဲ ဟင်းလျာထဲ၌ ပါဝင်သော အသီးအရွက်နှင့် အသားတို့ကို မချက်ပြုတ်မီကပင် တကိုက်စာပမာဏအရွယ်အစားဖြင့် တုံး၍ထားခြင်းဖြစ်သည်။<ref name="Etiquette">{{cite web| title = International Dining Etiquette — Indonesia | first =Lininger | last = Mike| publisher = Etiquette Scholar |url = http://www.etiquettescholar.com/dining_etiquette/table-etiquette/pacific_dinner_etiquette/indonesian.html |access-date = ဩဂုတ် ၁၂၊ ၂၀၂၁}}</ref> သို့ပေမယ်လည်း အနောက်ဂျာဗားနှင့် အနောက်ဆူမားတြားကဲ့သို့ နိုင်ငံ၏ ဒေသအများစုတွင် များသောအားဖြင့် အစားအစာတို့ကို လက်ဖြင့် သုံးဆောင်လေ့ရှိကြသည်။ ပင်လယ်စာ စားသောက်ဆိုင်များ၊ ဆွန်ဒန်နှင့် မင်ဂန်ကာဘောင်း ရိုးရာစားသောက်ဆိုင်များ သို့မဟုတ် အရှေ့ဂျာဗားမှ ပီဂျဲ လီလီ (ဆမ်ဘယ်နှင့် ကြော်ထားသော ငါးခူ)နှင့် အာရမ် ဂိုရန်(ကြက်ကြော်)ဆိုင်များကဲ့သို့သော စားသောက်ဆိုင်များ သို့မဟုတ် အိမ်များတွင် အများစုမှာ လက်ဖြင့်စားသောက်ကြသည်။ ထိုစားသောက်ဆိုင်များ၌ အစားအစာများကို စားသောက်ရာတွင် ကိုဘိုကန်အား ထားရှိလေ့ရှိသည်။ ကိုဘိုကန်သည် လန်းဆန်းမှုကို ပေးစွမ်းနိုင်စေရန် ရေ၌ သံပရာသီးစိတ်ကလေးများ ထည့်၍ဖျော်ထားသည် အရည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းမှာ သောက်သုံးရန်အတွက် ရည်ရွယ်ခြင်းမဟုတ်ပဲ မစားမှီနှင့် စားပြီးနောက် လက်ဆေးရန်အတွက် ရည်ရွယ်သည်။<ref>{{cite book | title = A New Approach to Indonesian Cooking | author = Heinz Von Holzen | publisher = Marshall Cavendish International Asia Pte Ltd | year = 2014 | isbn = 9789814634953 | page = 15 | url = https://books.google.com/books?id=pRuiBQAAQBAJ&q=Kwetiau+Goreng&pg=PA15 }}</ref> == အဓိက အစားအစာ == [[File:Kerbau Jawa.jpg|thumb|left|ဂျာဗား၌ ကျွဲများကို အသုံးပြုပြီး စပါးခင်းများကို ထွန်ယက်နေပုံ၊ မျက်မှောက်ခေတ်တွင် [[ဆန်|စပါး]]သည် အဆင့်အတန်းအားလုံးအတွက် အဓိကအစားအစာဖြစ်သည်။ အင်ဒိုနီးရှားသည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် တတိယမြောက် အကြီးမားဆုံးသော စပါးထုတ်လုပ်သောနိုင်ငံဖြစ်ပြီး ဆန်စပါးထွန်ယက်စိုက်ပျိုးခြင်းသည် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ ရှုမြင်ကွင်းအများစုကို ပြောင်းလဲစေခဲ့သည်။]] ဆန်စပါးသည် မျက်မှောက်ခေတ် အင်ဒိုနီးရှား လူ့အဖွဲ့အစည်းအားလုံးအတွက် အဓိကအစားအစာဖြစ်ပြီး<ref name="belindo"/><ref name="TAYLOR_8">{{cite book |last=Taylor|first=Jean Gelman|title=Indonesia: Peoples and Histories|publisher=Yale University Press|year=2003 |location= New Haven and London|url=https://archive.org/details/indonesia00jean|url-access=registration|pages=[https://archive.org/details/indonesia00jean/page/8 8–9]|isbn= 0-300-10518-5}}</ref> အင်ဒိုနီးရှားယဉ်ကျေးမှုတွင် အဓိကနေရာတွင်လည်းရှိသည်။ ဆန်စပါးသည် နိုင်ငံရေမြေကို ပုံဖော်သည်။ ဈေးများတွင် ရောင်းချကြပြီး များစွာသော စားသောက်ဖွယ်တို့တွင် အမွှေးကဲသောနှင့် ချိုသော အရသာနှစ်မျိုးလုံးကို ပေးစွမ်းသော အစားအစာအဖြစ် သုံးဆောင်ကြသည်။ အင်ဒိုနီးရှားယဉ်ကျေးမှုတွင် ဆန်စပါး၏အရေးပါမှုကို ရှေးခေတ် [[ဂျားဗားကျွန်း|ဂျာဗား]]နှင့် ဘာလီတို့ရှိ ဆန်စပါးနတ်ဘုရားမတစ်ပါးဖြစ်သော ဒေဝီသီရိ(Dewi Siri)အား ကိုးကွယ်ယုံကြည်မှုက ထင်ဟပ်ဖော်ပြနေသည်။ ရိုးရာဓလေ့အားဖြင့် ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးမှုသည် စိုက်ပျိုးမှုသံသရာနှင့်ဆက်နွယ်နေပြီး ဆီရန် တာအွန်း(Seren Taun)ကောတ်ရိတ်သိမ်းပွဲတော်ကဲ့သို့သော ပွဲများကို ဆန်စပါးရိတ်သိမ်းသည့် ရိုးရာပွဲအဖြစ် ကျင်းပကြသည်။ ဆန်ကို ပရိုတင်းအနည်းငယ်ပါဝင်သော ထမင်းအဖြစ်နှင့် အရွက်ဟင်းလျာများကို အရံဟင်းအဖြစ် တွဲဖက်စားသုံးလေ့ရှိသည်။ ထို့ပြင် ထမင်းကို ''နာဆီ အုဒု''(အုန်းနို့ဖြင့် ချက်သောထမင်း)၊ ''နာဆီ ကူနင်း''(နနွင်းနှင့် အုန်းနို့ဖြင့် ချက်သော ထမင်း)၊ ''ကဲတုပတ်'' (အုန်းလက်ဖြင့် ရက်လုပ်သော အထုပ်ထဲတွင် ပေါင်းသော ထမင်း)၊ ''လွန်တုန်'' (ငှက်ပျောဖက်ဖြင့် ပေါင်းသော ထမင်း)၊ ''အင်တစ်ပ်'' သို့မဟုတ် ''ရန်ဂင်နန်'' ( ဆန်မုန့်ကြွပ်)၊ အချိုမုန့်၊ ''ဗယ်မီဆဲလီ''၊ ခေါက်ဆွဲ၊ အာရက် ဘီရာ့စ် (ဆန်ဝိုင်)နှင့် နာဆီ ဂိုရင်း (ထမင်းကြော်) အဖြစ်လည်း သုံးဆောင်ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Witton|first=Patrick|title=World Food: Indonesia|url=https://archive.org/details/indonesia0000witt|publisher=[[Lonely Planet]]|year=2002 |location= [[မဲလ်ဘုန်းမြို့]]|page=[https://archive.org/details/indonesia0000witt/page/29 29]|isbn= 1-74059-009-0}}</ref> ''နာဆီ ဂိုရင်း''ကို အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ နေရာအနှံ့အပြားတွင် တွေ့နိုင်ပြီး အမျိုးသားဟင်းလျာအဖြစ် မှတ်ယူကြသည်။<ref name="bali-travel-life.com"/> [[File:Nasi Goreng Pete Kambing.JPG|thumb|right|နေရာတိုင်း၌ တွေ့ရှိနိုင်သော နာဆီ ဂိုရင်း (ထမင်းကြော်)အား အင်ဒိုနီးရှားအမျိုးသားဟင်းလျာများထဲမှ တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူထားကြပြီး ကွဲပြားသည့်အမျိုးအစားများ ပေါများကာ ပြသထားသည့်ပုံမှာ ဆိတ်သားနှင့် မျောက်ငိုသီးတို့ဖြင့် ကြော်ထားသော ထမင်း]] စိုက်ပျိုးသည့် နည်းလမ်းများကြောင့်ဖြစ်စေ လွယ်ကူစွာဝယ်ယူနိုင်စွမ်းရှိသောကြောင့်ဖြစ်စေ ဆန်စပါးသည် နေ့စဉ်အစားအစာအတွင်း ပါဝင်လာခြင်းဖြစ်သည်။ [[ဆူလာဝေစီကျွန်း]]တွင် လွန်ခဲ့သော ဘီစီ ၃၀၀၀ ခန့်မှ ဆန်စပါးအရိုင်းများနှင့်ပတ်သတ်သော အထောက်အထားများ တွေ့ရှိခဲ့သည်။ သို့ပေမယ်လည်း စိုက်ပျိုးမှုနှင့်ပတ်သက်သော အစောဆုံးသော အထောက်အထားများကို [[ဂျာဗားကျွန်း]]အလယ်ပိုင်းဒေသရှိ ၈ ရာစုတွင် ရေထိုးခဲ့သော ကျောက်စာတွင် ဘုရင်မှ ဆန်စပါးနှင့်ပတ်သက်၍ အခွန်စည်းကြပ်သည့်အကြောင်းအား ရေးထိုးထားသည်ကို တွေ့ရှိရသည်။ ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးခြင်း၊ စပါးကျီနှင့် စပါးကွင်းများအား အဖျက်သတ္တဝါဖြစ်သော ကြွက်များမှ ဖျက်ဆီးသည့် ရုပ်ပုံတို့ကို [[ဗောရောဗုဓော]]ရှိ ကာမဝီဘန်ဂါ (Karmawibhanga) ဖောင်းကြွပန်းပုတို့တွင် ထည့်သွင်းဖော်ပြထားသည်ကို တွေ့ရသည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံရှိ ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးမှု၏ ယနေ့ထက်တိုင် အသားကျနေသော ယောက်ျား၊ မိန်းမနှင့် တိရစ္ဆာန်တို့အကြား လုပ်ငန်းတာဝန်ခွဲဝေမှုကို ဗဟိုဂျာဗားဒေသရှိ ပရမ်ဘန်နန်ပုထိုးများရှိ ၉ ရာစုတွင် ထွင်းထုခဲ့သော ဘာသာရေး ပန်းပုရုပ်စုံတွင် တွေ့ရှိနိုင်ပြီး ထိုပုံ၌ ကျွဲများတွင် ထွန်သွားများကို တပ်ဆင်ထား၍ အမျိုးသမီးများက ဆန်စပါးများ စိုက်ပျိုးနေပြီး ဆန်စေ့တို့ကို ကြိတ်နေကာ အမျိုးသားများက တစ်ဖက်စီတွင် စပါးစည်းများကို ဆွဲထားပြီး ပခုံးပေါ်တွင် ထမ်းပိုး(pikulan)ဖြင့် ထမ်းနေပုံကို ဖော်ပြထားသည်။ ၁၆ ရာစုအရောက်တွင် ဥရောပသားတို့ အင်ဒိုနီးရှားကျွန်းများသို့ ရောက်ရှိသည့်အခါတွင် ဆန်စပါးအား မင်းစိုးရာဇာတို့၏ အခမ်းအနားနှင့် ပွဲတော်တို့တွင် မြင့်မြတ်သော စားဖွယ်အဖြစ် သုံးဆောင်ကြသည်ကို တွေ့မြင်ရသည်။<ref name="TAYLOR_8"/> အင်ဒိုနီးရှားသမိုင်းတွင် ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးထုတ်လုပ်မှုသည် [[သံ (သတ္တု)|သံထည်]]များ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာမှုနှင့် အာရှကျွဲရိုင်းများအား အယဉ်အဖြစ် မွေးမြူလာနိုင်ခဲ့ပြီး ထွန်ယက်စိုက်ပျိုးရေးတွင် အသုံးပြုခြင်းနှင့် စွန့်ပစ်ပစ္စည်းများကို မြေဩဇာများ ထည့်သွင်းရန် အသုံးပြုနိုင်ရန် ဆောင်ရွက်ခြင်းတို့နှင့် ဆက်စပ်၍နေပေသည်။ ဆန်စပါးစိုက်ပျိုးရာ၌ နေရောင်ခြည်နှင့် တွေ့ထိမှုရှိရန် လိုအပ်သည်။ ထူထပ်သော တောများဖြင့် ဖုံးလွှမ်းနေသော နိုင်ငံဖြစ်သောကြောင့် လွန်ခဲ့သော နှစ်ပေါင်း ၁၅၀၀ ခန့်မှစ၍ ဆန်စပါး ထွန်ယက်စိုက်ပျိုးခြင်းကို တိုးတက်စေရန်အလို့ငှာ အမြဲတမ်းစိုက်ပျိုးမြေနှင့် အခြေချနေထိုင်ရာနေရာအဖြစ် သစ်တောများအား တဖြည်းဖြည်း ခုတ်ထွန်ရှင်းလင်းလာခဲ့သည်။<ref name="TAYLOR_8"/> === ဂျုံ === [[File:Mi Goreng GM.jpg|thumb|ဂျုံကို အခြေခံသော တရုတ်ဟင်းလျာ မီ ဂိုရင်း (ခေါက်ဆွဲကြော်)သည် အင်ဒိုနီးရှားအဓိကဟင်းလျာအဖြစ် လက်ခံထားကြသည်။]] [[ဂျုံ]]သည် အင်ဒိုနီးရှားဒေသရင်း အပင်မဟုတ်ပဲ ကုန်သွယ်မှုနှင့် နိုင်ငံရပ်ခြားမှလွှမ်းမိုးမှု(အထူးသဖြင့် တရုတ်နှင့် ဒတ်ချ်တို့)မှ ရောက်ရှိလာခဲ့ပြီး အင်ဒိုနီးရှားလူမျိုးတို့သည် ဂျုံအခြေခံသော အစားအစားများ (အထူးသဖြင့် တရုတ်ခေါက်ဆွဲ၊ အိန္ဒိယ ရိုတီနှင့် ဒတ်ချ်ပေါင်မုန့်များ) စတင်ပြုလုပ်ခဲ့ကြသည်။ အများစု သုံးဆောင်ကြသော ထမင်းအပြင် အင်ဒိုနီးရှားရှိ တရုတ်တို့သည် ခေါက်ဆွဲ၊ [[ပေါက်စီ]]နှင့် [[အီကြာကွေး]]တို့ကို အဓိကအစားအစာအဖြစ် မှတ်ယူကြသည်။ ဆန်စပါးယဉ်ကျေးမှု အတော်လေးပျံနှံ့နေသော အင်ဒိုနီးရှား (အထူးသဖြင့် ဂျာဗားနှင့် ဆူမားတြား)တွင်ပင် တခါတရံ၌ ခေါက်ဆွဲကဲ့သို့ ဂျုံကိုအခြေခံသော အစားအစာများကို ထမင်းနှင့်တွဲဖက်၍ အရံဟင်းများအဖြစ် စားသုံးကြပြီး တရုတ်ဘန်းပေါင်မုန့်နှင့် အီကြာကွေးတို့ကို သရေစာအဖြစ် သုံးဆောင်ကြသည်။ ဥရောပသား(အထူးသဖြင့် ပေါ်တူဂီနှင့် ဒတ်ချ်)တို့သည် ပေါင်မုန့်၊ အမျိုးမျိုးသော မုန့်ဖို့နှင့် ပေစထရီတို့ပြုလုပ်နည်းများကို ယူဆောင်လာခဲ့ကြသည်။ ထိုဥရောပအဓိက အစားအစာများသည် ယခုအခါတွင် အမြန်စားသုံးနိုင်သော မနက်စာအဖြစ် ပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၌ ဂျုံစားသုံးမှုသည် ၁၉၇၀ ခုနှစ်များတွင် အင်ဒိုနီးရှား၌ အသင့်စားခေါက်ဆွဲလုပ်ငန်းတိုးတက်လာမှုနောက်ပိုင်း မြင့်တက်လာသော အနေအထားသစ်သို့ ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။ ထိုအချိန်မှစ၍ အင်ဒိုနီးရှားသည် ကမ္ဘာပေါ်တွင် အသင့်စား ခေါက်ဆွဲ အဓိကထုတ်လုပ်သူနှင့် စားသုံးသူများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်လာခဲ့သည်။ အင်ဒိုနီးရှားသည် တရုတ်ပြီးလျှင် ကမ္ဘာ့ ဒုတိယမြောက် အသင့်စားခေါက်ဆွဲဈေးကွက်ဖြစ်လာခဲ့ပြီး ၂၀၁၈ ခုနှစ်တွင် ခေါက်ဆွဲလိုအပ်ချက်သည် ၁၂.၅၄ ဘီလီယံသို့ ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://instantnoodles.org/en/noodles/market.html|title=Global Demand, World Instant Noodles Association |website=instantnoodles.org|access-date=ဩဂုတ် ၁၃၊ ၂၀၂၁}}</ref> ယနေ့ခေတ်တွင် အသင့်စားခေါက်ဆွဲသည် အင်ဒိုနီးရှားအိမ်ထောင်များ၏ အလွယ်တကူ ပူပူလေးသုံးဆောင်နိုင်သော အဓိကအစားအစာတစ်ခု ဖြစ်၍ လာခဲ့သည်။ Indomie ကဲ့သို့သော ယုံကြည်မှုရှိသော အမှတ်တံဆိပ်များသည် လူတိုင်းသိသော အမည်တစ်ခုဖြစ်၍ လာခဲ့သည်။ === အခြားသော အဓိကအစားအစာများ === [[File:Papeda, Kuah Kuning, Ikan Tude Bakar 1.jpg|thumb|right|အင်ဒိုနီးရှားအရှေ့ပိုင်းဒေသ၏ အဓိကအစားအစာဖြစ်သော''ပါပီဒါ''အား စွပ်ပြုပ်ဝါ၊ မက်ကရယ်ငါးကင်နှင့် သုံးဆောင်ရန် ပြင်ဆင်ထားပုံ]] အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ အခြားသော အဓိကအစားအစာများတွင် ဝဥ၊ ကန်စွန်းဥ၊ [[အာလူး]]၊ ပိန်းဥနှင့် [[ပီလောပီနံ|ပီလောပီနံဥ]]စသော ကစီဓာတ်ပေါကြွယ်ဝသည် ဥများပါဝင်သည်။ ပိန္နဲသီးနှင့် ပေါင်မုန့်သီးကဲ့သို့သော ကစီဓာတ်ကြွယ်ဝသော အသီးများနှင့် [[ပြောင်းဖူး]]ကဲ့သို့သော နှံစားသီးတို့ကိုလည်း စားသုံးကြသည်။ ''ပါပီဒါ''ဟုခေါ်သော သာကုယာဂုကို အထူးသဖြင့် မာလုကုကျွန်းနှင့် ပါပုအာပြည်နယ်တို့တွင် စားသုံးမှုရှိကြသည်။ သာကုကို ရေဖြင့်ရော၍ လွယ်ကူရိုးရှင်းသော ပန်းကိတ်အဖြစ်လည်း ပြုလုပ်လေ့ရှိသည်။ အင်ဒိုနီးရှားအရှေ့ပိုင်း လူမျိုးတို့သည် သာကုသာမက အခြားသစ်ဥအရိုင်းတို့ကိုလည်း အဓိကအစားအစာအဖြစ် စားသုံးကြသည်။ ပိန်းဥအမျိုးအစားတစ်ခုဖြစ်ပြီး ပို၍ရှည်ကာ အရသာပို၍ဖွယ်သော Talas ကဲ့သို့သော သစ်ဥအမျိုးအစားများစွာနှင့် ပေါင်မုန့်သီးတို့သည် အင်ဒိုနီးရှားမှ မျိုးရင်းများဖြစ်ကြပြီး အခြားသော ဥတို့မှာ အခြားသောဒေသများမှ ရောက်ရှိလာခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဝဥသည် အာဖရိကမှရောက်ရှိလာခဲ့ခြင်းဖြစ်ပြီး အာလူး၊ ကန်စွန်းဥ၊ ပလောပီနံဥနှင့် ပြောင်းဖူးတို့သည် စပိန်တို့လွှမ်းမိုးမှုများမှတဆင့် ဂျာဗားသို့ ၁၇ ရာစုတွင် ရောက်ရှိလာခဲ့သည်။ ပလောပီနံကို ပြုတ်၍၊ ပေါင်း၍၊ ကြော်၍ သို့မဟုတ် နာမည်ကြီး သရေစာဖြစ်သော ''ခရီပစ် ဆင်းကောင်း'' (ပီလောပီနံမုန်ကြွပ်)အဖြစ်ဖြစ်စေ ပြုလုပ်စားသုံးကြသည်။ ဂျာဗားရှိ မိုးနည်းသော ဒေသများဖြစ်သည့် ဂူနွန် ကီဒူးနှင့် ဝန်နိုဂီရီတို့တွင် ပီလောပီနံခြောက် (ဒေသအခေါ် ''တီဝူ'')အား အထူးသဖြင့် အခြားသော သစ်မြစ်သစ်ဥ ရှားပါးချိန်တွင် အဓိကအစားအစာအဖြစ် ပြောင်းလဲစားသုံးကြသည်။ ပြောင်းဖူးအား မဒူရာဒေသကဲ့သို့ ခြောက်သွေ့သော အရပ်ဒေသများနှင့် ဝေါလန့်စ်မျဉ်း အရှေ့ဘက်ရှိ လက်ဆာဆွန်ဒါကျွန်းများတွင် စားသုံးကြသည်။ == ဟင်းသီးဟင်းရွက် == [[File:Sayur oyong.JPG|thumb|right|[[ခဝဲပင်|ခဝဲသီး]]ဖြင့် ချက်ပြုပ်ထားသော ''ဆာယု အိုယွန်း''ကဲ့သို့သော ပါဝင်သည့်အမယ်များမှာ အသီးအရွက်များစွာပါဝင်သော အင်ဒိုနီးရှားအစားအစာများရှိသည်။]] အင်ဒိုနီးရှားအစားအစာများတွင် ကျယ်ပြန့်စွာအသုံးပြုသော ဟင်းသီးဟင်းရွက်များမှာ [[ကန်စွန်း|ကန်စွန်းရွက်]]၊ [[ဒေါက်ခွပင်|ဒေါက်ခွရွက်]]၊ [[:en:genjer|genjer]]၊ [[:en:melinjo|melinjo]]၊ [[သင်္ဘောပင်|သင်္ဘောရွက်]]နှင့် [[ပီလောပီနံ|ပီလောပီနံရွက်]]တို့ ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့ကို [[ကြက်သွန်ဖြူ]]နှင့် ဆီပူဖြင့်ကြော်၍ စားလေ့ရှိသည်။ ဟင်းနုနွယ်ရွက်နှင့် ပြောင်းဖူးတို့ကို အသုံးပြုပြီး မှန်ရောင်ဟင်းရည်ကြည်ဖြစ်သော ''ဆာယု ဘာယမ် ဘန်နင်း''အား တဲမူ ကွန်ကျီ၊ ကြက်သွန်ဖြူနှင့် [[ကြက်သွန်နီကလေး]]တို့ခတ်ကာ ချက်ပြုတ်ကြသည်။ မှန်ရောင်အသီးအရွက်ဟင်းချိုအမျိုးအစားတွင် ''ဆာယု အိုယွန်း''တို့လည်း ပါဝင်သည်။ အခြားသော အသီးအရွက်များဖြစ်သည့် [[ဘူးပင်|ဘူးရွက်]]၊ ဂေါ်ရခါးသီး၊ [[ဒန့်သလွန်]]၊ ပဲတောင့်ရှည်၊ [[ခရမ်းပင်|ခရမ်းသီး]]၊ ခဝဲသီးနှင့် [[သပွတ်ပင်|သပွတ်သီး]]တို့ကို ဖြတ်တောက်၍ မွှေကြော်၊ ဟင်းချက်ခြင်းနှင့် ဆာယု အာဆမ်၊ ဆာယု လိုဒက်ချ် သို့မဟုတ် လက်ဆာကဲ့သို့သော ဟင်းရည်ချိုများအဖြစ် ချက်ပြုတ်ကြသည်။ ''ဒါအွန် အုဘီ တွန်ဘွန်''သည် ပလောပီနံရွက်ထောင်းဟင်းလျာတစ်မျိုးဖြစ်ပြီး [[ဆူမတြာကျွန်း]]၊ ကာလီမန်တန်ဒေသနှင့် [[ဆူလာဝေစီကျွန်း]]တို့တွင် စားသုံးလေ့ရှိသည်ကို တွေ့ရသည်။ ''ဆာယု ဆော့''ကို ကြက်သား သို့မဟုတ် အမဲသားပြုတ်ရည်တွင် [[ဂေါ်ဖီထုပ်]]၊ ပန်းဂေါ်ဖီ၊ [[အာလူး]]၊ မုန်လာဥနီတို့ကို မကာရိုနီထည့်၍ [[ငရုတ်ကောင်းပင်|ငရုတ်ကောင်းနက်]]၊ ကြက်သွန်ဖြူနှင့် ကြက်သွန်နီကလေးတို့အုပ်ကာ ချက်ပြုတ်သည်။ အခြားသောအသီးအရွက်စုံကြော်တစ်မျိုးဖြစ်သော ''ကပ်ကျိုင်း''သည် တရုတ်အင်ဒိုနီးရှားနွယ်ဝင်တို့၏ လူကြိုက်များ‌သော ဟင်းလျာတစ်မျိုးဖြစ်သည်။ တူမစ်ကန်ကွန်းသည်လည်း လူသိများသော ရေကန်စွန်းရွက်ကြော်ဟင်းလျာဖြစ်သည်။ [[ပဲစောင်းလျားပင်|ပဲစောင်းလျားသီး]]၊ [[ခရမ်းချဉ်ပင်|ခရမ်းချဉ်သီး]]၊ [[သခွားပင်|သခွားသီး]]နှင့် [[ကြက်ဟင်းခါးပင်|ကြက်ဟင်းခါးသီး]]တို့ကို အစိမ်းလိုက် အတို့အမြုပ်(''လာလက်'')အဖြစ် စားသုံးကြသည်။ ကြီးမားသည့် ကြက်ဟင်းခါးသီးတို့ကို များသောအားဖြင့် ပြုပ်၍ စားကြသည်။ ကဲကျွန်းဘရန်နှင့် သင်္ဘောဖူးတို့သည် အများနှစ်သက်ကြသော အသီးအရွက်များဖြစ်သည်။ ''အုရပ်''သည် နှပ်နှပ်စင်းထားသော အုန်းသီးကို အသီးအရွက်တို့ဖြင့် ရော၍သုတ်ထားသော အသုပ်တစ်မျိုးဖြစ်ပြီး ''အာဆီနန် ဘဲတဝီ''သည် အသီးအရွက်တို့ကို အချဉ်တည်ထားသော ဟင်းလျာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ''ဂါဒိုး-ဂါဒိုး''နှင့် ''ပီဂျဲ''တို့သည် ပြုပ်ထားသော အသီးအရွက်တို့ကို မြေပဲဖြင့်ပြုလုပ်ထားသော ဆော့အစပ်ဖြင့် သုပ်ထားသော အသုပ်များဖြစ်ပြီး ''ကာရဲ့ဒေါ့ခ်''သည် ၎င်းတို့အား အရွက်စိမ်းတို့ဖြင့် သုပ်ထားသည့်ပုံစံဖြစ်သည်။ === အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ သက်သက်လွတ်အစားအစာများ === [[File:Tempe Burger.jpg|thumb|ပေါင်းစပ်ပြုလုပ်ထားသည့် ဟင်းလျာတစ်မျိုးဖြစ်သော တန်ပေးဘာဂါ]] အင်ဒိုနီးရှားတွင် သက်သက်လွတ်ဟင်းလျာများသည် ပေါများစွာ ရွေးချယ်နိုင်သောကြောင့် သက်သက်လွတ်စားသုံးသည့် ဓလေ့များ ကောင်းစွာဖြစ်ထွန်းပြီး ၎င်းတို့ကို အသားအစားထိုးဟင်းလျာများအဖြစ် သုံးဆောင်နိုင်သည်။ ''ဂါဒိုး-ဂါဒိုး''၊ ''ကရဲ့ဒေါ့ခ်''၊ ''ကဲ့တိုပရက်''၊ ''တအုဂဲ ဂိုရင်း''၊ ''ပီဂျဲ''၊ ''အုရပ်''၊ ''ရူဂျက်''နှင့် ''အာဆီနန်''ကဲ့သို့သော အစားအစာများသည် သက်သက်လွတ်ဟင်းလျာများဖြစ်ကြသည်။ သို့ပေမယ့်လည်း မြေပဲဆော့ကို အသုံးပြုသော ''ဂါဒိုး-ဂါဒိုး''၊ ''ကရဲ့ဒေါ့ခ်'' သို့ ''ကဲ့တိုပရက်''ကဲ့သို့ ဟင်းလျာများတွင် အနံ့အရသာအတွက် "တရာဆီ"ဟုခေါ်သော [[ငါးပိ|ပုဇွန်ဆိတ်ငါးပိ]] အနည်းငယ် ပါဝင်နိုင်သည်။ လက်ဆက်သော အသီးအရွက်တို့ဖြင့် ပြုလုပ်ထားသော အတို့အမြုပ်တို့နှင့် တွဲဖက်စားသုံးရန် ''ဆမ်ဘယ်''ငရုတ်သီးထောင်းအား မွှေးကြိုင်သော အရသာကဲစေဖို့အတွက် ပုဇွန်ဆိတ်ငါးပိတို့ကိုလည်း ထည့်လေ့ရှိသည်။ ''တန်ပေး''၊ တို့ဖူးနှင့် ''အွန်ကွန်း''ကဲ့သို့သော အချဉ်ဖောက်ထားသော [[ပဲပုပ်]]မှပြုလုပ်သော အစားအစာများသည် အသားအစားထိုး အစားအစာများအဖြစ်နှင့် အသီးအရွက် [[ပရိုတိန်း]]ဓာတ်ရင်းမြစ်များအဖြစ် ကျယ်ပြန့်စွာ စားသုံးကြသည်။ ယနေ့ခေတ် ပေါင်းစပ်ထားသော ဟင်းလျာများတွင် တန်ပေးအား အသားပြားများအစား အသုံးပြုပြီး တန်ပေးဘာဂါအဖြစ် စားသုံးကြသည်။<ref>{{cite web| title = Grilled tempeh burgers| work = Rachael Ray| date = 21 July 2009| url = http://www.rachaelray.com/2009/07/grilled-tempeh-burgers| archive-url = https://web.archive.org/web/20150214141915/http://www.rachaelray.com/2009/07/grilled-tempeh-burgers| url-status = dead| archive-date = 14 February 2015| accessdate = 13 August 2021| archivedate = 23 September 2016| archiveurl = https://web.archive.org/web/20160923083134/http://www.rachaelray.com/2009/07/grilled-tempeh-burgers}}</ref> အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံသားတို့သည် တင်းကြပ်သော သက်သက်လွတ်အလေ့အထဖြင့် ပြုမှုကြသူများ မဟုတ်ကြပဲ အသီးအရွက် သို့မဟုတ် သက်သက်လွတ်ဟင်းလျာများကို အရသာ၊ ကြိုက်နှစ်သက်မှု၊ စီးပွားရေးနှင့် ကျန်းမာရေးအကြောင်းပြချက်များတို့ကြောင့် စားသုံးနိုင်သည်။ မည်သို့ပင်ဖြစ်စေ အင်ဒိုနီးရှားရှိ သေးငယ်သော ပမာဏသာရှိသည့် ဗုဒ္ဓဘာသာဝင်တို့သည် ဘာသာရေးအကြောင်းပြချက်ကြောင့် သက်သက်လွတ်စားသုံးသည့် အလေ့အထကို ကျင့်သုံးကြသည်။ == အသားနှင့် ငါး == အင်ဒိုနီးရှား အစာအာဟာရတွင် အသားမှရရှိသော [[ပရိုတိန်း]]ဓာတ်အများစုမှာ ကြက်ငှက်နှင့်ငါးမှဖြစ်သော်လည်း အမဲသား၊ ကျွဲသား၊ ဆိတ်သားနှင့် သိုးသားတို့ကို အင်ဒိုနီးရှားဈေးများတွင် များသောအားဖြင့် တွေ့နိုင်သည်။ === အသားစားကြက်ငှက် === [[File:Ayam goreng kalasan.JPG|thumb|[[ယောယာကားတားမြို့]]၊ ကလာဆန်ပုထိုးမှ ''အာယမ် ဂိုရင်း ကလာဆန်'']] များသောအားဖြင့် ကြက်နှင့်ဘဲကို စားသုံးကြသော်လည်း ခို၊ ငုံးနှင့် [[ဗေါင်းထုတ်ငှက်]]ကဲ့သို့သော ငန်းရိုင်းများကိုလည်း စားသုံးကြသည်။ ရိုးရာအားဖြင့် အင်ဒိုနီးရှားရွာများတွင် ''အာယမ် ကမ်ပေါင်း''(ရွာကြက်)ကဲ့သို့သော ကြက်မျိုးကောင်းမျိုးသန့်များကို လွှတ်ကျောင်းမွေးမြူကြသည်။ အခြားမွေးမြူရေးကြက်များနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် ထိုရွာကြက်များသည် ပို၍ အကောင်သေးပြီး အသားသည် အနည်းငယ်မာသည်။ ''အာယမ် ဂိုရင်း'' (ကြက်ကြော်)နှင့် ''အာယမ် ဘေကာ'' (ကြက်ကင်)တို့၏ ချက်နည်းမျိုးစုံကို အများအားဖြင့် အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတဝှမ်းတွင် တွေ့ရှိရနိုင်သည်။ ကြော်ခြင်းနှင့် ကင်ခြင်းအပြင် ကြက်သားကို ''စွပ် အာယမ်''နှင့် ''ဆာတို အာယမ်'' သို့မဟုတ် [[အုန်းနို့]]ဖြင့်ချက်သော ''အိုပေါ အာယမ်''ကဲ့သို့ စွပ်ပြုပ်အဖြစ်လည်း ချက်ပြုပ်စားသောက်နိုင်သည်။ ကြက်သားဆာတေးကိုလည်း အင်ဒိုနီးရှားတွင် လွယ်ကူစွာ တွေ့ရှိနိုင်ပြီး ၎င်းမှာ တံစိုဖြင့်ထိုးထားသော အသားကင်ကို မြေပဲဆော့ဖြင့် စားသုံးရခြင်းဖြစ်သည်။ အခြားထင်ရှားသော ကြက်သားချက်နည်းများမှာ [[ယောယာကားတားမြို့]]မှာ ''အာယမ် ဂိုရင်း ကလာဆန်''၊ ပန်ဒန်းမှ ''အာယမ် ဘေကာ ပန်ဒန်း''၊ လွန်ဘုတ်မှ ''အာယမ် တာလီဝန်''၊ ဘာလီမှ ''အာယမ် ဘီတုတု''နှင့် ''အာယမ် ဂိုရင်း လန်ကုအက်'' (galangal fried chicken) တို့ဖြစ်ကြသည်။ === အသား === အမဲသားနှင့် ဆိတ်သားသည် အင်ဒိုနီးရှားတွင် စားသုံးမှုအများဆုံးသော အသားများဖြစ်ပြီး ကျွဲသည် စပါးထွန်ယက်စိုက်ပျိုးရာတွင် အလွန်အသုံးဝင်ပြီး သိုးသည် အမွှေးများကို ရိတ်ရန်နှင့် ရိုးရာဖျော်ဖြေရေးတစ်ခုဖြစ်သော သိုးတိုက်ပွဲတွင် အသုံးပြုသဖြင့် စားသုံးမှုနည်းပါးသည်။ နိုင်ငံအနေဖြင့် အစ္စလာမ်မစ်ဘာသာကို အဓိကကိုးကွယ်ကြရာ အင်ဒိုနီးရှားမွတ်စလင်များအဖို့ အစ္စလာမ်မစ် ဟာလာ အစားအစာဥပဒေကို လိုက်နာရသဖြင့် ဝက်သားစားသုံးခြင်းကို တားမြစ်ထားသည်။ သို့ပေမယ့်လည်း အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံ၏ အချို့သောဒေသများတွင် မွတ်စလင်မဟုတ်သောသူများစွာနေထိုင်ကြရာ တောဝက်နှင့် ဝက်သားကို စားသုံးကြသည်။ ဟာလာလုပ်ထားခြင်းမရှိသော အသားများကို [[ဘာလီပြည်နယ်]]၊ [[မြောက်ဆူမားတြာပြည်နယ်]]၊ [[မြောက်ဆူလာဝေစီပြည်နယ်]]၊ [[အရှေ့နူဆာတန်ဂါရာပြည်နယ်]]၊ [[မာလုကုပြည်နယ်]]၊ [[အနောက်ကာလီမန်တန်ပြည်နယ်]]၊ [[အလယ်ကာလီမန်တန်ပြည်နယ်]]၊ [[မြောက်ကာလီမန်တန်ပြည်နယ်]]၊ [[အနောက်ပါပူအာပြည်နယ်]]၊ [[ပါပူအာပြည်နယ်]]နှင့် အင်ဒိုနီးရှားမြို့ကြီးများရှိ တရုတ်တန်းတို့တွင်လည်း တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် မွတ်စလင်အစားအစာဈေးကွက်ကြီးမားလာခဲ့ရာ အင်ဒိုနီးရှားရှိ စားသောက်ဆိုင်များနှင့် စားသောက်ရန်နေရာများတွင် ဝက်သားများ၊ ဟာလာလုပ်မထားသော အသားများနှင့် ချက်ပြုပ်ရာတွင် ဝက်ဆီများသုံး၍ ချက်ပြုပ်ခြင်းများကို မပြုလုပ်သည့်အမှတ်သင်္ကေတအဖြစ် ဟာလာအမှတ်တံဆိပ်ကို ထည့်သွင်းခဲ့ကြသည်။ မွတ်စလင်လူဦးရေ ကြီးမားလာခဲ့ခြင်းနှင့်အတူ နွားအရေအတွက်သည်လည်း အတော်လေး နည်းပါးလာခဲ့သဖြင့် ယနေ့ခေတ်၌ အင်ဒိုနီးရှားသည် [[ဩစတေးလျနိုင်ငံ]]၊ [[နယူးဇီလန်နိုင်ငံ]]နှင့် [[အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု]]တို့မှ တင်သွင်းသော အမဲသားများအပေါ်တွင် များစွာ မှီခိုနေရကာ အင်ဒိုနီးရှားဈေးကွက်၌ တခါတရံ၌ ရှားပါးခြင်း၊ ဈေးကြီးမြင့်ခြင်းတို့နှင့် ကြုံတွေ့နေရသည်။ အမဲသား၊ ဆိတ်သား သို့မဟုတ် သိုးကလေးသား ''ရန်ဒန်း''၊ တံစိုထိုးကင်များ၊ ဆာတေးအဖြစ် အမွှေးအကြိုင်တို့ဖြင့် နှယ်၍ကင်ထားသော ကြက်သား သို့မဟုတ် သိုးသား၊ အသားကင်များ၊ အသားတုံးများနှင့် ဆိုတိုကဲ့သို့သော အသားစွပ်ပြုပ်များ ချက်ပြုပ်ရာတွင် အသားတို့ကို ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင် နိုင်နိုင်သုံးပြီး [[အုန်းနို့]]တို့ဖြင့် ချက်ပြုတ်သည်။ သိုးသားနှင့် ဝမ်းတွင်းသားအစုံတို့ကို ''ဆိုတို''စွပ်ပြုပ်နှင့် ''ဂူလိုင်''ဟင်းတို့အား ချက်ပြုပ်ရာတွင် ပါဝင်သော အမယ်များအဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဘာလီကျွန်းတွင် ဟိန္ဒူဘာသာကို အဓိကကိုးကွယ်ကြရာ ''ဘာဘီ ဂူလင်း''(ဝက်သားကင်)သည် ဒေသခံများနှင့် မွတ်စလင်မဟုတ်သော ခရီးသွားဧည့်သည်များအကြားတွင် ထင်ရှားသော ဟင်းလျာတစ်ခုဖြစ်ပြီး မြောက်ဆူမားတြာပြည်နယ်ရှိ ဘာတပ်လူမျိုးတို့တွင်လည်း ၎င်းနှင့်ဆင်တူသည့် ဘာဘီ ပန်ဂန်းဟုသော ဟင်းလျာတစ်မျိုးရှိသည်။ တောဝက်သားကိုလည်း များသောအားဖြင့် ပါပူအာပြည်နယ်တွင် စားသုံးကြသည်။ အသားများကို သေးငယ်သော အမြောင်းများအဖြစ် တုံး၍ အခြောက်လှန်းပြီး ''ဒန်ဒန်း'' သို့မဟုတ် ''အာဘွန်'' (အသားမျှင်)တို့ ပြုလုပ်သည်။ ''ဒန်ဒန်း ဂျဲလန်''သည် "အခြောက်လှန်းထားသော ကြွပ်ဆပ်နေသည့်" အင်ဒိုနီးရှား တောဝက်သားခြောက်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite news| url=https://www.nytimes.com/2011/04/24/magazine/mag-24Obama-t.html?pagewanted=all | work=The New York Times | first=Janny | last=Scott | title=Obama's Young Mother Abroad | date=20 April 2011}}</ref> အင်ဒိုနီးရှား၏ တောင်တန်းဒေသများတွင် ယုန်သားစားသုံးမှုမှာလည်း မြှင့်တက်၍နေသည်။ အချို့ထူးဆန်းပြီး ရှားပါးသော တောကောင်သားကဲ့သို့သော အသားများကိုလည်း အင်ဒိုနီးရှား၏ အရိုင်းနယ်မြေများတွင် ရောင်းချခြင်းနှင့် စားသုံးခြင်းများ ပြုလုပ်ကြသည်။ အနောက်နူဆာတန်ဂါရာပြည်နယ်၊ အရှေ့နူဆာတန်ဂါရာပြည်နယ်နှင့် ပါပူအာပြည်နယ်တို့တွင် အမဲလိုက်၍ ရရှိလာသော သမင်သားကို တွေ့ရှိရနိုင်သည်။ တရုတ်အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများတွင် စားသုံးကြသည့် ဖားခြေထောက်များ၊ ယောယာကားတားမြို့နှင့် အနောက်နူဆာတန်ဂါရာပြည်နယ်တွင် စားသုံးသော မြင်းသား၊ ဘာလီနှင့် အရှေ့အင်ဒိုနီးရှားဒေသတွင်စားသုံးသော လိပ်သား၊ အနောက်ဆူလာဝေစီပြည်နယ်၏ မီနာဟာဆန်ဟင်းလျာများတွင် တွေ့ရသည့် မြွေသား၊ [[ဖွတ်|ဖွတ်သား]]၊ ပါနီကီ (လင်းနို့)၊ ခွေးသားနှင့် လယ်ကြွက်များ အစရှိသည်တို့သည် ပုံမှန်မဟုတ်ပဲ အငြင်းပွားဖွယ် ထူးဆန်းသော အသားများအဖြစ် ပါဝင်နေသည်။ မြောက်ဆူမားတြာပြည်နယ်၏ ဘာတပ်ဟင်းလျာများသည်လည်း ခွေးသားကို ချက်စားခြင်းနှင့် အကျွမ်းတဝင်ရှိလာသည်။ === ငါး === [[File:Ikan baronang.jpg|thumb|အနောက်ဆူလာဝေစီပြည်နယ်၊ မာမူဂျူးမြို့ရှိ ''[[:en:rabbitfish|ဘာရွန်နန်း]] [[အီကန်ဘာကာ]]'' အား ကင်နေပုံ]] ကျွန်းစုနိုင်ငံဖြစ်သည့်အလျှောက် ပင်လယ်စာများ ပေါကြွယ်ဝပြီး အထူးသဖြင့် ကမ်းရိုးတန်းဒေသတွင်နေထိုင်ကြသော အင်ဒိုနီးရှားလူမျိုးတို့သည် များသောအားဖြင့် စားသုံးကြသည်။ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းဖြင့် အသက်မွေးဝမ်းကြောင်းပြုကြသော အင်ဒိုနီးရှားအရှေ့ပိုင်းဒေသများဖြစ်သော ဆူလာဝေစီကျွန်းနှင့် မာလုကုကျွန်းများတွင် နေထိုင်သူတို့အကြားတွင်း ငါးဖြင့်ပြုလုပ်သော ဟင်းလျာများသည် အထူးသဖြင့် နာမည်ကြီးသည်။ ထိုဒေသနှစ်ခုတွင် ကြီးမားကျယ်ပြန့်ပြီး မတူကွဲပြားသည့် ပင်လယ်စာအမျိုးအစားများကို ရရှိနိုင်သော ပင်လယ်ပြင်ဧရိယာရှိသည်။<ref name="tasty">{{cite web |url = http://tasty-indonesian-food.com/indonesian-food-recipes/seafood/ikan-bakar/ |title = Ikan Bakar |website = Tasty Indonesian Food.com |publisher = Tasty Indonesian Food.com |access-date = 11 August 2013 |archive-url = https://web.archive.org/web/20230408060219/http://tasty-indonesian-food.com/indonesian-food-recipes/seafood/ikan-bakar/ |archive-date = 8 April 2023 |url-status = dead }}</ref>အင်ဒိုနီးရှားဟင်းလျာများတွင် ပါဝင်သော လူသိများသော ပင်လယ်စာများတွင် [[:en:skipjack tuna|skipjack tuna]]၊ [[တူနားငါး]]၊ [[မက်ကရယ်ငါး]]၊ [[ငါးမုတ်]]([[:en:pomfret|pomfret]])၊ [[:en:wahoo|wahoo]]၊ [[:en:milkfish|milkfish]]၊ [[:en:trevally|trevally]]၊ [[:en:rabbitfish|rabbitfish]]၊ [[:en:garoupa|garoupa]]၊ [[:en:Red snapper (fish)|red snapper]]၊ [[ငါးပါးနီ]]၊ [[ဓားရှည်နှုတ်သီးငါး]]၊ [[ငါးမန်း]]၊ [[ငါးလက်ထုံ]]၊ [[ပြည်ကြီးငါး]] သို့မဟုတ် [[ကင်းမွန်]]၊ [[ပုဇွန်]]၊ [[ကဏန်း]]၊ [[:en:Portunus pelagicus|blue crab]] နှင့် [[ယောက်သွား]] တို့ဖြစ်သည်။ ပင်လယ်စာကို အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် စားသုံးကြသော်လည်း မာလုကူကျွန်းများနှင့် မင်နာဟာဆာဟင်းလျာ(မြောက်ဆူလာဝေစီပြည်နယ်)များတွင် အထူးသဖြင့် လူအများစားသုံးမှုရှိသည်။ ပင်လယ်စာများကို များသောအားဖြင့် ကင်၍၊ ပြုတ်၍ သို့မဟုတ် ကြော်၍ စားသုံးကြသည်။ [[အီကန် ဘာကာ]]သည် လူသိများသော ငါးကင်ဖြစ်ပြီး အင်ဒိုနီးရှားနိုင်ငံတစ်ဝန်းတွင် တွေ့ရနိုင်သည်။ သို့ပေမယ့်လည်း နောက်ထပ်ချက်ပြုပ်နည်းများဖြစ်သည့် ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်များဖြင့် မွှေကြော်ကြော်ခြင်း သို့မဟုတ် ဟင်းချိုအဖြစ် ပြုလုပ်ခြင်းကိုလည်း တွေ့ရနိုင်သည်။ ဆားဖြင့် တာရှည်ခံအောင်ပြုလုပ်ထားသော ငါပိကောင်များကိုလည်း အင်ဒိုနီးရှားဈေးများတွင် တွေ့ရနိုင်သည်။ ရေချိုငါးဖမ်းလုပ်ငန်းများကိုလည်း ကုန်တွင်းပိုင်းဒေသရှိ မြစ်ကြီးများ သို့မဟုတ် ရေကန်များတွင် တွေ့ရနိုင်သည်။ ရေချိုငါးဖြင့် ချက်ပြုတ်သော ဟင်းများတွင် အနောက်ဂျာဗားပြည်နယ်၏ ဆွန်ဒန် အစားအစာများကို လူသိများပြီး [[မြောက်ဆူမတြာပြည်နယ်]]၏ ဘာတက်တို့နေထိုင်ရာ ဒေသတွင်ရှိသော တိုဘာကန်တွင် ဖမ်းခြင်း သို့မဟုတ် မွေးမြူခြင်း၊ မလေးတို့နေထိုင်ရာဒေသများဖြစ်သည့် [[ရီအော့ပြည်နယ်]]၊ [[ဂျမ်ဘီပြည်နယ်]]၊ [[တောင်ဆူမတြာပြည်နယ်]]ရှိ မြစ်ကြီးများမှ ဖမ်းယူခြင်း သို့မဟုတ် [[ကာလီမန်တန်ဒေသ]]ရှိ မြစ်ကြီးများမှ ဖမ်းယူခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ လူသိများသော ရေချိုငါးများတွင် [[ငါးကြင်း]]၊ ငါးဖျင်း ([[:en:gourami|gourami]])၊ [[ငါးခူ]]၊ [[ငါးတန်]]၊ [[ငါးရံ့]]၊ ''ငါးဖျင်းသလက် အသေး([[:en:trichogaster|trichogaster]])''၊ [[ငါးပြေမ]]၊ [[:en:Nile tilapia|Nile tilapia]] နှင့် [[:en:Mozambique tilapia|Mozambique tilapia]] တို့ပါဝင်သည်။ === အင်းဆက်များ === [[File:Botoktawon.jpg|thumb|ပျားသားပေါက်များဖြင့် ပြုလုပ်ထားသော ''[[ဘိုတုတ်]]'' (''ဘိုတုတ် တာဝန်'')]] ထိုင်းနိုင်ငံနှင့် မတူညီတာကတော့ အင်ဒိုနီးရှားမှာ အင်းဆက်တွေက နာမည်ကြီးဟင်းအမယ်မဟုတ်သလို လမ်းဘေးအစားအစာအဖြစ် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့်မတွေရနိုင်ပါ။ ဂျာဗားမှာတော့ ဒေသခံတွေက အင်းဆက်တွေကို ဖမ်းခြင်း၊ သားဖောက်ခြင်းနှင့် ရောင်းချခြင်းတို့ကို ပြုလုပ်ကြပြီး အများအားဖြင့် အိမ်မွေးငှက်များအား ကျွေးရန် လတ်လတ်ဆက်ဆက် ဒါမှမဟုတ် ရှင်လျက် ရောင်းချရခြင်း ဖြစ်သည်။ မည်သို့ပင်ဆိုစေကာမူ ရိုးရာအရ များစွာသော အင်ဒိုနီးရှားယဉ်ကျေးမှုများတွင် အင်းဆက်များကို စားသုံးသည်ဟု ဆိုကြပြီး အထူးသဖြင့် နှံကောင်၊ ပုရစ်၊ [[ခြ|ပလူ]]နှင့် [[ပျား]]တို့ကို စားသုံးကြသည်။ ဂျာဗားနှင့် ကာလီမန်တန်ဒေသတို့တွင် နှံကောင်နှင့် ပုရစ်တို့ကို အနည်းငယ်ထောင်း၍ စားအုန်းဆီဖြင့် အကျတ်ကြော်၍ ကြွပ်သော ကရီပတ်မုန့်အဖြစ် စားသုံးကြသည်။<ref>{{cite news | title = Mencicipi Gurihnya Keripik Olahan Jangkrik | work = Kompas.com | date = 13 September 2016 | url = http://travel.kompas.com/read/2016/09/13/071300027/mencicipi.gurihnya.keripik.olahan.jangkrik | language = id}}</ref> ပို၍သေးငယ်သော နှံကောင်၊ ပုရစ်နှင့် ချတို့ကို [[ရမ်ပီယဲ့ခ်]] မုန့်ကြွပ်ကြော်ပြုလုပ်ကြပြီး အင်းဆက်ရုပ်ကြွင်းများနှင့်ပင် ဆင်တူကြသည်။ မုတ်သုံကာလ မိုးရာသီအတွင်းတွင် မိတ်လိုက်ရန်အတွက် မီးသီးများဆီ တိုးဝင်ကြသော ပလူတို့ ပေါများလှသည်။ ဒေသခံများသည် မီးလုံးများအောက်တွင် ရေပုံးများကို ချထားပြီး ပလူတို့ကို ထောင်ဖမ်းကြကာ အတောင်တို့ချွတ်ပြီး ပရိုတိန်းဓာတ်ကြွယ်ဝသော သရေစာအဖြစ် လှော်၍ စားသုံးကြသည်။ အရှေ့ဂျာဗားပြည်နယ်၊ ဘန်ညုဝန်ဂီမြို့တွင် ''ဘိုတုတ် တာဝန်'' (ပျား ဘိုတုတ်) ဟုသည့် အထူးဟင်းလျာတစ်မျိုးရှိပြီး ပျားသားပေါက်များပါဝင်သော ပျားသလက်ကို အုန်းသီးခြစ်နှင့် ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်တို့ ဖြူးပြီး ငှက်ပျောဖတ်ထဲထည့်ကာ ပေါင်းထားသည့် ဟင်းလျာတစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>{{cite news | title = Menikmati Sepincuk Botok Tawon di Banyuwangi | author = Ira Rachmawati | work = Kompas.com | date = 12 December 2014 | url = http://travel.kompas.com/read/2014/12/12/102600627/Menikmati.Sepincuk.Botok.Tawon.di.Banyuwangi | language = id}}</ref> ကာလီမန်တန်တွင် နေထိုင်ကြသော ဒါယက်လူမျိုးများ၊ အရှေ့အင်ဒိုနီးရှားရှိ မော်လုကန်နှင့် ပါပူအာလူမျိုးများသည် အူလက် ဆာဂူး (lit. sagoo caterpillar) သို့မဟုတ် ဆာဂို အုန်းကောတ်နှံပိုး သားပေါက်များအား စားသုံးသည်ဟု ဆိုကြသည်။ ဤပရိုတိန်းဓာတ်ကြွယ်ဝသော သားပေါက်များကို ပါပူအာဒေသ၏ ရသာမွန်ဟု ဆိုကြပြီး များသောအားဖြင့် စားသုံးခြင်းမပြုမီ ဦးစွာလှော်ကြသည်။ သို့ပေမယ့်လည်း ဒေသခံတို့သည် များသောအားဖြင့် သားပေါက်များကို အစိမ်း သို့မဟုတ် အရှင်စားသုံးလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite news | title = Apa Rasanya Makan Ulat Sagu Hidup-hidup di Raja Ampat? | author = Fidel Ali | work = Kompas.com | date = 18 June 2017 | url = http://travel.kompas.com/read/2017/06/18/120500227/apa.rasanya.makan.ulat.sagu.hidup-hidup.di.raja.ampat. | language = id}}</ref> == ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်များနှင့် အခြားသော အနံ့အရသာများ == ==မှတ်စုများ== {{notelist | group=lower-roman | close}} == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အင်ဒိုနီးရှား အစားအစာ]] [[ကဏ္ဍ:အင်ဒိုနီးရှား ယဉ်ကျေးမှု]] hglpj4x1cqknhxsyeir2d3mu3wq50zc 0 207161 1060953 1017018 2026-11-01T01:48:36Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060953 wikitext text/x-wiki {{Infobox website | name = SoundCloud | logo = Soundcloud logo.svg | collapsible = yes | collapsetext = Screenshot | screenshot = | caption = Screenshot of the desktop version of SoundCloud | founder = Alexander Ljung<br />Eric Wahlforss | owner = SoundCloud Limited | programming_language = [[Ruby (programming language)|Ruby]],<ref name=BuiltWith>{{cite web|title=Soundcloud.com Technology Profile|url=https://builtwith.com/soundcloud.com|accessdate=6 August 2021|archivedate=27 July 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180727212152/https://builtwith.com/soundcloud.com}}</ref> [[:en:Scala (programming language)|Scala]]<ref name=BuiltWithScala>{{cite web|title=Soundcloud Engineering Blog|url=https://developers.soundcloud.com/blog/building-products-at-soundcloud-part-1-dealing-with-the-monolith}}</ref> | registration = Optional; Required to post and upload content. | company_type = [[:en:Private company|Private]] | industry = Music, Social/Internet Community | foundation = {{start date and age|df=yes|2007|8}}<br />Stockholm, Sweden | location_city = [[ဘာလင်မြို့]] | location_country = ဂျာမဏီ | key_people = Mike Weissman <small>([[:en:Chief executive officer|CEO]])</small>,<ref>[https://variety.com/2020/digital/news/soundcloud-michael-weissman-kerry-trainor-ceo-1234843127/ SoundCloud Names Michael Weissman to Succeed Kerry Trainor as CEO] at Variety;by Jem Aswad; published December 1, 2020; retrieved May 5, 2021</ref><br />Eliah Seton <small>([[:en:President (corporate title)|President]]),<ref>[https://www.musicbusinessworldwide.com/official-eliah-seton-named-president-of-soundcloud/ OFFICIAL: ELIAH SETON NAMED PRESIDENT OF SOUNDCLOUD] at Music Business Worldwide; by Murray Stassen; published April 8, 2021; retrieved May 5, 2021</ref></small><br />Drew Wilson <small>([[:en:Chief operating officer|COO]], [[:en:Chief financial officer|CFO]])</small>,<ref>[https://www.billboard.com/articles/business/executive-turntable/9544463/soundcloud-drew-wilson-coo-cfo SoundCloud Names Drew Wilson COO & CFO] at Billboard Magazine; by Chris Eggersten; published March 22, 2021; retrieved May 5, 2021</ref><br />Lauren Wirtzer-Seawood <small>([[:en:Chief Content Officer|CCO]], [[:en:Chief Marketing Officer|CMO]])</small>,<ref>[https://www.musicbusinessworldwide.com/lauren-wirtzer-seawood-appointed-chief-content-and-marketing-officer-at-soundcloud/ LAUREN WIRTZER-SEAWOOD JOINS SOUNDCLOUD AS CHIEF CONTENT AND MARKETING OFFICER] at Music Business Worldwide; by Murray Stassen; published May 10, 2021; retrieved May 26, 2021</ref><br />Antonious Porch <small>([[:en:Chief diversity officer|CDO]])</small>,<ref>[https://www.legal500.com/gc-magazine/interview/antonious-porch-%E2%80%A9general-counsel-%E2%80%A9soundcloud/ Antonious Porch, General Counsel, SoundCloud] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210806010044/https://www.legal500.com/gc-magazine/interview/antonious-porch-%E2%80%A9general-counsel-%E2%80%A9soundcloud/ |date=6 August 2021 }} at Legal500; published 2019; retrieved 2021</ref><br />Anthony Gabriele <small>(SVP of Subscriptions and Marketing)</small>,<ref>[https://www.musicweek.com/digital/read/soundcloud-hires-apple-music-s-anthony-gabriele-for-subscriptions-and-marketing-role/075753 SoundCloud hires Apple Music's Anthony Gabriele for subscriptions and marketing role] at MusicWeek; by Andre Paine; published March 27, 2019; retrieved June 14, 2021</ref><br /> Alexander Ljung <small>(Chairman and Co-Founder)</small><br /> | url = {{url|https://soundcloud.com}} | num_employees = approx. 425 (2021)<ref>[https://www.businessinsider.com/soundcloud-employees-shocked-by-job-cuts-2017-7 SoundCloud employees shocked by job cuts: 'Nobody saw it coming'] at Business Insider; by Sam Shead; published July 7, 2017; retrieved May 26, 2021</ref> | launch_date = {{start date and age|df=yes|2008|10}} | num_users = +30 million creators (March 2021), +265 million tracks (March 2021)<ref>[https://www.musicbusinessworldwide.com/soundcloud-is-about-to-revolutionize-streaming-payouts-launching-user-centric-royalties-for-100000-indie-artists/ SOUNDCLOUD IS ABOUT TO REVOLUTIONIZE STREAMING PAYOUTS, LAUNCHING USER-CENTRIC ROYALTIES FOR 100,000 INDIE ARTISTS] at Music Business Worldwide; by Tim Ingham; published March 2, 2021; retrieved May 26, 2021</ref> | website_type = [[:en:Streaming media|Music streaming]], Internet community }} '''ဆောင်းကလောက်'''သည် ဆွီဒင်လူမျိုးဖန်တီးသော အွန်လိုင်းအသံဖြန့်စင်္ကြန်နှင့် တေးမျှဝက်ဘ်ဆိုက်ဖြစ်ပြီး [[ဂျာမနီနိုင်ငံ]]၊ [[ဘာလင်မြို့]]၌ ရုံးချုပ်ထားသည်။ သုံးသူတို့အား အသံဖိုင်လ်များ တင်ခွင့်ပြုပြီး မျှဝေထားသည်ကိုလည်း အသံပြန်လွှင့်ပေးသည်။ ၂၀၀၇ ခု၌ အလက်ဇန္ဒားလျုံ့နှင့် အီးရလစ်ဝေါလဖေါ့ရှ်တို့ စထောင်စဉ်မှသည် ဂီတလွှင့်ဝန်ဆောင်မှုလုပ်ငန်းကြီးများအနက် တစ်ခုဖြစ်လာသည်အထိ ကြီးမားလာသည်။ ဆောင်းကလောက်၌ အခမဲ့နှင့် အသင်းဝင်ကြေးပေးသုံးသည်ဟူ၍ ဝန်ဆောင်မှု ၂ စားရှိပြီး နှစ်ခုလုံးကို စားပွဲတင်ကွန်ပျူတာ၌လည်းကောင်း၊ မိုဘိုင်းပစ္စည်းများ၌လည်းကောင်း သုံးနိုင်သည်။ ဂီတလောကသို့ ခြေလှမ်းစလိုသော အဆိုတော်သစ်များသည် ပရိသတ်အား ဤစင်္ကြန်မှ မိတ်ဆက်လေ့ရှိသဖြင့် စောင်းကလောက်သည် တေးဂီတနယ်ပယ်၌ ဩဇာကြီးသည်။ [[တွစ်တာ]]ကဲ့သို့ အခြားဆိုရှယ်မီဒီယာက နည်းပညာအထောက်အပံ့၊ ရင်းနှီးမြှုပ်နှံသူတို့က ငွေကြေးအကူအညီများဖြင့် ပံ့ပိုးလျက်ရှိသည်။ သို့သော် ငွေအရင်းတည်ရာ၌ အဆင်မပြေသည့်အတွက် အမြတ်မှန်စေရန် မအောင်မြင်သော တေးသံလွှင့်စင်္ကြန်ကို ဖြုတ်ကာ ဝန်ထမ်းအများကို ထုတ်ရဖူးသည်။ ==ကိုးကား== {{Reflist}} [[Category:ဂီတ ရှာဖွေရေး အင်ဂျင်များ]] {{Website-stub}} 0pvvl0rr6405ycnzowr2qsfnsdav6h0 0 207687 1060978 1049474 2026-11-01T08:43:54Z Mkant00 135890 1060978 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]] (Mathematics) နှင့် [[ရူပဗေဒ]] (Physics) တို့တွင် ဗက်တာ (Vector) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်]] (Element) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပေးထားသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) သို့မဟုတ် [[အစားကွင်း]] (Division ring) <math>k</math> တစ်ခုအတွက် <math>k</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဗက်တာရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Vector_Spaces)|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of vector spaces over k) တွင် ပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Ring) <math>k</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (Module) တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) ဖွင့်ဆိုထားသည်။ ၎င်းကို <math>\text{Vect}_k</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံအတွင်း ဗက်တာများသည် <math>k</math> ၏ အစုဝင်များနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (Scalar multiplication) ပြုလုပ်ကြသည်။ ထို <math>k</math> ၏ အစုဝင်များကို [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပေါင်း (Addition) တွက်ချက်မှုအရ ဗက်တာများသည် အခြေခံ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ၎င်းအုပ်စု၏ ထပ်တူရအစုဝင် (Identity element) သည် သုညဗက်တာ (Zero vector) ဖြစ်သည်။ ၎င်းဗက်တာကို <math>0 \in V</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ တူညီသော သင်္ကေတကို အသုံးပြုသော်လည်း ဤဗက်တာသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အပေါင်းဆိုင်ရာထပ်တူရ ဖြစ်ပြီး အောက်ခြေဖီးလ်ဒ် ၏ သုညအစုဝင် <math>0 \in k</math> နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခန်းကဏ္ဍအားဖြင့် ကွဲပြားခြားနားသည်။ အကယ်၍ <math>V = k</math> ဖြစ်ပါက အဆိုပါ အစုဝင်နှစ်ခုသည် အမှန်တကယ် ထပ်တူကျနိုင်သည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ လားရာပြ မျဉ်းပိုင်းများအပြင် သရုပ်မဲ့ (Abstract) ဗက်တာများသည် ကွဲပြားခြားနားသော ဖြစ်စဉ်များကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထင်ရှားသော နမူနာပုံစံများတွင် ထိမျဉ်းဗက်တာများ (Tangent vectors) ပါဝင်သည်။ လုံလောက်စွာ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (Differentiable) ရပ်ဝန်း (Space) <math>X</math> ၏ [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (Tangent bundle) <math>TX \to X</math> တစ်ခုကို ပေးထားလျှင် ထိမျဉ်းဗက်တာတစ်ခုသည် အမှတ် <math>x \in X</math> အထက်ရှိ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ဖိုက်ဘာ_(Fiber)|ဖိုက်ဘာ]] (Fiber) ၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>X</math> အတွင်းရှိ <math>x</math> မှ ထွက်ပေါ်လာသော အလွန်သေးငယ်လွန်းသော မျဉ်းကွေးများ၏ စုစည်းမှုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Representation) ပြုလုပ်သည်။ အလားတူပင် ရူပဗေဒတွင် လှိုင်းဗက်တာ (Wave vector) သည် ပြင်ညီလှိုင်း (Plane wave) တစ်ခု၏ လှိုင်းအလျား (Wavelength) နှင့် ဖြန့်ကြက်သွားရာ လားရာတို့ကို သတ်မှတ်ပေးသော ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ကိုဩဒိနိတ် ဗက်တာများနှင့် အခြေအစုများ (Coordinate Vectors and Bases) == [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တစ်ခုအတွက် အခြေအစု (Basis) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ထားပါက <math>V</math> ရှိ [[အစုဝင်]] <math>v</math> ကို ကိုဩဒိနိတ် (Coordinate) များပါဝင်သော <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာ (Column vector) တစ်ခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>p(x)</math> သည် ဒီဂရီ (Degree) <math>n \ge 1</math> ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>F[x]/(p(x))</math> ဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) တစ်ခုတွင် <math>1, x, x^2, \dots, x^{n-1}</math> တို့၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ဗက်တာများ ဖြစ်ကြသည်။ အဆိုပါ စားလဒ်ကွင်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>p(x)</math> သည် <math>F</math> အပေါ်တွင် ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းဗက်တာများသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအနေဖြင့် အဆိုပါ စားလဒ် (Quotient) အတွက် အခြေအစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် မည်သည့် ဗက်တာ <math>n + 1</math> ခုပါဝင်သော အစုမဆို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုရှိသော (Linearly dependent) ဗက်တာများ ဖြစ်ကြသည်မှာ သေချာသည်။ == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများ (Eigenvectors) == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး (Eigenvalue) <math>\lambda</math> ပါရှိသော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ (Matrix) <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာ (Eigenvector) <math>v</math> သည် သုညမဟုတ်သော <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) <math>T</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတစ်ခုအဖြစ်လည်း ဆိုနိုင်သည်။ ယင်းဗက်တာသည် <math>Av = \lambda v</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> အတွင်း၌ ၎င်းသည် သုညမဟုတ်သော ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ဗက်တာများအားလုံး၏ [[အစု]] သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (Vector subspace) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤအစုတွင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> အတွက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများအားလုံးအပြင် သုညဗက်တာပါ ပါဝင်သည်။ ထိုရပ်ဝန်းပိုင်းကို ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးရပ်ဝန်း (Eigenspace) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း တစ်ခုတွင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာများ လုံးဝ မရှိခြင်းမျိုးလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (Infinite-dimensional) [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (Real vector space) <math>\mathbb{R}^\infty</math> အပေါ်ရှိ တိကျသော နေရာရွှေ့ ပုံဖော်မှု (Shift map) တစ်ခုတွင် <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစေသော သုညမဟုတ်သည့် ဗက်တာ မရှိပါ။ == အုပ်စု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများရှိ ဗက်တာများ (Vectors in Group Representations) == <math>e_1, e_2, \dots, e_n</math> ကို အခြေအစုအဖြစ် ပါရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခုအပေါ် သက်ရောက်သည့် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Symmetric group) <math>S_n</math> ၏ ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Permutation representation) တစ်ခုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားနိုင်သည်။ ထိုအခါ သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာ <math>v = e_1 + e_2 + \dots + e_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်း (Permutation) တိုင်း၏ သက်ရောက်မှုအောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ အထိုင်ဖြစ်နေသည်။ ဤဗက်တာတွင် ကိုဩဒိနိတ်များအားလုံး ညီမျှကြသည်။ ၎င်းဗက်တာသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ရှိသော <math>S_n</math>-တည်ငြိမ်သည့် ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုကို မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ ၎င်း ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ရပ်ဝန်းတူညီမှုတွင် ကိုဩဒိနိတ်များ၏ ပေါင်းလဒ် သုညဖြစ်သော ဗက်တာများအားလုံး၏ [[အစု]]သည် အတိုင်းအတာ <math>n-1</math> ရှိသော မပြောင်းလဲသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (Invariant subspace) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထိုဗက်တာများကို <math>\sum a_i = 0</math> ဖြစ်သည့် <math>a_1e_1 + \dots + a_ne_n</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းပိုင်းကို ဖြည့်စွက် မော်ဂျူးပိုင်း (Augmentation submodule) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများရှိ ဗက်တာများ (Vectors in Differential Equations) == ပထမအဆင့် တစ်ပြေးညီ မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ (homogeneous linear differential equations) စနစ်တစ်ခုကို <math>y' = Ay</math> အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>y</math> သည် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (Functions) <math>y_1(t), \dots, y_n(t)</math> ပါဝင်သော ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်းစနစ် <math>y' = Ay</math> အတွက် အဖြေများဖြစ်ကြသော ဗက်တာ <math>y</math> များ၏ [[အစု]]သည် အောက်ခြေ [[ဖီးလ်ဒ်]]အပေါ်အခြေခံသည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အခြေခံ ကိန်းအုံ (Fundamental matrix) တစ်ခု၏ ဒေါင်လိုက်တန်းများသည် ဤအဖြေများပါဝင်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းအတွက် အခြေအစုတစ်ခုအနေဖြင့် ဆောင်ရွက်ကြသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=tangent vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/tangent+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=wave vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/wave+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] s3yxw3qq7qr601khtedq7zyiyua0i01 0 208620 1060965 720714 2026-11-01T05:10:05Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060965 wikitext text/x-wiki {{for|မိုက်ခရိုနီးရှား ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များ|မိုက်ခရိုနီးရှားနိုင်ငံ}} {{distinguish|ဖက်ဒရေးရှင်း}} [[File:Map of unitary and federal states.svg|thumb|upright=1.7|အစိမ်းရောင်ခြယ်နိုင်ငံများသည် ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များပါဝင်သည့် ဖက်ဒရယ်နိုင်ငံများဖြစ်သည်။]] '''ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်''' ({{lang-en|Federated State}}၊ ရည်ညွှန်းသည့်အခေါ်အဝေါ်များ: state၊ province၊ region၊ canton၊ land၊ governorate၊ oblast၊ emirate သို့မဟုတ် country) ဆိုသည်မှာ [[ဖက်ဒရယ်စနစ်]]ကို ကျင့်သုံးသော နိုင်ငံများ ([[ဖက်ဒရေးရှင်းများ]]) ကို နယ်မြေအရသော်လည်းကောင်း၊ [[ဖွဲ့စည်းအုပ်ချုပ်ပုံအခြေခံဥပဒေ]]အရသော်လည်းကောင်း ဖွဲ့စည်းထားသည့် ပြည်နယ်မျိုးဖြစ်သည်။<ref>''The Australian National Dictionary: Fourth Edition'', pg 1395. (2004) Canberra. {{ISBN|978-0-19-551771-2}}.</ref> ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များသည် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ရေးရှိသော်လည်း အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်အဖြစ် သတ်မှတ်၍မရနိုင်ပေ။ ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ဖက်ဒရယ်ပြည်ထောင်စုနိုင်ငံကိုသာ [[အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်နိုင်ငံ]]အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။<ref>Crawford, J. (2006). The Creation of States in International Law. Oxford, Clarendon Press.</ref> ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များတွင် ကိုယ်ပိုင်ဥပဒေပြုရေး၊ ကိုယ်ပိုင်တရားစီရင်ရေး စသည်တို့ရှိသည်။ ဖက်ဒရယ်နိုင်ငံများသည် လွတ်လပ်သည့်နယ်မြေများ သို့မဟုတ် ကိုလိုနီကဲ့သို့ "Dependent territory" ခေါ် [[မှီခိုနယ်မြေ]]များ (သာဓက– [[အမေရိကန်နိုင်ငံ]]နှင့် [[ဩစတြေးလျနိုင်ငံ]]) မှဖွဲ့စည်းခြင်းဖြင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ သို့တည်းမဟုတ်လျှင် [[ပြည်ထောင်စုစနစ်|ပြည်ထောင်စုနိုင်ငံ]]များ၏ အုပ်ချုပ်ရေးဒေသများကို ပြန်လည်ဖွဲ့စည်းခြင်းမှ ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ဖက်ဒရယ်နိုင်ငံတွင် ဖက်ဒရယ်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေအရ နိုင်ငံတော်အာဏာကို ဗဟိုဖက်ဒရယ်အစိုးရနှင့် ပြည်နယ်များအကြားခွဲဝေရသည်။ သို့ဖြစ်ရာ ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များသည် ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ရေးကို အတိုင်းအတာတစ်ခုအထိရရှိသည်။ ဖက်ဒရယ်ပြည်နယ်များသည် ပြည်နယ်ဖွဲ့စည်းပုံအခြေခံဥပဒေကို ပြဋ္ဌာန်းနိုင်သည်။ ပြည်နယ်၏ဥပဒေပြုရေးကို ဗဟိုအစိုးရမှ[[ဗီတို]]အာဏာဖြင့် ကန့်ကွက်ခြင်းမျိုးလည်းမရှိပေ။ ပြည်နယ်အစိုးရနှင့် ဗဟိုအစိုးရအကြား ဆက်ဆံရေးဆိုင်ရာ ဥပဒေများကို နှစ်ဖက်လုံးမှ ဆွေးနွှေးတိုင်ပင်ပြီး ပြောင်းလဲပြင်ဆင်နိုင်သည်။ ==အခေါ်အဝေါ်ကွဲပြားပုံ== [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား]]တွင် [[အစိုးရ]]အဖွဲ့ဝင်များကို ခေါ်ဆိုရာတွင် ပြည်နယ်နှင့်နိုင်ငံတော်အဆင့်အလိုက် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဤဇယားသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ခေါ်ဆို‌လေ့ရှိသော အခေါ်အဝေါ်များဖြစ်သည်။ {| class="wikitable" style="width:40%;" ! style="width:15%;"| အခေါ်အဝေါ် !! style="width:22%;"| နိုင်ငံတော်အဆင့် !! style="width:20%;"| ပြည်နယ်အဆင့် |- | colspan=3 | '''[[နိုင်ငံတော်၏ ခေါင်းဆောင်|နိုင်ငံခေါင်းဆောင်]]''' (Head of State) |- | style="vertical-align: top" | သမ္မတနိုင်ငံခေါင်းဆောင် | President | Governor |- | style="vertical-align: top" | သမ္မတနိုင်ငံခေါင်းဆောင် (ဒုတိယ‌) | Vice President | Lieutenant Governor |- | style="vertical-align: top" | [[ဘုရင်]] | Queen / King | Queen / King |- | style="vertical-align: top" | ဘုရင် (ကိုယ်စား) | Governor General | Governor / Lieutenant Governor |- | colspan=3 | '''[[အစိုးရ]]အဖွဲ့''' (Executive branch) |- | rowspan="3" |[[အစိုးရအဖွဲ့၏ ခေါင်းဆောင်|အစိုးရခေါင်းဆောင်]] | rowspan="3" |Prime Minister / Chancellor |Premier |- | Chief Minister |- | Minister President |- | rowspan=3 style="vertical-align: top" | ဝန်ကြီးဌာနခေါင်းဆောင် | rowspan=3 | Minister / Secretary | Minister / Secretary |- | Commissioner |- | Superintendent |- | rowspan=4 style="vertical-align: top" | အစိုးရအဖွဲ့ | Cabinet | Cabinet |- | Privy Council | Executive Council |- | Federal Government / Union Government | State Government |- | Council of Ministers | Board of Ministers / Council of Ministers |- | colspan=3 | '''ဥပဒေပြုရေး''' (Legislative branch) |- | rowspan="3" |ဥပဒေပြုယန္တရား | Parliament | Legislature |- |Congress |State Council |- | National Assembly | General Assembly |- | style="vertical-align: top" | [[အထက်လွှတ်တော်]] | Council of States/ Senate | Legislative Council |- | rowspan=3 style="vertical-align: top" | [[အောက်လွှတ်တော်]] | House of Representatives | Legislative Assembly |- | Chamber of Deputies | Landtag |- | National Assembly | House of Assembly |- | colspan=3 | '''တရားစီရင်ရေး''' (Judicial branch) |- | rowspan=2 style="vertical-align: top" | အမြင့်ဆုံးတရားရုံး | rowspan=2 | Supreme Court | High Court |- | Court of Final Appeal |} ==ပြည်နယ်အလိုက်ဖက်ဒရယ်နိုင်ငံများစာရင်း== {{further|ဖက်ဒရယ်ခရိုင်|ဖက်ဒရယ်နယ်မြေ}} * {{flag|Argentina}}<ref name="sbswg2008">{{cite book | last = Daniel | first = Kate |author2=Special Broadcasting Service Corporation |author2-link=Special Broadcasting Service Corporation | title = SBS World Guide: The Complete Fact File on Every Country, 16th ed. | publisher = Hardie Grant Books | year = 2008 | location = Prahran, Victoria, Australia | page = 827 | url = https://books.google.com/books?id=wU1LMAAACAAJ&q=SBS+World+Guide:+The+Complete+Fact+File+On+Every+Country | id = p26 | isbn = 978-1-74066-648-0}}</ref> – စီရင်စု ၂၃ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရမြို့ ၁ မြို့ * {{flag|Australia}}<ref>SBS World Guide 2008, p38</ref> – ပြည်နယ် ၆ ခု၊ အတွင်းနယ်မြေ ၃ ခု၊ အပြင်နယ်မြေ ၇ ခု * {{flag|Austria}}<ref>SBS World Guide 2008, p46</ref> – ပြည်နယ် ၉ ခု * {{flag|Belgium}}<ref>SBS World Guide 2008, p74</ref> – တိုင်းဒေသကြီး ၃ ခု * {{flag|Bosnia and Herzegovina}} – ဒေသ (entity) ၂ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ ၁ ခု (နိုင်ငံတော်သည် ပြည်နယ် ၁၀ ခုကို ပေါင်းစည်းထားခြင်းဖြစ်သည်<ref>{{cite web |title=Decision of the Constitutional Court of the Federation of Bosnia and Herzegovina on Canton 10 |url=http://www.ustavnisudfbih.ba/hr/open_page_nw.php?l=hr&pid=158 |publisher=Constitutional Court of the Federation of Bosnia and Herzegovina |access-date=3 February 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200731121839/http://www.ustavnisudfbih.ba/hr/open_page_nw.php?l=hr&pid=158 |archive-date=31 July 2020 |url-status=dead}}</ref>) * {{flag|Brazil}}<ref>SBS World Guide 2008, p101</ref> – ပြည်နယ် ၂၆ ခု၊ ဖက်ဒရယ်ခရိုင် ၁ ခု၊ မြူနီစပယ်ဒေသပေါင်း ၅၅၆၈ ခု * {{flag|Canada}}<ref>SBS World Guide 2008, p132</ref> – [[ကနေဒါနိုင်ငံရှိ ပြည်နယ်များနှင့် နယ်မြေများ|စီရင်စု ၁၀ ခု]]၊ နယ်မြေ ၂ ခု * {{flag|Comoros}} – ကျွန်း ၃ ခု * {{flag|Ethiopia}}<ref>SBS World Guide 2008, p239</ref> – တိုင်းဒေသကြီး ၁၀ ခု၊ မြို့ ၂ မြို့ * {{flag|Germany}}<ref>SBS World Guide 2008, p275</ref> – "Bundesland" ခေါ် ပြည်နယ် ၁၆ ခု * {{flag|India}}<ref>SBS World Guide 2008, p328</ref> – [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ၏ အုပ်ချုပ်ရေးနယ်မြေများ|ပြည်နယ် ၂၈ ခု]]၊ ပြည်ထောင်စုနယ်မြေ ၈ ခု * {{flag|Iraq}}<ref>SBS World Guide 2008, p346</ref> – ပြည်နယ် ၁၉ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရဒေသ ၁ ခု * {{flag|Malaysia}}<ref>SBS World Guide 2008, p460</ref> – ပြည်နယ် ၁၃ ခု၊ ဖက်ဒရယ်နယ်မြေ ၃ ခု * {{flag|Mexico}}<ref>SBS World Guide 2008, p481</ref> – ပြည်နယ် ၃၁ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရမြို့ ၁ မြို့ * {{flag|Federated States of Micronesia}}<ref>SBS World Guide 2008, p486</ref> – ပြည်နယ် ၄ ခု * {{flag|Nepal}} – စီရင်စု ၇ ခု * {{flag|Nigeria}}<ref>SBS World Guide 2008, p537</ref> – ပြည်နယ် ၃၆ ခု၊ ဖက်ဒရယ်နယ်မြေ ၁ ခု * {{flag|Pakistan}}<ref>SBS World Guide 2008, p549</ref> – စီရင်စု ၄ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရနယ်မြေ ၂ ခု * {{flag|Russia}}<ref>SBS World Guide 2008, p600</ref><ref>{{cite web| url=http://www.constitution.ru/en/10003000-04.htm| title=Chapter 3. The Federal Structure: Article 65| work=The Constitution of the Russian Federation}}</ref> – "Oblast" ခေါ် ပြည်နယ် ၃၆ ခု၊ သမ္မတပြည်နယ် (Republic) ၂၂ ခု၊ Krais ၉ ခု၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရ okrug ၄ ခု၊ ဖက်ဒရယ်မြို့ ၃ မြို့၊ ကိုယ်ပိုင်အုပ်ချုပ်ခွင့်ရ ပြည်နယ် ၁ ခု * {{flag|Saint Kitts and Nevis}} – ကျွန်း ၂ ကျွန်း (စိန့်ကစ်ကျွန်း၌ parish ၉ ခု၊ နီဗီစ်ကျွန်း၌ parish ၅ ခု) * {{flag|Somalia}}<ref name="FRSom">{{cite web|title=The Federal Republic of Somalia - Harmonized Draft Constitution|url=http://dastuurkeenna.com/wp-content/uploads/2012/07/120708-Harmonized-Draft-Constitution-Eng-Tran-_incl-errata-changes.pdf|publisher=Federal Republic of Somalia|access-date=2 August 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20130120021519/http://dastuurkeenna.com/wp-content/uploads/2012/07/120708-Harmonized-Draft-Constitution-Eng-Tran-_incl-errata-changes.pdf|archive-date=20 January 2013|url-status=dead|accessdate=27 July 2021|archivedate=26 December 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20181226124416/http://dastuurkeenna.com/}}</ref><ref name="Gttsdpc">{{cite web|title=Guidebook to the Somali Draft Provisional Constitution|url=http://unpos.unmissions.org/LinkClick.aspx?fileticket=v067edqd7a8%3D&tabid=9705&language=en-US|access-date=2 August 2012|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20130120021547/http://unpos.unmissions.org/LinkClick.aspx?fileticket=v067edqd7a8%3D&tabid=9705&language=en-US|archive-date=20 January 2013|accessdate=27 July 2021|archivedate=14 August 2013|archiveurl=https://www.webcitation.org/6Irrm56u6?url=http://unpos.unmissions.org/LinkClick.aspx?fileticket=v067edqd7a8=&tabid=9705&language=en-US}}</ref> – ပြည်နယ် ၆ ခု * {{flag|South Sudan}} – ပြည်နယ် ၁၀ ခု၊ အုပ်ချုပ်မှုဧရိယာ ၃ ခု * {{flag|Sudan}}<ref>SBS World Guide 2008, p687</ref> – ပြည်နယ် ၁၈ ခု၊ special administrative status area ၁ ခု * {{flag|Switzerland}}<ref>SBS World Guide 2008, p700</ref> – "Canton" ခေါ် ပြည်နယ် ၂၆ ခု * {{flag|United Arab Emirates}}<ref>SBS World Guide 2008, p760</ref> – "Emirate" ခေါ် ပြည်နယ် ၇ ခု * {{flag|United States}}<ref>SBS World Guide 2008, p774</ref> – ပြည်နယ် ၅၀ ခု၊ [[ဝါရှင်တန်ဒီစီ|ဖက်ဒရယ်ခရိုင် ၁ ခု]]၊ မထည့်သွင်းရသေးသည့် နယ်မြေ ၁၃ ခု၊ ထည့်သွင်းပြီးနယ်မြေ ၁ ခု * {{flag|Venezuela}}<ref>SBS World Guide 2008, p798</ref> – ပြည်နယ် ၂၈ ခု၊ မြို့တော်ခရိုင် ၁ ခု၊ ဖက်ဒရယ်မှခိုနယ်မြေ ၁ ခု ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ: ဖက်ဒရယ်ပြည်ထောင်စုစနစ်]] nczk06jd0wfcoogcjgj0inztqrsve4m 0 209381 1060932 753559 2026-10-31T23:59:41Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060932 wikitext text/x-wiki '''ခိုဂျိခိ'''(古事記; ကိုဆာကီ)သည် ဂျပန်ရာဇဝင်မှတ်တမ်းစာအုပ် တစ်အုပ်ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |title=World Religions At Your Fingertips |first1=Michael |last1=McDowell |first2=Nathan Robert |last2=Brown |publisher=Penguin |year=2009 |isbn=978-1101014691 |url=https://books.google.com/books?id=urcyCnUurGMC&q=%22furukotofumi%22&pg=PA190}}</ref><ref>{{cite book|title=スーパー大辞林|trans-title=Super [[Daijirin]]}}</ref><ref>[[Jaroslav Průšek]] and Zbigniew Słupski, eds., Dictionary of Oriental Literatures: East Asia (Charles Tuttle, 1978): 140-141.</ref> ဤစာအုပ်တွင် ရာဇဝင်၊ သီချင်း၊ ပါးစပ်ပုံပြင်များနှင့် အခြားသမိုင်းမှတ်တမ်းဆိုင်ရာများ ပါဝင်ကြသည်။ <ref>{{cite book |title=World Religions At Your Fingertips |first1=Michael |last1=McDowell |first2=Nathan Robert |last2=Brown |publisher=Penguin |year=2009 |isbn=978-1101014691 |url=https://books.google.com/books?id=urcyCnUurGMC&q=%22furukotofumi%22&pg=PA190}}</ref><ref>{{cite book|title=スーパー大辞林|trans-title=Super [[Daijirin]]}}</ref><ref>[[Jaroslav Průšek]] and Zbigniew Słupski, eds., Dictionary of Oriental Literatures: East Asia (Charles Tuttle, 1978): 140-141.</ref> ==ပြင်ပလင့်များ== *{{cite wikisource |title=古事記 |wslanguage=zh |trans-title=Kojiki}} Original Text of the Kojiki. * {{in lang|en}} Chamberlain's translation of ''Kojiki'': ** [http://www.sacred-texts.com/shi/kj/index.htm full text at the Internet Sacred Text Archive] ** [https://archive.org/stream/sacredbooksearly13hornuoft#page/9 scan from ''The sacred books and early literature of the East'', edited by Charles Horne] * {{in lang|en}} [http://k-amc.kokugakuin.ac.jp/DM/dbTop.do?class_name=col_eos ''Encyclopedia of Shinto''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201212092212/http://k-amc.kokugakuin.ac.jp/DM/dbTop.do?class_name=col_eos |date=12 December 2020 }}　Kokugakuin University * {{in lang|en}} [http://k-amc.kokugakuin.ac.jp/DM/dbTop.do?class_name=col_bts Basic Terms of Shinto] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201124064431/http://k-amc.kokugakuin.ac.jp/DM/dbTop.do?class_name=col_bts |date=24 November 2020 }}　Kokugakuin University * {{in lang|ja}} [http://www.ceres.dti.ne.jp/~alex-x/wakan/menu-w.html Online original text of the ''Kojiki'' and other texts] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/19991010234043/http://www.ceres.dti.ne.jp/~alex-x/wakan/menu-w.html |date=10 October 1999 }} * {{in lang|ja}} [[Waseda University]] Library: [https://web.archive.org/web/20081203111225/http://archive.wul.waseda.ac.jp/kosho/ri05/ri05_04868/ 1644 manuscript, three volumes] ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံ၏ သမိုင်း]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်ဒဏ္ဍာရီ]] ex599ncd31xprpmj20qgihs0015j6ck 0 232838 1061000 1039704 2026-11-01T10:24:41Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1061000 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Blue Linckia Starfish.JPG|thumb|သန္တာကျောက်တန်းတစ်ခု၏ ဇီဝမျိုးစုံမျိုးကွဲများ]] '''သန္တာကျောက်တန်း''' ဆိုသည်မှာ [[သန္တာ]]ကောင်လေးများဖြင့် ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ထားသည့် ကျောက်ဆောင် ကျောက်တန်းကဲ့သို့ သွင်ပြင်လက္ခဏာရှိနေသော ရေအောက် [[ဂေဟစနစ်]]တစ်ခုပင်ဖြစ်သည်။ သန္တာကျောက်တန်းများသည် ကယ်လ်စီယမ်ကာဗွန်နိတ်ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော [[သန္တာ]]ကောင် အသိုက်အုံများစွာ၏ ဖွဲ့စည်းဖြစ်တည်နေမှုပင် ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://coral.org/en/coral-reefs-101/how-reefs-are-made/|title=How Reefs Are Made|date=2021|website=Coral Reef Alliance|url-status=live|accessdate=19 April 2022|archiveurl=https://web.archive.org/web/20211030053454/https://coral.org/en/coral-reefs-101/how-reefs-are-made/|archivedate=3 November 2021}}</ref> သန္တာကျောက်တန်းအများစုသည် ကျောက်သား သန္တာမျိုး၏ အကောင်ငယ်လေးများ အုပ်စုလိုက် စုပုံကြခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းဖြစ်တည်နေခြင်းဖြစ်သည်။ သန္တာသည် [[ပင်လယ် အနီမိုနီ]]နှင့် [[ပင်လယ်ရေခူ]]များနှင့်အတူ မျိုးပေါင်းစု [[:en:Cnidaria|Cnidaria]] ထဲ၌ ပါဝင်သော မျိုးပေါင်း [[ပင်လယ်မှိုကောင်|Anthozoa]] နှင့်သက်ဆိုင်သည့် သတ္တဝါတစ်မျိုးဖြစ်သည်။ ပင်လယ် အနီမိုနီများနှင့်မတူဘဲ သန္တာကောင်များသည် သန္တာကျောက်တန်းများကို ထောက်ပံ့ကာကွယ်ရန် မာကျောသော ကာဗွန်နိတ် ပြင်ပအခွံမာများ ထုတ်ပေးနိုင်စွမ်းရှိကြ၏။ သန္တာကျောက်တန်းအများစုသည် ပူနွေး၍ ရေတိမ်ကာ ကြည်လင်​ပြီး နေရောင်တဖိတ်ဖိတ် ရောင်ပြန်ဟပ်နေသော ရေတွင် အကောင်းဆုံး ပေါက်ဖွားရှင်သန်ကြသည်။ သန္တာကျောက်တန်းများသည် လွန်ခဲ့သောနှစ်ပေါင်း ၄၈၅ သန်းခန့်က စတင်ပေါ်ပေါက်လာပြီး ကန်ဘရီရံ(Cambrian) ၏ အဏုဇီဝပိုးမွှားများနှင့် [[စပန်းရေမြှုပ်|ရေမြှုပ်]] သန္တာကျောက်တန်းများ နေရာသို့ အစားထိုးဝင်ရောက်မှုဖြစ်ခဲ့သည့် Ordovician စတင်ချိန်ကာလမှ ရုပ်ကြွင်းများ၌ အစောဆုံးသက်တမ်းအနေဖြင့် တွေ့ရှိရသည်။<ref>{{Cite journal|title=The middle–late Cambrian reef transition and related geological events: A review and new view|journal=Earth-Science Reviews|date=1 June 2015|volume=145|pages=66–84|doi=10.1016/j.earscirev.2015.03.002|bibcode=2015ESRv..145...66L|issn=0012-8252}}</ref>   == ကိုးကား == {{Reflist}} == နောက်ထပ် ကိုကားချက်များ == * [http://water.epa.gov/type/oceb/habitat/coral_index.cfm သန္တာကျောက်တန်းများကာကွယ်ခြင်း- သန္တာကျောက်တန်းများဆိုသည်မှာ အဘယ်နည်း။]{{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151026043543/http://water.epa.gov/type/oceb/habitat/coral_index.cfm |date=26 October 2015 }} . US EPA * [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html UNEP ၂၀၀၄။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123729/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html တောင်တရုတ်ပင်လယ်ရှိ သန္တာကျောက်တန်းများ။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123729/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html UNEP/GEF/SCS နည်းပညာဆိုင်ရာ ထုတ်ဝေမှု အမှတ် ၂။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123729/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/13_-_Habitat_Booklets/UNEP_or_GEF_Review_of_Coral_Reefs_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} * [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html UNEP ၂၀၀၇။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123724/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html တောင်တရုတ်ပင်လယ်ရှိ သန္တာကျောက်တန်းများ ဆန္ဒပြပွဲများ။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123724/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html UNEP/GEF/SCS နည်းပညာဆိုင်ရာ ထုတ်ဝေမှု အမှတ် ၅။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123724/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_05_-_Coral_Reef_Demonstration_Sites_in_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} * [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html UNEP၊ ၂၀၀၇။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123734/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html တောင်တရုတ်ပင်လယ်ကမ်းရိုးတန်းရှိ သန္တာကျောက်တန်းများဆိုင်ရာ အမျိုးသားအဆင့် အစီရင်ခံစာများ။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123734/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} [http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html UNEP/GEF/SCS နည်းပညာဆိုင်ရာ ထုတ်ဝေမှု အမှတ် ၁၁။] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123734/http://www.unepscs.org/SCS_Documents/Download/19_-_Technical_Publications_and_Guidelines/Technical_Publication_11_-_National_Reports_on_Coral_Reefs_in_the_Coastal_Waters_of_the_South_China_Sea.html |date=26 September 2022 }} == ပြင်ပလင့်များ ==   {{Commons category|Coral reefs|သန္တာကျောက်တန်းများ}} {{EB1911 poster|Coral-reefs|သန္တာ-ကျောက်တန်းများ}} * {{cite web|title=Coral Reef Factsheet|url=http://waittinstitute.org/coralreef/|publisher=Waitt Institute|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150609024654/http://waittinstitute.org/coralreef/|archivedate=June 9, 2015|accessdate=June 8, 2015|url-status=dead}} * [http://ocean.si.edu/corals-and-coral-reefs Corals and Coral Reefs] overview at the Smithsonian Ocean Portal * [http://coral.aims.gov.au/info/about.jsp About Corals] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131226001625/http://coral.aims.gov.au/info/about.jsp|date=26 December 2013}} ''Australian Institute of Marine Science''. * [http://www.icriforum.org International Coral Reef Initiative] * [http://mcr.lternet.edu Moorea Coral Reef Long Term Ecological Research Site (US NSF)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130328021243/http://mcr.lternet.edu/ |date=28 March 2013 }} * [http://www.coralcoe.org.au ARC Centre of Excellence for Coral Reef Studies] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070203101818/http://www.coralcoe.org.au/ |date=3 February 2007 }} * [http://coral.aoml.noaa.gov/mailman/listinfo/coral-list/ NOAA's Coral-List Listserver for Coral Reef Information and News] * [http://www.coralreef.noaa.gov/ NOAA's Coral Reef Conservation Program] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120920205339/http://coralreef.noaa.gov/ |date=20 September 2012 }} * [https://web.archive.org/web/20120925221355/http://coris.noaa.gov/ NOAA's Coral Reef Information System] * [http://www.reefbase.org/ ReefBase: A Global Information System on Coral Reefs] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120831082206/http://www.reefbase.org/ |date=31 August 2012 }} * [http://www.nova.edu/ncri/ National Coral Reef Institute] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121023012451/http://www.nova.edu/ncri/|date=October 23, 2012}} Nova Southeastern University * [http://www.aquariumcouncil.org Marine Aquarium Council] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130724124203/http://www.aquariumcouncil.org/ |date=24 July 2013 }} * [https://web.archive.org/web/20180127002919/http://ncore.rsmas.miami.edu/ NCORE National Center for Coral Reef Research] University of Miami * [http://www.unepscs.org/index.php?option=com_content&task=view&id=51&Itemid=83 Science and Management of Coral Reefs in the South China Sea and Gulf of Thailand] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121103193456/http://www.unepscs.org/index.php?option=com_content&task=view&id=51&Itemid=83 |date=3 November 2012 }} * [http://www.stanford.edu/group/microdocs/ Microdocs] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727042839/http://www.stanford.edu/group/microdocs/|date=27 July 2011}}: [http://www.stanford.edu/group/microdocs/typesofreefs.html 4 kinds of Reef] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121024014723/http://www.stanford.edu/group/microdocs/typesofreefs.html|date=24 October 2012}} & [http://www.stanford.edu/group/microdocs/reefstructure.html Reef structure] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121024014829/http://www.stanford.edu/group/microdocs/reefstructure.html|date=24 October 2012}} * [http://reefrelief.org/ Reef Relief] Active Florida environmental non-profit focusing on coral reef education and protection * [http://globalreefrecord.org/home_scientific Global Reef Record] – Catlin Seaview Survey of reef, a database of images and other information * "[https://web.archive.org/web/20131029223033/http://www.ibiology.org/ibioseminars/evolution-ecology/nancy-knowlton-part-1.html Corals and Coral Reefs]" (archived). Nancy Knowlton, ''iBioSeminars'', 2011. * [https://www.ibiology.org/ecology/coral-reefs/ Nancy Knowlton's Seminar: "Corals and Coral Reefs] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220926123727/https://www.ibiology.org/ecology/coral-reefs/ |date=26 September 2022 }}". Nancy Knowlton, ''iBioSeminars'', 2011. * [http://www.livingreefs.org/#!coral-services/c248p/ About coral reefs] Living Reefs Foundation, Bermuda * [https://web.archive.org/web/20150111013808/http://cmsdata.iucn.org/downloads/caribbean_coral_reefs___status_report_1970_2012.pdf Caribbean Coral Reefs - Status Report 1970-2012]'' by the [[နိုင်ငံတကာ သဘာဝထိန်းသိမ်းစောင့်ရှောက်ရေး အသင်း|IUCN]]. - {{YouTube|k9aWMIexrcs}}, featuring the report.'' {{Authority control}} [[ကဏ္ဍ:ဂေဟစနစ်များ]] [[ကဏ္ဍ:တိရစ္ဆာန် ထုတ်ကုန်များ]] [[ကဏ္ဍ:သန္တာကျောက်တန်းများ]] aqd27cd4jhy774vmc515ovs62h2yr3v 0 247617 1060873 1048787 2026-10-31T14:03:40Z Mkant00 135890 1060873 wikitext text/x-wiki [[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။]] {{Short description|အနုတ်ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း}} {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည်<br/> စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။ |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>\ i^{-2} = -1\phantom{i}</math> |- |<math>\ i^{-1} = -i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{0}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{1}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{2}\ = -1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{3}\ = -i\phantom1</math> |- |<math>\ \ i^{4}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |<math>\ \ i^{5}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>i</math> သည် ၄ ကြိမ်မြောက်<br/> ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ |} ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) <math>i</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5i</math> သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) <math>z</math> တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) <math>\Re(z)</math> သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ <math>\bar{z} = -z</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။ ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ <math>2 + 3i</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် <math>2 + 3i</math> ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>René Descartes, ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380.</ref> ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]][[ဖီးလ်ဒ်]]အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation) == [[File:Gaußsche Zahlenebene.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။]] ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။ ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် <math>i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ <math>-i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် <math>b</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း <math>b</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ <math>b < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး <math>|b|</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i) == ညီမျှခြင်း <math>x^2 = -1</math> ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ဖြစ်သည့် <math>+i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers) === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ <math display="inline">i = \sqrt{-1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>\textstyle \sqrt{6} =\sqrt{(-2) \cdot (-3)} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{3} = -\sqrt{6} </math> အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>-1 = i^2 = (\sqrt{-1})^2 \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math> အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း [[ဖန်ရှင်]] တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။ == အသုံးချမှုများ (Application) == ကိန်းယောင်များ၏ [[အစု]]ထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^2 - 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>+2</math> နှင့် <math>-2</math> တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် <math>x^2 + 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ <math>+2i</math> နှင့် <math>-2i</math> ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules) == ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ :<math>bi - ci = (b-c)\cdot i</math> ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ :<math>bi \cdot ci = bc \cdot i^2 = -bc</math> === ထပ်ကိန်းများ (Powers) === ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။ :<math>\begin{align} i^{-1} &= \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\\ i^0 &= 1\\ i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i\\ i^4 &= i^2 \cdot i^2 = (-1)^2 = 1 \end{align}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n\in \mathbb{Z}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} i^{4n} &= 1\\ i^{4n+1} &= i\\ i^{4n+2} &= -1\\ i^{4n+3} &= -i\\ i^{2n} &= (i^2)^n = (-1)^n \end{align}</math> == ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) == အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>x^2 + 1</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ <math>-i</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>i\mathbb{R}</math> ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသော[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် <math>\mathfrak{u}(1)</math> တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။ == အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula) == အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ယင်းညီမျှခြင်းတွင် <math>x=\pi</math> အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ :<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> :<math>e^{i\pi} = -1</math> == ကိုးကား (References) == <references /> * Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). ''Taschenbuch der Mathematik'' (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9. * Nahin, Paul (1998). ''An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. * [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] (University of Toronto Mathematics Network) * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+number Imaginary number] at nLab * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+unit Imaginary unit] at nLab [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 57fxmi5x4s4h5g3n13cu3pt641w55hf 1060874 1060873 2026-10-31T14:04:17Z Mkant00 135890 1060874 wikitext text/x-wiki [[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။]] {{Short description|အနုတ်ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း}} {| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center;" ! <math>i</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည်<br/> စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။ |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>\ i^{-2} = -1\phantom{i}</math> |- |<math>\ i^{-1} = -i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{0}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{1}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{2}\ = -1\phantom{i}</math> |- |style="background:#e1edfd;" | <math>\ \ i^{3}\ = -i\phantom1</math> |- |<math>\ \ i^{4}\ = \phantom-1\phantom{i}</math> |- |<math>\ \ i^{5}\ = \phantom-i\phantom1</math> |- |<math>\ \vdots</math> |- |<math>i</math> သည် ၄ ကြိမ်မြောက်<br/> ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ |} ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) <math>i</math> တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို <math>i^2 = -1</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် <math>-b^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5i</math> သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ <math>-25</math> ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းထွေး]] (Complex number) <math>z</math> တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) <math>\Re(z)</math> သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ <math>\bar{z} = -z</math> ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။ ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ <math>2 + 3i</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် <math>2 + 3i</math> ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော <math>bi</math> ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&pg=SA11-PA2|title=A Text Book of Mathematics Class XI|last=Sinha|first=K.C.|publisher=Rastogi Publications|year=2008|isbn=978-81-7133-912-9|edition=Second|page=11.2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်း (History) == ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။<ref>René Descartes, ''Discours de la méthode'' (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380.</ref> ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုသည် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]][[ဖီးလ်ဒ်]]အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation) == [[File:Gaußsche Zahlenebene.svg|thumb|[[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။]] [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။]] ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။ ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် <math>i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ <math>-i</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် <math>b</math> ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် <math>bi</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း <math>b</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ <math>b < 0</math> ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး <math>|b|</math> ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i) == ညီမျှခြင်း <math>x^2 = -1</math> ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ဖြစ်သည့် <math>+i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers) === အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ <math display="inline">i = \sqrt{-1}</math> ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>\textstyle \sqrt{6} =\sqrt{(-2) \cdot (-3)} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{3} = -\sqrt{6} </math> အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။ :<math>-1 = i^2 = (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \mathrel{\stackrel{\text{ (invalid) }}{=}} \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 </math> အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}</math> ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း [[ဖန်ရှင်]] တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။ == အသုံးချမှုများ (Application) == ကိန်းယောင်များ၏ [[အစု]]ထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x^2 - 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>+2</math> နှင့် <math>-2</math> တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် <math>x^2 + 4 = 0</math> ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ <math>+2i</math> နှင့် <math>-2i</math> ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။ == ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules) == ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ :<math>bi - ci = (b-c)\cdot i</math> ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ :<math>bi \cdot ci = bc \cdot i^2 = -bc</math> === ထပ်ကိန်းများ (Powers) === ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။ :<math>\begin{align} i^{-1} &= \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i\\ i^0 &= 1\\ i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i\\ i^4 &= i^2 \cdot i^2 = (-1)^2 = 1 \end{align}</math> ယေဘုယျအားဖြင့် <math>n\in \mathbb{Z}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} i^{4n} &= 1\\ i^{4n+1} &= i\\ i^{4n+2} &= -1\\ i^{4n+3} &= -i\\ i^{2n} &= (i^2)^n = (-1)^n \end{align}</math> == ကိန်းထွေးများ (Complex numbers) == အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> ကို <math>x^2 + 1</math> ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ <math>i</math> ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ <math>-i</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) <math>\mathfrak{u}(1)</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော <math>i\mathbb{R}</math> ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသော[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် <math>\mathfrak{u}(1)</math> တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။ == အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula) == အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> ယင်းညီမျှခြင်းတွင် <math>x=\pi</math> အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>i</math> နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။ :<math>e^{i\pi} + 1 = 0</math> :<math>e^{i\pi} = -1</math> == ကိုးကား (References) == <references /> * Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). ''Taschenbuch der Mathematik'' (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9. * Nahin, Paul (1998). ''An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. * [https://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] (University of Toronto Mathematics Network) * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+number Imaginary number] at nLab * [https://ncatlab.org/nlab/show/imaginary+unit Imaginary unit] at nLab [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] 8xmxhwgqwcxks2f3iqookebbrj14nu7 0 247618 1061002 1049639 2026-11-01T10:58:02Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1061002 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] ကိန်းအုံ (matrix) သည် <math>m</math> အတန်းများနှင့် <math>n</math> တိုင်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော စတုဂံပုံစံ အစီအစဉ်ချထားမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\begin{pmatrix} a_{11}&\dots&a_{1n}\\ \dots&\dots&\dots\\ a_{m1}&\dots&a_{mn}\\ \end{pmatrix}</math> ၎င်း၏ [[အစုဝင်]] (entry) <math>a_{ij}</math> များသည် မည်သည့် [[အစု]] (set) <math>K</math> တွင်မဆို ပါဝင်နိုင်သည်။ အဆိုပါ ညီမျှခြင်းကို <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>m \times n</math> အတိုင်းအတာရှိသော ကိန်းအုံ သို့မဟုတ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) <math>m \times n</math> ရှိသော ကိန်းအုံဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>K</math> [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခုခုအပေါ်ရှိ <math>m \times n</math> အတိုင်းအတာရှိသော ကိန်းအုံများအားလုံးပါဝင်သည့် အစုကို <math>\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> သို့မဟုတ် <math>M_{m \times n}(K)</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ <math>m=n</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းကို အစီအစဉ် (order) <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>K</math> အပေါ်ရှိ အစီအစဉ် <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံများအားလုံးပါဝင်သည့် အစုကို <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ကိန်းအုံများအတွက် အခြားသော ဖော်ပြနိုင်သည့် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (mathematical notation) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math>\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}</math>, <math>\begin{Vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{Vmatrix}</math> နှင့် <math>(a_{ij})</math> အရေးကြီးဆုံးသော အခြေအနေများတွင် <math>K</math> ၏ နေရာ၌ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field)၊ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ်၊ အလိုရှိရာ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၊ ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) ၏ ကွင်း၊ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) ၏ ကွင်း၊ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (functions) ၏ ကွင်း သို့မဟုတ် အလိုရှိရာ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] ကွင်း (associative ring) တစ်ခုခုက ပါဝင်သည်။ <math>K</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော အပေါင်း (addition) နှင့် မြှောက်ခြင်း (multiplication) တွက်ချက်မှုများသည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းအုံများဆီသို့ သဘာဝကျစွာ ကူးပြောင်းသက်ရောက်သွားသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် ကိန်းအုံ ကဲကုလပ် (matrix calculus) ဆီသို့ ဦးတည်သွားစေသည်။ ၎င်းကဲကုလပ်သည် ကိန်းအုံများ သီအိုရီ (theory of matrices) ၏ အဓိကလေ့လာရမည့် အကြောင်းအရာ ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံဆိုင်ရာ သဘောတရားသည် ၁၉ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် ဒဗလျူ ဟာမီတန် နှင့် အေ ကေးလီ တို့၏ လေ့လာစူးစမ်းမှုများမှတစ်ဆင့် ပထမဆုံး ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ကိန်းအုံများ သီအိုရီရှိ အခြေခံကျသော ရလဒ်များကို ကေ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်၊ စီ ဂျော်ဒန် နှင့် ဂျီ ဖရိုဘီးနီးယပ်စ် တို့က ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ အိုင် အေ လာပို-ဒါနီလက်ဗ်စကီး သည် ကိန်းအုံ ကိန်းရှင် (matrix variable) အများအပြားပါဝင်သော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (analytic functions) ၏ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့ပြီး ၎င်းကို မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (linear differential equations) စနစ်များ လေ့လာရာတွင် အသုံးချခဲ့သည်။ [[File:Arthur Cayley.jpg|175px|thumb|right|အာသာ ကေးလီ]] [[File:Sir_William_Rowan_Hamilton,_head-and-shoulders_portrait,_facing_slightly_right_LCCN90713420_(cropped).jpg|175px|thumb|right|ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်]] [[File:Camille Jordan 4.jpg|175px|thumb|right|ကာမီ ဂျော်ဒန်]] [[File:GeorgFrobenius_(cropped).jpg|thumb|175px|ဖာဒီနန် ဂျော့ချ် ဖရိုဘီးနီးယပ်စ်]] [[File:Karl Weierstrass.jpg|right|thumb|175px|ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ်]] == ကိန်းအုံများနှင့် တွက်ချက်မှုများ (Operations with matrices) == *<math>K</math> သည် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖက်စပ်ရ]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ပြီးနောက် <math>A=(a_{ij}),\; B=(b_{ij})\in \mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ဖြစ်ပါစေ။ ထို့နောက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> ကိန်းအုံများ၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>A+B = (a_{ij}+b_{ij})</math> ဖြစ်သည်။ <math>A+B\in\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ဖြစ်သည်မှာ ထင်ရှားပြီး သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် ပေါင်းခြင်းသည် [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associative property) နှင့် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutative property) တို့ ပြည့်စုံသည်။ <math>\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> အတွင်းရှိ သုည ကိန်းအုံ (null matrix) ဆိုသည်မှာ အစုဝင်များအားလုံး သုညဖြစ်နေသော ကိန်းအုံ <math>0</math> ကို ဆိုလိုသည်။ မည်သည့် <math>A\in\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> အတွက်မဆို <math>A+0=0+A=A</math> ဖြစ်သည်။ *<math>A=(a_{ij})\in\mathrm{M}_{m,k}(K)</math> နှင့် <math>B=(b_{ij})\in\mathrm{M}_{k,n}(K)</math> တို့ ဖြစ်ပါစေ။ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> ကိန်းအုံနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် (product) ကို <math>c_{\mu,\nu} = \sum_{j=1}^k a_{\mu j}b_{j\nu}</math> ဖြစ်သော <math>AB=(c_{\mu,\nu})\in\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> စည်းမျဉ်းဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ အစုဝင်နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ပြီး <math>\mathrm{M}_n(K)</math> အတွင်း၌ပင် ပါဝင်သည်။ ကိန်းအုံများ မြှောက်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ အကယ်၍ <math>A\in\mathrm{M}_{m,k}(K)</math>၊ <math>B\in\mathrm{M}_{k,n}(K)</math> နှင့် <math>C\in\mathrm{M}_{n,p}(K)</math> ဖြစ်ပါက <math>(AB)C = A(BC)</math> ဖြစ်ပြီး <math>ABC\in\mathrm{M}_{m,p}(K)</math> ဖြစ်သည်။ ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) သည်လည်း မှန်ကန်သည်။ <math>A\in\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> နှင့် <math>B,C\in\mathrm{M}_{n,m}(K)</math> တို့အတွက် <math>A(B+C)=AB+AC</math> နှင့် <math>(B+C)A=BA+CA</math> ဖြစ်သည်။ *သီးခြားအားဖြင့် အဆိုပါ ဖြန့်ဝေခြင်းနိယာမသည် <math>A,B,C\in\mathrm{M}_{n}(K)</math> အတွက်လည်း မှန်ကန်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathrm{M}_{n}(K)</math> သည် ဖက်စပ်ရ ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ထပ်တူရပါသော ကွင်း (unital ring) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>n \ge 2</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathrm{M}_n(K)</math> တွင် ကိန်းအုံများ မြှောက်ခြင်းသည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ မရှိပေ။ <math>AB\ne BA</math> ဖြစ်စေမည့် <math>A,B\in\mathrm{M}_{n}(K)</math> ကိန်းအုံများ တည်ရှိသည်။ ထို့အပြင် <math>n \ge 2</math> ဖြစ်သော သုညမဟုတ်သည့် ကွင်း <math>K</math> တိုင်းအတွက် <math>\mathrm{M}_n(K)</math> တွင် သုညစားကိန်းများ (zero-divisors) အမြဲတမ်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် <math>AB = 0</math> ဖြစ်စေသည့် သုညမဟုတ်သော ကိန်းအုံ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ *အကယ်၍ <math>K</math> သည် ထပ်တူရပါသော ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက အိုင်ဒီးလ်များနှင့် စပ်လျဉ်း၍ <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) တိုင်းသည် <math>K</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် <math>J</math> တစ်ခုခုအတွက် <math>\mathrm{M}_n(J)</math> ပုံစံဖြင့် တည်ရှိသည်။ ၎င်းအပြင် <math>S</math> သည် <math>K</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\mathrm{M}_n(S)</math> သည် <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ ကွင်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ *<math>\alpha\in K</math> နှင့် <math>A=(a_{ij})\in\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ဖြစ်ပါစေ။ ၎င်း <math>\alpha</math> အစုဝင်သည် ကိန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် [[စကေလာ]] (scalar) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ <math>A</math> ကိန်းအုံကို <math>\alpha</math> ဖြင့် မြှောက်သော မြှောက်လဒ်သည် <math>\alpha A= (\alpha a_{ij})</math> ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် <math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math>၊ <math>\alpha(\beta A)=(\alpha\beta)A</math> နှင့် <math>\alpha (A+B) = \alpha A+\alpha B</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ *<math>K</math> ကို ထပ်တူရပါရှိသော ကွင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါစို့။ <math>e_{ij}</math> ကိန်းအုံကို <math>\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ၏ အစုဝင်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး ၎င်း၏ သုညမဟုတ်သော တစ်ခုတည်းသော အစုဝင်နေရာမှာ နေရာ <math>(i,j)</math> ဖြစ်ကာ တန်ဖိုး ၁ နှင့် ညီမျှသည်။ ဤတွင် <math>1\le i\le m</math> နှင့် <math>1\le j\le n</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် <math>A=(a_{ij})\in \mathrm{M}_{m,n}(K)</math> အတွက်မဆို <math>A=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}e_{ij}</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\mathrm{M}_{m,n}(K)</math> သည် <math>K</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ <math>nm</math> ပါဝင်သော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>e_{ij}</math> ကိန်းအုံများသည် ဤရပ်ဝန်းအတွင်း အခြေအစု (basis) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ *<math>A</math> ကိန်းအုံ၏ ထရေ့စ် (trace) ကို <math>\operatorname{tr}(A)</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းသည် ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပေါ်ရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>K</math> အပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများဖြစ်သော <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့အတွက် <math>\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)</math> ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ မှန်ကန်သည်။ *ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ် (Kronecker product) သို့မဟုတ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ် (tensor product) ကိုလည်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>A</math> သည် <math>r \times n</math> ကိန်းအုံဖြစ်ပြီး <math>B</math> သည် <math>s \times m</math> ကိန်းအုံဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ခရိုနက်ကာ မြှောက်လဒ်ကို <math>A \otimes B</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် <math>rs \times nm</math> အတိုင်းအတာရှိသော အကွက် ကိန်းအုံ (block matrix) ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ နေရာ <math>i, j</math> ရှိ အကွက်သည် <math>a_{ij}B</math> ကိန်းအုံဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့သည် [[စတုရန်းကိန်းအုံ|စတုရန်းကိန်းအုံများ]] ဖြစ်ကြပါက ၎င်းတို့၏ ထရေ့စ်သည် <math>\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။ == အထူးပုံစံရှိ ကိန်းအုံများ (Special types of matrices) == *အကယ်၍ <math>K</math> သည် ထပ်တူရ (identity) ပါရှိသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\mathrm{E}_n</math> သို့မဟုတ် <math>I</math> ဟုခေါ်သော ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) သည် <math>\mathrm{M}_{n}(K)</math> ကွင်း၏ [[အစုဝင်|ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကိန်းအုံ၏ ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပေါ်ရှိ အစုဝင်များသည် ၁ ဖြစ်ပြီး ကျန်နေရာများတွင် သုညများသာ ရှိသည်။ <math>\mathrm{M}_{n}(K)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် <math>A</math> အတွက်မဆို <math>\mathrm{E}_n A = A\mathrm{E}_n = A</math> ဖြစ်သည်။ *<math>n \times n</math> ကိန်းအုံတစ်ခု၏ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် အစုဝင်များအားလုံးသည် သီးသန့် အစုဝင် <math>a \in K</math> နှင့်ညီမျှပြီး ဒိုင်ယာဂွန်နယ်မဟုတ်သော အစုဝင်များအားလုံး သုညဖြစ်နေပါက ၎င်းကို [[စကေလာ]] ကိန်းအုံ (scalar matrix) ဟု ခေါ်သည်။ စကေလာ ကိန်းအုံများအစုသည် <math>K</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ ကွင်းပိုင်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အကယ်၍ <math>K</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) ဖြစ်ပါက စကေလာ ကိန်းအုံများသည် <math>\mathrm{M}_n(K)</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းနှင့် ဖလှယ်၍ရသည်။ ထိုအခါ <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ ဗဟို (center) သည် စကေလာ ကိန်းအုံများ အစုသာလျှင် ဖြစ်လာသည်။ *ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်၏ အောက်ဘက် သို့မဟုတ် အထက်ဘက်တွင်သာ အစုဝင်များ သုညဖြစ်နေသော ကိန်းအုံများကို တြိဂံပုံ ကိန်းအုံများ (triangular matrices) ဟု ခေါ်သည်။ အထက်တြိဂံပုံ ကိန်းအုံများနှင့် အောက်တြိဂံပုံ ကိန်းအုံများသည် အသီးသီး <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းပိုင်း]]တစ်ခုစီကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ *<math>A=(a_{ij})\in \mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>a_{ij}^T = a_{ji}</math> ဖြစ်သော <math>A^T = (a_{ij})^T\in \mathrm{M}_{n,m}(K)</math> ကိန်းအုံကို <math>A</math> ၏ ထရန်စပို့စ် (transpose) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းအတွက် အခြားသုံးနိုင်သော သင်္ကေတများမှာ <math>{}^tA</math> နှင့် <math>A'</math> တို့ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မူလကိန်းအုံ၏ အတန်းများနှင့် တိုင်များကို အချင်းချင်း ဖလှယ်လိုက်ခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ <math>A=(a_{ij})\in \mathrm{M}_{m,n}(\mathbb{C})</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>\bar a_{ij}</math> သည် <math>a_{ij}</math> ၏ [[ကိန်းထွေး]] ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ဖြစ်သည့်တိုင်အောင် <math>\bar A = (\bar a_{ij})</math> ကို <math>A</math> ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဟု ခေါ်သည်။ <math>A\in\mathrm{M}_n(\mathbb{C})</math> ဖြစ်သည့်နေရာတွင် <math>A^* = {\bar A}^T</math> ကိန်းအုံကို <math>A</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) ဟု ခေါ်သည်။ *လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် အသုံးပြုသော ကိန်းအုံများစွာကို အထူးအမည်များ ပေးထားသည်။ <math>A^T = A</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းကို အချိုးညီ ကိန်းအုံ (symmetric matrix) ဟု ခေါ်သည်။ <math>A^T = -A</math> ဖြစ်လျှင် တိမ်းစောင်းအချိုးညီ ကိန်းအုံ (skew-symmetric matrix) ဟု ခေါ်သည်။ <math>A^T = A^{-1}</math> ဖြစ်ပါက ထောင့်မှန်ကျ ကိန်းအုံ (orthogonal matrix) ဖြစ်သည်။ <math>A^* = A</math> ဖြစ်လျှင် ဟာမီရှန် ကိန်းအုံ (Hermitian matrix) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>A^* = A^{-1}</math> ဖြစ်ပါက ယူနစ်တရီ ကိန်းအုံ (unitary matrix) ဖြစ်သည်။ <math>A^*A = A A^*</math> ညီမျှခြင်းပြည့်စုံပါက ၎င်းကို ပုံမှန် ကိန်းအုံ (normal matrix) ဟု ခေါ်သည်။ အချို့သော [[ကိန်းပြည့်]]တစ်ခုအတွက် <math>(A-\mathrm{E}_n)^n = 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ယူနီပိုတန့် ကိန်းအုံ (unipotent matrix) ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံ <math>A = (a_{ij})\in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})</math> ၏ အစုဝင်တိုင်း <math>a_{ij}\ge0</math> ဖြစ်ပြီး တိုင်တိုင်းအတွက် အတန်းများ၏ပေါင်းလဒ်သည် ၁ ဖြစ်ပါက စတော့ကတ်စတစ် ကိန်းအုံ (stochastic matrix) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းအပြင် <math>A</math> နှင့် <math>A^T</math> တို့ နှစ်ခုစလုံး စတော့ကတ်စတစ် ဖြစ်ပါက နှစ်ထပ် စတော့ကတ်စတစ် ကိန်းအုံ (doubly-stochastic matrix) ဖြစ်သည်။ <math>A</math> ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် သုည သို့မဟုတ် တစ် သာဖြစ်ပါက <math>(0,1)</math>-ကိန်းအုံ ((0,1)-matrix) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ *<math>m_\mu</math> နှင့် <math>n_\nu</math> တို့သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့နောက် <math>m=m_1+\dots+m_k</math> နှင့် <math>n=n_1+\dots+n_l</math> ဖြစ်ပါစေ။ သို့ဆိုလျှင် <math>A\in \mathrm{M}_{m,n}(K)</math> ကိန်းအုံကို အစုဝင်များအဖြစ် <math>A_{\mu\nu}\in \mathrm{M}_{m_\mu,n_\nu}(K)</math> ကိန်းအုံငယ်များ ပါဝင်သော အကွက် ကိန်းအုံအဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>B\in \mathrm{M}_{n,p}(K)</math> ဖြစ်ပြီး <math>p=p_1+\dots+p_t</math> နှင့် <math>p_i>0</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>B</math> ကိုလည်း ၎င်းနည်းတူ အကွက်များဖြင့် ရေးသားပါက ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ် <math>AB=C</math> သည်လည်း အကွက်များ၏ မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းအတိုင်း ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းသွားမည်ဖြစ်သည်။ ဒိုင်ယာဂွန်နယ်တစ်လျှောက်တွင်သာ သုညမဟုတ်သော အကွက် ကိန်းအုံများ ရှိနေပါက ၎င်းကို ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံ အကွက် (block diagonal) ဟု ခေါ်သည်။ == အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများနှင့် ပြောင်းပြန်များ (Determinants and inverses) == [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) [[ဖန်ရှင်]]သည် မျဉ်းဖြောင့်အစုံ (multilinear) ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\mathrm{M}_{n \times n}(R)</math> ၏ တိုင်များအပေါ်တွင် အလှည့်ကျ ပုံစံ (alternating form) ရှိပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံအတွက် <math>\det(I) = 1</math> ဖြစ်သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) ၏ ပုံသေနည်းအရ <math>M_n(R)</math> အတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး ဖန်ရှင်ကို <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) a_{\sigma(1)1} \dots a_{\sigma(n)n}</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (symmetric group) ဖြစ်ပြီး <math>\epsilon(\sigma)</math> သည် ပါမြူတေးရှင်း <math>\sigma</math> ၏ လက္ခဏာဖြစ်သည်။ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးသည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicativity) နှင့် ပြည့်စုံသောကြောင့် <math>\det(AB) = \det(A)\det(B)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ထရန်စပို့စ်တို့သည် တူညီသော အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>\det(A) = \det(A^T)</math> ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးသည် အတန်းများအပေါ်တွင်လည်း မျဉ်းဖြောင့်အစုံဖြစ်ပြီး အလှည့်ကျဖြစ်သည်ကို ပြသသည်။ <math>A</math> ၏ <math>ij</math>-တွဲဖက်မြှောက်ဖော်ကိန်း (cofactor) သည် <math>(-1)^{i+j} \det(A_{ij})</math> ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>A_{ij}</math> သည် <math>A</math> ၏ <math>i</math> ခုမြောက် အတန်းနှင့် <math>j</math> ခုမြောက် တိုင်တို့ကို ဖယ်ရှားလိုက်ခြင်းဖြင့် ရရှိလာသော <math>(n-1) \times (n-1)</math> မိုင်နာ (minor) ဖြစ်သည်။ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးကို မည်သည့်အတန်း သို့မဟုတ် တိုင်တစ်လျှောက်တွင်မဆို တွဲဖက်မြှောက်ဖော်ကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက် (cofactor expansion) အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ကရာမာ၏ စည်းမျဉ်း (Cramer's rule) အရ <math>A_1, \dots, A_n</math> သည် <math>A</math> ၏ တိုင်များဖြစ်ပြီး <math>B = \beta_1 A_1 + \dots + \beta_n A_n</math> ဖြစ်ပါက <math>\beta_i \det(A) = \det(A_1, \dots, A_{i-1}, B, A_{i+1}, \dots, A_n)</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ကို ရရှိသည်။ ထို့အပြင် <math>R</math> သည် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>A</math> ၏ တိုင်များ သို့မဟုတ် အတန်းများသည် <math>R</math> အပေါ်တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသော (linearly dependent) အစုဖြစ်မှသာလျှင် <math>\det(A) = 0</math> ဖြစ်မည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအပေါ်ရှိ <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> သည် <math>Ax = 0</math> မှ <math>x = 0</math> ဖြစ်ခြင်းကိုသာ သက်ရောက်စေပါက ၎င်းကိန်းအုံကို ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော (nonsingular) ကိန်းအုံဟု ခေါ်သည်။ စတုရန်းကိန်းအုံများအတွက်မူ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) ဂုဏ်သတ္တိရှိမှသာလျှင် ၎င်းသည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံ <math>A</math> သည် <math>M_n(R)</math> အတွင်း ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ယူနစ် (unit) တစ်ခုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>\det(A)</math> သည် ကွင်း <math>R</math> တွင်းရှိ ယူနစ်တစ်ခု ဖြစ်နေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အတွက် တွဲဖက်မြှောက်ဖော်ကိန်း ပုံသေနည်းအရ <math>AB = BA = (\det(A))I</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>B</math> သည် တွဲဖက်မြှောက်ဖော်ကိန်း ကိန်းအုံ၏ ထရန်စပို့စ် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\det(A)</math> သည် ယူနစ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်း၏ပြောင်းပြန်ကို <math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} B</math> ဟူ၍ ရရှိနိုင်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ကို အတန်း တွက်ချက်မှုများ (row operations) မှတစ်ဆင့် <math>n \times n</math> [[ထပ်တူရကိန်းအုံ]]အဖြစ်သို့ လျှော့ချနိုင်မှသာလျှင် ၎င်းတွင် ပြောင်းပြန်တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အဆိုပါ ပြောင်းပြန်ကို <math>(A \mid I)</math> ဟူသော ပူးတွဲကိန်းအုံကို <math>(I \mid A^{-1})</math> အဖြစ်သို့ လျှော့ချတွက်ချက်ခြင်းဖြင့် ရှာဖွေနိုင်သည်။ [[ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အစုဝင်|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာဒိုမိန်း]] (integral domain) သို့မဟုတ် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအပေါ်ရှိ မည်သည့်ကိန်းအုံတွင်မဆို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) အတန်းများ၏ အများဆုံးအရေအတွက်ဖြစ်သည့် အတန်း အဆင့် (row rank) သည် ၎င်း၏ တိုင် အဆင့် (column rank) နှင့် အမြဲတမ်း ညီမျှသည်။ အကယ်၍ ကိန်းအုံတစ်ခုကို အခြားတစ်ခုသို့ အတန်းများကို အချင်းချင်းဖလှယ်ခြင်း၊ အတန်းတစ်ခု၏ ဆတိုးကိန်းကို အခြားတစ်ခုသို့ ပေါင်းထည့်ခြင်းနှင့် အတန်းတစ်ခုကို သုညမဟုတ်သော ယူနစ်တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းစသည့် အခြေခံ အတန်း တွက်ချက်မှုများမှတစ်ဆင့် ပြောင်းလဲနိုင်ပါက ထိုကိန်းအုံနှစ်ခုကို အတန်း ထပ်တူညီမှု (row equivalence) ရှိသည်ဟု ဆိုသည်။ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာဒိုမိန်း သို့မဟုတ် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်တွင် အတန်း ထပ်တူညီသော ကိန်းအုံများသည် တူညီသည့် အတန်း အဆင့်ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ကိန်းအုံတစ်ခုရှိ မည်သည့်အတန်းတွင်မဆို ပထမဆုံး သုညမဟုတ်သော အစုဝင်သည် ပီဗော့ အစုဝင် (pivot element) ဖြစ်သော ၁ ဖြစ်နေပြီး ထိုတိုင်အတွင်းရှိ အခြားအစုဝင်များအားလုံး သုညဖြစ်နေကာ အတန်းတစ်ခုစီရှိ အစပိုင်း သုညအရေအတွက်များသည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly increasing) အခြေအနေတွင် ရှိနေပါက ၎င်းကိန်းအုံကို လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) ဟု ခေါ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ ကိန်းအုံတိုင်းကို အခြေခံ အတန်း တွက်ချက်မှုများမှတစ်ဆင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံတစ်ခုအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲနိုင်သည်။ ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အဆင့်သည် ၎င်း၏ လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံအတွင်းရှိ သုညမဟုတ်သော အတန်းအရေအတွက်နှင့် ညီမျှသည်။ == မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများနှင့် ကိန်းအုံများ (Linear transformations and matrices) == [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (finite-dimensional vector space) များကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) <math>\varphi: V \to W</math> တစ်ခုကို <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့၏ ရွေးချယ်ထားသော အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုများဖြစ်သည့် <math>\mathcal{B}</math> နှင့် <math>\mathcal{E}</math> တို့ကို အခြေခံ၍ <math>m \times n</math> ကိန်းအုံတစ်ခုအဖြစ် တိကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ ကိန်းအုံနှင့် ဆက်စပ်ပေးသော ပုံဖော်မှုသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) <math>\operatorname{Hom}_F(V, W) \cong M_{m \times n}(F)</math> ကို ပေးစွမ်းသည်။ အကယ်၍ <math>V=W</math> ဖြစ်ပြီး အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်နှစ်ခုစလုံးအတွက် တူညီသော [[အခြေအစု]] (basis) ကို အသုံးပြုပါက အဆိုပါ ပုံဖော်မှုသည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\operatorname{Hom}_F(V, V) \cong M_n(F)</math> ဖြစ်လာသည်။ ကိန်းအုံများ မြှောက်ခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်သည် မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ကို ပြီးပြည့်စုံစွာ ထင်ဟပ်စေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>\varphi</math> ၏ အဆင့်သည် ၎င်းကို ကိုယ်စားပြုသော ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ တိုင် အဆင့်နှင့် ညီမျှသည်။ <math>\varphi</math> ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) ၏ အတိုင်းအတာသည် <math>A</math> ၏ လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံအတွင်းရှိ သုညမဟုတ်သော အတန်းအရေအတွက် ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (dual linear transformation) <math>\varphi^*</math> ၏ ကိန်းအုံသည် <math>\varphi</math> ကိန်းအုံ၏ ထရန်စပို့စ် ဖြစ်သည်။ ဤသဘောတရားများသည် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (dual space) များနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော <math>P</math> ကိန်းအုံတစ်ခု တည်ရှိပြီး <math>P^{-1}AP = B</math> ညီမျှခြင်း မှန်ကန်ပါက <math>n \times n</math> ကိန်းအုံနှစ်ခုဖြစ်သည့် <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့ကို ဆင်တူသော (similar) ကိန်းအုံများဟု သတ်မှတ်သည်။ မတူညီသော အခြေအစုများကို အသုံးပြုထားသော်လည်း တိကျစွာ တူညီသော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုတည်းကို ကိုယ်စားပြုနေသော ကိန်းအုံများသည် အချင်းချင်း ဆင်တူကြသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်တွင် <math>P</math> သည် အခြေပြောင်းလဲခြင်း (change of basis) ကိန်းအုံအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ဆင်တူခြင်းဆိုသည်မှာ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆင်တူသော ကိန်းအုံများသည် တူညီသည့် အတန်း အဆင့်နှင့် တိုင် အဆင့်တို့ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ၊ ထရေ့စ်နှင့် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ် (Eigenvalues, trace, and characteristic polynomial) == အကယ်၍ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> တစ်ခုအတွက် <math>Av = \lambda v</math> ဖြစ်စေမည့် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ (eigenvector) ဖြစ်သည့် သုညမဟုတ်သော <math>n \times 1</math> ကော်လံ[[ဗက်တာ]] <math>v</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက <math>\lambda \in F</math> ကို <math>A</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) ဟု ခေါ်သည်။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> နှင့် သက်ဆိုင်သော <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်ရပ်ဝန်း (eigenspace) ဆိုသည်မှာ <math>Av = \lambda v</math> ပြည့်စုံစေသည့် <math>v</math> ဗက်တာများအားလုံး၏ အစုဖြစ်သည်။ ကိန်းရင်းအားလုံးပါဖီးလ်ဒ် (splitting field) တစ်ခုတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (algebraic multiplicity) အပါအဝင် ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက <math>A</math> ၏ ထရေ့စ် <math>\operatorname{tr}(A)</math> သည် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံး၏ ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့အပြင် <math>A</math> ၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး <math>\det(A)</math> သည် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံး၏ မြှောက်လဒ်နှင့် တူညီသည်။ ဆင်တူသော ကိန်းအုံများသည် တူညီသော ထရေ့စ်နှင့် တူညီသော အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးတို့ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် <math>\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)</math> ဟူသော မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariance) မှန်ကန်သည်။ <math>A</math> ၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ် (characteristic polynomial) သည် <math>c_A(x) = \det(xI - A)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဒီဂရီ <math>n</math> ရှိသော မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ကိန်းသေကိန်း (constant term) သည် <math>(-1)^n \det(A)</math> ဖြစ်ပြီး <math>x^{n-1}</math> ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းသည် <math>-\operatorname{tr}(A)</math> ဖြစ်သည်။ <math>A</math> ၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (minimal polynomial) <math>m_A(x)</math> သည် သုည ကိန်းအုံအဖြစ် <math>m_A(A) = 0</math> ဖြစ်စေသော အငယ်ဆုံး ဒီဂရီရှိသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်သည်။ ကေးလီ-ဟာမီတန် သီအိုရမ် (Cayley-Hamilton Theorem) အရ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် <math>m_A(x)</math> သည် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ် <math>c_A(x)</math> ကို စား၍ပြတ်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ကိန်းအုံတစ်ခုသည် ၎င်း၏ကိုယ်ပိုင် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်ကို အမြဲတမ်း ပြည့်စုံစေသဖြင့် <math>c_A(A) = 0</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်နှင့် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်တို့သည် ထပ်နေသော အရေအတွက် ကွာခြားနိုင်သော်လည်း တိကျစွာ တူညီသော ကိန်းရင်း (root) များကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ အကွက် ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံတစ်ခု၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်သည် ၎င်း၏ အကွက်များ၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံး၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်မှာမူ အကွက်များ၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံး၏ အငယ်ဆုံး ဘုံဆတိုးကိန်း (least common multiple) ဖြစ်သည်။ == ပုံမှန်ပုံစံများ (Canonical forms) == မည်သည့် မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် <math>a(x) = x^k + b_{k-1}x^{k-1} + \dots + b_1x + b_0</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ အဖော်ကိန်းအုံ (companion matrix) ဆိုသည်မှာ <math>k \times k</math> အတိုင်းအတာရှိ ကိန်းအုံတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်အောက်ရှိ မျဉ်း (subdiagonal) တစ်လျှောက်တွင် ၁ များရှိပြီး နောက်ဆုံးတိုင်တွင် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ၏ အနုတ်တန်ဖိုးများ (<math>-b_0, -b_1, \dots, -b_{k-1}</math>) ရှိကာ ကျန်နေရာအားလုံးတွင် သုညများသာ ရှိသည်။ ၎င်းကိန်းအုံ၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်နှင့် အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် နှစ်ခုစလုံးသည် <math>a(x)</math> ပင်ဖြစ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့် <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> မဆိုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အကွက် ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ ၎င်းအကွက်များသည် မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ်များဖြစ်သော <math>a_1(x), a_2(x), \dots, a_m(x)</math> တို့၏ အဖော်ကိန်းအုံများဖြစ်ကြပြီး <math>a_1(x) \mid a_2(x) \mid \dots \mid a_m(x)</math> ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ရှိသည်။ ဤပိုလီနိုမီရယ်များကို <math>A</math> ၏ မပြောင်းလဲသော ဆခွဲကိန်းများ (invariant factors) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် တူညီသော ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံ (rational canonical form) ရှိမှသာလျှင် အချင်းချင်း ဆင်တူကြသည်။ <math>A</math> ၏ ရာရှင်နယ် ပုံမှန်ပုံစံသည် ဖီးလ်ဒ်အပေါ်တွင် မူတည်ခြင်းမရှိပေ။ ၎င်းကို <math>F</math> အပေါ်တွင် တွက်ချက်သည်ဖြစ်စေ၊ <math>F</math> ပါဝင်သော ပိုမိုကြီးမားသည့် တိုးချဲ့ချက် (extension field) <math>K</math> အပေါ်တွင် တွက်ချက်သည်ဖြစ်စေ ပုံစံတူညီနေမည်ဖြစ်သည်။ အရွယ်အစား <math>k</math> နှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> ရှိသော ဂျော်ဒန် အကွက် (Jordan block) သို့မဟုတ် အခြေခံ ဂျော်ဒန် ကိန်းအုံ (elementary Jordan matrix) သည် ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပေါ်တွင် <math>\lambda</math> ရှိပြီး ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်အထက်ရှိ မျဉ်း (superdiagonal) ပေါ်တွင် ၁ များရှိသော <math>k \times k</math> ကိန်းအုံဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအတွင်း ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများအားလုံး ပါဝင်နေပါက ၎င်း <math>A</math> သည် ဂျော်ဒန် အကွက်များကို အကွက်များအဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားသော အကွက် ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဂျော်ဒန် ပုံမှန်ပုံစံ (Jordan canonical form) ဟု ခေါ်ပြီး အကွက်များ၏ အစီအစဉ်မှလွဲ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဖြစ်တည်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်တွင် ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်သည် <math>F</math> အတွင်း သီးခြား မျဉ်းဖြောင့်ဆခွဲကိန်းများ (distinct linear factors) အဖြစ်သို့ ပြိုကွဲနိုင်မှသာလျှင် ၎င်းသည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်မည်။ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ၎င်းတို့၏ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် အစုဝင်များ တူညီမှသာလျှင် အချင်းချင်း ဆင်တူကြသည်။ == ကိန်းအုံ ထပ်ကိန်းတင်ဖန်ရှင်များနှင့် ကဲကုလပ် (Matrix exponentials and calculus) == ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ကို <math>||A|| = \sum_{i,j} |a_{ij}|</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် အစုဝင်များအားလုံး၏ ပကတိတန်ဖိုးများ (absolute values) ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ ကိန်းအုံ ထပ်ကိန်းတင် [[ဖန်ရှင်]] (matrix exponential) ကို <math>\exp(A)</math> သို့မဟုတ် <math>e^A</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းကို [[စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း|စုဆုံသော ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း]] (convergent power series) <math>\exp(A) = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ အကယ်၍ <math>A</math> နှင့် <math>B</math> တို့သည် ဖလှယ်၍ရသော ကိန်းအုံများဖြစ်ပါက <math>\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)</math> ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံ <math>P</math> အတွက်မဆို <math>\exp(P A P^{-1}) = P \exp(A) P^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>\det(\exp(A)) = e^{\operatorname{tr}(A)}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\exp(A)</math> သည် အမြဲတမ်း ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်သည် <math>\exp(-A)</math> ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် <math>\exp(At)</math> သည် ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ စနစ် <math>y' = Ay</math> အတွက် အခြေခံ ကိန်းအုံ (fundamental matrix) အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ဝိသေသတန်ဖိုး သုညဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> သည် <math>\operatorname{tr}(A^k) = 0</math> အမြဲတမ်းဖြစ်နေမှသာလျှင် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိသော (nilpotent) ကိန်းအုံ ဖြစ်မည်။ မည်သည့် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိသော ကိန်းအုံမဆိုသည် တိကျသော အထက်တြိဂံပုံ ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။ == ကိန်းအုံ ကွင်းများနှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ (Matrix rings and algebras) == [[အစားကွင်း]] (division ring) <math>\Delta</math> ထဲမှ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ပါဝင်သော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ကို <math>M_n(\Delta)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ <math>M_n(\Delta)</math> ၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များမှာ <math>0</math> နှင့် <math>M_n(\Delta)</math> ကိုယ်တိုင်သာလျှင် ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို ရိုးရှင်းသော ကွင်း (simple ring) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းအုံကွင်း <math>M_n(\Delta)</math> ၏ ဗဟိုတွင် <math>\alpha I</math> ပုံစံရှိ စကေလာ ကိန်းအုံများ သီးသန့်ပါဝင်ပြီး <math>\alpha</math> သည် <math>\Delta</math> ၏ ဗဟိုထဲမှ အစုဝင်ဖြစ်သည်။ ဝက်ဒါဘန်း၏ သီအိုရမ် (Wedderburn's theorem) အရ အငယ်ဆုံး အခြေအနေနှင့် ပြည့်စုံသော (Artinian ring) မည်သည့် ဆီမီးရိုးရှင်းသော ကွင်း (semisimple ring) မဆိုသည် အစားကွင်းများအပေါ်ရှိ ကိန်းအုံကွင်းများ၏ တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (direct product) များနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>M_{n_1}(\Delta_1) \times \dots \times M_{n_r}(\Delta_r)</math> ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်ပါက ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ <math>M_n(F)</math> သည် ဗဟိုရိုးရှင်း အက္ခရာသင်္ချာ (central simple algebra) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဗဟိုရိုးရှင်း အက္ခရာသင်္ချာ နှစ်ခုကို ဝက်ဒါဘန်း၏ သီအိုရမ်ပါ အစားကွင်း အစိတ်အပိုင်းများ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့ကို ဆင်တူသည်ဟု ယူဆသည်။ == အုပ်စု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီရှိ ကိန်းအုံများ (Matrices in group representation theory) == အဆုံးရှိ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite group) <math>G</math> တစ်ခု၏ ကိန်းအုံ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (matrix representation) ဆိုသည်မှာ <math>G</math> မှ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများအုပ်စု <math>GL_n(F)</math> ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ အဆိုပါ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်သည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) ပုံဖော်မှုဖြစ်ပါက ထိုကိန်းအုံ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုကို သစ္စာရှိသော (faithful) ဖော်ပြမှုဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းအုံ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု <math>\phi</math> တစ်ခု၏ စရိုက်လက္ခဏာ [[ဖန်ရှင်]] (character) သည် <math>\chi(g) = \operatorname{tr}(\phi(g))</math> ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု နှစ်ခုသည် ပုံသေသတ်မှတ်ထားသော အခြေပြောင်းလဲခြင်း (change of basis) တစ်ခုကြောင့် ကွာခြားနေပါက၊ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် <math>g</math> အတွက်မဆို <math>\phi_2(g) = P \phi_1(g) P^{-1}</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ထပ်တူညီသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများသည် တိကျစွာ တူညီသော စရိုက်လက္ခဏာ ဖန်ရှင်ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခုသည် အထက်အကွက် တြိဂံပုံစံရှိ ကိန်းအုံများအားလုံးပါဝင်သော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်ပါက ၎င်းကို လျှော့ချ၍ရသည်ဟု ခေါ်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းသည် အကွက် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံ ကိန်းအုံများပါဝင်သော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်ပါက ၎င်းကို ခွဲခြမ်း၍ရသော (decomposable) ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == ကိန်းအုံ အုပ်စုများ (Matrix groups) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အတွင်းရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ပါဝင်သော ဆင်ဂူလာမဟုတ်သည့် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများအားလုံးကို ကိန်းအုံများ မြှောက်ခြင်း လုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် [[ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု]] (general linear group) အဖြစ် ဖွဲ့စည်းထားပြီး <math>GL_n(F)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် အစုဝင် <math>q</math> ခု ပါဝင်သော [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဤ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]]၏ အစီအစဉ် (order) သည် <math>|GL_n(F)| = (q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2) \dots (q^n - q^{n-1})</math> နှင့် ညီမျှသည်။ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး ၁ နှင့်ညီမျှသော ကိန်းအုံများအားလုံး ပါဝင်သည့် <math>GL_n(F)</math> ၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ကို အထူး မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (special linear group) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>SL_n(F)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းအုံများ (Polynomial matrices) == <math>K</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>K[x]</math> သည် <math>K</math> မှ မြှောက်ဖော်ကိန်း (coefficient) များပါဝင်သော ကိန်းရှင် <math>x</math> အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံး၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>K[x]</math> အပေါ်ရှိ ကိန်းအုံတစ်ခုကို ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းအုံ (polynomial matrix) ဟု ခေါ်သည်။ <math>M_n(K[x])</math> ကွင်း၏ အစုဝင်များအတွက် အောက်ပါ အခြေခံ တွက်ချက်မှုများ (elementary operations) ကို မိတ်ဆက်ပေးထားသည်။ ၁) ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အတန်း သို့မဟုတ် တိုင်တစ်ခုကို သုညမဟုတ်သော ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> ၏ [[အစုဝင်]]တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်း။ နှင့် ၂) ပေးထားသော ကိန်းအုံ၏ အတန်းတစ်ခုကို <math>K[x]</math> ထဲမှ ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ပြီးနောက် အခြားအတန်းတစ်ခုသို့ ပေါင်းထည့်ခြင်း။ တိုင်များအတွက်လည်း ဤနည်းအတိုင်း ပေါင်းထည့်နိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>B</math> ကို <math>A</math> မှ အဆုံးရှိသော အကြိမ်အရေအတွက်ပါဝင်သည့် အခြေခံ တွက်ချက်မှုများမှတစ်ဆင့် ရရှိနိုင်ပါက <math>A,B\in\mathrm{M}_n(K[x])</math> ကိန်းအုံနှစ်ခုကို ထပ်တူညီသော ကိန်းအုံများ (equivalent matrices) <math>(A\sim B)</math> ဟု ခေါ်သည်။ <math>N=\operatorname{diag}[f_1(x),\dots,f_r(x),0,\dots,0]\in M_n(K[x])</math> ဖြစ်ပါစေ။ ဤနေရာတွင် <math>f_i(x)\ne 0</math> ဖြစ်သည်။ <math>j>i</math> အတွက် <math>f_j(x)</math> ကို <math>f_i(x)</math> ဖြင့် စား၍ရသည်။ ထို့အပြင် <math>f_i(x)</math> ပါ ဦးဆောင်ကိန်း (leading term) ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းသည် ၁ နှင့် ညီမျှသည်။ ဤအခြေအနေများပြည့်စုံပါက <math>N</math> ကို ပုံမှန် ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းအုံ (canonical polynomial matrix) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathrm{M}_n(K[x])</math> ကွင်းရှိ အစုဝင်များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) တိုင်းတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပုံမှန် ကိန်းအုံတစ်ခု ပါဝင်သည်။ <math>N=\operatorname{diag}[f_1(x),\dots,f_r(x),0,\dots,0]</math> သည် ပုံမှန် ကိန်းအုံတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>A\sim N</math> ဖြစ်ပါက <math>f_1(x),\dots,f_r(x)</math> ပိုလီနိုမီရယ်များကို <math>A</math> ၏ မပြောင်းလဲသော ဆခွဲကိန်းများ (invariant factors) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်း <math>r</math> သည် <math>A</math> ၏ အဆင့်နှင့် တူညီသည်။ <math>A\sim E_n</math> ဖြစ်မှသာလျှင် <math>A\in \mathrm{M}_n(K[x])</math> ကိန်းအုံသည် <math>\mathrm{M}_n(K[x])</math> အတွင်း ပြောင်းပြန်တစ်ခုရှိသည်။ အဆိုပါ နောက်ဆုံးအခြေအနေသည် <math>\det A \in K\setminus 0</math> ဖြစ်ခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ ၎င်းအပြင် <math>P,Q\in \mathrm{M}_n(K[x])</math> နှင့် <math>P\sim Q\sim E_n</math> ဖြစ်သော <math>B=PAQ</math> ညီမျှခြင်း ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>A,B\in \mathrm{M}_n(K[x])</math> ကိန်းအုံနှစ်ခု ထပ်တူညီခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ <math>A\in \mathrm{M}_n(K)</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>x\mathrm{E}_n - A\in \mathrm{M}_n(K[x])</math> ကိန်းအုံကို <math>A</math> ၏ ဝိသေသလက္ခဏာ ကိန်းအုံ (characteristic matrix) ဟု ခေါ်ပြီး <math>\det(x\mathrm{E}_n-A)</math> ကို <math>A</math> ၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်ဟု ခေါ်သည်။ <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\cdots+\alpha_{n-1}x^{n-1}+x^n\in K[x]</math> ပုံစံရှိ ပိုလီနိုမီရယ်တိုင်းအတွက် <math>\det(x\mathrm{E}_n-A) = f(x)</math> ဖြစ်စေမည့် <math>F\in \mathrm{M}_n(K[x])</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းမှာ အောက်ပါ <math>F</math> ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ <math>F=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\dots& 0 & -\alpha_0\\ 1 & 0 &\dots& 0 & -\alpha_1\\ 0 & 1 &\dots& 0 & -\alpha_2\\ \ddots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0 & 0 &\dots& 1 & -\alpha_{n-1}\\ \end{pmatrix}</math> ဆင်တူသော ကိန်းအုံနှစ်ခု၏ ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ထပ်တူကျကြသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်များ တူညီနေရုံမျှဖြင့် ၎င်းတို့နှစ်ခု ဆင်တူသည်ဟု အတိအကျ မဆိုနိုင်ပေ။ ဆင်တူခြင်းအတွက် စံသတ်မှတ်ချက်တစ်ခုမှာ <math>A,B\in \mathrm{M}_n(K)</math> ကိန်းအုံနှစ်ခု ဆင်တူဖြစ်ရန် [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]] (if and only if) သည် ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းအုံများဖြစ်သော <math>x\mathrm{E}_n-A</math> နှင့် <math>x\mathrm{E}_n-B</math> တို့ ထပ်တူညီခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ပေးထားသော ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ် <math>f(x)</math> တစ်ခုရှိသည့် <math>\mathrm{M}_n(K)</math> ထဲမှ ကိန်းအုံများအားလုံးပါဝင်သော အစုကို ဆင်တူသော ကိန်းအုံများ၏ အဆုံးရှိ အတန်းအစားအရေအတွက်တစ်ခုအဖြစ် [[အစုပိုင်း]]များ ခွဲခြားနိုင်သည်။ <math>f(x)</math> တွင် <math>K[x]</math> အတွင်း ထပ်နေသော ဆခွဲကိန်းများ (multiple factors) မပါရှိမှသာလျှင် ဤအစုသည် အတန်းအစားတစ်ခုတည်းအဖြစ်သို့ လျော့ကျသွားမည်ဖြစ်သည်။ <math>A \in \mathrm{M}_n(K)</math> ကိန်းအုံ၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်သည် <math>\frac{\det(x\mathrm{E}_n -A)}{d_{n-1}(x)}</math> နှင့် ညီမျှသည်။ ဤနေရာတွင် <math>d_{n-1}(x)</math> သည် <math>x\mathrm{E}_n-A</math> ကိန်းအုံရှိ အစီအစဉ် <math>n-1</math> ၏ [[မိုင်နာ]]များအနက် အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (greatest common divisor) ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်သည် <math>K[x]</math> ကွင်းအတွင်းရှိ မတူညီသော မျဉ်းဖြောင့် ဆခွဲကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်တစ်ခုဖြစ်မှသာလျှင် <math>A\in \mathrm{M}_n(K)</math> ကိန်းအုံသည် ဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အပေါ်ရှိ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ဆင်တူဖြစ်မည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သော ပုံမှန် ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းအုံများဆိုင်ရာ ရလဒ်သည် ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (principal ideal domain) များအပေါ်ရှိ ကိန်းအုံများဆီသို့ သဘာဝကျစွာ ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်မှုတစ်ခု ရှိသည်။ <math>i=1,\dots,r-1</math> အတွက် <math>d_i</math> အား <math>d_{i+1}</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သော ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း <math>R</math> အပေါ်ရှိ <math>\operatorname{diag}[d_1,\dots,d_r,0,\dots,0]</math> ပုံစံရှိ <math>m \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ကို စမစ် ပုံမှန်ပုံစံ (Smith canonical form) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း <math>R</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့်ကိန်းအုံ <math>A</math> မဆိုသည် စမစ် ပုံမှန်ပုံစံရှိ ကိန်းအုံတစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ ထိုသို့ဆိုလိုခြင်းမှာ <math>\mathrm{M}_m(R)</math> နှင့် <math>\mathrm{M}_n(R)</math> အသီးသီးတို့တွင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော <math>m \times m</math> ကိန်းအုံ <math>P</math> နှင့် <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>Q</math> တို့ တည်ရှိပြီး ၎င်းတို့ကြောင့် <math>PAQ</math> သည် စမစ် ပုံမှန်ပုံစံဖြစ်နေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Bellman |first=R. |title=Introduction to matrix analysis |publisher=McGraw-Hill |date=1970 |mr=0258847 |zbl=0216.06101}} * {{Citation |last=Bourbaki |first=N. |title=Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra |volume=1 |publisher=Addison-Wesley |date=1974 |at=Chapt. 1; 2 |others=Translated from French |mr=0354207}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=D. S. |last2=Foote |first2=R. M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=Wiley |date=2004}} * {{Citation |last=Gantmacher |first=F. R. |title=The theory of matrices |volume=1 |edition=reprint |publisher=Chelsea |date=1977 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last=Kostrikin |first=A. I. |title=Introduction to algebra |publisher=Springer |date=1982 |others=Translated from Russian |mr=0661256 |zbl=0482.00001}} * {{Citation |last=Kurosh |first=A. G. |title=Higher algebra |publisher=MIR |date=1972 |others=Translated from Russian |zbl=0237.13001}} * {{Citation |last=Lancaster |first=P. |title=Theory of matrices |publisher=Acad. Press |date=1969 |mr=0245579 |zbl=0186.05301}} * {{Citation |last=Mal'tsev |first=A. I. |title=Foundations of linear algebra |publisher=Freeman |date=1963 |others=Translated from Russian}} * {{Citation |last1=Marcus |first1=M. |last2=Minc |first2=H. |title=A survey of matrix theory and matrix inequalities |publisher=Allyn & Bacon |date=1964 |mr=0162808 |zbl=0126.02404}} * {{Citation |last=Proskuryakov |first=I. B. |title=Higher algebra. Linear algebra, polynomials, general algebra |publisher=Pergamon |date=1965 |others=Translated from Russian |mr=0184948 |zbl=0132.25004}} * {{Citation |last=Tyshkevich |first=A. R. I. |title=Linear algebra and analytic geometry |publication-place=Minsk |date=1976 |language=ru}} * {{Citation |last=Voevodin |first=V. V. |title=Algèbre linéaire |publisher=MIR |date=1976 |language=fr |others=Translated from Russian}} [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] l2uoa7xygkfqletf0s70qdn8ct73yhm 0 247721 1060983 1047757 2026-11-01T08:55:04Z Mkant00 135890 1060983 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) တွင် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုအတွင်းရှိ [[ဗက်တာ]] (vector) များကို မြှောက်ပေးသော ကိန်းစစ် (real number) များကို '''စကေလာများ (scalars)''' ဟု ခေါ်သည်။ ဗက်တာတစ်ခုကို ကိန်းတစ်ခုဖြင့်မြှောက်၍ ဗက်တာတစ်ခု ထုတ်လုပ်ပေးသော ဤစကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) သည် ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ ပြင်ပ တွက်ချက်မှုနှင့် သက်ဆိုင်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>K</math>-ဗက်တာရပ်ဝန်း တစ်ခုတွင် '''စကေလာများ''' သည် <math>K</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ ထို <math>K</math> သည် ကိန်းထွေး (complex number) များ၏ [[အစု]] သို့မဟုတ် အခြားသော မည်သည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ တစ်ဖက်တွင်လည်း '''စကေလာမြှောက်လဒ် (scalar product)''' ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤစကေလာမြှောက်လဒ်သည် ဗက်တာနှစ်ခုကို အတူတကွမြှောက်၍ စကေလာတစ်ခု ရရှိစေသည်။ ၎င်းကို စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) နှင့် ရောထွေးမှုမရှိစေရန် သတိပြုရမည်။ စကေလာမြှောက်လဒ် တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းစစ်များ၏ ဖီးလ်ဒ်အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းကို '''ယူကလစ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (Euclidean vector space)''' ဟု ခေါ်သည်။ ကွာတာနီယွန် (quaternion) တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) ကိုလည်း '''စကေလာပိုင်း (scalar part)''' ဟု ခေါ်သည်။ ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) ကို စကေလာတစ်ခုဖြင့် ဆတိုးမြှောက်ထားသော ကိန်းအုံ (matrix) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် '''စကေလာ ကိန်းအုံ (scalar matrix)''' ဟူသော ဝေါဟာရကို အသုံးပြုသည်။ == ဝေါဟာရရင်းမြစ် (Etymology) == စကေလာ ဟူသော စကားလုံးသည် အင်္ဂလိပ်စကားလုံး scalar မှ ဆင်းသက်လာသည်။ ၎င်းသည် ကိန်းများ[[အစု]]တစ်ခုအတွက် အသုံးပြုသော scale ဟူသော စကားလုံးမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ထို scale ဟူသော စကားလုံးသည် လှေကား သို့မဟုတ် စကေး ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော လက်တင်စကားလုံး scala မှ ဆင်းသက်လာသည်။ Oxford English Dictionary ၏ အဆိုအရ scalar ဟူသော စကားလုံးသည် ၁၈၄၆ ခုနှစ်တွင် အိုင်ယာလန် သင်္ချာပညာရှင် ဝီလီယံ ရိုဝန် ဟာမေတန် (William Rowan Hamilton) ရေးသားသော ဆောင်းပါးတစ်ပုဒ်ဖြစ်သည့် သိပ္ပံဆိုင်ရာ စာစောင်တစ်ခုတွင် ပထမဆုံး ပါဝင်လာခဲ့သည်။ သူသည် ဤစကားလုံးကို ကွာတာနီယွန်တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် အသုံးပြုခဲ့သည်။ scalar ဟူသော ဝေါဟာရကို ၁၈၄၄ ခုနှစ်တွင် တင်ပြခဲ့ပြီး ၁၈၄၇ ခုနှစ်မှသာ ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သော On quaternions ဆောင်းပါးတွင် ဟာမေတန် က ကြိုတင်အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဒေးဗစ် ဝီလ်ကင် (David Wilkins) ၏ အဆိုအရ ၎င်းကို ၁၈၄၅ ခုနှစ်လောက်ကတည်းက စတင်အသုံးပြုခဲ့ခြင်း ဖြစ်နိုင်သည်ဟု သိရသည်။ <ref>{{cite web |last=Miller |first=Jeff |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V) |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/v/ |website=MacTutor History of Mathematics Archive |publisher=University of St Andrews |access-date=2026-08-09 |quote=Both the terms vector and scalar were introduced by William Rowan Hamilton... Both terms appear in "On quaternions" a paper presented by Hamilton at a meeting of the Royal Irish Academy on November 11, 1844 [published in Proceedings of the Royal Irish Academy, Vol 3, 1847, pp. 1-16].}}</ref> == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Definitions and properties) == [[File:ScalarMult.png|thumb|ကွဲပြားသော စကေလာများအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု]] === သင်္ချာနှင့် ရူပဗေဒတို့တွင် အသုံးပြုသော ဘုံသဘောတရားများ (Common notions in mathematics and physics) === စကေလာအစစ် (true scalar) ဆိုသည်မှာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]ကို ဖော်ပြရန် ရွေးချယ်ထားသော အခြေအစု (basis) အပေါ် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အခြေအစုအပေါ် မှီခိုနိုင်သော ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည့် ဆူဒိုစကေလာ (pseudoscalar) နှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်သည်။ စကေလာတစ်ခုကို ဂရိအက္ခရာများဖြင့် သို့မဟုတ် စာလုံးစောင်းများဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ စကေလာသည် အဆင့်-၀ (rank-0) ရှိသော တန်ဆာ (tensor) တစ်ခုဖြစ်သည်။ စကေလာမဟုတ်သော ပမာဏများတွင် ဗက်တာများနှင့် တန်ဆာများ ပါဝင်သည်။ ဆူဒိုစကေလာ (pseudoscalar) ဆိုသည်မှာ ဦးတည်ချက်ကို ထိန်းသိမ်းသော ထောင့်မှန်ကျ အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် စကေလာတစ်ခုကဲ့သို့ ပြောင်းလဲသော်လည်း ဦးတည်ချက်ကို ပြောင်းပြန်လှန်သော အသွင်ပြောင်းခြင်းများအောက်တွင် လက္ခဏာပြောင်းပြန်ဖြစ်သွားသည့် သီးခြားပမာဏအမျိုးအစား ဖြစ်သည်။ ==== ဥပမာများ (Examples) ==== အပူချိန်၊ ဒြပ်ထု၊ သို့မဟုတ် အမြင့်ကို တိုင်းတာသော ကိန်းတစ်ခုသည် စကေလာတစ်ခုဖြစ်သည်။ စကေလာ ပမာဏတစ်ခု ဆိုသည်မှာ ယူနစ်တစ်ခုနှင့် တွဲဖက်ထားသော စကေလာဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဒြပ်ထုကို ကီလိုဂရမ်ဖြင့် လည်းကောင်း၊ အပူချိန်ကို ဒီဂရီ ဆဲလ်စီးယပ်စ်ဖြင့် လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ အခြေအစုတစ်ခုအတွင်းရှိ [[ဗက်တာ]]တစ်ခု၏ ကိုဩဒိနိတ် (coordinate) သည် သက်ဆိုင်ရာ အောက်ခြေဖီးလ်ဒ်၏ အစုဝင်ဖြစ်သော စကေလာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်ဗက်တာရပ်ဝန်းတွင် ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ကိန်းထွေးဗက်တာရပ်ဝန်းတွင် ကိန်းထွေးတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ယူနစ်မပါဝင်သော ကိန်းဖြစ်သည်။ ဗက်တာများအကြား တွက်ချက်မှုတစ်ခုမှ ရရှိလာသော ကိန်းသည် ဆူဒို သို့မဟုတ် စကေလာအစစ် ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် တွက်ချက်ခံဗက်တာများမှာ ဆူဒိုဗက်တာများ သို့မဟုတ် ဗက်တာအစစ်များ ဖြစ်ခြင်းအပေါ် မူတည်သည်။ အမှတ်ပုံသဏ္ဌာန် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အလျင် သို့မဟုတ် အလျင် ဗက်တာ သည် ဗက်တာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဦးတည်ချက်တစ်ခု၊ လားရာတစ်ခုတို့နှင့် တွဲဖက်ထားသော စကေလာတစ်ခုဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အမှတ်ပုံသဏ္ဌာန် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အရှိန် (acceleration) အတွက်လည်း အလားတူပင် ဖြစ်သည်။ အလျင် သို့မဟုတ် အရှိန်၏ ပမာဏသည် စကေလာ ပမာဏတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် ယူနစ်တစ်ခု ပါဝင်သည်။ သင်္ချာတွင် ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) သည် စကေလာတစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ဗက်တာများ စုစည်းမှု (family of vectors) တစ်ခု၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးမှာမူ စကေလာ မဟုတ်ပေ။ ၎င်းသည် ရွေးချယ်ထားသော အခြေအစုအပေါ် မှီခိုနေသည်။ အခြေအစု ဗက်တာများကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အနေဖြင့် နေရာဖလှယ်ခြင်းကပင် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး၏ လက္ခဏာကို ပြောင်းလဲစေရန် လုံလောက်မှုရှိသည်။ ဗက်တာသုံးခု၏ စကေလာ သုံးခုမြှောက်လဒ် (scalar triple product) သည် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးတစ်ခုဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသောကြောင့် ၎င်းအတွက်လည်း အလားတူပင်ဖြစ်သည်။ === ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ စကေလာများ (Scalars of vector spaces) === [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ကို စကေလာများ[[အစု|အစုတစ်ခု]]နှင့် တွဲဖက်ထားသော ဗက်တာများအစု တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး တွက်ချက်မှုအမျိုးမျိုးကို တပ်ဆင်ထားသည်။ ၎င်းတို့အနက် တစ်ခုဖြစ်သော စကေလာမြှောက်ခြင်း တွက်ချက်မှုသည် စကေလာ <math>s</math> တစ်ခုနှင့် [[ဗက်တာ]] <math>v</math> တစ်ခုတို့ကို ပေါင်းစပ်၍ အခြားဗက်တာ <math>s.v</math> တစ်ခုအဖြစ် သက်ဆိုင်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျ <math>n</math>-ခုတွဲ (<math>n</math>-tuples) များ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>K^n</math> တွင် ဗက်တာ <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> ကို စကေလာ <math>s</math> တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ဗက်တာ <math>s.(x_1, \ldots, x_n)=(sx_1, \ldots, sx_n)</math> ကို ရရှိစေသည်။ [[ဖန်ရှင်]] ရပ်ဝန်း (function space) တစ်ခုတွင် စကေလာ <math>s</math> တစ်ခုနှင့် ဖန်ရှင် <math>f</math> တစ်ခုတို့အတွက် <math>s.f</math> သည် ဖန်ရှင် <math>x \mapsto s.f(x)</math> ဖြစ်သည်။ စကေလာများကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers)၊ ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers)၊ ကိန်းစစ်များ နှင့် ကိန်းထွေးများ အပါအဝင် မည်သည့် ဖီးလ်ဒ်မှမဆို ယူဆောင်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်များ (finite fields) မှလည်း ယူဆောင်နိုင်သည်။ === ဗက်တာ အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် စကေလာများ (Scalars as vector components) === စကေလာများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>K</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တိုင်းသည် <math>K</math> မှ စကေလာများ၏ အစီအစဉ်ကျ <math>n</math>-ခုတွဲများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>K^n</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]]ဖြစ်သည် (isomorphic)။ ဥပမာအားဖြင့် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>\mathbf{R}^n</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်။ === စကေလာမြှောက်လဒ် (Scalar product) === ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း (pre-Hilbert space) ဆိုသည်မှာ စကေလာမြှောက်လဒ် တပ်ဆင်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>E</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။ စကေလာမြှောက်လဒ်ဆိုသည်မှာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာနှစ်ခုကို]] မြှောက်၍ ကိန်းတစ်ခု ထွက်ပေါ်လာစေသော တွက်ချက်မှုဖြစ်သည်။ ရလဒ် သို့မဟုတ် မြှောက်လဒ်ကို ယေဘုယျအားဖြင့် <math>E</math> ၏ စကေလာများပါဝင်သော [[ဖီးလ်ဒ်]]၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တစ်ခုအဖြစ်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် သို့မဟုတ် စကေလာမြှောက်လဒ်ပါသော ရပ်ဝန်းများကို အဓိကအားဖြင့် ကိန်းစစ်ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။ သုညမဟုတ်သော ဗက်တာတစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင်နှင့် မြှောက်သော စကေလာမြှောက်လဒ်သည် အမြဲတမ်း အပေါင်းကိန်းစစ်စစ် ဖြစ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေးဖီးလ်ဒ်သည် အစီအစဉ်ကျဖီးလ်ဒ် မဟုတ်သော်လည်း ဟာမီရှန် စကေလာမြှောက်လဒ် (Hermitian scalar product) အရ <math>\langle v, v \rangle</math> ၏ တန်ဖိုးသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်အပေါင်း ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းထွေးရပ်ဝန်းများတွင်လည်း ခိုင်လုံစွာ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ စကေလာမြှောက်လဒ် တည်ရှိမှုသည် ဗက်တာနှစ်ခုအကြားရှိ ထောင့် (angle) ၏ ကောင်းစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော သဘောတရားကို ထောက်ပံ့ပေးခြင်းဖြင့် ယူကလစ် ရပ်ဝန်းများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် (geometric intuition) ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်းသို့ မိတ်ဆက်ပေးရန် ဖြစ်နိုင်စေသည်။အထူးသဖြင့် ၎င်းသည် ဗက်တာနှစ်ခု၏ ထောင့်မှန်ကျမှုကို (orthogonality) ဖော်ပြရန် နည်းလမ်းတစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ စကေလာမြှောက်လဒ် တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို ယူကလစ် စံနှုန်း (Euclidean norm) တစ်ခုဖြင့် တပ်ဆင်နိုင်သည်။ === စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများရှိ စကေလာများ (Scalars in normed vector spaces) === [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>E</math> တစ်ခုကို [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) တစ်ခုဖြင့် တပ်ဆင်နိုင်သည်။ ထိုစံနှုန်းသည် <math>E</math> ၏ [[ဗက်တာ]] <math>v</math> တစ်ခုစီကို စကေလာ <math>||v||</math> တစ်ခုနှင့် တွဲဖက်ပေးသည်။ စံနှုန်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ဗက်တာ <math>v</math> ကို စကေလာ <math>s</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၎င်း၏ စံနှုန်းကို <math>|s|</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>||v||</math> ကို <math>v</math> ၏ အလျားအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူပါက ဤတွက်ချက်မှုကို <math>v</math> ၏ အလျားအား အချိုးကျဆတိုးကိန်း <math>|s|</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ စံနှုန်း တပ်ဆင်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (normed vector space) ဟု ခေါ်သည်။ စံနှုန်းသည် များသောအားဖြင့် <math>E</math> ၏ စကေလာများဖီးလ်ဒ်အတွင်းမှ တန်ဖိုးများကို ယူဆောင်လေ့ရှိသည်။ ဤအချက်က ထိုဖီးလ်ဒ်ကို လက္ခဏာသဘောတရားအား ပံ့ပိုးပေးသော ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် ကန့်သတ်လိုက်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ယူကလစ် စံနှုန်း (Euclidean norm) သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုး <math>\mathbb{R}_{\ge 0}</math> ထွက်ပေါ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbf{Q}</math> အပေါ်တွင်လည်း ယူကလစ် စံနှုန်းကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ သို့ရာတွင် စံနှုန်းတန်ဖိုးများကို အောက်ခြေဖီးလ်ဒ် <math>K</math> အတွင်း၌သာ တိုက်ရိုက်ရှိစေလိုသော အခြေအနေမျိုး၌ <math>E</math> သည် အတိုင်းအတာ ၂ ထက်ကြီးသော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပါက <math>K</math> သည် ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်မှု လေးခုအောက်တွင်သာမက နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) အောက်တွင်ပါ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်ပြီး ထိုအခါမျိုးတွင် တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများ (constructible numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ်ကဲ့သို့သော ဖီးလ်ဒ်မျိုး လိုအပ်သည်။ === မော်ဂျူးများရှိ စကေလာများ (Scalars in modules) === [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးများ]] (Modules) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏]] ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် မော်ဂျူးအပေါ် သက်ရောက်မှုရှိသော ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (unital ring) ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များကို]] ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် စကေလာ' ဟူသော ဝေါဟာရကို အသုံးပြုသည်။ ဤကိစ္စတွင် စကေလာများသည် ရှုပ်ထွေးသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်နိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>R</math> သည် ကွင်း <math>A</math> အတွင်း မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော <math>n \times n</math> ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းတစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုကိန်းအုံများကို <math>A</math> အတွင်း မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ကော်လံကိန်းအုံများ၏ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) အပေါ်တွင် ဘယ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် သက်ရောက်စေနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ဤရပ်ဝန်းကို <math>R</math>-မော်ဂျူးတစ်ခု ဖြစ်လာစေသည်။ ဤအခြေအနေတွင် စကေလာများ ဆိုသည်မှာ ကိန်းအုံများ ဖြစ်ကြသည်။ [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|မန်နီဖိုး]] (manifold) များ၏ သီအိုရီမှ အခြားဥပမာတစ်ခုကို ရယူနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (tangent bundle) ၏ အပိုင်းများ ရပ်ဝန်းသည် မန်နီဖိုးအပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ကိန်းစစ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ၏]] အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) အပေါ်ရှိ မော်ဂျူးတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ === ဗက်တာ ဟိုမိုသက်တီများ (Vector homotheties) === ဖလှယ်ရကွင်းများအပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မော်ဂျူးများတွင် ကိန်းသေစကေလာတစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) အမျိုးအစားတစ်ခုဖြစ်သော ဗက်တာဟိုမိုသက်တီ (vector homothety) ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော် ဖလှယ်ရမဟုတ်သော ကွင်းများအပေါ်ရှိ မော်ဂျူးများတွင်မူ စကေလာသည် ကွင်းတစ်ခု၏ ဗဟို (center of a ring) တွင် ပါဝင်မှသာ အဆိုပါ စကေလာဖြင့်မြှောက်ခြင်းသည် မော်ဂျူးဆိုင်ရာ မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပေမည်။ == ကိုးကား == [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] og4a9rm5y32s5fjp7gdjo6it8nh9khf 0 247905 1060856 1049434 2026-10-31T13:24:27Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060856 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} ကိန်းစစ် (Real number) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ပမာဏတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော တန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]] (set) သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း သို့မဟုတ် အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ်ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သင်္ချာနည်းအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete) အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတွင် ကွက်လပ်များ သို့မဟုတ် ပျောက်ဆုံးနေသော စုဆောင်းမှတ်များ (limit points) မပါဝင်ပေ။ ၎င်းသည် စံ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] (metric) ကို အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) မှတစ်ဆင့် စံ ကိန်းစနစ်များကို အချင်းချင်းငုံထားသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (nested subsets) အဖြစ် ပုံစံတကျ <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သဘာဝ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (natural topology) နှင့် တွဲဖက်ထားသောအခါ <math>\mathbb{R}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ညီညာစွာ ပြည့်စုံသည့် (uniformly complete) [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်]] (Archimedean field) ဖြစ်ပြီး အခြားသော အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်အားလုံးကို ငုံထားသည့် မူလဖီးလ်ဒ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ၎င်း၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်|ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်များ]] (Cartesian products) ဖြစ်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယူကလစ် ရပ်ဝန်းများ (Euclidean spaces) <math>\mathbb{R}^n</math> သည် အဆက်မပြတ် ရပ်ဝန်း (continuous space) သဘောတရားအတွက် စံ သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ယင်းရပ်ဝန်းများသည် [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ]] (smooth manifolds) အတွက် ဒေသအလိုက် မော်ဒယ်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ယင်းမန်နီဖိုးများသည် ကလပ်စစ်ကယ် ရူပဗေဒ (classical physics)၊ အာကာသအချိန် (spacetime) နှင့် ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (modern analysis) တို့အတွက် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ မူဘောင်ကို အဆင့်ဆင့် ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ == သမိုင်းကြောင်း တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Historical Development) == ရှေးခေတ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် ကိန်းစစ် သဘောတရားသည် အဆက်မပြတ် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပမာဏများ၏ အချိုးများနှင့် အပိုင်းကိန်း (fraction) ချဉ်းကပ်တွက်ချက်မှုများအဖြစ် ရှေးခေတ်ကတည်းက စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဘီစီ ၁၀၀၀ ခန့်တွင် အီဂျစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အပိုင်းကိန်းများကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၆၀၀ ခန့်တွင် အိန္ဒိယရှိ ဗေဒကျမ်းပြု ပညာရှင်များက <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\sqrt{3}</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (square roots) တွင် တိကျသော အပိုင်းကိန်းတန်ဖိုးများ မရှိကြောင်း သိရှိခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၅၀၀ ခန့် ဂရိနိုင်ငံတွင် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ဦးဆောင်သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပထမဆုံး သက်သေပြချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် နိုက်ဒပ်စ်မှ ယူဒေါ့စပ်စ် သည် ဘီစီ ၃၉၀ မှ ၃၄၀ ခန့်တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) အချိုးညီမျှမှုကို ခေတ်သစ် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများ (Dedekind cuts) နှင့် အလွန်ဆင်တူသော နည်းလမ်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီအရ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။ အလယ်ခေတ် အာရပ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် အေဒီ ၈၅၀ မှ ၉၃၀ ခန့်အတွင်း အဘူ ကာမေးလ် အပါအဝင် အစ္စလာမ္မစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အီရာရှင်နယ် ပမာဏများကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအဖြစ် တိုက်ရိုက်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ကိန်းသဘောတရားကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်စေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို <math>ax^2+bx+c=0</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) အတွက် မှန်ကန်၍ တွက်ချက်နိုင်သော အဖြေများအဖြစ် လက်ခံခဲ့ကြသည်။ ခေတ်သစ်အစပိုင်း ဖော်ထုတ်မှုအနေဖြင့် ၁၆ ရာစုတွင် ဆိုင်မွန် စတီဗင် သည် စကြဝဠာသုံး ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး အဆက်မပြတ် ပမာဏများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချမှတ်ခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် သည် ယင်းပမာဏများကို ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) ၏ [[ကိန်းယောင်]] (imaginary numbers) ကိန်းရင်းများမှ ရှင်းလင်းစွာ ခွဲခြားရန်အတွက် ကိန်းစစ် ဟူသော နာမဝိသေသနကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၁၈ ရာစုအတွင်း ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ဂျေ အိတ်ချ် လမ်းဘတ် နှင့် ၁၇၉၄ ခုနှစ်တွင် အေ အမ် လီဂျန်ဒါ တို့က <math>\pi \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် မပါဝင်ဘဲ ကိန်းစစ်များ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ပြီးမြောက်အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ဂျိုးဇက် လီအူဗီးလ် သည် ၁၈၄၄ ခုနှစ်တွင် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) တည်ရှိမှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ချားလ်စ် အဲရ်မစ် သည် ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် <math>e</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် <math>\pi</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၈၆၉ ခုနှစ်တွင် ချားလ်စ် မရေး နှင့် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဂျော့ ကန်တာ တို့သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ရာရှင်နယ် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (Cauchy sequences) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) အဖြစ် အမှီအခိုကင်းစွာ တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း သည် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ကိန်းစစ်များကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အစုပိုင်းစနစ်များအဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ယင်းကို ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများဟု သတ်မှတ်သည်။ ၁၈၇၄ ခုနှစ်တွင် ကန်တာသည် <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} > \vert{}\mathbb{N}\vert{}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသသည့် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ရေတွက်၍မရနိုင်မှု သက်သေပြချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ယင်းနှင့်အတူ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းများသည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ်သာ တည်ရှိကြောင်းကိုပါ ပြသခဲ့သဖြင့် ကိန်းစစ်အများစုကြီးမှာ ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် နဂိုမှန်အဆို (Axiomatic) ဖွဲ့စည်းခြင်းများတွင် နောက်ပိုင်း၌ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် နှင့် အဲလ်ဖရက် တာစကီး တို့၏ ဖွဲ့စည်းမှုများသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]]အဖြစ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာရှုထောင့်မှ (categorically) လက္ခဏာသတ်မှတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတို့ကို ပေါင်းစည်းထားသော နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်များမှတစ်ဆင့် ဖော်ထုတ်နိုင်ကြောင်းကို သက်သေပြခဲ့သည်။ == အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံများ နှင့် လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Foundational Constructions and Characterizations) == တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသည့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) အထိ <math>\mathbb{R}</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ကို သိပ်သည်းသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (dense subfield) အဖြစ် ငုံထားသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) ဖြစ်သည်။ ဤဖီးလ်ဒ်ကို တည်ဆောက်ရန် သို့မဟုတ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ရန် စံချဉ်းကပ်နည်းများစွာ ရှိသည်။ === ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Dedekind Cuts) === [[File:Dedekind_cut-_square_root_of_two.png| thumb| right| 350px| ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်း]] ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>\alpha \subset \mathbb{Q}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>\alpha \neq \emptyset</math> နှင့် <math>\alpha \neq \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math>, <math>q \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်၍ <math>q < p</math> ဖြစ်လျှင် <math>q \in \alpha</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို အောက်သို့ အပိတ် (downward closure) ဟု ခေါ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math> ဖြစ်လျှင် <math>p < r</math> ဖြစ်စေမည့် <math>r \in \alpha</math> တည်ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး [[အစုဝင်]] (maximum element) မရှိပေ။ ဤမော်ဒယ်အရ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ * အစီအစဉ်မှာ <math>\alpha < \beta \iff \alpha \subsetneq \beta</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းမှာ <math>\alpha + \beta = \{p + q \mid p \in \alpha,\, q \in \beta\}</math> ဖြစ်သည်။ * အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် (Least-Upper-Bound) ဂုဏ်သတ္တိမှာ အထက်ဘောင်ရှိသော ဗလာမဟုတ်သည့် ဖြတ်ပိုင်းအစု <math>A \subset \mathbb{R}</math> မည်သည့်အစုအတွက်မဆို <math>\sup A = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha</math> ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်ပင်လျှင် မှန်ကန်သော ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Cauchy Sequences) === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(q_n)_{n=1}^\infty</math> တစ်ခုတွင် မည်သည့် <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}^+</math> အတွက်မဆို <math>n, m \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - q_m\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ၎င်းကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုဟု ခေါ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]အရ ပြည့်စုံမှုမရှိပေ။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များသည် ရာရှင်နယ် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ မဖြစ်မနေ စုဆုံမည်မဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\lim(x_n) = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် မည်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>n \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - r_n\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(q_n)</math> နှင့် <math>(r_n)</math> တို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ယင်းကို <math>(q_n) \sim (r_n)</math> အဖြစ် ရေးသားသည်။ ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> ကို ဤထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အား အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\mathbb{R} \cong \left\{ (q_n) \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \mid (q_n) \text{ is Cauchy} \right\} \Big/ \sim</math> ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ဒသမကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်များသို့ သဘာဝကျစွာ တိုးချဲ့သက်ရောက်သည်။ မည်သည့် <math>x \in \mathbb{R}</math> မဆို လက္ခဏာ [[ဖန်ရှင်]] (sign function) ပါဝင်သည့် အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဆီသို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်စွာ]] (bijectively) ပုံဖော်ထားပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တိကျစွာ ပုံသေနည်းထုတ်ထားသည်။ <math display="block">x = \text{sgn}(x) \left( \sum_{i=0}^k b_i 10^i + \sum_{j=1}^\infty a_j 10^{-j} \right)</math> ယင်းတွင် <math>x=0</math> ကိုမူ အသေးအဖွဲ အခြေအနေအဖြစ် ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းထားသည်။ အနန္တများပြားသော ၉ များဖြင့် အဆုံးသတ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များဖြစ်သည့် ၀.၉၉၉... = ၁ ကို ဖယ်ထုတ်လိုက်သောအခါ ဤဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဖြစ်သွားသည်။ === နဂိုမှန်အဆိုအရ လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Axiomatic Characterizations) === ဒက်ဒီကင်း ပြည့်စုံမှုအရ အထက်ဘောင်ရှိသော မည်သည့် ဗလာမဟုတ်သည့် [[အစုပိုင်း]] <math>S \subset \mathbb{R}</math> မဆို <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် သို့မဟုတ် စူပရီမမ် (supremum) တစ်ခု ရှိသည်။ တာစကီး၏ နဂိုမှန်အဆိုများတွင် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) ပြည့်စုံစေသည့် ထူးခြားသော ယူနစ် <math>1 > 0</math> ပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့်၊ သိပ်သည်းစွာ မျဉ်းဖြောင့် အစီအစဉ်ကျသည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခုအဖြစ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ထားသည်။ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များအရ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒ (First-Order Logic) သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] အထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့် လက္ခဏာမသတ်မှတ်နိုင်ပေ။ လိုးဗန်ဟိုင်း-စကိုလမ် သီအိုရမ် အရ <math>\mathbb{R}</math> နှင့် ထပ်တူညီသော ပထမအဆင့် ဝါကျများကို ပြည့်စုံစေသည့် ကိန်းစစ်ဆိုင်ရာ ကိန်းရင်း [[ဖီးလ်ဒ်]] ကဲ့သို့သော ရေတွက်နိုင်သည့် အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံ အစိတ်အပိုင်းများ တည်ရှိနေသည်။ == အစီအစဉ် နှင့် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Order and Arithmetic Properties) == အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>x > 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့် <math>x, y \in \mathbb{R}</math> အတွက်မဆို <math>nx > y</math> ဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>n \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တို့၏ သိပ်သည်းမှုအရ မတူညီသော ကိန်းစစ်နှစ်ခု <math>x < y</math> ကြားတွင် အနည်းဆုံး ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p \in \mathbb{Q}</math> တစ်ခုနှင့် အနည်းဆုံး အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းရင်းများ တည်ရှိမှုတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]] (real closed field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x > 0</math> နှင့် ကိန်းပြည့် <math>n > 0</math> အတွက်မဆို <math>y^n = x</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းကိန်းစစ် <math>y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math> တည်ရှိသည်။ အစုအရွယ်အစား နှင့် ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး မည်သည့် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (bijective function) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> မျှ တည်ရှိနိုင်မည်မဟုတ်ပေ။ ၎င်း၏ အစုအရွယ်အစားမှာ သဘာဝကိန်းများ၏ ပါဝါ[[အစု]] (power set) နှင့် ညီမျှသော အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ် <math>\mathfrak{c}</math> ဖြစ်သည်ဖြစ်ရာ <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0</math> ဖြစ်သည်။ ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) က <math>\aleph_0 < \kappa < \mathfrak{c}</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) <math>\kappa</math> မျှ မတည်ရှိကြောင်း အဆိုပြုထားသည်။ ဤယူဆချက်သည် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (Axiom of Choice) ပါဝင်သည့် စံ ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် [[အစုသီအိုရီ]] (ZFC) အတွင်း၌ ပုံစံတကျ ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သောအရာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို နှင့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်းတွင် ZFC ၏ ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း သီအိုရမ် (well-ordering theorem) က ဗလာမဟုတ်သော <math>S \subseteq \mathbb{R}</math> တိုင်းတွင် အငယ်ဆုံး[[အစုဝင်]]တစ်ခုစီရှိမည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း (total order) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို အာမခံထားသည်။ သို့ရာတွင် စံ အစီအစဉ် <math>\le</math> သည် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း လုံးဝမဟုတ်ပေ။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျမှုကိုမျှ အခြားသော နဂိုမှန်အဆိုများ ထပ်တိုးမယူဆဘဲ တိကျပြတ်သားစွာ တည်ဆောက်၍မရနိုင်ပေ။ တွက်ချက်နိုင်စွမ်းအရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တစ်ခုက ၎င်း၏ဂဏန်းများကို အစဉ်လိုက် ထုတ်ပေးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>x \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို တွက်ချက်နိုင်သောကိန်း (computable number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖြစ်နိုင်သမျှ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များအားလုံး၏ အစုမှာ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}</math> မှာ ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းစစ်အားလုံးနီးပါးသည် တွက်ချက်၍မရနိုင်သောကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အကွာအဝေး ဖန်ရှင် နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Metric and Topological Properties) == === စံ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တည်ဆောက်ပုံ (Standard Metric Structure) === <math>\mathbb{R}</math> အတွင်းရှိ အကွာအဝေးကို ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) မှတစ်ဆင့် တိကျစွာ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားပြီး ၎င်းကို <math>\vert{}x\vert{} = \max(x, -x)</math> အဖြစ် တိကျပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ မည်သည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>k \ge 1</math> အတွက်မဆို ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^k</math> သည် ကိန်းစစ်များ၏ [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျ <math>k</math>-ခုတွဲများ]] အားလုံးဖြစ်သည့် <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)</math> ဖြင့် ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \vert{}\mathbf{x} - \mathbf{y}\vert{}</math> အခြေအနေရှိသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>\mathbb{R}^k</math> အပေါ်ရှိ စံ ယူကလစ် အတွင်းမြှောက်လဒ်သည် [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) ကို ပြည့်စုံစေပြီး ၎င်းမှတစ်ဆင့် ဆက်စပ်ဖြစ်ပေါ်လာသော ယူကလစ် [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] သည် [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ === ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ၏ အခြေခံ သီအိုရမ်များ (Fundamental Theorems of Real Analysis) === အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ပြည့်စုံမှုအရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Hausdorff dimension) <math>1</math> ရှိသော ပြည့်စုံသည့်၊ ခွဲထုတ်၍ရသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဒေသအလိုက် ကျစ်လျစ်သော်လည်း ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်း (compact space) တစ်ခုအဖြစ်မူ မရှိပေ။ ဘိုဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းစဉ်တိုင်းတွင် စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်ပိုင်းတစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အနန္တဖြစ်သော အကန့်အသတ်ရှိသည့် [[အစုပိုင်း]] (subset) တိုင်းတွင် စုဆောင်းမှတ်တစ်ခုစီ ရှိသည်။ ဟိုင်းန-ဘိုရဲလ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}^k</math> တစ်ခုသည် အပိတ်စုဖြစ်ပြီး အကန့်အသတ်ရှိမှသာလျှင် ကျစ်လျစ်သောအစု (compact set) ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေမှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဆက်စပ်နေသော (connected) [[အစု]]ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြားတစ်ခုဖြစ်မှသာလျှင် ဆက်စပ်နေသော အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ === <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်ရှိ အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Alternative Topologies on <math>\mathbb{R}</math>) === အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း <math><</math> က လှုံ့ဆော်ပေးသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) သည် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး ဖန်ရှင်မှ လှုံ့ဆော်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ သို့သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အခြား စံမဟုတ်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံပေးနိုင်သည်။ ယင်းတို့တွင် <math>[a, b)</math> ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ဆော်ဂျင်ဖရေး မျဉ်း ဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology) သို့မဟုတ် <math>K</math>-တိုပေါ်လော်ဂျီတို့ ပါဝင်သည်။ === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure Theory) === <math>\mathbb{R}</math> ကို ပုံမှန် လီဘက်ဂ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Lebesgue measure) ဖြင့် တပ်ဆင်ထားသည်။ ယင်းမှာ စံ အပိုင်းအခြား <math>[0, 1]</math> ၏ အတိုင်းအတာ တိကျစွာ <math>1</math> နှင့် ညီမျှသည့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (translation-invariant) ရှိသည့် အတိုင်းအတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါက မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ထုထည် သို့မဟုတ် အလျားကိုမျှ သတ်မှတ်ပေး၍မရနိုင်သည့် <math>\mathbb{R}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] သေချာပေါက် တည်ရှိနေသည်။ ယင်းတိုင်းတာ၍မရနိုင်သော အစုများကို ဗစ်တာလီ အစုများ (Vitali sets) ဟု ခေါ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (Algebraic Structures) == အုပ်စု တည်ဆောက်ပုံများတွင် <math>(\mathbb{R}, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များသည် မြှောက်ခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် <math>(\mathbb{R}^*, \cdot)</math> အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>x \mapsto e^x</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးထားသော ထပ်ကိန်းတင် ပုံဖော်မှု <math>\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^{>0}, \cdot)</math> သည် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group isomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[အတိုင်းအတာ_(သင်္ချာ)#ဗက်တာရပ်ဝန်း၏_အတိုင်းအတာ_(Dimension_of_a_vector_space)|အနန္တအတိုင်းအတာ]] ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော အခြေအစုတစ်ခုသည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး တိကျပြတ်သားစွာ မတည်ဆောက်နိုင်သော်လည်း ဤရပ်ဝန်းအတွက် သဘောတရားရေးရာ အခြေအစု ဖြစ်သည့် ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ZFC က အာမခံပေးထားသည်။ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ကိန်းအုံ လီအုပ်စုများတွင် ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]]သည် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math> ၊ အထူး မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})</math> နှင့် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုသော ထောင့်မှန်ကျအုပ်စုများဖြစ်သည့် <math>\mathrm{O}(n)</math> နှင့် <math>\mathrm{SO}(n)</math> အပါအဝင် စံ ကိန်းအုံအုပ်စုများအတွက် ပါဝင်ကိန်းများကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ်များ၊ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ နှင့် တည်ဆောက်နိုင်မှု (Polynomials, Field Extensions, and Constructibility) == ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များအား အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းအရ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ကိန်းသေမဟုတ်သော ဆမခွဲနိုင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (irreducible polynomials) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပိုလီနိုမီရယ်များနှင့် အနုတ်ခွဲခြားကိန်းပါသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပိုလီနိုမီရယ်များအဖြစ်သာ တိကျစွာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ထို့ကြောင့် ဒီဂရီ <math>d \ge 3</math> ရှိသော <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံးကို ဆခွဲနိုင်သည်။ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]ဒီဂရီ (odd degree) ရှိသော မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>f \in \mathbb{R}[x]</math> တွင်မဆို အနည်းဆုံး ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခု ပါရှိသည်။ <math>\mathbb{C}</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံတွင် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို <math>\mathbb{R}</math> မှတစ်ဆင့် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}</math> အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တည်ဆောက်ထားသည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (algebraically closed field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ပိုလီနိုမီရယ်အားလုံးအတွက် ကိန်းရင်းများရှိကြောင်းကို အာမခံပေးသည်။ သို့သော်လည်း ယင်းသို့ပြုလုပ်ခြင်းက အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ် ဂုဏ်သတ္တိကို စွန့်လွှတ်လိုက်ရစေသည်။ မည်သည့် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်တွင်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် အနုတ်မဟုတ်သောကိန်းများ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်က <math>i^2 \ge 0 \implies -1 \ge 0</math> ဖြစ်ရန် တောင်းဆိုသဖြင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်းမဆိုသည် ဖီးလ်ဒ်တွက်ချက်မှုများနှင့် ကိုက်ညီမှု မရှိနိုင်ပေ။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများအနေဖြင့် အမှတ် <math>(0,0)</math> နှင့် <math>(1,0)</math> တို့မှစတင်၍ စက်ဝိုင်းချွန် နှင့် ပေတံကိုသာ အသုံးပြုကာ အမှတ် <math>(r, 0)</math> ကို ဖန်တီးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>r</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်း (constructible number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]]သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အဆုံးရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ၏ အထပ်ထပ်တည်ဆောက်မှုများမှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ပေးသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း <math>\mathcal{C}_{\mathbb{R}} \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ နှင့် ဆက်စပ်နေသော ကိန်းစနစ်များ (Generalizations and Related Number Systems) == === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်စနစ် နှင့် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (The Extended Real Number System and Projective Line) === [[File:Extended_Real_Numbers.svg|thumb|right| တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (အပေါ်) နှင့် ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (အောက်)]] တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (<math>\overline{\mathbb{R}}</math>) အား <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}</math> ကို ဖန်တီးရန် <math>\pm\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာက ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့် [[အစုပိုင်း]]တိုင်းတွင် အင်ဖီမမ် (infimum) နှင့် စူပရီမမ် တစ်ခုစီပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့် လတ္တစ်တစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ သို့သော်လည်း <math>\overline{\mathbb{R}}</math> သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအဖြစ်မှ ရပ်စဲသွားသည်။ ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (Real Projective Line) တွင် လက္ခဏာမပါသော အနန္တတစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းက စက်ဝိုင်းပုံ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] အစီအစဉ်တစ်ခုကို ခွင့်ပြုပေးသည်။ ထို့ပြင် ယင်းတွက်ချက်မှုကို <math>x \neq 0</math> အတွက်သာ တိကျစွာသတ်မှတ်ထားသော <math>x/0 = \infty</math> ကဲ့သို့သော သီးခြား တွက်ချက်မှုများကိုလည်း ခွင့်ပြုပေးသည်။ တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များနည်းတူ ၎င်းသည် ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံကို ဆုံးရှုံးသွားပြီး <math>0/0</math> ကဲ့သို့သော ဖော်ပြချက်များသည် သင်္ချာနည်းအရ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် မရှိဘဲ ကျန်ရစ်သည်။ === အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (Non-Archimedean and Topological Extensions) === ဟိုက်ပါရီးရယ် နှင့် ဆာရီးရယ် ကိန်းများ ဟူသော ဤစနစ်များသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း]] (non-Archimedean) ဆိုင်ရာ အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]အဖြစ် တိုးချဲ့သည်။ ထို့ပြင် စံမဟုတ်သည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် အနန္တကြီးမားသောကိန်းများနှင့် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများကို တင်းကျပ်စွာ ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ထားသည်။ ရှည်လျားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း ကို ရေတွက်၍မရနိုင်သော <math>\mathbb{R}</math> ၏ မိတ္တူ <math>\aleph_1</math> ခုကို အတူတကွ ကပ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော ဒေသအလိုက် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ်]]ဖြစ်သည့် အစဉ်ကျသော[[အစု]] တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော်လည်း ၎င်းမှာ ကျယ်ပြန့်လွန်းသဖြင့် စံ အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းမထားနိုင်ပေ။ === အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (Operator Algebras) === [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက် (self-adjoint) အော်ပရေတာများသည် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်တို့တွင် <math>\mathbb{R}</math> ၏ နက်ရှိုင်းသော ယေဘုယျပြုထားခြင်းများအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ၎င်းတို့၌ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ တည်ရှိပါက အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ဘောင်ခတ်ထားသော [[ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာ|ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာများသည်]] အချိုးညီပြုထားသော မြှောက်လဒ် <math>\frac{1}{2}(AB + BA)</math> အောက်တွင် ယေဘုယျအားဖြင့် ဖက်စပ်၍မရသော ကိန်းစစ် ဂျော်ဒန် အက္ခရာသင်္ချာ (Jordan algebra) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ === အခြားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များ (Alternative Metrics) === အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ် (Ostrowski's theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ပကတိတန်ဖိုးတိုင်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသော စံ ယူကလစ် ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း|p-အခြေခံကိန်းများ]] ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည့် တစ်ခုသော [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> အတွက် p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးတို့အနက် တစ်ခုခုနှင့် ထပ်တူညီမှုရှိသည် (equivalent)။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Aluffi |first=Paolo |title=Algebra: Chapter 0 |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=104 |date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-4781-7}} * {{Citation |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-66572-4}} * {{Citation |last=Beckmann |first=Petr |title=A History of π (PI) |date=1971 |publisher=St. Martin's Press |isbn=978-0-312-38185-1 |url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck_g8t1/}} * {{Citation |last=Bengtsson |first=Ingemar |title=The Number Behind the Simplest SIC-POVM |journal=Foundations of Physics |volume=47 |issue=8 |pages=1031–1041 |date=2017 |doi=10.1007/s10701-017-0078-3 |arxiv=1611.09087}} * {{Citation |last1=Bishop |first1=Errett |last2=Bridges |first2=Douglas |title=Constructive Analysis |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=279 |date=1985 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-15066-4}} * {{Citation |last=Bourbaki |first=Nicolas |title=General Topology: Chapters 1–4 |series=Elements of Mathematics |date=1989 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-64241-1 |doi=10.1007/978-3-642-61701-0}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen |journal=Mathematische Annalen |volume=5 |issue=1 |pages=123–132 |date=1872 |doi=10.1007/BF01446327}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) |volume=77 |pages=258–262 |date=1874}} * {{Citation |last=Cohen |first=Joel S. |title=Computer Algebra and Symbolic Computation: Elementary Algorithms |volume=1 |date=2002 |publisher=A K Peters |isbn=978-1-56881-158-1}} * {{Citation |last=Corry |first=Leo |title=A Brief History of Numbers |date=2015 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-870259-7}} * {{Citation |last=Dedekind |first=Richard |title=Stetigkeit und irrationale Zahlen |date=1872 |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn |place=Braunschweig |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/18318}} * {{Citation |last=Dieudonné |first=Jean |title=Foundations of Modern Analysis |date=1960 |publisher=Academic Press |url=https://archive.org/details/foundationsofmod0000dieu/}} * {{Citation |last=Drobot |first=Stefan |title=Real Numbers |date=1964 |publisher=Prentice-Hall |place=Englewood Cliffs, N.J.}} * {{Citation |last=Dunham |first=William |title=The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue |date=2015 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-6679-3}} * {{Citation |title=Real number |publisher=Encyclopedia Britannica |url=https://www.britannica.com/science/real-number}} * {{Citation |last=Feferman |first=Solomon |title=The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis |date=1964 |publisher=Addison-Wesley |url=https://archive.org/details/numbersystemsfou0000fefe}} * {{Citation |last=Gordan |first=Paul |title=Transcendenz von e und π |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |issue=2–3 |pages=222–224 |date=1893 |doi=10.1007/bf01443647}} * {{Citation |last=Hein |first=James L. |title=Discrete Structures, Logic, and Computability |edition=3rd |date=2010 |publisher=Jones and Bartlett Publishers |place=Sudbury, MA |isbn=978-0-7637-7206-2}} * {{Citation |last=Howie |first=John M. |title=Real Analysis |series=Springer Undergraduate Mathematics Series |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-314-0 |doi=10.1007/978-1-4471-0341-7}} * {{Citation |last=Hurwitz |first=Adolf |title=Beweis der Transendenz der Zahl e |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |pages=134–135 |date=1893}} * {{Citation |last=Koellner |first=Peter |chapter=The Continuum Hypothesis |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |date=2013 |publisher=Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/continuum-hypothesis/}} * {{Citation |last=Landau |first=Edmund |title=Foundations of Analysis |edition=3rd |date=1966 |publisher=Chelsea |isbn=978-0-8284-0079-4 |url=https://archive.org/details/foundationsofana0000land_o4f9}} * {{Citation |title=Arabic mathematics: forgotten brilliance? |publisher=MacTutor History of Mathematics archive |date=1999 |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics/}} * {{Citation |last=Matvievskaya |first=Galina |title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=500 |issue=1 |pages=253–277 |date=1987 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x}} * {{Citation |last=Méray |first=Charles |title=Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données |journal=Revue des sociétés savantes des départements |volume=4 |pages=280–289 |date=1869}} * {{Citation |last=Moschovakis |first=Yiannis N. |chapter=5. The Constructible Universe |title=Descriptive Set Theory |pages=274–285 |date=1980 |publisher=North-Holland |isbn=978-0-444-85305-9 |url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc/page/274/}} * {{Citation |last=nLab contributors |title=Real number |date=2026 |publisher=nLab |url=https://ncatlab.org/nlab/show/real+number}} * {{Citation |last=Puttaswamy |first=T. K. |chapter=The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians |pages=410–411 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Richman |first=Fred |title=Real numbers and other completions |journal=Mathematical Logic Quarterly |volume=54 |issue=1 |pages=98–108 |date=2008 |doi=10.1002/malq.200710024}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |date=1976 |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-054235-8}} * {{Citation |last=Sesiano |first=Jacques |chapter=Islamic mathematics |page=148 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Stillwell |first=John |title=The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |date=2013 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-01576-7 |doi=10.1007/978-3-319-01577-4}} * {{Citation |last=Tarski |first=Alfred |title=Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences |edition=4th |date=1994 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-504472-0}} * {{Citation |last=Trefethen |first=Lloyd N. |title=Computing numerically with functions instead of numbers |journal=Mathematics in Computer Science |volume=1 |issue=1 |pages=9–19 |date=2007 |doi=10.1007/s11786-007-0001-y |url=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/trefethen_functions.pdf}} * {{Citation |last=Wheeler |first=John Archibald |title=Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: In the linkage of four mysteries—the "how come" of existence, time, the mathematical continuum, and the discontinuous yes-or-no of quantum physics—may lie the key to deep new insight |journal=American Scientist |volume=74 |issue=4 |pages=366–375 |date=1986 |jstor=27854250}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစစ်များ]] abkk4xstzvlpwqcarxo4msl5kl2w1om 1060858 1060856 2026-10-31T13:29:08Z Mkant00 135890 /* အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (Operator Algebras) */ 1060858 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} ကိန်းစစ် (Real number) သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ပမာဏတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော တန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]] (set) သည် ကိန်းစစ်မျဉ်း သို့မဟုတ် အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ်ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သင်္ချာနည်းအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော (complete) အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတွင် ကွက်လပ်များ သို့မဟုတ် ပျောက်ဆုံးနေသော စုဆောင်းမှတ်များ (limit points) မပါဝင်ပေ။ ၎င်းသည် စံ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] (metric) ကို အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်သည်။ [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) မှတစ်ဆင့် စံ ကိန်းစနစ်များကို အချင်းချင်းငုံထားသော [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (nested subsets) အဖြစ် ပုံစံတကျ <math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သဘာဝ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (natural topology) နှင့် တွဲဖက်ထားသောအခါ <math>\mathbb{R}</math> သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ညီညာစွာ ပြည့်စုံသည့် (uniformly complete) [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်]] (Archimedean field) ဖြစ်ပြီး အခြားသော အာခီမီးဒီးစ် ဖီးလ်ဒ်အားလုံးကို ငုံထားသည့် မူလဖီးလ်ဒ်အဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ၎င်း၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်|ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်များ]] (Cartesian products) ဖြစ်သည့် <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယူကလစ် ရပ်ဝန်းများ (Euclidean spaces) <math>\mathbb{R}^n</math> သည် အဆက်မပြတ် ရပ်ဝန်း (continuous space) သဘောတရားအတွက် စံ သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ ယင်းရပ်ဝန်းများသည် [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ]] (smooth manifolds) အတွက် ဒေသအလိုက် မော်ဒယ်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ယင်းမန်နီဖိုးများသည် ကလပ်စစ်ကယ် ရူပဗေဒ (classical physics)၊ အာကာသအချိန် (spacetime) နှင့် ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (modern analysis) တို့အတွက် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ မူဘောင်ကို အဆင့်ဆင့် ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ == သမိုင်းကြောင်း တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Historical Development) == ရှေးခေတ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် ကိန်းစစ် သဘောတရားသည် အဆက်မပြတ် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပမာဏများ၏ အချိုးများနှင့် အပိုင်းကိန်း (fraction) ချဉ်းကပ်တွက်ချက်မှုများအဖြစ် ရှေးခေတ်ကတည်းက စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ဘီစီ ၁၀၀၀ ခန့်တွင် အီဂျစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အပိုင်းကိန်းများကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၆၀၀ ခန့်တွင် အိန္ဒိယရှိ ဗေဒကျမ်းပြု ပညာရှင်များက <math>\sqrt{2}</math> နှင့် <math>\sqrt{3}</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (square roots) တွင် တိကျသော အပိုင်းကိန်းတန်ဖိုးများ မရှိကြောင်း သိရှိခဲ့ကြသည်။ ဘီစီ ၅၀၀ ခန့် ဂရိနိုင်ငံတွင် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ဦးဆောင်သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် <math>\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပထမဆုံး သက်သေပြချက်များကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် နိုက်ဒပ်စ်မှ ယူဒေါ့စပ်စ် သည် ဘီစီ ၃၉၀ မှ ၃၄၀ ခန့်တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) အချိုးညီမျှမှုကို ခေတ်သစ် ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများ (Dedekind cuts) နှင့် အလွန်ဆင်တူသော နည်းလမ်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီအရ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည်။ အလယ်ခေတ် အာရပ် သင်္ချာပညာရပ်တွင် အေဒီ ၈၅၀ မှ ၉၃၀ ခန့်အတွင်း အဘူ ကာမေးလ် အပါအဝင် အစ္စလာမ္မစ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အီရာရှင်နယ် ပမာဏများကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအဖြစ် တိုက်ရိုက်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ကိန်းသဘောတရားကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်စေခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို <math>ax^2+bx+c=0</math> ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) အတွက် မှန်ကန်၍ တွက်ချက်နိုင်သော အဖြေများအဖြစ် လက်ခံခဲ့ကြသည်။ ခေတ်သစ်အစပိုင်း ဖော်ထုတ်မှုအနေဖြင့် ၁၆ ရာစုတွင် ဆိုင်မွန် စတီဗင် သည် စကြဝဠာသုံး ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး အဆက်မပြတ် ပမာဏများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချမှတ်ခဲ့သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် သည် ယင်းပမာဏများကို ပိုလီနိုမီရယ်များ (polynomials) ၏ [[ကိန်းယောင်]] (imaginary numbers) ကိန်းရင်းများမှ ရှင်းလင်းစွာ ခွဲခြားရန်အတွက် ကိန်းစစ် ဟူသော နာမဝိသေသနကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၁၈ ရာစုအတွင်း ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ဂျေ အိတ်ချ် လမ်းဘတ် နှင့် ၁၇၉၄ ခုနှစ်တွင် အေ အမ် လီဂျန်ဒါ တို့က <math>\pi \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၉ ရာစု ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ဂဏန်းသင်္ချာအသွင်ပြောင်းခြင်းတွင် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် မပါဝင်ဘဲ ကိန်းစစ်များ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ပြီးမြောက်အောင်မြင်ခဲ့သည်။ ဂျိုးဇက် လီအူဗီးလ် သည် ၁၈၄၄ ခုနှစ်တွင် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) တည်ရှိမှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ချားလ်စ် အဲရ်မစ် သည် ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် <math>e</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် <math>\pi</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ၁၈၆၉ ခုနှစ်တွင် ချားလ်စ် မရေး နှင့် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ဂျော့ ကန်တာ တို့သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ရာရှင်နယ် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (Cauchy sequences) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) အဖြစ် အမှီအခိုကင်းစွာ တည်ဆောက်ခဲ့ကြသည်။ ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း သည် ၁၈၇၂ ခုနှစ်တွင် ကိန်းစစ်များကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အစုပိုင်းစနစ်များအဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ယင်းကို ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများဟု သတ်မှတ်သည်။ ၁၈၇၄ ခုနှစ်တွင် ကန်တာသည် <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} > \vert{}\mathbb{N}\vert{}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသသည့် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ရေတွက်၍မရနိုင်မှု သက်သေပြချက်ကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ယင်းနှင့်အတူ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းရင်းများသည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တအဖြစ်သာ တည်ရှိကြောင်းကိုပါ ပြသခဲ့သဖြင့် ကိန်းစစ်အများစုကြီးမှာ ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် နဂိုမှန်အဆို (Axiomatic) ဖွဲ့စည်းခြင်းများတွင် နောက်ပိုင်း၌ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် နှင့် အဲလ်ဖရက် တာစကီး တို့၏ ဖွဲ့စည်းမှုများသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ#အာခီမီးဒီးစ်_ဖီးလ်ဒ်များ_နှင့်_ရာရှင်နယ်_ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ_(Archimedean_Fields_&_Rational_Homomorphisms)|အာခီမီးဒီးစ် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]]အဖြစ် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာရှုထောင့်မှ (categorically) လက္ခဏာသတ်မှတ်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတို့ကို ပေါင်းစည်းထားသော နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်များမှတစ်ဆင့် ဖော်ထုတ်နိုင်ကြောင်းကို သက်သေပြခဲ့သည်။ == အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံများ နှင့် လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Foundational Constructions and Characterizations) == တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသည့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) အထိ <math>\mathbb{R}</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> ကို သိပ်သည်းသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (dense subfield) အဖြစ် ငုံထားသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ပြည့်စုံသည့် အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) ဖြစ်သည်။ ဤဖီးလ်ဒ်ကို တည်ဆောက်ရန် သို့မဟုတ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ရန် စံချဉ်းကပ်နည်းများစွာ ရှိသည်။ === ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းများမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Dedekind Cuts) === [[File:Dedekind_cut-_square_root_of_two.png| thumb| right| 350px| ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်း]] ဒက်ဒီကင်း ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုသည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>\alpha \subset \mathbb{Q}</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>\alpha \neq \emptyset</math> နှင့် <math>\alpha \neq \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math>, <math>q \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်၍ <math>q < p</math> ဖြစ်လျှင် <math>q \in \alpha</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို အောက်သို့ အပိတ် (downward closure) ဟု ခေါ်သည်။ * <math>p \in \alpha</math> ဖြစ်လျှင် <math>p < r</math> ဖြစ်စေမည့် <math>r \in \alpha</math> တည်ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အကြီးဆုံးတန်ဖိုး [[အစုဝင်]] (maximum element) မရှိပေ။ ဤမော်ဒယ်အရ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ * အစီအစဉ်မှာ <math>\alpha < \beta \iff \alpha \subsetneq \beta</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းမှာ <math>\alpha + \beta = \{p + q \mid p \in \alpha,\, q \in \beta\}</math> ဖြစ်သည်။ * အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် (Least-Upper-Bound) ဂုဏ်သတ္တိမှာ အထက်ဘောင်ရှိသော ဗလာမဟုတ်သည့် ဖြတ်ပိုင်းအစု <math>A \subset \mathbb{R}</math> မည်သည့်အစုအတွက်မဆို <math>\sup A = \bigcup_{\alpha \in A} \alpha</math> ဖြစ်ပြီး ယင်းသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်ပင်လျှင် မှန်ကန်သော ဖြတ်ပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ === ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ခြင်း (Construction via Cauchy Sequences) === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(q_n)_{n=1}^\infty</math> တစ်ခုတွင် မည်သည့် <math>\varepsilon \in \mathbb{Q}^+</math> အတွက်မဆို <math>n, m \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - q_m\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ၎င်းကို [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုဟု ခေါ်သည်။ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> သည် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]]အရ ပြည့်စုံမှုမရှိပေ။ <math>\mathbb{Q}</math> အတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များသည် ရာရှင်နယ် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ မဖြစ်မနေ စုဆုံမည်မဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\lim(x_n) = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် မည်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို <math>n \ge N</math> အားလုံးအတွက် <math>\vert{}q_n - r_n\vert{} < \varepsilon</math> ဖြစ်စေမည့် <math>N \in \mathbb{N}</math> တည်ရှိလျှင် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(q_n)</math> နှင့် <math>(r_n)</math> တို့ကို ထပ်တူညီသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ ယင်းကို <math>(q_n) \sim (r_n)</math> အဖြစ် ရေးသားသည်။ ကိန်းစစ်များ <math>\mathbb{R}</math> ကို ဤထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အား အခြေခံ၍ ရာရှင်နယ် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\mathbb{R} \cong \left\{ (q_n) \in \mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \mid (q_n) \text{ is Cauchy} \right\} \Big/ \sim</math> ဤတည်ဆောက်ပုံသည် ဒသမကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်များသို့ သဘာဝကျစွာ တိုးချဲ့သက်ရောက်သည်။ မည်သည့် <math>x \in \mathbb{R}</math> မဆို လက္ခဏာ [[ဖန်ရှင်]] (sign function) ပါဝင်သည့် အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဆီသို့ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်စွာ]] (bijectively) ပုံဖော်ထားပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တိကျစွာ ပုံသေနည်းထုတ်ထားသည်။ <math display="block">x = \text{sgn}(x) \left( \sum_{i=0}^k b_i 10^i + \sum_{j=1}^\infty a_j 10^{-j} \right)</math> ယင်းတွင် <math>x=0</math> ကိုမူ အသေးအဖွဲ အခြေအနေအဖြစ် ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းထားသည်။ အနန္တများပြားသော ၉ များဖြင့် အဆုံးသတ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များဖြစ်သည့် ၀.၉၉၉... = ၁ ကို ဖယ်ထုတ်လိုက်သောအခါ ဤဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှုသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဖြစ်သွားသည်။ === နဂိုမှန်အဆိုအရ လက္ခဏာသတ်မှတ်ချက်များ (Axiomatic Characterizations) === ဒက်ဒီကင်း ပြည့်စုံမှုအရ အထက်ဘောင်ရှိသော မည်သည့် ဗလာမဟုတ်သည့် [[အစုပိုင်း]] <math>S \subset \mathbb{R}</math> မဆို <math>\mathbb{R}</math> အတွင်း၌ အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် သို့မဟုတ် စူပရီမမ် (supremum) တစ်ခု ရှိသည်။ တာစကီး၏ နဂိုမှန်အဆိုများတွင် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ]] (Archimedean property) ပြည့်စုံစေသည့် ထူးခြားသော ယူနစ် <math>1 > 0</math> ပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့်၊ သိပ်သည်းစွာ မျဉ်းဖြောင့် အစီအစဉ်ကျသည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခုအဖြစ် လက္ခဏာသတ်မှတ်ထားသည်။ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက်များအရ ပထမအဆင့် ယုတ္တိဗေဒ (First-Order Logic) သည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] အထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့် လက္ခဏာမသတ်မှတ်နိုင်ပေ။ လိုးဗန်ဟိုင်း-စကိုလမ် သီအိုရမ် အရ <math>\mathbb{R}</math> နှင့် ထပ်တူညီသော ပထမအဆင့် ဝါကျများကို ပြည့်စုံစေသည့် ကိန်းစစ်ဆိုင်ရာ ကိန်းရင်း [[ဖီးလ်ဒ်]] ကဲ့သို့သော ရေတွက်နိုင်သည့် အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံ အစိတ်အပိုင်းများ တည်ရှိနေသည်။ == အစီအစဉ် နှင့် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Order and Arithmetic Properties) == အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိအရ <math>x > 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့် <math>x, y \in \mathbb{R}</math> အတွက်မဆို <math>nx > y</math> ဖြစ်စေမည့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>n \in \mathbb{N}</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ <math>\mathbb{Q}</math> နှင့် <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တို့၏ သိပ်သည်းမှုအရ မတူညီသော ကိန်းစစ်နှစ်ခု <math>x < y</math> ကြားတွင် အနည်းဆုံး ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>p \in \mathbb{Q}</math> တစ်ခုနှင့် အနည်းဆုံး အီရာရှင်နယ်ကိန်း <math>r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းရင်းများ တည်ရှိမှုတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]] (real closed field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် <math>x > 0</math> နှင့် ကိန်းပြည့် <math>n > 0</math> အတွက်မဆို <math>y^n = x</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းကိန်းစစ် <math>y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}</math> တည်ရှိသည်။ အစုအရွယ်အစား နှင့် ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး မည်သည့် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်]] (bijective function) <math>f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}</math> မျှ တည်ရှိနိုင်မည်မဟုတ်ပေ။ ၎င်း၏ အစုအရွယ်အစားမှာ သဘာဝကိန်းများ၏ ပါဝါ[[အစု]] (power set) နှင့် ညီမျှသော အဆက်မပြတ်ကိန်းစဉ် <math>\mathfrak{c}</math> ဖြစ်သည်ဖြစ်ရာ <math>\vert{}\mathbb{R}\vert{} = \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0</math> ဖြစ်သည်။ ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) က <math>\aleph_0 < \kappa < \mathfrak{c}</math> ဖြစ်စေမည့် မည်သည့် ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) <math>\kappa</math> မျှ မတည်ရှိကြောင်း အဆိုပြုထားသည်။ ဤယူဆချက်သည် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (Axiom of Choice) ပါဝင်သည့် စံ ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် [[အစုသီအိုရီ]] (ZFC) အတွင်း၌ ပုံစံတကျ ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သောအရာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို နှင့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်းတွင် ZFC ၏ ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း သီအိုရမ် (well-ordering theorem) က ဗလာမဟုတ်သော <math>S \subseteq \mathbb{R}</math> တိုင်းတွင် အငယ်ဆုံး[[အစုဝင်]]တစ်ခုစီရှိမည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း (total order) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို အာမခံထားသည်။ သို့ရာတွင် စံ အစီအစဉ် <math>\le</math> သည် ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း လုံးဝမဟုတ်ပေ။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ မည်သည့် ကောင်းစွာအစဉ်ကျမှုကိုမျှ အခြားသော နဂိုမှန်အဆိုများ ထပ်တိုးမယူဆဘဲ တိကျပြတ်သားစွာ တည်ဆောက်၍မရနိုင်ပေ။ တွက်ချက်နိုင်စွမ်းအရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တစ်ခုက ၎င်း၏ဂဏန်းများကို အစဉ်လိုက် ထုတ်ပေးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>x \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို တွက်ချက်နိုင်သောကိန်း (computable number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဖြစ်နိုင်သမျှ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များအားလုံး၏ အစုမှာ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး <math>\mathbb{R}</math> မှာ ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းစစ်အားလုံးနီးပါးသည် တွက်ချက်၍မရနိုင်သောကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အကွာအဝေး ဖန်ရှင် နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Metric and Topological Properties) == === စံ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တည်ဆောက်ပုံ (Standard Metric Structure) === <math>\mathbb{R}</math> အတွင်းရှိ အကွာအဝေးကို ပကတိတန်ဖိုး [[ဖန်ရှင်]] (absolute value function) မှတစ်ဆင့် တိကျစွာ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားပြီး ၎င်းကို <math>\vert{}x\vert{} = \max(x, -x)</math> အဖြစ် တိကျပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ မည်သည့် [[ကိန်းပြည့်]] <math>k \ge 1</math> အတွက်မဆို ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း <math>\mathbb{R}^k</math> သည် ကိန်းစစ်များ၏ [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျ <math>k</math>-ခုတွဲများ]] အားလုံးဖြစ်သည့် <math>\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)</math> ဖြင့် ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \vert{}\mathbf{x} - \mathbf{y}\vert{}</math> အခြေအနေရှိသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>\mathbb{R}^k</math> အပေါ်ရှိ စံ ယူကလစ် အတွင်းမြှောက်လဒ်သည် [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) ကို ပြည့်စုံစေပြီး ၎င်းမှတစ်ဆင့် ဆက်စပ်ဖြစ်ပေါ်လာသော ယူကလစ် [[အကွာအဝေး_ရပ်ဝန်း#အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]] သည် [[တြိဂံ မညီမျှခြင်း]] (triangle inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ === ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ၏ အခြေခံ သီအိုရမ်များ (Fundamental Theorems of Real Analysis) === အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ပြည့်စုံမှုအရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) မဆို <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Hausdorff dimension) <math>1</math> ရှိသော ပြည့်စုံသည့်၊ ခွဲထုတ်၍ရသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]]တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဒေသအလိုက် ကျစ်လျစ်သော်လည်း ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်း (compact space) တစ်ခုအဖြစ်မူ မရှိပေ။ ဘိုဇာနို-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> အတွင်းရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းစဉ်တိုင်းတွင် စုဆုံသည့် ကိန်းစဉ်ပိုင်းတစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အနန္တဖြစ်သော အကန့်အသတ်ရှိသည့် [[အစုပိုင်း]] (subset) တိုင်းတွင် စုဆောင်းမှတ်တစ်ခုစီ ရှိသည်။ ဟိုင်းန-ဘိုရဲလ် သီအိုရမ်အရ <math>\mathbb{R}^k</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}^k</math> တစ်ခုသည် အပိတ်စုဖြစ်ပြီး အကန့်အသတ်ရှိမှသာလျှင် ကျစ်လျစ်သောအစု (compact set) ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေမှုအရ <math>\mathbb{R}</math> သည် ဆက်စပ်နေသော (connected) [[အစု]]ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ အစုပိုင်း <math>E \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုသည် အပိုင်းအခြားတစ်ခုဖြစ်မှသာလျှင် ဆက်စပ်နေသော အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ === <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်ရှိ အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Alternative Topologies on <math>\mathbb{R}</math>) === အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း <math><</math> က လှုံ့ဆော်ပေးသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) သည် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး ဖန်ရှင်မှ လှုံ့ဆော်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ သို့သော်လည်း <math>\mathbb{R}</math> သည် အခြား စံမဟုတ်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံပေးနိုင်သည်။ ယင်းတို့တွင် <math>[a, b)</math> ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ဆော်ဂျင်ဖရေး မျဉ်း ဖြစ်သည့် စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology) သို့မဟုတ် <math>K</math>-တိုပေါ်လော်ဂျီတို့ ပါဝင်သည်။ === အတိုင်းအတာ သီအိုရီ (Measure Theory) === <math>\mathbb{R}</math> ကို ပုံမှန် လီဘက်ဂ် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (Lebesgue measure) ဖြင့် တပ်ဆင်ထားသည်။ ယင်းမှာ စံ အပိုင်းအခြား <math>[0, 1]</math> ၏ အတိုင်းအတာ တိကျစွာ <math>1</math> နှင့် ညီမျှသည့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (translation-invariant) ရှိသည့် အတိုင်းအတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါက မည်သည့် ရှေ့နောက်ညီညွတ်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ထုထည် သို့မဟုတ် အလျားကိုမျှ သတ်မှတ်ပေး၍မရနိုင်သည့် <math>\mathbb{R}</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] သေချာပေါက် တည်ရှိနေသည်။ ယင်းတိုင်းတာ၍မရနိုင်သော အစုများကို ဗစ်တာလီ အစုများ (Vitali sets) ဟု ခေါ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (Algebraic Structures) == အုပ်စု တည်ဆောက်ပုံများတွင် <math>(\mathbb{R}, +)</math> သည် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များသည် မြှောက်ခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်အောက်တွင် <math>(\mathbb{R}^*, \cdot)</math> အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>x \mapsto e^x</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပေးထားသော ထပ်ကိန်းတင် ပုံဖော်မှု <math>\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^{>0}, \cdot)</math> သည် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group isomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံတွင် <math>\mathbb{R}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[အတိုင်းအတာ_(သင်္ချာ)#ဗက်တာရပ်ဝန်း၏_အတိုင်းအတာ_(Dimension_of_a_vector_space)|အနန္တအတိုင်းအတာ]] ရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော အခြေအစုတစ်ခုသည် ရေတွက်၍မရနိုင်သော အနန္တဖြစ်ပြီး တိကျပြတ်သားစွာ မတည်ဆောက်နိုင်သော်လည်း ဤရပ်ဝန်းအတွက် သဘောတရားရေးရာ အခြေအစု ဖြစ်သည့် ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) တစ်ခု တည်ရှိကြောင်းကို ZFC က အာမခံပေးထားသည်။ <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ကိန်းအုံ လီအုပ်စုများတွင် ကိန်းစစ် [[ဖီးလ်ဒ်]]သည် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})</math> ၊ အထူး မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု <math>\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})</math> နှင့် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ လှည့်ခြင်းများကို ကိုယ်စားပြုသော ထောင့်မှန်ကျအုပ်စုများဖြစ်သည့် <math>\mathrm{O}(n)</math> နှင့် <math>\mathrm{SO}(n)</math> အပါအဝင် စံ ကိန်းအုံအုပ်စုများအတွက် ပါဝင်ကိန်းများကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ == ပိုလီနိုမီရယ်များ၊ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ နှင့် တည်ဆောက်နိုင်မှု (Polynomials, Field Extensions, and Constructibility) == ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များအား အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းအရ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ကိန်းသေမဟုတ်သော ဆမခွဲနိုင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (irreducible polynomials) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပိုလီနိုမီရယ်များနှင့် အနုတ်ခွဲခြားကိန်းပါသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပိုလီနိုမီရယ်များအဖြစ်သာ တိကျစွာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ထို့ကြောင့် ဒီဂရီ <math>d \ge 3</math> ရှိသော <math>\mathbb{R}[x]</math> အတွင်းရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံးကို ဆခွဲနိုင်သည်။ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]]ဒီဂရီ (odd degree) ရှိသော မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် <math>f \in \mathbb{R}[x]</math> တွင်မဆို အနည်းဆုံး ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခု ပါရှိသည်။ <math>\mathbb{C}</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံတွင် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ကို <math>\mathbb{R}</math> မှတစ်ဆင့် စားလဒ်[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (quotient ring) <math>\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}</math> အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တည်ဆောက်ထားသည်။ ဤတိုးချဲ့ချက်သည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ်ဖြစ်သော [[ဖီးလ်ဒ်]] (algebraically closed field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ပိုလီနိုမီရယ်အားလုံးအတွက် ကိန်းရင်းများရှိကြောင်းကို အာမခံပေးသည်။ သို့သော်လည်း ယင်းသို့ပြုလုပ်ခြင်းက အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ် ဂုဏ်သတ္တိကို စွန့်လွှတ်လိုက်ရစေသည်။ မည်သည့် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်တွင်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် အနုတ်မဟုတ်သောကိန်းများ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်က <math>i^2 \ge 0 \implies -1 \ge 0</math> ဖြစ်ရန် တောင်းဆိုသဖြင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်းမဆိုသည် ဖီးလ်ဒ်တွက်ချက်မှုများနှင့် ကိုက်ညီမှု မရှိနိုင်ပေ။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများအနေဖြင့် အမှတ် <math>(0,0)</math> နှင့် <math>(1,0)</math> တို့မှစတင်၍ စက်ဝိုင်းချွန် နှင့် ပေတံကိုသာ အသုံးပြုကာ အမှတ် <math>(r, 0)</math> ကို ဖန်တီးနိုင်ပါက ကိန်းစစ် <math>r</math> ကို တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်း (constructible number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းစစ်အားလုံး၏ [[အစု]]သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အဆုံးရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ၏ အထပ်ထပ်တည်ဆောက်မှုများမှတစ်ဆင့် ထုတ်လုပ်ပေးသော ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း <math>\mathcal{C}_{\mathbb{R}} \subset \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ နှင့် ဆက်စပ်နေသော ကိန်းစနစ်များ (Generalizations and Related Number Systems) == === တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်စနစ် နှင့် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (The Extended Real Number System and Projective Line) === [[File:Extended_Real_Numbers.svg|thumb|right| တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (အပေါ်) နှင့် ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (အောက်)]] တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များ (<math>\overline{\mathbb{R}}</math>) အား <math>\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}</math> ကို ဖန်တီးရန် <math>\pm\infty</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအရာက ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့် [[အစုပိုင်း]]တိုင်းတွင် အင်ဖီမမ် (infimum) နှင့် စူပရီမမ် တစ်ခုစီပါဝင်သော ပြည့်စုံသည့် လတ္တစ်တစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။ သို့သော်လည်း <math>\overline{\mathbb{R}}</math> သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအဖြစ်မှ ရပ်စဲသွားသည်။ ကိန်းစစ် ပရိုဂျက်တစ် မျဉ်း (Real Projective Line) တွင် လက္ခဏာမပါသော အနန္တတစ်ခုဖြစ်သည့် <math>\mathbb{R} \cup \{\infty\}</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းက စက်ဝိုင်းပုံ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] အစီအစဉ်တစ်ခုကို ခွင့်ပြုပေးသည်။ ထို့ပြင် ယင်းတွက်ချက်မှုကို <math>x \neq 0</math> အတွက်သာ တိကျစွာသတ်မှတ်ထားသော <math>x/0 = \infty</math> ကဲ့သို့သော သီးခြား တွက်ချက်မှုများကိုလည်း ခွင့်ပြုပေးသည်။ တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်များနည်းတူ ၎င်းသည် ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံကို ဆုံးရှုံးသွားပြီး <math>0/0</math> ကဲ့သို့သော ဖော်ပြချက်များသည် သင်္ချာနည်းအရ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် မရှိဘဲ ကျန်ရစ်သည်။ === အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (Non-Archimedean and Topological Extensions) === ဟိုက်ပါရီးရယ် နှင့် ဆာရီးရယ် ကိန်းများ ဟူသော ဤစနစ်များသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း]] (non-Archimedean) ဆိုင်ရာ အစဉ်ကျသည့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]အဖြစ် တိုးချဲ့သည်။ ထို့ပြင် စံမဟုတ်သည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် အနန္တကြီးမားသောကိန်းများနှင့် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများကို တင်းကျပ်စွာ ထည့်သွင်းပေါင်းစပ်ထားသည်။ ရှည်လျားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း ကို ရေတွက်၍မရနိုင်သော <math>\mathbb{R}</math> ၏ မိတ္တူ <math>\aleph_1</math> ခုကို အတူတကွ ကပ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော ဒေသအလိုက် [[အာခီမီးဒီးစ်_ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ်]]ဖြစ်သည့် အစဉ်ကျသော[[အစု]] တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော်လည်း ၎င်းမှာ ကျယ်ပြန့်လွန်းသဖြင့် စံ အပေါင်းအခြေခံ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းမထားနိုင်ပေ။ === အော်ပရေတာ အက္ခရာသင်္ချာများ (Operator Algebras) === [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက် (self-adjoint) အော်ပရေတာများသည် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်တို့တွင် <math>\mathbb{R}</math> ၏ နက်ရှိုင်းသော ယေဘုယျပြုထားခြင်းများအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ၎င်းတို့၌ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ တည်ရှိပါက အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အပြင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာ|ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာများသည်]] အချိုးညီပြုထားသော မြှောက်လဒ် <math>\frac{1}{2}(AB + BA)</math> အောက်တွင် ယေဘုယျအားဖြင့် ဖက်စပ်၍မရသော ကိန်းစစ် ဂျော်ဒန် အက္ခရာသင်္ချာ (Jordan algebra) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ === အခြားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များ (Alternative Metrics) === အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ် (Ostrowski's theorem) အရ <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ပကတိတန်ဖိုးတိုင်းသည် <math>\mathbb{R}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသော စံ ယူကလစ် ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် သီးခြားဖြစ်သော [[P-အခြေခံကိန်း|p-အခြေခံကိန်းများ]] ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည့် တစ်ခုသော [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> အတွက် p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးတို့အနက် တစ်ခုခုနှင့် ထပ်တူညီမှုရှိသည် (equivalent)။ == ကိုးကား == * {{Citation |last=Aluffi |first=Paolo |title=Algebra: Chapter 0 |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=104 |date=2009 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-4781-7}} * {{Citation |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-66572-4}} * {{Citation |last=Beckmann |first=Petr |title=A History of π (PI) |date=1971 |publisher=St. Martin's Press |isbn=978-0-312-38185-1 |url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck_g8t1/}} * {{Citation |last=Bengtsson |first=Ingemar |title=The Number Behind the Simplest SIC-POVM |journal=Foundations of Physics |volume=47 |issue=8 |pages=1031–1041 |date=2017 |doi=10.1007/s10701-017-0078-3 |arxiv=1611.09087}} * {{Citation |last1=Bishop |first1=Errett |last2=Bridges |first2=Douglas |title=Constructive Analysis |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=279 |date=1985 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-15066-4}} * {{Citation |last=Bourbaki |first=Nicolas |title=General Topology: Chapters 1–4 |series=Elements of Mathematics |date=1989 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-64241-1 |doi=10.1007/978-3-642-61701-0}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen |journal=Mathematische Annalen |volume=5 |issue=1 |pages=123–132 |date=1872 |doi=10.1007/BF01446327}} * {{Citation |last=Cantor |first=Georg |title=Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) |volume=77 |pages=258–262 |date=1874}} * {{Citation |last=Cohen |first=Joel S. |title=Computer Algebra and Symbolic Computation: Elementary Algorithms |volume=1 |date=2002 |publisher=A K Peters |isbn=978-1-56881-158-1}} * {{Citation |last=Corry |first=Leo |title=A Brief History of Numbers |date=2015 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-870259-7}} * {{Citation |last=Dedekind |first=Richard |title=Stetigkeit und irrationale Zahlen |date=1872 |publisher=Friedrich Vieweg und Sohn |place=Braunschweig |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/18318}} * {{Citation |last=Dieudonné |first=Jean |title=Foundations of Modern Analysis |date=1960 |publisher=Academic Press |url=https://archive.org/details/foundationsofmod0000dieu/}} * {{Citation |last=Drobot |first=Stefan |title=Real Numbers |date=1964 |publisher=Prentice-Hall |place=Englewood Cliffs, N.J.}} * {{Citation |last=Dunham |first=William |title=The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue |date=2015 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-6679-3}} * {{Citation |title=Real number |publisher=Encyclopedia Britannica |url=https://www.britannica.com/science/real-number}} * {{Citation |last=Feferman |first=Solomon |title=The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis |date=1964 |publisher=Addison-Wesley |url=https://archive.org/details/numbersystemsfou0000fefe}} * {{Citation |last=Gordan |first=Paul |title=Transcendenz von e und π |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |issue=2–3 |pages=222–224 |date=1893 |doi=10.1007/bf01443647}} * {{Citation |last=Hein |first=James L. |title=Discrete Structures, Logic, and Computability |edition=3rd |date=2010 |publisher=Jones and Bartlett Publishers |place=Sudbury, MA |isbn=978-0-7637-7206-2}} * {{Citation |last=Howie |first=John M. |title=Real Analysis |series=Springer Undergraduate Mathematics Series |date=2001 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-314-0 |doi=10.1007/978-1-4471-0341-7}} * {{Citation |last=Hurwitz |first=Adolf |title=Beweis der Transendenz der Zahl e |journal=Mathematische Annalen |volume=43 |pages=134–135 |date=1893}} * {{Citation |last=Koellner |first=Peter |chapter=The Continuum Hypothesis |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |date=2013 |publisher=Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/continuum-hypothesis/}} * {{Citation |last=Landau |first=Edmund |title=Foundations of Analysis |edition=3rd |date=1966 |publisher=Chelsea |isbn=978-0-8284-0079-4 |url=https://archive.org/details/foundationsofana0000land_o4f9}} * {{Citation |title=Arabic mathematics: forgotten brilliance? |publisher=MacTutor History of Mathematics archive |date=1999 |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics/}} * {{Citation |last=Matvievskaya |first=Galina |title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |volume=500 |issue=1 |pages=253–277 |date=1987 |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x}} * {{Citation |last=Méray |first=Charles |title=Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données |journal=Revue des sociétés savantes des départements |volume=4 |pages=280–289 |date=1869}} * {{Citation |last=Moschovakis |first=Yiannis N. |chapter=5. The Constructible Universe |title=Descriptive Set Theory |pages=274–285 |date=1980 |publisher=North-Holland |isbn=978-0-444-85305-9 |url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc/page/274/}} * {{Citation |last=nLab contributors |title=Real number |date=2026 |publisher=nLab |url=https://ncatlab.org/nlab/show/real+number}} * {{Citation |last=Puttaswamy |first=T. K. |chapter=The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians |pages=410–411 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Richman |first=Fred |title=Real numbers and other completions |journal=Mathematical Logic Quarterly |volume=54 |issue=1 |pages=98–108 |date=2008 |doi=10.1002/malq.200710024}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3rd |date=1976 |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-054235-8}} * {{Citation |last=Sesiano |first=Jacques |chapter=Islamic mathematics |page=148 |editor1-last=Selin |editor1-first=Helaine |editor2-last=D'Ambrosio |editor2-first=Ubiratan |title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |date=2000 |publisher=Springer |isbn=978-1-4020-0260-1}} * {{Citation |last=Stillwell |first=John |title=The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis |series=Undergraduate Texts in Mathematics |date=2013 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-01576-7 |doi=10.1007/978-3-319-01577-4}} * {{Citation |last=Tarski |first=Alfred |title=Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences |edition=4th |date=1994 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-504472-0}} * {{Citation |last=Trefethen |first=Lloyd N. |title=Computing numerically with functions instead of numbers |journal=Mathematics in Computer Science |volume=1 |issue=1 |pages=9–19 |date=2007 |doi=10.1007/s11786-007-0001-y |url=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/trefethen_functions.pdf}} * {{Citation |last=Wheeler |first=John Archibald |title=Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: In the linkage of four mysteries—the "how come" of existence, time, the mathematical continuum, and the discontinuous yes-or-no of quantum physics—may lie the key to deep new insight |journal=American Scientist |volume=74 |issue=4 |pages=366–375 |date=1986 |jstor=27854250}} [[ကဏ္ဍ: ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစစ်များ]] 7qdvdz9orjnukn2xq0ch41bku9c5x9c 0 258212 1060979 1047920 2026-11-01T08:44:27Z Mkant00 135890 1060979 wikitext text/x-wiki ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) တွင် အလျား ၁ ရှိသော [[ဗက်တာ|ဗက်တာ]]ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တို့တွင် အလျားဟူသော သဘောတရားကို ယေဘုယျ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) ဆီသို့ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) သဘောတရားအဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (normed vector space) တစ်ခုအတွင်းရှိ ဗက်တာတစ်ခု၏ စံနှုန်းသည် ၁ ဖြစ်လျှင် ၎င်းဗက်တာကို ယူနစ်ဗက်တာ သို့မဟုတ် ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော ဗက်တာ (normalized vector) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်]] (element) <math>v</math> တစ်ခုအတွက် <math>\|\vec{v}\|=1</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ယူနစ်ဗက်တာဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယူနစ်ဗက်တာများကို ဦးထုပ်ပုံသဏ္ဌာန် သင်္ကေတ <math>\hat v</math> ဖြင့် မကြာခဏ ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ အခြား သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (notation) အနေဖြင့် <math>\vec v_0</math> သို့မဟုတ် <math>\vec e</math> တို့ကိုလည်း အသုံးပြုကြသည်။<ref>{{Citation |last1=Serway |first1=Raymond A. |last2=Jewett |first2=John W. |title=Principles Of Physics: A Calculus-based Text |volume=1 |publisher=Cengage Learning |date=2006 |isbn=978-0-534-49143-7 |page=19 |url=https://books.google.com/books?id=VaroJ5BNuZAC&pg=PA19}}</ref><ref>{{Citation |last1=Bronstein |first1=I. N. |last2=Semendjajew |first2=K. A. |title=Taschenbuch der Mathematik |edition=5. |publication-place=Thun / Frankfurt am Main |publisher=Verlag Harri Deutsch |date=2001 |isbn=3-8171-2005-2 |page=187 |language=de}}</ref> == နောက်ခံအကြောင်းအရာ (Context) == ပေးထားသော သုည[[ဗက်တာ|ဗက်တာ]] (zero vector) မဟုတ်သည့် ဗက်တာ <math>\vec{v}</math> တစ်ခုကို ၎င်း၏[[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]ဖြင့် စားခြင်းအားဖြင့် ယူနစ်ဗက်တာတစ်ခုအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲနိုင်သည်။ စံနှုန်းဆိုသည်မှာ ၎င်းဗက်တာ၏ ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ ၎င်းညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\hat v = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}</math> ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း (normalization) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <ref>{{Citation |last1=Arens |first1=Tilo |last2=Hettlich |first2=Frank |last3=Karpfinger |first3=Christian |last4=Kockelkorn |first4=Ulrich |last5=Lichtenegger |first5=Klaus |last6=Stachel |first6=Hellmuth |title=Mathematik |edition=5. |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer |date=2022 |isbn=978-3-662-64388-4 |page=703 |language=de}}</ref> ရရှိလာသော ဗက်တာသည် <math>\vec{v}</math> နှင့် လားရာတူညီသော ယူနစ်ဗက်တာဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |editor-last=Walz |editor-first=Guido |title=Einheitsvektor |work=Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn |edition=2. |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer Spektrum |date=2017 |isbn=978-3-662-53503-5 |page=13 |language=de}}</ref> ၎င်းသည် ဥပမာအားဖြင့် ဂရမ်-ရွှမစ် ထောင့်မှန်ကျဖြစ်စေခြင်း လုပ်ငန်းစဉ် (Gram-Schmidt orthogonalization process) တွင် သို့မဟုတ် ဟက်ရှန် ပုံမှန်ပုံစံ (Hessian normal form) ကို တွက်ချက်ခြင်းတို့တွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် မည်သည့်ဗက်တာကိုမဆို ၎င်း၏ အလျားနှင့် ၎င်းလားရာအတိုင်းရှိသော ယူနစ်ဗက်တာတို့၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ၎င်းကို <math>\vec v = |\vec v|\cdot\hat v </math> ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ အခြေအစု (basis) တစ်ခု၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များကို]] ယူနစ်ဗက်တာများအဖြစ် မကြာခဏ ရွေးချယ်လေ့ရှိသည်။ ယင်းတို့ကို အခြေအစု ဗက်တာများဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ယူနစ်ဗက်တာများကို အသုံးပြုခြင်းသည် တွက်ချက်မှုများစွာကို ရိုးရှင်းစေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) တစ်ခုတွင် ယူနစ်ဗက်တာ နှစ်ခု၏ စံ အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) သည် ၎င်းတို့နှစ်ခုကြားရှိ ထောင့်၏ ကိုဆိုင်းတန်ဖိုးနှင့် ညီမျှသည်။ == အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော အခြေအနေ (Finite-dimensional case) == [[File:Unit vectors qtl2.svg|thumb|ယူကလစ် ပြင်ညီပေါ်ရှိ ပုံမှန် ယူနစ်ဗက်တာများ]] [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းစစ် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (real vector spaces) <math>\mathbb{R}^n</math> တွင် အသုံးအများဆုံး စံအခြေ[[အစု|အစု]]သည် စံ ယူနစ်ဗက်တာများ သို့မဟုတ် ပုံမှန် (canonical) ယူနစ်ဗက်တာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။<ref>{{Citation |last=Jänich |first=Klaus |title=Mathematik 1 |edition=2. |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer |date=2005 |isbn=3-540-21392-9 |page=144 |language=de}}</ref> :<math> \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\; \dots, \; \vec{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math> ဤယူနစ်ဗက်တာများသည် သက်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများ၏ လားရာအတိုင်း ညွှန်ပြကြသည်။<ref>{{Citation |last=Westermann |first=Thomas |title=Mathematik für Ingenieure 1 |edition=9. |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer |date=2024 |isbn=978-3-662-69657-6 |page=48 |language=de}}</ref> ပုံမှန် ယူနစ်ဗက်တာများကို ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုအတွင်း ပေါင်းစပ်လိုက်ပါက ရလဒ်အနေဖြင့် ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{R}^n</math> ၏ ပုံမှန် ယူနစ်ဗက်တာများအစုသည် ပုံမှန် အတွင်းမြှောက်လဒ်အရ ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ မည်သည့် ပုံမှန် ယူနစ်ဗက်တာနှစ်ခုမဆို အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျကြသည်။ ၎င်းတို့အားလုံးကို ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ပြီးဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အခြေအစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ === ဥပမာ (Example) === [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>\mathbb{R}^3</math> ၏ ပုံမှန် ယူနစ်[[ဗက်တာ|ဗက်တာ]] သုံးခုကို <math>\vec i ,\,\vec j,\,\vec k</math> ဟုလည်း ဖော်ပြကြသည်။ : :<math> \vec i = \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad \vec j = \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad \vec k = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} </math>။ စာပေများတွင် ဦးထုပ်ပုံသဏ္ဌာန် သင်္ကေတများဖြစ်သော <math>\hat \imath, \hat \jmath, \hat k</math> အပြင် စာလုံးမည်းဖြင့် <math>\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}</math> ဟုရေးသားခြင်းသည်လည်း ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ရှိနေသည်။ စာလုံးမည်းသင်္ကေတများကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် ဦးထုပ်ပုံသဏ္ဌာန်များနှင့် တွဲဖက်၍လည်း အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ == အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော အခြေအနေ (Infinite-dimensional case) == အနန္တ[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ရှိသော အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများတွင် ပုံမှန် ယူနစ်ဗက်တာများ၏ အနန္တ[[အစု|အစု]]သည် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် စနစ်တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားဆဲဖြစ်သည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများဆိုသည်မှာ အတွင်းမြှောက်လဒ်တစ်ခုပါဝင်သော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း အခြေအစုတစ်ခုဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ သို့ရာတွင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ (Hilbert spaces) ၌ အနန္တပေါင်းလဒ်များကို ခွင့်ပြုခြင်းအားဖြင့် ရပ်ဝန်း၏ [[ဗက်တာ|ဗက်တာ]]တိုင်းကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် ဖြစ်နိုင်ပေသည်။ ထို့ကြောင့် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု ဟူသော ဝေါဟာရကို အသုံးပြုဆဲဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == <references /> [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] lfupn7uetxcukcbzty6l5hovbx4b6gl 0 258268 1060985 839568 2026-11-01T09:11:20Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060985 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = {{KTSN|K|09|size=50}}<br/>ရှိဂျောဘူတာ | native_name = 四条駅 | native_name_lang = ja | type = | image = Kyoto station subway 02.JPG | alt = | caption = | other_name = | address = [[Shimogyō-ku, Kyoto|Shimogyō-ku]], [[Kyoto]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35|0|9|N|135|45|35|E|type:railwaystation_region:JP|display=inline,title}} | operator = {{ric|Kyoto Municipal Subway|name=y}} | line = {{ric|Kyoto Municipal Subway|k|name=y}} | distance = {{cvt|2.2|km|abbr=on}} from {{STN|Kyōto}} | platforms = 1 [[island platform]] | tracks = 2 | connections = [[Karasuma Station]]<br />([[Hankyu Kyoto Main Line]]) | structure = Underground | code = K09 | website = {{URL|http://www2.city.kyoto.lg.jp/kotsu/tikadia/hyperdia/menu0219.htm|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1981|05|29|df=y}} | closed = | former = | passengers = {{wikidata|property|P1373}} daily<ref>{{cite web|script-title = ja:産業交通水道委員会資料 陳情第81号|url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/shikai/img/iinkai/sangyokousui/H29/data/291025koutsu-chinjo1.pdf|publisher = Kyoto City Assembly|date = 25 October 2017|language = ja|access-date = 8 June 2024|archive-url = https://web.archive.org/web/20230826102827/https://www2.city.kyoto.lg.jp/shikai/img/iinkai/sangyokousui/H29/data/291025koutsu-chinjo1.pdf|archive-date = 26 August 2023|url-status = dead}}</ref> | pass_year = FY{{wikidata|qualifier|P1373|P585}} | services = {{Adjacent stations|system=Kyoto Municipal Subway|line1=k |left1=Gojō |right1=Karasuma Oike |note-left={{KTSN|K|10|size=30}}|note-right={{KTSN|K|08|size=30}}}} }} [[File:Shijo subway station exit 3.JPG|thumbnail|Exit No. 3 at Karasuma-Ayanokōji intersection]] '''ရှိဂျောဘူတာ''' သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ကျိုတိုမြို့၊ ရှိမိုဂယောရပ်ကွက်တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဘူတာသည် ကျိုတိုမြို့ပတ်မြေအောက်ရထားလမ်းကြောင်းနှင့် ခရဆုမလမ်းကြောင်းပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဘူတာသည် ခရဆုမလမ်း၏ မြေအောက်တွင် တည်ဆောက်ထားပြီး ရှိဂျောလမ်းမကို ကန့်လန့်ဖြတ်ကာ တည်ရှိသည်။ မြေအောက်ရှိ ကူးလူးသွားလာရာလမ်းကြောင်းသည် ရှိဂျောလမ်းအောက် ဟန်းခယူးကျိုတိုလမ်းကြောင်းပေါ်ရှိ ခရဆုမဘူတာဘူတာနှင့် ဆက်စပ်လျက်ရှိသည်။ ==ရထားလိုင်းများ== *ကျိုတိုမြို့ပတ်မြေအောက်ရထားလိုင်း **ခရဆုမလိုင်း (ဘူတာအမှတ် K09) ==ဘူတာပုံစံ== လမ်းကြောင်းနှစ်ခုရှိပြီး အလယ်တွင် ပလက်ဖောင်းပါဝင်သည်။ {{ja-rail-line|first=2|pfn=1|name=Karasuma Line|dir=for {{STN|Kyoto}}, {{STN|Takeda|Kyoto|Takeda}} and {{STN|Kintetsu Nara}}|col=#{{rcr|Kyoto Municipal Subway|k}}}} {{ja-rail-line|first=3|pfn=2|name=Karasuma Line|dir=for {{STN|Karasuma Oike}}, {{STN|Kitaoji}} and {{STN|Kokusaikaikan}}|col=#{{rcr|Kyoto Municipal Subway|k}}}} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ပတ်မြေအောက်ရထားဘူတာရုံများ]] ggvq00ue3exx2by0iqn4etpgec2rdse 0 258310 1060984 1060680 2026-11-01T09:10:04Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060984 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = ရှိဂျော - အိုးမိယဘူတာ <br> Shijō-Ōmiya Station | native_name = {{Unbulleted list||しじょうおおみやえき}} | native_name_lang = ja | image = File:Shijo-Omiya Station (03) IMG 7765 R 20141130.JPG | alt = Station platforms, 2014 | caption = Station platforms, 2014 | address = [[Shimogyō-ku]], [[Kyoto]] | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35.0033399|N|135.7485669|E|display=inline,title}}<ref name="map" /> | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = <!-- Termimus --> | platforms = 3 | tracks = 2 | train_operators = | connections = [[Hankyu Kyoto Main Line]]<br />(HK-84: [[Ōmiya Station (Kyoto)|Ōmiya Station]]) | structure = At-grade | parking = | bicycle = | disabled = | code = A1 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/shijo_omiya.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1910|03|25}}<ref name=ekimei /> | closed = <!-- N/A --> | passengers = 2.5 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ရှိဂျော - အိုးမိယဘူတာ''' (四条大宮駅, Shijō-Ōmiya-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[ရှိမိုဂယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|ရှိမိုဂယောရပ်ကွက်]]တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="official" /> ဤဘူတာသည် [[ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း]]၏ အရှေ့ဘက်ဂိတ်ဆုံးဘူတာဖြစ်ပြီး အနောက်ဘက်သို့ ခရီးဆက်ကာ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]ကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။ ထို့နောက်တွင် [[အရရှိယာမဘူတာ (ခဲအိဖုခု)|အရရှိယာမဘူတာ]]တွင် ဂိတ်ဆုံးသည်။<ref name="discover-kyoto" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဘူတာတွင် ရထားများစတင်ထွက်ခွာမည့် ပလက်ဖောင်းနှစ်ခုပါရှိသည်။ ၎င်းပလက်ဖောင်းနှစ်ခုစလုံးသည် အရရှိယာမဘူတာသို့ ထွက်ခွာသည်။<ref name="planner" /> ==အနီးအနားရှိဘူတာများ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်အရရှိယာမလိုင်း}}]]|col=#9d2917|f=w}} {{J-rserv|service=Local|previous=|next=[[ဆိုင်းအင်းဘူတာ|ဆိုင်းအင်း]] (A2)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Shijō-Ōmiya Station}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} {{Randen Arashiyama Line}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/shijo_omiya.php | script-title = ja:四条大宮 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20160404150029/http://randen.keifuku.co.jp/train/shijo_omiya.php | archive-date = 4 April 2016 | url-status = dead}}</ref> <ref name="map">{{cite web | url = http://www.openstreetmap.org/node/4095203733 | title = Node: 四条大宮 (4095203733) | publisher = [[OpenStreetMap]] | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=四条大宮&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name=ekimei>{{Cite book | author = 山谷和弥 | script-title=ja:京の路面電車 駅名ものがたり | year = 1991 | publisher = カギコウ | page=4 |language=ja}}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] mvt0vfrvjpc60xjivyc4b8xfrqyrz80 0 260514 1060955 842459 2026-11-01T02:54:15Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060955 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ထန့်ဇောလ်မြို့ | official_name = | native_name = Thenzawl | native_name_lang = lus | other_name = | settlement_type = မြို့ | image_skyline = | image_alt = | image_caption = | map_alt = | map_caption = | pushpin_map = India Mizoram#India | pushpin_label_position = left | pushpin_map_alt = | pushpin_map_caption = | subdivision_type = နိုင်ငံ | subdivision_name = အိန္ဒိယ | subdivision_type1 = ပြည်နယ် | subdivision_type2 = ခရိုင် | subdivision_name1 = [[မီဇိုရမ်ပြည်နယ်]] | subdivision_name2 = [[ဆယ်ရ်ချစ်ခရိုင်|ဆယ်ရ်ချစ်]] | established_title = <!-- Established --> | established_date = | founder = | named_for = | government_type = | governing_body = | unit_pref = Metric | area_footnotes = | area_total_km2 = | area_rank = | elevation_footnotes = | elevation_m = 783 | population_total = ၁၀၃၀၀ | population_as_of = ၂၀၂၁ | population_footnotes = | population_density_km2 = auto | population_rank = | population_demonym = | demographics_type1 = Languages | demographics1_title1 = Official | timezone1 = [[Indian Standard Time|IST]] | utc_offset1 = +5:30 | postal_code_type = <!-- [[Postal Index Number|PIN]] --> | postal_code = 796186 | registration_plate = MZ | website = | footnotes = | subdivision_name3 = [[Köppen climate classification|Climate]] }}'''ထန့်ဇောလ်မြို့'''သည် [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]]၊ [[မီဇိုရမ်ပြည်နယ်]]ရှိ [[ဆယ်ရ်ချစ်ခရိုင်]] ရှိ မြို့ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် မီဇိုရိုးရာ ယက္ကာလုပ်ငန်းအတွက် အချက်အချာတစ်ခုဖြစ်ပြီး သဘာဝအလှပကြောင့် ပြည်ပခရီးသွားများ နှစ်သက်ရာမြို့လည်း ဖြစ်သည်။ <ref>[http://southasia.oneworld.net/todaysheadlines/mizorams-sleepy-villages-come-to-life One World South Asia]</ref> == ခရီးသွားလုပ်ငန်း == * [[ဗန်သောင်းရေတံခွန်]] - {{Convert|5|km}} Thenzawl ၏တောင်ဘက်။ <ref>{{Cite web|url=http://www.india9.com/i9show/Vantawng-Falls-14604.htm|title=Vantawng Falls|work=|first=|last=|publisher=india9|access-date=2010-06-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20120829031219/http://www.india9.com/i9show/Vantawng-Falls-14604.htm|archive-date=29 August 2012|url-status=dead}}</ref> * စော်ဘွား ဘန်းခွိုင်းယာ အိမ် - Thenzawl Bengkhuaia တည်ထောင်သူသည် 1871 ခုနှစ်တွင် Alexandrapur ကို ကျူးကျော်ဝင်ရောက်ခဲ့ပြီး [[မေရီဝင်းချက်စတာ (ဇိုးလူ့သီး)|မေရီဝင်းချက်စတာ]] သည် ဗြိတိသျှတို့အား မီဇိုရမ်ပြည်နယ်သို့ ပို့ဆောင်ပေးခဲ့သော Mary Winchester ကို ပြန်ပေးဆွဲခဲ့သည်။ * ကျောင်းချီလိ လှိုဏ်ဂူ - မိန်းမနဲ့မြွေကြားက အချစ်ဇာတ်လမ်းနဲ့ ဆက်စပ်နေတဲ့ လှိုဏ်ဂူ။ <ref>{{Cite web|title=Chawngchilhi|url=http://mizowritinginenglish.com/2008/04/chawngchilhi.html|archivedate=1 September 2012}}</ref> <ref>{{Cite web|title=Chawngchilhi Puk|url=http://thezozamtimes.org/index.php?option=com_content&view=article&id=154:chawngchilhi-puk&catid=1:latest-news|archive-url=https://archive.today/20130415225322/http://thezozamtimes.org/index.php?option=com_content&view=article&id=154:chawngchilhi-puk&catid=1:latest-news|archive-date=15 April 2013|archivedate=1 September 2012}}</ref> <ref>{{Cite web|title=Chawngchilhi puk|url=http://www.misual.com/2009/07/31/chawngchilhi-puk/|archivedate=1 September 2012}}</ref> * [[သွီးရိဟျောင်ရေတံခွန်]]- ဗန်တော်ရေတံခွန်၏အထက်ဘက်၊ တန်ဇောလ်အနီးရှိ လှပသောရေတံခွန်။ <ref>{{Cite web|title=photo|url=https://www.flickr.com/photos/50373262@N06/5932873325/|archivedate=1 September 2012}}</ref> * Thenzawl Deer Park - သဘာဝ ပတ်ဝန်းကျင်တွင် သမင် ၁၇ ကောင် (အမျိုးသမီး ၁၁ ကောင်နှင့် အထီး ၆ ကောင်) ရှိသည်။ <ref>{{Cite web|title=Environment & Forest Minister - In Thenzawl Deer Park Tlawh|url=http://dipr.mizoram.gov.in/press-release/environment-forest-minister-in-thenzawl-deer-park-tlawh|archivedate=7 March 2016|access-date=10 August 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307023427/https://dipr.mizoram.gov.in/press-release/environment-forest-minister-in-thenzawl-deer-park-tlawh}}</ref> * Thenzawl ဂေါက်ကွင်းနှင့် အပန်းဖြေစခန်း <ref>https://thenzawlgolfresort.com/</ref> ကို "အိန္ဒိယအရှေ့မြောက်ပိုင်းရှိ ရာသီတိုင်းတွင် အကောင်းဆုံးဂေါက်ကွင်းများထဲမှ တစ်ခု" အဖြစ် အဆင့်သတ်မှတ်ထားသည်။{{Citation needed|date=August 2023}}</link><sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B; ''[[ဝီကီပီးဒီးယား:ကိုးကားချက် လိုအပ်သည်|<span title="This claim needs references to reliable sources. (August 2023)">ကိုးကားလိုအပ်သည်</span>]]'' &#x5D;</sup> == ကိုးကား == [[ကဏ္ဍ:ဝီကီဒေတာရှိ ကိုဩဒိနိတ်များ]] hkpdgjord0undr06538q8iuify69qc1 0 260515 1060966 842527 2026-11-01T05:31:49Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060966 wikitext text/x-wiki {{Infobox waterfall|name=ဗန်သောင်းရေတံခွန်<br/>Vantawng Khawhthla|photo=Vantawng Khawhthla.jpg|image_size=300|photo_caption=Vantawng Khawhthla|location=[[ဆယ်ရ်ချစ်ခရိုင်]]၊ [[မီဇိုရမ်ပြည်နယ်]]၊ [[အိန္ဒိယနိုင်ငံ]]|coords={{Coord|23.25692|92.76246|format=dms|type:waterbody_region:IN|display=inline,title}}|type=Tiered|height={{convert|228.6|m|abbr=on}}|average_flow=|watercourse=ဗန်ဗားမြစ်|embed=|map=India Mizoram#India|relief=y}} '''ဗန်သောင်းရေတံခွန်'''သည် [[မီဇိုရမ်]]၊ [[ဆယ်ရ်ချစ်ခရိုင်]]၊ [[ထန့်ဇောလ်မြို့]]၏ တောင်ဘက် {{Convert|5|km}} အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ၎င်းသည် [[မီဇိုရမ်ပြည်နယ်]] ၏ အမြင့်ဆုံး ရေတံခွန်ဖြစ်သည်။ {{Convert|92|km|miles}} ခန့်ရှိသည်။ [[အိုက်ဇောမြို့]] နှင့် ၅၇ မိုင် ဝေးသည်။ <ref>{{Cite web|url=http://www.india9.com/i9show/Vantawng-Falls-14604.htm|title=Vantawng Falls|archive-date=29 August 2012|access-date=10 August 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20120829031219/http://www.india9.com/i9show/Vantawng-Falls-14604.htm|url-status=dead}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:အိန္ဒိယနိုင်ငံရှိ လည်ပတ်စရာနေရာများ]] [[ကဏ္ဍ:အိန္ဒိယနိုင်ငံရှိ ရေတံခွန်များ]] 4hzqyxu9vb5l2org8bzd1pwox2jp87i 0 269205 1060972 1060664 2026-11-01T08:26:09Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060972 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = ယာမနိုအုချိဘူတာ | native_name = {{Unbulleted list|山ノ内駅|やまのうち}} | native_name_lang = ja | image = Keifuku Yamanouchi stn.jpg | alt = Station platforms, 2006 | caption = Station platforms, 2006 | address = [[Ukyo-ku]], [[Kyoto]] | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35.0083054|N|135.7231503|E|display=inline,title}}<ref name="map" /> | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = 2.0km from {{STN|Shijō-Ōmiya|x}} | platforms = 2 | tracks = 2 | train_operators = | connections = | structure = At-grade | parking = | bicycle = | accessible = | code = A4 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/yamanouchi.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1910|03|25}}<ref name=ekimei /> | closed = <!-- N/A --> | passengers = 0.3 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ယာမနိုအုချိဘူတာ''' (山ノ内駅, Yamanouchi-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဘူတာသည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာတွင် ခရီးစတင်ပြီး အရရှိယာမတွင် ခရီးဆုံးသည့် "ရန်ဒန်းအရရှိယာမရထားလိုင်း" ကို ဝန်ဆောင်မှုပေးလျက်ရှိသည်။<ref name="discover-kyoto" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဤဘူတာတွင် ပလက်ဖောင်းနှစ်ခုပါရှိသည်။ ပလက်ဖောင်းအမှတ် (၁) သည် အရရှိယာမဘူတာသို့ သွားမည့်ရထားစီနင်းရန်ဖြစ်ပြီး ပလက်ဖောင်းအမှတ် (၂) သည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာသို့သွားမည့် ရထားအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="planner" /> ==ကပ်လျက်ဘူတာ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း}}]]|col=#9d2917|f=w}} {{J-rserv|service=Local|previous=[[နိရှိအိုးဂျိ - ဆန်းဂျောဘူတာ|နိရှိအိုးဂျိဆန်းဂျော]] (A3)|next=[[ရန်ဒန်တန်းဂျင်းဂဝဘူတာ|ရန်ဒန်တန်းဂျင်းဂဝ]] (A5)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Yamanouchi Station (Kyoto)}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/yamanouchi.php | script-title = ja:山ノ内 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20200708135438/https://randen.keifuku.co.jp/train/yamanouchi.php | archive-date = 8 July 2020 | url-status = dead}}</ref> <ref name="map">{{cite web | url = http://www.openstreetmap.org/node/335664207 | title = Node: Yamanouchi (335664207) | publisher = [[OpenStreetMap]] | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=山ノ内&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="ekimei">{{Cite book | author = 山谷和弥 | script-title=ja:京の路面電車 駅名ものがたり | year = 1991 | publisher = カギコウ | page = 33 |language=ja}}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ခဲအိဖုခုလျှပ်စစ်ရထားလိုင်းရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၁၀ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည့် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုစီရင်စုရှိ ဘူတာရုံများ]] s1nipxffq9u27d9pgqil5hufhkum2zd 0 269364 1060976 1060667 2026-11-01T08:37:49Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060976 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = ရန်ဒန်တန်းဂျင်းဂဝဘူတာ | native_name = {{Unbulleted list|嵐電天神川駅|らんでんてんじんがわ}} | native_name_lang = ja | image = Randen Mobo 501 tram.jpg | alt = Station platforms, 2010 | caption = Station platforms, 2010 | address = [[Ukyo-ku]], [[Kyoto]] | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35.0102352|N|135.7150576|E|display=inline,title}}<ref name="map" /> | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = {{convert|2.8|km|abbr=on}} from {{STN|Shijō-Ōmiya|x}} | platforms = 2 | tracks = 2 | train_operators = | connections = [[Kyoto Municipal Subway]] [[Tōzai Line (Kyoto)|Tōzai Line]]<br />(T17: {{STN|Uzumasa Tenjingawa|x}}) | structure = At-grade | parking = | bicycle = | code = A5 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/randen_tenjingawa.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|2008|03|28}} | closed = <!-- N/A --> | passengers = 1.7 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ရန်ဒန်တန်းဂျင်းဂဝဘူတာ''' (嵐電天神川駅, Randen-Tenjingawa-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤမီးရထားဘူတာသည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာတွင် စတင်ပြီး အရရှိယာမဘူတာတွင် ခရီးစဉ်အဆုံးသတ်သည့် ရန်ဒန်အရရှိယာရထားလိုင်းပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။<ref name="discover-kyoto" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဘူတာတွင် မြေပြင်ညီစင်္ကြံနှစ်ခု ပါရှိသည်။ စင်္ကြံအမှတ် (၁) သည် အရရှိယာမဘူတာသို့ သွားသည့် ရထားများအတွက်ဖြစ်ပြီး စင်္ကြန်အမှတ် (၂) သည် အိုးမိယဘူတာသို့သွားသည့် ရထားများအတွက် ဖြစ်သည်။<ref name="planner" /> ==ကပ်လျက်ဘူတာများ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း}}]]|col=#9d2917|f=w}} {{J-rserv|service=Local|previous=[[ယာမနိုအုချိဘူတာ (ကျိုတို)|ယာမနိုအုချိ]] (A4)|next=[[ခိုင်းခိုနိုယရှိရိုဘူတာ|ခိုင်းခိုနိုယရှိရို]] (A6)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Randen-Tenjingawa Station}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} {{Randen Arashiyama Line}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/randen_tenjingawa.php | script-title = ja:嵐電天神川 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20211209041234/https://randen.keifuku.co.jp/train/randen_tenjingawa.php | archive-date = 9 December 2021 | url-status = dead}}</ref> <ref name="map">{{cite web | url = http://www.openstreetmap.org/node/4893246656 | title = Node: Randen-Tenjingawa (4893246656) | publisher = [[OpenStreetMap]] | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=嵐電天神川&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုစီရင်စုရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည့် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဲအိဖုခုလျှပ်စစ်ရထားလိုင်းရှိ ဘူတာရုံများ]] 3ssiy1ueulfx2q45a8b2gql9iv8lodv 0 269480 1060977 1060668 2026-11-01T08:41:31Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060977 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = ရိုခုအိုးအင်းဘူတာ | native_name = {{Unbulleted list|鹿王院駅|ろくおういん}} | native_name_lang = ja | image = 京福鹿王院駅.JPG | alt = Station platforms, 2007 | caption = Station platforms, 2007 | address = [[Ukyo-ku]], Kyoto | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = Japan | coordinates = {{coord|35.0170046|N|135.6856844|E|display=inline,title}}<ref name="map" /> | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = 6.5km from {{STN|Shijō-Ōmiya|x}} | platforms = 2 | tracks = 2 | train_operators = | connections = | structure = At-grade | parking = | bicycle = | accessible = | code = A11 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/rokuoin.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1956|11|27}} | closed = <!-- N/A --> | passengers = 0.4 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ရိုခုအိုးအင်းဘူတာ''' (鹿王院駅, Rokuōin-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="official" /> ဤဘူတာသည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာမှ အနောက်ဘက်ရှိ အရရှိယာမဘူတာသို့ ပြေးဆွဲသည့် ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်းပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။<ref name="discover-kyoto" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဘူတာတွင် စင်္ကြံနှစ်ခု ပါရှိသည်။ စင်္ကြံအမှတ် (၁) သည် အရရှိယာမဘူတာသို့ သွားမည့်ရထားများစီးနင်းရန်အတွက်ဖြစ်ပြီး စင်္ကြံအမှတ် (၂) သည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာသို့သွားမည့် ရထားများစီးနင်းရန် အသုံးပြုသည်။<ref name="planner" /> ==ကပ်လျက်ဘူတာ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း}}]]|col=#9d2917|f=w}} {{J-rserv|service=Local|previous=[[ခုရုမဇခိဂျင်းဂျဘူတာ|ခုရုမဇခိဂျင်းဂျ]] (A10)|next=[[ရန်ဒန်ဆဂဘူတာ|ရန်ဒန်ဆဂ]] (A12)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Rokuōin Station}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} {{Randen Arashiyama Line}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/rokuoin.php | script-title = ja:鹿王院 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20200628205459/https://randen.keifuku.co.jp/train/rokuoin.php | archive-date = 28 June 2020 | url-status = dead}}</ref> <ref name="map">{{cite web | url = http://www.openstreetmap.org/node/335664393 | title = Node: Rokuōin (335664393) | publisher = [[OpenStreetMap]] | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=鹿王院&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုစီရင်စုရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဲအိဖုခုလျှပ်စစ်ရထားလိုင်းရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၅၆ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည့် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] ec7l0asv19uduxpdgbrc952gb0ucqrb 0 269549 1060975 1060666 2026-11-01T08:37:46Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060975 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = Randen-Saga Station | native_name = {{Unbulleted list|嵐電嵯峨駅|らんでんさが}} | native_name_lang = ja | image = 京福嵐電嵯峨駅.JPG | alt = Station platforms, 2007 | caption = Station platforms, 2007 | address = [[Ukyo-ku]], [[Kyoto]] | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35.0164451|N|135.6814425|E|display=inline,title}}<ref name="map" /> | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = 6.9km from {{STN|Shijō-Ōmiya|x}} | platforms = | tracks = 2 | train_operators = | connections = {{Plain list| * [[JR West]] [[Sagano Line]]<br />({{STN|Saga-Arashiyama|x}}) * [[Sagano Scenic Railway]] ({{STN|Torokko&nbsp;Saga|x}}) }} | structure = At-grade | parking = | bicycle = | accessible = | code = A12 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/randensaga.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1910|03|25}}<ref name=ekimei /> | closed = <!-- N/A --> | passengers = 0.6 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ရန်ဒန်ဆဂဘူတာ''' (嵐電嵯峨駅, Randen-Saga-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]တွင် တည်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref name="official" /> ဤဘူတာသည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာမှ အနောက်ဘက်ရှိ အရရှိယာမဘူတာသို့ ပြေးဆွဲသည့် ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်းပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။<ref name="discover-kyoto" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဘူတာတွင် စင်္ကြံနှစ်ခု ပါရှိသည်။ စင်္ကြံအမှတ် (၁) သည် အရရှိယာမဘူတာသို့ သွားမည့်ရထားများစီးနင်းရန်အတွက်ဖြစ်ပြီး စင်္ကြံအမှတ် (၂) သည် ရှိဂျောအိုးမိယဘူတာသို့သွားမည့် ရထားများစီးနင်းရန် အသုံးပြုသည်။<ref name="planner" /> ==ကပ်လျက်ဘူတာ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း}}]]|col=#9d2917|f=w}} {{J-rserv|service=Local|previous=[[ရိုခုအိုးအင်းဘူတာ|ရိုခုအိုးအင်း]] (A11)|next=[[အရရှိယာမဘူတာ (ခဲအိဖုခု)|အရရှိယာမ]] (A13)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Randen-Saga Station}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} {{Randen Arashiyama Line}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/rokuoin.php | script-title = ja:鹿王院 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20200628205459/https://randen.keifuku.co.jp/train/rokuoin.php | archive-date = 28 June 2020 | url-status = dead}}</ref> <ref name="map">{{cite web | url = http://www.openstreetmap.org/node/335664393 | title = Node: Rokuōin (335664393) | publisher = [[OpenStreetMap]] | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=鹿王院&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုစီရင်စုရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] b7xgbbu76oa6i4n3qs5szhji8rkhtmr 0 271149 1060869 877604 2026-10-31T13:51:40Z Phawyaing 150223 ဇာတ်ပေါင်းခန်းတွင် လိုနေသော စာများကို စာအုပ်မှ ကူးထည့်ပေးပါသည် 1060869 wikitext text/x-wiki {{ဗုဒ္ဓဘာသာ}} '''ပကိဏ္ဏကနိပါတ် -၄၉၆-ဘိက္ခာပရမ္ပရဇာတ် မွန်မြတ်သောဘောဇဉ်ကိုမင်းကြီးအားဆက်၍ မင်းကြီးမှတစ်ဖန်ပုဏ္ဏား၊ ပုဏ္ဏားမှတစ်ဖန်ရသေ့၊ ရသေ့မှတစ်ဖန်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါတိုင်အောင်အဆင့်ဆင့်မြတ်သူတို့အားလှူဒါန်းသဖြင့် အလွန်ဝမ်းမြောက်ဝမ်းသာခြင်းဖြစ်ရသော အလှူရှင်သူကြွယ်အကြောင်း။ <h3>ပစ္စုပ္ပန်ဝတ္ထု</h3> <h3>တရားလှူရေး အာနန္ဒာမေး</h3><p> နတ်လူတို့ဆရာဖြစ်တော်မူသော မြတ်စွာဘုရားသည် ဇေတဝန်ကျောင်းတော်၌သီတင်းသုံးတော်မူစဉ် သူကြွယ်တစ်ယောက်သည်သဒ္ဓါတရားနှင့်ပြည့်စုံ၏၊ အမြဲမပြတ်ဘုရားအား၎င်း၊ သံဃာအား၎င်းပူဇော်သက္ကာရကိုပြု၏၊ ထိုသူကြွယ်သည်တစ်နေ့သ၌အကြံဖြစ်သည်မှာ “ငါကား ဘုရားရတနာနှင့်သံဃာရတနာကိုပူဇော်ရပေပြီ၊ တရားရတနာကိုလည်းပူဇော်လိုသည် အဘယ်သို့ပူဇော်ရပါအံ့နည်း” ကြံစည်ကာ မြတ်စွာဘုရားထံသွား၍ထိုအကြောင်းကိုလျှောက်ထား၏။</p> <p>ထိုအခါမြတ်စွာဘုရားသည်သူကြွယ်အား “ဒါယကာ... သင်သည်အကယ်၍တရားရတနာကိုပူဇော်လိုသည်ဖြစ်အံ့၊ တရားဘဏ္ဍာစိုးဖြစ်သောရှင်အာနန္ဒာကိုပူဇော်လော့၊ ရှင်အာနန္ဒာကိုပူဇော်လျှင်တရားကိုပူဇော်သည်မည်၏”ဟုမိန့်တော်မူ၏၊ သူကြွယ်သည်မြတ်စွာဘုရားမိန့်တော်မူတိုင်းရှင်အာနန္ဒာအားပင့်၍ တရားရတနာအားရည်မှတ်ကာဆွမ်းခဲဖွယ်ဘောဇဉ်နှင့်သင်္ကန်းသုံးထည်တို့ကိုလှူဒါန်း၏။</p> <h3>ဆွမ်းနှင့်သင်္ကန်း ဆင့်ဆင့်လှူဒါန်း</h3><p> ရှင်အာနန္ဒာသည် “ဤဆွမ်းခဲဖွယ်ဘောဇဉ်နှင့်သင်္ကန်းတို့ကားတရားရတနာအားသာလှူဒါန်းအပ်၏၊ ငါနှင့်မထိုက်တန်”ဟု တရားစစ်သူကြီးဖြစ်သောရှင်သာရိပုတ္တရာအားလှူဒါန်းလေ၏၊ ရှင်သာရိပုတ္တရာလည်း “ဤဆွမ်းခဲဖွယ်ဘောဇဉ်နှင့်သင်္ကန်းတို့ကားတရားရတနာအားသာလှူအပ်၏၊ ငါနှင့်မထိုက်တန်”ဟု တရား၏အရှင်ဖြစ်တော်မူသောမြတ်စွာဘုရားအားလှူဒါန်းပြန်၏၊ မြတ်စွာဘုရားလည်းကိုယ်တော်ထက်လွန်မြတ်သူကိုမမြင်သဖြင့် ဆွမ်းခဲဖွယ်ဘောဇဉ်ကိုလည်းဘုဉ်းပေးတော်မူ၏၊ သင်္ကန်းကိုလည်းသုံးဆောင်တော်မူ၏။</p> <p>ရဟန်းတို့သည်တရားသဘင်ဝယ် ထိုအကြောင်းကိုစကားစပ်မိ၍ပြောဆိုနေကြရာ မြတ်စွာဘုရားကြွလာတော်မူ၍သိတော်မူလျှင်– “ရဟန်းတို့... ယခုအခါ၌သာဆွမ်းသည်အဆင့်ဆင့်သင့်လျော်သောအဖြစ်သို့ရောက်သည်မဟုတ်၊ ရှေးအခါ၌လည်းရောက်ခဲ့ဘူးပြီ”ဟုမိန့်တော်မူကာအောက်ပါအတိတ်ဇာတ်ကိုဆောင်တော်မူသတည်း။</p> --- <h3>အတိတ်ဝတ္ထု</h3> <h3>ပြည်တွင်းပြည်ပ စုံစမ်းကြ</h3><p> လွန်လေပြီးသောအခါ ဗာရာဏသီပြည်ဝယ်ဗြဟ္မဒတ်မင်းသည် အဂတိလေးပါးမလိုက်စားဘဲ မင်းကျင့်တရားဆယ်ပါးနှင့်အညီမင်းပြုလေ၏၊ ဤသို့တရားနှင့်အညီမင်းပြုသော်လည်းသင့်တင့်လျောက်ပတ်ခြင်းသည်မဖြစ်၊ ဆိတ်ငြိမ်သကဲ့သို့ဖြစ်၏၊ ထိုအခါမင်းကြီးသည်မိမိအားကျေးဇူးမဲ့ကဲ့ရဲ့စကားပြောသောသူကိုစုံစမ်းရှာဖွေရာ၊ နန်းတွင်းနန်းပြင်မြို့တွင်းမြို့ပြင်တို့၌မမြင်၊ ထိုအခါဇနပုဒ်၌လှည့်လည်၍စုံစမ်းရှာဖွေမည်ဟု အမတ်ကြီးတို့အားတိုင်းပြည်ကိုအပ်နှင်းခဲ့ပြီးလျှင် ပုရောဟိတ်နှင့်တကွမထင်ရှားသောအသွင်ဖြင့်စုံစမ်းရှာဖွေသော်လည်းမမြင်သဖြင့် နိဂုံးရွာတစ်ခုသို့သွား၍ရွာတံခါးစရပ်တွင်နေ၏။</p> <h3>မင်းမှတဖုံ ဆင့်ဆင့်လှူပုံ</h3><p> ထိုခဏဝယ် နိဂုံး၌ကုဋေရှစ်ဆယ်စည်းစိမ်ရှိသောသူကြွယ်သည် များစွာသောအခြံအရံဖြင့်ရေချိုးဆိပ်သို့သွားသည်ရှိသော် အဆင်းအင်္ဂါလှပ၍သိမ်မွေ့နူးညံ့သောမင်းကိုမြင်လျှင်ချစ်ခင်ကြည်ညိုသောစိတ်ရှိသည်ဖြစ်၍ စရပ်သို့ဝင်၍ အပြေအပြစ်လောကွတ်ပျူငှါနှုတ်ခွန်းဆက်ပြီးလျှင် “ဤစရပ်၌ခေတ္တဆိုင်းငံ့ပါဦး”ဟုတောင်းပန်ကာ အိမ်သို့ပြန်၍မွန်မြတ်သောခဲဖွယ်ဘောဇဉ်တို့ဖြင့်ပြည့်စေလျက် အခြံအရံတို့ဖြင့်မြတ်သောထမင်းကိုယူ၍လာ၏၊</p> <p>ထိုအခိုက်၌ အဘိညာဉ်ငါးပါးနှင့်ပြည့်စုံသောရသေ့သည်လာလတ်၍ ထိုစရပ်၌နေ၏၊ နန္ဒမူလိုဏ်မှရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါသည်လာလတ်၍ ထိုစရပ်၌လျှင်နေ၏၊ သူကြွယ်သည်လက်ဆေးရေပေး၍ ထမင်းခွက်ကိုမင်းအားဆက်၏၊ မင်းသည်ယူ၍ပုရောဟိတ်အားပေး၏၊ ပုရောဟိတ်သည်ရသေ့အားလှူ၏၊ ရသေ့လည်းရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအားလှူပြန်၏၊ ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါသည်တစ်စုံတစ်ယောက်ကိုမျှမပန်ကြားမူ၍ဘုဉ်းပေးတော်မူ၏။</p> <p>ထိုအခါသူကြွယ်သည် “ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအဆင့်ဆင့်လူပေ။ ဆွမ်းဘုဉ်းပေးပြီးလျှင်ငါသည်မင်းအားဆက်၏၊ မင်းသည်ပုရောဟိတ်အား၊ ပုရောဟိတ်သည်ရသေ့အား၊ ရသေ့သည်ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအား အဆင့်ဆင့်လှူဒါန်းခြင်းကားအကြောင်းအသို့ရှိသနည်း၊ ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါမပန်ကြားဘဲဘုဉ်းပေးခြင်းကားအကြောင်းအချို့ရှိသနည်း၊ ဤလေးယောက်တို့ကိုအစဉ်အတိုင်းကပ်၍မေးမည်”ဟုကြံစည်၍ မင်းကြီးထံရှေးဦးစွာကပ်၍-</p> <p>“မြတ်သောမင်းကြီး... ပစ္စန္တရစ်သို့ရောက်လာသော အရှင်မင်းကြီးအားချစ်ခင်ကြည်ညိုသောစိတ်ရှိသည်ဖြစ်၍ မွန်မြတ်သောခဲဖွယ်ဘောဇဉ်တို့ဖြင့်ပြည့်သောထမင်းကိုအိမ်သို့ပြန်၍ယုဆောင်ကာဆက်သပါ၏၊ သင်မင်းကြီးသည်ကိုယ်တိုင်မသုံးဆောင်ဘဲအဘယ်ကြောင့်ပုရောဟိတ်အားပေးပါသနည်း”—<br> ဟု မင်းကြီးအားမေးလျှောက်၏၊ မင်းကြီးသည်–</p> <p>“အို-သူကြွယ်... ဤပုရောဟိတ်ကားငါ၏ဆရာတည်း၊ အမှုကြီးငယ်တို့၌ကြောင့်ကြစိုက်၏၊ အလေးပြုထိုက်သူ၊ စားလှည့်ခေါ်ထိုက်သူဖြစ်၏၊ ထို့ကြောင့်ပုရောဟိတ်အားပေးပါ၏”—<br> ဟု သူကြွယ်အားပြောကြား၏၊ ထို့နောက်သူကြွယ်သည်ပုရောဟိတ်ထံကပ်၍–</p> <p>“အို-ပုရောဟိတ်... သင်သည်မင်းကြီးပေးသောထမင်းကိုကိုယ်တိုင်မသုံးဆောင်ဘဲ အဘယ့်ကြောင့်ရသေ့အားလှူဘိသနည်း၊ မိမိသည်အလှူ၏ကောင်းသောလယ်တာမြေမဟုတ်သည်၏အဖြစ်ကိုသိ၍ပါလား”—<br> ဟု ပုရောဟိတ်အားမေးမြန်းပြန်၏၊ ပုရောဟိတ်သည်–</p> <p>“အို-သူကြွယ်... ငါကားသားမယားတို့ကိုမွေးမြူ၏၊ အိမ်၌တပ်မက်၏၊ ကာမဂုဏ်တို့ကိုခံစား၏၊ မင်းကြီးအားဆုံးမရ၏၊ ရသေ့မြတ်ကား-ခြိုးခြံသောအကျင့်ရှိ၏၊ ပညာဂုဏ်ကြီး၏၊ ကိုယ်အကျင့်ကိုပွားများ၏၊ တော၌နေ၏၊ ထို့ကြောင့်ရသေ့မြတ်အားလှူဒါန်းပါ၏”—<br> ဟု သူကြွယ်အားပြောကြား၏၊ ထို့နောက်သူကြွယ်သည်ရသေ့မြတ်ထံကပ်၍–</p> <p>“ရှင်ရသေ့... အရှင်သည်ပုရောဟိတ်လှူဒါန်း‌သောဆွမ်းကိုကိုယ်တိုင်မဘုဉ်းပေးဘဲအဘယ့်ကြောင့်ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအားလှူဒါန်းပါသနည်း၊ ဤရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါသည်ရှင်ရသေ့ထက်အဘယ်ကျေးဇူးဖြင့်လွန်မြတ်ပါသနည်း”—<br> ဟု ရသေ့အားမေးလျှောက်ပြန်၏၊ ရသေ့သည်–</p> <p>“အို-သူကြွယ်... ငါကား-သစ်ဥတို့ကိုတူး၍စားရ၏၊ သစ်သီးတို့ကိုဆွတ်၍စားရ၏၊ ဆန်၊ ဟင်းသီး၊ ဟင်းရွက်တို့ကိုချက်ပြုတ်၍စားရ၏၊ ခြင်္သေ့စားကြွင်းကျားစားကြွင်းအမဲတို့ကိုချက်၍စားရ၏၊ သိမ်းဆည်းရ၏၊ စွဲလမ်းရ၏၊ ကြောင့်ကြစိုက်ရ၏၊ ဤရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါကားတူးဆွချက်ပြုတ်ခြင်းမရှိ၊ သိမ်းဆည်းခြင်းမရှိ၊ ကြောင့်ကြစိုးရိမ်ခြင်းမရှိ၊ တဏှာဒိဋ္ဌိတို့ဖြင့်စွဲလမ်းခြင်းမရှိ၊ ထို့ကြောင့်ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအားလှူဒါန်းပါ၏”—<br> ဟု သူကြွယ်အားပြောကြား၏၊ ထို့နောက်သူကြွယ်သည်ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါထံကပ်၍-</p> <p>“အရှင်ဘုရား... အရှင်ဘုရားသည်... ရသေ့မြတ်လှူဒါန်းသောဆွမ်းကို အလှူခံ၍တစ်ပါးတည်းဆိတ်ဆိတ်ဘုဉ်းပေးတော်မူဘိ၏၊ အဘယ်ကြောင့်အခြားသူကိုမပေးမဖိတ်မပန်ကြားပါသနည်း”—<br> ဟု ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအားမေးလျှောက်ပြန်၏၊ ထိုအခါပစ္စေကဗုဒ္ဓါသည်–</p> <p>“အို-သူကြွယ်... ဤဆွမ်းကားငါအားသာအထိုက်တန်ဆုံးဖြစ်၏၊ ငါ့ထက်ကြီးမြတ်သောသူမရှိ၊ ပေးလှူသူကိုတစ်ဖန်ပေးကမ်းဖိတ်မန်ဇောာင်းပန်ခြင်းသည်ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်၏ဟုငါအောက်မေ့၏၊ ထို့ကြောင့်မပေးကမ်းမဖိတ်မန်မပန်ကြားပါ”—<br> ဟု သူကြွယ်အားပြောကြားတော်မူ၏၊ ထို့နောက်သူကြွယ်သည်—</p> <p>“အချင်းတို့... မင်းကြီးသည်ငါ၏အကျိုးငှါကြွလာပေစွတကား၊ အလှူ၏အကျိုးကြီးမြတ်သောအလှူခံပုဂ္ဂိုလ်တို့ကိုယခုငါသိရပေပြီ၊ ပြည့်ရှင်မင်းသည်တိုင်းပြည်၌မက်မော၏၊ ပုဏ္ဏားသည်ကိစ္စကြီးငယ်တို့၌မက်မော၏၊ ရသေ့သည်သစ်မြစ်သစ်သီးတို့၌မက်မော၏၊ ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါသာမက်မောခြင်းမှလွတ်ကင်းတော်မူ၏”—<br> ဟု အလွန်နှစ်သက်အားရသည်ဖြစ်၍ ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအားချီးမွမ်းလေ၏။</p> <p>ရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါလည်းသူကြွယ်အားတရားဟောပြီးလျှင် မိမိနေရာနန္ဒမူလိုဏ်သို့ကြွတော်မူ၏၊ ရသေ့လည်းရှင်ပစ္စေကဗုဒ္ဓါအတူသူကြွယ်အားတရားဟောပြီးလျှင်မိမိနေရာသို့ကြွလေ၏၊ မင်းကြီးနှင့်ပုရောဟိတ်တို့ကားသူကြွယ်ထံ၌နှစ်ရက်သုံးရက်နေပြီးလျှင် ဗာရာဏသီပြည်သို့သွားကြကုန်၏။</p> --- <h3>ဇာတ်ပေါင်း</h3> ဤသို့လျှင်မြတ်စွာဘုရားသည် အတိတ်၊ ပစ္စုပ္ပန်နှစ်တန်သောဝတ္ထုတို့ကိုအနုသန္ဓေဆက်စပ်တော်မူလျက်— ရဟန်းတို့- * ထိုအခါ သူကြွယ်သည်-ယခုအခါ တရားရတနာ အား ပူဇော်သောသူကြွယ်။ * မင်းကြီးသည်-အာနန္ဒာ။ * ပုရောဟိတ်သည်-သာရိပုတ္တရာ။ * ရသေ့သည်-ငါဘုရား ဖြစ်လာပြီ-ဟု ဇာတ်ကို ပေါင်းတော်မူသတည်း။ ဆောင်ပုဒ် (၁) အာနန္ဒာအား၊ ပူဇော်ငြား၊ တရားပူဇော်မည်။ (၂) တရားရတနာ၊ ကိန်းအောင်းရာ၊ ဖြစ်ရာကြောင်းကြောင့် မည်။<ref>{{Cite book |last=ပဌမကျော်ဦးကြီးဖေ |first=မဟာပညာဗလ |date=ဒုတိယအုပ်၊ ဇူလိုင်လ ၉တွဲပေါင်း ပြန်လည်ရိုက်နှိပ်ခြင်း |year=၂၀၁၄ ခု |title=ငါးရာ့ငါးဆယ် နိပါတ်တော်စကားပြေ |publisher=စိတ်ကူးချိုချိုစာပေ |edition=၉တွဲပေါင်းချုပ် ပထမအကြိမ် |location=ရန်ကုန်မြို့ |publication-date=၂၀၁၄ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ |pages=၁၀၀၆}}</ref> (၃) တရားရည်သန်၊ ရှင်အာနန်၊ လှူပြန်သာရိထေရ်။ (၄) သာရိထေရ်မူ၊ ဘုရားလှူ၊ ကြည်ဖြူသုံးဆောင်သည်။ (၅) ဆင့်ဆင့်ပြောင်းကာ၊ သင့်လျော်ရာ၊ ပူဇာရောက်တော့ သည်။<ref>{{Cite book |last=ပဌမကျော်ဦးကြီးဖေ |first=မဟာပညာဗလ |date=၂၀၀၄ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ |year=၂၀၀၄ ခုနှစ် |title=ငါးရာ့ငါးဆယ်နိပါတ်တော်စကားပြေ |publisher=စိတ်ကူးချိုချို စာပေ |edition=၉တွဲပေါင်းချုပ် ပထမအကြိမ် |location=ရန်ကုန်မြို့}}</ref> ဘိက္ခာပရမ္ပရဇာတ် ပြီး၏။ <ref name="ဇာတ်နိပါတ်တော်">{{cite book |title= ငါးရာငါးဆယ် နိပါတ်တော်စကားပြေ |author= မဟာပညာဗလပဌမကျော်ဦးကြီးဖေ |date= |pages= }}</ref> === ကိုးကား === {{reflist}} [[Category:ဇာတ်နိပါတ်တော်]] 0e281xi1872iv50eoahxlnrn9dgov5f 0 275385 1060909 1029318 2026-10-31T19:47:22Z ~2026-55227-35 150239 /* သရုပ်ဆောင်​များနှင့်​ ဇာတ်ဆောင်​များ */ 1060909 wikitext text/x-wiki {{retaining title}} {{Infobox television | image = Sang'gre (TV series) title card.jpg | image_alt = An image with fire, water and a blue object with a glowing light. The series title is displayed on the center of the image. Four gems are seen above the series title. | caption = Title Card | genre = စိတ်ကူးယဉ် ဒရမ်မာ | based_on = ဆူဇက် ဆေဗာရို ဒေါတိုလဲရို ၏ "နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၁၆" | writer = {{Plainlist| * Suzette Doctolero * Anna Aleta Nadela * Jake Somera * Ays de Guzman}} | director = {{Plainlist| * Mark Reyes * Rico Gutierrez * Enzo Williams}} | creative_director = {{Plainlist| * Aloy Adlawan * R.J. Nuevas * Ricky Lee}} | starring = * ဘီယန်ကာ အူမာလီ * ရီယန် ရာမိုစ့် * ဂလိုက်ဇာ ဒီ ကာ့စ်ထရို * ဖိတ် ဒါ ဆေးလ်ဗား * အိန်ဂျယ် ဂွာဒီယန် * ကယ်ဗင် မီရန်ဒါ | open_theme = ဂျူလီ အန် ဆန် ဟိုဆေး ၏ <ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948837/julie-anne-san-jose-lends-voice-to-sang-gre-ost/story/ |title=Julie Anne San Jose lends voice to ''Sang'gre'' OST |author=Yap, Jade Veronique |date=June 9, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 19, 2025}}</ref> | country = ဖိလစ်ပိုင် | language = [[တဂ္ဂလော့ဘာသာစကား|တဂ္ဂလော့]] | num_episodes = ၂၀၀ | camera = ကင်မရာများစွာတပ်ဆင်ခြင်း | runtime = 22–35 minutes | company = GMA Entertainment Group | network = GMA Network | first_aired = {{Start date|2025|6|16}} | last_aired = လက်ရှိ | related = {{Plainlist| * ''နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၀၅" * ''အီသာရီယာ : အန်ကန်တာဒီယာ၏ ပဥ္စမမြောက်တိုင်းပြည် ၂၀၀၆" * '' နတ်သမီးလေးဖော် : သက်ဆုံးတိုင်ချစ်ခြင်း ၂၀၀၆" * '' နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၁၆"}} }} '''''Encantadia Chronicles: Sang'gre''''' သည် GMA Network မှထုတ်လွှင့်သည့် ၂၀၂၅ ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်မြင်သံကြားဒရာမာ စိတ်ကူးယဉ် စီးရီးတစ်ခုဖြစ်သည်။ အဆိုပါစီးရီးသည် ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်မြင်သံကြားဒရာမာစီးရီး ''Encantadia'' (၂၀၁၆) အတွက် လှည့်ဖျားမှုအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ဒါရိုက်တာ Mark Reyes, Rico Gutierrez နှင့် Enzo Williams တို့က ရိုက်ကူးထားပြီး Bianca Umali က အဓိကသရုပ်ဆောင်အဖြစ် ပါဝင်ထားသည်။ Prime line up တွင် ၁၆ ဇွန်လ ၂၀၂၅ ခုနစ် တွင် ပြသခဲ့သည်။ စီးရီးကို [[ယူကျူ့ဘ်|YouTube]] တွင် အွန်လိုင်း ထုတ်လွှင့်ပြသလျက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLGRhcC_vtOradKSAZ6fLG8RHywjCOoSJe&si=Tf6vlgITO-MV7Dfv|title=''Encantadia'' 2025 (Full Episode) - YouTube|access-date=August 7, 2025}}</ref> == Premise == မိန်းကလေးတစ်ဦးသည် လူသားကမ္ဘာတွင် ကြီးပြင်းလာကာ သူမသည် Encantadia ၏ဘုရင်မ Sang'gre Danaya ၏ပျောက်ဆုံးသောသမီးဖြစ်သည်ကို မသိလိုက်ဘဲ ကြီးပြင်းလာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/165438/sanggre-a724-20220505|title=Here's what you need to know about ''Sang'gre'', ''Encantadia'' spin-off|author=Anarcon, James Patrick|date=May 5, 2022|access-date=September 3, 2024}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် သူမအပေါ် ချမှတ်ထားသော ဗျာဒိတ်အရ အန်ကန်တာဒီယာ၏ ကယ်တင်ရှင်အဖြစ် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးခံရရန် အကြောင်းဖန်လာသည်॥ == သရုပ်ဆောင်​များနှင့်​ ဇာတ်ဆောင်​များ == {{Multiple image | direction = horizontal | header = သရုပ်ဆောင် | align = center | total_width = 600 | image1 = Glaiza de Castro (2021) 11-46 screenshot.jpg | caption1 = Glaiza de Castro | alt1 = An image of Glaiza de Castro. | image2 = Kylie Padilla Dilim the Making.jpg | caption2 = Kylie Padilla | alt2 = An image of Kylie Padilla. | image3 = 菲律賓市場臺灣觀光大使Gabbi Garcia.jpg | caption3 = Gabbi Garcia | alt3 = An image of Gabbi Garcia. | image4 = Sanya Lopez (cropped).jpg | caption4 = Sanya Lopez | alt4 = An image of Sanya Lopez. | image5 = Shuvee Etrata in August 2025.jpg | caption5 = Shuvee Etrata | alt5 = An image of Shuvee Etrata. }} ;အဓိကသရုပ်ဆောင် * တယ်ရာ အဖြစ် Bianca Umali<ref>{{cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/bianca-umali-star-encantadia-spin-off-sanggre/ |title=Bianca Umali to play Danaya's daughter in ''Sang'gre'' |date=October 24, 2023 |website=[[Rappler]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> ; ;အဓိက ဇာတ်ပို့သရုပ်ဆောင်များ {{Div col}} * ဖလန်မာရာ အဖြစ် Faith da Silva<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2024/01/11/2324821/faith-da-silva-ready-look-and-play-part-sanggre |title=Faith Da Silva is ready to look and play the part of a ''Sang'gre'' |author=Donato, Jerry |date=January 11, 2024 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ဒေယာ အဖြစ် Angel Guardian<ref>{{cite news|url=https://entertainment.inquirer.net/524988/iza-calzado-lends-daughter-deias-name-to-angel-guardian-for-sanggre |title=Iza Calzado lends daughter Deia's name to Angel Guardian for ''Sang'gre'' |author=Mallorca, Hannah |date=October 30, 2023 |newspaper=[[Philippine Daily Inquirer]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အာဒါမူ့စ် အဖြစ် Kelvin Miranda<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/pilipino-star-ngayon/showbiz/2023/11/28/2314802/mga-bagong-sanggre-kinasasabikan |title=Mga bagong Sang'gre, kinasasabikan! |author=Solis, Lolit |author-link=Lolit Solis |date=November 28, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * မီတဲနာ အဖြစ် Rhian Ramos<ref name="Rhian">{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2023/11/04/2308914/wheres-cassandra-rhian-ramos-play-ice-queen-upcoming-encantadia-show |title='Where's Cassandra?': Rhian Ramos to play ice queen in upcoming ''Encantadia'' show |author=Lemit, Kathleen A. |date=November 4, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အော်လ်ဂါနာ အဖြစ် Bianca Manalo<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/showbiznews/news/108837/bianca-manalo-sumalang-na-sa-fight-training-para-sa-sanggre/story?amp |title=Bianca Manalo, sumalang na sa fight training para sa ''Sang'gre'' |author=Anoc, Aimee |date=January 16, 2024 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ဆိုဒါရီရို့စ် အဖြစ် Luis Hontiveros<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/celebritylife/news/107330/luis-hontiveros-grows-hair-for-upcoming-project/story?amp |title=Luis Hontiveros grows hair for upcoming project |author=Acar, Aedrianne |date=November 22, 2023 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * တပ်မှူး မိုင်ကာ အဖြစ် Cheska Inigo<ref name=powerhouse/> * မန်တု အဖြစ် Vito Gueco<ref name=Cast/> * တုမန် အဖြစ် Kiel Gueco<ref name=Cast/> {{Div col}} * ကလေးဘ၀ မီတဲနာ အဖြစ် Sienna Stevens<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948832/sienna-stevens-mitena-sanggre/story/ |title=Sienna Stevens to play young Mitena in ''Sang'gre'' |date=June 9, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 19, 2025 |language=en}}</ref> * ဒါနာယာ အဖြစ် Sanya Lopez<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/pang-masa/pang-movies/2023/12/19/2319950/bianca-sanyaumpisa-na-bilang-sanggre |title=Bianca at Sanya, umpisa na bilang ''Sang'gre''! |author=Solis, Lolit |author-link=Lolit Solis |date=December 19, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ပီရေနာ အဖြစ် Glaiza de Castro<ref>{{cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/glaiza-de-castro-rhian-ramos-join-cast-gma-sanggre/ |title=Glaiza de Castro, Rhian Ramos join cast of GMA's ''Sang'gre'' |date=November 5, 2023 |website=[[Rappler]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အမီဟန် အဖြစ် Kylie Padilla<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2025/04/12/2435507/sumakses-sa-cgi-encantadia-chronicles-sanggre-drops-new-teaser |title=Sumakses sa CGI: ''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' drops new teaser |author=Llemit, Kathleen A. |date=April 12, 2025 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=May 21, 2025}}</ref> * အလီနာ အဖြစ် Gabbi Garcia<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2025/04/03/2433054/why-gabbi-garcia-has-lot-her-plate-these-days |title=Why Gabbi Garcia has a lot on her plate these days |author=Donato, Jerry |date=April 3, 2025 |newspaper=The Philippine Star |access-date=May 22, 2025}}</ref> * အီဘရာဟင်/အီဘာရို အဖြစ် Ruru Madrid<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/918308/ruru-madrid-back-on-sang-gre-set-as-ybrahim/story/ |title=Ruru Madrid back on ''Sang'gre'' set as Ybrahim |author=Roque, Nika |date=August 27, 2024 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အာကီ အဖြစ် Rocco Nacino<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/887212/it-s-official-rocco-nacino-will-return-as-aquil-in-sang-gre/story/ |title=It's official: Rocco Nacino will return as 'Aquil' in ''Sang'gre'' |date=November 3, 2023 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ကက်သျှိုပီယာ အဖြစ် Solenn Heussaff<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2024/06/21/2364249/solenn-heussaff-raring-go-back-acting-encantadia-sanggre/ |title=Solenn Heussaff raring to go back to acting via ''Encantadia Sanggre'' |author=Llemit, Kathleen A. |date=June 21, 2024 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * Nesthy Petecio<ref>{{cite web|url=https://www.pep.ph/pepalerts/cabinet-files/182367/nesthy-petecio-diana-zubiri-a734-20240815 |title=Nesthy Petecio, makakasali sa ''Sang'gre'' dahil kay Diana Zubiri |author=Gabinete, Jojo |date=August 15, 2024 |website=PEP |access-date=September 3, 2024}}</ref> * လီရာ အဖြစ် Mikee Quintos<ref name="Lira">{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948749/mikee-quintos-kate-valdez-lira-mira-sanggre/story/ |title=Mikee Quintos, Kate Valdez return as Lira, Mira in ''Sang'gre'' |date=June 8, 2025 |website=GMA Network |access-date=June 8, 2025 |language=en}}</ref> * မီရာ အဖြစ် Kate Valdez<ref name=Lira/> * အာမီယာ အဖြစ် Ysabel Ortega<ref name=powerhouse/> * ဂါယာ အဖြစ် Cassandra Lavarias<ref name=powerhouse/> ; ;အရံသရုပ်ဆောင်များ {{Div col}} * သီယို အဖြစ် Martin del Rosario<ref name=powerhouse/> * ကက်စန်ဒရာ အဖြစ် Michelle Dee<ref name=powerhouse/> * အယ်လ်မီရို အဖြစ် Derrick Monasterio<ref name=powerhouse/> * အာဂွာ အဖြစ် Elle Villanueva<ref name=powerhouse/> * ဆာရီယာ အဖြစ် Lexi Gonzales<ref name=powerhouse/> * ဝန်တု အဖြစ် Buboy Villar<ref name=powerhouse/> * အဗီလန် အဖြစ် Radson Flores<ref name=powerhouse/> * မယ်မန် အဖြစ် Wendell Ramos<ref name=powerhouse/> * အမှန်တရား စမ်းချောင်း၏ မျက်နှာအဖြစ် Ashley Rivera<ref name=powerhouse/> * အော်နီယာ အဖြစ် Maxine Medina<ref name=powerhouse/> * မူရိုစ့် အဖြစ် Carlo Gonzales<ref name=powerhouse/> * အဇူလန် အဖြစ် Marx Topacio<ref name=powerhouse/> * အလီပသို အဖြစ် Jay Ortega<ref name=powerhouse/> * ရစ်ကစ် အဖြစ် Skye Chua<ref name=powerhouse/> * ဟက်ဒရစ် အဖြစ်Larkin Castor<ref name=powerhouse/> * မာယူမီ အဖြစ် Brianna Bunagan<ref name=powerhouse/> * အက်ရှ်နက် အဖြစ် Justin De Dios<ref name=powerhouse/> * အီသာ အဖြစ် Janice Hung * အီနူအို အဖြစ် Red Dailla *ဟာဂွန် အဖြစ် John Arcilla *အာဂါနဲ အဖြစ် Rochelle Pangilinan *အက်နမ် အဖြစ် Mikoy Morales *ချက်ဒရူ အဖြစ် Prince Clemente *ကာမီ အဖြစ် Rere Madrid *ဟာရာဟန် အဖြစ် Diana Zubiri *ဆယ်လယ်ဘက်စ် အဖြစ် Gazini Gonados *လာဗန်နီယာ အဖြစ် Ina Feleo *အောစရမ် အဖြစ် Migs Villasis *တာဘွန် အဖြစ် Carla Martinez *ဂါဂန် အဖြစ် Tom Rodriguz *ဟာလီရာ အဖြစ် Maria Athisa Manalo *ပေါင်ပေါင် အဖြစ် Ryan Yllana *ရာကီရှာ အဖြစ် Jenzel Angeles *အယ်ရယ်နေယာ အဖြစ် Patricia Tumulak *ဂေါ်နာ အဖြစ် Diane Dela Fuente *အရယ်ရှကာ အဖြစ် Andrea Torres *ကယ်ရိုစ့် အဖြစ် Kiel Rodriguez *အမ်ရေးအဖြစ် John Emanuel Catillo *အဲလီယပ်စ် အဖြစ် Elias J. TV * ကတ်ထရီနာ ဆဲလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Sherilyn Reyes-Tan<ref name="Cast">{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/showbiznews/news/18970/encantadia-chronicles-sanggre-story-conference/photo |title=''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' Story Conference |author=Anoc, Aimee |date=November 7, 2023 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * မိုနာ ရေးယက်စ် အဖြစ် Manilyn Reynes<ref name=powerhouse>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/tv/encantadia_chronicles_sanggre/123208/the-legacy-lives-on-encantadia-chronicles-sanggre/story |title=The Legacy Lives On: ''Encantadia Chronicles: Sang'gre''! |date=June 10, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 10, 2025}}</ref> * ဇာအူး အဖြစ် Gabby Eigenmann<ref name=powerhouse/> * ဟာဗီယာ ရေးယက်စ် အဖြစ် Boboy Garovillo<ref name=powerhouse/> * ရုက္ခစိုး အဖြစ် Benjie Paras<ref name=powerhouse/> * အက်ဒ်နူ အဖြစ် Jamie Wilson<ref name=Cast/> * ဒီနာ အဖြစ် Therese Malvar<ref name=powerhouse/> * အာကီရို အဖြစ် Vince Maristela<ref name=Cast/> * ဒါရွန် အဖြစ် Jon Lucas<ref name=powerhouse/> * ဗက်ရှ်ဒီတာ အဖြစ် Shuvee Etrata<ref>{{cite news|url=https://www.sunstar.com.ph/davao/sparkle-introduces-the-powerhouse-of-beautiful-women-of-sparkle-10 |title=Sparkle introduces the powerhouse of beautiful women of Sparkle 10 |date=February 16, 2024 |newspaper=[[SunStar]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ကာမီ ဆေးလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Pam Prinster<ref name=Cast/> Rere Madrid * မြို့တော်ဝန် အမ်မီ ဆေးလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Ricky Davao<ref name=Cast/> * အာနာကာ အဖြစ် Mika Salamanca<ref>{{cite news|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/949713/michelle-dee-mika-salamanca-encantadia-onicles-sanggre/story/ |title=Michelle Dee, Mika Salamanca make debut appearances in ''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' |author=Basina, Carby Rose |date=June 17, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 24, 2025}}</ref> * Matt Lozano<ref name=powerhouse/> * Paolo Paraiso<ref name=powerhouse/> * Shiela Marie Rodriguez<ref name=powerhouse/> * Moi Bien<ref name=powerhouse/> * Lotlot Bustamante<ref name=powerhouse/> * Heath Jornales<ref name=powerhouse/> * ကောဆာဗာ အဖြစ် Billie Hakenson<ref name=powerhouse/> * Hailey Dizon<ref name=powerhouse/> {{Div col end}} == ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေး == ''Encantadia'' သည် GMA Network မှထုတ်လွှင့်သော ၂၀၀၅ ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်သံစီးရီးတစ်ခုဖြစ်သည်။ Suzette Doctolero မှ ဖန်တီးထားပြီး Sunshine Dizon၊ Iza Calzado၊ Karylle၊ Diana Zubiri၊ Dingdong Dantes နှင့် Jennylyn Mercado တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည်။ ယင်းစီးရီးသည် ရုပ်မြင်သံကြားစီးရီးနှစ်ခုဖြစ်သည့် ''Etheria: Ang Ikalimang Kaharian ng Encantadia'' (2005-06) နှင့် ''Encantadia: Pag-ibig Hanggang Wakas'' (2006) တို့နှစ်ခုစလုံး၏ နောက်ဆက်တွဲအဖြစ် ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် တူညီသောခေါင်းစဉ် အောက်တွင် တီဗီစီးရီးတစ်ခုကိုပြသခဲ့ပြီး ထိုစီးရီးတွင် Glaiza de Castro ၊ Kylie Padilla ၊ Gabbi Garcia နှင့် Sanya Lopez တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/24058/five-highlights-to-look-forward-to-in-emencantadiaems-pilot-episode|title=Encantadia 2016 Sneak Peek: Five highlights to look forward to in pilot episode|date=July 14, 2016|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ၃၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၁ ခုနစ် တွင် ရုပ်မြင်သံကြားစီးရီး ''Encantadia Chronicles: Sang'gre သည်'' GMA Network အတွက် ၂၀၂၂ခုနစ်တွင် ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/gma-encantadia-gets-spin-off-series-sanggre/|title=GMA's ''Encantadia'' gets spin-off series|date=January 26, 2022|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ၂၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ တွင် စီးရီးကို ၂၀၂၄ သို့ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/892627/sang-gre-all-star-teaser-to-be-shown-at-gma-s-kapuso-countdown-to-2024/story/|title=''Sang'gre'' all-star teaser to be shown at GMA's Kapuso Countdown to 2024|date=December 29, 2023|archivedate=September 3, 2024}}</ref> စီးရီးကို Doctolero မှရေးသားခဲ့ပြီး RJ Nuevas မှ ဖန်တီးမှုဒါရိုက်တာအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ဇာတ်ညွှန်းရေးဆရာ Ricky Lee ၊ Anna Aleta Nadela၊ Jake Somera၊ Ays de Guzman နှင့် ပရိုဂရမ်မန်နေဂျာ Ali Nokom-Dedicatoria တို့သည်လည်း ထုတ်လုပ်ရေးအဖွဲ့၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/163432/ricky-lee-sanggre-a724-20220125|title=Legendary screenwriter Ricky Lee joins creative team of ''Sang'gre''|author=Anarcon, James Patrick|date=January 25, 2022|access-date=September 3, 2024}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/lifestyle/hobbiesandactivities/876653/sang-gre-first-concept-art-revealed-at-san-diego-comic-con/story/|title=''Sang'gre'' first concept art revealed at San Diego Comic-Con|date=July 23, 2023|access-date=September 3, 2024}}</ref> အစပိုင်းတွင် Mark A. Reyes ကို ဒါရိုက်တာအဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင စီးရီးမှနုတ်ထွက်ခဲ့သည်။ Rico Gutierrez နှင့် Enzo Williams တို့က ၎င်း၏နေရာတွင် အစားထိုးတာဝန်ယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/183755/rico-gutierrez-enzo-williams-mark-reyes-sang-gre-a734-20241104|title=Rico Gutierrez, Enzo Williams replace Mark Reyes in ''Sang'gre''|author=Gabinete, Jojo|date=November 4, 2024|access-date=November 4, 2024}}</ref> == သရုပ်ဆောင်များ == ၂၀၂၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Bianca Umali ၏ ဓာတ်ပုံကို San Diego Comic-Con တွင် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://tribune.net.ph/2023/10/bianca-umali-to-star-in-encantadia-spin-off-series-sanggre/|title=Bianca Umali to star in ''Encantadia'' spin-off series ''Sang'gre''|author=Bote, Jia|date=October 26, 2023|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ဖိလစ်ပိုင်မင်းသား Kelvin Miranda နှင့် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Faith da Silva နှင့် Angel Guardian တို့ကိုလည်း ထိုလတွင်ပင် ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/176770/faith-angel-kelvin-join-bianca-sanggre-a5132-20231027|title=Faith Da Silva, Angel Guardian, Kelvin Miranda join Bianca Umali in ''Encantadia Chronicles: Sang'gre''|author=Baylon, Kriztynne Joy|date=October 27, 2023|access-date=September 3, 2024}}</ref> နိုဝင်ဘာလတွင် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Rhian Ramos သည် စီးရီး၏ဗီလိန်ဖြစ်သော Mitena အဖြစ် သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * {{Official website|https://www.gmanetwork.com/entertainment/tv/encantadia_chronicles_sanggre}} * {{IMDb title|12374544}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၅ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] 90ifeeh6btnf56yhkczy9lqxrb53jyt 1060910 1060909 2026-10-31T19:50:31Z ~2026-55227-35 150239 /* သရုပ်ဆောင်​များနှင့်​ ဇာတ်ဆောင်​များ */ 1060910 wikitext text/x-wiki {{retaining title}} {{Infobox television | image = Sang'gre (TV series) title card.jpg | image_alt = An image with fire, water and a blue object with a glowing light. The series title is displayed on the center of the image. Four gems are seen above the series title. | caption = Title Card | genre = စိတ်ကူးယဉ် ဒရမ်မာ | based_on = ဆူဇက် ဆေဗာရို ဒေါတိုလဲရို ၏ "နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၁၆" | writer = {{Plainlist| * Suzette Doctolero * Anna Aleta Nadela * Jake Somera * Ays de Guzman}} | director = {{Plainlist| * Mark Reyes * Rico Gutierrez * Enzo Williams}} | creative_director = {{Plainlist| * Aloy Adlawan * R.J. Nuevas * Ricky Lee}} | starring = * ဘီယန်ကာ အူမာလီ * ရီယန် ရာမိုစ့် * ဂလိုက်ဇာ ဒီ ကာ့စ်ထရို * ဖိတ် ဒါ ဆေးလ်ဗား * အိန်ဂျယ် ဂွာဒီယန် * ကယ်ဗင် မီရန်ဒါ | open_theme = ဂျူလီ အန် ဆန် ဟိုဆေး ၏ <ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948837/julie-anne-san-jose-lends-voice-to-sang-gre-ost/story/ |title=Julie Anne San Jose lends voice to ''Sang'gre'' OST |author=Yap, Jade Veronique |date=June 9, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 19, 2025}}</ref> | country = ဖိလစ်ပိုင် | language = [[တဂ္ဂလော့ဘာသာစကား|တဂ္ဂလော့]] | num_episodes = ၂၀၀ | camera = ကင်မရာများစွာတပ်ဆင်ခြင်း | runtime = 22–35 minutes | company = GMA Entertainment Group | network = GMA Network | first_aired = {{Start date|2025|6|16}} | last_aired = လက်ရှိ | related = {{Plainlist| * ''နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၀၅" * ''အီသာရီယာ : အန်ကန်တာဒီယာ၏ ပဥ္စမမြောက်တိုင်းပြည် ၂၀၀၆" * '' နတ်သမီးလေးဖော် : သက်ဆုံးတိုင်ချစ်ခြင်း ၂၀၀၆" * '' နတ်သမီးလေးဖော် ၂၀၁၆"}} }} '''''Encantadia Chronicles: Sang'gre''''' သည် GMA Network မှထုတ်လွှင့်သည့် ၂၀၂၅ ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်မြင်သံကြားဒရာမာ စိတ်ကူးယဉ် စီးရီးတစ်ခုဖြစ်သည်။ အဆိုပါစီးရီးသည် ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်မြင်သံကြားဒရာမာစီးရီး ''Encantadia'' (၂၀၁၆) အတွက် လှည့်ဖျားမှုအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ဒါရိုက်တာ Mark Reyes, Rico Gutierrez နှင့် Enzo Williams တို့က ရိုက်ကူးထားပြီး Bianca Umali က အဓိကသရုပ်ဆောင်အဖြစ် ပါဝင်ထားသည်။ Prime line up တွင် ၁၆ ဇွန်လ ၂၀၂၅ ခုနစ် တွင် ပြသခဲ့သည်။ စီးရီးကို [[ယူကျူ့ဘ်|YouTube]] တွင် အွန်လိုင်း ထုတ်လွှင့်ပြသလျက်ရှိသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.youtube.com/playlist?list=PLGRhcC_vtOradKSAZ6fLG8RHywjCOoSJe&si=Tf6vlgITO-MV7Dfv|title=''Encantadia'' 2025 (Full Episode) - YouTube|access-date=August 7, 2025}}</ref> == Premise == မိန်းကလေးတစ်ဦးသည် လူသားကမ္ဘာတွင် ကြီးပြင်းလာကာ သူမသည် Encantadia ၏ဘုရင်မ Sang'gre Danaya ၏ပျောက်ဆုံးသောသမီးဖြစ်သည်ကို မသိလိုက်ဘဲ ကြီးပြင်းလာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/165438/sanggre-a724-20220505|title=Here's what you need to know about ''Sang'gre'', ''Encantadia'' spin-off|author=Anarcon, James Patrick|date=May 5, 2022|access-date=September 3, 2024}}</ref> နောက်ပိုင်းတွင် သူမအပေါ် ချမှတ်ထားသော ဗျာဒိတ်အရ အန်ကန်တာဒီယာ၏ ကယ်တင်ရှင်အဖြစ် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးခံရရန် အကြောင်းဖန်လာသည်॥ == သရုပ်ဆောင်​များနှင့်​ ဇာတ်ဆောင်​များ == {{Multiple image | direction = horizontal | header = သရုပ်ဆောင် | align = center | total_width = 600 | image1 = Glaiza de Castro (2021) 11-46 screenshot.jpg | caption1 = Glaiza de Castro | alt1 = An image of Glaiza de Castro. | image2 = Kylie Padilla Dilim the Making.jpg | caption2 = Kylie Padilla | alt2 = An image of Kylie Padilla. | image3 = 菲律賓市場臺灣觀光大使Gabbi Garcia.jpg | caption3 = Gabbi Garcia | alt3 = An image of Gabbi Garcia. | image4 = Sanya Lopez (cropped).jpg | caption4 = Sanya Lopez | alt4 = An image of Sanya Lopez. | image5 = Shuvee Etrata in August 2025.jpg | caption5 = Shuvee Etrata | alt5 = An image of Shuvee Etrata. }} ;အဓိကသရုပ်ဆောင် * တယ်ရာ အဖြစ် Bianca Umali<ref>{{cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/bianca-umali-star-encantadia-spin-off-sanggre/ |title=Bianca Umali to play Danaya's daughter in ''Sang'gre'' |date=October 24, 2023 |website=[[Rappler]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> ; ;အဓိက ဇာတ်ပို့သရုပ်ဆောင်များ {{Div col}} * ဖလန်မာရာ အဖြစ် Faith da Silva<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2024/01/11/2324821/faith-da-silva-ready-look-and-play-part-sanggre |title=Faith Da Silva is ready to look and play the part of a ''Sang'gre'' |author=Donato, Jerry |date=January 11, 2024 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ဒေယာ အဖြစ် Angel Guardian<ref>{{cite news|url=https://entertainment.inquirer.net/524988/iza-calzado-lends-daughter-deias-name-to-angel-guardian-for-sanggre |title=Iza Calzado lends daughter Deia's name to Angel Guardian for ''Sang'gre'' |author=Mallorca, Hannah |date=October 30, 2023 |newspaper=[[Philippine Daily Inquirer]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အာဒါမူ့စ် အဖြစ် Kelvin Miranda<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/pilipino-star-ngayon/showbiz/2023/11/28/2314802/mga-bagong-sanggre-kinasasabikan |title=Mga bagong Sang'gre, kinasasabikan! |author=Solis, Lolit |author-link=Lolit Solis |date=November 28, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * မီတဲနာ အဖြစ် Rhian Ramos<ref name="Rhian">{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2023/11/04/2308914/wheres-cassandra-rhian-ramos-play-ice-queen-upcoming-encantadia-show |title='Where's Cassandra?': Rhian Ramos to play ice queen in upcoming ''Encantadia'' show |author=Lemit, Kathleen A. |date=November 4, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ဒါနာယာ အဖြစ် Sanya Lopez<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/pang-masa/pang-movies/2023/12/19/2319950/bianca-sanyaumpisa-na-bilang-sanggre |title=Bianca at Sanya, umpisa na bilang ''Sang'gre''! |author=Solis, Lolit |author-link=Lolit Solis |date=December 19, 2023 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ပီရေနာ အဖြစ် Glaiza de Castro<ref>{{cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/glaiza-de-castro-rhian-ramos-join-cast-gma-sanggre/ |title=Glaiza de Castro, Rhian Ramos join cast of GMA's ''Sang'gre'' |date=November 5, 2023 |website=[[Rappler]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အမီဟန် အဖြစ် Kylie Padilla<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2025/04/12/2435507/sumakses-sa-cgi-encantadia-chronicles-sanggre-drops-new-teaser |title=Sumakses sa CGI: ''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' drops new teaser |author=Llemit, Kathleen A. |date=April 12, 2025 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=May 21, 2025}}</ref> * အလီနာ အဖြစ် Gabbi Garcia<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2025/04/03/2433054/why-gabbi-garcia-has-lot-her-plate-these-days |title=Why Gabbi Garcia has a lot on her plate these days |author=Donato, Jerry |date=April 3, 2025 |newspaper=The Philippine Star |access-date=May 22, 2025}}</ref> * အီဘရာဟင်/အီဘာရို အဖြစ် Ruru Madrid<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/918308/ruru-madrid-back-on-sang-gre-set-as-ybrahim/story/ |title=Ruru Madrid back on ''Sang'gre'' set as Ybrahim |author=Roque, Nika |date=August 27, 2024 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * အာကီ အဖြစ် Rocco Nacino<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/887212/it-s-official-rocco-nacino-will-return-as-aquil-in-sang-gre/story/ |title=It's official: Rocco Nacino will return as 'Aquil' in ''Sang'gre'' |date=November 3, 2023 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ကက်သျှိုပီယာ အဖြစ် Solenn Heussaff<ref>{{cite news|url=https://www.philstar.com/entertainment/2024/06/21/2364249/solenn-heussaff-raring-go-back-acting-encantadia-sanggre/ |title=Solenn Heussaff raring to go back to acting via ''Encantadia Sanggre'' |author=Llemit, Kathleen A. |date=June 21, 2024 |newspaper=[[The Philippine Star]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * လီရာ အဖြစ် Mikee Quintos<ref name="Lira">{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948749/mikee-quintos-kate-valdez-lira-mira-sanggre/story/ |title=Mikee Quintos, Kate Valdez return as Lira, Mira in ''Sang'gre'' |date=June 8, 2025 |website=GMA Network |access-date=June 8, 2025 |language=en}}</ref> * မီရာ အဖြစ် Kate Valdez<ref name=Lira/> * အာမီယာ အဖြစ် Ysabel Ortega<ref name=powerhouse/> * ဂါယာ အဖြစ် Cassandra Lavarias<ref name=powerhouse/> * အော်လ်ဂါနာ အဖြစ် Bianca Manalo<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/showbiznews/news/108837/bianca-manalo-sumalang-na-sa-fight-training-para-sa-sanggre/story?amp |title=Bianca Manalo, sumalang na sa fight training para sa ''Sang'gre'' |author=Anoc, Aimee |date=January 16, 2024 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ဆိုဒါရီရို့စ် အဖြစ် Luis Hontiveros<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/celebritylife/news/107330/luis-hontiveros-grows-hair-for-upcoming-project/story?amp |title=Luis Hontiveros grows hair for upcoming project |author=Acar, Aedrianne |date=November 22, 2023 |website=GMA Network |access-date=September 3, 2024}}</ref> * တပ်မှူး မိုင်ကာ အဖြစ် Cheska Inigo<ref name=powerhouse/> * မန်တု အဖြစ် Vito Gueco<ref name=Cast/> * တုမန် အဖြစ် Kiel Gueco<ref name=Cast/> {{Div col}} ; ;အရံသရုပ်ဆောင်များ {{Div col}} * သီယို အဖြစ် Martin del Rosario<ref name=powerhouse/> * ကက်စန်ဒရာ အဖြစ် Michelle Dee<ref name=powerhouse/> * အယ်လ်မီရို အဖြစ် Derrick Monasterio<ref name=powerhouse/> * အာဂွာ အဖြစ် Elle Villanueva<ref name=powerhouse/> * ဆာရီယာ အဖြစ် Lexi Gonzales<ref name=powerhouse/> * ဝန်တု အဖြစ် Buboy Villar<ref name=powerhouse/> * အဗီလန် အဖြစ် Radson Flores<ref name=powerhouse/> * မယ်မန် အဖြစ် Wendell Ramos<ref name=powerhouse/> * အမှန်တရား စမ်းချောင်း၏ မျက်နှာအဖြစ် Ashley Rivera<ref name=powerhouse/> * အော်နီယာ အဖြစ် Maxine Medina<ref name=powerhouse/> * မူရိုစ့် အဖြစ် Carlo Gonzales<ref name=powerhouse/> * အဇူလန် အဖြစ် Marx Topacio<ref name=powerhouse/> * အလီပသို အဖြစ် Jay Ortega<ref name=powerhouse/> * ရစ်ကစ် အဖြစ် Skye Chua<ref name=powerhouse/> * ဟက်ဒရစ် အဖြစ်Larkin Castor<ref name=powerhouse/> * မာယူမီ အဖြစ် Brianna Bunagan<ref name=powerhouse/> * အက်ရှ်နက် အဖြစ် Justin De Dios<ref name=powerhouse/> * အီသာ အဖြစ် Janice Hung * အီနူအို အဖြစ် Red Dailla *ဟာဂွန် အဖြစ် John Arcilla *အာဂါနဲ အဖြစ် Rochelle Pangilinan *အက်နမ် အဖြစ် Mikoy Morales *ချက်ဒရူ အဖြစ် Prince Clemente *ကာမီ အဖြစ် Rere Madrid *ဟာရာဟန် အဖြစ် Diana Zubiri *ဆယ်လယ်ဘက်စ် အဖြစ် Gazini Gonados *လာဗန်နီယာ အဖြစ် Ina Feleo *အောစရမ် အဖြစ် Migs Villasis *တာဘွန် အဖြစ် Carla Martinez *ဂါဂန် အဖြစ် Tom Rodriguz *ဟာလီရာ အဖြစ် Maria Athisa Manalo *ပေါင်ပေါင် အဖြစ် Ryan Yllana *ရာကီရှာ အဖြစ် Jenzel Angeles *အယ်ရယ်နေယာ အဖြစ် Patricia Tumulak *ဂေါ်နာ အဖြစ် Diane Dela Fuente *အရယ်ရှကာ အဖြစ် Andrea Torres *ကယ်ရိုစ့် အဖြစ် Kiel Rodriguez *အမ်ရေးအဖြစ် John Emanuel Catillo *အဲလီယပ်စ် အဖြစ် Elias J. TV * ကလေးဘ၀ မီတဲနာ အဖြစ် Sienna Stevens<ref>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/948832/sienna-stevens-mitena-sanggre/story/ |title=Sienna Stevens to play young Mitena in ''Sang'gre'' |date=June 9, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 19, 2025 |language=en}}</ref> * ကတ်ထရီနာ ဆဲလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Sherilyn Reyes-Tan<ref name="Cast">{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/showbiznews/news/18970/encantadia-chronicles-sanggre-story-conference/photo |title=''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' Story Conference |author=Anoc, Aimee |date=November 7, 2023 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * မိုနာ ရေးယက်စ် အဖြစ် Manilyn Reynes<ref name=powerhouse>{{cite web|url=https://www.gmanetwork.com/entertainment/tv/encantadia_chronicles_sanggre/123208/the-legacy-lives-on-encantadia-chronicles-sanggre/story |title=The Legacy Lives On: ''Encantadia Chronicles: Sang'gre''! |date=June 10, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 10, 2025}}</ref> * ဇာအူး အဖြစ် Gabby Eigenmann<ref name=powerhouse/> * ဟာဗီယာ ရေးယက်စ် အဖြစ် Boboy Garovillo<ref name=powerhouse/> * ရုက္ခစိုး အဖြစ် Benjie Paras<ref name=powerhouse/> * အက်ဒ်နူ အဖြစ် Jamie Wilson<ref name=Cast/> * ဒီနာ အဖြစ် Therese Malvar<ref name=powerhouse/> * အာကီရို အဖြစ် Vince Maristela<ref name=Cast/> * ဒါရွန် အဖြစ် Jon Lucas<ref name=powerhouse/> * ဗက်ရှ်ဒီတာ အဖြစ် Shuvee Etrata<ref>{{cite news|url=https://www.sunstar.com.ph/davao/sparkle-introduces-the-powerhouse-of-beautiful-women-of-sparkle-10 |title=Sparkle introduces the powerhouse of beautiful women of Sparkle 10 |date=February 16, 2024 |newspaper=[[SunStar]] |access-date=September 3, 2024}}</ref> * ကာမီ ဆေးလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Pam Prinster<ref name=Cast/> Rere Madrid * မြို့တော်ဝန် အမ်မီ ဆေးလ်ဗာဒေါ အဖြစ် Ricky Davao<ref name=Cast/> * အာနာကာ အဖြစ် Mika Salamanca<ref>{{cite news|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/949713/michelle-dee-mika-salamanca-encantadia-onicles-sanggre/story/ |title=Michelle Dee, Mika Salamanca make debut appearances in ''Encantadia Chronicles: Sang'gre'' |author=Basina, Carby Rose |date=June 17, 2025 |website=[[GMA Network (company)|GMA Network]] |access-date=June 24, 2025}}</ref> * Matt Lozano<ref name=powerhouse/> * Paolo Paraiso<ref name=powerhouse/> * Shiela Marie Rodriguez<ref name=powerhouse/> * Moi Bien<ref name=powerhouse/> * Lotlot Bustamante<ref name=powerhouse/> * Heath Jornales<ref name=powerhouse/> * ကောဆာဗာ အဖြစ် Billie Hakenson<ref name=powerhouse/> * Hailey Dizon<ref name=powerhouse/> * Nesthy Petecio<ref>{{cite web|url=https://www.pep.ph/pepalerts/cabinet-files/182367/nesthy-petecio-diana-zubiri-a734-20240815 |title=Nesthy Petecio, makakasali sa ''Sang'gre'' dahil kay Diana Zubiri |author=Gabinete, Jojo |date=August 15, 2024 |website=PEP |access-date=September 3, 2024}}</ref> ; {{Div col end}} == ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေး == ''Encantadia'' သည် GMA Network မှထုတ်လွှင့်သော ၂၀၀၅ ဖိလစ်ပိုင်ရုပ်သံစီးရီးတစ်ခုဖြစ်သည်။ Suzette Doctolero မှ ဖန်တီးထားပြီး Sunshine Dizon၊ Iza Calzado၊ Karylle၊ Diana Zubiri၊ Dingdong Dantes နှင့် Jennylyn Mercado တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည်။ ယင်းစီးရီးသည် ရုပ်မြင်သံကြားစီးရီးနှစ်ခုဖြစ်သည့် ''Etheria: Ang Ikalimang Kaharian ng Encantadia'' (2005-06) နှင့် ''Encantadia: Pag-ibig Hanggang Wakas'' (2006) တို့နှစ်ခုစလုံး၏ နောက်ဆက်တွဲအဖြစ် ထုတ်လွှင့်ခဲ့သည်။ ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် တူညီသောခေါင်းစဉ် အောက်တွင် တီဗီစီးရီးတစ်ခုကိုပြသခဲ့ပြီး ထိုစီးရီးတွင် Glaiza de Castro ၊ Kylie Padilla ၊ Gabbi Garcia နှင့် Sanya Lopez တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/24058/five-highlights-to-look-forward-to-in-emencantadiaems-pilot-episode|title=Encantadia 2016 Sneak Peek: Five highlights to look forward to in pilot episode|date=July 14, 2016|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ၃၁ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၁ ခုနစ် တွင် ရုပ်မြင်သံကြားစီးရီး ''Encantadia Chronicles: Sang'gre သည်'' GMA Network အတွက် ၂၀၂၂ခုနစ်တွင် ကြေညာခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.rappler.com/entertainment/series/gma-encantadia-gets-spin-off-series-sanggre/|title=GMA's ''Encantadia'' gets spin-off series|date=January 26, 2022|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ၂၉ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ တွင် စီးရီးကို ၂၀၂၄ သို့ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/showbiz/chikaminute/892627/sang-gre-all-star-teaser-to-be-shown-at-gma-s-kapuso-countdown-to-2024/story/|title=''Sang'gre'' all-star teaser to be shown at GMA's Kapuso Countdown to 2024|date=December 29, 2023|archivedate=September 3, 2024}}</ref> စီးရီးကို Doctolero မှရေးသားခဲ့ပြီး RJ Nuevas မှ ဖန်တီးမှုဒါရိုက်တာအဖြစ် တာဝန်ယူခဲ့သည်။ ဇာတ်ညွှန်းရေးဆရာ Ricky Lee ၊ Anna Aleta Nadela၊ Jake Somera၊ Ays de Guzman နှင့် ပရိုဂရမ်မန်နေဂျာ Ali Nokom-Dedicatoria တို့သည်လည်း ထုတ်လုပ်ရေးအဖွဲ့၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/163432/ricky-lee-sanggre-a724-20220125|title=Legendary screenwriter Ricky Lee joins creative team of ''Sang'gre''|author=Anarcon, James Patrick|date=January 25, 2022|access-date=September 3, 2024}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.gmanetwork.com/news/lifestyle/hobbiesandactivities/876653/sang-gre-first-concept-art-revealed-at-san-diego-comic-con/story/|title=''Sang'gre'' first concept art revealed at San Diego Comic-Con|date=July 23, 2023|access-date=September 3, 2024}}</ref> အစပိုင်းတွင် Mark A. Reyes ကို ဒါရိုက်တာအဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့ပြီး နောက်ပိုင်းတွင စီးရီးမှနုတ်ထွက်ခဲ့သည်။ Rico Gutierrez နှင့် Enzo Williams တို့က ၎င်း၏နေရာတွင် အစားထိုးတာဝန်ယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/183755/rico-gutierrez-enzo-williams-mark-reyes-sang-gre-a734-20241104|title=Rico Gutierrez, Enzo Williams replace Mark Reyes in ''Sang'gre''|author=Gabinete, Jojo|date=November 4, 2024|access-date=November 4, 2024}}</ref> == သရုပ်ဆောင်များ == ၂၀၂၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Bianca Umali ၏ ဓာတ်ပုံကို San Diego Comic-Con တွင် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://tribune.net.ph/2023/10/bianca-umali-to-star-in-encantadia-spin-off-series-sanggre/|title=Bianca Umali to star in ''Encantadia'' spin-off series ''Sang'gre''|author=Bote, Jia|date=October 26, 2023|archivedate=September 3, 2024}}</ref> ဖိလစ်ပိုင်မင်းသား Kelvin Miranda နှင့် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Faith da Silva နှင့် Angel Guardian တို့ကိုလည်း ထိုလတွင်ပင် ကြေညာခဲ့သည်။ <ref>{{Cite web|url=https://www.pep.ph/news/local/176770/faith-angel-kelvin-join-bianca-sanggre-a5132-20231027|title=Faith Da Silva, Angel Guardian, Kelvin Miranda join Bianca Umali in ''Encantadia Chronicles: Sang'gre''|author=Baylon, Kriztynne Joy|date=October 27, 2023|access-date=September 3, 2024}}</ref> နိုဝင်ဘာလတွင် ဖိလစ်ပိုင်မင်းသမီး Rhian Ramos သည် စီးရီး၏ဗီလိန်ဖြစ်သော Mitena အဖြစ် သရုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်များ == * {{Official website|https://www.gmanetwork.com/entertainment/tv/encantadia_chronicles_sanggre}} * {{IMDb title|12374544}} [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၅ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] clhzp79xerr8xc4eslf9plcb98xuxvf 0 276483 1061007 1020797 2026-11-01T11:40:18Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1061007 wikitext text/x-wiki {{Infobox officeholder | name = အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာ <br> Andry Rajoelina | image = President of the Republic of Madagascar Andry Rajoelina, Abu Dhabi, 2024.jpg | caption = လာဂျိုလီနာ (၂၀၂၄) | office = [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ၏ သမ္မတ]] | term_start = ၁၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၂၃ | term_end = ၁၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅ | primeminister = Christian Ntsay <br> Ruphin Zafisambo | predecessor = Richard Ravalomanana {{small|(ယာယီ)}} | successor = {{Bulleted list |Jean André Ndremanjary {{small|(ယာယီ)}} |Michael Randrianirina <br> {{small|(အာဏာသိမ်းစစ်ခေါင်းဆောင်) }} }} | term_start1 = ၁၉ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၉ | term_end1 = ၉ စက်တင်ဘာ ၂၀၂၃ | primeminister1 = Christian Ntsay | predecessor1 = Rivo Rakotovao {{small|(ယာယီ)}} | successor1 = Christian Ntsay {{small|(ယာယီ)}} | term_start2 = ၁၇ မတ် ၂၀၀၉ | term_end2 = ၂၅ ဇန်နဝါရီ ၂၀၁၄ <br>{{small|(ယာယီအစိုးရအဖွဲ့ခေါင်းဆောင်)}} | primeminister2 = {{Bulleted list | Monja Roindefo | Eugène Mangalaza | Cécile Manorohanta {{small|(ယာယီ)}} | Albert Camille Vital | Omer Beriziky }} | predecessor2 = Hyppolite Ramaroson <br> {{small|(အာဏာသိမ်းစစ်ခေါင်းဆောင်)}} | successor2 = Hery Rajaonarimampianina | office3 = ၅၁ဦးမြောက် အန်တာနာနာရီဗိုမြို့ ၏ မြို့တော်ဝန် | term_start3 = ၁၂ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၀၇ | term_end3 = ၃ ဖေဖော်ဝါရီ ၂၀၀၉ | predecessor3 = Hery Rafalimanana | successor3 = Guy Randrianarisoa {{small|(ယာယီ)}} | birth_name = Andry Nirina Rajoelina | birth_date = {{Birth date and age|1974|5|30|df=y}} | birth_place = [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]] | death_date = | death_place = | party = Young Malagasies Determined | spouse = Mialy Razakandisa | children = ၃ ဦး | residence = | website = {{URL|andry-rajoelina.org|Official website}} | nationality = [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]] <br> [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ|ပြင်သစ်နိုင်ငံ]] (၂၀၁၄ ခုနှစ် မှစ၍) }} '''အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာ''' (Eng: Andry Rajoelina)(၃၀ မေ ၁၉၇၄ မွေးဖွား)သည် [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]]၏ သမ္မတဟောင်း ဖြစ်သည်။ယင်းမတိုင်မီက သမ္မတရာထူးအပါအဝင် နိုင်ငံအကြီးအကဲခေါင်းဆောင်အဖြစ် တာဝန်များထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။၂၀၂၅ ခုနှစ်တွင် [[၂၀၂၅ မဒါဂတ်စတား Gen Z ဆန္ဒပြပွဲများ]]ကို ရင်ဆိုင်ခဲ့ရပြီးနောက်၊သူသည် နိုင်ငံမှ ထွက်ပြေးခဲ့ရသည်။<ref>{{cite web|url=https://www.bbc.com/news/articles/cj6ne96gx1do|title=From prison to presidential palace: Who is Madagascar's new military ruler?|work=BBC |access-date=16 Oct 2025|date=15 Oct 2025}}</ref> နိုင်ငံရေးနယ်ပယ်သို့မဝင်မီ သူသည် ပုံနှိပ် နှင့် ကြော်ငြာကုမ္ပဏီ အပါအဝင် ရေဒီယိုနှင့်ရုပ်မြင်သံကြားဆိုင်ရာမီဒီယာလုပ်ငန်းရှင် သူဌေးတစ်ဦး ဖြစ်ခဲ့သည်။ == အစောပိုင်းဘဝ == အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာ ကို မာဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ၏ တတိယအကြီးဆုံးမြို့ဖြစ်သည့် Antsirabe တွင် ချမ်းသာ သော မိသားစုမှ မွေးဖွားခဲ့သည်။၎င်း၏ဖခင်သည် ဗိုလ်မှူးကြီး Roger Yves Rajoelina ဖြစ်ပြီး၊ မာလာဂါစီ နှင့် ပြင်သစ်နိုင်ငံသား နှစ်ဦးအဖြစ် ခံယူထားပြီး၊အယ်လ်ဂျီးရီးယားစစ်ပွဲတွင် ပြင်သစ်စစ်တပ်အတွက် တိုက်ပွဲဝင်ခဲ့သူလည်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite news|url=http://www.rfi.fr/afrique/20131016-madagascar-presidentielle-andry-rajoelina-il-dit-son-dernier-mot|title=Andry Rajoelina a-t-il dit son dernier mot? – RFI|work=RFI Afrique|access-date=2018-07-07|language=fr|author=Francis Kpatindé}}</ref> == နိုင်ငံရေးလှုပ်ရှားမှုများနှင့်ယာယီအစိုးရတာဝန် == ၂၀၀၇ ခုနှစ်တွင် အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် '''Young Malagasies Determined''' ဟုခေါ်သည့် နိုင်ငံရေးပါတီကို တည်ထောင်၍ နိုင်ငံရေးလောကထဲ ဝင်ရောက်လာခဲ့သည်။ထိုနှစ်မှာပင် သူသည် [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မာဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]]၏မြို့ တော် '''အန်တာနာနာရီဗိုမြို့၏ မြို့တော်ဝန်''' အဖြစ် ရွေးချယ်ခံရသည်။ဤရာထူးကို ထမ်းဆောင်စဉ်တွင် သူသည် သမ္မတ '''မတ်ခ် ရာဗာလိုမာနာနာ (Marc Ravalomanana)'''အား ဆန့်ကျင်သည့် အဖွဲ့အစည်းကို ဦးဆောင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=How do you say ANDRY RAJOELINA? |url=https://pronounce.voanews.com/phrasedetail.php?name=RAJOELINA%2C+ANDRY |access-date=2 July 2023 |website=VOA Pronunciation Guide}}</ref> ၂၀၀၉ ခုနှစ်၊မတ် ၁၇ ရက် တွင် [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မာဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]]အတွင်း၌ '''နိုင်ငံရေးအကျပ်အတည်း''' ဖြစ်ပွားခဲ့ပြီး၊နိုင်ငံ စစ်တပ်၏ စစ်အရာရှိ Hyppolite Ramaroson သည် နိုင်ငံအာဏာကို သမ္မတထံမှ အာဏာသိမ်း၍ လွှဲပြောင်းရယူခဲ့သည်။ ထို့နောက် '''စစ်တပ်ကောင်စီ''' သည် ၇နာရီမျှသာ အာဏာသိမ်းပြီးနောက် လာဂျိုလီနာ ကို '''မာဒါဂတ်စတားယာယီအစိုးရအဖွဲ့ သမ္မတ''' အဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့သည်။နိုင်ငံတကာအသိုင်းအဝိုင်းကမူ ထိုဖြစ်ပျက်လှုပ်ရှားမှုအား နိုင်ငံရေးအကျပ်အတည်းနှင့် စစ်တပ်ကျောထောက်နောက်ခံပြုအာဏာသိမ်းမှု ဟု သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ လာဂျိုလီနာ သည် လွှတ်တော်ကို ဖျက်သိမ်းပြီး၊ယာယီအစိုးရအဖွဲ့ကို ၅ နှစ်နီးပါးအကြာ ဦးဆောင်ခဲ့သည်။သူ၏ ယာယီအစိုးရအဖွဲ့သည် သက်တမ်း၅ နှစ်အတွင်း ဝန်ကြီးချုပ် ၅ ဦးအထိ ပြောင်းထဲပစ်ခဲ့သည်။သူသည် ၂၀၁၃ ခုနှစ်တွင် အထွေထွေရွေးကောက်ပွဲများကျင်းပပေးပြီးနောက်၊ ဆက်ခံသူထံ ၂၀၁၄ ခုနှစ်၊ဇန်နဝါရီ ၂၅ ရက် တွင် အာဏာလွှဲပြောင်းပေးခဲ့သည်။ == သမ္မတတာဝန် == ၂၀၁၈ ခုနှစ် နိုင်ငံ၏ သမ္မတရွေးကောက်ပွဲတွင် သူသည် အနိုင်ရခဲ့သည်။၂၀၁၉ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီ ၁၉ ရက် တွင် သမ္မတအဖြစ် ရာထူးလက်ခံခဲ့သည်။၎င်း၏ရာထူးသက်တမ်းတွင် [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မာဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]] ၌ COVID-19 ကူးစက်ရောဂါ ကို ကောင်းစွာ ထိန်းချုပ် မကုသနိုင်ခြင်း၊၀၂၁ ခုနှစ်အတွင်း စားနပ်ရိက္ခာ မလုံလောက်မှု အကျပ်အ တည်းနှင့် ဆိုင်ကလုန်း Batsirai ၏ သက်ရောက်မှုအား ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းမှုမပြုနိုင်ခဲ့ခြင်း စသည့် နိုင်ငံရေးစိန်ခေါ်မှုများအား ရင်ဆိုင်ကြုံတွေ့ခဲ့ရသည်၊ သို့သော် အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် စိန်ခေါ်မှုများကြားမှပင် ၂၀၂၃ သမ္မတရွေးကောက်ပွဲတွင် အနိုင်ရရှိခဲ့သည်။ == အကျပ်အတည်းများနှင့် နိုင်ငံမှထွက်ပြေးခြင်း == ၂၀၂၅ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၂၅ ရက်ကစပြီး သူသည် နိုင်ငံအတွင်း ရေနှင့် ဓာတ်အား မကြာခဏ ပြတ်တောက်မှုကို ဆန့်ကျင်သည့် ဆန္ဒပြမှုများနှင့် ရင်ဆိုင်ကြုံတွေ့ခဲ့ရသည်။ရေမီးပြတ်လပ်မှုများကြောင့် ပေါ်ပေါက်လာသည့် ဆန္ဒပြအုံကြွမှုများသည် နောက်ပိုင်းတွင် အဂတိလိုက်စားမှုနှင့်အတူ ညံ့ဖျင်းသည့်အုပ်ချုပ်မှုတို့ကိုပါ ဆန္ဒပြလာကြသည်။ရာထူးမှ နုတ်ထွက်ပေးရန် တောင်းဆိုခြင်းကို ခံခဲ့ရသည်။<ref>{{cite news|title=Madagascar president sacks government over deadly protests|url=https://www.lemonde.fr/en/le-monde-africa/article/2025/09/29/madagascar-s-anti-government-protests-flare-up-as-police-respond-with-tear-gas_6745896_124.html|access-date=30 September 2025|work=Le Monde|date=29 September 2025|language=en}}</ref><ref>{{cite news|last1=Kyekyeku|first1=Kofi Oppong|title=Deadly youth-led protests force Madagascar's president to fire the prime minister and his government|url=https://face2faceafrica.com/article/deadly-youth-led-protests-force-madagascars-president-to-fire-the-prime-minister-and-his-government|access-date=30 September 2025|work=Face2Face Africa|date=30 September 2025|language=en}}</ref> ထိုဆန္ဒပြမှုများကို Gen Z တို့က ဦးဆောင်ခဲ့ကြပြီး၊နိုင်ငံအတွင်း ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ဖြစ်ပွားလာခဲ့သည်။အစိုးရက ဆန္ဒပြမှုကို ပြင်းပြင်းထန်ထန်တုံ့ပြန်ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ လူ ၂၀ ကျော်အထိ သေဆုံးခဲ့သည်။ တစ်ဖက်တွင်လည်း သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် ဆန္ဒပြမှုများအပေါ် တုံ့ပြန်သည့်အနေဖြင့် ဝန်ကြီးချုပ် Christian Ntsay ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ် စက်တင်ဘာ ၂၉ ရက်နေ့တွင် ထုတ်ပယ်ခဲ့သည်။ သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် ၎င်းအား အချို့သော နိုင်ငံရေးသမားများသည် ဆန္ဒပြပွဲများကို အခွင့်ကောင်းယူပြီး၊ အာဏာသိမ်းရန်စဉ်းစားနေကြသည့်အကြောင်း ကုလသမဂ္ဂတွင် မိန့်ခွန်းစဉ် ထည့်သွင်း ပြောကြားခဲ့သည်။<ref>{{cite news|title=Madagascar president refuses to step down as antigov't protests continue|url=https://www.aljazeera.com/news/2025/10/3/madagascar-president-refuses-to-step-down-amid-deadly-nationwide-protests|work=Al Jazeera|access-date=12 October 2025|date=5 August 2025|language=en}}</ref> နိုင်ငံအဝှမ်းဆန္ဒပြမှုကို ရင်ဆိုင်နေရသည့် သမ္မတ ရာဂျိုလီနာသည် ၂၀၀၉ အာဏာသိမ်းမှု၌ ၎င်းအား အာဏာရအောင်ကူညီပေးခဲ့သည့် စစ်တပ်အထူးတပ်ဖွဲ့ CAPSAT ၏ ထောက်ခံမှုကိုပါ ဆုံးရှုံးခဲ့သည်။ယင်းတပ်ဖွဲ့သည် ဆန္ဒပြသူများနှင့်ပူးပေါင်းလိုက်ပြီး စစ်တပ်ကို တာဝန်ယူကွပ်ကဲ၍ စစ်ဦးစီးချုပ်သစ်တစ်ဦးအား ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁၂ ရက်နေ့တွင် သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် ၎င်း၏အစိုးရကိုဖြုတ်ချကြရန်ကြိုးပမ်းမှုအခြေအနေကို ထိန်းချုပ်နိုင်ခဲ့ကြောင်း ထုတ်ပြန်ချက် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|date=October 12, 2025|title=Madagascar presidency says attempt to seize power under way|url=https://www.bbc.com/news/articles/cd070pn4g07o|access-date=October 12, 2025|work=[[BBC News]]|first1=Sammy|last1=Awami|first2=Farouk|last2=Chothia}}</ref>ထိုနေ့မှာပင် သူသည် ပြင်သစ်စစ်လေယာဉ်ဖြင့် နိုင်ငံမှ လူမသိသူမသိ ထွက်ပြေးသွားခဲ့သည်။ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁၃ ရက်နေ့တွင် အတိုက်အခံလွှတ်တော်အမတ်တစ်ဦးမှ သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် နိုင်ငံမှ ထွက်ပြေးသွားကြောင်း လူထုကို ထုတ်ဖော် အစီရင်ခံခဲ့သည်။<ref name="exile">{{cite news|last1=Tétaud|first1=Sarah|last2=Imray|first2=Gerald|title=Madagascar's president says he fled the country in fear for his life after military rebellion|url=https://apnews.com/article/madagascar-coup-rajoelina-soldiers-military-africa-b17e7f78a6b0d4abf82a4a19a7a77a05|access-date=13 October 2025|work=AP NEWS|date=13 October 2025}}</ref>သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာသည် ထိုနေ့နှောင်းပိုင်းတွင် နိုင်ငံကို မိန့်ခွန်းပြောကြားခဲ့ပြီး၊ သူသည် အသက်အန္တရာယ်ကြောင့် နိုင်ငံမှ ထွက်ပြေးခဲ့သည်ဟု ပြောဆိုကာ၊ ရာထူးမှ ဆင်းရန် ငြင်းဆန်ခဲ့သည်။ထို့နောက် သူသည် အောက်လွှတ်တော်ကို အမိန့်ဒီကရီဖြင့် ဖျက်သိမ်းရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ ထိုဆောင်ရွက်ချက်သည် အောင်မြင်မှုမရခဲ့ဘဲ လွှတ်တော်အမတ်များသည် သမ္မတကို စွပ်စွဲပြစ်တင်ပြီး မဲခွဲဆုံးဖြတ်ကာ ဖြုတ်ချခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite web|url=https://news-eleven.com/article/306860|title=မာဒါဂါစကာနိုင်ငံတွင် Gen Z ဆန္ဒပြမှုများ ဖြစ်ပွားလာပြီးနောက် တိုင်းပြည်မှ သမ္မတထွက်ပြေး|work=Eleven Media Group|access-date=၁၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅|date=၁၄ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅}}</ref> ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊အောက်တိုဘာ ၁၄ ရက်တွင် လူထုအုံကြွမှု၏ပစ်မှတ်ဖြစ်လာပြန်သည့် အထက်လွှတ်တော်သည် ဥက္ကဋ္ဌ ကို ရာထူးမှ ချက်ချင်း ဖယ်ရှားလိုက်ပြီး အသစ်တစ်ဦးနှင့် အစားထိုး ခန့်အပ်ခဲ့သည်။ရွေးကောက်ပွဲပြုလုပ်ချိန်အထိ ထို အထက်လွှတ်တော်ဥက္ကဋ္ဌ အသစ် Jean André Ndremanjary သည် သမ္မတနေရာကို တာဝန်ယူခဲ့သည်။၇နာရီအကြာတွင် စစ်တပ်သည် နိုင်ငံ၏အာဏာကို သိမ်းယူခဲ့သည်။ စစ်တပ်အကြီးအကဲ Michael Randrianirina သည် [[မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ|မာဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ]]၏ အာဏာကို ထိန်းချုပ်ကာ နိုင်ငံအကြီးအကဲတာဝန်ကို ရယူခဲ့သည်။<ref>{{Cite news|date=14 October 2025|title=Madagascar's National Assembly votes to impeach president|url=https://www.channelnewsasia.com/world/madagascar-president-andry-rajoelina-impeached-protests-5401501|work=Channel News Asia|access-date=14 October 2025|archive-url=https://web.archive.org/web/20251016081354/https://www.channelnewsasia.com/world/madagascar-president-andry-rajoelina-impeached-protests-5401501|archive-date=16 October 2025|url-status=dead}}</ref> <ref>{{cite news|last1=Rabary|first1=Lovasoa|last2=Cocks|first2=Tim|title=Madagascar's military takes power, says colonel|url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/madagascars-president-dissolves-national-assembly-escalating-crisis-2025-10-14/|access-date=14 October 2025|work=Reuters|date=14 October 2025}}</ref> စစ်တပ်အကြီးအကဲ Michael Randrianirina သည် နိုင်ငံပိုင်ရေဒီယိုမှတဆင့် စစ်အာဏာသိမ်းလိုက်သည့်အကြောင်း၊ အောက်လွှတ်တော် မှလွဲ၍ မဏ္ဍိုင်အားလုံး ရပ်ဆိုင်းထားကြောင်း ကြေညာခြင်းဖြင့် သမ္မတ အန်ဒရီ လာဂျိုလီနာအစိုးရအဖွဲ့သည် ပြုတ်ကျသွားခဲ့ရသည်။ <ref>{{cite web|url=https://www.dvb.no/post/728863|title=မာဒါဂတ်စကာတွင် စစ်တပ် အာဏာသိမ်း၊ ၂ နှစ်အတွင်း ရွေးကောက်ပွဲလုပ်မည်ဟုဆို|work=DVB|access-date=၁၆ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅|date=၁၅ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၅}}</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{Lifetime|၁၉၇၄| |}} [[ကဏ္ဍ:မဒါဂတ်စကား နိုင်ငံရေးသမားများ]] [[ကဏ္ဍ:မဒါဂတ်စကားနိုင်ငံ၏ သမ္မတများ]] 5mrxu8ip0awy6e7b8bw1p81u9ftpt3i 0 283072 1060957 1026878 2026-11-01T03:53:47Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 0 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 1 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060957 wikitext text/x-wiki [[File:F-Nishijin-District.png|thumb|250px|နိရှိဂျင်းအရပ်]] '''နိရှိဂျင်း''' (西陣) သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၊ ကျိုတိုမြို့၊ ခိတရပ်ကွက်မှ ခမိဂယောရပ်ကွက်တို့တွင် တည်ရှိနေသည့် နေရာဒေသကို ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းနေရာကို "နိရှိဂျင်း" ဟူသည့်အမည်ဖြင့် ခေါ်ဝေါ်ကြရုံသာဖြစ်ပြီး စီမံအုပ်ချုပ်ရေးယန္တရားမှာမူ ထိုအမည်ဖြင့် မရှိပေ။ နိရှိဂျင်းသည် အထည်အလိပ်များထုတ်လုပ်သည့် လုပ်ငန်းဖြင့် ထင်ရှားသည်။ "နိရှိဂျင်းအိုရိ" ဟူသိကြသည့် အရည်အသွေးမြင့် ပိုးထည်ချည်ထည်များ ထွက်ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=Shaver |first=Ruth M. |title=Kabuki Costume |url=https://archive.org/details/kabukicostume0000ruth |date=1966 |location=Vermont |publisher=Charles E. Tuttle Publishing}}</ref><ref name="What is Nishijin">(ja) [http://www.nishijin.or.jp/nishijin/industry.html What is Nishijin?]</ref> ==သမိုင်းကြောင်း== အထည်အလိပ်ထုတ်လုပ်သည့်လုပ်ငန်းကို ကျိုတိုမြို့တွင် ၅ ရာစုကတည်းက လုပ်ကိုင်ခဲ့ကြသည်။ ဟဲအိအန်ခေတ်ကာလတွင် ရက်ကန်းသမားများသည် ခုရိုမွန်းခမိုချောဂျ-မချိ (လက်ရှိနိရှိဂျင်းအရပ်၏ တောင်ဘက်ဆုံးအပိုင်း) သို့ စုဝေးရောက်ရှိလာခဲ့ကြသည်ဟု ဆိုကြသည်။<ref name="Origin of Nishijin">(ja) [http://www.nishijin.or.jp/nishijin/origin.html Origin of Nishijin] Nishijin Website</ref> ဟဲအိအန်ခေတ်၏ ကာလဝက်နောက်ပိုင်းတွင် အိုးတိုနဲရိနော့အယ ōtoneri no aya (大舍人の綾) နျင့် အိုးမိယနိုခိနု ōmiya no kinu (大宮の綾) ဟုခေါ်သည့် အထည်များကို ထုတ်လုပ်လာခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် တမူထူးခြားကာ ထူထဲ၍ လေးလံသည့် အထည်အလိပ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့ကို ဘုရားကျောင်းများနှင့် နတ်ကျောင်းများတွင် အလှဆင်ရာတွင် အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။<ref name="Origin of Nishijin" /> နိရှိဂျင်းဟူသည့်အမည်သည် အိုးနင်းတိုက်ပွဲတွင် တိုက်ခိုက်ခဲ့သည့် ယမနဆိုးဇန်း (Yamana Sōzen) ၏ အမည်ကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။ နိရှိဂျင်းသည် စာဖြင့် "အနောက်ပိုင်းစခန်း" ဟု အဓိပ္ပါယ်ရသည်။ ဟိုရိခဝ၏ အနောက်ဘက်ရှိ နိရှိဂျင်းဖြစ်လာမည့်နေရာတွင် စခန်းချခဲ့ရာမှ ထိုအမည်တွင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Honda (2009), p.4</ref> အိုးနင်းတိုက်ပွဲပြီးဆုံးသွားပြီးနောက်တွင် တစ်နိုင်ငံလုံးသို့ ပြန့်နှံ့သွားသော ရက်ကန်းသည်များသည် ကျိုတိုမြို့သို့ ပြန်လည်စုဝေးရောက်ရှိလာခဲ့ကြကာ လုပ်ငန်းများကို ဆက်လက်လုပ်ကိုင်ခဲ့ကြသည်။ ထိုအချိန်မှစကာ ထိုအရပ်ကိုလည်း "နိရှိဂျင်း" ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။<ref name="Origin of Nishijin" /> အိမဒဲဂဝ - အိုးမိယ နှင့် အိမဒဲဂဝ - ဟိုရိခဝ တို့၏ အကြားတွင် နိရှိဂျင်းအရပ်၏ သမိုင်းဝင်နေရာတစ်ခု ရှိသည်။ [[အိမမိယနတ်ကျောင်း]]၏ အိမမိယပွဲတော်ကို "နိရှိဂျင်းပွဲတော်" ဟုလည်း သိကြသည်။ ၂၀၀၈ ခုနှစ်တွင် နိရှိဂျင်းမှ ထွက်ရှိသည့် အထည်အလိပ်များ၏ စုစုပေါင်းတန်ဖိုးသည် အကြမ်းဖျင်း ယန်း ၈၁.၈ ဘီလီယံ ဖိုးရျီခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို လုပ်ငန်း ၄၆၅ ခုမှ ထုတ်လုပ်ခဲ့သည်။ နိရှိဂျင်းအရပ်တွင် အသုံးပြုသည့် ရက်ကန်းစက်များ စုစုပေါင်းသည် ၄၇၈၃ ခု (စက်ရက်ကန်းစင် ၃၆၀၀ ခု၊ လက်ရက်ကန်းစင် ၁၂၀၀ ခု) ရှိသည်။ နိရှိဂျင်းအထည်အလိပ်လုပ်ငန်းတွင် တိုက်ရိုက်သော်လည်းကောင်း သွယ်ဝိုက်၍သော်လည်းကောင်း ပတ်သက်လုပ်ကိုင်နေသူသည် ၃၀,၀၀၀ ဦး ရှိသည်။<ref name="What is Nishijin" /> ==တည်နေရာ== [[File:Kyoto Nishijin Daikoku-cho 2013-08A.JPG|thumb|ကျိုတိုမြို့၊ နိရှိဂျင်းအရပ်ရှိ ဒိုင်းခိုခုချော]] ၁၇၁၇ ခုနှစ်တွင် ပြုစုခဲ့သည့် ကျိုတိုဂေါ့ယခုရှောမုခဲတိုင်းဂိုင်းအိုဘိုအဲဂခိစာအုပ် (京都御役所向大概覚書) တွင် နိရှိဂျင်းအရပ်တွင် [[ဟိုရိခဝလမ်း]]၊ ရှိချိဟွန်း - မဆွတ်လမ်း၊ ခုရမဂုချိလမ်းနှင့် အိချိဂျောလမ်း (သို့မဟုတ် နခဒချိအုရိလမ်း) တို့ ပါဝင်သည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။<ref>Honda (2012), p.5</ref> ==ပြင်ပလင့်များ== * (ja) [http://www.city.kyoto.lg.jp/kamigyo/page/0000029016.html Nishijin Gakku] * (ja) [http://www.nishijin.or.jp/ Nishijin website] * [https://web.archive.org/web/20071007131329/http://www.nishijin.or.jp/eng/eng.htm Nishijin Homepage (English)] * http://www.city.kyoto.jp/koho/eng/index.html {{Dead link|date=November 2026 }} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ခရီးသွားနေရာများ]] tgl58ny9rfgfbxxp07g7nmv6geplvh0 0 284281 1060885 1040526 2026-10-31T15:01:06Z Mkant00 135890 1060885 wikitext text/x-wiki ကိန်းသီအိုရီတွင် [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> တစ်ခု၏ '''<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း''' သို့မဟုတ် '''<math>p</math>-အခြေခံကိန်း အစဉ်''' ဆိုသည်မှာ <math>n</math> ကို စား၍ပြတ်သော [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> ၏ အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်းကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို <math>\nu_p(n)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် <math>\nu_p(n)</math> သည် <math>n</math> ၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းတွင် <math>p</math> ပါဝင်သည့် ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းသည် သာမန် ပကတိတန်ဖိုး (Absolute value) နှင့် ဆင်တူသော်လည်း အဓိကကွာခြားချက်မှာ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးသည် [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း]] (Non-Archimedean) ပင်ဖြစ်သည်။ သာမန် ပကတိတန်ဖိုးအပေါ် မူတည်၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (Completion of the rational numbers) သည် ကိန်းစစ်များ (Real numbers) <math>\mathbb{R}</math> ကို ရရှိစေသော်လည်း <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးအပေါ် မူတည်၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပြည့်စုံစေခြင်းသည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (p-adic numbers) <math>\mathbb{Q}_p</math> ကို ရရှိစေသည်။<ref>Dummit & Foote (2003), pp. 758–759.</ref> [[Image:2adic12480.svg|thumb|right|200px|သဘာဝကိန်းများကို ၎င်းတို့၏ ၂-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများအလိုက် ဖြန့်ဝေထားမှုဖြစ်ပြီး သက်ဆိုင်ရာ နှစ်၏ ထပ်ကိန်းများကို ဒသမကိန်းစနစ်ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။ သုညတွင် အဆုံးမရှိသော တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ရှိသည်။]] == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Definition and Properties) == <math>p</math> သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။ === ကိန်းပြည့်များ (Integers) === [[ကိန်းပြည့်]] <math>n</math> တစ်ခု၏ '''<math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း''' ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math> \nu_p(n)= \begin{cases} \mathrm{max}\{k \in \mathbb{N}_0 : p^k \mid n\} & \text{if } n \neq 0\\ \infty & \text{if } n=0, \end{cases} </math> ဤတွင် <math>\mathbb{N}_0</math> သည် သဘာဝကိန်းများ [[အစု|အစုကို]] ကိုယ်စားပြုသည်။ ၎င်းတွင် သုညလည်း ပါဝင်သည်။ ထို့ပြင် <math>m \mid n</math> သည် <math>n</math> အား <math>m</math> ဖြင့် စားပြတ်မှုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အထူးသဖြင့် <math>\nu_p</math> သည် [[ဖန်ရှင်]] <math>\nu_p \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\}</math> တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>Ireland & Rosen (2000), p. 3.</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>|{-12}| = 12 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\nu_2(-12) = 2</math> ၊ <math>\nu_3(-12) = 1</math> နှင့် <math>\nu_5(-12) = 0</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း <math>p^k \parallel n</math> ကို <math>k = \nu_p(n)</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သက်ရောက်ရန် တစ်ခါတစ်ရံ အသုံးပြုသည်။<ref>Niven, Zuckerman & Montgomery (1991), p. 4.</ref><math>n</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့် တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\nu_p(n) \leq \log_p n</math> ဖြစ်သည်။ ဤအချက်သည် <math>n \geq p^{\nu_p(n)}</math> မှနေ၍ တိုက်ရိုက် သက်ရောက်သည်။ === ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers) === <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများဆီသို့ အောက်ပါ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်အဖြစ်]] တိုးချဲ့နိုင်သည်။<ref>Khrennikov & Nilsson (2004), p. 9.</ref> :<math>\nu_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup\{\infty\}</math> ဤနေရာတွင် [[တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း|တိုးချဲ့ကိန်းစစ်မျဉ်း]]ပေါ်ရှိ ပုံမှန် အစဉ်ကျဆက်သွယ်ချက်အရ <math>\infty > n</math> ဖြစ်ပြီး ဂဏန်းသင်္ချာစနစ်ဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းအရ <math>\infty + n = n + \infty = \infty</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math> \nu_p\left(\frac{r}{s}\right)=\nu_p(r)-\nu_p(s). </math> ဥပမာအားဖြင့် <math>\tfrac{9}{8} = 2^{-3}\cdot 3^2</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\nu_2 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = -3</math> နှင့် <math>\nu_3 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = 2</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အချို့သော ဂုဏ်သတ္တိများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\nu_p(r\cdot s) = \nu_p(r) + \nu_p(s)</math> :<math>\nu_p(r + s) \geq \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math> ထို့ပြင် <math>\nu_p(r) \neq \nu_p(s)</math> ဖြစ်ပါက :<math>\nu_p (r + s)= \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math> ဤနေရာတွင် <math>\min</math> သည် ကိန်းနှစ်ခုအနက် ပိုငယ်သောတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။ === ကိန်းပြည့်များ၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းအတွက် ပုံသေနည်း (Formula for <math>p</math>-adic Valuation of Integers) === လီဂျန်ဒါ၏ ပုံသေနည်း (Legendre's formula) က <math>\nu_p(n!)=\sum_{i=1}^{\infty{}}{\left\lfloor{\frac{n}{p^i}}\right\rfloor{}}</math> ဖြစ်ကြောင်း ပြသသည်။ မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> အတွက်မဆို <math>n = \frac{n!}{(n-1)!}</math> ဖြစ်၍ <math>\nu_p(n)=\nu_p(n!)-\nu_p((n-1)!)</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\nu{}_p(n)=\sum_{i=1}^{\infty{}}{\bigg(\left\lfloor{\frac{n}{p^i}}\right\rfloor{}-\left\lfloor{\frac{n-1}{p^i}}\right\rfloor{}\bigg)}</math> ဖြစ်သည်။ ဤအဆုံးမရှိ ပေါင်းလဒ်ကို <math>\sum_{i=1}^{\lfloor{\log_p{(n)}\rfloor{}}}{\bigg(\left\lfloor{\frac{n}{p^i}}\right\rfloor{}-\left\lfloor{\frac{n-1}{p^i}}\right\rfloor{}\bigg)}</math> အထိ လျှော့ချနိုင်သည်။ ဤပုံသေနည်းကို အနုတ်ကိန်းပြည့် တန်ဖိုးများအထိ တိုးချဲ့နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math>\nu{}_p(n) =\sum_{i=1}^{\lfloor{\log_p{(|n|)}\rfloor{}}}{\bigg(\left\lfloor{\frac{|n|}{p^i}}\right\rfloor{}-\left\lfloor{\frac{|n|-1}{p^i}}\right\rfloor{}\bigg)}</math> == <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုး (<math>p</math>-adic Absolute Value) == ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ သဘောတရားအရ စစ်မှန်သော [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] တစ်ခု မဟုတ်သော်လည်း <math>p</math>-အခြေခံကိန်း စံနှုန်းဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးကို အောက်ပါ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်အနေဖြင့်]] အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Murty (2001), pp. 147–148.</ref> :<math>|\cdot|_p \colon \Q \to \R_{\ge 0} </math> ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>|r|_p = p^{-\nu_p(r)} .</math> ထို့ကြောင့် မည်သည့် <math>p</math> အတွက်မဆို <math>|0|_p = p^{-\infty} = 0</math> ဖြစ်ပြီး ဥပမာအားဖြင့် <math>|{-12}|_2 = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}</math> နှင့် <math>\bigl|\tfrac{9}{8}\bigr|_2 = 2^{-(-3)} = 8 </math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးသည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသည်။ :{| class="wikitable" |- |အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း (Non-negativity) || <math>|r|_p \geq 0</math> |- |အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (Positive-definiteness)|| <math>|r|_p = 0 \iff r = 0</math> |- |မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (Multiplicativity) || <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math> |- |အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း (Non-Archimedean) || <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math> |} မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (Multiplicativity) <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math> အရ ယူနစ်ရင်းများ (Roots of unity) ဖြစ်သော <math>1</math> နှင့် <math>-1</math> တို့အတွက် <math>|1|_p=1=|{-1}|_p</math> ဖြစ်ကြောင်း သိနိုင်ပြီး ရလဒ်အနေဖြင့် <math>|{-r}|_p = |r|_p </math> လည်း ဖြစ်သည်။ နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (Subadditivity) <math>|r+s|_p \leq |r|_p + |s|_p</math> သည် အာခီမီးဒီးစ်မဟုတ်သော (Non-Archimedean) တြိဂံ မညီမျှခြင်း <math>|r+s|_p \leq \max\left(|r|_p, |s|_p\right)</math> မှနေ၍ ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ === မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်း (Product Formula) === ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (Exponentiation) <math>p^{-\nu_p(r)} </math> တွင် အခြေခံ <math>p</math> ကို ရွေးချယ်မှုသည် ဂုဏ်သတ္တိအများစုအတွက် ကွာခြားမှုမရှိစေသော်လည်း ၎င်းသည် ဤမြှောက်လဒ် ပုံသေနည်းကို အထောက်အကူပြုသည်။ သုညမဟုတ်သော [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math>r \in \mathbb{Q}^\times</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါ မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်း မှန်ကန်သည်။ :<math>|r|_\infty \prod_{p} |r|_p = 1</math> ဤနေရာတွင် မြှောက်လဒ်ကို [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] <math>p</math> အားလုံးနှင့် <math>|r|_{\infty} </math> ဟု သတ်မှတ်ရေးသားထားသော ပုံမှန် ပကတိတန်ဖိုး အပေါ်တွင် တွက်ချက်ယူထားခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း ကို ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်ခြင်းမှ ဆင်းသက်လာသည်။ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း <math>p^k</math> တစ်ခုစီတိုင်းသည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုး တွက်ချက်ရာတွင် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းအဖြစ် ထွက်ပေါ်လာပြီး နောက်ဆုံးတွင် ပုံမှန် အာခီမီးဒီးစ် ပကတိတန်ဖိုးနှင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ အားလုံးချေဖျက်သွားခြင်းဖြစ်သည်။ အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ် (Ostrowski's theorem) အရ ပုံသေနည်းတွင် ပါဝင်သော ပုံမှန် နှင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးများ အားလုံးသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှု အထိ (Up to equivalence) တူညီသော ပကတိတန်ဖိုးများ ဖြစ်ကြသည်။ အလားတူ မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်းတစ်ခုကို အလုံးစုံ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (Global fields) ကို နဂိုမှန်အဆိုအရ သတ်မှတ်ရန် အသုံးပြုနိုင်ပြီး ထိုဖီးလ်ဒ်များထဲတွင် ရာရှင်နယ်ကိန်းများသည် အရှင်းလင်းဆုံး ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ===အကွာအဝေး ဖန်ရှင် နှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (Metric and Completion) === [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] တစ်ခုကို [[အစု]] <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်တွင် အောက်ပါအကွာအဝေး [[ဖန်ရှင်]] တစ်ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ အဆိုပါ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ဖြစ်ပြီး ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (translation-invariant) ရှိသည်။ ၎င်းကို :<math>d \colon \Q \times \Q \to \R_{\ge 0} </math> အနေဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>d(r,s) = |r-s|_p .</math> ဤအကွာအဝေး ဖန်ရှင်အပေါ် အခြေခံ၍ <math>\mathbb{Q}</math> ကို ပြည့်စုံစေခြင်း အားဖြင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ ပါဝင်သော အစု <math>\mathbb{Q}_p</math> ရစေသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း နှင့် ပကတိတန်ဖိုး တို့ကို <math>\mathbb{Q}_p</math> သို့ တိုးချဲ့နိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော တန်ဖိုးဖြတ် ဖီးလ်ဒ် (Complete valued field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ==ကိုးကား== * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |date=2003 |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=Wiley |isbn=0-471-43334-9 |pages=758–759 |url=https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6}} * {{Citation |last1=Ireland |first1=Kenneth |last2=Rosen |first2=Michael |date=2000 |title=A Classical Introduction to Modern Number Theory |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |location=New York |page=3 |isbn=978-0-387-97329-6}} * {{Citation |last1=Khrennikov |first1=Andrei |last2=Nilsson |first2=Marcus |date=2004 |title=''p''-adic Deterministic and Random Dynamics |publisher=Kluwer Academic Publishers |page=9 |isbn=978-1-4020-2659-1}} * {{Citation |last=Murty |first=M. Ram |date=2001 |title=Problems in Analytic Number Theory |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=206 |publisher=Springer-Verlag, New York |isbn=0-387-95143-1 |mr=1803093 |doi=10.1007/978-1-4757-3441-6 |pages=147–148}} * {{Citation |last1=Niven |first1=Ivan |last2=Zuckerman |first2=Herbert S. |last3=Montgomery |first3=Hugh L. |date=1991 |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |publisher=John Wiley & Sons |isbn=0-471-62546-9 |page=4 |url=https://archive.org/details/introductiontoth0000nive}} [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] 7xp68cmf8xa96o3i1bbgm6r2b73jakb 0 284499 1060989 1054347 2026-11-01T09:40:11Z Mkant00 135890 1060989 wikitext text/x-wiki '''မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (linear operator)''' ဟူသော ဝေါဟာရကို သင်္ချာပညာရပ်၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သော ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) တွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး ၎င်းသည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (linear mapping) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် အဓိပ္ပာယ်တူညီသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုဆိုသည်မှာ ဘုံ [[ဖီးလ်ဒ်]] (common field) တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) ကြားရှိ တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသော ပုံဖော်မှု (structure-preserving mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ် (real numbers) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex numbers) ဖီးလ်ဒ်များအပေါ် အခြေခံထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပြီး ၎င်းတို့တွင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တပ်ဆင်ထားသောအခါ ၎င်းတို့ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများဟု ပိုမိုသုံးနှုန်းလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်းများ (locally convex spaces)၊ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (normed vector spaces) နှင့် ဘာနက်ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) တို့တွင် ဤဝေါဟာရကို အသုံးပြုကြသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းများ (finite-dimensional spaces) တွင် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများသည် အမြဲတမ်း အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ဂုဏ်သတ္တိရှိသော်လည်း အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional spaces) တွင်မူ အကန့်အသတ်မရှိသော (unbounded) မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ ပါဝင်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == === မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Linear operator) === <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့် <math>x, y \in X</math> နှင့် <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီပါက <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော ပုံဖော်မှု <math>T</math> ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ *<math>T</math> သည် တစ်ပြေးညီ (homogeneous) ဖြစ်သည်။ :<math>T (\lambda x) = \lambda T(x)</math> *<math>T</math> သည် အပေါင်းအခြေခံ (additive) ဖြစ်သည်။ :<math>T (x + y) = T(x) + T(y)</math> === ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Conjugate-linear operator) === <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့် <math>x, y \in X</math> နှင့် <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီပါက <math>X</math> မှ <math>Y</math> သို့သွားသော အော်ပရေတာ <math>T</math> ကို ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ *<math>T</math> သည် ကွန်ဂျူဂိတ်-တစ်ပြေးညီ (conjugate-homogeneous) ဖြစ်သည်။ :<math>T (\lambda x) = \overline{\lambda}T(x)</math> *<math>T</math> သည် အပေါင်းအခြေခံ ဖြစ်သည်။ :<math>T (x + y) = T(x) + T(y)</math> <gallery widths="180" heights="120"> File:Streckung eines Vektors.gif|<math>f(x, y) = (2x, y)</math> ဖြစ်သော ဖန်ရှင် (function) <math>f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု (linear map) ဖြစ်သည်။ ဤဖန်ရှင်သည် ဗက်တာ (vector) တစ်ခု၏ <math>x</math> အစိတ်အပိုင်း (component) ကို ဆခွဲကိန်း (factor) <math>2</math> ဖြင့် စကေလာမြှောက် (scale) ပေးသည်။ File:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|ဖန်ရှင် <math>f(x, y) = (2x, y)</math> သည် အပေါင်းအခြေခံ (additive) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများကို ဦးစွာ ပေါင်းပြီးမှ ပုံဖော်သည်ဖြစ်စေ၊ ပုံဖော်ပြီးမှ နောက်ဆုံး ပေါင်းသည်ဖြစ်စေ ရလဒ်မှာ အတူတူပင် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>f(\mathbf a + \mathbf b) = f(\mathbf a) + f(\mathbf b)</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ File:Streckung homogenitaet Version 3.gif|ဖန်ရှင် <math>f(x, y) = (2x, y)</math> သည် တစ်ပြေးညီ (homogeneous) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာတစ်ခုကို ဦးစွာ စကေလာမြှောက်ပြီးမှ ပုံဖော်သည်ဖြစ်စေ၊ ဦးစွာ ပုံဖော်ပြီးမှ စကေလာမြှောက်သည်ဖြစ်စေ ရလဒ်မှာ အတူတူပင် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို <math>f(\lambda \mathbf a) = \lambda f(\mathbf a)</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ </gallery> == ဥပမာများ (Examples) == === မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Linear operators) === * <math>A</math> သည် ကိန်းစစ် <math>n \times m</math> ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>A\colon x \mapsto Ax</math> သည် <math>\mathbb{R}^m</math> မှ <math>\mathbb{R}^n</math> သို့သွားသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] နှစ်ခုကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ စုစည်းထားသော [[အစု]] (set) သည် အပေါင်း (addition) <math>(S+T)(x) := S(x) + T(x)</math> နှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) <math>(\lambda S)(x) := \lambda S(x)</math> တို့ကို သတ်မှတ်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် ၎င်းကိုယ်တိုင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ * [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု]]အား ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသော <math>f \mapsto D f = f'</math> ဟူသည့် ဆင်းသက်ချက် အော်ပရေတာ (derivative operator) <math>D\colon C^1 \to C</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>a < b</math> တို့သည် ကိန်းစစ်နှစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော ဖန်ရှင် (integrable function) တစ်ခုအား ကိန်းစစ်တစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော အော်ပရေတာ <math>\textstyle f \mapsto \int_a^b f(x) \mathrm{d}x</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာဖြစ်သည်။ * ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) မဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (Conjugate-linear operator) === * <math>(H, \langle \cdot,\cdot\rangle_H)</math> သည် ကိန်းထွေး ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (complex Hilbert space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>H'</math> သည် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (dual space) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ဖရေးရှေး-ရီးဇ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရမ် (Fréchet-Riesz representation theorem) အရ မည်သည့် <math>f\in H'</math> အတွက်မဆိုနှင့် မည်သည့် <math>x\in H</math> တွင်မဆို <math>f(x)=\langle x,y_f\rangle_H</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) <math>y_f\in H</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ပုံဖော်မှု <math>H'\rightarrow H, f\mapsto y_f</math> သည် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရခြင်းမှာ ကိန်းထွေး အတွင်းမြှောက်လဒ် (complex inner product) <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> သည် ဒုတိယ ကိန်းရှင် (variable) နေရာတွင် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == အရေးပါမှု နှင့် အသုံးချမှုများ (Importance and Applications) == မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ၏ အရေးပါမှုမှာ ၎င်းတို့သည် အခြေခံရပ်ဝန်း၏ မျဉ်းဖြောင့် တည်ဆောက်ပုံ (linear structure) ကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]အကြားရှိ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဖြစ်ကြသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို အောက်ပါနယ်ပယ်များတွင် အသုံးချသည်။ * အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (three-dimensional Euclidean space) တွင် ကိုဩဒိနိတ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (coordinate transformation) များဖြစ်သည့် အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection)၊ လှည့်ခြင်း (rotation)၊ ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching) နှင့် အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော အာကာသအချိန် (four-dimensional spacetime) တွင် လိုရန့်ဇ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (Lorentz transformation) တို့ကို ကိန်းအုံများ ဖြင့် ဖော်ပြရာတွင် အသုံးပြုသည်။ * ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) တွင် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သော အရာများ (observables) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရာတွင်လည်းကောင်း၊ ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (Schrödinger equation) ရှိ ဟာမီတန်-အော်ပရေတာ (Hamiltonian operator) <math>H</math> ဖြင့် ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ စနစ်တစ်ခု၏ ရွေ့လျားပြောင်းလဲမှု (dynamics) ကို ဖော်ပြရာတွင်လည်းကောင်း အသုံးပြုသည်။ * ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း နှင့် အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ (differential and integral equations) အတွက် အဖြေရှာခြင်း သီအိုရီများ (solution theories) တည်ဆောက်ရာတွင် အသုံးပြုသည်။ ဤသို့တည်ဆောက်ရာတွင် ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်း (Sobolev space) နှင့် ဖြန့်ဝေမှု သီအိုရီ (distribution theory) အစရှိသည်တို့ကို အသုံးပြုကြသည်။ == အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Bounded Linear Operators) == === အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Definitions) === <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြပြီး <math>A\colon V\to W</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>A</math> ၏ အော်ပရေတာ စံနှုန်း (operator norm) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math> \|A\| := \inf\{ M \geq 0, \; \|Ax \|_W \leq M \|x\|_V \text{ for all } x \in V\} </math> ယင်းကိန်းသေ (constant) အတွက် အောက်ပါ ညီမျှခြင်းများ မှန်ကန်သည်။ :<math> \|A\| = \sup_{x \in V, \; x \neq 0} \frac{\|Ax\|_W}{\|x\|_V}= \sup_{\|x\|_V \leq 1} \|Ax\|_W = \sup_{\|x\|_V = 1} \|Ax\|_W </math> အဆိုပါ အော်ပရေတာ စံနှုန်းသည် အဆုံးရှိပါက ထိုအော်ပရေတာကို အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာဟု ခေါ်သည်။ အကယ်၍ အဆုံးမရှိပါက အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာ (unbounded operator) ဟု ခေါ်သည်။ စံနှုန်း ရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ စံနှုန်း ရပ်ဝန်း <math>W</math> သို့သွားသော အကန့်အသတ်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများအားလုံး၏ အစုကို <math>\mathfrak{L}(V,W)</math> ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ အော်ပရေတာ စံနှုန်းဖြင့်ပင်လျှင် ၎င်းအစုကိုယ်တိုင်သည် စံနှုန်း သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဘာနက်ရပ်ဝန်း တစ်ခုပင် ဖြစ်လာသည်။<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7. Satz II.1.4.</ref> အကယ်၍ <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် ထပ်တူညီသည် ဆိုပါက ၎င်းကို <math>\mathfrak{L}(V)</math> ဟု အတိုချုံး၍ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ <math>T</math> သည် <math>V</math> မှ <math>W</math> သို့သွားသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ဖော်ပြပါ အချက်များသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီကြသည်။ * <math>T</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\mathfrak{L}(V,W)</math> တွင် ပါဝင်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ပေါ်တွင် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (uniformly continuous) ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ၏ အမှတ်တိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>V</math> ၏ အမှတ်တစ်ခုခုတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ * <math>T</math> သည် <math>0 \in V</math> တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ === အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဥပမာများ (Examples of bounded linear operators) === * အကယ်၍ <math>V \neq \{0\}</math> ဖြစ်ပါက <math>I_V \in \mathfrak{L}(V)</math> နှင့် <math>\|I_V\| = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>I_V</math> သည် <math>V</math> ပေါ်ရှိ ထပ်တူရ အော်ပရေတာ (identity operator) ဖြစ်ရာ ၎င်းသည် အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဖြစ်သည်။ * <math>P \in \mathfrak{L}(H)</math> နှင့် <math>\|P\| = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>P\ne0</math> သည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) <math>H</math> ပေါ်ရှိ ထောင့်မှန်ကျ ပရိုဂျက်ရှင်း (orthogonal projection) ဖြစ်ကာ အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ ဖြစ်သည်။ * <math>(n_k) \in \mathfrak{L}(l_p)</math> နှင့် <math>\textstyle \|(n_k)\| = \sup_k |n_k|</math> ဖြစ်ပြီး ဤတွင် ကိန်းစဉ် (sequence) <math>(n_k)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိသည်။ ၎င်းကို <math>1 \leq p \leq \infty</math> ရှိသော ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (sequence space) <math>l_p</math> ပေါ်ရှိ ဒိုင်ယာဂွန်နယ် အော်ပရေတာ (diagonal operator) တစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူသည်။ * နေရာရွှေ့ အော်ပရေတာ (shift operator) <math>S \in \mathfrak{L}(l_p)</math> သည် အကန့်အသတ်ရှိပြီး <math>\|S\| = 1</math> ဖြစ်ကာ <math>S ((x_1, x_2, x_3, \dotsc)) := (0, x_1, x_2, x_3, \dotsc)</math> ဟု <math>1 \leq p \leq \infty</math> ရှိသော ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း <math>l_p</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသည်။ * <math>K</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အစု (compact set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>\mathfrak{C}(K)</math> သည် <math>K</math> ပေါ်ရှိ စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) တပ်ဆင်ထားသော [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ၏ ဘာနက်ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f \in \mathfrak{C}(K)</math> ဖြစ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ <math>T_f \colon \mathfrak{C}(K) \rightarrow \mathfrak{C}(K)</math> ကို မည်သည့် <math>k \in K</math> အတွက်မဆို <math>T_f (g) (k) := (fg) (k)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>T_f \in \mathfrak{L} ( \mathfrak{C}(K) )</math> ဖြစ်ပြီး <math>\|T_f\| = \|f\|_{\infty}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>\lbrack X, \mathfrak{B}, \mu \rbrack</math> သည် ဆစ်ဂမာ-ဖိုင်းနိုက် အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်း (sigma-finite measure space) တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>1 \leq p \leq \infty</math> အတွက် <math>L_p = L_p(X, \mathfrak{B}, \mu)</math> သည် <math>L^p</math>-စံနှုန်း တပ်ဆင်ထားသည့် <math>X</math> ပေါ်ရှိ <math>p</math>-ထပ်ကိန်း တင်၍ အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ (measurable functions) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ပါဝင်သော <math>L_p</math>-ရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် <math>f \in L_{\infty}</math> ဖြစ်ပြီး မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ <math>T_f \colon L_p \to L_p</math> ကို မည်သည့် <math>x \in X</math> အတွက်မဆို <math>T_f (g) (x) := (fg) (x)</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ <math>T_f \in \mathfrak{L} (L_p)</math> ဖြစ်ပြီး <math>\|T_f\| = \|f\|_{\infty}</math> ဖြစ်သည်။ == အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Unbounded Linear Operators) == အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို လေ့လာရာတွင် ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် လေ့လာနေသော ရပ်ဝန်း၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခုမျှသာဖြစ်သော အော်ပရေတာများကိုလည်း ထည့်သွင်းစဉ်းစားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများအကြောင်း ပြောဆိုရာတွင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းဖြစ်သော ဟီလ်ဘတ် အကြိုရပ်ဝန်း (pre-Hilbert space) ကိုလည်း အရင်းအမြစ်စုအဖြစ် လက်ခံစဉ်းစားသည်။ အဆိုပါ အရင်းအမြစ်စုသည် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းအတွင်း သိပ်သည်းနေပါက ၎င်းတို့ကို သိပ်သည်းစွာ သတ်မှတ်ထားသော (densely defined) အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အဆိုပါ အော်ပရေတာကို တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပုံဖော်မှု (partial mapping) တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်ယူဆသည်။ အော်ပရေတာတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုသည် မူလရပ်ဝန်း၏ သိပ်သည်းသော [[အစုပိုင်း]] (dense subset) တစ်ခုဖြစ်နေပါက ထိုအော်ပရေတာကို သိပ်သည်းစွာ သတ်မှတ်ထားသည်ဟု ခေါ်သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (differential operators) နှင့် ၎င်းတို့၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ရောင်စဉ် (eigenvalue spectrum) အပြင် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာများ (observable algebras) ကို လေ့လာမှုများကြောင့် အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများကို စိတ်ဝင်စားလာခဲ့သည်။ အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများထဲတွင် အပိတ် အော်ပရေတာများ (closed operators) သည် ကြီးမားကျယ်ပြန့်သော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့မှာ <math>V \times W</math> ၏ မြှောက်လဒ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (product topology) တွင် ၎င်းတို့၏ ဂရပ် (graph) <math>\Gamma (A) := \{ (\phi , A \phi) : \phi \in D \}</math> သည် အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်နေသော အော်ပရေတာ <math>A \colon V \rightarrow W</math> များပင်ဖြစ်သည်။ အပိတ် အော်ပရေတာများအတွက် ဥပမာအားဖြင့် ရောင်စဉ် (spectrum) ကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများဆိုင်ရာ သီအိုရီကို ၁၉၂၉ ခုနှစ်တွင် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) က စတင်ခဲ့သည်။<ref>{{cite journal |author=J. v. Neumann |title=Über einen Satz von Herrn M. H. Stone |journal=The Annals of Mathematics |volume=33 |issue=3 |date=1932-07 |doi=10.2307/1968535 |jstor=1968535 |pages=567}}</ref><ref>{{cite journal |author=J. v. Neumann |title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren |journal=Mathematische Annalen |volume=102 |issue=1 |date=1930-12 |issn=0025-5831 |doi=10.1007/BF01782338 |pages=49–131 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01782338 |access-date=2022-11-10}}</ref> ၁၉၃၂ ခုနှစ်တွင်<ref>{{cite journal |author=M. H. Stone |title=Linear Transformations in Hilbert Space: III. Operational Methods and Group Theory |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=16 |issue=2 |date=1930-02 |issn=0027-8424 |doi=10.1073/pnas.16.2.172 |pages=172–175 |url=https://pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.16.2.172 |access-date=2022-11-10}}</ref> ဖွန်နွိုင်းမန်း နှင့် သီးခြားလွတ်လပ်စွာပင် မာရှယ် ဟာဗေး စတုန်း (Marshall Harvey Stone) သည်လည်း အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တီထွင်ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |author=Dirk Werner |title=Funktionalanalysis |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |date=2018 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-662-55406-7 |doi=10.1007/978-3-662-55407-4 |pages=413ff. |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-55407-4 |access-date=2022-11-10}}</ref> === ဥပမာ (Example) === အပိုင်းအခြား (interval) <math>[a, b]</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ၏]] ဘာနက်ရပ်ဝန်း <math>C[a, b]</math> ပေါ်တွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာ <math> A f := f',</math> ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု <math>\mathcal{D}(A)</math> အဖြစ် တစ်ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ (continuously differentiable functions) ပါဝင်သည့် <math>\mathcal{D}(A):=C^{1}[a, b]</math> ကို ရွေးချယ်ပါက <math>A</math> သည် အကန့်အသတ်မရှိသော အပိတ် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အသုံးချမှုများ (Applications) === * ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် မြှောက်ခြင်း အော်ပရေတာများ (multiplication operators) သည် ယေဘုယျအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိသော အော်ပရေတာများ ဖြစ်ကြသည်။ * ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ရှိ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် အကန့်အသတ်မရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများကို လိုအပ်သည်။ အကြောင်းမှာ အဆိုပါ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများနှင့် သက်ဆိုင်သည့် အော်ပရေတာများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == အော်ပရေတာ ရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ စုဆုံခြင်း သဘောတရားများ နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီများ (Convergence Concepts and Topologies on Operator Spaces) == အခြေခံ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]သည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်း (finite-dimensional space) ဖြစ်ပါက <math>L(V)</math> သည် အတိုင်းအတာ <math>n^2</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သောအခြေအနေတွင် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]]အားလုံးသည် အချင်းချင်း ထပ်တူညီကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် တူညီသော စုဆုံခြင်း သဘောတရား (convergence concept) နှင့် တူညီသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ကို ပေးသည်။ သို့ရာတွင် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) ရပ်ဝန်းများတွင်မူ ထပ်တူမညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီ အမျိုးမျိုး ရှိနေသည်။ <math>E</math> နှင့် <math>F</math> တို့သည် ဘာနက်ရပ်ဝန်းများဖြစ်ကြပြီး <math>(T_i)_{i \in I}</math> သည် <math>L(E,F)</math> အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် တစ်ခု သို့မဟုတ် ကွန်ရက် (net) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ === စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (Norm topology) === အောက်ပါအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ (norm topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန် (converge) အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_{i} \|T - T_i\| = 0</math> စံနှုန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ အဖွင့်စက်လုံးများ (open balls) ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ === အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (Strong operator topology) === အကယ်၍ ၎င်းသည် အမှတ်အလိုက် စုဆုံသည် (pointwise convergent) ဟူသောအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (strong operator topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန်အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i T_i x = Tx \quad \forall x \in E</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြရလျှင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i \| T_i x - Tx \| = \lim_i \|(T_i - T)x\| = 0 \quad \forall x \in E</math> ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီမှာ အောက်ဖော်ပြပါ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ အစုဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော အစ တိုပေါ်လော်ဂျီ (initial topology) ဖြစ်သည်။ :<math>\left\{ \begin{aligned} L(E,F) &\to F \\ T &\mapsto Tx \end{aligned} \ \Bigg| \ x \in E \right\}</math> ၎င်းသည် အဆိုပါ ပုံဖော်မှုများအားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေမည့် အသေးဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသည့် <math>L(E,F)</math> သည် ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်း တစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဆိုရသော် အားကောင်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ <math>E</math> မှ <math>F</math> သို့သွားသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]]အားလုံး၏ မြှောက်လဒ် တိုပေါ်လော်ဂျီ ကို မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများပေါ်တွင် ကန့်သတ်ယူဆောင်ထားခြင်း သာဖြစ်သည်။ === အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (Weak operator topology) === အောက်ပါအခြေအနေသည် <math>T_i</math> အား အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (weak operator topology) တွင် <math>T</math> သို့ စုဆုံစေရန်အတွက် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i \varphi(T_i x) = \varphi(Tx) \quad \forall x \in E,\, \varphi \in F^*</math> အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ဖော်ပြရလျှင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\lim_i |\varphi(T_i x - Tx)| = 0 \quad \forall x \in E,\, \varphi \in F^*</math> ဤနေရာတွင် <math>F^*</math> သည် <math>F</math> ၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း (continuous dual space) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီမှာ အောက်ဖော်ပြပါ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ (linear functionals) အစုဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော အစ တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ :<math>\left\{ \begin{aligned} L(E,F) &\to \mathbb{C} \\ T &\mapsto \varphi(Tx) \end{aligned} \ \Bigg| \ x \in E,\, \varphi \in F^* \right\}</math> ၎င်းသည် အဆိုပါ ဖန်ရှင်နယ်များအားလုံးကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်စေမည့် အသေးဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အားနည်းသော အော်ပရေတာ တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသည့် <math>L(E,F)</math> သည်လည်း ဒေသအလိုက် ခုံးသော ရပ်ဝန်း တစ်ခုပင်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကားစာရင်း (Bibliography) == === သင်ရိုးညွှန်းတမ်း စာအုပ်များ === * {{cite book |author=Hans Wilhelm Alt |title=Linear Functional Analysis |publisher=Springer London |location=London |year=2016 |language=en |series=Universitext |isbn=978-1-4471-7279-6 |doi=10.1007/978-1-4471-7280-2}} * {{cite book |author=Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus |title=Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 1 |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |year=2009 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-540-88543-6 |doi=10.1007/978-3-540-88544-3}} * {{cite book |author=Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus |title=Moderne mathematische Methoden der Physik – Band 2 |publisher=Springer Berlin Heidelberg |location=Berlin, Heidelberg |year=2010 |series=Springer-Lehrbuch |isbn=978-3-642-05184-5 |doi=10.1007/978-3-642-05185-2}} === မိုနိုဂရပ်များ === * {{cite book |author=[[Konrad Schmüdgen]] |title=Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space |publisher=Springer Netherlands |location=Dordrecht |year=2012 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=265 |isbn=978-94-007-4752-4 |doi=10.1007/978-94-007-4753-1}} * {{cite book |author=[[Albrecht Pietsch]] |title=History of Banach Spaces and Linear Operators |publisher=Birkhäuser Boston |location=Boston, MA |year=2007 |isbn=978-0-8176-4367-6 |doi=10.1007/978-0-8176-4596-0}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 1 – General theory |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60848-6 |url=https://archive.org/details/linearoperators0007dunf}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 2 – Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60847-9 |url=https://archive.org/details/linearoperators20000dunf}} * {{cite book |author=[[Nelson Dunford]], [[Jacob T. Schwartz]] |title=Linear Operators 3 – Spectral Operators |publisher=Wiley Interscience Publishers |location=New York |year=1988 |language=en |series=Wiley Classics Library |isbn=978-0-471-60846-2 |url=https://archive.org/details/linearoperators0000dunf_g4s9}} * {{cite book |author=[[Naum Iljitsch Achijeser|N.I. Achieser]], I.M. Glasmann |title=Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum |edition=6th |publisher=Akademie-Verlag |location=Berlin |year=1975}} * {{cite book |author=[[Gilbert Helmberg (Mathematiker)|Gilbert Helmberg]] |title=Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space |editor=[[Hans Lauwerier|H. A. Lauwerier]], [[Warner T. Koiter|W. T. Koiter]] |publisher=North-Holland Publishing Company |location=London |year=1969 |language=en |series=Applied Mathematics and Mechanics |volume=6 |url=https://www.elsevier.com/books/introduction-to-spectral-theory-in-hilbert-space/lauwerier/978-0-7204-2356-3}} == ကိုးကားချက်များ == <references /> [[Category:ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] m2u8r36gwnwud5ezcduqpzhj680jcfa 0 285054 1060981 1060674 2026-11-01T08:51:40Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060981 wikitext text/x-wiki {{Infobox station | name = ရောအန်းဂျိဘူတာ | native_name = {{Unbulleted list|龍安寺駅|りょうあんじ}} | native_name_lang = ja | image = 京福龍安寺駅.JPG | alt = Station platforms, 2007 | caption = Station platforms, 2007 | address = [[Kita-ku, Kyoto|Kita-ku]], [[Kyoto]] | borough = [[Kyoto Prefecture]] | country = [[Japan]] | coordinates = {{coord|35|1|40.22|N|135|43|16.08|E|region:JP_type:railwaystation|display=inline,title}} | operator = [[Keifuku Electric Railroad]] | line = [[Keifuku Electric Railroad#Arashiyama Line|Randen Arashiyama Line]] | distance = 0.9km from {{STN|Kitano-Hakubaichō|x}} | platforms = 2 | tracks = 2 | train_operators = | connections = | structure = At-grade | parking = | bicycle = | accessible = | code = B7 | website = {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/train/ryoanji.php|Official}} {{in lang|ja}} | opened = {{start date|1925|11|03}} | closed = <!-- N/A --> | passengers = 0.4 million | pass_year = FY2015<ref name="Kyoto stats" /> | pass_rank = }} '''ရောအန်းဂျိဘူတာ''' (龍安寺駅, Ryōanji-eki) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ကျိုတိုမြို့]]၊ [[အုခယောရပ်ကွက်၊ ကျိုတို|အုခယောရပ်ကွက်]]တွင်ရှိသည့် ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဘူတာသည် ရန်ဒန်ခိတနိုရထားလိုင်း၏ ဘူတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရန်ဒန်ခိတနိုရထားလိုင်းသည် [[ခတဘိရနိုဆွတ်ဂျိဘူတာ|ခိတဘိရနိုဆွတ်ဂျိဘူတာ]]တွင် ခရီးစတင်သည်။<ref name="discover-kyoto" /><ref name="official" /> ==ဘူတာပုံစံ== ဘူတာတွင် မြေပြင်ညီပလက်ဖောင်းနှစ်ခု ပါရှိသည်။ ပလက်ဖောင်းအမှတ် (၁) သည် [[ခတဘိရနိုဆွတ်ဂျိဘူတာ|ခိတဘိရနိုဆွတ်ဂျိ]]သို့ သွားမည် ရထားအတွက်ဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းရထားသည် [[ရန်ဒန်အရရှိယာမရထားလိုင်း]]နှင့် ချိတ်ဆက်လျက်ရှိသည်။ ပလက်ဖောင်းအမှတ် (၂) သည် [[ခိတနိုဟခုဘိုင်းချောဘူတာ|ခိတနိုဟခုဘိုင်းချော]]သို့ သွားမည့် ရထားများအတွက် ဖြစ်သည်။ ==ကပ်လျက်ဘူတာများ== {{J-railservice start}} {{J-route|route=[[Keifuku Electric Railroad#Kitano Line|{{Color|#ffffff|ရန်ဒန်ခိတနိုရထားလိုင်း}}]]|col=#32536d|f=w}} {{J-rserv|service=ဒေသတွင်း|previous=[[မယောရှင်းဂျိဘူတာ]] (B6)|next=[[တိုးဂျိအင်းရိဆွတ်မဲခန်တက္ကသိုလ်ဘူတာ]] (B8)}} {{S-end}} ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons category-inline|Ryōanji Station}} * {{URL|http://randen.keifuku.co.jp/en/index.html|Keifuku Electric Railroad Randen official summary page (English)}} {{Randen Kitano Line}} ==ကိုးကား== <references> <ref name="official">{{cite web | url = http://randen.keifuku.co.jp/train/ryoanji.php | script-title = ja:龍安寺 | publisher = [[Keifuku Electric Railroad|Keifuku Electric Railroad Co., Ltd. (Randen)]] | access-date = 2010-10-11 | language = ja | archive-url = https://web.archive.org/web/20211026124906/https://randen.keifuku.co.jp/train/ryoanji.php | archive-date = 26 October 2021 | url-status = dead}}</ref> <ref name="discover-kyoto">{{cite web | url = https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | title = Keifuku Line (Randen) | publisher = Discover Kyoto | access-date = 2010-10-11 | archive-url = https://web.archive.org/web/20171028094226/https://www.discoverkyoto.com/visitors-guide/trains/keifuku-line/ | archive-date = 28 October 2017 | url-status = dead }}</ref> <ref name="planner">{{cite web | url = http://www.arukumachikyoto.jp/station.php?agency_id=104&station_name=龍安寺&map_id=1&lang=en | title = Station Map | publisher = Arukumachi KYOTO Route Planner | access-date = 2010-10-11 }}</ref> <ref name="Kyoto stats">{{Cite book | url = http://www2.city.kyoto.lg.jp/sogo/toukei/Publish/YearBook/index.html | script-chapter = ja:第8章 都市施設 | trans-chapter = Chapter 8: Urban facilities | script-title = ja:京都市統計書 | trans-title = Statistics of Kyoto City | year = 2017 | publisher = City of Kyoto | language = ja }}</ref> </references> [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုစီရင်စုရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ကျိုတိုမြို့ရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဲအိဖုခုလျှပ်စစ်ရထားလိုင်းရှိ ဘူတာရုံများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၉၂၅ ခုနှစ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည့် ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ဘူတာရုံများ]] k49daeqzbzpuqfkyu7g6689cltg55cl 0 287821 1060974 1054348 2026-11-01T08:37:02Z Mkant00 135890 1060974 wikitext text/x-wiki {{အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ}} <math>F</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) သို့မဟုတ် [[အစားကွင်း]] (division ring) တစ်ခုဖြစ်လျှင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) ဆိုသည်မှာ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ပုံသေမှတ်ယူထားသောအခါ ၎င်း၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ကို [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] (vectors) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် ဗက်တာ[[ပေါင်းခြင်း]] (vector addition) နှင့် [[စကေလာ]][[မြှောက်ခြင်း]] (scalar multiplication) ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှု နှစ်ရပ် ပါဝင်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အဆိုပါ <math>F</math> ဖီးလ်ဒ်သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] ဖီးလ်ဒ် <math>\mathbb{C}</math> ဖြစ်လေ့ရှိသည်။ <math>F</math> ဖီးလ်ဒ်ကို ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) သို့မဟုတ် အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ် (ground field) ဟူ၍ ရည်ညွှန်းပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များကို စကေလာများ (scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်း (linear space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဤအသုံးအနှုန်းကို <math>F</math>-[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် နှိုင်းယှဉ်လေ့လာနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် အစားကွင်း တစ်ခုသာ ဖြစ်ခဲ့လျှင် ဘယ်မော်ဂျူး (left module) အခြေခံဖြစ်သော ဘယ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (left vector spaces) နှင့် ညာမော်ဂျူး (right module) အခြေခံဖြစ်သော ညာ ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (right vector spaces) ကို ဂရုတစိုက် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။ [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဗက်တာရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Vector_Spaces)|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ]] (category) ကို ယေဘုယျအားဖြင့် <math>Vect</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ အကယ်၍ အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကို ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြလိုပါက <math>Vect_F</math> ဟု ရေးသား၍ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ <math>Vect_F := FMod</math> ဤကတ်တဂိုရီတွင် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် ထားရှိပြီး ၎င်းတို့ကြားရှိ <math>F</math>-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == [[File:Rectangular hyperbola.svg|class=skin-invert-image|right|thumb|250px|<math>x \cdot y = 1</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းဖြင့် ဖော်ပြထားသည့် ဟိုက်ပါဘိုလာ (hyperbola) ဖြစ်သည်။ ဤဟိုက်ပါဘိုလာပေါ်ရှိ ဖန်ရှင်များ၏ ကိုဩဒိနိတ် ကွင်း (coordinate ring) သည် <math>\mathbb{R}[x, y] / (x \cdot y - 1)</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းသည် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ် အခြေခံသည့် အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်း ဖြစ်သည်။]] [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို စုံတွဲ <math>(V, \lambda)</math> အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ <math>V</math> သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (addition operation) အောက်တွင် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဗက်တာပေါင်းခြင်း၏ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]]ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ကြက်ဖော်ပြနိုင်သည်။ [[ဗက်တာ]]တိုင်းအတွက် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]]အရ <math>x + y = y + x</math> ဖြစ်ရမည်။ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]]အရ <math>x + (y + z) = (x + y) + z</math> ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထို့အပြင် <math>x + 0 = x</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော သုညဗက်တာ (zero vector) <math>0</math> သို့မဟုတ် <math>\theta</math> တည်ရှိရမည်။ ဗက်တာ <math>x</math> တိုင်းအတွက် <math>x + (-x) = 0</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) <math>-x</math> တည်ရှိရမည်။ <math>\lambda: F \to \text{End}(V)</math> သည် [[ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (ring homomorphism) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းချုပ်ထားသည်။ စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိအရ <math>\alpha(\beta x) = (\alpha\beta)x</math> ဖြစ်ပြီး ထပ်တူရအစုဝင်အတွက် <math>1x = x</math> ဖြစ်ရမည်။ ထို့အပြင် <math>\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y</math> နှင့် <math>(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x</math> ဟူသော ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (distributive laws) ပြည့်စုံရမည်။ အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှုများအနေဖြင့် စကေလာသုညနှင့် ဗက်တာမြှောက်လဒ်သည် သုညဗက်တာ <math>0x = 0</math> ဖြစ်ပြီး စကေလာနှင့် သုညဗက်တာမြှောက်လဒ်သည်လည်း သုညဗက်တာ <math>\alpha 0 = 0</math> ပင်ဖြစ်သည်။ ထို့အတူ <math>(-1)x = -x</math> ဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များ (two-sided ideals) မှာ <math>(0)</math> နှင့် <math>F</math> တို့သာ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုမှ ထွက်ပေါ်လာသော မည်သည့် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် သုည ပုံဖော်မှု (zero map) သို့မဟုတ် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု]] (injective mapping) တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်။ <math>V</math> သည် အသေးအဖွဲ (trivial) မဟုတ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>V \neq \{0\}</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ ထို့အပြင် ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital) ပြည့်စုံပြီး <math>\lambda(1_F) = \text{id}_V</math> ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူမည်။ ထိုအခြေအနေများအောက်တွင် ပုံဖော်မှု <math>\lambda</math> သည် တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ် (strictly injective) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှုက ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ၏ မိတ္တူတစ်ခုကို အဘီလီယန်အုပ်စု <math>V</math> ၏ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] ကွင်း (endomorphism ring) ထဲသို့ တိုက်ရိုက် ထည့်သွင်းပေးလိုက်သည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းများနှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (Subspaces and Combinations) == ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ ဗလာမဟုတ်သော[[အစုပိုင်း]] <math>Y</math> သည် [[ဗက်တာ]][[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[စကေလာ]][[မြှောက်ခြင်း]]တို့အောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိပါက ၎င်းကို ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ [[အစုဝင်]] <math>y_1, y_2 \in Y</math> နှင့် စကေလာ <math>\alpha, \beta</math> တိုင်းအတွက် <math>\alpha y_1 + \beta y_2 \in Y</math> ဖြစ်ရမည်။ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်ပင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိသည်။ <math>Y = X</math> ဖြစ်သောအခြေအနေကို မူလရပ်ဝန်းနှင့် ထပ်တူညီသော ရပ်ဝန်းပိုင်းအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အခြားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းအားလုံးကို ရပ်ဝန်းပိုင်းအစစ် (proper subspace) များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math>\{0\}</math> ဟူသောအစုသည် အမြဲတမ်း ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>Y</math> နှင့် <math>Z</math> တို့သည် <math>X</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) <math>Y \cap Z</math> သည်လည်း ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု <math>Y \cup Z</math> သည် ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ရန် မသေချာပေ။ <math>\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_m x_m</math> ပုံစံရှိသော ဖော်ပြချက်ကို မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>X</math> ၏ အစုပိုင်း <math>M</math> မှဖြစ်ပေါ်လာသော မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို စပန် (span) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အစုပိုင်း <math>M</math> တစ်ခု၏ စပန်သည် အမြဲတမ်း <math>X</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းမှု၊ အတိုင်းအတာနှင့် အခြေအစုများ (Linear Independence, Dimension, and Bases) == [[ဗက်တာ]]အစု <math>\{x_1, \dots, x_r\}</math> ရှိ ညီမျှခြင်း <math>\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_r x_r = 0</math> သည် [[စကေလာ]]အားလုံး <math>\alpha_1 = \dots = \alpha_r = 0</math> ဖြစ်မှသာ မှန်ကန်ပါက ၎င်းကို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) အစုဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကယ်၍ စကေလာအားလုံး သုညမဟုတ်ဘဲ အဆိုပါညီမျှခြင်း မှန်ကန်နေပါက ၎င်းကို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသော (linearly dependent) အစုဟု သတ်မှတ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသောအစုတစ်ခုတွင် အနည်းဆုံး ဗက်တာတစ်ကြောင်းကို အခြားဗက်တာများ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ဗက်တာအရေအတွက် <math>n</math> ပါရှိပြီး ဗက်တာ <math>n+1</math> ခုပါသော မည်သည့်အစုမဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုနေပါက ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းကို အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ရပ်ဝန်းဟု သတ်မှတ်သည်။ အဆိုပါ အရေအတွက် <math>n</math> ကို <math>X</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim X = n</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုသည် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းမဟုတ်ပါက ၎င်းကို အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော (infinite-dimensional) ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ <math>X</math> ၏ စပန်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည့် [[အစုပိုင်း]] <math>B</math> ကို ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) သို့မဟုတ် အခြေအစု (basis) ဟု သတ်မှတ်သည်။ သုညဗက်တာချည်းသာ မဟုတ်သော မည်သည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းမဆိုတွင် အခြေအစုတစ်ခု ပါဝင်သည်။ ပေးထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အခြေအစုအားလုံးသည် တူညီသော ကာဒီနယ်ကိန်း ရှိကြသည်။ <math>\{e_1, \dots, e_n\}</math> သည် <math>X</math> ၏ အခြေအစုတစ်ခုဖြစ်ပါက သုညမဟုတ်သော ဗက်တာ <math>x \in X</math> တိုင်းအတွက် အဆိုပါ အခြေအစု ဗက်တာများ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (unique) ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ မည်သည့် ရပ်ဝန်းပိုင်းအစစ် <math>Y</math> မဆိုသည် <math>n</math> ထက်ငယ်သော အတိုင်းအတာကို တိကျစွာ ပိုင်ဆိုင်ကြောင်း ရပ်ဝန်းပိုင်း အတိုင်းအတာ သီအိုရမ်က ဆိုသည်။ <math>\dim Y < n</math> ဖြစ်သည်။ == အဆင့်မြင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံများ (Advanced Vector Space Constructions) == တူညီသော [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအပေါ်တွင် အခြေခံထားသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းနှစ်ခု၏ [[ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်]] (Cartesian product) <math>X = X_1 \times X_2</math> သည် တွက်ချက်မှုများကို သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် လုပ်ဆောင်သောအခါ ဗက်တာရပ်ဝန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ <math>Y</math> သည် <math>X</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ [[အစုဝင်]] <math>x \in X</math> တစ်ခု၏ ကိုဆက် (coset) သည် <math>x+Y = \{v \mid v = x+y, y \in Y\}</math> ဟူသော [[အစု]]ဖြစ်သည်။ ကွဲပြားသော ကိုဆက်များသည် <math>X</math> ၏ အစုခွဲစနစ်တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းတို့သည် စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) <math>X/Y</math> ဟုခေါ်သော ဗက်တာရပ်ဝန်းအသစ်၏ အစုဝင်များ ဖြစ်လာကြသည်။ ဤစားလဒ်ရပ်ဝန်းတွင် <math>(w+Y) + (x+Y) = (w+x)+Y</math> နှင့် <math>\alpha(x+Y) = \alpha x + Y</math> ဟူသော တွက်ချက်မှုများကို အသုံးပြုသည်။ စားလဒ်ရပ်ဝန်း <math>X/Y</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ကို <math>Y</math> ၏ ကိုဒိုင်မန်းရှင်း (codimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\text{codim } Y = \dim(X/Y)</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ကိုဒိုင်မန်းရှင်း ၁ ရှိသော ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုသည် ဟိုက်ပါပြင်ညီ (hyperplane) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces with Topological or Metric Structure) == အလျားဟူသော သဘောတရားကို ယေဘုယျပြုထားသည့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\cdot\|</math> တပ်ဆင်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းကို စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (normed space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ စံနှုန်းတစ်ခုပါဝင်ပြီး ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း]] ဖြစ်သည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို ဘာနက်ရပ်ဝန်း (Banach space) ဟု သတ်မှတ်သည်။ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် [[ဗက်တာ]][[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[စကေလာ]][[မြှောက်ခြင်း]] အစရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများသည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများ]] ဖြစ်ကြသည်။ အဆိုပါ ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံးနှင့် အပိတ် မျဉ်းပိုင်းများသည် ခုံးသောအစု (convex set) များ ဖြစ်ကြသည်။ ဆီမီးစံနှုန်း (seminorm) ဆိုသည်မှာ <math>p(x)=0</math> ဖြစ်တိုင်း <math>x=0</math> ဖြစ်ရန်မလိုအပ်ခြင်းမှလွဲ၍ ကျန်စံနှုန်း [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုအားလုံးနှင့်]] ပြည့်စုံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းပေါ်ရှိ ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ <math>p(x)=0</math> ဖြစ်စေသော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ၏]] [[အစု]]သည် ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>N</math> တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး <math>p</math> သည် စားလဒ်ရပ်ဝန်း <math>X/N</math> အပေါ်တွင် စံနှုန်းအစစ်တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် မည်သည့်စံနှုန်းမဆိုသည် အခြားသော မည်သည့်စံနှုန်းနှင့်မဆို ထပ်တူညီသော စံနှုန်းများ (equivalent norms) ဖြစ်ကြသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတို့သည် အဖွင့်စုများနှင့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] အပါအဝင် ထပ်တူညီသော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီများ]]ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ == မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (Linear Operators) == အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>\mathcal{D}(T)</math> မှ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ သက်ရောက်ပြီး <math>T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty</math> ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများကို ထိန်းသိမ်းပေးသည့် ပုံဖော်မှုကို [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများသည် သုညကို သုညသို့ ပုံဖော်ပေးပြီး <math>T(0) = 0</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုမှုကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စု <math>\mathcal{D}(T)</math>၊ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်အစု]] (range) <math>\mathcal{R}(T)</math> နှင့် သုညရပ်ဝန်း (null space) <math>\mathcal{N}(T)</math> အားလုံးသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ သို့မဟုတ် ရပ်ဝန်းပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ပြောင်းပြန် အော်ပရေတာ <math>T^{-1}</math> သည် သုညရပ်ဝန်းအတွင်း၌ သုည[[ဗက်တာ]]သာ ပါဝင်မှသာ တည်ရှိမည်ဖြစ်ပြီး <math>Tx = 0</math> ဖြစ်လျှင် <math>x = 0</math> ဖြစ်ရမည်။ အကယ်၍ <math>T^{-1}</math> တည်ရှိပါက ၎င်းသည်လည်း မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ်စုသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး <math>T^{-1}</math> တည်ရှိပါက <math>\dim \mathcal{R}(T) = \dim \mathcal{D}(T)</math> ဖြစ်သောကြောင့် အတိုင်းအတာကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုသည် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပါက ၎င်းအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာတိုင်းသည် အကန့်အသတ်ရှိပြီး [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်]]ဖြစ်ကြသည်။ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>X</math> မှ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်း <math>Y</math> အတွင်းသို့ သက်ရောက်သော အကန့်အသတ်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာအားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>B(X, Y)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသော ဗက်တာရပ်ဝန်းအသစ်တစ်ခုကို ကိုယ်တိုင်ဖွဲ့စည်းသည်။ == မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များနှင့် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းများ (Linear Functionals and Dual Spaces) == မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်အစု]]သည် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ အခြေခံ [[စကေလာ]] [[ဖီးလ်ဒ်]]ဖြစ်သော <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အတွင်း တည်ရှိသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] တစ်မျိုးဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခု၏ သုညရပ်ဝန်းသည် ကိုဒိုင်မန်းရှင်း ၁ ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းကို မူလနေရာအား ဖြတ်သန်းသွားသော ဟိုက်ပါပြင်ညီတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (algebraic dual space) <math>X^*</math> ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသော အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း <math>X^*</math> ၏ အတိုင်းအတာသည်လည်း <math>n</math> ပင်ဖြစ်သည်။ <math>X</math> ၏ အခြေအစု <math>\{e_1, \dots, e_n\}</math> အတွက် <math>X^*</math> ပေါ်တွင် ဒွန်တွဲအခြေအစု (dual basis) <math>\{f_1, \dots, f_n\}</math> တည်ရှိသည်။ ၎င်းကို <math>f_k(e_j) = \delta_{jk}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>j=k</math> ဖြစ်လျှင် <math>\delta_{jk}</math> သည် ၁ ဖြစ်ကာ အခြားအခြေအနေများတွင် ၀ ဖြစ်သည်။ <math>X^*</math> ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်းကို ဒုတိယ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း <math>X^{**}</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ <math>X</math> မှ <math>X^{**}</math> သို့ သက်ရောက်သော ပုံမှန် မျဉ်းဖြောင့် ထည့်သွင်းခြင်း <math>C: X \to X^{**}</math> တည်ရှိသည်။ အဆိုပါ ပုံမှန် ပုံဖော်မှု <math>C: X \to X^{**}</math> သည် [[ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ပါက]] ဗက်တာရပ်ဝန်းကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံသော (algebraically reflexive) ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံကြသည်။ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]သတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိပြီး [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း (normed dual space) <math>X'</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိပါက <math>X' = X^*</math> ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း]] <math>M</math> တစ်ခုအတွက် <math>M</math> နေရာတိုင်းတွင် သုညအဖြစ် တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သော အကန့်အသတ်ရှိသည့် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း <math>X'</math> ၏ အပိတ် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းကို ချေဖျက်ကိန်း (annihilator) <math>M^a</math> ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Isomorphisms and Transformations) == တူညီသော [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုအပေါ်တွင် အခြေခံထားသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းနှစ်ခုအကြားရှိ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] <math>T: X \to \tilde{X}</math> ကို ဗက်တာရပ်ဝန်း [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (vector space isomorphism) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသည့်အတွက် ၎င်းရပ်ဝန်းများသည် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အတိအကျ တူညီကြသည်။ အကယ်၍ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> သည် အခြားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>Y</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်ပါက <math>X</math> သည် <math>Y</math> တွင် ထည့်သွင်းနိုင်စွမ်းရှိသော (embeddable) ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံထားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သက်ရောက်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (linear transformations) အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် သီးခြား ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထိုဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် <math>n^2</math> ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို ၎င်းအပေါ်သက်ရောက်သော ပုံသေ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း <math>T</math> တစ်ခုနှင့် တွဲဖက်လိုက်သောအခါ ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) <math>F[x]</math> အပေါ်အခြေခံသော [[မော်ဂျူး]]တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည်။ ဤနေရာတွင် [[အစုဝင်]] <math>x</math> သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းအပေါ်သို့ <math>T</math> အား သက်ရောက်စေခြင်းဖြင့် အလုပ်လုပ်သည်။ အကယ်၍ <math>M</math> သည် အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) <math>F</math> ပါရှိသော [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာဒိုမိန်း]] (integral domain) <math>R</math> အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးတစ်ခုဖြစ်ပါက [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] (tensor product) ပြုလုပ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>F \otimes_R M</math> ၏ <math>F</math> အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာသည် မော်ဂျူး <math>M</math> ၏ အဆင့်နှင့် ညီမျှသည်။ == မော်ဂျူးများနှင့် ထပ်တူညီမှု (Equivalence to Modules) == [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>R</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>R=F</math> ဖြစ်သောအခါ <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]] <math>M</math> ၏ အဆင့် (rank) သည် <math>M</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းအဖြစ် ရှုမြင်ရာတွင်ရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ ထို့အပြင် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင် အခြေခံထားသော မည်သည့် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းမဆိုသည် အခြားသော အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည်]] (isomorphic)။ == ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများ (Field Extensions as Vector Spaces) == အကယ်၍ <math>K</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုဖြစ်ခဲ့လျှင် ၎င်းကို <math>K/F</math> ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>K</math> အတွင်း သတ်မှတ်ထားသော ဖီးလ်ဒ်[[မြှောက်ခြင်း]]က <math>K</math> အား <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် အလိုအလျောက် ဖြစ်စေသည်။ ဤအချက်၏ တိုက်ရိုက်အကျိုးဆက်အနေဖြင့် မည်သည့် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> ကိုမဆို ၎င်း၏ သုဒ္ဓ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (prime subfield) အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) သုညဖြစ်သော မည်သည့်ဖီးလ်ဒ်မဆိုသည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) [[အစု]] <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>K</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ကို ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်း၏ ဒီဂရီ (degree) သို့မဟုတ် နှိုင်းရဒီဂရီဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>[K : F]</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အတိုင်းအတာသည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်နေပါက အဆိုပါ ဖီးလ်ဒ်တိုးချဲ့ခြင်းကို အဆုံးရှိ တိုးချဲ့ချက် (finite extension) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီနှင့် အုပ်စု ကွင်းများ (Representation Theory and Group Rings) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသော အဆုံးရှိ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (finite group) <math>G</math> တစ်ခု၏ အုပ်စု [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (group ring) <math>FG</math> သည် <math>F</math> အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤဗက်တာရပ်ဝန်းတွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]သည် အခြေအစုအဖြစ် ဆောင်ရွက်ကြသည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်း၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သည် အုပ်စု၏ အစီအစဉ် <math>|G|</math> နှင့် တူညီသည်။ အဆုံးရှိအုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (linear representation) ဆိုသည်မှာ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အုပ်စု <math>G</math> မှ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ ပါဝင်သည့် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (general linear group) <math>GL(V)</math> အတွင်းသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ပေါ်တွင် အုပ်စု <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခု သတ်မှတ်ပေးခြင်းသည် <math>V</math> အား <math>FG</math>-[[မော်ဂျူး]] (<math>FG</math>-module) တစ်ခုအဖြစ် ပြုလုပ်ခြင်းနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။ <math>V</math> ၏ <math>FG</math>-မော်ဂျူးပိုင်း (<math>FG</math>-submodule) များသည် <math>V</math> ၏ <math>G</math>-မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (<math>G</math>-invariant) ပြည့်စုံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Algebraic Geometry and Topology) == အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (affine algebraic geometry) တွင် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစု (affine variety) <math>V</math> ၏ ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း (tangent space) <math>T_{v,V}</math> ကို ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ထပ်တူပိုင်းအစုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် <math>k^n</math> ၏ ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ထိမျဉ်းရပ်ဝန်းကို စားလဒ် <math>\mathfrak{m}_{v,V} / \mathfrak{m}_{v,V}^2</math> ၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း (dual vector space) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုညီမျှခြင်းတွင် <math>\mathfrak{m}_{v,V}</math> သည် အမှတ် <math>v</math> ၌ရှိသော ဒေသအလိုက် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (local ring) ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |edition=Revision 42 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-12}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} *{{Citation |last1=Kreyszig |first1=Erwin |title=Introductory Functional Analysis with Applications |chapter=2. Normed Spaces. Banach Spaces |publisher=John Wiley & Sons |date=1989}} [[ကဏ္ဍ:မော်ဂျူးသီအိုရီ]] cust4pty9dbrzkf4vudoiojrabl7mjf 0 287896 1060968 1038106 2026-11-01T05:59:26Z Zawzawaungthwin 100038 FATF ၏ (၃၇) ကြိမ်မြောက် မျက်နှာစုံညီ အစည်းအဝေး ဆုံးဖြတ်ချက်များနှင့် မြန်မာ 1060968 wikitext text/x-wiki {{Infobox organisation | name = ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ <br> <small>Financial Action Task Force</small> | image = Financial Action Task Force on Money Laundering logo.svg | image_size = 100px | image_alt = | caption = | map = | map_size = | map_alt = | map_caption = Financial Action Task Force Membership Map | abbreviation = FATF | formation = {{start date and age|1989}} | extinction = | type = နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်း | purpose = ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေးနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး | headquarters = [[ပါရီမြို့]] | region_served = ဥရောပတိုက် | membership = 40 | language = [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား]], [[ပြင်သစ်ဘာသာစကား]] | website = {{URL|fatf-gafi.org}} }} '''ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့'''<ref>{{Cite web |title=AML/CFT Sectors {{!}} MFIU |url=https://mfiu.gov.mm/my/about_fatf |access-date=2026-06-13 |website=mfiu.gov.mm}}</ref> (Financial Action Task Force - FATF) ကို ၎င်း၏ ပြင်သစ်အမည်ဖြစ်သော Groupe d'action financière (GAFI) ဟုလည်း သိကြပြီး၊ [[ငွေမည်းခဝါချခြင်း|ငွေကြေးခဝါချမှု]] တိုက်ဖျက်ရေးဆိုင်ရာ မူဝါဒများ ချမှတ်ရန်နှင့် သတ်မှတ်ထားသော အကျိုးစီးပွားအချို့ကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် [[ဂျီ ၇၊ အသင်းအဖွဲ့|G7]] အဖွဲ့၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် တည်ထောင်ခဲ့သည့် အစိုးရအချင်းချင်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်သော အဖွဲ့အစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>[https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3362167 The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications.] ''International, Transnational & Comparative Law Journal''. Social Science Research Network (SSRN). Accessed 4 April 2019.</ref>၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာကို အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေးအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ FATF အတွင်းရေးမှူးရုံးကို [[ပါရီမြို့|ပဲရစ်မြို့]]ရှိ [[စီးပွားရေးပေါင်းတူလုပ်ဆောင်ရေးနှင့် ဖွဲ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့အစည်း|စီးပွားရေးပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့]] (OECD) တွင် ရုံးစိုက်ခွင့်ပြုထားသော်လည်း အဆိုပါ အဖွဲ့အစည်းနှစ်ခုမှာ သီးခြားစီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Frequently Asked Questions |url=https://www.fatf-gafi.org/en/pages/frequently-asked-questions.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref> FATF ၏ ရည်မှန်းချက်များမှာ နိုင်ငံတကာ ဘဏ္ဍာရေးစနစ်၏ ဂုဏ်သိက္ခာကို ခြိမ်းခြောက်နေသည့် ငွေကြေးခဝါချမှု၊ အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုနှင့် အခြားသော ဆက်စပ်အန္တရာယ်များကို တိုက်ဖျက်ရန်အတွက် စံနှုန်းများ သတ်မှတ်ရန်နှင့် ဥပဒေကြောင်းအရ၊ စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် လုပ်ငန်းလည်ပတ်မှုဆိုင်ရာ မွမ်းမံမှုများကို ထိရောက်စွာ အကောင်အထည်ဖော်ရန် တွန်းအားပေးရန် ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite journal |last=Chohan |first=Usman W. |date=Mar 14, 2019 |title=The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications |url=https://papers.ssrn.com/abstract=3362167 |journal=CASS Working Papers on Economics & National Affairs |doi=10.2139/ssrn.3362167 |s2cid=197804604 |ssrn=3362167 |url-access=subscription |via=papers.ssrn.com |accessdate=Oct 21, 2022}}</ref>FATF သည် ယင်းကဏ္ဍများတွင် အမျိုးသားအဆင့် ဥပဒေပြုရေးနှင့် စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ ဖြစ်ထွန်းလာစေရန် လိုအပ်သော နိုင်ငံရေးဆန္ဒကို ဖော်ဆောင်ပေးသည့် "မူဝါဒချမှတ်ရေးအဖွဲ့" (Policy-making body) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=The FATF |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref>FATF သည် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများအကြား "အပြန်အလှန် အကဲဖြတ်မှုများ" (Mutual evaluations) မှတစ်ဆင့် ၎င်းတို့၏ အကြံပြုချက်များကို အကောင်အထည်ဖော်ရာတွင် တိုးတက်မှု အခြေအနေများကို စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးသည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစ၍ FATF သည် FATF နာမည်ပျက်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Call for action") နှင့် FATF နာမည်ပျက်စိုးရိမ်ရသည့်စာရင်း သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Other monitored jurisdictions") တို့ကို ပြုစုထိန်းသိမ်းလာခဲ့သည်။နာမည်ပျက်စာရင်းတွင် ထည့်သွင်းခံရခြင်းကြောင့် ဘဏ္ဍာရေးအဖွဲ့အစည်းများသည် စာရင်းဝင်နိုင်ငံများထံမှ ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်များနှင့် ဝန်ဆောင်မှုများကို ရုပ်သိမ်းသွားကြသည်။ ယင်းကတစ်ဆင့် ထိုစာရင်းဝင်နိုင်ငံများအတွင်းရှိ ပြည်တွင်းစီးပွားရေးနှင့် နိုင်ငံရေးအရ ဩဇာရှိသူများက FATF ၏ စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းများကို ပြဋ္ဌာန်းရန် ၎င်းတို့၏ အစိုးရများကို ဖိအားပေးလာစေသည်။<ref name=":3">{{Cite book |last=Morse |first=Julia C. |date=2021 |title=The Bankers' Blacklist: Unofficial Market Enforcement and the Global Fight against Illicit Financing |url=https://www.jstor.org/stable/10.7591/j.ctv1hw3x0d |publisher=Cornell University Press |isbn=978-1-5017-6151-5 |jstor=10.7591/j.ctv1hw3x0d}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် FATF တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ မဟုတ်သော်လည်း FATF ပုံစံဖွဲ့စည်းထားသည့် ဒေသဆိုင်ရာအဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သည့် [[အာရှပစိဖိတ် ဒေသငွေကြေးခဝါချမှုတိုက်ဖျက်ရေးအဖွဲ့]] (Asia Pacific Group on Money Laundering-APG)တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံအဖြစ် ပါဝင်လျက်ရှိသည်။ <ref>{{Cite web |title=ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်မှုလွန်ကဲခြင်းမရှိရန်၊ ငွေကြေးဈေးကွက်အတွင်း မသမာမှုများမပြုလုပ်ကြရန်နှင့် စည်းမျဉ်းများမကိုက်ညီပါက လိုအပ်သလို အရေးယူမည်ဟု ဗဟိုဘဏ်ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/239253 |access-date=2026-06-13 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == နာမည်ပျက်စာရင်း == [[ဖိုင်:FATF blacklist and greylist states (2024).svg|thumb|နာမည်ပျက်စာရင် နိုင်ငံများ]] ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ နာမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်နှင့် မြန်မာ စသည့် သုံးနိုင်ငံသာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 February 2026 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-february-2026.html |access-date=29 March 2026 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၂၆ ရက် မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပသည့် ၃၇ ကြိမ်မြောက် အစည်းအဝေးတွင် ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေး အဖွဲ့ သည် [[ဘူလ်ဂေးရီးယားနိုင်ငံ|ဘူဂေးရီးယား]]၊ [[ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ်သမ္မတနိုင်ငံ|ကွန်ဂို]]၊ [[အိုင်ဗရီကို့စ်နိုင်ငံ|အိုင်ဗရီကို့စ်]] နှင့် [[မိုနာကိုနိုင်ငံ|မိုနာကို]] နိုင်ငံတို့အား မီးခိုးရောင်စာရင်း မှ ပယ်ဖျက်လိုက်သော်လည်း [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ|ဗီယက်နမ်]] ကိုမူ ဆက်လက် ချန်ထားခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[မြန်မာနိုင်ငံ|မြန်မာ]]၊ [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]] နှင့် [[မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ|မြောက်ကိုရီးယား]]တို့ကို  အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ဆက်လက် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ အမည်ပျက်စာရင်း သတ်မှတ်ခြင်းသည် FATF က ပေးနိုင်သည့် အပြင်းထန်ဆုံး တံဆိပ်ကပ်မှု ဖြစ်ပြီး ယင်းတွင် အကျိုးဆက်များစွာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news |last=Ghosh |first=Kanjyik |date=2026-10-30 |title=FATF removes Bulgaria, Congo, Ivory Coast and Monaco from 'grey list' but leaves Vietnam on |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/fatf-removes-bulgaria-congo-ivory-coast-monaco-leaves-vietnam-grey-list-2026-10-30/ |access-date=2026-11-01 |work=Reuters |language=en}}</ref> == မြန်မာနိုင်ငံ ပါဝင်မှု == ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်လုပ်ငန်းများအတွက် ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုတို့ကို တိုက်ဖျက်ရန် ပျက်ကွက်ခဲ့ခြင်းကြောင့် နိုင်ငံတကာ ငွေကြေးခဝါချမှု စောင့်ကြည့်ရေးအဖွဲ့ (FATF) က မြန်မာနိုင်ငံအား အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ထည့်သွင်းရန် ၂၀၂၂ ခုနှစ်က ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေး ကဏ္ဍများ အားနည်းချက်ရှိခြင်းကြောင့် တိုးတက်မှုများကို စောင့်ကြည့်ရမည့် မီးခိုးရောင်စာရင်း (Grey List) တွင် မြန်မာနိုင်ငံအား ထည့်သွင်းထားရာမှ မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်တို့နှင့် တန်းတူ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) အဖြစ် ၂၀၂၂ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အဆင့်တိုးမြှင့် သတ်မှတ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-10 |title=FATF အမည်ပျက်စာရင်းကနေ လွတ်ရေး စစ်ကော်မရှင်က အဖမ်းအဆီးတွေ ပိုတိုးတင်းကျပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy67g70kyro |access-date=2026-06-13 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး ယန္တရားများတွင် မဟာဗျူဟာမြောက် ကြီးမားသော လိုအပ်ချက်များ ရှိနေဆဲဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ လုပ်ငန်းစီမံချက် (Action plan) ကို အပြည့်အဝ အကောင်အထည်ဖော် ပြီးစီးခြင်းမရှိမချင်း ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ အနီးကပ် စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးမှုအောက်တွင် ဆက်လက် ရှိနေမည် ဖြစ်သည်ဟု ထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref name=":1">{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 June 2025 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-june-2025.html |access-date=2025-08-12 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> FATF သည် ၎င်း၏ (၃၇) ကြိမ်မြောက် မျက်နှာစုံညီ အစည်းအဝေးကို [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၂၆ ရက်မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပခဲ့သည်။အဆိုပါ အစည်းအဝေးတွင် (၄) နှစ်ကြာ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) သွင်းခံထားရသည့် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အခြေအနေများကို ပြန်လည်သုံးသပ် ဆွေးနွေးခဲ့ကြပြီး၊ အမည်ပျက်စာရင်း၌ ဆက်လက် ထည့်သွင်းထားရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့ကြသည်။၂၀၂၇ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလအထိ မြန်မာနိုင်ငံဘက်မှ ထူးခြားသည့် တိုးတက်မှုများ မရှိသေးပါက ပိုမိုပြင်းထန်သော အရေးယူမှုများ ပြုလုပ်သွားရန် စဉ်းစားမည်ဟု FATF က ဆိုသည်။ထိုအကြောင်းအရာနှင့် စပ်လျဥ်းပြီး [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]သည် မြန်မာနိုင်ငံနှင့် ပတ်သက်သည့် ငွေကြေးလွှဲပြောင်းမှုများအပေါ် တင်းကျပ်စွာ စိစစ်စစ်ဆေးနေမှုများကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်ရန်အတွက် မြန်မာနိုင်ငံကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ အရေးယူဆောင်ရွက်မှုအဖွဲ့ (FATF) ၏ အမည်ပျက်စာရင်းမှ ဖယ်ရှားပေးရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။The Japan Times သတင်းတွင် ဂျပန်အစိုးရ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက မြန်မာနိုင်ငံနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ရ ပိုမိုလွယ်ကူလာစေရန်နှင့် နိုင်ငံ့စီးပွားရေး ပြန်လည်နာလန်ထူလာစေရန် ရည်ရွယ်၍ ယခုကဲ့သို့ တိုက်တွန်း ကြိုးပမ်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Kihara |first=Tamiyuki |last2=Mcpherson |first2=Poppy |date=2026-10-31 |title=Japan pushes to remove Myanmar from global financial watchdog’s blacklist |url=https://www.japantimes.co.jp/news/2026/10/31/japan/politics/japan-myanmar-blacklist-removal-push/ |access-date=2026-11-01 |website=The Japan Times |language=en}}</ref> အကယ်၍ FATF က မြန်မာနိုင်ငံအပေါ် အရေးယူရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ပါက ယင်းသည် "[[နေပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]] အတွက် အခက်၊ တော်လှန်ရေးအတွက် အချက်" ဖြစ်လာနိုင်ကြောင်း [[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]] အစိုးရလက်ထက် [[အောင်ဆန်းစုကြည်|ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]၏ စီးပွားရေး အကြံပေးဟောင်း [[ရှောင် တာနယ်|ရှောင်တာနယ်]] နှင့် နိုင်ငံရေးသုတေသီ ဒန်စွစ်တို့က [[ဝါရှင်တန်ပို့စ်]] (The Washington Post) သတင်းစာတွင် သုံးသပ်ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-10-27 |title=FATF စာရင်းဝင်မှုနဲ့ အနောက်နိုင်ငံတွေရဲ့ ဒဏ်ခတ်ပိတ်ဆို့မှုဘာကွာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cqvgj81ddzl8o |access-date=2026-11-01 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံတကာ အစိုးရအဖွဲ့အစည်းများ]] 18bqzc47lel59cog66hm5v2ll8ulrqt 1060970 1060968 2026-11-01T06:25:05Z Zawzawaungthwin 100038 အပြည့်အဝ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ 1060970 wikitext text/x-wiki {{Infobox organisation | name = ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ <br> <small>Financial Action Task Force</small> | image = Financial Action Task Force on Money Laundering logo.svg | image_size = 100px | image_alt = | caption = | map = | map_size = | map_alt = | map_caption = Financial Action Task Force Membership Map | abbreviation = FATF | formation = {{start date and age|1989}} | extinction = | type = နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်း | purpose = ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေးနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး | headquarters = [[ပါရီမြို့]] | region_served = ဥရောပတိုက် | membership = 40 | language = [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား]], [[ပြင်သစ်ဘာသာစကား]] | website = {{URL|fatf-gafi.org}} }} '''ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့'''<ref>{{Cite web |title=AML/CFT Sectors {{!}} MFIU |url=https://mfiu.gov.mm/my/about_fatf |access-date=2026-06-13 |website=mfiu.gov.mm}}</ref> (Financial Action Task Force - FATF) ကို ၎င်း၏ ပြင်သစ်အမည်ဖြစ်သော Groupe d'action financière (GAFI) ဟုလည်း သိကြပြီး၊ [[ငွေမည်းခဝါချခြင်း|ငွေကြေးခဝါချမှု]] တိုက်ဖျက်ရေးဆိုင်ရာ မူဝါဒများ ချမှတ်ရန်နှင့် သတ်မှတ်ထားသော အကျိုးစီးပွားအချို့ကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် [[ဂျီ ၇၊ အသင်းအဖွဲ့|G7]] အဖွဲ့၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် တည်ထောင်ခဲ့သည့် အစိုးရအချင်းချင်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်သော အဖွဲ့အစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>[https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3362167 The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications.] ''International, Transnational & Comparative Law Journal''. Social Science Research Network (SSRN). Accessed 4 April 2019.</ref>၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာကို အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေးအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ FATF အတွင်းရေးမှူးရုံးကို [[ပါရီမြို့|ပဲရစ်မြို့]]ရှိ [[စီးပွားရေးပေါင်းတူလုပ်ဆောင်ရေးနှင့် ဖွဲ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့အစည်း|စီးပွားရေးပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့]] (OECD) တွင် ရုံးစိုက်ခွင့်ပြုထားသော်လည်း အဆိုပါ အဖွဲ့အစည်းနှစ်ခုမှာ သီးခြားစီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Frequently Asked Questions |url=https://www.fatf-gafi.org/en/pages/frequently-asked-questions.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref> FATF ၏ ရည်မှန်းချက်များမှာ နိုင်ငံတကာ ဘဏ္ဍာရေးစနစ်၏ ဂုဏ်သိက္ခာကို ခြိမ်းခြောက်နေသည့် ငွေကြေးခဝါချမှု၊ အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုနှင့် အခြားသော ဆက်စပ်အန္တရာယ်များကို တိုက်ဖျက်ရန်အတွက် စံနှုန်းများ သတ်မှတ်ရန်နှင့် ဥပဒေကြောင်းအရ၊ စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် လုပ်ငန်းလည်ပတ်မှုဆိုင်ရာ မွမ်းမံမှုများကို ထိရောက်စွာ အကောင်အထည်ဖော်ရန် တွန်းအားပေးရန် ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite journal |last=Chohan |first=Usman W. |date=Mar 14, 2019 |title=The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications |url=https://papers.ssrn.com/abstract=3362167 |journal=CASS Working Papers on Economics & National Affairs |doi=10.2139/ssrn.3362167 |s2cid=197804604 |ssrn=3362167 |url-access=subscription |via=papers.ssrn.com |accessdate=Oct 21, 2022}}</ref>FATF သည် ယင်းကဏ္ဍများတွင် အမျိုးသားအဆင့် ဥပဒေပြုရေးနှင့် စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ ဖြစ်ထွန်းလာစေရန် လိုအပ်သော နိုင်ငံရေးဆန္ဒကို ဖော်ဆောင်ပေးသည့် "မူဝါဒချမှတ်ရေးအဖွဲ့" (Policy-making body) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=The FATF |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref>FATF သည် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများအကြား "အပြန်အလှန် အကဲဖြတ်မှုများ" (Mutual evaluations) မှတစ်ဆင့် ၎င်းတို့၏ အကြံပြုချက်များကို အကောင်အထည်ဖော်ရာတွင် တိုးတက်မှု အခြေအနေများကို စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးသည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစ၍ FATF သည် FATF နာမည်ပျက်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Call for action") နှင့် FATF နာမည်ပျက်စိုးရိမ်ရသည့်စာရင်း သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Other monitored jurisdictions") တို့ကို ပြုစုထိန်းသိမ်းလာခဲ့သည်။နာမည်ပျက်စာရင်းတွင် ထည့်သွင်းခံရခြင်းကြောင့် ဘဏ္ဍာရေးအဖွဲ့အစည်းများသည် စာရင်းဝင်နိုင်ငံများထံမှ ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်များနှင့် ဝန်ဆောင်မှုများကို ရုပ်သိမ်းသွားကြသည်။ ယင်းကတစ်ဆင့် ထိုစာရင်းဝင်နိုင်ငံများအတွင်းရှိ ပြည်တွင်းစီးပွားရေးနှင့် နိုင်ငံရေးအရ ဩဇာရှိသူများက FATF ၏ စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းများကို ပြဋ္ဌာန်းရန် ၎င်းတို့၏ အစိုးရများကို ဖိအားပေးလာစေသည်။<ref name=":3">{{Cite book |last=Morse |first=Julia C. |date=2021 |title=The Bankers' Blacklist: Unofficial Market Enforcement and the Global Fight against Illicit Financing |url=https://www.jstor.org/stable/10.7591/j.ctv1hw3x0d |publisher=Cornell University Press |isbn=978-1-5017-6151-5 |jstor=10.7591/j.ctv1hw3x0d}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် FATF တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ မဟုတ်သော်လည်း FATF ပုံစံဖွဲ့စည်းထားသည့် ဒေသဆိုင်ရာအဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သည့် [[အာရှပစိဖိတ် ဒေသငွေကြေးခဝါချမှုတိုက်ဖျက်ရေးအဖွဲ့]] (Asia Pacific Group on Money Laundering-APG)တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံအဖြစ် ပါဝင်လျက်ရှိသည်။ <ref>{{Cite web |title=ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်မှုလွန်ကဲခြင်းမရှိရန်၊ ငွေကြေးဈေးကွက်အတွင်း မသမာမှုများမပြုလုပ်ကြရန်နှင့် စည်းမျဉ်းများမကိုက်ညီပါက လိုအပ်သလို အရေးယူမည်ဟု ဗဟိုဘဏ်ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/239253 |access-date=2026-06-13 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == နာမည်ပျက်စာရင်း == [[ဖိုင်:FATF blacklist and greylist states (2024).svg|thumb|နာမည်ပျက်စာရင် နိုင်ငံများ]] ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ နာမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်နှင့် မြန်မာ စသည့် သုံးနိုင်ငံသာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 February 2026 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-february-2026.html |access-date=29 March 2026 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၂၆ ရက် မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပသည့် ၃၇ ကြိမ်မြောက် အစည်းအဝေးတွင် ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေး အဖွဲ့ သည် [[ဘူလ်ဂေးရီးယားနိုင်ငံ|ဘူဂေးရီးယား]]၊ [[ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ်သမ္မတနိုင်ငံ|ကွန်ဂို]]၊ [[အိုင်ဗရီကို့စ်နိုင်ငံ|အိုင်ဗရီကို့စ်]] နှင့် [[မိုနာကိုနိုင်ငံ|မိုနာကို]] နိုင်ငံတို့အား မီးခိုးရောင်စာရင်း မှ ပယ်ဖျက်လိုက်သော်လည်း [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ|ဗီယက်နမ်]] ကိုမူ ဆက်လက် ချန်ထားခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[မြန်မာနိုင်ငံ|မြန်မာ]]၊ [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]] နှင့် [[မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ|မြောက်ကိုရီးယား]]တို့ကို  အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ဆက်လက် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ အမည်ပျက်စာရင်း သတ်မှတ်ခြင်းသည် FATF က ပေးနိုင်သည့် အပြင်းထန်ဆုံး တံဆိပ်ကပ်မှု ဖြစ်ပြီး ယင်းတွင် အကျိုးဆက်များစွာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news |last=Ghosh |first=Kanjyik |date=2026-10-30 |title=FATF removes Bulgaria, Congo, Ivory Coast and Monaco from 'grey list' but leaves Vietnam on |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/fatf-removes-bulgaria-congo-ivory-coast-monaco-leaves-vietnam-grey-list-2026-10-30/ |access-date=2026-11-01 |work=Reuters |language=en}}</ref> == မြန်မာနိုင်ငံ ပါဝင်မှု == ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်လုပ်ငန်းများအတွက် ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုတို့ကို တိုက်ဖျက်ရန် ပျက်ကွက်ခဲ့ခြင်းကြောင့် နိုင်ငံတကာ ငွေကြေးခဝါချမှု စောင့်ကြည့်ရေးအဖွဲ့ (FATF) က မြန်မာနိုင်ငံအား အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ထည့်သွင်းရန် ၂၀၂၂ ခုနှစ်က ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေး ကဏ္ဍများ အားနည်းချက်ရှိခြင်းကြောင့် တိုးတက်မှုများကို စောင့်ကြည့်ရမည့် မီးခိုးရောင်စာရင်း (Grey List) တွင် မြန်မာနိုင်ငံအား ထည့်သွင်းထားရာမှ မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်တို့နှင့် တန်းတူ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) အဖြစ် ၂၀၂၂ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အဆင့်တိုးမြှင့် သတ်မှတ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-10 |title=FATF အမည်ပျက်စာရင်းကနေ လွတ်ရေး စစ်ကော်မရှင်က အဖမ်းအဆီးတွေ ပိုတိုးတင်းကျပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy67g70kyro |access-date=2026-06-13 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး ယန္တရားများတွင် မဟာဗျူဟာမြောက် ကြီးမားသော လိုအပ်ချက်များ ရှိနေဆဲဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ လုပ်ငန်းစီမံချက် (Action plan) ကို အပြည့်အဝ အကောင်အထည်ဖော် ပြီးစီးခြင်းမရှိမချင်း ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ အနီးကပ် စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးမှုအောက်တွင် ဆက်လက် ရှိနေမည် ဖြစ်သည်ဟု ထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref name=":1">{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 June 2025 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-june-2025.html |access-date=2025-08-12 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> FATF သည် ၎င်း၏ (၃၇) ကြိမ်မြောက် မျက်နှာစုံညီ အစည်းအဝေးကို [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၂၆ ရက်မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပခဲ့သည်။အဆိုပါ အစည်းအဝေးတွင် (၄) နှစ်ကြာ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) သွင်းခံထားရသည့် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အခြေအနေများကို ပြန်လည်သုံးသပ် ဆွေးနွေးခဲ့ကြပြီး၊ အမည်ပျက်စာရင်း၌ ဆက်လက် ထည့်သွင်းထားရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့ကြသည်။၂၀၂၇ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလအထိ မြန်မာနိုင်ငံဘက်မှ ထူးခြားသည့် တိုးတက်မှုများ မရှိသေးပါက ပိုမိုပြင်းထန်သော အရေးယူမှုများ ပြုလုပ်သွားရန် စဉ်းစားမည်ဟု FATF က ဆိုသည်။ထိုအကြောင်းအရာနှင့် စပ်လျဥ်းပြီး [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]သည် မြန်မာနိုင်ငံနှင့် ပတ်သက်သည့် ငွေကြေးလွှဲပြောင်းမှုများအပေါ် တင်းကျပ်စွာ စိစစ်စစ်ဆေးနေမှုများကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်ရန်အတွက် မြန်မာနိုင်ငံကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ အရေးယူဆောင်ရွက်မှုအဖွဲ့ (FATF) ၏ အမည်ပျက်စာရင်းမှ ဖယ်ရှားပေးရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။The Japan Times သတင်းတွင် ဂျပန်အစိုးရ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက မြန်မာနိုင်ငံနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ရ ပိုမိုလွယ်ကူလာစေရန်နှင့် နိုင်ငံ့စီးပွားရေး ပြန်လည်နာလန်ထူလာစေရန် ရည်ရွယ်၍ ယခုကဲ့သို့ တိုက်တွန်း ကြိုးပမ်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Kihara |first=Tamiyuki |last2=Mcpherson |first2=Poppy |date=2026-10-31 |title=Japan pushes to remove Myanmar from global financial watchdog’s blacklist |url=https://www.japantimes.co.jp/news/2026/10/31/japan/politics/japan-myanmar-blacklist-removal-push/ |access-date=2026-11-01 |website=The Japan Times |language=en}}</ref> အကယ်၍ FATF က မြန်မာနိုင်ငံအပေါ် အရေးယူရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ပါက ယင်းသည် "[[နေပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]] အတွက် အခက်၊ တော်လှန်ရေးအတွက် အချက်" ဖြစ်လာနိုင်ကြောင်း [[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]] အစိုးရလက်ထက် [[အောင်ဆန်းစုကြည်|ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]၏ စီးပွားရေး အကြံပေးဟောင်း [[ရှောင် တာနယ်|ရှောင်တာနယ်]] နှင့် နိုင်ငံရေးသုတေသီ ဒန်စွစ်တို့က [[ဝါရှင်တန်ပို့စ်]] (The Washington Post) သတင်းစာတွင် သုံးသပ်ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-10-27 |title=FATF စာရင်းဝင်မှုနဲ့ အနောက်နိုင်ငံတွေရဲ့ ဒဏ်ခတ်ပိတ်ဆို့မှုဘာကွာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cqvgj81ddzl8o |access-date=2026-11-01 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == အပြည့်အဝ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ == ၂၀၂၃ ခုနှစ်အထိ လက်ရှိတွင် FATF ၌ အပြည့်အဝအဖွဲ့ဝင် ၃၈ ခုနှင့် ဒေသတွင်းအဖွဲ့အစည်း ၂ ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး၊ ၎င်းတို့သည် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အဓိက ဘဏ္ဍာရေးဗဟိုဌာန အများစုကို ကိုယ်စားပြုလျက်ရှိသည်။<ref name="members">{{cite web |title=FATF Members |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20231031041839/https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-date=2023-10-31 |access-date=2023-10-31 |publisher=FATF}}</ref> [[File:Financial Action Task Force Membership Map.png|thumb|FATF အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ မြေပုံ]] === ဒေသတွင်း အဖွဲ့အစည်းများ === # {{flag|European Union|name=ဥရောပ ကော်မရှင်}} # {{flagicon image|Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg}} [[ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေး ကောင်စီ|ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးကောင်စီ (GCC)]] === နိုင်ငံများနှင့် နယ်မြေများ === {{div col|colwidth=20em}} # {{flag|Argentina|name=အာဂျင်တီးနား}} # {{flag|Australia|name=ဩစတြေးလျ}} # {{flag|Austria|name=ဩစတြီးယား}} # {{flag|Belgium|name=ဘယ်လ်ဂျီယံ}} # {{flag|Brazil|name=ဘရာဇီး}} # {{flag|Canada|name=ကနေဒါ}} # {{flag|China|name=တရုတ်}} # {{flag|Denmark|name=ဒိန်းမတ်}} # {{flag|Finland|name=ဖင်လန်}} # {{flag|France|name=ပြင်သစ်}} # {{flag|Germany|name=ဂျာမနီ}} # {{flag|Greece|name=ဂရိ}} # {{flag|Hong Kong|name=ဟောင်ကောင်၊ တရုတ်}} (၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]] [[ဟောင်ကောင်]] အဖြစ် စတင်ပူးပေါင်းခဲ့) # {{flag|Iceland|name=အိုက်စလန်}} # {{flag|India|name=အိန္ဒိယ}} # {{flag|Indonesia|name=အင်ဒိုနီးရှား}} # {{flag|Ireland|name=အိုင်ယာလန်}} # {{flag|Israel|name=အစ္စရေး}} # {{flag|Italy|name=အီတလီ}} # {{flag|Japan|name=ဂျပန်}} # {{flag|Luxembourg|name=လဇ်ဇမ်ဘိုးဂ်}} # {{flag|Malaysia|name=မလေးရှား}} # {{flag|Mexico|name=မက္ကဆီကို}} # {{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}} ({{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}}၊ {{flag|Aruba|name=အာရူးဗား}}၊ {{flag|Curaçao|name=[[ကူရာဆောနိုင်ငံ|ကျူရာဆော]]}} နှင့် {{flag|စိန့်မာတင်|name=စိန့်မာတင်}} တို့ ပါဝင်သည်) # {{flag|New Zealand|name=နယူးဇီလန်}} # {{flag|Norway|name=နော်ဝေ}} # {{flag|Portugal|name=ပေါ်တူဂီ}} # {{flag|Russia|name=ရုရှား}} (အဖွဲ့ဝင်အဖြစ်မှ ရပ်ဆိုင်းခံထားရ)<ref>{{Cite news|last1=Hummel|first1=Tassilo|last2=Melander|first2=Ingrid|date=25 February 2023|title=Financial crime watchdog FATF suspends Russia over Ukraine war|work=Reuters|url=https://www.reuters.com/world/europe/financial-crime-watchdog-fatf-suspends-russias-membership-over-ukraine-war-2023-02-24/|access-date=26 February 2023}}</ref> # {{flag|Saudi Arabia|name=ဆော်ဒီအာရေးဗီးယား}} # {{flag|Singapore|name=စင်ကာပူ}} # {{flag|South Africa|name=တောင်အာဖရိက}} # {{flag|Republic of Korea|name=တောင်ကိုရီးယား}} # {{flag|Spain|name=စပိန်}} # {{flag|Sweden|name=ဆူဒန်}} # {{flag|Switzerland|name=ဆွေဇာလန်}} # {{flag|Turkey|name=တာကီယဲ}} # {{flag|United Kingdom|name=ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း}} # {{flag|United States|name=အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု}} {{div col end}} == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံတကာ အစိုးရအဖွဲ့အစည်းများ]] amrbwdpavx3tbngd0six29gsku0x2yn 1060971 1060970 2026-11-01T06:26:47Z Zawzawaungthwin 100038 membership = ၄၀ 1060971 wikitext text/x-wiki {{Infobox organisation | name = ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ <br> <small>Financial Action Task Force</small> | image = Financial Action Task Force on Money Laundering logo.svg | image_size = 100px | image_alt = | caption = | map = | map_size = | map_alt = | map_caption = Financial Action Task Force Membership Map | abbreviation = FATF | formation = {{start date and age|1989}} | extinction = | type = နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်း | purpose = ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေးနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး | headquarters = [[ပါရီမြို့]] | region_served = [[ဥရောပ|ဥရောပတိုက်]] | membership = ၄၀ | language = [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား]], [[ပြင်သစ်ဘာသာစကား]] | website = {{URL|fatf-gafi.org}} }} '''ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့'''<ref>{{Cite web |title=AML/CFT Sectors {{!}} MFIU |url=https://mfiu.gov.mm/my/about_fatf |access-date=2026-06-13 |website=mfiu.gov.mm}}</ref> (Financial Action Task Force - FATF) ကို ၎င်း၏ ပြင်သစ်အမည်ဖြစ်သော Groupe d'action financière (GAFI) ဟုလည်း သိကြပြီး၊ [[ငွေမည်းခဝါချခြင်း|ငွေကြေးခဝါချမှု]] တိုက်ဖျက်ရေးဆိုင်ရာ မူဝါဒများ ချမှတ်ရန်နှင့် သတ်မှတ်ထားသော အကျိုးစီးပွားအချို့ကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် [[ဂျီ ၇၊ အသင်းအဖွဲ့|G7]] အဖွဲ့၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် တည်ထောင်ခဲ့သည့် အစိုးရအချင်းချင်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်သော အဖွဲ့အစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>[https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3362167 The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications.] ''International, Transnational & Comparative Law Journal''. Social Science Research Network (SSRN). Accessed 4 April 2019.</ref>၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာကို အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေးအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ FATF အတွင်းရေးမှူးရုံးကို [[ပါရီမြို့|ပဲရစ်မြို့]]ရှိ [[စီးပွားရေးပေါင်းတူလုပ်ဆောင်ရေးနှင့် ဖွဲ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့အစည်း|စီးပွားရေးပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့]] (OECD) တွင် ရုံးစိုက်ခွင့်ပြုထားသော်လည်း အဆိုပါ အဖွဲ့အစည်းနှစ်ခုမှာ သီးခြားစီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Frequently Asked Questions |url=https://www.fatf-gafi.org/en/pages/frequently-asked-questions.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref> FATF ၏ ရည်မှန်းချက်များမှာ နိုင်ငံတကာ ဘဏ္ဍာရေးစနစ်၏ ဂုဏ်သိက္ခာကို ခြိမ်းခြောက်နေသည့် ငွေကြေးခဝါချမှု၊ အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုနှင့် အခြားသော ဆက်စပ်အန္တရာယ်များကို တိုက်ဖျက်ရန်အတွက် စံနှုန်းများ သတ်မှတ်ရန်နှင့် ဥပဒေကြောင်းအရ၊ စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် လုပ်ငန်းလည်ပတ်မှုဆိုင်ရာ မွမ်းမံမှုများကို ထိရောက်စွာ အကောင်အထည်ဖော်ရန် တွန်းအားပေးရန် ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite journal |last=Chohan |first=Usman W. |date=Mar 14, 2019 |title=The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications |url=https://papers.ssrn.com/abstract=3362167 |journal=CASS Working Papers on Economics & National Affairs |doi=10.2139/ssrn.3362167 |s2cid=197804604 |ssrn=3362167 |url-access=subscription |via=papers.ssrn.com |accessdate=Oct 21, 2022}}</ref>FATF သည် ယင်းကဏ္ဍများတွင် အမျိုးသားအဆင့် ဥပဒေပြုရေးနှင့် စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ ဖြစ်ထွန်းလာစေရန် လိုအပ်သော နိုင်ငံရေးဆန္ဒကို ဖော်ဆောင်ပေးသည့် "မူဝါဒချမှတ်ရေးအဖွဲ့" (Policy-making body) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=The FATF |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref>FATF သည် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများအကြား "အပြန်အလှန် အကဲဖြတ်မှုများ" (Mutual evaluations) မှတစ်ဆင့် ၎င်းတို့၏ အကြံပြုချက်များကို အကောင်အထည်ဖော်ရာတွင် တိုးတက်မှု အခြေအနေများကို စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးသည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစ၍ FATF သည် FATF နာမည်ပျက်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Call for action") နှင့် FATF နာမည်ပျက်စိုးရိမ်ရသည့်စာရင်း သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Other monitored jurisdictions") တို့ကို ပြုစုထိန်းသိမ်းလာခဲ့သည်။နာမည်ပျက်စာရင်းတွင် ထည့်သွင်းခံရခြင်းကြောင့် ဘဏ္ဍာရေးအဖွဲ့အစည်းများသည် စာရင်းဝင်နိုင်ငံများထံမှ ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်များနှင့် ဝန်ဆောင်မှုများကို ရုပ်သိမ်းသွားကြသည်။ ယင်းကတစ်ဆင့် ထိုစာရင်းဝင်နိုင်ငံများအတွင်းရှိ ပြည်တွင်းစီးပွားရေးနှင့် နိုင်ငံရေးအရ ဩဇာရှိသူများက FATF ၏ စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းများကို ပြဋ္ဌာန်းရန် ၎င်းတို့၏ အစိုးရများကို ဖိအားပေးလာစေသည်။<ref name=":3">{{Cite book |last=Morse |first=Julia C. |date=2021 |title=The Bankers' Blacklist: Unofficial Market Enforcement and the Global Fight against Illicit Financing |url=https://www.jstor.org/stable/10.7591/j.ctv1hw3x0d |publisher=Cornell University Press |isbn=978-1-5017-6151-5 |jstor=10.7591/j.ctv1hw3x0d}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် FATF တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ မဟုတ်သော်လည်း FATF ပုံစံဖွဲ့စည်းထားသည့် ဒေသဆိုင်ရာအဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သည့် [[အာရှပစိဖိတ် ဒေသငွေကြေးခဝါချမှုတိုက်ဖျက်ရေးအဖွဲ့]] (Asia Pacific Group on Money Laundering-APG)တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံအဖြစ် ပါဝင်လျက်ရှိသည်။ <ref>{{Cite web |title=ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်မှုလွန်ကဲခြင်းမရှိရန်၊ ငွေကြေးဈေးကွက်အတွင်း မသမာမှုများမပြုလုပ်ကြရန်နှင့် စည်းမျဉ်းများမကိုက်ညီပါက လိုအပ်သလို အရေးယူမည်ဟု ဗဟိုဘဏ်ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/239253 |access-date=2026-06-13 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == နာမည်ပျက်စာရင်း == [[ဖိုင်:FATF blacklist and greylist states (2024).svg|thumb|နာမည်ပျက်စာရင် နိုင်ငံများ]] ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ နာမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်နှင့် မြန်မာ စသည့် သုံးနိုင်ငံသာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 February 2026 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-february-2026.html |access-date=29 March 2026 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၂၆ ရက် မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပသည့် ၃၇ ကြိမ်မြောက် အစည်းအဝေးတွင် ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေး အဖွဲ့ သည် [[ဘူလ်ဂေးရီးယားနိုင်ငံ|ဘူဂေးရီးယား]]၊ [[ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ်သမ္မတနိုင်ငံ|ကွန်ဂို]]၊ [[အိုင်ဗရီကို့စ်နိုင်ငံ|အိုင်ဗရီကို့စ်]] နှင့် [[မိုနာကိုနိုင်ငံ|မိုနာကို]] နိုင်ငံတို့အား မီးခိုးရောင်စာရင်း မှ ပယ်ဖျက်လိုက်သော်လည်း [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ|ဗီယက်နမ်]] ကိုမူ ဆက်လက် ချန်ထားခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[မြန်မာနိုင်ငံ|မြန်မာ]]၊ [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]] နှင့် [[မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ|မြောက်ကိုရီးယား]]တို့ကို  အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ဆက်လက် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ အမည်ပျက်စာရင်း သတ်မှတ်ခြင်းသည် FATF က ပေးနိုင်သည့် အပြင်းထန်ဆုံး တံဆိပ်ကပ်မှု ဖြစ်ပြီး ယင်းတွင် အကျိုးဆက်များစွာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news |last=Ghosh |first=Kanjyik |date=2026-10-30 |title=FATF removes Bulgaria, Congo, Ivory Coast and Monaco from 'grey list' but leaves Vietnam on |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/fatf-removes-bulgaria-congo-ivory-coast-monaco-leaves-vietnam-grey-list-2026-10-30/ |access-date=2026-11-01 |work=Reuters |language=en}}</ref> == မြန်မာနိုင်ငံ ပါဝင်မှု == ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်လုပ်ငန်းများအတွက် ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုတို့ကို တိုက်ဖျက်ရန် ပျက်ကွက်ခဲ့ခြင်းကြောင့် နိုင်ငံတကာ ငွေကြေးခဝါချမှု စောင့်ကြည့်ရေးအဖွဲ့ (FATF) က မြန်မာနိုင်ငံအား အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ထည့်သွင်းရန် ၂၀၂၂ ခုနှစ်က ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေး ကဏ္ဍများ အားနည်းချက်ရှိခြင်းကြောင့် တိုးတက်မှုများကို စောင့်ကြည့်ရမည့် မီးခိုးရောင်စာရင်း (Grey List) တွင် မြန်မာနိုင်ငံအား ထည့်သွင်းထားရာမှ မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်တို့နှင့် တန်းတူ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) အဖြစ် ၂၀၂၂ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အဆင့်တိုးမြှင့် သတ်မှတ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-10 |title=FATF အမည်ပျက်စာရင်းကနေ လွတ်ရေး စစ်ကော်မရှင်က အဖမ်းအဆီးတွေ ပိုတိုးတင်းကျပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy67g70kyro |access-date=2026-06-13 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး ယန္တရားများတွင် မဟာဗျူဟာမြောက် ကြီးမားသော လိုအပ်ချက်များ ရှိနေဆဲဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ လုပ်ငန်းစီမံချက် (Action plan) ကို အပြည့်အဝ အကောင်အထည်ဖော် ပြီးစီးခြင်းမရှိမချင်း ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ အနီးကပ် စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးမှုအောက်တွင် ဆက်လက် ရှိနေမည် ဖြစ်သည်ဟု ထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref name=":1">{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 June 2025 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-june-2025.html |access-date=2025-08-12 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> FATF သည် ၎င်း၏ (၃၇) ကြိမ်မြောက် မျက်နှာစုံညီ အစည်းအဝေးကို [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၂၆ ရက်မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပခဲ့သည်။အဆိုပါ အစည်းအဝေးတွင် (၄) နှစ်ကြာ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) သွင်းခံထားရသည့် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အခြေအနေများကို ပြန်လည်သုံးသပ် ဆွေးနွေးခဲ့ကြပြီး၊ အမည်ပျက်စာရင်း၌ ဆက်လက် ထည့်သွင်းထားရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့ကြသည်။၂၀၂၇ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလအထိ မြန်မာနိုင်ငံဘက်မှ ထူးခြားသည့် တိုးတက်မှုများ မရှိသေးပါက ပိုမိုပြင်းထန်သော အရေးယူမှုများ ပြုလုပ်သွားရန် စဉ်းစားမည်ဟု FATF က ဆိုသည်။ထိုအကြောင်းအရာနှင့် စပ်လျဥ်းပြီး [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]သည် မြန်မာနိုင်ငံနှင့် ပတ်သက်သည့် ငွေကြေးလွှဲပြောင်းမှုများအပေါ် တင်းကျပ်စွာ စိစစ်စစ်ဆေးနေမှုများကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်ရန်အတွက် မြန်မာနိုင်ငံကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ အရေးယူဆောင်ရွက်မှုအဖွဲ့ (FATF) ၏ အမည်ပျက်စာရင်းမှ ဖယ်ရှားပေးရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။The Japan Times သတင်းတွင် ဂျပန်အစိုးရ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက မြန်မာနိုင်ငံနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ရ ပိုမိုလွယ်ကူလာစေရန်နှင့် နိုင်ငံ့စီးပွားရေး ပြန်လည်နာလန်ထူလာစေရန် ရည်ရွယ်၍ ယခုကဲ့သို့ တိုက်တွန်း ကြိုးပမ်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Kihara |first=Tamiyuki |last2=Mcpherson |first2=Poppy |date=2026-10-31 |title=Japan pushes to remove Myanmar from global financial watchdog’s blacklist |url=https://www.japantimes.co.jp/news/2026/10/31/japan/politics/japan-myanmar-blacklist-removal-push/ |access-date=2026-11-01 |website=The Japan Times |language=en}}</ref> အကယ်၍ FATF က မြန်မာနိုင်ငံအပေါ် အရေးယူရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ပါက ယင်းသည် "[[နေပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]] အတွက် အခက်၊ တော်လှန်ရေးအတွက် အချက်" ဖြစ်လာနိုင်ကြောင်း [[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]] အစိုးရလက်ထက် [[အောင်ဆန်းစုကြည်|ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]၏ စီးပွားရေး အကြံပေးဟောင်း [[ရှောင် တာနယ်|ရှောင်တာနယ်]] နှင့် နိုင်ငံရေးသုတေသီ ဒန်စွစ်တို့က [[ဝါရှင်တန်ပို့စ်]] (The Washington Post) သတင်းစာတွင် သုံးသပ်ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-10-27 |title=FATF စာရင်းဝင်မှုနဲ့ အနောက်နိုင်ငံတွေရဲ့ ဒဏ်ခတ်ပိတ်ဆို့မှုဘာကွာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cqvgj81ddzl8o |access-date=2026-11-01 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == အပြည့်အဝ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ == ၂၀၂၃ ခုနှစ်အထိ လက်ရှိတွင် FATF ၌ အပြည့်အဝအဖွဲ့ဝင် ၃၈ ခုနှင့် ဒေသတွင်းအဖွဲ့အစည်း ၂ ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး၊ ၎င်းတို့သည် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အဓိက ဘဏ္ဍာရေးဗဟိုဌာန အများစုကို ကိုယ်စားပြုလျက်ရှိသည်။<ref name="members">{{cite web |title=FATF Members |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20231031041839/https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-date=2023-10-31 |access-date=2023-10-31 |publisher=FATF}}</ref> [[File:Financial Action Task Force Membership Map.png|thumb|FATF အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ မြေပုံ]] === ဒေသတွင်း အဖွဲ့အစည်းများ === # {{flag|European Union|name=ဥရောပ ကော်မရှင်}} # {{flagicon image|Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg}} [[ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေး ကောင်စီ|ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးကောင်စီ (GCC)]] === နိုင်ငံများနှင့် နယ်မြေများ === {{div col|colwidth=20em}} # {{flag|Argentina|name=အာဂျင်တီးနား}} # {{flag|Australia|name=ဩစတြေးလျ}} # {{flag|Austria|name=ဩစတြီးယား}} # {{flag|Belgium|name=ဘယ်လ်ဂျီယံ}} # {{flag|Brazil|name=ဘရာဇီး}} # {{flag|Canada|name=ကနေဒါ}} # {{flag|China|name=တရုတ်}} # {{flag|Denmark|name=ဒိန်းမတ်}} # {{flag|Finland|name=ဖင်လန်}} # {{flag|France|name=ပြင်သစ်}} # {{flag|Germany|name=ဂျာမနီ}} # {{flag|Greece|name=ဂရိ}} # {{flag|Hong Kong|name=ဟောင်ကောင်၊ တရုတ်}} (၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]] [[ဟောင်ကောင်]] အဖြစ် စတင်ပူးပေါင်းခဲ့) # {{flag|Iceland|name=အိုက်စလန်}} # {{flag|India|name=အိန္ဒိယ}} # {{flag|Indonesia|name=အင်ဒိုနီးရှား}} # {{flag|Ireland|name=အိုင်ယာလန်}} # {{flag|Israel|name=အစ္စရေး}} # {{flag|Italy|name=အီတလီ}} # {{flag|Japan|name=ဂျပန်}} # {{flag|Luxembourg|name=လဇ်ဇမ်ဘိုးဂ်}} # {{flag|Malaysia|name=မလေးရှား}} # {{flag|Mexico|name=မက္ကဆီကို}} # {{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}} ({{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}}၊ {{flag|Aruba|name=အာရူးဗား}}၊ {{flag|Curaçao|name=[[ကူရာဆောနိုင်ငံ|ကျူရာဆော]]}} နှင့် {{flag|စိန့်မာတင်|name=စိန့်မာတင်}} တို့ ပါဝင်သည်) # {{flag|New Zealand|name=နယူးဇီလန်}} # {{flag|Norway|name=နော်ဝေ}} # {{flag|Portugal|name=ပေါ်တူဂီ}} # {{flag|Russia|name=ရုရှား}} (အဖွဲ့ဝင်အဖြစ်မှ ရပ်ဆိုင်းခံထားရ)<ref>{{Cite news|last1=Hummel|first1=Tassilo|last2=Melander|first2=Ingrid|date=25 February 2023|title=Financial crime watchdog FATF suspends Russia over Ukraine war|work=Reuters|url=https://www.reuters.com/world/europe/financial-crime-watchdog-fatf-suspends-russias-membership-over-ukraine-war-2023-02-24/|access-date=26 February 2023}}</ref> # {{flag|Saudi Arabia|name=ဆော်ဒီအာရေးဗီးယား}} # {{flag|Singapore|name=စင်ကာပူ}} # {{flag|South Africa|name=တောင်အာဖရိက}} # {{flag|Republic of Korea|name=တောင်ကိုရီးယား}} # {{flag|Spain|name=စပိန်}} # {{flag|Sweden|name=ဆူဒန်}} # {{flag|Switzerland|name=ဆွေဇာလန်}} # {{flag|Turkey|name=တာကီယဲ}} # {{flag|United Kingdom|name=ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း}} # {{flag|United States|name=အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု}} {{div col end}} == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံတကာ အစိုးရအဖွဲ့အစည်းများ]] r2dows5exulmtxr79vj8xlg60est12m 1060997 1060971 2026-11-01T10:09:58Z Zawzawaungthwin 100038 စာလုံးပေါင်း ပြင်ဆင် 1060997 wikitext text/x-wiki {{Infobox organisation | name = ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ <br> <small>Financial Action Task Force</small> | image = Financial Action Task Force on Money Laundering logo.svg | image_size = 100px | image_alt = | caption = | map = | map_size = | map_alt = | map_caption = Financial Action Task Force Membership Map | abbreviation = FATF | formation = {{start date and age|1989}} | extinction = | type = နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်း | purpose = ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေးနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး | headquarters = [[ပါရီမြို့]] | region_served = [[ဥရောပ|ဥရောပတိုက်]] | membership = ၄၀ | language = [[အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား]], [[ပြင်သစ်ဘာသာစကား]] | website = {{URL|fatf-gafi.org}} }} '''ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့'''<ref>{{Cite web |title=AML/CFT Sectors {{!}} MFIU |url=https://mfiu.gov.mm/my/about_fatf |access-date=2026-06-13 |website=mfiu.gov.mm}}</ref> (Financial Action Task Force - FATF) ကို ၎င်း၏ ပြင်သစ်အမည်ဖြစ်သော Groupe d'action financière (GAFI) ဟုလည်း သိကြပြီး၊ [[ငွေမည်းခဝါချခြင်း|ငွေကြေးခဝါချမှု]] တိုက်ဖျက်ရေးဆိုင်ရာ မူဝါဒများ ချမှတ်ရန်နှင့် သတ်မှတ်ထားသော အကျိုးစီးပွားအချို့ကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် [[ဂျီ ၇၊ အသင်းအဖွဲ့|G7]] အဖွဲ့၏ ဦးဆောင်မှုဖြင့် ၁၉၈၉ ခုနှစ်တွင် တည်ထောင်ခဲ့သည့် အစိုးရအချင်းချင်း ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်သော အဖွဲ့အစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>[https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=3362167 The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications.] ''International, Transnational & Comparative Law Journal''. Social Science Research Network (SSRN). Accessed 4 April 2019.</ref>၂၀၀၁ ခုနှစ်တွင် ၎င်း၏ လုပ်ပိုင်ခွင့်အာဏာကို အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေးအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ FATF အတွင်းရေးမှူးရုံးကို [[ပါရီမြို့|ပဲရစ်မြို့]]ရှိ [[စီးပွားရေးပေါင်းတူလုပ်ဆောင်ရေးနှင့် ဖွဲ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့အစည်း|စီးပွားရေးပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးနှင့် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးအဖွဲ့]] (OECD) တွင် ရုံးစိုက်ခွင့်ပြုထားသော်လည်း အဆိုပါ အဖွဲ့အစည်းနှစ်ခုမှာ သီးခြားစီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=Frequently Asked Questions |url=https://www.fatf-gafi.org/en/pages/frequently-asked-questions.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref> FATF ၏ ရည်မှန်းချက်များမှာ နိုင်ငံတကာ ဘဏ္ဍာရေးစနစ်၏ ဂုဏ်သိက္ခာကို ခြိမ်းခြောက်နေသည့် ငွေကြေးခဝါချမှု၊ အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုနှင့် အခြားသော ဆက်စပ်အန္တရာယ်များကို တိုက်ဖျက်ရန်အတွက် စံနှုန်းများ သတ်မှတ်ရန်နှင့် ဥပဒေကြောင်းအရ၊ စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာနှင့် လုပ်ငန်းလည်ပတ်မှုဆိုင်ရာ မွမ်းမံမှုများကို ထိရောက်စွာ အကောင်အထည်ဖော်ရန် တွန်းအားပေးရန် ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite journal |last=Chohan |first=Usman W. |date=Mar 14, 2019 |title=The FATF in the Global Financial Architecture: Challenges and Implications |url=https://papers.ssrn.com/abstract=3362167 |journal=CASS Working Papers on Economics & National Affairs |doi=10.2139/ssrn.3362167 |s2cid=197804604 |ssrn=3362167 |url-access=subscription |via=papers.ssrn.com |accessdate=Oct 21, 2022}}</ref>FATF သည် ယင်းကဏ္ဍများတွင် အမျိုးသားအဆင့် ဥပဒေပြုရေးနှင့် စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းပိုင်းဆိုင်ရာ ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများ ဖြစ်ထွန်းလာစေရန် လိုအပ်သော နိုင်ငံရေးဆန္ဒကို ဖော်ဆောင်ပေးသည့် "မူဝါဒချမှတ်ရေးအဖွဲ့" (Policy-making body) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <ref>{{Cite web |title=The FATF |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf.html |access-date=2026-02-24 |website=Financial Action Task Force}}</ref>FATF သည် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများအကြား "အပြန်အလှန် အကဲဖြတ်မှုများ" (Mutual evaluations) မှတစ်ဆင့် ၎င်းတို့၏ အကြံပြုချက်များကို အကောင်အထည်ဖော်ရာတွင် တိုးတက်မှု အခြေအနေများကို စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးသည်။ ၂၀၀၁ ခုနှစ်မှစ၍ FATF သည် FATF နာမည်ပျက်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Call for action") နှင့် FATF နာမည်ပျက်စိုးရိမ်ရသည့်စာရင်း သို့မဟုတ် မီးခိုးရောင်စာရင်း (တရားဝင်အခေါ်အားဖြင့် "Other monitored jurisdictions") တို့ကို ပြုစုထိန်းသိမ်းလာခဲ့သည်။နာမည်ပျက်စာရင်းတွင် ထည့်သွင်းခံရခြင်းကြောင့် ဘဏ္ဍာရေးအဖွဲ့အစည်းများသည် စာရင်းဝင်နိုင်ငံများထံမှ ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်များနှင့် ဝန်ဆောင်မှုများကို ရုပ်သိမ်းသွားကြသည်။ ယင်းကတစ်ဆင့် ထိုစာရင်းဝင်နိုင်ငံများအတွင်းရှိ ပြည်တွင်းစီးပွားရေးနှင့် နိုင်ငံရေးအရ ဩဇာရှိသူများက FATF ၏ စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော စည်းမျဉ်းစည်းကမ်းများကို ပြဋ္ဌာန်းရန် ၎င်းတို့၏ အစိုးရများကို ဖိအားပေးလာစေသည်။<ref name=":3">{{Cite book |last=Morse |first=Julia C. |date=2021 |title=The Bankers' Blacklist: Unofficial Market Enforcement and the Global Fight against Illicit Financing |url=https://www.jstor.org/stable/10.7591/j.ctv1hw3x0d |publisher=Cornell University Press |isbn=978-1-5017-6151-5 |jstor=10.7591/j.ctv1hw3x0d}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် FATF တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံ မဟုတ်သော်လည်း FATF ပုံစံဖွဲ့စည်းထားသည့် ဒေသဆိုင်ရာအဖွဲ့တစ်ခုဖြစ်သည့် [[အာရှပစိဖိတ် ဒေသငွေကြေးခဝါချမှုတိုက်ဖျက်ရေးအဖွဲ့]] (Asia Pacific Group on Money Laundering-APG)တွင် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံအဖြစ် ပါဝင်လျက်ရှိသည်။ <ref>{{Cite web |title=ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် ပတ်သက်၍ စိုးရိမ်မှုလွန်ကဲခြင်းမရှိရန်၊ ငွေကြေးဈေးကွက်အတွင်း မသမာမှုများမပြုလုပ်ကြရန်နှင့် စည်းမျဉ်းများမကိုက်ညီပါက လိုအပ်သလို အရေးယူမည်ဟု ဗဟိုဘဏ်ထုတ်ပြန် |url=https://news-eleven.com/article/239253 |access-date=2026-06-13 |website=Eleven Media Group Co., Ltd |language=my}}</ref> == နာမည်ပျက်စာရင်း == [[ဖိုင်:FATF blacklist and greylist states (2024).svg|thumb|နာမည်ပျက်စာရင်း နိုင်ငံများ]] ၂၀၂၆ ခုနှစ် ဖေဖော်ဝါရီလအထိ ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ နာမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်နှင့် မြန်မာ စသည့် သုံးနိုင်ငံသာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 February 2026 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-february-2026.html |access-date=29 March 2026 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၂၆ ရက် မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပသည့် ၃၇ ကြိမ်မြောက် အစည်းအဝေးတွင် ငွေကြေးခဝါချမှု တိုက်ဖျက်ရေး အဖွဲ့ သည် [[ဘူလ်ဂေးရီးယားနိုင်ငံ|ဘူဂေးရီးယား]]၊ [[ကွန်ဂိုဒီမိုကရက်တစ်သမ္မတနိုင်ငံ|ကွန်ဂို]]၊ [[အိုင်ဗရီကို့စ်နိုင်ငံ|အိုင်ဗရီကို့စ်]] နှင့် [[မိုနာကိုနိုင်ငံ|မိုနာကို]] နိုင်ငံတို့အား မီးခိုးရောင်စာရင်း မှ ပယ်ဖျက်လိုက်သော်လည်း [[ဗီယက်နမ်နိုင်ငံ|ဗီယက်နမ်]] ကိုမူ ဆက်လက် ချန်ထားခဲ့သည်။ထို့အပြင် [[မြန်မာနိုင်ငံ|မြန်မာ]]၊ [[အီရန်နိုင်ငံ|အီရန်]] နှင့် [[မြောက်ကိုရီးယားနိုင်ငံ|မြောက်ကိုရီးယား]]တို့ကို  အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ဆက်လက် ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ အမည်ပျက်စာရင်း သတ်မှတ်ခြင်းသည် FATF က ပေးနိုင်သည့် အပြင်းထန်ဆုံး တံဆိပ်ကပ်မှု ဖြစ်ပြီး ယင်းတွင် အကျိုးဆက်များစွာ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite news |last=Ghosh |first=Kanjyik |date=2026-10-30 |title=FATF removes Bulgaria, Congo, Ivory Coast and Monaco from 'grey list' but leaves Vietnam on |url=https://www.reuters.com/world/asia-pacific/fatf-removes-bulgaria-congo-ivory-coast-monaco-leaves-vietnam-grey-list-2026-10-30/ |access-date=2026-11-01 |work=Reuters |language=en}}</ref> == မြန်မာနိုင်ငံ ပါဝင်မှု == ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်လုပ်ငန်းများအတွက် ငွေကြေးထောက်ပံ့မှုတို့ကို တိုက်ဖျက်ရန် ပျက်ကွက်ခဲ့ခြင်းကြောင့် နိုင်ငံတကာ ငွေကြေးခဝါချမှု စောင့်ကြည့်ရေးအဖွဲ့ (FATF) က မြန်မာနိုင်ငံအား အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) တွင် ထည့်သွင်းရန် ၂၀၂၂ ခုနှစ်က ဆုံးဖြတ်ခဲ့သည်။ ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုတိုက်ဖျက်ရေး ကဏ္ဍများ အားနည်းချက်ရှိခြင်းကြောင့် တိုးတက်မှုများကို စောင့်ကြည့်ရမည့် မီးခိုးရောင်စာရင်း (Grey List) တွင် မြန်မာနိုင်ငံအား ထည့်သွင်းထားရာမှ မြောက်ကိုရီးယား၊ အီရန်တို့နှင့် တန်းတူ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) အဖြစ် ၂၀၂၂ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အဆင့်တိုးမြှင့် သတ်မှတ်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2026-03-10 |title=FATF အမည်ပျက်စာရင်းကနေ လွတ်ရေး စစ်ကော်မရှင်က အဖမ်းအဆီးတွေ ပိုတိုးတင်းကျပ် |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cwy67g70kyro |access-date=2026-06-13 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> မြန်မာနိုင်ငံသည် ငွေကြေးခဝါချမှုနှင့် အကြမ်းဖက်မှုကို ငွေကြေးထောက်ပံ့မှု တိုက်ဖျက်ရေး ယန္တရားများတွင် မဟာဗျူဟာမြောက် ကြီးမားသော လိုအပ်ချက်များ ရှိနေဆဲဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ လုပ်ငန်းစီမံချက် (Action plan) ကို အပြည့်အဝ အကောင်အထည်ဖော် ပြီးစီးခြင်းမရှိမချင်း ငွေကြေးဆိုင်ရာအရေးယူဆောင်ရွက်ရေးအဖွဲ့ (FATF) ၏ အနီးကပ် စောင့်ကြည့်စစ်ဆေးမှုအောက်တွင် ဆက်လက် ရှိနေမည် ဖြစ်သည်ဟု ထုတ်ပြန်ထားသည်။<ref name=":1">{{Cite web |title=High-Risk Jurisdictions subject to a Call for Action - 13 June 2025 |url=https://www.fatf-gafi.org/en/publications/High-risk-and-other-monitored-jurisdictions/Call-for-action-june-2025.html |access-date=2025-08-12 |website=www.fatf-gafi.org}}</ref> FATF သည် ၎င်း၏ (၃၇) ကြိမ်မြောက် မျက်နှာစုံညီ အစည်းအဝေးကို [[ပြင်သစ်နိုင်ငံ]]၊ [[ပါရီမြို့]]၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၂၆ ရက်မှ ၃၀ ရက်အထိ ကျင်းပခဲ့သည်။အဆိုပါ အစည်းအဝေးတွင် (၄) နှစ်ကြာ အမည်ပျက်စာရင်း (Blacklist) သွင်းခံထားရသည့် မြန်မာနိုင်ငံ၏ အခြေအနေများကို ပြန်လည်သုံးသပ် ဆွေးနွေးခဲ့ကြပြီး၊ အမည်ပျက်စာရင်း၌ ဆက်လက် ထည့်သွင်းထားရန် ဆုံးဖြတ်ခဲ့ကြသည်။၂၀၂၇ ခုနှစ်၊ ဖေဖော်ဝါရီလအထိ မြန်မာနိုင်ငံဘက်မှ ထူးခြားသည့် တိုးတက်မှုများ မရှိသေးပါက ပိုမိုပြင်းထန်သော အရေးယူမှုများ ပြုလုပ်သွားရန် စဉ်းစားမည်ဟု FATF က ဆိုသည်။ထိုအကြောင်းအရာနှင့် စပ်လျဥ်းပြီး [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]သည် မြန်မာနိုင်ငံနှင့် ပတ်သက်သည့် ငွေကြေးလွှဲပြောင်းမှုများအပေါ် တင်းကျပ်စွာ စိစစ်စစ်ဆေးနေမှုများကို ဖြေလျှော့ပေးနိုင်ရန်အတွက် မြန်မာနိုင်ငံကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ အရေးယူဆောင်ရွက်မှုအဖွဲ့ (FATF) ၏ အမည်ပျက်စာရင်းမှ ဖယ်ရှားပေးရန် တိုက်တွန်းခဲ့သည်။The Japan Times သတင်းတွင် ဂျပန်အစိုးရ အကြီးတန်းအရာရှိတစ်ဦးက မြန်မာနိုင်ငံနှင့် စီးပွားရေးလုပ်ကိုင်ရ ပိုမိုလွယ်ကူလာစေရန်နှင့် နိုင်ငံ့စီးပွားရေး ပြန်လည်နာလန်ထူလာစေရန် ရည်ရွယ်၍ ယခုကဲ့သို့ တိုက်တွန်း ကြိုးပမ်းခဲ့ခြင်းဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |last=Kihara |first=Tamiyuki |last2=Mcpherson |first2=Poppy |date=2026-10-31 |title=Japan pushes to remove Myanmar from global financial watchdog’s blacklist |url=https://www.japantimes.co.jp/news/2026/10/31/japan/politics/japan-myanmar-blacklist-removal-push/ |access-date=2026-11-01 |website=The Japan Times |language=en}}</ref> အကယ်၍ FATF က မြန်မာနိုင်ငံအပေါ် အရေးယူရန် ဆုံးဖြတ်လိုက်ပါက ယင်းသည် "[[နေပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]] အတွက် အခက်၊ တော်လှန်ရေးအတွက် အချက်" ဖြစ်လာနိုင်ကြောင်း [[အမျိုးသား ဒီမိုကရေစီ အဖွဲ့ချုပ်|NLD]] အစိုးရလက်ထက် [[အောင်ဆန်းစုကြည်|ဒေါ်အောင်ဆန်းစုကြည်]]၏ စီးပွားရေး အကြံပေးဟောင်း [[ရှောင် တာနယ်|ရှောင်တာနယ်]] နှင့် နိုင်ငံရေးသုတေသီ ဒန်စွစ်တို့က [[ဝါရှင်တန်ပို့စ်]] (The Washington Post) သတင်းစာတွင် သုံးသပ်ရေးသားခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |date=2026-10-27 |title=FATF စာရင်းဝင်မှုနဲ့ အနောက်နိုင်ငံတွေရဲ့ ဒဏ်ခတ်ပိတ်ဆို့မှုဘာကွာလဲ |url=https://www.bbc.com/burmese/articles/cqvgj81ddzl8o |access-date=2026-11-01 |website=BBC News မြန်မာ |language=my}}</ref> == အပြည့်အဝ အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ == ၂၀၂၃ ခုနှစ်အထိ လက်ရှိတွင် FATF ၌ အပြည့်အဝအဖွဲ့ဝင် ၃၈ ခုနှင့် ဒေသတွင်းအဖွဲ့အစည်း ၂ ခု ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားပြီး၊ ၎င်းတို့သည် ကမ္ဘာတစ်ဝန်းရှိ အဓိက ဘဏ္ဍာရေးဗဟိုဌာန အများစုကို ကိုယ်စားပြုလျက်ရှိသည်။<ref name="members">{{cite web |title=FATF Members |url=https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20231031041839/https://www.fatf-gafi.org/en/the-fatf/who-we-are.html |archive-date=2023-10-31 |access-date=2023-10-31 |publisher=FATF}}</ref> [[File:Financial Action Task Force Membership Map.png|thumb|FATF အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ မြေပုံ]] === ဒေသတွင်း အဖွဲ့အစည်းများ === # {{flag|European Union|name=ဥရောပ ကော်မရှင်}} # {{flagicon image|Flag of the Cooperation Council for the Arab States of the Gulf.svg}} [[ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေး ကောင်စီ|ပင်လယ်ကွေ့ ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ရေးကောင်စီ (GCC)]] === နိုင်ငံများနှင့် နယ်မြေများ === {{div col|colwidth=20em}} # {{flag|Argentina|name=အာဂျင်တီးနား}} # {{flag|Australia|name=ဩစတြေးလျ}} # {{flag|Austria|name=ဩစတြီးယား}} # {{flag|Belgium|name=ဘယ်လ်ဂျီယံ}} # {{flag|Brazil|name=ဘရာဇီး}} # {{flag|Canada|name=ကနေဒါ}} # {{flag|China|name=တရုတ်}} # {{flag|Denmark|name=ဒိန်းမတ်}} # {{flag|Finland|name=ဖင်လန်}} # {{flag|France|name=ပြင်သစ်}} # {{flag|Germany|name=ဂျာမနီ}} # {{flag|Greece|name=ဂရိ}} # {{flag|Hong Kong|name=ဟောင်ကောင်၊ တရုတ်}} (၁၉၉၁ ခုနှစ်တွင် [[ဗြိတိသျှအင်ပါယာ|ဗြိတိသျှ]] [[ဟောင်ကောင်]] အဖြစ် စတင်ပူးပေါင်းခဲ့) # {{flag|Iceland|name=အိုက်စလန်}} # {{flag|India|name=အိန္ဒိယ}} # {{flag|Indonesia|name=အင်ဒိုနီးရှား}} # {{flag|Ireland|name=အိုင်ယာလန်}} # {{flag|Israel|name=အစ္စရေး}} # {{flag|Italy|name=အီတလီ}} # {{flag|Japan|name=ဂျပန်}} # {{flag|Luxembourg|name=လဇ်ဇမ်ဘိုးဂ်}} # {{flag|Malaysia|name=မလေးရှား}} # {{flag|Mexico|name=မက္ကဆီကို}} # {{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}} ({{flag|Netherlands|name=နယ်သာလန်}}၊ {{flag|Aruba|name=အာရူးဗား}}၊ {{flag|Curaçao|name=[[ကူရာဆောနိုင်ငံ|ကျူရာဆော]]}} နှင့် {{flag|စိန့်မာတင်|name=စိန့်မာတင်}} တို့ ပါဝင်သည်) # {{flag|New Zealand|name=နယူးဇီလန်}} # {{flag|Norway|name=နော်ဝေ}} # {{flag|Portugal|name=ပေါ်တူဂီ}} # {{flag|Russia|name=ရုရှား}} (အဖွဲ့ဝင်အဖြစ်မှ ရပ်ဆိုင်းခံထားရ)<ref>{{Cite news|last1=Hummel|first1=Tassilo|last2=Melander|first2=Ingrid|date=25 February 2023|title=Financial crime watchdog FATF suspends Russia over Ukraine war|work=Reuters|url=https://www.reuters.com/world/europe/financial-crime-watchdog-fatf-suspends-russias-membership-over-ukraine-war-2023-02-24/|access-date=26 February 2023}}</ref> # {{flag|Saudi Arabia|name=ဆော်ဒီအာရေးဗီးယား}} # {{flag|Singapore|name=စင်ကာပူ}} # {{flag|South Africa|name=တောင်အာဖရိက}} # {{flag|Republic of Korea|name=တောင်ကိုရီးယား}} # {{flag|Spain|name=စပိန်}} # {{flag|Sweden|name=ဆူဒန်}} # {{flag|Switzerland|name=ဆွေဇာလန်}} # {{flag|Turkey|name=တာကီယဲ}} # {{flag|United Kingdom|name=ယူနိုက်တက်ကင်းဒမ်း}} # {{flag|United States|name=အမေရိကန်ပြည်ထောင်စု}} {{div col end}} == ကိုးကား == {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:နိုင်ငံတကာ အစိုးရအဖွဲ့အစည်းများ]] 2eq9w9gkd98993rzrh6xvgruvod5j0l 0 288246 1060878 1052651 2026-10-31T14:06:11Z Mkant00 135890 1060878 wikitext text/x-wiki [[File:The sum of the first n odd integers is n². 1+3+5+...+(2n-1)=n²..gif|thumb|ပထမဆုံး မကိန်း <math>n</math> လုံး၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2</math> ဖြစ်သည်။]] [[File:Goldbach-1000000.png|thumb|စုံကိန်း <math>n</math> တစ်ခုကို [[သုဒ္ဓကိန်း]] နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်။ OEIS တွင် A002375 အဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။]] [[သင်္ချာ|သင်္ချာဘာသာရပ်]]တွင် '''စုံမသဘာဝ (Parity)''' သည် ပေးထားသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) တစ်လုံးမှာ စုံကိန်းလား သို့မဟုတ် မကိန်းလား ဆိုသည်ကို ညွှန်ပြသော ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် == စုံမသဘာဝကို အခြေခံအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း နှစ်မျိုး ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။ * '''စုံကိန်း (Even number)''' အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ [[ကိန်းပြည့်]] <math>n \in \mathbb{Z}</math> သည် <math>2</math> ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အနက်မှ တစ်ခုဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>n = 2k</math> ဖြစ်စေသည့် ကိန်းပြည့် <math>k \in \mathbb{Z}</math> တစ်ခုခု တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်း 14 သည် <math>14 = 2(7)</math> ဟု ရေးသားနိုင်သောကြောင့် စုံကိန်း ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>k=7</math> ဖြစ်သည်။ ယူကလစ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့်စ် (Elements) ကျမ်းတွင် ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍ရသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။ * '''မကိန်း (Odd number)''' အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ ကိန်းပြည့်တစ်လုံးသည် စုံကိန်း မဖြစ်ရပါ။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>n = 2k + 1</math> ဖြစ်စေသည့် ကိန်းပြည့် <math>k \in \mathbb{Z}</math> တစ်ခုခု တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်း 17 သည် <math>17 = 2(8) + 1</math> ဟု ရေးသားနိုင်သောကြောင့် မကိန်း ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>k=8</math> ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်က ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍မရနိုင်သော ကိန်း သို့မဟုတ် စုံကိန်းနှင့် ယူနစ် (unit) တစ်ခုကွာဟသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။ == ကိန်းပြည့်များ၏ စုံမသဘာဝ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Integer Parity) == === အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties) === * ကိန်း <math>2</math> သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်းဖြစ်သည့် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) ဖြစ်သည်။ * စုံကိန်းပြည့်များအစု <math>2\mathbb{Z}</math> သည် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ]] [[ထပ်တူရအစုဝင်|ထပ်တူရ]] (multiplicative identity) မပါဝင်သော [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ * စုံကိန်းပြည့်များအစုတွင် <math>2e = 2</math> ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေမည့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် <math>e</math> မရှိပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသော ကိန်း <math>1</math> မှာ မကိန်း ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ * စုံကိန်းပြည့်များအစု <math>2\mathbb{Z}</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]အစု <math>\mathbb{Z}</math> ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုကိုသာ ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ထပ်တူရပါသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (unital ring) မဖြစ်နိုင်ပါ။ * <math>2\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{Z}</math> ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ * ထို့ကြောင့် စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သော <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> သည် [[အစုဝင်]] နှစ်ခုသာပါဝင်သော [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * မကိန်းပြည့်များအစုသည် ကွင်း (ring) တစ်ခုကို လုံးဝ မဖွဲ့စည်းနိုင်ပါ။ * မကိန်းပြည့် နှစ်လုံးကို [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းလိုက်ပါက]] ရလဒ်သည် မကိန်း မဟုတ်ဘဲ စုံကိန်းသာ ဖြစ်သွားသည့်အတွက် မကိန်းများသည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) မရှိပါ။ ဤသို့ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ မရှိခြင်းကပင် မကိန်းများကို ကွင်းတစ်ခု ဖွဲ့စည်းခွင့် မရအောင် ပိတ်ပင်ထားသည်။ * တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာအနေဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း လေ့လာတွေ့ရှိနိုင်သည်။ ** စုံကိန်း နှင့် စုံကိန်း ပေါင်းပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ <math>4 + 6 = 10</math> ** မကိန်း နှင့် မကိန်း ပေါင်းပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ <math>3 + 5 = 8</math> ** စုံကိန်း နှင့် မကိန်း ပေါင်းပါက မကိန်း ရရှိသည်။ <math>4 + 3 = 7</math> ** စုံကိန်း နှင့် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို မြှောက်ပါက စုံကိန်း ရရှိသည်။ <math>4 \times 3 = 12</math> === အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Set-theoretic Properties) === * [[ကိန်းပြည့်]]အားလုံး၏ အရေအတွက်နှင့် စုံကိန်းပြည့်များ၏ အရေအတွက်တို့မှာ တူညီကြသည်။ * စုံကိန်းများအစု <math>2\mathbb{Z}</math> သည် ကိန်းပြည့်များအစုနည်းတူ ရေတွက်နိုင်သော [[အနန္တ]] (countably infinite) ဖြစ်သည်။ == ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ရှုထောင့် (Categorical Perspective) == [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ကို အောက်ပါအတိုင်း ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်သည်။ * ကိန်းပြည့်များကို ပုံမှန်အားဖြင့် ကြိုတင်အစဉ်ကျသောအစုများ (preorders) ထဲမှ [[အစု]] <math>(\mathbb{Z}, \leq)</math> အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။ * ထို့ကြောင့် ယင်းအစုကို ပါးလွှာသော ကတ်တဂိုရီ (thin category) တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ * စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများ၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ပါဝင်မှုများ (inclusions) ကို အောက်ပါ ပုံကြမ်းအတိုင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ : <math>\begin{array}{ccc} (\mathbb{Z}, \leq ) & \overset{\text{even}}{\hookrightarrow} & (\mathbb{Z},\leq) \\ n & \mapsto & 2n \end{array} \phantom{AAAAA} \begin{array}{ccc} (\mathbb{Z}, \leq ) & \overset{\text{odd}}{\hookrightarrow} & (\mathbb{Z},\leq) \\ n & \mapsto & 2n + 1 \end{array}</math> * မည်သည့် <math>n</math> ကိုမဆို ၎င်း၏ အောက်ဆုံးကိန်းပြည့် (floor) <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> သို့ ပို့ပေးသော [[ဖန်တာ]] (functor) တစ်ခု ရှိသည်။ : <math>\begin{array}{ccc} (\mathbb{Z}, \leq ) & \overset{\lfloor -/2 \rfloor}{\longrightarrow} & (\mathbb{Z},\leq) \\ n & \mapsto & \lfloor n/2 \rfloor \end{array} </math> * ဤဖန်တာသည် <math>n</math> ကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) <math>n/2</math> ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံးကိန်းပြည့်ထံသို့ ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ * ထိုဖန်တာများသည် [[တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း|တွဲဖက် သုံးခုတွဲ]] (adjoint triple) ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖွဲ့စည်းကြသည်။ : <math>\text{even} \;\dashv\; \lfloor -/2 \rfloor \;\dashv\; \text{odd}</math> * ၎င်းတို့သည် <math>(\mathbb{Z}, \leq)</math> အပေါ်တွင် အောက်ပါ တွဲဖက် အသွင်သတ်မှတ်ချက် (adjoint modality) ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ : <math>\text{Even} \;\dashv\; \text{Odd}</math> * ဤနေရာတွင် <math>\text{Even} := 2 \lfloor -/2 \rfloor</math> သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ စုံကိန်း အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (floor value) သို့ ပို့ပေးသည်။ * ထို့အတူ <math>\text{Odd} := 2 \lfloor -/2 \rfloor + 1</math> သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ မကိန်း အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (ceiling value) သို့ ပို့ပေးသည်။ * မကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြစ်သော <math>n = 7</math> ကို ဥပမာအဖြစ် လေ့လာကြည့်မည်။ အောက်ဆုံးကိန်းပြည့် ဖန်တာကို အသုံးပြုပါက <math>\lfloor 7/2 \rfloor = \lfloor 3.5 \rfloor = 3</math> ရရှိသည်။ ၎င်းအပေါ်သို့ စုံကိန်း အော်ပရေတာ (operator) <math>2 \lfloor n/2 \rfloor</math> ကို အသုံးပြုပါက <math>2(3) = 6</math> ရရှိသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ကိန်း 7 ကို ၎င်းထက်ငယ်သော အနီးစပ်ဆုံး စုံကိန်းပြည့်ထံသို့ ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ မကိန်း အော်ပရေတာ <math>2 \lfloor n/2 \rfloor + 1</math> ကို အသုံးပြုပါက <math>2(3) + 1 = 7</math> ရရှိသည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ကိန်း 7 ကို ၎င်း၏ မူလတန်ဖိုးထံသို့သာ ပြန်လည်ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ == စုံမသဘာဝ၏ ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ရှုထောင့် - အဖိုနှင့် အမ (The Philosophical View of Parity: Masculine vs. Feminine) == ပိုက်သာဂိုရီယန်များ (Pythagoreans) သည် ကိန်းများကို အလွန်အမင်း ကိုးကွယ်ခြင်း အလေ့အထကို ကျင့်သုံးခဲ့ကြပြီး စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများအတွက် သီးခြားဖြစ်သော လိင်ပိုင်းဆိုင်ရာ (gendered) နှင့် ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (philosophical attributes) ကို သတ်မှတ်ပေးခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer">{{Citation |last1=Boyer |first1=Carl B. |author-link1=Carl Benjamin Boyer |last2=Merzbach |first2=Uta C. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |chapter=4}}</ref> * '''မကိန်းများ - အဖိုနှင့် မြင့်မြတ်ခြင်း (Odd Numbers: Masculine & Divine):''' ပိုက်သာဂိုရီယန်များသည် မကိန်းများကို အဖိုဂုဏ်သတ္တိများ (male attributes) ပိုင်ဆိုင်ထားသည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်း <math>3</math> ကို ပထမဆုံး စစ်မှန်သော အဖိုကိန်း (first true male number) အဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ကြပြီး တစ်ခုတည်းဖြစ်ခြင်း (unity) နှင့် ကွဲပြားမှု (diversity) တို့ဖြင့် ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားသော ညီညွတ်မျှတခြင်း (harmony) ကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကိန်းတစ်ခုအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ သမိုင်းတစ်လျှောက်တွင်လည်း ဤအမြင်သဘောထားနှင့် ဆက်စပ်၍ မကိန်းများ၌ မြင့်မြတ်မှု (divinity) ရှိသည်ဟူသော ခိုင်မာသည့် ယူဆချက်တစ်ခု ရှိခဲ့ကြောင်း မှတ်တမ်းများအရ သိရသည်။ ၎င်းအပြင် ၎င်းတို့သည် [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] လေ့လာတွေ့ရှိချက် (mathematical observation) တစ်ခုကို အခြေခံ၍ မကိန်းများကို အဓိကကျမှု (primacy) ပေးခဲ့ကြသည်။ မကိန်းနှစ်ခု[[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းပါက]] စုံကိန်းကို ရရှိသည်။ သို့သော် စုံကိန်းနှစ်ခုပေါင်းပါက စုံကိန်းသာလျှင် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်သည်။<ref name="Boyer" /> * '''စုံကိန်းများ - အမ (Even Numbers: Feminine):''' စုံကိန်းများကို အမဂုဏ်သတ္တိများ (female attributes) အဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ကိန်း <math>2</math> ကို ပထမဆုံး စုံကိန်း သို့မဟုတ် အမကိန်း (first even or female number) အဖြစ် ယူဆခဲ့ကြပြီး ဒဿနိကဗေဒအရ ယင်းကို အမြင် သဘောထား (opinion) ဟူသော သဘောတရားနှင့် ဆက်စပ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer" /> * '''ထိမ်းမြားလက်ထပ်ခြင်း (Marriage):''' ကိန်း <math>5</math> သည် ပထမဆုံး စစ်မှန်သော အဖိုကိန်းဖြစ်သည့် ကိန်း <math>3</math> နှင့် ပထမဆုံး အမကိန်းဖြစ်သည့် ကိန်း <math>2</math> တို့၏ ပေါင်းစည်းမှု (union) ကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ယင်းကို ထိမ်းမြားလက်ထပ်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer" /> == စုံမသဘာဝ၏ မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု - အစက်များနှင့် နိုမွန်များ (Visual Representation of Parity: Dots and Gnomons) == ပိုက်သာဂိုရီယန်များသည် ကိန်းများကို [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] ဖြန့်ကျက်မှု (geometric extension) ဖြင့် အလွန်အမင်း ဆက်စပ်ခဲ့ကြပြီး ၎င်းတို့ကို ပုံသဏ္ဌာန်ဖော် ကိန်းများ (figurate numbers) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းများကို ဖြန့်ကျက်ထားခြင်းမရှိသော ယူနစ်များ (unextended units) သို့မဟုတ် အမှတ်များ၏ ပုံစံများ (patterns of points) အဖြစ် မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (visual representation) ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ ယင်းအမှတ်များကို အစက်များ (dots) အဖြစ် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။ ဤပုံသဏ္ဌာန်များ တည်ဆောက်ပုံတွင် စုံမသဘာဝသည် အဓိကအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ခဲ့သည်။<ref name="Boyer" /> [[File:gnomon.svg|thumb|right|200px|နိုမွန် တစ်ခု]] * '''မကိန်းများကို နိုမွန်များအဖြစ် ဖော်ပြခြင်း - စတုရန်းများ (Odd Numbers as "Gnomons": Squares):''' အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော နှစ်ထပ်ကိန်းများ (successive perfect squares) ကို မကိန်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်ကြောင်းကို ပိုက်သာဂိုရီယန်များ သတိပြုမိခဲ့ကြသည်။ မြင်သာသော ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုအရ ၎င်းတို့သည် မကိန်းတစ်ခုစီကို နိုမွန် (gnomon) နှင့် ဆင်တူသော အစက်များ၏ ပုံစံတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ နိုမွန်ဆိုသည်မှာ ဘေဘီလုံလူမျိုးတို့၏ အရိပ်ဖြင့်အချိန်တိုင်းသော နာရီ (Babylonian shadow clock) တစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ တည်ရှိပြီးဖြစ်သော စတုရန်းပုံစံ အစက်များ၏ အနားနှစ်ဖက်တစ်လျှောက်တွင် မကိန်းအရေအတွက်ရှိသော အစက်များဖြင့်ဖွဲ့စည်းထားသည့် နိုမွန်တစ်ခုကို ထပ်မံချထားလိုက်ပါက နောက်ထပ် ပိုကြီးသော စတုရန်းတစ်ခုကို တိကျစွာ ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဤကဲ့သို့ မြင်သာသော ဖြစ်စဉ် (visual phenomenon) ကြောင့်ပင် နိုမွန်ဟူသော စကားလုံးကို မကိန်းများအတွက် အမည်တစ်ခုအဖြစ် အသုံးပြုလာခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer" /> * ဥပမာအားဖြင့် <math>1</math>၊ <math>3</math>၊ <math>5</math>၊ <math>7</math> အစရှိသည့် ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အစက် 1 စက်သည် <math>1^2</math> ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ နောက်ထပ် မကိန်းတစ်ခုဖြစ်သော အစက် 3 စက်ပါဝင်သည့် နိုမွန်ကို ပေါင်းထည့်လိုက်ပါက <math>1 + 3 = 4</math> စက် ရရှိပြီး ၎င်းသည် <math>2^2</math> ဖြစ်သည်။ အလားတူစွာ အစက် 5 စက်ကို ထပ်မံပေါင်းထည့်ပါက <math>1 + 3 + 5 = 9</math> စက် ရရှိပြီး ၎င်းသည် <math>3^2</math> ဖြစ်သည်။ [[File:Illustration of Pronic Number n^2 and nplus1^2.svg|200px|thumb|<math>n</math> ကြိမ်မြောက် ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းသည် <math>n</math> ကြိမ်မြောက် နှစ်ထပ်ကိန်းထက် <math>n</math> ပိုများပြီး၊ <math>n+1</math> ကြိမ်မြောက် နှစ်ထပ်ကိန်းထက် <math>n+1</math> လျော့နည်းသည်။]] * '''စုံကိန်းများကို ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းများအဖြစ် ဖော်ပြခြင်း (Even Numbers as "Oblong Numbers"):''' ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် စုံကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် မတူညီသော မြင်သာသည့် ပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ရရှိလာသော အစက်ပုံစံများကို ဂရိလူမျိုးတို့က ထောင့်မှန်စတုဂံကိန်းများ (oblong numbers) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့ကြပြီး ယင်းကိန်းတစ်ခုစီသည် တြိဂံကိန်း (triangular number) တစ်ခု၏ ဆတိုးနှစ်ဆ တိကျစွာဖြစ်ကြောင်းကို လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။<ref name="Boyer" /> * ဥပမာအားဖြင့် 2၊ 4၊ 6 အစရှိသည့် ကိန်းစဉ်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အစက် 2 စက်မှ စတင်မည်။ နောက်ထပ် စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သော အစက် 4 စက်ကို ပေါင်းထည့်လိုက်ပါက <math>2 + 4 = 6</math> စက် ရရှိသည်။ ဤအစက် 6 စက်သည် <math>2 \times 3</math> အရွယ်အစားရှိသော ထောင့်မှန်စတုဂံပုံ ဇယားကွက်တစ်ခုကို တိကျစွာ ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ==ကိုးကား== *F. William Lawvere, Adjoint Cylinders, message to Categories Mailing List (November 2000) *Euclid, Elements Book VII (~400-300 BC) translated by Thomas L. Heath (1956) Perseus Digital Library [[ကဏ္ဍ:အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာ]] 57m2zwhe41lc48qv6gs9h28mjee1m2d 0 289493 1060986 1045620 2026-11-01T09:11:25Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060986 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ရှိဇုအိုခခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|{{lang|ja|静岡県}}}}}} | official_name = | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|{{lang|ja|静岡県}}}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Shizuoka-ken}} | image_flag = Flag of Shizuoka Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Shizuoka Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_skyline = | image_map = Map of Japan with highlight on 22 Shizuoka prefecture.svg | coordinates = {{coord|34|55|N|138|19|E|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = [[Japan]] | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Chūbu region|Chūbu]] ([[Tōkai region|Tōkai]]) | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Hamamatsu]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 5 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Yasutomo Suzuki]] | area_total_km2 = 7777.42 | area_water_percent = 2.6 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|13th]] | elevation_max_m = 3778 | elevation_max_point = [[Mount Fuji]] | population_footnotes = | population_total = 3555818 | population_as_of = 1 September 2023 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|10th]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=18 May 2023 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 18,271 billion<br />[[US$]] 134.9 billion (2022) | iso_code = JP-22 | website = {{URL|www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = [[Japanese paradise flycatcher]] (''Terpsiphone atrocaudata'') | fish = | flower = [[Azalea]] (''Rhododendron'') | tree = [[Sweet osmanthus]] (''Osmanthus fragrans'' var. ''aurantiacus'') }} | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Shizuoka dialect]] | anthem = {{ill|Shizuoka kenka|ja|静岡県歌|quote=y}} and {{ill|Fuji yo yume yo tomo yo|ja|富士よ夢よ友よ|quote=y}} }} '''ရှိဇုအိုခခရိုင်''' (静岡県, ရှိဇုအိုခခန်း) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဟွန်းရှူးကျွန်း]]၊ [[ချူးဘုဒေသ]]တွင်ရှိသည့် ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Shizuoka-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 876|page=876}}; "Chūbu" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 126|page=126}}</ref> ၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်၏ လူဦးရေသည် ၃,၅၅၅,၈၁၈ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၇,၇၇၇.၄၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၃၀၀၂.၈၈ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် အရှေ့ဘက်တွင် [[ခနဂဝခရိုင်]]၊ အရှေ့မြောက်ဘက်မြောက်တွင် [[ယမနရှိခရိုင်]]၊ မြောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[အအိချိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်းထိစပ်နေသည်။ ရှိဇုအိုခမြို့သည် ခရိုင်မြို့တော် ဖြစ်သည်။ ဟမမဆွတ်မြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဖုဂျိမြို့၊ နုမဇုမြို့နှင့် အိဝတမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Shizuoka" at {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 876|page=876}}.</ref> ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ပစိဖိတ်ပင်လယ်ကမ်းရိုးတန်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဟမနကန်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးကန် ဖြစ်သည်။ ဖူဂျီတောင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံတွင် အမြင့်ဆုံး မီးတောင်ဖြစ်ကာ နိုင်ငံ၏ အမှတ်သင်္ကေတလည်း ဖြစ်သည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ယမနရှိခရိုင်နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် ဟွန်ဒါ၊ ဆုဇုခိ၊ ယမဟစသည့် လုပ်ငန်းများ ရှိသည်။ [[File:Mt.Fuji-Osezaki.jpg|thumb|နုမဇုမြို့မှ မြင်ရသည့် ဖူဂျီတောင်]] ==သမိုင်းကြောင်း== {{See also|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ သမိုင်းဝင်နေရာများ}} ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ယခင် တိုးတိုးမိပြည်နယ်၊ ဆုရုဂပြည်နယ်နှင့် အိဇုပြည်နယ်တို့ကို ပေါင်းစပ်ကာ ဖြစ်ပေါ်လာသည့် ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Provinces and prefectures" at {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 780|page=780}}.</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာရှိ ဆုရုဂပင်လယ်အော်တစ်လျှောက်တွင် ရှည်လျားစွာ တည်ရှိနေသည်။ ခရိုင်၏ အနောက်ဘက်တွင် ဂျပန်တောင်တန်းများ ရှိသည်။ အရှေ့ဘက်တွင် ကမ်းရိုးတန်းသည် ကျဉ်းမြောင်းလာပြီး မြောက်ဘက်တွင် ဖူဂျီတောင် ရှိသည်။{{Citation needed|date=August 2017}} ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ အချက်အလက်အရ ခရိုင်၏ မြေဧရိယာ ၁၁ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့တွင် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုနှင့် မိနမိတောင်တန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ တန်းရူး - အိုခုမိခဝအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ခရိုင်အမျိုးသားဥယျာဉ်လေးခု တို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=10 August 2014}}</ref> ===ရာသီဥတု=== ရှိဇုအိုခခရိုင်၏ အပူချိန်သည် တစ်နှစ်ပတ်လုံးတွင် ၁၁ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၃၄ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) မှ ၃၀.၅ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၈၇ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) အထိ ပြောင်းလဲလေ့ရှိသည်။ ရှားပါးစွာ အနုတ် ၂.၂ (၂၈ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) သို့မဟုတ် ၃၃.၈ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၉၃ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) သို့ ရောက်ရှိခဲ့ဖူးသည်လည်း ရှိသည်။ နွေရာသီသည် နွေးထွေးပြီး များသောအားဖြင့် တိမ်ထူထပ်သည်။ ဆောင်းရာသီသည် အေးမြ၍ လေတိုက်ကာ အများအားဖြင့် သာယာသည်။<ref>{{Cite web |title=Shizuoka Climate, Weather By Month, Average Temperature (Japan) - Weather Spark |url=https://weatherspark.com/y/143722/Average-Weather-in-Shizuoka-Japan-Year-Round |access-date=2026-02-24 |website=weatherspark.com |language=en}}</ref> ===ဘေးအန္တရာယ်=== ၂၀၁၁ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် ပြင်းအား ၆.၂ ရှိသည့် ငလျင်လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်သည် ရှိဇုအိုခမြို့မှ NNE အရပ်မျက်နှာ ၄၂ ကီလိုမီတာခန့် (၂၆ မိုင်) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ သမိုင်းမှတ်တမ်းများအရ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် နှစ် ၁၀၀ မှ ၁၅၀ အကြားတွင် ငလျင်ကြီးတစ်ကြိမ် လှုပ်ခတ်လေ့ရှိသည်။ :{{See also|တိုးခိုင်းငလျင်များ}} ===လူဦးရေဆိုင်ရာ=== [[File:Shizuoka prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ရှိဇုအိုခခရိုင်လူဦးရေပိရမစ်၊ ၂၀၂၀ ခုနှစ်]] ၂၀၂၀ ခုနှစ် လူဦးရေစာရင်းအရ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် လူဦးရေ ၃,၆၃၅,၂၂၀ ဦး နေထိုင်ကြသည်။<ref>[https://toukei.pref.shizuoka.jp/jinkoushugyouhan/data/02-010/documents/r2sokuhou.pdf Shizuoka prefecture official statistics（令和2年国勢調査 静岡県の人口（速報値））]</ref> ===မြို့ပြဒေသများ=== ၂၀၁၀ ခုနှစ်ကတည်းက ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် မြို့ပေါင်း ၃၅ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် မြို့ကြီး ၂၃ ခုနှင့် မြို့ငယ် ၁၂ ခု တို့ပါဝင်သည်။ <gallery mode="packed"> File:Nihondaira from shizuoka plain.JPG|[[ရှိဇုအိုခမြို့]] File:Hamamatsu City - panoramio (1).jpg|[[ဟမမဆွတ်မြို့]] File:Numazu and Mount Fuji.jpg|[[နုမဇုမြို့]] နှင့် [[ဖူဂျီတောင်]] File:Fujinomiya 20120909.jpg|[[ဖုဂျိနိုမိယမြို့]] File:Atami 20170211-1.jpg|[[အတမိမြို့]] </gallery> {{Location map+ | Japan Shizuoka Prefecture | AlternativeMap = Map of Shizuoka Prefecture Ja.svg | width = 750 | float = none | caption = Municipalities in Shizuoka Prefecture {{legend0|#D8E|Government Ordinance Designated City}} {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shizuoka (city)|Shizuoka]]&nbsp;(capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">静岡市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shizuoka, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.08 | lon_deg = 138.27 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hamamatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">浜松市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hamamatsu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.05 | lon_deg = 137.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Atami]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">熱海市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Atami, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.03 | lon_deg = 139.07 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fuji, Shizuoka|Fuji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">富士市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Fuji, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.2 | lon_deg = 138.69 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fujieda, Shizuoka|Fujieda]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">藤枝市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Fujieda, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.89 | lon_deg = 138.2 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">富士宮市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Fujinomiya, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.29 | lon_deg = 138.55 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fukuroi, Shizuoka|Fukuroi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">袋井市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Fukuroi Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.66 | lon_deg = 137.94 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Gotemba, Shizuoka|Gotemba]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">御殿場市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Gotenba, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.29 | lon_deg = 138.82 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Itō, Shizuoka|Itō]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊東市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Ito, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.91 | lon_deg = 139.08 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Iwata, Shizuoka|Iwata]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">磐田市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Iwata Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.71 | lon_deg = 137.86 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Izu, Shizuoka|Izu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊豆市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Izu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.89 | lon_deg = 138.88 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Izunokuni]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊豆の国市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Izunokuni, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.01 | lon_deg = 138.99 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">掛川市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Kakegawa, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.78 | lon_deg = 138.06 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kikugawa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">菊川市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Kikugawa, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.7 | lon_deg = 138.11 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kosai, Shizuoka|Kosai]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">湖西市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kosai, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.68 | lon_deg = 137.52 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Makinohara]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">牧之原市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Makinohara, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.68 | lon_deg = 138.19 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Mishima, Shizuoka|Mishima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">三島市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Mishima, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.13 | lon_deg = 138.95 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Numazu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">沼津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Numazu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.95 | lon_deg = 138.82 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Omaezaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">御前崎市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Omaezaki, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.61 | lon_deg = 138.13 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimada, Shizuoka|Shimada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">島田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shimada, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.83 | lon_deg = 138.12 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimoda, Shizuoka|Shimoda]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">下田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Shimoda, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.66 | lon_deg = 138.93 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Susono, Shizuoka|Susono]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">裾野市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Susono, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.21 | lon_deg = 138.86 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yaizu, Shizuoka|Yaizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">焼津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yaizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.81 | lon_deg = 138.32 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Higashiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">東伊豆町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Higashiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.79 | lon_deg = 139.03 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">河津町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Kawazu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.74 | lon_deg = 138.98 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Minamiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">南伊豆町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Minamiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.62 | lon_deg = 138.84 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Matsuzaki, Shizuoka|Matsuzaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">松崎町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Matsuzaki, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.7 | lon_deg = 138.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nishiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">西伊豆町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nishiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.78 | lon_deg = 138.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kannami]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">函南町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Kannami, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.08 | lon_deg = 139 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kawanehon]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">川根本町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kawanehon, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.14 | lon_deg = 138.04 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yoshida, Shizuoka|Yoshida]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">吉田町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yoshida, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.73 | lon_deg = 138.27 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Mori, Shizuoka|Mori]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">森町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Mori, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.87 | lon_deg = 137.95 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nagaizumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">長泉町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nagaizumi Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.14 | lon_deg = 138.88 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Oyama, Shizuoka|Oyama]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">小山町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Oyama Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.35 | lon_deg = 138.87 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimizu, Shizuoka|Shimizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">清水町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shimizutown, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.07 | lon_deg = 138.9 }} }} ===မြို့ကြီးများ=== {{See also|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက်မြို့များ}} ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် မြို့ကြီး ၂၃ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |Name ! rowspan="2" |Area (km²) ! rowspan="2" |Population ! rowspan="2" |Map |- ![[Romanization of Japanese|Rōmaji]] ![[Kanji]] |- |[[File:Flag of Atami, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Atami]] |熱海市 |61.78 |34,233 |[[File:Atami in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fuji, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fuji, Shizuoka|Fuji]] |富士市 |244.95 |245,015 |[[File:Fuji in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fujieda, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fujieda, Shizuoka|Fujieda]] |藤枝市 |194.06 |145,032 |[[File:Fujieda in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fujinomiya, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]] |富士宮市 |389.08 |132,507 |[[File:Fujinomiya in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fukuroi Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fukuroi, Shizuoka|Fukuroi]] |袋井市 |108.33 |88,395 |[[File:Fukuroi in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Gotenba, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Gotemba, Shizuoka|Gotemba]] |御殿場市 |194.90 |88,370 |[[File:Gotenba in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Hamamatsu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Hamamatsu]] |浜松市 |1,558.06 |780,128 |[[File:Hamamatsu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Ito, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Itō, Shizuoka|Itō]] |伊東市 |124.10 |63,343 |[[File:Ito in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Iwata Shizuoka.svg|25x25px]] [[Iwata, Shizuoka|Iwata]] |磐田市 |163.45 |166,672 |[[File:Iwata in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Izu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Izu, Shizuoka|Izu]] |伊豆市 |363.97 |30,678 |[[File:Izu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Izunokuni, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Izunokuni]] |伊豆の国市 |94.62 |48,579 |[[File:Izunokuni in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kakegawa, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]] |掛川市 |265.69 |117,925 |[[File:Kakegawa in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kikugawa, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kikugawa]] |菊川市 |94.19 |48,484 |[[File:Kikugawa in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kosai, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kosai, Shizuoka|Kosai]] |湖西市 |86.56 |57,885 |[[File:Kosai in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Makinohara, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Makinohara]] |牧之原市 |111.69 |42,326 |[[File:Makinohara in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Mishima, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Mishima, Shizuoka|Mishima]] |三島市 |62.02 |107,851 |[[File:Mishima in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Numazu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Numazu]] |沼津市 |186.96 |189,486 |[[File:Numazu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Omaezaki, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Omaezaki]] |御前崎市 |65.56 |32,422 |[[File:Omaezaki in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimada, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shimada, Shizuoka|Shimada]] |島田市 |315.70 |93,724 |[[File:Shimada in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimoda, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shimoda, Shizuoka|Shimoda]] |下田市 |104.71 |19,670 |[[File:Shimoda in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shizuoka, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shizuoka (city)|Shizuoka]] (capital) |静岡市 |1,411.90 |677,867 |[[File:Location of Shizuoka city Shizuoka prefecture Japan.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Susono, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Susono]] |裾野市 |138.12 |51,216 |[[File:Susono in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Yaizu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Yaizu]] |焼津市 |70.31 |133,916 |[[File:基礎自治体位置図 22212.svg|50x50px]] |} ===မြို့ငယ်များ=== ဒေသတစ်ခုချင်းစီတွင် အောက်ပါမြို့ငယ်များ တည်ရှိကြသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |Name ! rowspan="2" |Area (km²) ! rowspan="2" |Population ! rowspan="2" |District ! rowspan="2" |Map |- ![[Romanization of Japanese|Rōmaji]] ![[Kanji]] |- |[[File:Flag of Higashiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiizu]] |東伊豆町 |77.83 |12,155 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Higashiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kannami, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kannami]] |函南町 |65.16 |37,782 |[[Tagata District, Shizuoka|Tagata District]] |[[File:基礎自治体位置図 22325.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kawanehon, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kawanehon]] |川根本町 |496.88 |6,731 |[[Haibara District, Shizuoka|Haibara District]] |[[File:Kawanehon in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kawazu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]] |河津町 |100.79 |7,203 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Kawazu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Matsuzaki, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Matsuzaki, Shizuoka|Matsuzaki]] |松崎町 |85.23 |6,563 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Matsuzaki in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Minamiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Minamiizu]] |南伊豆町 |110.58 |8,231 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Minamiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Mori, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Mori, Shizuoka|Mori]] |森町 |133.91 |18,306 |[[Shūchi District, Shizuoka|Shūchi District]] |[[File:基礎自治体位置図 22461.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Nagaizumi Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Nagaizumi]] |長泉町 |26.63 |43,568 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:Nagaizumi in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Nishiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Nishiizu]] |西伊豆町 |105.52 |7,798 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Nishiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Oyama Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Oyama, Shizuoka|Oyama]] |小山町 |135.74 |18,458 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:基礎自治体位置図 22344.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimizutown, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Shimizu, Shizuoka|Shimizu]] |清水町 |8.81 |32,453 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:Shimizu town in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Yoshida, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshida, Shizuoka|Yoshida]] |吉田町 |20.73 |29,593 |[[Haibara District, Shizuoka|Haibara District]] |[[File:Yoshida in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |} ===ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ=== {{Main|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==စီးပွားရေး== ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ရှေးယခင်က ဂျပန်နိုင်ငံကို အုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် "ရှောဂွန်း" တို့ ထီးနန်းစိုက်ရာနေရာနှင့် လက်ဖက်စိုက်ပျိုးဖြစ်ထွန်းရာ နေရာလည်း ဖြစ်သည်။ တိုကျိုနှင့် နဂိုယမြို့အကြား ဆုရုဂပင်လယ်အော်တစ်လျှောက် သမိုင်းဝင် တိုးခိုင်းဒိုးလမ်းမပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ရှိဇုအိုခမြို့တည်ရှိရာ ပစိဖိတ်ကမ်းရိုးတန်းနေရာသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ လက်ဖက်ထွက်ရှိမှုများပြားပြီး တူနာငါးများလည်း ထွက်ရှိသည်။ ===မော်တော်ဆိုင်ကယ်=== ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် များစွာသောအဓိကကျသည့် စက်မှုလုပ်ငန်းကြီးများ တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် ဟွန်ဒါ၊ ယမဟနှင့် ဆုဇုခိတို့ ပါဝင်သည်။ ၎င်းကုမ္ပဏီတို့သည် လက်ရှိအချိန်အထိ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် လုပ်ငန်းများကို လည်ပတ်လျက်ရှိသည်။ ထို့အတွက်ကြောင့် ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်လုံး မော်တော်ဆိုင်ကယ်ထုတ်လုပ်မှု၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။<ref name="Shizuoka_Pref_official_website">{{Cite web |url=http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/glance/business.html |title=Shizuoka Prefecture official website, Industry in Shizuoka. |access-date=8 January 2023 |archive-date=10 February 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210210005416/http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/glance/business.html |url-status=dead }}</ref> ===ဂီတတူရိယာများ=== ယမဟနှင့် ခဝအိတို့သည် ကမ္ဘာသိစန္ဒရားကုန်တံဆိပ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ယမဟသည် ကမ္ဘာ့စန္ဒရားဈေးကွက်၏ အကြီးဆုံးဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ခဝအိသည် ဒုတိယမြောက်အကြီးဆုံး ဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ထိုကုမ္ပဏီနှစ်ခုစလုံးသည် ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းကာလများတွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင်ပင် လုပ်ငန်းများကို စတင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Shizuoka_Pref_official_website" /><ref name="Kyoto_Univ_of_Art">{{Cite web |url=http://g.kyoto-art.ac.jp/reports/1131/ |title=(In Japanese) Kyoto University of Arts, Musical instruments industry in Hamamatsu, Shizuoka prefecture. |access-date=30 July 2026 |archive-url=https://web.archive.org/web/20251104104406/https://g.kyoto-art.ac.jp/reports/1131/ |archive-date=4 November 2025 |url-status=dead}}</ref> ယမဟနှင့် ရိုလန့် (Roland) တို့သည် လျှပ်စစ်ဂီတတူရိယာများ၏ အဓိကတံဆိပ်များ ဖြစ်ကြသည်။ လျှပ်စစ်စန္ဒရားဈေးကွက်တွင် ယမဟသည် အကြီးဆုံးဖြစ်သည်။ ရိုလန့်သည် ဒုတိယမြောက်နှင့် ခဝအိသည် တတိယမြောက်အကြီးဆုံးဈေးကွက်ဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ရိုလန့်နှင့် ယမဟတို့သည် ပရော်ဖက်ရှင်နယ်သုံး အရည်အသွေးမြင့် လျှပ်စစ်စန္ဒရားများနှင့် ဒရမ်များကို ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ ရှိဇုအိခခရိုင်တွင်ပင် လေမှုတ်တူရိယာများနှင့် ဂီတာများကိုလည်း ထုတ်လုပ်သည်။ ခရိုင်အတွင်းတွင် တူရိယာပစ္စည်းများကို ထုတ်လုပ်သည့် ကုမ္ပဏီ ၂၀၀ ခန့် ရှိသည်။ တူရိယာပစ္စည်းများအများစုကို အထူးသဖြင့် ဟမမဆွတ်မြို့တွင် ထုတ်လုပ်ကြသည်။<ref name="Kyoto_Univ_of_Art" /> <gallery mode="packed" widths="140"> File:YAMAHA (headquarters 3).jpg|ယမဟရုံးချုပ် File:Yamaha Motor HQ new bldg 250922.jpg|ယမဟမော်တာရုံးချုပ် File:SUZUKI-MotorHQ.jpg|ဆုဇုခိရုံးချုပ် File:2025 Yamaha YZF-R9.jpg|ယမဟမော်တော်ဆိုင်ကယ် File:Suzuki GW250 2011 Tokyo Motor Show.jpg|ဆုဇုခိမော်တော်ဆိုင်ကယ် File:PRESTIGE 680 (28998149032).jpg|Yamaha [[Yacht]] File:Yamaha Outboard Motors 001.JPG|Yamaha [[outboard motor]]s File:SUZUKI MARINE, Engine DF90AT, Outboard motor,.jpg|Suzuki outboard motors File:Yamaha grand piano, Piano Recital 2012.jpg|Yamaha grand piano File:Matt Bellamy Lollapalooza 2007.jpg|Kawai grand piano File:Yamaha P-140S top view.jpg|Yamaha electronic piano File:Roland D-50 Front (tweaked image).jpg|[[Roland D-50]] synthesizer File:TR-808 - MIM, Phoenix (2019-08-30 14.59.26 by Bryan Pocius) (cropped).jpg|[[Roland TR-808]]. An iconic drum machine by [[Roland Corporation|Roland]]. File:Yamaha guitars, NAMM 2011.jpg|Yamaha [[acoustic guitar]]s File:Yamaha SG1802, Guitar-Day 2010.jpg|Yamaha [[electric guitar]]s File:Musical instruments on display at the MIM (14165208240).jpg|Yamaha wind instruments </gallery> ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== === ရထားလမ်း=== [[File:Series-N700a-Mt.Fuji.jpg|thumb|Tōkaidō Shinkansen]] [[File:Series313-3100-V13.jpg|thumb|Minobu Line]] [[File:Series3000-Sunzu-Line.jpg|thumb|Izuhakone Railway]] [[File:Gakunan-Type7000-7001.jpg|thumb|Gakunan Railway]] [[File:JNR C11 190 20120805.jpg|thumb|[[Ōigawa Railway]]]] * [[Enshū Railway Line|Enshū Railway]] * [[Gakunan Railway Line|Gakunan Railway]] * [[Izuhakone Railway]] ** [[Daiyūzan Line]] ** [[Sunzu Line]] * [[Izu Kyūkō Line|Izukyū]] * [[JR Central]] ** [[Tōkaidō Shinkansen]] ** [[Iida Line]] ** [[Gotenba Line]] ** [[Minobu Line]] ** [[Tōkaidō Line]] (Atami–[[Toyohashi]]) * [[JR East]] ** [[Tōkaidō Line]] ([[Atami]]–[[Odawara]]) ** [[Itō Line]] * [[Ōigawa Railway]] * [[Shizuoka Railway]] * [[Tenryū Hamanako Railroad]] === ကားလမ်းများ === ==== အဝေးပြေးလမ်းများ==== * [[Chūbu-Ōdan Expressway]] * [[Izu-Jūkan Expressway]] * [[San-en Nanshin Expressway]] * [[Shin-Tōmei Expressway]] * [[Tōmei Expressway]] ==== တိုးဂိတ်လမ်းများ ==== * Fujinomiya Road * Nishi-Fuji Road * Shizuoka East-West Road * Shizuoka South-North Road * West Fuji Road (not a toll road anymore as of 2012) ==== နိုင်ငံအဆင့် အဝေးပြေးလမ်းမများ ==== {{Div col}} * [[Japan National Route 1|National Route 1]] * [[Japan National Route 42|National Route 42]] * [[Japan National Route 52|National Route 52]] * [[Japan National Route 135|National Route 135]] * [[Japan National Route 136|National Route 136]] * [[Japan National Route 138|National Route 138]] * [[Japan National Route 139|National Route 139]] * [[Japan National Route 149|National Route 149]] * [[Japan National Route 150|National Route 150]] * [[Japan National Route 152|National Route 152]] * [[Japan National Route 246|National Route 246]] * [[Japan National Route 257|National Route 257]] * [[Japan National Route 301|National Route 301]] * [[Japan National Route 362|National Route 362]] * [[Japan National Route 414|National Route 414]] * [[Japan National Route 469|National Route 469]] * [[Japan National Route 473|National Route 473]] * [[Japan National Route 474|National Route 474]] {{Div col end}} === လေဆိပ်များ=== [[File:Fujisan-Shizuoka airport,Makinohara-city,Japan.jpg|thumb|ရှိဇုအိုခလေဆိပ်]] * [[ရှိဇုအိုခလေဆိပ်]] === ဆိပ်ကမ်းများ=== * ရှိမိဇုဆိပ်ကမ်း * အတမိဆိပ်ကမ်းနှင့် ရှိမိုဒဆိပ်ကမ်း – အဓိကအားဖြင့် အိဇုကျွန်းသို့သွားမည့် ဖယ်ရီများ ပြေးဆွဲသည်။ * နုမဇုဆိပ်ကမ်း ==ပညာရေး== === တက္ကသိုလ်များ === '''နိုင်ငံပိုင်တက္ကသိုလ်များ''' * [[Graduate University for Advanced Studies (Japan)|Graduate University for Advanced Studies]] (Mishima Campus, [[National Institute of Genetics]]) * [[Hamamatsu University School of Medicine]] * [[Shizuoka University]] '''အများပိုင်တက္ကသိုလ်များ''' * [[Shizuoka University of Art and Culture]] * [[University of Shizuoka]] '''ပုဂ္ဂလိကတက္ကသိုလ်များ''' * [[Fuji Tokoha University]] * [[Hamamatsu University]] * [[Hamamatsu Gakuin University]] * [[Juntendo University]] (Mishima Campus) * [[Nihon University]] (Mishima Campus) * [[Seirei Christopher University]] * [[Shizuoka Eiwa Gakuin University]] * [[Shizuoka Institute of Science and Technology]] * [[Shizuoka Sangyo University]] * [[Shizuoka University of Welfare]] * [[Tokai University]] (Shimizu and Numazu Campuses) * [[Tokoha Gakuen University]] * [[Tokyo Women's Medical University]] (Daito Campus) === အထက်တန်းကျောင်းများ === {{expand section|date=October 2015}} * [[Hamana High School]] * [[Hiryū High School]] * Numazu Commercial High School * [[Shizuoka Gakuen Junior and Senior High School]] * Shizuoka Prefectural High School * [[Shizuoka Prefectural Susono High School]] ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== {{See also|ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရီးသွားလုပ်ငန်း}} === ပြတိုက်များ === * {{ill|Museum of Natural and Environmental History, Shizuoka|ja|ふじのくに地球環境史ミュージアム|species|SPMN}} * [[Shizuoka Prefectural Museum of Art]] === အပန်းဖြေဥယျာဉ်များ === * Air Park Japan Air Self-Defense Force Hamamatsu Public Information Building)<ref>{{Cite web |url=https://planetyze.com/en/japan/shizuoka/air-park-japan-air-self-defense-force-hamamatsu-public-information-building/information |title=About Air Park Japan Air Self-Defense Force Hamamatsu Public Information Building – Shizuoka Travel Guide {{!}} Planetyze|website=Planetyze|language=en|access-date=17 November 2017}}</ref> * Shimizu Sushi Museum<ref>{{Cite web |url=https://planetyze.com/en/japan/shizuoka/shimizu-sushi-museum/information |title=About Shimizu Sushi Museum – Shizuoka Travel Guide {{!}} Planetyze|website=Planetyze|language=en|access-date=17 November 2017}}</ref> === ပွဲတော်များနှင့် အခမ်းအနားများ === [[File:Hamamatsu festival 3.JPG|thumb|A kite festival in Hamamatsu, May 2013]] * Daidogei World Cup in central [[Shizuoka City]], held in November * Enshu Daimyo Festival in [[Iwata, Shizuoka|Iwata]], held in April * [[Mishima, Shizuoka|Mishima]] Festival, held in August * [[Numazu]] Festival, held in July * Shimizu Port Festival, held on 5 to 7 August * Shimoda Black Ship Festival, held in May * Shizuoka Festival, held in April <gallery mode="packed"> File:Fujinomiya Hongu Sengen Taisha Honden.jpg|[[Fujisan Hongū Sengen Taisha]] [[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]] File:181124 Shuzenji Onsen Izu Shizuoka pref Japan01s3.jpg|Shuzenji Onsen [[Izu, Shizuoka|Izu]] File:Sunpu-castle tatsumi-yagura.JPG|[[Sunpu Castle]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Aoi-ku, Shizuoka|Aoi-ku]] File:Hamamatsu.JPG|[[Hamamatsu Castle]] [[Hamamatsu]] [[Naka-ku, Hamamatsu|<nowiki/>]] [[Chūō-ku, Hamamatsu|Chūō-ku]] File:Kakegawa castle.jpg|[[Kakegawa Castle]] [[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]] File:静岡県立美術館-1.JPG|[[Shizuoka Prefectural Museum of Art]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Suruga-ku, Shizuoka|Suruga-ku]] File:LakeSanaru2.JPG|Lake Sanaru [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:BentenjimaKaihinkoenHamamatsu1.jpg|[[Lake Hamana]] [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:Beach in Atami City with sea bathers.jpg|Atami Sun Beach [[Atami, Shizuoka|Atami]] File:Prunus lannesiana cv. Kawazu-zakura 05.jpg|Kawazu Cherry blossom [[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] [[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]] File:Mt Fuji at Mihonomatsubara.jpg|[[Miho no Matsubara]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Shimizu-ku, Shizuoka|Shimizu-ku]] File:富士サファリパーク ライオン2 Fuji-safari-park-Lion2.jpg|Fuji Safari Park [[Susono, Shizuoka|Susono]] File:Hanahaku2014-4.JPG|Hamanako Garden Park [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:Snowtown Yeti.JPG|Snowtown Yeti & [[Mount Fuji]] [[Susono, Shizuoka|Susono]] File:Haiden of Kunozan Toshogu.jpg|[[Kunōzan Tōshō-gū]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Suruga-ku, Shizuoka|Suruga-ku]] File:Jogasaki Coast 20111016 b.jpg|Jogasaki Coast [[Itō, Shizuoka|Itō]] </gallery> ==ထင်ရှားသူများ== [[:en:Motoo Kimura|ခိမုရမိုတိုအို]] (木村 資生, 1924–1994) ==ပြင်ပလင့်== {{Commons category|Shizuoka prefecture}} * [http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/ Official Shizuoka Prefecture website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171117023413/http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/ |date=17 November 2017 }} * [http://www.shizuoka-guide.com/english/index.html Official Shizuoka Guide] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171202173652/http://shizuoka-guide.com/english/index.html |date=2 December 2017 }} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] k3f84viifb761pkykhvgkk3331rvabo 1061001 1060986 2026-11-01T10:42:40Z 663highland 6543 /* ခရီးသွားလုပ်ငန်း */ 1061001 wikitext text/x-wiki {{Infobox settlement | name = ရှိဇုအိုခခရိုင် | native_name = {{nobold|{{lang|ja|{{lang|ja|静岡県}}}}}} | official_name = | settlement_type = [[Prefectures of Japan|Prefecture]] | translit_lang1 = Japanese | translit_lang1_type = [[Japanese language|Japanese]] | translit_lang1_info = {{lang|ja|{{lang|ja|静岡県}}}} | translit_lang1_type1 = [[Romanization of Japanese|Rōmaji]] | translit_lang1_info1 = {{lang|ja-Latn|Shizuoka-ken}} | image_flag = Flag of Shizuoka Prefecture.svg | flag_size = 100px | image_blank_emblem = Emblem of Shizuoka Prefecture.svg | blank_emblem_size = 80px | blank_emblem_type = Symbol | image_skyline = | image_map = Map of Japan with highlight on 22 Shizuoka prefecture.svg | coordinates = {{coord|34|55|N|138|19|E|display=inline,title}} | subdivision_type = Country | subdivision_name = [[Japan]] | subdivision_type1 = [[List of regions of Japan|Region]] | subdivision_name1 = [[Chūbu region|Chūbu]] ([[Tōkai region|Tōkai]]) | subdivision_type2 = [[List of islands of Japan|Island]] | subdivision_name2 = [[Honshu]] | seat_type = [[List of capitals in Japan|Capital]] | seat = [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] | seat1_type = Largest city | seat1 = [[Hamamatsu]] | parts_type = Subdivisions | parts_style = para | p1 = [[Districts of Japan|Districts]]: 5 | p2 = [[Municipalities of Japan|Municipalities]]: 35 | leader_title = [[List of prefectural governors in Japan|Governor]] | leader_name = [[Yasutomo Suzuki]] | area_total_km2 = 7777.42 | area_water_percent = 2.6 | area_rank = [[List of Japanese prefectures by area|13th]] | elevation_max_m = 3778 | elevation_max_point = [[Mount Fuji]] | population_footnotes = | population_total = 3555818 | population_as_of = 1 September 2023 | population_rank = [[List of Japanese prefectures by population|10th]] | population_density_km2 = auto | demographics_type2 = GDP | demographics2_footnotes = <ref>{{Cite web |title=2020年度国民経済計算（2015年基準・2008SNA） : 経済社会総合研究所 - 内閣府 |url=https://www.esri.cao.go.jp/jp/sna/data/data_list/kakuhou/files/2020/2020_kaku_top.html |access-date=18 May 2023 |website=内閣府ホームページ |language=ja}}</ref> | demographics2_title1 = Total | demographics2_info1 = [[JP¥]] 18,271 billion<br />[[US$]] 134.9 billion (2022) | iso_code = JP-22 | website = {{URL|www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english}} | module = {{Infobox place symbols| embedded=yes | country = Japan | bird = [[Japanese paradise flycatcher]] (''Terpsiphone atrocaudata'') | fish = | flower = [[Azalea]] (''Rhododendron'') | tree = [[Sweet osmanthus]] (''Osmanthus fragrans'' var. ''aurantiacus'') }} | population_blank2_title = Dialect | population_blank2 = [[Shizuoka dialect]] | anthem = {{ill|Shizuoka kenka|ja|静岡県歌|quote=y}} and {{ill|Fuji yo yume yo tomo yo|ja|富士よ夢よ友よ|quote=y}} }} '''ရှိဇုအိုခခရိုင်''' (静岡県, ရှိဇုအိုခခန်း) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ဟွန်းရှူးကျွန်း]]၊ [[ချူးဘုဒေသ]]တွင်ရှိသည့် ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, Louis-Frédéric. (2005). "Shizuoka-ken" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|''Japan Encyclopedia'', p. 876|page=876}}; "Chūbu" in {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 126|page=126}}</ref> ၂၀၂၃ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်၏ လူဦးရေသည် ၃,၅၅၅,၈၁၈ ဦး ရှိသည်။ ဧရိယာ ၇,၇၇၇.၄၂ စတုရန်းကီလိုမီတာ (၃၀၀၂.၈၈ စတုရန်းမိုင်) ရှိသည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် အရှေ့ဘက်တွင် [[ခနဂဝခရိုင်]]၊ အရှေ့မြောက်ဘက်မြောက်တွင် [[ယမနရှိခရိုင်]]၊ မြောက်ဘက်တွင် [[နဂနိုခရိုင်]]၊ အနောက်ဘက်တွင် [[အအိချိခရိုင်]]တို့နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်းထိစပ်နေသည်။ ရှိဇုအိုခမြို့သည် ခရိုင်မြို့တော် ဖြစ်သည်။ ဟမမဆွတ်မြို့သည် ခရိုင်တွင် အကြီးဆုံးမြို့ ဖြစ်သည်။ အခြားအဓိကမြို့များမှာ ဖုဂျိမြို့၊ နုမဇုမြို့နှင့် အိဝတမြို့တို့ ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Shizuoka" at {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 876|page=876}}.</ref> ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ပစိဖိတ်ပင်လယ်ကမ်းရိုးတန်းတွင် တည်ရှိသည်။ ဟမနကန်သည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ အကြီးဆုံးကန် ဖြစ်သည်။ ဖူဂျီတောင်သည် ဂျပန်နိုင်ငံတွင် အမြင့်ဆုံး မီးတောင်ဖြစ်ကာ နိုင်ငံ၏ အမှတ်သင်္ကေတလည်း ဖြစ်သည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ယမနရှိခရိုင်နှင့် နယ်နိမိတ်ချင်း ထိစပ်နေသည်။ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် ဟွန်ဒါ၊ ဆုဇုခိ၊ ယမဟစသည့် လုပ်ငန်းများ ရှိသည်။ [[File:Mt.Fuji-Osezaki.jpg|thumb|နုမဇုမြို့မှ မြင်ရသည့် ဖူဂျီတောင်]] ==သမိုင်းကြောင်း== {{See also|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ သမိုင်းဝင်နေရာများ}} ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ယခင် တိုးတိုးမိပြည်နယ်၊ ဆုရုဂပြည်နယ်နှင့် အိဇုပြည်နယ်တို့ကို ပေါင်းစပ်ကာ ဖြစ်ပေါ်လာသည့် ခရိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Nussbaum, "Provinces and prefectures" at {{Google books|p2QnPijAEmEC|p. 780|page=780}}.</ref> ==ပထဝီသွင်ပြင်== ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ပစိဖိတ်သမုဒ္ဒရာရှိ ဆုရုဂပင်လယ်အော်တစ်လျှောက်တွင် ရှည်လျားစွာ တည်ရှိနေသည်။ ခရိုင်၏ အနောက်ဘက်တွင် ဂျပန်တောင်တန်းများ ရှိသည်။ အရှေ့ဘက်တွင် ကမ်းရိုးတန်းသည် ကျဉ်းမြောင်းလာပြီး မြောက်ဘက်တွင် ဖူဂျီတောင် ရှိသည်။{{Citation needed|date=August 2017}} ၂၀၁၂ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ အချက်အလက်အရ ခရိုင်၏ မြေဧရိယာ ၁၁ ရာခိုင်နှုန်းကို အမျိုးသားဥယျာဉ်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းတို့တွင် ဖုဂျိ - ဟခိုနဲ - အိဇုနှင့် မိနမိတောင်တန်းအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ တန်းရူး - အိုခုမိခဝအမျိုးသားဥယျာဉ်၊ ခရိုင်အမျိုးသားဥယျာဉ်လေးခု တို့ ပါဝင်သည်။<ref>{{cite web |url=http://www.env.go.jp/en/nature/nps/park/doc/files/np_6.pdf |title=General overview of area figures for Natural Parks by prefecture |publisher=[[Ministry of the Environment (Japan)|Ministry of the Environment]] |date=1 April 2012 |access-date=10 August 2014}}</ref> ===ရာသီဥတု=== ရှိဇုအိုခခရိုင်၏ အပူချိန်သည် တစ်နှစ်ပတ်လုံးတွင် ၁၁ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၃၄ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) မှ ၃၀.၅ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၈၇ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) အထိ ပြောင်းလဲလေ့ရှိသည်။ ရှားပါးစွာ အနုတ် ၂.၂ (၂၈ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) သို့မဟုတ် ၃၃.၈ ဒီဂရီစင်တီဂရိတ် (၉၃ ဒီဂရီဖာရင်ဟိုက်) သို့ ရောက်ရှိခဲ့ဖူးသည်လည်း ရှိသည်။ နွေရာသီသည် နွေးထွေးပြီး များသောအားဖြင့် တိမ်ထူထပ်သည်။ ဆောင်းရာသီသည် အေးမြ၍ လေတိုက်ကာ အများအားဖြင့် သာယာသည်။<ref>{{Cite web |title=Shizuoka Climate, Weather By Month, Average Temperature (Japan) - Weather Spark |url=https://weatherspark.com/y/143722/Average-Weather-in-Shizuoka-Japan-Year-Round |access-date=2026-02-24 |website=weatherspark.com |language=en}}</ref> ===ဘေးအန္တရာယ်=== ၂၀၁၁ ခုနှစ်၊ မတ်လ ၁၅ ရက်နေ့တွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် ပြင်းအား ၆.၂ ရှိသည့် ငလျင်လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ ငလျင်သည် ရှိဇုအိုခမြို့မှ NNE အရပ်မျက်နှာ ၄၂ ကီလိုမီတာခန့် (၂၆ မိုင်) တွင် လှုပ်ခတ်ခဲ့သည်။ သမိုင်းမှတ်တမ်းများအရ ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် နှစ် ၁၀၀ မှ ၁၅၀ အကြားတွင် ငလျင်ကြီးတစ်ကြိမ် လှုပ်ခတ်လေ့ရှိသည်။ :{{See also|တိုးခိုင်းငလျင်များ}} ===လူဦးရေဆိုင်ရာ=== [[File:Shizuoka prefecture population pyramid in 2020.svg|thumb|ရှိဇုအိုခခရိုင်လူဦးရေပိရမစ်၊ ၂၀၂၀ ခုနှစ်]] ၂၀၂၀ ခုနှစ် လူဦးရေစာရင်းအရ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် လူဦးရေ ၃,၆၃၅,၂၂၀ ဦး နေထိုင်ကြသည်။<ref>[https://toukei.pref.shizuoka.jp/jinkoushugyouhan/data/02-010/documents/r2sokuhou.pdf Shizuoka prefecture official statistics（令和2年国勢調査 静岡県の人口（速報値））]</ref> ===မြို့ပြဒေသများ=== ၂၀၁၀ ခုနှစ်ကတည်းက ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် မြို့ပေါင်း ၃၅ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် မြို့ကြီး ၂၃ ခုနှင့် မြို့ငယ် ၁၂ ခု တို့ပါဝင်သည်။ <gallery mode="packed"> File:Nihondaira from shizuoka plain.JPG|[[ရှိဇုအိုခမြို့]] File:Hamamatsu City - panoramio (1).jpg|[[ဟမမဆွတ်မြို့]] File:Numazu and Mount Fuji.jpg|[[နုမဇုမြို့]] နှင့် [[ဖူဂျီတောင်]] File:Fujinomiya 20120909.jpg|[[ဖုဂျိနိုမိယမြို့]] File:Atami 20170211-1.jpg|[[အတမိမြို့]] </gallery> {{Location map+ | Japan Shizuoka Prefecture | AlternativeMap = Map of Shizuoka Prefecture Ja.svg | width = 750 | float = none | caption = Municipalities in Shizuoka Prefecture {{legend0|#D8E|Government Ordinance Designated City}} {{legend0|#EAB|City}} {{legend0|#ED9|Town}} | places = {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shizuoka (city)|Shizuoka]]&nbsp;(capital)</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">静岡市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shizuoka, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.08 | lon_deg = 138.27 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Hamamatsu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">浜松市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Hamamatsu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.05 | lon_deg = 137.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Atami]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">熱海市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Atami, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.03 | lon_deg = 139.07 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fuji, Shizuoka|Fuji]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">富士市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Fuji, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.2 | lon_deg = 138.69 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fujieda, Shizuoka|Fujieda]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">藤枝市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Fujieda, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.89 | lon_deg = 138.2 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">富士宮市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Fujinomiya, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.29 | lon_deg = 138.55 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Fukuroi, Shizuoka|Fukuroi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">袋井市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Fukuroi Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.66 | lon_deg = 137.94 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Gotemba, Shizuoka|Gotemba]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">御殿場市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Gotenba, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.29 | lon_deg = 138.82 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Itō, Shizuoka|Itō]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊東市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Ito, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.91 | lon_deg = 139.08 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Iwata, Shizuoka|Iwata]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">磐田市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Iwata Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.71 | lon_deg = 137.86 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Izu, Shizuoka|Izu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊豆市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Izu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.89 | lon_deg = 138.88 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Izunokuni]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">伊豆の国市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Izunokuni, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.01 | lon_deg = 138.99 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">掛川市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Kakegawa, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.78 | lon_deg = 138.06 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kikugawa]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">菊川市</sub> | label_size = 120 | position = left | mark = Flag of Kikugawa, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.7 | lon_deg = 138.11 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kosai, Shizuoka|Kosai]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">湖西市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kosai, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.68 | lon_deg = 137.52 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Makinohara]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">牧之原市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Makinohara, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.68 | lon_deg = 138.19 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Mishima, Shizuoka|Mishima]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">三島市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Mishima, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.13 | lon_deg = 138.95 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Numazu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">沼津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Numazu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.95 | lon_deg = 138.82 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Omaezaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">御前崎市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Omaezaki, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.61 | lon_deg = 138.13 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimada, Shizuoka|Shimada]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">島田市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shimada, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.83 | lon_deg = 138.12 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimoda, Shizuoka|Shimoda]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">下田市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Shimoda, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.66 | lon_deg = 138.93 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Susono, Shizuoka|Susono]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">裾野市</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Susono, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.21 | lon_deg = 138.86 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yaizu, Shizuoka|Yaizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">焼津市</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yaizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.81 | lon_deg = 138.32 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Higashiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">東伊豆町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Higashiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.79 | lon_deg = 139.03 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">河津町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Kawazu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.74 | lon_deg = 138.98 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Minamiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">南伊豆町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Minamiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.62 | lon_deg = 138.84 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Matsuzaki, Shizuoka|Matsuzaki]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">松崎町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Matsuzaki, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.7 | lon_deg = 138.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nishiizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">西伊豆町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nishiizu, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.78 | lon_deg = 138.83 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kannami]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">函南町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Kannami, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.08 | lon_deg = 139 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Kawanehon]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">川根本町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Kawanehon, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.14 | lon_deg = 138.04 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Yoshida, Shizuoka|Yoshida]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">吉田町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Yoshida, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.73 | lon_deg = 138.27 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Mori, Shizuoka|Mori]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">森町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Mori, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 34.87 | lon_deg = 137.95 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Nagaizumi]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">長泉町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Nagaizumi Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.14 | lon_deg = 138.88 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Oyama, Shizuoka|Oyama]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">小山町</sub> | label_size = 120 | position = right | mark = Flag of Oyama Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.35 | lon_deg = 138.87 }} {{Location map~ | Japan Shizuoka Prefecture | label = <sup style="display:block;position:relative;top:-5px;">[[Shimizu, Shizuoka|Shimizu]]</sup><sub style="display:block;position:relative;top:-5px;">清水町</sub> | label_size = 120 | mark = Flag of Shimizutown, Shizuoka.svg | marksize = 25 | lat_deg = 35.07 | lon_deg = 138.9 }} }} ===မြို့ကြီးများ=== {{See also|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ လူဦးရေအလိုက်မြို့များ}} ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် မြို့ကြီး ၂၃ ခု ရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ - {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |Name ! rowspan="2" |Area (km²) ! rowspan="2" |Population ! rowspan="2" |Map |- ![[Romanization of Japanese|Rōmaji]] ![[Kanji]] |- |[[File:Flag of Atami, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Atami]] |熱海市 |61.78 |34,233 |[[File:Atami in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fuji, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fuji, Shizuoka|Fuji]] |富士市 |244.95 |245,015 |[[File:Fuji in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fujieda, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fujieda, Shizuoka|Fujieda]] |藤枝市 |194.06 |145,032 |[[File:Fujieda in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fujinomiya, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]] |富士宮市 |389.08 |132,507 |[[File:Fujinomiya in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Fukuroi Shizuoka.svg|25x25px]] [[Fukuroi, Shizuoka|Fukuroi]] |袋井市 |108.33 |88,395 |[[File:Fukuroi in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Gotenba, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Gotemba, Shizuoka|Gotemba]] |御殿場市 |194.90 |88,370 |[[File:Gotenba in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Hamamatsu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Hamamatsu]] |浜松市 |1,558.06 |780,128 |[[File:Hamamatsu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Ito, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Itō, Shizuoka|Itō]] |伊東市 |124.10 |63,343 |[[File:Ito in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Iwata Shizuoka.svg|25x25px]] [[Iwata, Shizuoka|Iwata]] |磐田市 |163.45 |166,672 |[[File:Iwata in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Izu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Izu, Shizuoka|Izu]] |伊豆市 |363.97 |30,678 |[[File:Izu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Izunokuni, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Izunokuni]] |伊豆の国市 |94.62 |48,579 |[[File:Izunokuni in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kakegawa, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]] |掛川市 |265.69 |117,925 |[[File:Kakegawa in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kikugawa, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kikugawa]] |菊川市 |94.19 |48,484 |[[File:Kikugawa in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kosai, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Kosai, Shizuoka|Kosai]] |湖西市 |86.56 |57,885 |[[File:Kosai in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Makinohara, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Makinohara]] |牧之原市 |111.69 |42,326 |[[File:Makinohara in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Mishima, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Mishima, Shizuoka|Mishima]] |三島市 |62.02 |107,851 |[[File:Mishima in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Numazu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Numazu]] |沼津市 |186.96 |189,486 |[[File:Numazu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Omaezaki, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Omaezaki]] |御前崎市 |65.56 |32,422 |[[File:Omaezaki in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimada, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shimada, Shizuoka|Shimada]] |島田市 |315.70 |93,724 |[[File:Shimada in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimoda, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shimoda, Shizuoka|Shimoda]] |下田市 |104.71 |19,670 |[[File:Shimoda in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shizuoka, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Shizuoka (city)|Shizuoka]] (capital) |静岡市 |1,411.90 |677,867 |[[File:Location of Shizuoka city Shizuoka prefecture Japan.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Susono, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Susono]] |裾野市 |138.12 |51,216 |[[File:Susono in Shizuoka Prefecture Ja.svg|50x50px]] |- |[[File:Flag of Yaizu, Shizuoka.svg|25x25px]] [[Yaizu]] |焼津市 |70.31 |133,916 |[[File:基礎自治体位置図 22212.svg|50x50px]] |} ===မြို့ငယ်များ=== ဒေသတစ်ခုချင်းစီတွင် အောက်ပါမြို့ငယ်များ တည်ရှိကြသည်။ {| class="wikitable sortable" ! colspan="2" |Name ! rowspan="2" |Area (km²) ! rowspan="2" |Population ! rowspan="2" |District ! rowspan="2" |Map |- ![[Romanization of Japanese|Rōmaji]] ![[Kanji]] |- |[[File:Flag of Higashiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Higashiizu]] |東伊豆町 |77.83 |12,155 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Higashiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kannami, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kannami]] |函南町 |65.16 |37,782 |[[Tagata District, Shizuoka|Tagata District]] |[[File:基礎自治体位置図 22325.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kawanehon, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kawanehon]] |川根本町 |496.88 |6,731 |[[Haibara District, Shizuoka|Haibara District]] |[[File:Kawanehon in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Kawazu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]] |河津町 |100.79 |7,203 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Kawazu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Matsuzaki, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Matsuzaki, Shizuoka|Matsuzaki]] |松崎町 |85.23 |6,563 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Matsuzaki in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Minamiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Minamiizu]] |南伊豆町 |110.58 |8,231 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Minamiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Mori, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Mori, Shizuoka|Mori]] |森町 |133.91 |18,306 |[[Shūchi District, Shizuoka|Shūchi District]] |[[File:基礎自治体位置図 22461.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Nagaizumi Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Nagaizumi]] |長泉町 |26.63 |43,568 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:Nagaizumi in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Nishiizu, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Nishiizu]] |西伊豆町 |105.52 |7,798 |[[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] |[[File:Nishiizu in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Oyama Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Oyama, Shizuoka|Oyama]] |小山町 |135.74 |18,458 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:基礎自治体位置図 22344.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Shimizutown, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Shimizu, Shizuoka|Shimizu]] |清水町 |8.81 |32,453 |[[Suntō District, Shizuoka|Suntō District]] |[[File:Shimizu town in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |- |[[File:Flag of Yoshida, Shizuoka.svg|frameless|25x25px]] [[Yoshida, Shizuoka|Yoshida]] |吉田町 |20.73 |29,593 |[[Haibara District, Shizuoka|Haibara District]] |[[File:Yoshida in Shizuoka Prefecture Ja.svg|frameless|50x50px]] |} ===ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ=== {{Main|ရှိဇုအိုခခရိုင်ရှိ ဒေသပေါင်းစပ်မှုများ}} ==စီးပွားရေး== ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ရှေးယခင်က ဂျပန်နိုင်ငံကို အုပ်ချုပ်ခဲ့သည့် "ရှောဂွန်း" တို့ ထီးနန်းစိုက်ရာနေရာနှင့် လက်ဖက်စိုက်ပျိုးဖြစ်ထွန်းရာ နေရာလည်း ဖြစ်သည်။ တိုကျိုနှင့် နဂိုယမြို့အကြား ဆုရုဂပင်လယ်အော်တစ်လျှောက် သမိုင်းဝင် တိုးခိုင်းဒိုးလမ်းမပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ရှိဇုအိုခမြို့တည်ရှိရာ ပစိဖိတ်ကမ်းရိုးတန်းနေရာသည် ဂျပန်နိုင်ငံ၏ လက်ဖက်ထွက်ရှိမှုများပြားပြီး တူနာငါးများလည်း ထွက်ရှိသည်။ ===မော်တော်ဆိုင်ကယ်=== ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် များစွာသောအဓိကကျသည့် စက်မှုလုပ်ငန်းကြီးများ တည်ရှိသည်။ ၎င်းတို့ထဲတွင် ဟွန်ဒါ၊ ယမဟနှင့် ဆုဇုခိတို့ ပါဝင်သည်။ ၎င်းကုမ္ပဏီတို့သည် လက်ရှိအချိန်အထိ ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင် လုပ်ငန်းများကို လည်ပတ်လျက်ရှိသည်။ ထို့အတွက်ကြောင့် ရှိဇုအိုခခရိုင်သည် ဂျပန်တစ်နိုင်လုံး မော်တော်ဆိုင်ကယ်ထုတ်လုပ်မှု၏ ၂၈ ရာခိုင်နှုန်းကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည်။<ref name="Shizuoka_Pref_official_website">{{Cite web |url=http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/glance/business.html |title=Shizuoka Prefecture official website, Industry in Shizuoka. |access-date=8 January 2023 |archive-date=10 February 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210210005416/http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/glance/business.html |url-status=dead }}</ref> ===ဂီတတူရိယာများ=== ယမဟနှင့် ခဝအိတို့သည် ကမ္ဘာသိစန္ဒရားကုန်တံဆိပ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ယမဟသည် ကမ္ဘာ့စန္ဒရားဈေးကွက်၏ အကြီးဆုံးဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ခဝအိသည် ဒုတိယမြောက်အကြီးဆုံး ဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ထိုကုမ္ပဏီနှစ်ခုစလုံးသည် ၂၀ ရာစုအစောပိုင်းကာလများတွင် ရှိဇုအိုခခရိုင်တွင်ပင် လုပ်ငန်းများကို စတင်ခဲ့ကြသည်။<ref name="Shizuoka_Pref_official_website" /><ref name="Kyoto_Univ_of_Art">{{Cite web |url=http://g.kyoto-art.ac.jp/reports/1131/ |title=(In Japanese) Kyoto University of Arts, Musical instruments industry in Hamamatsu, Shizuoka prefecture. |access-date=30 July 2026 |archive-url=https://web.archive.org/web/20251104104406/https://g.kyoto-art.ac.jp/reports/1131/ |archive-date=4 November 2025 |url-status=dead}}</ref> ယမဟနှင့် ရိုလန့် (Roland) တို့သည် လျှပ်စစ်ဂီတတူရိယာများ၏ အဓိကတံဆိပ်များ ဖြစ်ကြသည်။ လျှပ်စစ်စန္ဒရားဈေးကွက်တွင် ယမဟသည် အကြီးဆုံးဖြစ်သည်။ ရိုလန့်သည် ဒုတိယမြောက်နှင့် ခဝအိသည် တတိယမြောက်အကြီးဆုံးဈေးကွက်ဝေစုကို ရရှိထားသည်။ ရိုလန့်နှင့် ယမဟတို့သည် ပရော်ဖက်ရှင်နယ်သုံး အရည်အသွေးမြင့် လျှပ်စစ်စန္ဒရားများနှင့် ဒရမ်များကို ထုတ်လုပ်လျက်ရှိသည်။ ရှိဇုအိခခရိုင်တွင်ပင် လေမှုတ်တူရိယာများနှင့် ဂီတာများကိုလည်း ထုတ်လုပ်သည်။ ခရိုင်အတွင်းတွင် တူရိယာပစ္စည်းများကို ထုတ်လုပ်သည့် ကုမ္ပဏီ ၂၀၀ ခန့် ရှိသည်။ တူရိယာပစ္စည်းများအများစုကို အထူးသဖြင့် ဟမမဆွတ်မြို့တွင် ထုတ်လုပ်ကြသည်။<ref name="Kyoto_Univ_of_Art" /> <gallery mode="packed" widths="140"> File:YAMAHA (headquarters 3).jpg|ယမဟရုံးချုပ် File:Yamaha Motor HQ new bldg 250922.jpg|ယမဟမော်တာရုံးချုပ် File:SUZUKI-MotorHQ.jpg|ဆုဇုခိရုံးချုပ် File:2025 Yamaha YZF-R9.jpg|ယမဟမော်တော်ဆိုင်ကယ် File:Suzuki GW250 2011 Tokyo Motor Show.jpg|ဆုဇုခိမော်တော်ဆိုင်ကယ် File:PRESTIGE 680 (28998149032).jpg|Yamaha [[Yacht]] File:Yamaha Outboard Motors 001.JPG|Yamaha [[outboard motor]]s File:SUZUKI MARINE, Engine DF90AT, Outboard motor,.jpg|Suzuki outboard motors File:Yamaha grand piano, Piano Recital 2012.jpg|Yamaha grand piano File:Matt Bellamy Lollapalooza 2007.jpg|Kawai grand piano File:Yamaha P-140S top view.jpg|Yamaha electronic piano File:Roland D-50 Front (tweaked image).jpg|[[Roland D-50]] synthesizer File:TR-808 - MIM, Phoenix (2019-08-30 14.59.26 by Bryan Pocius) (cropped).jpg|[[Roland TR-808]]. An iconic drum machine by [[Roland Corporation|Roland]]. File:Yamaha guitars, NAMM 2011.jpg|Yamaha [[acoustic guitar]]s File:Yamaha SG1802, Guitar-Day 2010.jpg|Yamaha [[electric guitar]]s File:Musical instruments on display at the MIM (14165208240).jpg|Yamaha wind instruments </gallery> ==ပို့ဆောင်ဆက်သွယ်ရေး== === ရထားလမ်း=== [[File:Series-N700a-Mt.Fuji.jpg|thumb|Tōkaidō Shinkansen]] [[File:Series313-3100-V13.jpg|thumb|Minobu Line]] [[File:Series3000-Sunzu-Line.jpg|thumb|Izuhakone Railway]] [[File:Gakunan-Type7000-7001.jpg|thumb|Gakunan Railway]] [[File:JNR C11 190 20120805.jpg|thumb|[[Ōigawa Railway]]]] * [[Enshū Railway Line|Enshū Railway]] * [[Gakunan Railway Line|Gakunan Railway]] * [[Izuhakone Railway]] ** [[Daiyūzan Line]] ** [[Sunzu Line]] * [[Izu Kyūkō Line|Izukyū]] * [[JR Central]] ** [[Tōkaidō Shinkansen]] ** [[Iida Line]] ** [[Gotenba Line]] ** [[Minobu Line]] ** [[Tōkaidō Line]] (Atami–[[Toyohashi]]) * [[JR East]] ** [[Tōkaidō Line]] ([[Atami]]–[[Odawara]]) ** [[Itō Line]] * [[Ōigawa Railway]] * [[Shizuoka Railway]] * [[Tenryū Hamanako Railroad]] === ကားလမ်းများ === ==== အဝေးပြေးလမ်းများ==== * [[Chūbu-Ōdan Expressway]] * [[Izu-Jūkan Expressway]] * [[San-en Nanshin Expressway]] * [[Shin-Tōmei Expressway]] * [[Tōmei Expressway]] ==== တိုးဂိတ်လမ်းများ ==== * Fujinomiya Road * Nishi-Fuji Road * Shizuoka East-West Road * Shizuoka South-North Road * West Fuji Road (not a toll road anymore as of 2012) ==== နိုင်ငံအဆင့် အဝေးပြေးလမ်းမများ ==== {{Div col}} * [[Japan National Route 1|National Route 1]] * [[Japan National Route 42|National Route 42]] * [[Japan National Route 52|National Route 52]] * [[Japan National Route 135|National Route 135]] * [[Japan National Route 136|National Route 136]] * [[Japan National Route 138|National Route 138]] * [[Japan National Route 139|National Route 139]] * [[Japan National Route 149|National Route 149]] * [[Japan National Route 150|National Route 150]] * [[Japan National Route 152|National Route 152]] * [[Japan National Route 246|National Route 246]] * [[Japan National Route 257|National Route 257]] * [[Japan National Route 301|National Route 301]] * [[Japan National Route 362|National Route 362]] * [[Japan National Route 414|National Route 414]] * [[Japan National Route 469|National Route 469]] * [[Japan National Route 473|National Route 473]] * [[Japan National Route 474|National Route 474]] {{Div col end}} === လေဆိပ်များ=== [[File:Fujisan-Shizuoka airport,Makinohara-city,Japan.jpg|thumb|ရှိဇုအိုခလေဆိပ်]] * [[ရှိဇုအိုခလေဆိပ်]] === ဆိပ်ကမ်းများ=== * ရှိမိဇုဆိပ်ကမ်း * အတမိဆိပ်ကမ်းနှင့် ရှိမိုဒဆိပ်ကမ်း – အဓိကအားဖြင့် အိဇုကျွန်းသို့သွားမည့် ဖယ်ရီများ ပြေးဆွဲသည်။ * နုမဇုဆိပ်ကမ်း ==ပညာရေး== === တက္ကသိုလ်များ === '''နိုင်ငံပိုင်တက္ကသိုလ်များ''' * [[Graduate University for Advanced Studies (Japan)|Graduate University for Advanced Studies]] (Mishima Campus, [[National Institute of Genetics]]) * [[Hamamatsu University School of Medicine]] * [[Shizuoka University]] '''အများပိုင်တက္ကသိုလ်များ''' * [[Shizuoka University of Art and Culture]] * [[University of Shizuoka]] '''ပုဂ္ဂလိကတက္ကသိုလ်များ''' * [[Fuji Tokoha University]] * [[Hamamatsu University]] * [[Hamamatsu Gakuin University]] * [[Juntendo University]] (Mishima Campus) * [[Nihon University]] (Mishima Campus) * [[Seirei Christopher University]] * [[Shizuoka Eiwa Gakuin University]] * [[Shizuoka Institute of Science and Technology]] * [[Shizuoka Sangyo University]] * [[Shizuoka University of Welfare]] * [[Tokai University]] (Shimizu and Numazu Campuses) * [[Tokoha Gakuen University]] * [[Tokyo Women's Medical University]] (Daito Campus) === အထက်တန်းကျောင်းများ === {{expand section|date=October 2015}} * [[Hamana High School]] * [[Hiryū High School]] * Numazu Commercial High School * [[Shizuoka Gakuen Junior and Senior High School]] * Shizuoka Prefectural High School * [[Shizuoka Prefectural Susono High School]] ==ခရီးသွားလုပ်ငန်း== {{See also|ဂျပန်နိုင်ငံ၏ ခရီးသွားလုပ်ငန်း}} === ပြတိုက်များ === * {{ill|Museum of Natural and Environmental History, Shizuoka|ja|ふじのくに地球環境史ミュージアム|species|SPMN}} * [[Shizuoka Prefectural Museum of Art]] === အပန်းဖြေဥယျာဉ်များ === * Air Park Japan Air Self-Defense Force Hamamatsu Public Information Building)<ref>{{Cite web |url=https://planetyze.com/en/japan/shizuoka/air-park-japan-air-self-defense-force-hamamatsu-public-information-building/information |title=About Air Park Japan Air Self-Defense Force Hamamatsu Public Information Building – Shizuoka Travel Guide {{!}} Planetyze|website=Planetyze|language=en|access-date=17 November 2017}}</ref> * Shimizu Sushi Museum<ref>{{Cite web |url=https://planetyze.com/en/japan/shizuoka/shimizu-sushi-museum/information |title=About Shimizu Sushi Museum – Shizuoka Travel Guide {{!}} Planetyze|website=Planetyze|language=en|access-date=17 November 2017}}</ref> === ပွဲတော်များနှင့် အခမ်းအနားများ === [[File:Hamamatsu festival 3.JPG|thumb|A kite festival in Hamamatsu, May 2013]] * Daidogei World Cup in central [[Shizuoka City]], held in November * Enshu Daimyo Festival in [[Iwata, Shizuoka|Iwata]], held in April * [[Mishima, Shizuoka|Mishima]] Festival, held in August * [[Numazu]] Festival, held in July * Shimizu Port Festival, held on 5 to 7 August * Shimoda Black Ship Festival, held in May * Shizuoka Festival, held in April <gallery mode="packed"> File:Fujinomiya Hongu Sengen Taisha Honden.jpg|[[Fujisan Hongū Sengen Taisha]] [[Fujinomiya, Shizuoka|Fujinomiya]] File:181124 Shuzenji Onsen Izu Shizuoka pref Japan01s3.jpg|Shuzenji Onsen [[Izu, Shizuoka|Izu]] File:Sunpu-castle tatsumi-yagura.JPG|[[Sunpu Castle]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Aoi-ku, Shizuoka|Aoi-ku]] File:Hamamatsu.JPG|[[Hamamatsu Castle]] [[Hamamatsu]] [[Naka-ku, Hamamatsu|<nowiki/>]] [[Chūō-ku, Hamamatsu|Chūō-ku]] File:Kakegawa castle.jpg|[[Kakegawa Castle]] [[Kakegawa, Shizuoka|Kakegawa]] File:静岡県立美術館-1.JPG|[[Shizuoka Prefectural Museum of Art]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Suruga-ku, Shizuoka|Suruga-ku]] File:LakeSanaru2.JPG|Lake Sanaru [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:BentenjimaKaihinkoenHamamatsu1.jpg|[[Lake Hamana]] [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:Beach in Atami City with sea bathers.jpg|Atami Sun Beach [[Atami, Shizuoka|Atami]] File:Prunus lannesiana cv. Kawazu-zakura 05.jpg|Kawazu Cherry blossom [[Kamo District, Shizuoka|Kamo District]] [[Kawazu, Shizuoka|Kawazu]] File:Mt Fuji at Mihonomatsubara.jpg|[[Miho no Matsubara]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Shimizu-ku, Shizuoka|Shimizu-ku]] File:富士サファリパーク ライオン2 Fuji-safari-park-Lion2.jpg|Fuji Safari Park [[Susono, Shizuoka|Susono]] File:Hanahaku2014-4.JPG|Hamanako Garden Park [[Hamamatsu]] [[Nishi-ku, Hamamatsu|Nishi-ku]] File:Snowtown Yeti.JPG|Snowtown Yeti & [[Mount Fuji]] [[Susono, Shizuoka|Susono]] File:231006 Kunozan Tosho-gu Shizuoka Japan13s3.jpg|[[Kunōzan Tōshō-gū]] [[Shizuoka, Shizuoka|Shizuoka]] [[Suruga-ku, Shizuoka|Suruga-ku]] File:Jogasaki Coast 20111016 b.jpg|Jogasaki Coast [[Itō, Shizuoka|Itō]] </gallery> ==ထင်ရှားသူများ== [[:en:Motoo Kimura|ခိမုရမိုတိုအို]] (木村 資生, 1924–1994) ==ပြင်ပလင့်== {{Commons category|Shizuoka prefecture}} * [http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/ Official Shizuoka Prefecture website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171117023413/http://www.pref.shizuoka.jp/a_foreign/english/ |date=17 November 2017 }} * [http://www.shizuoka-guide.com/english/index.html Official Shizuoka Guide] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171202173652/http://shizuoka-guide.com/english/index.html |date=2 December 2017 }} ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ခရိုင်များ]] knbmw9vu4q83wqwmgaeisrzhpphyczo 0 290687 1060857 1049424 2026-10-31T13:26:00Z Mkant00 135890 corrections to mathematics 1060857 wikitext text/x-wiki [[File:01 Kreiszahl.svg|thumb|320px|<math>\pi</math> (ပိုင်) သည် အထင်ရှားဆုံး သင်္ချာကိန်းသေများ (mathematical constants) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။]] [[File:Square root of 2 triangle.svg|right|thumb|<math>\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ဖြစ်သည်။]] သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] (complex number) တစ်ခုသည် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational number) မဟုတ်ပါက ၎င်းကို '''အီရာရှင်နယ်ကိန်း''' (irrational number) ဟု ခေါ်သည်။ ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု၏ ဝိသေသလက္ခဏာမှာ ၎င်းကို [[ကိန်းပြည့်]] (integer) နှစ်ခု၏ စားလဒ် (quotient) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (decimal notation) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို ပြန်မထပ်သော အနန္တဒသမကိန်းလုံးများ ကိန်းစဉ် (non-periodic infinite sequence of decimal digits) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် 0.10110111011110… ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အဆုံးမသတ်သည့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်းများ (infinite non-periodic decimal fractions) ဖြစ်ကြသည်။ လူသိများသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများမှာ အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) <math>\rm e</math> နှင့် <math>\pi</math> (ပိုင်) တို့ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) လည်း ဖြစ်ကြသည်။ နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) <math>\sqrt{2}</math> နှင့် ရွှေအချိုး (golden ratio) တို့သည်လည်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ကိန်းစစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏]] အပိုင်းကိန်း (fraction) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပါက ၎င်းကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို <math>p, q\in\mathbb{Z}, \; q\neq 0</math> ဖြစ်သော <math>\tfrac{p}{q}</math> အဖြစ် ရေးသား၍ မရနိုင်ပါ။ အဆုံးရှိသော (finite) သို့မဟုတ် ပြန်ထပ်ဒသမကိန်းများ (periodic decimals) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည့် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့်]] မတူဘဲ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဒသမကိန်းဖော်ပြချက်များသည် အဆုံးလည်းမသတ်သလို ပြန်လည်းမထပ်ကြပေ။ အီရာရှင်နယ်ကိန်း နှစ်မျိုးရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math>1+\sqrt[3]{5}</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) သို့မဟုတ် <math>\sqrt{2}</math> ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် (non-perfect squares) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ** နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖြေရှင်းပေးသော အီရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများကို ''နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်များ (quadratic irrationals)'' ဟု ခေါ်သည်။ * <math>\pi = 3.14159\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်း သို့မဟုတ် အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\rm e = 2.71828\ldots</math> ကဲ့သို့သော ကိန်းလွန်များ ဖြစ်ကြသည်။ ** ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ဒီဂရီ (degree) ၁ ရှိသော ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော ကိန်းလွန်တိုင်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို <math>\R \setminus \Q</math> ဟူသော [[အစု]] ခြားနားခြင်း (set difference) ဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>\R</math> သည် ကိန်းစစ်များအစုကို ကိုယ်စားပြုပြီး <math>\Q</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of complex numbers) <math>\C</math> အတွင်း စူးစမ်းလေ့လာမှုများစွာ ပြုလုပ်သော ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို အစု ခြားနားခြင်း <math>\C \setminus \Q</math> မှ ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ နားလည်သတ်မှတ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဤသဘောတရားအရ [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်သီးသန့်တိုင်း]] (purely imaginary number) နှင့် တိကျစွာဆိုရသော် ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) <math>\mathrm i </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပုံမှန်သင်္ချာသတ်မှတ်ချက်များတွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် <math>\mathrm i</math> ကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းအဖြစ် မသတ်မှတ်ပါ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုအား တွေ့ရှိခြင်း (Discovery of Irrationality) == အီရာရှင်နယ် အချိုးများကို ပထမဆုံး သက်သေပြချက်သည် ဘီစီ ၅ ရာစု ရှေးဟောင်းဂရိခေတ်ရှိ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ (Pythagoreans) ထံမှ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်၏ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ယူကလစ်ဒ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့် (Elements) ကျမ်းတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာဘာသာစကားသို့ ဘာသာပြန်ဆိုမှုများကို ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ပထမဆုံး ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။<ref>Lucio Russo: ''Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens.'' Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, pp. 53–56.</ref> အနားအလျား <math>1</math> ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု (square) ရှိပြီး ၎င်း၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း (diagonal) <math>d</math> ကို တွက်ချက်ပါက ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ <math>d^2 = 1^2 + 1^2</math> ဖြစ်လာပြီး ထို့ကြောင့် <math>d^2 = 2</math> ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဤညီမျှခြင်း၏ အပေါင်းကိန်းအဖြေကို <math>\sqrt{2}</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များအတွက် ဤထောင့်ဖြတ်မျဉ်း၏ အလျားကို သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ဖြစ်သော <math>p</math> နှင့် <math>q</math> တို့၏ အချိုး သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း <math>p/q</math> အဖြစ် အတိအကျ ဖော်ပြနိုင်မည်လားဟူသော မေးခွန်း ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ဤသို့ဖော်ပြရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ယူကလစ်က ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) နည်းလမ်းဖြင့် သက်သေပြချက် (proof by contradiction) ဖြင့် သက်သေပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ သူ၏ သက်သေပြချက်ကို ယနေ့တိုင် ကျောင်းများတွင် သင်ကြားနေဆဲ ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် စတုရန်းတစ်ခုအပေါ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်ကို အသုံးချရာမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား သို့မဟုတ် ကာ့တ် ဖွန် ဖရစ်ဇ် (Kurt von Fritz) အကြံပြုထားသကဲ့သို့ ပန်တာဂရမ် (pentagram) အပေါ် အဆက်မပြတ် အချိုးချခွဲဝေခြင်းမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား ဆိုသည်ကိုမူ မသိရပေ။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 430–440.</ref> ရှေးကျသော သမိုင်းသုတေသနပြုမှုများက အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာ သို့မဟုတ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကိန်းသီအိုရီတွင် အခြေခံဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်း (foundational crisis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ယခင်က အရာခပ်သိမ်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်အချိုးများဖြင့်]] ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အခြေခံယူဆချက်တစ်ခုကို လက်ခံထားခဲ့ကြပြီး ဤအမြင်ကို ချေပလိုက်ခြင်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ၏ ကမ္ဘာ့အမြင်ကို တုန်လှုပ်သွားစေခဲ့သည်ဟု ထင်မြင်ခဲ့ကြသည်။ ဤအချက်သည် ရှေးဟောင်း ဒဏ္ဍာရီတစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ အဆိုပါ ဒဏ္ဍာရီအရ မက်တာပွန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား ဟစ်ပါဆပ်စ် (Hippasus of Metapontum) သည် ဘီစီ ၅ ရာစုတွင် ဤတွေ့ရှိချက်ကို စာဖြင့်ရေးသားထုတ်ပြန်ခြင်းဖြင့် လျှို့ဝှက်ချက်ကို ဖောက်ခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် ပင်လယ်ထဲတွင် ရေနစ်သေဆုံးခဲ့ပြီး ၎င်းကို နတ်ဘုရားများ၏ အပြစ်ပေးမှုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ် သိပ္ပံသမိုင်းပညာရှင်များက ထိုကဲ့သို့သော အကျပ်အတည်းမျိုး မရှိခဲ့ကြောင်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို လျှို့ဝှက်ချက်တစ်ခုအဖြစ် မသတ်မှတ်ခဲ့ကြကြောင်း ယူဆကြသည်။<ref>Walter Burkert: ''Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon.'' Carl, Nuremberg 1962, pp. 436 f.</ref> သို့သော် ဟစ်ပါဆပ်စ် ပြီးနောက် ကာလတွင် ဂရိသင်္ချာပညာသည် အခြေခံကျကျ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်မှာ အမှန်တရားပင် ဖြစ်သည်။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is proven) == * တာရန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား အာခီးတပ်စ် (Archytas of Tarentum) သည် သဘာဝကိန်းများ <math>m</math> အတွက် <math>\sqrt{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ <math>m = 1</math> ဖြစ်သော <math>\sqrt{2}</math> အခြေအနေအတွက် သက်သေပြချက်ကို ယူကလစ်၏ အဲလီမင့် ကျမ်းတွင် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းကို ယူကလစ်၏ ၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှု သက်သေပြချက်အဖြစ် လူသိများသည်။ ယူကလစ် ကိုယ်တိုင်က အာခီးတပ်စ် ၏ သီအိုရမ်ကို သူ၏ ဂီတသီအိုရီ (music theory) တွင် ယေဘုယျပြုခဲ့ပြီး အလိုရှိရာ ကိန်းရင်းများ <math>\sqrt[n]{\tfrac{m+1}{m}}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ * အခြားအရေးကြီးသော နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်တစ်ခုမှာ ရွှေအချိုး <math>\textstyle\Phi = \frac{1+\sqrt5}2</math> ဖြစ်သည်။ * အွိုင်လာ၏ ကိန်း <math>\mathrm e </math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ၁၇၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို ချားလ်စ် အာမစ် (Charles Hermite) က ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ယိုဟန်း ဟိုင်းနရစ် လမ်းဘတ် (Johann Heinrich Lambert) က <math>\pi</math> ကိန်း၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကိုမူ ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း (Ferdinand von Lindemann) က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော မိုနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_0</math> တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းများသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများဖြစ်သော <math>\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt6,\dotsc</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * ၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ရော်ဂျာ အာပယ်ရီ (Roger Apéry) သည် အာပယ်ရီ ကိန်းသေ (Apéry's constant) <math>\textstyle \zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref>{{Citation |last=Apéry |first=Roger |title=Irrationalité de ζ (2) et ζ (3) |journal=Astérisque |issue=61 |date=1979 |pages=11–13 |language=fr}}</ref> * သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း <math>{\alpha} \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\rm e^{\alpha}</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann–Weierstrass theorem) တွင် လေ့လာနိုင်သည်။ * ဂဲ့လ်ဖွန် ကိန်းသေ (Gelfond's constant) <math>\rm e^{\pi}</math> နှင့် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ ကိန်းသေ (Gelfond–Schneider constant) <math>2^{ \sqrt{2} }</math> တို့အပြင် ၎င်းတို့၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{ 2^{ \sqrt{2} } }</math> တို့၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့သည် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond–Schneider theorem) မှ ဆင်းသက်လာသည်။<math>2^{\sqrt2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို ကားလ် လူဒဗစ် ဇီးဂဲလ် (Carl Ludwig Siegel) ကလည်း သက်သေပြခဲ့သည်။ * လမ်းနစ်စကိတ် ကိန်းသေ (lemniscate constant) <math>\varpi = 2.622057\ldots</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို သီအိုဒေါ ရွှနိုက်ဒါ (Theodor Schneider) က ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ * ၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဆိုလိုမွန် ဒဗလျူ ဂိုလုမ် (Solomon W. Golomb) သည် ဖဲမကိန်းများ (Fermat numbers) အားလုံး၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းများ (reciprocals) ပေါင်းလဒ်၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။<ref> {{Citation |last=Golomb |first=Solomon W. |title=On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities |journal=Canad. J. Math. |volume=15 |date=1963 |pages=475–478 |url=https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20160321234733/http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf |archive-date=2016-03-21 |access-date=2016-08-09}}</ref> ဤနေရာတွင် <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{F_n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2^n}+1} \approx 0.59606317211782167942379392586279</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို OEIS A051158 အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ * လီယူးဗီးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) အားလုံးသည် ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြပြီး ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math> a \neq 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် အမြဲတမ်း အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က <math>\tan \left( \tfrac{\pi}{4} \right) = 1</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ခြင်းကြောင့် <math>\pi</math> ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို ဖော်ပြနေသည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=18 |language=de}}</ref> ** ထို့အပြင် လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်းတိုင်းအတွက် <math>\tan a \,</math> သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းအတွက်လည်း ကိန်းလွန်ပင် ဖြစ်သည်။ * ထို့အပြင် <math>\tfrac{ \left( \Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right) \right)^2 }{ \sqrt[4\,] {\pi} }</math> သည် ကိန်းလွန်တစ်ခုအနေဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် <math>\Gamma \left( \tfrac{1}{4} \right)</math> ကိုယ်တိုင်သည်လည်း [[ကိန်းလွန်]] တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ကြောင်း [[ဂရီဂေါ်ရီ ချူဒနော့ဗ်စကီး]] (Gregory Chudnovsky) က ၁၉၇၆ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |page=81 |language=de}}</ref> == အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း မှန်းဆထားသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is conjectured) == * <math>\pi + \mathrm{e}, \pi - \mathrm{e}, \pi \cdot \mathrm{e}, \pi/\mathrm{e}</math> ကိန်းများ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို မှန်းဆထားသော်လည်း ယခုအချိန်အထိ သက်သေမပြရသေးပါ။ သို့သော် အလိုရှိရာ စုံတွဲများထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ရမည်ကို လွယ်ကူစွာ သိမြင်နိုင်သည်။ ဤအချက်သည် မည်သည့်ကိန်းလွန် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> အတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အကျုံးဝင်သည်။ * သုညမဟုတ်သော [[ကိန်းပြည့်]] စုံတွဲ <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တစ်တွဲတလေအတွက်မျှ <math>m\cdot \pi+n\cdot \mathrm e</math> သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကို မသိရှိရသေးပါ။ သို့သော် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ဖြစ်သော]] မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) တည်ရှိလာပါက အချိုး <math>m/n</math> သည် ကိန်းသေ (constant) တန်ဖိုးတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်ကြောင်းကိုမူ သိရှိထားသည်။ * ထို့အပြင် <math>2^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\mathrm{e}</math>၊ <math>\pi^\sqrt{2}</math>၊ <math>\pi^\pi</math>၊ <math>\mathrm{e}^\mathrm{e}</math>၊ ကာတာလန် ကိန်းသေ (Catalan's constant) <math>G = 0.91596\ldots</math> သို့မဟုတ် အွိုင်လာ-မက်စကရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) <math>\gamma = 0.57721\ldots</math> တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကိုလည်း မသိရှိရသေးပေ။ == အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ရေတွက်၍မရသော သဘောတရား (The uncountability of irrational numbers) == ကန်တာ၏ ပထမ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's first diagonal argument) က ပြသထားသည့်အတိုင်း [[ရာရှင်နယ်ကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]အစုသည် ရေတွက်နိုင်သော[[အစု]] (countable set) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်း ပါဝင်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ကန်တာ၏ ဒုတိယ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's second diagonal argument) က ရေတွက်၍မရလောက်အောင် (uncountable) များပြားသော ကိန်းစစ်များ တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြထားသည်။ ဤသည်မှာ ရေတွက်၍မရလောက်အောင် များပြားသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ရှိရမည်ဖြစ်ကြောင်းကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ဆိုလိုသည်။ အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအားလုံးကို "ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း" သို့မဟုတ် "တွက်ချက်ခြင်း" မပြုလုပ်နိုင်ကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ သို့မဟုတ်ပါက ရေတွက်နိုင်သောအစု နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် ရေတွက်နိုင်သော ကိန်းများ ဖြစ်သွားပေလိမ့်မည်။ ကန်တာက ထပ်ကိန်းရင်း ဖော်ပြချက်များ (radical expressions) အားလုံး ပါဝင်သည့် ကိန်းရင်းများအစုသည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်ကြောင်းကို ဆက်လက်ပြသခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းစစ်များ သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ၏]] မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော [[အစုပိုင်း]] (countable subset) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ယင်းကဲ့သို့သော အစုများတွင် အထူးသဖြင့် ကိန်းလွန်များ ပါဝင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် ကိန်းစစ်များအားလုံး အသေအချာ မပါဝင်နိုင်ပေ။ == အီရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Irrational exponents) == မည်သည့်အခြေအနေတွင်မဆို <math>a^b \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည့် [[ရာရှင်နယ်ကိန်း]] ဖြစ်စေမည့် <math>a, b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> ဟူသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ တည်ရှိသည်ဟူသည့် သီအိုရမ်တစ်ခု ရှိသည်။ ဤအတွက် အလွန်ကောင်းမွန်သော သက်သေပြချက်တစ်ခုကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် ဒို့ဗ် ဂျာဒင် (Dov Jarden) က တင်ပြခဲ့သည်။ ပထမဦးစွာ <math>a = b = \sqrt{2}</math> ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အလယ်မရှိ နိယာမ (law of excluded middle) အရ <math>a^b = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> ကိန်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း သို့မဟုတ် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ်အရ <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်သည်ဟူသော အချက်သည် ဤသက်သေပြချက်၏ သဘောတရားအတွက် သက်ဆိုင်မှု မရှိပါ။ အကယ်၍ ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါအချက်ကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၎င်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်နေပါက <math>a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> ဟု အသစ်ထပ်မံသတ်မှတ်ပြီး <math>b = \sqrt{2}</math> အတိုင်း ထားရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် တွက်ချက်လိုက်သောအခါ <math> a^b = {(\sqrt{2} ^ \sqrt{2})}^\sqrt{2} = {\sqrt{2}}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = {(\sqrt{2})}^2 = 2</math> ကိန်းကို ရရှိသည်။ ဤကိန်းသည် သဘာဝကိန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သောကြောင့် ဖော်ပြချက်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီ ဖြစ်သည်။<ref>{{Citation |title=The square root of two proof |work=QA9 |date=2015-01-27 |url=https://queuea9.wordpress.com/2015/01/27/the-square-root-of-two-proof/ |access-date=2024-07-16 |language=en}}</ref> အတိုချုပ်ဆိုရသော် <math>a = \sqrt{2}^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း မဟုတ်ပါက <math>a^\sqrt{2}</math> သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ == စာပေများ == * {{Citation |last=Bundschuh |first=Peter |title=Einführung in die Zahlentheorie |series=Springer-Lehrbuch |edition=6th, revised and updated |publication-place=Berlin / Heidelberg |publisher=Springer Verlag |date=2008 |isbn=978-3-540-76490-8 |language=de}} * {{Citation |last1=Conway |first1=John H. |last2=Guy |first2=Richard K. |title=Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen |others=Translated from American English by Manfred Stern |publication-place=Basel |publisher=Springer Basel AG |date=1967 |isbn=978-3-0348-6085-7 |doi=10.1007/978-3-0348-6084-0 |language=de}} * {{Citation |last=Finch |first=Steven R. |title=Mathematical Constants |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |volume=94 |publication-place=Cambridge [u. a.] |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |isbn=0-521-81805-2}} * {{Citation |last=Müller |first=Tom |title=Irrationalitätsbeweise |series=Berliner Studienreihe zur Mathematik |volume=25 |publication-place=Lemgo |publisher=Heldermann Verlag |date=2014 |isbn=978-3-88538-125-9 |language=de}} * {{Citation |last=Perron |first=Oskar |title=Irrationalzahlen |series=Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe |volume=1 |edition=4th, revised and expanded |publication-place=Berlin |publisher=Walter de Gruyter & Co. |date=1960 |language=de}} * {{Citation |last=Scheid |first=Harald |title=Zahlentheorie |edition=3rd |publication-place=Heidelberg / Berlin |publisher=Spektrum Akademischer Verlag |date=2003 |isbn=3-8274-1365-6 |language=de}} * {{Citation |last=Siegel |first=Carl Ludwig |title=Transzendente Zahlen |others=Translated from English by B. Fuchssteiner and Detlef Laugwitz |series=BI-Hochschultaschenbücher |volume=137* |publication-place=Mannheim |publisher=Bibliographisches Institut |date=1967 |url=https://zbmath.org/0167.32202 |language=de}} == ကိုးကား == {{Reflist}} [[Category:ကိန်းများ]] [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] 7pnv1xslywx7fh7g5ncvqd3810m3gnn 0 290918 1060999 1054970 2026-11-01T10:22:06Z InternetArchiveBot 61272 ရင်းမြစ် 1 ခုကို ကယ်ဆယ်ပြီး 0 ခုကို လင့်ခ်သေအဖြစ် စာတွဲပြီးပါပြီ #IABot (v2.0.9.6) 1060999 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] သက်သေပြခြင်း (mathematical proof) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (mathematical statement) တစ်ခုအတွက် ကောက်ချက်ချ ဆွေးနွေးချက် (deductive argument) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖော်ပြထားသော ယူဆချက်များ (assumptions) က ကောက်ချက်တစ်ခုကို ယုတ္တိဗေဒနည်းကျ (logically) သေချာစေကြောင်း ပြသသည်။ ယင်းသက်သေပြခြင်းသည် အမှန်တရားကို တည်ဆောက်ရန် ပုံစံတကျ (formal) ယန္တရားတစ်ခုအနေဖြင့် ဆောင်ရွက်ပြီး သင်္ချာသုတေသနစာတမ်းများ၏ အဓိကအသက်သွေးကြောအဖြစ် တည်ရှိသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ကျိုးကြောင်းဆီလျော်သော မျှော်လင့်ချက် (reasonable expectation) ကိုသာ တည်ဆောက်ပေးသည့် လက်တွေ့စမ်းသပ်မှုဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များ (empirical arguments) သို့မဟုတ် ပြည့်စုံလွှမ်းခြုံမှုမရှိသော (non-exhaustive) ဆင့်ကဲနည်းဖြင့် စဉ်းစားဆင်ခြင်မှုများနှင့် (inductive reasoning) မတူဘဲ သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများသည် ပြည့်စုံလွှမ်းခြုံမှုရှိသည် (exhaustive)။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့သည် ပကတိ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သေချာမှုကို (logical certainty) ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ပေးသည်။ ဤအချက်နှင့် ပတ်သက်၍ သင်္ချာပညာနှင့် ရူပဗေဒပညာတို့အကြား ကြီးမားသော ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ကွာဟချက်တစ်ခု တည်ရှိသည်။ သင်္ချာပညာရှင်များသည် တိကျသော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို တောင်းဆိုကြသည်။ သို့သော် ရူပဗေဒပညာရှင်များသည် များသောအားဖြင့် အလွန်ယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ်ရှိသော်လည်း တိကျသေချာမှုမရှိသော (nonrigorous) ဆွေးနွေးချက်များဖြင့်ပင် ကျေနပ်လေ့ရှိကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သို့သော်လည်း တိကျသေချာမှုမရှိသော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များမှတစ်ဆင့် ကနဦး တွေ့ရှိခဲ့သော အရာများအတွက် တိကျသေချာသော (rigorous) သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို ရှာဖွေခြင်းသည် သာမန် အသေးစိတ်လွန်းသော လုပ်ရပ်သက်သက် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းသည် သန့်စင်သင်္ချာ (pure mathematics) နယ်ပယ်တွင် လုံးဝအသစ်ဖြစ်သော တွေ့ရှိချက်များကို မကြာခဏ အစပျိုးပေးလေ့ရှိသည့် ခက်ခဲသော လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ်မရှိသော ဆွေးနွေးချက်တစ်ခုကို ပုံစံတကျ အဆင့်များအဖြစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာလိုက်ခြင်းက များသောအားဖြင့် ဖုံးကွယ်နေသော အမှားတစ်ခုကို ဖော်ထုတ်ပေးခြင်း သို့မဟုတ် ယင်းဆွေးနွေးချက်သည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်နေရကြောင်းကို အတိအကျ ရှင်းလင်းပေးခြင်းတို့ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သက်သေပြခြင်းတိုင်းကို [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ဟုခေါ်သော အခြေခံကျပြီး အလိုအလျောက် ထင်ရှားနေသည့် ယူဆချက်များနှင့် လူအများလက်ခံထားသော ကောက်ချက်ချခြင်း စည်းမျဉ်းများကို (rules of inference) သာ အသုံးပြု၍ သဘောတရားရေးရာအရ တည်ဆောက်နိုင်သည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=3}}; {{cite book |author1=Clapham, C. |author2=Nicholson, J.N. |title=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition}}; {{cite book|title=Discrete Mathematics with Proof |date=July 2009 |first=Eric |last=Gossett |page=86 |publisher=John Wiley & Sons}}</ref> ဤသို့ ဆောင်ရွက်ရန်အတွက် သင်္ချာပညာရှင်များသည် သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ၏ (mathematical structures) နယ်ပယ်နှင့် နယ်နိမိတ်များကို ဖော်ပြရန် [[အစု|အစုများကို]] (sets) အခြေခံ ဝေါဟာရများအဖြစ် မှီခိုကြသည်။ ယင်းအချိန်တွင် ယုတ္တိဗေဒ (logic) သည် အဓိပ္ပာယ်များကို ပိုင်းခြားစိတ်ဖြာရန်နှင့် အချက်အလက်သစ်များကို အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုမရှိဘဲ ကောက်ချက်ချရန်အတွက် အခြေခံ သဒ္ဒါအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> အဆင့်မြင့် သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် မှန်ကန်ကြောင်း အတည်ပြုထားသော ဖော်ပြချက်များကို တိကျသော အမှန်တရား အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ (hierarchy) အတွင်းသို့ စနစ်တကျ စီစဉ်ထားသည်။ ထိုဖွဲ့စည်းပုံတွင် အဓိကကျ၍ အရေးပါသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်ကို သီအိုရမ် (theorem) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အရေးပါသော်လည်း အနည်းငယ် အရေးပါမှု လျော့နည်းသော အမှန်တရားများကို အဆိုများ (propositions) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ပိုမိုကြီးမားသော သီအိုရမ်တစ်ခုကို သက်သေပြရန် အဓိက အထောက်အကူပြုရန် ရည်ရွယ်၍ အမှန်တရား ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို တည်ဆောက်သောအခါ ၎င်းကို အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (lemma) ဟု လူသိများသည်။ ထို့အပြင် သီအိုရမ်တစ်ခု၏ သိသာထင်ရှားလုနီးပါးဖြစ်သော အကျိုးဆက်ကို အကျိုးဆက်သီအိုရမ် (corollary) ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတစ်ခုသည် မှန်ကန်သည်ဟု အခိုင်အမာ ယုံကြည်ထားသော်လည်း တိကျသေချာစွာ သက်သေမပြရသေးပါက ၎င်းကို ယူဆချက် (conjecture) ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ ၎င်းကို လက်တွေ့အသုံးပြုသော ယူဆချက်တစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ အသုံးပြုပါက အဆိုပြုယူဆချက် (hypothesis) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>{{Cite web |title=Mathematical Proofs - Department of Mathematics at UTSA |url=https://mathresearch.utsa.edu/wiki/index.php?title=Mathematical_Proofs |website=mathresearch.utsa.edu |access-date=25 August 2026 |archive-url=https://web.archive.org/web/20251209192139/https://mathresearch.utsa.edu/wiki/index.php?title=Mathematical_Proofs |archive-date=9 December 2025 |url-status=dead}}</ref> စံပြု သင်္ချာဆိုင်ရာ လက်တွေ့လုပ်ငန်းစဉ်တွင် သက်သေပြခြင်းများကို သဘာဝဘာသာစကား (natural language) ကို အသုံးပြုလျက် တိကျသေချာသော သာမန် ယုတ္တိဗေဒ (informal logic) ဖြင့် ရေးသားကြသည်။ ၎င်းသည် အလှတရားရှုထောင့်မှ အကဲဖြတ်ခြင်းနှင့် လူမှုအသိုင်းအဝိုင်းဆိုင်ရာ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများအတွက် နေရာချန်ထားပေးသည်။ သို့သော်လည်း အလွန်အထူးပြုထားသော သက်သေပြခြင်း သီအိုရီ (proof theory) နယ်ပယ်တွင် ပုံစံတကျ သက်သေပြခြင်း (formal proof) တစ်ခုဆိုသည်မှာ ပုံစံတကျ သင်္ကေတပြ ဘာသာစကားဖြင့် (formal symbolic language) ရေးသားထားသော စနစ်တကျ ဖွဲ့စည်းထားသည့် ပုံသေနည်းများ၏ (well-formed formulas) [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်တစ်ခု]]ဖြစ်ကြောင်း တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ထိုနေရာတွင် နောက်ဆက်တွဲ ပုံသေနည်းတစ်ခုစီသည် ယင်း၏ရှေ့မှ ပုံသေနည်းများ၏ တိုက်ရိုက် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အကျိုးဆက် (logical consequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>{{citation|title=Handbook of Proof Theory|volume=137|series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|editor-first=Samuel R.|editor-last=Buss|publisher=Elsevier|year=1998|contribution=An introduction to proof theory|pages=1–78|first=Samuel R.|last=Buss}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများမှတစ်ဆင့် တည်ဆောက်ထားသော အဆိုများ၏ အခြေခံ သဘာဝတရားသည် ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ ငြင်းခုံမှုများကိုလည်း ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ အီမန်နျူရယ် ကန့်တ် (Immanuel Kant) က သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှန်တရားများ သို့မဟုတ် ဆုံးဖြတ်ချက်များသည် ဖွဲ့စည်းမှုဆိုင်ရာ အတွေ့အကြုံမတိုင်မီသိ အဆိုများ (synthetic a priori propositions) ဖြစ်သည်ဟု ယုံကြည်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် သက်သေပြခြင်းများကိုယ်တိုင်၏ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်းများ (logical derivations) သက်သက် မဟုတ်ပေ။ ယင်းနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်အနေဖြင့် ဝီလတ် ဗန် အော်မန် ကွိုင်း (Willard Van Orman Quine) သည် သူ၏ ၁၉၅၁ ခုနှစ် စာတမ်းဖြစ်သော "အတွေ့အကြုံဝါဒ၏ အစွဲအလမ်းနှစ်ခု" တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) အဆိုများနှင့် ဖွဲ့စည်းမှုဆိုင်ရာ (synthetic) အဆိုများအကြား ခြားနားချက်ဆိုသည်မှာ အဆုံးစွန်အားဖြင့် လက်ခံနိုင်ဖွယ်မရှိကြောင်း ထင်ရှားစွာ စောဒကတက်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web|url=https://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|title=Two Dogmas of Empiricism|last=Quine|first=Willard Van Orman|date=1961|website=Universität Zürich – Theologische Fakultät|page=12|access-date=25 August 2026|archive-date=14 February 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190214190419/http://www.theologie.uzh.ch/dam/jcr:ffffffff-fbd6-1538-0000-000070cf64bc/Quine51.pdf|url-status=dead}}</ref> ထို့အပြင် ကတ် ဂိုဒယ် (Kurt Gödel) ၏ မပြည့်စုံမှု သီအိုရမ်များ (incompleteness theorems) ထွက်ပေါ်လာပြီးနောက်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှန်တရားနှင့် သက်သေပြနိုင်စွမ်း (provability) တို့သည် တစ်ထပ်တည်းမကျကြောင်းကို လူသိများသော ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ အချက်အလက်အဖြစ် လက်ခံလာကြသည်။ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော (consistent) နဂိုမှန်အဆို စနစ် (axiomatic system) တွင်မဆို သက်သေပြ၍မရသော သို့မဟုတ် ချေပ၍မရနိုင်သော အမှန်တရား ဖော်ပြချက်များ ပါဝင်နေသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ဤသို့ ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော (undecidable) ဖော်ပြချက်များ လက်တွေ့ တည်ရှိနေသော်လည်း သင်္ချာပညာရှင်များ၏ နေ့စဉ်လုပ်ငန်းခွင်အပေါ် များစွာ သက်ရောက်မှု မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတို့ တွေ့ကြုံရသော ဖော်ပြချက် အများစုသည် ဆုံးဖြတ်၍ရနိုင်သော (decidable) အရာများ ဖြစ်လေ့ရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == သမိုင်းကြောင်းနှင့် ဝေါဟာရရင်းမြစ် (History and Etymology) == "သက်သေပြခြင်း" ဟူသော စကားလုံးသည် လက်တင်စကားလုံး "probare" မှ ဆင်းသက်လာပြီး "စစ်ဆေးရန်" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ယင်းစကားလုံးသည် အချက်အလက်များကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် သက်သေထွက်ဆိုချက်၏ ယုံကြည်နိုင်စွမ်း သို့မဟုတ် အာဏာကို ရည်ညွှန်းသော တရားဥပဒေဆိုင်ရာ ဖြောင့်မတ်မှန်ကန်မှု အယူအဆနှင့် ဘာသာစကားအရ ဆက်စပ်နေသည်။<ref>{{cite book|title=The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference |first=Ian |last=Hacking |publisher=Cambridge University Press |year=1984}}; "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.</ref> သမိုင်းကြောင်းအရ အတွေ့အကြုံအရ မှန်းဆထားသော နည်းလမ်းများ (heuristics) နှင့် ဥပမာများကို အသုံးပြုသည့် ယုံကြည်နိုင်ဖွယ် ဆွေးနွေးချက်များသည် (plausibility arguments) တိကျသော [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] သက်သေပြခြင်းများထက် စော၍ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ကောက်ချက်တစ်ခုကို သရုပ်ပြသခြင်းဟူသော အယူအဆသည် မြေတိုင်းတာခြင်းနှင့် ကနဦး ဂျီဩမေတြီ (geometry) ရှိ လက်တွေ့ ပြဿနာများမှ အစပြုခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။<ref>{{cite book|title=The development of logic |first1=William |last1=Kneale |first2=Martha |last2=Kneale |date=May 1985 |page=3 |publisher=Oxford University Press}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းကို ဘာသာရပ်တစ်ခုအနေဖြင့် တိကျသေချာစွာ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာစေမှုသည် အဓိကအားဖြင့် ရှေးဟောင်း ဂရိသင်္ချာ၏ ရလဒ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထိုဖွံ့ဖြိုးမှုတွင် သေးလ်စ် (Thales) နှင့် ခီအော့စ် ကျွန်းသား ဟစ်ပိုကရေးတီးစ် (Hippocrates of Chios) ကဲ့သို့သော ပုဂ္ဂိုလ်များ၏ ကနဦး လမ်းပြ ရှေ့ဆောင် ပါဝင်အားဖြည့်မှုများ ပါဝင်သည်။<ref>{{Cite web|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281050/document|title=The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading|last1=Moutsios-Rentzos|first1=Andreas|last2=Spyrou|first2=Panagiotis|date=February 2015|website=Archive ouverte HAL}}</ref> ရှေးဟောင်း ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းတော်သားများသည် နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သည် [[အီရာရှင်နယ်ကိန်း]] (irrational number) ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုရန်အတွက် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (proof by contradiction) ဆိုင်ရာ ကနဦး နည်းလမ်းများကိုလည်း လမ်းသစ်ဖောက်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ဘီစီ ၃၀၀ ခန့်တွင် ယူကလစ်ဒ် (Euclid) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း လက်တွေ့လုပ်ငန်းစဉ်ကို ကြီးမားစွာ တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ သူ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးချက်များသည် အလွန်ထူးခြားစွာ ရေရှည်တည်တံ့မှုရှိပြီး ၎င်းတို့ကို ယနေ့တိုင်အောင် လုံးဝယုံကြည်လက်ခံနိုင်ဖွယ် သရုပ်ပြသချက်များအဖြစ် လက်ခံထားကြဆဲဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ယူကလစ်ဒ်သည် [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ]] နည်းလမ်းကို (axiomatic method) စတင် မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်မရှိသော ဝေါဟာရများနှင့် အလိုအလျောက် ထင်ရှားနေသည့် နဂိုမှန်အဆိုများမှ စတင်ကာ သီအိုရမ်များကို ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ လှည့်လည်နေမှုများ (circular reasoning) မပါဘဲ စနစ်တကျ ကောက်ချက်ချသည်။ ဤမိတ်ဆက်မှုကို သူ၏ လက်ရာမွန်ဖြစ်သော Euclid's Elements စာအုပ်တွင် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ အဆိုပါ စာအုပ်သည် ၂၀ ရာစုတိုင်အောင် အနောက်တိုင်း ပညာရေး၏ အခြေခံအုတ်မြစ်အဖြစ် တည်ရှိခဲ့သည်။<ref>{{cite book|title=An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) |first=Howard W. |last=Eves |edition=6th |date=January 1990 |page=141 |publisher=Cengage}}; {{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> သို့သော် သူ၏ ပြိုင်မျဉ်း ကြိုတင်အဆိုသည် (parallel postulate) သူ၏ အခြား နဂိုမှန်အဆိုများကဲ့သို့ ပင်ကိုသိစိတ်အရ သေချာမှုမျိုး မရှိခဲ့ပေ။ ယင်းကြောင့် ပရိုကလပ်စ် (Proclus)၊ ဂျီရိုလာမို ဆက်ချယ်ရီ (Gerolamo Saccheri) နှင့် အေဒရီယန်-မာရီ လီဂျန်ဒါ (Adrien-Marie Legendre) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာတိုင်အောင် ကျန်ရှိနေသော အခြေခံ နဂိုမှန်အဆိုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ၎င်းကို သီအိုရမ်တစ်ခုအဖြစ် သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ထိုကြိုးပမ်းမှုများသည် အဆုံးစွန်အားဖြင့် အမှားအယွင်းများသာ ဖြစ်ခဲ့သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ကြာပြီးနောက် အလယ်ခေတ် အစ္စလာမ့် သင်္ချာပညာတွင် ထင်ရှားသော တိုးတက်မှုများ ပြုလုပ်နိုင်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် ၁၀ ရာစု အီရတ် သင်္ချာပညာရှင် အယ်လ်-ဟာရှီမီ (Al-Hashimi) သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့် ပတ်သက်သော အဆိုများကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ (algebraically) သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အယ်လ်-ကာရာဂျီ (Al-Karaji) သည် သက္ကရာဇ် ၁၀၀၀ ခန့်တွင် ဂဏန်းသင်္ချာ [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက်]] (arithmetic progressions) ဆင့်ကဲနည်းဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို (inductive proofs) ပုံစံတကျ မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>{{citation|last=Matvievskaya|first=Galina|year=1987|title=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|journal=Annals of the New York Academy of Sciences|volume=500|issue=1|pages=253–277 [260]}}</ref> ၁၉ ရာစု နှောင်းပိုင်းနှင့် ၂၀ ရာစု အစောပိုင်း ကာလများအရောက်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) နှင့် ဂေါ့တ်လော့ဗ် ဖရေးဂါး (Gottlob Frege) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များ ဦးဆောင်သည့် "ပုံစံတကျ ဖြစ်စေခြင်းဆိုင်ရာ အပြောင်းအလဲ" (formalist shift) တစ်ခု ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့သည် သက်သေပြခြင်းများကို လက်တွေ့စမ်းသပ် လေ့လာမှုများမှ အမှီအခိုကင်းစွာ အတည်ပြုနိုင်သော သီးသန့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ တည်ဆောက်မှုများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲခဲ့ကြသည်။ သူတို့သည် ပုံကြမ်းများနှင့် အမြင်အာရုံဆိုင်ရာ ပင်ကိုသိစိတ် (visual intuition) အပေါ် မှီခိုအားထားမှုကို ဖယ်ရှားခဲ့ပြီး သင်္ကေတနည်းလမ်းများဖြင့် ဝါကျတည်ဆောက်ပုံများကို စစ်ဆေးခြင်းများ (syntactical checks) အား အစားထိုး အသုံးပြုလာကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == ထင်ရှားသော သက်သေပြခြင်း နည်းလမ်းများ (Prominent Methods of Proof) == ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ တစ်လျှောက် [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာရှင်များသည်]] ဖော်ပြချက်များကို သက်သေပြရန်အတွက် ခိုင်မာအားကောင်းသော နည်းလမ်းပေါင်းမြောက်မြားစွာကို ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။ တိုက်ရိုက် သက်သေပြခြင်း (direct proof) နည်းလမ်းသည် ယူဆချက်တစ်ခု မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆထားပြီး ယင်းနောက် ယုတ္တိဗေဒ၊ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ယခင် သီအိုရမ်များကို အသုံးချကာ ကောက်ချက်ကို မှန်ကန်စေရန် တိုက်ရိုက် သက်ရောက်စေသည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=20}}</ref> ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှု (logical implication) တစ်ခုကို အောင်မြင်စွာ သက်သေပြရာတွင် သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးသည် <math>P</math> နှင့် <math>Q</math> ကြားတွင် သိသာထင်ရှားသော အကြောင်းကျိုးဆက်စပ်မှု ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မရှိသည်ဖြစ်စေ <math>P</math> မှန်ကန်ပြီး တစ်ချိန်တည်းမှာပင် <math>Q</math> မှားယွင်းနေနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်ခြေကိုသာ ဖယ်ရှားပစ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဤသက်ရောက်မှုမှာ ဥပမာအားဖြင့် အကယ်၍ <math>P</math> ဖြစ်လျှင် <math>Q</math> ဖြစ်သည်ဟူသော ပုံစံဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> အကယ်၍ ယူဆချက်သည် ယုတ္တိဗေဒအရ ထပ်တူညီသော ကွဲပြားသည့် နည်းလမ်းများစွာဖြင့် ထွက်ပေါ်လာနိုင်ပါက စာရေးသူများသည် များသောအားဖြင့် အခြေအနေတစ်ခုကိုသာ သက်သေပြလေ့ရှိသည်။ ထို့နောက် ကျန်ရှိသောအခြေအနေများကို ထိရောက်စွာ လွှမ်းခြုံနိုင်ရန် "ယေဘုယျကျမှုကို မဆုံးရှုံးစေဘဲ" (without loss of generality) ဟူသော စကားစုကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ယူဆချက်တစ်ခုကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရာတွင် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ခက်ခဲနေပါက သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဆန့်ကျင်ဘက်အဆိုဖြင့် သက်သေပြခြင်းကို (contrapositive proof) အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အခြေအနေပေး ဖော်ပြချက်တစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို (contrapositive) တို့အကြားရှိ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှုကို (logical equivalence) အသုံးချခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> တည်ရှိမှုဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများကို ပွင့်လင်းစွာ ဖော်ပြခြင်းနှင့် သွယ်ဝိုက်၍ ပြသခြင်းဟူ၍ အမျိုးအစားခွဲခြားနိုင်သည်။ ပွင့်လင်းစွာ ဖော်ပြသော၊ တစ်နည်းအားဖြင့် တည်ဆောက်နိုင်သော သက်သေပြခြင်းများသည် (explicit or constructive proofs) တည်ရှိကြောင်း သက်သေပြမည့် အတိအကျ သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုကို (mathematical object) တိုက်ရိုက် ဖော်ပြခြင်း သို့မဟုတ် တည်ဆောက်ခြင်းများ ပြုလုပ်ကြသည်။ သို့သော် သွယ်ဝိုက်သော၊ တစ်နည်းအားဖြင့် တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများသည် (indirect or nonconstructive proofs) အရာဝတ္ထုတစ်ခု မတည်ရှိပါက ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ဖြစ်ပေါ်လာမည်ဟု သက်သေပြခြင်းဖြင့်သာ အဆိုပါ အရာဝတ္ထု တည်ရှိကြောင်းကို အတည်ပြုကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများသည် များသောအားဖြင့် "ကြားကိန်းဖယ်ရှားခြင်း နိယာမ" (law of the excluded middle) ဟုခေါ်သော ပုံစံတကျ ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်း သို့မဟုတ် [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို]] (axiom of choice) တို့အပေါ် ကြီးမားစွာ မှီခိုလေ့ရှိသည်။ ထိုရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုသည် တိကျစွာ သတ်မှတ်မထားသော ရွေးချယ်မှုများကို အလိုရှိသလောက် အရေအတွက် ပြုလုပ်ခွင့်ပေးသည့် အစုတည်ဆောက်မှုဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> အကယ်၍ သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းတစ်ခုက ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးပြုပါက သက်သေပြခြင်း၏ အဆိုပါ သီးခြားအပိုင်းသည် အလိုအလျောက် တည်ဆောက်၍မရသော ပုံစံအဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ ထို့ကြောင့် ပင်မ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဤနဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးပြုသည့်အခါ ဘာနာ-တာစကီး (Banach-Tarski) ဝိရောဓိ၏ သက်သေပြခြင်းတွင် တွေ့ရသည့်အတိုင်း ပွင့်လင်းမြင်သာစွာ အချက်ပြခြင်းသည် ကောင်းမွန်သော အလေ့အကျင့်ဖြစ်ကြောင်း ယေဘုယျအားဖြင့် ယုံကြည်ကြသည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> တည်ဆောက်၍မရသော သက်သေပြခြင်းများကို ပင်မ သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် အပြည့်အဝ လက်ခံထားသော်လည်း သင်္ချာပညာရှင်များသည် တည်ဆောက်နိုင်သော သက်သေပြခြင်းများကို ဆက်လက် ရှာဖွေလေ့ရှိကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် လက်တွေ့ တည်ဆောက်ပြခြင်းသည် ဖော်ပြချက်တစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရုံသာမက ၎င်းသည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်နေရသနည်းဆိုသည့်အပေါ် ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော အတွင်းကျကျ ထိုးထွင်းသိမြင်မှုကို ပေးစွမ်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) ကဲ့သို့သော အနန္တအစုများ (infinite sets) နှင့် ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရာတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းကို (mathematical induction) အသုံးပြုသည်။ ယင်းသည် အနန္တအစုတစ်ခုလုံးအတွက် ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကို သက်သေပြရန် အနန္တအလျားရှိသော လဲကျနေသည့် ဒိုမီနိုတုံးများကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်ပေးသည်။<ref>{{cite book|title=The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs |last=Cupillari |first=Antonella |edition=Third |year=2005 |publisher=Academic Press |page=46}}; {{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ထပ်တူညီမှုများနှင့် လုပ်ဆောင်ရာတွင် အပိတ်ချိတ်တန်း ကောက်ချက်ချခြင်း (closed chain inference) နည်းလမ်းကို အသုံးပြုသည်။ ယင်းသည် စဉ်ဆက်မပြတ်သော၊ ကွင်းပိတ်သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ သက်ရောက်မှုများ၏ ချိတ်တန်းတစ်ခုကို သက်သေပြခြင်းဖြင့် ဖော်ပြချက်များ စုစည်းမှုတစ်ခု၏ အစုံလိုက် ထပ်တူညီမှုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။<ref>{{Cite book |last1=Plaue |first1=Matthias |title=Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis |last2=Scherfner |first2=Mike |date=2019-02-11 |publisher=Springer-Verlag |pages=26}}; {{Cite book |last1=Struckmann |first1=Werner |title=Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen |last2=Wätjen |first2=Dietmar |date=2016-10-20 |publisher=Springer-Verlag |pages=28}}</ref> ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများသည် (combinatorial proofs) ကွဲပြားသော ချဉ်းကပ်မှုတစ်ရပ်ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းတို့သည် ရှုပ်ထွေးသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များသည် ရူပဆိုင်ရာ တကယ့်အရှိတရား တစ်ခုတည်းကိုပင် ကွဲပြားသော နည်းလမ်းများဖြင့် ရေတွက်ပြနေခြင်းဖြစ်ကြောင်း သရုပ်ပြသခြင်းဖြင့် ၎င်းဖော်ပြချက်များ ညီမျှကြောင်း သက်သေပြကြသည်။<ref>{{Cite web |last=Chewi |first=Sinho |last2=Wan |first2=Alvin |title=Combinatorial Proofs |url=https://math.berkeley.edu/~hhao/teaching/N55%20Summer%202024/CombProofs3.pdf}}; {{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> သင်္ချာနယ်ပယ်ရှိ ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုတိုင်းသည် ဖော်ပြချက်တစ်ခု မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြရန် ရည်ရွယ်သည်မဟုတ်ပေ။ စကြဝဠာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို ချေပရန်အတွက် စာရေးသူအနေဖြင့် တိကျသော ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာ (counterexample) တစ်ခုတည်းကိုသာ ပေးစွမ်းရန် လိုအပ်သည်။ သို့သော် တည်ရှိမှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို ချေပခြင်းမှာမူ အလွန် တိကျသေချာရန် လိုအပ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စာရေးသူသည် ဖြစ်နိုင်သမျှ အခြေအနေတိုင်းအတွက် အဆိုပါ အခြေအနေ ပျက်ကွက်ကြောင်းကို သက်သေပြရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> ထို့အပြင် [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်းဆိုင်ရာ]] နည်းလမ်းများသည် (probabilistic methods) ခိုင်မာသော ဥပမာတစ်ခုကို မဖြစ်မနေ ညွှန်ပြရန်မလိုဘဲ တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုရှိသည့် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ တိကျသေချာသော တည်ရှိမှုကို သက်သေပြရန်အတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီကို (probability theory) အသုံးပြုကြသည်။<ref>Davis, Philip J. (1972), "Fidelity in Mathematical Discourse: Is One and One Really Two?" *American Mathematical Monthly* 79:252–63; Fallis, Don (1997), "The Epistemic Status of Probabilistic Proof." *Journal of Philosophy* 94:165–86.</ref> နောက်ဆုံးအနေဖြင့် သက်သေပြခြင်းဆိုင်ရာ စံနှုန်းကို လက်ရှိတွင် ကွန်ပျူတာ-အကူအညီဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်းများက (computer-assisted proofs) စိန်ခေါ်လျက်ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် လူတစ်ဦးတည်းက လက်တွေ့ကျကျ အတည်ပြုရန် အလွန် ကြီးမားကျယ်ပြန့်လွန်းသော တွက်ချက်မှုများကို လုပ်ဆောင်ရန်နှင့် အတည်ပြုရန်အတွက် အလိုအလျောက် သီအိုရမ် သက်သေပြစနစ်များကို (automated theorem provers) အသုံးပြုကြသည်။ ဤအခြေခံလုပ်ထုံးလုပ်နည်းဆိုင်ရာ အပြောင်းအလဲကို အရောင်လေးမျိုး သီအိုရမ်၏ (four-color theorem) ပထမဆုံး သက်သေပြခြင်းက ထင်ရှားစွာ သရုပ်ပြသခဲ့သည်။<ref>Steven G. Krantz. "The History and Concept of Mathematical Proof." February 5, 2007; {{cite book |editor-last=Gowers |editor-first=Timothy |title=The Princeton Companion to Mathematics |year=2008 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2}}</ref> == သင်္ချာဆိုင်ရာ ရေးသားနည်းနှင့် ပညာရေးဆိုင်ရာ ပုံစံချခြင်း (Mathematical Writing and Educational Formatting) == ဤသက်သေပြခြင်းများ၏ ယန္တရားများကို သင်ကြားပေးရန်အတွက် သင်ကြားရေးပညာသည် (pedagogy) တိကျသော ပုံစံချခြင်းဆိုင်ရာ စံနှုန်းများကို တိုးတက်ပြောင်းလဲစေခဲ့သည်။ ရာစုနှစ် နှစ်ဆယ် အစောပိုင်း အမေရိကန် ဂျီဩမေတြီ စာသင်ခန်းများတွင် [[သင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ]] ကောက်ချက်ချခြင်းကို တိုင်နှစ်ခုပါ သက်သေပြခြင်းမှတစ်ဆင့် (two-column proof) အလွန် ပုံစံတကျဖြစ်အောင် ဖန်တီးခဲ့ကြသည်။<ref>{{cite journal |first=Patricio G. |last=Herbst |title=Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century |url=https://archive.org/details/sim_educational-studies-in-mathematics_2002_49_3/page/283 |journal=Educational Studies in Mathematics |volume=49 |issue=3 |year=2002 |pages=283–312}}; {{cite web|url=https://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/two_column_proof.htm |title=Introduction to the Two-Column Proof |author=Dr. Fisher Burns |website=onemathematicalcat.org |access-date=October 15, 2009}}</ref> သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များကို ဘယ်ဘက်တိုင်တွင် အစဉ်လိုက် စာရင်းပြုစုထားသည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် မျဉ်းပြိုင်ဖြစ်သော ညာဘက်တိုင်က သက်ဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုစီသည် မည်သည့်အတွက်ကြောင့် မှန်ကန်ကြောင်းကို မျှတစွာ ရှင်းပြပေးသည့် အတိအကျ အကြောင်းပြချက်ကို ပေးစွမ်းသည်။ ထိုအကြောင်းပြချက်များတွင် [[နဂိုမှန်အဆို]]၊ အဆိုပြုယူဆချက် သို့မဟုတ် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ခြင်း စသည်တို့ ပါဝင်သည်။ သို့သော် ပရော်ဖက်ရှင်နယ် သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် သက်သေပြခြင်းတစ်ခုသည် ညီမျှခြင်းများ၏ စာသားတန်းတစ်ခု သက်သက်မဟုတ်ပေ။ ၎င်းကို လူသားဖတ်ရှုသူအား ယုံကြည်လက်ခံလာစေရန် ရည်ရွယ်ရေးသားထားသော အလွန်စနစ်တကျ တည်ဆောက်ထားသည့် စာစီစာကုံးတစ်ပုဒ်ကဲ့သို့ သဘောထားကြသည်။ ထို့ကြောင့် စာရေးသူများသည် တိကျသော ရေးဟန်ဆိုင်ရာ သဒ္ဒါစည်းမျဉ်းများကို လိုက်နာကြသည်။ သက်သေပြခြင်းများကို ဖတ်ရှုသူအား ယုတ္တိဗေဒတစ်လျှောက် လမ်းညွှန်ပေးသည့် အပြန်အလှန် စကားပြောဟန်တစ်ခု ဖန်တီးရန်အတွက် ပထမနာမ်စား အများကိန်းဖြစ်သော (first-person plural) "ကျွန်ုပ်တို့" ကို အသုံးပြု၍ ရေးသားကြသည်။ သဒ္ဒါပိုင်းဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုများကို ရှောင်ရှားရန်အတွက် စာရေးသူများအား ဝါကျတစ်ကြောင်းကို သင်္ချာသင်္ကေတတစ်ခုဖြင့် မည်သည့်အခါမျှ မစတင်ရန် လေ့ကျင့်သင်ကြားပေးထားသည်။ ထို့အပြင် သင်္ကေတများကို ကြိယာများအဖြစ် အသုံးပြုမည့်အစား သင်္ချာသင်္ကေတများကို သဘာဝဘာသာစကား စကားလုံးများဖြင့် ပိုင်းခြားရန်နှင့် သင်္ချာညီမျှခြင်းများကို စံ အင်္ဂလိပ်ဝါကျများကဲ့သို့ပင် ပုဒ်မများဖြင့် အတိအကျ ပုဒ်ဖြတ်ပုဒ်ရပ် ပြုလုပ်ရန်လည်း သင်ကြားပေးထားသည်။<ref>{{cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |url=https://archive.org/details/bookofproof0000hamm |year=2018 |publisher=Richard Hammack |isbn=978-0-9894721-3-5}}</ref> == ကိုးကား == {{Reflist|2}} [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] so6iv9bcu9oozz9kdmbeg4htez6txku 0 291160 1060841 1057809 2026-10-31T12:18:05Z Mkant00 135890 1060841 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာ]]တွင် '''အနုတ်ကိန်း (negative number)''' သည် သုည (zero) ထက်ငယ်သော [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ် (real number)]] တစ်ခုဖြစ်သည်။ အနုတ်ကိန်းများသည် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်မှုများကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အပေါင်းသည် ညာဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို ကိုယ်စားပြုပါက အနုတ်သည် ဘယ်ဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra)]] တွင် အနုတ်ကိန်းကို အစဉ်ကျသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (ordered rings) နှင့် [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ (fields)]] ကဲ့သို့သော အစဉ်ကျသော သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (ordered mathematical structures) အတွင်းရှိ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) သဘောတရားမှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ထားသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ [[နုတ်ခြင်း|နုတ်ခြင်း (subtraction)]] ကို အဓိက [[ဂဏန်းသင်္ချာ|ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှု (arithmetic operation)]] တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ကြသော်လည်း ခေတ်သစ်သင်္ချာကမူ ၎င်းကို အနုတ်ပမာဏတစ်ခုအား [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းခြင်း (addition)]] အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ == သမိုင်းကြောင်း == အနုတ်ကိန်းများကို သဘောတရားအဖြစ် ဖန်တီးခြင်းနှင့် လက်ခံခြင်းသည် ရှည်လျားပြီး မညီညာသော သမိုင်းဝင်လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရုပ်ဝတ္ထုပစ္စည်းများ၏ အနုတ်ပမာဏများကို သဘောတရားအဖြစ် စိတ်ကူးပုံဖော်ရာတွင် ကြုံတွေ့ရသော အခက်အခဲများနှင့် အနုတ်ရလဒ်များ ထွက်ပေါ်လာသော [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်း (equation)]] များသည် အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ယုံကြည်မှုတို့ကြောင့် ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ကြန့်ကြာခဲ့ရသည်။ ဟယ်လင်နစ်စတစ် ဂရိခေတ်တွင် အလက်ဇန္ဒရီးယားမြို့မှ ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) သည် <math>4x + 20 = 4</math> နှင့် ထပ်တူညီသော ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေမှာ အနုတ်ဖြစ်နေသောကြောင့် ၎င်းကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ကျော်ကြားစွာ ယူဆခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဂရိ[[ဂျီဩမေတြီ]]ပညာရှင်များသည် အပေါင်း ကိန်းရင်းများ (positive roots) မရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (quadratic forms) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်း မပြုခဲ့ကြပေ <ref>{{Citation |last1=Needham |first1=Joseph |last2=Wang |first2=Ling |title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |edition=reprint |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1995 |orig-date=1959 |isbn=978-0-521-05801-8 |page=90}}</ref><ref>{{Citation |last=Heath |first=Thomas L. |title=The Works of Archimedes |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1897 |page=cxxiii}}</ref>။ အနုတ်ပမာဏများကို စနစ်တကျ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းထားသည့် အစောဆုံး ကျန်ရစ်သောမှတ်တမ်းသည် ဟန်ခေတ်မှစတင်ခဲ့သော ရှေးဟောင်းတရုတ်နိုင်ငံ၏ သင်္ချာအနုပညာဆိုင်ရာ အခန်းကိုးခန်း (Nine Chapters on the Mathematical Art) ကျမ်းထဲတွင် ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=176–177}}</ref>။ ယင်နှင့် ယန်ကဲ့သို့သော ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ အစုံလိုက်သဘောတရားများ၏ လွှမ်းမိုးမှုကြောင့် တရုတ်သင်္ချာပညာရှင်များသည် အပေါင်းနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရန် ရေတွက်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အပေါင်း မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) အတွက် အနီရောင်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ပြီး အနုတ်များအတွက် အနက်ရောင်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ <ref>{{Citation |last=Hodgkin |first=Luke |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |publication-place=Oxford |publisher=Oxford University Press |date=2005 |isbn=978-0-19-152383-0 |page=88}}</ref><ref>{{Citation |last1=Needham |first1=Joseph |last2=Wang |first2=Ling |title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |edition=reprint |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1995 |orig-date=1959 |isbn=978-0-521-05801-8 |pages=90–91}}</ref> တတိယရာစုတွင် လျှိုဟွေ (Liu Hui) သည် ၎င်းတို့၏ [[ပေါင်းခြင်း]]နှင့် [[နုတ်ခြင်း]]အတွက် ရှင်းလင်းပြတ်သားသော စည်းမျဉ်းများကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း တရုတ်လူမျိုးများသည် အနုတ်ပမာဏများကို ညီမျှခြင်းများ၏ သီးခြားအဖြေများအဖြစ် လက်မခံခဲ့ကြသေးပေ <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |page=180}}</ref>။ ရှေးခေတ်နှင့် အလယ်ခေတ် အိန္ဒိယနိုင်ငံတွင် အနုတ်ကိန်းများကို [[အက္ခရာသင်္ချာ]]နှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ စီအီး အစောပိုင်းရာစုနှစ်များမှ ကိုးရာစုအထိ ခန့်မှန်းသက်တမ်းရှိသော ရှေးဟောင်း ဘာခ်ရှာလီ လက်ရေးစာမူ (Bakhshali Manuscript) သည် အနုတ်ကိန်းများကို ညွှန်ပြရန် အပေါင်း သင်္ကေတ (<math>+</math>) ကို အသုံးပြု၍ အနုတ်တန်ဖိုးများဖြင့် တွက်ချက်မှုများကို လုပ်ဆောင်ခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Teresi |first=Dick |title=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science—from the Babylonians to the Mayas |publication-place=New York |publisher=Simon & Schuster |date=2002 |isbn=978-0-684-83718-5 |pages=65–66}}</ref><ref>{{Citation |last=Hayashi |first=Takao |editor-last=Selin |editor-first=Helaine |title=Bakhshālī Manuscript |encyclopedia=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures |volume=1 |publication-place=Dordrecht |publisher=Springer |date=2008 |isbn=978-1-4020-4559-2 |page=B2}}</ref>။ စီအီး ၆၂၈ ခုနှစ်တွင် ဗြဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် သူ၏ Brahmasphutasiddhanta ကျမ်းတွင် အနုတ်ကိန်းများကို ကြွေးမြီများအဖြစ်နှင့် အပေါင်းကိန်းများကို ဓနဥစ္စာများအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုကာ အနုတ်ကိန်းများနှင့် သုညတို့၏ [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ကို ပုံစံတကျဖြစ်စေခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Needham |first=Joseph |last2=Wang |first2=Ling |title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |edition=reprint |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1995 |orig-date=1959 |isbn=978-0-521-05801-8 |page=90}}</ref>။ ဗြဟ္မဂုတ္တသည် လက္ခဏာပါသော ပမာဏများအတွက် ပြည့်စုံသော တွက်ချက်မှုစည်းမျဉ်းများကို သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ အနုတ်ကိန်းနှစ်ခု သို့မဟုတ် အပေါင်းကိန်းနှစ်ခု၏ [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်လဒ်များ (products)]] နှင့် စားလဒ်များ (quotients) သည် အပေါင်းဖြစ်ကြောင်းနှင့် လက္ခဏာမတူသော ကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်များနှင့် စားလဒ်များသည် အနုတ်ဖြစ်ကြောင်း သူက ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းစည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) အတွက် ယေဘုယျ အဖြေများကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=198, 220}}</ref>။ ဆယ့်နှစ်ရာစုတွင် ဘာစကာရာ-၂ (Bhāskara II) သည် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ၏ အနုတ် ကိန်းရင်းများကို အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း လက်တွေ့ကမ္ဘာရှိ ဂျီဩမေတြီနှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေများတွင် ၎င်းတို့ကို မကြာခဏ ဖယ်ထုတ်လေ့ရှိကြောင်း သူက ဖော်ပြခဲ့သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် လူအများသည် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို သဘောမတူသောကြောင့် ဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=200–201}}</ref>။ အစ္စလာမ့် ရွှေခေတ်အတွင်း သင်္ချာပညာရှင်များသည် အိန္ဒိယ ဂဏန်းသင်္ချာကို လက်ခံရယူခဲ့ကြသော်လည်း အနုတ်ကိန်းများနှင့်ပတ်သက်၍ အစပိုင်းတွင် သတိထားချဉ်းကပ်ခဲ့ကြသည်။ မိုဟာမက် အစ်ဗင် မူဆာ အယ်လ်-ခိုဝါရစ်ဇ်မီ (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) သည် သူ၏ ကိုးရာစုထုတ် အယ်လ်-ဂျာဘာ (Al-Jabr) ကျမ်းတွင် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများနှင့် အနုတ်အဖြေများကို ချန်လှပ်ခဲ့သည်။ အပေါင်းပမာဏများကိုသာ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းထားရန်အတွက် ၎င်းသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို သီးခြားအခြေအနေများအဖြစ် ခွဲခြားခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Rashed |first=Roshdi |title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra |publication-place=Dordrecht |publisher=Kluwer Academic Publishers |date=1994 |isbn=978-0-7923-2565-9 |pages=36–37}}</ref><ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=208, 210}}</ref>။ သို့သော် ဆယ်စုနှစ်များအတွင်းမှာပင် အဘူ ကာမစ်လ် (Abu Kamil) သည် <math>(a \pm b)(c \pm d)</math> ပုံစံရှိသော မြှောက်လဒ်များ၏ ဖြန့်ထုတ်ချက်များတွင် လက္ခဏာစည်းမျဉ်းကို သရုပ်ပြခဲ့သည်။ အဘူလ်-ဝါဖာ (Abu'l-Wafa) သည် စီးပွားရေးကြွေးမြီများကို အနုတ်ကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ကိုင်တွယ်ခဲ့သည်။ အယ်လ်-ကရာဂျီ (Al-Karaji) ကလည်း အနုတ်ပမာဏများကို ပုံစံတကျ အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ရမည်ဟု သူ၏ အယ်လ်-ဖာခရီ (Al-Fakhri) ကျမ်းတွင် အခိုင်အမာဆိုခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Bin Ismail |first=Mat Rofa |editor-last=Selin |editor-first=Helaine |title=Algebra in Islamic Mathematics |encyclopedia=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures |volume=1 |edition=2nd |publication-place=Dordrecht |publisher=Springer |date=2008 |isbn=978-1-4020-4559-2 |page=115}}</ref><ref>{{Citation |last=Rashed |first=Roshdi |title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra |publication-place=Dordrecht |publisher=Kluwer Academic Publishers |date=1994 |isbn=978-0-7923-2565-9 |pages=36–37}}</ref>။ ဆယ့်နှစ်ရာစုတွင် အယ်လ်-ဆာမာဝေါလ် (Al-Samawal) သည် လက္ခဏာပါသော ကိန်းများကို ပိုလီနိုမီရယ် ဂဏန်းသင်္ချာ (polynomial arithmetic) အတွင်းသို့ အပြည့်အဝ ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ သူသည် ယေဘုယျ နုတ်ခြင်း စည်းမျဉ်းများနှင့် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (polynomial division) ရှိ မြှောက်ခြင်းအတွက် လက္ခဏာစည်းမျဉ်းများကို ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Rashed |first=Roshdi |title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra |publication-place=Dordrecht |publisher=Kluwer Academic Publishers |date=1994 |isbn=978-0-7923-2565-9 |pages=36–37}}</ref>။ အလယ်ခေတ် ဥရောပတွင် ဖီဘိုနာချီ (Fibonacci) ဟုလည်းသိကြသော ပီဆာမှ လီယိုနာဒို (Leonardo of Pisa) သည် သူ၏ ၁၂၀၂ ခုနှစ်ထွက် လစ်ဘာ အဘာချီ (Liber Abaci) ကျမ်းနှင့် ၁၂၂၅ ခုနှစ်ထွက် ဖလော့စ် (Flos) ကျမ်းတို့တွင် အနုတ်ကိန်းများကို ခွင့်ပြုအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ ဆုံးရှုံးမှုများ သို့မဟုတ် ကြွေးမြီများအဖြစ် သူက အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=230–231}}</ref>။ ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းမှုများ ပိုမိုတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၁၄၈၄ ခုနှစ်တွင် နီကိုလတ်စ် ချူကေး (Nicolas Chuquet) သည် အနုတ်ထပ်ကိန်းများ (negative exponents) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ သူသည် ဤရလဒ်များကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ယူဆခဲ့သော်လည်း အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (<math>4x = -2</math>) တွင် သီးသန့် အနုတ်ပမာဏတစ်ခုကို ဖော်ပြသည့် ပထမဆုံး ဥရောပတိုက်သား ဖြစ်လာခဲ့သည် <ref>{{Citation |last1=Flegg |first1=Graham |last2=Hay |first2=C. |last3=Moss |first3=B. |title=Nicolas Chuquet, Renaissance Mathematician: A Study with Extensive Translations of Chuquet's Mathematical Manuscript Completed in 1484 |publication-place=Dordrecht |publisher=D. Reidel Publishing Co. |date=1985 |isbn=978-90-277-1872-3 |page=354}}</ref><ref>{{Citation |last=Johnson |first=Art |title=Famous Problems and Their Mathematicians |publication-place=Westport, CT |publisher=Greenwood Publishing Group |date=1999 |isbn=978-1-56308-446-1 |page=56}}</ref><ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |page=250}}</ref>။ မီခါအဲလ် ရှတီးဖဲလ် (Michael Stifel) ၏ ၁၅၄၄ ခုနှစ်ထုတ် အရစ်သမက်တီကာ အင်တီဂရာ (Arithmetica Integra) ကျမ်းသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများကို ပေါင်းစည်းရန်အတွက် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ သို့တိုင်အောင် အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်မဲ့ကိန်းများဟု ဆက်လက်ခေါ်ဆိုခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ကို ကိန်းရင်းများအဖြစ် လက်မခံဘဲ ပယ်ချခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |page=255}}</ref>။ ၁၅၄၅ ခုနှစ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို (Gerolamo Cardano) သည် သူ၏ အာစ် မက်ဂ်နာ (Ars Magna) ကျမ်းတွင် အနုတ်ကိန်းများကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို နူးမရီ ဖစ်တီ (numeri ficti) ဟု သူက အမည်ပေးခဲ့သည်။ သို့သော် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ရှောင်ရှားလိုမှုကြောင့် သူသည် သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများ ၏ သီးခြားအခြေအနေ ဆယ့်သုံးခုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် လိုအပ်ခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Needham |first=Joseph |last2=Wang |first2=Ling |title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |edition=reprint |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1995 |orig-date=1959 |isbn=978-0-521-05801-8 |page=90}}</ref><ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=258–260}}</ref>။ နောက်ပိုင်း ရှေ့ဆောင်ပညာရှင်များဖြစ်သော ဖရန်စွာ ဗီယက် (François Viète) နှင့် သောမတ်စ် ဟယ်ရီယော့ (Thomas Harriot) တို့သည် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် ဝန်လေးမှုကြောင့် အဟန့်အတားဖြစ်ခဲ့ကြဆဲဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=275–276}}</ref>။ ၁၆၂၉ ခုနှစ်တွင် အယ်လ်ဘတ် ဂျီရတ် (Albert Girard) ထံမှ ပိုမိုရှင်းလင်းသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အခြေခံတစ်ခု ထွက်ပေါ်လာခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီတွင် အပေါင်းက ရှေ့တိုးခြင်းဖြစ်ပြီး အနုတ်က နောက်ဆုတ်ခြင်းကို ညွှန်ပြသည်ဟု ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အနုတ် ကိန်းရင်းများသည် အပေါင်း ကိန်းရင်းများနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်သို့ ဦးတည်နေကြောင်း ရှင်းပြခြင်းဖြင့် ကိန်းမျဉ်း (number line) သဘောတရားကို ကြိုတင်မှန်းဆခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |page=276}}</ref>။ ဆယ့်ခုနစ်ရာစုနှင့် ဆယ့်ရှစ်ရာစုနှစ်များတွင် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဂျီဩမေတြီ (coordinate geometry) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တို့အတွင်းသို့ အနုတ်ကိန်းများ တဖြည်းဖြည်း ပေါင်းစပ်ပါဝင်လာသည်ကို တွေ့မြင်ခဲ့ရသည်။ ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) သည် သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ ကျမ်းတွင် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို မှားယွင်းသော ကိန်းရင်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို ခြေရာခံရန် သူ၏ နာမည်ကျော် လက္ခဏာ စည်းမျဉ်း ကို ဖန်တီးခဲ့သော်လည်း အနုတ် အက်ဘ်ဆစ်ဆာ (x-ကိုဩဒိနိတ်) (abscissas) များကိုမူ အသုံးမပြုခဲ့ပေ <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=312, 317, 319}}</ref>။ အနုတ် ကိုဩဒိနိတ်များကို ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်မှုမရှိခြင်းကြောင့် ခေတ်ပြိုင်သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဒေကားတ်၏ ဖိုလီယမ် (Folium of Descartes) သို့မဟုတ် ဆလူးစ်၏ ပုလဲမျဉ်းကွေးများ (Pearls of de Sluze) ကဲ့သို့သော မျဉ်းကွေးများ (curves) ၏ သဘောသဘာဝကို မှားယွင်းစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ [[ခရစ်စတီယန် ဟိုင်ဂန်]] (Christiaan Huygens) က ၎င်းတို့ကို ကွဒ်ဒရန့် (quadrant) လေးခုစလုံးဖြတ်၍ ပုံကြမ်းဆွဲပြသည့်အချိန်ရောက်မှသာ ထိုအမှားများ ပြေလည်သွားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ၁၆၇၆ ခုနှစ်တွင် အိုင်းဆက် နယူတန် (Isaac Newton) သည် အနုတ် ကိုဩဒိနိတ်များပါဝင်သော ဝင်ရိုးအပြည့်နှစ်ခုကို စနစ်တကျ အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ဤအဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုများကို ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=324, 342, 368}}</ref>။ ဆယ့်ရှစ်ရာစုအထိတိုင်အောင် အခြေခံဆိုင်ရာ သံသယများ ကျန်ရှိနေခဲ့ပြီး ဖတ်စာအုပ်ရေးသားသူများကို မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းများနှင့်ပတ်သက်၍ ငြင်းခုံရန် သို့မဟုတ် အနုတ် မြှောက်လဒ်များကို လုံးဝပယ်ချရန် တွန်းအားပေးခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |page=381}}</ref>။ လာဇာ ကာနို (Lazare Carnot) သည် ဖြတ်မျဉ်းများ (secants) နှင့် လေးကြိုးများ (chords) ဆိုင်ရာ ကွဲပြားသော သီအိုရမ်များကို လက္ခဏာပြောင်းလဲခြင်းတစ်ခုအောက်တွင် သီအိုရမ်တစ်ခုတည်းအဖြစ် လျှော့ချပြခြင်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီရှိ အနုတ်ပမာဏများ၏ ပေါင်းစည်းနိုင်စွမ်းကို သရုပ်ပြခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=440–441}}</ref>။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် အနုတ်ကိန်းများ၏ [[လော့ဂရစ်သမ်|လော့ဂရစ်သမ်များ (logarithms)]] နှင့်ပတ်သက်၍ ယန် ဘာနူးလီ (Johann Bernoulli) နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ကြား ရှည်လျားသော ငြင်းခုံမှုတစ်ခု ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ယန် ဘာနူးလီက <math>\ln(-x) = \ln(x)</math> ဖြစ်သည်ဟု လက်ခံထားခဲ့သည်။ ဤငြင်းခုံမှုကို ၁၇၄၇ ခုနှစ်တွင် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ဖြေရှင်းပေးခဲ့သည်။ အွိုင်လာသည် <math>e^{i\pi} = -1</math> ကို အသုံးပြု၍ အနုတ်ကိန်းများ၏ လော့ဂရစ်သမ်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းထွေးတန်ဖိုးများဖြစ်ကြောင်းနှင့် <math>x>0</math> နှင့် <math>k \in \mathbb{Z}</math> အတွက် <math>\log(-x) = \log(x) + i(2k+1)\pi</math> ဟူသော ဆက်နွယ်မှုကို သရုပ်ပြခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=396, 404–405, 413}}</ref>။ အင်္ဂလိပ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဆယ့်ကိုးရာစုအတွင်းအထိ အနုတ်ကိန်းများနှင့်ပတ်သက်၍ ရှေးရိုးစွဲ သံသယကို ထိန်းသိမ်းထားခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ပုံစံတကျ သင်္ကေတ ယုတ္တိဗေဒ (formal symbolic logic) နှင့် [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာများ]] ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အနုတ်ကိန်းများမပါဘဲ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ တွက်ချက်သည့် ဘူးလီးယန်း အက္ခရာသင်္ချာ (Boolean algebra) ကဲ့သို့သော ဘာသာရပ်များ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ထိုအခါမှသာ သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ပမာဏများကိုသာလေ့လာခြင်းမဟုတ်ဘဲ ပုံစံတကျ သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်းဖြစ်ကြောင်း အဆုံးသတ်တွင် အခိုင်အမာ တည်ဆောက်နိုင်ခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Merzbach |first=Uta C. |last2=Boyer |first2=Carl B. |title=A History of Mathematics |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2011 |isbn=978-0-470-52548-7 |pages=462, 508}}</ref>။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် [[အစုဝင်]]တစ်ခုကို "အနုတ်" အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အစဉ်ကျသော တည်ဆောက်ပုံ (ordered structure) တစ်ခု လိုအပ်သည်။ အစဉ်ကျသော [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း]] (ordered integral domain) သို့မဟုတ် အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခုတွင် <math>x < 0</math> ဖြစ်ပါက အစုဝင် <math>x</math> ကို အနုတ်အဖြစ် ပုံစံတကျသတ်မှတ်ပြီး <math>x > 0</math> ဖြစ်ပါက အပေါင်းအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ မညီမျှခြင်း (inequality) ၏ နှစ်ဖက်စလုံးသို့ <math>-x</math> ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် <math>-x < 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>x > 0</math> ဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last=Pinter |first=Charles C. |title=A Book of Abstract Algebra |edition=1st |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1982 |isbn=978-0-07-050130-0 |page=206}}</ref><ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |author-link=Serge Lang |title=Algebra |edition=3rd revised |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=211 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2002 |isbn=978-0-387-95385-4 |doi=10.1007/978-1-4613-0041-0 |page=85}}</ref>။ အလိုရှိရာ [[အဘီလီယန်အုပ်စု|အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group)]] <math>(G, +)</math> ကဲ့သို့သော ပိုမိုယေဘုယျကျသည့် [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ]] အခြေအနေတွင် အစုဝင်များသည် ပင်ကို အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု သို့မဟုတ် အနုတ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့ကို ပိုင်ဆိုင်ထားခြင်းမရှိပေ။ ထိုအစား အနုတ်လက္ခဏာပြောင်းခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းမှာ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) ဖြစ်သည်။ မည်သည့်အစုဝင် <math>a</math> အတွက်မဆို ၎င်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ကို <math>-a</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆို (group axiom)]] ကို ပြည့်စုံစေသည်။ :<math>a + (-a) = (-a) + a = 0</math> အထက်ပါ ညီမျှခြင်းတွင် <math>0</math> သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်|ထပ်တူရ (additive identity)]] ဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |page=17}}</ref><ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |author-link=Serge Lang |title=Algebra |edition=3rd revised |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=211 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2002 |isbn=978-0-387-95385-4 |doi=10.1007/978-1-4613-0041-0 |page=3}}</ref>။ ထို့အပြင် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာသည် [[နုတ်ခြင်း]]ကို လွတ်လပ်သော [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation)]] အဖြစ် မဟုတ်ဘဲ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ကို [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းထည့်ခြင်း]]အတွက် အတိုကောက်အဖြစ်သာ ပြန်လည်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>a - b = a + (-b)</math> ဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last=Pinter |first=Charles C. |title=A Book of Abstract Algebra |edition=1st |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1982 |isbn=978-0-07-050130-0 |page=166}}</ref>။ နုတ်ခြင်းသည် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်သည့် ကိန်းများ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ (subsets)]] အပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံသော တွက်ချက်မှု မဖြစ်သောကြောင့် ဤတည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ လိုအပ်ချက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းများ၏ ဥပမာများမှာ <math>\mathbb{Z}^+</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Q}^+</math> တို့ဖြစ်ကြသည်။ <math>a < b</math> ဖြစ်သည့်အချိန်တိုင်း <math>a - b</math> ဖော်ပြချက်သည် အစု၏အပြင်ဘက်တွင်ရှိသော အနုတ်တန်ဖိုးတစ်ခုကို ထုတ်ပေးသည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |pages=1, 16}}</ref>။ == အနုတ်ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of negative numbers) == လက္ခဏာများကို ကိုင်တွယ်ရာတွင် အသုံးပြုသော ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်သည့် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] စည်းမျဉ်းများသည် အလိုရှိရာသတ်မှတ်ချက်များ မဟုတ်ပေ။ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းသီအိုရီ (ring theory)]] တွင် ၎င်းတို့သည် ကွင်းတစ်ခု၏ အခြေခံ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]]မှ ကောက်ချက်ချထားသော သင်္ချာနည်းကျ တိကျခိုင်မာသည့် သီအိုရမ်များ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) နှင့် အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်များ တည်ရှိမှုတို့မှ ကောက်ချက်ချထားခြင်းဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |page=226}}</ref><ref>{{Citation |last=Pinter |first=Charles C. |title=A Book of Abstract Algebra |edition=1st |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1982 |isbn=978-0-07-050130-0 |pages=167–168}}</ref>။ မည်သည့်ကွင်း <math>R</math> နှင့် [[အစုဝင်]] <math>a, b \in R</math> တို့အတွက်မဆို * '''သုညဖြင့် [[မြှောက်ခြင်း|မြှောက်ခြင်း (Multiplication by Zero)]]:''' <math>0a = (0 + 0)a = 0a + 0a</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် <math>0a = 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်စေသည်။ * '''အနုတ်နှင့် အပေါင်း မြှောက်ခြင်း (Negative times a positive):''' <math>(-a)b = a(-b) = -(ab)</math> ဖြစ်သည်။ <math>ab + (-a)b = (a + (-a))b = 0b = 0</math> ဖြစ်ကြောင်း မှတ်သားခြင်းဖြင့် ၎င်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤနည်းအားဖြင့် <math>(-a)b</math> သည် <math>ab</math> ၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြောင်း တည်ဆောက်နိုင်သည် ။ * '''အနုတ်နှင့် အနုတ် မြှောက်ခြင်း (Negative times a negative):''' <math>(-a)(-b) = ab</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သက်သေပြချက်သည် <math>(-a)(-b) = -[(-a)b] = -[-(ab)]</math> ဖြစ်တည်မှုမှ ဆင်းသက်လာသည်။ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်တစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်သည် မူလအစုဝင်ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>-(-x) = x</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရလဒ်မှာ <math>ab</math> ဖြစ်သည်။ * '''<math>-1</math> ၏ သက်ရောက်ချက် (Action of <math>-1</math>):''' မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) <math>1</math> ပါဝင်သော မည်သည့်ကွင်းတွင်မဆို <math>-1</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် အနုတ်လက္ခဏာပြောင်းခြင်းကို လုပ်ဆောင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>-a = (-1)a</math> ဖြစ်ပြီး အကျိုးဆက်အားဖြင့် <math>(-1)^2 = 1</math> ဖြစ်သည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |pages=226, 230}}</ref>။ === နှစ်ထပ်ကိန်းများနှင့် မညီမျှခြင်းများ (Squares and Inequalities) === အစဉ်ကျသော [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]]နှင့် ဒိုမိန်းများ၏ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ အပေါင်းဖြစ်စေ အနုတ်ဖြစ်စေ သုညမဟုတ်သော [[အစုဝင်]]တစ်ခုခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် အပေါင်းကိန်းသာ တိကျစွာဖြစ်ရမည် (<math>c^2 > 0</math>) ဟူသောအချက်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>c < 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်သည် အပေါင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>-c > 0</math> ဖြစ်သည်။ ဤအပေါင်းပမာဏများကို [[မြှောက်ခြင်း]]က <math>(-c)(-c) > 0</math> ကို ရရှိစေသည်။ <math>(-c)(-c) = c^2</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>c^2 > 0</math> ဖြစ်ကြောင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကြောင့် မည်သည့် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်တွင်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတန်ဖိုး အနုတ်ဖြစ်နေသော အစုဝင် မပါဝင်နိုင်ပေ။ ထိုအချက်သည် သမိုင်းကြောင်းအရ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]မှ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ (complex numbers)]] သို့ တိုးချဲ့ခြင်းကို လှုံ့ဆော်ပေးခဲ့သည် <ref>{{Citation |last=Pinter |first=Charles C. |title=A Book of Abstract Algebra |edition=1st |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1982 |isbn=978-0-07-050130-0 |page=206}}</ref><ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |author-link=Serge Lang |title=Algebra |edition=3rd revised |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=211 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2002 |isbn=978-0-387-95385-4 |doi=10.1007/978-1-4613-0041-0 |page=85}}</ref>။ === စားခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (The Division Algorithm) === အခြေခံ [[ကိန်းသီအိုရီ|ကိန်းသီအိုရီ (number theory)]] တွင် အနုတ် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]နှင့် တွက်ချက်သည့်အခါ အကြွင်းများ (remainders) သည် အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ရန် စားခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (Division Algorithm) ကို ကန့်သတ်ထားသည်။ တည်ကိန်း <math>m</math> နှင့် စားကိန်း <math>n > 0</math> တို့အတွက် <math>m = nq + r</math> ဖြစ်စေမည့် စားလဒ် <math>q</math> နှင့် အကြွင်း <math>r</math> ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိန်းပြည့်များ တည်ရှိသည်။ အကြွင်းသည် အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ရန် (<math>0 \le r < n</math>) တိကျစွာ လိုအပ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>-25</math> ကို <math>8</math> ဖြင့် စားခြင်းသည် အနုတ်အကြွင်းကို မထွက်ပေါ်စေပေ။ ထိုအစား စားလဒ်မှာ <math>q = -4</math> ဖြစ်ပြီး အကြွင်းမှာ <math>r = 7</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>-25 = 8(-4) + 7</math> ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည် <ref>{{Citation |last=Pinter |first=Charles C. |title=A Book of Abstract Algebra |edition=1st |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1982 |isbn=978-0-07-050130-0 |page=101}}</ref>။ == အဆင့်မြင့် သင်္ချာ (advanced mathematics) == === ပိုလီနိုမီရယ်များနှင့် ကိန်းရင်းများ (Polynomials and Roots) === ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းရင်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းနှင့်[[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်များ]] (limits) တွင် အနုတ်သဘောတရားသည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]]အပေါ်ရှိ သုံးထပ် ပိုလီနိုမီရယ် (cubic polynomial) တစ်ခုအတွက် ခွဲခြားကိန်း (discriminant) <math>D</math> ၏ လက္ခဏာသည် [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] အညွှန်းတစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ခွဲခြားကိန်း တိကျစွာ အနုတ်ဖြစ်ခြင်း (<math>D < 0</math>) က ထိုပိုလီနိုမီရယ်တွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းတစ်ခုတည်းရှိပြီး ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ကိန်းရင်းနှစ်ခုရှိမည်ဖြစ်ကြောင်း အာမခံပေးသည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |page=633}}</ref><ref>{{Citation |last=Lang |first=Serge |author-link=Serge Lang |title=Algebra |edition=3rd revised |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=211 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=2002 |isbn=978-0-387-95385-4 |doi=10.1007/978-1-4613-0041-0 |pages=180–183}}</ref>။ ထို့အပြင် မကိန်းဒီဂရီ ပိုလီနိုမီရယ်များအတွက် ကိန်းရင်း တည်ရှိမှု၏ အခြေခံသက်သေပြချက်သည် အစွန်းဖျား အပြုအမူ (end behavior) ကို တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်းဖြင့် ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် (intermediate value theorem) အပေါ် မှီခိုသည်။ ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (leading coefficient) <math>a_n > 0</math> ဖြစ်သော ကိန်းစစ် မကိန်းဒီဂရီ [[ပိုလီနိုမီရယ်]]များသည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော အနုတ် အဝင်ကိန်းများအတွက် အနုတ်တန်ဖိုးများကို ထုတ်ပေးပြီး အပေါင်း အဝင်ကိန်းများအတွက် အပေါင်းတန်ဖိုးများကို ထုတ်ပေးကာ၊ ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>a_n < 0</math> ဖြစ်ပါက အဆိုပါ လက္ခဏာများသည် ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြသည်။ သို့ဖြစ်ရာ ကိန်းစစ် မကိန်းဒီဂရီ ပိုလီနိုမီရယ်တိုင်းသည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော အနုတ်နှင့် အပေါင်း အဝင်ကိန်းများအတွက် ဆန့်ကျင်ဘက် လက္ခဏာရှိသော တန်ဖိုးများကို ဖြစ်ပေါ်စေသဖြင့် ၎င်းတို့သည် အနည်းဆုံး တစ်ကြိမ် သုညကို ဖြတ်သန်းသွားမည်ဖြစ်ကြောင်း အာမခံပေးသည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |page=615}}</ref>။ === တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း သီအိုရီနှင့် အိုင်ဒီးလ်များ (Valuation Theory and Ideals) === သရုပ်မဲ့ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]]တွင် ပြောင်းပြန် တည်ဆောက်ပုံများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် အနုတ် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]ကို အသုံးပြုသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ကွင်းများ (discrete valuation rings - D.V.R.) တွင် တန်ဖိုးဖြတ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင် (valuation function)]] <math>v: K^\times \to \mathbb{Z}</math> သည် အစုဝင်များကို [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ]] တန်ဖိုးရှာဖွေပေးသည်။ အပေါင်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းက ပုံမှန် သုညမှတ်ကို ညွှန်ပြသော်လည်း အနုတ် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း (<math>v(f) < 0</math>) သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (pole) ကို တည်ဆောက်ပုံအရ သတ်မှတ်ပေးသည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |pages=755–756}}</ref>။ အလားတူစွာ [[ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra)]] တွင် ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်း (Dedekind domain) ရှိ အပိုင်းကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (fractional ideals) ၏ အုပ်စုသည် သုညမဟုတ်သော [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]]ကို အနုတ် ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ ပိုင်ဆိုင်ခွင့်ပြုသည်။ ဤနေရာတွင် <math>I = P_1^{a_1} \cdots P_n^{a_n}</math> ဖြစ်ပြီး <math>a_i \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။ အနုတ် ထပ်ကိန်းသည် အပိုင်းကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ် (field of fractions)]] ထဲရှိ ပြောင်းပြန် အိုင်ဒီးလ်ဖြင့် [[မြှောက်ခြင်း]]ကို ညွှန်ပြသည် <ref>{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7 |pages=760, 773}}</ref>။ == References == [[ကဏ္ဍ: ကိန်းများ]] [[ကဏ္ဍ: ကိန်းစစ်များ]] 9kn2uqeoz62qf2gfs4c8duns8h4dmoi 0 291228 1060872 1057420 2026-10-31T14:02:29Z Mkant00 135890 1060872 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]] (mathematics) တွင် သင်္ကေတ <math>\mathbb{C}</math> ဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသော [[ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (complex plane) သည် ကိန်းထွေး (complex number) များ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) ကို [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] (geometric) ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေအစု (basis) <math>\{1, i\}</math> မှတစ်ဆင့် <math>\mathbb{C}</math> နှင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]နှစ်ခုရှိသော (two-dimensional) [[ကိန်းစစ်]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (real vector space) <math>\mathbb{R}^2</math> ကြားတွင် ပုံမှန်[[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (canonical isomorphism) တစ်ခုကို တည်ဆောက်ခြင်းဖြင့် မည်သည့် ကိန်းထွေး <math>z = x + iy</math> ကိုမဆို ကာတီးရှန်း [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ် စနစ်]] (Cartesian coordinate system) တစ်ခုသို့ ပုံဖော် (map) နိုင်သည်။ ဤရပ်ဝန်း (space) တွင် အလျားလိုက် <math>x</math>-ဝင်ရိုးကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (real axis) ဟု သတ်မှတ်ပြီး ဒေါင်လိုက် <math>y</math>-ဝင်ရိုးကို [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး]] (imaginary axis) ဟု သတ်မှတ်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီ <math>\mathbb{C}</math> ကို အာဂန် ပြင်ညီ (Argand plane) သို့မဟုတ် ဂေါက်စ် ပြင်ညီ (Gauss plane) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ စံ ယူကလစ်ဒ် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (Euclidean topology) နှင့် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး [[ဖန်ရှင်]] (Euclidean metric) တို့ တပ်ဆင်ထားသော ဤပြင်ညီသည် ကိန်းထွေး [[အက္ခရာသင်္ချာ]] တွက်ချက်မှုများ (algebraic operations) ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ် (geometric meaning) ကို ပေးစွမ်းသည်။ [[ပေါင်းခြင်း]] (addition) လုပ်ဆောင်ရာတွင် ကိန်းထွေးများသည် ယူကလစ်ဒ် [[ဗက်တာ]] (Euclidean vector) များကဲ့သို့ပင် သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) ပေါင်းစပ်ကြသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းထွေးနှစ်ခု၏ [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) ကို ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (polar coordinates) တွင် အလွယ်ကူဆုံး ဖော်ပြနိုင်သည်။ မြှောက်လဒ် (product) ၏ ပမာဏ (magnitude) သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ကို <math>\vert{}z\vert{}</math> ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ ဤမြှောက်လဒ်၏ မော်ဂျူးလပ်စ်သည် ၎င်းတို့တစ်ခုချင်းစီ၏ မော်ဂျူးလပ်စ်များ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် မြှောက်လဒ်၏ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (argument) <math>\arg(z)</math> သည် ၎င်းတို့ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များ၏ ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးစွန်းထောင့်ကို မော်ဂျူလို (modulo) <math>2\pi\mathbb{Z}</math> ဖြင့် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) တစ်ခုအဖြစ် တန်ဖိုးရှာဖွေ (evaluate) သည်။ မော်ဂျူးလပ်စ် <math>1</math> ရှိသော ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ပြင်ညီအား မူလနေရာ (origin) ၌သာ ဗဟိုပြု၍ ဦးတည်ချက်ကို ထိန်းသိမ်းသော လှည့်ခြင်း (orientation-preserving rotation) အဖြစ် သက်ရောက်သည်။ ဤလုပ်ဆောင်ချက်သည် သင်္ချာသဘောတရားအရ စက်ဝိုင်းအုပ်စု (circle group) ၏ [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်|သက်ရောက်ချက်]] (action) နှင့် ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိသည်။ == တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Extended complex plane) == သင်္ကေတ <math>\overline{\mathbb{C}}</math> ဖြင့် ပြသော တိုးချဲ့ထားသော [[ကိန်းထွေး]]ပြင်ညီ (extended complex plane) ကို <math>\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}</math> ဖြစ်စေရန်အတွက် [[အနန္တ]] (infinity) ၌ အမှတ်တစ်ခုကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း]] (topological space) <math>\mathbb{C}</math> ၏ အလက်ဇန်ဒရော့ဗ် အမှတ်တစ်မှတ် ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (Alexandroff one-point compactification) မှတစ်ဆင့် တည်ဆောက် (construct) သည်။ ဤကျစ်လျစ်ပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (compactified topology) တွင် <math>\infty</math> ၏ အခြေခံ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) ကို <math>\mathbb{C}</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် စံ ယူကလစ်ဒ် စက်ဝိုင်း (Euclidean circle) ၏ ပြင်ပနယ်မြေဖြင့်မဆို သတ်မှတ်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် ဗဟို (center) <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> နှင့် တိကျစွာ အပေါင်းကိန်းဖြစ်သော အချင်းဝက် (radius) <math>R > 0</math> တို့အတွက် <math>\{\infty\} \cup \{z \in \mathbb{C} : \vert{}z - z_{0}\vert{} > R\}</math> ပုံစံရှိသော မည်သည့် [[အစု]] (set) မဆို ၎င်းတွင် ပါဝင်သည်။ <math>U_0 = \mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ စံ ထပ်တူရ မြေပုံချပ် (identity chart) နှင့် <math>U_\infty = \overline{\mathbb{C}} \setminus \{0\}</math> အပေါ်တွင် <math>\phi_\infty(\infty) = 0</math> နှင့် <math>\phi_\infty(z) = 1/z</math> ဖြင့် သတ်မှတ်သော မြေပုံချပ်တို့ ပါဝင်ပြီး ၎င်းတို့၏ ဘုံပိုင်းပေါ်တွင် ကူးပြောင်းမှု ပုံဖော်မှု (transition map) <math>w = 1/z</math> ရှိသည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မြေပုံစု (analytic atlas) တစ်ခုကို <math>\overline{\mathbb{C}}</math> အား တပ်ဆင်ပေးခြင်းဖြင့် ယင်းရပ်ဝန်းသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]တစ်ခုရှိသော (one-dimensional) [[မန်နီဖိုး#ကိန်းထွေး_မန်နီဖိုးများ_(Complex_Manifolds)|ကိန်းထွေး မန်နီဖိုး]] (complex manifold) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤသီးသန့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံအောက်တွင် <math>\overline{\mathbb{C}}</math> သည် ရီးမန်း စက်လုံးမျက်နှာပြင် (Riemann sphere) နှင့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်သည့်အပြင် ကွန်ဖော်မယ်အရ ထပ်တူညီမှု (conformally equivalent) လည်း ရှိသည်။ အနန္တတွင် အကွာအဝေး [[ဖန်ရှင်]]၏ ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်း (metric singularity) နှင့် မကြုံတွေ့ရဘဲ <math>\overline{\mathbb{C}}</math> တစ်လျှောက် ညီညာစွာ အကွာအဝေးများ တိုင်းတာနိုင်ရန်အတွက် ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (stereographic projection) သည် တိုးချဲ့ထားသောပြင်ညီကို <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်း ထည့်သွင်း (embed) ထားသော အချင်းဝက် <math>R=1</math> ရှိသည့် စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere) တစ်ခုပေါ်သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤသို့ပြုလုပ်ခြင်းက <math>\overline{\mathbb{C}}</math> အပေါ်တွင် စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ သို့မဟုတ် လေးကြိုးဆိုင်ရာ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (chordal metric) <math>\rho</math> ကို လှုံ့ဆော် (induce) ပေးပြီး ၎င်းကို အောက်ပါ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (equation) ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ :<math>\rho(z, w) = \frac{2\vert{}z - w\vert{}}{\sqrt{1 + \vert{}z\vert{}^2}\sqrt{1 + \vert{}w\vert{}^2}}, \quad z, w \in \mathbb{C},</math> :<math>\rho(z, \infty) = \frac{2}{\sqrt{1 + \vert{}z\vert{}^2}}.</math> == ကိုးကား == * {{Citation |title=Extended complex plane |work=Encyclopedia of Mathematics |url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Extended_complex_plane&oldid=46878}} {{Dead link|date=October 2026 }} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] nch80xs88r5w2lo22m5rr3b2rs0svpz 0 291231 1060902 1057501 2026-10-31T17:19:44Z Mkant00 135890 1060902 wikitext text/x-wiki ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း [[ညီမျှခြင်း]] (Diophantine equation) သို့မဟုတ် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (system of equations) သည် ပုံမှန်အားဖြင့် [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း]] (polynomial equation) <math>P(x_1, x_2, \dots , x_n) = 0</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများ၏ အဖြေများ (solutions) ကို ကိန်းပြည့်များ (integers) သို့မဟုတ် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) တွင်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ယင်းတို့ကို ကိန်းပြည့်များအပေါ်တွင် ရှေးရိုးစဉ်လာအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ ပေးလေ့ရှိသော်လည်း ခေတ်သစ်လေ့လာမှုများတွင် မြှောက်ဖော်ကိန်းများနှင့် အဖြေ ရပ်ဝန်းများ (solution spaces) အား အလိုရှိရာ [[ကိန်း]] [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်များ]] (number fields) ဆီသို့ သဘာဝကျကျ တိုးချဲ့ထားသည်။ ဤညီမျှခြင်းများတွင် ပါဝင်သော မသိကိန်းများ (unknowns) အရေအတွက်သည် ညီမျှခြင်းအရေအတွက်ထက် ပုံမှန်အားဖြင့် ပိုများလေ့ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့ကို မရေမရာ ညီမျှခြင်းများ (indefinite equations) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းသည် [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) ၏ အဓိကမဏ္ဍိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ်[[သင်္ချာ]] (modern mathematics) တွင် ဤသဘောတရားကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်လာစေရန် တိုးချဲ့ထားသည်။ ယင်းတွင် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (rational field) <math>\mathbb{Q}</math> မှ အမျိုးမျိုးသော [[အက္ခရာသင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (algebraic extensions) ၏ ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) အတွင်း၌ အဖြေရှာသော ညီမျှခြင်းများ ပါဝင်လာသည်။ ထို့အပြင် p-အခြေခံကိန်းများ (p-adic numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် အတွင်း၌ အဖြေရှာသော ညီမျှခြင်းများလည်း ပါဝင်လာသည်။ ဤပညာရပ်နယ်ပယ်သည် [[ကိန်းသီအိုရီ]] နှင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ [[ဂျီဩမေတြီ]] (algebraic geometry) တို့ ပေါင်းဆုံရာတွင် တည်ရှိသည်။ ယင်းနယ်ပယ်ကို ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ဂျီဩမေတြီ (Diophantine geometry) သို့မဟုတ် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ဆိုင်ရာ [[ဂျီဩမေတြီ]] (arithmetic geometry) ဟု မကြာခဏ ခေါ်ဆိုကြသည်။ === သမိုင်း (History) === [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]]အတွက် [[ကိန်းပြည့်]] အဖြေများ ရှာဖွေခြင်းသည် အစောဆုံးသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာများအနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤပြဿနာသည် ဘီစီ နှစ်ထောင်စုနှစ်ရှိ ဘေဘီလုံလူမျိုးများအထိ သက်တမ်းရှိသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို ရှေးဟောင်း ဂရိခေတ်တွင် ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် အေဒီ ၃ ရာစုတွင် ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) က သူ၏ [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (Arithmetica) ကျမ်းတွင် ရေးသားဖော်ပြခဲ့သည်။ ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲကြောင်း နာမည်ကြီးသည်။ ထို့ပြင် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဖြေရှင်းနည်းလမ်းလည်း မရှိပေ။ မာတင် ဒေးဗစ်၊ ယူရီ မာတီယာဆီဗစ်ချ်၊ ဟီလာရီ ပွတ်တနမ် နှင့် ဂျူလီယာ ရော်ဘင်ဆန် (Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam, and Julia Robinson) တို့ကို အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားသော အမ်အာဒီပီ သီအိုရမ် (MRDP theorem) ဖြင့် ယင်းအချက်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ဤသီအိုရမ်သည် ဟီလ်ဘတ် ၏ ဒသမမြောက် ပြဿနာ (Hilbert's tenth problem) ကိုလည်း ဖြေရှင်းပေးခဲ့သည်။ ဤသက်သေပြချက်အရ အလိုရှိရာ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] ညီမျှခြင်း (arbitrary polynomial equation) <math>F(x_1, \dots, x_n) = 0</math> တစ်ခုတွင် ကိန်းပြည့် အဖြေများ ရှိမရှိကို ဆုံးဖြတ်ပေးနိုင်မည့် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (algorithm) မတည်ရှိနိုင်ကြောင်း သိရသည်။ === ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများ၏ အဓိက အတန်းအစားများ (Major Classes of Diophantine Equations) === ==== မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (Linear Equations) ==== အရှင်းလင်းဆုံးသော ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းမှာ <math>ax + by = 1</math> ဟူသော [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] (linear equation) ဖြစ်သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ကလော့ဒ် ဂတ်စ်ပါ ဘာရှေး ဒီ မီဇီရီရတ် (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) က ဤညီမျှခြင်းကို ယေဘုယျ သီအိုရီ (general theory) အဖြစ် တိုးတက်စေခဲ့သည်။ အကယ်၍ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (coprime integers) ဖြစ်ပါက ဤညီမျှခြင်းတွင် အဆုံးမဲ့များပြားသော အဖြေများ ရှိသည်။ <math>(x_0, y_0)</math> သည် အဖြေတစ်ခုဖြစ်ပါက အဖြေများအားလုံးသည် <math>x = x_0 + bn</math> နှင့် <math>y = y_0 - an</math> ပုံစံကို ယူကြသည်။ ထိုနေရာတွင် <math>n</math> သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ ==== နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများနှင့် ပုံစံများ (Quadratic Equations and Forms) ==== <math>ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0</math> ပုံစံရှိ ယေဘုယျ ကိန်းရှင်နှစ်ခုပါ နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖဲမ၊ အွိုင်လာ နှင့် လာဂေါင့် (Fermat, Euler, and Lagrange) တို့က ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လေ့လာခဲ့ကြသည်။ လာဂေါင့်သည် ဆက်တိုက်[[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်းများကို]] (continued fractions) အသုံးပြု၍ လေ့လာခဲ့သည်။ ဂေါက်စ် (Gauss) သည်လည်း နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (quadratic forms) ကို အသုံးပြု၍ လေ့လာခဲ့သည်။ * '''ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) -''' <math>x^2 + y^2 = z^2</math> ညီမျှခြင်းသည် ထောင့်မှန်တြိဂံများ၏ အနားအလျားများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ လိုအပ်ပါက <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့ကို နေရာလဲလှယ်ခြင်းဖြင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] အပေါင်းကိန်းပြည့် အဖြေများ အားလုံးကို <math>x = m^2 - n^2</math>၊ <math>y = 2mn</math> နှင့် <math>z = m^2 + n^2</math> ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် (parametric equations) ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပြီး <math>m > n > 0</math> အခြေအနေရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် <math>m</math> သို့မဟုတ် <math>n</math> နှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခုတိတိသည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံကိန်း]] (even) ဖြစ်ရမည်။ * '''ကိန်းများ၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Representations of Numbers) -''' လာဂေါင့်၏ လေးထပ်ကိန်းလေးခုပေါင်း သီအိုရမ် (Lagrange's four-square theorem) (<math>x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = N</math>) ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများဖြင့် ကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းသည် သေချာစွာ စူးစမ်းလေ့လာထားသော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ပေါ်၌သော်လည်းကောင်း၊ [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime) <math>p</math> တိုင်းအတွက် [[P-အခြေခံကိန်း|p-အခြေခံကိန်းများ]] ပေါ်၌သော်လည်းကောင်း အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ ရှိခြင်းသည် <math>\sum a_{ij}x_i x_j = 0</math> နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံတွင် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ရာရှင်နယ် အဖြေ (non-trivial rational solution) ရှိစေရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်ကြောင်း မင်ကော့စကီး-ဟပ်ဆေး သီအိုရမ် (Minkowski–Hasse theorem) က ဆိုသည်။ ====ပိုမိုမြင့်မားသော ဒီဂရီရှိသည့် ညီမျှခြင်းများ (Higher-Degree Equations)==== ဒီဂရီ ၃ နှင့်အထက်ရှိသော ညီမျှခြင်းများတွင် ကြီးမားသော တိုးတက်မှုများကို ၂၀ ရာစုအတွင်း အများဆုံး ရရှိခဲ့သည်။ * '''သူး ညီမျှခြင်းများ (Thue Equations) -''' သူး (Thue) က <math>F(x, y) = c</math> ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းများတွင် ကိန်းပြည့် အဖြေအရေအတွက် အများဆုံး အဆုံးရှိတစ်ခုသာရှိကြောင်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>F</math> သည် <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ ဒီဂရီ <math>n \ge 3</math> ပါဝင်သော တစ်ပြေးညီ (homogeneous) ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) ဖြစ်ပြီး <math>c</math> သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် ဖြစ်သည်။ ဤဖော်ထုတ်ချက်သည် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Diophantine approximations) သီအိုရီအပေါ် များစွာ မှီခိုနေပြီး သူး-ဆီးဂဲလ်-ရော့သ် သီအိုရမ် (Thue–Siegel–Roth theorem) အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဘေကာ (Baker) က ဤအဖြေများအတွက် ထိရောက်သော ကန့်သတ်ချက်များ (effective bounds) ဆိုင်ရာ သီအိုရမ်များကို ရရှိခဲ့သည်။ * '''ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat's Last Theorem) -''' <math>n \ge 3</math> အတွက် <math>x^n + y^n = z^n</math> ဟူသော ညီမျှခြင်းသည် [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်|ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း၏]] သဘာဝကျသော ယေဘုယျပြုထားခြင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ <math>n=4</math> အတွက် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိကြောင်းကို ဖဲမ က သက်သေပြခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အွိုင်လာ (Euler) က <math>n=3</math> အခြေအနေအတွက် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သဖြင့် ယေဘုယျပြဿနာကို [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများအတွက်သာ လေ့လာရန် လျှော့ချနိုင်ခဲ့သည်။ ဤညီမျှခြင်းကို စုံစမ်းလေ့လာခြင်းက ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings of algebraic integers) တွင် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (prime factorization) ဆိုင်ရာ သီအိုရီများ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာစေခဲ့သည်။ * '''စံနှုန်း ညီမျှခြင်းများ (Norm Equations) -''' <math>N(\alpha_1 x_1 + \dots + \alpha_k x_k) = m</math> ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းများတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ကို တွက်ယူလိုက်သောအခါ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်]] တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းမျိုးတွင် ပဲ့လ်၏ ညီမျှခြင်း (Pell's equation) (<math>x^2 - dy^2 = 1</math>) လည်း ပါဝင်သည်။ === ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ နှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများ (Modern Analytical and Geometric Methods) === ====စက်ဝိုင်း နည်းလမ်း (The Circle Method)==== ကိန်းများကို တတိယ ဒီဂရီ သို့မဟုတ် ၎င်းထက်ပို၍ မြင့်မားသော အလိုရှိရာ ပုံစံများဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် [[တြီဂိုနိုမေတြီ]] (trigonometric) ပေါင်းလဒ်များ နည်းလမ်းနှင့် ဟာဒီ-လစ်တဲဝုဒ် စက်ဝိုင်း နည်းလမ်း (Hardy–Littlewood circle method) တို့ကို အဓိကအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x_1^3 + \dots + x_9^3 = M</math> ဟူသော ပုံစံမျိုးဖြစ်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အဖြေအရေအတွက်ကို ဖူရီယာ အင်တီဂရယ် (Fourier integral) အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ထို့နောက် အဆိုပါပြဿနာကို သက်ဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ (congruences) ၏ အဖြေအရေအတွက်ရှာခြင်းဆီသို့ လျှော့ချပေးသည်။ ====ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Arithmetic Geometry)==== ခေတ်သစ် တိုးတက်မှုများတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ ကို များစွာ အသုံးပြုကြသည်။ ဖေါလ်တင်းစ် (Faltings) ၏ မော်ဒဲလ် ယူဆချက် (Mordell conjecture) အပေါ် သက်သေပြချက်သည် သမိုင်းမှတ်တိုင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤယူဆချက်အရ ကိန်း [[ဖီးလ်ဒ်]] (number field) တစ်ခုအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မျိုးစု (genus) 1 ထက်ကြီးသည့် ချောမွေ့သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေးများ (smooth algebraic curves) ၌ ရာရှင်နယ် အမှတ်များ (rational points) အရေအတွက်မှာ အဆုံးရှိသာ ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည်။ <math>n > 3</math> ဖြစ်သောအခါ ဖဲမ ညီမျှခြင်း <math>x^n + y^n = 1</math> သည် မျိုးစု <math>g \ge 3</math> ရှိသော မျဉ်းကွေးတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် ဖေါလ်တင်းစ်၏ သီအိုရမ်အရ ဤထပ်ကိန်းများအတွက် ယင်းညီမျှခြင်း၌ ရာရှင်နယ် အဖြေ အရေအတွက်မှာ အဆုံးရှိသာဖြစ်ကြောင်းကို တိုက်ရိုက် ရည်ညွှန်းနေသည်။ ====ဘရောင်ဝါ-မန်နင် တားဆီးမှု (The Brauer–Manin Obstruction)==== သုံးထပ်ကိန်း ပုံစံများနှင့် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ စနစ်များအတွက် မန်နင် (Manin) မိတ်ဆက်ခဲ့သော ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ (cohomological) နည်းလမ်းများသည် ဟပ်ဆေး မူဝါဒ (Hasse principle) ကို တားဆီးမှုတစ်ခု ဖြစ်စေသည်။ ဟပ်ဆေး မူဝါဒကို ဒေသအလိုက်-အလုံးစုံ မူဝါဒ (local–global principle) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ယင်းကို ဘရောင်ဝါ-မန်နင် တားဆီးမှု (Brauer–Manin obstruction) ဟု သိကြပြီး ရာရှင်နယ် မျက်နှာပြင်များ (rational surfaces) ၏ သဘာဝကို ရှင်းပြပေးသည်။ ဒေသအလိုက် အဖြေများ တည်ရှိနေသော်လည်း ဟပ်ဆေး မူဝါဒ ကျရှုံးရသည့် အခြေအနေများကို ယင်းက အောင်မြင်စွာ ဖြေရှင်းပေးနိုင်သည်။ == ကိုးကား == * {{Citation |title=Diophantine equations |work=Encyclopedia of Mathematics |url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Diophantine_equations&oldid=52515}} {{Dead link|date=October 2026 }} [[Category:ကိန်းသီအိုရီ]] cjrncj7en7mttmdke9vt0aqw998sz8d 0 291499 1060903 1054247 2026-10-31T17:21:47Z Mkant00 135890 1060903 wikitext text/x-wiki [[ကိန်းသီအိုရီ]] တွင် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို တခါတရံ ဖဲမ၏ ယူဆချက် (Fermat's conjecture) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ယင်းသီအိုရမ်က <math>n > 2</math> ဖြစ်သော အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] <math>a, b, c, n</math> များအတွက် <math>a^n + b^n = c^n</math> ဟု ပြေလည်စေမည့်တန်ဖိုး လုံးဝမရှိနိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည်။ <math>n=1</math> နှင့် <math>n=2</math> အခြေအနေများအတွက် [[အနန္တ]] (infinite) အဖြေများစွာ ရှိကြောင်းကို ရှေးခေတ်ကာလကတည်းက သိရှိခဲ့ကြသည်။ ဤအဆိုကို ပီယား ဒေ ဖဲမ က 1637 ခုနှစ်ခန့်တွင် Arithmetica ကျမ်းစာအုပ်၏ ဘေးနေရာလွတ်တွင် သီအိုရမ် (theorem) တစ်ခုအဖြစ် ပထမဆုံး ရေးသားဖော်ပြခဲ့သည်။ ဖဲမ က သူ့ထံတွင် ဤအဆိုအတွက် [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြခြင်း|သက်သေပြချက်]] (proof) ရှိသော်လည်း ဘေးနေရာလွတ်ထဲတွင် ရေးရန် နေရာမလောက်ကြောင်း ထပ်မံရေးသားခဲ့သည်။ ထိုအဆိုသည် သက်သေပြနိုင်ခြင်းမရှိဘဲ ကျန်ရစ်ခဲ့ပြီး သီအိုရမ်တစ်ခုထက် ယူဆချက် (conjecture) တစ်ခုအဖြစ် ပို၍ လူသိများလာခဲ့သည်။ သင်္ချာပညာရှင်များ၏ 358 နှစ်ကြာ ကြိုးပမ်းအားထုတ်မှုအပြီးတွင် ပထမဆုံး အောင်မြင်သော သက်သေပြချက်ကို အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် က 1994 ခုနှစ်တွင် ဖြန့်ချိခဲ့ပြီး 1995 ခုနှစ်တွင် တရားဝင် ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ထိုသက်သေပြချက်သည် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက် (Taniyama–Shimura conjecture) ၏ အများစုကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီး ၎င်းကို နောက်ပိုင်းတွင် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ် (Modularity theorem) ဟု သိရှိလာကြသည်။ ၎င်းသည် အခြားသော ပြဿနာမြောက်မြားစွာအတွက် ချဉ်းကပ်မှုအသစ်များအပြင် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု မြှင့်တင်ရေးနည်းစနစ်များ (Modularity lifting techniques) ကိုပါ လမ်းပွင့်သွားစေခဲ့သည်။ ဤမဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သော ပြဿနာသည် 19 ရာစုနှင့် 20 ရာစုများအတွင်း [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုကို များစွာ လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်ခဲ့ပြီး [[သင်္ချာ|သင်္ချာသမိုင်းတွင်]] အထင်ရှားဆုံးသော သီအိုရမ်များထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျသုံးသပ်ချက် (Overview) == === ပိုက်သာဂိုရပ်စ် မူလဇာစ်မြစ်များနှင့် နောက်ပိုင်း တိုးတက်မှုများ (Pythagorean origins and subsequent developments) === [[ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်|ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း]] (Pythagorean equation) ဖြစ်သည့် <math>x^2+y^2=z^2</math> တွင် <math>x</math>၊ <math>y</math> နှင့် <math>z</math> တို့အတွက် အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] အဖြေပေါင်း [[အနန္တ]] ရှိပြီး ၎င်းအဖြေများကို ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean triples) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ 1637 ခုနှစ်ဝန်းကျင်တွင် ဖဲမ သည် <math>n</math> တန်ဖိုးသည် 2 ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်ဖြစ်ခဲ့လျှင် ပိုမို ယေဘုယျကျသော ညီမျှခြင်း <math>a^n+b^n=c^n</math> တွင် အပေါင်းကိန်းပြည့် အဖြေများ လုံးဝမရှိနိုင်ဟု မှန်းဆခဲ့သည်။ ဖဲမ ကိုယ်တိုင် သက်သေပြခဲ့သော <math>n=4</math> ဟူသည့် အထူးအခြေအနေတစ်ခုတည်းဖြင့်ပင် အကယ်၍ ဤသီအိုရမ်သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) မဟုတ်သော ထပ်ကိန်း (exponent) <math>n</math> တစ်ခုခုအတွက် မှားယွင်းနေခဲ့လျှင် ၎င်းထက်ငယ်သော <math>n</math> တစ်ခုခုအတွက်လည်း မှားယွင်းရမည်ဟု ဆိုရန် လုံလောက်စေသောကြောင့် <math>n</math> ၏ သုဒ္ဓကိန်းတန်ဖိုးများကိုသာ ဆက်လက်လေ့လာရန် လိုအပ်တော့သည်။ နောက်ရာစုနှစ်နှစ်ခုအတွင်း ဆိုဖီ ဂျာမိန်း သည် သုဒ္ဓကိန်း အတန်းအစား တစ်ခုလုံးနှင့် သက်ဆိုင်သော ချဉ်းကပ်မှုတစ်ခုကို တီထွင်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ဤယူဆချက်ကို သုဒ္ဓကိန်း 3၊ 5 နှင့် 7 တို့အတွက်သာ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ 19 ရာစုအလယ်ပိုင်းတွင် အန်းစ် ကုမား သည် ၎င်းကို ဆက်လက်ချဲ့ထွင်ခဲ့ပြီး ပုံမှန် သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံးအတွက် ဤသီအိုရမ်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ကုမား ၏ လုပ်ဆောင်ချက်အပေါ် အခြေခံ၍ နောက်ဆုံးတွင် ကွန်ပျူတာလေ့လာမှုများက 4 သန်းအထိရှိသော သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများအားလုံး လွှမ်းခြုံနိုင်ရန် သက်သေပြချက်ကို ချဲ့ထွင်နိုင်ခဲ့သော်လည်း ထပ်ကိန်းများအားလုံးအတွက် ယေဘုယျ သက်သေပြချက်တစ်ခုကမူ ရှာမရနိုင်ဘဲ ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ 1984 ခုနှစ်တွင် ဂါဟတ် ဖရေး သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ် နှင့် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ (elliptic curves) အပြင် မော်ဂျူလာ ပုံစံများ (modular forms) အား ချိတ်ဆက်ထားသော သက်သေမပြရသေးသည့် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်တို့အကြား ထင်ရှားသော ဆက်စပ်မှုတစ်ခုကို သတိပြုမိခဲ့သည်။ 1986 ခုနှစ်တွင် ကန် ရီဘတ် သည် ဖရေး ၏ ချိတ်ဆက်မှုဖြစ်သော အက်ပဆီလွန် ယူဆချက် (epsilon conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများ အတွက် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ ယူဆချက်၏ သက်သေပြချက်သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်အတွက် သက်သေပြချက်ကို အလိုအလျောက် ရရှိစေမည်ဖြစ်ကြောင်း အခိုင်အမာ ပြသနိုင်ခဲ့သည်။ 1993 ခုနှစ်တွင် အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် သည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို သက်သေပြရန်အတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု ယူဆချက်၏ လုံလောက်သော အပိုင်းကို အောင်မြင်စွာ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ရစ်ချတ် တေလာ ၏ အကူအညီဖြင့် အားနည်းချက်တစ်ခုကို ပြင်ဆင်ပြီးနောက် အပြီးသတ် သက်သေပြချက်ကို 1995 ခုနှစ်တွင် ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ === သီအိုရမ်၏ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက်များ (Equivalent statements of the theorem) === ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို ဖော်ပြရန်အတွက် မူလဖော်ပြချက်နှင့် သင်္ချာနည်းကျ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော (equivalent) အခြားနည်းလမ်း အများအပြား ရှိသည်။ <math>\mathbb{N}</math> ကို အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]]များ[[အစု]]၊ <math>\mathbb{Z}</math> ကို ကိန်းပြည့်များအစု နှင့် <math>\mathbb{Q}</math> ကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) အစုဟု သတ်မှတ်ပါ။ ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပို၍ သုညဖြစ်နေသော <math>x^n+y^n=z^n</math> ၏ အဖြေကို အသေးအဖွဲ အဖြေ (trivial solution) ဟု ခေါ်သည်။ * '''မူလ ဖော်ပြချက် -''' <math>n,x,y,z \in \mathbb{N}</math> နှင့် <math>n>2</math> ဖြစ်သောအခါ <math>x^n+y^n=z^n</math> [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းတွင်]] အဖြေများ လုံးဝမရှိပါ။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 1 -''' <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ (non-trivial solutions) မရှိပါ။ :အကယ်၍ <math>n</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ဖြစ်ပြီး ကိန်းရှင်တစ်ခုခုသည် [[အနုတ်ကိန်း]] ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့ကို <math>\mathbb{N}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခု ရရှိရန် ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>\mathbb{Z}</math> ထဲရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုရှိခြင်းက <math>\mathbb{N}</math> ထဲတွင် အဖြေတစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းကို သက်ရောက်စေသည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 2 -''' ကိန်းပြည့် <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :ထပ်ကိန်းများ တူညီသောကြောင့် <math>\mathbb{Q}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခုကို သင့်လျော်သော ဘုံပိုင်းခြေတစ်ခုဖြင့် မြှောက်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် <math>\mathbb{Z}</math> ထဲရှိ အဖြေတစ်ခုကို ရရှိနိုင်သည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 3 -''' ကိန်းပြည့် <math>n \geq 3</math> ဖြစ်သော <math>x^n + y^n = 1</math> တွင် <math>x, y \in \mathbb{Q}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :<math>x^n + y^n = z^n</math> အတွက် <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သော အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုသည် <math>x^n + y^n = 1</math> အတွက် <math>a/c, b/c \in \mathbb{Q}</math> ဟူသော အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေကို ရရှိစေသည်။ ဤဖော်ပြပုံက ပြဿနာကို အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော မျက်နှာပြင်များ မှ <math>\mathbb{Q}</math> [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) ပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော မျဉ်းကွေးများအဖြစ်သို့ လျှော့ချပေးသည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 4 - သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများသို့ လျှော့ချခြင်း (Reduction to prime exponents) -''' အကယ်၍ <math>n=4</math> သို့မဟုတ် <math>n</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>x^n + y^n = z^n</math> တွင် <math>x, y, z \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိပါ။ :2 ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို <math>p=4</math> သို့မဟုတ် <math>p</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုခုအဖြစ် <math>pq</math> ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ၎င်း ထပ်တူညီမှု (identity) သည် <math>x^{pq}+y^{pq}=z^{pq}</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>(x^q)^p + (y^q)^p = (z^q)^p</math> ဖြစ်သည်ဟူသော ထပ်တူညီမှုမှ ရလဒ်ထွက်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။ * '''အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသော ဖော်ပြချက် 5 - အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများနှင့် ဆက်စပ်မှု (Connection with elliptic curves) -''' ဤတွင် <math>p</math> သည် မကိန်းဖြစ်သော သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>a, b, c</math> သည် <math>a^p + b^p = c^p</math> အတွက် အစုံလိုက် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] (pairwise coprime) အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့လျှင် ဖရေး မျဉ်းကွေး (Frey curve) ဟုခေါ်သော <math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math> သည် မော်ဂျူလာမဟုတ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ :ဤအဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးကို ရီဘတ် ၏ သီအိုရမ်ဖြင့် စစ်ဆေးကြည့်သောအခါ ၎င်းသည် မော်ဂျူလာမဟုတ်ကြောင်း ပြသနေသည်။ သို့သော်လည်း ဝိုင်းလ်စ် က ထိုသို့သော ညီမျှခြင်းတိုင်းသည် မော်ဂျူလာဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေတစ်ခုခုသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြခြင်း (proof by contradiction) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများနှင့် ဆက်စပ်မှု (Connection with elliptic curves) === 1955 ခုနှစ်ခန့်တွင် ဂိုရို ရှီမူရာ နှင့် ယူတာကာ တာနီယာမာ တို့က အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ၎င်းနှင့် သက်ဆိုင်ရာ မော်ဂျူလာ ပုံစံ တစ်ခုဖြင့် ဆက်စပ်နိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည့် တာနီယာမာ-ရှီမူရာ-ဗေး ယူဆချက်ကို အဆိုပြုခဲ့ကြပြီး ယခုအခါ ၎င်းကို မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ် ဟု ခေါ်သည်။ 1984 ခုနှစ်တွင် ဂါဟတ် ဖရေး က အကယ်၍ ဖဲမ ၏ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းတွင်]] ထပ်ကိန်း <math>p > 2</math> အတွက် <math>(a, b, c)</math> အဖြေတစ်ခုခုသာ ရှိခဲ့လျှင် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော ဖရေး-ဟယ်လီဂေါ့ချ် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးဖြစ်သည့် <math>y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)</math> သည် အလွန်ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများ ပိုင်ဆိုင်မည်ဖြစ်ရာ ၎င်းသည် မော်ဂျူလာဖြစ်ရန် မဖြစ်နိုင်သလောက်ဖြစ်ကြောင်း မှတ်ချက်ပြုခဲ့သည်။ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်၏ သက်သေပြချက်တစ်ခုသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကိုပါ တစ်ပြိုင်နက်တည်း သက်သေပြပြီးသား ဖြစ်သွားနိုင်ကြောင်း ဖရေး က လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့သည်။ 1986 ခုနှစ်တွင် ကန် ရီဘတ် သည် လစ်ဟာနေသော အက်ပဆီလွန် ယူဆချက် (epsilon conjecture) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ၎င်းသည် ရီဘတ် ၏ သီအိုရမ် ဖြစ်လာကာ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုအတွက် ဖဲမ ၏ ညီမျှခြင်း၏ အဖြေတစ်ခုခုသည် မော်ဂျူလာမဖြစ်နိုင်သော ဆီမီးတည်ငြိမ်သည့် အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးတစ်ခုကို ဖန်တီးပေးမည်ဖြစ်ကြောင်း ပြသခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို သက်သေပြခြင်းက ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို အလိုအလျောက် သက်သေပြပြီးသား ဖြစ်သွားစေမည်ဖြစ်သည်။ === ဝိုင်းလ်စ် ၏ ယေဘုယျ သက်သေပြချက် (Wiles's general proof) === အင်ဒရူး ဝိုင်းလ်စ် သည် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို သက်သေပြရန် သူကိုယ်သူ စိတ်ပိုင်းဖြတ်ခဲ့သည်။ သူသည် အလျားလိုက် အီဝါဆာဝါ သီအိုရီ (Iwasawa theory) ကို ချဲ့ထွင်ရန် ကြိုးပမ်းသည့်ဘက်သို့ မကူးပြောင်းမီ သူ၏ ကနဦးလုပ်ဆောင်ချက်ကို ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Galois theory) အပေါ် အခြေခံခဲ့သည်။ နောက်ဆုံးတွင် ဗစ်တာ ကိုလီဗာဂင် နှင့် မာသီးယပ်စ် ဖလက်ချ် တို့ ဖန်တီးခဲ့သော အွိုင်လာ စနစ် (Euler system) တစ်ခုကို တွေ့ရှိသွားပြီးနောက် ဝိုင်းလ်စ် သည် ဤချဉ်းကပ်မှုကို ချဲ့ထွင်၍ အီဝါဆာဝါ သီအိုရီရှိ ကန့်သတ်ချက်များကို ကျော်လွှားနိုင်ခဲ့သည်။ ဝိုင်းလ်စ် သည် သူ၏ သက်သေပြချက်ကို 1993 ခုနှစ် ဇွန်လတွင် Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences ၌ တင်ပြခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း ပညာရှင်အချင်းချင်း စိစစ်သုံးသပ်မှုအရ သီးခြား [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] တစ်ခု၏ အစဉ် (order) အပေါ် ကန့်သတ်ဘောင်တစ်ခုတွင် အမှားတစ်ခုကို တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ နောက်တစ်နှစ်တာ ကာလအတွင်း ဝိုင်းလ်စ် သည် သက်သေပြချက်ကို ပြင်ဆင်ရန် ရစ်ချတ် တေလာ နှင့် ပူးပေါင်းဆောင်ရွက်ခဲ့သည်။ 1994 ခုနှစ်တွင် ဝိုင်းလ်စ် သည် ကိုလီဗာဂင်-ဖလက်ချ် နည်းလမ်းကို သူ၏ မူလ အီဝါဆာဝါ သီအိုရီနှင့် ပေါင်းစပ်လိုက်ခြင်းက ထိုပြဿနာကို ပြေလည်သွားစေကြောင်း သိမြင်လာခဲ့သည်။ 1994 ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ 24 ရက်နေ့တွင် ဝိုင်းလ်စ် သည် ဆီမီးတည်ငြိမ်သော အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအတွက် မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်နိုင်သော စာမူနှစ်ခုကို တင်သွင်းခဲ့ပြီး ဒုတိယစာမူကိုမူ တေလာ နှင့် တွဲဖက်ရေးသားခဲ့သည်။ သက်သေပြချက်၌ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု မြှင့်တင်ရေး သီအိုရမ်များကို သက်သေပြရန်အတွက် ပုံပျက်သွားခြင်း [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (deformation ring) တစ်ခုအား ဟက်က [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (Hecke algebra) တစ်ခုနှင့် ထပ်တူပြုဖော်ထုတ်ခြင်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းကို <math>R=T</math> သီအိုရမ် အဖြစ် လူသိများပြီး [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီတွင်]] ဩဇာလွှမ်းမိုးမှုကြီးမားသော တိုးတက်မှုတစ်ရပ် ဖြစ်လာခဲ့သည်။ အဲလစ်ပတစ် မျဉ်းကွေးများအားလုံးအတွက် အပြည့်အဝ မော်ဂျူလာဖြစ်မှု သီအိုရမ်ကို 2001 ခုနှစ်အရောက်တွင် ဖရက်ဒ် ဒိုင်းမွန်း၊ ဘရိုင်ယန် ကွန်ရက်ဒ်၊ တေလာ နှင့် ခရစ္စတော့ဖ် ဘရွိုင်း တို့က နောက်ပိုင်းတွင် ပြီးမြောက်အောင် ဆောင်ရွက်နိုင်ခဲ့သည်။ == အခြား ပြဿနာများနှင့် ဆက်စပ်မှု နှင့် ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Relationship to other problems and generalizations) == === ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်း (Generalized Fermat equation) === ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ [[ညီမျှခြင်း]] (generalized Fermat equation) သည် <math>a^m + b^n = c^k</math> ကို ပြေလည်စေသော အပေါင်း[[ကိန်းပြည့်]] အဖြေများဖြစ်သည့် <math>a, b, c, m, n, k</math> တို့ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းအားဖြင့် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်၏ ဖော်ပြချက်ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ဘီးလ် ယူဆချက် က <math>a, b, c</math> သည် အစုံလိုက် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပြီး]] ထပ်ကိန်းအားလုံး 2 ထက်ကြီးသည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်များထဲတွင် ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေများ လုံးဝမရှိဟု ဖော်ပြထားသည်။ ဖဲမ-ကာတာလန် ယူဆချက် က <math>a, b, c</math> တို့သည် အပေါင်း နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များဖြစ်ကြပြီး <math>m, n, k</math> တို့သည် <math>\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{k} < 1</math> ကို ပြေလည်စေသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များ ဖြစ်သောအခါ၊ ယေဘုယျပြုထားသော ဖဲမ ညီမျှခြင်းတွင် ကွဲပြားသော တန်ဖိုးသုံးခုတွဲများဖြစ်သည့် <math>(a^m, b^n, c^k)</math> နှင့်တကွ အဆုံးရှိ အရေအတွက်ရှိသော အဖြေများ <math>(a, b, c, m, n, k)</math> သာလျှင် ရှိသည်ဟု ဖော်ပြထားသည်။ === ဖဲမ ၏ ပြောင်းပြန် ညီမျှခြင်း (Inverse Fermat equation) === ထပ်ကိန်း <math>n</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်တစ်ခု၏]] အချိုးပြောင်းပြန် (reciprocal) <math>n = 1/m</math> ဖြစ်သောအခါ ဖဲမ ၏ ပြောင်းပြန် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းကို]] <math>a^{1/m} + b^{1/m} = c^{1/m}</math> ဟု ရရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းတွင် <math>m</math> ကြိမ်မြောက် ကိန်းရင်းများ (roots) သည် [[ကိန်းစစ်]] (real number) နှင့် အပေါင်းဖြစ်သော အဖြေများအားလုံးကို <math>s</math> နှင့် <math>t</math> [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့်]] အပေါင်းကိန်းပြည့်များ <math>r, s, t</math> အတွက် <math>a = rs^m</math>၊ <math>b = rt^m</math>၊ <math>c = r(s+t)^m</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ === ရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Rational exponents) === <math>n > 2</math> ဖြစ်ပြီး <math>n</math> နှင့် <math>m</math> တို့သည် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့်]] <math>a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m}</math> ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း [[ညီမျှခြင်း]] အတွက် 6 သည် <math>m</math> ကို အတိအကျစားပြတ်ပြီး <math>a^{1/m}, b^{1/m}</math> နှင့် <math>c^{1/m}</math> တို့သည် တူညီသော [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တစ်ခုတည်း၏]] ကွဲပြားသော 6 ကြိမ်မြောက် [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းရင်းများ ဖြစ်မှသာလျှင် [[ကိန်းပြည့်]]အဖြေများ တည်ရှိသည်။ === အနုတ် ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ (Negative integer exponents) === ==== <math>n = -1</math> ==== အော့ပတစ် [[ညီမျှခြင်း]] <math>a^{-1} + b^{-1} = c^{-1}</math> အတွက် အပေါင်း ပရစ်မစ်တစ် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်အဖြေများ]] အားလုံးကို အပေါင်းဖြစ်ပြီး [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] ကိန်းပြည့်များ <math>m, k</math> အတွက် <math>a = mk + m^2</math>၊ <math>b = mk + k^2</math>၊ <math>c = mk</math> ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ ==== <math>n = -2</math> ==== <math>a^{-2} + b^{-2} = d^{-2}</math> အတွက် လိုအပ်ပါက <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို နေရာလဲလှယ်ခြင်းဖြင့် ပရစ်မစ်တစ် အဖြေများအားလုံးကို <math>v > u > 0</math> ဖြစ်ပြီး [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (parity) မတူညီသော [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ|နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော]] ကိန်းပြည့်များ <math>u, v</math> အတွက် <math>a = (v^2 - u^2)(v^2 + u^2)</math>၊ <math>b = 2uv(v^2 + u^2)</math>၊ <math>d = 2uv(v^2 - u^2)</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီရှုထောင့်မှကြည့်လျှင်]] <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့သည် ထောင့်မှန်ခံအနား (hypotenuse) <math>c = (v^2 + u^2)^2</math> ရှိသော ကိန်းပြည့် ထောင့်မှန်တြိဂံ (right triangle) တစ်ခု၏ ထောင့်မှန်ကျအနားများ ဖြစ်ကြပြီး <math>d</math> သည် ထောင့်မှန်ခံအနားသို့ဆွဲထားသော အမြင့်မျဉ်း ဖြစ်သည်။ ==== <math>n < -2</math> ==== <math>n < -2</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များအတွက်]] <math>a^n + b^n = c^n</math> တွင် ကိန်းပြည့်အဖြေများ လုံးဝမရှိပါ။ ညီမျှခြင်းကို <math>a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}</math> ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ <math>(bc)^{|n|} + (ac)^{|n|} = (ab)^{|n|}</math> ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်အရ မဖြစ်နိုင်သော အရာဖြစ်သည်။ === abc ယူဆချက် (abc conjecture) === လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော <math>n</math> တန်ဖိုးများအတွက် abc ယူဆချက်က ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို သက်ရောက်စေသည်။ ပြုပြင်ထားသည့် စပီရို ယူဆချက်သည် abc ယူဆချက်နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီပြီး တူညီသော သက်ရောက်မှုရှိသည်။ ၎င်းယူဆချက် နှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခုခု၏ တိကျသော မူကွဲတစ်ခုသည် ဖဲမ၏ နောက်ဆုံးသီအိုရမ်ကို ချက်ချင်း သက်ရောက်စေမည်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Aczel |first=Amir |date=1996 |title=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem |publication-place=New York |publisher=Four Walls Eight Windows |isbn=978-1-56858-077-7 |url=https://archive.org/details/fermatslasttheor00acz_pep}} * {{Citation |last=Bell |first=Eric T. |date=1998 |orig-year=1961 |title=The Last Problem |publication-place=Washington, D.C. |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-451-8}} * {{Citation |last=Benson |first=Donald C. |date=2001 |title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies |publication-place=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-513919-8}} * {{Citation |last=Brudner |first=Harvey J. |date=1994 |title=Fermat and the Missing Numbers |publication-place=Whippany, NJ |publisher=WLC, Inc |isbn=978-0-9644785-0-3}} * {{Citation |last=Daney |first=Charles |date=2003 |title=The Mathematics of Fermat's Last Theorem |url=http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20040803221632/http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt01.htm |archive-date=3 August 2004}} * {{Citation |last=Dickson |first=Leonard E. |date=1919 |title=History of the Theory of Numbers |volume=2 |series=Diophantine Analysis |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing |pages=545–550, 615–621, 688–691, 731–776 |mr=0245499 |zbl=0023.21403}} * {{Citation |last=Edwards |first=Harold M. |date=1996 |orig-year=1977 |title=Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=50 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-90230-2 |mr=0432534 |zbl=0356.10002}} * {{Citation |last=Elkies |first=Noam D. |title=Tables of Fermat "near-misses" – approximate solutions of x^n + y^n = z^n |url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/ferm.html}} * {{Citation |last=Faltings |first=Gerd |date=1995 |title=The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles |journal=Notices of the American Mathematical Society |volume=42 |issue=7 |pages=743–746 |issn=0002-9920 |mr=1334651 |zbl=0840.11020 |url=https://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf}} * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |date=2000 |title=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |journal=Elemente der Mathematik |volume=55 |pages=19–37 |doi=10.1007/PL00000079 |mr=1740921 |zbl=0944.11002 |s2cid=53319514 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110608052614/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |archive-date=8 June 2011}} * {{Citation |last1=Manin |first1=Yuri I. |last2=Panchishkin |first2=Alekseĭ A. |date=2007 |chapter=Fundamental problems, Ideas and Theories |title=Introduction to Modern Number Theory |series=Encyclopedia of Mathematical Sciences |volume=49 |edition=2nd |publication-place=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-20364-3 |mr=2320340 |zbl=1120.11001}} * {{Citation |last=Mordell |first=Louis J. |date=1921 |title=Three Lectures on Fermat's Last Theorem |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |mr=0245499 |jfm=48.0121.05}} * {{Citation |last=Mozzochi |first=Charles |date=2000 |title=The Fermat Diary |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-2670-6 |mr=1794269 |zbl=0969.11002}} * {{Citation |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=1996 |title=Fermat's last theorem |work=MacTutor History of Mathematics Archive |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem/}} * {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |date=1979 |title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90432-8 |mr=0556214 |zbl=0456.10006}} * {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |date=2000 |title=Fermat's Last Theorem for Amateurs |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-98508-4 |mr=1711732 |zbl=0941.11001}} * {{Citation |last=Ribet |first=Kenneth A. |date=1995 |title=Galois representations and modular forms |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series |volume=32 |issue=4 |pages=375–402 |doi=10.1090/S0273-0979-1995-00616-6 |mr=1322785 |zbl=0840.11021 |arxiv=math/9503219 |s2cid=16786407}} * {{Citation |last=Saikia |first=Manjil P. |date=2011 |title=A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes |journal=IISER Mohali (India) Summer Project Report |arxiv=1307.3459 |bibcode=2013arXiv1307.3459S |url=http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150922030715/http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf |archive-date=22 September 2015}} * {{Citation |last=Singh |first=Simon |date=2022 |orig-year=1997 |title=Fermat's Last Theorem: The Story of a Riddle That Confounded the World's Greatest Minds for 358 Years |publication-place=London |publisher=Fourth Estate |isbn=978-0-00-855382-1}} * {{Citation |last=Stark |first=Harold |date=1978 |title=An Introduction to Number Theory |publication-place=Cambridge, MA |publisher=MIT Press |isbn=0-262-69060-8 |mr=0506160 |zbl=0397.10001 |url=https://archive.org/details/introductiontonu00star_0}} * {{Citation |last=Stevens |first=Glenn |date=1997 |chapter=An Overview of the Proof of Fermat's Last Theorem |title=Modular Forms and Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-94609-8 |pages=1–16 |mr=1463174 |zbl=0878.11020 |url=https://books.google.com/books?id=Va-quzVwtMsC&pg=PA1}} * {{Citation |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |date=2002 |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |edition=3rd |publication-place=Natick, MA |publisher=A K Peters |isbn=1-56881-119-5 |mr=1883734 |zbl=1018.11046}} * {{Citation |last=van der Poorten |first=Alf |date=1996 |title=Notes on Fermat's Last Theorem |publication-place=New York |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-06261-5 |mr=1396181 |zbl=0856.11015 |url=https://archive.org/details/notesonfermatsla0000vand}} * {{Citation |last=Wiles |first=Andrew |date=1995 |title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem |journal=Annals of Mathematics |volume=141 |issue=3 |doi=10.2307/2118559 |jstor=2118559 |mr=1333035 |zbl=0823.11029 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20030628220453/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf |archive-date=28 June 2003}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] lsee5mb4ftnxd8ineq1d1pcxhyxfe3w 0 291593 1060884 1052926 2026-10-31T14:48:35Z Mkant00 135890 1060884 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) တွင် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) <math>p</math> တစ်ခုကို ပေးထားပါက <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ (<math>p</math>-adic numbers) သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) နှင့် မတူညီသော [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]] (rational numbers) ၏ တိုးချဲ့ချက် (extension) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများကို ဒသမကိန်းများ (decimals) နှင့် ဆင်တူသော ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်သော်လည်း ၎င်းတို့သည် 10 အခြေခံကို အသုံးမပြုဘဲ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အပေါ် အခြေခံသော ဂဏန်းများ (digits) ကို အသုံးပြုကြပြီး ညာဘက်သို့မဟုတ်ဘဲ ဘယ်ဘက်သို့ ဆက်လက်တိုးချဲ့သွားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အခြေ 3 (base 3) ရှိ ရာရှင်နယ်ကိန်း 1/5 ၏ ဖြန့်ထုတ်ချက် (expansion) ကို 3-အခြေခံကိန်း (3-adic) ဖြန့်ထုတ်ချက်ဖြင့် နှိုင်းယှဉ်ကြည့်နိုင်သည်။ :<math>\begin{alignat}{3} \tfrac15 &{}= 0.\overline{0121}\ (\text{base } 3) &&{}= 0\cdot 3^0 + 0\cdot 3^{-1} + 1\cdot 3^{-2} + 2\cdot 3^{-3} + \cdots \\[5mu] \tfrac15 &{}= \overline{1210}2 \ \ (\text{3-adic}) &&{}= \cdots + 2\cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0\cdot3^1 + 2 \cdot 3^0. \end{alignat}</math> ပုံစံတကျအားဖြင့် (Formally) <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (series) တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ :<math>s=\sum_{i=k}^\infty a_i p^i = a_k p^k + a_{k+1} p^{k+1} + a_{k+2} p^{k+2} + \cdots</math> ဤနေရာတွင် <math>k</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် [[အနုတ်ကိန်း]]လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ <math>a_i</math> တစ်ခုစီသည် <math>0\le a_i < p</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းပြည့်တစ်ခုစီ ဖြစ်ကြသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့် (<math>p</math>-adic integer) ဆိုသည်မှာ <math>k\ge 0</math> ဖြစ်သော <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုကို ဆိုလိုသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော အဆုံးမသတ်သည့် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် စံဖြစ်သော အာခီမီးဒီးစ် [[ပကတိတန်ဖိုး]] (Archimedean absolute value) အရ ကိန်းစစ်များတွင် ဖြာထွက်သည် (diverge)။ သို့ရာတွင် ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းသည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုး (<math>p</math>-adic absolute value) အရဆိုလျှင်မူ စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ <math>p</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]]ဖြစ်သော (coprime) <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့ ပါဝင်သည့် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း <math>x = p^k(m/n)</math> အတွက် ၎င်း၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးကို <math>|x|_p = p^{-k}</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>|0|_p = 0</math> ဟုလည်း သတ်မှတ်ထားသည်။ သုညမဟုတ်သော ကိန်းစဉ်တန်း <math>s</math> အတွက် ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ <math>|s|_p=p^{-k}</math> ဖြစ်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>k</math> သည် <math>a_i\ne 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အငယ်ဆုံးကိန်းပြည့် <math>i</math> ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သောကိန်းများအတွက် အစအညွှန်းကိန်း <math>k</math> ကို <math>a_k \ne 0</math> ဖြစ်စေရန် စံသတ်မှတ်ထားပါက မည်သည့်ရာရှင်နယ်ကိန်းကိုမဆို ထိုကဲ့သို့သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ဖော်ပြနိုင်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများသည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးအတွက် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဖြစ်ကြသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများကို ကွတ် ဟန်ဆယ် (Kurt Hensel) က 1897 ခုနှစ်တွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။<ref>Hensel (1897), pp. 83–88.</ref> == အခြေခံအကြောင်းရင်း (Motivation) == [[ဂဏန်းသင်္ချာ|မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ]] (modular arithmetic) တွင် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များကို]] အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>n</math> ဖြင့် စားရာမှရသော အကြွင်း (residue) မော်ဂျူလို (modulo) ကို အသုံးပြု၍ ခန့်မှန်းတွက်ချက်သည်။ [[ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း|ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများ]] (Diophantine equations) ကို လေ့လာသောအခါ [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> မော်ဂျူလိုသို့ လျှော့ချခြင်းသည် အတွင်းကျကျသိမြင်မှုကို ပေးစွမ်းနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> သို့ လျှော့ချခြင်းသည် [[အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (injective) ပုံဖော်မှုမဟုတ်သည့်အတွက် အချက်အလက်များ ဆုံးရှုံးသွားရသည်။ အချက်အလက်များကို ထိန်းသိမ်းထားရန် <math>p^2, p^3, \dots</math> ကဲ့သို့သော ပိုမိုကြီးမားသည့် မော်ဂျူးလပ်စ်များ (moduli) ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ သို့ရာတွင် <math>\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}</math> သည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခု မဟုတ်ပေ။ ကွတ် ဟန်ဆယ်သည် <math>p</math> မော်ဂျူလို အဖြေများကို ပိုမိုမြင့်မားသော သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများသို့ မြှင့်တင်ရန် ဟန်ဆယ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Hensel's lemma) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဤကဲ့သို့ အနန္တဖြစ်သော အကြွင်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများအစု <math>\mathbb{Q}_p</math> သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပေးသောကြောင့် <math>p</math> ဖြင့် စားခြင်းကို ဖြစ်နိုင်စေသည်။ ထို့ပြင် <math>\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}_p</math> ပုံဖော်မှုသည် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သောကြောင့် အချက်အလက်များကို ထိန်းသိမ်းထားနိုင်သည်။<ref>Chen (2025), at Chapter 27.</ref> == သရုပ်ဖော်ချက် (Description) == === အခြေ-<math>p</math> ဖြန့်ထုတ်ချက်အဖြစ် (As a base-<math>p</math> expansion) === <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များကို ဂဏန်းများ ဘယ်ဘက်သို့ အနန္တတိုင်အောင် တိုးချဲ့သွားသော အခြေ-<math>p</math> ရှိ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များအဖြစ်]] တိကျမှုမရှိဘဲ စဉ်းစားနိုင်သည်။<ref>Chen (2025), at Chapter 27.</ref> ဥပမာအားဖြင့် 3-အခြေခံကိန်းတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\ldots121012102_3=\cdots+2\cdot3^3+1\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0</math> အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုများတွင် စံဖြစ်သော အခြေ-<math>p</math> ဂဏန်းသင်္ချာနည်းတူ တင်ကိန်း (carry) သည် ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ ကူးပြောင်းသွားသည်။<ref>Koç (2002).</ref> ၎င်းတို့သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{Z}_p</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများသည် ဒသမပွိုင့်နောက်တွင် အဆုံးရှိသော ဂဏန်းအရေအတွက်ကို ခွင့်ပြုခြင်းဖြင့် ဤသဘောတရားကို ယေဘုယျပြုထားသည် (generalize)။ ၎င်းကို <math>x</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်ဖြစ်သည့် <math>\tfrac{x}{p^k}</math> အဖြစ် ထပ်တူညီစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ သုညမဟုတ်သော <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများတွင် [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်]] (multiplicative inverse) များ ရှိကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် [[ဖီးလ်ဒ်]]တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သင်္ကေတဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ === <math>p^k</math> မော်ဂျူလို အကြွင်းများ၏ ကိန်းစဉ် (Sequence of residues mod <math>p^k</math>) === <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အကြွင်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုအဖြစ်လည်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)</math> ထိုကိန်းစဉ်သည် <math>i < j</math> ဖြစ်သည့်အခါ <math>x_i \equiv x_j \pmod{p^i}</math> ဟူသော ကိုက်ညီမှု ဆက်သွယ်ချက် (compatibility relation) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုတို့ကို သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (component-wise) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အချို့သော [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်]] အပိုင်းကိန်းများ ဥပမာအားဖြင့် 1/5 ကဲ့သို့သော ကိန်းများသည် အဘယ်ကြောင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များ ဖြစ်နေရသနည်းဆိုသည်ကို ဤအချက်က ရှင်းပြပေးသည်။ ၎င်းတို့၏ ဖြန့်ထုတ်ချက်များသည် <math>p^k</math> မော်ဂျူလိုဖြစ်သော ၎င်းတို့၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ကိန်းစဉ်များနှင့် ကိုက်ညီနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == === အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက် (Algebraic series expansion) === <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်တစ်ခုဆိုသည်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သော [[ကိန်းစဉ်တန်း]] ဖြန့်ထုတ်ချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>s=\sum_{i=0}^\infty a_i p^i = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdots</math> ဤနေရာတွင် <math>a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}</math> ဖြစ်သည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များအားလုံး၏ အစုကို <math>\mathbb{Z}_p</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။<ref>Koblitz (1984), p. 13.</ref> <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုဆိုသည်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သော ကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>s=\sum_{i=k}^\infty a_i p^i = a_k p^k + a_{k+1} p^{k+1} + \cdots</math> ဤနေရာတွင် <math>k</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]]တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် [[အနုတ်ကိန်း]]လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။<ref>Gouvêa (1997), p. 18.</ref> <math>a_k \ne 0</math> ဖြစ်စေသော ပထမဆုံး အညွှန်း (index) <math>k</math> သည် <math>s</math> ၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း (<math>p</math>-adic valuation) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>v_p(s)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြထားပြီး ဤနေရာတွင် <math>v_p(0)=\infty</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) ကြားရှိ တင်ကိန်းများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားသည့် ကိန်းစဉ်တန်း တွက်ချက်မှုများမှတစ်ဆင့် အပေါင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး ဤနည်းအားဖြင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများသည် <math>\mathbb{Q}_p</math> [[ဖီးလ်ဒ်]]ကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ === ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Equivalence classes) === <math>p</math>-အခြေခံကိန်းတစ်ခုကို [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ]]ပါဝင်သော [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်|ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ]] (Cauchy sequences) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) တစ်ခုအဖြစ် တိကျခိုင်မာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ပေးထားသော မည်သည့် <math>\varepsilon > 0</math> အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ <math>N</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး <math>n, m > N</math> ဖြစ်သမျှ ကိန်းအားလုံးအတွက် <math>|x_n - x_m|_p < \varepsilon</math> ကို ပြည့်စုံစေပါက ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] <math>(x_n)</math> သည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း [[ပကတိတန်ဖိုး]]အရ ကော်ချီကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကော်ချီကိန်းစဉ်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>(x_n)</math> နှင့် <math>(y_n)</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် သုညသို့ စုဆုံသွားပါက ၎င်းကိန်းစဉ်နှစ်ခုသည် ထပ်တူညီကြသည်။ ယင်းမှာ <math>\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n|_p = 0</math> ဖြစ်ခြင်းကို ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ <math>\mathbb{Q}_p</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများသည် ဤကိန်းစဉ်များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ == သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Notation) == <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်များတွင် <math>p</math> ၏ ထပ်ကိန်းများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\tfrac15 = \dots 121012102_3</math> ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် တင်ကိန်းများသည် ဘယ်ဘက်သို့ ရွေ့လျားသွားသည်။ အခြားရွေးချယ်စရာတစ်ခုအနေဖြင့် ဘယ်မှညာသို့သွားသော [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]]ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ <math>\{0, 1, \dots, p-1\}</math> အစား မျှခြေရှိသော အခြေ-3 စနစ် (balanced ternary) သို့မဟုတ် တိုက်ချ်မူလာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Teichmüller representatives) ကဲ့သို့သော အခြားကွဲပြားသည့် ဂဏန်းအစုများကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။<ref>Hazewinkel (2009), p. 342.</ref> == ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက် (<math>p</math>-adic expansion of rational numbers) == <math>d</math> သည် <math>p</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]]ဖြစ်သည့် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] <math>r=\tfrac{n}{d}</math> ၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်ကို စားခြင်းအဆင့်တစ်ဆင့်မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။ ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>r = a + p\,r'</math> ဤနေရာတွင် <math>a \equiv n d^{-1} \pmod p</math> ဖြစ်စေရန် <math>0\le a <p</math> ကို ရွေးချယ်သည်။ <math>r'</math> သည် ရာရှင်နယ် အကြွင်းအသစ် ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို ထပ်ခါတလဲလဲ ပြုလုပ်ပါက နောက်ဆုံးတွင် ကာလမှန် (periodic) ဖြစ်သော ဂဏန်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]]တစ်ခုကို ရရှိသည်။ === ဥပမာ (Example) === 1/3 ၏ 5-အခြေခံကိန်း (5-adic) ဖြန့်ထုတ်ချက်အတွက် အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။ :<math>\tfrac13 = 2 + 5 \cdot \left(\tfrac{-1}3\right)</math> ဤနေရာတွင် <math>2 \equiv 1 \cdot 3^{-1} \pmod 5</math> ဖြစ်သည်။ :<math>\tfrac{-1}3 = 3 + 5 \cdot \left(\tfrac{-2}3\right)</math> :<math>\tfrac{-2}3 = 1 + 5 \cdot \left(\tfrac{-1}3\right)</math> အကြွင်း <math>\tfrac{-1}3</math> သည် ထပ်ကျော့နေမည်ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>\tfrac13 = 2 + 3\cdot 5^1 + 1\cdot5^2 + 3\cdot 5^3 + 1\cdot 5^4 + \cdots = \ldots 1313132_5 </math> == <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (<math>p</math>-adic integers) == <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များသည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>\mathbb{Z}_p</math> တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြပြီး ၎င်းတွင် အောက်ပါဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ * ၎င်းသည် [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း]] (integral domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ၎င်း၏ ယူနစ်များ (units) မှာ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း သုညဖြစ်သော <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ * ၎င်းသည် ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (principal ideal domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော [[အိုင်ဒီးလ်]]တစ်ခုစီကို <math>p</math> ၏ ထပ်ကိန်းတစ်ခုဖြင့် ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ * ၎င်းသည် ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull dimension) တစ်ခုရှိသော ဒေသအလိုက် ကွင်း (local ring) ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် <math>p</math> က ထုတ်လုပ်ပေးသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) တစ်ခု ရှိသည်။ * ၎င်းသည် ပိုင်းစသီးခြား တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းကွင်း (discrete valuation ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * ၎င်းသည် ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေခြင်း (localization) <math>\mathbb{Z}_{(p)}</math> ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း ဖြစ်သည်။ == တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties) == <math>p</math>-အခြေခံကိန်း [[ပကတိတန်ဖိုး]]ကို <math>|x|_p = p^{-v_p(x)}</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး <math>|0|_p = 0</math> လည်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အောက်ပါ အားကောင်းသော တြိဂံ မညီမျှခြင်း (strong triangle inequality) ကို ပြည့်စုံစေသည်။ :<math>|x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} \le |x|_p + |y|_p.</math> ဤအချက်က <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများကို လွန်ကဲအကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (ultrametric space) တစ်ခု ဖြစ်စေပြီး [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]]အရ ပြည့်စုံစေခြင်းကို ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် ပိုင်းစသီးခြား တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းမှ ဆင်းသက်လာသောကြောင့် အဖွင့်စက်လုံး (open ball) တိုင်းသည် အပိတ်လည်း ဖြစ်နေသည်။ ထို့အပြင် <math>\mathbb{Z}_p</math> သည် အဆုံးရှိ ပိုင်းစသီးခြား ရပ်ဝန်းများ၏ [[ပြောင်းပြန်စုဆုံမှတ်]] (inverse limit) <math>\varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> ဖြစ်သောကြောင့် [[ကိန်းပြည့်]]ကွင်း <math>\mathbb{Z}_p</math> သည် ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်း (compact space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် <math>\mathbb{Q}_p</math> အတွင်း ကျစ်လျစ်သော ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခု ဖြစ်သဖြင့် <math>\mathbb{Q}_p</math> သည် ဒေသအလိုက် ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်း (locally compact space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီအရ <math>\mathbb{Z}_p</math> သည် ကန်တာ အစု (Cantor set) နှင့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်သည်။<ref>Gouvêa (1997), at Corollary 4.2.7.</ref><ref>Robert (2000), at Chapter 1 Section 2.3.</ref> == မော်ဂျူလာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Modular properties) == စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) <math>\mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p</math> သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ <math>a_i \equiv a_{i+1} \pmod {p^i}</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များ]] <math>(a_1, a_2, \ldots)</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် ဤကွင်းများ၏ [[စုဆုံမှတ် နှင့် ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ်|ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ်]] (inverse limit) အဖြစ်ဖော်ပြသော <math>\varprojlim_{n \ge 1} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> သည် <math>\mathbb{Z}_p</math> နှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်အရ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းသည် မော်ဂျူလာနည်းဖြင့် အသုံးချထားသော နယူတန်၏ နည်းလမ်း (Newton's method) ကို သုံး၍ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ သို့မဟုတ် [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်များကို]] ရှာဖွေခြင်းကဲ့သို့ လက်တွေ့ကျသော တွက်ချက်မှုများကို ပြုလုပ်နိုင်စေသည်။ == အစုအရွယ်အစား (Cardinality) == <math>\mathbb{Z}_p</math> နှင့် <math>\mathbb{Q}_p</math> နှစ်ခုစလုံးသည် ရေတွက်၍မရသော (uncountable) [[အစု|အစုများဖြစ်ကြပြီး]] ၎င်းတို့တွင် ကွန်တင်နျူယမ်၏ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality of the continuum) ရှိကြသည်။<ref>Robert (2000), at Chapter 1 Section 1.1.</ref> == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) == [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>\mathbb{Q}_p</math> သည် ဝိသေသတန်ဖိုး 0 (characteristic 0) ရှိသော ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ 0 ကို <math>\mathbb{Q}_p</math> အတွင်းရှိ သုညမဟုတ်သော နှစ်ထပ်ကိန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်သောကြောင့် ၎င်းကို [[အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်]] (ordered field) တစ်ခုအဖြစ် ပြောင်းလဲ၍မရနိုင်ပေ။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]] (complex numbers) <math>\mathbb{C}</math> ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်အစစ် (proper algebraic extension) တစ်ခုသာရှိသည့် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များနှင့်]] မတူဘဲ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် <math>\overline{\mathbb{Q}_p}</math> တွင် အနန္တဒီဂရီ ရှိသည်။<ref>Gouvêa (1997), at Corollary 5.3.10.</ref> ထို့အပြင် <math>\overline{\mathbb{Q}_p}</math> သည် [[အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝေး ဖန်ရှင်]]အရ ပြည့်စုံသော (metrically complete) ရပ်ဝန်းတစ်ခု မဟုတ်ပေ။<ref>Gouvêa (1997), at Theorem 5.7.4.</ref> <math>\mathbb{C}_p</math> သို့မဟုတ် <math>\Omega_p</math> ဟု သင်္ကေတပြုသော ၎င်း၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အရ ပြည့်စုံစေခြင်းကို ကိန်းထွေး <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။ <math>\mathbb{C}_p</math> ဖီးလ်ဒ်သည် အက္ခရာသင်္ချာအရ အပိတ်ဖြစ်ပြီး [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို]] (axiom of choice) အရ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအနေဖြင့် <math>\mathbb{C}</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ၎င်းသည် ထူးခြားဆန်းကြယ်သော အာခီမီးဒီးစ်မဟုတ်သည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (exotic, non-Archimedean metric) တစ်ခု ပါရှိသည်။<ref>Cassels (1986), p. 149.</ref> == မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု (Multiplicative group) == ယူနစ်အုပ်စု (unit group) <math>\mathbb{Z}_p^\times</math> နှင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (multiplicative group) <math>\mathbb{Q}_p^\times = \mathbb{Q}_p \setminus \{0\}</math> တို့သည် တူညီသော အလိမ် [[အုပ်စုပိုင်း]] (torsion subgroup) ကို မျှဝေအသုံးပြုကြသည်။ ဟန်ဆယ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ <math>p>2</math> ဖြစ်သောအခါ ဤအလိမ် အုပ်စုပိုင်းသည် အစဉ် <math>p-1</math> ရှိသော ဆိုက်ကလစ် (cyclic) ဖြစ်ပြီး <math>p=2</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\{\pm 1\}</math> နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့ကြောင့် <math>n > 2</math> အတွက် <math>\mathbb{Q}_p</math> တွင် <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (cyclotomic field) ပါဝင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>n \mid p - 1</math> ဖြစ်ရန်ပင် ဖြစ်သည်။<ref>Gouvêa (1997), at Proposition 3.4.2.</ref> == ဒေသအလိုက်-အလုံးစုံဆိုင်ရာ မူဝါဒ (Local–global principle) == ဟဲလ်မု ဟပ်ဆေး (Helmut Hasse) ၏ ဒေသအလိုက်-အလုံးစုံဆိုင်ရာ မူဝါဒအရ နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (quadratic forms) ကဲ့သို့သော အချို့သော [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများကို]] [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများအပေါ်]] ဖြေရှင်းနိုင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းတို့ကို [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များနှင့်]] [[သုဒ္ဓကိန်း]] <math>p</math> တိုင်းအတွက် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများအပေါ် ဖြေရှင်းနိုင်ရန်ပင် ဖြစ်သည်။ == အသုံးချမှုများ (Applications) == <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများသည် ခေတ်သစ် [[သင်္ချာ]]နှင့် ရူပဗေဒ ဘာသာရပ်ကဏ္ဍများစွာအတွက် အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်သည်။ * <math>p</math>-အခြေခံကိန်း [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ]] (<math>p</math>-adic analysis) - ၎င်းသည် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများအပေါ်ရှိ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များကို]] လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း [[ဂျီဩမေတြီ]] (Diophantine geometry) တွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်ပြီး လွန်ကဲအကွာအဝေး မညီမျှခြင်း (ultrametric inequality) ကြောင့် ထူးခြားရိုးရှင်းသော စုဆုံခြင်း စည်းမျဉ်းများ ရှိသည်။ * <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဟော့ဂျ် သီအိုရီ (<math>p</math>-adic Hodge theory) - ၎င်းသည် ဝိသေသတန်ဖိုး 0 ရှိသော ဒေသအလိုက် ဖီးလ်ဒ်များ၏ <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဂယ်လ်ဝါ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားပေးသည်။ ၎င်းသည် ကလက်ဆီကယ် ဟော့ဂျ် ခွဲခြမ်းမှု (classical Hodge decomposition) ကို ထပ်မံချဲ့ထွင်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ * <math>p</math>-အခြေခံကိန်း တိုက်ချ်မူလာ သီအိုရီ (<math>p</math>-adic Teichmüller theory) - ၎င်းကို ရှင်အီချီ မိုချီဇူကီ (Shinichi Mochizuki) က ဖန်တီးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ကလက်ဆီကယ် တိုက်ချ်မူလာ သီအိုရီနှင့် ဆင်တူစွာပင် <math>p</math>-အခြေခံကိန်း မျဉ်းကွေးများနှင့် ၎င်းတို့၏ မော်ဂျူးလပ်စ် ရပ်ဝန်းများကို တစ်ပြေးညီဖြစ်စေသည်။ * <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (<math>p</math>-adic quantum mechanics) - ၎င်းသည် ဗင်နီဇီယာနို လွှဲကျယ် (Veneziano amplitude) ကဲ့သို့သော မော်ဒယ်များတွင် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များနေရာ၌]] <math>p</math>-အခြေခံကိန်းများကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် ကြိုး သီအိုရီ (string theory) ကဲ့သို့သော ကွမ်တမ် သီအိုရီများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == <math>\mathbb{Q}</math> ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း [[ပကတိတန်ဖိုး]]မှတစ်ဆင့် <math>\mathbb{Q}_p</math> သို့ ပြည့်စုံစေသည့် နည်းတူ ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းဖီးလ်ဒ်များကို ၎င်းတို့၏ [[သုဒ္ဓကိန်း]] [[အိုင်ဒီးလ်|အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အရ ပြည့်စုံစေနိုင်သည်။ အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ် (Ostrowski's theorem) အရ ကိန်းဖီးလ်ဒ်တစ်ခုပေါ်ရှိ အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အာခီမီးဒီးစ်မဟုတ်သည့် ပကတိတန်ဖိုးများ အားလုံးသည် ဤနည်းလမ်းဖြင့် ဖြစ်ပေါ်လာကြသည်။ ဒေသအလိုက် ပြည့်စုံစေခြင်းများအားလုံးကို တစ်ပြိုင်နက် ခြေရာခံရန် သင်္ချာပညာရှင်များသည် အဒဲလ် ကွင်းများ (adele rings) ကို အသုံးပြုကြသည်။ <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များသည် ပရို-အဆုံးရှိ [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (profinite integers) <math>\widehat{\mathbb{Z}} = \prod_p \mathbb{Z}_p</math> သို့ ယေဘုယျပြုသွားသည်။ ၎င်းတို့သည် သုဒ္ဓထပ်ကိန်းများသာမက [[သဘာဝကိန်း|သဘာဝကိန်းများ]] (natural numbers) အားလုံးအပေါ် မော်ဂျူလို [[ဂဏန်းသင်္ချာ]]ကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း တိုးချဲ့ပေးသည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့ကို <math>p</math>-အခြေခံကိန်း ဆော်လီနွိုက်များ (<math>p</math>-adic solenoids) သို့ [[ဂျီဩမေတြီ]]အရ တိုးချဲ့နိုင်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Armacost |first1=D. L. |last2=Armacost |first2=W. L. |title=On ''p''-thetic groups |journal=Pacific Journal of Mathematics |date=1972 |volume=41 |issue=2 |at=295–301 |doi=10.2140/pjm.1972.41.295 |url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102968274 |mr=0330343 |zbl=0228.22009}} * {{Citation |last=Cassels |first=J. W. S. |author-link=J. W. S. Cassels |title=Local Fields |series=London Mathematical Society Student Texts |volume=3 |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1986 |isbn=0-521-31525-5 |mr=0861410 |zbl=0595.12006 |doi=10.1017/CBO9781139171885}} * {{Citation |last=Chen |first=Evan |title=An Infinitely Large Napkin |url=https://venhance.github.io/napkin/Napkin.pdf |access-date=23 July 2025 |date=2025}} * {{Citation |last1=Dedekind |first1=Richard |author-link1=Richard Dedekind |last2=Weber |first2=Heinrich |author-link2=Heinrich Martin Weber |title=Theory of Algebraic Functions of One Variable |series=History of Mathematics |volume=39 |publication-place=Providence, Rhode Island |publisher=American Mathematical Society |date=2012 |isbn=978-0-8218-8330-3 |mr=2962951 |zbl=1248.14002}} * {{Citation |last=Gouvêa |first=F. Q. |date=March 1994 |title=A Marvelous Proof |journal=American Mathematical Monthly |at=203–222 |volume=101 |issue=3 |jstor=2975598 |doi=10.2307/2975598}} * {{Citation |last=Gouvêa |first=Fernando Q. |date=1997 |title=''p''-adic Numbers: An Introduction |edition=2nd |publication-place=Berlin, New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-62911-4 |mr=1488696 |zbl=0874.11002}} * {{Citation |editor-last=Hazewinkel |editor-first=Michiel |editor-link=Michiel Hazewinkel |title=Handbook of Algebra |volume=6 |publication-place=Amsterdam |publisher=North Holland |date=2009 |isbn=978-0-444-53257-2 |url=https://books.google.com/books?id=yimXZ-7L9ZoC&pg=PA342}} * {{Citation |last1=Hehner |first1=Eric C. R. |author-link1=Eric C. R. Hehner |last2=Horspool |first2=R. Nigel |date=1979 |title=A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic |journal=SIAM Journal on Computing |at=124–134 |volume=8 |issue=2 |doi=10.1137/0208011 |url=https://www.researchgate.net/publication/220617770}} * {{Citation |last=Hensel |first=Kurt |author-link=Kurt Hensel |title=Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen |journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |volume=6 |date=1897 |issue=3 |at=83–88 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2}} * {{Citation |last1=Kelley |first1=John L. |author-link1=John Leroy Kelley |title=General Topology |date=2008 |orig-date=1955 |publication-place=New York |publisher=Ishi Press |isbn=978-0-923891-55-8}} * {{Citation |last=Koblitz |first=Neal |author-link=Neal Koblitz |title=''p''-adic analysis: a short course on recent work |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |volume=46 |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1980 |isbn=0-521-28060-5 |zbl=0439.12011}} * {{Citation |last=Koblitz |first=Neal |author-link=Neal Koblitz |date=1984 |title=''p''-adic Numbers, ''p''-adic Analysis, and Zeta-Functions |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=58 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-96017-1 |mr=0754003}} * {{Citation |last=Koç |first=Ç. K. |title=A Tutorial on <math>p</math>-adic Arithmetic |url=https://cetinkayakoc.net/docs/r09.pdf |access-date=23 July 2025 |publication-place=Oregon |publisher=Oregon State University |date=2002}} * {{Citation |last=Robert |first=Alain M. |date=2000 |title=A Course in ''p''-adic Analysis |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-98669-3 |mr=1760253 |zbl=0947.11035}} [[Category: ကိန်းသီအိုရီ]] [[Category: ကိန်းများ]] 1nu64d2taapctv7ermcspsyxccyrrlv 0 291680 1060907 1053441 2026-10-31T18:16:19Z Mkant00 135890 1060907 wikitext text/x-wiki [[File:Clock group.svg|thumb|upright=1.1|right|class=skin-invert-image|alt=Left: Analog clock reading 9 o'clock. Right: After four hours have passed, the clock now reads 1 o'clock.|ဘယ်ဘက်သည် 9 နာရီကို ပြသနေသော လက်တံပါ နာရီ ဖြစ်သည်။ ညာဘက်သည် 4 နာရီ ကြာလွန်ပြီးနောက် လက်တံသည် 1 နာရီကို ပြသနေသည်။ ဤနာရီပေါ်ရှိ အချိန်မှတ်သားမှုသည် မော်ဂျူလို 12 ဂဏန်းသင်္ချာကို အသုံးပြုသည်။ 9 နာရီသို့ 4 နာရီ ပေါင်းထည့်ခြင်းသည် 1 နာရီကို ရရှိစေသည်။ အကြောင်းမှာ 13 သည် မော်ဂျူလို 12 အရ 1 နှင့် ထပ်တူညီသောကြောင့် ဖြစ်သည်။]] [[သင်္ချာ|သင်္ချာတွင်]] မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ (modular arithmetic) သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) အတွက် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] တွက်ချက်မှုများ (arithmetic operations) စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပုံမှန် တွက်ချက်မှုများနှင့် ကွဲပြားသည်။ မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ဟုခေါ်သော သတ်မှတ်ထားသည့် တန်ဖိုးတစ်ခုသို့ ရောက်ရှိချိန် သို့မဟုတ် ကျော်လွန်ချိန်တွင် ကိန်းများသည် မူလနေရာသို့ ပြန်လည်လှည့်ပတ်သွားခြင်း ဖြစ်သည်။ မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာကို အသုံးပြုထားသော [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) ဆိုင်ရာ ခေတ်သစ် ချဉ်းကပ်မှုကို ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် က 1801 ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏ ဒစ်ကွီဇီရှန်းနက်စ် အရစ်သမက်တီကေး (Disquisitiones Arithmeticae) ကျမ်းတွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။<ref>Gray (2018), p. 143.</ref> မော်ဂျူလို <math>m</math> ပါဝင်သော မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာတွင် [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်း]]၊ [[မြှောက်ခြင်း|အမြှောက်]]နှင့် [[နုတ်ခြင်း|အနုတ်]] ရလဒ်များကို <math>m</math> ဖြင့် စားရာမှရရှိသော အကြွင်းဖြင့် စနစ်တကျ အစားထိုးခြင်း ပါဝင်သည်။ မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာ၏ ထူးခြားသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ တွက်ချက်မှု၏ ရလဒ်သည် <math>m</math> ဖြင့် စားခြင်းကို တွက်ချက်မှုအဆင့်တိုင်း၏ နောက်တွင် ပြုလုပ်သည်ဖြစ်စေ တွက်ချက်မှုအားလုံး ပြီးဆုံးချိန်တွင် တစ်ကြိမ်တည်း ပြုလုပ်သည်ဖြစ်စေ မူတည်ခြင်းမရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ == ဥပမာ (Example) == မော်ဂျူလာ ဂဏန်းသင်္ချာကို ပြသနေသည့် ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်သော ဥပမာတစ်ခုမှာ 12 နာရီပါ နာရီတစ်ခုပေါ်ရှိ နာရီလက်တံ ဖြစ်သည်။ နာရီလက်တံသည် ယခု 7 သို့ ညွှန်ပြနေပါက 8 နာရီ ကြာပြီးနောက်တွင် 3 သို့ ညွှန်ပြမည် ဖြစ်သည်။ ပုံမှန် [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်းတွက်ချက်မှု]] (addition) သည် <math>7 + 8 = 15</math> ရလဒ်ကို ရရှိစေမည် ဖြစ်သော်လည်း နာရီလက်တံသည် 12 နာရီတိုင်းတွင် တစ်ပတ်လည်သောကြောင့် နာရီမျက်နှာပြင်ပေါ်တွင် 15 ကို 3 အဖြစ် ဖတ်ရှုရသည်။ 15 သည် မော်ဂျူလို 12 အရ 3 နှင့် ထပ်တူညီသည် (congruent) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>15 \equiv 3 \pmod{12}</math> ဟု ရေးသားသည်။ ထို့ကြောင့် <math>7 + 8 \equiv 3 \pmod{12}</math> ဖြစ်သည်။ အလားတူစွာ 16 နာရီ ပြောင်းလဲမှုသည် 4 နာရီနှင့် ထပ်တူညီပြီး <math>2 \times 8 \equiv 4 \pmod{12}</math> ဟူသော ထပ်တူညီမှု ဖြစ်သည်။ အတိအကျ 12 နာရီ ကြာပြီးနောက်တွင် လက်တံသည် ၎င်းစတင်ခဲ့သောနေရာသို့ ပြန်ရောက်ရှိသွားသောကြောင့် 12 သည် 0 ဖြစ်မှုရှိသည်။ ယင်းကို <math>12 \equiv 0 \pmod{12}</math> ဟု ရေးသားသည်။ == ထပ်တူညီမှု (Congruence) == မော်ဂျူးလပ်စ် ဟုခေါ်သော [[ကိန်းပြည့်]] <math>m \ge 1</math> တစ်ခုကို ပေးထားရာတွင် ကိန်းပြည့်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) <math>a - b</math> သည် <math>m</math> ၏ ကိန်းပြည့် ဆတိုးကိန်း (multiple) ဖြစ်ပါက အဆိုပါကိန်းပြည့်နှစ်ခုသည် မော်ဂျူလို <math>m</math> အရ ထပ်တူညီသည်ဟု ဆိုသည်။ တနည်းအားဖြင့် <math>a - b = km</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့် <math>k</math> တစ်ခု တည်ရှိပါက ထပ်တူညီသည်ဟု ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ မော်ဂျူလို <math>m</math> ထပ်တူညီမှုသည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (congruence relation) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းမှာ [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်း]]၊ [[နုတ်ခြင်း|အနုတ်]]နှင့် [[မြှောက်ခြင်း|အမြှောက်]]တို့နှင့် ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိသော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုလိုသည်။ မော်ဂျူလို <math>m</math> ထပ်တူညီမှုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ : <math> a \equiv b \pmod m. </math> ကွင်းစကွင်းပိတ်များသည်<math>\pmod m</math> ကို ညီမျှခြင်းတစ်ခုလုံးအပေါ် သက်ရောက်ကြောင်း ဆိုလိုသည်။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို မော်ဂျူလို တွက်ချက်မှု (modulo operation) <math>b \bmod m</math> နှင့် ရောထွေးမှုမရှိသင့်ပေ။ အဆိုပါ မော်ဂျူလို တွက်ချက်မှုသည် <math>0 \le r < m</math> နှင့် <math>r \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အကြွင်း <math>r</math> ကို ရည်ညွှန်းသည်။ <math>a \equiv b \pmod m</math> ဆက်သွယ်ချက်သည် <math>a\bmod m = b\bmod m</math> နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ <math>a \equiv b \pmod m</math> ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်ကို [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|ယူကလစ် စားခြင်း]] (Euclidean division) နှင့် ၎င်း၏ ဆက်စပ်မှုကို ပြသရန် အောက်ပါအတိုင်း ရှင်းလင်းစွာ ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။ <math display="block">\exists k\in\mathbb{Z}\quad a=km+b</math> ဤသည်မှာ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့ကို <math>m</math> ဖြင့် စားသောအခါ အကြွင်းတူညီကြောင်း အတည်ပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို သီအိုရီအရ မော်ဂျူးလပ်စ်အဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။ အကြောင်းမှာ ကိန်းတစ်ခုသည် <math>m</math> ဖြင့် အတိအကျ စား၍ရနိုင်ပါက <math>-m</math> ဖြင့်လည်း အတိအကျ စား၍ရနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော် စံအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များတွင် မော်ဂျူးလပ်စ် <math>m</math> ကို အပေါင်းကိန်းအဖြစ်သာ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ === ဥပမာများ (Examples) === မော်ဂျူးလပ်စ် 12 တွင် ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် <math>38 - 14 = 24 = 2 \times 12</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>38 \equiv 14 \pmod{12}</math> ဖြစ်သည်ဟု အတည်ပြုနိုင်သည်။ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီစွာဖြင့် 38 နှင့် 14 တို့ကို 12 ဖြင့် စားသောအခါ တူညီသော အကြွင်း 2 ကို ရရှိသည်။ ထပ်တူညီမှု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် အနုတ်တန်ဖိုးများအပေါ်တွင်လည်း တူညီစွာ သက်ရောက်မှုရှိသည်။ : <math> \begin{align} 2 &\equiv -3 \pmod 5\\ -8 &\equiv \phantom{+}7 \pmod 5\\ -3 &\equiv -8 \pmod 5. \end{align}</math> == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic properties) == ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်သည် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်တစ်ခု၏ အခြေအနေအားလုံးကို ပြည့်စုံစေသည်။ * ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိ (Reflexivity) - <math>a \equiv a \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ * အချိုးညီမှု (Symmetry) - <math>a \equiv b \pmod m</math> သည် <math>b \equiv a \pmod m</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * ကူးပြောင်းနိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (Transitivity) - <math>a \equiv b \pmod m</math> နှင့် <math>b \equiv c \pmod m</math> ဖြစ်ပါက <math>a \equiv c \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ <math>a_1 \equiv b_1 \pmod m</math> နှင့် <math>a_2 \equiv b_2 \pmod m</math> ဖြစ်ပါက သို့မဟုတ် <math>a \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Lehoczky & Rusczyk (2006), p. 44.</ref> * မည်သည့်[[ကိန်းပြည့်]] <math>k</math> အတွက်မဆို <math>a + k \equiv b + k \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) ဖြစ်သည်။ * မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>k</math> အတွက်မဆို <math>k a \equiv k b \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) ဖြစ်သည်။ * သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ကိန်းပြည့် <math>k</math> အတွက်မဆို <math>k a \equiv k b \pmod{k m}</math> ဖြစ်သည်။ * <math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[ပေါင်းခြင်း]] ဖြစ်သည်။ * <math>a_1 - a_2 \equiv b_1 - b_2 \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[နုတ်ခြင်း]] (subtraction) ဖြစ်သည်။ * <math>a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) ဖြစ်သည်။ * အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် (non-negative integer) <math>k</math> မည်သည့်အတွက်မဆို <math>a^k \equiv b^k \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation) ဖြစ်သည်။ * ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) <math>p(x)</math> မည်သည့်အတွက်မဆို <math>p(a) \equiv p(b) \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် တန်ဖိုးရှာခြင်း (polynomial evaluation) ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းအတွက် <math>k^a \equiv k^b \pmod m</math> သည် ယေဘုယျအားဖြင့် မှားယွင်းသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များဖြစ်သည့် <math>c</math> နှင့် <math>d</math> တို့အတွက် <math>c \equiv d \pmod{\varphi(m)}</math> ဖြစ်ပါက <math>a^c \equiv a^d \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\varphi</math> သည် အွိုင်လာ၏ [[ဖန်ရှင်|တိုးရှန့် ဖန်ရှင်]] (Euler's totient function) ဖြစ်သည်။ ဤအချက်သည် <math>a</math> သည် <math>m</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]] (coprime) ဖြစ်သည်ဟူသော အခြေအနေအောက်တွင်သာ မှန်ကန်သည်။ <math>a \equiv b \pmod{mn}</math> ဖြစ်ပါက <math>a \equiv b \pmod m</math> နှင့် <math>a \equiv b \pmod n</math> ဖြစ်သည်။ ဘုံကိန်းပိုင်းများ ချေဖျက်ခြင်းအတွက် အောက်ပါ စည်းမျဉ်းများ ရှိသည်။ * <math>a + k \equiv b + k \pmod m</math> ဖြစ်ပါက <math>a \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ * <math>k a \equiv k b \pmod m</math> ဖြစ်ပြီး <math>k</math> သည် <math>m</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက <math>a \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ * <math>k a \equiv k b \pmod{k m}</math> ဖြစ်ပြီး <math>k \neq 0</math> ဖြစ်ပါက <math>a \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ မော်ဂျူလာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်]] (modular multiplicative inverse) ကို အောက်ပါ စည်းမျဉ်းများဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * တည်ရှိမှု (Existence) - <math>a</math> သည် <math>m</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ခြင်းသည် <math>aa^{-1} \equiv 1 \pmod m</math> ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့် <math>a^{-1}</math> တည်ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * <math>a \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်ပြီး <math>a^{-1}</math> တည်ရှိပါက <math>a^{-1} \equiv b^{-1} \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ * <math>ax \equiv b \pmod m</math> ဖြစ်ပြီး <math>a</math> သည် <math>m</math> သို့ နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက ဤမျဉ်းဖြောင့် ထပ်တူညီမှု (linear congruence) အတွက် အဖြေကို <math>x \equiv a^{-1}b \pmod m</math> အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် <math>x \equiv a^{-1} \pmod m</math> ကို တိုးချဲ့ ယူကလစ် [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (Extended Euclidean algorithm) အသုံးပြု၍ ဘေဇူး [[ညီမျှခြင်း]] (Bézout's equation) <math>a x + m y = 1</math> ကို ဖြေရှင်းခြင်းဖြင့် လျင်မြန်စွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ အထူးသဖြင့် <math>p</math> သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime) ဖြစ်ပါက <math>0 < a < p</math> အားလုံးအတွက် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်တစ်ခု တည်ရှိသည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == * ဖဲမ၏ သီအိုရမ်အငယ် (Fermat's little theorem) - <math>p</math> သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]]ဖြစ်ပြီး <math>a</math> ကို စား၍မပြတ်ပါက <math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod p</math> ဖြစ်သည်။ * [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) - <math>a</math> နှင့် <math>m</math> တို့သည် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]]ဖြစ်ပါက <math>a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် <math>a^{-1} \equiv a^{\varphi(m)-1} \pmod m</math> ဖြစ်သည်။ * ဝီလ်ဆင်၏ သီအိုရမ် (Wilson's theorem) - [[ကိန်းပြည့်]] <math>p > 1</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ခြင်းသည် <math>(p - 1)! \equiv -1 \pmod p</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ * တရုတ် အကြွင်း သီအိုရမ် (Chinese remainder theorem) - ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>a, b</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓ အပေါင်းကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>m, n</math> မည်သည့်အစုံအတွက်မဆို <math>x \equiv a \pmod m</math> နှင့် <math>x \equiv b \pmod n</math> ဖြစ်စေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော <math>x \pmod{mn}</math> တည်ရှိသည်။ အမှန်တကယ်အားဖြင့် <math>x \equiv b m_n^{-1} m + a n_m^{-1} n \pmod{mn}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>m_n^{-1}</math> သည် <math>m \pmod n</math> ၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်ပြီး <math>n_m^{-1}</math> သည် <math>n \pmod m</math> ၏ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သည်။ * [[လာဂေါင့်၏ သီအိုရမ်]] (Lagrange's theorem) - <math>p</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး <math>f(x) = a_0 x^d + ... + a_d</math> သည် ကိန်းပြည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်]]တစ်ခုဖြစ်ကာ <math>p</math> သည် <math>a_0</math> ကို စား၍မပြတ်ပါက <math>f(x) \equiv 0 \pmod p</math> ထပ်တူညီမှုတွင် ကိန်းရင်း အများဆုံး <math>d</math> ခု ရှိသည်။ * မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်း (Primitive root modulo m) - ကိန်း <math>g</math> သည် မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်ရန် <math>m</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော <math>a</math> တိုင်းအတွက် <math>g^k \equiv a \pmod m</math> ဖြစ်စေမည့် <math>k</math> တည်ရှိရမည် ဖြစ်သည်။ [[ကိန်းပြည့်]] <math>m \ge 2</math> အတွက် ပရစ်မစ်တစ် ကိန်းရင်း တည်ရှိရန် [[ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ|လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ]]မှာ <math>m</math> သည် <math>2, 4, p^k</math> သို့မဟုတ် <math>2p^k</math> နှင့် ညီမျှခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ထိုအခြေအနေတွင် <math>p</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] [[သုဒ္ဓကိန်း]] ဖြစ်ပြီး <math>k</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|အပေါင်းကိန်းပြည့်]] ဖြစ်သည်။ * နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်း (Quadratic residue) - <math>x^2 \equiv a \pmod m</math> ဖြစ်စေမည့် <math>x</math> တည်ရှိပါက ကိန်းပြည့် <math>a</math> ကို မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်းဟု ခေါ်သည်။ အွိုင်လာ စံသတ်မှတ်ချက် (Euler's criterion) အရ <math>p</math> သည် <math>a</math> ကို စား၍မပြတ်သော မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပါက <math>a</math> သည် မော်ဂျူလို <math>p</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အကြွင်းဖြစ်ခြင်းသည် <math>a^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod p</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုဖော်ပြသည်။ == ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (Congruence classes) == [[ကိန်းပြည့်]] <math>a</math> ၏ မော်ဂျူလို <math>m</math> ရှိ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) သည် <math>a + k m</math> ပုံစံရှိ ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ [[အစု]] ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>a \pmod m</math> ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား သို့မဟုတ် အကြွင်းအတန်းအစား (residue class) ဟု ခေါ်ပြီး <math>\overline{a}</math> သို့မဟုတ် <math>[a]</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ အကြွင်းအတန်းအစားတစ်ခုစီတွင် <math>0 \le r < |m|</math> အပိုင်းအခြား (range) အတွင်းရှိ ကိုယ်စားပြု ကိန်းပြည့် အတိအကျ တစ်ခု ပါဝင်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် <math>a \bmod m</math> သည် <math>a \pmod m</math> ၏ အကြွင်း ဟုခေါ်သော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ကိန်းပြည့် <math>r</math> ကို ဖော်ပြသည်။ အစုများကို အသုံးပြုခြင်းထက် ကိုယ်စားပြုကိန်းတစ်ခုတည်းကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုရိုးရှင်းသောကြောင့် <math>a \equiv b \pmod m</math> ကို ဖော်ပြရန် <math>a \bmod m = b \bmod m</math> အဖြစ် မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ == အကြွင်း စနစ်များ (Residue systems) == မော်ဂျူလို <math>m</math> အကြွင်းအတန်းအစား တစ်ခုစီကို ၎င်း၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]]ထဲမှ မည်သည့်အစုဝင် တစ်ခုကမဆို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ [[ကိန်းပြည့်]]တိုင်းသည် မော်ဂျူလို <math>m</math> အကြွင်းအတန်းအစား တစ်ခုတည်းတွင်သာ ပါဝင်သည်။<ref>Pettofrezzo & Byrkit (1970), p. 90.</ref> <math>\{0, 1, 2, \dots, m - 1\}</math> [[အစု]]ကို မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ အငယ်ဆုံး အကြွင်း စနစ် (least residue system modulo <math>m</math>) ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းနှစ်ခုမျှ မော်ဂျူလို <math>m</math> အရ ထပ်တူမညီသော ကိန်းပြည့် <math>m</math> ခု ပါဝင်သည့် မည်သည့်အစုမဆိုသည် အကြွင်းအတန်းအစားတစ်ခုစီ၏ ကိုယ်စားပြုကိန်း အတိအကျ တစ်ခုစီ ပါဝင်သော မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ ပြည့်စုံသော အကြွင်း စနစ် (complete residue system modulo <math>m</math>) ဖြစ်သည်။<ref>Long (1972), p. 78.</ref> ဥပမာအားဖြင့် မော်ဂျူလို 4 ၏ ပြည့်စုံသော အကြွင်း စနစ်များတွင် အငယ်ဆုံး အကြွင်း စနစ် <math>\{0, 1, 2, 3\}</math> အပြင် <math>\{-13, 4, 17, 18\}</math> ကဲ့သို့သော အစုများလည်း ပါဝင်သည်။ === လျှော့ချထားသော အကြွင်း စနစ်များ (Reduced residue systems) === အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် <math>\varphi(m)</math> ကို ပေးထားရာတွင် <math>m</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]]ဖြစ်ပြီး အချင်းချင်း မော်ဂျူလို <math>m</math> ထပ်တူမညီသော ကိန်းပြည့် <math>\varphi(m)</math> ခု ပါဝင်သည့် မည်သည့်အစုမဆိုသည် မော်ဂျူလို <math>m</math> ၏ လျှော့ချထားသော အကြွင်း စနစ် (reduced residue system modulo <math>m</math>) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Long (1972), p. 85.</ref> == မော်ဂျူလို <math>m</math> ရှိသော ကိန်းပြည့်များ (Integers modulo m) == မော်ဂျူလို <math>m</math> ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများအားလုံး၏ [[အစု]]သည် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို မော်ဂျူလို <math>m</math> ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း (ring of integers modulo <math>m</math>) ဟု ခေါ်သည်။ ယင်းကို <math display="inline">\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math>၊ <math>\mathbb{Z}/(m)</math>၊ <math>\mathbb{Z}/m</math>၊ သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Z}_m</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။<ref>Denton (2013).</ref> <math>m > 0</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ : <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \left\{ \overline{0}_m, \overline{1}_m, \ldots, \overline{m{-}1}_m \right\}</math> [[ပေါင်းခြင်း]]၊ [[နုတ်ခြင်း]]နှင့် [[မြှောက်ခြင်း]]တို့ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * <math>\overline{a}_m + \overline{b}_m = \overline{(a + b)}_m</math> * <math>\overline{a}_m - \overline{b}_m = \overline{(a - b)}_m</math> * <math>\overline{a}_m \overline{b}_m = \overline{(a b)}_m</math> ဤတွက်ချက်မှုများအောက်တွင် <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုဖြစ်ပြီး [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) <math>m\mathbb{Z}</math> ဖြင့် <math>\mathbb{Z}</math> ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|စားလဒ်ကွင်း]] (quotient ring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပေါင်းခြင်း တွက်ချက်မှုအောက်တွင် <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> သည် [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Sengadir (2009), p. 293.</ref> မော်ဂျူလို <math>m</math> ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခု ဖြစ်ခြင်းသည် <math>m</math> သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]]ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ <math>k > 1</math> အတွက် <math>m = p^k</math> ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}</math> တွင် သုညစားကိန်းများ (zero-divisors) ပါဝင်ပြီး [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) <math>\mathrm{GF}(m)</math> နှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) မဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် ပြည့်စုံမှုမရှိပေ။ <math>(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times</math> ဖြင့် ဖော်ပြသော မော်ဂျူလို <math>m</math> ရှိသော ကိန်းပြည့်များ၏ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စု (multiplicative group of integers modulo <math>m</math>) တွင် <math>a</math> သည် <math>m</math> သို့ နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သည့် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ <math>\overline{a}_m</math> ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အစဉ် (order) <math>\varphi(m)</math> ပါရှိသည့် [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Apostol |first=Tom M. |title=Introduction to Analytic Number Theory |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1976 |isbn=978-0-387-90163-3 |mr=0434929 |zbl=0335.10001 |doi=10.1007/978-1-4757-5579-4 }} * {{Citation |last=Berggren |first=John L. |title=Modular arithmetic |encyclopedia=Encyclopædia Britannica |url=https://www.britannica.com/EBchecked/topic/920687/modular-arithmetic }} * {{Citation |last=Bullynck |first=Maarten |title=Modular Arithmetic before C. F. Gauss: Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany |url=http://www.kuttaka.org/Gauss_Modular.pdf |date=2013 |access-date=2018-02-03 |archive-date=2 November 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131102014013/http://www.kuttaka.org/Gauss_Modular.pdf |url-status=dead }} * {{Citation |last=Denton |first=Tom |title=2.3: Integers Modulo n |website=Mathematics LibreTexts |date=2013-11-16 |url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n |access-date=2020-08-12 }} * {{Citation |last1=Garey |first1=M. R. |last2=Johnson |first2=D. S. |title=Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness |publication-place=San Francisco |publisher=W. H. Freeman |date=1979 |isbn=0716710447 }} * {{Citation |last=Gioia |first=Anthony |title=Number Theory: An Introduction |edition=Reprint |publication-place=Mineola, NY |publisher=Dover |date=2001 |isbn=0-486-41449-3 }} * {{Citation |last=Gray |first=Jeremy |title=A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra |publication-place=Cham, Switzerland |publisher=Springer International Publishing |date=2018 |isbn=978-3-319-94772-3 |doi=10.1007/978-3-319-94773-0 |mr=3889814 |zbl=1406.01001 }} * {{Citation |last1=Lehoczky |first1=Sandor |last2=Rusczyk |first2=Richard |editor-last=Patrick |editor-first=David |title=The Art of Problem Solving |volume=1 |edition=7th |publication-place=Alpine, CA |publisher=AoPS Incorporated |date=2006 |isbn=0977304566 }} * {{Citation |last=Long |first=Calvin T. |title=Elementary Introduction to Number Theory |edition=2nd |publication-place=Lexington, MA |publisher=D. C. Heath and Company |date=1972 }} * {{Citation |last1=Pettofrezzo |first1=Anthony J. |last2=Byrkit |first2=Donald R. |title=Elements of Number Theory |publication-place=Englewood Cliffs, NJ |publisher=Prentice Hall |date=1970 |isbn=978-0-13-268300-5 }} * {{Citation |author=Rosetta Code |title=Euler's sum of powers conjecture |url=https://rosettacode.org/wiki/Euler%27s_sum_of_powers_conjecture#QL_SuperBASIC |website=rosettacode.org |date=2020 |access-date=2020-11-11 }} * {{Citation |last=Sengadir |first=T. |title=Discrete Mathematics and Combinatorics |publication-place=Chennai, India |publisher=Pearson Education India |date=2009 |isbn=978-81-317-1405-8 }} * {{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Modular Arithmetic |website=Wolfram MathWorld |url=https://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html |access-date=2020-08-12 }} [[Category:ဂဏန်းသင်္ချာ]] [[Category:အုပ်စုသီအိုရီ]] [[Category:ကွင်းသီအိုရီ]] jmrs8t9gzalctyxt7q0736ai46q69gb 0 291686 1060906 1053687 2026-10-31T17:54:19Z Mkant00 135890 1060906 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ|သင်္ချာပညာတွင်]] [[ကိန်းရင်း]] [[ဖီးလ်ဒ်]] (algebraic number field) <math>K</math> တစ်ခု၏ '''ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း''' (ring of integers) သို့မဟုတ် '''ကိန်းကွင်း''' (number ring)<ref>Marcus (2018)</ref> သည် <math>K</math> ၌ ပါဝင်သော ကိန်းပြည့်ရင်း (algebraic integer) များအားလုံး၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) ဖြစ်သည်။<ref>Alaca & Williams (2004), Defs. 6.1.2–3, p. 110.</ref> ကိန်းပြည့်ရင်းတစ်ခုသည် <math>x^m+c_{m-1}x^{m-1}+\cdots+c_0</math> ဟူသော [[ကိန်းပြည့်]] မြှောက်ဖော်ကိန်း (integer coefficient) များပါရှိသည့် [[ပိုလီနိုမီရယ်|မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ်]] (monic polynomial) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်း (root) ဖြစ်သည်။<ref>Alaca & Williams (2004), Defs. 4.1.1–2, p. 74.</ref> ၎င်းကို <math>O_K</math> သို့မဟုတ် <math>\mathcal{O}_K</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုလေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> အား [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းပိုင်း]] (subring) တစ်ခုအနေဖြင့် အမြဲတမ်း ငုံထားသည်။ <math>\mathbb{Z}</math> သည် [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏]] ဖီးလ်ဒ် (field of rational numbers) <math>\mathbb{Q}</math> ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း ဖြစ်ပြီး ယင်းကို <math>\mathbb{Z}=\mathcal{O}_{\mathbb{Q}}</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ ၎င်း၏ [[အစုဝင်]] (element) များကို [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) ၌ ရာရှင်နယ် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (rational integers) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဖီးလ်ဒ်ကို တိကျစွာ မဖော်ပြဘဲ "ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း" ဟု ဆိုရာတွင် ထိုကွင်းများအားလုံးအတွက် ရှေ့ပြေးနမူနာ အရာဝတ္ထု (object) ဖြစ်သော သာမန် ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}</math> ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ဤအချက်သည် [[ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ|သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ]] (abstract algebra) ရှိ ကိန်းပြည့် ဟူသော စကားလုံး၏ အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှု၏ အကျိုးဆက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Cassels (1986), p. 192.</ref> [[ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်]] (Gaussian integer) များ <math>\mathbb{Z}[i]</math> သည် ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်း (Gaussian rational) များ <math>\mathbb{Q}(i)</math> ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့သည် ရာရှင်နယ် ကိန်းပြည့်များကဲ့သို့ပင် ယူကလစ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ထိုဖီးလ်ဒ်အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အကြီးဆုံး အစဉ် (maximal order) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အမြဲတမ်း ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်း (Dedekind domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Samuel (1972), p. 49.</ref> == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathcal{O}_K</math> သည် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ <math>K</math> ၏ ဒီဂရီ (degree) နှင့် ညီမျှသော အဆင့် (rank) <math>n</math> ရှိသည့် [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး]] (free <math>\mathbb{Z}</math>-module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် '''ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစု''' (integral basis) တစ်ခု ပါရှိသည်။ ၎င်းမှာ <math>\mathbb{Q}</math>-[[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (<math>\mathbb{Q}</math>-vector space) <math>K</math> ၏ အခြေအစု (basis) <math>b_1, \ldots, b_n \in \mathcal{O}_K</math> ဖြစ်ပြီး မည်သည့် <math>x \in \mathcal{O}_K</math> ကိုမဆို အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>x=\sum_{i=1}^n a_i b_i</math> ဤနေရာတွင် <math>a_i \in \mathbb{Z}</math> ဖြစ်သည်။<ref>Cassels (1986), p. 193.</ref> == ဥပမာများ (Examples) == === တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ကိရိယာ (Computational tool) === ခွဲခြားကိန်း (discriminant) ကို <math>K</math> ထဲရှိ <math>\mathbb{Z}</math> ၏ [[ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အစုဝင်|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အပိတ်]] (integral closure) ဖြစ်သော <math>\mathcal{O}_K</math> အား တွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ခွဲခြားကိန်း <math>d = \Delta_{K/\mathbb{Q}}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> ပါရှိသည့် <math>\mathbb{Q}</math> အပေါ်ရှိ <math>K</math> ၏ အခြေအစု <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \mathcal{O}_K</math> တစ်ခုအတွက် <math>\mathcal{O}_K</math> သည် <math>\alpha_1/d,\ldots,\alpha_n/d</math> ဖြင့် စပန် (span) ဖွဲ့စည်းထားသော <math>\mathbb{Z}</math>-မော်ဂျူး၏ [[မော်ဂျူး|မော်ဂျူးပိုင်း]] (submodule) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Baker (2007), p. 33.</ref> အကယ်၍ <math>d</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့်]] (square-free integer) ဖြစ်ပါက <math>\alpha_1,\ldots,\alpha_n</math> တို့သည် <math>\mathcal{O}_K</math> အတွက် ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Baker (2007), p. 35.</ref> === ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် တိုးချဲ့ချက်များ (Cyclotomic extensions) === [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime) <math>p</math> ၊ ပရစ်မစ်တစ် <math>p</math> ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်း (primitive <math>p</math>th root of unity) <math>\zeta</math> နှင့် သက်ဆိုင်ရာ ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ် (cyclotomic field) <math>K = \mathbb{Q}(\zeta)</math> တို့အတွက် <math>\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\zeta]</math> ၏ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုတစ်ခုမှာ <math>(1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{p-2})</math> ဖြစ်သည်။<ref>Samuel (1972), p. 43.</ref> === နှစ်ထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ (Quadratic extensions) === နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် <math>d \neq 1</math> နှင့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ် (quadratic field) <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> တို့အတွက် <math>\mathcal{O}_K</math> သည် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ကိန်းပြည့်များ (quadratic integers) ၏ ကွင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>d \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်း၏ ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အခြေအစုမှာ <math>\left(1, \frac{1 + \sqrt{d}}{2}\right)</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>d \equiv 2, 3 \pmod 4</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်း၏ အခြေအစုမှာ <math>(1, \sqrt{d})</math> ဖြစ်သည်။<ref>Samuel (1972), p. 35.</ref> ယင်းသည် <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> ထဲရှိ အစုဝင်များဖြစ်သော <math>a + b\sqrt{d}</math> တို့၏ [[ပိုလီနိုမီရယ်|အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ်]] (minimal polynomial) မှ ဆင်းသက်လာသည်။ == မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံ (Multiplicative structure) == <math>\mathcal{O}_K</math> ထဲရှိ သုညမဟုတ်သော ယူနစ်မဟုတ်သည့် [[အစုဝင်]] (nonzero nonunit) တိုင်းသည် ဆမခွဲနိုင်သော အစုဝင်များ (irreducible elements) အဖြစ် ဆခွဲကိန်းခွဲ၍ ရနိုင်သော်လည်း ယင်း[[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) ကင်းမဲ့နေနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း တွေ့ရသည်။<ref>Samuel (1972), p. 49.</ref><ref>Artin (2011), p. 360.</ref> :<math> 6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})</math> ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်းတစ်ခုဖြစ်သည့်အတွက် <math>\mathcal{O}_K</math> သည် သုညမဟုတ်သော [[အိုင်ဒီးလ်|အိုင်ဒီးလ်များ]] (nonzero ideals) မှ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) ဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းကို အမြဲတမ်း လက်ခံပေးသည်။<ref>Samuel (1972), p. 50.</ref> ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ယူနစ် သီအိုရမ် (Dirichlet's unit theorem) အရ <math>\mathcal{O}_K</math> ၏ ယူနစ်များသည် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ [[အဘီလီယန်အုပ်စု]] (finitely generated abelian group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်း၏ [[အလိမ် (အက္ခရာသင်္ချာ)|အလိမ်]] [[အုပ်စုပိုင်း]] (torsion subgroup) တွင် <math>K</math> ၏ ယူနစ်ရင်းများ (roots of unity) ပါဝင်သည်။ ထို့ပြင် အလိမ်ကင်းစင်သော ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (torsion-free generators) အစုတစ်ခုသည် အခြေခံ ယူနစ်များ (fundamental units) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Samuel (1972), pp. 59–62.</ref> == ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization) == [[အာခီမီးဒီးစ် ဂုဏ်သတ္တိ|အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော]] ဒေသအလိုက် [[ဖီးလ်ဒ်]] (non-archimedean local field) <math>F</math> တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် [[ပကတိတန်ဖိုး]] (absolute value) <math>\leq 1</math> ရှိသော အစုဝင်များ၏ [[အစု]] ဖြစ်ပြီး အားကောင်းသော တြိဂံ မညီမျှခြင်း (strong triangle inequality) မှတစ်ဆင့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းတစ်ခုအဖြစ်]] ဖွဲ့စည်းထားသည်။<ref>Cassels (1986), p. 41.</ref> ဥပမာအားဖြင့် <math>p</math>-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) <math>\mathbb{Z}_p</math> သည် [[P-အခြေခံကိန်း|<math>p</math>-အခြေခံကိန်းများ]] (p-adic numbers) <math>\mathbb{Q}_p</math> ၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အကယ်၍ <math>F</math> သည် ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု၏ အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) တစ်ခု ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းသည် ထိုဖီးလ်ဒ်ရှိ ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်းကို ပြည့်စုံစေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် <math>\mathcal{O}_K</math> တွင် <math>K</math> ၏ အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ပြည့်စုံစေခြင်းတိုင်း၌ ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော အစုဝင်များ တိကျစွာ ပါဝင်သည်။<ref>Cassels (1986), p. 192.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Alaca |first=Saban |last2=Williams |first2=Kenneth S. |title=Introductory Algebraic Number Theory |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2004 |isbn=978-0-511-79126-0 |mr=2031707 |zbl=1035.11001 |doi=10.1017/CBO9780511791260}} * {{Citation |last=Artin |first=Michael |author-link=Michael Artin |title=Algebra |edition=2nd |publication-place=Boston |publisher=Prentice Hall |date=2011 |isbn=978-0-13-241377-0}} * {{Citation |last=Baker |first=Matthew |title=Algebraic Number Theory |url=http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/ANTBook.pdf |publisher=Georgia Institute of Technology |date=2007 |access-date=15 September 2026 |archive-date=6 May 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210506232824/http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/ANTBook.pdf |url-status=dead }} * {{Citation |last=Cassels |first=J. W. S. |author-link=J. W. S. Cassels |title=Local Fields |series=London Mathematical Society Student Texts |volume=3 |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1986 |isbn=0-521-31525-5 |zbl=0595.12006}} * {{Citation |last=Marcus |first=Daniel A. |title=Number Fields |edition=2nd |series=Universitext |publication-place=Cham |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-319-90232-6 |doi=10.1007/978-3-319-90233-3 |others=typeset by Emanuele Sacco}} * {{Citation |last=Neukirch |first=Jürgen |author-link=Jürgen Neukirch |title=Algebraic Number Theory |series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |volume=322 |publication-place=Berlin |publisher=Springer-Verlag |date=1999 |isbn=978-3-540-65399-8 |mr=1697859 |zbl=0956.11021}} * {{Citation |last=Samuel |first=Pierre |author-link=Pierre Samuel |title=Algebraic Theory of Numbers |publication-place=Paris |publisher=Hermann |date=1972}} [[ကဏ္ဍ:ကွင်းသီအိုရီ]] pk9ws09v3f2yb2omzxe5njogurx4o44 0 291687 1060905 1053198 2026-10-31T17:52:27Z Mkant00 135890 1060905 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) တွင် '''ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်''' (Gaussian integer) သည် ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) နှင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (imaginary part) နှစ်ခုစလုံး [[ကိန်းပြည့်]] (integer) ဖြစ်သော [[ကိန်းထွေး]] (complex number) ဖြစ်သည်။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းထွေးများ၏ သာမန် [[ပေါင်းခြင်း]] (addition) နှင့် [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) တို့ဖြင့် [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း]] (integral domain) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြပြီး ၎င်းကို ပုံမှန်အားဖြင့် <math>\mathbb{Z}[i]</math> ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။<ref name="Fraleigh_286">Fraleigh (1976), p. 286.</ref> ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းပြည့်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများစွာ ဆင်တူကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ယူကလစ် ဒိုမိန်း (Euclidean domain) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ထို့ကြောင့် [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|ယူကလစ် စားခြင်း]] (Euclidean division) နှင့် [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|ယူကလစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (Euclidean algorithm) တို့ ရှိကြသည်။ ဤအချက်က တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) နှင့် ဆက်စပ်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို သက်ရောက်စေသည်။ သို့သော် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များတွင် [[ဂဏန်းသင်္ချာ]] (arithmetic) ကို လိုက်နာသော အပြည့်အဝ အစဉ်ကျခြင်း (total order) မရှိပေ။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) ဖြစ်ကြပြီး အရှင်းလင်းဆုံးသော နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်များ (quadratic integers) ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) ကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ယင်းတို့ကို ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် ကို အစွဲပြု၍ အမည်ပေးထားသည်။ [[File:Gaussian integer lattice.svg|thumb|217px|[[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) အတွင်းရှိ ကိန်းပြည့် လတ္တစ် (lattice) အမှတ်များအဖြစ် ပြသထားသော ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ။]] == အခြေခံ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Basic definitions) == ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် အောက်ပါ [[အစု]] (set) ဖြစ်သည်။<ref name="Fraleigh_286" /><ref>Stein (1976).</ref> :<math>\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}, \qquad \text{ where } i^2 = -1</math> ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (closure property) ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ယင်းကွင်းသည် ကိန်းထွေးများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) ထဲမှ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း စဉ်းစားသောအခါ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] 2 ခုရှိသော (2-dimensional) စတုရန်း လတ္တစ်ကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် <math>a + bi</math> ၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) သည် <math>a - bi</math> ဖြစ်သည်။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခု၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>N(a + bi)</math> သည် ယင်းကိန်းနှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ်ကို မြှောက်ထားသော မြှောက်လဒ် (product) ဖြစ်သည်။ :<math>N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2</math> ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခု၏ စံနှုန်းသည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့် (nonnegative integer) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယင်းသည် နှစ်ထပ်ကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ် ဖြစ်သည်။ နှစ်ထပ်ကိန်းနှစ်ခု ပေါင်းလဒ် သီအိုရမ်အရ သုညမဟုတ်သော ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခု၏ စံနှုန်းတွင် [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း]] (prime factor) <math>p^k</math> မပါဝင်နိုင်ပေ။ ဤနေရာတွင် <math>p \equiv 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပြီး <math>k</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ဖြစ်သည်။ စံနှုန်းသည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicative) ရှိသည်။ ၎င်းသည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် စုံတွဲ <math>z, w</math> တိုင်းအတွက် <math>N(zw) = N(z)N(w)</math> ဖြစ်သည်ဟု ဆိုလိုသည်။<ref>Fraleigh (1976), p. 289.</ref> ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ ကွင်း၏ ယူနစ်များ (units) သည် စံနှုန်း 1 ရှိသော [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (elements) သီးသန့်ဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့မှာ <math>1, -1, i</math> နှင့် <math>-i</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Fraleigh (1976), p. 288.</ref> == ယူကလစ် စားခြင်း (Euclidean division) == [[File:Gauss-euklid.svg|250px|thumb|ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခုဆီသို့ အများဆုံး အကွာအဝေးကို ပုံဖော်ချက်။]] ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် ကိန်းပြည့်များနှင့် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်များ]] (polynomials) နည်းတူ [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|ယူကလစ် စားခြင်း]] (Euclidean division) သို့မဟုတ် အကြွင်းကျန် စားခြင်း (division with remainder) ကို လုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ ယင်းအချက်က ၎င်းတို့ကို ယူကလစ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်စေသည်။ ဤအချက်သည် အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းများ (greatest common divisors) ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|ယူကလစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]]၊ ဘေဇူး၏ ထပ်တူညီမှု (Bézout's identity)၊ ယူကလစ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Euclid's lemma) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း သီအိုရမ်တို့ တည်ရှိမှုကို သေချာစေသည်။ ယူကလစ် စားခြင်းဆိုင်ရာ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းတစ်ခုသည် တည်ကိန်း (dividend) <math>a</math> နှင့် စားကိန်း (divisor) <math>b \neq 0</math> တို့ကို အသုံးပြု၍ စားလဒ် (quotient) <math>q</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>r</math> တို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ထုတ်ပေးသည်။ :<math>a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)<N(b)</math> လက်တွေ့တွင် အကြွင်းကို ပို၍ ငယ်အောင် ပြုလုပ်နိုင်သည်။ :<math>a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)\le \frac{N(b)}{2}</math> ယင်းကို ကိန်းထွေးစားလဒ် <math>x + iy = \frac{a}{b}</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း၊ <math>x</math> နှင့် <math>y</math> တို့နှင့် အနီးဆုံး ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော <math>m</math> နှင့် <math>n</math> တို့ကို အသီးသီး ရွေးချယ်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း ရရှိနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>-\frac{1}{2} < x - m \le \frac{1}{2}</math> နှင့် <math>-\frac{1}{2} < y - n \le \frac{1}{2}</math> ဖြစ်ရမည်။ <math>q = m + in</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် လိုအပ်သော အကြွင်း <math>r = a - bq</math> ကို ရရှိစေသည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) အရ မည်သည့် ကိန်းထွေးမှမဆို အနီးဆုံး ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်ဆီသို့ အကွာအဝေး (distance) သည် အများဆုံးအားဖြင့် <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> သာ ရှိသည်။<ref>Fraleigh (1976), p. 287.</ref> == ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ်များ (Principal ideals) == ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ၏ ကွင်း <math>\mathbb{Z}[i]</math> သည် ယူကလစ် ဒိုမိန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ယင်းသည် ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် ဒိုမိန်း (principal ideal domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ [[အိုင်ဒီးလ်]] (ideal) တိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းက ထုတ်လုပ်ပေးခြင်း (generated) ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော <math>g</math> မည်သည်အတွက်မဆို <math>g</math> မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော အိုင်ဒီးလ်ကို <math>g</math> ၏ တွဲဖက်ကိန်း (associate) တစ်ခုခုကလည်း ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ အဆိုပါ တွဲဖက်ကိန်းများမှာ <math>g, gi, -g, -gi</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ အခြား မည်သည့် အစုဝင်ကမျှ အဆိုပါ အိုင်ဒီးလ်ကို မထုတ်လုပ်ပေးနိုင်ပေ။ အိုင်ဒီးလ်တစ်ခု၏ စံနှုန်း (norm of an ideal) သည် ယင်း၏ ထုတ်လုပ်ကိန်း (generator) တစ်ခုခု၏ စံနှုန်းပင် ဖြစ်သည်။ ထုတ်လုပ်ကိန်းများအတွက် ပုံမှန် (canonical) ရွေးချယ်မှုတစ်ခု သတ်မှတ်ရန် ဂေါက်စ်သည် တွဲဖက်ကိန်းများကို ရွေးချယ်ရာတွင် တိကျသော စည်းမျဉ်းများကို ရေးဆွဲခဲ့သည်။ မကိန်း စံနှုန်းရှိသော အစုဝင်များအတွက် မကိန်းဖြစ်ပြီး အပေါင်းဖြစ်သော ကိန်းစစ်ပိုင်းပါရှိသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (unique) တွဲဖက်ကိန်းတစ်ခု ရှိသည်။ အခြားနည်းအားဖြင့် ဂေါက်စ်သည် <math>2 + 2i</math> ဖြင့် စားသောအခါ အကြွင်း 1 ရရှိစေမည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် တွဲဖက်ကိန်းကို မူလက ရွေးချယ်ခဲ့သည်။ စုံကိန်း စံနှုန်းရှိသော အစုဝင်များကို မကိန်း စံနှုန်း ရွေးချယ်မှုများနှင့် ကိုက်ညီစေရန် <math>2^k h</math> သို့မဟုတ် <math>2^k h(1 + i)</math> အဖြစ် ဆခွဲကိန်းခွဲ (factor) နိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>N(h)</math> သည် မကိန်း ဖြစ်သည်။ == ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ (Gaussian primes) == ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (unique factorization domain) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသောကြောင့် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်း အစုဝင် (prime element) တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ယင်းကိန်းသည် ဆမခွဲနိုင်သော (irreducible) ကိန်း ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ယင်းသုဒ္ဓကိန်း အစုဝင်သည် [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်]] (prime ideal) တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ ၎င်းတို့ကို '''ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ''' ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ယင်းကိန်းသည် မော်ဂျူလို 4 အရ 3 နှင့် ထပ်တူညီသော [[သုဒ္ဓကိန်း]] (prime number) ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အခြားသော [[သဘာဝကိန်း|သုဒ္ဓသဘာဝကိန်းများ]] (prime natural numbers) သည် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ မဟုတ်ကြပေ။ သို့သော် ၎င်းတို့ တစ်ခုစီသည် ကွန်ဂျူဂိတ် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်း နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များတွင် သုဒ္ဓသဘာဝကိန်း <math>p</math> တစ်ခု၏ ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းအတွက် အခြေအနေ သုံးရပ် ရှိသည်။ * <math>p \equiv 3 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များတွင် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုအဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသည်။ [[အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ]] (algebraic number theory) တွင် <math>p</math> ကို အင်နတ် သုဒ္ဓကိန်း (inert prime) ဟု ခေါ်သည်။ * <math>p \equiv 1 \pmod 4</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ်တို့၏ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ ယင်းနှစ်ခုစလုံးသည် တွဲဖက်ကိန်းများ မဟုတ်ကြပေ။ ဥပမာအားဖြင့် <math>5 = (2 + i)(2 - i)</math> နှင့် <math>13 = (3 + 2i)(3 - 2i)</math> တို့ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>p</math> သည် ခွဲခြမ်းခံ သုဒ္ဓကိန်း (decomposed prime) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ * <math>p = 2</math> ဖြစ်ပါက <math>2 = (1 + i)(1 - i) = i(1 - i)^2</math> ကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် 2 သည် ယူနစ်တစ်ခုနှင့် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်း <math>1-i</math> ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းတို့၏ မြှောက်လဒ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဖြာထွက် သုဒ္ဓကိန်း (ramified prime) ဖြစ်သည်။ == တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (Unique factorization) == သုညမဟုတ်သော ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တိုင်းကို ယူနစ်တစ်ခုနှင့် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲနိုင်သည်။ ဤသို့ ခွဲခြားရာတွင် ဆခွဲကိန်းများ၏ အစီအစဉ်နှင့် သုဒ္ဓကိန်းများအစား တွဲဖက်ကိန်းများဖြင့် အစားထိုးခြင်း ကွဲပြားမှုများမှလွဲ၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဖြစ်သည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သော ပုံမှန် ရွေးချယ်မှုများနှင့်အတူ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းသည် အောက်ပါ ပုံစံရှိသည်။ :<math>u(1+i)^{e_0}{p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k}</math> ဤနေရာတွင် <math>u \in \{1, -1, i, -i\}</math> ဖြစ်ပြီး <math>e_0</math> နှင့် <math>k</math> တို့သည် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math>e_1, \dots, e_k</math> တို့သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြပြီး <math>p_1, \dots, p_k</math> တို့သည် ကွဲပြားစွာ ရွေးချယ်ထားသော ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Gauss (1831), p. 546.</ref> == ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Gaussian rationals) == ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ်သည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ ကွင်း၏ [[အပိုင်းကိန်း|အပိုင်းကိန်းများ၏]] ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း နှစ်ခုစလုံး [[အတိပြကိန်း|ရာရှင်နယ်ကိန်း]] (rational) ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများ ပါဝင်သည်။ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ ကွင်းသည် ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအတွင်းရှိ ကိန်းပြည့်များ၏ [[ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အစုဝင်|ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အပိတ်]] (integral closure) ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်က ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များသည် နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြောင်း သက်ရောက်စေသည်။ ဂေါက်ရှန်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုသည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် ကိန်းပြည့် <math>c</math> နှင့် <math>d</math> ပါဝင်သော [[ညီမျှခြင်း]] <math>x^2 +cx+d=0</math> ၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ == အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (Greatest common divisor) == ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a, b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်း (greatest common divisor) သည် ဘုံဆခွဲကိန်း <math>d</math> တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အခြားသော ဘုံဆခွဲကိန်းများ အားလုံးဖြင့် စား၍ ပြတ်သည်။ <math>a</math> နှင့် <math>b</math> တို့၏ အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် မဟုတ်ဘဲ ယူနစ်တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းအထိသာ သတ်မှတ်ထားသည်။ ၎င်းက တွဲဖက်ကိန်းများဖြစ်သော <math>d, -d, id, -id</math> တို့ကို ရရှိစေသည်။ ယူကလစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် အကြီးဆုံး ဘုံဆခွဲကိန်းအတွက် မြန်ဆန်သော တွက်ချက်မှု နည်းလမ်းတစ်ခုကို ပံ့ပိုးပေးပြီး ကိန်းပြည့်များနည်းတူ တူညီစွာ လုပ်ဆောင်သည်။ အဆိုပါ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် သုညအကြွင်းသို့ မရောက်မချင်း <math>(a, b)</math> ကို <math>(b, r)</math> ဖြင့် ထပ်တလဲလဲ အစားထိုးသည်။ ဤနေရာတွင် <math>r</math> သည် <math>a</math> ကို <math>b</math> ဖြင့် ယူကလစ် စားခြင်းမှ ရရှိသော အကြွင်း ဖြစ်သည်။ == ထပ်တူညီမှုများနှင့် အကြွင်းအတန်းအစားများ (Congruences and residue classes) == သုညမဟုတ်သော ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) <math>z_0</math> ကို ပေးထားရာတွင် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် နှစ်ခုဖြစ်သော <math>z_1, z_2</math> တို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် <math>z_0</math> ၏ ဆတိုးကိန်း (multiple) ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကို <math>z_0</math> အရ မော်ဂျူလို ထပ်တူညီသည် (congruent modulo) ဟု ဆိုသည်။ ယင်းကို <math>z_1 \equiv z_2 \pmod{z_0}</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ ဤအချက်သည် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များကို ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ သို့မဟုတ် အကြွင်းအတန်းအစားများ (residue classes) အဖြစ် အစုခွဲစနစ် (partition) ပြုလုပ်ပေးသည့် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ အဆိုပါ အတန်းအစားများ၏ အစုသည် စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ၎င်းကို <math>\mathbb{Z}[i]/\langle z_0 \rangle</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{Z}[i]/z_0</math> ဟု ဖော်ပြသည်။ ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ကို အကြွင်းအတန်းအစားများအပေါ်တွင် မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။ :<math>\bar a + \bar b := \overline{a+b}\quad \text{and}\quad \bar a \cdot\bar b := \overline{ab}</math> [[File:Gauss-Restklassen-wiki.png|250px|thumb|မော်ဂျူးလပ်စ် <math>z_0 = 3 + 2i</math> အတွက် အနည်းဆုံး အကြွင်းများ ပါဝင်သည့် အကြွင်းအတန်းအစား 13 ခု။ ၎င်းတို့ကို အပြာရောင်အစက်များဖြင့် ပြသထားသည်။]] ဂျီဩမေတြီအရ (geometrically) မော်ဂျူလို <math>z_0 = a + bi</math> ၏ အကြွင်းအတန်းအစားများ အရေအတွက်သည် ၎င်း၏ စံနှုန်း <math>N(z_0) = a^2 + b^2</math> နှင့် ညီမျှသည်။ အကြွင်းအတန်းအစား တိုင်းတွင် မော်ဂျူးလပ်စ်က ထုတ်လုပ်ပေးသော အခြေခံ တစ်ပိုင်းအဖွင့် စတုရန်း ဒိုမိန်း (fundamental semi-open square domain) အတွင်းရှိ အစုဝင် တစ်ခု တိတိ ပါဝင်သည်။ === အကြွင်းအတန်းအစား ဖီးလ်ဒ်များ (Residue class fields) === သုညမဟုတ်သော၊ ယူနစ်မဟုတ်သော ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် <math>z_0</math> တစ်ခု၏ မော်ဂျူလို အကြွင်းအတန်းအစားကွင်း (residue class ring) သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ <math>z_0</math> သည် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>z_0</math> သည် ခွဲခြမ်းခံ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် ဖြာထွက် သုဒ္ဓကိန်း <math>1 + i</math> ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ စံနှုန်း <math>N(z_0)</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် အဆိုပါ အကြွင်းအတန်းအစား ဖီးလ်ဒ်သည် ကိန်းပြည့် မော်ဂျူလို <math>N(z_0)</math> များနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>z_0</math> သည် အင်နတ် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ စံနှုန်းမှာ <math>p^2</math> ဖြစ်ပြီး အကြွင်းအတန်းအစား ဖီးလ်ဒ်သည် <math>p</math> အစုဝင်များ ပါဝင်သော [[အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ်]] (finite field) ၏ ဒီဂရီ 2 ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (degree-2 field extension) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == ပရစ်မစ်တစ် အကြွင်းအတန်းအစား အုပ်စုနှင့် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် (Primitive residue class group and Euler's totient function) == မော်ဂျူလို <math>z</math> ရှိ ပရစ်မစ်တစ် အကြွင်းအတန်းအစား အုပ်စု (primitive residue class group) တွင် <math>z</math> နှင့် [[နှိုင်းရသုဒ္ဓ]] (coprime) ဖြစ်သော အကြွင်းအတန်းအစား <math>\bar{a}</math> အားလုံး ပါဝင်သည်။ ဤမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များ၏ အရေအတွက်ကို <math>\phi(z)</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းသည် အွိုင်လာ၏ တိုးရှန့် ဖန်ရှင် (Euler's totient function) နှင့် ဆင်တူသည်။ ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများအတွက် <math>\phi(p) = N(p) - 1</math> ဖြစ်သည်။ အလိုရှိရာ သုညမဟုတ်သော ဆပေါင်းကိန်း (composite number) ဖြစ်သည့် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့် <math>z</math> တစ်ခုအတွက် အွိုင်လာ၏ မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်း (Euler's product formula) သည် မှန်ကန်သည်။ :<math>\phi(z) = N(z)\prod_{p_m|z}\left( 1 - \frac{1}{N(p_m)} \right)</math> ဤနေရာတွင် မြှောက်လဒ်သည် တွဲဖက်ကိန်းများအထိ ကွဲပြားသော <math>z</math> ၏ သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်း (prime divisor) <math>p_m</math> အားလုံးအပေါ်တွင် တွက်ချက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ [[အွိုင်လာ၏ သီအိုရမ်]] (Euler's theorem) ကိုလည်း တိုက်ရိုက် လွှဲပြောင်းအသုံးပြုနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>a</math> သည် <math>z</math> နှင့် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပါက <math>a^{\phi(z)} \equiv 1 \pmod z</math> ဖြစ်သည်။ == မဖြေရှင်းရသေးသော ပြဿနာများ (Unsolved problems) == [[File:gauss-primes-768x768.png|170px|thumb|ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ အငယ်စား ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ဖြန့်ဖြူးခြင်း။]] ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ဖြန့်ဖြူးခြင်းနှင့် လတ္တစ် ဂျီဩမေတြီတို့နှင့် သက်ဆိုင်သည့် မဖြေရှင်းရသေးသော ပြဿနာအချို့ ရှိသည်။ * ဂေါက်စ်၏ စက်ဝိုင်း ပြဿနာ (Gauss's circle problem) သည် မူလနေရာ (origin) တွင် ဗဟိုပြုထားသော ပေးထားသည့် အချင်းဝက် (radius) တစ်ခုရှိ စက်ဝိုင်းတစ်ခုအတွင်းရှိ ကိန်းပြည့် လတ္တစ် အမှတ်များ၏ အရေအတွက်ကို မေးမြန်းထားသည်။ ၎င်းသည် ပေးထားသော တန်ဖိုးတစ်ခုထက် ငယ်သော စံနှုန်းရှိသည့် ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ အရေအတွက်ကို ဆုံးဖြတ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။ * ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (real axis) နှင့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (imaginary axis) တို့တွင် [[အနန္တ]] (infinite) များပြားသော ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ ပါဝင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် 3၊ 7၊ 11၊ 19 စသည်တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော် အခြားမည်သည့် မျဉ်းများတွင်မဆို အနန္တများပြားသော ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကိုမူ မသိရသေးပေ။ အထူးသဖြင့် <math>1 + ki</math> ပုံစံရှိ အနန္တများပြားသော ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများ ရှိမရှိဆိုသည်မှာ မသိရသေးပေ။<ref>Ribenboim (1996), at Ch. III.4.D, Ch. 6.II, Ch. 6.IV (Hardy & Littlewood's conjecture E and F).</ref> * 1962 ခုနှစ်တွင် ဘေဇယ် ဂေါ်ဒန် က အဆိုပြုခဲ့သော ဂေါက်ရှန်း ကျုံး ပြဿနာ (Gaussian moat problem) သည် ဂေါက်ရှန်း သုဒ္ဓကိန်းများကို ခြေချစရာကျောက်တုံးများအဖြစ် အသုံးပြု၍ တစ်ပြေးညီ အကန့်အသတ်ရှိသော (uniformly bounded) အလျားရှိ ခြေလှမ်းများဖြင့် အနန္တဆီသို့ လျှောက်လှမ်းရန် ဖြစ်နိုင်ခြေ ရှိမရှိကို မေးမြန်းထားသည်။ <ref>Gethner, Wagon, and Wick (1998).</ref><ref>Guy (2004), pp. 55–57.</ref> ယင်းပြဿနာသည် ကာလရှည်ကြာ မဖြေရှင်းနိုင်ဘဲ ရှိခဲ့သော်လည်း ၂၀၂၆ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလတွင် ထိုကဲ့သို့သော လမ်းကြောင်း မရှိနိုင်ကြောင်း ကွန်ပျူတာသုံး သက်သေပြစနစ် (Lean formalization) ဖြင့် ဖြေရှင်းထားသည်ဟု အခိုင်အမာဆိုသော စာတမ်းတစ်စောင် ထွက်ပေါ်လာခဲ့ပြီး သီးခြား သင်္ချာပညာရှင်များ၏ စိစစ်အတည်ပြုမှု (peer review) ဆက်လက် ဆောင်ရွက်ဆဲ ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား(References) == * {{Citation |last=Baker |first=Henry G. |year=1993 |title=Complex Gaussian Integers for "Gaussian Graphics" |journal=ACM SIGPLAN Notices |volume=28 |issue=11 |doi=10.1145/165564.165571 |s2cid=8083226 |pages=22–27}} * {{Citation |last=Fraleigh |first=John B. |year=1976 |isbn=0-201-01984-1 |title=A First Course In Abstract Algebra |edition=2nd |publisher=Addison-Wesley |publication-place=Reading}} * {{Citation |last=Gauss |first=Carl Friedrich |year=1831 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015073697180&view=1up&seq=285 |title=Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. |journal=Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen |volume=7 |pages=89–148}} Reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. A German translation of this paper is available online in: H. Maser (ed.): ''Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik.'' Springer, Berlin 1889, p. 534. * {{Citation |last1=Gethner |first1=Ellen |last2=Wagon |first2=Stan |author2-link=Stan Wagon |last3=Wick |first3=Brian |title=A stroll through the Gaussian primes |journal=The American Mathematical Monthly |volume=105 |issue=4 |year=1998 |doi=10.2307/2589708 |jstor=2589708 |mr=1614871 |zbl=0946.11002 |pages=327–337}} * {{Citation |last=Guy |first=Richard K. |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved problems in number theory |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |edition=3rd |year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 |mr=2076335 |zbl=1058.11001}} * {{Citation |last=Kleiner |first=Israel |year=1998 |url=https://ems.press/journals/em/articles/664 |title=From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory |journal=Elem. Math. |volume=53 |issue=1 |doi=10.1007/s000170050029 |doi-access=free |zbl=0908.16001 |pages=18–35}} * {{Citation |last=Ribenboim |first=Paulo |author-link=Paulo Ribenboim |title=The New Book of Prime Number Records |edition=3rd |publisher=Springer |publication-place=New York |year=1996 |isbn=0-387-94457-5 |mr=1377060 |zbl=0856.11001}} * {{Citation |last=Stein |first=Robert G. |year=1976 |title=Exploring the Gaussian Integers |journal=The Two-Year College Mathematics Journal |volume=7 |issue=4 |doi=10.1080/00494925.1976.11974454 |pages=4–10}} [[Category: ကိန်းသီအိုရီ]] [[Category: ကွင်းသီအိုရီ]] q6trkx456y6an903h6ghyo138qcziub 0 291798 1060875 1053794 2026-10-31T14:04:55Z Mkant00 135890 1060875 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} ဒွန်တွဲကိန်း (dual number) များသည် <math>a + b\varepsilon</math> ပုံစံရှိသော ကိန်းများ ဖြစ်သည်။ ဤတွင် <math>a, b \in \mathbb{R}</math> ဖြစ်ပြီး <math>\varepsilon</math> သည် <math>\varepsilon^2 = 0</math> နှင့် <math>\varepsilon \neq 0</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ၎င်းတို့သည် <math>\mathbb{R}</math> အပေါ်တွင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] နှစ်ခုရှိသော [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ|ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ]] (commutative algebra) တစ်ခုနှင့် အာတင် ဒေသအလိုက် ကွင်း (Artinian local ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် သုညမဟုတ်သော သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိ [[အစုဝင်|အစုဝင်များ]] (nonzero nilpotent elements) ပါရှိသည့် [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု၏ အခြေခံကျသော ဥပမာတစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == ဒွန်တွဲကိန်းများ၏ [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာ]] (algebra) သည် <math>\mathbb{R}[X]</math> [[ပိုလီနိုမီရယ်]] [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (polynomial ring) ကို <math>X^2</math> မှ ထုတ်လုပ်ထားသော [[ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ်]] (principal ideal) ဖြင့် စားထားသော [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|စားလဒ်ကွင်း]] (quotient ring) ဖြစ်သည်။<ref>Hahn (1994), p. 6.</ref> :<math>\mathbb{R}[X]/\left\langle X^2 \right\rangle</math> တူညီသော အဓိပ္ပာယ်အားဖြင့် ၎င်းသည် <math>\varepsilon</math> ကို ၎င်း၏ အခြေအစု [[အစုဝင်]] (basis element) အဖြစ် ပါရှိသည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]တစ်ခုတည်းရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (one-dimensional vector space) ၏ [[တန်ဆာ_မြှောက်လဒ်#တန်ဆာ၊_အချိုးညီ_နှင့်_ပြင်ပ_အက္ခရာသင်္ချာများ_(Tensor,_Symmetric,_and_Exterior_Algebras)|ပြင်ပ အက္ခရာသင်္ချာ]] (exterior algebra) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲကိန်း <math>a + b\varepsilon</math> သည် အောက်ပါပုံစံရှိသော <math>2 \times 2</math> [[ကိန်းစစ်]] [[ကိန်းအုံ]] (real matrix) တစ်ခုနှင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော]] (isomorphic) ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math> ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (representation) အောက်တွင် <math>\varepsilon</math> သည် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိ ကိန်းအုံ (nilpotent matrix) <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == === ဂဏန်းသင်္ချာ နှင့် စားခြင်း (Arithmetic and Division) === [[မြှောက်ခြင်း]] (multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ဖြစ်မှု (bilinearity) နှင့် <math>\varepsilon^2 = 0</math> တို့မှ ဆင်းသက်လာသည်။ :<math>(a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon) = ac + (ad+bc)\varepsilon</math> [[စားခြင်း (သင်္ချာ)|စားခြင်း]]ကို <math>c \neq 0</math> အတွက် ပိုင်းဝေ နှင့် ပိုင်းခြေတို့အား [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugate) <math>c - d\varepsilon</math> ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအားဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ :<math>\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon} = \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)}{(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)} = \frac{ac + (bc - ad)\varepsilon}{c^2} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon</math> <math>c = 0</math> နှင့် <math>d \neq 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>a \neq 0</math> ဖြစ်လျှင် [[ညီမျှခြင်း]] (equation) <math>a + b\varepsilon = (x + y\varepsilon) d\varepsilon = xd\varepsilon</math> တွင် အဖြေ (solution) မရှိပေ။ <math>a = 0</math> ဖြစ်လျှင် အဖြေ <math>\frac{b}{d} + y\varepsilon</math> သည် <math>y</math> တွင် အလိုရှိရာ (arbitrary) ဖြစ်သည်။ ဒွန်တွဲကိန်း <math>a + b\varepsilon</math> တွင် <math>a \neq 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ယူနစ် (unit) ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်ပြီး <math>b \neq 0</math> ရှိသော ဒွန်တွဲကိန်း <math>b\varepsilon</math> များသည် သုညစားကိန်းများ (zero divisors) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သုညနှင့်အတူ အဓိက [[အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်|အကြီးဆုံးအိုင်ဒီးလ်]] (maximal ideal) <math>(\varepsilon)</math> ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက် (Analytic Extension) === မည်သည့် [[ကိန်းစစ်]] [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (real polynomial) <math>P(x)</math> မဆို ဒွန်တွဲကိန်းများဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့် တိုးချဲ့သည်။ <math>n \ge 2</math> အတွက် <math>\varepsilon^n = 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>P(a + b\varepsilon) = P(a) + bP'(a)\varepsilon</math> ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f</math> တစ်ခုသည် <math>a</math> ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) တစ်ခုပေါ်တွင် ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (real-analytic) ဖြစ်လျှင် ၎င်းသည် ၎င်း၏ [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) မှတစ်ဆင့် တိုးချဲ့သွားသည်။ :<math>f(a + b\varepsilon) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)b^n \varepsilon^n}{n!} = f(a) + bf'(a)\varepsilon</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalisations) == အလိုရှိရာ [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>A</math> တစ်ခုအတွက် <math>A</math> အပေါ်ရှိ ဒွန်တွဲကိန်းများ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]]ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>A[\varepsilon] = A[X]/\left\langle X^2 \right\rangle</math> <math>B</math> နှင့် <math>C</math> တို့အား [[ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ|A အက္ခရာသင်္ချာများ]] (A-algebras) အဖြစ်လည်းကောင်း <math>f\colon B \to C</math> အား [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|A အက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (A-algebra homomorphism) တစ်ခုအဖြစ်လည်းကောင်း သတ်မှတ်သည်။ <math>b \mapsto f(b) + \varepsilon D(b)</math> သို့ ပုံဖော်သော (mapping) A အက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ <math>B \to C[\varepsilon]</math> နှင့် A မျဉ်းဖြောင့် ဆင်းသက်မှုများ (A-linear derivations) <math>D\colon B \to C</math> တို့အကြားတွင် သဘာဝ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (natural bijection) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ဤပုံဖော်မှုများသည် <math>\varepsilon \mapsto 0</math> ဖြစ်သော ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) <math>C[\varepsilon] \to C</math> အောက်တွင် <math>f</math> ကို အထက်သို့ပင့်တင်ပေးသည်။<ref>Shafarevich (2013), pp. 35–38.</ref> S စကင်းမ် (S-scheme) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် <math>U[\varepsilon] = U \times_{\mathbf{Spec}(\mathbb{Z})} \mathbf{Spec}(\mathbb{Z}[\varepsilon])</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ နှိုင်းရ ထိမျဉ်း စကင်းမ် (relative tangent scheme) <math>T_{X/S} = \underline{\mathbf{Spec}}_X(\operatorname{Sym}^\bullet \Omega_{X/S}^1)</math> သည် သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ <math>\Omega_{X/S}^1</math> သည် ဒေသအလိုက် လွတ်လပ်လျှင် (locally free) အဆိုပါ နှိုင်းရ ထိမျဉ်း စကင်းမ်သည် [[ဖိုက်ဘာအစည်း|ဗက်တာအစည်း]] (vector bundle) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သဘာဝ ဘိုင်ဂျက်ရှင်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>T_{X/S}(U) = X(U[\varepsilon])</math> <math>U[\varepsilon]</math> တန်ဖိုးရှိ အမှတ်တစ်ခုသည် [[ဗက်တာ|ထိမျဉ်းဗက်တာ]] (tangent vector) တစ်ခုနှင့်တကွ <math>U</math> တန်ဖိုးရှိ အမှတ်တစ်ခုကို သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။<ref>Shafarevich (2013), pp. 35–38.</ref> == ကိုးကား (References) == <references /> * {{Citation |last=Hahn |first=Alexander J. |title=Quadratic Algebras, Clifford Algebras, and Arithmetic Witt Groups |series=Universitext |publication-place=New York |publisher=Springer |date=1994 |isbn=0-387-94110-X |mr=1249481 |zbl=0791.11021}} * {{Citation |last=Shafarevich |first=Igor R. |title=Basic Algebraic Geometry 2 |edition=3rd |publication-place=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer |date=2013 |isbn=978-3-642-38009-9 |doi=10.1007/978-3-642-38010-5_1}} * {{Citation |last=Yaglom |first=I. M. |title=A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis |publication-place=New York |publisher=Springer |date=1979 |isbn=0-387-90332-1 |mr=0520230 |zbl=0393.51013 |doi=10.1007/978-1-4612-6135-3}} * {{Citation |last=Grünwald |first=Josef |title=Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie |journal=Monatshefte für Mathematik |volume=17 |date=1906 |at=pp. 81–136 |doi=10.1007/BF01697639}} * {{Citation |last=Segre |first=Corrado |title=XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali |journal=Atti della Reale Accademia delle Scienze Torino |volume=47 |date=1912 |at=pp. 114–133, 164–185}} [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] afuyhtyk6e4vdxyhwshnru4cdztzsyf 0 291799 1060904 1054349 2026-10-31T17:49:22Z Mkant00 135890 1060904 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ကိန်းစနစ်များ}} သင်္ချာတွင် <math>\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{i2\pi/3}</math> ကို [[ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ်]] (irreducible polynomial) <math>\omega^2 + \omega + 1 = 0</math> အား ပြည့်စုံစေသည့် ပရစ်မစ်တစ် သုံးထပ်ကိန်း ယူနစ်ရင်း (primitive cube root of unity) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> ဟု သင်္ကေတပြုထားသော အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်များ (Eisenstein integers) ၏ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>\mathbf{Z}[\omega] = \{a + b\omega \mid a, b \in \mathbf{Z}\}</math> <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> သည် တတိယမြောက် [[ဖီးလ်ဒ်|ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ဖီးလ်ဒ်]] (cyclotomic field) <math>\mathbf{Q}(\omega)</math> အတွင်းရှိ [[ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ အစုဝင်|ကိန်းပြည့်ရင်းများ]] (algebraic integers) ၏ ကွင်းကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties) == <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> အတွင်းရှိ တွက်ချက်မှုများ (operations) သည် အောက်ပါ ဆက်သွယ်ချက်များ (relations) ကို လိုက်နာသည်။ * '''[[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] (Complex Conjugation)''' :<math>\bar{\omega} = \omega^2</math> * '''[[မြှောက်ခြင်း]] (Multiplication)''' :<math>(a + b\omega)(c + d\omega) = (ac - bd) + (bc + ad - bd)\omega</math> * '''[[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (Norm)''' ဖီးလ်ဒ် စံနှုန်း (field norm) <math>N \colon \mathbf{Z}[\omega] \to \mathbf{Z}</math> သည် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ထားသော ကိန်းထွေး မော်ဂျူးလပ်စ် (complex modulus) နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ၎င်းမှာ <math>N(a + b\omega) = |a + b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2</math> ဖြစ်သည်။ * '''ယူနစ်များ (Units)''' ယူနစ်များ၏ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group of units) <math>\mathbf{Z}[\omega]^\times</math> သည် ခြောက်ထပ်ကိန်း ယူနစ်ရင်းများ (sixth roots of unity) ၏ [[ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု]] (cyclic group) ဖြစ်သည်။ ၎င်းမှာ <math>\mathbf{Z}[\omega]^\times = \{\pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2\}</math> ဖြစ်သည်။ <gallery widths="200" heights="150"> File:Eisenstein integer lattice.png|ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) အတွင်းရှိ တြိဂံပုံ လတ္တစ် (triangular lattice) ၏ အမှတ်များအဖြစ် တည်ရှိသော အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်များ ဖြစ်သည်။ File:EisensteinPrimes-01.svg|တန်ဖိုးငယ် အိုင်ဆင်စတိုင်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ အစိမ်းရောင် ဝင်ရိုးများပေါ်ရှိ သုဒ္ဓကိန်းများသည် <math>3n + 2</math> ပုံစံရှိ သဘာဝ သုဒ္ဓကိန်း (natural prime) တစ်ခု၏ တွဲဖက်ကိန်း (associate) များ ဖြစ်ကြသည်။ ကျန်ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းအားလုံးသည် <math>3</math> သို့မဟုတ် <math>3n + 1</math> ပုံစံရှိ သဘာဝ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) နှင့် ညီမျှသော ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ရှိကြသည်။ File:Eisenstein primes.svg|ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ဘောင်အတွင်းရှိ အိုင်ဆင်စတိုင်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်သည်။ </gallery> == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == === ယူကလစ် ဒိုမိန်း (Euclidean Domain) === <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] <math>N</math> အပေါ်မူတည်၍ [[အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း|ယူကလစ် ဒိုမိန်း]] (Euclidean domain) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\beta \neq 0</math> ရှိသော မည်သည့် <math>\alpha, \beta \in \mathbf{Z}[\omega]</math> အတွက်မဆို စားလဒ် (quotient) <math>\kappa \in \mathbf{Z}[\omega]</math> နှင့် အကြွင်း (remainder) <math>\rho \in \mathbf{Z}[\omega]</math> တို့သည် အောက်ပါအတိုင်း ပြည့်စုံစွာ တည်ရှိသည်။ :<math>\alpha = \kappa\beta + \rho \quad \text{with} \quad N(\rho) < N(\beta)</math> စားလဒ် <math>\kappa</math> ကို <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> အတွင်းရှိ <math>\frac{\alpha}{\beta} \in \mathbf{Q}(\omega)</math> နှင့် အနီးဆုံးဖြစ်သော အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်အဖြစ် ရွေးချယ်နိုင်သည်။ [[ဂျီဩမေတြီ]]အရ [[ကိန်းထွေးပြင်ညီ]] (complex plane) အတွင်းရှိ <math>\mathbf{Q}(\omega)</math> မှ မည်သည့် [[အစုဝင်]]မှမဆို <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> အတွင်းရှိ အနီးစပ်ဆုံး လတ္တစ် (lattice) အမှတ်ဆီသို့ အများဆုံး အကွာအဝေးမှာ <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> ဖြစ်သည်။ ဤအကွာအဝေးကို ဖုံးအုပ်မှု အချင်းဝက် (covering radius) ဟု ခေါ်ပြီး ၎င်းသည် အကြွင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း တိကျသော အထက်ကန့်သတ်ချက်ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ :<math>|\rho| \leq \frac{1}{\sqrt{3}}|\beta| < |\beta|</math> အကယ်၍ <math>\frac{\alpha}{\beta}</math> ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို အနီးစပ်ဆုံး [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]]သို့ သီးခြားစီ အနီးစပ်ဆုံးယူခြင်းဖြင့် <math>\kappa</math> ကို ရွေးချယ်ပါက အားပျော့သော ကန့်သတ်ချက် <math>|\rho| \leq \frac{\sqrt{3}}{2}|\beta| < |\beta|</math> ကို ရရှိမည် ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ရွေးချယ်မှုဖြင့်မဆို <math>|\rho| < |\beta|</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> သည် ယူကလစ် ဒိုမိန်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။ === အိုင်ဆင်စတိုင်း သုဒ္ဓကိန်းများ (Eisenstein Primes) === တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) သည် <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> တွင် အကျုံးဝင်သည်။ သုညမဟုတ်သော ယူနစ်မဟုတ်သည့် [[အစုဝင်]] (nonzero non-unit) <math>x \in \mathbf{Z}[\omega]</math> တစ်ခု၏ ယူနစ်မဟုတ်သည့် စားကိန်းများ (non-unit divisors) သည် <math>x</math> ၏ တွဲဖက်ကိန်းများ (associates) သာဖြစ်ခဲ့လျှင် ၎င်းကို [[သုဒ္ဓကိန်း|အိုင်ဆင်စတိုင်း သုဒ္ဓကိန်း]] (Eisenstein prime) ဟု ခေါ်သည်။<ref>Wolfram MathWorld (2026).</ref> ယူနစ်များဖြင့် မြှောက်ခြင်း အထိ အိုင်ဆင်စတိုင်း သုဒ္ဓကိန်းများကို [[သုဒ္ဓကိန်း|ရာရှင်နယ် သုဒ္ဓကိန်းများ]] (rational primes) <math>p \in \mathbf{Z}</math> အပေါ် အခြေခံ၍ အပြည့်အဝ အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Cox (1997), p. 77.</ref> * <math>p \equiv 2 \pmod 3</math> ဖြစ်သော ရာရှင်နယ် သုဒ္ဓကိန်းများ။ * <math>p \equiv 1 \pmod 3</math> ဖြစ်သော ရာရှင်နယ် သုဒ္ဓကိန်းများအတွက် ၎င်းတို့၏ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] <math>x^2 - xy + y^2 = p</math> ဖြစ်သော အစုဝင် <math>x + y\omega \in \mathbf{Z}[\omega]</math> များ။ * <math>p = 3</math> နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော [[သုဒ္ဓကိန်း|ဖြာထွက် သုဒ္ဓကိန်း]] (ramified prime) အစုဝင် <math>1 - \omega</math>။ ရာရှင်နယ် သုဒ္ဓကိန်းများ <math>p \equiv 1 \pmod 3</math> သည် <math>\mathbf{Z}[\omega]</math> အတွင်းရှိ ကွန်ဂျူဂိတ် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ (conjugate prime factors) အဖြစ်သို့ ခွဲထွက်သွားသည်။ :<math>p = (a + b\omega)((a - b) - b\omega)</math> ရာရှင်နယ် သုဒ္ဓကိန်း <math>3</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြာထွက်သွားသည်။ :<math>3 = -\omega^2(1 - \omega)^2</math> === အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းစဉ်တန်းများ (Eisenstein Series) === လတ္တစ် <math>\mathbf{E} = \mathbf{Z}[\omega]</math> အပေါ်ရှိ [[ကိန်းစဉ်တန်း|အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းစဉ်တန်းများ]] (Eisenstein series) ၏ တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်းများသည် တိကျသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ တန်ဖိုးများ (exact analytic values) ကို ပေးစွမ်းသည်။ အလေးဆ (weight) 4 အတွက် ကိန်းစဉ်တန်းသည် သုညဖြစ်သွားသည်။ :<math>\sum_{z \in \mathbf{E} \setminus \{0\}} \frac{1}{z^4} = G_4\left(e^{2\pi i/3}\right) = 0</math> အလေးဆ 6 အတွက် ကိန်းစဉ်တန်းသည် [[ဖန်ရှင်|ဂါမာ ဖန်ရှင်]] (Gamma function) အားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တန်ဖိုးထွက်ပေါ်လာသည်။<ref>Fungrim (2026).</ref> :<math>\sum_{z \in \mathbf{E} \setminus \{0\}} \frac{1}{z^6} = G_6\left(e^{2\pi i/3}\right) = \frac{\Gamma(1/3)^{18}}{8960\pi^6}</math> == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Cox |first=David A. |title=Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication |publication-place=Hoboken, NJ |publisher=John Wiley & Sons |date=1997 |isbn=0-471-19079-9}} * {{Citation |title=Eisenstein Prime |publisher=Wolfram MathWorld |url=https://mathworld.wolfram.com/EisensteinPrime.html |access-date=2026-09-18}} * {{Citation |title=Entry 0fda1b |website=Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire |url=https://fungrim.org/entry/0fda1b/ |access-date=2026-09-18}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းများ]] d73fben4cs8ypphvjv03u799yf62483 0 291805 1060988 1054350 2026-11-01T09:38:57Z Mkant00 135890 1060988 wikitext text/x-wiki [[File:Vec-indep.png|right|thumb|220px|<math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) ဗက်တာများ ဖြစ်သည်။]] [[File:Vec-dep.png|right|thumb|220px|<math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ ပြင်ညီ (plane) တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသော (linearly dependent) ဗက်တာများ ဖြစ်သည်။]] မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) တွင် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အစုတစ်ခုရှိ မည်သည့်ဗက်တာကိုမျှ ကျန်ရှိသော ဗက်တာများ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပါက ယင်းအစုကို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) အစုဟု ခေါ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်းသည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု၏ အခြေအစု (basis) ကို သတ်မှတ်ရန်နှင့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ကို ဆုံးဖြတ်ရန်အတွက် တိကျစွာ လိုအပ်သော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Shilov (1977).</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == <math>V</math> ကို [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အားလုံး သုညဖြစ်မနေသော [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) <math>a_1, a_2, \dots, a_k</math> တည်ရှိပြီး အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ကို ပြည့်စုံစေပါက <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in V</math> ဗက်တာများ၏ [[ကိန်းစဉ်|အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ်]] (finite sequence) ကို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသော (linearly dependent) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ :<math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math> <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math> ညီမျှခြင်း (equation) သည် <math>i \in \{1, \dots, k\}</math> အားလုံးအတွက် <math>a_i = 0</math> ကို သက်ရောက်စေပါက ၎င်းကိန်းစဉ်သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။<ref>Friedberg, Insel & Spence (2003), pp. 48–49.</ref> [[အစု|အနန္တအစု]] (infinite set) တစ်ခုရှိ ဗက်တာများသည် ၎င်း၏ [[အစုပိုင်း|အဆုံးရှိ အစုပိုင်း]] (finite subset) တိုင်း မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းမှသာလျှင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော အစု ဖြစ်သည်။ တူညီသော အဓိပ္ပာယ်အားဖြင့် စပန် အော်ပရေတာ (span operator) မှတစ်ဆင့် သတ်မှတ်ပါက အစု <math>X \subseteq V</math> တစ်ခုသည် ပါဝင်ခြင်း (inclusion) ဖြင့် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသော (partially ordered) အစု <math>\{Y \subseteq V \mid X \subseteq \operatorname{Span}(Y)\}</math> ၏ [[အစုဝင်|အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး အစုဝင်]] (minimal element) ဖြစ်မှသာလျှင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော အစု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများ <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n</math> ကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့်ဆိုင်ရာ မှီခိုမှု (linear dependency) သည် <math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည့် အစီအစဉ်ကျ n ခုတွဲ (n-tuple) <math>(a_1, \dots, a_n)</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော [[အစီအစဉ်ကျအတွဲ|အစီအစဉ်ကျအတွဲများ]] အားလုံးပါဝင်သည့် အစုသည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး ယင်းသည် [[မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ်|တစ်ပြေးညီ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ်]] (homogeneous system of linear equations) ၏ အဖြေ ရပ်ဝန်းနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == === ကိန်းအုံဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ဖော်ပြချက်များ (Matrix Characterizations) === <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m</math> တို့ကို <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math>m = n</math> ဖြစ်လျှင် ၎င်းဗက်တာများကို ၎င်း၏ တိုင်များ (columns) အဖြစ် ယူ၍ ဖွဲ့စည်းထားသော <math>n \times n</math> [[ကိန်းအုံ]] (matrix) <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) သည် သုညမဟုတ်သော (non-zero) အခါမှသာလျှင် ယင်းဗက်တာများသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည်။ :<math>\det(A) \neq 0</math> <math>m > n</math> ဖြစ်လျှင် ယင်းဗက်တာများအစုသည် တိကျစွာ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ မှီခိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုင် ဗက်တာများ (column vectors) <math>\mathbf{v}_j</math> ပါရှိသည့် <math>n \times m</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ကို အသုံးပြု၍ မျဉ်းဖြောင့်ဆိုင်ရာ မှီခိုမှုများကို တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> သို့ ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို သက်ရောက်စေခြင်းဖြင့် တွက်ချက်သည်။ === ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalisations) === '''အဖိုင်းနည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း (Affine Independence)''' <math>m</math> ခုသော ဗက်တာများ <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m \in \mathbb{R}^n</math> ပါဝင်သည့် အစုတစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရွယ်အစား <math>n + 1</math> ရှိသော <math>m</math> ခုသော ပူးတွဲဗက်တာများ (augmented vectors) သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းမှသာလျှင် အဖိုင်းနည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (affinely independent) အစုဟု ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Lovász & Plummer (1986), p. 256.</ref> :<math>\left(\begin{bmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_1\end{bmatrix}, \ldots, \begin{bmatrix} 1 \\ \mathbf{v}_m\end{bmatrix}\right)</math> '''မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (Linearly Independent Vector Subspaces)''' <math>X</math> ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ]] (vector subspaces) စုစည်းမှု <math>M_1, \ldots, M_d</math> တွင် အညွှန်းတိုင်းအတွက် <math>M_i \cap \sum_{k \neq i} M_k = \{\mathbf{0}\}</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည်။ ဤတွင် ပေါင်းလဒ်ကို သက်ဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ၏ စပန် (span) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။<ref>Bachman & Narici (2000), pp. 3–7.</ref> ရပ်ဝန်းပိုင်းများသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး <math>\sum_{i=1}^d M_i = X</math> ဖြစ်ခဲ့လျှင် <math>X</math> သည် <math>M_1, \dots, M_d</math> တို့၏ [[တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်]] (direct sum) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Shilov |first=Georgi E. |title=Linear Algebra |translator-last=Silverman |translator-first=Richard A. |publication-place=New York |publisher=Dover Publications |date=1977 |isbn=978-0-486-63518-7}} * {{Citation |last1=Friedberg |first1=Stephen |last2=Insel |first2=Arnold |last3=Spence |first3=Lawrence |title=Linear Algebra |edition=4th |publisher=Pearson |date=2003 |isbn=0-13-008451-4}} * {{Citation |last1=Lovász |first1=László |last2=Plummer |first2=Michael D. |title=Matching Theory |series=Annals of Discrete Mathematics |volume=29 |publisher=North-Holland |date=1986 |isbn=0-444-87916-1}} * {{Citation |last1=Bachman |first1=George |last2=Narici |first2=Lawrence |title=Functional Analysis |edition=2nd |publication-place=Mineola, NY |publisher=Dover Publications |date=2000 |isbn=978-0-486-40251-2}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] j1j51lqn2ww13wljfnhkcz35cv4170j 0 291826 1060901 1054279 2026-10-31T17:15:55Z Mkant00 135890 1060901 wikitext text/x-wiki '''ယူကလစ်၏ သီအိုရမ် (Euclid's theorem)''' သည် [[သုဒ္ဓကိန်း]]များ (prime numbers) [[အနန္တ]] ရှိကြောင်းဆိုသည့် [[ကိန်းသီအိုရီ]] (number theory) မှ အခြေခံကျသော ဖော်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ == သက်သေပြချက်များ (Proofs) == === အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ သက်သေပြချက် (Algebraic Proof) === <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> တို့သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အဆုံးရှိ စာရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>P</math> ကို ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး <math>P = p_1 p_2 \cdots p_n</math> နှင့် <math>q = P + 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ [[ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (fundamental theorem of arithmetic) အရ <math>q</math> သည် အချို့သော သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ အကယ်၍ <math>p</math> သည် ကနဦး စာရင်းထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပါက ၎င်းသည် <math>P</math> နှင့် <math>q</math> နှစ်ခုစလုံးကို စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်ပြီး နောက်ဆက်တွဲအနေဖြင့် ၎င်းတို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်ဖြစ်သော <math>q - P = 1</math> ကိုလည်း စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့်သုဒ္ဓကိန်းကမျှ <math>1</math> ကို စား၍မပြတ်သောကြောင့် <math>p</math> သည် မူလစာရင်းထဲတွင် မပါဝင်နိုင်ပေ။ သို့ဖြစ်၍ အဆိုပါ [[အစု|အဆုံးရှိအစု]] (finite set) ထဲတွင် မပါဝင်သော သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခု တည်ရှိသည်။ နောက်တစ်နည်းအားဖြင့် မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n > 1</math> အတွက်မဆို <math>N = n! + 1</math> ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>N</math> တွင် သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်း (prime divisor) <math>p</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု ရှိသည်။ ကိန်းပြည့်များ <math>2, \ldots, n</math> သည် <math>N</math> ကို စားသောအခါ အကြွင်း (remainder) <math>1</math> ကျန်ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် <math>N</math> ကို စား၍မပြတ်ပေ။ ထို့ကြောင့် <math>p > n</math> ဖြစ်သည်။ <math>n</math> သည် အလိုရှိရာ (arbitrary) ဖြစ်သောကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများသည် အကန့်အသတ်မရှိ (unbounded) ပေ။ === ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Analytic Proof) === ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ်အရ ၎င်းတို့၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းများ (prime factors) သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အဆုံးရှိအစု <math>P_k = \{p_1, \ldots, p_k\}</math> ထဲတွင် ပါဝင်နေသော အပေါင်းကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အချိုးပြောင်းပြန်များ (reciprocals) ၏ ပေါင်းလဒ်သည် [[ကိန်းစဉ်တန်း|ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်းများ]] (geometric series) ၏ မြှောက်လဒ်နှင့် ညီမျှသည်။ <math display="block">\prod_{p \in P_k} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \prod_{p \in P_k} \sum_{i \geq 0} \frac{1}{p^i} = \sum_{n \in N_k} \frac{1}{n}</math> အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်း အရေအတွက် အဆုံးရှိခဲ့ပါက <math>P_k</math> သည် သုဒ္ဓကိန်းအားလုံး၏ အစုကို ကိုယ်စားပြုနိုင်မည်ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ ညာဘက်ခြမ်းသည် ဟာမိုနစ် [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (harmonic series) <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်သည်။ ဘယ်ဘက်ခြမ်းသည် အဆုံးရှိသော တန်ဖိုးများ၏ အဆုံးရှိ မြှောက်လဒ် ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ရာ ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ === စီစဉ်တွဲစပ်မှုဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Combinatorial Proof) === <math>N</math> သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>k</math> သည် <math>p_1, \ldots, p_k \leq N</math> ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက် ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ <math>1 \leq a \leq N</math> ဖြစ်သော မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>a</math> မဆိုတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းကင်းစင်သော ကိန်းပြည့် (square-free integer) နှင့် နှစ်ထပ်ကိန်း (square) တို့၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (unique factorization) တစ်ခုစီ ရှိသည်။ <math display="block">a = \left( p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \right) s^2</math> ဤနေရာတွင် <math>e_i \in \{0, 1\}</math> တစ်ခုစီ ဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းများ (exponents) <math>e_i</math> အတွက် ဖြစ်နိုင်သော ပေါင်းစပ်မှုများ (combinations) <math>2^k</math> ခု ရှိသည်။ <math>s^2 \leq a \leq N</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>s</math> အတွက် ရွေးချယ်စရာ အများဆုံး <math>\lfloor\sqrt{N}\rfloor</math> ခု ရှိသည်။ အပေါင်းကိန်းပြည့် <math>1 \leq a \leq N</math> များ၏ စုစုပေါင်းအရေအတွက် <math>N</math> ခုကို အထက်ကန့်သတ်ချက် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">N \leq 2^k \sqrt{N}</math> ဤ မညီမျှခြင်း (inequality) ကို ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းဖြင့် <math>2^k \geq \sqrt{N}</math> သို့မဟုတ် <math>k \geq \frac{1}{2}\log_2 N</math> ကို ရရှိသည်။ <math>N</math> သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ <math>k</math> သည်လည်း အကန့်အသတ်မရှိ ကြီးမားလာရမည်ဖြစ်သည်။ === တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သက်သေပြချက် (Topological Proof) === <math>a \neq 0</math> အတွက် <math>S(a, b) = a\mathbb{Z} + b</math> ပုံစံရှိ ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်များ (arithmetic progressions) ဖြင့် ထုတ်လုပ်ထားသော ကိန်းပြည့်များ <math>\mathbb{Z}</math> အပေါ်ရှိ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပါ။ အခြေအစု (basis set) <math>S(a, b)</math> တစ်ခုစီသည် အဖွင့် (open) လည်းဖြစ်ပြီး အပိတ် (closed) လည်း ဖြစ်သည်။ <math>-1</math> နှင့် <math>1</math> ကို ဖယ်ထုတ်ထားသော ကိန်းပြည့်များ၏ အစုသည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\} = \bigcup_{p \text{ prime}} S(p, 0).</math> အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက် အဆုံးရှိခဲ့ပါက ဤပေါင်းစပ်စုသည် အပိတ်စုများ (closed sets) ၏ အဆုံးရှိ ပေါင်းစပ်စု (finite union) ဖြစ်လာမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် တိကျစွာ အပိတ် (strictly closed) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော <math>\{-1, 1\}</math> သည် အဖွင့်စု (open set) တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အဆုံးရှိသော ဗလာမဟုတ်သောအစု (non-empty set) တစ်ခုသည် ဤတိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့် မဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ == ပိုမိုအားကောင်းသော ရလဒ်များ (Stronger Results) == အောက်ပါ သီအိုရမ်များသည် သုဒ္ဓကိန်းများအပေါ် တင်းကျပ်သော ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) ဘောင်များကို တည်ဆောက်ပေးပြီး ယူကလစ်၏ သီအိုရမ်ကို အကျိုးဆက်သီအိုရမ်များ (corollaries) အဖြစ် အသေးအဖွဲအားဖြင့် ဖြစ်စေသည်။ * '''သုဒ္ဓကိန်း သီအိုရမ် (Prime Number Theorem)''' တွင် <math>\pi(x)</math> သည် သုဒ္ဓကိန်း-ရေတွက် ဖန်ရှင် (prime-counting function) ဟု သတ်မှတ်ပါ။ <math>x \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်နှင့်အမျှ ယင်းဖန်ရှင်သည် အောက်ပါအတိုင်း ချဉ်းကပ်မှု သဘာဝအရ အရွယ်ပြောင်း (scale asymptotically) သွားသည်။ :<math>\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1</math> :<math>\lim_{x\to\infty} \frac{x}{\log x} = \infty</math> ဖြစ်သောကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက်သည် အနန္တဖြစ်သည်။ * '''ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ သီအိုရမ် (Dirichlet's Theorem)''' တွင် မည်သည့် အပေါင်း နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်နှစ်ခုဖြစ်သော <math>a</math> နှင့် <math>d</math> အတွက်မဆို <math>a \pmod{d}</math> နှင့် ထပ်တူညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တ များပြားစွာ ရှိသည်။ * '''ဘာထရန်၏ ကြိုတင်အဆို (Bertrand's postulate)''' သို့မဟုတ် '''ချေဘီရှက်ဗ်၏ သီအိုရမ် (Chebyshev's Theorem)''' တွင် မည်သည့် ကိန်းပြည့် <math>n > 1</math> အတွက်မဆို <math>n</math> နှင့် <math>2n</math> ကြားတွင် တိကျစွာ သုဒ္ဓကိန်း <math>p</math> အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲရှိပြီး ယင်းက <math>\pi(2n) - \pi(n) \geq 1</math> ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Dickson |first=Leonard Eugene |title=History of the Theory of Numbers |volume=1 |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing |date=1971 |isbn=978-0-8284-0086-2}} * {{Citation |last=Furstenberg |first=Harry |title=On the infinitude of primes |journal=American Mathematical Monthly |volume=62 |issue=5 |date=1955 |doi=10.2307/2307043}} * {{Citation |last=Havil |first=Julian |title=Gamma: Exploring Euler's Constant |publication-place=Princeton |publisher=Princeton University Press |date=2003 |isbn=0-691-09983-9}} * {{Citation |last=Ore |first=Oystein |title=Number Theory and its History |publication-place=New York |publisher=Dover |date=1988 |orig-date=1948 |isbn=978-0-486-65620-5}} [[ကဏ္ဍ:ကိန်းသီအိုရီ သီအိုရမ်များ]] 18hpyk45uex6snuu7m39o0vpgr20ums 0 291861 1060973 1054157 2026-11-01T08:35:58Z Mkant00 135890 1060973 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) သည် အခြေခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) ကို လေ့လာသည်။ ၎င်းအပြင် ဤတည်ဆောက်ပုံများကို [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နှင့် [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) အတွင်း ဖွဲ့စည်းဖော်ပြခြင်းကိုလည်း လေ့လာသည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces) == [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဆိုသည်မှာ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ]] (binary operations) ဖြစ်သော ဗက်တာပေါင်းခြင်းနှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ပါဝင်သည့် [[အစု]] (set) <math>V</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုများသည် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အားလုံးဖြစ်သော <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> နှင့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a, b \in F</math> တို့အတွက် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Roman (2005).</ref> * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်စေမည့် သုညဗက်တာ (zero vector) <math>\mathbf{0} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များ]] (inverse elements) ဆိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက်မဆို <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> ဖြစ်စေမည့် <math>-\mathbf{v} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ဗက်တာပေါင်းခြင်းအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) ဆိုသည်မှာ <math>a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * ဖီးလ်ဒ်အပေါင်းတွက်ချက်မှုအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ ဆိုသည်မှာ <math>(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာနှင့် ဖီးလ်ဒ် မြှောက်ခြင်းတို့၏ ကိုက်ညီမှု (compatibility) ဆိုသည်မှာ <math>a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် ဆိုသည်မှာ <math>1\mathbf{v} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) <math>W \subseteq V</math> ဆိုသည်မှာ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော]] ဗလာမဟုတ်သော[[အစုပိုင်း]] (non-empty subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများပါဝင်သည့် အစု <math>S</math> တစ်ခု၏ စပန် (span) သည် <math>S</math> ကို ငုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများအားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြစ်ပြီး <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i</math> ပုံစံရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) အားလုံး ပါဝင်သည်။ အကယ်၍ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \implies a_i = 0</math> ဖြစ်ပါက အစု <math>S</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) အစု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) ဖြစ်သော အစုတစ်ခုသည် [[အခြေအစု]] (basis) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ် (dimension theorem) အရ <math>V</math> ၏ မည်သည့် အခြေအစုနှစ်ခုမဆိုသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim V</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Axler (2024).</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများဖြစ်ကြသော <math>U_1</math> နှင့် <math>U_2</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).</math><ref>Axler (2024)</ref> == မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများနှင့် ကိန်းအုံများ (Linear Maps and Matrices) == <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သော <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့အတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] <math>T: V \to W</math> သည် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>a, b \in F</math> အားလုံးအတွက် <math>T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m)</math> ပါရှိသည့် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် ဗက်တာတိုင်းသည် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဗက်တာ (coordinate vector) <math>(a_1, \dots, a_m) \in F^m</math> တစ်ခုဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်ခံရသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> တွင် အခြေအစု <math>(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> ပါရှိပါက <math>f(\mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{v}_i</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: W \to V</math> ကို <math>m \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ကိန်းအုံ <math>[a_{i,j}]</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ကွဲပြားသော အခြေအစုများအောက်တွင် တူညီသည့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) တစ်ခုကို ဖော်ပြထားသော ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဆင်တူသော ကိန်းအုံများ (similar matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့ကို [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော]] (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြင့် [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းမှတစ်ဆင့် ရယူနိုင်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Equations) == ကိန်းရှင် (variables) <math>n</math> ခုပါဝင်သော [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] <math>m</math> ကြောင်းပါ စနစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းအုံ]] [[ညီမျှခြင်း]] <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> အဖြစ် ပုံစံချ ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>A = (a_{ij})_{m\times n}</math>၊ <math>\mathbf{x} \in F^n</math> နှင့် <math>\mathbf{b} \in F^m</math> ဖြစ်ကြသည်။ ဆက်စပ်နေသော တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) <math>A</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) အဖြစ် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသော အဖြေများကို ထုတ်ပေးသည်။ မျဉ်းဖြောင့် စနစ်များအတွက် အဖြေများကို ပူးတွဲကိန်းအုံ (augmented matrix) <math>[A \mid \mathbf{b}]</math> အား လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) သို့ လျှော့ချရန်အတွက် ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်သည်။ အကယ်၍ <math>m = n</math> ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံဖြစ်ပါက အဆိုပါစနစ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> ရှိသည်။ == အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် စတုရန်းကိန်းအုံများ (Endomorphisms and Square Matrices) == အကယ်၍ <math>V</math> သည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုတစ်ခုကို ရွေးချယ်ထားပါက မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>f: V \to V</math> တစ်ခုကို အရွယ်အစား <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) <math>M</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}</math> ထိုနေရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ဖြစ်ပြီး <math>(-1)^{\sigma}</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (permutation parity) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>\det(A) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ စကေလာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>a</math> တစ်ခုအတွက် <math>M\mathbf{v} = a\mathbf{v}</math> ဖြစ်ပါက သုညမဟုတ်သော ဗက်တာ (non-zero vector) <math>\mathbf{v}</math> သည် <math>M</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) <math>F</math> အတွင်းရှိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) တိကျစွာ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှာ <math>\det(xI - M) = 0</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>V</math> တွင် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားသော အခြေအစုတစ်ခု ရှိနေပါက <math>M</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သော (diagonalizable) ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ == ဒွန်တွဲမှုနှင့် အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ (Duality and Inner-Product Spaces) == [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> တွင် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ (linear forms) <math>f: V \to F</math> အားလုံး ပါဝင်သည်။ <math>V</math> ၏ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲအခြေအစု (dual basis) <math>(\mathbf{v}_1^*, \dots, \mathbf{v}_n^*)</math> သည် <math>\mathbf{v}_i^*(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: V \to W</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲ ပုံဖော်မှု (dual map) <math>f^*: W^* \to V^*</math> ကို <math>f^*(h) = h \circ f</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင် <math>f^*</math> ကို ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) <math>M^{\textsf{T}}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>F = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) သည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော ပုံဖော်မှု <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Jain & Ahmad (1995).</ref><ref>Prugovecki (1981).</ref> * [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] အချိုးညီမှု (conjugate symmetry) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}</math> ဖြစ်သည်။ * ပထမ အဝင်ကိန်းအပေါ် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity in the first argument) ဆိုသည်မှာ <math>\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) <math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာများ သို့မဟုတ် အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင်ကဲ့သို့ ၎င်းတည်ရှိသောအခါ <math>T</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) <math>T^*</math> ကို <math>\langle T\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T^*\mathbf{v} \rangle</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အပေါ်တွင် <math>TT^* = T^*T</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းအုံများသည် ပုံမှန် (normal) ဖြစ်ကြပြီး ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) တစ်ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[မော်ဂျူး]] သီအိုရီ (Module theory)''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်တွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအား ယေဘုယျပြုထားခြင်းသည် <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (free modules) မဟုတ်လျှင် အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများကို တိကျစွာ လက်ခံရရှိခြင်း မရှိပေ။ *'''မျဉ်းဖြောင့်အစုံအက္ခရာသင်္ချာ (Multilinear algebra)''' သည် ကိန်းရှင်များစွာတွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများနှင့် [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] (tensor product) များကို လေ့လာစစ်ဆေးသည်။ အတိုင်းအတာ အကန့်အသတ်ရှိသော ရပ်ဝန်းများတွင် အဆိုပါ မျဉ်းဖြောင့်အစုံ ပုံစံများကို [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] <math>V^*</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော တန်ဆာမြှောက်လဒ်များမှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ * '''[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Topological vector spaces)''' အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ဆောက်ပုံများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် စံနှုန်း၊ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ဆီမီးစံနှုန်းများ စုစည်းမှုတို့မှ မကြာခဏ လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကြပြီး ပြည့်စုံသော [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ]]သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=4th |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Publishing |publication-place=Cham |date=2024 |isbn=978-3-031-41026-0 |doi=10.1007/978-3-031-41026-0}} * {{Citation |last1=Jain |first1=P. K. |last2=Ahmad |first2=Khalil |title=Functional analysis |edition=2nd |publisher=New Age International |publication-place=New Delhi |date=1995 |isbn=81-224-0801-X}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last=Prugovecki |first=Eduard |title=Quantum mechanics in Hilbert space |edition=2nd |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1981 |isbn=0-12-566060-X}} * {{Citation |last=Roman |first=Steven |title=Advanced Linear Algebra |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=New York |date=2005 |isbn=978-0-387-24766-3}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] 66khkus9xo2h08cifijhn32tbzbwp30 1060980 1060973 2026-11-01T08:47:27Z Mkant00 135890 /* ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) */ 1060980 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) သည် အခြေခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n</math> အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ]] (linear maps) ကို လေ့လာသည်။ ၎င်းအပြင် ဤတည်ဆောက်ပုံများကို [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နှင့် [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) အတွင်း ဖွဲ့စည်းဖော်ပြခြင်းကိုလည်း လေ့လာသည်။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces) == [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]]ဆိုသည်မှာ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ]] (binary operations) ဖြစ်သော ဗက်တာပေါင်းခြင်းနှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ပါဝင်သည့် [[အစု]] (set) <math>V</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုများသည် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]]အားလုံးဖြစ်သော <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> နှင့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a, b \in F</math> တို့အတွက် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Roman (2005).</ref> * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}</math> ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဆိုသည်မှာ <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်စေမည့် သုညဗက်တာ (zero vector) <math>\mathbf{0} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များ]] (inverse elements) ဆိုသည်မှာ မည်သည့် <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက်မဆို <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> ဖြစ်စေမည့် <math>-\mathbf{v} \in V</math> တစ်ခု တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ * ဗက်တာပေါင်းခြင်းအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ [[ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) ဆိုသည်မှာ <math>a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * ဖီးလ်ဒ်အပေါင်းတွက်ချက်မှုအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ ဆိုသည်မှာ <math>(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာနှင့် ဖီးလ်ဒ် မြှောက်ခြင်းတို့၏ ကိုက်ညီမှု (compatibility) ဆိုသည်မှာ <math>a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ * စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် ဆိုသည်မှာ <math>1\mathbf{v} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) <math>W \subseteq V</math> ဆိုသည်မှာ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်းတို့အောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိသော]] ဗလာမဟုတ်သော[[အစုပိုင်း]] (non-empty subset) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာများပါဝင်သည့် အစု <math>S</math> တစ်ခု၏ စပန် (span) သည် <math>S</math> ကို ငုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများအားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြစ်ပြီး <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i</math> ပုံစံရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) အားလုံး ပါဝင်သည်။ အကယ်၍ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \implies a_i = 0</math> ဖြစ်ပါက အစု <math>S</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) အစု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) ဖြစ်သော အစုတစ်ခုသည် [[အခြေအစု]] (basis) ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ် (dimension theorem) အရ <math>V</math> ၏ မည်သည့် အခြေအစုနှစ်ခုမဆိုသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။ ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim V</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Axler (2024).</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းများဖြစ်ကြသော <math>U_1</math> နှင့် <math>U_2</math> တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).</math><ref>Axler (2024)</ref> == မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများနှင့် ကိန်းအုံများ (Linear Maps and Matrices) == <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်သော <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့အတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] <math>T: V \to W</math> သည် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> အားလုံးနှင့် <math>a, b \in F</math> အားလုံးအတွက် <math>T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော]] (bijective) မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m)</math> ပါရှိသည့် အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် ဗက်တာတိုင်းသည် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဗက်တာ (coordinate vector) <math>(a_1, \dots, a_m) \in F^m</math> တစ်ခုဆီသို့ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်ခံရသည်။ အကယ်၍ <math>W</math> တွင် အခြေအစု <math>(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> ပါရှိပါက <math>f(\mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{v}_i</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: W \to V</math> ကို <math>m \times n</math> အရွယ်အစားရှိ ကိန်းအုံ <math>[a_{i,j}]</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) နှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ကွဲပြားသော အခြေအစုများအောက်တွင် တူညီသည့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) တစ်ခုကို ဖော်ပြထားသော ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဆင်တူသော ကိန်းအုံများ (similar matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့ကို [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော]] (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြင့် [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းမှတစ်ဆင့် ရယူနိုင်သည်။ == မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Equations) == ကိန်းရှင် (variables) <math>n</math> ခုပါဝင်သော [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] <math>m</math> ကြောင်းပါ စနစ်တစ်ခုကို [[ကိန်းအုံ]] [[ညီမျှခြင်း]] <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> အဖြစ် ပုံစံချ ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် <math>A = (a_{ij})_{m\times n}</math>၊ <math>\mathbf{x} \in F^n</math> နှင့် <math>\mathbf{b} \in F^m</math> ဖြစ်ကြသည်။ ဆက်စပ်နေသော တစ်ပြေးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) <math>A</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) အဖြစ် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားသော အဖြေများကို ထုတ်ပေးသည်။ မျဉ်းဖြောင့် စနစ်များအတွက် အဖြေများကို ပူးတွဲကိန်းအုံ (augmented matrix) <math>[A \mid \mathbf{b}]</math> အား လျှော့ချထားသော အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) သို့ လျှော့ချရန်အတွက် ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်သည်။ အကယ်၍ <math>m = n</math> ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံဖြစ်ပါက အဆိုပါစနစ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> ရှိသည်။ == အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် စတုရန်းကိန်းအုံများ (Endomorphisms and Square Matrices) == အကယ်၍ <math>V</math> သည် အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုတစ်ခုကို ရွေးချယ်ထားပါက မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>f: V \to V</math> တစ်ခုကို အရွယ်အစား <math>n</math> ရှိသော စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) <math>M</math> ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}</math> ထိုနေရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ဖြစ်ပြီး <math>(-1)^{\sigma}</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (permutation parity) ကို ဖော်ပြသည်။ <math>\det(A) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ စကေလာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>a</math> တစ်ခုအတွက် <math>M\mathbf{v} = a\mathbf{v}</math> ဖြစ်ပါက သုညမဟုတ်သော ဗက်တာ (non-zero vector) <math>\mathbf{v}</math> သည် <math>M</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) <math>F</math> အတွင်းရှိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) တိကျစွာ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှာ <math>\det(xI - M) = 0</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>V</math> တွင် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားသော အခြေအစုတစ်ခု ရှိနေပါက <math>M</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်သော (diagonalizable) ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ == ဒွန်တွဲမှုနှင့် အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ (Duality and Inner-Product Spaces) == [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> တွင် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ (linear forms) <math>f: V \to F</math> အားလုံး ပါဝင်သည်။ <math>V</math> ၏ အခြေအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲအခြေအစု (dual basis) <math>(\mathbf{v}_1^*, \dots, \mathbf{v}_n^*)</math> သည် <math>\mathbf{v}_i^*(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}</math> ကို ပြည့်စုံစေသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: V \to W</math> တစ်ခုအတွက် ဒွန်တွဲ ပုံဖော်မှု (dual map) <math>f^*: W^* \to V^*</math> ကို <math>f^*(h) = h \circ f</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင် <math>f^*</math> ကို ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) <math>M^{\textsf{T}}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>F = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) သည် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေသော ပုံဖော်မှု <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to F</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Jain & Ahmad (1995).</ref><ref>Prugovecki (1981).</ref> * [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] အချိုးညီမှု (conjugate symmetry) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}</math> ဖြစ်သည်။ * ပထမ အဝင်ကိန်းအပေါ် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity in the first argument) ဆိုသည်မှာ <math>\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle</math> ဖြစ်သည်။ * အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness) ဆိုသည်မှာ <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံသည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) <math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|</math> ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော အော်ပရေတာများ သို့မဟုတ် အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများတွင်ကဲ့သို့ ၎င်းတည်ရှိသောအခါ <math>T</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) <math>T^*</math> ကို <math>\langle T\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T^*\mathbf{v} \rangle</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]အပေါ်တွင် <math>TT^* = T^*T</math> ကို ပြည့်စုံစေသော ကိန်းအုံများသည် ပုံမှန် (normal) ဖြစ်ကြပြီး ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ထောင့်မှန်ကျယူနစ် အခြေအစု (orthonormal basis) တစ်ခုကို လက်ခံရရှိသည်။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[မော်ဂျူး]] သီအိုရီ (Module theory)''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တစ်ခုအပေါ်တွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအား ယေဘုယျပြုထားခြင်းသည် <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (free modules) မဟုတ်လျှင် အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများကို တိကျစွာ လက်ခံရရှိခြင်း မရှိပေ။ *'''မျဉ်းဖြောင့်အစုံအက္ခရာသင်္ချာ (Multilinear algebra)''' သည် ကိန်းရှင်များစွာတွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများနှင့် [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] (tensor product) များကို လေ့လာစစ်ဆေးသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော ရပ်ဝန်းများတွင် အဆိုပါ မျဉ်းဖြောင့်အစုံ ပုံစံများကို [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] <math>V^*</math> ၏ အစုဝင်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော တန်ဆာမြှောက်လဒ်များမှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ ဖော်ပြနိုင်သည်။ * '''[[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Topological vector spaces)''' အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ဆောက်ပုံများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် စံနှုန်း၊ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ဆီမီးစံနှုန်းများ စုစည်းမှုတို့မှ မကြာခဏ လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများသည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကြပြီး ပြည့်စုံသော [[အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အတွင်းမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ]]သည် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=4th |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Publishing |publication-place=Cham |date=2024 |isbn=978-3-031-41026-0 |doi=10.1007/978-3-031-41026-0}} * {{Citation |last1=Jain |first1=P. K. |last2=Ahmad |first2=Khalil |title=Functional analysis |edition=2nd |publisher=New Age International |publication-place=New Delhi |date=1995 |isbn=81-224-0801-X}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last=Prugovecki |first=Eduard |title=Quantum mechanics in Hilbert space |edition=2nd |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1981 |isbn=0-12-566060-X}} * {{Citation |last=Roman |first=Steven |title=Advanced Linear Algebra |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=New York |date=2005 |isbn=978-0-387-24766-3}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] nrwbtdi9h93aj2h9rzmnxxrvuhqjfmw 0 291869 1060987 1054159 2026-11-01T09:38:14Z Mkant00 135890 1060987 wikitext text/x-wiki <math>V</math> ကို ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အကယ်၍ [[အစုပိုင်း]] (subset) <math>B \subseteq V</math> သည် အခြေအနေနှစ်ခုကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းသည် အခြေအစု (basis) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Brown (1991), pp. 99–103.</ref> * [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း]] (linear independence) :အဆုံးရှိအစုပိုင်း (finite subset) တိုင်းဖြစ်သော <math>\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m\} \subseteq B</math> အတွက် အကယ်၍ [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) ဖြစ်သော <math>c_1, \dots, c_m \in F</math> များဖြင့် <math>\sum_{i=1}^m c_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ပါက <math>c_1 = \dots = c_m = 0</math> ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>Halmos (1987), p. 10.</ref> * ဖြန့်ကျက်ခြင်း ဂုဏ်သတ္တိ (spanning property) :ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက် <math>\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i</math> ဖြစ်စေမည့် စကေလာများဖြစ်သော <math>a_1, \dots, a_n \in F</math> နှင့် ဗက်တာများဖြစ်သော <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n \in B</math> တို့ တည်ရှိခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>B</math> သည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> အား <math>B</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) တစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ဖော်ပြနိုင်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties) == အကယ်၍ <math>V</math> သည် ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ မှန်ကန်သည်။ အဆုံးရှိသော အတိုင်းအတာများအတွက် ရှတိုင်းနစ်ဇ် ဖလှယ်ခြင်း အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Steinitz exchange lemma) နှင့် ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်]] (Zorn's lemma) တို့မှ ဆင်းသက်ရရှိနိုင်သည်ဟူ၍ မှတ်ယူသည်။ * ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းဖြစ်သော <math>V</math> တွင် အခြေအစုတစ်ခု ရှိသည်။ * အကယ်၍ <math>L \subseteq V</math> သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး <math>L \subseteq S</math> ဖြစ်စေမည့် <math>S \subseteq V</math> သည် ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) တစ်ခုဖြစ်ပါက <math>L \subseteq B \subseteq S</math> ကို ပြည့်စုံစေမည့် အခြေအစု <math>B</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ * <math>V</math> ၏ အခြေအစုများအားလုံးသည် တူညီသော [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကြပြီး ၎င်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ်ဟု လူသိများသည်။ *ဖြန့်ကျက်အစု <math>S \subseteq V</math> တစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အငယ်ဆုံး (minimal) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>S</math> ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းအစစ်ကမျှ <math>V</math> ကို စပန်မပြုလုပ်ခြင်း ပင်ဖြစ်သည်။ * မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသောအစု <math>L \subseteq V</math> တစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အကြီးဆုံး (maximal) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းသည် မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသောအစု၏ အစုပိုင်းအစစ်မျှ မဟုတ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။" အကယ်၍ <math>\dim V = n</math> ဖြစ်ပါက တိကျစွာ အစုဝင် <math>n</math> ခုပါရှိသော <math>V</math> ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုသည် အခြေအစုတစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းအစုပိုင်းသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်းပင်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ဖြန့်ကျက်အစုတစ်ခုဖြစ်ခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ == အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုများနှင့် ကိုဩဒိနိတ်များ (Ordered Bases and Coordinates) == အတိုင်းအတာ <math>n</math> ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တစ်ခုအတွက် အစီအစဉ်ကျ အခြေအစု (ordered basis) သည် အခြေအစု ဗက်တာများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) <math>B = (\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n)</math> တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဗက်တာတိုင်းဖြစ်သော <math>\mathbf{v} \in V</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြမ်းမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{b}_i</math> စကေလာများဖြစ်သော <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n \in F</math> တို့သည် <math>B</math> နှင့်သက်ဆိုင်သော <math>\mathbf{v}</math> ၏ ကိုဩဒိနိတ်များ (coordinates) ဖြစ်ကြသည်။ ဤကိုဩဒိနိတ် ဆက်စပ်မှုသည် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|မျဉ်းဖြောင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (linear isomorphism) <math>\varphi: F^n \to V</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\varphi(\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{b}_i</math> ဤပုံဖော်မှုသည် ကိုဩဒိနိတ် ရပ်ဝန်း (coordinate space) <math>F^n</math> ၏ ပုံမှန် စံအခြေအစု (canonical standard basis) ကို <math>V</math> ၏ အစီအစဉ်ကျ အခြေအစု <math>B</math> အပေါ်သို့ တိကျစွာ တန်ဖိုးရှာဖွေပေးသည်။ == အခြေပြောင်းလဲခြင်း (Change of Basis) == <math>B_{\text{old}} = (\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> နှင့် <math>B_{\text{new}} = (\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> တို့ကို <math>V</math> ၏ အစီအစဉ်ကျ အခြေအစုနှစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>B_{\text{new}}</math> ၏ အခြေအစု ဗက်တာများကို <math>B_{\text{old}}</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ :<math>\mathbf{w}_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} \mathbf{v}_i</math> <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> တို့သည် အသီးသီးအားဖြင့် ဗက်တာ <math>\mathbf{x} \in V</math> တစ်ခု၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို <math>B_{\text{old}}</math> နှင့် <math>B_{\text{new}}</math> တို့တွင် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် တိုင် ဗက်တာများ (column vectors) ဖြစ်ပါစေ။ ကိုဩဒိနိတ်များအကြား အသွင်ပြောင်းခြင်း (transformation) ကို ကိန်းအုံ ညီမျှခြင်း <math>X = AY</math> ဖြင့် ပေးထားပြီး ထိုနေရာတွင် <math>A = [a_{i,j}]</math> သည် ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အခြေအစုအရ ခွဲခြမ်းမှု၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှုမှ ဆင်းသက်လာသည်။ :<math>\mathbf{x} = \sum_{j=1}^n y_j \mathbf{w}_j = \sum_{j=1}^n y_j \sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\right)\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{v}_i</math> == တည်ရှိမှု သီအိုရမ် (Existence Theorem) == ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တိုင်းတွင် အခြေအစုတစ်ခု လက်ခံရရှိကြောင်း သက်သေပြချက်သည် ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်ပေါ်တွင် မှီခိုသည်။ <math>X</math> ကို ပါဝင်ခြင်း (inclusion) <math>\subseteq</math> အရ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသော (partially ordered) <math>V</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည့် အစုပိုင်းများအားလုံး၏ အစု ဖြစ်ပါစေ။ <math>X</math> တွင် [[ဗလာစု]] (empty set) ပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဗလာမဟုတ်သောအစု ဖြစ်သည်။ ချိတ်တန်း (chain) ဟုခေါ်သော မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော အစုပိုင်း (totally ordered subset) <math>Y \subseteq X</math> အတွက်မဆို <math>L_Y = \bigcup_{S \in Y} S</math> ဖြစ်ပါစေ။ <math>Y</math> သည် [[ဗလာစု]] ဖြစ်ပါက ဗလာစုကိုယ်တိုင်သည် <math>X</math> ၏ အစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် အထက်ကန့်သတ်ချက် ရှိပြီးဖြစ်သည်ဟု ယူဆနိုင်သည်။ <math>Y</math> သည် ဗလာစုမဟုတ်ဘဲ အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောကြောင့် <math>L_Y</math> ၏ မည်သည့် အဆုံးရှိအစုပိုင်းမဆိုသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်းကို ထိန်းသိမ်းလျက် <math>Y</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုတည်းအတွင်း တည်ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် <math>L_Y \in X</math> သည် <math>Y</math> အတွက် အထက်ကန့်သတ်ချက် (upper bound) တစ်ခုအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။ ဇွန်း၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်အရ <math>X</math> သည် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး အစုဝင် (maximal element) <math>L_{\text{max}}</math> ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>L_{\text{max}}</math> သည် <math>V</math> ကို စပန်မပြုလုပ်ခဲ့ပါက <math>\mathbf{w} \in V \setminus \operatorname{span}(L_{\text{max}})</math> တစ်ခု တည်ရှိနေလိမ့်မည်ဖြစ်သည်။ အစု <math>L_{\text{max}} \cup \{\mathbf{w}\}</math> သည် <math>L_{\text{max}}</math> ကို တိကျစွာ ငုံထားပြီး မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသည့်အစု ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်ရာ ၎င်း၏ အကြီးဆုံးဖြစ်မှု (maximality) ကို ဆန့်ကျင်နေမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် <math>L_{\text{max}}</math> သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး <math>V</math> ကို စပန်ပြုလုပ်ကာ ၎င်းသည် အခြေအစုတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းအတွက် အခြေအစုတစ်ခု တည်ရှိမှုသည် [[ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို|ရွေးချယ်မှု နဂိုမှန်အဆို]] (Axiom of Choice) နှင့် ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (logically equivalent) ရှိသည်။<ref>Blass (1984), pp. 31–33.</ref> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == * '''[[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (Free modules)''' ဖီးလ်ဒ် <math>F</math> အား ယေဘုယျ ကွင်း (general ring) <math>R</math> တစ်ခုအဖြစ် သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ခြင်း (abstracting) သည် [[မော်ဂျူး]] (module) တစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ အခြေအစုတစ်ခု သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ထုတ်လုပ်ကိန်းအစု (generating set) တစ်ခုကို ပိုင်ဆိုင်သော မော်ဂျူးတစ်ခုအား လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး (free module) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် မတူညီဘဲ ယေဘုယျ ကွင်းများအပေါ်ရှိ အလိုရှိရာ မော်ဂျူးများသည် အခြေအစုများရှိရန် အာမခံချက် မရှိပေ။ * '''အနန္တအတိုင်းအတာများ (Infinite dimensions)''' <math>\mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (infinite-dimensional spaces) တွင် ဤနေရာ၌ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော သီးသန့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအစုကို ဟားမဲလ် အခြေအစု (Hamel basis) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။<ref>Hamel (1905).</ref> ထိုသို့သော အခြေအစုများသည် အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများကိုသာ ခွင့်ပြုသည်။ ဘလဲ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရမ် (Baire category theorem) အရ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တစ်ခုအတွက် မည်သည့် ဟားမဲလ် အခြေအစုမဆိုသည် ရေတွက်၍မရသော အနန္တ (uncountably infinite) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဗက်တာရပ်ဝန်းများအပေါ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းသည် အနန္တ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ၏ စုဆုံခြင်း (convergence) ကို ခွင့်ပြုသော အခြားရွေးချယ်စရာ အခြေအစုများကို ပိုမိုနှစ်သက်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ရှောင်းဒါး အခြေအစုများ (Schauder bases) သို့မဟုတ် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]](Hilbert spaces) အတွင်းရှိ ထောင့်မှန်ကျ အခြေအစုများ (orthogonal bases) ကို အသုံးပြုသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Blass |first=Andreas |title=Axiomatic set theory |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |series=Contemporary Mathematics |volume=31 |year=1984 |chapter=Existence of bases implies the axiom of choice |isbn=978-0-8218-5026-8}} * {{Citation |last=Brown |first=William A. |title=Matrices and vector spaces |publisher=M. Dekker |publication-place=New York |date=1991 |isbn=978-0-8247-8419-5}} * {{Citation |last=Halmos |first=Paul Richard |title=Finite-Dimensional Vector Spaces |edition=4th |publisher=Springer |publication-place=New York |date=1987 |isbn=978-0-387-90093-3}} * {{Citation |last=Hamel |first=Georg |title=Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y) |journal=Mathematische Annalen |volume=60 |issue=3 |pages=459–462 |year=1905 |doi=10.1007/BF01457624}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] gs5nv6k3sfhg8v3b39s8whrm4j0s9fc 0 291870 1060990 1054170 2026-11-01T09:40:36Z Mkant00 135890 1060990 wikitext text/x-wiki ဖီးလ်ဒ် (field) <math>F</math> တစ်ခုအပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ (linear form) သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (linear functional) တစ်ခုသည် <math>V</math> မှ <math>F</math> ဆီသို့ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear map) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Axler (2015), p. 101.</ref> <math>V</math> မှ <math>F</math> ဆီသို့ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များအားလုံး၏ [[အစု]]သည် သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက် ပေါင်းလဒ် (pointwise addition) နှင့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) အောက်တွင် <math>F</math> အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤရပ်ဝန်းကို <math>V</math> ၏ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (algebraic dual space) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး ယေဘုယျအားဖြင့် <math>V^*</math>, <math>\operatorname{Hom}(V, F)</math> သို့မဟုတ် <math>V'</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။<ref>Katznelson & Katznelson (2008), p. 37.</ref><ref>Tu (2011), p. 19.</ref> == ဒွန်တွဲအခြေအစုများနှင့် ကိုဩဒိနိတ်များ (Dual Bases and Coordinates) == <math>V</math> သည် [[အခြေအစု]] (basis) <math>\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n</math> ပါရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အဆုံးရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း (finite-dimensional vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> သည် အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော သက်ဆိုင်ရာ [[အခြေအစု|ဒွန်တွဲအခြေအစု]] (dual basis) <math>\tilde{\boldsymbol{\omega}}^1, \dots, \tilde{\boldsymbol{\omega}}^n</math> ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ :<math>\tilde{\boldsymbol{\omega}}^i(\mathbf{e}_j) = \delta_{ij}</math> <math>\delta_{ij}</math> သည် ခရိုနက်ကာ ဒယ်လ်တာ (Kronecker delta) ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တိုင်းဖြစ်သော <math>\tilde{\mathbf{u}} \in V^*</math> ကို ဒွန်တွဲအခြေအစု ဖန်ရှင်နယ်များ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) တစ်ခုအဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\tilde{\mathbf{u}} = \sum_{i=1}^n u_i \tilde{\boldsymbol{\omega}}^i</math> အခြေအစု ဗက်တာ <math>\mathbf{e}_j</math> အပေါ်သို့ <math>\tilde{\mathbf{u}}</math> အား သက်ရောက်ခြင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] အစိတ်အပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ထုတ်ယူပေးသည်။ :<math>\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{e}_j) = u_j</math> == မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံများနှင့် ဒွန်တွဲ ဗက်တာများ (Bilinear Forms and Dual Vectors) == အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ ယိုယွင်းမှုမရှိသော (non-degenerate) [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ]] (bilinear form) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> သည် <math>\mathbf{v} \mapsto \mathbf{v}^*</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|ပုံမှန်အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (canonical isomorphism) <math>V \to V^*</math> ကို လှုံ့ဆော်ပေးပြီး ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{v}^*(\mathbf{w}) = \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \quad \text{for all } \mathbf{w} \in V</math> ပြောင်းပြန်အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (inverse isomorphism) သည် ဖန်ရှင်နယ် <math>\mathbf{v}^* \in V^*</math> တိုင်းကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော [[ဗက်တာ|ဒွန်တွဲဗက်တာ]] (dual vector) <math>\mathbf{v} \in V</math> နှင့် ဆက်စပ်ပေးသည်။ အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) ၏ အခြေအနေတွင် ရီးဇ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရမ် (Riesz representation theorem) သည် ရပ်ဝန်းနှင့် ၎င်း၏ အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ (continuous dual) အကြား ဆန့်ကျင်-မျဉ်းဖြောင့် (antilinear) အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isometric isomorphism) တစ်ခုကို အလားတူစွာ တည်ဆောက်ပေးသည်။ == ဖီးလ်ဒ် ပြောင်းလဲခြင်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်အသွင်ပြောင်းခြင်း (Change of Field (Realification)) == <math>X</math> ကို <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခု]] ဖြစ်ပါစေ။ [[စကေလာ|စကေလာများ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်|ဖီးလ်ဒ်ကို]] <math>\mathbb{R}</math> သို့ ကန့်သတ်ခြင်း (restricting) သည် <math>X</math> ၏ ကိန်းစစ်အသွင်ပြောင်းခြင်း (realification) ဟု သိကြသော [[ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (real vector space) <math>X_{\mathbb{R}}</math> ကို ရရှိစေသည်။<ref>Rudin (1991), p. 57.</ref> မည်သည့် [[ကိန်းထွေး]] မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် (complex linear functional) <math>\varphi \in X^*</math> မဆိုသည် ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) <math>\varphi_{\mathbb{R}} = \operatorname{Re} \varphi</math> နှင့် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (imaginary part) <math>\varphi_i = \operatorname{Im} \varphi</math> တို့အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြမ်းမှု ဖြစ်သွားသည်။ :<math>\varphi = \varphi_{\mathbb{R}} + i\varphi_i</math> <math>\varphi_{\mathbb{R}}</math> နှင့် <math>\varphi_i</math> နှစ်ခုစလုံးသည် <math>X_{\mathbb{R}}</math> ပေါ်ရှိ ကိန်းစစ် မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့ကို အောက်ပါ ထပ်တူညီမှုများ (identities) ဖြင့် ဆက်သွယ်ထားသည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011), pp. 9–11.</ref> <math>\varphi_i(\mathbf{x}) = -\varphi_{\mathbb{R}}(i\mathbf{x}) \quad \text{and} \quad \varphi_{\mathbb{R}}(\mathbf{x}) = \varphi_i(i\mathbf{x}).</math> အကယ်၍ <math>X</math> သည် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော]] ရပ်ဝန်း (normed space) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဤဖန်ရှင်နယ်များ၏ အော်ပရေတာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်းများ]] (operator norms) သည် တိကျစွာ တူညီကြသည်။<ref>Narici & Beckenstein (2011), pp. 126–128.</ref> :<math>\|\varphi\| = \|\varphi_{\mathbb{R}}\| = \|\varphi_i\|</math> == အနန္တအတိုင်းအတာရှိသော ရပ်ဝန်းများ (Infinite-Dimensional Spaces) == [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (topological vector space) <math>X</math> တစ်ခုတွင် အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲ ရပ်ဝန်း <math>X'</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များဖြင့်သာ သီးသန့် ဖွဲ့စည်းထားသော <math>X^*</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခု၏ [[ကာနယ်]] (kernel) သည် အပိတ်စု (closed set) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေတွင်သာ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်နယ် ဖြစ်သည်။ ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>M \subsetneq X</math> တစ်ခုသည် အကြီးဆုံး (maximal) ဖြစ်ရန် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော (non-trivial) မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f</math> တစ်ခုအတွက် <math>M = \ker f</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ အဖိုင်း ဟိုက်ပါပြင်ညီ (affine hyperplane) သည် အကြီးဆုံး ရပ်ဝန်းပိုင်းတစ်ခု၏ ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translate) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အသေးအဖွဲမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ် <math>f</math> နှင့် စကေလာ <math>c</math> တစ်ခုအတွက် <math>f^{-1}(c)</math> ပုံစံကို ယူသည်။ မူလမှတ်ကို ဖြတ်မသွားသော အဖိုင်း ဟိုက်ပါပြင်ညီများအတွက် <math>f^{-1}(1)</math> ပုံစံအဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။ ထို့အပြင် အကယ်၍ <math>f, g_1, \dots, g_n</math> တို့သည် <math>X</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်များ ဖြစ်ကြပါက <math>f</math> သည် <math>g_1, \dots, g_n</math> တို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖြစ်ရန် အောက်ပါအချက် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။<ref>Rudin (1991), pp. 63–64.</ref> :<math>\bigcap_{i=1}^n \ker g_i \subseteq \ker f</math> '''[[ဟန်း-ဘာနက် သီအိုရမ်|ဟန်း-ဘာနက် လွှမ်းမိုးခံ တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ်]] (Hahn-Banach Dominated Extension Theorem)''' အကယ်၍ <math>p: X \to \mathbb{R}</math> သည် [[ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>X</math> ပေါ်ရှိ နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်တစ်ခု]]ဖြစ်ပြီး <math>f: M \to \mathbb{R}</math> သည် ရပ်ဝန်းပိုင်း <math>M \subseteq X</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်နယ်တစ်ခုဖြစ်ကာ <math>\mathbf{x} \in M</math> အားလုံးအတွက် <math>f(\mathbf{x}) \leq p(\mathbf{x})</math> ဖြစ်ပါက နေရာတစ်ခုလုံးဖြစ်သော <math>X</math> သို့ <math>f</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့် တိုးချဲ့ချက် (linear extension) <math>F: X \to \mathbb{R}</math> တစ်ခု တည်ရှိပြီး ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Rudin (1991), p. 56.</ref> :<math>F(\mathbf{x}) \leq p(\mathbf{x}) \quad \text{for all } \mathbf{x} \in X</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations) == <math>R</math> ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (ring) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ဘယ် <math>R</math>-[[မော်ဂျူး]] (left <math>R</math>-module) <math>M</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံတစ်ခုသည် <math>M</math> မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်အပေါ်ရှိ မော်ဂျူး (module) တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်သော <math>R</math> ဆီသို့ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ '''ဒွန်တွဲအခြေအစု အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Dual basis lemma)''' ဘယ် <math>R</math>-မော်ဂျူး (left R-module) <math>M</math> တစ်ခုသည် [[ပရိုဂျက်တစ် အရာဝတ္ထု|ပရိုဂျက်တစ်]] (projective) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ [[အစုပိုင်း]] <math>A \subseteq M</math> တစ်ခုနှင့် မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ၏ စုစည်းမှု (collection) <math>\{f_a \mid a \in A\}</math> တို့ တည်ရှိပြီး <math>\mathbf{x} \in M</math> တိုင်းအတွက် <math>f_a(\mathbf{x})</math> များအနက် အဆုံးရှိသော အရေအတွက်သာလျှင် သုညမဟုတ်သော (non-zero) တန်ဖိုးဖြစ်ကာ အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ :<math>\mathbf{x} = \sum_{a \in A} f_a(\mathbf{x})a</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=3rd |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Science+Business Media |publication-place=Cham |date=2015 |isbn=978-3-319-11079-0}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last1=Narici |first1=Lawrence |last2=Beckenstein |first2=Edward |title=Topological Vector Spaces |edition=2nd |publisher=CRC Press |publication-place=Boca Raton, FL |date=2011 |isbn=978-1584888666}} * {{Citation |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |publication-place=New York |date=1991 |isbn=0-07-054236-8}} * {{Citation |last=Tu |first=Loring W. |title=An Introduction to Manifolds |edition=2nd |series=Universitext |publisher=Springer Science+Business Media |publication-place=New York |date=2011 |isbn=978-0-8218-4419-9}} [[Category:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] ri1hrv2zzykteawtc5wt66g9s5ftl66 0 291914 1060950 1055364 2026-11-01T01:07:20Z Mkant00 135890 1060950 wikitext text/x-wiki နာဗီယေး-စတုတ် [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (Navier–Stokes equations) သည် [[စေးပျစ်ဆ|စေးပျစ်သော]] အရည်များ (viscous fluids) အတွက် [[အဟုန်]] မျှခြေ (momentum balance) ကို [[သင်္ချာ|သင်္ချာနည်းကျ]] ဖော်ပြသည်။ ဤစနစ် (system) သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ (spatial) ဒိုမိန်း (domain) <math>\Omega \subset \mathbb{R}^d</math> နှင့် အချိန် အပိုင်းအခြား (time interval) <math>t \in [0, T]</math> အပေါ်ရှိ အရည်[[အလျင်]] [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (fluid velocity vector field) <math>\mathbf{u}</math> နှင့် [[စကေလာ]] (scalar) [[ဖိအား]] စက်ကွင်း (pressure field) <math>p</math> တို့၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (evolution) ကို သတ်မှတ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် <math>d = 2, 3</math> ဖြစ်သည်။ == ယေဘုယျ ကွန်တင်နျူယမ် ညီမျှခြင်းများ (General Continuum Equations) == နာဗီယေး-စတုတ် [[အဟုန်]] ညီမျှခြင်း (Navier–Stokes momentum equation) သည် ကွန်တင်နျူယမ် (continuum) တစ်ခုအတွင်းရှိ မျဉ်းဖြောင့် အဟုန် (linear momentum) တည်မြဲခြင်း (conservation) ကို ဖော်ပြသော [[ကော်ချီ အဟုန် ညီမျှခြင်း]] (Cauchy momentum equation) မှ ဆင်းသက်လာသည်။ စီးကူးမှုဆိုင်ရာ ပုံစံ (convective form) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{g}</math> ဤနေရာတွင် ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ * <math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla</math> သည် [[ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (material derivative) ဖြစ်သည်။ * <math>\rho</math> သည် အရည် [[ဒြပ်ထု]] [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (fluid mass density) ဖြစ်သည်။ * <math>\boldsymbol{\sigma}</math> သည် [[ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ]] (Cauchy stress tensor) ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbf{g}</math> သည် ကိုယ်ထည် [[အရှိန်]] [[ဗက်တာ]] (body acceleration vector) ဖြစ်သည်။ [[ဒြပ်ထု တည်မြဲမှု နိယာမ|ဒြပ်ထု တည်မြဲခြင်း]] (conservation of mass) ကို အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု [[ညီမျှခြင်း]] (continuity equation) မှတစ်ဆင့် သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0</math> အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု ညီမျှခြင်းကို အသုံးချခြင်းဖြင့် ကော်ချီ အဟုန် ညီမျှခြင်း၏ [[တည်မြဲပုံစံ]] (conservative form) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Batchelor (1967), pp. 137, 142.</ref> <math display="block">\frac {\partial}{\partial t} (\rho \mathbf{u}) + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{g}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{u} \otimes \mathbf{u} = \mathbf{u} \mathbf{u}^\mathsf{T}</math> သည် [[အလျင်]] စက်ကွင်း (velocity field) ၏ [[ပြင်ပ မြှောက်လဒ်]] (outer product) ဖြစ်သည်။ == ဖိသိပ်နိုင်သော နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ (Compressible Navier–Stokes Equations) == [[ဂယ်လီလီယို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ]] (Galilean invariant) ရှိပြီး [[အိုင်ဆိုထရိုပီ|အိုင်ဆိုထရိုပစ်]] (isotropic) ဖြစ်သော [[နယူတန်နီယန် အရည်]] (Newtonian fluid) တစ်ခုအတွက် ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) <math>\boldsymbol{\sigma}</math> ကို ထုထည်ဆိုင်ရာ [[ဖိအား]] ကိန်းပိုင်း (volumetric pressure term) နှင့် ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ (rate-of-strain tensor) <math>\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\mathsf{T})</math> အပေါ် မှီခိုသော မျဉ်းဖြောင့် (linear) [[စေးပျစ်ဆ|စေးပျစ်မှု]] ဖိစီးမှု တန်ဆာ (viscous stress tensor) <math>\boldsymbol{\tau}</math> အဖြစ် သီးခြားခွဲထုတ်နိုင်သည်။ <math>\mu</math> ကို ဒိုင်းနမစ် ပွတ်တိုက်မှု စေးပျစ်ဆ (dynamic shear viscosity) ဟု သတ်မှတ်ပြီး <math>\lambda</math> ကို [[ထုထည်စေးပျစ်ဆ|ဒုတိယ စေးပျစ်ဆ]] ကိန်းရှင်ကြားခံ (second viscosity parameter) ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ကို ရရှိသည်။<ref>Chorin & Marsden (1993), p. 33.</ref> <math display="block">\boldsymbol{\sigma} = -p \mathbf{I} + \boldsymbol{\tau} = -p \mathbf{I} + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{u})\mathbf{I} + 2\mu \boldsymbol{\varepsilon} = -p \mathbf{I} + \lambda (\nabla \cdot \mathbf{u})\mathbf{I} + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\mathsf{T} \right)</math>[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာသုံးခု]] (three dimensions) ရှိသော ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ အခြေအနေ <math>d = 3</math> တွင် [[ထုထည်စေးပျစ်ဆ]] (bulk viscosity) <math>\zeta \equiv \lambda + \frac{2}{3}\mu</math> ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းဖြင့် အိုင်ဆိုထရိုပစ် ပြန့်ကားမှု ထရေ့စ် (isotropic expansion trace) ကို သီးခြားခွဲထုတ်နိုင်သည်။<ref>Landau & Lifshitz (1987), pp. 44–45, 196.</ref> <math display="block">\boldsymbol{\sigma} = -\left[ p - \zeta (\nabla\cdot\mathbf{u}) \right] \mathbf{I} + \mu \left[ \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} - \frac{2}{3} (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf{I} \right]</math> [[ကော်ချီ အဟုန် ညီမျှခြင်း|ကော်ချီ ညီမျှခြင်း]] (Cauchy equation) ထဲသို့ <math>\boldsymbol{\sigma}</math> ကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိ ဖိသိပ်နိုင်သော နာဗီယေး-စတုတ် [[အဟုန်]] ညီမျှခြင်း (compressible Navier–Stokes momentum equation) ၏ စီးကူးမှုဆိုင်ရာ ပုံစံ (convective form) ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left( \mu \left[\nabla\mathbf{u} + ( \nabla\mathbf{u} )^\mathsf{T} - \frac{2}{3} (\nabla\cdot\mathbf{u})\mathbf{I}\right] \right) + \nabla[\zeta (\nabla\cdot\mathbf{u})] + \rho\mathbf{g}</math> စတုတ်၏ အဆိုပြုယူဆချက် (Stokes' hypothesis) ကို ယူဆပါက <math>\zeta = 0</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဒိုင်းနမစ် (dynamic) <math>\mu</math> နှင့် ထုထည် (bulk) <math>\zeta</math> စေးပျစ်ဆများ (viscosities) နှစ်ခုစလုံးသည် ရပ်ဝန်းတစ်လျှောက် တစ်ပြေးညီ (spatially uniform) ဖြစ်ပါက ညီမျှခြင်းသည် အောက်ပါအတိုင်း ရှင်းလင်းသွားသည်။ <math display="block">\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \left(\frac{1}{3} \mu + \zeta\right) \nabla (\nabla\cdot\mathbf{u}) + \rho\mathbf{g}</math> == ဖိသိပ်၍မရသော နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ (Incompressible Navier–Stokes Equations) == တစ်ပြေးညီဖြစ်သော (homogeneous) နှင့် ဖိသိပ်၍မရသော အရည် (incompressible fluid) တစ်ခုအတွက် [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (density) <math>\rho</math> သည် ကိန်းသေ (constant) ဖြစ်ပြီး စီးဆင်းမှု (flow) သည် ထုထည်မပြောင်းလဲသော (isochoric) သဘောသဘာဝရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math> ဖြစ်သည်။ [[ဒြပ်ထု]] အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု [[ညီမျှခြင်း]] (mass continuity equation) သည် <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math> သို့ လျော့ကျသွားသည်။ ရပ်ဝန်းတစ်လျှောက် တစ်ပြေးညီဖြစ်သော (spatially uniform) ဒိုင်းနမစ် [[စေးပျစ်ဆ]] (dynamic viscosity) ရှိသည်ဟု ယူဆခြင်းဖြင့် စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာ (viscous stress tensor) <math>\boldsymbol{\tau}</math> ၏ [[ဖြာထွက်မှု အော်ပရေတာ|ဖြာထွက်မှု]] (divergence) သည် [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|ဗက်တာ လာပလေ့ဆီယန်]] (vector Laplacian) သို့ စုစည်းသွားသည်။<ref>Acheson (1990).</ref> <math display="block">\nabla \cdot \boldsymbol{\tau} = \mu \nabla \cdot \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} \right) = \mu \nabla^2 \mathbf{u}</math> ကိုင်နီမက်တစ် စေးပျစ်ဆ (kinematic viscosity) ကို <math>\nu = \frac{\mu}{\rho}</math> အဖြစ်နှင့် ကိုယ်ထည် [[အရှိန်]] (body acceleration) ကို <math>\mathbf{g}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖိသိပ်၍မရသော နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်း (incompressible Navier–Stokes equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{g}</math> [[အဟုန်]] ညီမျှခြင်း (momentum equation) အပေါ်သို့ [[ဖြာထွက်မှု အော်ပရေတာ]] (divergence operator) ကို အသုံးချခြင်းဖြင့် [[ဖိအား]] စက်ကွင်း (pressure field) ကို ထိန်းချုပ်သော [[ပွာဆွန်း ညီမျှခြင်း]] (Poisson equation) ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\nabla^2 p = - \rho \nabla \cdot \left( (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \right) + \rho \nabla \cdot \mathbf{g} = - \rho \frac{\partial u_i}{\partial x_k}\frac{\partial u_k}{\partial x_i} + \rho \nabla \cdot \mathbf{g}</math> သင့်လျော်သော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဒိုမိန်း တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (domain topology) နှင့် နယ်နိမိတ် အခြေအနေများ (boundary conditions) ရှိသည်ဟု ယူဆခြင်းဖြင့် ဟဲလ်မ်ဟို့တ်ဇ် သီအိုရမ် (Helmholtz theorem) အရ ဖိသိပ်၍မရသော အဟုန် ညီမျှခြင်း (incompressible momentum equation) ကို [[ဆိုလီနွိုက်ဒယ်]] (solenoidal) နှင့် လည်ပတ်မှုမဲ့ (irrotational) ပရိုဂျက်ရှင်းများ (projections) အဖြစ် သီးခြားခွဲထုတ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို အသီးသီး <math>\Pi^S</math> နှင့် <math>\Pi^I</math> ဟု သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} = \Pi^S\left(-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nu\nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{g}\right)</math> <math display="block">\frac{1}{\rho}\nabla p = \Pi^I\left(-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nu\nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{g}\right)</math> == အားနည်းသော ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ ရပ်ဝန်းများ (Weak Formulation & Discrete Spaces) == === အားကောင်းသော ပုံစံ (Strong Form) === အသီးသီးပေးထားသော ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး (Dirichlet) နှင့် နွိုင်းမန်း အခြေအနေများ (Neumann conditions) ကို လိုက်နာသည့် နယ်နိမိတ် (boundary) <math>\partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N</math> ပါဝင်သော ဒိုမိန်း (domain) <math>\Omega \subset \mathbb{R}^d</math> တစ်ခုကို စဉ်းစားပါ။ ဤနေရာတွင် <math>\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset</math> ဖြစ်သည်။ အားကောင်းသော နယ်နိမိတ် တန်ဖိုး ပြဿနာ (strong boundary value problem) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Quarteroni (2014).</ref> <math display="block">\begin{cases} \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} - \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \nabla p = \rho\mathbf{g} & \text{ in } \Omega \times (0, T) \\ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 & \text{ in } \Omega \times (0, T) \\ \mathbf{u} = \mathbf{u}_D & \text{ on } \Gamma_D \times (0, T) \\ \left( -p \mathbf{I} + \mu \left( \nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\mathsf{T} \right) \right) \hat{\mathbf{n}} = \mathbf{h} & \text{ on } \Gamma_N \times (0, T) \\ \mathbf{u}(\mathbf{x}, 0) = \mathbf{u}_0(\mathbf{x}) & \text{ in } \Omega \end{cases}</math> === အားနည်းသော ပုံစံ (Weak Form) === [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်းများ]] (Sobolev spaces) ကို အသုံးပြု၍ [[အလျင်]] စမ်းသပ် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (velocity test functions) <math>V</math> နှင့် [[ဖိအား]] (pressure) <math>Q</math> တို့အတွက် ဖန်ရှင်နယ် ရပ်ဝန်းများ (functional spaces) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">V = \left\{ \mathbf{v} \in \left[H^1(\Omega)\right]^d : \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ on } \Gamma_D \right\}, \quad Q = L^2(\Omega)</math> ဤနေရာတွင် <math>|\Gamma_N| > 0</math> ဖြစ်သည့်အခါ <math>Q = L^2(\Omega)</math> သည် တရားဝင်သည်။ သီးသန့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး နယ်နိမိတ် (<math>\Gamma_N = \emptyset</math>) ဖြစ်ပါက ဖိအားကို ကိန်းသေတစ်ခုအထိသာ သတ်မှတ်နိုင်သဖြင့် <math>Q = L^2_0(\Omega)</math> ဟု သတ်မှတ်ရမည်ဖြစ်ပြီး လိုက်လျောညီထွေမှု အခြေအနေ <math>\int_{\partial\Omega} \mathbf{u}_D \cdot \hat{\mathbf{n}} \, \mathrm{d}s = 0</math> လိုအပ်သည်။ [[အဟုန်]] ညီမျှခြင်း (momentum equation) ကို စမ်းသပ် ဖန်ရှင် (test function) <math>\mathbf{v} \in V</math> ဖြင့် မြှောက်ပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု [[ညီမျှခြင်း]] (continuity equation) ကို <math>q \in Q</math> ဖြင့် မြှောက်ကာ <math>\Omega</math> အပေါ်တွင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အပိုင်းလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integrating by parts) ဖြင့် အားနည်းသော ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (weak formulation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Quarteroni (2014).</ref> :အောက်ပါအခြေအနေကို ပြေလည်စေသော ထရေ့စ် (trace) <math>\mathbf{u}|_{\Gamma_D} = \mathbf{u}_D</math> ပါရှိသည့် <math>\mathbf{u} \in L^2 (0, T; [H^1(\Omega)]^d) \cap C^0([0, T]; [L^2(\Omega)]^d)</math> နှင့် <math>p \in L^2(0, T; Q)</math> ကို ရှာဖွေပါ။ မူလအခြေအနေ (initial condition) မှာ <math>\mathbf{u}(\mathbf{x}, 0) = \mathbf{u}_0(\mathbf{x})</math> ဖြစ်ပြီး အချိန် <math>t \in (0, T)</math> နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ရမည်။ <math display="block">\begin{cases} \int_\Omega \rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \cdot \mathbf{v} + \int_\Omega \mu \left( \nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\mathsf{T} \right) : \nabla \mathbf{v} + \int_\Omega \rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} - \int_\Omega p (\nabla \cdot \mathbf{v}) = \int_\Omega \rho\mathbf{g} \cdot \mathbf{v} + \int_{\Gamma_N} \mathbf{h} \cdot \mathbf{v} \quad \forall \mathbf{v} \in V \\ \int_\Omega q (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 0 \quad \forall q \in Q \end{cases}</math> === တစ်ပိုင်းတစ်စ အလျင် (Discrete Velocity) === ဖြာထွက်မှုကင်းစင်သော [[အခြေအစု]] [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (divergence-free basis functions) <math>\mathbf{w}_i</math> ဖြင့် အဆုံးရှိ အစိတ်အပိုင်း တစ်ပိုင်းတစ်စအသွင်ပြောင်းခြင်း (finite element discretization) ကို အသုံးပြု၍ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (discrete formulation) သည် [[အလျင်]] စက်ကွင်းကို <math>\mathbf{u}_h(\mathbf{x}, t) = \sum_j u_j(t) \mathbf{w}_j(\mathbf{x})</math> အဖြစ် သီးခြားခွဲထုတ်သည်။ အခြေအစု ဖန်ရှင်များသည် နယ်နိမိတ်တစ်ခုလုံးပေါ်၌ သုညဖြစ်သွားသဖြင့် (<math>\mathbf{w}_j|_{\partial\Omega} = \mathbf{0}</math>) ဤဖွဲ့စည်းမှုသည် တစ်ပြေးညီ အလျင်နယ်နိမိတ် အချက်အလက် (<math>\mathbf{u}_D = \mathbf{0}</math>) ကို ရည်ညွှန်းသည်။<ref>Holdeman (2010), pp. 376–408.</ref> အခြေအစု ဖန်ရှင် <math>\mathbf{w}_i</math> တိုင်းအတွက် [[ညီမျှခြင်း]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\left( \mathbf{w}_i, \frac{\partial\mathbf{u}_h}{\partial t} \right) + \nu \left( \nabla\mathbf{w}_i : \nabla\mathbf{u}_h \right) + \left( \mathbf{w}_i, (\mathbf{u}_h \cdot \nabla)\mathbf{u}_h \right) = \left( \mathbf{w}_i, \mathbf{g} \right)</math> ဤနေရာတွင် <math>(\cdot, \cdot)</math> သည် စံ (standard) <math>L^2(\Omega)</math> [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ [[စကေလာ]] အာမစ် အစိတ်အပိုင်းများ (scalar Hermite elements) နှင့် လည်ပတ်မှုမဲ့ စမ်းသပ် ဖန်ရှင်များ (irrotational test functions) ကို အသုံးပြုသော ဒုတိယအဆင့် ပရိုဂျက်ရှင်း (secondary projection) မှတစ်ဆင့် [[ဖိအား]]ကို အစဉ်လိုက် ပြန်လည်ရယူနိုင်သည် (sequentially recovered)။ == အထောက်အကူပြု သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုများ (Auxiliary Mathematical Formulations) == === အီနားရှားမဲ့ ရည်ညွှန်း ဖရိန် (Non-Inertial Frame of Reference) === [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာသုံးခု]] (three dimensions) ရှိသော အခြေအနေ <math>d = 3</math> တွင် အီနားရှား ရည်ညွှန်းချက် (inertial reference) အပေါ် အခြေခံ၍ [[အလျင်]] (velocity) <math>\mathbf{U}(t)</math> ဖြင့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းနေသော (translating) နှင့် ထောင့်အလျင် (angular velocity) <math>\mathbf{\Omega}(t)</math> ဖြင့် လည်ပတ်နေသော (rotating) အီနားရှားမဲ့ ဖရိန် (non-inertial frame) တစ်ခုအတွက် ဆူဒို-အရှိန်များ (pseudo-accelerations) သည် [[ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (material derivative) ကို ပြုပြင်ပြောင်းလဲပေးသည်။ ၎င်းတို့မှာ ကော်ရီယိုလစ် (Coriolis)၊ [[ဗဟိုခွာအား|ဗဟိုခွာ]] (centrifugal)၊ ကန့်လန့်ဖြတ် (transverse) နှင့် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translational) ဆူဒို-အရှိန်များ ဖြစ်ကြသည်။ <math display="block">\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \right) = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{g} - \rho \left[ 2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u} + \mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{x}) + \frac{\mathrm{d} \mathbf{\Omega}}{\mathrm{d} t}\times\mathbf{x} + \frac{\mathrm{d} \mathbf{U}}{\mathrm{d} t} \right]</math> === ဖိသိပ်၍မရသော 2D အရည်အတွက် စီးကြောင်း ဖန်ရှင် (Stream Function for Incompressible 2D Fluid) === တည်မြဲမှုမရှိသော ကိုယ်ထည် အားများ (non-conservative body forces) မရှိသည့် အခြေအနေတွင် 2D ဖိသိပ်၍မရသော ကာတီးရှန်း [[အဟုန်]] [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (incompressible Cartesian momentum equations) ၏ ကာလ် (curl) ကို တွက်ချက်ခြင်းဖြင့် [[ဖိအား]] ဂရေးဒီးယင့် (pressure gradient) ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\nabla \times \mathbf{g} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်သည်။ စီးကြောင်း [[ဖန်ရှင်]] (stream function) <math>\psi</math> ကို <math>u_x = \partial_y \psi</math> နှင့် <math>u_y = -\partial_x \psi</math> ဖြစ်ရန် သတ်မှတ်ခြင်းသည် <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math> ကို အပြည့်အဝ ပြေလည်စေသည် (identically satisfies)။ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ် (simply connected domain) ပေါ်တွင် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းရှိသော စီးကြောင်းဖန်ရှင် တည်ရှိသဖြင့် အပြည့်အဝ နာဗီယေး-စတုတ် စနစ် (Navier–Stokes system) သည် ဘိုင်ဟာမိုနစ် အော်ပရေတာ (biharmonic operator) <math>\nabla^4</math> နှင့် [[ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံနှင့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး|ဂျေးကိုဘီယန် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Jacobian determinant) ပါဝင်သော စတုတ္ထအဆင့် (fourth-order) [[စကေလာ]] [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (scalar partial differential equation) သို့ လျော့ကျသွားသည်။ <math display="block">\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla^2 \psi\right) + \frac{\partial\left(\psi, \nabla^2\psi \right)}{\partial(y,x)} = \nu \nabla^4 \psi</math> == [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Coordinate Representations) == === ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (Cartesian Coordinates) === သက်ဆိုင်ရာ [[အလျင်]] စက်ကွင်း (velocity field) <math>\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)</math> နှင့် ကိုယ်ထည် အားများ (body forces) <math>\mathbf{g} = (g_x, g_y, g_z)</math> ပါဝင်ပြီး ကိန်းရှင်များ (variables) <math>(x, y, z)</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသော ဖိသိပ်၍မရသော စီးဆင်းမှု (incompressible flow) တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \rho \left( \partial_t u_x + u_x \partial_x u_x + u_y \partial_y u_x + u_z \partial_z u_x \right) &= -\partial_x p + \mu \left( \partial_x^2 u_x + \partial_y^2 u_x + \partial_z^2 u_x \right) + \rho g_x \\ \rho \left( \partial_t u_y + u_x \partial_x u_y + u_y \partial_y u_y + u_z \partial_z u_y \right) &= -\partial_y p + \mu \left( \partial_x^2 u_y + \partial_y^2 u_y + \partial_z^2 u_y \right) + \rho g_y \\ \rho \left( \partial_t u_z + u_x \partial_x u_z + u_y \partial_y u_z + u_z \partial_z u_z \right) &= -\partial_z p + \mu \left( \partial_x^2 u_z + \partial_y^2 u_z + \partial_z^2 u_z \right) + \rho g_z \\ \partial_x u_x + \partial_y u_y + \partial_z u_z &= 0 \end{align}</math> === ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (Cylindrical Coordinates) === [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (coordinates) <math>(r, \varphi, z)</math> နှင့် တွဲဖက် [[အလျင်]] အစိတ်အပိုင်းများ (associated velocity components) <math>(u_r, u_\varphi, u_z)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \rho \left( \partial_t u_r + u_r \partial_r u_r + \frac{u_\varphi}{r} \partial_\varphi u_r + u_z \partial_z u_r - \frac{u_\varphi^2}{r} \right) &= -\partial_r p + \mu \left( \partial_r^2 u_r + \frac{1}{r}\partial_r u_r - \frac{u_r}{r^2} + \frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2 u_r - \frac{2}{r^2}\partial_\varphi u_\varphi + \partial_z^2 u_r \right) + \rho g_r \\ \rho \left( \partial_t u_\varphi + u_r \partial_r u_\varphi + \frac{u_\varphi}{r} \partial_\varphi u_\varphi + u_z \partial_z u_\varphi + \frac{u_r u_\varphi}{r} \right) &= -\frac{1}{r}\partial_\varphi p + \mu \left( \partial_r^2 u_\varphi + \frac{1}{r}\partial_r u_\varphi - \frac{u_\varphi}{r^2} + \frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2 u_\varphi + \frac{2}{r^2}\partial_\varphi u_r + \partial_z^2 u_\varphi \right) + \rho g_\varphi \\ \rho \left( \partial_t u_z + u_r \partial_r u_z + \frac{u_\varphi}{r} \partial_\varphi u_z + u_z \partial_z u_z \right) &= -\partial_z p + \mu \left( \partial_r^2 u_z + \frac{1}{r}\partial_r u_z + \frac{1}{r^2}\partial_\varphi^2 u_z + \partial_z^2 u_z \right) + \rho g_z \\ \frac{1}{r} \partial_r (r u_r) + \frac{1}{r} \partial_\varphi u_\varphi + \partial_z u_z &= 0 \end{align}</math> === စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ (Spherical Coordinates) === [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ]] (spherical coordinates) <math>(r, \varphi, \theta)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\theta</math> သည် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (polar angle) ဖြစ်ပြီး <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \rho \left( \partial_t u_r + u_r \partial_r u_r + \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} \partial_\varphi u_r + \frac{u_\theta}{r} \partial_\theta u_r - \frac{u_\varphi^2 + u_\theta^2}{r} \right) &= -\partial_r p + \mu \left( \nabla^2 u_r - 2\frac{u_r + \partial_\theta u_\theta + u_\theta \cot\theta}{r^2} - \frac{2}{r^2 \sin\theta} \partial_\varphi u_\varphi \right) + \rho g_r \\ \rho \left( \partial_t u_\varphi + u_r \partial_r u_\varphi + \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} \partial_\varphi u_\varphi + \frac{u_\theta}{r} \partial_\theta u_\varphi + \frac{u_r u_\varphi + u_\varphi u_\theta \cot\theta}{r} \right) &= -\frac{1}{r \sin\theta} \partial_\varphi p + \mu \left( \nabla^2 u_\varphi + \frac{2 \sin\theta \partial_\varphi u_r + 2 \cos\theta \partial_\varphi u_\theta - u_\varphi}{r^2 \sin^2\theta} \right) + \rho g_\varphi \\ \rho \left( \partial_t u_\theta + u_r \partial_r u_\theta + \frac{u_\varphi}{r \sin\theta} \partial_\varphi u_\theta + \frac{u_\theta}{r} \partial_\theta u_\theta + \frac{u_r u_\theta - u_\varphi^2 \cot\theta}{r} \right) &= -\frac{1}{r} \partial_\theta p + \mu \left( \nabla^2 u_\theta + \frac{2}{r^2} \partial_\theta u_r - \frac{u_\theta + 2 \cos\theta \partial_\varphi u_\varphi}{r^2 \sin^2\theta} \right) + \rho g_\theta \\ \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 u_r) + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\varphi u_\varphi + \frac{1}{r \sin\theta} \partial_\theta (u_\theta \sin\theta) &= 0 \end{align}</math> ဤနေရာတွင် <math>\nabla^2</math> သည် စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များအတွက် သင့်လျော်စွာ [[စကေလာ]] ပမာဏ (scalar quantity) တစ်ခုအပေါ် သက်ရောက်သည်။ == တိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေများ (Exact Mathematical Solutions) == === အခြေအနေမပြောင်းလဲသော ဟော့ဖ်ဖိုက်ဘာဖွဲ့စည်းခြင်း ဝဲ (Steady-State Hopf Fibration Vortex) === ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများ (singularities) ကင်းစင်သော အခြေအနေမပြောင်းလဲသော အဖြေ (steady-state solution) တစ်ခုသည် ကိုယ်ထည်အား ကင်းစင်ပြီး (<math>\mathbf{g} = \mathbf{0}</math>)၊ ခွေ အတွင်းပိုင်း အချင်းဝက် (inner coil radius) <math>R > 0</math> ရှိသည့် [[ဟော့ဖ်ဖိုက်ဘာဖွဲ့စည်းခြင်း]] (Hopf fibration) ကွင်းပိတ် (loop) ဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ပွတ်တိုက်မှုကင်းသည့် [[စုဆုံမှတ်|အွိုင်လာ စုဆုံမှတ်]] (Euler limit) တွင်ရှိသော ဖိသိပ်နိုင်သော စီးဆင်းမှုကို (compressible flow) မော်ဒယ်ပြုလုပ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\mu = 0</math> ဖြစ်သည်။ ယင်းသည် အပေါင်း [[ဒြပ်ထု]] [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (positive mass density) ကို သေချာစေသည့် အလိုရှိရာ ကိန်းသေများ (arbitrary constants) <math>A</math> နှင့် <math>B > 0</math> အတွက် သိပ်သည်းဆ (density) <math>\rho</math> ၊ [[ဖိအား]] (pressure) <math>p</math> နှင့် [[အလျင်]] စက်ကွင်း (velocity field) <math>\mathbf{u}</math> တို့ကို အောက်ပါအတိုင်း ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် ဖော်ပြသည် (parameterized)။<ref>Kamchatnov (1982), p. 69.</ref> ဤအဖြေသည် ဒြပ်ထုနှင့် [[အဟုန်]] ညီမျှခြင်းများကို [[သင်္ချာ|သင်္ချာနည်းအရ]] ပြေလည်စေသော်လည်း <math>p \propto -\rho^3</math> ဖြစ်သောကြောင့် စံ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အပူစွမ်းအင်ဓာတ်ငွေ့ အခြေအနေညီမျှခြင်းကို ကိုယ်စားမပြုပါ။ <math display="block">\begin{align} \rho(x, y, z) &= \frac{3B}{R^2 + x^2 + y^2 + z^2} \\ p(x, y, z) &= \frac{-A^2B}{\left(R^2 + x^2 + y^2 + z^2\right)^3} \\ \mathbf{u}(x, y, z) &= \frac{A}{\left(R^2 + x^2 + y^2 + z^2\right)^2} \begin{pmatrix} 2(-Ry + xz) \\ 2(Rx + yz) \\ R^2 - x^2 - y^2 + z^2 \end{pmatrix} \end{align}</math> === စေးပျစ်သော 3D ကာလမှန် အဖြေများ (Viscous 3D Periodic Solutions) === [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ]] မုန့်လက်ကောက် (topological torus) <math>\mathbb{T}^3 = \mathbb{R}^3 / (L\mathbb{Z}^3)</math> ပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော သုံး-ကာလမှန် (tri-periodic) ဖြစ်သည့် အပြည့်အဝ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော]] (three-dimensional) တိကျသော အဖြေများ (exact solutions) သည် ဘယ်လ်ထရာမီ စီးဆင်းမှုများ (Beltrami flows) အတွက် တည်ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် ဒိုမိန်း ကာလ (domain period) မှာ <math>L > 0</math> ဖြစ်သည်။<ref>Antuono (2020).</ref> လှိုင်းကိန်း (wave number) <math>k = 2\pi/L</math> နှင့် <math>U_0^2/2</math> သို့ စံသတ်မှတ်ထားသော (normalized) မူလ ထုထည်ပျမ်းမျှ တစ်ယူနစ်ဒြပ်ထုဆိုင်ရာ [[အရွေ့စွမ်းအင်]] (initial volume-averaged kinetic energy per unit mass) တို့ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည့် အပေါင်း ရစ်ခွေမှု (positive-helicity) လျော့ကျခြင်း စက်ကွင်း (decay field) ကို အောက်ပါအတိုင်း ကန့်သတ်ထားသည်။ <math display="block">\begin{align} u_x &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} U_0 \left[ \sin\left(kx - \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(ky + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kz + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(kz - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kx + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(ky + \frac{\pi}{2}\right) \right] e^{-3\nu k^2 t} \\ u_y &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} U_0 \left[ \sin\left(ky - \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(kz + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kx + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(kx - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(ky + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kz + \frac{\pi}{2}\right) \right] e^{-3\nu k^2 t} \\ u_z &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} U_0 \left[ \sin\left(kz - \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(kx + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(ky + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(ky - \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kz + \frac{\pi}{3}\right) \sin\left(kx + \frac{\pi}{2}\right) \right] e^{-3\nu k^2 t} \end{align}</math> [[ဖိအား]]သည် ရည်ညွှန်း သိပ်သည်းဆ (reference density) ဖြင့် အချိုးချပြောင်းလဲထားသော (scaled) လျော့ကျခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ထင်ဟပ်သည်။ <math>p = p_0 - \rho_0 \|\mathbf{u}\|^2/2</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Acheson |first=D. J. |title=Elementary Fluid Dynamics |series=Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series |publisher=Oxford University Press |publication-place=Oxford |year=1990 |isbn=978-0-19-859679-0 |mr=1071154 |zbl=0716.76001}} * {{Citation |last=Antuono |first=M. |title=Tri-periodic fully three-dimensional analytic solutions for the Navier–Stokes equations |journal=Journal of Fluid Mechanics |volume=890 |page=A16 |year=2020 |doi=10.1017/jfm.2020.126}} * {{Citation |last=Batchelor |first=G. K. |title=An Introduction to Fluid Dynamics |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |year=1967 |isbn=978-0-521-66396-0 |mr=1744638 |zbl=0152.44402}} * {{Citation |last1=Chorin |first1=Alexandre J. |last2=Marsden |first2=Jerrold E. |title=A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics |edition=3rd |series=Texts in Applied Mathematics |volume=4 |publisher=Springer-Verlag |publication-place=New York |year=1993 |isbn=978-0-387-97918-2 |doi=10.1007/978-1-4612-0883-9 |mr=1218879 |zbl=0774.76001}} * {{Citation |last=Holdeman |first=J. T. |title=A Hermite finite element method for incompressible fluid flow |journal=International Journal for Numerical Methods in Fluids |volume=64 |issue=4 |pages=376–408 |year=2010 |doi=10.1002/fld.2154}} * {{Citation |last=Kamchatnov |first=A. M. |title=Topological solitons in magnetohydrodynamics |journal=Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics |volume=55 |issue=1 |pages=69–73 |year=1982}} * {{Citation |last1=Landau |first1=L. D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |title=Fluid Mechanics |series=Course of Theoretical Physics |volume=6 |edition=2nd |publisher=Pergamon Press |publication-place=Oxford |year=1987 |isbn=978-0-08-033932-0 |mr=0916322}} * {{Citation |last=Quarteroni |first=Alfio |title=Numerical Models for Differential Problems |edition=2nd |series=MS&A – Modeling, Simulation and Applications |volume=8 |publisher=Springer |publication-place=Milan |year=2014 |isbn=978-88-470-5522-3 |doi=10.1007/978-88-470-5522-3 |mr=3183828 |zbl=1285.65054}} [[ကဏ္ဍ:ဂန္ထဝင် မက္ကင်းနစ်]] [[ကဏ္ဍ:အေရိုဒိုင်းနမစ်]] [[ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ ညီမျှခြင်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] bag0uykm5gt1mf8itrr4ju9e0jya81v 0 291926 1060939 1054427 2026-11-01T00:30:44Z Mkant00 135890 1060939 wikitext text/x-wiki လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) သို့မဟုတ် လာပလေ့ဆီယန် (Laplacian) သည် [[စကေလာစက်ကွင်း]] (scalar field) တစ်ခု၏ [[ဂရေးဒီးယင့်]] (gradient) မှ ဖြာထွက်မှု (divergence) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ဒုတိယအဆင့် (second-order) [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] အော်ပရေတာ (differential operator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို <math>\Delta</math>, <math>\nabla^2</math> သို့မဟုတ် <math>\nabla\cdot\nabla</math> ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == <math>f</math> သည် [[အစု|အဖွင့်စု]] (open set) <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> အပေါ်ရှိ နှစ်ကြိမ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] ရှာ၍ရသော [[ကိန်းစစ်]] တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real-valued function) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ (Laplace operator) သည် <math>k \ge 2</math> အတွက် <math>C^k(\Omega)</math> မှ <math>C^{k-2}(\Omega)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\Delta f = \nabla \cdot \nabla f</math> <math>\mathbb{R}^n</math> အတွက် စံ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ]] (Cartesian coordinates) <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> တွင် လာပလေ့ဆီယန်သည် ဟက်ရှန် [[ကိန်းအုံ]] (Hessian matrix) ၏ [[ထရေ့စ်]] (trace) ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math> == လက္ခဏာ သတ်မှတ်ချက်များ (Sign Conventions) == သင်္ချာစာပေများတွင် စံ လက္ခဏာ သတ်မှတ်ချက်နှစ်ခု တည်ရှိသည်။ * '''အနုတ်-ဆီမီး-တိကျ (Negative Semidefinite)''' <math>\Delta = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math> ဖြစ်သည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်အရ ချောမွေ့၍ ကျစ်လျစ်စွာ အထောက်အပံ့ပြုသော [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (compactly supported functions) အတွက် <math>\int_{\mathbb{R}^n}\overline{\varphi(x)}\,\Delta\varphi(x)\,dx = -\int_{\mathbb{R}^n} |\nabla \varphi(x)|^2\,dx</math> ရရှိသည်။ * '''အပေါင်း-ဆီမီး-တိကျ (Positive Semidefinite)''' <math>\Delta = -\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် [[အနုတ်ကိန်း]] မဟုတ်သော အော်ပရေတာတစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ အခြားနည်းဖြင့် သတ်မှတ်မထားပါက ဤဆောင်းပါးသည် အနုတ်-ဆီမီး-တိကျသော သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုထားသည်။ == ကိုဩဒိနိတ်ဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များ (Coordinate Expressions) == === အတိုင်းအတာနှစ်ခုနှင့် သုံးခုရှိသော ထောင့်မှန်ကျ ကိုဩဒိနိတ်များ (Orthogonal Coordinates in 2D and 3D) === အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ဝင်ရိုးစွန်း [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (polar coordinates) <math>(r, \theta)</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}</math> အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (cylindrical coordinates) <math>(\rho, \varphi, z)</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math> <math>\theta</math> သည် ဇင်းနစ်ထောင့် (zenith angle) ဖြစ်ပြီး <math>\varphi</math> သည် အဇီမုသယ်ထောင့် (azimuthal angle) ဖြစ်သော အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသည့် စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ (spherical coordinates) <math>(r, \theta, \varphi)</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}</math> === <math>N</math>-တိုင်းတာမှုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းမှု (<math>N</math>-dimensional Spherical Decomposition) === <math>\mathbb{R}^N</math> တွင် <math>r = |x| > 0</math> နှင့် <math>\omega \in S^{N-1}</math> အတွက် <math>x = r\omega</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် လာပလေ့ဆီယန်သည် အချင်းဝက်ဆိုင်ရာနှင့် ထောင့်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် ကွဲထွက်သွားသည်။ :<math>\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\Delta_{S^{N-1}}f</math> ဤနေရာတွင် <math>\Delta_{S^{N-1}}</math> သည် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (unit sphere) <math>S^{N-1}</math> ပေါ်ရှိ လာပလေ့စ်-ဘယ်လ်ထရာမီ အော်ပရေတာ (Laplace-Beltrami operator) ဖြစ်သည်။ === မျဉ်းကွေးပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (Curvilinear Coordinates) === ရီးမန်း မက်ထရစ် တန်ဆာ (Riemannian metric tensor) <math>g_{ij}</math>, ပြောင်းပြန် မက်ထရစ် (inverse metric) <math>g^{ij}</math> နှင့် [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) <math>|g| = \det(g_{ij})</math> တို့ တပ်ဆင်ထားသော အလိုရှိရာ မျဉ်းကွေးပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (curvilinear coordinates) <math>(\xi^1,\dots,\xi^N)</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = \frac{1}{\sqrt{|g|}} \frac{\partial}{\partial \xi^i} \left( \sqrt{|g|}\,g^{ij}\frac{\partial f}{\partial \xi^j} \right)</math> တူညီသော အဓိပ္ပာယ်အနေဖြင့် ခရစ္စတိုဖယ် သင်္ကေတများ (Christoffel symbols) <math>\Gamma^k_{ij}</math> နှင့် အိုင်းစတိုင်း ပေါင်းခြင်း သတ်မှတ်ချက် (Einstein summation convention) ကို အသုံးပြုပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta f = g^{ij} \left(\frac{\partial^2 f}{\partial\xi^i \, \partial\xi^j} - \Gamma^{k}_{ij}\frac{\partial f}{\partial\xi^k} \right)</math> == အဓိက ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် အော်ပရေတာ သီအိုရီ (Core Properties & Operator Theory) == === မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု နှင့် အဲလစ်ပတစ်ဖြစ်မှု (Linearity and Ellipticity) === လာပလေ့ဆီယန်သည် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta(af+bg) = a\,\Delta f+b\,\Delta g</math> ၎င်း၏ အဓိက သင်္ကေတ (principal symbol) ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ :<math>\sigma_2(\Delta)(\xi) = -|\xi|^2</math> <math>\xi \ne 0</math> အားလုံးအတွက် <math>\sigma_2(\Delta)(\xi) \ne 0</math> ဖြစ်သောကြောင့် <math>\Delta</math> သည် တိကျစွာ အဲလစ်ပတစ် အော်ပရေတာ (elliptic operator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === ဂရင်း၏ ထပ်တူညီမှုများ နှင့် ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက်ဖြစ်မှု (Green's Identities and Self-Adjointness) === ကန့်သတ်ချက်ရှိသော (bounded) <math>C^1</math> ဒိုမိန်း (domain) <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> နှင့် <math>u,v\in C^2(\bar\Omega)</math> တို့အတွက် ဂရင်း၏ ပထမ ထပ်တူညီမှု (Green's first identity) က အောက်ပါအတိုင်း ရရှိစေသည်။ :<math>\int_\Omega u\,\Delta v\,dx = -\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v\,dx + \int_{\partial\Omega} u\,\frac{\partial v}{\partial \nu}\,dS</math> ဤနေရာတွင် <math>\nu</math> သည် အပြင်ဘက် မူမှန်မျဉ်း (outward normal) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ နယ်နိမိတ် ကိန်းပိုင်းများ ပျောက်ကွယ်သွားပါက ဂရင်း၏ ဒုတိယ ထပ်တူညီမှု (Green's second identity) သည် ပုံစံတကျ (formal) ကိုယ်တိုင်-တွဲဖက်ဖြစ်မှု (self-adjointness) ကိုပြသည်။ :<math>\int_\Omega u\,\Delta v\,dx = \int_\Omega v\,\Delta u\,dx</math> === ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး စွမ်းအင် အနည်းဆုံးဖြစ်အောင်ညှိခြင်း (Dirichlet Energy Minimization) === လာပလေ့ဆီယန်သည် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး စွမ်းအင် ဖန်ရှင်နယ် (Dirichlet energy functional) ၏ ငြိမ်နေသော အမှတ်များ (stationary points) ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။ :<math>E(f) = \frac{1}{2} \int_\Omega |\nabla f|^2 \,dx</math> ပြောင်းလဲမှုဆိုင်ရာ [[ကဲကုလပ်]] (calculus of variations) အရ [[ဖန်ရှင်]] (function) <math>f</math> သည် သတ်မှတ်ထားသော ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး နယ်နိမိတ် အခြေအနေများ (Dirichlet boundary conditions) အောက်တွင် <math>E(f)</math> ကို အနည်းဆုံးဖြစ်စေရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\Omega</math> ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ၌ <math>\Delta f = 0</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == ရောင်စဉ် သီအိုရီ နှင့် ဖူရီယာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Spectral Theory & Fourier Analysis) == === ဖူရီယာ မြှောက်ကိန်း (Fourier Multiplier) === ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) သတ်မှတ်ချက် <math>\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \xi}\,dx</math> အရ လာပလေ့ဆီယန်သည် ဖူရီယာ မြှောက်ကိန်း (multiplier) တစ်ခုအဖြစ် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံသို့ ပြောင်းလဲသွားသည်။ :<math>\widehat{\Delta f}(\xi) = -4\pi^2 |\xi|^2 \widehat{f}(\xi)</math> === အပူ ဆီမီးအုပ်စု (Heat Semigroup) === လာပလေ့ဆီယန်သည် အားကောင်းစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (strongly continuous) အပူ [[ဆီမီးအုပ်စု]] (heat semigroup) <math>(e^{t\Delta})_{t \ge 0}</math> ကို ထုတ်လုပ်ပေးပြီး အပူ [[ညီမျှခြင်း]] (heat equation) <math>\partial_t u = \Delta u</math> အတွက် အဖြေများ (solutions) ကို ရရှိစေသည်။ <math>\mathbb{R}^n</math> အပေါ်တွင် ၎င်းသည် ယူကလစ် (Euclidean) အပူ ကာနယ်ဖြင့် ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) လုပ်ခြင်းမှတစ်ဆင့် အလုပ်လုပ်သည်။ :<math>e^{t\Delta}f(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Gamma_t(x-y)f(y)\,dy, \qquad \Gamma_t(x) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x|^2/4t}</math> ဤဆီမီးအုပ်စုသည် <math>1 \le p < \infty</math> အတွက် <math>L^p(\mathbb{R}^n)</math> အပေါ် ကျုံ့ဝင်မှုသဘောဖြင့် သက်ရောက်ပြီး မူလ အချက်အလက်များအပေါ် ချက်ချင်း ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ချောမွေ့စေခြင်းကို သက်ရောက်စေသည်။ === ရောင်စဉ် (Spectrum) === <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math> အပေါ်တွင် <math>-\Delta</math> ၏ ရောင်စဉ် (spectrum) သည် သီးသန့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ရောင်စဉ်ဖြစ်ပြီး အပိုင်းအခြား (interval) <math>[0, \infty)</math> ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး (Dirichlet) သို့မဟုတ် နွိုင်းမန်း ကန့်သတ်ချက်များ (Neumann constraints) သက်ရောက်နေသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသော [[အရင်းအမြစ်စု|ဒိုမိန်း]] (bounded domain) <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> အပေါ်တွင် နွိုင်းမန်း အခြေအနေအတွက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် (Lipschitz) ကဲ့သို့သော စံ နယ်နိမိတ် ပုံမှန်ဖြစ်မှုကို ယူဆပါက <math>-\Delta</math> သည် ကျစ်လျစ်သော (compact) ဖြေရှင်းပေးသောကိန်း (resolvent) ကို လက်ခံရရှိသည်။ ၎င်း၏ ရောင်စဉ်သည် လုံးဝ ပိုင်းစသီးခြား (discrete) ဖြစ်ပြီး ဟဲလ်မ်ဟို့တ်ဇ် ညီမျှခြင်း (Helmholtz equation) <math>-\Delta u = \lambda u</math> နှင့် ကိုက်ညီသော [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]] (eigenvalues) ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ :<math>0 \le \lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \to \infty</math> သက်ဆိုင်ရာ ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ (eigenfunctions) သည် <math>L^2(\Omega)</math> အတွက် ထောင့်မှန်ကျယူနစ် [[အခြေအစု]] (orthonormal basis) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Evans |first=L. C. |title=Partial Differential Equations |edition=2nd |publication-place=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=2010 |isbn=978-0-8218-4974-3}} * {{Citation |last=Rosenberg |first=Steven |title=The Laplacian on a Riemannian Manifold |series=London Mathematical Society Student Texts |volume=31 |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1997 |isbn=978-0-521-46831-2}} * {{Citation |last1=Axler |first1=Bourdon |last2=Paul |last3=Ramey |first3=Wade |title=Harmonic Function Theory |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=Springer |date=2001 |isbn=978-0-387-95218-5}} * {{Citation |last1=Courant |first1=Richard |last2=Hilbert |first2=David |title=Methods of Mathematical Physics, Volume I |publication-place=New York |publisher=Wiley-Interscience |date=1962}} * {{Citation |last=Davies |first=E. B. |title=Heat Kernels and Spectral Theory |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1989 |isbn=978-0521361361}} [[Category:ကဲကုလပ်]] 02dqfaheyijp3tii2aj8fzpfqog6imq 0 291927 1060944 1054429 2026-11-01T00:47:07Z Mkant00 135890 1060944 wikitext text/x-wiki <math>\zeta</math>, <math>\mu_\mathrm{b}</math> သို့မဟုတ် <math>\mu_\mathrm{v}</math> ဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသော ထုထည်စေးပျစ်ဆ (volume viscosity) ကို bulk viscosity သို့မဟုတ် second viscosity ဟုလည်း အသိများသည်။ ၎င်းသည် အရည်တစ်ခု၏ အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) ဖိသိပ်ခြင်း သို့မဟုတ် ပြန့်ကားခြင်းကို ခုခံမှုကို သတ်မှတ်ဖော်ပြပေးသော သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး မြှောက်ဖော်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် [[ဒြပ်ထု]]အား အလျားနှင့် အချိန် မြှောက်လဒ်ဖြင့် စားထားသော အတိုင်းအတာ <math>\mathsf{M} \mathsf{L}^{-1} \mathsf{T}^{-1}</math> ရှိပြီး နိုင်ငံတကာစံယူနစ်စနစ်အရ ပက်စကယ်-စက္ကန့် (<math>\mathrm{Pa \cdot s}</math>) ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == ကွန်တင်နျူယမ် မက္ကင်းနစ် (continuum mechanics) တွင် ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) <math>\boldsymbol{\sigma}</math> ၏ ထရေ့စ် (trace) ကို သာမိုဒိုင်းနမစ် [[ဖိအား]] (thermodynamic pressure) <math>P</math> နှင့် အလျင် စက်ကွင်း (velocity field) <math>\nabla \cdot \mathbf{v}</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) အပေါ် တိုက်ရိုက်အချိုးကျသော စေးပျစ်မှုဆိုင်ရာ ထည့်ဝင်ချက်တစ်ခုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြမ်းသည်။ :<math>-\frac{1}{3}\operatorname{Tr}(\boldsymbol{\sigma}) = P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{v})</math> ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ (strain rate tensor) ဟု သတ်မှတ်ထားသော <math>\boldsymbol{\epsilon}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ :<math>\boldsymbol{\epsilon} = \frac{1}{2} \left( \nabla\mathbf{v} + \left(\nabla\mathbf{v}\right)^T \right)</math> ပြန့်ကားမှု (dilation) <math>e</math> ဟုခေါ်သော ပုံပျက်နှုန်း၏ အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) [[စကေလာ]] (scalar) အစိတ်အပိုင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>e = \frac{1}{3} \nabla \cdot \mathbf{v}</math> သီးသန့် သွေဖည်မှုဆိုင်ရာ (deviatoric) သို့မဟုတ် ပွတ်တိုက်မှု (shear) ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ <math>\boldsymbol{\gamma}</math> ကို ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာမှ အိုင်ဆိုထရိုပစ် ပြန့်ကားမှုအား နုတ်ခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{I}</math> သည် ထပ်တူရ တန်ဆာ (identity tensor) ဖြစ်သည်။ :<math>\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\epsilon} - e \mathbf{I}</math> == ဖိသိပ်နိုင်သော နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်း (The Compressible Navier-Stokes Equation) == ပွတ်တိုက်မှု စေးပျစ်ဆ (shear viscosity) <math>\mu</math> နှင့် ထုထည်စေးပျစ်ဆ (volume viscosity) <math>\zeta</math> တို့ ပါဝင်သော ဖိသိပ်နိုင်သည့် နယူတန်နီယန် အရည် (Newtonian fluid) တစ်ခုအတွက် အဟုန် [[ညီမျှခြင်း]] (momentum equation) ကို [[နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ]] (Navier-Stokes equations) အရ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ :<math>\rho \frac{D \mathbf{v}}{Dt} = -\nabla P + \nabla\cdot\left[2\mu\boldsymbol{\gamma}\right] + \nabla\cdot[\zeta(\nabla\cdot \mathbf{v})\mathbf{I}] + \rho \mathbf{g}</math> အထက်ပါညီမျှခြင်းတွင် <math>D\mathbf{v}/Dt</math> သည် [[ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (material derivative) ဖြစ်သည်။ ပြန့်ကားမှု (dilation) [[စကေလာ]] (scalar) <math>e</math> ကို အစားထိုးလိုက်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\rho \frac{D \mathbf{v}}{Dt} = -\nabla (P - 3 \zeta e) + \nabla\cdot ( 2\mu \boldsymbol{\gamma}) + \rho \mathbf{g}</math> == ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော ကန့်သတ်ချက် (The Incompressible Limit) == ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော စီးဆင်းမှု (incompressible flow) တစ်ခုအတွက် အလျင် စက်ကွင်း (velocity field) ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) သည် သုညဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ :<math>\nabla \cdot \mathbf{v} = 0 \implies e = 0</math> ရလဒ်အနေဖြင့် ထုထည်စေးပျစ်ဆ (volume viscosity) ကိန်းပိုင်းသည် ပျောက်ကွယ်သွားသည်။ :<math>\nabla\cdot[\zeta(\nabla\cdot \mathbf{v})\mathbf{I}] = \mathbf{0}</math> ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ (strain rate tensor) သည် သီးသန့် သွေဖည်မှုဆိုင်ရာ (deviatoric) (<math>\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\epsilon}</math>) အဖြစ် ပြောင်းလဲသွားပြီး အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) ဖိစီးမှု (stress) အစိတ်အပိုင်းသည် ဖိသိပ်၍မရနိုင်စွမ်းကို အတင်းအကျပ် သက်ရောက်စေသည့် လာဂေါင့် မြှောက်ကိန်း (Lagrange multiplier) အဖြစ် လုပ်ဆောင်သော [[ဖိအား]] စက်ကွင်း (pressure field) အဖြစ်သို့ လျော့ကျသွားသည်။ :<math>P = -\frac{1}{3}\operatorname{Tr}(\boldsymbol{\sigma})</math> ထို့ကြောင့် [[နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ|နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်း]] (Navier-Stokes equation) သည် ၎င်း၏ စံ ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော ပုံစံသို့ လျော့ကျသွားပြီး <math>\zeta</math> ကို အပိုအဖြစ် ပြောင်းလဲသွားစေသည်။ :<math>\rho \frac{D \mathbf{v}}{Dt} = -\nabla P + \nabla\cdot ( 2\mu \boldsymbol{\epsilon}) + \rho \mathbf{g}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Landau |first1=Lev D. |last2=Lifshitz |first2=Evgeny M. |title=Fluid Mechanics |edition=1st |publication-place=New York |publisher=Pergamon Press |date=1959 |isbn=978-0080091044}} * {{Citation |last1=Bird |first1=R. Byron |last2=Stewart |first2=Warren E. |last3=Lightfoot |first3=Edwin N. |title=Transport Phenomena |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |date=2007 |isbn=978-0-470-11539-8}} [[ကဏ္ဍ:ဂန္ထဝင် မက္ကင်းနစ်]] [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] plg4jf1hqeshuq1dq3dbka489dqqa6l 0 291950 1060934 1054529 2026-11-01T00:04:29Z Mkant00 135890 1060934 wikitext text/x-wiki '''ပွာဆွန်း ညီမျှခြင်း''' (Poisson's equation) သည် <math>-\Delta\phi = f</math> ဟူ၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် မျဉ်းဖြောင့် အဲလစ်ပတစ် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (linear elliptic partial differential equation) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>f \not\equiv 0</math> ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော (inhomogeneous) ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပြီး <math>f \equiv 0</math> ဖြစ်ပါက တစ်ပြေးညီ [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|လာပလေ့စ် ညီမျှခြင်း]] (Laplace's equation) <math>\Delta\phi = 0</math> အဖြစ်သို့ လျော့ကျသွားသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\Delta</math> သည် [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ]] (Laplace operator) ဖြစ်ပြီး <math>f</math> သည် [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (Riemannian manifold) တစ်ခုပေါ်တွင် ပေးထားသည့် [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]]တန်ဖိုးရှိ [[ဖန်ရှင်]] (real- or complex-valued function) ဖြစ်ကာ <math>\phi</math> သည် မသိဖန်ရှင် (unknown function) ဖြစ်သည်။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]သုံးခုရှိသော [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ]] (three-dimensional Cartesian coordinates) တွင် အဆိုပါ[[ညီမျှခြင်း]]သည် အောက်ပါပုံစံကို ယူသည်။ <math display="block">-\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right) = f(x, y, z)</math> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == <math>n \geq 2</math> ဖြစ်သည့် <math>n</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ရှိသော ရပ်ဝန်း (n-dimensional space) တစ်ခုအတွက် ရပ်ဝန်းတစ်ခုလုံး (entire space) <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ ပွာဆွန်း ညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">-\Delta v = f</math> <math>C^1</math> နယ်နိမိတ် (boundary) <math>\partial U</math> ပါရှိသော ကန့်သတ်ချက်ရှိသည့် အဖွင့်စု (bounded open set) <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> တစ်ခုအတွက် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး နယ်နိမိတ် အခြေအနေများ (Dirichlet boundary conditions) ပါဝင်သည့် ပွာဆွန်း ညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖွဲ့စည်းဖော်ပြသည်။ <math display="block">\begin{cases} -\Delta u = f & \text{in } U \\ u = g & \text{on } \partial U \end{cases}</math> ဤနေရာတွင် <math>f</math> သည် အပိတ် (closure) <math>\bar{U}</math> ပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး <math>g</math> သည် <math>\partial U</math> ပေါ်ရှိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function) ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် အဖြေ <math>u</math> သည် <math>\bar{U}</math> ပေါ်တွင် နှစ်ကြိမ် [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (twice continuously differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == အကယ်၍ <math>f</math> သည် ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ (compact support) ပါရှိပြီး နှစ်ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်ဖြစ်ပါက <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ သီးသန့် အဖြေ (particular solution) တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Evans (1998), p. 23.</ref> <math display="block">v(x) = \int_{\mathbb{R}^n}\Phi(y-x)f(y)\,\mathrm{d}y, \qquad x\in\mathbb{R}^n</math> ဤနေရာတွင် <math>\Phi(x)</math> သည် အခြေခံ အဖြေ (fundamental solution) ဖြစ်သော နယူတန် ပိုတင်ရှယ် (Newton potential) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\Phi(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log|x| & (n=2) \\ \frac{1}{n(n-2)\omega_n}|x|^{-n+2} & (n \geq 3) \end{cases} \qquad x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}</math> <math>\omega_n</math> သည် <math>\mathbb{R}^n</math> အတွင်းရှိ ယူနစ်စက်လုံး (unit ball) ၏ ထုထည် (volume) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ <math>U</math> ပေါ်ရှိ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး နယ်နိမိတ် တန်ဖိုး ပြဿနာ (Dirichlet boundary value problem) အတွက် အကယ်၍ အဖြေများ တည်ရှိပါက ၎င်းတို့သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အဖြေများ ဖြစ်ကြသည်။<ref>Evans (1998), p. 28.</ref> အဆိုပါအဖြေကို အောက်ပါအခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေသည့် ပြင်ဆင်ချက် [[ဖန်ရှင်]] (corrector function) <math>\phi^x(y)</math> ကို အသုံးပြု၍ တည်ဆောက်သည်။ <math display="block">\begin{cases} \Delta\phi^x(y) = 0 & y\in U \\ \phi^x(y) = \Phi(y-x) & y\in\partial U. \end{cases}</math> ဂရင်း၏ ဖန်ရှင် (Green's function) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">G(x,y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y),\qquad x,y\in U,\, x\neq y</math> အကယ်၍ <math>u \in C^2(\bar{U})</math> ဖြစ်ပြီး <math>f \in C(\bar{U})</math> ဖြစ်ပါက သို့မဟုတ် <math>x \in U</math> တိုင်းအတွက် <math>G(x, \cdot)f(\cdot) \in L^1(U)</math> အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ပုံသေနည်း (representation formula) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။<ref>Evans (1998), p. 35.</ref> <math display="block">u(x) = \int_U f(y)G(x,y)\,\mathrm{d}y - \int_{\partial U}g(y)\frac{\partial G}{\partial\nu}(x,y)\,\mathrm{d}S_{n-1}(y), \qquad x\in U</math> ဤနေရာတွင် <math>\partial/\partial\nu</math> သည် <math>\partial U</math> ပေါ်ရှိ အပြင်ဘက် ထောင့်မှန်ကျ [[ဗက်တာ]] (outer normal vector) လားရာသို့ပြသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်ပြီး <math>S_{n-1}</math> သည် <math>(n-1)</math>-[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]ရှိသော မျက်နှာပြင် အတိုင်းအတာ (surface measure) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Evans |first=Lawrence C. |title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=1998 |isbn=0-8218-0772-2}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] amwzlyqwex40vpk2ghaibnpkrjanpxr 0 291951 1060942 1054530 2026-11-01T00:43:52Z Mkant00 135890 1060942 wikitext text/x-wiki နယူတန်နီယန် အရည် (Newtonian fluid) သည် စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာ (viscous stress tensor) နှင့် ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ (rate-of-strain tensor) တို့ တိုက်ရိုက်အချိုးကျသည့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ကြားခံနယ် (continuous medium) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖိစီးမှု (stress) နှင့် [[အလျင်]] စက်ကွင်း (velocity field) ၏ ဒေသအလိုက် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (local spatial derivatives) အကြားရှိ မျဉ်းဖြောင့် (linear) အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) ဆက်စပ်မှုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ == ယေဘုယျ ဖိသိပ်နိုင်သော ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (General Compressible Formulation) == <math>\mathbf{u}</math> အား စီးဆင်းမှု အလျင် [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (flow velocity vector field) ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ပုံပျက်နှုန်း တန်ဆာ <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} \right)</math> အိုင်ဆိုထရိုပစ်ဖြစ်ပြီး ဖိသိပ်နိုင်သော (compressible) နယူတန်နီယန် အရည်တစ်ခုအတွက် ပြည့်စုံသော ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) <math>\boldsymbol{\sigma}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \lambda \operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\mathbf{I} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon}</math> ဤနေရာတွင် <math>p</math> သည် သာမိုဒိုင်းနမစ် [[ဖိအား]] (thermodynamic pressure) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{I}</math> သည် ထပ်တူရ တန်ဆာ (identity tensor) ဖြစ်ကာ <math>\lambda</math> သည် ဒုတိယ စေးပျစ်ဆ ကိန်းရှင်ကြားခံ (second viscosity parameter) ဖြစ်ပြီး <math>\mu</math> သည် ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆ (dynamic viscosity) ဖြစ်သည်။<ref>Batchelor (2000), p. 142.</ref> <math>\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \nabla \cdot \mathbf{u}</math> ကို အသုံးချခြင်းနှင့် ထုထည်စေးပျစ်ဆ (bulk viscosity) <math>\zeta = \lambda + \frac{2}{3}\mu</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းတို့ဖြင့် အဆိုပါတန်ဆာကို အိုင်ဆိုထရိုပစ်နှင့် သွေဖည်မှုဆိုင်ရာ (deviatoric) အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြမ်းမှု (decomposition) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ <math display="block">\boldsymbol{\sigma} = - \left( p - \zeta \nabla \cdot \mathbf{u} \right) \mathbf{I} + \mu \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} - \frac{2}{3} (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I} \right)</math> သို့ဖြစ်၍ သွေဖည်မှုဆိုင်ရာ စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာ (deviatoric viscous stress tensor) <math>\boldsymbol{\tau}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Landau & Lifshitz (1987), p. 45.</ref> <math display="block">\boldsymbol{\tau} = \mu \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} - \frac{2}{3} (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I} \right)</math> == ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Incompressible Formulation) == ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော စီးဆင်းမှု (incompressible flow) တစ်ခုအတွက် အလျင် စက်ကွင်းသည် [[ဆိုလီနွိုက်ဒယ်]] (solenoidal) ဖြစ်ပြီး <math>\nabla \cdot \mathbf{u} = 0</math> ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။<ref>Batchelor (2000), p. 75.</ref> ထုထည်စေးပျစ်ဆ ကိန်းပိုင်းသည် သုညသို့ ပျောက်ကွယ်သွားပြီး ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာကို အောက်ပါအတိုင်း လျှော့ချပစ်သည်။ <math display="block">\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \mu \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} \right)</math> သက်ဆိုင်ရာ စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာသည် အောက်ပါအတိုင်း ရိုးရှင်းသွားသည်။ <math display="block">\boldsymbol{\tau} = \mu \left( \nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^\mathsf{T} \right)</math> တန်ဆာ အညွှန်း [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (tensor index notation) ဖြင့် ဖော်ပြသောအခါ ၎င်း၏အစိတ်အပိုင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)</math> == ရိုးရှင်းသော ပွတ်တိုက်မှု စီးဆင်းခြင်းသို့ လျှော့ချခြင်း (Reduction to Simple Shear Flow) == [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]တစ်ခုရှိသော (one-dimensional) နှင့် အခြေအနေမပြောင်းလဲသော (steady) အလွှာလိုက် စီးဆင်းမှု (laminar flow) တစ်ခုသည် <math>x</math>-ဝင်ရိုးတစ်လျှောက် တိကျစွာရွေ့လျားနေပြီး ၎င်း၏အလျင်သည် ထောင့်မှန်ကျသော (orthogonal) <math>y</math>-ဝင်ရိုးတစ်လျှောက်တွင်သာ ပြောင်းလဲနေပါက အလျင် ဗက်တာစက်ကွင်းမှာ <math>\mathbf{u} = (u_x(y), 0, 0)</math> ဖြစ်သည်။ ဤ[[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] ကန့်သတ်ချက်များ (geometric constraints) အောက်တွင် ဖိသိပ်၍မရနိုင်သော စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာ၏ ပင်မဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပြင်ပ အစိတ်အပိုင်းများ (off-diagonal components) သည် နယူတန်၏ စေးပျစ်ဆ နိယာမ (Newton's law of viscosity) ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးသည်။ <math display="block">\tau_{xy} = \mu \frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}y}</math> ဤနေရာတွင် <math>\tau_{xy}</math> သည် ပွတ်တိုက်မှု ဖိစီးမှု (shear stress) ဖြစ်ပြီး <math>\frac{\mathrm{d}u_x}{\mathrm{d}y}</math> သည် ဒေသအလိုက် ကန့်လန့်ဖြတ် အလျင် ဂရေးဒီးယင့် (local transverse velocity gradient) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Batchelor |first=G. K. |title=An Introduction to Fluid Dynamics |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=2000 |orig-date=1967 |isbn=978-0-521-66396-0}} * {{Citation |last=Landau |first=L. D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |title=Fluid Mechanics |edition=2nd |publisher=Pergamon Press |publication-place=Oxford |date=1987 |isbn=0-08-033932-8}} [[ကဏ္ဍ:အရည်များ]] bgpag3rwgonbu7lkynjlh0zgznxey7g 0 291978 1060938 1054609 2026-11-01T00:28:41Z Mkant00 135890 1060938 wikitext text/x-wiki <math>\mathbf{F}</math> ကို <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ နယ်ပယ် (region) တစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (continuously differentiable vector field) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ <math>\mathbf{x}_0</math> အမှတ် (point) တစ်နေရာရှိ <math>\mathbf{F}</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ထုထည် (volume) <math>V</math> သည် <math>\mathbf{x}_0</math> သို့ ပုံမှန်အတိုင်း ကျုံ့သွားသောအခါ ၎င်းထုထည် <math>V</math> ကို ဖုံးအုပ်ထားသော အပိတ် မျက်နှာပြင် (closed surface) ပေါ်ရှိ <math>\mathbf{F}</math> ၏ မျက်နှာပြင် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (surface integral) နှင့် ၎င်းထုထည်ကိုယ်တိုင်တို့၏ အချိုး (ratio) ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math>\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_{\mathbf{x}_0} = \lim_{|V| \to 0} \frac{1}{|V|} \iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat{n}} \, dS</math> ဤနေရာတွင် <math>|V|</math> သည် <math>V</math> ၏ ထုထည်ဖြစ်ပြီး <math>S(V)</math> သည် <math>V</math> ၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>\mathbf{\hat{n}}</math> သည် မျက်နှာပြင်ဆီသို့ အပြင်ဘက် ယူနစ် ထောင့်မှန်ကျ ဗက်တာ (outward unit normal) ဖြစ်သည်။ == ကိုဩဒိနိတ်ဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Coordinate Definitions) == [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (coordinates) <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> ပါဝင်သော အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုရှိသော [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ် စနစ်]] (Cartesian coordinate system) တွင် <math>\mathbf{F} = (F_1, F_2, \ldots, F_n)</math> ၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i}{\partial x_i}.</math> အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော အခြေအနေတွင် ကိုဩဒိနိတ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (representations) သည် အောက်ပါပုံစံများအတိုင်း ရှိသည်။ * '''ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (Cartesian coordinates)''' <math>(x, y, z)</math> တွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> * '''ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (Cylindrical coordinates)''' <math>(r, \theta, z)</math> နှင့် ဒေသအလိုက် [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာများ]] (local unit vectors) တွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r F_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> * '''စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ (Spherical coordinates)''' <math>(r, \theta, \varphi)</math> နှင့် ဒေသအလိုက် ယူနစ်ဗက်တာများတွင် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\theta</math> သည် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (polar angle) ဖြစ်ပြီး <math>\varphi</math> သည် အဇီမုသယ်ထောင့် (azimuthal angle) ဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 F_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \, F_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.</math> == ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ထပ်တူညီမှုများ (Properties and Identities) == ဖြာထွက်မှု (divergence) သည် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ၏]] [[ဖီးလ်ဒ်]] (field of real numbers) အပေါ်ရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ]] (linear operator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}</math> [[စကေလာ|စကေလာစက်ကွင်း]] (scalar field) <math>\varphi</math> တစ်ခုနှင့် [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (vector fields) ဖြစ်သော <math>\mathbf{F}</math> နှင့် <math>\mathbf{G}</math> တို့အတွက် အောက်ပါ [[မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း|မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်းများ]] (product rules) ကို အသုံးချနိုင်သည်။ :<math>\nabla \cdot (\varphi \mathbf{F}) = (\nabla \varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla \cdot \mathbf{F})</math> :<math>\nabla \cdot (\mathbf{F} \times \mathbf{G}) = (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G})</math> နှစ်ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော စက်ကွင်းများအတွက် ဖြာထွက်မှုသည် အခြားသော ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (differential operators) နှင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေသည်။ * '''[[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|လာပလေ့ဆီယန်]] (Laplacian)''' အော်ပရေတာအတွက် <math>\operatorname{div}(\operatorname{grad} \varphi) = \Delta \varphi</math> ဖြစ်သည်။ * '''ကာလ် (Curl)''' အော်ပရေတာအတွက် <math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0</math> ဖြစ်သည်။ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|တိုပေါ်လော်ဂျီအရ]] (topologically) ဤအော်ပရေတာများသည် ဒိုမိန်း (domain) <math>U \subset \mathbb{R}^3</math> အပေါ်တွင် [[ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်]] (chain complex) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်သည်။ ၎င်းသည် [[ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ|ဒီရမ်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ]] (de Rham cohomology) အတွက် အခြေခံကိုပေးသည်။ :<math>\{ \text{scalar fields} \} \xrightarrow{\operatorname{grad}} \{ \text{vector fields} \} \xrightarrow{\operatorname{curl}} \{ \text{vector fields} \} \xrightarrow{\operatorname{div}} \{ \text{scalar fields} \}</math> ပွန်ကာရေး အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Poincaré lemma) အရ ဤကိန်းစဉ် (sequence) သည် ကျုံ့နိုင်စွမ်းရှိသော ဒိုမိန်းများ (contractible domains) အပေါ်တွင် တိကျသော (exact) အခြေအနေ၌ ရှိသည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ (Core Theorems) == <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> ကို <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ နှစ်ကြိမ် အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (vector field) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်းသည် <math>|\mathbf{r}| \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ လုံလောက်စွာ လျင်မြန်စွာ သုညသို့ ပျောက်ကွယ်သွားသည်ဟု ယူဆပါ။ ဟဲလ်မ်ဟို့တ်ဇ် ခွဲခြမ်းမှု (Helmholtz decomposition) အရ <math>\mathbf{F}</math> ကို လည်ပတ်မှုမဲ့ (irrotational) အစိတ်အပိုင်း <math>\mathbf{E}</math> နှင့် အရင်းအမြစ်မဲ့ (source-free) အစိတ်အပိုင်း <math>\mathbf{B}</math> အဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ :<math>\mathbf{F} = \mathbf{E} + \mathbf{B} = -\nabla \varphi + \nabla \times \mathbf{A},</math> ဤနေရာတွင် စကေလာ ပိုတင်ရှယ် (scalar potential) <math>\varphi</math> ကို စက်ကွင်း၏ ဖြာထွက်မှု (divergence) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆုံးဖြတ်နိုင်သည်။ :<math>\varphi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div} \mathbf{F}(\mathbf{r}')}{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, d^3\mathbf{r}'.</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalisations) == === တန်ဆာ စက်ကွင်းများ (Tensor fields) === အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဒုတိယအဆင့် တန်ဆာ စက်ကွင်း (tensor field) <math>\boldsymbol{\mathsf{A}}</math> အတွက် ဖြာထွက်မှု (divergence) သည် ကျုံ့ခြင်း (contraction) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ ၎င်းမှ ပထမအဆင့် တန်ဆာ စက်ကွင်း သို့မဟုတ် [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (vector field) တစ်ခုကို ရရှိသည်။ အရည် မက္ကင်းနစ် (fluid mechanics) တွင် စံသတ်မှတ်ချက်ဖြစ်သော ဂစ်ဘ်စ် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို လိုက်နာ၍ ဖြာထွက်မှုကို ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (Cartesian coordinates) တွင် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသည်။ :<math>\operatorname{div} \boldsymbol{\mathsf{A}} = \nabla \cdot \boldsymbol{\mathsf{A}} = \frac{\partial A_{ij}}{\partial x_i} \mathbf{e}_j.</math> အချိုးညီ တန်ဆာများ (symmetric tensors) အတွက် ဘယ်နှင့် ညာ ကျုံ့ခြင်းများသည် ထပ်တူညီသည်။ === ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (Differential forms) === ထုထည်ပုံစံ (volume form) <math>\mu</math> ပါဝင်သော [[မန်နီဖိုး]] (manifold) တစ်ခုပေါ်တွင် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>X</math> သည် <math>(n-1)</math>-ပုံစံ <math>j = i_X \mu</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖြာထွက်မှုကို ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက် (exterior derivative) <math>d</math> မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသည်။ :<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu.</math> တူညီသောအခြားနည်းလမ်းအားဖြင့် ဖြာထွက်မှုကို ထုထည်ပုံစံ၏ လီ ဆင်းသက်ချက် (Lie derivative) ကို အသုံးပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math>\mathcal{L}_X \mu = (\operatorname{div} X) \mu.</math> ဦးတည်ချက်ပါသော [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (oriented Riemannian manifold) တစ်ခုပေါ်တွင် မက်ထရစ်ဆိုင်ရာ ထုထည်ပုံစံ (Riemannian volume form) <math>\mu = \operatorname{vol}_g</math> ကို အသုံးပြုသည့်အခါ ဂီတဆိုင်ရာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် <math>\flat</math> နှင့် ဟော့ဂျ် ကြယ်ပွင့် အော်ပရေတာ (Hodge star operator) <math>\star</math> တို့ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>X</math> ၏ ဖြာထွက်မှုသည် အနုတ် ကိုဒစ်ဖရန်ရှယ်(codifferential) နှင့် ကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ ဤအချက်သည် လက္ခဏာ သတ်မှတ်ချက်များအပေါ် မူတည်သည်။ :<math>\operatorname{div} X = \star d \star (X^\flat)</math> === ရီးမန်း မန်နီဖိုးများ (Riemannian manifolds) === [[မန်နီဖိုး#ဆီမီး-ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Semi-Riemannian_Manifolds)|ဆူဒို-ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (pseudo-Riemannian manifold) တစ်ခုပေါ်တွင် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>X</math> ၏ ဖြာထွက်မှုကို လေဗီ-ချီဗီတာ ချိတ်ဆက်မှု (Levi-Civita connection) <math>\nabla</math> အသုံးပြု၍ လားရာတူ ဆင်းသက်ချက် (covariant derivative) ၏ ထရေ့စ် (trace) အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ :<math>\operatorname{div} X = \nabla_a X^a.</math> အိုင်းစတိုင်း ပေါင်းခြင်း သတ်မှတ်ချက်နှင့် ယေဘုယျ မျဉ်းကွေးပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (curvilinear coordinates) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ဗော့စ်-ဗိုင်းလ် ပုံသေနည်းသည် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (partial derivatives) နှင့် မက်ထရစ် တန်ဆာ (metric tensor) <math>g</math> တို့မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။ :<math>\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{|\det g|}} \partial_a \left( \sqrt{|\det g|} X^a \right).</math> == ကိုးကား (References) == * Edwards, C. H. (1994). Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, NY: Dover. * Gurtin, Morton (1981). An Introduction to Continuum Mechanics. New York: Academic Press. * Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. * Wilson, Edwin Bidwell; Gibbs, J. Willard (1913). Vector Analysis. New Haven: Yale University Press. [[ကဏ္ဍ: ကဲကုလပ်]] 3ct5tc377nv9d7r7px928liktqw0din 0 291982 1060941 1054650 2026-11-01T00:41:20Z Mkant00 135890 1060941 wikitext text/x-wiki ကွန်တင်နျူယမ် မက္ကင်းနစ် (continuum mechanics) နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် စနစ်များ (hyperbolic systems) လေ့လာမှုတွင် ရူပဗေဒ ပမာဏ (physical quantity) တစ်ခု တည်မြဲနေခြင်းကို အလေးပေးဖော်ပြရန် ဖွဲ့စည်းထားပါက [[ညီမျှခြင်း]] (equation) သို့မဟုတ် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (system of equations) တစ်ခုသည် တည်မြဲပုံစံ (conservation form) တွင် ရှိသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ တည်မြဲသော [[စကေလာ]] (scalar) သို့မဟုတ် [[ဗက်တာ]] (vector) ပမာဏ <math>\xi</math> တစ်ခုအတွက် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တည်မြဲပုံစံကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။ :<math>\frac{\partial \xi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f}(\xi) = 0</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{f}(\xi)</math> သည် သင့်လျော်စွာ သတ်မှတ်ထားသော စီးဆင်းမှု ဖန်ရှင် (flux function) ဖြစ်သည်။ တည်မြဲသော စကေလာ ပမာဏ <math>\xi</math> တစ်ခုအတွက် မျောပါ သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး (advective transport) နှင့်ပတ်သက်၍ အများဆုံး ရွေးချယ်လေ့ရှိသော ပုံစံမှာ <math>\mathbf{f}(\xi) = \xi \mathbf{u}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{u}</math> သည် မက်ခရိုစကုပ် အလျင် စက်ကွင်း (velocity field) ဖြစ်သည်။ == အင်တီဂရယ် ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု နှင့် အားနည်းသော အဖြေများ (Integral Formulation and Weak Solutions) == လုံလောက်သော ချောမွေ့မှုရှိသည်ဟု ယူဆပါက ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံကို အလိုရှိရာ သတ်မှတ်ထားသော ထိန်းချုပ် ထုထည် (control volume) <math>V</math> အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီသော အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်း (integral equation) သို့ အသွင်ပြောင်းနိုင်သည်။ ဖြာထွက်မှု သီအိုရမ် (divergence theorem) ကို အသုံးချခြင်းဖြင့် အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိသည်။ :<math>\frac{d}{d t} \int_V \xi \, dV = -\oint_{\partial V} \mathbf{f}(\xi) \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS</math> <math>V</math> အတွင်းရှိ စုစုပေါင်း ပမာဏ <math>\xi</math> ၏ ပြောင်းလဲနှုန်းကို ၎င်း၏ နယ်နိမိတ် (boundary) <math>\partial V</math> ကို ဖြတ်သန်းသွားသော အသားတင် စီးဆင်းမှု (flux) <math>\mathbf{f}(\xi)</math> မှ အလုံးစုံ ဆုံးဖြတ်ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\hat{\mathbf{n}}</math> သည် အပြင်ဘက် ယူနစ် ထောင့်မှန်ကျ ဗက်တာ (outward unit normal) ဖြစ်သည်။ အင်တီဂရယ် ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (integral formulation) သည် ရူပဗေဒအရ ပိုမို အခြေခံကျသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းသည် အဖြေများ (solutions) အား အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်ရန် တင်းကျပ်စွာ မလိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဟိုက်ပါဘောလစ် စနစ်များရှိ ရှော့ခ်လှိုင်းများ (shock waves) ကဲ့သို့သော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု ပျက်ပြားသွားသည့် အခြေအနေများတွင် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (differential equation) သည် အမှတ်အလိုက် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသတ်မှတ်၍မရတော့ပေ။ သို့သော် အင်တီဂရယ် ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုသည် အားနည်းသော အဖြေများ (weak solutions) ကို သဘာဝကျစွာ လက်ခံပေးသည်။ == ဥပမာများ (Examples) == ဖိသိပ်နိုင်သော အရည် စီးဆင်းမှု (compressible fluid flow) ၏ အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ (Euler equations) သည် တည်မြဲပုံစံဖြင့် ဖော်ပြထားသော မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သည့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ညီမျှခြင်းများ (non-linear hyperbolic equations) စနစ်တစ်ခု၏ စံနမူနာ ဖြစ်သည်။ <math>\rho</math> ကို အရည်၏ [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]]၊ <math>\mathbf{u}</math> ကို အလျင် စက်ကွင်း (velocity field)၊ <math>p</math> ကို [[ဖိအား]] (pressure) နှင့် <math>E</math> ကို တစ်ယူနစ် ထုထည်ရှိ စုစုပေါင်း စွမ်းအင် (energy) အဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ [[ဒြပ်ထု]] (mass)၊ [[အဟုန်]] (momentum) နှင့် စွမ်းအင်တို့အတွက် တည်မြဲခြင်း ညီမျှခြင်းများ (conservation equations) သည် အသီးသီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0</math> :<math>\frac{\partial(\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p \mathbf{I}) = 0</math> :<math>\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla\cdot(\mathbf{u}(E+p)) = 0</math> ဤနေရာတွင် <math>\otimes</math> သည် [[ပြင်ပ မြှောက်လဒ်]] (outer product) ကို ကိုယ်စားပြုပြီး <math>\mathbf{I}</math> သည် [[ထပ်တူရကိန်းအုံ]] (identity matrix) ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * LeVeque, Randall J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. * Toro, E. F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] 7q2yg3mnctejitd69m11jjmw7avgalq 0 291986 1060943 1054644 2026-11-01T00:46:19Z Mkant00 135890 1060943 wikitext text/x-wiki {{Infobox Physical quantity | bgcolour = {red} | name = Viscosity | image = [[File:Viscosities.gif|Viscosities|300px]] | caption = အရည်အား မတူညီသော ပျစ်စေးမှုဖြင့် သရုပ်ဖော်ပုံ | unit of dynamic viscosity = [[:en:Pascal (unit)|Pa]]·[[s]]&nbsp;= ([[နယူတန် (ယူနစ်)|N]]·[[စက္ကန့်|s]])/[[မီတာ|m]]² = [[ကီလိုဂရမ်|kg]]/([[second|s]]·[[မီတာ|m]]) | symbols = {{mvar|[[:en:Eta (letter)|η]]}}, {{mvar|[[:en:Mu (letter)|μ]]}} | derivations = {{math|1=''μ'' = ''[[:en:Shear modulus|G]]''·''[[အချိန်|t]]''}} | dimension = <math>\mathsf{M} \mathsf{L}^{-1} \mathsf{T}^{-1}</math> }} ကွန်တင်နျူယမ် မက္ကင်းနစ် (continuum mechanics) တွင် အရည် (fluid) တစ်ခု၏ ပွတ်တိုက်မှုကြောင့် ပုံပျက်သွားခြင်း (shear deformation) အပေါ် ခုခံမှုကို စေးပျစ်ဆ (viscosity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆ (dynamic viscosity) <math>\mu</math> ကို အတိုင်းအတာများ (dimensions) <math>\mathsf{M} \mathsf{L}^{-1} \mathsf{T}^{-1}</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ SI ယူနစ် (SI unit) မှာ <math>\mathrm{Pa \cdot s}</math> ဖြစ်သည်။ CGS ယူနစ် (CGS unit) မှာ ပွိုက်စ် (poise) <math>\mathrm{P}</math> ဖြစ်သည်။ ကိုင်နီမက်တစ် စေးပျစ်ဆ (kinematic viscosity) <math>\nu</math> သည် ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆနှင့် အရည် [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (fluid density) <math>\rho</math> တို့၏ အချိုး (ratio) <math>\nu = \frac{\mu}{\rho}</math> ဖြစ်သည်။ အတိုင်းအတာများမှာ <math>\mathsf{L}^{2} \mathsf{T}^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ SI ယူနစ်မှာ <math>\mathrm{m^2/s}</math> ဖြစ်သည်။ CGS ယူနစ်မှာ စတုတ်စ် (stokes) <math>\mathrm{St}</math> ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == နယ်နိမိတ် ကွာဟချက် (boundary separation) <math>y</math> နှင့် ဧရိယာ (area) <math>A</math> ရှိ ကိန်းသေ နှိုင်းရ အမြန်နှုန်း (constant relative speed) <math>u</math> ဖြင့် ပြင်ညီ ကူးဝတ် စီးဆင်းမှု (planar Couette flow) အတွင်းရှိ [[နယူတန်နီယန် အရည်]] (Newtonian fluid) တစ်ခုအတွက် ခုခံအား (compensating force) <math>F</math> မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>F = \mu A \frac{u}{y}</math> ပွတ်တိုက်မှု ဖိစီးမှု (shear stress) ကို <math>\tau = \frac{F}{A}</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းအားဖြင့် ဒေသအလိုက် ပွတ်တိုက်မှု [[အလျင်]] (local shear velocity) <math>\frac{\partial u}{\partial y}</math> အတွက် နယူတန်၏ စေးပျစ်ဆ နိယာမ (Newton's law of viscosity) <math>\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}</math> ကိုရရှိသည်။ ယေဘုယျ [[အလျင်]] ဂရေးဒီးယင့်များ (velocity gradients) အတွက် စေးပျစ်မှု ဖိစီးမှု တန်ဆာ (viscous stress tensor) <math>\tau_{ij}</math> ကို အဆင့် 4 စေးပျစ်ဆ တန်ဆာ (rank 4 viscosity tensor) <math>\mu_{ijk\ell}</math> ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\tau_{ij} = \sum_k \sum_\ell \mu_{ijk\ell} \frac{\partial u_k}{\partial r_\ell}</math> [[အိုင်ဆိုထရိုပီ|အိုင်ဆိုထရိုပစ် အရည်]] (isotropic fluid) တစ်ခုအတွက် <math>\mu_{ijk\ell}</math> သည် ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆ (dynamic viscosity) <math>\mu</math> နှင့် [[ထုထည်စေးပျစ်ဆ]] (bulk viscosity) <math>\kappa</math> တို့သို့ လျော့ကျသွားသည်။ ယေဘုယျပြုထားသော အခြေခံ [[ညီမျှခြင်း]] (generalized constitutive equation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\boldsymbol{\tau} = \mu \left[\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{\mathrm T} \right] - \left(\frac{2}{3} \mu - \kappa \right) (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{I}</math> သည် ထပ်တူရ တန်ဆာ (identity tensor) ဖြစ်သည်။<ref>Landau and Lifshitz (1987), pp. 44–45.</ref><ref>Bird, Stewart and Lightfoot (2007), pp. 18–19.</ref> == အဟုန် သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး သီအိုရီ (Momentum Transport Theory) == စေးပျစ်ဆ (viscosity) သည် မက်ခရိုစကုပ် (macroscopic) [[အဟုန်]] သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး (momentum transport) ကို ဖော်ပြပြီး အပူနှင့် [[ဒြပ်ထု]] ပျံ့နှံ့ခြင်း (heat and mass diffusion) တို့နှင့်အတူ အခြေခံ သုံးခုတွဲ (constitutive triad) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Schroeder (1999).</ref> ၎င်းတို့နှင့်သက်ဆိုင်သော အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသော ဆက်သွယ်ချက်များ (one-dimensional relations) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ ဖစ်ခ်၏ ဒြပ်ထု ပျံ့နှံ့ခြင်း နိယာမ (Fick's law of mass diffusion) မှာ <math>\mathbf{J} = -D \frac{\partial \rho}{\partial x}</math> ဖြစ်သည်။ ဖူရီယာ၏ အပူ စီးကူးခြင်း နိယာမ (Fourier's law of heat conduction) မှာ <math>\mathbf{q} = -k_t \frac{\partial T}{\partial x}</math> ဖြစ်သည်။ နယူတန်၏ စေးပျစ်ဆ နိယာမ (Newton's law of viscosity) မှာ <math>\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{J}</math> သည် [[ဒြပ်ထု]] စီးဆင်းမှု (mass flux)၊ <math>\mathbf{q}</math> သည် အပူ စီးဆင်းမှု (heat flux)၊ <math>D</math> သည် ဒြပ်ထု ပျံ့နှံ့နိုင်စွမ်း (mass diffusivity) နှင့် <math>k_t</math> သည် အပူ စီးကူးနိုင်စွမ်း (thermal conductivity) တို့ ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုင်နက်တစ် သီအိုရီနှင့် မော်လီကျူးဆိုင်ရာ မူလအစများ (Kinetic Theory and Molecular Origins) == ကျဲပါးသော ဓာတ်ငွေ့စစ် (dilute pure gas) တစ်ခုအတွက် အခြေခံ ကိုင်နက်တစ် သီအိုရီ (elementary kinetic theory) သည် ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆ (dynamic viscosity) ကို အပူချိန် (temperature) <math>T</math>၊ [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (density) <math>\rho</math>၊ မော်လီကျူး [[ဒြပ်ထု]] (molecular mass) <math>m</math> နှင့် ပျမ်းမျှ လွတ်လပ် လမ်းကြောင်း (mean free path) <math>\lambda</math> တို့၏ [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခုအနေဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\mu = \alpha\rho\lambda\sqrt{\frac{2k_\text{B} T}{\pi m}}</math> ဤနေရာတွင် <math>k_\text{B}</math> သည် ဘော့လ်ဇ်မန်း ကိန်းသေ (Boltzmann constant) ဖြစ်ပြီး <math>\alpha \approx 1</math> ဖြစ်သည်။ အားနည်းသော မော်လီကျူးအချင်းချင်း ဆွဲငင်မှု မော်ဒယ် (weak intermolecular attraction model) ဖြင့် ချက်ပ်မန်း အန်စကော့ဂ် သီအိုရီ (Chapman-Enskog theory) မှတစ်ဆင့် ဘော့လ်ဇ်မန်း [[ညီမျှခြင်း]] (Boltzmann equation) ကို အသုံးချခြင်းဖြင့် ဆပ်သာလန်၏ ပုံသေနည်း (Sutherland's formula) ကို ရရှိသည်။ :<math>\mu = \mu_0 \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\!\!3/2}\ \frac{T_0 + S}{T + S}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mu_0</math> သည် အပူချိန် <math>T_0</math> ရှိ ရည်ညွှန်း စေးပျစ်ဆ (reference viscosity) ဖြစ်ပြီး <math>S</math> သည် ဆပ်သာလန် ကိန်းသေ (Sutherland constant) ဖြစ်သည်။<ref>Chapman and Cowling (1970), pp. 232–237.</ref> သိပ်သည်းသော အရည်များ (dense fluids) အတွက် မျဉ်းဖြောင့် ပွတ်တိုက်မှု စေးပျစ်ဆ (linear shear viscosity) ကို ဂရင်း ကူဘို ဆက်သွယ်ချက်များ (Green-Kubo relations) သို့မဟုတ် မော်လီကျူး ဒိုင်းနမစ် (molecular dynamics) မှတစ်ဆင့် တွက်ချက်ရရှိသော ကြားကာလ အချိန် ဆက်စပ်မှု [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (transient time correlation functions) ကို အသုံးပြု၍ တိကျစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။<ref>Evans and Morriss (1988), pp. 4142–4148.</ref> == ဆိုင်းငံ့အရည်များ၏ စေးပျစ်ဆ (Viscosity of Suspensions) == စေးပျစ်ဆ (viscosity) <math>\mu_0</math> ရှိသော အရည် (fluid) တစ်ခုအတွင်းရှိ စက်လုံးအခဲများ (solid spheres) ၏ ကျဲပါးသော ဆိုင်းငံ့အရည် (dilute suspension) တွင် ထုထည် အချိုးအစား (volume fraction) သည် <math>\phi \lesssim 0.02</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သက်ရောက် စေးပျစ်ဆ (effective viscosity) <math>\mu_\text{eff}</math> သည် အိုင်းစတိုင်း၏ ပုံသေနည်း (Einstein's formula) အတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\mu_\text{eff} \approx \mu_0 \left(1 + \frac{5}{2} \phi \right)</math> တစ်ပိုင်းကျဲပါးသော ဆိုင်းငံ့အရည်များ (semi-dilute suspensions) အတွက် အမှုန်အချင်းချင်း နှစ်ခုတွဲ သက်ရောက်မှုများ (pair interparticle interactions) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားသော မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော လက်တွေ့စမ်းသပ်မှုအခြေခံ ဖြန့်ထုတ်ချက် (non-linear empirical expansion) ကို <math>\mu_\text{eff}</math> တွင် အသုံးပြုသည်။ :<math>\mu_\text{eff} = \mu_0 \left(1 + B \phi + B_1 \phi^2 \right)</math> အလွန်သိပ်သည်းသော ဆိုင်းငံ့အရည်များ (dense suspensions) တွင်မူ အမြင့်ဆုံး သိပ်သည်းစွာထုပ်ပိုးမှု အချိုးအစား (maximum packing fraction) <math>\phi_m</math> သို့ ချဉ်းကပ်ချိန်၌ စေးပျစ်ဆ အနန္တသို့ ဖြာထွက်မှုကို ဖော်ပြနိုင်သည့် ခရီးဂါ-ဒေါဟာတီ မော်ဒယ် (Krieger-Dougherty model) ကဲ့သို့သော မော်ဒယ်များကို အသုံးပြုရန် လိုအပ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>B</math> နှင့် <math>B_1</math> တို့သည် ပုံသဏ္ဌာန်အပေါ် မူတည်သော မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (shape-dependent coefficients) ဖြစ်ကြသည်။<ref>Bird, Stewart and Lightfoot (2007), pp. 31–33.</ref><ref>Mueller, Llewellin and Mader (2009), pp. 1201–1228.</ref> == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last1=Landau |first1=L. D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |title=Fluid Mechanics |edition=2nd |publication-place=Amsterdam |publisher=Elsevier |date=1987 |isbn=978-0-08-057073-0}} * {{Citation |last1=Bird |first1=R. Byron |last2=Stewart |first2=Warren E. |last3=Lightfoot |first3=Edwin N. |title=Transport Phenomena |edition=2nd |publication-place=Hoboken |publisher=John Wiley & Sons |date=2007 |isbn=978-0-470-11539-8}} * {{Citation |last1=Schroeder |first1=Daniel V. |title=An Introduction to Thermal Physics |publication-place=San Francisco |publisher=Addison Wesley |date=1999 |isbn=978-0-201-38027-9}} * {{Citation |last1=Chapman |first1=Sydney |last2=Cowling |first2=T. G. |title=The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases |edition=3rd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1970 |isbn=978-0-521-07577-0}} * {{Citation |last1=Evans |first1=Denis J. |last2=Morriss |first2=Gary P. |title=Transient-time-correlation functions and the rheology of fluids |journal=Physical Review A |volume=38 |issue=8 |pages=4142–4148 |date=1988 |doi=10.1103/PhysRevA.38.4142}} * {{Citation |last1=Mueller |first1=S. |last2=Llewellin |first2=E. W. |last3=Mader |first3=H. M. |title=The rheology of suspensions of solid particles |journal=Proceedings of the Royal Society A |volume=466 |issue=2116 |pages=1201–1228 |date=2009 |doi=10.1098/rspa.2009.0445}} [[ကဏ္ဍ:အေရိုဒိုင်းနမစ်]] jr5xctqotualhcq3ro5hd89ot0hfc1j 0 291990 1060946 1054637 2026-11-01T00:49:15Z Mkant00 135890 1060946 wikitext text/x-wiki အိုင်ဆိုထရိုပီ (isotropy) သည် ဦးတည်ချက်များအားလုံး (all orientations) တွင် တစ်ပြေးညီ ဂုဏ်သတ္တိများ (uniform properties) ရှိခြင်းကို ရည်ညွှန်းသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ဂုဏ်သတ္တိ (property) သို့မဟုတ် ရပ်ဝန်း (space) သို့မဟုတ် အရာဝတ္ထု (object) တစ်ခုသည် လည်ပတ်မှုအုပ်စု (rotation group)နှင့် အထူးသဖြင့် အထူး ထောင့်မှန်ကျ အုပ်စု (special orthogonal group) <math>\mathrm{SO}(n)</math> ၏ [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်|သက်ရောက်ချက်]] (action) အောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ ရှိနေပါက ၎င်းကို အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ == အက္ခရာသင်္ချာနှင့် ဂျီဩမေတြီ (Algebra and Geometry) == === အိုင်ဆိုထရိုပီ အုပ်စုများ (Isotropy Groups) === [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (group) <math>G</math> တစ်ခုသည် [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုအပေါ် သက်ရောက်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ [[အစုဝင်]] (element) <math>x \in X</math> တစ်ခု၏ အိုင်ဆိုထရိုပီ အုပ်စု (isotropy group) ကို တည်ငြိမ်စေ အုပ်စုပိုင်း (stabilizer subgroup) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် <math>x</math> ကို အထိုင်ဖြစ်စေသော (fix) <math>G</math> အတွင်းရှိ အစုဝင်များအားလုံး၏ [[အုပ်စုပိုင်း]] (subgroup) ဖြစ်သည်။<ref>Dummit and Foote (2004), pp. 112–114.</ref> :<math>G_x = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}</math> === နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (Quadratic Forms) === <math>V</math> သည် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံ (quadratic form) <math>q : V \to F</math> ပါရှိသည့် [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> အပေါ်ရှိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ သုညမဟုတ်သော [[ဗက်တာ]] (non-zero vector) <math>v \in V</math> တစ်ခုသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံအောက်တွင် သုညသို့ တန်ဖိုးရောက်ရှိပါက ၎င်းကို အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) သို့မဟုတ် သုညဗက်တာ (null vector) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Serre (1973), p. 30.</ref> :<math>q(v) = 0</math> === ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ (Riemannian Geometry) === [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (Riemannian manifold) <math>(M, g)</math> တစ်ခု၏ အပိုင်းလိုက် ကွေးညွှတ်မှု (sectional curvature) <math>K(\Pi)</math> သည် 2 ပြင်ညီ (2-plane) <math>\Pi \subset T_p M</math> ရွေးချယ်မှုအပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိပါက ၎င်းမန်နီဖိုးသည် အမှတ် <math>p \in M</math> တွင် အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) ဖြစ်သည်။ ရှူးဝါး၏ သီအိုရမ် (Schur's theorem) အရ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) <math>\dim(M) \ge 3</math> ရှိ ဆက်စပ်နေသော [[မန်နီဖိုး]] (connected manifold) <math>M</math> တစ်ခုသည် အမှတ်တိုင်း၌ အိုင်ဆိုထရိုပစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းသည် ကိန်းသေ ကွေးညွှတ်မှု (constant curvature) ရှိသော ရပ်ဝန်း (space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Lee (1997), pp. 142–144.</ref> === ဖြစ်တန်စွမ်းနှင့် စာရင်းအင်းပညာ (Probability and Statistics) === [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) သို့မဟုတ် ကျပန်း [[ဗက်တာ]] (random vector) <math>\mathbf{X} \in \mathbb{R}^n</math> တစ်ခုသည် ၎င်း၏ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] ဗဟိုကျပြီး (<math>\mathbb{E}[\mathbf{X}] = \mathbf{0}</math>)၊ အတူကွဲလွဲချက် ကိန်းအုံ (covariance matrix) <math>\boldsymbol{\Sigma}</math> သည် [[ထပ်တူရကိန်းအုံ]] (identity matrix) <math>\mathbf{I}</math> နှင့် တိကျစွာ အချိုးကျပါက (strictly proportional) ၎င်းသည် အိုင်ဆိုထရိုပစ် တည်နေရာ (isotropic position) တွင် ရှိသည်။ :<math>\mathbb{E}[\mathbf{X}] = \mathbf{0}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = c \mathbf{I}</math> ဤနေရာတွင် <math>c > 0</math> သည် [[စကေလာ]] (scalar) ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် <math>c = 1</math> ဖြစ်ပါက စံပြု အိုင်ဆိုထရိုပစ် တည်နေရာ (normalized isotropic position) ဖြစ်သည်။ == ကွန်တင်နျူယမ် မက္ကင်းနစ်နှင့် အိုင်ဆိုထရိုပစ် တန်ဆာများ (Continuum Mechanics and Isotropic Tensors) == === အိုင်ဆိုထရိုပစ် တန်ဆာများ (Isotropic Tensors) === တန်ဆာ (tensor) တစ်ခု၏ အစိတ်အပိုင်းများ (components) သည် မည်သည့် ပရိုပါ ထောင့်မှန်ကျ ကိုဩဒိနိတ် အသွင်ပြောင်းခြင်း (proper orthogonal coordinate transformation) အောက်တွင်မဆို မပြောင်းလဲဘဲ ရှိနေပါက ၎င်းတန်ဆာကို အိုင်ဆိုထရိုပစ် (isotropic) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် အသွင်ပြောင်းခြင်းသည် <math>\mathrm{SO}(3)</math> အတွင်းရှိ မည်သည့် လည်ပတ်မှု (rotation) ကိုမဆို ဆိုလိုသည်။ အခြေခံ အိုင်ဆိုထရိုပစ် တန်ဆာများမှာ အဆင့် 2 ခရိုနက်ကာ ဒယ်လ်တာ (Kronecker delta) <math>\delta_{ij}</math> နှင့် အဆင့် 3 လေဗီ ချီဗီတာ သင်္ကေတ (Levi-Civita symbol) <math>\epsilon_{ijk}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် (higher-rank) ရှိသော အိုင်ဆိုထရိုပစ် တန်ဆာတိုင်းကို ဤအခြေခံ တန်ဆာများ၏ ပေါင်းစပ်မှုများမှ တည်ဆောက်နိုင်သည်။ === အိုင်ဆိုထရိုပစ် ကျုံ့ဆန့်နိုင်စွမ်းနှင့် ဟွတ်ခ်၏ နိယာမ (Isotropic Elasticity and Hooke's Law) === မက်ခရိုစကုပ် (macroscopic) အိုင်ဆိုထရိုပီ (isotropy) ကို ပြသသော မျဉ်းဖြောင့် ကျုံ့ဆန့်နိုင်သော ရုပ်ဝတ္ထု (linear elastic material) တစ်ခုအတွက် စတုတ္ထအဆင့် ကျုံ့ဆန့်နိုင်စွမ်း တန်ဆာ (fourth-order elasticity tensor) <math>C_{ijkl}</math> သည် အိုင်ဆိုထရိုပစ် တန်ဆာတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ ဤရူပဗေဒဆိုင်ရာ အချိုးညီမှု (physical symmetry) ကြောင့် တန်ဆာ၏ အမှီအခိုကင်းသော အစိတ်အပိုင်းများ (independent components) 21 ခုမှာ 2 ခုအထိ လျော့ကျသွားပြီး ယေဘုယျအားဖြင့် ၎င်းတို့ကို လာမေး ကိန်းရှင်ကြားခံများ (Lamé parameters) <math>\lambda</math> နှင့် <math>\mu</math> အဖြစ် ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် ဖော်ပြသည် (parameterized)။<ref>Landau and Lifshitz (1986), pp. 10–13.</ref> :<math>C_{ijkl} = \lambda \delta_{ij} \delta_{kl} + \mu (\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})</math> ဤအိုင်ဆိုထရိုပစ် ကျုံ့ဆန့်နိုင်စွမ်း တန်ဆာကို အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပုံပျက်ခြင်း တန်ဆာ (infinitesimal strain tensor) <math>\varepsilon_{ij}</math> အပေါ် အသုံးချခြင်းဖြင့် အိုင်ဆိုထရိုပစ် ကြားခံနယ် (isotropic medium) တစ်ခုအတွက် ယေဘုယျပြုထားသော ဟွတ်ခ်၏ နိယာမ (generalized Hooke's law) ကို ရရှိပြီး ၎င်းက ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) <math>\sigma_{ij}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ :<math>\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl} = \lambda \varepsilon_{kk} \delta_{ij} + 2\mu \varepsilon_{ij}</math> ဤနေရာတွင် <math>\varepsilon_{kk} = \operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})</math> သည် ထုထည်ဆိုင်ရာ ပုံပျက်ခြင်း (volumetric strain) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publication-place=Hoboken |publisher=John Wiley & Sons |date=2004 |isbn=978-0-471-43334-7}} * {{Citation |last1=Landau |first1=L. D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |title=Theory of Elasticity |edition=3rd |publication-place=Oxford |publisher=Pergamon Press |date=1986 |isbn=978-0-08-006465-9}} * {{Citation |last1=Lee |first1=John M. |title=Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature |publication-place=New York |publisher=Springer |date=1997 |isbn=978-0-387-98322-6}} * {{Citation |last1=Serre |first1=Jean-Pierre |title=A Course in Arithmetic |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1973 |isbn=978-0-387-90040-7}} [[ကဏ္ဍ:ဦးတည်ချက် (ဂျီဩမေတြီ)]] h68mv38rj9n8bjut10lvcp9gop5s0ps 0 291994 1060948 1054649 2026-11-01T00:51:15Z Mkant00 135890 1060948 wikitext text/x-wiki ကွန်တင်နျူယမ် (continuum) တွင် နှိုင်းရမဟုတ်သော [[အဟုန်]] သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး (non-relativistic momentum transport) အတွက် စီးကူးမှုဆိုင်ရာ (convective) ပုံစံ သို့မဟုတ် လာဂေါင့်ဂျီယံ (Lagrangian) ပုံစံရှိ ကော်ချီ အဟုန် [[ညီမျှခြင်း]] (Cauchy momentum equation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math> \frac{D \mathbf{u}}{D t} = \frac 1 \rho \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{a} </math> ကိန်းရှင်များ (variables) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * <math>\mathbf{u}</math> သည် စီးဆင်းမှု [[အလျင်]] [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (flow velocity vector field) ဖြစ်သည်။ * <math>t</math> သည် အချိန် (time) ဖြစ်သည်။ * <math>\frac{D \mathbf{u}}{D t} = \partial_t\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot \nabla\mathbf{u}</math> သည် <math>\mathbf{u}</math> ၏ [[ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (material derivative) ဖြစ်သည်။ * <math>\rho</math> သည် ကွန်တင်နျူယမ် [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (continuum density) ဖြစ်သည်။ * <math>\boldsymbol{\sigma}</math> သည် ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) ဖြစ်သည်။ * <math>\mathbf{a}</math> သည် ကိုယ်ထည် [[အရှိန်]]များ၏ [[ဗက်တာ]] (vector of body accelerations) ဖြစ်သည်။ * <math>\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}</math> သည် ဖိစီးမှု တန်ဆာ၏ [[ဖြာထွက်မှု အော်ပရေတာ|ဖြာထွက်မှု]] (divergence of the stress tensor) ဖြစ်သည်။ == တည်မြဲပုံစံ (Conservation Form) == ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်း (change of variables) နှင့် [[ဒြပ်ထု]] တည်မြဲခြင်း (mass conservation) ဟုခေါ်သော အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှု [[ညီမျှခြင်း]] (continuity equation) ကို အသုံးချခြင်းအားဖြင့် ညီမျှခြင်းသည် အွိုင်လာရီယန် [[တည်မြဲပုံစံ]] (Eulerian conservation form) သို့ ပြောင်းလဲသွားသည်။ :<math> \frac {\partial \mathbf j }{\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf F = \mathbf f </math> ကိန်းရှင်များ (variables) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ * <math>{\mathbf j}= \rho \mathbf u</math> သည် [[အဟုန်]] သိပ်သည်းဆ (momentum density) ဖြစ်သည်။ * <math>{\mathbf F}=\rho \mathbf u \otimes \mathbf u - \boldsymbol \sigma</math> သည် အဟုန် စီးဆင်းမှု တန်ဆာ (momentum flux tensor) ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\otimes</math> သည် [[ပြင်ပ မြှောက်လဒ်]] (outer product) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ * <math>{\mathbf f}= \rho \mathbf a</math> သည် တစ်ယူနစ် ထုထည်အတွက် ကိုယ်ထည် အား (body force per unit volume) ဖြစ်သည်။ == အင်တီဂရယ်မှတစ်ဆင့် ဆင်းသက်ခြင်း (Integral Derivation) == နယူတန်၏ ဒုတိယ နိယာမ (Newton's second law) ကို ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ထိန်းချုပ် ထုထည် (material control volume) <math>\Omega(t)</math> တွင် အသုံးချခြင်းနှင့် ရေးနိုး သယ်ယူပို့ဆောင်ရေး သီအိုရမ် (Reynolds transport theorem) နှင့် ဂေါက်စ်၏ [[ဖြာထွက်မှု အော်ပရေတာ|ဖြာထွက်မှု]] သီအိုရမ် (Gauss's divergence theorem) တို့ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>i</math> ကြိမ်မြောက် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်း (spatial component) အတွက် အင်တီဂရယ် ပုံစံ (integral form) ကို ရရှိသည်။<ref>Acheson (1990), p. 205.</ref> :<math>\int_{\Omega(t)} \rho \frac{D u_i}{D t} \, dV = \int_{\Omega(t)} \nabla_j\sigma_i^j \, dV + \int_{\Omega(t)} f_i \, dV</math> ကိန်းပိုင်းများ (terms) ကို ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\int_{\Omega(t)} \left(\rho \frac{D u_i}{D t} - \nabla_j\sigma_i^j - f_i \right)\, dV = 0</math> <math>\Omega(t)</math> သည် အလိုရှိရာ (arbitrary) ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ထိန်းချုပ် ထုထည် ဖြစ်သောကြောင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခံကိန်း (integrand) သည် ဒေသအလိုက် (locally) သုည ဖြစ်ရမည်။ :<math>\rho \frac{D u_i}{D t} - \nabla_j\sigma_i^j - f_i = 0</math> [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (density) <math>\rho</math> ဖြင့် စားခြင်းအားဖြင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကော်ချီ [[အဟုန်]] [[ညီမျှခြင်း]] (differential Cauchy momentum equation) ကို ရရှိသည်။ == ဖိစီးမှုများနှင့် ပြင်ပ အားများ (Stresses and External Forces) == ကော်ချီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (Cauchy stress tensor) <math>\boldsymbol{\sigma}</math> ကို ပုံမှန်အားဖြင့် [[အိုင်ဆိုထရိုပီ|အိုင်ဆိုထရိုပစ်]] (isotropic) [[ဖိအား]] အစိတ်အပိုင်း (pressure component) နှင့် အန်အိုင်ဆိုထရိုပစ် (anisotropic) သွေဖည်မှုဆိုင်ရာ (deviatoric) ပွတ်တိုက်မှု တန်ဆာ (shear tensor) <math>\boldsymbol{\tau}</math> အဖြစ် ခွဲခြမ်းထားသည်။<ref>Batchelor (1967), p. 142.</ref> :<math>\boldsymbol \sigma = - p \mathbf I + \boldsymbol \tau</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf I</math> သည် ထပ်တူရ တန်ဆာ (identity tensor) ဖြစ်ပြီး <math>p</math> သည် [[ဖိအား]] (pressure) ဖြစ်သည်။ ဖိစီးမှု တန်ဆာ၏ [[ဖြာထွက်မှု အော်ပရေတာ|ဖြာထွက်မှု]] (divergence) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}</math> စကေလာ ပိုတင်ရှယ် (scalar potential) <math>\chi</math> မှ ဆင်းသက်ရရှိနိုင်သော တည်မြဲသော ကိုယ်ထည် အားများ (conservative body forces) ဖြစ်သည့် <math>\mathbf{a} = \nabla \chi</math> အတွက် ကိန်းသေ [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] <math>\rho</math> ရှိချိန်တွင် ပေါင်းစပ်ထားသော [[ဖိအား]]နှင့် ကိုယ်ထည် အား ဂရေးဒီးယင့်များ (gradients) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။ :<math>-\nabla p + \rho \mathbf{a} = -\nabla p + \rho \nabla \chi = -\nabla (p - \rho \chi)</math> == ပြတ်သားသော 3D ကိုဩဒိနိတ် ပုံစံများ (Explicit 3D Coordinate Forms) == === ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (Cartesian Coordinates) === <math>x, y, z</math> တို့ဖြင့် ဖော်ပြသော ကာတီးရှန်း [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (Cartesian coordinates) ရှိ အလိုရှိရာ (arbitrary) အချိုးမညီသော ဖိစီးမှု တန်ဆာ (asymmetric stress tensor) တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Papanastasiou, Georgiou and Alexandrou (2000), pp. 66–68.</ref> :<math>\begin{align} x&: & \frac{\partial u_x}{\partial t} + u_x \frac{\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_x}{\partial z} &= \frac 1 \rho \left( \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} \right) + a_x \\[8pt] y&: & \frac{\partial u_y}{\partial t} + u_x \frac{\partial u_y}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_y}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_y}{\partial z} &= \frac 1 \rho \left( \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} \right) + a_y \\[8pt] z&: & \frac{\partial u_z}{\partial t} + u_x \frac{\partial u_z}{\partial x} + u_y \frac{\partial u_z}{\partial y} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z} &= \frac 1 \rho \left( \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} \right) + a_z \end{align}</math> === ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (Cylindrical Coordinates) === <math>r, \phi, z</math> တို့ဖြင့် ဖော်ပြသော ဆလင်ဒါပုံ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (cylindrical coordinates) ရှိ အချိုးညီ ဖိစီးမှု တန်ဆာ (symmetric stress tensor) တစ်ခုအတွက် <math>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</math> နှင့် <math>\tau_{ij}=\tau_{ji}</math> တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ :<math>\begin{align} r&: &\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_\phi}{r} \frac{\partial u_r}{\partial\phi} + u_z \frac{\partial u_r}{\partial z} - \frac{u_\phi^2}{r} &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\left(r\tau_{rr}\right)}{\partial r} + \frac{1}{r\rho} \frac{\partial\tau_{\phi r}}{\partial\phi} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial\tau_{zr}}{\partial z} - \frac{\tau_{\phi\phi}}{r\rho} + a_r \\[8pt] \phi&: &\frac{\partial u_\phi}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_\phi}{\partial r} + \frac{u_\phi}{r} \frac{\partial u_\phi}{\partial\phi} + u_z \frac{\partial u_\phi}{\partial z} + \frac{u_r u_\phi}{r} &= -\frac{1}{r\rho} \frac{\partial p}{\partial\phi} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\tau_{\phi \phi}}{\partial\phi} + \frac{1}{r^2 \rho} \frac{\partial\left(r^2 \tau_{r\phi}\right)}{\partial r} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial\tau_{z\phi}}{\partial z} + a_\phi \\[8pt] z&: &\frac{\partial u_z}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_z}{\partial r} + \frac{u_\phi}{r} \frac{\partial u_z}{\partial\phi} + u_z \frac{\partial u_z}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\tau_{\phi z}}{\partial\phi} + \frac{1}{r\rho}\frac{\partial\left(r\tau_{rz}\right)}{\partial r} + a_z \end{align}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Acheson |first1=D. J. |title=Elementary Fluid Dynamics |publication-place=Oxford |publisher=Oxford University Press |date=1990 |isbn=0-19-859679-0}} * {{Citation |last1=Batchelor |first1=G. K. |title=An Introduction to Fluid Dynamics |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1967 |isbn=0-521-66396-2}} * {{Citation |last1=Papanastasiou |first1=Tasos C. |last2=Georgiou |first2=Georgios C. |last3=Alexandrou |first3=Andreas N. |title=Viscous Fluid Flow |publication-place=Boca Raton |publisher=CRC Press |date=2000 |isbn=0-8493-1606-5}} [[ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ ညီမျှခြင်းများ]] bbdw14u0rlrxeu5pogj93anqb35lujt 0 292147 1060949 1055359 2026-11-01T01:05:52Z Mkant00 135890 1060949 wikitext text/x-wiki [[File:Flow around a wing.gif|thumb|တောင်ပံတစ်ဝိုက် စီးဆင်းမှု။ ဤဖိသိပ်၍မရသော စီးဆင်းမှုသည် အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများကို ပြေလည်စေသည်။]] အရည် ဒိုင်းနမစ် (fluid dynamics) တွင် '''အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ (Euler equations)''' သည် အပူမကူးပြောင်းသော (adiabatic) [[စေးပျစ်မှုကင်းသော စီးဆင်းမှု]] (inviscid flow) ကို ထိန်းချုပ်သည့် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]] (partial differential equations) [[အစု|အစုတစ်ခု]] ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ဖိသိပ်နိုင်သော စီးဆင်းမှု (compressible flow) အတွက် ၎င်းတို့သည် သာမိုဒိုင်းနမစ် အခြေအနေများအရ ကွာစီမျဉ်းဖြောင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် စနစ် (quasilinear hyperbolic system) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး ဖိသိပ်၍မရသော စီးဆင်းမှု (incompressible flow) တွင်မူ အဲလစ်ပတစ် ဖိအား ကန့်သတ်ချက် (elliptic pressure constraint) ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့ကို [[နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ]] (Navier-Stokes equations) ၏ သုည[[စေးပျစ်ဆ]] (zero-viscosity) နှင့် သုညအပူစီးကူးနိုင်စွမ်း (zero-thermal-conductivity) [[စုဆုံမှတ်]] (limit) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ === ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ နှင့် ဖွဲ့စည်းမှု (Formal Definitions & Setup) === အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများကို ဖိသိပ်၍မရသော (incompressible) နှင့် ဖိသိပ်နိုင်သော (compressible) ဟူသည့် အဓိက အခြေအနေ နှစ်ခုတွင် စီးကူးမှုဆိုင်ရာ လာဂေါင့်ဂျီယံ ပုံစံ (convective Lagrangian form) သို့မဟုတ် တည်မြဲ အွိုင်လာရီယန် ပုံစံ (conservation Eulerian form) များထဲမှ တစ်ခုခုကို အသုံးပြုထားသည်။ '''ဖိသိပ်၍မရသော အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ (Incompressible Euler Equations)''' ကိန်းသေ (constant) နှင့် တစ်ပြေးညီ (uniform) [[သိပ်သည်းခြင်း|သိပ်သည်းဆ]] (density) ရှိသော ဖိသိပ်၍မရသော အရည် (incompressible fluid) တစ်ခုအတွက် [[ဗက်တာစက်ကွင်း|အလျင် စက်ကွင်း]] (velocity field) <math>\mathbf{u}</math> နှင့် သီးသန့် [[ဖိအား]] ပိုတင်ရှယ် (specific pressure potential) <math>w = \frac{p}{\rho_0}</math> တို့သည် စီးကူးမှုဆိုင်ရာ ပုံစံ (convective form) ကို ပြေလည်စေသည်။ <math display="block"> \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla w + \mathbf{g} </math> <math display="block"> \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 </math> ဤနေရာတွင် <math>\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}</math> သည် [[ဒြပ်သားဆိုင်ရာ ဆင်းသက်ချက်]] (material derivative) ဖြစ်ပြီး <math>\mathbf{g}</math> သည် ကိုယ်ထည် [[အရှိန်]] [[ဗက်တာ]] (body acceleration vector) ဖြစ်သည်။ [[တည်မြဲပုံစံ]] (conservation form) ဖြင့် ထပ်တူညီသော [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (equivalent equations) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\mathbf{u}\otimes\mathbf{u} + w\mathbf{I}\right) = \mathbf{g} </math> <math display="block"> \nabla\cdot\mathbf{u} = 0 </math> '''ဖိသိပ်နိုင်သော အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ (Compressible Euler Equations)''' ဖိသိပ်နိုင်သော အရည် (compressible fluid) တစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ အခြေအနေ (state) ကို သိပ်သည်းဆ <math>\rho</math>၊ [[အလျင် ]] <math>\mathbf{u}</math>၊ သီးသန့် အတွင်း စွမ်းအင် (specific internal energy) <math>e</math> နှင့် ဖိအား (pressure) တို့ဖြင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ ဤစနစ်သည် သာမိုဒိုင်းနမစ်ဆိုင်ရာ အပိတ် (thermodynamic closure) အတွက် ပြတ်သားသော (explicit) အခြေအနေ ညီမျှခြင်း (equation of state) <math>p = p(\rho, e)</math> တစ်ခု လိုအပ်သည်။ စီးကူးမှုဆိုင်ရာ ပုံစံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \frac{D\rho}{Dt} = -\rho\nabla \cdot \mathbf{u} </math> <math display="block"> \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{g} </math> <math display="block"> \frac{De}{Dt} = -\frac{p}{\rho}\nabla \cdot \mathbf{u} </math> [[အဟုန်]] သိပ်သည်းဆ (momentum density) ကို <math>\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}</math> ဟု သတ်မှတ်ပြီး စုစုပေါင်း စွမ်းအင် သိပ်သည်းဆ (total energy density) ကို <math>E^t = \rho e + \frac{1}{2}\rho u^2</math> ဟု သတ်မှတ်ပါက ညီမျှခြင်းများ၏ တည်မြဲပုံစံ (conservative form) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block"> \frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\rho \\ \mathbf{j} \\ E^t\end{pmatrix} + \nabla \cdot \begin{pmatrix}\mathbf{j} \\ \frac{1}{\rho}\mathbf{j} \otimes \mathbf{j} + p \mathbf{I} \\ (E^t + p) \frac{1}{\rho}\mathbf{j}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ \rho \mathbf{g} \\ \mathbf{j} \cdot \mathbf{g}\end{pmatrix} </math> === အဓိက သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Mathematical Properties) === '''ကွာစီ-မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ နှင့် ဝိသေသလက္ခဏာ ညီမျှခြင်းများ (Quasilinear Form & Characteristic Equations)''' အခြေအနေ [[ဗက်တာ]] (state vector) <math>\mathbf{y}</math> နှင့် စီးဆင်းမှု [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (flux matrices) <math>\mathbf{F}_i</math> ကို သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အရင်းအမြစ်ကင်းစင်သော (source-free) တည်မြဲ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]]သည် ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာများ]] (spatial dimensions) <math>N</math> ခုရှိသည့် ကွာစီ-မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံ (quasilinear form) သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ <math display="block"> \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \mathbf{A}_i \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x_i} = \mathbf{0} </math> ထိုနေရာတွင် စီးဆင်းမှု [[ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံနှင့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများ]] (flux Jacobian matrices) ကို <math>\mathbf{A}_i(\mathbf{y}) = \frac{\partial \mathbf{F}_i(\mathbf{y})}{\partial \mathbf{y}}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ အကယ်၍ အလိုရှိရာ (arbitrary) [[ကိန်းစစ်]] [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ် ထောင့်မှန်ကျ ဗက်တာ]] (real unit normal vector) <math>\mathbf{n}</math> တစ်ခုအတွက် ဦးတည်ချက် ဂျေးကိုဘီယန် (directional Jacobian) <math>\sum_{i=1}^N n_i \mathbf{A}_i</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]] (eigenvalues) သည် ကိန်းစစ် (real) ဖြစ်ပြီး [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများ၏ ပြည့်စုံသောအစု (complete set of linearly independent eigenvectors) ရှိပါက ၎င်းစနစ်သည် ဟိုက်ပါဘောလစ် (hyperbolic) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများ၏ ပြည့်စုံသောအစု မရှိဘဲ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသာ ကိန်းစစ်ဖြစ်နေပါက ၎င်းစနစ်သည် အားပျော့စွာ ဟိုက်ပါဘောလစ် (weakly hyperbolic) ဖြစ်ပြီး ၎င်းကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများသည် ကွဲပြားသော (distinct) တန်ဖိုးများလည်း ဖြစ်ပါက စနစ်သည် တိကျစွာ ဟိုက်ပါဘောလစ် (strictly hyperbolic) ဖြစ်သည်။ '''အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းများ နှင့် အားနည်းသော အဖြေများ (Discontinuities & Weak Solutions)''' အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော ရပ်ဝန်း (one spatial dimension) တွင် လှိုင်းတုန်များ (shock waves) ကဲ့သို့သော [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းများ]] (discontinuities) ပါဝင်နေချိန်၌ ကလပ်စစ်ကယ် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (classical derivatives) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍ မရနိုင်ပေ။ ထိုညီမျှခြင်းများသည် [[အလျင် ]] <math>\frac{dx}{dt}</math> ဖြင့် ရွေ့လျားနေသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း တစ်လျှောက် ရန်ကင်း-ဟူဂိုနီယော့ ခုန်တက်သွားခြင်း ဆက်သွယ်ချက်များ (Rankine-Hugoniot jump relations) ကို ပြေလည်စေသည့် အားနည်းသော အဖြေများ (weak solutions) လိုအပ်သည်။ <math display="block"> \Delta \mathbf{F} - \frac{dx}{dt} \Delta \mathbf{y} = \mathbf{0} </math> === ကိုးကား (References) === * {{Citation |last=Anderson |first=John |title=Computational Fluid Dynamics |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill Education |date=1995 |isbn=978-0-07-001685-9}} * {{Citation |last1=Chorin |first1=Alexandre J. |last2=Marsden |first2=Jerrold E. |title=A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics |publication-place=New York |publisher=Springer |date=2013 |isbn=978-1-4612-0883-9}} * {{Citation |last=Henderson |first=L. F. |editor1-last=Ben-Dor |editor1-first=Gabi |editor2-last=Igra |editor2-first=Ozer |editor3-last=Elperin |editor3-first=Tov |title=Handbook of Shock Waves, Three Volume Set |at=General Laws for the Propagation of Shock-waves through Matter |publication-place=Amsterdam |publisher=Elsevier |date=2000 |isbn=978-0-08-053372-8}} * {{Citation |last=Hunter |first=John K. |title=An Introduction to the Incompressible Euler Equations |date=2006 |url=https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/euler.pdf}} * {{Citation |last1=Landau |first1=L. D. |last2=Lifshitz |first2=E. M. |title=Fluid Mechanics |publication-place=Amsterdam |publisher=Elsevier |date=2013 |isbn=978-1-4831-4050-6}} * {{Citation |last1=Quartapelle |first1=Luigi |last2=Auteri |first2=Franco |title=Fluidodinamica comprimibile |publication-place=Milan |publisher=CEA |date=2013 |isbn=978-88-08-18558-7}} * {{Citation |last=Toro |first=Eleuterio F. |title=Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction |edition=2nd |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=1999 |isbn=978-3-540-65966-2}} [[ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ ညီမျှခြင်းများ]] hzbjkqrp4d9g3i5bs46q11txncfsc28 0 292148 1060945 1055360 2026-11-01T00:48:09Z Mkant00 135890 1060945 wikitext text/x-wiki [[File:Flow_around_a_wing.gif|alt=This type of fluid dynamics problem can be described by the Euler equation.|thumb|ကူတာ အခြေအနေ (Kutta condition) ကို ပြည့်မီစေသော လှည့်ပတ်ခြင်း (circulation) ရှိသည်ဟု ယူဆထားသည့် တောင်ပံတစ်ဝိုက်ရှိ စေးပျစ်မှုကင်းသော စီးဆင်းမှု (inviscid flow) ဖြစ်သည်။ ဤအရည် ဒိုင်းနမစ် (fluid dynamics) ပြဿနာ အမျိုးအစားကို [[အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ|အွိုင်လာ ညီမျှခြင်း]] (Euler equation) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။]] အရည် ဒိုင်းနမစ်တွင် '''စေးပျစ်မှုကင်းသော စီးဆင်းမှု''' ဆိုသည်မှာ တိကျစွာ သုညဖြစ်သော [[စေးပျစ်ဆ]] (exactly zero viscosity) ဖြင့် ဝိသေသပြုထားသည့် စံပြ အရည် (ideal fluid) ၏ အဆက်မပြတ် စီးဆင်းမှု (continuous flow) ကို ဆိုလိုသည်။ === ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ နှင့် ကန့်သတ်ချက်များ (Formal Definitions & Limits) === ကိန်းသေ စေးပျစ်ဆ (constant viscosity) ရှိသော ဖိသိပ်၍မရသော (incompressible) [[နယူတန်နီယန် အရည်]] (Newtonian fluid) တစ်ခုအတွက် အရည် ရွေ့လျားမှု၏ ဒိုင်းနမစ်ကို [[နာဗီယေး-စတုတ် ညီမျှခြင်းများ|နာဗီယေး-စတုတ် အဟုန် ညီမျှခြင်း]] (Navier-Stokes momentum equation) ဖြင့် တိကျစွာ ထိန်းချုပ်ထားသည်။ <math display="block"> \rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho \mathbf{g} </math> စေးပျစ်မှုကင်းသော စီးဆင်းမှု အခြေအနေသည် ဒိုင်းနမစ် စေးပျစ်ဆ (dynamic viscosity) အတိအကျ သုညသို့ ရောက်ရှိသွားသည့် <math>\mu \to 0</math> သင်္ချာဆိုင်ရာ [[စုဆုံမှတ်]] (mathematical limit) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံများ (parameters) ကို အတိုင်းအတာမဲ့ဖြစ်စေခြင်း (nondimensionalizing) က ရေးနိုးကိန်း (Reynolds number) ကိုပေးသည်။ <math display="block"> \mathrm{Re} = \frac{l_c u \rho}{\mu} </math> ပုံသေ အဆုံးရှိ ဝိသေသလက္ခဏာ အလျား (characteristic length) <math>l_c</math> နှင့် [[အလျင်]] စကေး (velocity scale) <math>u</math> တို့အတွက် ကန့်သတ်ချက် <math>\mu \to 0</math> သည် ချဉ်းကပ်မှု စုဆုံမှတ် (asymptotic limit) <math>\mathrm{Re} \to \infty</math> နှင့် ကိုက်ညီသည်။ === အဓိက ရလဒ်များ (Core Results) === နာဗီယေး-စတုတ် ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Navier-Stokes formulation) တွင် <math>\mu \to 0</math> ကန့်သတ်ချက်ကို ယူလိုက်ခြင်းသည် ပျံ့နှံ့ခြင်း ကိန်းပိုင်း (diffusion term) <math>\mu \nabla^2 \mathbf{u}</math> ကိုသုညဖြစ်သွားစေသည်။ ကျန်ရှိနေသော စနစ်ကို [[အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ]] အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ <math display="block"> \rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \rho \mathbf{g} </math> ဖိသိပ်၍မရသော အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ကြားခံနယ် (continuous medium) တစ်ခုအတွက် ၎င်းကို [[ဗက်တာစက်ကွင်း|အလျင် စက်ကွင်း]] အပေါ်ရှိ [[ဆိုလီနွိုက်ဒယ်]] ကန့်သတ်ချက် (solenoidal constraint) ဖြင့်တွဲဖက်ထားသည်။ <math display="block"> \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 </math> စေးပျစ်မှုဆိုင်ရာ ပွတ်တိုက်ဖိစီးမှုများ (viscous shear stresses) ကို အပြည့်အဝ ဖယ်ရှားထားခြင်းကြောင့် တစ်ပြေးညီ အဝေးစက်ကွင်း အလျင် (uniform far-field velocity) ရှိသည့် [[အနန္တ]] အရင်းအမြစ်စု (infinite domain) အတွင်း နစ်မြုပ်နေသော အရာဝတ္ထုအခဲ (solid body) တစ်ခုအပေါ် ဖြတ်သန်းသွားသည့် စေးပျစ်မှုကင်းသော အရည်တစ်ခု၏ အခြေအနေမပြောင်းလဲသော (steady-state)၊ ဖိသိပ်၍မရသော၊ လည်ပတ်မှုမဲ့ စီးဆင်းမှု (irrotational flow) အတွက် အဖြေများသည် အသားတင် ခုခံဆွဲအား (net drag force) သုညအဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ လက်တွေ့စမ်းသပ်မှုအခြေခံ လေ့လာတွေ့ရှိချက် (empirical observation) နှင့် ပြင်းထန်စွာ ဆန့်ကျင်နေသော ဤသင်္ချာဆိုင်ရာ ကန့်သတ်ချက် (mathematical constraint) ကို ဒီအာလမ်ဘတ်၏ ဝိရောဓိ (d'Alembert's paradox) ဟု လူသိများသည်။ === ကိုးကား (References) === * {{Citation |last=Birkhoff |first=Garrett |title=Hydrodynamics |publication-place=Princeton |publisher=Princeton University Press |date=2015 |isbn=978-1-4008-7777-5}} * {{Citation |last1=Stewart |first1=Warren E. |last2=Lightfoot |first2=Edwin N. |title=Transport phenomena |publisher=Wiley |date=2007 |isbn=978-0-470-11539-8}} * {{Citation |last=Stokes |first=G. G. |title=On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids |journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |volume=8 |date=1845 |url=https://archive.org/details/transactionsofca08camb/page/286/mode/2up}} [[ကဏ္ဍ:အရည်များ]] m9d3daxppgxjxpshhr80jj3z01k0ss7 0 292149 1060947 1055750 2026-11-01T00:49:49Z Mkant00 135890 1060947 wikitext text/x-wiki '''ဂယ်လီလီယို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Galilean invariance)''' သို့မဟုတ် ဂယ်လီလီယို နှိုင်းရသီအိုရီ (Galilean relativity) အရ နယူတန် ရွေ့လျားမှု (Newtonian motion) ၏ အခြေခံ နိယာမများသည် အီနားရှား ရည်ညွှန်း ဖရိန်များ (inertial frames of reference) အားလုံးတွင် ထပ်တူညီကြောင်း (identical) ဖော်ပြသည်။ === ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းမှု နှင့် ရွေ့လျားမှုဗေဒ (Formal Setup & Kinematics) === အီနားရှား ရည်ညွှန်း ဖရိန်များ (inertial reference frames) <math>S</math> နှင့် <math>S'</math> နှစ်ခုကို စဉ်းစားပါ။ <math>t = t'</math> ဖြစ်စေရန် ဖရိန်များအကြား ထပ်တူညီစွာ ညှိနှိုင်းပေးသော အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော အချိန် ကိန်းရှင်ကြားခံ (universal time parameter) တစ်ခု ရှိသည်ဟု မှတ်ယူပါ။ အကယ်၍ ဖရိန် <math>S'</math> သည် <math>S</math> အပေါ် အခြေခံ၍ ကိန်းသေ နှိုင်းရ [[အလျင်]] [[ဗက်တာ]] (constant relative velocity vector) <math>\mathbf{v}</math> ဖြင့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းသွားပါက (translates) <math>S</math> အတွင်းရှိ တည်နေရာ ဗက်တာ (position vector) <math>\mathbf{r}(t)</math> သည် ဂယ်လီလီယို အသွင်ပြောင်းခြင်း (Galilean transformation) မှတစ်ဆင့် <math>S'</math> အတွင်းရှိ <math>\mathbf{r}'(t)</math> သို့ အောက်ပါအတိုင်း ပုံဖော်သွားသည်။ <math display="block"> \mathbf{r}'(t) = \mathbf{r}(t) - \mathbf{v}t </math> အချိန်ကို အခြေခံ၍ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (differentiation) အရ အလျင် အသွင်ပြောင်းခြင်း (velocity transformation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block"> \mathbf{u}'(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}'(t) = \mathbf{u}(t) - \mathbf{v} </math> ဒုတိယအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းမှ [[အရှိန်]] (acceleration) ကို ရရှိသည်။ <math display="block"> \mathbf{a}'(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{u}'(t) = \mathbf{a}(t) </math> [[ဒြပ်ထု]] (mass) သည် ရည်ညွှန်း ဖရိန်အားလုံးတစ်လျှောက် မပြောင်းလဲဘဲ (invariant) တည်ရှိသည်ဟု ယူဆပါက အရှိန်များ တူညီခြင်းသည် အီနားရှား ဖရိန်အားလုံးတွင် နယူတန်၏ ဒုတိယ နိယာမ (Newton's second law) ကို အချိုးညီစွာမှန်ကန်စေကြောင်း အတည်ပြုပေးသည်။ === လျှပ်စစ်သံလိုက်သဘာဝဆိုင်ရာ အဓိက ရလဒ်များ (Core Results in Electromagnetism) === မက်စ်ဝဲလ်၏ [[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (Maxwell's equations) သည် တိကျစွာ ဂယ်လီလီယို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Galilean invariant) ရှိခြင်း မဟုတ်သော်လည်း [[ဗက်တာစက်ကွင်း|သံလိုက် စက်ကွင်း]] (magnetic field) သို့မဟုတ် [[ဗက်တာစက်ကွင်း|လျှပ်စစ် စက်ကွင်း]] (electric field) တစ်ခုခုက စနစ်အပေါ် ပြင်းထန်စွာ လွှမ်းမိုးထားချိန်တွင် ခန့်မှန်းခြေ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုရှိသော ဂယ်လီလီယို အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (approximate consistent Galilean transformations) တည်ရှိသည်။ '''သံလိုက် စက်ကွင်း စနစ်များ (Magnetic Field Systems)''' လျှပ်စစ် စက်ကွင်းကို သံလိုက် စက်ကွင်းနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက လျစ်လျူရှုနိုင်လောက်သည့်အချိန်နှင့် နှိုင်းရ [[အလျင်]] <math>\mathbf{v}</math> သည် တိကျစွာ နှိုင်းရမဟုတ်သော (non-relativistic) အခြေအနေဖြစ်ချိန်တွင် လျှပ်စစ်သံလိုက် စက်ကွင်းများ (electromagnetic fields) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \mathbf{H}' &= \mathbf{H} \\ \mathbf{J}'_f &= \mathbf{J}_f \\ \mathbf{B}' &= \mathbf{B} \\ \mathbf{E}' &= \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \end{align}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{J}_f</math> သည် လွတ်လပ်သော လျှပ်စီး သိပ်သည်းဆ (free current density) ဖြစ်သည်။ '''လျှပ်စစ် စက်ကွင်း စနစ်များ (Electric Field Systems)''' ပြောင်းပြန်အားဖြင့် သံလိုက် စက်ကွင်းကို လျစ်လျူရှုနိုင်ပြီး နှိုင်းရ အလျင် <math>\mathbf{v}</math> သည် နှိုင်းရမဟုတ်သော အခြေအနေ ဖြစ်ချိန်တွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\begin{align} \mathbf{E}' &= \mathbf{E} \\ \mathbf{D}' &= \mathbf{D} \\ \mathbf{\rho}'_f &= \mathbf{\rho}_f \\ \mathbf{H}' &= \mathbf{H} - \mathbf{v} \times \mathbf{D} \\ \mathbf{J}'_f &= \mathbf{J}_f - \mathbf{\rho}_f \mathbf{v} \end{align}</math> ဤနေရာတွင် <math>\mathbf{\rho}_f</math> သည် လွတ်လပ်သော လျှပ်စစ်ဓာတ် သိပ်သည်းဆ (free charge density) ဖြစ်သည်။ === ကိုးကား (References) === * {{Citation |last=McComb |first=W. D. |title=Dynamics and relativity |publication-place=Oxford |publisher=Oxford University Press |date=1999 |isbn=0-19-850112-9}} * {{Citation |last1=Woodson |first1=Herbert H. |last2=Melcher |first2=James R. |title=Electromechanical Dynamics |volume=1 |publication-place=New York |publisher=Wiley |date=1968 |url=http://uilis.unsyiah.ac.id/oer/files/original/a447802044bfa2aa083db80457e1f9a7.pdf |access-date=27 September 2026 |archive-date=20 December 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221220225445/http://uilis.unsyiah.ac.id/oer/files/original/a447802044bfa2aa083db80457e1f9a7.pdf |url-status=dead}} [[ကဏ္ဍ:ဂန္ထဝင် မက္ကင်းနစ်]] empoe7nml02j3xwvh7wacgmt7lbrp3y 0 292171 1060915 1055601 2026-10-31T22:03:53Z Mkant00 135890 1060915 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Dice measure.svg|thumb|400px|အန်စာတုံးကို ဆက်တိုက် 2 ကြိမ် ပစ်ခြင်းအတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း (probability space) ပုံကြမ်းဖြစ်သည်။ [[နမူနာ ရပ်ဝန်း]] (sample space) <math>\Omega</math> တွင် ဖြစ်နိုင်သော ရလဒ် (outcome) 36 ခုလုံး ပါဝင်သည်။ အရောင်ခြယ်ထားသည့် မတူညီသော [[အဖြစ်အပျက်]] (event) 3 ခုနှင့် ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) များကို ပြသထားသည်။ ဤနေရာတွင် တစ်ပိုင်းတစ်စ တစ်ပြေးညီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete uniform distribution) ဖြစ်သည်ဟု ယူဆထားသည်။]] ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ စုစုပေါင်း အတိုင်းအတာ (measure) 1 ရှိသော အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်း (measure space) <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ကျပန်း စမ်းသပ်ချက် (random experiment) ၏ မော်ဒယ်ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားခြင်းပင်ဖြစ်သည်။<ref>Loève (1955), p. 14.</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း (probability space) <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> တွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။<ref>Stroock (1999), p. 2.</ref> *[[နမူနာ ရပ်ဝန်း]] (sample space) <math>\Omega</math> သည် ရလဒ် (outcome) များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အလိုရှိရာ (arbitrary) ဗလာမဟုတ်သော[[အစု]] (non-empty set) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ *ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) <math>\mathcal{F} \subseteq 2^\Omega</math> သည် <math>\Omega</math> ၏ [[အစုပိုင်း]] (subset) များ စုစည်းမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့ကို [[အဖြစ်အပျက်]] (event) များဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် အောက်ပါအချက်များနှင့် ကိုက်ညီရမည်။ :* <math>\Omega \in \mathcal{F}</math> ဖြစ်ရမည်။ :* ဖြည့်စွက်စု (complement) များအောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (closure property) ပြည့်စုံမှုရှိရမည်။ အကယ်၍ <math>A \in \mathcal{F}</math> ဖြစ်ပါက <math>(\Omega \setminus A) \in \mathcal{F}</math> ဖြစ်ရမည်။ :* ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်စု (countable union) များအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံမှုရှိရမည်။ အကယ်၍ <math>i = 1, 2, \dots</math> အတွက် <math>A_i \in \mathcal{F}</math> ဖြစ်ပါက <math>\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{F}</math> ဖြစ်ရမည်။ *ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) <math>P : \mathcal{F} \to [0,1]</math> သည် [[ဖန်ရှင်|အစုဖန်ရှင်]] (set function) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအချက်များနှင့် ကိုက်ညီရမည်။ :* ရေတွက်နိုင်သော ပေါင်းစပ်နိုင်မှု (countable additivity) ရှိရမည်။ အကယ်၍ <math>\{A_i\}_{i=1}^\infty \subseteq \mathcal{F}</math> သည် အစုံလိုက် ဘုံမပါသော[[အစု]] (pairwise disjoint set) များ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence) တစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)</math> ဖြစ်ရမည်။ :* ယူနစ် အတိုင်းအတာ (unit measure) ဖြစ်ရမည်။ <math>P(\Omega) = 1</math> ဖြစ်သည်။ == တစ်ပိုင်းတစ်စဖြစ်သော အခြေအနေ (Discrete Case) == ရေတွက်နိုင်သော (countable) [[နမူနာ ရပ်ဝန်း]] (sample space) <math>\Omega</math> အတွက် <math>\mathcal{F}</math> ကို ယေဘုယျအားဖြင့် [[အစု|ပါဝါအစု]] (power set) <math>2^\Omega</math> အဖြစ် ရွေးချယ်လေ့ရှိသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete probability distribution) ကို <math>\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = 1</math> ဖြစ်စေမည့် ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု [[ဖန်ရှင်]] (probability mass function) <math>p : \Omega \to [0,1]</math> ဖြင့် ထိန်းချုပ်ထားသည်။ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>A \subseteq \Omega</math> အားလုံးအတွက် ဖြစ်သည်။ :<math>P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega)</math> == ယေဘုယျနှင့် အက်တမ်မဲ့ အခြေအနေများ (General and Non-Atomic Cases) == <math>P(A) > 0</math> ရှိသော မည်သည့် [[အဖြစ်အပျက်]] (event) <math>A</math> အတွက်မဆို <math>0 < P(B) < P(A)</math> ဖြစ်သည့် အဖြစ်အပျက်ပိုင်း <math>B \subseteq A</math> တည်ရှိနေပါက ယင်းရပ်ဝန်းကို အက်တမ်မဲ့ (non-atomic) ဟု ခေါ်သည်။ စံ ဘိုရဲလ် ရပ်ဝန်းများတွင် (standard Borel spaces) ဤအချက်အရ <math>\omega \in \Omega</math> အားလုံးအတွက် <math>P(\{\omega\}) = 0</math> ဖြစ်စေသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>P(A)</math> ကို [[ပေါင်းခြင်း]] (summation) မှတစ်ဆင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍မရနိုင်ပေ။ ဖြစ်တန်စွမ်းများကို ယေဘုယျအားဖြင့် ထုတ်လုပ်ကိန်း[[အစု]] (generator set) များထံသို့ သတ်မှတ်ပေးလေ့ရှိသည်။ ထို့အပြင် ထုတ်လုပ်ခံ (generated) ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) <math>\mathcal{F}</math> အပေါ်တွင် <math>P</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရန်အတွက် ကာရာသီယိုဒိုရီ၏ တိုးချဲ့ချက် သီအိုရမ် (Carathéodory's extension theorem) ကို အသုံးချနိုင်သည်။ <math>\mathcal{F}</math> ၌ ပါဝင်သော အစု (set) များကို တိုင်းတာနိုင်သော (measurable) အစုများဟု ခေါ်ဆိုသည်။ == ပြည့်စုံသော ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း (Complete Probability Space) == <math>P(B) = 0</math> ဖြစ်သော <math>B \in \mathcal{F}</math> အားလုံးအတွက် မည်သည့် [[အစုပိုင်း]] (subset) မဆို <math>A \subseteq B</math> သည် <math>A \in \mathcal{F}</math> နှင့် <math>P(A) = 0</math> ဖြစ်စေပါက ထို ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း (probability space) <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> သည် ပြည့်စုံသည် (complete) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Loève |first=Michel |title=Probability Theory |volume=1 |publication-place=New York |publisher=D. Van Nostrand Company |date=1955}} * {{Citation |last=Stroock |first=Daniel W. |title=Probability Theory: An Analytic View |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1999 |isbn=978-0521663496}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] qo2cvppxc7khvs3xt0w4bg04tbp0ylo 0 292174 1060916 1055603 2026-10-31T22:04:09Z Mkant00 135890 1060916 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Venn A subset B.svg|thumb|150px|အဖြစ်အပျက် (event) တစ်ခုကို ပြသထားသည့် အွိုင်လာ ပုံကြမ်း (Euler diagram) ဖြစ်သည်။ <math>B</math> သည် [[နမူနာ ရပ်ဝန်း]] (sample space) ဖြစ်ပြီး <math>A</math> သည် အဖြစ်အပျက်တစ်ခုဖြစ်သည်။]] အဖြစ်အပျက် <math>E</math> ဆိုသည်မှာ ဖြစ်တန်စွမ်းတစ်ခု သတ်မှတ်ပေးထားသည့် [[နမူနာ ရပ်ဝန်း]] <math>\Omega</math> ၏ တိုင်းတာနိုင်သော (measurable) [[အစုပိုင်း]] (subset) တစ်ခုပင်ဖြစ်သည်။<ref>Leon-Garcia (2008), p. 23.</ref> [[အစု|အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု]] (singleton set) များသည် တိုင်းတာနိုင်သည်ဟု ယူဆပါက ရလဒ် (outcome) တစ်ခုတည်းတိတိကျကျ <math>\{\omega\}</math> ပါဝင်သော အဖြစ်အပျက်ကို အခြေခံ အဖြစ်အပျက် (elementary event) ဟု ခေါ်သည်။ စမ်းသပ်ချက်တစ်ခုမှ ရလဒ် <math>\omega \in \Omega</math> ကို ထုတ်ပေးပါက အဖြစ်အပျက် <math>E</math> ဖြစ်ပွားခဲ့သည်ဟု မှတ်ယူနိုင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\omega \in E</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ == အဆက်မပြတ် [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း|ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်းများရှိ]] အဖြစ်အပျက်များ (Events in Continuous Probability Spaces) == <math>\Omega</math> သည် အဆုံးရှိ (finite) သို့မဟုတ် ရေတွက်နိုင်သော [[အနန္တ]] (countably infinite) ဖြစ်နေသောအခါ [[အစု|ပါဝါအစု]] (power set) <math>2^\Omega</math> ၏ [[အစုဝင်]] (element) အားလုံးကို အဖြစ်အပျက် (event) များအဖြစ် ယေဘုယျအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။<ref>Širjaev (2016), p. 15.</ref> ရေတွက်၍မရသော အနန္တ (uncountably infinite) ဖြစ်သည့် <math>\Omega</math> အပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous probability distribution) များအတွက် [[အစုပိုင်း]] (subset) တိုင်းကို အဖြစ်အပျက်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းသည် [[အစု|တိုင်းတာ၍မရသော အစု]] (non-measurable set) များကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>[0, 1]</math> အပိုင်းအခြား (interval) အပေါ်ရှိ တစ်ပြေးညီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (uniform distribution) ကို ကြည့်နိုင်သည်။ ထိုတိုင်းတာ၍မရသော အစုများအတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) များကို ရှေ့နောက်ညီညွတ်စွာဖြင့် သတ်မှတ်ပေး၍မရနိုင်ပေ။ ဖြစ်တန်စွမ်း [[နဂိုမှန်အဆို]] (probability axiom) များကို ထိန်းသိမ်းရန်အတွက် အဖြစ်အပျက်များကို ရွေးချယ်ထားသော ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) တစ်ခု၏ အစုဝင်များအဖြစ်သာ တင်းကျပ်စွာ ကန့်သတ်ထားရသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ၎င်းသည် ဘိုရဲလ် ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (Borel sigma-algebra) သို့မဟုတ် လီဘက်ဂ် တိုင်းတာနိုင်သော အစု (Lebesgue measurable set) များ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်း (formalization) အရ ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာထဲတွင် မပါဝင်သော မည်သည့်အစုပိုင်း <math>A \subset \Omega</math> ကိုမဆို အဖြစ်အပျက်တစ်ခုအဖြစ် တိကျပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားပေ။ == ကျပန်းကိန်းရှင် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Random Variable Notation) == အဖြစ်အပျက် (event) များကို တိုင်းတာနိုင်သော [[ဖန်ရှင်]] (measurable function) များ၏ ပရက်ဒီကိတ် (predicate) များအနေဖြင့် ယေဘုယျအားဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ ကျပန်းကိန်းရှင် (real-valued random variable) <math>X : \Omega \to \mathbb{R}</math> တစ်ခုသည် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ အပိုင်းအခြား (interval) <math>(u, v]</math> ကို ပုံဖော်နေသည့် [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|ပြောင်းပြန်ပုံရိပ်]] (inverse image) ပုံဖော်မှု (mapping) သည် အောက်ပါအဖြစ်အပျက်ကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ :<math>\{ \omega \in \Omega \mid u < X(\omega) \leq v \}</math> ၎င်းကို [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] [[သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများစာရင်း|သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း]] (probability notation) တွင် <math>u < X \leq v</math> ဟုအတိုကောက် ရေးသားလေ့ရှိသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Leon-Garcia |first=Alberto |title=Probability, Statistics and Random Processes for Electrical Engineering |publication-place=Upper Saddle River |publisher=Pearson |date=2008 |isbn=978-0131471221}} * {{Citation |last=Širjaev |first=Albert N. |title=Probability-1 |edition=3rd |series=Graduate Texts in Mathematics |publication-place=New York |publisher=Springer |date=2016 |isbn=978-0-387-72205-4}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] 3q45y4xrghd2igh8mgdwdxnfr8qz5do 0 292177 1060917 1055606 2026-10-31T22:06:23Z Mkant00 135890 1060917 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Largenumbers.svg|thumb|စမ်းသပ်ချက်များ အရေအတွက် များပြားလာသည်နှင့်အမျှ အန်စာတုံးပစ်ခြင်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sequence average) များသည် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) <math>3.5</math> ထံသို့ စုဆုံခြင်း (convergence) ကို ပြသထားသော ပုံဖြစ်သည်။]] [[File:Beta first moment.svg|thumb|ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) ၏ ဒြပ်ထု (mass) သည် မျှော်မှန်းတန်ဖိုးတွင် မျှခြေဖြစ်နေပုံကို ပြသထားသည်။ ဤနေရာတွင် ဘီတာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (beta distribution) ဖြစ်သည်။]] [[File:Roland Uhl 2023 Charakterisierung des Erwartungswertes Bild1.svg|upright=1.07|thumb|မျှော်မှန်းတန်ဖိုး <math>\mu</math> နှင့် မီဒီယန် (median) <math>m</math> တို့ဖြစ်သည်။]] [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) <math>X</math> တစ်ခု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး သို့မဟုတ် ပထမ မိုးမန့် (first moment) ဆိုသည်မှာ ၎င်း၏ ရလဒ် (outcome) များ၏ ယေဘုယျပြုထားသော အလေးဆပေး ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (generalized weighted average) ဖြစ်ပြီး [[ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ]] (probability measure) နှင့် သက်ဆိုင်သော [[အင်တီဂရေးရှင်း|လီဘက်ဂ် အင်တီဂရယ်]] (Lebesgue integral) အဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားသည်။<ref>Billingsley (1995), p. 273.</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == * '''အဆုံးရှိ ရလဒ်များ (finite outcomes)''' တွင် တန်ဖိုးများ <math>x_1, \dots, x_k</math> နှင့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) များ <math>p_1, \dots, p_k</math> ရှိသော တစ်ပိုင်းတစ်စ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (discrete random variable) <math>X</math> တစ်ခုအတွက် မျှော်မှန်းတန်ဖိုးမှာ <math>\operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^k x_i p_i</math> ဖြစ်သည်။<ref>Billingsley (1995), p. 76.</ref> * '''ရေတွက်နိုင်သော ရလဒ်များ (countable outcomes)''' တွင် ရေတွက်နိုင်သော [[အနန္တ]] (countably infinite) တန်ဖိုးများအတွက် ပေါင်းလဒ်ကို မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း (well-defined) ရှိပါက <math>\operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i p_i</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\infty - \infty</math> ပုံစံ မဖြစ်စေရန် လိုအပ်သည်။<ref>Feller (1968), §IX.2.</ref> * '''အဆက်မပြတ် သိပ်သည်းဆ (continuous density)''' တွင် အကယ်၍ <math>X</math> သည် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] (probability density function) <math>f</math> တစ်ခုကို လက်ခံရရှိပြီး အင်တီဂရယ် (integral) ကို မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း ရှိပါက <math>\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>\infty - \infty</math> ပုံစံ မဖြစ်စေရန် လိုအပ်သည်။<ref>Ross (2019), §2.4.2.</ref> * '''အတိုင်းအတာ-သီအိုရီဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (measure-theoretic formulation)''' တွင် [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း]] (probability space) <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> တစ်ခုအတွက် <math>\operatorname{E}[X] = \int_\Omega X\, dP</math> ဖြစ်သည်။ * '''[[အနန္တ]] မျှော်မှန်းချက်များ (infinite expectations)''' တွင် [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] <math>X</math> ကို အပေါင်းနှင့် အနုတ် အစိတ်အပိုင်းများဖြစ်သော <math>X^+</math> နှင့် <math>X^-</math> အဖြစ် ခွဲခြားနိုင်သည်။ အကယ်၍ <math>\operatorname{E}[X^+] = \infty</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{E}[X^-] < \infty</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{E}[X] = \infty</math> ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\operatorname{E}[X^+] = \infty</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{E}[X^-] < \infty</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{E}[X] = \infty</math> ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို စိန့်ပီတာစဘတ် ဝိရောဓိ (St. Petersburg paradox) တွင် တွေ့နိုင်သည်။ အကယ်၍ ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံး [[အနန္တ]] (infinite) ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{E}[X]</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ကော်ချီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Cauchy distribution) တွင် တွေ့နိုင်သည်။ == အဓိက ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Properties) == * '''မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity)''' တွင် မျှော်မှန်းတန်ဖိုးများသည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{E}[aX + bY] = a\operatorname{E}[X] + b\operatorname{E}[Y]</math> ဖြစ်သည်။ * '''အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (monotonicity)''' တွင် မျှော်မှန်းချက်နှစ်ခုလုံးကို မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်းရှိပြီး သေချာသလောက်နီးပါး (almost surely) <math>X \le Y</math> ဖြစ်ပါက <math>\operatorname{E}[X] \le \operatorname{E}[Y]</math> ဖြစ်သည်။ * '''မသိစိတ်လွှမ်းမိုးသော စာရင်းအင်းပညာရှင်၏ နိယာမ (law of the unconscious statistician)''' တွင် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် <math>f</math> ရှိသော အဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> နှင့် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင် <math>g</math> အတွက် <math>\operatorname{E}[g(X)] = \int_{\mathbb{R}} g(x) f(x)\, dx</math> ဖြစ်ပြီး ပိုင်းစသီးခြား ကျပန်းကိန်းရှင်များအတွက် <math>\operatorname{E}[g(X)] = \sum_x g(x) P(X = x)</math> ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ မညီမျှခြင်းများ (Fundamental Inequalities) == * '''မာကော့ဗ်၏ မညီမျှခြင်း (Markov's inequality)''' တွင် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) <math>X</math> နှင့် <math>a > 0</math> တို့အတွက် <math>P(X \ge a) \le \frac{\operatorname{E}[X]}{a}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ချေဘီရှက်ဗ်၏ မညီမျှခြင်း (Chebyshev's inequality)''' တွင် အဆုံးရှိ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးနှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] ရှိသော <math>X</math> နှင့် <math>a > 0</math> အတွက် <math>P(|X - \operatorname{E}[X]| \ge a) \le \frac{\operatorname{Var}[X]}{a^2}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဂျန်ဆင်၏ မညီမျှခြင်း (Jensen's inequality)''' တွင် အဆုံးရှိ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးရှိသော <math>X</math> နှင့် ခုံးသော [[ဖန်ရှင်]] (convex function) <math>f</math> တစ်ခုအတွက် <math>f(\operatorname{E}[X]) \le \operatorname{E}[f(X)]</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဟိုလ်ဒါ၏ မညီမျှခြင်း (Hölder's inequality)''' တွင် <math>p^{-1} + q^{-1} = 1</math> ဖြစ်စေမည့် <math>p, q > 1</math> တို့အတွက် <math>\operatorname{E}[|XY|] \le (\operatorname{E}[|X|^p])^{1/p}(\operatorname{E}[|Y|^q])^{1/q}</math> ဖြစ်သည်။ == စုဆုံခြင်း သီအိုရမ်များ (Convergence Theorems) == သီးခြား အခြေအနေများနှင့် မကိုက်ညီပါက [[စုဆုံမှတ်]] (limit) များနှင့် မျှော်မှန်းချက်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutative property) ဖြင့် ပြည့်စုံလေ့မရှိပေ။ * '''အစဉ်လိုက် စုဆုံခြင်း သီအိုရမ် (monotone convergence theorem)''' အရ အကယ်၍ သေချာသလောက်နီးပါး <math>0 \le X_n \uparrow X</math> ဖြစ်ပါက <math>\lim_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n] = \operatorname{E}[X]</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဖာတူး၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Fatou's lemma)''' အရ အနုတ်မဟုတ်သော <math>X_n</math> အတွက် <math>\operatorname{E}[\liminf_{n \to \infty} X_n] \le \liminf_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n]</math> ဖြစ်သည်။ * '''လွှမ်းမိုးခံ စုဆုံခြင်း သီအိုရမ် (dominated convergence theorem)''' အရ အကယ်၍ သေချာသလောက်နီးပါး <math>X_n \to X</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{E}[Y] < \infty</math> ဖြစ်သော <math>|X_n| \le Y</math> အခြေအနေရှိပါက <math>\lim_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n] = \operatorname{E}[X]</math> ဖြစ်စေသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Billingsley |first=Patrick |title=Probability and Measure |edition=3rd |date=1995 |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |isbn=0-471-00710-2}} * {{Citation |last=Feller |first=William |title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 |edition=3rd |date=1968 |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons}} * {{Citation |last=Ross |first=Sheldon M. |title=Introduction to Probability Models |edition=12th |date=2019 |publication-place=London |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-814346-9}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] djgf79uhm2ehw0r02sla6of0a4y2zuz 0 292178 1060920 1055607 2026-10-31T22:06:48Z Mkant00 135890 1060920 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Comparison standard deviations.svg|thumb|400px|right|တူညီသော ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean) ရှိသော်လည်း မတူညီသော ကွဲလွဲချက် (variance) များရှိသည့် စုစုပေါင်းအုပ်စု (population) နှစ်ခုမှ နမူနာ (sample) များ၏ ဥပမာဖြစ်သည်။]] [[File:Scaled chi squared.svg|thumb|250px|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) ကို လိုက်နာသော အမှီအခိုကင်းသည့် (independent) နမူနာများအတွက် <math>S^2/\sigma^2</math> ၏ ဖြန့်ဖြူးခြင်းဖြစ်သည်။]] [[File:Scaled chi squared cdf.svg|thumb|250px|<math>S^2/\sigma^2</math> ၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (cumulative distribution) ဖြစ်သည်။]] ကွဲလွဲချက် ဆိုသည်မှာ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) <math>X</math> တစ်ခုသည် ၎င်း၏ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး <math>\mu = \operatorname{E}[X]</math> မှ သွေဖည်မှုအား နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ထားခြင်း၏ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ပြန့်ကြဲမှု (statistical dispersion) အတိုင်းအတာ (measure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Wasserman (2005), p. 51.</ref> ၎င်းသည် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) တစ်ခု၏ ဒုတိယ ဗဟို မိုးမန့် (second central moment) ပင်ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == ဒုတိယ မိုးမန့် <math>\operatorname{E}[X^2]</math> သည် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်ပါက <math>\sigma^2</math> ဟုလည်း သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသော ကွဲလွဲချက် <math>\operatorname{Var}(X)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ :<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2\right] = \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2</math> * '''တစ်ပိုင်းတစ်စဖြစ်သော အခြေအနေ (discrete case)''' တွင် တန်ဖိုးများ <math>x_i</math> ရှိ ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု [[ဖန်ရှင်]] (probability mass function) <math>p_i</math> တစ်ခုအတွက် <math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i} p_i (x_i - \mu)^2</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>\mu = 3.5</math> ရှိသော မျှတသည့် မျက်နှာပြင် <math>6</math> ခုပါ အန်စာတုံးတစ်ခု၏ ကွဲလွဲချက်မှာ <math>\frac{1}{6} \sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 = \frac{35}{12} \approx 2.92</math> ဖြစ်သည်။ * '''အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အခြေအနေ (continuous case)''' တွင် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] (probability density function) <math>f(x)</math> တစ်ခုအတွက် <math>\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty (x - \mu)^2 f(x)\,dx</math> ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံ (parameter) <math>\lambda</math> ရှိသော ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) တစ်ခု၏ ကွဲလွဲချက်မှာ <math>\int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \,dx - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2}</math> ဖြစ်သည်။ == ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (Properties and Linear Combinations) == * '''နေရာရွှေ့ခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariance to shift)''' တွင် <math>\operatorname{Var}(X + a) = \operatorname{Var}(X)</math> ဖြစ်သည်။ * '''အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling)''' တွင် <math>\operatorname{Var}(aX) = a^2\operatorname{Var}(X)</math> ဖြစ်သည်။ * '''ဘီယန်းနေးမီ၏ ထပ်တူညီမှု (Bienaymé's identity)''' အရ အမှီအခိုကင်းသော သို့မဟုတ် ဆက်စပ်မှုမရှိသော (uncorrelated) [[ကျပန်းကိန်းရှင်]]များအတွက် <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)</math> ဖြစ်သည်။<ref>Bienaymé (1853), p. 309.</ref> * '''ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (general linear combination)''' တွင် <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{1 \le i < j \le n} a_i a_j \operatorname{Cov}(X_i, X_j)</math> ဖြစ်သည်။ == စုစုပေါင်းအုပ်စုနှင့် နမူနာ ကွဲလွဲချက် (Population vs. Sample Variance) == အရွယ်အစား <math>N</math> ရှိသော အဆုံးရှိ စုစုပေါင်းအုပ်စု (finite population) တစ်ခု၏ စုစုပေါင်းအုပ်စု ကွဲလွဲချက် (population variance) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ :<math>\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2</math> စုစုပေါင်းအုပ်စုတစ်ခုမှ ရယူထားသော အမှီအခိုကင်းပြီး အချိုးညီစွာ ဖြန့်ဖြူးထားသည့် (independent and identically distributed) ကျပန်း နမူနာ (random sample) <math>X_1, \dots, X_n</math> မှ ကွဲလွဲချက်ကို ခန့်မှန်းတွက်ချက်သောအခါ စုစုပေါင်းအုပ်စု ပုံသေနည်းကို တိုက်ရိုက်အသုံးပြုခြင်းက ဘက်လိုက် နမူနာ ကွဲလွဲချက် (biased sample variance) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိစေသည်။ :<math>\tilde{S}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2</math> နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sample mean) <math>\overline{X}</math> သည် စုစုပေါင်းအုပ်စု ပျမ်းမျှတန်ဖိုးမှ အမှန်တကယ် သွေဖည်မှုများကို လျှော့ချခန့်မှန်းမိသောကြောင့် <math>\operatorname{E}[\tilde{S}^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2</math> ဖြစ်သည်။ <math>n \ge 2</math> အတွက် ဘက်မလိုက် နမူနာ ကွဲလွဲချက် (unbiased sample variance) ကို တွက်ချက်ရန် ဘက်ဆယ်၏ ပြင်ဆင်ချက် (Bessel's correction) ကို အောက်ပါအတိုင်း အသုံးပြုသည်။<ref>Reichmann (1961), App. 8.</ref> :<math>S^2 = \frac{n}{n-1}\tilde{S}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2</math> အကယ်၍ အချက်အလက်များကို ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း တစ်ခုမှ နမူနာကောက်ယူထားခြင်းဖြစ်ပါက <math>(n-1)S^2/\sigma^2</math> ၏ ဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degree of freedom) <math>n-1</math> ခုရှိသော ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (chi-squared distribution) တစ်ခုကို တိကျစွာ လိုက်နာသည်။<ref>Knight (2000), Prop. 2.11.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Bienaymé |first=Irénée-Jules |title=Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés |journal=Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris |volume=37 |date=1853}} * {{Citation |last=Knight |first=K. |title=Mathematical Statistics |date=2000 |publication-place=New York |publisher=Chapman and Hall}} * {{Citation |last=Reichmann |first=W. J. |title=Use and Abuse of Statistics |date=1961 |publication-place=London |publisher=Methuen}} * {{Citation |last=Wasserman |first=Larry |title=All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference |date=2005 |publisher=Springer Texts in Statistics |isbn=978-1-4419-2322-6}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] f47xuhp3nk9ed09gdcre3tsi74qn9pm 0 292196 1060924 1055611 2026-10-31T22:27:28Z Mkant00 135890 1060924 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[Image:Normal Distribution PDF.svg|300px|thumb|right|အနီရောင် မျဉ်းကွေးသည် စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard normal distribution) ဖြစ်သည်။]] [[Image:Normal Distribution CDF.svg|300px|thumb|right|ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) ၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း [[ဖန်ရှင်]] (cumulative distribution function) ဖြစ်သည်။]] ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သို့မဟုတ် ဂေါက်ရှန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Gaussian distribution) သည် [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (real-valued random variable) တစ်ခုအတွက် အဆက်မပြတ် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous probability distribution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဂေါက်ရှန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ပါရှိသော ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ကို ပုံမှန် သွေဖည်ကိန်း (normal deviate) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို <math>X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Standard Normal Distribution) === စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard normal distribution) သည် <math>\mu=0</math> နှင့် <math>\sigma^2=1</math> ဖြစ်သော အထူး အခြေအနေ (special case) ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] (probability density function) (PDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\varphi(z) = \frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}</math> စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) (CDF) ကို <math>\Phi</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]</math> ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{erf}</math> သည် အမှား ဖန်ရှင် (error function) ဖြစ်သည်။ === ယေဘုယျ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (General Normal Distribution) === စံ ပုံမှန် သွေဖည်ကိန်း (standard normal deviate) <math>Z</math> ကို နေရာရွှေ့ခြင်းနှင့် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) ပြုလုပ်၍ ယေဘုယျ ပုံမှန် သွေဖည်ကိန်း (general normal deviate) <math>X = \sigma Z + \mu</math> အဖြစ် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ <math>\sigma^2 > 0</math> အတွက် <math>X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> ၏ PDF သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp{\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}</math> ကိန်းရှင်ကြားခံ (parameter) <math>\mu</math> သည် ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean)၊ မီဒီယန် (median) နှင့် မုဒ် (mode) ဖြစ်သည်။ ကိန်းရှင်ကြားခံ <math>\sigma^2</math> သည် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) ဖြစ်သည်။ <math>\sigma</math> သည် စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) ဖြစ်သည်။<ref>Tsokos and Wooten (2016), p. 231.</ref> ယေဘုယျ (general) CDF သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]</math> ကွမ်တိုင် [[ဖန်ရှင်]] (quantile function) အား ပြောင်းပြန် (inverse) CDF ဟုလည်း သတ်မှတ်ပြီး ပြောင်းပြန် အမှား ဖန်ရှင် (inverse error function) မှတစ်ဆင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ <math display="block">F^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1)</math> === အခြားရွေးချယ်နိုင်သော ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် ဖော်ပြခြင်း (Alternative Parameterization) === တိကျမှု (precision) <math>\tau</math> ကို [[ကွဲလွဲချက်]] ၏ အချိုးပြောင်းပြန် (reciprocal) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\tau = 1/\sigma^2</math> ဖြစ်သည်။ တိကျမှုဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Bernardo and Smith (2000), p. 121.</ref> <math display="block">f(x) = \sqrt{\frac{\tau}{2\pi}} e^{-\tau(x-\mu)^2/2}</math> == အဓိက သီအိုရမ်များ နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean) <math>\mu</math> နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) <math>\sigma^2</math> ပါရှိသော ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) တစ်ခုအတွက် [[အနုတ်ကိန်း|အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော]] [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (non-negative integers) <math>p \in \mathbb{Z}_{\ge 0}</math> အပေါ် အခြေခံသော ဗဟို မိုးမန့်များ (central moments) <math>\operatorname{E}\left[(X-\mu)^p\right]</math> မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\operatorname{E}\left[(X-\mu)^p\right] = \begin{cases} 0 & \text{if } p \text{ is odd,} \\ \sigma^p (p-1)!! & \text{if } p \text{ is even.} \end{cases}</math> ဤနေရာတွင် <math>!!</math> သည် ဖက်တိုရီရယ် နှစ်ထပ် (double factorial) ကို ဖော်ပြသည်။<ref>Papoulis (2002), p. 148.</ref> === ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း နှင့် ထုတ်လုပ် ဖန်ရှင်များ (Fourier Transform and Generating Functions) === <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> ၏ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (Fourier transform) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် <math>-t</math> တွင် တန်ဖိုးရှာထားသော ဝိသေသလက္ခဏာ [[ဖန်ရှင်]] (characteristic function) လည်း ဖြစ်သည်။<ref>Bryc (1995), p. 23.</ref> <math display="block">\hat{f}(t) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-itx} \, dx = e^{-i\mu t} e^{- \sigma^2 t^2/2}</math> မိုးမန့်ထုတ်လုပ် ဖန်ရှင် (moment-generating function) <math>M(t) = \operatorname{E}[e^{tX}]</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">M(t) = \exp\left(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)</math> စုဆောင်းကိန်းထုတ်လုပ် ဖန်ရှင် (cumulant-generating function) မှာ <math>g(t) = \ln M(t) = \mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် ပထမ နှစ်ခုထက် ကျော်လွန်သော စုဆောင်းကိန်းများ (cumulants) တိကျစွာ သုညဖြစ်သည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) ဖြစ်သည်။ === အကြီးဆုံး အင်ထရိုပီ (Maximum Entropy) === သတ်မှတ်ထားသော အဆုံးရှိ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (finite mean) <math>\mu</math> နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] <math>\sigma^2</math> ပါရှိသည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (probability distributions) အားလုံးအနက် ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အင်ထရိုပီ (differential entropy) ကို အကြီးဆုံးဖြစ်စေသည်။<ref>Cover and Thomas (2006), p. 254.</ref> <math display="block">H(X) = - \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln f(x)\, dx = \frac{1}{2}(1+\ln(2\pi\sigma^2))</math> === ပုံမှန် ကိန်းရှင်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Normal Variables) === ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း တွင် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ]] (linear transformations) အတွက် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] ရှိသည်။ <math>a \neq 0</math> အတွက် <math>X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> ဖြစ်လျှင် <math>aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2)</math> ဖြစ်သည်။ <math>X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)</math> နှင့် <math>X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ကိန်းများ ဖြစ်လျှင် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် သည် ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးမှု ဖြစ်သည်။<ref>Bryc (1995), p. 27.</ref> <math display="block">X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)</math> === ဗဟို စုဆုံမှတ် သီအိုရမ် (Central Limit Theorem) === <math>X_1, \ldots, X_n</math> ကို ပျမ်းမျှတန်ဖိုး <math>\mu</math> နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] <math>\sigma^2</math> ပါရှိသော အမှီအခိုကင်းပြီး အချိုးညီစွာ ဖြန့်ဖြူးထားသော [[ကျပန်းကိန်းရှင်|ကျပန်းကိန်းရှင်များ]] (independent and identically distributed random variables) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ စံသတ်မှတ်ထားသော နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (standardized sample mean) <math>Z</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">Z = \sqrt{n}\left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \mu}{\sigma}\right)</math> <math>n \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသည်နှင့်အမျှ <math>Z</math> အတွက် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ၏ [[ကိန်းစဉ်]] (sequence of distributions) သည် စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard normal distribution) <math>\mathcal{N}(0,1)</math> သို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းဆိုင်ရာ စုဆုံသည် (converges in distribution)။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === <math>\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> မှ အရွယ်အစား <math>n \ge 2</math> ရှိသည့် နမူနာ (sample) <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> တစ်ခု ပေးထားပါက <math>\mu</math> နှင့် <math>\sigma^2</math> အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်းများ (maximum likelihood estimators) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Krishnamoorthy (2006), p. 127.</ref> <math display="block">\hat{\mu} = \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \qquad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2</math> နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sample mean) <math>\hat{\mu}</math> သည် တစ်ပြေးညီ အငယ်ဆုံး [[ကွဲလွဲချက်]]ရှိသော ဘက်မလိုက် ခန့်မှန်းကိန်း (uniformly minimum variance unbiased estimator) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဘက်မလိုက် နမူနာ ကွဲလွဲချက် (unbiased sample variance) သည် ဘက်ဆယ်၏ ပြင်ဆင်ချက် (Bessel's correction) ကို အသုံးပြုထားသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်ရယူသည်။ <math display="block">s^2 = \frac{n}{n-1} \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2</math> === ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (Confidence Intervals) === ကော့ခ်ရန်၏ သီအိုရမ် (Cochran's theorem) အရ <math>\hat{\mu}</math> နှင့် <math>s^2</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ကိန်းများ ဖြစ်သည်။ ယင်းက ပီဗော့ပမာဏ (pivotal quantity) ဖြစ်သည့် <math>t</math> တည်ဆောက်မှုကို ဖြစ်စေသည်။အဆိုပါကိန်းသည် လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degrees of freedom) <math>n-1</math> ပါရှိသည့် စတူးဒန့် t-ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Student's t-distribution) အတိုင်း ဖြစ်ပေါ်သည်။<ref>Krishnamoorthy (2006), p. 130.</ref> <math display="block">t = \frac{\hat{\mu}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}</math> ရရှိလာသော <math>\mu</math> နှင့် <math>\sigma^2</math> အတွက် တိကျသော (exact) <math>(1-\alpha)</math> ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (confidence intervals) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\mu \in \left[ \hat{\mu} - t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}, \hat{\mu} + t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \right]</math> <math display="block">\sigma^2 \in \left[ \frac{n-1}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}s^2, \frac{n-1}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}s^2 \right]</math> ဤနေရာတွင် <math>t_{k,p}</math> နှင့် <math>\chi^2_{k,p}</math> တို့သည် အသီးသီးသော <math>t</math> နှင့် <math>\chi^2</math> ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (distributions) ၏ အကြိမ် <math>p</math> မြောက် ကွမ်တိုင်များ (quantiles) ကို ဖော်ပြသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Bernardo |first1=José M. |last2=Smith |first2=Adrian F. M. |title=Bayesian Theory |publication-place=Chichester |publisher=Wiley |date=2000 |isbn=978-0-471-49464-5}} * {{Citation |last=Bryc |first=Wlodzimierz |title=The Normal Distribution: Characterizations with Applications |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1995 |isbn=978-0-387-97990-8}} * {{Citation |last1=Cover |first1=Thomas M. |last2=Thomas |first2=Joy A. |title=Elements of Information Theory |edition=2nd |publication-place=Hoboken |publisher=John Wiley and Sons |date=2006 |isbn=978-0-471-24195-9}} * {{Citation |last=Krishnamoorthy |first=Kalimuthu |title=Handbook of Statistical Distributions with Applications |publication-place=Boca Raton |publisher=Chapman & Hall/CRC |date=2006 |isbn=978-1-58488-635-8}} * {{Citation |last=Papoulis |first=Athanasios |title=Probability, Random Variables and Stochastic Processes |edition=4th |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=2002 |isbn=978-0-07-281725-6}} * {{Citation |last1=Tsokos |first1=Chris |last2=Wooten |first2=Rebecca |title=The Joy of Finite Mathematics |publication-place=Boston |publisher=Academic Press |date=2016 |isbn=978-0-12-802967-1 |doi=10.1016/b978-0-12-802967-1.00007-3}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] qskmim30iu2szn74jqeg2xxydl5vhr8 0 292197 1060926 1055612 2026-10-31T23:05:43Z Mkant00 135890 1060926 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Binomial distribution pmf.svg|300px|thumb|right|ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (binomial distribution) အတွက် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဒြပ်ထု [[ဖန်ရှင်]] (probability mass function) ဖြစ်သည်။]] [[File:Binomial distribution cdf.svg|300px|thumb|right|ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း အတွက် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း [[ဖန်ရှင်]] (cumulative distribution function) ဖြစ်သည်။]] ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ဘာနူးလီ စမ်းသပ်ချက်များ (Bernoulli trials) <math>n</math> ခု အစဉ်လိုက်ပါဝင်သည့် တစ်ပိုင်းတစ်စ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete probability distribution) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ စမ်းသပ်ချက် တစ်ခုစီတွင် အောင်မြင်နိုင်ခြေ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) <math>p \in [0,1]</math> နှင့် ကျရှုံးနိုင်ခြေ ဖြစ်တန်စွမ်း <math>q = 1-p</math> တို့ ပါရှိကြသည်။ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) <math>X</math> သည် ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း အတိုင်း ဖြစ်ပေါ်ပါက ၎င်းကို <math>X \sim \operatorname{B}(n, p)</math> ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (Probability Mass Function) === အမှီအခိုကင်းသော (independent) စမ်းသပ်ချက် <math>n</math> ကြိမ်တွင် တိကျစွာ အောင်မြင်မှု <math>k</math> ကြိမ် ရရှိနိုင်မည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) ကို ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု [[ဖန်ရှင်]] (probability mass function) (PMF) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}</math> <math>k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}</math> အတွက် ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math> သည် ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (binomial coefficient) ဖြစ်သည်။ === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Cumulative Distribution Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း [[ဖန်ရှင်]] (cumulative distribution function) (CDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} \binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}</math> ၎င်းကို ပုံမှန်ပြုလုပ်ထားသော မပြည့်စုံသည့် ဘီတာ ဖန်ရှင် (regularized incomplete beta function) <math>I</math> ကို အသုံးပြု၍ ထပ်တူညီစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Wadsworth (1960), p. 52.</ref> <math display="block">F(k;n,p) = I_{1-p}(n-k, k+1) = (n-k) \binom{n}{k} \int_0^{1-p} t^{n-k-1} (1-t)^k \, dt</math> <math>0 \le k \le n-1</math> ဖြစ်သော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) များအတွက် ဖြစ်သည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များ နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === <math>X \sim \operatorname{B}(n, p)</math> အတွက် <math>q = 1-p</math> ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Feller (1968), p. 151.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = np</math> <math display="block">\operatorname{Var}(X) = npq</math> မိုးမန့်ထုတ်လုပ် [[ဖန်ရှင်]] (moment-generating function) မှာ <math>M_X(t) = \operatorname{E}[e^{tX}] = (q+p e^t)^n</math> ဖြစ်သည်။ === မုဒ် နှင့် မီဒီယန် (Mode and Median) === အကယ်၍ <math>p = 0</math> ဖြစ်ပါက မုဒ် (mode) သည် <math>0</math> ဖြစ်ပြီး <math>p = 1</math> ဖြစ်ပါက မုဒ်သည် <math>n</math> ဖြစ်သည်။ <math>0 < p < 1</math> ဖြစ်သောအခါ မုဒ် <math>M</math> သည် <math>(n+1)p - 1 \le M < (n+1)p</math> အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသော [[ကိန်းပြည့်]] (integer) ဖြစ်သည်။ ထိုအတွင်းပိုင်း အခြေအနေတွင် <math>(n+1)p</math> သည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်ပါက ဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် <math>(n+1)p - 1</math> နှင့် <math>(n+1)p</math> တို့တွင် အထွတ်နှစ်ခုပါ (bimodal) သဘာဝကို ပြသပြီး <math>(n+1)p</math> သည် ကိန်းပြည့် မဟုတ်ပါက သီးသန့်မုဒ်တစ်ခုတည်း (unique mode) အဖြစ် <math>\lfloor (n+1)p \rfloor</math> သာ ရှိသည်။ မီဒီယန် (median) <math>m</math> သည် <math>\lfloor np \rfloor \le m \le \lceil np \rceil</math> ကြားတွင် ကန့်သတ်ချက်ခံထားရသည် (bounded)။<ref>Kaas and Buhrman (1980), p. 13.</ref> <math>p=1/2</math> ဖြစ်၍ <math>n</math> သည် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|မကိန်း]] (odd number) ဖြစ်သည့် အခြေအနေမှအပ <math>|m - np| \le \min\{p, 1-p\}</math> ဖြစ်ချိန်တွင် မီဒီယန်ကို <math>m = \lfloor np \rceil</math> အဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤတန်ဖိုးသည် အနီးစပ်ဆုံး ကိန်းပြည့်သို့ အနီးစပ်ဆုံး ယူခြင်း (rounded) ကို ဆိုလိုသည်။ === အမြီး ကန့်သတ်ချက်များ (Tail Bounds) === <math>k \le np</math> ဖြစ်ချိန်တွင် ချာနော့ဖ် ကန့်သတ်ချက် (Chernoff bound) သည် အောက်ဘက် အမြီး (lower tail) <math>F(k;n,p)</math> အတွက် ပြတ်သားသော အထက်ကန့်သတ်ချက် (upper bound) တစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။<ref>Arratia and Gordon (1989), p. 125.</ref> <math display="block">F(k;n,p) \le \exp\left(-n D\left(\frac{k}{n}\parallel p\right)\right)</math> ဤနေရာတွင် <math>D(a \parallel p) = a\ln\frac{a}{p} + (1-a)\ln\frac{1-a}{1-p}</math> သည် ကူးလ်ဘက်-လိုက်ဘလာ ကွဲလွဲမှု (Kullback–Leibler divergence) ဖြစ်သည်။ ဟော့ဖ်ဒင်း၏ မညီမျှခြင်း (Hoeffding's inequality) သည် ပိုမို ချောင်ချိ၍ ရိုးရှင်းသော ကန့်သတ်ချက်ကို ပေးစွမ်းသည်။ <math display="block">F(k;n,p) \le \exp\left(-2n\left(p-\frac{k}{n}\right)^2\right)</math> === စုဆုံမှတ် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Limiting Distributions) === * '''ပွာဆွန်း စုဆုံမှတ် သီအိုရမ် (Poisson Limit Theorem) တွင်''' <math>np = \lambda</math> သည် ကိန်းသေ (fixed) ဖြစ်နေစေလျက် <math>n \to \infty</math> နှင့် <math>p \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ <math>\operatorname{B}(n,p)</math> သည် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) <math>\lambda</math> ပါရှိသည့် ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Poisson distribution) သို့ စုဆုံသည် (converges)။ * '''ဒေမွာဗ်-လာပလေ့စ် သီအိုရမ် (de Moivre–Laplace Theorem) တွင်''' ကိန်းသေ <math>p \in (0,1)</math> အတွက် <math>n \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ စံသတ်မှတ်ထားသော ကိန်းရှင် (standardized variable) <math>Z = \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}</math> သည် စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard normal distribution) <math>\mathcal{N}(0,1)</math> သို့ ဖြန့်ဖြူးခြင်းဆိုင်ရာ စုဆုံသည် (converges in distribution)။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === စမ်းသပ်ချက် <math>n</math> ကြိမ်တွင် အောင်မြင်မှု <math>x</math> ကြိမ်ကို လေ့လာတွေ့ရှိချက် (observation) အဖြစ် ပေးထားပါက <math>p</math> ၏ အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း (maximum likelihood estimator) (MLE) နှင့် အငယ်ဆုံး [[ကွဲလွဲချက်]]ရှိ ဘက်မလိုက် ခန့်မှန်းကိန်း (minimum-variance unbiased estimator) သည် နမူနာ အချိုး (sample proportion) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\hat{p} = \frac{x}{n}</math> ကွန်ဂျူဂိတ် ကြိုတင်ဖြစ်တန်စွမ်း (conjugate prior) <math>\operatorname{Beta}(\alpha, \beta)</math> အောက်ရှိ ဘေးယက်စ် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Bayesian estimation) အတွက် နောက်ဆက်တွဲ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး ခန့်မှန်းကိန်း (posterior mean estimator) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\hat{p}_b = \frac{x+\alpha}{n+\alpha+\beta}</math> <math>\alpha = \beta = 1/2</math> ဖြစ်သော ဂျက်ဖရီစ် ကြိုတင်ဖြစ်တန်စွမ်း (Jeffreys prior) ကို အသုံးပြုပါက ရလဒ်မှာ <math>\hat{p}_{\text{Jeffreys}} = \frac{x+0.5}{n+1}</math> ဖြစ်သည်။ === ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (Confidence Intervals) === <math>z</math> သည် စံ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard normal distribution) ၏ <math>1 - \alpha/2</math> ကွမ်တိုင် (quantile) ကို ဖော်ပြသည်ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ စံ ဝေါလ်ဒ် အပိုင်းအခြား (interval) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\hat{p} \pm z \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} }</math> ဝီလ်ဆင် ရမှတ် အပိုင်းအခြား သည် ပုံမှန် ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု (normal approximation) ကန့်သတ်ချက် (constraint) အောက်တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုအရ တိကျသော (analytically exact) အခြေအနေ ရှိသည်။<ref>Wilson (1927), p. 209.</ref> <math display="block">\frac{ \hat{p} + \frac{z^2}{2n} \pm z \sqrt{ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \frac{z^2}{4n^2} } }{ 1 + \frac{z^2}{n} }</math> == ဆက်စပ်နေသော ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Related Distributions) == === ဘိုင်နိုမီရယ်များ၏ ပေါင်းလဒ်များ (Sums of Binomials) === <math>X \sim \operatorname{B}(n, p)</math> နှင့် <math>Y \sim \operatorname{B}(m, p)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ကိန်းများ ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ်ကို ကိန်းရှင်ကြားခံများ (parameters) <math>n+m</math> နှင့် <math>p</math> ပါရှိသည့် ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးထားသော (binomially distributed) ကိန်းအဖြစ် ရရှိသည်။<ref>Dekking, Kraaikamp, Lopohaa, and Meester (2005), p. 43.</ref> <math display="block">X + Y \sim \operatorname{B}(n+m, p)</math> === ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဘိုင်နိုမီရယ်များ (Conditional Binomials) === <math>X \sim \operatorname{B}(n, p)</math> နှင့် <math>Y \mid X \sim \operatorname{B}(X, q)</math> ဖြစ်လျှင် <math>Y</math> ၏ မာဂျင်နယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (marginal distribution) သည် ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးထားသော ပုံစံ ဖြစ်သည်။ <math display="block">Y \sim \operatorname{B}(n, pq)</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Arratia |first1=R. |last2=Gordon |first2=L. |title=Tutorial on large deviations for the binomial distribution |journal=Bulletin of Mathematical Biology |volume=51 |issue=1 |date=1989 |doi=10.1007/BF02458840}} * {{Citation |last1=Dekking |first1=F. M. |last2=Kraaikamp |first2=C. |last3=Lopohaa |first3=H. P. |last4=Meester |first4=L. E. |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publication-place=London |publisher=Springer-Verlag |date=2005 |isbn=978-1-85233-896-1}} * {{Citation |last=Feller |first=William |title=An Introduction to Probability Theory and Its Applications |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=Wiley |date=1968}} * {{Citation |last1=Kaas |first1=R. |last2=Buhrman |first2=J. M. |title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions |journal=Statistica Neerlandica |volume=34 |issue=1 |date=1980 |doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}} * {{Citation |last=Wadsworth |first=G. P. |title=Introduction to Probability and Random Variables |publication-place=New York |publisher=McGraw-Hill |date=1960}} * {{Citation |last=Wilson |first=Edwin B. |title=Probable inference, the law of succession, and statistical inference |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=22 |issue=158 |date=1927 |doi=10.2307/2276774}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] kuvd0wb0c1kij9fn382ne4ayyvyiya9 0 292198 1060927 1055613 2026-10-31T23:07:59Z Mkant00 135890 1060927 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:poisson pmf.svg|325px|thumb|right|ရေပြင်ညီဝင်ရိုး (horizontal axis) သည် အညွှန်း (index) <math>k</math> ဖြစ်သည်။ <math>\lambda</math> သည် မျှော်မှန်း ဖြစ်ပွားမှုနှုန်း ဖြစ်သည်။]] [[File:poisson cdf.svg|325px|thumb|right|ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Poisson distribution) ၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) ဖြစ်သည်။]] ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် အချိန် သို့မဟုတ် ရပ်ဝန်း (space) ၏ သတ်မှတ်ထားသော အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုအတွင်း [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်များ]] (events) အရေအတွက်တစ်ခု ဖြစ်ပွားခြင်း၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) ကို ဖော်ပြသော တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete probability distribution) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဖြန့်ဖြူးခြင်းကို လိုက်နာသော [[ကျပန်းကိန်းရှင်|တစ်ပိုင်းတစ်စ ကျပန်းကိန်းရှင်]] (discrete random variable) <math>X</math> ကို <math>X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> ဟု သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းရှင်ကြားခံ (parameter) <math>\lambda \in (0, \infty)</math> သည် မျှော်မှန်း ဖြစ်ပွားမှုနှုန်းကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ ၎င်း၏ အထောက်အပံ့ (support) သည် [[ကိန်းပြည့်|အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ]] (non-negative integers) ၏ [[အစု]] (set) <math>k \in \mathbb{N}_0</math> ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (Probability Mass Function) === ဖြစ်ပွားမှု (occurrence) အရေအတွက် <math>k</math> အတိအကျ လေ့လာတွေ့ရှိခြင်း (observing) ၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) ကို ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (probability mass function) (PMF) အရ ရရှိသည်။<ref>Yates and Goodman (2014), p. 60.</ref> <math display="block">\Pr(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> ဤနေရာတွင် <math>e</math> သည် အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) ဖြစ်ပြီး <math>k!</math> သည် <math>k</math> ၏ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ဖြစ်သည်။ === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Cumulative Distribution Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) (CDF) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ <math display="block">F(k; \lambda) = \Pr(X \le k) = e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^j}{j!}</math> ၎င်းကို အထက် မပြည့်စုံသည့် ဂါမာ ဖန်ရှင် (upper incomplete gamma function) <math>\Gamma(x,y)</math> အား အသုံးပြု၍ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနည်းအရ (analytically) လည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Johnson, Kemp, and Kotz (2005), p. 156.</ref> <math display="block">F(k; \lambda) = \frac{\Gamma(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !}</math> == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသော [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (Poisson-distributed random variable) <math>X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> အတွက် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) တို့သည် တူညီကြသည်။<ref>Johnson, Kemp, and Kotz (2005), p. 163.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = \operatorname{Var}(X) = \lambda</math> <math>n</math> ကြိမ်မြောက် ဖက်တိုရီရယ် မိုးမန့် (factorial moment) သည် <math>\operatorname{E}[X(X-1)\cdots(X-n+1)] = \lambda^n</math> ဖြစ်သည်။ ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Poisson distribution) ၏ စုဆောင်းကိန်းများ (cumulants) အားလုံးသည် <math>\lambda</math> နှင့် ညီမျှသည်။ === မုဒ် နှင့် မီဒီယန် (Mode and Median) === <math>\lambda</math> သည် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) မဟုတ်သောအခါ မုဒ် (mode) သည် <math>\lfloor \lambda \rfloor</math> အတိအကျဖြစ်သည်။ <math>\lambda</math> သည် [[ကိန်းပြည့်|အပေါင်းကိန်းပြည့်]] (positive integer) ဖြစ်သောအခါ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) သည် <math>\lambda</math> နှင့် <math>\lambda - 1</math> တို့တွင် မုဒ်များရှိသော အထွတ်နှစ်ခုပါ (bimodal) ဖြစ်သည်။ မီဒီယန် (median) <math>\nu</math> သည် အောက်ပါအတိုင်း တိကျစွာ ကန့်သတ်ချက်ခံထားရသည် (strictly bounded)။<ref>Choi (1994), p. 245.</ref><math display="block">\lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}</math> === ပွာဆွန်း ကိန်းရှင်များ၏ ပေါင်းလဒ်များ (Sums of Poisson Variables) === ဤဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင်များ (independent variables) အတွက် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ]] (closed under addition) ရှိသည်။ <math>i = 1, \dots, n</math> အတွက် <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) သည် ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသည်။<ref>Lehmann (1986), p. 65.</ref> <math display="block">\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)</math> === အမြီး ကန့်သတ်ချက်များ (Tail Bounds) === ချာနော့ဖ် ကန့်သတ်ချက် (Chernoff bound) သက်သေပြချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် <math>x > \lambda</math> အတွက် [[ဖြစ်တန်စွမ်း|အမြီး ဖြစ်တန်စွမ်းများ]] (tail probabilities) သည် တိကျစွာ ကန့်သတ်ချက်ခံထားရသည်။<ref>Mitzenmacher and Upfal (2005), p. 97.</ref> <math display="block">\Pr(X \ge x) \le \frac{(e\lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x}</math> <math display="block">\Pr(X \le x) \le \frac{(e\lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x} \quad \text{for } 0 < x < \lambda</math> == စုဆုံမှတ် သီအိုရမ်များ (Limiting Theorems) == === ရှားပါး အဖြစ်အပျက်များ နိယာမ (Law of Rare Events) === စမ်းသပ်ချက်များ၏ အရေအတွက် <math>n \to \infty</math> သို့ ချဉ်းကပ်ပြီး အောင်မြင်မှု [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) <math>p \to 0</math> သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ပွာဆွန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Poisson distribution) သည် [[ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း]] (binomial distribution) <math>\operatorname{B}(n, p)</math> ၏ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ဖြစ်သည်။ ဤဖြစ်စဉ်တွင် မျှော်မှန်း အောင်မြင်မှု အရေအတွက် <math>np = \lambda</math> သည် ကိန်းသေ (constant) အဖြစ် တည်ရှိနေသည်။ <math display="block">\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math> မှ အမှီအခိုကင်းသော လေ့လာတွေ့ရှိချက်များ (independent observations) <math>k_1, \dots, k_n</math> ပါဝင်သည့် နမူနာ (sample) <math>n</math> ခု ပေးထားပြီး နမူနာပေါင်းလဒ် <math>\sum_{i=1}^n k_i > 0</math> ဖြစ်သောအခါ <math>\lambda</math> အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း (maximum likelihood estimator) (MLE) သည် နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sample mean) ဖြစ်သည်။<ref>Yates and Goodman (2014), p. 65.</ref> <math display="block">\widehat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i</math> အကယ်၍ လေ့လာတွေ့ရှိချက်အားလုံး သုညဖြစ်ပါက (<math>\sum_{i=1}^n k_i = 0</math>) ပွင့်သော ကိန်းရှင်ကြားခံနယ်ပယ် <math>(0, \infty)</math> တွင် MLE တည်ရှိခြင်း မရှိပေ။ သို့သော် ကိန်းရှင်ကြားခံနယ်ပယ်ကို <math>[0, \infty)</math> အထိ တိုးချဲ့ပါက MLE သည် <math>0</math> ဖြစ်သည်။ နမူနာ ပေါင်းလဒ် (sample sum) <math>\sum_{i=1}^n k_i</math> သည် <math>\lambda</math> အတွက် ပြည့်စုံသော (complete) နှင့် လုံလောက်သော စာရင်းအင်းကိန်း (sufficient statistic) ဖြစ်သည်။ === ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (Confidence Intervals) === လေ့လာတွေ့ရှိချက် ပေါင်းလဒ် <math>K = \sum_{i=1}^n k_i</math> ပေးထားသောအခါ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean) <math>\mu = n\lambda</math> အတွက် တိကျသော (exact) ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြား (confidence interval) သည် ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (chi-squared distribution) <math>\chi^2</math> အပေါ်တွင် မှီခိုသည်။ ဤအပိုင်းအခြားသည် အနည်းဆုံး လွှမ်းခြုံမှု <math>1 - \alpha</math> ကို အာမခံပေးသော ကွန်ဆာဗေးတစ် (conservative) ဖြစ်သည်။<ref>Johnson, Kemp, and Kotz (2005), p. 176.</ref> <math display="block">\frac{1}{2}\chi^2(\alpha/2; 2K) \le \mu \le \frac{1}{2}\chi^2(1-\alpha/2; 2K+2)</math> ဤနေရာတွင် <math>\chi^2(p; v)</math> သည် လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degrees of freedom) <math>v</math> နှင့်အတူ အောက်ဘက် အမြီး (lower tail) ဧရိယာ <math>p</math> တွင် တန်ဖိုးရှာထားသော ကွမ်တိုင် ဖန်ရှင် (quantile function) ဖြစ်သည်။ === ဘေးယက်စ် ကောက်ချက်ချခြင်း (Bayesian Inference) === ဘေးယက်စ် ကောက်ချက်ချခြင်း (Bayesian inference) တွင် <math>\lambda</math> အတွက် ကွန်ဂျူဂိတ် ကြိုတင်ဖြစ်တန်စွမ်း (conjugate prior) သည် ဂါမာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (gamma distribution) ဖြစ်သည်။ <math>\lambda \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)</math> ကို ပုံသဏ္ဌာန် (shape) <math>\alpha</math> နှင့် နှုန်း (rate) <math>\beta</math> တို့ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် သတ်မှတ်ထားပါက (parameterized) နမူနာ <math>n</math> ခု <math>k_i</math> ပေးထားသောအခါ နောက်ဆက်တွဲ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (posterior distribution) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Fink (1997), p. 12.</ref> <math display="block">\lambda \mid k_1, \dots, k_n \sim \operatorname{Gamma}\left(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \beta + n\right)</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Choi |first=Kwok P. |title=On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=121 |issue=1 |date=1994 |doi=10.2307/2160389}} * {{Citation |last=Fink |first=Daniel |title=A Compendium of Conjugate Priors |date=1997}} * {{Citation |last1=Johnson |first1=Norman L. |last2=Kemp |first2=Adrienne W. |last3=Kotz |first3=Samuel |title=Univariate Discrete Distributions |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |date=2005 |isbn=978-0-471-27246-5}} * {{Citation |last=Lehmann |first=Erich Leo |title=Testing Statistical Hypotheses |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=Springer Verlag |date=1986 |isbn=978-0-387-94919-2}} * {{Citation |last1=Mitzenmacher |first1=Michael |last2=Upfal |first2=Eli |title=Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2005 |isbn=978-0-521-83540-4}} * {{Citation |last1=Yates |first1=Roy D. |last2=Goodman |first2=David J. |title=Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers |edition=2nd |publication-place=Hoboken |publisher=Wiley |date=2014 |isbn=978-0-471-45259-1}} [[Category: ဖြစ်တန်စွမ်း]] j5sd08vg3xwi5dgwn3q7q3579z3hp3k 0 292199 1060928 1055614 2026-10-31T23:09:02Z Mkant00 135890 1060928 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Exponential distribution pdf - public domain.svg|300px|thumb|right|ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) ဖြစ်သည်။]] [[File:Exponential distribution cdf - public domain.svg|300px|thumb|right|ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) ဖြစ်သည်။]] ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) <math>X \in [0, \infty)</math> အတွက် အဆက်မပြတ် ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous probability distribution) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပွာဆွန်း အမှတ် လုပ်ငန်းစဉ် (Poisson point process) တစ်ခုရှိ [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်များ]] (events) ကြားမှ အကွာအဝေး (distance) ကို အများအားဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုသည် ဤဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) ကို လိုက်နာပါက ၎င်းကို <math>X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> ဟု သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\lambda > 0</math> သည် နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (rate parameter) ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (Probability Density Function) === ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) (PDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}</math> အခြားနည်းလမ်းအားဖြင့် ၎င်းကို စကေး ကိန်းရှင်ကြားခံ (scale parameter) <math>\beta = 1/\lambda</math> ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည် (parameterized)။ သို့ဖြစ်၍ <math>x \ge 0</math> အတွက် <math>f(x;\beta) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}</math> ကို ရရှိသည်။ === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Cumulative Distribution Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) (CDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(x;\lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}</math> ကွမ်တိုင် ဖန်ရှင် (quantile function) ကို <math>0 \le p < 1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် CDF ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ <math display="block">F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}</math> == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === <math>X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> အတွက် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) တို့သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Shao (2003), p. 144.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}</math> <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယေဘုယျ မိုးမန့်များ (raw moments) သည် <math>\operatorname{E}[X^n] = \frac{n!}{\lambda^n}</math> ဖြစ်သည်။ မီဒီယန် (median) သည် <math>\frac{\ln(2)}{\lambda}</math> ဖြစ်သည်။ === မှတ်ဉာဏ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (Memoryless Property) === ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) သည် မှတ်ဉာဏ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (memoryless property) ပိုင်ဆိုင်သည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အဆက်မပြတ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous distribution) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအခြေအနေကို ကိုက်ညီစေသည်။ <math display="block">\Pr(X > s + t \mid X > s) = \Pr(X > t) \qquad \forall s, t \ge 0</math> ဤ ထပ်တူညီမှု (equivalence) သည် ကိန်းသေ (constant) အန္တရာယ်နှုန်း (hazard rate) တစ်ခုကို ဆိုလိုသည်။ === ထပ်ကိန်းတင် ကိန်းရှင်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Exponential Variables) === <math>X_1, \dots, X_n</math> တို့ကို အသီးသီးသော နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံများ (rate parameters) <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> ပါရှိသည့် အမှီအခိုကင်းသော ထပ်ကိန်းတင် ကျပန်းကိန်းရှင်များ (independent exponential random variables) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ဤကိန်းရှင်များ၏ အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) သည်လည်း ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသည် (exponentially distributed)။<ref>Shao (2003), p. 144.</ref> <math display="block">\min\{X_1, \dots, X_n\} \sim \operatorname{Exp}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)</math> သီးသန့် ကိန်းရှင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>X_k</math> မှ ဤအငယ်ဆုံးတန်ဖိုးကို ရရှိမည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) သည် အမျိုးအစားလိုက် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (categorical distribution) ကို လိုက်နာသည်။ <math display="block">\Pr(X_k = \min\{X_1, \dots, X_n\}) = \frac{\lambda_k}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}</math> <math>X_1</math> နှင့် <math>X_2</math> တို့သည် နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံများ <math>\lambda_1</math> နှင့် <math>\lambda_2</math> တို့ပါဝင်သော အမှီအခိုကင်းသော (independent) ထပ်ကိန်းတင်များ ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ ဤနေရာတွင် <math>\lambda_1 \neq \lambda_2</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) <math>Z = X_1 + X_2</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (PDF) ကို ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f_Z(z) = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \left( e^{-\lambda_1 z} - e^{-\lambda_2 z} \right) \qquad (z \ge 0)</math> == ဆက်စပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Related Distributions) == * <math>X_1, \dots, X_n \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) သည် အာလန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Erlang distribution) ကို လိုက်နာသည်။ ၎င်းသည် ဂါမာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Gamma distribution) ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Gamma}(n, \lambda)</math> ကို ရရှိသည်။ * <math>X, Y \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) သည် လာပလေ့စ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Laplace distribution) ကို လိုက်နာပြီး <math>X - Y \sim \operatorname{Laplace}(0, 1/\lambda)</math> ဖြစ်သည်။ * <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> သည် <math>\operatorname{Weibull}(1/\lambda, 1)</math> နှင့် <math>\operatorname{Gamma}(1, \lambda)</math> တို့နှင့် ထပ်တူညီသော (equivalent) ဖြစ်သည်။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === အမှီအခိုကင်းပြီး အချိုးညီစွာ ဖြန့်ဖြူးထားသော (independent and identically distributed) နမူနာ (sample) <math>x_1, \dots, x_n</math> ပေးထားသောအခါ နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (rate parameter) <math>\lambda</math> အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း (maximum likelihood estimator) (MLE) သည် နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sample mean) <math>\overline{x}</math> ၏ အချိုးပြောင်းပြန် (reciprocal) ဖြစ်သည်။<ref>Johnson and Wichern (2007), p. 231.</ref> <math display="block">\widehat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\overline{x}}</math> ထို MLE သည် ဘက်လိုက် (biased) ဖြစ်သည်။ နမူနာ အရွယ်အစား (sample size) <math>n \ge 3</math> ပေးထားသောအခါ <math>\lambda</math> အတွက် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော ကွဲလွဲချက် (finite variance) ရှိသည့် တစ်ပြေးညီ အငယ်ဆုံး ကွဲလွဲချက်ရှိသော ဘက်မလိုက် ခန့်မှန်းကိန်း (uniformly minimum-variance unbiased estimator) (UMVUE) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Elfessi and Reineke (2001), p. 2.</ref> <math display="block">\widehat{\lambda}_{\text{UMVUE}} = \frac{n-1}{\sum_{i=1}^n x_i}</math> ဤနေရာတွင် ကွဲလွဲချက်သည် <math>\operatorname{Var}(\widehat{\lambda}_{\text{UMVUE}}) = \frac{\lambda^2}{n-2}</math> ဖြစ်သည်။ နမူနာ အရွယ်အစား <math>n = 2</math> ဖြစ်ချိန်တွင် ၎င်းခန့်မှန်းကိန်းသည် ဘက်မလိုက် (unbiased) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသော်လည်း ကွဲလွဲချက်မှာ အနန္တ (<math>\infty</math>) ဖြစ်သည်။ === ဖစ်ရှာ သတင်းအချက်အလက် (Fisher Information) === နမူနာ တစ်ခုတည်းအတွက် ဖစ်ရှာ သတင်းအချက်အလက် (Fisher information) <math>\mathcal{I}(\lambda)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\mathcal{I}(\lambda) = \operatorname{E}\left[ \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \ln f(x;\lambda)\right)^2 \right] = \frac{1}{\lambda^2}</math> === ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (Confidence Intervals) === နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ <math>\lambda</math> အတွက် တိကျသော (exact) <math>100(1-\alpha)\%</math> ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြား (confidence interval) သည် ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (chi-squared distribution) အပေါ်တွင် မှီခိုသည်။<ref>Ross (2009), p. 267.</ref> <math display="block">\frac{\chi^2_{\alpha/2, 2n}}{2n\overline{x}} \le \lambda \le \frac{\chi^2_{1-\alpha/2, 2n}}{2n\overline{x}}</math> ဤနေရာတွင် <math>\chi^2_{p, v}</math> သည် လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degrees of freedom) <math>v</math> ပါရှိသည့် ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ <math>p</math> ကြိမ်မြောက် ရာခိုင်နှုန်းပြကိန်း (percentile) ကို ဖော်ပြသည်။ === ဘေးယက်စ် ကောက်ချက်ချခြင်း (Bayesian Inference) === ထပ်ကိန်းတင် (exponential) နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ <math>\lambda</math> အတွက် ကွန်ဂျူဂိတ် ကြိုတင်ဖြစ်တန်စွမ်း (conjugate prior) သည် ဂါမာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (gamma distribution) ဖြစ်သည်။ <math>\lambda \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)</math> ကို ပုံသဏ္ဌာန် (shape) <math>\alpha</math> နှင့် နှုန်း (rate) <math>\beta</math> တို့ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် သတ်မှတ်ထားပါက (parameterized) နမူနာ ပေးထားသောအခါ နောက်ဆက်တွဲ သိပ်သည်းဆ (posterior density) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Elfessi and Reineke (2001), p. 3.</ref> <math display="block">\lambda \mid x_1, \dots, x_n \sim \operatorname{Gamma}\left(\alpha + n, \beta + \sum_{i=1}^n x_i\right)</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Elfessi |first1=Abdulaziz |last2=Reineke |first2=David M. |title=A Bayesian Look at Classical Estimation: The Exponential Distribution |journal=Journal of Statistics Education |volume=9 |issue=1 |date=2001 |doi=10.1080/10691898.2001.11910648}} * {{Citation |last1=Johnson |first1=Richard Arnold |last2=Wichern |first2=Dean W. |title=Applied Multivariate Statistical Analysis |publication-place=Upper Saddle River |publisher=Pearson Prentice Hall |date=2007 |isbn=978-0-13-187715-3}} * {{Citation |last=Ross |first=Sheldon M. |title=Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists |edition=4th |publication-place=Burlington |publisher=Academic Press |date=2009 |isbn=978-0-12-370483-2}} * {{Citation |last=Shao |first=Jun |title=Mathematical Statistics |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=Springer Science+Business Media |date=2003 |isbn=978-0-387-95382-3}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] hwy0r5izdua9sp1k1s9jmrw2itopt5m 1060931 1060928 2026-10-31T23:30:01Z Mkant00 135890 /* ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) */ 1060931 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Exponential distribution pdf - public domain.svg|300px|thumb|right|ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) ဖြစ်သည်။]] [[File:Exponential distribution cdf - public domain.svg|300px|thumb|right|ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) ဖြစ်သည်။]] ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း သည် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) <math>X \in [0, \infty)</math> အတွက် အဆက်မပြတ် ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous probability distribution) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပွာဆွန်း အမှတ် လုပ်ငန်းစဉ် (Poisson point process) တစ်ခုရှိ [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်များ]] (events) ကြားမှ အကွာအဝေး (distance) ကို အများအားဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုသည် ဤဖြန့်ဖြူးခြင်း (distribution) ကို လိုက်နာပါက ၎င်းကို <math>X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> ဟု သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် <math>\lambda > 0</math> သည် နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (rate parameter) ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (Probability Density Function) === ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) (PDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}</math> အခြားနည်းလမ်းအားဖြင့် ၎င်းကို စကေး ကိန်းရှင်ကြားခံ (scale parameter) <math>\beta = 1/\lambda</math> ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည် (parameterized)။ သို့ဖြစ်၍ <math>x \ge 0</math> အတွက် <math>f(x;\beta) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}</math> ကို ရရှိသည်။ === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Cumulative Distribution Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) (CDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(x;\lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}</math> ကွမ်တိုင် ဖန်ရှင် (quantile function) ကို <math>0 \le p < 1</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသည်။ ဤဖန်ရှင်သည် CDF ၏ ပြောင်းပြန် (inverse) ဖြစ်သည်။ <math display="block">F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}</math> == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === <math>X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> အတွက် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) နှင့် [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) တို့သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Shao (2003), p. 144.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}</math> <math>n \in \mathbb{N}</math> အတွက် ယေဘုယျ မိုးမန့်များ (raw moments) သည် <math>\operatorname{E}[X^n] = \frac{n!}{\lambda^n}</math> ဖြစ်သည်။ မီဒီယန် (median) သည် <math>\frac{\ln(2)}{\lambda}</math> ဖြစ်သည်။ === မှတ်ဉာဏ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (Memoryless Property) === ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) သည် မှတ်ဉာဏ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိ (memoryless property) ပိုင်ဆိုင်သည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အဆက်မပြတ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous distribution) ဖြစ်ပြီး အောက်ပါအခြေအနေကို ကိုက်ညီစေသည်။ <math display="block">\Pr(X > s + t \mid X > s) = \Pr(X > t) \qquad \forall s, t \ge 0</math> ဤ ထပ်တူညီမှု (equivalence) သည် ကိန်းသေ (constant) အန္တရာယ်နှုန်း (hazard rate) တစ်ခုကို ဆိုလိုသည်။ === ထပ်ကိန်းတင် ကိန်းရှင်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Exponential Variables) === <math>X_1, \dots, X_n</math> တို့ကို အသီးသီးသော နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံများ (rate parameters) <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> ပါရှိသည့် အမှီအခိုကင်းသော ထပ်ကိန်းတင် ကျပန်းကိန်းရှင်များ (independent exponential random variables) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ဤကိန်းရှင်များ၏ အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) သည်လည်း ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသည် (exponentially distributed)။<ref>Shao (2003), p. 144.</ref> <math display="block">\min\{X_1, \dots, X_n\} \sim \operatorname{Exp}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)</math> သီးသန့် ကိန်းရှင်တစ်ခုဖြစ်သော <math>X_k</math> မှ ဤအငယ်ဆုံးတန်ဖိုးကို ရရှိမည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) သည် အမျိုးအစားလိုက် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (categorical distribution) ကို လိုက်နာသည်။ <math display="block">\Pr(X_k = \min\{X_1, \dots, X_n\}) = \frac{\lambda_k}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}</math> <math>X_1</math> နှင့် <math>X_2</math> တို့သည် နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံများ <math>\lambda_1</math> နှင့် <math>\lambda_2</math> တို့ပါဝင်သော အမှီအခိုကင်းသော (independent) ထပ်ကိန်းတင်များ ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ ဤနေရာတွင် <math>\lambda_1 \neq \lambda_2</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) <math>Z = X_1 + X_2</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (PDF) ကို ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">f_Z(z) = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \left( e^{-\lambda_1 z} - e^{-\lambda_2 z} \right) \qquad (z \ge 0)</math> == ဆက်စပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Related Distributions) == * <math>X_1, \dots, X_n \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော (independent) ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် (sum) သည် အာလန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Erlang distribution) ကို လိုက်နာသည်။ ၎င်းသည် ဂါမာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Gamma distribution) ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ <math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Gamma}(n, \lambda)</math> ကို ရရှိသည်။ * <math>X, Y \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) သည် လာပလေ့စ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Laplace distribution) ကို လိုက်နာပြီး <math>X - Y \sim \operatorname{Laplace}(0, 1/\lambda)</math> ဖြစ်သည်။ * <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> သည် <math>\operatorname{Weibull}(1/\lambda, 1)</math> နှင့် <math>\operatorname{Gamma}(1, \lambda)</math> တို့နှင့် ထပ်တူညီသော (equivalent) ဖြစ်သည်။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === အမှီအခိုကင်းပြီး အချိုးညီစွာ ဖြန့်ဖြူးထားသော (independent and identically distributed) နမူနာ (sample) <math>x_1, \dots, x_n</math> ပေးထားသောအခါ နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (rate parameter) <math>\lambda</math> အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း (maximum likelihood estimator) (MLE) သည် နမူနာ ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (sample mean) <math>\overline{x}</math> ၏ အချိုးပြောင်းပြန် (reciprocal) ဖြစ်သည်။<ref>Johnson and Wichern (2007), p. 231.</ref> <math display="block">\widehat{\lambda}_{\text{MLE}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i} = \frac{1}{\overline{x}}</math> ထို MLE သည် ဘက်လိုက် (biased) ဖြစ်သည်။ နမူနာ အရွယ်အစား (sample size) <math>n \ge 3</math> ပေးထားသောအခါ <math>\lambda</math> အတွက် အဆုံးရှိသော ကွဲလွဲချက် (finite variance) ရှိသည့် တစ်ပြေးညီ အငယ်ဆုံး ကွဲလွဲချက်ရှိသော ဘက်မလိုက် ခန့်မှန်းကိန်း (uniformly minimum-variance unbiased estimator) (UMVUE) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Elfessi and Reineke (2001), p. 2.</ref> <math display="block">\widehat{\lambda}_{\text{UMVUE}} = \frac{n-1}{\sum_{i=1}^n x_i}</math> ဤနေရာတွင် ကွဲလွဲချက်သည် <math>\operatorname{Var}(\widehat{\lambda}_{\text{UMVUE}}) = \frac{\lambda^2}{n-2}</math> ဖြစ်သည်။ နမူနာ အရွယ်အစား <math>n = 2</math> ဖြစ်ချိန်တွင် ၎င်းခန့်မှန်းကိန်းသည် ဘက်မလိုက် (unbiased) အဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသော်လည်း ကွဲလွဲချက်မှာ အနန္တ (<math>\infty</math>) ဖြစ်သည်။ === ဖစ်ရှာ သတင်းအချက်အလက် (Fisher Information) === နမူနာ တစ်ခုတည်းအတွက် ဖစ်ရှာ သတင်းအချက်အလက် (Fisher information) <math>\mathcal{I}(\lambda)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\mathcal{I}(\lambda) = \operatorname{E}\left[ \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \ln f(x;\lambda)\right)^2 \right] = \frac{1}{\lambda^2}</math> === ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြားများ (Confidence Intervals) === နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ <math>\lambda</math> အတွက် တိကျသော (exact) <math>100(1-\alpha)\%</math> ယုံကြည်မှု အပိုင်းအခြား (confidence interval) သည် ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (chi-squared distribution) အပေါ်တွင် မှီခိုသည်။<ref>Ross (2009), p. 267.</ref> <math display="block">\frac{\chi^2_{\alpha/2, 2n}}{2n\overline{x}} \le \lambda \le \frac{\chi^2_{1-\alpha/2, 2n}}{2n\overline{x}}</math> ဤနေရာတွင် <math>\chi^2_{p, v}</math> သည် လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော အတိုင်းအတာ အရေအတွက် (degrees of freedom) <math>v</math> ပါရှိသည့် ကိုင်-နှစ်ထပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ <math>p</math> ကြိမ်မြောက် ရာခိုင်နှုန်းပြကိန်း (percentile) ကို ဖော်ပြသည်။ === ဘေးယက်စ် ကောက်ချက်ချခြင်း (Bayesian Inference) === ထပ်ကိန်းတင် (exponential) နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ <math>\lambda</math> အတွက် ကွန်ဂျူဂိတ် ကြိုတင်ဖြစ်တန်စွမ်း (conjugate prior) သည် ဂါမာ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (gamma distribution) ဖြစ်သည်။ <math>\lambda \sim \operatorname{Gamma}(\alpha, \beta)</math> ကို ပုံသဏ္ဌာန် (shape) <math>\alpha</math> နှင့် နှုန်း (rate) <math>\beta</math> တို့ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံအဖြစ် သတ်မှတ်ထားပါက (parameterized) နမူနာ ပေးထားသောအခါ နောက်ဆက်တွဲ သိပ်သည်းဆ (posterior density) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Elfessi and Reineke (2001), p. 3.</ref> <math display="block">\lambda \mid x_1, \dots, x_n \sim \operatorname{Gamma}\left(\alpha + n, \beta + \sum_{i=1}^n x_i\right)</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Elfessi |first1=Abdulaziz |last2=Reineke |first2=David M. |title=A Bayesian Look at Classical Estimation: The Exponential Distribution |journal=Journal of Statistics Education |volume=9 |issue=1 |date=2001 |doi=10.1080/10691898.2001.11910648}} * {{Citation |last1=Johnson |first1=Richard Arnold |last2=Wichern |first2=Dean W. |title=Applied Multivariate Statistical Analysis |publication-place=Upper Saddle River |publisher=Pearson Prentice Hall |date=2007 |isbn=978-0-13-187715-3}} * {{Citation |last=Ross |first=Sheldon M. |title=Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists |edition=4th |publication-place=Burlington |publisher=Academic Press |date=2009 |isbn=978-0-12-370483-2}} * {{Citation |last=Shao |first=Jun |title=Mathematical Statistics |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=Springer Science+Business Media |date=2003 |isbn=978-0-387-95382-3}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] 4oqvl4jcq2tdnhesjk2zrl3luv3ybh0 0 292200 1060929 1055615 2026-10-31T23:11:25Z Mkant00 135890 1060929 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Probability density function of Pareto distribution.svg|300px|thumb|right|စကေး (scale) <math>x_\text{m} = 1</math> ပါရှိသည့် အမျိုးမျိုးသော ပုံသဏ္ဌာန် ကိန်းရှင်ကြားခံများ (shape parameters) <math>\alpha</math> အတွက် ပါရီတို (Pareto) အမျိုးအစား 1 ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်များ (probability density functions) ဖြစ်သည်။]] [[File:Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg|300px|thumb|right|ပါရီတို အမျိုးအစား 1 စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်များ (cumulative distribution functions) ဖြစ်သည်။]] [[File:ParetoLorenzSVG.svg|300px|thumb|right|အမျိုးမျိုးသော ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်းများအတွက် လိုရန်ဇ် မျဉ်းကွေးများ (Lorenz curves) ဖြစ်သည်။]] ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Pareto distribution) သည် <math>[x_\text{m}, \infty)</math> အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော အဆက်မပြတ် (continuous) ထပ်ကိန်း နိယာမ (power-law) ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို စကေး ကိန်းရှင်ကြားခံ (scale parameter) <math>x_\text{m} > 0</math> နှင့် ပုံသဏ္ဌာန် ကိန်းရှင်ကြားခံ (shape parameter) <math>\alpha > 0</math> တို့ဖြင့်ဖော်ပြသည်။ ထိုပုံသဏ္ဌာန် ကိန်းရှင်ကြားခံကို အမြီး အညွှန်း (tail index) သို့မဟုတ် ပါရီတို အညွှန်း (Pareto index) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) တစ်ခုသည် စံ (standard) ပါရီတို အမျိုးအစား 1 ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို လိုက်နာပါက ၎င်းကို <math>X \sim \operatorname{Pareto}(x_\text{m}, \alpha)</math> ဟု သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (Probability Density Function) === <math>x \ge x_\text{m}</math> အတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) (PDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Arnold (1983), p. 12.</ref> <math display="block">f_X(x) = \frac{\alpha x_\text{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}</math> <math>x < x_\text{m}</math> အတွက် PDF သည် သုညအတိအကျ (identically zero) ဖြစ်သည်။ === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Cumulative Distribution Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function) (CDF) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F_X(x) = 1 - \left(\frac{x_\text{m}}{x}\right)^\alpha \qquad (x \ge x_\text{m})</math> ဖြည့်စွက် (complementary) CDF သည် တိကျစွာ (strictly) <math>\Pr(X > x) = (x_\text{m}/x)^\alpha</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ရှင်သန်မှု ဖန်ရှင် (survival function) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == === မိုးမန့်များ (Moments) === <math>X \sim \operatorname{Pareto}(x_\text{m}, \alpha)</math> အတွက် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) သည် <math>\alpha > 1</math> ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံသည် (converges)။<ref>Johnson, Kotz, and Balakrishnan (1994), p. 574.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha x_\text{m}}{\alpha - 1} \qquad (\alpha > 1)</math> [[ကွဲလွဲချက်]] (variance) သည် <math>\alpha > 2</math> ဖြစ်မှသာလျှင် အဆုံးရှိ (finite) ဖြစ်သည်။ <math display="block">\operatorname{Var}(X) = \frac{x_\text{m}^2 \alpha}{(\alpha - 1)^2(\alpha - 2)} \qquad (\alpha > 2)</math> ယေဘုယျ မိုးမန့်များ (raw moments) သည် <math>\alpha > n</math> အတွက် <math>\operatorname{E}[X^n] = \frac{\alpha x_\text{m}^n}{\alpha - n}</math> အဖြစ် တည်ရှိသည် (exist)။ မိုးမန့်ထုတ်လုပ် ဖန်ရှင် (moment-generating function) သည် <math>t > 0</math> အတွက် ဖြာထွက်သည် (diverges)။ ထို့ပြင် ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် (characteristic function) အတွက် <math>t = 0</math> တွင် <math>\varphi(0) = 1</math> ဖြစ်ပြီး <math>t \ne 0</math> အတွက် မပြည့်စုံသည့် ဂါမာ ဖန်ရှင် (incomplete gamma function) <math>\Gamma(s, z)</math> ကို အသုံးပြု၍ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ <math display="block">\varphi(t) = \alpha(-i x_\text{m} t)^\alpha \Gamma(-\alpha, -i x_\text{m} t)</math> === ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Conditional Distributions) === <math>X \ge x_1</math> ပေးထားသောအခါ <math>X</math> ၏ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (conditional distribution) သည် တူညီသော ပုံသဏ္ဌာန် ကိန်းရှင်ကြားခံ (shape parameter) <math>\alpha</math> ဖြင့် ဆက်လက်တည်ရှိနေသော်လည်းစကေး (scale) အသစ် <math>x_1</math> ဖြင့် ကန့်သတ်ချက်ခံထားရသည် (bounded)။ ဤနေရာတွင် <math>x_1 > x_\text{m}</math> ဖြစ်သည်။ <math display="block">\Pr(X \ge x \mid X \ge x_1) = \left(\frac{x_1}{x}\right)^\alpha \qquad (x \ge x_1)</math> ရလဒ်အနေဖြင့် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး|ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] သည် <math>\alpha > 1</math> အတွက် <math>x_1</math> နှင့် တိကျစွာ အချိုးကျသည် (strictly proportional)။ === လိုရန်ဇ် မျဉ်းကွေး နှင့် ဂျီနီ မြှောက်ဖော်ကိန်း (Lorenz Curve and Gini Coefficient) === <math>\alpha > 1</math> အတွက် လိုရန်ဇ် မျဉ်းကွေး (Lorenz curve) <math>L(F)</math> သည် ဖြန့်ဖြူးခြင်း၏ စုစည်းမှု (concentration) ကို တွက်ချက်ဖော်ပြသည် (evaluates)။ <math display="block">L(F) = 1 - (1 - F)^{1 - 1/\alpha}</math> ပြီးပြည့်စုံသော ညီမျှမှု မျဉ်း (line of perfect equality) နှင့် လိုရန်ဇ် မျဉ်းကွေးတို့ကြားရှိ အရွယ်ပြောင်းဧရိယာ (scaled area) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည့် ဂျီနီ မြှောက်ဖော်ကိန်း (Gini coefficient) <math>G</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်ရရှိသည်။ <math display="block">G = \frac{1}{2\alpha - 1} \qquad (\alpha > 1)</math> == ယေဘုယျပြုထားသော ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Generalized Pareto Distributions) == စံ ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard Pareto distribution) ကို ရှင်သန်မှု ဖန်ရှင်များ (survival functions) ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အဆင့်ဆင့်ဖွဲ့စည်းပုံ (hierarchical) မူဘောင်တစ်ခုသို့ ယေဘုယျပြုသည် (generalized)။ ၎င်းစံဖြန့်ဖြူးခြင်းကို အမျိုးအစား 1 ဟု သတ်မှတ်သည်။<ref>Kleiber and Kotz (2003), p. 59.</ref> * '''အမျိုးအစား 1 -''' <math>x \ge \sigma</math> အတွက် <math>\Pr(X > x) = \left( \frac{x}{\sigma} \right)^{-\alpha}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\sigma > 0</math> နှင့် <math>\alpha > 0</math> ဖြစ်သည်။ * '''အမျိုးအစား 2 သို့မဟုတ် လိုမက်စ် အမျိုးအစား -''' <math>x \ge \mu</math> အတွက် <math>\Pr(X > x) = \left( 1 + \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^{-\alpha}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\sigma > 0</math> နှင့် <math>\alpha > 0</math> ဖြစ်သည်။ * '''အမျိုးအစား 3 -''' <math>x \ge \mu</math> အတွက် <math>\Pr(X > x) = \left( 1 + \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{1/\gamma} \right)^{-1}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\sigma > 0</math> နှင့် <math>\gamma > 0</math> ဖြစ်သည်။ * '''အမျိုးအစား 4 -''' <math>x \ge \mu</math> အတွက် <math>\Pr(X > x) = \left( 1 + \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{1/\gamma} \right)^{-\alpha}</math> ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် <math>\sigma > 0, \gamma > 0</math> နှင့် <math>\alpha > 0</math> တို့ ဖြစ်သည်။ ဖဲလား-ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Feller-Pareto distribution) သည် ဘီတာ-ဖြန့်ဖြူးခြင်းရှိသော [[ကျပန်းကိန်းရှင်|ကျပန်းကိန်းရှင်များ]] (beta-distributed random variables) အပေါ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် အမျိုးအစား 4 ကို ယေဘုယျပြုထားသည်။<ref>Feller (1971), p. 50.</ref> == ဆက်စပ် ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Related Distributions) == * <math>X \sim \operatorname{Pareto}(x_\text{m}, \alpha)</math> ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ လော့ဂရစ်သမ်ဆိုင်ရာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (logarithmic transformation) သည် ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (exponential distribution) ကို လိုက်နာပြီး <math>\ln(X/x_\text{m}) \sim \operatorname{Exp}(\alpha)</math> ဖြစ်သည်။ * ပါရီတို ကိန်းရှင်တစ်ခု၏ ပြောင်းပြန် (inverse) <math>1/X</math> သည် <math>(0, 1/x_\text{m}]</math> ကြားတွင် ကန့်သတ်ချက်ခံထားရသော (bounded) ထပ်ကိန်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (power distribution) ကိုလိုက်နာသည်။ == စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ကောက်ချက်ချခြင်း (Statistical Inference) == === ကိန်းရှင်ကြားခံ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (Parameter Estimation) === ပါရီတို ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Pareto distribution) မှ ထုတ်ယူထားသော အမှီအခိုကင်းသော နမူနာ (independent sample) <math>x_1, \dots, x_n</math> ကို ပေးထားသောအခါ ဖြစ်နိုင်ခြေ (likelihood) သည် အငယ်ဆုံး လေ့လာတွေ့ရှိချက် (smallest observation) တွင် အများဆုံးဖြစ်စေသည် (maximized)။ သို့ဖြစ်၍ စကေး ကိန်းရှင်ကြားခံ (scale parameter) အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း (maximum likelihood estimator) (MLE) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Malik (1970), p. 126.</ref> <math display="block">\widehat{x}_\text{m} = \min_{1 \le i \le n} x_i</math> အနည်းဆုံး ကွဲပြားသော (distinct) လေ့လာတွေ့ရှိချက် နှစ်ခုပါဝင်သည့် နမူနာ အရွယ်အစား (sample size) <math>n \ge 2</math> ကို ပေးထားသောအခါ ပုံသဏ္ဌာန် ကိန်းရှင်ကြားခံ (shape parameter) <math>\alpha</math> အတွက် အများဆုံး ဖြစ်နိုင်ခြေရှိ ခန့်မှန်းကိန်း သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\widehat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i / \widehat{x}_\text{m})}</math> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Arnold |first=Barry C. |title=Pareto Distributions |publication-place=Fairland |publisher=International Co-operative Publishing House |date=1983 |isbn=978-0-89974-012-6}} * {{Citation |last=Feller |first=William |title=An Introduction to Probability Theory and its Applications |volume=2 |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |date=1971}} * {{Citation |last1=Johnson |first1=Norman L. |last2=Kotz |first2=Samuel |last3=Balakrishnan |first3=Narayanaswamy |title=Continuous Univariate Distributions |volume=1 |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=John Wiley & Sons |date=1994 |isbn=978-0-471-58495-7}} * {{Citation |last1=Kleiber |first1=Christian |last2=Kotz |first2=Samuel |title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences |publication-place=Hoboken |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=978-0-471-15064-0}} * {{Citation |last=Malik |first=Henrick J. |title=Estimation of the Parameters of the Pareto Distribution |journal=Metrika |volume=15 |date=1970 |doi=10.1007/BF02613565}} [[Category:ဖြစ်တန်စွမ်း]] me7a7hs3xncmw8nacdvmlpq0agjn82l 0 292201 1060921 1055608 2026-10-31T22:25:01Z Mkant00 135890 1060921 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[Image:Discrete probability distrib.svg|right|thumb|ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (probability mass function) ၏ ဂရပ်။ ဤဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးအားလုံးသည် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) တန်ဖိုးများ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ်သည် 1 နှင့် ညီမျှရမည်ဖြစ်သည်။]] [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) နှင့် စာရင်းအင်းပညာ (statistics) တွင် ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (discrete random variable) တစ်ခုက သတ်မှတ်ထားသော တန်ဖိုးတစ်ခုနှင့် တိကျစွာ ညီမျှနေမည့် ဖြစ်တန်စွမ်းကို ဖော်ပြပေးသော [[ဖန်ရှင်]] ဖြစ်သည်။<ref>Stewart (2011), p. 105.</ref> အဆိုပါ ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်သည် [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain) သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ (discrete) ဖြစ်နေသော [[စကေလာ]] (scalar) သို့မဟုတ် ကိန်းရှင်များစွာပါ ကျပန်းကိန်းရှင်များ (multivariate random variables) အတွက် တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete probability distribution) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အဓိကနည်းလမ်း ဖြစ်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == တစ်ပိုင်းတစ်စ ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်သည် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် <math>p_X: \mathbb{R} \to [0,1]</math> ဖြစ်သည်။ <math display="block">p_X(x) = \operatorname{P}(X = x)</math> ၎င်းသည် <math>-\infty < x < \infty</math> အတွက်ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{P}</math> သည် [[ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ]] (probability measure) ဖြစ်သည်။<ref>Dekking, Kraaikamp, Lopuhaä, and Meester (2005), p. 43.</ref> ဖန်ရှင် <math>p_X(x)</math> ကို <math>p(x)</math> အဖြစ် မကြာခဏ ရှင်းလင်းစွာ ရေးသားလေ့ရှိသည်။<ref>Rao (1996), p. 112.</ref> ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော တန်ဖိုးအားလုံးနှင့် ဆက်စပ်နေသည့် ဖြစ်တန်စွမ်းများသည် အနုတ်မဟုတ်သော တန်ဖိုးများ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး ပေါင်းလဒ်သည် 1 နှင့် ညီမျှရမည်ဖြစ်သည်။ <math display="block">\sum_x p_X(x) = 1, \qquad p_X(x) \geq 0</math><math>X</math> ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) တွင် ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် <math>p_X(x)</math> သည် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်သော (strictly positive) ရေတွက်နိုင်သောအစုပိုင်း (countable subset) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ရလဒ်အနေဖြင့် ရေတွက်နိုင်သော အရေအတွက်ရှိသည့် <math>x</math> ၏ တန်ဖိုးများမှလွဲ၍ ကျန်ရှိသော တန်ဖိုးအားလုံးအတွက် ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်သည် တိကျစွာ သုည ဖြစ်သည်။ == အတိုင်းအတာ-သီအိုရီဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Measure-Theoretic Formulation) == တစ်ပိုင်းတစ်စ ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်သည် ရေတွက်ခြင်း အတိုင်းအတာ (counting measure) နှင့် သက်ဆိုင်သော <math>X</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function) ဖြစ်သည်။ <math>(A, \mathcal{A}, \operatorname{P})</math> ကို [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း]] (probability space) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး <math>(B, \mathcal{B})</math> ကို အောက်ခံ ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာ (sigma-algebra) သည် တစ်ပိုင်းတစ်စဖြစ်နေသော တိုင်းတာနိုင်သော ရပ်ဝန်း (measurable space) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်း ဆစ်ဂ်မာ-အက္ခရာသင်္ချာတွင် <math>B</math> ၏ အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) အားလုံး ပါဝင်သည်။ ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X \colon A \to B</math> ၏ ပုံရိပ်သည် ရေတွက်နိုင်ပါက ၎င်းသည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖြစ်သည်။ ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် အတိုင်းအတာ (pushforward measure) <math>X_{*}(\operatorname{P})</math> သည် <math>B</math> အပေါ်ရှိ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုများပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်း (restriction) ပြုလုပ်သောအခါ <math>b \in B</math> တစ်ခုစီအတွက် <math>f_X(b) = \operatorname{P}(X^{-1}(b)) = \operatorname{P}(X = b)</math> ဟု ပေးထားသော ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် <math>f_X \colon B \to \mathbb{R}</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ <math>(B, \mathcal{B}, \mu)</math> သည် ရေတွက်ခြင်း အတိုင်းအတာ <math>\mu</math> ပါဝင်သော အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်း (measure space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ရေတွက်ခြင်း အတိုင်းအတာနှင့် သက်ဆိုင်သော <math>X</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် <math>f</math> သည် ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် အတိုင်းအတာ <math>X_*(\operatorname{P})</math> ၏ ရေဒွန်-နီကိုဒင်းမ် ဆင်းသက်ချက် (Radon-Nikodym derivative) ဖြစ်သည်။ <math display="block">f = \frac{dX_*(\operatorname{P})}{d\mu}</math> မည်သည့် <math>b \in B</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\operatorname{P}(X=b) = \operatorname{P}(X^{-1}(b)) = X_*(\operatorname{P})(\{b\}) = \int_{\{b\}} f \, d\mu = f(b)</math> ဤအချက်က <math>f</math> သည် ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် တိကျစွာ အလုပ်လုပ်ကြောင်းကို ဖော်ပြသည်။ == ကိန်းရှင်များစွာပါ အခြေအနေ (Multivariate Case) == တစ်ပိုင်းတစ်စ ကျပန်း ဗက်တာ (discrete random vector) <math>\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)</math> အတွက် ပူးတွဲ ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (joint probability mass function) သည် ကျပန်းကိန်းရှင်များအတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော လက်တွေ့ရလဒ်များ (realizations) ပေါင်းစပ်မှု တစ်ခုစီ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို ဖော်ပြသည်။ <math display="block">p_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \operatorname{P}(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n)</math> == ဥပမာများ (Examples) == ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင်များသည် အဓိကကျသော တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete distribution) များကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ အဆုံးရှိသော အရင်းအမြစ်စု (finite domain) အတွက် ဘာနူးလီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Bernoulli distribution) သည် ရလဒ် (outcome) နှစ်ခု ပါဝင်သော စမ်းသပ်ချက်တစ်ခုတည်းကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် <math>x \in \{0,1\}</math> ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် [[ဘိုင်နိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးခြင်း]] (binomial distribution) သည် အောင်မြင်မှု ဖြစ်တန်စွမ်း <math>p</math> တူညီကြသည့် အမှီအခိုကင်းသော ဘာနူးလီ စမ်းသပ်ချက် (Bernoulli trial) <math>n</math> ခုတွင် အောင်မြင်မှု အရေအတွက်ကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ပေးသည်။ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (infinite countable) အရင်းအမြစ်စုအတွက် ဂျီဩမေတြီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (geometric distribution) သည် အောင်မြင်မှု တစ်ခုတည်းကို ရရှိရန် လိုအပ်သော စမ်းသပ်ချက် အရေအတွက်ကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ပေးပြီး ၎င်းကို အပေါင်းကိန်းပြည့် (positive integer) အားလုံးအပေါ် တန်ဖိုးရှာဖွေထားသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Dekking |first=F. M. |last2=Kraaikamp |first2=C. |last3=Lopuhaä |first3=H. P. |last4=Meester |first4=L. E. |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How |publication-place=London |publisher=Springer-Verlag |date=2005 |isbn=978-1-85233-896-1}} * {{Citation |last=Rao |first=Singiresu S. |title=Engineering Optimization: Theory and Practice |edition=3rd |publication-place=New York |publisher=Wiley |date=1996 |isbn=0-471-55034-5}} * {{Citation |last=Stewart |first=William J. |title=Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling |publication-place=Princeton |publisher=Princeton University Press |date=2011 |isbn=978-1-4008-3281-1}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] a2qhk7k9xpbrpy5vvikfi1rea73m3f9 0 292202 1060923 1055610 2026-10-31T22:26:53Z Mkant00 135890 1060923 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:Exponential distribution cdf.svg|thumb|300px|[[ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း]] (exponential distribution) အတွက် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function)။]] [[File:Normal Distribution CDF.svg|thumb|300px|[[ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း]] (normal distribution) အတွက် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်။]] [[ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးရှိ ကျပန်းကိန်းရှင် (real-valued random variable) <math>X</math> အတွက် <math>x</math> တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေထားသော စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်သည် <math>X</math> က <math>x</math> ထက် ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော တန်ဖိုးတစ်ခုကို ယူမည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] (probability) ဖြစ်သည်။<ref>Deisenroth, Faisal, and Ong (2020), p. 181.</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == [[File:Discrete probability distribution with a countable set of discontinuities.svg|right|thumb|300px|ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) အရေအတွက်ရှိသည့် [[အဆက်မပြတ်_ဖန်ရှင်#အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော_ဖန်ရှင်များ_(Discontinuous_Functions)|အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်းများ]] (discontinuities) ပါဝင်သော စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်၏ ဥပမာ။]] [[File:Discrete probability distribution illustration.svg|right|thumb|300px|အပေါ်မှ အောက်သို့ဖော်ပြရလျှင် တစ်ပိုင်းတစ်စ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (discrete probability distribution)၊ အဆက်မပြတ် ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (continuous probability distribution) နှင့် အရော ဖြန့်ဖြူးခြင်း (mixed distribution) တို့၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်။]] === ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းပါ အခြေအနေ (Univariate Case) === ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကျပန်းကိန်းရှင် <math>X</math> ၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်သည် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသော ဖန်ရှင် <math>F_X : \mathbb{R} \to [0,1]</math> ဖြစ်သည်။<ref>Park (2018), p. 77.</ref> <math display="block">F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)</math> <math>a < b</math> ဖြစ်ပြီး <math>X</math> သည် တစ်ပိုင်းအပိတ် အပိုင်းအခြား (semi-closed interval) <math>(a,b]</math> အတွင်း တည်ရှိနေရန် ဖြစ်တန်စွမ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Park (2018), p. 84.</ref> <math display="block">\operatorname{P}(a < X \le b)= F_X(b) - F_X(a)</math> ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) <math>X</math> အတွက် ၎င်း၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်ကို [[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်]] (probability density function) <math>f_X</math> ၏ အင်တီဂရယ် (integral) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Park (2018), p. 86.</ref> <math display="block">F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) \, dt</math> ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်ကို နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (differentiation) ဖြင့် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်မှတဆင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။<ref>Montgomery and Runger (2003), p. 104.</ref> <math display="block">f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx}</math> === ကိန်းရှင်များစွာပါ အခြေအနေ (Multivariate Case) === ကျပန်းကိန်းရှင် <math>N</math> ခုဖြစ်သည့် <math>X_1,\ldots,X_N</math> တို့အတွက် ၎င်းတို့ကို ကျပန်း [[ဗက်တာ]] (random vector) <math>\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_N)^T</math> အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူပါက ပူးတွဲ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (joint CDF) <math>F_{\mathbf{X}}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။<ref>Park (2018), p. 89.</ref> <math display="block">F_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \operatorname{P}(X_1 \leq x_1,\ldots,X_N \leq x_N)</math> မည်သည့် ကျပန်းကိန်းရှင် နှစ်ခု <math>X</math> နှင့် <math>Y</math> အတွက်မဆို ဟိုက်ပါထောင့်မှန်စတုဂံ (hyperrectangle) အပေါ်ရှိ ဖြစ်တန်စွမ်းသည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\operatorname{P}(a < X \leq b, c < Y \leq d) = F_{X,Y}(b, d) - F_{X,Y}(a, d) - F_{X,Y}(b, c) + F_{X,Y}(a, c)</math> == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == [[File:Roland Uhl 2023 Erwartungswert der Augenzahl.svg|upright=1.6|thumb|300px|right|border|အဆုံးရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စ ကိန်းရှင်၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်နှင့် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး။]] [[File:CDF plot with two red rectangles, illustrating (-x)F(x) and x(1-F(x)).png|thumb|300px|[[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) မညီမျှခြင်းများကို ရှင်းလင်းဖော်ပြထားသော အနီရောင် ထောင့်မှန်စတုဂံ နှစ်ခုပါဝင်သည့် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် ပုံကြမ်း။]] စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် <math>F_X</math> တိုင်းသည် အစဉ်လိုက် မလျော့သော (monotonically non-decreasing) နှင့် ညာဘက်မှ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (right-continuous) ဂုဏ်သတ္တိများ ရှိသည်။ ၎င်းသည် càdlàg ဖန်ရှင် (càdlàg function) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math display="block">\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> သည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ကျပန်းကိန်းရှင် (discrete random variable) ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်တွင် <math>x_i</math> ၌ ခုန်သွားသော အဆက်မပြတ်မဖြစ်ခြင်း (jump discontinuity) တစ်ခု ရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\operatorname{P}(X=x_i) > 0</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <math display="block">F_X(x) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)</math> မည်သည့် တန်ဖိုး <math>b</math> တွင်မဆို တစ်ပိုင်းတစ်စ အစိတ်အပိုင်း (discrete component) ကို <math>\operatorname{P}(X=b) = F_X(b) - \lim_{x \to b^-} F_X(x)</math> ဖြင့် ပေးထားသည်။ <math>X</math> တွင် အဆုံးရှိသော မျှော်မှန်းချက် (finite expectation) ရှိပါက မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို လီဘက်ဂ်-စတီးလ်ဂျက်စ် အင်တီဂရယ် (Lebesgue-Stieltjes integral) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math display="block">\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty t\,dF_X(t)</math> မည်သည့် <math>x \geq 0</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">x (1-F_X(x)) \leq \int_x^{\infty} t\,dF_X(t) \quad \text{and} \quad x F_X(-x) \leq \int_{-\infty}^{-x} (-t)\,dF_X(t)</math> ရလဒ်အနေဖြင့် <math>\lim_{x \to -\infty} x F_X(x) = 0</math> နှင့် <math>\lim_{x \to +\infty} x (1-F_X(x)) = 0</math> ဖြစ်သည်။ အပိုင်းလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration by parts) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]]သည် အောက်ပါအတိုင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။<ref>Uhl (2023), p. 8.</ref> <math display="block">\operatorname{E}[X] = \int_0^\infty \big(1 - F_X(x)\big)\,dx - \int_{-\infty}^0 F_X(x)\,dx</math> == ဆင်းသက် ဖန်ရှင်များ (Derived Functions) == === ဖြည့်စွက် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (Complementary Cumulative Distribution Function) === ဖြည့်စွက် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (complementary cumulative distribution function) (ccdf) သို့မဟုတ် အမြီး ဖြန့်ဖြူးခြင်း (tail distribution) သည် ကျပန်းကိန်းရှင်က သတ်မှတ်ထားသော အဆင့်တစ်ခုအထက်တွင် တိကျစွာ ရှိနေမည့် ဖြစ်တန်စွမ်းကို တန်ဖိုးရှာဖွေပေးသည်။ <math display="block">\bar{F}_X(x) = \operatorname{P}(X > x) = 1 - F_X(x)</math> အဆုံးရှိသော မျှော်မှန်းချက်ပါဝင်သည့် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) အဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင် (continuous random variable) တစ်ခုအတွက်နှင့် <math>x > 0</math> အတွက် မာကော့ဗ်၏ မညီမျှခြင်း (Markov's inequality) က အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။<ref>Zwillinger and Kokoska (2010), p. 49.</ref> <math display="block">\bar{F}_X(x) \leq \frac{\operatorname{E}[X]}{x}</math> <math>x \to \infty</math> ဖြစ်သွားသောအခါ <math>\bar{F}_X(x) = o(1/x)</math> ဖြစ်သည်။ === ပြောင်းပြန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ကွမ်တိုင် ဖန်ရှင် (Inverse Distribution Function or Quantile Function) === စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် <math>F_X</math> သည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly increasing) နှင့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ဖန်ရှင် ဖြစ်ပါက <math>p \in (0,1)</math> အတွက် ပြောင်းပြန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (inverse distribution function) သို့မဟုတ် ကွမ်တိုင် ဖန်ရှင် (quantile function) <math>F^{-1}(p)</math> သည် <math>F_X(x) = p</math> ဖြစ်စေသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိန်းစစ် (unique real number) <math>x</math> ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျပြုထားသော ပြောင်းပြန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (generalized inverse distribution function) သည် ပြောင်းပြန်လှန်၍မရနိုင်သော (non-invertible) အရင်းအမြစ်စု (domain) များကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းပေးသည်။ <math display="block">F^{-1}(p) = \inf \{x \in \mathbb{R}: F_X(x) \geq p \}, \quad \forall p \in (0,1)</math> အဓိက ဂုဏ်သတ္တိများတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။<ref>Chan (2021), p. 18.</ref> * <math>F^{-1}</math> သည် အစဉ်လိုက် မလျော့သော (non-decreasing) ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ * <math>0 < F_X(x) < 1</math> အတွက် <math>F^{-1}(F_X(x)) \leq x</math> ဖြစ်ပြီး <math>F_X(F^{-1}(p)) \geq p</math> ဖြစ်သည်။ * <math>F^{-1}(p) \leq x</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ မှာ <math>p \leq F_X(x)</math> ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ * <math>Y \sim U(0, 1)</math> ဖြစ်ပါက <math>F^{-1}(Y)</math> သည် <math>F_X</math> အတိုင်း ဖြန့်ဖြူးထားသည်။ ဤအချက်သည် ပြောင်းပြန် အသွင်ပြောင်းခြင်း ဖြင့် နမူနာကောက်ယူခြင်း (inverse transform sampling) ၏ အခြေခံ ဖြစ်သည်။ == ဥပမာများ (Examples) == * '''တစ်ပြေးညီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (Uniform Distribution) -''' <math>X \sim U(0,1)</math> ဖြစ်ပါက <math>x \in [0,1]</math> အတွက် <math>F_X(x) = x</math> ဖြစ်သည်။ * '''ထပ်ကိန်းတင် ဖြန့်ဖြူးခြင်း -''' <math>x \geq 0</math> နှင့် နှုန်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (rate parameter) <math>\lambda > 0</math> အတွက် <math>F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}</math> ဖြစ်သည်။ * '''ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း -''' ပျမ်းမျှတန်ဖိုး (mean) <math>\mu</math> နှင့် စံသွေဖည်ကိန်း (standard deviation) <math>\sigma</math> အတွက် <math>F_X(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) dt</math> ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Chan |first=Stanley H. |title=Introduction to Probability for Data Science |publication-place=Ann Arbor |publisher=Michigan Publishing |date=2021 |isbn=978-1-60785-746-4}} * {{Citation |last1=Deisenroth |first1=Marc Peter |last2=Faisal |first2=A. Aldo |last3=Ong |first3=Cheng Soon |title=Mathematics for Machine Learning |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2020 |isbn=978-1-108-45514-5}} * {{Citation |last1=Montgomery |first1=Douglas C. |last2=Runger |first2=George C. |title=Applied Statistics and Probability for Engineers |edition=3rd |publication-place=Hoboken |publisher=John Wiley & Sons |date=2003 |isbn=0-471-20454-4}} * {{Citation |last=Park |first=Kun Il |title=Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications |publication-place=Cham |publisher=Springer |date=2018 |isbn=978-3-319-68074-3}} * {{Citation |last=Uhl |first=Roland |title=Charakterisierung des Erwartungswertes am Graphen der Verteilungsfunktion |publication-place=Brandenburg |publisher=Technische Hochschule Brandenburg |date=2023 |doi=10.25933/opus4-2986}} * {{Citation |last1=Zwillinger |first1=Daniel |last2=Kokoska |first2=Stephen |title=CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae |publication-place=Boca Raton |publisher=CRC Press |date=2010 |isbn=978-1-58488-059-2}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] hk309xj4nnhrecdlhgjwouwjyx222d2 0 292203 1060922 1055609 2026-10-31T22:26:31Z Mkant00 135890 1060922 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:4 continuous probability density functions.png|thumb|300px|အဆက်မပြတ် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] (continuous probability density function) လေးခု၏ ဥပမာများ။]] ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (absolutely continuous) [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (random variable) တစ်ခု၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]]သည် ဒေသအလိုက် (locally) ယူနစ်အလျားတစ်ခုအပေါ်ရှိ ဖြစ်တန်စွမ်း (probability) ကို ဖော်ပြပေးသော ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး ကျပန်းကိန်းရှင်က တိုင်းတာနိုင်သောအစု (measurable set) တစ်ခုအတွင်း ကျရောက်မည့် ဖြစ်တန်စွမ်းကို အဆိုပါအစုအပေါ် တွက်ချက်ထားသည့် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] (integral) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (Formal Definitions) == === ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Univariate Definition) === [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] <math>X</math> တွင် အပိုင်းအခြား (interval) <math>[a,b]</math> အတွင်း ကျရောက်မည့် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]]သည် အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ခဲ့လျှင် ၎င်းတွင် ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] <math>f_X</math> ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် <math>f_X</math> သည် အနုတ်မဟုတ်သော (non-negative) လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (Lebesgue-integrable) ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ <math display="block">\operatorname{P}(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x) \, dx</math> အဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင် (continuous random variable) တစ်ခုက မည်သည့် တိကျသော တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုမဆို ယူမည့် ဖြစ်တန်စွမ်းသည် သုည ဖြစ်သည်။ === အတိုင်းအတာ-သီအိုရီဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Measure-Theoretic Formulation) === <math>X</math> သည် [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း]] (probability space) တစ်ခုမှ တိုင်းတာနိုင်သော ရပ်ဝန်း (measurable space) <math>(\mathcal{X}, \mathcal{A})</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသော ကျပန်းကိန်းရှင် ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ၎င်း တိုင်းတာနိုင်သော ရပ်ဝန်းသည် ပုံမှန်အားဖြင့် ဘိုရဲလ် အစုများ (Borel sets) ပါဝင်သော <math>\mathbb{R}^n</math> ဖြစ်သည်။ <math>X</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း (probability distribution) သည် ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် အတိုင်းအတာ (pushforward measure) <math>X_*(\operatorname{P})</math> ဖြစ်သည်။ ရှေ့သို့တွန်းပို့ချက် အတိုင်းအတာသည် ဆစ်ဂမာ-အဆုံးရှိသော ရည်ညွှန်း အတိုင်းအတာ (sigma-finite reference measure) တစ်ခု <math>\mu</math> နှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အခြေအနေတွင် အဆိုပါ ရည်ညွှန်း အတိုင်းအတာနှင့် သက်ဆိုင်သော <math>X</math> ၏ သိပ်သည်းဆ <math>f</math> ကို ရေဒွန်-နီကိုဒင်းမ် ဆင်းသက်ချက် (Radon-Nikodym derivative) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဤအခြေအနေတွင် <math>X_*(\operatorname{P}) \ll \mu</math> ဖြစ်ပြီး အဆိုပါ ရည်ညွှန်း အတိုင်းအတာသည် ပုံမှန်အားဖြင့် အဆက်မပြတ် ကိန်းရှင်များအတွက် လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure) ဖြစ်သည်။ <math display="block">f = \frac{dX_*(\operatorname{P})}{d\mu}</math> ယင်းက မည်သည့် တိုင်းတာနိုင်သောအစု <math>A \in \mathcal{A}</math> အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ကြောင်း အာမခံသည်။ <math display="block">\operatorname{P}(X \in A) = \int_{X^{-1}(A)} d\operatorname{P} = \int_A f \, d\mu</math> ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ (probability density) များဖြစ်သည့် <math>f</math> နှင့် <math>g</math> တို့သည် နေရာတိုင်းနီးပါး (almost everywhere) တွင် <math>\mu</math> နှင့် ညီမျှနေပါက ၎င်းတို့သည် တူညီသော ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။ == အဓိက သီအိုရမ်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Core Theorems and Properties) == [[စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်]] <math>F_X</math> ကို [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]]၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]]ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math display="block">F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \, du</math> ဖြန့်ဖြူးခြင်းတစ်ခုက သိပ်သည်းဆဖန်ရှင်တစ်ခုကို လက်ခံပါက ၎င်း၏ စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်သည် ပကတိ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] ဖြစ်သည်။<ref>Scalas (2025), p. 28.</ref> [[ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ်]] (Fundamental Theorem of Calculus) အရ ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်သည် နေရာတိုင်းနီးပါးတွင် စုဆောင်း ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင်၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (derivative) ဖြစ်သည်။ <math display="block">f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)</math> <math>X</math> ၏ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]] (expected value) တည်ရှိခဲ့လျှင် ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်သည်။ <math display="block">\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f_X(x)\,dx</math> == ကိန်းရှင်များစွာပါ ဖြန့်ဖြူးခြင်းများ (Multivariate Distributions) == အဆက်မပြတ် [[ကျပန်းကိန်းရှင်|ကျပန်းကိန်းရှင်များ]] (continuous random variables) ဖြစ်သည့် <math>X_1, \ldots, X_n</math> ၏ ပူးတွဲ ဖြန့်ဖြူးခြင်းသည် ပကတိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက ပူးတွဲ [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] သိပ်သည်းဆ [[ဖန်ရှင်]] (joint probability density function) သည် <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိသော [[အရင်းအမြစ်စု]] (n-dimensional domain) <math>D</math> အပေါ်ရှိ ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ <math display="block">\operatorname{P}((X_1,\ldots,X_n) \in D) = \int_D f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1 \cdots dx_n</math> <math>X_i</math> ၏ မာဂျင်နယ် သိပ်သည်းဆ (marginal density) ကို အခြား ကိန်းရှင်များအားလုံးကို အင်တီဂရိတ်လုပ်၍ ဖယ်ထုတ်ခြင်းဖြင့် ရှာဖွေနိုင်သည်။ <math display="block">f_{X_i}(x_i) = \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1 \cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_n</math> ကျပန်းကိန်းရှင်များ <math>X_1, \ldots, X_n</math> သည် စာရင်းအင်းအရ အမှီအခိုကင်းရန် (statistically independent) လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းတို့၏ ပူးတွဲ သိပ်သည်းဆ (joint density) သည် ၎င်းတို့၏ မာဂျင်နယ် သိပ်သည်းဆများ၏ [[မြှောက်လဒ်]]အဖြစ် ခွဲခြမ်းခံရခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ <math display="block">f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) \quad \text{almost everywhere}</math> == အသွင်ပြောင်းခြင်းများနှင့် တွက်ချက်မှုများ (Transformations and Operations) == === စကေလာ ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်း (Change of Variables (Scalar)) === <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> သည် သုညမဟုတ်သော (non-zero) ဆင်းသက်ချက်တစ်ခု ပါဝင်သည့် တိကျစွာ အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်]] (strictly monotonic differentiable function) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ အသွင်ပြောင်း [[ကျပန်းကိန်းရှင်]] (transformed variable) <math>Y = g(X)</math> ၏ သိပ်သည်းဆကို [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] တည်မြဲခြင်း (conservation of differential probability) <math>|f_Y(y) dy| = |f_X(x) dx|</math> ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။<ref>Siegrist (2020).</ref> <math display="block">f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|</math> === ဗက်တာ ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်း (Change of Variables (Vector)) === <math>\mathbf{x}</math> သည် ပူးတွဲ သိပ်သည်းဆ <math>f_X</math> ပါဝင်သော <math>n</math>-အတိုင်းအတာရှိ ကျပန်းကိန်းရှင် (n-dimensional random variable) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ <math>\mathbf{y} = G(\mathbf{x})</math> ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>G</math> သည် <math>C^1</math> [[ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်]] (diffeomorphism) ဖြစ်ပါက <math>\mathbf{y}</math> တွင် သိပ်သည်းဆ <math>f_Y</math> ရှိသည်။ ၎င်း ဖန်ရှင်သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော (non-singular) [[ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံနှင့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး|ဂျေးကိုဘီယန်]] (Jacobian) ပါဝင်သည့် ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင် (bijective continuously differentiable function) တစ်ခုဖြစ်သည်။<ref>Devore and Berk (2007), p. 263.</ref> <math display="block">f_Y(\mathbf{y}) = f_X\left(G^{-1}(\mathbf{y})\right) \left| \det\left[\frac{\partial G^{-1}(\mathbf{z})}{\partial \mathbf{z}}\right]_{\mathbf{z}=\mathbf{y}} \right|</math> ဤနေရာတွင် [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) သည် ပြောင်းပြန် အသွင်ပြောင်းခြင်း (inverse transform) ၏ ဂျေးကိုဘီယန် ဖြစ်သည်။ <math>(x_1, x_2) \to (y_1, y_2)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးသော 2-အတိုင်းအတာရှိ အခြေအနေအတွက်-<ref>Stirzaker (2007), p. 195.</ref> <math display="block">f_Y(y_1,y_2) = f_X\left(G_1^{-1}(\mathbf{y}), G_2^{-1}(\mathbf{y})\right) \left| \frac{\partial G_1^{-1}}{\partial y_1} \frac{\partial G_2^{-1}}{\partial y_2} - \frac{\partial G_1^{-1}}{\partial y_2} \frac{\partial G_2^{-1}}{\partial y_1} \right|</math> သတိမမူမိသော စာရင်းအင်းပညာရှင်၏ နိယာမ (Law of the Unconscious Statistician) အရ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး]]တည်ရှိမည်ဆိုပါက <math>Y = g(X)</math> ၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးကို တွက်ချက်ရန် <math>f_Y(y)</math> ကို မဖြစ်မနေ လိုအပ်မည်မဟုတ်ပေ။ ဤနေရာတွင် <math>\operatorname{E}[|g(X)|] < \infty</math> ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း တန်ဖိုးရှာဖွေနိုင်သည်။ <math display="block">\operatorname{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x)\,dx</math> === အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင်များ၏ ပေါင်းလဒ်များ (Sums of Independent Variables) === အမှီအခိုကင်းသော (independent) အဆက်မပြတ် ကျပန်းကိန်းရှင် နှစ်ခု <math>U</math> နှင့် <math>V</math> တို့၏ ပေါင်းလဒ် သိပ်သည်းဆသည် ၎င်းတို့ တစ်ခုချင်းစီ၏ သိပ်သည်းဆများကို ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) လုပ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">f_{U+V}(x) = (f_U * f_V)(x) = \int_{-\infty}^\infty f_U(y) f_V(x - y)\,dy</math> === အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင်များ၏ စားလဒ်များ (Quotients of Independent Variables) === စားလဒ် (quotient) <math>Y = U/V</math> အတွက် ကိန်းရှင်နှစ်ခုပါ အသွင်ပြောင်းခြင်း (bivariate transformation) တစ်ခုက <math>(U,V) \to (Y,Z)</math> သို့ ပုံဖော်ပေးပြီး ထိုနေရာတွင် <math>Z=V</math> ဖြစ်သည်။ ဂျေးကိုဘီယန်၏ ပကတိ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (absolute determinant) သည် <math>|z|</math> ဖြစ်သည်။ <math>Z</math> ကို မာဂျင်နယ်ဖြစ်အောင် ဖယ်ထုတ်လိုက်ပါက စားလဒ်အတွက် သိပ်သည်းဆ ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ <math display="block">f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_U(yz)\,f_V(z)\, |z| \, dz</math> <math>U</math> နှင့် <math>V</math> တို့သည် အမှီအခိုကင်းသော စံ ပုံမှန် ကိန်းရှင်များ (standard normal variables) ဖြစ်ပါက ဤ[[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]]သည် စံ ကော်ချီ ဖြန့်ဖြူးခြင်း (standard Cauchy distribution) ၏ သိပ်သည်းဆအဖြစ် ထွက်ပေါ်လာမည်ဖြစ်သည်။ == ကိုးကား (References) == *{{Citation |last1=Devore |first1=Jay L. |last2=Berk |first2=Kenneth N. |title=Modern Mathematical Statistics with Applications |publication-place=Belmont |publisher=Cengage |date=2007 |isbn=978-0-534-40473-4}} *{{Citation |last=Scalas |first=Enrico |title=Introduction to Probability Theory for Economists |publication-place=Pisa |publisher=Self-published |date=2025}} *{{Citation |last=Siegrist |first=Kyle |title=Transformations of Random Variables |publisher=LibreTexts Statistics |date=2020}} *{{Citation |last=Stirzaker |first=David |title=Elementary Probability |edition=2nd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2007 |isbn=978-0-521-53428-4}} [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်တန်စွမ်း]] q0i1u6czs8tg8j0cqy0enam7xw7czj3 0 292637 1060951 1057140 2026-11-01T01:21:17Z Mkant00 135890 1060951 wikitext text/x-wiki [[File:PenduleEspaceDesPhases.png|thumb|ချိန်သီးတစ်ခု၏ [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (differential equation) ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြထားသော အခြေအနေရပ်ဝန်း (phase space) အတွင်းရှိ စီးဆင်းမှု (flow) ဖြစ်သည်။ အလျားလိုက်ဝင်ရိုး (horizontal axis) ပေါ်တွင် ချိန်သီး၏ တည်နေရာကို ပြသထားပြီး ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုး (vertical axis) ပေါ်တွင် ၎င်း၏ [[အလျင် |အလျင်]] (velocity) ကို ပြသထားသည်။]] [[သင်္ချာ]] (mathematics) တွင် '''စီးဆင်းမှု''' (flow) သည် အချိန်အလိုက် အမှတ်များ (points) ၏ [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ရွေ့လျားမှုကို [[အစု]] (set) တစ်ခုပေါ်၌ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အပေါင်းအခြေခံအုပ်စု]] (additive group) က သက်ရောက်သည့် [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) အဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။ စီးဆင်းမှုများသည် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ]] (ordinary differential equations)၊ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|ဒစ်ဖရန်ရှယ်တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (differential topology)၊ [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ|ရီးမန်း ဂျီဩမေတြီ]] (Riemannian geometry) နှင့် လီအုပ်စုများ (Lie groups) ကို လေ့လာရာတွင် အခြေခံကျသည်။ [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (vector field) တစ်ခုက သတ်မှတ်ပေးသော ဒိုင်းနမစ်ဆိုင်ရာ ဗက်တာ စီးဆင်းမှုများ (vector flows) ၏ သီးခြားဥပမာများတွင် ဂျီအိုဒက်စစ် စီးဆင်းမှု (geodesic flow)၊ ဟာမီလ်တန် စီးဆင်းမှု (Hamiltonian flow) နှင့် အာနိုဆော့ဗ် စီးဆင်းမှုများ (Anosov flows) ပါဝင်ကြသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင် ရစ်ချီ စီးဆင်းမှု (Ricci flow) နှင့် ပျမ်းမျှကွေးညွှတ်မှု စီးဆင်းခြင်း (mean curvature flow) တို့သည် အချိန်ရှေ့သို့ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှုကိုသာ ယေဘုယျအားဖြင့် ဖြစ်ပေါ်စေသည့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ညီမျှခြင်းများ (geometric evolution equations) ဖြစ်ကြပြီး ချောမွေ့သော မူလအခြေအနေများအားလုံးပေါ်၌ နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ဒေသအလိုက် စီးဆင်းမှုများအဖြစ် သတ်မှတ်ရန် မဖြစ်နိုင်ပေ။ ထို့အပြင် [[ကျပန်းကိန်းရှင်|ကျပန်းကိန်းရှင်များ]] (random variables) ပါဝင်သော စနစ်များ၊ [[စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ်|စတော့ကတ်စတစ်လုပ်ငန်းစဉ်များ]] (stochastic processes) နှင့် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှု (Bernoulli flow) ကဲ့သို့သော အာဂေါဒစ် ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (ergodic dynamical systems) အတွက်လည်း စီးဆင်းမှုများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal definition) == [[အစု]] (set) <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ '''စီးဆင်းမှု''' (flow) ဆိုသည်မှာ <math>X</math> ပေါ်သို့ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်များ]] (real numbers) ၏ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အပေါင်းအခြေခံအုပ်စု]] (additive group) <math>(\mathbb{R}, +)</math> က သက်ရောက်သည့် [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်]] (group action) ဖြစ်သည်။ စီးဆင်းမှုတစ်ခုသည် <math>x \in X</math> အားလုံးနှင့် <math>s, t \in \mathbb{R}</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါတို့ကို ပြေလည်စေသော [[ဖန်ရှင်|ပုံဖော်မှု]] (mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Irwin (1980), §1.1.</ref> :<math>\varphi : X \times \mathbb{R} \to X</math> :<math>\begin{align} \varphi(x,0) &= x, \\ \varphi(\varphi(x,t),s) &= \varphi(x,s+t). \end{align}</math> <math>\varphi(x, t)</math> အစား <math>\varphi^t(x)</math> ဟု ရေးသားလိုက်သည့်အခါ စီးဆင်းမှု [[နဂိုမှန်အဆို|နဂိုမှန်အဆိုများ]] (axioms) သည် <math>X</math> ပေါ်ရှိ [[ဖန်ရှင်|ထပ်တူရဖန်ရှင်]] (identity function) ဖြစ်သော <math>\varphi^0 = \operatorname{Id}_X</math> နှင့် အုပ်စုနိယာမ (group law) ဖြစ်သော <math>\varphi^s \circ \varphi^t = \varphi^{s+t}</math> ပုံစံသို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ အကျိုးဆက်အားဖြင့် <math>t \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် ပုံဖော်မှု <math>\varphi^t: X \to X</math> သည် [[ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်|ပြောင်းပြန်]] (inverse) <math>(\varphi^t)^{-1} = \varphi^{-t}</math> ရှိသည့် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်ရှင်း]] (bijection) တစ်ခုဖြစ်ရာ ကိန်းစစ် ကိန်းရှင်ကြားခံ (parameter) <math>t</math> သည် ဖန်ရှင် ထပ်ကျော့တွက်ချက်ခြင်း (function iteration) အောက်၌ ယေဘုယျပြုထားသော (generalized) ဖန်ရှင်နယ် ထပ်ကိန်း (functional power) တစ်ခုအဖြစ် သက်ရောက်သည်။ အချိန် ကိန်းရှင်ကြားခံကို [[ပေါင်းခြင်း]] (addition) အောက်ရှိ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ (non-negative real numbers) <math>\mathbb{R}_{\ge 0} = [0, \infty)</math> အပေါ်သို့သာ ကန့်သတ်လိုက်သည့်အခါ <math>s, t \ge 0</math> အားလုံးအတွက် အထက်ပါ နဂိုမှန်အဆိုများအတိုင်း ပြေလည်စေသော ပုံဖော်မှု <math>\varphi: X \times \mathbb{R}_{\ge 0} \to X</math> ကို '''စီးဆင်းမှုတစ်ပိုင်း''' (semiflow) ဟု ခေါ်သည်။ စီးဆင်းမှုတစ်ပိုင်းတွင် <math>\varphi^t</math> ပုံဖော်မှုများသည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ စီးဆင်းမှုများသည် အစု <math>X</math> ပေါ်တွင် တပ်ဆင်ပေးထားသော နောက်ထပ် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ (additional mathematical structures) နှင့် ကိုက်ညီမှု (compatible) ရှိရန် လိုအပ်လေ့ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ * အကယ်၍ <math>X</math> တွင် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တစ်ခု တပ်ဆင်ထားပါက <math>\varphi: X \times \mathbb{R} \to X</math> သည် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (continuous) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရမည်။ သို့မှသာ ထိုစီးဆင်းမှုသည် <math>X</math> ၏ [[ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homeomorphisms) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ အုပ်စု (one-parameter group) တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ * အကယ်၍ <math>X</math> သည် <math>1 \le k \le \infty</math> အတွက် အတန်းအစား (class) <math>C^k</math> ရှိသည့် [[မန်နီဖိုး#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော_မန်နီဖိုးများ_(Differentiable_Manifolds)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော မန်နီဖိုး]] (differentiable manifold) တစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\varphi: X \times \mathbb{R} \to X</math> သည်လည်း အတန်းအစား <math>C^k</math> ရှိရမည်ဖြစ်ပြီး <math>k = \infty</math> ဖြစ်သည့်အခါ ချောမွေ့သော (smooth) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရမည်။ သို့မှသာ ထိုစီးဆင်းမှုသည် <math>X</math> ၏ <math>C^k</math>-[[ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်|ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (<math>C^k</math>-diffeomorphisms) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။<ref>Brin & Stuck (2002), §1.10.</ref> * အကယ်၍ <math>(X, \Sigma, \mu)</math> သည် အတိုင်းအတာရပ်ဝန်း (measure space) တစ်ခု ဖြစ်ပါက <math>\varphi</math> သည် တိုင်းတာနိုင်သော (measurable) ပုံဖော်မှုနှင့် အတိုင်းအတာကိုထိန်းသိမ်းထားသော (measure-preserving) ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ <math>A \in \Sigma</math> အားလုံးနှင့် <math>t \in \mathbb{R}</math> အားလုံးအတွက် <math>\mu((\varphi^t)^{-1}(A)) = \mu(A)</math> ဖြစ်ရမည်။ အခြေအနေများစွာတွင် '''ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှုများ''' (local flows) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားလေ့ရှိသည်။ ၎င်းတို့ကို တိုပေါ်လော်ဂျီ သို့မဟုတ် မန်နီဖိုး အခြေအနေများ၌ <math>X \times \{0\}</math> ပါဝင်သော [[အစုပိုင်း|အဖွင့်စုပိုင်း]] (open subset) တစ်ခုပေါ်တွင်သာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး ထိုအဖွင့်စုပိုင်း၏ ပုံစံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\operatorname{dom}(\varphi) = \{ (x,t) \in X \times \mathbb{R} \mid t \in (a_x,b_x),\ x \in X \} \subseteq X \times \mathbb{R}.</math> ဤတွင် <math>x \in X</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် <math>-\infty \le a_x < 0 < b_x \le +\infty</math> ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{dom}(\varphi)</math> ကို <math>\varphi</math> ၏ '''စီးဆင်းမှုဒိုမိန်း''' (flow domain) ဟု ခေါ်သည်။ အမြင့်ဆုံး (maximal) ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှု <math>\varphi: \operatorname{dom}(\varphi) \to X</math> တစ်ခုသည် <math>x \in X</math> အားလုံးအတွက် <math>\varphi(x,0) = x</math> ကို ပြေလည်စေသည်။ ထို့အပြင် <math>(x,t) \in \operatorname{dom}(\varphi)</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် <math>a_{\varphi(x,t)} = a_x - t</math> နှင့် <math>b_{\varphi(x,t)} = b_x - t</math> တို့ ရရှိရာ ထိုအပိုင်းအခြား (interval) အတွင်း၌ အထူးသဖြင့် <math>-t</math> ပါဝင်ပြီး <math>s \in (a_x - t, b_x - t)</math> အားလုံးအတွက် ဒေသအလိုက် အုပ်စုနိယာမ <math>\varphi(\varphi(x,t),s) = \varphi(x,s+t)</math> မှန်ကန်သည်။ ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှုများသည် ပြည့်စုံမှုမရှိသော [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (vector fields that are not complete) ၏ စီးဆင်းမှုများအဖြစ် သဘာဝအလျောက် ပေါ်ထွက်လာကြသည်။ ထိုကဲ့သို့သော အခြေအနေများတွင် ဒေသအလိုက် အုပ်စုသက်ရောက်ချက် ဂုဏ်သတ္တိများကို ဂရုပွိုက်များ (groupoids) သို့မဟုတ် ဆူဒိုအုပ်စုများ (pseudogroups) ဖြင့် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။ === သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း သတ်မှတ်ချက်များနှင့် ပတ်လမ်းများ (Notational conventions and orbits) === အင်ဂျင်နီယာပညာ၊ ရူပဗေဒ (physics) နှင့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ]] (differential equations) လေ့လာမှုတို့တွင် <math>\varphi^t(x_0)</math> အစား <math>x(t)</math> ဟု ရေးသားခြင်းဖြင့် စီးဆင်းမှုတစ်ခုကို သွယ်ဝိုက်သောသင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိရာ အခြေအနေပြ ကိန်းရှင် (state variable) <math>x</math> ကို အချိန် <math>t</math> နှင့် မူလအခြေအနေ (initial condition) <math>x(0) = x_0</math> တို့၏ [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြသည်။<ref>Datseris & Parlitz (2022), p. 5.</ref> [[မန်နီဖိုး|ချောမွေ့သော မန်နီဖိုး]] (smooth manifold) <math>X</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ချောမွေ့သော ဗက်တာစက်ကွင်း]] (smooth vector field) <math>V</math> က ထုတ်လုပ်ပေးသော (generated by) စီးဆင်းမှုအခြေအနေတွင် ထုတ်လုပ်ကိန်း (generator) ကို အောက်ပါအတိုင်း အတိအလင်း ထည့်သွင်းရေးသားလေ့ရှိသည်။ :<math>\Phi_V\colon \operatorname{dom}(\Phi_V) \subseteq X \times \mathbb{R} \to X, \qquad (x,t) \mapsto \Phi_V^t(x).</math> <math>x \in X</math> ပေးထားသည့်အခါ အောက်ပါအစုကို <math>\varphi</math> အောက်ရှိ <math>x</math> ၏ '''ပတ်လမ်း''' (orbit) ဟု ခေါ်သည်။ :<math>\mathcal{O}(x) = \{ \varphi(x,t) : t \in \mathbb{R} \}.</math> ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှုတစ်ခုအတွက်မူ ပတ်လမ်းကို <math>\{ \varphi(x,t) : t \in (a_x, b_x) \}</math> အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အလွယ်သဘော ဆိုရသော် ပတ်လမ်းသည် <math>x</math> ၌ မူလတည်ရှိနေသော အမှုန် (particle) တစ်ခု၏ လမ်းကြောင်း (trajectory) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အကယ်၍ စီးဆင်းမှုကို ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (locally Lipschitz-continuous) ဖြစ်သော သို့မဟုတ် ချောမွေ့သော ဗက်တာစက်ကွင်းတစ်ခုက ထုတ်လုပ်ပေးပါက ၎င်း၏ ပတ်လမ်းများသည် အမြင့်ဆုံး အင်တီဂရယ်မျဉ်းကွေးများ (maximal integral curves) ၏ [[ပုံရိပ်_နှင့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (images) ဖြစ်ကြသည်။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများနှင့် ဗက်တာစက်ကွင်းများ၏ စီးဆင်းမှုများ (Flows of differential equations and vector fields) == === အက္ခရာသင်္ချာညီမျှခြင်း (Algebraic equation) === <math>f: \mathbb{R} \to X</math> သည် အချိန်ဖြင့် ကိန်းရှင်ကြားခံပြုထားသော လမ်းကြောင်း (trajectory) တစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသည့် [[ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်]] (bijective function) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathbb{R}</math> ၏ [[အုပ်စုသက်ရောက်ချက်|ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း သက်ရောက်ချက်]] (translation action) ကို <math>f</math> တစ်လျှောက် ပို့ဆောင်ပေးခြင်းအားဖြင့် <math>X</math> ပေါ်ရှိ အလုံးစုံစီးဆင်းမှု (global flow) တစ်ခုကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ :<math>\varphi(x,t) = f(t + f^{-1}(x)).</math> === ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ၏ အလိုအလျောက်စနစ်များ (Autonomous systems of ordinary differential equations) === <math>\boldsymbol{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> သည် ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (locally Lipschitz-continuous) ဖြစ်ပြီး အချိန်အပေါ်မူမတည်သော (time-independent) [[ဗက်တာစက်ကွင်း|အလိုအလျောက် ဗက်တာစက်ကွင်း]] (autonomous vector field) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ ပီကတ်-လင်ဒီလော့ဖ် သီအိုရမ် (Picard–Lindelöf theorem) အရ <math>\boldsymbol{x}_0 \in \mathbb{R}^n</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် အောက်ပါ မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ (initial value problem) ၌ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အကြီးဆုံးအဖြေ (maximal solution) <math>\boldsymbol{x}: (a_{\boldsymbol{x}_0}, b_{\boldsymbol{x}_0}) \to \mathbb{R}^n</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ :<math>\dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(t)), \qquad \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{x}_0.</math> <math>\varphi(\boldsymbol{x}_0,t) = \boldsymbol{x}(t)</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်ခြင်းဖြင့် '''ဗက်တာစက်ကွင်း <math>\boldsymbol{F}</math> ၏ စီးဆင်းမှု''' (flow of the vector field) ကို ရရှိသည်။ ၎င်းသည် အဖွင့် စီးဆင်းမှုဒိုမိန်း (flow domain) <math>\operatorname{dom}(\varphi) \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> ပေါ်တွင် မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသော (well-defined) ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှု (local flow) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး <math>\operatorname{dom}(\varphi)</math> ပေါ်တွင် ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>\boldsymbol{F}</math> သည် ကျစ်လျစ်မှုအထောက်အပံ့ပြု (compactly supported) ဖြစ်ပါက သို့မဟုတ် အလုံးစုံ လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (globally Lipschitz-continuous) ဖြစ်ပါက မည်သည့်လမ်းကြောင်းမျှ အဆုံးရှိ (finite) အချိန်အတွင်း [[အနန္တ]] (infinity) သို့ လွတ်ထွက်မသွားနိုင်သဖြင့် စီးဆင်းမှု <math>\varphi: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math> ကို အလုံးစုံအားဖြင့် (globally) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ === အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ (Time-dependent ordinary differential equations) === ကျစ်လျစ်သော အချိန်အပိုင်းအခြားများ (compact time intervals) ပေါ်တွင် တစ်ပြေးညီစွာ (uniformly) ပထမ အဝင်ကိန်း (argument) အရ ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် ဖြစ်သည့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] အချိန်အပေါ်မူတည်သည့် (time-dependent) [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] <math>\boldsymbol{F}: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math> အတွက် <math>\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0) = \boldsymbol{x}(t+t_0)</math> ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဤတွင် <math>\tau \mapsto \boldsymbol{x}(\tau)</math> သည် အောက်ပါ မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အကြီးဆုံးအဖြေ ဖြစ်ပြီး <math>t</math> သည် မူလအချိန် <math>t_0</math> မှ ကုန်လွန်သွားသော အချိန်ကို ဖော်ပြသည်။ :<math>\dot{\boldsymbol{x}}(\tau) = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(\tau),\tau), \qquad \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{x}_0.</math> ထိုအခါ <math>\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0)</math> ကို <math>\boldsymbol{F}</math> ၏ '''အချိန်အပေါ်မူတည်သော စီးဆင်းမှု''' (time-dependent flow) သို့မဟုတ် ကိန်းရှင်ကြားခံနှစ်ခုပါ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ပုံဖော်မှု (two-parameter evolution map) ဟု ခေါ်သည်။ <math>\varphi^{t,t_0}</math> သည် <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ စီးဆင်းမှုတစ်ခု မဟုတ်သော်လည်း တိုးချဲ့ထားသော အခြေအနေရပ်ဝန်း (extended phase space) <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> ပေါ်တွင် အောက်ပါ[[ဖန်ရှင်|ပုံဖော်မှု]] (mapping) မှတစ်ဆင့် ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှုတစ်ခုကို လှုံ့ဆော် (induce) ပေးသည်။ ပြည့်စုံသော (complete) အခါတွင်မူ အလုံးစုံစီးဆင်းမှုတစ်ခုကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ :<math>\varphi\colon \operatorname{dom}(\varphi) \subseteq (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}, \qquad \varphi((\boldsymbol{x}_0, t_0), t) = (\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0), t+t_0).</math> ၎င်းသည် <math>\varphi((\boldsymbol{x}_0, t_0), 0) = (\boldsymbol{x}_0, t_0)</math> ကို ပြေလည်စေပြီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် နေရာတိုင်းတွင် နောက်ဆုံး ကိန်းရှင် (variable) အရ အောက်ပါ အုပ်စုနိယာမ (group law) ကို ပြေလည်စေသည်။ :<math>\begin{align} \varphi(\varphi((\boldsymbol{x}_0,t_0),t),s) &= \varphi((\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0),t+t_0),s) \\ &= (\varphi^{s,t+t_0}(\varphi^{t,t_0}(\boldsymbol{x}_0)),s+t+t_0) \\ &= (\varphi^{s,t+t_0}(\boldsymbol{x}(t+t_0)),s+t+t_0) \\ &= (\boldsymbol{x}(s+t+t_0),s+t+t_0) \\ &= (\varphi^{s+t,t_0}(\boldsymbol{x}_0),s+t+t_0) \\ &= \varphi((\boldsymbol{x}_0,t_0),s+t). \end{align}</math> ထို့ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လိုက်ခြင်းဖြင့် <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ အချိန်အပေါ်မူတည်သော စီးဆင်းမှုတစ်ခုသည် <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math> ပေါ်ရှိ အလိုအလျောက် စီးဆင်းမှုတစ်ခုအဖြစ်သို့ လျှော့ချသွားသည်။ :<math>\boldsymbol{G}(\boldsymbol{x},\tau) := (\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},\tau), 1), \qquad \boldsymbol{y}(s) := (\boldsymbol{x}(s+t_0), s+t_0).</math> ထိုအခါ အောက်ပါ အလိုအလျောက် မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာကို ရရှိသည်။ :<math>\dot{\boldsymbol{y}}(s) = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{y}(s)), \qquad \boldsymbol{y}(0) = (\boldsymbol{x}_0,t_0).</math> <math>\boldsymbol{y}(s)</math> သည် အထက်ပါ အလိုအလျောက် မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ၏ အဖြေ (solution) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ <math>\boldsymbol{x}(\tau)</math> သည် မူလ အချိန်အပေါ်မူတည်သည့် မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ၏ အဖြေ ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် <math>\operatorname{dom}(\varphi) \subseteq (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) \times \mathbb{R}</math> ပေါ်ရှိ ပုံဖော်မှု <math>\varphi</math> သည် အလိုအလျောက် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>\boldsymbol{G}</math> ၏ စီးဆင်းမှု အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ === မန်နီဖိုးများပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်းများ၏ စီးဆင်းမှုများ (Flows of vector fields on manifolds) === [[မန်နီဖိုး|ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများ]] (smooth manifolds) ပေါ်ရှိ အလိုအလျောက် [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]]နှင့် အချိန်အပေါ်မူတည်သော ဗက်တာစက်ကွင်းများ၏ စီးဆင်းမှုများကို ယူကလစ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) <math>\mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ စီးဆင်းမှုများနည်းတူ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး ၎င်းတို့သည် တူညီသော ဒေသအလိုက် အပြုအမူများကို ပြသကြသော်လည်း အလုံးစုံ တည်ရှိမှုမှာမူ မန်နီဖိုး၏ အလုံးစုံ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) နှင့် [[ဂျီဩမေတြီ]] (geometry) တို့အပေါ်တွင် မူတည်သည်။ ပုံစံတကျ ဆိုရသော် <math>\mathcal{M}</math> သည် ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ အမှတ် <math>p \in \mathcal{M}</math> ရှိ [[ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း]] (tangent space) ကို <math>\mathrm{T}_p\mathcal{M}</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (disjoint union) <math>\mathrm{T}\mathcal{M} = \bigsqcup_{p \in \mathcal{M}} \mathrm{T}_p\mathcal{M}</math> သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (tangent bundle) ဖြစ်ပါစေ။ <math>\mathcal{M}</math> ပေါ်ရှိ ချောမွေ့သော အလိုအလျောက် ဗက်တာစက်ကွင်းတစ်ခုကို အောက်ပါပုံဖော်မှုဖြင့် ပေးထားသည်ဆိုပါစို့။ :<math>V : \mathcal{M} \to \mathrm{T}\mathcal{M}.</math> <math>V</math> သည် <math>p \in \mathcal{M}</math> တစ်ခုချင်းစီအတွက် <math>V(p) \in \mathrm{T}_p\mathcal{M}</math> ကို ပြေလည်စေသော ချောမွေ့သည့် ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>V</math> ၏ စီးဆင်းမှုသည် <math>\mathcal{M} \times \{0\}</math> ပါဝင်သော အဖွင့် စီးဆင်းမှုဒိုမိန်း <math>\operatorname{dom}(\varphi) \subseteq \mathcal{M} \times \mathbb{R}</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး အောက်ပါတို့ကို ပြေလည်စေသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အမြင့်ဆုံး ချောမွေ့သည့် ဒေသအလိုက်စီးဆင်းမှု <math>\varphi: \operatorname{dom}(\varphi) \to \mathcal{M}</math> ဖြစ်သည်။ :<math>\begin{align} \varphi(x_0, 0) &= x_0, & \forall x_0 \in \mathcal{M}, \\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0} \varphi(x_0, t) &= V(\varphi(x_0, t_0)), & \forall (x_0, t_0) \in \operatorname{dom}(\varphi). \end{align}</math> အကယ်၍ <math>\mathcal{M}</math> သည် ကျစ်လျစ်သော (compact) မန်နီဖိုး ဖြစ်ပါက <math>\mathcal{M}</math> ပေါ်ရှိ ချောမွေ့သော ဗက်တာစက်ကွင်း <math>V</math> တိုင်းသည် ပြည့်စုံသော ဗက်တာစက်ကွင်း (complete vector field) ဖြစ်သဖြင့် <math>\operatorname{dom}(\varphi) = \mathcal{M} \times \mathbb{R}</math> ဖြစ်ပြီး <math>\varphi</math> သည် အလုံးစုံ ချောမွေ့သော စီးဆင်းမှု (global smooth flow) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>f(p,t) \in \mathrm{T}_p\mathcal{M}</math> ဖြစ်သည့် ချောမွေ့သော အချိန်အပေါ်မူတည်သည့် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>f: \mathcal{M} \times \mathbb{R} \to \mathrm{T}\mathcal{M}</math> တစ်ခုအတွက် <math>t = 0</math> ၌ မူလအခြေအနေ သတ်မှတ်ထားသော ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ပုံဖော်မှုသည် ၎င်း၏ အဖွင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၏ [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain of definition) ပေါ်တွင် <math>\varphi(x_0, 0) = x_0</math> နှင့် <math>\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_0} \varphi(x_0, t) = f(\varphi(x_0, t_0), t_0)</math> တို့ကို ပြေလည်စေသည်။ == အော်ပရေတာ ဆီမီးအုပ်စုများနှင့် အာဂေါဒစ် စီးဆင်းမှုများ (Operator semigroups and ergodic flows) == === အပူညီမျှခြင်း၏ အဖြေများ (Solutions of the heat equation) === <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> သည် ချောမွေ့သော နယ်နိမိတ် (smooth boundary) <math>\Gamma</math> ရှိသည့် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော အဖွင့်ဒိုမိန်း (bounded open domain) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>T > 0</math> အတွက် တစ်ပြေးညီ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး နယ်နိမိတ်အခြေအနေ (homogeneous Dirichlet boundary condition) နှင့် မူလအချက်အလက် (initial datum) <math>u(0) = u^0 \in L^2(\Omega)</math> တို့ ပါရှိသော <math>\Omega \times (0, T)</math> ပေါ်ရှိ အောက်ပါ အပူညီမျှခြင်း (heat equation) ကို စဉ်းစားပါ။ :<math>\begin{array}{rcll} u_t - \Delta u &=& 0 & \text{in } \Omega \times (0,T), \\ u &=& 0 & \text{on } \Gamma \times (0,T). \end{array}</math> [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) <math>L^2(\Omega)</math> ပေါ်ရှိ [[ဆီမီးအုပ်စု|အော်ပရေတာ ဆီမီးအုပ်စု]] (operator semigroup) ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုတွင် အောက်ပါ [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain) ရှိသည့် ကန့်သတ်ချက်မရှိသော (unbounded) [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး လာပလေ့ဆီယန်]] (Dirichlet Laplacian) <math>\Delta_D</math> ကို စတင်မိတ်ဆက်သည်။ :<math>D(\Delta_D) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega).</math> ဤတွင် <math>H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)</math> တို့သည် ရှေးရိုးစဉ်လာ ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်းများ (classical Sobolev spaces) ဖြစ်ကြပြီး <math>H_0^1(\Omega)</math> မှာ <math>\Omega</math> အတွင်း၌ ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ (compact support) ရှိသည့် [[ဖန်ရှင်|ချောမွေ့သော ဖန်ရှင်များ]] (smooth functions) ၏ <math>H^1(\Omega)</math>-[[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) အရ အပိတ် (closure) ဖြစ်သည်။ :<math>H_0^1(\Omega) = \overline{C_0^\infty(\Omega)}^{H^1(\Omega)}.</math> မည်သည့် <math>v \in D(\Delta_D)</math> အတွက်မဆို အားနည်းသော သို့မဟုတ် ဖြန့်ဝေမှုဆိုင်ရာ သဘောအရ (weak or distributional sense) အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ :<math>\Delta_D v = \Delta v = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} v.</math> ဤအော်ပရေတာဖြင့် အပူညီမျှခြင်းသည် မူလအခြေအနေ (initial condition) <math>u(0) = u^0</math> နှင့် <math>t > 0</math> အတွက် <math>u'(t) = \Delta_D u(t)</math> ဟူသော သရုပ်မဲ့ ကော်ချီ ပုံစံ (abstract Cauchy form) သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ အပူညီမျှခြင်းသည် အချိန်အရ ပြောင်းပြန်လှန်၍မရနိုင်သောကြောင့် ၎င်း၏ အပျော့စားအဖြေ အော်ပရေတာ (mild solution operator) သည် <math>t > 0</math> အတွက် အားကောင်းသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (strong analytic) အဖြေအော်ပရေတာလည်း ဖြစ်ပြီး <math>t \ge 0</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည့် '''စီးဆင်းမှုတစ်ပိုင်း''' (semiflow) <math>\varphi: L^2(\Omega) \times [0, \infty) \to L^2(\Omega)</math> တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ :<math>\varphi(u^0,t) = \mathrm{e}^{t\Delta_D} u^0.</math> ဤတွင် <math>\{\mathrm{e}^{t\Delta_D}\}_{t \ge 0}</math> သည် <math>\Delta_D</math> က ထုတ်လုပ်ပေးသော (generated by) <math>L^2(\Omega)</math> ပေါ်ရှိ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဆီမီးအုပ်စု (analytic semigroup) ဖြစ်သည်။ === လှိုင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများ (Solutions of the wave equation) === ချောမွေ့သော နယ်နိမိတ် <math>\Gamma</math> ရှိသည့် ထိုကန့်သတ်ချက်ရှိသော အဖွင့်ဒိုမိန်း <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> ပေါ်တွင်ပင် <math>T > 0</math> အတွက် မူလအခြေအနေများ ဖြစ်ကြသော <math>u(0) = u^{1,0} \in H_0^1(\Omega)</math> နှင့် <math>u_t(0) = u^{2,0} \in L^2(\Omega)</math> တို့ ပါရှိသည့် အောက်ပါ လှိုင်းညီမျှခြင်း (wave equation) ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ :<math>\begin{array}{rcll} u_{tt} - \Delta u &=& 0 & \text{in } \Omega \times (0,T), \\ u &=& 0 & \text{on } \Gamma \times (0,T). \end{array}</math> လှိုင်းညီမျှခြင်းကို အချိန်အရ ပထမအဆင့် (first-order) ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ညီမျှခြင်း (evolution equation) တစ်ခုအဖြစ် ပြန်လည်ရေးသားရန် အောက်ပါ [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး စွမ်းအင် အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (Dirichlet energy inner product) တပ်ဆင်ထားသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] <math>H = H_0^1(\Omega) \times L^2(\Omega)</math> ကို စဉ်းစားသည်။ :<math>\langle (u_1, v_1), (u_2, v_2) \rangle_H = \int_\Omega \nabla u_1 \cdot \nabla \overline{u_2}\,\mathrm{d}x + \int_\Omega v_1 \overline{v_2}\,\mathrm{d}x.</math> ထို့နောက် <math>H</math> ပေါ်တွင် [[အရင်းအမြစ်စု]] <math>D(\mathcal{A}) = (H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)) \times H_0^1(\Omega)</math> ရှိသည့် အောက်ပါ ကန့်သတ်ချက်မရှိသော တိမ်းစောင်းတွဲဖက် အော်ပရေတာ (skew-adjoint operator) <math>\mathcal{A}</math> ကို စတင်မိတ်ဆက်သည်။ :<math>\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 0 & \operatorname{Id} \\ \Delta_D & 0 \end{pmatrix}.</math> အောက်ပါ [[ဗက်တာ|အခြေအနေပြ တိုင်ဗက်တာများ]] (state column vectors) ကို စတင်မိတ်ဆက်သည်။ :<math>U = \begin{pmatrix} u^1 \\ u^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ u_t \end{pmatrix}, \qquad U^0 = \begin{pmatrix} u^{1,0} \\ u^{2,0} \end{pmatrix}.</math> ထိုအခါ လှိုင်းညီမျှခြင်းသည် <math>U(0) = U^0</math> ပါရှိသော ပထမအဆင့် သရုပ်မဲ့ ကော်ချီ ပုံစံ <math>U'(t) = \mathcal{A}U(t)</math> သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ စတုန်း၏ သီအိုရမ် (Stone's theorem) အရ <math>\mathcal{A}</math> သည် <math>H</math> ပေါ်တွင် အားကောင်းစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (strongly continuous) [[ယူနစ်တရီ အုပ်စု|ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ ယူနစ်တရီအုပ်စု]] (one-parameter unitary group) <math>\{\mathrm{e}^{t\mathcal{A}}\}_{t \in \mathbb{R}}</math> ကို ထုတ်လုပ်ပေးရာ အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည့် အလုံးစုံ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စီးဆင်းမှု (global reversible flow) <math>\varphi: H \times \mathbb{R} \to H</math> ကို ရရှိသည်။ :<math>\varphi(U^0,t) = \mathrm{e}^{t\mathcal{A}} U^0.</math> ၎င်းသည် <math>U^0 \in D(\mathcal{A})</math> ဖြစ်သည့်အခါ အားကောင်းသော အဖြေ (strong solution) တစ်ခုကို ပေးစွမ်းပြီး ယေဘုယျ မူလအချက်အလက် <math>U^0 \in H</math> အတွက် အပျော့စား အဖြေ (mild solution) တစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။ === ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှု (Bernoulli flow) === အာဂေါဒစ် သီအိုရီ (ergodic theory) တွင် [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း|စံ ဖြစ်တန်စွမ်းရပ်ဝန်း]] (standard probability space) <math>(X, \Sigma, \mu)</math> တစ်ခုပေါ်ရှိ တိုင်းတာနိုင်သော (measurable) အတိုင်းအတာကိုထိန်းသိမ်းထားသော စီးဆင်းမှုများ (measure-preserving flows) ကို လေ့လာသည်။ တိုင်းတာနိုင်ပြီး အတိုင်းအတာကိုထိန်းသိမ်းထားသော စီးဆင်းမှု <math>\varphi: X \times \mathbb{R} \to X</math> တစ်ခုတွင် <math>t \ne 0</math> တိုင်းအတွက် အချိန် <math>t</math> [[ဖန်ရှင်|ပုံဖော်မှု]] (map) <math>\varphi^t: X \to X</math> သည် ဘာနူးလီ နေရာရွှေ့ (Bernoulli shift) တစ်ခု ဖြစ်ပါက ထိုစီးဆင်းမှုကို '''ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှု''' (Bernoulli flow) ဟု ခေါ်သည်။ စီးဆင်းမှုများအတွက် အောန်စတိုင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သီအိုရမ် (Ornstein isomorphism theorem) အရ အတိုင်းအတာကိုထိန်းသိမ်းထားသော စီးဆင်းမှုတစ်ခုသည် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်း၏ အချိန် <math>1</math> ပုံဖော်မှု <math>\varphi^1</math> သည် ဘာနူးလီ နေရာရွှေ့ ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ပေးထားသော မည်သည့် ကိုးလ်မိုဂိုရော့ဗ်-ဆီနိုင်း အင်ထရိုပီ (Kolmogorov–Sinai entropy) <math>H \in (0, \infty]</math> အတွက်မဆို အင်ထရိုပီ <math>H</math> ရှိသည့် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှုတစ်ခု တည်ရှိပြီး တူညီသော အင်ထရိုပီ <math>H</math> ရှိသည့် မည်သည့် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှုနှစ်ခုမဆို အတိုင်းအတာကိုထိန်းသိမ်းထားသော ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (measure-preserving dynamical systems) အနေဖြင့် [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်]] (isomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ အကျိုးဆက်အားဖြင့် အဆုံးရှိ (finite) အပေါင်း (positive) အင်ထရိုပီ ရှိသော ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှုသည် အချိန်အား ကိန်းသေ (constant) အချိုးချပြောင်းလဲခြင်း (rescaling) အထိ တစ်ခုတည်းသီးသန့် (unique) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\psi(x, t)</math> နှင့် <math>\varphi(x, t)</math> တို့သည် အဆုံးရှိ သုညမဟုတ်သော (nonzero) အင်ထရိုပီရှိသည့် မည်သည့် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှုနှစ်ခုမဆို ဖြစ်ကြပါက စီးဆင်းမှု <math>\psi(x, t)</math> သည် အချိန်အချိုးချပြောင်းလဲထားသော စီးဆင်းမှု <math>\varphi(x, ct)</math> နှင့် အတိုင်းအတာသီအိုရီအရ အိုင်ဆိုမော်ဖစ် (measure-theoretically isomorphic) ဖြစ်စေမည့် ကိန်းသေ <math>c > 0</math> တစ်ခု တည်ရှိသည်။ သာဓကအားဖြင့် အနုတ် အပိုင်းလိုက်ကွေးညွှတ်မှု (negative sectional curvature) ရှိသည့် ကျစ်လျစ်သော [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုးများ]] (compact Riemannian manifolds) ပေါ်ရှိ ဂျီအိုဒက်စစ် စီးဆင်းမှုများ (geodesic flows) ကဲ့သို့သော ကျစ်လျစ်သည့် မန်နီဖိုးများပေါ်ရှိ ရောနှောဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် (mixing) ထုထည်ကိုထိန်းသိမ်းထားသော (volume-preserving) <math>C^2</math> အာနိုဆော့ဗ် စီးဆင်းမှုများ (Anosov flows) နှင့် ဆီနိုင်း၏ ပြန့်ကျဲ ဘိလိယက် စီးဆင်းမှုများ (Sinai's dispersing billiard flows) အပါအဝင် များစွာသော ပရမ်းပတာ ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (chaotic dynamical systems) သည် ဘာနူးလီ စီးဆင်းမှုများနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်ကြသည်။ == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Brin |first1=Michael |last2=Stuck |first2=Garrett |title=Introduction to Dynamical Systems |publisher=Cambridge University Press |publication-place=Cambridge |date=2002 |isbn=978-0-521-80841-5 |doi=10.1017/CBO9780511755316}} * {{Citation |last1=Datseris |first1=George |last2=Parlitz |first2=Ulrich |title=Nonlinear Dynamics: A Concise Introduction Interlaced with Code |publisher=Springer |publication-place=Cham |date=2022 |isbn=978-3-030-91031-0 |doi=10.1007/978-3-030-91032-7}} * {{Citation |last1=Irwin |first1=Michael C. |title=Smooth Dynamical Systems |series=Pure and Applied Mathematics |volume=94 |publisher=Academic Press |publication-place=London |date=1980 |isbn=978-0-12-374450-0 |mr=0586942}} [[ကဏ္ဍ:ပြောင်းလဲလှုပ်ရှားစနစ်]] 0twy5x7vwt44vipa65t1vmpornecdrx 0 292657 1060952 1057264 2026-11-01T01:24:23Z Mkant00 135890 1060952 wikitext text/x-wiki [[File:Anas platyrhynchos with ducklings reflecting water.jpg|thumb|right|အဝေးရှိ အရင်းအမြစ် (source) တစ်ခုမှ လာသော ပြင်ညီလှိုင်း (plane wave) နီးပါးဖြစ်သည့် ရေလှိုင်းများနှင့် ရေကြောင်းလှိုင်းများ၏ ထပ်ဆင့်ခြင်း (superposition) ဖြစ်သည်။]] [[File:Rolling animation.gif|thumb|right|ဘီးတစ်ခု၏ လိမ့်သော ရွေ့လျားမှုကို ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) မပါသော လှည့်ခြင်း (rotation) နှင့် လှည့်ခြင်းမပါသော ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတို့၏ ထပ်ဆင့်ခြင်းအဖြစ် ခွဲခြမ်းထားပုံဖြစ်သည်။]] '''ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ''' ('''superposition principle''') သို့မဟုတ် '''ထပ်ဆင့်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိ''' ('''superposition property''') သည် သုည မူလအခြေအနေများ (zero initial conditions) ဖြင့် ငြိမ်သက်နေသော မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်စနစ် (linear system) အတွက်မဆို လှုံ့ဆော်ချက် (stimulus) နှစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုထက်ပိုသော လှုံ့ဆော်ချက်များ၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည့် စုစုပေါင်း တုံ့ပြန်ချက် (net response) သည် လှုံ့ဆော်ချက်တစ်ခုစီက သီးခြားစီ ဖြစ်ပေါ်စေသော တုံ့ပြန်ချက်များ၏ တူညီသည့် မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းနှင့် ညီမျှကြောင်း ဖော်ပြသည်။<ref>Illingworth (1991).</ref> အတိအကျဆိုသော် အဝင်ကိန်း (input) <math>x_1</math> က တုံ့ပြန်ချက် <math>y_1</math> ကို ရရှိစေပြီး အဝင်ကိန်း <math>x_2</math> က တုံ့ပြန်ချက် <math>y_2</math> ကို ရရှိစေပါက မည်သည့် [[စကေလာ|စကေလာများ]] (scalars) <math>a_1, a_2</math> အတွက်မဆို ပေါင်းစပ်ထားသော အဝင်ကိန်း <math>a_1 x_1 + a_2 x_2</math> သည် တုံ့ပြန်ချက် <math>a_1 y_1 + a_2 y_2</math> ကို ရရှိစေသည်။ အထူးသဖြင့် အဝင်ကိန်း <math>x_1 + x_2</math> သည် တုံ့ပြန်ချက် <math>y_1 + y_2</math> ကို ရရှိစေသည်။ == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition) == သာဓကအားဖြင့် <math>K = \mathbb{R}</math> သို့မဟုတ် <math>K = \mathbb{C}</math> ကဲ့သို့သော တူညီသည့် [[စကေလာ]][[ဖီးလ်ဒ်]] (scalar field) <math>K</math> အပေါ်အခြေခံသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) အဖြစ် <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့ကို သတ်မှတ်ပါစို့။ ပုံဖော်မှု (map) <math>F: V \to W</math> သည် ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ (superposition principle) ကို ပြေလည်စေရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ၎င်းသည် အောက်ပါ [[နဂိုမှန်အဆို]] (axiom) နှစ်ရပ်ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်ပုံဖော်မှု]] (linear map) သို့မဟုတ် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (linear operator) ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ * '''ပေါင်းစပ်နိုင်မှု''' ('''Additivity''') အရ <math>x_1, x_2 \in V</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(x_1 + x_2) = F(x_1) + F(x_2)</math> * ဒီဂရီ (degree) <math>1</math> ရှိသော '''တစ်ပြေးညီဖြစ်မှု''' ('''Homogeneity''') အရ စကေလာ (scalar) <math>a \in K</math> အားလုံးနှင့် <math>x \in V</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(ax) = aF(x)</math> သင်္ချာဆိုင်ရာဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) အရ ဤနဂိုမှန်အဆိုနှစ်ရပ်သည် [[ဗက်တာ|ဗက်တာများ]] (vectors) <math>x_1, \dots, x_n \in V</math> နှင့် စကေလာများ <math>c_1, \dots, c_n \in K</math> တို့၏ မည်သည့် အဆုံးရှိ စုစည်းမှု (finite collection) အတွက်မဆို အလိုရှိရာ အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (arbitrary finite linear combinations) ကို ထိန်းသိမ်းခြင်း (preservation) နှင့် အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ <math display="block">F\!\left(\sum_{k=1}^{n} c_k x_k\right) = \sum_{k=1}^{n} c_k F(x_k)</math> <math>V</math> နှင့် <math>W</math> တို့သည် ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces)၊ [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) သို့မဟုတ် ဖြန့်ဝေမှုများ၏ ရပ်ဝန်းများ (spaces of distributions) ကဲ့သို့သော [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (topological vector spaces) ဖြစ်ကြပြီး <math>F: V \to W</math> သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ (continuous linear operator) တစ်ခု ဖြစ်သည့်အခါ ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒသည် [[စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း|စုဆုံသော အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ]] (convergent infinite series) နှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်များ]] (continuous integrals) အထိ တိုးချဲ့အကျုံးဝင်သည်။ ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒသည် မျဉ်းဖြောင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]][[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] စနစ်များ (systems of linear algebraic equations)၊ မျဉ်းဖြောင့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ]] (linear differential equations) နှင့် မျဉ်းဖြောင့် အင်တီဂရယ်ညီမျှခြင်းများ (linear integral equations) အပါအဝင် မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်စနစ် (linear system) တွင်မဆို အကျုံးဝင်သည်။ လှုံ့ဆော်ချက်များ (stimuli) ဖြစ်ကြသော အဝင်ကိန်းများ (inputs) နှင့် တုံ့ပြန်ချက်များ (responses) ဖြစ်ကြသော အထွက်ကိန်းများ (outputs) သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်း၌ ပါဝင်သည့် [[ကိန်း|ကိန်းများ]] (numbers)၊ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (functions)၊ ဗက်တာများ၊ [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (vector fields) သို့မဟုတ် အချိန်အလိုက်ပြောင်းလဲနေသော အချက်ပြမှုများ (time-varying signals) ဖြစ်နိုင်ကြပြီး ယင်းတွင် ထပ်ဆင့်ခြင်း (superposition) သည် ဗက်တာ[[ပေါင်းခြင်း]] (vector addition) နှင့် အဓိပ္ပာယ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်များ၏ စုစည်းမှု (family of functions) တစ်ခုအတွက် ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ မှန်ကန်သည့်အခါ ၎င်းဖန်ရှင်ရပ်ဝန်း (function space) ပေါ်ရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း]] (differentiation)၊ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] (integration) သို့မဟုတ် ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ကဲ့သို့သော မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည့် (well-defined) မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာနှင့်မဆို [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) အောက်တွင် ယင်းမူဝါဒသည် ဆက်လက်ထိန်းသိမ်းခြင်း ခံရသည်။ == အော်ပရေတာ ခွဲခြမ်းမှုများ နှင့် နယ်နိမိတ်တန်ဖိုး ပြဿနာများ (Operator Decompositions and Boundary-Value Problems) == === အခြေအစု၊ ဖူရီယာ နှင့် ဂရင်း၏ ဖန်ရှင် ဖြန့်ထုတ်ချက်များ (Basis, Fourier, and Green's Function Expansions) === အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်စနစ် (continuous linear system) တစ်ခုအတွင်းရှိ အဝင် လှုံ့ဆော်ချက် (input stimulus) <math>x \in V</math> ကို [[စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း|စုဆုံသော အနန္တကိန်းစဉ်တန်း]] (convergent infinite series) <math>x = \sum_{k=1}^{\infty} c_k \phi_k</math> အဖြစ် သို့မဟုတ် အခြေခံ လှုံ့ဆော်ချက်များ (elementary stimuli) ၏ [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] ထပ်ဆင့်ခြင်း (integral superposition) အဖြစ် ခွဲခြမ်းထားပါက စုစုပေါင်း တုံ့ပြန်ချက် (net response) သည် တစ်ခုချင်းစီသော တုံ့ပြန်ချက်များ၏ သက်ဆိုင်ရာ ထပ်ဆင့်ခြင်း <math>F(x) = \sum_{k=1}^{\infty} c_k F(\phi_k)</math> သို့မဟုတ် သက်ဆိုင်ရာ အင်တီဂရယ် (integral) ဖြစ်သည်။ * '''ဖူရီယာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း''' ('''Fourier analysis''') တွင် လှုံ့ဆော်ချက်တစ်ခုကို [[ကိန်းထွေး]] [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|ထပ်ကိန်းတင်ဖန်ရှင်များ]] (complex exponentials) သို့မဟုတ် ဆိုင်းပုံစံလှိုင်းများ (sinusoids) သို့မဟုတ် သတ်မှတ်ထားသော ကြိမ်နှုန်း (frequency)၊ ပိုလာရိုက်ဇေးရှင်း (polarization) နှင့် ပျံ့နှံ့ရာလားရာ (propagation direction) တို့ရှိကြသည့် ပြင်ညီလှိုင်းများ (plane waves) ၏ စုဆုံသော [[ကိန်းစဉ်တန်း]] (convergent series) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ်အဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည် (represented)။ စနစ်သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး အချိန်အလိုက် မပြောင်းလဲသော (time-invariant) သို့မဟုတ် ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော (translation-invariant) [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာ]] (linear operator) ဖြစ်သည့်အခါ စကေလာတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (scalar-valued functions) အတွက် အော်ပရေတာ၏ [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain) အတွင်း၌ ပါဝင်သော ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင်မုဒ်များ (complex exponential modes) သည် ယင်းအော်ပရေတာ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ]] (eigenfunctions) ဖြစ်ကြပြီး ဗက်တာတန်ဖိုးရှိ စနစ်များ (vector-valued systems) တွင်မူ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲမှုသည် ကြိမ်နှုန်း ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (frequency subspaces) ကို ထိန်းသိမ်းထားသော်လည်း ၎င်းတို့၏ ပိုလာရိုက်ဇေးရှင်း ဗက်တာများသည် သက်ဆိုင်ရာ ကြိမ်နှုန်း တုံ့ပြန်ချက် အော်ပရေတာ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများ]] (eigenvectors) ဖြစ်မှသာ သီးခြားမုဒ်များသည် ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ ဖြစ်လာကြသည်။ [[ကိန်းစစ်]] ဆိုင်းပုံစံလှိုင်းမုဒ်များ (real sinusoidal modes) သည်မူ ပြောင်းလဲသွားသော လွှဲကျယ် (amplitude) နှင့် အခြေပြထောင့် (phase) တို့ရှိသည့် တူညီသော ကြိမ်နှုန်းရှိ ဆိုင်းပုံစံလှိုင်းများသို့ ပုံဖော်ခြင်း (mapped) ခံရသည်။ ထို့ကြောင့် မုဒ်တစ်ခုစီကို သီးခြားစီ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်ပြီး စုစုပေါင်း တုံ့ပြန်ချက်သည် ယင်းတစ်ခုချင်းစီသော တုံ့ပြန်ချက်များ၏ ပေါင်းလဒ် (sum) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဖြစ်သည်။ * '''ဂရင်း၏ ဖန်ရှင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း''' ('''Green's function analysis''') တွင် လှုံ့ဆော်ချက်တစ်ခုကို ဖြန့်ဝေမှုသဘောတရား (distributional sense) အရ ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာ လျှပ်တစ်ပြက်တွန်းအားဖန်ရှင်များ (Dirac delta impulse functions) ၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အင်တီဂရယ် ထပ်ဆင့်ခြင်းအဖြစ် ခွဲခြမ်းပြီး ထွက်ပေါ်လာသော စနစ်၏ တုံ့ပြန်ချက်သည် လျှပ်တစ်ပြက်တွန်းအား တုံ့ပြန်ချက်များ (impulse responses) ၏ သက်ဆိုင်ရာ အင်တီဂရယ် ထပ်ဆင့်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ပြိုင်တူရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော အခြေအနေ၌ ယင်းတုံ့ပြန်ချက်ကို ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ဖြင့် ရရှိသည်။ === မျဉ်းဖြောင့် နယ်နိမိတ်တန်ဖိုး ပြဿနာများ (Linear Boundary-Value Problems) === တူညီသော [[ဖန်ရှင်]]ရပ်ဝန်း (function space) <math>V</math> ပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့်အော်ပရေတာများ]]အဖြစ် <math>F: V \to W_1</math> နှင့် <math>G: V \to W_2</math> တို့ကို သတ်မှတ်ပါစို့။ နယ်နိမိတ်တန်ဖိုး ပြဿနာ (boundary-value problem) တွင် အောက်ပါ တစ်ပြေးညီ[[ညီမျှခြင်း]] (homogeneous equation) ကို ပြေလည်စေသည့် ဖန်ရှင် (function) <math>u \in V</math> ကို ရှာဖွေရသည်။ <math display="block">F(u) = 0</math> ထိုဖန်ရှင်သည် အောက်ပါ နယ်နိမိတ်အခြေအနေ (boundary condition) ကိုလည်း ပြေလည်စေရမည်ဖြစ်သည်။ <math display="block">G(u) = z</math> သာဓကအားဖြင့် ကန့်သတ်ချက်ရှိသော အဖွင့်နယ်ပယ် (bounded open region) <math>R \subset \mathbb{R}^n</math> ပေါ်ရှိ လာပလေ့စ်၏ ညီမျှခြင်း (Laplace's equation) အတွက် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး ပြဿနာ (Dirichlet problem) တွင် <math>F = \Delta</math> သည် <math>R</math> ပေါ်ရှိ [[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ|လာပလေ့ဆီယန် အော်ပရေတာ]] (Laplacian operator) ဖြစ်ပြီး <math>G</math> သည် <math>u \in C^2(R) \cap C^0(\overline{R})</math> ကို နယ်နိမိတ် (boundary) <math>\partial R</math> ပေါ်ရှိ ၎င်း၏ ကန့်သတ်ချက် (restriction) သို့ ပုံဖော်ပေးသော နယ်နိမိတ်ထရေ့စ် အော်ပရေတာ (boundary trace operator) ဖြစ်ကာ <math>z \in C^0(\partial R)</math> သည် သတ်မှတ်ပေးထားသော နယ်နိမိတ်ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ <math>F</math> သည် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ [[ကာနယ်]] (kernel) <math>\ker(F)</math> သည် အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (finite linear combinations) အောက်တွင်လည်းကောင်း <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့က အဆက်မပြတ် သက်ရောက်သည့် [[တိုပေါ်လော်ဂျီ]] (topology) တစ်ခု၌ စုဆုံသော [[ကိန်းစဉ်တန်း|အနန္တကိန်းစဉ်တန်း]] ဖြန့်ထုတ်ချက်များ (infinite series expansions) အောက်တွင်လည်းကောင်း [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဖြစ်သော]] (closed) <math>V</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math display="block">F(u_1) = F(u_2) = \cdots = 0 \quad \Longrightarrow \quad F\!\left(\sum_{k} c_k u_k\right) = 0</math> တစ်ပြိုင်နက်တည်းမှာပင် (simultaneously) <math>G</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity) ကြောင့် နယ်နိမိတ်တန်ဖိုးများသည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ ထပ်ဆင့်ကြသည်။ <math display="block">G(u_1 + u_2) = G(u_1) + G(u_2)</math> အကျိုးဆက်အားဖြင့် တစ်ပြေးညီအဖြေများ (homogeneous solutions) ၏ စုစည်းမှု (family) <math>\{u_k\} \subset \ker(F)</math> ကို ပေးထားသည့်အခါ ပစ်မှတ် နယ်နိမိတ်အချက်အလက် (target boundary data) <math>z</math> သည် <math>\{G(u_k)\}</math> ၏ မျဉ်းဖြောင့်စပန် (linear span) အတွင်း၌ တည်ရှိသောအခါတွင်လည်းကောင်း သို့မဟုတ် <math>F</math> နှင့် <math>G</math> တို့ အဆက်မပြတ် သက်ရောက်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု၌ ကိန်းစဉ်တန်း <math>u = \sum_k c_k u_k</math> သည် <math>V</math> အတွင်း စုဆုံပြီး <math>\sum_k c_k G(u_k) = z</math> ဖြစ်စေသည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) <math>c_k</math> တည်ရှိသောအခါတွင်လည်းကောင်း ထပ်ဆင့်ခြင်း <math>u = \sum_k c_k u_k</math> သည် <math>F(u) = 0</math> နှင့် <math>G(u) = z</math> နှစ်ရပ်စလုံးကို ပြေလည်စေသည်။ === အပေါင်းအခြေခံ အခြေအနေခွဲခြမ်းမှု (Additive State Decomposition) === အခြေအနေပြ [[ဗက်တာ]] (state vector) <math>x(t) \in \mathbb{R}^n</math>၊ ဒေသအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော အဝင်အချက်ပြမှုများ (locally integrable input signals) <math>u_1(t), u_2(t) \in \mathbb{R}^m</math> နှင့် ကိန်းသေ [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (constant matrices) ဖြစ်ကြသည့် <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> နှင့် <math>B \in \mathbb{R}^{n \times m}</math> တို့ ပါဝင်သော အချိန်အလိုက် မပြောင်းလဲသည့် မျဉ်းဖြောင့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]]စနစ် (linear time-invariant differential system) တစ်ခုကို သုံးသပ်ပါ။ <math display="block">\dot{x} = Ax + B(u_1 + u_2), \qquad x(0) = x_0</math> မျဉ်းဖြောင့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (linear differential equation) တစ်ခု၏ အဖြေပုံဖော်မှု (solution map) သည် မူလအခြေအနေ (initial state) နှင့် ထိန်းချုပ်မှု အဝင်ကိန်း (control input) တို့ပါဝင်သော အတွဲအပေါ် အခြေခံ၍ ပူးတွဲမျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သောကြောင့် (jointly linear) <math>(x_0, u_1 + u_2) = (x_0, u_1) + (0, u_2)</math> ဟု ခွဲထုတ်လိုက်သည့်အခါ အခြေအနေလမ်းကြောင်း (state trajectory) သည် ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ (superposition principle) အရ <math>x = x_1 + x_2</math> အဖြစ် ခွဲခြမ်းမှုဖြစ်သွားသည် (decomposes)။ ယင်းတွင် <math>x_1</math> နှင့် <math>x_2</math> တို့သည် သီးခြားစီခွဲထုတ်ထားသော စနစ်ပိုင်းများ (decoupled subsystems) ၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေများ (unique solutions) ဖြစ်ကြသည်။ <math display="block">\begin{align} \dot{x}_1 &= Ax_1 + Bu_1, && x_1(0) = x_0, \\ \dot{x}_2 &= Ax_2 + Bu_2, && x_2(0) = 0. \end{align}</math> ရှေးရိုး ထပ်ဆင့်ခြင်းသည် မျဉ်းဖြောင့်စနစ်များအတွက်သာ တိကျစွာ မှန်ကန်သော်လည်း '''အပေါင်းအခြေခံ အခြေအနေခွဲခြမ်းမှု''' ('''additive state decomposition''') သည် ဤအခြေအနေခွဲထုတ်ခြင်းကို အောက်ပါပုံစံရှိသော မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သည့် ထိန်းချုပ်မှုစနစ်များ (nonlinear control systems) အထိ တိုးချဲ့ပေးသည်။ <math display="block">\dot{x} = Ax + B(u_1 + u_2) + \phi\!\left(c^{\mathsf{T}} x\right), \qquad x(0) = x_0</math> ဤတွင် <math>c \in \mathbb{R}^n</math> ဖြစ်ပြီး <math>\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math> သည် ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သည့် ပုံဖော်မှု (locally Lipschitz nonlinear map) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော အထောက်အကူပြု [[စကေလာ]] ရည်ညွှန်းအချက်ပြမှု (continuous auxiliary scalar reference signal) <math>y_d(t) \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုကို စတင်မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် လမ်းကြောင်း (trajectory) သည် တည်ရှိမှု (existence) နှင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (uniqueness) တို့၏ တူညီသော အပိုင်းအခြား (common interval) ပေါ်တွင် အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]]ဖြင့် ထိန်းချုပ်ထားသည့် <math>x = x_1 + x_2</math> အဖြစ် ခွဲခြမ်းမှုဖြစ်သွားသည်။ <math display="block">\begin{align} \dot{x}_1 &= Ax_1 + Bu_1 + \phi(y_d), && x_1(0) = x_0, \\ \dot{x}_2 &= Ax_2 + Bu_2 + \phi\!\left(c^{\mathsf{T}} x_1 + c^{\mathsf{T}} x_2\right) - \phi(y_d), && x_2(0) = 0. \end{align}</math> == လှိုင်း နှင့် ကွမ်တမ် ထပ်ဆင့်ခြင်း (Wave and Quantum Superposition) == === မျဉ်းဖြောင့် လှိုင်းပျံ့နှံ့ခြင်း နှင့် လှိုင်းထပ်ခြင်း (Linear Wave Propagation and Interference) === [[File:Standing wave 2.gif|thumb|right|တူညီသော လှိုင်းအလျား (wavelength) ရှိပြီး ဆန့်ကျင်ဘက်သို့ ပျံ့နှံ့နေသော လှိုင်းများ (counter-propagating waves) နှစ်ခုသည် တူညီသော ကြားခံနယ် (medium) အတွင်း မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ ပေါင်းစပ်ကာ ရပ်တန့်လှိုင်း (standing wave) တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာပုံဖြစ်သည်။]] [[File:Interference of two waves.svg|thumb|right|ဘယ်ဘက်တွင် အခြေပြထောင့်တူညီသော (in phase) လှိုင်းများ၏ အားဖြည့် လှိုင်းထပ်ခြင်းနှင့် ညာဘက်တွင် အခြေပြထောင့် <math>180^\circ</math> ကွဲလွဲသော (out of phase) လှိုင်းများ၏ အားချေ လှိုင်းထပ်ခြင်းတို့ကို ပြသထားသည်။]] လှိုင်း (wave) တစ်ခုကို အာကာသ နှင့် အချိန် (space and time) တစ်လျှောက်တွင် လွှဲကျယ် (amplitude) ဖြစ်သော စက်ကွင်း ကိန်းရှင်ကြားခံ (field parameter) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည့် [[ဖန်ရှင်]] (function) တစ်ခုဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည် (represented)။ ရှေးရိုး လှိုင်း[[ညီမျှခြင်း]] (classical wave equation) သို့မဟုတ် မက်စ်ဝဲလ်၏ ညီမျှခြင်းများ (Maxwell's equations) ကဲ့သို့သော ထိန်းချုပ်သည့် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (partial differential equation) သည် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်ပြီး (linear) တစ်ပြေးညီဖြစ်သည့်အခါ (homogeneous) တူညီသော နယ်ပယ် (region) ကို ဖြတ်သန်းသွားသော လှိုင်းအမြောက်အမြားကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည့် စုစုပေါင်း လွှဲကျယ် (net amplitude) သည် ၎င်းတို့၏ တစ်ခုချင်းစီသော လွှဲကျယ်များ၏ သက်ဆိုင်ရာအမှတ်များအလိုက်ပေါင်းလဒ် (pointwise sum) နှင့် ညီမျှသည်။ * '''အားဖြည့် လှိုင်းထပ်ခြင်း နှင့် အားချေ လှိုင်းထပ်ခြင်း''' (Constructive and destructive interference) တွင် လွှဲကျယ်များ <math>A_1, A_2 > 0</math> နှင့် အခြေပြထောင့်ခြားနားချက် (phase difference) <math>\Delta\phi</math> ရှိကြပြီး ကြိမ်နှုန်း (frequency) တူညီသော ဟာမိုနစ်လှိုင်း (harmonic wave) နှစ်ခုအတွက် ရလဒ်လွှဲကျယ် (resultant amplitude) မှာ <math>\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos\Delta\phi}</math> ဖြစ်သည်။ <math>\Delta\phi \equiv 0 \pmod{2\pi}</math> ဖြစ်သည့် လှိုင်းများ အခြေပြထောင့်တူညီသော နေရာ၌ သို့မဟုတ် ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>\cos\Delta\phi > 0</math> ဖြစ်သော နေရာ၌ ၎င်းတို့၏ လွှဲကျယ်များသည် အချင်းချင်း အားဖြည့်ကာ ပိုမိုကြီးမားသော စုစုပေါင်း လွှဲကျယ်ကို ရရှိစေပြီး ယင်းကို '''အားဖြည့် လှိုင်းထပ်ခြင်း''' ဟု ခေါ်သည်။ <math>\cos\Delta\phi < 0</math> ဖြစ်သော နေရာ၌မူ အထူးသဖြင့် အခြေပြထောင့် <math>180^\circ</math> ကွဲလွဲသည့် <math>\Delta\phi \equiv \pi \pmod{2\pi}</math> ဖြစ်သော ဆန့်ကျင်ဘက်အခြေပြထောင့် (antiphase) တွင် အမြင့်ဆုံးအနေဖြင့် ၎င်းတို့၏ လွှဲကျယ်များသည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း သို့မဟုတ် အပြည့်အဝ ချေဖျက်သွားကြကာ ပိုမိုသေးငယ်သော စုစုပေါင်း လွှဲကျယ်ကို ရရှိစေပြီး ယင်းကို '''အားချေ လှိုင်းထပ်ခြင်း''' ဟု ခေါ်သည်။ * '''လှိုင်းထပ်ခြင်း နှင့် လှိုင်းကွေ့ခြင်း နှိုင်းယှဉ်ချက်''' (Interference versus diffraction) အရ [[သင်္ချာ]]နည်းကျ သုံးသပ်လျှင် ဖြစ်စဉ်နှစ်ရပ်စလုံးသည် လှိုင်းထပ်ဆင့်ခြင်း (wave superposition) ၏ သာဓကများပင် ဖြစ်ကြသည်။ သို့ရာတွင် စံသတ်မှတ်ချက်အရ အခြေပြထောင့်ညီညွတ်သော အရင်းအမြစ်များ (coherent sources) ၏ အဆုံးရှိ အရေအတွက်တစ်ခု၏ ပိုင်းစသီးခြား ထပ်ဆင့်ခြင်း (discrete superposition) ကို '''လှိုင်းထပ်ခြင်း''' (interference) ဟု ရည်ညွှန်းလေ့ရှိပြီး လှိုင်းဦးပြင် (wavefront) တစ်ခုကို အလွန်သေးငယ်လွန်းသော အခြေပြထောင့်ညီညွတ်သည့် လှိုင်းငယ်များ (infinitesimal coherent wavelets) အဖြစ် ပိုင်းခြားခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အဆက်မပြတ် [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] ထပ်ဆင့်ခြင်း (continuous integral superposition) ကိုမူ '''လှိုင်းကွေ့ခြင်း''' (diffraction) ဟု ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။<ref>Feynman, Leighton & Sands (1963), p. 30-1.</ref><ref>Verma (2013), p. 361.</ref> === ကွမ်တမ် ထပ်ဆင့်ခြင်း နှင့် ပရိုဂျက်တစ် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Quantum Superposition and Projective Hilbert Space) === ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) တွင် လှိုင်း[[ဖန်ရှင်]] (wave function) တစ်ခု၏ အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (time evolution) ကို ရှရိုဒင်းဂါး [[ညီမျှခြင်း]] (Schrödinger equation) က ထိန်းချုပ်ထားသည်။ ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းသည် တစ်ပြေးညီ မျဉ်းဖြောင့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (homogeneous linear differential equation) တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် အဖြေများ (solutions) ၏ မည်သည့် အဆုံးရှိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (finite linear combination) မဆို သို့မဟုတ် ဟာမီတန် အော်ပရေတာ (Hamiltonian) ၏ ဂရပ်[[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (graph norm) အတွင်း စုဆုံသော တည်ငြိမ်အခြေအနေများ (stationary states) ၏ [[ကိန်းစဉ်တန်း|အနန္တကိန်းစဉ်တန်း]] (infinite series) သည် အားကောင်းသော အဖြေ (strong solution) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး တည်ငြိမ်အခြေအနေများဖြင့် ဖော်ပြထားသည့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] စံနှုန်းအရ စုဆုံသော (Hilbert-space norm-convergent) မည်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက် (expansion) မဆိုသည် အပျော့စား အဖြေ (mild solution) ဖြစ်သည့် ယူနစ်တရီ (unitary) အဖြေတစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။<ref>Kramers (1957), p. 62.</ref> [[ကိန်းထွေး]] ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (complex Hilbert space) <math>\mathcal{H}</math> အတွင်းရှိ သုညမဟုတ်သော ကတ်[[ဗက်တာ]] (non-zero ket vector) <math>|\psi\rangle \in \mathcal{H} \setminus \{0\}</math> တစ်ခုကို အစိတ်အပိုင်း ကတ်ဗက်တာများ (component ket vectors) <math>\{|\phi_j\rangle\}</math> ၏ ပြည့်စုံသော [[ထောင့်မှန်ကျယူနစ်ဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျယူနစ်အခြေအစု]] (complete orthonormal basis) သို့မဟုတ် ရှောင်းဒါး [[အခြေအစု]] (Schauder basis) ဖြင့်လည်းကောင်း သို့မဟုတ် ကတ်ဗက်တာသည် သက်ဆိုင်ရာ မျဉ်းဖြောင့်စပန် (linear span) သို့မဟုတ် စံနှုန်းအရ အပိတ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်စပန် (norm-closed linear span) အတွင်း ပါဝင်သည့်အခါ [[ထောင့်မှန်ကျယူနစ်ဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျယူနစ်]] စုစည်းမှု (orthonormal family) သို့မဟုတ် အဆုံးရှိ [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] စုစည်းမှု (finite linearly independent family) ဖြင့်လည်းကောင်း ကွမ်တမ် ထပ်ဆင့်ခြင်း (quantum superposition) အဖြစ် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (uniquely determined) မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ <math display="block">|\psi\rangle = \sum_j c_j |\phi_j\rangle, \qquad c_j \in \mathbb{C}</math> ကတ်ဗက်တာတစ်ခုကို သုညမဟုတ်သော မည်သည့် ကိန်းထွေး [[စကေလာ]] (complex scalar) ဖြင့်မဆို [[မြှောက်ခြင်း]]သည် တူညီသော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေကိုသာ ရရှိစေသောကြောင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သီးသန့်အခြေအနေ (pure state) တစ်ခုသည် <math>\mathcal{H}</math> အတွင်းရှိ ဗက်တာတစ်ခုတည်းနှင့် သက်ဆိုင်ခြင်းမရှိဘဲ ပရိုဂျက်တစ် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (projective Hilbert space) <math>\mathbf{P}(\mathcal{H}) = (\mathcal{H} \setminus \{0\}) / \mathbb{C}^{\times}</math> အတွင်းရှိ [[ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား]] (equivalence class) ဖြစ်သော '''ရောင်ခြည်မျဉ်း''' (ray) တစ်ခုနှင့်သာ သက်ဆိုင်သည်။<ref>Dirac (1958), p. 17.</ref> ဗက်တာ[[ပေါင်းခြင်း]] (vector addition) ကို <math>\mathbf{P}(\mathcal{H})</math> အတွင်းရှိ ရောင်ခြည်တန်းများပေါ်တွင် တိုက်ရိုက် မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားခြင်း (well-defined) မရှိသောကြောင့် ကွမ်တမ် ထပ်ဆင့်ခြင်းကို <math>\mathcal{H}</math> အတွင်းရှိ ကိုယ်စားပြု ကတ်ဗက်တာများ (representative ket vectors) ပေါ်တွင်သာ လုပ်ဆောင်ရသည်။ ဤပရိုဂျက်တစ် ထပ်တူညီမှု (projective equivalence) အောက်တွင် ဖြန့်ထုတ်ချက် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ <math>c_j</math> အားလုံးကို <math>\theta \in \mathbb{R}</math> အတွက် တူညီသော အလုံးစုံ အခြေပြထောင့်ဆခွဲကိန်း (global phase factor) <math>e^{i\theta}</math> တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ရောင်ခြည်တန်း <math>[|\psi\rangle] \in \mathbf{P}(\mathcal{H})</math> ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထားရှိသော်လည်း သုညမဟုတ်သော မြှောက်ဖော်ကိန်း <math>c_j</math> နှစ်ခု သို့မဟုတ် နှစ်ခုထက်ပိုသော မြှောက်ဖော်ကိန်းများအကြားရှိ နှိုင်းရ အခြေပြထောင့်များ (relative phases) ကို ပြောင်းလဲခြင်းသည် <math>\mathbf{P}(\mathcal{H})</math> အတွင်း၌ မတူကွဲပြားသော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ရောင်ခြည်တန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။<ref>Solem & Biedenharn (1993), pp. 185–195.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last=Dirac |first=P. A. M. |title=The Principles of Quantum Mechanics |edition=4th |publication-place=Oxford |publisher=Oxford University Press |date=1958}} * {{Citation |last1=Feynman |first1=Richard P. |last2=Leighton |first2=Robert B. |last3=Sands |first3=Matthew |title=The Feynman Lectures on Physics |volume=1 |publication-place=Reading, Massachusetts |publisher=Addison-Wesley |date=1963}} * {{Citation |editor-last=Illingworth |editor-first=Valerie |title=The Penguin Dictionary of Physics |publication-place=London |publisher=Penguin Books |date=1991}} * {{Citation |last=Kramers |first=H. A. |title=Quantum Mechanics |publication-place=New York |publisher=Dover Publications |date=1957 |isbn=978-0-486-66772-0}} * {{Citation |last1=Solem |first1=J. C. |last2=Biedenharn |first2=L. C. |title=Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example |journal=Foundations of Physics |volume=23 |issue=2 |pages=185–195 |date=1993 |doi=10.1007/BF01883623 |bibcode=1993FoPh...23..185S}} * {{Citation |last=Verma |first=N. K. |title=Physics for Engineers |publication-place=New Delhi |publisher=PHI Learning |date=2013}} [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ]] [[ကဏ္ဍ:လှိုင်းများ]] 3pn457iocgkwoiyscmxk0yl11vevq9i 0 292765 1060937 1057856 2026-11-01T00:19:27Z Mkant00 135890 1060937 wikitext text/x-wiki '''ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း''' (Schrödinger equation) သည် နှိုင်းရမဟုတ်သော (non-relativistic) ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ (quantum-mechanical) စနစ် (system) တစ်ခု၏ ကွမ်တမ် အခြေအနေ (quantum state) ကို ထိန်းချုပ်သည့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (linear differential equation) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကို ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ (spatial) [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]] (wave function) အတွက် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (partial differential equation) အဖြစ်လည်းကောင်း [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) ပေါ်ရှိ သရုပ်မဲ့ (abstract) [[ညီမျှခြင်း|ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ညီမျှခြင်း]] (evolution equation) အဖြစ်လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Griffiths (2004), pp. 1–2.</ref> လူဝီ ဒေ ဘရွိုင်း (Louis de Broglie) ၏ ဒြပ်လှိုင်း အဆိုပြုချက် (matter-wave hypothesis) အပေါ် အခြေခံ၍ အဲဗင် ရှရိုဒင်းဂါး (Erwin Schrödinger) က 1925 ခုနှစ်တွင် စတင်အဆိုပြုခဲ့ကာ 1926 ခုနှစ်တွင် ထုတ်ပြန်ခဲ့သော ဤညီမျှခြင်းသည် ပြင်ပသက်ရောက်မှုကင်းသည့် ရူပဗေဒစနစ် (isolated physical system) တစ်ခု၏ ကွမ်တမ် အခြေအနေဆိုင်ရာ အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (time evolution) ကို သတ်မှတ်ပေးပြီး ကလပ်စစ်ကယ်မက္ကင်းနစ် (classical mechanics) ရှိ နယူတန်၏ ဒုတိယနိယာမ (Newton's second law) နှင့် အလားသဏ္ဌာန်တူသော ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ နိယာမအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။<ref>Schrödinger (1926a), pp. 361–377.</ref><ref>Schrödinger (1926b), pp. 1049–1070.</ref><ref>Whittaker (1989), p. 268.</ref> ကွမ်တမ် ရွေ့လျားပြောင်းလဲမှု (quantum dynamics) ၏ အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီသော ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုများ (equivalent formulations) တွင် ဗာနာ ဟိုက်ဇင်ဘာ့ဂ် (Werner Heisenberg) ၏ [[ကိန်းအုံ]] မက္ကင်းနစ် (matrix mechanics) နှင့် ရစ်ချက် ဖိုင်းမန်း (Richard Feynman) ၏ [[လမ်းကြောင်း]] [[အင်တီဂရေးရှင်း|အင်တီဂရယ်]] ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (path integral formulation) တို့ ပါဝင်ကြသည်။ နှိုင်းရမဟုတ်သော တည်နေရာရပ်ဝန်း (position-space) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းတွင် အချိန်အလိုက် ပထမအဆင့် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်]] (first-order derivative) နှင့် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များ]] (spatial coordinates) အလိုက် ဒုတိယအဆင့် ဆင်းသက်ချက် (second-order derivative) တို့ ပါဝင်သောကြောင့် ၎င်းသည် လိုရန့်ဇ်-မပြောင်းလဲသော (Lorentz-invariant) ညီမျှခြင်း မဟုတ်ပေ။ ၎င်း၏ နှိုင်းရ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (relativistic generalizations) တွင် [[စပင်]] (spin) <math>0</math> အမှုန်များ (particles) အတွက် ကလိုင်း-ဂေါ်ဒန် ညီမျှခြင်း (Klein–Gordon equation) နှင့် စပင် <math>1/2</math> အမှုန်များအတွက် ဒိုင်ရက် ညီမျှခြင်း (Dirac equation) တို့ ပါဝင်ကြသည်။ == သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (Mathematical formulation) == === ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းနှင့် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများ (Hilbert space and observables) === ပေါလ် ဒိုင်ရက် (Paul Dirac)၊ ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert)၊ ဂျွန် ဖွန်နွိုင်းမန်း (John von Neumann) နှင့် ဟာမန် ဗိုင်းလ် (Hermann Weyl) တို့ ဖော်ထုတ်ခဲ့သော ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) ၏ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှု (mathematical formulation) တွင် သတ်မှတ်ထားသော (fixed) အချိန်တစ်ခု၌ ရှိသော ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်ဆိုင်ရာ စနစ် (quantum-mechanical system) တစ်ခု၏ အခြေအနေ (state) ကို ခွဲထုတ်၍ရသော (separable) [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ကိန်းထွေး ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (complex Hilbert space) <math>\mathcal{H}</math> အတွင်းရှိ [[ဗက်တာ|အခြေအနေပြ ဗက်တာ]] (state vector) <math>|\psi\rangle</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။<ref>Dirac (1930).</ref><ref>Hilbert (2009).</ref><ref>von Neumann (1932).</ref><ref>Weyl (1950).</ref> <math>\mathcal{H}</math> ပေါ်ရှိ [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) <math>\langle \phi | \psi \rangle</math> ကို ပထမ အဝင်ကိန်း (first argument) တွင် [[ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု|ကွန်ဂျူဂိတ်မျဉ်းဖြောင့်]] (conjugate-linear) ဖြစ်ပြီး ဒုတိယ အဝင်ကိန်းတွင် မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်ရာ အခြေအနေပြ ဗက်တာသည် ယင်းအတွင်းမြှောက်လဒ်အရ အောက်ပါအတိုင်း [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော]] (normalized) ဗက်တာဖြစ်သည်။ <math display="block">\langle \psi | \psi \rangle = 1</math> [[ကိန်းစစ်]] (real) <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> အတွက် အလုံးစုံ အခြေပြထောင့်ဆခွဲကိန်း (global phase factor) <math>e^{i\alpha}</math> သာ ကွာခြားသော အခြေအနေပြ ဗက်တာများသည် တူညီသော တိုင်းတာမှု [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်းများ]] (measurement probabilities) ကို ရရှိစေသောကြောင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ သီးသန့်အခြေအနေများ (pure states) သည် '''ပရိုဂျက်တစ် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း''' (projective Hilbert space) <math>\mathrm{P}(\mathcal{H}) = (\mathcal{H} \setminus \{0\})/\mathbb{C}^\times</math> အတွင်းရှိ ရောင်ခြည်မျဉ်းများ (rays) နှင့် အသီးသီး ဆက်စပ်နေကြသည်။ <math>\mathcal{H}</math> ကို ရွေးချယ်မှုသည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ လွတ်လပ်စွာပြောင်းလဲနိုင်သော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]]အရေအတွက် (degrees of freedom) အပေါ် မူတည်သည်။ <math>\mathbb{R}^d</math> ပေါ်ရှိ စပင်မဲ့ (spinless) [[အမှုန်]] (particle) တစ်ခု၏ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ရွေ့လျားမှု (spatial motion) အတွက် <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^d)</math> သည် လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ (Lebesgue measure) အရ နှစ်ထပ်ကိန်းအင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသော (square-integrable) [[ဖန်ရှင်|ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ]] (complex-valued functions) ၏ [[ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား|ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ]] (equivalence classes) ပါဝင်သည့် [[ရပ်ဝန်း]] (space) ဖြစ်ပြီး [[စပင်]] (spin) <math>1/2</math> အမှုန်တစ်ခု၏ စပင်အခြေအနေအတွက်မူ <math>\mathcal{H} = \mathbb{C}^2</math> သည် စံ ဟာမီရှန် အတွင်းမြှောက်လဒ် (Hermitian inner product) တပ်ဆင်ထားသော ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။<ref>Zwiebach (2022), p. 322.</ref> တည်နေရာ (position)၊ [[အဟုန်]] (momentum)၊ စွမ်းအင် (energy) နှင့် စပင်ကဲ့သို့သော ရူပဗေဒဆိုင်ရာ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများ (observables) ကို သိပ်သည်းစွာ သတ်မှတ်ထားသော (densely defined) [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာများ]] (self-adjoint operators) <math>\hat{A} : \mathcal{D}(\hat{A}) \subseteq \mathcal{H} \to \mathcal{H}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။ <math>\hat{A}|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle</math> ကို ပြေလည်စေသော [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) <math>|\lambda\rangle \in \mathcal{D}(\hat{A}) \setminus \{0\}</math> ကို '''ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေ''' (eigenstate) ဟု ခေါ်ပြီး ၎င်း၏ ကိန်းစစ် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> သည် အဆိုပါအခြေအနေ၌ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာ၏ တိကျသေချာသော တန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။ သီးသန့် အမှတ်ရောင်စဉ် (pure point spectrum) ရှိသော လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာတစ်ခုအတွက် မည်သည့်အခြေအနေ <math>|\psi\rangle \in \mathcal{H}</math> ကိုမဆို ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ၏ ရေတွက်နိုင်သော (countable) [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]]အရ စုဆုံသော (norm-convergent) မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) ခေါ် '''[[ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ|ကွမ်တမ် ထပ်ဆင့်ခြင်း]]''' (quantum superposition) အဖြစ် ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် ရောင်စဉ်သီအိုရမ် (spectral theorem) အရ <math>|\psi\rangle</math> သည် <math>\hat{A}</math> ၏ ပရိုဂျက်ရှင်းတန်ဖိုးရှိ အတိုင်းအတာ (projection-valued measure) အပေါ် အခြေခံ၍ ခွဲခြမ်းမှု (decomposition) ပြုနိုင်သည်။ '''ဘွန်း စည်းမျဉ်း''' (Born rule) အရ ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော အခြေအနေ <math>|\psi\rangle</math> တွင် လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာတစ်ခုကို တိုင်းတာပါက ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ <math>|\lambda\rangle</math> နှင့် ဆက်စပ်နေသည့် အမှတ်ရောင်စဉ်အတွင်းရှိ ယိုယွင်းမှုမရှိသော (non-degenerate) ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> ကို ရရှိနိုင်သည့် ဖြစ်တန်စွမ်းမှာ <math>|\langle \lambda | \psi \rangle|^2</math> ဖြစ်သည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် <math>\lambda</math> သည် သက်ဆိုင်ရာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ရပ်ဝန်း]] (eigenspace) ဖြစ်သည့် [[ကာနယ်]] (kernel) <math>\ker(\hat{A} - \lambda I)</math> ပေါ်သို့ ချပေးသော [[ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျ]] ပရိုဂျက်ရှင်း အော်ပရေတာ (orthogonal projection operator) <math>P_\lambda</math> ရှိသည့် ယိုယွင်းသော (degenerate) ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်ပါက <math>\lambda</math> ကို တိုင်းတာရရှိနိုင်သည့် ဖြစ်တန်စွမ်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\Pr(\lambda) = \langle \psi | P_\lambda | \psi \rangle</math> <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})</math> ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ် ရောင်စဉ် (continuous-spectrum) ရှိသော လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာများအတွက် အဟုန် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေသည် [[အနန္တ]] (infinite) ရပ်ဝန်းအကျယ်အဝန်းရှိသော လှိုင်းအလျားတစ်မျိုးတည်းရှိသည့် ပြင်ညီလှိုင်း (monochromatic plane wave) တစ်ခုဖြစ်ပြီး တည်နေရာ ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေသည် ဒိုင်ရက် ဒယ်လ်တာ ဖြန့်ဝေမှု (Dirac delta distribution) <math>\delta(x - x_0)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် နှစ်ထပ်ကိန်းအင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း မရှိသောကြောင့် <math>L^2(\mathbb{R})</math> အတွင်း မပါဝင်ကြပေ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့ကို ရှဗာ့ဇ် ရပ်ဝန်း (Schwartz space) <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> ကဲ့သို့သော သိပ်သည်းသော (dense) နျူကလီးယား (nuclear) စမ်းသပ်ဖန်ရှင် (test-function) ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) <math>\Phi</math> ပါဝင်သည့် ဂဲလ်ဖန်း သုံးခုတွဲ (Gelfand triple) ခေါ် '''တပ်ဆင်ထားသော ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း''' (rigged Hilbert space) <math>\Phi \subset \mathcal{H} \subset \Phi^*</math> ၏ [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း|အဆက်မပြတ် ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (continuous dual) <math>\Phi^*</math> အတွင်းရှိ '''ယေဘုယျပြုထားသော ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာများ''' (generalized eigenvectors) အဖြစ် စနစ်တကျ သတ်မှတ်သည်။<ref>Hall (2013), at=Chapter 6.</ref><ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), pp. 100–105.</ref> ယေဘုယျပြုထားသော တည်နေရာ ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ <math>|x\rangle \in \Phi^*</math> ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အချိန်အပေါ်မူတည်သော (time-dependent) အခြေအနေပြ ဗက်တာ <math>|\Psi(t)\rangle \in \Phi</math> သည် ဖြန့်ဝေမှုဆိုင်ရာ တွဲဖက်မှု (distributional pairing) အရ တည်နေရာရပ်ဝန်း (position-space) '''လှိုင်းဖန်ရှင်''' (wave function) <math>\Psi(x,t) \in \mathbb{C}</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပေးသည်။ <math display="block">\Psi(x,t) = \langle x | \Psi(t) \rangle</math> === အချိန်အပေါ်မူတည်သော နှင့် အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ညီမျှခြင်းများ (Time-dependent and time-independent equations) === [[File:Wavepacket-a2k4-en.gif|300px|thumb|<math>V = 0</math> ဖြစ်သော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသည့်]] (one-dimensional) နှိုင်းရမဟုတ်သော (non-relativistic) လွတ်လပ်သော (free) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (Schrödinger equation) ကို ပြေလည်စေသည့် [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]]တစ်ခု၏ ကိန်းထွေးပုံပြဂရပ် (complex plot)]] [[File:StationaryStatesAnimation.gif|300px|thumb|right|ဟာမိုနစ် လွှဲခါစနစ် (harmonic oscillator) တစ်ခုအတွက် အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသည့် လှိုင်းဖန်ရှင်များ။ ဘယ်ဘက်တွင် [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်ပိုင်း]] (real part) ကို အပြာရောင်ဖြင့်လည်းကောင်း [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ပိုင်း]] (imaginary part) ကို အနီရောင်ဖြင့်လည်းကောင်း ပြသထားသည်။ ညာဘက်တွင် တည်နေရာ [[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်|ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ]] (probability density) ကို ပြသထားသည်။ အပေါ်ဆုံးနှစ်တန်းသည် တည်ငြိမ်အခြေအနေများ (stationary states) ကို ဖော်ပြပြီး အောက်ဆုံးတန်းသည် တည်ငြိမ်မဟုတ်သော အခြေအနေ (non-stationary state) ကို ဖော်ပြသည်။]] ကိန်းစစ် [[အတည်စွမ်းအင်|ပိုတင်ရှယ်စွမ်းအင် ဖန်ရှင်]] (potential energy function) <math>V(x,t)</math> အောက်၌ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ အတိုင်းအတာ (spatial dimension) တစ်ခုတည်းဖြစ်သော <math>x \in \mathbb{R}</math> တွင် ရွေ့လျားနေသည့် [[ဒြပ်ထု]] (mass) <math>m > 0</math> ရှိသော နှိုင်းရမဟုတ်သည့် စပင်မဲ့ [[အမှုန်]]တစ်ခုအတွက် တည်နေရာရပ်ဝန်း '''အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း''' (time-dependent Schrödinger equation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Zwiebach (2022), p. 74.</ref> <math display="block">i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t) \right] \Psi(x,t)</math> ဤတွင် <math>i</math> သည် [[ကိန်းယောင်|ကိန်းယောင်ယူနစ်]] (imaginary unit) ဖြစ်ပြီး <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> သည် လျှော့ချထားသော ပလန့်ကိန်းသေ (reduced Planck constant) ဖြစ်သည်။<ref>Zwiebach (2022), p. 10.</ref> သရုပ်မဲ့ (abstract) [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] ပုံစံတွင် အားကောင်းစွာ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (strongly differentiable) [[ဗက်တာ|အခြေအနေပြ ဗက်တာ]] <math>|\Psi(t)\rangle \in \mathcal{D}(\hat{H}) \subseteq \mathcal{H}</math> ၏ အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (time evolution) ကို ယေဘုယျ '''အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း''' ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ထိန်းချုပ်သည်။<ref>Shankar (1994), p. 143.</ref> <math display="block">i\hbar \frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \hat{H}|\Psi(t)\rangle</math> ဤတွင် <math>\frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle</math> သည် <math>\mathcal{H}</math> ၏ [[တိုပေါ်လော်ဂျီ|စံနှုန်းတိုပေါ်လော်ဂျီ]] (norm topology) အတွင်းရှိ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|အားကောင်းသော ဆင်းသက်ချက်]] (strong derivative) ကို ရည်ညွှန်းပြီး <math>\hat{H}</math> သည် စနစ်၏ စုစုပေါင်း စွမ်းအင်ဆိုင်ရာ လေ့လာတိုင်းတာနိုင်သောအရာကို ကိုယ်စားပြုသည့် ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် '''[[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဟာမီတန် အော်ပရေတာ]]''' (Hamiltonian operator) ဖြစ်သည်။ တည်နေရာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက် (position representation) တွင် ဘွန်း စည်းမျဉ်းသည် လီဘက်ဂ် အတိုင်းအတာ အပေါ် အခြေခံ၍ တည်နေရာ '''[[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်|ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆဖန်ရှင်]]''' (probability density function) <math>\rho(x,t)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။<ref>Zwiebach (2022), p. 78.</ref> <math display="block">\rho(x,t) = |\Psi(x,t)|^2</math> ဟာမီတန် အော်ပရေတာ <math>\hat{H}</math> သည် အချိန် <math>t</math> အပေါ် တိုက်ရိုက်မူတည်ခြင်း မရှိသည့်အခါ အချိန်အပေါ်မူတည်သော ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှုများအဖြစ် '''တည်ငြိမ်အခြေအနေများ''' ကို ရရှိစေသည့် တိကျသော စွမ်းအင် <math>E \in \mathbb{R}</math> ရှိသော အခြေအနေများ <math>|\psi\rangle \in \mathcal{D}(\hat{H}) \setminus \{0\}</math> သည် '''အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း''' (time-independent Schrödinger equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြေလည်စေသည်။<ref>Zwiebach (2022), p. 134.</ref> <math display="block">\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle</math> [[သင်္ချာ]]သဘောအရ အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းသည် အော်ပရေတာ <math>\hat{H}</math> အတွက် ရောင်စဉ် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] [[ညီမျှခြင်း]] (spectral eigenvalue equation) ဖြစ်ပြီး <math>|\psi\rangle</math> သည် စွမ်းအင် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>E</math> ရှိသော စွမ်းအင် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေ သို့မဟုတ် တည်နေရာရပ်ဝန်းရှိ '''[[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်]]''' (eigenfunction) <math>\psi(x)</math> ဖြစ်သည်။ == အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Fundamental properties) == === မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှုနှင့် ရောင်စဉ် ဖြန့်ထုတ်ချက် (Linearity and spectral expansion) === [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဒစ်ဖရန်ရှယ်အော်ပရေတာ]] (differential operator) <math>i\hbar \frac{d}{dt} - \hat{H}</math> သည် မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဖြစ်သောကြောင့် အချိန်အပေါ်မူတည်သော (time-dependent) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (Schrödinger equation) ၏ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|အဖြေရပ်ဝန်း]] (solution space) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (complex vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>|\Psi_1(t)\rangle</math> နှင့် <math>|\Psi_2(t)\rangle</math> တို့သည် အားကောင်းသော အဖြေများ (strong solutions) ဖြစ်ကြပါက မည်သည့် <math>a, b \in \mathbb{C}</math> အတွက်မဆို အောက်ပါ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) <math display="block">|\Psi(t)\rangle = a|\Psi_1(t)\rangle + b|\Psi_2(t)\rangle</math> သည်လည်း အားကောင်းသော အဖြေတစ်ခု ဖြစ်သည်။<ref>Rieffel & Polak (2011), p. 25.</ref> အကယ်၍ <math>\hat{H}</math> သည် အချိန်အပေါ်မူမတည်သော (time-independent) အော်ပရေတာ (operator) ဖြစ်ပြီး <math>\hat{H}|\psi_{E_n}\rangle = E_n|\psi_{E_n}\rangle</math> ကို ပြေလည်စေသည့် စွမ်းအင် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ (energy eigenstates) <math>\{|\psi_{E_n}\rangle\}_{n}</math> ၏ ပြည့်စုံသော [[အခြေအစု|ထောင့်မှန်ကျယူနစ်အခြေအစု]] (complete orthonormal basis) တစ်ခု ရှိပါက မည်သည့် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|စံနှုန်းအရ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော]] (norm-continuous) အဖြေ <math>|\Psi(t)\rangle \in \mathcal{H}</math> ကိုမဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြန့်ထုတ်နိုင်သည်။ <math display="block">|\Psi(t)\rangle = \sum_{n} A_n e^{-iE_n t/\hbar} |\psi_{E_n}\rangle, \qquad A_n = \langle \psi_{E_n} | \Psi(0) \rangle \in \mathbb{C}, \quad \sum_n |A_n|^2 < \infty</math> ဤဖြန့်ထုတ်ချက် (expansion) သည် <math>|\Psi(0)\rangle \in \mathcal{D}(\hat{H})</math> ဖြစ်သည့်အခါတိုင်း တစ်နည်းအားဖြင့် <math>\sum_n E_n^2 |A_n|^2 < \infty</math> ဖြစ်သည့်အခါတိုင်း အားကောင်းသော [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည့်]] (differentiable) အဖြေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ === ယူနစ်တရီဖြစ်မှုနှင့် စတုန်း၏ သီအိုရမ် (Unitarity and Stone's theorem) === အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် (self-adjoint) [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဟာမီတန် အော်ပရေတာ]] (Hamiltonian) <math>\hat{H}</math> အတွက် မူလအခြေအနေ (initial state) <math>|\Psi(0)\rangle \in \mathcal{H}</math> ပါဝင်သော မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ (initial value problem) သည် [[ကဲကုလပ်|ဘိုရဲလ် ဖန်ရှင်နယ်ကဲကုလပ်]] (Borel functional calculus) အရ တစ်ခုတည်းသော ယူနစ်တရီ ပတ်လမ်း (unitary orbit) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ပေးသည်။<ref>Shankar (1994), p. 143.</ref> <math display="block">|\Psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle, \qquad \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}</math> ဤပတ်လမ်းသည် <math>|\Psi(0)\rangle \in \mathcal{D}(\hat{H})</math> ဖြစ်သည့်အခါ <math>i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \hat{H}|\Psi(t)\rangle</math> ၏ အားကောင်းသော အဖြေဖြစ်ပြီး <math>\mathcal{H}</math> တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် အပျော့စား အဖြေ (mild solution) ဖြစ်သည်။ '''အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု အော်ပရေတာ''' (time-evolution operator) <math>\hat{U}(t)</math> သည် <math>\mathcal{H}</math> ပေါ်တွင် <math>\hat{U}(t)^\dagger \hat{U}(t) = \hat{U}(t)\hat{U}(t)^\dagger = I</math> ကို ပြေလည်စေသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ယူနစ်တရီ အော်ပရေတာ]] (unitary operator) တစ်ခုဖြစ်ပြီး [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အတွင်းမြှောက်လဒ်]] (inner product) <math>\langle \Phi(t) | \Psi(t) \rangle = \langle \Phi(0) | \Psi(0) \rangle</math> နှင့် [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|ယူနစ်စံနှုန်း]] (unit norm) <math>\langle \Psi(t) | \Psi(t) \rangle = 1</math> တို့ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းပေးသည်။<ref>Rieffel & Polak (2011), p. 25.</ref> ပြောင်းပြန်အားဖြင့် (conversely) [[ယူနစ်တရီ အုပ်စု|ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ ယူနစ်တရီအုပ်စုများ]] (one-parameter unitary groups) ဆိုင်ရာ '''စတုန်း၏ သီအိုရမ်''' (Stone's theorem) အရ <math>\{\hat{U}(t)\}_{t \in \mathbb{R}}</math> သည် <math>\hat{U}(0) = I</math> နှင့် [[ကိန်းပြည့်]] (integer) <math>N > 0</math> တိုင်းအတွက် <math>\hat{U}(t/N)^N = \hat{U}(t)</math> ဟူသော [[အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်]] (group homomorphism) ဂုဏ်သတ္တိ <math>\hat{U}(s + t) = \hat{U}(s)\hat{U}(t)</math> တို့ကို ပြေလည်စေသည့် အားကောင်းစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (strongly continuous) ကိန်းရှင်တစ်ခုပါ ယူနစ်တရီ အော်ပရေတာများ၏ စုစည်းမှု (one-parameter family) တစ်ခုဖြစ်ပါက သိပ်သည်းသော [[အရင်းအမြစ်စု]] (dense domain) <math>\mathcal{D}(\hat{G}) \subseteq \mathcal{H}</math> ပေါ်တွင် အုပ်စု၏ '''အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ထုတ်လုပ်ကိန်း''' (infinitesimal generator) ဖြစ်သည့် တစ်ခုတည်းသော ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာ <math>\hat{G}</math> တည်ရှိပြီး အောက်ပါညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသည်။ <math display="block">\hat{U}(t) = e^{-i\hat{G}t}</math> <math>\hat{G} = \hat{H}/\hbar</math> ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် <math>\mathcal{D}(\hat{H})</math> ပေါ်တွင် အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းကို ပြန်လည်ရရှိသည်။ အလွန်သေးငယ်သော အတိုင်းအတာတွင် <math>\psi \in \mathcal{D}(\hat{G})</math> အတွက် <math>\hat{U}(\delta t)\psi = \psi - i\,\delta t\,\hat{G}\psi + o(\delta t)</math> ဟု ဖြန့်ထုတ်လိုက်သောအခါ <math>\phi, \psi \in \mathcal{D}(\hat{G})</math> အားလုံးအတွက် အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ကို ရရှိသည်။ <math display="block">\langle \phi | \hat{U}(\delta t)^\dagger \hat{U}(\delta t) \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle + i\,\delta t\left(\langle \hat{G}\phi | \psi \rangle - \langle \phi | \hat{G}\psi \rangle\right) + o(\delta t)</math> ထို့ကြောင့် <math>\delta t</math> ၏ ပထမအဆင့် (first order) အထိ ယူနစ်တရီဖြစ်မှု (unitarity) အရ <math>\hat{G}</math> သည် <math>\hat{G} \subseteq \hat{G}^\dagger</math> ကို ပြေလည်စေသော အချိုးညီ (symmetric) အော်ပရေတာဖြစ်သည်။<ref>Sakurai & Napolitano (2017), p. 68.</ref> === တည်နေရာနှင့် အဟုန် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်များ (Position and momentum representations) === သံလိုက် ဗက်တာပိုတင်ရှယ်များ (magnetic vector potentials) မရှိသည့်အခြေအနေ၌ [[စကေလာ|စကေလာပိုတင်ရှယ်]] (scalar potential) <math>V</math> သက်ရောက်ခံရသော <math>\mathbb{R}^3</math> ပေါ်ရှိ [[ဒြပ်ထု]] (mass) <math>m</math> ရှိသည့် နှိုင်းရမဟုတ်သော (non-relativistic) စပင်မဲ့ (spinless) [[အမှုန်]] (particle) တစ်ခုအတွက် [[ရပ်ဝန်း|အခြေအနေ ရပ်ဝန်း]] (state space) မှာ <math>\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)</math> ဖြစ်ပြီး [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဟာမီတန် အော်ပရေတာ]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။<ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), p. 182.</ref> <math display="block">\hat{H} = \frac{1}{2m}\hat{\mathbf{p}}^2 + \hat{V}</math> ၎င်းမှ သရုပ်မဲ့ [[ညီမျှခြင်း|ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု ညီမျှခြင်း]] (abstract evolution equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">i\hbar \frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \left(\frac{1}{2m}\hat{\mathbf{p}}^2 + \hat{V}\right)|\Psi(t)\rangle</math> [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်]] (Cartesian coordinate) တစ်ခုချင်းစီအလိုက် ပုံမှန် ကွမ်တမ်အသွင်ပြောင်းခြင်း (canonical quantization) တွင် ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|တည်နေရာ အော်ပရေတာ]] (position operator) <math>\hat{x}</math> နှင့် [[အဟုန်]] အော်ပရေတာ (momentum operator) <math>\hat{p}</math> တို့သည် ရှဗာ့ဇ် ရပ်ဝန်း (Schwartz space) <math>\mathcal{S}(\mathbb{R})</math> ကဲ့သို့သော သိပ်သည်းသည့် ဘုံ မပြောင်းလဲသော [[အရင်းအမြစ်စု]] (common invariant domain) တစ်ခုပေါ်တွင် အောက်ပါ '''ပုံမှန် [[ကွန်မြူတေတာ]] ဆက်သွယ်ချက်''' (canonical commutation relation) ကို ပြေလည်စေသည်။ <math display="block">[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar I</math> [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခု]] (one dimension) တွင် ဤကွန်မြူတေတာ ဆက်သွယ်ချက်ကို တည်နေရာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက် (position representation) ၌ အောက်ပါအတိုင်း လက်တွေ့ဖော်ဆောင်နိုင်သည်။<ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), p. 190.</ref> <math display="block">\langle x | \hat{p} | \psi \rangle = -i\hbar \frac{d}{dx}\psi(x)</math> အတိုင်းအတာသုံးခု (three dimensions) တွင်မူ <math>\langle \mathbf{r} | \hat{\mathbf{p}} | \psi \rangle = -i\hbar \nabla \psi(\mathbf{r})</math> အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သဖြင့် <math>\hat{\mathbf{p}}^2</math> သည် <math>-\hbar^2 \nabla^2</math> အဖြစ် သက်ရောက်ပြီး ဤတွင် <math>\nabla^2</math> သည် '''[[လာပလေ့စ် အော်ပရေတာ]]''' (Laplace operator) ဖြစ်သည်။ <math>\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3</math> အတွက် ယေဘုယျပြုထားသော တည်နေရာ ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ (generalized position eigenstates) <math>|\mathbf{r}\rangle</math> နှင့် <math>\mathbf{p} \in \mathbb{R}^3</math> အတွက် ယေဘုယျပြုထားသော အဟုန် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ (generalized momentum eigenstates) <math>|\mathbf{p}\rangle</math> တို့ကို <math>\langle \mathbf{r} | \mathbf{p} \rangle = (2\pi\hbar)^{-3/2} e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar}</math> အရ စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသောအခါ (normalized) တည်နေရာရပ်ဝန်း [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]] (position-space wave function) <math>\Psi(\mathbf{r},t) = \langle \mathbf{r} | \Psi(t)\rangle</math> နှင့် အဟုန်ရပ်ဝန်း လှိုင်းဖန်ရှင် (momentum-space wave function) <math>\tilde{\Psi}(\mathbf{p},t) = \langle \mathbf{p} | \Psi(t)\rangle</math> တို့သည် ယူနစ်တရီ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (unitary Fourier transform) အရ အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေကြသည်။<ref>Zwiebach (2022), pp. 103–104.</ref> <math display="block">\tilde{\Psi}(\mathbf{p},t) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{r} \, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar}\Psi(\mathbf{r},t)</math> <math>\tilde{\Psi}</math> နှင့် [[ကွန်ဗော်လူးရှင်း]] (convolution) ကို မှန်ကန်စွာအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသော (well-defined) သမမျှတသည့် ဖြန့်ဝေမှုဆိုင်ရာ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း (tempered distributional Fourier transform) <math>\tilde{V}</math> ရှိသည့် အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ပိုတင်ရှယ် <math>V(\mathbf{r})</math> တစ်ခုအတွက် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော]] (three-dimensional) တည်နေရာရပ်ဝန်း ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},t)</math> တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အဟုန်ရပ်ဝန်း ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းသည် အောက်ပါ ကွန်ဗော်လူးရှင်း [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|အင်တီဂရယ်ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း]] (integro-differential equation) ဖြစ်သည်။ <math display="block">i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\tilde{\Psi}(\mathbf{p},t) = \frac{|\mathbf{p}|^2}{2m}\tilde{\Psi}(\mathbf{p},t) + (2\pi\hbar)^{-3/2} \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{p}' \, \tilde{V}(\mathbf{p} - \mathbf{p}')\tilde{\Psi}(\mathbf{p}',t)</math> ဤတွင် <math>\tilde{V}(\mathbf{p}) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{r} \, e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar}V(\mathbf{r})</math> သည် <math>V</math> ၏ ဖြန့်ဝေမှုဆိုင်ရာ ဖူရီယာ အသွင်ပြောင်းခြင်း ဖြစ်သည်။ === အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှုညီမျှခြင်းနှင့် ဖြစ်တန်စွမ်း စီးကြောင်း (Continuity equation and probability current) === [[ကိန်းစစ်]] (real) ပိုတင်ရှယ် <math>V(\mathbf{r},t)</math> တစ်ခုအတွက် တည်နေရာရပ်ဝန်း ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း၏ လုံလောက်စွာ ချောမွေ့သော (smooth) အဖြေ <math>\Psi(\mathbf{r},t)</math> တစ်ခုသည် ဒေသအလိုက် [[ဖြစ်တန်စွမ်း]] တည်မြဲမှု (local conservation of probability) ကို ပြေလည်စေသည်။<ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), p. 238.</ref><ref>Sakurai & Napolitano (2021), p. 97.</ref> [[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်|ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ]] (probability density) <math>\rho(\mathbf{r},t) = |\Psi(\mathbf{r},t)|^2 = \Psi^*(\mathbf{r},t)\Psi(\mathbf{r},t)</math> ကို <math>t</math> အလိုက် [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍]] ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းနှင့် ၎င်း၏ [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကိန်းထွေးကွန်ဂျူဂိတ်]] (complex conjugate) တို့ကို အစားသွင်းလိုက်သောအခါ '''အဆက်မပြတ်ဖြစ်မှုညီမျှခြင်း''' (continuity equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\frac{\partial}{\partial t}\rho(\mathbf{r},t) + \nabla \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r},t) = 0</math> ဤတွင် '''ဖြစ်တန်စွမ်း စီးကြောင်း''' (probability current) သို့မဟုတ် ဖြစ်တန်စွမ်း စီးဆင်းမှု (probability flux) [[ဗက်တာစက်ကွင်း]] (vector field) <math>\mathbf{j}(\mathbf{r},t)</math> ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ <math display="block">\mathbf{j}(\mathbf{r},t) = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*\right) = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\Psi^*\nabla\Psi\right)</math> <math>\Psi(\mathbf{r},t) \neq 0</math> ဖြစ်သော မည်သည့် အဖွင့်နယ်ပယ် (open region) တွင်မဆို ဒေသအလိုက် (locally) လည်းကောင်း ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော (simply connected) သုညကင်းစင်သည့် (zero-free) မည်သည့် အဖွင့်နယ်ပယ်တွင်မဆို အလုံးစုံ (globally) အားဖြင့်လည်းကောင်း [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]]ကို တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းရှိသော (single-valued) ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည့် ကိန်းစစ် အခြေပြထောင့် ဖန်ရှင် (real phase function) <math>S(\mathbf{r},t)</math> ဖြင့် <math>\Psi(\mathbf{r},t) = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)}\exp\!\left(\frac{i}{\hbar}S(\mathbf{r},t)\right)</math> ဟူ၍ ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံ (polar form) ရေးသားလိုက်သောအခါ ဖြစ်တန်စွမ်း စီးကြောင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \frac{\rho(\mathbf{r},t)\nabla S(\mathbf{r},t)}{m}</math> === ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်း (Separation of variables) === ပိုတင်ရှယ် <math>V(\mathbf{r})</math> သည် အချိန်အပေါ် မူတည်ခြင်းမရှိသည့်အခါ အချိန်အပေါ်မူတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းတွင် [[မြှောက်လဒ်]] အန်းဇတ်စ် (product ansatz)<ref>Singh (2008), pp. 277–287.</ref> <math display="block">\Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r})\tau(t)</math> ဖြင့် '''ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်း''' (separation of variables) ကို အသုံးပြုလိုက်သောအခါ ခွဲထုတ်ကိန်းသေ (separation constant) <math>E \in \mathbb{R}</math> တစ်ခုအတွက် အမြှောက်ကိန်းသေ (multiplicative constant) တစ်ခုအထိ <math>\tau(t) = e^{-iEt/\hbar}</math> ကို ရရှိပြီး အောက်ပါ တည်ငြိမ်အခြေအနေ (stationary-state) [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]]ကို ထုတ်ပေးသည်။<ref>Shankar (1994), p. 143.</ref> <math display="block">\Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}</math> ၎င်း၏ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဆခွဲကိန်း (spatial factor) <math>\psi(\mathbf{r})</math> သည် အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ဟဲလ်မ်ဟို့တ်ဇ်ပုံစံ [[ညီမျှခြင်း]] (Helmholtz-type equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြေလည်စေသည်။<ref>Adams, Sigel & Mlynek (1994), pp. 143–210.</ref> <math display="block">\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + \frac{2m}{\hbar^2}\left[E - V(\mathbf{r})\right]\psi(\mathbf{r}) = 0</math> [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ကိုယ်တိုင်တွဲဖက် အော်ပရေတာများ]]အတွက် ရောင်စဉ်သီအိုရမ် (spectral theorem) အရ မည်သည့်အခြေအနေ <math>|\psi\rangle \in \mathcal{H}</math> ကိုမဆို <math>\hat{H}</math> ၏ ပရိုဂျက်ရှင်းတန်ဖိုးရှိ အတိုင်းအတာ (projection-valued measure) အပေါ် အခြေခံ၍ ခွဲခြမ်းနိုင်ပြီး ဆင်ဂူလာ အဆက်မပြတ် ရောင်စဉ် (singular continuous spectrum) မရှိသည့်အခါ ၎င်းသည် အမှတ်ရောင်စဉ် (point-spectrum) ချုပ်နှောင် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ (bound eigenstates) ပေါ်ရှိ ပိုင်းစသီးခြား [[ပေါင်းခြင်း|ပေါင်းလဒ်]] (discrete sum) နှင့် အဆက်မပြတ် ရောင်စဉ် (continuous spectrum) ပေါ်ရှိ [[အင်တီဂရေးရှင်း|ရောင်စဉ် အင်တီဂရယ်]] (spectral integral) တို့အဖြစ်သို့ လျှော့ချနိုင်သည်။ အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ညီမျှခြင်းတွင် ပိုတင်ရှယ်နှင့် သင့်လျော်သော [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]]တို့သည် ကိန်းရှင်ခွဲထုတ်နိုင်စွမ်းဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များကို ပြေလည်စေသည့်အခါ ကိန်းရှင်များကို ထပ်မံခွဲထုတ်နိုင်သည်။ [[ခေါက်ချိုးညီ|ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ အချိုးညီမှု]] (spatial symmetry) သည် ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်းကို အထောက်အကူပြုနိုင်သော်လည်း ယေဘုယျအားဖြင့် ခွဲထုတ်နိုင်စွမ်းကို အလိုအလျောက် အာမမခံပေ။ အပေါင်းအခြေခံ (additive) ကာတီးရှန်း ပိုတင်ရှယ် <math>V(x,y,z) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z)</math> အတွက် <math>\psi(\mathbf{r}) = \psi_x(x)\psi_y(y)\psi_z(z)</math> ပုံစံဖြင့် အဖြေရှာနိုင်ပြီး [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာကိုဩဒိနိတ်များ]] (spherical coordinates) <math>(r,\theta,\varphi)</math> ဖြင့် ဖော်ပြထားသော ဗဟိုပိုတင်ရှယ် (central potential) <math>V(\mathbf{r}) = V(r)</math> အတွက်မူ <math>\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)</math> ပုံစံဖြင့် အဖြေရှာနိုင်သည်။ == ပုံမှန် ပိုတင်ရှယ်များအတွက် တိကျသော အဖြေများ (Exact solutions for canonical potentials) == === အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသော အနန္တ ပိုတင်ရှယ်တွင်း (One-dimensional infinite potential well) === [[File:Infinite potential well.svg|thumb|အကျယ် <math>L</math> ရှိသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသည့်]] (one-dimensional) အနန္တ ပိုတင်ရှယ်တွင်း (infinite potential well)]] <math>(0,L)</math> ပေါ်တွင် သုညဖြစ်ပြီး <math>[0,L]</math> ပြင်ပတွင် [[အနန္တ]] (infinite) ဖြစ်သော ပိုတင်ရှယ် (potential) တစ်ခုကြောင့် အပိုင်းအခြား (interval) <math>[0,L]</math> အတွင်း၌သာ ကန့်သတ်ခံထားရသော [[ဒြပ်ထု]] (mass) <math>m</math> ရှိသည့် [[အမှုန်]] (particle) တစ်ခုအတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဟာမီတန် အော်ပရေတာ]] (Hamiltonian) သည် <math>L^2([0,L])</math> ပေါ်ရှိ <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}</math> ၏ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး လက်တွေ့ဖော်ဆောင်မှု (Dirichlet realization) ဖြစ်ပြီး [[ဖန်ရှင်|လှိုင်းဖန်ရှင်]] (wave function) သည် အောက်ပါ နယ်နိမိတ်တန်ဖိုး ပြဿနာ (boundary value problem) ကို ပြေလည်စေသည်။<ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), pp. 77–78.</ref> <math display="block">-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi, \qquad \psi(0) = 0, \quad \psi(L) = 0</math> <math>E \le 0</math> အတွက် အသေးအဖွဲ အဖြေ (trivial solution) <math>\psi \equiv 0</math> တစ်ခုတည်းကသာ နယ်နိမိတ်အခြေအနေများ (boundary conditions) ကို ပြေလည်စေသည်။ <math>E > 0</math> အတွက် <math>k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} > 0</math> ဟု သတ်မှတ်လိုက်သောအခါ [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (differential equation) ၏ ယေဘုယျအဖြေ (general solution) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} = C\sin(kx) + D\cos(kx), \qquad E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math> နယ်နိမိတ်အခြေအနေ <math>\psi(0) = D = 0</math> က [[ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ|ကိုဆိုင်းကိန်းစု]] (cosine term) ကို ပယ်ဖျက်ပေးပြီး <math>C \neq 0</math> ဖြစ်သည့် <math>\|\psi\|_{L^2(0,L)} = 1</math> နှင့် <math>\psi(L) = C\sin(kL) = 0</math> အရ အောက်ပါဆက်သွယ်ချက် လိုအပ်သည်။ <math display="block">k_n = \frac{n\pi}{L}, \qquad n \in \{1, 2, 3, \dots\}</math> [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော]] (normalized) [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ]] (eigenfunctions) နှင့် သက်ဆိုင်ရာ ပိုင်းစသီးခြား (discrete) စွမ်းအင် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]] (energy eigenvalues) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြသည်။ <math display="block">\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \qquad n \in \{1, 2, 3, \dots\}</math> === ကွမ်တမ် ဟာမိုနစ် လွှဲခါစနစ် (Quantum harmonic oscillator) === [[File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|300px|thumb|right|[[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသော]] ဟာမိုနစ် လွှဲခါစနစ် (harmonic oscillator) အတွက် ကလပ်စစ်ကယ် လွှဲခါမှု (classical oscillation) A မှ B အထိ နှင့် C မှ H အထိ ကွမ်တမ် အဖြေများ (quantum solutions)။ တည်ငြိမ် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများ (stationary eigenstates) ကို C မှ F တွင် ပြသထားပြီး အချိန်အပေါ်မူတည်သော [[ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ|ထပ်ဆင့်ခြင်းများ]] (time-dependent superpositions) ကို G မှ H တွင် ပြသထားသည်။]] ထောင့်ပြကြိမ်နှုန်း (angular frequency) <math>\omega > 0</math> ရှိသည့် နှစ်ထပ်ကိန်း ပိုတင်ရှယ် (quadratic potential) <math>V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2</math> အတွင်းရှိ [[ဒြပ်ထု]] <math>m</math> ရှိသော အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသည့် အမှုန်တစ်ခုအတွက် <math>L^2(\mathbb{R})</math> ပေါ်ရှိ အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (time-independent Schrödinger equation) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi</math> [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော]] နှစ်ထပ်ကိန်းအင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်းရှိသည့် (square-integrable) [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ]] <math>\psi_n \in L^2(\mathbb{R})</math> ကို <math>n \in \{0, 1, 2, \dots\}</math> ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားပြီး အောက်ပါအတိုင်း ပေးထားသည်။ <math display="block">\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \mathcal{H}_n\!\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x\right)</math> ဤတွင် <math>\mathcal{H}_n(z) = (-1)^n e^{z^2}\frac{d^n}{dz^n}e^{-z^2}</math> သည် ဒီဂရီ (degree) <math>n</math> ရှိသော ရူပဗေဒသုံး '''[[ပိုလီနိုမီရယ်|အာမစ် ပိုလီနိုမီရယ်]]''' (Hermite polynomial) ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီစွာပင် ကိုယ်ပိုင်အခြေအနေများကို [[ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း|ဂေါက်ရှန်း]] (Gaussian) အခြေခံအနိမ့်ဆုံးအခြေအနေ (ground state) <math>\psi_0(x)</math> မှ ဒစ်ဖရန်ရှယ် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|အဆင့်မြှင့် အော်ပရေတာ]] (differential raising operator) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ထုတ်ပေးနိုင်သည်။ <math display="block">\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)^n \left(x - \frac{\hbar}{m\omega}\frac{d}{dx}\right)^n \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}</math> သက်ဆိုင်ရာ ပိုင်းစသီးခြား စွမ်းအင် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]]မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြသည်။<ref>Townsend (2012), pp. 247–250.</ref><ref>Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë (2005), p. 352.</ref> <math display="block">E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \qquad n \in \{0, 1, 2, \dots\}</math> '''အခြေခံအနိမ့်ဆုံးအခြေအနေ''' <math>n = 0</math> တွင် '''သုညအမှတ် စွမ်းအင်''' (zero-point energy) <math>E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega</math> ရှိသည်။ === ဟိုက်ဒရိုဂျင်ပုံစံ အက်တမ် (Hydrogen-like atom) === [[File:Hydrogen Density Plots.png|thumb|ဟိုက်ဒရိုဂျင် အက်တမ် (hydrogen atom) တစ်ခုအတွင်းရှိ ချုပ်နှောင် အီလက်ထရွန် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များ]] (bound electron eigenfunctions) <math>\psi_{n\ell m}</math> ၏ [[ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင်|ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ]]ပုံပြဂရပ်များ (probability density plots)]] [[ဒြပ်ထု]] <math>m_e</math> နှင့် လျှပ်စစ်ဓာတ် (charge) <math>-q</math> ရှိသော အီလက်ထရွန် (electron) တစ်လုံးနှင့် ဒြပ်ထု <math>m_p</math> နှင့် လျှပ်စစ်ဓာတ် <math>+q</math> ရှိသော ပရိုတွန် နျူကလိယပ်စ် (proton nucleus) တစ်ခုတို့ တည်ငြိမ်လျှပ်စစ် ကူလုံ ပိုတင်ရှယ် (electrostatic Coulomb potential) အရ အပြန်အလှန်သက်ရောက်နေကြသည့် ဒြပ်ဝတ္ထုနှစ်ခုပါ စနစ် (two-body system) တစ်ခုအတွက် ဒြပ်ထုဗဟိုချက် ရွေ့လျားမှု (center-of-mass motion) ကို ခွဲထုတ်လိုက်သောအခါ <math>r = |\mathbf{r}|</math> ဖြစ်သည့် <math>\mathbf{r} \in \mathbb{R}^3</math> အတွင်းရှိ နှိုင်းရ ရွေ့လျားမှု (relative motion) သည် အမှုန်တစ်ခုတည်းဆိုင်ရာ အချိန်အပေါ်မူမတည်သော ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းအဖြစ်သို့ အောက်ပါအတိုင်း လျှော့ချသွားသည်။ <math display="block">-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\psi = E\psi</math> ဤတွင် <math>\varepsilon_0</math> သည် လေဟာနယ် လျှပ်စစ်စိမ့်ဝင်နိုင်စွမ်း (vacuum permittivity) ဖြစ်ပြီး <math>\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}</math> သည် '''[[ဒြပ်ထု|လျှော့ချထားသော ဒြပ်ထု]]''' (reduced mass) ဖြစ်သည်။ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာကိုဩဒိနိတ်များ]] (spherical coordinates) <math>(r,\theta,\varphi)</math> တွင် ဤညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်နိုင်သည်။<ref>Tipler & Mosca (2008).</ref> <math display="block">\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y_\ell^m(\theta,\varphi)</math> ဤတွင် <math>Y_\ell^m(\theta,\varphi)</math> သည် ဒီဂရီ <math>\ell</math> နှင့် အဆင့် (order) <math>m</math> ရှိသော '''စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ ဟာမိုနစ်''' (spherical harmonic) ဖြစ်သည်။ <math>E < 0</math> ဖြစ်သည့် ချုပ်နှောင်အခြေအနေများ (bound states) အတွက် <math>L^2(\mathbb{R}^3)</math> အတွင်းရှိ [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာပြုထားသော]] ကိုယ်ပိုင်ဖန်ရှင်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြသည်။<ref>Griffiths (2008), p. 162.</ref> <math display="block">\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi) = \sqrt{\left(\frac{2}{na_0}\right)^3 \frac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}} \, e^{-r/(na_0)} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\!\left(\frac{2r}{na_0}\right) Y_\ell^m(\theta,\varphi)</math> ဤတွင် အောက်ပါသတ်မှတ်ချက်များ ပါဝင်သည်။ * <math>a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu q^2}</math> သည် လျှော့ချထားသော ဒြပ်ထုဆိုင်ရာ '''ဘိုး အချင်းဝက်''' (Bohr radius) ဖြစ်ပြီး [[အနန္တ]] နျူကလိယပ်စ်ဒြပ်ထု [[စုဆုံမှတ်]] (infinite-nuclear-mass limit) <math>\mu \to m_e</math> တွင် <math>\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e q^2}</math> ဖြင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်နိုင်သည် (approximated)။ * <math>L_k^\alpha(x) = \frac{x^{-\alpha}e^x}{k!}\frac{d^k}{dx^k}\left(e^{-x}x^{k+\alpha}\right)</math> သည် ဒီဂရီ <math>k = n - \ell - 1</math> နှင့် ကိန်းရှင်သတ်မှတ်ချက် (parameter) <math>\alpha = 2\ell + 1</math> ရှိသော '''[[ပိုလီနိုမီရယ်|ယေဘုယျပြုထားသော လာဂဲ ပိုလီနိုမီရယ်]]''' (generalized Laguerre polynomial) ဖြစ်သည်။ * <math>n \in \{1, 2, 3, \dots\}</math> သည် '''အဓိက ကွမ်တမ်ကိန်း''' (principal quantum number) ဖြစ်ပြီး <math>\ell \in \{0, 1, \dots, n - 1\}</math> သည် '''အဇီမုသယ် ကွမ်တမ်ကိန်း''' (azimuthal quantum number) ဖြစ်ကာ <math>m \in \{-\ell, -\ell + 1, \dots, \ell\}</math> သည် '''သံလိုက် ကွမ်တမ်ကိန်း''' (magnetic quantum number) ဖြစ်သည်။ သက်ဆိုင်ရာ ပိုင်းစသီးခြား ချုပ်နှောင်အခြေအနေ စွမ်းအင် [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]]သည် <math>n</math> တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင်သာ မူတည်သည်။ <math display="block">E_n = -\frac{\mu q^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2 n^2} = -\frac{\hbar^2}{2\mu a_0^2 n^2}, \qquad n \in \{1, 2, 3, \dots\}</math> == ယေဘုယျပြုထားခြင်းများနှင့် စုဆုံမှတ် အခြေအနေများ (Generalizations and limiting regimes) == === ဆီမီးကလပ်စစ်ကယ် စုဆုံမှတ် (Semiclassical limit) === [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (differentiable) ပိုတင်ရှယ် (potential) <math>V(x)</math> တစ်ခုအတွင်း ရွေ့လျားနေသော [[ဒြပ်ထု]] (mass) <math>m</math> ရှိသည့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာတစ်ခုတည်းရှိသော]] (one-dimensional) အမှုန် (particle) တစ်ခုအတွက် ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း (Schrödinger equation) အောက်၌ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲနေသည့် လုံလောက်စွာ လျင်မြန်သောနှုန်းဖြင့် လျော့ကျသွားသော အခြေအနေ (state) <math>|\Psi(t)\rangle</math> အတွင်းရှိ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|တည်နေရာ အော်ပရေတာ]] (position operator) <math>\hat{x}</math> နှင့် [[အဟုန်]] အော်ပရေတာ (momentum operator) <math>\hat{p}</math> တို့၏ [[မျှော်မှန်းတန်ဖိုး|မျှော်မှန်းတန်ဖိုးများ]] (expectation values) သည် '''အေးရန်ဖက်စ် သီအိုရမ်''' (Ehrenfest theorem) ကို အောက်ပါအတိုင်း လိုက်နာကြသည်။<ref>Peres (1993), p. 302.</ref> <math display="block">m\frac{d}{dt}\langle \hat{x} \rangle = \langle \hat{p} \rangle, \qquad \frac{d}{dt}\langle \hat{p} \rangle = -\langle V'(\hat{x}) \rangle</math> <math>V'(x)</math> သည် [[ဖန်ရှင်|အဖိုင်းဖန်ရှင်]] (affine function) တစ်ခုဖြစ်သည့်အခါ တစ်နည်းအားဖြင့် လွတ်လပ်သော [[အမှုန်]] (free particle) သို့မဟုတ် ဟာမိုနစ် လွှဲခါစနစ် (harmonic oscillator) တွင်ကဲ့သို့ <math>V(x)</math> သည် ဒီဂရီ (degree) အများဆုံး နှစ်ရှိသော [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (polynomial) တစ်ခုဖြစ်သည့်အခါ၌သာ အခြေအနေအားလုံးအတွက် <math>\langle V'(\hat{x}) \rangle = V'(\langle \hat{x} \rangle)</math> သည် ထပ်တူညီစွာ မှန်ကန်သောကြောင့် မျှော်မှန်းတန်ဖိုးများသည် ဒီဂရီ အများဆုံး နှစ်ရှိသော ပိုတင်ရှယ်များအတွက်သာ အလိုရှိရာ (arbitrary) အခြေအနေအားလုံး၌ တိကျသော ကလပ်စစ်ကယ် နယူတန် [[လမ်းကြောင်း|လမ်းကြောင်းများ]] (classical Newton trajectories) အတိုင်း လိုက်နာကြသည်။ ထို့ပြင် နှစ်ကြိမ် [[ဆင်းသက်ချက်_(ဒစ်ဖရန်ရှယ်_ကဲကုလပ်)#ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု_နှင့်_အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း_(Differentiability_and_Continuity)|အဆက်မပြတ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော]] (twice continuously differentiable) ပိုတင်ရှယ် <math>V(x)</math> တစ်ခုအတွက် လှိုင်းထုပ် (wave packet) သည် <math>\langle \hat{x} \rangle</math> ပတ်ဝန်းကျင်၌ <math>V'(x)</math> ပြောင်းလဲမှု မပြောပလောက်သည့် အတိုင်းအတာအတွင်း စုစည်းတည်ရှိနေသည့်အခါတိုင်း (localized) အဆိုပါ လမ်းကြောင်းများအတိုင်း နီးစပ်စွာ လိုက်နာကြသည်။ ထို့အပြင် ဝင်ရိုးစွန်းပုံစံ (polar) WKB အန်းဇတ်စ် (WKB ansatz) <math>\Psi(\mathbf{r},t) = \sqrt{\rho(\mathbf{r},t)}\,e^{iS(\mathbf{r},t)/\hbar}</math> ကို တည်နေရာရပ်ဝန်း (position-space) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း <math>i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right)\Psi</math> အတွင်းသို့ အစားသွင်း၍ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်ပိုင်း]] (real part) ကို ယူလိုက်သောအခါ အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]ကို ရရှိသည်။ <math display="block">-\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{|\nabla S|^2}{2m} + V(\mathbf{r},t) - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}</math> လွှဲကျယ် (amplitude) <math>\sqrt{\rho}</math> သည် <math>\hbar</math> အတိုင်းအတာနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် နှေးကွေးစွာ ပြောင်းလဲသဖြင့် <math>\hbar \to 0</math> ချဉ်းကပ်သွားသည့်အခါ <math>\mathcal{O}(\hbar^2)</math> ရှိသော ကွမ်တမ် ပိုတင်ရှယ်ကိန်းစု (quantum potential term) <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}</math> ပျောက်ကွယ်သွားသည်ဟူသော WKB ဆီမီးကလပ်စစ်ကယ် အဆိုပြုချက် (WKB semiclassical hypothesis) အောက်တွင် ဤညီမျှခြင်းသည် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) <math>\hbar \to 0</math> ၌ သက်ရောက်ချက် (action) <math>S(\mathbf{r},t)</math> အတွက် ကလပ်စစ်ကယ် '''ဟာမီလ်တန်-ဂျေးကိုဘီ ညီမျှခြင်း''' (Hamilton–Jacobi equation) အဖြစ်သို့ အောက်ပါအတိုင်း လျှော့ချသွားသည်။<ref>Peres (1993), p. 308.</ref> <math display="block">-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r}, \nabla S, t) = \frac{|\nabla S|^2}{2m} + V(\mathbf{r},t)</math> === သိပ်သည်းဆ အော်ပရေတာများနှင့် ဖွန်နွိုင်းမန်း ညီမျှခြင်း (Density operators and the von Neumann equation) === ကွမ်တမ် အခြေအနေများ (quantum states) ၏ စာရင်းအင်းဆိုင်ရာစုစည်းမှုများ (statistical ensembles) နှင့် ပေါင်းစပ် ကွမ်တမ်စနစ်များ (composite quantum systems) ၏ အဖွင့် စနစ်ခွဲများ (open subsystems) ကို ယူနစ်ထရေ့စ် (unit trace) <math>\operatorname{Tr}(\hat{\rho}) = 1</math> ရှိပြီး <math>\mathcal{H}</math> ပေါ်တွင် အပေါင်းဆီမီးတိကျသော (positive semi-definite) [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ထရေ့စ်အတန်းအစား အော်ပရေတာ]] (trace-class operator) တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည့် '''သိပ်သည်းဆ အော်ပရေတာ''' (density operator) သို့မဟုတ် '''[[ကိန်းအုံ|သိပ်သည်းဆ ကိန်းအုံ]]''' (density matrix) <math>\hat{\rho}</math> ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။<ref>Peres (1993), p. 74.</ref> သိပ်သည်းဆ အော်ပရေတာများ၏ [[အစု]]သည် ခုံးသော (convex) အစုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အစွန်းရောက်အမှတ်များ (extreme points) မှာ သီးသန့်အခြေအနေများ (pure states) နှင့် ဆက်စပ်နေသည့် [[ယူနစ်ဗက်တာ|ယူနစ်ဗက်တာများ]] (unit vectors) <math>|\psi\rangle \in \mathcal{H}</math> ပေါ်သို့ ချပေးသော အဆင့်တစ် [[ထောင့်မှန်ကျဖြစ်မှု|ထောင့်မှန်ကျ]] ပရိုဂျက်ရှင်းများ (rank-one orthogonal projections) ဖြစ်ကြသည်။ <math display="block">\hat{\rho} = |\psi\rangle\langle\psi|</math> စုစည်းမှုတစ်ခုအတွင်းရှိ သီးသန့်အခြေအနေတစ်ခုချင်းစီသည် ဟာမီတန် အော်ပရေတာ (Hamiltonian) <math>\hat{H}</math> ပါဝင်သော အချိန်အပေါ်မူတည်သည့် (time-dependent) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းအောက်၌ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲပြီး <math>\hat{\rho}(t)</math> က [[အရင်းအမြစ်စု]] (domain) <math>\mathcal{D}(\hat{H})</math> ကို <math>\mathcal{D}(\hat{H})</math> အတွင်းသို့ ပို့ဆောင်ပေးပါက သိပ်သည်းဆ အော်ပရေတာ <math>\hat{\rho}(t)</math> သည် '''ဖွန်နွိုင်းမန်း ညီမျှခြင်း''' (von Neumann equation) သို့မဟုတ် '''လီယူဗေးလ်-ဖွန်နွိုင်းမန်း ညီမျှခြင်း''' (Liouville–von Neumann equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ပြေလည်စေသည်။<ref>Breuer & Petruccione (2002), p. 110.</ref><ref>Schwabl (2002), p. 16.</ref><ref>Peres (1993), p. 312.</ref> <math display="block">i\hbar \frac{d\hat{\rho}}{dt} = [\hat{H}, \hat{\rho}]</math> ဤတွင် <math>[\hat{H}, \hat{\rho}] = \hat{H}\hat{\rho} - \hat{\rho}\hat{H}</math> သည် [[ကွန်မြူတေတာ|အော်ပရေတာ ကွန်မြူတေတာ]] (operator commutator) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ <math>\hat{U}(t)</math> သည် <math>\hat{H}</math> က ထုတ်ပေးသော ယူနစ်တရီ အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု အော်ပရေတာ (unitary time-evolution operator) ဖြစ်ပြီး <math>\hat{H}</math> သည် အချိန်အပေါ်မူမတည်သည့်အခါ (time-independent) <math>\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}</math> ဖြစ်ပါက မည်သည့် မူလ သိပ်သည်းဆ အော်ပရေတာ <math>\hat{\rho}(0)</math> အတွက်မဆို အဖြေကို ယူနစ်တရီ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုခြင်း (unitary conjugation) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">\hat{\rho}(t) = \hat{U}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)^\dagger</math> ယူနစ်တရီ ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုခြင်းသည် <math>\hat{\rho}</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ]] (eigenvalues) ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းပေးသောကြောင့် အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု (time evolution) သည် '''ဖွန်နွိုင်းမန်း အင်ထရိုပီ''' (von Neumann entropy) <math>S_{\mathrm{vN}}(\hat{\rho}) = -\operatorname{Tr}(\hat{\rho}\ln\hat{\rho})</math> ကို တည်မြဲစေသည်။<ref>Peres (1993), p. 267.</ref> === နှိုင်းရ လှိုင်းညီမျှခြင်းများနှင့် ဖော့ခ် ရပ်ဝန်း (Relativistic wave equations and Fock space) === လွတ်လပ်သော နှိုင်းရမဟုတ်သည့် (non-relativistic) အမှုန်တစ်ခုတည်းဆိုင်ရာ ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်းသည် ဘွန်း [[ဖြစ်တန်စွမ်း|ဖြစ်တန်စွမ်းများ]] (Born probabilities) ကို ထိန်းသိမ်းထားစဉ် <math>\Psi(\mathbf{r},t)</math> အား အချိန်-ရပ်ဝန်း အခြေပြထောင့်ဆခွဲကိန်း (space-time phase factor) တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ပေးသည့် ဂယ်လီလီယို အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Galilean transformations) အောက်တွင် [[ဂယ်လီလီယို မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ|ပရိုဂျက်တစ်သဘောအရ မပြောင်းလဲသော်လည်း]] (projectively invariant) လိုရန့်ဇ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Lorentz transformations) အောက်တွင်မူ မပြောင်းလဲဘဲ ရှိမနေပေ။ ပြင်ပ ပိုတင်ရှယ် (external potential) တစ်ခု ရှိနေသည့်အခါ၌မူ ဂယ်လီလီယို လားရာတူဖြစ်မှု (Galilean covariance) ရှိစေရန် ပိုတင်ရှယ်ကို ရည်ညွှန်းဘောင် (reference frame) နှင့်အတူ အသွင်ပြောင်းပေးရန် လိုအပ်သည်။<ref>Home (2013), pp. 4–5.</ref> နှိုင်းရ (relativistic) အမှုန်တစ်ခုတည်းဆိုင်ရာ [[ညီမျှခြင်း|လှိုင်းညီမျှခြင်းများ]] (wave equations) ကို [[ဒြပ်ထု|ရပ်နားဒြပ်ထု]] (rest mass) <math>m</math> ရှိသော အမှုန်တစ်ခုအတွက် အောက်ပါ နှိုင်းရ စွမ်းအင်-[[အဟုန်]] ဆက်သွယ်ချက် (relativistic energy–momentum relation) မှ တည်ဆောက်သည်။ <math display="block">E^2 = |\mathbf{p}|^2 c^2 + m^2 c^4</math> <math>E \mapsto i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math> နှင့် <math>\mathbf{p} \mapsto -i\hbar\nabla</math> တို့ကို ကွမ်တမ်အသွင်ပြောင်းလိုက်သောအခါ (quantizing) ဒြပ်ထုရှိသော စပင် (spin) <math>0</math> [[စကေလာ|စကေလာ စက်ကွင်းများ]] (scalar fields) <math>\psi(\mathbf{r},t)</math> အတွက် ဒုတိယအဆင့် (second-order) '''ကလိုင်း-ဂေါ်ဒန် ညီမျှခြင်း''' (Klein–Gordon equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ <math display="block">-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} + \nabla^2\psi = \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\psi</math> အချိန်နှင့် ရပ်ဝန်း နှစ်ခုစလုံးတွင် ပထမအဆင့် (first order) ဖြစ်သော ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ရရှိရန် ပေါလ် ဒိုင်ရက် (Paul Dirac) သည် နှိုင်းရ လှိုင်းကွဲပြားမှု ဆက်သွယ်ချက် (relativistic dispersion relation) ကို <math>E = c\sum_{n=1}^3 \alpha_n p_n + \beta mc^2</math> ဟူ၍ မျဉ်းဖြောင့်ပုံစံဖြစ်စေခဲ့ပြီး (linearized) ဤတွင် <math>\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta</math> တို့သည် [[အက္ခရာသင်္ချာ|ကလစ်ဖို့ဒ် အက္ခရာသင်္ချာ]] (Clifford algebra) [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ#ဖလှယ်ရဆန့်ကျင်ခြင်း_(Anticommutativity)|ဆန့်ကျင်ကွန်မြူတေတာ ဆက်သွယ်ချက်များ]] (anticommutation relations) ဖြစ်ကြသည့် <math>\{\alpha_j, \alpha_k\} = 2\delta_{jk}I_4</math>၊ <math>\{\alpha_j, \beta\} = 0</math> နှင့် <math>\beta^2 = I_4</math> တို့ကို ပြေလည်စေသော <math>4 \times 4</math> [[ကိန်းအုံ|ဟာမီရှန် ကိန်းအုံများ]] (Hermitian matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းမှ အစိတ်အပိုင်းလေးခုပါ စပင်နာ စက်ကွင်း (four-component spinor field) <math>\psi(\mathbf{r},t) \in \mathbb{C}^4</math> အတွက် '''ဒိုင်ရက် ညီမျှခြင်း''' (Dirac equation) ကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။<ref>Thaller (2013), p. 2.</ref> <math display="block">i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = \left(-i\hbar c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta mc^2\right)\psi(\mathbf{r},t)</math> ဟာမီတန် ပုံစံ <math>i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}_{\text{Dirac}}\psi</math> တွင် လျှပ်စစ်သံလိုက် စကေလာပိုတင်ရှယ် (electromagnetic scalar potential) <math>\varphi</math> နှင့် ဗက်တာပိုတင်ရှယ် (vector potential) <math>\mathbf{A}</math> တို့နှင့် တွဲဖက်နေသော (coupled) ဒြပ်ထု <math>m</math> နှင့် လျှပ်စစ်ဓာတ် (charge) <math>q</math> ရှိသည့် စပင် <math>1/2</math> အမှုန်တစ်ခုအတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|ဒိုင်ရက် ဟာမီတန် အော်ပရေတာ]] (Dirac Hamiltonian) မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\hat{H}_{\text{Dirac}} = \gamma^0\left[c\boldsymbol{\gamma}\cdot\left(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A}\right) + mc^2 + \gamma^0 q\varphi\right]</math> ဤတွင် <math>\gamma^0 = \beta</math> နှင့် <math>k=1,2,3</math> အတွက် <math>\gamma^k = \beta\alpha_k</math> တို့သည် ဒိုင်ရက် ဂမ်မာ ကိန်းအုံများ (Dirac gamma matrices) ဖြစ်ကြသည်။ ပိုမိုယေဘုယျအားဖြင့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|လိုရန့်ဇ် အုပ်စု]] (Lorentz group) ၏ <math>(s,0) \oplus (0,s)</math> ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက် (representation) အတွင်းရှိ စပင် <math>s > 0</math> ရှိသော ဒြပ်ထုရှိသည့် အမှုန်တစ်ခုအတွက် [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|ပါရတီ]]-မပြောင်းလဲသော (parity-invariant) နှိုင်းရ လှိုင်းညီမျှခြင်းများသည် အစိတ်အပိုင်း <math>2(2s + 1)</math> ခုပါ [[ကိန်းထွေး]] စပင်နာ စက်ကွင်းများ (complex spinor fields) ပေါ်တွင် သက်ရောက်ကြသည်။ နှိုင်းရ အပြန်အလှန်သက်ရောက်မှုများသည် အမှုန် ဖန်တီးခြင်းနှင့် ပျက်သုဉ်းခြင်း (particle creation and annihilation) တို့ကို ခွင့်ပြုသောကြောင့် ကွမ်တမ် စက်ကွင်းသီအိုရီ (quantum field theory) တွင် အမှုန်အရေအတွက် ပုံသေသတ်မှတ်ထားသော [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း]] (Hilbert space) ကို အစားထိုးရန် လိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ ထပ်တူညီသော အမှုန်များ၏ အမှုန်ဖလှယ်မှုဆိုင်ရာ အချိုးညီမှု (particle-exchange symmetry) နှင့်အညီ အချိုးညီ သို့မဟုတ် အချိုးဆန့်ကျင် ပြုလုပ်ထားသည့် <math>n \ge 0</math> အားလုံးပေါ်ရှိ အမှုန် <math>n</math> ခုပါ [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] [[ရပ်ဝန်း|ရပ်ဝန်းများ]]၏ ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း [[တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်]] (direct sum) ဖြစ်သော '''ဖော့ခ် ရပ်ဝန်း''' (Fock space) ဖြင့် အစားထိုးပြီး ၎င်းပေါ်တွင် အချိန်အလိုက် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှုကို သရုပ်မဲ့ (abstract) ရှရိုဒင်းဂါး ညီမျှခြင်း <math>i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \hat{H}|\Psi(t)\rangle</math> ဖြင့်လည်းကောင်း ဖန်ရှင်နယ် ရှရိုဒင်းဂါး ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက် (functional Schrödinger representation) ဖြင့်လည်းကောင်း တစ်ဖန် ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Coleman (2018).</ref><ref>Symanzik (1981), pp. 1–44.</ref><ref>Srednicki (2012).</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Adams |first1=C. S. |last2=Sigel |first2=M. |last3=Mlynek |first3=J. |title=Atom optics |journal=Physics Reports |volume=240 |issue=3 |pages=143–210 |date=1994 |doi=10.1016/0370-1573(94)90066-3 |bibcode=1994PhR...240..143A |issn=0370-1573}} * {{Citation |last1=Breuer |first1=Heinz-Peter |last2=Petruccione |first2=Francesco |title=The Theory of Open Quantum Systems |publisher=Oxford University Press |date=2002 |isbn=978-0-19-852063-4}} * {{Citation |last1=Cohen-Tannoudji |first1=Claude |last2=Diu |first2=Bernard |last3=Laloë |first3=Franck |title=Quantum Mechanics |publisher=John Wiley & Sons |date=2005 |isbn=0-471-16433-X}} * {{Citation |last=Coleman |first=Sidney |editor1-last=Derbes |editor1-first=David |editor2-last=Ting |editor2-first=Yuan-sen |editor3-last=Chen |editor3-first=Bryan Gin-ge |editor4-last=Sohn |editor4-first=Richard |editor5-last=Griffiths |editor5-first=David |editor6-last=Hill |editor6-first=Brian |title=Lectures of Sidney Coleman on Quantum Field Theory |publisher=World Scientific Publishing |date=2018 |isbn=978-9-814-63253-9 |oclc=1057736838}} * {{Citation |last=Dirac |first=Paul Adrien Maurice |title=The Principles of Quantum Mechanics |publication-place=Oxford |publisher=Clarendon Press |date=1930}} * {{Citation |last=Griffiths |first=David J. |title=Introduction to Quantum Mechanics |edition=2nd |publisher=Prentice Hall |date=2004 |isbn=978-0-13-111892-8}} * {{Citation |last=Griffiths |first=David J. |title=Introduction to Elementary Particles |edition=2nd |publisher=Wiley-VCH |date=2008 |isbn=978-3-527-40601-2}} * {{Citation |last=Hall |first=Brian C. |title=Quantum Theory for Mathematicians |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=267 |publisher=Springer |date=2013 |isbn=978-1-4614-7115-8 |bibcode=2013qtm..book.....H}} * {{Citation |last=Hilbert |first=David |editor1-last=Sauer |editor1-first=Tilman |editor2-last=Majer |editor2-first=Ulrich |title=Lectures on the Foundations of Physics 1915–1927: Relativity, Quantum Theory and Epistemology |publisher=Springer |date=2009 |isbn=978-3-540-20606-4 |doi=10.1007/b12915 |oclc=463777694}} * {{Citation |last=Home |first=Dipankar |title=Conceptual Foundations of Quantum Physics |publisher=Springer US |date=2013 |isbn=978-1-4757-9808-1 |oclc=1157340444}} * {{Citation |last=Peres |first=Asher |title=Quantum Theory: Concepts and Methods |publisher=Kluwer |date=1993 |isbn=0-7923-2549-4 |oclc=28854083}} * {{Citation |last1=Rieffel |first1=Eleanor G. |last2=Polak |first2=Wolfgang H. |title=Quantum Computing: A Gentle Introduction |publisher=MIT Press |date=2011 |isbn=978-0-262-01506-6}} * {{Citation |last1=Sakurai |first1=J. J. |last2=Napolitano |first2=J. |title=Modern Quantum Mechanics |edition=2nd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2017 |isbn=978-1-108-49999-6 |oclc=1105708539}} * {{Citation |last1=Sakurai |first1=Jun John |last2=Napolitano |first2=Jim |title=Modern Quantum Mechanics |edition=3rd |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2021 |isbn=978-1-108-47322-4}} * {{Citation |last=Schrödinger |first=E. |title=Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) |journal=Annalen der Physik |volume=384 |issue=4 |pages=361–377 |date=1926a |doi=10.1002/andp.19263840404 |bibcode=1926AnP...384..361S}} * {{Citation |last=Schrödinger |first=E. |title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules |journal=Physical Review |volume=28 |issue=6 |pages=1049–1070 |date=1926b |doi=10.1103/PhysRev.28.1049 |bibcode=1926PhRv...28.1049S}} * {{Citation |last=Schwabl |first=Franz |title=Statistical Mechanics |publisher=Springer |date=2002 |isbn=978-3-540-43163-3}} * {{Citation |last=Shankar |first=R. |title=Principles of Quantum Mechanics |edition=2nd |publisher=Kluwer Academic/Plenum Publishers |date=1994 |isbn=978-0-306-44790-7}} * {{Citation |last=Singh |first=Chandralekha |title=Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction |journal=American Journal of Physics |volume=76 |issue=3 |pages=277–287 |date=2008 |doi=10.1119/1.2825387 |arxiv=1602.06660 |bibcode=2008AmJPh..76..277S |issn=0002-9505}} * {{Citation |last=Srednicki |first=Mark Allen |title=Quantum Field Theory |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=2012 |isbn=978-0-521-86449-7 |oclc=71808151}} * {{Citation |last=Symanzik |first=K. |title=Schrödinger representation and Casimir effect in renormalizable quantum field theory |journal=Nuclear Physics B |volume=190 |issue=1 |pages=1–44 |date=1981 |doi=10.1016/0550-3213(81)90482-X |bibcode=1981NuPhB.190....1S |issn=0550-3213}} * {{Citation |last=Thaller |first=Bernd |title=The Dirac Equation |publisher=Springer Berlin Heidelberg |date=2013 |isbn=978-3-662-02753-0 |doi=10.1007/978-3-662-02753-0}} * {{Citation |last1=Tipler |first1=P. A. |last2=Mosca |first2=G. |title=Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics |edition=6th |publisher=Freeman |date=2008 |isbn=978-0-7167-8964-2}} * {{Citation |last=Townsend |first=John S. |title=A Modern Approach to Quantum Mechanics |publisher=University Science Books |date=2012 |isbn=978-1-891389-78-8}} * {{Citation |last=von Neumann |first=John |title=Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik |publication-place=Berlin |publisher=Springer |date=1932}} * {{Citation |last=Weyl |first=Hermann |title=The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publisher=Dover |date=1950 |orig-date=1931 |isbn=978-0-486-60269-1}} * {{Citation |last=Whittaker |first=Edmund T. |title=A History of the Theories of Aether & Electricity. Vol. 2: The Modern Theories, 1900–1926 |edition=Reprint |publication-place=New York |publisher=Dover Publications |date=1989 |isbn=978-0-486-26126-3}} * {{Citation |last=Zwiebach |first=Barton |title=Mastering Quantum Mechanics: Essentials, Theory, and Applications |publisher=MIT Press |date=2022 |isbn=978-0-262-04613-8 |oclc=1347739457}} [[ကဏ္ဍ:မက္ကင်းနစ်]] [[ကဏ္ဍ:ရူပဗေဒ_ညီမျှခြင်းများ]] [[ကဏ္ဍ:လှိုင်း_မက္ကင်းနစ်]] [[ကဏ္ဍ:ကွမ်တမ်မက္ကင်းနစ်]] t8s0vgk38q6cs7batoswghik5c9q1kc 0 292823 1060933 1057859 2026-11-01T00:01:54Z Mkant00 135890 1060933 wikitext text/x-wiki '''မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း''' (linear differential equation) သည် မသိဖန်ရှင် (unknown function) နှင့် ၎င်း၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်များ]] (derivatives) ပါဝင်သော [[ပိုလီနိုမီရယ်|မျဉ်းဖြောင့်ပိုလီနိုမီရယ်]] (linear polynomial) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (differential equation) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤညီမျှခြင်းသည် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း (ordinary differential equation, ODE) သို့မဟုတ် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] (partial differential equation, PDE) ဖြစ်နိုင်သည်။ အဆင့် (order) <math>n</math> ရှိသော ရိုးရိုး မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ယေဘုယျပုံစံမှာ <math display="block">a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y' + a_0(x) y = b(x)</math> ဖြစ်ပြီး <math>a_0(x), \dots, a_n(x)</math> နှင့် <math>b(x)</math> တို့သည်အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) <math>x</math> ၏ [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] ဖြစ်ကြသည်။ <math>b(x) = 0</math> ဖြစ်ပါက ညီမျှခြင်းသည် '''တစ်ပြေးညီ''' (homogeneous) ဖြစ်ပြီး သုညမဟုတ်ပါက '''တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော''' (inhomogeneous) သို့မဟုတ် တစ်ပြေးညီမဟုတ်သည့် (non-homogeneous) ညီမျှခြင်း ဖြစ်သည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများကို [[ထပ်ဆင့်ခြင်းမူဝါဒ]] (superposition principle) ဖြင့် ဝိသေသပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ တစ်ပြေးညီ မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေများဆိုင်ရာ မည်သည့် မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) မဆိုသည်လည်း အဖြေတစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။<ref>Ince (1956), p. 73.</ref> မြှောက်ဖော်ကိန်းများ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း သုညမဟုတ်သည့် ပုံမှန်အခြေအနေများအောက်၌ အဆင့် <math>n</math> ရှိသော တစ်ပြေးညီညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေများသည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) <math>n</math> ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းပြီး တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် အဖြေတည်ရှိပါက ၎င်း၏ အဖြေများသည် အဆိုပါဗက်တာရပ်ဝန်းအပေါ် အခြေခံတည်ဆောက်ထားသော [[အဖိုင်း ရပ်ဝန်း|အဖိုင်းရပ်ဝန်း]] (affine space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Birkhoff & Rota (1978), p. 45.</ref> == ယေဘုယျသီအိုရီ နှင့် အော်ပရေတာဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (General Theory and Operator Representation) == <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> သည် အဖွင့်အပိုင်းအခြား (open interval) တစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>a_n(x) \neq 0</math> ဖြစ်ပြီး <math>a_0, a_1, \dots, a_n, b \in C(I)</math> ဖြစ်သည်ဟု ယူဆပါ။ <math>a_n(x)</math> ဖြင့် စားပါက အောက်ပါ မိုးနစ်ပုံစံ (monic form) ကို ရရှိသည်။ <math display="block">L(y) = y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + p_1(x) y' + p_0(x) y = g(x)</math> ဤနေရာတွင် <math>p_i(x) = a_i(x)/a_n(x)</math> နှင့် <math>g(x) = b(x)/a_n(x)</math> တို့သည် <math>I</math> ပေါ်တွင် [[အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ]] (continuous functions) ဖြစ်ကြသည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ်အော်ပရေတာ (differential operator) <math>L: C^n(I) \to C(I)</math> သည် ဖန်ရှင်ရပ်ဝန်းများ (function spaces) အကြား [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] (linear mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === တည်ရှိမှု၊ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု နှင့် အဖြေရပ်ဝန်း တည်ဆောက်ပုံ (Existence, Uniqueness, and Solution Space Structure) === ပီကတ်-လင်ဒီလော့ဖ် သီအိုရမ် (Picard–Lindelöf theorem) အရ မည်သည့် <math>x_0 \in I</math> နှင့် မူလအခြေအနေများ (initial conditions) <math>y_0, y_1, \dots, y_{n-1} \in \mathbb{R}</math> အတွက်မဆို မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ (initial value problem) <math display="block">L(y) = g(x), \qquad y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_1, \quad \dots, \quad y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}</math> သည် <math>I</math> ပေါ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ (unique solution) ရှိကြောင်း အာမခံသည်။<ref>Robinson (2004), p. 32.</ref> <math>\ker(L) = \{y \in C^n(I) : L(y) = 0\}</math> ဟု သတ်မှတ်ထားသော <math>L</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) သည် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) <math>n</math> ရှိသည့် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ <math>\ker(L)</math> ၏ [[အခြေအစု]] (basis) <math>\{y_1, \dots, y_n\}</math> ကို အခြေခံစနစ် (fundamental system) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ညီမျှခြင်း၏ ယေဘုယျအဖြေ (general solution) မှာ <math display="block">y(x) = y_p(x) + \sum_{i=1}^n c_i y_i(x)</math> ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>y_p</math> သည် <math>L(y) = g(x)</math> ၏ ပေးထားပြီးဖြစ်သော မည်သည့် သီးသန့်အဖြေ (particular solution) မဆို ဖြစ်ကာ <math>c_1, \dots, c_n \in \mathbb{R}</math> တို့သည် အလိုရှိရာကိန်းသေများ (arbitrary constants) ဖြစ်ကြသည်။ == ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော တစ်ပြေးညီညီမျှခြင်းများ (Homogeneous Equations with Constant Coefficients) == <math>p_0, \dots, p_{n-1}</math> တို့သည် [[ကိန်းစစ်]] သို့မဟုတ် [[ကိန်းထွေး]] ကိန်းသေများ ဖြစ်ကြသည့်အခါ <math>L(y) = 0</math> ညီမျှခြင်းကို ထပ်ကိန်းတင် အန်းဇတ်စ် (exponential ansatz) <math>y = e^{\lambda x}</math> ကို အသုံးပြု၍ ဖြေရှင်းသည်။ ဤသို့ အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်ပါက အောက်ပါ ဝိသေသညီမျှခြင်း (characteristic equation) ကို ရရှိသည်။ <math display="block">P(\lambda) = \lambda^n + p_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + p_1 \lambda + p_0 = 0</math> === ဝိသေသပိုလီနိုမီရယ်၏ ကိန်းရင်းများ (Roots of the Characteristic Polynomial) === *သီးခြားကိန်းရင်းများ (Distinct roots): အကယ်၍ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနှင့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ဝိသေသပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) <math>P(\lambda)</math> တွင် သီးခြားကိန်းရင်းများ (distinct roots) <math>n</math> ခုဖြစ်သော <math>\lambda_1, \dots, \lambda_n</math> ပါရှိပါက [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး|ဗန်ဒါမွန်း အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (Vandermonde determinant) သုညမဖြစ်ခြင်းအရ အဖြေများဖြစ်ကြသည့် <math>e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_n x}</math> တို့သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်း]] (linearly independent) ကြသည်။ ယေဘုယျအဖြေ (general solution) မှာ :<math>y(x) = \sum_{j=1}^n c_j e^{\lambda_j x}</math> ဖြစ်သည်။ *ထပ်နေသော ကိန်းရင်းများ (Multiple roots): အကယ်၍ <math>\lambda</math> သည် အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (multiplicity) <math>m</math> ရှိသော ကိန်းရင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက အော်ပရေတာကို <math>(D - \lambda)^m</math> ဟူ၍ ဆခွဲနိုင်သည်။ <math>k = 0, \dots, m-1</math> အတွက် ထပ်ကိန်းတင် ရွှေ့ပြောင်းခြင်းသီအိုရမ် (exponential shift theorem) <math>(D - \lambda)^m (x^k e^{\lambda x}) = 0</math> အရ <math>\lambda</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] အဖြေ <math>m</math> ခုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ <math display="block">e^{\lambda x}, \quad x e^{\lambda x}, \quad \dots, \quad x^{m-1} e^{\lambda x}</math> *ကိန်းထွေးကိန်းရင်းများ (Complex roots): ကိန်းစစ်မြှောက်ဖော်ကိန်းများမှ [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်]] ကိန်းရင်းများ (complex conjugate roots) <math>\lambda = \alpha \pm i \beta</math> (<math>\beta \neq 0</math>) ထွက်ပေါ်လာပါက [[အွိုင်လာ ပုံသေနည်း]] (Euler's formula) အားဖြင့် အောက်ပါ ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ အဖြေများ (real-valued solutions) ကို ရရှိသည်။ <math display="block">e^{\alpha x} \cos(\beta x), \qquad e^{\alpha x} \sin(\beta x)</math> == တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ညီမျှခြင်းများ နှင့် ကိန်းရှင်ကြားခံများ ပြောင်းလဲခြင်း (Inhomogeneous Equations and Variation of Parameters) == <math>L(y) = g(x)</math> ၏ ယေဘုယျအဖြေကို ရရှိရန် သီးသန့်အဖြေ (particular solution) <math>y_p(x)</math> တစ်ခုကို ရှာဖွေရန် လိုအပ်သည်။ === ကိန်းရှင်ကြားခံများ ပြောင်းလဲခြင်း (Variation of Parameters) === <math>L(y) = 0</math> အတွက် အခြေခံစနစ် (fundamental system) <math>\{y_1, \dots, y_n\}</math> ပေးထားပါက ကိန်းရှင်ကြားခံများ ပြောင်းလဲခြင်း (variation of parameters) နည်းလမ်းသည် အဖြေကို အောက်ပါပုံစံဖြင့် ရှာဖွေသည်။ <math display="block">y_p(x) = \sum_{i=1}^n u_i(x) y_i(x)</math> <math>k = 0, \dots, n-2</math> အတွက် လာဂေါင့် သတ်မှတ်ချက်များ <math>\sum_{i=1}^n u_i'(x) y_i^{(k)}(x) = 0</math> ကို သတ်မှတ်လိုက်ပါက စနစ်သည် <math display="block">\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & \dots & y_n \\ y_1' & y_2' & \dots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \dots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ \vdots \\ u_n' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ g(x) \end{pmatrix}</math> အဖြစ်သို့ လျော့ကျသွားသည်။ အဆိုပါ [[ကိန်းအုံ]]သည် ဗရွန်စကီယန် ကိန်းအုံ (Wronskian matrix) <math>W(x)</math> ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]]ဖြစ်သော ဗရွန်စကီယန် (Wronskian) <math>w(x) = \det W(x)</math> သည် [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းမှု]]ကြောင့် <math>I</math> ပေါ်တွင် သုညမဖြစ်ပေ။ ကရာမာ စည်းမျဉ်း (Cramer's rule) အရ <math display="block">u_i'(x) = \frac{w_i(x) g(x)}{w(x)}, \qquad u_i(x) = \int \frac{w_i(x) g(x)}{w(x)}\,dx</math> ဖြစ်ပြီး ဤနေရာတွင် <math>w_i(x)</math> သည် <math>W(x)</math> ၏ <math>i</math>-မြောက် တိုင်ကို <math>(0, \dots, 0, 1)^T</math> ဖြင့် အစားထိုးထားသော အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး ဖြစ်သည်။ === ပထမအဆင့် ညီမျှခြင်းများ နှင့် အင်တီဂရယ်အထောက်အကူပြုဆခွဲကိန်းများ (First-Order Equations and Integrating Factors) === ပထမအဆင့် ညီမျှခြင်း <math>y' + p(x) y = g(x)</math> အတွက် အင်တီဂရယ်အထောက်အကူပြုဆခွဲကိန်း (integrating factor) မှာ <math display="block">\mu(x) = \exp\left( \int p(x)\,dx \right)</math> ဖြစ်သည်။ <math>\mu(x)</math> ဖြင့် မြှောက်ပါက ညီမျှခြင်းသည် <math>\frac{d}{dx}(\mu(x) y) = \mu(x) g(x)</math> အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားပြီး အောက်ပါ အဖြေကို ရရှိသည်။ <math display="block">y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) g(x)\,dx + C \right)</math> == မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Differential Equations) == [[ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း]] <math>n</math> ခုပါဝင်သော ပထမအဆင့် [[မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ်|မျဉ်းဖြောင့်စနစ်]] (first-order linear system) တစ်ခုကို ဗက်တာ-ကိန်းအုံ ပုံစံဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။ <math display="block">\mathbf{y}'(x) = A(x) \mathbf{y}(x) + \mathbf{b}(x)</math> ဤနေရာတွင် <math>A(x) \in C(I, \mathbb{R}^{n \times n})</math>၊ <math>\mathbf{b}(x) \in C(I, \mathbb{R}^n)</math> ဖြစ်ကြပြီး <math>\mathbf{y}(x)</math> သည် မသိဗက်တာဖန်ရှင် (unknown vector function) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ === အခြေခံကိန်းအုံ အဖြေများ (Fundamental Matrix Solutions) === [[ကိန်းအုံ|အခြေခံကိန်းအုံ]] (fundamental matrix) <math>U(x)</math> သည် <math>I</math> ပေါ်တွင် <math>\det U(x) \neq 0</math> နှင့်အတူ <math>U'(x) = A(x) U(x)</math> ကို ကျေနပ်စေသည်။ မူလအခြေအနေ (initial condition) <math>\mathbf{y}(x_0) = \mathbf{y}_0</math> ကို ကျေနပ်စေသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ (unique solution) မှာ <math display="block">\mathbf{y}(x) = U(x) U(x_0)^{-1} \mathbf{y}_0 + U(x) \int_{x_0}^x U(t)^{-1} \mathbf{b}(t)\,dt</math> ဖြစ်သည်။ <math>A</math> သည် ကိန်းသေကိန်းအုံ ဖြစ်သည့်အခါ [[ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်|ကိန်းအုံထပ်ကိန်းတင်ဖန်ရှင်]] (matrix exponential) ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြသော <math>U(x) = \exp(x A)</math> ဖြစ်ပြီး <math display="block">\exp(x A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k A^k}{k!}</math> ဟု အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုသည်။ အကယ်၍ <math>x \in I</math> အားလုံးအတွက် <math>A(x)</math> သည် ၎င်း၏ အင်တီဂရယ် <math>\int_{x_0}^x A(t)\,dt</math> နှင့် [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ|ဖလှယ်ရပြုနိုင်ပါက]] (commutes) <math>U(x) = \exp\left(\int_{x_0}^x A(t)\,dt\right)</math> ဖြစ်သည်။ အချင်းချင်း ဖလှယ်ရမပြုနိုင်သော ယေဘုယျ မြှောက်ဖော်ကိန်းကိန်းအုံများအတွက် <math>U(x)</math> သည် ဤသို့ ရိုးရှင်းသော ကိန်းသေပုံစံ ထပ်ကိန်းတင်အသွင်ဖြင့် မထွက်ပေါ်နိုင်သော်လည်း [[ကိန်းစဉ်တန်း|ပီယာနို-ဘိတ်ကာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Peano–Baker series) သို့မဟုတ် မက်ဂ်နပ်စ် ဖြန့်ထုတ်ချက် (Magnus expansion) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။<ref>Gershenfeld (1999), p. 110.</ref> == အထူးအတန်းအစားများ: ကော်ချီ-အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ နှင့် ဟိုလိုနိုမစ်ဖန်ရှင်များ (Special Classes: Cauchy–Euler Equations and Holonomic Functions) == === ကော်ချီ-အွိုင်လာ ညီမျှခြင်းများ (Cauchy–Euler Equations) === [[ညီမျှခြင်း|ကော်ချီ-အွိုင်လာ ညီမျှခြင်း]] (Cauchy–Euler equation) သည် အောက်ပါပုံစံရှိသော ညီမျှခြင်း ဖြစ်သည်။ <math display="block">\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{(i)}(x) = 0</math> <math>x > 0</math> အတွက် <math>x = e^t</math> ဟု အစားထိုးခြင်း (substitution) ပြုလုပ်ပါက ညီမျှခြင်းသည် <math>t</math> တွင် ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း (linear differential equation) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲသွားပြီး ၎င်း၏ အဖြေများကို မိုနိုမီရယ်များ (monomials) ဖြစ်ကြသော <math>x^r (\ln x)^k</math> များဖြင့် ဖြန့်ကျက်ဖွဲ့စည်းသည်။ === ကွာဒရာချာဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်စွမ်း နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Solvability in Quadratures and Differential Galois Theory) === ကိန်းရှင်မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းအားလုံး၏ အဖြေများကို အခြေခံဖန်ရှင်များ (elementary functions) နှင့် ထပ်ကျော့အင်တီဂရယ်များ သို့မဟုတ် ကွာဒရာချာများ (quadratures) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ခြင်း မရှိပေ။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (differential Galois theory) သို့မဟုတ် ပီကာ-ဗက်စီယို သီအိုရီ (Picard–Vessiot theory) သည် [[ဖီးလ်ဒ်|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဖီးလ်ဒ်]] (differential field) <math>K</math> ပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်းတစ်ခုနှင့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာအုပ်စု]]တစ်ခုကို တွဲဖက်ပေးသည်။ အဖြေများကို ကွာဒရာချာများ သို့မဟုတ် လီယူဗေးလ် ဖန်ရှင်များ (Liouvillian functions) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ [[ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု|ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂယ်လ်ဝါအုပ်စု၏]] ထပ်တူရအစိတ်အပိုင်း (identity component) သည် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|ဖြေရှင်းရအုပ်စု]] (solvable group) တစ်ခု ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။<ref>Ince (1956), p. 80.</ref> [[အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း|ကိုဗာဆစ်၏ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း]] (Kovacic's algorithm) သည် ရာရှင်နယ်မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော ဒုတိယအဆင့် မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် လီယူဗေးလ် အဖြေများ ရှိမရှိကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည်။ === ဟိုလိုနိုမစ် နှင့် D-အဆုံးရှိ ဖန်ရှင်များ (Holonomic and D-Finite Functions) === [[ဖန်ရှင်]] <math>f(x)</math> တစ်ခုသည် [[ပိုလီနိုမီရယ်|ပိုလီနိုမီရယ်မြှောက်ဖော်ကိန်းများ]]ပါရှိသော မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ်ညီမျှခြင်း <math display="block">p_n(x) f^{(n)}(x) + \dots + p_1(x) f'(x) + p_0(x) f(x) = 0</math> ကို ကျေနပ်စေပါက ထိုဖန်ရှင်ကို ဟိုလိုနိုမစ် ဖန်ရှင် (holonomic function) သို့မဟုတ် D-အဆုံးရှိ ဖန်ရှင် (D-finite function) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သာမန်အမှတ် (ordinary point) တစ်ခု၌ ဟိုလိုနိုမစ်ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ [[တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း]] (Taylor series) ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် ပိုလီနိုမီရယ်မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသော မျဉ်းဖြောင့်ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (linear recurrence relation) ကို ကျေနပ်စေသည့် [[ကိန်းစဉ်|ဟိုလိုနိုမစ်ကိန်းစဉ်]] (holonomic sequence) သို့မဟုတ် P-ထပ်ကျော့ကိန်းစဉ် (P-recursive sequence) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။<ref>Benoit et al. (2010), p. 25.</ref> == ကိုးကားများ (References) == <references /> * {{Citation |last1=Benoit |first1=Alexandre |last2=Chyzak |first2=Frédéric |last3=Darrasse |first3=Alexis |last4=Gerhold |first4=Stefan |last5=Mezzarobba |first5=Marc |last6=Salvy |first6=Bruno |title=The D-finite project |date=2010 |arxiv=1006.4104}} * {{Citation |last1=Birkhoff |first1=Garrett |last2=Rota |first2=Gian-Carlo |title=Ordinary Differential Equations |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=1978 |isbn=978-0-471-07411-3}} * {{Citation |last=Gershenfeld |first=Neil |title=The Nature of Mathematical Modeling |publisher=Cambridge University Press |date=1999 |isbn=978-0-521-57095-4}} * {{Citation |last=Ince |first=Edward L. |title=Ordinary Differential Equations |publisher=Dover Publications |date=1956 |isbn=978-0-486-60349-0}} * {{Citation |last=Robinson |first=James C. |title=An Introduction to Ordinary Differential Equations |publisher=Cambridge University Press |date=2004 |isbn=978-0-521-53391-1}} [[ကဏ္ဍ:ကဲကုလပ်]] oxf3hozvuxoojccssoug08nm1pl557j 0 293423 1060864 1060676 2026-10-31T13:47:52Z Ninjastrikers 22896 [[Scarlet Heart Thailand]] စာမျက်နှာကို [[Scarlet Heart Ullavee]] သို့ Ninjastrikersက ရွှေ့ခဲ့သည် 1060676 wikitext text/x-wiki {{Infobox television | image = Scarlet heart thailand official poster.jpg | image_size = | image_alt = | caption = Official series poster | alt_name = | native_name = {{Infobox name module | language = th | title = ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา}} | genre = {{ubl|[[Historical fiction]]|[[Fantasy]]|[[Romance film|Romance]]|[[Melodrama]]}} | creator = {{ubl|[[GMMTV]]|Nar-ra-tor}} | based_on = {{Based on|''[[Bu Bu Jing Xin (novel)|Bu Bu Jing Xin]]''|[[Tong Hua (writer)|Tong Hua]]}} | writer = | screenplay = {{ubl|Nuttiya Sirakornwilai|Muanfhun Chaonua|Chutimon Rachel|Phoutida Nosavan}} | story = [[Tong Hua (writer)|Tong Hua]] | director = Kanittha Kwanyu<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV 2024 PART 2 เปิดผัง 14 ซีรีส์ GMM ใหม่น่าจับตา ปี 2024 |url=https://www.sanook.com/movie/167339/ |access-date=2024-04-29 |language=th}}</ref> | creative_director = | starring = {{ubl|[[Tontawan Tantivejakul]]|[[Metawin Opas-iamkajorn]]}} | theme_music_composer = | open_theme = | end_theme = | composer = | country = Thailand | language = Thai | num_episodes = 18 | list_episodes = | executive_producer = {{ubl||Darapa Chaysanguan|[[Sataporn Panichraksapong]]}} | producer = Nattapong Mongkolsawat | location = Thailand | cinematography = | editor = | camera = | runtime = | company = {{ubl||The One Enterprise|[[GMMTV]]|Nar-ra-tor}} | network = [[One 31]] | first_aired = <!--Insert date after it had aired {{Start date|2026|11|04|df=y}}--> | last_aired = <!--present--> | related = {{ubl||''[[Scarlet Heart]]'' {{small|(2011: China)}}|''[[Moon Lovers: Scarlet Heart Ryeo]]'' {{small|(2016: South Korea)}}}} }} <templatestyles src="Reflist/styles.css" />'''"Scarlet Heart Myanmar"''' (ထိုင်းအမည်: ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา၊ အသံထွက်: ''ပါတီဟန် ခမ်း ကန်ဝေလာ''၊ တိုက်ရိုက်အဓိပ္ပာယ်: '''<nowiki/>'အချိန်ကျော်ဖြတ်လာသော အံ့ဖွယ်အမှု'''') သည် မင်းသမီး Tontawan Tantivejakul နှင့် မင်းသား Metawin Opas-iamkajorn တို့ အဓိကပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည့် မကြာမီထုတ်လွှင့်ပြသတော့မည့် ထိုင်းသမိုင်းနောက်ခံ စိတ်ကူးယဉ် (Historical fantasy) ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဇာတ်လမ်းတွဲသည် စာရေးဆရာမ Tong Hua ရေးသားခဲ့သည့် ၂၀၀၅ ခုနှစ်ထွက် တရုတ်ဝတ္ထု '''"Startling by Each Step"''' (တရုတ်အမည်: 步步驚心 - ပုပုကျင်းရှင်း) ကို အခြေခံ၍ ရိုက်ကူးထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဒါရိုက်တာ Kanittha Kwanyu က ရိုက်ကူးထားပြီး '''GMMTV''' နှင့် '''Nar-ra-tor''' ထုတ်လုပ်ရေးတို့မှ ပူးပေါင်းထုတ်လုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-04-23 |title=ขนลุก 'Moon Lovers' ซีรีส์เกาหลี รีเมคสู่ไทย 'Scarlet Heart Thailand' |url=https://www.komchadluek.net/entertainment/thai-entertainment/573485 |access-date=2024-05-13 |website=komchadluek |language=th}}</ref><ref>{{Cite web |title='GMMTV' จัดงาน 'GMMTV 2024 UP & ABOVE PART 2' เสิร์ฟเมกะคอนเทนต์บันเทิงที่เหนือกว่า พร้อมตอกย้ำความสำเร็จในระดับสากล |url=https://hitz.teroradio.com/news/67797 |access-date=2024-05-13 |website=hitz.teroradio.com |language=th |archive-url=https://web.archive.org/web/20240513144550/https://hitz.teroradio.com/news/67797 |archive-date=13 May 2024 |url-status=dead}}</ref> '''ဤဇာတ်လမ်းတွဲကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် One 31 ရုပ်သံလိုင်း၌ စတင်ပြသရန် စီစဉ်ထားပြီး''' ဗုဒ္ဓဟူးနေ့နှင့် ကြာသပတေးနေ့တိုင်း အာဆီယံစံတော်ချိန် (ICT) ည ၂၀:၃၀ နာရီတွင် ထုတ်လွှင့်ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် တစ်ရက်တည်းမှာပင် အာဆီယံစံတော်ချိန် (ICT) ည ၂၁:၄၅ နာရီတွင် OneD အပလီကေးရှင်း (App) မှတစ်ဆင့် အွန်လိုင်း streaming အနေဖြင့်လည်း ကြည့်ရှုနိုင်မည် ဖြစ်သည်။<ref name="mint-shth-tr">{{Cite web |date=2026-10-19 |title=ยกทัพนักแสดงดัง! เปิดเรื่องย่อ "Scarlet Heart Thailand ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา" ก่อนชมตอนแรก 4 พ.ย. นี้ |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-official-trailer |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20261019132034/https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-official-trailer |archive-date=2026-10-19 |access-date=2026-10-19 |website=[[Mint Magazine]] |language=th}}</ref> == ဇာတ်လမ်းအကျဉ်း == ဆန်းကြယ်လှသော အဖြစ်အပျက်များကြောင့် ခေတ်သစ်ကမ္ဘာမှ အမျိုးသမီးတစ်ဦးဖြစ်သူ '''နဘွန်း (Tontawan Tantivejakul)''' သည် အချိန်ခရီးသွားကာ ယူလာဗီ (Ullavee) မြို့မှ မျိုးရိုးမြင့်အမျိုးသမီးလေး '''ဖုန်နွမ်''' ၏ ခန္ဓာကိုယ်ထဲတွင် ရုတ်တရက် နိုးထလာခဲ့သည်။ သူမသည် ထိုရှေးခေတ်ကာလ၏ စိမ်းသက်လှသော ဓလေ့ထုံးတမ်းများနှင့် လူမှုရေးစံနှုန်းများကို ရုန်းကန်နေထိုင်ရင်း၊ ထီးနန်းစည်းစိမ်ကို မက်မောပြီး ပြိုင်ဆိုင်နေကြသည့် မင်းသားများအကြားက ပြင်းထန်သော အာဏာလုပွဲထဲသို့ ဝင်ပါမိသွားခဲ့သည်။ နန်းတွင်းလုပ်ကြံမှုများနှင့် မပြတ်ပြောင်းလဲနေသော အင်အားစုများအကြားတွင် သူမသည် မထင်မှတ်ဘဲ ထိုမင်းသားများ၏ ဆွဲဆောင်မှုအောက်သို့ ကျရောက်သွားခဲ့သည်။ မိမိပတ်ဝန်းကျင်တွင် ရှုပ်ထွေးမှုများနှင့် မရေရာမှုများ ရှိနေသော်လည်း သူမသည် ထိုမင်းသားများ၏ တည်ရှိမှုအပေါ် ပိုမိုစွဲလမ်းလာကာ၊ စတင်ပွင့်လန်းလာသော အချစ်ဇာတ်လမ်းနှင့် အန္တရာယ်များလှသော နိုင်ငံရေးလောကအကြားတွင် ဟန်ချက်ညီအောင် လျှောက်လှမ်းသွားရမည့် ဇာတ်လမ်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=จัดเต็มความปัง! เปิดไลน์อัพซีรีส์เรื่องใหม่ภายในงาน GMMTV 2024 UP&ABOVE PART2 |url=https://www.mintmagth.com/story/gmmtv-2024-upabove-part2-line-up-series-and-celebrity/ |access-date=2024-05-13 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref> == ပါဝင်သရုပ်ဆောင်သူများနှင့် ဇာတ်ကောင်များ == === အဓိကဇာတ်ဆောင်များ === * '''Tontawan Tantivejakul (Tu)''' - ဖုန်နွမ် (Fongnuan) / နဘွန်း (Naboon) အဖြစ်<ref>{{Cite web |author=The Beat Asia |title=Chinese Novel 'Scarlet Heart' Is Having a Thai Adaptation |url=https://thebeat.asia/bangkok/vibe/pop-culture/gmmtv-to-produce-a-star-studded-thai-remake-of-scarlet-heart |access-date=2024-05-13 |website=The Beat Bangkok |language=en}}</ref> * '''Metawin Opas-iamkajorn (Win)''' - မောင်းဖှာ (Mueang Fah) အဖြစ် * '''Korapat Kirdpan (Nanon)''' - ဆင်သပ် (Saen Thep) အဖြစ် * '''Tawan Vihokratana (Tay)''' - အိန်သရတ် (Intharach) အဖြစ် * '''Nattawat Jirochtikul (Fourth)''' - ချွန်းဟန် (Chom Han) အဖြစ် * '''Phuwin Tangsakyuen (Phuwin)''' - ဖှာဟမ် (Fah Ham) အဖြစ် * '''Tanapon Sukumpantanasan (Perth)''' - ကွန်ထိုင်း (Kong Thai) အဖြစ် * '''Jiratchapong Srisang (Force)''' - ဖာဝီယန် (Pha Wiang) အဖြစ် === ဇာတ်ရံများ === * '''Pansa Vosbein (Milk)''' - ဟုန်ခမ်း (Hong Kham) အဖြစ် * '''Chanikarn Tangkabodee (Prim)''' - ဘိုာဆိုင်း (Bua-sai) အဖြစ် * '''Nachcha Chuedang (Parn)''' - ဒေါင်ကဲ (Dao Kaew) အဖြစ် * '''Rutricha Phapakithi (Ciize)''' - လာ (Laa) / အီဗာ (Ava) အဖြစ် * '''Sarunchana Apisamaimongkol (Aye)''' - မနီတစ် (Maneethip) အဖြစ် * '''Songsit Roongnophakunsri (Kob)''' - ဘုရင် ဖယား ချိုင်း ဆင် လူး (King Phya Chai Saen Lue) အဖြစ် * '''Apasiri Nitibhon (Um)''' - မိဖုရား သုခန္ဓာ (Queen Su-khantha) အဖြစ် * '''Rasee Wacharapolmek (Organ)''' - မိဖုရား ချင်းလာအော (Queen Chiang La-or) အဖြစ် * '''Pitisak Yaowananont (Tae)''' - ဖရွန်ယာ - နန်းတွင်းဗေဒင်ဆရာ (Phrom-ya - Royal astrologer) အဖြစ် * '''Sueangsuda Lawanprasert (Namfon)''' - ဟုန်ချန်း (Hom Chan) အဖြစ် * '''Napasranch Mittiraroch (Tuck)''' - မောင်အင်း (Meun-in) အဖြစ် == တ်လုပ်ရေး == [[File:"Scarlet_Heart_Thailand"_cast_at_GMMTV's_2024_Up&Above_Part_2_event,_23_April_2024_03.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:%22Scarlet_Heart_Thailand%22_cast_at_GMMTV's_2024_Up&Above_Part_2_event,_23_April_2024_03.png|thumb|340x340px|၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့က ပြုလုပ်ခဲ့သော GMMTV ၏ 2024 Up&Above Part 2 ပွဲအခမ်းအနားမှ အဓိကသရုပ်ဆောင်များ၏ ပုံစံ။]] '''"Scarlet Heart Thailand"''' သည် "Startling by Each Step" ဝတ္ထုကို တတိယအကြိမ်မြောက် ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲအဖြစ် ပြန်လည်ဆန်းသစ်ရိုက်ကူးခြင်း ဖြစ်သည်။ ထိုဝတ္ထုကို ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် မင်းသမီး Cecilia Liu နှင့် မင်းသား Nicky Wu တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည့် တရုတ်ဇာတ်လမ်းတွဲ '''"Scarlet Heart"''' အဖြစ် ပထမဆုံးအကြိမ် ပုံဖော်ခဲ့ပြီး၊ နောက်ပိုင်း ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် မင်းသမီး Lee Ji-eun (IU) နှင့် မင်းသား Lee Joon-gi တို့ ပါဝင်သည့် တောင်ကိုရီးယားဇာတ်လမ်းတွဲ '''"Moon Lovers: Scarlet Heart Ryeo"''' အဖြစ် ဒုတိယအကြိမ် ပြန်လည်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ ထိုင်းဗားရှင်း ပြန်လည်ရိုက်ကူးမည့်အကြောင်းကို ၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့က Union Mall<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=เตรียมขอบตาให้พร้อม! เปิดโผซีรีส์สุดปัง GMM TV PART 2 ครบรสทั้งฮาและตับพัง |url=https://www.daradaily.com/news/137396/read |access-date=2024-05-13 |website=www.daradaily.com}}</ref> ရှိ Union Hall တွင် ကျင်းပခဲ့သည့် လီးဘဲ'''TV Up & Above Part 2''' ပွဲအခမ်းအနား၌ တရားဝင်ကြေညာခဲ့ပြီး၊ ထိုပွဲတွင် အဓိကသရုပ်ဆောင်စာရင်းနှင့် တစ်မိနစ်စာ ပဏာမဗီဒီယို (Trailer) ကိုပါ ထုတ်ဖော်ပြသခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV announces Thai adaptation of hit novel 'Scarlet Heart' |url=https://dzrh.com.ph/post/'scarlet-heart'-is-getting-thai-adaptation! |access-date=2024-04-27 |website=DZRH News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV announces Thai adaptation of hit novel 'Scarlet Heart' |url=https://dzrh.com.ph/post/'scarlet-heart'-is-getting-thai-adaptation! |access-date=2024-04-27 |website=DZRH News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=Moon Lovers รีเมค? Scarlet Heart Thailand อิงนิยายต้นฉบับ เตรียมปังตามเวอร์ชั่น จีน-เกาหลี |url=https://www.sanook.com/movie/167343/ |access-date=2024-04-29 |language=th}}</ref> ထိုနှစ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဇာတ်ကားမရိုက်ကူးမီ ကြိုတင်ပြင်ဆင်မှု (Pre-production) လုပ်ငန်းများကို စတင်ခဲ့ပြီး၊ စက်တင်ဘာလတွင် သရုပ်ဆောင်များသည် ၎င်းတို့၏ ဇာတ်ကောင်နေရာများအတွက် ပြင်ဆင်သည့်အနေဖြင့် မြင်းစီးခြင်း၊ မြားပစ်ခြင်း၊ ရိုးရာအကနှင့် ဓားသိုင်းပညာရပ်များကို သင်ကြားလေ့ကျင့်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |title=Scarlet Heart training. day 1 |url=https://x.com/phuwintang/status/1836276086650577376 |website=Phuwintang}}</ref><ref>{{Cite web |title=๑๘.๐๙.๒๕๖๗ 𓆸 |url=https://x.com/ScarletHeartTH/status/1836318081557369136 |website=Scarlet Heart Thailand}}</ref><ref>{{Cite web |title=His Highness, His Highness, is with you |url=https://x.com/Tawan_V/status/1836305249516376541 |website=Tawan_V}}</ref><ref>{{Cite web |title=วันนี้มาเกือบครบขาดเด็จน้องภูวินคนเดียว ไม่เป็นไรตัดแปะเรียบร้อย ไม่อ่อม ๆ เอนเนอจี้ ๆ ๆ #ScarletHeartTH |url=https://x.com/fforcejs/status/1846855717036478592 |website=fforcejs}}</ref> ဇာတ်ညွှန်း ပထမဆုံးအကြိမ် အတူတကွဖတ်ရှုခြင်း (Script read-through) ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ မေလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး<ref>{{Cite web |title=เริ่มเลย! เหล่านักแสดง Scarlet Heart Thailand ส่งภาพแรกรวมตัวครบทุกคน |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-first-pic-gmmtv-2024-part-2/ |access-date=2025-05-20 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref>၊ အဓိကရုပ်ရှင်ရိုက်ကူးရေးလုပ်ငန်းများ (Principal photography) ကိုမူ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၂၆ ရက်နေ့တွင် စတင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=เปิดกล้อง! Scarlet Heart Thailand พร้อมสามนักแสดงนำ 'ตู-นนน-เพิร์ธ' เดินหน้าถ่ายทำคิวแรกเรียบร้อย |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-tu-nanon-perth/ |access-date=2025-08-27 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-08-27 |title=ในที่สุด! “นนน - ตู - เพิร์ธ” เปิดกล้องQ1 โปรเจ็คท์ “Scarlet Heart Thailand” แล้ว |url=https://www.daradaily.com/news/153750/read |access-date=2025-08-27 |website=www.daradaily.com}}</ref> == ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အငြင်းပွားမှု == GMMTV မှ ထုတ်လုပ်သည့် ထိုင်းရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ '''"Scarlet Heart Thailand"''' ၏ တရားဝင်နမူနာဗီဒီယို (Trailer) နှင့် ပရိုမိုးရှင်းဓာတ်ပုံများ ထွက်ရှိလာပြီးနောက်၊ မြန်မာပရိသတ်များအကြား ဝေဖန်မှုများနှင့် အငြင်းပွားမှုများ ပြင်းထန်စွာ ထွက်ပေါ်ခဲ့သည်။ ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် အသုံးပြုထားသော ဝတ်စုံဒီဇိုင်းများနှင့် ကပြဖျော်ဖြေမှုများသည် မြန်မာ့သမိုင်းဝင် ကုန်းဘောင်ခေတ်နှင့် ရတနာပုံခေတ်တို့၏ နန်းတွင်းဝတ်စုံများ၊ သတ်မှတ်ချက်များနှင့်လည်းကောင်း၊ မြန်မာ့ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အကနှင့်လည်းကောင်း များစွာဆင်တူနေသည့်အတွက် ဝေဖန်ခံခဲ့ရခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပုံစံချင်း ဆင်တူနေသောကြောင့် မြန်မာကြည့်ရှုသူများအကြား ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ကိုယ်စားပြုမှုနှင့် အနုပညာအမွေအနှစ် ပိုင်ဆိုင်မှုဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များနှင့် ပတ်သက်၍ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ဆွေးနွေးငြင်းခုံမှုများ ဖြစ်ပွားစေခဲ့သည်။<ref name="eleven">{{cite news |title=Calls for objection as Thai Series Scarlet Heart Thailand allegedly features Myanmar traditional costume and Rakhine oil-lamp dance as Thai cultural elements |url=https://elevenmyanmar.com/news/calls-for-objection-as-thai-series-scarlet-heart-thailand-allegedly-features-myanmar |publisher=Eleven Media Group}}</ref> === မြန်မာပရိသတ်များ၏ ဝေဖန်မှုနှင့် တောင်းဆိုချက်များ === မြန်မာကြည့်ရှုသူများက ဤဇာတ်လမ်းတွဲ၏ နမူနာဗီဒီယို (Trailer) များတွင် ပါဝင်သော အမျိုးသမီးဇာတ်ဆောင်အချို့၏ ဝတ်စုံများသည် မြန်မာ့ရိုးရာ နန်းတွင်းဝတ်စုံများ၊ အထူးသဖြင့် '''ထိုင်မသိမ်းအင်္ကျီများနှင့် ပုခုံးဖောင်းဝတ်စုံဒီဇိုင်းများ'''နှင့် ဆင်တူနေကြောင်း ထောက်ပြခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ဇာတ်လမ်းတွဲထဲမှ ကပြဖျော်ဖြေမှုအချို့သည် မြန်မာ့ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အက၊ အထူးသဖြင့် ဗုဒ္ဓဘာသာပွဲတော်များတွင် ကပြလေ့ရှိသည့် '''ရခိုင်ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အက'''နှင့် အလွန်အမင်း တူညီနေသည့်အတွက် ဝေဖန်ခဲ့ကြသည်။​ပြီးနောက် မြန်နိုင်ငံမှ အမှတ်အသားများဖြစ်သော ဗျာလ၊ပုသိမ်ထီး၊​ဗမာဒေါင်းတံဆိပ်အမှတ်အသားများလည်း တွေ့မြင်ရသည်။<ref name="CJ">{{cite news |date=2026-10-20 |title=Scarlet Heart Thailand ဇာတ်လမ်းတွဲက ဝတ်စုံနဲ့ အကတွေ မြန်မာ့ကုန်းဘောင်ခေတ် ယဉ်ကျေးမှုနဲ့ ဆင်တူနေလို့ ရှင်းလင်းချက်တောင်းဆို |url=https://cjplatform.com/23102026-3/ |publisher=CJ Platform}}</ref> နိုင်ငံတကာ ကြည့်ရှုသူများအနေဖြင့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်များကို ထိုင်းရိုးရာစစ်စစ်များအဖြစ် မှားယွင်းမှတ်ယူသွားမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် မြန်မာပရိသတ်များက ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် အသုံးပြုထားသည့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာအချက်အလက်များ၏ မူလမြစ်ဖျားခံရာကို ရှင်းလင်းစွာ အသိအမှတ်ပြုပေးရန်နှင့် တရားဝင် ရှင်းလင်းချက်ထုတ်ပြန်ပေးရန် GMMTV ကို တောင်းဆိုခဲ့ကြသည်။'''၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၀ ရက်နေ့'''တွင် '''DatarrX Foundation'''<ref>{{Cite web |last=Thun |first=Ngwe Yan |date=2026-10-25 |title=Scarlet Heart Thailand: Ullavee Was Never The Problem |url=https://cinemaboulevard.org/en/articles/scarlet-heart-thailand/ |access-date=2026-10-26 |website=Cinema Boulevard |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=DatarrX Foundation |first= |date=2026-10-20 |title=မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်များကို ကာကွယ်ရန် ပထမအဆင့် ကန့်ကွက်လှုပ်ရှားမှု စတင်ခြင်း |url=https://datarrx.org/blog/cultural-preservation-petition/ |access-date=2026-10-26 |website=DatarrX |language=en}}</ref> မှ မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ကို အသိအမှတ်ပြုစေရန် အွန်လိုင်းမှတစ်ဆင့် လက်မှတ်ရေးထိုးတောင်းဆိုမှု (Online petition) တစ်ခုကို စတင်ပြုလုပ်ခဲ့ရာ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၃ ရက်နေ့အထိ လက်မှတ်ရေးထိုးသူ ပေါင်း ၃၄,၀၀၀ ကျော် ရရှိခဲ့ပြီး၊ '''အောက်တိုဘာလ ၂၇ ရက်နေ့တွင်မူ လက်မှတ်ရေးထိုးသူပေါင်း ၄၃,၀၀၀ ကျော်အထိ တိုးတက်များပြားလာခဲ့သည်။'''<ref>{{cite news |date=2026-10-23 |title=မြန်မာ့ရိုးရာဝတ်စုံနှင့် ယဉ်ကျေးမှုကို မှီငြမ်းခဲ့ဟု GMMTV ဝန်ခံပြီး တရားဝင် တောင်းပန် |url=https://burmese.dvb.no/post/787602 |publisher=DVB Burmese}}</ref><ref>{{Cite web |date=2026-10-22 |title=ពលរដ្ឋមីយ៉ាន់ម៉ាជាច្រើន រិះគន់ក្រុមហ៊ុន GMMTV របស់ថៃ - សុីសុីថាមស៍ |url=https://kh.cc-times.com/posts/31629 |access-date=2026-10-26 |website=The Cambodia China Times |language=km}}</ref> [[ဖိုင်:Scarlet Heart Thailand Petition 27Oct2026.jpg|alt=Change.org ဝဘ်ဆိုက်စာမျက်နှာ၏ ကွန်ပျူတာမြင်ကွင်းဖြစ်ပြီး "GMMTV - Recognize Myanmar's Cultural Heritage in Scarlet Heart Thailand" ဟု ရေးသားထားသော ခေါင်းစဉ်နှင့်အတူ "43,120 signatures" ဟူသော လက်မှတ်အရေအတွက်နှင့် DatarrX Foundation ၏ အမည်ကို ပြသနေသည့် ပုံရိပ်တို။|center|thumb|''Scarlet Heart Thailand'' ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု ထည့်သွင်းထားမှုကို အသိအမှတ်ပြုရန် တောင်းဆိုသည့် Change org လက်မှတ်ရေးထိုးပွဲ၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၇ ရက်နေ့အထိ လက်မှတ်ပေါင်း ၄၃,၀၀၀ ကျော် ရရှိထားစဉ်။]] === GMMTV ၏ တရားဝင်ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် တောင်းပန်မှု === ဝေဖန်မှုများ တိုးပွားလာပြီးနောက် GMMTV ထုတ်လုပ်ရေး ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်တစ်ရပ် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၎င်းထုတ်ပြန်ချက်တွင် ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ဖော်ပြထားသော ယူလာဗီ (Ullavee) မြို့သည် လုံးဝစိတ်ကူးယဉ်မြို့ (Fictional city) မျှသာဖြစ်ကြောင်း ထုတ်လုပ်ရေး ကုမ္ပဏီက ရှင်းလင်းထားသည်။ ဇာတ်လမ်းတွဲပါ ဝတ်စုံများနှင့် အနုပညာမြောက် ဒီဇိုင်းများသည် ထိုင်းနိုင်ငံမြောက်ပိုင်း၏ လန်နာ (Lanna) ယဉ်ကျေးမှု၊ တိုင်းရင်းသား မျိုးနွယ်စုများ (Tai ethnic) ၏ ယဉ်ကျေးမှု၊ တရုတ်ယဉ်ကျေးမှုနှင့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အနုပညာ အမွေအနှစ်များ အပါအဝင် ယဉ်ကျေးမှု ဓလေ့ထုံးတမ်း အမြောက်အမြားကို ပေါင်းစပ်ကာ စိတ်ကူးစိတ်သန်း (Inspiration) ယူ၍ ဖန်တီးထားခြင်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။<ref name="Khaso">{{cite news |date= |title=GMMTV SAYS ‘SCARLET HEART THAILAND’ COSTUMES DRAW FROM MULTIPLE CULTURES |url=https://www.khaosodenglish.com/featured/2026/10/23/gmmtv-says-scarlet-heart-thailand-costumes-draw-from-multiple-cultures/ |publisher=Khaosodenglish}}</ref> GMMTV က ၎င်းတို့အနေဖြင့် ဇာတ်လမ်းတွဲပါ အစိတ်အပိုင်းအားလုံးကို ထိုင်းယဉ်ကျေးမှုတစ်ခုတည်းကိုသာ ကိုယ်စားပြုသည့် ပုံစံမျိုးဖြင့် ပုံဖော်ရန် မည်သည့်ရည်ရွယ်ချက်မျှ မရှိခဲ့ကြောင်း ထပ်လောင်းအတည်ပြု ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီအနေဖြင့် ယဉ်ကျေးမှုတစ်ခုချင်းစီ၏ တန်ဖိုးနှင့် မူလမြစ်ဖျားခံရာများကို အလေးအနက်ထား လေးစားကြောင်း အလေးပေးပြောဆိုခဲ့ပြီး၊ ဇာတ်လမ်းတွဲတွင်း ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုများကြောင့် ပရိသတ်များအကြား စိုးရိမ်ပူပန်မှုများနှင့် စိတ်အနှောင့်အယှက် ဖြစ်စေခဲ့ရမှုများအတွက် တောင်းပန်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="eleven" /> == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}}<templatestyles src="Module:Side box/styles.css"></templatestyles> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{Commons category}}{{GMMTV ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ|state=expanded}} * {{twitter|ScarletHeartTH}} * {{IMDb title|32203879|Scarlet Heart Thailand}} [[ကဏ္ဍ:GMMTV ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:တရုတ်ဘာသာစကား ပါဝင်သော ဆောင်းပါးများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်းဘာသာစကား ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်း ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်း ဖျော်ဖြေရေးသမားများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] kwnyzqsam7g7effp8px5pp8u0kj6mqv 1060870 1060864 2026-10-31T13:53:15Z Ninjastrikers 22896 1060870 wikitext text/x-wiki {{retaining title}} {{rough translation}} {{Infobox television | image = | image_size = | image_alt = | caption = Official series poster | alt_name = | native_name = {{Infobox name module | language = th | title = ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา}} | genre = {{ubl|[[Historical fiction]]|[[Fantasy]]|[[Romance film|Romance]]|[[Melodrama]]}} | creator = {{ubl|[[GMMTV]]|Nar-ra-tor}} | based_on = {{Based on|''[[Bu Bu Jing Xin (novel)|Bu Bu Jing Xin]]''|[[Tong Hua (writer)|Tong Hua]]}} | writer = | screenplay = {{ubl|Nuttiya Sirakornwilai|Muanfhun Chaonua|Chutimon Rachel|Phoutida Nosavan}} | story = [[Tong Hua (writer)|Tong Hua]] | director = Kanittha Kwanyu<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV 2024 PART 2 เปิดผัง 14 ซีรีส์ GMM ใหม่น่าจับตา ปี 2024 |url=https://www.sanook.com/movie/167339/ |access-date=2024-04-29 |language=th}}</ref> | creative_director = | starring = {{ubl|[[Tontawan Tantivejakul]]|[[Metawin Opas-iamkajorn]]}} | theme_music_composer = | open_theme = | end_theme = | composer = | country = Thailand | language = Thai | num_episodes = 18 | list_episodes = | executive_producer = {{ubl||Darapa Chaysanguan|[[Sataporn Panichraksapong]]}} | producer = Nattapong Mongkolsawat | location = Thailand | cinematography = | editor = | camera = | runtime = | company = {{ubl||The One Enterprise|[[GMMTV]]|Nar-ra-tor}} | network = [[One 31]] | first_aired = <!--Insert date after it had aired {{Start date|2026|11|04|df=y}}--> | last_aired = <!--present--> | related = {{ubl||''[[Scarlet Heart]]'' {{small|(2011: China)}}|''[[Moon Lovers: Scarlet Heart Ryeo]]'' {{small|(2016: South Korea)}}}} }} '''''Scarlet Heart Ullavee''''' ({{langx|th|ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา}}, {{RTGS|''Patihan Kham Kanwela''}}, {{lit|အချိန်ကျော်ဖြတ်လာသော အံ့ဖွယ်အမှု}}) သည် မင်းသမီး Tontawan Tantivejakul နှင့် မင်းသား Metawin Opas-iamkajorn တို့ အဓိကပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည့် မကြာမီထုတ်လွှင့်ပြသတော့မည့် ထိုင်းသမိုင်းနောက်ခံ စိတ်ကူးယဉ် ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဇာတ်လမ်းတွဲသည် စာရေးဆရာမ Tong Hua ရေးသားခဲ့သည့် ၂၀၀၅ ခုနှစ်ထွက် တရုတ်ဝတ္ထု '''Startling by Each Step''' ({{lang-zh|步步驚心}}) ကို အခြေခံ၍ ရိုက်ကူးထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဒါရိုက်တာ Kanittha Kwanyu က ရိုက်ကူးထားပြီး '''GMMTV''' နှင့် '''Nar-ra-tor''' ထုတ်လုပ်ရေးတို့မှ ပူးပေါင်းထုတ်လုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-04-23 |title=ขนลุก 'Moon Lovers' ซีรีส์เกาหลี รีเมคสู่ไทย 'Scarlet Heart Thailand' |url=https://www.komchadluek.net/entertainment/thai-entertainment/573485 |access-date=2024-05-13 |website=komchadluek |language=th}}</ref><ref>{{Cite web |title='GMMTV' จัดงาน 'GMMTV 2024 UP & ABOVE PART 2' เสิร์ฟเมกะคอนเทนต์บันเทิงที่เหนือกว่า พร้อมตอกย้ำความสำเร็จในระดับสากล |url=https://hitz.teroradio.com/news/67797 |access-date=2024-05-13 |website=hitz.teroradio.com |language=th |archive-url=https://web.archive.org/web/20240513144550/https://hitz.teroradio.com/news/67797 |archive-date=13 May 2024 |url-status=dead}}</ref> ဤဇာတ်လမ်းတွဲကို ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၄ ရက်နေ့တွင် One 31 ရုပ်သံလိုင်း၌ စတင်ပြသရန် စီစဉ်ထားပြီး ဗုဒ္ဓဟူးနေ့နှင့် ကြာသပတေးနေ့တိုင်း အာဆီယံစံတော်ချိန် (ICT) ည ၂၀:၃၀ နာရီတွင် ထုတ်လွှင့်ပြသသွားမည် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် တစ်ရက်တည်းမှာပင် အာဆီယံစံတော်ချိန် (ICT) ည ၂၁:၄၅ နာရီတွင် OneD အပလီကေးရှင်း (App) မှတစ်ဆင့် အွန်လိုင်း streaming အနေဖြင့်လည်း ကြည့်ရှုနိုင်မည် ဖြစ်သည်။<ref name="mint-shth-tr">{{Cite web |date=2026-10-19 |title=ยกทัพนักแสดงดัง! เปิดเรื่องย่อ "Scarlet Heart Thailand ปาฏิหาริย์ข้ามกาลเวลา" ก่อนชมตอนแรก 4 พ.ย. นี้ |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-official-trailer |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20261019132034/https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-official-trailer |archive-date=2026-10-19 |access-date=2026-10-19 |website=[[Mint Magazine]] |language=th}}</ref> == ဇာတ်လမ်းအကျဉ်း == ဆန်းကြယ်လှသော အဖြစ်အပျက်များကြောင့် ခေတ်သစ်ကမ္ဘာမှ အမျိုးသမီးတစ်ဦးဖြစ်သူ နဘွန်း (Tontawan Tantivejakul) သည် အချိန်ခရီးသွားကာ ယူလာဗီ (Ullavee) မြို့မှ မျိုးရိုးမြင့်အမျိုးသမီးလေး ဖုန်နွမ် ၏ ခန္ဓာကိုယ်ထဲတွင် ရုတ်တရက် နိုးထလာခဲ့သည်။ သူမသည် ထိုရှေးခေတ်ကာလ၏ စိမ်းသက်လှသော ဓလေ့ထုံးတမ်းများနှင့် လူမှုရေးစံနှုန်းများကို ရုန်းကန်နေထိုင်ရင်း၊ ထီးနန်းစည်းစိမ်ကို မက်မောပြီး ပြိုင်ဆိုင်နေကြသည့် မင်းသားများအကြားက ပြင်းထန်သော အာဏာလုပွဲထဲသို့ ဝင်ပါမိသွားခဲ့သည်။ နန်းတွင်းလုပ်ကြံမှုများနှင့် မပြတ်ပြောင်းလဲနေသော အင်အားစုများအကြားတွင် သူမသည် မထင်မှတ်ဘဲ ထိုမင်းသားများ၏ ဆွဲဆောင်မှုအောက်သို့ ကျရောက်သွားခဲ့သည်။ မိမိပတ်ဝန်းကျင်တွင် ရှုပ်ထွေးမှုများနှင့် မရေရာမှုများ ရှိနေသော်လည်း သူမသည် ထိုမင်းသားများ၏ တည်ရှိမှုအပေါ် ပိုမိုစွဲလမ်းလာကာ၊ စတင်ပွင့်လန်းလာသော အချစ်ဇာတ်လမ်းနှင့် အန္တရာယ်များလှသော နိုင်ငံရေးလောကအကြားတွင် ဟန်ချက်ညီအောင် လျှောက်လှမ်းသွားရမည့် ဇာတ်လမ်းဖြစ်သည်။<ref>{{Cite web |title=จัดเต็มความปัง! เปิดไลน์อัพซีรีส์เรื่องใหม่ภายในงาน GMMTV 2024 UP&ABOVE PART2 |url=https://www.mintmagth.com/story/gmmtv-2024-upabove-part2-line-up-series-and-celebrity/ |access-date=2024-05-13 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref> == ပါဝင်သရုပ်ဆောင်သူများနှင့် ဇာတ်ကောင်များ == === အဓိကဇာတ်ဆောင်များ === * Tontawan Tantivejakul (Tu) - ဖုန်နွမ် (Fongnuan) / နဘွန်း (Naboon) အဖြစ်<ref>{{Cite web |author=The Beat Asia |title=Chinese Novel 'Scarlet Heart' Is Having a Thai Adaptation |url=https://thebeat.asia/bangkok/vibe/pop-culture/gmmtv-to-produce-a-star-studded-thai-remake-of-scarlet-heart |access-date=2024-05-13 |website=The Beat Bangkok |language=en}}</ref> * Metawin Opas-iamkajorn (Win) - မောင်းဖှာ (Mueang Fah) အဖြစ် * Korapat Kirdpan (Nanon) - ဆင်သပ် (Saen Thep) အဖြစ် * Tawan Vihokratana (Tay) - အိန်သရတ် (Intharach) အဖြစ် * Nattawat Jirochtikul (Fourth) - ချွန်းဟန် (Chom Han) အဖြစ် * Phuwin Tangsakyuen (Phuwin) - ဖှာဟမ် (Fah Ham) အဖြစ် * Tanapon Sukumpantanasan (Perth) - ကွန်ထိုင်း (Kong Thai) အဖြစ် * Jiratchapong Srisang (Force) - ဖာဝီယန် (Pha Wiang) အဖြစ် === ဇာတ်ရံများ === * Pansa Vosbein (Milk) - ဟုန်ခမ်း (Hong Kham) အဖြစ် * Chanikarn Tangkabodee (Prim) - ဘိုာဆိုင်း (Bua-sai) အဖြစ် * Nachcha Chuedang (Parn) - ဒေါင်ကဲ (Dao Kaew) အဖြစ် * Rutricha Phapakithi (Ciize) - လာ (Laa) / အီဗာ (Ava) အဖြစ် * Sarunchana Apisamaimongkol (Aye) - မနီတစ် (Maneethip) အဖြစ် * Songsit Roongnophakunsri (Kob) - ဘုရင် ဖယား ချိုင်း ဆင် လူး (King Phya Chai Saen Lue) အဖြစ် * Apasiri Nitibhon (Um) - မိဖုရား သုခန္ဓာ (Queen Su-khantha) အဖြစ် * Rasee Wacharapolmek (Organ) - မိဖုရား ချင်းလာအော (Queen Chiang La-or) အဖြစ် * Pitisak Yaowananont (Tae) - ဖရွန်ယာ - နန်းတွင်းဗေဒင်ဆရာ (Phrom-ya - Royal astrologer) အဖြစ် * Sueangsuda Lawanprasert (Namfon) - ဟုန်ချန်း (Hom Chan) အဖြစ် * Napasranch Mittiraroch (Tuck) - မောင်အင်း (Meun-in) အဖြစ် == တ်လုပ်ရေး == [[File:"Scarlet_Heart_Thailand"_cast_at_GMMTV's_2024_Up&Above_Part_2_event,_23_April_2024_03.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:%22Scarlet_Heart_Thailand%22_cast_at_GMMTV's_2024_Up&Above_Part_2_event,_23_April_2024_03.png|thumb|340x340px|၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့က ပြုလုပ်ခဲ့သော GMMTV ၏ 2024 Up&Above Part 2 ပွဲအခမ်းအနားမှ အဓိကသရုပ်ဆောင်များ၏ ပုံစံ။]] '''''Scarlet Heart Thailand''''' သည် "Startling by Each Step" ဝတ္ထုကို တတိယအကြိမ်မြောက် ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲအဖြစ် ပြန်လည်ဆန်းသစ်ရိုက်ကူးခြင်း ဖြစ်သည်။ ထိုဝတ္ထုကို ၂၀၁၁ ခုနှစ်တွင် မင်းသမီး Cecilia Liu နှင့် မင်းသား Nicky Wu တို့ ပါဝင်သရုပ်ဆောင်ထားသည့် တရုတ်ဇာတ်လမ်းတွဲ ''Scarlet Heart'' အဖြစ် ပထမဆုံးအကြိမ် ပုံဖော်ခဲ့ပြီး၊ နောက်ပိုင်း ၂၀၁၆ ခုနှစ်တွင် မင်းသမီး Lee Ji-eun (IU) နှင့် မင်းသား Lee Joon-gi တို့ ပါဝင်သည့် တောင်ကိုရီးယားဇာတ်လမ်းတွဲ ''Moon Lovers: Scarlet Heart Ryeo'' အဖြစ် ဒုတိယအကြိမ် ပြန်လည်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။ ထိုင်းဗားရှင်း ပြန်လည်ရိုက်ကူးမည့်အကြောင်းကို ၂၀၂၄ ခုနှစ်၊ ဧပြီလ ၂၃ ရက်နေ့က Union Mall<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=เตรียมขอบตาให้พร้อม! เปิดโผซีรีส์สุดปัง GMM TV PART 2 ครบรสทั้งฮาและตับพัง |url=https://www.daradaily.com/news/137396/read |access-date=2024-05-13 |website=www.daradaily.com}}</ref> ရှိ Union Hall တွင် ကျင်းပခဲ့သည့် TV Up & Above Part 2 ပွဲအခမ်းအနား၌ တရားဝင်ကြေညာခဲ့ပြီး၊ ထိုပွဲတွင် အဓိကသရုပ်ဆောင်စာရင်းနှင့် တစ်မိနစ်စာ ပဏာမဗီဒီယို (Trailer) ကိုပါ ထုတ်ဖော်ပြသခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV announces Thai adaptation of hit novel 'Scarlet Heart' |url=https://dzrh.com.ph/post/'scarlet-heart'-is-getting-thai-adaptation! |access-date=2024-04-27 |website=DZRH News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=GMMTV announces Thai adaptation of hit novel 'Scarlet Heart' |url=https://dzrh.com.ph/post/'scarlet-heart'-is-getting-thai-adaptation! |access-date=2024-04-27 |website=DZRH News |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |date=2024-04-24 |title=Moon Lovers รีเมค? Scarlet Heart Thailand อิงนิยายต้นฉบับ เตรียมปังตามเวอร์ชั่น จีน-เกาหลี |url=https://www.sanook.com/movie/167343/ |access-date=2024-04-29 |language=th}}</ref> ထိုနှစ်နှောင်းပိုင်းတွင် ဇာတ်ကားမရိုက်ကူးမီ ကြိုတင်ပြင်ဆင်မှုလုပ်ငန်းများကို စတင်ခဲ့ပြီး၊ စက်တင်ဘာလတွင် သရုပ်ဆောင်များသည် ၎င်းတို့၏ ဇာတ်ကောင်နေရာများအတွက် ပြင်ဆင်သည့်အနေဖြင့် မြင်းစီးခြင်း၊ မြားပစ်ခြင်း၊ ရိုးရာအကနှင့် ဓားသိုင်းပညာရပ်များကို သင်ကြားလေ့ကျင့်ခဲ့ကြသည်။<ref>{{Cite web |title=Scarlet Heart training. day 1 |url=https://x.com/phuwintang/status/1836276086650577376 |website=Phuwintang}}</ref><ref>{{Cite web |title=๑๘.๐๙.๒๕๖๗ 𓆸 |url=https://x.com/ScarletHeartTH/status/1836318081557369136 |website=Scarlet Heart Thailand}}</ref><ref>{{Cite web |title=His Highness, His Highness, is with you |url=https://x.com/Tawan_V/status/1836305249516376541 |website=Tawan_V}}</ref><ref>{{Cite web |title=วันนี้มาเกือบครบขาดเด็จน้องภูวินคนเดียว ไม่เป็นไรตัดแปะเรียบร้อย ไม่อ่อม ๆ เอนเนอจี้ ๆ ๆ #ScarletHeartTH |url=https://x.com/fforcejs/status/1846855717036478592 |website=fforcejs}}</ref> ဇာတ်ညွှန်း ပထမဆုံးအကြိမ် အတူတကွဖတ်ရှုခြင်း (Script read-through) ကို ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ မေလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး<ref>{{Cite web |title=เริ่มเลย! เหล่านักแสดง Scarlet Heart Thailand ส่งภาพแรกรวมตัวครบทุกคน |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-first-pic-gmmtv-2024-part-2/ |access-date=2025-05-20 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref>၊ အဓိကရုပ်ရှင်ရိုက်ကူးရေးလုပ်ငန်းများ (Principal photography) ကိုမူ ၂၀၂၅ ခုနှစ်၊ ဩဂုတ်လ ၂၆ ရက်နေ့တွင် စတင်ခဲ့သည်။<ref>{{Cite web |title=เปิดกล้อง! Scarlet Heart Thailand พร้อมสามนักแสดงนำ 'ตู-นนน-เพิร์ธ' เดินหน้าถ่ายทำคิวแรกเรียบร้อย |url=https://www.mintmagth.com/story/scarlet-heart-thailand-tu-nanon-perth/ |access-date=2025-08-27 |website=Mint Magazine Thailand |language=th}}</ref><ref>{{Cite web |date=2025-08-27 |title=ในที่สุด! “นนน - ตู - เพิร์ธ” เปิดกล้องQ1 โปรเจ็คท์ “Scarlet Heart Thailand” แล้ว |url=https://www.daradaily.com/news/153750/read |access-date=2025-08-27 |website=www.daradaily.com}}</ref> == ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အငြင်းပွားမှု == GMMTV မှ ထုတ်လုပ်သည့် ထိုင်းရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲ ''Scarlet Heart Thailand'' ၏ တရားဝင်နမူနာဗီဒီယိုနှင့် ပရိုမိုးရှင်းဓာတ်ပုံများ ထွက်ရှိလာပြီးနောက်၊ မြန်မာပရိသတ်များအကြား ဝေဖန်မှုများနှင့် အငြင်းပွားမှုများ ပြင်းထန်စွာ ထွက်ပေါ်ခဲ့သည်။ ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် အသုံးပြုထားသော ဝတ်စုံဒီဇိုင်းများနှင့် ကပြဖျော်ဖြေမှုများသည် မြန်မာ့သမိုင်းဝင် ကုန်းဘောင်ခေတ်နှင့် ရတနာပုံခေတ်တို့၏ နန်းတွင်းဝတ်စုံများ၊ သတ်မှတ်ချက်များနှင့်လည်းကောင်း၊ မြန်မာ့ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အကနှင့်လည်းကောင်း များစွာဆင်တူနေသည့်အတွက် ဝေဖန်ခံခဲ့ရခြင်း ဖြစ်သည်။ ဤသို့ ပုံစံချင်း ဆင်တူနေသောကြောင့် မြန်မာကြည့်ရှုသူများအကြား ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ကိုယ်စားပြုမှုနှင့် အနုပညာအမွေအနှစ် ပိုင်ဆိုင်မှုဆိုင်ရာ ကိစ္စရပ်များနှင့် ပတ်သက်၍ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ဆွေးနွေးငြင်းခုံမှုများ ဖြစ်ပွားစေခဲ့သည်။<ref name="eleven">{{cite news |title=Calls for objection as Thai Series Scarlet Heart Thailand allegedly features Myanmar traditional costume and Rakhine oil-lamp dance as Thai cultural elements |url=https://elevenmyanmar.com/news/calls-for-objection-as-thai-series-scarlet-heart-thailand-allegedly-features-myanmar |publisher=Eleven Media Group}}</ref> === မြန်မာပရိသတ်များ၏ ဝေဖန်မှုနှင့် တောင်းဆိုချက်များ === မြန်မာကြည့်ရှုသူများက ဤဇာတ်လမ်းတွဲ၏ နမူနာဗီဒီယို (Trailer) များတွင် ပါဝင်သော အမျိုးသမီးဇာတ်ဆောင်အချို့၏ ဝတ်စုံများသည် မြန်မာ့ရိုးရာ နန်းတွင်းဝတ်စုံများ၊ အထူးသဖြင့် ထိုင်မသိမ်းအင်္ကျီများနှင့် ပုခုံးဖောင်းဝတ်စုံဒီဇိုင်းများနှင့် ဆင်တူနေကြောင်း ထောက်ပြခဲ့ကြသည်။ ထို့အပြင် ဇာတ်လမ်းတွဲထဲမှ ကပြဖျော်ဖြေမှုအချို့သည် မြန်မာ့ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အက၊ အထူးသဖြင့် ဗုဒ္ဓဘာသာပွဲတော်များတွင် ကပြလေ့ရှိသည့် ရခိုင်ရိုးရာ ဆီမီးခွက်အကနှင့် အလွန်အမင်း တူညီနေသည့်အတွက် ဝေဖန်ခဲ့ကြသည်။​ ပြီးနောက် မြန်နိုင်ငံမှ အမှတ်အသားများဖြစ်သော ဗျာလ၊ပုသိမ်ထီး၊ဗမာဒေါင်းတံဆိပ်အမှတ်အသားများလည်း တွေ့မြင်ရသည်။<ref name="CJ">{{cite news |date=2026-10-20 |title=Scarlet Heart Thailand ဇာတ်လမ်းတွဲက ဝတ်စုံနဲ့ အကတွေ မြန်မာ့ကုန်းဘောင်ခေတ် ယဉ်ကျေးမှုနဲ့ ဆင်တူနေလို့ ရှင်းလင်းချက်တောင်းဆို |url=https://cjplatform.com/23102026-3/ |publisher=CJ Platform}}</ref> နိုင်ငံတကာ ကြည့်ရှုသူများအနေဖြင့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်များကို ထိုင်းရိုးရာစစ်စစ်များအဖြစ် မှားယွင်းမှတ်ယူသွားမည်ကို စိုးရိမ်သဖြင့် မြန်မာပရိသတ်များက ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် အသုံးပြုထားသည့် ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာအချက်အလက်များ၏ မူလမြစ်ဖျားခံရာကို ရှင်းလင်းစွာ အသိအမှတ်ပြုပေးရန်နှင့် တရားဝင် ရှင်းလင်းချက်ထုတ်ပြန်ပေးရန် GMMTV ကို တောင်းဆိုခဲ့ကြသည်။၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၀ ရက်နေ့တွင် DatarrX Foundation<ref>{{Cite web |last=Thun |first=Ngwe Yan |date=2026-10-25 |title=Scarlet Heart Thailand: Ullavee Was Never The Problem |url=https://cinemaboulevard.org/en/articles/scarlet-heart-thailand/ |access-date=2026-10-26 |website=Cinema Boulevard |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |last=DatarrX Foundation |first= |date=2026-10-20 |title=မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု အမွေအနှစ်များကို ကာကွယ်ရန် ပထမအဆင့် ကန့်ကွက်လှုပ်ရှားမှု စတင်ခြင်း |url=https://datarrx.org/blog/cultural-preservation-petition/ |access-date=2026-10-26 |website=DatarrX |language=en}}</ref> မှ မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှုအမွေအနှစ်ကို အသိအမှတ်ပြုစေရန် အွန်လိုင်းမှတစ်ဆင့် လက်မှတ်ရေးထိုးတောင်းဆိုမှု (Online petition) တစ်ခုကို စတင်ပြုလုပ်ခဲ့ရာ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၃ ရက်နေ့အထိ လက်မှတ်ရေးထိုးသူ ပေါင်း ၃၄,၀၀၀ ကျော် ရရှိခဲ့ပြီး၊ အောက်တိုဘာလ ၂၇ ရက်နေ့တွင်မူ လက်မှတ်ရေးထိုးသူပေါင်း ၄၃,၀၀၀ ကျော်အထိ တိုးတက်များပြားလာခဲ့သည်။<ref>{{cite news |date=2026-10-23 |title=မြန်မာ့ရိုးရာဝတ်စုံနှင့် ယဉ်ကျေးမှုကို မှီငြမ်းခဲ့ဟု GMMTV ဝန်ခံပြီး တရားဝင် တောင်းပန် |url=https://burmese.dvb.no/post/787602 |publisher=DVB Burmese}}</ref><ref>{{Cite web |date=2026-10-22 |title=ពលរដ្ឋមីយ៉ាន់ម៉ាជាច្រើន រិះគន់ក្រុមហ៊ុន GMMTV របស់ថៃ - សុីសុីថាមស៍ |url=https://kh.cc-times.com/posts/31629 |access-date=2026-10-26 |website=The Cambodia China Times |language=km}}</ref> [[ဖိုင်:Scarlet Heart Thailand Petition 27Oct2026.jpg|alt=Change.org ဝဘ်ဆိုက်စာမျက်နှာ၏ ကွန်ပျူတာမြင်ကွင်းဖြစ်ပြီး "GMMTV - Recognize Myanmar's Cultural Heritage in Scarlet Heart Thailand" ဟု ရေးသားထားသော ခေါင်းစဉ်နှင့်အတူ "43,120 signatures" ဟူသော လက်မှတ်အရေအတွက်နှင့် DatarrX Foundation ၏ အမည်ကို ပြသနေသည့် ပုံရိပ်တို။|center|thumb|''Scarlet Heart Thailand'' ဇာတ်လမ်းတွဲတွင် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှု ထည့်သွင်းထားမှုကို အသိအမှတ်ပြုရန် တောင်းဆိုသည့် Change org လက်မှတ်ရေးထိုးပွဲ၌ ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၇ ရက်နေ့အထိ လက်မှတ်ပေါင်း ၄၃,၀၀၀ ကျော် ရရှိထားစဉ်။]] === GMMTV ၏ တရားဝင်ထုတ်ပြန်ချက်နှင့် တောင်းပန်မှု === ဝေဖန်မှုများ တိုးပွားလာပြီးနောက် GMMTV ထုတ်လုပ်ရေး ကုမ္ပဏီသည် ၂၀၂၆ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၂၃ ရက်နေ့တွင် တရားဝင် ထုတ်ပြန်ချက်တစ်ရပ် ထုတ်ပြန်ခဲ့သည်။ ၎င်းထုတ်ပြန်ချက်တွင် ဇာတ်လမ်းတွဲ၌ ဖော်ပြထားသော ယူလာဗီ (Ullavee) မြို့သည် လုံးဝစိတ်ကူးယဉ်မြို့ (Fictional city) မျှသာဖြစ်ကြောင်း ထုတ်လုပ်ရေး ကုမ္ပဏီက ရှင်းလင်းထားသည်။ ဇာတ်လမ်းတွဲပါ ဝတ်စုံများနှင့် အနုပညာမြောက် ဒီဇိုင်းများသည် ထိုင်းနိုင်ငံမြောက်ပိုင်း၏ လန်နာ (Lanna) ယဉ်ကျေးမှု၊ တိုင်းရင်းသား မျိုးနွယ်စုများ (Tai ethnic) ၏ ယဉ်ကျေးမှု၊ တရုတ်ယဉ်ကျေးမှုနှင့် မြန်မာ့ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ အနုပညာ အမွေအနှစ်များ အပါအဝင် ယဉ်ကျေးမှု ဓလေ့ထုံးတမ်း အမြောက်အမြားကို ပေါင်းစပ်ကာ စိတ်ကူးစိတ်သန်း (Inspiration) ယူ၍ ဖန်တီးထားခြင်း ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။<ref name="Khaso">{{cite news |date= |title=GMMTV SAYS ‘SCARLET HEART THAILAND’ COSTUMES DRAW FROM MULTIPLE CULTURES |url=https://www.khaosodenglish.com/featured/2026/10/23/gmmtv-says-scarlet-heart-thailand-costumes-draw-from-multiple-cultures/ |publisher=Khaosodenglish}}</ref> GMMTV က ၎င်းတို့အနေဖြင့် ဇာတ်လမ်းတွဲပါ အစိတ်အပိုင်းအားလုံးကို ထိုင်းယဉ်ကျေးမှုတစ်ခုတည်းကိုသာ ကိုယ်စားပြုသည့် ပုံစံမျိုးဖြင့် ပုံဖော်ရန် မည်သည့်ရည်ရွယ်ချက်မျှ မရှိခဲ့ကြောင်း ထပ်လောင်းအတည်ပြု ပြောကြားခဲ့သည်။ ထို့ပြင် ကုမ္ပဏီအနေဖြင့် ယဉ်ကျေးမှုတစ်ခုချင်းစီ၏ တန်ဖိုးနှင့် မူလမြစ်ဖျားခံရာများကို အလေးအနက်ထား လေးစားကြောင်း အလေးပေးပြောဆိုခဲ့ပြီး၊ ဇာတ်လမ်းတွဲတွင်း ယဉ်ကျေးမှုဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုများကြောင့် ပရိသတ်များအကြား စိုးရိမ်ပူပန်မှုများနှင့် စိတ်အနှောင့်အယှက် ဖြစ်စေခဲ့ရမှုများအတွက် တောင်းပန်ကြောင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။<ref name="eleven" /> == ကိုးကားချက်များ == {{Reflist}}<templatestyles src="Module:Side box/styles.css"></templatestyles> == ပြင်ပလင့်ခ်များ == {{Commons category}}{{GMMTV ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ|state=expanded}} * {{twitter|ScarletHeartTH}} * {{IMDb title|32203879|Scarlet Heart Thailand}} [[ကဏ္ဍ:GMMTV ရုပ်သံဇာတ်လမ်းတွဲများ]] [[ကဏ္ဍ:တရုတ်ဘာသာစကား ပါဝင်သော ဆောင်းပါးများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်းဘာသာစကား ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်း ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] [[ကဏ္ဍ:ထိုင်း ဖျော်ဖြေရေးသမားများ]] [[ကဏ္ဍ:၂၀၂၆ ရုပ်ရှင်ဇာတ်ကားများ]] q6zrlhodjtm1rh4w1c596aq8e0f5piy 0 293505 1060881 1060396 2026-10-31T14:13:04Z Ninjastrikers 22896 1060881 wikitext text/x-wiki {{Notability|person}} {{unreferenced}} {{Infobox writer | name = စက္ကိန္ဒ | honorific_prefix = | image = File:အသျှင်စက္ကိန္ဒ.png | caption = | pseudonym = | birth_name = ညိုဇံမောင် | birth_date = ၁၂၉၈ | birth_place = | death_date = | death_place = | resting_place = | occupation = ကျောင်းထိုင်ဆရာတော် | language = | nationality = [[မြန်မာနိုင်ငံ]] | ethnicity = [[ရခိုင်လူမျိုး|ရခိုင်]] | citizenship = | education = အစိုးရဓမ္မာစရိယ | alma_mater = | period = | genre = | subject = | movement = | notableworks = | spouse = | partner = | children = | relatives = | awards = [[အမျိုးသားစာပေဆု]]{{cn}} | signature = | years_active = | website = }} အရှင်'''စက္ကိန္ဒ'''သည် [[ရခိုင်လူမျိုး]]ရဟန်းတော်တပါး ဖြစ်သည်။ ၁၂၉၈ တွင် ခမည်းတော် ဦးအောင်ထွန်းရှီ၊ မယ်တော် ဒေါ်ချင်းမေရို့မှ မွေးဖွားသန့်စင်‌ပေးခဲ့သည်။ ငယ်အမည်မှာ ညိုဇံမောင်ဖြစ်ပြီး သာသနာ့ဘောင်သို့ ငယ်စဉ်ကတည်းက ဝင်ရောက်ကာ အစိုးရဓမ္မာစရိယတန်း အောင်မြင်ခဲ့သည်။ နတ်မြစ်စန်းအောင်၊ နတ်မြစ်ညိုဇံမောင်ကျော်ရှီ၊ နတ်မြစ်မာဃအမည်ခံကာ ၁၉၅၅ခုနှစ်မှ အစပြုပြီး စာပေလေ့လာလိုက်စားခဲ့သည်။ ရခိုင်အလင်းသတင်းစာတွင် ၁၉၅၇ ခုနှစ်ကပင် ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှု ငစည်(ငစွေ) အကသဘင်ဆောင်းပါးကို စတင်ဖော်ပြခဲ့ဖူးသည်။ ယင်းကတည်းကပင်စကာ ၁၉၅၉-၆၀ နှစ်လည် ရခိုင်တန်းဆောင်မဂ္ဂဇင်း၊ ပြည်သူ့ဂျာနယ်(၁၉၅၈)၊ ရခိုင်ဇာနည်ဂျာနယ်(၁၉၆၁)၊ ရခိုင်ပြည်နယ်စာစောင်၊ ရခိုင်မဂ္ဂဇင်းတို့မှာ စဉ်ဆက်မပြတ်ရေးသားလာခဲ့သည်။ == လုံးချင်းစာအုပ်များ == # ''ရခိုင်သဘာဝ တေးကဗျာများ'' (၁၉၆၁) # ''ရခိုင်လက်ရွေးစင်ပုံပြင်များ'' (၁၉၆၆) # ''ရခိုင်ပုံပြင်ဆန်းများ'' (၁၉၆၇) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ'' (၁) (၁၉၆၉) # ''ငစင်ရိုင်းချောင်းကျွန်းသမိုင်းနှင့် ထေရာမော်ကွန်း'' (၁၉၇၅) # ''ရခိုင်ပြည်ခွင်ပုံပြင်များ'' (၁၉၉၀) # ''ပြည်တွင်မကိုဋ် ဓာတ်ဦးရာဇ်သမိုင်း'' (၁၉၉၃) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၂)'' (၁၉၉၃) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၃)'' (၁၉၉၄) # ''လက်ဝဲသလုံးတော်ဓာတ်သမိုင်းနှင့် စစ်တွေမြို့အကြောင်း'' (၁၉၉၄) # ''ရခိုင်ဘာသာစကားလမ်းညွှန်'' (၁၉၉၄ ‌အောက်တိုဘာ) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၄)'' (၁၉၉၅) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၆)'' (၁၉၉၆ နိုဝင်ဘာ) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၇)'' (၁၉၉၆ ဒီဇင်ဘာ) # ''ရခိုင်ယဉ်ကျေးမှုများ (၈)'' ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာ ဗုဒ္ဓဘာသာ ရဟန်းတော်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဗုဒ္ဓဘာသာရဟန်းများ]] mfz4z8403ygc6vs24gutcbc4w4k2o9c 0 293546 1060842 1060702 2026-10-31T12:25:08Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* သမိုင်းကြောင်း */ 1060842 wikitext text/x-wiki [[Image:teruterubouzu.jpg|thumb|right|''တဲရု တဲရု ဘိုးဇု'' အရုပ်များ]] '''တဲရု တဲရု ဘိုးဇု''' သည် ဂျပန်လူမျိုးတို့၏ ရိုးရာလက်လုပ်အရုပ်တစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ ဤအရုပ်ကို ပြတင်းပေါက်နှင့် တံခါးမများတွင် ချိတ်ဆွဲထားခြင်းဖြင့် ရာသီဥတုသာယာလာမည်ဟု ယုံကြည်ကြသည်။ တစ်ရှူးစက္ကူ သို့မဟုတ် ပိတ်စများဖြင့် ပြုလုပ်ကြပြီး များသောအားဖြင့် အဖြူရောင် ဖြစ်သည်။ လည်ပင်းနားတွင် ကြိုးဖြင့် ချည်ကာ အရုပ်ပုံစံ ပြုလုပ်ကြသည်။ တဲရု (照る) သည် "တောက်ပသည်/ လင်းလက်သည်"၊ ဘိုးဇု (坊主) သည် "ဗုဒ္ဓဘာသာရဟန်းတော်" ဟု အဓိပ္ပါယ်ရသည်။ အရုပ်သည် ကတုံးပြောင်ဖြစ်နေသည့် ရဟန်းကို ရည်ညွှန်းကာ ပြုလုပ်ထားခြင်း ဖြစ်ပြီး ရာသီဥတု သာယာလာစေရန်အတွက် ဆုတောင်းကကြသည်။ ရှေးယခင်က ဂျပန်လူမျိုးများသည် ရဟန်းများတွင် မိုးရွာသွန်းမှုကို ကာကွယ်ရန် သို့မဟုတ် ရပ်တန့်ရန်အတွက် အစွမ်းရှိသည်ဟု ယုံကြည်ခဲ့ကြသည်။ ရိုးရာအစဉ်အလာအရ ရာသီဥတုသာယာလာပါက အရုပ်များအပေါ် အရက်များသွန်းလောင်းကာ မြစ်အတွင်း မျှောပစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် တဲရု တဲရု ဘိုးဇုသည် ဂျပန်လူမျိုးကလေးများအကြားတွင် လူကြိုက်များသည်။ ၁၉၂၁ ခုနှစ်တွင် ထွက်ရှိခဲ့သည့် "ဝရဘဲအုတ" (ကလေးသီချင်းများ) တစ်ပုဒ်သည် လူကြိုက်များခဲ့ရာမှ ကလေးများအကြားတွင် စိတ်ဝင်စားမှု ရှိလာခဲ့ကြသည်။ သီချင်း၏ အမည်သည် "တဲရု တဲရု ဘိုးဇု" ဖြစ်ပြီး စာသားတွင် " မိမိတို့၏ ဆုတောင်းပြည့်ပါက အရက် (ဆာကေး) များစွာ သွန်းလောင်းမည်ဖြစ်ပြီး မပြည့်ပါက ဦးခေါင်းကို ဖြတ်ပစ်မည်" ဟူသည့် စာသားပါဝင်သည်။ ဤသီချင်းကို ကလေးများသည် အရုပ်ပြုလုပ်သည့်အခါတွင် သီဆိုကြလေ့ရှိသည်။<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2" /> အဲဒိုခေတ်အတွင်း "တဲရု တဲရု ဘိုးဇု" သည် မြို့ပြတွင်နေထိုင်သည့် ကလေးများအကြားတွင်ပါ လူသိများလာခဲ့သည်။ ကလေးများသည် ရာသီဥတုသာယာစေချင်သည့်နေ့ မတိုင်မီရက်တွင် အရုပ်ကို ပြုလုပ်ကြပြီး "ရာသီဥတုကောင်းမွန်စေသည့် ဘုန်းတော်ကြီးရေ မနက်ဖြန် ရာသီဥတုကောင်းမွန်လာစေရန် လုပ်ဆောင်ပေးပါ" ဟု ရွတ်ဆိုကြသည်။<ref name="jstor">{{cite journal | title=Weather Watching and Emperorship | author=Miyata, Noboru | journal=Current Anthropology |date=August 1987 | volume=28 | issue=4 | pages=S13–S18 | doi=10.1086/203572 | jstor=2743422 | issn=0011-3204| doi-access=free }}</ref> [[Image:Tanabata Teruteru Tunnel (II).jpg|thumb|right|နိရှိတိုကျို၊ တနရှိနတ်ကျောင်းတော်တွင် တွေ့ရသည့် [[တနဘတ]] တဲရုတဲရုလိုဏ်ခေါင်း]] ==ပြင်ပလင့်များ== * {{Commons-inline}} * [https://japanesemythology.wordpress.com/tracking-down-the-origins-of-the-teru-teru-bozu-%E3%81%A6%E3%82%8B%E3%81%A6%E3%82%8B%E5%9D%8A%E4%B8%BB-sunshine-doll-tradition/ Tracking down the origins of the teru teru bozu (てるてる坊主) sunshine doll tradition] * [http://hyakumonogatari.com/2011/12/22/what-are-teruteru-bozu/ What are Teruteru Bōzu?] ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ဂျပန် အရုပ်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်ဒဏ္ဍာရီ]] r8pzmgjftvnyfyj3nnsmxpv6gtsasuu 1 293548 1060866 1060644 2026-10-31T13:47:52Z Ninjastrikers 22896 [[ဆွေးနွေးချက်:Scarlet Heart Thailand]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:Scarlet Heart Ullavee]] သို့ Ninjastrikersက ရွှေ့ခဲ့သည် 1060644 wikitext text/x-wiki == ကိုးကားချက် == Scarlet Heart Thailandမှာ Scarlet Heart Ullaveeဟု ပြောင်းလဲ လိုက်သော်လည်း မြန်မာနိုင်ငံသားများအနေဖြင့် မိမိတို့ ရိုးရာအမွေအနှစ်များကို crdပေးရန်သာလို့လားကြပါသည်။ [[အသုံးပြုသူ:Myo Chit Thu|Myo Chit Thu]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Myo Chit Thu|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၅၃၊ ၂၉ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 9mpchyenphf31pqvb20n1zw9i291fkf 0 293556 1060887 1060739 2026-10-31T16:46:14Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[ဘတ်စ်ကား]] စာမျက်နှာကို [[ဘတ်စကား]] သို့ ခင်မောင်မောင်လွင်က ရွှေ့ခဲ့သည် 1060739 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Sükhbaatar Square Parking Lot.jpg|thumb|ဘတ်စ်ကား]] '''ဘတ်စ်ကား''' ({{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စ်ကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စ်ကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] 669wd3yth6eoph5npydw3g6ct9bvk59 1060890 1060887 2026-10-31T16:47:49Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 1060890 wikitext text/x-wiki [[ဖိုင်:Sükhbaatar Square Parking Lot.jpg|thumb|ဘတ်စ်ကား]] '''ဘတ်စကား''' ({{lang-en|bus}}) သည် ခရီးသည်အမြောက်အမြား သယ်ဆောင်ရန် ဒီဇိုင်းထုတ်ထားသော လမ်းသုံးယာဉ်တစ်စီးဖြစ်သည်။ ဘတ်စကားများသည် ခရီးသည် ၃၀၀ အထိ သယ်ဆောင်နိုင်သည်။ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားများမှာ တစ်ထပ်ဘတ်စ်ကားများဖြစ်ပြီး နှစ်ထပ်ဘတ်စကားများလည်း ရရှိနိုင်ပါသည်။ အခြားအမျိုးအစားများတွင် အဆစ်ပါ ဘတ်စကားများနှင့် အထပ်နိမ့်ဘတ်စ်ကားများ ပါဝင်သည်။ [[ကဏ္ဍ:ယာဉ်]] oezz77eixygnh1phgm3d9c2ns07sugc 1 293564 1060853 1060822 2026-10-31T13:13:04Z Ninjastrikers 22896 [[ဆွေးနွေးချက်:သက်တန့်မှော်]] မှ [[ဆွေးနွေးချက်:သက်တံမှော်]] သို့ စာမျက်နှာကို ပြန်ညွှန်းချန်မထားဘဲ Ninjastrikers က ရွှေ့ခဲ့သည်: စာလုံးပေါင်းအမှား 1060822 wikitext text/x-wiki == စားလုံးပေါင်း ပြင်ဆင်ရန် == သက်တံမှော်ဟုသာ ဖြစ်သင့်ပါသည်။ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/~2026-55501-01|~2026-55501-01]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:~2026-55501-01|talk]]) ၀၆:၄၁၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 01eev51yoqlwy8yy840xlo8prja2mgq 1060854 1060853 2026-10-31T13:13:23Z Ninjastrikers 22896 /* စားလုံးပေါင်း ပြင်ဆင်ရန် */ အကြောင်းပြန်ခြင်း 1060854 wikitext text/x-wiki == စားလုံးပေါင်း ပြင်ဆင်ရန် == သက်တံမှော်ဟုသာ ဖြစ်သင့်ပါသည်။ [[အထူး:ဆောင်ရွက်ချက်များ/~2026-55501-01|~2026-55501-01]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:~2026-55501-01|talk]]) ၀၆:၄၁၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) :ပြောင်းလိုက်ပါပြီ။ ကျေးဇူးပါ။ [[User:Ninjastrikers|<span style="font-variant:small-caps;color:blue;font-family:Montserrat;">Ninja<span style="color:red">✮</span>Strikers</span>]] ^{<span style="color:Red;font-size:85%;">«[[User talk:Ninjastrikers|☎]]»</span>} ၁၃:၁၃၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 0xir41x16pnql1u93g1t4iqhyj3wgsq 0 293567 1060843 2026-10-31T12:42:27Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 " '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060843 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} bdg0jonbaatp51nst96sg1xnq386kb2 1060891 1060843 2026-10-31T16:49:01Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:တိုခရကျွန်းစု]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1060891 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] qx9qsjfqavtbk5op9vs82smtmi7mnn7 1060892 1060891 2026-10-31T16:49:13Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1060892 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] jzh1pgeplmg8vpy09a1ln053gqcsic1 1060893 1060892 2026-10-31T16:49:25Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1060893 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] d0zz3kfie3n8jft6x91co4yq9x8nhbi 1060894 1060893 2026-10-31T16:49:46Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[commons:Help:Gadget-HotCat|HotCat]]ကို အသုံးပြု၍ [[Category:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]]ကို ပေါင်းထည့်ခဲ့သည် 1060894 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] rz7azv725afrf4go4jnnegb6c4uu4n0 1060959 1060894 2026-11-01T04:50:07Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပြင်ပလင့်များ */ 1060959 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== *[[ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများစာရင်း]] ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] ntmn43p8gq00z4rxq4qtkxe8ka8b4gc 1060961 1060959 2026-11-01T04:52:54Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ပြင်ပလင့်များ */ 1060961 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] 7lotngz3tc11ugd6n5cnvsx8wxgw9lj 1060962 1060961 2026-11-01T04:53:45Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် */ 1060962 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== *[[ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများစာရင်း]] ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] j5988n6v9i271zhjianw9yykan4roka 1060963 1060962 2026-11-01T04:54:45Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 /* ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် */ 1060963 wikitext text/x-wiki '''ဆုဝနိုဆဲဂျိမ''' (諏訪之瀬島) သည် [[ဂျပန်နိုင်ငံ]]၊ [[ခဂိုရှိမခရိုင်]]ရှိ [[တိုခရကျွန်းစု]]တွင် ပါဝင်သည့် ကျွန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဧရိယာ ၂၇.၆၆ စတုရန်းကီလိုမီတာ ရှိသည်။ လူဦးရေ ၈၄ ဦး နေထိုင်သည်။ ကျွန်းတွင် လေဆိပ်တစ်ခုရှိသော်လည်း ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားသည့် ဝန်ဆောင်မှုများ မရှိပေ။ ပုံမှန်အားဖြင့် ဂျပန်ပင်မကုန်းမြေရှိ [[ခဂိုရှိမမြို့]]မှတဆင့် ရေယာဉ် ၉ နာရီကြာစီးနင်းကာ သွားရောက်ရသည်။ ကျွန်းတွင် နေထိုင်ကြသူများသည် စိုက်ပျိုးရေးလုပ်ငန်း၊ ငါးဖမ်းလုပ်ငန်းနှင့် ရာသီအလိုက်ခရီးသွားလုပ်ငန်းများအပေါ် မှီခိုလုပ်ကိုင်ကြသည်။ ==ပထဝီသွင်ပြင်== ဆုဝနိုဆဲဂျိမသည် တိုခရကျွန်းစုတွင် ဒုတိယအကြီးဆုံးကျွန်း ဖြစ်သည်။ နခနိုရှိမကျွန်း၏ အနောက်တောင်ဘက် ၂၁ ကီလိုမီတာ (၁၁ မိုင်) အကွာတွင် တည်ရှိသည်။ ကျွန်း၏ အမြင့်ဆုံးအမှတ်မှာ အိုတခဲ(御岳) ဖြစ်ကာ ပင်လယ်ရေမျက်နှာပြင်အထက် ၇၉၆ မီတာ (၂၆၁၂ ပေ) ရှိသည်။ ဤတောင်ကုန်းသည် သမုဒ္ဒရာကြမ်းပြင်မှ မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုဖြစ်စဉ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်ဟု ယူဆကြသည်။ မိုးရာသီသည် မေလမှ စက်တင်ဘာလအထိ ကြာမြင့်သည်။ ==မီးတောင်ပေါက်ကွဲမှုများ== ==ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန်== *[[ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများစာရင်း]] ==ပြင်ပလင့်များ== ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:တိုခရကျွန်းစု]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ ကျွန်းများ]] [[ကဏ္ဍ:ခဂိုရှိမခရိုင်ရှိ မီးတောင်များ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] ixj71uyv46grsg7zfyx541l5a9cbwez 828 293568 1060860 2026-10-31T13:32:07Z Ninjastrikers 22896 "/* {{pp-template|small=yes}} */ .maint-cat-progress { border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); border-spacing: 3px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa); padding: 0.4em; font-size: 88%; line-height: 1.5em; margin: 0.5em 0; } .maint-cat-progress-header { background-color: #ddf; padding: 0.2e..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060860 sanitized-css text/css /* {{pp-template|small=yes}} */ .maint-cat-progress { border: 1px solid var(--border-color-base, #a2a9b1); border-spacing: 3px; background-color: var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa); padding: 0.4em; font-size: 88%; line-height: 1.5em; margin: 0.5em 0; } .maint-cat-progress-header { background-color: #ddf; padding: 0.2em; font-size: 125%; font-weight: bold; } .maint-cat-progress-refresh { text-align: center; } .maint-cat-progress-subtotals { width: 100%; } .maint-cat-progress-subtotals caption { font-weight: bold; text-align: left; } .maint-cat-progress-subtotals .mw-collapsible-toggle { float: right; } .maint-cat-progress-subtotals th, .maint-cat-progress-subtotals td { vertical-align: top; } .maint-cat-progress-subtotals tr td:nth-child(2) { text-align: right; } .maint-cat-progress-total-row { font-size: 110%; font-weight: bold; display: flex; } .maint-cat-progress-total-label { flex: 1; } .maint-cat-progress-total { padding-right: 0.2em; } @media (min-width: 720px) { .maint-cat-progress { width: 22em; } .maint-cat-progress-left { /* @noflip */ float: left; /* @noflip */ clear: left; /* @noflip */ margin-right: 1em; } .maint-cat-progress-right { /* @noflip */ margin-left: 1em; /* @noflip */ float: right; /* @noflip */ clear: right; } .maint-cat-progress-center { margin: 0.5em auto; } } @media screen { html.skin-theme-clientpref-night .maint-cat-progress-header { background-color: #003; } } @media screen and (prefers-color-scheme: dark) { html.skin-theme-clientpref-os .maint-cat-progress-header { background-color: #003; } } 7y1m3axw6zw4sdp2guxgt26bcnr0b3b 0 293569 1060865 2026-10-31T13:47:52Z Ninjastrikers 22896 [[Scarlet Heart Thailand]] စာမျက်နှာကို [[Scarlet Heart Ullavee]] သို့ Ninjastrikersက ရွှေ့ခဲ့သည် 1060865 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Scarlet Heart Ullavee]] d481iwz4oe8aowjbo3lc7r3qpo7wjcu 1 293570 1060867 2026-10-31T13:47:52Z Ninjastrikers 22896 [[ဆွေးနွေးချက်:Scarlet Heart Thailand]] စာမျက်နှာကို [[ဆွေးနွေးချက်:Scarlet Heart Ullavee]] သို့ Ninjastrikersက ရွှေ့ခဲ့သည် 1060867 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဆွေးနွေးချက်:Scarlet Heart Ullavee]] efwz4ybm1pzwcyh2m65g3cjnugz62vh 3 293572 1060876 2026-10-31T14:05:18Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060876 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-58128-33 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၅၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) lihjn39brllns9qngqow9snb477x5sh 3 293573 1060877 2026-10-31T14:05:28Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060877 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် Phawyaing ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၄:၀၅၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) d0ftstr4eb1gkxdefpb7a9a5e3azq6n 3 293574 1060886 2026-10-31T15:05:38Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060886 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-58003-25 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၅:၀၅၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) si4kkpch7npqeegj46l8vv8yw66sm71 0 293575 1060888 2026-10-31T16:46:14Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[ဘတ်စ်ကား]] စာမျက်နှာကို [[ဘတ်စကား]] သို့ ခင်မောင်မောင်လွင်က ရွှေ့ခဲ့သည် 1060888 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ဘတ်စကား]] ou577ju4b71ghjvpemrd60i5m3wll8h 1060889 1060888 2026-10-31T16:46:36Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 [[ဘတ်စကား]] သို့ ပြန်ညွှန်းကို ဖယ်ရှားခဲ့သည် 1060889 wikitext text/x-wiki {{db-self}} i3ivwgg793ry976qg2ak9jnjk4epd7m 14 293576 1060895 2026-10-31T16:50:11Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "[[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060895 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ ကျွန်းများ]] ibdkb7lilp9f91ouebb5374eg3xki5t 14 293577 1060896 2026-10-31T16:51:06Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "[[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ တောင်များ]]" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060896 wikitext text/x-wiki [[ကဏ္ဍ:ဂျပန်နိုင်ငံရှိ တောင်များ]] ipwseocdeg0svzqqrdfmye5ctnvzmld 0 293578 1060897 2026-10-31T16:54:36Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ကုန်းသာ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ကုန်းသာရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ကုန်းသာရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060897 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ကုန်းသာ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ကုန်းသာရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ကုန်းသာရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၇၇ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/paungde-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.588008872274933| 95.56624640086315|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပေါင်းတည်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 51y3kn7eip17g00btxf1ibdsz2xd7bk 0 293579 1060898 2026-10-31T16:56:00Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ရေပြာ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ရေပြာရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ရေပြာရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060898 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ရေပြာ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ရေပြာရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ရေပြာရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၁၇ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/paungde-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.5613878477544| 95.59295285569807|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပေါင်းတည်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} g2k0y02uxpj7ojoy0p5rggivso8dhy7 0 293580 1060899 2026-10-31T16:57:19Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ပန်းသင်းပင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ပန်းတင်းပင်ရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ပန်းသင်းပင်ရွာ]]ရ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060899 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ပန်းသင်းပင်''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ပန်းတင်းပင်ရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ပန်းသင်းပင်ရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၃၉၆ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/paungde-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} {{coord|18.549135436547076| 95.6477143748626|format=dms|region:MM|display=inline,title}} [[ကဏ္ဍ:ပေါင်းတည်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 32iwpph1nxj4857gidsv9dfr3scnbf1 0 293581 1060900 2026-10-31T16:59:38Z ခင်မောင်မောင်လွင် 40414 "'''အ.လ.က (ခွဲ) ဇီးပင်လှ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ဇီးပင်လှရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ဇီးပင်လှရွာ]]ရှိ အခြေခံ..." အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060900 wikitext text/x-wiki '''အ.လ.က (ခွဲ) ဇီးပင်လှ''' သည် [[ပဲခူးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ပေါင်းတည်မြို့နယ်]]၊ [[ဇီးပင်လှရွာ၊ ပေါင်းတည်မြို့နယ်|ဇီးပင်လှရွာ]]ရှိ အခြေခံပညာအလယ်တန်းကျောင်းခွဲ ဖြစ်သည်။ ၂၀၁၉ ခုနှစ်၊ စက်တင်ဘာလတွင် ကျောင်းသား ၁၂၀ ဦး ပညာသင်ကြားလျက်ရှိသည်။<ref name="geo">https://myanmargeographicalsociety.org/paungde-township/</ref> ==ကိုးကား== {{reflist}} [[ကဏ္ဍ:ပေါင်းတည်မြို့နယ်ရှိ စာသင်ကျောင်းများ]] {{Myanmar-school-stub}} 8h66y8fjyqf6lvt0kczaojrd17iwvoa 3 293582 1060911 2026-10-31T20:06:20Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060911 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-55227-35 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၀:၀၆၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) hytl3c8icno4vh4yq5aclfbi2x91fyt 3 293584 1060918 2026-10-31T22:06:37Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060918 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-58024-90 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၂:၀၆၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) riy80ozugwvr3ivf5u6as90vwqgnkwa 3 293585 1060919 2026-10-31T22:06:47Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060919 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57786-23 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၂၂:၀၆၊ ၃၁ အောက်တိုဘာ ၂၀၂၆ (UTC) lsjb34x9l2jmvgflrow7dmffqfad3nw 0 293586 1060956 2026-11-01T02:55:56Z Counterstrike1 141906 "[[:en:Special:Redirect/revision/1383094362|Marie Antoinette]]" စာမျက်နှာကို ဘာသာပြန်ရင်း ဖန်တီးခဲ့သည် 1060956 wikitext text/x-wiki {{Infobox royalty|image=Louise Elisabeth Vigée-Lebrun - Marie-Antoinette dit « à la Rose » - Google Art Project.jpg<!-- Do not change this image without consensus first. -->|image_size=250px|alt=Queen Marie Antoinette of France in a portrait painting aged 27|caption=''[[Marie Antoinette with a Rose|Marie-Antoinette à la Rose]]'', 1783|succession=[[Queen consort of France]]|reign=10 May 1774 – 21 September 1792|birth_name=Archduchess Maria Antonia of Austria|birth_date={{Birth date|1755|11|02|df=y}}|birth_place=[[Hofburg]], Vienna, Austria|death_date={{Death date and age|1793|10|16|1755|11|02|df=y}}|death_place=[[Place de la Révolution]], Paris, France|burial_date=21 January 1815|burial_place=[[Basilica of Saint-Denis]], Paris, France|spouse={{Marriage|[[Louis XVI]]|19 April 1770|21 January 1793|end=[[Execution of Louis XVI|died]]}}|consort=yes|issue={{plainlist| * [[Marie-Thérèse, Duchess of Angoulême]] * [[Louis Joseph, Dauphin of France]] * [[Louis XVII]] * Sophie }}|house=[[Habsburg-Lorraine]]|father=[[Francis I, Holy Roman Emperor]]|mother=[[Maria Theresa]]|signature=Marie-AntoinetteSignature.png}}'''မာရီ အန်တွာနက် (၁၇၅၅ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလ ၂ ရက် – ၁၇၉၃ ခုနှစ်၊ အောက်တိုဘာလ ၁၆ ရက်) သည် ပြင်သစ်တော်လှန်ရေးကာလအတွင်း ဘုရင်စနစ် မဖျက်သိမ်းမီ ပြင်သစ်နိုင်ငံ၏ နောက်ဆုံး ဘုရင်မ (ဘုရင်၏ဇနီးတော်) ဖြစ်သည်။ သူမသည် ဘုရင် လူဝီ ၁၆ ၏ ဇနီးအဖြစ် ၁၇၇၄ ခုနှစ်မှ ၁၇၉၂ ခုနှစ်အထိ ထီးနန်းစံခဲ့သည်။ သူမ၏ ဘဝဇာတ်ကြောင်းနှင့် ၁၇၉၃ ခုနှစ်တွင် ခေါင်းဖြတ်ကွပ်မျက်ခံခဲ့ရမှုတို့ကြောင့် သူမသည် လူကြိုက်များသော ယဉ်ကျေးမှုနယ်ပယ်တွင် ဝမ်းနည်းဖွယ်ရာ ဇာတ်ကောင်တစ်ဦးအဖြစ် ထင်ရှားလာခဲ့သည်။''' ၁၇၅၅ ခုနှစ်၊ နိုဝင်ဘာလတွင် ဗီယင်နာမြို့ရှိ ဟော့ဖ်ဘတ် (Hofburg) နန်းတော်၌ မွေးဖွားခဲ့သော မာရီ အန်တွာနက် (Marie Antoinette) သည် ဧကရာဇ် ဖရန်စစ် ၁ (Francis I) နှင့် ဧကရီ မာရီယာ ထရီဇာ (Maria Theresa) တို့၏ သားသမီး ၁၅ ဦးအနက် နောက်ဆုံးမွေးဖွားသူဖြစ်ပြီး သမီးများအနက် အငယ်ဆုံးဖြစ်သည်။ သူမသည် မွေးဖွားလာမှုအရ ဟက်စ်ဘတ်-လော်ရိန်း (Habsburg-Lorraine) မျိုးနွယ်စုမှ သြစတြီးယား မင်းသမီး (Archduchess) တစ်ဦး ဖြစ်ခဲ့သည်။ ပြင်သစ်နှင့် သြစတြီးယားတို့အကြား မဟာမိတ်ဆက်ဆံရေးကို ခိုင်မာစေရန်အတွက် ၁၇၆၉ ခုနှစ်တွင် မာရီ အန်တွာနက်အား ပြင်သစ်ထီးနန်းဆက်ခံမည့် မင်းသား (Dauphin) ဖြစ်သူ လူဝီ-အော်ဂတ်စ် (Louis-Auguste) နှင့် စေ့စပ်ပေးခဲ့သည်။ ၁၇၇၀ ပြည့်နှစ်တွင် ၎င်းတို့နှစ်ဦး လက်ထပ်ထိမ်းမြားခဲ့ကြပြီး၊ ထိုအချိန်တွင် အသက် ၁၄ နှစ်အရွယ်ရှိ မာရီ အန်တွာနက်သည် ပြင်သစ်ထီးနန်းဆက်ခံမည့် မင်းသား၏ ဇနီး (Dauphine) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ၁၇၇၄ ခုနှစ်တွင် လူဝီ-အော်ဂတ်စ်သည် ပြင်သစ်ဘုရင် လူဝီ ၁၆ (Louis XVI) အဖြစ် ထီးနန်းဆက်ခံခဲ့ရာ ပြင်သစ်ဘုရင် ဖြစ်လာခဲ့ပြီး၊ မာရီ အန်တွာနက်မှာလည်း ဘုရင်မ (Queen consort) ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဘုရင်မတစ်ပါးအနေဖြင့် မာရီ အန်တွာနက် (Marie Antoinette) သည် လူဝီ ၁၆ (Louis XVI) ၏ ပြည်တွင်း၊ ပြည်ပ မူဝါဒများကို ဆန့်ကျင်သူများ၊ နှင့် ဘုရင်စနစ်ကို ယေဘုယျအားဖြင့် ဆန့်ကျင်သူများ၏ ဝေဖန်တိုက်ခိုက်မှုများကို ပိုမိုခံလာရသည်။ ပြင်သစ်နိုင်ငံရှိ အသရေဖျက် စာစောင်များ (libelles) က သူမအား ငွေကြေးဖြုန်းတီးသူ၊ အကျင့်စာရိတ္တ ပျက်ပြားသူ၊ တရားမဝင် ကလေးများ မွေးဖွားသူအဖြစ် စွပ်စွဲခဲ့ကြသလို၊ ပြင်သစ်၏ ရန်သူများ (သူမ မွေးဖွားရာ ဩစတြီးယားနိုင်ငံ အပါအဝင်) ဘက်မှ ရပ်တည်သူဟုလည်း စွပ်စွဲခဲ့ကြသည်။ "စိန်လည်ဆွဲ အရှုပ်တော်ပုံ" (Affair of the Diamond Necklace) တွင်လည်း ဘုရင်မင်းမြတ်၏ လက်ဝတ်ရတနာသည်များကို လိမ်လည်လှည့်ဖြားသည်ဟု မဟုတ်မမှန် စွပ်စွဲခံခဲ့ရပြီး၊ ဤစွပ်စွဲချက်များသည် သူမ၏ ဂုဏ်သိက္ခာကို ထိခိုက်စေခဲ့သည်။ ပြင်သစ်တော်လှန်ရေး ကာလအတွင်းတွင်မူ သူမအား "Madame Déficit" (ဘဏ္ဍာရေးလိုငွေပြမှု ဖြစ်စေသူ မဒမ်) ဟု ခေါ်ဝေါ်လာကြသည်။ အကြောင်းမှာ နိုင်ငံ၏ ဘဏ္ဍာရေး အကျပ်အတည်းအတွက် သူမ၏ ဇိမ်ခံသုံးစွဲမှုများ၊ နှင့် Anne Robert Jacques Turgot နှင့် Jacques Necker တို့ အဆိုပြုခဲ့သည့် လူမှုရေးနှင့် ဘဏ္ဍာရေး ပြုပြင်ပြောင်းလဲမှုများကို သူမက ဆန့်ကျင်ခဲ့ခြင်းတို့အပေါ် အပြစ်ပုံချခံခဲ့ရသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ၁၇၈၉ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလတွင် အစိုးရက တော်ဝင်မိသားစုအား Tuileries နန်းတော်၌ နေအိမ်အကျယ်ချုပ်ဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားပြီးနောက်၊ ပြင်သစ်တော်လှန်ရေးကာလအတွင်း Marie Antoinette နှင့် ဆက်စပ်နေသော ဖြစ်ရပ်များစွာ ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ၁၇၉၁ ခုနှစ် ဇွန်လတွင် Varennes မြို့သို့ ထွက်ပြေးရန် ကြိုးပမ်းခဲ့ခြင်းနှင့် ပထမမဟာမိတ်အဖွဲ့ စစ်ပွဲ (War of the First Coalition) တွင် သူမပါဝင်ပတ်သက်ခဲ့ခြင်းတို့သည် ပြင်သစ်နိုင်ငံသားများအကြား သူမ၏ပုံရိပ်ကို အလွန်အမင်း ထိခိုက်စေခဲ့သည်။ ၁၇၉၂ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁၀ ရက်နေ့တွင် Tuileries နန်းတော် တိုက်ခိုက်ခံရမှုကြောင့် တော်ဝင်မိသားစုသည် ဥပဒေပြုလွှတ်တော် (Legislative Assembly) သို့ သွားရောက်ခိုလှုံခဲ့ရပြီး၊ ၁၇၉၂ ခုနှစ် ဩဂုတ်လ ၁၃ ရက်နေ့တွင် Temple အကျဉ်းထောင်၌ ထိန်းသိမ်းခံခဲ့ရသည်။ ၁၇၉၂ ခုနှစ် စက်တင်ဘာလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် ပြင်သစ်နိုင်ငံကို သမ္မတနိုင်ငံအဖြစ် ကြေညာခဲ့ပြီး ဘုရင်စနစ်ကို ဖျက်သိမ်းလိုက်သည်။ ၁၇၉၃ ခုနှစ် ဇန်နဝါရီလ ၂၁ ရက်နေ့တွင် Louis XVI ကို ဂီယိုတင် (guillotine) စက်ဖြင့် ကွပ်မျက်ခဲ့ပြီး Marie Antoinette ကို Conciergerie အကျဉ်းထောင်သို့ ပြောင်းရွှေ့ခဲ့သည်။ သူမ၏ တရားခွင်ကို ၁၇၉၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၁၄ ရက်နေ့တွင် စတင်ခဲ့သည်။ နှစ်ရက်အကြာတွင် တော်လှန်ရေးခုံရုံး (Revolutionary Tribunal) က သူမအား နိုင်ငံတော်သစ္စာဖောက်မှုဖြင့် ပြစ်မှုထင်ရှားစီရင်ခဲ့ပြီး၊ ၁၇၉၃ ခုနှစ် အောက်တိုဘာလ ၁၆ ရက်နေ့တွင် Place de la Révolution ရင်ပြင်၌ ဂီယိုတင်စက်ဖြင့် ကွပ်မျက်ခဲ့သည်။ [[ကဏ္ဍ:ဟာ့ပ်စ်ဘွတ်ရ်ခ်-လော့သရင်ဂဲန် အိမ်တော်]] [[ကဏ္ဍ:၁၇၉၃ ကွယ်လွန်သူများ]] [[ကဏ္ဍ:၁၇၅၅ မွေးဖွားသူများ]] [[ကဏ္ဍ:အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကား ပါဝင်သော ဆောင်းပါးများ]] [[ကဏ္ဍ:ဂျာမန်ဘာသာစကား ပါဝင်သော ဆောင်းပါးများ]] [[ကဏ္ဍ:ပြင်သစ်ဘာသာစကား ပါဝင်သော ဆောင်းပါးများ]] 24jn5f33tq9mdv0qku9q4pt1dbgqye7 100 293587 1060967 2026-11-01T05:54:58Z Salai Rungtoi 22844 "{{Current events|year=2026|month=10|day=31|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}}" အစချီသော စာလုံးတို့နှင့် စာမျက်နှာကို ဖန်တီးလိုက်သည် 1060967 wikitext text/x-wiki {{Current events|year=2026|month=10|day=31|content= <!-- All news items below this line --> <!-- All news items above this line -->}} gvxwh3movnwx9h7nkqf4cdi1nrof9iz 3 293588 1060996 2026-11-01T10:08:24Z Welcome-Bot 40494 ကြိုဆိုပါသည်! 1060996 wikitext text/x-wiki == ဝီကီပီးဒီးယားမှ နွေးထွေးစွာ ကြိုဆိုပါတယ် &#126;2026-57869-70 ! == {| class="plainlinks" cellspacing="0" cellpadding="0" style="margin:0 0 1em; width:100%;" | style="width:45%; vertical-align:top; border:1px solid #fad67d; background-color:#faf6ed;" | <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-colors-alacarte.svg|21px|link=|]] '''ပထမအဆင့် မိတ်ဆက်'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[Wikipedia:နိဒါန်း|ဝီကီပီးဒီးယား]]ရဲ့ '''[[Wikipedia:Five pillars|လမ်းစဉ်ငါးရပ်]]'''ကို ဦးစွာဖတ်ကြည့်ဖို့ အကြံပြုပါတယ်။ အကောင့်ကို မှတ်ပုံတင်ပြုလုပ်ပြီးတဲ့နောက် '''[[အကူအညီ:မိတ်ဆက်|မိတ်ဆက်ခြင်း]]''' နှင့် '''[[WP:FAQ|မေးလေ့ရှိသော မေးခွန်းများ]]''' က သင့်ကို အများကြီး အကူအညီပေးပါလိမ့်မယ်။ သူတို့တွေက ဝီကီပီးဒီးယားမှာ တည်းဖြတ်နည်းနဲ့ ရေးသားဟန်တွေ၊ အခြား သိသင့်တာတွေကို ပြောပြပေးသွားပါလိမ့်မယ်။ ဝီကီပီးဒီးယားမှာ ပါဝင်ဖို့ သင့်မှာ နည်းပညာဆိုင်ရာတွေ တတ်ကျွမ်းနေဖို့ မလိုပါဘူး။ ပါဝင်ဆောင်ရွက်တဲ့နေရာမှာ ''[[WP:BOLD|သတ္တိရှိပါ]]''။ ပြီးတော့ တခြားသူတွေအပေါ်မှာ ''ရိုးရိုးသားသား ပြုမူဆက်ဆံပါ''။ ဒီနေရာဟာ ''[[w:wiki|ဝီကီ]]'' ဖြစ်ပြီး အလွန့်အလွန် လွယ်ကူပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #fad67d; background-color:#faecc8; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Help-browser.svg|21px|link=| ]] '''အကူအညီရယူခြင်း'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> * အကူအညီလိုရင် ဝီကီပီးဒီးယား [[Wikipedia:လက်ဖက်ရည်ဆိုင်|လက်ဖက်ရည်ဆိုင်]]မှာ ဒါမှမဟုတ် [[ဖေ့စ်ဘွတ်ခ်|Facebook]] ထဲက [http://www.facebook.com/groups/my.wikipedia မြန်မာဝီကီအဖွဲ့ရဲ့စာမျက်နှာ] မှာ ဝင်ရောက်မေးမြန်း ဆွေးနွေးနိုင်ပါတယ်။ * ဝီကီကို ဘယ်လိုစသုံးရမယ် ဆိုတာကိုတော့ [[Wikipedia:Cheatsheet|တည်းဖြတ်နည်း]] စာမျက်နှာမှာ ကြည့်ပါ။ * တည်းဖြတ်ခြင်းအကြောင်း နှိုက်နှိုက်ချွတ်ချွတ်လေ့လာချင်တယ် ဆိုရင်တော့ [[Wikipedia:ဆောင်းပါးများကို တည်းဖြတ်ခြင်း|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * မေးမြန်းစရာတွေ ရှိတယ်ဆိုရင် [[WP:Q|ဒီနေရာမှာ]] မေးမြန်းနိုင်ပါတယ်။ * သင့်အနေနဲ့ [[WP:Administrators|စီမံခန့်ခွဲသူ]]တစ်ဦးဦးကိုလည်း သူတို့ရဲ့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာကနေတဆင့် ဆက်သွယ်နိုင်ပါတယ်။ * ယူနီကုဒ်ဖောင့် သွင်းဖို့ အခက်အခဲရှိရင် [https://unicodetoday.org/fonts/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ * ဘာကီးဘုတ် သုံးရမလဲ မသိရင် [https://unicodetoday.org/keyboards/ ဒီမှာ] ကြည့်ပါ။ </div> | style="padding:0 0.5em;" | | style="width:55%; vertical-align:top; border:1px solid #abd5f5; background-color:#f1f5fc;" | <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Gnome-applications-utilities.svg|21px|link=|]] '''မှတ်သားဖွယ်ရာများ'''</div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; padding:0.4em 1em 0.3em;"> * စမ်းသပ်ကြည့်ချင်တယ်ဆိုရင် [[Wikipedia:Sandbox|ဒီစာမျက်နှာ]]ကို သုံးပြီး စာမျက်နှာတည်းဖြတ်မှုကို စမ်းသပ်နိုင်ပါတယ်။ * ဆောင်းပါးသစ်တစ်ပုဒ် စတင်ရေးသားချင်တယ်ဆိုရင် [[WP:YFA|သင်၏ ပထမဆုံးဆောင်းပါး]] စာမျက်နှာကို ဖတ်ကြည့်ပါ။ * ဆောင်းပါးသစ်အတွက် အမည်ပေးဖို့ အခက်အခဲရှိနေရင် [[Wikipedia:ဆောင်းပါးခေါင်းစဉ်များ|ဒီစာမျက်နှာကို]] ဖတ်ကြည့်ပါ။ * [[Help:ပုံတင်နည်းလမ်းညွှန်]] မှာ ပုံတင်နည်း၊ ထည့်သွင်းအသုံးပြုနည်းတွေ ရှင်းပြထားပါတယ်။ * [[Wikipedia:ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ|ပုံအသုံးပြုခြင်း မူဝါဒ]] က မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှာ ဘယ်လိုပုံတွေ တင်သင့် မတင်သင့်ဆိုတာကို ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ကူညီပေးပါလိမ့်မယ်။ * ကျေးဇူးပြုပြီးတော့ ဆွေးနွေးချက် စာမျက်နှာတွေမှာ &#126;&#126;&#126;&#126; ရိုက်ထည့်ပြီး သင့်အမည်ကို လက်မှတ်ထိုးပေးပါ။ * သင့်အကောင့်အတွက် [[Special:Preferences#mw-prefsection-gadgets|gadgets]] (custom features) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ * [[wiktionary:my:Wiktionary:သတ်ပုံ|သတ်ပုံကျမ်း]]မှာ စာလုံးပေါင်း၊ သတ်ပုံသတ်ညွှန်းများ စစ်နိုင်ပါတယ်။ </div> <div style="border-bottom:1px solid #abd5f5; background-color:#d0e5f5; padding:0.2em 0.5em; font-size:110%;">[[File:Tango Globe of Letters.svg|21px|link=| ]] '''Welcome!'''</div> <div style="padding:0.4em 1em 0.3em;"> [[File:Nice Cup of Tea.jpg|200px|right|မြန်မာဝီကီပီးဒီးယားမှ လှိုက်လှဲစွာ ကြိုဆိုပါတယ်။ မိတ်ဆွေ စိတ်ပါဝင်စားရာ ကဏ္ဍတွင် ပါဝင်၍ ဆောင်းပါး ရေးသားနိုင်ပါတယ်။]] Welcome to '''Myanmar Wikipedia'''! I hope you enjoy improving and editing this [[ဝီကီပီးဒီးယား|Wikipedia]] project. These pages are especially useful for those who are literate in Burmese. However, even experienced Wikipedians who don't know any Burmese have helped out with other things, such as updating images from Commons, so don't be afraid to improve the wiki any way you can! Remember, someone else can always come later and fix any changes you make that are not perfect. Thank you. </div> |}<!-- Template:Welcome --> --[[အသုံးပြုသူ:Welcome-Bot|Welcome-Bot]] ([[အသုံးပြုသူ ဆွေးနွေးချက်:Welcome-Bot|ဆွေးနွေး]]) ၁၀:၀၈၊ ၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၆ (UTC) 952wvuret1biu16bvqbe8gi6zstd60i