ဝီကီးပီးဒီးယား rkiwiki https://rki.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%93%E1%80%AD%E1%80%80%E1%80%85%E1%80%AC%E1%80%99%E1%80%BB%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%BE%E1%80%AC MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter မီဒီယာ အထူး ဆွီးနွီးချက် အသုံးပြုလူ အသုံးပြုလူ ဆွီးနွီးချက် ဝီကီးပီးဒီးယား ဝီကီးပီးဒီးယား ဆွီးနွီးချက် ဖိုင် ဖိုင် ဆွီးနွီးချက် မီဒီယာဝီကီ မီဒီယာဝီကီ ဆွီးနွီးချက် တမ်းပလိတ် တမ်းပလိတ် ဆွီးနွီးချက် အကူအညီ အကူအညီ ဆွီးနွီးချက် ကဏ္ဍ ကဏ္ဍ ဆွီးနွီးချက် TimedText TimedText talk Module Module talk Event Event talk 0 6274 22014 2026-10-22T12:00:56Z Tejoebārsa 137 Created page with "{{Infobox university | name = နည်းပညာတက္ကသိုလ်(စစ်ကိုင်း) | image = | image_size = | image_alt = | caption = | former_name = အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(စစ်ကိုင်း) | motto = | established = {{start date|၂၀၁၂}} | closed = | type =အများဆိုင် | affiliation = | endowment = | officer_in_charge = | chairman = | chancellor = | president = | vic..." 22014 wikitext text/x-wiki {{Infobox university | name = နည်းပညာတက္ကသိုလ်(စစ်ကိုင်း) | image = | image_size = | image_alt = | caption = | former_name = အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(စစ်ကိုင်း) | motto = | established = {{start date|၂၀၁၂}} | closed = | type =အများဆိုင် | affiliation = | endowment = | officer_in_charge = | chairman = | chancellor = | president = | vice-president = | superintendent = | provost = | vice_chancellor = | rector = | principal = | dean = | director = | head_label = | head = | academic_staff = | administrative_staff = | students = | undergrad = | postgrad = | doctoral = | other_students = | city = [[စစ်ကိုင်းမြို့]] | state = [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]] | province = | country = [[မြန်မာနိုင်ငံ]] | coordinates = | campus = | language = | colours = | athletics = | sports = | sports_nickname = | mascot = | website = {{URL|http://tusgn.moe-st.gov.mm}} | footnotes = }} '''နည်းပညာတက္ကသိုလ်(စစ်ကိုင်း)'''စွာ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[စစ်ကိုင်းမြို့]]၊ ကျောက်ဆစ်ရပ်မာ တည်ဟိရေ။ အကျယ်အဝန်းမာ ၈၆.၉၈ ဧက ဖြစ်တေ။ == သမိုင်းကြောင်း == နည်းပညာတက္ကသိုလ် (စစ်ကိုင်း) ကို ၁၉၉၀ ခုနှစ်၊ စတ်တင်ဘာ ၁၇ ရက်နိမာ စက်မှုလက်မှုအထက်တန်းကျောင်း အဖြစ် စတင်တည်ထောင်ခရေ။ ၁၉၉၈ ခုနှစ်၊ ဒီဇန်ဘာလ ၁ ရက်နိမာ အစိုးရစက်မှုလက်မှုသိပ္ပံအဖြစ်သို့ အဆင့်တိုးမြှင့်ခရေ။ ယပြီးနောက် ၂၀၀၇ ခုနှစ် ဂျန်နဝါရီ ၂၀ ရက်နိမာ အစိုးရနည်းပညာကောလိပ် အဖြစ်သို့၊ ၂၀၁၂ ခုနှစ် ဖေဖဝါရီ ၂၃ ရက်နိမာ နည်းပညာတက္ကသိုလ်အဆင့်အဖြစ်သို့ တိုးမြှင့်ဖွင့်လှစ်ခရေ။<ref>{{cite web|url=http://tusgn.moe-st.gov.mm/?page_id=8|title=Background History|accessdate=၁၃ စတ်တင်ဘာ ၂၀၁၆|archivedate=31 December 2016|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161231140236/http://tusgn.moe-st.gov.mm/?page_id=8}}</ref> == ကိုးကား == {{reflist}} == ပြင်ပလင့်ခ်တိ == *{{Official|http://tusgn.moe-st.gov.mm}} {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] [[Category:စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအထဲက တက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံတိ နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] {{Myanmar-university-stub}} aapyf1ha3fc7usqo0h7x15fj0pbbeby 0 6275 22015 2026-10-22T12:08:04Z Tejoebārsa 137 Created page with "'''ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် (မြိတ်)''' (အယင် နည်းပညာတက္ကသိုလ်(မြိတ်))စွာ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြိတ်မြို့နယ်]]၊ ကျောက်ဖျာကျေးရွာအုပ်စု၊ ကဘင်းရွာ၊ မြိတ်မြို..." 22015 wikitext text/x-wiki '''ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် (မြိတ်)''' (အယင် နည်းပညာတက္ကသိုလ်(မြိတ်))စွာ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြိတ်မြို့နယ်]]၊ ကျောက်ဖျာကျေးရွာအုပ်စု၊ [[ကဘင်းရွာ၊ မြိတ်မြို့နယ်|ကဘင်းရွာ]]မာ တည်ဟိပြီး ဧက ၁၀၇.၈၉ <ref name="mts">{{cite book |title= တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီး မြိတ်ခရိုင် အထွေထွေအုပ်ချုပ်ရီးဦးစီးဌာန မြိတ်မြို့နယ် ဒေသဆိုင်ရာအချက်အလက်တိ|date= September 2019|page= 67|url= https://www.moi.gov.mm/local-info/3036 |accessdate=October 9, 2020}}</ref>ကျယ်ဝန်းရေ။ ၁၉၉၉ ခုနှစ် အောက်တိုဘာ ၂၇ မာ အစိုးရနည်းပညာသိပ္ပံအဖြစ် စတင်ဖွင့်လှစ်ခပြီးကေ ၂၀၀၂ ခုနှစ် ဂျန်နဝါရီမာ အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်အဖြစ် အဆင့်မြှင့်တင်ခရေ။ ၂၀၀၇ ခုနှစ် ဂျန်နဝါရီမာ တက္ကသိုလ်အဆင့်သို့ တိုးမြှင့်ခရေ။ ၂၀၁၉ မာ ဆရာ၊ ဆရာမဦးရွီ ၉၅ ဦးနန့် ကျောင်းသားဦးရွီ ၇၃၅ ဦးဟိရေ။<ref name="mts" /> ၂၀၂၄ ခုနှစ် နိုဗန်ဘာလ ၂၁ ရက်နိမာ မြိတ်ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်နန့် မြိတ်နည်းပညာတက္ကသိုလ်နှစ်ခုအား ပူးပေါင်းကာ ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် (မြိတ်) အဖြစ် ဖွင့်လှစ်ခရေ။<ref>{{cite news |last1=Watch |first1=Dawei |title=ထားဝယ်နန့်မြိတ်မာ စစ်ကောင်စီက ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် ပြိုင်တူဖွင့်လှစ် |url=https://www.daweiwatch.com/23/11/2024/101667/ |access-date=၂၆ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ |work=Dawei Watch |date=၂၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ |language=en}}</ref> ==သင်ကြားရီးဌာနတိ== *မြို့ပြအိန်ဂျန်နီယာဌာန *အီလက်ထရွန်းနစ်နန့် ဆက်သွယ်ရီးအိန်ဂျန်နီယာဌာန *လျှပ်စစ်စွမ်းအားအိန်ဂျန်နီယာဌာန *စက်မှုအိန်ဂျန်နီယာဌာန *စာပီဘာသာရပ်ဌာတိ (မြန်မာစာနန့် အိန်းဂလိချ်စာ) *ဓာတုဗေဒဌာန *ရူပဗေဒဌာန *သင်္ချာဌာန ==သင်တန်းတိ== {| class="wikitable" |- ! စဉ် !! ဘွဲ့ကြိုသင်တန်းတိ !! ဘွဲ့ဒီဂရီ !! class="Duration" | သင်တန်းကာလ |- | ၁ || မြို့ပြအိန်ဂျန်နီယာဒီပလိုမာ || A.G.T.I || ၂ နှစ် |- | ၂ || လျှပ်စစ်စွမ်းအားအိန်ဂျန်နီယာဒီပလိုမာ || A.G.T.I || ၂ နှစ် |- | ၃ || စက်မှုအိန်ဂျန်နီယာဒီပလိုမာ || A.G.T.I || ၂ နှစ် |- | ၄ || အီလက်ထရွန်းနစ်နန့် ဆက်သွယ်ရီးအိန်ဂျန်နီယာဒီပလိုမာ || A.G.T.I || ၂ နှစ် |} {| class="wikitable" |- ! စဉ် !! ဘွဲ့သင်တန်းတိ !! ဘွဲ့ဒီဂရီ !! class="Duration" | သင်တန်းကာလ |- | ၁ || [[အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့]] (မြို့ပြ) || B.E || ၆ နှစ် |- | ၂ || အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့ (လျှပ်စစ်စွမ်းအား) || B.E || ၆ နှစ် |- | ၃ || အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့ (စက်မှု) || B.E || ၆ နှစ် |- | ၄ || အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့ (အီလက်ထရွန်းနစ်နန့် ဆက်သွယ်ရီး) || B.E || ၆ နှစ် |} {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] [[Category:တနင်္သာရီတိုင်းဒေသကြီးအထဲက တက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်တိ]] {{Myanmar-university-stub}} ie0vt1wy8uf3vgipo50dihkb4innkhf 0 6276 22016 2026-10-22T12:13:43Z Tejoebārsa 137 Redirected page to [[ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် (မြိတ်)]] 22016 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် (မြိတ်)]] 4ayfszrzntskpauxajmhu0ou4iwfagz 0 6277 22017 2026-10-22T12:24:07Z Tejoebārsa 137 Created page with "{{Infobox university|name=နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်|image= |image_size=|image_alt=|caption=|former_name=|motto=|established=*{{start date| 2019|12}} {{small|( အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(နေပြည်တော်))}} *၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂ {{small|(တက္ကသိုလ်)}}|closed=|type=အများဆိုင်|affiliation=အဆ..." 22017 wikitext text/x-wiki {{Infobox university|name=နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်|image= |image_size=|image_alt=|caption=|former_name=|motto=|established=*{{start date| 2019|12}} {{small|( အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(နေပြည်တော်))}} *၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂ {{small|(တက္ကသိုလ်)}}|closed=|type=အများဆိုင်|affiliation=[[အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနန့် နည်းပညာဦးစီးဌာန]]၊ [[သိပ္ပံနန့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန]]|endowment=|officer_in_charge=|chairman=|chancellor=|president=|vice-president=|superintendent=|provost=|vice_chancellor=|rector|pro_rector=က principal =|dean=|director=|head_label=|head=|academic_staff=|administrative_staff=|students=|undergrad=|postgrad=|doctoral=|other_students=|city=|province=[[မင်္ဂလာဒီပရပ်ကွက်]] [[ပုဗ္ဗသီရိမြို့နယ် ]], [[နေပြည်တော်]]|country=[[မြန်မာနိုင်ငံ]]|coordinates=|campus=|language=|colours=|athletics=|sports=|sports_nickname=|mascot=|website={{URL|https://www.nspu.edu.mm/}}|logo=|logo_size=|logo_alt=|footnotes=}} '''နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ် ''' ({{lang-en|Naypyitaw State Polytechnic University}}) သည် နေပြည်တော်ကောင်စီနယ်မြီ၊ ပုဗ္ဗသီရိမြို့နယ်ဟိ ကွန်ပျူတာနန့် [[မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ|နည်းပညာတက္ကသိုလ်]]ဖြစ်တေ။ [[သိပ္ပံနန့် နည်းပညာ ဝန်ကြီးဌာန]]၊ [[အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနန့် နည်းပညာဦးစီးဌာန|အဆင့်မြင့် သိပ္ပံနန့်နည်းပညာဦးစီးဌာန]] လက်အောက်က တက္ကသိုလ်ဖြစ်တေ။[https://www.nspu.edu.mm/?page_id=102] == တည်နီရာ == နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်စွာ [[နီပြည်တော်မြို့|နေပြည်တော်]] [[ဇမ္ဗူသီရိမြို့နယ်]] ဓနသိဒ္ဓိရပ်ကွက်အတွင်းမာ တည်ဟိရေ။<ref>{{cite web|url=https://www.moi.gov.mm/news/32270|title=နေပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ် ဖွင့်ပွဲအခမ်းအနားကျင်းပ နိုင်ငံ‌တော်စီမံအုပ်ချုပ်ရီးကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီးမင်းအောင်လှိုင် တက်ရောက်ဖွင့်လှစ်|work=MOI|access-date=၇ ဖေဖဝါရီ ၂၀၂၃ |date=၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂ }}</ref> == သမိုင်းကြောင်း == နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်သည် ၂၀၂၄ ခုနှစ် နိုဝင်လှာလ ၂၁ ရက်နိမာ နေပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ် အား ပြောင်းလဲဖွင့်လှစ်ခခြင်း ဖြစ်တေ။<ref>{{cite news |title=Naypyitaw State Polytechnic University ကို နိုင်ငံ့ထိပ်တန်းတက္ကသိုလ်ကြီး တခု ဖြစ်လှာစီဖို့ရည်ရွယ်လို့ တိုးချဲ့ဖွင့်လှစ်ခရေလို့ နစကဥက္ကဋ္ဌ ပြော {{!}} Popular |url=https://www.popularmyanmar.com/naypyitaw-state-polytechnic-university-%E1%80%80%E1%80%AD%E1%80%AF-%E1%80%94%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%84%E1%80%B6%E1%80%B7%E1%80%91%E1%80%AD%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%94/ |access-date=၂၆ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄ |date=၂၁ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၄}}</ref> နေပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို ၂၀၂၂ ခုနှစ် နိုဗန်ဘာလ မှ ဖွဲ့စည်းတည်ထောင်ခရေ။ မြန်မာနိုင်ငံဟိ အိန်ဂျန်နီယာပိုင်းဆိုင်ရာ ကျောင်းတိအနက် တခုအပါအဝင်ဖြစ်တေ။ အယင်က အစိုးရနည်းပညာ ကောလိပ်(နေပြည်တော်)အဖြစ်ဟိခရေ ကျောင်းတခုလည်းဖြစ်တေ။<ref>{{cite web|url=https://myawady.net.mm/node/17263|title=အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(နေပြည်တော်)ကို ကိုဗစ်စည်းကမ်းတိနန့်အညီ ဖွင့်လှစ်နိုင်ရီးပြင်ဆင်နိန်|work=MWD Webportal|access-date=၇ ဖေဖဝါရီ ၂၀၂၃ }}</ref> နေပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ် ကို ၂၀၂၂ ခုနှစ် နိုဝင်ဘာ ၁၂ ရက်နိမာ [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရီးကောင်စီ ဥက္ကဋ္ဌ|နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရီးကောင်စီ]]ဥက္ကဋ္ဌက ဖွင့်လှစ်ပီးခရေ။<ref>{{cite web|url=https://cincds.gov.mm/node/20106?d=1|title=နေပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ် ဖွင့်ပွဲအခမ်းအနားကျင်းပ နိုင်ငံ‌တော်စီမံအုပ်ချုပ်ရီးကောင်စီဥက္ကဋ္ဌ နိုင်ငံတော်ဝန်ကြီးချုပ် ဗိုလ်ချုပ်မှူးကြီး မင်းအောင်လှိုင် တက်ရောက်ဖွင့်လှစ်|work=CINCDS|access-date=၇ ဖေဖဝါရီ ၂၀၂၃ |date=၁၂ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂ }}</ref> တက္ကသိုလ်အဆင့် မမြှင့်တင်မီ မူလက ၂၀၁၈-၂၀၁၉ ဘဏ္ဍာနှစ် စီမံကိန်းရန်ပုံငွီဖြင့် ၂၀၁၈ ခုနှစ် သြဂတ်လမာ နီပြည်တော် ဇမ္ဗူသီရိမြို့နယ် ဓနသိဒ္ဓိရပ်ကွက်အထဲဟိ မြေအကျယ် ၂၂ ဧကပေါ်မာ အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(နီပြည်တော်)ကို တည်ဆောက်ခခြင်းဖြစ်ပြီးကေ ၂၀၁၉-၂၀၂၀ ပညာသင်နှစ် ဒီဇန်ဘာလမာ စတင်ဖွင့်လှစ်သင်ကြားခြင်းတိ ဆောင်ရွက်ခရေ။ == သင်ကြားရီးဌာနတိ == (၁) မြို့ပြအိန်ဂျန်နီယာ (၂) အီလက်ထရွန်းနစ်အိန်ဂျန်နီယာ (၃) လျှပ်စစ်စွမ်းအားအိန်ဂျန်နီယာ (၄) စက်မှုအိန်ဂျန်နီယာ (၅) ကွန်ပျူတာအိန်ဂျန်နီယာနန့် သတင်းအချက်အလက်နည်းပညာ (၆) ဗိသုကာ<ref>{{cite web|url=https://www.myanmardigitalnewspaper.com/my/nepnnytteaa-nnnypnnyaattkksiulkiu-2022-2023-pnnyaasngncttng-cttngphnglcmnny|title=နေပြည်တော် နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကို (၂၀၂၂-၂၀၂၃) ပညာသင်နှစ်မာ စတင်ဖွင့်လှစ်မည်|work=Myanmar Digital News|access-date=၇ ဖေဖဝါရီ ၂၀၂၃|date=၂၆ သြဂတ် ၂၀၂၂|archive-date=16 November 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20221116094009/https://www.myanmardigitalnewspaper.com/my/nepnnytteaa-nnnypnnyaattkksiulkiu-2022-2023-pnnyaasngncttng-cttngphnglcmnny}}</ref> == ဝင်ခွင့်စနစ် == ဘွဲ့သင်တန်းတိအား ၂၀၂၂ ခုနှစ်၊ တက္ကသိုလ်ဝင်ခွင့် စာမီးပွဲဖြီဆို အောင်မြင်သူတိမှ အိန်းဂလိချ်စာ၊ သင်္ချာ၊ ရူပဗေဒ၊ ဓာတုဗေဒ (၄)ဘာသာ ရမှတ် (အများ/အနည်း)ပေါ်မူတည်ပနာ ရွီးချယ် တက်ရောက်ခွင့်ပြုရေ။<ref>{{cite web|url=http://dast.edu.mm/?p=254|title=နီပြည်တော်နည်းပညာတက္ကသိုလ် ဝင်ခွင့်လျှောက်ထားနိုင်ရီး အရည်အခြင်းသတ်မှတ်ချက်တိနန့် ဝင်ခွင့်ဦးစားပီး ပြောင်းလဲလျှောက်ထားရဖို့လှောက်လွှာပုံစံ ရယူနှိုင်ကြောင်းအသိပီးကြေညာခြင်း|work=အဆင့်မြင့်သိပ္ပံနန့်နည်းပညာဦးစီးဌာန|access-date=၇ ဖေဖဝါရီ ၂၀၂၃|archive-date=16 November 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20221116094010/http://dast.edu.mm/?p=254}}</ref> == ဝေဖန်ချက်တိ == ၁၉၉၀ခုနှစ် နောက်ပိုင်းမှစပြီးကေ မြန်မာနိုင်ငံမာ နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ တိုးချဲ့ဖွင့်လှစ်လာရာ အိန်ဂျန်နီယာအရွီအတွက်သာ များပြာလာယား အရည်အသွီးအဆင့်မီဖို့လိုအပ်ချက်ကြီးမားနိန်ခြင်းကြောင့် အဂုပိုင် ထပ်မံဖွင့်လှစ်ခြင်းစွာ အကျိုးမဟိနှိုင်ကြောင်း နည်းပညာတက္ကသိုလ်ကျောင်းသားတိက ဝေဖန်ခကတ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် [[၂၀၂၁ မြန်မာနိုင်ငံစစ်အာဏာသိမ်းခံရခြင်း|၂၀၂၁ ခုနှစ် စစ်အာဏာသိမ်းမှု]]အပြီး ဆရာ၊ ဆရာမတိ [[အာဏာဖီဆန်ရီး ပြည်သူ့လှုပ်ယှားမှု|အကြမ်းမဖက်အာဏာဖီဆန်ရီးလှုပ်ယှားမှု]] CDMမာ ပါဝင်နီကက်သဖြင့် ဝန်ထမ်းအင်အား နည်းပါးနိန်ချိန်မာ [[နိုင်ငံတော်စီမံအုပ်ချုပ်ရီးကောင်စီ|အာဏာသိမ်းစစ်ကောင်စီ]]က တက္ကသိုလ်အသစ်ဖွင့်လှစ်လိုက်မှုအပေါ် ဝေဖန်ခြင်းဖြစ်တေ။ <ref>[https://www.bbc.com/burmese/articles/c3gkdz1jprro နေပြည်တော်မာ နည်းပညာတက္ကသိုလ်အသစ် စစ်ကောင်စီဖွင့်လှစ်]။ ''BBC News မြန်မာ'' (၁၃ နိုဝင်ဘာ ၂၀၂၂)။ ၂၂ သြဂတ် ၂၀၂၃မာ ပြန်စစ်ပြီး။</ref> == ကိုးကား == <references /> {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံက ကွန်ပျူတာတက္ကသိုလ်တိ]] [[ကဏ္ဍ:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] 97gg6qw5w5ioax6oympor35cmjwas38 0 6278 22018 2026-10-22T12:24:54Z Tejoebārsa 137 Redirected page to [[နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်]] 22018 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[နေပြည်တော်ပိုလီတက္ကနစ်တက္ကသိုလ်]] shcqy0am3c4vkwxsl5rqjfy4lh9kdd1 0 6279 22019 2026-10-22T14:49:00Z Retkhaberi 224 Created page with "{{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:6sided dice.jpg|thumb|အရောင်လေးမျိုးဟိရေ ခြောက်မျက်နှာပါ အန်စာတုံးလေးတုံး။ ဖြစ်နှိုင်ခြီဟိရေ မျက်နှာပြင် ခြောက်ခုစလုံးကို မြင်တွိနှိုင်ရေ။]] '''ဖြစ်တန်စွမ်..." 22019 wikitext text/x-wiki {{တမ်းပလိတ်:ဖြစ်တန်စွမ်း}} [[File:6sided dice.jpg|thumb|အရောင်လေးမျိုးဟိရေ ခြောက်မျက်နှာပါ အန်စာတုံးလေးတုံး။ ဖြစ်နှိုင်ခြီဟိရေ မျက်နှာပြင် ခြောက်ခုစလုံးကို မြင်တွိနှိုင်ရေ။]] '''ဖြစ်တန်စွမ်း (probability)''' ဆိုရေ ဝေါဟာရမာ အဓိပ္ပာယ်များစွာ ဟိရေ။ သမိုင်းကြောင်းအရ လက်တင်စကားလုံး '''probabilitas''' မှ ဆင်းသက်လာယား သေချာမှု (certainty) သဘောတရား၏ ဆန့်ကျင်ဘက်ကို ရည်ညွှန်းရေ။ ယင်းသည် [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်တခု၏]] (event) '''ဖြစ်နှိုင်ခြီဟိရေ (probable)''' သဘာဝကို အကဲဖြတ်ခြင်းလည်း ဖြစ်တေ။ ဆိုလိုစွာမှာ ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုးတခုသည် ယင်း၏ သေချာမှုအတိုင်းအစွာကို (degree of certainty) ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း ဖြစ်တေ။ ဖြစ်တန်စွမ်းသည် တိကျသော သင်္ချာသိပ္ပံပညာရပ် (mathematical science) တခုအဖြစ် တိုးတက်လာခပြီး ယင်းကို '''ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီ (probability theory)''' တနည်း '''ဖြစ်တန်စွမ်းများ (probabilities)''' ဟု ရိုးယှင်းစွာ ခေါ်ဆိုကတ်ရေ။ အဖြစ်အပျက်တခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းသည် သုည နန့် တစ် ကြားဟိ [[ကိန်းစစ်]] (real number) တခု ဖြစ်တေ။ ဒေကိန်းဂဏန်း ပိုကြီးလေ အဖြစ်အပျက် ဖြစ်ပေါ်လှာရန် '''စွန့်စားရနိုင်ခြေ (risk)''' တနည်း '''ဖြစ်နှိုင်ခြီ (likelihood)''' ပိုပြီးကေများလေ ဖြစ်တေ။ ဖြစ်တန်စွမ်းကို သိပ္ပံနည်းကျ လိလာခြင်းစွာ သင်္ချာသမိုင်းမာ တအောင့်လောက်ကမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်း ဖြစ်တေ။ အချို့ ဖြစ်စိုင်များ အထူးအနိန်နန့် ကံစမ်းကစပ်နည်းတိ၏ (games of chance) ကျပန်းဖြစ်မှု (randomness) နန့် ပင်ကိုအားဖြင့် ကြိုတင်လှောက်မှန်းလို့မရနှိုင်သော သဘာဝတိကို လိလာခြင်းကြောင့် ဆယ့်သျှစ်ရာစုကနိန်စပြီးကေ ဖြစ်တန်စွမ်း လိလာမှုသည် သိသိသာသာ တိုးတက်ပါလတ်တေ။ ဒေစူးစမ်းလီ့လာမှုတိက သင်္ချာပညာသျှင်တိကို သီအိုရီတခုအား ပုံစံတကျ ဖြစ်ယောင် (formalize) ပြုလုပ်စီခရေ။ ထိုသီအိုရီသည် နောက်ပိုင်းမာ မိုးလီဝသပညာ (meteorology)၊ ဘဏ္ဍာရီး (finance) နန့် ဓာတုဗေဒ (chemistry) ပိုင်ယှောင် ကွဲပြားရေ နယ်ပယ်များမာ အသုံးချမှုတိကို တွိဟိခရေ။ == အဖြစ်အပျက်တခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းတိ (Probabilities of an Event) == ဖြစ်တန်စွမ်းစွာ ကျပန်းဖြစ်မှုကို (randomness) ကိန်းဂဏန်းဖြင့် ဖော်ပြဖို့ တိုင်းတာမှု (measure) တခု ဖြစ်တေ။ နှစ်ဆယ်ရာစုအစောပိုင်းမာ ရဟိခရေ သင်္ချာနည်းကျ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းစွာ (formalization) ဒေနိန့်ထိအောင် စံအဖြစ် တည်ဟိနီတုန်း ဖြစ်တေ။ [[အဖြစ်အပျက်]] <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို <math>\mathbb{P}(A)</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အဖြစ်အပျက် ဖြစ်ပေါ်လှာဖို့ ဖြစ်နှိုင်ခြီကို ကိုယ်စားပြုရေ သုည နန့် တ ကြားဟိ တန်ဖိုးတခုကို သတ်မှတ်ပီးရေ။ တကယ်လို့ <math>\mathbb{P}(A)=1</math> ဖြစ်ကေ ယင်းအဖြစ်အပျက်ကို အားလုံးနီးပါး သေချာရေ အဖြစ်အပျက် (almost sure event) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် တကယ်လို့ <math>\mathbb{P}(A)=0</math> ဖြစ်ကေ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ကို သုည အဖြစ်အပျက် (null event) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ ယင်းအဖြစ်အပျက်တိစွာ ဖြစ်ပေါ်လှာရန် ဖြစ်တန်စွမ်း သုညဖြစ်ကြောင်း ညွှန်ပြရေ။ အထူးအနိန်နန့် စမ်းသပ်မှုတခုကို (experiment) တူညီရေ အခြီအနီများအောက်မာ အရာထခါ ပြုလုပ်နှိုင်ဗျာယ်း အောင်မြင်သော ရလဒ်တိကို (outcomes) ဇယားပြုစုနှိုင်ရေအခါမှ အဖြစ်အပျက်တခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို ကြိမ်ဖန်တရာ အခြီခံသော ချိုင်းကပ်မှု (frequentist approach) ကို အသုံးပြုပနာ အကဲဖြတ်နှိုင်ရေ။ သင်္ချာနည်းအရ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ကို အခြီခံ ရလဒ်များ (elementary outcomes) အားလုံး ပါဝင်ရေ [[ဥပမာ ရပ်ဝန်း|ဥပမာရပ်ဝန်း]] (sample space) <math>\Omega</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်း]] (subset) တခုအဖြစ် ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားရေ။ တိကျနနောင်းသော သီအိုရီ အခြီခံအုတ်မြစ်တခု တည်ဆောက်ရန် အန်ဒရီး ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် (Andrey Kolmogorov) သည် အောက်ပါ ဖြစ်တန်စွမ်း [[မူလမှန်အဆို|မူလမှန်အဆိုများ]] (probability axioms) ကို မိတ်ဆက်ခရေ။ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) <math>\mathbb{P}</math> သည် အောက်ပါရို့ကို ပြည့်စုံစီရေမည်။ # ဇာ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> အတွက်မဆို <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math> ဖြစ်တေ။ # <math> \mathbb P(\Omega) = 1</math> ဖြစ်တေ။ # <math> A\cap B=\emptyset</math> ဟု ပီးထားပါက <math> \mathbb P(A \cup B)=\mathbb P(A) + \mathbb P(B)</math> ဖြစ်တေ။ ပိုပြီးကေတိကျနနောင်းစွာ ဆိုရကေ ဥပမာရပ်ဝန်း <math>\Omega</math> သည် စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ (σ-algebra) <math>\mathcal A</math> တခုနန့် တပ်ဆင်ထားရေ။ အဖြစ်အပျက်တိကို ဒေ စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ၏ အစုဝင်တိအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရေ။ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) <math>P</math> သည် စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ <math>\mathcal A</math> မှ အပိုင်းအရာ <math>[0,1]</math> သို့ ပုံဖော်ပီးရေ [[ဖန်ရှင်]] (function) တခု ဖြစ်ပြီးကေ အထက်ပါ မူလမှန်အဆိုတိကို လိုက်နာရေ။ ဒေနီရာမာ တတိယ မူလမှန်အဆိုကို စုံတွဲအလိုက် ဘုံမပါရေ (pairwise disjoint) အဖြစ်အပျက်တိ၏ ရွီတွက်နှိုင်ရေ ပေါင်းစပ်နိုင်မှုအထိ (countable additivity) တိုးချဲ့ထားရေ။ အဖြစ်အပျက်တခု၏ ဖြစ်ပေါ်မှု တနည်း ဖြစ်တန်စွမ်းသည် အရာတခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်းနန့် ပတ်သက်ပြီးကေ ဇာ သတင်းအချက်အလက်မျှ မပေးကေ အဖြစ်အပျက် နှစ်ခုကို '''အမှီအခိုကင်းသော (independent)''' အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ သင်္ချာနည်းအရ ဒေအခြီအနီကို <math> \mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)</math> ဟု ဖော်ပြရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် ခြောက်မျက်နှာပါ အန်စာတုံးတခုကို ခေါက်လို့ <math>1</math> ရဟိရန် ဖြစ်တန်စွမ်းနန့် နောက်ထပ် အမှီအခိုကင်းသော ဒုတိယအကြိမ် ခေါက်ရာမာ <math>1</math> ရဟိရန် ဖြစ်တန်စွမ်းသည် ယင်းရို့၏ သီးသန့် ဖြစ်တန်စွမ်းတိ၏ (marginal probabilities) မြှောက်လဒ်ဖြစ်ပြီးကေ <math>1/36</math> ဖြစ်တေ။ ဒေမူဘောင်သည် အဖြစ်အပျက် <math>B</math> ဖြစ်ပေါ်မှုအပေါ် အခြီခံပနာ အဖြစ်အပျက် <math>A</math> ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းကို '''ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် (conditionally)''' အကဲဖြတ်ခြင်းကိုလေ့ ခွင့်ပြုရေ။ <math>A</math> နန့် <math>B</math> ရို့စွာ အမှီအခိုကင်းသော အခြီအနီမဟုတ်ရေအခါ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်း၏ (conditional probability) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် <math> \mathbb P(A\mid B)=\mathbb P(A\cap B)/\mathbb P(B)</math> အရ တခု၏ ဖြစ်ပေါ်မှုသည် အရာတခု၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို (probability distribution) ပြောင်းလဲစီရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် ပထမ အန်စာတုံးမာ <math>6</math> ပြထားကြောင်း သိဟိထားကေ စံ အန်စာတုံး နှစ်တုံး၏ ပေါင်းလဒ်သည် <math>12</math> နန့် ညီမျှရန် ဖြစ်တန်စွမ်းမာ <math>1/6</math> ဖြစ်တေ။ သပွတ်အူလိုက် ဖြစ်တန်စွမ်းတိကို အကဲဖြတ်ရန် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ တရားသီနည်း မကန်မဝှန် တည်ဟိရေ။ စံ သီအိုရီများမာ '''ထည့်သွင်း-ဖယ်ကြဉ် မူဝါဒ (inclusion-exclusion principle)''' ပါဝင်ရေ။ ယင်းချင့်အပြင် '''စုစုပေါင်း ဖြစ်တန်စွမ်း နိယာမ (law of total probability)''' နန့် '''ဖီးစ် ၏ သီအိုရမ် (Bayes' theorem)''' ရို့လေ့ ပါဝင်ရေ။ == ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီ (Probability Theory) == ပတ်စကယ် ၏ တိုက်တွန်းမှုကြောင့် ခရစ္စတီယန် ဟိုင်းဂန် သည် ၁၆၅၇ ခုနှစ်မာ '''De ratiociniis in ludo aleae''' (ကံစမ်းကစပ်နည်းများမာ ကျိုးကြောင်းဆင်ခြင်ခြင်းအကြောင်း) ကို ထုတ်ဝီခရေ။ ဒေစာသားသည် ဖြစ်တန်စွမ်းနန့် ပတ်သက်ရေ ပထမဆုံး ပြည့်စုံသော ကျမ်းအဖြစ် ရပ်တည်ဗျာယ်ဟိရေ။ ထိုကျမ်းမာ ဟိုင်းဂန် သည် မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value) သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခပြီးကေ လောင်းကစပ်တိကို ခွဲဝီခြင်းနန့် မဲပုံးမော်ဒယ်တိကို (urn models) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာနည်းကျ ချိုင်းကပ်မှုတိကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခရေ။<ref>{{Citation |title=Probabilities: Historical approach and definition. |url=http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=9 July 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120709182251/http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html |url-status=dead }}</ref> အရာ အခြီခံကျသော စာသားနှစ်ခုရို့မာ ဂျေးကော့ ဘာနူးလီ ကွယ်လွန်ပြီးကေ ထုတ်ဝီသော '''Ars Conjectandi''' (၁၇၁၃) နန့် အေဗရာဟမ် ဒီ မွိုင်ဗာ (Abraham de Moivre) ၏ '''The Doctrine of Chances''' (၁၇၁၈) ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။ ဘာနူးလီ ၏ စာအုပ်သည် ကျပန်းကိန်းရှင် (random variable) သဘောတရားကို မိတ်ဆက်ပီးခပြီးကေ ကြီးမားရေ ကိန်းများဆိုင်ရာ နိယာမ၏ (law of large numbers) အစောဆုံး ဖော်ပြချက်ကို ပံ့ပိုးပီးခရေ။<ref>{{Citation |title=A history of probability up to Laplace |url=http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=24 November 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061124101450/http://cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html |url-status=dead }}</ref> ဒီ မွိုင်ဗာ ၏ စာအုပ်သည် ဖြစ်တန်စွမ်းအတွက် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ၏ (combinatorics) အသုံးချမှုကို များစွာ ကျယ်ပြန့်စီခရေ။<ref>{{Citation |last=Hacking |first=Ian |title=The Emergence of Probability |date=1975}}</ref> ၁၈၉၇ ခုနှစ်မာ အီမိုင်း ဘိုရဲလ် (Émile Borel) ၏ အတိုင်းအတာသီအိုရီနန့် (measure theory) တိုင်းတာနှိုင်ရေ [[အစု|အစုများ]] (measurable sets) မိတ်ဆက်ခြင်းအပြီးမာ စံပြ ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီသည် (classical probability theory) ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဘာသာရပ်တခုအဖြစ် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲပါလတ်တေ။ ဒေအတိုင်းအတာသီအိုရီအခြီခံ ဥပမာပုံစံကို အွန်ရီ လီဘက်ဂ် (Henri Lebesgue) မှ ယင်း၏ အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) သီအိုရီကတဆင့် စနစ်တကျ ချဲ့ထွင်ခရေ။<ref>{{Citation |title=History of probability from Borel to the Second World War |url=http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=24 November 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061124102720/http://cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html |url-status=dead }}</ref> ဗဟိုစုဆုံမှတ် သီအိုရမ်၏ (central limit theorem) ပထမဆုံး ခေတ်သစ်ပုံစံကို ၁၉၀၁ ခုနှစ်မာ အလက်ဇန္ဒား လီယာပူးနော့ဗ် (Aleksandr Lyapunov) မှ ဖော်ထုတ်ခပြီးကေ<ref>{{Citation |title=Between De Moivre and Laplace |url=http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/smel/articles/etoiles/cadre_etoiles.html}}</ref> ၁၉၁၀ ခုနှစ်မာ ပေါလ် လေဗီ (Paul Lévy) မှ ခေတ်သစ်သီအိုရမ်၏ ပထမဆုံး တိကျနနောင်းသော သက်သီပြချက်ကို ပံ့ပိုးပီးခရေ။ ၁၉၀၂ ခုနှစ်မာ အန်ဒရီး မားကော့ဗ် (Andrey Markov) သည် ကြီးမားရေ ကိန်းများဆိုင်ရာ နိယာမကို အမှီအခိုဟိရေ ကိန်းရှင်တိ၏ (dependent variables) ကိန်းစဉ်တိပါးသို့ (sequences) ယေဘုယျပြုဖို့ မူဘောင်တခုအနိန်နန့် မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းများ (Markov chains) ကို မိတ်ဆက်ခရေ။<ref>{{Citation |title=DicoMaths: Markov Chain |url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/markov.html |access-date=10 August 2026 |archive-date=14 June 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150614102230/http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=.%2Fm%2Fmarkov.html |url-status=dead }}</ref> မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းတိစွာ နောက်ပိုင်းမာ ဘရောင်းနီးယန်း ရွိမှုကပင် (Brownian motion) ဂူဂဲလ်၏ ပေ့ချ်ရန့် (PageRank) ပိုင်ယှောင် ခေတ်သစ် အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းတိအထိ (algorithms) ဖြစ်စိုင်တိကို မော်ဒယ်တည်ဆောက်ဖို့အတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံ ဖြစ်လာခရေ။ ၁၉၃၃ ခုနှစ်သို့ရောက်မှရာ ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီသည် အသုံးချ နည်းစနစ်တိ၏ ကရားကထား စုစည်းမှုတခုမှ အန်ဒရီး ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် ၏ မူလမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြီခံတိနန့် (axiomatic foundations) အမြဲတမ်း ခိုင်ခံ့စွာ ကျောက်ချထားရေ တိကျနနောင်းပြီး ကိုယ်တိုင်ရပ်တည်နှိုင်ရေ သင်္ချာဘာသာရပ်တခုအဖြစ် ကူးပြောင်းလားခီရေ။<ref>{{Citation |title=An article on the establishment of the axiomatization of probabilities |url=http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf}}</ref> ၁၉၄၀ ပြည့်လွန်နှစ်များမာ ကီယိုရှီ အီတိုး (Kiyoshi Itô) သည် [[ကဲကုလပ်|စဖိကတ်စတစ် ကဲကုလပ်]] (stochastic calculus) မူဘောင်ကို တီထွင်ခပြီးကေ အီတိုး ၏ အထောက်အကူပြု သီအိုရမ်ကို (Itô's lemma) ဖော်ထုတ်ခရေ။<ref>{{Citation |title=Biography of Itô on the MacTutor site |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ito.html}}</ref> ဒေကြီးမားရေ တိုးတက်မှုသည် စဖိကတ်စတစ် ကဲကုလပ်နန့် [[ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း|ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ]]အကြား (partial differential equations) သေချာရေရာသော အချိတ်အဆက်တခုကို တည်ဆောက်ခပြီးကေ ဖြစ်တန်စွမ်းကို စံပြ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနန့် (classical analysis) ပေါင်းစည်းပီးခရေ။ တစ်ချိန်တည်းမာပင် သင်္ချာပညာသျှင် ဝုဖ်ဂန် ဒိုဘလင် (Wolfgang Doeblin) သည် ၁၉၄၀ ပြည့်နှစ် ဂျုန်လမာ ယင်း၏ စစ်တပ်ယှုံးနိမ့်ပြီးကေ ကိုယ့်ကိုယ်ကို အဆုံးစီရင်ခြင်း မပြုမီ ယင်းနည်းပိုင် သီအိုရီမူဘောင်တခုကို အမှီအခိုကင်းစွာ တွက်ချက်ဖော်ထုတ်ခရေ။ သိပ္ပံအကယ်ဒမီမာ ချိပ်ပိတ်ပနာ အပ်နှံထားရေ သူ၏ လက်ရီးမူတိစွာ ၂၀၀၀ ပြည့်နှစ်အထိ ဖွင့်မကြည့်ဘဲ ကျန်ဟိနီခရေ။<ref>{{Citation |last1=Bru |first1=Bernard |last2=Yor |first2=Marc |title=Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin |journal=C. R. Acad. Sci. Paris, Series I |volume=331 |date=2000}}. On Doeblin's life, see {{Citation |last=Bru |first=Bernard |title=La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les archives parisiennes |journal=Math. Inform. Sci. Humaines |volume=119 |date=1992 |pages=5-51}} and {{Citation |title=Biography of Doeblin on the MacTutor site |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Doeblin.html}}</ref> === မူလမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း (Axiomatization) === နှစ်ဆယ်ရာစုအစောပိုင်းမာ ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် သည် ကျပန်းဖြစ်မှုကို (randomness) တိကျနနောင်းသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ လိလာမှုပြုလုပ်ဖို့ လိုအပ်ရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ [[မူလမှန်အဆို|မူလမှန်အဆိုတိကို]] စနစ်တကျ ပြုစုခရေ။ သူစွာ ဖြစ်နှိုင်ခြီဟိရေ အခြီခံ ရလဒ်တိအားလုံး (elementary outcomes) ပါဝင်ရေ [[ဥပမာ ရပ်ဝန်း|ဥပမာရပ်ဝန်းကို]] (sample space) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခရေ။ ယပြီးနောက် ဥပမာရပ်ဝန်း၏ တိုင်းတာနှိုင်ရေ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (measurable subsets) ပါဝင်ရေ စစ်ဂမာ-အက္ခရာသင်္ချာ တခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခရေ။ ရလဒ်တိ၏ ဖြစ်တန်စွမ်းတိကို တွက်ချက်ဖို့ ဒေအရာအပေါ်ကို ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအတာ (probability measure) တခုကို သက်ရောက်စီခရေ။ ရဟိလာရေ [[ဖြစ်တန်စွမ်း ရပ်ဝန်း]] (probability space) <math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> သည် ကိုလ်မိုဂိုရော့ဗ် ၏ မူလမှန်အဆို သုံးခုကို ပြည့်စုံစီရေမည်။<ref name="Sinai6">{{Citation |last=Sinaï |first=Yakov |title=Probability Theory: An Introductory Course |date=1992 |page=6}}</ref> # '''(အနုတ်မဟုတ်ခြင်း) (Non-negativity)''' [[အဖြစ်အပျက်|အဖြစ်အပျက်တခု၏]] ဖြစ်တန်စွမ်းသည် သုည နန့် တ ကြားဟိ [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်တခု]] ဖြစ်တေ။ ဆိုလိုစွာမှာ ဇာ <math> A\in \mathcal A</math> အတွက်မဆို <math> 0\leq \mathbb P(A)\leq 1</math> ဖြစ်တေ။ # '''(ပုံမှန်ဖြစ်စီခြင်း / ယူနစ် အတိုင်းအတာ) (Normalization / Unit measure)''' ဥပမာရပ်ဝန်းတခုလုံး၏ ဖြစ်တန်စွမ်းမာ တ ဖြစ်တေ။ ဆိုလိုစွာမှာ <math> \mathbb P(\Omega) = 1</math> ဖြစ်တေ။ # '''(ရွီတွက်နှိုင်ရေ ပေါင်းစပ်နိုင်မှု) (Countable additivity)''' အချင်းချင်း ဖယ်ကြဉ်သော (mutually exclusive) စုံတွဲအလိုက် ဘုံမပါရေ (pairwise disjoint) အဖြစ်အပျက်တိ၏ ဇာ ရွီတွက်နှိုင်ရေ [[ကိန်းစဉ်]] (countable sequence) <math> A_1,A_2,\dots \in \mathcal A</math> အတွက်မဆို ဇာ <math> i\neq j</math> မာမဆို <math> A_i\cap A_j=\emptyset</math> ဖြစ်ကေ <math> \mathbb{P} \left( \bigcup_{i\geq 1}A_i \right) = \sum_{i\geq 1}\mathbb{P} (A_i)</math> ဖြစ်တေ။ === ကျပန်းကိန်းရှင်များ၊ ဖြန့်ဖြူးခြင်းတိနန့် ဝိသေသလက္ခဏာ သတ်မှတ်ချက်တိ (Random Variables, Distributions, and Characterizations) === ကျပန်းဖြစ်စိုင်တိကို (random phenomena) ထိရောက်စွာ မော်ဒယ်တည်ဆောက်ရန် ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီသည် ကျပန်းကိန်းရှင်တိကို (random variables) မှီခိုရေ။ ကျပန်းကိန်းရှင်တခုသည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးဟိနှိုင်ရေ။ (real-valued) ယင်းသည် ကျပန်း[[ဗက်တာ|ဗက်စွာတိ]] (vectors) ပိုင် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimensions) မျိုးစုံဟိနှိုင်ရေ။ တနည်း ယင်းကို ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများ (complex spaces) ပါးသို့ ယေဘုယျပြုနှိုင်ရေ။ ပုံစံတကျအားဖြင့် ကိန်းစစ် ကျပန်းကိန်းရှင်တခုသည် (real random variable) အခြီခံရလဒ် <math>\omega\in \Omega</math> တစ်ခုကျကို သီးသန့် စမ်းသပ်မှုအကောင်အထည်ပေါ်လှာခြင်း (experimental realization) <math> X(\omega)</math> ပါးသို့ ပုံဖော်ပီးရေ တိုင်းတာနှိုင်ရေ (measurable) [[ဖန်ရှင်]] <math> X:\Omega \rightarrow \mathbb R</math> တခု ဖြစ်တေ။<ref name="Le Gall93">{{Citation |last=Le Gall |first=Jean-François |title=Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires |date=2006 |page=93}}</ref> ကျပန်းကိန်းရှင်တခုကို ယင်း၏ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းနန့် (probability distribution) အခြီခံအားဖြင့် ဝိသေသလက္ခဏာ သတ်မှတ်ရေ။ ဒေဖြန့်ဖြူးခြင်းစွာ ဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအစွာတခု (probability measure) ဖြစ်တေ။ ဖြန့်ဖြူးခြင်းကို ပေါင်းစု ဖြန့်ဖြူးခြင်း ဖန်ရှင် (cumulative distribution function - CDF) ကတဆင့် သင်္ချာနည်းအရ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိူင်ရေ။ ပကတိ အမြဲမပြတ် ကိန်းရှင်တိအတွက် (absolutely continuous variables) ဖြစ်တန်စွမ်း သိပ်သည်းဆ ဖန်ရှင် (probability density function - PDF) ကို အသုံးပြုရေ။ တပိုင်းတစ ကိန်းရှင်တိအတွက်မူ (discrete variables) ဖြစ်တန်စွမ်း ဒြပ်ထု ဖန်ရှင် (probability mass function - PMF) ကို အသုံးပြုရေ။ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းတိကို မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (expected value)၊ စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ မိုမန့်များ (statistical moments)၊ ကွဲလွဲချက် (variance) နန့် ကိန်းရှင်များစွာအကြားဟိ အမှီအခိုကင်းသော တည်ဆောက်ပုံ (independence structure) စရေ ကန့်သတ်ကိန်းတိကတဆင့် (parameters) တနားတခါ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာကတ်တေ။ === စုဆုံခြင်း နန့် စုဆုံမှတ် သီအိုရမ်တိ (Convergence and Limit Theorems) === ကျပန်းကိန်းရှင်တိ၏ [[အနန္တ]] [[ကိန်းစဉ်|ကိန်းစဉ်များဖြစ်ရေ]] <math> (X_n, n\in \mathbb N)</math> ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာမာ [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ|သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းစွာ]] (mathematical analysis) [[စုဆုံမှတ်|စုဆုံမှတ်တိ၏]] (limits) တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တိကို လိုအပ်ရေ။ ယင်းအတွက်နန့် ကွဲပြားရေ စဖိကတ်စတစ်စ် စုဆုံခြင်း (stochastic convergence) ပုံစံများစွာ တည်ဟိရေ။<ref name="Bertoin34">{{Citation |last=Bertoin |first=Jean |title=Probabilités : cours de licence |date=2000 |page=34}}</ref> ယင်းရို့မာ အခြီခံဖြစ်တန်စွမ်း အတိုင်းအစွာတိ၏ (probability measures) စုဆုံခြင်းဖြစ်ရေ '''ဖြန့်ဖြူးခြင်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in distribution)'''၊ '''ဖြစ်တန်စွမ်းအရ စုဆုံခြင်း (convergence in probability)'''၊ '''အားလုံးနီးပါး သေချာသော စုဆုံခြင်း (almost sure convergence)''' နန့် <math>L^p</math> စုဆုံခြင်းလို့လေ့ခေါ်သော '''ပျမ်းမျှအရ စုဆုံခြင်း (convergence in mean)''' ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။ === စဖိကတ်စတစ် ကဲကုလပ် (Stochastic Calculus) === [[ကဲကုလပ်|စဖိကတ်စတစ် ကဲကုလပ်]] သည် အချိန်နန့်တတူ ကျပန်း (randomly) ဆင့်ကဲပြောင်းလဲနိန်ရေ (evolve) စနစ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် သင်္ချာဆိုင်ရာ မူဘောင်ဖြစ်တေ။<ref name="Yor15">{{Citation |last1=Revuz |first1=Daniel |last2=Yor |first2=Marc |title=Continuous Martingales and Brownian Motion |date=2004 |page=15}}</ref> အချိန်ကို တပိုင်းတစ ကန့်သတ်ကိန်းတခုအဖြစ် (discrete parameter) သတ်မှတ်နှိုင်ရေ။ ယင်းကို [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math> 0,1,2,\dots </math> ဖြင့် ကန့်သတ်ကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကျပန်းကိန်းရှင်တိ၏ အနန္တ ကိန်းစဉ် <math> (X_n,n\geq 0)</math> ကို ထုတ်ပီးရေ။ စံပြ နမူနာများမာ ကျပန်းလမ်းလျှောက်မှုတိနန့် (random walks) တပိုင်းတစ-အချိန် (discrete-time) မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းများ ပါဝင်ရေ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အချိန်ကို အမြဲမပြတ် (continuous) ကန့်သတ်ကိန်းတခုအဖြစ် (parameter) သတ်မှတ်နှိုင်ရေ။ ဒေနီရာမာ <math> t\in \mathbb R_+</math> တနည်း <math> t\in \mathbb R</math> ဖြစ်ပြီးကေ အမြဲမပြတ်-အချိန် စဖိကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ် (continuous-time stochastic process) <math> (X_t,t\geq 0)</math> ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ စဖိကတ်စတစ် ကဲကုလပ်စွာ ယင်းပိုင် လုပ်ငန်းစဉ်တိ၏ အရေးကြီးရေ ဂုဏ်သတ္တိများစွာကို (properties) ခွဲထုတ်ပြသရေ။ မားကော့ဗ် ဂုဏ်သတ္တိ (Markov property) အရ အနာဂတ် အခြီအနီတိ၏ (future states) ကန့်သတ်ချက်ပါ ဖြစ်တန်စွမ်း ဖြန့်ဖြူးခြင်းစွာ (conditional probability distribution) လက်ဟိ အခြီအနီကိုသာ (current state) တိကျစွာ မူတည်နိန်ပြီးကေ အတိတ်သမိုင်းကြောင်းကို (past history) စာရင်းအင်းအရ (statistically) သက်ဆိုင်မှုမဟိစီကြောင်း ပြဋ္ဌာန်းရေ။ ထပ်ကာထပ်ကာဖြစ်ခြင်း (recurrence) နန့် အကူးအပြောင်းဖြစ်ခြင်း (transience) ဆိုရေ သဘောတရားတိစွာ မားကော့ဗ် ချိတ်တန်းတခုသည် ပီးထားရေ အခြီအနီတခုပါးသို့ အနန္တအကြိမ်အရွီအတွက် (infinitely often) ပြန်ပနာရောက်ဟိဖို့လား တနည်း နောက်ဆုံးမှာ ယင်းကို လုံးဝစွန့်ခွာလားမေလား ဆိုလိုစွာကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရေ။ ယင်းချင့်အပြင် မာတင်ဂေးလ် (martingale) သည် လက်ဟိ သတင်းအချက်အလက် စစ်ထုတ်မှုအောက်မာ (current information filtration) အနာဂတ် အခြီအနီတခု၏ ကန့်သတ်ချက်ပါ မျှော်မှန်းချက်သည် (conditional expectation) လက်ဟိ အခြီအနီနန့် တိကျစွာ ညီမျှနီရေ (precisely equal) သီးသန့် စဖိကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ်တခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ ==ကိုးကား== [[ကဏ္ဍ:ဖြစ်နှိုင်ခြီသီအိုရီ]] 5kzhdpgmzqy2uqrq78l4ped7fk3n06z 0 6280 22020 2026-10-22T14:55:24Z Retkhaberi 224 Created page with "{{short description|အချက်အလက်တိကို စုဆောင်းခြင်း၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခြင်း၊ အများနားလည်ယောင်တင်ပြခြင်းနန့် သက်ဆိုင်ရေ ပညာရပ်}} File:Standard Normal Distribution-en.svg|thumb|upright=1.3|right|ဖြစ်ရိုး..." 22020 wikitext text/x-wiki {{short description|အချက်အလက်တိကို စုဆောင်းခြင်း၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း၊ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခြင်း၊ အများနားလည်ယောင်တင်ပြခြင်းနန့် သက်ဆိုင်ရေ ပညာရပ်}} [[File:Standard Normal Distribution-en.svg|thumb|upright=1.3|right|ဖြစ်ရိုးဖြစ်စိုင် ပျံ့နှံ့မှုပုံစံ ([[:en:normal distribution|normal distribution]]) ([[:en:central limit theorem|CLT သီအိုရမ်]])ကြောင့် အလွန်ပင်အသုံးဝင်ဗျယ်ဒေး အသုံးများသော [[:en:Probability density function|ဖြစ်နှိုင်ခြီ သိပ်သည်းဆ တွက်ချက်မှု ဖန်ရှင်]]တခု)]] [[File:Iris Pairs Plot.png|thumb|upright=1.3|right|[[:en:Iris flower data set|အိုင်းရစ်ပန်းပင် မျိုးကွဲပြားမှု ပြပုံဇယား]](ယင်းသည် '''ဖြန့်ကြဲမှတ်များ ဆက်စပ်ပုံဇယားများ'''([[:en:Scatter plot|Scatter plot]]s)ဖြစ်ပြီးကေ၊ ယင်းရို့ကို '''သရုပ်ဖော်စာရင်းအင်းသင်္ချာ'''မာ ကိန်းသျှင်ရို့၏ တခုနန့်တခု နှီးနွယ်ဆက်စပ်ပုံကို ဖော်ပြရာမာ အသုံးပြုလိဟိရေ။)]] [[File:The Normal Distribution.svg|thumb|350px|စာရင်းအင်း ပညာရပ်မာ အသုံးပြုလေ့ဟိရေ ခေါင်းလောင်းပုံ ကောက်ကြောင်း (Bell Curve)]] '''စာရင်းအင်း ပညာ''' တနည်း '''စာရင်းအင်းသင်္ချာ''' ('''statistics''') သည် သင်္ချာဘာသာ၏ ဘာသာကွဲတရပ်ဖြစ်ပြီးကေ အဓိကကတော့ခါ [[အချက်အလက်|အချက်အလက်များ]] (data) ကို စုဆောင်းခြင်း (collection)၊ [[ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဆန်းစစ်ခြင်း]] (analysis)၊ အဓိပ္ပာယ်ဖော်ထုတ်ခြင်း (explanation) နှင် ရှင်းလင်း တင်ပြခြင်း (presentation) စရေ ဖြစ်စိုင်များ ပါဝင်ရေ။<ref name=ox>{{cite web | title=Oxford Reference|url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199541454.001.0001/acref-9780199541454-e-1566?rskey=nxhBLl&result=1979}}</ref><ref>{{cite encyclopedia |first=Jan-Willem |last=Romijn |year=2014 |title=Philosophy of statistics |encyclopedia=Stanford Encyclopedia of Philosophy |url=http://plato.stanford.edu/entries/statistics/}}</ref><ref>{{cite web | title=Cambridge Dictionary | url=https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/statistics}}</ref> ယင်းပညာရပ်ကို [[သဘာဝ]] နန့် [[လူမှုရီး]] [[သိပ္ပံ]] ကပင် အစိုးရ နန့် စီးပွားရီးလုပ်ငန်းတိအထိ နယ်ပယ်များစွာမာ ကျယ်ပြန့်စွာ အသုံးပြုနှိုင်ရေ။ သိပ္ပံပညာဆိုင်ရာ တနည်း စက်မှုလုပ်ငန်းဆိုင်ရာ တနည်း လူမှုရီးဆိုင်ရာ ပြဿနာများ ဖြီယှင်းဖို့အတွက် စာရင်းအင်းသင်္ချာကို အသုံးချရာမာ စိတ်ပါသော လူ့အဖွဲ့အစည်းတခု တနည်း လိလာကောက်ချက်ဆွဲဖို့ အုပ်စုကြီးတခု ဆုံးဖြတ်သတ်မှတ်ခြင်းဖြစ်စီ၊ ရှေးမှကောက်ယူရဟိထားရေ စာရင်းအင်းအချက်အလက်ကို အခြီခံယူပနာ ပြုလုပ်ထားရေပုံစံ (statistical model) ကို အသုံးပြုကာ နောက်ဖြစ်နှိုင်ခြီကို လိလာကောက်ချက်ဈီးခရင်းဖြစ်စီ ဧပိုင်စတင်တွေးခေါ်ခြင်းကာ ပုံမှန်လုပ်ရိုးလုပ်စဉ် ဖြစ်တေ။ စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ လူ့အဖွဲ့အစည်းတခု တနည်း အုပ်စုကြီးတခု (population) ဆိုစွာမာ "လူမျိုးပေါင်းစုံ" (သို့) "တိုင်းပြည်မာနီထိုင်သောလူအားနုန်း" (သို့) "ပုံဆောင်ခဲ (cyrstal) တခုမာ ပါဝင်ရေ အက်တမ် (atom) အားလုံး" အစဟိစွာရို့ဖြစ်တေ။ စာရင်းအင်းတွက်ချက်ဖို့ လောက်ငှသော ဥပမာကျပန်းကောက်ခြင်း၊ စစ်တမ်းကောက် ([[:en:statistical survey|surveys]]) ယူဖို့လား၊ ကိုယ်တိုင်စမ်းသပ်မှု ([[:en:experimental design|experiments]]) လုပ်ကာ အချက်အလက်ထုတ်လုပ်ဖို့လား အစဟိရေ အချက်အလက်ဇာပိုင် စုဆောင်းဖို့လို့ စီစိုင်ခြင်း မှစပြီးကေ အချက်အလက် (data)တိကို ရှုဒေါင့်အမျိုးမျိုးမှ ကိုင်တွယ်အသုံးပြု အဖြီရှာခြင်းတိစွာ စာရင်းအင်းသင်္ချာနယ်ပယ်အောက်မာ ဟိရေ။<ref name=Dodge>Dodge, Y. (2006) ''The Oxford Dictionary of Statistical Terms'', Oxford University Press. {{isbn|0-19-920613-9}}</ref> ဂုချိန်ခါ စာရင်းစုပညာရေ ခေတ်စားဗျာယ်ဟိရေ။ ပမာ အားဖြင့် လူဦးရွီ တိုးတက် ဆုတ်ယုတ်မှုကို သိဟိနှိုင်ဖို့ သိုင်ခေါင်စာရင်းကောက်ခြင်း၊ တိုင်းပြည်လူထု တမျိုးသားလုံး ၏ တနှစ်အတွက် ဝင်ငွီသုံးငွီ စာရင်းများ၊ မြန်မာနိုင်ငံ လယ်တိက ပျမ်းမျှတဧက စပါးအထွက်နှုန်းသိနှိုင်ရန် စာရင်း များ စုဆောင်းခြင်း အစဟိရေ စံနစ်တိစွာ စာရင်းစုပညာ နန့် သက်ဆိုင်ရေ။ စာရင်းစုပညာ ဆိုစွာမှာ အဓိကကတော့ခါ တိုင်းထွာ ရေ တွက်လို့ ရကောင်းရေ အရာဝထုတိ၏ အတိုင်းအထွာ ပမာဏတိကို စာရင်းပြုလုပ်ပနာ ယင်းဝထုပစ္စည်းရို့နန့် ဆက် စပ်သော ကိစ္စရို့ကို လိလာခြင်း ဖြစ်တေ။ ပမာဆိုကေ ဖွားသေ စာရင်းများ စုဆောင်းခြင်းနန့် တိုင်းပြည်လူထု၏ ပျမ်းမျှ သက်တမ်းကို လှောက်မှန်းနိုင်ရေ။ထိုစာရင်းတိကို အသုံး ပြုပနာ အသက်အာမခံလုပ်ငန်းကို အောင်မြင်စွာ ဆောင်ရွက် နိုင်ရေ။ဒေသအလိုက် နိစိုင် မိုးရွာသော စာရင်းများ ပြုစု ခြင်းနန့် ဒေသတခုမာ နှစ်စိုင် မိုးနည်းသည် တိစွာကို သိနှိုင်ရေ။ရာသီဥတုကို ကြိုတင် လှောက်မှန်းနိုင်ရေ။ထိုနည်း တတူ စပါးအရောင်းအဝယ် ဈီးနှုန်းစာရင်းများ၊ အဝတ်အထည် ဈီးနှုန်းစာရင်းများ၊ သားငါးပုဇွန် အစားအစာတိ၏ ဈီးနှုန်း စာရင်းများ စုဆောင်းလိလာခြင်းနန့် လူထု သက်သာချောင်ချိ မှု တိုးတက်ခြင်း၊ ဆုတ်ယုတ်ခြင်းရို့ကို သိနှိုင်ရေ။မြို့တမြို့ ၏ လူသီစာရင်းမာ သက်ဆိုင်ရေ ရောဂါ အမျိုးနာမည်ကို လိလာခြင်းနန့် ဇာရောဂါအတွက် ဆီးဝါးနန့် ဆရာ ဝန်များ အထူးလိုအပ်ကြောင်း သိနှိုင်၏။ အသုံးပြုလိဟိရေ နည်းတခုမာ စံဥပမာနည်းဖြစ်တေ။ ပမာအားဖြင့် မအူပင်ခရိုင်မာ စပါးတဧက ဇာလောက် ထွက် စွာကို သိလိုရေလို့ ဆိုကတ်ပါဖိ။ ခရိုင်တခုလုံးထွက်သော စပါးစာရင်းများ၊ စိုက်ပျိုးသော ဧကအားလုံး၏ စာရင်းတိကို စုဆောင်းရပေလိမ့်မေ။ ယေကေလဲ ဒေလောက် ကျယ်ပြန့်များပြား သော စာရင်းတိကို အတိအကျ ရယူစုဆောင်းရန် မလွယ်ကူ ပါ၊၊ အချိန်များစွာ ကုန်မည်။ လူများစွာ ကူညီဆောင်ရွက်ရ ပေမည်။ ထိုကြောင့် ဖြတ်လမ်းနည်း အလွယ်နည်းမာ မအူပင် ခရိုင်အထဲဟိ သင့်တော်သော လယ်ကွက်ဆယ်ခုကို ရွီးချယ် လို့ စပါးထွက်ကို အသေးစိတ် စနည်းနာခြင်း ဖြစ်ရေ။ထိုဆယ် ကွက်ကို ရွီးချယ်ရာမာ သင့်တော်မည်ထင်သော လယ်ကွက် ဆယ်ကွက်ကို ရွီးချယ်ခြင်း တနည်း လယ်ကွက် ၁ဝဝ၊ ၂ဝဝ အထဲက မဲထွတ်လို့ရရေ လယ် ၁ဝ ကွက်ကို ရွီးချယ် ခြင်း ဆိုပနာလည်း နည်းအမျိုးမျိုး ဟိရေ။သင့်တော်ပိုင် အခြီ အနေအရ ဆောင်ရွက်ရဖို့ ဖြစ်တေ။ဒေနည်းနန့် အချိန် စိကေချေအထဲ စရိတ်များစွာ မကုန်ဘဲ မအူပင်ခရိုင်၏ တဧက ပျမ်းမျှစပါးထွက်နှုန်းကို သိနှိုင်ရေ။လှောက်မှန်းနိုင်ရေ။ ထိုကြောင့် စီးပွားရီးအကြောင်းအရာများ၊ အုပ်ချုပ်မှုကိစ္စများ၊ စက်ရုံကြီးများမာ ကုန်ထုတ်စရိတ်၊ တနာရီမာ ကုန်ချော ပစ္စည်း အထွက်နှုန်း အစဟိစွာတိကို သိဟိနှိုင်ဖို့ ဒေနည်းကို အသုံးပြုကတ်ရေ။ရက်တိုလတို စနည်းနာရီးအဖွဲ့တိကလည်း ဒေစံနစ်ကို အသုံးပြုကတ်တေ။ စာရင်းစုပညာမာ ဇယားတိနန့် ဇယားကွက်ပုံစံ အမျိုး မျိုးကို အသုံးပြုရရေ။ ပမာအားဖြင့် အနှစ် ၅ဝ အထဲ မြန်မာနိုင်ငံ စပါးဈီး အတက်အကျ အခြီအနီများ၊ လူဦးရွီ တိုးတက်မှုတိကို ဇယားတိနန့် ရီးဆွဲဖော်ပြခြင်းစွာ တိုးတက်မှု ဆုတ်ယုတ်မှုတိကို ချယှင်းလလင်း နားလည်နိုင် စီရေ။ စာရင်းစုပညာဖြင့် အမှန်ကို အတိအကျ မသိနှိုင်။ သန်း ခေါင်စာရင်း၊ တိုင်းပြည် စပါးထွက်စာရင်း၊ မိုးရွာစာရင်းများ သည် နယ်အသီးသီးမှ ကောက်ခံရရေ စာရင်းများဖြစ်ပနာ မားယွင်းချက် စိကေချေဟိနှိုင်ရေ။ ယေကေလဲ ထိုစာရင်း တိစွာ များစွာ တန်ဖိုးဟိရေ။ထိုစာရင်းတိနန့် အနှစ် ၅ဝ အထဲ လူဦးရွီ တဆတ်ဆတ် တိုးပွားလာခြင်း၊ မြန်မာနိုင်ငံ စပါးထွက် တနှစ်ထက်တနှစ် တိုးတက် ဆုတ်ယုတ်ခြင်းများ၊ ရန်ကုန်မြို့မာ ပြည်မြို့ထက် နှစ်စိုင် မိုးနှစ်ဆရွာသွန်းခြင်း အစဟိစွာတိကို သိနှိုင်၏။ သတိပြုရဖို့အချက်မာ စာရင်းများ စုဆောင်းရာမာ စံနစ် တကျ ဖြစ်စီအပ်ရေ အချက်ပင်တည်း။ မှန်ကန်နိုင်သမျှ မှန်ကန်လို့ ဂဏန်းများ၊ စာရင်းတိကို ကောက်ယူနိုင်လီလီ၊ ထိုစာရင်းများမာ တန်ဖိုးဟိလီလီ ဖြစ်တေ။ စာရင်းစု ပညာကို တိုင်းပြည်အသီးသီးရို့က တရက်တခြား ပိုပြီးကေ လိလာဂရုပြု ကြောင်း တွိဟိရရေ။စီးပွားရီး၊ ဘဏ္ဍာရီး၊ စိုက်ပျိုးရီး၊ လူမှုရီးအဖြာဖြာနန့် သက်ဆိုင်ရေ သုတေသီပုဂ္ဂိုလ်ရို့ အတွက် များစွာ တန်ဖိုးဟိရေ ပညာရပ်တခု ဖြစ်တေ။ <ref>မြန်မာ့စွယ်စုံကျမ်း၊ အတွဲ(၃)</ref> == နိဒါန်း == စာရင်းအင်းပညာရေ ဂုချိန်ခါ ပညာရပ်နယ်ပယ်အသီးသီးမာ အသုံးပြုဗျာယ်ဟိရေ။[[ပညာရီး]]၊ [[ဆီးပညာ]]၊ [[အိန်ဂျန်နီယာ]]၊ [[ကွန်ပျူတာ]] စရေနယ်ပယ်တိအပြင် အထူးအနိန်နန့် [[လူမှုရီးသုတေသန]] နန့် [[စီးပွားရီးသုတေသန]] ရို့မာ အလွန် အသုံးဝင်သော ဘာသာရပ်တခုဖြစ်တေ။ လူမှုရီး နန့် စီးပွားရီးပြဿနာတချို့ကို စာရင်းအင်းပညာဖြင့် လိလာ ဖြီယှင်းနှိုင်ရေကို တွိရရေ။ ခေတ်မီသော သုတေသနတွိဟိချက်တိကို လိလာလိုကေကေလည်းကောင်း၊ တင်ပြချက်တိရီးသားပြုစုရာမာပင်ဖြစ်ဖြစ်၊ သုတေသနလုပ်ငန်းများလုပ်ကိုင်ရာမာ ပင်ဖြစ်ဖြစ်၊ စာရင်းအင်းပညာရပ်ဆိုင်ရာ ဘာသာစကားကို အထိုက်အလျောက်နားလည် ဓါတ်ပေါက်ထားပြီးသား ဖြစ်ရန် အရေးကြီးရေ။ စာရင်းအင်းပညာရပ်ရေ ပညာရပ်နယ်ပယ်အများစုမာ သိပ္ပံနည်းကျ လိလာရာမာ အသုံးကျရေ ဘာသာရပ်တရပ်ဖြစ်တေ။ စာရင်းအင်းပညာရေ ဇာနီရာတွင်မဆို ကြိုတင်လှောက်မှန်းရေနီရာတွင် အဓိက အသုံးပြုကတ်တေ။ == သမိုင်းကြောင်း == စာရင်းအင်းပညာ၏ မူရင်း အိန်းဂလိချ်စကားလုံးမာ statistics ဖြစ်တေ။(မြန်မာလို စာရင်းအင်းပညာဆိုရေ စကားလုံးကို ဇာသူစတင်ရေလို့ မသိဟိပါ။) ထို statistics ဆိုရေ စကားလုံးသည် အီတလီစကား `ဖော်ပြရေ` ကိုတိုက်ရိုက်သုံးစွဲထားခြင်းဖြစ်တေ။<ref>{{cite web |title=Origin of the statistics and probability |url=http://www.statisticalforecasting.com/origin-statistics-probability.php |accessdate=2020-09-26 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20191230182301/http://www.statisticalforecasting.com/origin-statistics-probability.php |archivedate=2019-12-30 |url-status=live}}</ref> စာရင်းအင်းပညာ၏အစစွာ ၁၇ ရာစု အလယ်မှစတင်ရေလို့ ယူဆကတ်တေ။ လန်ဒန်မြို့မှ သာမန်စာအုပ်ဆိုင်ပိုင်သျှင်တဦးဖြစ်ရေ ဂျွန်ဂရန့် ရေ ဘုရားကျောင်းတိမှ ထုတ်ပြန်သော အပါတ်စဉ်သေစာရင်း တိကို စုစည်းကာ အဂု [[သရုပ်ဖော်စာရင်းအင်း]]ဟု ခေါ်ဆိုရေ နည်းနန့် စာအုပ်(Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality.)ထုတ်ဝီခရေ။ ကောင်းမကြာခင်မှာပင် ဂျွန်ဂရန့်က တော်ဝင်အဖွဲ့အစည်း၏ အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ရွီးချယ်ခြင်းခံခရရေ။ ထိုအချိန်မှစတင်ပနာ စာရင်းအင်းပညာရေ လူဦးရွီဆိုင်ရာ အသိပညာ၊ [[လူမှုရီးသိပ္ပံ]]မှ အတွေးအခေါ်များ ကိုစတင် သက်ဝင်လှာခရေ။ လူရို့၏အပြုအမူတိကို လိလာရာမာ အသုံးပြုဖို့အတွက် စာရင်းအင်းပညာကို [[သဘာဝတ္ထသိပ္ပံ]] ၏တိကျမှုတိုင်းတာရာမာ အသုံးမပြုသင့်ဆိုရေ အယူအဆတိလေ့ ပေါ်ထွက်ခရေ။ အသစ်အသစ်သော ကွဲပြားရေနယ်ပယ်အစုံမှ စာရင်းအင်းပညာကို သုံးစွဲလှာကတ်ကေလေ့ စာရင်းအင်းပညာရပ်ဆိုင်ရာဘာသာစကားရို့စွာ လူအများနန့် ဝေဝါးဆဲပဲဖြစ်တေ။ ၂ဝရာစုအတွင်းမှာ စာရင်းအင်းပညာရပ်ဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုတိစွာ ဟိလာပိုင် အသုံးပြုရေ ပညာရပ်နယ်ပယ်တိလေ့ များစွာ ပေါ်ထွန်းပါလတ်တေ။ [[နက္ခတ္တဗေဒ]]၊ [[ရူပဗေဒ]]၊ [[ပထဝီ]]နန့် [[မြီမျက်နှာသွင်ပြင်]] စရေ သိမ်မွေ့သော နယ်ပယ်တိအထိ အသုံးချလာကတ်တေကို တွိရရေ။ == အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် == စာရင်းအင်းပညာရပ်ရေ အချက်အလက်တိကို ကောက်ယူခြင်း၊ စုစည်းခြင်း၊ အကျိုင်းခြုံ့ခြင်း၊ တင်ပြခြင်းနန့် စိစစ်ခြင်းပြုလုပ်ဖို့ အသုံးပြုရေ သိပ္ပံနည်းကျရေ နည်းလမ်းတခုဖြစ်တေ။<ref>ပညာရီးသုတေသနပြုလုပ်နည်း၊ မြန်မာနိုင်ငံ ဝိဇ္ဇာနန့်သိပ္ပံပညာသျှင်အဖွဲ့၊ ပထမအကြိမ်၊ တက္ကသိုလ်များပုံနှိပ်တိုက်၊ ၂၀၀၁၊ ဂျူလိုင်လ၊ ရန်ကုန်။ နှာ ၁၃၈။</ref> == အဆင့်များ == စာရင်းအင်းပညာရပ်ကို အသုံးပြုပနာ သိပ္ပံနည်းကျလိလာရာမာ အောက်ပါ အချက်တိအတိုင်း အဆင့်ဆင့် ဆောင်ရွက်ဖို့လိုရေ။ (က) အချက်အလက်များစုဆောင်းခြင်း (Collection of data) (ခ) အုပ်စုအလိုက်စုစည်းခြင်း (တနည်း) မျိုးတူစုပြုခြင်း (Classification of data) (ဂ) အချက်အလက်တိကို ပေါ်လွင်အောင် သရုပ်ဖော်ခြင်း (Description of data) (ဃ) တွိဟိချက်တိအပေါ်အခြီပြုပနာ အဓိပ္ပာယ်ကောက်ခြင်းနန့် ကောက်ချက်ချခြင်း (Interpretation and generalization of the results) ရို့ဖြစ်တေ။ ==စာရင်းအင်းသင်္ချာ နည်းစနစ်တိ== ===သရုပ်ဖော် စာရင်းအင်းသင်္ချာ=== သရုပ်ဖော် စာရင်းအင်းသင်္ချာ တနည်း [[ဖော်ပြစာရင်းအင်းပညာ]] ([[:en:Descriptive Statistics|Descriptive Statistics]])သည် လိလာမှုတခုမာ ဥပမာကျပန်းကောက်ခြင်း (sampling)မှ ရဟိသော အချက်အလက်တိနန့် ယင်းရို့အပေါ် တိုင်းတာပုံများ (measures)၏ အခြီခံအင်္ဂါရပ်တိကို အကျိုင်းချုပ် ဖော်ပြဖို့ အသုံးပြုရေ။ ယပြီးနောက် ယင်းချင့် အင်္ဂါရပ်တိကို ဆက်စပ်ပုံဇယားများအနိန်နန့် ဖော်ပြလို့ အရွီအတွက်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု (quantitative analysis)ပြုလုပ်ရာမာ အသုံးပြုလိဟိရေ။ အချုပ်အနိန်နန့် ဒေနည်းစနစ်ကို သုံးလို့ ဗလဗွီသတ်များရေ အချက်အလက်တိက အကျိုင်းချုပ်ကိုထုတ်ယူကာ နားလည်နိုင်ဖို့ ကြိုးစားလိဟိရေ။<ref name="trochim">{{cite web|last=Trochim|first=William M. K.|title=Descriptive statistics|url=http://www.socialresearchmethods.net/kb/statdesc.php|work=Research Methods Knowledge Base|accessdate=14 March 2011|year=2006}}</ref> ဥပမာအနိန်နန့်၊ [[ဘတ်စကက်ဘော]] ကစပ်သမားတယောက်၏ ဂိုးသွင်းရာခိုင်နှုန်းသည် ယင်းကစပ်သမား၏ စွမ်းဆောင်ရည်ကို အကျိုင်းချုပ်ပြသော သရုပ်ဖော် စာရင်းအင်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အင်္ဂါရပ်တခုဖြစ်တေ။ တကယ်လို့ သူ၏ ဂိုးသွင်းရာခိုင်နှုန်းသည် ၃၃% ဟုဆိုကေ၊ သူ သုံးကတ်ိမ်သွင်းလျှင် တခေါက်ဝင်နှိုင်ရေဟု ယေဘုယျအနိန်နန့် မှတ်ယူနှိုင်ရေ။<ref name="trochim"/> ===ကောက်ချက်ဆွဲ စာရင်းအင်းသင်္ချာ=== ကောက်ချက်ဆွဲ စာရင်းအင်းသင်္ချာ တနည်း [[ညွှန်ပြစာရင်းအင်းပညာ]] ([[:en:Inferential Statistics|Inferential Statistics]]) မာမူ လက်ဟိကောက်ယူထားရေ ဥပမာကျပန်းအုပ်စု (sample) အချက်အလက်တိ၏ အင်္ဂါရပ်တိကတဆင့် အချက်အလက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ([[:en:data analysis|data analysis]]) ကို အသုံးပြုပနာ အုပ်စုကြီးတခုလုံး (population) ၏ ဖြစ်နှိုင်ခြီ ပျံ့နှံ့မှုပုံစံ ([[:en:probability distribution|probability distribution]])ကို ကောက်ချက်ဆွဲယူရန် ကြိုးစားလိဟိရေ။<ref name="Oxford">Upton, G., Cook, I. (2008) ''Oxford Dictionary of Statistics'', OUP. {{ISBN|978-0-19-954145-4}}.</ref> == ရည်ညွှန်းကိုးကား == {{Reflist}} * [[Category:စာရင်းအင်း ပညာ]] [[Category:အသုံးချ သင်္ချာ]] 0ubjrxa7ufwe0a3o0q4f472h31lqeqe 0 6281 22021 2026-10-22T14:57:30Z Retkhaberi 224 Created page with "{{incomplete}} '''သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ (mathematical logic)''' ဆိုစွာမာ ပုံစံတကျ ယုတ္တိဗေဒ (formal logic) ကို သင်္ချာပညာမာ အသုံးပြုပုံအား လိလာရေ ဘာသာရပ်ဖြစ်တေ။ [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] {{သင်္ချာ-stub}}" 22021 wikitext text/x-wiki {{incomplete}} '''သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ (mathematical logic)''' ဆိုစွာမာ ပုံစံတကျ ယုတ္တိဗေဒ (formal logic) ကို သင်္ချာပညာမာ အသုံးပြုပုံအား လိလာရေ ဘာသာရပ်ဖြစ်တေ။ [[ကဏ္ဍ:သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] {{သင်္ချာ-stub}} o5z77zw45znsmq7x9gtl2r1y8eighpf 0 6282 22022 2026-10-22T15:01:38Z Retkhaberi 224 Created page with "သင်္ချာ၏သမိုင်းကြောင်း (history of mathematics) ဆိုစွာမာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ရှာဖွီတွိဟိမှုများ စတင်ဖြစ်ပေါ်လှာပုံ သမိုင်းကို လိလာရေ ဘာသာခွဲတရပ်ဖြစ်တေ။ ရှီးသမိုင်း အဆက်ဆက်က အသုံးပြုခရေ သင..." 22022 wikitext text/x-wiki သင်္ချာ၏သမိုင်းကြောင်း (history of mathematics) ဆိုစွာမာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ရှာဖွီတွိဟိမှုများ စတင်ဖြစ်ပေါ်လှာပုံ သမိုင်းကို လိလာရေ ဘာသာခွဲတရပ်ဖြစ်တေ။ ရှီးသမိုင်း အဆက်ဆက်က အသုံးပြုခရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ နည်းနာ (method) တိနန့် အသုံးအနှုန်း သင်္ကေတတိကိုလည်း တခါတရီ လေ့လာလေ့ ဟိရေ။ [[Category:သင်္ချာ၏ သမိုင်း]] {{သင်္ချာ-stub}} 03sefq43gh6qg8faeounqo0inctuvew 0 6283 22023 2026-10-22T15:10:10Z Retkhaberi 224 Created page with "မျက်မှောက်ခေတ်ပညာရီးမာ [[သင်္ချာ]]ပညာသင်ကြားပို့ချခြင်း၊ သင်ယူခြင်း အစဟိရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိနန့် ယင်းရို့နန့်သက်ဆိုင်ရေ သုတေသနလုပ်ငန်းတိကို သင်္ချာပညာရီးဘာသာဟု ခေါ်ကတ်တ..." 22023 wikitext text/x-wiki မျက်မှောက်ခေတ်ပညာရီးမာ [[သင်္ချာ]]ပညာသင်ကြားပို့ချခြင်း၊ သင်ယူခြင်း အစဟိရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိနန့် ယင်းရို့နန့်သက်ဆိုင်ရေ သုတေသနလုပ်ငန်းတိကို သင်္ချာပညာရီးဘာသာဟု ခေါ်ကတ်တေ။ သင်္ချာပညာရီးဘာသာရပ်မာ သုတေသနပြုသူတဦးစွာ သင်္ချာပညာ သင်ယူ/ပို့ချခြင်းနန့် သက်ဆိုင်ရေ ကိရိယာတန်ဆာများ၊ နည်းနာများ၊ ချိုင်းကပ်ပုံအကြံဉာဏ်များ အစဟိစွာရို့နန့် ပတ်သက်ပြီးကေ လိလာစူးစမ်းရေ။ တချို့ဒေသများ (သာဓကအားဖြင့် ပင်မဥရောပတိုက်တွင်း) မာ သင်္ချာပညာရီးဆိုင်ရာ သိပ္ပံနည်းကျပို့ချခြင်းအနုပညာ (didactics or pedagogy) ကို နက်နက်သျှိုင်းသျှိုင်းသုတေသနပြုကတ်ပြီး၊ ယင်းဘာသာရပ်ရေ ကိုယ်ပိုင် သဘောတရားများ၊ သီအိုရီများ၊ နည်းနာနိဿယများ၊ နိုင်ငံလုံးဆိုင်ရာနန့် နိုင်ငံတကာ အသင်းအဖွဲ့များ၊ ကွန်ဖရင့်များ၊ သုတေသနစာပီများ စသဖြင့် ဘာသာရပ်တခုအဖြစ် သီးသန့်ကျယ်ပြန့်စွာ တည်ဟိရေ။ [[Category:သင်္ချာပညာရီး]] {{သင်္ချာ-stub}} d4vfjb0o0fc0doxzsqho36eepo1ztf8 0 6284 22024 2026-10-22T15:13:39Z Retkhaberi 224 Created page with "'''သီအိုရီ''' ဆိုစွာ တခုတရီကို ရှင်းလင်း ပြောပြနိူင်ဖို့အတွက် အိုင်ဒီယာတိကို ဆက်စပ် စုစည်းထားခြင်းပင် ဖြစ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် ရှင်းလင်းပြသရဖို့ အရာ နန့် ဆိုင်ရေ အချက်အလက်မျာ..." 22024 wikitext text/x-wiki '''သီအိုရီ''' ဆိုစွာ တခုတရီကို ရှင်းလင်း ပြောပြနိူင်ဖို့အတွက် အိုင်ဒီယာတိကို ဆက်စပ် စုစည်းထားခြင်းပင် ဖြစ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် ရှင်းလင်းပြသရဖို့ အရာ နန့် ဆိုင်ရေ အချက်အလက်များမာ မူတည်မနီရေ ယှင်းပြချက် တမျိုးပင် ဖြစ်တေ။ ဥပမာအနိန်နန့် ရွှီစွာ အဝါရောင် ဖြစ်ကြောင်း ယှင်းပြရေ သီအိုရီရေ လူအများက ရွှီကို အဝါရောင် အဖြစ်မြင်စွာကို မူတည်မနီသင့်ပါ။ သီအိုရီတစုံအား ပေါင်းစပ်ခြင်းနိယာမ အလွဲသုံးပြုခြင်းကြောင့် ကမ္ဘာသက်ဟိမျိုးစိတိ ကွယ်ပျောက်နှိုင်ရေ။ သိပ္ပံပညာမာမူ သီအိုရီဆိုစွာမာ ယုတ္တိဟိပြီးး စနစ်တကျ ဖြစ်ရေ သဘောတရာများ ယှင်းပြချက်တိ ဖြစ်ပြီးကေ ထိုသဘောတရား မှန်ကန်ကြောင်း သက်သီပြခပြီးကေ ထိုသီအိုရီ မှားယွင်းကြောင်း သက်သီပြဖို့ ကြိုးစားချက်တိကို မှားယွင်းကြောင်း ပြသနှိုင်ရေ အရာပင်ဖြစ်တေ။ ဥပမာအနိန်နန့် ဒါဝင်၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု သီအိုရီစွာ လူနန့် မျောက်ဝံရို့စွာ တူညီရေ မျိုးရင်း တခုတည်းမှ ဆင်းသက်လာကြောင်း အိုင်ဒီယာပင် ဖြစ်တေ။ ထိုယူဆချက်ကို ထောက်ခံသော သက်သီအထောက်အထားတိက မှန်ကန်ကြောင်း ထောက်ပံ့ထားကတ်တေ။ [[Category:ယုတ္တိဗေဒ]] [[Category:သီအိုရီတိ]] {{Stub}} tt9y78hcfu55nozk7klfj6llxo4lliq 0 6285 22025 2026-10-22T15:15:41Z Retkhaberi 224 Created page with "သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သီပြချက်တိ (mathematical proofs) နန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သီပြနိုင်မှု/မပြနိူင်မှု (mathematical provability) စရေ သဘောတရားတိကို လိလာရေ ဘာသာကို '''သက်သီပြချက် သီအိုရီ (proof theory)''' ဟု ခေါ်ရေ။{{sfn|Buss|..." 22025 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သီပြချက်တိ (mathematical proofs) နန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သီပြနိုင်မှု/မပြနိူင်မှု (mathematical provability) စရေ သဘောတရားတိကို လိလာရေ ဘာသာကို '''သက်သီပြချက် သီအိုရီ (proof theory)''' ဟု ခေါ်ရေ။{{sfn|Buss|1998|p=2}} ==အညွှန်း== {{reflist}} ==ကိုးကား== {{refbegin}} * {{citation | last=Buss | first=Samuel R. | chapter = An Introduction to Proof Theory | editor-last = Buss | editor-first = Samuel R. | title = Handbook of Proof Theory | publisher = Elsevier | publication-date = 1998 | isbn = 0-444-89840-9 | ref = CITEREFBuss1998 }} {{refend}} [[Category:သင်္ချာယုတ္တိဗေဒ]] {{သင်္ချာ-stub}} 3j5fva9wld8rss4yc00mg2pdfhbdd9z 14 6286 22026 2026-10-22T15:17:46Z Retkhaberi 224 Created page with "အက္ခရာသင်္ချာ" 22026 wikitext text/x-wiki အက္ခရာသင်္ချာ jzjn3bh70hx8goi8mo7kciirvygrjq7 22029 22026 2026-10-22T15:33:26Z Retkhaberi 224 22029 wikitext text/x-wiki အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းစစ် 88slpd204u0t9uyr2qjqbmoif9zff40 0 6287 22027 2026-10-22T15:25:56Z Retkhaberi 224 Created page with "[[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) မာ '''မက်ထရစ်တန်ဆာ''' (metric tensor) တနည်း ရိုးယှင်းစွာအားဖြင့် '''မက်ထရစ်''' (metric) ဆိုစွာမာ ချောညက်ရေ [[မန်နီဖိုး]] (smooth manifold) တခု၏ အမှတ် (point) တိုင်းဟိ ထိမျဉ်းရပ်ဝန်..." 22027 wikitext text/x-wiki [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]] (differential geometry) မာ '''မက်ထရစ်တန်ဆာ''' (metric tensor) တနည်း ရိုးယှင်းစွာအားဖြင့် '''မက်ထရစ်''' (metric) ဆိုစွာမာ ချောညက်ရေ [[မန်နီဖိုး]] (smooth manifold) တခု၏ အမှတ် (point) တိုင်းဟိ [[ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း]] (tangent space) အပေါ်မာ [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အထဲမြှောက်လဒ်]] (inner product) တခု တနည်း ယိုယွင်းမှုမဟိရေ အချိုးညီ [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ]] (non-degenerate symmetric bilinear form) တခုကို သတ်မှတ်ပီးရေ ချောညက်သော အဆင့်-2 လားရာတူ တန်ဆာစက်ကွင်း (smooth rank-2 covariant tensor field) တခု ဖြစ်တေ။<ref>Lee (1997), p. 12.</ref> မက်ထရစ်တန်ဆာရေ [[ဗက်တာ|ဗက်တာအလျားများ]] (vector lengths) နန့် ဒေါင့်များ (angles) ပိုင်ယှောင် ကောင်းကောင်းငယ်လွန်းရေ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပမာဏများ (infinitesimal geometric quantities) ကို အတိအကျ သတ်မှတ်ပီးရေ။ အပေါင်းကိန်းသီချာသော မက်ထရစ်တန်ဆာ (positive-definite metric tensor) တပ်ဆင်ထားရေ မန်နီဖိုးတခုသည် '''[[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]]''' (Riemannian manifold) တခု ဖြစ်ပြီးကေ ယင်းသည် [[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝီးရပ်ဝန်း]] (metric space) တခု၏ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံကို ပင်ကိုသဘာဝအရ ဆက်ခံရဟိကာ ထိုရပ်ဝန်း၏ [[တိုပေါ်ခရာဝဂျီ|တိုပေါ်ခရာဝဂျီဆိုင်ရာ]] အကွာအဝီး[[ဖန်ရှင်]] (topological distance function) သည် မျဉ်းကွေးအလျားများ (curve lengths) ၏ [[အင်ဖီမမ် နန့် စူပရီမမ်|အင်ဖီမမ်]] (infimum) ဖြစ်တေ။<ref>Lee (1997), p. 93.</ref> ဆန့်ကျင်ဘက်အနိန်နန့် အတိအကျမဟိရေ လက္ခဏာတန်ဖိုး (indefinite signature) ဟိရေ ယိုယွင်းမှုမဟိရေ မက်ထရစ်တန်ဆာ တပ်ဆင်ထားရေ မန်နီဖိုးတခုသည် '''[[မန်နီဖိုး#ဆီမီး-ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Semi-Riemannian_Manifolds)|ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုး]]''' (pseudo-Riemannian manifold) တခု ဖြစ်ပြီးကေ ယင်းသည် တိုပေါ်ခရာဝဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရား (topological sense) အရ အကွာအဝီးဖန်ရှင်တခုကို ဖြစ်ပေါ်စီခြင်း မဟိပါ။<ref>Gallot, Hulin & Lafontaine (2004), pp. 31–33.</ref> ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity) မာ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အာကာသအချိန် (physical spacetime) ကို လိုရန့်ဇ် မက်ထရစ် (Lorentzian metric) တပ်ဆင်ထားရေ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] 4 ခုဟိရေ (four-dimensional) ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုးတခုအဖြစ် ပုံစံဖော်ထုတ်ပြရေ။<ref>Misner, Thorne & Wheeler (1973), pp. 51–53.</ref> == ပထမ အခြီခံပုံစံ (The First Fundamental Form) == သရုပ်မဲ့ မက်ထရစ်တန်ဆာ (abstract metric tensor) စွာ ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) စတင်ခရေ မျက်နှာပြင်များဆိုင်ရာ ကလပ်စစ်ကယ်သီအိုရီ (classical theory of surfaces) ကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်တေ။<ref>Dodson & Poston (1991), pp. 91–92.</ref> [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] သုံးခုဟိရေ ယူကလစ် [[ရပ်ဝန်း]] (three-dimensional Euclidean space) <math>\mathbb{R}^3</math> အတွင်းမာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (coordinates) <math>(u, v)</math> ဖြင့် <math>\mathbf{r}(u, v)</math> ဟု ကိန်းရှင်ကြားခံသတ်မှတ်ထားရေ ချောညက်ပြီး ပုံမှန်ဖြစ်ရေ ကိန်းရှင်ကြားခံပါ မျက်နှာပြင် (smooth regular parametric surface) တခုကို စိုင်းစားကြည့်ပါဖိ။ ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းကွေးများ (coordinate curves) တလျှောက်ဟိ [[ဗက်တာ|ထိမျဉ်းဗက်တာတိ]] (tangent vectors) မာ <math>\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}</math> နန့် <math>\mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}</math> ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။ မျက်နှာပြင်ပေါ်ဟိ ပင်ကိုအကွာအဝီး (intrinsic distance) ကို ထိမျဉ်းဗက်တာတိ၏ ယူကလစ် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အစက်မြှောက်လဒ်များ]] (Euclidean dot products) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရေ နှစ်ထပ်ကိန်း [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]]ပုံစံ (quadratic differential form) ဖြစ်ရေ '''ပထမ အခြီခံပုံစံ''' (first fundamental form) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ :<math>ds^2 = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2</math> ဒေနီရာမာ ကလပ်စစ်ကယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (classical coefficients) မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကတ်တေ။ * <math>E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u</math> * <math>F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v</math> * <math>G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v</math><ref>Sternberg (1983), pp. 102–104.</ref> [[ကိန်းအုံ]] သင်္ကေတစနစ် (matrix notation) ဖြင့် ဖော်ပြပါက ဒေမြှောက်ဖော်ကိန်းတိစွာ အတိုင်းအတာ နှစ်ခုဟိရေ မက်ထရစ်တန်ဆာ (2-dimensional metric tensor) တခု၏ အချိုးညီ အစိတ်အပိုင်းများ (symmetric components) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း စုစည်းကတ်တေ။ :<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math> ဂေါက်စ်၏ သီအိုရီမာ အီဂရီဂျီယမ် (Gauss's Theorema Egregium) အရ မျက်နှာပြင်၏ ပင်ကိုကွေးညွှတ်မှု (intrinsic curvature) နန့် မက်ထရစ်ဆိုင်ရာ တိုင်းတာမှုတိ (metric measurements) သည် <math>\mathbb{R}^3</math> အထဲ ဝန်းရံထည့်သွင်းခြင်း (ambient embedding) အပေါ် မှီခိုခြင်းမဟိဘဲ <math>E, F, G</math> နန့် ယင်းရို့၏ [[ဆင်းသက်ချက် (ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ်)|ဆင်းသက်ချက်တိ]] (derivatives) ကိုသာ သီးသန့်တည်ဟိရေ။<ref>Lee (1997), pp. 145–147.</ref> == ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တိနန့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပုံ (Formal Definitions and Algebraic Structure) == <math>M</math> သည် ဆက်စပ်နိန်ရေ (connected) [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ဟိရေ ချောညက်သော [[မန်နီဖိုး]] (smooth n-dimensional manifold) တခု ဖြစ်ပါစီ။ <math>TM</math> သည် ယင်းဧ့ [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (tangent bundle) ကို တက်စားပြုပြီး <math>T^*M</math> သည် ယင်းဧ့ [[ဒွန်တွဲထိမျဉ်း ရပ်ဝန်း|ဒွန်တွဲထိမျဉ်းအစည်း]] (cotangent bundle) ကို တက်စားပြုပါစီ။ ယင်းအပြင် <math>\mathfrak{X}(M) = \Gamma(TM)</math> သည် <math>M</math> ပေါ်ဟိ ချောညက်သော [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (smooth vector fields) ၏ <math>C^\infty(M)</math>-[[မော်ဂျူး]] (<math>C^\infty(M)</math>-module) ကို တက်စားပြုပါစီ။ <math>M</math> ပေါ်ဟိ '''မက်ထရစ်တန်ဆာစက်ကွင်း''' (metric tensor field) <math>g</math> ဆိုစွာမာ အချိုးညီ အဆင့်-2 လားရာတူ တန်ဆာအစည်း (symmetric rank-2 covariant tensor bundle) ၏ ချောညက်တေ အပိုင်း (smooth section) တခု ဖြစ်တေ။ :<math>g \in \Gamma(\operatorname{Sym}^2 T^*M)</math> တူညီရေအဓိပ္ပာယ်အရ <math>g</math> စွာ အမှတ် (point) <math>p \in M</math> တိုင်းအတွက် [[ထိမျဉ်းရပ်ဝန်း]] (tangent space) <math>T_pM</math> အပေါ်မာ <math>\mathbb{R}</math>-[[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ|မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံဖော်မှု]] (<math>\mathbb{R}</math>-bilinear map) တခုကို သတ်မှတ်ပီးရေ။ :<math>g_p \colon T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}</math> ယင်းသည် အောက်ပါ [[မူလမှန်အဆို|မူလမှန်အဆိုများ]] (axioms) နန့် ကိုက်ညီရဖို့ ဖြစ်တေ။<ref>Lee (1997), pp. 12–14.</ref> * '''[[ခေါက်ချိုးညီ|အချိုးညီမှု]]''' (Symmetry) - <math>v, w \in T_pM</math> အားလုံးအတွက် ** <math>g_p(v, w) = g_p(w, v)</math> * '''ယိုယွင်းမှုမဟိခြင်း''' (Non-degeneracy) - တကယ်လို့ <math>w \in T_pM</math> အားလုံးအတွက် <math>g_p(v, w) = 0</math> နန့် ကိုက်ညီသော <math>v \in T_pM</math> ဖြစ်ကေ <math>v = 0</math> ဖြစ်ရဖို့။ * '''ချောညက်မှု''' (Smoothness) - ချောညက်သော ဗက်တာစက်ကွင်း အစုံတိုင်း <math>X, Y \in \mathfrak{X}(M)</math> အတွက် <math>p \mapsto g_p(X_p, Y_p)</math> သည် <math>M</math> ပေါ်ဟိ ချောညက်သော [[ဖန်ရှင်]] (smooth function) တခု ဖြစ်တေ။ === လက္ခဏာတန်ဖိုးတိနန့် အဆင့်ခွဲခြားခြင်း (Signatures and Classification) === ဆီးလ်ဗက်စတာ၏ အီနားရှားနိယာမ (Sylvester's law of inertia) အရ <math>T_pM \cong \mathbb{R}^n</math> ပေါ်ဟိ အချိုးညီပြီး ယိုယွင်းမှုမဟိရေ [[မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံ|မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ပုံစံတိုင်းရေ]] ဒေါင့်မှန်ကျ [[အခြီအစု]] (orthogonal basis) တခုကို လက်ခံနှိုင်ပြီး ထိုအခြီအစုနန့် နှိုင်းယှဉ်ပါက <math>g_p</math> ကို အပေါင်းကိန်း အစုဝင်များ (positive entries) <math>p</math> ခုနန့် အနုတ်ကိန်း အစုဝင်များ (negative entries) <math>q</math> ခု ပါဝင်ရေ ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံ[[ကိန်းအုံ]] (diagonal matrix) တခုဖြင့် ဖော်ပြနိူင်ရေ။ ဒေနီရာမာ <math>p + q = n</math> ဖြစ်တေ။<ref>Sternberg (1983), pp. 110–112.</ref> <math>M</math> သည် ဆက်စပ်နိန်ပြီးကေ <math>g</math> သည် နီရာတိုင်းမာ ယိုယွင်းမှုမဟိရေကြောင့် အစီအစိုင်ကျ အစုံ <math>(p, q)</math> သည် <math>M</math> ၏ အမှတ်တိုင်းမာ မပြောင်းလဲသော ပမာဏ (invariant) ဖြစ်ကာ ယင်းကို မက်ထရစ်တန်ဆာ၏ '''လက္ခဏာတန်ဖိုး''' (signature) ဟု ခေါ်ရေ။ * '''ရီးမန်း မက်ထရစ်''' (Riemannian metric) - တကယ်လို့ <math>q = 0</math> ဖြစ်ပြီးကေ <math>p = n</math> ဖြစ်ကေ <math>g_p</math> သည် အပေါင်းကိန်းသီချာသော (positive-definite) ပုံစံ ဖြစ်တေ။ ** <math>g_p(v, v) > 0 \quad (\text{for all } v \in T_pM \setminus \{0\})</math> * '''ဆူဒို ရီးမန်း မက်ထရစ်''' (Pseudo-Riemannian metric) - ယေဘုယျ လက္ခဏာတန်ဖိုး <math>(p, q)</math> ဟိရေ ယိုယွင်းမှုမဟိရေ မက်ထရစ်တန်ဆာ ဖြစ်တေ။ တကယ်လို့ <math>p \ge 1</math> နန့် <math>q \ge 1</math> ဖြစ်ကေ ယင်းသည် တိကျစွာ အတိအကျမဟိရေ (indefinite) ပုံစံ ဖြစ်ပြီးကေ ဆိုလိုစွာမှာ <math>1 \le q \le n - 1</math> ဖြစ်တေ။ * '''လိုရန့်ဇ် မက်ထရစ်''' (Lorentzian metric) - တကယ်လို့ <math>q = 1</math> နန့် <math>p = n - 1</math> ဖြစ်ကေ တနည်း အပြန်အလှန်အားဖြင့် ဖြစ်ကေ မက်ထရစ်သည် လက္ခဏာတန်ဖိုး <math>(-, +, +, \dots, +)</math> တနည်း <math>(+, -, -, \dots, -)</math> ဟိရေ။<ref>Hawking & Ellis (1973), pp. 38–41.</ref> === ဂီတဆိုင်ရာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Musical Isomorphisms) === <math>g</math> ၏ ယိုယွင်းမှုမဟိခြင်း (non-degeneracy) သည် [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] <math>TM</math> နန့် [[ဒွန်တွဲထိမျဉ်း ရပ်ဝန်း|ဒွန်တွဲထိမျဉ်းအစည်း]] <math>T^*M</math> အကြားမာ အစည်း [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (bundle isomorphism) တခုကို တည်ဆောက်ပီးရား ယင်းကို '''ဂီတဆိုင်ရာ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ''' (musical isomorphisms) ဟု ခေါ်ကတ်တေ။<ref>Lee (1997), pp. 24–25.</ref> * '''ဖလက်တ် ပုံဖော်မှု''' (flat map) <math>\flat \colon TM \to T^*M</math> ကို <math>v \in T_pM</math> တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ ** <math>v^\flat(w) = g_p(v, w) \quad (\text{for all } w \in T_pM)</math> * '''ရှာ့ပ် ပုံဖော်မှု''' (sharp map) <math>\sharp \colon T^*M \to TM</math> သည် ပြောင်းပြန် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (inverse isomorphism) ဖြစ်တေ။ ** <math>\sharp = \flat^{-1}</math> == ကိုဩဒိနိတ်ဖြင့် ဖော်ပြချက်တိနန့် တန်ဆာကဲကုလပ် (Coordinate Representations and Tensor Calculus) == <math>(U, (x^1, \dots, x^n))</math> သည် <math>M</math> ပေါ်ဟိ ဒေသဆိုင်ရာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်မြီပုံချပ်]] (local coordinate chart) တခု ဖြစ်ပါစီ။ <math>U</math> အပေါ်ဟိ <math>TM</math> အတွက် သဘာဝကျသော ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် [[အခြီအစု]] (natural local coordinate basis) ကို ကိုဩဒိနိတ် [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းများ]] (coordinate vector fields) <math>\{\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}\}_{i=1}^n</math> ဖြင့် ပီးထားပြီး <math>T^*M</math> အတွက် ဒွန်တွဲ ကိုဩဒိနိတ် အခြီအစု (dual coordinate basis) ကို [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] 1-ပုံစံများ (differential 1-forms) <math>\{dx^i\}_{i=1}^n</math> ဖြင့် ပီးထားရေ။<ref>Dodson & Poston (1991), pp. 92–95.</ref> === အစိတ်အပိုင်းတိနန့် မျဉ်းဒြပ်စင် (Components and the Line Element) === ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် [[အခြီအစု]]မာ အမှတ် <math>p \in U</math> တိုင်းမာ မက်ထရစ်တန်ဆာ၏ လားရာတူ အစိတ်အပိုင်းများ (covariant components) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ :<math>g_{ij}(p) = g_p\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_p, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_p\right)</math> မက်ထရစ်တန်ဆာကို ဒေသအလိုက် [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာမြှောက်လဒ်]] (tensor product) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိူင်ရေ။ :<math>g = g_{ij} \, dx^i \otimes dx^j</math> အချိုးညီမှု <math>g_{ij} = g_{ji}</math> ကို အသုံးချဗျာယ် မက်ထရစ်ကို အချိုးညီမြှောက်လဒ် (symmetric product) အဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း ရီးသားလိဟိရေ။ :<math>g = g_{ij} \, dx^i \odot dx^j = \frac{1}{2} g_{ij} (dx^i \otimes dx^j + dx^j \otimes dx^i)</math> ကလပ်စစ်ကယ် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်ဂျီဩမေတြီ]]နန့် ရူပဗေဒရို့မာ ဒေနှစ်ထပ်ကိန်းဖော်ပြချက်ကို '''မျဉ်းဒြပ်စင်''' (line element) သင်္ကေတဖြင့် တက်စားပြုဖော်ပြကတ်တေ။ :<math>ds^2 = g_{ij} \, dx^i \, dx^j</math> ဒေနီရာမာ အိုင်းစတိုင်း ပေါင်းခြင်းသတ်မှတ်ချက် (Einstein summation convention) အရ အရာထခါပါဝင်ရေ အညွှန်းများ (repeated indices) အပေါ် <math>1</math> မှ <math>n</math> အထိ ပေါင်းခြင်းကို ဆိုလိုရေ။<ref>Dodson & Poston (1991), p. 95.</ref> သင်္ကေတ <math>ds^2</math> သည် ပြင်ပ 1-ပုံစံ (exterior 1-form) တခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်ဘဲ အဆင့်-2 အချိုးညီတန်ဆာအတွက် အတိုကောက်သင်္ကေတအဖြစ် သုံးရေ။ === အသွင်ပြောင်းလဲမှုနိယာမ (Transformation Law) === ဒေသဆိုင်ရာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]]၏ ချောညက်သော ပြောင်းလဲမှု <math>x^i \mapsto y^k</math> အောက်မာ [[အခြီအစု]] [[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းတိစွာ]] [[ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း]] (chain rule) အရ <math>\frac{\partial}{\partial y^k} = \frac{\partial x^i}{\partial y^k} \frac{\partial}{\partial x^i}</math> ဟု အသွင်ပြောင်းကတ်တေ။ ယင်းအတွက်နန့် မက်ထရစ် အစိတ်အပိုင်းတိစွာ အောက်ပါအတိုင်း လားရာတူအသွင်ပြောင်းကတ်တေ။ :<math>g'_{k\ell} = \frac{\partial x^i}{\partial y^k} \frac{\partial x^j}{\partial y^\ell} g_{ij}</math><ref>Lee (1997), p. 14.</ref> ကိန်းအုံ သင်္ကေတစနစ်အရ <math>J = \left[\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\right]</math> သည် ကိုဩဒိနိတ်အသွင်ပြောင်းခြင်း၏ [[ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံနန့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး|ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ]] (Jacobian matrix) ကို တက်စားပြုကေ အသွင်ပြောင်းထားရေ အစိတ်အပိုင်းတိ၏ ကိန်းအုံကို အောက်ပါ ကိန်းအုံထပ်တူကျမှု (matrix congruence) ဖြင့် ရဟိရေ။ :<math>G' = J^T G J</math> === ပြောင်းပြန်မက်ထရစ်နန့် အညွှန်းကိုင်တွယ်မှုတိ (Inverse Metric and Index Gymnastics) === <math>g_p</math> သည် ယိုယွင်းမှုမဟိရေကြောင့် အစိတ်အပိုင်းတိ၏ [[ကိန်းအုံ]] <math>[g_{ij}]</math> သည် အမှတ်တိုင်းမာ ပြောင်းပြန်လှန်နှိုင်ရေ (invertible) ကိန်းအုံ ဖြစ်တေ။ အချိုးညီ အဆင့်-2 ဆန့်ကျင်ဘက် တန်ဆာစက်ကွင်း <math>g^{-1} \in \Gamma(\operatorname{Sym}^2 TM)</math> ဖြစ်ရေ '''ပြောင်းပြန်မက်ထရစ်''' (inverse metric) ၏ အစိတ်အပိုင်းတိကို ဆန့်ကျင်ဘက် အညွှန်းများ (contravariant indices) <math>g^{ij}</math> ဖြင့် ဖော်ပြပြီးကေ အောက်ပါ[[ညီမျှခြင်း]]နန့် ကိုက်ညီရေ။ :<math>g_{ik} g^{kj} = \delta_i^j</math> ဒေနီရာမာ <math>\delta_i^j</math> သည် ခရိုနက်ကာ ဒယ်လ်တာ (Kronecker delta) ဖြစ်တေ။<ref>Dodson & Poston (1991), p. 97.</ref> မက်ထရစ် အစိတ်အပိုင်းတိနန့် ယင်းရို့၏ ပြောင်းပြန်တိစွာ တန်ဆာအညွှန်းများမြှင့်ခြင်း နန့် နှိမ့်ခြင်း (raising and lowering tensor indices) ဖြင့် ဂီတဆိုင်ရာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တိကို]] ဒေသအလိုက် အကောင်အထည်ဖော်ဆောင်ရွက်ကတ်တေ * အစိတ်အပိုင်းများ <math>v = v^j \partial_j</math> ဟိရေ ထိမျဉ်း[[ဗက်တာစက်ကွင်း|ဗက်တာစက်ကွင်းတခုအတွက်]] ဒွန်တွဲ 1-ပုံစံ (dual 1-form) <math>v^\flat = v_i dx^i</math> ၏ အစိတ်အပိုင်းတိကို အညွှန်းနှိမ့်ခြင်းနန့် ရဟိရေ။ ** <math>v_i = g_{ij} v^j</math> * အစိတ်အပိုင်းများ <math>\omega = \omega_j dx^j</math> ဟိရေ 1-ပုံစံတခုအတွက် ဗက်တာစက်ကွင်း <math>\omega^\sharp = \omega^i \partial_i</math> ၏ အစိတ်အပိုင်းတိကို အညွှန်းမြှင့်ခြင်းနန့် ရဟိရေ။ ** <math>\omega^i = g^{ij} \omega_j</math> === မြှောက်ပင့်ပီးခံမက်ထရစ် (Induced Metric) === <math>f \colon N \to M</math> သည် [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း]] တနည်း [[မန်နီဖိုး#ဆီမီး-ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Semi-Riemannian_Manifolds)|ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] <math>(M, g)</math> အတွင်းကို [[မန်နီဖိုး]] <math>N</math> ၏ ချောညက်သော အင်မာရှင်း (smooth immersion) တခု ဖြစ်ပါစီ။ <math>N</math> ပေါ်ဟိ '''မြှောက်ပင့်ပီးခံမက်ထရစ်''' (induced metric) တနည်း '''ပူးလ်ဘက် မက်ထရစ်''' (pullback metric) ဆိုစွာမာ ပူးလ်ဘက် တန်ဆာစက်ကွင်း (pullback tensor field) ဖြစ်တေ။ :<math>h = f^*g</math> ယင်းကို ထိမျဉ်းဗက်တာတိ <math>v, w \in T_qN</math> အတွက် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ :<math>(f^*g)_q(v, w) = g_{f(q)}(df_q(v), df_q(w))</math> ဒေနီရာမာ <math>df_q \colon T_qN \to T_{f(q)}M</math> သည် <math>f</math> ၏ [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] (differential) ဖြစ်တေ။<ref>Gallot, Hulin & Lafontaine (2004), pp. 34–35.</ref> <math>f</math> သည် အင်မာရှင်းတခု ဖြစ်တေအတွက် <math>df_q</math> သည် [[အင်ဂျက်တ ဖန်ရှင်|အင်ဂျက်တဖြစ်တေ]] (injective)။ * တကယ်လို့ <math>(M, g)</math> သည် ရီးမန်း မန်နီဖိုးတခု ဖြစ်ကေ <math>f^*g</math> သည် တိကျစွာ အပေါင်းကိန်းသီချာပြီး <math>N</math> ပေါ်မာ ရီးမန်း မက်ထရစ်တခုကို ခြွင်းချက်မဟိ သတ်မှတ်ပီးရေ။ * တကယ်လို့ <math>(M, g)</math> သည် ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုးတခု ဖြစ်ကေ <math>N</math> ပေါ်မာ <math>f^*g</math> သည် စစ်မှန်သော ဆူဒို ရီးမန်း မက်ထရစ်တခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ (if and only if) မာ <math>q \in N</math> အားလုံးအတွက် <math>df_q(T_qN)</math> သည် <math>T_{f(q)}M</math> ၏ ယိုယွင်းမှုမဟိရေ ရပ်ဝန်းပိုင်း (non-degenerate subspace) တခု ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်တေ။ တကယ်လို့ <math>df_q(T_qN)</math> အတွင်းမာ ရပ်ဝန်းပိုင်းတခုလုံးနန့် ဒေါင့်မှန်ကျသော သုညဗက်တာတိ (null vectors) ပါဝင်နီပါက <math>f^*g</math> သည် ယိုယွင်းသော (degenerate) ပုံစံ ဖြစ်လားမည် ဖြစ်တေ။ == မက်ထရစ်ဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများဖြစ်ရေ အလျား၊ ထုထည်နန့် ပုံမှန်ချိတ်ဆက်မှုတိ (Metric Invariants: Length, Volume, and Canonical Connections) == === မျဉ်းကွေးအလျားနန့် စွမ်းအင် (Curve Length and Energy) === <math>\gamma \colon [a, b] \to M</math> သည် [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] (Riemannian manifold) <math>(M, g)</math> အထဲဟိ အပိုင်းလိုက်ချောညက်ရေ မျဉ်းကွေး (piecewise smooth curve) တခု ဖြစ်ပါစီ။ <math>\gamma</math> ၏ '''အလျား''' (length) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ :<math>L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t))} \, dt = \int_a^b \sqrt{g_{ij}(\gamma(t)) \frac{d\gamma^i}{dt} \frac{d\gamma^j}{dt}} \, dt</math><ref>Lee (1997), pp. 91–92.</ref> အလျားဖန်ရှင်နယ် (length functional) သည် မျဉ်းကွေး၏ ဦးတည်ချက်ထိန်းသိမ်းရေ ကိန်းရှင်ကြားခံ အသစ်ပြန်ယူခြင်းများ (orientation-preserving reparametrizations) အောက်မာ မပြောင်းလဲသော ပမာဏ (invariant) ဖြစ်တေ။ ဆက်စပ်နိန်ရေ ရီးမန်း မန်နီဖိုးတခုထက်မာ အမှတ်နှစ်ခု <math>p, q \in M</math> ကို ဆက်သွယ်ပေးရေ အပိုင်းလိုက်ချောညက်ရေ မျဉ်းကွေးအားလုံး၏ အလျားများဆိုင်ရာ [[အင်ဖီမမ် နန့် စူပရီမမ်|အင်ဖီမမ်]] (infimum) သည် အကွာအဝီးဖန်ရှင် (distance function) တခုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ :<math>d(p, q) = \inf_\gamma L(\gamma)</math> ယင်းသည် <math>M</math> ကို [[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝီးရပ်ဝန်း]] (metric space) တခုအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပီးပြီး ထိုရပ်ဝန်း၏ အကွာအဝီးဖန်ရှင်တိုပေါ်ခရာဝဂျီ (metric topology) သည် မူလ မန်နီဖိုး [[တိုပေါ်ခရာဝဂျီ]] (manifold topology) နန့် ထပ်တူကျရေ။<ref>Lee (1997), p. 93.</ref> <math>\gamma</math> ၏ '''စွမ်းအင်ဖန်ရှင်နယ်''' (energy functional) မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ :<math>E(\gamma) = \frac{1}{2} \int_a^b g(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t)) \, dt</math> [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy–Schwarz inequality) အရ <math>L(\gamma)^2 \le 2(b - a)E(\gamma)</math> ဖြစ်ပြီးကေ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ (if and only if) မာ <math>\gamma</math> သည် ကိန်းသီ[[အလျင်]] (constant speed) ဟိခြင်းပင် ဖြစ်တေ။ အစွန်းမှတ်များ (endpoints) သတ်မှတ်ထားရေ အပိုင်းလိုက်ချောညက်ရေ မျဉ်းကွေးတခုသည် အစွန်းမှတ်များ သတ်မှတ်ထားရေ ချောညက်သော ပြောင်းလဲမှုတိ (smooth variations) နန့် နှိုင်းယှဉ်ပါက စွမ်းအင်ဖန်ရှင်နယ်၏ အပြောင်းအလဲအမှတ် (critical point) တခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ (if and only if) မာ ယင်းသည် လောက်ငှစွာ နီးကပ်သော အမှတ်များအကြားမာ အလျားကို ဒေသအလိုက် အနည်းဆုံးဖြစ်စီရေ ကိန်းသီအလျင်ဟိ ဂျီအိုဒက်စစ် (constant-speed geodesic) တခု ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်တေ။<ref>Gallot, Hulin & Lafontaine (2004), pp. 63–65.</ref> === ပုံမှန် ရီးမန်း ထုထည်ပုံစံ (Canonical Riemannian Volume Form) === ဦးတည်ချက်ပါရေ (oriented) [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ဟိရေ [[မန်နီဖိုး#ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Riemannian_Manifolds)|ရီးမန်း]] တနည်း [[မန်နီဖိုး#ဆီမီး-ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Semi-Riemannian_Manifolds)|ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] <math>(M, g)</math> တခုထက်မာ မက်ထရစ်သည် ပုံမှန် [[ဒစ်ဖရန်ရှယ်]] <math>n</math>-ပုံစံတခု ဖြစ်ရေ '''ထုထည်ပုံစံ''' (volume form) <math>d\operatorname{vol}_g</math> ကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။<ref>Lee (1997), pp. 29–31.</ref> အပေါင်းဘက်ကို ဦးတည်သော ဇာဒေသဆိုင်ရာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်]] (positively oriented local coordinate system) <math>(x^1, \dots, x^n)</math> မာမဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြရေ။ :<math>d\operatorname{vol}_g = \sqrt{|\det(g_{ij})|} \, dx^1 \wedge dx^2 \wedge \dots \wedge dx^n</math> ကျစ်လျစ်သော အထောက်အပံ့ဟိရေ [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်]] (compactly supported continuous function) <math>f \colon M \to \mathbb{R}</math> ၏ [[အင်တီဂရီးရှင်း|အင်တီဂရယ်]]ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ :<math>\int_M f \, d\operatorname{vol}_g</math> ဦးတည်မရနှိုင်သော [[မန်နီဖိုး]] (non-orientable manifold) တခုထက်မာလည်း မက်ထရစ်သည် တူညီရေ ပုံမှန် သိပ်သည်းဆ (canonical density) ဖြစ်ရေ ရီးမန်း အတိုင်းအတာ (Riemannian measure) ကို ဖြစ်ပေါ်စီရား ယင်းသည် ဦးတည်ချက် (orientation) တခု မလိုအပ်ဘဲ ကိုဩဒိနိတ်အရ မပြောင်းလဲသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (coordinate-invariant integration) ကို ဖြစ်မြောက်စီရေ။<ref>Lee (1997), pp. 31–32.</ref> === လေဗီ-ချီဗီတာ ချိတ်ဆက်မှုနန့် ကွေးညွှတ်မှု (Levi-Civita Connection and Curvature) === ရီးမန်း [[ဂျီဩမေတြီ]]၏ အခြီခံသီအိုရမ် (fundamental theorem of Riemannian geometry) အရ ဇာ [[မန်နီဖိုး#ဆီမီး-ရီးမန်း_မန်နီဖိုးများ_(Semi-Riemannian_Manifolds)|ဆူဒို ရီးမန်း မန်နီဖိုး]] <math>(M, g)</math> ထက်မာမဆို အောက်ပါဂုဏ်သတ္တိတိနန့် ကိုက်ညီရေ သီးသန့် အဖိုင်းချိတ်ဆက်မှု (affine connection) <math>\nabla</math> တခု တည်ဟိရေ။ * '''မက်ထရစ်နန့် ကိုက်ညီခြင်း''' (Metric-compatible) - <math>\nabla g = 0</math> * '''အလိမ်ကင်းစင်ခြင်း''' (Torsion-free) - <math>X, Y \in \mathfrak{X}(M)</math> အားလုံးအတွက် <math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]</math> ဖြစ်တေ။<ref>Lee (1997), pp. 65–68.</ref> ဒေချိတ်ဆက်မှုသည် '''လေဗီ-ချီဗီတာ ချိတ်ဆက်မှု''' (Levi-Civita connection) ဖြစ်တေ။ ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ်များမာ ယင်းဧ့ ချိတ်ဆက်မှု မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (connection coefficients) မာ ဒုတိယအမျိုးအစား ခရစ္စတိုဖယ် သင်္ကေတများ (Christoffel symbols of the second kind) ဖြစ်ကတ်တေ။ :<math>\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{k\ell} \left( \frac{\partial g_{j\ell}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{i\ell}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^\ell} \right)</math><ref>Dodson & Poston (1991), pp. 168–170.</ref> <math>(M, g)</math> ၏ ပင်ကိုကွေးညွှတ်မှု (intrinsic curvature) ကို '''ရီးမန်း ကွေးညွှတ်မှုတန်ဆာ''' (Riemann curvature tensor) ဖြင့် တိုင်းတာရေ။ :<math>R(X, Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X, Y]} Z</math> ဒေသဆိုင်ရာ ကိုဩဒိနိတ် အစိတ်အပိုင်းများ (local coordinate components) ဖြင့် ဖော်ပြပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ :<math>R^\ell{}_{ijk} = \frac{\partial \Gamma^\ell_{jk}}{\partial x^i} - \frac{\partial \Gamma^\ell_{ik}}{\partial x^j} + \Gamma^\ell_{im} \Gamma^m_{jk} - \Gamma^\ell_{jm} \Gamma^m_{ik}</math><ref>Lee (1997), pp. 118–121.</ref> == ပုံမှန်ဖြစ်ရေ သီးသန့် နမူနာတိ (Canonical Concrete Examples) == === ယူကလစ် မက်ထရစ် (Euclidean Metric) === ယူကလစ် [[ရပ်ဝန်း]] (Euclidean space) <math>\mathbb{R}^n</math> ထက်မာ စံမက်ထရစ် (standard metric) သည် ရီးမန်း (Riemannian) ပုံစံ ဖြစ်တေ။ * ကာတီးရှန်း [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (Cartesian coordinates) <math>(x^1, \dots, x^n)</math> မာ အစိတ်အပိုင်းတိစွာ ကိန်းသီ ဖြစ်ကတ်တေ။ ** <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math> ** <math>ds^2 = (dx^1)^2 + (dx^2)^2 + \dots + (dx^n)^2</math> * <math>x = r\cos\theta</math> နန့် <math>y = r\sin\theta</math> ဖြစ်ရေ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] နှစ်ခုဟိရေ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (two-dimensional polar coordinates) <math>(r, \theta)</math> မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ ** <math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2</math> * <math>x = r\sin\theta\cos\phi</math>၊ <math>y = r\sin\theta\sin\phi</math> နန့် <math>z = r\cos\theta</math> ဖြစ်ရေ အတိုင်းအတာ သုံးခုဟိရေ [[စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဂျီဩမေတြီ|စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ]] ကိုဩဒိနိတ်များ (three-dimensional spherical coordinates) <math>(r, \theta, \phi)</math> မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ ** <math>ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta \, d\phi^2</math><ref>Dodson & Poston (1991), pp. 98–101.</ref> === စက်လုံးမျက်နှာပြင်ပေါ်ဟိ အဝိုင်းပုံ မက်ထရစ် (Round Metric on the Sphere) === [[ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်|ယူနစ် 2-စက်လုံးမျက်နှာပြင်]] (unit 2-sphere) <math>S^2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1\}</math> သည် ပါဝင်မှုပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) <math>\iota \colon S^2 \hookrightarrow \mathbb{R}^3</math> အောက်မာ ယူကလစ် မက်ထရစ် (Euclidean metric) ၏ ပူးလ်ဘက် (pullback) ကတဆင့် ရီးမန်း မက်ထရစ်တခုကို ဆက်ခံရဟိရေ။ <math>\theta \in (0, \pi)</math> နန့် <math>\phi \in (0, 2\pi)</math> ဟိရေ [[စက်လုံးမျက်နှာပြင် ဂျီဩမေတြီ|စက်လုံးမျက်နှာပြင်ဆိုင်ရာ]] [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (spherical coordinates) <math>(\theta, \phi)</math> မာ '''အဝိုင်းပုံ မက်ထရစ်''' (round metric) ၏ မျဉ်းဒြပ်စင် (line element) မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ :<math>ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2</math><ref>Gallot, Hulin & Lafontaine (2004), pp. 35–37.</ref> အစိတ်အပိုင်းတိ၏ [[ကိန်းအုံ]]မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ :<math>[g_{ij}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2\theta \end{pmatrix}</math> ပုံမှန် ထုထည်ပုံစံ (canonical volume form) သည် စံမျက်နှာပြင်ဧရိယာ ဒြပ်စင် (standard surface area element) ဖြစ်တေ။ :<math>d\operatorname{vol}_g = \sin\theta \, d\theta \wedge d\phi</math> === နှိုင်းရသီအိုရီဆိုင်ရာ အာကာသအချိန်များ (Relativistic Spacetimes) === ယေဘုယျနှိုင်းရသီအိုရီ (general relativity) မာ အာကာသအချိန် (spacetime) ကို ကိုဩဒိနိတ် အညွှန်းများ (coordinate indices) အဖြစ် ဂရိအက္ခရာများ (Greek letters) <math>\mu, \nu \in \{0, 1, 2, 3\}</math> အသုံးပြုထားရေ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] 4 ခုဟိရေ [[မန်နီဖိုး|လိုရန့်ဇ် မန်နီဖိုး]] (4-dimensional Lorentzian manifold) တခုအဖြစ် ပုံစံထုတ်ထားပြီးသား ဒေနီရာမာ <math>x^0 = ct</math> သည် ကိုဩဒိနိတ် အချိန် (coordinate time) ကို တက်စားပြုရေ။ အပေါင်းအများစုပါဝင်ရေ လက္ခဏာတန်ဖိုး သတ်မှတ်ချက် (mostly plus signature convention) <math>(-, +, +, +)</math> အောက်မာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ * '''မင်ကော့ဗ်စကီး အာကာသအချိန်''' (Minkowski spacetime) - အီနားရှား ကိုဩဒိနိတ်များ (inertial coordinates) <math>(ct, x, y, z)</math> အထဲဟိ ပြန့်ကားသော အာကာသအချိန် (flat spacetime) သည် ကိန်းသီ အစိတ်အပိုင်းများ ဟိရေ။ ** <math>\eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1)</math> ** <math>ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2</math><ref>Misner, Thorne & Wheeler (1973), pp. 51–54.</ref> * '''ရှဗာ့ဇ်ရှီးလ်ဒ် မက်ထရစ်''' (Schwarzschild metric) - လည်ပတ်မှုမဟိရေ [[ဒြပ်ထု]] (non-rotating mass) <math>M_0</math> ၏ အပြင်ဘက်ဟိ အိုင်းစတိုင်း စက်ကွင်း[[ညီမျှခြင်း|ညီမျှခြင်းများ]] (Einstein field equations) ၏ ရပ်ငြိမ်ပြီး စက်လုံးပုံစံ အချိုးညီသော လဟာပြင်အဖြီ (static, spherically symmetric vacuum solution) ကို ရှဗာ့ဇ်ရှီးလ်ဒ် [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်များ]] (Schwarzschild coordinates) <math>(ct, r, \theta, \phi)</math> မာ မျဉ်းဒြပ်စင်ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြရေ။ ** <math>ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM_0}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM_0}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta \, d\phi^2</math> ဒေနီရာမာ <math>G</math> သည် ဒြပ်ဆွဲအား ကိန်းသီ (gravitational constant) ဖြစ်ပြီးကေ <math>c</math> သည် [[အလျင်|အလင်းအလျင်]] (speed of light) ဖြစ်တေ။<ref>Hawking & Ellis (1973), pp. 149–152.</ref> == ကိုးကား (References) == * {{Citation |last1=Dodson |first1=C. T. J. |last2=Poston |first2=T. |title=Tensor Geometry |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=130 |publication-place=Berlin, New York |publisher=Springer-Verlag |date=1991 |isbn=978-3-540-52018-4 |doi=10.1007/978-3-642-10514-2 |mr=1223091}} * {{Citation |last1=Gallot |first1=Sylvestre |last2=Hulin |first2=Dominique |last3=Lafontaine |first3=Jacques |title=Riemannian Geometry |edition=3rd |series=Universitext |publication-place=Berlin, New York |publisher=Springer-Verlag |date=2004 |isbn=978-3-540-20493-0 |doi=10.1007/978-3-642-18201-3 |mr=2088027}} * {{Citation |last1=Hawking |first1=S. W. |last2=Ellis |first2=G. F. R. |title=The Large Scale Structure of Space-Time |series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics |publication-place=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |date=1973 |isbn=978-0-521-09906-6 |mr=0424186}} * {{Citation |last1=Lee |first1=John M. |title=Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=176 |publication-place=New York |publisher=Springer-Verlag |date=1997 |isbn=978-0-387-98322-6 |mr=1464944}} * {{Citation |last1=Misner |first1=Charles W. |last2=Thorne |first2=Kip S. |last3=Wheeler |first3=John Archibald |title=Gravitation |publication-place=San Francisco |publisher=W. H. Freeman |date=1973 |isbn=978-0-7167-0344-0 |mr=0418833}} * {{Citation |last1=Sternberg |first1=Shlomo |title=Lectures on Differential Geometry |edition=2nd |publication-place=New York |publisher=Chelsea Publishing Co. |date=1983 |isbn=978-0-8218-1385-0 |mr=0727144}} [[Category:သင်္ချာဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ]] jyj9n359i7ndc6hbmhc44kp31m008pt 0 6288 22028 2026-10-22T15:31:28Z Retkhaberi 224 Created page with "[[သင်္ချာ]] (Mathematics) နန့် [[ရူပဗေဒ]] (Physics) ရို့မာ ဗက်တာ (Vector) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) တခု၏ [[အစုဝင်]] (Element) တခု ဖြစ်တေ။ ပီးထားရေ [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တနည်း [[အစားကွင်း]] (Division ring) <math>k</math> တခုအတွက် <math>k</math> အပေါ်အခ..." 22028 wikitext text/x-wiki [[သင်္ချာ]] (Mathematics) နန့် [[ရူပဗေဒ]] (Physics) ရို့မာ ဗက်တာ (Vector) သည် [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (Vector space) တခု၏ [[အစုဝင်]] (Element) တခု ဖြစ်တေ။ ပီးထားရေ [[ဖီးလ်ဒ်]] (Field) တနည်း [[အစားကွင်း]] (Division ring) <math>k</math> တခုအတွက် <math>k</math> အပေါ်အခြီခံရေ [[မော်ဂျူးများ_ကတ်တဂိုရီ#ဗက်တာရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ_(Category_of_Vector_Spaces)|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (Category of vector spaces over k) မာ ပါဝင်ရေ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> ကို [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်း]] (Ring) <math>k</math> အပေါ်အခြီခံရေ [[မော်ဂျူး]] (Module) တခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) ဖွင့်ဆိုထားရေ။ ယင်းကို <math>\text{Vect}_k</math> လို့ သင်္ကေတပြုရေ။ ဒေတည်ဆောက်ပုံအထဲ ဗက်တာတိသည် <math>k</math> ၏ အစုဝင်တိနန့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (Scalar multiplication) ပြုလုပ်ကတ်တေ။ ထို <math>k</math> ၏ အစုဝင်တိကို [[စကေလာ|စကေလာများ]] (Scalars) လို့ ခေါ်ဆိုရေ။ အပေါင်း (Addition) တွက်ချက်မှုအရ ဗက်တာတိသည် အခြီခံ [[အနုသျှင်လီယန်အုပ်စု]] (Abelian group) တခုကို ဖွဲ့စည်းကတ်တေ။ ယင်းအုပ်စု၏ ထပ်တူရအစုဝင် (Identity element) သည် သုညဗက်တာ (Zero vector) ဖြစ်တေ။ ယင်းဗက်တာကို <math>0 \in V</math> လို့ သင်္ကေတပြုရေ။ တူညီရေ သင်္ကေတကို အသုံးပြုရေ်လည်း ဒေဗက်တာရေ အောက်ခြီ ဖီးလ်ဒ် (Ground field) ၏ သုည အစုဝင် (Zero element) <math>0 \in k</math> နန့် တိကျစွာ ကွဲပြားခြားနားရေ။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ လားရာပြ မျဉ်းပိုင်းတိအပြင် သရုပ်မဲ့ (Abstract) ဗက်တာတိသည် ကွဲပြားခြားနားရေ ဖြစ်စိုင်တိကို သတ်မှတ်ပီးရေ။ ထင်ရှားသော ဥပမာပုံစံများမာ ထိမျဉ်းဗက်တာတိ (Tangent vectors) ပါဝင်ရေ။ လောက်ငှစွာ ဆင်းသက်ချက်ရှာပြီးကေရရေ (Differentiable) ရပ်ဝန်း (Space) <math>X</math> ၏ [[မန်နီဖိုး#ထိမျဉ်းအစည်း_(Tangent_Bundle)|ထိမျဉ်းအစည်း]] (Tangent bundle) <math>TX \to X</math> တခုကို ပီးထားလျှင် ထိမျဉ်းဗက်တာတခုသည် အမှတ် <math>x \in X</math> အထက်ဟိ [[ပုံရိပ်_နန့်_မူလပုံရိပ်#ဖိုက်ဘာ_(Fiber)|ဖိုက်ဘာ]] (Fiber) ၏ အစုဝင်တခု ဖြစ်တေ။ ယင်းသည် <math>X</math> အထဲဟိ <math>x</math> မှ ထွက်ပေါ်လှာသော တဝတဝငယ်လွန်းသော မျဉ်းကွေးတိ၏ စုစည်းမှုကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Representation) ပြုလုပ်ရေ။ ယင်းနည်းပိုင် ရူပဗေဒမာ လှိုင်းဗက်တာ (Wave vector) စွာ ပြင်ညီလှိုင်း (Plane wave) တခု၏ လှိုင်းအလျား (Wavelength) နန့် ဖြန့်ကြက်လားရာ လားရာရို့ကို သတ်မှတ်ပီးသော ဗက်တာတခု ဖြစ်တေ။ == ကိုဩဒိနိတ် ဗက်တာတိနန့် အခြီအစုများ (Coordinate Vectors and Bases) == [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ဟိရေ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> တခုအတွက် အခြီအစု (Basis) တခုကို သတ်မှတ်ထားပါက <math>V</math> ဟိ [[အစုဝင်]] <math>v</math> ကို ကိုဩဒိနိတ် (Coordinate) များပါဝင်ရေ <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာ (Column vector) တခုအဖြစ် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိူင်ရေ။ <math>p(x)</math> သည် ဒီဂရီ (Degree) <math>n</math> ဟိရေ ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) တခုဖြစ်ကေ <math>F[x]/(p(x))</math> ဖြင့် တည်ဆောက်ထားရေ စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (Quotient field) တခုမာ <math>1, x, x^2, \dots, x^{n-1}</math> ရို့၏ [[ပုံရိပ်_နန့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်များ]] (Images) သည် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (Linearly independent) ဗက်တာတိ ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းဗက်တာတိသည် [[ဖီးလ်ဒ်]] <math>F</math> အပေါ်အခြီခံရေ ဗက်တာရပ်ဝန်းတခုအနိန်နန့် ယင်းချင့် စားလဒ် (Quotient) အတွက် အခြီအစုတခုကို ဖွဲ့စည်းကတ်တေ။ အတိုင်းအတာ <math>n</math> ဟိရေ ဗက်တာရပ်ဝန်းတခုမာ ဇာ ဗက်တာ <math>n + 1</math> ခုပါဝင်ရေ အစုမဆို မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုဟိရေ (Linearly dependent) ဗက်တာတိ ဖြစ်ကတ်စွာ သေချာရေ။ == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတိ (Eigenvectors) == ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး (Eigenvalue) <math>\lambda</math> ပါဟိရေ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ (Matrix) <math>A</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာ (Eigenvector) <math>v</math> သည် သုညမဟုတ်ရေ <math>n \times 1</math> ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းကို [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (Linear transformation) <math>T</math> ၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတခုအဖြစ်လည်း ဆိုနှိုင်ရေ။ ယင်းဗက်တာရေ <math>Av = \lambda v</math> ဆိုရေ အခြီအနီကို ပြည့်စုံစီရေ။ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] <math>V</math> အတွင်းမာ ယင်းသည် သုညမဟုတ်ရေ ဗက်တာတခု ဖြစ်တေ။ <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစီရေ ဗက်တာတိအားလုံး၏ [[အစု]] သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းပိုင်း (Vector subspace) တခုကို ဖွဲ့စည်းရေ။ ဒေအစုမာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး <math>\lambda</math> အတွက် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတိအားလုံးအပြင် သုညဗက်တာပါ ပါဝင်ရေ။ ထိုရပ်ဝန်းပိုင်းကို ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးရပ်ဝန်း (Eigenspace) လို့ ခေါ်ဆိုရေ။ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း တခုမာ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ဗက်တာတိ လုံးဝ မဟိခြင်းမျိုးလည်း ဖြစ်နှိုင်ရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် အနန္တအတိုင်းအတာဟိရေ (Infinite-dimensional) [[ကိန်းစစ်|ကိန်းစစ်]] ဗက်တာရပ်ဝန်း (Real vector space) <math>\mathbb{R}^\infty</math> အပေါ်ဟိ တိကျသော နီရာရွှေ့ ပုံဖော်မှု (Shift map) တခုမာ <math>T(v) = \lambda v</math> ကို ပြည့်စုံစီရေ သုညမဟုတ်ရေ ဗက်တာ မဟိပါ။ == အုပ်စု ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတိဟိ ဗက်တာတိ (Vectors in Group Representations) == <math>e_1, e_2, \dots, e_n</math> ကို အခြီအစုအဖြစ် ပါဟိရေ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တခုအပေါ် သက်ရောက်ရေ ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (Symmetric group) <math>S_n</math> ၏ ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (Permutation representation) တခုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားနှိုင်ရေ။ ယင်းခါ သတ်မှတ်ထားရေ ဗက်တာ <math>v = e_1 + e_2 + \dots + e_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်း (Permutation) တိုင်း၏ သက်ရောက်မှုအောက်မာ မပြောင်းလဲပဲ အထိုင်ဖြစ်နီရေ။ ဒေဗက်တာမာ ကိုဩဒိနိတ်တိအားလုံး ညီမျှကတ်တေ။ ယင်းဗက်တာရေ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] ၁ ဟိရေ <math>S_n</math>-တိုင်းရေ ရပ်ဝန်းပိုင်းတခုကို မျဉ်းဖြောင့် စပန် (Linear span) ဖွဲ့စည်းပီးရေ။ ယင်း ပါမြူတေးရှင်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ရပ်ဝန်းတူညီမှုမာ ကိုဩဒိနိတ်တိ၏ ပေါင်းလဒ် သုညဖြစ်ရေ ဗက်တာတိအားလုံး၏ [[အစု]]သည် အတိုင်းအတာ <math>n-1</math> ဟိရေ မပြောင်းလဲသော ရပ်ဝန်းပိုင်း (Invariant subspace) တခုကို ဖွဲ့စည်းရေ။ ထိုဗက်တာတိကို <math>\sum a_i = 0</math> ဖြစ်ရေ <math>a_1e_1 + \dots + a_ne_n</math> ပုံစံနန့် ရီးသားနှိုင်ရေ။ ယင်းရပ်ဝန်းပိုင်းကို ဖြည့်စွက် မော်ဂျူးပိုင်း (Augmentation submodule) လို့ ခေါ်ဆိုရေ။ == ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများဟိ ဗက်တာတိ (Vectors in Differential Equations) == ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Differential equations) စနစ်တခုကို <math>y' = Ay</math> အဖြစ် ရီးသားနှိုင်ရေ။ ဒေနီရာမာ <math>y</math> သည် [[ဖန်ရှင်|ဖန်ရှင်များ]] (Functions) <math>y_1(t), \dots, y_n(t)</math> ပါဝင်ရေ ဒေါင်လိုက်ဗက်တာတခု ဖြစ်တေ။ ညီမျှခြင်းစနစ် <math>y' = Ay</math> အတွက် အဖြီတိဖြစ်ကတ်တေ ဗက်တာ <math>y</math> တိ၏ [[အစု]]သည် အောက်ခြီ [[ဖီးလ်ဒ်]]အပေါ်အခြီခံရေ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] <math>n</math> ဟိရေ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]]တခုကို ဖွဲ့စည်းရေ။ အခြီခံ ကိန်းအုံ (Fundamental matrix) တခု၏ ဒေါင်လိုက်တန်းတိစွာ ဒေအဖြီများပါဝင်ရေ ဗက်တာရပ်ဝန်းအတွက် အခြီအစုတခုအနိန်နန့် ဆောင်ရွက်ကတ်တေ။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=nLab authors |title=vector space |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector+space |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=tangent vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/tangent+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |author=nLab authors |title=wave vector |date=June 2026 |url=https://ncatlab.org/nlab/show/wave+vector |access-date=2026-06-26}} * {{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |last2=Foote |first2=Richard M. |title=Abstract Algebra |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |date=2004}} [[ကဏ္ဍ:မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ]] ezechlp4btagjmntvwumytzrt2wjhrx 0 6289 22030 2026-10-22T15:41:43Z Retkhaberi 224 Created page with "{{Translation incomplete|en|Mathematical analysis}} {{Calculus}} '''သင်္ချာဆန်းစစ်ခြင်း'' (mathematical analysis) ဆိုစွာမာ [[ကိန်း#ကိန်းစစ်များ (Real Numbers)|ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးပြ ဖန်ရှင်များ (real-valued functions) နန့် ကိန်းရှုပ်ခေါ် ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကွန်..." 22030 wikitext text/x-wiki {{Translation incomplete|en|Mathematical analysis}} {{Calculus}} '''သင်္ချာဆန်းစစ်ခြင်း'' (mathematical analysis) ဆိုစွာမာ [[ကိန်း#ကိန်းစစ်များ (Real Numbers)|ကိန်းစစ်]]တန်ဖိုးပြ ဖန်ရှင်များ (real-valued functions) နန့် ကိန်းရှုပ်ခေါ် [[ကွန်ပလက်စ်ကိန်း|ကွန်ပလက်စ်]]တန်ဖိုးပြ ဖန်ရှင်များ (complex-valued functions) ကို စနစ်တကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ လိလာရေ [[သင်္ချာ]]ဘာသာရပ်ခွဲတခုဟု အကြမ်းဖျဉ်း ဆိုနှိုင်ရေ။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာမာ အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (infinite sequences) ၏ လစ်မစ် ([[:en:Limit (mathematics)|limit]]) ခေါ် လားရာပြတန်ဖိုးသဘောကို မာကျယ်နက်ဟိုင်းစွာ အသုံးပြုလေ့ဟိရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ(တနည်း) သင်္ချာဆန်းစစ်ခြင်းစွာ လစ်မစ်တိကို လိလာခြင်းဖြစ်တေလို့လေ့ ဆိုကတ်ရေ။{{sfn|Derbyshire|2004|p=287}} သင်္ချာဆန်းစစ်ခြင်းမာ [[ကဲကုလပ်]]၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ ([[:en:differential equations|differential equations]])၊ ဖန်ရှင်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ လိလာခြင်း ([[:en:functional analysis|functional analysis]]) အစဟိသဖြင့် ဘာသာရပ်ခွဲများ ဟိရေ။ အခြီခံကဲကုလပ်မာ ပါဝင်ရေ ဒရစ်ဗတ ([[:en:derivative|derivative]]) ခေါ် လက်ငင်းတဒင်္ဂပြောင်းလဲနှုန်း၊ အင်တီဂရယ် ([[:en:integral|integral]]) ခေါ် ရီးမန်ပေါင်းလဒ်၏ လားရာပြတန်ဖိုး၊ အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ ပေါင်းလဒ်များ (series) အစဟိရေ သဘောတရားရို့ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာမာ တွိနှိုင်ကေလေ့၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာဆိုရေ နာမည်ကို ထိုအခြီခံ ကဲကုလပ် ဘာသာရပ်မာ တွိရလိမဟိရေ တန်းမြင့်သင်္ချာ အကြောင်းအရာတိအား ရည်ညွှန်းဖို့အတွက် သီးသန့် အသုံးပြုလိဟိရေ။{{sfn|MathWorld}} == အညွှန်း == {{reflist}} == ကိုးကား == {{refbegin}} * {{citation | last = Derbyshire | first = John | title = Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics | publisher = Penguin | place = New York | edition = 1st | year = 2004 | isbn = 978-0452285255 }} * {{Citation | ref = CITEREFMathWorld | last2 = Weisstein | first2 = Eric W. | last = Renze | first = John | title = Analysis | work = MathWorld--A Wolfram Web Resource | access-date = March 1, 2017 | url = http://mathworld.wolfram.com/Analysis.html }} {{refend}} [[Category: သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း]] {{သင်္ချာ-stub}} h0qvtez3xosbnasbqc31aakookgnwns 0 6290 22031 2026-10-22T15:49:53Z Retkhaberi 224 Created page with "မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (တနည်း) မျဉ်းသင်္ချာ (linear algebra) စွာ အခြီခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံဟိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cd..." 22031 wikitext text/x-wiki မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (တနည်း) မျဉ်းသင်္ချာ (linear algebra) စွာ အခြီခံအားဖြင့် <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math> ပုံစံဟိ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ]] (linear equations) <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n</math> အဖြစ် တက်စားပြုဖော်ပြသော [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတိ]] (linear maps) ကို လိလာရေ။ ယင်းချင့်အပြင် ဒေတည်ဆောက်ပုံတိကို [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) နန့် [[ကိန်းအုံ|ကိန်းအုံများ]] (matrices) အထဲ ဖွဲ့စည်းဖော်ပြခြင်းကိုလေ့ လိလာရေ။ == ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector Spaces) == [[ဖီးလ်ဒ်]] (field) <math>F</math> တခုအပေါ်ဟိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းတခု]]ဆိုစွာမာ [[နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု|နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတိ]] (binary operations) ဖြစ်ရေ ဗက်တာပေါင်းခြင်းနန့် [[စကေလာ]]မြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) ရို့ပါဝင်ရေ [[အစု]] (set) <math>V</math> တခု ဖြစ်တေ။ ယင်းတွက်ချက်မှုတိစွာ [[ဗက်တာ|ဗက်တာတိ]]အားလုံးဖြစ်ရေ <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V</math> နန့် စကေလာများဖြစ်ရေ <math>a, b \in F</math> ရို့အတွက် အောက်ပါ [[မူလမှန်အဆို|မူလမှန်အဆိုများ]] (axioms) ကို ပြည့်စုံစီရေ။<ref>Roman (2005).</ref> * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (associativity) ဆိုစွာမာ <math>\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}</math> ဖြစ်တေ။ * ပေါင်းခြင်း၏ [[ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ]] (commutativity) ဆိုစွာမာ <math>\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}</math> ဖြစ်တေ။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ထပ်တူရအစုဝင်]] (identity element) ဆိုစွာမာ <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်စီဖို့ သုညဗက်တာ (zero vector) <math>\mathbf{0} \in V</math> တခု တည်ဟိခြင်း ဖြစ်တေ။ * ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်အစုဝင်များ]] (inverse elements) ဆိုစွာမာ ဇာ <math>\mathbf{v} \in V</math> အတွက်မဆို <math>\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> ဖြစ်စီဖို့ <math>-\mathbf{v} \in V</math> တခု တည်ဟိခြင်း ဖြစ်တေ။ * ဗက်တာပေါင်းခြင်းအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ [[ဖြန့်ဝီရဂုဏ်သတ္တိ]] (distributivity) ဆိုစွာမာ <math>a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}</math> ဖြစ်တေ။ * ဖီးလ်ဒ်အပေါင်းတွက်ချက်မှုအပေါ် စကေလာမြှောက်ခြင်း၏ ဖြန့်ဝီရဂုဏ်သတ္တိ ဆိုစွာမာ <math>(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}</math> ဖြစ်တေ။ * စကေလာနန့် ဖီးလ်ဒ် မြှောက်ခြင်းရို့၏ ကိုက်ညီမှု (compatibility) ဆိုစွာမာ <math>a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}</math> ဖြစ်တေ။ * စကေလာမြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် ဆိုစွာမာ <math>1\mathbf{v} = \mathbf{v}</math> ဖြစ်တေ။ မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်းပိုင်း (linear subspace) <math>W \subseteq V</math> ဆိုစွာမာ အပေါင်းတွက်ချက်မှုနန့် စကေလာမြှောက်ခြင်းရို့အောက်မာ [[အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ|အပိတ်ဂုဏ်တင်း]] ဗလာမဟုတ်တေ[[အစုပိုင်း]] (non-empty subset) တခု ဖြစ်တေ။ ဗက်တာတိပါဝင်ရေ အစု <math>S</math> တခု၏ စပန် (span) သည် <math>S</math> ကို မုံထားသော ရပ်ဝန်းပိုင်းတိအားလုံး၏ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ဖြစ်ပြီးကေ <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i</math> ပုံစံဟိ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) အားလုံး ပါဝင်ရေ။ တကယ်လို့ <math>i</math> အားလုံးအတွက် <math>\sum_{i=1}^k a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \implies a_i = 0</math> ဖြစ်ကေ အစု <math>S</math> စွာ [[မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းခြင်း|မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော]] (linearly independent) အစု ဖြစ်တေ။ မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပြီး ဖြန့်ကျက်အစု (spanning set) ဖြစ်ရေ အစုတခုစွာ [[အခြီအစု]] (basis) ဖြစ်တေ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိအတွက် အတိုင်းအတာ သီအိုရမ် (dimension theorem) အရ <math>V</math> ၏ ဇာ အခြီအစုနှစ်ခုမဆိုရေ တူညီရေ [[အစုအရွယ်အစား]] (cardinality) ကို ပိုင်ဆိုင်ကတ်တေ။ ယင်းကို <math>V</math> ၏ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာ]] (dimension) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး <math>\dim V</math> ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြရေ။<ref>Axler (2024).</ref> အတိုင်းအတာအဆုံးဟိရေ (finite-dimensional) ရပ်ဝန်း <math>V</math> ၏ ရပ်ဝန်းပိုင်းတိဖြစ်ကတ်တေ <math>U_1</math> နန့် <math>U_2</math> ရို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်တေ။ <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).</math><ref>Axler (2024).</ref> == မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတိနန့် ကိန်းအုံများ (Linear Maps and Matrices) == <math>F</math> အပေါ်ဟိ [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]]ဖြစ်ရေ <math>V</math> နန့် <math>W</math> ရို့အတွက် [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု]] <math>T: V \to W</math> သည် <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> အားလုံးနန့် <math>a, b \in F</math> အားလုံးအတွက် <math>T(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})</math> ကို ပြည့်စုံစီရေ။ [[ဘိုင်ဂျက်တ ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တဖြစ်ရေ]] (bijective) မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတခုစွာ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) တခု ဖြစ်တေ။ အခြီအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m)</math> ပါဟိရေ အတိုင်းအတာအဆုံးဟိရေ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တခုအတွက် ဗက်တာတိုင်းစွာ [[ကိုဩဒိနိတ်စနစ်|ကိုဩဒိနိတ်]] ဗက်တာ (coordinate vector) <math>(a_1, \dots, a_m) \in F^m</math> တခုပါးသို့ တခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်ခံရရေ။ တကယ်လို့ <math>W</math> မာ အခြီအစု <math>(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n)</math> ပါဟိပါက <math>f(\mathbf{w}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\mathbf{v}_i</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရေ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: W \to V</math> ကို <math>m \times n</math> အရွယ်အစားဟိ ကိန်းအုံ <math>[a_{i,j}]</math> ဖြင့် တခုတည်းသီးသန့် တက်စားပြုဖော်ပြနိူင်ရေ။ [[မြှောက်လဒ်|ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း]] (matrix multiplication) သည် မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုတိ၏ [[ပေါင်းစပ်ခြင်း အော်ပရေတာ|ပေါင်းစပ်ခြင်း]] (composition) နန့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုဟိရေ။ ကွဲပြားသော အခြီအစုများအောက်မာ တူညီရေ [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] (endomorphism) တခုကို ဖော်ပြထားရေ ကိန်းအုံနှစ်ခုသည် ဆင်တူရေ ကိန်းအုံများ (similar matrices) ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းရို့ကို [[ပြောင်းပြန် အစုဝင်|ပြောင်းပြန်လှန်နှိုင်ရေ]] (invertible) ကူးပြောင်းမှု ကိန်းအုံ (transition matrix) ဖြင့် [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းကတဆင့် ရယူနှိုင်ရေ။ == မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (Systems of Linear Equations) == ကိန်းရှင် (variables) <math>n</math> ခုပါဝင်ရေ [[မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်း|မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း]] <math>m</math> ကြောင်းပါ စနစ်တခုကို [[ကိန်းအုံ]] [[ညီမျှခြင်း]] <math>A\mathbf{x} = \mathbf{b}</math> အဖြစ် ပုံစံချ ဖွဲ့စည်းနှိုင်ရေ။ ထိုနီရာတွင် <math>A = (a_{ij})_{m\times n}</math>၊ <math>\mathbf{x} \in F^n</math> နန့် <math>\mathbf{b} \in F^m</math> ဖြစ်ကတ်တေ။ ဆက်စပ်နိန်ရေ တပြီီးညီ စနစ် (homogeneous system) <math>A\mathbf{x} = \mathbf{0}</math> စွာ [[မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ|မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း]] (linear transformation) <math>A</math> ၏ [[ကာနယ်]] (kernel) အဖြစ် တိကျစွာ ဖွဲ့စည်းထားရေ အဖြီတိကို ထုတ်ပီးရေ။ မျဉ်းဖြောင့် စနစ်တိအတွက် အဖြီတိကို ပူးတွဲကိန်းအုံ (augmented matrix) <math>[A \mid \mathbf{b}]</math> အား လျှော့ချထားရေ အတန်းအဆင့်ပုံစံ (reduced row echelon form) သို့ လျှော့ချဖို့အတွက် ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို အသုံးပြုပနာ တွက်ချက်ရေ။ တကယ်လို့ <math>m = n</math> ဖြစ်ပြီးကေ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နှိုင်ရေ ကိန်းအုံဖြစ်ကေ ယင်းချင့်စနစ်မာ တခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်ရေ အဖြီ <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> ဟိရေ။ == အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်တိနန့် စတုရန်းကိန်းအုံများ (Endomorphisms and Square Matrices) == မျဉ်းဖြောင့် [[အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်]] <math>f: V \to V</math> တခုကို အရွယ်အစား <math>n</math> ဟိရေ စတုရန်းကိန်းအုံ (square matrix) <math>M</math> ဖြင့် တက်စားပြုဖော်ပြရေ။ <math>n \times n</math> ကိန်းအုံ <math>A</math> ၏ [[အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး]] (determinant) ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)},</math> ထိုနီရာတွင် <math>S_n</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ဖြစ်ပြီးကေ <math>(-1)^{\sigma}</math> သည် ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ [[စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)|စုံမသဘာဝ]] (permutation parity) ကို ဖော်ပြရေ။ <math>\det(A) \neq 0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာသာ <math>A</math> သည် ပြောင်းပြန်လှန်နှိုင်ရေ ကိန်းအုံ ဖြစ်တေ။ တကယ်လို့ စကေလာ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနန့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး]] (eigenvalue) <math>a</math> တခုအတွက် <math>M\mathbf{v} = a\mathbf{v}</math> ဖြစ်ကေ သုညမဟုတ်ရေ ဗက်တာ (non-zero vector) <math>\mathbf{v}</math> သည် <math>M</math> ၏ [[ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာနန့် ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး|ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ]] (eigenvector) တခု ဖြစ်တေ။ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးတိစွာ အခြီခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) <math>F</math> အထဲဟိ ဝိသေသ [[ပိုလီနိုမီရယ်]] (characteristic polynomial) ၏ ကိန်းရင်းများ (roots) တိကျစွာ ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းမာ <math>\det(xI - M) = 0</math> ဖြစ်တေ။ တကယ်လို့ <math>V</math> မာ ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာတိဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားရေ အခြီအစုတခု ဟိနီပါက <math>M</math> သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနှိုင်ရေ (diagonalizable) ကိန်းအုံ ဖြစ်တေ။ == ဒွန်တွဲမှုနန့် အထဲမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းတိ (Duality and Inner-Product Spaces) == [[ဒွန်တွဲရပ်ဝန်း]] (dual space) <math>V^*</math> မာ မျဉ်းဖြောင့် ပုံစံများ (linear forms) <math>f: V \to F</math> အားလုံး ပါဝင်ရေ။ <math>V</math> ၏ အခြီအစု <math>(\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n)</math> တခုအတွက် ဒွန်တွဲအခြီအစု (dual basis) <math>(\mathbf{v}_1^*, \dots, \mathbf{v}_n^*)</math> သည် <math>\mathbf{v}_i^*(\mathbf{v}_j) = \delta_{ij}</math> ကို ပြည့်စုံစီရေ။ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု <math>f: V \to W</math> တခုအတွက် ဒွန်တွဲ ပုံဖော်မှု (dual map) <math>f^*: W^* \to V^*</math> ကို <math>f^*(h) = h \circ f</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ အဆုံးဟိရေ အတိုင်းအစွာတိမာ <math>f^*</math> ကို ထရန်စပို့စ် ကိန်းအုံ (matrix transpose) <math>M^{\textsf{T}}</math> ဖြင့် တက်စားပြုဖော်ပြရေ။ <math>F = \mathbb{R}</math> တနည်း <math>\mathbb{C}</math> အပေါ်ဟိ ဗက်တာရပ်ဝန်း <math>V</math> တခုအတွက် [[အစက်မြှောက်လဒ် (စကေလာမြှောက်လဒ်)|အထဲမြှောက်လဒ်]] (inner product) သည် အောက်ပါအချက်တိကို ပြည့်စုံစီရေ ပုံဖော်မှု <math>\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to F</math> တခု ဖြစ်တေ။<ref>Jain & Ahmad (1995).</ref><ref>Prugovecki (1981).</ref> * [[ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်|ကွန်ဂျူဂိတ်]] အချိုးညီမှု (conjugate symmetry) ဆိုစွာမာ <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}</math> ဖြစ်တေ။ * ပထမ အဝင်ကိန်းအပေါ် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်မှု (linearity in the first argument) ဆိုစွာမာ <math>\langle a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a\langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + b\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle</math> ဖြစ်တေ။ * အပေါင်းကိန်းသီချာမှု (positive-definiteness) ဆိုစွာမာ <math>\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \geq 0</math> ဖြစ်ပြီးကေ <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာရာ ညီမျှခြင်း ဖြစ်ပေါ်ခြင်း ဖြစ်တေ။ ဒေတည်ဆောက်ပုံစွာ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) <math>\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}</math> ကို မြှောက်ပင့်ပီးပီးရား [[ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း]] (Cauchy-Schwarz inequality) <math>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|</math> ကို သတ်မှတ်ပီးရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] (Hilbert spaces) အပေါ်ဟိ အကန့်အသတ်ဟိရေ အော်ပရေစွာတိ တနည်း အဆုံးဟိရေ အတိုင်းအစွာတိမာပိုင် ယင်းတည်ဟိရေအခါ <math>T</math> ၏ ဟာမီရှန် ကွန်ဂျူဂိတ် (Hermitian conjugate) <math>T^*</math> ကို <math>\langle T\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T^*\mathbf{v} \rangle</math> ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရေ။ [[ကိန်းထွေး|ကိန်းထွေးများ]]ကို <math>TT^* = T^*T</math> ကို ပြည့်စုံစီရေ ကိန်းအုံတိစွာ ပုံမှန် (normal) ဖြစ်ကတ်ပြီး ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာတိဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားရေ ဒေါင့်မှန်ကျယူနစ် အခြီအစု (orthonormal basis) တခုကို လက်ခံရဟိရေ။ == ယေဘုယျပြုထားခြင်းတိ (Generalizations) == * '''[[မော်ဂျူး]] သီအိုရီ (Module theory)''' [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring) <math>R</math> တခုကို ဗက်တာရပ်ဝန်းတခုအား ယေဘုယျပြုထားခြင်းစွာ <math>R</math>-မော်ဂျူး (<math>R</math>-module) တခု ဖြစ်တေ။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိနန့် မတူညီဘဲ [[လွတ်လပ်သော မော်ဂျူး|လွတ်လပ်သော မော်ဂျူးများ]] (free modules) မဟုတ်ကေ အလိုဟိရာ မော်ဂျူးတိစွာ အခြီအစုတိကို တိကျစွာ လက်ခံရဟိခြင်း မဟိပါ။ * '''မျဉ်းဖြောင့်အစုံ အက္ခရာသင်္ချာ (Multilinear algebra)''' <math>V^*</math> မှ အစုဝင်တိ၏ [[တန်ဆာ မြှောက်လဒ်|တန်ဆာ မြှောက်လဒ်များ]] (tensor products) ကတဆင့် ပုံစံတကျ ဖော်ပြထားရေ <math>F</math> ထဲကိုဝင်ရေ ကိန်းရှင်များစွာမာ မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်ရေ ပုံဖော်မှုတိကို လိလာစစ်ဆီးရေ။ * '''[[တိုပေါ်ခရာဝဂျီ|တိုပေါ်ခရာဝဂျီ]] [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (Topological vector spaces)''' အနန္တအတိုင်းအတာဟိရေ ရပ်ဝန်းတိစွာ [[စုဆုံမှတ်]] (limit) တည်ဆောက်ပုံတိကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ဖို့အတွက် စံနှုန်း၊ အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တနည်း ဆီမီးစံနှုန်းများ စုစည်းမှုရို့မှ တနားတခါ မြှောက်ပင့်ပီးဖြစ်ပေါ်လှာသော တိုပေါ်ခရာဝဂျီ (topology) တခုကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားရေ။ ပြည့်စုံသော စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားရေ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိစွာ ဘာနက် ရပ်ဝန်းများ (Banach spaces) ဖြစ်ကတ်ပြီး ပြည့်စုံသော [[အထဲမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်း (ဟီလ်ဘတ်အကြို ရပ်ဝန်း)|အထဲမြှောက်လဒ် ရပ်ဝန်းများ]]စွာ [[ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း|ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်းများ]] ဖြစ်ကတ်တေ။ == ကိုးကား == {{Reflist}} * {{Citation |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |edition=4th |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer Publishing |publication-place=Cham |date=2024 |isbn=978-3-031-41026-0 |doi=10.1007/978-3-031-41026-0}} * {{Citation |last1=Jain |first1=P. K. |last2=Ahmad |first2=Khalil |title=Functional analysis |edition=2nd |publisher=New Age International |publication-place=New Delhi |date=1995 |isbn=81-224-0801-X}} * {{Citation |last1=Katznelson |first1=Yitzhak |last2=Katznelson |first2=Yonatan R. |title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra |publisher=American Mathematical Society |publication-place=Providence, RI |date=2008 |isbn=978-0-8218-4419-9}} * {{Citation |last=Prugovecki |first=Eduard |title=Quantum mechanics in Hilbert space |edition=2nd |publisher=Academic Press |publication-place=New York |date=1981 |isbn=0-12-566060-X}} * {{Citation |last=Roman |first=Steven |title=Advanced Linear Algebra |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |publication-place=New York |date=2005 |isbn=978-0-387-24766-3}} [[Category:မျဉ်း အက္ခရာသင်္ချာ]] rzyiqiji3918s0wb9h1fq2sbzli9126 0 6291 22032 2026-10-22T15:57:54Z Retkhaberi 224 Created page with "[[Image:Torus.png|right|thumb|250px|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ ဘာသာရပ်မာ အများဆုံးလိလာလေ့ဟိရေ အရာဝထုတိအနက် တခုဖြစ်တေ မုန့်လက်ကောက်ပုံ မျက်နှာပြင်ရပ်ဝန်း]] အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိ..." 22032 wikitext text/x-wiki [[Image:Torus.png|right|thumb|250px|အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ ဘာသာရပ်မာ အများဆုံးလိလာလေ့ဟိရေ အရာဝထုတိအနက် တခုဖြစ်တေ မုန့်လက်ကောက်ပုံ မျက်နှာပြင်ရပ်ဝန်း]] အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ (algebraic topology) စွာ [[တိုပိုလိုဂျီ |တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းများ]] (topological spaces) နန့် [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ပုံဖော်မှုတိ]] (continuous mappings) ကို လိလာရန် [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (algebra) ကိရိယာတိကို အသုံးပြုရေ [[သင်္ချာ]] (mathematics) ဘာသာရပ်ခွဲတခု ဖြစ်တေ။ [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (groups)၊ [[ကွင်း (အက္ခရာသင်္ချာ)|ကွင်းများ]] (rings) တနည်း [[ဗက်တာရပ်ဝန်း|ဗက်တာရပ်ဝန်းများ]] (vector spaces) ပိုင်ယှောင် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) ကို အဆက်မပြတ်[[ဂျီဩမေတြီ]] အရာဝထုများ (continuous geometric objects) ပါးသို့ သတ်မှတ်ပီးခြင်းနန့် သပွတ်အူလိုက် တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ ပြဿနာတိကို တွက်ချက်နှိုင်ရေ အက္ခရာသင်္ချာ ဆက်သွယ်ချက်တိ (algebraic relationships) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပီးရေ။ ဒေဂျီဩမေတြီ အရာဝထုများမာ [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးများ]] (manifolds)၊ အရိုးယှင်းဆုံးပုံ ကွန်ပလက်စ်များ (simplicial complexes) နန့် [[ဖိုက်ဘာအစည်း|ဖိုက်ဘာအစည်းများ]] (fibre bundles) ရို့ ပါဝင်ရေ။ == အဓိက ရည်ရွယ်ချက်တိ (Core Objectives) == အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ ၏ အဓိက ရည်မှန်းချက်မာ ရပ်ဝန်းများ နန့် [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ပုံဖော်မှုတိ]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (homeomorphism) အထိ တနည်း အိုင်ဆိုတိုပီ (isotopy) နန့် [[ဟိုမိုတိုပီ]] ထပ်တူညီမှု (homotopy equivalence) ပိုင်ယှောင် ပိုပြီးကေ ကြမ်းရေ (coarser) အမြဲမပြတ် ပုံပျက်လားခြင်းများ (continuous deformations) အထိ အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classification) ပြုလုပ်ဖို့ ဖြစ်တေ။ ဒေဟိုမိုတိုပီ ထပ်တူညီမှုကို ဟိုမိုတိုပီ အမျိုးအစား (homotopy type) လို့လေ့ ခေါ်ဆိုရေ။ ဒေဘာသာရပ်ရေ ဒေသအလိုက် အမှတ်အစု (point-set) ဂုဏ်သတ္တိတိအပေါ် အာရုံစိုက်ခြင်းထက် အပေါက်များ၊ လိမ်ခေါက်နီမှုများ နန့် ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများ (singularities) ပိုင်ယှောင် အားလုံး [[ဂျီဩမေတြီ|ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ]] မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (global geometric invariants) ကို လိလာရေ။ သမိုင်းကြောင်းအရ ဒေဘာသာရပ်ရေ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ထည့်သွင်းခြင်းများ (spatial embeddings)၊ အထိုင်မှတ် သီအိုရမ်များ (fixed-point theorems)၊ ကိုဘော်ဒစ်ဇင် (cobordism) နန့် ဗက်တာအစည်းများ (vector bundles) ကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းရို့ပါဝင်ရေ ပြဿနာတိကြောင့် တိုးတက်လာခခြင်း ဖြစ်တေ။ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ထည့်သွင်းခြင်းများမာ အထုံးသီအိုရီ (knot theory) နန့် ကျစ်ဆံမြီး သီအိုရီ (braid theory) ရို့ ပါဝင်ရေ။ ကိုဘော်ဒစ်ဇင်ဆိုစွာမာ အပိတ်ဖြစ်ရေ [[မန်နီဖိုး]] (closed manifold) တခု တနည်း ယင်းရို့၏ ပေါင်းစကစရှာ (union) တခုသည် ပိုပြီးကေမြင့်မားသော [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာဟိရေ]] မန်နီဖိုး (higher-dimensional manifold) တခု၏ နယ်နိမိတ် (boundary) ဖြစ်တည်ခြင်း ဟိမဟိကို ဆိုလိုရေ။ == ဖန်တာဆိုင်ရာ နည်းလမ်း (The Functorial Method) == ဒေဘာသာရပ်ရေ အားလုံးအကျုံးဝင်သော နည်းလမ်း (universal methodology) စွာ [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) အပေါ် များစွာ မှီခိုရေ။ ယင်းနည်းလမ်းသည် [[တိုပိုလိုဂျီ _ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းများ ကတ်တဂိုရီ]] (categories of topological spaces) ကို [[အက္ခရာသင်္ချာ]] ကတ်တဂိုရီများ (algebraic categories) ပါးသို့ ပုံဖော်ပေးရေ [[ဖန်တာ|ဖန်စွာတိ]] (functors) ကို တည်ဆောက်ရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် အပေါက်ပါရေ ပြင်ညီ (punctured plane) တခုအထဲဟိ မျှိုင်းကွေးပိတ်များ (closed curves) ကို ယင်းရို့၏ ရစ်ပတ်ကိန်း (winding number) တိအရ အမျိုးအစားခွဲခြားနှိုင်ရေ။ ဒေမျှိုင်းကွေးတိကို အမြဲမပြတ် ပုံပျက်လားခြင်းအထိ ပေါင်းဆက်ခြင်း (concatenating up to continuous deformation) ဆိုရေ [[တိုပိုလိုဂျီ |တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ]] သက်ရောက်ချက်သည် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) ၏ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ [[ပေါင်းခြင်း|အပေါင်းတွက်ချက်မှု]] (algebraic addition) နန့် ချောမွိ့စွာ ကိုက်ညီမှုဟိရေ။ ဒေဖန်တာဆိုင်ရာ ဘာသာပြန်ဆိုမှုစွာ မဖြစ်နှိုင်သော ဖော်ပြချက်တိ (impossibility statements) တနည်း တည်ဟိမှုမဟိခြင်း (non-existence) ကို သက်သီပြဖို့အတွက် အလွန် အစွမ်းထက်ရေ။ ပစ်မှတ်အက္ခရာသင်္ချာ ကတ်တဂိုရီအထဲ တိကျသော ဖလှယ်ရ တိုးချဲ့ချက် (commutative extension) တခု မတည်ဟိနှိုင်ကြောင်း ပြသခြင်းနန့် သက်ဆိုင်ရာ [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ပုံဖော်မှုစွာလေ့]] တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းအထဲ မတည်ဟိနှိုင်ကြောင်း သက်သီပြနှိုင်ရေ။ စက်လုံးအခဲ (solid ball) တခုကို မဆုတ်ဖြဲဘဲ ယင်းဧ့ နယ်နိမိတ်ဖြစ်ရေ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (bounding sphere) အပေါ်ကို အမြဲမပြတ် ရုပ်သိမ်းခြင်း (continuously retracted) မပြုလုပ်နိုင်ဆိုရေ သက်သီပြချက်သည် ဒေနည်းလမ်း၏ နမူနာတခုဖြစ်တေ။ ဧပိုင် ရုပ်သိမ်းခြင်းမာ ပိုင်နက်သတ်တိကို (boundary points) အထိုင်အဖြစ် (fixed) ထားဟိရဖို့ ဖြစ်တေ။ == မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Invariance) == အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ ဟိ အဓိက အခက်အခဲတခုမာ မပြောင်းလဲရေ ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) တခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းနန့် ယင်းကို လက်တွိ တွက်ချက်ခြင်းရို့ကြားဟိ အားစမ်းမှုပင် ဖြစ်တေ။ ရိုးရိုး ဟိုမိုလိုဂျီ (ordinary homology) မာ အသုံးပြုရေ တြိဂံပုံခွဲခြားခြင်းများ (triangulations) တနည်း ဒွန်တွဲဟိုမိုလိုဂျီ (cohomology) မာ အသုံးပြုရေ ဒစ်ဖရန်ရှယ်ပုံစံများ (differential forms) ပိုင်ယှောင် [[ဂျီဩမေတြီ]] တည်ဆောက်ပုံများ (geometric structures) ကို အခြီခံရေ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို တွက်ချက်ဖို့ လွယ်ကူရေ။ ယကေလေ့ ယင်းရို့စွာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ အားလုံးအောက်မာ မပြောင်းလဲဘဲ ဆက်ပနာတည်ဟိကြောင်း သက်သီပြရန်မာ အလွန် ခက်ခဲရေ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် စက်လုံးမျက်နှာပြင်များ (spheres) ၏ [[ဟိုမိုတိုပီ]] [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စုများ]] (homotopy groups) ပိုင်ယှောင် [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အဆက်မပြတ်ပုံဖော်မှုတိကတဆင့်]] သီးသန့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရေ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိတိစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ မပြောင်းလဲကေလေ့ တွက်ချက်ဖို့ အလွန် ခက်ခဲရေ။ ဒေတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စိန်ခေါ်မှုတိကို ဖြီယှင်းဖို့အတွက် သင်္ချာပညာသျှင်တိသည် ဟိုမိုခရာဝဂျီဆိုင်ရာ [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (homological algebra) ဆိုရေ ယန္တရားကို တီထွင်ခကတ်တေ။ ဒေမာ သပွတ်အူလိုက် အက္ခရာသင်္ချာ အချက်အလက်များ (algebraic data) ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် ရောင်စဉ် [[ကိန်းစဉ်တန်း|ကိန်းစဉ်တန်းများ]] (spectral sequences) ကို အဓိက တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာတိအဖြစ် အသုံးပြုရေ။ == မူလမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်း နန့် ခေတ်သစ် မူဘောင်တိ (Axiomatization and Modern Frameworks) == ဒေဘာသာရပ်ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်း (formalization) စွာ အိုင်လန်ဘာ့ဂ်-စတင်းရော့ဒ် [[မူလမှန်အဆို|မူလမှန်အဆိုများ]] (Eilenberg-Steenrod axioms) ဖြင့် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ဟိခပြီးကေ ယင်းမူလမှန်အဆိုတိစွာ ရိုးရိုး ဟိုမိုလိုဂျီ နန့် ဒွန်တွဲဟိုမိုလိုဂျီ သီအိုရီ (cohomology theory) ရို့ကို အပြည့်အဝ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပီးရေ။ [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာဆိုင်ရာ]] မူလမှန်အဆို (dimension axiom) ကို ဖယ်ချန်လိုက်ခြင်းနန့် [[တိုပိုလိုဂျီ |တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ]] K-သီအိုရီ (K-theory) နန့် ကိုဘော်ဒစ်ဇင် သီအိုရီ (cobordism theory) ရို့ကဲ့သို့သော ယေဘုယျပြုထားရေ ဒွန်တွဲဟိုမိုလိုဂျီ သီအိုရီများ (generalized cohomology theories) ကို ဖြစ်ပေါ်စီခရေ။ ဒေအတိုင်းအတာဆိုင်ရာ မူလမှန်အဆိုအရ အမှတ်တမှတ်၏ ဟိုမိုခရာဝဂျီသည် သုညမဟုတ်ရေ အတိုင်းအစွာတိ (non-zero dimensions) မာ ကွယ်ပျောက်လားပြီးကေ အတိုင်းအတာ <math>0</math> မာ မြှောက်ဖော်ကိန်း [[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (coefficient group) နန့် ညီမျှရေ။ ဘရောင်း တက်စားပြုနိုင်စွမ်း သီအိုရမ် (Brown representability theorem) ကတဆင့် ဒေယေဘုယျပြုထားရေ သီအိုရီတိကို ရောင်စဉ်များ (spectra) ဖြင့် တက်စားပြုဖော်ပြပြီးကေ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ ကို တိုင်း [[ဟိုမိုတိုပီ]] သီအိုရီ (stable homotopy theory) နန့် နီးကပ်စွာ ချိတ်ဆက်ပီးရေ။ ဒေနိခေတ်မာ ပိုပြီးကေ အသေးစိတ်ကျသော မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို ရှာဖွီဖော်ထုတ်ဖို့အတွက် ပိုပြီးကေမြင့်မားသော [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီများ သီအိုရီ]] (higher category theory) နန့် အဆင့်မြင့် [[အက္ခရာသင်္ချာ]] (higher algebra) ရို့ကို ပေါင်းစပ်ရန် လိုအပ်ပြီး အထူးအနိန်နန့် အော်ပရက်များ (operads) ကို အသုံးပြုခြင်းနန့် လုပ်ဆောင်ကတ်တေ။ == သမိုင်း(History) == ဒေဘာသာရပ်ရေ သဘောတရားရီးရာတိစွာ အွိုင်လာ ဝိသေသတန်ဖိုး (Euler characteristic) မှ စတင်ခပြီးကေ <math>19</math> ရာစုမာ ဂေါက်စ် (Gauss)၊ ကယ်လ်ဗင် (Kelvin) နန့် ဗက်တီ (Betti) ရို့က ချိတ်ဆက်မှုတိ (linkings) နန့် အပေါက်တိကို လိလာခကတ်တေ။ အွန်ရီ ပွန်ကာရီး (Henri Poincaré) စွာ အခြီခံ[[အုပ်စု (သင်္ချာ)|အုပ်စု]] (fundamental group) ကို မိတ်ဆက်ပီးခြင်းနန့် [[အတိုင်းအတာ (သင်္ချာ)|အတိုင်းအတာသုံးခုဟိရေ]] ရပ်ဝန်းများ (<math>3</math>-dimensional spaces) အတွက် ယင်းဧ့နာမည်ဖြင့် မှည့်ခေါ်ထားရေ ပွန်ကာရီး ယူဆချက် (Poincaré conjecture) ကို ဖော်ထုတ်ခြင်းရို့ဖြင့် ပုံစံတကျ အခြီခံအုတ်မြစ်ကို ချမှတ်ပီးခရေ။ <math>20</math> ရာစုမာ ဘရောင်းဝါး (Brouwer)၊ ဗီယက်တိုရစ် (Vietoris) နန့် ဟူးရီဗစ်ဇ် (Hurewicz) ရို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်တိကတဆင့် အယင့်ယင် ကျယ်ပြန့်ပါလတ်တေ။ အိုင်လန်ဘာ့ဂ် (Eilenberg) နန့် မက်လိန်း (Mac Lane) ရို့၏ ဆင်ဂူလာ ဟိုမိုလိုဂျီ (singular homology) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းစွာ အခြီခံအားဖြင့် ခေတ်သစ် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီကို]] မွီးဖွားပီးခရေ။ ခွဲစိတ်မှု သီအိုရီ (surgery theory) ဆိုင်ရာ ကြီးမားရေ တွိဟိချက်တိစွာ နောက်ပိုင်းမာ ပိုပြီးကေမြင့်မားသော အတိုင်းအတာဟိရေ [[မန်နီဖိုး|မန်နီဖိုးတိကို]] အမျိုးအစားခွဲခြားနိုင်စီခရေ။ နိုဗီကော့ဗ် (Novikov)၊ ဝေါလ် (Wall) နန့် အရာပညာသျှင်တိက ဒေတွိဟိချက်တိကို ပံ့ပိုးပီးခကတ်တေ။ အတိုင်းအတာ <math>3</math> နန့် <math>4</math> ရို့စွာ ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာအောင် ဖြီယှင်းရခက်ခဲသော ချွင်းချက်တိအဖြစ် ကျန်ဟိနီခပြီးကေ နောက်ဆုံးမှာ <math>2002</math> ခုနှစ်မာ ဂရီဂေါ်ရီ ပီရယ်လ်မန်း (Grigori Perelman) ၏ <math>3</math>D ပွန်ကာရီး ယူဆချက် ဖြီယှင်းနိုင်မှုပိုင်ယှောင် သမိုင်းဝင် သက်သီပြချက်တိဖြင့် ဖြီယှင်းနိုင်ခရေ။ == အသုံးချမှုတိ (Applications) == ဒေဘာသာရပ်ရေ နည်းလမ်းတိစွာ ခေတ်သစ် [[သင်္ချာ|သင်္ချာနန့်]] ရူပဗေဒနယ်ပယ်တိအထိ ပျံ့နှံ့ရောက်ဟိနိန်ရေ။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) မာ တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ နည်းလမ်းတိစွာ [[အင်တီဂရီးရှင်း|အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း]] လမ်းကြောင်းများ (integration paths) နန့် ရီးမန်း မျက်နှာပြင်များ (Riemann surfaces) ကို လိလာဖို့အတွက် အခြီခံကျရေ။ ကျစ်လျစ်သော ရပ်ဝန်းများ (compact spaces) ကို [[ဖန်ရှင်]] [[အက္ခရာသင်္ချာ|အက္ခရာသင်္ချာများ]] (function algebras) ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ထုတ်ခြင်းစွာ [[ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ|C*-အက္ခရာသင်္ချာ သီအိုရီ]] (C*-algebra theory) နန့် ဖလှယ်လို့မရရေ တိုပိုလိုဂျီ (noncommutative topology) ရို့ကို ဖန်တီးနိုင်ဖို့ တွန်းအားပီးခရေ။ ဧပိုင် သတ်မှတ်ဖော်ထုတ်ခြင်းကို ဂဲလ်ဖန်း-နိုင်းမတ် သီအိုရမ် (Gelfand-Naimark theorem) ကတဆင့် ရဟိခခြင်း ဖြစ်တေ။ ခေတ်သစ် ရူပဗေဒမာ အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တိုပိုလိုဂျီ သည် တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ ကွမ်တမ် စက်ကွင်း သီအိုရီ (Topological Quantum Field Theory - TQFT) နန့် ဒြပ်စင်တိ၏ တိုပိုလိုဂျီ ဆိုင်ရာ အဆင့်များ (topological phases of matter) ကို လိလာခြင်းအတွက် အခြီခံ မူဘောင်ကို ထောက်ပံ့ပီးရေ။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=nLab authors |title=algebraic topology |work=nLab |date=September 2026}} * {{Citation |title=Algebraic topology |work=Encyclopedia of Mathematics |url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Algebraic_topology&oldid=54169}} {{Dead link|date=October 2026 }} [[Category: အက္ခရာသင်္ချာ]] [[Category: တိုပိုလိုဂျီ ]] 1uj5porjbaarmc196icszgrkez9bbwz 22033 22032 2026-10-22T16:06:21Z Retkhaberi 224 22033 wikitext text/x-wiki [[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|ခွက် နန့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) ရို့စွာ အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကတ်တေ။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုစွာမာ ခွက်နန့် မုန့်လက်ကောက်အခဲရို့၏ အမှတ်တိကြားဟိ ဒရပြေ [[ဘိုင်ဂျက်တ ဖန်ရှင်|ဘိုင်ဂျက်တ]] ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တခုဖြစ်တေ။ ပုံမာ အချိန်နန့်တတူ ပြောင်းလဲလားရေ ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်တိစွာ ထိုပုံဖော်မှု၏ ဒရပြေခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်တေ။]] '''တိုပိုလိုဂျီ (Topology)''' စွာ ရပ်ဝန်း (space) အထဲဟိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တိ၏ တည်နီရာနန့် အစီအစိုင်ကို လိလာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီးကေ သင်္ချာဘာသာရပ်ရေ အခြီခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တခု ဖြစ်တေ။ ယင်းသည် အမြဲမပြတ် ပုံပျက်လားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်မာ မပြောင်းဖို့လဲဘဲ ကျန်ဟိနီသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတိ၏ ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို လိလာရေ။ တိုပိုလိုဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နန့် [[အစုသီအိုရီ]] (set theory) ရို့၏ သဘောတရားတိက ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်တေ။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းမာ ယင်းစွာကို သီးသန့်ဘာသာရပ်တခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နီရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရရေ geometria situs တနည်း နီရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရရေ analysis situs ဆိုပနာ ခေါ်ဆိုခကတ်တေ။ ဆယ်စုနှစ်များစွာထိအောင် တိုပိုလိုဂျီကို အခြီခံကျသော ဘာသာရပ်တခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခကတ်တေ။ ယင်းအတွက်နန့် ယင်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ တခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်အများကြီးအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတခုအဖြစ် ရှုမြင်နှိုင်ရေ။ ယင်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နန့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) ရို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှရေ။ ယင်းသည် [[အစုသီအိုရီ]]နန့် [[ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ|ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ]] (category theory) ရို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စီခရေ။ တိုပိုလိုဂျီ၏ အခြီခံအကျဆုံး သဘောတရားမာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်တေ။ ယင်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဆိုရေ အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီးကေ ယင်းကနိန်တဆင့် ဒရပြေခြင်း နန့် [[စုဆုံမှတ်]] (limit) ပိုင်ယှောင် သင်္ချာအယူအဆတိကို ယေဘုယျပြုရေ။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ မကန်မဝှန်ကို တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိအဖြစ် ယူဆနှိုင်ရေ။ တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတိစွာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံထက်မာသာ မူတည်နိန်ရေ ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်တေ။ ယင်းရို့စွာ ပုံပျက်လားခြင်းများ တနည်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမဟိရေ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကတ်တေ။ နမူနာများအနိန်နန့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ခြုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စီခြင်း (Distorting) နန့် လိမ်ခြင်း (Twisting) ရို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမဟိရေ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်တေ။ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere) တခုနန့် ကုဗတုံး (cube) တခုကို တိုပိုလိုဂျီ ရှုဒေါင့်မှကြည့်ကေ ခွဲခြားပနာမရနှိုင်ပါ၊၊ ယင်းရို့စွာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းအတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နန့် လက်ကိုင်ကွင်းတခုပါရေ ခွက်ရို့စွာလည်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကတ်တေ။ အကြောင်းမာ ယင်းရို့အနက်မှ တခုကို အရာတခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမဟိဘဲ အသွင်ပြောင်းနှိုင်ရေကြောင့် ဖြစ်တေ။ ယကေလေ့သော့ မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံးမျက်နှာပြင်နန့် တိုပိုလိုဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားရေ။ စက်လုံးမျက်နှာပြင်ပေါ်ဟိ ဇာ မျှိုင်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တခုတည်းဖြစ်လားရန် အမြဲမပြတ် ကျုံ့ယူလားနှိုင်ရေ်လည်း မုန့်လက်ကောက် ထက်မာမူ မျှိုင်းကွေးတိုင်းကို ယင်းပိုင်ပြုလုပ်ပနာ မရနှိုင်ပါ၊၊ တိုပိုလိုဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲတိအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြာထားရေ။ ယင်းနယ်ပယ်ခွဲရို့မာ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပိုလိုဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပိုလိုဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နန့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) ရို့ ပါဝင်ရေ။ အစုသီအိုရီအခြီခံ တိုပိုလိုဂျီ (point-set topology) ကို ဒေနယ်ပယ်ခွဲတိအားလုံး၏ အခြီခံအဖြစ် ရှုမြင်နှိုင်ရေ။ ယင်းမာ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တိ၏ ဂုဏ်သတ္တိတိနန့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားရေ ဂုဏ်သတ္တိများဟိရေ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိကိုပါ တကူးတကလိလာရေ။ တိုပိုလိုဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတခုမာ ဒရပြေခြင်း ဖြစ်တေ။ တခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများမာ [[ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်|ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ]] (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ဟိရေအရာတိနန့် တိုပိုလိုဂျီဟိ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှုတိ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ဟိရေ။ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိကြားမာ မိမိရာမက ကိုယ့် ပြောင်းပြန် [[ဖန်ရှင်]] (inverse function) ပါ ဒရပြေနိန်ရေ [[ဘိုင်ဂျက်တ ဖန်ရှင်]]ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ယင်းသည် တခြားသော ကတ်တဂိုရီများဟိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်]] (isomorphism) နန့် သဘောတရား တူညီရေ။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဖြစ်ရေ ရပ်ဝန်းတိကို တိုပိုလိုဂျီ နည်းလမ်းတိနန့် ခွဲခြားမရနှိုင်ပါ။ ဒေဘာသာရပ်ရေ အခြီခံကျသော ပြဿနာတခုမာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ခြင်း ဟိ၊ မဟိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်တေ။ ပိုပြီးကေ ယေဘုယျကျကျဆိုရကေ စိတ်ပါဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများဟိရေ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှုတိ တည်ဟိခြင်း ဟိ၊ မဟိ ဖြစ်တေ။ == အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition) == '''တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space)''' <math>(X, \mathcal{T})</math> တခုမာ [[အစု]] (set) <math>X</math> တခုနန့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] (subsets) စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ရို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားရေ။ *ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နန့် <math>X</math> ရို့စွာ <math>\mathcal{T}</math> မာ ပါဝင်ရေ။ *<math>\mathcal{T}</math> အထဲဟိ အရွီအတွက် အကန့်အသတ်မဟိ ဇာလောက်ပင်များပြားစီကာမူ [[အစုဝင်|အစုဝင်တိ၏]] ပေါင်းစကစရှာ (union) မဆိုရေ <math>\mathcal{T}</math> မာ ပါဝင်ရေ။ *<math>\mathcal{T}</math> အထဲဟိ ဇာ အစုဝင်တိ၏ အဆုံးဟိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုရေ <math>\mathcal{T}</math> မာ ပါဝင်ရေ။ စုစည်းမှု <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ဟိ '''တိုပိုလိုဂျီ (topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပိုလိုဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ယားဖြစ်ကေ <math>(X,\mathcal{T})</math> အစား <math>X</math> ဟုသာ ရီးသားရေ။ တိုပိုလိုဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ၏ အစုဝင်တိကို '''အဖွင့်စုများ (open sets)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှရာကေ ထိုအစုကို '''အပိတ်စု (closed set)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ === တပိုင်းတစ တိုပိုလိုဂျီ (discrete topology) နန့် တပိုင်းတစမဟုတ်ရေ တိုပိုလိုဂျီ (indiscrete topology) === <math>X</math> သည် ဇာ အစုမဆို ဖြစ်တေဟု ဆိုပါဖိ။ <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းအားလုံး]]ပါဝင်ရေ စုစည်းမှု <math>2^X</math> သည် <math>X</math> အပေါ် '''တပိုင်းတစ တိုပိုလိုဂျီ (discrete topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပိုလိုဂျီတခုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ အစု<math>\{\emptyset, X\}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ဟိ '''တပိုင်းတစမဟုတ်ရေ တိုပိုလိုဂျီ (indiscrete topology)''' တနည်း '''ပါးပါးချေ တိုပိုလိုဂျီ (trivial topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပိုလိုဂျီတခုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ === အကြမ်းတိုပိုလိုဂျီ (coarse topology) နန့် အသေးစိတ်တိုပိုလိုဂျီ (fine topology) === တခါတရံမာ အစုတခုတည်းအပေါ်ဟိ တိုပိုလိုဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းနိူင်းနှိုင်ရေ။ <math>\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'</math> ဖြစ်ရေအခါ တိုပိုလိုဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ကို <math>\mathcal{T}'</math> ထက် '''ပိုပြီးကေ ကြမ်းသည် (coarser)''' ဟု ခေါ်ဆိုနှိုင်ပြီး တိုပိုလိုဂျီ <math>\mathcal{T}'</math> ကို <math>\mathcal{T}</math> ထက် '''ပိုပြီးကေ အသေးစိတ်သည် (finer)''' ဟု ခေါ်ဆိုနှိုင်ရေ။ ကြမ်းသည် နန့် အသေးစိတ်သည် ရို့အစား တချို့က '''ပိုငယ်သည် (smaller)''' နန့် '''ပိုကြီးရေ (larger)''' တနည်း '''ပိုအားနည်းရေ (weaker)''' နန့် '''ပိုအားကောင်းရေ (stronger)''' ဟု သုံးနှုန်းလေ့ဟိကတ်တေ။ == အခြီအစု (Basis) == လက်တွိမာ တိုပိုလိုဂျီတခုလုံးကို ဖော်ပြဖို့အစား ယင်းကို ထုတ်လုပ်ပီးနှိုင်ရေ အရွီအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုတိကိုရာ အသုံးပြုပနာ ပိုပြီးကေ လွယ်ကူစီရေ။ [[အစု]] <math>X</math> ၏ [[အစုပိုင်း|အစုပိုင်းများ]] ပါဝင်ရေ စုစည်းမှု <math>\mathcal{B}</math> သည် <math>X</math> အပေါ်ဟိ တိုပိုလိုဂျီတခုအတွက် '''အခြီအစု (basis)''' ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြီအနီတိနန့် ပြည့်စုံရဖို့။ *<math>X</math> အထဲဟိ ဇာ [[အစုဝင်]] <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B</math> ဖြစ်စီဖို့ အစု <math>B \in \mathcal{B}</math> တခု အနည်းဆုံး ဟိရဖို့။ *တကယ်လို့ <math>A, B \in \mathcal{B}</math> ဖြစ်ပြီးကေ <math>x \in A \cap B</math> ဖြစ်ကေ <math>x \in C \subseteq A \cap B</math> ဖြစ်စီဖို့ အစု <math>C \in \mathcal{B}</math> တခု အနည်းဆုံး ဟိရဖို့။ အခြီအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပီးသော တိုပိုလိုဂျီ <math> \mathcal{T}</math> ဆိုစွာမာ<math> \mathcal{B}</math> ကို မုံထားရေ တိုပိုလိုဂျီတိအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပိုလိုဂျီ ဖြစ်တေ။ အရာတနည်းဆိုရကေ <math> U \subset X</math> သည် အခြီအစု <math>\mathcal{B}</math> မှ ထုတ်လုပ်ပီးသော တိုပိုလိုဂျီမာ အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာ <math>U</math> အထဲဟိ ဇာ <math>x</math> အတွက်မဆို <math>x \in B \subseteq U</math> ဖြစ်စီဖို့ <math>B \in \mathcal{B}</math> တခု ဟိနီခြင်းဖြစ်တေ။ <math>x \in B</math> ဖြစ်စီသော <math>\mathcal{B}</math> အထဲဟိ အစုတိကို <math>x</math> ၏ '''အခြီခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ ယေဘုယျအနိန်နန့် တိုပိုလိုဂျီ <math>\mathcal{T}</math> အထဲဟိ <math>x</math> ပါဝင်ရေ အစုတိကို <math>x</math> ၏ '''အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ယင်းရို့အားနုန်း၏ စုစည်းမှုကို <math>\mathcal{T}_x</math> ဖြင့် ဖော်ပြရေ။ === [[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတိ]] (Metric spaces) === <math>X</math> သည် ဇာ အစုမဆို ဖြစ်တေဟု ဆိုပါဖိ။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိတိနန့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) <math>d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}</math> ကို <math>X</math> အပေါ်ဟိ '''အကွာအဝီး ဖန်ရှင် (metric)''' ဟု ခေါ်ရေ ။ ဇာ <math>\varphi, \psi, \chi\in X</math> အတွက်မဆို *(M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ <math>d(\varphi,\psi)\ge0</math> ။ *(M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ <math>d(\varphi,\psi)=0</math> ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ (if and only if) မာ <math>\varphi=\psi</math> ဖြစ်တေ ။ *(M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ <math>d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi)</math> ။ *(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ <math>d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi)</math>။ ဧချင့်ပိုင် အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားရေ အစုစုံတွဲ <math>(X, d)</math> ကို '''[[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း]] (metric space)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း <math>X</math> ၏ [[အစုဝင်|အစုဝင်တခု]]ဖြစ်ရေ <math>\varphi</math> နန့် <math>r>0</math> ရို့အတွက် အစု <math>\{B(\varphi;r)\}</math> ကို <math>\varphi</math> ဗဟိုပြုပနာ အချင်းဝက် <math>r</math> ဟိရေ '''အဖွင့်စက်လုံး (open ball)''' ဟု ခေါ်ရေ။ ယင်းချင့် စက်လုံးများဖြစ်ရေ <math>\{B(\varphi;r)\}</math> အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် <math>X</math> အပေါ်ဟိ တိုပိုလိုဂျီတခုအတွက် အခြီအစုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ ထိုတိုပိုလိုဂျီကို '''အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တိုပိုလိုဂျီ (metric topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ ယင်းအတွက်နန့် အကွာအဝီး ဖန်ရှင်တခု ပါဝင်ရေ ဇာအစုမဆိုရေ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတခုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ အခြားတစ်ဖက်မာလည်း တိုပိုလိုဂျီ <math>\mathcal{T}</math> ဟိရေ ရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တိုပိုလိုဂျီနန့် <math>\mathcal{T}</math> ရို့ ထပ်တူကျစေဖို့ အကွာအဝီး ဖန်ရှင် <math>d</math> တခု ဟိနီပါက ထိုရပ်ဝန်း <math>Y</math> ကို '''အကွာအဝီး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနှိုင်ရေ (metrizable)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတခု၏ ဇာ အစုပိုင်းမဆိုရေလည်း အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတခု ဖြစ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် သာမန် '''ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝီး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function)''' ပါဝင်ရေ <math> \mathbb{R}^n</math> သည် အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတခု ဖြစ်တေအတွက် ယင်း၏ အစုပိုင်းတိစွာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိအတွက် နမူနာကောင်းများ ဖြစ်ကတ်တေ။ ဥပမာအနိန်နန့် '''ကိန်းစစ်မျှိုင်း (real line)''' <math>\mathbb{R}</math> ၊ '''ယူနစ် အပိုင်းအရာ (unit interval)''' <math>I := [0,1]</math> ၊ '''အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball)''' <math>\mathcal{D}^n := \{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_1^2 + \ldots + x_n^2 \le 1\}</math> နန့် '''အတိုင်းအတာ <math>n</math> ခုဟိရေ စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere)''' <math>S^n := \{(x_1, \ldots, x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2 = 1\}</math> ရို့စွာ အရေးပါသော တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကတ်တေ။ == တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း နမူနာများ (Examples of topological spaces) == * ဇာ [[အစု]] <math>X</math> ကိုမဆို '''အဆုံးဟိဖြည့်စွက်စု တိုပိုလိုဂျီ (cofinite topology)''' ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနှိုင်ရေ။ ယင်းမာ [[အစုပိုင်း]] <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာ ယင်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်ရေ <math>X \setminus U</math> သည် အဆုံးဟိအစု (finite set) ဖြစ်နီခြင်း တနည်း <math>U = \emptyset</math> ဖြစ်နီခြင်း ဖြစ်တေ။ ယင်းနည်းပိုင်ပင် ဇာအစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရွီတွက်နှိုင်ရေအစု (countable set) ဖြစ်နီသော အဖွင့်စုများပါဝင်ရေ '''ရွီတွက်နှိုင်ရေဖြည့်စွက်စု တိုပိုလိုဂျီ (cocountable topology)''' ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနှိုင်ရေ။ * ဗလာအစု (empty set) <math>\emptyset</math> နန့် အမှတ်တမှတ်တည်းပါရေ အစု (one-point set) <math>\{*\}</math> ရို့စွာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကတ်ပြီး ယင်းရို့၏ တိုပိုလိုဂျီတိစွာ တခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်ရေ (unique) တိုပိုလိုဂျီများ ဖြစ်ကတ်တေ။ ဇာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို <math>\emptyset \to X</math> နန့် <math>X \to *</math> ဆိုရေ တခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်ရေ ဖန်ရှင်တိစွာ ဒရပြေကတ်တေ။ <math>\mathbf{Set}</math> ကတ်တဂိုရီမာပိုင်ပင် [[တိုပိုလိုဂျီ_ရပ်ဝန်းများ_ကတ်တဂိုရီ|<math>\mathbf{Top}</math> ကတ်တဂိုရီ]]မာ ဗလာအစုသည် [[အစ အရာဝထုနန့် အဆုံးသတ် အရာဝထု|အစ အရာဝထု]] (initial object) ဖြစ်ပြီးကေ အမှတ်တမှတ်တည်းပါရေ အစုသည် [[အစ အရာဝထုနန့် အဆုံးသတ် အရာဝထု|အဆုံးသတ် အရာဝထု]] (terminal object) ဖြစ်တေ။ * ကိန်းစစ်မျှိုင်း <math>\mathbb{R}</math> သည် သာမန်အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တိုပိုလိုဂျီအပြင် တခြားသော တိုပိုလိုဂျီတိကိုလည်း လက်ခံနှိုင်ရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် <math>\mathbb{R}</math> ကို <math>a < b</math> ဖြစ်ရေ <math>[a, b)</math> ပုံစံဟိ အပိုင်းအရာတိကို အခြီအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားရေ တိုပိုလိုဂျီတခု ဟိရေ။ ယင်းကို '''စုဆုံမှတ်အောက်ခြီ တိုပိုလိုဂျီ (lower limit topology)''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ ယေဘုယျအနိန်နန့် အပြည့်အဝ အစိုင်ကျသောအစု (totally ordered set) <math>X</math> တခုအတွက် <math>(a, b) = \{x \in X \mid a < x < b\}</math> ပုံစံဟိ အပိုင်းအရာတိနန့်တတူ <math>(a, \infty)</math> နန့် <math>(-\infty, b)</math> ရို့စွာ '''အစိုင် တိုပိုလိုဂျီ (order topology)''' ဟုခေါ်သော တိုပိုလိုဂျီတခုကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ။ ကိန်းစစ်အစု <math>\mathbb{R}</math> သည် အပြည့်အဝ အစိုင်ကျသောအစုဖြစ်ပြီးကေ ယင်းအပေါ်ဟိ အစိုင် တိုပိုလိုဂျီသည် သာမန် တိုပိုလိုဂျီနန့် ထပ်တူကျရေ။ * သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) <math>\mathbb{N}</math> နန့် [[ကိန်းပြည့်|ကိန်းပြည့်များ]] (integers) <math>\mathbb{Z}</math> အစုရို့ကို အများအားဖြင့် တပိုင်းတစ တိုပိုလိုဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လိ့ဟိကေလေ့ တခြားသော တိုပိုလိုဂျီတိလေ့ တည်ဟိရေ။ အထူးအနိန်နန့် <math>a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> နန့် <math>b \in \mathbb{Z}</math> ရို့အတွက် <math>S(a,b) = \{an+b \mid n \in \mathbb{N}\}</math> ပုံစံဟိ အစုတိနန့် ဗလာအစု <math>\emptyset</math> ရို့ကို အဖွင့်စုတိအဖြစ် သတ်မှတ်ထားရေ တိုပိုလိုဂျီတခု <math>\mathbb{Z}</math> ကို တည်ဟိရေ။ ဒေတိုပိုလိုဂျီကို အသုံးပြုပနာ [[သုဒ္ဓကိန်း|သုဒ္ဓကိန်းများ]] (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ဟိကြောင်းကို သက်သီပြနှိုင်ရေ။ * <math>R</math> သည် ယူနစ်ဟိဂုဏ်သတ္တိကောင်း [[ဖလှယ်ရ ကွင်း]] (commutative ring with unit) တခုဖြစ်ပြီးကေ <math>\operatorname{spec} R</math> သည် <math>R</math> ၏ [[သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်|သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ]] (prime ideals) အစုဖြစ်တေဟု ဆိုပါဖိ။ <math>\operatorname{spec} R</math> အပေါ်ဟိ '''ဇာရစ်စကီး တိုပိုလိုဂျီ (Zariski topology)''' ကို <math>V(E) = \{p \in \operatorname{spec} R \mid E \subseteq p\}</math> ပုံစံဟိ အစုတိကို အပိတ်စုတိအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းနန့် ဖွဲ့စည်းထားရေ။ ဒေနီရာမာ <math>E</math> သည် <math>R</math> ၏ ဇာ အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်တေ။ * ကိန်းစစ် တနည်း ကိန်းထွေး [[ဗက်တာရပ်ဝန်း]] (vector space) <math>V</math> တခုပေါ်ဟိ [[စံနှုန်း (သင်္ချာ)|စံနှုန်း]] (norm) ဆိုစွာမာ <math>\| \cdot \|: V \to \mathbb{R}</math> တနည်း <math>\Complex</math> သို့ ပုံဖော်ထားရေ ဖန်ရှင်တခု ဖြစ်တေ။ ယင်းစံနှုန်းသည် <math>\|v\| \ge 0</math> နန့် <math>\|v\|=0 \iff v=0</math> ဖြစ်ခြင်း၊ <math>\|v+w\| \le \|v\| + \|w\|</math> ဖြစ်ခြင်း နန့် <math>\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|</math> ဖြစ်ခြင်း စရေ ဂုဏ်သတ္တိတိနန့် ပြည့်စုံရဖို့။ စံနှုန်းဟိရေ ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းရေ [[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း|အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတခု]]ဖြစ်ပြီးကေ <math>d(\varphi,\psi) = \|\varphi-\psi\|</math> ဖြင့် သတ်မှတ်ထားရေ အကွာအဝီး ဖန်ရှင် တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတခု ဖြစ်လာရေ။ အတိုင်းအတာအဆုံးဟိရေ (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတခုထက်မာ ဇာ စံနှုန်းကို ရွီးချယ်ရေဖြစ်စီ သက်ဆိုင်ရာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိစွာ အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံရာမက လုံးဝတူညီရေ ရပ်ဝန်းတိပင် ဖြစ်ကတ်တေ။ == အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) == တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားဟိ [[ဖန်ရှင်]] <math>f: X \to Y</math> တခုသည် '''[[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်]] (continuous function)''' ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာ <math>Y</math> အထဲဟိ <math>U</math> သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ယင်း၏ [[ပုံရိပ်_နန့်_မူလပုံရိပ်#မူလပုံရိပ်_(Preimage)|မူလပုံရိပ်]] (preimage) ဖြစ်ရေ <math>f^{-1}(U)</math> သည် <math>X</math> အတွင်းမာ အဖွင့်စု ဖြစ်နီခြင်းဖြစ်တေ။ ဇာ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) <math>\operatorname{id}_X: X \to X</math> သည် ဒရပြေကြောင်း စစ်ဆီးရန် လွယ်ကူရေ။ ယင်းချင့်အပြင် တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်ရေ <math>X</math>၊ <math>Y</math>၊ <math>Z</math> ရို့နန့် [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်များ]]ဖြစ်ရေ <math>f: X \to Y</math> နန့် <math>g: Y \to Z</math> ရို့အတွက် ယင်းရို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်ရေ <math>gf := g \circ f: X \to Z</math> စွာလေ့ အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်တေ။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းစွာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နန့်လည်း ပြည့်စုံရေ။ ဒေအချက်တိကို စုစည်းကြည့်ကေ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိစွာ ယင်းရို့၏ အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်တိနန့်တတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွိမြင်နှိုင်ရေ။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်မာ <math>\mathbf{Top}</math> ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကတ်ရေ။ == တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတိ (Topological properties) == သင်္ချာဘာသာရပ်ရေ ကတ်တဂိုရီတခုဟိ [[အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်|အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ]]အောက်မာ ပြောင်းလဲသွားခြင်းမဟိရေ ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို အဓိကထားလိ့လာလိဟိရေ။ ဥပမာအနိန်နန့် တိုပိုလိုဂျီ ဆိုစွာမာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမဟိရေ ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို လိလာရေ ဘာသာရပ်ဖြစ်တေ။ ယင်းပိုင်သော ဂုဏ်သတ္ပုံတိကို '''တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties)''' ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတခုနန့်တခုကို ခွဲခြားရာမာ အသုံးပြုရေ။ တကယ်လို့ <math>X</math> နန့် <math>Y</math> ရို့စွာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပြီးကေ <math>X</math> မာ တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတခု ဟိနီပါက <math>Y</math> မာလည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ဟိရဖို့ဖြစ်တေ။ တနည်း <math>X</math> မာ တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတခု မဟိပါက <math>Y</math> မာလည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မဟိနှိုင်ပါ။ တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတခု ဖြစ်တေ။ အကြောင်းမာ ဇာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် <math>f: X \to Y</math> မဆိုရေ [[ဘိုင်ဂျက်တ ဖန်ရှင်]]ဖြစ်တေအတွက် <math>X</math> နန့် <math>Y</math> ရို့ကို အစုများအနိန်နန့် ကြည့်ကေ အရွယ်အစား တူညီရဖို့ဖြစ်တေအတွက် ဖြစ်တေ။ အကွာအဝီး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) စွာလေ့ တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းချင့်အပြင် ဆက်စပ်နီမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရွီတွက်နိုင်မှု (first countability) စရေ ဂုဏ်သတ္တိတိစွာလည်း အရေးပါသော တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကတ်တေ။ ယကေလေ့ ဂုဏ်သတ္အတိုင်းသည် တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်တေဟု မဆိုနှိုင်ပါ။ ဥပမာအနိန်နန့် [[ကော်ချီ ကိန်းစဉ်]] (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုခကေ ထိုအကွာအဝီး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော [[အကွာအဝီး ရပ်ဝန်း]] (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ ယကေလေ့ ပြည့်စုံသော အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းစွာ တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်။ သက်သီပြရဖို့ဆိုကေ <math>(-1, 1) \to \mathbb{R}</math> သို့ ပုံဖော်ထားရေ <math>x \mapsto \frac{x}{1-x^2}</math> သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တခုဖြစ်ကေလေ့ <math>\mathbb{R}</math> သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီးကေ <math>(-1, 1)</math> သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်ရေကြောင့် ဖြစ်တေ။ ဒေနမူနာအရ အကန့်အသတ်ဟိခြင်း (boundedness) စွာလေ့ တိုပိုလိုဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွိမြင်နှိုင်ရေ။ အကွာအဝီး ရပ်ဝန်းတခု၏ အကွာအဝီး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ဟိရေ ဖန်ရှင်တခုဖြစ်ကေ ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ဟိရေဟု ခေါ်ဆိုရေ။ သိသာထင်ယှားစွာပင် <math>(-1, 1)</math> သည် အကန့်အသတ်ဟိကေလေ့ <math>\mathbb{R}</math> သည် အကန့်အသတ်မဟိပါ။ == ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နန့် ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှုတိ (Hausdorff spaces and Separated maps) == === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) === ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်းတိ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းရပ်ဝန်းများမာ အမှတ်တိကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြာထားနှိုင်ရေ။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတိကို ခွဲခြားနှိုင်ရေ ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) လို့လေ့ ခေါ်ဆိုကတ်ရေ။ * တိုပိုလိုဂျီ ရပ်ဝန်း <math>X</math> တခုဟိ မတူညီရေ အမှတ်အတွဲ <math>x, y \in X</math> တိုင်းအတွက် <math>x \in U</math> နန့် <math>y \in V</math> ဖြစ်စီဖို့ ဘုံမပါရေ အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) <math>U, V \subset X</math> တည်ဟိနေခြင်းစွာ ထိုရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ (if and only if) ဖြစ်တေ။ * ဒေါင့်ဖြတ် (diagonal) <math>\Delta(X) \subset X \times X</math> သည် [[အစုပိုင်း|အပိတ်စုပိုင်း]] (closed subset) တခုဖြစ်နီခြင်းစွာ ရပ်ဝန်း <math>X</math> ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီ ဖြစ်တေ။ * တကယ်လို့ <math>f : X \to Y</math> သည် အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှု တခုဖြစ်ပြီးကေ <math>Y</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ကေ <math>f</math> ၏ ဂရပ် (graph) သည် <math>X \times Y</math> အထဲ အပိတ် ဖြစ်တေ။ * တကယ်လို့ <math>f : X \to Y</math> နန့် <math>s : Y \to X</math> ရို့စွာ <math>f \circ s = \operatorname{id}_Y</math> ဖြစ်ရေ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှုတိ ဖြစ်ပြီးကေ <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ကေ [[ပုံရိပ်_နန့်_မူလပုံရိပ်#ပုံရိပ်_(Image)|ပုံရိပ်]] (image) <math>s(Y)</math> သည် အပိတ် ဖြစ်တေ။ * [[အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်|အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှုတိ]]ဖြစ်ရေ <math>X \to Z</math> နန့် <math>Y \to Z</math> ရို့အတွက် တကယ်လို့ <math>Z</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ကေ ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) <math>X \times_Z Y</math> သည် <math>X \times Y</math> အထဲ အပိတ် ဖြစ်တေ။ === ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှုတိ (Separated maps) === ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှုတိ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတိ၏ သဘောတရားကို အမြဲမပြတ် ဖန်ရှင်တိပါးသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်တေ။ * တကယ်လို့ ဒေါင့်ဖြတ် <math>\Delta : X \to X \times_Y X</math> သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တခုဖြစ်ကေ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> ကို '''ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှု''' ဟု ခေါ်ဆိုရေ။ * ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> တခုသည် ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လောက်ငှသောအခြီအနီမာ <math>\Delta(X) \subset X \times_Y X</math> သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နီခြင်းဖြစ်တေ။ ထိုအချက်သည် <math>Y</math> အထဲဟိ အမှတ်တခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားရေ <math>X</math> အထဲမှ ဇာ မတူညီရေ အမှတ်များ <math>x, x' \in X</math> မဆိုမာ ဘုံမပါရေ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ဟိရဖို့ဟု ဆိုခြင်းနန့်လည်း ထပ်တူညီရေ။ * တကယ်လို့ အရင်းအမြစ် (domain) <math>X</math> သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတခု ဖြစ်ကေ ဇာ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှု <math>f : X \to Y</math> မဆိုရေ အလိုအလျောက် ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှု ဖြစ်လားရေ။ * တကယ်လို့ <math>f : X \to Y</math> သည် ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှု ဖြစ်ကေ ဇာ အမြဲမပြတ် ပုံဖော်မှု <math>Y' \to Y</math> တလျှောက်မဆိုဟိ ယင်း၏ အခြီခံအရာဝထု ပြောင်းလဲခြင်း (base change) <math>Y' \times_Y X \to Y'</math> စွာလေ့ ခွဲခြားနှိုင်ရေ ပုံဖော်မှု ဖြစ်တေ။ == ကိုးကား == * {{Citation |author=The Stacks project authors |title=Chapter 5: Topology |website=The Stacks project |url=https://stacks.math.columbia.edu/ |access-date=25 June 2026}} * {{Citation |last1=Bradley |first1=Tai-Danae |last2=Bryson |first2=Tyler |last3=Terilla |first3=John |title=Topology: A Categorical Approach |date=2020 |publisher=The MIT Press |isbn=978-0262539357}} [[Category:တိုပိုလိုဂျီ]] mfnl1n71frj1zy7j5qxw57oft3q2i07 0 6292 22034 2026-10-22T16:41:18Z Retkhaberi 224 Created page with "မြန်မာဘသင်္ချာနန့် ကွန်ပျူတာသိပ္ပံပညာရပ်များမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) ဆိုစွာမာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ ညွှန်ကြားချက်တိ အစုအဝီးတခု ဖြစ်တေ။ ဒေညွှန်ကြားချက်တိကို လိုက်နာဆောင်ရွ..." 22034 wikitext text/x-wiki မြန်မာဘသင်္ချာနန့် ကွန်ပျူတာသိပ္ပံပညာရပ်များမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) ဆိုစွာမာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ ညွှန်ကြားချက်တိ အစုအဝီးတခု ဖြစ်တေ။ ဒေညွှန်ကြားချက်တိကို လိုက်နာဆောင်ရွက်ရေအခါ အဆင့်အရွီအတွက် အကန့်အသတ်တခုအထဲ ပြီးဆုံးလားပြီး၊ ပီးထားရေ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပြဿနာတခုအတွက် အဖြီတခုကို ရဟိစီရေ။ ပိုပြီးကေသပွတ်အူလိုက် အယ်လ်ဂိုရီသမ်များမာ ထပ်ကာထပ်ကာ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (loops) နန့် အခြီအရဲအလိုက် ဆုံးဖြတ်ချက်ချရရေ အပိုင်းများ (conditionals) ပါဝင်နှိုင်ရေ။ ယင်းရို့စွာ ထည့်သွင်းပီးလိုက်သော အချက်အလက်များ (inputs) ပေါ်မူတည်ပနာ နောက်တဆင့်မာ ဇာလုပ်ရဖို့ကို ဆုံးဖြတ်ကတ်ယား၊ လုပ်ငန်းစဉ် မပြီးဆုံးမီ အဆင့်များစွာကို ဖြတ်သန်းလားရလိဟိရေ။ ယကေလေ့ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိုင်းရေ သတ်မှတ်ချက်အရ ဇာအခါမဆို အဆုံးသတ်တခုသို့ ရောက်ဟိရဖို့ ဖြစ်တေ။[1] အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိနန့် မတူညီရီမာ ဟျူရစ်စတ (heuristics) နည်းလမ်းများ ဖြစ်တေ။ ယင်းရို့ကို အယ်လ်ဂိုရီသမ်နည်းလမ်းဖြင့် ဖြီယှင်းလို့မရနှိုင်ရေ ပြဿနာများမာ အသုံးပြုလိဟိရေ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ ပြဿနာတခုကို ဖြီယှင်းရန် မဖြစ်နှိုင်ခြင်း (undecidable) တနည်း မှန်ကန်သော တနည်း ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ရေ အဖြီကို သတ်မှတ်ဖို့နည်းလမ်းမဟိခြင်းမျိုးမာ အသုံးပြုကတ်တေ။[2] နမူနာအနိန်နန့် လူမှုကွန်ရက်များဟိ အကြံပြုပေးရေ စနစ်များ (recommender systems) ကို လူအတိက "အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ" ဟု မားယွင်းခေါ်ဆိုလေ့ဟိကတ်ကေလေ့၊ အမှန်အကန်မာ ယင်းရို့ကို ဟျူရစ်စတတိအဖြစ်နန့်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်သင့်ရေ။ ဇာကြောင့်ဆိုကေ ထိုစနစ်တိက ပီးအပ်လာရေ အကြံပြုချက်တခုသည် "မှန်ကျောက်ရေ" ဟု အတိအကျ ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ဘက်မလိုက်သော စံသတ်မှတ်ချက်မျိုး မဟိအတွက်နန့် ဖြစ်တေ။ ထိရောက်သော နည်းလမ်းတခုအနိန်နန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တခုကို အကန့်အသတ်ဟိရေ နီရာ (space) နန့် အချိန် (time) ပမာဏအထဲ ဖော်ပြနှိုင်ဗျာယ်း[3]၊ လုပ်ဆောင်ချက်တခု (function) ကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ ပုံစံကျ ဘာသာစကား (formal language) တခုဖြင့်လည်း ရီးသားဖော်ပြနှိုင်ရေ။[4][5] ကနဦး အခြီအရဲ (initial state) နန့် ထည့်သွင်းပီးလိုက်သော အချက်အလက်များ (inputs) မှ စတင်ကာ အဆင့်တိုင်းမာ တွက်ချက်မှုတိ ပြုလုပ်လားပြီး၊ နောက်ဆုံးမာ ရလဒ် (output) ကို ထုတ်ပီးကာ လုပ်ငန်းစဉ် ပြီးဆုံးလားရေ။[6] ကျပန်းစနစ်ပါဝင်ရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ (randomized algorithms) မာ ကျပန်း အချက်အလက်တိကို ထည့်သွင်းအသုံးပြုရေ။ ယင်းရို့စွာ အခြီအရဲတခုမှ နောက်တခုသို့ ပြောင်းလဲပုံမာ ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပြီးသားသား (deterministic) ဖြစ်ကေလေ့၊ ထွက်ပေါ်လှာဖို့ ရလဒ်မာမူ ကြိုတင်လောင်းာက်မှန်းလို့မရနှိုင်ရေ (non-deterministic) ပုံစံမျိုး ဖြစ်လှာစီရန် ဖန်တီးပီးနှိုင်ရေ။[7] ===ဝေါဟာရမူလအစ=== ခရစ်နှစ် ၈၂၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်မာ ပါရှန်းလူမျိုး သိပ္ပံပညာသျှင်နန့် ပညာရပ်စုံတတ်ကျွမ်းသူ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (al-Khwarizmi) သည် *kitāb al-ḥisāb al-hindī* ("အိန္ဒိယနည်းနန့် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကျမ်း") နန့် *kitab al-jam' wa'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī* ("အိန္ဒိယဂဏန်းသင်္ချာနည်းနန့် ပေါင်းခြင်းနန့် နုတ်ခြင်း") ဆိုရေ ကျမ်းတိကို ရီးသားခရေ။ ၁၂ ရာစုအစောပိုင်းမာ ဟိန်းဒုတ်-အာရပ် ဂဏန်းစနစ်နန့် ဂဏန်းသင်္ချာရို့ပါဝင်ရေ ဒေကျမ်းတိ၏ လက်တင်ဘာသာပြန်များ ပေါ်ထွက်ပါလတ်တေ။ နမူနာအနိန်နန့် ဂျွန် အော့ဖ် ဆီဗီးလ် (John of Seville) ရီးသားရေလို့ ယူဆရရေ *Liber Alghoarismi de practica arismetrice* နန့် အဒယ်လာ့ဒ် အော့ဖ် ဘတ်သ် (Adelard of Bath) ရီးသားရေလို့ ယူဆရရေ *Liber Algoritmi de numero Indorum* ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။[8] ဒေနီရာမာ *alghoarismi* တနည်း *algoritmi* ဆိုစွာမာ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (Al-Khwarizmi) ၏ နာမည်ကို လက်တင်ဘာသာစကားပုံစံသို့ ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ထားခြင်း ဖြစ်တေ။[9] ယင်းချင့်ကျမ်းတိမာ *Dixit Algoritmi* ဆိုရေ စကားစုဖြင့် စတင်ထားပြီးသား၊ ယင်းမာ "အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီက ဧပိုင် ဆိုရေ" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရရေ။[2] မိုဟာမက် အစ်ဘန် မူဆာ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) - ၉ ရာစုခေတ် သင်္ချာပညာသျှင်တဦးဖြစ်ပြီးကေ၊ 'algorithm' (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်) ဆိုရေ စကားလုံးသည် ယင်း၏နာမည်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်တေ။ အိန်းဂလိချ်ဘာသာစကားမာ *algorism* ဆိုရေ စကားလုံးသည် တွက်ချက်မှုတိမာ တန်ဖိုးသတ်မှတ်ချက်ဆိုင်ရာ နီရာအထားအသိုစနစ် (place-value notation) ကို အသုံးပြုခြင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရပါလတ်တေ။ ဒေစကားလုံးကို ခရစ်နှစ် ၁၂၂၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်ခန့်က ရီးသားခရေ *Ancrene Wisse* စာမူမာ တွိဟိရရေ။[10] ၁၄ ရာစုနှောင်းပိုင်းမာ ဂျက်ဖရီ ချောဆာ (Geoffrey Chaucer) က *The Canterbury Tales* ကို ရီးသားခဲ့ချိန်မာ ယင်းသည် *augrym stones* (တန်ဖိုးသတ်မှတ်ချက်ဆိုင်ရာ နီရာအထားအသိုစနစ်ဖြင့် တွက်ချက်ရာမာ အသုံးပြုရေ ကျောက်တုံးများ) အကြောင်း ဖော်ပြရာမာ ယင်းချင့်စကားလုံး၏ ပုံစံကွဲတခုကို အသုံးပြုခရေ။[11][12] ၁၅ ရာစုမာ ဂရိဘာသာစကားမှ *ἀριθμός* (arithmos - 'ဂဏန်း' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရယား *arithmetic* တနည်း ဂဏန်းသင်္ချာဆိုရေ စကားလုံးနန့် ဆက်စပ်ရေ) ၏ လွှမ်းမိုးမှုကြောင့် လက်တင်စကားလုံးမာ *algorithmus* ဆိုပနာ ပြောင်းလဲလားခီရေ။[13] ၁၅၉၆ ခုနှစ်အရောက်မာမူ သောမတ်စ် ဟွတ် (Thomas Hood) က ဒေစကားလုံးပုံစံကို အိန်းဂလိချ်ဘာသာစကားမာ *algorithm* ဆိုပနာ အသုံးပြုခရေ။[14] ===အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်=== "Algorithm" (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်) ဆိုရေ ဝေါဟာရ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်နန့် ပတ်သက်ရေ ရှုဒေါင့်အမျိုးမျိုးကို အသီးစိတ် လိလာလိုကေ "Algorithm characterizations" (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်ဆိုင်ရာ သွင်ပြင်လက္ခဏာများ) ကဏ္ဍကို ကြည့်ရှုပါ။ ရိုး ယေဘုယျအနိန်နန့် ပရိုဂရမ်တခုသည် အဆုံးမာ ရပ်တန့်လားမှကျကေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) တခု ဖြစ်နှိုင်ရေ[18]။ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်ဆိုစွာမာ ရလဒ်တခု ထွက်ပေါ်လှာစီဖို့အတွက် ရှင်းလင်းပြတ်သားသော ညွှန်ကြားချက်တိ စုစည်းမှုတခု ဖြစ်ပြီးကေ၊ ယင်းကို ကွန်ပျူတာ တနည်း လူတဦးတလီက သင်္ကေတတိအပေါ် သတ်မှတ်ထားရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိကို ပြုလုပ်ခြင်းအားဖြင့် လိုက်နာဆောင်ရွက်နှိုင်ရေ[19]။ ===သမိုင်းကြောင်း=== ဒေကဏ္ဍမာ ၂၀ ရာစုနန့် ၂၁ ရာစုအထဲ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (computer algorithms) များ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာမှုနန့် ပတ်သက်ရေ အချက်အလက်များ လိုအပ်နီပါရေ။ ဒေအချက်အလက်တိကို ထည့်သွင်းလို့ ကဏ္ဍကို ပိုပြီးကေပြည့်စုံအောင် ဖြည့်စွက်ပီးပါ။ ဆွေးနွေးချက်စာမျက်နှာ (talk page) မာ အသီးစိတ်အချက်အလက်များ ဟိကောင်းဟိနှိုင်ပါရေ။ (အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃) ===ရှီးခေတ် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ=== သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာတိကို ဖြီယှင်းဖို့အတွက် အဆင့်ဆင့် လုပ်ဆောင်ရဖို့ နည်းလမ်းတိကို ရှီးခေတ်ကပင် မှတ်တမ်းတင်ထားခကတ်တေ။ ယင်းရို့မာ ဘေဘီလုံး (Babylonian) သင်္ချာ (ဘီစီ ၂၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[20] အီဂျစ်သင်္ချာ (ဘီစီ ၁၅၅၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[20] အိန္ဒိယသင်္ချာ (ဘီစီ ၈၀၀ ဝန်းကျင်နန့် နောက်ပိုင်းကာလများ)၊[21][22] Ifa Oracle (ဘီစီ ၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[23] ဂရိသင်္ချာ (ဘီစီ ၂၄၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[24] တရုတ်သင်္ချာ (ဘီစီ ၂၀၀ ဝန်းကျင်နန့် နောက်ပိုင်းကာလများ)၊[25] နန့် အာရပ်သင်္ချာ (အေဒီ ၈၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) ရို့ ပါဝင်ရေ။[26] အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိနန့် ပတ်သက်ရေ အစောဆုံး အထောက်အထားတိကို ရှီးခေတ် မက်ဆိုပိုတေးမီးယား (Mesopotamia) သင်္ချာမာ တွိဟိရရေ။ ဘဂ္ဂဒက်မြို့နံဖီးဟိ ရှူရူပက် (Shuruppak) နီရာမာ တွိဟိရရေ၊ ဘီစီ ၂၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်က ဖြစ်ရေ ဆူမားရီးယန်း (Sumerian) ဘိတ်ပြားတခုမာ အစောဆုံး ပိုင်းခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (division algorithm) အကြောင်း ဖော်ပြထားရေ။[20] ဟမ်မူရာဘီ (Hammurabi) မင်းဆက်ကာလ (ဘီစီ ၁၈၀၀ မှ ဘီစီ ၁၆၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) အထဲဟိ ဘေဘီလုံး ဘိတ်ပြားများမာ ဖော်မြူလာတိကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို ဖော်ပြထားရေ။[27] ဘေဘီလုံး နက္ခတ္တဗေဒမာလည်း အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုခကတ်တေ။ ဘေဘီလုံး ဘိတ်ပြားများမာ အရီးပါရေ နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ ဖြစ်ရပ်များ ဖြစ်ပေါ်ဖို့ အချိန်နန့် နီရာရို့ကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ် နည်းလမ်းတိကို ဖော်ပြထားပြီးသား အသုံးပြုခကတ်တေ။[28] ရှီးခေတ် အီဂျစ်သင်္ချာမာလည်း ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို တွိဟိရပြီး ယင်းရို့အနက် ဘီစီ ၁၅၅၀ ဝန်းကျင်ခန့်က ဖြစ်ရေ Rhind သင်္ချာဆိုင်ရာ ပါပိုင်းရပ်စ် (Rhind Mathematical Papyrus) စာရွက်စာတမ်းမာ တွိဟိရရေ။[20] နောက်ပိုင်းမာ ရှီးခေတ် ဟယ်လင်နစ်စတ (Hellenistic) သင်္ချာမာလည်း အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုခကတ်တေ။ နမူနာနှစ်ခုမာ Nicomachus ၏ *Introduction to Arithmetic* (ဂဏန်းသင်္ချာ နိဒါန်း) စာအုပ်မာ ဖော်ပြထားရေ Sieve of Eratosthenes (Eratosthenes ၏ ဇကာနည်းလမ်း) နန့် Euclid ၏ *Elements* (ခရစ်မပေါ်မီ ၃၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) မာ ပထမဆုံး ဖော်ပြခသော Euclidean algorithm (Euclid ၏ တွက်ချက်မှုနည်းလမ်း) ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။ ရှီးခေတ် အိန္ဒိယသင်္ချာဆိုင်ရာ နမူနာများမာ Shulba Sutras၊ Kerala ကျောင်းတော် (Kerala School) နန့် *Brāhmasphuṭasiddhānta* ကျမ်းရို့ ပါဝင်ရေ။ ၉ ရာစုမာ Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī သည် သင်္ချာပြဿနာတိကို ဖြီယှင်းဖို့အတွက် ယုတ္တိဟိရေ အဆင့်တိကို စနစ်တကျနန့် အဆုံးသတ်နှိုင်ရေ အစီအစိုင်တခုအဖြစ် 'algorithm' (တွက်ချက်မှုနည်းလမ်း) ကို သတ်မှတ်ဖော်ထုတ်ခြင်းနန့် ဒေနယ်ပယ်မာ ကြီးမားရေ ပြောင်းလဲမှုတရပ်ကို ဖြစ်ပေါ်စီခရေ။ သူ အရီးပါရေ ကျမ်းတစောင်ဖြစ်ရေ *The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing* မာ သူစွာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အဖြီတခုချင်းစီကိုရာ ရှာဖွီခြင်းထက် ကျော်လွန်ကာ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ရှင်းလင်းခြင်း (reduction) နန့် ညီမျှစီခြင်း (balancing) အတွက် ယေဘုယျ လုပ်ဆောင်နည်းလမ်းတိကို မိတ်ဆက်ပီးခရေ။ ဒေအရာက သင်္ချာပညာကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ စည်းမျှိုင်းတိနန့် လုပ်ဆောင်ရေ 'စက်ယန္တရားဆန်သော' လုပ်ငန်းစဉ်တခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပီးခပြီးကေ၊ ဒေအခြီခံကျသော ပြောင်းလဲမှုသည် ခေတ်သစ် algorithm သီအိုရီအတွက် အုတ်မြစ်ချပီးခရေ။ သူ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကျမ်းကို လက်တင်ဘာသာသို့ ပြန်ဆိုထားရေ *Algoritmi de numero Indorum* ဆိုရေ စာအုပ်ကတဆင့်၊ သူနာမည်ကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် ရီးသားထားရေ 'Algoritmi' ဆိုရေ စကားလုံးမှ 'algorithm' ဆိုရေ ဝေါဟာရ ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ ယင်းကို အထူးအနိန်နန့် စည်းမျှိုင်းတိအပေါ် အခြီခံထားရေ ဒေသင်္ချာနည်းလမ်းသစ်ကို ဖော်ပြဖို့အတွက် အသုံးပြုကတ်တေ။ လျှို့ဝှက်ကုဒ်တိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်နှိုင်ဖို့ ပထမဆုံးသော cryptographic algorithm (လျှို့ဝှက်ကုဒ်ဆိုင်ရာ တွက်ချက်နည်းလမ်း) ကို ၉ ရာစု အာရပ်သင်္ချာပညာသျှင် Al-Kindi က သူ *A Manuscript On Deciphering Cryptographic Messages* (လျှို့ဝှက်စာတိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်ရီးမူ) မာ ရီးသားဖော်ပြခရေ။ သူစွာ ကုဒ်တိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်ရာမာ အသုံးပြုရေ ရှီးအကျဆုံးနည်းလမ်းတခုဖြစ်ရေ 'frequency analysis' (အကြိမ်ရေအလိုက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း) ကို အသုံးပြုရေ cryptanalysis (လျှို့ဝှက်ကုဒ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း) နည်းလမ်းကို ပထမဆုံးအကြိမ် ဖော်ပြခရေ။ ===ကွန်ပျူတာတိ=== အလီးချိန်ဖြင့် မောင်းနှင်သော နာရီများ အလီးချိန်ဖြင့် မောင်းနှင်သော နာရီတိစွာ အလယ်ခေတ် ဥရောပ၏ အရီးပါရေ တီထွင်မှုတခု ဖြစ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် စက်မှုနာရီများမာ "တ... တ..." ဆိုရေ အသံကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ "verge escapement" (နာရီယန္တရား အစိတ်အပိုင်း) သည် အခရာရေ။ တိကျသော အလိုအလျောက် စက်ယန္တရားတိကတဆင့် ၁၃ ရာစုမာ အလိုအလျောက် လှုပ်ရှားနှိုင်ရေ စက်ရုပ်များ (mechanical automata) ပေါ်ပေါက်လာခပြီးကေ၊ ၁၉ ရာစု အလယ်ပိုင်းမာမူ Charles Babbage နန့် Ada Lovelace ရို့၏ "Difference Engine" နန့် "Analytical Engine" ဟုခေါ်သော တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စက်များ ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ Lovelace သည် ကွန်ပျူတာတလုံးအတွက် ရည်ရွယ်ရေ ပထမဆုံး အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) ကို ရီးဆွဲခရေ။ Babbage ၏ Analytical Engine သည် ထိုခေတ်က စက်မှုတွက်ချက်ရီး ကိရိယာတိထက် များစွာသာလွန်ပြီး၊ "Turing-complete" (ဇာ တွက်ချက်မှုကိုမဆို လုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းဟိရေ) ပထမဆုံး စစ်မှန်ရေ ကွန်ပျူတာ ဖြစ်လှာခရေ။ Babbage ၏ ဒုတိယမြောက် စက်ကို သူမ ကွယ်လွန်ပြီး ဆယ်စုနှစ်များစွာ ကြာမှရာ အပြည့်အစုံ တည်ဆောက်နိုင်ခကေလေ့၊ Lovelace ကို "သမိုင်းမာ ပထမဆုံး ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်ရီးသားသူ" (programmer) အဖြစ် သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်ကတ်တေ။ ===ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်း (Formalization)=== Ada Lovelace ၏ "Note G" မှ ပုံကြမ်း - ယင်းသည် ပထမဆုံး ထုတ်ဝီခရေ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) တခု ဖြစ်တေ။ ၁၉၂၈ ခုနှစ်မာ David Hilbert ၏ Entscheidungsproblem (ဆုံးဖြတ်ချက်ဆိုင်ရာ ပြဿနာ) ကို ဖြီယှင်းရန် ကြိုးပမ်းမှုတိနန့်တတူ ခေတ်သစ် အယ်လ်ဂိုရီသမ် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ ဖော်ပြဖို့ (formalization) စတင် ကြိုးပမ်းလာခကတ်တေ။ နောက်ပိုင်းမာ ဧပိုင် ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းတိကို "ထိရောက်စွာ တွက်ချက်နိုင်စွမ်း" (effective calculability)[37] တနည်း "ထိရောက်သော နည်းလမ်း" (effective method)[38] ဆိုပနာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုဖို့ ကြိုးပမ်းမှုတိအဖြစ် ပုံဖော်ခကတ်တေ။ ဧပိုင် ပုံစံတကျ ဖော်ပြမှုတိမာ ၁၉၃၀၊ ၁၉၃၄ နန့် ၁၉၃၅ ခုနှစ်တိက Gödel–Herbrand–Kleene ရို့၏ ထပ်ကာထပ်ကာ လုပ်ဆောင်နှိုင်ရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (recursive functions)၊ ၁၉၃၆ ခုနှစ်က Alonzo Church ၏ lambda calculus၊ ၁၉၃၆ ခုနှစ်က Emil Post ၏ Formulation 1 နန့် ၁၉၃၆-၃၇ နန့် ၁၉၃၉ ခုနှစ်တိက Alan Turing ၏ Turing machines ရို့ ပါဝင်ရေ။ အယ်လ်ဂိုရီသမ် ဆိုင်ရာ တရားဝင် သီအိုရီများ အယ်လ်ဂိုရီသမ် သဘောတရားကို သင်္ချာနည်းအရ ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းစွာ တွက်ချက်နှိုင်ရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (computable functions) ကို ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းနန့် ကွဲပြားရေ။ အထူးအနိန်နန့်၊ တွက်ချက်နိုင်စွမ်းဆိုင်ရာ ဂန္ထဝင် မော်ဒယ်များအကြား တူညီမှု (equivalence) ဟိနီရုံမျှဖြင့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တခုအတွက် တရားဝင် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်တခု ဖြစ်မလှာနှိုင်ပါ။ ဇာကြောင့်ဆိုကေ မတူညီရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိစွာ လုပ်ဆောင်ချက် (function) တခုတည်းကိုပင် တွက်ချက်ပီးနှိုင်အတွက်နန့် ဖြစ်တေ။ ယင်းအတွက်နန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝထုများ (mathematical objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ဖော်ပြဖို့ ချိုင်းကပ်မှု ပုံစံအမျိုးမျိုး ဟိပါလတ်တေ။ Yuri Gurevich သည် အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော အယ်လ်ဂိုရီသမ် များ (sequential algorithms) ကို တရားဝင် သတ်မှတ်ဖော်ပြရေအနိန်နန့် abstract state machines (ASMs) သီအိုရီကို တီထွင်ခရေ။ သူ sequential ASM သီအိုရီအရ၊ အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော ဇာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် မဆိုရေ sequential ASM တခုနန့် အပြုအမူပိုင်းဆိုင်ရာ တူညီမှု (behavioral equivalence) ဟိပြီးး၊ ဒေတူညီမှုကို အဆင့်ဆင့် သက်သီပြနှိုင်ရေ။ Gurevich သည် အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိအတွက် အခြီခံသဘောတရားများ (axioms) ကို ရီးဆွဲခပြီးကေ၊ ယင်းနန့် သက်ဆိုင်ရေ သတ်မှတ်ဖော်ပြချက် သီအိုရမ် (characterization theorem) ကိုလေ့ သက်သီပြခရေ။[39] Yiannis N. Moschovakis ကမူ ကွဲပြားသော ချိုင်းကပ်မှုတခုကို တီထွင်ခရေ။ သူစွာ အစုအဝီး သီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ အရာဝထုတိကို အခြီခံရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် ဆိုင်ရာ သင်္ချာသီအိုရီတခုကို အဆိုပြုခပြီးကေ၊ အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို ယင်းရို့၏ လက်တွိ အကောင်အထည်ဖော်မှုတိ (implementations) နန့် ခွဲခြားသတ်မှတ်ခရေ။ သူ သီအိုရီကို တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဗလဗွီသတ်မှု (computational complexity) နန့် သီးသန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို သင်္ချာနည်းအရ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းရို့နန့် ဆက်စပ်လို့ တီထွင်ခခြင်း ဖြစ်တေ။[40] ===လျှပ်စစ်-စက်မှုဆိုင်ရာ ရီလေး (Electromechanical relay)=== Punch card (အပေါက်ဖောက်ထားရေ ကတ်ပြား) တိ၏ ရှေ့ပြေးပုံစံဖြစ်ရေ Jacquard ယိုင်စင်နန့် ရေလီဖုန်း ဆက်သွယ်မှု ချိတ်ဆက်ပေးရေ စက်များ (telephone switching machines) သည် ပထမဆုံး ကွန်ပျူတာတိ ပေါ်ပေါက်လာစီရန် အထောက်အကူ ပြုခရေ။ ၁၉ ရာစု အလယ်ပိုင်းမာ ကြီးနန်းဆက်သွယ်ရီးစနစ် (telegraph) သည် ကမ္ဘာတဝန်းမာ အသုံးပြုဗျာယ် ဟိနီယာ ဖြစ်တေ။ ၁၉ ရာစု အနှောင်းပိုင်းမာ သတင်းအချက်အလက်များ ရိုက်နှိပ်ဖော်ပြရေ စက္ကူတိပ် (ticker tape - ၁၈၇၀ ဝန်းကျင်) နန့် အပေါက်ဖောက် ကတ်ပြားများ (punch cards - ၁၈၉၀ ဝန်းကျင်) ကို တီထွင်ခကတ်တေ။ ယပြီးကေ Baudot code (ဘိုဒို ကုဒ်) ကို အသုံးပြုပနာ စက္ကူတိပ်ထက်မာ အပေါက်ဖောက် မှတ်သားရေ ရေလီပရင်တာ (teleprinter - ၁၉၁၀ ဝန်းကျင်) ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ လျှပ်စစ်-စက်မှုဆိုင်ရာ ရီလေး (electromechanical relays) တိကို အသုံးပြုထားရေ ရေလီဖုန်း ဆက်သွယ်မှု ကွန်ရက်တိကို ၁၈၃၅ ခုနှစ်မာ တီထွင်ခရေ။ ဒေအရာတိစွာ ၁၉၃۷ ခုနှစ်မာ George Stibitz မှ ဒစ်ဂျစ်ရေ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရီး ကိရိယာ (digital adding device) ကို တီထွင်နိုင်ဖို့ လမ်းစဖြစ်ခရေ။ Bell Laboratories မာ အလုပ်လုပ်ကိုင်နေစဉ်၊ ယင်းသည် ဂီယာသွားတိပါဝင်ရေ စက်မှု တွက်ချက်ရီး ကိရိယာတိကို အသုံးပြုရစွာမာ "အလွန်ပင်ပန်းခက်ခဲရေ" ကို သတိပြုမိခရေ။ ယင်းအတွက်နန့် သူစွာ နီအိမ်မာ စမ်းသပ်သဘောမျိုးဖြင့် ဒစ်ဂျစ်ရေ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရီး ကိရိယာတခုကို တီထွင်ဖန်တီးခရေ။ ===ခေတ်သစ် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ (Modern Algorithms)=== ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာအောင် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ၏ ဆင့်ကဲဖြစ်စိုင်သည် အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) ကပင် တိကျနနောင်းသော အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ (formal algorithms) ပါးသို့ ဦးတည်တိုးတက်လာရေဟု ယူဆခကတ်တေ။ သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာများပါဝင်ရေ ညီမျှခြင်းတိကို တွက်ချက်ဖြီယှင်းခြင်း (Symbolic integration) သည် ဒေဖြစ်စိုင်အတွက် ဂန္ထဝင်နမူနာတခု ဖြစ်တေ။ ၁၉၆၁ ခုနှစ်မာ James Slagle ၏ SAINT နာမည်ဟိ ပရိုဂရမ်သည် MIT ကျောင်းသုံးစာအုပ်မှ ကဲလ်ကูลပ်စ် (calculus) လိကျင့်ခန်း ၅၄ ပုဒ်အနက် ၅၂ ပုဒ် (సుమారు ၉၆%) ကို အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) အသုံးပြုပနာ ဖြီယှင်းနိုင်ခရေ။ ၁၉၆၇ ခုနှစ်မာ Larry Moses ၏ SIN ပရိုဂရမ်က ထိုနည်းလမ်းတိကို ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုပျင်မွမ်းမံခရေ ၁၀၀% အောင်မြင်မှု ရဟိခကေလေ့၊ ယင်းသည် အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်း (heuristic) ပုံစံမျိုးဖြင့်သာ ဆက်ပနာတည်ဟိနိန်ခရေ။ နောက်ဆုံးမာ ၁၉၆၉ ခုနှစ်မာ Robert Risch က တိကျနနောင်းသော အာမခံချက်တိပါဝင်ရေ Risch Algorithm ကို မိတ်ဆက်ပီးခရေ။ ဒေလမ်းကြောင်းသည် ရိုးရာသဘောတရားအရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ ဖြစ်ပေါ်လှာပုံကို ဖော်ပြနိန်ရေ - ဆိုလိုစွာမာ တိကျသေချာပြီး အာမခံချက်ဟိရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တခု ပေါ်ပေါက်လာရေအထိ အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းတိက ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခြင်း ဖြစ်တေ။ ယကေလေ့ Transformer နည်းပညာအခြီပြု AI (ဉာဏ်ရည်တု) များ ပေါ်ပေါက်လာမှုနန့်တတူ ဒေဖြစ်စိုင်မာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်လှားခီရေ။ ဂုချိန်ခါမှ ဂန္ထဝင် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိစွာ အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) ဖြင့် ပြန်ပနာအစားထိုး ခံနိန်ရယာဖြစ်တေ။ အချိန်ကြာလာရေနန့်တတူ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိစွာ နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲ တိုးတက်ပါလတ်တေ။ ဒေနိခေတ်မာ Instagram နန့် YouTube ပိုင်ယှောင် ဆိုရှယ်မီဒီယာ အက်ပ်များမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို မာကျယ်စွာ အသုံးပြုကတ်တေ။ အသုံးပြုသူတိ နှစ်သက်ရေအရာတိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြီး၊ ယင်းရို့နန့် ထိတွိဆက်ဆံမှုဟိရေ အသုံးပြုသူတိပါးကို ထိုအရာတိကို ပိုပြီးကေရောက်ဟိလှာယောင် ပြုလုပ်ပီးရာမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုကတ်တေ။ Quantum computing (ကွမ်တမ် ကွန်ပျူတာစနစ်) မာမူ ပြဿနာတိကို ပိုပြီးကေမြန်ဆန်စွာ ဖြီယှင်းနိုင်ဖို့ ကွမ်တမ် အယ်လ်ဂိုရီသမ် လုပ်ငန်းစဉ်တိကို အသုံးပြုရေ။ တအောင့်လောက်က၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ်မာ NIST (အမင်ရကန် အမျိုးသား စံချိန်စံညွှန်းနန့် နည်းပညာဌာန) သည် ယင်းရို့၏ post-quantum encryption (ကွမ်တမ်ကွန်ပျူတာခေတ်လွန် ကုဒ်ဝှက်စနစ်) စံနှုန်းတိကို မွမ်းမံပြင်ဆင်ခရေ။ ယင်းမာ ကွမ်တမ်ကွန်ပျူတာတိကို အသုံးပြုပနာ ပြုလုပ်လာနှိုင်ရေ တိုက်ခိုက်မှုတိမှ ကာကွယ်နိုင်စွမ်း ပိုပြီးကေကောင်းမွန်စီဖို့အတွက် ကုဒ်ဝှက်စနစ်ဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်အသစ်များ ပါဝင်ရေ။ ===ဖော်ပြပုံစံများ (Representations)=== အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို သဘာဝဘာသာစကားတိ၊ Pseudocode (ကုဒ်အတုများ)၊ Flowchart (လုပ်ငန်းစဉ်ပြ မြီပုံများ)၊ Drakon-chart များ၊ ပရိုဂရမ်ရီးသားရေ ဘာသာစကားတိ တနည်း Control table (ထိန်းချုပ်မှု ဇယားများ) အပါအဝင် Turing စက်များ (Turing machines) Turing စက် ပရိုဂရမ်တိကို ဖော်ပြနှိုင်ရေ ပုံစံအမျိုးမျိုး ဟိပါရေ။ နမူနာအနိန်နန့် စက်ဇယားများ (machine tables) အစိုင်လိုက်ပုံစံ (အသီးစိတ်အတွက် finite-state machine၊ state-transition table နန့် control table ရို့ကို ကြည့်ပါ)၊ flow chart များ တနည်း drakon-chart များ (အသီးစိတ်အတွက် state diagram ကို ကြည့်ပါ)၊ တနည်း "လေးခုတွဲ အစုအဝီးများ" (sets of quadruples) ဟုခေါ်သော အခြီခံကျရေ machine code တနည်း assembly code ပုံစံမျိုးဖြင့် ဖော်ပြနှိုင်ပါရေ။ Algorithm တခုကို ဖော်ပြရာမာ Turing စက်နန့် ပတ်သက်ပြီးကေ လက်ခံထားရေ အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ခွဲခြားနှိုင်ရေ - ယင်းရို့မာ အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက် (high-level description)၊ အကောင်အထည်ဖော်မှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (implementation description) နန့် တရားဝင် ဖော်ပြချက် (formal description) ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။[41] အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်မာ Turing စက်ပေါ်မာ ဇာပိုင် အကောင်အထည်ဖော်ထားရေကို ထည့်သွင်းတွက်ဖော်ခြင်း မပြုဘဲ algorithm ကိုယ်တိုင်၏ ဂုဏ်သတ္အတိကိုရာ ဖော်ပြထားရေ။[41] အကောင်အထည်ဖော်မှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်မာ algorithm ကို လုပ်ဆောင်ဖို့အတွက် စက်က ယင်း၏ ခေါင်း (head) ကို ဇာပိုင် ရွှိလျားသည်၊ ဒေတာတိကို ဇာပိုင် သိမ်းဆည်းသည် စရေ ယေဘုယျ လုပ်ဆောင်ပုံတိကို ဖော်ပြထားကေလေ့၊ တိကျသော အခြီအရဲများ (states) ကိုမူ အသီးစိတ် ဖော်ပြထားခြင်း မဟိပါ။[41] အသီးစိတ်အကျဆုံး ဖော်ပြချက်ဖြစ်ရေ တရားဝင် ဖော်ပြချက် (formal description) မာမူ Turing စက်၏ တိကျသော အခြီအရဲဇယား (state table) နန့် အခြီအရဲ ပြောင်းလဲမှုတိ (transitions) စာရင်းကို ဖော်ပြထားရေ။[41] စီးဆင်းမှုပုံကြမ်း (Flowchart) ဖြင့် ဖော်ပြခြင်း စီးဆင်းမှုပုံကြမ်း (Flowchart) ဆိုစွာမာ အယ်လဂိုရီသမ် (algorithm) တခုကို ဖော်ပြပြီးကေကေ မှတ်တမ်းတင်ပီးရေ ရုပ်ပုံပါဝင်ရေ ကိရိယာတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းမာ အဓိက သင်္ကေတ ၄ မျိုး ပါဝင်ရေ - ပရိုဂရမ်၏ စီးဆင်းမှုကို ပြသရေ မြှားများ၊ အဆင့်ဆင့်လုပ်ဆောင်မှု (SEQUENCE) တနည်း နီရာတခုသို့ ခုန်ကူးခြင်း (GOTO) ကို တက်စားပြုရေ စတုဂံကွက်များ၊ ဆုံးဖြတ်ချက်ချမှတ်ခြင်းကို တက်စားပြုရေ စိန်ပုံသဏ္ဍာန်ကွက်များ (diamonds) နန့် OR-tie ဟုခေါ်သော အစက်များ ဖြစ်ကတ်တေ။ စတုဂံကွက်များအထဲမာ အခြားသော ဖွဲ့စည်းပုံငယ်တိကို ထည့်သွင်းထားနိုင်ကေလေ့၊ ယင်းပိုင်ပြုလုပ်ရာမာ အပြင်ဘက်ဖွဲ့စည်းပုံမှ ထွက်ပေါက် (exit point) တခုတည်းရာ ဟိရဖို့ဖြစ်တေ။ ===အယ်လဂိုရီသမ်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း=== အဓိက ဆောင်းပါး - အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Analysis of algorithms) အယ်လဂိုရီသမ်တခုအတွက် လိုအပ်ဖို့ အချိန်၊ လောင်းာင်မှုပမာဏ (မှတ်ဉာဏ်) တနည်း အခြားသော ကုန်ကျစရိတ်/အရင်းအမြစ်တိကို သိဟိရေလူရန်မာ တနားတခါဆိုပိုင် အရီးကြီးတတ်ရေ။ ဧပိုင်အပ်ချက်တိကို လောင်းာက်မှန်းတွက်ချက်နိုင်ဖို့ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရေ နည်းလမ်းများစွာကို တီထွင်ထားကတ်တေ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ ကိန်းဂဏန်း n လုံးပါဝင်ရေ စာရင်းတခုဟိ ကိန်းဂဏန်းအားလုံးကို ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရေ အယ်လဂိုရီသမ်တခုကို "Big O notation" ဖြင့် ဖော်ပြပါက ယင်း၏ အချိန်လိုအပ်ချက်မာ $O(n)$ ဖြစ်တေ။ ဒေအယ်လဂိုရီသမ်သည် တန်ဖိုးနှစ်ခုကိုရာ မှတ်သားထားရန် လိုအပ်ရေ - အဂုအချိန်အထိ ပေါင်းထားရေ စုစုပေါင်းတန်ဖိုး နန့် ထည့်သွင်းထားရေ စာရင်း (input list) ထဲက လက်ဟိရောက်ဟိနိန်ရေ နီရာရို့ ဖြစ်တေ။ အဂယင့်လို့ ထည့်သွင်းထားရေ ကိန်းဂဏန်းတိကို သိမ်းဆည်းရန် လိုအပ်ရေ နီရာပမာဏ (space) ကို ထည့်သွင်းမတွက်ချက်ပါက ယင်း၏ နီရာလိုအပ်ချက်မာ $O(1)$ ဖြစ်ပြီးကေ၊ ထည့်သွင်းတွက်ချက်မည်ဆိုခကေ $O(n)$ လိုအပ်မည်ဖြစ်တေ။ ကွဲပြားခြားနားရေ အယ်လဂိုရီသမ်တိစွာ တူညီရေ လုပ်ငန်းတာဝန်တခုကို အရာမာအောင် လုပ်ဆောင်နိုင်ကေလေ့၊ ယင်းရို့အသုံးပြုရေ ညွှန်ကြားချက်တိ မတူညီကြယင့်အတွက် အချိန်၊ နီရာ (မှတ်ဉာဏ်) တနည်း 'အားထုတ်မှု' ပမာဏချင်း မတူညီနှိုင်ကတ်ပါ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ စီစိုင်ထားပြီးသားသား (sorted) စာရင်းတခုထဲက အချက်အလက်တိကို ရှာဖွီရာမာ "Binary search" အယ်လဂိုရီသမ် (ကုန်ကျစရိတ် $O(\log n)$ ဟိရေ) သည် "Sequential search" (ကုန်ကျစရိတ် $O(n)$ ဟိရေ) ထက် ပိုပြီးကေထိရောက်မှု ဟိရေ။ ===သီအိုရီပိုင်းဆိုင်ရာ (Formal) နန့် လက်တွိစမ်းသပ်မှုပိုင်းဆိုင်ရာ (Empirical) နှိုင်းနိူင်းချက်=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - Empirical algorithmics၊ Profiling (ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်းမင်း) နန့် Program optimization (ပရိုဂရမ် ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုလုပ်ခြင်း) အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနန့် လိလာခြင်းစွာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ (Computer Science) ဘာသာရပ်ရေ အစိတ်အပိုင်းတခု ဖြစ်တေ။ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို လိလာရာမာ သီးသန့် ပရိုဂရမ်းမင်း ဘာသာစကားတခုခု တနည်း လက်တွိအက အယ်လဂိုရီသမ် (algorithms) အများစုကို သီးသန့် ဟာ့ဒ်ဝဲ (hardware) တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲ (software) ပလက်ဖောင်းတိထက်မာ အကောင်အထည်ဖော် တည်ဆောက်လေ့ဟိပြီးး၊ ယင်းရို့၏ စွမ်းဆောင်ရည် (efficiency) ကို လက်တွိကုဒ်များ အသုံးပြုပနာ စမ်းသပ်စစ်ဆီးကတ်တေ။ တခေါက်တခါသာ လုပ်ဆောင်ရဖို့ ပြဿနာတိအတွက်မူ အယ်လဂိုရီသမ်တခု၏ စွမ်းဆောင်ရည်မာ အရီးမပါလှကေလေ့၊ အပြင်းနှုန်းမြင့်မားရန်၊ အပြန်အလှန် တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်ရန် (interactive)၊ စီးပွားဖြစ် အသုံးပြုဖို့ တနည်း ရေရှည်အသုံးပြုဖို့ သိပ္ပံဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းစဉ်တိအတွက် ရီးဆွဲထားရေ အယ်လဂိုရီသမ်များမာမူ ယင်းစွမ်းဆောင်ရည်မာ အလွန်အရီးကြီးပါရေ။ ထည့်သွင်းရေ ဒေတာပမာဏ (input size) ကို တိုးမြှင့်လိုက်ရေအခါ၊ ပုံမှန်အခြီအရဲမာ ပြဿနာမဟိသယောင် ထင်ရကေလေ့ အမှန်အကန်မာ စွမ်းဆောင်ရည်ညံ့ဖျင်းနီရေ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ပေါ်လွင်လာစီတတ်ရေ။ လက်တွိစမ်းသပ်မှုတိ (empirical testing) သည် စွမ်းဆောင်ရည်အပေါ် သက်ရောက်မှုဟိစီရေ မမျှော်လင့်ထားရေ အပြန်အလှန် အကျိုးသက်ရောက်မှုတိကို ရှာဖွီဖော်ထုတ်ရာမာ အသုံးဝင်ရေ။ ပရိုဂရမ်ကို ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုပျင်မွမ်းမံခြင်း (optimization) ပြုလုပ်ပြီးကေနောက်၊ အယ်လဂိုရီသမ်တခုမာ ဖြစ်လှာနှိုင်ရေ တိုးတက်မှုတိကို မပြုပျင်မီနန့် ပြုပျင်ပြီး အခြီအရဲရို့နန့် နှိုင်းနိူင်းဖို့အတွက် စံသတ်မှတ်ချက်တိ (benchmarks) ကို အသုံးပြုနှိုင်ရေ။ ယကေလေ့ လက်တွိစမ်းသပ်မှုတိစွာ သီအိုရီပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု (formal analysis) ကို အပြည့်အဝ အစားထိုးနိုင်ခြင်း မဟိရေအပြင်၊ မျှတတိကျစွာ ပြုလုပ်ဖို့လည်း ခက်ခဲတတ်ရေ။[42] ===Notes=== # "A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method'" (Knuth 1971:5). # David A. Grossman, Ophir Frieder, Information Retrieval: Algorithms and Heuristics, 2nd edition, 2004, ISBN 1402030045 # "Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2). # Well defined concerning the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2). # "an algorithm is a procedure for computing a function (concerning some chosen notation for integers) ... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1977:1). # "An algorithm has one or more outputs, i.e., quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5). # Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without the use of continuous methods or analog devices ... carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" (Rogers 1987:2). # Blair, Ann, Duguid, Paul, Goeing, Anja-Silvia and Grafton, Anthony. Information: A Historical Companion, Princeton: Princeton University Press, 2021. p. 247 # "Definition of ALGORITHM". Merriam-Webster Online Dictionary. Archived from the original on February 14, 2020. Retrieved November 14, 2019. # "algorism". Oxford English Dictionary. Retrieved May 18, 2025. # Chaucer, Geoffrey. "The Miller's Tale". Line 3210. # Skeat, Walter William (1914). "agrim, agrum". In Mayhew, Anthony Lawson (ed.). A Glossary of Tudor and Stuart Words: Especially from the Dramatists. Clarendon Press. pp. 5–6. # Grabiner, Judith V. (December 2013). "The role of mathematics in liberal arts education". In Matthews, Michael R. (ed.). International Handbook of Research in History, Philosophy and Science Teaching. Springer. pp. 793–836. doi:10.1007/978-94-007-7654-8_25. ISBN 978-94-007-7654-8. # "algorithm". Oxford English Dictionary. Retrieved May 18, 2025. # Stone (1971), p. 8. # Simanowski, Roberto (2018). The Death Algorithm and Other Digital Dilemmas. Untimely Meditations. Vol. 14. Translated by Chase, Jefferson. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. p. 147. ISBN 978-0-262-53637-0. Archived from the original on December 22, 2019. Retrieved May 27, 2019. [...] the next level of abstraction of central bureaucracy: globally operating algorithms. # Dietrich, Eric (1999). "Algorithm". In Wilson, Robert Andrew; Keil, Frank C. (eds.). The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences. MIT Cognet library. Cambridge, Massachusetts: MIT Press (published 2001). p. 11. ISBN 978-0-262-73144-7. Retrieved July 22, 2020. An algorithm is a recipe, method, or technique for doing something. # Stone requires that "it must terminate in a finite number of steps" (Stone 1973:7–8). # Boolos and Jeffrey 1974, 1999:19 # Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer Science & Business Media. pp. 7–8. ISBN 978-3-642-18192-4. # Sriram, M. S. (2005). "Algorithms in Indian Mathematics". In Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, M. D. (eds.). Contributions to the History of Indian Mathematics. Springer. p. 153. ISBN 978-93-86279-25-5. # Hayashi, T. (2023, January 1). Brahmagupta. Encyclopedia Britannica. # Zaslavsky, Claudia (1970). "Mathematics of the Yoruba People and of Their Neighbors in Southern Nigeria". The Two-Year College Mathematics Journal. 1 (2): 76–99. doi:10.2307/3027363. ISSN 0049-4925. JSTOR 3027363. # Cooke, Roger L. (2005). The History of Mathematics: A Brief Course. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-46029-0. # Chabert, Jean-Luc, ed. (1999). A History of Algorithms. doi:10.1007/978-3-642-18192-4. ISBN 978-3-540-63369-3. # Dooley, John F. (2013). A Brief History of Cryptology and Cryptographic Algorithms. Springer Science & Business Media. pp. 12–3. ISBN 978-3-319-01628-3. # Knuth, Donald E. (1972). "Ancient Babylonian Algorithms" (PDF). Commun. ACM. 15 (7): 671–677. doi:10.1145/361454.361514. ISSN 0001-0782. S2CID 7829945. Archived from the original (PDF) on December 24, 2012. # Aaboe, Asger (2001). Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer. pp. 40–62. ISBN 978-0-387-95136-2. # Ast, Courtney. "Eratosthenes". Wichita State University: Department of Mathematics and Statistics. Archived from the original on February 27, 2015. Retrieved February 27, 2015. # Knuth, Donald E. (1996). Selected Papers on Computer Science. CSLI Publications. pp. 1–2. Al-Khwarizmi's work was the first to provide a systematic, rule-based approach to solving equations, which is why the word 'algorithm' was coined from his name to describe this methodical process. # Bolter 1984:24 # Bolter 1984:26 # Bolter 1984:33–34, 204–206. # Bell and Newell diagram 1971:39, cf. Davis 2000 # Melina Hill, Valley News Correspondent, A Tinkerer Gets a Place in History, Valley News West Lebanon NH, Thursday, March 31, 1983, p. 13. # Davis 2000:14 # Kleene 1943 in Davis 1965:274 # Rosser 1939 in Davis 1965:225 # Gurevich, Yuri (2000). "Sequential abstract-state machines capture sequential algorithms". ACM Transactions on Computational Logic. 1 (1): 77–111. doi:10.1145/343369.343384. # Moschovakis, Yiannis N.; Paschalis, Vasilis (2008). "Elementary Algorithms and Their Implementations". New Computational Paradigms. Springer. pp. 87–118. doi:10.1007/978-0-387-68546-5_5. # Sipser 2006:157 # Kriegel, Hans-Peter; Schubert, Erich; Zimek, Arthur (2016). "The (black) art of run-time evaluation: Are we comparing algorithms or implementations?". Knowledge and Information Systems. 52 (2): 341–378. doi:10.1007/s10115-016-1004-2. ISSN 0219-1377. S2CID 40772241. fxja4qudzqi0zmc22mr3s4exrr8zkri 22035 22034 2026-10-22T16:42:42Z Retkhaberi 224 Retkhaberi moved page [[အယ်လဂေါရစ်သမ်]] to [[အယ်လ်ဂိုရီသမ်]] 22034 wikitext text/x-wiki မြန်မာဘသင်္ချာနန့် ကွန်ပျူတာသိပ္ပံပညာရပ်များမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) ဆိုစွာမာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ ညွှန်ကြားချက်တိ အစုအဝီးတခု ဖြစ်တေ။ ဒေညွှန်ကြားချက်တိကို လိုက်နာဆောင်ရွက်ရေအခါ အဆင့်အရွီအတွက် အကန့်အသတ်တခုအထဲ ပြီးဆုံးလားပြီး၊ ပီးထားရေ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ပြဿနာတခုအတွက် အဖြီတခုကို ရဟိစီရေ။ ပိုပြီးကေသပွတ်အူလိုက် အယ်လ်ဂိုရီသမ်များမာ ထပ်ကာထပ်ကာ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (loops) နန့် အခြီအရဲအလိုက် ဆုံးဖြတ်ချက်ချရရေ အပိုင်းများ (conditionals) ပါဝင်နှိုင်ရေ။ ယင်းရို့စွာ ထည့်သွင်းပီးလိုက်သော အချက်အလက်များ (inputs) ပေါ်မူတည်ပနာ နောက်တဆင့်မာ ဇာလုပ်ရဖို့ကို ဆုံးဖြတ်ကတ်ယား၊ လုပ်ငန်းစဉ် မပြီးဆုံးမီ အဆင့်များစွာကို ဖြတ်သန်းလားရလိဟိရေ။ ယကေလေ့ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိုင်းရေ သတ်မှတ်ချက်အရ ဇာအခါမဆို အဆုံးသတ်တခုသို့ ရောက်ဟိရဖို့ ဖြစ်တေ။[1] အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိနန့် မတူညီရီမာ ဟျူရစ်စတ (heuristics) နည်းလမ်းများ ဖြစ်တေ။ ယင်းရို့ကို အယ်လ်ဂိုရီသမ်နည်းလမ်းဖြင့် ဖြီယှင်းလို့မရနှိုင်ရေ ပြဿနာများမာ အသုံးပြုလိဟိရေ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ ပြဿနာတခုကို ဖြီယှင်းရန် မဖြစ်နှိုင်ခြင်း (undecidable) တနည်း မှန်ကန်သော တနည်း ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ရေ အဖြီကို သတ်မှတ်ဖို့နည်းလမ်းမဟိခြင်းမျိုးမာ အသုံးပြုကတ်တေ။[2] နမူနာအနိန်နန့် လူမှုကွန်ရက်များဟိ အကြံပြုပေးရေ စနစ်များ (recommender systems) ကို လူအတိက "အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ" ဟု မားယွင်းခေါ်ဆိုလေ့ဟိကတ်ကေလေ့၊ အမှန်အကန်မာ ယင်းရို့ကို ဟျူရစ်စတတိအဖြစ်နန့်ရာ ခွဲခြားသတ်မှတ်သင့်ရေ။ ဇာကြောင့်ဆိုကေ ထိုစနစ်တိက ပီးအပ်လာရေ အကြံပြုချက်တခုသည် "မှန်ကျောက်ရေ" ဟု အတိအကျ ဆုံးဖြတ်နိုင်ဖို့ ဘက်မလိုက်သော စံသတ်မှတ်ချက်မျိုး မဟိအတွက်နန့် ဖြစ်တေ။ ထိရောက်သော နည်းလမ်းတခုအနိန်နန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တခုကို အကန့်အသတ်ဟိရေ နီရာ (space) နန့် အချိန် (time) ပမာဏအထဲ ဖော်ပြနှိုင်ဗျာယ်း[3]၊ လုပ်ဆောင်ချက်တခု (function) ကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ ပုံစံကျ ဘာသာစကား (formal language) တခုဖြင့်လည်း ရီးသားဖော်ပြနှိုင်ရေ။[4][5] ကနဦး အခြီအရဲ (initial state) နန့် ထည့်သွင်းပီးလိုက်သော အချက်အလက်များ (inputs) မှ စတင်ကာ အဆင့်တိုင်းမာ တွက်ချက်မှုတိ ပြုလုပ်လားပြီး၊ နောက်ဆုံးမာ ရလဒ် (output) ကို ထုတ်ပီးကာ လုပ်ငန်းစဉ် ပြီးဆုံးလားရေ။[6] ကျပန်းစနစ်ပါဝင်ရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ (randomized algorithms) မာ ကျပန်း အချက်အလက်တိကို ထည့်သွင်းအသုံးပြုရေ။ ယင်းရို့စွာ အခြီအရဲတခုမှ နောက်တခုသို့ ပြောင်းလဲပုံမာ ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပြီးသားသား (deterministic) ဖြစ်ကေလေ့၊ ထွက်ပေါ်လှာဖို့ ရလဒ်မာမူ ကြိုတင်လောင်းာက်မှန်းလို့မရနှိုင်ရေ (non-deterministic) ပုံစံမျိုး ဖြစ်လှာစီရန် ဖန်တီးပီးနှိုင်ရေ။[7] ===ဝေါဟာရမူလအစ=== ခရစ်နှစ် ၈၂၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်မာ ပါရှန်းလူမျိုး သိပ္ပံပညာသျှင်နန့် ပညာရပ်စုံတတ်ကျွမ်းသူ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (al-Khwarizmi) သည် *kitāb al-ḥisāb al-hindī* ("အိန္ဒိယနည်းနန့် တွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကျမ်း") နန့် *kitab al-jam' wa'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī* ("အိန္ဒိယဂဏန်းသင်္ချာနည်းနန့် ပေါင်းခြင်းနန့် နုတ်ခြင်း") ဆိုရေ ကျမ်းတိကို ရီးသားခရေ။ ၁၂ ရာစုအစောပိုင်းမာ ဟိန်းဒုတ်-အာရပ် ဂဏန်းစနစ်နန့် ဂဏန်းသင်္ချာရို့ပါဝင်ရေ ဒေကျမ်းတိ၏ လက်တင်ဘာသာပြန်များ ပေါ်ထွက်ပါလတ်တေ။ နမူနာအနိန်နန့် ဂျွန် အော့ဖ် ဆီဗီးလ် (John of Seville) ရီးသားရေလို့ ယူဆရရေ *Liber Alghoarismi de practica arismetrice* နန့် အဒယ်လာ့ဒ် အော့ဖ် ဘတ်သ် (Adelard of Bath) ရီးသားရေလို့ ယူဆရရေ *Liber Algoritmi de numero Indorum* ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။[8] ဒေနီရာမာ *alghoarismi* တနည်း *algoritmi* ဆိုစွာမာ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (Al-Khwarizmi) ၏ နာမည်ကို လက်တင်ဘာသာစကားပုံစံသို့ ပြောင်းလဲခေါ်ဝေါ်ထားခြင်း ဖြစ်တေ။[9] ယင်းချင့်ကျမ်းတိမာ *Dixit Algoritmi* ဆိုရေ စကားစုဖြင့် စတင်ထားပြီးသား၊ ယင်းမာ "အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီက ဧပိုင် ဆိုရေ" ဟု အဓိပ္ပာယ်ရရေ။[2] မိုဟာမက် အစ်ဘန် မူဆာ အယ်လ်-ခွာရစ်ဇမီ (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) - ၉ ရာစုခေတ် သင်္ချာပညာသျှင်တဦးဖြစ်ပြီးကေ၊ 'algorithm' (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်) ဆိုရေ စကားလုံးသည် ယင်း၏နာမည်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်တေ။ အိန်းဂလိချ်ဘာသာစကားမာ *algorism* ဆိုရေ စကားလုံးသည် တွက်ချက်မှုတိမာ တန်ဖိုးသတ်မှတ်ချက်ဆိုင်ရာ နီရာအထားအသိုစနစ် (place-value notation) ကို အသုံးပြုခြင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရပါလတ်တေ။ ဒေစကားလုံးကို ခရစ်နှစ် ၁၂၂၅ ခုနှစ်ဝန်းကျင်ခန့်က ရီးသားခရေ *Ancrene Wisse* စာမူမာ တွိဟိရရေ။[10] ၁၄ ရာစုနှောင်းပိုင်းမာ ဂျက်ဖရီ ချောဆာ (Geoffrey Chaucer) က *The Canterbury Tales* ကို ရီးသားခဲ့ချိန်မာ ယင်းသည် *augrym stones* (တန်ဖိုးသတ်မှတ်ချက်ဆိုင်ရာ နီရာအထားအသိုစနစ်ဖြင့် တွက်ချက်ရာမာ အသုံးပြုရေ ကျောက်တုံးများ) အကြောင်း ဖော်ပြရာမာ ယင်းချင့်စကားလုံး၏ ပုံစံကွဲတခုကို အသုံးပြုခရေ။[11][12] ၁၅ ရာစုမာ ဂရိဘာသာစကားမှ *ἀριθμός* (arithmos - 'ဂဏန်း' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရယား *arithmetic* တနည်း ဂဏန်းသင်္ချာဆိုရေ စကားလုံးနန့် ဆက်စပ်ရေ) ၏ လွှမ်းမိုးမှုကြောင့် လက်တင်စကားလုံးမာ *algorithmus* ဆိုပနာ ပြောင်းလဲလားခီရေ။[13] ၁၅၉၆ ခုနှစ်အရောက်မာမူ သောမတ်စ် ဟွတ် (Thomas Hood) က ဒေစကားလုံးပုံစံကို အိန်းဂလိချ်ဘာသာစကားမာ *algorithm* ဆိုပနာ အသုံးပြုခရေ။[14] ===အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်=== "Algorithm" (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်) ဆိုရေ ဝေါဟာရ၏ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်နန့် ပတ်သက်ရေ ရှုဒေါင့်အမျိုးမျိုးကို အသီးစိတ် လိလာလိုကေ "Algorithm characterizations" (အယ်လ်ဂိုရစ်သမ်ဆိုင်ရာ သွင်ပြင်လက္ခဏာများ) ကဏ္ဍကို ကြည့်ရှုပါ။ ရိုး ယေဘုယျအနိန်နန့် ပရိုဂရမ်တခုသည် အဆုံးမာ ရပ်တန့်လားမှကျကေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) တခု ဖြစ်နှိုင်ရေ[18]။ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်ဆိုစွာမာ ရလဒ်တခု ထွက်ပေါ်လှာစီဖို့အတွက် ရှင်းလင်းပြတ်သားသော ညွှန်ကြားချက်တိ စုစည်းမှုတခု ဖြစ်ပြီးကေ၊ ယင်းကို ကွန်ပျူတာ တနည်း လူတဦးတလီက သင်္ကေတတိအပေါ် သတ်မှတ်ထားရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိကို ပြုလုပ်ခြင်းအားဖြင့် လိုက်နာဆောင်ရွက်နှိုင်ရေ[19]။ ===သမိုင်းကြောင်း=== ဒေကဏ္ဍမာ ၂၀ ရာစုနန့် ၂၁ ရာစုအထဲ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (computer algorithms) များ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာမှုနန့် ပတ်သက်ရေ အချက်အလက်များ လိုအပ်နီပါရေ။ ဒေအချက်အလက်တိကို ထည့်သွင်းလို့ ကဏ္ဍကို ပိုပြီးကေပြည့်စုံအောင် ဖြည့်စွက်ပီးပါ။ ဆွေးနွေးချက်စာမျက်နှာ (talk page) မာ အသီးစိတ်အချက်အလက်များ ဟိကောင်းဟိနှိုင်ပါရေ။ (အောက်တိုဘာ ၂၀၂၃) ===ရှီးခေတ် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ=== သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာတိကို ဖြီယှင်းဖို့အတွက် အဆင့်ဆင့် လုပ်ဆောင်ရဖို့ နည်းလမ်းတိကို ရှီးခေတ်ကပင် မှတ်တမ်းတင်ထားခကတ်တေ။ ယင်းရို့မာ ဘေဘီလုံး (Babylonian) သင်္ချာ (ဘီစီ ၂၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[20] အီဂျစ်သင်္ချာ (ဘီစီ ၁၅၅၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[20] အိန္ဒိယသင်္ချာ (ဘီစီ ၈၀၀ ဝန်းကျင်နန့် နောက်ပိုင်းကာလများ)၊[21][22] Ifa Oracle (ဘီစီ ၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[23] ဂရိသင်္ချာ (ဘီစီ ၂၄၀ ဝန်းကျင်ခန့်)၊[24] တရုတ်သင်္ချာ (ဘီစီ ၂၀၀ ဝန်းကျင်နန့် နောက်ပိုင်းကာလများ)၊[25] နန့် အာရပ်သင်္ချာ (အေဒီ ၈၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) ရို့ ပါဝင်ရေ။[26] အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိနန့် ပတ်သက်ရေ အစောဆုံး အထောက်အထားတိကို ရှီးခေတ် မက်ဆိုပိုတေးမီးယား (Mesopotamia) သင်္ချာမာ တွိဟိရရေ။ ဘဂ္ဂဒက်မြို့နံဖီးဟိ ရှူရူပက် (Shuruppak) နီရာမာ တွိဟိရရေ၊ ဘီစီ ၂၅၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်က ဖြစ်ရေ ဆူမားရီးယန်း (Sumerian) ဘိတ်ပြားတခုမာ အစောဆုံး ပိုင်းခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (division algorithm) အကြောင်း ဖော်ပြထားရေ။[20] ဟမ်မူရာဘီ (Hammurabi) မင်းဆက်ကာလ (ဘီစီ ၁၈၀၀ မှ ဘီစီ ၁၆၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) အထဲဟိ ဘေဘီလုံး ဘိတ်ပြားများမာ ဖော်မြူလာတိကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို ဖော်ပြထားရေ။[27] ဘေဘီလုံး နက္ခတ္တဗေဒမာလည်း အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုခကတ်တေ။ ဘေဘီလုံး ဘိတ်ပြားများမာ အရီးပါရေ နက္ခတ္တဗေဒဆိုင်ရာ ဖြစ်ရပ်များ ဖြစ်ပေါ်ဖို့ အချိန်နန့် နီရာရို့ကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ် နည်းလမ်းတိကို ဖော်ပြထားပြီးသား အသုံးပြုခကတ်တေ။[28] ရှီးခေတ် အီဂျစ်သင်္ချာမာလည်း ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို တွိဟိရပြီး ယင်းရို့အနက် ဘီစီ ၁၅၅၀ ဝန်းကျင်ခန့်က ဖြစ်ရေ Rhind သင်္ချာဆိုင်ရာ ပါပိုင်းရပ်စ် (Rhind Mathematical Papyrus) စာရွက်စာတမ်းမာ တွိဟိရရေ။[20] နောက်ပိုင်းမာ ရှီးခေတ် ဟယ်လင်နစ်စတ (Hellenistic) သင်္ချာမာလည်း အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုခကတ်တေ။ နမူနာနှစ်ခုမာ Nicomachus ၏ *Introduction to Arithmetic* (ဂဏန်းသင်္ချာ နိဒါန်း) စာအုပ်မာ ဖော်ပြထားရေ Sieve of Eratosthenes (Eratosthenes ၏ ဇကာနည်းလမ်း) နန့် Euclid ၏ *Elements* (ခရစ်မပေါ်မီ ၃၀၀ ဝန်းကျင်ခန့်) မာ ပထမဆုံး ဖော်ပြခသော Euclidean algorithm (Euclid ၏ တွက်ချက်မှုနည်းလမ်း) ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။ ရှီးခေတ် အိန္ဒိယသင်္ချာဆိုင်ရာ နမူနာများမာ Shulba Sutras၊ Kerala ကျောင်းတော် (Kerala School) နန့် *Brāhmasphuṭasiddhānta* ကျမ်းရို့ ပါဝင်ရေ။ ၉ ရာစုမာ Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī သည် သင်္ချာပြဿနာတိကို ဖြီယှင်းဖို့အတွက် ယုတ္တိဟိရေ အဆင့်တိကို စနစ်တကျနန့် အဆုံးသတ်နှိုင်ရေ အစီအစိုင်တခုအဖြစ် 'algorithm' (တွက်ချက်မှုနည်းလမ်း) ကို သတ်မှတ်ဖော်ထုတ်ခြင်းနန့် ဒေနယ်ပယ်မာ ကြီးမားရေ ပြောင်းလဲမှုတရပ်ကို ဖြစ်ပေါ်စီခရေ။ သူ အရီးပါရေ ကျမ်းတစောင်ဖြစ်ရေ *The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing* မာ သူစွာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အဖြီတခုချင်းစီကိုရာ ရှာဖွီခြင်းထက် ကျော်လွန်ကာ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ရှင်းလင်းခြင်း (reduction) နန့် ညီမျှစီခြင်း (balancing) အတွက် ယေဘုယျ လုပ်ဆောင်နည်းလမ်းတိကို မိတ်ဆက်ပီးခရေ။ ဒေအရာက သင်္ချာပညာကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရေ စည်းမျှိုင်းတိနန့် လုပ်ဆောင်ရေ 'စက်ယန္တရားဆန်သော' လုပ်ငန်းစဉ်တခုအဖြစ် ပြောင်းလဲပီးခပြီးကေ၊ ဒေအခြီခံကျသော ပြောင်းလဲမှုသည် ခေတ်သစ် algorithm သီအိုရီအတွက် အုတ်မြစ်ချပီးခရေ။ သူ ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ကျမ်းကို လက်တင်ဘာသာသို့ ပြန်ဆိုထားရေ *Algoritmi de numero Indorum* ဆိုရေ စာအုပ်ကတဆင့်၊ သူနာမည်ကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် ရီးသားထားရေ 'Algoritmi' ဆိုရေ စကားလုံးမှ 'algorithm' ဆိုရေ ဝေါဟာရ ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ ယင်းကို အထူးအနိန်နန့် စည်းမျှိုင်းတိအပေါ် အခြီခံထားရေ ဒေသင်္ချာနည်းလမ်းသစ်ကို ဖော်ပြဖို့အတွက် အသုံးပြုကတ်တေ။ လျှို့ဝှက်ကုဒ်တိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်နှိုင်ဖို့ ပထမဆုံးသော cryptographic algorithm (လျှို့ဝှက်ကုဒ်ဆိုင်ရာ တွက်ချက်နည်းလမ်း) ကို ၉ ရာစု အာရပ်သင်္ချာပညာသျှင် Al-Kindi က သူ *A Manuscript On Deciphering Cryptographic Messages* (လျှို့ဝှက်စာတိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်ခြင်းဆိုင်ရာ လက်ရီးမူ) မာ ရီးသားဖော်ပြခရေ။ သူစွာ ကုဒ်တိကို ဖြီယှင်းဖော်ထုတ်ရာမာ အသုံးပြုရေ ရှီးအကျဆုံးနည်းလမ်းတခုဖြစ်ရေ 'frequency analysis' (အကြိမ်ရေအလိုက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း) ကို အသုံးပြုရေ cryptanalysis (လျှို့ဝှက်ကုဒ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း) နည်းလမ်းကို ပထမဆုံးအကြိမ် ဖော်ပြခရေ။ ===ကွန်ပျူတာတိ=== အလီးချိန်ဖြင့် မောင်းနှင်သော နာရီများ အလီးချိန်ဖြင့် မောင်းနှင်သော နာရီတိစွာ အလယ်ခေတ် ဥရောပ၏ အရီးပါရေ တီထွင်မှုတခု ဖြစ်တေ။ အထူးအနိန်နန့် စက်မှုနာရီများမာ "တ... တ..." ဆိုရေ အသံကို ဖြစ်ပေါ်စီရေ "verge escapement" (နာရီယန္တရား အစိတ်အပိုင်း) သည် အခရာရေ။ တိကျသော အလိုအလျောက် စက်ယန္တရားတိကတဆင့် ၁၃ ရာစုမာ အလိုအလျောက် လှုပ်ရှားနှိုင်ရေ စက်ရုပ်များ (mechanical automata) ပေါ်ပေါက်လာခပြီးကေ၊ ၁၉ ရာစု အလယ်ပိုင်းမာမူ Charles Babbage နန့် Ada Lovelace ရို့၏ "Difference Engine" နန့် "Analytical Engine" ဟုခေါ်သော တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စက်များ ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ Lovelace သည် ကွန်ပျူတာတလုံးအတွက် ရည်ရွယ်ရေ ပထမဆုံး အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) ကို ရီးဆွဲခရေ။ Babbage ၏ Analytical Engine သည် ထိုခေတ်က စက်မှုတွက်ချက်ရီး ကိရိယာတိထက် များစွာသာလွန်ပြီး၊ "Turing-complete" (ဇာ တွက်ချက်မှုကိုမဆို လုပ်ဆောင်နိုင်စွမ်းဟိရေ) ပထမဆုံး စစ်မှန်ရေ ကွန်ပျူတာ ဖြစ်လှာခရေ။ Babbage ၏ ဒုတိယမြောက် စက်ကို သူမ ကွယ်လွန်ပြီး ဆယ်စုနှစ်များစွာ ကြာမှရာ အပြည့်အစုံ တည်ဆောက်နိုင်ခကေလေ့၊ Lovelace ကို "သမိုင်းမာ ပထမဆုံး ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်ရီးသားသူ" (programmer) အဖြစ် သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်ကတ်တေ။ ===ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်း (Formalization)=== Ada Lovelace ၏ "Note G" မှ ပုံကြမ်း - ယင်းသည် ပထမဆုံး ထုတ်ဝီခရေ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (algorithm) တခု ဖြစ်တေ။ ၁၉၂၈ ခုနှစ်မာ David Hilbert ၏ Entscheidungsproblem (ဆုံးဖြတ်ချက်ဆိုင်ရာ ပြဿနာ) ကို ဖြီယှင်းရန် ကြိုးပမ်းမှုတိနန့်တတူ ခေတ်သစ် အယ်လ်ဂိုရီသမ် သဘောတရားကို ပုံစံတကျ ဖော်ပြဖို့ (formalization) စတင် ကြိုးပမ်းလာခကတ်တေ။ နောက်ပိုင်းမာ ဧပိုင် ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းတိကို "ထိရောက်စွာ တွက်ချက်နိုင်စွမ်း" (effective calculability)[37] တနည်း "ထိရောက်သော နည်းလမ်း" (effective method)[38] ဆိုပနာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုဖို့ ကြိုးပမ်းမှုတိအဖြစ် ပုံဖော်ခကတ်တေ။ ဧပိုင် ပုံစံတကျ ဖော်ပြမှုတိမာ ၁၉၃၀၊ ၁၉၃၄ နန့် ၁၉၃၅ ခုနှစ်တိက Gödel–Herbrand–Kleene ရို့၏ ထပ်ကာထပ်ကာ လုပ်ဆောင်နှိုင်ရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (recursive functions)၊ ၁၉၃၆ ခုနှစ်က Alonzo Church ၏ lambda calculus၊ ၁၉၃၆ ခုနှစ်က Emil Post ၏ Formulation 1 နန့် ၁၉၃၆-၃၇ နန့် ၁၉၃၉ ခုနှစ်တိက Alan Turing ၏ Turing machines ရို့ ပါဝင်ရေ။ အယ်လ်ဂိုရီသမ် ဆိုင်ရာ တရားဝင် သီအိုရီများ အယ်လ်ဂိုရီသမ် သဘောတရားကို သင်္ချာနည်းအရ ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းစွာ တွက်ချက်နှိုင်ရေ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (computable functions) ကို ပုံစံတကျ ဖော်ပြခြင်းနန့် ကွဲပြားရေ။ အထူးအနိန်နန့်၊ တွက်ချက်နိုင်စွမ်းဆိုင်ရာ ဂန္ထဝင် မော်ဒယ်များအကြား တူညီမှု (equivalence) ဟိနီရုံမျှဖြင့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တခုအတွက် တရားဝင် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်တခု ဖြစ်မလှာနှိုင်ပါ။ ဇာကြောင့်ဆိုကေ မတူညီရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိစွာ လုပ်ဆောင်ချက် (function) တခုတည်းကိုပင် တွက်ချက်ပီးနှိုင်အတွက်နန့် ဖြစ်တေ။ ယင်းအတွက်နန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝထုများ (mathematical objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ဖော်ပြဖို့ ချိုင်းကပ်မှု ပုံစံအမျိုးမျိုး ဟိပါလတ်တေ။ Yuri Gurevich သည် အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော အယ်လ်ဂိုရီသမ် များ (sequential algorithms) ကို တရားဝင် သတ်မှတ်ဖော်ပြရေအနိန်နန့် abstract state machines (ASMs) သီအိုရီကို တီထွင်ခရေ။ သူ sequential ASM သီအိုရီအရ၊ အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော ဇာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် မဆိုရေ sequential ASM တခုနန့် အပြုအမူပိုင်းဆိုင်ရာ တူညီမှု (behavioral equivalence) ဟိပြီးး၊ ဒေတူညီမှုကို အဆင့်ဆင့် သက်သီပြနှိုင်ရေ။ Gurevich သည် အစီအစိုင်အလိုက် လုပ်ဆောင်သော အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိအတွက် အခြီခံသဘောတရားများ (axioms) ကို ရီးဆွဲခပြီးကေ၊ ယင်းနန့် သက်ဆိုင်ရေ သတ်မှတ်ဖော်ပြချက် သီအိုရမ် (characterization theorem) ကိုလေ့ သက်သီပြခရေ။[39] Yiannis N. Moschovakis ကမူ ကွဲပြားသော ချိုင်းကပ်မှုတခုကို တီထွင်ခရေ။ သူစွာ အစုအဝီး သီအိုရီ (set theory) ဆိုင်ရာ အရာဝထုတိကို အခြီခံရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ် ဆိုင်ရာ သင်္ချာသီအိုရီတခုကို အဆိုပြုခပြီးကေ၊ အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို ယင်းရို့၏ လက်တွိ အကောင်အထည်ဖော်မှုတိ (implementations) နန့် ခွဲခြားသတ်မှတ်ခရေ။ သူ သီအိုရီကို တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဗလဗွီသတ်မှု (computational complexity) နန့် သီးသန့် အယ်လ်ဂိုရီသမ် တိကို သင်္ချာနည်းအရ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းရို့နန့် ဆက်စပ်လို့ တီထွင်ခခြင်း ဖြစ်တေ။[40] ===လျှပ်စစ်-စက်မှုဆိုင်ရာ ရီလေး (Electromechanical relay)=== Punch card (အပေါက်ဖောက်ထားရေ ကတ်ပြား) တိ၏ ရှေ့ပြေးပုံစံဖြစ်ရေ Jacquard ယိုင်စင်နန့် ရေလီဖုန်း ဆက်သွယ်မှု ချိတ်ဆက်ပေးရေ စက်များ (telephone switching machines) သည် ပထမဆုံး ကွန်ပျူတာတိ ပေါ်ပေါက်လာစီရန် အထောက်အကူ ပြုခရေ။ ၁၉ ရာစု အလယ်ပိုင်းမာ ကြီးနန်းဆက်သွယ်ရီးစနစ် (telegraph) သည် ကမ္ဘာတဝန်းမာ အသုံးပြုဗျာယ် ဟိနီယာ ဖြစ်တေ။ ၁၉ ရာစု အနှောင်းပိုင်းမာ သတင်းအချက်အလက်များ ရိုက်နှိပ်ဖော်ပြရေ စက္ကူတိပ် (ticker tape - ၁၈၇၀ ဝန်းကျင်) နန့် အပေါက်ဖောက် ကတ်ပြားများ (punch cards - ၁၈၉၀ ဝန်းကျင်) ကို တီထွင်ခကတ်တေ။ ယပြီးကေ Baudot code (ဘိုဒို ကုဒ်) ကို အသုံးပြုပနာ စက္ကူတိပ်ထက်မာ အပေါက်ဖောက် မှတ်သားရေ ရေလီပရင်တာ (teleprinter - ၁၉၁၀ ဝန်းကျင်) ပေါ်ပေါက်ပါလတ်တေ။ လျှပ်စစ်-စက်မှုဆိုင်ရာ ရီလေး (electromechanical relays) တိကို အသုံးပြုထားရေ ရေလီဖုန်း ဆက်သွယ်မှု ကွန်ရက်တိကို ၁၈၃၅ ခုနှစ်မာ တီထွင်ခရေ။ ဒေအရာတိစွာ ၁၉၃۷ ခုနှစ်မာ George Stibitz မှ ဒစ်ဂျစ်ရေ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရီး ကိရိယာ (digital adding device) ကို တီထွင်နိုင်ဖို့ လမ်းစဖြစ်ခရေ။ Bell Laboratories မာ အလုပ်လုပ်ကိုင်နေစဉ်၊ ယင်းသည် ဂီယာသွားတိပါဝင်ရေ စက်မှု တွက်ချက်ရီး ကိရိယာတိကို အသုံးပြုရစွာမာ "အလွန်ပင်ပန်းခက်ခဲရေ" ကို သတိပြုမိခရေ။ ယင်းအတွက်နန့် သူစွာ နီအိမ်မာ စမ်းသပ်သဘောမျိုးဖြင့် ဒစ်ဂျစ်ရေ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရီး ကိရိယာတခုကို တီထွင်ဖန်တီးခရေ။ ===ခေတ်သစ် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ (Modern Algorithms)=== ဆယ်စုနှစ်များစွာကြာအောင် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိ၏ ဆင့်ကဲဖြစ်စိုင်သည် အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) ကပင် တိကျနနောင်းသော အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ (formal algorithms) ပါးသို့ ဦးတည်တိုးတက်လာရေဟု ယူဆခကတ်တေ။ သင်္ချာဆိုင်ရာ အမှတ်လက္ခဏာများပါဝင်ရေ ညီမျှခြင်းတိကို တွက်ချက်ဖြီယှင်းခြင်း (Symbolic integration) သည် ဒေဖြစ်စိုင်အတွက် ဂန္ထဝင်နမူနာတခု ဖြစ်တေ။ ၁၉၆၁ ခုနှစ်မာ James Slagle ၏ SAINT နာမည်ဟိ ပရိုဂရမ်သည် MIT ကျောင်းသုံးစာအုပ်မှ ကဲလ်ကูลပ်စ် (calculus) လိကျင့်ခန်း ၅၄ ပုဒ်အနက် ၅၂ ပုဒ် (సుమారు ၉၆%) ကို အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) အသုံးပြုပနာ ဖြီယှင်းနိုင်ခရေ။ ၁၉၆၇ ခုနှစ်မာ Larry Moses ၏ SIN ပရိုဂရမ်က ထိုနည်းလမ်းတိကို ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုပျင်မွမ်းမံခရေ ၁၀၀% အောင်မြင်မှု ရဟိခကေလေ့၊ ယင်းသည် အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်း (heuristic) ပုံစံမျိုးဖြင့်သာ ဆက်ပနာတည်ဟိနိန်ခရေ။ နောက်ဆုံးမာ ၁၉၆၉ ခုနှစ်မာ Robert Risch က တိကျနနောင်းသော အာမခံချက်တိပါဝင်ရေ Risch Algorithm ကို မိတ်ဆက်ပီးခရေ။ ဒေလမ်းကြောင်းသည် ရိုးရာသဘောတရားအရ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ ဖြစ်ပေါ်လှာပုံကို ဖော်ပြနိန်ရေ - ဆိုလိုစွာမာ တိကျသေချာပြီး အာမခံချက်ဟိရေ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တခု ပေါ်ပေါက်လာရေအထိ အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းတိက ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခြင်း ဖြစ်တေ။ ယကေလေ့ Transformer နည်းပညာအခြီပြု AI (ဉာဏ်ရည်တု) များ ပေါ်ပေါက်လာမှုနန့်တတူ ဒေဖြစ်စိုင်မာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်လှားခီရေ။ ဂုချိန်ခါမှ ဂန္ထဝင် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိစွာ အတွိအကြုံအခြီပြု နည်းလမ်းများ (heuristics) ဖြင့် ပြန်ပနာအစားထိုး ခံနိန်ရယာဖြစ်တေ။ အချိန်ကြာလာရေနန့်တတူ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိစွာ နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ဆင့်ကဲပြောင်းလဲ တိုးတက်ပါလတ်တေ။ ဒေနိခေတ်မာ Instagram နန့် YouTube ပိုင်ယှောင် ဆိုရှယ်မီဒီယာ အက်ပ်များမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို မာကျယ်စွာ အသုံးပြုကတ်တေ။ အသုံးပြုသူတိ နှစ်သက်ရေအရာတိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြီး၊ ယင်းရို့နန့် ထိတွိဆက်ဆံမှုဟိရေ အသုံးပြုသူတိပါးကို ထိုအရာတိကို ပိုပြီးကေရောက်ဟိလှာယောင် ပြုလုပ်ပီးရာမာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို အသုံးပြုကတ်တေ။ Quantum computing (ကွမ်တမ် ကွန်ပျူတာစနစ်) မာမူ ပြဿနာတိကို ပိုပြီးကေမြန်ဆန်စွာ ဖြီယှင်းနိုင်ဖို့ ကွမ်တမ် အယ်လ်ဂိုရီသမ် လုပ်ငန်းစဉ်တိကို အသုံးပြုရေ။ တအောင့်လောက်က၊ ၂၀၂၄ ခုနှစ်မာ NIST (အမင်ရကန် အမျိုးသား စံချိန်စံညွှန်းနန့် နည်းပညာဌာန) သည် ယင်းရို့၏ post-quantum encryption (ကွမ်တမ်ကွန်ပျူတာခေတ်လွန် ကုဒ်ဝှက်စနစ်) စံနှုန်းတိကို မွမ်းမံပြင်ဆင်ခရေ။ ယင်းမာ ကွမ်တမ်ကွန်ပျူတာတိကို အသုံးပြုပနာ ပြုလုပ်လာနှိုင်ရေ တိုက်ခိုက်မှုတိမှ ကာကွယ်နိုင်စွမ်း ပိုပြီးကေကောင်းမွန်စီဖို့အတွက် ကုဒ်ဝှက်စနစ်ဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ်အသစ်များ ပါဝင်ရေ။ ===ဖော်ပြပုံစံများ (Representations)=== အယ်လ်ဂိုရီသမ်တိကို သဘာဝဘာသာစကားတိ၊ Pseudocode (ကုဒ်အတုများ)၊ Flowchart (လုပ်ငန်းစဉ်ပြ မြီပုံများ)၊ Drakon-chart များ၊ ပရိုဂရမ်ရီးသားရေ ဘာသာစကားတိ တနည်း Control table (ထိန်းချုပ်မှု ဇယားများ) အပါအဝင် Turing စက်များ (Turing machines) Turing စက် ပရိုဂရမ်တိကို ဖော်ပြနှိုင်ရေ ပုံစံအမျိုးမျိုး ဟိပါရေ။ နမူနာအနိန်နန့် စက်ဇယားများ (machine tables) အစိုင်လိုက်ပုံစံ (အသီးစိတ်အတွက် finite-state machine၊ state-transition table နန့် control table ရို့ကို ကြည့်ပါ)၊ flow chart များ တနည်း drakon-chart များ (အသီးစိတ်အတွက် state diagram ကို ကြည့်ပါ)၊ တနည်း "လေးခုတွဲ အစုအဝီးများ" (sets of quadruples) ဟုခေါ်သော အခြီခံကျရေ machine code တနည်း assembly code ပုံစံမျိုးဖြင့် ဖော်ပြနှိုင်ပါရေ။ Algorithm တခုကို ဖော်ပြရာမာ Turing စက်နန့် ပတ်သက်ပြီးကေ လက်ခံထားရေ အဆင့်သုံးဆင့်ဖြင့် ခွဲခြားနှိုင်ရေ - ယင်းရို့မာ အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက် (high-level description)၊ အကောင်အထည်ဖော်မှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (implementation description) နန့် တရားဝင် ဖော်ပြချက် (formal description) ရို့ ဖြစ်ကတ်တေ။[41] အဆင့်မြင့် ဖော်ပြချက်မာ Turing စက်ပေါ်မာ ဇာပိုင် အကောင်အထည်ဖော်ထားရေကို ထည့်သွင်းတွက်ဖော်ခြင်း မပြုဘဲ algorithm ကိုယ်တိုင်၏ ဂုဏ်သတ္အတိကိုရာ ဖော်ပြထားရေ။[41] အကောင်အထည်ဖော်မှုဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်မာ algorithm ကို လုပ်ဆောင်ဖို့အတွက် စက်က ယင်း၏ ခေါင်း (head) ကို ဇာပိုင် ရွှိလျားသည်၊ ဒေတာတိကို ဇာပိုင် သိမ်းဆည်းသည် စရေ ယေဘုယျ လုပ်ဆောင်ပုံတိကို ဖော်ပြထားကေလေ့၊ တိကျသော အခြီအရဲများ (states) ကိုမူ အသီးစိတ် ဖော်ပြထားခြင်း မဟိပါ။[41] အသီးစိတ်အကျဆုံး ဖော်ပြချက်ဖြစ်ရေ တရားဝင် ဖော်ပြချက် (formal description) မာမူ Turing စက်၏ တိကျသော အခြီအရဲဇယား (state table) နန့် အခြီအရဲ ပြောင်းလဲမှုတိ (transitions) စာရင်းကို ဖော်ပြထားရေ။[41] စီးဆင်းမှုပုံကြမ်း (Flowchart) ဖြင့် ဖော်ပြခြင်း စီးဆင်းမှုပုံကြမ်း (Flowchart) ဆိုစွာမာ အယ်လဂိုရီသမ် (algorithm) တခုကို ဖော်ပြပြီးကေကေ မှတ်တမ်းတင်ပီးရေ ရုပ်ပုံပါဝင်ရေ ကိရိယာတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းမာ အဓိက သင်္ကေတ ၄ မျိုး ပါဝင်ရေ - ပရိုဂရမ်၏ စီးဆင်းမှုကို ပြသရေ မြှားများ၊ အဆင့်ဆင့်လုပ်ဆောင်မှု (SEQUENCE) တနည်း နီရာတခုသို့ ခုန်ကူးခြင်း (GOTO) ကို တက်စားပြုရေ စတုဂံကွက်များ၊ ဆုံးဖြတ်ချက်ချမှတ်ခြင်းကို တက်စားပြုရေ စိန်ပုံသဏ္ဍာန်ကွက်များ (diamonds) နန့် OR-tie ဟုခေါ်သော အစက်များ ဖြစ်ကတ်တေ။ စတုဂံကွက်များအထဲမာ အခြားသော ဖွဲ့စည်းပုံငယ်တိကို ထည့်သွင်းထားနိုင်ကေလေ့၊ ယင်းပိုင်ပြုလုပ်ရာမာ အပြင်ဘက်ဖွဲ့စည်းပုံမှ ထွက်ပေါက် (exit point) တခုတည်းရာ ဟိရဖို့ဖြစ်တေ။ ===အယ်လဂိုရီသမ်ဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း=== အဓိက ဆောင်းပါး - အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Analysis of algorithms) အယ်လဂိုရီသမ်တခုအတွက် လိုအပ်ဖို့ အချိန်၊ လောင်းာင်မှုပမာဏ (မှတ်ဉာဏ်) တနည်း အခြားသော ကုန်ကျစရိတ်/အရင်းအမြစ်တိကို သိဟိရေလူရန်မာ တနားတခါဆိုပိုင် အရီးကြီးတတ်ရေ။ ဧပိုင်အပ်ချက်တိကို လောင်းာက်မှန်းတွက်ချက်နိုင်ဖို့ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရေ နည်းလမ်းများစွာကို တီထွင်ထားကတ်တေ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ ကိန်းဂဏန်း n လုံးပါဝင်ရေ စာရင်းတခုဟိ ကိန်းဂဏန်းအားလုံးကို ပေါင်းစပ်တွက်ချက်ရေ အယ်လဂိုရီသမ်တခုကို "Big O notation" ဖြင့် ဖော်ပြပါက ယင်း၏ အချိန်လိုအပ်ချက်မာ $O(n)$ ဖြစ်တေ။ ဒေအယ်လဂိုရီသမ်သည် တန်ဖိုးနှစ်ခုကိုရာ မှတ်သားထားရန် လိုအပ်ရေ - အဂုအချိန်အထိ ပေါင်းထားရေ စုစုပေါင်းတန်ဖိုး နန့် ထည့်သွင်းထားရေ စာရင်း (input list) ထဲက လက်ဟိရောက်ဟိနိန်ရေ နီရာရို့ ဖြစ်တေ။ အဂယင့်လို့ ထည့်သွင်းထားရေ ကိန်းဂဏန်းတိကို သိမ်းဆည်းရန် လိုအပ်ရေ နီရာပမာဏ (space) ကို ထည့်သွင်းမတွက်ချက်ပါက ယင်း၏ နီရာလိုအပ်ချက်မာ $O(1)$ ဖြစ်ပြီးကေ၊ ထည့်သွင်းတွက်ချက်မည်ဆိုခကေ $O(n)$ လိုအပ်မည်ဖြစ်တေ။ ကွဲပြားခြားနားရေ အယ်လဂိုရီသမ်တိစွာ တူညီရေ လုပ်ငန်းတာဝန်တခုကို အရာမာအောင် လုပ်ဆောင်နိုင်ကေလေ့၊ ယင်းရို့အသုံးပြုရေ ညွှန်ကြားချက်တိ မတူညီကြယင့်အတွက် အချိန်၊ နီရာ (မှတ်ဉာဏ်) တနည်း 'အားထုတ်မှု' ပမာဏချင်း မတူညီနှိုင်ကတ်ပါ။ နမူနာအနိန်နန့်၊ စီစိုင်ထားပြီးသားသား (sorted) စာရင်းတခုထဲက အချက်အလက်တိကို ရှာဖွီရာမာ "Binary search" အယ်လဂိုရီသမ် (ကုန်ကျစရိတ် $O(\log n)$ ဟိရေ) သည် "Sequential search" (ကုန်ကျစရိတ် $O(n)$ ဟိရေ) ထက် ပိုပြီးကေထိရောက်မှု ဟိရေ။ ===သီအိုရီပိုင်းဆိုင်ရာ (Formal) နန့် လက်တွိစမ်းသပ်မှုပိုင်းဆိုင်ရာ (Empirical) နှိုင်းနိူင်းချက်=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - Empirical algorithmics၊ Profiling (ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်းမင်း) နန့် Program optimization (ပရိုဂရမ် ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုလုပ်ခြင်း) အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနန့် လိလာခြင်းစွာ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံ (Computer Science) ဘာသာရပ်ရေ အစိတ်အပိုင်းတခု ဖြစ်တေ။ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို လိလာရာမာ သီးသန့် ပရိုဂရမ်းမင်း ဘာသာစကားတခုခု တနည်း လက်တွိအက အယ်လဂိုရီသမ် (algorithms) အများစုကို သီးသန့် ဟာ့ဒ်ဝဲ (hardware) တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲ (software) ပလက်ဖောင်းတိထက်မာ အကောင်အထည်ဖော် တည်ဆောက်လေ့ဟိပြီးး၊ ယင်းရို့၏ စွမ်းဆောင်ရည် (efficiency) ကို လက်တွိကုဒ်များ အသုံးပြုပနာ စမ်းသပ်စစ်ဆီးကတ်တေ။ တခေါက်တခါသာ လုပ်ဆောင်ရဖို့ ပြဿနာတိအတွက်မူ အယ်လဂိုရီသမ်တခု၏ စွမ်းဆောင်ရည်မာ အရီးမပါလှကေလေ့၊ အပြင်းနှုန်းမြင့်မားရန်၊ အပြန်အလှန် တုံ့ပြန်ဆောင်ရွက်ရန် (interactive)၊ စီးပွားဖြစ် အသုံးပြုဖို့ တနည်း ရေရှည်အသုံးပြုဖို့ သိပ္ပံဆိုင်ရာ လုပ်ငန်းစဉ်တိအတွက် ရီးဆွဲထားရေ အယ်လဂိုရီသမ်များမာမူ ယင်းစွမ်းဆောင်ရည်မာ အလွန်အရီးကြီးပါရေ။ ထည့်သွင်းရေ ဒေတာပမာဏ (input size) ကို တိုးမြှင့်လိုက်ရေအခါ၊ ပုံမှန်အခြီအရဲမာ ပြဿနာမဟိသယောင် ထင်ရကေလေ့ အမှန်အကန်မာ စွမ်းဆောင်ရည်ညံ့ဖျင်းနီရေ အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ပေါ်လွင်လာစီတတ်ရေ။ လက်တွိစမ်းသပ်မှုတိ (empirical testing) သည် စွမ်းဆောင်ရည်အပေါ် သက်ရောက်မှုဟိစီရေ မမျှော်လင့်ထားရေ အပြန်အလှန် အကျိုးသက်ရောက်မှုတိကို ရှာဖွီဖော်ထုတ်ရာမာ အသုံးဝင်ရေ။ ပရိုဂရမ်ကို ပိုပြီးကေကောင်းမွန်အောင် ပြုပျင်မွမ်းမံခြင်း (optimization) ပြုလုပ်ပြီးကေနောက်၊ အယ်လဂိုရီသမ်တခုမာ ဖြစ်လှာနှိုင်ရေ တိုးတက်မှုတိကို မပြုပျင်မီနန့် ပြုပျင်ပြီး အခြီအရဲရို့နန့် နှိုင်းနိူင်းဖို့အတွက် စံသတ်မှတ်ချက်တိ (benchmarks) ကို အသုံးပြုနှိုင်ရေ။ ယကေလေ့ လက်တွိစမ်းသပ်မှုတိစွာ သီအိုရီပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု (formal analysis) ကို အပြည့်အဝ အစားထိုးနိုင်ခြင်း မဟိရေအပြင်၊ မျှတတိကျစွာ ပြုလုပ်ဖို့လည်း ခက်ခဲတတ်ရေ။[42] ===Notes=== # "A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method'" (Knuth 1971:5). # David A. Grossman, Ophir Frieder, Information Retrieval: Algorithms and Heuristics, 2nd edition, 2004, ISBN 1402030045 # "Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2). # Well defined concerning the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2). # "an algorithm is a procedure for computing a function (concerning some chosen notation for integers) ... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1977:1). # "An algorithm has one or more outputs, i.e., quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5). # Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without the use of continuous methods or analog devices ... carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" (Rogers 1987:2). # Blair, Ann, Duguid, Paul, Goeing, Anja-Silvia and Grafton, Anthony. Information: A Historical Companion, Princeton: Princeton University Press, 2021. p. 247 # "Definition of ALGORITHM". Merriam-Webster Online Dictionary. Archived from the original on February 14, 2020. Retrieved November 14, 2019. # "algorism". Oxford English Dictionary. Retrieved May 18, 2025. # Chaucer, Geoffrey. "The Miller's Tale". Line 3210. # Skeat, Walter William (1914). "agrim, agrum". In Mayhew, Anthony Lawson (ed.). A Glossary of Tudor and Stuart Words: Especially from the Dramatists. Clarendon Press. pp. 5–6. # Grabiner, Judith V. (December 2013). "The role of mathematics in liberal arts education". In Matthews, Michael R. (ed.). International Handbook of Research in History, Philosophy and Science Teaching. Springer. pp. 793–836. doi:10.1007/978-94-007-7654-8_25. ISBN 978-94-007-7654-8. # "algorithm". Oxford English Dictionary. Retrieved May 18, 2025. # Stone (1971), p. 8. # Simanowski, Roberto (2018). The Death Algorithm and Other Digital Dilemmas. Untimely Meditations. Vol. 14. Translated by Chase, Jefferson. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. p. 147. ISBN 978-0-262-53637-0. Archived from the original on December 22, 2019. Retrieved May 27, 2019. [...] the next level of abstraction of central bureaucracy: globally operating algorithms. # Dietrich, Eric (1999). "Algorithm". In Wilson, Robert Andrew; Keil, Frank C. (eds.). The MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences. MIT Cognet library. Cambridge, Massachusetts: MIT Press (published 2001). p. 11. ISBN 978-0-262-73144-7. Retrieved July 22, 2020. An algorithm is a recipe, method, or technique for doing something. # Stone requires that "it must terminate in a finite number of steps" (Stone 1973:7–8). # Boolos and Jeffrey 1974, 1999:19 # Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer Science & Business Media. pp. 7–8. ISBN 978-3-642-18192-4. # Sriram, M. S. (2005). "Algorithms in Indian Mathematics". In Emch, Gerard G.; Sridharan, R.; Srinivas, M. D. (eds.). Contributions to the History of Indian Mathematics. Springer. p. 153. ISBN 978-93-86279-25-5. # Hayashi, T. (2023, January 1). Brahmagupta. Encyclopedia Britannica. # Zaslavsky, Claudia (1970). "Mathematics of the Yoruba People and of Their Neighbors in Southern Nigeria". The Two-Year College Mathematics Journal. 1 (2): 76–99. doi:10.2307/3027363. ISSN 0049-4925. JSTOR 3027363. # Cooke, Roger L. (2005). The History of Mathematics: A Brief Course. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-46029-0. # Chabert, Jean-Luc, ed. (1999). A History of Algorithms. doi:10.1007/978-3-642-18192-4. ISBN 978-3-540-63369-3. # Dooley, John F. (2013). A Brief History of Cryptology and Cryptographic Algorithms. Springer Science & Business Media. pp. 12–3. ISBN 978-3-319-01628-3. # Knuth, Donald E. (1972). "Ancient Babylonian Algorithms" (PDF). Commun. ACM. 15 (7): 671–677. doi:10.1145/361454.361514. ISSN 0001-0782. S2CID 7829945. Archived from the original (PDF) on December 24, 2012. # Aaboe, Asger (2001). Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer. pp. 40–62. ISBN 978-0-387-95136-2. # Ast, Courtney. "Eratosthenes". Wichita State University: Department of Mathematics and Statistics. Archived from the original on February 27, 2015. Retrieved February 27, 2015. # Knuth, Donald E. (1996). Selected Papers on Computer Science. CSLI Publications. pp. 1–2. Al-Khwarizmi's work was the first to provide a systematic, rule-based approach to solving equations, which is why the word 'algorithm' was coined from his name to describe this methodical process. # Bolter 1984:24 # Bolter 1984:26 # Bolter 1984:33–34, 204–206. # Bell and Newell diagram 1971:39, cf. Davis 2000 # Melina Hill, Valley News Correspondent, A Tinkerer Gets a Place in History, Valley News West Lebanon NH, Thursday, March 31, 1983, p. 13. # Davis 2000:14 # Kleene 1943 in Davis 1965:274 # Rosser 1939 in Davis 1965:225 # Gurevich, Yuri (2000). "Sequential abstract-state machines capture sequential algorithms". ACM Transactions on Computational Logic. 1 (1): 77–111. doi:10.1145/343369.343384. # Moschovakis, Yiannis N.; Paschalis, Vasilis (2008). "Elementary Algorithms and Their Implementations". New Computational Paradigms. Springer. pp. 87–118. doi:10.1007/978-0-387-68546-5_5. # Sipser 2006:157 # Kriegel, Hans-Peter; Schubert, Erich; Zimek, Arthur (2016). "The (black) art of run-time evaluation: Are we comparing algorithms or implementations?". Knowledge and Information Systems. 52 (2): 341–378. doi:10.1007/s10115-016-1004-2. ISSN 0219-1377. S2CID 40772241. fxja4qudzqi0zmc22mr3s4exrr8zkri 0 6293 22036 2026-10-22T16:42:42Z Retkhaberi 224 Retkhaberi moved page [[အယ်လဂေါရစ်သမ်]] to [[အယ်လ်ဂိုရီသမ်]] 22036 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[အယ်လ်ဂိုရီသမ်]] bf4hferqki8s59xmym72srx6j54ap2e 0 6294 22037 2026-10-22T17:14:40Z Retkhaberi 224 Created page with "သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲ (Mathematical software) ဆိုစွာမာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ၊ သင်္ကေတဆိုင်ရာ တနည်း ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အချက်အလက်တိကို ပုံစံထုတ်ခြင်း (modeling)၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း တနည်း တွက်ချ..." 22037 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲ (Mathematical software) ဆိုစွာမာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ၊ သင်္ကေတဆိုင်ရာ တနည်း ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အချက်အလက်တိကို ပုံစံထုတ်ခြင်း (modeling)၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း တနည်း တွက်ချက်ခြင်းရို့အတွက် အသုံးပြုရေ ဆော့ဖ်ဝဲဖြစ်တေ။[1] ===သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု=== ဒေအပိုင်းကို Wikipedia ၏ အရည်အသွီး စံသတ်မှတ်ချက်တိနန့် ကိုက်ညီစီရန် ပြန်ပနာရီးသားရန် လိုအပ်နှိုင်ပါရေ။ ဆက်စပ်ဆွေးနွေးချက်တိကို ဆွေးနွေးရေစာမျက်နှာ (talk page) မာ တွိဟိနှိုင်ပါရေ။ သင်လည်း ကူညီပီးနှိုင်ပါရေ။ ဆွေးနွေးရေစာမျက်နှာမာ အကြံပြုချက်တိ ပါဝင်ကောင်း ပါဝင်နှိုင်ပါရေ။ (မေ ၂၀၂၁) အီလက်ထရွန်နစ် ကွန်ပျူတာတိ မပေါ်ပေါက်မီကပင် ဟိနန့်ပြီးဖြစ်ရေ အယ်လ်ဂိုရီဇမ် (algorisms) ပိုင်ယှောင် သင်္ချာနည်းလမ်းဆိုင်ရာ အသိပညာတိစွာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာစီရန် အထောက်အကူ ပြုခရေ။ တဖက်မာလည်း ကွန်ပျူတာ စွမ်းဆောင်ရည် တိုးတက်လာမှု (နမူနာ - Moore's law) ကြောင့်၊ အချက်အလက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (data assimilation - ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနန့် စာရင်းအင်းပညာကို ပေါင်းစပ်ထားရေ နည်းလမ်းသစ်) ပိုင်ယှောင် နည်းလမ်းသစ်တိကို အသုံးပြုနှိုင်ဖို့အတွက် သင်္ချာသိပ္ပံ တနည်း အသုံးချသင်္ချာ (applied mathematics) ဘာသာရပ်များ တိုးတက်လာရန် လိုအပ်ပါလတ်တေ။ TeX တနည်း MathML[2] ပိုင်ယှောင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အချက်အလက် ဖော်ပြမှုပုံစံများ တိုးတက်လာခြင်းစွာ၊ ဖော်မြူလာတိကို ကိုင်တွယ်စီမံရေ ဘာသာစကား (formula manipulation language) ကပင် စစ်မှန်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာတိကို ကိုင်တွယ်စီမံနှိုင်ရေ ဘာသာစကား (mathematics manipulation language) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲတိုးတက်လာစီရန် တွန်းအားပီးလိမ့်မေ (သင်္ချာသီအိုရီများမာ ကိုက်ညီမှုမဟိခြင်း တနည်း ကွဲလွဲချက်တိ ဟိ၊ မဟိ ဆိုရေ ပြဿနာများ ဟိနီကေလေ့)။ ယင်းချင့်အပြင် ယေဘုယျသုံး သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် သီးသန့်ရည်ရွယ်ချက်အတွက် အသုံးပြုရေ (special purpose) သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲများ[3] (တနည်းဆိုရကေ သီးသန့်ဘာသာရပ်တခုအတွက်ရာ ရည်ရွယ်ရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ) သည် ပလက်ဖောင်းများ စံသတ်မှတ်ချက် ဖြစ်လှာရေ အခြီအရဲနန့်အညီ လိုက်လျောညီထွေ ပြောင်းလဲလာမည်ဖြစ်ပြီးကေ၊ တချိန်တည်းမာပင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ၏ ကွဲပြားစုံလင်မှုကိုလေ့ ဆက်ပနာထိန်းသိမ်းထားနှိုင်ဖို့ ဖြစ်တေ။ ===ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ (Software calculator)=== အဓိက ဆောင်းပါး - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာများ စာရင်း ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ (Software calculator) တခုစွာ အသုံးပြုသူအား ပေါင်းခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းနန့် တြိဂံတိုင်းတာသင်္ချာ (trigonometry) ပိုင်ယှောင် ရိုးယှင်းရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတိကို လုပ်ဆောင်နိုင်စီရေ။ အချက်အလက်တိကို များရွီတွက်နန့် လူကိုယ်တိုင် အုပ်ထည့်ရလေ့ဟိပြီးး၊ ရလဒ်ကို စာသားပုံစံနန့် ဖော်ပြပီးရေ။ * DeskCalc * Desmos * Mac OS calculator * Calculator (Nintendo Switch) * GeoGebra * GNOME Calculator * KCalc * Qalculate! Windows Calculator * WRPN Calculator * xcalc ===သင်္ချာပညာရီးဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကွန်ပျူတာအခြီပြု သင်္ချာပညာရီး (Computer-based mathematics education) နန့် Computer-Based * Math * Accelerated Math * Algebrator * Cantor * DataScene * Desmos * DrGeo * GeoGebra * Mathletics * Maths Pathway * Mathspace * Microsoft Math Solver * StatCrunch * Statistics Online Computational Resource * Symbolab * TK Solver * WolframAlpha * Zearn ===သင်္ချာပညာရီးဆိုင်ရာ ဗီဒီယိုဂိမ်းတိ=== DragonBox Tux, of Math Command ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ (Computer algebra systems) အဓိက ဆောင်းပါး - ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ စာရင်း သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲအစုံ (Mathematical suites) အများစုသည် သင်္ကေတဆိုင်ရာ သင်္ချာ (symbolic mathematics) ကို အသုံးပြုရေ ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းရို့ကို လူရို့ ဖတ်ရှုနားလည်နှိုင်ရေ သင်္ကေတပုံစံတိနန့် ဂန္ထဝင် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းတိနန့် ပုစ္ဆာတိကို ဖြီယှင်းနိုင်ဖို့ ရည်ရွယ်ဖန်တီးထားခြင်း ဖြစ်တေ။ * Axiom * Cadabra * FriCAS * GAP * GNU Octave * Magma * Magnus * Maple * Mathcad * Mathematica * Mathomatic * Maxima * PARI/GP * REDUCE * SageMath * Scilab * SMath Studio * Symbolic Math Toolbox (MATLAB) * SymPy * Wolfram Alpha * Xcas / Giac * Yacas ===ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ (Solvers)=== ဒေအပိုင်းသည် Solver.edit မှ ကောက်နုတ်ချက်တခု ဖြစ်တေ။ Solver (ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲ) ဆိုစွာမာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာတခုကို 'ဖြီယှင်း' ပီးနှိုင်သော သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းသည် သီးသန့်ရပ်တည်ရေ ကွန်ပျူတာပရိုဂရမ်တခု (stand-alone program) တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲလ် စာကြည့်တိုက် (software library) ပုံစံမျိုးဖြင့် ဟိနီနှိုင်ရေ။ Solver တခုသည် ပြဿနာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တိကို ယေဘုယျပုံစံတခုခုဖြင့် လက်ခံရယူပြီး ယင်းရို့အတွက် အဖြီကို တွက်ချက်ထုတ်ပီးရေ။ Solver တခုကို တည်ဆောက်ရာမာ ယင်းနည်းပိုင် အမျိုးအစားဟိရေ အရာပြဿနာတိအတွက်ပါ အလွယ်ချေ အသုံးပြုနိုင်ဖို့ ပရိုဂရမ် တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲလ် စာကြည့်တိုက်တခု ဖြစ်လှာစီရန် အဓိကထား ဆောင်ရွက်လိဟိရေ။ ===ညီမျှခြင်း ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Equation solvers)=== * Maxima * Mathematica * Maple * SageMath * SymPy ===ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Optimization software)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း * ADMB * ALGLIB * AIMMS * AMPL * ANTIGONE * APMonitor * ASCEND * BARON * CasADi * COIN-OR * Concorde TSP Solver * Couenne * CPLEX * CUTEr * Dlib * FICO Xpress * Galahad library * GEKKO * GLPK * Gurobi Optimizer * HiGHS * IPOPT * Lp solve * MIDACO * MiniZinc * MINOS * MINUIT * MOSEK * NEOS Server * OpenMDAO * OR-Tools * Pyomo * SCIP * SciPy * SNOPT * TOMLAB * WORHP ===SMT ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (SMT solvers)== * CVC * Yices * Z3 Theorem Prover ===သီအိုရီ သက်သီပြပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Theorem-provers)=== * ACL2 * Coq (ဂုချိန်ခါ Rocq ဟုခေါ်ရေ) * HOL Light * HOL4 * Isabelle * Lean * Metamath * Mizar * NuPRL * Twelf ===စာဝှက်ပညာ (Cryptography)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - စာဝှက်ပညာဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ (Libraries) နှိုင်းနိူင်းချက် * Botan * Bouncy Castle * BSAFE * cryptlib * Crypto++ * GnuTLS * JCA / JCE * Libgcrypt * libsodium * Mbed TLS * NaCl * Nettle * NSS * OpenSSL * wolfCrypt ===စာရင်းအင်းပညာ (Statistics)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ ဒေတာသိပ္ပံ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ ဒေတာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲအစုအဝီးများ (Packages) နှိုင်းနိူင်းချက် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ * ADaMSoft * ADMB * Alt-Ergo * Alteryx * Analytica * Angoss * ASReml * BMDP * BV4.1 * CARINE * Chronux * CSPro * DAP * Dataplot * DataGraph * EViews * FAME * Fityk * GAUSS * GeoDA * Genedata * GenStat * GLIM * GNU Octave * GraphPad InStat * GraphPad Prism * gretl * Igor Pro === IMSL Numerical စာကြည့်တိုက်တိ (Libraries)=== * jamovi * JASP * JMulTi * JMP * KNIME * LabPlot * LIBSVM * LIMDEP * LISREL * MATLAB * Mathematica * MedCalc * MINUIT * Minitab * MLwiN * Mondrian * NAG Numerical Library * NCSS * Neural Designer * NLOGIT * nQuery Sample Size Software * O-Matrix * OpenBUGS * OpenEpi * OpenMx * OpenNN * Orange * OriginPro * Pandas * PASS Sample Size Software * Perl Data Language * Ploticus * Primer-E Primer * PSPP * PV-WAVE * Qlucore * RapidMiner * R * RATS * ROOT * Salstat * S-PLUS * SAS * Scilab * SciPy * Shogun (toolbox) * Simfit * SOCR * SOFA Statistics * SPSS * SPSS Modeler * Stan * StatCrunch * Statgraphics * Statistica * StatsDirect * StatXact * Stata * SYSTAT * TOPCAT * Torch * WarpPLS * Weka * WinBUGS * Winpepi * Wolfram Language * World Programming System * X-13ARIMA-SEATS * XploRe ===သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Theorem provers) နန့် သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်တိ (Proof assistants)=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်များ စာရင်း နန့် သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ စာရင်း သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်များ (Proof assistants) * ACL2 * Agda * Albatross * ETPS * F* * HOL theorem prover * HOL Light * HOL4 * Isabelle * Jape * Lean * LEGO * Matita * Metamath * MINLOG * Mizar * Nqthm * NuPRL * PhoX * PVS * Rocq * Theorem Proving System * Twelf ===သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Theorem provers)=== * Alt-Ergo * Automath * CARINE * CVC * E * IsaPlanner * LCF * Mizar * NuPRL * Paradox * Prover9 * PVS * ResearchCyc * SPARK (programming language) * Twelf * Wolfram Mathematica * Z3 Theorem Prover === ဂျီသြမေထရီ (Geometry)=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - အပြန်အလှန်အကျိုးပြု ဂျီသြမေထရီ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း နန့် သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Archimedes Geo3D * Cabri Geometry * CaRMetal * Cinderella * Dr. Geo * GeoGebra * Geometry Expert * GEUP * Kig * KSEG * The Geometer's Sketchpad * TracenPoche * WIRIS ===ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Numerical analysis)=== ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုအတွက် အသုံးပြုရေ ပရိုဂရမ်မင်း ဘာသာစကားတိ စာရင်း နန့် ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ခြင်း (optimization) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း Netlib repository မာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ပြဿနာတိအတွက် ဆော့ဖ်ဝဲ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (software routines) စုစည်းမှုတိ ပါဝင်ဗျယ်ဒေး၊ ယင်းရို့အများစုကို Fortran နန့် C ဘာသာစကားတိနန့် ရီးသားထားရေ။ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အယ်လဂိုရီသမ် (numerical algorithms) အမျိုးမျိုးကို အသုံးပြုထားရေ စီးပွားဖြစ် ထုတ်ကုန်များမာ IMSL၊ NMath နန့် NAG library များ ပါဝင်ရေ။ အခမဲ့ ရွီးချယ်စရာတခုအနိန်နန့် GNU Scientific Library ဟိရေ။ Numerical Recipes library မာမူ အရာနည်းလမ်းတခုကို အသုံးပြုထားပြီးသား၊ ယင်းသည် အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ချယှင်းလလင်း နားလည်သဖောပေါက်နိုင်ရီးကို အလီးပီးထားရေ။ အထက်မာ ဖော်ပြထားရေ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂျီဘရာ စနစ်များ (computer algebra systems) မကန်မဝှန်ကို ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတိအတွက်လေ့ အသုံးပြုနှိုင်ရေ။ ===ဂီတနန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== အဓိက ဆောင်းပါး - ဂီတဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ဂီတနန့် သင်္ချာ ဂီတနန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိစွာ ဂီတဆိုင်ရာ သင်္ကေတတိနန့် ပုံစံတိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် တနည်း ဖန်တီးထုတ်လုပ်ဖို့ (synthesize) သင်္ချာပညာကို အသုံးပြုကတ်တေ။ * jMusic * Musimat (Gareth Loy ရီးဆွဲရေ)[4] * OpenMusic * Opusmodus * Rubato Composer * SuperCollider * UPIC ===ရူပဗေဒ== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ အရင်းအမြစ်ဖွင့် (Open-source) ရူပဗေဒ ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ လျှပ်စစ်သံလိုက်ဆိုင်ရာ အတုယူဖန်တီးမှု (Simulation) ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းနိူင်းချက် စကြဝဠာဗေဒဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှု ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း အရည်ဒိုင်းနမစ် (Fluid Dynamics) တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း မော်လီကျူးပုံစံဖော်ခြင်း (Molecular Modeling) အတွက် Monte Carlo နည်းလမ်းသုံး ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း ===ဂရပ်ဖ်နန့် ဇယားများ ရီးဆွဲခြင်း=== ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ဂရပ်ဖ်ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ၊ အခမဲ့ ဂရပ်ဖ်ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ၊ သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ ဇယားရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ JavaScript ဇယားရီးဆွဲရီး စာကြည့်တိုက်များ (libraries) နှိုင်းနိူင်းချက် နန့် ပုံကြမ်း/ပုံကားချပ် (diagrams) ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ။ ဝဘ်ဆိုက်များ ကုဒ်တိကို ဒေါင်းလုဒ်လုပ်ဖို့ တနည်း ထည့်သွင်းရန် (install လုပ်ဖို့) မပိုင်ရာ ဝဘ်ဘရောက်ဆာများ (web browsers) ကတဆင့် အသုံးပြုနှိုင်ရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ ပိုပြီးကေများပြားလာဗျာယ်ဟိရေ။[5] * Desmos * GeoGebra * Google Colaboratory * Jupyter Notebook * Kaggle * KaTeX * OpenPlaG * Overleaf * SageMath – CoCalc * Symbolab * WolframAlpha ===ဇီဝသင်္ချာ (Biomathematics)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဇီဝဗေဒ (Computational Biology) နန့် ဇီဝရူပဗေဒ (Biophysics) ဇီဝသတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ (Bioinformatics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း ဇီဝစာရင်းအင်း (Biostatistics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စနစ်ဇီဝဗေဒ (Systems Biology) ပုံစံထုတ်ခြင်း (Modeling) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း စနစ်ဇီဝဗေဒ (Systems Biology) မြင်သာယောင်ဖော်ပြခြင်း (Visualization) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း သင်္ချာဆိုင်ရာ ဓာတုဗေဒ (Mathematical Chemistry) ကွမ်တမ်ဓာတုဗေဒ (Quantum Chemistry) နန့် အစိုင်အခဲ ရူပဗေဒ (Solid-state Physics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း မော်လီကျူး မက္ကင်းနစ် (Molecular Mechanics) ပုံစံထုတ်ခြင်းအတွက် ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းနိူင်းချက် သင်္ချာဆိုင်ရာ ပုံစံထုတ်ခြင်း (Mathematical Modeling) နန့် အတုယူစမ်းသပ်ခြင်းများ (Simulations) ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကွန်ပျူတာ အတုယူစမ်းသပ်ခြင်း (Computer Simulation) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း Conway ၏ "Game of Life" သင်္ချာနန့် ကိန်းဂဏန်းတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ (Libraries) ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကိန်းဂဏန်းတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ စာရင်း၊ Linear Algebra စာကြည့်တိုက်များ နှိုင်းနိူင်းချက် နန့် အလိုအလျောက် သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Automated Theorem Provers) စာရင်း C ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) * Fastest Fourier Transform in the West (FFTW) * GNU MPFR * GNU Multi-Precision Library * GNU Scientific Library * hypre * Integer set library * Libfixmath * OpenBLAS * UMFPACK ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * Intel Math Kernel Library C++ ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - C++ အတွက် တိကျမှုမြင့်မားသော ဂဏန်းသင်္ချာ (Multiple Precision Arithmetic) စာကြည့်တိုက်များ စာရင်း ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Adept * Advanced Simulation Library * Armadillo * Blitz++ * Boost.uBLAS * CGAL * Class Library for Numbers * deal.II * Eigen * GetFEM++ * IML++ * IT++ * LAPACK++ * Matrix Template Library * MFEM * Multiple Precision Integers and Rationals * Number Theory Library * SU2 code * Template Numerical Toolkit * Trilinos ===Fortran=== ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * ARPACK * Automatically Tuned Linear Algebra Software (ATLAS) * BLAS * BLIS * EISPACK * LAPACK * Librsb * LINPACK * Lis * MINPACK * PETSc * QUADPACK * SLATEC * SOFA ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * IMSL Numerical Libraries * NAG Numerical Library ===Java=== ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Colt * Efficient Java Matrix Library * JAMA * Matrix Toolkit Java * ojAlgo * Parallel Colt ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * OptimJ * SuanShu numerical library .NET ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Accord.NET * Math.NET ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ (Numerics) * Meta.Numerics ===ပိုင်ဆိုင်မှုမူပိုင်ခွင့်ဟိရေ (Proprietary)=== * ALGLIB * NMath ===Perl=== ===ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ် (Open-source)=== * Perl Data Language * Python ===ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ် (Open-source)=== * CuPy * Dask * Manim * Matplotlib * NetworkX * NumPy * PyMC * SciPy * SymPy * Theano ====သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ကိရိယာများ (Calculators) နှိုင်းနိူင်းချက်၊ သင်္ချာအတွက် အိုးပင်းဆော့စ် (Open-source) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း နန့် ဇယားပုံဖော်ရေ (Charting) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Axiom * Calcpad * Desmos * GeoGebra * GNU Octave * gnuplot * KCalc * Maple (ဆော့ဖ်ဝဲ) * Mathematica * Mathcad * Maxima (ဆော့ဖ်ဝဲ) * Microsoft Mathematics * MuPAD * MATLAB * R (ပရိုဂရမ်ရီးသားရေ ဘာသာစကား) * SageMath * SciPy * Matlab Simulink * SymPy * TeX * TI-Nspire * Wolfram Alpha ===သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတဖော်ပြရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ၊ စာစီစာရိုက်ခြင်း (Typesetting) နန့် TeX တီးဖြတ်ကိရိယာများ နှိုင်းနိူင်းချက် * AUCTeX * Authorea * Apache OpenOffice Math * AsciiMath * Calligra Words – ဖော်မြူလာ တီးဖြတ်ကိရိယာ * CoCalc * GeoGebra * GNOME LaTeX * GNU TeXmacs * Gummi * KaTeX * Kile * LaTeX * LibreOffice Math * LyX * MathJax * MathML * MathType * Notepad++ * Overleaf * Scientific WorkPlace * TeX * Texmaker * TeXnicCenter * TeXShop * TeXstudio * TeXworks * Verbosus * Vim * Visual Studio Code * WinEdt * WinFIG * WinShell ===ဇယားကွက် (Spreadsheet) ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဇယားကွက် ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Apache OpenOffice Calc * Airtable * Calligra Sheets * Coda * GNU Oleo * Gnumeric * Google Sheets * KSpread * LibreOffice Calc * Lotus 1-2-3 * Microsoft Excel * Numbers * PlanMaker * Pyspread * Quattro Pro * sc * Smartsheet * WPS Office * Zoho Sheet ===သင်္ချာအခြီပြု အနုပညာဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== အဓိက ဆောင်းပါး - သင်္ချာအခြီပြု အနုပညာဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Apophysis * Electric Sheep * Fractint * Fyre * Mandelbulb * MilkDrop * openPlaG * Ultra Fractal * XaoS * R, R Mandelbrot sets * Sterling * Bryce * Picogen * Terragen * GeoGebra * Desmos * Grapher * Winplot * Processing * Grasshopper 3D * P5.js * matplotlib * gnuplot * Inkscape spirograph * Wolfram Mathematica * Houdini * MATLAB * TouchDesigner * Unity (သင်္ချာဆိုင်ရာ ပလပ်အင်များ ပါဝင်ရေ)[6][7][8][9][10] * LaTeX (PGF/TikZ, PGFPlots) * Manim * D3.js ===သင်္ချာအတွက် အတုယူဉာဏ်ရည် (Artificial Intelligence)=== * AlphaDev – အယ်လဂိုရီသမ် (algorithm) အသစ်များ ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း * AlphaEvolve – သင်္ချာနန့် အယ်လဂိုရီသမ်ဆိုင်ရာ ရှာဖွီဖော်ထုတ်မှုတိ * AlphaGeometry – ဂျီသြမေတြီ (geometry) ပုစ္ဆာတိကို ဖြီယှင်းခြင်း * AlphaTensor – မက်ထရစ် (matrix) မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ နည်းလမ်းသစ်များ ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း * FunSearch – သင်္ချာဆိုင်ရာ ရှာဖွီဖော်ထုတ်မှုတိ * Ramanujan machine – ယူဆချက်တိ (conjectures) ကို ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း ===ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်=== * ကွန်ပျူတာအခြီပြု သင်္ချာပညာ (Computational mathematics) * ဖော်မြူလာ ရီးသားဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းနိူင်းချက် * Gödel ၏ မပြည့်စုံနိုင်မှု သီအိုရီများ (Gödel's incompleteness theorems) * သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * MATLAB ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် ကိရိယာများ စာရင်း * သင်္ချာအတွက် အသုံးပြုနှိုင်ရေ open-source ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Mathlete * MathOverflow * ဂရပ်ဖစ်ပုံဖော်ခြင်း (Plotting) * အချိန်ဆိုင်ရာ ဗလဗွီသတ်မှု (Time complexity) ===References=== # See, e.g., the editorial charter of the ACM Transactions on Mathematical Software or the problem taxonomy of the National Institute of Standards and Technology Guide to Available Mathematical Software (both retrieved 2015-02-15). # Both MathML and TeX may be only simple a kind of computer language which enable also to present the mathematical formula. However they also may be the mathematical software if the term of software interpreted as whole technology on how to use computer, at most wide sense. # Included your written script code on the general purpose mathematical software. # Musimathics website, freeware download # Internet Accessible Mathematical Computation Archived 2017-06-28 at the Wayback Machine, Institute for Computational Mathematics, Kent State University, retrieved 2015-02-15. # "Ultimate Math Library: Utilities Tools". Unity Asset Store. # "Math Equation Writer – GUI Tools". Unity Asset Store. Retrieved 2025-08-06. # "MathPlus Library: Game Toolkits". Unity Asset Store. # "Smithy Procedural Generation Framework". # "NeuroFractals Pack – 3D Environments". Unity Asset Store. Retrieved 2025-08-06. # n51dkes2rkufitoi3qv535f2o7uz07r 22038 22037 2026-10-22T17:19:42Z Retkhaberi 224 22038 wikitext text/x-wiki သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲ (Mathematical software) ဆိုစွာမာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ၊ သင်္ကေတဆိုင်ရာ တနည်း ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အချက်အလက်တိကို ပုံစံထုတ်ခြင်း (modeling)၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း တနည်း တွက်ချက်ခြင်းရို့အတွက် အသုံးပြုရေ ဆော့ဖ်ဝဲဖြစ်တေ။[1] ===သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ၏ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲမှု=== ဒေအပိုင်းကို Wikipedia ၏ အရည်အသွီး စံသတ်မှတ်ချက်တိနန့် ကိုက်ညီစီရန် ပြန်ပနာရီးသားရန် လိုအပ်နှိုင်ပါရေ။ ဆက်စပ်ဆွေးနွေးချက်တိကို ဆွေးနွေးရေစာမျက်နှာ (talk page) မာ တွိဟိနှိုင်ပါရေ။ သင်လည်း ကူညီပီးနှိုင်ပါရေ။ ဆွေးနွေးရေစာမျက်နှာမာ အကြံပြုချက်တိ ပါဝင်ကောင်း ပါဝင်နှိုင်ပါရေ။ (မေ ၂၀၂၁) အီလက်ထရွန်နစ် ကွန်ပျူတာတိ မပေါ်ပေါက်မီကပင် ဟိနန့်ပြီးဖြစ်ရေ အယ်လ်ဂိုရီဇမ် (algorisms) ပိုင်ယှောင် သင်္ချာနည်းလမ်းဆိုင်ရာ အသိပညာတိစွာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာစီရန် အထောက်အကူ ပြုခရေ။ တဖက်မာလည်း ကွန်ပျူတာ စွမ်းဆောင်ရည် တိုးတက်လာမှု (နမူနာ - Moore's law) ကြောင့်၊ အချက်အလက် ပေါင်းစပ်ခြင်း (data assimilation - ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုနန့် စာရင်းအင်းပညာကို ပေါင်းစပ်ထားရေ နည်းလမ်းသစ်) ပိုင်ယှောင် နည်းလမ်းသစ်တိကို အသုံးပြုနှိုင်ဖို့အတွက် သင်္ချာသိပ္ပံ တနည်း အသုံးချသင်္ချာ (applied mathematics) ဘာသာရပ်များ တိုးတက်လာရန် လိုအပ်ပါလတ်တေ။ TeX တနည်း MathML[2] ပိုင်ယှောင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အချက်အလက် ဖော်ပြမှုပုံစံများ တိုးတက်လာခြင်းစွာ၊ ဖော်မြူလာတိကို ကိုင်တွယ်စီမံရေ ဘာသာစကား (formula manipulation language) ကပင် စစ်မှန်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာတိကို ကိုင်တွယ်စီမံနှိုင်ရေ ဘာသာစကား (mathematics manipulation language) အဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲတိုးတက်လာစီရန် တွန်းအားပီးလိမ့်မေ (သင်္ချာသီအိုရီများမာ ကိုက်ညီမှုမဟိခြင်း တနည်း ကွဲလွဲချက်တိ ဟိ၊ မဟိ ဆိုရေ ပြဿနာများ ဟိနီကေလေ့)။ ယင်းချင့်အပြင် ယေဘုယျသုံး သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် သီးသန့်ရည်ရွယ်ချက်အတွက် အသုံးပြုရေ (special purpose) သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲများ[3] (တနည်းဆိုရကေ သီးသန့်ဘာသာရပ်တခုအတွက်ရာ ရည်ရွယ်ရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ) သည် ပလက်ဖောင်းများ စံသတ်မှတ်ချက် ဖြစ်လှာရေ အခြီအရဲနန့်အညီ လိုက်လျောညီထွေ ပြောင်းလဲလာမည်ဖြစ်ပြီးကေ၊ တချိန်တည်းမာပင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ၏ ကွဲပြားစုံလင်မှုကိုလေ့ ဆက်ပနာထိန်းသိမ်းထားနှိုင်ဖို့ ဖြစ်တေ။ ===ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ (Software calculator)=== အဓိက ဆောင်းပါး - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာများ စာရင်း ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ရီးကိရိယာ (Software calculator) တခုစွာ အသုံးပြုသူအား ပေါင်းခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ ထပ်ကိန်းတင်ခြင်းနန့် တြိဂံတိုင်းတာသင်္ချာ (trigonometry) ပိုင်ယှောင် ရိုးယှင်းရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတိကို လုပ်ဆောင်နိုင်စီရေ။ အချက်အလက်တိကို များရွီတွက်နန့် လူကိုယ်တိုင် အုပ်ထည့်ရလေ့ဟိပြီးး၊ ရလဒ်ကို စာသားပုံစံနန့် ဖော်ပြပီးရေ။ * DeskCalc * Desmos * Mac OS calculator * Calculator (Nintendo Switch) * GeoGebra * GNOME Calculator * KCalc * Qalculate! Windows Calculator * WRPN Calculator * xcalc ===သင်္ချာပညာရီးဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကွန်ပျူတာအခြီပြု သင်္ချာပညာရီး (Computer-based mathematics education) နန့် Computer-Based * Math * Accelerated Math * Algebrator * Cantor * DataScene * Desmos * DrGeo * GeoGebra * Mathletics * Maths Pathway * Mathspace * Microsoft Math Solver * StatCrunch * Statistics Online Computational Resource * Symbolab * TK Solver * WolframAlpha * Zearn ===သင်္ချာပညာရီးဆိုင်ရာ ဗီဒီယိုဂိမ်းတိ=== DragonBox Tux, of Math Command ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ (Computer algebra systems) အဓိက ဆောင်းပါး - ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ စာရင်း သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲအစုံ (Mathematical suites) အများစုသည် သင်္ကေတဆိုင်ရာ သင်္ချာ (symbolic mathematics) ကို အသုံးပြုရေ ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ ဖြစ်ကတ်တေ။ ယင်းရို့ကို လူရို့ ဖတ်ရှုနားလည်နှိုင်ရေ သင်္ကေတပုံစံတိနန့် ဂန္ထဝင် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းတိနန့် ပုစ္ဆာတိကို ဖြီယှင်းနိုင်ဖို့ ရည်ရွယ်ဖန်တီးထားခြင်း ဖြစ်တေ။ * Axiom * Cadabra * FriCAS * GAP * GNU Octave * Magma * Magnus * Maple * Mathcad * Mathematica * Mathomatic * Maxima * PARI/GP * REDUCE * SageMath * Scilab * SMath Studio * Symbolic Math Toolbox (MATLAB) * SymPy * Wolfram Alpha * Xcas / Giac * Yacas ===ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ (Solvers)=== ဒေအပိုင်းသည် Solver.edit မှ ကောက်နုတ်ချက်တခု ဖြစ်တေ။ Solver (ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲ) ဆိုစွာမာ သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာတခုကို 'ဖြီယှင်း' ပီးနှိုင်သော သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲတခု ဖြစ်တေ။ ယင်းသည် သီးသန့်ရပ်တည်ရေ ကွန်ပျူတာပရိုဂရမ်တခု (stand-alone program) တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲလ် စာကြည့်တိုက် (software library) ပုံစံမျိုးဖြင့် ဟိနီနှိုင်ရေ။ Solver တခုသည် ပြဿနာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တိကို ယေဘုယျပုံစံတခုခုဖြင့် လက်ခံရယူပြီး ယင်းရို့အတွက် အဖြီကို တွက်ချက်ထုတ်ပီးရေ။ Solver တခုကို တည်ဆောက်ရာမာ ယင်းနည်းပိုင် အမျိုးအစားဟိရေ အရာပြဿနာတိအတွက်ပါ အလွယ်ချေ အသုံးပြုနိုင်ဖို့ ပရိုဂရမ် တနည်း ဆော့ဖ်ဝဲလ် စာကြည့်တိုက်တခု ဖြစ်လှာစီရန် အဓိကထား ဆောင်ရွက်လိဟိရေ။ ===ညီမျှခြင်း ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Equation solvers)=== * Maxima * Mathematica * Maple * SageMath * SymPy ===ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Optimization software)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း * ADMB * ALGLIB * AIMMS * AMPL * ANTIGONE * APMonitor * ASCEND * BARON * CasADi * COIN-OR * Concorde TSP Solver * Couenne * CPLEX * CUTEr * Dlib * FICO Xpress * Galahad library * GEKKO * GLPK * Gurobi Optimizer * HiGHS * IPOPT * Lp solve * MIDACO * MiniZinc * MINOS * MINUIT * MOSEK * NEOS Server * OpenMDAO * OR-Tools * Pyomo * SCIP * SciPy * SNOPT * TOMLAB * WORHP ===SMT ဖြေယှင်းပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (SMT solvers)=== * CVC * Yices * Z3 Theorem Prover ===သီအိုရီ သက်သီပြပီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ (Theorem-provers)=== * ACL2 * Coq (ဂုချိန်ခါ Rocq ဟုခေါ်ရေ) * HOL Light * HOL4 * Isabelle * Lean * Metamath * Mizar * NuPRL * Twelf ===စာဝှက်ပညာ (Cryptography)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - စာဝှက်ပညာဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ (Libraries) နှိုင်းယှဉ်ချက် * Botan * Bouncy Castle * BSAFE * cryptlib * Crypto++ * GnuTLS * JCA / JCE * Libgcrypt * libsodium * Mbed TLS * NaCl * Nettle * NSS * OpenSSL * wolfCrypt ===စာရင်းအင်းပညာ (Statistics)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ ဒေတာသိပ္ပံ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ ဒေတာခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲအစုအဝီးများ (Packages) နှိုင်းယှဉ်ချက် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ * ADaMSoft * ADMB * Alt-Ergo * Alteryx * Analytica * Angoss * ASReml * BMDP * BV4.1 * CARINE * Chronux * CSPro * DAP * Dataplot * DataGraph * EViews * FAME * Fityk * GAUSS * GeoDA * Genedata * GenStat * GLIM * GNU Octave * GraphPad InStat * GraphPad Prism * gretl * Igor Pro === IMSL Numerical စာကြည့်တိုက်တိ (Libraries)=== * jamovi * JASP * JMulTi * JMP * KNIME * LabPlot * LIBSVM * LIMDEP * LISREL * MATLAB * Mathematica * MedCalc * MINUIT * Minitab * MLwiN * Mondrian * NAG Numerical Library * NCSS * Neural Designer * NLOGIT * nQuery Sample Size Software * O-Matrix * OpenBUGS * OpenEpi * OpenMx * OpenNN * Orange * OriginPro * Pandas * PASS Sample Size Software * Perl Data Language * Ploticus * Primer-E Primer * PSPP * PV-WAVE * Qlucore * RapidMiner * R * RATS * ROOT * Salstat * S-PLUS * SAS * Scilab * SciPy * Shogun (toolbox) * Simfit * SOCR * SOFA Statistics * SPSS * SPSS Modeler * Stan * StatCrunch * Statgraphics * Statistica * StatsDirect * StatXact * Stata * SYSTAT * TOPCAT * Torch * WarpPLS * Weka * WinBUGS * Winpepi * Wolfram Language * World Programming System * X-13ARIMA-SEATS * XploRe ===သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Theorem provers) နန့် သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်တိ (Proof assistants)=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်များ စာရင်း နန့် သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ စာရင်း သက်သီပြရာမာ ကူညီပီးရေ စနစ်များ (Proof assistants) * ACL2 * Agda * Albatross * ETPS * F* * HOL theorem prover * HOL Light * HOL4 * Isabelle * Jape * Lean * LEGO * Matita * Metamath * MINLOG * Mizar * Nqthm * NuPRL * PhoX * PVS * Rocq * Theorem Proving System * Twelf ===သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Theorem provers)=== * Alt-Ergo * Automath * CARINE * CVC * E * IsaPlanner * LCF * Mizar * NuPRL * Paradox * Prover9 * PVS * ResearchCyc * SPARK (programming language) * Twelf * Wolfram Mathematica * Z3 Theorem Prover === ဂျီသြမေထရီ (Geometry)=== အဓိက ဆောင်းပါးတိ - အပြန်အလှန်အကျိုးပြု ဂျီသြမေထရီ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း နန့် သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Archimedes Geo3D * Cabri Geometry * CaRMetal * Cinderella * Dr. Geo * GeoGebra * Geometry Expert * GEUP * Kig * KSEG * The Geometer's Sketchpad * TracenPoche * WIRIS ===ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Numerical analysis)=== ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှု ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုအတွက် အသုံးပြုရေ ပရိုဂရမ်မင်း ဘာသာစကားတိ စာရင်း နန့် ကောင်းဘီယက်ဖြစ်ယောင် ပြုလုပ်ခြင်း (optimization) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း Netlib repository မာ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ပြဿနာတိအတွက် ဆော့ဖ်ဝဲ လုပ်ဆောင်ချက်တိ (software routines) စုစည်းမှုတိ ပါဝင်ဗျယ်ဒေး၊ ယင်းရို့အများစုကို Fortran နန့် C ဘာသာစကားတိနန့် ရီးသားထားရေ။ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ အယ်လဂိုရီသမ် (numerical algorithms) အမျိုးမျိုးကို အသုံးပြုထားရေ စီးပွားဖြစ် ထုတ်ကုန်များမာ IMSL၊ NMath နန့် NAG library များ ပါဝင်ရေ။ အခမဲ့ ရွီးချယ်စရာတခုအနိန်နန့် GNU Scientific Library ဟိရေ။ Numerical Recipes library မာမူ အရာနည်းလမ်းတခုကို အသုံးပြုထားပြီးသား၊ ယင်းသည် အယ်လဂိုရီသမ်တိကို ချယှင်းလလင်း နားလည်သဖောပေါက်နိုင်ရီးကို အလီးပီးထားရေ။ အထက်မာ ဖော်ပြထားရေ ကွန်ပျူတာ အယ်လ်ဂျီဘရာ စနစ်များ (computer algebra systems) မကန်မဝှန်ကို ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတိအတွက်လေ့ အသုံးပြုနှိုင်ရေ။ ===ဂီတနန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== အဓိက ဆောင်းပါး - ဂီတဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ဂီတနန့် သင်္ချာ ဂီတနန့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲတိစွာ ဂီတဆိုင်ရာ သင်္ကေတတိနန့် ပုံစံတိကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် တနည်း ဖန်တီးထုတ်လုပ်ဖို့ (synthesize) သင်္ချာပညာကို အသုံးပြုကတ်တေ။ * jMusic * Musimat (Gareth Loy ရီးဆွဲရေ)[4] * OpenMusic * Opusmodus * Rubato Composer * SuperCollider * UPIC ===ရူပဗေဒ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း၊ အရင်းအမြစ်ဖွင့် (Open-source) ရူပဗေဒ ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ရူပဗေဒ လျှပ်စစ်သံလိုက်ဆိုင်ရာ အတုယူဖန်တီးမှု (Simulation) ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းယှဉ်ချက် စကြဝဠာဗေဒဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှု ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း အရည်ဒိုင်းနမစ် (Fluid Dynamics) တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း မော်လီကျူးပုံစံဖော်ခြင်း (Molecular Modeling) အတွက် Monte Carlo နည်းလမ်းသုံး ဆော့ဖ်ဝဲများစာရင်း ===ဂရပ်ဖ်နန့် ဇယားများ ရီးဆွဲခြင်း=== ဆက်စပ်ဖတ်ရှုရန် - ဂရပ်ဖ်ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ၊ အခမဲ့ ဂရပ်ဖ်ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ၊ သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ ဇယားရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း၊ JavaScript ဇယားရီးဆွဲရီး စာကြည့်တိုက်များ (libraries) နှိုင်းယှဉ်ချက် နန့် ပုံကြမ်း/ပုံကားချပ် (diagrams) ရီးဆွဲရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ။ ဝဘ်ဆိုက်များ ကုဒ်တိကို ဒေါင်းလုဒ်လုပ်ဖို့ တနည်း ထည့်သွင်းရန် (install လုပ်ဖို့) မပိုင်ရာ ဝဘ်ဘရောက်ဆာများ (web browsers) ကတဆင့် အသုံးပြုနှိုင်ရေ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ ပိုပြီးကေများပြားလာဗျာယ်ဟိရေ။[5] * Desmos * GeoGebra * Google Colaboratory * Jupyter Notebook * Kaggle * KaTeX * OpenPlaG * Overleaf * SageMath – CoCalc * Symbolab * WolframAlpha ===ဇီဝသင်္ချာ (Biomathematics)=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဇီဝဗေဒ (Computational Biology) နန့် ဇီဝရူပဗေဒ (Biophysics) ဇီဝသတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ (Bioinformatics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း ဇီဝစာရင်းအင်း (Biostatistics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စနစ်ဇီဝဗေဒ (Systems Biology) ပုံစံထုတ်ခြင်း (Modeling) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း စနစ်ဇီဝဗေဒ (Systems Biology) မြင်သာယောင်ဖော်ပြခြင်း (Visualization) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း သင်္ချာဆိုင်ရာ ဓာတုဗေဒ (Mathematical Chemistry) ကွမ်တမ်ဓာတုဗေဒ (Quantum Chemistry) နန့် အစိုင်အခဲ ရူပဗေဒ (Solid-state Physics) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း မော်လီကျူး မက္ကင်းနစ် (Molecular Mechanics) ပုံစံထုတ်ခြင်းအတွက် ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းယှဉ်ချက် သင်္ချာဆိုင်ရာ ပုံစံထုတ်ခြင်း (Mathematical Modeling) နန့် အတုယူစမ်းသပ်ခြင်းများ (Simulations) ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကွန်ပျူတာ အတုယူစမ်းသပ်ခြင်း (Computer Simulation) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း Conway ၏ "Game of Life" သင်္ချာနန့် ကိန်းဂဏန်းတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ (Libraries) ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ကိန်းဂဏန်းတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ စာကြည့်တိုက်များ စာရင်း၊ Linear Algebra စာကြည့်တိုက်များ နှိုင်းယှဉ်ချက် နန့် အလိုအလျောက် သီအိုရီ သက်သီပြစနစ်များ (Automated Theorem Provers) စာရင်း C ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) * Fastest Fourier Transform in the West (FFTW) * GNU MPFR * GNU Multi-Precision Library * GNU Scientific Library * hypre * Integer set library * Libfixmath * OpenBLAS * UMFPACK ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * Intel Math Kernel Library C++ ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - C++ အတွက် တိကျမှုမြင့်မားသော ဂဏန်းသင်္ချာ (Multiple Precision Arithmetic) စာကြည့်တိုက်များ စာရင်း ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Adept * Advanced Simulation Library * Armadillo * Blitz++ * Boost.uBLAS * CGAL * Class Library for Numbers * deal.II * Eigen * GetFEM++ * IML++ * IT++ * LAPACK++ * Matrix Template Library * MFEM * Multiple Precision Integers and Rationals * Number Theory Library * SU2 code * Template Numerical Toolkit * Trilinos ===Fortran=== ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * ARPACK * Automatically Tuned Linear Algebra Software (ATLAS) * BLAS * BLIS * EISPACK * LAPACK * Librsb * LINPACK * Lis * MINPACK * PETSc * QUADPACK * SLATEC * SOFA ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * IMSL Numerical Libraries * NAG Numerical Library ===Java=== ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Colt * Efficient Java Matrix Library * JAMA * Matrix Toolkit Java * ojAlgo * Parallel Colt ===Proprietary (ပိုင်သျှင်သီးသန့်/စီးပွားဖြစ်)=== * OptimJ * SuanShu numerical library .NET ===Open-source (ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ်)=== * Accord.NET * Math.NET ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ (Numerics) * Meta.Numerics ===ပိုင်ဆိုင်မှုမူပိုင်ခွင့်ဟိရေ (Proprietary)=== * ALGLIB * NMath ===Perl=== ===ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ် (Open-source)=== * Perl Data Language * Python ===ပွင့်လင်းအရင်းအမြစ် (Open-source)=== * CuPy * Dask * Manim * Matplotlib * NetworkX * NumPy * PyMC * SciPy * SymPy * Theano ===သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဆော့ဖ်ဝဲ တွက်ချက်ကိရိယာများ (Calculators) နှိုင်းယှဉ်ချက်၊ သင်္ချာအတွက် အိုးပင်းဆော့စ် (Open-source) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း နန့် ဇယားပုံဖော်ရေ (Charting) ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Axiom * Calcpad * Desmos * GeoGebra * GNU Octave * gnuplot * KCalc * Maple (ဆော့ဖ်ဝဲ) * Mathematica * Mathcad * Maxima (ဆော့ဖ်ဝဲ) * Microsoft Mathematics * MuPAD * MATLAB * R (ပရိုဂရမ်ရီးသားရေ ဘာသာစကား) * SageMath * SciPy * Matlab Simulink * SymPy * TeX * TI-Nspire * Wolfram Alpha ===သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတဖော်ပြရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - သင်္ချာဆိုင်ရာ သင်္ကေတများ၊ စာစီစာရိုက်ခြင်း (Typesetting) နန့် TeX တီးဖြတ်ကိရိယာများ နှိုင်းယှဉ်ချက် * AUCTeX * Authorea * Apache OpenOffice Math * AsciiMath * Calligra Words – ဖော်မြူလာ တီးဖြတ်ကိရိယာ * CoCalc * GeoGebra * GNOME LaTeX * GNU TeXmacs * Gummi * KaTeX * Kile * LaTeX * LibreOffice Math * LyX * MathJax * MathML * MathType * Notepad++ * Overleaf * Scientific WorkPlace * TeX * Texmaker * TeXnicCenter * TeXShop * TeXstudio * TeXworks * Verbosus * Vim * Visual Studio Code * WinEdt * WinFIG * WinShell ===ဇယားကွက် (Spreadsheet) ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန် - ဇယားကွက် ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Apache OpenOffice Calc * Airtable * Calligra Sheets * Coda * GNU Oleo * Gnumeric * Google Sheets * KSpread * LibreOffice Calc * Lotus 1-2-3 * Microsoft Excel * Numbers * PlanMaker * Pyspread * Quattro Pro * sc * Smartsheet * WPS Office * Zoho Sheet ===သင်္ချာအခြီပြု အနုပညာဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲတိ=== အဓိက ဆောင်းပါး - သင်္ချာအခြီပြု အနုပညာဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Apophysis * Electric Sheep * Fractint * Fyre * Mandelbulb * MilkDrop * openPlaG * Ultra Fractal * XaoS * R, R Mandelbrot sets * Sterling * Bryce * Picogen * Terragen * GeoGebra * Desmos * Grapher * Winplot * Processing * Grasshopper 3D * P5.js * matplotlib * gnuplot * Inkscape spirograph * Wolfram Mathematica * Houdini * MATLAB * TouchDesigner * Unity (သင်္ချာဆိုင်ရာ ပလပ်အင်များ ပါဝင်ရေ)[6][7][8][9][10] * LaTeX (PGF/TikZ, PGFPlots) * Manim * D3.js ===သင်္ချာအတွက် အတုယူဉာဏ်ရည် (Artificial Intelligence)=== * AlphaDev – အယ်လဂိုရီသမ် (algorithm) အသစ်များ ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း * AlphaEvolve – သင်္ချာနန့် အယ်လဂိုရီသမ်ဆိုင်ရာ ရှာဖွီဖော်ထုတ်မှုတိ * AlphaGeometry – ဂျီသြမေတြီ (geometry) ပုစ္ဆာတိကို ဖြီယှင်းခြင်း * AlphaTensor – မက်ထရစ် (matrix) မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ နည်းလမ်းသစ်များ ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း * FunSearch – သင်္ချာဆိုင်ရာ ရှာဖွီဖော်ထုတ်မှုတိ * Ramanujan machine – ယူဆချက်တိ (conjectures) ကို ရှာဖွီဖော်ထုတ်ခြင်း ===ဆက်စပ်ကြည့်ရှုရန်=== * ကွန်ပျူတာအခြီပြု သင်္ချာပညာ (Computational mathematics) * ဖော်မြူလာ ရီးသားဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ နှိုင်းယှဉ်ချက် * Gödel ၏ မပြည့်စုံနိုင်မှု သီအိုရီများ (Gödel's incompleteness theorems) * သတင်းအချက်အလက်ဆိုင်ရာ ဂရပ်ဖစ် (infographics) ဖန်တီးရေ ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * MATLAB ဆော့ဖ်ဝဲတိနန့် ကိရိယာများ စာရင်း * သင်္ချာအတွက် အသုံးပြုနှိုင်ရေ open-source ဆော့ဖ်ဝဲများ စာရင်း * Mathlete * MathOverflow * ဂရပ်ဖစ်ပုံဖော်ခြင်း (Plotting) * အချိန်ဆိုင်ရာ ဗလဗွီသတ်မှု (Time complexity) ===References=== # See, e.g., the editorial charter of the ACM Transactions on Mathematical Software or the problem taxonomy of the National Institute of Standards and Technology Guide to Available Mathematical Software (both retrieved 2015-02-15). # Both MathML and TeX may be only simple a kind of computer language which enable also to present the mathematical formula. However they also may be the mathematical software if the term of software interpreted as whole technology on how to use computer, at most wide sense. # Included your written script code on the general purpose mathematical software. # Musimathics website, freeware download # Internet Accessible Mathematical Computation Archived 2017-06-28 at the Wayback Machine, Institute for Computational Mathematics, Kent State University, retrieved 2015-02-15. # "Ultimate Math Library: Utilities Tools". Unity Asset Store. # "Math Equation Writer – GUI Tools". Unity Asset Store. Retrieved 2025-08-06. # "MathPlus Library: Game Toolkits". Unity Asset Store. # "Smithy Procedural Generation Framework". # "NeuroFractals Pack – 3D Environments". Unity Asset Store. Retrieved 2025-08-06. # [[category:သင်္ချာဆော့ဖ်ဝဲ]] 4xcvgw9qi9otw7v1kmir2aitfaz2qko 0 6295 22039 2026-10-23T11:43:06Z Tejoebārsa 137 Created page with "'''အစိုးရနည်းပညာကောလိပ် (မြင်းခြံ)''' စွာ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြင်းခြံမြို့နယ်]]၊ ခေါင်းကွဲကျေးရွာမာ တည်ဟိရေ နည်းပညာကောလိပ်တခု ဖြစ်တေ။ မြင်းခြံ-ဆီမီးခုံ..." 22039 wikitext text/x-wiki '''အစိုးရနည်းပညာကောလိပ် (မြင်းခြံ)''' စွာ [[မြန်မာနိုင်ငံ]]၊ [[မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြင်းခြံမြို့နယ်]]၊ ခေါင်းကွဲကျေးရွာမာ တည်ဟိရေ နည်းပညာကောလိပ်တခု ဖြစ်တေ။ မြင်းခြံ-ဆီမီးခုံကားလမ်းမနံဘေးမာ တည်ဟိပြီး အကျယ်အဝန်းမာ ၃၀.၇၁ ဧက ဖြစ်တေ။ == သမိုင်းကြောင်း == အစိုးရနည်းပညာသိပ္ပံ (မြင်းခြံ) အနိန်နန့် ၂၀၁၄ ခုနှစ် မာ့ခ်ျလ ၁၁ ရက်နိမာ စတင်ဖွင့်လှစ်ခရေ။ ==တာဝန်ထမ်းဆောင်ခရေ ကျောင်းအုပ်ကြီးတိ== {| class="wikitable" !စဉ်!!နာမည်!!ပညာအရည်အခြင်း!!တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့ရေကာလ !! ကျောင်းအဆင့် |- | ၁ ||ဒေါ်ရီရီမြင့် || ME(Civil) || ၁၁.၃.၂၀၀၄ မှ ၁၇.၂.၂၀၀၅ ထိ || GTI |- | ၂ ||ဦးစည်သူဟန် || ME(Che;)Russia || ၁၇.၂.၂၀၀၅ မှ ၂.၇.၂၀၀၇ ထိ || GTC (၂၀၀၇ ဂျန်နဝါရီ ၂၀) |- | ၃ ||ဒေါက်တာသတ်သတ်နွယ် || Ph.D(Archi) || ၂.၇.၂၀၀၇ မှ ၂၉.၂.၂၀၀၈ ထိ || GTC |- | ၄ ||ဒေါက်တာလင်းနိုင်ထွန်း || Ph.D(EC) || ၁.၃.၂၀၀၈ မှ ၂၃.၆.၂၀၀၈ ထိ || GTC |- | ၅ ||ဒေါက်တာတိုက်စစ် || Ph.D(Mech) || ၂၃.၆.၂၀၀၈ မှ ၂၀.၁.၂၀၀၉ ထိ || GTC |- | ၆ ||ဒေါက်တာကျော်စိုးလွင် || Ph.D(EC) || ၂၀.၁.၂၀၀၉ မှ ၁၈.၁၁.၂၀၀၉ ထိ || GTC |- | ၇ ||ဒေါက်တာကျော်စံဝင်း || Ph.D(EP) || ၁၈.၁၁.၂၀၀၉ မှ ၁၈.၃.၂၀၁၁ ထိ || GTC |- | ၈ ||ဒေါက်တာအောင်ကျော်မင်း || Ph.D(Met)Russia || ၁၈.၃.၂၀၁၁ မှ ၂၂.၂.၂၀၁၆ ထိ || GTC |- | ၉ ||ဒေါက်တာအောင်ဇော်ထွန်း || Ph.D(Mech) || ၂၂.၂.၂၀၁၆ မှ ၂၃.၅.၂၀၁၈ || GTC |- | ၁၀ ||ဒေါက်တာလေးမာန်ဝင့် || Ph.D(Mech) || ၂၃.၅.၂၀၁၈ မှ ဒေနိထိ || GTC |} ==သင်ကြားပီးရေ ဘာသာရပ်တိ== *Civil Engineering *Electronic Engineering *Electrical Power Engineering *Mechanical Engineering *Information Technology Engineering == ကိုးကား == {{reflist| <ref>{{cite web|url=http://www.tvetmyanmar.gov.mm/my/school/%E1%80%A1%E1%80%85%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%94%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%8A%E1%80%AC%E1%80%80%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%9C%E1%80%AD%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%81%E1%80%BC%E1%80%B6.html-0|title=အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(မြင်းခြံ)|publisher=နည်းပညာ သက်မွီးပညာနန့် လိ့ကျင့်ရီးဦးစီးဌာန|accessdate=၂၃ သြဂတ် ၂၀၁၈|archivedate=13 August 2018|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180813235814/http://www.tvetmyanmar.gov.mm/my/school/%E1%80%A1%E1%80%85%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%94%E1%80%8A%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%95%E1%80%8A%E1%80%AC%E1%80%80%E1%80%B1%E1%80%AC%E1%80%9C%E1%80%AD%E1%80%95%E1%80%BA%E1%80%99%E1%80%BC%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%81%E1%80%BC%E1%80%B6.html-0}}</ref> }} {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] [[Category:မန္တလေးတိုင်းဒေသကြီးအထဲက တက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] btst4b0ec7yssz85rkavydymoyydkxm 0 6296 22040 2026-10-23T11:53:34Z Tejoebārsa 137 Created page with "{{Infobox University |name = ရွှေဘိုနည်းပညာကောလိပ် |native_name = |native_name_lang = my |motto = |image = File:Government Technologial College, Shwebo.jpg |established = {{start date and years ago|df=yes|2008}} |location = [[ရွှေဘိုမြို့နယ်]] <br> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာ]]။ |coor = {{coord|22|37|52.8|N|95|45|28|E|region:MM_typ..." 22040 wikitext text/x-wiki {{Infobox University |name = ရွှေဘိုနည်းပညာကောလိပ် |native_name = |native_name_lang = my |motto = |image = File:Government Technologial College, Shwebo.jpg |established = {{start date and years ago|df=yes|2008}} |location = [[ရွှေဘိုမြို့နယ်]] <br> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာ]]။ |coor = {{coord|22|37|52.8|N|95|45|28|E|region:MM_type:edu|display=title}} |type = |staff = |rector = ဒေါက်တာလင်းလင်းဇော် |students = |undergrad = |postgrad = }} '''အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(ရွှေဘို)''' စွာ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ရွှေဘိုခရိုင်]]၊ [[ရွှေဘိုမြို့နယ်]]၊ ပိတ္တောကျေးရွာ၏ အရှိဖက်မာ တည်ဟိရေ။ ရွှေဘိုနည်းပညာကောလိပ်ကို ၂၀၀၈ ခုနှစ်မာ စတင်ဖွင့်လှစ်ခရေ။ ==ဘာသာရပ်== {| class="wikitable" |- !width="300"|'''အထူးပြုဘာသာရပ်''' !width="70"|'''နည်းပညာဘွဲ့''' !width="50"|'''အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့''' |- | ဆောက်လုပ်ရီး | B.Tech | B.E |- | လျှပ်စစ်နန့်ဆက်သွယ်ရီး | B.Tech | B.E |- | လျှပ်စစ်စွမ်းအား | B.Tech | B.E |- | စက်မှု | B.Tech | B.E |- | အိုင်တီ | B.Tech | B.E |- | စက်မှုလယ်ယာ | B.Tech | B.E |} == ကိုးကား == {{reflist}} <ref>Facebook Page : [https://m.facebook.com/Government-Technological-College-ShweBo-1581075905502063/ Government Technological College-ShweBo]</ref> {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] [[Category:စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအထဲက တက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:ရွှီဘိုမြို့]] {{Myanmar-university-stub}} h2fiqrt3aiurlp47q3pbiyqlebneuz9 22041 22040 2026-10-23T11:53:56Z Tejoebārsa 137 22041 wikitext text/x-wiki {{Infobox University |name = ရွှေဘိုနည်းပညာကောလိပ် |native_name = |native_name_lang = my |motto = |image = File:Government Technologial College, Shwebo.jpg |established = {{start date and years ago|df=yes|2008}} |location = [[ရွှေဘိုမြို့နယ်]] <br> [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[မြန်မာ]]။ |coor = {{coord|22|37|52.8|N|95|45|28|E|region:MM_type:edu|display=title}} |type = |staff = |rector = ဒေါက်တာလင်းလင်းဇော် |students = |undergrad = |postgrad = }} '''အစိုးရနည်းပညာကောလိပ်(ရွှေဘို)''' စွာ [[စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီး]]၊ [[ရွှေဘိုခရိုင်]]၊ [[ရွှေဘိုမြို့နယ်]]၊ ပိတ္တောကျေးရွာ၏ အရှိဖက်မာ တည်ဟိရေ။ ရွှေဘိုနည်းပညာကောလိပ်ကို ၂၀၀၈ ခုနှစ်မာ စတင်ဖွင့်လှစ်ခရေ။ ==ဘာသာရပ်== {| class="wikitable" |- !width="300"|'''အထူးပြုဘာသာရပ်''' !width="70"|'''နည်းပညာဘွဲ့''' !width="50"|'''အိန်ဂျန်နီယာဘွဲ့''' |- | ဆောက်လုပ်ရီး | B.Tech | B.E |- | လျှပ်စစ်နန့်ဆက်သွယ်ရီး | B.Tech | B.E |- | လျှပ်စစ်စွမ်းအား | B.Tech | B.E |- | စက်မှု | B.Tech | B.E |- | အိုင်တီ | B.Tech | B.E |- | စက်မှုလယ်ယာ | B.Tech | B.E |} == ကိုးကား == {{reflist}} <ref>Facebook Page : [https://m.facebook.com/Government-Technological-College-ShweBo-1581075905502063/ Government Technological College-ShweBo]</ref> {{မြန်မာနိုင်ငံကတက္ကသိုလ်တိ}} [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက တက္ကသိုလ်နန့်ကောလိပ်တိ]] [[Category:စစ်ကိုင်းတိုင်းဒေသကြီးအထဲက တက္ကသိုလ်တိ]] [[Category:မြန်မာနိုင်ငံက နည်းပညာတက္ကသိုလ်တိ]] {{Myanmar-university-stub}} ruhbtgr740eysrm75bqwwdshot8ywbj