Wikimanuale rowikibooks https://ro.wikibooks.org/wiki/Pagina_principal%C4%83 MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Media Special Discuție Utilizator Discuție Utilizator Wikimanuale Discuție Wikimanuale Fișier Discuție Fișier MediaWiki Discuție MediaWiki Format Discuție Format Ajutor Discuție Ajutor Categorie Discuție Categorie Raft Discuţie Raft Wikijunior Discuţie Wikijunior Carte de bucate Discuţie Carte de bucate TimedText TimedText talk Modul Discuție Modul Event Event talk 104 4824 37681 37419 2026-06-29T01:08:54Z Gdaniel111 3683 Gdaniel111 a redenumit pagina [[Clătite americane]] în [[Carte de bucate:Clătite americane]]: uniformizare 37419 wikitext text/x-wiki ;Ingrediente pentru 8 clătite :2 ouă :1/2 plic de praf de copt :făină cât cuprinde (cam 380 g) :2 linguri de zahăr :1 lingură cu unt la temperatura camerei :ulei :un praf de sare ;Mod de preparare Făina se amestecă separat cu praful de copt și se adaugă peste celelalte ingrediente bine omogenizate. Aluatul trebuie să aibă consistența smântânii. De preferat este să folosiți o tigaie din teflon, în care puneți o picătură de ulei și turnați compoziția cu ajutorul unui polonic, fără a mai manevra tigaia ca să se întindă. Când se formează bule de aer, întoarceți clătita. Se pot servi cu dulceață, topinguri, frișcă, siropuri. Poftă bună la Clătite! == Bibliografie == * [http://archive.is/20121216051917/retete-culese.blogspot.com/2012/01/clatite-americane.html Clătite americane] qh7l5u8aqdzeeq2xg0fbntdncdvidgk 37683 37681 2026-06-29T01:09:33Z Gdaniel111 3683 legătură 37683 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ {{Navigare CarteDeBucate}} ;Ingrediente pentru 8 clătite :2 ouă :1/2 plic de praf de copt :făină cât cuprinde (cam 380 g) :2 linguri de zahăr :1 lingură cu unt la temperatura camerei :ulei :un praf de sare ;Mod de preparare Făina se amestecă separat cu praful de copt și se adaugă peste celelalte ingrediente bine omogenizate. Aluatul trebuie să aibă consistența smântânii. De preferat este să folosiți o tigaie din teflon, în care puneți o picătură de ulei și turnați compoziția cu ajutorul unui polonic, fără a mai manevra tigaia ca să se întindă. Când se formează bule de aer, întoarceți clătita. Se pot servi cu dulceață, topinguri, frișcă, siropuri. Poftă bună la Clătite! == Bibliografie == * [http://archive.is/20121216051917/retete-culese.blogspot.com/2012/01/clatite-americane.html Clătite americane] 7j6y58tg46hixlun9cnpcg2lf5p2hzy 0 7502 37675 30784 2026-06-29T00:46:56Z Gdaniel111 3683 legătură 37675 wikitext text/x-wiki {{Navigate | Book = Calcul vectorial | Curr = Produs scalar | Prev = Vectori | Next = Produs vectorial}} Considerăm vectorii <math>\mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3</math> și dorim să determinăm unghiul dintre aceștia adică unghiul <math>\theta</math> format de direcțiile acestora în planul determinat de vectori. Dacă <math>\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k</math> și <math>\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k</math> atunci definim produsul scalar dintre cei doi vectori, notat <math>\mathbf a \cdot \mathbf b,</math> ca fiind: ::<math>\mathbf a \cdot \mathbf b= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3. </math> '''Observații.''' 1) Rezultatul produsului scalar este un scalar, de unde și denumirea. 2) Produsul scalar dintre <math>\mathbf a</math> și <math>\mathbf b</math> mai poate fi notat și <math>(\mathbf a, \mathbf b).</math> cm1ri08sm1nzw89kpf55pp6wohk9nfe 0 7503 37674 36426 2026-06-29T00:45:22Z Gdaniel111 3683 legătură 37674 wikitext text/x-wiki {{Navigate | Book = Calcul vectorial | Curr = Vectori | Prev = | Next = Produs scalar}} Noțiunea de '''vector''' reprezintă un concept fundamental în teoria calculului vectorial. == Definiție == Se consideră vectorul ca fiind un segment orientat cu originea în originea axelor de coordonate, extremitatea în punctul <math>P (a_1, a_2, a_3)</math> și de lungime egală cu modulul vectorului. Se notează <math>\overrightarrow {OP} = \vec a = \mathbf a= (a_1, a_2, a_3) .</math> Un vector este numit '''vector legat''' când originea sa este fixată în originea axelor de coordonate și '''vector liber''' (pe scurt '''vector''') când nu există restricții privind poziția originii acestuia. Doi vectori <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math> și <math>\mathbf b=(b_1, b_2, b_3)</math> sunt egali dacă și numai dacă <math>a_1=b_1, \; a_2=b_2</math> și <math>a_3=b_3.</math> [[Fișier:Coord system CA 0.svg|thumb|right|250px|Reprezentarea grafică a unui punct de coordonate <math> x,y,z </math>]] Un punct <math>P</math> din spațiu poate fi reprezentat printr-un triplet de numere reale <math>(a_1, a_2, a_3),</math> unde <math>a_1, a_2, a_3</math> sunt '''coordonatele carteziene''' ale lui <math>P.</math> Dacă <math>O</math> este originea axelor de coordonate <math>Ox, \; Oy, \; Oz</math>, <math>a_1, \; a_2, \; a_3</math> se mai numesc și componentele vectorului <math>\overrightarrow {OP}.</math> Se mai notează și <math>a_1=x, \; a_2=y, \; a_3=z.</math> Uneori, în locul expresiei "''punctul'' <math>P</math> ''de coordonate'' <math>a_1, a_2, a_3</math>" se va spune mai simplu "''punctul'' <math>a_1, a_2, a_3.</math>" Mai mult, <math>a_1</math> se mai numește și coordonata x, <math>a_2</math> coordonata y, iar <math>a_3</math> coordonata z. Se va nota prin <math>\mathbb R^n</math> mulțimea ''n''-uplurilor <math>(x_1, x_2, \cdots , x_n)</math> cu <math>x_i \in \mathbb R, \; \forall i=\overline {1, n}.</math> == Adunarea vectorilor și înmulțirea acestora cu scalari == Operația de adunare poate fi extinsă de pe <math>\mathbb R</math> pe <math>\mathbb R^2</math> și <math>\mathbb R^3.</math> Astfel, pe <math>\mathbb R^3</math> se definește suma tripletelor <math>(a_1, a_2, a_3)</math> și <math>(b_1, b_2, b_3)</math> ::<math>(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3). </math> Elementul <math>(0,0,0)</math> este numit '''elementul zero''' (sau chiar '''zero''') al lui <math>\mathbb R^3.</math> Dându-se punctul <math>(a_1, a_2, a_3),</math> elementul <math>(-a_1, -a_2, -a_3)</math> este numit '''inversul''' sau '''negativul''' și se poate scrie: ::<math>(a_1, a_2, a_3) + (-b_1, -b_2, -b_3) \overset {def}{=} (a_1, a_2, a_3) - (b_1, b_2, b_3). </math> Un vector adunat cu inversul acestuia ne dau zero: ::<math>(a_1, a_2, a_3) + (-a_1, -a_2, -a_3)=(0,0,0).</math> O altă operație pe <math>\mathbb R^3</math> este ''înmulțirea unui vector cu un scalar'', unde prin scalar se înțelege număr real. Astfel, dându-se un scalar <math>\alpha \in \mathbb R</math> și un vector <math>(a_1, a_2, a_3) \in \mathbb R^3,</math> se definește '''produsul scalar''' prin: ::<math>\alpha \cdot (a_1, a_2, a_3) \overset {def}{=} (\alpha \cdot a_1, \alpha \cdot a_2, \alpha \cdot a_3). </math> === Proprietăți === Adunarea și înmulțirea cu scalari a vectorilor din <math>\mathbb R^3</math> satisfac proprietățile: (i) &nbsp; <math> \; (\alpha \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha [\beta (a_1, a_2, a_3)]</math> (asociativitate) (ii) &nbsp; <math> \; (\alpha + \beta) (a_1, a_2, a_3) = \alpha (a_1, a_2, a_3) + \beta (a_1, a_2, a_3)]</math> (distributivitate) (iii) &nbsp; <math> \; \alpha [(a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3)]= \alpha (a_1, a_2, a_3) + \alpha (b_1, b_2, b_3)]</math> (distributivitate) (iv) &nbsp; <math> \alpha \cdot (0,0,0) = (0,0,0) </math> (element nul) (v) &nbsp; <math> 0 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (0,0,0) </math> (element nul) (vi) &nbsp; <math> 1 \cdot (a_1, a_2,a_3) = (a_1, a_2,a_3). </math> (element unitate) li2s9r5syi8l2q90qzqdpoinm9ckcdi 0 7504 37676 34640 2026-06-29T00:48:40Z Gdaniel111 3683 legătură 37676 wikitext text/x-wiki {{Navigate | Book = Calcul vectorial | Curr = Produs vectorial | Prev = Produs scalar | Next = Coordonate cilindrice și sferice}} Fie <math>\mathbf a= a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k, \; \mathbf b= b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k</math> vectori din <math>\mathbb R^3.</math> '''Produsul vectorial''' dintre <math>\mathbf a, \mathbf b,</math> notat <math>\mathbf a \times \mathbf b,</math> este vectorul: ::<math>\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \mathbf k, </math> sau simbolic: :::<math>\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}</math>. j1vgo5a2pogdmm3yfcc1q4nf1yksb8h 0 7506 37677 34641 2026-06-29T00:50:02Z Gdaniel111 3683 legătură 37677 wikitext text/x-wiki {{Navigate | Book = Calcul vectorial | Curr = Coordonate cilindrice și sferice | Prev = Produs vectorial | Next = }} Cel mai cunoscut mod de a reprezenta un punct în planul <math>\mathbb R^2</math> îl constituie coordonatele rectangulare <math>(x,y).</math> Anumite probleme necesită utilizarea '''coordonatelor polare''' <math>(r, \theta),</math> care sunt legate de cele rectangulare prin relațiile: :::<math>x=r \cos \theta, \; \; y=r \sin \theta,</math> unde <math>r \ge 0, \; 0 \le \theta \le 2 \pi.</math> == Istoric == În 1671, <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Isaac Newton</span> a scris o lucrare intitulată ''Metoda fluxiunilor și serii infinite'', care conținea o modalitate de rezolvare a problemelor de geometrie prin utilizarea sistemelor de coordonate. Aici a introdus, printre altele, sistemul de coordonate polare. În 1691, <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Jacob Bernoulli</span> a publicat un document care de asemenea conținea referiri la coordonatele polare. Dar, deoarece lucrarea lui <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Newton</span> a fost publicată abia după moartea acestuia în 1727, paternitatea descoperirii coordonatelor polare este atribuită lui <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Bernoulli</span>. </td></tr></table> În 1773, <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Joseph Louis Lagrange</span> studia teoria gravitației a lui <span style="font: italic bold small-caps 1em sans-serif;">Newton</span> și modul cum aceasta se aplică asupra elipsoidului de revoluție. Deoarece calculele integrale erau dificil de efectuat, a introdus coordonatele sferice. Coordonatele sferice sunt de asemenea utile în domeniul navigației după longitudine și latitudine. Astfel, în cazul coordonatelor geografice, longitudinea este pozitivă sau negativă după cum unghiul <math>\theta</math>, măsurat de la Greenwich, este măsurat spre est sau spre vest, iar latitudinea este de nord sau de sud după cum unghiul <math>\frac {\pi}{2}- \phi</math> este pozitiv sau negativ. == Coordonate cilindrice == '''Coordonatele cilindrice''' <math>(r, \theta, z)</math> ale unui punct <math>(x,y,z)</math> sunt definite ca: :::<math>x=r \cos \theta, \; y=r \sin \theta, \; z=z. \qquad</math> &nbsp; (1) </td></tr></table></div></td></tr></table> Pentru a exprima <math>r, \theta, z</math> cu ajutorul lui <math>x,y,z</math> și pentru a ne asigura că <math>\theta \in [0, 2 \pi],</math> putem scrie: ::<math>r= \sqrt {x^2+y^2}, \quad \theta = \begin{cases} \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, y \ge 0 \\ \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x<0 \\ 2 \pi + \arctan \frac yx & dac \breve a \; x>0, \; y<0 \end{cases} \qquad z=z,</math> unde <math>\arctan \frac yx</math> este luat între <math>- \frac {\pi}{2}</math> și <math>\frac {\pi}{2}.</math> Necesitatea ca <math>\theta \in [0, 2 \pi]</math> determină un unic <math>\theta</math> și <math>r \ge 0</math> pentru un anumit <math>x</math> și <math>y.</math> Dacă <math>x=0,</math> atunci <math>\theta = \frac {\pi}{2}</math> pentru <math>y>0</math> și <math>\frac {3 \pi}{2}</math> pentru <math>y<0.</math> Dacă <math>x=y=0,</math> atunci <math>\theta</math> nu este definit. Cu alte cuvinte, pentru orice punct <math>(x,y,z)</math> se poate rescrie primele două coordonate în termeni de coordonate polare, iar a treia să rămână neschimbată. Formula (1) arată faptul că, dându-se <math>(r, \theta, z),</math> tripletul <math>(x,y,z)</math> este complet determinat și invers, dacă restricționăm <math>\theta</math> la intervalul <math>[0, 2 \pi]</math> (uneori este convenabil și domeniul <math>(- \pi, \pi]</math>) și impunem ca <math>r>0.</math> Pentru a înțelege de ce se utilizează denumirea de ''coordonate cilindrice'', trebuie să remarcăm faptul că dacă sunt respectate condițiile <math>0 \le \theta < 2 \pi, \; - \infty < z < \infty </math> și <math>r=a</math> este o constantă pozitivă, atunci locul acestui punct este cilindrul de rază <math>a.</math> === Exemple. === :(a) Determinați coordonatele cilindrice ale punctului <math>6,6,8.</math> :(b) Dacă un punct are coordonatele cilindrice <math>(8, \frac {2 \pi}{3}, -3),</math> care sunt coordonatele carteziene? '''Soluție.''' :(a) Avem: <math>r = \sqrt {6^2 + 6^2} = 6 \sqrt 2</math> și <math>\theta = \arctan \frac 66 = \frac {\pi}{4}.</math> Deci coordonatele cilindrice sunt <math>(6 \sqrt 2, \frac {\pi}{4}, 8).</math> :(b) Avem <math>\frac {2 \pi}{3} = \frac {\pi}{2} + \frac {\pi}{6}</math> deci ::<math>x= r \cos \theta = 8 \cos \frac {2 \pi}{3} = -4</math> ::<math>y= r \sin \theta = 8 \sin \frac {2 \pi}{3} = 4 \sqrt 3.</math> Deci coordonatele carteziene sunt <math>(-4, 4 \sqrt 3 , -3).</math> == Coordonate sferice == Coordonatele cilindrice nu reprezintă singura modalitate de generalizare a coordonatelor polare în spațiul tridimensional. Să ne amintim că, în plan, modulul vectorului <math>x \mathbf i + y \mathbf j</math> (care este <math>\sqrt {x^2+y^2}</math>) este acel <math>r</math> din sistemul de coordonate polare. În cazul coordonatelor cilindrice, lungimea vectorului <math>x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k</math> și anume <math>\rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2}</math> nu este una dintre coordonatele acestui sistem, în locul acesteia utilizând modulul <math>\sqrt {x^2+y^2},</math> unghiul <math>\theta</math> și ''înălțimea'' <math>z.</math> Vom modifica aceasta introducând sistemul de ''coordonate sferice'', care utilizează <math>\rho</math> drept coordonată. Coordonatele sferice sunt eficace în problemele în care apare o simetrie sferică, în timp ce coordonatele cilindrice sunt utile în cazul simetriei față de o dreaptă. Dându-se un punct <math>(x,y,z) \in \mathbb R^3,</math> fie: :::<math>\rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2}</math> și să reprezentăm <math>x, y</math> prin coordonate polare în planul <math>xy:</math> ::<math>x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \qquad </math> &nbsp; (2) unde <math>r= \sqrt {x^2+y^2}</math> și <math>\theta</math> este determinat de formula (1) [vezi expresia pentru <math>\theta</math> care succede formulei (1)]. Coordonata <math>z</math> este dată de: :::<math>z= \rho \cos \phi,</math> unde <math>\phi \in [0, \pi]</math> este unghiul pe care îl face cu <math>Oz</math> raza vectoare <math>\mathbf v = x \mathbf i + y \mathbf j + z \mathbf k</math> în planul format de <math>\mathbf v, Ox.</math> Cu ajutorul produsului scalar, se obține: ::<math>\cos \phi = \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|}, \qquad</math> adică <math>\phi = \arccos \left ( \frac {\mathbf v \cdot \mathbf k}{\| \mathbf v \|} \right ).</math> Deoarece: ::<math>r= \rho \sin \phi,</math> putem utiliza formula (2) pentru trecerea de la coordonate carteziene la cele sferice: <table><tr><td width="50"></td><td width="200"> <div style="width:600px;border:solid #a08 2px;margin:1px;"> <table style="width:600px"><tr><td bgcolor="#eff"><font color="red"> '''Definiție.'''</font> '''Coordonatele sferice''' ale punctului <math>(x,y,z)</math> reprezintă tripletul <math>( \rho, \theta, \phi )</math> definit astfel: ::<math>x= \rho \sin \phi \cos \theta, \qquad y= \rho \sin \phi \sin \theta, \qquad z= \rho \cos \phi,</math> unde: :::<math>\rho \ge 0, \qquad 0 \le \theta \le 2 \pi , \qquad 0 \le \phi \le \pi.</math> </td></tr></table></div></td></tr></table> === Exemple === :(a) Determinați coordonatele sferice ale punctului dat de coordonatele carteziene <math>(1,-1,1).</math> :(b) Determinați coorodnatele carteziene ale punctului definit de coordonatele sferice <math>(3, \frac {\pi}{6}, \frac {\pi}{4}).</math> :(c) Fie punctul definit prin coordonatele carteziene <math>(2,3,-6).</math> Determinați coordonatele sferice ale acestuia. :(d) Determinați coordonatele carteziene ale punctului definit prin coordonatele sferice<math>(1, - \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{4}).</math> '''Soluție.''' :(a) <math>\rho = \sqrt {x^2+y^2+z^2} = \sqrt {1^2+(-1)^2 + 1^2} = \sqrt 3,</math> ::<math>\theta = 2 \pi + \arctan \frac yx = 2 \pi - \frac {\pi}{4} = \frac {7 \pi}{4}, </math> ::<math>\phi = \arccos \frac {z}{\rho} = \arccos \frac {1}{\sqrt 3} \approx 0,955 \approx 54,74^{\circ}.</math> :(b) <math>x= \rho \sin \phi \cos \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{6} = \frac {3 \sqrt 3}{2 \sqrt 2}, </math> ::<math>y= \rho \sin \phi \sin \theta = 3 \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{6} = \frac {3}{2 \sqrt 2}, </math> ::<math>z= \rho \cos \phi = 3 \cos \frac {\pi}{4} = \frac {3 \sqrt 2}{2}.</math> pfn313418ot0lysbymur181yh9d4btk 0 7967 37678 33257 2026-06-29T00:58:09Z Gdaniel111 3683 legătură 37678 wikitext text/x-wiki Fie ''f'' o funcţie reală definită pe un interval <math> I \subset \mathbb R. </math> Se numeşte ''primitivă'' a funcţiei <math>f: I \to \mathbb R</math> o funcţie ''F'' definită şi derivabilă pe ''I'' cu proprietatea: ::<math>F'(x) = f(x) , \; \forall x \in I.</math> Dacă ''F'' este o primitivă a funcţiei ''f'' pe ''I'' atunci şi <math>F+ \mathcal C</math> este o primitivă a funcţiei ''f'' pe ''I'', oricare ar fi constanta <math>\mathcal C.</math> Reciproc, orice primitivă a lui ''f'' este de forma <math>F+ \mathcal C.</math> Se numeşte '''integrala nedefinită''' a funcţiei ''f'' mulţimea tuturor primitivelor funcţiei ''f'' şi se notează cu <math>\int f(x) \, \mathrm dx.</math> == Proprietăţi ale integralelor nedefinite == ::'''a)''' Dacă <math>f: I \to \mathbb R</math> admite primitive pe ''I'', iar <math>a \in \mathbb R,</math> atunci şi <math>\mathrm a f</math> admite primitive şi: <center><math>\int a f(x) \, \mathrm dx = a \int f(x) \, \mathrm dx.</math></center> ::'''b)''' Dacă ''f'' şi ''g'' admit primitive pe ''I'' atunci <math> f+g </math> admite primitive pe ''I'' şi: <center><math> \int \left ( f(x)+g(x) \right ) \, \mathrm dx = \int f(x) \mathrm dx + \int g(x) \mathrm dx </math></center> == Integrale nedefinite utilizate frecvent == <table border="1"> <tr><td width="500" bgcolor="#ccffff" > <math> f: \mathbb R \to \mathbb R, \; f(x) = x^n, \; n \in \mathbb N \;\;</math> <center><math> \int x^n \mathrm dx = \frac {x^{n+1}}{n+1} + \mathcal C. </math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="ffffcc"> <math> f: I \to \mathbb R, \; I \subset (0, \infty) \; , \; f(x) = x^a \; ,\; a \in \mathbb R \setminus \{ 1 \} </math> <center><math> \int x^a \mathrm dx = \frac {x^{a+1}}{a+1} + \mathcal C.</math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="ccffcc"> <math>f: I \to \mathbb R \; , \; I \subset \mathbb R^* \; , \; f(x) = \frac 1x </math> <center><math> \int \frac 1x \mathrm dx = \ln | x | + \mathcal C. </math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="ffffaa"> <math> f: \mathbb R \to \mathbb R \;, \; f(x) a^x \; ,\; a>0 \; ,\; a \neq 1 </math> <center><math> \int a^x \mathrm dx = \frac {a^x}{\ln a} + \mathcal C. </math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="ccffff"> <math> f: I \to \mathbb R \; ,\; I \subset \mathbb R \setminus \{ -a, a \} \, , \, f(x) = \frac {1}{x^2-a^2}\, , \, a \neq 0 </math> <center><math> \int \frac {\mathrm dx}{x^2-a^2} = \frac {1}{2a} \ln \left | \frac {x-a}{x+a} \right | + \mathcal C. </math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="aaffaa"> <math> </math> <center><math> </math></center> </td> </tr> <tr><td width="500" bgcolor="aaffaa"> <math> </math> <center><math> </math></center> </td> </tr> </table> {{Analiză matematică}} hx34upv4mar80wmgo1ri9kca0fnq1sw 0 8131 37679 34643 2026-06-29T00:58:58Z Gdaniel111 3683 legătură 37679 wikitext text/x-wiki [[Fișier:Calculul unui volum 98eujhdfn.png|right|300px]] '''1.''' Să se afle volumul solidului <math> S </math> mărginit de paraboloidul eliptic <math> x^2 + 2y^2 = 16, </math> de planele <math> x=2, \; y=2 </math> şi cele trei plane de coordonate. '''R.''' Se observă că <math> S </math> este solidul care rămâne între suprafaţa <math> z=16 - x^2 - 2y^2 </math> şi deasupra pătratului <math> R = [0, 2] \times [0, 2]. </math> Folosind teorema lui [[:ro:w:Guido Fubini|<span style="font: italic bold small-caps 1.2em sans-serif;">Fubini</span>]], rezultă: ::<math> \iint_\mathbf{R} (16- x^2 -2y^2) dA = \int_0^2 \int_0^2 (16- x^2 -2y^2) dx dy = </math> ::<math> = \int_0^2 (16 x -\frac {x^3}{3} - 2y^2 x) \Bigg \vert _0^2 dy = \int_0^2 \left ( \frac {88}{3} - 4y^2 \right ) dy = 48 . </math> ------------------- [[Fișier:Calculul unei integrale duble 098uygvbn.png|right|300px]] '''2.''' Să se calculeze integrala dublă: ::<math> \iint_D (x^2 + y^2) dx dy </math>, <math> D </math> fiind domeniul limitat de cercul de ecuaţie <math> x^2 + y^2 = 2ax. </math> '''R.''' Ecuaţia domeniului <math> D </math> se mai poate scrie: ::<math> (x-a)^2 +y^2 = a^2, </math> deci aceasta defineşte cercul cu centrul în punctul de coordonate <math> (a, 0) </math> şi de rază <math> a. </math> Deci este convenabil să utilizăm coordonatele polare pentru calculul integralei duble date. Se face schimbarea de variabile <math> (x, y) \to (r , \theta) </math>, dată prin transformarea <math> \begin{cases} x-a = r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{cases} </math> Noul domeniu de integrare (''domeniul transformat'') este: ::<math> D^* = \{ (x, y) \in \mathbb R^2 | 0 \le r \le a , \; 0 \le \theta \le 2 \pi \}. </math> Jacobianul acestei transformări este: ::<math> J= \frac {D(x, y)}{D(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac {\partial x}{\partial r} & \frac {\partial x}{\partial \theta} \\ \frac {\partial y}{\partial r} & \frac {\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & - r \cdot \sin \theta \\ \sin \theta & r \cdot \cos \theta \end{vmatrix} = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r, </math> iar <math> x^2 + y^2 = a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 . </math> Integrala de calculat devine: ::<math> \iint_D (a^2 + 2ar \cos \theta + r^2) r dr d \theta = \int_{0}^{a} \left [ \int_{0}^{2 \pi} (a^2 r + 2ar^2 \cos \theta + r^3) d \theta \right ] dr = 2 \pi \int_0^a (a^2 r + r^3) dr = \frac {3 \pi a^4}{2}. </math> --------------- {{Analiză matematică}} 4w0q2w87pkv7im08z9sxi9s8haso8wu 0 8230 37680 35570 2026-06-29T01:02:25Z Gdaniel111 3683 legătură, șters glumă 37680 wikitext text/x-wiki {{Analiză matematică}} a3wiukt0mm20jafj6ezmqv01nnc9b7f 0 8546 37684 37271 2026-06-29T01:20:39Z Gdaniel111 3683 legătură 37684 wikitext text/x-wiki Jocul de [[Fotbal|fotbal]] se joacă cu 11 jucători în fiecare ecihpă (incluzând portarii), dar, la un joc simplu, amical, minimul este de 7 (incluzând portarii). La un joc competitiv se pot avea 7 jucători de rezervă (de obicei unul fiind portar), dar nu se pot face decât 5 schimbări, indiferent de răniri, cu o excepție la contuzii, când se pot face două schimbări în plus. Prima lovire a mingii se face din punctul central. Echipa care va lovi prima se va alege aruncând cu banul. Ea va lovi spre partea echipei adverse, iar la a doua lovire din punctul central al terenului, care se face de fiecare dată când se înscrie un gol, echipa opusă va lovi și vor continua făcând cu rândul. Jocul durează 90 de minute, împărțite în două reprize de 45 de minute, cu o pauză de 15 minute între ele. Dacă mingea depasește linia terenului, trebuie aruncată înapoi în teren, de obicei de cel mai apropiat jucător, spre echipa opusă celei care a dat-o după linie. Când mingea depășește linia de gol, echipa la care trebuia să fie dat gol o lovește spre portarul ei, dar, dacă se depășește și acum linia, echipa adversă are voie să lovească mingea spre portarul celeilalte echipe. Jocul se căștigă de echipa care a dat cele mai multe goluri la finalul meciului. [[Categorie:Fotbal]] pctgp2jk54oln81yfr1cdzyrhgkozzm 0 8618 37682 2026-06-29T01:08:54Z Gdaniel111 3683 Gdaniel111 a redenumit pagina [[Clătite americane]] în [[Carte de bucate:Clătite americane]]: uniformizare 37682 wikitext text/x-wiki #REDIRECTEAZA [[Carte de bucate:Clătite americane]] gpbfywu9719yhejvq0unsj2t5kz8tuz