Wikibooks svwikibooks https://sv.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:Huvudsida MediaWiki 1.39.0-wmf.25 first-letter Media Special Diskussion Användare Användardiskussion Wikibooks Wikibooksdiskussion Fil Fildiskussion MediaWiki MediaWiki-diskussion Mall Malldiskussion Hjälp Hjälpdiskussion Kategori Kategoridiskussion TimedText TimedText talk Modul Moduldiskussion Gadget Gadget talk Gadget definition Gadget definition talk 3 10067 52533 51288 2022-08-21T17:01:40Z Knoppson 2055 /* Privat version av wikibooks */ nytt avsnitt wikitext text/x-wiki ==Administratör== Så, nu är också du administratör. Lycka till! MVH [[Användare:Averater|Averater]] ([[Användardiskussion:Averater|diskussion]]) 23 augusti 2015 kl. 14.07 (CEST) :Tack! [[Användare:JoergenB|Jörgen B]] ([[Användardiskussion:JoergenB|diskussion]]) 23 augusti 2015 kl. 17.55 (CEST) == How we will see unregistered users == <section begin=content/> Hej! Du får det här meddelandet eftersom du är administratör på en Wikimediawiki. När någon redigerar en Wikimediawiki utan att vara inloggad visar vi deras IP-adress. Som du kanske redan vet kommer vi inte att kunna göra det i framtiden. Detta är ett beslut från Wikimedia Foundations jurister, för att normer och regleringar om integritet på nätet har ändrats sedan Wikipedia startades. Istället för IP kommer vi att visa en maskerad identitet. Du som administratör '''kommer fortfarande ha tillgång till IP-numret'''. Det kommer också att finnas en ny användarrättighet för de som behöver tillgång till hela IP-adressen för att hantera vandalism, trakasserier och spam utan att vara administratörer. De som patrullerar kommer också att kunna se en del av IP-adressen utan användarrättigheten. Vi arbetar också på [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|bättre verktyg]] som stöd. Om du inte har sett sidan tidigare [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|kan du läsa mer på Meta]]. Om du vill försäkra dig om att inte missa tekniska uppdateringar på Wikimediawikierna kan du [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|prenumerera]] på det [[m:Tech/News|tekniska nyhetsbrevet]]. Vi har [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|två föreslagna sätt]] den här maskerade identiteten skulle kunna fungera på. '''Vi skulle uppskatta din återkoppling''' om vilket som skulle fungera bäst för dig och din wiki, nu och i framtiden. Du kan [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|svara på diskussionssidan]]. Du kan skriva på ditt språk. Föreslagen publicerades i oktober och vi kommer att besluta oss efter 17 januari. Tack. /[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]<section end=content/> 4 januari 2022 kl. 19.19 (CET) <!-- Meddelande skickades av User:Johan (WMF)@metawiki med hjälp av listan på https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(7)&oldid=22532681 --> == Privat version av wikibooks == Hej Jörgen! Jag undrar om man kan köpa en privat version av Wikibooks för jag tycker systemet är mycket bra och jag hanterar LaTex ganska bra. Jag svär nog i kyrkan nu men jag vill försöka tjäna pengar på att skriva en kommersiell bok också och då kan den ju inte gärna ligga på wikibooks. Den kommersiella boken kommer handla om alla mina 33 elektroniska konstruktioner som jag tagit fram de senaste 10 åren. Man kan inte alltid skriva för "skatorna" även om det både är kul och lärorikt samtidigt som jag visserligen inte är fattig tack och lov men jag är heller inte rik. Min fysiksvammelbok är sedan mest en generalrepetion av mina fysikstudier på högskolenivå vilket har varit väldigt nyttigt. Jag har för övrigt korrekturläst hela del 1 nu och avser införa en del förändringar, speciellt vad beträffar "numeriska exempel". [[Användare:Knoppson|Knoppson]] ([[Användardiskussion:Knoppson|diskussion]]) 21 augusti 2022 kl. 19.01 (CEST) qhtmow7gyv8cf7hpkry2l21wv30sc6c 52534 52533 2022-08-21T17:04:51Z Knoppson 2055 /* Privat version av wikibooks */ wikitext text/x-wiki ==Administratör== Så, nu är också du administratör. Lycka till! MVH [[Användare:Averater|Averater]] ([[Användardiskussion:Averater|diskussion]]) 23 augusti 2015 kl. 14.07 (CEST) :Tack! [[Användare:JoergenB|Jörgen B]] ([[Användardiskussion:JoergenB|diskussion]]) 23 augusti 2015 kl. 17.55 (CEST) == How we will see unregistered users == <section begin=content/> Hej! Du får det här meddelandet eftersom du är administratör på en Wikimediawiki. När någon redigerar en Wikimediawiki utan att vara inloggad visar vi deras IP-adress. Som du kanske redan vet kommer vi inte att kunna göra det i framtiden. Detta är ett beslut från Wikimedia Foundations jurister, för att normer och regleringar om integritet på nätet har ändrats sedan Wikipedia startades. Istället för IP kommer vi att visa en maskerad identitet. Du som administratör '''kommer fortfarande ha tillgång till IP-numret'''. Det kommer också att finnas en ny användarrättighet för de som behöver tillgång till hela IP-adressen för att hantera vandalism, trakasserier och spam utan att vara administratörer. De som patrullerar kommer också att kunna se en del av IP-adressen utan användarrättigheten. Vi arbetar också på [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|bättre verktyg]] som stöd. Om du inte har sett sidan tidigare [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|kan du läsa mer på Meta]]. Om du vill försäkra dig om att inte missa tekniska uppdateringar på Wikimediawikierna kan du [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|prenumerera]] på det [[m:Tech/News|tekniska nyhetsbrevet]]. Vi har [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|två föreslagna sätt]] den här maskerade identiteten skulle kunna fungera på. '''Vi skulle uppskatta din återkoppling''' om vilket som skulle fungera bäst för dig och din wiki, nu och i framtiden. Du kan [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|svara på diskussionssidan]]. Du kan skriva på ditt språk. Föreslagen publicerades i oktober och vi kommer att besluta oss efter 17 januari. Tack. /[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]<section end=content/> 4 januari 2022 kl. 19.19 (CET) <!-- Meddelande skickades av User:Johan (WMF)@metawiki med hjälp av listan på https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(7)&oldid=22532681 --> == Privat version av wikibooks? == Hej Jörgen! Jag undrar om man kan köpa en privat version av Wikibooks för jag tycker systemet är mycket bra och jag hanterar LaTex ganska bra. Jag svär nog i kyrkan nu men jag vill försöka tjäna pengar på att skriva en kommersiell bok också och då kan den ju inte gärna ligga på wikibooks. Den kommersiella boken kommer handla om alla mina 33 elektroniska konstruktioner som jag tagit fram de senaste 10 åren. Man kan inte alltid skriva för "skatorna" även om det både är kul och lärorikt samtidigt som jag visserligen inte är fattig tack och lov men jag är heller inte rik. Min fysiksvammelbok är sedan mest en generalrepetion av mina fysikstudier på högskolenivå vilket har varit väldigt nyttigt. Jag har för övrigt korrekturläst hela del 1 nu och avser införa en del förändringar, speciellt vad beträffar "numeriska exempel". [[Användare:Knoppson|Knoppson]] ([[Användardiskussion:Knoppson|diskussion]]) 21 augusti 2022 kl. 19.01 (CEST) mtsvlhwqdcuqxhm8dlxg00vwct38vx7 0 10474 52530 52331 2022-08-21T16:15:34Z Knoppson 2055 /* Kapitel LII, Antireflexbehandling av ytor */ wikitext text/x-wiki =Förord= Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma. Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas. ='''Del I, TERMISK FYSIK'''= =Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck= [[File:Fusion Gauss Clock.png|thumb|Bilden visar den Maxwellska fördelningsfunktionen för en viss hastighet hos en partikel i en gas]] En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur. Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur. Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi. Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}=e^{-\frac{E_k}{kT}}...1.1</math> som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e). Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt: <math>\frac{mv^2}{2}=kT...1.2</math> vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=v_{kT}...1.3</math> Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{m(v-v_{kT})^2/2}{kT}}...1.4</math> där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring <math>v=v_{kT}</math> för ärligt, vadå centrerad kring v=0? Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta. Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, <math>v_{kT}</math> ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust. Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt. Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar? Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg. Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P. Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar? Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner! Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är <math>F=m\frac{dv}{dt}=\frac{dP}{dt}...1.5</math> så har vi att kraften är <math>F=\frac{d(2mv)}{dt}...1.6</math> och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas <math>p=F/S...1.7</math> där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås <math>p=\frac{1}{S}\frac{d(2mv)}{dt}...1.8</math> Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar. För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna: <math>p=nkT...1.9</math> där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen. Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är <math>p=\rho gh...1.10</math> där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få. Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns? Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller? Jag har mycket att lära mig :D =Kapitel II, Härledning av Boyle's lag= [[File:Fusion PV Constant.png|thumb|Dom två linjerna representerar experimentellt uppmätta data sånär som på den streckade delen]] Det kan visas att under konstant tryck så gäller <math>V=V_0(1+\gamma t)...2.1</math> på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller <math>P=P_0(1+\beta t)...2.2</math> där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat <math>\gamma=\beta=1/273C...2.3</math> Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället: <math>V=V_0\gamma T...2.4</math> för en isobar och <math>P=P_0\gamma T...2.5</math> för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant. Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak. Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse. Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att <math>PV=konstant...2.6</math> för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process. Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med <math>\Delta T</math>), då har vi <math>P2=P1+ P1\gamma \Delta T...2.7</math> om sen volymen ändras men inte trycket så får vi <math>V2=V1+V1\gamma \Delta T...2.8</math> Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att <math>V2=V1+V1\gamma (-\Delta T)...2.8</math> Om vi multiplicerar V2 med P2 fås <math>P2V2=(P1+P1\gamma \Delta T) * (V1+V1\gamma (-\Delta T))...2.9</math> som kan skrivas om enligt <math>P2V2=P1V1+P1V1\gamma\Delta T-P1V1\gamma \Delta T-P1V1(\gamma \Delta T)^2...2.10</math> dvs <math>P2V2=P1V1(1-(\gamma \Delta T)^2)...2.11</math> Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta T}{273})^2)...2.12</math> dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att <math>P2V2=P1V1=konstant...2.13</math> Dvs, Boyles's lag =Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen= [[File:Fusion PVT 2.png|thumb|Gasers beroende av tryck, volym och temperatur. Om man står i 0 och vill ta sig till Q så kan man alltså gå två helt olika vägar]] Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret. P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag). Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2. Nu är: <math>P2=P1\gamma T2...3.1</math> och pga isotermen T2 <math>P3V3=P2V1=P1\gamma T2 V1...3.2</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.3</math> Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att <math>V2=V1\gamma T2...3.4</math> sen har vi att <math>P3V3=P1V2...3.5</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.6</math> På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.7</math> Som kan skrivas om enligt <math>P3V3=P1V1T2/To...3.8</math> så att <math>\frac{P_3V_3}{T_2}=\frac{P_1V_1}{To}...3.9</math> där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt: <math>PV=RT_2...3.10</math> R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som <math>PV=n_mRT...3.11</math> där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns. Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar. Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden. ==Fritänkande, tryck i en ballong== Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt. Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att <math>PV=n_{m}RT...4.1</math> som kan skrivas om enligt <math>P=\frac{n_{m}}{V}RT...4.2</math> Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant. Kan detta verkligen stämma? Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge. Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför. Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför. Så hur spränger man en ballong då? Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag. Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ). =Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin= [[File:Fusion Particles.png|thumb|En visualisering av partiklar som träffar en yta]] [[File:Fusion Sphere.png|thumb|Beräkning av ringarea hos en sfär]] Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt. Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta. Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas <math>dV=S\cdot vdt\cdot cos\theta...5.1</math> där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt. n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som <math>dn(v, \theta)=n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.2</math> då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen. Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då: <math>dN(v, \theta)=dV\cdot dn(v,\theta)=S\cdot vdt\cdot cos\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.3</math> då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan. Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas <math>P(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta...5.4</math> så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som <math>P(v, \theta)\cdot dN(v, \theta)=dP(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta\cdot S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.5</math> eller <math>dP(v, \theta)=2mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.6</math> Om vi tecknar <math>\frac{n(v, \theta)\cdot dv\cdot d\theta}{n(v)\cdot dv}=\frac{antalet.molekyler.inom.v+dv.och.\theta+d\theta}{antalet.molekyler.inom.v+dv}=\frac{2\pi sin\theta \cdot d\theta}{4\pi}...5.7</math> dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot <math>\frac{1}{2}sin(\theta) \cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...5.8</math> så att vi i vårt uttryck för dP får <math>dP(v, \theta)=mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot n(v) \cdot dv ...5.9</math> Sen har vi att <math>F=\frac{dP}{dt}...5.10</math> vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som <math>p=\frac{F}{S}...5.11</math> så kan S förkortas bort och vi har <math>dp(v, \theta)=mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot cos^2\theta\cdot sin\theta \cdot d\theta...5.12</math> Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara? Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk. Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har <math>\int{dp(v, \theta)}=\int{mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot sin\theta \cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.13</math> vilket eventuellt är lika med <math>\int{dp(v, \theta)}=2\int{\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv} \cdot \int{sin\theta\cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.14</math> där <math>\int sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta...5.15</math> minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser? Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs <math>\int_0^{\pi/2}sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta=\frac{1}{3}[-cos^3\theta ]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{3}[cos(\pi/2)^3-cos(0)^3]=\frac{1}{3}...5.16</math> Detta är ÄNTLIGEN rätt! Man kan således konstatera att jag fått fram att <math>p=\int dp(v, \theta)=\frac{1}{3}\int mv^2\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int \frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv...5.17</math> eller <math>p=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^\infty Ek_p\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\int_{-\infty}^\infty n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\cdot n...5.18</math> Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet. n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser. Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty <math>p\propto nEk_p=\frac{N}{V}Ek_p=\frac{Ek}{V}...5.19</math> där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi. Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling: <math>p\propto \frac{1}{V}\sum_{j=1}^N{j\cdot Ek_p}...5.20</math> dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket. Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken? =Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen= [[File:Fusion Pressure 2.png|thumb|Figuren visar olika aspekter hos tryck, bl.a annat visar den hur den kinetiska energin blir beroende av temperaturen]] Ideala (obs) gaslagen säger oss att: <math>pV=n_mRT...6.1</math> där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten. Men ovan hade vi ju att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.2</math> som multiplicerat med V ger <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...6.3</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...6.4</math> och <math>n_m=N/N_a...6.5</math> där Na är Avogadros tal, så vi har <math>\frac{R}{N_a}T=\frac{2}{3}Ek_p...6.6</math> R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...6.7</math> och eftersom <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.8</math> så blir <math>p=nkT...6.9</math> Ekvation 6.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant (pv är således konstant... :humm: ) Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna. Intressant. Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna. ==Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet== Denna ekvation <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta t}{273})^2)...8.1</math> säger att <math>P2V2=P1V1=konstant...8.2</math> men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm. Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur? En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller. Fast vad betyder det här egentligen? Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen? Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K? Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen: <math>pV=n_mRT...8.3</math> och vi har enligt ovan att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...8.4</math> sen har vi efter multiplikation med V <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...8.5</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...8.6</math> och ur detta faller (se ovan) <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...8.7</math> och <math>p=nkT...8.8</math> Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre. Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :) ==Fritänkande, tryck utan väggar== Observerade en påse på ICA häromdan. Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld. Vad var det som hände? Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller <math>p=nkT...7.1</math> där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant. Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma. Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden. Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt? Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda? En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar? Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil. Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan. Vad är det då som bestämmer trycket? Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små. Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket. Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta. Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket. För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå. Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck. Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen): <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...7.2</math> Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen: <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...7.3</math> Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen: <math>p=nkT...7.3</math> vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda. Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma. Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel. Det också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig. ==Fritänkande, partiklars olika hastighet== Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...9.1</math> där <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.2</math> ut att <math>p=\frac{1}{3}\frac{Nmv^2}{V}...9.3</math> dvs <math>p\propto \rho v^2...9.4</math> där rho helt enkelt är densiteten. Mycket intressant tycker jag för <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.5</math> ihop med <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...9.6</math> säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma. Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet. Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva <math>v^2=\frac{3}{m}kT...9.7</math> som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur (jfr ekv 9.4). När man tittar på den kinetiska energin (ekv 9.5) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 9.6) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa. Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar. Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande. ==Fritänkande, uppskattat tryck hos luft== Ekvation <math>p=nkT...10.1</math> är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar <math>p=\frac{N\cdot m}{V}\cdot \frac{kT}{m}=\frac{\rho}{m}kT...10.2</math> så blir den mer begriplig. Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas <math>n=\frac{p}{kT}...10.3</math> där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket. Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 10.2. För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då? Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna. Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 10.3 så får vi <math>n=\frac{1,013E+5}{1,38E-23*293}=2,5E25</math> dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur. Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16m_p+8/10X2X14m_p}kT</math> där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve. Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg. Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som: <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16*1,67E-27+8/10X2X14*1,67E-27}1,38*10^{-23}*293=84kPa</math> Rätt nära 101,3kPa faktiskt :) =Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden= [[File:Fusion Hits.png|thumb|En visualisering av hur partiklar i en gas krockar med varandra]] Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar). Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra. Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock). Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet. Låt oss försöka kalkylera stöttalet, ns, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet: Den infinitesimala volymen är <math>dV=Svdt\cdot cos\theta...11.1</math> där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S Antalet partiklar inom denna volym är <math>dn_s=n(v, \theta)dvd\theta dV...11.2</math> men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta dV...11.3</math> Så att antalet molekyler inom denna volym är <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta Svdt\cdot cos\theta...11.4</math> och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs <math>n_s=\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}sin\theta \cdot cos\theta d\theta...11.5</math> där <math>\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv=n<v>...11.6</math> där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir: <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.7</math> Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är <math>dV=\frac{\pi}{4}d^2vdt...11.8</math> Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym <math>dV=\pi d^2 vdt...11.9</math> då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet <math>N_{ct}=n\cdot\frac{dV}{dt}=n\pi d^2 v\approx nd^2v...11.10</math> Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också <math>N_{ct}=\sqrt2 \pi n d^2 v...11.11</math> Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså <math>n\cdot N_{ct}=\sqrt2 \pi n^2 d^2 v...11.12</math> således är antalet kollisioner <math>\frac{1}{2}n\cdot N_{ct}=\frac{1}{\sqrt{2}}\pi n^2 d^2 v...11.13</math> Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet. <math>l=\frac{v}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}=\frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}...11.14</math> Nu har vi två ekvationer: 11.7 & 11.11. Ekv 11.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.15</math> så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt <math>n=\frac{p}{kT}...11.16</math> och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans. Hastigheten kan då räknas ut genom <math>Ek=\frac{3}{2}kT=\frac{mv^2}{2}...11.17</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}...11.18</math> där m kan uppskattas som <math>m \approx \frac{2}{10}*2*(8m_n+8m_p)+\frac{8}{10}*2*(7m_n+7m_p)\approx \frac{2}{10}*2*(16m_p)+\frac{8}{10}*2*(14m_p)\approx 30m_p...11.19</math> där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet. Så hur bred är en proton? Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta: Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3. Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är <math>\rho=\frac{m}{V}...11.20</math> dvs <math>V=\frac{m}{\rho}...11.21</math> som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 11.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft. Fria medelvägslängden för luft är sedan <math>l=\frac{1}{\sqrt(2) \pi n d^2}...11.22</math> och om man använder d som approximativt lika med R (i.e E-10) och n=E25 så blir det bara 1um luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar. Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs <math>p=\sum n_i kT...11.23</math> ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig. Radien <math>r_0</math> hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas <math>R\approx r_0*A^{1/3}\approx 10^{-15}*A^{1/3}...11.24</math> där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner). Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta <math>n\approx \frac{A}{R^3}=\frac{A}{(r_0A^{1/3})^3}=\frac{1}{r_0^3}\approx 10^{45}...11.25</math> dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten! Jag tycker detta är sanslöst fascinerande! Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :) Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas <math>\rho=\frac{N A m_p}{V}=n A m_p...11.26</math> där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs <math>n=\frac{\rho}{A m_p}...11.27</math> så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få <math>n\approx\frac{1000}{10^{-26}}=10^{29}...11.28</math> ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26. Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med. =Kapitel VII, Molekylär diffusion= [[File:Fusion Diffusion.png|thumb|Molekylär diffusion]] Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen. Vi antar sedan följande: 1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v> 2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner 3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led. Vad händer vid tvärsnittet i x? 1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är <math>N_{x-1}=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt...12.1</math> På samma sätt passerar <math>N_{x+1}=\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.2</math> som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l. På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.3</math> i positiva x-riktningen. Men <math>n_{x-1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(-l)...12.4</math> och <math>n_{x+1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(+l)...12.5</math> dvs <math>n_{x-l}-n_{x+l}=-2l\frac{dn}{dx}...12.6</math> Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 12.3) <math>j=\frac{1}{6}v(n_{x-l}-n_{x+l})=-\frac{1}{3}lv\frac{dn}{dx}...12.7</math> Vi har alltså en partikelflux enligt <math>j=-D\frac{dn}{dx}...12.8</math> där <math>D=\frac{1}{3}lv...12.9</math> som kallas diffusionskoefficienten. =Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)= [[File:Fusion Viscosity.png|thumb|Viskositetens inre struktur]] Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln. 1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är <math>\frac{1}{6}n_{y-1}Svdt...13.1</math> pss passerar <math>\frac{1}{6}n_{y+1}Svdt...13.2</math> uppifrån. Netto i positiva y-riktningen är <math>\frac{1}{6}Svdt(n_{y-l}-n_{y+l})...13.3</math> men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs <math>n_{y-l}-n_{y+l}=0...13.4</math> Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led. Men hastigheten <math>v_x...13.5</math> (strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y. Molekylerna från y-l medför impulsen <math>mv_{x,y-l}...13.6</math> och molekylerna från y+l medför impulsen <math>mv_{x, y+l}...13.7</math> Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då <math>\frac{1}{6}Svdt(nm v_{x, y-l}-nm v_{x, y+l})...13.8</math> med <math>v_{x,y-l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(-l)...13.9</math> och <math>v_{x,y+l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(+l)...13.10</math> har vi <math>v_{x, y-l}-v_{x, y+l}=-2l\frac{dv_x}{dy}...13.11</math> Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt <math>\frac{dp_x}{dt}=\frac{1}{6}Svnm (-2l\frac{dv_x}{dy})=\frac{1}{6}Sv\rho(-2l\frac{dv_x}{dy})...13.12</math> alltså <math>\frac{dp_x}{dt}=-\frac{1}{3}Svl\rho \frac{dv_x}{dy}=-DS\rho \frac{dv_x}{dt}=F_x...13.13</math> =Kapitel IX, Termisk diffusion= [[File:Fusion Thermal Diffusion.png|thumb|Termiska diffusionens inre struktur]] På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att: På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...14.1</math> i positiva x-riktningen. Nu är dock <math>n_{x-l}=n_{x+l}...14.2</math> men <math>v_-...14.3</math> är ej lika med <math>v_+...14.4</math> ty <math>Ekp=\frac{\alpha}{2}kT...14.5</math> och <math>Ekp=\frac{1}{2}m<v>^2...14.6</math> som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3). Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x: från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av <math>\frac{1}{6}nS<v_->dt...14.7</math> molekyler, vardera med energin <math>\frac{\alpha}{2}k[T-\frac{dT}{dx}l]...14.8</math> Total passeras S vid x av energin <math>dQ=\frac{1}{6}nS<v_->dt[\frac{\alpha}{2}k(T-\frac{dT}{dx}l)]-\frac{1}{6}nS<v_+>dt[\frac{\alpha}{2}k(T+\frac{dT}{dx}l)]...14.9</math> vilket ger <math>\frac{dQ}{dt}\approx \frac{1}{6}nS<v>\frac{\alpha}{2}k2(-\frac{dT}{dx}l)=-\frac{nS<v>\alpha kl}{6}\frac{dT}{dx}...14.10</math> eller <math>\frac{dQ}{dt}=-\gamma S \frac{dT}{dx}...14.11</math> med <math>\gamma=\frac{n<v>\alpha kl}{6}...14.12</math> med <math>D=\frac{1}{3}<v>l...14.13</math> kan vi alternativt skriva <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD...14.14</math> Här är jag osäker för stora Cv är <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...14.15</math> där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser. Lilla cv definieras som <math>c_V=\frac{1}{m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.16</math> och är värmekapacitiviteten för solida material För gaser definieras stora Cv som <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.17</math> där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka. I vilket fall definierar min lärare gamma som <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.18</math> Där den sista likheten för mig är något diffus. Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...14.19</math> där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas). Den inre energin U kan skrivas <math>U=N*Ekp=n_mN_AEkp=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_m\frac{\alpha}{2}RT=n_mC_VT...14.20</math> där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 14.16 och 14.19 ger sedan att <math>mc_VdT=dQ=dU=n_m\frac{\alpha}{2}RdT...14.21</math> därmed <math>mc_V=n_m\frac{\alpha}{2}R...14.22</math> dvs <math>c_V=\frac{n_m}{m}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{N_Am}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{m}\frac{\alpha}{2}k=\frac{1}{m_p}\frac{\alpha}{2}k...14.23</math> Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 14.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi. Om vi tar oss en ny titt på 14.18 som jag repeterar <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.24</math> Så har vi från 14.23 att <math>\frac{\alpha}{2}k=m_pc_V...14.25</math> och ekvationen går ut. Indexeringen V hos 14.16 och 14.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0. ==Fritänkande, förenklad syn på diffusion== Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga: Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet <math>n_s=\frac{1}{4}nv...15.1</math> där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida. Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty <math>F=\frac{dP}{dt}=m\frac{dv}{dt}...15.2</math> detta kallas också viskositet. Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom). =Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats= [[File:Fusion Thermal Dynamics.png|thumb|Hur gaser reagerar på värme]] Termodynamikens första huvudsats lyder: <math>dQ=dU+dW...16.1</math> där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete. Ekvation 16.1 kan förenklas till <math>dQ=dU+pdV...16.2</math> vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV. Inre energin är sen <math>U=NEk_p=n_mN_AEk_p=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_mR\frac{\alpha}{2}T=n_mC_VT...16.3</math> där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet. Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen. Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas <math>c_V=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}...16.4</math> som för gaser istället kan tecknas <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...16.5</math> och <math>C_P=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_P...16.6</math> där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant. =Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv= [[File:Fusion Gas Work.png|thumb|Stadiet för en gas när man tillför värme, förskjutningen är dx]] Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet: <math>dW=Fdx=pSdx=pdV...17.1</math> Första huvudsatsen <math>dQ=dU+dW...17.2</math> och sambandet dW=pdV ger <math>dU=dQ-pdV...17.3</math> eller <math>\frac{dU}{dT}=\frac{dQ}{dT}-p\frac{dV}{dT}...17.4</math> och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta <math>\frac{dU}{dT}=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.5</math> och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva <math>n_mC_V=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.6</math> differentiering av allmänna gasekvationen <math>pV=n_mRT...17.7</math> ger oss att <math>pdV+Vdp=n_mRdT...17.8</math> där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 17.6 blir <math>n_mC_V=n_mC_P-n_mR...17.7</math> dvs <math>C_V=C_P-R...17.8</math> som brukar skrivas om enligt <math>\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{R}{C_V}=\gamma...17.9</math> som alltså fått en egen konstant, gamma. Vi vet sedan tidigare att <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...17.10</math> så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir <math>C_V=\frac{3}{2}R...17.11</math> vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa. =Kapitel XII, Termiska delprocesser= [[File:Fusion Thermal Processes.png|thumb|En hypotetisk termisk process som använder alla tillgängliga delprocesser]] Det finns fyra olika delprocesser och dessa är: 1) Isokor, konstant volym (dV=0) 2) Isobar, konstant tryck (dp=0) 3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0) 4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0) Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen: <math>dQ=dU+pdV...18.1</math> Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som <math>dQ=dU...18.2</math> eller <math>(\frac{dQ}{dT})_V=\frac{dU}{dT}=n_mC_V...18.3</math> vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med <math>dU=n_mC_VdT...18.4</math> Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin <math>U=NEk_p=n_m\frac{\alpha}{2}RT...18.5</math> och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen. Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får <math>dQ=dU+pdV...18.6</math> här är arbetet gasen uträttar pdV enligt <math>pdV=dQ-dU...18.7</math> som kan skrivas om enligt <math>\frac{pdV}{dT}=(\frac{dQ}{dT})_P-\frac{dU}{dT}...18.8</math> dvs <math>\frac{pdV}{dT}=n_mC_P-n_mC_V...18.9</math> med andra ord uträttar gasen arbetet <math>pdV=n_m(C_P-C_V)dT...18.10</math> vid en isobar process. Vid en isoterm process gäller (som alltid) <math>dQ=dU+pdV...18.11</math> Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället <math>dQ=pdV...18.12</math> eller <math>\frac{dQ}{dT}=\frac{pdV}{dT}...18.13</math> dvs <math>pdV=n_mC_VdT...18.14</math> som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur). Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först <math>dQ=dU+pdV...18.15</math> som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt <math>dU=-pdV...18.16</math> det här kan som vanligt skrivas om enligt <math>\frac{dU}{dT}=-\frac{pdV}{dT}...18.17</math> och eftersom <math>dU=n_mC_VdT...18.18</math> så får vi att <math>n_mC_V=-\frac{pdV}{dT}...18.19</math> om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi <math>pdV+Vdp=n_mRdT...18.20</math> om vi löser ut dT så får vi <math>dT=\frac{pdV+Vdp}{n_mR}...18.21</math> som insatt i 18.19 blir <math>n_mC_V=-n_mR\frac{pdV}{pdV+Vdp}...18.22</math> som kan skrivas om enligt <math>R=-C_V*(1+\frac{Vdp}{pdV})...18.23</math> eller <math>-(\frac{R}{C_V}+1)=\frac{Vdp}{pdV}...18.24</math> dvs <math>-\gamma=\frac{Vdp}{pdV}...18.25</math> eller <math>-\gamma \frac{dV}{V}=\frac{dp}{p}...18.26</math> så att <math>-\gamma \int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=\int_{p_1}^{p_2}{\frac{dp}{p}}...18.27</math> som ger att <math>-\gamma (\ln{V_2}-\ln{V_1})=\ln{p_2}-\ln{p_1}...18.28</math> dvs <math>-\gamma \ln{\frac{V_2}{V_1}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.29</math> eller <math>\ln{(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.30</math> då fås <math>(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.31</math> som kan skrivas om enligt <math>(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.32</math> dvs <math>p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma}=konstant...18.33</math> V.S.V =Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden= [[File:Fusion Carnot.png|thumb|Carnot-maskinen i praktiken]] Carnotprocessen består av fyra delprocesser. Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression. Vi har alltså fyra delprocesser och de är: 1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0 2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0 3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0 4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0 Allmänt gäller <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...19.1</math> dvs termodynamikens första huvudsats så: För 1 gäller (dT=dU=0) <math>dQ=pdV...19.2</math> och genom att använda allmänna gaslagen <math>pV=n_mRT...19.3</math> och lösa ut p fås <math>dQ=n_mRT_1\frac{dV}{V}...19.4</math> som uppintegrerat innebär <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.5</math> vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen. För 2 gäller (dQ=0) <math>pdV=-dU...19.6</math> dvs <math>pdV=-n_mC_VdT...19.7</math> som uppintegrerat blir <math>W_2=-n_mC_V(T_2-T_1)...19.8</math> som alltså är arbetet gasen utför. för 3 gäller samma formler som för 1 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.9</math> och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs <math>W_4=-n_mC_V(T_1-T_2)=+n_mC_V(T_2-T_1)...19.10</math> Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens. Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.11</math> och bortförd värmemängd som Q2 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.12</math> då kan man definiera en verkningsgrad som <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{Q_{tillford}-Q_{bortford}} {Q_{tillford}}...19.13</math> Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt" För isosotemerna så kan vi emellertid skriva: <math>P_1V_1=P_2V_2...19.14</math> och <math>P_3V_3=P_4V_4...19.15</math> sen kan vi skriva adiabaterna enligt <math>P_2V_2^\gamma=P_3V_3^\gamma...19.16</math> och <math>P_4V_4^\gamma=P_1V_1^\gamma...19.17</math> och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås <math>p_1p_2p_3p_4V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=p_1p_2p_3p_4V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19,18</math> dvs <math>V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19.19</math> eller <math>V_2^{\gamma-1}V_4^{\gamma-1}=V_3^{\gamma-1}V_1^{\gamma-1}...19.20</math> dvs <math>\frac{V_2^{\gamma-1}}{V_1^{\gamma-1}}=\frac{V_3^{\gamma-1}}{V_4^{\gamma-1}}...19.21</math> eller <math>\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}...19.22</math> Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.23</math> och <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.24</math> så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som <math>Q_2=-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}...19.25</math> Vilket ger verkningsgraden <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}}{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}}...19.26</math> eller <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1}...19.27</math> Denna formel kan sedan skrivas om enligt <math>\eta=1-\frac{Q_1}{Q_2}=1-\frac{T_1}{T_2}...19.28</math> där vi kan nyttja <math>\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{T_1}{T_2}...19.29</math> eller <math>\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}...19.30</math> Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller. ='''Del II, VÅGRÖRELSELÄRA'''= Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap. =Kapitel XIV, Svängningsrörelse= [[File:Fusion Motion.png|thumb|En belastad fjäder i rörelse]] Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.1</math> dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0. En lösning till det här är <math>s=Asin(wt+\phi)...20.2</math> där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll. Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer: <math>\frac{ds}{dt}=Awcos(wt)...20.3</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-Aw^2sin(wt)...20.4</math> detta leder till att 20.1 blir <math>-mAw^2sin(wt)=-CAsin(wt)...20.5</math> där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi <math>mw^2=C...20.6</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.7</math> som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper. Sen tecknar vi rörelseenergin <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2=\frac{1}{2}mA^2w^2cos^2(wt)=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-sin^2(wt))...20.8</math> dvs <math>E_k=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-\frac{s^2}{A^2})=\frac{1}{2}mw^2(A^2-s^2)...20.9</math> och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet) <math>E_p=-\int Fds=\int Csds=\frac{1}{2}Cs^2=\frac{1}{2}mw^2s^2...20.10</math> och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt <math>E_{tot}=E_k+E_p=\frac{1}{2}mw^2A^2=\frac{1}{2}CA^2...20.11</math> Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 20.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.12</math> sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell. Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av <math>i=C\frac{du}{dt}...20.13</math> och <math>u=-L\frac{di}{dt}...20.14</math> och om man stoppar in 20.13 i 20.14 så fås <math>LC\frac{d^2u}{dt^2}=-u...20.15</math> och om vi jämför med 20.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1. Jämför man sen med 20.7 så ser man att <math>w=\sqrt{\frac{1}{LC}}...20.16</math> där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan. Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som <math>\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2x...20.17</math> där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa. Om vi tittar på differentialekvationen 20.1 igen och repeterar <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.18</math> samt tar till lite komplexa trick som <math>s=Ae^{jwt}...20.19</math> och deriverar detta enligt <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...20.20</math> samt <math>\frac{ds^2}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...20.21</math> så att 20.18 blir <math>F=-mw^2s=-Cs...20.22</math> där det bara är att förkorta bort s varvid vi får <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.23</math> och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt. Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel. Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP. Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m <math>AM(t)=(c+me^{jw_mt})e^{jw_ct}...20.24</math> där c står för carrier och m för message. Detta kan sedan förenklas till <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+w_m)}...20.25</math> där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna. Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+/-w_m)}...20.26</math> Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex <math>sin(w_ct)sin(w_mt)=sin(w_ct-w_mt)-sin(w_ct+w_mt)...20.27</math> Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången. För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå <math>FM(t)=Ae^{jt(w_c+w_m)}=ce^{jw_ct}\cdot me^{jw_mt}...20.28</math> Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc. =Kapitel XV, Vågekvationen= [[File:Fusion Wave Propagation.png|thumb|En våg breder ut sig]] Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> Detta kan också tecknas <math>x-vt=u...21.2</math> kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är <math>s=f(u)...21.3</math> då är <math>\frac{\delta s}{\delta x}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta x}=\frac{df}{du}...21.4</math> och <math>\frac{\delta s}{\delta t}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta t}=-v\frac{df}{du}...21.5</math> andraderivatorna blir då <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2f}{du^2}...21.6</math> respektive <math>\frac{\delta^2s}{\delta t^2}=v^2\frac{d^2f}{du^2}...21,7</math> som ger <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.8</math> Detta kallas vågekvationen. v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till. =Kapitel XVI, Vågutbredning= [[File:Fusion Circle 2.png|thumb|Studie över hur en våg breder ut sig]] Ekvation 21.1 enligt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt <math>s(x,t)=f(t-\frac{x}{v})...22.1</math> Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig. Om funtionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt <math>s(x,t)=sin(2\pi f t-2\pi f \frac{x}{v})...22.2</math> eller <math>s(x,t)=sin(2\pi \frac{t}{T}-2\pi \frac{x}{\lambda})...22.3</math> Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position. Emedan det är tämligen känt att <math>w=\frac{2\pi}{T}=2\pi f...22.4</math> så kallas samtidigt <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...22.5</math> där <math>\lambda=\frac{v}{f}...22.6</math> =Kapitel XVII, Longitudinell våg= [[File:Fusion Rod 2.png|thumb|Långitudinell våg i en stång]] Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen. Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven. Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt <math>s(x+dx,t)=s(x,t)+\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.1</math> störningsdifferensen är då <math>s(x+dx,t)-s(x,t)=\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.2</math> dvs den relativa töjningen är <math>e=\frac{\frac{\delta s}{\delta x}dx}{dx}=\frac{\delta s}{\delta x}...23.3</math> Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt <math>\sigma =eE...23.4</math> spänningen kan också tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...23.5</math> där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas <math>F=\sigma Y=YEe=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.6</math> Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av) <math>F2-F1=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.7</math> F1 blir enligt 23.6 <math>F1=F(x)=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.8</math> och F2 bir galant pga implicit derivering <math>F2=F(x+dx)=F(x)+YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.9</math> dvs <math>F2-F1=YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.10</math> och kombineras detta med 23.7 så fås <math>YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.11</math> eller <math>E\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\rho \frac{d^2s}{dt^2}...23.12</math> dvs <math>\frac{E}{\rho}\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...23.13</math> identifiering med vågekvattionen <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> ger slutligen att hastigheten ges av <math>v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}...23.14</math> =Kapitel XVIII, Transversell våg= [[File:Fusion String 2.png|thumb|Visar krafterna på en sträng]] Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2. Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna <math>F_1cos(\theta_1)=F_2cos(\theta_2)...24.1</math> men om vinklarna är små så gäller <math>sin(\theta)=tan(\theta)=\theta...24.2</math> därmed gäller <math>F_1=F_2=F...24.3</math> därför kan man teckna <math>F(x)=F\cdot sin(\theta)=F\cdot tan(\theta)=F\frac{ds}{dx}...24.4</math> ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att <math>F(x+dx)-F(x)=F(x)+F\frac{d^2s}{dx^2}dx-F(x)=F\frac{d^2s}{dx^2}dx...24.5</math> sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean <math>F\frac{d^2s}{dx^2}dx=ma=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Y dx\frac{d^2s}{dt^2}...24.6</math> så att <math>\frac{F}{\rho Y}\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...24.7</math> identifiering med vågekvationen <math>v^2\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...21.18</math> ger sedan att <math>v=\sqrt{\frac{F}{\rho Y}}...24.8</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> med my=m/L, eftersom spänningen i strängen kan tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...24.10</math> så kan v även skrivas <math>v=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}...24.11</math> 24.9 sägs vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig? För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter. Nu har vi två saker att beakta: 1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led. 2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led. Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led. 1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller. ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I== Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt <math>m\frac{d^2s}{ds^2}=-Cs...24.12</math> där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva <math>s=Ae^{jwt}...24.13</math> dvs <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...24.14</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...24.15</math> så att <math>-mw^2s=-Cs...24.16</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.17</math> där <math>|v|=wA...24.18</math> enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att <math>v=A*\sqrt{\frac{C}{m}}...24.19</math> där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 24.19 också skrivas <math>v=A*\sqrt{\frac{F}{Lm}}...24.20</math> och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.21</math> som är samma som 24.9 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 24.19 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden. Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs <math>T=2A/v...24.22</math> Frekvensen är nu inversen av detta dvs <math>f=v/2A=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.23</math> När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller? Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår. Problemet nu är min personliga övertygelse om <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.24</math> dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden. Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led. Jag får inte ihop det här. Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet) ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II== Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan. Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till <math>s=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> där vågtalet k (lambda/2pi) är infört. Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller <math>wt=kx...24.26</math> och om man då löser ut x så får man <math>x=\frac{w}{k}t...24.27</math> derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...24.28</math> men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet! w/k kan för övrigt förenklas till <math>\frac{w}{k}=\frac{2\pi f}{2\pi/\lambda}=f*\lambda=v_f...24.29</math> MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort. Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.30</math> vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs <math>v=wA...24.31</math> Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju! Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0). Frekvensen kan fås av att <math>w=2 \pi f...24.32</math> och att <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.33</math> dvs <math>f=\frac{1}{2\pi}* \sqrt{\frac{C}{m}}...24.34</math> där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz. Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%. Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E. Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed <math>v=Aw=A\sqrt{\frac{C}{m}}...24.35</math> och <math>f=\frac{w}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.36</math> och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A...24.37</math> Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg. Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A==\frac{2L}{n}...24.38</math> Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor). Så A ovan kan bytas ut mot <math>A=\frac{L}{n\pi}...24.39</math> och insatt i 24.35 får man <math>v=\frac{L}{n\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.40</math> där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå? ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III== Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> sen har vi att <math>f=\frac{v}{\lambda}...24.41</math> Vad är nu lambda? Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs <math>s(0,t)=Ae^{jwt}==0...24.42</math> Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då <math>wt=n*\pi...24.43</math> Samtidigt har vi att <math>s(L,t)=Ae^{j(wt-kL)}==0...24.44</math> Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås <math>wt=kL...24.45</math> kombinerar vi 24.43 med 24.45 så fås <math>n*\pi=kL...24.46</math> och eftersom <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...24.47</math> så blir 24.46 <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.48</math> och därmed blir <math>\lambda=\frac{2L}{n}...24.49</math> som gör att 24.41 blir <math>f=\frac{n}{2L}*\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.50</math> =Kapitel XIX, Elektromagnetism= [[File:Fusion Coulomb.png|thumb|En visualisering av Coulombs lag]] Coulombs lag kan tecknas <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.1</math> som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.2</math> där <math>\epsilon=\epsilon_r \epsilon_0...25.3</math> där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre. Man kan se 25.2 på ännu ett intressant sätt <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{4\pi r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{A_s}...25.4</math> där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt. Sen skulle jag vilja förenkla 25.1 till <math>F\propto \frac{Q^2}{r^2}...25.5</math> där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som <math>E=\frac{F}{Q}...25.6</math> vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således <math>E\propto \frac{Q}{r^2}...25.7</math> eller mer korrekt <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q}{A_s}=\frac{1}{\epsilon}\rho_s...25.8</math> där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs <math>D=\epsilon E...25.9</math> vilket innebär att 25.8 kan tecknas <math>D=\rho_s...25.10</math> eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp <math>\oint_S D dS=\int_S \rho_s dS=Q...25.11</math> kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt <math>\oint_S D dS=\int_V \rho_v dV=Q...25.12</math> ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :) Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas <math>W_p=-\int_\infty^r Fdr...25.13</math> där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att <math>W_p=QV(r)=\int Fdr \propto \int \frac{Q^2}{r^2}dr=\frac{Q^2}{r}...25.14</math> dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är <math>V(r)\propto \frac{Q}{r}...25.15</math> =Kapitel XX, Energiprincipen= Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt <math>W_p+W_k=konstant...26.1</math> Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt: <math>W_p=-\int_\infty^x Fdx...26.2</math> respektive <math>W_k=\int_0^v p dv...26.3</math> där p=mv, med andra ord kan man se 26.3 som <math>W_k=\int_0^v mv\cdot dv...26.4</math> men om vi nu utvecklar detta så fås <math>W_k=\int_0^v m\frac{dx}{dt}\cdot dv...26.5</math> som kan skrivas om enligt <math>W_k=\int_0^v m\frac{dv}{dt}\cdot dx...26.5</math> och eftersom kraft definieras enligt <math>F=\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}...26.6</math> så fås <math>W_k=\int_0^v F dx...26.7</math> och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet. =Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor= [[File:Fusion TEM.png|thumb|En bild på en transversell elektromagnetisk våg]] Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt <math>E(x,t)=E_y sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.1</math> och <math>B(x,t)=B_z sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.2</math> Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt <math>\nabla X E=-\frac{dB}{dt}...27.3</math> som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva <math>\nabla X H=J_{fri}+\frac{dD}{dt}...27.4</math> som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom <math>D=\epsilon E...27.5</math> och <math>B=\mu H...27.6</math> så kan man skriva 27.4 som (osäker på tecknet, dock) <math>\nabla X B=\mu \epsilon \frac{dE}{dt}...27.7</math> Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt <math>\nabla=a_x\frac{d}{dx}+a_y\frac{d}{dy}+a_z\frac{d}{dz}...27.8</math> Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas <math>\nabla XA=a_x(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})+a_y(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})+a_z(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})...27.9</math> 27.3 ger då att <math>\frac{dE_y}{dx}=-\frac{dB}{dt}...27.10</math> där Ex=0 och 27.7 ger att <math>\frac{dB_z}{dx}=-\epsilon \mu \frac{dE}{dt}...27.11</math> Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 27.9 Om vi nu nyttjar 27.1 respektive 27.3 så fås <math>E_y \frac{w}{v}\cos w(t-\frac{x}{v})=B_z w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.12</math> dvs <math>E_y=vB_z...27.13</math> och om vi sen nyttjar 27.2 respektive 27.4 så fås <math>B_z \frac{w}{v} \cos w(t-\frac{x}{v})=\epsilon \mu E_y w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.14</math> eller <math>B_z=v\epsilon \mu E_y...27.15</math> dvs <math>1=v^2\epsilon \mu...27.16</math> vilket ger <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}...27.17</math> Eller mer specifikt <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}...27.18</math> där <math>\mu_0...27.19</math> är permeabiliteten för vakuum och <math>\epsilon_0...27.20</math> är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna <math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}...27.21</math> Vilket är ljushastigheten i vakuum. Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs <math>n=\sqrt\epsilon_r...27.22</math> vilket kallas brytningsindex som pga 27.18 gör så att <math>v=\frac{c}{n}...27.23</math> dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex. Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell <math>v_f=\frac{w}{k}...27.24</math> och varför kommer det in i spelet? Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)=Asin(-\phi)...27.25</math> där minustecknet bara underlättar algebran enligt <math>kx=wt+\phi...27.26</math> och om man stuvar om lite så får man <math>x=\frac{w}{k}t+\frac{\phi}{k}...27.27</math> som deriverat ger fashastigheten enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...27.28</math> Jag har lite svårt att förstå 27.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 27.25 som <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...27.29</math> vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}e^{-jkx}...27.30</math> där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera. =Kapitel XXII, Grupphastighet= [[File:Fusion Complex 2.png|thumb|Vektoriell addition]] Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer: <math>v_f=\frac{w}{k}...28.1</math> Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras <math>v_g=\frac{dw}{dk}...28.2</math> Om man då har att <math>w=v_f\cdot k...28.3</math> och att <math>v_f=\frac{c}{n}...28.4</math> så blir <math>w=k\frac{c}{n}...28.5</math> och därmed blir 28.2 <math>v_g=\frac{c}{n}-k\frac{c}{n^2}\frac{dn}{dk}=\frac{c}{n}(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})=v_f(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})...28.6</math> Grupphastighet kan man bara prata om om man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar: <math>s_1(x,t)=Acos(w_1t-k_1x)...28.7</math> respektive <math>s_2(x,t)=Acos(w_2t-k_2x)...28.8</math> där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi <math>s_1+s_2=Acos(w_1t-k_1x)+Acos(w_2t-k_2x)...28.9</math> nu finns det en trigonometrisk formel som lyder <math>cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})...28.10</math> och om <math>\alpha=w_1t-k_1x...28.11</math> och <math>\beta=w_2t-k_2x...28.12</math> så blir 28.9 <math>s_1+s_2=2Acos(\frac{w_1t-k_1x+(w_2t-k_2x)}{2})cos(\frac{w_1t-k_1x-(w_2t-k_2x)}{2})...28.13</math> eller <math>2Acos(\frac{(w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x}{2})cos(\frac{(w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x}{2})...28.14</math> Här har vi alltså att <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.15</math> sen har vi att <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)....28.16</math> sen har vi att <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.17</math> dessutom har vi att <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.18</math> vilket gör att man kan skriva 28.9 som <math>2Acos(wt-kx)cos(\Delta w\cdot t-\Delta k\cdot x)...28.19</math> Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 28.7 respektive 28.8 enligt <math>s_1(x,t)=Ae^{j(w_1t-k_1x)}...28.20</math> respektive <math>s_2(x,t)=Ae^{j(w_2t-k_2x)}...28.21</math> 28.9 kan då skrivas <math>s_1+s_2=A(e^{j(w_1t-k_1x)}+e^{j(w_2t-k_2x)})...28.22</math> detta kan skrivas om enligt <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}(e^{j((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+1)...28.23</math> eller <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}\cdot</math> <math>(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.24</math> dvs <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)+(w_2t-k_2x))}(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.25</math> tar man sedan hand om termerna kan man skriva <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x)}(e^{j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)})...28.26</math> nu ser man tydligt att man har dessa termer <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.27</math> och <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)...28.28</math> och <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.29</math> samt <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.30</math> och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)! Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism. Vi skissar lite på detta och antar att: <math>x(t)=Xe^{jw_1t}...28.31</math> och <math>y(t)=Ye^{jw_2t}...28.32</math> om man nu multiplicerar dessa signaler får man <math>xy=Xe^{jw_1t}Ye^{jw_2t}=XYe^{j(w_1+w_2)t}...28.33</math> Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på <math>w=w_1+w_2...28.34</math> men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt: <math>xy=xy...28.35</math> respektive <math>xy=xy^*...28.36</math> för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen. Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att <math>f(u)=e^u=e^{(x+y)}...28.37</math> Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet <math>f(u)=f(0) + f'(0) u+ \frac{1}{2} f''(0) u^2 + H.O.T...28.38</math> f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 29.38 <math>1+u+\frac{1}{2}u^2...28.39</math> Vilket ger <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x+y)^2...28.40</math> eller <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)...28.41</math> där vi ser att vi har frekvenserna 1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler). Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen. Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt <math>s(x,t)=sin(wt-kx)...28.42</math> där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> på så sätt att vi först deriverar enligt <math>\frac{ds}{dx}=-kcos(wt-kx)...28.43</math> sen deriverar vi igen och får <math>\frac{d^2s}{dx^2}=-k^2sin(wt-kx)...28.44</math> på samma sätt kan man tidsderivera enligt <math>\frac{ds}{dt}=wcos(wt-kx)...28.45</math> och när vi deriverar igen så får vi <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2sin(wt-kx)...28.46</math> och pga vågekvationen (21.18) så fås <math>v_f=\frac{w}{k}...28.47</math> =Kapitel XXIII, Energitäthet och Intensitet= [[File:Fusion Power Density.png|thumb|Visar vad effekttäthet är]] Om man tittar på en longitudinell plan våg i luft så har vi att dess rörelseenergi är <math>E_k=\frac{1}{2}mv^2...30.1</math> vilket vi kan skriva om enligt <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2...30.2</math> där ds/dt är störningens hastighet. Om vi då har att störningen är <math>s=Asin(wt-kx)...30.3</math> så blir <math>\frac{ds}{dt}=wAcos(wt-kx)....30.4</math> Där vi bara är intresserad av maximat av detta och kvadrerat blir då 30.2 istället <math>E_k=\frac{1}{2}m(wA)^2...30.5</math> massan kan vi sedan teckna <math>m=\rho_0 V_0...30.6</math> där rho_0 är densiteten hos luft och V_0 den ursprungliga volymen, med andra ord kan vi teckna <math>E_k=\frac{1}{2}\rho_0 V_0 (wA)^2...30.7</math> om vi delar detta med V_0 så får vi <math>\frac{E_k}{V_0}=p=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2...30.8</math> vilket är energitätheten ty den har enheten [J/m^3] vilket samtidigt är enheten för tryck. Om man sedan tittar på energin som passerar genom ett volymselement (dV=Sdx=Svdt) så har vi att <math>dE=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2Sv_fdt...30.9</math> och iom att intensitet definieras som effekt per areaenhet så kan vi teckna <math>I=\frac{1}{S}\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2v_f=pv_f...30.10</math> eller <math>I=pc...30.11</math> där c är ljudhastigheten i luft. Dvs intensiteten i W/m^2 är produkten av fashastigheten och trycket (eller energitätheten om man så vill), man kan nog lite se det som så att man har ett "tryck" som rör sig (konceptet med energitäthet/tryck är samma för en gas i allmänhet där vi dock avser termisk hastighet, här är det störningens hastighet som sätter energitätheten och därmed trycket). Det är intressant att dra paralleller till exempelvis en akustisk punktkälla som strålar, intensiteten hos den rundstrålande/isotropiska vågen är inverterat proportionell mot R^2 eller inverterat proportionell mot den sfäriska yta som avståndet till källan bygger vilket i klartext betyder att dina öron uppfattar ljudtrycket som sjunkande med avståndet i kvadrat. =Kapitel XXIV, Polarisation och Reflektion= [[File:Fusion Wave Reflection.png|thumb|En våg som reflekteras mot tätare medium]] En våg som breder ut sig i "papperets" plan kallas planpolariserad, denna skulle man kunna teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.1</math> en våg som breder ut sig cirkulärt kan man sedan teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.2</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\frac{\pi}{2})=Acos(wt-kx)...31.3</math> vilket kallas för cirkulärpolariserad och man kan se detta som att A är radien i en cirkel och stigningen är avståndet mellan två närliggande punkter i samma plan hos spiralen som det roterande repet/vågen bygger upp, detta är samma som våglängden, en cirkulärtpolariserad våg är ett specialfall av en elliptiskt polariserad våg enligt <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.4</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\alpha)...31.5</math> Om vi återigen tittar på ett rep och antar att repet är fäst vid en vägg och vi kallar den punkten för x=0, då kommer inte repet kunna röra sig i den punkten, detta samtidigt som den infallande vågen och den reflekterade vågen kommer samverka (fråga mig inte varför), pga detta kan man skriva <math>s(x,t)=s_i(0,t)+s_r(0,t)=0...31.6</math> där vi kan teckna den infallande störningen som <math>s_i(0,t)=Asin(wt-kx)...31.7</math> och den reflekterade störningen som <math>s_r(0,t)=Asin(wt+kx+\alpha)...31.8</math> 31.6 ger sedan vid x=0 att <math>Asin(wt)+Asin(wt+\alpha)=0</math> där man ser att alpha måste vara pi dvs vid reflektion mot ett tätare medium så får vågen ett fastillskott på pi eller, vilket är ekvivalent, ett våglängdstillskott på lambda/2, väggen tycks alltså ha en utsträckning i rummet på lambda halva trots att det bara sitter där. Om sen väggen inte finns där utan repet möter ren luft då har vi faktumet att kraften är riktad längs med tangenten på repet och vid x=0 så pekar kraften rakt uppåt dvs det finns ingen x-komponent, men det finns två s-komponenter som tar ut varandra enligt (jag fattar inte detta riktigt) <math>\frac{ds}{dx}=\frac{ds_i}{dx}+\frac{ds_r}{dx}=0...31.9</math> för på samma sätt som när det fanns en vägg där störningarna samverkade så samverkar störningarna när det inte finns nån vägg, med andra ord får vi dessa uttryck <math>-kAcos(wt-kx)+kAcos(wt+kx+\alpha)=0...31.10</math> där man vid x=0 inser att alpha måste vara noll, dvs inget fastillskott vid reflektion mot tunnare medium. =Kapitel XXV, Stående vågor= Från ovan har vi att störningen vid infall mot en vägg är <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)+Asin(wt+kx+\pi)...32.1</math> detta kan naturligtvis skrivas om som <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)-Asin(wt+kx)...32.2</math> Här vill jag ta till mitt trick med komplexa tal dvs <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}-Ae^{j(wt+kx)}...32.3</math> detta kan sedan skrivas om enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}(e^{-jkx}-e^{jkx})...32.4</math> eller <math>s(x,t)=2jAe^{jwt}\frac{e^{-jkx}-e^{jkx}}{2j}...32.5</math> dvs <math>s(x,t)=-2Ae^{j(wt+\pi/2)}sin(kx)...32.6</math> här är jag lite osäker men resonerar som så att grundfunktionen är sinus men pi/2 ändrar detta till cosinus och vi får <math>s(x,t)=-2Acos(wt)sin(kx)...32.7</math> Allt utan att behöva slå i en enda formelsamling! Om nu strängen är spänd mellan två punkter kan alltså bara vissa moder uppkomma, funktionen har alltså sina noder/nollställen vid vissa våglängder/frekvenser och sina bukar/maxima vid andra våglängder/frekvenser. Funktionen 32.7 är noll (noder) för <math>kx=n\cdot\pi, n=0,1,2,3...32.8</math> och maximal (bukar) för <math>kx=(2n+1)\cdot\pi/2, n=0,1,2,3...32.9</math> Man kan skriva om detta enligt (för noder) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=0, \frac{\lambda}{2}, \frac{2\lambda}{2}, \frac{3\lambda}{2}...32.10</math> och (för bukar) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=\frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}...32.11</math> Om en sträng är fäst vid två punkter så måste det vara noder, man ser därför att grundtonen uppstår när våglängden=2x=2L Hastigheten är sedan gammalt <math>v=\lambda f=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.12</math> och när grundtonen har våglängden 2L så kan man skriva <math>v=2Lf=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.13</math> dvs frekvensen bestäms av längden på strängen och den kraft den spänns med enligt <math>f=\frac{\sqrt{\frac{F}{\mu}}}{2L}...32.14</math> där my är massan per längdenhet hos strängen. ='''Del III, FLUIDMEKANIK'''= =Kapitel XXVI, Fluidmekanik= [[File:Fusion Pascal.png|thumb|Härledning av Pascal's lag]] Fluid betyder nåt som kan strömma/flöda, både gaser och vätskor kan vara fluider. När man behandlar fluider skiljer man på inkompressibla och kompressibla fluider. Vätskor är i regel inkompressibla medans gaser är kompressibla till sin natur. Första kapitlet i min lärares (Åke Fäldt) litteratur om detta behandlar Pascal's lag enligt: Om man har en triangel av fluid och man har tryck som är normala till sidorna hos triangeln och triangelns höjd är 1 då kan man visa att <math>F_a=p_a*a*1...33.1</math> och <math>F_b=p_b*b*1...33.2</math> och <math>F_c=p_c*c*1...33.3</math> där a, b, c är längden hos triangelns respektive sidor. Sidorna kommer att förhålla sig till krafterna, pga likformighet och att inget vridmoment får existera, enligt <math>a:b:c=F_a:F_b:F_c...33.4</math> eller <math>a:b:c=p_a*a:p_b*b:p_c*c...33.5</math> dvs <math>p_a=p_b=p_c=p...33.6</math> som är Pascal's lag. Om man tittar på en hydraulisk lift så puttar vi på med en kraft (F1) över en liten area (S1), då får den inkompressibla vätskan övertrycket p1=F1/S1. Under förskjutning dy1 av kolv_1 tillförs utifrån energin F1dy1, vid kolv_2 har vi fått övertrycket p2 som ger kraften F2 uppåt på kolven med area S2. Under förskjutning dy2 av kolv_2 uträttar vätskan arbetet F2dy2. Energiprincipen ger att <math>F_1\Delta y_1=F_2\Delta y_2...33.7</math> Inkompressibel vätska ger sedan att den förskjutna volymen är samma dvs <math>S_1\Delta y_1=S_2\Delta y_2...33.8</math> Division ledvis ger sedan att <math>F_1/S_1=F_2/S_2...33.9</math> dvs <math>p_1=p_2...33.10</math> Som är Pascal's lag. Det kan vara intressant att förtydliga detta genom att istället skriva <math>F_2=(\frac{d_2}{d_1})^2 F_1...33.11</math> Dvs den hydrauliska kraften förstärks med diameterförhållandet i kvadrat, en diameterkvot på 10 gör alltså så att en hundra gånger större tyngd kan lyftas. =Kapitel XXVII, Vätsketryckets beroende av djupet= [[File:Fusion Pressure Deep.png|thumb|Trycket på ett vätskeelement]] Vi betraktar nu ett planparallellt vätskeelement med z-axeln riktad uppåt, jämviktsvillkoret är <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=mg...34.1</math> Men massan är <math>m=S\Delta z\rho...34.2</math> dvs <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=S\Delta z\rho g...34.3</math> eller <math>p(z)-p(z+\Delta z)=\Delta z\rho g...34.4</math> Vid små dz kan vi ersätta <math>p(z+\Delta z)-p(z)...34.5</math> med <math>p(z+\Delta z)-p(z)=\frac{dp}{dz}\Delta z....34.6</math> dvs <math>-\frac{dp}{dz}\Delta z=\Delta z\rho g...34.7</math> eller <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> Integrerar man upp detta får man <math>p=-\rho g z+konstant...34.9</math> Vid z=0 är sedan p=p0 varför <math>p=p_0-\rho g z...34.10</math> Denna formel är lite akademisk, jag skulle vilja säga att trycket istället är <math>p=p_0+\rho g h...34.11</math> där h är vätskedjupet, vid noll meter råder normalt lufttryck (p0), sen ökar trycket med djupet. =Kapitel XXVIII, Vätskors och gasers kompressibilitet= [[File:Fusion Pressure Fluid.png|thumb|Tryck under ytan av en vätska]] Ett mått på vätskors och gasers förmåga att komprimeras av tryck(ändringar) ger kompressibiliteten definierad av <math>\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp})_T...35.1</math> Mer vanligt är dock det reciproka värdet <math>K=-V(\frac{dp}{dV})_T...35.2</math> vilket då har dimensionen tryck och gäller under konstant temperatur. För vatten är K av storleksordningen 2E9 Pa, medans den för luft vid normalt lufttryck är 1,4E5 Pa så för att uppnå samma relativa volymsändring i vatten som i luft krävs alltså en c.a 14000 gånger större tryckändring i vatten än i luft. Låt oss skissa på vatten på 100m djup. Enligt 34.11 kan man skriva <math>\Delta p=\rho g h=1E3*9,8*100\approx 1E6...35.3</math> K=2E9 ger sedan via 35.2 att <math>\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{\Delta p}{K}=\frac{1E6}{2E9}=0,5E-3...35.4</math> Relativa densitetsförändringen på 100m djup i vatten är alltså på ynka 0,5 promille vilket visar att vätskor oftast kan anses vara inkompressibla. =Kapitel XXIX, Lufttryckets höjdberoende= [[File:Fusion Pressure Sky.png|thumb|Lufttryckets beroende av höjden]] Ekvationen sedan tidigare <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> gäller även för gaser. Men för integration måste rho uttryckas som funktion av z eller p. Allmänna gaslagen ger <math>pV=n_mRT...36.1</math> densiteten kan sedan skrivas <math>\rho=\frac{M}{V}...36.2</math> dvs <math>\rho=\frac{Mp}{n_mRT}...36.3</math> vilket ger <math>\frac{dp}{dz}=-\frac{Mp}{n_mRT}g...36.4</math> dvs <math>\int_{p_o}^p \frac{dp}{p}=-\frac{Mg}{n_mRT}\int_0^z dz...36.5</math> vilket ger <math>ln(p)-ln(p_0)=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.6</math> eller <math>ln\frac{p}{p_0}=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.7</math> dvs <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{Mg}{n_mRT}z}...36.8</math> Jag får inte riktigt ihop det här, allmänna gaslagen utgår alltid från antalet mol gaspartiklar så det är diffust hur många mol man skall räkna med och därmed vad stora M och molmassan är, man skulle kunna säga att det är massan för en mol och då går n_m bort (ty ett) men varför blir det i så fall så (min lärare sluddrar om kmol men det köper inte jag). Man kan dock tänka sig att M och n_m följer varandra så att det inte spelar nån roll vilka absoluta belopp de har, samtidigt är det faktiskt som så att M är just massan för EN mol dvs n_m=1. Massan en enda molekyl väger är sedan molmassan delat med Avogadros tal (dvs antalet molekyler per mol) enligt <math>m_p=M/N_A...36.9</math> och Boltzmanns konstant är <math>k=\frac{R}{N_A}...36.10</math> vilket ger det alternativa uttrycket (men bara om n_m är ett) <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{m_pg}{kT}z}...36.11</math> Kuriosamässig fakta är att om man räknar på det så uppnås halva lufttrycket vid ungefär 5km höjd. =Kapitel XXX, Archimedes princip= [[File:Fusion Archimedes.png|thumb|Archimedes princip]] "Den lättnad han kände i badkaret överensstämde med tyngden av det av honom undanträngda vattnet" Om man kikar på en klump i vätska och har z pekandes uppåt med F2 underifrån och F1 ovanifrån så gäller <math>F_2-F_1=[p_2 -p_1]S...37.1</math> detta kan man också skriva <math>F_2-F_1=[\rho gz_2-\rho gz_1]S=\rho g[z_1-z_2]S...37.2</math> eller <math>F_2-F_1=\rho gV=m_fg...37.3</math> Observera alltså att kraften är riktad uppåt dvs det är en lyftkraft. Det kan vara lite knepigt att intuitivt förstå detta men om man betänker att trycket i en vätska ju ökar med djupet så blir trycket under klumpen större än trycket ovanför klumpen. Jag skall kladda lite till angående det här för jag tycker det är roligt. Föreställ Er att Ni har en bit material (vi tänker oss en rektangulär klump), vad krävs för att den inte skall sjunka? Svaret är egentligen rätt enkelt men det är ändå roligt att räkna på det: Lyftkraften då klumpen precis "hänger" under ytan måste varas lika med klumpens tyngd enligt (där indexeringen f står för fluid/vätska och b står för body) <math>\rho_fghS=\rho_bghS...37.4</math> dvs <math>\rho_f>\rho_b...37.5</math> för att klumpen skall kunna flyta. Man kan också se det enligt <math>\rho_fhS=m_b...37.6</math> där man tydligt ser att om man ökar S så räcker mindre h dvs ju större anläggningsyta ju högre upp i vattnet ligger materialet/faryget, detta innebär att V-formade skrov har den extra fördelen (förutom styrsel) att dom introducerar större yta och när dom introducerar större yta kommer dom upp ur vattnet, eventuellt blir dock friktionen pga viskositets-krafter samtidigt större men det förtäljer inte historien. Man kan också se 37.6 på ett annat sätt <math>V=hS=\frac{m_b}{\rho_f}...37.7</math> där V kallas för kroppens/fartygets displacement. =Kapitel XXXI, Ytspänning= [[File:Fusion Surface Tension.png|thumb|Ytspänning]] För att föra en molekyl från vätskans inre del till ytan åtgår, pga intermolekylära attraktionskrafter, energi där ytskiktet representerar en ytenergi. Man kan teckna ytspänningen enligt: <math>\gamma=\frac{dw}{dS}...38.1</math> som alltså har enheten J/m^2. Här citerar jag min lärare bara utan att förstå: "Det måste vara energetiskt eftersträvansvärt för en vätskelamell att kunna reducera sin fria yta så mycket som möjligt. För en tänkt fri vätska i ett gravitationsfritt rum blir sfären den ideala formen". Om vi funderar lite på det här så har vi trots allt J/m^2 som enhet dvs ju mindre yta lamellen/vätskan kan anta ju mindre energi går åt för att anta den formen och om man har en begränsad och bestämd mängd vätska (lamellmässigt, säger vi) och vi leker med tanken att vi har två former som är möjliga där den ena är en cirkel och den andra en kvadrat så blir ju de olika areorna när bredden är lika stor <math>A_{sqr}=(2r)^2=4r^2...38.2</math> och <math>A_{circle}=\pi r^2...38.3</math> så att förtjänsten av att anta cirkulär form är <math>\frac{A_{circle}}{A_{sqr}}=\frac{\pi}{4}...38.4</math> dvs c.a -25%. Men lite grand kan man faktiskt fråga sig varför minsta möjliga energiåtgång alltid är så intressant, iofs kan man titta på oss människor i det avseende för dom fleska puttar ju inte in mer energi än nödvändigt samtidigt som vissa faktiskt ändå gör det så varför MÅSTE naturen alltid antas anta det lägsta energitillståndet? Om man tänker sig en vätskelamell med bredden L som då har två lika stora ytor (S) och en fast ram som bara är öppen i ena änden likt en endimensionell kolv där vi drar med kraften F, då ökar vätskelamellens totala (pga två sidor) area enligt <math>S=S_0+\Delta S=S_0+2L\Delta x...38.5</math> Arbetet Fdx har då uträttats samtidigt som vätskans ytenergi, pga 38.1, har ökat med <math>\gamma \Delta S=\gamma 2L\Delta x...38.6</math> eller <math>\gamma 2L\Delta x=F\Delta x...38.7</math> detta ger att <math>\gamma=\frac{F}{2L}...38.9</math> Gamma är således också lika med kraften per längdenhet av lamellytans begränsning. =Kapitel XXXII, Konsekvenser av ytspänningen= [[File:Fusion Droplet.png|thumb|En sfärisk droppe]] Övertrycket under en krökt yta kan tecknas A) Sfärisk droppe Ytans area är då <math>S=4\pi r^2...39.1</math> Ytenergin är samtidigt enligt 38.1 <math>W=\gamma S=\gamma 4\pi r^2...39.2</math> Vi tänker oss nu en pytteliten ökning av droppradien där trycket uträttar arbetet <math>dw=Fdr=pSdr=p4\pi r^2 dr...39.3</math> pga definitionen av ytspänning (38.1) kan vi sedan teckna <math>\gamma dS=dw=p4\pi r^2 dr...39.4</math> så att (differentierar 4pir^2) <math>\gamma 8 \pi rdr=p4\pi r^2dr...39.5</math> dvs <math>p=2\frac{\gamma}{r}...39.6</math> B) För en sfärisk bubbla gäller <math>p=4\frac{\gamma}{r}...39.7</math> Dubbla magnituden beror på att vi nu har två ytor. =Kapitel XXXIII, Kapillaritet= [[File:Fusion Capillary.png|thumb|Stigning i en kapillär]] I min bok påstås det att en vätskeyta i ett kärl inte kan vara vinkelrätt mot kärlväggen, vätskeytan måste alltså krökas på det iofs allmänt kända sättet att H2O ger en konkav krökning medans Hg ger en konvex krökning, varför det blir så framgår dock inte riktigt i min studentlitteratur. Stighöjden i en kapillär får vi sedan från följande resonemang: I kapillären måste trycket vara Po dvs lufttrycket och eftersom kapillären är krökt åt "fel" håll så får vi en tryckreduktion enligt <math>\Delta p_r=-2\frac{\gamma}{r}...40.1</math> Tryckökningen pga vätskepelaren är sedan <math>\Delta p_h=\rho g h...40.2</math> med andra ord gäller <math>P_0=P_0-2\frac{\gamma}{r}+\rho g h...40.3</math> där man kan teckna <math>r=\frac{r'}{cos \theta}...40.4</math> om man ser r som krökningsradien och r' som radien på kapillären/röret, pga detta kan man skriva <math>2\frac{\gamma}{r'}cos \theta =\rho g h...40.5</math> möblerar man om så kan man alltså bestämma gamma och därmed ytspänningen enligt <math>\gamma=\frac{r' \rho g h}{2 cos \theta}...40.6</math> så genom att observera dels hur högt vätskan stiger dels vilken vinkel den har i förhållande till kärlväggen och genom att känna till vätskans densitet så kan man bestämma vätskans ytspänning på detta sätt. Jag har tänkt lite på bussen idag och skulle vilja skriva om 40.3 enligt <math>P_0-2\frac{\gamma}{r}=P_0-\rho gh...40.7</math> eller ännu enklare <math>2\frac{\gamma}{r}=\rho gh...40.7</math> där man tydligt ser att pelarens höjd är omvänt proportionell mot radien hos kapillären. där vänsterledet återspeglar ambienta trycket minus tryckreduktionen ovanifrån gränsytan och högerledet återspeglar ambienta trycket minus "stapeltrycket" underifrån gränsytan för säg att vi tittar vid den krökta gränsytan då ger stapeln ett lägre tryck där (det högre trycket är ju vid "havsnivån") sen är jag dock mycket osäker på att det verkligen blir en tryckreduktion för en droppe har ju ett positivt övertryck inifrån sett, jag ser det alltså inte men möjligtvis är dr i 39.3 negativ. Jag har börjat se det på ett annat sätt, säg att man har en kolv av vätska i kapillären och sen drar man kolven neråt och vätskan fastnar ju då pga ytspänningen i kapillärväggarna, då får man ju ett sug där "uppe" dvs ovanför gränsytan och då gäller genast ekv. 40.7. =Kapitel XXXIV, Hydrodynamik för ideal vätska= [[File:Fusion Continuity.png|thumb|Flöde hos en fluid]] Genom alla tvärsnitt av samma strömrör måste vätskeflödet (volym per tidsenhet) vara densamma, vätskans hastighet är ett mått på flödestätheten. v har dimensionen längd/tid men kan då också skrivas <math>v=volym/(tid*yta)...41.1</math> Den volym som per tidsenhet (dvs flödet) passerar det godtyckliga ytelementet dS kan då skrivas <math>d\phi=vdScos\theta...[m^3/s]...41.2</math> där dS är en infinitesimal area vars normal i relation till flödets riktning ger det vektoriella produkten som också kan skrivas <math>d\phi=\mathbf{v} \cdot \mathbf{dS}...41.3</math> där ytelementet representeras av vektorn dS. Här tycker jag det är intressant att tänka sig v som en flödestäthet som ger flödet när det integreras upp över ytan. Det finns andra fall där man kan tänka på samma sätt, dessa två tänker jag på: 1) Tryck skulle kunna betraktas som en flödestäthet, summerar man upp trycket över en yta fås ju kraften [N] 2) Magnetisk flödestäthet är ju en klockren flödestäthet och om man summerar upp den över en yta så fås flödet [Wb] Jag har kommit på det här helt själv och tycker det är lite häftigt :) Iom att jag läst det här mycket intressanta kapitlet i min gamla lärares bok så tror jag mig fått kläm på vad kurvintegraler respektive vanliga integraler är för nåt. En kurvintegral löper runt hela sträckan/ytan (finns alltså inga kurvintegraler för volymer vågar jag påstå) så om man t.ex bara är intresserad av vad som "flödar" igenom en yta så ska man inte satsa på kurvintegraler för dom blir noll pga att kurvintegraler tar hänsyn till både vad som kommer in och vad som kommer ut så om man har ett inflöde i nåt strömningsrör säger vi och man samtidigt har ett utflöde i samma strömningsrör som ofta är lika stort ja då blir kurvintegralen noll men om man bara tittar på flödet genom ytan så finns det ett värde, i fallet magnetisk flödestäthet kan man påstå att <math>\phi=\int \mathbf{B}\mathbf{dS}...[Wb]...41.4</math> där B är flödestärheten och S arean. Vid en sluten kurva, om ingen vätskekälla finns inom den inneslutna volymen så gäller <math>\oint \mathbf{v} \mathbf{dS}=\oint \mathbf{v} \mathbf{\hat n} dS=0...41.5</math> dvs nettoströmningen i ett strömrör är noll. Man kan se det som så att det strömmar in saker och det strömmar ut saker men det strömmar på ett "kontrollerat" sätt (kan kanske kallas laminärt) dvs det strömmar inte hur som helst utan i enlighet med att t.ex att det inte läcker utmed strömningsrörets väggar (dvs vinkelrätt mot strömningen). Om vi nyttjar 41.5 så får vi alltså konsekvensen att det sammanlagda vätskeflödet in och ut i ett slutet skal måste vara noll. Eftersom ytändarnas normaler alltid pekar utåt medans vi har ett flöde inåt så kommer tecknet på flödet vara positivt i ena sidan av strömningsröret och negativt i andra sidan av strömningsröret samtidigt som vi antar att inget flöde finns vinkelrätt mot flödesriktningen, då får vi att <math>v_2S_2-v_1S_1=0...41.6</math> dvs flödet in är lika med flödet ut. Med andra ord gäller <math>\phi=v_2S_2=v_1S_1...41.7</math> som också kallas kontinuitetsekvationen för inkompressibel fluid. =Kapitel XXXV, Bernoullis ekvation= [[File:Fusion Bernoullis.png|thumb|Friktionsfri laminär strömning]] Om man tittar på ett strömningsrör där översta ändan är av större diameter än den nedersta ändan så kan man rätt tydligt se att nedersta ändans längd hos fluiden är längre än översta ändans och detta pga att samma volym skall passera men med olika tvärsnittsareor. Tittar man mer krasst på dom båda volymselementen så har man att <math>S_2v_2dt=S_1v_1dt=Svdt...42.1</math> för volymerna är helt enkelt samma, när det sedan puttas på ovanifrån med ett tryck så uträttar trycket vid 1 arbetet: <math>\Delta W_1=[Fdx=pdV=pSdx=pSvdt]=p_1S_1v_1dt...42.2</math> Strömröret självt uträttar (då det "trycker ut" volymen S2v2dt) samtidigt arbetet <math>\Delta W_2=p_2S_2v_2dt...42.3</math> Nettotillförsel av energi blir då <math>\Delta W=\Delta W_1- \Delta W_2=p_1S_1v_1dt-p_2S_2v_2dt=(p_1-p_2)Svdt...42.4</math> Ändringen i den lilla vätskevolymens kinetiska energi är (tänk mv^2/2): <math>\Delta E_k=\frac{1}{2}\rho Svdt v_2^2-\frac{1}{2}\rho Svdt v_1^2...42.5</math> eller <math>\Delta E_k=(\frac{1}{2}\rho v_2^2- \frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt...42.6</math> Ändringen i potentiell energi är (tänk mgh): <math>\Delta E_p=\rho Svdt g z_2-\rho Svdt g z_1...42.7</math> eller <math>\Delta E_p=(\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.8</math> Energiprincipen ger nu att <math>\Delta W=\Delta E_k+ \Delta E_p...42.9</math> dvs <math>(p_1-p_2)Svdt=(\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt + (\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.10</math> alltså <math>p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_2-\rho g z_1...42.11</math> vilket vi kan arrangera om enligt <math>p_1+\rho gz_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2 + \rho gz_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2...42.12</math> dvs <math>p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...42.13</math> som alltså är Bernoullis ekvation som dock kan vara enklare att greppa om man istället skriver <math>\Delta(p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2)=0...42.14</math> dvs räknar man på två punkter i en laminär strömning så ändras bara parametrarna inbördes, lägesenergin kan till exempel inte ändras om inte kinetiska energin också ändras, lite diffust är detta dock. =Kapitel XXXVI, Tryck och tryckmätning= [[File:Pressure measurement.png|thumb|Mätning av tryck]] I Bernoullis ekvation så har vi tre termer av dimensionen tryck, vid horisontell strömning faller dock lägesenergitäthetstermen (rho g z) bort och vi får <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...43.1</math> vilket också kan skrivas <math>p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2...43.2</math> eller <math>\Delta(p+\frac{1}{2}\rho v^2)=0...43.3</math> p1 och p2 kallar vi sedan det statiska trycket, medans dom andra termerna kallas det dynamiska trycket. Dynamiska trycket är sedan lika med rörelseenergitätheten dvs den kinetiska energin per volymsenhet. Jag finner det intressant att tryck egentligen inte är så mycket mer än energi per volymsenhet, därför kan man tänka "sedvanlig" lägesenergi och rörelseenergi med tillägget att dom nu gäller per volymsenhet (dvs är tätheter). <math>p_t=p+\frac{1}{2}\rho v^2...43.4</math> kallas sedan något oegentligt för totaltrycket. =Kapitel XXXVII, Vätskors utströmning= [[File:Fusion Pressure Flow.png|thumb|Utströmningshastighet från en flaska]] Föreställ er en behållare som är riktad horisontellt med en platt liten kolv och ett hål i botten, vilken strömningshastighet får vätskan ut genom hålet? Här kan man nyttja Bernoulli rakt av enligt: <math>p+\rho gh+ \frac{1}{2}\rho v^2=konstant..44.1</math> dvs här gäller då <math>p_i+0+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.2</math> dvs inuti behållaren finns bara pi medans utanför behållaren har vi den kinetiska delen samtidigt som strömningen är horisontell så vi har ingen lägesenergi att ta hänsyn till, därför kan man kalla <math>p_i-p_0=\Delta p...44.3</math> vilket ger <math>v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}...44.4</math> Ett annat exempel på strömning är när vätska strömmar ur ett hål i botten av ett kärl, Bernoulli ger då (vänsterledet gäller inuti kärlet, högerledet utanför) <math>p_0+\rho gh+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> eller <math>\rho g h=\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> dvs <math>v=\sqrt{2gh}...44.6</math> Jag tycker att man borde kalla <math>\rho g h...44.7</math> för lägesenergidensitet och <math>\frac{1}{2}\rho v^2...44.8</math> för rörelseenergidensitet. Detta för att saker som "delas" med volymen i själva verket är en [b]densitet[/b] medans saker som delas med arean är en [b]täthet[/b] och saker som delas med längden är en [b]intensitet[/b]. Speciellt intressant med (gas)tryck är att det har enheten J/m^3 dvs är en densitet. =Kapitel XXXVIII, Hydrodynamik för reala vätskor= [[File:Fusion Viscosity fluid.png|thumb|Visar hur viskositet kan räknas ut]] Om en plan skiva (planet//bottenytan) rör sig med konstant hastighet v parallellt med botten kan man notera en laminär strömning hos vätskan med en hastighet som från 0 vid bottenytan växer linjärt till värdet v vid skivan. Som mått på vätskans skjuvkrafter (friktionskrafter) inför vi VISKOSITETEN definierad av <math>F=\eta S\frac{v}{y}...45.1</math> eller allmänt <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}...45.2</math> Vilket innebär att enheten för eta/viskositet är Ns/m^2 som också kan fås från (där P är impulsen) <math>\eta=\frac{dP}{dS}...45.3</math> ty <math>F=\frac{dP}{dt}...45.4</math> per definition. Sjuvspänningen kan sedan tecknas <math>\tau=\eta \frac{dv}{dy}...45.5</math> Detta säger dock inte min lärare så mycket om men jag skriver ner det ändå, tydligen är skjuvspänningen snarare trycket hos "viskositetkraften" för i övrigt gäller samma formel. =Kapitel XXXIX, Strömning i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] Vi söker hastighetsprofilen v=v(r) där r är avståndet från symmetriaxeln. Den snabbare strömmande inre cylindern med radie r bromsas av den långsammare omgivningen med kraften <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}=-\eta S\frac{dv}{dr}...46.1</math> sedan är <math>S=2\pi r L...46.2</math> varför <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta pS_{\perp}...46.3</math> pga accelererande krafter på båda ändytorna, detta kan också skrivas <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta p\pi r^2...46.4</math> arrangerar man om får man sedan <math>dv=-\frac{1}{\eta 2\pi L}\Delta p\pi rdr...46.5</math> eller <math>dv=-\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> vilket kan integreras enligt <math>\int_v^0dv=-\int_r^R\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> dvs <math>v=\frac{\Delta p}{2\eta L}[r^2/2]_r^R...46.6</math> eller <math>v=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2)...46.7</math> hastighetsprofilen är med andra ord parabolisk med lägst hastighet i periferin dvs nära rör-väggen. =Kapitel XL, Totala vätskeflödet i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux Total.png|thumb|Totala vätskeflödet i ett rör]] Genom ett ringformigt tvärsnitt vars begränsningsradier är r och r+dr (och vars area är 2pir*dr) strömmar flödet <math>d\phi=d(\frac{dV}{dt})=v\cdot dS=v2\pi r dr...47.1</math> Totalt i röret flödar då <math>\int d\phi=\int_0^R v2\pi r dr...47.2</math> med hjälp av föregående kapitel fås då <math>\int d\phi=\int_0^R \frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2) 2\pi r dr...47.3</math> dvs <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\int_0^R (R^2r-r^3) dr...47.4</math> eller <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[R^2\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}]_0^R...47.5</math> som blir <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}]...47.6</math> dvs <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\frac{R^4}{4}...47.7</math> eller <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{8\eta L}R^4...47.8</math> Rätt intressant att veta att flödet i ett rör går som R^4, en liten ändring av diametern ändrar alltså flödet nåt enormt! =Kapitel XLI, Överljudsströmning= [[File:Fusion Fluid Boost.png|thumb|Fluiders strömningshastighet]] <math>p_0+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...48.1</math> vid horisontell strömning, accelereras stillastående (Vo=0) luft från <math>p_0=1 atm=10^5 Pa...48.2</math> till <math>0,99p_0...48.3</math> och <math>v=v_1...48.4</math> så gäller <math>p_0+0=0,99p_0+\frac{1}{2}\rho v_1^2...48.5</math> dvs <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 0,01p_0}{\rho}}...48.6</math> eller <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 10^3}{1,3}}\approx 40m/s...48.7</math> Detta är alltså ett riktmärke för hur nära ljudhastigheten man kan tillämpa Bernoullis ekvation, 40/340 är 12%, 20% är vedertaget. Bilden kommer inte från min lärobok, jag har hittat på den. Idag kom jag på att det eventuellt finns två fall av denna situation. Om man tittar hur en fluid måste uppföra sig när den går ur "tratten" så måste den ju följa väggarna för att formlerna skall duga till nåt. Men jag ser plötsligt att det är skillnad på fluid och fluid för vatten skulle inte kunna följa trattens väggar, den skulle mest fortsätta går rakt fram. En varm gas skulle däremot kunna följa tratt-väggarna för en varm gas vill expandera pga dess inre tryck (läs dess inre partiklas kinetiska energi per volymsenhet) så när den kommer ut ur trattens mynning så expanderar den bara. Detta gör inte vatten. Så jag har blivit lite lurad av min egen kurslitteratur för det verkar som om man inte bara utan vidare kan kalla både en gas och en vätska för en fluid för tydligen gåller inte samma premisser. I vattenfallet kan man helt enkelt teckna kontinuitetsekvationen enligt: <math>S1v1=S2v2...48.8</math> eller <math>Sv=konst...48.9</math> där v är hastigheten. denna tycks alltså gälla för vatten (eller lite lekfullt även för en uppochnervänd PET-flaska med jordnötter (som jag matar mina fåglar med)). Där i fallet att utgående area är större än ingående så fås en lägre hastighet på vattnet. Men för fallet varm gas och tratten så blir det istället att följande tycks gälla. <math>p_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=p_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.10</math> vilket kommer från Bernoillis ekvation. Jag tolkar denna ekvation som att det statiska trycket (p0 respektive p1) är det som ändras för allt handlar väl yterst om kraftjämvikt? Och handlar det om (statisk) kraftjämvikt så är F0=F1 och man kan teckna <math>F_0/S_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=F_0/S_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.11</math> där således v1 måste öka i förhållande till v0 ty ytan ökar och därmed sjunker p1. Med andra ord tycks vi ha två olika ekvationer som inte generellt gäller utan man måste titta på vilken typ av "fluid" det är. =Kapitel XLII, Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas= [[File:Fusion Fluid Compressible.png|thumb|Uträkningsunderlag för kontinuitetsekvation]] Vi kunde för den inkompressibla fluiden utnyttja kravet volymen = konstant, vilket då också uppfyller mekanikens första konserveringslag, den om massans konservering. Nu måste vi emellertid pga masskonserveringslagen modifiera sambandet <math>S_1v_1=S_2v_2...41.7</math> till att inkludera tätheterna enligt <math>\rho_1S_1v_1=\rho_2S_2v_2...49.1</math> Om vi först tänker oss en inkompressibel fluid som vatten, då gäller kontinuitetsekvationen enligt 41.7 ovan. Men om det handlar om en gas så är den kompressibel och får olika täthet vid dom olika tvärsnittsareorna för när gas flödar in i nåt som har mindre area så borde rimligtvis dess densitet öka. Enligt 41.7 så har vi att flödet (Volym per tidsenhet) är samma för den inkompressibla fluiden men nu har vi att massa per tidsenhet in måste vara samma som massa per tidsenhet ut egentligen kanske tom pga Newtons första lag om kraft=motkraft, eller? Så man kan teckna 49.1 vilket kanske även kan ses som massans oförstörbarhet. Det är kul att spekulera i vad som händer. Om vi tar vatten så kommer det i min bild innebära att v2>v1 enligt 41.7. Men om vi tar gas så är det svårare att se hur mycket tätare den blir men eventuellt går densiteten som S1/S2 och då ger 49.1 att det blir <math>\rho_1S_1v_1=\rho_1\frac{S_1}{S_2}*S_2v_2...49.1</math> dvs <math>v_2=v_1</math> dvs det sker ingen hastighetsökning alls om det gäller en gas. =Kapitel XLIII, Horisontell strömning av kompressibel gas= [[File:Fusion Horisontal Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] På gasmassan enligt <math>m=\rho S dx...50.1</math> verkar den i x-led accelererande kraften <math>pS-(p+dp)S=F=-dpS...50.2</math> Kraftekvationen ger <math>m\frac{dv}{dt}=-dpS...50.3</math> eller <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> differentierar man v får man <math>dv=\frac{dv}{dt}dt+\frac{dv}{dx}dx...50.5</math> vi är intresserade av hastighetsförändringen i rummet och inte i tiden samtidigt som hastigheten i en fix punkt alltid är densamma därför reduceras differentieringen till <math>dv=\frac{dv}{dx}dx...50.6</math> och insatt i vår ekvation fås <math>\rho dx\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-dp...50.7</math> dvs <math>\rho dv v=-dp...50.8</math> eller <math>\rho v dv+dp=0...50.9</math> lite kan man nog se det som <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> dvs att trycket sjunker med både rho och hastigheten för redan derivatan och minustecknet framför rho säger oss att trycket sjunker med ökande hastighet men den extra hastigheten multiplicerat med rho säger oss att denna tryckminskning snarare är kvadratiskt minskandes med hastigheten. Den sista ekvationen är originellt nog lika med en differentiering av Bernoulli ekvation dvs <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...50.11</math> för horisontell strömning och differentieringen blir <math>dp+\rho v dv=0...50.12</math> Men om Bernoullis ekvation hade gällt för en kompressibel gas så skulle differentieringen även få göras för rho med resultatet <math>dp+\rho vdv+\frac{1}{2}v^2d\rho...50.13</math> vilket alltså är fel. =Kapitel XLIV, Överljudsströmning= Vid strömningshastiheter kring eller över ljudhastigheten c spelar det så kallade Mach's Tal <math>\mu=\frac{v}{c}...51.1</math> en avgörande roll i den teoretiska behandlingen av problemen. Från akustiken lånar vi uttrycket för ljudhastigheten <math>c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}...51.2</math> som låter oss skriva <math>\mu^2=\frac{v^2}{c^2}=v^2\frac{d\rho}{dp}=v^2 \frac{d\rho}{dv}\frac{dv}{dp}...51.3</math> som med hjälp av <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> ger <math>\mu^2=v^2\frac{d\rho}{dv}\cdot (-\frac{1}{\rho v})...51.4</math> dvs <math>\mu^2=-\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv}...51.5</math> -------------------------- Jag kommer inte på nån bra bild att ladda upp här så jag tänkte försöka bevisa min lärares påstående i 51.2 istället, repeterar <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> Differentierar man denna får man (åtminstone delvis) <math>\frac{\partial \rho}{\partial p}dp vdv=-dp...51.6</math> eller <math>\frac{\partial \rho}{\partial p} vdv=-1...51.7</math> eller <math>vdv=\frac{-\partial p}{\partial \rho}...51.8</math> Här har jag ett teckenfel men rho bör rimligtvis öka om trycket ökar dvs drho/dp bör vara positivt här och om det är det gäller <math>\frac{v^2}{2}=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.9</math> där jag faktisk tolkar denna ekvation som <math>(\frac{v}{\sqrt{2}})^2=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.10</math> eller <math>v_{eff}=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial \rho}}...51.11</math> Ty vi snackar mest sinusiala rörelser här. Jag tror jag kommit på hur man får bort teckenfelet ovan, derivatan drho/dp är positiv på vänstra sidan om likhetstecknet medans om man permuterar täljare och nämnare blir den negativ på högra sidan likhetstecknet varvid minus-minus blir plus. Tycker det är kul med alla fel man gör, man lär sig mest då. =Kapitel XLV, Raketforskning= [[File:Fusion Mach Flow.png|thumb|Överljudsströmning medels Laval-Dysa]] Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas lyder ju <math>\rho v S=konstant_A...52.1</math> som också kan skrivas <math>ln(\rho v S)=konstant_B...52.2</math> Logaritmisk utveckling ger sedan <math>ln\rho+ln v+lnS=konstant_B...52.3</math> differentiering ger nu <math>\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dv}{v}+\frac{dS}{S}=0...52.4</math> dvs <math>\frac{dS}{S}=-(\frac{dv}{v}+\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{dv}\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv})=-\frac{dv}{v}(1-\mu^2)...52.5</math> alltså gäller <math>\frac{dS}{S}=[\mu^2-1]\frac{dv}{v}...52.6</math> och <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> som sägs saga oss att om hastigheten ökar så minskar trycket. Slutligen har vi två speciella fall: 1) Vid underljudsströmning dvs <math>\mu<1...52.7</math> är <math>\mu^2-1<0...52.8</math> varför, som vi väntar oss, en ökning av gasströmmens tvärsnittsarea (dS>0) medför att dv<0 dvs en minskning av v (jfr kontinuitetsekvationen för inkompressibel gas ty låga hastigheter dvs v1S1=v2S2). 2) Vid överljudsströmning dvs <math>\mu>1...52.9</math> är <math>\mu^2-1>0...52.10</math> varför, i strid med vad som förväntas, en ökning av strålens tvärsnittsarea medför ökning av hastigheten (jämför med kontinuitetsekvationen för kompressibel gas ty höga hastigheter dvs rho1v1S1=rho2v2S2). 1) innebär att vi aldrig genom successiv reduktion av en strålkanals tvärsnittsarea kan uppnå ljudhastigheten (detta vore ju den enkla och självklara metoden om Bernoullis ekvation gällde), visserligen innebär en minskning av S samtidig ökning av v MEN endast då my<1 eller v<c. 2) ger en fingervisning hur en strålkanal skall konstrueras för att ge v>c, i Lavaldysan bringas först gasen (my<1) nära c genom en kort förträngning för att därefter vidga sin tvärsnittsarea pga dysans form. ='''Del IV, OPTIK'''= =Kapitel XLVI, Maxwell's ekvationer som kuriosa= Här tänker jag raljera över Maxwell's ekvationer utan att egentligen ha nån egen koll. <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho_vdv=Q...53.1</math>...[Gauss Lag] <math>\int BdS=\phi...53.2</math>...[Weber's Lag] <math>\oint Hdl=\oint \frac{B}{\mu}dl=I+\oint \frac{dD}{dt}dS...53.3</math>...[Ampere's Lag] <math>\oint Edl=-\oint \frac{dB}{dt}dS...53.4</math>...[Faraday's Lag] Det är intressant med dimensionsanalys när man försöker förstå, dessa dimensioner får man om man tänker efter: <math>\epsilon=\frac{As}{Vm}...53.5</math>...[permittivitet] <math>\mu=\frac{Vs}{Am}....53.6</math>...[permeabilitet] <math>D=\frac{As}{m^2}...53.7</math>...[elektrisk flödestäthet] <math>B=\frac{Vs}{m^2}...53.8</math>...[magnetisk flödestäthet] <math>E=\frac{V}{m}...53.9</math>...[elektrisk intensitet] <math>H=\frac{A}{m}...53.10</math>...[magnetisk intensitet] När man räknar på spolar kan man skriva: <math>H=\frac{NI}{l_m}...53.11</math> <math>B=\mu H=\mu \frac{NI}{l_m}...53.12</math> <math>BS=\phi=\mu \frac{NIA}{l_m}...53.13</math> <math>\Lambda=\phi N=\mu \frac{N^2IA}{l_m}...53.14</math> <math>L=\frac{\Lambda}{I}=\mu \frac{N^2A}{l_m}...53.15</math> För kondensatorer kan man skriva: <math>E=\frac{U}{l_e}...53.16</math> <math>D=\epsilon E=\epsilon \frac{U}{l_e}...53.17</math> <math>DS=Q=\epsilon ES=\epsilon\frac{UA}{l_e}...53.18</math> <math>C=\frac{Q}{U}=\epsilon \frac{A}{l_e}...53.19</math> =Kapitel XLVII, Snell's brytningslag och Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Snell.png|thumb|Hur elektromagnetiska vågor bryts]] [[File:Fusion Reflection 2.png|thumb|Reflektion och transmission av en stråle]] Det här kapitlet är ganska långt ifrån mina ambitioner med att försöka eller vara behjälplig med att bygga en fungerande fusionsreaktor men det är ett kapitel i min kurslitteratur som jag nu de senaste månaderna ändå tragglat mig igenom, ingen kunskap är dålig kunskap. Jag levererar fyra bilder, Snell's brytningslag är mycket viktig och behandlar hur ljus bryts och varför, den andra bilden sammanfattar ganska generellt vad som händer vid interferens dvs där ljusstrålar antingen förstärker (konstruktiv interferens) eller dämpar (destruktiv interferens) "varandra", den tredje sammanfattar på ett bra sätt hur interferens medels ljus i spalter och ljusöppningar beter sig, den sista bilden förklarar vad infallsplan är för nåt. Snell's brytningslag grundar sig på att tiden för ljuset att gå sträckan dsin(O1) är lika med tiden för ljuset att gå dsin(O2) för annars blir det fel i fas och eftersom tid kan skrivas som sträcka genom hastighet där hastighet är c/n pga brytningsindex så kan man skriva detta som <math>\frac{dsin(\theta_1)}{c/n_1}=\frac{dsin(\theta_2)}{c/n_2}...54.1</math> eller <math>n_1\cdot sin(\theta_1)=n_2\cdot sin(\theta_2)...54.2</math> som är Snell's brytningslag. Utöver detta finns reflektionslagen som i min kurslitteratur sägs vara ett specialfall av Snell's brytningslag men jag klassar det uttalandet som skitsnack samtidigt som alla vet att om man sparkar en boll snett mot en vägg så kommer den studsa lika snett åt andra hållet dvs utfallsvinkeln är lika med infallsvinkeln och man behöver inte vara forskare för att förstå det :D För formens skull skriver jag ändå reflektionslagen enligt <math>\theta_i=\theta_r...54.3</math> där index i indikerar infallande stråle och index r indikerar reflekterad stråle. Man kan förmodligen se härledningen av denna formel som härledningen för Snell men att man befinner sig i samma medium och då är brytningsindex och därmed hastighet lika dvs både ljushastigheten och brytningsindex kan förkortas bort. Nu behöver vi veta hur elektromagnetisk strålning beter sig i gränsskikt, följande regler gäller enligt Maxwell: <math>E_{t1}=E_{t2}...54.4</math> <math>H_{t1}=H_{t2}...54.5</math> <math>D_{n1}=D_{n2}...54.6</math> <math>B_{n1}=B_{n2}...54.7</math> dessa regler ger enligt min lärare <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_1-\theta_2)}{sin(\theta_1+\theta_2)}...54.8</math> och <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_1-\theta_2)}{tan(\theta_1+\theta_2)}...54.9</math> och nu ska vi härleda dessa uttryck för vad ska man med formler till om man inte förstår vart dom kommer ifrån? Först har jag fått lära mig att följande gäller (redigerad efter egen övertygelse) <math>E_i=E_r+E_t...54.10</math> vilket låter rimligt, ser det som att inkommande energi delas upp i reflekterad och transmitterad energi. Nedan nämns infallsplanet som är vinkelrätt (och därmed normal) mot planet strålen träffar, man kallar sedan E_parallell för nåt som ligger i infallsplanet (dvs i y-led), tycker det känns rätt onödigt att komplicera saken på detta sätt för strålarna träffar ju en yta/plan och en del reflekteras med vinkel uppåt och en del transitteras med vinkel neråt samtidigt som boundary-kriterierna (hittar inget bättre ord) är väldefinierade både normalt och tangentiellt till detta det "riktiga" infallsplanet. Men enligt litteraturen och Physics Forums gäller för den vinkelräta biten följande (alla vinklar är alltid relaterade till normalen till den yta strålen infaller på) <math>E_{\perp}=E_icos(\theta_i)...54.11</math> och E_parallell som är parallell mot infallsplanet <math>E_{\parallel}=E_isin(\theta_i)...54.12</math> Reflektionslagen lyder sen som sagt <math>\theta_i=\theta_r...54.13</math> dvs reflektionsvinkeln är lika med infallsvinkeln (jämfört med gränsytans normal), dessutom lyder i detta fall speciellt <math>H_{1t}=H_{2t}...54.14</math> där <math>H=\frac{B}{\mu}...54.15</math> Enligt 54.10 kan man alltså säga att följade gäller för den vinkelräta delen <math>\frac{B_i}{\mu_i}cos(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}cos(\theta_i)+\frac{B_t}{\mu_t}cos(\theta_t)...54.16</math> Både H och E är är alltså kontinuerlig i den tangentiella delen av gränsövergången (se 54.14), nu gäller <math>\mu_i=\mu_r\approx\mu_t...54.17</math> ty omagnetiska material såsom t.ex glas har my väldigt nära my för vaakum, som också kallas my_0, dessutom gäller <math>F=qE=qvB...54.18</math> vilket är en klassisk formel men faktumet att E=vB härleds egentligen på ett annat sätt, nu får vi således <math>\frac{E_i}{v_i}cos(\theta_i)=\frac{E_r}{v_r}cos(\theta_i)+\frac{E_t}{v_t}cos(\theta_t)...54.19</math> som eftersom <math>v=\frac{c}{n}...54.20</math> och c är konstant samtidigt som nr=ni ger <math>n_iE_icos(\theta_i)=n_iE_rcos(\theta_i)+n_tE_tcos(\theta_t)...54.21</math> Här nyttjas sedan den, i original, skumma formeln ovan dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.10'</math> som dock inte kan gälla för energidensiteten är <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2...54.22</math> dvs det finns ingen chans att transmitterad energi är större än infallande energi så jag anser detta vara akademiskt dravel men har kvar resten av uträkningarna för att jag lagt ner en massa arbete på att koda upp dom, villfarelsen har jag för övrigt fått av Physics Forums (dvs den senaste 54.10). <math>n_iE_icos(\theta_i)=E_r(n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t))+n_tE_icos(\theta_t)...54.23</math> dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_tcos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t)}...54.24</math> Nu gäller Snell's brytningslag dvs <math>n_isin(\theta_i)=n_tsin(\theta_t)...54.25</math> där n_i är infallsvinkeln jämfört med normalen och n_t är pss transmitterad vinkel, om n_t löses ut så fås <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.26</math> och insatt i ovanstående ekvation så fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}...54.27</math> Nu blir det "bara" en massa trigonometri :) Först, n_i går uppenbarligen bort sen börjar vi med att förlänga täljare och nämnare med <math>sin(\theta_t)...54.28</math> då fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{cos(\theta_i)sin(\theta_t)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{cos(\theta_i)sin(\theta_t)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.29</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{sin(\theta_t)cos(\theta_i)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{sin(\theta_t)cos(\theta_i)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.30</math> Nu finns det en trigonometrisk lag som säger att <math>sin(\alpha)cos(\beta)=\frac{1}{2}[sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)]...54.31</math> använder vi detta och observerar att <math>sin(-\alpha)=-sin(\alpha)...54.32</math> så får vi <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_i-\theta_t)}{sin(\theta_i+\theta_t)}...54.33</math> som dock bara gäller den vinkelräta biten, allt måste göras om för den parallella biten och där tror jag att ansatsen är <math>\frac{B_i}{\mu_i}sin(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}sin(\theta_r)+\frac{B_t}{\mu_t}sin(\theta_t)...54.34</math> vilket borde innebära att man bara byter ut cos mot sin i den vinkelräta formeln men jag kommer inte göra den uträkningen dock har jag svaret dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_i-\theta_t)}{tan(\theta_i+\theta_t)}...54.35</math> Polarisationsvinkeln är definierad som vinkeln mellan Ei och infallsplanet, om vi kallar denna vinkel för alpha så fås <math>Ei_\parallel=E_icos(\alpha)...54.36</math> och <math>Ei_\perp=E_isin(\alpha)...54.37</math> sen vet vi att energidensiteten (normalt kallad energitätheten eller intensiteten) är <math>I=\epsilon\frac{1}{2}E^2...[J/m^3]...54.38</math> vilket också kan ses som ett elektromagnetiskt tryck, detta ger <math>I\propto E^2...54.39</math> pga detta kan man skriva <math>Ii_\parallel=I_0cos^2(\alpha)...54.40</math> och <math>Ii_\perp=I_0sin^2(\alpha)...54.41</math> varför man kan skriva <math>Ir_\perp=I_0sin^2(\alpha)\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...54.42</math> Som är den ena av Fresnels Ekvationer, denna behandlar alltså dom gentemot infallsplanet vinkelräta komponenterna. Jag har nu försökt räkna ut dom parallella bitarna, jag tror mig kommit på att min ovanstående ansats är fel och detta pga att man måste se på dom normala bitarna i det här fället vilket innebär att <math>D_{1n}=D_{2n}...54.43</math> borde gälla istället, att det blir på det här viset har att göra med att vi nu tittar på komponenter som är normala till gränsytan (och därmed parallella till infallsplanet), i förra fallet tittade vi ju på komponenter som var tangentiella till gränsytan, sen gäller <math>D=\epsilon E...54.44</math> varför man istället kan skriva <math>\epsilon_iE_isin(\theta_i)=\epsilon_iE_rsin(\theta_i)+\epsilon_tE_tsin(\theta_t)...54.45</math> som eftersom <math>\epsilon_r=n^2...54.46</math> övergår i <math>n_i^2E_isin(\theta_i)=n_i^2E_rsin(\theta_i)+n_t^2E_tsin(\theta_t)...54.47</math> sen tror jag att att den skumma formeln fortfarande gäller dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.48</math> detta ger <math>E_i(n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t))=E_r(n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t))...54.49</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t)}...54.50</math> nu är åter <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.51</math> så att vi får <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}...54.52</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_i)-\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}{sin(\theta_i)+\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}...54.53</math> och här ser man direkt att det blir <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_t)-sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)+sin(\theta_i)}...54.54</math> nu blir det att ta till lite klurig trigonometri och för att slippa koda så mycket så skippar jag att vinkelsummorna och vinkeldifferenserna skall halveras <math>sin(\alpha)-sin(\beta)=2sin(\alpha-\beta)cos(\alpha+\beta)...54.55</math> respektive <math>sin(\alpha)+sin(\beta)=2sin(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)...54.56</math> När vi sätter in detta skall vi vara medvetna om att det är en kvot vilket medger vissa extra trick enligt <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{2sin(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{2sin(\theta_t+\theta_i)cos(\theta_t-\theta_i)}...54.57</math> om vi nu delar både täljare och nämnare med <math>\cos(\theta_t-\theta_i)...54.58</math> så faller nåt intressant ut <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{sin(\theta_t+\theta_i)}...54.59</math> som även kan skrivas <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)}{tan(\theta_t+\theta_i)}...54.60</math> vilket är rätt enligt litteraturen men skall egentligen vara <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\frac{\theta_t-\theta_i}{2})}{tan(\frac{\theta_t+\theta_i}{2})}...54.61</math> enligt dom trigonometriska lagarna. Om vi kör på med vad litteraturen säger så ger detta den andra Fresnelska ekvationen enligt <math>Ir_\parallel=I_0cos^2(\alpha)\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...54.62</math> Jag finner två fel i ovanstående uträkningar där det ena är att transmitterad elektrisk fältstyrka (E_t) inte kan vara större än infallande elektriska fältstyrka (E_i) pga energiprincipen, det andra felet ligger i litteraturens variant av den parallella energidensiteten (54.62) ty vinklarna ska halveras. Detta är som sagt bara en svammelbok så jag svamlar på genom att säga att jag har fel ovan, Physics Phorums har rätt hur konstigt det än ser ut för om ni tittar i min senaste bild ovan och kollar in sinus för alla "strålar", tar man sedan hänsyn till "pilarna" så pekar alla sinuskomponeter av E-fälten i samma riktning samtidigt som <math>E_{2t}=E_{1t}...54.63</math> och faktiskt Kirschoffs spänningslag gäller för gränsskiktets E-fält enligt <math>\oint E\cdot dl=q\oint E\cdot dl=q\int_{P1}^{P1} E \cdot dl=q \Delta V=0...54.64</math> Jag kommer återkomma till det här senare i min bok och känner inte för att djupdyka här och nu så mycket men om Ni tänker er en liten rektangel med bredden w (och obetydlig höjd) som på ovansidan går i Region 1 för att sedan gå ner i Region 2 och att ni tar Kirschoff på denna potentialvandring så får Ni <math>(Eit+Ert)\Delta w-Ett\Delta w=0...54.65</math> där vi alltså bara tittar på de till gränsskiktet tangentiella bitarna (aka i x-led), på ovansidan samverkar alltså de tangentiella fälten medans på undersidan blir det minus för riktningen är i negativ x-led om man börjat i positiv x-led ovanifrån, här ser Ni att PF har rätt, dock kan man lite leka med mitt energitänk modell att vi kollar hur energikvoten eventuellt kan bli att se ut genom sedvanlig formel ovan (54.38) dvs <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 Ett^2}{\epsilon_1(Eit^2+Ert^2)}...54.66</math> som kan skrivas om enligt (ty theta_r=theta_i) <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 (Et\cdot sin(\theta_t))^2}{\epsilon_1\sin(\theta_i)^2(Ei^2+Er^2)}...54.67</math> eller <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 sin(\theta_t)^2}{\epsilon_1 sin(\theta_i)^2}\frac{Et^2}{Ei^2+Er^2}...54.68</math> Jag vet verkligen inte men om det inte finns förluster så kanske denna ändå alltid är ett, ett sätt att se det är att theta_t alltid är mindre OMM n2>n1 vilket samtidigt innebär att theta_i är större dvs kvoten kompenseras här, den första termen kan alltså typ "alltid" vara ett. Man kan på liknande sätt visa dom normala bitarna (cosinus) enligt <math>D_{2n}=D_{1n}...54.69</math> där <math>D=\epsilon E...54.70</math> Men jag gör inte det här för detta kapitel har blivit komplicerat nog, nu siktar jag på att gå vidare med min bok. =Kapitel XLVIII, Specialfall av Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Refraction Zero 3.png|thumb|Visar hur en plan våg transmitteras när den infaller mot ett tunnare medium]] När alpha är 45 grader vilket gäller för cirkulärpolariserat och opolariserat ljus så fås, ty både sin^2(45) och cos^2(45)=1/2: <math>Ir_\perp=\frac{I_0}{2}\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...55.1</math> respektive <math>Ir_\parallel=\frac{I_0}{2}\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...55.2</math> Sen har vi specialfall 1: <math>\theta_i=\theta_t=0...55.3</math> dvs vinkelrätt infall, för små vinklar gäller <math>Ir_\parallel=Ir_\perp=\frac{1}{2}I_0[\frac{\theta_i-\theta_t}{\theta_i+\theta_t}]^2=\frac{1}{2}I_0[\frac{\frac{\theta_i}{\theta_t}-1}{\frac{\theta_i}{\theta_t}+1}]^2...55.4</math> eftersom Snell ger <math>n_isin\theta_i=n_tsin\theta_t...55.5</math> men att vi kör små vinklar så får vi att sinus är ungefär lika med vinkeln dvs <math>n_i\theta_i=n_t\theta_t...55.6</math> som kan skrivas <math>\frac{\theta_i}{\theta_t}=\frac{n_t}{n_i}...55.7</math> och därmed <math>I_r=I_{r_\perp} + I_{r_\parallel} = I_0[\frac{\frac{n_t}{n_i}-1}{\frac{n_t}{n_i}+1}]^2...55.8</math> dvs <math>I_r=I_0[\frac{n_t-n_i}{n_t+n_i}]^2\propto [\frac{\Delta n}{\Sigma n}]^2...55.9</math> Ir är då alltså den reflekterade intensiteten, från luft mot glas är den bara 4%. Specialfall 2: Om ljus infaller mot en gränsyta under en sådan infallsvinkel att <math>\theta_i+\theta_t=90 grader...55.10</math> så blir <math>I_{r_\parallel}=0...55.11</math> denna vinkel <math>\theta_i...55.12</math> kallas alltså för Brewstervinkeln eller polarisationsvinkeln. Den reflekterade strålen är alltså fullständigt polariserad vinkelrätt mot infallsplanet, detta inträffar enligt Snell's brytningslag då <math>\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin(90-\theta_i)}=tan(\theta_i)...55.13</math> Intensiteten blir om det infallande ljuset är opolariserat <math>I_r=Ir_\perp=\frac{I_0}{2}sin^2(\theta_i-\theta_t)...55.14</math> Specialfall 3: Om strålen reflekteras mot ett medium med lägre brytningsindex så har ekvationen <math>sin(\theta_i)=\frac{n_t}{n_i}sin(\theta_t)...55.15</math> ingen reell lösning i <math>\theta_t...55.16</math> om <math>sin(\theta_i)>\frac{n_t}{n_i}...55.17</math> dvs vi får totalreflektion. Detta är grunden för fibroptikens stora praktiska tillämpningar, med fiberoptik kan ljus överföras långa sträckor med mycket små förluster. Den här ekvationen är lite svår att förstå så jag måste fundera vidare på den, helt klart är i alla fall att om man har en fiber och infallsvinkeln är stor (vilket den ju är hos en långsmal fiber) då reflekteras all intensitet och därmed energi tillbaka in i fibern men hur detta sker har jag svårt för att fullt ut greppa, kanske man kan se det som att ljus bryts från normalen när man har lägre brytningsindex "utanför" vilket ju gör att efter en viss infallsvinkel så bryts strålen in i "manteln" (och innanför). =Kapitel XLIX, Superposition= [[File:Fusion Complex Vector Addition.png|thumb|Visar hur komplexa vektorer adderas]] Detta är mycket basalt men väldigt intressant och lärorikt för säg att vi har två vågor <math>z_1=A_1e^{j(wt+\delta_1)}...56.1</math> och <math>z_2=A_2e^{j(wt+\delta_2)}...56.2</math> superpositionsprincipen ger då den resulterande svängningen som <math>z=z_1+z_2=(A_1e^{j\delta_1}+A_2e^{j\delta_2})e^{jwt}...56.3</math> eller <math>z=Ae^{j\delta}e^{jwt}...56.4</math> Jag borde nu rita ett vektordiagram men jag orkar inte det, istället ska jag försöka förklara i ord för låt det komplexa talet <math>A_1e^{j\delta_1}...56.5</math> vara en vektor med liten vinkel relativt x-axeln (realdelen av talet) sen låter vi det adderas med ett komplext tal till enligt <math>A_2e^{j\delta_2}...56.5</math> med större vinkel relativt x-axeln, det intressanta nu är att resultanten får en vinkel som är summan av dom båda vektorernas vinklar, amplituden hos resultanten är sedan ännu mer spännande för den blir uppdelad på cos och sin enligt Pythagoras sats likt: <math>z^2=(A_1cos(\delta_1)+A_2cos(\delta_2))^2+(A_1sin(\delta_1)+A_2sin(\delta_2))^2...56.6</math> detta kan man utveckla till <math>A_1^2cos^2(\delta_1)+2A_1A_2cos(\delta_1)cos(\delta_2)+A_2cos^2(\delta_2)+A_1^2sin^2(\delta_1)+2A_1A_2sin(\delta_1)sin(\delta_2)+ A_2^2 sin^2(\delta_2)...56.7</math> eller <math>A_1^2(cos^2(\delta_1)+sin^2(\delta_1))+A_2^2(cos^2(\delta_2)+sin^2(\delta_2))+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.8</math> och pga trigonometriska ettan kan detta förenklas till <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.9</math> Sen finns det tydligen en trigonometrisk regel som säger att <math>cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta=cos(\alpha-\beta)...56.10</math> vilket ger <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\delta_1-\delta_2)...56.11</math> Eftersom intensiteten är proportionerlig mot amplituden i kvadrat så kan den resulterande intensiteten skrivas: <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta...56.12</math> Om vi antar att A1=A2 så får vi sedan två specialfall Fall I: Konstruktiv interferens <math>\delta=0+n2\pi, n=heltal...56.13</math> dvs z1 och z2 är då i fas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.14</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(0+n2\pi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}=4I_1...56.15</math> Fall II: Destruktiv interfrens <math>\delta=\pi+n2\pi, n=heltal...56.16</math> dvs z1 och z2 är i motfas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.17</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(\pi+n2\pi)=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}=0...56.18</math> Om vi fortfarande sätter I1=I2 men har en godtycklig fasskillnad så får vi <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1[1+2cos^2\frac{\delta}{2}-1]=2I_12cos^2\frac{\delta}{2}...56.19</math> dvs <math>I=4I_1cos^2\frac{\delta}{2}...56.20</math> Jag tycker dock att denna omskrivning är tramsig, ska genomgående försöka köra enligt original dvs <math>I=2I_1(1+cos\delta)...56.21</math> för då kan man enkelt se släktskapet med intensitetsformlerna vi ovan härlett, annars blir det liksom "wow, man kan skriva om den här formeln för att det går och jag är duktig på sånt, typ" =Kapitel L, Youngs dubbelspaltexperiment= [[File:Fusion Young.png|thumb|Youngs berömda dubbelspaltförsök]] Pga att det finns två och mycket smala spalter i Youngs dubbelspaltexperiment så kan ljuset när det belyser spalterna gå till höjden y på skärmen på två sätt och då via endera spalt. Det kommer nu finnas en bestämd fasrelation mellan de elektriska fälten i spalterna. De är i fas mitt på skärmen dvs vi har ett maxima där (inte så konstigt att tänka sig ty samma vågfront belyser de båda spalterna och sen skall bara vågorna propagera fram till skärmen). För små vinklar kan vi sedan skriva <math>sin(\theta)=\tan(\theta)=\frac{y}{L}...57.1</math> fasskillnaden kan skrivas <math>\delta=k\Delta x=k\cdot d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}...57.2</math> I maxima förstärker strålarna varandra pga att delta, och därmed den obefintliga fasskillnaden, är m*2pi vilket ger <math>\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}=m\cdot2\pi, m=heltal...57.3</math> dvs fösta "fransen" bortanför principalmaxima ligger vid m=1 och <math>y=\frac{L}{d}\lambda...57.4</math> där jag kallar kvoten L/d för "Lambdaförstärkning". Pga små spaltbredder gäller sedan i praktiken <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1(1+cos(\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}))...57.5</math> Allmänt gäller <math>I_1<I...57.6</math> men bara när interferensen är konstruktiv. Vågtalet (k) är ett intressant tal men det grötar till saker och ting fast dess användning underlättas om man tänker fysisk "vägskillnad" (dx) som då är relaterat till lambda för att sedan om man multiplicerar med k (2pi/lambda) få det något mer diffusa begreppet kallat "fasskillnad" (kdx=delta enligt ovan) allting kompliceras ytterligare av att "optisk vägskillnad" egentligen stavas nkdx dvs brytningsindex gånger fasskillnaden, där n dock som bekant är hastighetsminskningen relativt ljushastigheten i det optiska mediumet. =Kapitel LI, Interferens i reflekterat ljus= [[File:Fusion Interference 2.png|thumb|Interferens]] Om man kikar i min ritning nedan så är det inte svårt att konstatera att villkoret för konstruktiv interferens är <math>\phi_B-\phi_D=2\pi\cdot m...58.1</math> dvs så länge varven snurrar ett helt varv och adderas så blir det förstärkning, för destruktiv interferens gäller sedan <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m...58.2</math> fasskillnaden här är som synes pi vilket innebär att vågorna är helt ur fas modell att när ena går upp så går andra ner och när man då adderar dom så blir summan noll. För att beräkna fasskillnaden mellan B och D utnyttjar vi att <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.3</math> Här tycker jag dock att följande är tydligare <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)+(\phi_A-\phi_D)...58.4</math> Totala fasändringen <math>\phi_D-\phi_A...58.5</math> för stråle 1 erhålles genom att till den fasändring som uppkommer pga reflektion mot tätare medium addera fasändringen utmed vägen AD För en våg <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)...58.6</math> är fasskillnaden mellan två punkter dx (i vågens utbredningsriktning) lika med <math>k\Delta x...58.7</math> Fasändringen utmed AD är således <math>kAD=\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.8</math> vilket pga av att vi har reflektion mot tätare medium ger <math>\phi_D-\phi_A=\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.9</math> Stråle 2 reflekteras mot ett optiskt tunnare medium vid nedre plattytan vilket inte ger upphov till någon extra fasändring, fasdifferensen mellan svängningen i B och A är då <math>\phi_B -\phi_A =k'(AF+FB)=\frac{2\pi}{\lambda'}(AF+FB)...58.10</math> där lambda' är våglängden i glasplattan given av <math>\lambda'=\frac{\lambda}{n}...58.11</math> dvs hastigheten i optiska medium med brytningsindex >1 är mindre än i vakuum, detta ger <math>\phi_B-\phi_A=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)...58.12</math> vilket man kan skriva om som <math>\phi_B-\phi_A=k\cdot n\cdot \Delta x...58.13</math> där <math>\Delta x...58.14</math> också kallas för vägskillnaden medans <math>k\Delta x...58.15</math> kallas för fasskillnaden, och <math>kn\Delta x...58.16</math> kallas för den optiska vägskillnaden, vilket genom att repetera ovanstående av lämplighet <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.17</math> ger <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)-(\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD)...58.18</math> Här gäller <math>AF=FB=\frac{d}{cos\beta}...58.19</math> och pga reflektionslagen gäller <math>sin\alpha=n\cdot sin\beta...58.20</math> vilket ger <math>AD=AB\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot nsin\beta=2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}...58.21</math> för ovan gäller helt enkelt <math>tan\beta=\frac{sin\beta}{cos\beta}...58.22</math> varav följer <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n\frac{2d}{cos\beta}-\pi-\frac{2\pi}{\lambda}2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}=\frac{4\pi nd}{\lambda cos\beta}(1-sin^2\beta)-\pi=\frac{4\pi nd}{\lambda}cos\beta-\pi...58.23</math> tricket här är alltså trigonometriska ettan <math>1-sin^2\beta=cos^2\beta...58.24</math> Vi får alltså destruktiv interferens om <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m=\frac{4\pi ndcos\beta}{\lambda}-\pi...58.25</math> Högerledets pi kan flyttas över till vänsterledet varvid m kan ökas med ett men detta spelar ingen roll så vi släpper det, istället fås <math>2ndcos\beta=m\lambda...58.26</math> som alltså är villkoret för utsläckning och att villkoret skiljer sig från Young har att göra med det extra fassprång man får vid reflektion mot tätare medium, jag brukar kalla detta "Ej OK" för normalt blir det ju förstärkning i detta fallet. Konstruktiv interferens fås sedan när <math>2ndcos\beta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...58.27</math> vilket är mitt föredragna sätt att skriva det samtidigt som detta ser ut som ett minimum (Ej OK). Lite extra intressant är att min lärare påstår att samma formler gäller om vi har tätare medium utanför skiktet fast även i detta fallet reflekteras ena strålen mot ett optiskt tätare medium, om man tänker efter. Dom här härledningarna är viktiga för fortsatta studier, det är därför jag lagt krut på dom. =Kapitel LII, Antireflexbehandling av ytor= [[File:Fusion Anti-Reflection.png|thumb|Antireflexbehandling av en yta]] [[File:Fusion Medium Refraction.png|thumb|Visar hur vågor beter sig när dom möter tätare respektive tunnare medium]] Om <math>n_1<n_2<n_3...59.1</math> och infallet är vinkelrätt/normalt så fås för destruktiv interferens <math>2n_2d=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...59.2</math> för att cos(beta) är ett och BÅDA strålarna har relekterats en gång mot tätare medium dvs deras fasskillnad är noll, med andra ord blir tänket nu "OK" ty udda halva lambda ger utsläckning medans hela lambda ger förstärkning, minsta möjliga tjocklek (m=0) blir således <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.3</math> Nu vet vi sedan förut att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n}{\sum n}]^2...59.4</math> Här får vi att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n_{12}}{\sum n_{12}}]^2...59.5</math> och <math>I_{tr}=I_t[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2...59.6</math> Om den förlorade reflektionsintensiteten är av storleksordningen 1% så kan vi sätta <math>I_t\approx I_i...59.7</math> dvs <math>I_{trt}=I_{tr}...59.8</math> eller <math>I_{trt}\approx I_i[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2=I_{tr}...59.10</math> För utsläckning kräver vi att <math>I_r=I_{trt}...59.11</math> vilket innebär <math>[\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}]^2=[\frac{n_2-n_3}{n_2+n_3}]^2...59.12</math> detta ger <math>n_2^2=n_1n_3...59.13</math> eller <math>n_2=\sqrt{n_1n_3}...59.14</math> Vi har alltså <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.15</math> där <math>n_2=\sqrt{n_3}...59.16</math> om n_1=1. Jag har själv lite svårt att följa det här och kanske jag förtydligar men om man tänker att det förloras väldigt lite i intensitet vid reflektion (r) och transmission (t) så underlättas det. =Kapitel LX, Newtons ringar= [[File:Fusion Newton Rings.png|thumb|Newtons ringar]] Newtons ringar innebär cirkulära ringar (destruktiv interferens) som interferensmönster, arrangemanget består av en planslipad uppochnervänd typ glasbit där undersidan har en mycket stor krökningsradie (R). Om man tittar en liten bit in under "huven" så har man att d är höjden och rm radien. Eftesom en av strålarna har reflekterats mot optiskt tätare medium (vilket jag brukar kalla "Ej OK") så har man att för destruktiv interferens gäller <math>2nd=m\lambda...60.1</math> vilket är samma som 58.26 ovan fast med transmissionsvinkeln (Beta) pga vinlelrätt infall lika med 0 som alltså innebär utdämpning. Detta är inte så konstigt för en stråle kommer in, en annan stråle kommer in OCH reflekteras mot tätare medium vilket ger den ett fassprång på pi och i det klassiska Young-fallet fanns inga sådana fassprång varvid ovanstående ekvation i det fallet indikerar förstärkning. Om radien i ring nummer m är rm så gäller pga Pythagoras sats <math>r_m^2+(R-d)^2=R^2...60.2</math> varav <math>r_m^2=2Rd-d^2\approx 2Rd...60.3</math> ty d^2 är så litet, således <math>r_m^2=2Rd=2R\cdot \frac{m\lambda}{2n}= m\cdot \frac{R\lambda}{n}=mR\lambda'...60.4</math> där n i praktiken är 1 (luft). =Kapitel LXI, Diffraktion i enkelspalt= [[File:Fusion Single Slot Diffraction.png|thumb|Sinc-puls från en enkelspalt]] Ett element med bredden ds i mitten av spalten (s=0) ger i en punkt (P) bidraget <math>dy_0=a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)...61.1</math> där a är en konstant som beror av den inkommande vågens intensitet och avståndet till observationsplanet. I förhållande till detta bidrag har bidraget dys från andra delar av spalten den ytterligare fasförskjutningen <math>k\Delta x=k\cdot s\cdot sin\theta....61.2</math> där b är spaltens bredd och s en punkt i spalten, formeln liknar formeln för Young om man byter s mot d dvs att den differentiella vägskillnaden är s*sin(theta) medans fasskillnaden är k gånger detta värde. Vi får alltså <math>dy_s=a\cdot ds\cdot sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta))...61.3</math> och den resulterande fältstyrkan erhålles genom integration mellan gränserna s=-b/2 och s=b/2. För att underlätta beräkningen adderar vi dock först symmetriskt belägna element två och två <math>dy=dy_s+dy_{s-}=a\cdot ds[sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta)+sin(wt-k(x-s\cdot sin\theta)]=...61.4</math> <math>a\cdot ds[sin[(wt-kx)-k\cdot s\cdot sin\theta]+sin[(wt-kx)+k\cdot s\cdot sin\theta]]=...61.5</math> <math>2a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)cos(k\cdot s\cdot sin\theta)...61.6</math> där vi har nyttjat att <math>sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)=2sin\alpha cos\beta...61.7</math> Totala amplituden Y i P fås genom integration mellan s=0 och s=b/2 dvs <math>Y=2asin(wt-kx)\int_0^{\frac{b}{2}}cos(k\cdot s\cdot sin\theta)ds=...61.8</math> <math>=ab\frac{sin(k/2\cdot b sin\theta)}{k/2\cdot b sin\theta}sin(wt-kx)...61.9</math> Om vi nu sätter <math>ab=A_0...61.10</math> och <math>k/2 \cdot bsin\theta=\beta...61.11</math> blir den med vinkeln theta varierande amplituden alltså <math>A=A_0\frac{sin\beta}{\beta}...61.12</math> Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat och vi får alltså <math>I\propto A_0^2\frac{sin^2\beta}{\beta^2}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...61.13</math> Vi skall nu studera hur intensiteten varierar med vinkeln theta: 1) När vinkeln theta går mot noll så går alltså beta mot noll och vi får <math>\frac{lim}{\beta->0}\frac{sin\beta}{\beta}=1...61.14</math> Rakt fram är alltså beta noll och vi får ett intensitetsmaximum (som också kallas principalmaximum). 2) Vi får sedan utsläckning när <math>\beta=+/-m\pi..61.15</math> fast INTE när m=0 dvs i principalmaximum, alla andra multiplar av pi ger utsläckning. Som exempel kan nämnas <math>\beta=\pi...61.16</math> vilket ger <math>bsin\theta=\lambda...61.17</math> 3) Mellan dessa minima finns sekundära minima, vi söker läget för dessa: <math>\frac{1}{I_0}\frac{dI}{d\beta}=\frac{d}{d\beta}[\frac{sin^2\beta}{\beta^2}]=0...61.18</math> vilket ger <math>\frac{\beta^2 2 sin\beta cos\beta-2\beta sin^2\beta}{\beta^4}=0...61.19</math> eller <math>\beta tan(\beta)-tan^{2}(\beta)=0...61.20</math> alltså <math>tan\beta-\beta=0...61.21</math> Lägena för sekundärmaxima ges approximativt av <math>\Delta x=bsin\theta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...61.22</math> vilket inte gäller för m=0 ty man kan visa att för pi eller lambda halva som vägskillnad så är intensiteten noll, det är intressant att notera att principalmaximat alltså har en utsträckning om lambda (pi åt vardera håll). =Kapitel LXII, Upplösningsförmåga= [[File:Fusion Diffraction Resolution.png|thumb|Upplösningsförmåga medels enkelspalt]] Det första interferensminimat ligger på avståndet y från principalmaximats centrum, för första minimat (m=1) gäller <math>bsin\theta=\lambda...62.1</math> om L är mycket större än y så kan vi skriva <math>sin\theta \approx tan\theta=\frac{y}{L}...62.2</math> vilket ger <math>b\frac{y}{L}=\lambda...62.3</math> eller <math>y=\frac{L}{b}\lambda...62.4</math> där vi får den gamla hederliga lambda-förstärkningen som jag brukar kalla den dvs höjden (y) är avståndet (L) delat med "våglängdsdimensionen" (modell att man har en spalt eller nåt som begränsar ljuset) gånger våglängden. Förutom en rätt patetisk justering av denna formel så gäller den för cirkulära öppningar såsom en kikare också. Med andra ord vill jag teckna <math>\frac{y}{L}\approx \frac{\lambda}{b}...62.5</math> där y är diametern hos kikaren. Formeln kommer ifrån ett kriterium som kallas Rayleighs kriterium, där upplösningsförmågan specificeras som att det ena principalmaximat sammanfaller med det andras första minimum (vi har ju två prylar/objekt vi försöker separera). =Kapitel LXIII, Samverkan mellan interferens och diffraktion= [[File:Fusion Single Slot Pattern.png|thumb|Mönstret från en enkelspalt]] Interferensfransarnas intensitet (amplitud i kvadrat) kan i t.ex Youngs dubbelspaltexperiment tecknas <math>I_{tot}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta=2I(1+cos\delta)...63.1</math> om I1=I2=I och där <math>\delta=kdsin\theta\approx kd\frac{y}{L}...63.2</math> Om nu spalterna har utsträckning i förhållande till våglängden så tillkommer en diffraktionsterm som vi redan härlett för enkelspalt dvs <math>I\propto sinc^2\beta=\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...63.3</math> uttrycket för den totala intensiteten blir då <math>I\propto\frac{sin^2\beta}{\beta^2}(1+cos\delta)...63.4</math> där <math>\beta=\frac{k}{2}\Delta x=\frac{k}{2}bsin\theta=\frac{\pi bsin\theta}{\lambda}...63.5</math> där b är spaltbredden och d är avståndet mellan spalterna. Det är intressant plotta den här funktionen, speciellt har detta gjorts i min litteratur för d=3b och eftersom jag inte har nån möjlighet att utföra en sådan plot (annat än på min HP28SX) så ska jag försöka beskriva den och sinc^2-delen (63.3) har en huvudlob (principalmaxima) rakt fram som är typ sinusformad och av bredden +/-pi, därefter är den nästan nollad amplitudmässigt men det finns lite sekundärmaxima också, hängs sedan uttrycket för interferensfransarnas intensitet (63.1) på så blir sinc^2 typ envelopen för intensiteten dvs principalmaxima "hackas upp" i mindre sinusformade delar. =Kapitel LIV, Diffraktion i gitter= [[File:Fusion Gitter.png|thumb|Visar hur ett gitter är uppbyggt]] Ett transmissionsgitter ser ut som Young's dubbelspaltexperiment med skillnaden att antalet spalter är mångdubbelt flera, gitterformeln säger att <math>dsin\theta=m\lambda...64.1</math> som alltså på samma sätt som för Young innebär villkoret för maxima. Vi väljer nu en våglängd och studerar hur intensiteten varierar med vinkeln theta. Min ritning för Young gäller, vi får bara "multiplicera" den. Vi bestämmer oss för att sätta fasvinkeln till noll i översta spalten, fältstyrkan i denna spalt kan då tecknas: <math>y=a\cdot sin wt...64.2</math> fasen för ljuset från närmaste spalt ligger då före (tänk er brytning neråt) med <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> För spalten därefter blir fasvinkeln <math>2\delta...64.4</math> osv, vi summerar sedan för hela gittret (totalt N belysta spalter) och erhåller den amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Y=asin(wt)+asin(wt+\delta)+asin(wt+2\delta)+...+asin(wt+(N-1)\delta)...64.5</math> Intensiteten är dock enklare att beräkna om vi använder oss av komplexa tal och beräknar den komplexa amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Ae^{j\phi}=a(1+e^{j\delta}+e^{j2\delta}+e^{j3\delta}+...+e^{j(N-1)\delta})...64.6</math> Högerledet är summan av en geometrisk serie med N termer och kvoten <math>e^{j\delta}...64.7</math> vilket ger <math>Ae^{j\phi}=a\frac{1-e^{jN\delta}}{1-e^{j\delta}}...64.8</math> detta är ampliduden men för intensiteten så kvadrerar vi amplituden och tricket är nu att man konjugatkompletterar vilket förenklar beräkningarna avsevärt även om anledningen är lite diffus <math>I=Ae^{j\phi}*Ae^{-j\phi}=A^2=a^2\frac{(1-e^{jN\delta})(1-e^{-jN\delta})}{(1-e^{j\delta})(1-e^{-j\delta})}...64.9</math> Som kan skrivas <math>I\propto \frac{1-(e^{jN\delta}+e^{-jN\delta})+1}{1-(e^{j\delta}+e^{-j\delta})+1}=\frac{2(1-cosN\delta)}{2(1-cos\delta)}=\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.10</math> där det finns en trigonometrisk formel som säger att <math>1-cos\alpha=2sin^2{\frac{\alpha}{2}}...64.11</math> vilket ger att <math>I \propto \frac{sin^2\frac{N\delta}{2}}{sin^2\frac{\delta}{2}}...64.12</math> men jag tycker återigen att man förlorar korrelationen med verkligheten genom att gå via måhända käcka trigonoimetriska identiteter så jag kommer köra på med att intensiteten för ett gitter är <math>I\propto \frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.13</math> denna term kallas interferenstermen för N spalter. Intensiteten för nollte ordningen innebär <math>\theta->0 = \delta->0...64.14</math> dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.15</math> Enligt l'hospitales regel kan detta gränsvärde evalueras genom derivering av täljare och nämnare, dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}=>\frac{NsinN\delta}{sin\delta}=N...64.16</math> Intensiteten i framåtriktningen är alltså proportionell mot N. Detta innebär att vi för intensiteten I_theta i riktningen theta från gittrets normal kan skriva <math>I_{\theta}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.17</math> när delta då är multiplar av 2pi så maximeras funktionen och intensiteten blir proportionerlig mot N ty 64.16 anger limes och vi har 0/0. Maximum blir alltså för delta lika med multiplar av 2pi. När det gäller för vilka värden på delta som interferenstermen har minimum så kan man resonera som så att täljaren blir noll oftare än nämnaren, täljaren blir noll när <math>N\delta=m \cdot 2\pi...64.18</math> dvs <math>\delta=\frac{m}{N}2\pi...64.19</math> där m är 0, 1, 2 osv. Enligt tidigare har vi att <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> och pga <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...64.20</math> har vi att <math>dsin\theta (min)=\frac{\lambda}{N}, \frac{2\lambda}{N},...\frac{(N-1)\lambda}{N},...max...,\frac{(N+1)\lambda}{N}...64.21</math> Mellan två principalmaxima finns (N-1) minima och (N-2) sekundära maxima, sekundärmaximas intensitet blir alltmer försumbar då antelet spalter (N) ökar. =Kapitel LV, Gitterupplösning= [[File:Fusion Gitter Pattern.png|thumb|Gittermönster]] Vi anser att två spektrallinjer av lika styrka nätt och jämt kan skiljas åt om den enas principalmaximum sammanfaller med det minimum som ligger bredvid den andras principalmaxim. Beteckna våglängderna med <math>\lambda...65.1</math> respektive <math>\lambda+\Delta \lambda...65.2</math> Principalmaxima för våglängden lambda bestäms av gitterformeln (på samma sätt som för Young) dvs <math>dsin\theta=m\lambda...65.3</math> och närmast liggande minima bestäms av <math>dsin\theta=\frac{(mN+1)\lambda}{N}...65.4</math> Jag förstår inte riktigt m i den här formeln för om man tittar på 64.21 så är närliggande minima antingen <math>\frac{(N-1)\lambda}{N}...65.5</math> eller <math>\frac{(N+1)\lambda}{N}...65.6</math> så varför mN plötsligt? För knapp upplösning ska dock minimat sammanfalla (vinkeln lika) med principalmaximum för våglängden <math>\lambda+\Delta \lambda...65.7</math> dvs <math>dsin\theta=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.8</math> detta ger <math>(m+\frac{1}{N})\lambda=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.9</math> dvs <math>\frac{\lambda}{N}=m\Delta \lambda...65.10</math> vilket innebär <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=mN...65.11</math> Kvoten <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}...65.12</math> kallas gittrets upplösningsförmåga som alltså är lika med produkten av spektrets ordning och antalet linjer i gittret, upplösningsförmågan är alltså beroende av ordningen (m) som man eventuellt kan tänka som hur "skarpt" strålarna är brutna för ju lägre m desto rakare går strålen men att upplösningen skulle vara bättre för hur hög ordning det är på brytningen det tycker i alla fall jag är skumt, fast om man tänker sig en skärm på ett visst avstånd från gittret så ju skarpare det bryts desto längre hypotenusa och när hypotenusan blir längre så blir avstånden mellan maxima längre varvid man kan få högre upplösning. ='''Del V, KÄRNFYSIK'''= =Kapitel LVI, Kärnfysik= Det här kapitlet handlar om hur atomer och atomkärnor är uppbyggda och hur dom beter sig. Kärnan består av protoner och neutroner (speciellt, men inte enbart, utanför kärnan finns elektroner), protonernas massa är ungefär 1836 elektronmassor medan neutronernas massa är ungefär 1838 elektronmassor. Protoner och neutroner är således mycket tyngre än elektroner. Protoner och neutroner kallas vid ett gemensamt namn nukleoner. Kärnor kan således karaktäriseras av: 1) Antalet protoner=laddningstalet=protontalet=atomnumret Z 2) Antalet neutroner=neutrontalet N 3) Antalet nukleoner=nukleontalet=masstalet A En atomkärna specificeras således som <math>X_Z^A...66.1</math> [Det här är det närmaste jag kommer för Z och A ska egentligen vara på andra sidan X men jag kan inte koda för det.] Isotoper har sedan samma Z men olika A dvs olika antal neutroner (ty det är protonantalet Z som bestämmer grundämnet). Det här älskar jag för det är lika enkelt som Occams Razor: Man har uppfunnit begreppet neutroner (laddning 0, massa=proton+2me) men man har av olika anledningar inte kunnat acceptera att en neutron skulle kunna bestå av en proton+elektron där jag tänker att en av elektronerna helt enkelt är bindningsenergin för alla vet ju att massa är samma som energi (vilket man emellertid accepterar när det kommer till en typ av sönderfall som kallas K-elektroninfångning fast då ur synvinkeln att en proton+elektron kan ge en neutron, väldigt inkonsekvent och konstigt tycker jag). Det sättet kompetent folk dissar att n=p+e är två stipulat: 1) Heisenbergs osäkerhetsrelation tycks säga att man inte riktigt kan veta vart partikeln befinner sig inom ett visst avstånd, avståndet här är radien hos en proton dvs ungefär 10^-15m (R), detta tycker jag lite kan jämföras med hur en gitarrsträng svänger för dess frekvens är minst att noderna är ändarna så man har alltså att våglängden är av storleksordningen R, dvs vi kan inte riktigt veta vilket delsegment hos strängen som ger ljudet för det är ju hela strängen som ger ljudet, nåt sånt tror jag det blir. Samtidigt finns det en konstant som stavas h, denna konstant kallas Plank's konstant och symboliserar Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt <math>p\approx \frac{h}{R}...66.2</math> där h har enheten [Js] dvs h kan också skrivas <math>h=Et...66.3</math> Min litteratur räknar sedan ut att <math>p=-34+15+19+8=100MeV/c...66.4</math> som egentligen är 200MeV men kontentan blir att pc=200MeV. Elektronens viloenergi är <math>m_0c^2=-30+17+19=1MeV...66.5</math> vilket stämmer bra med vad det ska vara dvs~0,5Mev. Det intressanta nu är att om man nyttjar Einsteins formel för "relativistisk energi" så får man att <math>E_k=E_{tot}-m_0c^2=\sqrt{(pc)^2-(m_0c^2)^2}-m_0c^2\approx pc...66.6</math> dvs <math>E_k\approx pc=200MeV...66.7</math> Här påstår man att bindning av en elektron med denna energi kräver en potentialbrunn om minst djupet 200MeV, ett djup som inte kan förklaras ur Coulombkrafterna, på avståndet 10^-15m från en proton skulle elektronens energi vara <math>\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{R}=1,4MeV...66.8</math> 2) Sen finns det en annan motsägelse som är lite mer flummig: Elektronens till spinnet kopplade magnetiska moment är runt <math>M_e=\frac{eh}{2m_e}...66.9</math> vilket är >> än något förekommande kärnmagnetiskt moment av storleksordningen <math>M_p=\frac{eh}{2m_p}...66.10</math> där m_e är elektronens massa och m_p är protonens, ekvationerna skall egentligen innehålla h_bar dvs <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}...66.11</math> men det är så löjligt ointressant (jag anser nämligen att om man bara ligger inom en magnitud fel/rätt så räcker det för diskussionen). Visserligen elimineras det magnetiska momentet vid parning (spinn + 1/2 -1/2) av elektroner men var tar en udda "oparad" elektrons magnetiska moment vägen, frågar min litteratur? Jag tycker att det som här rätt taffligt nyttjas dvs Heisenbergs osäkerhetrelation är lite flummig för varför skulle det t.ex finnas en konstant för vart en partikel kan befinna sig? Hur har man bevisat det? Om h inte riktigt stämmer så faller ju hela resonemanget och en neutron kan visst bestå av en proton+elektron och som vi skall se senare så rimmar det resonemanget väldigt bra. ==Fritänkande, osäkerhetskonservering== [[File:Fusion Mean Temperature.png|thumb|Visar två olika former av samma temperaturmedelvärde]] Det är känt att laddning är oförstörbar och dessutom gäller att summa laddning i ett slutet system är noll. Laddning brukar betecknas med q och har enheten As. Tittar man på enheten allena så ser man att A och s kan ha helt olika värden för samma q. Så det är inte orimligt att q är konstant och jag kallar det laddningskonservering. Planks konstant h som lär vara bevisad iom fotoelektriska effekten har enheten Js och den kommer tydligen ifrån Heisenbergs osäkerhetsrelation varvid jag härmed döper h till osäkerhetskonservering, således gäller <math>q=[As]</math> och <math>h=[Js]</math> Det är intressant vad laddning egentligen är, jag har hört talas om att det har med spinn att göra men jag tycker det låter för flummigt för mig att förstå. Vad är sen h? Som vid q kan man kanske se det som att om tidsaxeln är i x-led så är energin (eller strömmen) i y-led och den area som Js bygger upp är konstant och lika med h. Jag tvivlar lite på denna konstant men vågar mig inte på några gissningar, detta förhållande köper jag dock <math>E=mc^2=pc=hf</math> där dock fotonen egentligen inte har nån vilomassa ty den far alltid fram med ljusets hastighet MEN iom Einstein så kan man räkna ut en ekvivalent massa ty energi är massa, ur denna formel får man också att <math>h=p\lambda</math> där lambda typ är ett minavstånd likt radien på en proton men detta gäller alltså bara för fotoner, för "vanliga" partiklar med massa tror jag följande ungefär gäller <math>E=mv^2=pv=kT</math> vilket är sant om partikeln bara har en frihetsgrad samtidigt som en halv magnitud fel av små/stora tal spelar noll roll, laddningskonservering innebär sedan <math>\sum_{n=1}^N q_n=0</math> Jag har lurat lite på Ek och den klassiska MEDELVÄRDES-formeln <math>Ek=\frac{mv^2}{2}</math> och att det motsvarar en temperatur enligt ovan. Den kinetiska energin (Ek) är som sagt en medelenergi motsvarande en viss temperatur. Jag har försökt titta på vilket temperaturspann detta kan ha för vad är egentligen medelenergi? Om två partiklar av samma massa och hastighet krockar dead on så bör det bli som i bijard dvs båda kommer att stanna fullständigt och båda partiklarnas hastigheter blir kortvarigt noll, vilket motsvaras av 0K. Det bör alltså i en gas eller plasma finnas situationer där vissa partiklar "når" 0K. Samtidigt tror jag att om medelvärde fortfarande gäller så bör temperaturen åt andra hållet inte pendla till mer än 2T. Här kan man dock spekulera i hur kort eller lång tid "0K-partiklarna" existerar, finns det lite längd på tiden så kan pulsen uppåt (t1) nå lite temperaturer men min amatörmässiga bedömning är att Tk>10T inte är nåt att hoppas på. Men jag vet inte, jag bara spekulerar :) Känner f.ö till att det finns nåt som kallas Stefan-Bolzman:fördelning men jag tror inte riktigt på den. ==Fritänkande, bindningsenergi== Jag har klurat lite på vad bindningseneri är och det är lite förvirrande för varje snubbe som skriver litterarur i ämnet envisas med att använda olika beteckningar. Men jag tror att jag fattat att den beteckning som min litteratur Fysik 2 har (och är avskriven här) bara skiljer sig i beteckning jämfört med den huvusakliga litteratur jag studerar dvs Cheng. Således är Eb=Vb. Potential (V) är genast en energi i eV men för Joule måste man multiplicera med elementarladdningen. Så jag ser Vb som energi as is. Eb är alltså bindningsenergin hos atomkärnor och jag tror att jag har kommit på att det är samma som Vb enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> där b är radien hos partikeln som då alltså ökar med atomnumret, Vb ökar ändå pga att effektiv radie hos kärnan inte ökar lika mycket som antalet protoner. Cheng visar vilken energi som går åt att bygga en kärna av laddning, jag bara kopierar in den här <math>W=\frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0b}[J]</math> som förutom multiplikationen med Q, som är standard för Joule, inte skiljer sig nämnvärt (3/5-delar) mot min första formel ovan, energin för att bygga en proton uppgår alltså till storleksordningen 1MeV (fast om protonen redan finns?) Jag har hamnat lite före nedan med mitt fritänkande (som aldrig är att ta på nåt stort allvar) och allt ligger lite ur fas men jag vill ändå skriva ut Vb för en proton enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}=1,4MeV=2,3*10^{-13}J</math> I eV så låter allt astronomiskt men i Joule låter det löjligt lite även om energin är stor, man kan tänka sig en foton och dess energi modell <math>E=hf=\frac{hc}{\lambda}</math> där vi vet att våglängden för synligt ljus är av storleksordningen 1um, detta ger fotonens energi som 0,2eV, temperaturen för att termiskt penetrera en proton på 1,4MeV blir sedan ungefär <math>Vb=kT</math> dvs ungefär 19GK :D I ITER har jag fått reda på så har dom tänkt försöka med 10keV, vilket är en bra bit från den energi som krävs, personligen är jag tveksam till om en faktor hundra funkar trots den Boltzmanska fördelningen, jag tror att man måste upp i minst Vb/10. Sen, efter mycket funderande tror jag att följande gäller <math>m_a=m_p+E_b</math> där mp är summan av alla partiklar som kärnan består av vars totala massa alltså är MINDRE än atommassan! Rätt skumt om det inte vore för Einstein och <math>E=mc^2</math> för den formeln funkar åt båda hållen dvs energi har massa. Detta är fel, se nedan. =Kapitel LVII, Kärnans radie= [[File:Fusion Hydrogen Model.png|thumb|Modell av väteatomen]] Beskrivningen av det här är lite flummigt, det finns tydligen ett antal olika försök att bestämma kärnradien men jag listar bara två: 1) Rutherfords spridningsförsök nyttjandes elektronbefriade He-kärnor (alfa-partiklar) mot tunna metallfolier, han kom fram till att atomens massa är till mer än 99,9% sannolikhet koncentrerad inom en kärna av diameter 10^-14m. 2) Spridning av myoner ger tydligen ett bättre resultat, med hjälp av dessa (207m_e) så har man en förmånligare vågfunktion, vad nu det innebär. I samma veva nämns dock hur en enelektronatom i grundtillståndet har det mest sannolika avståndet kärna-elektron enligt: <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \approx 1A...67.1</math> där A står för Å som i Ångström (100pm) vilket tydligen inte kan kodas, svaret kallas sedan Bohr-radien. Kärnans radie har uppmäts till: <math>r=r_0A^{1/3}m...67.2</math> där <math>r_0\approx 10^-15m...67.3</math> Detta empiriska samband mellan kärnradie och masstal visar att det kan vara befogat att tala om "kärnmateria" med konstant täthet ty <math>n=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 (A^{\frac{1}{3}})^3} \propto \frac{A}{(A^{\frac{1}{3}})^3}=1...67.4</math> Enligt min litteratur är sedan n oberoende av masstalet (A) med god noggrannhet, detta innebär således att densiteten för all kärnmateria är samma för varje kärna väger lika mycket per volymsenhet ty dom består mest av kärnpartiklar som typ väger samma, ett numeriskt värde kan ungefär fås av <math>\rho = \frac{m_p}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}\propto \frac{m_p}{r_0^3} \approx -27+3*15=10^{18} kg/m^3...67.5</math> Den tätaste "jordliga" materian jag hittar i Physics Handbook är typ Guld med en densitet på runt 22000 kg/m^3, det ni! Kärnmateria har blivit mitt nya fascinerande begrepp för föreställ Er digniteten, precis allt vi ser runt omkring oss består av samma kärnmateria, visst de består också av många olika grundämnen i alla möjliga olika konstellationer/molekyler men faktumet att alla dessa grundämnen består av samma kärnmateria fascinerar mig. För ett ganska rejält antal år sedan fascinerades jag av att precis allt levande består av DNA (tror bestämt detta även gäller växter även om proteinsyntesen blir klurig...) och detta är lite av samma uppvaknande. ==Härledning av Bohr-radien== [[File:Fusion Hydrogen Force.png|thumb|Kraftmodell av väteatomen]] Det finns en längre härledning av detta men jag kör nu den enkla jag "kommit på" dvs Fc=F där Fc är den columbska kraften mellan två olikladdade partiklar och F är centrifugalkraften eller <math>\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\frac{mv^2}{r}...67.6</math> ur detta får man sedan hastigheten v som <math>v=\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}...67.7</math> sen gäller enligt sägen <math>p\lambda=h...67.8</math> där jag nyttjat Heisenbergs osäkerhetsrelation, antar man sedan att elektronen måste genomlöpa minst en hel period per varv dvs den måste komma tillbaka i svansen där den började så kan man skriva <math>p 2\pi r=h...67.9</math> eller på snobbspråk <math>pr=\hbar...67.10</math> där p är impulsen mv, med andra ord har vi <math>mvr=\hbar=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r...67.11</math> dvs <math>r_B=\frac{\hbar^2 4\pi \epsilon_0}{me^2}...67.12</math> som är en knapp Ångström stor ===Fritänkande, har en partikel med massa energin pc?=== Om vi börjar med Heisenberg så borde man kunna skriva <math>p\lambda/n=h</math> dvs varför är våglängden ett helt varv bara? Det kan väl lika gärna vara ett antal våglängder (n)? Räknar vi på det så kan vi börja med <math>p2\pi r/n=h</math> ur detta får vi att <math>pr/n=\hbar</math> som enligt ovan kan skrivas om enligt <math>mvr/n=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r/n=\hbar</math> dvs <math>mvr/n=\sqrt{\frac{me^2r}{4\pi\epsilon_0}}/n=\hbar</math> så att <math>r=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2n^2}{me^2}</math> Detta säger mig att elektronbanans radie kan var större än den Bohrska radien rB så varför är rB den rätta? Heisenberg säger att elektronbanan genomlöper ett antal hela våglängder (eller en enda våglängd benämnd lamda motsvarande omkretsen i det här fallet) så den måste efter ett varv komma tillbaka till där den började. Men vad säger att detta är sant? Eftersom lambda är en våglängd så är den även sinusformad vanligtvis, med andra ord har elektronbanan enligt Heisenberg en amplitud i sin cirkulära sinusformade bana ty det är bara då som elektronen kan komma tillbaka till där den började dvs om banans omkrets är ett helt antal våglängder. Och om elektronen beskriver en sinusformad cirkulär bana, vilken amplitud har den? I grunden har vi alltså Heisenbersgs osäkerhetsrelation enligt, och jag repeterar <math>p\lambda=h</math> man kan sedan skriva om denna relation enligt <math>p\frac{c}{f}=h</math> eller <math>pc=hf</math> som inte är lika med <math>\frac{mv^2}{2}</math> vilket är brukligt för partiklar med massa. pc-ekvationen gäller väl sen bara för masslösa partiklar som fotoner? Varför gäller den plötsligt, som i Bohr-radiens fall, även för partiklar med massa? Nej, jag tror inte på Heisenbergs osäkerhetsrelation, tycker den är för bekväm. ===Fritänkande, analys av Heisenbergs osäkerhetsrelation=== Följande postulat <math>\Delta E_k \cdot \Delta t=h</math> kan eventuellt skrivas om som <math>dE_k \cdot dt=h</math> eller <math>d(\frac{mv^2}{2}) \cdot dt=h</math> vilket ger <math>mvdv \cdot dt=h</math> eller <math>p\frac{dx}{dt}\cdot dt=h</math> här ser man att eftersom dt är lika för själva observationen som för bestämmandet av hastigheten så får man <math>pdx=h</math> Här kan man dock fundera över vad dx verkligen är, dock har vi från energin hos en foton <math>E=pc=hf</math> vilket jag tror Einstein har bevisat iom den fotoelektriska effekten, denna sista ekvation skrivs dock mer allmänt som <math>p\lambda=h</math> Där vi har ett tydligt "sinusialt" lambda, dock tror jag mig kommit på att en elektrons bana kan skrivas <math>r=r_0e^{j(wt-kr\phi)}</math> där <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> dvs våglängden (lambda) blir till ett enda varv om vi skall kunna beskriva dess rörelse matematiskt, jag tror att det inte skiljer sig så mycket från en våg som breder ut sig i rummet, i båda fallen har dom en våglängd. Så ett varv för elektronen är en enda lambda och det är det som är osäkerheten modell <math>pdx=p\int_0^{2\pi}rd\phi=p 2\pi r=p\lambda</math> Så det verkar som så att lambda i fallet foton är "samma" som lambda vad gäller ett enda varv för elektronen, man tycks alltså ha en osäkerhet i rummet motsvarande en lambda. Dock är det osäkert varför man kan duplicera fotonens masslösa osäkerhet på partiklar med massa, fotonen har en klockren sinusial våglängd modell c/f men det har inte partiklar med massa. Jag har själv räknat ut det, ur vedertagen formel enligt ovan, men varför är impulsen gånger lambda just h för partiklar med massa också? Att den är det för masslösa partiklar som fotonen torde vara bevisat. Den cirkulära bana som elektronen beskriver enligt den klassiska fysiken måste inte vara sinusial men om den är det så passar Heisenbergs osäkerhetsrelation medels lambda från fotoelektriska effekten bättre. Eftersom detta är en svammelbok så fortsätter jag bara från ovan utan att rätta mig. Idag tror jag mig kommit på att våglängden för elektronbanan faktiskt måste vara sinusial enligt <math>r=r_B + A_re^{j(wt-kr_B\phi)}</math> ty banan har radien rB men elektronen måste ha en liten amplitud (A_r) för att det skall finnas nån våglängd överhuvudtaget! Det är liksom rörelsen runt kärnan som inte bara är cirkulär utan även sinusial. Här uppstår då frågan om hur många lambda ett varv verkligen utgörs av och varför det måste vara endast ett varv, för det kan ju lika gärna vara säg tre lambda per varv och när jag ovan räknat ut att radien då går som n^2 så motsvaras faktiskt hela n=3 av bara en magnitud till i radie. Så vad är det som säger att det bara är ett varv? Om man får tro Heisenberg så innebär visserligen ett helt varv som lambda minimal impuls och hastighet ty lambda är som störst då. Men varför maximera lambda på det här sättet? Det enda jag tror mig kommit på är att det är ovisst vad lambda innebär när det gäller partiklar med massa, för fotoner funkar det dock klockrent för dom har ju redan en lambda. Kul dock att jag tror mig kommit på att elektronbanan ingalunda bara är cirkulär utan även sinusialt cirkulär dvs elektronen "wobblar" medans den cirklar runt kärnan, amplituden vore dock spännande att veta. Om den inte wobblar faller Heisenberg. =Kapitel LVIII, Kärnans massa= [[File:Fusion Binding Energy.png|thumb|Bindningsenergin hos några kärnor]] Det har lite flummigt definierats en massenhet som kallas u som är lika med 1/12 gånger massan för den neutrala kolatomen (dvs inklusive alla sex massmässigt futtiga elektroner) Jag tycker dock att denna definition är fullständigt onödig och kommer framledes använda protonmassan istället, detta för att protonmassan kan anges som 1,007276u... Så varför inte köra protonmassan rakt av? Nu till nåt som i alla fall förvånar mig, den faktiska kärnans massa gånger c^2 är enligt Einstein energin hos kärnan men det som fascinerar är att om man ser till alla nukleoners massa gånger c^2 så är den ''större'', skillnaden kallas bindningsenergi. Tanken på bindningsenergi är naturligtvis inte så konstig för kärnan måste hållas ihop av nåt (speciellt för att protonerna ju har samma laddning) och man kanske kan se det som så att för att kärnan skall upplösas i dess beståndsdelar så krävs det att man tillför energi motsvarande bindningsenergin. Så det finns alltså en liten differens i massa (faktiskt) mellan vad beståndsdelarna (protoner och neutroner) väger och vad kärnan väger, jag finner detta en aning skumt men så är det (differensen i massa gånger c^2 är alltså bindningsenergin). Jag gör ett försök att teckna "energiekvationen" för en atomkärna: <math>m^k(A,Z)*c^2+E_b=[Z*m_p+N*m_n]*c^2...68.1</math> En mycket intressant ekvation ty kärnans massa är ''mindre'' än beståndsdelarna, Z är alltså antalet protoner och N är antalet neutroner. Vi gör lite numeriska beräkningar: <math>\rho_{Au}=19300kg/m^3, Z=79</math> <math>\rho_{Li}=530kg/m^3, Z=3</math> <math>\rho_{H^1}=90kg/m^3, Z=1</math> sen säger vi att <math>\rho*4*10^{-45}+m(Eb)=2Z*m_p</math> ungefär för neuronens massa skiljer bara två elektronmassor från protonens massa vilket är mindre än en promille, tittar vi på uträkningen får vi för Guld <math>7,7*10^{-41}+m(Eb)=2,6*10^{-25}</math> kvoten mellan masspartiklarna som kärnan fysiskt består av och kärnans faktiska massa är alltså hela <math>kvot=3,4*10^{15}</math> Kan ni fatta? Vi gör ett till test och testar för Lithium, en lätt metall: <math>2,1*10^{-42}+m(Eb)=1*10^{-26}</math> här är kvoten <math>kvot=4,8*10^{15}</math> vi tar ännu ett exempel och studerar en ren proton, detta ger <math>3,6*10^{-43}+m(Eb)=1,67*10^{-27}</math> dvs kvoten är <math>kvot=4,4*10^{15}</math> I alla tre fallen är alltså kvoten av storleksordningen Peta. Intressant är dessutom att det krävs bindningsenergi för att hålla ihop en ensam proton, jag ställer mig frågande till detta. Men om det stämer så tycker jag detta är helt otroligt! Att byggstenarna hos en kärna har så otroligt mycket större massa än vad kärnan verkligen väger förvånar mig nåt enormt. Man kan dock ifrågasätta detta men det torde lite vara bevisat iom nåt så hemskt som att atombomger fungerar. Man verkar alltså kunna summera med att <math>m(Eb)=partikelmassan</math> och detta med stor noggrannhet ty kvoten är löjligt hög och det här gör alltså att kärnan egentligen "bara" är ren energi. Slutligen tycker jag vi reder ut u-begreppet genom att säga: <math>\begin{bmatrix} Massenhet & Neutron & Proton & Elektron \\ u & 1,008665 & 1,007276 & 5,48597 \\ m_p & 1,001 & 1 & 0,00055 \\ m_e & 1838 & 1836 & 1 \\ \end{bmatrix}...68.2</math> Så Ni ser, att ha protonmassa som "u" är mycket smidigare samtidigt som jag egentligen gillar elektronen som "u" ännu bättre, man slipper ju då decimaler för alla nuffror blir liksom större än 1. Om man plottar bindningsenergin ''per nukleon'' dvs Eb/A så får man en rätt speciell graf, den går upp snabbt till c.a 9Mev, sen planar den ut och sjunker tom för högre masstal (A), den är f.ö inte helt linjär utan den gör skarpa hopp också, t.ex är Eb/A för <math>He^4</math> runt 7MeV samtidigt som den för nästa grundämne <math>Li^6</math> bara är 5,5Mev och för nästa grundämne igen <math>Be^8</math> så vänder det uppåt och blir till c.a 7MeV igen. Plottar man däremot Eb för hela kärnan och därmed alla nukleoner (A) så blir den grafen rätt fascinerande mycket nära en rät linje där jag precis räknat ut att man kan approximera den räta linjen med runt <math>Eb\approx -30+8,7A...[MeV]...68.3</math> där A är det så kallade masstalet (dvs samtliga nukleoner där nukleoner inbegriper både protoner och neutroner) samtidigt som denna formel bara gäller för A>5 och det approximativt, konstanten 8,7 är alltså lägre för A<5 men samtidigt högre för typiskt A>100. =Kapitel LIX, Kärnkrafter= [[File:Fusion Core Force.png|thumb|Kärnkrafter]] Coulombkrafterna eller dom elektrostatiska krafterna kan tecknas <math>F_c=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...69.1</math> vilket innebär <math>F_c\propto \frac{1}{r^2}...69.2</math> Dom gravitationella krafterna kan sedan tecknas <math>F_g=G\frac{Mm}{r^2}...69.3</math> där M är den stora massan (typ jorden) och m den lilla massan samt G gravitationskonstanten. Båda krafterna går som 1/r^2 vilket ger <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{GMm*4\pi \epsilon_0}{q^2}...69.4</math> Om vi nu jämför de gravitationella attraktionskrafterna mellan två neutroner och de elektrostatiska krafterna mellan två protoner (masskillnaden proton-neutron år i det närmaste försumbar dvs ynka 2me eller en promille) så får vi en proportion på c.a <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{-10-27-27+1-11}{-19-19}=10^{-36}...69.5</math> Enligt min litteratur ska det dock vara 10^-38 vilket ger ett par magnituder fel men det viktiga är att de gravitationella krafterna INTE har nåt att göra med varför kärnor håller ihop, en enkel tanke är att protoner ju har samma laddning (plus) och hur skall dom kunna samlas i en kärna? Stabiliteten hos en kärna förutsätter således en attraktionskraft mellan nukleonerna. Det existerar tydligen, då gravitationskrafterna uppenbarligen inte räcker till, speciella kärnkrafter med den egenskapen att kompensera Coulumbrepulsionen så att två eller flera protoner med lika laddning kan hållas ihop inom en kärna. Vi har varit inne på det tidigare men det tål att repeteras dvs ALLT består av vad man kan kalla kärnmateria och man kan räkna ut densiteten enligt <math>\rho\approx \frac{A*m_p}{\pi r^3}=\frac{A*m_p}{\pi r_0^3(A^{1/3})^3}\approx\frac{m_p}{r_0^3}...69.6</math> Sen vet vi ju att r_0 är lite drygt E-15 och protonens massa (m_p) är ungefär E-27, så ett estimat av densiteten hos ALL materia är ungefär <math>\frac{m_p}{r_0^3}=-27+(15*3)=E18/m^3...69.7</math> Betänk sen att vatten har densiteten E3/m^3... E18...:D En galen Japan (Yukawa) fick en ide' 1935 som 1947 bevisades och i grunden är denna teori lite flummig. Kärnfysiker använder gärna energibegrepp men jag tycker det blir lite luddigt i det här sammanhanget för vad är det vi diskuterar? Vi diskuterar inte energier, vi diskuterar ju mer krafter (jag tycker tom potentialer är lättare att få grepp om) dvs hur kan en kärna proppfull av plus-laddade partiklar hållas ihop, det är vad vi diskuterar. Man kan dock skriva de båda aktuella potentialerna i energiform typ E=qU och i fallet Yukawa är det inte elementarladdningen vi multiplicerar potentialen med för att få energin utan det något kufiska "f". <math>V_c=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r}...[eV]...69.8</math> "Yukawa-potentialen" är sedan <math>V_y=-f^2 e^{-\frac{r}{r_0}}\frac{1}{r}...[eV]...69.9</math> Jag tycker potential är lättare att begripa än energi, Vc till exempel klingar av som 1/r dvs ju längre bort man typ för en elektron från en kärna desto lägre potential får elektronen och den sjunkande potentialen är en indikation på hur stor kraft som en elektron dras mot kärnan. Yukawa-potentialen går dock exponentiellt och därmed snabbare mot noll än Coulomb så att "systemet" på lite större avstånd domineras av Vc dvs summan av Yukawa och Coulomb blir större än noll, vilket är att förvänta då vi ju har en kärna som är enbart positivt laddad och vi avlägsnar oss därifrån samtidigt som Yukawa är ENBART kärnkrafter. Här har man alltså försökt anpassa Yukawa-potentialen till den Coulombska potentialen så att det enda som egentligen skiljer är ett tecken. MEN det är inte så lite det för utan Yukawa-potentialen/kraften så skulle det inte finnas några atomkärnor/atomer för nånting MÅSTE hålla ihop kärnan med alla lik-laddade partiklar/nukleoner dvs alla protoner. Personligen tycker jag detta är lite av en fabrikation för vad vet man egentligen om detta? Det enda man egentligen vet är att atomerna finns OCH att dom troligtvis består av flertalet protoner MED samma (repulsiva) laddning. Så dom hålls ihop av nånting och vänder man på bladet får man reda på att det som håller ihop protonerna, typ, är nåt som så vackert kallas pi-mesoner med en massa runt 260me. Yukawa tänkte ut det här 1935, 1947 upptäcktes sedan den första pi-mesonen. Lite roligt är sedan hur min lärobok förklarar hur pi-mesoner funkar (eller snarare proton-proton sammanhållningen): Föreställ Er att Ni tittar på en tennismatch och att matchen går på nyspolad is, när då ena gubben får en boll (fråga mig inte hur) mot sig och sen slår på den bollen då glider hen ju baklänges, eller hur? På samma sätt blir det naturligtvis på andra sidan nätet. Säg sen att båda gubbarna får en hink med bollar och att dom, på nåt diffust sätt, föses intill varandra, om då gubbarna börjar plocka bollar från varandras hinkar då får man faktiskt fenomenet, om man tänker efter, att gubbarna får en kraft som drar dom ännu mer emot varandra. Tanken är skum men om man tänker efter är det inte så skumt för vad är det som händer? Jo, bollarna har MASSA så i princip är det som att dra i ett handtag fastsvetsat i en vägg (när man tar i bollarna) fast attraktionskraften är mycket mycket mindre MEN den finns där så det är liksom ett litet handtag du drar i när du plockar upp bollen (kallas också Newtons första lag, tror jag). Med risk för att kladda ner saker skulle jag nu vilja reda ut begreppen kraft, E-fält, potential och energi och jag gör det "Coulomskt" och via Maxwell's ekvationer: Kraften mellan två laddningar kommer ur <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho dV...69.10</math> om vi nu ser på E som rundstrålande, rho som volymsladdningstätheten och att vi befinner oss i vakuum så fås <math>\epsilon_0 E 4\pi R^2=Q...69.11</math> ty vi har sfärisk yta och man kan se det som en sfärisk fält-intensitet som faktiskt kan inbegripa både ljudkällor, termiska källor som solen och isotropiska ljuskällor dvs <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.12</math> Nu är kraften F på en partikel med laddningen q (som jag dock inte vet hur jag skall bevisa) <math>F=qE=\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.13</math> Vi har nu att stora Q är en mängd laddningar i en volym som vi har "summerat" upp så Q borde vara större än q men normalt skriver man den här ekvationen som <math>F=qE=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.14</math> Där det dock underförstås att man tar hänsyn till hur många elementarladdningar (q) man har, speciellt applicerbart om vi t.ex tänker oss en enkeljoniserad atom av Helium där då q=1 medans Q=2 ty vi har en elektron men två protoner. Då var kraftekvationen klar, E-fältet hade vi ju dock redan innan och jag repeterar <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.15</math> vilket alltså är ett q "mindre" relativt kraftekvationen (om man ser det från det hållet), potentialen fås sedan genom integration mot fältet och från oändligheten där (potentialen är noll) till R <math>U=-\int EdR=-\int_{-\infty}^R \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR...69.16</math> som blir <math>U=[\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}]_{-\infty}^R=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}...69.17</math> Denna ekvation är i eV redan, för att få Joule får man multiplicera med q (aka e) =Kapitel LX, pi-mesoner= [[File:Fusion Photon Energy.png|thumb|Bild på hur den masslösa fotonen är en vågrörelse som inte en partikel av massa är]] Yukawa förklarade existensen av kärnkrafter genom att införa en ny typ av elementarpartiklar med en massa mellan nukleonernas och elektronens samt med så kort livslängd <math>\Delta t</math> att det brott mot energiprincipen som partikelns massa innebär (energi=mc^2) ursäktas av den tolerans Heisenbergs osäkerhetsrelation medger dvs <math>\Delta E*\Delta t>\hbar...70.1</math> Personligen köper jag inte den här ekvationen för den är för bekväm och används typ jämt i gränslandet mellan verklighet och teori, vore intressant att veta hur man kom fram till den dock för jag hittar ingen logisk anledning och förklaring till varför det är på det här sättet saknas i ALL litteratur, allt som nämns är typ "de Broglie-våglängd" och "Heisenbergs osäkerhetsrelation" men ingen förklaring om varför och hur. Jag ska dock köra på med vad jag tror, Heisenbergs osäkerhetsrelation kan enligt litteraturen också skrivas <math>\Delta p * \Delta x =\hbar...70.2</math> eller <math>\Delta v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.3</math> Säg sedan att vi mäter partikeln vid en viss position, i exakt denna position kan vi inte veta hastigheten för det kräver en position till (och tiden där emellan) så vi har en osäkerhet i position när vi försöker mäta hastigheten, i detta fallet gissar jag att man kan skriva osäkerhetsrelationen som <math>v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.4</math> för v är bestämt (dock inte hur v har varierat mellan positionerna, men som ett medelvärde). Här är alltså osäkerheten avståndet mellan dom båda mätpunkterna (<math>\Delta x</math>) men hur vänsterledet kan ha uppfunnits till att vara begränsad till en konstant (i princip Planck's konstant delat med massan), det begriper inte jag. En annan insikt jag tror mig ha när det gäller osäkerhetsrelationen är att man kan eventuellt titta på hur en gitarrsträng svänger, den svänger som en stående våg och den längsta våglängden (dvs lägsta frekvensen) är 2L där L är längden på strängen. Min tanke här är att man inte riktigt kan veta vilket delelement av strängen som ger tonen, därför kan en elektron inte bestämmas vara på nån specifik plats på strängen för den är typ på hela strängen. Så om man har ett avstånd där man önskar beräkna elektronens position så befinner den sig över hela "lambda/2" dvs den buk som infinner sig för stående vågors lägsta frekvens där man bara har två noder dvs där strängen är fäst. Osäkerheten är alltså lambda/2 (eller helt enkelt avståndet). Sen påstår de Broglie att <math>p\lambda=h...70.5</math> som kan skrivas om enligt <math>v \lambda=\frac{h}{m}...70.6</math> Här har jag en fundering, om man t.ex tar toppen/mitten av en buk (dvs en stående våg som alltså INTE breder ut sig utan bara svänger) och tittar på hur amplituden (A) beter sig i rummet, då har man att den först går upp A sen går den ner 2A och så går den upp A igen dvs den genomlöper 4A per period. Detta gör den på tiden T. Så medelhastighet i y-led är 4A/T, detta kan man sätta in i ovanstående formel och få <math>\frac{4A}{T} \lambda=\frac{h}{m}...70.7</math> som också kan skrivas <math>4Af\lambda=\frac{h}{m}...70.8</math> eller <math>4Ac=\frac{h}{m}...70.9</math> eller <math>4A=\frac{h}{mc}...70.10</math> vilket ungefär ger <math>A\approx \frac{\hbar}{mc}...70.11</math> Ett mer politiskt korrekt sätt att visa det på är, säg att störningen kan skrivas <math>s(t)=Asin(wt)...70.12</math> (fas)hastigheten är då <math>v=\frac{ds}{dt}=wAcos(wt)...70.13</math> med maximal fashastighet får man <math>v\lambda=wA\lambda=2\pi f A\lambda=2\pi c A...70.14</math> sen är detta enligt sägnen alltså lika med h/m vilket ger <math>2\pi c A=\frac{h}{m}...70.15</math> eller <math>A=\frac{\hbar}{mc}...70.16</math> eftersom detta inte riktigt stämmer med de Broglie enligt ovan dvs <math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}...70.17</math> så tänker jag att kanske man kan se det som så att hastigheter när det gäller partiklar alltid är mindre än E8 så att <math>A>\frac{\hbar}{mc}...70.18</math> dvs v är alltid mindre än c och på nåt nästan barnsligt sätt skulle jag vilja teckna <math>\lambda_y>\frac{\hbar}{mc}...70.19</math> för det måste finnas nån slags vertikal mekanisk våglängd också som typ är beroende av hur hårt strängen spänns, lägstafrekvensen/tonen är ju densamma för strängen rör sig bara fortare med större amplitud men den mekaniska amplituden blir en slags våglängd, tycker jag. Idag har jag kommit på att jag faktiskt inte är helt ute och cyklar. Om vi tittar på de Broglie-våglängden fast uttryckt från impulsens håll (p) så kan man skriva den som <math>p=\frac{h}{\lambda}...70.20</math> och eftersom <math>\lambda=\frac{c}{f}...70.21</math> så har man att <math>p=\frac{hf}{c}...70.22</math> dvs <math>pc=hf...70.23</math> vilket är två olika sätt att teckna energin för en foton. Analogin med mitt tänkt får man sedan om man tänker <math>pc=mvc=hf...70.24</math> vilket gör att <math>v=\frac{hf}{mc}...70.25</math> och <math>v/f=\lambda=\frac{h}{mc}...70.26</math> där skillnaden gentemot min uträkning bara skiljer 2pi, det intressanta är dock att man just får pc=hf=E. Jag kan inte mycket om uttrycket pc men hf köper jag för det har Einstein bevisat gäller men jag köper det inte för att just han har bevisat det, jag köper det för hans teori om den fotoelektriska effekten låter rimlig. Fotoelektriska effekten är egentligen en rätt simpel teori att förstå, om man har en sluten krets med typ en rördiod och belyser katoden så krävs det att fotonens energi (hf) överstiger utträdningsarbetet (w) för en elektron i metallen för att det skall kunna flyta en ström, Einstein påstår sedan att all fotonenergi lämnas över till elektronen. Här är det emellertid lite tveksamt om man kan applicera hf på en elektron eller ens pc på en elektron ty båda uttrycken är liksom tillägnade fotonen. Kinetisk energi vet vi ju normalt annars kan skrivas som <math>E_k=\frac{mv^2}{2}...70.27</math> Jag förstår inte riktigt hur det här går ihop. pc och därmed "impulsenergi" måste jag forska mer i men jag köper rakt av att fotoner har energin hf och att detta kan mätas genom att nyttja en känd metalls utträdningsarbete (w) samt lägga på en microampere-meter där ström kommer börja flyta när fotonenergin (hf) överstiger utträdningsarbetet enligt <math>E_k=hf-w...70.28</math> Observera dock att här överlämnas energi från fotonen till elektronen som också kallas att fotonen växelverkar med elektronen. Nu har emellertid elektronen fått fotonens energi så visst, man borde kunna säga att i detta specifika fall så har i princip elektronen energin hf. Jag tvivlar dock på att man alltid kan säga att elektronen har energin hf. Jag köper att en fotons energi är hf. Jag är dock tveksam till om energin också kan skrivas pc men jag är bara tveksam till det pga att jag inte förstår rörelsemängd eller impuls (p), man kan dock se pc för en foton som ju är masslös och bara kan färdas med ljusets hastighet som att det egentligen står pc=mc^2 där, trots att den inte har nån massa, man kan beräkna en ekvivalent massa enligt E/c^2 dvs hf/c^2, antar jag. Men i praktiken finns ju inget m hos fotonen men däremot har den impuls (p) och kraft kan man skriva som <math>F=\frac{dp}{dt}...70.29</math> dvs impulsens förändring i tid. Denna impuls kan man faktiskt bevisa genom att nyttja en evakuerad glaskropp med metall-vingar där vingarna på ena sidan är svarta medans vingarna på andra sidan är blanka. Nu har jag en amatörmässig spekulation när man belyser detta objekt (vad det nu heter): 1) Lyser man på det hållet där vingarna är svarta så blir impulsen p ty svart absorberar 2) Lyser man på det hållet där vingarna är blanka så blir impulsen 2p ty blankt reflekterar Därför snurras det med svart före. Jag vete fasen om jag har rätt i detta men i det svarta fallet så stoppas ju bara fotonen upp dvs all sin impuls ger den till den svarta vingen, i det blanka fallet vet vi ju att likt vi sparkar en boll mot en vägg så blir hastigheten emot en lika stor som infallshastigheten vilket ju innebär, pga att hastighet är en vektor, att förändringen i hastighet är 2v och då är det bara att hänga på massan (m) och man har således dubbla impulsen när vingen är blank, gissar jag. Så fotoner har impuls (p) för att dom uppenbarligen kan utöva en kraft i samband med reflektion mot ytor (tror f.ö det finns rätt flummiga planer på rymdraketer nyttjandes fotoners impuls) Jag köper att fotoner har impuls (p). Eftersom fotoner är masslösa samtidigt som dom flyger fram med c så kan man inte direkt teckna p=mc, visst rent formellt kan man räkna ut en massa från hf/c^2 och då skulle p bli hf/c men här är vi tillbaka i pc=hf och det stämmer ju faktiskt enligt vedertagna principer. Jag brukar dock se det som så att jag blundar för fotonens "massa" och bara tänker att den färdas med c så att impulsen blir p (och inte mc, ty den har ju ingen verklig massa, det är onekligen lite filosofiskt det här :) ). Det är dock enkelt att hänga på ett c till när man ser det fiktiva uttrycket mc så att man får mc^2 dvs energin fast för att dölja m=0 så verkar det som om man skriver pc istället. Jag har svårt för att fatta pc (gäller verkliga livet också dvs PC=Personal Computer :) ) Fast nu kommer jag på att pc faktiskt åtminstone kan vara generellt gällandes för partiklar, detta säger jag inte för att min kurslitteratur säger det utan jag säger det för att jag börjar tro det. För vad är p för allt utom fotoner? Jo, det är mv. Men att energin skulle motsvara pc, eller tydligare när det gäller godtyckliga partiklar, mvc tål att sovas på :) En annan sak som tål att sovas på är de Broglies våglängd och Heisenbergs osäkerhetsrelation. Jag har varit mycket skeptisk till detta men idag kom jag på nåt som gör att de Broglie verkar rimligt, såhär går beviset: <math>\Delta v* \Delta x > h/m...70.30</math> där förändringen i hastighet aldrig är samtidig med förändringen i läge, man växlar bara likt partiell derivata, detta kan man alltså skriva om enligt <math>v*\Delta x > h/m...70.31</math> där vi bara är intresserade av förändringen i läge (hastigheten kräver ju två lägen för att kunna bestämmas), delar vi detta med observationstiden så får vi <math>\frac{v \Delta x}{\Delta t}=\frac{h}{m\Delta t}...70.32</math> som är lika med <math>v^2 > \frac{h}{m\Delta t}...70.33</math> och pga Einstein kan man skriva <math>m=\frac{E}{c^2}=\frac{hf}{c^2}...70.34</math> dvs ekvationen blir <math>v^2\ > \frac{hc^2}{hf\Delta t}=\frac{c^2}{\Delta t f}...70.35</math> där det är rätt tydligt att <math>\Delta t f...70.36</math> måste vara större än 1 (annars blir ju hastigheten större än c), således tycks <math>\Delta t > \frac{1}{f}...70.37</math> gälla, inom elektrotekniken kallar man <math>\frac{1}{f}...70.38</math> för periodtiden T men sånt fattar inte fysiker fast vi fattar sånt för vad är det som händer här? Jo det som händer är att vi har räknat ut att observationstiden måste vara längre än periodtiden, huge surprise för annars kan vi ju inte frekvensbestämma signalen! Så för att kunna mäta en signal måste man helt enkelt observera signalen under minst en klockperiod (T), det går alltså inte att frekvensbestämma/mäta signalen annars. Jag har utgått från de Broglie vars teorier jag inte riktigt köpte men har landat i att hans teorier tycks stämma. Jag tycker inte det är nåt snack om Einsteins teorier vad beträffar fotoelektriska effekten för den är enkelt empiriskt bevisbar så totalt efter att ha försökt kritisera dessa kloka människor så ger jag mig, Heisenberg, de Broglie och Einstein har rätt. Nu återstår nya studier i form av vågor som min kurslitteratur har hittat på, beskrivning av vågor med komlexa tal typ <math>e^{j\alpha}...70.39</math> gör livet fascinerande enkelt, undrar om elementarpartiklarna beter sig lika enkelt? Efter denna långa elaborering som inte blev att handla om pi-mesoner kan vi repetera <math>\Delta E *\Delta t >\hbar...70.40</math> Under tiden <math>\Delta t</math> är massan enligt Einstein <math>m=\frac{\Delta E}{c^2}=\frac{\hbar}{\Delta t c^2}...70.41</math> tillåten, flummar min kurslitteratur med. Attraktionen mellan nukleoner köper jag skulle kunna vara en följd av utbyte av så kallade pi-mesoner, gravitationella krafter mellan protoner funkar ju liksom inte och elektrostatiska (Coulombska) krafter funkar naturligtvis inte heller för dom är repulsiva för lika laddning. Den till pi-mesonen hörande kraftfältet måste således under livstiden <math>\Delta t</math> kunna spänna över typiska nukleon-nukleon avstånd, säg R. Med <math>R=\Delta t c...70.42</math> som är lika med kraftfältets största tänkbara utbredning på tiden <math>\Delta t</math> eller <math>\Delta t=R/c...70.43</math> insatt i uttrycket ovan får vi <math>m\approx \frac{\hbar}{\frac{R}{c}*c^2}=\frac{\hbar}{Rc}=260m_e...70.44</math> Yukawas utbyteskrafter och utbytespartiklar infördes av honom på rent teoretiska grunder 1935. 1947 upptäcktes den första pi-mesonen med en massa av den föreslagna storleksordningen! Tre olika pi-mesoner är inblandade i de tre slagen av växelverkan, jag nämner inte dom för det är akademiskt. =Kapitel LXI, valda delar ur speciella relativitetsteorin (SR)= [[File:Fusion Point Movement With Time.png|thumb|Visar hur en punkt flyttar sig en sträcka med ljusets hastighet]] Jag börjar med att säga att begreppet "speciella" tycks mena att i denna teori avser man likformig rörelse dvs inga accellerationer förekommer. Jag tar upp det här för jag är intresserad av varifrån den relativistiska formeln för massa egentligen kommer, denna formel är <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.1</math> För det första ska det sägas att om man läser mellan raderna hos min kurslitteratur så är denna formel faktiskt tagen ur luften, den är gjord det för att fysikerna hellre ville att impulslagen skulle vara invariant (typ oberoende av hastighet/tid), så istället för att impulserna skulle dras med SR-faktorn dvs <math>\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.2</math> så lät dom massan dras med SR-faktorn istället. Man kan nämligen visa att om man har två koordinatsystem (s respektive s') med vertikala rörelser hos t.ex två pistolkulor som träffar varandra så blir det en ändring av impuls i det ena koordinatsystemet (s) och denna ändring är legendariskt 2p eller 2mu (där jag köper hastighetsbenämningen för vertikal rörelse), i s' är dock impulsändringen <math>\Delta p=2mv\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.3</math> och det är detta jag inte begriper. Samtidigt begriper jag att när man nu velat behålla impulslagen (utan SR-konstigheter) så måste man göra om massan enligt inledningen så då har man alltså offrat massans invarians för impulsens invarians och ovanstående uttryck blir utan SR-faktorn. Fast detta är väl knappast samma som att säga att massan är relativ, det är ju bara en teoretisk konsekvens. Eftersom jag är intresserad av vart sjuttsingen den relativa massan kommer ifrån måste vi titta på Lorenz-transformationen och vi börjar från början: Säg att vi har två koordinatsystem (ks) där ljusets hastighet (c) är maximal hastighet och ljuset utbreder sig isotropiskt i båda ks, då får vi att radien i respektive ks kan skrivas: <math>x^2+y^2+z^2=(ct)^2...71.4</math> respektive <math>x^{\prime^2}+y^{\prime^2}+z^{\prime^2}=(ct^{\prime})^2...71.5</math> då har vi två olika ks med två olika radier ct respektive ct' som liksom breder ut sig sfäriskt, jag fattar inte riktigt det här men på nåt sätt försöker man (linjärt) mappa dessa ks och när man gör det får man <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)...71.6</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.7</math> Här mappas sedan de olika ks ihop genom att skriva (not. kan man alltid skarva funktioner som är noll?) <math>x^2-c^2t^2=x^{\prime^2}-c^2t^{\prime^2}...71.8</math> där y och z inte ingår ty vi avser bara räkna på en dimension åt gången Nu blir det en massa jobbig algebra där jag fått lära mig nåt jag inte förstår men som är viktig för att få löst detta dvs att p=r, tar det dock i steg <math>x^2-c^2t^2=p^2(x-vt)^2-c^2(qx+rt)^2...71.9</math> detta kan utvecklas som <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2-2vxt+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+2qxrt+r^2t^2)...71.10</math> Här är det ytterst tveksamt varför två mellantermer går bort för det kan dom bara göra om qr=vt, eller om nån parameter är noll vilket dom uppenbarligen inte är, så varför går mellantermerna bort? Identifierar man övriga koefficienter så får man <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+r^2t^2)...71.11</math> dvs framför x^2 <math>1=p^2-c^2q^2...71.12</math> respektive framför t^2 <math>c^2=c^2r^2-p^2v^2...71.13</math> ur första ekvationen får vi att <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.14</math> ur andra ekvationen får vi <math>p^2=\frac{c^2(r^2-1)}{v^2}...71.15</math> här substitueras konstigt nog r mot p (jag fattar nu kanske detta) varvid man får <math>p^2=\frac{c^2(p^2-1)}{v^2}...71.16</math> eventuellt kan denna substitution bero på att <math>\frac{\Delta t}{t}=\frac{\Delta x}{x}</math> detta kan också skrivas <math>\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{x}{t}}=\frac{c}{c}=1</math> ty gemensamt för de båda ks är ljushastigheten som ju är konstant dvs den relativa förändringen i position i det ena ks kräver samma relativa förändring i tid i andra ks för utan tid kan ingen förändring ske, att x/t=c får man om man tittar på definitionsfunktionen för en dimension där man ser att x följer ct, ovanstående ger sen med lite mellanspel <math>p^2v^2=c^2(p^2-1)...71.17</math> eller <math>c^2=p^2(c^2-v^2)...71.18</math> eller <math>\frac{c^2}{(c^2-v^2)}=p^2...71.19</math> dvs <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.20</math> där jag kallat nämnaren för SR-faktorn i kvadrat. Idag kom jag på nåt som eventuellt kan förklara varför p=r, om vi skriver om ovanstående formel enligt <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)=px+(-v)pt...71.21</math> och återigen betraktar <math>t^\prime=qx+rt...71.22</math> samt eventuellt inser att tiden i sig är invariant dvs om tiden förändras i ena ks så förändras den i andra, här gissar jag vilt men min gissning ger att p=r och då går det att räkna på saken. Om vi sen tar uttrycket för p^2 och stoppar in i uttrycket för q^2 och jag repeterar <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.23</math> där alltså <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.24</math> så får vi att <math>q^2=\frac{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-1}{c^2}...71.25</math> dvs <math>q^2=\frac{1}{c^2-v^2}-\frac{1}{c^2}...71.26</math> eller <math>q^2=\frac{c^2-(c^2-v^2)}{c^2(c^2-v^2)}...71.27</math> eller <math>q^2=\frac{v^2}{c^2(c^2-v^2)}...71.28</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2}{c^2-v^2}...71.29</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2/c^2}{1-v^2/c^2}...71.30</math> dvs <math>q^2=\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.31</math> Nu kan vi således teckna transformen och jag repeterar att vi hade <math>x^\prime=p(x-vt)...71.32</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.33</math> insättning av p ooch q ger <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.34</math> respektive <math>t^\prime=\sqrt{\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}x+\frac{1}{{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}t...71.35</math> eller <math>t^\prime=\frac{v}{c^2}\frac{x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.36</math> som kan skrivas om enligt <math>t^\prime=\frac{t+vx/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.37</math> Enligt min litteratur är tom det här riktigt (möjligtvis förutom ett tecken). Nu ska vi ta och titta på nåt jag räknat kors och tvärs på men som jag inte får nån ordning på dvs hastighetstransformationerna. Här kastar jobbigt nog min kurslitteratur om benämningarna vilket är typiskt lektorerer som alltid måste stila och hitta på sina egan jävla beteckningar för emedan vi hitintills räknat med att ks' rör sig så rör sig nu plötsligt ks istället OCH hastigheten blir negativ, varför i sjuttsingen komplicera saker på det sättet när man försöker LÄRA UT saker, jag fullkomligt hatar sånt, bara nån slags stilande, jag blir så irriterad på kurser som alltid envisas med egna beteckningar, vad är det för fel på standard, då kan man satsa på lärandet där det behövs. Jag kommer skita i detta och låtsas som om jag bara får fel på ett tecken :) I x-led har vi alltså <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.38</math> sett ur det primmade systemet, sett ur det oprimmade systemet sägs det istället bli <math>x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.39</math> differentialen blir då <math>dx=\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.40</math> Men om vi nu deriverar med avseende på tid blir det knas i min värld, det enklaste resultatet är nedan <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.41</math> men så kan det inte bli för vad som händer är egentligen att en produkt deriveras modell <math>\frac{d}{dt}(f(t)*g(t))=f^\prime(t)g(t)+f(t)g^\prime(t)...71.42</math> där i det här fallet <math>f(t)=dx^\prime+vdt^\prime...71.43</math> och <math>g(t)=(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}...71.44</math> och deriverar man på detta sätt får man <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{1-\frac{v^2}{c^2}}(-1/2)(-2vdv)...71.45</math> där jag tycker differentialerna borde vara noll per definition så att deriveringen återigen blir <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.46</math> MEN det blir det inte, resultatet sägs bli <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx^\prime}{dt^\prime}}...71.47</math> eller <math>u_x=\frac{u^\prime_x+v}{1+\frac{v}{c^2}u^\prime_x}...71.48</math> och jag fattar ingenting :D Jag avslutar med några formler som jag även försöker bevisa, antag att en måttstav ligger stilla längs x'-axeln i s' och uppmättes ha längden Lo av en person i s' dvs av en person som är stilla relativt måttstaven. Längden fås som skillnaden i x'-värdena dvs Lo=x2'-x1'. En person i s ser staven röra sig i positiva x-axelns riktning och mäter stavens längd L genom att SAMTIDIGT mäta ändpunkternas x-koordinater (märk att mätningarna är samtidiga endast i s dvs t1=t2 men t1' är inte lika med t2') enligt Lorenztransformationen ovan får man således <math>SR=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.49</math> och därmed <math>L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-vt_2}{SR}-\frac{x_1-vt_1}{SR}=\frac{x_2-x_1}{SR}=\frac{L}{SR}...71.50</math> dvs <math>L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.51</math> som kallas för längdkontraktionen, sen har vi En klocka står stilla relativt s' och registrerar två händelser vid tiderna t1' och t2' på samma ställe (enligt s') säg vid xo'. Tidsintervallet To=t2'-t1' är således mätt av en person som står stilla relativt den punkt där händelserna inträffar. Enligt s är tidsintervallet mellan dessa två händelser <math>T=t_2-t_1=\frac{t_2^\prime+vx_2^\prime/c^2}{SR}-\frac{t_1^\prime+vx_1^\prime/c^2}{SR}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{SR}=\frac{T_0}{SR}...71.52</math> dvs <math>T=\frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.53</math> som kallas för tidsdilationen, slutligen har vi <math>V=V_0\sqrt{1-\frac{V_0^2}{c^2}}...71.54</math> som jag lite hittat på och som jag kallar hastighetskontraktionen dvs att V är den riktiga hastigheten korrigerad med hjälp av SR-faktorn men den stämmer och underlättar kalkyleringar av verkliga hastigheter, bara att trycka in Vo om man har nåt i närheten av c, sen får man man V som den verkliga hastigheten, observera att om man räknar ut V på detta sätt så får aldrig Vo>c dvs endast situationer där man får Vo<c (och i detta fallet, nära c) så kan man nyttja "kontraktionsformeln", observera sen att även om V=dx/dt=L/t så stämmer det inte att nyttja ovanstående formler på det sättet, lustigt nog. Slutligen vill jag visualisera en formel som jag inte hittar härledningen av nånstans dvs varken i min kurslitteratur eller i Wikipedia eller på nätet överhuvudtaget, denna formel beskriver den relativistiska energin enligt <math>E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2[=mc^2]...71.55</math> jag hittar alltså ingen härledning av den här formeln men jag bifogar en visualisering som kanske kan bidra till viss förståelse, speciellt är ju pc och moc^2 katetrar i en triangel och om man krämar på med pc så tappar moc^2 alltmer betydelse och energin går mot pc för höga hastigheter v (då ju pc=mvc). Den kinetiska energin sägs sedan vara <math>E_k=E^2-m_0c^2=mc^2-m_0c^2[=(pc)^2+(m_0c^2)^2-m_0c^2]...71.56</math> där m alltså sägs vara <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.57</math> vilket jag dock fått lära mig är taget ur "luften" för fysikerna ville alltså rädda impulsens invarians så dom gjorde så att massan blev invariant istället vilket ju knappast är samma som att säga att massan verkligen är relativ, hallå eller :) ==Fritänkande, impulsens invarians== Jag fattar inte mycket av ovanstående SR som mest är avskrivit från min lärobok i Fysik II för typ fem år sedan.. Fast idag tror jag mig kommit en liten bit i förståelsen då jag även tidigare hänvisat till att allt grundar sig på den fotoelektriska effekten som Einstein kom på och, som det verkar, Heisenberg har "förtydligat". Om man bara tecknar den bevisade fotoelektriska effekten så kan man teckna den som <math>E=hf</math> Detta har alltså Einstein bevisat och därmed kan man nog se det som obestridligt men detta får enorma kosekvenser ty man kan differentiera ekvationen och får då <math>d(E)=hdf</math> eller <math>d(pc)=hdf</math> ty vi snackar foton här, eller <math>cdp+pdc=hdf</math> nu finns dock ingen variation i c så vi får <math>cdp=hdf</math> eller <math>c\frac{dp}{df}=h</math> men <math>df=\frac{1}{dt}</math> dvs <math>cdp*dt=h</math> och <math>c=\frac{dx}{dt}</math> även i fallet ljusets hastighet, så kvar blir <math>dp*dx=h</math> Nu till vad jag tror mig kommit på, visualisera den Bohrska elektronbanan, den har bara en enda längd på omloppsbanan (vi kan kalla den lambda) och om du försöker detektera elektronen så kan du aldrig på förhand veta vart den är, det enda man kan veta är att den återkommer inom periodtiden för omloppet eller inom lambda som vi kan tolka som dx. Så osäkerheten blir omloppssträckan dvs lambda. Det samma gäller om vi tittar på en fonton med "riktig" lambda för vi kan fortfarande inte veta vart den befinner sig inom lambda MEN vi vet att den befinner sig där nånstans, så osäkerheten blir även där lambda. Eftersom lambda är en konstant samtidigt som h är en konstant så MÅSTE dp vara en konstant dvs rörelsemängden, eller impulsen, är mycket riktigt invariant. Vilket får nästan komiska följder vad gäller SR för om p är konstant så är mv konstant. Men eftersom vi vet att till exempel hastighet är relativ och alltså sjunker netto med höga hastigheter, så MÅSTE massan öka med högra hastigheter! Allt för att impulsen är invariant. Det är ju heltsjukt :) ==Fritänkande, impulsens invarians del II== Egentligen tror jag att den fotoelektriska effekten skall skrivas <math>hf-W_u-\frac{m_ev^2}{2}+qU=0</math> där Wu är det kända utträdesarbetet ur metallen som man kompenserar bort med en accelerationsspänning, U, allt summeras således till <math>\frac{m_ev^2}{2}=hf</math> där elektronen får hela fotonens energi, differentierar vi denna ekvation får vi <math>pdv=hdf</math> Som kan skrivas om som <math>p \frac{dx}{dt} \cdot d(1/f)=h</math> och alltså <math>pdx=h</math> eller <math>p\lambda=h</math> om man t.ex tittar på elektronbanan hos en väte-atom där <math>\lambda = 2\pi r</math> Eftersom lambda är konstant och h är konstant så måste p vara konstant eller invariant som fysikerna säger, vi kan dock också titta på nåt kul med min felskrivning i ovanståendce fritänkande nämligen <math>pc=hf</math> Nu tittar vi alltså på en foton istället för en partikel med massa och differentierar vi denna så får vi återigen att <math>pdc+cdp=hdf</math> där differentialen hos c ju är noll ty invariant, dvs ekvationen reduceras till <math>cdp=hdf</math> där p dock är <math>m_{ekv}c</math> i det här fallet för även om fotonen är masslös så har den ekvivalent massa och energi från sin frekvens (hf) enligt <math>pc=m_{ekv}c*c=m_{ekv}c^2</math> enligt klassisk Einsteinsk princip, detta gör att vi kanske kan differentiera p ändå enligt <math>c(m_{ekv}*dc+cdm_{ekv})=hdf</math> där dc återigen går bort men vi får <math>c^2dm_{ekv}\cdot dt=h</math> men här står det ju <math>dE\cdot dt=h</math> vilket är den klassiska formeln för osäkerheten i energi vad gäller tid, jag har dock i det här fallet nyttjat att dp ingalunda är noll dvs p är inte invariant här. Lite skumt för i första fallet är verkligen p invariant men här är den det inte, dock känner jag man inte kan applicera hf på en foton utan vidare utan hf måste appliceras på en partikel med massa som den fotoelektriska effekten går ut på dvs all fotonenergi överlämnas till elektronen, tror att fysikerna kallar detta för foton-elektron växelverkan. =Kapitel LXII, Fusion= [[File:Fusion Process.png|thumb|Visar hur elementär fusion går till]] Bindningsenerin per nukleon visade på en tänkbar möjlighet att utvinna kärnernergi dvs om vi lyckas slå ihop vätekärnor (enklast i teorin är deuteriumkärnor) till en alfa-partikel modell <math>H_1^1+n_0^1->H_1^2...72.1</math> och två gånger denna process så får man <math>He_2^4...72.2</math> Så påstår min kurslitteratur att i runda tal 28MeV skulle frigöras. I min litteratur läser jag om praktiska svårigheter och dom påstår bl.a att det finns en potentialkulle på runt 1 MeV som alltså finns mellan den yttre repulsiva delen och den attraktiva inre delen som måste övervinnas för att två protoner (eller två deuteriumkärnor) skall kunna bindas till varandra. Såhär står det alltså i min litteratur men nu tänker jag fritt, den yttre delen bör vara attraktiv pga elektron/kärna där vi har negativt laddade elektroner och en positivt laddad kärna dvs de Coulombska krafterna regerar, den inre delen handlar om Yukawa-krafter dvs attraktiva krafter som håller ihop kärnan modell pi-mesoner, detta stämmer inte med min litteratur. Idag försöker man termiskt övervinna denna potentialkulle, räknar man då på vilken temperatur som krävs så är det minst sagt intressant: Om vi först nyttjar det fundamentala i Maxwells fördelningsfunktion så har vi att <math>n_i\propto e^{-\frac{E_i}{kT}}...72.3</math> där ni är jontätheten och om vi sätter Ei=1MeV (om nu det är sant) och Ei/kT=1 för att få en rimlig sannolikhet för 1/e är en klassisk nivå så får vi <math>T=\frac{E_i}{k}\approx \frac{+6-19}{-23}=+10=10^{10}K...72.4</math> Inte helt lätt att fixa Jag tycker vi borde titta lite närmare på den Maxwellska fördelningsfunktionen, lite lustigt är den fördelad kring den (vektoriella) hastigheten noll, det är den första observationen. Den andra observationen är att sannolikheten för att hitta en partikel med hastigheten (+/-) oändligheten är noll. Alla partiklar finns således inom +/- oändligheten i hastighet, bara detta är rätt intressant. Integrerar man upp den Maxwellska fördelningsfunktionen så får man den totala partikeltätheten (eller sannolikheten 1 om man hellre vill det, vilket samtidigt är lite intressant för man säger då att partiklarna befinner sig inom oändlighetsgränserna, naturligtvis). Ska man vara rättvis skall formeln ovan egentligen skrivas: <math>n(v)=n_0e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.5</math> Och tittar man nu på den här fördelningsekvationen så ser man att om hastigheten går mot oändligheten så är antalet partiklar som har hastigheten oändligheten noll stycken, om hastigheten är noll så är antalet partiklar lika med alla partiklar som vi sprutat in Tokamaken. Pga fördelningsfunktionen har vi således att det finns partiklar som har hastighet MELLAN noll och oändligheten OAVSETT temperatur och eftersom hastighet i kvadrat motsvarar temperatur så finns det partiklar som har en temperatur nära dom 10^10K litteraturen påstår och även om det är VÄLDIGT få partiklar som har tillräckligt temperatur så räcker det faktiskt att endast två har det för när deras fusion startar så frigörs i runda tal 28MeV och detta innebär en temperatur på runt 10^11K enligt <math>E_{eV}=kT/q=28MeV=>T=10^{11}K...72.6</math> vilket tom är mer än vad min pessimistiska litteratur hävdar. Jag vill således hävda att för att en fusionsreaktion skall kunna starta så räcker det med att ett enda par protoner fusionerar och detta betyder att man kan ligga MYCKET långt ifrån Ek=kT, gäller mest att ha en MASSA partiklar. n_0 ovan är för övrigt inte riktigt den usprungliga partikeltätheten för den räknar man ut genom att <math>\int_\infty^\infty Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}}dv==1...72.7</math> dvs sannolikheten att partikeln finns inom hastighetsgränserna +/- oändligheten är 100%. Integralen <math>\int e^{-x^2}dx...72.8</math> kan lösas genom ansatsen <math>I^2=\int e^{x^2}*\int e^{y^2}=\int e^{x^2+y^2}=\int e^{r^2}...72.9</math> nu går vi över till polära koordinater och får <math>I^2=\int \int e^{-r^2}r dr d\phi...72.10</math> dvs <math>I^2=-\frac{1}{2}\int \int e^{-r^2}2r dr d\phi=-\pi [e^{-r^2}]_0^\infty...72.11</math> och således <math>I^2=-\pi [e^{-\infty}-e^{0}]=\pi...72.12</math> alltså <math>I=\sqrt{\pi}</math> Om vi repeterar ovanstående ekvation enligt <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}} dv==1...72.13</math> så kan man skriva den på formen <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2}dv==1...72.14</math> nu kan vi göra variabelbytet <math>\int_{-\infty}^{\infty} A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2} e^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2} d[v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2}]==1...72.15</math> Då fås alltså att <math>A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}I=A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=1...72.16</math> fast i praktiken är det inte lika med ett utan partikeltätheten som jag dock tycker är lite skumt för enheten passar inte, jag skulle hellre vilja säga att ettan byts mot det faktiska antalet partiklar (N) som samtidigt ger A <math>A=N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}...72.17</math> Fördelningsfunktionen blir således <math>N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}*e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.18</math> Här är det dock lite konstigt för i princip säger fördelningsfunktionen att vi har 100% sannolikhet för att det finns partiklar med hastigheten noll men hur hastigheten kan vara noll för en partikel i till exempel ett plasma på säg miljoner grader, det förstår inte jag, att däremot mängden partiklar som har en högre kinetisk energi jämfört med kT blir allt lägre ju större kvoten mellan kinetisk energi och kT blir känns rimligt. Ett bättre sätt att se det är nämligen att nyttja den Maxwellska fördelningsfunktionen fullt ut och titta på hastigheten hos partiklarna, OMM hastigheten är mycket hög relativt kT så är antalet partiklar som har den hastigheten väldigt låg. I en gas finns alltså partiklar som har högre termisk hastighet än "kT" men antalet blir snabbt väldigt liten ty funktionen är exponentiell och om man t.ex tar att man har Ek=10kT så blir partikelkvoten 4,5E-5 dvs om vi har 4,5E5 partiklar så finns bara en enda partikel kvar som har energin 10kT. Så tolkar jag det i alla fall. Samtidigt förstår jag inte vad som händer vid v=0, när vi integrerar upp fördelningsfunktionen så får vi egentligen att det blir till en sannolikhet modell att integralen blir ett för att alla partiklar finns inom Gaussklockan dvs inom +/-oändligheten i hastighet vilket ju låter rimligt och nivån motsvarande Ek=kT motsvarar 1/e dvs motsvarande 37% av alla partiklar (eller sannolikhet) som finns i systemet låter också rimligt dvs ju högre kvoten Ek/kT är desto färre partiklar finns det med den hastigheten/energin. Men vad händer vid noll? Jag fattar inte det. Att det finns färre och färre partiklar när Ek successivt överstiger kT låter mycket rimligt, det är tom rimligt att man beräknar mängden av dessa partiklar genom att multiplicera fördelningsfunktionen med partikelantalet MEN då stämmer det inte när det gäller v=0 för det innebär att 100% av partiklarna står still (eller att det är en 100-procentig sannolikhet för att det finns partiklar som står still, men denna nivå funkar ju klockrent annars dvs om Ek~kT så varför funkar den inte för v=0?), det köper inte jag. Visst finns det en sannolikhet för att partiklar kan ha hastigheten noll även vid hög temperatur MEN jag anser inte det är sannolikt ty värme definieras mha partiklars rörelse/vibration dvs finns det temperatur så finns det rörelse (och tvärt om). Den här biten av fördelningsfunktionen är minst sagt diffus. Ett tag trodde jag att litteraturen hade fel och tänkte mig en fördelningsfunktion som såg ut såhär <math>n(v)=n_0e^{-\frac{\frac{m}{2}(v-v_0)^2}{kT}}...72.19</math> där fokus ligger på avvikelse från v=v_0 och inte på v=0, för om fokus ligger på v_0 så finns alltid en energi eller hastighet skild från 0 dvs det triviala fallet där v=v_0 kommer fortfarande inträffa MEN det är vid en hastighet som inte är noll och då blir det rimligare att säga att partikelantalet vid v=0 blir en funktion av Ek(v_0)/kT, dvs inte 100%, jag fattar inte riktigt vad jag svamlar om men fördelningsfunktionen kring noll lämnar mer att förstå. Hans Bethe har sedan föreslagit en process som tänks ske i stjärnor modell vår sol och har fått hans namn dvs Bethe-processen där utgångspunkten är sex stycken protoner, nästa steg är sedan att två protoner har fusionerat till var sin deuterium-atom och med hjälp av den "tredje" protonen får man Helium-3 och eftersom man nu har två Helium-3 så fusioneras dom och man får Helium-4 plus två protoner. Denna process är inte trivial, man får också ett gäng positroner och neutrinos så jag ska försöka få med det också genom att skriva <math>2X: H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1...72.20</math> där <math>\beta^+</math> kallas positron och är elektronens anti-partikel och v kallas neutrino som har med spinnkonservering att göra. Här nyttjar man en neutron för att skapa Deuterium, jag envisas med att säga att en neutron består av en proton plus en elektron, detta stämmer inte exakt när det gäller massan för massan för en neutron är två elektronmassor större än för en proton MEN kanske en av massorna nyttjas som bindningsenergi vilket ju är samma sak som massa enligt Einstein. Så amatörteoretiskt krävs en elektron också för att protonen skall bli till en neutron OCH att partikeln sen skall bli till Deuterium. Vi räknar lite på Q1, jag har ett trick som jag inte riktigt vet funkar men jag har ingen u-tabell i min Physics handbook så jag kan inte direkt extrahera massor för atomer, DÄREMOT har jag en utförlig tabell på bindningsenergier (Eb) hos en mängd atomkärnor och iom att man kan räkna <math>m_k+E_b=\sum (nukleoner)...72.21</math> där m_k är kärnans massa. Om vi nu tittar på ekvationen ovan så har vi att <math>p+n=D...72.22</math> och <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.23</math> då har vi att <math>[m_k(D)]c^2=[\sum nukleoner]c^2-E_b[J]...72.24</math> dvs <math>[m_k(D)]c^2=[1836+1838]m_ec^2-E_b[J]...72.25</math> eller <math>Eb(D)=2,2MeV=2,2/0,5=4,4*m_ec^2...72.26</math> ty viloenergin hos en elektron är c.a 0,5MeV varvid <math>[m_k(D)]c^2=3674m_ec^2-4,4m_ec^2 \approx 3670m_ec^2...72.27</math> Nu har vi alltså att den sprängda massan är 3674m_e medans Deuterium-kärnan är på 3670m_e vilket vi egentligen visste för Eb var ju på 2,2/0,5=4,4m_e~4m_e. Här kan vi annars se att en kärnas energi är mycket större än bindningsenergin. Jag tror att ovan är en uträkningsformel som inte har nån praktisk betydelse annat än att om man har Eb så kan man räkna ut massan hos kärnan eller om man har kärnans massa så kan man räkna ut Eb, min litteratur säger nämligen att nettoprocessen frigör närmare bindningsenergin hos Helium men hur ska det gå till? När man fusionerar de ingående partiklarna så måste ju rimligen Helium suga åt sig den bindningsenergi den behöver, eller? Så hur kan hela bindningsenergin bli över att nyttja för "värmeväxlaren"? Vi har ju att bindningsenergin är den energi som krävs för att hålla ihop neutroner och protoner för att neutroner är laddningsmässigt neutrala och protoner är positiva så hur ska man annars kunna hålla ihop en sån kärna utan bindningsenergi? Men i en fusionsprocess där man i princip försöker fusionera protoner till Deuterium så anser jag att det inte genereras nån energi alls för vad som händer är väl att differensen mellan den högre energin som nukleonerna i sig har jämfört med vad Deuterium-kärnan i sig har den går åt som bindningsenergi för Deuterium-kärnan det vill säga det blir ingen nettovinst av energi. Så ser jag det i alla fall och nån får gärna rätta mig. ELLER blir det trots allt en masskillnad här? Men jag har ju räknat på att den enda masskillnad som blir är 4m_e och samtidigt är den masskillnaden just bindningsenergin. Det blir alltså ingenting över till att koka vattnet, som jag ser det men jag har naturligtvis fel. Nästa steg i Bethe-cykeln stavas sen <math>2X: H_1^1+H_1^2->He_2^3+Q2...72.28</math> Här är det regelrätt fusion av proton och Deuterium till Helium_3 slutligen <math>He_2^3+He_2^3->He_2^4+2H_1^1+Q3...72.29</math> Där två Helium_3 alltså fusionerar och man "får tillbaka" två protoner. Nettoprocessen är alltså: <math>4H_1^1->He_2^4+2\beta^++2v+Q...72.20</math> Energivinsten är sedan pga Einstein <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.31</math> vilket är lika med <math>Q=[4m_p-m_{\alpha}]c^2...72.32</math> I min kurslitteratur innehåller alfa-partikeln även två elektroner men om den innehåller det, varför innehåller inte protonen/vätet det? Så jag skiter i den biten samtidigt som det väl ändå är rätt tveksamt att elektronerna orkar sitta fast på kärnorna när vi uppenbarligen snackar mycket höga temperaturer, ett plasma är således mer troligt. I vilket fall som helst har vi den numeriska energiekvationen: Som jag dock måste lämna till en annan dag för jag har lite dålig koll på den "sprängda" massan och kärnans massa fast det verkar som om protonen i alla fall har samma sprängda massa som kärnans massa (vilket ju inte är så konstigt för den behöver ingen bindningsenergi för att hålla ihop kärnan ty den består ju bara av en enda proton), sen när det gäller helium händer dock något, i det här fallet vill jag nog mest betrakta He++ (dvs ren alfa-partikel utan elektroner) men i det fallet är den "sprängda" massan väldigt nära 4st protoner (ska väl formellt sett vara 2st protoner och 2st neutroner men neutronerna skiljer bara två ynka elektronmassor i massa) fast här händer nåt viktigt, kärnans massa är MINDRE än den sprängda massan så när vi subtraherar He från 4H så får vi inte noll som man kan tro utan en skillnad som beror på bindningsenergin dvs att Helium är lättare när den hänger ihop än när den är sprängd. Kom precis på en sak, elektronmassorna i formeln är INTE pga Helium's elektroner utan pga de två positronerna (samma massa som elektronen) så det skall faktiskt stå <math>Q=[4m_p-(m_{\alpha}+2m_e)]c^2...72.33</math> Fast samtiidigt vet jag inte om jag tror på positroner :D Nu gillar inte jag begreppet u så jag skall avveckla det från diskussionen MEN jag behöver ett massvärde när det gäller alfa-partikeln och jag har den bara på formen u. Vi börjar således med att skapa en konverteringsfaktor <math>k=\frac{u}{m_e}=\frac{1,660540E-27}{9,109390E-31}=1822, 88825\approx1823...72.34</math> där jag kommer nyttja elektronens massa som den fundamentala massan istället (dom flesta partiklar är nämligen större än elektronens massa vilket gör att alla "massor" blir större än ett, smidigt att räkna på liksom). Enligt min litteratur ha vi sedan <math>Q=[4*1,007276-4,001506-2*0,000549]*uc^2=[4,029104-4,001506-0,001098]*931,48MeV=24,68MeV...72.35</math> Men nu ändrar vi på det här så att vi istället nyttjar elektronmassor och får då <math>Q=[4*1836-7295-2]*m_ec^2\approx[4*1836-4*1823-2]*m_ec^2=50m_ec^2=50*0,51MeV\approx 25MeV...72.36</math> Var inte det smidigare? Idag tror jag mig ha insett en sak, även om följande formel gäller <math>m_k+E_b=\sum nukleoner...72.37</math> som alltså implikerar att kärnans massa är mindre än den sprängda massan så tror jag att Eb är masslös, alla vet ju att solen lyser och dom flesta är överens om att det är pga en fusionsprocess modell protoner som fusionerar till Helium, jag tänker nämligen att kanske det är så att massa ALLTID innehåller energi men att energi INTE alltid innebär massa. För om det är på det sättet kan man se ekvationen som sådan att den mindre kärnmassan beror på en ekvivalent Eb-massa så att kärna egentligen väger lika mycket som den sprängda massan MEN på vågen gör den det inte, den håller ihop sig mha av Eb men Eb väger inget och först då kan vi få ut Eb som en vinst när vi fusionerar. Lite konstigt det här för jag har i alla fall trott att energi och massa alltid är intimt knutna till varandra pga Einstein, Men om vi ska få ovanstående energiöverskott som faktiskt tom är mycket nära Eb-differensen hos dom ingående kärnorna så kan inte Eb vara strikt bundet till kärnan (enligt formeln). Jag har sedan noterat några intressanta saker när det gäller fusion/fission-processer där jag inte har nåt numeriskt bevis på det första exemplet men jag tar det ändå, i princip går alla exempel ut på att man inte behöver jämföra begynnelsemassa med slutmassa utan man kan jämföra skillnaden i Eb istället: <math>H_1^1+n=D_1^2...72.38</math> som har värmevinsteffekten <math>Q=[slutbindningsenergi-begynnelsebindningsenergi]...72.39</math> dvs <math>Q=2MeV-0MeV=2MeV...72.40</math> sen har vi <math>2D_1^2=He_2^4...72.41</math> dvs <math>Q=28MeV-4MeV=24MeV...72.42</math> där mitt kompendium räknat ut 24,68MeV men vem bryr sig om den lilla skillnaden? Om man sedan tittar på fission så har vi den inducerade fissionen enligt kompendiet som ungefär <math>U_{92}^{235}=Ba_{56}^{144}+Kr_{36}^{89}...72.43</math> bindningsenergierna efter minus före blir här <math>Q=1200MeV+800MeV-1800eV=200MeV...72.44</math> och det är EXAKT vad kompendiet anger som energivinst! Så att krångla till det med att använda massan före minus massan efter är direkt onödigt för let' face it, hur intresserade är vi av decimaler? Det intressanta verkar alltså vara att det är skillnaden i bindningsenergi man får ut som energivinst vilket onekligen är lite knepigt för om man "bundit ihop" en kärna som har högre bindningsenergi så borde ju den energin per dess definition tillhöra kärnan och inte friges men så har jag efter möda klurat ut att det inte kan vara för då skulle man inte få nån energivinst alls, greppar inte det här riktigt. ==Fritänkande, skapandet av Deuterium== Jag kopierar ner denna formel från ovan <math>H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1</math> om man partikelstyckar denna får man <math> (p+e)+(p+e)->(p+n+e)+(\beta^+)+v+Q1</math> vilket är lite konstigt för som jag ser det ihileras en elektron med en proton för att bilda en laddningsneutral neutron MEN dels blir det en elektron över som visserligen cirklar kring D dels har vi samtidigt att masskillnaden neutron-proton är TVÅ elektronmassor dvs en neutron kan inte skapas av en proton plus en elektron ty massan stämmer inte. Annars tycker jag formeln stämmer för den överblivna elektronen kommer cirkulera kring D. Samtidigt är detta en process som sker vid mycket hög temperatur där vi förmodligen inte ens har "riktiga" (läs laddningsneutrala) atomer utan vi har ett plasma där elektroner och protoner är separerade. Så formeln är akademisk och borde nog mer stavas <math>p+p=D_k</math> där Dk är deuteriumkärnan och den ena protonen på nåt sätt görs om till en neutron så att man istället kan skriva <math>p+n=D_k</math> men hur gör man om en proton till en neutron för rent formellt kan man skriva <math>n=p+2e</math> vad gäller massa i alla fall, detta kan dock ha med att bindningsenergi kan göras om till ekvivalent massa så om man tar lite av bindningsenergin så kan kanske ytterligare en elektron skapas och ekvationen ovan går ihop, men varför skulle energin ge just ge en elektronmassa till? Dessutom, om det tillkommer två elektroner i formeln så blir inte neutronen laddningsneutral... Tycker det finns brister i det här resonemanget. ==Fritänkande, hur man kanske kan bygga en fusionsreaktor== Jag går lite grann händelserna i förväg här för jag studerar elektromagnetisk fältteori också men har inte kommit så långt, dock finns det nåt som kallas spegling och jag har fått en idé. Mha spegling och fixerad di (avståndet mellan spegelladdningen och centrum hos en laddad stång) så kan man eventuellt modulera ekvivalent radie hos den speglade stången. I fallet laddad stång har man sedan en potential i/på stången (som inte är noll), genom att fixera di kan man eventuellt mekaniskt modulera med den "styrande" laddningen så att man får olika ekvivalenta radier hos den virtuella potentialen. Genom att göra det med relativt hög frekvens kommer laddningarna stå still. På kortsidan av "stångens" pinch sätter man sedan två kondensatorplattor och gör samma sak, på det sättet kommer plasmat inte röra sig axiellt utan mest vibrera samtidigt som den första moduleringen håller plasmat "still" radiellt. Man kan alltså kanske köra in en högströmskabel vid di, få partiklarna att girera kring denna kabel samt innesluta allt mha "kondensatorplattorna" modulerade med relativt hög frekvens. Eventuellt kan "speglingskonfinement" hålla ihop plasmat förutom den höga strömmen som behövs. Jag bara spånar :) =Kapiltel LXIII, Bohrs atommodell= [[File:Fusion Hydrogen Bohr.png|thumb|Atommodell för väte]] "Låt det genast vara sagt: denna Bohr'ska atomteori är idag, bland annat genom Bohrs egen intensiva medverkan, passe' i väsentliga avseenden. Men den utgör inte enbart en fysikhistorisk höjdpunkt, den inbjuder ständigt till jämförelser av resultat och tjänstgör i mångt och mycket som "referensram". Vidare är den baserad på några revolutionerande ide'er som i huvudsak oförändrade övertagits av modernare atomteorier som med fördel presenteras i sin ursprungliga tankemiljö". Bohr uppställer tre postulat för elektronerna: 1) Kvantiserade tillstånd: Elektronen är tillåten endast i omloppsbanor för vilka banimpulsmomentet [pr=mvr] är en heltalsmultipel av <math>\hbar</math> 2) Stationära tillstånd Elektronen i ett tillstånd emitterar ingen energi 3) Emission-Absorbtion Elektromagnetisk strålning sker vid elektronernas diskontinuerliga hopp mellan tillåtna banor varvid den emitterade/absorberade energin svarar mot differensen i tillståndets energi modell <math>E_2-E_1=\Delta E=hf...79.1</math> Vid tillämpningen av postulaten på väteatomen gör vi dels en specialisering till cirkelbana dels en approximation till oändligt tung kärna (denna approximation gör att elektronen cirklar kring kärnan istället för den gemensamma tyngdpunkten), sen har vi alltså jämviktsvillkoret i cirkelbanan där centrifugalkraften (Fc) är lika stor som den Coulombska kraften (Fq): <math>\frac{mv^2}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.2</math> vilket ger <math>E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.3</math> den potentiella energin är sedan <math>E_{pot}=\frac{[-q]q}{4\pi \epsilon_0r}=-\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.4</math> helt enligt Coulombs lag där det bara finns två laddningar med olika tecken. Elektronens totala energi kan man alltså skriva <math>E=E_k+E_p=-\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0r}...79.5</math> Det Bohrska villkoret 1) ovan ger sedan att man kan skriva <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.6</math> vilket insatt i Fc=Fq ovan ger <math>\frac{m\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.7</math> dvs <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.8</math> som insatt i energiekvationen ovan ger <math>E=-\frac{1}{n^2}\frac{m}{2\hbar^2}[\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}]^2...79.9</math> Med insatta värden blir detta <math>E_n=-\frac{1}{n^2}*13,6eV...79.10</math> Allmänt kan vi för emission och absorbption i väteatomen skriva <math>\Delta E=hf=13,6[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}]...79.11</math> som anger hur skillnaden i energi är beroende av elektronernas nivåer/skal där m och n är heltal som ej behöver skilja med ett, Lyman-serien till exempel utgår från E1 och "alla" energinivåer bortanför ett, Balmer-serien utgår från E2 och alla energinivåer bortanför två, Paschen-serien utgår från E3 och alla energinivåer bortanför tre, vad som händer här är alltså att Väte kan exciteras av en foton mellan två av dess skal, när den har gjort det så kan den också återgå till sitt "vilotillstånd" genom att hoppa tillbaka till sitt yttre skal men när de gör det så gör den sig av med sin extraenergi medels strålning så den strålar alltså ut mellanskillnaden i energi modell hf. Ur ovanstående ekvationer kan man räkna ut ett par roliga saker och det är elektronens hastighet och elektronens radie, om vi börjar med radien kan man räkna ut den från <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.12</math> som med insatta värden ger en banradie på ungefär 10^-10m eller 1Å (0,529Å om man skall vara pedant, som också kallas Bohrradien) där man bör observera att en protons radie i runda slängar är 10^-15m vilket ju talar om för oss att elektronen cirklar omkring kärnan på ett "ofantligt" avstånd från kärnan dvs på typ 100000 gånger större avstånd, resten är alltså tomrum :) Elektronens hastighet kan vi också räkna ut från <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.13</math> och den blir i runda slängar 10^6 m/s som ju faktiskt är en hiskelig hastighet för den är nära 1% av ljusets hastighet. När det gäller energinivåerna ovan för väte så har min litteratur talat om för mig att man måste parallella elektronens massa med kärnans massa för att energinivådiagrammen för väte skall bli rätt och när jag gör det stämmer det klockrent sånär som på tredje decimalen. Denna kompensation tycker jag dock är skum men den sägs ha att göra med att elektronen kommer kretsa kring kärnan istället för masscentrum (tror jag) såhär går den <math>m_{eff}=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}...79.14</math> Fattar inte alls varför det blir så men utan den kompensationen blir det inte helt riktigt med energinivåerna (jämfört med uppmätta energinivåer, antar jag). Nåväl, vi ska inte snöa in oss på detaljer, min plan nu är att skapa en interpolerande formel för He+ jonens energinivåer, det är nämligen såhär att den mycket enkla och galanta Bohrska formeln bara tycks gälla för Väte, alla andra grundämnens energinivåer fallerar den tydligen för, inte ens nästa grundämne dvs för enkeljoniserat Helium så fungerar det tydligen. Fast jag gillar Occams Razor så inga flummiga vågfunktioner eller ännu flummigare kvanfysikaliska förklaringar här inte, här ska vi lösa saker på så enkelt sätt som möjligt. Jag ska alltså försöka hitta en eneginivå-interpolerande funktion som träffar enkel-joniserat Heilum's energinivåer, jag har lite lekt med detta redan men fick då bara de två första energinivåerna att stämma (naturligtvis, för det blev ju tvånget på interpolationen), den tredje stämde dock inte alls. Jag har hittat ett energinivådiagram för enkeljonserat Helium på nätet och jag har fyra energinivåer att leka med, tänker nu såhär att om man skall lyckas skapa en interpolerande funktion som funkar så tror jag att man måste involvera kärnans storlek för vitsen är ju att det inte bara skall stämma för Helium, det skall stämma för alla grundämnen (men nånstans måste man ju börja). Den kärnstorleksberoende interpolationskonstanten kommer inte bli linjär. =Kapitel LXIV, Partikelvåg-de Broglie-våglängd= [[File:Fusion Hydrogen Broglie 2.png|thumb|Visar olika tänkta lambda hos elektronbanan]] Bohr tillät sig, då behovet kändes trängande, kvantisera även banimpulsmomentet enligt <math>mvr=n\hbar...80.1</math> En legalisering i efterhand av Bohrs (något ur luften gripna) kvantvillkor och samtidigt en fundamental sammanlänkning av partikel och vågbegreppen åstadkom Louis de Broglie. Om vågor kunde uppvisa partikelegenskaper borde man ej förvånas över en omvändning dvs att partiklar har vågenskaper. Ja, antag att en elektron uppträder som en våg med någon låglängd <math>\lambda</math>, om den i en cirkelbana inte skall utsläcka sig själv genom destruktiv interferens krävs att den varv efter varv är i fas med sig själv. Ovanstående i detta kapitel är alltså citerat från min litteratur men när det gäller det där sista uttalandet så är det fullkomligt skitsnack! Det finns INGET som kräver att elektronen i sin cirkelbana måste "bita sig själv i svansen", den kan naturligtvis ha vilken våglängd som helst, det enda som händer är att "fasfelet" förskjuts för varje varv, nån destruktiv interferens existerar inte, det är bara akademiskt skitsnack! Men om vi kör på så kan man teckna den kvantiserade omkretsen som <math>2\pi r=n\lambda...80.2</math> och alltså enligt det jag inte tror på, sen har vi dock de Broglie-våglängden enligt <math>\lambda=\frac{h}{p}...80.3</math> och om sätter in den kvantiserade omkretsen så får man <math>2 \pi r =n \frac{h}{p}=n \frac{h}{mv}...80.4</math> dvs <math>mvr=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar...80.5</math> som är det Bohrska villkoret ovan, observera dock att det alltså grundar sig på att elekronen löper ett varv på ett jämt antal våglängder, detta tycker jag definitivt inte är nödvändigt, tyvärr kommer jag inte åt de Broglie vilket hade varit ännu häftigare för han stökar till det när det gäller min vision om att en neutron består av en proton plus en elektron (och den andra elektronen kan få vara bindningsenegi alternativt felmätning för känt är i alla fall K-elektroninfångning och där sönderfaller en proton och en elektron i en neutron), men iom att jag tror stenhårt på att elekronbanan INTE behöver var en heltalsmultipel av nån våglängd så finns det en möjlighet att den Bohrska atommodellen kan fungera för andra grundämnen. Partikelns, här elektronens, impuls p kan vi således skriva som funktion av partikelvåglängden <math>\lambda</math> eller vågvektorn alias utbredningskonstanten <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...80.6</math> dvs <math>p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k...80.7</math> På detta sätt påstås man kunna skriva <math>E=pc=\hbar kc=\hbar 2\pi \frac{c}{\lambda}=\hbar w=hf...80.8</math> där jag personligen tror att pc är en partikelegenskap hos energin medans hf är en fotonegenskap men detta är tydligen samma sak så därför kan man också skriva <math>E=pc=hf...80.9</math> och iom att <math>pc=mvc...80.10</math> så kan man skriva detta som <math>v=\frac{hf}{mc}=\frac{h}{m\lambda}...80.11</math> där <math>\lambda</math> kan minimeras till (v=c): <math>\lambda>\frac{h}{mc}...80.12</math> Enligt tänket kring vågfunktioner inom fysiken så tycks det vara ganska rätt att tolka våglängden <math>\lambda</math> som den stående våg som bildas mellan två (potentiella) avstånd. Denna våglängd tycks minimum kunna vara enligt ovan vilket, om man sätter in massan för en elektron, tycks det innebära att våglängden, och därmed ungefär avståndet, är minst 1pm (samtidigt som en protons radie är av storleksordningen 1fm). Så min vision om att en elektron hela tiden skall kunna befinna sig inom en protons radie stämmer inte, enligt ovanstående formler kan den inte det. Men jag ger mig inte, om K-elektroninfångning är nåt som erkänt fungerar (dvs en proton plus en elektron sönderfaller i en neutron då MÅSTE en neutron kunna bestå av en proton plus en elektron, enligt mig). Så nånstans räknar "vi" fel. Jag har sagt det förut men gillar att säga det igen, Einstein säger alltså att energin hos en foton (och enligt vetenskapen även en partikel) har energin hf, detta kan man skriva om som <math>E=hf=h\frac{c}{\lambda}...80.13</math> där vi ju anammat att partiklar även kan vara vågor så att <math>\lambda</math> egentligen bara är ett avstånd, enklast ser man detta när man studerar typ en gitarrsträng. Om man med andra ord inför protonens radie som lambda så får man <math>E=-34+8+15+19=100MeV...80.14</math> Den Coulombska kraften/energin hos p+e är ungefär <math>E_q=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}[eV]...80.15</math> vilket för en elektron på randen av protonen innebär 1MeV. Så man har en attraktiv "kraft" som kan tänkas vilja dra in elektronen inuti protonens skal så att det kan bildas en neutron MEN denna kraft är 100 gånger svagare än den den kraft som krävs för att elektronen HELA TIDEN skall kunna befinna sig inom protonen, undrar hur stark Yukawa-kraften är för en sak är säker den har en förmåga att hålla ihop "mängder" med protoner av LIKA laddning och det är inte helt säkert att enbart neutroner "förmedlar" Yukawa. Det slår mig här att jag ju ovan redan "räknat" ut att det maximala antalet protoner i en kärna är ungefär 100st, Eq=100*1MeV=100MeV, en notering bara. Min litteratur går nu in på vågfunktioner men jag slutar här för det intresserar mig inte annat än att jag för rätt länge sedan listat ut att det svänger modell en gitarrsträng och efter en massa onödigt avancerad "algebra" så kommer min kurslitteratur fram till precis samma sak. ='''Del VI, FUSIONSFORSKNING''', förord= =Kapitel LXV, Plasma i naturen= Saha-ekvationen stipulerar <math>\frac{n_i}{n_n}=2.4*10^{21}\frac{T^{3/2}}{n_i}\exp-(\frac{U_i}{kT})</math>, där n_i är jontätheten och n_n är tätheten av neutrala atomer och U_i är joniseringsenergin för gasen. För vanlig luft blir detta <math>n_n=3*10^{25}m^{-3}</math> <math>T=300K</math> <math>U_i=14,5eV (nitrogen)</math> som ger <math>\frac{n_i}{n_n}=10^{-122}</math> som är löjligt liten<ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 2</ref> Joniseringen fortsätter att vara låg tills U_i är bara några få kT så det finns inga plasma naturligt här på jorden, bara i astronomiska kroppar med temperaturer på milljoner grader. =Kapitel LXVI, Basala hänsyn= När en laddad partikel rör sig i ett magnetfält gäller följande ekvation <math>m\frac{dv}{dt}=qvXB</math> ett enkelt sätt att lösa denna ekvation är att ansätta <math>v=v_0e^{jwt}</math> ekvationen blir då <math>mjwv_0e^{jwt}=qvXB=mjwv</math> om vi sen bara tittar på beloppet (dvs amplituden) så får vi <math>w_c=\frac{|q|B}{m}</math> och pga att v=wr får vi sen <math>r_L=\frac{mv}{|q|B}</math> där w_c kallas för cyklotronfrekvensen och r_L kallas för Larmor-radien. Detta betyder att en partikel kommer gyrera runt magnetfältet med cyklotron-frekvensen och Larmor-radien. Detta är sedan den fundamentala anledningen varför ett plasma eventuellt kan inneslutas mha ett magnetfält. =Kapitel LXVII, Energi och temperatur hos ett plasma= Det kommer senare visas att medelenergin kan skrivas <math>E_{AV}=\frac{1}{4}mv^2=\frac{1}{2}kT</math> där det är ytterligare kT/2 per frihetsgrad, hastigheten blir då <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}</math> ovanstående energi-ekvation kan sedan härledas utifrån then Maxwellska distributionsfunktionen <math>f(v)=A\exp{(-\frac{mv^2/2}{kT})}</math> där partiklarnas täthet kan beräknas medels <math>n=\int_{-\infty}^\infty f(v)dv</math> som ger oss <math>A=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}</math> vad detta ger oss är att även om den mest sannolika temperaturen är <math>kT=\frac{mv^2}{2}</math> så finns det partiklar med både lägre och högre temperatur. ==B-fält från en ström-loop== [[File:Current loop.PNG|thumb|Denna bild visar härledningen av B-fältet från en ström-loop]] Från Maxwell's ekvationer har vi <math>\nabla \cdot B=0</math> som kan skrivas om enligt <math>B=\nabla XA</math> där A kan få vara en godtycklig vektor, med användande av vektorpotentialen A får vi <math>A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_v{\frac{J}{R}dv}</math> där vi inser att <math>Jdv=JSdl=Idl</math> vilket gör att vi pga Biot-Savat's lag får <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_c\frac{dlXa_R}{R^2}</math> om vi sedan definierar <math>dl=bd\phi a_{\phi}</math> och <math>R=a_zz-a_rb</math> och <math>dlXR=a_{\phi}bd\phi X (a_zz-a_rb)=a_rbzd\phi + a_zb^2d\phi</math> och inser att r-delen cacelleras, så får vi <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_0^{2\pi} a_z\frac{b^2d\phi}{(z^2+b^2)^{3/2}}</math> eller <math>B=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{(z^2+b^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{R^3}</math> där dimensionen för B uppenbarligen är <math>B \propto\frac{1}{R}</math> Jag har manuellt lagt tillbaka detta avsnitt då jag först ansåg det vara lite irrelevant men faktum kan vara att det har mer betydelse än man tror, visst strömmen i loopen snurrar bara och vi får ett Bz-fält från strömmen MEN ström är laddningar i rörelse där jag bara spånar att t.ex protoner har samma Larmor-radie varför dom inte nödvändigtvis måste "snurra" bredvid varandra för varför kan dom inte snurra likt ett pärlband i samma slinga när dom ändå har samma radie? I princip kanske man då kan se det som att hela "omloppet" är knökat med t.ex protoner, kanske det tom maximeras med de antalet protoner som får plats i loopen för dom snurrar/gyrerar ju bara och ger därmed en ström. ==E-fält från en laddad loop== [[File:Charged loop.png|thumb|E-fält från en laddad loop]] Man kan teckna E-fältet såhär <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'}{R^2}=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'R}{R^3}</math> där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs <math>R=-b\hat r+z\hat z</math> och <math>dl'=bd\phi</math> av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss <math>R=z\hat z</math> vilket vi kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{z^2}\hat z</math> eller <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{R^2}\hat z</math> detta ger alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0 R^2}2\pi b\hat z</math> där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar), rho_L kan sedan ses som <math>\rho_L=\frac{\sum q}{2\pi b}</math> =Kapitel LXVIII, Drifter i ett plasma= [[File:ExB drift.PNG|thumb|This picture shows how an E-field would interact with a B-field to change the particle orbit.]][[File:Nonuniform B.PNG|thumb|This picture describes what happens to a particle when the magnetic field is non uniform.]][[File:Centrifugal drift.PNG|thumb|This graph describes the centrifugal drift in a plasma.]] Med användande av <math>m\frac{dv}{dt}=q(E+vXB)</math> och sättande av vänstra ledet till noll (ty vi avser ingen rörelse) samtidigt som vi tar kryssprodukten med B så får vi först <math>0=q(E+vXB)</math> som kan skrivas om enligt <math>E=-vXB</math> och kryssar vi sen med B från höger får vi <math>EXB=BX(vXB)</math> sen kan man använda "BAC-CAB"-regeln som innebär att <math>AXBXC=B(A \cdot C)-C(A \cdot B)</math> beviset är dock lite lurigt så jag avstår från det här, detta ger dock <math>EXB=BX(vXB)=vB^2-B(B\cdot v)</math> de transversella komponenterna hos denna ekvation är, pga att v är ortogonal mot B för vi avser drifter, således gäller <math>v_{gc}=\frac{EXB}{B^2}</math> som kan skrivas om som <math>v_{gc}=\frac{EX\hat B}{|B|}</math> och magnituden hos denna "guiding center drift" är tydligen <math>v_{gc}=\frac{E}{B}</math> erkännande av <math>F=qE</math> så kan man få <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> där F kan vara <math>F_E=qE</math> pga ett E-fält eller <math>F_g=mg</math> pga gravitation, sen gäller <math>F_{cf}=\frac{mv_{//}^2}{R_c}\hat R_c</math> som är centrifugalkraften medans partikeln rör sig utmed B, då är driften pga E <math>v_E=\frac{EXB}{B^2}</math> och driften pga gravitation blir <math>v_g=\frac{m}{q}\frac{gXB}{B^2}</math> samtidigt som driften pga det böjda B-fältet blir <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> Det är sedan intressant att notera att <math>|v_E|=|v_{gc}|=|\frac{E}{B}|</math> Det är svårare att härleda och förklara driften i ett icke uniformnt B-fält där kraften kan skrivas <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat z</math> där v_{<math>\perp</math>} implikerar hastigheten vinkelrätt mot B-fältet, som insatt i kraftekvationen ovan ger driften av "guiding ceter" som <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{z}X\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{|F|}{|B|}\hat r=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där index bara motsvarar tanken, de är fortfarande vektorer som kan generaliseras som <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{BX\nabla B}{B^2}</math> eller <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\hat BX\nabla B}{|B|}</math> som är grad-B:driften eller driften orsakad av inhomogeniteter i B-fältet, mha en Taylor-utveckling av <math>v_x=v_\perp e^{jwt}=\frac{dx}{dt}</math> kan man visa att <math>B_z=B_0+y\frac{dB}{dy}</math> där B_0 är en DC-komponent för gyreringen som tar ut sig själv, kvar har vi då att <math>B_z=y\frac{dB}{dy}</math> Sen nyttjas att <math>B_\phi\propto \frac{1}{r}</math> vilket gör att <math>|B|\propto\frac{1}{Rc}</math> där <math>R_c>>r_L</math> och egentligen bara radien ut till krökningen av B-fältet, detta ger att <math>\frac{\nabla |B|}{|B|}=-\frac{R_c}{R_c^2}</math> så att <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}=+/-\frac{1}{2}\frac{v_\perp^2}{w_c}\frac{R_cXB}{R_c^2B}=\frac{1}{2}\frac{m}{q}v_{\perp}^2\frac{R_cXB}{R_cB^2}</math> vilket gör att man kan visa att den totala driften hos ett krökt B-fält i vakuum är <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> "Det är oturligt att dessa drifter adderar för detta innebär att om man böjer ett magnetfält i en toroid för att försöka innesluta ett plasma, så kommer partiklarna driva ut från toroiden oavsett hur man jiddrar med temperatur och magnetisk fältstyrka" [[Francis F. Chen]] ==Fritänkande, de sista ekvationerna ovan går inte ihop== Gradienten av en vektor (B) existerar inte och den sista formeln passar inte, jag köper dock <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> men <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}</math> passar inte i formeln <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> men vi har <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> som faktiskt enklare kan skrivas <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}</math> där man tydligt ser att hastighetsriktingen är skild från riktningen hos B som kan visas mha <math>B=(0;0;1)</math> om nu F kan tecknas <math>F=(1;1;1)</math> så blir kryssprodukten <math>\hat r (0-1) - \hat \phi (0-1) + \hat z (0-0)</math> dvs vi har inga z-komponenter kvar alls vilket samtidigt var riktiningen på B-fältet, istället har vi <math>\hat F X \hat B=-\hat r + \hat \phi</math> dvs vi har hastighetskomponenter i r-led (-v_R) och phi-led (v_gc). Om vi kopierar ner och försöker analysera <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> samt sätter att B=(0;0;1) dvs endast i z-led, då försvinner resutatet vad gäller z-led men i r-led och phi-led finns dom kvar, vi kan titta på fallet <math>F=(0;1;0)</math> och <math>B=(0;0;1)</math> varvid vi får kryssprodukten (FXB) <math>\hat r(1-0)- \hat \phi (0-0) + \hat z (0-0)</math> om alltså kraften endast är i phi-led och B-fältet endast är i z-led så blir det bara en r-komponent kvar, jag har valt att använda cylindriska koordinater här för om man tittar in i ett plasma (modell Tokamak) blir det mest naturligt då utsträckningen av plasmat är i (böjd) z-led och kryssprodukten i r-led (för vi avser vinkelrät drifthastighet) fast kraften blir alltså i phi-led, kryssprodukten kommer alltså visa oss en drift som är vinkelrät mot B-fältet Jag vill alltså skriva om denna ekvation <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> enligt <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{\phi}X\hat B_{z}}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där <math>F_\phi</math> bara innebär att vektorn har en phi-komponent, själva komponenten avses inte, detsamma gäller <math>\hat B_z</math> Det påstås alltså att <math>\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som vi kan mappa till <math>F_r=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}</math> eller <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som man eventuellt skulle kunna skriva om som <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\nabla B</math> problemet är bara att gradienten av en vektor finns inte, bara gradienten av skalärer finns så vad betyder detta? Det ser ut som om gradienten av B existerar men B är väl en vektor som har riktning och magnitud? Är kanske B plötsligt en skalär här? Dvs den har ingen riktning utan är bara en funktion/skalär? Gradienten för en skalär/potential/funktion kan skrivas i cartesiska koordinater <math>\frac{dV}{dx}\hat x + \frac{dV}{dy}\hat y + \frac{dV}{dz}\hat z</math> om sen V är av typen vektor dvs i vårt fall <math>B_x \hat x + B_y \hat y + B_z \hat z</math> och vi tar gradienten för B, då får vi <math>\frac{dB_x}{dx} \hat x \hat x + \frac{dB_y}{dy} \hat y \hat y + \frac{dB_z}{dz} \hat z \hat z</math> som är rappakalja för t.ex <math>\hat x \hat x</math> existerar inte då dom bara kan kyssas (vilket ger noll) eller tas skalärprudukten på som (som ger 1), så vadå gradienten av en vektor? Slutligen tycker jag att själva tanken med att det finns en gradient i B är lockande för om fältet är svagare eller starkare kring nåt snitt så finns det ju onekligen nån slags gradient där men strikt matematiskt går det inte ihop vad jag lärt mig, det är f.ö Chengs fel att jag är så strikt men jag köper det han säger om gradienter dvs det återspeglar en potentials "maximum rate of change" Å andra sidan existerar inte en vektor i kvadrat heller, jag anser dock att man kan nyttja t.ex B^2 som ett mellanled i uträkningarna men <math>(B_x\hat x+B_y\hat y + B_z \hat z)^2</math> existerar inte heller av samma anledning som ovan, dock existerar beloppet av B i kvadrat, formellt kan även B^2 existera men då får man vara vaksam med vad man gör för man har i praktiken två likadana vektorer där man i ovanstående fall kan förkorta bort den ena om man vill, resten blir då |B| för detta sker i nämnaren och man kan heller inte dela med en vektor. ==Fritänkade, får inte att grad-B driften går ihop== om vi har <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dz} \hat z </math> så sägs vi få <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{F_zX\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r </math> Chen visar en trevlig liten bild där B-fältet är i phi-led, eftersom det är avstånd från det ledande plasmat (aka ledaren) i r-led så lär B-fältet inte vara samma på alla avstånd runt om ledaren, i z-led lär det dock inte finnas några inhomogeniter, runt om ledaren så bör fältet vara samma i phi-led (med samma avstånd, r), så <math>dB_z=dB_\phi=0</math> De enda variationerna i B-fältet kan vi ha i avstånd från ledaren dvs i r-led, detta gör att kryssprodukten mellan B och F måste ENBART ge en r-komponent, för att få en r-komponent så måste kraften ha en phi-komponent och flödestätheten en z-komponent (eller tvärtom). Jag leker med tanken att kraften kan få vara i z-riktning, huvudsakliga flödestäten är sedan per definition i phi-riktning. Vi snackar variation av B, i phi-riktning så ger strömmen genom plasmat (i z-riktning) det starkaste B-fältet dvs aktuellt B-fält är faktiskt i phi-riktning! För att sedan få nån drift i r-riktning MÅSTE F vara i z-riktning (in i plasmat), z-riktning innebär sedan längs med B, jag behöver alltså revidera ovanstående formler vad gäller riktning. =Kapitel LXIX, Plasma som fluid= Om vi antar att ett plasma är en fluid, kan vi teckna <math>mn[\frac{dv}{dt}+(v\cdot \nabla)v]=qn(E+vXB)-\nabla p</math> där man kan visa att de två termerna till vänster kan försummas (ty vi avser ingen rörelse), om vi sedan tar kryssprodukten med B så får vi <math>0=qn[EXB+(v_pXB)XB]-\nabla pXB</math> eller <math>0=qn[EXB-v_pB^2]-\nabla pXB</math> där en term redan har försummats, arrangerar vi om ovanstående så får man den vinkelräta driften i ett plasma modell fluid som <math>v_p=\frac{EXB}{B^2}-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}=v_E+v_D</math> där den så kallade diamagnetiska driften är <math>v_D=-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}</math> och kraften är <math>F_D=-\frac{\nabla p}{n}</math> vilket innebär att gradienten till trycket blir <math>p=nkT</math> där n är volymtätheten hos partiklarna, för ett isotermt plasma har vi sedan <math>\nabla p=kT\nabla n</math> =Kapitel LXX, Standardmodellen= # elektron och positron (anti-elektron, positivt laddad elektron med samma massa) # muon och anti-muon # tau och anti-tau tillsammans med dessa kommer deras neutrinon och anti-neutrinon som ger oss sex distinkta typer av partiklar eller # elektron # elektron-neutrino # muon # muon-neutrino # tau # tau-neutrino Neutrinos är preliminärt utan massa och därför svåra att detektera De dominerande tre av dessa partiklar är fundamentala partiklar som består av kvarkar, för vårat scenario är det tillräckligt att känna igen två typer av kvarkar dvs upp-kvark och ner-kvark. Detta är för att en neutron består av två ner-kvarkar och en upp-kvark medans en proton består av två upp-kvarkar och en ner-kvark Som mentorer på PF förklarat så kan en neutron genomgå svag växelverkan (transmutation) och bli konverterad till en proton under utsläpp av en elektron och en anti-netrino. Detta har att göra med att en kvark kan ändra sin typ/smak. Vid detta tillfället behöver en ner-kvark "bara" ändra till en upp-kvark för att ändra typ. Det har också förklarats hur en proton kan ändras till en neutron på liknande sätt. Detta är den basala anledningen till att de protoner vid födelsen av en en stjärna som vår sol kan generera neutroner och därmed Deuterium för att faktiskt starta fusionsprocessen mot Helium. Jag tror numera inte ett skit på detta, massa "fancy particles" bara. =Kapitel LXXII, Strålningspartiklar= 1) Beta-partikel (elektron) 2) Alpha-partikel (vanlig Helium_4-kärna) 3) Gamma-strålning (högenergi-fotoner som sänds ut från kärnan) 4) X-strålning (lite mindre energirika fotoner som sänds ut när elektroner retarderar eller accelererar) =Kapitel LXXIII, Proton-proton fusion= Dessa uttalanden är citerade från <ref>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/procyc.html</ref> 1) Två protoner fuserar. 2) En proton muterar till en netron som ger Deuterium samtidigt som det frigörs en positron och en neutrino vilket ger <math>H_1^2</math> 3) Deuterium fuserar med en till proton som också frigör X-strålning vilket ger <math>He_2^3</math> 4) Två av de resulterande Helium_3 fuserar vilket ger <math>2xHe_2^3=He_2^4+2p</math> 5) En alfa-partikel (Helium_4) skapas med energirikt frigörande av två protoner för att komplettera processen. Ett roligt citat av Arthur Eddington är "I am aware that many critics consider the stars are not hot enough. The critics lay themselves open to an obvious retort; we tell them to go and find a hotter place." ==Fritänkande, tankar kring proton-proton fusion== Jag tror att proton-proton fusion borde skrivas <math>p+p+e+e->p+n^-+\Delta E_b</math> här har vi i princip mass-konservering pga n>~p+2e men vi har en negativt laddad neutron, så att säga, vi skulle dock kunna skriva om detta som <math>H_1^1+H_1^1=H_1^{2-}+\Delta E_b</math> men av definitionsskäl så kan det inte finnas några neutrala atomer i ett (hett) plasma, två protoner skulle dock i teorin kunna fusera till <math>He_2^2</math> men denna isotop existerar inte (enligt Physics Handbook), den enklaste Helium-isotopen är <math>He_2^3</math> som återigen nyttjar en neutron, jag tror således att neutroner är en typ av kärn-klister, det finns dock vetenskapliga teorier om nåt som kallas Yukawa-kraften (eller potentialen)<ref>Physics E Part II, The Institution of Physics, Chalmers University of Technology, Max Fagerstroem, Bengt Stebler, Sven Larsson, 1985, Page B8</ref> men det låter mest som en lämplig fabrikation. Å andra sidan har vi att kvoten mellan gravitationell kraft och Coulumbsk kraft för protoner är runt <math>10^{-36}</math> så de gravitationella krafterna är inte till mycket nytta för att hålla ihop ett par protoner, men hemligheten kanske ligger i neutronerna? Alla grundämnen har sedan isotoper men de kan sällan avvara mer än några få neutroner innan de blir instabila. Physics Handbook säger <math>p=1,67.2623\cdot 10^{-27}kg</math> <math>n=1,67.4929\cdot 10^{-27}kg</math> <math>e=9,10.9390\cdot 10^{-31}kg</math> som ger oss <math>n-p-e=1,53m_e</math> detta är sedan den enklaste processen för att skapa en neutron från en proton och en elektron, här har vi åtminstonen neutral laddning hos neutronen men massan diffar 1,53m_e. Kanske kan vi dock skriva denna process som <math>n-p-e=1,53m_ec^2</math> eller <math>n-p-e=780keV</math> enligt Einstein. Om nu energi och massa är ekvivalent, hur kan vi sno 780keV från en process som inte ens har startat? Termisk energi är nära besläktat med hastigheten hos partikeln men hur kan vi konvertera denna hastighet till massa? Jag tror att detta inte är möjligt, Einsteins relation mellan massa och energi är bara teoretisk, med andra ord är vi fast med faktumet att processen diffar med 1,53m_e i massa. Jag tror sedan att nyckeln är att få skapat en neutron, som jag nu tror kan bli gjort genom p+e men masskillnaden förvirrar mig samtidigt som Physics Handbook anger massan hos elementarpartiklarna intil sex decimaler En undran är hur lätt det är att precist få mätt massan hos elementärpartiklarna när dom bara är av storleksordningen E-27kg Och proton-proton fusioneringen ovan som inkluderar specialpartiklar såsom positroner och neutrinos, har detta verifierats? En anna fråga som man kan ställa sig är, hur? Neutrinos går ju till exempel inte ens att mäta för de saknar massa, sägs det. Vad är sedan bindningsenergi? Jag tror att det är den potentiella energin som en partikel har men jag vet inte, om jag å andra sidan har rätt kan man skriva <math>E_b(p)=V(p)=V(n)[eV]</math> och <math>R(p)=R(n)\approx 10^{-15}m</math> R(e) kan uppskattas enligt <math>(\frac{1}{1880})^{1/3}\cdot R(p)\approx 10^{-16}m</math> och pga att densiteten hos elementarpartiklar är samma så får man för protonen ungefär <math>\frac{-27}{3\cdot -15}=10^{18}kg/m^3</math> vilket är en minst sagt enorm densitet! Om vi sedan tittar på bindningsenergin hos en proton kan vi eventuellt skriva <math>V(p)=\frac{-19}{-10 -15}=1MeV=10^{-13}J</math> som kommer från formeln <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> hämtad från <ref>Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, Forth Printing, 1991, Page 94</ref>, om denna energi sedan är lika med kT för att möjliggöra för en elektron att penetrera den potentiella barriären hos en proton, så får vi <math>T=10^{10}K</math> som också är minst sagt enorm, pga att elektroner sedan är ungefär 10ggr mindre än protoner/neutroner så är elektroners potentiella energi ungefär 10ggr högre vilket ger <math>1+1+10+10=1+1+\Delta E_b</math> som ger en gain i energi på 20MeV för ett par protoner som fusionerar, en rolig analogi är <math>20MeV\cdot 10^{-19}J=20\cdot 10^{-13}Ws\approx 20\cdot 10^{-16}Wh\approx 10^{-15}Wh/particle</math> Tätheten hos ordinärt luft vid 1atm är ungefär <math>n_{air}\approx 10^{25}/m^3</math> så om alla partiklar inom en kubikmeter fusionerar så har vi +25 fusioner eller +25-15=+10Wh, detta transformeras som <math>E=10^{10}Wh=10GWh</math> Men detta är vid 1atm... Slutligen kan vi uppskatta partiklarnas hastigheter för +10K som <math>mv^2=10^{-13}J</math> som ger <math>v_e=\sqrt{\frac{-13}{-31}}=9</math> dvs för att en elektron ska kunna penetrera en proton så måste hastigheten vara runt 1E9m/s, om vi kollar hastighetskravet för protonen så får vi <math>v_p=\sqrt{\frac{-13}{-27}}=7</math> dvs hastighetskravet för protonen för att fusionera med en annan proton är runt 1E7m/s. Elektronens hastighet verkar omöjlig för högre än ljusets hastighet, men det verkar finnas en tweak som kallas den Maxwelliska distrubutionsfunktionen <ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 4</ref> som stipulerar att kT är ett medelvärde jämfört med den kinetiska energin Ek (som jag dock alltid trott är ett medelvärde i sig) som innebär att temperaturen kan vara högre än Ek, om man säger. Detta är förmodligen det enda hopp som finns för att få kontrollerad fusion att funka på planeten. Ett sista ramblande, jag tror att neutron-skapandet måste ske i två steg, det första är <math>p+e+625keV=pe=H_1^F</math> där 625keV är den uppskattade energin för att möjliggöra att en elektron penetrerar en proton samtidigt som allt då blir laddningsneutralt modell neutron, jag har kallat resultatet "Fused Hydrogen", det andra steget är <math>H_1^F+780keV=n</math> där 780keV är den ekvivalenta Einsteinska vilomassan för skapandet av ytterligare 1,53m_e och därmed en "sann" neutron. Jag tror att detta måste hända i steg för vi människor kan inte öka temperaturen för kontrollerad fusion så snabbt vilket innebär att den första processen kommer att hända först, sen behöver processen ungefär 10^10K till för att avslutas. Dvs, det kanske finns en pe-partikel som jag dock aldrig hört talas om, denna partikel är dock neutral i laddning med skiljer sig i massa som eventuellt kan fixas av deacceration av elektronen så att elektronen måste ha 780keV mer i rörelseenergi än vad som behövs för penetration. Sen undrar jag hur en neutron blir till en neutron för vi människor kan inte injicera den rätta massan/energin för att exakt träffa neutronens massa, den måste liksom "veta" detta på nåt sätt, därför tror jag att partikelfysik lite är som genetik. Alla neutroner väger liksomm lika mycket... ==Fritänkande, reflektion över hur kapacitans kanske spelar roll== Ovan har vi formeln för potentialen hos en proton och jag repterar <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> kapacitans är sedan <math>C=\frac{Q}{V}</math> så att kapacitansen faller ut som nämnaren i potentialen, man kan också skriva detta som <math>Q=CV</math> detta kan man differentiera som <math>dQ=CdV+VdC</math> dvs förändringen av laddningen (dQ) är beroende BÅDE av förändringen i potential (dV) OCH förändringen i kapacitans (dC), i ett slutet system med mängder av (laddade) partiklar så varierar C (dvs dC är skillt från noll), en annan sak är att ALLT har kapacitans för när man beräknar kapacitans kan man "lägga" en laddning på kroppen och utnyttja ovan formel, dvs netronen, som är oladdad, har också kapacitans (typiskt ungefär samma som protonen dvs E-25F nånstans). Samtidigt har vi att dQ är noll för netto antal laddningar är samma (även om vissa fusionerar) för laddning är oförstörbar dvs mängden + tar ut mängden - oavsett hur många som fusionerar, då kan vi skriva formeln som <math>0=CdV+VdC</math> potentialen kan man sedan tycka är kostant för den är enligt ovan bara beroende av radien hos den enskilda partikeln men i ett system med laddningar tror jag inte att det är så enkelt dvs potentialändringen (dV) kan t.ex öka vilket för med sig att kapacitansändringen (dC) minskar. Ett system med laddningar har kapacitiv koppling till varandra och kapacitans innebär en ovilja att öka sin potential, eftersom det är tillförelse av Q som får potentialen att öka så är lite frågan hur Q tillförs. Q har enheten C (eller As) dvs är produkten av ström och tid, denna "dirac-puls" kan se väldigt olika ut för hög ström under kort tid är samma som låg ström under lång tid, stora strömförändringar innebär således att kort tid behövs för att ladda upp kapacitansen, små strömfärändringar kräver alltså en längre tid. Ström är laddningar i rörelse, när man hettar upp ett plasma på ett kontrollerat sätt är nog ändå strömförändringen relativ långsam så det krävs eventuell en lite längre tid för att kapacitanserna skall laddas upp. Men för att protonens kapacitans på runt 1E-25F skall laddas upp ordentligt till sin potential på 1,6MV så krävs en laddning (Q) motsvarande elektronens laddning (naturligtvis), eller 1,6E-19As. Så om uppladdningen går på 1,6E-19s så behöver vi 1A. Om uppladdningen går på 1,6E-13s så behöver vi 1uA Bara en reflektion. =Kapitel LXXIV, Tryck i praktiken= Normalt lufttryck är <math>1atm=10^5Pa=10^5N/m^2=10^4kg/m^2=1kg/cm^2</math> detta betyder bara att vi människor har anpassat oss till 1kg/cm² atmosfärstryck och inget annat, förutom att allt kräver en faktisk atmosfär, vattendjup åsidosatt så kan vi också skapa ett skillnadstryck genom att flytta ett objekt i en fluid (som man kallar allt som kan flöda inklusive gaser) <math>p_k=1/2\rho v^2</math> denna ekvation säger att så fort vi har en fluid så kan vi skapa tryck genom att bara röra objektet i fluiden. Vi känner sen en tryckökning motsvarandes 1m under vattenytan (+1hg/cm²) och vi behöver bara dyka 10m under vattenytan för att bli fulla på kväveförgiftning som är anledningen till att dykare andas Helium istället för syre vid stora djup. Trycket vid de djupaste delarna av vårt hav är 1000 atm nånstans men detta känns bara när man besöker platsen som vissa har gjort ändå, farkostens skrov måste då tåla ovanstående tryck vilket motsvarar en elefant som står på en enkrona. Barometerformeln lyder <math>p=p_0-\rho gh</math> som anger lufttrycket vid olika höjd (p₀ betyder 1 atm), denna formel ar approximativt giltig till 10km (där den faktiskt blir noll), i vilket fall är luftdensiteten inte linjär över typ 5km där <math>p=p_0e^{-\frac{mgh}{kT}}</math> bör användas istället (m är den molekylära vikten) Atmosfären är inte homogen, det existerar fyra distinkta lager (definierade av temperaturen): 4) Termosfären (80km, Karman-linjen) 3) Mesospfären (50-80km) 2) Stratosfären (10-50km) 1) Troposfären (<10km) Där Karman-linjen på upp till 100km och är specificerad som den höjd en farkost behöver flyga så fort som omloppshastigheten för att behålla höjd där omloppshastigheten är specificerad som den hastighet där centrifugalkraften är lika med gravitationskraften. Atmosfären är således så hög som runt 10 mil. =Kapitel LXXV, Tryck i ett plasma= Från ideala gaslagen har vi <math>p=\frac{N_{mol}}{V}RT=\frac{N}{V}kT=nkT</math> där n är partikeltätheten. Arbete mot gasen kan definieras som ökningen av PV-produkten på grund av att temperaturen och därmed Ek då ökar Arbete utfört av gasen kan definieras som minskningen av PV-produkten för då minskar temperaturen och Ek minskar. Arbetet delat med antalet partiklar (N) ger arbetet gjort mot, eller gjort av, en enskild partikel som i sin tur ger temperaturen och hastigheten Termodynamikens första lag stavas <math>dQ=dU+dW=dU+pdV</math> där Q är den totala energin, U den interna energin och W är arbetet som är positivt om arbetet utförs av gasen eller negativt om arbete utförs på gasen. Den interna energin är definierad av <math>U=KE+PE</math> där KE är den kinetiska energin och PE den potentiella energin, i ett slutet system måste sedan dQ=0 för det kommer varken ut eller in nån värmeenergi, om sedan dV är positiv för att gasen utför arbete då måste den interna energin (dU) sjunka. =Se även= *[[Fysiksvammel del II (Cheng)]] =Källor= # Åke Fäldt, Bengt Stebler, Fysik del 1 E2, Fysiska institutionen CTH, 1988 # Jan Petersson, Matematisk Analys del 2, 1990 c,a =Referenser= [[Kategori:Fysik]] fvvmrt443gumgsy8iqelep43gscj3ic 52531 52530 2022-08-21T16:20:00Z Knoppson 2055 /* Kapitel XXIV, Polarisation och Reflektion */ wikitext text/x-wiki =Förord= Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma. Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas. ='''Del I, TERMISK FYSIK'''= =Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck= [[File:Fusion Gauss Clock.png|thumb|Bilden visar den Maxwellska fördelningsfunktionen för en viss hastighet hos en partikel i en gas]] En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur. Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur. Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi. Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}=e^{-\frac{E_k}{kT}}...1.1</math> som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e). Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt: <math>\frac{mv^2}{2}=kT...1.2</math> vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=v_{kT}...1.3</math> Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{m(v-v_{kT})^2/2}{kT}}...1.4</math> där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring <math>v=v_{kT}</math> för ärligt, vadå centrerad kring v=0? Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta. Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, <math>v_{kT}</math> ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust. Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt. Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar? Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg. Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P. Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar? Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner! Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är <math>F=m\frac{dv}{dt}=\frac{dP}{dt}...1.5</math> så har vi att kraften är <math>F=\frac{d(2mv)}{dt}...1.6</math> och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas <math>p=F/S...1.7</math> där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås <math>p=\frac{1}{S}\frac{d(2mv)}{dt}...1.8</math> Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar. För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna: <math>p=nkT...1.9</math> där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen. Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är <math>p=\rho gh...1.10</math> där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få. Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns? Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller? Jag har mycket att lära mig :D =Kapitel II, Härledning av Boyle's lag= [[File:Fusion PV Constant.png|thumb|Dom två linjerna representerar experimentellt uppmätta data sånär som på den streckade delen]] Det kan visas att under konstant tryck så gäller <math>V=V_0(1+\gamma t)...2.1</math> på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller <math>P=P_0(1+\beta t)...2.2</math> där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat <math>\gamma=\beta=1/273C...2.3</math> Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället: <math>V=V_0\gamma T...2.4</math> för en isobar och <math>P=P_0\gamma T...2.5</math> för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant. Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak. Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse. Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att <math>PV=konstant...2.6</math> för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process. Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med <math>\Delta T</math>), då har vi <math>P2=P1+ P1\gamma \Delta T...2.7</math> om sen volymen ändras men inte trycket så får vi <math>V2=V1+V1\gamma \Delta T...2.8</math> Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att <math>V2=V1+V1\gamma (-\Delta T)...2.8</math> Om vi multiplicerar V2 med P2 fås <math>P2V2=(P1+P1\gamma \Delta T) * (V1+V1\gamma (-\Delta T))...2.9</math> som kan skrivas om enligt <math>P2V2=P1V1+P1V1\gamma\Delta T-P1V1\gamma \Delta T-P1V1(\gamma \Delta T)^2...2.10</math> dvs <math>P2V2=P1V1(1-(\gamma \Delta T)^2)...2.11</math> Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta T}{273})^2)...2.12</math> dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att <math>P2V2=P1V1=konstant...2.13</math> Dvs, Boyles's lag =Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen= [[File:Fusion PVT 2.png|thumb|Gasers beroende av tryck, volym och temperatur. Om man står i 0 och vill ta sig till Q så kan man alltså gå två helt olika vägar]] Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret. P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag). Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2. Nu är: <math>P2=P1\gamma T2...3.1</math> och pga isotermen T2 <math>P3V3=P2V1=P1\gamma T2 V1...3.2</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.3</math> Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att <math>V2=V1\gamma T2...3.4</math> sen har vi att <math>P3V3=P1V2...3.5</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.6</math> På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.7</math> Som kan skrivas om enligt <math>P3V3=P1V1T2/To...3.8</math> så att <math>\frac{P_3V_3}{T_2}=\frac{P_1V_1}{To}...3.9</math> där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt: <math>PV=RT_2...3.10</math> R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som <math>PV=n_mRT...3.11</math> där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns. Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar. Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden. ==Fritänkande, tryck i en ballong== Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt. Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att <math>PV=n_{m}RT...4.1</math> som kan skrivas om enligt <math>P=\frac{n_{m}}{V}RT...4.2</math> Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant. Kan detta verkligen stämma? Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge. Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför. Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför. Så hur spränger man en ballong då? Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag. Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ). =Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin= [[File:Fusion Particles.png|thumb|En visualisering av partiklar som träffar en yta]] [[File:Fusion Sphere.png|thumb|Beräkning av ringarea hos en sfär]] Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt. Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta. Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas <math>dV=S\cdot vdt\cdot cos\theta...5.1</math> där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt. n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som <math>dn(v, \theta)=n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.2</math> då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen. Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då: <math>dN(v, \theta)=dV\cdot dn(v,\theta)=S\cdot vdt\cdot cos\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.3</math> då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan. Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas <math>P(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta...5.4</math> så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som <math>P(v, \theta)\cdot dN(v, \theta)=dP(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta\cdot S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.5</math> eller <math>dP(v, \theta)=2mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.6</math> Om vi tecknar <math>\frac{n(v, \theta)\cdot dv\cdot d\theta}{n(v)\cdot dv}=\frac{antalet.molekyler.inom.v+dv.och.\theta+d\theta}{antalet.molekyler.inom.v+dv}=\frac{2\pi sin\theta \cdot d\theta}{4\pi}...5.7</math> dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot <math>\frac{1}{2}sin(\theta) \cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...5.8</math> så att vi i vårt uttryck för dP får <math>dP(v, \theta)=mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot n(v) \cdot dv ...5.9</math> Sen har vi att <math>F=\frac{dP}{dt}...5.10</math> vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som <math>p=\frac{F}{S}...5.11</math> så kan S förkortas bort och vi har <math>dp(v, \theta)=mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot cos^2\theta\cdot sin\theta \cdot d\theta...5.12</math> Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara? Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk. Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har <math>\int{dp(v, \theta)}=\int{mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot sin\theta \cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.13</math> vilket eventuellt är lika med <math>\int{dp(v, \theta)}=2\int{\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv} \cdot \int{sin\theta\cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.14</math> där <math>\int sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta...5.15</math> minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser? Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs <math>\int_0^{\pi/2}sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta=\frac{1}{3}[-cos^3\theta ]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{3}[cos(\pi/2)^3-cos(0)^3]=\frac{1}{3}...5.16</math> Detta är ÄNTLIGEN rätt! Man kan således konstatera att jag fått fram att <math>p=\int dp(v, \theta)=\frac{1}{3}\int mv^2\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int \frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv...5.17</math> eller <math>p=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^\infty Ek_p\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\int_{-\infty}^\infty n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\cdot n...5.18</math> Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet. n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser. Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty <math>p\propto nEk_p=\frac{N}{V}Ek_p=\frac{Ek}{V}...5.19</math> där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi. Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling: <math>p\propto \frac{1}{V}\sum_{j=1}^N{j\cdot Ek_p}...5.20</math> dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket. Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken? =Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen= [[File:Fusion Pressure 2.png|thumb|Figuren visar olika aspekter hos tryck, bl.a annat visar den hur den kinetiska energin blir beroende av temperaturen]] Ideala (obs) gaslagen säger oss att: <math>pV=n_mRT...6.1</math> där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten. Men ovan hade vi ju att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.2</math> som multiplicerat med V ger <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...6.3</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...6.4</math> och <math>n_m=N/N_a...6.5</math> där Na är Avogadros tal, så vi har <math>\frac{R}{N_a}T=\frac{2}{3}Ek_p...6.6</math> R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...6.7</math> och eftersom <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.8</math> så blir <math>p=nkT...6.9</math> Ekvation 6.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant (pv är således konstant... :humm: ) Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna. Intressant. Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna. ==Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet== Denna ekvation <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta t}{273})^2)...8.1</math> säger att <math>P2V2=P1V1=konstant...8.2</math> men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm. Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur? En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller. Fast vad betyder det här egentligen? Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen? Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K? Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen: <math>pV=n_mRT...8.3</math> och vi har enligt ovan att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...8.4</math> sen har vi efter multiplikation med V <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...8.5</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...8.6</math> och ur detta faller (se ovan) <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...8.7</math> och <math>p=nkT...8.8</math> Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre. Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :) ==Fritänkande, tryck utan väggar== Observerade en påse på ICA häromdan. Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld. Vad var det som hände? Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller <math>p=nkT...7.1</math> där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant. Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma. Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden. Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt? Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda? En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar? Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil. Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan. Vad är det då som bestämmer trycket? Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små. Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket. Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta. Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket. För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå. Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck. Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen): <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...7.2</math> Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen: <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...7.3</math> Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen: <math>p=nkT...7.3</math> vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda. Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma. Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel. Det också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig. ==Fritänkande, partiklars olika hastighet== Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...9.1</math> där <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.2</math> ut att <math>p=\frac{1}{3}\frac{Nmv^2}{V}...9.3</math> dvs <math>p\propto \rho v^2...9.4</math> där rho helt enkelt är densiteten. Mycket intressant tycker jag för <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.5</math> ihop med <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...9.6</math> säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma. Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet. Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva <math>v^2=\frac{3}{m}kT...9.7</math> som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur (jfr ekv 9.4). När man tittar på den kinetiska energin (ekv 9.5) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 9.6) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa. Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar. Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande. ==Fritänkande, uppskattat tryck hos luft== Ekvation <math>p=nkT...10.1</math> är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar <math>p=\frac{N\cdot m}{V}\cdot \frac{kT}{m}=\frac{\rho}{m}kT...10.2</math> så blir den mer begriplig. Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas <math>n=\frac{p}{kT}...10.3</math> där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket. Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 10.2. För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då? Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna. Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 10.3 så får vi <math>n=\frac{1,013E+5}{1,38E-23*293}=2,5E25</math> dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur. Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16m_p+8/10X2X14m_p}kT</math> där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve. Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg. Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som: <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16*1,67E-27+8/10X2X14*1,67E-27}1,38*10^{-23}*293=84kPa</math> Rätt nära 101,3kPa faktiskt :) =Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden= [[File:Fusion Hits.png|thumb|En visualisering av hur partiklar i en gas krockar med varandra]] Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar). Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra. Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock). Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet. Låt oss försöka kalkylera stöttalet, ns, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet: Den infinitesimala volymen är <math>dV=Svdt\cdot cos\theta...11.1</math> där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S Antalet partiklar inom denna volym är <math>dn_s=n(v, \theta)dvd\theta dV...11.2</math> men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta dV...11.3</math> Så att antalet molekyler inom denna volym är <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta Svdt\cdot cos\theta...11.4</math> och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs <math>n_s=\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}sin\theta \cdot cos\theta d\theta...11.5</math> där <math>\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv=n<v>...11.6</math> där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir: <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.7</math> Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är <math>dV=\frac{\pi}{4}d^2vdt...11.8</math> Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym <math>dV=\pi d^2 vdt...11.9</math> då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet <math>N_{ct}=n\cdot\frac{dV}{dt}=n\pi d^2 v\approx nd^2v...11.10</math> Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också <math>N_{ct}=\sqrt2 \pi n d^2 v...11.11</math> Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså <math>n\cdot N_{ct}=\sqrt2 \pi n^2 d^2 v...11.12</math> således är antalet kollisioner <math>\frac{1}{2}n\cdot N_{ct}=\frac{1}{\sqrt{2}}\pi n^2 d^2 v...11.13</math> Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet. <math>l=\frac{v}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}=\frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}...11.14</math> Nu har vi två ekvationer: 11.7 & 11.11. Ekv 11.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.15</math> så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt <math>n=\frac{p}{kT}...11.16</math> och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans. Hastigheten kan då räknas ut genom <math>Ek=\frac{3}{2}kT=\frac{mv^2}{2}...11.17</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}...11.18</math> där m kan uppskattas som <math>m \approx \frac{2}{10}*2*(8m_n+8m_p)+\frac{8}{10}*2*(7m_n+7m_p)\approx \frac{2}{10}*2*(16m_p)+\frac{8}{10}*2*(14m_p)\approx 30m_p...11.19</math> där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet. Så hur bred är en proton? Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta: Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3. Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är <math>\rho=\frac{m}{V}...11.20</math> dvs <math>V=\frac{m}{\rho}...11.21</math> som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 11.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft. Fria medelvägslängden för luft är sedan <math>l=\frac{1}{\sqrt(2) \pi n d^2}...11.22</math> och om man använder d som approximativt lika med R (i.e E-10) och n=E25 så blir det bara 1um luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar. Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs <math>p=\sum n_i kT...11.23</math> ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig. Radien <math>r_0</math> hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas <math>R\approx r_0*A^{1/3}\approx 10^{-15}*A^{1/3}...11.24</math> där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner). Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta <math>n\approx \frac{A}{R^3}=\frac{A}{(r_0A^{1/3})^3}=\frac{1}{r_0^3}\approx 10^{45}...11.25</math> dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten! Jag tycker detta är sanslöst fascinerande! Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :) Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas <math>\rho=\frac{N A m_p}{V}=n A m_p...11.26</math> där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs <math>n=\frac{\rho}{A m_p}...11.27</math> så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få <math>n\approx\frac{1000}{10^{-26}}=10^{29}...11.28</math> ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26. Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med. =Kapitel VII, Molekylär diffusion= [[File:Fusion Diffusion.png|thumb|Molekylär diffusion]] Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen. Vi antar sedan följande: 1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v> 2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner 3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led. Vad händer vid tvärsnittet i x? 1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är <math>N_{x-1}=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt...12.1</math> På samma sätt passerar <math>N_{x+1}=\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.2</math> som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l. På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.3</math> i positiva x-riktningen. Men <math>n_{x-1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(-l)...12.4</math> och <math>n_{x+1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(+l)...12.5</math> dvs <math>n_{x-l}-n_{x+l}=-2l\frac{dn}{dx}...12.6</math> Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 12.3) <math>j=\frac{1}{6}v(n_{x-l}-n_{x+l})=-\frac{1}{3}lv\frac{dn}{dx}...12.7</math> Vi har alltså en partikelflux enligt <math>j=-D\frac{dn}{dx}...12.8</math> där <math>D=\frac{1}{3}lv...12.9</math> som kallas diffusionskoefficienten. =Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)= [[File:Fusion Viscosity.png|thumb|Viskositetens inre struktur]] Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln. 1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är <math>\frac{1}{6}n_{y-1}Svdt...13.1</math> pss passerar <math>\frac{1}{6}n_{y+1}Svdt...13.2</math> uppifrån. Netto i positiva y-riktningen är <math>\frac{1}{6}Svdt(n_{y-l}-n_{y+l})...13.3</math> men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs <math>n_{y-l}-n_{y+l}=0...13.4</math> Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led. Men hastigheten <math>v_x...13.5</math> (strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y. Molekylerna från y-l medför impulsen <math>mv_{x,y-l}...13.6</math> och molekylerna från y+l medför impulsen <math>mv_{x, y+l}...13.7</math> Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då <math>\frac{1}{6}Svdt(nm v_{x, y-l}-nm v_{x, y+l})...13.8</math> med <math>v_{x,y-l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(-l)...13.9</math> och <math>v_{x,y+l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(+l)...13.10</math> har vi <math>v_{x, y-l}-v_{x, y+l}=-2l\frac{dv_x}{dy}...13.11</math> Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt <math>\frac{dp_x}{dt}=\frac{1}{6}Svnm (-2l\frac{dv_x}{dy})=\frac{1}{6}Sv\rho(-2l\frac{dv_x}{dy})...13.12</math> alltså <math>\frac{dp_x}{dt}=-\frac{1}{3}Svl\rho \frac{dv_x}{dy}=-DS\rho \frac{dv_x}{dt}=F_x...13.13</math> =Kapitel IX, Termisk diffusion= [[File:Fusion Thermal Diffusion.png|thumb|Termiska diffusionens inre struktur]] På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att: På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...14.1</math> i positiva x-riktningen. Nu är dock <math>n_{x-l}=n_{x+l}...14.2</math> men <math>v_-...14.3</math> är ej lika med <math>v_+...14.4</math> ty <math>Ekp=\frac{\alpha}{2}kT...14.5</math> och <math>Ekp=\frac{1}{2}m<v>^2...14.6</math> som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3). Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x: från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av <math>\frac{1}{6}nS<v_->dt...14.7</math> molekyler, vardera med energin <math>\frac{\alpha}{2}k[T-\frac{dT}{dx}l]...14.8</math> Total passeras S vid x av energin <math>dQ=\frac{1}{6}nS<v_->dt[\frac{\alpha}{2}k(T-\frac{dT}{dx}l)]-\frac{1}{6}nS<v_+>dt[\frac{\alpha}{2}k(T+\frac{dT}{dx}l)]...14.9</math> vilket ger <math>\frac{dQ}{dt}\approx \frac{1}{6}nS<v>\frac{\alpha}{2}k2(-\frac{dT}{dx}l)=-\frac{nS<v>\alpha kl}{6}\frac{dT}{dx}...14.10</math> eller <math>\frac{dQ}{dt}=-\gamma S \frac{dT}{dx}...14.11</math> med <math>\gamma=\frac{n<v>\alpha kl}{6}...14.12</math> med <math>D=\frac{1}{3}<v>l...14.13</math> kan vi alternativt skriva <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD...14.14</math> Här är jag osäker för stora Cv är <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...14.15</math> där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser. Lilla cv definieras som <math>c_V=\frac{1}{m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.16</math> och är värmekapacitiviteten för solida material För gaser definieras stora Cv som <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.17</math> där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka. I vilket fall definierar min lärare gamma som <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.18</math> Där den sista likheten för mig är något diffus. Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...14.19</math> där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas). Den inre energin U kan skrivas <math>U=N*Ekp=n_mN_AEkp=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_m\frac{\alpha}{2}RT=n_mC_VT...14.20</math> där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 14.16 och 14.19 ger sedan att <math>mc_VdT=dQ=dU=n_m\frac{\alpha}{2}RdT...14.21</math> därmed <math>mc_V=n_m\frac{\alpha}{2}R...14.22</math> dvs <math>c_V=\frac{n_m}{m}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{N_Am}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{m}\frac{\alpha}{2}k=\frac{1}{m_p}\frac{\alpha}{2}k...14.23</math> Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 14.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi. Om vi tar oss en ny titt på 14.18 som jag repeterar <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.24</math> Så har vi från 14.23 att <math>\frac{\alpha}{2}k=m_pc_V...14.25</math> och ekvationen går ut. Indexeringen V hos 14.16 och 14.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0. ==Fritänkande, förenklad syn på diffusion== Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga: Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet <math>n_s=\frac{1}{4}nv...15.1</math> där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida. Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty <math>F=\frac{dP}{dt}=m\frac{dv}{dt}...15.2</math> detta kallas också viskositet. Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom). =Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats= [[File:Fusion Thermal Dynamics.png|thumb|Hur gaser reagerar på värme]] Termodynamikens första huvudsats lyder: <math>dQ=dU+dW...16.1</math> där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete. Ekvation 16.1 kan förenklas till <math>dQ=dU+pdV...16.2</math> vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV. Inre energin är sen <math>U=NEk_p=n_mN_AEk_p=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_mR\frac{\alpha}{2}T=n_mC_VT...16.3</math> där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet. Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen. Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas <math>c_V=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}...16.4</math> som för gaser istället kan tecknas <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...16.5</math> och <math>C_P=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_P...16.6</math> där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant. =Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv= [[File:Fusion Gas Work.png|thumb|Stadiet för en gas när man tillför värme, förskjutningen är dx]] Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet: <math>dW=Fdx=pSdx=pdV...17.1</math> Första huvudsatsen <math>dQ=dU+dW...17.2</math> och sambandet dW=pdV ger <math>dU=dQ-pdV...17.3</math> eller <math>\frac{dU}{dT}=\frac{dQ}{dT}-p\frac{dV}{dT}...17.4</math> och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta <math>\frac{dU}{dT}=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.5</math> och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva <math>n_mC_V=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.6</math> differentiering av allmänna gasekvationen <math>pV=n_mRT...17.7</math> ger oss att <math>pdV+Vdp=n_mRdT...17.8</math> där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 17.6 blir <math>n_mC_V=n_mC_P-n_mR...17.7</math> dvs <math>C_V=C_P-R...17.8</math> som brukar skrivas om enligt <math>\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{R}{C_V}=\gamma...17.9</math> som alltså fått en egen konstant, gamma. Vi vet sedan tidigare att <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...17.10</math> så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir <math>C_V=\frac{3}{2}R...17.11</math> vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa. =Kapitel XII, Termiska delprocesser= [[File:Fusion Thermal Processes.png|thumb|En hypotetisk termisk process som använder alla tillgängliga delprocesser]] Det finns fyra olika delprocesser och dessa är: 1) Isokor, konstant volym (dV=0) 2) Isobar, konstant tryck (dp=0) 3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0) 4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0) Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen: <math>dQ=dU+pdV...18.1</math> Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som <math>dQ=dU...18.2</math> eller <math>(\frac{dQ}{dT})_V=\frac{dU}{dT}=n_mC_V...18.3</math> vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med <math>dU=n_mC_VdT...18.4</math> Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin <math>U=NEk_p=n_m\frac{\alpha}{2}RT...18.5</math> och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen. Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får <math>dQ=dU+pdV...18.6</math> här är arbetet gasen uträttar pdV enligt <math>pdV=dQ-dU...18.7</math> som kan skrivas om enligt <math>\frac{pdV}{dT}=(\frac{dQ}{dT})_P-\frac{dU}{dT}...18.8</math> dvs <math>\frac{pdV}{dT}=n_mC_P-n_mC_V...18.9</math> med andra ord uträttar gasen arbetet <math>pdV=n_m(C_P-C_V)dT...18.10</math> vid en isobar process. Vid en isoterm process gäller (som alltid) <math>dQ=dU+pdV...18.11</math> Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället <math>dQ=pdV...18.12</math> eller <math>\frac{dQ}{dT}=\frac{pdV}{dT}...18.13</math> dvs <math>pdV=n_mC_VdT...18.14</math> som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur). Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först <math>dQ=dU+pdV...18.15</math> som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt <math>dU=-pdV...18.16</math> det här kan som vanligt skrivas om enligt <math>\frac{dU}{dT}=-\frac{pdV}{dT}...18.17</math> och eftersom <math>dU=n_mC_VdT...18.18</math> så får vi att <math>n_mC_V=-\frac{pdV}{dT}...18.19</math> om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi <math>pdV+Vdp=n_mRdT...18.20</math> om vi löser ut dT så får vi <math>dT=\frac{pdV+Vdp}{n_mR}...18.21</math> som insatt i 18.19 blir <math>n_mC_V=-n_mR\frac{pdV}{pdV+Vdp}...18.22</math> som kan skrivas om enligt <math>R=-C_V*(1+\frac{Vdp}{pdV})...18.23</math> eller <math>-(\frac{R}{C_V}+1)=\frac{Vdp}{pdV}...18.24</math> dvs <math>-\gamma=\frac{Vdp}{pdV}...18.25</math> eller <math>-\gamma \frac{dV}{V}=\frac{dp}{p}...18.26</math> så att <math>-\gamma \int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=\int_{p_1}^{p_2}{\frac{dp}{p}}...18.27</math> som ger att <math>-\gamma (\ln{V_2}-\ln{V_1})=\ln{p_2}-\ln{p_1}...18.28</math> dvs <math>-\gamma \ln{\frac{V_2}{V_1}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.29</math> eller <math>\ln{(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.30</math> då fås <math>(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.31</math> som kan skrivas om enligt <math>(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.32</math> dvs <math>p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma}=konstant...18.33</math> V.S.V =Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden= [[File:Fusion Carnot.png|thumb|Carnot-maskinen i praktiken]] Carnotprocessen består av fyra delprocesser. Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression. Vi har alltså fyra delprocesser och de är: 1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0 2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0 3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0 4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0 Allmänt gäller <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...19.1</math> dvs termodynamikens första huvudsats så: För 1 gäller (dT=dU=0) <math>dQ=pdV...19.2</math> och genom att använda allmänna gaslagen <math>pV=n_mRT...19.3</math> och lösa ut p fås <math>dQ=n_mRT_1\frac{dV}{V}...19.4</math> som uppintegrerat innebär <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.5</math> vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen. För 2 gäller (dQ=0) <math>pdV=-dU...19.6</math> dvs <math>pdV=-n_mC_VdT...19.7</math> som uppintegrerat blir <math>W_2=-n_mC_V(T_2-T_1)...19.8</math> som alltså är arbetet gasen utför. för 3 gäller samma formler som för 1 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.9</math> och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs <math>W_4=-n_mC_V(T_1-T_2)=+n_mC_V(T_2-T_1)...19.10</math> Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens. Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.11</math> och bortförd värmemängd som Q2 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.12</math> då kan man definiera en verkningsgrad som <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{Q_{tillford}-Q_{bortford}} {Q_{tillford}}...19.13</math> Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt" För isosotemerna så kan vi emellertid skriva: <math>P_1V_1=P_2V_2...19.14</math> och <math>P_3V_3=P_4V_4...19.15</math> sen kan vi skriva adiabaterna enligt <math>P_2V_2^\gamma=P_3V_3^\gamma...19.16</math> och <math>P_4V_4^\gamma=P_1V_1^\gamma...19.17</math> och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås <math>p_1p_2p_3p_4V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=p_1p_2p_3p_4V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19,18</math> dvs <math>V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19.19</math> eller <math>V_2^{\gamma-1}V_4^{\gamma-1}=V_3^{\gamma-1}V_1^{\gamma-1}...19.20</math> dvs <math>\frac{V_2^{\gamma-1}}{V_1^{\gamma-1}}=\frac{V_3^{\gamma-1}}{V_4^{\gamma-1}}...19.21</math> eller <math>\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}...19.22</math> Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.23</math> och <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.24</math> så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som <math>Q_2=-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}...19.25</math> Vilket ger verkningsgraden <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}}{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}}...19.26</math> eller <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1}...19.27</math> Denna formel kan sedan skrivas om enligt <math>\eta=1-\frac{Q_1}{Q_2}=1-\frac{T_1}{T_2}...19.28</math> där vi kan nyttja <math>\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{T_1}{T_2}...19.29</math> eller <math>\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}...19.30</math> Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller. ='''Del II, VÅGRÖRELSELÄRA'''= Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap. =Kapitel XIV, Svängningsrörelse= [[File:Fusion Motion.png|thumb|En belastad fjäder i rörelse]] Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.1</math> dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0. En lösning till det här är <math>s=Asin(wt+\phi)...20.2</math> där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll. Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer: <math>\frac{ds}{dt}=Awcos(wt)...20.3</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-Aw^2sin(wt)...20.4</math> detta leder till att 20.1 blir <math>-mAw^2sin(wt)=-CAsin(wt)...20.5</math> där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi <math>mw^2=C...20.6</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.7</math> som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper. Sen tecknar vi rörelseenergin <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2=\frac{1}{2}mA^2w^2cos^2(wt)=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-sin^2(wt))...20.8</math> dvs <math>E_k=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-\frac{s^2}{A^2})=\frac{1}{2}mw^2(A^2-s^2)...20.9</math> och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet) <math>E_p=-\int Fds=\int Csds=\frac{1}{2}Cs^2=\frac{1}{2}mw^2s^2...20.10</math> och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt <math>E_{tot}=E_k+E_p=\frac{1}{2}mw^2A^2=\frac{1}{2}CA^2...20.11</math> Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 20.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.12</math> sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell. Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av <math>i=C\frac{du}{dt}...20.13</math> och <math>u=-L\frac{di}{dt}...20.14</math> och om man stoppar in 20.13 i 20.14 så fås <math>LC\frac{d^2u}{dt^2}=-u...20.15</math> och om vi jämför med 20.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1. Jämför man sen med 20.7 så ser man att <math>w=\sqrt{\frac{1}{LC}}...20.16</math> där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan. Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som <math>\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2x...20.17</math> där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa. Om vi tittar på differentialekvationen 20.1 igen och repeterar <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.18</math> samt tar till lite komplexa trick som <math>s=Ae^{jwt}...20.19</math> och deriverar detta enligt <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...20.20</math> samt <math>\frac{ds^2}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...20.21</math> så att 20.18 blir <math>F=-mw^2s=-Cs...20.22</math> där det bara är att förkorta bort s varvid vi får <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.23</math> och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt. Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel. Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP. Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m <math>AM(t)=(c+me^{jw_mt})e^{jw_ct}...20.24</math> där c står för carrier och m för message. Detta kan sedan förenklas till <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+w_m)}...20.25</math> där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna. Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+/-w_m)}...20.26</math> Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex <math>sin(w_ct)sin(w_mt)=sin(w_ct-w_mt)-sin(w_ct+w_mt)...20.27</math> Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången. För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå <math>FM(t)=Ae^{jt(w_c+w_m)}=ce^{jw_ct}\cdot me^{jw_mt}...20.28</math> Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc. =Kapitel XV, Vågekvationen= [[File:Fusion Wave Propagation.png|thumb|En våg breder ut sig]] Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> Detta kan också tecknas <math>x-vt=u...21.2</math> kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är <math>s=f(u)...21.3</math> då är <math>\frac{\delta s}{\delta x}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta x}=\frac{df}{du}...21.4</math> och <math>\frac{\delta s}{\delta t}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta t}=-v\frac{df}{du}...21.5</math> andraderivatorna blir då <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2f}{du^2}...21.6</math> respektive <math>\frac{\delta^2s}{\delta t^2}=v^2\frac{d^2f}{du^2}...21,7</math> som ger <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.8</math> Detta kallas vågekvationen. v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till. =Kapitel XVI, Vågutbredning= [[File:Fusion Circle 2.png|thumb|Studie över hur en våg breder ut sig]] Ekvation 21.1 enligt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt <math>s(x,t)=f(t-\frac{x}{v})...22.1</math> Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig. Om funtionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt <math>s(x,t)=sin(2\pi f t-2\pi f \frac{x}{v})...22.2</math> eller <math>s(x,t)=sin(2\pi \frac{t}{T}-2\pi \frac{x}{\lambda})...22.3</math> Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position. Emedan det är tämligen känt att <math>w=\frac{2\pi}{T}=2\pi f...22.4</math> så kallas samtidigt <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...22.5</math> där <math>\lambda=\frac{v}{f}...22.6</math> =Kapitel XVII, Longitudinell våg= [[File:Fusion Rod 2.png|thumb|Långitudinell våg i en stång]] Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen. Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven. Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt <math>s(x+dx,t)=s(x,t)+\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.1</math> störningsdifferensen är då <math>s(x+dx,t)-s(x,t)=\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.2</math> dvs den relativa töjningen är <math>e=\frac{\frac{\delta s}{\delta x}dx}{dx}=\frac{\delta s}{\delta x}...23.3</math> Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt <math>\sigma =eE...23.4</math> spänningen kan också tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...23.5</math> där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas <math>F=\sigma Y=YEe=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.6</math> Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av) <math>F2-F1=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.7</math> F1 blir enligt 23.6 <math>F1=F(x)=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.8</math> och F2 bir galant pga implicit derivering <math>F2=F(x+dx)=F(x)+YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.9</math> dvs <math>F2-F1=YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.10</math> och kombineras detta med 23.7 så fås <math>YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.11</math> eller <math>E\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\rho \frac{d^2s}{dt^2}...23.12</math> dvs <math>\frac{E}{\rho}\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...23.13</math> identifiering med vågekvattionen <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> ger slutligen att hastigheten ges av <math>v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}...23.14</math> =Kapitel XVIII, Transversell våg= [[File:Fusion String 2.png|thumb|Visar krafterna på en sträng]] Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2. Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna <math>F_1cos(\theta_1)=F_2cos(\theta_2)...24.1</math> men om vinklarna är små så gäller <math>sin(\theta)=tan(\theta)=\theta...24.2</math> därmed gäller <math>F_1=F_2=F...24.3</math> därför kan man teckna <math>F(x)=F\cdot sin(\theta)=F\cdot tan(\theta)=F\frac{ds}{dx}...24.4</math> ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att <math>F(x+dx)-F(x)=F(x)+F\frac{d^2s}{dx^2}dx-F(x)=F\frac{d^2s}{dx^2}dx...24.5</math> sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean <math>F\frac{d^2s}{dx^2}dx=ma=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Y dx\frac{d^2s}{dt^2}...24.6</math> så att <math>\frac{F}{\rho Y}\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...24.7</math> identifiering med vågekvationen <math>v^2\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...21.18</math> ger sedan att <math>v=\sqrt{\frac{F}{\rho Y}}...24.8</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> med my=m/L, eftersom spänningen i strängen kan tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...24.10</math> så kan v även skrivas <math>v=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}...24.11</math> 24.9 sägs vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig? För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter. Nu har vi två saker att beakta: 1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led. 2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led. Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led. 1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller. ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I== Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt <math>m\frac{d^2s}{ds^2}=-Cs...24.12</math> där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva <math>s=Ae^{jwt}...24.13</math> dvs <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...24.14</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...24.15</math> så att <math>-mw^2s=-Cs...24.16</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.17</math> där <math>|v|=wA...24.18</math> enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att <math>v=A*\sqrt{\frac{C}{m}}...24.19</math> där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 24.19 också skrivas <math>v=A*\sqrt{\frac{F}{Lm}}...24.20</math> och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.21</math> som är samma som 24.9 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 24.19 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden. Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs <math>T=2A/v...24.22</math> Frekvensen är nu inversen av detta dvs <math>f=v/2A=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.23</math> När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller? Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår. Problemet nu är min personliga övertygelse om <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.24</math> dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden. Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led. Jag får inte ihop det här. Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet) ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II== Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan. Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till <math>s=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> där vågtalet k (lambda/2pi) är infört. Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller <math>wt=kx...24.26</math> och om man då löser ut x så får man <math>x=\frac{w}{k}t...24.27</math> derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...24.28</math> men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet! w/k kan för övrigt förenklas till <math>\frac{w}{k}=\frac{2\pi f}{2\pi/\lambda}=f*\lambda=v_f...24.29</math> MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort. Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.30</math> vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs <math>v=wA...24.31</math> Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju! Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0). Frekvensen kan fås av att <math>w=2 \pi f...24.32</math> och att <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.33</math> dvs <math>f=\frac{1}{2\pi}* \sqrt{\frac{C}{m}}...24.34</math> där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz. Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%. Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E. Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed <math>v=Aw=A\sqrt{\frac{C}{m}}...24.35</math> och <math>f=\frac{w}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.36</math> och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A...24.37</math> Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg. Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A==\frac{2L}{n}...24.38</math> Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor). Så A ovan kan bytas ut mot <math>A=\frac{L}{n\pi}...24.39</math> och insatt i 24.35 får man <math>v=\frac{L}{n\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.40</math> där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå? ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III== Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> sen har vi att <math>f=\frac{v}{\lambda}...24.41</math> Vad är nu lambda? Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs <math>s(0,t)=Ae^{jwt}==0...24.42</math> Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då <math>wt=n*\pi...24.43</math> Samtidigt har vi att <math>s(L,t)=Ae^{j(wt-kL)}==0...24.44</math> Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås <math>wt=kL...24.45</math> kombinerar vi 24.43 med 24.45 så fås <math>n*\pi=kL...24.46</math> och eftersom <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...24.47</math> så blir 24.46 <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.48</math> och därmed blir <math>\lambda=\frac{2L}{n}...24.49</math> som gör att 24.41 blir <math>f=\frac{n}{2L}*\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.50</math> =Kapitel XIX, Elektromagnetism= [[File:Fusion Coulomb.png|thumb|En visualisering av Coulombs lag]] Coulombs lag kan tecknas <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.1</math> som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.2</math> där <math>\epsilon=\epsilon_r \epsilon_0...25.3</math> där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre. Man kan se 25.2 på ännu ett intressant sätt <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{4\pi r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{A_s}...25.4</math> där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt. Sen skulle jag vilja förenkla 25.1 till <math>F\propto \frac{Q^2}{r^2}...25.5</math> där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som <math>E=\frac{F}{Q}...25.6</math> vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således <math>E\propto \frac{Q}{r^2}...25.7</math> eller mer korrekt <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q}{A_s}=\frac{1}{\epsilon}\rho_s...25.8</math> där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs <math>D=\epsilon E...25.9</math> vilket innebär att 25.8 kan tecknas <math>D=\rho_s...25.10</math> eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp <math>\oint_S D dS=\int_S \rho_s dS=Q...25.11</math> kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt <math>\oint_S D dS=\int_V \rho_v dV=Q...25.12</math> ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :) Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas <math>W_p=-\int_\infty^r Fdr...25.13</math> där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att <math>W_p=QV(r)=\int Fdr \propto \int \frac{Q^2}{r^2}dr=\frac{Q^2}{r}...25.14</math> dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är <math>V(r)\propto \frac{Q}{r}...25.15</math> =Kapitel XX, Energiprincipen= Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt <math>W_p+W_k=konstant...26.1</math> Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt: <math>W_p=-\int_\infty^x Fdx...26.2</math> respektive <math>W_k=\int_0^v p dv...26.3</math> där p=mv, med andra ord kan man se 26.3 som <math>W_k=\int_0^v mv\cdot dv...26.4</math> men om vi nu utvecklar detta så fås <math>W_k=\int_0^v m\frac{dx}{dt}\cdot dv...26.5</math> som kan skrivas om enligt <math>W_k=\int_0^v m\frac{dv}{dt}\cdot dx...26.5</math> och eftersom kraft definieras enligt <math>F=\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}...26.6</math> så fås <math>W_k=\int_0^v F dx...26.7</math> och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet. =Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor= [[File:Fusion TEM.png|thumb|En bild på en transversell elektromagnetisk våg]] Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt <math>E(x,t)=E_y sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.1</math> och <math>B(x,t)=B_z sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.2</math> Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt <math>\nabla X E=-\frac{dB}{dt}...27.3</math> som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva <math>\nabla X H=J_{fri}+\frac{dD}{dt}...27.4</math> som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom <math>D=\epsilon E...27.5</math> och <math>B=\mu H...27.6</math> så kan man skriva 27.4 som (osäker på tecknet, dock) <math>\nabla X B=\mu \epsilon \frac{dE}{dt}...27.7</math> Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt <math>\nabla=a_x\frac{d}{dx}+a_y\frac{d}{dy}+a_z\frac{d}{dz}...27.8</math> Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas <math>\nabla XA=a_x(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})+a_y(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})+a_z(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})...27.9</math> 27.3 ger då att <math>\frac{dE_y}{dx}=-\frac{dB}{dt}...27.10</math> där Ex=0 och 27.7 ger att <math>\frac{dB_z}{dx}=-\epsilon \mu \frac{dE}{dt}...27.11</math> Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 27.9 Om vi nu nyttjar 27.1 respektive 27.3 så fås <math>E_y \frac{w}{v}\cos w(t-\frac{x}{v})=B_z w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.12</math> dvs <math>E_y=vB_z...27.13</math> och om vi sen nyttjar 27.2 respektive 27.4 så fås <math>B_z \frac{w}{v} \cos w(t-\frac{x}{v})=\epsilon \mu E_y w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.14</math> eller <math>B_z=v\epsilon \mu E_y...27.15</math> dvs <math>1=v^2\epsilon \mu...27.16</math> vilket ger <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}...27.17</math> Eller mer specifikt <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}...27.18</math> där <math>\mu_0...27.19</math> är permeabiliteten för vakuum och <math>\epsilon_0...27.20</math> är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna <math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}...27.21</math> Vilket är ljushastigheten i vakuum. Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs <math>n=\sqrt\epsilon_r...27.22</math> vilket kallas brytningsindex som pga 27.18 gör så att <math>v=\frac{c}{n}...27.23</math> dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex. Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell <math>v_f=\frac{w}{k}...27.24</math> och varför kommer det in i spelet? Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)=Asin(-\phi)...27.25</math> där minustecknet bara underlättar algebran enligt <math>kx=wt+\phi...27.26</math> och om man stuvar om lite så får man <math>x=\frac{w}{k}t+\frac{\phi}{k}...27.27</math> som deriverat ger fashastigheten enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...27.28</math> Jag har lite svårt att förstå 27.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 27.25 som <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...27.29</math> vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}e^{-jkx}...27.30</math> där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera. =Kapitel XXII, Grupphastighet= [[File:Fusion Complex 2.png|thumb|Vektoriell addition]] Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer: <math>v_f=\frac{w}{k}...28.1</math> Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras <math>v_g=\frac{dw}{dk}...28.2</math> Om man då har att <math>w=v_f\cdot k...28.3</math> och att <math>v_f=\frac{c}{n}...28.4</math> så blir <math>w=k\frac{c}{n}...28.5</math> och därmed blir 28.2 <math>v_g=\frac{c}{n}-k\frac{c}{n^2}\frac{dn}{dk}=\frac{c}{n}(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})=v_f(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})...28.6</math> Grupphastighet kan man bara prata om om man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar: <math>s_1(x,t)=Acos(w_1t-k_1x)...28.7</math> respektive <math>s_2(x,t)=Acos(w_2t-k_2x)...28.8</math> där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi <math>s_1+s_2=Acos(w_1t-k_1x)+Acos(w_2t-k_2x)...28.9</math> nu finns det en trigonometrisk formel som lyder <math>cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})...28.10</math> och om <math>\alpha=w_1t-k_1x...28.11</math> och <math>\beta=w_2t-k_2x...28.12</math> så blir 28.9 <math>s_1+s_2=2Acos(\frac{w_1t-k_1x+(w_2t-k_2x)}{2})cos(\frac{w_1t-k_1x-(w_2t-k_2x)}{2})...28.13</math> eller <math>2Acos(\frac{(w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x}{2})cos(\frac{(w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x}{2})...28.14</math> Här har vi alltså att <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.15</math> sen har vi att <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)....28.16</math> sen har vi att <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.17</math> dessutom har vi att <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.18</math> vilket gör att man kan skriva 28.9 som <math>2Acos(wt-kx)cos(\Delta w\cdot t-\Delta k\cdot x)...28.19</math> Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 28.7 respektive 28.8 enligt <math>s_1(x,t)=Ae^{j(w_1t-k_1x)}...28.20</math> respektive <math>s_2(x,t)=Ae^{j(w_2t-k_2x)}...28.21</math> 28.9 kan då skrivas <math>s_1+s_2=A(e^{j(w_1t-k_1x)}+e^{j(w_2t-k_2x)})...28.22</math> detta kan skrivas om enligt <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}(e^{j((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+1)...28.23</math> eller <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}\cdot</math> <math>(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.24</math> dvs <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)+(w_2t-k_2x))}(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.25</math> tar man sedan hand om termerna kan man skriva <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x)}(e^{j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)})...28.26</math> nu ser man tydligt att man har dessa termer <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.27</math> och <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)...28.28</math> och <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.29</math> samt <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.30</math> och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)! Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism. Vi skissar lite på detta och antar att: <math>x(t)=Xe^{jw_1t}...28.31</math> och <math>y(t)=Ye^{jw_2t}...28.32</math> om man nu multiplicerar dessa signaler får man <math>xy=Xe^{jw_1t}Ye^{jw_2t}=XYe^{j(w_1+w_2)t}...28.33</math> Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på <math>w=w_1+w_2...28.34</math> men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt: <math>xy=xy...28.35</math> respektive <math>xy=xy^*...28.36</math> för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen. Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att <math>f(u)=e^u=e^{(x+y)}...28.37</math> Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet <math>f(u)=f(0) + f'(0) u+ \frac{1}{2} f''(0) u^2 + H.O.T...28.38</math> f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 29.38 <math>1+u+\frac{1}{2}u^2...28.39</math> Vilket ger <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x+y)^2...28.40</math> eller <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)...28.41</math> där vi ser att vi har frekvenserna 1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler). Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen. Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt <math>s(x,t)=sin(wt-kx)...28.42</math> där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> på så sätt att vi först deriverar enligt <math>\frac{ds}{dx}=-kcos(wt-kx)...28.43</math> sen deriverar vi igen och får <math>\frac{d^2s}{dx^2}=-k^2sin(wt-kx)...28.44</math> på samma sätt kan man tidsderivera enligt <math>\frac{ds}{dt}=wcos(wt-kx)...28.45</math> och när vi deriverar igen så får vi <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2sin(wt-kx)...28.46</math> och pga vågekvationen (21.18) så fås <math>v_f=\frac{w}{k}...28.47</math> =Kapitel XXIII, Energitäthet och Intensitet= [[File:Fusion Power Density.png|thumb|Visar vad effekttäthet är]] Om man tittar på en longitudinell plan våg i luft så har vi att dess rörelseenergi är <math>E_k=\frac{1}{2}mv^2...30.1</math> vilket vi kan skriva om enligt <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2...30.2</math> där ds/dt är störningens hastighet. Om vi då har att störningen är <math>s=Asin(wt-kx)...30.3</math> så blir <math>\frac{ds}{dt}=wAcos(wt-kx)....30.4</math> Där vi bara är intresserad av maximat av detta och kvadrerat blir då 30.2 istället <math>E_k=\frac{1}{2}m(wA)^2...30.5</math> massan kan vi sedan teckna <math>m=\rho_0 V_0...30.6</math> där rho_0 är densiteten hos luft och V_0 den ursprungliga volymen, med andra ord kan vi teckna <math>E_k=\frac{1}{2}\rho_0 V_0 (wA)^2...30.7</math> om vi delar detta med V_0 så får vi <math>\frac{E_k}{V_0}=p=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2...30.8</math> vilket är energitätheten ty den har enheten [J/m^3] vilket samtidigt är enheten för tryck. Om man sedan tittar på energin som passerar genom ett volymselement (dV=Sdx=Svdt) så har vi att <math>dE=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2Sv_fdt...30.9</math> och iom att intensitet definieras som effekt per areaenhet så kan vi teckna <math>I=\frac{1}{S}\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2v_f=pv_f...30.10</math> eller <math>I=pc...30.11</math> där c är ljudhastigheten i luft. Dvs intensiteten i W/m^2 är produkten av fashastigheten och trycket (eller energitätheten om man så vill), man kan nog lite se det som så att man har ett "tryck" som rör sig (konceptet med energitäthet/tryck är samma för en gas i allmänhet där vi dock avser termisk hastighet, här är det störningens hastighet som sätter energitätheten och därmed trycket). Det är intressant att dra paralleller till exempelvis en akustisk punktkälla som strålar, intensiteten hos den rundstrålande/isotropiska vågen är inverterat proportionell mot R^2 eller inverterat proportionell mot den sfäriska yta som avståndet till källan bygger vilket i klartext betyder att dina öron uppfattar ljudtrycket som sjunkande med avståndet i kvadrat. =Kapitel XXIV, Polarisation och Reflektion= [[File:Fusion Medium Refraction.png|thumb|Visar hur vågor beter sig när dom möter tätare respektive tunnare medium]] En våg som breder ut sig i "papperets" plan kallas planpolariserad, denna skulle man kunna teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.1</math> en våg som breder ut sig cirkulärt kan man sedan teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.2</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\frac{\pi}{2})=Acos(wt-kx)...31.3</math> vilket kallas för cirkulärpolariserad och man kan se detta som att A är radien i en cirkel och stigningen är avståndet mellan två närliggande punkter i samma plan hos spiralen som det roterande repet/vågen bygger upp, detta är samma som våglängden, en cirkulärtpolariserad våg är ett specialfall av en elliptiskt polariserad våg enligt <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.4</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\alpha)...31.5</math> Om vi återigen tittar på ett rep och antar att repet är fäst vid en vägg och vi kallar den punkten för x=0, då kommer inte repet kunna röra sig i den punkten, detta samtidigt som den infallande vågen och den reflekterade vågen kommer samverka (fråga mig inte varför), pga detta kan man skriva <math>s(x,t)=s_i(0,t)+s_r(0,t)=0...31.6</math> där vi kan teckna den infallande störningen som <math>s_i(0,t)=Asin(wt-kx)...31.7</math> och den reflekterade störningen som <math>s_r(0,t)=Asin(wt+kx+\alpha)...31.8</math> 31.6 ger sedan vid x=0 att <math>Asin(wt)+Asin(wt+\alpha)=0</math> där man ser att alpha måste vara pi dvs vid reflektion mot ett tätare medium så får vågen ett fastillskott på pi eller, vilket är ekvivalent, ett våglängdstillskott på lambda/2, väggen tycks alltså ha en utsträckning i rummet på lambda halva trots att det bara sitter där. Om sen väggen inte finns där utan repet möter ren luft då har vi faktumet att kraften är riktad längs med tangenten på repet och vid x=0 så pekar kraften rakt uppåt dvs det finns ingen x-komponent, men det finns två s-komponenter som tar ut varandra enligt (jag fattar inte detta riktigt) <math>\frac{ds}{dx}=\frac{ds_i}{dx}+\frac{ds_r}{dx}=0...31.9</math> för på samma sätt som när det fanns en vägg där störningarna samverkade så samverkar störningarna när det inte finns nån vägg, med andra ord får vi dessa uttryck <math>-kAcos(wt-kx)+kAcos(wt+kx+\alpha)=0...31.10</math> där man vid x=0 inser att alpha måste vara noll, dvs inget fastillskott vid reflektion mot tunnare medium. =Kapitel XXV, Stående vågor= Från ovan har vi att störningen vid infall mot en vägg är <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)+Asin(wt+kx+\pi)...32.1</math> detta kan naturligtvis skrivas om som <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)-Asin(wt+kx)...32.2</math> Här vill jag ta till mitt trick med komplexa tal dvs <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}-Ae^{j(wt+kx)}...32.3</math> detta kan sedan skrivas om enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}(e^{-jkx}-e^{jkx})...32.4</math> eller <math>s(x,t)=2jAe^{jwt}\frac{e^{-jkx}-e^{jkx}}{2j}...32.5</math> dvs <math>s(x,t)=-2Ae^{j(wt+\pi/2)}sin(kx)...32.6</math> här är jag lite osäker men resonerar som så att grundfunktionen är sinus men pi/2 ändrar detta till cosinus och vi får <math>s(x,t)=-2Acos(wt)sin(kx)...32.7</math> Allt utan att behöva slå i en enda formelsamling! Om nu strängen är spänd mellan två punkter kan alltså bara vissa moder uppkomma, funktionen har alltså sina noder/nollställen vid vissa våglängder/frekvenser och sina bukar/maxima vid andra våglängder/frekvenser. Funktionen 32.7 är noll (noder) för <math>kx=n\cdot\pi, n=0,1,2,3...32.8</math> och maximal (bukar) för <math>kx=(2n+1)\cdot\pi/2, n=0,1,2,3...32.9</math> Man kan skriva om detta enligt (för noder) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=0, \frac{\lambda}{2}, \frac{2\lambda}{2}, \frac{3\lambda}{2}...32.10</math> och (för bukar) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=\frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}...32.11</math> Om en sträng är fäst vid två punkter så måste det vara noder, man ser därför att grundtonen uppstår när våglängden=2x=2L Hastigheten är sedan gammalt <math>v=\lambda f=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.12</math> och när grundtonen har våglängden 2L så kan man skriva <math>v=2Lf=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.13</math> dvs frekvensen bestäms av längden på strängen och den kraft den spänns med enligt <math>f=\frac{\sqrt{\frac{F}{\mu}}}{2L}...32.14</math> där my är massan per längdenhet hos strängen. ='''Del III, FLUIDMEKANIK'''= =Kapitel XXVI, Fluidmekanik= [[File:Fusion Pascal.png|thumb|Härledning av Pascal's lag]] Fluid betyder nåt som kan strömma/flöda, både gaser och vätskor kan vara fluider. När man behandlar fluider skiljer man på inkompressibla och kompressibla fluider. Vätskor är i regel inkompressibla medans gaser är kompressibla till sin natur. Första kapitlet i min lärares (Åke Fäldt) litteratur om detta behandlar Pascal's lag enligt: Om man har en triangel av fluid och man har tryck som är normala till sidorna hos triangeln och triangelns höjd är 1 då kan man visa att <math>F_a=p_a*a*1...33.1</math> och <math>F_b=p_b*b*1...33.2</math> och <math>F_c=p_c*c*1...33.3</math> där a, b, c är längden hos triangelns respektive sidor. Sidorna kommer att förhålla sig till krafterna, pga likformighet och att inget vridmoment får existera, enligt <math>a:b:c=F_a:F_b:F_c...33.4</math> eller <math>a:b:c=p_a*a:p_b*b:p_c*c...33.5</math> dvs <math>p_a=p_b=p_c=p...33.6</math> som är Pascal's lag. Om man tittar på en hydraulisk lift så puttar vi på med en kraft (F1) över en liten area (S1), då får den inkompressibla vätskan övertrycket p1=F1/S1. Under förskjutning dy1 av kolv_1 tillförs utifrån energin F1dy1, vid kolv_2 har vi fått övertrycket p2 som ger kraften F2 uppåt på kolven med area S2. Under förskjutning dy2 av kolv_2 uträttar vätskan arbetet F2dy2. Energiprincipen ger att <math>F_1\Delta y_1=F_2\Delta y_2...33.7</math> Inkompressibel vätska ger sedan att den förskjutna volymen är samma dvs <math>S_1\Delta y_1=S_2\Delta y_2...33.8</math> Division ledvis ger sedan att <math>F_1/S_1=F_2/S_2...33.9</math> dvs <math>p_1=p_2...33.10</math> Som är Pascal's lag. Det kan vara intressant att förtydliga detta genom att istället skriva <math>F_2=(\frac{d_2}{d_1})^2 F_1...33.11</math> Dvs den hydrauliska kraften förstärks med diameterförhållandet i kvadrat, en diameterkvot på 10 gör alltså så att en hundra gånger större tyngd kan lyftas. =Kapitel XXVII, Vätsketryckets beroende av djupet= [[File:Fusion Pressure Deep.png|thumb|Trycket på ett vätskeelement]] Vi betraktar nu ett planparallellt vätskeelement med z-axeln riktad uppåt, jämviktsvillkoret är <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=mg...34.1</math> Men massan är <math>m=S\Delta z\rho...34.2</math> dvs <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=S\Delta z\rho g...34.3</math> eller <math>p(z)-p(z+\Delta z)=\Delta z\rho g...34.4</math> Vid små dz kan vi ersätta <math>p(z+\Delta z)-p(z)...34.5</math> med <math>p(z+\Delta z)-p(z)=\frac{dp}{dz}\Delta z....34.6</math> dvs <math>-\frac{dp}{dz}\Delta z=\Delta z\rho g...34.7</math> eller <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> Integrerar man upp detta får man <math>p=-\rho g z+konstant...34.9</math> Vid z=0 är sedan p=p0 varför <math>p=p_0-\rho g z...34.10</math> Denna formel är lite akademisk, jag skulle vilja säga att trycket istället är <math>p=p_0+\rho g h...34.11</math> där h är vätskedjupet, vid noll meter råder normalt lufttryck (p0), sen ökar trycket med djupet. =Kapitel XXVIII, Vätskors och gasers kompressibilitet= [[File:Fusion Pressure Fluid.png|thumb|Tryck under ytan av en vätska]] Ett mått på vätskors och gasers förmåga att komprimeras av tryck(ändringar) ger kompressibiliteten definierad av <math>\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp})_T...35.1</math> Mer vanligt är dock det reciproka värdet <math>K=-V(\frac{dp}{dV})_T...35.2</math> vilket då har dimensionen tryck och gäller under konstant temperatur. För vatten är K av storleksordningen 2E9 Pa, medans den för luft vid normalt lufttryck är 1,4E5 Pa så för att uppnå samma relativa volymsändring i vatten som i luft krävs alltså en c.a 14000 gånger större tryckändring i vatten än i luft. Låt oss skissa på vatten på 100m djup. Enligt 34.11 kan man skriva <math>\Delta p=\rho g h=1E3*9,8*100\approx 1E6...35.3</math> K=2E9 ger sedan via 35.2 att <math>\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{\Delta p}{K}=\frac{1E6}{2E9}=0,5E-3...35.4</math> Relativa densitetsförändringen på 100m djup i vatten är alltså på ynka 0,5 promille vilket visar att vätskor oftast kan anses vara inkompressibla. =Kapitel XXIX, Lufttryckets höjdberoende= [[File:Fusion Pressure Sky.png|thumb|Lufttryckets beroende av höjden]] Ekvationen sedan tidigare <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> gäller även för gaser. Men för integration måste rho uttryckas som funktion av z eller p. Allmänna gaslagen ger <math>pV=n_mRT...36.1</math> densiteten kan sedan skrivas <math>\rho=\frac{M}{V}...36.2</math> dvs <math>\rho=\frac{Mp}{n_mRT}...36.3</math> vilket ger <math>\frac{dp}{dz}=-\frac{Mp}{n_mRT}g...36.4</math> dvs <math>\int_{p_o}^p \frac{dp}{p}=-\frac{Mg}{n_mRT}\int_0^z dz...36.5</math> vilket ger <math>ln(p)-ln(p_0)=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.6</math> eller <math>ln\frac{p}{p_0}=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.7</math> dvs <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{Mg}{n_mRT}z}...36.8</math> Jag får inte riktigt ihop det här, allmänna gaslagen utgår alltid från antalet mol gaspartiklar så det är diffust hur många mol man skall räkna med och därmed vad stora M och molmassan är, man skulle kunna säga att det är massan för en mol och då går n_m bort (ty ett) men varför blir det i så fall så (min lärare sluddrar om kmol men det köper inte jag). Man kan dock tänka sig att M och n_m följer varandra så att det inte spelar nån roll vilka absoluta belopp de har, samtidigt är det faktiskt som så att M är just massan för EN mol dvs n_m=1. Massan en enda molekyl väger är sedan molmassan delat med Avogadros tal (dvs antalet molekyler per mol) enligt <math>m_p=M/N_A...36.9</math> och Boltzmanns konstant är <math>k=\frac{R}{N_A}...36.10</math> vilket ger det alternativa uttrycket (men bara om n_m är ett) <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{m_pg}{kT}z}...36.11</math> Kuriosamässig fakta är att om man räknar på det så uppnås halva lufttrycket vid ungefär 5km höjd. =Kapitel XXX, Archimedes princip= [[File:Fusion Archimedes.png|thumb|Archimedes princip]] "Den lättnad han kände i badkaret överensstämde med tyngden av det av honom undanträngda vattnet" Om man kikar på en klump i vätska och har z pekandes uppåt med F2 underifrån och F1 ovanifrån så gäller <math>F_2-F_1=[p_2 -p_1]S...37.1</math> detta kan man också skriva <math>F_2-F_1=[\rho gz_2-\rho gz_1]S=\rho g[z_1-z_2]S...37.2</math> eller <math>F_2-F_1=\rho gV=m_fg...37.3</math> Observera alltså att kraften är riktad uppåt dvs det är en lyftkraft. Det kan vara lite knepigt att intuitivt förstå detta men om man betänker att trycket i en vätska ju ökar med djupet så blir trycket under klumpen större än trycket ovanför klumpen. Jag skall kladda lite till angående det här för jag tycker det är roligt. Föreställ Er att Ni har en bit material (vi tänker oss en rektangulär klump), vad krävs för att den inte skall sjunka? Svaret är egentligen rätt enkelt men det är ändå roligt att räkna på det: Lyftkraften då klumpen precis "hänger" under ytan måste varas lika med klumpens tyngd enligt (där indexeringen f står för fluid/vätska och b står för body) <math>\rho_fghS=\rho_bghS...37.4</math> dvs <math>\rho_f>\rho_b...37.5</math> för att klumpen skall kunna flyta. Man kan också se det enligt <math>\rho_fhS=m_b...37.6</math> där man tydligt ser att om man ökar S så räcker mindre h dvs ju större anläggningsyta ju högre upp i vattnet ligger materialet/faryget, detta innebär att V-formade skrov har den extra fördelen (förutom styrsel) att dom introducerar större yta och när dom introducerar större yta kommer dom upp ur vattnet, eventuellt blir dock friktionen pga viskositets-krafter samtidigt större men det förtäljer inte historien. Man kan också se 37.6 på ett annat sätt <math>V=hS=\frac{m_b}{\rho_f}...37.7</math> där V kallas för kroppens/fartygets displacement. =Kapitel XXXI, Ytspänning= [[File:Fusion Surface Tension.png|thumb|Ytspänning]] För att föra en molekyl från vätskans inre del till ytan åtgår, pga intermolekylära attraktionskrafter, energi där ytskiktet representerar en ytenergi. Man kan teckna ytspänningen enligt: <math>\gamma=\frac{dw}{dS}...38.1</math> som alltså har enheten J/m^2. Här citerar jag min lärare bara utan att förstå: "Det måste vara energetiskt eftersträvansvärt för en vätskelamell att kunna reducera sin fria yta så mycket som möjligt. För en tänkt fri vätska i ett gravitationsfritt rum blir sfären den ideala formen". Om vi funderar lite på det här så har vi trots allt J/m^2 som enhet dvs ju mindre yta lamellen/vätskan kan anta ju mindre energi går åt för att anta den formen och om man har en begränsad och bestämd mängd vätska (lamellmässigt, säger vi) och vi leker med tanken att vi har två former som är möjliga där den ena är en cirkel och den andra en kvadrat så blir ju de olika areorna när bredden är lika stor <math>A_{sqr}=(2r)^2=4r^2...38.2</math> och <math>A_{circle}=\pi r^2...38.3</math> så att förtjänsten av att anta cirkulär form är <math>\frac{A_{circle}}{A_{sqr}}=\frac{\pi}{4}...38.4</math> dvs c.a -25%. Men lite grand kan man faktiskt fråga sig varför minsta möjliga energiåtgång alltid är så intressant, iofs kan man titta på oss människor i det avseende för dom fleska puttar ju inte in mer energi än nödvändigt samtidigt som vissa faktiskt ändå gör det så varför MÅSTE naturen alltid antas anta det lägsta energitillståndet? Om man tänker sig en vätskelamell med bredden L som då har två lika stora ytor (S) och en fast ram som bara är öppen i ena änden likt en endimensionell kolv där vi drar med kraften F, då ökar vätskelamellens totala (pga två sidor) area enligt <math>S=S_0+\Delta S=S_0+2L\Delta x...38.5</math> Arbetet Fdx har då uträttats samtidigt som vätskans ytenergi, pga 38.1, har ökat med <math>\gamma \Delta S=\gamma 2L\Delta x...38.6</math> eller <math>\gamma 2L\Delta x=F\Delta x...38.7</math> detta ger att <math>\gamma=\frac{F}{2L}...38.9</math> Gamma är således också lika med kraften per längdenhet av lamellytans begränsning. =Kapitel XXXII, Konsekvenser av ytspänningen= [[File:Fusion Droplet.png|thumb|En sfärisk droppe]] Övertrycket under en krökt yta kan tecknas A) Sfärisk droppe Ytans area är då <math>S=4\pi r^2...39.1</math> Ytenergin är samtidigt enligt 38.1 <math>W=\gamma S=\gamma 4\pi r^2...39.2</math> Vi tänker oss nu en pytteliten ökning av droppradien där trycket uträttar arbetet <math>dw=Fdr=pSdr=p4\pi r^2 dr...39.3</math> pga definitionen av ytspänning (38.1) kan vi sedan teckna <math>\gamma dS=dw=p4\pi r^2 dr...39.4</math> så att (differentierar 4pir^2) <math>\gamma 8 \pi rdr=p4\pi r^2dr...39.5</math> dvs <math>p=2\frac{\gamma}{r}...39.6</math> B) För en sfärisk bubbla gäller <math>p=4\frac{\gamma}{r}...39.7</math> Dubbla magnituden beror på att vi nu har två ytor. =Kapitel XXXIII, Kapillaritet= [[File:Fusion Capillary.png|thumb|Stigning i en kapillär]] I min bok påstås det att en vätskeyta i ett kärl inte kan vara vinkelrätt mot kärlväggen, vätskeytan måste alltså krökas på det iofs allmänt kända sättet att H2O ger en konkav krökning medans Hg ger en konvex krökning, varför det blir så framgår dock inte riktigt i min studentlitteratur. Stighöjden i en kapillär får vi sedan från följande resonemang: I kapillären måste trycket vara Po dvs lufttrycket och eftersom kapillären är krökt åt "fel" håll så får vi en tryckreduktion enligt <math>\Delta p_r=-2\frac{\gamma}{r}...40.1</math> Tryckökningen pga vätskepelaren är sedan <math>\Delta p_h=\rho g h...40.2</math> med andra ord gäller <math>P_0=P_0-2\frac{\gamma}{r}+\rho g h...40.3</math> där man kan teckna <math>r=\frac{r'}{cos \theta}...40.4</math> om man ser r som krökningsradien och r' som radien på kapillären/röret, pga detta kan man skriva <math>2\frac{\gamma}{r'}cos \theta =\rho g h...40.5</math> möblerar man om så kan man alltså bestämma gamma och därmed ytspänningen enligt <math>\gamma=\frac{r' \rho g h}{2 cos \theta}...40.6</math> så genom att observera dels hur högt vätskan stiger dels vilken vinkel den har i förhållande till kärlväggen och genom att känna till vätskans densitet så kan man bestämma vätskans ytspänning på detta sätt. Jag har tänkt lite på bussen idag och skulle vilja skriva om 40.3 enligt <math>P_0-2\frac{\gamma}{r}=P_0-\rho gh...40.7</math> eller ännu enklare <math>2\frac{\gamma}{r}=\rho gh...40.7</math> där man tydligt ser att pelarens höjd är omvänt proportionell mot radien hos kapillären. där vänsterledet återspeglar ambienta trycket minus tryckreduktionen ovanifrån gränsytan och högerledet återspeglar ambienta trycket minus "stapeltrycket" underifrån gränsytan för säg att vi tittar vid den krökta gränsytan då ger stapeln ett lägre tryck där (det högre trycket är ju vid "havsnivån") sen är jag dock mycket osäker på att det verkligen blir en tryckreduktion för en droppe har ju ett positivt övertryck inifrån sett, jag ser det alltså inte men möjligtvis är dr i 39.3 negativ. Jag har börjat se det på ett annat sätt, säg att man har en kolv av vätska i kapillären och sen drar man kolven neråt och vätskan fastnar ju då pga ytspänningen i kapillärväggarna, då får man ju ett sug där "uppe" dvs ovanför gränsytan och då gäller genast ekv. 40.7. =Kapitel XXXIV, Hydrodynamik för ideal vätska= [[File:Fusion Continuity.png|thumb|Flöde hos en fluid]] Genom alla tvärsnitt av samma strömrör måste vätskeflödet (volym per tidsenhet) vara densamma, vätskans hastighet är ett mått på flödestätheten. v har dimensionen längd/tid men kan då också skrivas <math>v=volym/(tid*yta)...41.1</math> Den volym som per tidsenhet (dvs flödet) passerar det godtyckliga ytelementet dS kan då skrivas <math>d\phi=vdScos\theta...[m^3/s]...41.2</math> där dS är en infinitesimal area vars normal i relation till flödets riktning ger det vektoriella produkten som också kan skrivas <math>d\phi=\mathbf{v} \cdot \mathbf{dS}...41.3</math> där ytelementet representeras av vektorn dS. Här tycker jag det är intressant att tänka sig v som en flödestäthet som ger flödet när det integreras upp över ytan. Det finns andra fall där man kan tänka på samma sätt, dessa två tänker jag på: 1) Tryck skulle kunna betraktas som en flödestäthet, summerar man upp trycket över en yta fås ju kraften [N] 2) Magnetisk flödestäthet är ju en klockren flödestäthet och om man summerar upp den över en yta så fås flödet [Wb] Jag har kommit på det här helt själv och tycker det är lite häftigt :) Iom att jag läst det här mycket intressanta kapitlet i min gamla lärares bok så tror jag mig fått kläm på vad kurvintegraler respektive vanliga integraler är för nåt. En kurvintegral löper runt hela sträckan/ytan (finns alltså inga kurvintegraler för volymer vågar jag påstå) så om man t.ex bara är intresserad av vad som "flödar" igenom en yta så ska man inte satsa på kurvintegraler för dom blir noll pga att kurvintegraler tar hänsyn till både vad som kommer in och vad som kommer ut så om man har ett inflöde i nåt strömningsrör säger vi och man samtidigt har ett utflöde i samma strömningsrör som ofta är lika stort ja då blir kurvintegralen noll men om man bara tittar på flödet genom ytan så finns det ett värde, i fallet magnetisk flödestäthet kan man påstå att <math>\phi=\int \mathbf{B}\mathbf{dS}...[Wb]...41.4</math> där B är flödestärheten och S arean. Vid en sluten kurva, om ingen vätskekälla finns inom den inneslutna volymen så gäller <math>\oint \mathbf{v} \mathbf{dS}=\oint \mathbf{v} \mathbf{\hat n} dS=0...41.5</math> dvs nettoströmningen i ett strömrör är noll. Man kan se det som så att det strömmar in saker och det strömmar ut saker men det strömmar på ett "kontrollerat" sätt (kan kanske kallas laminärt) dvs det strömmar inte hur som helst utan i enlighet med att t.ex att det inte läcker utmed strömningsrörets väggar (dvs vinkelrätt mot strömningen). Om vi nyttjar 41.5 så får vi alltså konsekvensen att det sammanlagda vätskeflödet in och ut i ett slutet skal måste vara noll. Eftersom ytändarnas normaler alltid pekar utåt medans vi har ett flöde inåt så kommer tecknet på flödet vara positivt i ena sidan av strömningsröret och negativt i andra sidan av strömningsröret samtidigt som vi antar att inget flöde finns vinkelrätt mot flödesriktningen, då får vi att <math>v_2S_2-v_1S_1=0...41.6</math> dvs flödet in är lika med flödet ut. Med andra ord gäller <math>\phi=v_2S_2=v_1S_1...41.7</math> som också kallas kontinuitetsekvationen för inkompressibel fluid. =Kapitel XXXV, Bernoullis ekvation= [[File:Fusion Bernoullis.png|thumb|Friktionsfri laminär strömning]] Om man tittar på ett strömningsrör där översta ändan är av större diameter än den nedersta ändan så kan man rätt tydligt se att nedersta ändans längd hos fluiden är längre än översta ändans och detta pga att samma volym skall passera men med olika tvärsnittsareor. Tittar man mer krasst på dom båda volymselementen så har man att <math>S_2v_2dt=S_1v_1dt=Svdt...42.1</math> för volymerna är helt enkelt samma, när det sedan puttas på ovanifrån med ett tryck så uträttar trycket vid 1 arbetet: <math>\Delta W_1=[Fdx=pdV=pSdx=pSvdt]=p_1S_1v_1dt...42.2</math> Strömröret självt uträttar (då det "trycker ut" volymen S2v2dt) samtidigt arbetet <math>\Delta W_2=p_2S_2v_2dt...42.3</math> Nettotillförsel av energi blir då <math>\Delta W=\Delta W_1- \Delta W_2=p_1S_1v_1dt-p_2S_2v_2dt=(p_1-p_2)Svdt...42.4</math> Ändringen i den lilla vätskevolymens kinetiska energi är (tänk mv^2/2): <math>\Delta E_k=\frac{1}{2}\rho Svdt v_2^2-\frac{1}{2}\rho Svdt v_1^2...42.5</math> eller <math>\Delta E_k=(\frac{1}{2}\rho v_2^2- \frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt...42.6</math> Ändringen i potentiell energi är (tänk mgh): <math>\Delta E_p=\rho Svdt g z_2-\rho Svdt g z_1...42.7</math> eller <math>\Delta E_p=(\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.8</math> Energiprincipen ger nu att <math>\Delta W=\Delta E_k+ \Delta E_p...42.9</math> dvs <math>(p_1-p_2)Svdt=(\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt + (\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.10</math> alltså <math>p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_2-\rho g z_1...42.11</math> vilket vi kan arrangera om enligt <math>p_1+\rho gz_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2 + \rho gz_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2...42.12</math> dvs <math>p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...42.13</math> som alltså är Bernoullis ekvation som dock kan vara enklare att greppa om man istället skriver <math>\Delta(p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2)=0...42.14</math> dvs räknar man på två punkter i en laminär strömning så ändras bara parametrarna inbördes, lägesenergin kan till exempel inte ändras om inte kinetiska energin också ändras, lite diffust är detta dock. =Kapitel XXXVI, Tryck och tryckmätning= [[File:Pressure measurement.png|thumb|Mätning av tryck]] I Bernoullis ekvation så har vi tre termer av dimensionen tryck, vid horisontell strömning faller dock lägesenergitäthetstermen (rho g z) bort och vi får <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...43.1</math> vilket också kan skrivas <math>p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2...43.2</math> eller <math>\Delta(p+\frac{1}{2}\rho v^2)=0...43.3</math> p1 och p2 kallar vi sedan det statiska trycket, medans dom andra termerna kallas det dynamiska trycket. Dynamiska trycket är sedan lika med rörelseenergitätheten dvs den kinetiska energin per volymsenhet. Jag finner det intressant att tryck egentligen inte är så mycket mer än energi per volymsenhet, därför kan man tänka "sedvanlig" lägesenergi och rörelseenergi med tillägget att dom nu gäller per volymsenhet (dvs är tätheter). <math>p_t=p+\frac{1}{2}\rho v^2...43.4</math> kallas sedan något oegentligt för totaltrycket. =Kapitel XXXVII, Vätskors utströmning= [[File:Fusion Pressure Flow.png|thumb|Utströmningshastighet från en flaska]] Föreställ er en behållare som är riktad horisontellt med en platt liten kolv och ett hål i botten, vilken strömningshastighet får vätskan ut genom hålet? Här kan man nyttja Bernoulli rakt av enligt: <math>p+\rho gh+ \frac{1}{2}\rho v^2=konstant..44.1</math> dvs här gäller då <math>p_i+0+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.2</math> dvs inuti behållaren finns bara pi medans utanför behållaren har vi den kinetiska delen samtidigt som strömningen är horisontell så vi har ingen lägesenergi att ta hänsyn till, därför kan man kalla <math>p_i-p_0=\Delta p...44.3</math> vilket ger <math>v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}...44.4</math> Ett annat exempel på strömning är när vätska strömmar ur ett hål i botten av ett kärl, Bernoulli ger då (vänsterledet gäller inuti kärlet, högerledet utanför) <math>p_0+\rho gh+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> eller <math>\rho g h=\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> dvs <math>v=\sqrt{2gh}...44.6</math> Jag tycker att man borde kalla <math>\rho g h...44.7</math> för lägesenergidensitet och <math>\frac{1}{2}\rho v^2...44.8</math> för rörelseenergidensitet. Detta för att saker som "delas" med volymen i själva verket är en [b]densitet[/b] medans saker som delas med arean är en [b]täthet[/b] och saker som delas med längden är en [b]intensitet[/b]. Speciellt intressant med (gas)tryck är att det har enheten J/m^3 dvs är en densitet. =Kapitel XXXVIII, Hydrodynamik för reala vätskor= [[File:Fusion Viscosity fluid.png|thumb|Visar hur viskositet kan räknas ut]] Om en plan skiva (planet//bottenytan) rör sig med konstant hastighet v parallellt med botten kan man notera en laminär strömning hos vätskan med en hastighet som från 0 vid bottenytan växer linjärt till värdet v vid skivan. Som mått på vätskans skjuvkrafter (friktionskrafter) inför vi VISKOSITETEN definierad av <math>F=\eta S\frac{v}{y}...45.1</math> eller allmänt <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}...45.2</math> Vilket innebär att enheten för eta/viskositet är Ns/m^2 som också kan fås från (där P är impulsen) <math>\eta=\frac{dP}{dS}...45.3</math> ty <math>F=\frac{dP}{dt}...45.4</math> per definition. Sjuvspänningen kan sedan tecknas <math>\tau=\eta \frac{dv}{dy}...45.5</math> Detta säger dock inte min lärare så mycket om men jag skriver ner det ändå, tydligen är skjuvspänningen snarare trycket hos "viskositetkraften" för i övrigt gäller samma formel. =Kapitel XXXIX, Strömning i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] Vi söker hastighetsprofilen v=v(r) där r är avståndet från symmetriaxeln. Den snabbare strömmande inre cylindern med radie r bromsas av den långsammare omgivningen med kraften <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}=-\eta S\frac{dv}{dr}...46.1</math> sedan är <math>S=2\pi r L...46.2</math> varför <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta pS_{\perp}...46.3</math> pga accelererande krafter på båda ändytorna, detta kan också skrivas <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta p\pi r^2...46.4</math> arrangerar man om får man sedan <math>dv=-\frac{1}{\eta 2\pi L}\Delta p\pi rdr...46.5</math> eller <math>dv=-\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> vilket kan integreras enligt <math>\int_v^0dv=-\int_r^R\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> dvs <math>v=\frac{\Delta p}{2\eta L}[r^2/2]_r^R...46.6</math> eller <math>v=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2)...46.7</math> hastighetsprofilen är med andra ord parabolisk med lägst hastighet i periferin dvs nära rör-väggen. =Kapitel XL, Totala vätskeflödet i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux Total.png|thumb|Totala vätskeflödet i ett rör]] Genom ett ringformigt tvärsnitt vars begränsningsradier är r och r+dr (och vars area är 2pir*dr) strömmar flödet <math>d\phi=d(\frac{dV}{dt})=v\cdot dS=v2\pi r dr...47.1</math> Totalt i röret flödar då <math>\int d\phi=\int_0^R v2\pi r dr...47.2</math> med hjälp av föregående kapitel fås då <math>\int d\phi=\int_0^R \frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2) 2\pi r dr...47.3</math> dvs <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\int_0^R (R^2r-r^3) dr...47.4</math> eller <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[R^2\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}]_0^R...47.5</math> som blir <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}]...47.6</math> dvs <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\frac{R^4}{4}...47.7</math> eller <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{8\eta L}R^4...47.8</math> Rätt intressant att veta att flödet i ett rör går som R^4, en liten ändring av diametern ändrar alltså flödet nåt enormt! =Kapitel XLI, Överljudsströmning= [[File:Fusion Fluid Boost.png|thumb|Fluiders strömningshastighet]] <math>p_0+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...48.1</math> vid horisontell strömning, accelereras stillastående (Vo=0) luft från <math>p_0=1 atm=10^5 Pa...48.2</math> till <math>0,99p_0...48.3</math> och <math>v=v_1...48.4</math> så gäller <math>p_0+0=0,99p_0+\frac{1}{2}\rho v_1^2...48.5</math> dvs <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 0,01p_0}{\rho}}...48.6</math> eller <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 10^3}{1,3}}\approx 40m/s...48.7</math> Detta är alltså ett riktmärke för hur nära ljudhastigheten man kan tillämpa Bernoullis ekvation, 40/340 är 12%, 20% är vedertaget. Bilden kommer inte från min lärobok, jag har hittat på den. Idag kom jag på att det eventuellt finns två fall av denna situation. Om man tittar hur en fluid måste uppföra sig när den går ur "tratten" så måste den ju följa väggarna för att formlerna skall duga till nåt. Men jag ser plötsligt att det är skillnad på fluid och fluid för vatten skulle inte kunna följa trattens väggar, den skulle mest fortsätta går rakt fram. En varm gas skulle däremot kunna följa tratt-väggarna för en varm gas vill expandera pga dess inre tryck (läs dess inre partiklas kinetiska energi per volymsenhet) så när den kommer ut ur trattens mynning så expanderar den bara. Detta gör inte vatten. Så jag har blivit lite lurad av min egen kurslitteratur för det verkar som om man inte bara utan vidare kan kalla både en gas och en vätska för en fluid för tydligen gåller inte samma premisser. I vattenfallet kan man helt enkelt teckna kontinuitetsekvationen enligt: <math>S1v1=S2v2...48.8</math> eller <math>Sv=konst...48.9</math> där v är hastigheten. denna tycks alltså gälla för vatten (eller lite lekfullt även för en uppochnervänd PET-flaska med jordnötter (som jag matar mina fåglar med)). Där i fallet att utgående area är större än ingående så fås en lägre hastighet på vattnet. Men för fallet varm gas och tratten så blir det istället att följande tycks gälla. <math>p_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=p_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.10</math> vilket kommer från Bernoillis ekvation. Jag tolkar denna ekvation som att det statiska trycket (p0 respektive p1) är det som ändras för allt handlar väl yterst om kraftjämvikt? Och handlar det om (statisk) kraftjämvikt så är F0=F1 och man kan teckna <math>F_0/S_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=F_0/S_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.11</math> där således v1 måste öka i förhållande till v0 ty ytan ökar och därmed sjunker p1. Med andra ord tycks vi ha två olika ekvationer som inte generellt gäller utan man måste titta på vilken typ av "fluid" det är. =Kapitel XLII, Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas= [[File:Fusion Fluid Compressible.png|thumb|Uträkningsunderlag för kontinuitetsekvation]] Vi kunde för den inkompressibla fluiden utnyttja kravet volymen = konstant, vilket då också uppfyller mekanikens första konserveringslag, den om massans konservering. Nu måste vi emellertid pga masskonserveringslagen modifiera sambandet <math>S_1v_1=S_2v_2...41.7</math> till att inkludera tätheterna enligt <math>\rho_1S_1v_1=\rho_2S_2v_2...49.1</math> Om vi först tänker oss en inkompressibel fluid som vatten, då gäller kontinuitetsekvationen enligt 41.7 ovan. Men om det handlar om en gas så är den kompressibel och får olika täthet vid dom olika tvärsnittsareorna för när gas flödar in i nåt som har mindre area så borde rimligtvis dess densitet öka. Enligt 41.7 så har vi att flödet (Volym per tidsenhet) är samma för den inkompressibla fluiden men nu har vi att massa per tidsenhet in måste vara samma som massa per tidsenhet ut egentligen kanske tom pga Newtons första lag om kraft=motkraft, eller? Så man kan teckna 49.1 vilket kanske även kan ses som massans oförstörbarhet. Det är kul att spekulera i vad som händer. Om vi tar vatten så kommer det i min bild innebära att v2>v1 enligt 41.7. Men om vi tar gas så är det svårare att se hur mycket tätare den blir men eventuellt går densiteten som S1/S2 och då ger 49.1 att det blir <math>\rho_1S_1v_1=\rho_1\frac{S_1}{S_2}*S_2v_2...49.1</math> dvs <math>v_2=v_1</math> dvs det sker ingen hastighetsökning alls om det gäller en gas. =Kapitel XLIII, Horisontell strömning av kompressibel gas= [[File:Fusion Horisontal Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] På gasmassan enligt <math>m=\rho S dx...50.1</math> verkar den i x-led accelererande kraften <math>pS-(p+dp)S=F=-dpS...50.2</math> Kraftekvationen ger <math>m\frac{dv}{dt}=-dpS...50.3</math> eller <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> differentierar man v får man <math>dv=\frac{dv}{dt}dt+\frac{dv}{dx}dx...50.5</math> vi är intresserade av hastighetsförändringen i rummet och inte i tiden samtidigt som hastigheten i en fix punkt alltid är densamma därför reduceras differentieringen till <math>dv=\frac{dv}{dx}dx...50.6</math> och insatt i vår ekvation fås <math>\rho dx\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-dp...50.7</math> dvs <math>\rho dv v=-dp...50.8</math> eller <math>\rho v dv+dp=0...50.9</math> lite kan man nog se det som <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> dvs att trycket sjunker med både rho och hastigheten för redan derivatan och minustecknet framför rho säger oss att trycket sjunker med ökande hastighet men den extra hastigheten multiplicerat med rho säger oss att denna tryckminskning snarare är kvadratiskt minskandes med hastigheten. Den sista ekvationen är originellt nog lika med en differentiering av Bernoulli ekvation dvs <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...50.11</math> för horisontell strömning och differentieringen blir <math>dp+\rho v dv=0...50.12</math> Men om Bernoullis ekvation hade gällt för en kompressibel gas så skulle differentieringen även få göras för rho med resultatet <math>dp+\rho vdv+\frac{1}{2}v^2d\rho...50.13</math> vilket alltså är fel. =Kapitel XLIV, Överljudsströmning= Vid strömningshastiheter kring eller över ljudhastigheten c spelar det så kallade Mach's Tal <math>\mu=\frac{v}{c}...51.1</math> en avgörande roll i den teoretiska behandlingen av problemen. Från akustiken lånar vi uttrycket för ljudhastigheten <math>c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}...51.2</math> som låter oss skriva <math>\mu^2=\frac{v^2}{c^2}=v^2\frac{d\rho}{dp}=v^2 \frac{d\rho}{dv}\frac{dv}{dp}...51.3</math> som med hjälp av <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> ger <math>\mu^2=v^2\frac{d\rho}{dv}\cdot (-\frac{1}{\rho v})...51.4</math> dvs <math>\mu^2=-\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv}...51.5</math> -------------------------- Jag kommer inte på nån bra bild att ladda upp här så jag tänkte försöka bevisa min lärares påstående i 51.2 istället, repeterar <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> Differentierar man denna får man (åtminstone delvis) <math>\frac{\partial \rho}{\partial p}dp vdv=-dp...51.6</math> eller <math>\frac{\partial \rho}{\partial p} vdv=-1...51.7</math> eller <math>vdv=\frac{-\partial p}{\partial \rho}...51.8</math> Här har jag ett teckenfel men rho bör rimligtvis öka om trycket ökar dvs drho/dp bör vara positivt här och om det är det gäller <math>\frac{v^2}{2}=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.9</math> där jag faktisk tolkar denna ekvation som <math>(\frac{v}{\sqrt{2}})^2=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.10</math> eller <math>v_{eff}=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial \rho}}...51.11</math> Ty vi snackar mest sinusiala rörelser här. Jag tror jag kommit på hur man får bort teckenfelet ovan, derivatan drho/dp är positiv på vänstra sidan om likhetstecknet medans om man permuterar täljare och nämnare blir den negativ på högra sidan likhetstecknet varvid minus-minus blir plus. Tycker det är kul med alla fel man gör, man lär sig mest då. =Kapitel XLV, Raketforskning= [[File:Fusion Mach Flow.png|thumb|Överljudsströmning medels Laval-Dysa]] Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas lyder ju <math>\rho v S=konstant_A...52.1</math> som också kan skrivas <math>ln(\rho v S)=konstant_B...52.2</math> Logaritmisk utveckling ger sedan <math>ln\rho+ln v+lnS=konstant_B...52.3</math> differentiering ger nu <math>\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dv}{v}+\frac{dS}{S}=0...52.4</math> dvs <math>\frac{dS}{S}=-(\frac{dv}{v}+\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{dv}\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv})=-\frac{dv}{v}(1-\mu^2)...52.5</math> alltså gäller <math>\frac{dS}{S}=[\mu^2-1]\frac{dv}{v}...52.6</math> och <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> som sägs saga oss att om hastigheten ökar så minskar trycket. Slutligen har vi två speciella fall: 1) Vid underljudsströmning dvs <math>\mu<1...52.7</math> är <math>\mu^2-1<0...52.8</math> varför, som vi väntar oss, en ökning av gasströmmens tvärsnittsarea (dS>0) medför att dv<0 dvs en minskning av v (jfr kontinuitetsekvationen för inkompressibel gas ty låga hastigheter dvs v1S1=v2S2). 2) Vid överljudsströmning dvs <math>\mu>1...52.9</math> är <math>\mu^2-1>0...52.10</math> varför, i strid med vad som förväntas, en ökning av strålens tvärsnittsarea medför ökning av hastigheten (jämför med kontinuitetsekvationen för kompressibel gas ty höga hastigheter dvs rho1v1S1=rho2v2S2). 1) innebär att vi aldrig genom successiv reduktion av en strålkanals tvärsnittsarea kan uppnå ljudhastigheten (detta vore ju den enkla och självklara metoden om Bernoullis ekvation gällde), visserligen innebär en minskning av S samtidig ökning av v MEN endast då my<1 eller v<c. 2) ger en fingervisning hur en strålkanal skall konstrueras för att ge v>c, i Lavaldysan bringas först gasen (my<1) nära c genom en kort förträngning för att därefter vidga sin tvärsnittsarea pga dysans form. ='''Del IV, OPTIK'''= =Kapitel XLVI, Maxwell's ekvationer som kuriosa= Här tänker jag raljera över Maxwell's ekvationer utan att egentligen ha nån egen koll. <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho_vdv=Q...53.1</math>...[Gauss Lag] <math>\int BdS=\phi...53.2</math>...[Weber's Lag] <math>\oint Hdl=\oint \frac{B}{\mu}dl=I+\oint \frac{dD}{dt}dS...53.3</math>...[Ampere's Lag] <math>\oint Edl=-\oint \frac{dB}{dt}dS...53.4</math>...[Faraday's Lag] Det är intressant med dimensionsanalys när man försöker förstå, dessa dimensioner får man om man tänker efter: <math>\epsilon=\frac{As}{Vm}...53.5</math>...[permittivitet] <math>\mu=\frac{Vs}{Am}....53.6</math>...[permeabilitet] <math>D=\frac{As}{m^2}...53.7</math>...[elektrisk flödestäthet] <math>B=\frac{Vs}{m^2}...53.8</math>...[magnetisk flödestäthet] <math>E=\frac{V}{m}...53.9</math>...[elektrisk intensitet] <math>H=\frac{A}{m}...53.10</math>...[magnetisk intensitet] När man räknar på spolar kan man skriva: <math>H=\frac{NI}{l_m}...53.11</math> <math>B=\mu H=\mu \frac{NI}{l_m}...53.12</math> <math>BS=\phi=\mu \frac{NIA}{l_m}...53.13</math> <math>\Lambda=\phi N=\mu \frac{N^2IA}{l_m}...53.14</math> <math>L=\frac{\Lambda}{I}=\mu \frac{N^2A}{l_m}...53.15</math> För kondensatorer kan man skriva: <math>E=\frac{U}{l_e}...53.16</math> <math>D=\epsilon E=\epsilon \frac{U}{l_e}...53.17</math> <math>DS=Q=\epsilon ES=\epsilon\frac{UA}{l_e}...53.18</math> <math>C=\frac{Q}{U}=\epsilon \frac{A}{l_e}...53.19</math> =Kapitel XLVII, Snell's brytningslag och Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Snell.png|thumb|Hur elektromagnetiska vågor bryts]] [[File:Fusion Reflection 2.png|thumb|Reflektion och transmission av en stråle]] Det här kapitlet är ganska långt ifrån mina ambitioner med att försöka eller vara behjälplig med att bygga en fungerande fusionsreaktor men det är ett kapitel i min kurslitteratur som jag nu de senaste månaderna ändå tragglat mig igenom, ingen kunskap är dålig kunskap. Jag levererar fyra bilder, Snell's brytningslag är mycket viktig och behandlar hur ljus bryts och varför, den andra bilden sammanfattar ganska generellt vad som händer vid interferens dvs där ljusstrålar antingen förstärker (konstruktiv interferens) eller dämpar (destruktiv interferens) "varandra", den tredje sammanfattar på ett bra sätt hur interferens medels ljus i spalter och ljusöppningar beter sig, den sista bilden förklarar vad infallsplan är för nåt. Snell's brytningslag grundar sig på att tiden för ljuset att gå sträckan dsin(O1) är lika med tiden för ljuset att gå dsin(O2) för annars blir det fel i fas och eftersom tid kan skrivas som sträcka genom hastighet där hastighet är c/n pga brytningsindex så kan man skriva detta som <math>\frac{dsin(\theta_1)}{c/n_1}=\frac{dsin(\theta_2)}{c/n_2}...54.1</math> eller <math>n_1\cdot sin(\theta_1)=n_2\cdot sin(\theta_2)...54.2</math> som är Snell's brytningslag. Utöver detta finns reflektionslagen som i min kurslitteratur sägs vara ett specialfall av Snell's brytningslag men jag klassar det uttalandet som skitsnack samtidigt som alla vet att om man sparkar en boll snett mot en vägg så kommer den studsa lika snett åt andra hållet dvs utfallsvinkeln är lika med infallsvinkeln och man behöver inte vara forskare för att förstå det :D För formens skull skriver jag ändå reflektionslagen enligt <math>\theta_i=\theta_r...54.3</math> där index i indikerar infallande stråle och index r indikerar reflekterad stråle. Man kan förmodligen se härledningen av denna formel som härledningen för Snell men att man befinner sig i samma medium och då är brytningsindex och därmed hastighet lika dvs både ljushastigheten och brytningsindex kan förkortas bort. Nu behöver vi veta hur elektromagnetisk strålning beter sig i gränsskikt, följande regler gäller enligt Maxwell: <math>E_{t1}=E_{t2}...54.4</math> <math>H_{t1}=H_{t2}...54.5</math> <math>D_{n1}=D_{n2}...54.6</math> <math>B_{n1}=B_{n2}...54.7</math> dessa regler ger enligt min lärare <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_1-\theta_2)}{sin(\theta_1+\theta_2)}...54.8</math> och <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_1-\theta_2)}{tan(\theta_1+\theta_2)}...54.9</math> och nu ska vi härleda dessa uttryck för vad ska man med formler till om man inte förstår vart dom kommer ifrån? Först har jag fått lära mig att följande gäller (redigerad efter egen övertygelse) <math>E_i=E_r+E_t...54.10</math> vilket låter rimligt, ser det som att inkommande energi delas upp i reflekterad och transmitterad energi. Nedan nämns infallsplanet som är vinkelrätt (och därmed normal) mot planet strålen träffar, man kallar sedan E_parallell för nåt som ligger i infallsplanet (dvs i y-led), tycker det känns rätt onödigt att komplicera saken på detta sätt för strålarna träffar ju en yta/plan och en del reflekteras med vinkel uppåt och en del transitteras med vinkel neråt samtidigt som boundary-kriterierna (hittar inget bättre ord) är väldefinierade både normalt och tangentiellt till detta det "riktiga" infallsplanet. Men enligt litteraturen och Physics Forums gäller för den vinkelräta biten följande (alla vinklar är alltid relaterade till normalen till den yta strålen infaller på) <math>E_{\perp}=E_icos(\theta_i)...54.11</math> och E_parallell som är parallell mot infallsplanet <math>E_{\parallel}=E_isin(\theta_i)...54.12</math> Reflektionslagen lyder sen som sagt <math>\theta_i=\theta_r...54.13</math> dvs reflektionsvinkeln är lika med infallsvinkeln (jämfört med gränsytans normal), dessutom lyder i detta fall speciellt <math>H_{1t}=H_{2t}...54.14</math> där <math>H=\frac{B}{\mu}...54.15</math> Enligt 54.10 kan man alltså säga att följade gäller för den vinkelräta delen <math>\frac{B_i}{\mu_i}cos(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}cos(\theta_i)+\frac{B_t}{\mu_t}cos(\theta_t)...54.16</math> Både H och E är är alltså kontinuerlig i den tangentiella delen av gränsövergången (se 54.14), nu gäller <math>\mu_i=\mu_r\approx\mu_t...54.17</math> ty omagnetiska material såsom t.ex glas har my väldigt nära my för vaakum, som också kallas my_0, dessutom gäller <math>F=qE=qvB...54.18</math> vilket är en klassisk formel men faktumet att E=vB härleds egentligen på ett annat sätt, nu får vi således <math>\frac{E_i}{v_i}cos(\theta_i)=\frac{E_r}{v_r}cos(\theta_i)+\frac{E_t}{v_t}cos(\theta_t)...54.19</math> som eftersom <math>v=\frac{c}{n}...54.20</math> och c är konstant samtidigt som nr=ni ger <math>n_iE_icos(\theta_i)=n_iE_rcos(\theta_i)+n_tE_tcos(\theta_t)...54.21</math> Här nyttjas sedan den, i original, skumma formeln ovan dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.10'</math> som dock inte kan gälla för energidensiteten är <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2...54.22</math> dvs det finns ingen chans att transmitterad energi är större än infallande energi så jag anser detta vara akademiskt dravel men har kvar resten av uträkningarna för att jag lagt ner en massa arbete på att koda upp dom, villfarelsen har jag för övrigt fått av Physics Forums (dvs den senaste 54.10). <math>n_iE_icos(\theta_i)=E_r(n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t))+n_tE_icos(\theta_t)...54.23</math> dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_tcos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t)}...54.24</math> Nu gäller Snell's brytningslag dvs <math>n_isin(\theta_i)=n_tsin(\theta_t)...54.25</math> där n_i är infallsvinkeln jämfört med normalen och n_t är pss transmitterad vinkel, om n_t löses ut så fås <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.26</math> och insatt i ovanstående ekvation så fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}...54.27</math> Nu blir det "bara" en massa trigonometri :) Först, n_i går uppenbarligen bort sen börjar vi med att förlänga täljare och nämnare med <math>sin(\theta_t)...54.28</math> då fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{cos(\theta_i)sin(\theta_t)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{cos(\theta_i)sin(\theta_t)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.29</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{sin(\theta_t)cos(\theta_i)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{sin(\theta_t)cos(\theta_i)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.30</math> Nu finns det en trigonometrisk lag som säger att <math>sin(\alpha)cos(\beta)=\frac{1}{2}[sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)]...54.31</math> använder vi detta och observerar att <math>sin(-\alpha)=-sin(\alpha)...54.32</math> så får vi <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_i-\theta_t)}{sin(\theta_i+\theta_t)}...54.33</math> som dock bara gäller den vinkelräta biten, allt måste göras om för den parallella biten och där tror jag att ansatsen är <math>\frac{B_i}{\mu_i}sin(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}sin(\theta_r)+\frac{B_t}{\mu_t}sin(\theta_t)...54.34</math> vilket borde innebära att man bara byter ut cos mot sin i den vinkelräta formeln men jag kommer inte göra den uträkningen dock har jag svaret dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_i-\theta_t)}{tan(\theta_i+\theta_t)}...54.35</math> Polarisationsvinkeln är definierad som vinkeln mellan Ei och infallsplanet, om vi kallar denna vinkel för alpha så fås <math>Ei_\parallel=E_icos(\alpha)...54.36</math> och <math>Ei_\perp=E_isin(\alpha)...54.37</math> sen vet vi att energidensiteten (normalt kallad energitätheten eller intensiteten) är <math>I=\epsilon\frac{1}{2}E^2...[J/m^3]...54.38</math> vilket också kan ses som ett elektromagnetiskt tryck, detta ger <math>I\propto E^2...54.39</math> pga detta kan man skriva <math>Ii_\parallel=I_0cos^2(\alpha)...54.40</math> och <math>Ii_\perp=I_0sin^2(\alpha)...54.41</math> varför man kan skriva <math>Ir_\perp=I_0sin^2(\alpha)\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...54.42</math> Som är den ena av Fresnels Ekvationer, denna behandlar alltså dom gentemot infallsplanet vinkelräta komponenterna. Jag har nu försökt räkna ut dom parallella bitarna, jag tror mig kommit på att min ovanstående ansats är fel och detta pga att man måste se på dom normala bitarna i det här fället vilket innebär att <math>D_{1n}=D_{2n}...54.43</math> borde gälla istället, att det blir på det här viset har att göra med att vi nu tittar på komponenter som är normala till gränsytan (och därmed parallella till infallsplanet), i förra fallet tittade vi ju på komponenter som var tangentiella till gränsytan, sen gäller <math>D=\epsilon E...54.44</math> varför man istället kan skriva <math>\epsilon_iE_isin(\theta_i)=\epsilon_iE_rsin(\theta_i)+\epsilon_tE_tsin(\theta_t)...54.45</math> som eftersom <math>\epsilon_r=n^2...54.46</math> övergår i <math>n_i^2E_isin(\theta_i)=n_i^2E_rsin(\theta_i)+n_t^2E_tsin(\theta_t)...54.47</math> sen tror jag att att den skumma formeln fortfarande gäller dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.48</math> detta ger <math>E_i(n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t))=E_r(n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t))...54.49</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t)}...54.50</math> nu är åter <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.51</math> så att vi får <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}...54.52</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_i)-\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}{sin(\theta_i)+\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}...54.53</math> och här ser man direkt att det blir <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_t)-sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)+sin(\theta_i)}...54.54</math> nu blir det att ta till lite klurig trigonometri och för att slippa koda så mycket så skippar jag att vinkelsummorna och vinkeldifferenserna skall halveras <math>sin(\alpha)-sin(\beta)=2sin(\alpha-\beta)cos(\alpha+\beta)...54.55</math> respektive <math>sin(\alpha)+sin(\beta)=2sin(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)...54.56</math> När vi sätter in detta skall vi vara medvetna om att det är en kvot vilket medger vissa extra trick enligt <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{2sin(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{2sin(\theta_t+\theta_i)cos(\theta_t-\theta_i)}...54.57</math> om vi nu delar både täljare och nämnare med <math>\cos(\theta_t-\theta_i)...54.58</math> så faller nåt intressant ut <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{sin(\theta_t+\theta_i)}...54.59</math> som även kan skrivas <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)}{tan(\theta_t+\theta_i)}...54.60</math> vilket är rätt enligt litteraturen men skall egentligen vara <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\frac{\theta_t-\theta_i}{2})}{tan(\frac{\theta_t+\theta_i}{2})}...54.61</math> enligt dom trigonometriska lagarna. Om vi kör på med vad litteraturen säger så ger detta den andra Fresnelska ekvationen enligt <math>Ir_\parallel=I_0cos^2(\alpha)\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...54.62</math> Jag finner två fel i ovanstående uträkningar där det ena är att transmitterad elektrisk fältstyrka (E_t) inte kan vara större än infallande elektriska fältstyrka (E_i) pga energiprincipen, det andra felet ligger i litteraturens variant av den parallella energidensiteten (54.62) ty vinklarna ska halveras. Detta är som sagt bara en svammelbok så jag svamlar på genom att säga att jag har fel ovan, Physics Phorums har rätt hur konstigt det än ser ut för om ni tittar i min senaste bild ovan och kollar in sinus för alla "strålar", tar man sedan hänsyn till "pilarna" så pekar alla sinuskomponeter av E-fälten i samma riktning samtidigt som <math>E_{2t}=E_{1t}...54.63</math> och faktiskt Kirschoffs spänningslag gäller för gränsskiktets E-fält enligt <math>\oint E\cdot dl=q\oint E\cdot dl=q\int_{P1}^{P1} E \cdot dl=q \Delta V=0...54.64</math> Jag kommer återkomma till det här senare i min bok och känner inte för att djupdyka här och nu så mycket men om Ni tänker er en liten rektangel med bredden w (och obetydlig höjd) som på ovansidan går i Region 1 för att sedan gå ner i Region 2 och att ni tar Kirschoff på denna potentialvandring så får Ni <math>(Eit+Ert)\Delta w-Ett\Delta w=0...54.65</math> där vi alltså bara tittar på de till gränsskiktet tangentiella bitarna (aka i x-led), på ovansidan samverkar alltså de tangentiella fälten medans på undersidan blir det minus för riktningen är i negativ x-led om man börjat i positiv x-led ovanifrån, här ser Ni att PF har rätt, dock kan man lite leka med mitt energitänk modell att vi kollar hur energikvoten eventuellt kan bli att se ut genom sedvanlig formel ovan (54.38) dvs <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 Ett^2}{\epsilon_1(Eit^2+Ert^2)}...54.66</math> som kan skrivas om enligt (ty theta_r=theta_i) <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 (Et\cdot sin(\theta_t))^2}{\epsilon_1\sin(\theta_i)^2(Ei^2+Er^2)}...54.67</math> eller <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 sin(\theta_t)^2}{\epsilon_1 sin(\theta_i)^2}\frac{Et^2}{Ei^2+Er^2}...54.68</math> Jag vet verkligen inte men om det inte finns förluster så kanske denna ändå alltid är ett, ett sätt att se det är att theta_t alltid är mindre OMM n2>n1 vilket samtidigt innebär att theta_i är större dvs kvoten kompenseras här, den första termen kan alltså typ "alltid" vara ett. Man kan på liknande sätt visa dom normala bitarna (cosinus) enligt <math>D_{2n}=D_{1n}...54.69</math> där <math>D=\epsilon E...54.70</math> Men jag gör inte det här för detta kapitel har blivit komplicerat nog, nu siktar jag på att gå vidare med min bok. =Kapitel XLVIII, Specialfall av Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Refraction Zero 3.png|thumb|Visar hur en plan våg transmitteras när den infaller mot ett tunnare medium]] När alpha är 45 grader vilket gäller för cirkulärpolariserat och opolariserat ljus så fås, ty både sin^2(45) och cos^2(45)=1/2: <math>Ir_\perp=\frac{I_0}{2}\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...55.1</math> respektive <math>Ir_\parallel=\frac{I_0}{2}\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...55.2</math> Sen har vi specialfall 1: <math>\theta_i=\theta_t=0...55.3</math> dvs vinkelrätt infall, för små vinklar gäller <math>Ir_\parallel=Ir_\perp=\frac{1}{2}I_0[\frac{\theta_i-\theta_t}{\theta_i+\theta_t}]^2=\frac{1}{2}I_0[\frac{\frac{\theta_i}{\theta_t}-1}{\frac{\theta_i}{\theta_t}+1}]^2...55.4</math> eftersom Snell ger <math>n_isin\theta_i=n_tsin\theta_t...55.5</math> men att vi kör små vinklar så får vi att sinus är ungefär lika med vinkeln dvs <math>n_i\theta_i=n_t\theta_t...55.6</math> som kan skrivas <math>\frac{\theta_i}{\theta_t}=\frac{n_t}{n_i}...55.7</math> och därmed <math>I_r=I_{r_\perp} + I_{r_\parallel} = I_0[\frac{\frac{n_t}{n_i}-1}{\frac{n_t}{n_i}+1}]^2...55.8</math> dvs <math>I_r=I_0[\frac{n_t-n_i}{n_t+n_i}]^2\propto [\frac{\Delta n}{\Sigma n}]^2...55.9</math> Ir är då alltså den reflekterade intensiteten, från luft mot glas är den bara 4%. Specialfall 2: Om ljus infaller mot en gränsyta under en sådan infallsvinkel att <math>\theta_i+\theta_t=90 grader...55.10</math> så blir <math>I_{r_\parallel}=0...55.11</math> denna vinkel <math>\theta_i...55.12</math> kallas alltså för Brewstervinkeln eller polarisationsvinkeln. Den reflekterade strålen är alltså fullständigt polariserad vinkelrätt mot infallsplanet, detta inträffar enligt Snell's brytningslag då <math>\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin(90-\theta_i)}=tan(\theta_i)...55.13</math> Intensiteten blir om det infallande ljuset är opolariserat <math>I_r=Ir_\perp=\frac{I_0}{2}sin^2(\theta_i-\theta_t)...55.14</math> Specialfall 3: Om strålen reflekteras mot ett medium med lägre brytningsindex så har ekvationen <math>sin(\theta_i)=\frac{n_t}{n_i}sin(\theta_t)...55.15</math> ingen reell lösning i <math>\theta_t...55.16</math> om <math>sin(\theta_i)>\frac{n_t}{n_i}...55.17</math> dvs vi får totalreflektion. Detta är grunden för fibroptikens stora praktiska tillämpningar, med fiberoptik kan ljus överföras långa sträckor med mycket små förluster. Den här ekvationen är lite svår att förstå så jag måste fundera vidare på den, helt klart är i alla fall att om man har en fiber och infallsvinkeln är stor (vilket den ju är hos en långsmal fiber) då reflekteras all intensitet och därmed energi tillbaka in i fibern men hur detta sker har jag svårt för att fullt ut greppa, kanske man kan se det som att ljus bryts från normalen när man har lägre brytningsindex "utanför" vilket ju gör att efter en viss infallsvinkel så bryts strålen in i "manteln" (och innanför). =Kapitel XLIX, Superposition= [[File:Fusion Complex Vector Addition.png|thumb|Visar hur komplexa vektorer adderas]] Detta är mycket basalt men väldigt intressant och lärorikt för säg att vi har två vågor <math>z_1=A_1e^{j(wt+\delta_1)}...56.1</math> och <math>z_2=A_2e^{j(wt+\delta_2)}...56.2</math> superpositionsprincipen ger då den resulterande svängningen som <math>z=z_1+z_2=(A_1e^{j\delta_1}+A_2e^{j\delta_2})e^{jwt}...56.3</math> eller <math>z=Ae^{j\delta}e^{jwt}...56.4</math> Jag borde nu rita ett vektordiagram men jag orkar inte det, istället ska jag försöka förklara i ord för låt det komplexa talet <math>A_1e^{j\delta_1}...56.5</math> vara en vektor med liten vinkel relativt x-axeln (realdelen av talet) sen låter vi det adderas med ett komplext tal till enligt <math>A_2e^{j\delta_2}...56.5</math> med större vinkel relativt x-axeln, det intressanta nu är att resultanten får en vinkel som är summan av dom båda vektorernas vinklar, amplituden hos resultanten är sedan ännu mer spännande för den blir uppdelad på cos och sin enligt Pythagoras sats likt: <math>z^2=(A_1cos(\delta_1)+A_2cos(\delta_2))^2+(A_1sin(\delta_1)+A_2sin(\delta_2))^2...56.6</math> detta kan man utveckla till <math>A_1^2cos^2(\delta_1)+2A_1A_2cos(\delta_1)cos(\delta_2)+A_2cos^2(\delta_2)+A_1^2sin^2(\delta_1)+2A_1A_2sin(\delta_1)sin(\delta_2)+ A_2^2 sin^2(\delta_2)...56.7</math> eller <math>A_1^2(cos^2(\delta_1)+sin^2(\delta_1))+A_2^2(cos^2(\delta_2)+sin^2(\delta_2))+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.8</math> och pga trigonometriska ettan kan detta förenklas till <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.9</math> Sen finns det tydligen en trigonometrisk regel som säger att <math>cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta=cos(\alpha-\beta)...56.10</math> vilket ger <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\delta_1-\delta_2)...56.11</math> Eftersom intensiteten är proportionerlig mot amplituden i kvadrat så kan den resulterande intensiteten skrivas: <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta...56.12</math> Om vi antar att A1=A2 så får vi sedan två specialfall Fall I: Konstruktiv interferens <math>\delta=0+n2\pi, n=heltal...56.13</math> dvs z1 och z2 är då i fas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.14</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(0+n2\pi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}=4I_1...56.15</math> Fall II: Destruktiv interfrens <math>\delta=\pi+n2\pi, n=heltal...56.16</math> dvs z1 och z2 är i motfas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.17</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(\pi+n2\pi)=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}=0...56.18</math> Om vi fortfarande sätter I1=I2 men har en godtycklig fasskillnad så får vi <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1[1+2cos^2\frac{\delta}{2}-1]=2I_12cos^2\frac{\delta}{2}...56.19</math> dvs <math>I=4I_1cos^2\frac{\delta}{2}...56.20</math> Jag tycker dock att denna omskrivning är tramsig, ska genomgående försöka köra enligt original dvs <math>I=2I_1(1+cos\delta)...56.21</math> för då kan man enkelt se släktskapet med intensitetsformlerna vi ovan härlett, annars blir det liksom "wow, man kan skriva om den här formeln för att det går och jag är duktig på sånt, typ" =Kapitel L, Youngs dubbelspaltexperiment= [[File:Fusion Young.png|thumb|Youngs berömda dubbelspaltförsök]] Pga att det finns två och mycket smala spalter i Youngs dubbelspaltexperiment så kan ljuset när det belyser spalterna gå till höjden y på skärmen på två sätt och då via endera spalt. Det kommer nu finnas en bestämd fasrelation mellan de elektriska fälten i spalterna. De är i fas mitt på skärmen dvs vi har ett maxima där (inte så konstigt att tänka sig ty samma vågfront belyser de båda spalterna och sen skall bara vågorna propagera fram till skärmen). För små vinklar kan vi sedan skriva <math>sin(\theta)=\tan(\theta)=\frac{y}{L}...57.1</math> fasskillnaden kan skrivas <math>\delta=k\Delta x=k\cdot d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}...57.2</math> I maxima förstärker strålarna varandra pga att delta, och därmed den obefintliga fasskillnaden, är m*2pi vilket ger <math>\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}=m\cdot2\pi, m=heltal...57.3</math> dvs fösta "fransen" bortanför principalmaxima ligger vid m=1 och <math>y=\frac{L}{d}\lambda...57.4</math> där jag kallar kvoten L/d för "Lambdaförstärkning". Pga små spaltbredder gäller sedan i praktiken <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1(1+cos(\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}))...57.5</math> Allmänt gäller <math>I_1<I...57.6</math> men bara när interferensen är konstruktiv. Vågtalet (k) är ett intressant tal men det grötar till saker och ting fast dess användning underlättas om man tänker fysisk "vägskillnad" (dx) som då är relaterat till lambda för att sedan om man multiplicerar med k (2pi/lambda) få det något mer diffusa begreppet kallat "fasskillnad" (kdx=delta enligt ovan) allting kompliceras ytterligare av att "optisk vägskillnad" egentligen stavas nkdx dvs brytningsindex gånger fasskillnaden, där n dock som bekant är hastighetsminskningen relativt ljushastigheten i det optiska mediumet. =Kapitel LI, Interferens i reflekterat ljus= [[File:Fusion Interference 2.png|thumb|Interferens]] Om man kikar i min ritning nedan så är det inte svårt att konstatera att villkoret för konstruktiv interferens är <math>\phi_B-\phi_D=2\pi\cdot m...58.1</math> dvs så länge varven snurrar ett helt varv och adderas så blir det förstärkning, för destruktiv interferens gäller sedan <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m...58.2</math> fasskillnaden här är som synes pi vilket innebär att vågorna är helt ur fas modell att när ena går upp så går andra ner och när man då adderar dom så blir summan noll. För att beräkna fasskillnaden mellan B och D utnyttjar vi att <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.3</math> Här tycker jag dock att följande är tydligare <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)+(\phi_A-\phi_D)...58.4</math> Totala fasändringen <math>\phi_D-\phi_A...58.5</math> för stråle 1 erhålles genom att till den fasändring som uppkommer pga reflektion mot tätare medium addera fasändringen utmed vägen AD För en våg <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)...58.6</math> är fasskillnaden mellan två punkter dx (i vågens utbredningsriktning) lika med <math>k\Delta x...58.7</math> Fasändringen utmed AD är således <math>kAD=\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.8</math> vilket pga av att vi har reflektion mot tätare medium ger <math>\phi_D-\phi_A=\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.9</math> Stråle 2 reflekteras mot ett optiskt tunnare medium vid nedre plattytan vilket inte ger upphov till någon extra fasändring, fasdifferensen mellan svängningen i B och A är då <math>\phi_B -\phi_A =k'(AF+FB)=\frac{2\pi}{\lambda'}(AF+FB)...58.10</math> där lambda' är våglängden i glasplattan given av <math>\lambda'=\frac{\lambda}{n}...58.11</math> dvs hastigheten i optiska medium med brytningsindex >1 är mindre än i vakuum, detta ger <math>\phi_B-\phi_A=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)...58.12</math> vilket man kan skriva om som <math>\phi_B-\phi_A=k\cdot n\cdot \Delta x...58.13</math> där <math>\Delta x...58.14</math> också kallas för vägskillnaden medans <math>k\Delta x...58.15</math> kallas för fasskillnaden, och <math>kn\Delta x...58.16</math> kallas för den optiska vägskillnaden, vilket genom att repetera ovanstående av lämplighet <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.17</math> ger <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)-(\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD)...58.18</math> Här gäller <math>AF=FB=\frac{d}{cos\beta}...58.19</math> och pga reflektionslagen gäller <math>sin\alpha=n\cdot sin\beta...58.20</math> vilket ger <math>AD=AB\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot nsin\beta=2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}...58.21</math> för ovan gäller helt enkelt <math>tan\beta=\frac{sin\beta}{cos\beta}...58.22</math> varav följer <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n\frac{2d}{cos\beta}-\pi-\frac{2\pi}{\lambda}2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}=\frac{4\pi nd}{\lambda cos\beta}(1-sin^2\beta)-\pi=\frac{4\pi nd}{\lambda}cos\beta-\pi...58.23</math> tricket här är alltså trigonometriska ettan <math>1-sin^2\beta=cos^2\beta...58.24</math> Vi får alltså destruktiv interferens om <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m=\frac{4\pi ndcos\beta}{\lambda}-\pi...58.25</math> Högerledets pi kan flyttas över till vänsterledet varvid m kan ökas med ett men detta spelar ingen roll så vi släpper det, istället fås <math>2ndcos\beta=m\lambda...58.26</math> som alltså är villkoret för utsläckning och att villkoret skiljer sig från Young har att göra med det extra fassprång man får vid reflektion mot tätare medium, jag brukar kalla detta "Ej OK" för normalt blir det ju förstärkning i detta fallet. Konstruktiv interferens fås sedan när <math>2ndcos\beta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...58.27</math> vilket är mitt föredragna sätt att skriva det samtidigt som detta ser ut som ett minimum (Ej OK). Lite extra intressant är att min lärare påstår att samma formler gäller om vi har tätare medium utanför skiktet fast även i detta fallet reflekteras ena strålen mot ett optiskt tätare medium, om man tänker efter. Dom här härledningarna är viktiga för fortsatta studier, det är därför jag lagt krut på dom. =Kapitel LII, Antireflexbehandling av ytor= [[File:Fusion Anti-Reflection.png|thumb|Antireflexbehandling av en yta]] [[File:Fusion Medium Refraction.png|thumb|Visar hur vågor beter sig när dom möter tätare respektive tunnare medium]] Om <math>n_1<n_2<n_3...59.1</math> och infallet är vinkelrätt/normalt så fås för destruktiv interferens <math>2n_2d=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...59.2</math> för att cos(beta) är ett och BÅDA strålarna har relekterats en gång mot tätare medium dvs deras fasskillnad är noll, med andra ord blir tänket nu "OK" ty udda halva lambda ger utsläckning medans hela lambda ger förstärkning, minsta möjliga tjocklek (m=0) blir således <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.3</math> Nu vet vi sedan förut att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n}{\sum n}]^2...59.4</math> Här får vi att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n_{12}}{\sum n_{12}}]^2...59.5</math> och <math>I_{tr}=I_t[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2...59.6</math> Om den förlorade reflektionsintensiteten är av storleksordningen 1% så kan vi sätta <math>I_t\approx I_i...59.7</math> dvs <math>I_{trt}=I_{tr}...59.8</math> eller <math>I_{trt}\approx I_i[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2=I_{tr}...59.10</math> För utsläckning kräver vi att <math>I_r=I_{trt}...59.11</math> vilket innebär <math>[\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}]^2=[\frac{n_2-n_3}{n_2+n_3}]^2...59.12</math> detta ger <math>n_2^2=n_1n_3...59.13</math> eller <math>n_2=\sqrt{n_1n_3}...59.14</math> Vi har alltså <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.15</math> där <math>n_2=\sqrt{n_3}...59.16</math> om n_1=1. Jag har själv lite svårt att följa det här och kanske jag förtydligar men om man tänker att det förloras väldigt lite i intensitet vid reflektion (r) och transmission (t) så underlättas det. =Kapitel LX, Newtons ringar= [[File:Fusion Newton Rings.png|thumb|Newtons ringar]] Newtons ringar innebär cirkulära ringar (destruktiv interferens) som interferensmönster, arrangemanget består av en planslipad uppochnervänd typ glasbit där undersidan har en mycket stor krökningsradie (R). Om man tittar en liten bit in under "huven" så har man att d är höjden och rm radien. Eftesom en av strålarna har reflekterats mot optiskt tätare medium (vilket jag brukar kalla "Ej OK") så har man att för destruktiv interferens gäller <math>2nd=m\lambda...60.1</math> vilket är samma som 58.26 ovan fast med transmissionsvinkeln (Beta) pga vinlelrätt infall lika med 0 som alltså innebär utdämpning. Detta är inte så konstigt för en stråle kommer in, en annan stråle kommer in OCH reflekteras mot tätare medium vilket ger den ett fassprång på pi och i det klassiska Young-fallet fanns inga sådana fassprång varvid ovanstående ekvation i det fallet indikerar förstärkning. Om radien i ring nummer m är rm så gäller pga Pythagoras sats <math>r_m^2+(R-d)^2=R^2...60.2</math> varav <math>r_m^2=2Rd-d^2\approx 2Rd...60.3</math> ty d^2 är så litet, således <math>r_m^2=2Rd=2R\cdot \frac{m\lambda}{2n}= m\cdot \frac{R\lambda}{n}=mR\lambda'...60.4</math> där n i praktiken är 1 (luft). =Kapitel LXI, Diffraktion i enkelspalt= [[File:Fusion Single Slot Diffraction.png|thumb|Sinc-puls från en enkelspalt]] Ett element med bredden ds i mitten av spalten (s=0) ger i en punkt (P) bidraget <math>dy_0=a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)...61.1</math> där a är en konstant som beror av den inkommande vågens intensitet och avståndet till observationsplanet. I förhållande till detta bidrag har bidraget dys från andra delar av spalten den ytterligare fasförskjutningen <math>k\Delta x=k\cdot s\cdot sin\theta....61.2</math> där b är spaltens bredd och s en punkt i spalten, formeln liknar formeln för Young om man byter s mot d dvs att den differentiella vägskillnaden är s*sin(theta) medans fasskillnaden är k gånger detta värde. Vi får alltså <math>dy_s=a\cdot ds\cdot sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta))...61.3</math> och den resulterande fältstyrkan erhålles genom integration mellan gränserna s=-b/2 och s=b/2. För att underlätta beräkningen adderar vi dock först symmetriskt belägna element två och två <math>dy=dy_s+dy_{s-}=a\cdot ds[sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta)+sin(wt-k(x-s\cdot sin\theta)]=...61.4</math> <math>a\cdot ds[sin[(wt-kx)-k\cdot s\cdot sin\theta]+sin[(wt-kx)+k\cdot s\cdot sin\theta]]=...61.5</math> <math>2a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)cos(k\cdot s\cdot sin\theta)...61.6</math> där vi har nyttjat att <math>sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)=2sin\alpha cos\beta...61.7</math> Totala amplituden Y i P fås genom integration mellan s=0 och s=b/2 dvs <math>Y=2asin(wt-kx)\int_0^{\frac{b}{2}}cos(k\cdot s\cdot sin\theta)ds=...61.8</math> <math>=ab\frac{sin(k/2\cdot b sin\theta)}{k/2\cdot b sin\theta}sin(wt-kx)...61.9</math> Om vi nu sätter <math>ab=A_0...61.10</math> och <math>k/2 \cdot bsin\theta=\beta...61.11</math> blir den med vinkeln theta varierande amplituden alltså <math>A=A_0\frac{sin\beta}{\beta}...61.12</math> Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat och vi får alltså <math>I\propto A_0^2\frac{sin^2\beta}{\beta^2}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...61.13</math> Vi skall nu studera hur intensiteten varierar med vinkeln theta: 1) När vinkeln theta går mot noll så går alltså beta mot noll och vi får <math>\frac{lim}{\beta->0}\frac{sin\beta}{\beta}=1...61.14</math> Rakt fram är alltså beta noll och vi får ett intensitetsmaximum (som också kallas principalmaximum). 2) Vi får sedan utsläckning när <math>\beta=+/-m\pi..61.15</math> fast INTE när m=0 dvs i principalmaximum, alla andra multiplar av pi ger utsläckning. Som exempel kan nämnas <math>\beta=\pi...61.16</math> vilket ger <math>bsin\theta=\lambda...61.17</math> 3) Mellan dessa minima finns sekundära minima, vi söker läget för dessa: <math>\frac{1}{I_0}\frac{dI}{d\beta}=\frac{d}{d\beta}[\frac{sin^2\beta}{\beta^2}]=0...61.18</math> vilket ger <math>\frac{\beta^2 2 sin\beta cos\beta-2\beta sin^2\beta}{\beta^4}=0...61.19</math> eller <math>\beta tan(\beta)-tan^{2}(\beta)=0...61.20</math> alltså <math>tan\beta-\beta=0...61.21</math> Lägena för sekundärmaxima ges approximativt av <math>\Delta x=bsin\theta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...61.22</math> vilket inte gäller för m=0 ty man kan visa att för pi eller lambda halva som vägskillnad så är intensiteten noll, det är intressant att notera att principalmaximat alltså har en utsträckning om lambda (pi åt vardera håll). =Kapitel LXII, Upplösningsförmåga= [[File:Fusion Diffraction Resolution.png|thumb|Upplösningsförmåga medels enkelspalt]] Det första interferensminimat ligger på avståndet y från principalmaximats centrum, för första minimat (m=1) gäller <math>bsin\theta=\lambda...62.1</math> om L är mycket större än y så kan vi skriva <math>sin\theta \approx tan\theta=\frac{y}{L}...62.2</math> vilket ger <math>b\frac{y}{L}=\lambda...62.3</math> eller <math>y=\frac{L}{b}\lambda...62.4</math> där vi får den gamla hederliga lambda-förstärkningen som jag brukar kalla den dvs höjden (y) är avståndet (L) delat med "våglängdsdimensionen" (modell att man har en spalt eller nåt som begränsar ljuset) gånger våglängden. Förutom en rätt patetisk justering av denna formel så gäller den för cirkulära öppningar såsom en kikare också. Med andra ord vill jag teckna <math>\frac{y}{L}\approx \frac{\lambda}{b}...62.5</math> där y är diametern hos kikaren. Formeln kommer ifrån ett kriterium som kallas Rayleighs kriterium, där upplösningsförmågan specificeras som att det ena principalmaximat sammanfaller med det andras första minimum (vi har ju två prylar/objekt vi försöker separera). =Kapitel LXIII, Samverkan mellan interferens och diffraktion= [[File:Fusion Single Slot Pattern.png|thumb|Mönstret från en enkelspalt]] Interferensfransarnas intensitet (amplitud i kvadrat) kan i t.ex Youngs dubbelspaltexperiment tecknas <math>I_{tot}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta=2I(1+cos\delta)...63.1</math> om I1=I2=I och där <math>\delta=kdsin\theta\approx kd\frac{y}{L}...63.2</math> Om nu spalterna har utsträckning i förhållande till våglängden så tillkommer en diffraktionsterm som vi redan härlett för enkelspalt dvs <math>I\propto sinc^2\beta=\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...63.3</math> uttrycket för den totala intensiteten blir då <math>I\propto\frac{sin^2\beta}{\beta^2}(1+cos\delta)...63.4</math> där <math>\beta=\frac{k}{2}\Delta x=\frac{k}{2}bsin\theta=\frac{\pi bsin\theta}{\lambda}...63.5</math> där b är spaltbredden och d är avståndet mellan spalterna. Det är intressant plotta den här funktionen, speciellt har detta gjorts i min litteratur för d=3b och eftersom jag inte har nån möjlighet att utföra en sådan plot (annat än på min HP28SX) så ska jag försöka beskriva den och sinc^2-delen (63.3) har en huvudlob (principalmaxima) rakt fram som är typ sinusformad och av bredden +/-pi, därefter är den nästan nollad amplitudmässigt men det finns lite sekundärmaxima också, hängs sedan uttrycket för interferensfransarnas intensitet (63.1) på så blir sinc^2 typ envelopen för intensiteten dvs principalmaxima "hackas upp" i mindre sinusformade delar. =Kapitel LIV, Diffraktion i gitter= [[File:Fusion Gitter.png|thumb|Visar hur ett gitter är uppbyggt]] Ett transmissionsgitter ser ut som Young's dubbelspaltexperiment med skillnaden att antalet spalter är mångdubbelt flera, gitterformeln säger att <math>dsin\theta=m\lambda...64.1</math> som alltså på samma sätt som för Young innebär villkoret för maxima. Vi väljer nu en våglängd och studerar hur intensiteten varierar med vinkeln theta. Min ritning för Young gäller, vi får bara "multiplicera" den. Vi bestämmer oss för att sätta fasvinkeln till noll i översta spalten, fältstyrkan i denna spalt kan då tecknas: <math>y=a\cdot sin wt...64.2</math> fasen för ljuset från närmaste spalt ligger då före (tänk er brytning neråt) med <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> För spalten därefter blir fasvinkeln <math>2\delta...64.4</math> osv, vi summerar sedan för hela gittret (totalt N belysta spalter) och erhåller den amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Y=asin(wt)+asin(wt+\delta)+asin(wt+2\delta)+...+asin(wt+(N-1)\delta)...64.5</math> Intensiteten är dock enklare att beräkna om vi använder oss av komplexa tal och beräknar den komplexa amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Ae^{j\phi}=a(1+e^{j\delta}+e^{j2\delta}+e^{j3\delta}+...+e^{j(N-1)\delta})...64.6</math> Högerledet är summan av en geometrisk serie med N termer och kvoten <math>e^{j\delta}...64.7</math> vilket ger <math>Ae^{j\phi}=a\frac{1-e^{jN\delta}}{1-e^{j\delta}}...64.8</math> detta är ampliduden men för intensiteten så kvadrerar vi amplituden och tricket är nu att man konjugatkompletterar vilket förenklar beräkningarna avsevärt även om anledningen är lite diffus <math>I=Ae^{j\phi}*Ae^{-j\phi}=A^2=a^2\frac{(1-e^{jN\delta})(1-e^{-jN\delta})}{(1-e^{j\delta})(1-e^{-j\delta})}...64.9</math> Som kan skrivas <math>I\propto \frac{1-(e^{jN\delta}+e^{-jN\delta})+1}{1-(e^{j\delta}+e^{-j\delta})+1}=\frac{2(1-cosN\delta)}{2(1-cos\delta)}=\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.10</math> där det finns en trigonometrisk formel som säger att <math>1-cos\alpha=2sin^2{\frac{\alpha}{2}}...64.11</math> vilket ger att <math>I \propto \frac{sin^2\frac{N\delta}{2}}{sin^2\frac{\delta}{2}}...64.12</math> men jag tycker återigen att man förlorar korrelationen med verkligheten genom att gå via måhända käcka trigonoimetriska identiteter så jag kommer köra på med att intensiteten för ett gitter är <math>I\propto \frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.13</math> denna term kallas interferenstermen för N spalter. Intensiteten för nollte ordningen innebär <math>\theta->0 = \delta->0...64.14</math> dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.15</math> Enligt l'hospitales regel kan detta gränsvärde evalueras genom derivering av täljare och nämnare, dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}=>\frac{NsinN\delta}{sin\delta}=N...64.16</math> Intensiteten i framåtriktningen är alltså proportionell mot N. Detta innebär att vi för intensiteten I_theta i riktningen theta från gittrets normal kan skriva <math>I_{\theta}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.17</math> när delta då är multiplar av 2pi så maximeras funktionen och intensiteten blir proportionerlig mot N ty 64.16 anger limes och vi har 0/0. Maximum blir alltså för delta lika med multiplar av 2pi. När det gäller för vilka värden på delta som interferenstermen har minimum så kan man resonera som så att täljaren blir noll oftare än nämnaren, täljaren blir noll när <math>N\delta=m \cdot 2\pi...64.18</math> dvs <math>\delta=\frac{m}{N}2\pi...64.19</math> där m är 0, 1, 2 osv. Enligt tidigare har vi att <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> och pga <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...64.20</math> har vi att <math>dsin\theta (min)=\frac{\lambda}{N}, \frac{2\lambda}{N},...\frac{(N-1)\lambda}{N},...max...,\frac{(N+1)\lambda}{N}...64.21</math> Mellan två principalmaxima finns (N-1) minima och (N-2) sekundära maxima, sekundärmaximas intensitet blir alltmer försumbar då antelet spalter (N) ökar. =Kapitel LV, Gitterupplösning= [[File:Fusion Gitter Pattern.png|thumb|Gittermönster]] Vi anser att två spektrallinjer av lika styrka nätt och jämt kan skiljas åt om den enas principalmaximum sammanfaller med det minimum som ligger bredvid den andras principalmaxim. Beteckna våglängderna med <math>\lambda...65.1</math> respektive <math>\lambda+\Delta \lambda...65.2</math> Principalmaxima för våglängden lambda bestäms av gitterformeln (på samma sätt som för Young) dvs <math>dsin\theta=m\lambda...65.3</math> och närmast liggande minima bestäms av <math>dsin\theta=\frac{(mN+1)\lambda}{N}...65.4</math> Jag förstår inte riktigt m i den här formeln för om man tittar på 64.21 så är närliggande minima antingen <math>\frac{(N-1)\lambda}{N}...65.5</math> eller <math>\frac{(N+1)\lambda}{N}...65.6</math> så varför mN plötsligt? För knapp upplösning ska dock minimat sammanfalla (vinkeln lika) med principalmaximum för våglängden <math>\lambda+\Delta \lambda...65.7</math> dvs <math>dsin\theta=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.8</math> detta ger <math>(m+\frac{1}{N})\lambda=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.9</math> dvs <math>\frac{\lambda}{N}=m\Delta \lambda...65.10</math> vilket innebär <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=mN...65.11</math> Kvoten <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}...65.12</math> kallas gittrets upplösningsförmåga som alltså är lika med produkten av spektrets ordning och antalet linjer i gittret, upplösningsförmågan är alltså beroende av ordningen (m) som man eventuellt kan tänka som hur "skarpt" strålarna är brutna för ju lägre m desto rakare går strålen men att upplösningen skulle vara bättre för hur hög ordning det är på brytningen det tycker i alla fall jag är skumt, fast om man tänker sig en skärm på ett visst avstånd från gittret så ju skarpare det bryts desto längre hypotenusa och när hypotenusan blir längre så blir avstånden mellan maxima längre varvid man kan få högre upplösning. ='''Del V, KÄRNFYSIK'''= =Kapitel LVI, Kärnfysik= Det här kapitlet handlar om hur atomer och atomkärnor är uppbyggda och hur dom beter sig. Kärnan består av protoner och neutroner (speciellt, men inte enbart, utanför kärnan finns elektroner), protonernas massa är ungefär 1836 elektronmassor medan neutronernas massa är ungefär 1838 elektronmassor. Protoner och neutroner är således mycket tyngre än elektroner. Protoner och neutroner kallas vid ett gemensamt namn nukleoner. Kärnor kan således karaktäriseras av: 1) Antalet protoner=laddningstalet=protontalet=atomnumret Z 2) Antalet neutroner=neutrontalet N 3) Antalet nukleoner=nukleontalet=masstalet A En atomkärna specificeras således som <math>X_Z^A...66.1</math> [Det här är det närmaste jag kommer för Z och A ska egentligen vara på andra sidan X men jag kan inte koda för det.] Isotoper har sedan samma Z men olika A dvs olika antal neutroner (ty det är protonantalet Z som bestämmer grundämnet). Det här älskar jag för det är lika enkelt som Occams Razor: Man har uppfunnit begreppet neutroner (laddning 0, massa=proton+2me) men man har av olika anledningar inte kunnat acceptera att en neutron skulle kunna bestå av en proton+elektron där jag tänker att en av elektronerna helt enkelt är bindningsenergin för alla vet ju att massa är samma som energi (vilket man emellertid accepterar när det kommer till en typ av sönderfall som kallas K-elektroninfångning fast då ur synvinkeln att en proton+elektron kan ge en neutron, väldigt inkonsekvent och konstigt tycker jag). Det sättet kompetent folk dissar att n=p+e är två stipulat: 1) Heisenbergs osäkerhetsrelation tycks säga att man inte riktigt kan veta vart partikeln befinner sig inom ett visst avstånd, avståndet här är radien hos en proton dvs ungefär 10^-15m (R), detta tycker jag lite kan jämföras med hur en gitarrsträng svänger för dess frekvens är minst att noderna är ändarna så man har alltså att våglängden är av storleksordningen R, dvs vi kan inte riktigt veta vilket delsegment hos strängen som ger ljudet för det är ju hela strängen som ger ljudet, nåt sånt tror jag det blir. Samtidigt finns det en konstant som stavas h, denna konstant kallas Plank's konstant och symboliserar Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt <math>p\approx \frac{h}{R}...66.2</math> där h har enheten [Js] dvs h kan också skrivas <math>h=Et...66.3</math> Min litteratur räknar sedan ut att <math>p=-34+15+19+8=100MeV/c...66.4</math> som egentligen är 200MeV men kontentan blir att pc=200MeV. Elektronens viloenergi är <math>m_0c^2=-30+17+19=1MeV...66.5</math> vilket stämmer bra med vad det ska vara dvs~0,5Mev. Det intressanta nu är att om man nyttjar Einsteins formel för "relativistisk energi" så får man att <math>E_k=E_{tot}-m_0c^2=\sqrt{(pc)^2-(m_0c^2)^2}-m_0c^2\approx pc...66.6</math> dvs <math>E_k\approx pc=200MeV...66.7</math> Här påstår man att bindning av en elektron med denna energi kräver en potentialbrunn om minst djupet 200MeV, ett djup som inte kan förklaras ur Coulombkrafterna, på avståndet 10^-15m från en proton skulle elektronens energi vara <math>\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{R}=1,4MeV...66.8</math> 2) Sen finns det en annan motsägelse som är lite mer flummig: Elektronens till spinnet kopplade magnetiska moment är runt <math>M_e=\frac{eh}{2m_e}...66.9</math> vilket är >> än något förekommande kärnmagnetiskt moment av storleksordningen <math>M_p=\frac{eh}{2m_p}...66.10</math> där m_e är elektronens massa och m_p är protonens, ekvationerna skall egentligen innehålla h_bar dvs <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}...66.11</math> men det är så löjligt ointressant (jag anser nämligen att om man bara ligger inom en magnitud fel/rätt så räcker det för diskussionen). Visserligen elimineras det magnetiska momentet vid parning (spinn + 1/2 -1/2) av elektroner men var tar en udda "oparad" elektrons magnetiska moment vägen, frågar min litteratur? Jag tycker att det som här rätt taffligt nyttjas dvs Heisenbergs osäkerhetrelation är lite flummig för varför skulle det t.ex finnas en konstant för vart en partikel kan befinna sig? Hur har man bevisat det? Om h inte riktigt stämmer så faller ju hela resonemanget och en neutron kan visst bestå av en proton+elektron och som vi skall se senare så rimmar det resonemanget väldigt bra. ==Fritänkande, osäkerhetskonservering== [[File:Fusion Mean Temperature.png|thumb|Visar två olika former av samma temperaturmedelvärde]] Det är känt att laddning är oförstörbar och dessutom gäller att summa laddning i ett slutet system är noll. Laddning brukar betecknas med q och har enheten As. Tittar man på enheten allena så ser man att A och s kan ha helt olika värden för samma q. Så det är inte orimligt att q är konstant och jag kallar det laddningskonservering. Planks konstant h som lär vara bevisad iom fotoelektriska effekten har enheten Js och den kommer tydligen ifrån Heisenbergs osäkerhetsrelation varvid jag härmed döper h till osäkerhetskonservering, således gäller <math>q=[As]</math> och <math>h=[Js]</math> Det är intressant vad laddning egentligen är, jag har hört talas om att det har med spinn att göra men jag tycker det låter för flummigt för mig att förstå. Vad är sen h? Som vid q kan man kanske se det som att om tidsaxeln är i x-led så är energin (eller strömmen) i y-led och den area som Js bygger upp är konstant och lika med h. Jag tvivlar lite på denna konstant men vågar mig inte på några gissningar, detta förhållande köper jag dock <math>E=mc^2=pc=hf</math> där dock fotonen egentligen inte har nån vilomassa ty den far alltid fram med ljusets hastighet MEN iom Einstein så kan man räkna ut en ekvivalent massa ty energi är massa, ur denna formel får man också att <math>h=p\lambda</math> där lambda typ är ett minavstånd likt radien på en proton men detta gäller alltså bara för fotoner, för "vanliga" partiklar med massa tror jag följande ungefär gäller <math>E=mv^2=pv=kT</math> vilket är sant om partikeln bara har en frihetsgrad samtidigt som en halv magnitud fel av små/stora tal spelar noll roll, laddningskonservering innebär sedan <math>\sum_{n=1}^N q_n=0</math> Jag har lurat lite på Ek och den klassiska MEDELVÄRDES-formeln <math>Ek=\frac{mv^2}{2}</math> och att det motsvarar en temperatur enligt ovan. Den kinetiska energin (Ek) är som sagt en medelenergi motsvarande en viss temperatur. Jag har försökt titta på vilket temperaturspann detta kan ha för vad är egentligen medelenergi? Om två partiklar av samma massa och hastighet krockar dead on så bör det bli som i bijard dvs båda kommer att stanna fullständigt och båda partiklarnas hastigheter blir kortvarigt noll, vilket motsvaras av 0K. Det bör alltså i en gas eller plasma finnas situationer där vissa partiklar "når" 0K. Samtidigt tror jag att om medelvärde fortfarande gäller så bör temperaturen åt andra hållet inte pendla till mer än 2T. Här kan man dock spekulera i hur kort eller lång tid "0K-partiklarna" existerar, finns det lite längd på tiden så kan pulsen uppåt (t1) nå lite temperaturer men min amatörmässiga bedömning är att Tk>10T inte är nåt att hoppas på. Men jag vet inte, jag bara spekulerar :) Känner f.ö till att det finns nåt som kallas Stefan-Bolzman:fördelning men jag tror inte riktigt på den. ==Fritänkande, bindningsenergi== Jag har klurat lite på vad bindningseneri är och det är lite förvirrande för varje snubbe som skriver litterarur i ämnet envisas med att använda olika beteckningar. Men jag tror att jag fattat att den beteckning som min litteratur Fysik 2 har (och är avskriven här) bara skiljer sig i beteckning jämfört med den huvusakliga litteratur jag studerar dvs Cheng. Således är Eb=Vb. Potential (V) är genast en energi i eV men för Joule måste man multiplicera med elementarladdningen. Så jag ser Vb som energi as is. Eb är alltså bindningsenergin hos atomkärnor och jag tror att jag har kommit på att det är samma som Vb enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> där b är radien hos partikeln som då alltså ökar med atomnumret, Vb ökar ändå pga att effektiv radie hos kärnan inte ökar lika mycket som antalet protoner. Cheng visar vilken energi som går åt att bygga en kärna av laddning, jag bara kopierar in den här <math>W=\frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0b}[J]</math> som förutom multiplikationen med Q, som är standard för Joule, inte skiljer sig nämnvärt (3/5-delar) mot min första formel ovan, energin för att bygga en proton uppgår alltså till storleksordningen 1MeV (fast om protonen redan finns?) Jag har hamnat lite före nedan med mitt fritänkande (som aldrig är att ta på nåt stort allvar) och allt ligger lite ur fas men jag vill ändå skriva ut Vb för en proton enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}=1,4MeV=2,3*10^{-13}J</math> I eV så låter allt astronomiskt men i Joule låter det löjligt lite även om energin är stor, man kan tänka sig en foton och dess energi modell <math>E=hf=\frac{hc}{\lambda}</math> där vi vet att våglängden för synligt ljus är av storleksordningen 1um, detta ger fotonens energi som 0,2eV, temperaturen för att termiskt penetrera en proton på 1,4MeV blir sedan ungefär <math>Vb=kT</math> dvs ungefär 19GK :D I ITER har jag fått reda på så har dom tänkt försöka med 10keV, vilket är en bra bit från den energi som krävs, personligen är jag tveksam till om en faktor hundra funkar trots den Boltzmanska fördelningen, jag tror att man måste upp i minst Vb/10. Sen, efter mycket funderande tror jag att följande gäller <math>m_a=m_p+E_b</math> där mp är summan av alla partiklar som kärnan består av vars totala massa alltså är MINDRE än atommassan! Rätt skumt om det inte vore för Einstein och <math>E=mc^2</math> för den formeln funkar åt båda hållen dvs energi har massa. Detta är fel, se nedan. =Kapitel LVII, Kärnans radie= [[File:Fusion Hydrogen Model.png|thumb|Modell av väteatomen]] Beskrivningen av det här är lite flummigt, det finns tydligen ett antal olika försök att bestämma kärnradien men jag listar bara två: 1) Rutherfords spridningsförsök nyttjandes elektronbefriade He-kärnor (alfa-partiklar) mot tunna metallfolier, han kom fram till att atomens massa är till mer än 99,9% sannolikhet koncentrerad inom en kärna av diameter 10^-14m. 2) Spridning av myoner ger tydligen ett bättre resultat, med hjälp av dessa (207m_e) så har man en förmånligare vågfunktion, vad nu det innebär. I samma veva nämns dock hur en enelektronatom i grundtillståndet har det mest sannolika avståndet kärna-elektron enligt: <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \approx 1A...67.1</math> där A står för Å som i Ångström (100pm) vilket tydligen inte kan kodas, svaret kallas sedan Bohr-radien. Kärnans radie har uppmäts till: <math>r=r_0A^{1/3}m...67.2</math> där <math>r_0\approx 10^-15m...67.3</math> Detta empiriska samband mellan kärnradie och masstal visar att det kan vara befogat att tala om "kärnmateria" med konstant täthet ty <math>n=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 (A^{\frac{1}{3}})^3} \propto \frac{A}{(A^{\frac{1}{3}})^3}=1...67.4</math> Enligt min litteratur är sedan n oberoende av masstalet (A) med god noggrannhet, detta innebär således att densiteten för all kärnmateria är samma för varje kärna väger lika mycket per volymsenhet ty dom består mest av kärnpartiklar som typ väger samma, ett numeriskt värde kan ungefär fås av <math>\rho = \frac{m_p}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}\propto \frac{m_p}{r_0^3} \approx -27+3*15=10^{18} kg/m^3...67.5</math> Den tätaste "jordliga" materian jag hittar i Physics Handbook är typ Guld med en densitet på runt 22000 kg/m^3, det ni! Kärnmateria har blivit mitt nya fascinerande begrepp för föreställ Er digniteten, precis allt vi ser runt omkring oss består av samma kärnmateria, visst de består också av många olika grundämnen i alla möjliga olika konstellationer/molekyler men faktumet att alla dessa grundämnen består av samma kärnmateria fascinerar mig. För ett ganska rejält antal år sedan fascinerades jag av att precis allt levande består av DNA (tror bestämt detta även gäller växter även om proteinsyntesen blir klurig...) och detta är lite av samma uppvaknande. ==Härledning av Bohr-radien== [[File:Fusion Hydrogen Force.png|thumb|Kraftmodell av väteatomen]] Det finns en längre härledning av detta men jag kör nu den enkla jag "kommit på" dvs Fc=F där Fc är den columbska kraften mellan två olikladdade partiklar och F är centrifugalkraften eller <math>\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\frac{mv^2}{r}...67.6</math> ur detta får man sedan hastigheten v som <math>v=\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}...67.7</math> sen gäller enligt sägen <math>p\lambda=h...67.8</math> där jag nyttjat Heisenbergs osäkerhetsrelation, antar man sedan att elektronen måste genomlöpa minst en hel period per varv dvs den måste komma tillbaka i svansen där den började så kan man skriva <math>p 2\pi r=h...67.9</math> eller på snobbspråk <math>pr=\hbar...67.10</math> där p är impulsen mv, med andra ord har vi <math>mvr=\hbar=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r...67.11</math> dvs <math>r_B=\frac{\hbar^2 4\pi \epsilon_0}{me^2}...67.12</math> som är en knapp Ångström stor ===Fritänkande, har en partikel med massa energin pc?=== Om vi börjar med Heisenberg så borde man kunna skriva <math>p\lambda/n=h</math> dvs varför är våglängden ett helt varv bara? Det kan väl lika gärna vara ett antal våglängder (n)? Räknar vi på det så kan vi börja med <math>p2\pi r/n=h</math> ur detta får vi att <math>pr/n=\hbar</math> som enligt ovan kan skrivas om enligt <math>mvr/n=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r/n=\hbar</math> dvs <math>mvr/n=\sqrt{\frac{me^2r}{4\pi\epsilon_0}}/n=\hbar</math> så att <math>r=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2n^2}{me^2}</math> Detta säger mig att elektronbanans radie kan var större än den Bohrska radien rB så varför är rB den rätta? Heisenberg säger att elektronbanan genomlöper ett antal hela våglängder (eller en enda våglängd benämnd lamda motsvarande omkretsen i det här fallet) så den måste efter ett varv komma tillbaka till där den började. Men vad säger att detta är sant? Eftersom lambda är en våglängd så är den även sinusformad vanligtvis, med andra ord har elektronbanan enligt Heisenberg en amplitud i sin cirkulära sinusformade bana ty det är bara då som elektronen kan komma tillbaka till där den började dvs om banans omkrets är ett helt antal våglängder. Och om elektronen beskriver en sinusformad cirkulär bana, vilken amplitud har den? I grunden har vi alltså Heisenbersgs osäkerhetsrelation enligt, och jag repeterar <math>p\lambda=h</math> man kan sedan skriva om denna relation enligt <math>p\frac{c}{f}=h</math> eller <math>pc=hf</math> som inte är lika med <math>\frac{mv^2}{2}</math> vilket är brukligt för partiklar med massa. pc-ekvationen gäller väl sen bara för masslösa partiklar som fotoner? Varför gäller den plötsligt, som i Bohr-radiens fall, även för partiklar med massa? Nej, jag tror inte på Heisenbergs osäkerhetsrelation, tycker den är för bekväm. ===Fritänkande, analys av Heisenbergs osäkerhetsrelation=== Följande postulat <math>\Delta E_k \cdot \Delta t=h</math> kan eventuellt skrivas om som <math>dE_k \cdot dt=h</math> eller <math>d(\frac{mv^2}{2}) \cdot dt=h</math> vilket ger <math>mvdv \cdot dt=h</math> eller <math>p\frac{dx}{dt}\cdot dt=h</math> här ser man att eftersom dt är lika för själva observationen som för bestämmandet av hastigheten så får man <math>pdx=h</math> Här kan man dock fundera över vad dx verkligen är, dock har vi från energin hos en foton <math>E=pc=hf</math> vilket jag tror Einstein har bevisat iom den fotoelektriska effekten, denna sista ekvation skrivs dock mer allmänt som <math>p\lambda=h</math> Där vi har ett tydligt "sinusialt" lambda, dock tror jag mig kommit på att en elektrons bana kan skrivas <math>r=r_0e^{j(wt-kr\phi)}</math> där <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> dvs våglängden (lambda) blir till ett enda varv om vi skall kunna beskriva dess rörelse matematiskt, jag tror att det inte skiljer sig så mycket från en våg som breder ut sig i rummet, i båda fallen har dom en våglängd. Så ett varv för elektronen är en enda lambda och det är det som är osäkerheten modell <math>pdx=p\int_0^{2\pi}rd\phi=p 2\pi r=p\lambda</math> Så det verkar som så att lambda i fallet foton är "samma" som lambda vad gäller ett enda varv för elektronen, man tycks alltså ha en osäkerhet i rummet motsvarande en lambda. Dock är det osäkert varför man kan duplicera fotonens masslösa osäkerhet på partiklar med massa, fotonen har en klockren sinusial våglängd modell c/f men det har inte partiklar med massa. Jag har själv räknat ut det, ur vedertagen formel enligt ovan, men varför är impulsen gånger lambda just h för partiklar med massa också? Att den är det för masslösa partiklar som fotonen torde vara bevisat. Den cirkulära bana som elektronen beskriver enligt den klassiska fysiken måste inte vara sinusial men om den är det så passar Heisenbergs osäkerhetsrelation medels lambda från fotoelektriska effekten bättre. Eftersom detta är en svammelbok så fortsätter jag bara från ovan utan att rätta mig. Idag tror jag mig kommit på att våglängden för elektronbanan faktiskt måste vara sinusial enligt <math>r=r_B + A_re^{j(wt-kr_B\phi)}</math> ty banan har radien rB men elektronen måste ha en liten amplitud (A_r) för att det skall finnas nån våglängd överhuvudtaget! Det är liksom rörelsen runt kärnan som inte bara är cirkulär utan även sinusial. Här uppstår då frågan om hur många lambda ett varv verkligen utgörs av och varför det måste vara endast ett varv, för det kan ju lika gärna vara säg tre lambda per varv och när jag ovan räknat ut att radien då går som n^2 så motsvaras faktiskt hela n=3 av bara en magnitud till i radie. Så vad är det som säger att det bara är ett varv? Om man får tro Heisenberg så innebär visserligen ett helt varv som lambda minimal impuls och hastighet ty lambda är som störst då. Men varför maximera lambda på det här sättet? Det enda jag tror mig kommit på är att det är ovisst vad lambda innebär när det gäller partiklar med massa, för fotoner funkar det dock klockrent för dom har ju redan en lambda. Kul dock att jag tror mig kommit på att elektronbanan ingalunda bara är cirkulär utan även sinusialt cirkulär dvs elektronen "wobblar" medans den cirklar runt kärnan, amplituden vore dock spännande att veta. Om den inte wobblar faller Heisenberg. =Kapitel LVIII, Kärnans massa= [[File:Fusion Binding Energy.png|thumb|Bindningsenergin hos några kärnor]] Det har lite flummigt definierats en massenhet som kallas u som är lika med 1/12 gånger massan för den neutrala kolatomen (dvs inklusive alla sex massmässigt futtiga elektroner) Jag tycker dock att denna definition är fullständigt onödig och kommer framledes använda protonmassan istället, detta för att protonmassan kan anges som 1,007276u... Så varför inte köra protonmassan rakt av? Nu till nåt som i alla fall förvånar mig, den faktiska kärnans massa gånger c^2 är enligt Einstein energin hos kärnan men det som fascinerar är att om man ser till alla nukleoners massa gånger c^2 så är den ''större'', skillnaden kallas bindningsenergi. Tanken på bindningsenergi är naturligtvis inte så konstig för kärnan måste hållas ihop av nåt (speciellt för att protonerna ju har samma laddning) och man kanske kan se det som så att för att kärnan skall upplösas i dess beståndsdelar så krävs det att man tillför energi motsvarande bindningsenergin. Så det finns alltså en liten differens i massa (faktiskt) mellan vad beståndsdelarna (protoner och neutroner) väger och vad kärnan väger, jag finner detta en aning skumt men så är det (differensen i massa gånger c^2 är alltså bindningsenergin). Jag gör ett försök att teckna "energiekvationen" för en atomkärna: <math>m^k(A,Z)*c^2+E_b=[Z*m_p+N*m_n]*c^2...68.1</math> En mycket intressant ekvation ty kärnans massa är ''mindre'' än beståndsdelarna, Z är alltså antalet protoner och N är antalet neutroner. Vi gör lite numeriska beräkningar: <math>\rho_{Au}=19300kg/m^3, Z=79</math> <math>\rho_{Li}=530kg/m^3, Z=3</math> <math>\rho_{H^1}=90kg/m^3, Z=1</math> sen säger vi att <math>\rho*4*10^{-45}+m(Eb)=2Z*m_p</math> ungefär för neuronens massa skiljer bara två elektronmassor från protonens massa vilket är mindre än en promille, tittar vi på uträkningen får vi för Guld <math>7,7*10^{-41}+m(Eb)=2,6*10^{-25}</math> kvoten mellan masspartiklarna som kärnan fysiskt består av och kärnans faktiska massa är alltså hela <math>kvot=3,4*10^{15}</math> Kan ni fatta? Vi gör ett till test och testar för Lithium, en lätt metall: <math>2,1*10^{-42}+m(Eb)=1*10^{-26}</math> här är kvoten <math>kvot=4,8*10^{15}</math> vi tar ännu ett exempel och studerar en ren proton, detta ger <math>3,6*10^{-43}+m(Eb)=1,67*10^{-27}</math> dvs kvoten är <math>kvot=4,4*10^{15}</math> I alla tre fallen är alltså kvoten av storleksordningen Peta. Intressant är dessutom att det krävs bindningsenergi för att hålla ihop en ensam proton, jag ställer mig frågande till detta. Men om det stämer så tycker jag detta är helt otroligt! Att byggstenarna hos en kärna har så otroligt mycket större massa än vad kärnan verkligen väger förvånar mig nåt enormt. Man kan dock ifrågasätta detta men det torde lite vara bevisat iom nåt så hemskt som att atombomger fungerar. Man verkar alltså kunna summera med att <math>m(Eb)=partikelmassan</math> och detta med stor noggrannhet ty kvoten är löjligt hög och det här gör alltså att kärnan egentligen "bara" är ren energi. Slutligen tycker jag vi reder ut u-begreppet genom att säga: <math>\begin{bmatrix} Massenhet & Neutron & Proton & Elektron \\ u & 1,008665 & 1,007276 & 5,48597 \\ m_p & 1,001 & 1 & 0,00055 \\ m_e & 1838 & 1836 & 1 \\ \end{bmatrix}...68.2</math> Så Ni ser, att ha protonmassa som "u" är mycket smidigare samtidigt som jag egentligen gillar elektronen som "u" ännu bättre, man slipper ju då decimaler för alla nuffror blir liksom större än 1. Om man plottar bindningsenergin ''per nukleon'' dvs Eb/A så får man en rätt speciell graf, den går upp snabbt till c.a 9Mev, sen planar den ut och sjunker tom för högre masstal (A), den är f.ö inte helt linjär utan den gör skarpa hopp också, t.ex är Eb/A för <math>He^4</math> runt 7MeV samtidigt som den för nästa grundämne <math>Li^6</math> bara är 5,5Mev och för nästa grundämne igen <math>Be^8</math> så vänder det uppåt och blir till c.a 7MeV igen. Plottar man däremot Eb för hela kärnan och därmed alla nukleoner (A) så blir den grafen rätt fascinerande mycket nära en rät linje där jag precis räknat ut att man kan approximera den räta linjen med runt <math>Eb\approx -30+8,7A...[MeV]...68.3</math> där A är det så kallade masstalet (dvs samtliga nukleoner där nukleoner inbegriper både protoner och neutroner) samtidigt som denna formel bara gäller för A>5 och det approximativt, konstanten 8,7 är alltså lägre för A<5 men samtidigt högre för typiskt A>100. =Kapitel LIX, Kärnkrafter= [[File:Fusion Core Force.png|thumb|Kärnkrafter]] Coulombkrafterna eller dom elektrostatiska krafterna kan tecknas <math>F_c=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...69.1</math> vilket innebär <math>F_c\propto \frac{1}{r^2}...69.2</math> Dom gravitationella krafterna kan sedan tecknas <math>F_g=G\frac{Mm}{r^2}...69.3</math> där M är den stora massan (typ jorden) och m den lilla massan samt G gravitationskonstanten. Båda krafterna går som 1/r^2 vilket ger <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{GMm*4\pi \epsilon_0}{q^2}...69.4</math> Om vi nu jämför de gravitationella attraktionskrafterna mellan två neutroner och de elektrostatiska krafterna mellan två protoner (masskillnaden proton-neutron år i det närmaste försumbar dvs ynka 2me eller en promille) så får vi en proportion på c.a <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{-10-27-27+1-11}{-19-19}=10^{-36}...69.5</math> Enligt min litteratur ska det dock vara 10^-38 vilket ger ett par magnituder fel men det viktiga är att de gravitationella krafterna INTE har nåt att göra med varför kärnor håller ihop, en enkel tanke är att protoner ju har samma laddning (plus) och hur skall dom kunna samlas i en kärna? Stabiliteten hos en kärna förutsätter således en attraktionskraft mellan nukleonerna. Det existerar tydligen, då gravitationskrafterna uppenbarligen inte räcker till, speciella kärnkrafter med den egenskapen att kompensera Coulumbrepulsionen så att två eller flera protoner med lika laddning kan hållas ihop inom en kärna. Vi har varit inne på det tidigare men det tål att repeteras dvs ALLT består av vad man kan kalla kärnmateria och man kan räkna ut densiteten enligt <math>\rho\approx \frac{A*m_p}{\pi r^3}=\frac{A*m_p}{\pi r_0^3(A^{1/3})^3}\approx\frac{m_p}{r_0^3}...69.6</math> Sen vet vi ju att r_0 är lite drygt E-15 och protonens massa (m_p) är ungefär E-27, så ett estimat av densiteten hos ALL materia är ungefär <math>\frac{m_p}{r_0^3}=-27+(15*3)=E18/m^3...69.7</math> Betänk sen att vatten har densiteten E3/m^3... E18...:D En galen Japan (Yukawa) fick en ide' 1935 som 1947 bevisades och i grunden är denna teori lite flummig. Kärnfysiker använder gärna energibegrepp men jag tycker det blir lite luddigt i det här sammanhanget för vad är det vi diskuterar? Vi diskuterar inte energier, vi diskuterar ju mer krafter (jag tycker tom potentialer är lättare att få grepp om) dvs hur kan en kärna proppfull av plus-laddade partiklar hållas ihop, det är vad vi diskuterar. Man kan dock skriva de båda aktuella potentialerna i energiform typ E=qU och i fallet Yukawa är det inte elementarladdningen vi multiplicerar potentialen med för att få energin utan det något kufiska "f". <math>V_c=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r}...[eV]...69.8</math> "Yukawa-potentialen" är sedan <math>V_y=-f^2 e^{-\frac{r}{r_0}}\frac{1}{r}...[eV]...69.9</math> Jag tycker potential är lättare att begripa än energi, Vc till exempel klingar av som 1/r dvs ju längre bort man typ för en elektron från en kärna desto lägre potential får elektronen och den sjunkande potentialen är en indikation på hur stor kraft som en elektron dras mot kärnan. Yukawa-potentialen går dock exponentiellt och därmed snabbare mot noll än Coulomb så att "systemet" på lite större avstånd domineras av Vc dvs summan av Yukawa och Coulomb blir större än noll, vilket är att förvänta då vi ju har en kärna som är enbart positivt laddad och vi avlägsnar oss därifrån samtidigt som Yukawa är ENBART kärnkrafter. Här har man alltså försökt anpassa Yukawa-potentialen till den Coulombska potentialen så att det enda som egentligen skiljer är ett tecken. MEN det är inte så lite det för utan Yukawa-potentialen/kraften så skulle det inte finnas några atomkärnor/atomer för nånting MÅSTE hålla ihop kärnan med alla lik-laddade partiklar/nukleoner dvs alla protoner. Personligen tycker jag detta är lite av en fabrikation för vad vet man egentligen om detta? Det enda man egentligen vet är att atomerna finns OCH att dom troligtvis består av flertalet protoner MED samma (repulsiva) laddning. Så dom hålls ihop av nånting och vänder man på bladet får man reda på att det som håller ihop protonerna, typ, är nåt som så vackert kallas pi-mesoner med en massa runt 260me. Yukawa tänkte ut det här 1935, 1947 upptäcktes sedan den första pi-mesonen. Lite roligt är sedan hur min lärobok förklarar hur pi-mesoner funkar (eller snarare proton-proton sammanhållningen): Föreställ Er att Ni tittar på en tennismatch och att matchen går på nyspolad is, när då ena gubben får en boll (fråga mig inte hur) mot sig och sen slår på den bollen då glider hen ju baklänges, eller hur? På samma sätt blir det naturligtvis på andra sidan nätet. Säg sen att båda gubbarna får en hink med bollar och att dom, på nåt diffust sätt, föses intill varandra, om då gubbarna börjar plocka bollar från varandras hinkar då får man faktiskt fenomenet, om man tänker efter, att gubbarna får en kraft som drar dom ännu mer emot varandra. Tanken är skum men om man tänker efter är det inte så skumt för vad är det som händer? Jo, bollarna har MASSA så i princip är det som att dra i ett handtag fastsvetsat i en vägg (när man tar i bollarna) fast attraktionskraften är mycket mycket mindre MEN den finns där så det är liksom ett litet handtag du drar i när du plockar upp bollen (kallas också Newtons första lag, tror jag). Med risk för att kladda ner saker skulle jag nu vilja reda ut begreppen kraft, E-fält, potential och energi och jag gör det "Coulomskt" och via Maxwell's ekvationer: Kraften mellan två laddningar kommer ur <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho dV...69.10</math> om vi nu ser på E som rundstrålande, rho som volymsladdningstätheten och att vi befinner oss i vakuum så fås <math>\epsilon_0 E 4\pi R^2=Q...69.11</math> ty vi har sfärisk yta och man kan se det som en sfärisk fält-intensitet som faktiskt kan inbegripa både ljudkällor, termiska källor som solen och isotropiska ljuskällor dvs <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.12</math> Nu är kraften F på en partikel med laddningen q (som jag dock inte vet hur jag skall bevisa) <math>F=qE=\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.13</math> Vi har nu att stora Q är en mängd laddningar i en volym som vi har "summerat" upp så Q borde vara större än q men normalt skriver man den här ekvationen som <math>F=qE=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.14</math> Där det dock underförstås att man tar hänsyn till hur många elementarladdningar (q) man har, speciellt applicerbart om vi t.ex tänker oss en enkeljoniserad atom av Helium där då q=1 medans Q=2 ty vi har en elektron men två protoner. Då var kraftekvationen klar, E-fältet hade vi ju dock redan innan och jag repeterar <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.15</math> vilket alltså är ett q "mindre" relativt kraftekvationen (om man ser det från det hållet), potentialen fås sedan genom integration mot fältet och från oändligheten där (potentialen är noll) till R <math>U=-\int EdR=-\int_{-\infty}^R \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR...69.16</math> som blir <math>U=[\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}]_{-\infty}^R=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}...69.17</math> Denna ekvation är i eV redan, för att få Joule får man multiplicera med q (aka e) =Kapitel LX, pi-mesoner= [[File:Fusion Photon Energy.png|thumb|Bild på hur den masslösa fotonen är en vågrörelse som inte en partikel av massa är]] Yukawa förklarade existensen av kärnkrafter genom att införa en ny typ av elementarpartiklar med en massa mellan nukleonernas och elektronens samt med så kort livslängd <math>\Delta t</math> att det brott mot energiprincipen som partikelns massa innebär (energi=mc^2) ursäktas av den tolerans Heisenbergs osäkerhetsrelation medger dvs <math>\Delta E*\Delta t>\hbar...70.1</math> Personligen köper jag inte den här ekvationen för den är för bekväm och används typ jämt i gränslandet mellan verklighet och teori, vore intressant att veta hur man kom fram till den dock för jag hittar ingen logisk anledning och förklaring till varför det är på det här sättet saknas i ALL litteratur, allt som nämns är typ "de Broglie-våglängd" och "Heisenbergs osäkerhetsrelation" men ingen förklaring om varför och hur. Jag ska dock köra på med vad jag tror, Heisenbergs osäkerhetsrelation kan enligt litteraturen också skrivas <math>\Delta p * \Delta x =\hbar...70.2</math> eller <math>\Delta v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.3</math> Säg sedan att vi mäter partikeln vid en viss position, i exakt denna position kan vi inte veta hastigheten för det kräver en position till (och tiden där emellan) så vi har en osäkerhet i position när vi försöker mäta hastigheten, i detta fallet gissar jag att man kan skriva osäkerhetsrelationen som <math>v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.4</math> för v är bestämt (dock inte hur v har varierat mellan positionerna, men som ett medelvärde). Här är alltså osäkerheten avståndet mellan dom båda mätpunkterna (<math>\Delta x</math>) men hur vänsterledet kan ha uppfunnits till att vara begränsad till en konstant (i princip Planck's konstant delat med massan), det begriper inte jag. En annan insikt jag tror mig ha när det gäller osäkerhetsrelationen är att man kan eventuellt titta på hur en gitarrsträng svänger, den svänger som en stående våg och den längsta våglängden (dvs lägsta frekvensen) är 2L där L är längden på strängen. Min tanke här är att man inte riktigt kan veta vilket delelement av strängen som ger tonen, därför kan en elektron inte bestämmas vara på nån specifik plats på strängen för den är typ på hela strängen. Så om man har ett avstånd där man önskar beräkna elektronens position så befinner den sig över hela "lambda/2" dvs den buk som infinner sig för stående vågors lägsta frekvens där man bara har två noder dvs där strängen är fäst. Osäkerheten är alltså lambda/2 (eller helt enkelt avståndet). Sen påstår de Broglie att <math>p\lambda=h...70.5</math> som kan skrivas om enligt <math>v \lambda=\frac{h}{m}...70.6</math> Här har jag en fundering, om man t.ex tar toppen/mitten av en buk (dvs en stående våg som alltså INTE breder ut sig utan bara svänger) och tittar på hur amplituden (A) beter sig i rummet, då har man att den först går upp A sen går den ner 2A och så går den upp A igen dvs den genomlöper 4A per period. Detta gör den på tiden T. Så medelhastighet i y-led är 4A/T, detta kan man sätta in i ovanstående formel och få <math>\frac{4A}{T} \lambda=\frac{h}{m}...70.7</math> som också kan skrivas <math>4Af\lambda=\frac{h}{m}...70.8</math> eller <math>4Ac=\frac{h}{m}...70.9</math> eller <math>4A=\frac{h}{mc}...70.10</math> vilket ungefär ger <math>A\approx \frac{\hbar}{mc}...70.11</math> Ett mer politiskt korrekt sätt att visa det på är, säg att störningen kan skrivas <math>s(t)=Asin(wt)...70.12</math> (fas)hastigheten är då <math>v=\frac{ds}{dt}=wAcos(wt)...70.13</math> med maximal fashastighet får man <math>v\lambda=wA\lambda=2\pi f A\lambda=2\pi c A...70.14</math> sen är detta enligt sägnen alltså lika med h/m vilket ger <math>2\pi c A=\frac{h}{m}...70.15</math> eller <math>A=\frac{\hbar}{mc}...70.16</math> eftersom detta inte riktigt stämmer med de Broglie enligt ovan dvs <math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}...70.17</math> så tänker jag att kanske man kan se det som så att hastigheter när det gäller partiklar alltid är mindre än E8 så att <math>A>\frac{\hbar}{mc}...70.18</math> dvs v är alltid mindre än c och på nåt nästan barnsligt sätt skulle jag vilja teckna <math>\lambda_y>\frac{\hbar}{mc}...70.19</math> för det måste finnas nån slags vertikal mekanisk våglängd också som typ är beroende av hur hårt strängen spänns, lägstafrekvensen/tonen är ju densamma för strängen rör sig bara fortare med större amplitud men den mekaniska amplituden blir en slags våglängd, tycker jag. Idag har jag kommit på att jag faktiskt inte är helt ute och cyklar. Om vi tittar på de Broglie-våglängden fast uttryckt från impulsens håll (p) så kan man skriva den som <math>p=\frac{h}{\lambda}...70.20</math> och eftersom <math>\lambda=\frac{c}{f}...70.21</math> så har man att <math>p=\frac{hf}{c}...70.22</math> dvs <math>pc=hf...70.23</math> vilket är två olika sätt att teckna energin för en foton. Analogin med mitt tänkt får man sedan om man tänker <math>pc=mvc=hf...70.24</math> vilket gör att <math>v=\frac{hf}{mc}...70.25</math> och <math>v/f=\lambda=\frac{h}{mc}...70.26</math> där skillnaden gentemot min uträkning bara skiljer 2pi, det intressanta är dock att man just får pc=hf=E. Jag kan inte mycket om uttrycket pc men hf köper jag för det har Einstein bevisat gäller men jag köper det inte för att just han har bevisat det, jag köper det för hans teori om den fotoelektriska effekten låter rimlig. Fotoelektriska effekten är egentligen en rätt simpel teori att förstå, om man har en sluten krets med typ en rördiod och belyser katoden så krävs det att fotonens energi (hf) överstiger utträdningsarbetet (w) för en elektron i metallen för att det skall kunna flyta en ström, Einstein påstår sedan att all fotonenergi lämnas över till elektronen. Här är det emellertid lite tveksamt om man kan applicera hf på en elektron eller ens pc på en elektron ty båda uttrycken är liksom tillägnade fotonen. Kinetisk energi vet vi ju normalt annars kan skrivas som <math>E_k=\frac{mv^2}{2}...70.27</math> Jag förstår inte riktigt hur det här går ihop. pc och därmed "impulsenergi" måste jag forska mer i men jag köper rakt av att fotoner har energin hf och att detta kan mätas genom att nyttja en känd metalls utträdningsarbete (w) samt lägga på en microampere-meter där ström kommer börja flyta när fotonenergin (hf) överstiger utträdningsarbetet enligt <math>E_k=hf-w...70.28</math> Observera dock att här överlämnas energi från fotonen till elektronen som också kallas att fotonen växelverkar med elektronen. Nu har emellertid elektronen fått fotonens energi så visst, man borde kunna säga att i detta specifika fall så har i princip elektronen energin hf. Jag tvivlar dock på att man alltid kan säga att elektronen har energin hf. Jag köper att en fotons energi är hf. Jag är dock tveksam till om energin också kan skrivas pc men jag är bara tveksam till det pga att jag inte förstår rörelsemängd eller impuls (p), man kan dock se pc för en foton som ju är masslös och bara kan färdas med ljusets hastighet som att det egentligen står pc=mc^2 där, trots att den inte har nån massa, man kan beräkna en ekvivalent massa enligt E/c^2 dvs hf/c^2, antar jag. Men i praktiken finns ju inget m hos fotonen men däremot har den impuls (p) och kraft kan man skriva som <math>F=\frac{dp}{dt}...70.29</math> dvs impulsens förändring i tid. Denna impuls kan man faktiskt bevisa genom att nyttja en evakuerad glaskropp med metall-vingar där vingarna på ena sidan är svarta medans vingarna på andra sidan är blanka. Nu har jag en amatörmässig spekulation när man belyser detta objekt (vad det nu heter): 1) Lyser man på det hållet där vingarna är svarta så blir impulsen p ty svart absorberar 2) Lyser man på det hållet där vingarna är blanka så blir impulsen 2p ty blankt reflekterar Därför snurras det med svart före. Jag vete fasen om jag har rätt i detta men i det svarta fallet så stoppas ju bara fotonen upp dvs all sin impuls ger den till den svarta vingen, i det blanka fallet vet vi ju att likt vi sparkar en boll mot en vägg så blir hastigheten emot en lika stor som infallshastigheten vilket ju innebär, pga att hastighet är en vektor, att förändringen i hastighet är 2v och då är det bara att hänga på massan (m) och man har således dubbla impulsen när vingen är blank, gissar jag. Så fotoner har impuls (p) för att dom uppenbarligen kan utöva en kraft i samband med reflektion mot ytor (tror f.ö det finns rätt flummiga planer på rymdraketer nyttjandes fotoners impuls) Jag köper att fotoner har impuls (p). Eftersom fotoner är masslösa samtidigt som dom flyger fram med c så kan man inte direkt teckna p=mc, visst rent formellt kan man räkna ut en massa från hf/c^2 och då skulle p bli hf/c men här är vi tillbaka i pc=hf och det stämmer ju faktiskt enligt vedertagna principer. Jag brukar dock se det som så att jag blundar för fotonens "massa" och bara tänker att den färdas med c så att impulsen blir p (och inte mc, ty den har ju ingen verklig massa, det är onekligen lite filosofiskt det här :) ). Det är dock enkelt att hänga på ett c till när man ser det fiktiva uttrycket mc så att man får mc^2 dvs energin fast för att dölja m=0 så verkar det som om man skriver pc istället. Jag har svårt för att fatta pc (gäller verkliga livet också dvs PC=Personal Computer :) ) Fast nu kommer jag på att pc faktiskt åtminstone kan vara generellt gällandes för partiklar, detta säger jag inte för att min kurslitteratur säger det utan jag säger det för att jag börjar tro det. För vad är p för allt utom fotoner? Jo, det är mv. Men att energin skulle motsvara pc, eller tydligare när det gäller godtyckliga partiklar, mvc tål att sovas på :) En annan sak som tål att sovas på är de Broglies våglängd och Heisenbergs osäkerhetsrelation. Jag har varit mycket skeptisk till detta men idag kom jag på nåt som gör att de Broglie verkar rimligt, såhär går beviset: <math>\Delta v* \Delta x > h/m...70.30</math> där förändringen i hastighet aldrig är samtidig med förändringen i läge, man växlar bara likt partiell derivata, detta kan man alltså skriva om enligt <math>v*\Delta x > h/m...70.31</math> där vi bara är intresserade av förändringen i läge (hastigheten kräver ju två lägen för att kunna bestämmas), delar vi detta med observationstiden så får vi <math>\frac{v \Delta x}{\Delta t}=\frac{h}{m\Delta t}...70.32</math> som är lika med <math>v^2 > \frac{h}{m\Delta t}...70.33</math> och pga Einstein kan man skriva <math>m=\frac{E}{c^2}=\frac{hf}{c^2}...70.34</math> dvs ekvationen blir <math>v^2\ > \frac{hc^2}{hf\Delta t}=\frac{c^2}{\Delta t f}...70.35</math> där det är rätt tydligt att <math>\Delta t f...70.36</math> måste vara större än 1 (annars blir ju hastigheten större än c), således tycks <math>\Delta t > \frac{1}{f}...70.37</math> gälla, inom elektrotekniken kallar man <math>\frac{1}{f}...70.38</math> för periodtiden T men sånt fattar inte fysiker fast vi fattar sånt för vad är det som händer här? Jo det som händer är att vi har räknat ut att observationstiden måste vara längre än periodtiden, huge surprise för annars kan vi ju inte frekvensbestämma signalen! Så för att kunna mäta en signal måste man helt enkelt observera signalen under minst en klockperiod (T), det går alltså inte att frekvensbestämma/mäta signalen annars. Jag har utgått från de Broglie vars teorier jag inte riktigt köpte men har landat i att hans teorier tycks stämma. Jag tycker inte det är nåt snack om Einsteins teorier vad beträffar fotoelektriska effekten för den är enkelt empiriskt bevisbar så totalt efter att ha försökt kritisera dessa kloka människor så ger jag mig, Heisenberg, de Broglie och Einstein har rätt. Nu återstår nya studier i form av vågor som min kurslitteratur har hittat på, beskrivning av vågor med komlexa tal typ <math>e^{j\alpha}...70.39</math> gör livet fascinerande enkelt, undrar om elementarpartiklarna beter sig lika enkelt? Efter denna långa elaborering som inte blev att handla om pi-mesoner kan vi repetera <math>\Delta E *\Delta t >\hbar...70.40</math> Under tiden <math>\Delta t</math> är massan enligt Einstein <math>m=\frac{\Delta E}{c^2}=\frac{\hbar}{\Delta t c^2}...70.41</math> tillåten, flummar min kurslitteratur med. Attraktionen mellan nukleoner köper jag skulle kunna vara en följd av utbyte av så kallade pi-mesoner, gravitationella krafter mellan protoner funkar ju liksom inte och elektrostatiska (Coulombska) krafter funkar naturligtvis inte heller för dom är repulsiva för lika laddning. Den till pi-mesonen hörande kraftfältet måste således under livstiden <math>\Delta t</math> kunna spänna över typiska nukleon-nukleon avstånd, säg R. Med <math>R=\Delta t c...70.42</math> som är lika med kraftfältets största tänkbara utbredning på tiden <math>\Delta t</math> eller <math>\Delta t=R/c...70.43</math> insatt i uttrycket ovan får vi <math>m\approx \frac{\hbar}{\frac{R}{c}*c^2}=\frac{\hbar}{Rc}=260m_e...70.44</math> Yukawas utbyteskrafter och utbytespartiklar infördes av honom på rent teoretiska grunder 1935. 1947 upptäcktes den första pi-mesonen med en massa av den föreslagna storleksordningen! Tre olika pi-mesoner är inblandade i de tre slagen av växelverkan, jag nämner inte dom för det är akademiskt. =Kapitel LXI, valda delar ur speciella relativitetsteorin (SR)= [[File:Fusion Point Movement With Time.png|thumb|Visar hur en punkt flyttar sig en sträcka med ljusets hastighet]] Jag börjar med att säga att begreppet "speciella" tycks mena att i denna teori avser man likformig rörelse dvs inga accellerationer förekommer. Jag tar upp det här för jag är intresserad av varifrån den relativistiska formeln för massa egentligen kommer, denna formel är <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.1</math> För det första ska det sägas att om man läser mellan raderna hos min kurslitteratur så är denna formel faktiskt tagen ur luften, den är gjord det för att fysikerna hellre ville att impulslagen skulle vara invariant (typ oberoende av hastighet/tid), så istället för att impulserna skulle dras med SR-faktorn dvs <math>\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.2</math> så lät dom massan dras med SR-faktorn istället. Man kan nämligen visa att om man har två koordinatsystem (s respektive s') med vertikala rörelser hos t.ex två pistolkulor som träffar varandra så blir det en ändring av impuls i det ena koordinatsystemet (s) och denna ändring är legendariskt 2p eller 2mu (där jag köper hastighetsbenämningen för vertikal rörelse), i s' är dock impulsändringen <math>\Delta p=2mv\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.3</math> och det är detta jag inte begriper. Samtidigt begriper jag att när man nu velat behålla impulslagen (utan SR-konstigheter) så måste man göra om massan enligt inledningen så då har man alltså offrat massans invarians för impulsens invarians och ovanstående uttryck blir utan SR-faktorn. Fast detta är väl knappast samma som att säga att massan är relativ, det är ju bara en teoretisk konsekvens. Eftersom jag är intresserad av vart sjuttsingen den relativa massan kommer ifrån måste vi titta på Lorenz-transformationen och vi börjar från början: Säg att vi har två koordinatsystem (ks) där ljusets hastighet (c) är maximal hastighet och ljuset utbreder sig isotropiskt i båda ks, då får vi att radien i respektive ks kan skrivas: <math>x^2+y^2+z^2=(ct)^2...71.4</math> respektive <math>x^{\prime^2}+y^{\prime^2}+z^{\prime^2}=(ct^{\prime})^2...71.5</math> då har vi två olika ks med två olika radier ct respektive ct' som liksom breder ut sig sfäriskt, jag fattar inte riktigt det här men på nåt sätt försöker man (linjärt) mappa dessa ks och när man gör det får man <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)...71.6</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.7</math> Här mappas sedan de olika ks ihop genom att skriva (not. kan man alltid skarva funktioner som är noll?) <math>x^2-c^2t^2=x^{\prime^2}-c^2t^{\prime^2}...71.8</math> där y och z inte ingår ty vi avser bara räkna på en dimension åt gången Nu blir det en massa jobbig algebra där jag fått lära mig nåt jag inte förstår men som är viktig för att få löst detta dvs att p=r, tar det dock i steg <math>x^2-c^2t^2=p^2(x-vt)^2-c^2(qx+rt)^2...71.9</math> detta kan utvecklas som <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2-2vxt+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+2qxrt+r^2t^2)...71.10</math> Här är det ytterst tveksamt varför två mellantermer går bort för det kan dom bara göra om qr=vt, eller om nån parameter är noll vilket dom uppenbarligen inte är, så varför går mellantermerna bort? Identifierar man övriga koefficienter så får man <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+r^2t^2)...71.11</math> dvs framför x^2 <math>1=p^2-c^2q^2...71.12</math> respektive framför t^2 <math>c^2=c^2r^2-p^2v^2...71.13</math> ur första ekvationen får vi att <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.14</math> ur andra ekvationen får vi <math>p^2=\frac{c^2(r^2-1)}{v^2}...71.15</math> här substitueras konstigt nog r mot p (jag fattar nu kanske detta) varvid man får <math>p^2=\frac{c^2(p^2-1)}{v^2}...71.16</math> eventuellt kan denna substitution bero på att <math>\frac{\Delta t}{t}=\frac{\Delta x}{x}</math> detta kan också skrivas <math>\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{x}{t}}=\frac{c}{c}=1</math> ty gemensamt för de båda ks är ljushastigheten som ju är konstant dvs den relativa förändringen i position i det ena ks kräver samma relativa förändring i tid i andra ks för utan tid kan ingen förändring ske, att x/t=c får man om man tittar på definitionsfunktionen för en dimension där man ser att x följer ct, ovanstående ger sen med lite mellanspel <math>p^2v^2=c^2(p^2-1)...71.17</math> eller <math>c^2=p^2(c^2-v^2)...71.18</math> eller <math>\frac{c^2}{(c^2-v^2)}=p^2...71.19</math> dvs <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.20</math> där jag kallat nämnaren för SR-faktorn i kvadrat. Idag kom jag på nåt som eventuellt kan förklara varför p=r, om vi skriver om ovanstående formel enligt <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)=px+(-v)pt...71.21</math> och återigen betraktar <math>t^\prime=qx+rt...71.22</math> samt eventuellt inser att tiden i sig är invariant dvs om tiden förändras i ena ks så förändras den i andra, här gissar jag vilt men min gissning ger att p=r och då går det att räkna på saken. Om vi sen tar uttrycket för p^2 och stoppar in i uttrycket för q^2 och jag repeterar <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.23</math> där alltså <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.24</math> så får vi att <math>q^2=\frac{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-1}{c^2}...71.25</math> dvs <math>q^2=\frac{1}{c^2-v^2}-\frac{1}{c^2}...71.26</math> eller <math>q^2=\frac{c^2-(c^2-v^2)}{c^2(c^2-v^2)}...71.27</math> eller <math>q^2=\frac{v^2}{c^2(c^2-v^2)}...71.28</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2}{c^2-v^2}...71.29</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2/c^2}{1-v^2/c^2}...71.30</math> dvs <math>q^2=\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.31</math> Nu kan vi således teckna transformen och jag repeterar att vi hade <math>x^\prime=p(x-vt)...71.32</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.33</math> insättning av p ooch q ger <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.34</math> respektive <math>t^\prime=\sqrt{\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}x+\frac{1}{{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}t...71.35</math> eller <math>t^\prime=\frac{v}{c^2}\frac{x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.36</math> som kan skrivas om enligt <math>t^\prime=\frac{t+vx/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.37</math> Enligt min litteratur är tom det här riktigt (möjligtvis förutom ett tecken). Nu ska vi ta och titta på nåt jag räknat kors och tvärs på men som jag inte får nån ordning på dvs hastighetstransformationerna. Här kastar jobbigt nog min kurslitteratur om benämningarna vilket är typiskt lektorerer som alltid måste stila och hitta på sina egan jävla beteckningar för emedan vi hitintills räknat med att ks' rör sig så rör sig nu plötsligt ks istället OCH hastigheten blir negativ, varför i sjuttsingen komplicera saker på det sättet när man försöker LÄRA UT saker, jag fullkomligt hatar sånt, bara nån slags stilande, jag blir så irriterad på kurser som alltid envisas med egna beteckningar, vad är det för fel på standard, då kan man satsa på lärandet där det behövs. Jag kommer skita i detta och låtsas som om jag bara får fel på ett tecken :) I x-led har vi alltså <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.38</math> sett ur det primmade systemet, sett ur det oprimmade systemet sägs det istället bli <math>x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.39</math> differentialen blir då <math>dx=\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.40</math> Men om vi nu deriverar med avseende på tid blir det knas i min värld, det enklaste resultatet är nedan <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.41</math> men så kan det inte bli för vad som händer är egentligen att en produkt deriveras modell <math>\frac{d}{dt}(f(t)*g(t))=f^\prime(t)g(t)+f(t)g^\prime(t)...71.42</math> där i det här fallet <math>f(t)=dx^\prime+vdt^\prime...71.43</math> och <math>g(t)=(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}...71.44</math> och deriverar man på detta sätt får man <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{1-\frac{v^2}{c^2}}(-1/2)(-2vdv)...71.45</math> där jag tycker differentialerna borde vara noll per definition så att deriveringen återigen blir <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.46</math> MEN det blir det inte, resultatet sägs bli <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx^\prime}{dt^\prime}}...71.47</math> eller <math>u_x=\frac{u^\prime_x+v}{1+\frac{v}{c^2}u^\prime_x}...71.48</math> och jag fattar ingenting :D Jag avslutar med några formler som jag även försöker bevisa, antag att en måttstav ligger stilla längs x'-axeln i s' och uppmättes ha längden Lo av en person i s' dvs av en person som är stilla relativt måttstaven. Längden fås som skillnaden i x'-värdena dvs Lo=x2'-x1'. En person i s ser staven röra sig i positiva x-axelns riktning och mäter stavens längd L genom att SAMTIDIGT mäta ändpunkternas x-koordinater (märk att mätningarna är samtidiga endast i s dvs t1=t2 men t1' är inte lika med t2') enligt Lorenztransformationen ovan får man således <math>SR=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.49</math> och därmed <math>L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-vt_2}{SR}-\frac{x_1-vt_1}{SR}=\frac{x_2-x_1}{SR}=\frac{L}{SR}...71.50</math> dvs <math>L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.51</math> som kallas för längdkontraktionen, sen har vi En klocka står stilla relativt s' och registrerar två händelser vid tiderna t1' och t2' på samma ställe (enligt s') säg vid xo'. Tidsintervallet To=t2'-t1' är således mätt av en person som står stilla relativt den punkt där händelserna inträffar. Enligt s är tidsintervallet mellan dessa två händelser <math>T=t_2-t_1=\frac{t_2^\prime+vx_2^\prime/c^2}{SR}-\frac{t_1^\prime+vx_1^\prime/c^2}{SR}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{SR}=\frac{T_0}{SR}...71.52</math> dvs <math>T=\frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.53</math> som kallas för tidsdilationen, slutligen har vi <math>V=V_0\sqrt{1-\frac{V_0^2}{c^2}}...71.54</math> som jag lite hittat på och som jag kallar hastighetskontraktionen dvs att V är den riktiga hastigheten korrigerad med hjälp av SR-faktorn men den stämmer och underlättar kalkyleringar av verkliga hastigheter, bara att trycka in Vo om man har nåt i närheten av c, sen får man man V som den verkliga hastigheten, observera att om man räknar ut V på detta sätt så får aldrig Vo>c dvs endast situationer där man får Vo<c (och i detta fallet, nära c) så kan man nyttja "kontraktionsformeln", observera sen att även om V=dx/dt=L/t så stämmer det inte att nyttja ovanstående formler på det sättet, lustigt nog. Slutligen vill jag visualisera en formel som jag inte hittar härledningen av nånstans dvs varken i min kurslitteratur eller i Wikipedia eller på nätet överhuvudtaget, denna formel beskriver den relativistiska energin enligt <math>E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2[=mc^2]...71.55</math> jag hittar alltså ingen härledning av den här formeln men jag bifogar en visualisering som kanske kan bidra till viss förståelse, speciellt är ju pc och moc^2 katetrar i en triangel och om man krämar på med pc så tappar moc^2 alltmer betydelse och energin går mot pc för höga hastigheter v (då ju pc=mvc). Den kinetiska energin sägs sedan vara <math>E_k=E^2-m_0c^2=mc^2-m_0c^2[=(pc)^2+(m_0c^2)^2-m_0c^2]...71.56</math> där m alltså sägs vara <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.57</math> vilket jag dock fått lära mig är taget ur "luften" för fysikerna ville alltså rädda impulsens invarians så dom gjorde så att massan blev invariant istället vilket ju knappast är samma som att säga att massan verkligen är relativ, hallå eller :) ==Fritänkande, impulsens invarians== Jag fattar inte mycket av ovanstående SR som mest är avskrivit från min lärobok i Fysik II för typ fem år sedan.. Fast idag tror jag mig kommit en liten bit i förståelsen då jag även tidigare hänvisat till att allt grundar sig på den fotoelektriska effekten som Einstein kom på och, som det verkar, Heisenberg har "förtydligat". Om man bara tecknar den bevisade fotoelektriska effekten så kan man teckna den som <math>E=hf</math> Detta har alltså Einstein bevisat och därmed kan man nog se det som obestridligt men detta får enorma kosekvenser ty man kan differentiera ekvationen och får då <math>d(E)=hdf</math> eller <math>d(pc)=hdf</math> ty vi snackar foton här, eller <math>cdp+pdc=hdf</math> nu finns dock ingen variation i c så vi får <math>cdp=hdf</math> eller <math>c\frac{dp}{df}=h</math> men <math>df=\frac{1}{dt}</math> dvs <math>cdp*dt=h</math> och <math>c=\frac{dx}{dt}</math> även i fallet ljusets hastighet, så kvar blir <math>dp*dx=h</math> Nu till vad jag tror mig kommit på, visualisera den Bohrska elektronbanan, den har bara en enda längd på omloppsbanan (vi kan kalla den lambda) och om du försöker detektera elektronen så kan du aldrig på förhand veta vart den är, det enda man kan veta är att den återkommer inom periodtiden för omloppet eller inom lambda som vi kan tolka som dx. Så osäkerheten blir omloppssträckan dvs lambda. Det samma gäller om vi tittar på en fonton med "riktig" lambda för vi kan fortfarande inte veta vart den befinner sig inom lambda MEN vi vet att den befinner sig där nånstans, så osäkerheten blir även där lambda. Eftersom lambda är en konstant samtidigt som h är en konstant så MÅSTE dp vara en konstant dvs rörelsemängden, eller impulsen, är mycket riktigt invariant. Vilket får nästan komiska följder vad gäller SR för om p är konstant så är mv konstant. Men eftersom vi vet att till exempel hastighet är relativ och alltså sjunker netto med höga hastigheter, så MÅSTE massan öka med högra hastigheter! Allt för att impulsen är invariant. Det är ju heltsjukt :) ==Fritänkande, impulsens invarians del II== Egentligen tror jag att den fotoelektriska effekten skall skrivas <math>hf-W_u-\frac{m_ev^2}{2}+qU=0</math> där Wu är det kända utträdesarbetet ur metallen som man kompenserar bort med en accelerationsspänning, U, allt summeras således till <math>\frac{m_ev^2}{2}=hf</math> där elektronen får hela fotonens energi, differentierar vi denna ekvation får vi <math>pdv=hdf</math> Som kan skrivas om som <math>p \frac{dx}{dt} \cdot d(1/f)=h</math> och alltså <math>pdx=h</math> eller <math>p\lambda=h</math> om man t.ex tittar på elektronbanan hos en väte-atom där <math>\lambda = 2\pi r</math> Eftersom lambda är konstant och h är konstant så måste p vara konstant eller invariant som fysikerna säger, vi kan dock också titta på nåt kul med min felskrivning i ovanståendce fritänkande nämligen <math>pc=hf</math> Nu tittar vi alltså på en foton istället för en partikel med massa och differentierar vi denna så får vi återigen att <math>pdc+cdp=hdf</math> där differentialen hos c ju är noll ty invariant, dvs ekvationen reduceras till <math>cdp=hdf</math> där p dock är <math>m_{ekv}c</math> i det här fallet för även om fotonen är masslös så har den ekvivalent massa och energi från sin frekvens (hf) enligt <math>pc=m_{ekv}c*c=m_{ekv}c^2</math> enligt klassisk Einsteinsk princip, detta gör att vi kanske kan differentiera p ändå enligt <math>c(m_{ekv}*dc+cdm_{ekv})=hdf</math> där dc återigen går bort men vi får <math>c^2dm_{ekv}\cdot dt=h</math> men här står det ju <math>dE\cdot dt=h</math> vilket är den klassiska formeln för osäkerheten i energi vad gäller tid, jag har dock i det här fallet nyttjat att dp ingalunda är noll dvs p är inte invariant här. Lite skumt för i första fallet är verkligen p invariant men här är den det inte, dock känner jag man inte kan applicera hf på en foton utan vidare utan hf måste appliceras på en partikel med massa som den fotoelektriska effekten går ut på dvs all fotonenergi överlämnas till elektronen, tror att fysikerna kallar detta för foton-elektron växelverkan. =Kapitel LXII, Fusion= [[File:Fusion Process.png|thumb|Visar hur elementär fusion går till]] Bindningsenerin per nukleon visade på en tänkbar möjlighet att utvinna kärnernergi dvs om vi lyckas slå ihop vätekärnor (enklast i teorin är deuteriumkärnor) till en alfa-partikel modell <math>H_1^1+n_0^1->H_1^2...72.1</math> och två gånger denna process så får man <math>He_2^4...72.2</math> Så påstår min kurslitteratur att i runda tal 28MeV skulle frigöras. I min litteratur läser jag om praktiska svårigheter och dom påstår bl.a att det finns en potentialkulle på runt 1 MeV som alltså finns mellan den yttre repulsiva delen och den attraktiva inre delen som måste övervinnas för att två protoner (eller två deuteriumkärnor) skall kunna bindas till varandra. Såhär står det alltså i min litteratur men nu tänker jag fritt, den yttre delen bör vara attraktiv pga elektron/kärna där vi har negativt laddade elektroner och en positivt laddad kärna dvs de Coulombska krafterna regerar, den inre delen handlar om Yukawa-krafter dvs attraktiva krafter som håller ihop kärnan modell pi-mesoner, detta stämmer inte med min litteratur. Idag försöker man termiskt övervinna denna potentialkulle, räknar man då på vilken temperatur som krävs så är det minst sagt intressant: Om vi först nyttjar det fundamentala i Maxwells fördelningsfunktion så har vi att <math>n_i\propto e^{-\frac{E_i}{kT}}...72.3</math> där ni är jontätheten och om vi sätter Ei=1MeV (om nu det är sant) och Ei/kT=1 för att få en rimlig sannolikhet för 1/e är en klassisk nivå så får vi <math>T=\frac{E_i}{k}\approx \frac{+6-19}{-23}=+10=10^{10}K...72.4</math> Inte helt lätt att fixa Jag tycker vi borde titta lite närmare på den Maxwellska fördelningsfunktionen, lite lustigt är den fördelad kring den (vektoriella) hastigheten noll, det är den första observationen. Den andra observationen är att sannolikheten för att hitta en partikel med hastigheten (+/-) oändligheten är noll. Alla partiklar finns således inom +/- oändligheten i hastighet, bara detta är rätt intressant. Integrerar man upp den Maxwellska fördelningsfunktionen så får man den totala partikeltätheten (eller sannolikheten 1 om man hellre vill det, vilket samtidigt är lite intressant för man säger då att partiklarna befinner sig inom oändlighetsgränserna, naturligtvis). Ska man vara rättvis skall formeln ovan egentligen skrivas: <math>n(v)=n_0e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.5</math> Och tittar man nu på den här fördelningsekvationen så ser man att om hastigheten går mot oändligheten så är antalet partiklar som har hastigheten oändligheten noll stycken, om hastigheten är noll så är antalet partiklar lika med alla partiklar som vi sprutat in Tokamaken. Pga fördelningsfunktionen har vi således att det finns partiklar som har hastighet MELLAN noll och oändligheten OAVSETT temperatur och eftersom hastighet i kvadrat motsvarar temperatur så finns det partiklar som har en temperatur nära dom 10^10K litteraturen påstår och även om det är VÄLDIGT få partiklar som har tillräckligt temperatur så räcker det faktiskt att endast två har det för när deras fusion startar så frigörs i runda tal 28MeV och detta innebär en temperatur på runt 10^11K enligt <math>E_{eV}=kT/q=28MeV=>T=10^{11}K...72.6</math> vilket tom är mer än vad min pessimistiska litteratur hävdar. Jag vill således hävda att för att en fusionsreaktion skall kunna starta så räcker det med att ett enda par protoner fusionerar och detta betyder att man kan ligga MYCKET långt ifrån Ek=kT, gäller mest att ha en MASSA partiklar. n_0 ovan är för övrigt inte riktigt den usprungliga partikeltätheten för den räknar man ut genom att <math>\int_\infty^\infty Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}}dv==1...72.7</math> dvs sannolikheten att partikeln finns inom hastighetsgränserna +/- oändligheten är 100%. Integralen <math>\int e^{-x^2}dx...72.8</math> kan lösas genom ansatsen <math>I^2=\int e^{x^2}*\int e^{y^2}=\int e^{x^2+y^2}=\int e^{r^2}...72.9</math> nu går vi över till polära koordinater och får <math>I^2=\int \int e^{-r^2}r dr d\phi...72.10</math> dvs <math>I^2=-\frac{1}{2}\int \int e^{-r^2}2r dr d\phi=-\pi [e^{-r^2}]_0^\infty...72.11</math> och således <math>I^2=-\pi [e^{-\infty}-e^{0}]=\pi...72.12</math> alltså <math>I=\sqrt{\pi}</math> Om vi repeterar ovanstående ekvation enligt <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}} dv==1...72.13</math> så kan man skriva den på formen <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2}dv==1...72.14</math> nu kan vi göra variabelbytet <math>\int_{-\infty}^{\infty} A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2} e^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2} d[v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2}]==1...72.15</math> Då fås alltså att <math>A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}I=A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=1...72.16</math> fast i praktiken är det inte lika med ett utan partikeltätheten som jag dock tycker är lite skumt för enheten passar inte, jag skulle hellre vilja säga att ettan byts mot det faktiska antalet partiklar (N) som samtidigt ger A <math>A=N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}...72.17</math> Fördelningsfunktionen blir således <math>N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}*e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.18</math> Här är det dock lite konstigt för i princip säger fördelningsfunktionen att vi har 100% sannolikhet för att det finns partiklar med hastigheten noll men hur hastigheten kan vara noll för en partikel i till exempel ett plasma på säg miljoner grader, det förstår inte jag, att däremot mängden partiklar som har en högre kinetisk energi jämfört med kT blir allt lägre ju större kvoten mellan kinetisk energi och kT blir känns rimligt. Ett bättre sätt att se det är nämligen att nyttja den Maxwellska fördelningsfunktionen fullt ut och titta på hastigheten hos partiklarna, OMM hastigheten är mycket hög relativt kT så är antalet partiklar som har den hastigheten väldigt låg. I en gas finns alltså partiklar som har högre termisk hastighet än "kT" men antalet blir snabbt väldigt liten ty funktionen är exponentiell och om man t.ex tar att man har Ek=10kT så blir partikelkvoten 4,5E-5 dvs om vi har 4,5E5 partiklar så finns bara en enda partikel kvar som har energin 10kT. Så tolkar jag det i alla fall. Samtidigt förstår jag inte vad som händer vid v=0, när vi integrerar upp fördelningsfunktionen så får vi egentligen att det blir till en sannolikhet modell att integralen blir ett för att alla partiklar finns inom Gaussklockan dvs inom +/-oändligheten i hastighet vilket ju låter rimligt och nivån motsvarande Ek=kT motsvarar 1/e dvs motsvarande 37% av alla partiklar (eller sannolikhet) som finns i systemet låter också rimligt dvs ju högre kvoten Ek/kT är desto färre partiklar finns det med den hastigheten/energin. Men vad händer vid noll? Jag fattar inte det. Att det finns färre och färre partiklar när Ek successivt överstiger kT låter mycket rimligt, det är tom rimligt att man beräknar mängden av dessa partiklar genom att multiplicera fördelningsfunktionen med partikelantalet MEN då stämmer det inte när det gäller v=0 för det innebär att 100% av partiklarna står still (eller att det är en 100-procentig sannolikhet för att det finns partiklar som står still, men denna nivå funkar ju klockrent annars dvs om Ek~kT så varför funkar den inte för v=0?), det köper inte jag. Visst finns det en sannolikhet för att partiklar kan ha hastigheten noll även vid hög temperatur MEN jag anser inte det är sannolikt ty värme definieras mha partiklars rörelse/vibration dvs finns det temperatur så finns det rörelse (och tvärt om). Den här biten av fördelningsfunktionen är minst sagt diffus. Ett tag trodde jag att litteraturen hade fel och tänkte mig en fördelningsfunktion som såg ut såhär <math>n(v)=n_0e^{-\frac{\frac{m}{2}(v-v_0)^2}{kT}}...72.19</math> där fokus ligger på avvikelse från v=v_0 och inte på v=0, för om fokus ligger på v_0 så finns alltid en energi eller hastighet skild från 0 dvs det triviala fallet där v=v_0 kommer fortfarande inträffa MEN det är vid en hastighet som inte är noll och då blir det rimligare att säga att partikelantalet vid v=0 blir en funktion av Ek(v_0)/kT, dvs inte 100%, jag fattar inte riktigt vad jag svamlar om men fördelningsfunktionen kring noll lämnar mer att förstå. Hans Bethe har sedan föreslagit en process som tänks ske i stjärnor modell vår sol och har fått hans namn dvs Bethe-processen där utgångspunkten är sex stycken protoner, nästa steg är sedan att två protoner har fusionerat till var sin deuterium-atom och med hjälp av den "tredje" protonen får man Helium-3 och eftersom man nu har två Helium-3 så fusioneras dom och man får Helium-4 plus två protoner. Denna process är inte trivial, man får också ett gäng positroner och neutrinos så jag ska försöka få med det också genom att skriva <math>2X: H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1...72.20</math> där <math>\beta^+</math> kallas positron och är elektronens anti-partikel och v kallas neutrino som har med spinnkonservering att göra. Här nyttjar man en neutron för att skapa Deuterium, jag envisas med att säga att en neutron består av en proton plus en elektron, detta stämmer inte exakt när det gäller massan för massan för en neutron är två elektronmassor större än för en proton MEN kanske en av massorna nyttjas som bindningsenergi vilket ju är samma sak som massa enligt Einstein. Så amatörteoretiskt krävs en elektron också för att protonen skall bli till en neutron OCH att partikeln sen skall bli till Deuterium. Vi räknar lite på Q1, jag har ett trick som jag inte riktigt vet funkar men jag har ingen u-tabell i min Physics handbook så jag kan inte direkt extrahera massor för atomer, DÄREMOT har jag en utförlig tabell på bindningsenergier (Eb) hos en mängd atomkärnor och iom att man kan räkna <math>m_k+E_b=\sum (nukleoner)...72.21</math> där m_k är kärnans massa. Om vi nu tittar på ekvationen ovan så har vi att <math>p+n=D...72.22</math> och <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.23</math> då har vi att <math>[m_k(D)]c^2=[\sum nukleoner]c^2-E_b[J]...72.24</math> dvs <math>[m_k(D)]c^2=[1836+1838]m_ec^2-E_b[J]...72.25</math> eller <math>Eb(D)=2,2MeV=2,2/0,5=4,4*m_ec^2...72.26</math> ty viloenergin hos en elektron är c.a 0,5MeV varvid <math>[m_k(D)]c^2=3674m_ec^2-4,4m_ec^2 \approx 3670m_ec^2...72.27</math> Nu har vi alltså att den sprängda massan är 3674m_e medans Deuterium-kärnan är på 3670m_e vilket vi egentligen visste för Eb var ju på 2,2/0,5=4,4m_e~4m_e. Här kan vi annars se att en kärnas energi är mycket större än bindningsenergin. Jag tror att ovan är en uträkningsformel som inte har nån praktisk betydelse annat än att om man har Eb så kan man räkna ut massan hos kärnan eller om man har kärnans massa så kan man räkna ut Eb, min litteratur säger nämligen att nettoprocessen frigör närmare bindningsenergin hos Helium men hur ska det gå till? När man fusionerar de ingående partiklarna så måste ju rimligen Helium suga åt sig den bindningsenergi den behöver, eller? Så hur kan hela bindningsenergin bli över att nyttja för "värmeväxlaren"? Vi har ju att bindningsenergin är den energi som krävs för att hålla ihop neutroner och protoner för att neutroner är laddningsmässigt neutrala och protoner är positiva så hur ska man annars kunna hålla ihop en sån kärna utan bindningsenergi? Men i en fusionsprocess där man i princip försöker fusionera protoner till Deuterium så anser jag att det inte genereras nån energi alls för vad som händer är väl att differensen mellan den högre energin som nukleonerna i sig har jämfört med vad Deuterium-kärnan i sig har den går åt som bindningsenergi för Deuterium-kärnan det vill säga det blir ingen nettovinst av energi. Så ser jag det i alla fall och nån får gärna rätta mig. ELLER blir det trots allt en masskillnad här? Men jag har ju räknat på att den enda masskillnad som blir är 4m_e och samtidigt är den masskillnaden just bindningsenergin. Det blir alltså ingenting över till att koka vattnet, som jag ser det men jag har naturligtvis fel. Nästa steg i Bethe-cykeln stavas sen <math>2X: H_1^1+H_1^2->He_2^3+Q2...72.28</math> Här är det regelrätt fusion av proton och Deuterium till Helium_3 slutligen <math>He_2^3+He_2^3->He_2^4+2H_1^1+Q3...72.29</math> Där två Helium_3 alltså fusionerar och man "får tillbaka" två protoner. Nettoprocessen är alltså: <math>4H_1^1->He_2^4+2\beta^++2v+Q...72.20</math> Energivinsten är sedan pga Einstein <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.31</math> vilket är lika med <math>Q=[4m_p-m_{\alpha}]c^2...72.32</math> I min kurslitteratur innehåller alfa-partikeln även två elektroner men om den innehåller det, varför innehåller inte protonen/vätet det? Så jag skiter i den biten samtidigt som det väl ändå är rätt tveksamt att elektronerna orkar sitta fast på kärnorna när vi uppenbarligen snackar mycket höga temperaturer, ett plasma är således mer troligt. I vilket fall som helst har vi den numeriska energiekvationen: Som jag dock måste lämna till en annan dag för jag har lite dålig koll på den "sprängda" massan och kärnans massa fast det verkar som om protonen i alla fall har samma sprängda massa som kärnans massa (vilket ju inte är så konstigt för den behöver ingen bindningsenergi för att hålla ihop kärnan ty den består ju bara av en enda proton), sen när det gäller helium händer dock något, i det här fallet vill jag nog mest betrakta He++ (dvs ren alfa-partikel utan elektroner) men i det fallet är den "sprängda" massan väldigt nära 4st protoner (ska väl formellt sett vara 2st protoner och 2st neutroner men neutronerna skiljer bara två ynka elektronmassor i massa) fast här händer nåt viktigt, kärnans massa är MINDRE än den sprängda massan så när vi subtraherar He från 4H så får vi inte noll som man kan tro utan en skillnad som beror på bindningsenergin dvs att Helium är lättare när den hänger ihop än när den är sprängd. Kom precis på en sak, elektronmassorna i formeln är INTE pga Helium's elektroner utan pga de två positronerna (samma massa som elektronen) så det skall faktiskt stå <math>Q=[4m_p-(m_{\alpha}+2m_e)]c^2...72.33</math> Fast samtiidigt vet jag inte om jag tror på positroner :D Nu gillar inte jag begreppet u så jag skall avveckla det från diskussionen MEN jag behöver ett massvärde när det gäller alfa-partikeln och jag har den bara på formen u. Vi börjar således med att skapa en konverteringsfaktor <math>k=\frac{u}{m_e}=\frac{1,660540E-27}{9,109390E-31}=1822, 88825\approx1823...72.34</math> där jag kommer nyttja elektronens massa som den fundamentala massan istället (dom flesta partiklar är nämligen större än elektronens massa vilket gör att alla "massor" blir större än ett, smidigt att räkna på liksom). Enligt min litteratur ha vi sedan <math>Q=[4*1,007276-4,001506-2*0,000549]*uc^2=[4,029104-4,001506-0,001098]*931,48MeV=24,68MeV...72.35</math> Men nu ändrar vi på det här så att vi istället nyttjar elektronmassor och får då <math>Q=[4*1836-7295-2]*m_ec^2\approx[4*1836-4*1823-2]*m_ec^2=50m_ec^2=50*0,51MeV\approx 25MeV...72.36</math> Var inte det smidigare? Idag tror jag mig ha insett en sak, även om följande formel gäller <math>m_k+E_b=\sum nukleoner...72.37</math> som alltså implikerar att kärnans massa är mindre än den sprängda massan så tror jag att Eb är masslös, alla vet ju att solen lyser och dom flesta är överens om att det är pga en fusionsprocess modell protoner som fusionerar till Helium, jag tänker nämligen att kanske det är så att massa ALLTID innehåller energi men att energi INTE alltid innebär massa. För om det är på det sättet kan man se ekvationen som sådan att den mindre kärnmassan beror på en ekvivalent Eb-massa så att kärna egentligen väger lika mycket som den sprängda massan MEN på vågen gör den det inte, den håller ihop sig mha av Eb men Eb väger inget och först då kan vi få ut Eb som en vinst när vi fusionerar. Lite konstigt det här för jag har i alla fall trott att energi och massa alltid är intimt knutna till varandra pga Einstein, Men om vi ska få ovanstående energiöverskott som faktiskt tom är mycket nära Eb-differensen hos dom ingående kärnorna så kan inte Eb vara strikt bundet till kärnan (enligt formeln). Jag har sedan noterat några intressanta saker när det gäller fusion/fission-processer där jag inte har nåt numeriskt bevis på det första exemplet men jag tar det ändå, i princip går alla exempel ut på att man inte behöver jämföra begynnelsemassa med slutmassa utan man kan jämföra skillnaden i Eb istället: <math>H_1^1+n=D_1^2...72.38</math> som har värmevinsteffekten <math>Q=[slutbindningsenergi-begynnelsebindningsenergi]...72.39</math> dvs <math>Q=2MeV-0MeV=2MeV...72.40</math> sen har vi <math>2D_1^2=He_2^4...72.41</math> dvs <math>Q=28MeV-4MeV=24MeV...72.42</math> där mitt kompendium räknat ut 24,68MeV men vem bryr sig om den lilla skillnaden? Om man sedan tittar på fission så har vi den inducerade fissionen enligt kompendiet som ungefär <math>U_{92}^{235}=Ba_{56}^{144}+Kr_{36}^{89}...72.43</math> bindningsenergierna efter minus före blir här <math>Q=1200MeV+800MeV-1800eV=200MeV...72.44</math> och det är EXAKT vad kompendiet anger som energivinst! Så att krångla till det med att använda massan före minus massan efter är direkt onödigt för let' face it, hur intresserade är vi av decimaler? Det intressanta verkar alltså vara att det är skillnaden i bindningsenergi man får ut som energivinst vilket onekligen är lite knepigt för om man "bundit ihop" en kärna som har högre bindningsenergi så borde ju den energin per dess definition tillhöra kärnan och inte friges men så har jag efter möda klurat ut att det inte kan vara för då skulle man inte få nån energivinst alls, greppar inte det här riktigt. ==Fritänkande, skapandet av Deuterium== Jag kopierar ner denna formel från ovan <math>H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1</math> om man partikelstyckar denna får man <math> (p+e)+(p+e)->(p+n+e)+(\beta^+)+v+Q1</math> vilket är lite konstigt för som jag ser det ihileras en elektron med en proton för att bilda en laddningsneutral neutron MEN dels blir det en elektron över som visserligen cirklar kring D dels har vi samtidigt att masskillnaden neutron-proton är TVÅ elektronmassor dvs en neutron kan inte skapas av en proton plus en elektron ty massan stämmer inte. Annars tycker jag formeln stämmer för den överblivna elektronen kommer cirkulera kring D. Samtidigt är detta en process som sker vid mycket hög temperatur där vi förmodligen inte ens har "riktiga" (läs laddningsneutrala) atomer utan vi har ett plasma där elektroner och protoner är separerade. Så formeln är akademisk och borde nog mer stavas <math>p+p=D_k</math> där Dk är deuteriumkärnan och den ena protonen på nåt sätt görs om till en neutron så att man istället kan skriva <math>p+n=D_k</math> men hur gör man om en proton till en neutron för rent formellt kan man skriva <math>n=p+2e</math> vad gäller massa i alla fall, detta kan dock ha med att bindningsenergi kan göras om till ekvivalent massa så om man tar lite av bindningsenergin så kan kanske ytterligare en elektron skapas och ekvationen ovan går ihop, men varför skulle energin ge just ge en elektronmassa till? Dessutom, om det tillkommer två elektroner i formeln så blir inte neutronen laddningsneutral... Tycker det finns brister i det här resonemanget. ==Fritänkande, hur man kanske kan bygga en fusionsreaktor== Jag går lite grann händelserna i förväg här för jag studerar elektromagnetisk fältteori också men har inte kommit så långt, dock finns det nåt som kallas spegling och jag har fått en idé. Mha spegling och fixerad di (avståndet mellan spegelladdningen och centrum hos en laddad stång) så kan man eventuellt modulera ekvivalent radie hos den speglade stången. I fallet laddad stång har man sedan en potential i/på stången (som inte är noll), genom att fixera di kan man eventuellt mekaniskt modulera med den "styrande" laddningen så att man får olika ekvivalenta radier hos den virtuella potentialen. Genom att göra det med relativt hög frekvens kommer laddningarna stå still. På kortsidan av "stångens" pinch sätter man sedan två kondensatorplattor och gör samma sak, på det sättet kommer plasmat inte röra sig axiellt utan mest vibrera samtidigt som den första moduleringen håller plasmat "still" radiellt. Man kan alltså kanske köra in en högströmskabel vid di, få partiklarna att girera kring denna kabel samt innesluta allt mha "kondensatorplattorna" modulerade med relativt hög frekvens. Eventuellt kan "speglingskonfinement" hålla ihop plasmat förutom den höga strömmen som behövs. Jag bara spånar :) =Kapiltel LXIII, Bohrs atommodell= [[File:Fusion Hydrogen Bohr.png|thumb|Atommodell för väte]] "Låt det genast vara sagt: denna Bohr'ska atomteori är idag, bland annat genom Bohrs egen intensiva medverkan, passe' i väsentliga avseenden. Men den utgör inte enbart en fysikhistorisk höjdpunkt, den inbjuder ständigt till jämförelser av resultat och tjänstgör i mångt och mycket som "referensram". Vidare är den baserad på några revolutionerande ide'er som i huvudsak oförändrade övertagits av modernare atomteorier som med fördel presenteras i sin ursprungliga tankemiljö". Bohr uppställer tre postulat för elektronerna: 1) Kvantiserade tillstånd: Elektronen är tillåten endast i omloppsbanor för vilka banimpulsmomentet [pr=mvr] är en heltalsmultipel av <math>\hbar</math> 2) Stationära tillstånd Elektronen i ett tillstånd emitterar ingen energi 3) Emission-Absorbtion Elektromagnetisk strålning sker vid elektronernas diskontinuerliga hopp mellan tillåtna banor varvid den emitterade/absorberade energin svarar mot differensen i tillståndets energi modell <math>E_2-E_1=\Delta E=hf...79.1</math> Vid tillämpningen av postulaten på väteatomen gör vi dels en specialisering till cirkelbana dels en approximation till oändligt tung kärna (denna approximation gör att elektronen cirklar kring kärnan istället för den gemensamma tyngdpunkten), sen har vi alltså jämviktsvillkoret i cirkelbanan där centrifugalkraften (Fc) är lika stor som den Coulombska kraften (Fq): <math>\frac{mv^2}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.2</math> vilket ger <math>E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.3</math> den potentiella energin är sedan <math>E_{pot}=\frac{[-q]q}{4\pi \epsilon_0r}=-\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.4</math> helt enligt Coulombs lag där det bara finns två laddningar med olika tecken. Elektronens totala energi kan man alltså skriva <math>E=E_k+E_p=-\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0r}...79.5</math> Det Bohrska villkoret 1) ovan ger sedan att man kan skriva <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.6</math> vilket insatt i Fc=Fq ovan ger <math>\frac{m\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.7</math> dvs <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.8</math> som insatt i energiekvationen ovan ger <math>E=-\frac{1}{n^2}\frac{m}{2\hbar^2}[\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}]^2...79.9</math> Med insatta värden blir detta <math>E_n=-\frac{1}{n^2}*13,6eV...79.10</math> Allmänt kan vi för emission och absorbption i väteatomen skriva <math>\Delta E=hf=13,6[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}]...79.11</math> som anger hur skillnaden i energi är beroende av elektronernas nivåer/skal där m och n är heltal som ej behöver skilja med ett, Lyman-serien till exempel utgår från E1 och "alla" energinivåer bortanför ett, Balmer-serien utgår från E2 och alla energinivåer bortanför två, Paschen-serien utgår från E3 och alla energinivåer bortanför tre, vad som händer här är alltså att Väte kan exciteras av en foton mellan två av dess skal, när den har gjort det så kan den också återgå till sitt "vilotillstånd" genom att hoppa tillbaka till sitt yttre skal men när de gör det så gör den sig av med sin extraenergi medels strålning så den strålar alltså ut mellanskillnaden i energi modell hf. Ur ovanstående ekvationer kan man räkna ut ett par roliga saker och det är elektronens hastighet och elektronens radie, om vi börjar med radien kan man räkna ut den från <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.12</math> som med insatta värden ger en banradie på ungefär 10^-10m eller 1Å (0,529Å om man skall vara pedant, som också kallas Bohrradien) där man bör observera att en protons radie i runda slängar är 10^-15m vilket ju talar om för oss att elektronen cirklar omkring kärnan på ett "ofantligt" avstånd från kärnan dvs på typ 100000 gånger större avstånd, resten är alltså tomrum :) Elektronens hastighet kan vi också räkna ut från <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.13</math> och den blir i runda slängar 10^6 m/s som ju faktiskt är en hiskelig hastighet för den är nära 1% av ljusets hastighet. När det gäller energinivåerna ovan för väte så har min litteratur talat om för mig att man måste parallella elektronens massa med kärnans massa för att energinivådiagrammen för väte skall bli rätt och när jag gör det stämmer det klockrent sånär som på tredje decimalen. Denna kompensation tycker jag dock är skum men den sägs ha att göra med att elektronen kommer kretsa kring kärnan istället för masscentrum (tror jag) såhär går den <math>m_{eff}=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}...79.14</math> Fattar inte alls varför det blir så men utan den kompensationen blir det inte helt riktigt med energinivåerna (jämfört med uppmätta energinivåer, antar jag). Nåväl, vi ska inte snöa in oss på detaljer, min plan nu är att skapa en interpolerande formel för He+ jonens energinivåer, det är nämligen såhär att den mycket enkla och galanta Bohrska formeln bara tycks gälla för Väte, alla andra grundämnens energinivåer fallerar den tydligen för, inte ens nästa grundämne dvs för enkeljoniserat Helium så fungerar det tydligen. Fast jag gillar Occams Razor så inga flummiga vågfunktioner eller ännu flummigare kvanfysikaliska förklaringar här inte, här ska vi lösa saker på så enkelt sätt som möjligt. Jag ska alltså försöka hitta en eneginivå-interpolerande funktion som träffar enkel-joniserat Heilum's energinivåer, jag har lite lekt med detta redan men fick då bara de två första energinivåerna att stämma (naturligtvis, för det blev ju tvånget på interpolationen), den tredje stämde dock inte alls. Jag har hittat ett energinivådiagram för enkeljonserat Helium på nätet och jag har fyra energinivåer att leka med, tänker nu såhär att om man skall lyckas skapa en interpolerande funktion som funkar så tror jag att man måste involvera kärnans storlek för vitsen är ju att det inte bara skall stämma för Helium, det skall stämma för alla grundämnen (men nånstans måste man ju börja). Den kärnstorleksberoende interpolationskonstanten kommer inte bli linjär. =Kapitel LXIV, Partikelvåg-de Broglie-våglängd= [[File:Fusion Hydrogen Broglie 2.png|thumb|Visar olika tänkta lambda hos elektronbanan]] Bohr tillät sig, då behovet kändes trängande, kvantisera även banimpulsmomentet enligt <math>mvr=n\hbar...80.1</math> En legalisering i efterhand av Bohrs (något ur luften gripna) kvantvillkor och samtidigt en fundamental sammanlänkning av partikel och vågbegreppen åstadkom Louis de Broglie. Om vågor kunde uppvisa partikelegenskaper borde man ej förvånas över en omvändning dvs att partiklar har vågenskaper. Ja, antag att en elektron uppträder som en våg med någon låglängd <math>\lambda</math>, om den i en cirkelbana inte skall utsläcka sig själv genom destruktiv interferens krävs att den varv efter varv är i fas med sig själv. Ovanstående i detta kapitel är alltså citerat från min litteratur men när det gäller det där sista uttalandet så är det fullkomligt skitsnack! Det finns INGET som kräver att elektronen i sin cirkelbana måste "bita sig själv i svansen", den kan naturligtvis ha vilken våglängd som helst, det enda som händer är att "fasfelet" förskjuts för varje varv, nån destruktiv interferens existerar inte, det är bara akademiskt skitsnack! Men om vi kör på så kan man teckna den kvantiserade omkretsen som <math>2\pi r=n\lambda...80.2</math> och alltså enligt det jag inte tror på, sen har vi dock de Broglie-våglängden enligt <math>\lambda=\frac{h}{p}...80.3</math> och om sätter in den kvantiserade omkretsen så får man <math>2 \pi r =n \frac{h}{p}=n \frac{h}{mv}...80.4</math> dvs <math>mvr=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar...80.5</math> som är det Bohrska villkoret ovan, observera dock att det alltså grundar sig på att elekronen löper ett varv på ett jämt antal våglängder, detta tycker jag definitivt inte är nödvändigt, tyvärr kommer jag inte åt de Broglie vilket hade varit ännu häftigare för han stökar till det när det gäller min vision om att en neutron består av en proton plus en elektron (och den andra elektronen kan få vara bindningsenegi alternativt felmätning för känt är i alla fall K-elektroninfångning och där sönderfaller en proton och en elektron i en neutron), men iom att jag tror stenhårt på att elekronbanan INTE behöver var en heltalsmultipel av nån våglängd så finns det en möjlighet att den Bohrska atommodellen kan fungera för andra grundämnen. Partikelns, här elektronens, impuls p kan vi således skriva som funktion av partikelvåglängden <math>\lambda</math> eller vågvektorn alias utbredningskonstanten <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...80.6</math> dvs <math>p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k...80.7</math> På detta sätt påstås man kunna skriva <math>E=pc=\hbar kc=\hbar 2\pi \frac{c}{\lambda}=\hbar w=hf...80.8</math> där jag personligen tror att pc är en partikelegenskap hos energin medans hf är en fotonegenskap men detta är tydligen samma sak så därför kan man också skriva <math>E=pc=hf...80.9</math> och iom att <math>pc=mvc...80.10</math> så kan man skriva detta som <math>v=\frac{hf}{mc}=\frac{h}{m\lambda}...80.11</math> där <math>\lambda</math> kan minimeras till (v=c): <math>\lambda>\frac{h}{mc}...80.12</math> Enligt tänket kring vågfunktioner inom fysiken så tycks det vara ganska rätt att tolka våglängden <math>\lambda</math> som den stående våg som bildas mellan två (potentiella) avstånd. Denna våglängd tycks minimum kunna vara enligt ovan vilket, om man sätter in massan för en elektron, tycks det innebära att våglängden, och därmed ungefär avståndet, är minst 1pm (samtidigt som en protons radie är av storleksordningen 1fm). Så min vision om att en elektron hela tiden skall kunna befinna sig inom en protons radie stämmer inte, enligt ovanstående formler kan den inte det. Men jag ger mig inte, om K-elektroninfångning är nåt som erkänt fungerar (dvs en proton plus en elektron sönderfaller i en neutron då MÅSTE en neutron kunna bestå av en proton plus en elektron, enligt mig). Så nånstans räknar "vi" fel. Jag har sagt det förut men gillar att säga det igen, Einstein säger alltså att energin hos en foton (och enligt vetenskapen även en partikel) har energin hf, detta kan man skriva om som <math>E=hf=h\frac{c}{\lambda}...80.13</math> där vi ju anammat att partiklar även kan vara vågor så att <math>\lambda</math> egentligen bara är ett avstånd, enklast ser man detta när man studerar typ en gitarrsträng. Om man med andra ord inför protonens radie som lambda så får man <math>E=-34+8+15+19=100MeV...80.14</math> Den Coulombska kraften/energin hos p+e är ungefär <math>E_q=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}[eV]...80.15</math> vilket för en elektron på randen av protonen innebär 1MeV. Så man har en attraktiv "kraft" som kan tänkas vilja dra in elektronen inuti protonens skal så att det kan bildas en neutron MEN denna kraft är 100 gånger svagare än den den kraft som krävs för att elektronen HELA TIDEN skall kunna befinna sig inom protonen, undrar hur stark Yukawa-kraften är för en sak är säker den har en förmåga att hålla ihop "mängder" med protoner av LIKA laddning och det är inte helt säkert att enbart neutroner "förmedlar" Yukawa. Det slår mig här att jag ju ovan redan "räknat" ut att det maximala antalet protoner i en kärna är ungefär 100st, Eq=100*1MeV=100MeV, en notering bara. Min litteratur går nu in på vågfunktioner men jag slutar här för det intresserar mig inte annat än att jag för rätt länge sedan listat ut att det svänger modell en gitarrsträng och efter en massa onödigt avancerad "algebra" så kommer min kurslitteratur fram till precis samma sak. ='''Del VI, FUSIONSFORSKNING''', förord= =Kapitel LXV, Plasma i naturen= Saha-ekvationen stipulerar <math>\frac{n_i}{n_n}=2.4*10^{21}\frac{T^{3/2}}{n_i}\exp-(\frac{U_i}{kT})</math>, där n_i är jontätheten och n_n är tätheten av neutrala atomer och U_i är joniseringsenergin för gasen. För vanlig luft blir detta <math>n_n=3*10^{25}m^{-3}</math> <math>T=300K</math> <math>U_i=14,5eV (nitrogen)</math> som ger <math>\frac{n_i}{n_n}=10^{-122}</math> som är löjligt liten<ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 2</ref> Joniseringen fortsätter att vara låg tills U_i är bara några få kT så det finns inga plasma naturligt här på jorden, bara i astronomiska kroppar med temperaturer på milljoner grader. =Kapitel LXVI, Basala hänsyn= När en laddad partikel rör sig i ett magnetfält gäller följande ekvation <math>m\frac{dv}{dt}=qvXB</math> ett enkelt sätt att lösa denna ekvation är att ansätta <math>v=v_0e^{jwt}</math> ekvationen blir då <math>mjwv_0e^{jwt}=qvXB=mjwv</math> om vi sen bara tittar på beloppet (dvs amplituden) så får vi <math>w_c=\frac{|q|B}{m}</math> och pga att v=wr får vi sen <math>r_L=\frac{mv}{|q|B}</math> där w_c kallas för cyklotronfrekvensen och r_L kallas för Larmor-radien. Detta betyder att en partikel kommer gyrera runt magnetfältet med cyklotron-frekvensen och Larmor-radien. Detta är sedan den fundamentala anledningen varför ett plasma eventuellt kan inneslutas mha ett magnetfält. =Kapitel LXVII, Energi och temperatur hos ett plasma= Det kommer senare visas att medelenergin kan skrivas <math>E_{AV}=\frac{1}{4}mv^2=\frac{1}{2}kT</math> där det är ytterligare kT/2 per frihetsgrad, hastigheten blir då <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}</math> ovanstående energi-ekvation kan sedan härledas utifrån then Maxwellska distributionsfunktionen <math>f(v)=A\exp{(-\frac{mv^2/2}{kT})}</math> där partiklarnas täthet kan beräknas medels <math>n=\int_{-\infty}^\infty f(v)dv</math> som ger oss <math>A=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}</math> vad detta ger oss är att även om den mest sannolika temperaturen är <math>kT=\frac{mv^2}{2}</math> så finns det partiklar med både lägre och högre temperatur. ==B-fält från en ström-loop== [[File:Current loop.PNG|thumb|Denna bild visar härledningen av B-fältet från en ström-loop]] Från Maxwell's ekvationer har vi <math>\nabla \cdot B=0</math> som kan skrivas om enligt <math>B=\nabla XA</math> där A kan få vara en godtycklig vektor, med användande av vektorpotentialen A får vi <math>A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_v{\frac{J}{R}dv}</math> där vi inser att <math>Jdv=JSdl=Idl</math> vilket gör att vi pga Biot-Savat's lag får <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_c\frac{dlXa_R}{R^2}</math> om vi sedan definierar <math>dl=bd\phi a_{\phi}</math> och <math>R=a_zz-a_rb</math> och <math>dlXR=a_{\phi}bd\phi X (a_zz-a_rb)=a_rbzd\phi + a_zb^2d\phi</math> och inser att r-delen cacelleras, så får vi <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_0^{2\pi} a_z\frac{b^2d\phi}{(z^2+b^2)^{3/2}}</math> eller <math>B=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{(z^2+b^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{R^3}</math> där dimensionen för B uppenbarligen är <math>B \propto\frac{1}{R}</math> Jag har manuellt lagt tillbaka detta avsnitt då jag först ansåg det vara lite irrelevant men faktum kan vara att det har mer betydelse än man tror, visst strömmen i loopen snurrar bara och vi får ett Bz-fält från strömmen MEN ström är laddningar i rörelse där jag bara spånar att t.ex protoner har samma Larmor-radie varför dom inte nödvändigtvis måste "snurra" bredvid varandra för varför kan dom inte snurra likt ett pärlband i samma slinga när dom ändå har samma radie? I princip kanske man då kan se det som att hela "omloppet" är knökat med t.ex protoner, kanske det tom maximeras med de antalet protoner som får plats i loopen för dom snurrar/gyrerar ju bara och ger därmed en ström. ==E-fält från en laddad loop== [[File:Charged loop.png|thumb|E-fält från en laddad loop]] Man kan teckna E-fältet såhär <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'}{R^2}=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'R}{R^3}</math> där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs <math>R=-b\hat r+z\hat z</math> och <math>dl'=bd\phi</math> av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss <math>R=z\hat z</math> vilket vi kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{z^2}\hat z</math> eller <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{R^2}\hat z</math> detta ger alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0 R^2}2\pi b\hat z</math> där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar), rho_L kan sedan ses som <math>\rho_L=\frac{\sum q}{2\pi b}</math> =Kapitel LXVIII, Drifter i ett plasma= [[File:ExB drift.PNG|thumb|This picture shows how an E-field would interact with a B-field to change the particle orbit.]][[File:Nonuniform B.PNG|thumb|This picture describes what happens to a particle when the magnetic field is non uniform.]][[File:Centrifugal drift.PNG|thumb|This graph describes the centrifugal drift in a plasma.]] Med användande av <math>m\frac{dv}{dt}=q(E+vXB)</math> och sättande av vänstra ledet till noll (ty vi avser ingen rörelse) samtidigt som vi tar kryssprodukten med B så får vi först <math>0=q(E+vXB)</math> som kan skrivas om enligt <math>E=-vXB</math> och kryssar vi sen med B från höger får vi <math>EXB=BX(vXB)</math> sen kan man använda "BAC-CAB"-regeln som innebär att <math>AXBXC=B(A \cdot C)-C(A \cdot B)</math> beviset är dock lite lurigt så jag avstår från det här, detta ger dock <math>EXB=BX(vXB)=vB^2-B(B\cdot v)</math> de transversella komponenterna hos denna ekvation är, pga att v är ortogonal mot B för vi avser drifter, således gäller <math>v_{gc}=\frac{EXB}{B^2}</math> som kan skrivas om som <math>v_{gc}=\frac{EX\hat B}{|B|}</math> och magnituden hos denna "guiding center drift" är tydligen <math>v_{gc}=\frac{E}{B}</math> erkännande av <math>F=qE</math> så kan man få <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> där F kan vara <math>F_E=qE</math> pga ett E-fält eller <math>F_g=mg</math> pga gravitation, sen gäller <math>F_{cf}=\frac{mv_{//}^2}{R_c}\hat R_c</math> som är centrifugalkraften medans partikeln rör sig utmed B, då är driften pga E <math>v_E=\frac{EXB}{B^2}</math> och driften pga gravitation blir <math>v_g=\frac{m}{q}\frac{gXB}{B^2}</math> samtidigt som driften pga det böjda B-fältet blir <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> Det är sedan intressant att notera att <math>|v_E|=|v_{gc}|=|\frac{E}{B}|</math> Det är svårare att härleda och förklara driften i ett icke uniformnt B-fält där kraften kan skrivas <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat z</math> där v_{<math>\perp</math>} implikerar hastigheten vinkelrätt mot B-fältet, som insatt i kraftekvationen ovan ger driften av "guiding ceter" som <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{z}X\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{|F|}{|B|}\hat r=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där index bara motsvarar tanken, de är fortfarande vektorer som kan generaliseras som <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{BX\nabla B}{B^2}</math> eller <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\hat BX\nabla B}{|B|}</math> som är grad-B:driften eller driften orsakad av inhomogeniteter i B-fältet, mha en Taylor-utveckling av <math>v_x=v_\perp e^{jwt}=\frac{dx}{dt}</math> kan man visa att <math>B_z=B_0+y\frac{dB}{dy}</math> där B_0 är en DC-komponent för gyreringen som tar ut sig själv, kvar har vi då att <math>B_z=y\frac{dB}{dy}</math> Sen nyttjas att <math>B_\phi\propto \frac{1}{r}</math> vilket gör att <math>|B|\propto\frac{1}{Rc}</math> där <math>R_c>>r_L</math> och egentligen bara radien ut till krökningen av B-fältet, detta ger att <math>\frac{\nabla |B|}{|B|}=-\frac{R_c}{R_c^2}</math> så att <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}=+/-\frac{1}{2}\frac{v_\perp^2}{w_c}\frac{R_cXB}{R_c^2B}=\frac{1}{2}\frac{m}{q}v_{\perp}^2\frac{R_cXB}{R_cB^2}</math> vilket gör att man kan visa att den totala driften hos ett krökt B-fält i vakuum är <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> "Det är oturligt att dessa drifter adderar för detta innebär att om man böjer ett magnetfält i en toroid för att försöka innesluta ett plasma, så kommer partiklarna driva ut från toroiden oavsett hur man jiddrar med temperatur och magnetisk fältstyrka" [[Francis F. Chen]] ==Fritänkande, de sista ekvationerna ovan går inte ihop== Gradienten av en vektor (B) existerar inte och den sista formeln passar inte, jag köper dock <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> men <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}</math> passar inte i formeln <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> men vi har <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> som faktiskt enklare kan skrivas <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}</math> där man tydligt ser att hastighetsriktingen är skild från riktningen hos B som kan visas mha <math>B=(0;0;1)</math> om nu F kan tecknas <math>F=(1;1;1)</math> så blir kryssprodukten <math>\hat r (0-1) - \hat \phi (0-1) + \hat z (0-0)</math> dvs vi har inga z-komponenter kvar alls vilket samtidigt var riktiningen på B-fältet, istället har vi <math>\hat F X \hat B=-\hat r + \hat \phi</math> dvs vi har hastighetskomponenter i r-led (-v_R) och phi-led (v_gc). Om vi kopierar ner och försöker analysera <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> samt sätter att B=(0;0;1) dvs endast i z-led, då försvinner resutatet vad gäller z-led men i r-led och phi-led finns dom kvar, vi kan titta på fallet <math>F=(0;1;0)</math> och <math>B=(0;0;1)</math> varvid vi får kryssprodukten (FXB) <math>\hat r(1-0)- \hat \phi (0-0) + \hat z (0-0)</math> om alltså kraften endast är i phi-led och B-fältet endast är i z-led så blir det bara en r-komponent kvar, jag har valt att använda cylindriska koordinater här för om man tittar in i ett plasma (modell Tokamak) blir det mest naturligt då utsträckningen av plasmat är i (böjd) z-led och kryssprodukten i r-led (för vi avser vinkelrät drifthastighet) fast kraften blir alltså i phi-led, kryssprodukten kommer alltså visa oss en drift som är vinkelrät mot B-fältet Jag vill alltså skriva om denna ekvation <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> enligt <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{\phi}X\hat B_{z}}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där <math>F_\phi</math> bara innebär att vektorn har en phi-komponent, själva komponenten avses inte, detsamma gäller <math>\hat B_z</math> Det påstås alltså att <math>\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som vi kan mappa till <math>F_r=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}</math> eller <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som man eventuellt skulle kunna skriva om som <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\nabla B</math> problemet är bara att gradienten av en vektor finns inte, bara gradienten av skalärer finns så vad betyder detta? Det ser ut som om gradienten av B existerar men B är väl en vektor som har riktning och magnitud? Är kanske B plötsligt en skalär här? Dvs den har ingen riktning utan är bara en funktion/skalär? Gradienten för en skalär/potential/funktion kan skrivas i cartesiska koordinater <math>\frac{dV}{dx}\hat x + \frac{dV}{dy}\hat y + \frac{dV}{dz}\hat z</math> om sen V är av typen vektor dvs i vårt fall <math>B_x \hat x + B_y \hat y + B_z \hat z</math> och vi tar gradienten för B, då får vi <math>\frac{dB_x}{dx} \hat x \hat x + \frac{dB_y}{dy} \hat y \hat y + \frac{dB_z}{dz} \hat z \hat z</math> som är rappakalja för t.ex <math>\hat x \hat x</math> existerar inte då dom bara kan kyssas (vilket ger noll) eller tas skalärprudukten på som (som ger 1), så vadå gradienten av en vektor? Slutligen tycker jag att själva tanken med att det finns en gradient i B är lockande för om fältet är svagare eller starkare kring nåt snitt så finns det ju onekligen nån slags gradient där men strikt matematiskt går det inte ihop vad jag lärt mig, det är f.ö Chengs fel att jag är så strikt men jag köper det han säger om gradienter dvs det återspeglar en potentials "maximum rate of change" Å andra sidan existerar inte en vektor i kvadrat heller, jag anser dock att man kan nyttja t.ex B^2 som ett mellanled i uträkningarna men <math>(B_x\hat x+B_y\hat y + B_z \hat z)^2</math> existerar inte heller av samma anledning som ovan, dock existerar beloppet av B i kvadrat, formellt kan även B^2 existera men då får man vara vaksam med vad man gör för man har i praktiken två likadana vektorer där man i ovanstående fall kan förkorta bort den ena om man vill, resten blir då |B| för detta sker i nämnaren och man kan heller inte dela med en vektor. ==Fritänkade, får inte att grad-B driften går ihop== om vi har <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dz} \hat z </math> så sägs vi få <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{F_zX\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r </math> Chen visar en trevlig liten bild där B-fältet är i phi-led, eftersom det är avstånd från det ledande plasmat (aka ledaren) i r-led så lär B-fältet inte vara samma på alla avstånd runt om ledaren, i z-led lär det dock inte finnas några inhomogeniter, runt om ledaren så bör fältet vara samma i phi-led (med samma avstånd, r), så <math>dB_z=dB_\phi=0</math> De enda variationerna i B-fältet kan vi ha i avstånd från ledaren dvs i r-led, detta gör att kryssprodukten mellan B och F måste ENBART ge en r-komponent, för att få en r-komponent så måste kraften ha en phi-komponent och flödestätheten en z-komponent (eller tvärtom). Jag leker med tanken att kraften kan få vara i z-riktning, huvudsakliga flödestäten är sedan per definition i phi-riktning. Vi snackar variation av B, i phi-riktning så ger strömmen genom plasmat (i z-riktning) det starkaste B-fältet dvs aktuellt B-fält är faktiskt i phi-riktning! För att sedan få nån drift i r-riktning MÅSTE F vara i z-riktning (in i plasmat), z-riktning innebär sedan längs med B, jag behöver alltså revidera ovanstående formler vad gäller riktning. =Kapitel LXIX, Plasma som fluid= Om vi antar att ett plasma är en fluid, kan vi teckna <math>mn[\frac{dv}{dt}+(v\cdot \nabla)v]=qn(E+vXB)-\nabla p</math> där man kan visa att de två termerna till vänster kan försummas (ty vi avser ingen rörelse), om vi sedan tar kryssprodukten med B så får vi <math>0=qn[EXB+(v_pXB)XB]-\nabla pXB</math> eller <math>0=qn[EXB-v_pB^2]-\nabla pXB</math> där en term redan har försummats, arrangerar vi om ovanstående så får man den vinkelräta driften i ett plasma modell fluid som <math>v_p=\frac{EXB}{B^2}-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}=v_E+v_D</math> där den så kallade diamagnetiska driften är <math>v_D=-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}</math> och kraften är <math>F_D=-\frac{\nabla p}{n}</math> vilket innebär att gradienten till trycket blir <math>p=nkT</math> där n är volymtätheten hos partiklarna, för ett isotermt plasma har vi sedan <math>\nabla p=kT\nabla n</math> =Kapitel LXX, Standardmodellen= # elektron och positron (anti-elektron, positivt laddad elektron med samma massa) # muon och anti-muon # tau och anti-tau tillsammans med dessa kommer deras neutrinon och anti-neutrinon som ger oss sex distinkta typer av partiklar eller # elektron # elektron-neutrino # muon # muon-neutrino # tau # tau-neutrino Neutrinos är preliminärt utan massa och därför svåra att detektera De dominerande tre av dessa partiklar är fundamentala partiklar som består av kvarkar, för vårat scenario är det tillräckligt att känna igen två typer av kvarkar dvs upp-kvark och ner-kvark. Detta är för att en neutron består av två ner-kvarkar och en upp-kvark medans en proton består av två upp-kvarkar och en ner-kvark Som mentorer på PF förklarat så kan en neutron genomgå svag växelverkan (transmutation) och bli konverterad till en proton under utsläpp av en elektron och en anti-netrino. Detta har att göra med att en kvark kan ändra sin typ/smak. Vid detta tillfället behöver en ner-kvark "bara" ändra till en upp-kvark för att ändra typ. Det har också förklarats hur en proton kan ändras till en neutron på liknande sätt. Detta är den basala anledningen till att de protoner vid födelsen av en en stjärna som vår sol kan generera neutroner och därmed Deuterium för att faktiskt starta fusionsprocessen mot Helium. Jag tror numera inte ett skit på detta, massa "fancy particles" bara. =Kapitel LXXII, Strålningspartiklar= 1) Beta-partikel (elektron) 2) Alpha-partikel (vanlig Helium_4-kärna) 3) Gamma-strålning (högenergi-fotoner som sänds ut från kärnan) 4) X-strålning (lite mindre energirika fotoner som sänds ut när elektroner retarderar eller accelererar) =Kapitel LXXIII, Proton-proton fusion= Dessa uttalanden är citerade från <ref>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/procyc.html</ref> 1) Två protoner fuserar. 2) En proton muterar till en netron som ger Deuterium samtidigt som det frigörs en positron och en neutrino vilket ger <math>H_1^2</math> 3) Deuterium fuserar med en till proton som också frigör X-strålning vilket ger <math>He_2^3</math> 4) Två av de resulterande Helium_3 fuserar vilket ger <math>2xHe_2^3=He_2^4+2p</math> 5) En alfa-partikel (Helium_4) skapas med energirikt frigörande av två protoner för att komplettera processen. Ett roligt citat av Arthur Eddington är "I am aware that many critics consider the stars are not hot enough. The critics lay themselves open to an obvious retort; we tell them to go and find a hotter place." ==Fritänkande, tankar kring proton-proton fusion== Jag tror att proton-proton fusion borde skrivas <math>p+p+e+e->p+n^-+\Delta E_b</math> här har vi i princip mass-konservering pga n>~p+2e men vi har en negativt laddad neutron, så att säga, vi skulle dock kunna skriva om detta som <math>H_1^1+H_1^1=H_1^{2-}+\Delta E_b</math> men av definitionsskäl så kan det inte finnas några neutrala atomer i ett (hett) plasma, två protoner skulle dock i teorin kunna fusera till <math>He_2^2</math> men denna isotop existerar inte (enligt Physics Handbook), den enklaste Helium-isotopen är <math>He_2^3</math> som återigen nyttjar en neutron, jag tror således att neutroner är en typ av kärn-klister, det finns dock vetenskapliga teorier om nåt som kallas Yukawa-kraften (eller potentialen)<ref>Physics E Part II, The Institution of Physics, Chalmers University of Technology, Max Fagerstroem, Bengt Stebler, Sven Larsson, 1985, Page B8</ref> men det låter mest som en lämplig fabrikation. Å andra sidan har vi att kvoten mellan gravitationell kraft och Coulumbsk kraft för protoner är runt <math>10^{-36}</math> så de gravitationella krafterna är inte till mycket nytta för att hålla ihop ett par protoner, men hemligheten kanske ligger i neutronerna? Alla grundämnen har sedan isotoper men de kan sällan avvara mer än några få neutroner innan de blir instabila. Physics Handbook säger <math>p=1,67.2623\cdot 10^{-27}kg</math> <math>n=1,67.4929\cdot 10^{-27}kg</math> <math>e=9,10.9390\cdot 10^{-31}kg</math> som ger oss <math>n-p-e=1,53m_e</math> detta är sedan den enklaste processen för att skapa en neutron från en proton och en elektron, här har vi åtminstonen neutral laddning hos neutronen men massan diffar 1,53m_e. Kanske kan vi dock skriva denna process som <math>n-p-e=1,53m_ec^2</math> eller <math>n-p-e=780keV</math> enligt Einstein. Om nu energi och massa är ekvivalent, hur kan vi sno 780keV från en process som inte ens har startat? Termisk energi är nära besläktat med hastigheten hos partikeln men hur kan vi konvertera denna hastighet till massa? Jag tror att detta inte är möjligt, Einsteins relation mellan massa och energi är bara teoretisk, med andra ord är vi fast med faktumet att processen diffar med 1,53m_e i massa. Jag tror sedan att nyckeln är att få skapat en neutron, som jag nu tror kan bli gjort genom p+e men masskillnaden förvirrar mig samtidigt som Physics Handbook anger massan hos elementarpartiklarna intil sex decimaler En undran är hur lätt det är att precist få mätt massan hos elementärpartiklarna när dom bara är av storleksordningen E-27kg Och proton-proton fusioneringen ovan som inkluderar specialpartiklar såsom positroner och neutrinos, har detta verifierats? En anna fråga som man kan ställa sig är, hur? Neutrinos går ju till exempel inte ens att mäta för de saknar massa, sägs det. Vad är sedan bindningsenergi? Jag tror att det är den potentiella energin som en partikel har men jag vet inte, om jag å andra sidan har rätt kan man skriva <math>E_b(p)=V(p)=V(n)[eV]</math> och <math>R(p)=R(n)\approx 10^{-15}m</math> R(e) kan uppskattas enligt <math>(\frac{1}{1880})^{1/3}\cdot R(p)\approx 10^{-16}m</math> och pga att densiteten hos elementarpartiklar är samma så får man för protonen ungefär <math>\frac{-27}{3\cdot -15}=10^{18}kg/m^3</math> vilket är en minst sagt enorm densitet! Om vi sedan tittar på bindningsenergin hos en proton kan vi eventuellt skriva <math>V(p)=\frac{-19}{-10 -15}=1MeV=10^{-13}J</math> som kommer från formeln <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> hämtad från <ref>Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, Forth Printing, 1991, Page 94</ref>, om denna energi sedan är lika med kT för att möjliggöra för en elektron att penetrera den potentiella barriären hos en proton, så får vi <math>T=10^{10}K</math> som också är minst sagt enorm, pga att elektroner sedan är ungefär 10ggr mindre än protoner/neutroner så är elektroners potentiella energi ungefär 10ggr högre vilket ger <math>1+1+10+10=1+1+\Delta E_b</math> som ger en gain i energi på 20MeV för ett par protoner som fusionerar, en rolig analogi är <math>20MeV\cdot 10^{-19}J=20\cdot 10^{-13}Ws\approx 20\cdot 10^{-16}Wh\approx 10^{-15}Wh/particle</math> Tätheten hos ordinärt luft vid 1atm är ungefär <math>n_{air}\approx 10^{25}/m^3</math> så om alla partiklar inom en kubikmeter fusionerar så har vi +25 fusioner eller +25-15=+10Wh, detta transformeras som <math>E=10^{10}Wh=10GWh</math> Men detta är vid 1atm... Slutligen kan vi uppskatta partiklarnas hastigheter för +10K som <math>mv^2=10^{-13}J</math> som ger <math>v_e=\sqrt{\frac{-13}{-31}}=9</math> dvs för att en elektron ska kunna penetrera en proton så måste hastigheten vara runt 1E9m/s, om vi kollar hastighetskravet för protonen så får vi <math>v_p=\sqrt{\frac{-13}{-27}}=7</math> dvs hastighetskravet för protonen för att fusionera med en annan proton är runt 1E7m/s. Elektronens hastighet verkar omöjlig för högre än ljusets hastighet, men det verkar finnas en tweak som kallas den Maxwelliska distrubutionsfunktionen <ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 4</ref> som stipulerar att kT är ett medelvärde jämfört med den kinetiska energin Ek (som jag dock alltid trott är ett medelvärde i sig) som innebär att temperaturen kan vara högre än Ek, om man säger. Detta är förmodligen det enda hopp som finns för att få kontrollerad fusion att funka på planeten. Ett sista ramblande, jag tror att neutron-skapandet måste ske i två steg, det första är <math>p+e+625keV=pe=H_1^F</math> där 625keV är den uppskattade energin för att möjliggöra att en elektron penetrerar en proton samtidigt som allt då blir laddningsneutralt modell neutron, jag har kallat resultatet "Fused Hydrogen", det andra steget är <math>H_1^F+780keV=n</math> där 780keV är den ekvivalenta Einsteinska vilomassan för skapandet av ytterligare 1,53m_e och därmed en "sann" neutron. Jag tror att detta måste hända i steg för vi människor kan inte öka temperaturen för kontrollerad fusion så snabbt vilket innebär att den första processen kommer att hända först, sen behöver processen ungefär 10^10K till för att avslutas. Dvs, det kanske finns en pe-partikel som jag dock aldrig hört talas om, denna partikel är dock neutral i laddning med skiljer sig i massa som eventuellt kan fixas av deacceration av elektronen så att elektronen måste ha 780keV mer i rörelseenergi än vad som behövs för penetration. Sen undrar jag hur en neutron blir till en neutron för vi människor kan inte injicera den rätta massan/energin för att exakt träffa neutronens massa, den måste liksom "veta" detta på nåt sätt, därför tror jag att partikelfysik lite är som genetik. Alla neutroner väger liksomm lika mycket... ==Fritänkande, reflektion över hur kapacitans kanske spelar roll== Ovan har vi formeln för potentialen hos en proton och jag repterar <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> kapacitans är sedan <math>C=\frac{Q}{V}</math> så att kapacitansen faller ut som nämnaren i potentialen, man kan också skriva detta som <math>Q=CV</math> detta kan man differentiera som <math>dQ=CdV+VdC</math> dvs förändringen av laddningen (dQ) är beroende BÅDE av förändringen i potential (dV) OCH förändringen i kapacitans (dC), i ett slutet system med mängder av (laddade) partiklar så varierar C (dvs dC är skillt från noll), en annan sak är att ALLT har kapacitans för när man beräknar kapacitans kan man "lägga" en laddning på kroppen och utnyttja ovan formel, dvs netronen, som är oladdad, har också kapacitans (typiskt ungefär samma som protonen dvs E-25F nånstans). Samtidigt har vi att dQ är noll för netto antal laddningar är samma (även om vissa fusionerar) för laddning är oförstörbar dvs mängden + tar ut mängden - oavsett hur många som fusionerar, då kan vi skriva formeln som <math>0=CdV+VdC</math> potentialen kan man sedan tycka är kostant för den är enligt ovan bara beroende av radien hos den enskilda partikeln men i ett system med laddningar tror jag inte att det är så enkelt dvs potentialändringen (dV) kan t.ex öka vilket för med sig att kapacitansändringen (dC) minskar. Ett system med laddningar har kapacitiv koppling till varandra och kapacitans innebär en ovilja att öka sin potential, eftersom det är tillförelse av Q som får potentialen att öka så är lite frågan hur Q tillförs. Q har enheten C (eller As) dvs är produkten av ström och tid, denna "dirac-puls" kan se väldigt olika ut för hög ström under kort tid är samma som låg ström under lång tid, stora strömförändringar innebär således att kort tid behövs för att ladda upp kapacitansen, små strömfärändringar kräver alltså en längre tid. Ström är laddningar i rörelse, när man hettar upp ett plasma på ett kontrollerat sätt är nog ändå strömförändringen relativ långsam så det krävs eventuell en lite längre tid för att kapacitanserna skall laddas upp. Men för att protonens kapacitans på runt 1E-25F skall laddas upp ordentligt till sin potential på 1,6MV så krävs en laddning (Q) motsvarande elektronens laddning (naturligtvis), eller 1,6E-19As. Så om uppladdningen går på 1,6E-19s så behöver vi 1A. Om uppladdningen går på 1,6E-13s så behöver vi 1uA Bara en reflektion. =Kapitel LXXIV, Tryck i praktiken= Normalt lufttryck är <math>1atm=10^5Pa=10^5N/m^2=10^4kg/m^2=1kg/cm^2</math> detta betyder bara att vi människor har anpassat oss till 1kg/cm² atmosfärstryck och inget annat, förutom att allt kräver en faktisk atmosfär, vattendjup åsidosatt så kan vi också skapa ett skillnadstryck genom att flytta ett objekt i en fluid (som man kallar allt som kan flöda inklusive gaser) <math>p_k=1/2\rho v^2</math> denna ekvation säger att så fort vi har en fluid så kan vi skapa tryck genom att bara röra objektet i fluiden. Vi känner sen en tryckökning motsvarandes 1m under vattenytan (+1hg/cm²) och vi behöver bara dyka 10m under vattenytan för att bli fulla på kväveförgiftning som är anledningen till att dykare andas Helium istället för syre vid stora djup. Trycket vid de djupaste delarna av vårt hav är 1000 atm nånstans men detta känns bara när man besöker platsen som vissa har gjort ändå, farkostens skrov måste då tåla ovanstående tryck vilket motsvarar en elefant som står på en enkrona. Barometerformeln lyder <math>p=p_0-\rho gh</math> som anger lufttrycket vid olika höjd (p₀ betyder 1 atm), denna formel ar approximativt giltig till 10km (där den faktiskt blir noll), i vilket fall är luftdensiteten inte linjär över typ 5km där <math>p=p_0e^{-\frac{mgh}{kT}}</math> bör användas istället (m är den molekylära vikten) Atmosfären är inte homogen, det existerar fyra distinkta lager (definierade av temperaturen): 4) Termosfären (80km, Karman-linjen) 3) Mesospfären (50-80km) 2) Stratosfären (10-50km) 1) Troposfären (<10km) Där Karman-linjen på upp till 100km och är specificerad som den höjd en farkost behöver flyga så fort som omloppshastigheten för att behålla höjd där omloppshastigheten är specificerad som den hastighet där centrifugalkraften är lika med gravitationskraften. Atmosfären är således så hög som runt 10 mil. =Kapitel LXXV, Tryck i ett plasma= Från ideala gaslagen har vi <math>p=\frac{N_{mol}}{V}RT=\frac{N}{V}kT=nkT</math> där n är partikeltätheten. Arbete mot gasen kan definieras som ökningen av PV-produkten på grund av att temperaturen och därmed Ek då ökar Arbete utfört av gasen kan definieras som minskningen av PV-produkten för då minskar temperaturen och Ek minskar. Arbetet delat med antalet partiklar (N) ger arbetet gjort mot, eller gjort av, en enskild partikel som i sin tur ger temperaturen och hastigheten Termodynamikens första lag stavas <math>dQ=dU+dW=dU+pdV</math> där Q är den totala energin, U den interna energin och W är arbetet som är positivt om arbetet utförs av gasen eller negativt om arbete utförs på gasen. Den interna energin är definierad av <math>U=KE+PE</math> där KE är den kinetiska energin och PE den potentiella energin, i ett slutet system måste sedan dQ=0 för det kommer varken ut eller in nån värmeenergi, om sedan dV är positiv för att gasen utför arbete då måste den interna energin (dU) sjunka. =Se även= *[[Fysiksvammel del II (Cheng)]] =Källor= # Åke Fäldt, Bengt Stebler, Fysik del 1 E2, Fysiska institutionen CTH, 1988 # Jan Petersson, Matematisk Analys del 2, 1990 c,a =Referenser= [[Kategori:Fysik]] 375s2vdpp287lgagtewqzqbobivtu6e 52532 52531 2022-08-21T16:21:40Z Knoppson 2055 /* Kapitel LII, Antireflexbehandling av ytor */ wikitext text/x-wiki =Förord= Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma. Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas. ='''Del I, TERMISK FYSIK'''= =Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck= [[File:Fusion Gauss Clock.png|thumb|Bilden visar den Maxwellska fördelningsfunktionen för en viss hastighet hos en partikel i en gas]] En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur. Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur. Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi. Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}=e^{-\frac{E_k}{kT}}...1.1</math> som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e). Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt: <math>\frac{mv^2}{2}=kT...1.2</math> vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=v_{kT}...1.3</math> Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få <math>\frac{1}{A}\frac{dn}{dv}=e^{-\frac{m(v-v_{kT})^2/2}{kT}}...1.4</math> där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring <math>v=v_{kT}</math> för ärligt, vadå centrerad kring v=0? Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta. Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, <math>v_{kT}</math> ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust. Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt. Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar? Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg. Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P. Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar? Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner! Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är <math>F=m\frac{dv}{dt}=\frac{dP}{dt}...1.5</math> så har vi att kraften är <math>F=\frac{d(2mv)}{dt}...1.6</math> och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas <math>p=F/S...1.7</math> där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås <math>p=\frac{1}{S}\frac{d(2mv)}{dt}...1.8</math> Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar. För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna: <math>p=nkT...1.9</math> där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen. Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är <math>p=\rho gh...1.10</math> där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få. Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns? Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller? Jag har mycket att lära mig :D =Kapitel II, Härledning av Boyle's lag= [[File:Fusion PV Constant.png|thumb|Dom två linjerna representerar experimentellt uppmätta data sånär som på den streckade delen]] Det kan visas att under konstant tryck så gäller <math>V=V_0(1+\gamma t)...2.1</math> på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller <math>P=P_0(1+\beta t)...2.2</math> där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat <math>\gamma=\beta=1/273C...2.3</math> Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället: <math>V=V_0\gamma T...2.4</math> för en isobar och <math>P=P_0\gamma T...2.5</math> för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant. Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak. Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse. Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att <math>PV=konstant...2.6</math> för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process. Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med <math>\Delta T</math>), då har vi <math>P2=P1+ P1\gamma \Delta T...2.7</math> om sen volymen ändras men inte trycket så får vi <math>V2=V1+V1\gamma \Delta T...2.8</math> Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att <math>V2=V1+V1\gamma (-\Delta T)...2.8</math> Om vi multiplicerar V2 med P2 fås <math>P2V2=(P1+P1\gamma \Delta T) * (V1+V1\gamma (-\Delta T))...2.9</math> som kan skrivas om enligt <math>P2V2=P1V1+P1V1\gamma\Delta T-P1V1\gamma \Delta T-P1V1(\gamma \Delta T)^2...2.10</math> dvs <math>P2V2=P1V1(1-(\gamma \Delta T)^2)...2.11</math> Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta T}{273})^2)...2.12</math> dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att <math>P2V2=P1V1=konstant...2.13</math> Dvs, Boyles's lag =Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen= [[File:Fusion PVT 2.png|thumb|Gasers beroende av tryck, volym och temperatur. Om man står i 0 och vill ta sig till Q så kan man alltså gå två helt olika vägar]] Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret. P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag). Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2. Nu är: <math>P2=P1\gamma T2...3.1</math> och pga isotermen T2 <math>P3V3=P2V1=P1\gamma T2 V1...3.2</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.3</math> Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att <math>V2=V1\gamma T2...3.4</math> sen har vi att <math>P3V3=P1V2...3.5</math> dvs <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.6</math> På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen <math>P3V3=P1V1\gamma T2...3.7</math> Som kan skrivas om enligt <math>P3V3=P1V1T2/To...3.8</math> så att <math>\frac{P_3V_3}{T_2}=\frac{P_1V_1}{To}...3.9</math> där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt: <math>PV=RT_2...3.10</math> R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som <math>PV=n_mRT...3.11</math> där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns. Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar. Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden. ==Fritänkande, tryck i en ballong== Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt. Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att <math>PV=n_{m}RT...4.1</math> som kan skrivas om enligt <math>P=\frac{n_{m}}{V}RT...4.2</math> Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant. Kan detta verkligen stämma? Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge. Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför. Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför. Så hur spränger man en ballong då? Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag. Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ). =Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin= [[File:Fusion Particles.png|thumb|En visualisering av partiklar som träffar en yta]] [[File:Fusion Sphere.png|thumb|Beräkning av ringarea hos en sfär]] Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt. Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta. Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas <math>dV=S\cdot vdt\cdot cos\theta...5.1</math> där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt. n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som <math>dn(v, \theta)=n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.2</math> då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen. Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då: <math>dN(v, \theta)=dV\cdot dn(v,\theta)=S\cdot vdt\cdot cos\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.3</math> då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan. Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas <math>P(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta...5.4</math> så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som <math>P(v, \theta)\cdot dN(v, \theta)=dP(v, \theta)=2mv\cdot cos\theta\cdot S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.5</math> eller <math>dP(v, \theta)=2mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta\cdot n(v, \theta)\cdot dv \cdot d\theta...5.6</math> Om vi tecknar <math>\frac{n(v, \theta)\cdot dv\cdot d\theta}{n(v)\cdot dv}=\frac{antalet.molekyler.inom.v+dv.och.\theta+d\theta}{antalet.molekyler.inom.v+dv}=\frac{2\pi sin\theta \cdot d\theta}{4\pi}...5.7</math> dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot <math>\frac{1}{2}sin(\theta) \cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...5.8</math> så att vi i vårt uttryck för dP får <math>dP(v, \theta)=mv^2\cdot S\cdot dt\cdot cos^2\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot n(v) \cdot dv ...5.9</math> Sen har vi att <math>F=\frac{dP}{dt}...5.10</math> vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som <math>p=\frac{F}{S}...5.11</math> så kan S förkortas bort och vi har <math>dp(v, \theta)=mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot cos^2\theta\cdot sin\theta \cdot d\theta...5.12</math> Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara? Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk. Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har <math>\int{dp(v, \theta)}=\int{mv^2\cdot n(v)\cdot dv \cdot sin\theta \cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.13</math> vilket eventuellt är lika med <math>\int{dp(v, \theta)}=2\int{\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv} \cdot \int{sin\theta\cdot cos^2\theta\cdot d\theta}...5.14</math> där <math>\int sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta...5.15</math> minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser? Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs <math>\int_0^{\pi/2}sin\theta \cdot cos^2\theta \cdot d\theta=\frac{1}{3}[-cos^3\theta ]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{3}[cos(\pi/2)^3-cos(0)^3]=\frac{1}{3}...5.16</math> Detta är ÄNTLIGEN rätt! Man kan således konstatera att jag fått fram att <math>p=\int dp(v, \theta)=\frac{1}{3}\int mv^2\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int \frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv...5.17</math> eller <math>p=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{mv^2}{2}\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}\int_{-\infty}^\infty Ek_p\cdot n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\int_{-\infty}^\infty n(v)\cdot dv=\frac{2}{3}Ek_p\cdot n...5.18</math> Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet. n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser. Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty <math>p\propto nEk_p=\frac{N}{V}Ek_p=\frac{Ek}{V}...5.19</math> där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi. Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling: <math>p\propto \frac{1}{V}\sum_{j=1}^N{j\cdot Ek_p}...5.20</math> dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket. Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken? =Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen= [[File:Fusion Pressure 2.png|thumb|Figuren visar olika aspekter hos tryck, bl.a annat visar den hur den kinetiska energin blir beroende av temperaturen]] Ideala (obs) gaslagen säger oss att: <math>pV=n_mRT...6.1</math> där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten. Men ovan hade vi ju att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.2</math> som multiplicerat med V ger <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...6.3</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...6.4</math> och <math>n_m=N/N_a...6.5</math> där Na är Avogadros tal, så vi har <math>\frac{R}{N_a}T=\frac{2}{3}Ek_p...6.6</math> R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...6.7</math> och eftersom <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...6.8</math> så blir <math>p=nkT...6.9</math> Ekvation 6.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant (pv är således konstant... :humm: ) Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna. Intressant. Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna. ==Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet== Denna ekvation <math>P2V2=P1V1(1-(\frac{\Delta t}{273})^2)...8.1</math> säger att <math>P2V2=P1V1=konstant...8.2</math> men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm. Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur? En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller. Fast vad betyder det här egentligen? Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen? Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K? Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen: <math>pV=n_mRT...8.3</math> och vi har enligt ovan att <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...8.4</math> sen har vi efter multiplikation med V <math>pV=\frac{2}{3}NEk_p...8.5</math> dvs <math>n_mRT=\frac{2}{3}NEk_p...8.6</math> och ur detta faller (se ovan) <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...8.7</math> och <math>p=nkT...8.8</math> Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre. Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :) ==Fritänkande, tryck utan väggar== Observerade en påse på ICA häromdan. Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld. Vad var det som hände? Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller <math>p=nkT...7.1</math> där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant. Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma. Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden. Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt? Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda? En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar? Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil. Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan. Vad är det då som bestämmer trycket? Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små. Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket. Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta. Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket. För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå. Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck. Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen): <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...7.2</math> Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen: <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...7.3</math> Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen: <math>p=nkT...7.3</math> vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda. Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma. Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel. Det också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig. ==Fritänkande, partiklars olika hastighet== Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha <math>p=\frac{2}{3}nEk_p...9.1</math> där <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.2</math> ut att <math>p=\frac{1}{3}\frac{Nmv^2}{V}...9.3</math> dvs <math>p\propto \rho v^2...9.4</math> där rho helt enkelt är densiteten. Mycket intressant tycker jag för <math>Ek_p=\frac{mv^2}{2}...9.5</math> ihop med <math>Ek_p=\frac{3}{2}kT...9.6</math> säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma. Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet. Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva <math>v^2=\frac{3}{m}kT...9.7</math> som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur (jfr ekv 9.4). När man tittar på den kinetiska energin (ekv 9.5) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 9.6) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa. Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar. Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande. ==Fritänkande, uppskattat tryck hos luft== Ekvation <math>p=nkT...10.1</math> är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar <math>p=\frac{N\cdot m}{V}\cdot \frac{kT}{m}=\frac{\rho}{m}kT...10.2</math> så blir den mer begriplig. Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas <math>n=\frac{p}{kT}...10.3</math> där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket. Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 10.2. För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då? Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna. Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 10.3 så får vi <math>n=\frac{1,013E+5}{1,38E-23*293}=2,5E25</math> dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur. Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16m_p+8/10X2X14m_p}kT</math> där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve. Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg. Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som: <math>p=\frac{\rho}{m}kT=\frac{1}{2/10X2X16*1,67E-27+8/10X2X14*1,67E-27}1,38*10^{-23}*293=84kPa</math> Rätt nära 101,3kPa faktiskt :) =Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden= [[File:Fusion Hits.png|thumb|En visualisering av hur partiklar i en gas krockar med varandra]] Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar). Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra. Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock). Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet. Låt oss försöka kalkylera stöttalet, ns, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet: Den infinitesimala volymen är <math>dV=Svdt\cdot cos\theta...11.1</math> där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S Antalet partiklar inom denna volym är <math>dn_s=n(v, \theta)dvd\theta dV...11.2</math> men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta dV...11.3</math> Så att antalet molekyler inom denna volym är <math>dn_s=n(v)dv\frac{1}{2}sin\theta d\theta Svdt\cdot cos\theta...11.4</math> och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs <math>n_s=\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}sin\theta \cdot cos\theta d\theta...11.5</math> där <math>\int_{-\infty}^{\infty}n(v)vdv=n<v>...11.6</math> där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir: <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.7</math> Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är <math>dV=\frac{\pi}{4}d^2vdt...11.8</math> Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym <math>dV=\pi d^2 vdt...11.9</math> då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet <math>N_{ct}=n\cdot\frac{dV}{dt}=n\pi d^2 v\approx nd^2v...11.10</math> Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också <math>N_{ct}=\sqrt2 \pi n d^2 v...11.11</math> Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså <math>n\cdot N_{ct}=\sqrt2 \pi n^2 d^2 v...11.12</math> således är antalet kollisioner <math>\frac{1}{2}n\cdot N_{ct}=\frac{1}{\sqrt{2}}\pi n^2 d^2 v...11.13</math> Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet. <math>l=\frac{v}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}=\frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}...11.14</math> Nu har vi två ekvationer: 11.7 & 11.11. Ekv 11.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är <math>n_s=\frac{1}{4}n<v>...11.15</math> så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt <math>n=\frac{p}{kT}...11.16</math> och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans. Hastigheten kan då räknas ut genom <math>Ek=\frac{3}{2}kT=\frac{mv^2}{2}...11.17</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}...11.18</math> där m kan uppskattas som <math>m \approx \frac{2}{10}*2*(8m_n+8m_p)+\frac{8}{10}*2*(7m_n+7m_p)\approx \frac{2}{10}*2*(16m_p)+\frac{8}{10}*2*(14m_p)\approx 30m_p...11.19</math> där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet. Så hur bred är en proton? Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta: Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3. Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är <math>\rho=\frac{m}{V}...11.20</math> dvs <math>V=\frac{m}{\rho}...11.21</math> som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 11.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft. Fria medelvägslängden för luft är sedan <math>l=\frac{1}{\sqrt(2) \pi n d^2}...11.22</math> och om man använder d som approximativt lika med R (i.e E-10) och n=E25 så blir det bara 1um luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar. Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs <math>p=\sum n_i kT...11.23</math> ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig. Radien <math>r_0</math> hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas <math>R\approx r_0*A^{1/3}\approx 10^{-15}*A^{1/3}...11.24</math> där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner). Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta <math>n\approx \frac{A}{R^3}=\frac{A}{(r_0A^{1/3})^3}=\frac{1}{r_0^3}\approx 10^{45}...11.25</math> dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten! Jag tycker detta är sanslöst fascinerande! Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :) Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas <math>\rho=\frac{N A m_p}{V}=n A m_p...11.26</math> där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs <math>n=\frac{\rho}{A m_p}...11.27</math> så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få <math>n\approx\frac{1000}{10^{-26}}=10^{29}...11.28</math> ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26. Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med. =Kapitel VII, Molekylär diffusion= [[File:Fusion Diffusion.png|thumb|Molekylär diffusion]] Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen. Vi antar sedan följande: 1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v> 2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner 3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led. Vad händer vid tvärsnittet i x? 1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är <math>N_{x-1}=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt...12.1</math> På samma sätt passerar <math>N_{x+1}=\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.2</math> som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l. På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...12.3</math> i positiva x-riktningen. Men <math>n_{x-1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(-l)...12.4</math> och <math>n_{x+1}=n_x+dn=n_x+\frac{dn}{dx}(\Delta x)=n_x+\frac{dn}{dx}(+l)...12.5</math> dvs <math>n_{x-l}-n_{x+l}=-2l\frac{dn}{dx}...12.6</math> Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 12.3) <math>j=\frac{1}{6}v(n_{x-l}-n_{x+l})=-\frac{1}{3}lv\frac{dn}{dx}...12.7</math> Vi har alltså en partikelflux enligt <math>j=-D\frac{dn}{dx}...12.8</math> där <math>D=\frac{1}{3}lv...12.9</math> som kallas diffusionskoefficienten. =Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)= [[File:Fusion Viscosity.png|thumb|Viskositetens inre struktur]] Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln. 1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är <math>\frac{1}{6}n_{y-1}Svdt...13.1</math> pss passerar <math>\frac{1}{6}n_{y+1}Svdt...13.2</math> uppifrån. Netto i positiva y-riktningen är <math>\frac{1}{6}Svdt(n_{y-l}-n_{y+l})...13.3</math> men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs <math>n_{y-l}-n_{y+l}=0...13.4</math> Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led. Men hastigheten <math>v_x...13.5</math> (strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y. Molekylerna från y-l medför impulsen <math>mv_{x,y-l}...13.6</math> och molekylerna från y+l medför impulsen <math>mv_{x, y+l}...13.7</math> Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då <math>\frac{1}{6}Svdt(nm v_{x, y-l}-nm v_{x, y+l})...13.8</math> med <math>v_{x,y-l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(-l)...13.9</math> och <math>v_{x,y+l}=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(\Delta y)_1=v_{x,y}+\frac{dv_x}{dy}(+l)...13.10</math> har vi <math>v_{x, y-l}-v_{x, y+l}=-2l\frac{dv_x}{dy}...13.11</math> Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt <math>\frac{dp_x}{dt}=\frac{1}{6}Svnm (-2l\frac{dv_x}{dy})=\frac{1}{6}Sv\rho(-2l\frac{dv_x}{dy})...13.12</math> alltså <math>\frac{dp_x}{dt}=-\frac{1}{3}Svl\rho \frac{dv_x}{dy}=-DS\rho \frac{dv_x}{dt}=F_x...13.13</math> =Kapitel IX, Termisk diffusion= [[File:Fusion Thermal Diffusion.png|thumb|Termiska diffusionens inre struktur]] På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att: På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet <math>\Delta N=\frac{1}{6}n_{x-l}Svdt-\frac{1}{6}n_{x+l}Svdt...14.1</math> i positiva x-riktningen. Nu är dock <math>n_{x-l}=n_{x+l}...14.2</math> men <math>v_-...14.3</math> är ej lika med <math>v_+...14.4</math> ty <math>Ekp=\frac{\alpha}{2}kT...14.5</math> och <math>Ekp=\frac{1}{2}m<v>^2...14.6</math> som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3). Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x: från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av <math>\frac{1}{6}nS<v_->dt...14.7</math> molekyler, vardera med energin <math>\frac{\alpha}{2}k[T-\frac{dT}{dx}l]...14.8</math> Total passeras S vid x av energin <math>dQ=\frac{1}{6}nS<v_->dt[\frac{\alpha}{2}k(T-\frac{dT}{dx}l)]-\frac{1}{6}nS<v_+>dt[\frac{\alpha}{2}k(T+\frac{dT}{dx}l)]...14.9</math> vilket ger <math>\frac{dQ}{dt}\approx \frac{1}{6}nS<v>\frac{\alpha}{2}k2(-\frac{dT}{dx}l)=-\frac{nS<v>\alpha kl}{6}\frac{dT}{dx}...14.10</math> eller <math>\frac{dQ}{dt}=-\gamma S \frac{dT}{dx}...14.11</math> med <math>\gamma=\frac{n<v>\alpha kl}{6}...14.12</math> med <math>D=\frac{1}{3}<v>l...14.13</math> kan vi alternativt skriva <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD...14.14</math> Här är jag osäker för stora Cv är <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...14.15</math> där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser. Lilla cv definieras som <math>c_V=\frac{1}{m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.16</math> och är värmekapacitiviteten för solida material För gaser definieras stora Cv som <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...14.17</math> där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka. I vilket fall definierar min lärare gamma som <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.18</math> Där den sista likheten för mig är något diffus. Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...14.19</math> där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas). Den inre energin U kan skrivas <math>U=N*Ekp=n_mN_AEkp=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_m\frac{\alpha}{2}RT=n_mC_VT...14.20</math> där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 14.16 och 14.19 ger sedan att <math>mc_VdT=dQ=dU=n_m\frac{\alpha}{2}RdT...14.21</math> därmed <math>mc_V=n_m\frac{\alpha}{2}R...14.22</math> dvs <math>c_V=\frac{n_m}{m}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{N_Am}\frac{\alpha}{2}R=\frac{N}{m}\frac{\alpha}{2}k=\frac{1}{m_p}\frac{\alpha}{2}k...14.23</math> Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 14.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi. Om vi tar oss en ny titt på 14.18 som jag repeterar <math>\gamma=n\frac{\alpha}{2}kD=\rho c_V D...14.24</math> Så har vi från 14.23 att <math>\frac{\alpha}{2}k=m_pc_V...14.25</math> och ekvationen går ut. Indexeringen V hos 14.16 och 14.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0. ==Fritänkande, förenklad syn på diffusion== Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga: Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet <math>n_s=\frac{1}{4}nv...15.1</math> där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida. Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty <math>F=\frac{dP}{dt}=m\frac{dv}{dt}...15.2</math> detta kallas också viskositet. Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom). =Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats= [[File:Fusion Thermal Dynamics.png|thumb|Hur gaser reagerar på värme]] Termodynamikens första huvudsats lyder: <math>dQ=dU+dW...16.1</math> där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete. Ekvation 16.1 kan förenklas till <math>dQ=dU+pdV...16.2</math> vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV. Inre energin är sen <math>U=NEk_p=n_mN_AEk_p=n_mN_A\frac{\alpha}{2}kT=n_mR\frac{\alpha}{2}T=n_mC_VT...16.3</math> där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet. Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen. Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas <math>c_V=\frac{1}{m}\frac{dQ}{dT}...16.4</math> som för gaser istället kan tecknas <math>C_V=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_V...16.5</math> och <math>C_P=\frac{1}{n_m}(\frac{dQ}{dT})_P...16.6</math> där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant. =Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv= [[File:Fusion Gas Work.png|thumb|Stadiet för en gas när man tillför värme, förskjutningen är dx]] Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet: <math>dW=Fdx=pSdx=pdV...17.1</math> Första huvudsatsen <math>dQ=dU+dW...17.2</math> och sambandet dW=pdV ger <math>dU=dQ-pdV...17.3</math> eller <math>\frac{dU}{dT}=\frac{dQ}{dT}-p\frac{dV}{dT}...17.4</math> och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta <math>\frac{dU}{dT}=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.5</math> och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva <math>n_mC_V=n_mC_P-p\frac{dV}{dT}...17.6</math> differentiering av allmänna gasekvationen <math>pV=n_mRT...17.7</math> ger oss att <math>pdV+Vdp=n_mRdT...17.8</math> där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 17.6 blir <math>n_mC_V=n_mC_P-n_mR...17.7</math> dvs <math>C_V=C_P-R...17.8</math> som brukar skrivas om enligt <math>\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{R}{C_V}=\gamma...17.9</math> som alltså fått en egen konstant, gamma. Vi vet sedan tidigare att <math>C_V=\frac{\alpha}{2}R...17.10</math> så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir <math>C_V=\frac{3}{2}R...17.11</math> vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa. =Kapitel XII, Termiska delprocesser= [[File:Fusion Thermal Processes.png|thumb|En hypotetisk termisk process som använder alla tillgängliga delprocesser]] Det finns fyra olika delprocesser och dessa är: 1) Isokor, konstant volym (dV=0) 2) Isobar, konstant tryck (dp=0) 3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0) 4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0) Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen: <math>dQ=dU+pdV...18.1</math> Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som <math>dQ=dU...18.2</math> eller <math>(\frac{dQ}{dT})_V=\frac{dU}{dT}=n_mC_V...18.3</math> vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med <math>dU=n_mC_VdT...18.4</math> Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin <math>U=NEk_p=n_m\frac{\alpha}{2}RT...18.5</math> och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen. Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får <math>dQ=dU+pdV...18.6</math> här är arbetet gasen uträttar pdV enligt <math>pdV=dQ-dU...18.7</math> som kan skrivas om enligt <math>\frac{pdV}{dT}=(\frac{dQ}{dT})_P-\frac{dU}{dT}...18.8</math> dvs <math>\frac{pdV}{dT}=n_mC_P-n_mC_V...18.9</math> med andra ord uträttar gasen arbetet <math>pdV=n_m(C_P-C_V)dT...18.10</math> vid en isobar process. Vid en isoterm process gäller (som alltid) <math>dQ=dU+pdV...18.11</math> Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället <math>dQ=pdV...18.12</math> eller <math>\frac{dQ}{dT}=\frac{pdV}{dT}...18.13</math> dvs <math>pdV=n_mC_VdT...18.14</math> som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur). Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först <math>dQ=dU+pdV...18.15</math> som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt <math>dU=-pdV...18.16</math> det här kan som vanligt skrivas om enligt <math>\frac{dU}{dT}=-\frac{pdV}{dT}...18.17</math> och eftersom <math>dU=n_mC_VdT...18.18</math> så får vi att <math>n_mC_V=-\frac{pdV}{dT}...18.19</math> om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi <math>pdV+Vdp=n_mRdT...18.20</math> om vi löser ut dT så får vi <math>dT=\frac{pdV+Vdp}{n_mR}...18.21</math> som insatt i 18.19 blir <math>n_mC_V=-n_mR\frac{pdV}{pdV+Vdp}...18.22</math> som kan skrivas om enligt <math>R=-C_V*(1+\frac{Vdp}{pdV})...18.23</math> eller <math>-(\frac{R}{C_V}+1)=\frac{Vdp}{pdV}...18.24</math> dvs <math>-\gamma=\frac{Vdp}{pdV}...18.25</math> eller <math>-\gamma \frac{dV}{V}=\frac{dp}{p}...18.26</math> så att <math>-\gamma \int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=\int_{p_1}^{p_2}{\frac{dp}{p}}...18.27</math> som ger att <math>-\gamma (\ln{V_2}-\ln{V_1})=\ln{p_2}-\ln{p_1}...18.28</math> dvs <math>-\gamma \ln{\frac{V_2}{V_1}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.29</math> eller <math>\ln{(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}}=\ln{\frac{p_2}{p_1}}...18.30</math> då fås <math>(\frac{V_2}{V_1})^{-\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.31</math> som kan skrivas om enligt <math>(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma}={\frac{p_2}{p_1}}...18.32</math> dvs <math>p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma}=konstant...18.33</math> V.S.V =Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden= [[File:Fusion Carnot.png|thumb|Carnot-maskinen i praktiken]] Carnotprocessen består av fyra delprocesser. Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression. Vi har alltså fyra delprocesser och de är: 1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0 2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0 3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0 4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0 Allmänt gäller <math>dQ=dU+dW=dU+pdV...19.1</math> dvs termodynamikens första huvudsats så: För 1 gäller (dT=dU=0) <math>dQ=pdV...19.2</math> och genom att använda allmänna gaslagen <math>pV=n_mRT...19.3</math> och lösa ut p fås <math>dQ=n_mRT_1\frac{dV}{V}...19.4</math> som uppintegrerat innebär <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.5</math> vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen. För 2 gäller (dQ=0) <math>pdV=-dU...19.6</math> dvs <math>pdV=-n_mC_VdT...19.7</math> som uppintegrerat blir <math>W_2=-n_mC_V(T_2-T_1)...19.8</math> som alltså är arbetet gasen utför. för 3 gäller samma formler som för 1 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.9</math> och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs <math>W_4=-n_mC_V(T_1-T_2)=+n_mC_V(T_2-T_1)...19.10</math> Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens. Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.11</math> och bortförd värmemängd som Q2 dvs <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.12</math> då kan man definiera en verkningsgrad som <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{Q_{tillford}-Q_{bortford}} {Q_{tillford}}...19.13</math> Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt" För isosotemerna så kan vi emellertid skriva: <math>P_1V_1=P_2V_2...19.14</math> och <math>P_3V_3=P_4V_4...19.15</math> sen kan vi skriva adiabaterna enligt <math>P_2V_2^\gamma=P_3V_3^\gamma...19.16</math> och <math>P_4V_4^\gamma=P_1V_1^\gamma...19.17</math> och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås <math>p_1p_2p_3p_4V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=p_1p_2p_3p_4V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19,18</math> dvs <math>V_1V_3V_2^\gamma V_4^\gamma=V_2V_4V_3^\gamma V_1^\gamma...19.19</math> eller <math>V_2^{\gamma-1}V_4^{\gamma-1}=V_3^{\gamma-1}V_1^{\gamma-1}...19.20</math> dvs <math>\frac{V_2^{\gamma-1}}{V_1^{\gamma-1}}=\frac{V_3^{\gamma-1}}{V_4^{\gamma-1}}...19.21</math> eller <math>\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}...19.22</math> Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs <math>Q_1=n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}...19.23</math> och <math>Q_2=n_mRT_2ln\frac{V_4}{V_3}...19.24</math> så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som <math>Q_2=-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}...19.25</math> Vilket ger verkningsgraden <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}-n_mRT_2ln\frac{V_2}{V_1}}{n_mRT_1ln\frac{V_2}{V_1}}...19.26</math> eller <math>\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{T_1-T_2}{T_1}...19.27</math> Denna formel kan sedan skrivas om enligt <math>\eta=1-\frac{Q_1}{Q_2}=1-\frac{T_1}{T_2}...19.28</math> där vi kan nyttja <math>\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{T_1}{T_2}...19.29</math> eller <math>\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}...19.30</math> Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller. ='''Del II, VÅGRÖRELSELÄRA'''= Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap. =Kapitel XIV, Svängningsrörelse= [[File:Fusion Motion.png|thumb|En belastad fjäder i rörelse]] Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.1</math> dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0. En lösning till det här är <math>s=Asin(wt+\phi)...20.2</math> där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll. Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer: <math>\frac{ds}{dt}=Awcos(wt)...20.3</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-Aw^2sin(wt)...20.4</math> detta leder till att 20.1 blir <math>-mAw^2sin(wt)=-CAsin(wt)...20.5</math> där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi <math>mw^2=C...20.6</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.7</math> som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper. Sen tecknar vi rörelseenergin <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2=\frac{1}{2}mA^2w^2cos^2(wt)=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-sin^2(wt))...20.8</math> dvs <math>E_k=\frac{1}{2}mA^2w^2(1-\frac{s^2}{A^2})=\frac{1}{2}mw^2(A^2-s^2)...20.9</math> och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet) <math>E_p=-\int Fds=\int Csds=\frac{1}{2}Cs^2=\frac{1}{2}mw^2s^2...20.10</math> och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt <math>E_{tot}=E_k+E_p=\frac{1}{2}mw^2A^2=\frac{1}{2}CA^2...20.11</math> Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 20.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.12</math> sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell. Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av <math>i=C\frac{du}{dt}...20.13</math> och <math>u=-L\frac{di}{dt}...20.14</math> och om man stoppar in 20.13 i 20.14 så fås <math>LC\frac{d^2u}{dt^2}=-u...20.15</math> och om vi jämför med 20.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1. Jämför man sen med 20.7 så ser man att <math>w=\sqrt{\frac{1}{LC}}...20.16</math> där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan. Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som <math>\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2x...20.17</math> där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa. Om vi tittar på differentialekvationen 20.1 igen och repeterar <math>F=m\frac{d^2s}{dt^2}=-Cs...20.18</math> samt tar till lite komplexa trick som <math>s=Ae^{jwt}...20.19</math> och deriverar detta enligt <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...20.20</math> samt <math>\frac{ds^2}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...20.21</math> så att 20.18 blir <math>F=-mw^2s=-Cs...20.22</math> där det bara är att förkorta bort s varvid vi får <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...20.23</math> och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt. Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel. Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP. Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m <math>AM(t)=(c+me^{jw_mt})e^{jw_ct}...20.24</math> där c står för carrier och m för message. Detta kan sedan förenklas till <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+w_m)}...20.25</math> där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna. Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva <math>AM(t)=ce^{jw_ct}+me^{jt(w_c+/-w_m)}...20.26</math> Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex <math>sin(w_ct)sin(w_mt)=sin(w_ct-w_mt)-sin(w_ct+w_mt)...20.27</math> Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången. För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå <math>FM(t)=Ae^{jt(w_c+w_m)}=ce^{jw_ct}\cdot me^{jw_mt}...20.28</math> Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc. =Kapitel XV, Vågekvationen= [[File:Fusion Wave Propagation.png|thumb|En våg breder ut sig]] Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> Detta kan också tecknas <math>x-vt=u...21.2</math> kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är <math>s=f(u)...21.3</math> då är <math>\frac{\delta s}{\delta x}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta x}=\frac{df}{du}...21.4</math> och <math>\frac{\delta s}{\delta t}=\frac{df}{du}\frac{\delta u}{\delta t}=-v\frac{df}{du}...21.5</math> andraderivatorna blir då <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2f}{du^2}...21.6</math> respektive <math>\frac{\delta^2s}{\delta t^2}=v^2\frac{d^2f}{du^2}...21,7</math> som ger <math>\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.8</math> Detta kallas vågekvationen. v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till. =Kapitel XVI, Vågutbredning= [[File:Fusion Circle 2.png|thumb|Studie över hur en våg breder ut sig]] Ekvation 21.1 enligt <math>s(x,t)=f(x-vt)...21.1</math> jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt <math>s(x,t)=f(t-\frac{x}{v})...22.1</math> Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig. Om funtionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt <math>s(x,t)=sin(2\pi f t-2\pi f \frac{x}{v})...22.2</math> eller <math>s(x,t)=sin(2\pi \frac{t}{T}-2\pi \frac{x}{\lambda})...22.3</math> Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position. Emedan det är tämligen känt att <math>w=\frac{2\pi}{T}=2\pi f...22.4</math> så kallas samtidigt <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...22.5</math> där <math>\lambda=\frac{v}{f}...22.6</math> =Kapitel XVII, Longitudinell våg= [[File:Fusion Rod 2.png|thumb|Långitudinell våg i en stång]] Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen. Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven. Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt <math>s(x+dx,t)=s(x,t)+\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.1</math> störningsdifferensen är då <math>s(x+dx,t)-s(x,t)=\frac{\delta s}{\delta x}dx...23.2</math> dvs den relativa töjningen är <math>e=\frac{\frac{\delta s}{\delta x}dx}{dx}=\frac{\delta s}{\delta x}...23.3</math> Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt <math>\sigma =eE...23.4</math> spänningen kan också tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...23.5</math> där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas <math>F=\sigma Y=YEe=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.6</math> Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av) <math>F2-F1=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.7</math> F1 blir enligt 23.6 <math>F1=F(x)=YE\frac{\delta s}{\delta x}...23.8</math> och F2 bir galant pga implicit derivering <math>F2=F(x+dx)=F(x)+YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.9</math> dvs <math>F2-F1=YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx...23.10</math> och kombineras detta med 23.7 så fås <math>YE\frac{\delta^2s}{\delta x^2}dx=\rho Ydx\frac{d^2s}{dt^2}...23.11</math> eller <math>E\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\rho \frac{d^2s}{dt^2}...23.12</math> dvs <math>\frac{E}{\rho}\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...23.13</math> identifiering med vågekvattionen <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> ger slutligen att hastigheten ges av <math>v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}...23.14</math> =Kapitel XVIII, Transversell våg= [[File:Fusion String 2.png|thumb|Visar krafterna på en sträng]] Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2. Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna <math>F_1cos(\theta_1)=F_2cos(\theta_2)...24.1</math> men om vinklarna är små så gäller <math>sin(\theta)=tan(\theta)=\theta...24.2</math> därmed gäller <math>F_1=F_2=F...24.3</math> därför kan man teckna <math>F(x)=F\cdot sin(\theta)=F\cdot tan(\theta)=F\frac{ds}{dx}...24.4</math> ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att <math>F(x+dx)-F(x)=F(x)+F\frac{d^2s}{dx^2}dx-F(x)=F\frac{d^2s}{dx^2}dx...24.5</math> sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean <math>F\frac{d^2s}{dx^2}dx=ma=m\frac{d^2s}{dt^2}=\rho Y dx\frac{d^2s}{dt^2}...24.6</math> så att <math>\frac{F}{\rho Y}\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...24.7</math> identifiering med vågekvationen <math>v^2\frac{d^2s}{dx^2}=\frac{d^2s}{dt^2}...21.18</math> ger sedan att <math>v=\sqrt{\frac{F}{\rho Y}}...24.8</math> eller <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> med my=m/L, eftersom spänningen i strängen kan tecknas <math>\sigma=\frac{F}{Y}...24.10</math> så kan v även skrivas <math>v=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}...24.11</math> 24.9 sägs vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig? För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter. Nu har vi två saker att beakta: 1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led. 2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led. Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led. 1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller. ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I== Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt <math>m\frac{d^2s}{ds^2}=-Cs...24.12</math> där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva <math>s=Ae^{jwt}...24.13</math> dvs <math>\frac{ds}{dt}=jwAe^{jwt}=jws...24.14</math> och <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2Ae^{jwt}=-w^2s...24.15</math> så att <math>-mw^2s=-Cs...24.16</math> dvs <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.17</math> där <math>|v|=wA...24.18</math> enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att <math>v=A*\sqrt{\frac{C}{m}}...24.19</math> där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 24.19 också skrivas <math>v=A*\sqrt{\frac{F}{Lm}}...24.20</math> och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.21</math> som är samma som 24.9 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 24.19 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden. Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs <math>T=2A/v...24.22</math> Frekvensen är nu inversen av detta dvs <math>f=v/2A=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.23</math> När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller? Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår. Problemet nu är min personliga övertygelse om <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.24</math> dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden. Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led. Jag får inte ihop det här. Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet) ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II== Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan. Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till <math>s=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> där vågtalet k (lambda/2pi) är infört. Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller <math>wt=kx...24.26</math> och om man då löser ut x så får man <math>x=\frac{w}{k}t...24.27</math> derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...24.28</math> men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet! w/k kan för övrigt förenklas till <math>\frac{w}{k}=\frac{2\pi f}{2\pi/\lambda}=f*\lambda=v_f...24.29</math> MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort. Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.30</math> vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs <math>v=wA...24.31</math> Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju! Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0). Frekvensen kan fås av att <math>w=2 \pi f...24.32</math> och att <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}...24.33</math> dvs <math>f=\frac{1}{2\pi}* \sqrt{\frac{C}{m}}...24.34</math> där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz. Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%. Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E. Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed <math>v=Aw=A\sqrt{\frac{C}{m}}...24.35</math> och <math>f=\frac{w}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.36</math> och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A...24.37</math> Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg. Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller <math>\lambda=\frac{v}{f}=2\pi A==\frac{2L}{n}...24.38</math> Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor). Så A ovan kan bytas ut mot <math>A=\frac{L}{n\pi}...24.39</math> och insatt i 24.35 får man <math>v=\frac{L}{n\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}...24.40</math> där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå? ==Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III== Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar <math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.9</math> sen har vi att <math>f=\frac{v}{\lambda}...24.41</math> Vad är nu lambda? Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...24.25</math> Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs <math>s(0,t)=Ae^{jwt}==0...24.42</math> Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då <math>wt=n*\pi...24.43</math> Samtidigt har vi att <math>s(L,t)=Ae^{j(wt-kL)}==0...24.44</math> Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås <math>wt=kL...24.45</math> kombinerar vi 24.43 med 24.45 så fås <math>n*\pi=kL...24.46</math> och eftersom <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...24.47</math> så blir 24.46 <math>L=n*\frac{\lambda}{2}...24.48</math> och därmed blir <math>\lambda=\frac{2L}{n}...24.49</math> som gör att 24.41 blir <math>f=\frac{n}{2L}*\sqrt{\frac{F}{\mu}}...24.50</math> =Kapitel XIX, Elektromagnetism= [[File:Fusion Coulomb.png|thumb|En visualisering av Coulombs lag]] Coulombs lag kan tecknas <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.1</math> som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}...25.2</math> där <math>\epsilon=\epsilon_r \epsilon_0...25.3</math> där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre. Man kan se 25.2 på ännu ett intressant sätt <math>F=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{4\pi r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{A_s}...25.4</math> där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt. Sen skulle jag vilja förenkla 25.1 till <math>F\propto \frac{Q^2}{r^2}...25.5</math> där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som <math>E=\frac{F}{Q}...25.6</math> vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således <math>E\propto \frac{Q}{r^2}...25.7</math> eller mer korrekt <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon}\frac{Q}{r^2}=\frac{1}{\epsilon}\frac{Q}{A_s}=\frac{1}{\epsilon}\rho_s...25.8</math> där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs <math>D=\epsilon E...25.9</math> vilket innebär att 25.8 kan tecknas <math>D=\rho_s...25.10</math> eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp <math>\oint_S D dS=\int_S \rho_s dS=Q...25.11</math> kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt <math>\oint_S D dS=\int_V \rho_v dV=Q...25.12</math> ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :) Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas <math>W_p=-\int_\infty^r Fdr...25.13</math> där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att <math>W_p=QV(r)=\int Fdr \propto \int \frac{Q^2}{r^2}dr=\frac{Q^2}{r}...25.14</math> dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är <math>V(r)\propto \frac{Q}{r}...25.15</math> =Kapitel XX, Energiprincipen= Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt <math>W_p+W_k=konstant...26.1</math> Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt: <math>W_p=-\int_\infty^x Fdx...26.2</math> respektive <math>W_k=\int_0^v p dv...26.3</math> där p=mv, med andra ord kan man se 26.3 som <math>W_k=\int_0^v mv\cdot dv...26.4</math> men om vi nu utvecklar detta så fås <math>W_k=\int_0^v m\frac{dx}{dt}\cdot dv...26.5</math> som kan skrivas om enligt <math>W_k=\int_0^v m\frac{dv}{dt}\cdot dx...26.5</math> och eftersom kraft definieras enligt <math>F=\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}...26.6</math> så fås <math>W_k=\int_0^v F dx...26.7</math> och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet. =Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor= [[File:Fusion TEM.png|thumb|En bild på en transversell elektromagnetisk våg]] Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt <math>E(x,t)=E_y sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.1</math> och <math>B(x,t)=B_z sin(w(t-\frac{x}{v}))...27.2</math> Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt <math>\nabla X E=-\frac{dB}{dt}...27.3</math> som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva <math>\nabla X H=J_{fri}+\frac{dD}{dt}...27.4</math> som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom <math>D=\epsilon E...27.5</math> och <math>B=\mu H...27.6</math> så kan man skriva 27.4 som (osäker på tecknet, dock) <math>\nabla X B=\mu \epsilon \frac{dE}{dt}...27.7</math> Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt <math>\nabla=a_x\frac{d}{dx}+a_y\frac{d}{dy}+a_z\frac{d}{dz}...27.8</math> Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas <math>\nabla XA=a_x(\frac{dA_z}{dy}-\frac{dA_y}{dz})+a_y(\frac{dA_x}{dz}-\frac{dA_z}{dx})+a_z(\frac{dA_y}{dx}-\frac{dA_x}{dy})...27.9</math> 27.3 ger då att <math>\frac{dE_y}{dx}=-\frac{dB}{dt}...27.10</math> där Ex=0 och 27.7 ger att <math>\frac{dB_z}{dx}=-\epsilon \mu \frac{dE}{dt}...27.11</math> Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 27.9 Om vi nu nyttjar 27.1 respektive 27.3 så fås <math>E_y \frac{w}{v}\cos w(t-\frac{x}{v})=B_z w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.12</math> dvs <math>E_y=vB_z...27.13</math> och om vi sen nyttjar 27.2 respektive 27.4 så fås <math>B_z \frac{w}{v} \cos w(t-\frac{x}{v})=\epsilon \mu E_y w \cos w(t-\frac{x}{v})...27.14</math> eller <math>B_z=v\epsilon \mu E_y...27.15</math> dvs <math>1=v^2\epsilon \mu...27.16</math> vilket ger <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}...27.17</math> Eller mer specifikt <math>v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}...27.18</math> där <math>\mu_0...27.19</math> är permeabiliteten för vakuum och <math>\epsilon_0...27.20</math> är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna <math>c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}...27.21</math> Vilket är ljushastigheten i vakuum. Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs <math>n=\sqrt\epsilon_r...27.22</math> vilket kallas brytningsindex som pga 27.18 gör så att <math>v=\frac{c}{n}...27.23</math> dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex. Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell <math>v_f=\frac{w}{k}...27.24</math> och varför kommer det in i spelet? Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)=Asin(-\phi)...27.25</math> där minustecknet bara underlättar algebran enligt <math>kx=wt+\phi...27.26</math> och om man stuvar om lite så får man <math>x=\frac{w}{k}t+\frac{\phi}{k}...27.27</math> som deriverat ger fashastigheten enligt <math>v_f=\frac{dx}{dt}=\frac{w}{k}...27.28</math> Jag har lite svårt att förstå 27.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 27.25 som <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...27.29</math> vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}e^{-jkx}...27.30</math> där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera. =Kapitel XXII, Grupphastighet= [[File:Fusion Complex 2.png|thumb|Vektoriell addition]] Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer: <math>v_f=\frac{w}{k}...28.1</math> Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras <math>v_g=\frac{dw}{dk}...28.2</math> Om man då har att <math>w=v_f\cdot k...28.3</math> och att <math>v_f=\frac{c}{n}...28.4</math> så blir <math>w=k\frac{c}{n}...28.5</math> och därmed blir 28.2 <math>v_g=\frac{c}{n}-k\frac{c}{n^2}\frac{dn}{dk}=\frac{c}{n}(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})=v_f(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})...28.6</math> Grupphastighet kan man bara prata om om man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar: <math>s_1(x,t)=Acos(w_1t-k_1x)...28.7</math> respektive <math>s_2(x,t)=Acos(w_2t-k_2x)...28.8</math> där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi <math>s_1+s_2=Acos(w_1t-k_1x)+Acos(w_2t-k_2x)...28.9</math> nu finns det en trigonometrisk formel som lyder <math>cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})...28.10</math> och om <math>\alpha=w_1t-k_1x...28.11</math> och <math>\beta=w_2t-k_2x...28.12</math> så blir 28.9 <math>s_1+s_2=2Acos(\frac{w_1t-k_1x+(w_2t-k_2x)}{2})cos(\frac{w_1t-k_1x-(w_2t-k_2x)}{2})...28.13</math> eller <math>2Acos(\frac{(w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x}{2})cos(\frac{(w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x}{2})...28.14</math> Här har vi alltså att <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.15</math> sen har vi att <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)....28.16</math> sen har vi att <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.17</math> dessutom har vi att <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.18</math> vilket gör att man kan skriva 28.9 som <math>2Acos(wt-kx)cos(\Delta w\cdot t-\Delta k\cdot x)...28.19</math> Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 28.7 respektive 28.8 enligt <math>s_1(x,t)=Ae^{j(w_1t-k_1x)}...28.20</math> respektive <math>s_2(x,t)=Ae^{j(w_2t-k_2x)}...28.21</math> 28.9 kan då skrivas <math>s_1+s_2=A(e^{j(w_1t-k_1x)}+e^{j(w_2t-k_2x)})...28.22</math> detta kan skrivas om enligt <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}(e^{j((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+1)...28.23</math> eller <math>s_1+s_2=Ae^{j(w_2t-k_2x)}e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}\cdot</math> <math>(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.24</math> dvs <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)+(w_2t-k_2x))}(e^{j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1t-k_1x)-(w_2t-k_2x))})...28.25</math> tar man sedan hand om termerna kan man skriva <math>s_1+s_2=Ae^{j\frac{1}{2}((w_1+w_2)t-(k_1+k_2)x)}(e^{j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)}+e^{-j\frac{1}{2}((w_1-w_2)t-(k_1-k_2)x)})...28.26</math> nu ser man tydligt att man har dessa termer <math>w=\frac{1}{2}(w_1+w_2)...28.27</math> och <math>k=\frac{1}{2}(k_1+k_2)...28.28</math> och <math>\Delta w=\frac{1}{2}(w_1-w_2)...28.29</math> samt <math>\Delta k=\frac{1}{2}(k_1-k_2)...28.30</math> och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)! Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism. Vi skissar lite på detta och antar att: <math>x(t)=Xe^{jw_1t}...28.31</math> och <math>y(t)=Ye^{jw_2t}...28.32</math> om man nu multiplicerar dessa signaler får man <math>xy=Xe^{jw_1t}Ye^{jw_2t}=XYe^{j(w_1+w_2)t}...28.33</math> Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på <math>w=w_1+w_2...28.34</math> men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt: <math>xy=xy...28.35</math> respektive <math>xy=xy^*...28.36</math> för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen. Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att <math>f(u)=e^u=e^{(x+y)}...28.37</math> Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet <math>f(u)=f(0) + f'(0) u+ \frac{1}{2} f''(0) u^2 + H.O.T...28.38</math> f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 29.38 <math>1+u+\frac{1}{2}u^2...28.39</math> Vilket ger <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x+y)^2...28.40</math> eller <math>1+x+y+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)...28.41</math> där vi ser att vi har frekvenserna 1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler). Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen. Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt <math>s(x,t)=sin(wt-kx)...28.42</math> där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt <math>v^2\frac{\delta^2s}{\delta x^2}=\frac{\delta^2s}{\delta t^2}...21.18</math> på så sätt att vi först deriverar enligt <math>\frac{ds}{dx}=-kcos(wt-kx)...28.43</math> sen deriverar vi igen och får <math>\frac{d^2s}{dx^2}=-k^2sin(wt-kx)...28.44</math> på samma sätt kan man tidsderivera enligt <math>\frac{ds}{dt}=wcos(wt-kx)...28.45</math> och när vi deriverar igen så får vi <math>\frac{d^2s}{dt^2}=-w^2sin(wt-kx)...28.46</math> och pga vågekvationen (21.18) så fås <math>v_f=\frac{w}{k}...28.47</math> =Kapitel XXIII, Energitäthet och Intensitet= [[File:Fusion Power Density.png|thumb|Visar vad effekttäthet är]] Om man tittar på en longitudinell plan våg i luft så har vi att dess rörelseenergi är <math>E_k=\frac{1}{2}mv^2...30.1</math> vilket vi kan skriva om enligt <math>E_k=\frac{1}{2}m(\frac{ds}{dt})^2...30.2</math> där ds/dt är störningens hastighet. Om vi då har att störningen är <math>s=Asin(wt-kx)...30.3</math> så blir <math>\frac{ds}{dt}=wAcos(wt-kx)....30.4</math> Där vi bara är intresserad av maximat av detta och kvadrerat blir då 30.2 istället <math>E_k=\frac{1}{2}m(wA)^2...30.5</math> massan kan vi sedan teckna <math>m=\rho_0 V_0...30.6</math> där rho_0 är densiteten hos luft och V_0 den ursprungliga volymen, med andra ord kan vi teckna <math>E_k=\frac{1}{2}\rho_0 V_0 (wA)^2...30.7</math> om vi delar detta med V_0 så får vi <math>\frac{E_k}{V_0}=p=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2...30.8</math> vilket är energitätheten ty den har enheten [J/m^3] vilket samtidigt är enheten för tryck. Om man sedan tittar på energin som passerar genom ett volymselement (dV=Sdx=Svdt) så har vi att <math>dE=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2Sv_fdt...30.9</math> och iom att intensitet definieras som effekt per areaenhet så kan vi teckna <math>I=\frac{1}{S}\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\rho_0 (wA)^2v_f=pv_f...30.10</math> eller <math>I=pc...30.11</math> där c är ljudhastigheten i luft. Dvs intensiteten i W/m^2 är produkten av fashastigheten och trycket (eller energitätheten om man så vill), man kan nog lite se det som så att man har ett "tryck" som rör sig (konceptet med energitäthet/tryck är samma för en gas i allmänhet där vi dock avser termisk hastighet, här är det störningens hastighet som sätter energitätheten och därmed trycket). Det är intressant att dra paralleller till exempelvis en akustisk punktkälla som strålar, intensiteten hos den rundstrålande/isotropiska vågen är inverterat proportionell mot R^2 eller inverterat proportionell mot den sfäriska yta som avståndet till källan bygger vilket i klartext betyder att dina öron uppfattar ljudtrycket som sjunkande med avståndet i kvadrat. =Kapitel XXIV, Polarisation och Reflektion= [[File:Fusion Medium Refraction.png|thumb|Visar hur vågor beter sig när dom möter tätare respektive tunnare medium]] En våg som breder ut sig i "papperets" plan kallas planpolariserad, denna skulle man kunna teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.1</math> en våg som breder ut sig cirkulärt kan man sedan teckna <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.2</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\frac{\pi}{2})=Acos(wt-kx)...31.3</math> vilket kallas för cirkulärpolariserad och man kan se detta som att A är radien i en cirkel och stigningen är avståndet mellan två närliggande punkter i samma plan hos spiralen som det roterande repet/vågen bygger upp, detta är samma som våglängden, en cirkulärtpolariserad våg är ett specialfall av en elliptiskt polariserad våg enligt <math>E_y=Asin(wt-kx)...31.4</math> och <math>E_z=Asin(wt-kx+\alpha)...31.5</math> Om vi återigen tittar på ett rep och antar att repet är fäst vid en vägg och vi kallar den punkten för x=0, då kommer inte repet kunna röra sig i den punkten, detta samtidigt som den infallande vågen och den reflekterade vågen kommer samverka (fråga mig inte varför), pga detta kan man skriva <math>s(x,t)=s_i(0,t)+s_r(0,t)=0...31.6</math> där vi kan teckna den infallande störningen som <math>s_i(0,t)=Asin(wt-kx)...31.7</math> och den reflekterade störningen som <math>s_r(0,t)=Asin(wt+kx+\alpha)...31.8</math> 31.6 ger sedan vid x=0 att <math>Asin(wt)+Asin(wt+\alpha)=0</math> där man ser att alpha måste vara pi dvs vid reflektion mot ett tätare medium så får vågen ett fastillskott på pi eller, vilket är ekvivalent, ett våglängdstillskott på lambda/2, väggen tycks alltså ha en utsträckning i rummet på lambda halva trots att det bara sitter där. Om sen väggen inte finns där utan repet möter ren luft då har vi faktumet att kraften är riktad längs med tangenten på repet och vid x=0 så pekar kraften rakt uppåt dvs det finns ingen x-komponent, men det finns två s-komponenter som tar ut varandra enligt (jag fattar inte detta riktigt) <math>\frac{ds}{dx}=\frac{ds_i}{dx}+\frac{ds_r}{dx}=0...31.9</math> för på samma sätt som när det fanns en vägg där störningarna samverkade så samverkar störningarna när det inte finns nån vägg, med andra ord får vi dessa uttryck <math>-kAcos(wt-kx)+kAcos(wt+kx+\alpha)=0...31.10</math> där man vid x=0 inser att alpha måste vara noll, dvs inget fastillskott vid reflektion mot tunnare medium. =Kapitel XXV, Stående vågor= Från ovan har vi att störningen vid infall mot en vägg är <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)+Asin(wt+kx+\pi)...32.1</math> detta kan naturligtvis skrivas om som <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)-Asin(wt+kx)...32.2</math> Här vill jag ta till mitt trick med komplexa tal dvs <math>s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}-Ae^{j(wt+kx)}...32.3</math> detta kan sedan skrivas om enligt <math>s(x,t)=Ae^{jwt}(e^{-jkx}-e^{jkx})...32.4</math> eller <math>s(x,t)=2jAe^{jwt}\frac{e^{-jkx}-e^{jkx}}{2j}...32.5</math> dvs <math>s(x,t)=-2Ae^{j(wt+\pi/2)}sin(kx)...32.6</math> här är jag lite osäker men resonerar som så att grundfunktionen är sinus men pi/2 ändrar detta till cosinus och vi får <math>s(x,t)=-2Acos(wt)sin(kx)...32.7</math> Allt utan att behöva slå i en enda formelsamling! Om nu strängen är spänd mellan två punkter kan alltså bara vissa moder uppkomma, funktionen har alltså sina noder/nollställen vid vissa våglängder/frekvenser och sina bukar/maxima vid andra våglängder/frekvenser. Funktionen 32.7 är noll (noder) för <math>kx=n\cdot\pi, n=0,1,2,3...32.8</math> och maximal (bukar) för <math>kx=(2n+1)\cdot\pi/2, n=0,1,2,3...32.9</math> Man kan skriva om detta enligt (för noder) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=0, \frac{\lambda}{2}, \frac{2\lambda}{2}, \frac{3\lambda}{2}...32.10</math> och (för bukar) <math>kx=2\pi\frac{x}{\lambda}=>x=\frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}...32.11</math> Om en sträng är fäst vid två punkter så måste det vara noder, man ser därför att grundtonen uppstår när våglängden=2x=2L Hastigheten är sedan gammalt <math>v=\lambda f=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.12</math> och när grundtonen har våglängden 2L så kan man skriva <math>v=2Lf=\sqrt{\frac{F}{\mu}}...32.13</math> dvs frekvensen bestäms av längden på strängen och den kraft den spänns med enligt <math>f=\frac{\sqrt{\frac{F}{\mu}}}{2L}...32.14</math> där my är massan per längdenhet hos strängen. ='''Del III, FLUIDMEKANIK'''= =Kapitel XXVI, Fluidmekanik= [[File:Fusion Pascal.png|thumb|Härledning av Pascal's lag]] Fluid betyder nåt som kan strömma/flöda, både gaser och vätskor kan vara fluider. När man behandlar fluider skiljer man på inkompressibla och kompressibla fluider. Vätskor är i regel inkompressibla medans gaser är kompressibla till sin natur. Första kapitlet i min lärares (Åke Fäldt) litteratur om detta behandlar Pascal's lag enligt: Om man har en triangel av fluid och man har tryck som är normala till sidorna hos triangeln och triangelns höjd är 1 då kan man visa att <math>F_a=p_a*a*1...33.1</math> och <math>F_b=p_b*b*1...33.2</math> och <math>F_c=p_c*c*1...33.3</math> där a, b, c är längden hos triangelns respektive sidor. Sidorna kommer att förhålla sig till krafterna, pga likformighet och att inget vridmoment får existera, enligt <math>a:b:c=F_a:F_b:F_c...33.4</math> eller <math>a:b:c=p_a*a:p_b*b:p_c*c...33.5</math> dvs <math>p_a=p_b=p_c=p...33.6</math> som är Pascal's lag. Om man tittar på en hydraulisk lift så puttar vi på med en kraft (F1) över en liten area (S1), då får den inkompressibla vätskan övertrycket p1=F1/S1. Under förskjutning dy1 av kolv_1 tillförs utifrån energin F1dy1, vid kolv_2 har vi fått övertrycket p2 som ger kraften F2 uppåt på kolven med area S2. Under förskjutning dy2 av kolv_2 uträttar vätskan arbetet F2dy2. Energiprincipen ger att <math>F_1\Delta y_1=F_2\Delta y_2...33.7</math> Inkompressibel vätska ger sedan att den förskjutna volymen är samma dvs <math>S_1\Delta y_1=S_2\Delta y_2...33.8</math> Division ledvis ger sedan att <math>F_1/S_1=F_2/S_2...33.9</math> dvs <math>p_1=p_2...33.10</math> Som är Pascal's lag. Det kan vara intressant att förtydliga detta genom att istället skriva <math>F_2=(\frac{d_2}{d_1})^2 F_1...33.11</math> Dvs den hydrauliska kraften förstärks med diameterförhållandet i kvadrat, en diameterkvot på 10 gör alltså så att en hundra gånger större tyngd kan lyftas. =Kapitel XXVII, Vätsketryckets beroende av djupet= [[File:Fusion Pressure Deep.png|thumb|Trycket på ett vätskeelement]] Vi betraktar nu ett planparallellt vätskeelement med z-axeln riktad uppåt, jämviktsvillkoret är <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=mg...34.1</math> Men massan är <math>m=S\Delta z\rho...34.2</math> dvs <math>p(z)S-p(z+\Delta z)S=S\Delta z\rho g...34.3</math> eller <math>p(z)-p(z+\Delta z)=\Delta z\rho g...34.4</math> Vid små dz kan vi ersätta <math>p(z+\Delta z)-p(z)...34.5</math> med <math>p(z+\Delta z)-p(z)=\frac{dp}{dz}\Delta z....34.6</math> dvs <math>-\frac{dp}{dz}\Delta z=\Delta z\rho g...34.7</math> eller <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> Integrerar man upp detta får man <math>p=-\rho g z+konstant...34.9</math> Vid z=0 är sedan p=p0 varför <math>p=p_0-\rho g z...34.10</math> Denna formel är lite akademisk, jag skulle vilja säga att trycket istället är <math>p=p_0+\rho g h...34.11</math> där h är vätskedjupet, vid noll meter råder normalt lufttryck (p0), sen ökar trycket med djupet. =Kapitel XXVIII, Vätskors och gasers kompressibilitet= [[File:Fusion Pressure Fluid.png|thumb|Tryck under ytan av en vätska]] Ett mått på vätskors och gasers förmåga att komprimeras av tryck(ändringar) ger kompressibiliteten definierad av <math>\kappa=-\frac{1}{V}(\frac{dV}{dp})_T...35.1</math> Mer vanligt är dock det reciproka värdet <math>K=-V(\frac{dp}{dV})_T...35.2</math> vilket då har dimensionen tryck och gäller under konstant temperatur. För vatten är K av storleksordningen 2E9 Pa, medans den för luft vid normalt lufttryck är 1,4E5 Pa så för att uppnå samma relativa volymsändring i vatten som i luft krävs alltså en c.a 14000 gånger större tryckändring i vatten än i luft. Låt oss skissa på vatten på 100m djup. Enligt 34.11 kan man skriva <math>\Delta p=\rho g h=1E3*9,8*100\approx 1E6...35.3</math> K=2E9 ger sedan via 35.2 att <math>\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{\Delta p}{K}=\frac{1E6}{2E9}=0,5E-3...35.4</math> Relativa densitetsförändringen på 100m djup i vatten är alltså på ynka 0,5 promille vilket visar att vätskor oftast kan anses vara inkompressibla. =Kapitel XXIX, Lufttryckets höjdberoende= [[File:Fusion Pressure Sky.png|thumb|Lufttryckets beroende av höjden]] Ekvationen sedan tidigare <math>\frac{dp}{dz}=-\rho g...34.8</math> gäller även för gaser. Men för integration måste rho uttryckas som funktion av z eller p. Allmänna gaslagen ger <math>pV=n_mRT...36.1</math> densiteten kan sedan skrivas <math>\rho=\frac{M}{V}...36.2</math> dvs <math>\rho=\frac{Mp}{n_mRT}...36.3</math> vilket ger <math>\frac{dp}{dz}=-\frac{Mp}{n_mRT}g...36.4</math> dvs <math>\int_{p_o}^p \frac{dp}{p}=-\frac{Mg}{n_mRT}\int_0^z dz...36.5</math> vilket ger <math>ln(p)-ln(p_0)=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.6</math> eller <math>ln\frac{p}{p_0}=-\frac{Mg}{n_mRT}z...36.7</math> dvs <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{Mg}{n_mRT}z}...36.8</math> Jag får inte riktigt ihop det här, allmänna gaslagen utgår alltid från antalet mol gaspartiklar så det är diffust hur många mol man skall räkna med och därmed vad stora M och molmassan är, man skulle kunna säga att det är massan för en mol och då går n_m bort (ty ett) men varför blir det i så fall så (min lärare sluddrar om kmol men det köper inte jag). Man kan dock tänka sig att M och n_m följer varandra så att det inte spelar nån roll vilka absoluta belopp de har, samtidigt är det faktiskt som så att M är just massan för EN mol dvs n_m=1. Massan en enda molekyl väger är sedan molmassan delat med Avogadros tal (dvs antalet molekyler per mol) enligt <math>m_p=M/N_A...36.9</math> och Boltzmanns konstant är <math>k=\frac{R}{N_A}...36.10</math> vilket ger det alternativa uttrycket (men bara om n_m är ett) <math>\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{m_pg}{kT}z}...36.11</math> Kuriosamässig fakta är att om man räknar på det så uppnås halva lufttrycket vid ungefär 5km höjd. =Kapitel XXX, Archimedes princip= [[File:Fusion Archimedes.png|thumb|Archimedes princip]] "Den lättnad han kände i badkaret överensstämde med tyngden av det av honom undanträngda vattnet" Om man kikar på en klump i vätska och har z pekandes uppåt med F2 underifrån och F1 ovanifrån så gäller <math>F_2-F_1=[p_2 -p_1]S...37.1</math> detta kan man också skriva <math>F_2-F_1=[\rho gz_2-\rho gz_1]S=\rho g[z_1-z_2]S...37.2</math> eller <math>F_2-F_1=\rho gV=m_fg...37.3</math> Observera alltså att kraften är riktad uppåt dvs det är en lyftkraft. Det kan vara lite knepigt att intuitivt förstå detta men om man betänker att trycket i en vätska ju ökar med djupet så blir trycket under klumpen större än trycket ovanför klumpen. Jag skall kladda lite till angående det här för jag tycker det är roligt. Föreställ Er att Ni har en bit material (vi tänker oss en rektangulär klump), vad krävs för att den inte skall sjunka? Svaret är egentligen rätt enkelt men det är ändå roligt att räkna på det: Lyftkraften då klumpen precis "hänger" under ytan måste varas lika med klumpens tyngd enligt (där indexeringen f står för fluid/vätska och b står för body) <math>\rho_fghS=\rho_bghS...37.4</math> dvs <math>\rho_f>\rho_b...37.5</math> för att klumpen skall kunna flyta. Man kan också se det enligt <math>\rho_fhS=m_b...37.6</math> där man tydligt ser att om man ökar S så räcker mindre h dvs ju större anläggningsyta ju högre upp i vattnet ligger materialet/faryget, detta innebär att V-formade skrov har den extra fördelen (förutom styrsel) att dom introducerar större yta och när dom introducerar större yta kommer dom upp ur vattnet, eventuellt blir dock friktionen pga viskositets-krafter samtidigt större men det förtäljer inte historien. Man kan också se 37.6 på ett annat sätt <math>V=hS=\frac{m_b}{\rho_f}...37.7</math> där V kallas för kroppens/fartygets displacement. =Kapitel XXXI, Ytspänning= [[File:Fusion Surface Tension.png|thumb|Ytspänning]] För att föra en molekyl från vätskans inre del till ytan åtgår, pga intermolekylära attraktionskrafter, energi där ytskiktet representerar en ytenergi. Man kan teckna ytspänningen enligt: <math>\gamma=\frac{dw}{dS}...38.1</math> som alltså har enheten J/m^2. Här citerar jag min lärare bara utan att förstå: "Det måste vara energetiskt eftersträvansvärt för en vätskelamell att kunna reducera sin fria yta så mycket som möjligt. För en tänkt fri vätska i ett gravitationsfritt rum blir sfären den ideala formen". Om vi funderar lite på det här så har vi trots allt J/m^2 som enhet dvs ju mindre yta lamellen/vätskan kan anta ju mindre energi går åt för att anta den formen och om man har en begränsad och bestämd mängd vätska (lamellmässigt, säger vi) och vi leker med tanken att vi har två former som är möjliga där den ena är en cirkel och den andra en kvadrat så blir ju de olika areorna när bredden är lika stor <math>A_{sqr}=(2r)^2=4r^2...38.2</math> och <math>A_{circle}=\pi r^2...38.3</math> så att förtjänsten av att anta cirkulär form är <math>\frac{A_{circle}}{A_{sqr}}=\frac{\pi}{4}...38.4</math> dvs c.a -25%. Men lite grand kan man faktiskt fråga sig varför minsta möjliga energiåtgång alltid är så intressant, iofs kan man titta på oss människor i det avseende för dom fleska puttar ju inte in mer energi än nödvändigt samtidigt som vissa faktiskt ändå gör det så varför MÅSTE naturen alltid antas anta det lägsta energitillståndet? Om man tänker sig en vätskelamell med bredden L som då har två lika stora ytor (S) och en fast ram som bara är öppen i ena änden likt en endimensionell kolv där vi drar med kraften F, då ökar vätskelamellens totala (pga två sidor) area enligt <math>S=S_0+\Delta S=S_0+2L\Delta x...38.5</math> Arbetet Fdx har då uträttats samtidigt som vätskans ytenergi, pga 38.1, har ökat med <math>\gamma \Delta S=\gamma 2L\Delta x...38.6</math> eller <math>\gamma 2L\Delta x=F\Delta x...38.7</math> detta ger att <math>\gamma=\frac{F}{2L}...38.9</math> Gamma är således också lika med kraften per längdenhet av lamellytans begränsning. =Kapitel XXXII, Konsekvenser av ytspänningen= [[File:Fusion Droplet.png|thumb|En sfärisk droppe]] Övertrycket under en krökt yta kan tecknas A) Sfärisk droppe Ytans area är då <math>S=4\pi r^2...39.1</math> Ytenergin är samtidigt enligt 38.1 <math>W=\gamma S=\gamma 4\pi r^2...39.2</math> Vi tänker oss nu en pytteliten ökning av droppradien där trycket uträttar arbetet <math>dw=Fdr=pSdr=p4\pi r^2 dr...39.3</math> pga definitionen av ytspänning (38.1) kan vi sedan teckna <math>\gamma dS=dw=p4\pi r^2 dr...39.4</math> så att (differentierar 4pir^2) <math>\gamma 8 \pi rdr=p4\pi r^2dr...39.5</math> dvs <math>p=2\frac{\gamma}{r}...39.6</math> B) För en sfärisk bubbla gäller <math>p=4\frac{\gamma}{r}...39.7</math> Dubbla magnituden beror på att vi nu har två ytor. =Kapitel XXXIII, Kapillaritet= [[File:Fusion Capillary.png|thumb|Stigning i en kapillär]] I min bok påstås det att en vätskeyta i ett kärl inte kan vara vinkelrätt mot kärlväggen, vätskeytan måste alltså krökas på det iofs allmänt kända sättet att H2O ger en konkav krökning medans Hg ger en konvex krökning, varför det blir så framgår dock inte riktigt i min studentlitteratur. Stighöjden i en kapillär får vi sedan från följande resonemang: I kapillären måste trycket vara Po dvs lufttrycket och eftersom kapillären är krökt åt "fel" håll så får vi en tryckreduktion enligt <math>\Delta p_r=-2\frac{\gamma}{r}...40.1</math> Tryckökningen pga vätskepelaren är sedan <math>\Delta p_h=\rho g h...40.2</math> med andra ord gäller <math>P_0=P_0-2\frac{\gamma}{r}+\rho g h...40.3</math> där man kan teckna <math>r=\frac{r'}{cos \theta}...40.4</math> om man ser r som krökningsradien och r' som radien på kapillären/röret, pga detta kan man skriva <math>2\frac{\gamma}{r'}cos \theta =\rho g h...40.5</math> möblerar man om så kan man alltså bestämma gamma och därmed ytspänningen enligt <math>\gamma=\frac{r' \rho g h}{2 cos \theta}...40.6</math> så genom att observera dels hur högt vätskan stiger dels vilken vinkel den har i förhållande till kärlväggen och genom att känna till vätskans densitet så kan man bestämma vätskans ytspänning på detta sätt. Jag har tänkt lite på bussen idag och skulle vilja skriva om 40.3 enligt <math>P_0-2\frac{\gamma}{r}=P_0-\rho gh...40.7</math> eller ännu enklare <math>2\frac{\gamma}{r}=\rho gh...40.7</math> där man tydligt ser att pelarens höjd är omvänt proportionell mot radien hos kapillären. där vänsterledet återspeglar ambienta trycket minus tryckreduktionen ovanifrån gränsytan och högerledet återspeglar ambienta trycket minus "stapeltrycket" underifrån gränsytan för säg att vi tittar vid den krökta gränsytan då ger stapeln ett lägre tryck där (det högre trycket är ju vid "havsnivån") sen är jag dock mycket osäker på att det verkligen blir en tryckreduktion för en droppe har ju ett positivt övertryck inifrån sett, jag ser det alltså inte men möjligtvis är dr i 39.3 negativ. Jag har börjat se det på ett annat sätt, säg att man har en kolv av vätska i kapillären och sen drar man kolven neråt och vätskan fastnar ju då pga ytspänningen i kapillärväggarna, då får man ju ett sug där "uppe" dvs ovanför gränsytan och då gäller genast ekv. 40.7. =Kapitel XXXIV, Hydrodynamik för ideal vätska= [[File:Fusion Continuity.png|thumb|Flöde hos en fluid]] Genom alla tvärsnitt av samma strömrör måste vätskeflödet (volym per tidsenhet) vara densamma, vätskans hastighet är ett mått på flödestätheten. v har dimensionen längd/tid men kan då också skrivas <math>v=volym/(tid*yta)...41.1</math> Den volym som per tidsenhet (dvs flödet) passerar det godtyckliga ytelementet dS kan då skrivas <math>d\phi=vdScos\theta...[m^3/s]...41.2</math> där dS är en infinitesimal area vars normal i relation till flödets riktning ger det vektoriella produkten som också kan skrivas <math>d\phi=\mathbf{v} \cdot \mathbf{dS}...41.3</math> där ytelementet representeras av vektorn dS. Här tycker jag det är intressant att tänka sig v som en flödestäthet som ger flödet när det integreras upp över ytan. Det finns andra fall där man kan tänka på samma sätt, dessa två tänker jag på: 1) Tryck skulle kunna betraktas som en flödestäthet, summerar man upp trycket över en yta fås ju kraften [N] 2) Magnetisk flödestäthet är ju en klockren flödestäthet och om man summerar upp den över en yta så fås flödet [Wb] Jag har kommit på det här helt själv och tycker det är lite häftigt :) Iom att jag läst det här mycket intressanta kapitlet i min gamla lärares bok så tror jag mig fått kläm på vad kurvintegraler respektive vanliga integraler är för nåt. En kurvintegral löper runt hela sträckan/ytan (finns alltså inga kurvintegraler för volymer vågar jag påstå) så om man t.ex bara är intresserad av vad som "flödar" igenom en yta så ska man inte satsa på kurvintegraler för dom blir noll pga att kurvintegraler tar hänsyn till både vad som kommer in och vad som kommer ut så om man har ett inflöde i nåt strömningsrör säger vi och man samtidigt har ett utflöde i samma strömningsrör som ofta är lika stort ja då blir kurvintegralen noll men om man bara tittar på flödet genom ytan så finns det ett värde, i fallet magnetisk flödestäthet kan man påstå att <math>\phi=\int \mathbf{B}\mathbf{dS}...[Wb]...41.4</math> där B är flödestärheten och S arean. Vid en sluten kurva, om ingen vätskekälla finns inom den inneslutna volymen så gäller <math>\oint \mathbf{v} \mathbf{dS}=\oint \mathbf{v} \mathbf{\hat n} dS=0...41.5</math> dvs nettoströmningen i ett strömrör är noll. Man kan se det som så att det strömmar in saker och det strömmar ut saker men det strömmar på ett "kontrollerat" sätt (kan kanske kallas laminärt) dvs det strömmar inte hur som helst utan i enlighet med att t.ex att det inte läcker utmed strömningsrörets väggar (dvs vinkelrätt mot strömningen). Om vi nyttjar 41.5 så får vi alltså konsekvensen att det sammanlagda vätskeflödet in och ut i ett slutet skal måste vara noll. Eftersom ytändarnas normaler alltid pekar utåt medans vi har ett flöde inåt så kommer tecknet på flödet vara positivt i ena sidan av strömningsröret och negativt i andra sidan av strömningsröret samtidigt som vi antar att inget flöde finns vinkelrätt mot flödesriktningen, då får vi att <math>v_2S_2-v_1S_1=0...41.6</math> dvs flödet in är lika med flödet ut. Med andra ord gäller <math>\phi=v_2S_2=v_1S_1...41.7</math> som också kallas kontinuitetsekvationen för inkompressibel fluid. =Kapitel XXXV, Bernoullis ekvation= [[File:Fusion Bernoullis.png|thumb|Friktionsfri laminär strömning]] Om man tittar på ett strömningsrör där översta ändan är av större diameter än den nedersta ändan så kan man rätt tydligt se att nedersta ändans längd hos fluiden är längre än översta ändans och detta pga att samma volym skall passera men med olika tvärsnittsareor. Tittar man mer krasst på dom båda volymselementen så har man att <math>S_2v_2dt=S_1v_1dt=Svdt...42.1</math> för volymerna är helt enkelt samma, när det sedan puttas på ovanifrån med ett tryck så uträttar trycket vid 1 arbetet: <math>\Delta W_1=[Fdx=pdV=pSdx=pSvdt]=p_1S_1v_1dt...42.2</math> Strömröret självt uträttar (då det "trycker ut" volymen S2v2dt) samtidigt arbetet <math>\Delta W_2=p_2S_2v_2dt...42.3</math> Nettotillförsel av energi blir då <math>\Delta W=\Delta W_1- \Delta W_2=p_1S_1v_1dt-p_2S_2v_2dt=(p_1-p_2)Svdt...42.4</math> Ändringen i den lilla vätskevolymens kinetiska energi är (tänk mv^2/2): <math>\Delta E_k=\frac{1}{2}\rho Svdt v_2^2-\frac{1}{2}\rho Svdt v_1^2...42.5</math> eller <math>\Delta E_k=(\frac{1}{2}\rho v_2^2- \frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt...42.6</math> Ändringen i potentiell energi är (tänk mgh): <math>\Delta E_p=\rho Svdt g z_2-\rho Svdt g z_1...42.7</math> eller <math>\Delta E_p=(\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.8</math> Energiprincipen ger nu att <math>\Delta W=\Delta E_k+ \Delta E_p...42.9</math> dvs <math>(p_1-p_2)Svdt=(\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2)Svdt + (\rho g z_2-\rho g z_1)Svdt...42.10</math> alltså <math>p_1-p_2=\frac{1}{2}\rho v_2^2-\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_2-\rho g z_1...42.11</math> vilket vi kan arrangera om enligt <math>p_1+\rho gz_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2 + \rho gz_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2...42.12</math> dvs <math>p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...42.13</math> som alltså är Bernoullis ekvation som dock kan vara enklare att greppa om man istället skriver <math>\Delta(p+\rho gz + \frac{1}{2}\rho v^2)=0...42.14</math> dvs räknar man på två punkter i en laminär strömning så ändras bara parametrarna inbördes, lägesenergin kan till exempel inte ändras om inte kinetiska energin också ändras, lite diffust är detta dock. =Kapitel XXXVI, Tryck och tryckmätning= [[File:Pressure measurement.png|thumb|Mätning av tryck]] I Bernoullis ekvation så har vi tre termer av dimensionen tryck, vid horisontell strömning faller dock lägesenergitäthetstermen (rho g z) bort och vi får <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=Konstant...43.1</math> vilket också kan skrivas <math>p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2...43.2</math> eller <math>\Delta(p+\frac{1}{2}\rho v^2)=0...43.3</math> p1 och p2 kallar vi sedan det statiska trycket, medans dom andra termerna kallas det dynamiska trycket. Dynamiska trycket är sedan lika med rörelseenergitätheten dvs den kinetiska energin per volymsenhet. Jag finner det intressant att tryck egentligen inte är så mycket mer än energi per volymsenhet, därför kan man tänka "sedvanlig" lägesenergi och rörelseenergi med tillägget att dom nu gäller per volymsenhet (dvs är tätheter). <math>p_t=p+\frac{1}{2}\rho v^2...43.4</math> kallas sedan något oegentligt för totaltrycket. =Kapitel XXXVII, Vätskors utströmning= [[File:Fusion Pressure Flow.png|thumb|Utströmningshastighet från en flaska]] Föreställ er en behållare som är riktad horisontellt med en platt liten kolv och ett hål i botten, vilken strömningshastighet får vätskan ut genom hålet? Här kan man nyttja Bernoulli rakt av enligt: <math>p+\rho gh+ \frac{1}{2}\rho v^2=konstant..44.1</math> dvs här gäller då <math>p_i+0+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.2</math> dvs inuti behållaren finns bara pi medans utanför behållaren har vi den kinetiska delen samtidigt som strömningen är horisontell så vi har ingen lägesenergi att ta hänsyn till, därför kan man kalla <math>p_i-p_0=\Delta p...44.3</math> vilket ger <math>v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}...44.4</math> Ett annat exempel på strömning är när vätska strömmar ur ett hål i botten av ett kärl, Bernoulli ger då (vänsterledet gäller inuti kärlet, högerledet utanför) <math>p_0+\rho gh+0=p_0+0+\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> eller <math>\rho g h=\frac{1}{2}\rho v^2...44.5</math> dvs <math>v=\sqrt{2gh}...44.6</math> Jag tycker att man borde kalla <math>\rho g h...44.7</math> för lägesenergidensitet och <math>\frac{1}{2}\rho v^2...44.8</math> för rörelseenergidensitet. Detta för att saker som "delas" med volymen i själva verket är en [b]densitet[/b] medans saker som delas med arean är en [b]täthet[/b] och saker som delas med längden är en [b]intensitet[/b]. Speciellt intressant med (gas)tryck är att det har enheten J/m^3 dvs är en densitet. =Kapitel XXXVIII, Hydrodynamik för reala vätskor= [[File:Fusion Viscosity fluid.png|thumb|Visar hur viskositet kan räknas ut]] Om en plan skiva (planet//bottenytan) rör sig med konstant hastighet v parallellt med botten kan man notera en laminär strömning hos vätskan med en hastighet som från 0 vid bottenytan växer linjärt till värdet v vid skivan. Som mått på vätskans skjuvkrafter (friktionskrafter) inför vi VISKOSITETEN definierad av <math>F=\eta S\frac{v}{y}...45.1</math> eller allmänt <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}...45.2</math> Vilket innebär att enheten för eta/viskositet är Ns/m^2 som också kan fås från (där P är impulsen) <math>\eta=\frac{dP}{dS}...45.3</math> ty <math>F=\frac{dP}{dt}...45.4</math> per definition. Sjuvspänningen kan sedan tecknas <math>\tau=\eta \frac{dv}{dy}...45.5</math> Detta säger dock inte min lärare så mycket om men jag skriver ner det ändå, tydligen är skjuvspänningen snarare trycket hos "viskositetkraften" för i övrigt gäller samma formel. =Kapitel XXXIX, Strömning i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] Vi söker hastighetsprofilen v=v(r) där r är avståndet från symmetriaxeln. Den snabbare strömmande inre cylindern med radie r bromsas av den långsammare omgivningen med kraften <math>F=\eta S\frac{dv}{dy}=-\eta S\frac{dv}{dr}...46.1</math> sedan är <math>S=2\pi r L...46.2</math> varför <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta pS_{\perp}...46.3</math> pga accelererande krafter på båda ändytorna, detta kan också skrivas <math>F=-\eta 2\pi r L \frac{dv}{dr}=\Delta p\pi r^2...46.4</math> arrangerar man om får man sedan <math>dv=-\frac{1}{\eta 2\pi L}\Delta p\pi rdr...46.5</math> eller <math>dv=-\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> vilket kan integreras enligt <math>\int_v^0dv=-\int_r^R\frac{\Delta p}{2\eta L}rdr...46.5</math> dvs <math>v=\frac{\Delta p}{2\eta L}[r^2/2]_r^R...46.6</math> eller <math>v=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2)...46.7</math> hastighetsprofilen är med andra ord parabolisk med lägst hastighet i periferin dvs nära rör-väggen. =Kapitel XL, Totala vätskeflödet i ett rör= [[File:Fusion Fluid Flux Total.png|thumb|Totala vätskeflödet i ett rör]] Genom ett ringformigt tvärsnitt vars begränsningsradier är r och r+dr (och vars area är 2pir*dr) strömmar flödet <math>d\phi=d(\frac{dV}{dt})=v\cdot dS=v2\pi r dr...47.1</math> Totalt i röret flödar då <math>\int d\phi=\int_0^R v2\pi r dr...47.2</math> med hjälp av föregående kapitel fås då <math>\int d\phi=\int_0^R \frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2) 2\pi r dr...47.3</math> dvs <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\int_0^R (R^2r-r^3) dr...47.4</math> eller <math>\int d\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[R^2\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}]_0^R...47.5</math> som blir <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}[\frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}]...47.6</math> dvs <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{2\eta L}\frac{R^4}{4}...47.7</math> eller <math>\phi=\frac{\Delta p \pi}{8\eta L}R^4...47.8</math> Rätt intressant att veta att flödet i ett rör går som R^4, en liten ändring av diametern ändrar alltså flödet nåt enormt! =Kapitel XLI, Överljudsströmning= [[File:Fusion Fluid Boost.png|thumb|Fluiders strömningshastighet]] <math>p_0+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...48.1</math> vid horisontell strömning, accelereras stillastående (Vo=0) luft från <math>p_0=1 atm=10^5 Pa...48.2</math> till <math>0,99p_0...48.3</math> och <math>v=v_1...48.4</math> så gäller <math>p_0+0=0,99p_0+\frac{1}{2}\rho v_1^2...48.5</math> dvs <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 0,01p_0}{\rho}}...48.6</math> eller <math>v_1=\sqrt{\frac{2\cdot 10^3}{1,3}}\approx 40m/s...48.7</math> Detta är alltså ett riktmärke för hur nära ljudhastigheten man kan tillämpa Bernoullis ekvation, 40/340 är 12%, 20% är vedertaget. Bilden kommer inte från min lärobok, jag har hittat på den. Idag kom jag på att det eventuellt finns två fall av denna situation. Om man tittar hur en fluid måste uppföra sig när den går ur "tratten" så måste den ju följa väggarna för att formlerna skall duga till nåt. Men jag ser plötsligt att det är skillnad på fluid och fluid för vatten skulle inte kunna följa trattens väggar, den skulle mest fortsätta går rakt fram. En varm gas skulle däremot kunna följa tratt-väggarna för en varm gas vill expandera pga dess inre tryck (läs dess inre partiklas kinetiska energi per volymsenhet) så när den kommer ut ur trattens mynning så expanderar den bara. Detta gör inte vatten. Så jag har blivit lite lurad av min egen kurslitteratur för det verkar som om man inte bara utan vidare kan kalla både en gas och en vätska för en fluid för tydligen gåller inte samma premisser. I vattenfallet kan man helt enkelt teckna kontinuitetsekvationen enligt: <math>S1v1=S2v2...48.8</math> eller <math>Sv=konst...48.9</math> där v är hastigheten. denna tycks alltså gälla för vatten (eller lite lekfullt även för en uppochnervänd PET-flaska med jordnötter (som jag matar mina fåglar med)). Där i fallet att utgående area är större än ingående så fås en lägre hastighet på vattnet. Men för fallet varm gas och tratten så blir det istället att följande tycks gälla. <math>p_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=p_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.10</math> vilket kommer från Bernoillis ekvation. Jag tolkar denna ekvation som att det statiska trycket (p0 respektive p1) är det som ändras för allt handlar väl yterst om kraftjämvikt? Och handlar det om (statisk) kraftjämvikt så är F0=F1 och man kan teckna <math>F_0/S_0+\rho \frac{v_0^2}{2}=F_0/S_1+\rho \frac{v_1^2}{2}...48.11</math> där således v1 måste öka i förhållande till v0 ty ytan ökar och därmed sjunker p1. Med andra ord tycks vi ha två olika ekvationer som inte generellt gäller utan man måste titta på vilken typ av "fluid" det är. =Kapitel XLII, Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas= [[File:Fusion Fluid Compressible.png|thumb|Uträkningsunderlag för kontinuitetsekvation]] Vi kunde för den inkompressibla fluiden utnyttja kravet volymen = konstant, vilket då också uppfyller mekanikens första konserveringslag, den om massans konservering. Nu måste vi emellertid pga masskonserveringslagen modifiera sambandet <math>S_1v_1=S_2v_2...41.7</math> till att inkludera tätheterna enligt <math>\rho_1S_1v_1=\rho_2S_2v_2...49.1</math> Om vi först tänker oss en inkompressibel fluid som vatten, då gäller kontinuitetsekvationen enligt 41.7 ovan. Men om det handlar om en gas så är den kompressibel och får olika täthet vid dom olika tvärsnittsareorna för när gas flödar in i nåt som har mindre area så borde rimligtvis dess densitet öka. Enligt 41.7 så har vi att flödet (Volym per tidsenhet) är samma för den inkompressibla fluiden men nu har vi att massa per tidsenhet in måste vara samma som massa per tidsenhet ut egentligen kanske tom pga Newtons första lag om kraft=motkraft, eller? Så man kan teckna 49.1 vilket kanske även kan ses som massans oförstörbarhet. Det är kul att spekulera i vad som händer. Om vi tar vatten så kommer det i min bild innebära att v2>v1 enligt 41.7. Men om vi tar gas så är det svårare att se hur mycket tätare den blir men eventuellt går densiteten som S1/S2 och då ger 49.1 att det blir <math>\rho_1S_1v_1=\rho_1\frac{S_1}{S_2}*S_2v_2...49.1</math> dvs <math>v_2=v_1</math> dvs det sker ingen hastighetsökning alls om det gäller en gas. =Kapitel XLIII, Horisontell strömning av kompressibel gas= [[File:Fusion Horisontal Flux.png|thumb|Strömning i ett rör]] På gasmassan enligt <math>m=\rho S dx...50.1</math> verkar den i x-led accelererande kraften <math>pS-(p+dp)S=F=-dpS...50.2</math> Kraftekvationen ger <math>m\frac{dv}{dt}=-dpS...50.3</math> eller <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> differentierar man v får man <math>dv=\frac{dv}{dt}dt+\frac{dv}{dx}dx...50.5</math> vi är intresserade av hastighetsförändringen i rummet och inte i tiden samtidigt som hastigheten i en fix punkt alltid är densamma därför reduceras differentieringen till <math>dv=\frac{dv}{dx}dx...50.6</math> och insatt i vår ekvation fås <math>\rho dx\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=-dp...50.7</math> dvs <math>\rho dv v=-dp...50.8</math> eller <math>\rho v dv+dp=0...50.9</math> lite kan man nog se det som <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> dvs att trycket sjunker med både rho och hastigheten för redan derivatan och minustecknet framför rho säger oss att trycket sjunker med ökande hastighet men den extra hastigheten multiplicerat med rho säger oss att denna tryckminskning snarare är kvadratiskt minskandes med hastigheten. Den sista ekvationen är originellt nog lika med en differentiering av Bernoulli ekvation dvs <math>p+\frac{1}{2}\rho v^2=konst...50.11</math> för horisontell strömning och differentieringen blir <math>dp+\rho v dv=0...50.12</math> Men om Bernoullis ekvation hade gällt för en kompressibel gas så skulle differentieringen även få göras för rho med resultatet <math>dp+\rho vdv+\frac{1}{2}v^2d\rho...50.13</math> vilket alltså är fel. =Kapitel XLIV, Överljudsströmning= Vid strömningshastiheter kring eller över ljudhastigheten c spelar det så kallade Mach's Tal <math>\mu=\frac{v}{c}...51.1</math> en avgörande roll i den teoretiska behandlingen av problemen. Från akustiken lånar vi uttrycket för ljudhastigheten <math>c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}...51.2</math> som låter oss skriva <math>\mu^2=\frac{v^2}{c^2}=v^2\frac{d\rho}{dp}=v^2 \frac{d\rho}{dv}\frac{dv}{dp}...51.3</math> som med hjälp av <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> ger <math>\mu^2=v^2\frac{d\rho}{dv}\cdot (-\frac{1}{\rho v})...51.4</math> dvs <math>\mu^2=-\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv}...51.5</math> -------------------------- Jag kommer inte på nån bra bild att ladda upp här så jag tänkte försöka bevisa min lärares påstående i 51.2 istället, repeterar <math>\rho S dx \frac{dv}{dt}=-dpS...50.4</math> Differentierar man denna får man (åtminstone delvis) <math>\frac{\partial \rho}{\partial p}dp vdv=-dp...51.6</math> eller <math>\frac{\partial \rho}{\partial p} vdv=-1...51.7</math> eller <math>vdv=\frac{-\partial p}{\partial \rho}...51.8</math> Här har jag ett teckenfel men rho bör rimligtvis öka om trycket ökar dvs drho/dp bör vara positivt här och om det är det gäller <math>\frac{v^2}{2}=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.9</math> där jag faktisk tolkar denna ekvation som <math>(\frac{v}{\sqrt{2}})^2=\frac{\partial p}{\partial \rho}...51.10</math> eller <math>v_{eff}=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial \rho}}...51.11</math> Ty vi snackar mest sinusiala rörelser här. Jag tror jag kommit på hur man får bort teckenfelet ovan, derivatan drho/dp är positiv på vänstra sidan om likhetstecknet medans om man permuterar täljare och nämnare blir den negativ på högra sidan likhetstecknet varvid minus-minus blir plus. Tycker det är kul med alla fel man gör, man lär sig mest då. =Kapitel XLV, Raketforskning= [[File:Fusion Mach Flow.png|thumb|Överljudsströmning medels Laval-Dysa]] Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas lyder ju <math>\rho v S=konstant_A...52.1</math> som också kan skrivas <math>ln(\rho v S)=konstant_B...52.2</math> Logaritmisk utveckling ger sedan <math>ln\rho+ln v+lnS=konstant_B...52.3</math> differentiering ger nu <math>\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dv}{v}+\frac{dS}{S}=0...52.4</math> dvs <math>\frac{dS}{S}=-(\frac{dv}{v}+\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{dv}\frac{d\rho}{\rho})=-\frac{dv}{v}(1+\frac{v}{\rho}\frac{d\rho}{dv})=-\frac{dv}{v}(1-\mu^2)...52.5</math> alltså gäller <math>\frac{dS}{S}=[\mu^2-1]\frac{dv}{v}...52.6</math> och <math>\frac{dp}{dv}=-v\rho...50.10</math> som sägs saga oss att om hastigheten ökar så minskar trycket. Slutligen har vi två speciella fall: 1) Vid underljudsströmning dvs <math>\mu<1...52.7</math> är <math>\mu^2-1<0...52.8</math> varför, som vi väntar oss, en ökning av gasströmmens tvärsnittsarea (dS>0) medför att dv<0 dvs en minskning av v (jfr kontinuitetsekvationen för inkompressibel gas ty låga hastigheter dvs v1S1=v2S2). 2) Vid överljudsströmning dvs <math>\mu>1...52.9</math> är <math>\mu^2-1>0...52.10</math> varför, i strid med vad som förväntas, en ökning av strålens tvärsnittsarea medför ökning av hastigheten (jämför med kontinuitetsekvationen för kompressibel gas ty höga hastigheter dvs rho1v1S1=rho2v2S2). 1) innebär att vi aldrig genom successiv reduktion av en strålkanals tvärsnittsarea kan uppnå ljudhastigheten (detta vore ju den enkla och självklara metoden om Bernoullis ekvation gällde), visserligen innebär en minskning av S samtidig ökning av v MEN endast då my<1 eller v<c. 2) ger en fingervisning hur en strålkanal skall konstrueras för att ge v>c, i Lavaldysan bringas först gasen (my<1) nära c genom en kort förträngning för att därefter vidga sin tvärsnittsarea pga dysans form. ='''Del IV, OPTIK'''= =Kapitel XLVI, Maxwell's ekvationer som kuriosa= Här tänker jag raljera över Maxwell's ekvationer utan att egentligen ha nån egen koll. <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho_vdv=Q...53.1</math>...[Gauss Lag] <math>\int BdS=\phi...53.2</math>...[Weber's Lag] <math>\oint Hdl=\oint \frac{B}{\mu}dl=I+\oint \frac{dD}{dt}dS...53.3</math>...[Ampere's Lag] <math>\oint Edl=-\oint \frac{dB}{dt}dS...53.4</math>...[Faraday's Lag] Det är intressant med dimensionsanalys när man försöker förstå, dessa dimensioner får man om man tänker efter: <math>\epsilon=\frac{As}{Vm}...53.5</math>...[permittivitet] <math>\mu=\frac{Vs}{Am}....53.6</math>...[permeabilitet] <math>D=\frac{As}{m^2}...53.7</math>...[elektrisk flödestäthet] <math>B=\frac{Vs}{m^2}...53.8</math>...[magnetisk flödestäthet] <math>E=\frac{V}{m}...53.9</math>...[elektrisk intensitet] <math>H=\frac{A}{m}...53.10</math>...[magnetisk intensitet] När man räknar på spolar kan man skriva: <math>H=\frac{NI}{l_m}...53.11</math> <math>B=\mu H=\mu \frac{NI}{l_m}...53.12</math> <math>BS=\phi=\mu \frac{NIA}{l_m}...53.13</math> <math>\Lambda=\phi N=\mu \frac{N^2IA}{l_m}...53.14</math> <math>L=\frac{\Lambda}{I}=\mu \frac{N^2A}{l_m}...53.15</math> För kondensatorer kan man skriva: <math>E=\frac{U}{l_e}...53.16</math> <math>D=\epsilon E=\epsilon \frac{U}{l_e}...53.17</math> <math>DS=Q=\epsilon ES=\epsilon\frac{UA}{l_e}...53.18</math> <math>C=\frac{Q}{U}=\epsilon \frac{A}{l_e}...53.19</math> =Kapitel XLVII, Snell's brytningslag och Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Snell.png|thumb|Hur elektromagnetiska vågor bryts]] [[File:Fusion Reflection 2.png|thumb|Reflektion och transmission av en stråle]] Det här kapitlet är ganska långt ifrån mina ambitioner med att försöka eller vara behjälplig med att bygga en fungerande fusionsreaktor men det är ett kapitel i min kurslitteratur som jag nu de senaste månaderna ändå tragglat mig igenom, ingen kunskap är dålig kunskap. Jag levererar fyra bilder, Snell's brytningslag är mycket viktig och behandlar hur ljus bryts och varför, den andra bilden sammanfattar ganska generellt vad som händer vid interferens dvs där ljusstrålar antingen förstärker (konstruktiv interferens) eller dämpar (destruktiv interferens) "varandra", den tredje sammanfattar på ett bra sätt hur interferens medels ljus i spalter och ljusöppningar beter sig, den sista bilden förklarar vad infallsplan är för nåt. Snell's brytningslag grundar sig på att tiden för ljuset att gå sträckan dsin(O1) är lika med tiden för ljuset att gå dsin(O2) för annars blir det fel i fas och eftersom tid kan skrivas som sträcka genom hastighet där hastighet är c/n pga brytningsindex så kan man skriva detta som <math>\frac{dsin(\theta_1)}{c/n_1}=\frac{dsin(\theta_2)}{c/n_2}...54.1</math> eller <math>n_1\cdot sin(\theta_1)=n_2\cdot sin(\theta_2)...54.2</math> som är Snell's brytningslag. Utöver detta finns reflektionslagen som i min kurslitteratur sägs vara ett specialfall av Snell's brytningslag men jag klassar det uttalandet som skitsnack samtidigt som alla vet att om man sparkar en boll snett mot en vägg så kommer den studsa lika snett åt andra hållet dvs utfallsvinkeln är lika med infallsvinkeln och man behöver inte vara forskare för att förstå det :D För formens skull skriver jag ändå reflektionslagen enligt <math>\theta_i=\theta_r...54.3</math> där index i indikerar infallande stråle och index r indikerar reflekterad stråle. Man kan förmodligen se härledningen av denna formel som härledningen för Snell men att man befinner sig i samma medium och då är brytningsindex och därmed hastighet lika dvs både ljushastigheten och brytningsindex kan förkortas bort. Nu behöver vi veta hur elektromagnetisk strålning beter sig i gränsskikt, följande regler gäller enligt Maxwell: <math>E_{t1}=E_{t2}...54.4</math> <math>H_{t1}=H_{t2}...54.5</math> <math>D_{n1}=D_{n2}...54.6</math> <math>B_{n1}=B_{n2}...54.7</math> dessa regler ger enligt min lärare <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_1-\theta_2)}{sin(\theta_1+\theta_2)}...54.8</math> och <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_1-\theta_2)}{tan(\theta_1+\theta_2)}...54.9</math> och nu ska vi härleda dessa uttryck för vad ska man med formler till om man inte förstår vart dom kommer ifrån? Först har jag fått lära mig att följande gäller (redigerad efter egen övertygelse) <math>E_i=E_r+E_t...54.10</math> vilket låter rimligt, ser det som att inkommande energi delas upp i reflekterad och transmitterad energi. Nedan nämns infallsplanet som är vinkelrätt (och därmed normal) mot planet strålen träffar, man kallar sedan E_parallell för nåt som ligger i infallsplanet (dvs i y-led), tycker det känns rätt onödigt att komplicera saken på detta sätt för strålarna träffar ju en yta/plan och en del reflekteras med vinkel uppåt och en del transitteras med vinkel neråt samtidigt som boundary-kriterierna (hittar inget bättre ord) är väldefinierade både normalt och tangentiellt till detta det "riktiga" infallsplanet. Men enligt litteraturen och Physics Forums gäller för den vinkelräta biten följande (alla vinklar är alltid relaterade till normalen till den yta strålen infaller på) <math>E_{\perp}=E_icos(\theta_i)...54.11</math> och E_parallell som är parallell mot infallsplanet <math>E_{\parallel}=E_isin(\theta_i)...54.12</math> Reflektionslagen lyder sen som sagt <math>\theta_i=\theta_r...54.13</math> dvs reflektionsvinkeln är lika med infallsvinkeln (jämfört med gränsytans normal), dessutom lyder i detta fall speciellt <math>H_{1t}=H_{2t}...54.14</math> där <math>H=\frac{B}{\mu}...54.15</math> Enligt 54.10 kan man alltså säga att följade gäller för den vinkelräta delen <math>\frac{B_i}{\mu_i}cos(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}cos(\theta_i)+\frac{B_t}{\mu_t}cos(\theta_t)...54.16</math> Både H och E är är alltså kontinuerlig i den tangentiella delen av gränsövergången (se 54.14), nu gäller <math>\mu_i=\mu_r\approx\mu_t...54.17</math> ty omagnetiska material såsom t.ex glas har my väldigt nära my för vaakum, som också kallas my_0, dessutom gäller <math>F=qE=qvB...54.18</math> vilket är en klassisk formel men faktumet att E=vB härleds egentligen på ett annat sätt, nu får vi således <math>\frac{E_i}{v_i}cos(\theta_i)=\frac{E_r}{v_r}cos(\theta_i)+\frac{E_t}{v_t}cos(\theta_t)...54.19</math> som eftersom <math>v=\frac{c}{n}...54.20</math> och c är konstant samtidigt som nr=ni ger <math>n_iE_icos(\theta_i)=n_iE_rcos(\theta_i)+n_tE_tcos(\theta_t)...54.21</math> Här nyttjas sedan den, i original, skumma formeln ovan dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.10'</math> som dock inte kan gälla för energidensiteten är <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2...54.22</math> dvs det finns ingen chans att transmitterad energi är större än infallande energi så jag anser detta vara akademiskt dravel men har kvar resten av uträkningarna för att jag lagt ner en massa arbete på att koda upp dom, villfarelsen har jag för övrigt fått av Physics Forums (dvs den senaste 54.10). <math>n_iE_icos(\theta_i)=E_r(n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t))+n_tE_icos(\theta_t)...54.23</math> dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_tcos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_tcos(\theta_t)}...54.24</math> Nu gäller Snell's brytningslag dvs <math>n_isin(\theta_i)=n_tsin(\theta_t)...54.25</math> där n_i är infallsvinkeln jämfört med normalen och n_t är pss transmitterad vinkel, om n_t löses ut så fås <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.26</math> och insatt i ovanstående ekvation så fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{n_icos(\theta_i)-n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}{n_icos(\theta_i)+n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}cos(\theta_t)}...54.27</math> Nu blir det "bara" en massa trigonometri :) Först, n_i går uppenbarligen bort sen börjar vi med att förlänga täljare och nämnare med <math>sin(\theta_t)...54.28</math> då fås <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{cos(\theta_i)sin(\theta_t)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{cos(\theta_i)sin(\theta_t)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.29</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=\frac{sin(\theta_t)cos(\theta_i)-sin(\theta_i)cos(\theta_t)}{sin(\theta_t)cos(\theta_i)+sin(\theta_i)cos(\theta_t)}...54.30</math> Nu finns det en trigonometrisk lag som säger att <math>sin(\alpha)cos(\beta)=\frac{1}{2}[sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)]...54.31</math> använder vi detta och observerar att <math>sin(-\alpha)=-sin(\alpha)...54.32</math> så får vi <math>(\frac{E_r}{E_i})_\perp=-\frac{sin(\theta_i-\theta_t)}{sin(\theta_i+\theta_t)}...54.33</math> som dock bara gäller den vinkelräta biten, allt måste göras om för den parallella biten och där tror jag att ansatsen är <math>\frac{B_i}{\mu_i}sin(\theta_i)=\frac{B_r}{\mu_r}sin(\theta_r)+\frac{B_t}{\mu_t}sin(\theta_t)...54.34</math> vilket borde innebära att man bara byter ut cos mot sin i den vinkelräta formeln men jag kommer inte göra den uträkningen dock har jag svaret dvs <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_i-\theta_t)}{tan(\theta_i+\theta_t)}...54.35</math> Polarisationsvinkeln är definierad som vinkeln mellan Ei och infallsplanet, om vi kallar denna vinkel för alpha så fås <math>Ei_\parallel=E_icos(\alpha)...54.36</math> och <math>Ei_\perp=E_isin(\alpha)...54.37</math> sen vet vi att energidensiteten (normalt kallad energitätheten eller intensiteten) är <math>I=\epsilon\frac{1}{2}E^2...[J/m^3]...54.38</math> vilket också kan ses som ett elektromagnetiskt tryck, detta ger <math>I\propto E^2...54.39</math> pga detta kan man skriva <math>Ii_\parallel=I_0cos^2(\alpha)...54.40</math> och <math>Ii_\perp=I_0sin^2(\alpha)...54.41</math> varför man kan skriva <math>Ir_\perp=I_0sin^2(\alpha)\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...54.42</math> Som är den ena av Fresnels Ekvationer, denna behandlar alltså dom gentemot infallsplanet vinkelräta komponenterna. Jag har nu försökt räkna ut dom parallella bitarna, jag tror mig kommit på att min ovanstående ansats är fel och detta pga att man måste se på dom normala bitarna i det här fället vilket innebär att <math>D_{1n}=D_{2n}...54.43</math> borde gälla istället, att det blir på det här viset har att göra med att vi nu tittar på komponenter som är normala till gränsytan (och därmed parallella till infallsplanet), i förra fallet tittade vi ju på komponenter som var tangentiella till gränsytan, sen gäller <math>D=\epsilon E...54.44</math> varför man istället kan skriva <math>\epsilon_iE_isin(\theta_i)=\epsilon_iE_rsin(\theta_i)+\epsilon_tE_tsin(\theta_t)...54.45</math> som eftersom <math>\epsilon_r=n^2...54.46</math> övergår i <math>n_i^2E_isin(\theta_i)=n_i^2E_rsin(\theta_i)+n_t^2E_tsin(\theta_t)...54.47</math> sen tror jag att att den skumma formeln fortfarande gäller dvs <math>E_t=E_i+E_r...54.48</math> detta ger <math>E_i(n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t))=E_r(n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t))...54.49</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_t^2sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_t^2sin(\theta_t)}...54.50</math> nu är åter <math>n_t=n_i\frac{sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)}...54.51</math> så att vi får <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{n_i^2sin(\theta_i)-n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}{n_i^2sin(\theta_i)+n_i^2\frac{sin^2(\theta_i)}{sin^2(\theta_t)}sin(\theta_t)}...54.52</math> eller <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_i)-\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}{sin(\theta_i)+\frac{sin^2(\theta_i)}{sin(\theta_t)}}...54.53</math> och här ser man direkt att det blir <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{sin(\theta_t)-sin(\theta_i)}{sin(\theta_t)+sin(\theta_i)}...54.54</math> nu blir det att ta till lite klurig trigonometri och för att slippa koda så mycket så skippar jag att vinkelsummorna och vinkeldifferenserna skall halveras <math>sin(\alpha)-sin(\beta)=2sin(\alpha-\beta)cos(\alpha+\beta)...54.55</math> respektive <math>sin(\alpha)+sin(\beta)=2sin(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)...54.56</math> När vi sätter in detta skall vi vara medvetna om att det är en kvot vilket medger vissa extra trick enligt <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{2sin(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{2sin(\theta_t+\theta_i)cos(\theta_t-\theta_i)}...54.57</math> om vi nu delar både täljare och nämnare med <math>\cos(\theta_t-\theta_i)...54.58</math> så faller nåt intressant ut <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)cos(\theta_t+\theta_i)}{sin(\theta_t+\theta_i)}...54.59</math> som även kan skrivas <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\theta_t-\theta_i)}{tan(\theta_t+\theta_i)}...54.60</math> vilket är rätt enligt litteraturen men skall egentligen vara <math>(\frac{E_r}{E_i})_\parallel=\frac{tan(\frac{\theta_t-\theta_i}{2})}{tan(\frac{\theta_t+\theta_i}{2})}...54.61</math> enligt dom trigonometriska lagarna. Om vi kör på med vad litteraturen säger så ger detta den andra Fresnelska ekvationen enligt <math>Ir_\parallel=I_0cos^2(\alpha)\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...54.62</math> Jag finner två fel i ovanstående uträkningar där det ena är att transmitterad elektrisk fältstyrka (E_t) inte kan vara större än infallande elektriska fältstyrka (E_i) pga energiprincipen, det andra felet ligger i litteraturens variant av den parallella energidensiteten (54.62) ty vinklarna ska halveras. Detta är som sagt bara en svammelbok så jag svamlar på genom att säga att jag har fel ovan, Physics Phorums har rätt hur konstigt det än ser ut för om ni tittar i min senaste bild ovan och kollar in sinus för alla "strålar", tar man sedan hänsyn till "pilarna" så pekar alla sinuskomponeter av E-fälten i samma riktning samtidigt som <math>E_{2t}=E_{1t}...54.63</math> och faktiskt Kirschoffs spänningslag gäller för gränsskiktets E-fält enligt <math>\oint E\cdot dl=q\oint E\cdot dl=q\int_{P1}^{P1} E \cdot dl=q \Delta V=0...54.64</math> Jag kommer återkomma till det här senare i min bok och känner inte för att djupdyka här och nu så mycket men om Ni tänker er en liten rektangel med bredden w (och obetydlig höjd) som på ovansidan går i Region 1 för att sedan gå ner i Region 2 och att ni tar Kirschoff på denna potentialvandring så får Ni <math>(Eit+Ert)\Delta w-Ett\Delta w=0...54.65</math> där vi alltså bara tittar på de till gränsskiktet tangentiella bitarna (aka i x-led), på ovansidan samverkar alltså de tangentiella fälten medans på undersidan blir det minus för riktningen är i negativ x-led om man börjat i positiv x-led ovanifrån, här ser Ni att PF har rätt, dock kan man lite leka med mitt energitänk modell att vi kollar hur energikvoten eventuellt kan bli att se ut genom sedvanlig formel ovan (54.38) dvs <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 Ett^2}{\epsilon_1(Eit^2+Ert^2)}...54.66</math> som kan skrivas om enligt (ty theta_r=theta_i) <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 (Et\cdot sin(\theta_t))^2}{\epsilon_1\sin(\theta_i)^2(Ei^2+Er^2)}...54.67</math> eller <math>\frac{W_{out}}{W_{in}}=\frac{\epsilon_2 sin(\theta_t)^2}{\epsilon_1 sin(\theta_i)^2}\frac{Et^2}{Ei^2+Er^2}...54.68</math> Jag vet verkligen inte men om det inte finns förluster så kanske denna ändå alltid är ett, ett sätt att se det är att theta_t alltid är mindre OMM n2>n1 vilket samtidigt innebär att theta_i är större dvs kvoten kompenseras här, den första termen kan alltså typ "alltid" vara ett. Man kan på liknande sätt visa dom normala bitarna (cosinus) enligt <math>D_{2n}=D_{1n}...54.69</math> där <math>D=\epsilon E...54.70</math> Men jag gör inte det här för detta kapitel har blivit komplicerat nog, nu siktar jag på att gå vidare med min bok. =Kapitel XLVIII, Specialfall av Fresnel's ekvationer= [[File:Fusion Refraction Zero 3.png|thumb|Visar hur en plan våg transmitteras när den infaller mot ett tunnare medium]] När alpha är 45 grader vilket gäller för cirkulärpolariserat och opolariserat ljus så fås, ty både sin^2(45) och cos^2(45)=1/2: <math>Ir_\perp=\frac{I_0}{2}\frac{sin^2(\theta_i-\theta_t)}{sin^2(\theta_i+\theta_t)}...55.1</math> respektive <math>Ir_\parallel=\frac{I_0}{2}\frac{tan^2(\theta_i-\theta_t)}{tan^2(\theta_i+\theta_t)}...55.2</math> Sen har vi specialfall 1: <math>\theta_i=\theta_t=0...55.3</math> dvs vinkelrätt infall, för små vinklar gäller <math>Ir_\parallel=Ir_\perp=\frac{1}{2}I_0[\frac{\theta_i-\theta_t}{\theta_i+\theta_t}]^2=\frac{1}{2}I_0[\frac{\frac{\theta_i}{\theta_t}-1}{\frac{\theta_i}{\theta_t}+1}]^2...55.4</math> eftersom Snell ger <math>n_isin\theta_i=n_tsin\theta_t...55.5</math> men att vi kör små vinklar så får vi att sinus är ungefär lika med vinkeln dvs <math>n_i\theta_i=n_t\theta_t...55.6</math> som kan skrivas <math>\frac{\theta_i}{\theta_t}=\frac{n_t}{n_i}...55.7</math> och därmed <math>I_r=I_{r_\perp} + I_{r_\parallel} = I_0[\frac{\frac{n_t}{n_i}-1}{\frac{n_t}{n_i}+1}]^2...55.8</math> dvs <math>I_r=I_0[\frac{n_t-n_i}{n_t+n_i}]^2\propto [\frac{\Delta n}{\Sigma n}]^2...55.9</math> Ir är då alltså den reflekterade intensiteten, från luft mot glas är den bara 4%. Specialfall 2: Om ljus infaller mot en gränsyta under en sådan infallsvinkel att <math>\theta_i+\theta_t=90 grader...55.10</math> så blir <math>I_{r_\parallel}=0...55.11</math> denna vinkel <math>\theta_i...55.12</math> kallas alltså för Brewstervinkeln eller polarisationsvinkeln. Den reflekterade strålen är alltså fullständigt polariserad vinkelrätt mot infallsplanet, detta inträffar enligt Snell's brytningslag då <math>\frac{n_t}{n_i}=\frac{sin\theta_i}{sin(90-\theta_i)}=tan(\theta_i)...55.13</math> Intensiteten blir om det infallande ljuset är opolariserat <math>I_r=Ir_\perp=\frac{I_0}{2}sin^2(\theta_i-\theta_t)...55.14</math> Specialfall 3: Om strålen reflekteras mot ett medium med lägre brytningsindex så har ekvationen <math>sin(\theta_i)=\frac{n_t}{n_i}sin(\theta_t)...55.15</math> ingen reell lösning i <math>\theta_t...55.16</math> om <math>sin(\theta_i)>\frac{n_t}{n_i}...55.17</math> dvs vi får totalreflektion. Detta är grunden för fibroptikens stora praktiska tillämpningar, med fiberoptik kan ljus överföras långa sträckor med mycket små förluster. Den här ekvationen är lite svår att förstå så jag måste fundera vidare på den, helt klart är i alla fall att om man har en fiber och infallsvinkeln är stor (vilket den ju är hos en långsmal fiber) då reflekteras all intensitet och därmed energi tillbaka in i fibern men hur detta sker har jag svårt för att fullt ut greppa, kanske man kan se det som att ljus bryts från normalen när man har lägre brytningsindex "utanför" vilket ju gör att efter en viss infallsvinkel så bryts strålen in i "manteln" (och innanför). =Kapitel XLIX, Superposition= [[File:Fusion Complex Vector Addition.png|thumb|Visar hur komplexa vektorer adderas]] Detta är mycket basalt men väldigt intressant och lärorikt för säg att vi har två vågor <math>z_1=A_1e^{j(wt+\delta_1)}...56.1</math> och <math>z_2=A_2e^{j(wt+\delta_2)}...56.2</math> superpositionsprincipen ger då den resulterande svängningen som <math>z=z_1+z_2=(A_1e^{j\delta_1}+A_2e^{j\delta_2})e^{jwt}...56.3</math> eller <math>z=Ae^{j\delta}e^{jwt}...56.4</math> Jag borde nu rita ett vektordiagram men jag orkar inte det, istället ska jag försöka förklara i ord för låt det komplexa talet <math>A_1e^{j\delta_1}...56.5</math> vara en vektor med liten vinkel relativt x-axeln (realdelen av talet) sen låter vi det adderas med ett komplext tal till enligt <math>A_2e^{j\delta_2}...56.5</math> med större vinkel relativt x-axeln, det intressanta nu är att resultanten får en vinkel som är summan av dom båda vektorernas vinklar, amplituden hos resultanten är sedan ännu mer spännande för den blir uppdelad på cos och sin enligt Pythagoras sats likt: <math>z^2=(A_1cos(\delta_1)+A_2cos(\delta_2))^2+(A_1sin(\delta_1)+A_2sin(\delta_2))^2...56.6</math> detta kan man utveckla till <math>A_1^2cos^2(\delta_1)+2A_1A_2cos(\delta_1)cos(\delta_2)+A_2cos^2(\delta_2)+A_1^2sin^2(\delta_1)+2A_1A_2sin(\delta_1)sin(\delta_2)+ A_2^2 sin^2(\delta_2)...56.7</math> eller <math>A_1^2(cos^2(\delta_1)+sin^2(\delta_1))+A_2^2(cos^2(\delta_2)+sin^2(\delta_2))+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.8</math> och pga trigonometriska ettan kan detta förenklas till <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2((cos(\delta_1)cos(\delta_2)+sin(\delta_1)sin(\delta_2))...56.9</math> Sen finns det tydligen en trigonometrisk regel som säger att <math>cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta=cos(\alpha-\beta)...56.10</math> vilket ger <math>A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\delta_1-\delta_2)...56.11</math> Eftersom intensiteten är proportionerlig mot amplituden i kvadrat så kan den resulterande intensiteten skrivas: <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta...56.12</math> Om vi antar att A1=A2 så får vi sedan två specialfall Fall I: Konstruktiv interferens <math>\delta=0+n2\pi, n=heltal...56.13</math> dvs z1 och z2 är då i fas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.14</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(0+n2\pi)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}=4I_1...56.15</math> Fall II: Destruktiv interfrens <math>\delta=\pi+n2\pi, n=heltal...56.16</math> dvs z1 och z2 är i motfas och pga att A1=A2 så får vi <math>I_1=I_2...56.17</math> och <math>I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos(\pi+n2\pi)=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}=0...56.18</math> Om vi fortfarande sätter I1=I2 men har en godtycklig fasskillnad så får vi <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1[1+2cos^2\frac{\delta}{2}-1]=2I_12cos^2\frac{\delta}{2}...56.19</math> dvs <math>I=4I_1cos^2\frac{\delta}{2}...56.20</math> Jag tycker dock att denna omskrivning är tramsig, ska genomgående försöka köra enligt original dvs <math>I=2I_1(1+cos\delta)...56.21</math> för då kan man enkelt se släktskapet med intensitetsformlerna vi ovan härlett, annars blir det liksom "wow, man kan skriva om den här formeln för att det går och jag är duktig på sånt, typ" =Kapitel L, Youngs dubbelspaltexperiment= [[File:Fusion Young.png|thumb|Youngs berömda dubbelspaltförsök]] Pga att det finns två och mycket smala spalter i Youngs dubbelspaltexperiment så kan ljuset när det belyser spalterna gå till höjden y på skärmen på två sätt och då via endera spalt. Det kommer nu finnas en bestämd fasrelation mellan de elektriska fälten i spalterna. De är i fas mitt på skärmen dvs vi har ett maxima där (inte så konstigt att tänka sig ty samma vågfront belyser de båda spalterna och sen skall bara vågorna propagera fram till skärmen). För små vinklar kan vi sedan skriva <math>sin(\theta)=\tan(\theta)=\frac{y}{L}...57.1</math> fasskillnaden kan skrivas <math>\delta=k\Delta x=k\cdot d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}...57.2</math> I maxima förstärker strålarna varandra pga att delta, och därmed den obefintliga fasskillnaden, är m*2pi vilket ger <math>\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}=m\cdot2\pi, m=heltal...57.3</math> dvs fösta "fransen" bortanför principalmaxima ligger vid m=1 och <math>y=\frac{L}{d}\lambda...57.4</math> där jag kallar kvoten L/d för "Lambdaförstärkning". Pga små spaltbredder gäller sedan i praktiken <math>I=2I_1(1+cos\delta)=2I_1(1+cos(\frac{2\pi}{\lambda}d\cdot\frac{y}{L}))...57.5</math> Allmänt gäller <math>I_1<I...57.6</math> men bara när interferensen är konstruktiv. Vågtalet (k) är ett intressant tal men det grötar till saker och ting fast dess användning underlättas om man tänker fysisk "vägskillnad" (dx) som då är relaterat till lambda för att sedan om man multiplicerar med k (2pi/lambda) få det något mer diffusa begreppet kallat "fasskillnad" (kdx=delta enligt ovan) allting kompliceras ytterligare av att "optisk vägskillnad" egentligen stavas nkdx dvs brytningsindex gånger fasskillnaden, där n dock som bekant är hastighetsminskningen relativt ljushastigheten i det optiska mediumet. =Kapitel LI, Interferens i reflekterat ljus= [[File:Fusion Interference 2.png|thumb|Interferens]] Om man kikar i min ritning nedan så är det inte svårt att konstatera att villkoret för konstruktiv interferens är <math>\phi_B-\phi_D=2\pi\cdot m...58.1</math> dvs så länge varven snurrar ett helt varv och adderas så blir det förstärkning, för destruktiv interferens gäller sedan <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m...58.2</math> fasskillnaden här är som synes pi vilket innebär att vågorna är helt ur fas modell att när ena går upp så går andra ner och när man då adderar dom så blir summan noll. För att beräkna fasskillnaden mellan B och D utnyttjar vi att <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.3</math> Här tycker jag dock att följande är tydligare <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)+(\phi_A-\phi_D)...58.4</math> Totala fasändringen <math>\phi_D-\phi_A...58.5</math> för stråle 1 erhålles genom att till den fasändring som uppkommer pga reflektion mot tätare medium addera fasändringen utmed vägen AD För en våg <math>s(x,t)=Asin(wt-kx)...58.6</math> är fasskillnaden mellan två punkter dx (i vågens utbredningsriktning) lika med <math>k\Delta x...58.7</math> Fasändringen utmed AD är således <math>kAD=\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.8</math> vilket pga av att vi har reflektion mot tätare medium ger <math>\phi_D-\phi_A=\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD...58.9</math> Stråle 2 reflekteras mot ett optiskt tunnare medium vid nedre plattytan vilket inte ger upphov till någon extra fasändring, fasdifferensen mellan svängningen i B och A är då <math>\phi_B -\phi_A =k'(AF+FB)=\frac{2\pi}{\lambda'}(AF+FB)...58.10</math> där lambda' är våglängden i glasplattan given av <math>\lambda'=\frac{\lambda}{n}...58.11</math> dvs hastigheten i optiska medium med brytningsindex >1 är mindre än i vakuum, detta ger <math>\phi_B-\phi_A=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)...58.12</math> vilket man kan skriva om som <math>\phi_B-\phi_A=k\cdot n\cdot \Delta x...58.13</math> där <math>\Delta x...58.14</math> också kallas för vägskillnaden medans <math>k\Delta x...58.15</math> kallas för fasskillnaden, och <math>kn\Delta x...58.16</math> kallas för den optiska vägskillnaden, vilket genom att repetera ovanstående av lämplighet <math>\phi_B-\phi_D=(\phi_B-\phi_A)-(\phi_D-\phi_A)...58.17</math> ger <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n(AF+FB)-(\pi+\frac{2\pi}{\lambda}AD)...58.18</math> Här gäller <math>AF=FB=\frac{d}{cos\beta}...58.19</math> och pga reflektionslagen gäller <math>sin\alpha=n\cdot sin\beta...58.20</math> vilket ger <math>AD=AB\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot sin\alpha=2dtan\beta\cdot nsin\beta=2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}...58.21</math> för ovan gäller helt enkelt <math>tan\beta=\frac{sin\beta}{cos\beta}...58.22</math> varav följer <math>\phi_B-\phi_D=\frac{2\pi}{\lambda}n\frac{2d}{cos\beta}-\pi-\frac{2\pi}{\lambda}2dn\frac{sin^2\beta}{cos\beta}=\frac{4\pi nd}{\lambda cos\beta}(1-sin^2\beta)-\pi=\frac{4\pi nd}{\lambda}cos\beta-\pi...58.23</math> tricket här är alltså trigonometriska ettan <math>1-sin^2\beta=cos^2\beta...58.24</math> Vi får alltså destruktiv interferens om <math>\phi_B-\phi_D=\pi+2\pi\cdot m=\frac{4\pi ndcos\beta}{\lambda}-\pi...58.25</math> Högerledets pi kan flyttas över till vänsterledet varvid m kan ökas med ett men detta spelar ingen roll så vi släpper det, istället fås <math>2ndcos\beta=m\lambda...58.26</math> som alltså är villkoret för utsläckning och att villkoret skiljer sig från Young har att göra med det extra fassprång man får vid reflektion mot tätare medium, jag brukar kalla detta "Ej OK" för normalt blir det ju förstärkning i detta fallet. Konstruktiv interferens fås sedan när <math>2ndcos\beta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...58.27</math> vilket är mitt föredragna sätt att skriva det samtidigt som detta ser ut som ett minimum (Ej OK). Lite extra intressant är att min lärare påstår att samma formler gäller om vi har tätare medium utanför skiktet fast även i detta fallet reflekteras ena strålen mot ett optiskt tätare medium, om man tänker efter. Dom här härledningarna är viktiga för fortsatta studier, det är därför jag lagt krut på dom. =Kapitel LII, Antireflexbehandling av ytor= [[File:Fusion Anti-Reflection.png|thumb|Antireflexbehandling av en yta]] Om <math>n_1<n_2<n_3...59.1</math> och infallet är vinkelrätt/normalt så fås för destruktiv interferens <math>2n_2d=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...59.2</math> för att cos(beta) är ett och BÅDA strålarna har relekterats en gång mot tätare medium dvs deras fasskillnad är noll, med andra ord blir tänket nu "OK" ty udda halva lambda ger utsläckning medans hela lambda ger förstärkning, minsta möjliga tjocklek (m=0) blir således <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.3</math> Nu vet vi sedan förut att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n}{\sum n}]^2...59.4</math> Här får vi att <math>I_r=I_i[\frac{\Delta n_{12}}{\sum n_{12}}]^2...59.5</math> och <math>I_{tr}=I_t[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2...59.6</math> Om den förlorade reflektionsintensiteten är av storleksordningen 1% så kan vi sätta <math>I_t\approx I_i...59.7</math> dvs <math>I_{trt}=I_{tr}...59.8</math> eller <math>I_{trt}\approx I_i[\frac{\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}]^2=I_{tr}...59.10</math> För utsläckning kräver vi att <math>I_r=I_{trt}...59.11</math> vilket innebär <math>[\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}]^2=[\frac{n_2-n_3}{n_2+n_3}]^2...59.12</math> detta ger <math>n_2^2=n_1n_3...59.13</math> eller <math>n_2=\sqrt{n_1n_3}...59.14</math> Vi har alltså <math>d=\frac{\lambda}{4n_2}...59.15</math> där <math>n_2=\sqrt{n_3}...59.16</math> om n_1=1. Jag har själv lite svårt att följa det här och kanske jag förtydligar men om man tänker att det förloras väldigt lite i intensitet vid reflektion (r) och transmission (t) så underlättas det. =Kapitel LX, Newtons ringar= [[File:Fusion Newton Rings.png|thumb|Newtons ringar]] Newtons ringar innebär cirkulära ringar (destruktiv interferens) som interferensmönster, arrangemanget består av en planslipad uppochnervänd typ glasbit där undersidan har en mycket stor krökningsradie (R). Om man tittar en liten bit in under "huven" så har man att d är höjden och rm radien. Eftesom en av strålarna har reflekterats mot optiskt tätare medium (vilket jag brukar kalla "Ej OK") så har man att för destruktiv interferens gäller <math>2nd=m\lambda...60.1</math> vilket är samma som 58.26 ovan fast med transmissionsvinkeln (Beta) pga vinlelrätt infall lika med 0 som alltså innebär utdämpning. Detta är inte så konstigt för en stråle kommer in, en annan stråle kommer in OCH reflekteras mot tätare medium vilket ger den ett fassprång på pi och i det klassiska Young-fallet fanns inga sådana fassprång varvid ovanstående ekvation i det fallet indikerar förstärkning. Om radien i ring nummer m är rm så gäller pga Pythagoras sats <math>r_m^2+(R-d)^2=R^2...60.2</math> varav <math>r_m^2=2Rd-d^2\approx 2Rd...60.3</math> ty d^2 är så litet, således <math>r_m^2=2Rd=2R\cdot \frac{m\lambda}{2n}= m\cdot \frac{R\lambda}{n}=mR\lambda'...60.4</math> där n i praktiken är 1 (luft). =Kapitel LXI, Diffraktion i enkelspalt= [[File:Fusion Single Slot Diffraction.png|thumb|Sinc-puls från en enkelspalt]] Ett element med bredden ds i mitten av spalten (s=0) ger i en punkt (P) bidraget <math>dy_0=a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)...61.1</math> där a är en konstant som beror av den inkommande vågens intensitet och avståndet till observationsplanet. I förhållande till detta bidrag har bidraget dys från andra delar av spalten den ytterligare fasförskjutningen <math>k\Delta x=k\cdot s\cdot sin\theta....61.2</math> där b är spaltens bredd och s en punkt i spalten, formeln liknar formeln för Young om man byter s mot d dvs att den differentiella vägskillnaden är s*sin(theta) medans fasskillnaden är k gånger detta värde. Vi får alltså <math>dy_s=a\cdot ds\cdot sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta))...61.3</math> och den resulterande fältstyrkan erhålles genom integration mellan gränserna s=-b/2 och s=b/2. För att underlätta beräkningen adderar vi dock först symmetriskt belägna element två och två <math>dy=dy_s+dy_{s-}=a\cdot ds[sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta)+sin(wt-k(x-s\cdot sin\theta)]=...61.4</math> <math>a\cdot ds[sin[(wt-kx)-k\cdot s\cdot sin\theta]+sin[(wt-kx)+k\cdot s\cdot sin\theta]]=...61.5</math> <math>2a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)cos(k\cdot s\cdot sin\theta)...61.6</math> där vi har nyttjat att <math>sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)=2sin\alpha cos\beta...61.7</math> Totala amplituden Y i P fås genom integration mellan s=0 och s=b/2 dvs <math>Y=2asin(wt-kx)\int_0^{\frac{b}{2}}cos(k\cdot s\cdot sin\theta)ds=...61.8</math> <math>=ab\frac{sin(k/2\cdot b sin\theta)}{k/2\cdot b sin\theta}sin(wt-kx)...61.9</math> Om vi nu sätter <math>ab=A_0...61.10</math> och <math>k/2 \cdot bsin\theta=\beta...61.11</math> blir den med vinkeln theta varierande amplituden alltså <math>A=A_0\frac{sin\beta}{\beta}...61.12</math> Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat och vi får alltså <math>I\propto A_0^2\frac{sin^2\beta}{\beta^2}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...61.13</math> Vi skall nu studera hur intensiteten varierar med vinkeln theta: 1) När vinkeln theta går mot noll så går alltså beta mot noll och vi får <math>\frac{lim}{\beta->0}\frac{sin\beta}{\beta}=1...61.14</math> Rakt fram är alltså beta noll och vi får ett intensitetsmaximum (som också kallas principalmaximum). 2) Vi får sedan utsläckning när <math>\beta=+/-m\pi..61.15</math> fast INTE när m=0 dvs i principalmaximum, alla andra multiplar av pi ger utsläckning. Som exempel kan nämnas <math>\beta=\pi...61.16</math> vilket ger <math>bsin\theta=\lambda...61.17</math> 3) Mellan dessa minima finns sekundära minima, vi söker läget för dessa: <math>\frac{1}{I_0}\frac{dI}{d\beta}=\frac{d}{d\beta}[\frac{sin^2\beta}{\beta^2}]=0...61.18</math> vilket ger <math>\frac{\beta^2 2 sin\beta cos\beta-2\beta sin^2\beta}{\beta^4}=0...61.19</math> eller <math>\beta tan(\beta)-tan^{2}(\beta)=0...61.20</math> alltså <math>tan\beta-\beta=0...61.21</math> Lägena för sekundärmaxima ges approximativt av <math>\Delta x=bsin\theta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}...61.22</math> vilket inte gäller för m=0 ty man kan visa att för pi eller lambda halva som vägskillnad så är intensiteten noll, det är intressant att notera att principalmaximat alltså har en utsträckning om lambda (pi åt vardera håll). =Kapitel LXII, Upplösningsförmåga= [[File:Fusion Diffraction Resolution.png|thumb|Upplösningsförmåga medels enkelspalt]] Det första interferensminimat ligger på avståndet y från principalmaximats centrum, för första minimat (m=1) gäller <math>bsin\theta=\lambda...62.1</math> om L är mycket större än y så kan vi skriva <math>sin\theta \approx tan\theta=\frac{y}{L}...62.2</math> vilket ger <math>b\frac{y}{L}=\lambda...62.3</math> eller <math>y=\frac{L}{b}\lambda...62.4</math> där vi får den gamla hederliga lambda-förstärkningen som jag brukar kalla den dvs höjden (y) är avståndet (L) delat med "våglängdsdimensionen" (modell att man har en spalt eller nåt som begränsar ljuset) gånger våglängden. Förutom en rätt patetisk justering av denna formel så gäller den för cirkulära öppningar såsom en kikare också. Med andra ord vill jag teckna <math>\frac{y}{L}\approx \frac{\lambda}{b}...62.5</math> där y är diametern hos kikaren. Formeln kommer ifrån ett kriterium som kallas Rayleighs kriterium, där upplösningsförmågan specificeras som att det ena principalmaximat sammanfaller med det andras första minimum (vi har ju två prylar/objekt vi försöker separera). =Kapitel LXIII, Samverkan mellan interferens och diffraktion= [[File:Fusion Single Slot Pattern.png|thumb|Mönstret från en enkelspalt]] Interferensfransarnas intensitet (amplitud i kvadrat) kan i t.ex Youngs dubbelspaltexperiment tecknas <math>I_{tot}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta=2I(1+cos\delta)...63.1</math> om I1=I2=I och där <math>\delta=kdsin\theta\approx kd\frac{y}{L}...63.2</math> Om nu spalterna har utsträckning i förhållande till våglängden så tillkommer en diffraktionsterm som vi redan härlett för enkelspalt dvs <math>I\propto sinc^2\beta=\frac{sin^2\beta}{\beta^2}...63.3</math> uttrycket för den totala intensiteten blir då <math>I\propto\frac{sin^2\beta}{\beta^2}(1+cos\delta)...63.4</math> där <math>\beta=\frac{k}{2}\Delta x=\frac{k}{2}bsin\theta=\frac{\pi bsin\theta}{\lambda}...63.5</math> där b är spaltbredden och d är avståndet mellan spalterna. Det är intressant plotta den här funktionen, speciellt har detta gjorts i min litteratur för d=3b och eftersom jag inte har nån möjlighet att utföra en sådan plot (annat än på min HP28SX) så ska jag försöka beskriva den och sinc^2-delen (63.3) har en huvudlob (principalmaxima) rakt fram som är typ sinusformad och av bredden +/-pi, därefter är den nästan nollad amplitudmässigt men det finns lite sekundärmaxima också, hängs sedan uttrycket för interferensfransarnas intensitet (63.1) på så blir sinc^2 typ envelopen för intensiteten dvs principalmaxima "hackas upp" i mindre sinusformade delar. =Kapitel LIV, Diffraktion i gitter= [[File:Fusion Gitter.png|thumb|Visar hur ett gitter är uppbyggt]] Ett transmissionsgitter ser ut som Young's dubbelspaltexperiment med skillnaden att antalet spalter är mångdubbelt flera, gitterformeln säger att <math>dsin\theta=m\lambda...64.1</math> som alltså på samma sätt som för Young innebär villkoret för maxima. Vi väljer nu en våglängd och studerar hur intensiteten varierar med vinkeln theta. Min ritning för Young gäller, vi får bara "multiplicera" den. Vi bestämmer oss för att sätta fasvinkeln till noll i översta spalten, fältstyrkan i denna spalt kan då tecknas: <math>y=a\cdot sin wt...64.2</math> fasen för ljuset från närmaste spalt ligger då före (tänk er brytning neråt) med <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> För spalten därefter blir fasvinkeln <math>2\delta...64.4</math> osv, vi summerar sedan för hela gittret (totalt N belysta spalter) och erhåller den amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Y=asin(wt)+asin(wt+\delta)+asin(wt+2\delta)+...+asin(wt+(N-1)\delta)...64.5</math> Intensiteten är dock enklare att beräkna om vi använder oss av komplexa tal och beräknar den komplexa amplitud som hela gittret ger upphov till enligt <math>Ae^{j\phi}=a(1+e^{j\delta}+e^{j2\delta}+e^{j3\delta}+...+e^{j(N-1)\delta})...64.6</math> Högerledet är summan av en geometrisk serie med N termer och kvoten <math>e^{j\delta}...64.7</math> vilket ger <math>Ae^{j\phi}=a\frac{1-e^{jN\delta}}{1-e^{j\delta}}...64.8</math> detta är ampliduden men för intensiteten så kvadrerar vi amplituden och tricket är nu att man konjugatkompletterar vilket förenklar beräkningarna avsevärt även om anledningen är lite diffus <math>I=Ae^{j\phi}*Ae^{-j\phi}=A^2=a^2\frac{(1-e^{jN\delta})(1-e^{-jN\delta})}{(1-e^{j\delta})(1-e^{-j\delta})}...64.9</math> Som kan skrivas <math>I\propto \frac{1-(e^{jN\delta}+e^{-jN\delta})+1}{1-(e^{j\delta}+e^{-j\delta})+1}=\frac{2(1-cosN\delta)}{2(1-cos\delta)}=\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.10</math> där det finns en trigonometrisk formel som säger att <math>1-cos\alpha=2sin^2{\frac{\alpha}{2}}...64.11</math> vilket ger att <math>I \propto \frac{sin^2\frac{N\delta}{2}}{sin^2\frac{\delta}{2}}...64.12</math> men jag tycker återigen att man förlorar korrelationen med verkligheten genom att gå via måhända käcka trigonoimetriska identiteter så jag kommer köra på med att intensiteten för ett gitter är <math>I\propto \frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.13</math> denna term kallas interferenstermen för N spalter. Intensiteten för nollte ordningen innebär <math>\theta->0 = \delta->0...64.14</math> dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.15</math> Enligt l'hospitales regel kan detta gränsvärde evalueras genom derivering av täljare och nämnare, dvs <math>\frac{lim}{\delta->0}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}=>\frac{NsinN\delta}{sin\delta}=N...64.16</math> Intensiteten i framåtriktningen är alltså proportionell mot N. Detta innebär att vi för intensiteten I_theta i riktningen theta från gittrets normal kan skriva <math>I_{\theta}=I_0\frac{sin^2\beta}{\beta^2}\frac{1-cosN\delta}{1-cos\delta}...64.17</math> när delta då är multiplar av 2pi så maximeras funktionen och intensiteten blir proportionerlig mot N ty 64.16 anger limes och vi har 0/0. Maximum blir alltså för delta lika med multiplar av 2pi. När det gäller för vilka värden på delta som interferenstermen har minimum så kan man resonera som så att täljaren blir noll oftare än nämnaren, täljaren blir noll när <math>N\delta=m \cdot 2\pi...64.18</math> dvs <math>\delta=\frac{m}{N}2\pi...64.19</math> där m är 0, 1, 2 osv. Enligt tidigare har vi att <math>\delta=k\Delta x=kdsin\theta...64.3</math> och pga <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...64.20</math> har vi att <math>dsin\theta (min)=\frac{\lambda}{N}, \frac{2\lambda}{N},...\frac{(N-1)\lambda}{N},...max...,\frac{(N+1)\lambda}{N}...64.21</math> Mellan två principalmaxima finns (N-1) minima och (N-2) sekundära maxima, sekundärmaximas intensitet blir alltmer försumbar då antelet spalter (N) ökar. =Kapitel LV, Gitterupplösning= [[File:Fusion Gitter Pattern.png|thumb|Gittermönster]] Vi anser att två spektrallinjer av lika styrka nätt och jämt kan skiljas åt om den enas principalmaximum sammanfaller med det minimum som ligger bredvid den andras principalmaxim. Beteckna våglängderna med <math>\lambda...65.1</math> respektive <math>\lambda+\Delta \lambda...65.2</math> Principalmaxima för våglängden lambda bestäms av gitterformeln (på samma sätt som för Young) dvs <math>dsin\theta=m\lambda...65.3</math> och närmast liggande minima bestäms av <math>dsin\theta=\frac{(mN+1)\lambda}{N}...65.4</math> Jag förstår inte riktigt m i den här formeln för om man tittar på 64.21 så är närliggande minima antingen <math>\frac{(N-1)\lambda}{N}...65.5</math> eller <math>\frac{(N+1)\lambda}{N}...65.6</math> så varför mN plötsligt? För knapp upplösning ska dock minimat sammanfalla (vinkeln lika) med principalmaximum för våglängden <math>\lambda+\Delta \lambda...65.7</math> dvs <math>dsin\theta=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.8</math> detta ger <math>(m+\frac{1}{N})\lambda=m(\lambda+\Delta \lambda)...65.9</math> dvs <math>\frac{\lambda}{N}=m\Delta \lambda...65.10</math> vilket innebär <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}=mN...65.11</math> Kvoten <math>\frac{\lambda}{\Delta \lambda}...65.12</math> kallas gittrets upplösningsförmåga som alltså är lika med produkten av spektrets ordning och antalet linjer i gittret, upplösningsförmågan är alltså beroende av ordningen (m) som man eventuellt kan tänka som hur "skarpt" strålarna är brutna för ju lägre m desto rakare går strålen men att upplösningen skulle vara bättre för hur hög ordning det är på brytningen det tycker i alla fall jag är skumt, fast om man tänker sig en skärm på ett visst avstånd från gittret så ju skarpare det bryts desto längre hypotenusa och när hypotenusan blir längre så blir avstånden mellan maxima längre varvid man kan få högre upplösning. ='''Del V, KÄRNFYSIK'''= =Kapitel LVI, Kärnfysik= Det här kapitlet handlar om hur atomer och atomkärnor är uppbyggda och hur dom beter sig. Kärnan består av protoner och neutroner (speciellt, men inte enbart, utanför kärnan finns elektroner), protonernas massa är ungefär 1836 elektronmassor medan neutronernas massa är ungefär 1838 elektronmassor. Protoner och neutroner är således mycket tyngre än elektroner. Protoner och neutroner kallas vid ett gemensamt namn nukleoner. Kärnor kan således karaktäriseras av: 1) Antalet protoner=laddningstalet=protontalet=atomnumret Z 2) Antalet neutroner=neutrontalet N 3) Antalet nukleoner=nukleontalet=masstalet A En atomkärna specificeras således som <math>X_Z^A...66.1</math> [Det här är det närmaste jag kommer för Z och A ska egentligen vara på andra sidan X men jag kan inte koda för det.] Isotoper har sedan samma Z men olika A dvs olika antal neutroner (ty det är protonantalet Z som bestämmer grundämnet). Det här älskar jag för det är lika enkelt som Occams Razor: Man har uppfunnit begreppet neutroner (laddning 0, massa=proton+2me) men man har av olika anledningar inte kunnat acceptera att en neutron skulle kunna bestå av en proton+elektron där jag tänker att en av elektronerna helt enkelt är bindningsenergin för alla vet ju att massa är samma som energi (vilket man emellertid accepterar när det kommer till en typ av sönderfall som kallas K-elektroninfångning fast då ur synvinkeln att en proton+elektron kan ge en neutron, väldigt inkonsekvent och konstigt tycker jag). Det sättet kompetent folk dissar att n=p+e är två stipulat: 1) Heisenbergs osäkerhetsrelation tycks säga att man inte riktigt kan veta vart partikeln befinner sig inom ett visst avstånd, avståndet här är radien hos en proton dvs ungefär 10^-15m (R), detta tycker jag lite kan jämföras med hur en gitarrsträng svänger för dess frekvens är minst att noderna är ändarna så man har alltså att våglängden är av storleksordningen R, dvs vi kan inte riktigt veta vilket delsegment hos strängen som ger ljudet för det är ju hela strängen som ger ljudet, nåt sånt tror jag det blir. Samtidigt finns det en konstant som stavas h, denna konstant kallas Plank's konstant och symboliserar Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt <math>p\approx \frac{h}{R}...66.2</math> där h har enheten [Js] dvs h kan också skrivas <math>h=Et...66.3</math> Min litteratur räknar sedan ut att <math>p=-34+15+19+8=100MeV/c...66.4</math> som egentligen är 200MeV men kontentan blir att pc=200MeV. Elektronens viloenergi är <math>m_0c^2=-30+17+19=1MeV...66.5</math> vilket stämmer bra med vad det ska vara dvs~0,5Mev. Det intressanta nu är att om man nyttjar Einsteins formel för "relativistisk energi" så får man att <math>E_k=E_{tot}-m_0c^2=\sqrt{(pc)^2-(m_0c^2)^2}-m_0c^2\approx pc...66.6</math> dvs <math>E_k\approx pc=200MeV...66.7</math> Här påstår man att bindning av en elektron med denna energi kräver en potentialbrunn om minst djupet 200MeV, ett djup som inte kan förklaras ur Coulombkrafterna, på avståndet 10^-15m från en proton skulle elektronens energi vara <math>\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{R}=1,4MeV...66.8</math> 2) Sen finns det en annan motsägelse som är lite mer flummig: Elektronens till spinnet kopplade magnetiska moment är runt <math>M_e=\frac{eh}{2m_e}...66.9</math> vilket är >> än något förekommande kärnmagnetiskt moment av storleksordningen <math>M_p=\frac{eh}{2m_p}...66.10</math> där m_e är elektronens massa och m_p är protonens, ekvationerna skall egentligen innehålla h_bar dvs <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}...66.11</math> men det är så löjligt ointressant (jag anser nämligen att om man bara ligger inom en magnitud fel/rätt så räcker det för diskussionen). Visserligen elimineras det magnetiska momentet vid parning (spinn + 1/2 -1/2) av elektroner men var tar en udda "oparad" elektrons magnetiska moment vägen, frågar min litteratur? Jag tycker att det som här rätt taffligt nyttjas dvs Heisenbergs osäkerhetrelation är lite flummig för varför skulle det t.ex finnas en konstant för vart en partikel kan befinna sig? Hur har man bevisat det? Om h inte riktigt stämmer så faller ju hela resonemanget och en neutron kan visst bestå av en proton+elektron och som vi skall se senare så rimmar det resonemanget väldigt bra. ==Fritänkande, osäkerhetskonservering== [[File:Fusion Mean Temperature.png|thumb|Visar två olika former av samma temperaturmedelvärde]] Det är känt att laddning är oförstörbar och dessutom gäller att summa laddning i ett slutet system är noll. Laddning brukar betecknas med q och har enheten As. Tittar man på enheten allena så ser man att A och s kan ha helt olika värden för samma q. Så det är inte orimligt att q är konstant och jag kallar det laddningskonservering. Planks konstant h som lär vara bevisad iom fotoelektriska effekten har enheten Js och den kommer tydligen ifrån Heisenbergs osäkerhetsrelation varvid jag härmed döper h till osäkerhetskonservering, således gäller <math>q=[As]</math> och <math>h=[Js]</math> Det är intressant vad laddning egentligen är, jag har hört talas om att det har med spinn att göra men jag tycker det låter för flummigt för mig att förstå. Vad är sen h? Som vid q kan man kanske se det som att om tidsaxeln är i x-led så är energin (eller strömmen) i y-led och den area som Js bygger upp är konstant och lika med h. Jag tvivlar lite på denna konstant men vågar mig inte på några gissningar, detta förhållande köper jag dock <math>E=mc^2=pc=hf</math> där dock fotonen egentligen inte har nån vilomassa ty den far alltid fram med ljusets hastighet MEN iom Einstein så kan man räkna ut en ekvivalent massa ty energi är massa, ur denna formel får man också att <math>h=p\lambda</math> där lambda typ är ett minavstånd likt radien på en proton men detta gäller alltså bara för fotoner, för "vanliga" partiklar med massa tror jag följande ungefär gäller <math>E=mv^2=pv=kT</math> vilket är sant om partikeln bara har en frihetsgrad samtidigt som en halv magnitud fel av små/stora tal spelar noll roll, laddningskonservering innebär sedan <math>\sum_{n=1}^N q_n=0</math> Jag har lurat lite på Ek och den klassiska MEDELVÄRDES-formeln <math>Ek=\frac{mv^2}{2}</math> och att det motsvarar en temperatur enligt ovan. Den kinetiska energin (Ek) är som sagt en medelenergi motsvarande en viss temperatur. Jag har försökt titta på vilket temperaturspann detta kan ha för vad är egentligen medelenergi? Om två partiklar av samma massa och hastighet krockar dead on så bör det bli som i bijard dvs båda kommer att stanna fullständigt och båda partiklarnas hastigheter blir kortvarigt noll, vilket motsvaras av 0K. Det bör alltså i en gas eller plasma finnas situationer där vissa partiklar "når" 0K. Samtidigt tror jag att om medelvärde fortfarande gäller så bör temperaturen åt andra hållet inte pendla till mer än 2T. Här kan man dock spekulera i hur kort eller lång tid "0K-partiklarna" existerar, finns det lite längd på tiden så kan pulsen uppåt (t1) nå lite temperaturer men min amatörmässiga bedömning är att Tk>10T inte är nåt att hoppas på. Men jag vet inte, jag bara spekulerar :) Känner f.ö till att det finns nåt som kallas Stefan-Bolzman:fördelning men jag tror inte riktigt på den. ==Fritänkande, bindningsenergi== Jag har klurat lite på vad bindningseneri är och det är lite förvirrande för varje snubbe som skriver litterarur i ämnet envisas med att använda olika beteckningar. Men jag tror att jag fattat att den beteckning som min litteratur Fysik 2 har (och är avskriven här) bara skiljer sig i beteckning jämfört med den huvusakliga litteratur jag studerar dvs Cheng. Således är Eb=Vb. Potential (V) är genast en energi i eV men för Joule måste man multiplicera med elementarladdningen. Så jag ser Vb som energi as is. Eb är alltså bindningsenergin hos atomkärnor och jag tror att jag har kommit på att det är samma som Vb enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> där b är radien hos partikeln som då alltså ökar med atomnumret, Vb ökar ändå pga att effektiv radie hos kärnan inte ökar lika mycket som antalet protoner. Cheng visar vilken energi som går åt att bygga en kärna av laddning, jag bara kopierar in den här <math>W=\frac{3Q^2}{20\pi\epsilon_0b}[J]</math> som förutom multiplikationen med Q, som är standard för Joule, inte skiljer sig nämnvärt (3/5-delar) mot min första formel ovan, energin för att bygga en proton uppgår alltså till storleksordningen 1MeV (fast om protonen redan finns?) Jag har hamnat lite före nedan med mitt fritänkande (som aldrig är att ta på nåt stort allvar) och allt ligger lite ur fas men jag vill ändå skriva ut Vb för en proton enligt <math>Vb=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}=1,4MeV=2,3*10^{-13}J</math> I eV så låter allt astronomiskt men i Joule låter det löjligt lite även om energin är stor, man kan tänka sig en foton och dess energi modell <math>E=hf=\frac{hc}{\lambda}</math> där vi vet att våglängden för synligt ljus är av storleksordningen 1um, detta ger fotonens energi som 0,2eV, temperaturen för att termiskt penetrera en proton på 1,4MeV blir sedan ungefär <math>Vb=kT</math> dvs ungefär 19GK :D I ITER har jag fått reda på så har dom tänkt försöka med 10keV, vilket är en bra bit från den energi som krävs, personligen är jag tveksam till om en faktor hundra funkar trots den Boltzmanska fördelningen, jag tror att man måste upp i minst Vb/10. Sen, efter mycket funderande tror jag att följande gäller <math>m_a=m_p+E_b</math> där mp är summan av alla partiklar som kärnan består av vars totala massa alltså är MINDRE än atommassan! Rätt skumt om det inte vore för Einstein och <math>E=mc^2</math> för den formeln funkar åt båda hållen dvs energi har massa. Detta är fel, se nedan. =Kapitel LVII, Kärnans radie= [[File:Fusion Hydrogen Model.png|thumb|Modell av väteatomen]] Beskrivningen av det här är lite flummigt, det finns tydligen ett antal olika försök att bestämma kärnradien men jag listar bara två: 1) Rutherfords spridningsförsök nyttjandes elektronbefriade He-kärnor (alfa-partiklar) mot tunna metallfolier, han kom fram till att atomens massa är till mer än 99,9% sannolikhet koncentrerad inom en kärna av diameter 10^-14m. 2) Spridning av myoner ger tydligen ett bättre resultat, med hjälp av dessa (207m_e) så har man en förmånligare vågfunktion, vad nu det innebär. I samma veva nämns dock hur en enelektronatom i grundtillståndet har det mest sannolika avståndet kärna-elektron enligt: <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \approx 1A...67.1</math> där A står för Å som i Ångström (100pm) vilket tydligen inte kan kodas, svaret kallas sedan Bohr-radien. Kärnans radie har uppmäts till: <math>r=r_0A^{1/3}m...67.2</math> där <math>r_0\approx 10^-15m...67.3</math> Detta empiriska samband mellan kärnradie och masstal visar att det kan vara befogat att tala om "kärnmateria" med konstant täthet ty <math>n=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{A}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 (A^{\frac{1}{3}})^3} \propto \frac{A}{(A^{\frac{1}{3}})^3}=1...67.4</math> Enligt min litteratur är sedan n oberoende av masstalet (A) med god noggrannhet, detta innebär således att densiteten för all kärnmateria är samma för varje kärna väger lika mycket per volymsenhet ty dom består mest av kärnpartiklar som typ väger samma, ett numeriskt värde kan ungefär fås av <math>\rho = \frac{m_p}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}\propto \frac{m_p}{r_0^3} \approx -27+3*15=10^{18} kg/m^3...67.5</math> Den tätaste "jordliga" materian jag hittar i Physics Handbook är typ Guld med en densitet på runt 22000 kg/m^3, det ni! Kärnmateria har blivit mitt nya fascinerande begrepp för föreställ Er digniteten, precis allt vi ser runt omkring oss består av samma kärnmateria, visst de består också av många olika grundämnen i alla möjliga olika konstellationer/molekyler men faktumet att alla dessa grundämnen består av samma kärnmateria fascinerar mig. För ett ganska rejält antal år sedan fascinerades jag av att precis allt levande består av DNA (tror bestämt detta även gäller växter även om proteinsyntesen blir klurig...) och detta är lite av samma uppvaknande. ==Härledning av Bohr-radien== [[File:Fusion Hydrogen Force.png|thumb|Kraftmodell av väteatomen]] Det finns en längre härledning av detta men jag kör nu den enkla jag "kommit på" dvs Fc=F där Fc är den columbska kraften mellan två olikladdade partiklar och F är centrifugalkraften eller <math>\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\frac{mv^2}{r}...67.6</math> ur detta får man sedan hastigheten v som <math>v=\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}...67.7</math> sen gäller enligt sägen <math>p\lambda=h...67.8</math> där jag nyttjat Heisenbergs osäkerhetsrelation, antar man sedan att elektronen måste genomlöpa minst en hel period per varv dvs den måste komma tillbaka i svansen där den började så kan man skriva <math>p 2\pi r=h...67.9</math> eller på snobbspråk <math>pr=\hbar...67.10</math> där p är impulsen mv, med andra ord har vi <math>mvr=\hbar=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r...67.11</math> dvs <math>r_B=\frac{\hbar^2 4\pi \epsilon_0}{me^2}...67.12</math> som är en knapp Ångström stor ===Fritänkande, har en partikel med massa energin pc?=== Om vi börjar med Heisenberg så borde man kunna skriva <math>p\lambda/n=h</math> dvs varför är våglängden ett helt varv bara? Det kan väl lika gärna vara ett antal våglängder (n)? Räknar vi på det så kan vi börja med <math>p2\pi r/n=h</math> ur detta får vi att <math>pr/n=\hbar</math> som enligt ovan kan skrivas om enligt <math>mvr/n=m\sqrt{\frac{e^2}{m4\pi\epsilon_0 r}}r/n=\hbar</math> dvs <math>mvr/n=\sqrt{\frac{me^2r}{4\pi\epsilon_0}}/n=\hbar</math> så att <math>r=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2n^2}{me^2}</math> Detta säger mig att elektronbanans radie kan var större än den Bohrska radien rB så varför är rB den rätta? Heisenberg säger att elektronbanan genomlöper ett antal hela våglängder (eller en enda våglängd benämnd lamda motsvarande omkretsen i det här fallet) så den måste efter ett varv komma tillbaka till där den började. Men vad säger att detta är sant? Eftersom lambda är en våglängd så är den även sinusformad vanligtvis, med andra ord har elektronbanan enligt Heisenberg en amplitud i sin cirkulära sinusformade bana ty det är bara då som elektronen kan komma tillbaka till där den började dvs om banans omkrets är ett helt antal våglängder. Och om elektronen beskriver en sinusformad cirkulär bana, vilken amplitud har den? I grunden har vi alltså Heisenbersgs osäkerhetsrelation enligt, och jag repeterar <math>p\lambda=h</math> man kan sedan skriva om denna relation enligt <math>p\frac{c}{f}=h</math> eller <math>pc=hf</math> som inte är lika med <math>\frac{mv^2}{2}</math> vilket är brukligt för partiklar med massa. pc-ekvationen gäller väl sen bara för masslösa partiklar som fotoner? Varför gäller den plötsligt, som i Bohr-radiens fall, även för partiklar med massa? Nej, jag tror inte på Heisenbergs osäkerhetsrelation, tycker den är för bekväm. ===Fritänkande, analys av Heisenbergs osäkerhetsrelation=== Följande postulat <math>\Delta E_k \cdot \Delta t=h</math> kan eventuellt skrivas om som <math>dE_k \cdot dt=h</math> eller <math>d(\frac{mv^2}{2}) \cdot dt=h</math> vilket ger <math>mvdv \cdot dt=h</math> eller <math>p\frac{dx}{dt}\cdot dt=h</math> här ser man att eftersom dt är lika för själva observationen som för bestämmandet av hastigheten så får man <math>pdx=h</math> Här kan man dock fundera över vad dx verkligen är, dock har vi från energin hos en foton <math>E=pc=hf</math> vilket jag tror Einstein har bevisat iom den fotoelektriska effekten, denna sista ekvation skrivs dock mer allmänt som <math>p\lambda=h</math> Där vi har ett tydligt "sinusialt" lambda, dock tror jag mig kommit på att en elektrons bana kan skrivas <math>r=r_0e^{j(wt-kr\phi)}</math> där <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> dvs våglängden (lambda) blir till ett enda varv om vi skall kunna beskriva dess rörelse matematiskt, jag tror att det inte skiljer sig så mycket från en våg som breder ut sig i rummet, i båda fallen har dom en våglängd. Så ett varv för elektronen är en enda lambda och det är det som är osäkerheten modell <math>pdx=p\int_0^{2\pi}rd\phi=p 2\pi r=p\lambda</math> Så det verkar som så att lambda i fallet foton är "samma" som lambda vad gäller ett enda varv för elektronen, man tycks alltså ha en osäkerhet i rummet motsvarande en lambda. Dock är det osäkert varför man kan duplicera fotonens masslösa osäkerhet på partiklar med massa, fotonen har en klockren sinusial våglängd modell c/f men det har inte partiklar med massa. Jag har själv räknat ut det, ur vedertagen formel enligt ovan, men varför är impulsen gånger lambda just h för partiklar med massa också? Att den är det för masslösa partiklar som fotonen torde vara bevisat. Den cirkulära bana som elektronen beskriver enligt den klassiska fysiken måste inte vara sinusial men om den är det så passar Heisenbergs osäkerhetsrelation medels lambda från fotoelektriska effekten bättre. Eftersom detta är en svammelbok så fortsätter jag bara från ovan utan att rätta mig. Idag tror jag mig kommit på att våglängden för elektronbanan faktiskt måste vara sinusial enligt <math>r=r_B + A_re^{j(wt-kr_B\phi)}</math> ty banan har radien rB men elektronen måste ha en liten amplitud (A_r) för att det skall finnas nån våglängd överhuvudtaget! Det är liksom rörelsen runt kärnan som inte bara är cirkulär utan även sinusial. Här uppstår då frågan om hur många lambda ett varv verkligen utgörs av och varför det måste vara endast ett varv, för det kan ju lika gärna vara säg tre lambda per varv och när jag ovan räknat ut att radien då går som n^2 så motsvaras faktiskt hela n=3 av bara en magnitud till i radie. Så vad är det som säger att det bara är ett varv? Om man får tro Heisenberg så innebär visserligen ett helt varv som lambda minimal impuls och hastighet ty lambda är som störst då. Men varför maximera lambda på det här sättet? Det enda jag tror mig kommit på är att det är ovisst vad lambda innebär när det gäller partiklar med massa, för fotoner funkar det dock klockrent för dom har ju redan en lambda. Kul dock att jag tror mig kommit på att elektronbanan ingalunda bara är cirkulär utan även sinusialt cirkulär dvs elektronen "wobblar" medans den cirklar runt kärnan, amplituden vore dock spännande att veta. Om den inte wobblar faller Heisenberg. =Kapitel LVIII, Kärnans massa= [[File:Fusion Binding Energy.png|thumb|Bindningsenergin hos några kärnor]] Det har lite flummigt definierats en massenhet som kallas u som är lika med 1/12 gånger massan för den neutrala kolatomen (dvs inklusive alla sex massmässigt futtiga elektroner) Jag tycker dock att denna definition är fullständigt onödig och kommer framledes använda protonmassan istället, detta för att protonmassan kan anges som 1,007276u... Så varför inte köra protonmassan rakt av? Nu till nåt som i alla fall förvånar mig, den faktiska kärnans massa gånger c^2 är enligt Einstein energin hos kärnan men det som fascinerar är att om man ser till alla nukleoners massa gånger c^2 så är den ''större'', skillnaden kallas bindningsenergi. Tanken på bindningsenergi är naturligtvis inte så konstig för kärnan måste hållas ihop av nåt (speciellt för att protonerna ju har samma laddning) och man kanske kan se det som så att för att kärnan skall upplösas i dess beståndsdelar så krävs det att man tillför energi motsvarande bindningsenergin. Så det finns alltså en liten differens i massa (faktiskt) mellan vad beståndsdelarna (protoner och neutroner) väger och vad kärnan väger, jag finner detta en aning skumt men så är det (differensen i massa gånger c^2 är alltså bindningsenergin). Jag gör ett försök att teckna "energiekvationen" för en atomkärna: <math>m^k(A,Z)*c^2+E_b=[Z*m_p+N*m_n]*c^2...68.1</math> En mycket intressant ekvation ty kärnans massa är ''mindre'' än beståndsdelarna, Z är alltså antalet protoner och N är antalet neutroner. Vi gör lite numeriska beräkningar: <math>\rho_{Au}=19300kg/m^3, Z=79</math> <math>\rho_{Li}=530kg/m^3, Z=3</math> <math>\rho_{H^1}=90kg/m^3, Z=1</math> sen säger vi att <math>\rho*4*10^{-45}+m(Eb)=2Z*m_p</math> ungefär för neuronens massa skiljer bara två elektronmassor från protonens massa vilket är mindre än en promille, tittar vi på uträkningen får vi för Guld <math>7,7*10^{-41}+m(Eb)=2,6*10^{-25}</math> kvoten mellan masspartiklarna som kärnan fysiskt består av och kärnans faktiska massa är alltså hela <math>kvot=3,4*10^{15}</math> Kan ni fatta? Vi gör ett till test och testar för Lithium, en lätt metall: <math>2,1*10^{-42}+m(Eb)=1*10^{-26}</math> här är kvoten <math>kvot=4,8*10^{15}</math> vi tar ännu ett exempel och studerar en ren proton, detta ger <math>3,6*10^{-43}+m(Eb)=1,67*10^{-27}</math> dvs kvoten är <math>kvot=4,4*10^{15}</math> I alla tre fallen är alltså kvoten av storleksordningen Peta. Intressant är dessutom att det krävs bindningsenergi för att hålla ihop en ensam proton, jag ställer mig frågande till detta. Men om det stämer så tycker jag detta är helt otroligt! Att byggstenarna hos en kärna har så otroligt mycket större massa än vad kärnan verkligen väger förvånar mig nåt enormt. Man kan dock ifrågasätta detta men det torde lite vara bevisat iom nåt så hemskt som att atombomger fungerar. Man verkar alltså kunna summera med att <math>m(Eb)=partikelmassan</math> och detta med stor noggrannhet ty kvoten är löjligt hög och det här gör alltså att kärnan egentligen "bara" är ren energi. Slutligen tycker jag vi reder ut u-begreppet genom att säga: <math>\begin{bmatrix} Massenhet & Neutron & Proton & Elektron \\ u & 1,008665 & 1,007276 & 5,48597 \\ m_p & 1,001 & 1 & 0,00055 \\ m_e & 1838 & 1836 & 1 \\ \end{bmatrix}...68.2</math> Så Ni ser, att ha protonmassa som "u" är mycket smidigare samtidigt som jag egentligen gillar elektronen som "u" ännu bättre, man slipper ju då decimaler för alla nuffror blir liksom större än 1. Om man plottar bindningsenergin ''per nukleon'' dvs Eb/A så får man en rätt speciell graf, den går upp snabbt till c.a 9Mev, sen planar den ut och sjunker tom för högre masstal (A), den är f.ö inte helt linjär utan den gör skarpa hopp också, t.ex är Eb/A för <math>He^4</math> runt 7MeV samtidigt som den för nästa grundämne <math>Li^6</math> bara är 5,5Mev och för nästa grundämne igen <math>Be^8</math> så vänder det uppåt och blir till c.a 7MeV igen. Plottar man däremot Eb för hela kärnan och därmed alla nukleoner (A) så blir den grafen rätt fascinerande mycket nära en rät linje där jag precis räknat ut att man kan approximera den räta linjen med runt <math>Eb\approx -30+8,7A...[MeV]...68.3</math> där A är det så kallade masstalet (dvs samtliga nukleoner där nukleoner inbegriper både protoner och neutroner) samtidigt som denna formel bara gäller för A>5 och det approximativt, konstanten 8,7 är alltså lägre för A<5 men samtidigt högre för typiskt A>100. =Kapitel LIX, Kärnkrafter= [[File:Fusion Core Force.png|thumb|Kärnkrafter]] Coulombkrafterna eller dom elektrostatiska krafterna kan tecknas <math>F_c=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...69.1</math> vilket innebär <math>F_c\propto \frac{1}{r^2}...69.2</math> Dom gravitationella krafterna kan sedan tecknas <math>F_g=G\frac{Mm}{r^2}...69.3</math> där M är den stora massan (typ jorden) och m den lilla massan samt G gravitationskonstanten. Båda krafterna går som 1/r^2 vilket ger <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{GMm*4\pi \epsilon_0}{q^2}...69.4</math> Om vi nu jämför de gravitationella attraktionskrafterna mellan två neutroner och de elektrostatiska krafterna mellan två protoner (masskillnaden proton-neutron år i det närmaste försumbar dvs ynka 2me eller en promille) så får vi en proportion på c.a <math>\frac{F_g}{F_c}=\frac{-10-27-27+1-11}{-19-19}=10^{-36}...69.5</math> Enligt min litteratur ska det dock vara 10^-38 vilket ger ett par magnituder fel men det viktiga är att de gravitationella krafterna INTE har nåt att göra med varför kärnor håller ihop, en enkel tanke är att protoner ju har samma laddning (plus) och hur skall dom kunna samlas i en kärna? Stabiliteten hos en kärna förutsätter således en attraktionskraft mellan nukleonerna. Det existerar tydligen, då gravitationskrafterna uppenbarligen inte räcker till, speciella kärnkrafter med den egenskapen att kompensera Coulumbrepulsionen så att två eller flera protoner med lika laddning kan hållas ihop inom en kärna. Vi har varit inne på det tidigare men det tål att repeteras dvs ALLT består av vad man kan kalla kärnmateria och man kan räkna ut densiteten enligt <math>\rho\approx \frac{A*m_p}{\pi r^3}=\frac{A*m_p}{\pi r_0^3(A^{1/3})^3}\approx\frac{m_p}{r_0^3}...69.6</math> Sen vet vi ju att r_0 är lite drygt E-15 och protonens massa (m_p) är ungefär E-27, så ett estimat av densiteten hos ALL materia är ungefär <math>\frac{m_p}{r_0^3}=-27+(15*3)=E18/m^3...69.7</math> Betänk sen att vatten har densiteten E3/m^3... E18...:D En galen Japan (Yukawa) fick en ide' 1935 som 1947 bevisades och i grunden är denna teori lite flummig. Kärnfysiker använder gärna energibegrepp men jag tycker det blir lite luddigt i det här sammanhanget för vad är det vi diskuterar? Vi diskuterar inte energier, vi diskuterar ju mer krafter (jag tycker tom potentialer är lättare att få grepp om) dvs hur kan en kärna proppfull av plus-laddade partiklar hållas ihop, det är vad vi diskuterar. Man kan dock skriva de båda aktuella potentialerna i energiform typ E=qU och i fallet Yukawa är det inte elementarladdningen vi multiplicerar potentialen med för att få energin utan det något kufiska "f". <math>V_c=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r}...[eV]...69.8</math> "Yukawa-potentialen" är sedan <math>V_y=-f^2 e^{-\frac{r}{r_0}}\frac{1}{r}...[eV]...69.9</math> Jag tycker potential är lättare att begripa än energi, Vc till exempel klingar av som 1/r dvs ju längre bort man typ för en elektron från en kärna desto lägre potential får elektronen och den sjunkande potentialen är en indikation på hur stor kraft som en elektron dras mot kärnan. Yukawa-potentialen går dock exponentiellt och därmed snabbare mot noll än Coulomb så att "systemet" på lite större avstånd domineras av Vc dvs summan av Yukawa och Coulomb blir större än noll, vilket är att förvänta då vi ju har en kärna som är enbart positivt laddad och vi avlägsnar oss därifrån samtidigt som Yukawa är ENBART kärnkrafter. Här har man alltså försökt anpassa Yukawa-potentialen till den Coulombska potentialen så att det enda som egentligen skiljer är ett tecken. MEN det är inte så lite det för utan Yukawa-potentialen/kraften så skulle det inte finnas några atomkärnor/atomer för nånting MÅSTE hålla ihop kärnan med alla lik-laddade partiklar/nukleoner dvs alla protoner. Personligen tycker jag detta är lite av en fabrikation för vad vet man egentligen om detta? Det enda man egentligen vet är att atomerna finns OCH att dom troligtvis består av flertalet protoner MED samma (repulsiva) laddning. Så dom hålls ihop av nånting och vänder man på bladet får man reda på att det som håller ihop protonerna, typ, är nåt som så vackert kallas pi-mesoner med en massa runt 260me. Yukawa tänkte ut det här 1935, 1947 upptäcktes sedan den första pi-mesonen. Lite roligt är sedan hur min lärobok förklarar hur pi-mesoner funkar (eller snarare proton-proton sammanhållningen): Föreställ Er att Ni tittar på en tennismatch och att matchen går på nyspolad is, när då ena gubben får en boll (fråga mig inte hur) mot sig och sen slår på den bollen då glider hen ju baklänges, eller hur? På samma sätt blir det naturligtvis på andra sidan nätet. Säg sen att båda gubbarna får en hink med bollar och att dom, på nåt diffust sätt, föses intill varandra, om då gubbarna börjar plocka bollar från varandras hinkar då får man faktiskt fenomenet, om man tänker efter, att gubbarna får en kraft som drar dom ännu mer emot varandra. Tanken är skum men om man tänker efter är det inte så skumt för vad är det som händer? Jo, bollarna har MASSA så i princip är det som att dra i ett handtag fastsvetsat i en vägg (när man tar i bollarna) fast attraktionskraften är mycket mycket mindre MEN den finns där så det är liksom ett litet handtag du drar i när du plockar upp bollen (kallas också Newtons första lag, tror jag). Med risk för att kladda ner saker skulle jag nu vilja reda ut begreppen kraft, E-fält, potential och energi och jag gör det "Coulomskt" och via Maxwell's ekvationer: Kraften mellan två laddningar kommer ur <math>\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho dV...69.10</math> om vi nu ser på E som rundstrålande, rho som volymsladdningstätheten och att vi befinner oss i vakuum så fås <math>\epsilon_0 E 4\pi R^2=Q...69.11</math> ty vi har sfärisk yta och man kan se det som en sfärisk fält-intensitet som faktiskt kan inbegripa både ljudkällor, termiska källor som solen och isotropiska ljuskällor dvs <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.12</math> Nu är kraften F på en partikel med laddningen q (som jag dock inte vet hur jag skall bevisa) <math>F=qE=\frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.13</math> Vi har nu att stora Q är en mängd laddningar i en volym som vi har "summerat" upp så Q borde vara större än q men normalt skriver man den här ekvationen som <math>F=qE=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.14</math> Där det dock underförstås att man tar hänsyn till hur många elementarladdningar (q) man har, speciellt applicerbart om vi t.ex tänker oss en enkeljoniserad atom av Helium där då q=1 medans Q=2 ty vi har en elektron men två protoner. Då var kraftekvationen klar, E-fältet hade vi ju dock redan innan och jag repeterar <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...69.15</math> vilket alltså är ett q "mindre" relativt kraftekvationen (om man ser det från det hållet), potentialen fås sedan genom integration mot fältet och från oändligheten där (potentialen är noll) till R <math>U=-\int EdR=-\int_{-\infty}^R \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR...69.16</math> som blir <math>U=[\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}]_{-\infty}^R=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}...69.17</math> Denna ekvation är i eV redan, för att få Joule får man multiplicera med q (aka e) =Kapitel LX, pi-mesoner= [[File:Fusion Photon Energy.png|thumb|Bild på hur den masslösa fotonen är en vågrörelse som inte en partikel av massa är]] Yukawa förklarade existensen av kärnkrafter genom att införa en ny typ av elementarpartiklar med en massa mellan nukleonernas och elektronens samt med så kort livslängd <math>\Delta t</math> att det brott mot energiprincipen som partikelns massa innebär (energi=mc^2) ursäktas av den tolerans Heisenbergs osäkerhetsrelation medger dvs <math>\Delta E*\Delta t>\hbar...70.1</math> Personligen köper jag inte den här ekvationen för den är för bekväm och används typ jämt i gränslandet mellan verklighet och teori, vore intressant att veta hur man kom fram till den dock för jag hittar ingen logisk anledning och förklaring till varför det är på det här sättet saknas i ALL litteratur, allt som nämns är typ "de Broglie-våglängd" och "Heisenbergs osäkerhetsrelation" men ingen förklaring om varför och hur. Jag ska dock köra på med vad jag tror, Heisenbergs osäkerhetsrelation kan enligt litteraturen också skrivas <math>\Delta p * \Delta x =\hbar...70.2</math> eller <math>\Delta v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.3</math> Säg sedan att vi mäter partikeln vid en viss position, i exakt denna position kan vi inte veta hastigheten för det kräver en position till (och tiden där emellan) så vi har en osäkerhet i position när vi försöker mäta hastigheten, i detta fallet gissar jag att man kan skriva osäkerhetsrelationen som <math>v * \Delta x =\frac{\hbar}{m}...70.4</math> för v är bestämt (dock inte hur v har varierat mellan positionerna, men som ett medelvärde). Här är alltså osäkerheten avståndet mellan dom båda mätpunkterna (<math>\Delta x</math>) men hur vänsterledet kan ha uppfunnits till att vara begränsad till en konstant (i princip Planck's konstant delat med massan), det begriper inte jag. En annan insikt jag tror mig ha när det gäller osäkerhetsrelationen är att man kan eventuellt titta på hur en gitarrsträng svänger, den svänger som en stående våg och den längsta våglängden (dvs lägsta frekvensen) är 2L där L är längden på strängen. Min tanke här är att man inte riktigt kan veta vilket delelement av strängen som ger tonen, därför kan en elektron inte bestämmas vara på nån specifik plats på strängen för den är typ på hela strängen. Så om man har ett avstånd där man önskar beräkna elektronens position så befinner den sig över hela "lambda/2" dvs den buk som infinner sig för stående vågors lägsta frekvens där man bara har två noder dvs där strängen är fäst. Osäkerheten är alltså lambda/2 (eller helt enkelt avståndet). Sen påstår de Broglie att <math>p\lambda=h...70.5</math> som kan skrivas om enligt <math>v \lambda=\frac{h}{m}...70.6</math> Här har jag en fundering, om man t.ex tar toppen/mitten av en buk (dvs en stående våg som alltså INTE breder ut sig utan bara svänger) och tittar på hur amplituden (A) beter sig i rummet, då har man att den först går upp A sen går den ner 2A och så går den upp A igen dvs den genomlöper 4A per period. Detta gör den på tiden T. Så medelhastighet i y-led är 4A/T, detta kan man sätta in i ovanstående formel och få <math>\frac{4A}{T} \lambda=\frac{h}{m}...70.7</math> som också kan skrivas <math>4Af\lambda=\frac{h}{m}...70.8</math> eller <math>4Ac=\frac{h}{m}...70.9</math> eller <math>4A=\frac{h}{mc}...70.10</math> vilket ungefär ger <math>A\approx \frac{\hbar}{mc}...70.11</math> Ett mer politiskt korrekt sätt att visa det på är, säg att störningen kan skrivas <math>s(t)=Asin(wt)...70.12</math> (fas)hastigheten är då <math>v=\frac{ds}{dt}=wAcos(wt)...70.13</math> med maximal fashastighet får man <math>v\lambda=wA\lambda=2\pi f A\lambda=2\pi c A...70.14</math> sen är detta enligt sägnen alltså lika med h/m vilket ger <math>2\pi c A=\frac{h}{m}...70.15</math> eller <math>A=\frac{\hbar}{mc}...70.16</math> eftersom detta inte riktigt stämmer med de Broglie enligt ovan dvs <math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}...70.17</math> så tänker jag att kanske man kan se det som så att hastigheter när det gäller partiklar alltid är mindre än E8 så att <math>A>\frac{\hbar}{mc}...70.18</math> dvs v är alltid mindre än c och på nåt nästan barnsligt sätt skulle jag vilja teckna <math>\lambda_y>\frac{\hbar}{mc}...70.19</math> för det måste finnas nån slags vertikal mekanisk våglängd också som typ är beroende av hur hårt strängen spänns, lägstafrekvensen/tonen är ju densamma för strängen rör sig bara fortare med större amplitud men den mekaniska amplituden blir en slags våglängd, tycker jag. Idag har jag kommit på att jag faktiskt inte är helt ute och cyklar. Om vi tittar på de Broglie-våglängden fast uttryckt från impulsens håll (p) så kan man skriva den som <math>p=\frac{h}{\lambda}...70.20</math> och eftersom <math>\lambda=\frac{c}{f}...70.21</math> så har man att <math>p=\frac{hf}{c}...70.22</math> dvs <math>pc=hf...70.23</math> vilket är två olika sätt att teckna energin för en foton. Analogin med mitt tänkt får man sedan om man tänker <math>pc=mvc=hf...70.24</math> vilket gör att <math>v=\frac{hf}{mc}...70.25</math> och <math>v/f=\lambda=\frac{h}{mc}...70.26</math> där skillnaden gentemot min uträkning bara skiljer 2pi, det intressanta är dock att man just får pc=hf=E. Jag kan inte mycket om uttrycket pc men hf köper jag för det har Einstein bevisat gäller men jag köper det inte för att just han har bevisat det, jag köper det för hans teori om den fotoelektriska effekten låter rimlig. Fotoelektriska effekten är egentligen en rätt simpel teori att förstå, om man har en sluten krets med typ en rördiod och belyser katoden så krävs det att fotonens energi (hf) överstiger utträdningsarbetet (w) för en elektron i metallen för att det skall kunna flyta en ström, Einstein påstår sedan att all fotonenergi lämnas över till elektronen. Här är det emellertid lite tveksamt om man kan applicera hf på en elektron eller ens pc på en elektron ty båda uttrycken är liksom tillägnade fotonen. Kinetisk energi vet vi ju normalt annars kan skrivas som <math>E_k=\frac{mv^2}{2}...70.27</math> Jag förstår inte riktigt hur det här går ihop. pc och därmed "impulsenergi" måste jag forska mer i men jag köper rakt av att fotoner har energin hf och att detta kan mätas genom att nyttja en känd metalls utträdningsarbete (w) samt lägga på en microampere-meter där ström kommer börja flyta när fotonenergin (hf) överstiger utträdningsarbetet enligt <math>E_k=hf-w...70.28</math> Observera dock att här överlämnas energi från fotonen till elektronen som också kallas att fotonen växelverkar med elektronen. Nu har emellertid elektronen fått fotonens energi så visst, man borde kunna säga att i detta specifika fall så har i princip elektronen energin hf. Jag tvivlar dock på att man alltid kan säga att elektronen har energin hf. Jag köper att en fotons energi är hf. Jag är dock tveksam till om energin också kan skrivas pc men jag är bara tveksam till det pga att jag inte förstår rörelsemängd eller impuls (p), man kan dock se pc för en foton som ju är masslös och bara kan färdas med ljusets hastighet som att det egentligen står pc=mc^2 där, trots att den inte har nån massa, man kan beräkna en ekvivalent massa enligt E/c^2 dvs hf/c^2, antar jag. Men i praktiken finns ju inget m hos fotonen men däremot har den impuls (p) och kraft kan man skriva som <math>F=\frac{dp}{dt}...70.29</math> dvs impulsens förändring i tid. Denna impuls kan man faktiskt bevisa genom att nyttja en evakuerad glaskropp med metall-vingar där vingarna på ena sidan är svarta medans vingarna på andra sidan är blanka. Nu har jag en amatörmässig spekulation när man belyser detta objekt (vad det nu heter): 1) Lyser man på det hållet där vingarna är svarta så blir impulsen p ty svart absorberar 2) Lyser man på det hållet där vingarna är blanka så blir impulsen 2p ty blankt reflekterar Därför snurras det med svart före. Jag vete fasen om jag har rätt i detta men i det svarta fallet så stoppas ju bara fotonen upp dvs all sin impuls ger den till den svarta vingen, i det blanka fallet vet vi ju att likt vi sparkar en boll mot en vägg så blir hastigheten emot en lika stor som infallshastigheten vilket ju innebär, pga att hastighet är en vektor, att förändringen i hastighet är 2v och då är det bara att hänga på massan (m) och man har således dubbla impulsen när vingen är blank, gissar jag. Så fotoner har impuls (p) för att dom uppenbarligen kan utöva en kraft i samband med reflektion mot ytor (tror f.ö det finns rätt flummiga planer på rymdraketer nyttjandes fotoners impuls) Jag köper att fotoner har impuls (p). Eftersom fotoner är masslösa samtidigt som dom flyger fram med c så kan man inte direkt teckna p=mc, visst rent formellt kan man räkna ut en massa från hf/c^2 och då skulle p bli hf/c men här är vi tillbaka i pc=hf och det stämmer ju faktiskt enligt vedertagna principer. Jag brukar dock se det som så att jag blundar för fotonens "massa" och bara tänker att den färdas med c så att impulsen blir p (och inte mc, ty den har ju ingen verklig massa, det är onekligen lite filosofiskt det här :) ). Det är dock enkelt att hänga på ett c till när man ser det fiktiva uttrycket mc så att man får mc^2 dvs energin fast för att dölja m=0 så verkar det som om man skriver pc istället. Jag har svårt för att fatta pc (gäller verkliga livet också dvs PC=Personal Computer :) ) Fast nu kommer jag på att pc faktiskt åtminstone kan vara generellt gällandes för partiklar, detta säger jag inte för att min kurslitteratur säger det utan jag säger det för att jag börjar tro det. För vad är p för allt utom fotoner? Jo, det är mv. Men att energin skulle motsvara pc, eller tydligare när det gäller godtyckliga partiklar, mvc tål att sovas på :) En annan sak som tål att sovas på är de Broglies våglängd och Heisenbergs osäkerhetsrelation. Jag har varit mycket skeptisk till detta men idag kom jag på nåt som gör att de Broglie verkar rimligt, såhär går beviset: <math>\Delta v* \Delta x > h/m...70.30</math> där förändringen i hastighet aldrig är samtidig med förändringen i läge, man växlar bara likt partiell derivata, detta kan man alltså skriva om enligt <math>v*\Delta x > h/m...70.31</math> där vi bara är intresserade av förändringen i läge (hastigheten kräver ju två lägen för att kunna bestämmas), delar vi detta med observationstiden så får vi <math>\frac{v \Delta x}{\Delta t}=\frac{h}{m\Delta t}...70.32</math> som är lika med <math>v^2 > \frac{h}{m\Delta t}...70.33</math> och pga Einstein kan man skriva <math>m=\frac{E}{c^2}=\frac{hf}{c^2}...70.34</math> dvs ekvationen blir <math>v^2\ > \frac{hc^2}{hf\Delta t}=\frac{c^2}{\Delta t f}...70.35</math> där det är rätt tydligt att <math>\Delta t f...70.36</math> måste vara större än 1 (annars blir ju hastigheten större än c), således tycks <math>\Delta t > \frac{1}{f}...70.37</math> gälla, inom elektrotekniken kallar man <math>\frac{1}{f}...70.38</math> för periodtiden T men sånt fattar inte fysiker fast vi fattar sånt för vad är det som händer här? Jo det som händer är att vi har räknat ut att observationstiden måste vara längre än periodtiden, huge surprise för annars kan vi ju inte frekvensbestämma signalen! Så för att kunna mäta en signal måste man helt enkelt observera signalen under minst en klockperiod (T), det går alltså inte att frekvensbestämma/mäta signalen annars. Jag har utgått från de Broglie vars teorier jag inte riktigt köpte men har landat i att hans teorier tycks stämma. Jag tycker inte det är nåt snack om Einsteins teorier vad beträffar fotoelektriska effekten för den är enkelt empiriskt bevisbar så totalt efter att ha försökt kritisera dessa kloka människor så ger jag mig, Heisenberg, de Broglie och Einstein har rätt. Nu återstår nya studier i form av vågor som min kurslitteratur har hittat på, beskrivning av vågor med komlexa tal typ <math>e^{j\alpha}...70.39</math> gör livet fascinerande enkelt, undrar om elementarpartiklarna beter sig lika enkelt? Efter denna långa elaborering som inte blev att handla om pi-mesoner kan vi repetera <math>\Delta E *\Delta t >\hbar...70.40</math> Under tiden <math>\Delta t</math> är massan enligt Einstein <math>m=\frac{\Delta E}{c^2}=\frac{\hbar}{\Delta t c^2}...70.41</math> tillåten, flummar min kurslitteratur med. Attraktionen mellan nukleoner köper jag skulle kunna vara en följd av utbyte av så kallade pi-mesoner, gravitationella krafter mellan protoner funkar ju liksom inte och elektrostatiska (Coulombska) krafter funkar naturligtvis inte heller för dom är repulsiva för lika laddning. Den till pi-mesonen hörande kraftfältet måste således under livstiden <math>\Delta t</math> kunna spänna över typiska nukleon-nukleon avstånd, säg R. Med <math>R=\Delta t c...70.42</math> som är lika med kraftfältets största tänkbara utbredning på tiden <math>\Delta t</math> eller <math>\Delta t=R/c...70.43</math> insatt i uttrycket ovan får vi <math>m\approx \frac{\hbar}{\frac{R}{c}*c^2}=\frac{\hbar}{Rc}=260m_e...70.44</math> Yukawas utbyteskrafter och utbytespartiklar infördes av honom på rent teoretiska grunder 1935. 1947 upptäcktes den första pi-mesonen med en massa av den föreslagna storleksordningen! Tre olika pi-mesoner är inblandade i de tre slagen av växelverkan, jag nämner inte dom för det är akademiskt. =Kapitel LXI, valda delar ur speciella relativitetsteorin (SR)= [[File:Fusion Point Movement With Time.png|thumb|Visar hur en punkt flyttar sig en sträcka med ljusets hastighet]] Jag börjar med att säga att begreppet "speciella" tycks mena att i denna teori avser man likformig rörelse dvs inga accellerationer förekommer. Jag tar upp det här för jag är intresserad av varifrån den relativistiska formeln för massa egentligen kommer, denna formel är <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.1</math> För det första ska det sägas att om man läser mellan raderna hos min kurslitteratur så är denna formel faktiskt tagen ur luften, den är gjord det för att fysikerna hellre ville att impulslagen skulle vara invariant (typ oberoende av hastighet/tid), så istället för att impulserna skulle dras med SR-faktorn dvs <math>\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.2</math> så lät dom massan dras med SR-faktorn istället. Man kan nämligen visa att om man har två koordinatsystem (s respektive s') med vertikala rörelser hos t.ex två pistolkulor som träffar varandra så blir det en ändring av impuls i det ena koordinatsystemet (s) och denna ändring är legendariskt 2p eller 2mu (där jag köper hastighetsbenämningen för vertikal rörelse), i s' är dock impulsändringen <math>\Delta p=2mv\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.3</math> och det är detta jag inte begriper. Samtidigt begriper jag att när man nu velat behålla impulslagen (utan SR-konstigheter) så måste man göra om massan enligt inledningen så då har man alltså offrat massans invarians för impulsens invarians och ovanstående uttryck blir utan SR-faktorn. Fast detta är väl knappast samma som att säga att massan är relativ, det är ju bara en teoretisk konsekvens. Eftersom jag är intresserad av vart sjuttsingen den relativa massan kommer ifrån måste vi titta på Lorenz-transformationen och vi börjar från början: Säg att vi har två koordinatsystem (ks) där ljusets hastighet (c) är maximal hastighet och ljuset utbreder sig isotropiskt i båda ks, då får vi att radien i respektive ks kan skrivas: <math>x^2+y^2+z^2=(ct)^2...71.4</math> respektive <math>x^{\prime^2}+y^{\prime^2}+z^{\prime^2}=(ct^{\prime})^2...71.5</math> då har vi två olika ks med två olika radier ct respektive ct' som liksom breder ut sig sfäriskt, jag fattar inte riktigt det här men på nåt sätt försöker man (linjärt) mappa dessa ks och när man gör det får man <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)...71.6</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.7</math> Här mappas sedan de olika ks ihop genom att skriva (not. kan man alltid skarva funktioner som är noll?) <math>x^2-c^2t^2=x^{\prime^2}-c^2t^{\prime^2}...71.8</math> där y och z inte ingår ty vi avser bara räkna på en dimension åt gången Nu blir det en massa jobbig algebra där jag fått lära mig nåt jag inte förstår men som är viktig för att få löst detta dvs att p=r, tar det dock i steg <math>x^2-c^2t^2=p^2(x-vt)^2-c^2(qx+rt)^2...71.9</math> detta kan utvecklas som <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2-2vxt+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+2qxrt+r^2t^2)...71.10</math> Här är det ytterst tveksamt varför två mellantermer går bort för det kan dom bara göra om qr=vt, eller om nån parameter är noll vilket dom uppenbarligen inte är, så varför går mellantermerna bort? Identifierar man övriga koefficienter så får man <math>x^2-c^2t^2=p^2(x^2+v^2t^2)-c^2(q^2x^2+r^2t^2)...71.11</math> dvs framför x^2 <math>1=p^2-c^2q^2...71.12</math> respektive framför t^2 <math>c^2=c^2r^2-p^2v^2...71.13</math> ur första ekvationen får vi att <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.14</math> ur andra ekvationen får vi <math>p^2=\frac{c^2(r^2-1)}{v^2}...71.15</math> här substitueras konstigt nog r mot p (jag fattar nu kanske detta) varvid man får <math>p^2=\frac{c^2(p^2-1)}{v^2}...71.16</math> eventuellt kan denna substitution bero på att <math>\frac{\Delta t}{t}=\frac{\Delta x}{x}</math> detta kan också skrivas <math>\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{x}{t}}=\frac{c}{c}=1</math> ty gemensamt för de båda ks är ljushastigheten som ju är konstant dvs den relativa förändringen i position i det ena ks kräver samma relativa förändring i tid i andra ks för utan tid kan ingen förändring ske, att x/t=c får man om man tittar på definitionsfunktionen för en dimension där man ser att x följer ct, ovanstående ger sen med lite mellanspel <math>p^2v^2=c^2(p^2-1)...71.17</math> eller <math>c^2=p^2(c^2-v^2)...71.18</math> eller <math>\frac{c^2}{(c^2-v^2)}=p^2...71.19</math> dvs <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.20</math> där jag kallat nämnaren för SR-faktorn i kvadrat. Idag kom jag på nåt som eventuellt kan förklara varför p=r, om vi skriver om ovanstående formel enligt <math>x^\prime=px+st=p(x-vt)=px+(-v)pt...71.21</math> och återigen betraktar <math>t^\prime=qx+rt...71.22</math> samt eventuellt inser att tiden i sig är invariant dvs om tiden förändras i ena ks så förändras den i andra, här gissar jag vilt men min gissning ger att p=r och då går det att räkna på saken. Om vi sen tar uttrycket för p^2 och stoppar in i uttrycket för q^2 och jag repeterar <math>q^2=\frac{p^2-1}{c^2}...71.23</math> där alltså <math>p^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.24</math> så får vi att <math>q^2=\frac{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}-1}{c^2}...71.25</math> dvs <math>q^2=\frac{1}{c^2-v^2}-\frac{1}{c^2}...71.26</math> eller <math>q^2=\frac{c^2-(c^2-v^2)}{c^2(c^2-v^2)}...71.27</math> eller <math>q^2=\frac{v^2}{c^2(c^2-v^2)}...71.28</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2}{c^2-v^2}...71.29</math> eller <math>q^2=\frac{1}{c^2}\frac{v^2/c^2}{1-v^2/c^2}...71.30</math> dvs <math>q^2=\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.31</math> Nu kan vi således teckna transformen och jag repeterar att vi hade <math>x^\prime=p(x-vt)...71.32</math> respektive <math>t^\prime=qx+rt...71.33</math> insättning av p ooch q ger <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.34</math> respektive <math>t^\prime=\sqrt{\frac{v^2}{c^4}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}x+\frac{1}{{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}t...71.35</math> eller <math>t^\prime=\frac{v}{c^2}\frac{x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.36</math> som kan skrivas om enligt <math>t^\prime=\frac{t+vx/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.37</math> Enligt min litteratur är tom det här riktigt (möjligtvis förutom ett tecken). Nu ska vi ta och titta på nåt jag räknat kors och tvärs på men som jag inte får nån ordning på dvs hastighetstransformationerna. Här kastar jobbigt nog min kurslitteratur om benämningarna vilket är typiskt lektorerer som alltid måste stila och hitta på sina egan jävla beteckningar för emedan vi hitintills räknat med att ks' rör sig så rör sig nu plötsligt ks istället OCH hastigheten blir negativ, varför i sjuttsingen komplicera saker på det sättet när man försöker LÄRA UT saker, jag fullkomligt hatar sånt, bara nån slags stilande, jag blir så irriterad på kurser som alltid envisas med egna beteckningar, vad är det för fel på standard, då kan man satsa på lärandet där det behövs. Jag kommer skita i detta och låtsas som om jag bara får fel på ett tecken :) I x-led har vi alltså <math>x^\prime=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.38</math> sett ur det primmade systemet, sett ur det oprimmade systemet sägs det istället bli <math>x=\frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.39</math> differentialen blir då <math>dx=\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.40</math> Men om vi nu deriverar med avseende på tid blir det knas i min värld, det enklaste resultatet är nedan <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.41</math> men så kan det inte bli för vad som händer är egentligen att en produkt deriveras modell <math>\frac{d}{dt}(f(t)*g(t))=f^\prime(t)g(t)+f(t)g^\prime(t)...71.42</math> där i det här fallet <math>f(t)=dx^\prime+vdt^\prime...71.43</math> och <math>g(t)=(1-\frac{v^2}{c^2})^{-\frac{1}{2}}...71.44</math> och deriverar man på detta sätt får man <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{dx^\prime+vdt^\prime}{1-\frac{v^2}{c^2}}(-1/2)(-2vdv)...71.45</math> där jag tycker differentialerna borde vara noll per definition så att deriveringen återigen blir <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.46</math> MEN det blir det inte, resultatet sägs bli <math>\frac{dx}{dt}=\frac{\frac{dx^\prime}{dt^\prime}+v}{1+\frac{v}{c^2}\frac{dx^\prime}{dt^\prime}}...71.47</math> eller <math>u_x=\frac{u^\prime_x+v}{1+\frac{v}{c^2}u^\prime_x}...71.48</math> och jag fattar ingenting :D Jag avslutar med några formler som jag även försöker bevisa, antag att en måttstav ligger stilla längs x'-axeln i s' och uppmättes ha längden Lo av en person i s' dvs av en person som är stilla relativt måttstaven. Längden fås som skillnaden i x'-värdena dvs Lo=x2'-x1'. En person i s ser staven röra sig i positiva x-axelns riktning och mäter stavens längd L genom att SAMTIDIGT mäta ändpunkternas x-koordinater (märk att mätningarna är samtidiga endast i s dvs t1=t2 men t1' är inte lika med t2') enligt Lorenztransformationen ovan får man således <math>SR=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.49</math> och därmed <math>L_0=x_2^\prime-x_1^\prime=\frac{x_2-vt_2}{SR}-\frac{x_1-vt_1}{SR}=\frac{x_2-x_1}{SR}=\frac{L}{SR}...71.50</math> dvs <math>L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}...71.51</math> som kallas för längdkontraktionen, sen har vi En klocka står stilla relativt s' och registrerar två händelser vid tiderna t1' och t2' på samma ställe (enligt s') säg vid xo'. Tidsintervallet To=t2'-t1' är således mätt av en person som står stilla relativt den punkt där händelserna inträffar. Enligt s är tidsintervallet mellan dessa två händelser <math>T=t_2-t_1=\frac{t_2^\prime+vx_2^\prime/c^2}{SR}-\frac{t_1^\prime+vx_1^\prime/c^2}{SR}=\frac{t_2^\prime-t_1^\prime}{SR}=\frac{T_0}{SR}...71.52</math> dvs <math>T=\frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.53</math> som kallas för tidsdilationen, slutligen har vi <math>V=V_0\sqrt{1-\frac{V_0^2}{c^2}}...71.54</math> som jag lite hittat på och som jag kallar hastighetskontraktionen dvs att V är den riktiga hastigheten korrigerad med hjälp av SR-faktorn men den stämmer och underlättar kalkyleringar av verkliga hastigheter, bara att trycka in Vo om man har nåt i närheten av c, sen får man man V som den verkliga hastigheten, observera att om man räknar ut V på detta sätt så får aldrig Vo>c dvs endast situationer där man får Vo<c (och i detta fallet, nära c) så kan man nyttja "kontraktionsformeln", observera sen att även om V=dx/dt=L/t så stämmer det inte att nyttja ovanstående formler på det sättet, lustigt nog. Slutligen vill jag visualisera en formel som jag inte hittar härledningen av nånstans dvs varken i min kurslitteratur eller i Wikipedia eller på nätet överhuvudtaget, denna formel beskriver den relativistiska energin enligt <math>E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2[=mc^2]...71.55</math> jag hittar alltså ingen härledning av den här formeln men jag bifogar en visualisering som kanske kan bidra till viss förståelse, speciellt är ju pc och moc^2 katetrar i en triangel och om man krämar på med pc så tappar moc^2 alltmer betydelse och energin går mot pc för höga hastigheter v (då ju pc=mvc). Den kinetiska energin sägs sedan vara <math>E_k=E^2-m_0c^2=mc^2-m_0c^2[=(pc)^2+(m_0c^2)^2-m_0c^2]...71.56</math> där m alltså sägs vara <math>m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}...71.57</math> vilket jag dock fått lära mig är taget ur "luften" för fysikerna ville alltså rädda impulsens invarians så dom gjorde så att massan blev invariant istället vilket ju knappast är samma som att säga att massan verkligen är relativ, hallå eller :) ==Fritänkande, impulsens invarians== Jag fattar inte mycket av ovanstående SR som mest är avskrivit från min lärobok i Fysik II för typ fem år sedan.. Fast idag tror jag mig kommit en liten bit i förståelsen då jag även tidigare hänvisat till att allt grundar sig på den fotoelektriska effekten som Einstein kom på och, som det verkar, Heisenberg har "förtydligat". Om man bara tecknar den bevisade fotoelektriska effekten så kan man teckna den som <math>E=hf</math> Detta har alltså Einstein bevisat och därmed kan man nog se det som obestridligt men detta får enorma kosekvenser ty man kan differentiera ekvationen och får då <math>d(E)=hdf</math> eller <math>d(pc)=hdf</math> ty vi snackar foton här, eller <math>cdp+pdc=hdf</math> nu finns dock ingen variation i c så vi får <math>cdp=hdf</math> eller <math>c\frac{dp}{df}=h</math> men <math>df=\frac{1}{dt}</math> dvs <math>cdp*dt=h</math> och <math>c=\frac{dx}{dt}</math> även i fallet ljusets hastighet, så kvar blir <math>dp*dx=h</math> Nu till vad jag tror mig kommit på, visualisera den Bohrska elektronbanan, den har bara en enda längd på omloppsbanan (vi kan kalla den lambda) och om du försöker detektera elektronen så kan du aldrig på förhand veta vart den är, det enda man kan veta är att den återkommer inom periodtiden för omloppet eller inom lambda som vi kan tolka som dx. Så osäkerheten blir omloppssträckan dvs lambda. Det samma gäller om vi tittar på en fonton med "riktig" lambda för vi kan fortfarande inte veta vart den befinner sig inom lambda MEN vi vet att den befinner sig där nånstans, så osäkerheten blir även där lambda. Eftersom lambda är en konstant samtidigt som h är en konstant så MÅSTE dp vara en konstant dvs rörelsemängden, eller impulsen, är mycket riktigt invariant. Vilket får nästan komiska följder vad gäller SR för om p är konstant så är mv konstant. Men eftersom vi vet att till exempel hastighet är relativ och alltså sjunker netto med höga hastigheter, så MÅSTE massan öka med högra hastigheter! Allt för att impulsen är invariant. Det är ju heltsjukt :) ==Fritänkande, impulsens invarians del II== Egentligen tror jag att den fotoelektriska effekten skall skrivas <math>hf-W_u-\frac{m_ev^2}{2}+qU=0</math> där Wu är det kända utträdesarbetet ur metallen som man kompenserar bort med en accelerationsspänning, U, allt summeras således till <math>\frac{m_ev^2}{2}=hf</math> där elektronen får hela fotonens energi, differentierar vi denna ekvation får vi <math>pdv=hdf</math> Som kan skrivas om som <math>p \frac{dx}{dt} \cdot d(1/f)=h</math> och alltså <math>pdx=h</math> eller <math>p\lambda=h</math> om man t.ex tittar på elektronbanan hos en väte-atom där <math>\lambda = 2\pi r</math> Eftersom lambda är konstant och h är konstant så måste p vara konstant eller invariant som fysikerna säger, vi kan dock också titta på nåt kul med min felskrivning i ovanståendce fritänkande nämligen <math>pc=hf</math> Nu tittar vi alltså på en foton istället för en partikel med massa och differentierar vi denna så får vi återigen att <math>pdc+cdp=hdf</math> där differentialen hos c ju är noll ty invariant, dvs ekvationen reduceras till <math>cdp=hdf</math> där p dock är <math>m_{ekv}c</math> i det här fallet för även om fotonen är masslös så har den ekvivalent massa och energi från sin frekvens (hf) enligt <math>pc=m_{ekv}c*c=m_{ekv}c^2</math> enligt klassisk Einsteinsk princip, detta gör att vi kanske kan differentiera p ändå enligt <math>c(m_{ekv}*dc+cdm_{ekv})=hdf</math> där dc återigen går bort men vi får <math>c^2dm_{ekv}\cdot dt=h</math> men här står det ju <math>dE\cdot dt=h</math> vilket är den klassiska formeln för osäkerheten i energi vad gäller tid, jag har dock i det här fallet nyttjat att dp ingalunda är noll dvs p är inte invariant här. Lite skumt för i första fallet är verkligen p invariant men här är den det inte, dock känner jag man inte kan applicera hf på en foton utan vidare utan hf måste appliceras på en partikel med massa som den fotoelektriska effekten går ut på dvs all fotonenergi överlämnas till elektronen, tror att fysikerna kallar detta för foton-elektron växelverkan. =Kapitel LXII, Fusion= [[File:Fusion Process.png|thumb|Visar hur elementär fusion går till]] Bindningsenerin per nukleon visade på en tänkbar möjlighet att utvinna kärnernergi dvs om vi lyckas slå ihop vätekärnor (enklast i teorin är deuteriumkärnor) till en alfa-partikel modell <math>H_1^1+n_0^1->H_1^2...72.1</math> och två gånger denna process så får man <math>He_2^4...72.2</math> Så påstår min kurslitteratur att i runda tal 28MeV skulle frigöras. I min litteratur läser jag om praktiska svårigheter och dom påstår bl.a att det finns en potentialkulle på runt 1 MeV som alltså finns mellan den yttre repulsiva delen och den attraktiva inre delen som måste övervinnas för att två protoner (eller två deuteriumkärnor) skall kunna bindas till varandra. Såhär står det alltså i min litteratur men nu tänker jag fritt, den yttre delen bör vara attraktiv pga elektron/kärna där vi har negativt laddade elektroner och en positivt laddad kärna dvs de Coulombska krafterna regerar, den inre delen handlar om Yukawa-krafter dvs attraktiva krafter som håller ihop kärnan modell pi-mesoner, detta stämmer inte med min litteratur. Idag försöker man termiskt övervinna denna potentialkulle, räknar man då på vilken temperatur som krävs så är det minst sagt intressant: Om vi först nyttjar det fundamentala i Maxwells fördelningsfunktion så har vi att <math>n_i\propto e^{-\frac{E_i}{kT}}...72.3</math> där ni är jontätheten och om vi sätter Ei=1MeV (om nu det är sant) och Ei/kT=1 för att få en rimlig sannolikhet för 1/e är en klassisk nivå så får vi <math>T=\frac{E_i}{k}\approx \frac{+6-19}{-23}=+10=10^{10}K...72.4</math> Inte helt lätt att fixa Jag tycker vi borde titta lite närmare på den Maxwellska fördelningsfunktionen, lite lustigt är den fördelad kring den (vektoriella) hastigheten noll, det är den första observationen. Den andra observationen är att sannolikheten för att hitta en partikel med hastigheten (+/-) oändligheten är noll. Alla partiklar finns således inom +/- oändligheten i hastighet, bara detta är rätt intressant. Integrerar man upp den Maxwellska fördelningsfunktionen så får man den totala partikeltätheten (eller sannolikheten 1 om man hellre vill det, vilket samtidigt är lite intressant för man säger då att partiklarna befinner sig inom oändlighetsgränserna, naturligtvis). Ska man vara rättvis skall formeln ovan egentligen skrivas: <math>n(v)=n_0e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.5</math> Och tittar man nu på den här fördelningsekvationen så ser man att om hastigheten går mot oändligheten så är antalet partiklar som har hastigheten oändligheten noll stycken, om hastigheten är noll så är antalet partiklar lika med alla partiklar som vi sprutat in Tokamaken. Pga fördelningsfunktionen har vi således att det finns partiklar som har hastighet MELLAN noll och oändligheten OAVSETT temperatur och eftersom hastighet i kvadrat motsvarar temperatur så finns det partiklar som har en temperatur nära dom 10^10K litteraturen påstår och även om det är VÄLDIGT få partiklar som har tillräckligt temperatur så räcker det faktiskt att endast två har det för när deras fusion startar så frigörs i runda tal 28MeV och detta innebär en temperatur på runt 10^11K enligt <math>E_{eV}=kT/q=28MeV=>T=10^{11}K...72.6</math> vilket tom är mer än vad min pessimistiska litteratur hävdar. Jag vill således hävda att för att en fusionsreaktion skall kunna starta så räcker det med att ett enda par protoner fusionerar och detta betyder att man kan ligga MYCKET långt ifrån Ek=kT, gäller mest att ha en MASSA partiklar. n_0 ovan är för övrigt inte riktigt den usprungliga partikeltätheten för den räknar man ut genom att <math>\int_\infty^\infty Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}}dv==1...72.7</math> dvs sannolikheten att partikeln finns inom hastighetsgränserna +/- oändligheten är 100%. Integralen <math>\int e^{-x^2}dx...72.8</math> kan lösas genom ansatsen <math>I^2=\int e^{x^2}*\int e^{y^2}=\int e^{x^2+y^2}=\int e^{r^2}...72.9</math> nu går vi över till polära koordinater och får <math>I^2=\int \int e^{-r^2}r dr d\phi...72.10</math> dvs <math>I^2=-\frac{1}{2}\int \int e^{-r^2}2r dr d\phi=-\pi [e^{-r^2}]_0^\infty...72.11</math> och således <math>I^2=-\pi [e^{-\infty}-e^{0}]=\pi...72.12</math> alltså <math>I=\sqrt{\pi}</math> Om vi repeterar ovanstående ekvation enligt <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{-\frac{mv^2/2}{kT}} dv==1...72.13</math> så kan man skriva den på formen <math>\int_{-\infty}^{\infty} Ae^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2}dv==1...72.14</math> nu kan vi göra variabelbytet <math>\int_{-\infty}^{\infty} A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2} e^{(v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2})^2} d[v(\frac{m}{2kT})^\frac{1}{2}]==1...72.15</math> Då fås alltså att <math>A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}I=A(\frac{2kT}{m})^\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=1...72.16</math> fast i praktiken är det inte lika med ett utan partikeltätheten som jag dock tycker är lite skumt för enheten passar inte, jag skulle hellre vilja säga att ettan byts mot det faktiska antalet partiklar (N) som samtidigt ger A <math>A=N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}...72.17</math> Fördelningsfunktionen blir således <math>N(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{1}{2}*e^{-\frac{mv^2/2}{kT}}...72.18</math> Här är det dock lite konstigt för i princip säger fördelningsfunktionen att vi har 100% sannolikhet för att det finns partiklar med hastigheten noll men hur hastigheten kan vara noll för en partikel i till exempel ett plasma på säg miljoner grader, det förstår inte jag, att däremot mängden partiklar som har en högre kinetisk energi jämfört med kT blir allt lägre ju större kvoten mellan kinetisk energi och kT blir känns rimligt. Ett bättre sätt att se det är nämligen att nyttja den Maxwellska fördelningsfunktionen fullt ut och titta på hastigheten hos partiklarna, OMM hastigheten är mycket hög relativt kT så är antalet partiklar som har den hastigheten väldigt låg. I en gas finns alltså partiklar som har högre termisk hastighet än "kT" men antalet blir snabbt väldigt liten ty funktionen är exponentiell och om man t.ex tar att man har Ek=10kT så blir partikelkvoten 4,5E-5 dvs om vi har 4,5E5 partiklar så finns bara en enda partikel kvar som har energin 10kT. Så tolkar jag det i alla fall. Samtidigt förstår jag inte vad som händer vid v=0, när vi integrerar upp fördelningsfunktionen så får vi egentligen att det blir till en sannolikhet modell att integralen blir ett för att alla partiklar finns inom Gaussklockan dvs inom +/-oändligheten i hastighet vilket ju låter rimligt och nivån motsvarande Ek=kT motsvarar 1/e dvs motsvarande 37% av alla partiklar (eller sannolikhet) som finns i systemet låter också rimligt dvs ju högre kvoten Ek/kT är desto färre partiklar finns det med den hastigheten/energin. Men vad händer vid noll? Jag fattar inte det. Att det finns färre och färre partiklar när Ek successivt överstiger kT låter mycket rimligt, det är tom rimligt att man beräknar mängden av dessa partiklar genom att multiplicera fördelningsfunktionen med partikelantalet MEN då stämmer det inte när det gäller v=0 för det innebär att 100% av partiklarna står still (eller att det är en 100-procentig sannolikhet för att det finns partiklar som står still, men denna nivå funkar ju klockrent annars dvs om Ek~kT så varför funkar den inte för v=0?), det köper inte jag. Visst finns det en sannolikhet för att partiklar kan ha hastigheten noll även vid hög temperatur MEN jag anser inte det är sannolikt ty värme definieras mha partiklars rörelse/vibration dvs finns det temperatur så finns det rörelse (och tvärt om). Den här biten av fördelningsfunktionen är minst sagt diffus. Ett tag trodde jag att litteraturen hade fel och tänkte mig en fördelningsfunktion som såg ut såhär <math>n(v)=n_0e^{-\frac{\frac{m}{2}(v-v_0)^2}{kT}}...72.19</math> där fokus ligger på avvikelse från v=v_0 och inte på v=0, för om fokus ligger på v_0 så finns alltid en energi eller hastighet skild från 0 dvs det triviala fallet där v=v_0 kommer fortfarande inträffa MEN det är vid en hastighet som inte är noll och då blir det rimligare att säga att partikelantalet vid v=0 blir en funktion av Ek(v_0)/kT, dvs inte 100%, jag fattar inte riktigt vad jag svamlar om men fördelningsfunktionen kring noll lämnar mer att förstå. Hans Bethe har sedan föreslagit en process som tänks ske i stjärnor modell vår sol och har fått hans namn dvs Bethe-processen där utgångspunkten är sex stycken protoner, nästa steg är sedan att två protoner har fusionerat till var sin deuterium-atom och med hjälp av den "tredje" protonen får man Helium-3 och eftersom man nu har två Helium-3 så fusioneras dom och man får Helium-4 plus två protoner. Denna process är inte trivial, man får också ett gäng positroner och neutrinos så jag ska försöka få med det också genom att skriva <math>2X: H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1...72.20</math> där <math>\beta^+</math> kallas positron och är elektronens anti-partikel och v kallas neutrino som har med spinnkonservering att göra. Här nyttjar man en neutron för att skapa Deuterium, jag envisas med att säga att en neutron består av en proton plus en elektron, detta stämmer inte exakt när det gäller massan för massan för en neutron är två elektronmassor större än för en proton MEN kanske en av massorna nyttjas som bindningsenergi vilket ju är samma sak som massa enligt Einstein. Så amatörteoretiskt krävs en elektron också för att protonen skall bli till en neutron OCH att partikeln sen skall bli till Deuterium. Vi räknar lite på Q1, jag har ett trick som jag inte riktigt vet funkar men jag har ingen u-tabell i min Physics handbook så jag kan inte direkt extrahera massor för atomer, DÄREMOT har jag en utförlig tabell på bindningsenergier (Eb) hos en mängd atomkärnor och iom att man kan räkna <math>m_k+E_b=\sum (nukleoner)...72.21</math> där m_k är kärnans massa. Om vi nu tittar på ekvationen ovan så har vi att <math>p+n=D...72.22</math> och <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.23</math> då har vi att <math>[m_k(D)]c^2=[\sum nukleoner]c^2-E_b[J]...72.24</math> dvs <math>[m_k(D)]c^2=[1836+1838]m_ec^2-E_b[J]...72.25</math> eller <math>Eb(D)=2,2MeV=2,2/0,5=4,4*m_ec^2...72.26</math> ty viloenergin hos en elektron är c.a 0,5MeV varvid <math>[m_k(D)]c^2=3674m_ec^2-4,4m_ec^2 \approx 3670m_ec^2...72.27</math> Nu har vi alltså att den sprängda massan är 3674m_e medans Deuterium-kärnan är på 3670m_e vilket vi egentligen visste för Eb var ju på 2,2/0,5=4,4m_e~4m_e. Här kan vi annars se att en kärnas energi är mycket större än bindningsenergin. Jag tror att ovan är en uträkningsformel som inte har nån praktisk betydelse annat än att om man har Eb så kan man räkna ut massan hos kärnan eller om man har kärnans massa så kan man räkna ut Eb, min litteratur säger nämligen att nettoprocessen frigör närmare bindningsenergin hos Helium men hur ska det gå till? När man fusionerar de ingående partiklarna så måste ju rimligen Helium suga åt sig den bindningsenergi den behöver, eller? Så hur kan hela bindningsenergin bli över att nyttja för "värmeväxlaren"? Vi har ju att bindningsenergin är den energi som krävs för att hålla ihop neutroner och protoner för att neutroner är laddningsmässigt neutrala och protoner är positiva så hur ska man annars kunna hålla ihop en sån kärna utan bindningsenergi? Men i en fusionsprocess där man i princip försöker fusionera protoner till Deuterium så anser jag att det inte genereras nån energi alls för vad som händer är väl att differensen mellan den högre energin som nukleonerna i sig har jämfört med vad Deuterium-kärnan i sig har den går åt som bindningsenergi för Deuterium-kärnan det vill säga det blir ingen nettovinst av energi. Så ser jag det i alla fall och nån får gärna rätta mig. ELLER blir det trots allt en masskillnad här? Men jag har ju räknat på att den enda masskillnad som blir är 4m_e och samtidigt är den masskillnaden just bindningsenergin. Det blir alltså ingenting över till att koka vattnet, som jag ser det men jag har naturligtvis fel. Nästa steg i Bethe-cykeln stavas sen <math>2X: H_1^1+H_1^2->He_2^3+Q2...72.28</math> Här är det regelrätt fusion av proton och Deuterium till Helium_3 slutligen <math>He_2^3+He_2^3->He_2^4+2H_1^1+Q3...72.29</math> Där två Helium_3 alltså fusionerar och man "får tillbaka" två protoner. Nettoprocessen är alltså: <math>4H_1^1->He_2^4+2\beta^++2v+Q...72.20</math> Energivinsten är sedan pga Einstein <math>Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^2...72.31</math> vilket är lika med <math>Q=[4m_p-m_{\alpha}]c^2...72.32</math> I min kurslitteratur innehåller alfa-partikeln även två elektroner men om den innehåller det, varför innehåller inte protonen/vätet det? Så jag skiter i den biten samtidigt som det väl ändå är rätt tveksamt att elektronerna orkar sitta fast på kärnorna när vi uppenbarligen snackar mycket höga temperaturer, ett plasma är således mer troligt. I vilket fall som helst har vi den numeriska energiekvationen: Som jag dock måste lämna till en annan dag för jag har lite dålig koll på den "sprängda" massan och kärnans massa fast det verkar som om protonen i alla fall har samma sprängda massa som kärnans massa (vilket ju inte är så konstigt för den behöver ingen bindningsenergi för att hålla ihop kärnan ty den består ju bara av en enda proton), sen när det gäller helium händer dock något, i det här fallet vill jag nog mest betrakta He++ (dvs ren alfa-partikel utan elektroner) men i det fallet är den "sprängda" massan väldigt nära 4st protoner (ska väl formellt sett vara 2st protoner och 2st neutroner men neutronerna skiljer bara två ynka elektronmassor i massa) fast här händer nåt viktigt, kärnans massa är MINDRE än den sprängda massan så när vi subtraherar He från 4H så får vi inte noll som man kan tro utan en skillnad som beror på bindningsenergin dvs att Helium är lättare när den hänger ihop än när den är sprängd. Kom precis på en sak, elektronmassorna i formeln är INTE pga Helium's elektroner utan pga de två positronerna (samma massa som elektronen) så det skall faktiskt stå <math>Q=[4m_p-(m_{\alpha}+2m_e)]c^2...72.33</math> Fast samtiidigt vet jag inte om jag tror på positroner :D Nu gillar inte jag begreppet u så jag skall avveckla det från diskussionen MEN jag behöver ett massvärde när det gäller alfa-partikeln och jag har den bara på formen u. Vi börjar således med att skapa en konverteringsfaktor <math>k=\frac{u}{m_e}=\frac{1,660540E-27}{9,109390E-31}=1822, 88825\approx1823...72.34</math> där jag kommer nyttja elektronens massa som den fundamentala massan istället (dom flesta partiklar är nämligen större än elektronens massa vilket gör att alla "massor" blir större än ett, smidigt att räkna på liksom). Enligt min litteratur ha vi sedan <math>Q=[4*1,007276-4,001506-2*0,000549]*uc^2=[4,029104-4,001506-0,001098]*931,48MeV=24,68MeV...72.35</math> Men nu ändrar vi på det här så att vi istället nyttjar elektronmassor och får då <math>Q=[4*1836-7295-2]*m_ec^2\approx[4*1836-4*1823-2]*m_ec^2=50m_ec^2=50*0,51MeV\approx 25MeV...72.36</math> Var inte det smidigare? Idag tror jag mig ha insett en sak, även om följande formel gäller <math>m_k+E_b=\sum nukleoner...72.37</math> som alltså implikerar att kärnans massa är mindre än den sprängda massan så tror jag att Eb är masslös, alla vet ju att solen lyser och dom flesta är överens om att det är pga en fusionsprocess modell protoner som fusionerar till Helium, jag tänker nämligen att kanske det är så att massa ALLTID innehåller energi men att energi INTE alltid innebär massa. För om det är på det sättet kan man se ekvationen som sådan att den mindre kärnmassan beror på en ekvivalent Eb-massa så att kärna egentligen väger lika mycket som den sprängda massan MEN på vågen gör den det inte, den håller ihop sig mha av Eb men Eb väger inget och först då kan vi få ut Eb som en vinst när vi fusionerar. Lite konstigt det här för jag har i alla fall trott att energi och massa alltid är intimt knutna till varandra pga Einstein, Men om vi ska få ovanstående energiöverskott som faktiskt tom är mycket nära Eb-differensen hos dom ingående kärnorna så kan inte Eb vara strikt bundet till kärnan (enligt formeln). Jag har sedan noterat några intressanta saker när det gäller fusion/fission-processer där jag inte har nåt numeriskt bevis på det första exemplet men jag tar det ändå, i princip går alla exempel ut på att man inte behöver jämföra begynnelsemassa med slutmassa utan man kan jämföra skillnaden i Eb istället: <math>H_1^1+n=D_1^2...72.38</math> som har värmevinsteffekten <math>Q=[slutbindningsenergi-begynnelsebindningsenergi]...72.39</math> dvs <math>Q=2MeV-0MeV=2MeV...72.40</math> sen har vi <math>2D_1^2=He_2^4...72.41</math> dvs <math>Q=28MeV-4MeV=24MeV...72.42</math> där mitt kompendium räknat ut 24,68MeV men vem bryr sig om den lilla skillnaden? Om man sedan tittar på fission så har vi den inducerade fissionen enligt kompendiet som ungefär <math>U_{92}^{235}=Ba_{56}^{144}+Kr_{36}^{89}...72.43</math> bindningsenergierna efter minus före blir här <math>Q=1200MeV+800MeV-1800eV=200MeV...72.44</math> och det är EXAKT vad kompendiet anger som energivinst! Så att krångla till det med att använda massan före minus massan efter är direkt onödigt för let' face it, hur intresserade är vi av decimaler? Det intressanta verkar alltså vara att det är skillnaden i bindningsenergi man får ut som energivinst vilket onekligen är lite knepigt för om man "bundit ihop" en kärna som har högre bindningsenergi så borde ju den energin per dess definition tillhöra kärnan och inte friges men så har jag efter möda klurat ut att det inte kan vara för då skulle man inte få nån energivinst alls, greppar inte det här riktigt. ==Fritänkande, skapandet av Deuterium== Jag kopierar ner denna formel från ovan <math>H_1^1+H_1^1->D_1^2+\beta^++v+Q1</math> om man partikelstyckar denna får man <math> (p+e)+(p+e)->(p+n+e)+(\beta^+)+v+Q1</math> vilket är lite konstigt för som jag ser det ihileras en elektron med en proton för att bilda en laddningsneutral neutron MEN dels blir det en elektron över som visserligen cirklar kring D dels har vi samtidigt att masskillnaden neutron-proton är TVÅ elektronmassor dvs en neutron kan inte skapas av en proton plus en elektron ty massan stämmer inte. Annars tycker jag formeln stämmer för den överblivna elektronen kommer cirkulera kring D. Samtidigt är detta en process som sker vid mycket hög temperatur där vi förmodligen inte ens har "riktiga" (läs laddningsneutrala) atomer utan vi har ett plasma där elektroner och protoner är separerade. Så formeln är akademisk och borde nog mer stavas <math>p+p=D_k</math> där Dk är deuteriumkärnan och den ena protonen på nåt sätt görs om till en neutron så att man istället kan skriva <math>p+n=D_k</math> men hur gör man om en proton till en neutron för rent formellt kan man skriva <math>n=p+2e</math> vad gäller massa i alla fall, detta kan dock ha med att bindningsenergi kan göras om till ekvivalent massa så om man tar lite av bindningsenergin så kan kanske ytterligare en elektron skapas och ekvationen ovan går ihop, men varför skulle energin ge just ge en elektronmassa till? Dessutom, om det tillkommer två elektroner i formeln så blir inte neutronen laddningsneutral... Tycker det finns brister i det här resonemanget. ==Fritänkande, hur man kanske kan bygga en fusionsreaktor== Jag går lite grann händelserna i förväg här för jag studerar elektromagnetisk fältteori också men har inte kommit så långt, dock finns det nåt som kallas spegling och jag har fått en idé. Mha spegling och fixerad di (avståndet mellan spegelladdningen och centrum hos en laddad stång) så kan man eventuellt modulera ekvivalent radie hos den speglade stången. I fallet laddad stång har man sedan en potential i/på stången (som inte är noll), genom att fixera di kan man eventuellt mekaniskt modulera med den "styrande" laddningen så att man får olika ekvivalenta radier hos den virtuella potentialen. Genom att göra det med relativt hög frekvens kommer laddningarna stå still. På kortsidan av "stångens" pinch sätter man sedan två kondensatorplattor och gör samma sak, på det sättet kommer plasmat inte röra sig axiellt utan mest vibrera samtidigt som den första moduleringen håller plasmat "still" radiellt. Man kan alltså kanske köra in en högströmskabel vid di, få partiklarna att girera kring denna kabel samt innesluta allt mha "kondensatorplattorna" modulerade med relativt hög frekvens. Eventuellt kan "speglingskonfinement" hålla ihop plasmat förutom den höga strömmen som behövs. Jag bara spånar :) =Kapiltel LXIII, Bohrs atommodell= [[File:Fusion Hydrogen Bohr.png|thumb|Atommodell för väte]] "Låt det genast vara sagt: denna Bohr'ska atomteori är idag, bland annat genom Bohrs egen intensiva medverkan, passe' i väsentliga avseenden. Men den utgör inte enbart en fysikhistorisk höjdpunkt, den inbjuder ständigt till jämförelser av resultat och tjänstgör i mångt och mycket som "referensram". Vidare är den baserad på några revolutionerande ide'er som i huvudsak oförändrade övertagits av modernare atomteorier som med fördel presenteras i sin ursprungliga tankemiljö". Bohr uppställer tre postulat för elektronerna: 1) Kvantiserade tillstånd: Elektronen är tillåten endast i omloppsbanor för vilka banimpulsmomentet [pr=mvr] är en heltalsmultipel av <math>\hbar</math> 2) Stationära tillstånd Elektronen i ett tillstånd emitterar ingen energi 3) Emission-Absorbtion Elektromagnetisk strålning sker vid elektronernas diskontinuerliga hopp mellan tillåtna banor varvid den emitterade/absorberade energin svarar mot differensen i tillståndets energi modell <math>E_2-E_1=\Delta E=hf...79.1</math> Vid tillämpningen av postulaten på väteatomen gör vi dels en specialisering till cirkelbana dels en approximation till oändligt tung kärna (denna approximation gör att elektronen cirklar kring kärnan istället för den gemensamma tyngdpunkten), sen har vi alltså jämviktsvillkoret i cirkelbanan där centrifugalkraften (Fc) är lika stor som den Coulombska kraften (Fq): <math>\frac{mv^2}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.2</math> vilket ger <math>E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.3</math> den potentiella energin är sedan <math>E_{pot}=\frac{[-q]q}{4\pi \epsilon_0r}=-\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r}...79.4</math> helt enligt Coulombs lag där det bara finns två laddningar med olika tecken. Elektronens totala energi kan man alltså skriva <math>E=E_k+E_p=-\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0r}...79.5</math> Det Bohrska villkoret 1) ovan ger sedan att man kan skriva <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.6</math> vilket insatt i Fc=Fq ovan ger <math>\frac{m\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}}{r}=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}...79.7</math> dvs <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.8</math> som insatt i energiekvationen ovan ger <math>E=-\frac{1}{n^2}\frac{m}{2\hbar^2}[\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}]^2...79.9</math> Med insatta värden blir detta <math>E_n=-\frac{1}{n^2}*13,6eV...79.10</math> Allmänt kan vi för emission och absorbption i väteatomen skriva <math>\Delta E=hf=13,6[\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}]...79.11</math> som anger hur skillnaden i energi är beroende av elektronernas nivåer/skal där m och n är heltal som ej behöver skilja med ett, Lyman-serien till exempel utgår från E1 och "alla" energinivåer bortanför ett, Balmer-serien utgår från E2 och alla energinivåer bortanför två, Paschen-serien utgår från E3 och alla energinivåer bortanför tre, vad som händer här är alltså att Väte kan exciteras av en foton mellan två av dess skal, när den har gjort det så kan den också återgå till sitt "vilotillstånd" genom att hoppa tillbaka till sitt yttre skal men när de gör det så gör den sig av med sin extraenergi medels strålning så den strålar alltså ut mellanskillnaden i energi modell hf. Ur ovanstående ekvationer kan man räkna ut ett par roliga saker och det är elektronens hastighet och elektronens radie, om vi börjar med radien kan man räkna ut den från <math>\frac{1}{r}=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}*m...79.12</math> som med insatta värden ger en banradie på ungefär 10^-10m eller 1Å (0,529Å om man skall vara pedant, som också kallas Bohrradien) där man bör observera att en protons radie i runda slängar är 10^-15m vilket ju talar om för oss att elektronen cirklar omkring kärnan på ett "ofantligt" avstånd från kärnan dvs på typ 100000 gånger större avstånd, resten är alltså tomrum :) Elektronens hastighet kan vi också räkna ut från <math>v^2=\frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2}...79.13</math> och den blir i runda slängar 10^6 m/s som ju faktiskt är en hiskelig hastighet för den är nära 1% av ljusets hastighet. När det gäller energinivåerna ovan för väte så har min litteratur talat om för mig att man måste parallella elektronens massa med kärnans massa för att energinivådiagrammen för väte skall bli rätt och när jag gör det stämmer det klockrent sånär som på tredje decimalen. Denna kompensation tycker jag dock är skum men den sägs ha att göra med att elektronen kommer kretsa kring kärnan istället för masscentrum (tror jag) såhär går den <math>m_{eff}=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}...79.14</math> Fattar inte alls varför det blir så men utan den kompensationen blir det inte helt riktigt med energinivåerna (jämfört med uppmätta energinivåer, antar jag). Nåväl, vi ska inte snöa in oss på detaljer, min plan nu är att skapa en interpolerande formel för He+ jonens energinivåer, det är nämligen såhär att den mycket enkla och galanta Bohrska formeln bara tycks gälla för Väte, alla andra grundämnens energinivåer fallerar den tydligen för, inte ens nästa grundämne dvs för enkeljoniserat Helium så fungerar det tydligen. Fast jag gillar Occams Razor så inga flummiga vågfunktioner eller ännu flummigare kvanfysikaliska förklaringar här inte, här ska vi lösa saker på så enkelt sätt som möjligt. Jag ska alltså försöka hitta en eneginivå-interpolerande funktion som träffar enkel-joniserat Heilum's energinivåer, jag har lite lekt med detta redan men fick då bara de två första energinivåerna att stämma (naturligtvis, för det blev ju tvånget på interpolationen), den tredje stämde dock inte alls. Jag har hittat ett energinivådiagram för enkeljonserat Helium på nätet och jag har fyra energinivåer att leka med, tänker nu såhär att om man skall lyckas skapa en interpolerande funktion som funkar så tror jag att man måste involvera kärnans storlek för vitsen är ju att det inte bara skall stämma för Helium, det skall stämma för alla grundämnen (men nånstans måste man ju börja). Den kärnstorleksberoende interpolationskonstanten kommer inte bli linjär. =Kapitel LXIV, Partikelvåg-de Broglie-våglängd= [[File:Fusion Hydrogen Broglie 2.png|thumb|Visar olika tänkta lambda hos elektronbanan]] Bohr tillät sig, då behovet kändes trängande, kvantisera även banimpulsmomentet enligt <math>mvr=n\hbar...80.1</math> En legalisering i efterhand av Bohrs (något ur luften gripna) kvantvillkor och samtidigt en fundamental sammanlänkning av partikel och vågbegreppen åstadkom Louis de Broglie. Om vågor kunde uppvisa partikelegenskaper borde man ej förvånas över en omvändning dvs att partiklar har vågenskaper. Ja, antag att en elektron uppträder som en våg med någon låglängd <math>\lambda</math>, om den i en cirkelbana inte skall utsläcka sig själv genom destruktiv interferens krävs att den varv efter varv är i fas med sig själv. Ovanstående i detta kapitel är alltså citerat från min litteratur men när det gäller det där sista uttalandet så är det fullkomligt skitsnack! Det finns INGET som kräver att elektronen i sin cirkelbana måste "bita sig själv i svansen", den kan naturligtvis ha vilken våglängd som helst, det enda som händer är att "fasfelet" förskjuts för varje varv, nån destruktiv interferens existerar inte, det är bara akademiskt skitsnack! Men om vi kör på så kan man teckna den kvantiserade omkretsen som <math>2\pi r=n\lambda...80.2</math> och alltså enligt det jag inte tror på, sen har vi dock de Broglie-våglängden enligt <math>\lambda=\frac{h}{p}...80.3</math> och om sätter in den kvantiserade omkretsen så får man <math>2 \pi r =n \frac{h}{p}=n \frac{h}{mv}...80.4</math> dvs <math>mvr=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar...80.5</math> som är det Bohrska villkoret ovan, observera dock att det alltså grundar sig på att elekronen löper ett varv på ett jämt antal våglängder, detta tycker jag definitivt inte är nödvändigt, tyvärr kommer jag inte åt de Broglie vilket hade varit ännu häftigare för han stökar till det när det gäller min vision om att en neutron består av en proton plus en elektron (och den andra elektronen kan få vara bindningsenegi alternativt felmätning för känt är i alla fall K-elektroninfångning och där sönderfaller en proton och en elektron i en neutron), men iom att jag tror stenhårt på att elekronbanan INTE behöver var en heltalsmultipel av nån våglängd så finns det en möjlighet att den Bohrska atommodellen kan fungera för andra grundämnen. Partikelns, här elektronens, impuls p kan vi således skriva som funktion av partikelvåglängden <math>\lambda</math> eller vågvektorn alias utbredningskonstanten <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}...80.6</math> dvs <math>p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k...80.7</math> På detta sätt påstås man kunna skriva <math>E=pc=\hbar kc=\hbar 2\pi \frac{c}{\lambda}=\hbar w=hf...80.8</math> där jag personligen tror att pc är en partikelegenskap hos energin medans hf är en fotonegenskap men detta är tydligen samma sak så därför kan man också skriva <math>E=pc=hf...80.9</math> och iom att <math>pc=mvc...80.10</math> så kan man skriva detta som <math>v=\frac{hf}{mc}=\frac{h}{m\lambda}...80.11</math> där <math>\lambda</math> kan minimeras till (v=c): <math>\lambda>\frac{h}{mc}...80.12</math> Enligt tänket kring vågfunktioner inom fysiken så tycks det vara ganska rätt att tolka våglängden <math>\lambda</math> som den stående våg som bildas mellan två (potentiella) avstånd. Denna våglängd tycks minimum kunna vara enligt ovan vilket, om man sätter in massan för en elektron, tycks det innebära att våglängden, och därmed ungefär avståndet, är minst 1pm (samtidigt som en protons radie är av storleksordningen 1fm). Så min vision om att en elektron hela tiden skall kunna befinna sig inom en protons radie stämmer inte, enligt ovanstående formler kan den inte det. Men jag ger mig inte, om K-elektroninfångning är nåt som erkänt fungerar (dvs en proton plus en elektron sönderfaller i en neutron då MÅSTE en neutron kunna bestå av en proton plus en elektron, enligt mig). Så nånstans räknar "vi" fel. Jag har sagt det förut men gillar att säga det igen, Einstein säger alltså att energin hos en foton (och enligt vetenskapen även en partikel) har energin hf, detta kan man skriva om som <math>E=hf=h\frac{c}{\lambda}...80.13</math> där vi ju anammat att partiklar även kan vara vågor så att <math>\lambda</math> egentligen bara är ett avstånd, enklast ser man detta när man studerar typ en gitarrsträng. Om man med andra ord inför protonens radie som lambda så får man <math>E=-34+8+15+19=100MeV...80.14</math> Den Coulombska kraften/energin hos p+e är ungefär <math>E_q=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}[eV]...80.15</math> vilket för en elektron på randen av protonen innebär 1MeV. Så man har en attraktiv "kraft" som kan tänkas vilja dra in elektronen inuti protonens skal så att det kan bildas en neutron MEN denna kraft är 100 gånger svagare än den den kraft som krävs för att elektronen HELA TIDEN skall kunna befinna sig inom protonen, undrar hur stark Yukawa-kraften är för en sak är säker den har en förmåga att hålla ihop "mängder" med protoner av LIKA laddning och det är inte helt säkert att enbart neutroner "förmedlar" Yukawa. Det slår mig här att jag ju ovan redan "räknat" ut att det maximala antalet protoner i en kärna är ungefär 100st, Eq=100*1MeV=100MeV, en notering bara. Min litteratur går nu in på vågfunktioner men jag slutar här för det intresserar mig inte annat än att jag för rätt länge sedan listat ut att det svänger modell en gitarrsträng och efter en massa onödigt avancerad "algebra" så kommer min kurslitteratur fram till precis samma sak. ='''Del VI, FUSIONSFORSKNING''', förord= =Kapitel LXV, Plasma i naturen= Saha-ekvationen stipulerar <math>\frac{n_i}{n_n}=2.4*10^{21}\frac{T^{3/2}}{n_i}\exp-(\frac{U_i}{kT})</math>, där n_i är jontätheten och n_n är tätheten av neutrala atomer och U_i är joniseringsenergin för gasen. För vanlig luft blir detta <math>n_n=3*10^{25}m^{-3}</math> <math>T=300K</math> <math>U_i=14,5eV (nitrogen)</math> som ger <math>\frac{n_i}{n_n}=10^{-122}</math> som är löjligt liten<ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 2</ref> Joniseringen fortsätter att vara låg tills U_i är bara några få kT så det finns inga plasma naturligt här på jorden, bara i astronomiska kroppar med temperaturer på milljoner grader. =Kapitel LXVI, Basala hänsyn= När en laddad partikel rör sig i ett magnetfält gäller följande ekvation <math>m\frac{dv}{dt}=qvXB</math> ett enkelt sätt att lösa denna ekvation är att ansätta <math>v=v_0e^{jwt}</math> ekvationen blir då <math>mjwv_0e^{jwt}=qvXB=mjwv</math> om vi sen bara tittar på beloppet (dvs amplituden) så får vi <math>w_c=\frac{|q|B}{m}</math> och pga att v=wr får vi sen <math>r_L=\frac{mv}{|q|B}</math> där w_c kallas för cyklotronfrekvensen och r_L kallas för Larmor-radien. Detta betyder att en partikel kommer gyrera runt magnetfältet med cyklotron-frekvensen och Larmor-radien. Detta är sedan den fundamentala anledningen varför ett plasma eventuellt kan inneslutas mha ett magnetfält. =Kapitel LXVII, Energi och temperatur hos ett plasma= Det kommer senare visas att medelenergin kan skrivas <math>E_{AV}=\frac{1}{4}mv^2=\frac{1}{2}kT</math> där det är ytterligare kT/2 per frihetsgrad, hastigheten blir då <math>v=\sqrt{\frac{2kT}{m}}</math> ovanstående energi-ekvation kan sedan härledas utifrån then Maxwellska distributionsfunktionen <math>f(v)=A\exp{(-\frac{mv^2/2}{kT})}</math> där partiklarnas täthet kan beräknas medels <math>n=\int_{-\infty}^\infty f(v)dv</math> som ger oss <math>A=n\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}</math> vad detta ger oss är att även om den mest sannolika temperaturen är <math>kT=\frac{mv^2}{2}</math> så finns det partiklar med både lägre och högre temperatur. ==B-fält från en ström-loop== [[File:Current loop.PNG|thumb|Denna bild visar härledningen av B-fältet från en ström-loop]] Från Maxwell's ekvationer har vi <math>\nabla \cdot B=0</math> som kan skrivas om enligt <math>B=\nabla XA</math> där A kan få vara en godtycklig vektor, med användande av vektorpotentialen A får vi <math>A=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_v{\frac{J}{R}dv}</math> där vi inser att <math>Jdv=JSdl=Idl</math> vilket gör att vi pga Biot-Savat's lag får <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint_c\frac{dlXa_R}{R^2}</math> om vi sedan definierar <math>dl=bd\phi a_{\phi}</math> och <math>R=a_zz-a_rb</math> och <math>dlXR=a_{\phi}bd\phi X (a_zz-a_rb)=a_rbzd\phi + a_zb^2d\phi</math> och inser att r-delen cacelleras, så får vi <math>B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_0^{2\pi} a_z\frac{b^2d\phi}{(z^2+b^2)^{3/2}}</math> eller <math>B=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{(z^2+b^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{2}\frac{b^2}{R^3}</math> där dimensionen för B uppenbarligen är <math>B \propto\frac{1}{R}</math> Jag har manuellt lagt tillbaka detta avsnitt då jag först ansåg det vara lite irrelevant men faktum kan vara att det har mer betydelse än man tror, visst strömmen i loopen snurrar bara och vi får ett Bz-fält från strömmen MEN ström är laddningar i rörelse där jag bara spånar att t.ex protoner har samma Larmor-radie varför dom inte nödvändigtvis måste "snurra" bredvid varandra för varför kan dom inte snurra likt ett pärlband i samma slinga när dom ändå har samma radie? I princip kanske man då kan se det som att hela "omloppet" är knökat med t.ex protoner, kanske det tom maximeras med de antalet protoner som får plats i loopen för dom snurrar/gyrerar ju bara och ger därmed en ström. ==E-fält från en laddad loop== [[File:Charged loop.png|thumb|E-fält från en laddad loop]] Man kan teckna E-fältet såhär <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'}{R^2}=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'R}{R^3}</math> där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs <math>R=-b\hat r+z\hat z</math> och <math>dl'=bd\phi</math> av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss <math>R=z\hat z</math> vilket vi kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{z^2}\hat z</math> eller <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{R^2}\hat z</math> detta ger alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0 R^2}2\pi b\hat z</math> där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar), rho_L kan sedan ses som <math>\rho_L=\frac{\sum q}{2\pi b}</math> =Kapitel LXVIII, Drifter i ett plasma= [[File:ExB drift.PNG|thumb|This picture shows how an E-field would interact with a B-field to change the particle orbit.]][[File:Nonuniform B.PNG|thumb|This picture describes what happens to a particle when the magnetic field is non uniform.]][[File:Centrifugal drift.PNG|thumb|This graph describes the centrifugal drift in a plasma.]] Med användande av <math>m\frac{dv}{dt}=q(E+vXB)</math> och sättande av vänstra ledet till noll (ty vi avser ingen rörelse) samtidigt som vi tar kryssprodukten med B så får vi först <math>0=q(E+vXB)</math> som kan skrivas om enligt <math>E=-vXB</math> och kryssar vi sen med B från höger får vi <math>EXB=BX(vXB)</math> sen kan man använda "BAC-CAB"-regeln som innebär att <math>AXBXC=B(A \cdot C)-C(A \cdot B)</math> beviset är dock lite lurigt så jag avstår från det här, detta ger dock <math>EXB=BX(vXB)=vB^2-B(B\cdot v)</math> de transversella komponenterna hos denna ekvation är, pga att v är ortogonal mot B för vi avser drifter, således gäller <math>v_{gc}=\frac{EXB}{B^2}</math> som kan skrivas om som <math>v_{gc}=\frac{EX\hat B}{|B|}</math> och magnituden hos denna "guiding center drift" är tydligen <math>v_{gc}=\frac{E}{B}</math> erkännande av <math>F=qE</math> så kan man få <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> där F kan vara <math>F_E=qE</math> pga ett E-fält eller <math>F_g=mg</math> pga gravitation, sen gäller <math>F_{cf}=\frac{mv_{//}^2}{R_c}\hat R_c</math> som är centrifugalkraften medans partikeln rör sig utmed B, då är driften pga E <math>v_E=\frac{EXB}{B^2}</math> och driften pga gravitation blir <math>v_g=\frac{m}{q}\frac{gXB}{B^2}</math> samtidigt som driften pga det böjda B-fältet blir <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> Det är sedan intressant att notera att <math>|v_E|=|v_{gc}|=|\frac{E}{B}|</math> Det är svårare att härleda och förklara driften i ett icke uniformnt B-fält där kraften kan skrivas <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat z</math> där v_{<math>\perp</math>} implikerar hastigheten vinkelrätt mot B-fältet, som insatt i kraftekvationen ovan ger driften av "guiding ceter" som <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{z}X\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{|F|}{|B|}\hat r=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där index bara motsvarar tanken, de är fortfarande vektorer som kan generaliseras som <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{BX\nabla B}{B^2}</math> eller <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\hat BX\nabla B}{|B|}</math> som är grad-B:driften eller driften orsakad av inhomogeniteter i B-fältet, mha en Taylor-utveckling av <math>v_x=v_\perp e^{jwt}=\frac{dx}{dt}</math> kan man visa att <math>B_z=B_0+y\frac{dB}{dy}</math> där B_0 är en DC-komponent för gyreringen som tar ut sig själv, kvar har vi då att <math>B_z=y\frac{dB}{dy}</math> Sen nyttjas att <math>B_\phi\propto \frac{1}{r}</math> vilket gör att <math>|B|\propto\frac{1}{Rc}</math> där <math>R_c>>r_L</math> och egentligen bara radien ut till krökningen av B-fältet, detta ger att <math>\frac{\nabla |B|}{|B|}=-\frac{R_c}{R_c^2}</math> så att <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}=+/-\frac{1}{2}\frac{v_\perp^2}{w_c}\frac{R_cXB}{R_c^2B}=\frac{1}{2}\frac{m}{q}v_{\perp}^2\frac{R_cXB}{R_cB^2}</math> vilket gör att man kan visa att den totala driften hos ett krökt B-fält i vakuum är <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> "Det är oturligt att dessa drifter adderar för detta innebär att om man böjer ett magnetfält i en toroid för att försöka innesluta ett plasma, så kommer partiklarna driva ut från toroiden oavsett hur man jiddrar med temperatur och magnetisk fältstyrka" [[Francis F. Chen]] ==Fritänkande, de sista ekvationerna ovan går inte ihop== Gradienten av en vektor (B) existerar inte och den sista formeln passar inte, jag köper dock <math>v_R=\frac{1}{q}\frac{F_{cf}XB}{B^2}=\frac{mv_{//}^2}{qB^2}\frac{R_cXB}{R_c^2}</math> men <math>v_{\nabla B}=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2}\frac{\nabla BXB}{B^2}</math> passar inte i formeln <math>v_{cv}=v_R+v_{\nabla B}=\frac{m}{qB^2}\frac{RcXB}{Rc^2}(v_{//}^2+\frac{1}{2}v_{\perp}^2)</math> men vi har <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}</math> som faktiskt enklare kan skrivas <math>v_{force}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}</math> där man tydligt ser att hastighetsriktingen är skild från riktningen hos B som kan visas mha <math>B=(0;0;1)</math> om nu F kan tecknas <math>F=(1;1;1)</math> så blir kryssprodukten <math>\hat r (0-1) - \hat \phi (0-1) + \hat z (0-0)</math> dvs vi har inga z-komponenter kvar alls vilket samtidigt var riktiningen på B-fältet, istället har vi <math>\hat F X \hat B=-\hat r + \hat \phi</math> dvs vi har hastighetskomponenter i r-led (-v_R) och phi-led (v_gc). Om vi kopierar ner och försöker analysera <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> samt sätter att B=(0;0;1) dvs endast i z-led, då försvinner resutatet vad gäller z-led men i r-led och phi-led finns dom kvar, vi kan titta på fallet <math>F=(0;1;0)</math> och <math>B=(0;0;1)</math> varvid vi får kryssprodukten (FXB) <math>\hat r(1-0)- \hat \phi (0-0) + \hat z (0-0)</math> om alltså kraften endast är i phi-led och B-fältet endast är i z-led så blir det bara en r-komponent kvar, jag har valt att använda cylindriska koordinater här för om man tittar in i ett plasma (modell Tokamak) blir det mest naturligt då utsträckningen av plasmat är i (böjd) z-led och kryssprodukten i r-led (för vi avser vinkelrät drifthastighet) fast kraften blir alltså i phi-led, kryssprodukten kommer alltså visa oss en drift som är vinkelrät mot B-fältet Jag vill alltså skriva om denna ekvation <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{FX\hat B}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_y}{|B|}\hat y=-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dy}\hat y</math> enligt <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{FXB}{B^2}=\frac{1}{q}\frac{F_{\phi}X\hat B_{z}}{|B|}=\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> där <math>F_\phi</math> bara innebär att vektorn har en phi-komponent, själva komponenten avses inte, detsamma gäller <math>\hat B_z</math> Det påstås alltså att <math>\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r =-/+\frac{v_{\perp}r_L}{2|B|}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som vi kan mappa till <math>F_r=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}</math> eller <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\frac{dB}{dr}\hat r</math> som man eventuellt skulle kunna skriva om som <math>F=\frac{q v_{\perp}r_L}{2}\nabla B</math> problemet är bara att gradienten av en vektor finns inte, bara gradienten av skalärer finns så vad betyder detta? Det ser ut som om gradienten av B existerar men B är väl en vektor som har riktning och magnitud? Är kanske B plötsligt en skalär här? Dvs den har ingen riktning utan är bara en funktion/skalär? Gradienten för en skalär/potential/funktion kan skrivas i cartesiska koordinater <math>\frac{dV}{dx}\hat x + \frac{dV}{dy}\hat y + \frac{dV}{dz}\hat z</math> om sen V är av typen vektor dvs i vårt fall <math>B_x \hat x + B_y \hat y + B_z \hat z</math> och vi tar gradienten för B, då får vi <math>\frac{dB_x}{dx} \hat x \hat x + \frac{dB_y}{dy} \hat y \hat y + \frac{dB_z}{dz} \hat z \hat z</math> som är rappakalja för t.ex <math>\hat x \hat x</math> existerar inte då dom bara kan kyssas (vilket ger noll) eller tas skalärprudukten på som (som ger 1), så vadå gradienten av en vektor? Slutligen tycker jag att själva tanken med att det finns en gradient i B är lockande för om fältet är svagare eller starkare kring nåt snitt så finns det ju onekligen nån slags gradient där men strikt matematiskt går det inte ihop vad jag lärt mig, det är f.ö Chengs fel att jag är så strikt men jag köper det han säger om gradienter dvs det återspeglar en potentials "maximum rate of change" Å andra sidan existerar inte en vektor i kvadrat heller, jag anser dock att man kan nyttja t.ex B^2 som ett mellanled i uträkningarna men <math>(B_x\hat x+B_y\hat y + B_z \hat z)^2</math> existerar inte heller av samma anledning som ovan, dock existerar beloppet av B i kvadrat, formellt kan även B^2 existera men då får man vara vaksam med vad man gör för man har i praktiken två likadana vektorer där man i ovanstående fall kan förkorta bort den ena om man vill, resten blir då |B| för detta sker i nämnaren och man kan heller inte dela med en vektor. ==Fritänkade, får inte att grad-B driften går ihop== om vi har <math>F=-/+\frac{qv_\perp r_L}{2}\frac{dB}{dz} \hat z </math> så sägs vi få <math>v_{gc}=\frac{1}{q}\frac{F_zX\hat B_{\phi}}{|B|}=-\frac{1}{q}\frac{F_r}{|B|}\hat r </math> Chen visar en trevlig liten bild där B-fältet är i phi-led, eftersom det är avstånd från det ledande plasmat (aka ledaren) i r-led så lär B-fältet inte vara samma på alla avstånd runt om ledaren, i z-led lär det dock inte finnas några inhomogeniter, runt om ledaren så bör fältet vara samma i phi-led (med samma avstånd, r), så <math>dB_z=dB_\phi=0</math> De enda variationerna i B-fältet kan vi ha i avstånd från ledaren dvs i r-led, detta gör att kryssprodukten mellan B och F måste ENBART ge en r-komponent, för att få en r-komponent så måste kraften ha en phi-komponent och flödestätheten en z-komponent (eller tvärtom). Jag leker med tanken att kraften kan få vara i z-riktning, huvudsakliga flödestäten är sedan per definition i phi-riktning. Vi snackar variation av B, i phi-riktning så ger strömmen genom plasmat (i z-riktning) det starkaste B-fältet dvs aktuellt B-fält är faktiskt i phi-riktning! För att sedan få nån drift i r-riktning MÅSTE F vara i z-riktning (in i plasmat), z-riktning innebär sedan längs med B, jag behöver alltså revidera ovanstående formler vad gäller riktning. =Kapitel LXIX, Plasma som fluid= Om vi antar att ett plasma är en fluid, kan vi teckna <math>mn[\frac{dv}{dt}+(v\cdot \nabla)v]=qn(E+vXB)-\nabla p</math> där man kan visa att de två termerna till vänster kan försummas (ty vi avser ingen rörelse), om vi sedan tar kryssprodukten med B så får vi <math>0=qn[EXB+(v_pXB)XB]-\nabla pXB</math> eller <math>0=qn[EXB-v_pB^2]-\nabla pXB</math> där en term redan har försummats, arrangerar vi om ovanstående så får man den vinkelräta driften i ett plasma modell fluid som <math>v_p=\frac{EXB}{B^2}-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}=v_E+v_D</math> där den så kallade diamagnetiska driften är <math>v_D=-\frac{\nabla pXB}{qnB^2}</math> och kraften är <math>F_D=-\frac{\nabla p}{n}</math> vilket innebär att gradienten till trycket blir <math>p=nkT</math> där n är volymtätheten hos partiklarna, för ett isotermt plasma har vi sedan <math>\nabla p=kT\nabla n</math> =Kapitel LXX, Standardmodellen= # elektron och positron (anti-elektron, positivt laddad elektron med samma massa) # muon och anti-muon # tau och anti-tau tillsammans med dessa kommer deras neutrinon och anti-neutrinon som ger oss sex distinkta typer av partiklar eller # elektron # elektron-neutrino # muon # muon-neutrino # tau # tau-neutrino Neutrinos är preliminärt utan massa och därför svåra att detektera De dominerande tre av dessa partiklar är fundamentala partiklar som består av kvarkar, för vårat scenario är det tillräckligt att känna igen två typer av kvarkar dvs upp-kvark och ner-kvark. Detta är för att en neutron består av två ner-kvarkar och en upp-kvark medans en proton består av två upp-kvarkar och en ner-kvark Som mentorer på PF förklarat så kan en neutron genomgå svag växelverkan (transmutation) och bli konverterad till en proton under utsläpp av en elektron och en anti-netrino. Detta har att göra med att en kvark kan ändra sin typ/smak. Vid detta tillfället behöver en ner-kvark "bara" ändra till en upp-kvark för att ändra typ. Det har också förklarats hur en proton kan ändras till en neutron på liknande sätt. Detta är den basala anledningen till att de protoner vid födelsen av en en stjärna som vår sol kan generera neutroner och därmed Deuterium för att faktiskt starta fusionsprocessen mot Helium. Jag tror numera inte ett skit på detta, massa "fancy particles" bara. =Kapitel LXXII, Strålningspartiklar= 1) Beta-partikel (elektron) 2) Alpha-partikel (vanlig Helium_4-kärna) 3) Gamma-strålning (högenergi-fotoner som sänds ut från kärnan) 4) X-strålning (lite mindre energirika fotoner som sänds ut när elektroner retarderar eller accelererar) =Kapitel LXXIII, Proton-proton fusion= Dessa uttalanden är citerade från <ref>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/procyc.html</ref> 1) Två protoner fuserar. 2) En proton muterar till en netron som ger Deuterium samtidigt som det frigörs en positron och en neutrino vilket ger <math>H_1^2</math> 3) Deuterium fuserar med en till proton som också frigör X-strålning vilket ger <math>He_2^3</math> 4) Två av de resulterande Helium_3 fuserar vilket ger <math>2xHe_2^3=He_2^4+2p</math> 5) En alfa-partikel (Helium_4) skapas med energirikt frigörande av två protoner för att komplettera processen. Ett roligt citat av Arthur Eddington är "I am aware that many critics consider the stars are not hot enough. The critics lay themselves open to an obvious retort; we tell them to go and find a hotter place." ==Fritänkande, tankar kring proton-proton fusion== Jag tror att proton-proton fusion borde skrivas <math>p+p+e+e->p+n^-+\Delta E_b</math> här har vi i princip mass-konservering pga n>~p+2e men vi har en negativt laddad neutron, så att säga, vi skulle dock kunna skriva om detta som <math>H_1^1+H_1^1=H_1^{2-}+\Delta E_b</math> men av definitionsskäl så kan det inte finnas några neutrala atomer i ett (hett) plasma, två protoner skulle dock i teorin kunna fusera till <math>He_2^2</math> men denna isotop existerar inte (enligt Physics Handbook), den enklaste Helium-isotopen är <math>He_2^3</math> som återigen nyttjar en neutron, jag tror således att neutroner är en typ av kärn-klister, det finns dock vetenskapliga teorier om nåt som kallas Yukawa-kraften (eller potentialen)<ref>Physics E Part II, The Institution of Physics, Chalmers University of Technology, Max Fagerstroem, Bengt Stebler, Sven Larsson, 1985, Page B8</ref> men det låter mest som en lämplig fabrikation. Å andra sidan har vi att kvoten mellan gravitationell kraft och Coulumbsk kraft för protoner är runt <math>10^{-36}</math> så de gravitationella krafterna är inte till mycket nytta för att hålla ihop ett par protoner, men hemligheten kanske ligger i neutronerna? Alla grundämnen har sedan isotoper men de kan sällan avvara mer än några få neutroner innan de blir instabila. Physics Handbook säger <math>p=1,67.2623\cdot 10^{-27}kg</math> <math>n=1,67.4929\cdot 10^{-27}kg</math> <math>e=9,10.9390\cdot 10^{-31}kg</math> som ger oss <math>n-p-e=1,53m_e</math> detta är sedan den enklaste processen för att skapa en neutron från en proton och en elektron, här har vi åtminstonen neutral laddning hos neutronen men massan diffar 1,53m_e. Kanske kan vi dock skriva denna process som <math>n-p-e=1,53m_ec^2</math> eller <math>n-p-e=780keV</math> enligt Einstein. Om nu energi och massa är ekvivalent, hur kan vi sno 780keV från en process som inte ens har startat? Termisk energi är nära besläktat med hastigheten hos partikeln men hur kan vi konvertera denna hastighet till massa? Jag tror att detta inte är möjligt, Einsteins relation mellan massa och energi är bara teoretisk, med andra ord är vi fast med faktumet att processen diffar med 1,53m_e i massa. Jag tror sedan att nyckeln är att få skapat en neutron, som jag nu tror kan bli gjort genom p+e men masskillnaden förvirrar mig samtidigt som Physics Handbook anger massan hos elementarpartiklarna intil sex decimaler En undran är hur lätt det är att precist få mätt massan hos elementärpartiklarna när dom bara är av storleksordningen E-27kg Och proton-proton fusioneringen ovan som inkluderar specialpartiklar såsom positroner och neutrinos, har detta verifierats? En anna fråga som man kan ställa sig är, hur? Neutrinos går ju till exempel inte ens att mäta för de saknar massa, sägs det. Vad är sedan bindningsenergi? Jag tror att det är den potentiella energin som en partikel har men jag vet inte, om jag å andra sidan har rätt kan man skriva <math>E_b(p)=V(p)=V(n)[eV]</math> och <math>R(p)=R(n)\approx 10^{-15}m</math> R(e) kan uppskattas enligt <math>(\frac{1}{1880})^{1/3}\cdot R(p)\approx 10^{-16}m</math> och pga att densiteten hos elementarpartiklar är samma så får man för protonen ungefär <math>\frac{-27}{3\cdot -15}=10^{18}kg/m^3</math> vilket är en minst sagt enorm densitet! Om vi sedan tittar på bindningsenergin hos en proton kan vi eventuellt skriva <math>V(p)=\frac{-19}{-10 -15}=1MeV=10^{-13}J</math> som kommer från formeln <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> hämtad från <ref>Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, Forth Printing, 1991, Page 94</ref>, om denna energi sedan är lika med kT för att möjliggöra för en elektron att penetrera den potentiella barriären hos en proton, så får vi <math>T=10^{10}K</math> som också är minst sagt enorm, pga att elektroner sedan är ungefär 10ggr mindre än protoner/neutroner så är elektroners potentiella energi ungefär 10ggr högre vilket ger <math>1+1+10+10=1+1+\Delta E_b</math> som ger en gain i energi på 20MeV för ett par protoner som fusionerar, en rolig analogi är <math>20MeV\cdot 10^{-19}J=20\cdot 10^{-13}Ws\approx 20\cdot 10^{-16}Wh\approx 10^{-15}Wh/particle</math> Tätheten hos ordinärt luft vid 1atm är ungefär <math>n_{air}\approx 10^{25}/m^3</math> så om alla partiklar inom en kubikmeter fusionerar så har vi +25 fusioner eller +25-15=+10Wh, detta transformeras som <math>E=10^{10}Wh=10GWh</math> Men detta är vid 1atm... Slutligen kan vi uppskatta partiklarnas hastigheter för +10K som <math>mv^2=10^{-13}J</math> som ger <math>v_e=\sqrt{\frac{-13}{-31}}=9</math> dvs för att en elektron ska kunna penetrera en proton så måste hastigheten vara runt 1E9m/s, om vi kollar hastighetskravet för protonen så får vi <math>v_p=\sqrt{\frac{-13}{-27}}=7</math> dvs hastighetskravet för protonen för att fusionera med en annan proton är runt 1E7m/s. Elektronens hastighet verkar omöjlig för högre än ljusets hastighet, men det verkar finnas en tweak som kallas den Maxwelliska distrubutionsfunktionen <ref>Fransis F. Chen, Plasma Physics and Controlled Fusion, Volume 1, Second Edition, 1984, Page 4</ref> som stipulerar att kT är ett medelvärde jämfört med den kinetiska energin Ek (som jag dock alltid trott är ett medelvärde i sig) som innebär att temperaturen kan vara högre än Ek, om man säger. Detta är förmodligen det enda hopp som finns för att få kontrollerad fusion att funka på planeten. Ett sista ramblande, jag tror att neutron-skapandet måste ske i två steg, det första är <math>p+e+625keV=pe=H_1^F</math> där 625keV är den uppskattade energin för att möjliggöra att en elektron penetrerar en proton samtidigt som allt då blir laddningsneutralt modell neutron, jag har kallat resultatet "Fused Hydrogen", det andra steget är <math>H_1^F+780keV=n</math> där 780keV är den ekvivalenta Einsteinska vilomassan för skapandet av ytterligare 1,53m_e och därmed en "sann" neutron. Jag tror att detta måste hända i steg för vi människor kan inte öka temperaturen för kontrollerad fusion så snabbt vilket innebär att den första processen kommer att hända först, sen behöver processen ungefär 10^10K till för att avslutas. Dvs, det kanske finns en pe-partikel som jag dock aldrig hört talas om, denna partikel är dock neutral i laddning med skiljer sig i massa som eventuellt kan fixas av deacceration av elektronen så att elektronen måste ha 780keV mer i rörelseenergi än vad som behövs för penetration. Sen undrar jag hur en neutron blir till en neutron för vi människor kan inte injicera den rätta massan/energin för att exakt träffa neutronens massa, den måste liksom "veta" detta på nåt sätt, därför tror jag att partikelfysik lite är som genetik. Alla neutroner väger liksomm lika mycket... ==Fritänkande, reflektion över hur kapacitans kanske spelar roll== Ovan har vi formeln för potentialen hos en proton och jag repterar <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> kapacitans är sedan <math>C=\frac{Q}{V}</math> så att kapacitansen faller ut som nämnaren i potentialen, man kan också skriva detta som <math>Q=CV</math> detta kan man differentiera som <math>dQ=CdV+VdC</math> dvs förändringen av laddningen (dQ) är beroende BÅDE av förändringen i potential (dV) OCH förändringen i kapacitans (dC), i ett slutet system med mängder av (laddade) partiklar så varierar C (dvs dC är skillt från noll), en annan sak är att ALLT har kapacitans för när man beräknar kapacitans kan man "lägga" en laddning på kroppen och utnyttja ovan formel, dvs netronen, som är oladdad, har också kapacitans (typiskt ungefär samma som protonen dvs E-25F nånstans). Samtidigt har vi att dQ är noll för netto antal laddningar är samma (även om vissa fusionerar) för laddning är oförstörbar dvs mängden + tar ut mängden - oavsett hur många som fusionerar, då kan vi skriva formeln som <math>0=CdV+VdC</math> potentialen kan man sedan tycka är kostant för den är enligt ovan bara beroende av radien hos den enskilda partikeln men i ett system med laddningar tror jag inte att det är så enkelt dvs potentialändringen (dV) kan t.ex öka vilket för med sig att kapacitansändringen (dC) minskar. Ett system med laddningar har kapacitiv koppling till varandra och kapacitans innebär en ovilja att öka sin potential, eftersom det är tillförelse av Q som får potentialen att öka så är lite frågan hur Q tillförs. Q har enheten C (eller As) dvs är produkten av ström och tid, denna "dirac-puls" kan se väldigt olika ut för hög ström under kort tid är samma som låg ström under lång tid, stora strömförändringar innebär således att kort tid behövs för att ladda upp kapacitansen, små strömfärändringar kräver alltså en längre tid. Ström är laddningar i rörelse, när man hettar upp ett plasma på ett kontrollerat sätt är nog ändå strömförändringen relativ långsam så det krävs eventuell en lite längre tid för att kapacitanserna skall laddas upp. Men för att protonens kapacitans på runt 1E-25F skall laddas upp ordentligt till sin potential på 1,6MV så krävs en laddning (Q) motsvarande elektronens laddning (naturligtvis), eller 1,6E-19As. Så om uppladdningen går på 1,6E-19s så behöver vi 1A. Om uppladdningen går på 1,6E-13s så behöver vi 1uA Bara en reflektion. =Kapitel LXXIV, Tryck i praktiken= Normalt lufttryck är <math>1atm=10^5Pa=10^5N/m^2=10^4kg/m^2=1kg/cm^2</math> detta betyder bara att vi människor har anpassat oss till 1kg/cm² atmosfärstryck och inget annat, förutom att allt kräver en faktisk atmosfär, vattendjup åsidosatt så kan vi också skapa ett skillnadstryck genom att flytta ett objekt i en fluid (som man kallar allt som kan flöda inklusive gaser) <math>p_k=1/2\rho v^2</math> denna ekvation säger att så fort vi har en fluid så kan vi skapa tryck genom att bara röra objektet i fluiden. Vi känner sen en tryckökning motsvarandes 1m under vattenytan (+1hg/cm²) och vi behöver bara dyka 10m under vattenytan för att bli fulla på kväveförgiftning som är anledningen till att dykare andas Helium istället för syre vid stora djup. Trycket vid de djupaste delarna av vårt hav är 1000 atm nånstans men detta känns bara när man besöker platsen som vissa har gjort ändå, farkostens skrov måste då tåla ovanstående tryck vilket motsvarar en elefant som står på en enkrona. Barometerformeln lyder <math>p=p_0-\rho gh</math> som anger lufttrycket vid olika höjd (p₀ betyder 1 atm), denna formel ar approximativt giltig till 10km (där den faktiskt blir noll), i vilket fall är luftdensiteten inte linjär över typ 5km där <math>p=p_0e^{-\frac{mgh}{kT}}</math> bör användas istället (m är den molekylära vikten) Atmosfären är inte homogen, det existerar fyra distinkta lager (definierade av temperaturen): 4) Termosfären (80km, Karman-linjen) 3) Mesospfären (50-80km) 2) Stratosfären (10-50km) 1) Troposfären (<10km) Där Karman-linjen på upp till 100km och är specificerad som den höjd en farkost behöver flyga så fort som omloppshastigheten för att behålla höjd där omloppshastigheten är specificerad som den hastighet där centrifugalkraften är lika med gravitationskraften. Atmosfären är således så hög som runt 10 mil. =Kapitel LXXV, Tryck i ett plasma= Från ideala gaslagen har vi <math>p=\frac{N_{mol}}{V}RT=\frac{N}{V}kT=nkT</math> där n är partikeltätheten. Arbete mot gasen kan definieras som ökningen av PV-produkten på grund av att temperaturen och därmed Ek då ökar Arbete utfört av gasen kan definieras som minskningen av PV-produkten för då minskar temperaturen och Ek minskar. Arbetet delat med antalet partiklar (N) ger arbetet gjort mot, eller gjort av, en enskild partikel som i sin tur ger temperaturen och hastigheten Termodynamikens första lag stavas <math>dQ=dU+dW=dU+pdV</math> där Q är den totala energin, U den interna energin och W är arbetet som är positivt om arbetet utförs av gasen eller negativt om arbete utförs på gasen. Den interna energin är definierad av <math>U=KE+PE</math> där KE är den kinetiska energin och PE den potentiella energin, i ett slutet system måste sedan dQ=0 för det kommer varken ut eller in nån värmeenergi, om sedan dV är positiv för att gasen utför arbete då måste den interna energin (dU) sjunka. =Se även= *[[Fysiksvammel del II (Cheng)]] =Källor= # Åke Fäldt, Bengt Stebler, Fysik del 1 E2, Fysiska institutionen CTH, 1988 # Jan Petersson, Matematisk Analys del 2, 1990 c,a =Referenser= [[Kategori:Fysik]] izok4lq05lyg74adq8fnet5nf28hg0x 0 10668 52535 52528 2022-08-21T18:26:41Z Knoppson 2055 /* Exempel */ wikitext text/x-wiki =Inledning= Denna del av min fysiksvammelbok uppkommer pga att det är så många kapitel i ordinarie bok ([[Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål]]), och med mina ynka 1Mb/s tar den också en del tid att ladda. Samtidigt gillar jag elektromagnetisk fältteori (Cheng) bäst så jag vill köra lite parallellt här ty optik anser jag inte har så mycket med fusionsforskning att göra även om det är (måttligt) intressant i sig. Jag skapade alltså textmassan till min ordinarie bok för flera år sedan men nu är jag mer intresserad av andra delar av fysiken samtidigt som jag har typ 30 kapitel kvar att skriva av, addera bilder och förstå hos ordinarie bok. ='''VEKTORLÄRA'''= Vektorer är sådana som har både riktning och storlek, ett exempel på en vektor är kraft. =Kapitel LXXXI, Skalärprodukt= [[File:Fusion Vector.png|thumb|Skalärprodukt, cosinusteorem och kryssprodukt]] Skalärprukt definieras enligt <math>A \cdot B=ABcos(\alpha)...81.1</math> där A och B är två vektorer med samma angripspunkt (kan alltid parallellförflyttas) och med vinkeln alpha emellan. Jag har hittat på en egen tolkning av skalärprudukt där man eventuellt kan se skalärprodukt som ett mått på hur två vektorer samverkar, om svaret är negativt så motverkar dom varandra och om svaret är positivt så samverkar dom. Om vi säger att ena vektorn (A) ligger horisontellt och andra vektorn (B) mindre än 90 grader därifrån, då är cosinus positiv och man kan kanske se det som att vektorernas angripspunkt, som vi kan kalla origo, i detta fallet flyttas in i första eller fjärde kvadranten, i fallet att mellanliggande vinkel är större än 90 grader blir cosinius negativ men här är det inte klockrent att origo åker in i andra eller tredje kvadranten för det beror på hur stark B är i förhållande till A, om vinkeln närmar sig 180 grader blir det dock sannolikt. ==Bevis av cosinusteoremet== Med hjälp av skalärprodukt kan man bevisa cosinusteoremet. Föreställ Er att vi har två vektorer där den ena (A) pekar horisontellt åt höger och den andra (B) i första kvadranten dvs också åt höger men med en vinkel som är större än noll men mindre än 90 grader, denna skillnadsvinkel kallar vi alpha. Adderar man vektoriellt A med B får man helt enkelt resultanten C och denna i kvadrat kan tecknas <math>C^2=(A+B)^2=A^2+B^2+2ABcos(\alpha)...81.2</math> Nu är alltså mellanliggande vinkel alpha MEN cosinusteoremet avser mellanliggande vinkel vid förskjutning av vektorerna så att dom biter varandra i svansen (inte "normal" mellanliggande vinkel alltså), detta gör så att cosinusteoremet blir riktigt dvs <math>C^2=A^2+B^2-2ABcos(\beta)...81.3</math> där beta är inre vinkeln. Jag skulle vilja säga att vinklarna vad beträffar kryssprodukt och skalärprukt ALLTID avser mellanliggande vinkel MEN det som då också gäller är att vektorerna alltid är tail-to-tail dvs börjar i samma angripspunkt. ==Exempel på användning av skalärprodukt== Säg att du har en vektor A enligt <math>A=A_x\hat x + A_y\hat y + A_z\hat z...81.4</math> Om vi nu vill ha fram en vektor B som är vinkelrät mot denna så gäller ju <math>A\cdot B=0...81.5</math> ty cosinus är noll. Jag var skeprtisk till detta idag och försökte klura ut det för hela rummet men det blir svårt att tänka då så om man bara nyttjar ett plan så blir det lättare dvs vi droppar Az, då blir skalärprodukten av A och B följande <math>Ax*Bx+Ay*By...81.6</math> och om <math>A=[2;3]...81.7</math> vilket är ett privat sätt att skriva (cartesiska vektorer) så gäller att B kan vara typ <math>B=[3;-2]...81.8</math> för då blir skalärprodukten <math>2*3+3*(-2)=0...81.9</math> Vinkeln mellan y-axeln och vektorn A är <math>atan(2/3)...81.10</math> vinkeln mellan y-axeln och vektorn B är <math>atan(3/2)...81.11</math> och <math>atan(2/3)+atan(3/2)=90 grader...81.12</math> V.S.V =Kapitel LXXXII, Kryssprodukt= Den andra varianten av vektoriell multiplikation kallas kryssprodukt. Kryssprodukt är inte helt lätt att förstå tycker jag men den grundar sig på att två vektorer multipliceras på ett speciellt sätt så att produkten bygger upp ett parallellogram samtidigt som den skapar en ny enhetsvektor (n) normal till parallellogrammet. Riktningen på den nya vektorn följer högerhandsregeln dvs om höger tumme pekar i ena vektors riktning och pekfingret i det andra så är övriga fingrars riktning lika med vektorns, typ. Vi kommer återkomma till kryssprodukt när det gäller nåt som kallas rot eller curl men här nöjer jag mig med att konstatera <math>AXB=\hat n|ABsin(\alpha)|...82.1</math> där alpha är vinkeln mellan vektorerna, högerledet är alltså inget annat än arean hos ett parallellogram vars "höjd" ju är ~sin(alpha) med en enhetsvektor (n tak) vilkelrätt mot parallellogrammets yta. ==Exempel på användning av kryssprodukt== Om vi vill räkna ut en parallell vektor till A så kan vi sätta att <math>AXB=0...82.2</math> ty vi har sinus mellan vektorerna, med andra ord gäller <math>(A_yB_z-A_zB_y)\hat x + (A_zB_x-A_xB_z)\hat y + (A_xB_y-A_yB_x)=0...82.3</math> Om nu <math>A=[1;1;1]...82.4</math> så ger det att <math>1...Bz-By=0...82.5</math> <math>2...Bx-Bz=0...82.6</math> <math>3...By-Bx=0...82.7</math> 1 ger att By=Bz som insatt i 3 ger Bz=Bx (2 behövs inte, överbestämt ekvationssystem) så vi har att Bx=Bz=By dvs vektorn B kan skrivas <math>B=b[1;1;1]...82.8</math> där b bara är ett tal vars alla varianter genererar en vektor som är parallellt med A, trivialt svar men tricket är användbart. =Kapitel LXXXIII, Vektordefinitioner= [[File:Fusion Vector Definition.png|thumb|Definition av två vektorer]] Om vi definierar en vektor på följande sätt <math>A=A_x\hat x + A_y\hat y + A_z\hat z...83.1</math> så har vi genast nyttjat det mest vanliga koordinatsystemet dvs de Cartesiska, sen kan vi definiera <math>B=B_x\hat x + B_y\hat y + B_z\hat z...83.2</math> där i båda fallen "hattarna" är enhetsvektorer som bara har riktning men "inget" belopp (nåväl, 1 har dom i belopp) Nyttjar vi nu skalärprodukt enligt ovan så får vi att <math>A\cdot B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z...83.3</math> ty bara komponeter i samma rikting multipliceras vilket är samma som att alpha ovan är 0 grader (ty koordinatsystemet är ortogonalt dvs vinkelrätt). Kryssprodukt är lurigare för enligt ovan är det sinus för mellanliggande vinkel som gäller men det gör ju att <math>\hat x * \hat x=0...83.4</math> ty vinkeln mellan dom är 0, bara vinkelräta komponenter kommer alltså med dvs <math>\hat x * \hat y=1...83.5</math> samtidigt som <math>\hat y * \hat x=-1...83.6</math> till exempel. Kryssprodukten <math>AXB...83.7</math> blir alltså, när man betänker att högerhandsregeln gäller dvs om man nyttjar höger hand och tumme för ena vektorn samt pekfingret för andra vektorn då pekar fingrarna i positiv riktning: <math>AXB=(AyBz-AzBy)\hat x + (AzBx-AxBz) \hat y + (AxBy-AyBx) \hat z...83.8</math> Som faktiskt är rätt lätt att räkna ut ty efter xy kommer positivt z enligt högerhandsregeln och efter zx så kommer positivt y medans efter xz kommer negativt y för nu går vi runt åt andra hållet, typ Refererat till ovanstående bild kan man teckna <math>A=A_x \hat x + A_y \hat y...83.9</math> och <math>B=B_x \hat x + B_y \hat y...83.10</math> cosinus för mellanliggande vinkel b-a blir sedan <math>Re[e^{j(b-a)}]...83.11</math> som är samma som <math>Re[e^{jb}*e^{-ja}]...83.12</math> dvs <math>Re[(cos(b)+jsin(b))*(cos(-a)+jsin(-a))]...83.13</math> eller <math>Re[(cos(b)+jsin(b))*(cos(a)-jsin(a))]...83.14</math> vilket ger <math>cos(b)cos(a)+sin(b)sin(a)==cos(b-a)...83.15</math> om vi nu tittar på att vi har <math> \begin{bmatrix} cos(a)=\frac{A_x}{A}\\ sin(a)=\frac{A_y}{A}\\ cos(b)=\frac{B_x}{B}\\ sin(b)=\frac{B_y}{B}\\ \end{bmatrix} ...83.16</math> så kan vi teckna <math>cos(b-a)=\frac{B_xA_x}{|AB|}+\frac{B_yA_y}{|AB|}...83.17</math> ty A och B är beloppet av vektorerna, detta ger <math>|AB|cos(b-a)=A_xB_x+A_yB_y...83.18</math> V.S.V Personligen tycker jag komplexa tal är en härligt smidig genväg till att härleda, och komma ihåg, trigonometriska formler som jag i alla fall aldrig lyckats lära mig, sen tror jag att samma resonemang kan användas för bevis av kryssprodukt men jag avstår från det och säger bara att härledningen av skalärprodukten av godtyckligt vinklade vektorer ger ett nästan trivialt svar som lite är bortanför teorin modell att skalärprodukten är produkten av längderna hos vektorerna gånger cosinus av mellanliggande vinkel, tycker faktiskt att det är lite svårt att se att det allmänt mynnar ut i ovanstående typ AxBx bara osv. Känner plötsligt för att bevisa kryssprodukt också för vi kan använda samma bild, nu gäller dock sinus dvs <math>sin(b-a)=Im[e^{jb}*e^{-ja}]...83.19</math> vilket ger <math>Im[(cos(b)+jsin(b))*(cos(a)-jsin(a))]...83.20</math> där vi samlar ihop de imaginära bitarna och får <math>-cos(b)sin(a)+cos(a)sin(b)==sin(b-a)...83.21</math> dvs <math>sin(b-a)=-\frac{B_xA_y}{|AB|}+\frac{A_xB_y}{|AB|}...83.22</math> vilket ger <math>|AB|sin(b-a)=A_xB_y-B_xA_y...83.23</math> vilket är helt riktigt förutom att kryssprodukt definieras enligt <math>\hat n |AB|sin(b-a)...83.24</math> där n-tak är den ortogonala riktingen jämför med det plan vektrorerna A och B ligger i, i detta fallet gäller <math>\hat y |AB|sin(b-a)=(A_xB_y-B_xA_y)\hat y...83.25</math> V.S.V =Kapitel LXXXIV, Koordinatsystem= [[File:Fusion Coordinate Systems 2.png|thumb|Olika koordinatsystem]] Jag har fått lära mig av Cheng att tre olika koordinatsystem räcker för de flesta fall, dessa tre är: 1) Cartesiska koordinater (x, y, z) 2) Cylindriska koordinater (r, phi, z) 3) Sfäriska koordinater (R, theta, phi) De cartesiska koordinaterna känner vi igen, cylindriska koordinater innebär att rymden antas cylindrisk där r är radien, phi är vinkeln mellan x och r och z är höjden, sfäriska koordinater innebär att rymden antas sfärisk där R är en rymd-radie, theta är vinkeln mellan z och dit rymd-radien pekar ovanifrån och ner och phi är vinkeln mellan x och positionen för R. Man kan teckna de olika koordinatsystemens differentiella längdelement i samma ordning som ovan: <math>dl=dx\hat x + dy\hat y + dz\hat z...84.1a</math> <math>dl=dr\hat r + rd\phi \hat \phi + dz\hat z...84.1b</math> <math>dl=dR\hat R + Rd\theta \hat \theta + Rsin(\theta)d\phi\hat \phi...84.1c</math> Ett godtyckligt längdelement kan alltså allmänt tecknas <math>dl=h_1du_1\hat u_1+h_2du_2\hat u_2+h_3du_3\hat u_3...84.2</math> där h-parametrarna kallas metriska koefficienter som för Cartesiska koordinater enligt ovan är <math>h_1=h_2=h_3=1...84.3</math> och för cylindriska coordinater är <math>h_1=1, h_2=r, h_3=1...84.4</math> samt för sfäriska koordinater är <math>h_1=1, h_2=R, h_3=Rsin(\theta)...84.5</math> Den första är enkel att förstå för om man vill göra en integrering i hela rummet måste man göra den längs alla koordinater, samma princip kan dock tilldelas de andra koordinatsystemen. Jag är mycket dålig på att rita mer komplexa saker, det är lite sorgligt men jag vill ändå gå vidare och måste försöka beskriva med ord åtminstone så länge dvs ett ytelement hos de olika koordinatsystemen kan tecknas (observera sedan att en normalkomponent till ytan används som alltid pelkar ut från ytan). <math>dS_z=dxdy\hat z...84.6</math> detta är alltså ett ytelement i xy-planet vars normal pekar enligt z-axeln (samma princip gäller övriga koordinater), sen har vi för det cylindriska koordinatsystemet <math>dS_r=rd\phi dz \hat r...84.7a</math> <math>dS_\phi=drdz \hat \phi...84.7b</math> <math>dS_z=rd\phi dr \hat z...84.7c</math> r dphi är det metriska vinkelsegmentet som blir av vinkeldifferentialen, och för det sfäriska koordinatsystemet där Rsin(theta) kan projiseras som lilla r <math>dS_R=Rsin(\theta) d\phi Rd\theta \hat R...84.8a</math> <math>dS_\theta=Rsin(\theta) d\phi dR \hat \theta...84.8b</math> <math>dS_\phi=dR Rd\theta...84.8c</math> de olika volymselementen blir sedan <math>dV_{xyz}=dxdydz...84.9a</math> <math>dV_{r\phi z}=drrd\phi dz...84.9b</math> <math>dV_{R \theta \phi}=dRRd\theta Rsin(\theta)d\phi=R^2sin(\theta)dRd\theta d\phi...84.9c</math> =Kapitel LXXXV, Skalär trippelprodukt= Skälär trippelprodukt kan tecknas <math>A\cdot (BXC)=B\cdot (CXA)=C\cdot (AXB)...85.1</math> Observera rotationen åt höger, man kan tänka sig en variant, om man gillar determinanter, genom att hänvisa till Sarrus regel enligt nedan för då har man att alla tre vektorerna A, B, C ingår och ordningen på vektorerna kommer bara innebära att rader kastas om enligt högerhandsregeln. A skalärt med BXC kan alltså tecknas: <math>A\cdot BXC= \begin{vmatrix} Ax & Ay & Az\\ Bx & By & Bz\\ Cx & Cy & Cz\\ \end{vmatrix} ...85.2</math> Där jag precis kommit på ett enkelt sätt att beräkna determinanten nästan utan Sarrus regel. Om man är ute efter komponenterna i "Ax-riktning" kan man stryka dess rad och dess kolumn samt körra Sarrus på "komplementet" samma gäller till exempel "Ay-riktning", då ser man genast att determinaten blir <math>Ax(ByCz-BzCy)+Ay(BxCz-BzCx)+Az(BxCy-ByCx)...85.3</math> dvs skalärprodukten av A med BXC, där dock Ay har fel tecken men det återkommer jag till. =Kapitel LXXXVI, Vektoriell trippelprodukt= Denna är svårare att bevisa men jag hänvisar till Cheng (s18), beviset går lite ut på att man delar upp A i en parallell och vinkelrät komponent gentemot BXC-arean, i vilket fall blir svaret <math>AX(BXC)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)...86.1</math> Kallas också för "The BAC-CAB Rule". Spontant känns det lite knepigt hur man kan kryssa en vektor A med en annan vektor (BXC blir en annan vektor) så att alltihopa blir en skalär. =Kapitel LXXXVII, Gradient= [[File:Fusion Gradient.png|thumb|Gradienten hos ett skalärt fält]] Gradienten hos ett vektorfält innebär en vektor som pekar ut maximala "rate of change" ihop med riktningen hos en skalär förändring, gradienten definieras <math>\nabla V=\hat n \frac{dV}{dn}...87.1</math> där dV är ändringen av V längs en normalvektor till "potentialplanet", man kan skriva om detta enligt <math>\frac{dV}{dl}=\frac{dV}{dn}\frac{dn}{dl}=\frac{dV}{dn}cos\alpha=\frac{dV}{dn}\hat n \cdot \hat l ...87.2</math> dvs man kan skriva <math>dV=\nabla V \cdot dl...87.3</math> där dl är en vektor som inte nödvändigtmässigt måste vara vinkelrät mot planet och nabla definieras som <math>\nabla=\frac{d}{dx}\hat x +\frac{d}{dy}\hat y +\frac{d}{dz}\hat z...87.4</math> i Cartesiska koordinater och är en deriveringsoperator där till exempel <math>\nabla V...87.5</math> kan skrivas <math>\nabla V=\frac{dV}{dx}\hat x +\frac{dV}{dy}\hat y +\frac{dV}{dz}\hat z...87.6</math> Det är viktigt att inse att gradienter bara finns för skalärer, inte för vektorer alltså, allmänt kan man teckna gradienten för de olika koordinatsystemen enligt <math>\nabla V=\frac{dV}{h_1du_1}\hat u_1 +\frac{dV}{h_2du_2}\hat u_2 +\frac{dV}{h_3du_3}\hat u_3...87.7</math> Jag laddar upp en bild på en potential enligt <math>V=e^{-x^2}...87.8</math> som har en gradient enligt definitionen ovan dvs <math>\frac{dV}{dx} \hat x=-2xe^{x^2} \hat x...87.9</math> där alltså gradienten är längs x-axeln och jag köper inte det för Gaussklockan har en gradient i y-led anser jag ty potentialen närmar sig ett maxima där och den gör det ganska fort (även om derivatan är noll där). Jag sparar detta korkade uttalande som refeferens för idag tror jag att jag kom på vad gradient faktiskt är, gradient verkar visa på hur funktionen/skalären växer som mest och i vilken riktning (hos variabeln?) I bifogad bild ser man hur jag räknat ut gradienten som ALLTID går längs med x-axeln (för det är det enda som går att derivera...), för mig känns detta fortfarande inte riktigt men man kan konstatera att gradienten i alla fall visar åt vilket "håll" i kurvan det verkligen händer nåt i y-led, rör man sig utmed x-axeln på detta sättet händer det en massa med potentialen när man närmar sig x=0. =Kapitel LXXXIIX, Divergens= [[File:Fusion Divergence.png|thumb|Visar hur vektorfält kan divergera]] Divergens definieras genom att man sätter en liten låda vinkelrätt mot vektorfältet, om då antalet flödeslinjer ut ur lådan är färre än antalet flödeslinger in så har man en "sink" där inne och därmed divergens, om antalet flödeslinjer ut ur lådan är större än in i lådan så har vi uppenbarligen en "source" där inne, är antalet flödeslinjer samma så är det ett divergensfritt eller så kallat "soloidalt" fält vi har. Ett typexempel på divergens är <math>\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...88.1</math> vilket innebär att E-fältet divergerar i laddningar (rho=laddningsdensitet) som man kan se som att fältlinjerna landar i laddningar som ju finns diskret modell till exempel elektroner, samtidigt gäller <math>\nabla\cdot B=0...88.2</math> vilket visar att det inte finns några magnetiska laddningar för B-fältet biter alltid sig själ i svansen, så B är soloidalt. Divergens är en skalär, den har ingen riktning men är positiv för intern "source" och negativ för intern "sink", den är måttet på styrkan hos dessa källor. För Cartesiska koordinater kan man skriva <math>\nabla \cdot A=\frac{dAx}{dx}+\frac{dAy}{dy}+\frac{dAz}{dz}...88.3</math> Allmänt kan man teckna divergensen map de olika koordinatsystemen enligt <math>\nabla \cdot A=\frac{1}{h_1h_2h_3} [\frac{d(h_2h_3A_1)}{du_1}+\frac{d(h_1h_3A_2)}{du_2} +\frac{d(h_1h_2A_3)}{du_3}]...88.4</math> =Kapitel LXXXIX, Rotation= [[File:Fusion Curl Example.png|thumb|Anoddiagram för en rördiod]] Cirkulation är en linjeintegral av ett vektorfält runt en sluten kontur. Man kan nog se det som ett arbete där dock arbetet runt en sluten kontur är 0 för om man kommer tillbaka till punkten man började med så har man inte uträttat nåt arbete ty lägeenergin är samma. Rotation är cirkulationen per ytenhet när ytan går mot noll, jag hittar inget riktigt enkelt sätt att förklara detta annat är att riktningen hos rotationen följer högerhansdsregeln dvs normalvektorerna är riktade ut från ytan. Rotation följer kryssproduktregeln ovan men är nu lite mera lurig pga nabla, men om vi i 81.12 byter A mot typ d/dx och B mot A så får vi <math>\nabla X A=(\frac{dAz}{dy}-\frac{dAy}{dz})\hat x +(\frac{dAx}{dz}-\frac{dAz}{dx}) \hat y + (\frac{dAy}{dx}-\frac{dAx}{dy}) \hat z...89.1</math> Finns det rotation så finns det ett virvelfält i vektorfältet, exempelvis gäller i statiska fall <math>\nabla X B =\mu_0I...89.2</math> där virvelkällan verkar utläsas B (magnetfältet runt till exempel en ledare) medans det i själva verket är I som ger B så den så kallade "virveln" motsvarande strömmen I ger alltså magnetfältet. Fast samma gäller egentligen för Gauss lag sprungen ur <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...89.3</math> dvs <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...89.4</math> som innebär flödet av E genom den slutna ytan S där man ser att det naturligtvis är laddningen som ger E-fältet och inte tvärtom. Allmänt kan man räkna ut rotationen på följande sätt <math>\nabla X A=\frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1u_1 & h_2u_2 & h_3u_3\\ \frac{d}{du_1} & \frac{d}{du_2} & \frac{d}{du_3}\\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3\\ \end{vmatrix} ...89.5</math> Kom annars på ett roligt exempel, om Ni tittar på bilden på rördioden ovan så kan man teckna ett vektorfält A enligt <math>A=U_a\hat x + pU_a^{3/2} \hat y...89.6</math> och tar vi rot på detta får vi <math>\nabla X A=(0-0)\hat x+(0-0) \hat y+ (dAy/dx-dAx/dy) \hat z...89.7</math> dvs <math>\nabla X A=(3/2p\sqrt{Ua}-0) \hat z...89.8</math> dvs vi har fått en vektor i z-riktning (ut från pappret i detta fallet) på <math>\frac{3}{2}p\sqrt{Ua}...89.9</math> vilket är samma som konduktansen ty vi har deriverat Ia med avseende på Ua, vänder man sedan på uttrycket får man nåt välkänt dvs rp. =Kapitel XC, Vektoriell derivering= Vektoriell derivering följer i princip vanlig produktderivering enligt <math>(xy)'=x'y+xy'...90.1</math> Fast i vektorform skriver vi <math>\nabla (Af)=(\nabla \cdot A)f + A \cdot \nabla f...90.2</math> där A är en vektor och f en skalär. =Kapitel XCI, Gauss's teorem (aka divergensteoremet)= [[File:Fusion Divergence Example.png|thumb|Vattenflöde runt en sten]] Teoremet säger <math>\int_V \nabla \cdot A dv=\oint_S A\cdot dS...91.1</math> Jag brukar se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt <math>(\nabla \cdot A)_j\Delta v_j=\oint_{sj} A \cdot dS...91.2</math> där delta vj är en liten volym bunden av sj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i divergensteoremet, man kan se det som att volymsintegralen över en divergens motsvaras av flödet av samma vektor genom en sluten yta. Eftersom jag har svårt att fatta vad detta verkligen innebär så har jag tänkt så det knakar idag, först kan vi börja med något känt dvs jag går händelserna i förväg lite igen och tecknar <math>\nabla \cdot D=\rho...91.3</math> där rho är laddningsdensiteten och D kallas för den elektriska flödestätheten [C/m^2]. Volymsintegralen av denna blir alltså laddningen Q vilket enligt teoremet är samma som <math>Q=\oint D\cdot dS...91.4</math> som man eventuellt kan tolka som att en innesluten laddning Q ger ett fält vinkelrätt mot den slutna yttre ytan motsvarande D. Fast detta var inte så mycket vad jag tänkte på idag, jag tänkte snarare på vad divergens eventuellt verkligen är så jag blev att tänka på en sten i en liten bäck, ta bort stenen och vattnet bara flödar rakt fram, sätt dit stenen och vattnet "divergerar" runt stenen, eller hur? Detta kan mycket eventuellt tecknas <math>\int \nabla \cdot u dv=\oint u \cdot dS...91.5</math> där u är vattnets hastighet eller <math>u=\frac{Vol}{m^2*s}=m/s...91.6</math> dvs hastigheten av vattnet är samma som flödestätheten per sekund, om vi nu stipulerar nåt roligt här dvs <math>\nabla \cdot u=\rho_m...91.7</math> där rho_m helt enkelt är densiteten hos stenen, då får vi <math>kg=\oint u \cdot dS...91.8</math> tittar man på denna formel och jämför med D-formeln ovan så inser man att i det förra fallet så ger nåt som kallas laddning (Q) ett D-fält, här ger nåt som kallas massa ett u-fält samtidigt som enheten blir Vol/s dvs flöde, dock har vi beräknat en sluten ytintegral som inte är samma som nåt som bara flöder genom en yta. Om kg (eller rho) ger upphov till ett fält och vi avlägnsnar oss en bit ifrån klumpen då kan man se klumpen som en punktkälla och en punktkälla ger på samma sätt som Q upphov till ett fält som är vinkelrätt ytan där man beräknar fältet, men andra ord kan man eventuellt nyttja formeln på lite längre avstånd och säga att <math>u=\frac{kg}{4\pi R^2}...91.9</math> vilket påminner om nåt som är sant för en punktkälla av laddning dvs <math>D=\frac{Q}{4\pi R^2}...91.10</math> under förutsättning att det finns nåt som kg/m^2 :D Det slog mig idag att stenen förmodligen inte orsakar nån divergens för divergens, som jag har förstått det, innebär att det finns en källa (source) eller sänka (sink) i vektorfältet och ovanstående teoretiserande behandlar mest hur vektrorfältet "styrs om" vilket ju innebär att det inte varken försvinner u eller tillkommer u men jag tror faktiskt att det gör det för innan stenen har vi en viss flödestäthet (eller hastighet), vid/runt stenen har vi en högre hastighet för vattnet passerar nu i en trängre passage samtidigt som mängden vatten per tidsenhet måste vara samma för att inte ån skall flöda över. Då har vi i alla fall en förändring av u motsvarande en hastighetsökning hos vattnet som är beroende av hur mycket åns tvärssnittsarea har minskat pga stenen. u divergerar då, eller? Jag tycker det för det har faktiskt tillkommit u pga att stenen gjort passagen smalare och divergens handlar ju om en påverkan på ett vekttorfält motsvarande source/sink så om u ökar så har vektorfältet u onekligen påverkats. Ett annat sätt att se på speciellt source/sink i å-fallet kan eventuellt vara att vi har två fall där source består av en liten tillströmmande bäck och sink består av ett hål helt enkelt i ån där vatten bara försvinner. Tydligare source/sink hos en divergens kan jag inte komma på. Men hur blir det med divergensen i det här fallet? Divergensen enligt ovan måste ju nästan vara av typen x-densitet (jag kallar alla /m^3-enheter för densiteter, /m¨2-enheter blir då tätheter och /m-enheter blir intensiteter vilket jag tycker är käckt) ty den integreras ju upp volymmässigt för att ge nåt. Fast kanske mass-densitet fortfarande funkar? Det kluriga är dock fortfarande oint-biten som ju ger massa/m^2. Det är kul att spekulera när man inte förstår nåt :) Och nu har jag precis lagt till en bild ovan där vår sten är kilformad likt ett cirkelsegment. Detta får till följd att hastighetsvektorn u är vinkelrät mot normalvektorn från stenens kanter (bortanför ändan), detta gör eventuellt sedan att den slutna integralen blir öppen för runt alla sidor utom baksidan är normalkomponenten av hastighetsvektorn noll, den enda gången det finns en normalkomponent hos hastighetsvektorn relativt stenens yta är på baksidan av stenen där det dessutom skapas turbulens. Man kan eventuellt teckna systemet enligt följande: <math>dS=hrd\phi \hat r...91.11</math> där h är djupet hos ån, sen är <math>u= u_r\hat r+u_\phi \hat \phi...91.12</math> skalärprukten blir då <math>u \cdot dS=hru_rd\phi...91.13</math> här ser man också att den självklara komponenten längs med phi går bort pga skalärproduktens inneboende egenskap, integrering ger <math>\oint u \cdot dS=\int_{-\phi}^{\phi} hru_rd\phi...91.14</math> för bara på baksidan av stenen finns en hastighetskomponent som är vinkelrät mot stenens yta, detta ser sen enkelt ut om det inte vore för att <math>u_r=u_r(\phi)...91.15</math> för strömningshastigheten är naturligtvis beroende av phi[0;a] som jag skrivit i bilden och en lekfull approximation kan vara <math>u_r=u_r*cos(\alpha-\phi)...91.16</math> dar man kan se att om phi är "a" så är ur=ur (ingen hastighet går alltså förlorad) men om phi är 0 så går hastighet förlorad på ett sätt där om a är stor (bred sten) så är hastigheten bakom stenen ännu mindre (förmodligen faktiskt noll vid phi=0), så vi har att <math>\Phi=\int_{-\phi}^{\phi} hr u_r cos(\alpha -\phi)d\phi...91.17</math> där Phi nu är flödet för den slutna integralen har "öppnat upp sig" :) Detta kan skrivas om enligt <math>\Phi= hr u_r \int_{-\alpha}^{\alpha}cos(\alpha -\phi)d\phi...91.18</math> eller <math>\Phi= -hr u_r sin[\alpha -\phi]_{-\alpha}^{\alpha}...91.19</math> vilket är samma som <math>\Phi=hr u_r sin(2 \alpha)...91.20</math> fast vad jag egentligen ville räkna ut var u_r alldeles innan stenens baksida, vi kan ta en annan falang ur fysiken för detta och nyttja den så kallade kontinuitetsekvationen som för inkompressibel vätska och icke-turbulent strömning ger om vi kallar strömningshastigheten in mot stenen för u0 och åns bredd utan sten för areamässigt S0 samt Sr för arean hos stenen alldeles innan vattnet passrar baksidan, då får vi <math>u_0S_0=u_r(S_0-S_r)...91.21</math> dvs ur är då <math>u_r=u_0\frac{S_0}{S_0-S_r}...91.22</math> Jag propsar inte på att jag har rätt för jag tycker mest det är kul att spekulera amatörmässigt, MEN jag tror vi kan vara överens om att flödet [Vol/s] i en å med konstant bredd är "opåverkbart" dvs oberoende av om det ligger en större sten där i ån eller inte, med andra ord blir strömningshastigheten runt stenen högre än innan stenen där alltså strömningshastighet är samma som flödestäthet vilket kan ses som att (flödes)tätheten runt själva stenen blir högre om samma mängd vatten per sekund skall kunna ta sig fram trots stenen. =Kapitel XCII, Stoke's teorem= [[File:Fusion Circulation Example.png|thumb|Visar en kurvintegral runt en kvartcirkel]] Teoremet säger <math>\int_S \nabla X A dS=\oint_C A \cdot dl...92.1</math> Även här brukar jag se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt <math>(\nabla X A)_j \cdot (\Delta s_j)=\oint_{Cj} A \cdot dl...92.2</math> där delta sj är en liten yta bunden av Cj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i Stoke's teorem, man kan se det som att ytintegralen över en rotation motsvaras av cirkulationen (eller eventuellt "arbetet") av samma vektor runt en sluten kontur. Här fattar jag dåligt för om arbetet mellan två punkter kan skrivas <math>q\int_{P1}^{P2}E\cdot dl=\int_{P1}^{P2}F\cdot dl...92.3</math> och om P2=P1 så har vi bara gått ett helt varv från typ toppen av ett berg ner och upp igen i dalen samtidigt som vinsten i lägesenergi då är exakt noll, dvs <math>\oint F_ldl=0...92.4</math> men teoremet stipulerar att cirkulationen naturligtvis inte alltid är noll men varför inte ty netto arbete jag beskriver är uppenbarligen noll, jag får inte riktigt ihop det här men vi kan leka lite med ett fält som har rotation modell <math>F=y^2\hat x + x^2 \hat y...92.5</math> för om vi tar rotationen på detta så får vi att det bara blir en z-komponent modell <math>\nabla X F=(2x-2y)\hat z...92.6</math> om vi sen stoppar in detta i arbetsintegralen ovan så får vi <math>\oint F_xdx=y^2[x_2-x_1]...92.7</math> där x2=x1 ty vi går ju runt vilket alltså fortfarande ger en integral som är noll, nej jag fattar fortfarande inte det här även om jag fattar att netto arbete om man släpar runt på nåt och kommer tillbaka till samma punkt är exakt noll. Vi får titta på ett exempel av Cheng dvs exempel 2.14: Om vi har vektorfältet <math>F=xy \hat x-2x \hat y...92.8</math> och önskar beräkna den öppna linjeintegralen <math>\int_A^B F\cdot dl...92.9</math> längs periferin hos en kvartcirkel enligt <math>3^2=x^2+y^2...92.10</math> så kan man göra det på följande sätt där vi först visar <math>dl=dx \hat x + dy \hat y + dz \hat z...92.11</math> vilket gör att <math>F\cdot dl=xydx-2xdy...92.12</math> själva integreringen går sedan till på följande sätt (och jag skriver bara av Cheng) <math>F\cdot dl=\int_3^0 x\sqrt{9-x^2}dx-2\int_0^3 \sqrt{9-y^2}dy...92.13</math> eller <math>[-\frac{1}{3}(9-x^2)^{3/2}]_3^0-[y\sqrt{9-y^2}+9sin^{-1}{\frac{y}{3}}]_0^3...92.14</math> dvs <math>-9(1+\frac{\pi}{2})...92.15</math> Nu är det här den öppna delen av cirkulationen men man kan visa att resten kring kvartcirkeln blir noll. Så om man släpar nåt helt runt en kvartcirkel med vektorfältet enlig ovan så blir tydligen inte arbetet noll, varför det? Hur kan ett arbete från en punkt, längs nån krokig väg tillbaka till samma punkt, INTE bli lägesenergi-förändringsmässigt lika med noll? Vad betyder vektorfältet enligt senast? Självklart kan man slänga in vilka variabelkombinationer man vill MEN vad betyder dom? Vi räknar nu på hela den slutna konturen enligt ovan bild, då blir <math>\int_{OABO} F\cdot dl...92.16</math> till att börja med <math>\int_O^A xydx-2xdy...92.17</math> och för sträckan OA så är y=0, så "arbetet" för denna sträcka blir noll, för sträckan BO är sedan x=0 så här blir arbetet också noll. Tycks alltså vara som så att kurvan man "arbetar" igenom måste vara krökt för att det skall finnas cirkulation och därmed ett arbete skillt från noll. Jag har ingen aning om detta är sant eller ej samtidigt som exemplets vektorfält egentligen inte säger mig nånting. Men vi tycks kunna konstatera att ett arbete från punkt A längs godtycklig väg tillbaka till A INTE alltid är noll. Kirschoffs spänningslag är dock alltid noll men man kan nog konstatera att vi inte har några komplexa vektorfält ivägen då :) =Kapitel XCIII, Två nollidentiteter= Det finns två fall där vektormanipulationen blir noll, det ena är en rotation av en gradient, det andra är en divergens av en rotation. ==Nollidentitet I== <math>\nabla X (\nabla V)=0...93.1</math> Här har vi alltså en rotation av en gradient, enligt ovan kan vi dock skriva <math>dV=\nabla V \cdot dl...93.2</math> och enligt Stoke's så har vi <math>\int \nabla X (\nabla V) \cdot dS=\oint \nabla V \cdot dl...93.3</math> eller <math>\int \nabla X (\nabla V) \cdot dS=\oint dV...93.4</math> och detta är i princip Kirschoff spänningslag som alltså är noll runt en sluten kontur, pga ovan vektoridentidet så kan man byta ut gradienten av ett skalärt fält mot ett vektorfält t.ex enligt <math>E=-\nabla V...93.5</math> där E råkar vara den elektriska fältstyrkan som en potential V sätter upp. ==Nollidentitet II== <math>\nabla \cdot (\nabla X B)=0...93.6</math> Här har vi alltså att divergensen av en rotation är noll, enligt Gauss kan vi skriva <math>\int \nabla \cdot (\nabla X B)dv=\oint (\nabla X B)\cdot dS...93.7</math> En lekfull amatörmässig förklaring är (jag kommer inte ihåg och kommer slå upp och förklara det bättre sen) att rotationen av B ger ett fält som är vinkelrätt mot planet B ligger i så om skalärprukten tas gentemot detta fält så är ytans normal vinlelrät mot detta fält och allt blir noll. Annars kan man eventuellt se det som så att den sista integralen enligt Stoke's teorem bytas ut mot <math>\oint_S (\nabla X B)\cdot dS=\oint_C B\cdot dl...93.8</math> där integralen över ytan S är en sluten yta vilket gör att det inte finns nån öppen kontur C att linjeintegrera runt och då blir cirkulationen 0, pga identiteten kan man byta ut rotationen av ett vektrorfält mot en vektorpotential enligt till exempel <math>A=\nabla X B...93.9</math> där B råkar vara den magnetiska flödestätheten och A är dess vektorpotential. =Kapitel XCIV, Helmholtz teorem= Jag skriver lite ur huvet som vanligt och säger då att ett vektorfält är beskrivet, intill en konstant, om både divergensen och rotationen av vektorvältet är känt, som Ni vet kallas ett divergensfritt vektorfält för soloniadal och ett rotationsfritt vektorfält för irrotational, detta gör att ett godtyckligt vektorfält kan tecknas <math>F=F_i+F_s...94.1</math> där man alltså får <math>\nabla \cdot F_i=G...94.2</math> <math>\nabla X F_i=0...94.3</math> <math>\nabla X F_s=g...94.4</math> <math>\nabla \cdot F_s=0...94.5</math> Nu leker vi att F blir <math>\nabla \cdot F=\nabla \cdot F_i=G...94.6</math> respektive <math>\nabla X F=\nabla X F_s=g...94.7</math> fast här ser vi väl att vektorfältet F faktiskt är bestämt intill två konstanter? Kanske gäller sedan följande: <math>\int \nabla \cdot Fdv=\int Gdv=\oint F\cdot dS...94.8</math> och <math>\int \nabla X F \cdot dS=\int g \cdot dS=\oint F\cdot dl...94.9</math> där man eventuellt kan se G som nån typ av densitet och g som nån typ av flödestäthet. =Kapitel XCV, Lösning av ekvationssystem medels invertering av matris= [[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|''Rule of Sarrus'': The determinant of the three columns on the left is the sum of the products along the down-right diagonals minus the sum of the products along the up-right diagonals.]] [[File:Fusion Sarrus Alt.png|thumb|Ett alternativt sätt att räkna ut determinanter]] Antag att vi har matrisekvationen <math>V=pQ...95.1</math> Där V är en kolonnmatris på tre rader och en kolumn (3X1) och Q är en kolonnmatris på 3X1, p är sedan en kvadratisk matris på 3X3, man får lätt denna matrisekvation om man till exempel räknar på ett system med tre laddningar och vill räkna ut kapacitanser. I det här rätt praktiska fallet är alltså V potentialer, Q laddningar och p "coeffoicients of potential" dvs koefficienter. Man kan alltså teckna ovanstående matrisekvation relativt enkelt men det är lurigare att räkna ut kapacitansen, detta kan man dock göra genom att invertera matriser enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q...95.2</math> så man multiplicerar alltså med inversen av matrisen p från vänster (riktningen är normalt sett väldigt viktig, jag har bara upplevt att matris multiplicerat med sin invers inte spelar roll i vilken ordning de multipliceras, de blir bara E), ut faller en ekvation som underlättar beräknandet av kapacitans ty <math>p^{-1}=c...95.3</math> dvs ekvationen har övergått i <math>Q=p^{-1}V=cV...95.4</math> Så hur ska vi då invertera p så att vi får c? Invertering av matriser går till på följande sätt, först själva matrisen: <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12 & p13\\ p21 & p22 & p23\\ p31 & p32 & p33\\ \end{bmatrix} ...95.5</math> inversen av p kan sedan tecknas <math>p^{-1}=\frac{1}{Det(p)} \begin{bmatrix} A11 & A21 & A31\\ A12 & A22 & A32\\ A13 & A23 & A33\\ \end{bmatrix} ...95.6</math> där rad och kolumn är omkastad, jag har svårt för att visa det här men om p istället är en 2X2 matris enligt <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.7</math> så blir determinanten, som kan ses som två "45-gradiga" streck där överst från vänster är plus och från höger är minus, detta kallas också Sarrus regel: <math>Det(p)=p11p22-p12^2...95.8</math> där p12=p21 pga reciprocitet dvs kapacitansen är oberoende av riktning och [Aij] är komplementen hos p som kan tecknas <math>Aij=(-1)^{i+j}Dij...95.9</math> där Dij är kryssad determinant hos [pij] där kryssad betyder att när man räknar ut Dij så kryssar man bort både rad och kolumn för pij och tar determinanten av resten, hur fasen skall jag kunna visa det här? Gör man såhär så får man kapacitanserna direkt, dock gäller <math>c11=C10+C12+C13...95.10a</math> <math>c22=C20+C21+C23...95.10b</math> <math>c33=C30+C23+C31...95.10c</math> sen har man, där man ovan skall notera att Cij=Cji pga reciprocitet och att man kan tolka ekvationssystemet som att vardera nod jordas, c11 är alltså coefficient of capacitance men dess värde är den totala parallellande kapacitansen när respektive annan nod jordas, sen har vi att <math>c12=-C12...95.11a</math> <math>c13=-C13...95.11b</math> <math>c23=-C23...95.11c</math> Stora C innebär faktiska kapacitanser men man kan lösa ovanstående för stora C också, detta är ett litet trick. ==Exempel I, tretrådskapacitans, prel== [[File:Fusion Charges Rod.png|thumb|Laddade stänger och deras kapacitans]] Gauss lag säger <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...95.12</math> där E är den elektriska fältstyrkan, e0 permittiviteten för vakuum och Q den inneslutna laddningen inom ytan S, det är alltså en flödesintegral där flödet av E sker genom ytan S samtidigt som S egentligen är en vektor ty uttrycket är en skalärprodukt. För en oändligt lång linjeladdning/stång blir E-fältet <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 R}...95.13</math> som fås av nåt som kallas Gaussisk yta dvs en yta som alltid är vinkelrät mot E-fältet, så om vi har en oändligt lång stång med laddning och konstruerar en liten cylindrisk burk/yta runt stången där fältlinjerna alltid är vinkelräta mot ytan, då kan man lyfta ut E ur integralen för den är konstant då och då blir resten bara en integrering av ytan. Potential kan beräknas som det arbete som krävs för att släpa en laddning mot fältet, E-fältet defineraras tom som <math>E=\frac{F}{Q}...95.14</math> vars enhet är Newton per Coulomb men vi känner enheten bättre som Volt per meter, man definerar således potential enligt <math>V=-\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...95.15</math> där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel II, The Flux Capacitor, prel== [[File:Fusion The Flux Capacitor.png|thumb|Fyra laddade stänger i stjärnkoppling]] Jag har nu försökt beräkna kapacitanser hos en samling stänger som är ytterligare en dvs fyra. Utseendet på arrangemanget påminner om en film från 80-talet så jag har kallat bilden "The Flux Capacitor". Utseendet hos bilden påminner också om huvudspänningarna i ett trefassystem (med d som faspänning), arrangemanget blir mekaniskt så om dom liksom skall kunna härbärja runt varandra (annars blir avstånden imaginära). Jag har inget facit på mina beräkningar men villkoret pij=pji från Cheng är en bra indikation på att man kan ha rätt, villkoret kommer alltså ifrån att kapacitans är oberoende av riktning. För att förenkla kodningen kommer jag strunta i att det egentligen handlar om längdintensitets-laddningar (Q/L aka rho_l) och istället köra Q med index, sen kommer jag initialt strunta i att potentialen från en laddad stång går som ln(d/a) där d är avståndet och a radien hos stången och istället skriva d/a, E-fältet för en stång är alltså <math>E=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r...95.50</math> som uppintegrerat och negerat ger potentialen <math>V=-\int_d^a Edr=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.51</math> och <math>2\pi\epsilon_0...95.52</math> hoppar jag alltså perlimiunärt över vilket dock bara innebär att mina potentialer behöver multipliceras med denna term. <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.53</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2\frac{d}{a}+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.54</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3\frac{d}{a}...95.55</math> som kan skrivas om enligt <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.56</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{d}{a}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.57</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{d}{a}...95.58</math> sen gäller <math>\Q_0=-(Q_1+Q_2+Q_3)...95.59</math> som ändrar ovanstående formler till dessa matrisvärden <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.60</math> enligt <math>V=pQ...95.61</math> där vi nu skall ta fram inversen av matrisen p så att vi istället får matrisen c enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q=cV...95.62</math> Inversen stavas <math>p^{-1}=\frac{1}{det(p)}* \begin{bmatrix} B11&B21&B31\\ B12&B22&B32\\ B13&B23&B33\\ \end{bmatrix} ...95.63</math> Nu är B-elementen komplement till p-elementen så vi stryker respektive elements rad och kolumn och nyttjar <math>(-1)^{i+j}...95.64</math> varvid vi får <math>B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.65</math> Eftersom kapacitans inte har riktning så ska bij vara lika med bji och får man inte detta så är det en bra indikation på att man har gjort fel, fast rent allmänt ska man komma ihåg att när det gäller tal så måste B-matrisen transponeras dvs rader och kolumner måste byta plats för annars blir det fel, matrisen c blir nu <math>c=p^{-1}=\frac{1}{det(p)}*B...95.66</math> där alla cij (i inte lika med j) är samma samtidigt som alla cij (i=j) är samma, om vi nu kopierar ner p så får vi <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.67</math> som vi föreklar till elementnummer istället <math>p= \begin{bmatrix} p11&p12&p13\\ p21&p22&p23\\ p31&p32&p33\\ \end{bmatrix} ...95.68</math> och determinaten blir <math>(+1)*p11*(p22p33-p23p32)+ (-1)*p12*(p21p33-p23p31)+ (+1)*p13*(p21p32-p22p31)...95.69</math> eller <math>p11*(p22p33-p23p32)+p12*(p23p31-p21p33)+p13*(p21p32-p22p31)...95.70</math> där p12=p13=P21=p23=p31=p32 och p11=p22=p33, vilket ger <math>p11*(p11^2-p12^2)+p12*(p12^2-p12p11)+p12*(p12^2-p12p11)...95.71</math> Jag blir osäker på det här men när man kryssar vektorer får man det på ovanstående sätt, vi kan dock göra ännu en liten förenkling dvs <math>p11*(p11^2-p12^2)+2p12^2*(p12-p11)...95.72</math> Nu är det alltså ln(pij) som gäller så det är inte bara att multiplicera MEN addition innebär multiplikation av argumentet medans subtraktion innebär att argumentet måste inverteras innan det multipliceras. Determinanten blir således <math>Det(p)=ln{\frac{d^2}{a^2}}*((ln{\frac{d^2}{a^2}})^2-(ln \frac{d}{\sqrt{3}a})^2)+(ln\frac{d}{\sqrt{3}a})^2*(ln{\frac{\sqrt{3}d}{a}})^2...95.73</math> Vi skippar att allt behöver delas med determinanten och tecknar <math>c'=B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.74</math> Det är sedan känt att <math>C10=c11+c12+c13...95.75</math> <math>C20=c22+c12+c23...95.76</math> <math>C30=c33+c13+c23...95.77</math> Med andra ord har vi att <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.78</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.79</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.80</math> som kan förenklas enligt <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.81</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.82</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.83</math> eller <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.84</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.85</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.86</math> <math>C12=-c12...95.87</math> <math>C23=-c23...95.88</math> <math>C13=-c13...95.89</math> och enligt c'-matrisen ovan gäller <math>C12=C23=C13=-c12\propto ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.90</math> Delar man alltså dessa värden med determinaten och multiplicerar med <math>2\pi\epsilon_0...95.91</math> Så har man alla kapacitanser. När man specar upp p-matrisen verkar det som om man måste tänka på att E-fälten motverkar varandra för säg att potentialen vid 1 är positiv och potentialen vid 0 är negativ (vilket vi utgår ifrån när vi beräknar vår potentialskillnad) då måste den inducerade spänningen från en "fri" laddning motverka E-fältet mellan 1 och 0 för iom att ingen energi tillförs utifrån så kan inte nån "förstärkning" av E-fältet ske, samma gäller hur elektriska dipoler orienterar sig i ett dielektrikum när de utsätts för ett externt E-fält, dvs de vill inte vara med och motverkar fältet för det är det enda de kan göra. ==Exempel III, verklig tvåtrådskapacitans, prel== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance.png|thumb|Tvåtrådskapacitans]] Bild A kan man tolka enligt tidigare som <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_0*ln(a/d)+\rho_1*ln(d/a)</math> och pga laddningskoneservering så gäller att <math>\rho_0=-\rho_1</math> så att <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_1*ln(d/a)^2</math> eller <math>V_{10}=\frac{\rho_1*ln(d/a)^2}{2\pi \epsilon_0 }</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen som <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln(d/a)^2}</math> eller <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln(d/a)}</math> Denna formel gäller dock bara för d>>a För alla kablar så kan man till exempel ta till nåt som kallas spegling, detta går ut på att man placerar en negativ linjeladdning inuti själva ledaren, principen går ut på att göra ledarens hölje till en yta av konstant potential, potentialen från en laddad ledare kan skrivas (se 95.51) <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{r_o}{r}</math> där ro är en radie långt från ledaren, om man då placerar en negativ speglad laddning i den andra ledaren så får man total potential som <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_o}{r}-ln\frac{r_o}{r_i})</math> detta blir till <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_i}{r})</math> som för konstant potential (V) tydligen innebär att kvoten ri/r måste hållas konstant. Dom feta prickarna i B) är linjeladdningarna rho_l, figuren visar sedan att det finns en gemensam vinkel mellan dom två trianglarna POM respektive P'OM där P' är punkten för den speglade laddningen Eftersom ri/r är konstant och vi har en gemensam vinkel så fås rent geometriskt att <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> så att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> Om vi nu tittar på C) så har vi att <math>d=D-d_i=D-\frac{a^2}{d}</math> som ger en andra ordningens ekvation modell <math>d^2=dD-a^2</math> eller <math>d^2-dD+a^2=0</math> dvs <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> eller <math>d=\frac{D}{2a}+/-\sqrt{(\frac{D}{2a})^2-1}</math> coshyp kan sedan skrivas <math>cosh^{-1}(x)=x+\sqrt{x^2-1}</math> dvs <math>d=cosh^{-1}(\frac{D}{2a})</math> Kapacitansen hos en verklig tvåtrådskabel är alltså <math>C=\frac{\pi \epsilon}{cosh^{-1}(\frac{D}{2a})}[F/m]</math> Vi kommer komma tillbaka till speglingsmetoder lite senare. ==Fritänkande, hur en automover styrs upp mha kabel== Jag har precis fått ett intressant elektromagnetiskt problem av en vän som lite ligger i fas med mina studier, han undrar hur en robotgräsklippare kan känna av ledningar i marken, utan att jag anser mig förstå så mycket hävdar jag att ledningarna är kopplade till AC-fas på nätet dvs de svänger med +/-325V peak (och 50Hz). Enligt ovan har vi för statiska elektriska fält från ledningar att E fältet fås som <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}\propto\frac{Q}{R}</math> ur detta får man enligt ovan potentialen som <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR</math> eller <math>V=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L} ln \frac{d}{a}</math> dvs ju större avstånd (d) desto större potentialskillnad (relativt spänningen vid ledningens radie a) men eftersom potentialen är logaritmisk så planar den ut för större avstånd, samtidigt gäller tydligen <math>V\propto Q</math> I uttrycket för V ovan ser vi sen att potentialen är proportionerlig mot laddningen. Med andra ord pumpas eventuellt laddningar (elektroner) både ut och dras hem till nätet kring ett medelvärde som inte är noll Coulomb. Jordpotentialen kan således inte vara 0 Volt! Jordpotentialen måste ha ett värde högre än noll Volt för att det skall kunna bli en negativ spänning ty allt är relativt som han sa och när man bara besitter möjligheten med att "sätta" potential med endast en typ av laddfning så måste antalet elektroner/laddningar pendla kring ett medelvärde som är skilt från "0st". Men jag ser inga problem med att det eventuellt är så för vi vet ju att till exempel spetsiga byggnader attraherar laddningar och "tigger" om blixtnedslag pga stort E-fält (~Q/S, där S är spetsens yta) och dom gör det för att laddningar finns på jordytan och därmed är jordpotentialen inte noll! Nästa steg i frågan är hur Automovern kan känna av ledningarna i marken. Jag tror att eftersom det slussas laddningar in och ut på ledningarna för att följa nätets potentialförändring så skapas det faktiskt ett magnetfält trots att det inte går nån ström i egentlig mening. Magnetfält skapas alltså alltid av laddningar i rörelse och har man magnetfält så kan man enkelt kalibrera sin Automover till att känna av en viss inducerad potential enligt Faraday's induktionslag i en spole med x antal varv. Jag vet inte om jag har rätt i detta men det känns ganska bra, det som inte känns bra är ström i öppen ledning. ==Fritänkande, potential vid näsan== Jag kommer senare visa att följande gäller för punktkällor (och vad jag tror, sfärer av homogen laddningsdensitet). <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> Luft bryter ihop vid ungefär 3kV/mm. Jordens radie är 6370km. Hur många Q kan jorden härbärja innan det sker ett (blixt)genombrott? <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}=3E6</math> dvs <math>Q \approx 10^{-10}*R^2*3E6=1,4 * 10^{10}</math> så maximal mängd laddning är alltså nånstans <math>Q=10^{10}</math> som jorden kan härbärja innan genomslag, man kan sedan räkna ut Jordens potential relativt oändligheten som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> vilket ger en potential på ungefär 10^13V. Denna spänning är dock relaterad till spänningen i oändligheten, i själva verket har vi ju typ näsan en meter ovanför jorden och då blir potentialen <math>V=-\int_{R+1}^RE \cdot dR</math> som man kan skriva om som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}[\frac{1}{R}-\frac{1}{R+1}]</math> vilket resulterar i en maximal potential vid näsan på runt 1V :) Just nu får jag dock typiskt 1MV :D ==Fritänkande, hur en automover vet vilken sida om kabeln den befinner sig på== Jag har precis fått veta att den legendariska automovern faktiskt kan känna av på vilken sida om ledningen den befinner sig, detta gör att teorin om ren Faraday's induktion inte räcker. På bussen idag kom jag dock på att det finns en manick som kallas Hall-Effect:Sensor (HES), den här rackaren kan alltså tom indikera statiska magnetfält. Om vi nu lägger till min mycket amatörmässiga idé om att antalet laddningar på ledningen aldrig är noll utan potentialen fås som en variation kring ett medelvärde så kan detta eventuellt ge nåt. För automovern är ju "galvaniskt" isolerad från ledningen varför den kanske upplever "bara" plus vad gäller potential, typ. Detta gör i sin tur att magnetfältet från de elektroner som rusar ut och dras in på ledningen kan vara av typ stadig "nord" eller nåt, i vilket fall kanske den aldrig byter polaritet och med en HES ombord kan man då få automoverna att fatta på vilken sida om ledningen man kör. Ett lekfullt exempel är att om man lägger en ledning med "230V-fas" i ett U och låter automovern löpa fritt inom U då kan det alltså bli som så att automovern typ alltid riktar höger sida mot ledningen för HES är inställd på det tecknet hos potentialen ut från HES. Snacka om svammel-bok jag håller på och skriver! ==Fritänkande, hur åska och åskledare fungerar== Jag håller ju på och läser elektrostatik, i ett kapitel talas det om hur åskledare fungerar. E-fältet vid övergång från luft till ledare kan tecknas <math>E_{1n}=\frac{\rho_s}{\epsilon_0}</math> dvs normalkomponenten av E-fältet är inom en proportionskonstant lika med laddningarna delat med arean. Så om arean i form av en spets är mycket liten så blir E-fältet mycket stort. Sen har jag förstått det som att det attraheras laddningar till åskledarspetsar men av MOTSATT tecken, vad nu det betyder. Dvs innehåller åskmoln bara elektroner? I det ideala fallet attraheras således "protoner" från marken för kraften är <math>F=qE</math> Jag tror att även om åskledaren är av ledande material så innebär detta nödvändigtvis inte att det måste vara elektroner som klättrar på åskledaren utan det kan eventuellt även vara joner. Detta för att på båda sidor hos en ledare i ett homogent E-fält så skapas det så kallade inducerade laddningar som i vissa formella fall faktiskt totalt motverkar E-fältet från säg en positron. Jag får intrycket att laddningarna här inte behöver vara av nån speciell typ eller tecken utan laddningar (joner/elektroner) kan eventuellt klättra på åskledaren. Detta om denna sida av problemet, men hur är det i molnet? Jag har generaliserat med att det finns elektroner i molnet, endast. Men det måste vara fel för plasmor finns inte naturligt på jorden eller i universum (annat än i stjärnor). Så hur kan det finnas fria elektroner i molnet? Och vilka är jonernas atomnummer? Dvs vad är det för joner som finns i molnen, rimligvis borde det vara väte och syre från vatten. För eventuellt är det som så att kosmisk strålning joniserar vattenmolekyler som ju avdunstar uppåt. Men varför är molnet "polariserat"? Om kosmisk strålning joniserat vattenånga, vad får elektroner och joner att hållas isär? Märk att Coulombs lag säger att lika laddning repellerar och olika laddningar attraherar. Så hur kan det finnas ett överskott på laddningar (av ett visst tecken) överhuvudtaget i ett moln? Jag fattar inte det här. ==Fritänkande, allt har kapacitans== Man kan räkna ut kapacitans för saker genom att först teckna E-fältet som rätt allmänt ändå kan tecknas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat R </math> sen kan man räkna ut potentialskillnaden hos en sfär med en inre dielektrisk sköld av dielektrika där Ri är inre radien och Ro yttre där man alltså går MOT fältet. <math>V_{ab}=-\int_{Ro}^{Ri} E\cdot dR</math> vilket ger <math>V_{ab}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}(\frac{1}{Ri}-\frac{1}{Ro})</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen genom att helt enkelt vända på uttrycket för potentialen och ta bort Q. Om nu dielektrikat är vakuum och vi har en stor yttre radie så går potentialen mot <math>V_{ab}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R_i}</math> som alltså innebär att <math>C=4\pi\epsilon_0 R_i</math> dvs allt har kapacitans! Till exempel så är kapacitansen för en proton -25F (testa Ri=-15m) Jag har beslutat mig för att börja räkna på ett annat sätt dvs bara 10-potenser, precisionen blir då inte jättebra men jag kan tycka att en halv tiopotens (3,16ggr) är tolerans nog när man ändå inte vet vad man snackar om :) ==Fritänkande, fält-emission== Eftersom E-fältet är stort kring spetsiga saker så är också kraften enligt <math>F=qE</math> stor. Om man flyttar in detta resonemang till en situation där man typ har en plattkondensator med luft mellan plattorna och anoden kopplad till en spets av blyerts som föres nära katoden så borde man kunna få en ström utan att anodspetsen rör katoden. Det som måste överbryggas är elektronens utträdesarbete ur metallen. Elektronrör nyttjar värme men nu är katoden kall. Jag har försökt fatta hur E-fältet spelar teoretisk roll i det här sammanhanget men fattar inte riktigt fast eventuellt gäller att spänning är energi dvs <math>W=qU=q\int E\cdot dl</math> dvs arbetet utgörs av att E-fältet jobbar på en laddning under en viss sträcka. Frågan är vad dl är? Arbete sker ju alltså över en sträcka, så vad är dl? Jag har lite fattat det som att ledningselektroner finns i så kallade ledningsband (energiband) i metaller. Och till skillnad från varm katod så finns inte elektronerna på ytan av metallen, dom finns en (fysisk) bit in. Är det det som är dl? ==Fritänkande, energi hos en klump laddningar== Jag har nu fått lära mig tre sätt att teckna energin hos en klump laddningar och de är <math>W_e=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n Q_kV_k</math> och <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{V'} \rho V dv</math> och om man sätter in <math>\nabla \cdot D=\rho</math> så får man <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{V'} E \cdot D dv</math> där V' är den volym där laddningarna finns. Den första ekvationen speglar tydligen bara "mutual energy" för man kan skriva <math>W2=Q2V2</math> där Q2 har bringats flytta från oändligheten till tunkten i fråga. Eftersom vi antar att vi minst har en laddning till som inducerar så kan skriva om denna ekvation enligt <math>W2\propto Q2\frac{Q1}{R12}</math> men denna kan samtidigt skrivas som <math>W2\propto Q1\frac{Q2}{R12}</math> vilket innebär att för två laddningar så blir energin <math>W_e=\frac{1}{2}(Q1V1+Q2V2)</math> Vk kan sedan tecknas <math>Vk=\sum_{\frac{j=1}{/jk}}^n \frac{Qj}{Rjk}</math> Jag har försökt koda att j inte får vara lika med k, därav de krångliga krumelurerna. Det intressanta med uppgiften där man från början kanske har bara två laddningar är att dessa laddningar alltså inducerar spänning hos varandra dvs Q1 inducerar V2 och Q2 inducerar V1. En annan intressant aspekt är att det alltid kommer att handla om inbördes avstånd dvs "R12" samtidigt som jag fått lära mig att energin hos en sfärisk jämn laddningsfördelning är (och jag anser lite försiktigt att detta är self-energin) <math>W_e=e\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> ty det är inte annat än potentialen i eV egentligen men multiplicerat med e blir det i Joule. För att förenkla kan man säga att potential är energi. Energin för en proton blir på detta sätt ungefär +6eV. Om man leker med tanken att Q1=Q2=e och V1=V2 (dvs på typ samma avstånd från oändligheten) så har man att <math>W_e(descrete)\propto e^2/R12</math> där R12 är avståndet mellan laddning 1 och 2, och om man tittar på vad jag skulle vilja kalla "self-energy" så har man <math>W_e(self)\propto e^2/b</math> där alltså radien är b och kvoten mellan energierna således <math>\frac{R_{12}}{b}</math> med fördel för self för att atomer kommer helt enkelt inte så nära varandra som den energi kärnan hos en atom har på randen. Jag skulle vilja påstå att den här kvoten är minst +5 för elektronerna susar omkring på ett rejält avstånd från kärnan (Bohr-radien är typ 100000ggr större än kärnans radie) vilket i praktiken gör att den enda energi man behöver ta hänsyn för hos en atom är self ==Fritänkande, bygge av E-kanon== Jag har haft funderingar på att bygga en E-kanon :) Jag har fått lära mig att E-fält faktiskt strålar genom allt. Det får påverkan medans det strålar genom olika typer av material men på andra sidan fortsätter det bara. E-fältet från en "strålande" punktformad laddning är <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> dvs den går som <math>E\propto \frac{1}{R^2}</math> och den gör det genom alla material. Det intressanta är sedan vad som verkligen händer när ett E-fält möter en bit metall där alltså E-fältet i metallen är noll bland annat för att det inte finns några fria laddningar inuti metallen. Eftersom E inuti metallen är noll så blir netto strålad E noll på ett sådant sätt att E-fältet från laddningen visst har E vid plåten MEN plåten vänder fullständigt på dess E-fält modell induktion och E-fältet vid metallen blir noll. Lite hafsigt kan jag sedan säga att detta lite även gäller dielektrika för även om E-fältet i dielektrikat inte kompenseras bort fullständigt så blir det de facto en kompensation som gör att E-fältet genom ett dielektrika sjunker rätt rejält, hur mycket beror på permitiviteten och därmed polarisationen. Så oavsett vad man har för material i vägen för E-fältet så dels sjunker E-fältet i mediat, dels fortsätter det på andra sidan. Har man en metall i vägen så innebär det alltså att det induceras laddningar på dess yta och det är det jag säger ovan. Med andra ord kan man kanske fånga elektroner genom att "bestråla" en metall med E-fält och bara mäta potentalskillnaden mellan "front" och "bakstycke". Det låter absurt för plåten har noll resistans :) Men enligt vad jag har lärt mig så verkar det ändå gå (dock inget sagt om voltmeterns resistans). Återstår då att bygga en E-kanon. Om det nu är möjligt men jag lurar på om inte två platta metallbitar modell en plattkondensator med ett litet hål i katoden kan utgöra en "E-kanon". Elektrostatik är noga med att vinkeln mellan "E-fältstrålarna" och de ekvipotentiala metallytorna är 90 grader. Om man då tänker ett hål i en plåt... Vad händer? Jag tror att E-fält kommer sippra igenom hålet men vända tillbaka efter en "stund". Frågan är hur långt "E-fältstrålen" kommer innan den tvingas vända? Det är den första frågan, dena andra är om jag kan lyckas detektera den på det sätt jag tror. ==Fritänkande, hur seriekopplade kondensatorer får samma Q== Om man säg har ett torn med dielektrika och metallplattor med jämna mellanrum så har man ju i praktiken seriekopplade kondensatorer. Jag har fått lära mig att när man seriekopplar kondensatorer så får alla plattor samma Q. Hur går det till när "plast" inte leder ström? Jag har tänkt en hel del på detta och tror mig kommit fram till nåt. Säg att du har en isolerad laddning Q, och det lite längre bort finns ett metallskal, i metallen kan inga E-fält finnas (och inte fria laddningar) varvid E=0 i metallen. Inte jättesvårt att förstå men det intressanta är att det induceras laddningar på metallen som skapar ett såpass stort motriktat E-fält att E=0 i metallen! På ytan av metallen finns alltså +/-:laddningar där alltså minus är överskott på elektroner och plus är underskott. Metallen motverkar alltså fullständigt E-fältet. Om man istället tittar på ett dielektrika så uppför det sig faktiskt rätt snarlikt, om permittiviteten är hög så blir kompensationen pga polarisationen stor och kompenserar nästan helt laddningens E-fält. Det intressanta är dock att dielektrika innehåller dipoler och alltså inga fria ladddningar. En tanke jag har vad beträffar vad som händer när man först slår på en spänning över en serikopplad kondensator är att dipolerna vänder arslet mot E-fältet, dom vill helt enkelt inte vara med! Jag har fått denna idé pga ett enkelt exempel av Cheng där det riktas ett externt E-fält mot ett dielektrika och alla dipoler riktar in sig med fältets riktning. Vilket håll tänker man lätt. Men svaret är faktiskt väldigt enkelt för eftersom man inte tillför nån energi så kan inte E-fältet förstärkas utan det måste försvagas. Samma gäller vår kondensator tänker jag. Och om dipolerna ligger huller om buller innan tillslag så är det rimligt att tänka sig att under det "transienta" tillslaget så rättar dom in sig så att dom motverkar E-fältet (som i detta fallet är enkelt dvs V/d) och iom att E-riktningen internt hos dipolerna är från plus till minus och dom vill motverka fältet, då måste dom vända arslet uppåt! Vilket man kanske kan se som att dielektrikat "gräver" upp elektroner från katoden och dumpar det på anoden? På den översta plattan får vi då elektroner trots att plast inte leder ström och dessa kommer accelereraras med den sugande kraften av batteriets Emk till katoden där allt stabiliserar sig. Men med noll Ohm som seriemotstånd vid spänningstillslaget lär det bli adjöss med både batteri och kondensator :D Polarisationen är sedan <math>P=(\epsilon_r -1)\epsilon_0 E</math> och man kan visa att polarisationsytladdningstätheten är <math>\rho_{ps}=P \cdot \hat n</math> vilket, eftersom P följer E's riktning, ger vid handen att uppifrån i vår kondensator så är ytladdninstätheten på toppen <math>P (-\hat y) \cdot (- \hat y)=+\rho_{ps}</math> och på botten <math>P (-\hat y) \cdot (+ \hat y)=-\rho_{ps}</math> riktningen för n är alltid in i mediat. Vilket bevisar att +Q/S är på de övre plattorna och -Q/S på de nedre och etersom P är proportionerligt mot E som är konstant här, så får alla plattor samma ytladdningstäthet. När man seriekopplar kondensatorer brukar man säga att Q är konstant men ovan visar att det rent strikt inte är Q som är konstant utan ytladdningstätheten, Q/S. ==Fritänkade, den energi som går åt att bygga en klump laddning== Jag var igår mycket osäker på det här och började skriva om det men internet gick ner så jag tappade allt. Nu har jag fått tänka om och faktiskt blivit lite klokare, tror jag. Man kan räkna ut energiåtgången för att bygga en klump laddning på minst två sätt, båda genererar <math>W_e=\frac{3}{5}V(b)...[eV]</math> där V(b) är den "klassiska" egen-energin enligt mig för det är den energi laddningsklumpen har när man ser till det arbete som krävs för att flytta en enhetsladdning från oändligheten till punkten ifråga, jag kallar det för "bias-energi". V(b) kan man sedan teckna som linje-integralen av E-fältet från oändligheten till punkten i fråga (alltså, mot fältet) <math>V=-\int_{-\infty}^b E \cdot dR</math> där E för en punktladdningsformad sak blir enligt Gauss's lag <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> varför <math>V(R)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> som med radien b insatt blir <math>V(b)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> detta kallar jag alltså bias-energi hos vår sfäriska laddningsfördelning, differentialen av V(R) blir sedan <math>dV(R)=-\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR</math> där alltså <math>\frac{dV}{dR}<0</math> vilket verkar innebära att integrering skall ske utifrån och in för att få ett positivt resultat samtidigt som detta inte är hela sanningen för potential ökar alltså när man närmar sig en laddning, nu till det intressanta, ett korrekt sätt att räkna ut energin för skapandet av en laddningsklump som vi kan kalla kärna ger alltså <math>W_e=\frac{3}{5}V(b)...[eV]</math> Om vi annars tittar lite på vad som händer så händer följande (2/5 försvinner från V(b)): Vi befinner oss i två regioner där Q måste definieras olika dvs för första regionen UTANFÖR laddningarna får vi <math>Q_1=\rho*\frac{4\pi}{3}b^3</math> och för andra regionen INNANFÖR laddningarna får vi <math>Q_2=\rho*\frac{4\pi}{3}R^3</math> Jag vill sedan alltså se det som att detta alltid gäller <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> vilket ger för V_1 <math>V_1(R>b)=\frac{\rho}{3 \epsilon_0 R}b^3</math> vilket ger <math>dV_1(R>b)=-\frac{\rho}{3 \epsilon_0 R^2}b^3dR</math> sen har vi <math>V_2(R<b)=\frac{\rho}{3 \epsilon_0}R^2</math> och <math>dV_2(R<b)=\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}RdR</math> differentialen av energin blir sedan <math>dW_e=QdV</math> här tänker jag <math>W_e=\int QdV</math> detta kan dock integreras på lite olika sätt, om vi börjar utanför laddningarna så fås <math>W_e1=\int_{\infty}^{b} \rho * \frac{4\pi}{3}b^3*(-\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR)</math> som egentligen kommer av att potential skapas av att man släpar laddningen mot fältet, integrerad blir denna <math>W_e1=[\rho * \frac{4\pi}{3}b^3*\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}]_{\infty}^{b}</math> som man också kan se som <math>W_e1=\frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 b}=QV(b)</math> Detta kallar jag alltså bias-energi för den laddade kärnan har energi pga att den helt enkelt finns, jag kommer visa att det går åt 2/5V(b) för att också bygga kärnan (så det förloras alltså energi pga detta), om vi bara bygger kärnan kan man på grund av derivatan hos potentialen skriva <math>W_e2=\int_b^0 Q_2dV_2</math> och detta blir enligt ovan <math>W_e2=\int_b^0 \rho*\frac{4\pi}{3}R^3(\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}RdR)</math> eller <math>W_e2=[\rho*\frac{4\pi}{3}\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}\frac{R^5}{5}]_b^0</math> som blir <math>W_e2=-\frac{2*4\pi \rho^2}{9\epsilon_0}\frac{b^5}{5}</math> och om vi nyttjar definitionen av laddningstätheten rho så får vi <math>W_e2=-\frac{2*4\pi (\frac{Q}{4\pi/3})^2}{9\epsilon_0}\frac{b^5}{5}</math> vilket blir till <math>W_e2=-\frac{2}{5}V(b)</math> vilket gör att <math>W_e1+W_e2=\frac{3}{5}V(b)</math> vilket skulle visas. Dom här 2/5 tycks alltså gå åt för att bygga en klump laddning, om energin är V(b) eV så tycks det vara den energi som typ "brutto" en klump laddning har i kosmos och det är faktiskt inte så svårt att föreställa sig att det går åt energi för att bygga laddningsklumpen så dess totala energi måsta vara mindre än den på randen (som jag kallar bias-energi, V(b)). Jag är på hal is här men jag tror att man beräknar energin som V(b) när man termiskt försöker penetrera en kärna, om jag är i närheten av ha rätt så tjänar man faktiskt nästan en halv magnitud på att inse att man bara behöver komma upp i 2/5 V(b), ekvationen för en proton kan bli att se ut <math>\frac{2}{5}V(b)*e=\frac{3}{2}kT</math> dvs <math>kT=\frac{4}{15}V(b)*e</math> som faktiskt är mer är en halv magnitud mindre än eV, fast vad hjälper det när <math>eV(b)\approx -19-19+10+15=-13J=+6eV</math> och detta är alltså lite grovt lika med kT vilket ger <math>T=-13+23=+10K</math> ==Fritänkande, differentialekvationsträning medels en högtalares konutslag== Jag har tänkt tokigt mycket på detta under min bussresa idag. Tänker mig gummiupphängningen som en fjäderkonstant (ju större desto mer kraft krävs för att röra den). Sen tänker jag att det eventuellt finns två scenarion där det ena är att elementchassit är bom stilla och det andra är att membranet är bom stilla. Detta kan kanske ge två olika förflyttningar för membran respektive chassie. Klassisk fysik säger att en fjäder fäst i vägg med en vikt svänger enligt följande diffekvation <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx...1</math> och det finns ett par sätt att lösa denna på där jag börjar med min favorit dvs komplexa tal (som dock inte ger nån amplitudinformation utan mest att det svänger och vid vilken vinkelfrekvens) Säg att <math>x=x_0e^{jwt}</math> derivering en första gång ger då <math>jwx_0e^{jwt}</math> derivering en andra gång ger <math>-w^2x_0e^{jwt}</math> och detta är lika med <math>-w^2x_0e^{jwt}=-k[x_0e^{jwt}]</math> ur detta får man <math>w=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> som alltså bara ger svar angående att det svänger och med vilken frekvens det svänger. För att få svar på hur mycket det svänger krävs andra trick, dvs rena diffekvationer, följande gäller nog <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx</math> denna integrerar vi en första gång och får <math>v(t)=-kxt+C1</math> v(0)=0 vilket ger att C1=0, integrerar vi en gång till får vi <math>x(t)=-kx\frac{t^2}{2}+C2</math> x(0)=0 vilket ger att C2=0, alltså <math>x(t)=-kx\frac{t^2}{2}</math> fast jag har glömt m*vänsterledet och sen är det dikutabelt vilket t vi ska använda, först den kompletta ekvationen <math>x(t)=-\frac{k}{m}x\frac{t^2}{2}</math> Slutligen tror jag på att t skall väljas som T/2 ty vi avser repetitiva signaler här och efter T/2 vänder godtycklig periodisk funktion vilket gör att om man föreställer sig att accellerationen är ett steg så blir första integreringen en ramp och andra integreringen en parabel, parabeln liknar sen en sinus. Så genom att sätta in t=T/2 får man <math>x(t)=-\frac{k}{m}x\frac{1}{8f^2}</math> jag hade alltså en trevlig diskusion med en vän om hur man skulle kunna få elementchassit att vibrera mer, han föreslog att man skulle hänga på en vikt på konen och jag tror mig anse att formeln ovan gäller för ANTINGEN membranet ELLER elementchassit så det är bara att sätta in respektive massa. Det här nog fullständigt fel :D Ja, det är fel för båda x är x(t) som återigen kan förkortas bort dvs vi får inget svar på amplitud, ett lite mer seriöst försök är att komma med en ansats, går diffekvationen ut så är ansatsen riktig och efter en hel del trevanden så har jag kommit fram till att följande ansats fungerar <math>x=At^2+Bt+Ce^{-dt}</math> för se vad som händer vid första derivering <math>x\prime(t)=2At+B-Cde^{-dt}</math> som för <math>x\prime(0)=v(0)=0</math> ger att <math>Cd=B</math> vilket ger att <math>x\prime(t)=2At+B-Be^{-dt}</math> som vi deriverar igen och får <math>x\prime \prime(t)=2A+Bde^{-dt}</math> och <math>x\prime \prime(0)=a(0)=0</math> vilket ger <math>2A+Bd=0</math> med andra ord är <math>Bd=-2A</math> så att <math>x\prime \prime(t)=2A-2Ae^{-dt}=2A(1-e^{-dt})</math> Vilket är lösningen, dock vill vi hellre se på vårt utslag x(t) och med ovan randvillkor insatta får man <math>x(t)=A(t^2-\frac{2}{d}t-\frac{2}{d^2}e^{-dt})</math> Jag kan inte riktigt motivera det här men överst får vi en stationär (som jag kallar det) lösning vad gäller vinkelfrekvensen för systemet och jag repeterar pga lämplighet (som engelsmän säger) <math>w_s=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f_s</math> vilket jag tror d skall ersättas med för vi har antagit en avklingande funktion och då klingar t alltid av relativt en periodtid modell 1/w, jag kan sen gissa att t=T/2 ty konen är driven av en periodisk funktion som vänder vid T/2. Jag vet som vanligt inte vad jag snackar om men om mitt antagande är riktigt fås istället (nyttjar f=1/T) <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2}-\frac{2}{w_s}\frac{1}{2f}-\frac{2}{w_s^2}e^{-\frac{w_s}{2f}})</math> Min Tangband subbas har ungefär dessa data: k=1/300u N/m m=30g =>ws=300rad/s eller fs~50Hz då kan vi skriva <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2}-\frac{1}{300f}-\frac{2}{300^2}e^{-\frac{300}{2f}})</math> Blir inget klokare :) Fast för lite lägre frekvenser fås (den sista termen är så liten så den kan man räkna bort) <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2})</math> Hur låga? 1/300f måste alltså vara mindre än 1/4f^2 för min subbas, detta ger f<75Hz Så för frekvenser under 75Hz så rör sig min subbas kon som ovan dvs inverst relativt frekvens^2. Fick lära mig nåt intressant av min E-fältguro David K. Cheng idag dvs har man hittat en lösning till en diffekvation så är det den ENDA lösningen så eftersom "patiensen" gick ut ovan så har jag löst diffekvationen, hur man sen tolkar den är en annan sak. ==Fritänkande, brumanalys== Tycker PCB vad gäller rörförstärkare suger rent allmänt men när det gäller så små strömmar och spänningar som hos försteg så kan det eventuellt funka. Slutsteg komer jag dock alltid bygga i luften ty PCB är kasst på höga strömmar och höga spänningar. Nåväl, jag är på G med två RIAA-förstärkare som alltså luftbyggs. Vad är nu problemet? Jo, signalnivån är ynkligt liten och man riskerar lätt brum. Så hur ska man göra då? Jag kan inte säga att jag vet men jag har idèer modell Maxwell's ekvationer där två av dom fyra eventuellt kan skrivas: <math>V_{ind}=\oint E\cdot dl=-\int \frac{dB}{dt}\cdot dS</math> som också kallas för Faraday's induktionslag, andra ekvationen blir <math>I_{ind}=\oint H\cdot dl=I_{fri}+\int \frac{dD}{dt}\cdot dS</math> som jag tror kallas Ampere's lag, jag tror sen att Ifri typ är DC vilket vi alltså kan strunta i vad gäller brumaanalys, sen kan man förenkla ekvationerna på ett nästan barnsligt sätt (som dock är giltigt om B och D är homogena genom hela ytan S): <math>V_{ind}=-\frac{dBS}{dt}=-\frac{d\phi}{dt}=-L\frac{di}{dt}...1</math> <math>I_{ind}=\frac{dDS}{dt}=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}...2</math> Med andra ord induceras en spänning i en slinga (S) om det finns en tidsvarierande magnetisk flödestäthet (B) i närheten samtidigt som det induceras en ström i en ledares area (S) om det finns en tidvarierande elektrisk flödestäthet (D) i närheten. Detta kan eventuellt ses som om man har en slinga och den terminerar i ett motstånd typ ingångsmotståndet till röret och motståndet är av lite storlek, då blir den inducerade strömmen inte så stor och bara 1 gäller. Om slingan terminerar i ett litet motstånd så borde dock även 2 behöva komma med i beräkningarna ty det kan då gå ström. D är förresten epsilon gånger E där E är den elektriska intensiteten med enheten V/m, intensitet när det gäller "saker" per sträcka har jag hittat på, utöver x/m som intensitet kallar jag x/m^2 som täthet och x/m^3 som densitet (även om densitet lite är reserverat för kilo/m^3) ==Fritänkande, divergens hos tryck-fält== Häromdan blev jag att tänka på en eventuell analogi till postulatet <math>\nabla \cdot D=\rho</math> där jag kallar D för laddningstryckfältet, rho är sen volymsladdningstätheten som jag skulle vilja kalla laddningstätheten, således borde man kunna skriva <math>\nabla \cdot p=\rho</math> där p är det gravitationella tryckfältet från en massa och rho är densiteten (eller masstätheten) för vi kan ju normalt skriva <math>\oint D\cdot \hat n dS=Q</math> och vi kan det för <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot Ddv=\oint D \cdot \hat n dS==Q</math> Men vi skulle kanske även kunna skriva <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot pdv=\oint p \cdot \hat n dS==m</math> där p är trycket modell ett tryckfält som strålar från en massa likt ett gravitaionsfält. Gauss lag säger oss att en liten punktladdning (Q) ger upphov till ett laddningstryckfält (D) som strålar isotropiskt och innebär att omman kan hitta en Gaussisk area som hela tiden är vinkelrät mot D-fältet, så kan man räkna ut D-fältet helt enkelt genom att dela laddningen med den sfäriska ytans area vilket resulterar i laddningstryckfältet (aka D-fältet). Jag tror man kan göra på samma satt med en massa (m) men då har man istället ett gravitationellt tryckfält (p) som massan gett upphov till ty p från en liten punktmassa är isotropiskt, uträkningarna verka kunna fungera på samma sätt som enligt Gauss lag ovan med det enda förbehållet att svaret blir en något udda enhet modell masstryck dvs massa per ytenhet. Jag tror faktiskt att man kan räkna på det här sättet, kruxet kan dock i praktiken vara att det gravitationella tryckfältet fältet p inte strålar isotropiskt ty planeten jorden håller ju kvar oss på ytan... Man kan skriva ovan på ett annat sätt genom att anta att <math>\nabla \cdot p=a\rho</math> då får man <math>\int a \rho dv=\int \nabla \cdot pdv=\oint p \cdot \hat n dS==am</math> om nu tryckfältet p är isotropt och vinkelrätt mot ytan så blir <math>p=a\frac{m}{4\pi R^2}</math> enhetsmässigt står det alltså här a*masstrycket, dvs om <math>a=4\pi GM</math> så är a*masstrycket lika med den gravitationella kraftfältet F mellan två massor. Här är det rätt viktigt att notera att a också måste vara isotrop, linjär och homogen för det är bara då man kan integrera upp masstätheten som jag gjort. ='''Elektromagnetisk Fältteori'''= Detta kapitel behandlar laddningar som dels är stilla (elektrostatik) dels är i rörelse (elektrodynamik). Jag har efter noga övervägande kommit på att jag vill ändra nomenklaturen lite, jag har alltid ojjat mig över hur olika lektorer inom typ samma ämne nödvändigtvis måste ha olika beteckningar på saker men nu gör jag lite likadant. Jag kommer således köra med följande: 1) E (Electric Field Intensity) Elektrisk Fältstyrka får ha kvar sitt svenska namn [V/m] 2) D (Electric Flux Density) Elektrisk Flödestäthet döps om till Laddningstryckfält [C/m^2=As/m^2]. 3) H (Magnetic Field Intensity) Magnetisk Fältstyrka får ha kvar sitt namn [A/m] 4) B (Magnetic Flux Density) Magnetisk Flödestäthet döps om till Magnettryckfält [T=Vs/m^2] 5) rho_v (Volume Charge Density) Volymladdningstäthet döps om till Laddningstäthet [C/m^3] 6) rho_s (Surface Charge Density) Ytladdningstäthet döps om till Laddningstryck [C/m^2] 7) rho_l (Line Charge Density) Linjeladdningstäthet döps om till Laddningstyrka [C/m] 8) rho (Mass Density) Densitet döps om till Masstäthet [kg/m^3] 9) Q=laddning [C] 10) Phi=magnetism [Vs=Weber] Kort och gott, x/m kallar jag Styrka, x/m^2 kallar jag Tryck och x/m^3 kallar jag Täthet, när det gäller vektorer lägger jag dock till ordet fält. =Definition av Elektrisk Fältstyrka och Gauss Lag= [[File:Fusion Point Charge.png|thumb|Visar E-fältet från en punktladdning.]] Elektrisk fälstyrka definieras <math>E=\frac{F}{q}...96.1</math> som alltså har enheten N/C även om dess enhet är mer allmänt känd som V/m, vi kan leka lite med enheter och får <math>\frac{N}{C}=\frac{Nm/m}{C}=\frac{J/m}{C}=\frac{Ws/m}{As}=\frac{VAs/m}{As}=\frac{V}{m}...96.2</math> Det här var ett trivialt exempel men jag har fått lära mig att enhetskontroll på grejerna bidrar till högre sannolikhet att man klarar tentan, en variant av definitionen är <math>F=qE...96.3</math> Som alltså innebär kraft i Newton per laddning och fältstyrka, sen visar jag två fundamentala postulat hos E-fältläran, dessa är <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...96.4</math> för E-fält i vakuum, det andra postulatet är <math>\nabla X E=0...96.5</math> och det är dessa två postulat som bygger hela elektrostatiken. Det första postulatet visar alltså att E-fältet divergerar i rho med en proportionalitetskonstant, detta betyder att E-fältet typ "landar" eller utgår från laddade kroppar. Det andra postulatet visar att E-fältet är "virvelfritt" dvs det finns inga virvlar, det bara landar normalt till laddade kroppars ytor. En punktladdning strålar lika mycket E-fält åt precis alla håll (rimligen), om laddningen är Q så är laddningstrycket <math>\rho_s=\frac{Q}{4\pi R^2}...96.6</math> dvs den laddning man har per areaenhet vid ett visst avstånd R, enligt tidigare vet vi att <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...96.7</math> eller <math>\nabla \cdot D=\rho...96.8</math> integrerar man upp det här mha Gauss Teorem så får man <math>Q=\int \nabla \cdot D dv=\oint D \cdot \hat n dS...96.9</math> som bär namnet Gauss Lag, för enklare symmetrier som vår punktladdning får man således <math>D=\frac{Q}{4\pi R^2}...96.10</math> eller <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...96.11</math> Här ser man att D-fältet helt enkelt är laddningsdtrycket rho_s, delar man med epsilon får man E-fältet Jag brukar lite lekfullt skriva Gauss lag som <math>E=\frac{Q_T}{\epsilon S_G}...96.12</math> där Qt står för "sändande Q" och Sg står för "Gaussian Surface" dvs den yta som ligger vinkelrätt mot E-fältets utbredning, kan man således hitta en sån area så funkar formel rakt av, MEN det gäller att arean hela tiden är vinkelrät mot fältet. =Coulombs Lag och potential= [[File:Fusion Contour Work 2.png|thumb|Arbete runt en sluten kontur]] Eftersom definitionen av E-fält innebär <math>F=qE...97.1</math> och E-fältet för en punktladdning kan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}...97.2</math> så blir kraften <math>F=qE=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 R^2}...97.3</math> som också kallas Coulombs Lag vilken visar kraften mellan två punktladdningar. Potential kan sedan härledas från det arbete som krävs för att flytta en laddning från oändligheten till punkten ifråga, man kan skriva detta som <math>V=-\int_{-\infty}^{P} E\cdot dl...97.4</math> där arbetet alltså sker mot fältet, i själva verket ska allt multipliceras med q för att få Joule men om man skippar det får man energin i eV istället vilket är lite mer vedertaget, minustecknet visar att arbetet sker mot fältet. Arbetet runt en sluten kontur är alltid noll vilket innebär att om man står på en höjd bland berg och dalar och går ner och upp i dalarna varvid man kommer tillbaks till samma plats så är arbetet noll. Man kan se det som att lägesenergin är samma i slutet som i början vilket är upprinnelsen till Kirschoffs spänningslag där ett varv i den elektriska slingan innebär att potentialen i början är samma som i slutet, detta kan tecknas <math>W=\oint F\cdot dl=q\oint E\cdot dl=0...97.5</math> det sista uttrycket kan sedan tecknas över två konturer som <math>\int_{C1} E \cdot dl + \int_{C2} E \cdot dl=0...97.6</math> eller <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl + \int_{P2}^{P1} E \cdot dl=0...97.7</math> vilket ger <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl = -\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...97.8</math> eller <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl = \int_{P1}^{P2} E \cdot dl...97.9</math> V.S.V Kom dock ihåg att detta bara gäller vektorer, för funktioner eller skalärer gäller inte detta vilket jag bevisar i nästa kapitel. =Vektoriellt arbete vs skalär linjeintegral= [[File:Fusion Integrating Loop.png|thumb|En väg att integrera efter]] Om vi börjar med skalär linjeintegral runt den slutna konturen OAB så får vi om vi nyttjar att r=3 <math>\oint r dl=\int_0^3 xdx + \int_0^3\sqrt{9-x^2}dx + \int_3^0 ydy...98.1</math> man får detta t.ex pga att <math>x=rcos\phi...98.2</math> som är lika med r i x-led ty phi är noll, jag har förenklat en aning av tydlighetsskäl, det är sedan enkelt att se att integrationen i y-led är negationen av integrationen i x-led så dessa två tar ut varandra, kvar har vi <math>\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx...98.3</math> denna är lite lurig att integrera men den primitiva funktionen till <math>\int \sqrt{b-x^2}dx...98.4</math> är enligt Beta <math>\frac{\sqrt{b-x^2}}{2}+\frac{b}{2}arcsin({x \sqrt{\frac{1}{b}}})...98.5</math> med b=9 och integrationsgränsena insatta får vi <math>\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx=\frac{3}{2}(\frac{3}{2}\pi-1)...98.6</math> Den skalära funktionen r kan sedan till exempel multipliceras med 2pi och motsvara godtycklig omkrets. Om vi nu istället tittar på arbete runt vår slutna kontur modell <math>W=\oint F\cdot dl=q\oint E\cdot dl...98.7</math> och tittar på <math>\oint r\hat r \cdot dl...98.8</math> som är likamed <math>\int_0^3x\hat x\cdot \hat x dx+\int_0^{\pi/2}r\hat r\cdot rd\phi \hat \phi + \int_3^0 y\hat y \cdot \hat y dy...98.9</math> Det är enkelt att se att den första och den sista integralen tar ut varandra, kvar blir <math>\int_0^{\pi/2}r\hat r\cdot rd\phi \hat \phi...98.10</math> Här räcker det sedan att titta på skalärprodukten av <math>\hat r \cdot \hat \phi...98.11</math> som är ortogonala och därmed noll. Med andra ord är arbetet runt en sluten kontur när det finns nåt slags fält noll, man kan se det lite såhär att säg att du släpar på en stenbumling på friktionsfri is, för minsta hastighetsökning krävs en kraft som i vårt fall är riktad radiellt för man kan se ovan exempel som <math>r\hat r=F_r\hat r...98.12</math> Och då har man en kraft i radiell led, men vad händer om hantaget vinklas? Jo, ingenting annat än att man kanske lyfter stenbumligen mer men det är i alla fall inget arbete att vinkla handtaget. =Elektrisk fältstyrka från ett gäng laddningar= [[File:Fusion Field From Charge.png|thumb|E-fält från en punktladdning i rymden]] Jag anammar härmed Cheng's notation att källkoordinater är primmade medans fältkoordinater är oprimmade. Man kan skriva E-fältet från en punktladdning "off-axis" enligt figur som <math>E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot q\frac{R-R^\prime}{|R-R^\prime|^3}...99.1</math> På detta sätt får man nämligen med enhetsvektorn som normalt är <math>\hat R=\frac{R}{|R|}...99.2</math> Superposition funkar i dessa kretsar också så för ett antal qk kan man skriva <math>E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \sum_{k=1}^n q_k\frac{R-R_k^\prime}{|R-R_k^\prime|^3}...99.3</math> Alla R är här alltså vektorer. =E-fält från en dipol= [[File:Fusion Electric Dipole Field.png|thumb|E-fält från en dipol]] Använder vi vektorbeteckningarna enligt bild och nyttjar att potentialen från en ponktladdning kan skrivas <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}...100.1</math> så kan vi med hjälp av vektoridentideterna <math>R+=R-d/2...100.2</math> och <math>R-=R+d/2...100.3</math> teckna potentialen i godtycklig punkt P enligt superpositionsprincipen dvs <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}(\frac{1}{R+}-\frac{1}{R-})...100.4</math> ty laddningarna är av olika tecken, om vi utvecklar vidare så innebär detta att potentialen går som <math>V\propto \frac{1}{R+}-\frac{1}{R-}...100.4</math> eller <math>V\propto \frac{1}{R-d/2}-\frac{1}{R+d/2}...100.5</math> som kan arrangeras om enligt <math>V\propto \frac{R+d/2-(R-d/2)}{R^2-(d/2)^2}...100.6</math> som på lite längre avstånd övergår i <math>V\propto \frac{d}{R^2}...100.7</math> dvs potentialen från en dipol kan skrivas <math>V=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d}{R^2}...100.8</math> eller <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{R^2}...100.9</math> där p kallas det elektriska dipolmomentet (p=qd), nu snackar vi dock vektorer och dom har speciellt rktning, det är lätt att inse att vektorn d har riktningen i z-led, dvs det är vad som finns i z-led som bygger potentialen, den delen av potentialen som finns i z-led kan man teckna som en skalärprodukt enligt <math>p \cdot \hat R...100.10</math> så att formeln ovan egentligen ska vara <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}...100.11</math> Observera att nettodimensionen fortfarande är 1/R ty p har dimensionen "R". Jag borde egentligen visat detta för E-fält eftersom vi inte kommit till potential än men dels är det lite knöligare att visa detta för E-fält från ett par punktladdningar dels är det i regel enklare att derivera saker än att integrera saker då E-fältet kan fås från ovan genom vektoridentiteteten <math>E=-\nabla V...100.12</math> där nabla är en deriveringsoperator i tre dimensioner som jag kommer återkomma till. =Strålning från en dipol= [[File:Fusion Radiation Diagram.png|thumb|Strålningsdiagram från en dipol]] Denna ekvation enligt ovan <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> kan skrivas om som <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p cos\theta}{R^2}</math> där theta räknas uppifrån och ner, detta ger alltså potentialen som proportionell mot cos(theta), definitionen av det elektriska fältet är sedan också enligt ovan <math>E=-\nabla V</math> där vi bara är intresserade av vad som händer för vinkeln theta dvs <math>E\propto sin\theta</math> vilket ger vidstående strålningsdiagram, normalt betyder annars deriveringsoperatorn nabla <math>\frac{dV}{dR}\hat R + \frac{dV}{Rd\theta} \hat \theta</math> Observera att E-fältet alltid är vinkelrätt mot potentialen =E-fält från en laddningsmängd= [[File:Fusion Far-Field E-field.png|thumb|E-fältet från en klump med laddning]] E-fält från en punktladdning kan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat R</math> Potentialen hos en sån punktladdning kan sedan beräknas enligt <math>V=-\int_{-\infty}^R E \cdot dR=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> genom att föreställa sig släpandet av en enhetsladdning från oändligheten mot fältet (därav minustecknet) till punkten ifråga, med andra ord har vi <math>dE=\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> som differential i ena fallet och <math>dV=\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R}</math> i andra fallet där det i båda fallen alltså handlar om en en rymdladdningstäthet (rho) som kan integreras upp till en laddning Q, primmade koordinater anger alltså källan så att man kan skriva <math>E=\int_{V'}\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> för E-fältet på lite avstånd och <math>V=\int_{V'}\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R}</math> för potetialen på lite avstånd. Utöver rho finns två varianter till nämligen rho_s som är en ytladdningstäthet och rho_l som är en längdladdningstäthet, totalt genererar detta alltså sex stycken integralformler men skillnaden är principiellt så liten så jag listar dom inte här. Det behöver sedan inte vara så stora avstånd men för till exempel E-fältet från en större klump med laddning på nära håll så skulle både enhetsvektorn och R variera under integreringen, dessutom kan rho variera. =E-fält från en stång med homogen längdladdningstäthet= [[File:Fusion Charged Rod.png|thumb|E-fält från en laddad stång]] Med hjälp av ovanstående formler kan vi teckna potentialen som <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dz'}{z-z'}</math> där rho_l lyfts ur integralen ty den är konstant och sträckan R är z-z' där primmade koordinater alltså reprensenterar källan, vi får då uttrycket <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}[-ln(z-z')]_{-L/2}^{L/2}</math> eller <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}[ln(z-z')]_{L/2}^{-L/2}</math> så att potentialen blir <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}ln(z+L/2)-ln(z-L/2)</math> eller <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{(z+L/2)}{(z-L/2)}</math> där z>L/2 och eftersom vi bara kan derivera i z-dimensionen kan man skriva <math>E=-\frac{dV}{dz}\hat z</math> och när vi gör deriveringen får vi <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}\frac{(z-L/2)}{(z+L/2)} \cdot ((z-L/2)^{-1}+(-1)\cdot(z+L/2)(z-L/2)^{-2})\hat z</math> vilket ger <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}\cdot ((z+L/2)^{-1}-(z-L/2)^{-1}) \hat z</math> gemensam nämmnare modell <math>(z+L/2)\cdot(z-L/2)=z^2-(L/2)^2=N</math> ger <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0 N}\cdot ((z-L/2)-(z+L/2)) \hat z</math> eller <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0 N}\cdot -L \hat z</math> alltså är E-fältet <math>E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{L}{z^2-(L/2)^2} \hat z</math> =E-fält från en oändligt lång stång= [[File:Fusion Rod E-Field.png|thumb|E-fält från en lång stång]] Vi börjar från andra hållet här, E-fältet kan enligt ovan tecknas <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{R^2}\hat R</math> som man kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'(r\hat r-z' \hat z)}{R^3}</math> och eftersom det råder symmetri i z-led (ganska nyttigt att tänka på sånt) så behöver det bara integreras i r-led enligt <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'r\hat r}{R^3}</math> där R^3 kan utvecklas som <math>R^3=(r^2+z'^2)^{3/2}</math> ty R är hypotenusan, då får vi <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'r}{(r^2+z'^2)^{3/2}}\hat r</math> Jag kommer just nu inte ihåg hur man löser den här integralen, nu har jag listat ut det <math>E=\frac{\rho_L r}{4\pi \epsilon_0}[\frac{1}{r^2}\frac{z'}{(r^2+z'^2)^{1/2}}]\hat r</math> bara för att det är skoj och nyttigt att verifiera kan vi derivera ovan där vi skippar prefix, då får vi <math>\frac{1}{(r^2+z'^2)^{1/2}}-\frac{z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}</math> om vi nu förlänger första termen med <math>(r^2+z'^2)</math> så får vi <math>\frac{r^2+z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}-\frac{z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}</math> där man ser att bara r^2 blir kvar som vi delat bort i vårt prefix, integralen blir alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi r\epsilon_0}[\frac{z'}{(r^2+z'^2)^{1/2}}]_{-\infty}^{\infty} \hat r</math> som blir <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r</math> ty z' ändrar tecken så att integralen blir 2, lite smått meningslöst så kan man sedan teckna potentialen enligt <math>V=-\int E \cdot dr</math> där vi alltså integrerar mot E-fältet (därav minustecknet) som då genererar uttrycket <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln(r)</math> där aktuell potential i praktiken är en potentialskillnad hos t.ex en koaxialkabel (som har två gränser) men vi har nu gått åt andra "hållet" när det gäller skapandet av uttryck för E-fält och potential (V). =E-fält från en oändligt lång stång medels Gauss lag= [[File:Fusion Rod E-Field Gauss.png|thumb|E-fält från en laddad stång enligt Gauss lag]] Gauss lag enligt ovan lyder <math>\oint E\cdot \hat n dS=\frac{Q}{\epsilon_0}</math> där normalvektorn n alltså är vinkelrät mot ytan, man kan lite lekfullt skriva om denna som <math>ES_G=\frac{Q_T}{\epsilon_0}</math> om E inte ändrar sig under integreringen och man har symmetrier där ytan alltid är vinkelrät mot E-fältet där då arean kallas Gaussisk Area (SG) samtidigt som jag hittat på att E-fältet ju skapas av laddningen som man kan betrakta som en sändare eller QT där T står för transmitter, om detta gäller får man en rätt universiell formel för E-fältet enligt <math>E=\frac{Q_T}{\epsilon_0 S_G}</math> I detta fallet har vi pga symmetriskäl att Ez går bort då integration ovanifrån ger ett lika stort negativt bidrag (riktningsmässigt) som integration nerifrån, kvar har vi Er där min bild visar på just den symmetri som gör att vi kan nyttja den enklare formeln direkt, vi får alltså att <math>E=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 r L} \hat r</math> och eftersom <math>\rho_L=\frac{Q}{L}</math> så kan man skriva <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r} \hat r</math> vilket är bra mycket enklare sätt att få fatt i E-fältet än ovanstående komplexa integrering, men kom ihåg att man måste finna en Gaussisk area varje gång. =E-fält från en laddad skiva= [[File:Fusion Charged Disc.png|thumb|E-fält från en laddad skiva]] Man kan enligt bild skriva E-fältet som <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dS'}{R^2}\hat R</math> där <math>R=-r' \hat r + z \hat z</math> som gör att man kan skriva integralen som <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dS'}{R^3}(-r' \hat r + z \hat z)</math> sen kan man skriva "sändande yta" som <math>dS'=dr'r'd\phi'</math> så att allt blir <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dr'r'd \phi'}{R^3}(-r' \hat r + z \hat z)</math> där man av symmetriskäl (om man roterar runt) ser i bilden att det inte blir nåt bidrag i r-led dvs vi får <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dr'r'd \phi'}{R^3}(z \hat z)</math> och integralen, när man integrerar runt ett varv, blir <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} \int_{C'} \frac{dr'r'}{R^3}(z \hat z)</math> eller <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} \int_{C'} \frac{dr'r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}(z \hat z)</math> som kan integreras enligt <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} [\frac{1}{\sqrt{r'^2+z^2}}]_0^b(z \hat z)</math> där b är radien hos skivan, dvs svaret blir <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (\frac{1}{\sqrt{b^2+z^2}}-\frac{1}{z}) (z \hat z)</math> eller <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}-1) \hat z</math> Ser nu i min litteratur (Cheng) att detta faktiskt inte är helt fel, dock är det ett teckenfel men bara för att uttrycket för normala z blir mindre än noll, dock är den primitiva funktionen fel vad beträffar tecken, detta kan man åtgätda genom att kasta om integrationsgränserna, då får man <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> sen är E-fältet lika positivt neråt som uppåt för laddningen (rho_s) är positiv dvs rätt svar blir kanske <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> fast jag tror ändå inte man kan skriva så för E-fältet är visserligen positivt både uppåt och neråt men neråt är riktningen i minus z-led så jag tror faktiskt man måste skriva att för positiva z blir lösningen <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> medans E-fältet för negativa z måste skrivas <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) (-\hat z)</math> ty E-fältet är då riktat i negativ z-led samtidigt som det har samma belopp. =E-fält från en laddad loop= [[File:Charged loop.png|thumb|E-fält från en laddad loop]] Man kan teckna E-fältet såhär <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'}{R^2}=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'R}{R^3}</math> där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs <math>R=-b\hat r+z\hat z</math> och <math>dl'=bd\phi</math> av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss <math>R=z\hat z</math> vilket vi kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{z^2}\hat z</math> eller <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{R^2}\hat z</math> detta ger alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0 R^2}2\pi b\hat z</math> där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar). =E-fält från ett moln av positroner= [[File:Fusion Charged Cloud.png|thumb|E-fält från ett laddat moln]] Ett E-fält från en punktladdning kan enligt ovan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> eller <math>E=\frac{Q(R)}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> detta kan också skrivas <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 R^2}\int_0^R \rho dv \hat R</math> för det är bara variationen av Q(R) vi är intresserade av, för det interna E-fältet kan man då skriva <math>E=\frac{\rho}{4\pi \epsilon_0 R^2} \frac{4\pi R^3}{3}\hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{\epsilon_0 3}R\hat R</math> om man sen tittar på det yttre fältet får man <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 R^2}\int_0^b \rho dv' \hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{4\pi \epsilon_0 R^2}\frac{4\pi b^3}{3}\hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{\epsilon_0 3 R^2}b^3 \hat R</math> varför R^2 plötsligt inte är med i integranden vet jag inte, det kan dock ha att göra med att vi här inte avser en enda punktladdning utan ett stim med laddningar som på avstånd ger en total laddning som motsvarar volymen gånger volymladdningstätheten, rho. ==Fritänkande, försök till fördjupning== Jag har nu kikat lite i Cheng och börjat att eventuellt förstå bättre, man ska nämligen använda Gauss lag enligt <math>E=E\cdot \hat R=E_R</math> och <math>dS=4\pi R^2</math> där Gauss lag enligt <math>\oint E\cdot \hat n dS=\frac{Q}{\epsilon_0}</math> ger att flödet (och därmed integralen) blir <math>E_R 4\pi R^2</math> som alltså är konstant för varje R, återstår att integrera upp laddningen Q och sätta in i Gauss lag, när man gör det får man min tidigare lösning, tycker dock fortfarande att detta inte riktigt förklarar varför sedvanlig integralformel enligt ovan inte fungerar, den funkar ju i alla andra fall som till exempel behandlar en ett litet volymselement i en homogen laddningsfördelning. =Definition av elektrisk flödestäthet och polarisationsvektorn= [[File:Fusion Field Resistance.png|thumb|Visar hur ett polariserande E-fält gör så att dipolerna spjänar emot]] Pga enligt ovan <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> och <math>E=-\nabla V</math> kan man skriva <math>E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{R^3} \hat R</math> som resulterar i <math>dE=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dp}{R^3} \hat R</math> och om man då definerar polarisationsvektorn P enligt <math>P=\frac{lim}{\Delta v->0} \sum_{n=1}^N \frac{p}{\Delta v}[C/m^2]</math> där N är antalet polariserande dipoler, då kan man skriva <math>dE=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Pdv}{R^3} \hat R</math> och man får <math>E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_v \frac{Pdv}{R^3} \hat R</math> Beviset för rho_p och rho_ps är sen lite komplicerat så jag kör på med min intuition istället, om vi pga smidighet går händelserna lite i förväg kan vi definiera <math>D=\epsilon E</math> där D kallas för elektrisk flödestäthet som jag kommer komma tillbaka till lite senare, vi kan då skriva <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot D dv=\oint D\cdot dS=Q</math> där vi nyttjat postulatet <math>\nabla \cdot D=\rho</math> och Gauss teorem för att komma från en volymsintegral till en ytintegral, på ett lite lekfullt sätt kan vi sen skriva om detta uttryck som <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot \rho_s dv=\oint \rho_sdS=Q</math> så att <math>\rho=\nabla \cdot D</math> och <math>\rho_s=\hat n \cdot D</math> där rho_s har samma dimension som D men är ingen vektor, här har jag sen upptäckt nåt jag tidigare inte riktigt fattat för när man tar divergensen av rho_s så går man i praktiken från 1/R^2 till 1/R^3 dvs från rho_s till rho_v och man får en volymstäthet istället ty man deriverar mest bara, jag gissar sen att man kan skriva <math>\int \rho_p dv=\int \nabla \cdot P dv=\oint P\cdot dS</math> vilket enligt ovan skulle kunna betyda att <math>\rho_p=\nabla \cdot P</math> och <math>\rho_{ps}=\hat n \cdot P</math> som kan skrivas om enligt <math>\int \rho_p dv=\int \nabla \cdot Pdv=Q_p</math> respektive <math>\oint \rho_{ps}dS=\oint P \cdot dS=Q_{ps}</math> dock är det ett teckenfel här men här kommer intuitionen in igen för om man polariserar ett dielektrika med ett E-fält och dielektrikat innan polarisationen var oladdat då blir <math>Q_p+Q_{ps}=0</math> Där jag lite fuskigt vet att detta är rätt samtidigt som det är rimligt, nu återstår dock vilken av dom vi ska ge ett negativt tecken men det är rimligt att Qs är positiv för dom laddningarna lämnar dielektrikat i en riktning motsvarande normalen till ytan, alltså är Qp negativ och vi får <math>\rho_p=-\nabla \cdot P</math> och <math>\rho_{ps}=\hat n \cdot P</math> Man har infört ett hjälpfält kallat D som i elektrisk flödestäthet, denna härleds enligt <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{\epsilon_0}(\rho+\rho_p)</math> som kan enligt ovan skrivas om som, ty rho_p är också en divergens <math>\nabla \cdot (\epsilon_0E+P)=\rho</math> där jag utan bevis säger att P är proportionerlig mot epsilon_0*E med en konstant jag inte kan koda upp, resultatet blir i alla fall <math>\nabla \cdot D=\rho</math> där <math>D=\epsilon_0E+P</math> som man har förenklat till <math>D=\epsilon E</math> ==Mer detaljerat bevis== Vi lyfter ner ovanstående formel för den polariserade potentialen <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> enligt ovanstående kan vi sedan skriva om den mha polarisationsvektorn P som <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Pdv \cdot \hat R}{R^2}</math> ortsvektorn R går nu från origo (där E finns och polariserar) till platsen i rymden där dielektrikat finns likt <math>R^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2</math> där alltså dielektrikat befinner sig i de primmade koordinaterna vilket gör så att derivatan av R map t.ex z' blir negativ, normalt brukakar vi dock använda primmade koordinater för källor men i det här fallet blir det för fältpunkten, med lite list kan man således skriva <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}</math> som med hjälp av vektoridentiten (där f är en skalär och A en vektor) <math>\nabla \cdot (fA)=f(\nabla \cdot A)+\nabla f \cdot A</math> som egentligen bara är produktregeln för derivering, här måste man dock bl.a tänka på att man inte kan "derivera" en vektor och att gradienten av en skalär är en vektor, tänker man på detta så blir vektoridentiteten ganska enkel, om vi applicerar detta till aktuellt fall får vi <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+\nabla' (\frac{1}{R}) \cdot A</math> som kan skrivas om som <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+(\frac{1}{R^2}\hat R) \cdot P</math> där plustecknet kommer av att derivering sker map primmade koordinater, sen gäller <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+(\frac{P}{R^2} \cdot \hat R)</math> om vi nu skriver om sambandet enligt <math>\frac{P}{R^2} \cdot \hat R=\nabla' \cdot (\frac{P}{R})-\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)</math> och tittar på den ursprungliga formeln med P så ser vi att bara <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}dv</math> blir kvar, med andra ord blir den polariserade potentialen <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int \nabla' \cdot (\frac{P}{R})dv</math> den sista integralen kan man utveckla mha Gauss teorem (aka divergensteoreet) enligt <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\oint \frac{P}{R}\cdot dS</math> så att <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\oint P\cdot dS</math> där man alltså ser att rho_p är negativ och rho_s är positiv. =E-fält vid övergångar= [[File:Fusion E-field Boundaries.png|thumb|E-fält vid övergångar]] Allmänt kan man skriva <math>\oint E\cdot dl=0</math> där, om man hänger på q, får arbetet runt en sluten kontur dvs om man kommer tillbaka till typ samma topp/lägesenergi så är uträttat arbete 0, detta gör så att man för det tangentiella fältet kan skriva <math>E_{2t}\cdot \Delta w + E_{1t}\cdot \Delta (-w)=0</math> för w är en vektor, då får man att <math>E_{2t}=E_{1t}</math> man kan sen allmänt skriva <math>\oint D\cdot dS=Q</math> som i princip är Gauss lag, detta gör att man för de normala komponeterna kan skriva (de olika ytorna har olika normalvektorer) <math>D_{1n}\cdot \Delta S \hat {n_1} + D_{2n}\cdot \Delta S \hat {n_2}=Q</math> eller <math>D_{1n}\cdot \Delta S \hat {n_1} + D_{2n}\cdot \Delta S \hat {(-n1)}=Q</math> så att <math>D_{1n}\cdot \Delta S- D_{2n}\cdot \Delta S=Q</math> eller <math>D_{1n}-D_{2n}=\frac{Q}{\Delta S}=\rho_s</math> så att differensen mellan de normala elektriska flödestätheterna är en eventuell fri ytladdningstäthet, rhp_s, dock är denna fria ytladdningstäthet ofta noll då man förutsätter att det inte finns några fria laddningar, dvs i praktiken blir formeln <math>D_{1n}=D_{2n}</math> vilket innebär, sett till normalkomponenterna <math>\epsilon_1E=\epsilon_2E</math> ==Övergångsvillkor för dielektrika== För oladdade dielektrika gäller <math>E_{1t}=E_{2t}</math> respektive <math>D_{1n}=D_{2n}</math> ==Övergångsvillkor för metaller== För metaller är det annorlunda, jag spånar här lite när jag säger att inuti metaller kan det inte finnas några E-fält för det kan aldrig bildas några dipoler ty elektronerna är bundna till sina atomer, det finns dock fria elektroner men dom förflyttar sig till ytan hos metallerna, inuti metaller är alltså E-fältet noll och därför är rho noll, vi får alltså om 1 enligt bild är en metall och 2 är säg luft <math>E_{2t}=E_{1t}==0</math> eller <math>E_t=0</math> och eftersom E är noll i metallen så får vi att <math>D_{1n}=0</math> vilket enligt ovan får till följd att <math>-D_{2n}=\rho_s</math> som man kan skriva som <math>-\epsilon_0E_{2n}=\rho_s</math> eller <math>E_{n2}=-\frac{\rho_s}{\epsilon_0}</math> tvåan är alltså luft/vaakum men vi har normalvektorer inblandade här där tvåan är neråt riktad, minus på den riktningen blir uppåt riktad dvs det normalt riktade E-fältet är riktat uppåt och alltså in i dielektrikat om man ser till en plattkondensator =E-fält genom en metall= [[File:Fusion E-field Conductor.png|thumb|E-fält genom en metall]] Om vi börjar längst ut och kallar denna delen för region 1 kan vi skriva E-fältet utanför och i R-riktning som <math>E_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> potentialen blir sedan <math>V_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> enligt ovan, i region 2 gäller sedan <math>E_2=0</math> och <math>V_2=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> i region 3 gäller <math>E_3=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> men när det gäller potential så gäller <math>V(R_i)=V(R_o)</math> ty E-fältet är noll i metallen så det kan inte finnas nån dV och Ro är inte lika med Ri, man måste således skriva <math>\frac{1}{R_o}+C=\frac{1}{R_i}</math> så att <math>C=\frac{1}{R_i}-\frac{1}{R_o}</math> då har vi en korrektionsfaktor som gör så att V(R) i region 3 kan skrivas <math>V_3=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}*(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_o})</math> där man ser att om man stoppar in R=Ri så får man potentialen som <math>V_3\propto \frac{1}{R_o}</math> dvs potentialen på utsidan (Ro) är samma som potentialen på insidan (Ri), det här är inget korrekt bevis men jag lutar mig mot elektromagnetiska "kunskaper" och tycker det här duger, observera sen att näst sista formeln bara är giltig för R<Ri, samtidigt har vi även inducerade ytladdningar där vi kan börja på insidan (Ri) enligt <math>\rho_s =\epsilon_0 (- \hat R) \cdot E_3</math> så att <math>\rho_s =-\frac{Q}{4\pi R_i^2}</math> dvs vi har negativa laddningar där, för utsidan (Ro) kan vi skriva <math>\rho_s =\epsilon_0 (\hat R) \cdot E_1</math> så att <math>\rho_s =\frac{Q}{4\pi R_o^2}</math> dvs vi har positiva laddningar här, och eftersom <math>\frac{1}{R_i^2}</math> inte är lika med <math>\frac{1}{R_o^2}</math> så vi har en differens (multiplicerar man med de olika ytorna får man +/-Q), och denna differens är exakt lika med E-fältet från laddningen viket gör att netto E blir noll i metallen, man kan se det som att det bildas ett E-fält pga de inducerade laddningarna som fullständigt motverkar det fält som Q genererar, dessutom kan man se det som att E-fält går igenom allt, det blir noll i en metall men på andra sidan fortsätter det bara, om ledaren inte är jordad dvs. Man kan också se de inducerade laddningarna +/-Q som dipoler som motverkar det fält som läggs på till 100% samtidigt som netto Q fortfarande är Q från vår laddning pga laddningskonservering, detta blir tydligare när vi tittar på dielektrika men principen är samma ty iom att ingen energi tillförs så kan mediumet bara göra en sak dvs motverka det pålagda fältet, rätt nyttig läxa jag lärt mig. =E-fält genom ett dielektrika= [[File:Fusion E-field Dielektrica.png|thumb|E-fält genom ett dielektrika]] För region 1 kan man skriva <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> sen kan man skriva D-fältet som <math>D=\epsilon E = \epsilon_0 E =\frac{Q}{4 \pi R^2}</math> och polarisationsvektorn (P-fältet) som <math>P=D-\epsilon_0E=0</math> samt potentialen som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0R}</math> för region 2 kan man sedan skriva <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon R^2}</math> och vi har även här att <math>D=\epsilon E=\frac{Q}{4\pi R^2}</math> sen har vi P-fältet <math>P=D-\epsilon_0E</math> dvs <math>P=\frac{Q}{4\pi R^2}-\epsilon_0\frac{Q}{4\pi \epsilon R^2}</math> detta är lika med <math>P=\frac{Q}{4\pi R^2}(1-\frac {1}{\epsilon_r})</math> så om epsilon_r är stor så är P-fältet lika med D-fältet, sen får vi att potentailen V blir <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon R}</math> region 3 blir på samma sätt som region 1 ty vi har vakuum även här, polarisationsvektorn P polariserar sedan alla små dipoler (p=qd) i en volym på sådant sätt att dom riktas åt samma håll som det polariserande E-fältet. På ytan av dielektrikat som palariseras får man sedan ytladdningstätheter rho_ps på likande sätt som man får rho_s i en metall, båda kan anses utgöra små dipoler på sådant sätt att på ena sidan så finns positiva laddningar och på andra sidan finns negativa laddningar där dipolerna alltså motverkar det pålagda fältet, helt enkelt för att det är det enda de kan göra när ingen energi tillförs utifrån. =Kapacitans= [[File:Fusion Plate Capacitor.png|thumb|Plattkondensator]] Det råder ett förhållande mellan laddning och potential, detta kallas kapacitans (C) och kan skrivas som <math>Q=CV</math> eller mer allmänt <math>C=\frac{Q}{V}</math> man kan kanske titta på potentialformeln enligt ovan vad gäller en punktladdning enligt <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> där kapacitansen således blir <math>C=4\pi \epsilon_0 R</math> så allt har kapacitans, till exempel har en elektron den ungefärliga kapacitansen <math>C_e \approx 4\pi \epsilon_0 10^{-15} \approx 1-11-15</math> i potenser, dvs ungefär <math>C_e \approx 10^{-25}F</math> Man kan kanske se det som att allt i naturen har ett inbyggt motstånd mot förändring dvs t.ex att förändra dess potential, till exempel krävs det 1 Coulomb (As) i laddning för att höja potetialen 1V hos nåt som har en kapacitans på 1F E-fältet i en plattkkondensator är uniformt och lika med <math>E=\frac{V}{d}(-\hat y)</math> samtidigt är E-fältet enligt ovan vid gränsövergången ledare-dielektrika <math>E=\frac{\rho_s}{\epsilon}(-\hat y)</math> eller <math>E=\frac{Q}{\epsilon S}(-\hat y)</math> och eftersom potential enligt ovan kan skrivas som en integral mot fältet enligt <math>V=-\int_0^d E dy</math> så blir potentialen <math>V=\frac{Q}{\epsilon S}d</math> och kondensatorformeln enligt ovan och jag repterar <math>C=\frac{Q}{V}</math> gör så att kapacitansen för plattkondensatorn blir <math>C=\epsilon \frac{S}{d}</math> ==Kondensatorkopplingar== [[File:Fusion Capacitor Connections.png|thumb|Kondensatorkopplingar]] Seriekopplade kondensatorer som i fallet A har samma Q över deras plattor, jag ser det som att Q är en slags statisk ström, eftersom dom har det så kan man skriva <math>Q=C_{eff}V</math> dvs Q är konstant samtidigt som det då finns ett spänningsfall över vardera kondensator på <math>V_n=\frac{Q}{C_n}</math> och om man summerar upp alla V_n fär att komma upp till V så får man <math>V=\frac{Q}{C_{eff}}=\sum_{n=1}^n \frac{Q}{C_n}</math> varvid man kan förkorta bort Q och får att <math>\frac{1}{C_{eff}}=\sum_{n=1}^n \frac{1}{C_n}</math> När det sedan gäller parallellkoppling enligt B så är V konstant och man kan teckna <math>V=\frac{Q}{C_{eff}}</math> de olika kondingarna har nu olika Q så detta ger <math>Q_n=V\cdot C_n</math> dvs totalt Q är <math>Q=V\cdot C_{eff}=V\sum_{n=1}^n C_n</math> varvid man kan förkorta bort V och får <math>C_{eff}=\sum_{n=1}^n C_n</math> ==Kapacitans hos en koaxialkabel== [[File:Fusion Coaxial Capacitance.png|thumb|Beräkningsunderlag för kapacitans hos en koaxialkabel]] Enligt ovan kan man skriva E-fältet från en laddad stång som <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r} \hat r</math> i det fallet kan man sedan teckna potetialskillnaden som typ arbetet mot fältet <math>V=-\int_b^a E\cdot dr</math> ty dr är egentligen en vektor modell <math> \hat r dr</math> vilket ger <math>V=-\int_b^a \frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r}dr</math> som mynnar ut i <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{b}{a}</math> som vi inverterar och stryker rho för att enligt ovan få <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln \frac{b}{a}}..[F/m]</math> ==Kapacitans hos en tvåtrådskabel== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance Simple.png|thumb|Förenklad beräkning av tvåtrådskapacitans]] Eftersom vi är intresserad av potentialskillnaden kan vi teckna <math>V_{10}=kln\frac{d}{a}-(-kln\frac{d}{a})</math> där den negativa biten kommer av att vår 0-referens är negativ, om vi sedan utvecklar <math>k=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}</math> så får vi att potentialskillnaden blir <math>V_{10}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}\cdot ln(\frac{d}{a})^2</math> och iom att, och jag repterar <math>C=\frac{Q}{U}</math> så får vi att kapacitansen i luft per meter är <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln\frac{d}{a}}</math> detta gäller dock bara för d>>a, jag kommer återkomma med mer exakt formel medels en metod som kallas spegling, egentligen ska man teckna ovanstående såhär <math>V_{10}=\frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a} + (-\frac{\rho_{L0}}{2\pi \epsilon_0} ln\frac{d}{a})</math> där alltså mina k är olika, pga laddningskonservering är sedan <math>\rho_{L0}=-\rho_{L1}</math> vilket ger <math>V_{10}=\frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a} + \frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0} ln\frac{d}{a}</math> dvs typ samma som min första formel samtidigt som svaret blir samma, jag kan också tänka mig att <math>V_1=-kln\frac{d}{a}</math> är potentialen på ettan som nollan inducerar, potentialen på nollan som ettan inducerar blir då <math>V_0=kln\frac{d}{a}</math> där differensen blir <math>V_{10}=V_1-V_0=-kln\frac{d}{a}-kln\frac{d}{a}=-kln(\frac{d}{a})^2</math> där minustecknet saknar betydelse, eller? ==Kapacitiva system== [[File:Fusion Charges Matrix.png|thumb|Arrangemang för matrisberäkning av kapacitans]] Man kan teckna ett kapacitivt system på följande sätt (återanvänder en gammal bild) <math> \begin{bmatrix} V1=p11Q1+p12Q2+p13Q3\\ V2=p21Q1+p22Q2+p23Q3\\ V3=p31Q1+p32Q2+p33Q3\\ \end{bmatrix} ...xx.1</math> där Q kanske kan tolkas som statisk ström och p kanske kan tolkas som statisk reaktans (1/C), detta gör så att varje rad bygger respektive potential, det blir bara en uppsummering av olika reaktanser och strömmar, potentialpunkten är liksom inte lågimpediv, man kan invertera ovanstående matris och istället få <math> \begin{bmatrix} Q1=c11V1+c12V2+c13V3\\ Q2=c21V1+c22V2+c23V3\\ Q3=c31V1+c32V2+c33V3\\ \end{bmatrix} ...xx.2</math> vilket är en mer politiskt korrekt variant där c står för kapacitiva koefficienter, ser man på bilden gäller <math> \begin{bmatrix} Q1=C10V1+C12(V1-V2)+C13(V1-V3)\\ Q2=C21(V2-V1)+C20V2+C23(V2-V3)\\ Q3=C31(V3-V1)+C32(V3-V2)+C30V3\\ \end{bmatrix} ...xx.3</math> som kan arrangeras om enligt <math> \begin{bmatrix} Q1=V1(C10+C12+C13)-V2C12-V3C13\\ Q2=-V1C21+V2(C21+C20+C23)-V3C23\\ Q3=-V1C31-V2C32+V3(C31+C32+C30)\\ \end{bmatrix} ...xx.4</math> identifiering med matrisen med kapacitiva koefficienter ovan ger sedan <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c12=-C12\\ c13=-C13\\ c21=-C21\\ c22=C20+C21+C23\\ c23=-C23\\ c31=-C31\\ c32=-C32\\ c33=C30+C31+C32\\ \end{bmatrix} ...xx.5</math> eller <math> \begin{bmatrix} c11+c12+c13=C10\\ c12=-C12\\ c13=-C13\\ c21=-C21\\ c22+c21+c23=C20\\ c23=-C23\\ c31=-C31\\ c32=-C32\\ c33+c31+c32=C30\\ \end{bmatrix} ...xx.6</math> detta kan direkt relateras till det matrissystem man får när man räknar på grupper med laddningar, lilla c är alltså den koefficient som ingår i matrisen. ==Exempel I, tretrådskapacitans medels invertering av matris== [[File:Fusion Charges Rod.png|thumb|Laddade stänger och deras kapacitans]] Gauss lag säger <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...95.12</math> där E är den elektriska fältstyrkan, e0 permittiviteten för vakuum och Q den inneslutna laddningen inom ytan S, det är alltså en flödesintegral där flödet av E sker genom ytan S samtidigt som S egentligen är en vektor ty uttrycket är en skalärprodukt. För en oändligt lång linjeladdning/stång blir E-fältet <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 R}...95.13</math> som fås av nåt som kallas Gaussisk yta dvs en yta som alltid är vinkelrät mot E-fältet, så om vi har en oändligt lång stång med laddning och konstruerar en liten cylindrisk burk/yta runt stången där fältlinjerna alltid är vinkelräta mot ytan, då kan man lyfta ut E ur integralen för den är konstant då och då blir resten bara en integrering av ytan. Potential kan beräknas som det arbete som krävs för att släpa en laddning mot fältet, E-fältet defineraras tom som <math>E=\frac{F}{Q}...95.14</math> vars enhet är Newton per Coulomb men vi känner enheten bättre som Volt per meter, man definerar således potential enligt <math>V=-\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...95.15</math> där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel II, The Flux Capacitor== [[File:Fusion The Flux Capacitor.png|thumb|Fyra laddade stänger i stjärnkoppling]] Jag har nu försökt beräkna kapacitanser hos en samling stänger som är ytterligare en dvs fyra. Utseendet på arrangemanget påminner om en film från 80-talet så jag har kallat bilden "The Flux Capacitor". Utseendet hos bilden påminner också om huvudspänningarna i ett trefassystem (med d som faspänning), arrangemanget blir mekaniskt så om dom liksom skall kunna härbärja runt varandra (annars blir avstånden imaginära). Jag har inget facit på mina beräkningar men villkoret pij=pji från Cheng är en bra indikation på att man kan ha rätt, villkoret kommer alltså ifrån att kapacitans är oberoende av riktning. För att förenkla kodningen kommer jag strunta i att det egentligen handlar om längdintensitets-laddningar (Q/L aka rho_l) och istället köra Q med index, sen kommer jag initialt strunta i att potentialen från en laddad stång går som ln(d/a) där d är avståndet och a radien hos stången och istället skriva d/a, E-fältet för en stång är alltså <math>E=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r...95.50</math> som uppintegrerat och negerat ger potentialen <math>V=-\int_d^a Edr=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.51</math> och <math>2\pi\epsilon_0...95.52</math> hoppar jag alltså perliminärt över vilket dock bara innebär att mina potentialer behöver multipliceras med denna term. <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.53</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2\frac{d}{a}+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.54</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3\frac{d}{a}...95.55</math> som kan skrivas om enligt <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.56</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{d}{a}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.57</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{d}{a}...95.58</math> sen gäller <math>\Q_0=-(Q_1+Q_2+Q_3)...95.59</math> som ändrar ovanstående formler till dessa matrisvärden <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.60</math> enligt <math>V=pQ...95.61</math> där vi nu skall ta fram inversen av matrisen p så att vi istället får matrisen c enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q=cV...95.62</math> Inversen stavas <math>p^{-1}=\frac{1}{det(p)}* \begin{bmatrix} B11&B21&B31\\ B12&B22&B32\\ B13&B23&B33\\ \end{bmatrix} ...95.63</math> Nu är B-elementen komplement till p-elementen så vi stryker respektive elements rad och kolumn och nyttjar <math>(-1)^{i+j}...95.64</math> varvid vi får <math>B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.65</math> Eftersom kapacitans inte har riktning så ska bij vara lika med bji och får man inte detta så är det en bra indikation på att man har gjort fel, fast rent allmänt ska man komma ihåg att när det gäller tal så måste B-matrisen transponeras dvs rader och kolumner måste byta plats för annars blir det fel, matrisen c blir nu <math>c=p^{-1}=\frac{1}{det(p)}*B...95.66</math> där alla cij (i inte lika med j) är samma samtidigt som alla cij (i=j) är samma, om vi nu kopierar ner p så får vi <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.67</math> som vi föreklar till elementnummer istället <math>p= \begin{bmatrix} p11&p12&p13\\ p21&p22&p23\\ p31&p32&p33\\ \end{bmatrix} ...95.68</math> och determinaten blir <math>(+1)*p11*(p22p33-p23p32)+ (-1)*p12*(p21p33-p23p31)+ (+1)*p13*(p21p32-p22p31)...95.69</math> eller <math>p11*(p22p33-p23p32)+p12*(p23p31-p21p33)+p13*(p21p32-p22p31)...95.70</math> där p12=p13=P21=p23=p31=p32 och p11=p22=p33, vilket ger <math>p11*(p11^2-p12^2)+p12*(p12^2-p12p11)+p12*(p12^2-p12p11)...95.71</math> Jag blir osäker på det här men när man kryssar vektorer får man det på ovanstående sätt, vi kan dock göra ännu en liten förenkling dvs <math>p11*(p11^2-p12^2)+2p12^2*(p12-p11)...95.72</math> Nu är det alltså ln(pij) som gäller så det är inte bara att multiplicera MEN addition innebär multiplikation av argumentet medans subtraktion innebär att argumentet måste inverteras innan det multipliceras. Determinanten blir således <math>Det(p)=ln{\frac{d^2}{a^2}}*((ln{\frac{d^2}{a^2}})^2-(ln \frac{d}{\sqrt{3}a})^2)+(ln\frac{d}{\sqrt{3}a})^2*(ln{\frac{\sqrt{3}d}{a}})^2...95.73</math> Vi skippar att allt behöver delas med determinanten och tecknar <math>c'=B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.74</math> Det är sedan känt att <math>C10=c11+c12+c13...95.75</math> <math>C20=c22+c12+c23...95.76</math> <math>C30=c33+c13+c23...95.77</math> Med andra ord har vi att <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.78</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.79</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.80</math> som kan förenklas enligt <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.81</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.82</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.83</math> eller <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.84</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.85</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.86</math> <math>C12=-c12...95.87</math> <math>C23=-c23...95.88</math> <math>C13=-c13...95.89</math> och enligt c'-matrisen ovan gäller <math>C12=C23=C13=-c12\propto ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.90</math> Delar man alltså dessa värden med determinaten och multiplicerar med <math>2\pi\epsilon_0...95.91</math> Så har man alla kapacitanser. När man specar upp p-matrisen verkar det som om man måste tänka på att E-fälten motverkar varandra för säg att potentialen vid 1 är positiv och potentialen vid 0 är negativ (vilket vi utgår ifrån när vi beräknar vår potentialskillnad) då måste den inducerade spänningen från en "fri" laddning motverka E-fältet mellan 1 och 0 för iom att ingen energi tillförs utifrån så kan inte nån "förstärkning" av E-fältet ske, samma gäller hur elektriska dipoler orienterar sig i ett dielektrikum när de utsätts för ett externt E-fält, dvs de vill inte vara med och motverkar fältet för det är det enda de kan göra. där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel III, verklig tvåtrådskapacitans (spegling)== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance.png|thumb|Tvåtrådskapacitans]] Bild A kan man tolka enligt tidigare som <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_0*ln(a/d)+\rho_1*ln(d/a)</math> och pga laddningskoneservering så gäller att <math>\rho_0=-\rho_1</math> så att <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_1*ln(d/a)^2</math> eller <math>V_{10}=\frac{\rho_1*ln(d/a)^2}{2\pi \epsilon_0 }</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen som <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln(d/a)^2}</math> eller <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln(d/a)}</math> Denna formel gäller dock bara för d>>a För alla kablar så kan man till exempel ta till nåt som kallas spegling, detta går ut på att man placerar en negativ linjeladdning inuti själva ledaren, principen går ut på att göra ledarens hölje till en yta av konstant potential, potentialen från en laddad ledare kan skrivas (se 95.51) <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{r_o}{r}</math> där ro är en radie långt från ledaren, om man då placerar en negativ speglad laddning i den andra ledaren så får man total potential som <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_o}{r}-ln\frac{r_o}{r_i})</math> detta blir till <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_i}{r})</math> som för konstant potential (V) tydligen innebär att kvoten ri/r måste hållas konstant. Dom feta prickarna i B) är linjeladdningarna rho_l, figuren visar sedan att det finns en gemensam vinkel mellan dom två trianglarna POM respektive P'OM där P' är punkten för den speglade laddningen Eftersom ri/r är konstant och vi har en gemensam vinkel så fås rent geometriskt att <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> så att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> Om vi nu tittar på C) så har vi att <math>d=D-d_i=D-\frac{a^2}{d}</math> som ger en andra ordningens ekvation modell <math>d^2=dD-a^2</math> eller <math>d^2-dD+a^2=0</math> dvs <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> eller <math>d=\frac{D}{2a}+/-\sqrt{(\frac{D}{2a})^2-1}</math> coshyp kan sedan skrivas <math>cosh^{-1}(x)=x+\sqrt{x^2-1}</math> dvs <math>d=cosh^{-1}(\frac{D}{2a})</math> Kapacitansen hos en verklig tvåtrådskabel är alltså <math>C=\frac{\pi \epsilon}{cosh^{-1}(\frac{D}{2a})}[F/m]</math> Vi kommer komma tillbaka till speglingsmetoder lite senare. =Laddningars energi= [[File:Fusion Charges Potentials.png|thumb|Potentialer andra laddningar inducerar]] Energi stavas <math>W_e=QV..[J]</math> när det gäller punktladdningar så har dom ju enligt ovan potentialen <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> energimässigt relaterat till en annan punktladdning Q2 har dom då energin <math>W_e=\frac{Q_2Q_1}{4\pi \epsilon_0 R}</math> men eftersom Q2 kan ha en potential likväl som Q1 kan ha en potential så blir den elektriska energin <math>W_e=\frac{1}{2}\sum Q_nV_n</math> om man tittar på tre laddningar så har vi dessa kombinationer <math>W_e^\prime=Q1V13+Q1V12+Q2V23+Q2V21+Q3V31+Q3V32</math> där induktionen sker från höger till vänster dvs V13 är till exempel den induktion som sker från laddning 3 till laddning 1, om man bara tittar på att <math>V\propto Q</math> så kan man istället skriva <math>W_e^\prime=Q1Q3+Q1Q2+Q2Q3+Q2Q1+Q3Q1+Q3Q2</math> här ser man att t.ex Q1Q3 finns två gånger så energin bör rimligtvis vara hälften av summan enligt ovan, potentialen vid t.ex Q1 är sedan V1 (skapad av Q2 och Q3) varför summaformeln ovan gäller. ==Integralformel för laddningars energi== Man kan skriva ovanstående summaformel som <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \rho Vdv</math> vilket anges i min bok utan bevis men jag tycker den är enklare att förstå för den visar att en volymladdningstäthet (rho) kan integreras upp över potentialen och laddningens volym, i korthet kan man nog se den som att Q blir volymladdningstätheten uppintegrerat över volymen vilket tom tar hänsyn till om rho och/eller V varierar under integreringen, en mer användbar formel alltså. ===Vektoriell analys av integralformeln=== Eftersom <math>\nabla \cdot D=\rho</math> kan man skriva integralformeln enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \nabla \cdot D Vdv</math> med hjälp av vektorderiveringsregeln där f är en skalär och A en vektor kan man skriva <math>\nabla \cdot(fA)=\nabla f \cdot A + f \nabla \cdot A</math> vilket gör att man kan skriva <math>V\nabla \cdot D=\nabla \cdot (VD)-\nabla V\cdot D</math> We kan då skrivas som <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \nabla \cdot (VD)-\nabla V\cdot Ddv</math> som med hjälp av Gauss teorem kan skrivas om enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\oint_{s'} VDds+\frac{1}{2}\int E\cdot Ddv</math> i den första integralen går V som 1/R och D som 1/R^2 varför en areauppintegrering på långt håll gör att den integralen går mot noll, kvar blir alltså <math>W_e=\frac{1}{2}\int E\cdot Ddv</math> ===Elektrostatisk energi hos en kondensator=== En plattkondensator har enligt ovan det elektriska fältet <math>E=\frac{V}{d}(-\hat y)</math> när potentialen är hög på den övre plattan, man kan sedan skriva om ovanstående integralformel enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\int \epsilon E^2dv</math> och därmed <math>W_e=\frac{1}{2}\int \epsilon (\frac{V}{d})^2dv</math> och eftersom E-fältet är homogent och konstant under integreringen kan man helt enkelt skriva <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon (\frac{V}{d})^2Sd</math> vilket ger oss <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon S\frac{V^2}{d}</math> eller <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon\frac{S}{d}V^2</math> där vi känner till formeln för en plattkondensator som <math>C=\epsilon\frac{S}{d}</math> dvs vi kan skriva den elektrostatiska energin som <math>W_e=\frac{1}{2}CV^2</math> =Elektrostatiska krafter medels virtual displacement= [[File:Fusion Charges Forces.png|thumb|Visar två olika tänk kring beräkning av intern elektrostatisk kraft]] Jag har lärt mig att det finns två sätt att se på elektrostatiska krafter metoden kallas "virtual displacement" vilket innebär att man fryser antingen Q eller V för att titta på vad som då händer vid en liten förflyttning av en laddning. . . . . . . . . . . . . ==Elektrostatiska krafter med konstant laddning== Vid konstant laddning så blir det arbete (dW) som systemet utför taget från den elektrostatiska energin enligt <math>dW=F_Qdl=-dW_e</math> detta kan skrivas om som <math>\frac{dW_e}{dl}=-F_Q</math> eller <math>F_Q=-\nabla W_e</math> ==Elektrostatiska krafter med konstant potential== Förändringen av energi måste tas från de källor som upprätthåller konstant potential, det arbete systemet utför blir då <math>dW=F_Vdl</math> "Batterierna" levererar då <math>dW_s=\sum dQ_nV_n</math> varför en halv inte finns med här vet jag inte men eventuellt är det inte medelenergi, eftersom det också blir en ändring i elektrostatisk energi måste, pga energiprincipen, då gälla <math>dW+dW_e=dW_s</math> där <math>dW_s=2dW_e</math> ty <math>dW_e=\frac{1}{2}\sum dQ_nV_n</math> och därför får man <math>dW=dW_e</math> varför vi kan skriva <math>dW_e=F_Vdl</math> eller <math>F_V=\nabla W_e</math> =Poisson's och Laplace's ekvation= Poisson's ekvation lyder <math>\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon}</math> som kan härledas från <math>\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon}</math> E är sedan lika med <math>E=-\nabla V</math> dvs <math>\nabla \cdot E=\nabla\cdot (-\nabla V)=\frac{\rho}{\epsilon}</math> som kan skrivas om som <math>\nabla^2V=-\frac{\rho}{\epsilon}</math> om det sen inte finns några laddningar så är rho 0 och då fås Laplace's ekvation dvs <math>\nabla^2V=0</math> =Potential och ytladdningstäthet för en plattkondensator= Då det inte finns några fria laddningar kan vi nyttja Laplace enligt <math>\nabla^2V=\frac{d^2V}{dy^2}=0</math> första integreringen ger då <math>\frac{dV}{dy}=C</math> andra integreringen ger <math>V=Cy+D</math> V(0) är sedan 0 så D går bort, kvar har vi att <math>V=Cy</math> C kan dock fås från första ekvationen ty <math>C=E=\frac{V_0}{d}</math> vilket fås för en plattkondensator då E-fältet är homogent här, med andra ord har vi <math>V=Cy=\frac{V_0}{d}y</math> eller <math>V=V_0 \frac{y}{d}</math> Ytladdninstätheten fås sedan av <math>\rho_s= \hat n \cdot \epsilon E</math> där E egentligen är riktad neråt och alltså i negativ y-led, här avses sen normalvektorn (n) vara riktat in i aktuellt område, för nedre plattan får vi då <math>\hat n=\hat y</math> och för övre plattan får vi <math>\hat n=-\hat y</math> vilket gör att ytladdningstätheten för den nedre plattan blir <math>\rho_s= \hat y \cdot -\hat y \epsilon E=-\epsilon E</math> och för den öen övre plattan blir ytladdningstätheten <math>\rho_s=-\hat y \cdot -\hat y \epsilon E=\epsilon E</math> =Spegling, punktladdning= Om man har en punkladdning ovanför ett jordat jordplan med höjden h så kan man spegla bort jordplanet genom att ansätta en negativ spegelladdning på höjden h under jordplanet, det allmänna avståndet blir då för den övre laddningen <math>R^+=\sqrt{(y-h)^2+x^2}</math> och för den nedre laddningen <math>R^-=\sqrt{(y+h)^2+x^2}</math> vilket gör att potential i godtycklig punkt kan skrivas <math>V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R^+}-\frac{Q}{R^-})</math> i jordplanet är sen y=0 så netto avstånd blir för den övre laddningen <math>R^+=\sqrt{h^2+x^2}</math> och för den nedre laddningen <math>R^-=\sqrt{h^2+x^2}</math> vilket alltså är samma MEN på pga teckenskillnaden hos laddningarna blir potentialen noll i jordplanet ty potentential för en punktladdning kan allmänt skrivas <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> på detta sätt kan man spegla bort jordplanet men man får ett avstånd mellan laddningarna som är 2h istället för h, detta påminner lite om kvartsvågsantenner som underförstår jordplan men egentligen fungerar som dipoler dvs man har lambda/4 över ett antennspröt som har (oändligt stort) jordplan samtidigt som man kan räkna lambda/2 för en dipol. =Spegling, laddade stänger= Det här fallet är knöligare, först måste vi titta på potentialen från en laddad stång som är <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{r_0}{r}</math> där ro bara är nåt tillfälligt avlägset avstånd för potentialen som används för att potentialen på höljet av stången skall ska bli konstant, detta kommer sedan från <math>V=-\int_{ro}^r E\cdot dr</math> ty detta integreras mot E-fältet där <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r}\hat r</math> om ovanstående rho_L ligger utanför stången (som linjeladdning) blir alltså den inducerade potentialen vid stången enligt ovan men om vi nu placerar en spegellinjeladdning (-rho_L) inuti stången för att göra höljet konstant i potential så kan vi skriva summan av potentialerna som <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}(ln\frac{r_0}{r}-ln\frac{r_0}{r_i})</math> där r_i är det avstånd den speglade rho_L (image) har till höljet och r är avståndet från linjeladdningen till höljet, varken r_i eller r är konstant men man kan teckna <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{r_i}{r}</math> enligt bild är sedan rent geometriskt <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> där a är radien hos stången, d är avståndet från den yttre linjeladdningen till centrum på stången och d_i är avståndet från stångens centrum till där vi placerat spegellinjeladdningen (-rho_L), på detta sätt får man sen att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> för att höljet ska ha konstant potential och iom att man har dessa geometriska förhållanden så kan man spegla bort stången och får att avståndet blir cc-d_i, har man två stänger med samma radie är det enkelt att inse att avståndet mellan linjeladdningarna blir cc-2d_i och utifrån det kan man beräkna faktisk kapacitans för en transmissionskabel enligt <math>C=\frac{\rho_L}{V}...[F/m]</math> vi kallar nu cc-avståndet för D och konstaterar att avståndet mellan de båda linjeladdningarna är <math>D-2d_i</math> men d är avståndet från den ena linjeladdningen till centrum på den andra stången dvs vi kan skriva <math>D=d+d_i</math> där d_i alltså är <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> så att vi får att <math>D=d+\frac{a^2}{d}</math> nu kan vi lösa ut d genom att skriva om ekvationen genom att multiplicera upp d enligt <math>Dd-d^2-a^2=0</math> eller <math>d^2-Dd+a^2=0</math> som ger att <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> där minus går bort för att d är större än D/2 och vi får <math>d=\frac{D}{2}+\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> nu har vi alltså definierat d som en funktion av D och a dvs kända parametrar, nu kan vi nyttja potentailformeln enlig ovan och jag repeterar <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{r_i}{r}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{a}{d}</math> och få potentialen, den här potentialen är emellertid negativ då a<d, vi vänder på uttrycket och får <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}</math> inversen av denna och borttagande av linjeladdningen ger kapacitansen per meter enligt <math>C=\frac{2 \pi\epsilon_0}{ln\frac{d}{a}}</math> som kan utvecklas till <math>C=\frac{2\pi\epsilon_0}{ln[D/2a+\sqrt{(D/2a)^2-1}]}</math> som tydligen är samma som <math>C=\frac{2\pi\epsilon_0}{cosh(D/2a)}</math> =Spegling, laddade klot= I detta fallet gäller tydligen samma sak dvs <math>\frac{R_i}{R}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> men vi kan börja med att titta på potentialen för en laddad sfär, den är <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> där R är radien, men om vi har en punktladdning utanför sfären så blir det potententialen vid ett visst avstånd från punktladdningen dvs på sfärens periferi (som dock inte är konstant), om vi nu placerar en negativ spegelladdning inuti sfären så får den avståndet R_i till sfärens periferi och eftersom den punkladdningen (Q_i) är negativ kan man skriva <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Q_i}{R_i})</math> eftersom sfären är jordad så ska detta uttryck bli noll eller <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Q_i}{R_i})=0</math> vilket innebär att <math>Q_i=\frac{R_i}{R}Q</math> och R_i/R är a/d vilket ger <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Qa}{dR})</math> som gör att man kan skriva om formeln som <math>V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}(1-\frac{a}{d})</math> d är sedan avståndet från den externa punktladdningen till sfärens mitt, när vi nu har speglat bort höljet kan man få avståndet mellan den externa punktladdningen och den speglade punktladdningen inuti sfären som <math>d-d_i</math> eller <math>d- \frac{a^2}{d}</math> varvid man kan beräkna E-fältet och potentalen i rummet =Randvärdesproblem= Nedanstående randvärdesproblem är lite förenklade för dom handlar bara om olika enkla geometrier som passar med valt koordinatsystem, till exempel är randvärdesproblem i cartesiska koordinater rent rektangulära, i cylindriska koordinatsystem är dom sen cylindriska och i sfäriska koordinatsystem är dom sfäriska, när man gör så kan man alltså få separata isolerade funktioner hos varje parameter/koordinat som kan multipliceras. Randvärdesproblem av den här typen handlar sedan om laddningbefriade system dvs Laplace's ekvation <math>\nabla^2V=0</math> ==Randvärdesproblem i cartesiska koordinater== I cartesiska koordinater blir Laplace's ekvation <math>\frac{d^2V}{dx^2}+\frac{d^2V}{dy^2}+\frac{d^2V}{dz^2}=0</math> vilket kommmer av <math>\nabla\cdot \nabla V=\nabla \cdot E=0</math> där man för divergens i olika koordinatsystem allmänt kan skriva <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{h_1h_2h_3}[\frac{(d(h_2h_3E_x)}{dx}+\frac{d(h_1h_3E_y)}{dy}+\frac{d(h_1h_2E_z)}{dz}]=0</math> där h-parametrarna är så kallade metriska koefficienter, i fallet cartesiska koordinater är alla 1, om alltså det geometriska följer koordinatsystemet så kan man teckna <math>V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)</math> om vi nu deriverar detta två gånger får vi att <math>X''YZ+XY''Z+XYZ''</math> delar vi sedan detta med <math>XYZ</math> så får vi <math>\frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}</math> och potentialen har separerats i sina koordinater, man kan seda visa att dessa termer har olika konstanter där vi kan teckna <math>\frac{X''}{X}=-k_x^2</math> samma gäller övriga dimensioner, summerat blir det alltså <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> man kan alltsåteckna Laplace i en dimension enligt <math>X''+k_x^2X=0</math> om nu k_x är reell kan man teckna <math>V_x=Asin(k_xx)+Bcos(k_xx)</math> som allmän lösning, om däremot k_x är imaginär så gäller i princip <math>cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> och enligt Euler gäller <math>cos(x)=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}</math> dvs <math>cos(x)=cosh(jx)</math> och eftersom vi har <math>k_x^2+k_y^2=0</math> kan man för den andra dimensionen teckna <math>V_y=Asinh(k_yy)+Bcosh(k_yy)</math> ===Exempel=== Om en låda har dimensionen a i x-led och dimensionen b i y-led och samtidigt dessa potentialer <math>V(0,y)=V_0</math> och <math>V(a,y)=0</math> och <math>V(x,0)=0</math> och <math>V(x,b)=0</math> så gäller alltså att plattan längst till vänster har 0V vid både y=0 och vid y=b, man kan då ansätta en sinusfunktion som ger att <math>V(0,y)=Asin(ky)=V_0</math> här är egentligen inte sinusfunktionen lika med Vo men det är dit vi ska dra den, här får man dock automatiskt att potentialen är noll i y=0, för y=b kan man bestämma k som <math>kb=n\pi</math> dvs <math>k=\frac{n\pi}{b}</math> eller så kan man se det som att minst lambda/2 måste finnas som puk och då kan man direkt skriva <math>k=\frac{2\pi}{2b}</math> där lambda är 2b och k kan tolkas som ett vågtal, vi kommer tillbaka till n senare men när vi nu har skapat en funktion i y som mappar till ändlägena så har vi dock kvar att potentialen är sinus-formad (halv våglängd) men det är den ju inte för den är konstant, då får man ta till en Fourierserie istället för att få den fyrkantformad, beviset är lite knöligt men jag visar grundprincipen <math>\int_0^b Asin(nky)sin(mky)dy=\int_0^b V_0sin(mky)dy</math> dvs man integrerar båda sidorna av ovanstående formel men med ett m skillt från n, ur detta kan man visa att <math>A=\frac{4V_0}{n\pi}</math> som i princip gör att <math>V(0,y)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nky)}{n}</math> där n är udda ty det är känt att fyrkantsignaler bara består av udda övertoner, nu har vi dock kvar randvärdena i x-led och eftersom potentialen har separerbara funktioner i x-led och y-led pga att geometrin följer koordinatsystemet så kan man bara hänga på funtionen för x, dock vet vi från ovan att k nu är imaginär dvs vi går över till sinh istället för sin, då gäller <math>X(x)=sinh(nk(x-a))</math> ty i a är potentialen noll, i 0 är denna sedan <math>sinh(-nka)=-sin(nka)</math> som egentligen skall införas i vår referensekvation ovan och som bidrar till att A istället blir <math>A=-\frac{4V_0}{nsinh(nka)\pi}</math> vilket medför att lösningen blir <math>V(x,y)=-\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nky)sinh(nk(x-a))}{nsinh(nka)}</math> ==Randvärdesproblem i polära koordinater== Gradienten av V i polära koordinater tecknas <math>\nabla V=\frac{dV}{dr}\hat r + \frac{dV}{rd\phi}\hat \phi + \frac{dV}{dz}\hat z</math> om vi tillfälligt kallar detta E (vilket dock är sant förutom ett tecken) så får vi divergensen av E som <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d(rE_r)}{dr}+\frac{d(E_\phi)}{d\phi}+\frac{d(rE_z)}{dz}]</math> nu kan vi slänga in uttrycket för gradienten av V som vi kallat E och får <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d(r\frac{dV}{dr})}{dr}+\frac{d(\frac{dV}{rd\phi})}{d\phi}+\frac{d(r\frac{dV}{dz})}{dz}]</math> som kan skrivas om som <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{rd\phi})+\frac{d}{dz}(r\frac{dV}{dz})]</math> som kan förtydligas till <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{d\phi})+\frac{d}{dz}\frac{dV}{dz}</math> att man kan göra så beror på att det är bara den variabel man deriverar med avseende på som påverkas, vid laddningsbefriade fall följer denna sedan Laplace's ekvation enligt <math>\nabla\cdot E=\nabla^2V=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{d\phi})+\frac{d}{dz}\frac{dV}{dz}=0</math> denna är sedan lika med <math>\nabla^2V=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}(\frac{d^2V}{d\phi^2})+\frac{d^2V}{dz^2}=0</math> tricket här är sedan att vi kan nyttja separata funktioner i dom olika koordinaterna om geometrin följer koordinatsystemet dvs vi måste ha en radie med dito vinkel och sedan en höjd på "cylindern" men allt behövs naturligtvis inte samtidigt, vi kan alltså teckna potentialen som <math>V(r,\phi,z)=R(r)\Phi(\phi)Z(z)</math> om vi börjar med att titta på funktionen i r så är den alltså <math>R(r)=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})</math> tittar vi sen på funktionen i phi så är den uppenbarligen <math>\Phi(\phi)=\frac{1}{r^2}(\frac{d^2V}{d\phi^2})</math> och funktionen i z är <math>Z(z)=\frac{d^2V}{dz^2}</math> summerar vi dessa och erkänner att fuktionerna är "isolerade" från varandra samt primmar istället för skriver ut derivatan får vi <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}R'+ R'')\Phi Z + \frac{1}{r^2}\Phi'' R Z + Z''R \Phi=0</math> i regel är dock z>>r så Z(z) går bort och vi har <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}R'+ R'')\Phi + \frac{1}{r^2}\Phi'' R=0</math> delar vi detta med <math>R(r)\Phi(\phi)</math> så får vi <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}\frac{R'}{R}+ \frac{R''}{R})+\frac{1}{r^2}\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> här kan vi multiplicera med r^2 och får <math>\nabla^2V=r\frac{R'}{R}+ r^2\frac{R''}{R}+\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> om vi sedan återgår till ordinarie formel för R enligt ovan får vi istället <math>\nabla^2V=\frac{r}{R}\frac{d}{dr}(rR')+\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> konstanterna fås sedan av <math>\frac{r}{R}\frac{d}{dr}(rR')=k^2</math> och <math>\frac{\Phi''}{\Phi}=-k^2</math> den senaste kan bevisas på följande sätt och för att underlätta kodningen använder jag x istället <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-Cx</math> om vi tittar på hur en fjäder svänger där C är fjäderkonstanten, om vi sen ansätter <math>x=x_0e^{jwt}</math> för sinusial svängning då har vi att <math>x'=jwx_0e^{jwt}=jwx</math> och <math>x''=-w^2x_0e^{jwt}=-w^2x</math> vilket gör att fjäderformeln blir <math>m(-w^2)x=-Cx</math> där x kan förkortas bort och vi har <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}=k</math> dvs <math>\frac{x''}{x}=-\frac{C}{m}=-w^2=-k^2</math> vi får sen den allmänna lösningen för Phi som <math>\Phi(\phi)=A_nsin(n\phi)+B_ncos(n\phi)</math> där vi bytt ut k mot n, för R blir det sen <math>R(r)=A_nr^n+B_nr^{-n}</math> det är bara att sätta in i diffekvationerna för att bekräfta detta. ===Exempel=== Om man har två plattor i vinkeln alfa som är isolerade från varandra med potentialen Vo på "övre" plattan och potentialen noll på nedre plattan samt att dessa plattor är oändligt långa, då finns inget R(r)-beroende men det finns ett Phi(phi)-beroende enligt <math>V_n=A_nsin(n\phi)</math> att det bara har med sinus att göra beror på att potentialen vid phi=0 är noll, nu kan vi sen mappa den här funktionen mot verkligheten dvs vid phi=alfa ska vi ha att V_n är V_0 dvs vi får <math>n\alpha=\frac{\pi}{2}</math> så att <math>n=\frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{2}</math> dvs <math>V(\phi)=V_0sin(\frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{2}\phi)</math> som är samma som <math>V(\phi)=V_0sin(\frac{\pi}{2}\frac{\phi}{\alpha})</math> =Källor= # David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics, Second Edition, 1989 # Jan Petersson, Lineär Algebra, omkring 1990 [[Kategori:Fysik]] h23ig9fqashyo8hmealgupa2f6vflo7 52536 52535 2022-08-21T18:30:20Z Knoppson 2055 /* Exempel */ wikitext text/x-wiki =Inledning= Denna del av min fysiksvammelbok uppkommer pga att det är så många kapitel i ordinarie bok ([[Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål]]), och med mina ynka 1Mb/s tar den också en del tid att ladda. Samtidigt gillar jag elektromagnetisk fältteori (Cheng) bäst så jag vill köra lite parallellt här ty optik anser jag inte har så mycket med fusionsforskning att göra även om det är (måttligt) intressant i sig. Jag skapade alltså textmassan till min ordinarie bok för flera år sedan men nu är jag mer intresserad av andra delar av fysiken samtidigt som jag har typ 30 kapitel kvar att skriva av, addera bilder och förstå hos ordinarie bok. ='''VEKTORLÄRA'''= Vektorer är sådana som har både riktning och storlek, ett exempel på en vektor är kraft. =Kapitel LXXXI, Skalärprodukt= [[File:Fusion Vector.png|thumb|Skalärprodukt, cosinusteorem och kryssprodukt]] Skalärprukt definieras enligt <math>A \cdot B=ABcos(\alpha)...81.1</math> där A och B är två vektorer med samma angripspunkt (kan alltid parallellförflyttas) och med vinkeln alpha emellan. Jag har hittat på en egen tolkning av skalärprudukt där man eventuellt kan se skalärprodukt som ett mått på hur två vektorer samverkar, om svaret är negativt så motverkar dom varandra och om svaret är positivt så samverkar dom. Om vi säger att ena vektorn (A) ligger horisontellt och andra vektorn (B) mindre än 90 grader därifrån, då är cosinus positiv och man kan kanske se det som att vektorernas angripspunkt, som vi kan kalla origo, i detta fallet flyttas in i första eller fjärde kvadranten, i fallet att mellanliggande vinkel är större än 90 grader blir cosinius negativ men här är det inte klockrent att origo åker in i andra eller tredje kvadranten för det beror på hur stark B är i förhållande till A, om vinkeln närmar sig 180 grader blir det dock sannolikt. ==Bevis av cosinusteoremet== Med hjälp av skalärprodukt kan man bevisa cosinusteoremet. Föreställ Er att vi har två vektorer där den ena (A) pekar horisontellt åt höger och den andra (B) i första kvadranten dvs också åt höger men med en vinkel som är större än noll men mindre än 90 grader, denna skillnadsvinkel kallar vi alpha. Adderar man vektoriellt A med B får man helt enkelt resultanten C och denna i kvadrat kan tecknas <math>C^2=(A+B)^2=A^2+B^2+2ABcos(\alpha)...81.2</math> Nu är alltså mellanliggande vinkel alpha MEN cosinusteoremet avser mellanliggande vinkel vid förskjutning av vektorerna så att dom biter varandra i svansen (inte "normal" mellanliggande vinkel alltså), detta gör så att cosinusteoremet blir riktigt dvs <math>C^2=A^2+B^2-2ABcos(\beta)...81.3</math> där beta är inre vinkeln. Jag skulle vilja säga att vinklarna vad beträffar kryssprodukt och skalärprukt ALLTID avser mellanliggande vinkel MEN det som då också gäller är att vektorerna alltid är tail-to-tail dvs börjar i samma angripspunkt. ==Exempel på användning av skalärprodukt== Säg att du har en vektor A enligt <math>A=A_x\hat x + A_y\hat y + A_z\hat z...81.4</math> Om vi nu vill ha fram en vektor B som är vinkelrät mot denna så gäller ju <math>A\cdot B=0...81.5</math> ty cosinus är noll. Jag var skeprtisk till detta idag och försökte klura ut det för hela rummet men det blir svårt att tänka då så om man bara nyttjar ett plan så blir det lättare dvs vi droppar Az, då blir skalärprodukten av A och B följande <math>Ax*Bx+Ay*By...81.6</math> och om <math>A=[2;3]...81.7</math> vilket är ett privat sätt att skriva (cartesiska vektorer) så gäller att B kan vara typ <math>B=[3;-2]...81.8</math> för då blir skalärprodukten <math>2*3+3*(-2)=0...81.9</math> Vinkeln mellan y-axeln och vektorn A är <math>atan(2/3)...81.10</math> vinkeln mellan y-axeln och vektorn B är <math>atan(3/2)...81.11</math> och <math>atan(2/3)+atan(3/2)=90 grader...81.12</math> V.S.V =Kapitel LXXXII, Kryssprodukt= Den andra varianten av vektoriell multiplikation kallas kryssprodukt. Kryssprodukt är inte helt lätt att förstå tycker jag men den grundar sig på att två vektorer multipliceras på ett speciellt sätt så att produkten bygger upp ett parallellogram samtidigt som den skapar en ny enhetsvektor (n) normal till parallellogrammet. Riktningen på den nya vektorn följer högerhandsregeln dvs om höger tumme pekar i ena vektors riktning och pekfingret i det andra så är övriga fingrars riktning lika med vektorns, typ. Vi kommer återkomma till kryssprodukt när det gäller nåt som kallas rot eller curl men här nöjer jag mig med att konstatera <math>AXB=\hat n|ABsin(\alpha)|...82.1</math> där alpha är vinkeln mellan vektorerna, högerledet är alltså inget annat än arean hos ett parallellogram vars "höjd" ju är ~sin(alpha) med en enhetsvektor (n tak) vilkelrätt mot parallellogrammets yta. ==Exempel på användning av kryssprodukt== Om vi vill räkna ut en parallell vektor till A så kan vi sätta att <math>AXB=0...82.2</math> ty vi har sinus mellan vektorerna, med andra ord gäller <math>(A_yB_z-A_zB_y)\hat x + (A_zB_x-A_xB_z)\hat y + (A_xB_y-A_yB_x)=0...82.3</math> Om nu <math>A=[1;1;1]...82.4</math> så ger det att <math>1...Bz-By=0...82.5</math> <math>2...Bx-Bz=0...82.6</math> <math>3...By-Bx=0...82.7</math> 1 ger att By=Bz som insatt i 3 ger Bz=Bx (2 behövs inte, överbestämt ekvationssystem) så vi har att Bx=Bz=By dvs vektorn B kan skrivas <math>B=b[1;1;1]...82.8</math> där b bara är ett tal vars alla varianter genererar en vektor som är parallellt med A, trivialt svar men tricket är användbart. =Kapitel LXXXIII, Vektordefinitioner= [[File:Fusion Vector Definition.png|thumb|Definition av två vektorer]] Om vi definierar en vektor på följande sätt <math>A=A_x\hat x + A_y\hat y + A_z\hat z...83.1</math> så har vi genast nyttjat det mest vanliga koordinatsystemet dvs de Cartesiska, sen kan vi definiera <math>B=B_x\hat x + B_y\hat y + B_z\hat z...83.2</math> där i båda fallen "hattarna" är enhetsvektorer som bara har riktning men "inget" belopp (nåväl, 1 har dom i belopp) Nyttjar vi nu skalärprodukt enligt ovan så får vi att <math>A\cdot B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z...83.3</math> ty bara komponeter i samma rikting multipliceras vilket är samma som att alpha ovan är 0 grader (ty koordinatsystemet är ortogonalt dvs vinkelrätt). Kryssprodukt är lurigare för enligt ovan är det sinus för mellanliggande vinkel som gäller men det gör ju att <math>\hat x * \hat x=0...83.4</math> ty vinkeln mellan dom är 0, bara vinkelräta komponenter kommer alltså med dvs <math>\hat x * \hat y=1...83.5</math> samtidigt som <math>\hat y * \hat x=-1...83.6</math> till exempel. Kryssprodukten <math>AXB...83.7</math> blir alltså, när man betänker att högerhandsregeln gäller dvs om man nyttjar höger hand och tumme för ena vektorn samt pekfingret för andra vektorn då pekar fingrarna i positiv riktning: <math>AXB=(AyBz-AzBy)\hat x + (AzBx-AxBz) \hat y + (AxBy-AyBx) \hat z...83.8</math> Som faktiskt är rätt lätt att räkna ut ty efter xy kommer positivt z enligt högerhandsregeln och efter zx så kommer positivt y medans efter xz kommer negativt y för nu går vi runt åt andra hållet, typ Refererat till ovanstående bild kan man teckna <math>A=A_x \hat x + A_y \hat y...83.9</math> och <math>B=B_x \hat x + B_y \hat y...83.10</math> cosinus för mellanliggande vinkel b-a blir sedan <math>Re[e^{j(b-a)}]...83.11</math> som är samma som <math>Re[e^{jb}*e^{-ja}]...83.12</math> dvs <math>Re[(cos(b)+jsin(b))*(cos(-a)+jsin(-a))]...83.13</math> eller <math>Re[(cos(b)+jsin(b))*(cos(a)-jsin(a))]...83.14</math> vilket ger <math>cos(b)cos(a)+sin(b)sin(a)==cos(b-a)...83.15</math> om vi nu tittar på att vi har <math> \begin{bmatrix} cos(a)=\frac{A_x}{A}\\ sin(a)=\frac{A_y}{A}\\ cos(b)=\frac{B_x}{B}\\ sin(b)=\frac{B_y}{B}\\ \end{bmatrix} ...83.16</math> så kan vi teckna <math>cos(b-a)=\frac{B_xA_x}{|AB|}+\frac{B_yA_y}{|AB|}...83.17</math> ty A och B är beloppet av vektorerna, detta ger <math>|AB|cos(b-a)=A_xB_x+A_yB_y...83.18</math> V.S.V Personligen tycker jag komplexa tal är en härligt smidig genväg till att härleda, och komma ihåg, trigonometriska formler som jag i alla fall aldrig lyckats lära mig, sen tror jag att samma resonemang kan användas för bevis av kryssprodukt men jag avstår från det och säger bara att härledningen av skalärprodukten av godtyckligt vinklade vektorer ger ett nästan trivialt svar som lite är bortanför teorin modell att skalärprodukten är produkten av längderna hos vektorerna gånger cosinus av mellanliggande vinkel, tycker faktiskt att det är lite svårt att se att det allmänt mynnar ut i ovanstående typ AxBx bara osv. Känner plötsligt för att bevisa kryssprodukt också för vi kan använda samma bild, nu gäller dock sinus dvs <math>sin(b-a)=Im[e^{jb}*e^{-ja}]...83.19</math> vilket ger <math>Im[(cos(b)+jsin(b))*(cos(a)-jsin(a))]...83.20</math> där vi samlar ihop de imaginära bitarna och får <math>-cos(b)sin(a)+cos(a)sin(b)==sin(b-a)...83.21</math> dvs <math>sin(b-a)=-\frac{B_xA_y}{|AB|}+\frac{A_xB_y}{|AB|}...83.22</math> vilket ger <math>|AB|sin(b-a)=A_xB_y-B_xA_y...83.23</math> vilket är helt riktigt förutom att kryssprodukt definieras enligt <math>\hat n |AB|sin(b-a)...83.24</math> där n-tak är den ortogonala riktingen jämför med det plan vektrorerna A och B ligger i, i detta fallet gäller <math>\hat y |AB|sin(b-a)=(A_xB_y-B_xA_y)\hat y...83.25</math> V.S.V =Kapitel LXXXIV, Koordinatsystem= [[File:Fusion Coordinate Systems 2.png|thumb|Olika koordinatsystem]] Jag har fått lära mig av Cheng att tre olika koordinatsystem räcker för de flesta fall, dessa tre är: 1) Cartesiska koordinater (x, y, z) 2) Cylindriska koordinater (r, phi, z) 3) Sfäriska koordinater (R, theta, phi) De cartesiska koordinaterna känner vi igen, cylindriska koordinater innebär att rymden antas cylindrisk där r är radien, phi är vinkeln mellan x och r och z är höjden, sfäriska koordinater innebär att rymden antas sfärisk där R är en rymd-radie, theta är vinkeln mellan z och dit rymd-radien pekar ovanifrån och ner och phi är vinkeln mellan x och positionen för R. Man kan teckna de olika koordinatsystemens differentiella längdelement i samma ordning som ovan: <math>dl=dx\hat x + dy\hat y + dz\hat z...84.1a</math> <math>dl=dr\hat r + rd\phi \hat \phi + dz\hat z...84.1b</math> <math>dl=dR\hat R + Rd\theta \hat \theta + Rsin(\theta)d\phi\hat \phi...84.1c</math> Ett godtyckligt längdelement kan alltså allmänt tecknas <math>dl=h_1du_1\hat u_1+h_2du_2\hat u_2+h_3du_3\hat u_3...84.2</math> där h-parametrarna kallas metriska koefficienter som för Cartesiska koordinater enligt ovan är <math>h_1=h_2=h_3=1...84.3</math> och för cylindriska coordinater är <math>h_1=1, h_2=r, h_3=1...84.4</math> samt för sfäriska koordinater är <math>h_1=1, h_2=R, h_3=Rsin(\theta)...84.5</math> Den första är enkel att förstå för om man vill göra en integrering i hela rummet måste man göra den längs alla koordinater, samma princip kan dock tilldelas de andra koordinatsystemen. Jag är mycket dålig på att rita mer komplexa saker, det är lite sorgligt men jag vill ändå gå vidare och måste försöka beskriva med ord åtminstone så länge dvs ett ytelement hos de olika koordinatsystemen kan tecknas (observera sedan att en normalkomponent till ytan används som alltid pelkar ut från ytan). <math>dS_z=dxdy\hat z...84.6</math> detta är alltså ett ytelement i xy-planet vars normal pekar enligt z-axeln (samma princip gäller övriga koordinater), sen har vi för det cylindriska koordinatsystemet <math>dS_r=rd\phi dz \hat r...84.7a</math> <math>dS_\phi=drdz \hat \phi...84.7b</math> <math>dS_z=rd\phi dr \hat z...84.7c</math> r dphi är det metriska vinkelsegmentet som blir av vinkeldifferentialen, och för det sfäriska koordinatsystemet där Rsin(theta) kan projiseras som lilla r <math>dS_R=Rsin(\theta) d\phi Rd\theta \hat R...84.8a</math> <math>dS_\theta=Rsin(\theta) d\phi dR \hat \theta...84.8b</math> <math>dS_\phi=dR Rd\theta...84.8c</math> de olika volymselementen blir sedan <math>dV_{xyz}=dxdydz...84.9a</math> <math>dV_{r\phi z}=drrd\phi dz...84.9b</math> <math>dV_{R \theta \phi}=dRRd\theta Rsin(\theta)d\phi=R^2sin(\theta)dRd\theta d\phi...84.9c</math> =Kapitel LXXXV, Skalär trippelprodukt= Skälär trippelprodukt kan tecknas <math>A\cdot (BXC)=B\cdot (CXA)=C\cdot (AXB)...85.1</math> Observera rotationen åt höger, man kan tänka sig en variant, om man gillar determinanter, genom att hänvisa till Sarrus regel enligt nedan för då har man att alla tre vektorerna A, B, C ingår och ordningen på vektorerna kommer bara innebära att rader kastas om enligt högerhandsregeln. A skalärt med BXC kan alltså tecknas: <math>A\cdot BXC= \begin{vmatrix} Ax & Ay & Az\\ Bx & By & Bz\\ Cx & Cy & Cz\\ \end{vmatrix} ...85.2</math> Där jag precis kommit på ett enkelt sätt att beräkna determinanten nästan utan Sarrus regel. Om man är ute efter komponenterna i "Ax-riktning" kan man stryka dess rad och dess kolumn samt körra Sarrus på "komplementet" samma gäller till exempel "Ay-riktning", då ser man genast att determinaten blir <math>Ax(ByCz-BzCy)+Ay(BxCz-BzCx)+Az(BxCy-ByCx)...85.3</math> dvs skalärprodukten av A med BXC, där dock Ay har fel tecken men det återkommer jag till. =Kapitel LXXXVI, Vektoriell trippelprodukt= Denna är svårare att bevisa men jag hänvisar till Cheng (s18), beviset går lite ut på att man delar upp A i en parallell och vinkelrät komponent gentemot BXC-arean, i vilket fall blir svaret <math>AX(BXC)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)...86.1</math> Kallas också för "The BAC-CAB Rule". Spontant känns det lite knepigt hur man kan kryssa en vektor A med en annan vektor (BXC blir en annan vektor) så att alltihopa blir en skalär. =Kapitel LXXXVII, Gradient= [[File:Fusion Gradient.png|thumb|Gradienten hos ett skalärt fält]] Gradienten hos ett vektorfält innebär en vektor som pekar ut maximala "rate of change" ihop med riktningen hos en skalär förändring, gradienten definieras <math>\nabla V=\hat n \frac{dV}{dn}...87.1</math> där dV är ändringen av V längs en normalvektor till "potentialplanet", man kan skriva om detta enligt <math>\frac{dV}{dl}=\frac{dV}{dn}\frac{dn}{dl}=\frac{dV}{dn}cos\alpha=\frac{dV}{dn}\hat n \cdot \hat l ...87.2</math> dvs man kan skriva <math>dV=\nabla V \cdot dl...87.3</math> där dl är en vektor som inte nödvändigtmässigt måste vara vinkelrät mot planet och nabla definieras som <math>\nabla=\frac{d}{dx}\hat x +\frac{d}{dy}\hat y +\frac{d}{dz}\hat z...87.4</math> i Cartesiska koordinater och är en deriveringsoperator där till exempel <math>\nabla V...87.5</math> kan skrivas <math>\nabla V=\frac{dV}{dx}\hat x +\frac{dV}{dy}\hat y +\frac{dV}{dz}\hat z...87.6</math> Det är viktigt att inse att gradienter bara finns för skalärer, inte för vektorer alltså, allmänt kan man teckna gradienten för de olika koordinatsystemen enligt <math>\nabla V=\frac{dV}{h_1du_1}\hat u_1 +\frac{dV}{h_2du_2}\hat u_2 +\frac{dV}{h_3du_3}\hat u_3...87.7</math> Jag laddar upp en bild på en potential enligt <math>V=e^{-x^2}...87.8</math> som har en gradient enligt definitionen ovan dvs <math>\frac{dV}{dx} \hat x=-2xe^{x^2} \hat x...87.9</math> där alltså gradienten är längs x-axeln och jag köper inte det för Gaussklockan har en gradient i y-led anser jag ty potentialen närmar sig ett maxima där och den gör det ganska fort (även om derivatan är noll där). Jag sparar detta korkade uttalande som refeferens för idag tror jag att jag kom på vad gradient faktiskt är, gradient verkar visa på hur funktionen/skalären växer som mest och i vilken riktning (hos variabeln?) I bifogad bild ser man hur jag räknat ut gradienten som ALLTID går längs med x-axeln (för det är det enda som går att derivera...), för mig känns detta fortfarande inte riktigt men man kan konstatera att gradienten i alla fall visar åt vilket "håll" i kurvan det verkligen händer nåt i y-led, rör man sig utmed x-axeln på detta sättet händer det en massa med potentialen när man närmar sig x=0. =Kapitel LXXXIIX, Divergens= [[File:Fusion Divergence.png|thumb|Visar hur vektorfält kan divergera]] Divergens definieras genom att man sätter en liten låda vinkelrätt mot vektorfältet, om då antalet flödeslinjer ut ur lådan är färre än antalet flödeslinger in så har man en "sink" där inne och därmed divergens, om antalet flödeslinjer ut ur lådan är större än in i lådan så har vi uppenbarligen en "source" där inne, är antalet flödeslinjer samma så är det ett divergensfritt eller så kallat "soloidalt" fält vi har. Ett typexempel på divergens är <math>\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...88.1</math> vilket innebär att E-fältet divergerar i laddningar (rho=laddningsdensitet) som man kan se som att fältlinjerna landar i laddningar som ju finns diskret modell till exempel elektroner, samtidigt gäller <math>\nabla\cdot B=0...88.2</math> vilket visar att det inte finns några magnetiska laddningar för B-fältet biter alltid sig själ i svansen, så B är soloidalt. Divergens är en skalär, den har ingen riktning men är positiv för intern "source" och negativ för intern "sink", den är måttet på styrkan hos dessa källor. För Cartesiska koordinater kan man skriva <math>\nabla \cdot A=\frac{dAx}{dx}+\frac{dAy}{dy}+\frac{dAz}{dz}...88.3</math> Allmänt kan man teckna divergensen map de olika koordinatsystemen enligt <math>\nabla \cdot A=\frac{1}{h_1h_2h_3} [\frac{d(h_2h_3A_1)}{du_1}+\frac{d(h_1h_3A_2)}{du_2} +\frac{d(h_1h_2A_3)}{du_3}]...88.4</math> =Kapitel LXXXIX, Rotation= [[File:Fusion Curl Example.png|thumb|Anoddiagram för en rördiod]] Cirkulation är en linjeintegral av ett vektorfält runt en sluten kontur. Man kan nog se det som ett arbete där dock arbetet runt en sluten kontur är 0 för om man kommer tillbaka till punkten man började med så har man inte uträttat nåt arbete ty lägeenergin är samma. Rotation är cirkulationen per ytenhet när ytan går mot noll, jag hittar inget riktigt enkelt sätt att förklara detta annat är att riktningen hos rotationen följer högerhansdsregeln dvs normalvektorerna är riktade ut från ytan. Rotation följer kryssproduktregeln ovan men är nu lite mera lurig pga nabla, men om vi i 81.12 byter A mot typ d/dx och B mot A så får vi <math>\nabla X A=(\frac{dAz}{dy}-\frac{dAy}{dz})\hat x +(\frac{dAx}{dz}-\frac{dAz}{dx}) \hat y + (\frac{dAy}{dx}-\frac{dAx}{dy}) \hat z...89.1</math> Finns det rotation så finns det ett virvelfält i vektorfältet, exempelvis gäller i statiska fall <math>\nabla X B =\mu_0I...89.2</math> där virvelkällan verkar utläsas B (magnetfältet runt till exempel en ledare) medans det i själva verket är I som ger B så den så kallade "virveln" motsvarande strömmen I ger alltså magnetfältet. Fast samma gäller egentligen för Gauss lag sprungen ur <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...89.3</math> dvs <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...89.4</math> som innebär flödet av E genom den slutna ytan S där man ser att det naturligtvis är laddningen som ger E-fältet och inte tvärtom. Allmänt kan man räkna ut rotationen på följande sätt <math>\nabla X A=\frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1u_1 & h_2u_2 & h_3u_3\\ \frac{d}{du_1} & \frac{d}{du_2} & \frac{d}{du_3}\\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3\\ \end{vmatrix} ...89.5</math> Kom annars på ett roligt exempel, om Ni tittar på bilden på rördioden ovan så kan man teckna ett vektorfält A enligt <math>A=U_a\hat x + pU_a^{3/2} \hat y...89.6</math> och tar vi rot på detta får vi <math>\nabla X A=(0-0)\hat x+(0-0) \hat y+ (dAy/dx-dAx/dy) \hat z...89.7</math> dvs <math>\nabla X A=(3/2p\sqrt{Ua}-0) \hat z...89.8</math> dvs vi har fått en vektor i z-riktning (ut från pappret i detta fallet) på <math>\frac{3}{2}p\sqrt{Ua}...89.9</math> vilket är samma som konduktansen ty vi har deriverat Ia med avseende på Ua, vänder man sedan på uttrycket får man nåt välkänt dvs rp. =Kapitel XC, Vektoriell derivering= Vektoriell derivering följer i princip vanlig produktderivering enligt <math>(xy)'=x'y+xy'...90.1</math> Fast i vektorform skriver vi <math>\nabla (Af)=(\nabla \cdot A)f + A \cdot \nabla f...90.2</math> där A är en vektor och f en skalär. =Kapitel XCI, Gauss's teorem (aka divergensteoremet)= [[File:Fusion Divergence Example.png|thumb|Vattenflöde runt en sten]] Teoremet säger <math>\int_V \nabla \cdot A dv=\oint_S A\cdot dS...91.1</math> Jag brukar se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt <math>(\nabla \cdot A)_j\Delta v_j=\oint_{sj} A \cdot dS...91.2</math> där delta vj är en liten volym bunden av sj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i divergensteoremet, man kan se det som att volymsintegralen över en divergens motsvaras av flödet av samma vektor genom en sluten yta. Eftersom jag har svårt att fatta vad detta verkligen innebär så har jag tänkt så det knakar idag, först kan vi börja med något känt dvs jag går händelserna i förväg lite igen och tecknar <math>\nabla \cdot D=\rho...91.3</math> där rho är laddningsdensiteten och D kallas för den elektriska flödestätheten [C/m^2]. Volymsintegralen av denna blir alltså laddningen Q vilket enligt teoremet är samma som <math>Q=\oint D\cdot dS...91.4</math> som man eventuellt kan tolka som att en innesluten laddning Q ger ett fält vinkelrätt mot den slutna yttre ytan motsvarande D. Fast detta var inte så mycket vad jag tänkte på idag, jag tänkte snarare på vad divergens eventuellt verkligen är så jag blev att tänka på en sten i en liten bäck, ta bort stenen och vattnet bara flödar rakt fram, sätt dit stenen och vattnet "divergerar" runt stenen, eller hur? Detta kan mycket eventuellt tecknas <math>\int \nabla \cdot u dv=\oint u \cdot dS...91.5</math> där u är vattnets hastighet eller <math>u=\frac{Vol}{m^2*s}=m/s...91.6</math> dvs hastigheten av vattnet är samma som flödestätheten per sekund, om vi nu stipulerar nåt roligt här dvs <math>\nabla \cdot u=\rho_m...91.7</math> där rho_m helt enkelt är densiteten hos stenen, då får vi <math>kg=\oint u \cdot dS...91.8</math> tittar man på denna formel och jämför med D-formeln ovan så inser man att i det förra fallet så ger nåt som kallas laddning (Q) ett D-fält, här ger nåt som kallas massa ett u-fält samtidigt som enheten blir Vol/s dvs flöde, dock har vi beräknat en sluten ytintegral som inte är samma som nåt som bara flöder genom en yta. Om kg (eller rho) ger upphov till ett fält och vi avlägnsnar oss en bit ifrån klumpen då kan man se klumpen som en punktkälla och en punktkälla ger på samma sätt som Q upphov till ett fält som är vinkelrätt ytan där man beräknar fältet, men andra ord kan man eventuellt nyttja formeln på lite längre avstånd och säga att <math>u=\frac{kg}{4\pi R^2}...91.9</math> vilket påminner om nåt som är sant för en punktkälla av laddning dvs <math>D=\frac{Q}{4\pi R^2}...91.10</math> under förutsättning att det finns nåt som kg/m^2 :D Det slog mig idag att stenen förmodligen inte orsakar nån divergens för divergens, som jag har förstått det, innebär att det finns en källa (source) eller sänka (sink) i vektorfältet och ovanstående teoretiserande behandlar mest hur vektrorfältet "styrs om" vilket ju innebär att det inte varken försvinner u eller tillkommer u men jag tror faktiskt att det gör det för innan stenen har vi en viss flödestäthet (eller hastighet), vid/runt stenen har vi en högre hastighet för vattnet passerar nu i en trängre passage samtidigt som mängden vatten per tidsenhet måste vara samma för att inte ån skall flöda över. Då har vi i alla fall en förändring av u motsvarande en hastighetsökning hos vattnet som är beroende av hur mycket åns tvärssnittsarea har minskat pga stenen. u divergerar då, eller? Jag tycker det för det har faktiskt tillkommit u pga att stenen gjort passagen smalare och divergens handlar ju om en påverkan på ett vekttorfält motsvarande source/sink så om u ökar så har vektorfältet u onekligen påverkats. Ett annat sätt att se på speciellt source/sink i å-fallet kan eventuellt vara att vi har två fall där source består av en liten tillströmmande bäck och sink består av ett hål helt enkelt i ån där vatten bara försvinner. Tydligare source/sink hos en divergens kan jag inte komma på. Men hur blir det med divergensen i det här fallet? Divergensen enligt ovan måste ju nästan vara av typen x-densitet (jag kallar alla /m^3-enheter för densiteter, /m¨2-enheter blir då tätheter och /m-enheter blir intensiteter vilket jag tycker är käckt) ty den integreras ju upp volymmässigt för att ge nåt. Fast kanske mass-densitet fortfarande funkar? Det kluriga är dock fortfarande oint-biten som ju ger massa/m^2. Det är kul att spekulera när man inte förstår nåt :) Och nu har jag precis lagt till en bild ovan där vår sten är kilformad likt ett cirkelsegment. Detta får till följd att hastighetsvektorn u är vinkelrät mot normalvektorn från stenens kanter (bortanför ändan), detta gör eventuellt sedan att den slutna integralen blir öppen för runt alla sidor utom baksidan är normalkomponenten av hastighetsvektorn noll, den enda gången det finns en normalkomponent hos hastighetsvektorn relativt stenens yta är på baksidan av stenen där det dessutom skapas turbulens. Man kan eventuellt teckna systemet enligt följande: <math>dS=hrd\phi \hat r...91.11</math> där h är djupet hos ån, sen är <math>u= u_r\hat r+u_\phi \hat \phi...91.12</math> skalärprukten blir då <math>u \cdot dS=hru_rd\phi...91.13</math> här ser man också att den självklara komponenten längs med phi går bort pga skalärproduktens inneboende egenskap, integrering ger <math>\oint u \cdot dS=\int_{-\phi}^{\phi} hru_rd\phi...91.14</math> för bara på baksidan av stenen finns en hastighetskomponent som är vinkelrät mot stenens yta, detta ser sen enkelt ut om det inte vore för att <math>u_r=u_r(\phi)...91.15</math> för strömningshastigheten är naturligtvis beroende av phi[0;a] som jag skrivit i bilden och en lekfull approximation kan vara <math>u_r=u_r*cos(\alpha-\phi)...91.16</math> dar man kan se att om phi är "a" så är ur=ur (ingen hastighet går alltså förlorad) men om phi är 0 så går hastighet förlorad på ett sätt där om a är stor (bred sten) så är hastigheten bakom stenen ännu mindre (förmodligen faktiskt noll vid phi=0), så vi har att <math>\Phi=\int_{-\phi}^{\phi} hr u_r cos(\alpha -\phi)d\phi...91.17</math> där Phi nu är flödet för den slutna integralen har "öppnat upp sig" :) Detta kan skrivas om enligt <math>\Phi= hr u_r \int_{-\alpha}^{\alpha}cos(\alpha -\phi)d\phi...91.18</math> eller <math>\Phi= -hr u_r sin[\alpha -\phi]_{-\alpha}^{\alpha}...91.19</math> vilket är samma som <math>\Phi=hr u_r sin(2 \alpha)...91.20</math> fast vad jag egentligen ville räkna ut var u_r alldeles innan stenens baksida, vi kan ta en annan falang ur fysiken för detta och nyttja den så kallade kontinuitetsekvationen som för inkompressibel vätska och icke-turbulent strömning ger om vi kallar strömningshastigheten in mot stenen för u0 och åns bredd utan sten för areamässigt S0 samt Sr för arean hos stenen alldeles innan vattnet passrar baksidan, då får vi <math>u_0S_0=u_r(S_0-S_r)...91.21</math> dvs ur är då <math>u_r=u_0\frac{S_0}{S_0-S_r}...91.22</math> Jag propsar inte på att jag har rätt för jag tycker mest det är kul att spekulera amatörmässigt, MEN jag tror vi kan vara överens om att flödet [Vol/s] i en å med konstant bredd är "opåverkbart" dvs oberoende av om det ligger en större sten där i ån eller inte, med andra ord blir strömningshastigheten runt stenen högre än innan stenen där alltså strömningshastighet är samma som flödestäthet vilket kan ses som att (flödes)tätheten runt själva stenen blir högre om samma mängd vatten per sekund skall kunna ta sig fram trots stenen. =Kapitel XCII, Stoke's teorem= [[File:Fusion Circulation Example.png|thumb|Visar en kurvintegral runt en kvartcirkel]] Teoremet säger <math>\int_S \nabla X A dS=\oint_C A \cdot dl...92.1</math> Även här brukar jag se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt <math>(\nabla X A)_j \cdot (\Delta s_j)=\oint_{Cj} A \cdot dl...92.2</math> där delta sj är en liten yta bunden av Cj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i Stoke's teorem, man kan se det som att ytintegralen över en rotation motsvaras av cirkulationen (eller eventuellt "arbetet") av samma vektor runt en sluten kontur. Här fattar jag dåligt för om arbetet mellan två punkter kan skrivas <math>q\int_{P1}^{P2}E\cdot dl=\int_{P1}^{P2}F\cdot dl...92.3</math> och om P2=P1 så har vi bara gått ett helt varv från typ toppen av ett berg ner och upp igen i dalen samtidigt som vinsten i lägesenergi då är exakt noll, dvs <math>\oint F_ldl=0...92.4</math> men teoremet stipulerar att cirkulationen naturligtvis inte alltid är noll men varför inte ty netto arbete jag beskriver är uppenbarligen noll, jag får inte riktigt ihop det här men vi kan leka lite med ett fält som har rotation modell <math>F=y^2\hat x + x^2 \hat y...92.5</math> för om vi tar rotationen på detta så får vi att det bara blir en z-komponent modell <math>\nabla X F=(2x-2y)\hat z...92.6</math> om vi sen stoppar in detta i arbetsintegralen ovan så får vi <math>\oint F_xdx=y^2[x_2-x_1]...92.7</math> där x2=x1 ty vi går ju runt vilket alltså fortfarande ger en integral som är noll, nej jag fattar fortfarande inte det här även om jag fattar att netto arbete om man släpar runt på nåt och kommer tillbaka till samma punkt är exakt noll. Vi får titta på ett exempel av Cheng dvs exempel 2.14: Om vi har vektorfältet <math>F=xy \hat x-2x \hat y...92.8</math> och önskar beräkna den öppna linjeintegralen <math>\int_A^B F\cdot dl...92.9</math> längs periferin hos en kvartcirkel enligt <math>3^2=x^2+y^2...92.10</math> så kan man göra det på följande sätt där vi först visar <math>dl=dx \hat x + dy \hat y + dz \hat z...92.11</math> vilket gör att <math>F\cdot dl=xydx-2xdy...92.12</math> själva integreringen går sedan till på följande sätt (och jag skriver bara av Cheng) <math>F\cdot dl=\int_3^0 x\sqrt{9-x^2}dx-2\int_0^3 \sqrt{9-y^2}dy...92.13</math> eller <math>[-\frac{1}{3}(9-x^2)^{3/2}]_3^0-[y\sqrt{9-y^2}+9sin^{-1}{\frac{y}{3}}]_0^3...92.14</math> dvs <math>-9(1+\frac{\pi}{2})...92.15</math> Nu är det här den öppna delen av cirkulationen men man kan visa att resten kring kvartcirkeln blir noll. Så om man släpar nåt helt runt en kvartcirkel med vektorfältet enlig ovan så blir tydligen inte arbetet noll, varför det? Hur kan ett arbete från en punkt, längs nån krokig väg tillbaka till samma punkt, INTE bli lägesenergi-förändringsmässigt lika med noll? Vad betyder vektorfältet enligt senast? Självklart kan man slänga in vilka variabelkombinationer man vill MEN vad betyder dom? Vi räknar nu på hela den slutna konturen enligt ovan bild, då blir <math>\int_{OABO} F\cdot dl...92.16</math> till att börja med <math>\int_O^A xydx-2xdy...92.17</math> och för sträckan OA så är y=0, så "arbetet" för denna sträcka blir noll, för sträckan BO är sedan x=0 så här blir arbetet också noll. Tycks alltså vara som så att kurvan man "arbetar" igenom måste vara krökt för att det skall finnas cirkulation och därmed ett arbete skillt från noll. Jag har ingen aning om detta är sant eller ej samtidigt som exemplets vektorfält egentligen inte säger mig nånting. Men vi tycks kunna konstatera att ett arbete från punkt A längs godtycklig väg tillbaka till A INTE alltid är noll. Kirschoffs spänningslag är dock alltid noll men man kan nog konstatera att vi inte har några komplexa vektorfält ivägen då :) =Kapitel XCIII, Två nollidentiteter= Det finns två fall där vektormanipulationen blir noll, det ena är en rotation av en gradient, det andra är en divergens av en rotation. ==Nollidentitet I== <math>\nabla X (\nabla V)=0...93.1</math> Här har vi alltså en rotation av en gradient, enligt ovan kan vi dock skriva <math>dV=\nabla V \cdot dl...93.2</math> och enligt Stoke's så har vi <math>\int \nabla X (\nabla V) \cdot dS=\oint \nabla V \cdot dl...93.3</math> eller <math>\int \nabla X (\nabla V) \cdot dS=\oint dV...93.4</math> och detta är i princip Kirschoff spänningslag som alltså är noll runt en sluten kontur, pga ovan vektoridentidet så kan man byta ut gradienten av ett skalärt fält mot ett vektorfält t.ex enligt <math>E=-\nabla V...93.5</math> där E råkar vara den elektriska fältstyrkan som en potential V sätter upp. ==Nollidentitet II== <math>\nabla \cdot (\nabla X B)=0...93.6</math> Här har vi alltså att divergensen av en rotation är noll, enligt Gauss kan vi skriva <math>\int \nabla \cdot (\nabla X B)dv=\oint (\nabla X B)\cdot dS...93.7</math> En lekfull amatörmässig förklaring är (jag kommer inte ihåg och kommer slå upp och förklara det bättre sen) att rotationen av B ger ett fält som är vinkelrätt mot planet B ligger i så om skalärprukten tas gentemot detta fält så är ytans normal vinlelrät mot detta fält och allt blir noll. Annars kan man eventuellt se det som så att den sista integralen enligt Stoke's teorem bytas ut mot <math>\oint_S (\nabla X B)\cdot dS=\oint_C B\cdot dl...93.8</math> där integralen över ytan S är en sluten yta vilket gör att det inte finns nån öppen kontur C att linjeintegrera runt och då blir cirkulationen 0, pga identiteten kan man byta ut rotationen av ett vektrorfält mot en vektorpotential enligt till exempel <math>A=\nabla X B...93.9</math> där B råkar vara den magnetiska flödestätheten och A är dess vektorpotential. =Kapitel XCIV, Helmholtz teorem= Jag skriver lite ur huvet som vanligt och säger då att ett vektorfält är beskrivet, intill en konstant, om både divergensen och rotationen av vektorvältet är känt, som Ni vet kallas ett divergensfritt vektorfält för soloniadal och ett rotationsfritt vektorfält för irrotational, detta gör att ett godtyckligt vektorfält kan tecknas <math>F=F_i+F_s...94.1</math> där man alltså får <math>\nabla \cdot F_i=G...94.2</math> <math>\nabla X F_i=0...94.3</math> <math>\nabla X F_s=g...94.4</math> <math>\nabla \cdot F_s=0...94.5</math> Nu leker vi att F blir <math>\nabla \cdot F=\nabla \cdot F_i=G...94.6</math> respektive <math>\nabla X F=\nabla X F_s=g...94.7</math> fast här ser vi väl att vektorfältet F faktiskt är bestämt intill två konstanter? Kanske gäller sedan följande: <math>\int \nabla \cdot Fdv=\int Gdv=\oint F\cdot dS...94.8</math> och <math>\int \nabla X F \cdot dS=\int g \cdot dS=\oint F\cdot dl...94.9</math> där man eventuellt kan se G som nån typ av densitet och g som nån typ av flödestäthet. =Kapitel XCV, Lösning av ekvationssystem medels invertering av matris= [[File:Schema sarrus-regel.png|alt=|thumb|''Rule of Sarrus'': The determinant of the three columns on the left is the sum of the products along the down-right diagonals minus the sum of the products along the up-right diagonals.]] [[File:Fusion Sarrus Alt.png|thumb|Ett alternativt sätt att räkna ut determinanter]] Antag att vi har matrisekvationen <math>V=pQ...95.1</math> Där V är en kolonnmatris på tre rader och en kolumn (3X1) och Q är en kolonnmatris på 3X1, p är sedan en kvadratisk matris på 3X3, man får lätt denna matrisekvation om man till exempel räknar på ett system med tre laddningar och vill räkna ut kapacitanser. I det här rätt praktiska fallet är alltså V potentialer, Q laddningar och p "coeffoicients of potential" dvs koefficienter. Man kan alltså teckna ovanstående matrisekvation relativt enkelt men det är lurigare att räkna ut kapacitansen, detta kan man dock göra genom att invertera matriser enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q...95.2</math> så man multiplicerar alltså med inversen av matrisen p från vänster (riktningen är normalt sett väldigt viktig, jag har bara upplevt att matris multiplicerat med sin invers inte spelar roll i vilken ordning de multipliceras, de blir bara E), ut faller en ekvation som underlättar beräknandet av kapacitans ty <math>p^{-1}=c...95.3</math> dvs ekvationen har övergått i <math>Q=p^{-1}V=cV...95.4</math> Så hur ska vi då invertera p så att vi får c? Invertering av matriser går till på följande sätt, först själva matrisen: <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12 & p13\\ p21 & p22 & p23\\ p31 & p32 & p33\\ \end{bmatrix} ...95.5</math> inversen av p kan sedan tecknas <math>p^{-1}=\frac{1}{Det(p)} \begin{bmatrix} A11 & A21 & A31\\ A12 & A22 & A32\\ A13 & A23 & A33\\ \end{bmatrix} ...95.6</math> där rad och kolumn är omkastad, jag har svårt för att visa det här men om p istället är en 2X2 matris enligt <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.7</math> så blir determinanten, som kan ses som två "45-gradiga" streck där överst från vänster är plus och från höger är minus, detta kallas också Sarrus regel: <math>Det(p)=p11p22-p12^2...95.8</math> där p12=p21 pga reciprocitet dvs kapacitansen är oberoende av riktning och [Aij] är komplementen hos p som kan tecknas <math>Aij=(-1)^{i+j}Dij...95.9</math> där Dij är kryssad determinant hos [pij] där kryssad betyder att när man räknar ut Dij så kryssar man bort både rad och kolumn för pij och tar determinanten av resten, hur fasen skall jag kunna visa det här? Gör man såhär så får man kapacitanserna direkt, dock gäller <math>c11=C10+C12+C13...95.10a</math> <math>c22=C20+C21+C23...95.10b</math> <math>c33=C30+C23+C31...95.10c</math> sen har man, där man ovan skall notera att Cij=Cji pga reciprocitet och att man kan tolka ekvationssystemet som att vardera nod jordas, c11 är alltså coefficient of capacitance men dess värde är den totala parallellande kapacitansen när respektive annan nod jordas, sen har vi att <math>c12=-C12...95.11a</math> <math>c13=-C13...95.11b</math> <math>c23=-C23...95.11c</math> Stora C innebär faktiska kapacitanser men man kan lösa ovanstående för stora C också, detta är ett litet trick. ==Exempel I, tretrådskapacitans, prel== [[File:Fusion Charges Rod.png|thumb|Laddade stänger och deras kapacitans]] Gauss lag säger <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...95.12</math> där E är den elektriska fältstyrkan, e0 permittiviteten för vakuum och Q den inneslutna laddningen inom ytan S, det är alltså en flödesintegral där flödet av E sker genom ytan S samtidigt som S egentligen är en vektor ty uttrycket är en skalärprodukt. För en oändligt lång linjeladdning/stång blir E-fältet <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 R}...95.13</math> som fås av nåt som kallas Gaussisk yta dvs en yta som alltid är vinkelrät mot E-fältet, så om vi har en oändligt lång stång med laddning och konstruerar en liten cylindrisk burk/yta runt stången där fältlinjerna alltid är vinkelräta mot ytan, då kan man lyfta ut E ur integralen för den är konstant då och då blir resten bara en integrering av ytan. Potential kan beräknas som det arbete som krävs för att släpa en laddning mot fältet, E-fältet defineraras tom som <math>E=\frac{F}{Q}...95.14</math> vars enhet är Newton per Coulomb men vi känner enheten bättre som Volt per meter, man definerar således potential enligt <math>V=-\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...95.15</math> där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel II, The Flux Capacitor, prel== [[File:Fusion The Flux Capacitor.png|thumb|Fyra laddade stänger i stjärnkoppling]] Jag har nu försökt beräkna kapacitanser hos en samling stänger som är ytterligare en dvs fyra. Utseendet på arrangemanget påminner om en film från 80-talet så jag har kallat bilden "The Flux Capacitor". Utseendet hos bilden påminner också om huvudspänningarna i ett trefassystem (med d som faspänning), arrangemanget blir mekaniskt så om dom liksom skall kunna härbärja runt varandra (annars blir avstånden imaginära). Jag har inget facit på mina beräkningar men villkoret pij=pji från Cheng är en bra indikation på att man kan ha rätt, villkoret kommer alltså ifrån att kapacitans är oberoende av riktning. För att förenkla kodningen kommer jag strunta i att det egentligen handlar om längdintensitets-laddningar (Q/L aka rho_l) och istället köra Q med index, sen kommer jag initialt strunta i att potentialen från en laddad stång går som ln(d/a) där d är avståndet och a radien hos stången och istället skriva d/a, E-fältet för en stång är alltså <math>E=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r...95.50</math> som uppintegrerat och negerat ger potentialen <math>V=-\int_d^a Edr=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.51</math> och <math>2\pi\epsilon_0...95.52</math> hoppar jag alltså perlimiunärt över vilket dock bara innebär att mina potentialer behöver multipliceras med denna term. <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.53</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2\frac{d}{a}+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.54</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3\frac{d}{a}...95.55</math> som kan skrivas om enligt <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.56</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{d}{a}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.57</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{d}{a}...95.58</math> sen gäller <math>\Q_0=-(Q_1+Q_2+Q_3)...95.59</math> som ändrar ovanstående formler till dessa matrisvärden <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.60</math> enligt <math>V=pQ...95.61</math> där vi nu skall ta fram inversen av matrisen p så att vi istället får matrisen c enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q=cV...95.62</math> Inversen stavas <math>p^{-1}=\frac{1}{det(p)}* \begin{bmatrix} B11&B21&B31\\ B12&B22&B32\\ B13&B23&B33\\ \end{bmatrix} ...95.63</math> Nu är B-elementen komplement till p-elementen så vi stryker respektive elements rad och kolumn och nyttjar <math>(-1)^{i+j}...95.64</math> varvid vi får <math>B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.65</math> Eftersom kapacitans inte har riktning så ska bij vara lika med bji och får man inte detta så är det en bra indikation på att man har gjort fel, fast rent allmänt ska man komma ihåg att när det gäller tal så måste B-matrisen transponeras dvs rader och kolumner måste byta plats för annars blir det fel, matrisen c blir nu <math>c=p^{-1}=\frac{1}{det(p)}*B...95.66</math> där alla cij (i inte lika med j) är samma samtidigt som alla cij (i=j) är samma, om vi nu kopierar ner p så får vi <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.67</math> som vi föreklar till elementnummer istället <math>p= \begin{bmatrix} p11&p12&p13\\ p21&p22&p23\\ p31&p32&p33\\ \end{bmatrix} ...95.68</math> och determinaten blir <math>(+1)*p11*(p22p33-p23p32)+ (-1)*p12*(p21p33-p23p31)+ (+1)*p13*(p21p32-p22p31)...95.69</math> eller <math>p11*(p22p33-p23p32)+p12*(p23p31-p21p33)+p13*(p21p32-p22p31)...95.70</math> där p12=p13=P21=p23=p31=p32 och p11=p22=p33, vilket ger <math>p11*(p11^2-p12^2)+p12*(p12^2-p12p11)+p12*(p12^2-p12p11)...95.71</math> Jag blir osäker på det här men när man kryssar vektorer får man det på ovanstående sätt, vi kan dock göra ännu en liten förenkling dvs <math>p11*(p11^2-p12^2)+2p12^2*(p12-p11)...95.72</math> Nu är det alltså ln(pij) som gäller så det är inte bara att multiplicera MEN addition innebär multiplikation av argumentet medans subtraktion innebär att argumentet måste inverteras innan det multipliceras. Determinanten blir således <math>Det(p)=ln{\frac{d^2}{a^2}}*((ln{\frac{d^2}{a^2}})^2-(ln \frac{d}{\sqrt{3}a})^2)+(ln\frac{d}{\sqrt{3}a})^2*(ln{\frac{\sqrt{3}d}{a}})^2...95.73</math> Vi skippar att allt behöver delas med determinanten och tecknar <math>c'=B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.74</math> Det är sedan känt att <math>C10=c11+c12+c13...95.75</math> <math>C20=c22+c12+c23...95.76</math> <math>C30=c33+c13+c23...95.77</math> Med andra ord har vi att <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.78</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.79</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.80</math> som kan förenklas enligt <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.81</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.82</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.83</math> eller <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.84</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.85</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.86</math> <math>C12=-c12...95.87</math> <math>C23=-c23...95.88</math> <math>C13=-c13...95.89</math> och enligt c'-matrisen ovan gäller <math>C12=C23=C13=-c12\propto ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.90</math> Delar man alltså dessa värden med determinaten och multiplicerar med <math>2\pi\epsilon_0...95.91</math> Så har man alla kapacitanser. När man specar upp p-matrisen verkar det som om man måste tänka på att E-fälten motverkar varandra för säg att potentialen vid 1 är positiv och potentialen vid 0 är negativ (vilket vi utgår ifrån när vi beräknar vår potentialskillnad) då måste den inducerade spänningen från en "fri" laddning motverka E-fältet mellan 1 och 0 för iom att ingen energi tillförs utifrån så kan inte nån "förstärkning" av E-fältet ske, samma gäller hur elektriska dipoler orienterar sig i ett dielektrikum när de utsätts för ett externt E-fält, dvs de vill inte vara med och motverkar fältet för det är det enda de kan göra. ==Exempel III, verklig tvåtrådskapacitans, prel== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance.png|thumb|Tvåtrådskapacitans]] Bild A kan man tolka enligt tidigare som <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_0*ln(a/d)+\rho_1*ln(d/a)</math> och pga laddningskoneservering så gäller att <math>\rho_0=-\rho_1</math> så att <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_1*ln(d/a)^2</math> eller <math>V_{10}=\frac{\rho_1*ln(d/a)^2}{2\pi \epsilon_0 }</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen som <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln(d/a)^2}</math> eller <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln(d/a)}</math> Denna formel gäller dock bara för d>>a För alla kablar så kan man till exempel ta till nåt som kallas spegling, detta går ut på att man placerar en negativ linjeladdning inuti själva ledaren, principen går ut på att göra ledarens hölje till en yta av konstant potential, potentialen från en laddad ledare kan skrivas (se 95.51) <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{r_o}{r}</math> där ro är en radie långt från ledaren, om man då placerar en negativ speglad laddning i den andra ledaren så får man total potential som <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_o}{r}-ln\frac{r_o}{r_i})</math> detta blir till <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_i}{r})</math> som för konstant potential (V) tydligen innebär att kvoten ri/r måste hållas konstant. Dom feta prickarna i B) är linjeladdningarna rho_l, figuren visar sedan att det finns en gemensam vinkel mellan dom två trianglarna POM respektive P'OM där P' är punkten för den speglade laddningen Eftersom ri/r är konstant och vi har en gemensam vinkel så fås rent geometriskt att <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> så att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> Om vi nu tittar på C) så har vi att <math>d=D-d_i=D-\frac{a^2}{d}</math> som ger en andra ordningens ekvation modell <math>d^2=dD-a^2</math> eller <math>d^2-dD+a^2=0</math> dvs <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> eller <math>d=\frac{D}{2a}+/-\sqrt{(\frac{D}{2a})^2-1}</math> coshyp kan sedan skrivas <math>cosh^{-1}(x)=x+\sqrt{x^2-1}</math> dvs <math>d=cosh^{-1}(\frac{D}{2a})</math> Kapacitansen hos en verklig tvåtrådskabel är alltså <math>C=\frac{\pi \epsilon}{cosh^{-1}(\frac{D}{2a})}[F/m]</math> Vi kommer komma tillbaka till speglingsmetoder lite senare. ==Fritänkande, hur en automover styrs upp mha kabel== Jag har precis fått ett intressant elektromagnetiskt problem av en vän som lite ligger i fas med mina studier, han undrar hur en robotgräsklippare kan känna av ledningar i marken, utan att jag anser mig förstå så mycket hävdar jag att ledningarna är kopplade till AC-fas på nätet dvs de svänger med +/-325V peak (och 50Hz). Enligt ovan har vi för statiska elektriska fält från ledningar att E fältet fås som <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}\propto\frac{Q}{R}</math> ur detta får man enligt ovan potentialen som <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR</math> eller <math>V=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 L} ln \frac{d}{a}</math> dvs ju större avstånd (d) desto större potentialskillnad (relativt spänningen vid ledningens radie a) men eftersom potentialen är logaritmisk så planar den ut för större avstånd, samtidigt gäller tydligen <math>V\propto Q</math> I uttrycket för V ovan ser vi sen att potentialen är proportionerlig mot laddningen. Med andra ord pumpas eventuellt laddningar (elektroner) både ut och dras hem till nätet kring ett medelvärde som inte är noll Coulomb. Jordpotentialen kan således inte vara 0 Volt! Jordpotentialen måste ha ett värde högre än noll Volt för att det skall kunna bli en negativ spänning ty allt är relativt som han sa och när man bara besitter möjligheten med att "sätta" potential med endast en typ av laddfning så måste antalet elektroner/laddningar pendla kring ett medelvärde som är skilt från "0st". Men jag ser inga problem med att det eventuellt är så för vi vet ju att till exempel spetsiga byggnader attraherar laddningar och "tigger" om blixtnedslag pga stort E-fält (~Q/S, där S är spetsens yta) och dom gör det för att laddningar finns på jordytan och därmed är jordpotentialen inte noll! Nästa steg i frågan är hur Automovern kan känna av ledningarna i marken. Jag tror att eftersom det slussas laddningar in och ut på ledningarna för att följa nätets potentialförändring så skapas det faktiskt ett magnetfält trots att det inte går nån ström i egentlig mening. Magnetfält skapas alltså alltid av laddningar i rörelse och har man magnetfält så kan man enkelt kalibrera sin Automover till att känna av en viss inducerad potential enligt Faraday's induktionslag i en spole med x antal varv. Jag vet inte om jag har rätt i detta men det känns ganska bra, det som inte känns bra är ström i öppen ledning. ==Fritänkande, potential vid näsan== Jag kommer senare visa att följande gäller för punktkällor (och vad jag tror, sfärer av homogen laddningsdensitet). <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> Luft bryter ihop vid ungefär 3kV/mm. Jordens radie är 6370km. Hur många Q kan jorden härbärja innan det sker ett (blixt)genombrott? <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}=3E6</math> dvs <math>Q \approx 10^{-10}*R^2*3E6=1,4 * 10^{10}</math> så maximal mängd laddning är alltså nånstans <math>Q=10^{10}</math> som jorden kan härbärja innan genomslag, man kan sedan räkna ut Jordens potential relativt oändligheten som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> vilket ger en potential på ungefär 10^13V. Denna spänning är dock relaterad till spänningen i oändligheten, i själva verket har vi ju typ näsan en meter ovanför jorden och då blir potentialen <math>V=-\int_{R+1}^RE \cdot dR</math> som man kan skriva om som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}[\frac{1}{R}-\frac{1}{R+1}]</math> vilket resulterar i en maximal potential vid näsan på runt 1V :) Just nu får jag dock typiskt 1MV :D ==Fritänkande, hur en automover vet vilken sida om kabeln den befinner sig på== Jag har precis fått veta att den legendariska automovern faktiskt kan känna av på vilken sida om ledningen den befinner sig, detta gör att teorin om ren Faraday's induktion inte räcker. På bussen idag kom jag dock på att det finns en manick som kallas Hall-Effect:Sensor (HES), den här rackaren kan alltså tom indikera statiska magnetfält. Om vi nu lägger till min mycket amatörmässiga idé om att antalet laddningar på ledningen aldrig är noll utan potentialen fås som en variation kring ett medelvärde så kan detta eventuellt ge nåt. För automovern är ju "galvaniskt" isolerad från ledningen varför den kanske upplever "bara" plus vad gäller potential, typ. Detta gör i sin tur att magnetfältet från de elektroner som rusar ut och dras in på ledningen kan vara av typ stadig "nord" eller nåt, i vilket fall kanske den aldrig byter polaritet och med en HES ombord kan man då få automoverna att fatta på vilken sida om ledningen man kör. Ett lekfullt exempel är att om man lägger en ledning med "230V-fas" i ett U och låter automovern löpa fritt inom U då kan det alltså bli som så att automovern typ alltid riktar höger sida mot ledningen för HES är inställd på det tecknet hos potentialen ut från HES. Snacka om svammel-bok jag håller på och skriver! ==Fritänkande, hur åska och åskledare fungerar== Jag håller ju på och läser elektrostatik, i ett kapitel talas det om hur åskledare fungerar. E-fältet vid övergång från luft till ledare kan tecknas <math>E_{1n}=\frac{\rho_s}{\epsilon_0}</math> dvs normalkomponenten av E-fältet är inom en proportionskonstant lika med laddningarna delat med arean. Så om arean i form av en spets är mycket liten så blir E-fältet mycket stort. Sen har jag förstått det som att det attraheras laddningar till åskledarspetsar men av MOTSATT tecken, vad nu det betyder. Dvs innehåller åskmoln bara elektroner? I det ideala fallet attraheras således "protoner" från marken för kraften är <math>F=qE</math> Jag tror att även om åskledaren är av ledande material så innebär detta nödvändigtvis inte att det måste vara elektroner som klättrar på åskledaren utan det kan eventuellt även vara joner. Detta för att på båda sidor hos en ledare i ett homogent E-fält så skapas det så kallade inducerade laddningar som i vissa formella fall faktiskt totalt motverkar E-fältet från säg en positron. Jag får intrycket att laddningarna här inte behöver vara av nån speciell typ eller tecken utan laddningar (joner/elektroner) kan eventuellt klättra på åskledaren. Detta om denna sida av problemet, men hur är det i molnet? Jag har generaliserat med att det finns elektroner i molnet, endast. Men det måste vara fel för plasmor finns inte naturligt på jorden eller i universum (annat än i stjärnor). Så hur kan det finnas fria elektroner i molnet? Och vilka är jonernas atomnummer? Dvs vad är det för joner som finns i molnen, rimligvis borde det vara väte och syre från vatten. För eventuellt är det som så att kosmisk strålning joniserar vattenmolekyler som ju avdunstar uppåt. Men varför är molnet "polariserat"? Om kosmisk strålning joniserat vattenånga, vad får elektroner och joner att hållas isär? Märk att Coulombs lag säger att lika laddning repellerar och olika laddningar attraherar. Så hur kan det finnas ett överskott på laddningar (av ett visst tecken) överhuvudtaget i ett moln? Jag fattar inte det här. ==Fritänkande, allt har kapacitans== Man kan räkna ut kapacitans för saker genom att först teckna E-fältet som rätt allmänt ändå kan tecknas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat R </math> sen kan man räkna ut potentialskillnaden hos en sfär med en inre dielektrisk sköld av dielektrika där Ri är inre radien och Ro yttre där man alltså går MOT fältet. <math>V_{ab}=-\int_{Ro}^{Ri} E\cdot dR</math> vilket ger <math>V_{ab}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}(\frac{1}{Ri}-\frac{1}{Ro})</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen genom att helt enkelt vända på uttrycket för potentialen och ta bort Q. Om nu dielektrikat är vakuum och vi har en stor yttre radie så går potentialen mot <math>V_{ab}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R_i}</math> som alltså innebär att <math>C=4\pi\epsilon_0 R_i</math> dvs allt har kapacitans! Till exempel så är kapacitansen för en proton -25F (testa Ri=-15m) Jag har beslutat mig för att börja räkna på ett annat sätt dvs bara 10-potenser, precisionen blir då inte jättebra men jag kan tycka att en halv tiopotens (3,16ggr) är tolerans nog när man ändå inte vet vad man snackar om :) ==Fritänkande, fält-emission== Eftersom E-fältet är stort kring spetsiga saker så är också kraften enligt <math>F=qE</math> stor. Om man flyttar in detta resonemang till en situation där man typ har en plattkondensator med luft mellan plattorna och anoden kopplad till en spets av blyerts som föres nära katoden så borde man kunna få en ström utan att anodspetsen rör katoden. Det som måste överbryggas är elektronens utträdesarbete ur metallen. Elektronrör nyttjar värme men nu är katoden kall. Jag har försökt fatta hur E-fältet spelar teoretisk roll i det här sammanhanget men fattar inte riktigt fast eventuellt gäller att spänning är energi dvs <math>W=qU=q\int E\cdot dl</math> dvs arbetet utgörs av att E-fältet jobbar på en laddning under en viss sträcka. Frågan är vad dl är? Arbete sker ju alltså över en sträcka, så vad är dl? Jag har lite fattat det som att ledningselektroner finns i så kallade ledningsband (energiband) i metaller. Och till skillnad från varm katod så finns inte elektronerna på ytan av metallen, dom finns en (fysisk) bit in. Är det det som är dl? ==Fritänkande, energi hos en klump laddningar== Jag har nu fått lära mig tre sätt att teckna energin hos en klump laddningar och de är <math>W_e=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n Q_kV_k</math> och <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{V'} \rho V dv</math> och om man sätter in <math>\nabla \cdot D=\rho</math> så får man <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{V'} E \cdot D dv</math> där V' är den volym där laddningarna finns. Den första ekvationen speglar tydligen bara "mutual energy" för man kan skriva <math>W2=Q2V2</math> där Q2 har bringats flytta från oändligheten till tunkten i fråga. Eftersom vi antar att vi minst har en laddning till som inducerar så kan skriva om denna ekvation enligt <math>W2\propto Q2\frac{Q1}{R12}</math> men denna kan samtidigt skrivas som <math>W2\propto Q1\frac{Q2}{R12}</math> vilket innebär att för två laddningar så blir energin <math>W_e=\frac{1}{2}(Q1V1+Q2V2)</math> Vk kan sedan tecknas <math>Vk=\sum_{\frac{j=1}{/jk}}^n \frac{Qj}{Rjk}</math> Jag har försökt koda att j inte får vara lika med k, därav de krångliga krumelurerna. Det intressanta med uppgiften där man från början kanske har bara två laddningar är att dessa laddningar alltså inducerar spänning hos varandra dvs Q1 inducerar V2 och Q2 inducerar V1. En annan intressant aspekt är att det alltid kommer att handla om inbördes avstånd dvs "R12" samtidigt som jag fått lära mig att energin hos en sfärisk jämn laddningsfördelning är (och jag anser lite försiktigt att detta är self-energin) <math>W_e=e\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> ty det är inte annat än potentialen i eV egentligen men multiplicerat med e blir det i Joule. För att förenkla kan man säga att potential är energi. Energin för en proton blir på detta sätt ungefär +6eV. Om man leker med tanken att Q1=Q2=e och V1=V2 (dvs på typ samma avstånd från oändligheten) så har man att <math>W_e(descrete)\propto e^2/R12</math> där R12 är avståndet mellan laddning 1 och 2, och om man tittar på vad jag skulle vilja kalla "self-energy" så har man <math>W_e(self)\propto e^2/b</math> där alltså radien är b och kvoten mellan energierna således <math>\frac{R_{12}}{b}</math> med fördel för self för att atomer kommer helt enkelt inte så nära varandra som den energi kärnan hos en atom har på randen. Jag skulle vilja påstå att den här kvoten är minst +5 för elektronerna susar omkring på ett rejält avstånd från kärnan (Bohr-radien är typ 100000ggr större än kärnans radie) vilket i praktiken gör att den enda energi man behöver ta hänsyn för hos en atom är self ==Fritänkande, bygge av E-kanon== Jag har haft funderingar på att bygga en E-kanon :) Jag har fått lära mig att E-fält faktiskt strålar genom allt. Det får påverkan medans det strålar genom olika typer av material men på andra sidan fortsätter det bara. E-fältet från en "strålande" punktformad laddning är <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> dvs den går som <math>E\propto \frac{1}{R^2}</math> och den gör det genom alla material. Det intressanta är sedan vad som verkligen händer när ett E-fält möter en bit metall där alltså E-fältet i metallen är noll bland annat för att det inte finns några fria laddningar inuti metallen. Eftersom E inuti metallen är noll så blir netto strålad E noll på ett sådant sätt att E-fältet från laddningen visst har E vid plåten MEN plåten vänder fullständigt på dess E-fält modell induktion och E-fältet vid metallen blir noll. Lite hafsigt kan jag sedan säga att detta lite även gäller dielektrika för även om E-fältet i dielektrikat inte kompenseras bort fullständigt så blir det de facto en kompensation som gör att E-fältet genom ett dielektrika sjunker rätt rejält, hur mycket beror på permitiviteten och därmed polarisationen. Så oavsett vad man har för material i vägen för E-fältet så dels sjunker E-fältet i mediat, dels fortsätter det på andra sidan. Har man en metall i vägen så innebär det alltså att det induceras laddningar på dess yta och det är det jag säger ovan. Med andra ord kan man kanske fånga elektroner genom att "bestråla" en metall med E-fält och bara mäta potentalskillnaden mellan "front" och "bakstycke". Det låter absurt för plåten har noll resistans :) Men enligt vad jag har lärt mig så verkar det ändå gå (dock inget sagt om voltmeterns resistans). Återstår då att bygga en E-kanon. Om det nu är möjligt men jag lurar på om inte två platta metallbitar modell en plattkondensator med ett litet hål i katoden kan utgöra en "E-kanon". Elektrostatik är noga med att vinkeln mellan "E-fältstrålarna" och de ekvipotentiala metallytorna är 90 grader. Om man då tänker ett hål i en plåt... Vad händer? Jag tror att E-fält kommer sippra igenom hålet men vända tillbaka efter en "stund". Frågan är hur långt "E-fältstrålen" kommer innan den tvingas vända? Det är den första frågan, dena andra är om jag kan lyckas detektera den på det sätt jag tror. ==Fritänkande, hur seriekopplade kondensatorer får samma Q== Om man säg har ett torn med dielektrika och metallplattor med jämna mellanrum så har man ju i praktiken seriekopplade kondensatorer. Jag har fått lära mig att när man seriekopplar kondensatorer så får alla plattor samma Q. Hur går det till när "plast" inte leder ström? Jag har tänkt en hel del på detta och tror mig kommit fram till nåt. Säg att du har en isolerad laddning Q, och det lite längre bort finns ett metallskal, i metallen kan inga E-fält finnas (och inte fria laddningar) varvid E=0 i metallen. Inte jättesvårt att förstå men det intressanta är att det induceras laddningar på metallen som skapar ett såpass stort motriktat E-fält att E=0 i metallen! På ytan av metallen finns alltså +/-:laddningar där alltså minus är överskott på elektroner och plus är underskott. Metallen motverkar alltså fullständigt E-fältet. Om man istället tittar på ett dielektrika så uppför det sig faktiskt rätt snarlikt, om permittiviteten är hög så blir kompensationen pga polarisationen stor och kompenserar nästan helt laddningens E-fält. Det intressanta är dock att dielektrika innehåller dipoler och alltså inga fria ladddningar. En tanke jag har vad beträffar vad som händer när man först slår på en spänning över en serikopplad kondensator är att dipolerna vänder arslet mot E-fältet, dom vill helt enkelt inte vara med! Jag har fått denna idé pga ett enkelt exempel av Cheng där det riktas ett externt E-fält mot ett dielektrika och alla dipoler riktar in sig med fältets riktning. Vilket håll tänker man lätt. Men svaret är faktiskt väldigt enkelt för eftersom man inte tillför nån energi så kan inte E-fältet förstärkas utan det måste försvagas. Samma gäller vår kondensator tänker jag. Och om dipolerna ligger huller om buller innan tillslag så är det rimligt att tänka sig att under det "transienta" tillslaget så rättar dom in sig så att dom motverkar E-fältet (som i detta fallet är enkelt dvs V/d) och iom att E-riktningen internt hos dipolerna är från plus till minus och dom vill motverka fältet, då måste dom vända arslet uppåt! Vilket man kanske kan se som att dielektrikat "gräver" upp elektroner från katoden och dumpar det på anoden? På den översta plattan får vi då elektroner trots att plast inte leder ström och dessa kommer accelereraras med den sugande kraften av batteriets Emk till katoden där allt stabiliserar sig. Men med noll Ohm som seriemotstånd vid spänningstillslaget lär det bli adjöss med både batteri och kondensator :D Polarisationen är sedan <math>P=(\epsilon_r -1)\epsilon_0 E</math> och man kan visa att polarisationsytladdningstätheten är <math>\rho_{ps}=P \cdot \hat n</math> vilket, eftersom P följer E's riktning, ger vid handen att uppifrån i vår kondensator så är ytladdninstätheten på toppen <math>P (-\hat y) \cdot (- \hat y)=+\rho_{ps}</math> och på botten <math>P (-\hat y) \cdot (+ \hat y)=-\rho_{ps}</math> riktningen för n är alltid in i mediat. Vilket bevisar att +Q/S är på de övre plattorna och -Q/S på de nedre och etersom P är proportionerligt mot E som är konstant här, så får alla plattor samma ytladdningstäthet. När man seriekopplar kondensatorer brukar man säga att Q är konstant men ovan visar att det rent strikt inte är Q som är konstant utan ytladdningstätheten, Q/S. ==Fritänkade, den energi som går åt att bygga en klump laddning== Jag var igår mycket osäker på det här och började skriva om det men internet gick ner så jag tappade allt. Nu har jag fått tänka om och faktiskt blivit lite klokare, tror jag. Man kan räkna ut energiåtgången för att bygga en klump laddning på minst två sätt, båda genererar <math>W_e=\frac{3}{5}V(b)...[eV]</math> där V(b) är den "klassiska" egen-energin enligt mig för det är den energi laddningsklumpen har när man ser till det arbete som krävs för att flytta en enhetsladdning från oändligheten till punkten ifråga, jag kallar det för "bias-energi". V(b) kan man sedan teckna som linje-integralen av E-fältet från oändligheten till punkten i fråga (alltså, mot fältet) <math>V=-\int_{-\infty}^b E \cdot dR</math> där E för en punktladdningsformad sak blir enligt Gauss's lag <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> varför <math>V(R)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> som med radien b insatt blir <math>V(b)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 b}</math> detta kallar jag alltså bias-energi hos vår sfäriska laddningsfördelning, differentialen av V(R) blir sedan <math>dV(R)=-\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR</math> där alltså <math>\frac{dV}{dR}<0</math> vilket verkar innebära att integrering skall ske utifrån och in för att få ett positivt resultat samtidigt som detta inte är hela sanningen för potential ökar alltså när man närmar sig en laddning, nu till det intressanta, ett korrekt sätt att räkna ut energin för skapandet av en laddningsklump som vi kan kalla kärna ger alltså <math>W_e=\frac{3}{5}V(b)...[eV]</math> Om vi annars tittar lite på vad som händer så händer följande (2/5 försvinner från V(b)): Vi befinner oss i två regioner där Q måste definieras olika dvs för första regionen UTANFÖR laddningarna får vi <math>Q_1=\rho*\frac{4\pi}{3}b^3</math> och för andra regionen INNANFÖR laddningarna får vi <math>Q_2=\rho*\frac{4\pi}{3}R^3</math> Jag vill sedan alltså se det som att detta alltid gäller <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> vilket ger för V_1 <math>V_1(R>b)=\frac{\rho}{3 \epsilon_0 R}b^3</math> vilket ger <math>dV_1(R>b)=-\frac{\rho}{3 \epsilon_0 R^2}b^3dR</math> sen har vi <math>V_2(R<b)=\frac{\rho}{3 \epsilon_0}R^2</math> och <math>dV_2(R<b)=\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}RdR</math> differentialen av energin blir sedan <math>dW_e=QdV</math> här tänker jag <math>W_e=\int QdV</math> detta kan dock integreras på lite olika sätt, om vi börjar utanför laddningarna så fås <math>W_e1=\int_{\infty}^{b} \rho * \frac{4\pi}{3}b^3*(-\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}dR)</math> som egentligen kommer av att potential skapas av att man släpar laddningen mot fältet, integrerad blir denna <math>W_e1=[\rho * \frac{4\pi}{3}b^3*\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}]_{\infty}^{b}</math> som man också kan se som <math>W_e1=\frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 b}=QV(b)</math> Detta kallar jag alltså bias-energi för den laddade kärnan har energi pga att den helt enkelt finns, jag kommer visa att det går åt 2/5V(b) för att också bygga kärnan (så det förloras alltså energi pga detta), om vi bara bygger kärnan kan man på grund av derivatan hos potentialen skriva <math>W_e2=\int_b^0 Q_2dV_2</math> och detta blir enligt ovan <math>W_e2=\int_b^0 \rho*\frac{4\pi}{3}R^3(\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}RdR)</math> eller <math>W_e2=[\rho*\frac{4\pi}{3}\frac{2\rho}{3 \epsilon_0}\frac{R^5}{5}]_b^0</math> som blir <math>W_e2=-\frac{2*4\pi \rho^2}{9\epsilon_0}\frac{b^5}{5}</math> och om vi nyttjar definitionen av laddningstätheten rho så får vi <math>W_e2=-\frac{2*4\pi (\frac{Q}{4\pi/3})^2}{9\epsilon_0}\frac{b^5}{5}</math> vilket blir till <math>W_e2=-\frac{2}{5}V(b)</math> vilket gör att <math>W_e1+W_e2=\frac{3}{5}V(b)</math> vilket skulle visas. Dom här 2/5 tycks alltså gå åt för att bygga en klump laddning, om energin är V(b) eV så tycks det vara den energi som typ "brutto" en klump laddning har i kosmos och det är faktiskt inte så svårt att föreställa sig att det går åt energi för att bygga laddningsklumpen så dess totala energi måsta vara mindre än den på randen (som jag kallar bias-energi, V(b)). Jag är på hal is här men jag tror att man beräknar energin som V(b) när man termiskt försöker penetrera en kärna, om jag är i närheten av ha rätt så tjänar man faktiskt nästan en halv magnitud på att inse att man bara behöver komma upp i 2/5 V(b), ekvationen för en proton kan bli att se ut <math>\frac{2}{5}V(b)*e=\frac{3}{2}kT</math> dvs <math>kT=\frac{4}{15}V(b)*e</math> som faktiskt är mer är en halv magnitud mindre än eV, fast vad hjälper det när <math>eV(b)\approx -19-19+10+15=-13J=+6eV</math> och detta är alltså lite grovt lika med kT vilket ger <math>T=-13+23=+10K</math> ==Fritänkande, differentialekvationsträning medels en högtalares konutslag== Jag har tänkt tokigt mycket på detta under min bussresa idag. Tänker mig gummiupphängningen som en fjäderkonstant (ju större desto mer kraft krävs för att röra den). Sen tänker jag att det eventuellt finns två scenarion där det ena är att elementchassit är bom stilla och det andra är att membranet är bom stilla. Detta kan kanske ge två olika förflyttningar för membran respektive chassie. Klassisk fysik säger att en fjäder fäst i vägg med en vikt svänger enligt följande diffekvation <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx...1</math> och det finns ett par sätt att lösa denna på där jag börjar med min favorit dvs komplexa tal (som dock inte ger nån amplitudinformation utan mest att det svänger och vid vilken vinkelfrekvens) Säg att <math>x=x_0e^{jwt}</math> derivering en första gång ger då <math>jwx_0e^{jwt}</math> derivering en andra gång ger <math>-w^2x_0e^{jwt}</math> och detta är lika med <math>-w^2x_0e^{jwt}=-k[x_0e^{jwt}]</math> ur detta får man <math>w=\sqrt{\frac{k}{m}}</math> som alltså bara ger svar angående att det svänger och med vilken frekvens det svänger. För att få svar på hur mycket det svänger krävs andra trick, dvs rena diffekvationer, följande gäller nog <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx</math> denna integrerar vi en första gång och får <math>v(t)=-kxt+C1</math> v(0)=0 vilket ger att C1=0, integrerar vi en gång till får vi <math>x(t)=-kx\frac{t^2}{2}+C2</math> x(0)=0 vilket ger att C2=0, alltså <math>x(t)=-kx\frac{t^2}{2}</math> fast jag har glömt m*vänsterledet och sen är det dikutabelt vilket t vi ska använda, först den kompletta ekvationen <math>x(t)=-\frac{k}{m}x\frac{t^2}{2}</math> Slutligen tror jag på att t skall väljas som T/2 ty vi avser repetitiva signaler här och efter T/2 vänder godtycklig periodisk funktion vilket gör att om man föreställer sig att accellerationen är ett steg så blir första integreringen en ramp och andra integreringen en parabel, parabeln liknar sen en sinus. Så genom att sätta in t=T/2 får man <math>x(t)=-\frac{k}{m}x\frac{1}{8f^2}</math> jag hade alltså en trevlig diskusion med en vän om hur man skulle kunna få elementchassit att vibrera mer, han föreslog att man skulle hänga på en vikt på konen och jag tror mig anse att formeln ovan gäller för ANTINGEN membranet ELLER elementchassit så det är bara att sätta in respektive massa. Det här nog fullständigt fel :D Ja, det är fel för båda x är x(t) som återigen kan förkortas bort dvs vi får inget svar på amplitud, ett lite mer seriöst försök är att komma med en ansats, går diffekvationen ut så är ansatsen riktig och efter en hel del trevanden så har jag kommit fram till att följande ansats fungerar <math>x=At^2+Bt+Ce^{-dt}</math> för se vad som händer vid första derivering <math>x\prime(t)=2At+B-Cde^{-dt}</math> som för <math>x\prime(0)=v(0)=0</math> ger att <math>Cd=B</math> vilket ger att <math>x\prime(t)=2At+B-Be^{-dt}</math> som vi deriverar igen och får <math>x\prime \prime(t)=2A+Bde^{-dt}</math> och <math>x\prime \prime(0)=a(0)=0</math> vilket ger <math>2A+Bd=0</math> med andra ord är <math>Bd=-2A</math> så att <math>x\prime \prime(t)=2A-2Ae^{-dt}=2A(1-e^{-dt})</math> Vilket är lösningen, dock vill vi hellre se på vårt utslag x(t) och med ovan randvillkor insatta får man <math>x(t)=A(t^2-\frac{2}{d}t-\frac{2}{d^2}e^{-dt})</math> Jag kan inte riktigt motivera det här men överst får vi en stationär (som jag kallar det) lösning vad gäller vinkelfrekvensen för systemet och jag repeterar pga lämplighet (som engelsmän säger) <math>w_s=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f_s</math> vilket jag tror d skall ersättas med för vi har antagit en avklingande funktion och då klingar t alltid av relativt en periodtid modell 1/w, jag kan sen gissa att t=T/2 ty konen är driven av en periodisk funktion som vänder vid T/2. Jag vet som vanligt inte vad jag snackar om men om mitt antagande är riktigt fås istället (nyttjar f=1/T) <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2}-\frac{2}{w_s}\frac{1}{2f}-\frac{2}{w_s^2}e^{-\frac{w_s}{2f}})</math> Min Tangband subbas har ungefär dessa data: k=1/300u N/m m=30g =>ws=300rad/s eller fs~50Hz då kan vi skriva <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2}-\frac{1}{300f}-\frac{2}{300^2}e^{-\frac{300}{2f}})</math> Blir inget klokare :) Fast för lite lägre frekvenser fås (den sista termen är så liten så den kan man räkna bort) <math>x(f)=A(\frac{1}{4f^2})</math> Hur låga? 1/300f måste alltså vara mindre än 1/4f^2 för min subbas, detta ger f<75Hz Så för frekvenser under 75Hz så rör sig min subbas kon som ovan dvs inverst relativt frekvens^2. Fick lära mig nåt intressant av min E-fältguro David K. Cheng idag dvs har man hittat en lösning till en diffekvation så är det den ENDA lösningen så eftersom "patiensen" gick ut ovan så har jag löst diffekvationen, hur man sen tolkar den är en annan sak. ==Fritänkande, brumanalys== Tycker PCB vad gäller rörförstärkare suger rent allmänt men när det gäller så små strömmar och spänningar som hos försteg så kan det eventuellt funka. Slutsteg komer jag dock alltid bygga i luften ty PCB är kasst på höga strömmar och höga spänningar. Nåväl, jag är på G med två RIAA-förstärkare som alltså luftbyggs. Vad är nu problemet? Jo, signalnivån är ynkligt liten och man riskerar lätt brum. Så hur ska man göra då? Jag kan inte säga att jag vet men jag har idèer modell Maxwell's ekvationer där två av dom fyra eventuellt kan skrivas: <math>V_{ind}=\oint E\cdot dl=-\int \frac{dB}{dt}\cdot dS</math> som också kallas för Faraday's induktionslag, andra ekvationen blir <math>I_{ind}=\oint H\cdot dl=I_{fri}+\int \frac{dD}{dt}\cdot dS</math> som jag tror kallas Ampere's lag, jag tror sen att Ifri typ är DC vilket vi alltså kan strunta i vad gäller brumaanalys, sen kan man förenkla ekvationerna på ett nästan barnsligt sätt (som dock är giltigt om B och D är homogena genom hela ytan S): <math>V_{ind}=-\frac{dBS}{dt}=-\frac{d\phi}{dt}=-L\frac{di}{dt}...1</math> <math>I_{ind}=\frac{dDS}{dt}=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}...2</math> Med andra ord induceras en spänning i en slinga (S) om det finns en tidsvarierande magnetisk flödestäthet (B) i närheten samtidigt som det induceras en ström i en ledares area (S) om det finns en tidvarierande elektrisk flödestäthet (D) i närheten. Detta kan eventuellt ses som om man har en slinga och den terminerar i ett motstånd typ ingångsmotståndet till röret och motståndet är av lite storlek, då blir den inducerade strömmen inte så stor och bara 1 gäller. Om slingan terminerar i ett litet motstånd så borde dock även 2 behöva komma med i beräkningarna ty det kan då gå ström. D är förresten epsilon gånger E där E är den elektriska intensiteten med enheten V/m, intensitet när det gäller "saker" per sträcka har jag hittat på, utöver x/m som intensitet kallar jag x/m^2 som täthet och x/m^3 som densitet (även om densitet lite är reserverat för kilo/m^3) ==Fritänkande, divergens hos tryck-fält== Häromdan blev jag att tänka på en eventuell analogi till postulatet <math>\nabla \cdot D=\rho</math> där jag kallar D för laddningstryckfältet, rho är sen volymsladdningstätheten som jag skulle vilja kalla laddningstätheten, således borde man kunna skriva <math>\nabla \cdot p=\rho</math> där p är det gravitationella tryckfältet från en massa och rho är densiteten (eller masstätheten) för vi kan ju normalt skriva <math>\oint D\cdot \hat n dS=Q</math> och vi kan det för <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot Ddv=\oint D \cdot \hat n dS==Q</math> Men vi skulle kanske även kunna skriva <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot pdv=\oint p \cdot \hat n dS==m</math> där p är trycket modell ett tryckfält som strålar från en massa likt ett gravitaionsfält. Gauss lag säger oss att en liten punktladdning (Q) ger upphov till ett laddningstryckfält (D) som strålar isotropiskt och innebär att omman kan hitta en Gaussisk area som hela tiden är vinkelrät mot D-fältet, så kan man räkna ut D-fältet helt enkelt genom att dela laddningen med den sfäriska ytans area vilket resulterar i laddningstryckfältet (aka D-fältet). Jag tror man kan göra på samma satt med en massa (m) men då har man istället ett gravitationellt tryckfält (p) som massan gett upphov till ty p från en liten punktmassa är isotropiskt, uträkningarna verka kunna fungera på samma sätt som enligt Gauss lag ovan med det enda förbehållet att svaret blir en något udda enhet modell masstryck dvs massa per ytenhet. Jag tror faktiskt att man kan räkna på det här sättet, kruxet kan dock i praktiken vara att det gravitationella tryckfältet fältet p inte strålar isotropiskt ty planeten jorden håller ju kvar oss på ytan... Man kan skriva ovan på ett annat sätt genom att anta att <math>\nabla \cdot p=a\rho</math> då får man <math>\int a \rho dv=\int \nabla \cdot pdv=\oint p \cdot \hat n dS==am</math> om nu tryckfältet p är isotropt och vinkelrätt mot ytan så blir <math>p=a\frac{m}{4\pi R^2}</math> enhetsmässigt står det alltså här a*masstrycket, dvs om <math>a=4\pi GM</math> så är a*masstrycket lika med den gravitationella kraftfältet F mellan två massor. Här är det rätt viktigt att notera att a också måste vara isotrop, linjär och homogen för det är bara då man kan integrera upp masstätheten som jag gjort. ='''Elektromagnetisk Fältteori'''= Detta kapitel behandlar laddningar som dels är stilla (elektrostatik) dels är i rörelse (elektrodynamik). Jag har efter noga övervägande kommit på att jag vill ändra nomenklaturen lite, jag har alltid ojjat mig över hur olika lektorer inom typ samma ämne nödvändigtvis måste ha olika beteckningar på saker men nu gör jag lite likadant. Jag kommer således köra med följande: 1) E (Electric Field Intensity) Elektrisk Fältstyrka får ha kvar sitt svenska namn [V/m] 2) D (Electric Flux Density) Elektrisk Flödestäthet döps om till Laddningstryckfält [C/m^2=As/m^2]. 3) H (Magnetic Field Intensity) Magnetisk Fältstyrka får ha kvar sitt namn [A/m] 4) B (Magnetic Flux Density) Magnetisk Flödestäthet döps om till Magnettryckfält [T=Vs/m^2] 5) rho_v (Volume Charge Density) Volymladdningstäthet döps om till Laddningstäthet [C/m^3] 6) rho_s (Surface Charge Density) Ytladdningstäthet döps om till Laddningstryck [C/m^2] 7) rho_l (Line Charge Density) Linjeladdningstäthet döps om till Laddningstyrka [C/m] 8) rho (Mass Density) Densitet döps om till Masstäthet [kg/m^3] 9) Q=laddning [C] 10) Phi=magnetism [Vs=Weber] Kort och gott, x/m kallar jag Styrka, x/m^2 kallar jag Tryck och x/m^3 kallar jag Täthet, när det gäller vektorer lägger jag dock till ordet fält. =Definition av Elektrisk Fältstyrka och Gauss Lag= [[File:Fusion Point Charge.png|thumb|Visar E-fältet från en punktladdning.]] Elektrisk fälstyrka definieras <math>E=\frac{F}{q}...96.1</math> som alltså har enheten N/C även om dess enhet är mer allmänt känd som V/m, vi kan leka lite med enheter och får <math>\frac{N}{C}=\frac{Nm/m}{C}=\frac{J/m}{C}=\frac{Ws/m}{As}=\frac{VAs/m}{As}=\frac{V}{m}...96.2</math> Det här var ett trivialt exempel men jag har fått lära mig att enhetskontroll på grejerna bidrar till högre sannolikhet att man klarar tentan, en variant av definitionen är <math>F=qE...96.3</math> Som alltså innebär kraft i Newton per laddning och fältstyrka, sen visar jag två fundamentala postulat hos E-fältläran, dessa är <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...96.4</math> för E-fält i vakuum, det andra postulatet är <math>\nabla X E=0...96.5</math> och det är dessa två postulat som bygger hela elektrostatiken. Det första postulatet visar alltså att E-fältet divergerar i rho med en proportionalitetskonstant, detta betyder att E-fältet typ "landar" eller utgår från laddade kroppar. Det andra postulatet visar att E-fältet är "virvelfritt" dvs det finns inga virvlar, det bara landar normalt till laddade kroppars ytor. En punktladdning strålar lika mycket E-fält åt precis alla håll (rimligen), om laddningen är Q så är laddningstrycket <math>\rho_s=\frac{Q}{4\pi R^2}...96.6</math> dvs den laddning man har per areaenhet vid ett visst avstånd R, enligt tidigare vet vi att <math>\nabla \cdot E=\frac{\rho}{\epsilon_0}...96.7</math> eller <math>\nabla \cdot D=\rho...96.8</math> integrerar man upp det här mha Gauss Teorem så får man <math>Q=\int \nabla \cdot D dv=\oint D \cdot \hat n dS...96.9</math> som bär namnet Gauss Lag, för enklare symmetrier som vår punktladdning får man således <math>D=\frac{Q}{4\pi R^2}...96.10</math> eller <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}...96.11</math> Här ser man att D-fältet helt enkelt är laddningsdtrycket rho_s, delar man med epsilon får man E-fältet Jag brukar lite lekfullt skriva Gauss lag som <math>E=\frac{Q_T}{\epsilon S_G}...96.12</math> där Qt står för "sändande Q" och Sg står för "Gaussian Surface" dvs den yta som ligger vinkelrätt mot E-fältets utbredning, kan man således hitta en sån area så funkar formel rakt av, MEN det gäller att arean hela tiden är vinkelrät mot fältet. =Coulombs Lag och potential= [[File:Fusion Contour Work 2.png|thumb|Arbete runt en sluten kontur]] Eftersom definitionen av E-fält innebär <math>F=qE...97.1</math> och E-fältet för en punktladdning kan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R^2}...97.2</math> så blir kraften <math>F=qE=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 R^2}...97.3</math> som också kallas Coulombs Lag vilken visar kraften mellan två punktladdningar. Potential kan sedan härledas från det arbete som krävs för att flytta en laddning från oändligheten till punkten ifråga, man kan skriva detta som <math>V=-\int_{-\infty}^{P} E\cdot dl...97.4</math> där arbetet alltså sker mot fältet, i själva verket ska allt multipliceras med q för att få Joule men om man skippar det får man energin i eV istället vilket är lite mer vedertaget, minustecknet visar att arbetet sker mot fältet. Arbetet runt en sluten kontur är alltid noll vilket innebär att om man står på en höjd bland berg och dalar och går ner och upp i dalarna varvid man kommer tillbaks till samma plats så är arbetet noll. Man kan se det som att lägesenergin är samma i slutet som i början vilket är upprinnelsen till Kirschoffs spänningslag där ett varv i den elektriska slingan innebär att potentialen i början är samma som i slutet, detta kan tecknas <math>W=\oint F\cdot dl=q\oint E\cdot dl=0...97.5</math> det sista uttrycket kan sedan tecknas över två konturer som <math>\int_{C1} E \cdot dl + \int_{C2} E \cdot dl=0...97.6</math> eller <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl + \int_{P2}^{P1} E \cdot dl=0...97.7</math> vilket ger <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl = -\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...97.8</math> eller <math>\int_{P1}^{P2} E \cdot dl = \int_{P1}^{P2} E \cdot dl...97.9</math> V.S.V Kom dock ihåg att detta bara gäller vektorer, för funktioner eller skalärer gäller inte detta vilket jag bevisar i nästa kapitel. =Vektoriellt arbete vs skalär linjeintegral= [[File:Fusion Integrating Loop.png|thumb|En väg att integrera efter]] Om vi börjar med skalär linjeintegral runt den slutna konturen OAB så får vi om vi nyttjar att r=3 <math>\oint r dl=\int_0^3 xdx + \int_0^3\sqrt{9-x^2}dx + \int_3^0 ydy...98.1</math> man får detta t.ex pga att <math>x=rcos\phi...98.2</math> som är lika med r i x-led ty phi är noll, jag har förenklat en aning av tydlighetsskäl, det är sedan enkelt att se att integrationen i y-led är negationen av integrationen i x-led så dessa två tar ut varandra, kvar har vi <math>\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx...98.3</math> denna är lite lurig att integrera men den primitiva funktionen till <math>\int \sqrt{b-x^2}dx...98.4</math> är enligt Beta <math>\frac{\sqrt{b-x^2}}{2}+\frac{b}{2}arcsin({x \sqrt{\frac{1}{b}}})...98.5</math> med b=9 och integrationsgränsena insatta får vi <math>\int_0^3\sqrt{9-x^2}dx=\frac{3}{2}(\frac{3}{2}\pi-1)...98.6</math> Den skalära funktionen r kan sedan till exempel multipliceras med 2pi och motsvara godtycklig omkrets. Om vi nu istället tittar på arbete runt vår slutna kontur modell <math>W=\oint F\cdot dl=q\oint E\cdot dl...98.7</math> och tittar på <math>\oint r\hat r \cdot dl...98.8</math> som är likamed <math>\int_0^3x\hat x\cdot \hat x dx+\int_0^{\pi/2}r\hat r\cdot rd\phi \hat \phi + \int_3^0 y\hat y \cdot \hat y dy...98.9</math> Det är enkelt att se att den första och den sista integralen tar ut varandra, kvar blir <math>\int_0^{\pi/2}r\hat r\cdot rd\phi \hat \phi...98.10</math> Här räcker det sedan att titta på skalärprodukten av <math>\hat r \cdot \hat \phi...98.11</math> som är ortogonala och därmed noll. Med andra ord är arbetet runt en sluten kontur när det finns nåt slags fält noll, man kan se det lite såhär att säg att du släpar på en stenbumling på friktionsfri is, för minsta hastighetsökning krävs en kraft som i vårt fall är riktad radiellt för man kan se ovan exempel som <math>r\hat r=F_r\hat r...98.12</math> Och då har man en kraft i radiell led, men vad händer om hantaget vinklas? Jo, ingenting annat än att man kanske lyfter stenbumligen mer men det är i alla fall inget arbete att vinkla handtaget. =Elektrisk fältstyrka från ett gäng laddningar= [[File:Fusion Field From Charge.png|thumb|E-fält från en punktladdning i rymden]] Jag anammar härmed Cheng's notation att källkoordinater är primmade medans fältkoordinater är oprimmade. Man kan skriva E-fältet från en punktladdning "off-axis" enligt figur som <math>E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot q\frac{R-R^\prime}{|R-R^\prime|^3}...99.1</math> På detta sätt får man nämligen med enhetsvektorn som normalt är <math>\hat R=\frac{R}{|R|}...99.2</math> Superposition funkar i dessa kretsar också så för ett antal qk kan man skriva <math>E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \sum_{k=1}^n q_k\frac{R-R_k^\prime}{|R-R_k^\prime|^3}...99.3</math> Alla R är här alltså vektorer. =E-fält från en dipol= [[File:Fusion Electric Dipole Field.png|thumb|E-fält från en dipol]] Använder vi vektorbeteckningarna enligt bild och nyttjar att potentialen från en ponktladdning kan skrivas <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}...100.1</math> så kan vi med hjälp av vektoridentideterna <math>R+=R-d/2...100.2</math> och <math>R-=R+d/2...100.3</math> teckna potentialen i godtycklig punkt P enligt superpositionsprincipen dvs <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}(\frac{1}{R+}-\frac{1}{R-})...100.4</math> ty laddningarna är av olika tecken, om vi utvecklar vidare så innebär detta att potentialen går som <math>V\propto \frac{1}{R+}-\frac{1}{R-}...100.4</math> eller <math>V\propto \frac{1}{R-d/2}-\frac{1}{R+d/2}...100.5</math> som kan arrangeras om enligt <math>V\propto \frac{R+d/2-(R-d/2)}{R^2-(d/2)^2}...100.6</math> som på lite längre avstånd övergår i <math>V\propto \frac{d}{R^2}...100.7</math> dvs potentialen från en dipol kan skrivas <math>V=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{d}{R^2}...100.8</math> eller <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{R^2}...100.9</math> där p kallas det elektriska dipolmomentet (p=qd), nu snackar vi dock vektorer och dom har speciellt rktning, det är lätt att inse att vektorn d har riktningen i z-led, dvs det är vad som finns i z-led som bygger potentialen, den delen av potentialen som finns i z-led kan man teckna som en skalärprodukt enligt <math>p \cdot \hat R...100.10</math> så att formeln ovan egentligen ska vara <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}...100.11</math> Observera att nettodimensionen fortfarande är 1/R ty p har dimensionen "R". Jag borde egentligen visat detta för E-fält eftersom vi inte kommit till potential än men dels är det lite knöligare att visa detta för E-fält från ett par punktladdningar dels är det i regel enklare att derivera saker än att integrera saker då E-fältet kan fås från ovan genom vektoridentiteteten <math>E=-\nabla V...100.12</math> där nabla är en deriveringsoperator i tre dimensioner som jag kommer återkomma till. =Strålning från en dipol= [[File:Fusion Radiation Diagram.png|thumb|Strålningsdiagram från en dipol]] Denna ekvation enligt ovan <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> kan skrivas om som <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p cos\theta}{R^2}</math> där theta räknas uppifrån och ner, detta ger alltså potentialen som proportionell mot cos(theta), definitionen av det elektriska fältet är sedan också enligt ovan <math>E=-\nabla V</math> där vi bara är intresserade av vad som händer för vinkeln theta dvs <math>E\propto sin\theta</math> vilket ger vidstående strålningsdiagram, normalt betyder annars deriveringsoperatorn nabla <math>\frac{dV}{dR}\hat R + \frac{dV}{Rd\theta} \hat \theta</math> Observera att E-fältet alltid är vinkelrätt mot potentialen =E-fält från en laddningsmängd= [[File:Fusion Far-Field E-field.png|thumb|E-fältet från en klump med laddning]] E-fält från en punktladdning kan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \hat R</math> Potentialen hos en sån punktladdning kan sedan beräknas enligt <math>V=-\int_{-\infty}^R E \cdot dR=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> genom att föreställa sig släpandet av en enhetsladdning från oändligheten mot fältet (därav minustecknet) till punkten ifråga, med andra ord har vi <math>dE=\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> som differential i ena fallet och <math>dV=\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R}</math> i andra fallet där det i båda fallen alltså handlar om en en rymdladdningstäthet (rho) som kan integreras upp till en laddning Q, primmade koordinater anger alltså källan så att man kan skriva <math>E=\int_{V'}\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> för E-fältet på lite avstånd och <math>V=\int_{V'}\frac{\rho dv'}{4\pi \epsilon_0 R}</math> för potetialen på lite avstånd. Utöver rho finns två varianter till nämligen rho_s som är en ytladdningstäthet och rho_l som är en längdladdningstäthet, totalt genererar detta alltså sex stycken integralformler men skillnaden är principiellt så liten så jag listar dom inte här. Det behöver sedan inte vara så stora avstånd men för till exempel E-fältet från en större klump med laddning på nära håll så skulle både enhetsvektorn och R variera under integreringen, dessutom kan rho variera. =E-fält från en stång med homogen längdladdningstäthet= [[File:Fusion Charged Rod.png|thumb|E-fält från en laddad stång]] Med hjälp av ovanstående formler kan vi teckna potentialen som <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0} \int_{-L/2}^{L/2} \frac{dz'}{z-z'}</math> där rho_l lyfts ur integralen ty den är konstant och sträckan R är z-z' där primmade koordinater alltså reprensenterar källan, vi får då uttrycket <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}[-ln(z-z')]_{-L/2}^{L/2}</math> eller <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}[ln(z-z')]_{L/2}^{-L/2}</math> så att potentialen blir <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}ln(z+L/2)-ln(z-L/2)</math> eller <math>V=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}ln\frac{(z+L/2)}{(z-L/2)}</math> där z>L/2 och eftersom vi bara kan derivera i z-dimensionen kan man skriva <math>E=-\frac{dV}{dz}\hat z</math> och när vi gör deriveringen får vi <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}\frac{(z-L/2)}{(z+L/2)} \cdot ((z-L/2)^{-1}+(-1)\cdot(z+L/2)(z-L/2)^{-2})\hat z</math> vilket ger <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi \epsilon_0}\cdot ((z+L/2)^{-1}-(z-L/2)^{-1}) \hat z</math> gemensam nämmnare modell <math>(z+L/2)\cdot(z-L/2)=z^2-(L/2)^2=N</math> ger <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0 N}\cdot ((z-L/2)-(z+L/2)) \hat z</math> eller <math>-E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0 N}\cdot -L \hat z</math> alltså är E-fältet <math>E=\frac{\rho_l}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{L}{z^2-(L/2)^2} \hat z</math> =E-fält från en oändligt lång stång= [[File:Fusion Rod E-Field.png|thumb|E-fält från en lång stång]] Vi börjar från andra hållet här, E-fältet kan enligt ovan tecknas <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'}{R^2}\hat R</math> som man kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'(r\hat r-z' \hat z)}{R^3}</math> och eftersom det råder symmetri i z-led (ganska nyttigt att tänka på sånt) så behöver det bara integreras i r-led enligt <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'r\hat r}{R^3}</math> där R^3 kan utvecklas som <math>R^3=(r^2+z'^2)^{3/2}</math> ty R är hypotenusan, då får vi <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'r}{(r^2+z'^2)^{3/2}}\hat r</math> Jag kommer just nu inte ihåg hur man löser den här integralen, nu har jag listat ut det <math>E=\frac{\rho_L r}{4\pi \epsilon_0}[\frac{1}{r^2}\frac{z'}{(r^2+z'^2)^{1/2}}]\hat r</math> bara för att det är skoj och nyttigt att verifiera kan vi derivera ovan där vi skippar prefix, då får vi <math>\frac{1}{(r^2+z'^2)^{1/2}}-\frac{z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}</math> om vi nu förlänger första termen med <math>(r^2+z'^2)</math> så får vi <math>\frac{r^2+z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}-\frac{z'^2}{(r^2+z'^2)^{3/2}}</math> där man ser att bara r^2 blir kvar som vi delat bort i vårt prefix, integralen blir alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi r\epsilon_0}[\frac{z'}{(r^2+z'^2)^{1/2}}]_{-\infty}^{\infty} \hat r</math> som blir <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r</math> ty z' ändrar tecken så att integralen blir 2, lite smått meningslöst så kan man sedan teckna potentialen enligt <math>V=-\int E \cdot dr</math> där vi alltså integrerar mot E-fältet (därav minustecknet) som då genererar uttrycket <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln(r)</math> där aktuell potential i praktiken är en potentialskillnad hos t.ex en koaxialkabel (som har två gränser) men vi har nu gått åt andra "hållet" när det gäller skapandet av uttryck för E-fält och potential (V). =E-fält från en oändligt lång stång medels Gauss lag= [[File:Fusion Rod E-Field Gauss.png|thumb|E-fält från en laddad stång enligt Gauss lag]] Gauss lag enligt ovan lyder <math>\oint E\cdot \hat n dS=\frac{Q}{\epsilon_0}</math> där normalvektorn n alltså är vinkelrät mot ytan, man kan lite lekfullt skriva om denna som <math>ES_G=\frac{Q_T}{\epsilon_0}</math> om E inte ändrar sig under integreringen och man har symmetrier där ytan alltid är vinkelrät mot E-fältet där då arean kallas Gaussisk Area (SG) samtidigt som jag hittat på att E-fältet ju skapas av laddningen som man kan betrakta som en sändare eller QT där T står för transmitter, om detta gäller får man en rätt universiell formel för E-fältet enligt <math>E=\frac{Q_T}{\epsilon_0 S_G}</math> I detta fallet har vi pga symmetriskäl att Ez går bort då integration ovanifrån ger ett lika stort negativt bidrag (riktningsmässigt) som integration nerifrån, kvar har vi Er där min bild visar på just den symmetri som gör att vi kan nyttja den enklare formeln direkt, vi får alltså att <math>E=\frac{Q}{2\pi \epsilon_0 r L} \hat r</math> och eftersom <math>\rho_L=\frac{Q}{L}</math> så kan man skriva <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r} \hat r</math> vilket är bra mycket enklare sätt att få fatt i E-fältet än ovanstående komplexa integrering, men kom ihåg att man måste finna en Gaussisk area varje gång. =E-fält från en laddad skiva= [[File:Fusion Charged Disc.png|thumb|E-fält från en laddad skiva]] Man kan enligt bild skriva E-fältet som <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dS'}{R^2}\hat R</math> där <math>R=-r' \hat r + z \hat z</math> som gör att man kan skriva integralen som <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dS'}{R^3}(-r' \hat r + z \hat z)</math> sen kan man skriva "sändande yta" som <math>dS'=dr'r'd\phi'</math> så att allt blir <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dr'r'd \phi'}{R^3}(-r' \hat r + z \hat z)</math> där man av symmetriskäl (om man roterar runt) ser i bilden att det inte blir nåt bidrag i r-led dvs vi får <math>E=\frac{\rho_s}{4\pi \epsilon_0} \int_{S'} \frac{dr'r'd \phi'}{R^3}(z \hat z)</math> och integralen, när man integrerar runt ett varv, blir <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} \int_{C'} \frac{dr'r'}{R^3}(z \hat z)</math> eller <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} \int_{C'} \frac{dr'r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}(z \hat z)</math> som kan integreras enligt <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} [\frac{1}{\sqrt{r'^2+z^2}}]_0^b(z \hat z)</math> där b är radien hos skivan, dvs svaret blir <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (\frac{1}{\sqrt{b^2+z^2}}-\frac{1}{z}) (z \hat z)</math> eller <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}-1) \hat z</math> Ser nu i min litteratur (Cheng) att detta faktiskt inte är helt fel, dock är det ett teckenfel men bara för att uttrycket för normala z blir mindre än noll, dock är den primitiva funktionen fel vad beträffar tecken, detta kan man åtgätda genom att kasta om integrationsgränserna, då får man <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{z}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> sen är E-fältet lika positivt neråt som uppåt för laddningen (rho_s) är positiv dvs rätt svar blir kanske <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> fast jag tror ändå inte man kan skriva så för E-fältet är visserligen positivt både uppåt och neråt men neråt är riktningen i minus z-led så jag tror faktiskt man måste skriva att för positiva z blir lösningen <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) \hat z</math> medans E-fältet för negativa z måste skrivas <math>E=\frac{\rho_s}{2 \epsilon_0} (1-\frac{|z|}{\sqrt{b^2+z^2}}) (-\hat z)</math> ty E-fältet är då riktat i negativ z-led samtidigt som det har samma belopp. =E-fält från en laddad loop= [[File:Charged loop.png|thumb|E-fält från en laddad loop]] Man kan teckna E-fältet såhär <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'}{R^2}=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{dl'R}{R^3}</math> där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs <math>R=-b\hat r+z\hat z</math> och <math>dl'=bd\phi</math> av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss <math>R=z\hat z</math> vilket vi kan skriva som <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{z^2}\hat z</math> eller <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{bd\phi}{R^2}\hat z</math> detta ger alltså <math>E=\frac{\rho_L}{4\pi \epsilon_0 R^2}2\pi b\hat z</math> där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar). =E-fält från ett moln av positroner= [[File:Fusion Charged Cloud.png|thumb|E-fält från ett laddat moln]] Ett E-fält från en punktladdning kan enligt ovan skrivas <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> eller <math>E=\frac{Q(R)}{4\pi \epsilon_0 R^2}\hat R</math> detta kan också skrivas <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 R^2}\int_0^R \rho dv \hat R</math> för det är bara variationen av Q(R) vi är intresserade av, för det interna E-fältet kan man då skriva <math>E=\frac{\rho}{4\pi \epsilon_0 R^2} \frac{4\pi R^3}{3}\hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{\epsilon_0 3}R\hat R</math> om man sen tittar på det yttre fältet får man <math>E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 R^2}\int_0^b \rho dv' \hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{4\pi \epsilon_0 R^2}\frac{4\pi b^3}{3}\hat R</math> eller <math>E=\frac{\rho}{\epsilon_0 3 R^2}b^3 \hat R</math> varför R^2 plötsligt inte är med i integranden vet jag inte, det kan dock ha att göra med att vi här inte avser en enda punktladdning utan ett stim med laddningar som på avstånd ger en total laddning som motsvarar volymen gånger volymladdningstätheten, rho. ==Fritänkande, försök till fördjupning== Jag har nu kikat lite i Cheng och börjat att eventuellt förstå bättre, man ska nämligen använda Gauss lag enligt <math>E=E\cdot \hat R=E_R</math> och <math>dS=4\pi R^2</math> där Gauss lag enligt <math>\oint E\cdot \hat n dS=\frac{Q}{\epsilon_0}</math> ger att flödet (och därmed integralen) blir <math>E_R 4\pi R^2</math> som alltså är konstant för varje R, återstår att integrera upp laddningen Q och sätta in i Gauss lag, när man gör det får man min tidigare lösning, tycker dock fortfarande att detta inte riktigt förklarar varför sedvanlig integralformel enligt ovan inte fungerar, den funkar ju i alla andra fall som till exempel behandlar en ett litet volymselement i en homogen laddningsfördelning. =Definition av elektrisk flödestäthet och polarisationsvektorn= [[File:Fusion Field Resistance.png|thumb|Visar hur ett polariserande E-fält gör så att dipolerna spjänar emot]] Pga enligt ovan <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> och <math>E=-\nabla V</math> kan man skriva <math>E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p}{R^3} \hat R</math> som resulterar i <math>dE=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{dp}{R^3} \hat R</math> och om man då definerar polarisationsvektorn P enligt <math>P=\frac{lim}{\Delta v->0} \sum_{n=1}^N \frac{p}{\Delta v}[C/m^2]</math> där N är antalet polariserande dipoler, då kan man skriva <math>dE=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Pdv}{R^3} \hat R</math> och man får <math>E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_v \frac{Pdv}{R^3} \hat R</math> Beviset för rho_p och rho_ps är sen lite komplicerat så jag kör på med min intuition istället, om vi pga smidighet går händelserna lite i förväg kan vi definiera <math>D=\epsilon E</math> där D kallas för elektrisk flödestäthet som jag kommer komma tillbaka till lite senare, vi kan då skriva <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot D dv=\oint D\cdot dS=Q</math> där vi nyttjat postulatet <math>\nabla \cdot D=\rho</math> och Gauss teorem för att komma från en volymsintegral till en ytintegral, på ett lite lekfullt sätt kan vi sen skriva om detta uttryck som <math>\int \rho dv=\int \nabla \cdot \rho_s dv=\oint \rho_sdS=Q</math> så att <math>\rho=\nabla \cdot D</math> och <math>\rho_s=\hat n \cdot D</math> där rho_s har samma dimension som D men är ingen vektor, här har jag sen upptäckt nåt jag tidigare inte riktigt fattat för när man tar divergensen av rho_s så går man i praktiken från 1/R^2 till 1/R^3 dvs från rho_s till rho_v och man får en volymstäthet istället ty man deriverar mest bara, jag gissar sen att man kan skriva <math>\int \rho_p dv=\int \nabla \cdot P dv=\oint P\cdot dS</math> vilket enligt ovan skulle kunna betyda att <math>\rho_p=\nabla \cdot P</math> och <math>\rho_{ps}=\hat n \cdot P</math> som kan skrivas om enligt <math>\int \rho_p dv=\int \nabla \cdot Pdv=Q_p</math> respektive <math>\oint \rho_{ps}dS=\oint P \cdot dS=Q_{ps}</math> dock är det ett teckenfel här men här kommer intuitionen in igen för om man polariserar ett dielektrika med ett E-fält och dielektrikat innan polarisationen var oladdat då blir <math>Q_p+Q_{ps}=0</math> Där jag lite fuskigt vet att detta är rätt samtidigt som det är rimligt, nu återstår dock vilken av dom vi ska ge ett negativt tecken men det är rimligt att Qs är positiv för dom laddningarna lämnar dielektrikat i en riktning motsvarande normalen till ytan, alltså är Qp negativ och vi får <math>\rho_p=-\nabla \cdot P</math> och <math>\rho_{ps}=\hat n \cdot P</math> Man har infört ett hjälpfält kallat D som i elektrisk flödestäthet, denna härleds enligt <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{\epsilon_0}(\rho+\rho_p)</math> som kan enligt ovan skrivas om som, ty rho_p är också en divergens <math>\nabla \cdot (\epsilon_0E+P)=\rho</math> där jag utan bevis säger att P är proportionerlig mot epsilon_0*E med en konstant jag inte kan koda upp, resultatet blir i alla fall <math>\nabla \cdot D=\rho</math> där <math>D=\epsilon_0E+P</math> som man har förenklat till <math>D=\epsilon E</math> ==Mer detaljerat bevis== Vi lyfter ner ovanstående formel för den polariserade potentialen <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{p \cdot \hat R}{R^2}</math> enligt ovanstående kan vi sedan skriva om den mha polarisationsvektorn P som <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Pdv \cdot \hat R}{R^2}</math> ortsvektorn R går nu från origo (där E finns och polariserar) till platsen i rymden där dielektrikat finns likt <math>R^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2</math> där alltså dielektrikat befinner sig i de primmade koordinaterna vilket gör så att derivatan av R map t.ex z' blir negativ, normalt brukakar vi dock använda primmade koordinater för källor men i det här fallet blir det för fältpunkten, med lite list kan man således skriva <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}</math> som med hjälp av vektoridentiten (där f är en skalär och A en vektor) <math>\nabla \cdot (fA)=f(\nabla \cdot A)+\nabla f \cdot A</math> som egentligen bara är produktregeln för derivering, här måste man dock bl.a tänka på att man inte kan "derivera" en vektor och att gradienten av en skalär är en vektor, tänker man på detta så blir vektoridentiteten ganska enkel, om vi applicerar detta till aktuellt fall får vi <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+\nabla' (\frac{1}{R}) \cdot A</math> som kan skrivas om som <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+(\frac{1}{R^2}\hat R) \cdot P</math> där plustecknet kommer av att derivering sker map primmade koordinater, sen gäller <math>\nabla' \cdot \frac{P}{R}=\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)+(\frac{P}{R^2} \cdot \hat R)</math> om vi nu skriver om sambandet enligt <math>\frac{P}{R^2} \cdot \hat R=\nabla' \cdot (\frac{P}{R})-\frac{1}{R}(\nabla' \cdot P)</math> och tittar på den ursprungliga formeln med P så ser vi att bara <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}dv</math> blir kvar, med andra ord blir den polariserade potentialen <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int \nabla' \cdot (\frac{P}{R})dv</math> den sista integralen kan man utveckla mha Gauss teorem (aka divergensteoreet) enligt <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\oint \frac{P}{R}\cdot dS</math> så att <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\int -\nabla' \cdot Pdv+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R}\oint P\cdot dS</math> där man alltså ser att rho_p är negativ och rho_s är positiv. =E-fält vid övergångar= [[File:Fusion E-field Boundaries.png|thumb|E-fält vid övergångar]] Allmänt kan man skriva <math>\oint E\cdot dl=0</math> där, om man hänger på q, får arbetet runt en sluten kontur dvs om man kommer tillbaka till typ samma topp/lägesenergi så är uträttat arbete 0, detta gör så att man för det tangentiella fältet kan skriva <math>E_{2t}\cdot \Delta w + E_{1t}\cdot \Delta (-w)=0</math> för w är en vektor, då får man att <math>E_{2t}=E_{1t}</math> man kan sen allmänt skriva <math>\oint D\cdot dS=Q</math> som i princip är Gauss lag, detta gör att man för de normala komponeterna kan skriva (de olika ytorna har olika normalvektorer) <math>D_{1n}\cdot \Delta S \hat {n_1} + D_{2n}\cdot \Delta S \hat {n_2}=Q</math> eller <math>D_{1n}\cdot \Delta S \hat {n_1} + D_{2n}\cdot \Delta S \hat {(-n1)}=Q</math> så att <math>D_{1n}\cdot \Delta S- D_{2n}\cdot \Delta S=Q</math> eller <math>D_{1n}-D_{2n}=\frac{Q}{\Delta S}=\rho_s</math> så att differensen mellan de normala elektriska flödestätheterna är en eventuell fri ytladdningstäthet, rhp_s, dock är denna fria ytladdningstäthet ofta noll då man förutsätter att det inte finns några fria laddningar, dvs i praktiken blir formeln <math>D_{1n}=D_{2n}</math> vilket innebär, sett till normalkomponenterna <math>\epsilon_1E=\epsilon_2E</math> ==Övergångsvillkor för dielektrika== För oladdade dielektrika gäller <math>E_{1t}=E_{2t}</math> respektive <math>D_{1n}=D_{2n}</math> ==Övergångsvillkor för metaller== För metaller är det annorlunda, jag spånar här lite när jag säger att inuti metaller kan det inte finnas några E-fält för det kan aldrig bildas några dipoler ty elektronerna är bundna till sina atomer, det finns dock fria elektroner men dom förflyttar sig till ytan hos metallerna, inuti metaller är alltså E-fältet noll och därför är rho noll, vi får alltså om 1 enligt bild är en metall och 2 är säg luft <math>E_{2t}=E_{1t}==0</math> eller <math>E_t=0</math> och eftersom E är noll i metallen så får vi att <math>D_{1n}=0</math> vilket enligt ovan får till följd att <math>-D_{2n}=\rho_s</math> som man kan skriva som <math>-\epsilon_0E_{2n}=\rho_s</math> eller <math>E_{n2}=-\frac{\rho_s}{\epsilon_0}</math> tvåan är alltså luft/vaakum men vi har normalvektorer inblandade här där tvåan är neråt riktad, minus på den riktningen blir uppåt riktad dvs det normalt riktade E-fältet är riktat uppåt och alltså in i dielektrikat om man ser till en plattkondensator =E-fält genom en metall= [[File:Fusion E-field Conductor.png|thumb|E-fält genom en metall]] Om vi börjar längst ut och kallar denna delen för region 1 kan vi skriva E-fältet utanför och i R-riktning som <math>E_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> potentialen blir sedan <math>V_1=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> enligt ovan, i region 2 gäller sedan <math>E_2=0</math> och <math>V_2=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> i region 3 gäller <math>E_3=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> men när det gäller potential så gäller <math>V(R_i)=V(R_o)</math> ty E-fältet är noll i metallen så det kan inte finnas nån dV och Ro är inte lika med Ri, man måste således skriva <math>\frac{1}{R_o}+C=\frac{1}{R_i}</math> så att <math>C=\frac{1}{R_i}-\frac{1}{R_o}</math> då har vi en korrektionsfaktor som gör så att V(R) i region 3 kan skrivas <math>V_3=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}*(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_o})</math> där man ser att om man stoppar in R=Ri så får man potentialen som <math>V_3\propto \frac{1}{R_o}</math> dvs potentialen på utsidan (Ro) är samma som potentialen på insidan (Ri), det här är inget korrekt bevis men jag lutar mig mot elektromagnetiska "kunskaper" och tycker det här duger, observera sen att näst sista formeln bara är giltig för R<Ri, samtidigt har vi även inducerade ytladdningar där vi kan börja på insidan (Ri) enligt <math>\rho_s =\epsilon_0 (- \hat R) \cdot E_3</math> så att <math>\rho_s =-\frac{Q}{4\pi R_i^2}</math> dvs vi har negativa laddningar där, för utsidan (Ro) kan vi skriva <math>\rho_s =\epsilon_0 (\hat R) \cdot E_1</math> så att <math>\rho_s =\frac{Q}{4\pi R_o^2}</math> dvs vi har positiva laddningar här, och eftersom <math>\frac{1}{R_i^2}</math> inte är lika med <math>\frac{1}{R_o^2}</math> så vi har en differens (multiplicerar man med de olika ytorna får man +/-Q), och denna differens är exakt lika med E-fältet från laddningen viket gör att netto E blir noll i metallen, man kan se det som att det bildas ett E-fält pga de inducerade laddningarna som fullständigt motverkar det fält som Q genererar, dessutom kan man se det som att E-fält går igenom allt, det blir noll i en metall men på andra sidan fortsätter det bara, om ledaren inte är jordad dvs. Man kan också se de inducerade laddningarna +/-Q som dipoler som motverkar det fält som läggs på till 100% samtidigt som netto Q fortfarande är Q från vår laddning pga laddningskonservering, detta blir tydligare när vi tittar på dielektrika men principen är samma ty iom att ingen energi tillförs så kan mediumet bara göra en sak dvs motverka det pålagda fältet, rätt nyttig läxa jag lärt mig. =E-fält genom ett dielektrika= [[File:Fusion E-field Dielektrica.png|thumb|E-fält genom ett dielektrika]] För region 1 kan man skriva <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}</math> sen kan man skriva D-fältet som <math>D=\epsilon E = \epsilon_0 E =\frac{Q}{4 \pi R^2}</math> och polarisationsvektorn (P-fältet) som <math>P=D-\epsilon_0E=0</math> samt potentialen som <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0R}</math> för region 2 kan man sedan skriva <math>E=\frac{Q}{4\pi \epsilon R^2}</math> och vi har även här att <math>D=\epsilon E=\frac{Q}{4\pi R^2}</math> sen har vi P-fältet <math>P=D-\epsilon_0E</math> dvs <math>P=\frac{Q}{4\pi R^2}-\epsilon_0\frac{Q}{4\pi \epsilon R^2}</math> detta är lika med <math>P=\frac{Q}{4\pi R^2}(1-\frac {1}{\epsilon_r})</math> så om epsilon_r är stor så är P-fältet lika med D-fältet, sen får vi att potentailen V blir <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon R}</math> region 3 blir på samma sätt som region 1 ty vi har vakuum även här, polarisationsvektorn P polariserar sedan alla små dipoler (p=qd) i en volym på sådant sätt att dom riktas åt samma håll som det polariserande E-fältet. På ytan av dielektrikat som palariseras får man sedan ytladdningstätheter rho_ps på likande sätt som man får rho_s i en metall, båda kan anses utgöra små dipoler på sådant sätt att på ena sidan så finns positiva laddningar och på andra sidan finns negativa laddningar där dipolerna alltså motverkar det pålagda fältet, helt enkelt för att det är det enda de kan göra när ingen energi tillförs utifrån. =Kapacitans= [[File:Fusion Plate Capacitor.png|thumb|Plattkondensator]] Det råder ett förhållande mellan laddning och potential, detta kallas kapacitans (C) och kan skrivas som <math>Q=CV</math> eller mer allmänt <math>C=\frac{Q}{V}</math> man kan kanske titta på potentialformeln enligt ovan vad gäller en punktladdning enligt <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> där kapacitansen således blir <math>C=4\pi \epsilon_0 R</math> så allt har kapacitans, till exempel har en elektron den ungefärliga kapacitansen <math>C_e \approx 4\pi \epsilon_0 10^{-15} \approx 1-11-15</math> i potenser, dvs ungefär <math>C_e \approx 10^{-25}F</math> Man kan kanske se det som att allt i naturen har ett inbyggt motstånd mot förändring dvs t.ex att förändra dess potential, till exempel krävs det 1 Coulomb (As) i laddning för att höja potetialen 1V hos nåt som har en kapacitans på 1F E-fältet i en plattkkondensator är uniformt och lika med <math>E=\frac{V}{d}(-\hat y)</math> samtidigt är E-fältet enligt ovan vid gränsövergången ledare-dielektrika <math>E=\frac{\rho_s}{\epsilon}(-\hat y)</math> eller <math>E=\frac{Q}{\epsilon S}(-\hat y)</math> och eftersom potential enligt ovan kan skrivas som en integral mot fältet enligt <math>V=-\int_0^d E dy</math> så blir potentialen <math>V=\frac{Q}{\epsilon S}d</math> och kondensatorformeln enligt ovan och jag repterar <math>C=\frac{Q}{V}</math> gör så att kapacitansen för plattkondensatorn blir <math>C=\epsilon \frac{S}{d}</math> ==Kondensatorkopplingar== [[File:Fusion Capacitor Connections.png|thumb|Kondensatorkopplingar]] Seriekopplade kondensatorer som i fallet A har samma Q över deras plattor, jag ser det som att Q är en slags statisk ström, eftersom dom har det så kan man skriva <math>Q=C_{eff}V</math> dvs Q är konstant samtidigt som det då finns ett spänningsfall över vardera kondensator på <math>V_n=\frac{Q}{C_n}</math> och om man summerar upp alla V_n fär att komma upp till V så får man <math>V=\frac{Q}{C_{eff}}=\sum_{n=1}^n \frac{Q}{C_n}</math> varvid man kan förkorta bort Q och får att <math>\frac{1}{C_{eff}}=\sum_{n=1}^n \frac{1}{C_n}</math> När det sedan gäller parallellkoppling enligt B så är V konstant och man kan teckna <math>V=\frac{Q}{C_{eff}}</math> de olika kondingarna har nu olika Q så detta ger <math>Q_n=V\cdot C_n</math> dvs totalt Q är <math>Q=V\cdot C_{eff}=V\sum_{n=1}^n C_n</math> varvid man kan förkorta bort V och får <math>C_{eff}=\sum_{n=1}^n C_n</math> ==Kapacitans hos en koaxialkabel== [[File:Fusion Coaxial Capacitance.png|thumb|Beräkningsunderlag för kapacitans hos en koaxialkabel]] Enligt ovan kan man skriva E-fältet från en laddad stång som <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r} \hat r</math> i det fallet kan man sedan teckna potetialskillnaden som typ arbetet mot fältet <math>V=-\int_b^a E\cdot dr</math> ty dr är egentligen en vektor modell <math> \hat r dr</math> vilket ger <math>V=-\int_b^a \frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r}dr</math> som mynnar ut i <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{b}{a}</math> som vi inverterar och stryker rho för att enligt ovan få <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln \frac{b}{a}}..[F/m]</math> ==Kapacitans hos en tvåtrådskabel== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance Simple.png|thumb|Förenklad beräkning av tvåtrådskapacitans]] Eftersom vi är intresserad av potentialskillnaden kan vi teckna <math>V_{10}=kln\frac{d}{a}-(-kln\frac{d}{a})</math> där den negativa biten kommer av att vår 0-referens är negativ, om vi sedan utvecklar <math>k=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}</math> så får vi att potentialskillnaden blir <math>V_{10}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}\cdot ln(\frac{d}{a})^2</math> och iom att, och jag repterar <math>C=\frac{Q}{U}</math> så får vi att kapacitansen i luft per meter är <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln\frac{d}{a}}</math> detta gäller dock bara för d>>a, jag kommer återkomma med mer exakt formel medels en metod som kallas spegling, egentligen ska man teckna ovanstående såhär <math>V_{10}=\frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a} + (-\frac{\rho_{L0}}{2\pi \epsilon_0} ln\frac{d}{a})</math> där alltså mina k är olika, pga laddningskonservering är sedan <math>\rho_{L0}=-\rho_{L1}</math> vilket ger <math>V_{10}=\frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a} + \frac{\rho_{L1}}{2\pi \epsilon_0} ln\frac{d}{a}</math> dvs typ samma som min första formel samtidigt som svaret blir samma, jag kan också tänka mig att <math>V_1=-kln\frac{d}{a}</math> är potentialen på ettan som nollan inducerar, potentialen på nollan som ettan inducerar blir då <math>V_0=kln\frac{d}{a}</math> där differensen blir <math>V_{10}=V_1-V_0=-kln\frac{d}{a}-kln\frac{d}{a}=-kln(\frac{d}{a})^2</math> där minustecknet saknar betydelse, eller? ==Kapacitiva system== [[File:Fusion Charges Matrix.png|thumb|Arrangemang för matrisberäkning av kapacitans]] Man kan teckna ett kapacitivt system på följande sätt (återanvänder en gammal bild) <math> \begin{bmatrix} V1=p11Q1+p12Q2+p13Q3\\ V2=p21Q1+p22Q2+p23Q3\\ V3=p31Q1+p32Q2+p33Q3\\ \end{bmatrix} ...xx.1</math> där Q kanske kan tolkas som statisk ström och p kanske kan tolkas som statisk reaktans (1/C), detta gör så att varje rad bygger respektive potential, det blir bara en uppsummering av olika reaktanser och strömmar, potentialpunkten är liksom inte lågimpediv, man kan invertera ovanstående matris och istället få <math> \begin{bmatrix} Q1=c11V1+c12V2+c13V3\\ Q2=c21V1+c22V2+c23V3\\ Q3=c31V1+c32V2+c33V3\\ \end{bmatrix} ...xx.2</math> vilket är en mer politiskt korrekt variant där c står för kapacitiva koefficienter, ser man på bilden gäller <math> \begin{bmatrix} Q1=C10V1+C12(V1-V2)+C13(V1-V3)\\ Q2=C21(V2-V1)+C20V2+C23(V2-V3)\\ Q3=C31(V3-V1)+C32(V3-V2)+C30V3\\ \end{bmatrix} ...xx.3</math> som kan arrangeras om enligt <math> \begin{bmatrix} Q1=V1(C10+C12+C13)-V2C12-V3C13\\ Q2=-V1C21+V2(C21+C20+C23)-V3C23\\ Q3=-V1C31-V2C32+V3(C31+C32+C30)\\ \end{bmatrix} ...xx.4</math> identifiering med matrisen med kapacitiva koefficienter ovan ger sedan <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c12=-C12\\ c13=-C13\\ c21=-C21\\ c22=C20+C21+C23\\ c23=-C23\\ c31=-C31\\ c32=-C32\\ c33=C30+C31+C32\\ \end{bmatrix} ...xx.5</math> eller <math> \begin{bmatrix} c11+c12+c13=C10\\ c12=-C12\\ c13=-C13\\ c21=-C21\\ c22+c21+c23=C20\\ c23=-C23\\ c31=-C31\\ c32=-C32\\ c33+c31+c32=C30\\ \end{bmatrix} ...xx.6</math> detta kan direkt relateras till det matrissystem man får när man räknar på grupper med laddningar, lilla c är alltså den koefficient som ingår i matrisen. ==Exempel I, tretrådskapacitans medels invertering av matris== [[File:Fusion Charges Rod.png|thumb|Laddade stänger och deras kapacitans]] Gauss lag säger <math>\oint E\cdot dS=\frac{Q}{\epsilon_0}...95.12</math> där E är den elektriska fältstyrkan, e0 permittiviteten för vakuum och Q den inneslutna laddningen inom ytan S, det är alltså en flödesintegral där flödet av E sker genom ytan S samtidigt som S egentligen är en vektor ty uttrycket är en skalärprodukt. För en oändligt lång linjeladdning/stång blir E-fältet <math>E=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 RL}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0 R}...95.13</math> som fås av nåt som kallas Gaussisk yta dvs en yta som alltid är vinkelrät mot E-fältet, så om vi har en oändligt lång stång med laddning och konstruerar en liten cylindrisk burk/yta runt stången där fältlinjerna alltid är vinkelräta mot ytan, då kan man lyfta ut E ur integralen för den är konstant då och då blir resten bara en integrering av ytan. Potential kan beräknas som det arbete som krävs för att släpa en laddning mot fältet, E-fältet defineraras tom som <math>E=\frac{F}{Q}...95.14</math> vars enhet är Newton per Coulomb men vi känner enheten bättre som Volt per meter, man definerar således potential enligt <math>V=-\int_{P2}^{P1} E \cdot dl...95.15</math> där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel II, The Flux Capacitor== [[File:Fusion The Flux Capacitor.png|thumb|Fyra laddade stänger i stjärnkoppling]] Jag har nu försökt beräkna kapacitanser hos en samling stänger som är ytterligare en dvs fyra. Utseendet på arrangemanget påminner om en film från 80-talet så jag har kallat bilden "The Flux Capacitor". Utseendet hos bilden påminner också om huvudspänningarna i ett trefassystem (med d som faspänning), arrangemanget blir mekaniskt så om dom liksom skall kunna härbärja runt varandra (annars blir avstånden imaginära). Jag har inget facit på mina beräkningar men villkoret pij=pji från Cheng är en bra indikation på att man kan ha rätt, villkoret kommer alltså ifrån att kapacitans är oberoende av riktning. För att förenkla kodningen kommer jag strunta i att det egentligen handlar om längdintensitets-laddningar (Q/L aka rho_l) och istället köra Q med index, sen kommer jag initialt strunta i att potentialen från en laddad stång går som ln(d/a) där d är avståndet och a radien hos stången och istället skriva d/a, E-fältet för en stång är alltså <math>E=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0 r} \hat r...95.50</math> som uppintegrerat och negerat ger potentialen <math>V=-\int_d^a Edr=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.51</math> och <math>2\pi\epsilon_0...95.52</math> hoppar jag alltså perliminärt över vilket dock bara innebär att mina potentialer behöver multipliceras med denna term. <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.53</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2\frac{d}{a}+Q_3(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})...95.54</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_2(\frac{d}{a}-\frac{\sqrt{3}d}{a})+Q_3\frac{d}{a}...95.55</math> som kan skrivas om enligt <math>V10=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{d}{a}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.56</math> För nästa potentialskillnad kan man teckna <math>V20=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{d}{a}+Q_3\frac{1}{\sqrt{3}}...95.57</math> och den sista potentialskillnaden kan man teckna <math>V30=Q_0\frac{a}{d}+Q_1\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_2\frac{1}{\sqrt{3}}+Q_3\frac{d}{a}...95.58</math> sen gäller <math>\Q_0=-(Q_1+Q_2+Q_3)...95.59</math> som ändrar ovanstående formler till dessa matrisvärden <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.60</math> enligt <math>V=pQ...95.61</math> där vi nu skall ta fram inversen av matrisen p så att vi istället får matrisen c enligt <math>p^{-1}*V=p^{-1}*p*Q=Q=cV...95.62</math> Inversen stavas <math>p^{-1}=\frac{1}{det(p)}* \begin{bmatrix} B11&B21&B31\\ B12&B22&B32\\ B13&B23&B33\\ \end{bmatrix} ...95.63</math> Nu är B-elementen komplement till p-elementen så vi stryker respektive elements rad och kolumn och nyttjar <math>(-1)^{i+j}...95.64</math> varvid vi får <math>B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.65</math> Eftersom kapacitans inte har riktning så ska bij vara lika med bji och får man inte detta så är det en bra indikation på att man har gjort fel, fast rent allmänt ska man komma ihåg att när det gäller tal så måste B-matrisen transponeras dvs rader och kolumner måste byta plats för annars blir det fel, matrisen c blir nu <math>c=p^{-1}=\frac{1}{det(p)}*B...95.66</math> där alla cij (i inte lika med j) är samma samtidigt som alla cij (i=j) är samma, om vi nu kopierar ner p så får vi <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}& \frac{d}{\sqrt{3}a}\\ \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d}{\sqrt{3}a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.67</math> som vi föreklar till elementnummer istället <math>p= \begin{bmatrix} p11&p12&p13\\ p21&p22&p23\\ p31&p32&p33\\ \end{bmatrix} ...95.68</math> och determinaten blir <math>(+1)*p11*(p22p33-p23p32)+ (-1)*p12*(p21p33-p23p31)+ (+1)*p13*(p21p32-p22p31)...95.69</math> eller <math>p11*(p22p33-p23p32)+p12*(p23p31-p21p33)+p13*(p21p32-p22p31)...95.70</math> där p12=p13=P21=p23=p31=p32 och p11=p22=p33, vilket ger <math>p11*(p11^2-p12^2)+p12*(p12^2-p12p11)+p12*(p12^2-p12p11)...95.71</math> Jag blir osäker på det här men när man kryssar vektorer får man det på ovanstående sätt, vi kan dock göra ännu en liten förenkling dvs <math>p11*(p11^2-p12^2)+2p12^2*(p12-p11)...95.72</math> Nu är det alltså ln(pij) som gäller så det är inte bara att multiplicera MEN addition innebär multiplikation av argumentet medans subtraktion innebär att argumentet måste inverteras innan det multipliceras. Determinanten blir således <math>Det(p)=ln{\frac{d^2}{a^2}}*((ln{\frac{d^2}{a^2}})^2-(ln \frac{d}{\sqrt{3}a})^2)+(ln\frac{d}{\sqrt{3}a})^2*(ln{\frac{\sqrt{3}d}{a}})^2...95.73</math> Vi skippar att allt behöver delas med determinanten och tecknar <math>c'=B= \begin{bmatrix} (ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)\\ -(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2)&(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2\\ \end{bmatrix} ...95.74</math> Det är sedan känt att <math>C10=c11+c12+c13...95.75</math> <math>C20=c22+c12+c23...95.76</math> <math>C30=c33+c13+c23...95.77</math> Med andra ord har vi att <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.78</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.79</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2-(ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.80</math> som kan förenklas enligt <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.81</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.82</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-3ln(d/\sqrt{3}a)^2-2ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)...95.83</math> eller <math>C10=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.84</math> <math>C20=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.85</math> <math>C30=(ln(d^2/a^2))^2-ln(d/\sqrt{3}a)^6-ln(d/\sqrt{3}a)^2\cdot ln(d^2/a^2)...95.86</math> <math>C12=-c12...95.87</math> <math>C23=-c23...95.88</math> <math>C13=-c13...95.89</math> och enligt c'-matrisen ovan gäller <math>C12=C23=C13=-c12\propto ln(d/\sqrt{3}a)\cdot ln(d^2/a^2)-(ln(d/\sqrt{3}a))^2...95.90</math> Delar man alltså dessa värden med determinaten och multiplicerar med <math>2\pi\epsilon_0...95.91</math> Så har man alla kapacitanser. När man specar upp p-matrisen verkar det som om man måste tänka på att E-fälten motverkar varandra för säg att potentialen vid 1 är positiv och potentialen vid 0 är negativ (vilket vi utgår ifrån när vi beräknar vår potentialskillnad) då måste den inducerade spänningen från en "fri" laddning motverka E-fältet mellan 1 och 0 för iom att ingen energi tillförs utifrån så kan inte nån "förstärkning" av E-fältet ske, samma gäller hur elektriska dipoler orienterar sig i ett dielektrikum när de utsätts för ett externt E-fält, dvs de vill inte vara med och motverkar fältet för det är det enda de kan göra. där P2 är punkten där fältet är svagast och P1 är punkten där fältet är starkast och dl är den differentiala längden, dvs vi rör oss mot fältet på samma sätt som en regelrätt arbetsintegral modell <math>W=-\int Fdx...95.16</math> där man rör sig emot fältet, därav minustecknet, i vårt fall med stängerna får vi potentialen <math>V=-\int E \cdot dl=-\int E \cdot dR...95.17</math> detta ger potentialuttrycket för en laddad stång enligt <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{P2}{P1}=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{d}{a}...95.18</math> där a är radien för stången och d avståndet till nästa stång, för potentialen däremellan är ju det vi vill veta. För vårt exempel tänkte jag dock att vi förenklar till nedanstående för att slippa för mycket kodning, hur man än ser det så är i alla fall potentialen beroende av Q och om man behöver kasta om nämnare och täljare så gäller det bara att komma ihåg minus. <math>V=Q \frac{d}{a}...95.19</math> Enligt ovan kan vi också behöva definiera <math>V*2\pi \epsilon_0=V'...95.20</math> för att göra grejerna mer läsbara, slutligen gäller t.ex <math>V_{10}=V_1-V_0...95.21</math> Preliminärt ser nu vårt ekvationssystem ut såhär <math>V10'=-Q_0\frac{d}{a_0}+Q_1\frac{d}{a_1}+Q_2(\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.22</math> där jag för Q0 nyttjat att Q0 är vår referens och således lägst i potential (jag är väldigt osäker här), för Q2 gäller sedan att vi ju vill ha spänningen mellan ett och noll och dom laddningarna är bundna medans Q2 är fri och det verkar som om Q2 typ förlorar energi till Q1 samtidigt som Q2 också bidrar till potentialen hos Q0, om detta stämmer kan man teckna <math>V20'=-Q_0\frac{3d}{a_0}+Q_1(\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2\frac{3d}{a_2}...95.23</math> I ett isolerat system med laddningar gäller sedan laddningskonservering modell <math>Q_0=-(Q_1+Q_2)...95.24</math> vilket gör att vi kan skriva om ekvationerna ovan som <math>V10'=Q_1(\frac{d}{a_0}+ \frac{d}{a_1})+Q_2(\frac{d}{a_0}+\frac{3d}{a_2}-\frac{2d}{a_2})...95.25</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{a_0}+\frac{d}{a_1}-\frac{2d}{a_1})+Q_2(\frac{3d}{a_0}+\frac{3d}{a_2})...95.26</math> Eftersom bråken är logaritmer och <math>a_0=a_1=a_2=a...95.27</math> så kan vi skriva <math>V10'=Q_1(\frac{d^2}{a^2})+Q_2(\frac{3d}{2a})...95.28</math> <math>V20'=Q_1(\frac{3d}{2a})+Q_2(\frac{9d^2}{a^2})...95.29</math> Nu har vi alltså en regelrätt matris på formen <math>V=pQ...95.30</math> Men vi vill ha den på formen <math>Q=cV</math> så att vi kan hantera kapacitanser, vad vi behöver göra är således att multiplicera V från vänster med inversen av p (dvs p^-1), då faller ut <math>p^{-1}V=Q=cV...95.31</math> där alltså c är inversen av p, vi kan nu skriva p som <math>p= \begin{bmatrix} \frac{d^2}{a^2} & \frac{3d}{2a}\\ \frac{3d}{2a}& \frac{9d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.32</math> eller <math>p= \begin{bmatrix} p11 & p12\\ p21 & p22\\ \end{bmatrix} ...95.33</math> Nu inverterar vi enligt ovanstående regler, först får vi <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} A11 & A21\\ A12 & A22\\ \end{bmatrix} ...95.34</math> där A är komplementen till p enligt ovan, detta innebär att A11=+p22, A21=-p12, A12=-p21 och A22=+p11 där jag nyttjat ovanstående regler, determinanten blir sen <math>Det(p)=p11p22-p12p21...95.35</math> där dock p21=p12 pga att kapacitans inte bryr sig om riktning och är reciprokt, med andra ord har vi inversen av p som <math> p^{-1}=\frac{1}{Det(p)}* \begin{bmatrix} p22 & -p12\\ -p12 & p11\\ \end{bmatrix} ...95.36</math> som man kan skriva som <math>p^{-1}=c= \frac{1}{\frac{d^2}{a^2}*\frac{9d^2}{a^2}-(\frac{3d}{2a})^2} \begin{bmatrix} \frac{9d^2}{a^2} & -\frac{3d}{2a}\\ -\frac{3d}{2a}& \frac{d^2}{a^2}\\ \end{bmatrix} ...95.37</math> Man kan sen visa att <math> \begin{bmatrix} c11=C10+C12+C13\\ c22=C20+C12+C23\\ c33=C30+C13+C23\\ \end{bmatrix} ...95.38</math> vilket kan inses om man tittar på min bild och en nod i taget när alla andra noder jordas, sen gäller <math> \begin{bmatrix} c12=-C12\\ c23=-C23\\ c13=-C13\\ \end{bmatrix} ...95.39</math> pga detta får man i vårt fall att <math> \begin{bmatrix} C10=c11+c12\\ C20=c22+c12\\ C12=-c12\\ \end{bmatrix} ...95.40</math> dvs <math> \begin{bmatrix} C10=\frac{9d^2}{a^2} + (-\frac{3d}{2a})\\ C20=\frac{d^2}{a^2}+ (-\frac{3d}{2a})\\ C12=\frac{3d}{2a}\\ \end{bmatrix} ...95.41</math> Allt måste dock logaritmeras, delas med determinanten och multipliceras med 2\pi\epsilon_0 för att få kapacitansen, nyttan med detta kan verka långsökt men föreklar mängder med algebra om man skulle få för sig at räkna ut det med papper och penna, dessutom kan man implementera tricket i datorprogram och räkna ut kapacitanser för en större mängd laddningar, för lite snyggare avslutning visar jag hela uttrycket där jag börjar med determinanten: <math>Det(p)=ln(\frac{d^2}{a^2})*ln(\frac{9d^2}{a^2})-(ln\frac{3d}{2a})^2...95.42</math> sen måste man enligt V' ovan multiplicera 1/Det(p) med <math>2\pi \epsilon_0...95.43</math> varvid vi får att kapacitanserna är proportionerliga mot <math>\frac{2\pi \epsilon_0}{ln\frac{d^2}{a^2}*ln\frac{9d^2}{a^2}-(ln\frac{3d}{2a})^2}...95.44</math> om vi kallar detta uttryck för k så får vi att <math>C10=k*(ln\frac{9d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.45</math> och <math>C20=k*(ln\frac{d^2}{a^2} - ln\frac{3d}{2a})...95.46</math> och <math>C12=k*ln\frac{3d}{2a}...95.47</math> där kapacitanserna enligt logarimlagarna kan skrivas om som <math>C10=k*ln\frac{6d}{a}...95.48</math> och <math>C20=k*ln\frac{2d}{3a}...95.49</math> ==Exempel III, verklig tvåtrådskapacitans (spegling)== [[File:Fusion 2-Wire Capacitance.png|thumb|Tvåtrådskapacitans]] Bild A kan man tolka enligt tidigare som <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_0*ln(a/d)+\rho_1*ln(d/a)</math> och pga laddningskoneservering så gäller att <math>\rho_0=-\rho_1</math> så att <math>2\pi \epsilon_0 V_{10}=\rho_1*ln(d/a)^2</math> eller <math>V_{10}=\frac{\rho_1*ln(d/a)^2}{2\pi \epsilon_0 }</math> och eftersom <math>C=\frac{Q}{V}</math> så får man kapacitansen som <math>C=\frac{2\pi \epsilon_0}{ln(d/a)^2}</math> eller <math>C=\frac{\pi \epsilon_0}{ln(d/a)}</math> Denna formel gäller dock bara för d>>a För alla kablar så kan man till exempel ta till nåt som kallas spegling, detta går ut på att man placerar en negativ linjeladdning inuti själva ledaren, principen går ut på att göra ledarens hölje till en yta av konstant potential, potentialen från en laddad ledare kan skrivas (se 95.51) <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{r_o}{r}</math> där ro är en radie långt från ledaren, om man då placerar en negativ speglad laddning i den andra ledaren så får man total potential som <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_o}{r}-ln\frac{r_o}{r_i})</math> detta blir till <math>V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}*(ln\frac{r_i}{r})</math> som för konstant potential (V) tydligen innebär att kvoten ri/r måste hållas konstant. Dom feta prickarna i B) är linjeladdningarna rho_l, figuren visar sedan att det finns en gemensam vinkel mellan dom två trianglarna POM respektive P'OM där P' är punkten för den speglade laddningen Eftersom ri/r är konstant och vi har en gemensam vinkel så fås rent geometriskt att <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> så att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> Om vi nu tittar på C) så har vi att <math>d=D-d_i=D-\frac{a^2}{d}</math> som ger en andra ordningens ekvation modell <math>d^2=dD-a^2</math> eller <math>d^2-dD+a^2=0</math> dvs <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> eller <math>d=\frac{D}{2a}+/-\sqrt{(\frac{D}{2a})^2-1}</math> coshyp kan sedan skrivas <math>cosh^{-1}(x)=x+\sqrt{x^2-1}</math> dvs <math>d=cosh^{-1}(\frac{D}{2a})</math> Kapacitansen hos en verklig tvåtrådskabel är alltså <math>C=\frac{\pi \epsilon}{cosh^{-1}(\frac{D}{2a})}[F/m]</math> Vi kommer komma tillbaka till speglingsmetoder lite senare. =Laddningars energi= [[File:Fusion Charges Potentials.png|thumb|Potentialer andra laddningar inducerar]] Energi stavas <math>W_e=QV..[J]</math> när det gäller punktladdningar så har dom ju enligt ovan potentialen <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> energimässigt relaterat till en annan punktladdning Q2 har dom då energin <math>W_e=\frac{Q_2Q_1}{4\pi \epsilon_0 R}</math> men eftersom Q2 kan ha en potential likväl som Q1 kan ha en potential så blir den elektriska energin <math>W_e=\frac{1}{2}\sum Q_nV_n</math> om man tittar på tre laddningar så har vi dessa kombinationer <math>W_e^\prime=Q1V13+Q1V12+Q2V23+Q2V21+Q3V31+Q3V32</math> där induktionen sker från höger till vänster dvs V13 är till exempel den induktion som sker från laddning 3 till laddning 1, om man bara tittar på att <math>V\propto Q</math> så kan man istället skriva <math>W_e^\prime=Q1Q3+Q1Q2+Q2Q3+Q2Q1+Q3Q1+Q3Q2</math> här ser man att t.ex Q1Q3 finns två gånger så energin bör rimligtvis vara hälften av summan enligt ovan, potentialen vid t.ex Q1 är sedan V1 (skapad av Q2 och Q3) varför summaformeln ovan gäller. ==Integralformel för laddningars energi== Man kan skriva ovanstående summaformel som <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \rho Vdv</math> vilket anges i min bok utan bevis men jag tycker den är enklare att förstå för den visar att en volymladdningstäthet (rho) kan integreras upp över potentialen och laddningens volym, i korthet kan man nog se den som att Q blir volymladdningstätheten uppintegrerat över volymen vilket tom tar hänsyn till om rho och/eller V varierar under integreringen, en mer användbar formel alltså. ===Vektoriell analys av integralformeln=== Eftersom <math>\nabla \cdot D=\rho</math> kan man skriva integralformeln enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \nabla \cdot D Vdv</math> med hjälp av vektorderiveringsregeln där f är en skalär och A en vektor kan man skriva <math>\nabla \cdot(fA)=\nabla f \cdot A + f \nabla \cdot A</math> vilket gör att man kan skriva <math>V\nabla \cdot D=\nabla \cdot (VD)-\nabla V\cdot D</math> We kan då skrivas som <math>W_e=\frac{1}{2}\int_{v'} \nabla \cdot (VD)-\nabla V\cdot Ddv</math> som med hjälp av Gauss teorem kan skrivas om enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\oint_{s'} VDds+\frac{1}{2}\int E\cdot Ddv</math> i den första integralen går V som 1/R och D som 1/R^2 varför en areauppintegrering på långt håll gör att den integralen går mot noll, kvar blir alltså <math>W_e=\frac{1}{2}\int E\cdot Ddv</math> ===Elektrostatisk energi hos en kondensator=== En plattkondensator har enligt ovan det elektriska fältet <math>E=\frac{V}{d}(-\hat y)</math> när potentialen är hög på den övre plattan, man kan sedan skriva om ovanstående integralformel enligt <math>W_e=\frac{1}{2}\int \epsilon E^2dv</math> och därmed <math>W_e=\frac{1}{2}\int \epsilon (\frac{V}{d})^2dv</math> och eftersom E-fältet är homogent och konstant under integreringen kan man helt enkelt skriva <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon (\frac{V}{d})^2Sd</math> vilket ger oss <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon S\frac{V^2}{d}</math> eller <math>W_e=\frac{1}{2}\epsilon\frac{S}{d}V^2</math> där vi känner till formeln för en plattkondensator som <math>C=\epsilon\frac{S}{d}</math> dvs vi kan skriva den elektrostatiska energin som <math>W_e=\frac{1}{2}CV^2</math> =Elektrostatiska krafter medels virtual displacement= [[File:Fusion Charges Forces.png|thumb|Visar två olika tänk kring beräkning av intern elektrostatisk kraft]] Jag har lärt mig att det finns två sätt att se på elektrostatiska krafter metoden kallas "virtual displacement" vilket innebär att man fryser antingen Q eller V för att titta på vad som då händer vid en liten förflyttning av en laddning. . . . . . . . . . . . . ==Elektrostatiska krafter med konstant laddning== Vid konstant laddning så blir det arbete (dW) som systemet utför taget från den elektrostatiska energin enligt <math>dW=F_Qdl=-dW_e</math> detta kan skrivas om som <math>\frac{dW_e}{dl}=-F_Q</math> eller <math>F_Q=-\nabla W_e</math> ==Elektrostatiska krafter med konstant potential== Förändringen av energi måste tas från de källor som upprätthåller konstant potential, det arbete systemet utför blir då <math>dW=F_Vdl</math> "Batterierna" levererar då <math>dW_s=\sum dQ_nV_n</math> varför en halv inte finns med här vet jag inte men eventuellt är det inte medelenergi, eftersom det också blir en ändring i elektrostatisk energi måste, pga energiprincipen, då gälla <math>dW+dW_e=dW_s</math> där <math>dW_s=2dW_e</math> ty <math>dW_e=\frac{1}{2}\sum dQ_nV_n</math> och därför får man <math>dW=dW_e</math> varför vi kan skriva <math>dW_e=F_Vdl</math> eller <math>F_V=\nabla W_e</math> =Poisson's och Laplace's ekvation= Poisson's ekvation lyder <math>\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon}</math> som kan härledas från <math>\nabla\cdot E=\frac{\rho}{\epsilon}</math> E är sedan lika med <math>E=-\nabla V</math> dvs <math>\nabla \cdot E=\nabla\cdot (-\nabla V)=\frac{\rho}{\epsilon}</math> som kan skrivas om som <math>\nabla^2V=-\frac{\rho}{\epsilon}</math> om det sen inte finns några laddningar så är rho 0 och då fås Laplace's ekvation dvs <math>\nabla^2V=0</math> =Potential och ytladdningstäthet för en plattkondensator= Då det inte finns några fria laddningar kan vi nyttja Laplace enligt <math>\nabla^2V=\frac{d^2V}{dy^2}=0</math> första integreringen ger då <math>\frac{dV}{dy}=C</math> andra integreringen ger <math>V=Cy+D</math> V(0) är sedan 0 så D går bort, kvar har vi att <math>V=Cy</math> C kan dock fås från första ekvationen ty <math>C=E=\frac{V_0}{d}</math> vilket fås för en plattkondensator då E-fältet är homogent här, med andra ord har vi <math>V=Cy=\frac{V_0}{d}y</math> eller <math>V=V_0 \frac{y}{d}</math> Ytladdninstätheten fås sedan av <math>\rho_s= \hat n \cdot \epsilon E</math> där E egentligen är riktad neråt och alltså i negativ y-led, här avses sen normalvektorn (n) vara riktat in i aktuellt område, för nedre plattan får vi då <math>\hat n=\hat y</math> och för övre plattan får vi <math>\hat n=-\hat y</math> vilket gör att ytladdningstätheten för den nedre plattan blir <math>\rho_s= \hat y \cdot -\hat y \epsilon E=-\epsilon E</math> och för den öen övre plattan blir ytladdningstätheten <math>\rho_s=-\hat y \cdot -\hat y \epsilon E=\epsilon E</math> =Spegling, punktladdning= Om man har en punkladdning ovanför ett jordat jordplan med höjden h så kan man spegla bort jordplanet genom att ansätta en negativ spegelladdning på höjden h under jordplanet, det allmänna avståndet blir då för den övre laddningen <math>R^+=\sqrt{(y-h)^2+x^2}</math> och för den nedre laddningen <math>R^-=\sqrt{(y+h)^2+x^2}</math> vilket gör att potential i godtycklig punkt kan skrivas <math>V=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R^+}-\frac{Q}{R^-})</math> i jordplanet är sen y=0 så netto avstånd blir för den övre laddningen <math>R^+=\sqrt{h^2+x^2}</math> och för den nedre laddningen <math>R^-=\sqrt{h^2+x^2}</math> vilket alltså är samma MEN på pga teckenskillnaden hos laddningarna blir potentialen noll i jordplanet ty potentential för en punktladdning kan allmänt skrivas <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> på detta sätt kan man spegla bort jordplanet men man får ett avstånd mellan laddningarna som är 2h istället för h, detta påminner lite om kvartsvågsantenner som underförstår jordplan men egentligen fungerar som dipoler dvs man har lambda/4 över ett antennspröt som har (oändligt stort) jordplan samtidigt som man kan räkna lambda/2 för en dipol. =Spegling, laddade stänger= Det här fallet är knöligare, först måste vi titta på potentialen från en laddad stång som är <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{r_0}{r}</math> där ro bara är nåt tillfälligt avlägset avstånd för potentialen som används för att potentialen på höljet av stången skall ska bli konstant, detta kommer sedan från <math>V=-\int_{ro}^r E\cdot dr</math> ty detta integreras mot E-fältet där <math>E=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0 r}\hat r</math> om ovanstående rho_L ligger utanför stången (som linjeladdning) blir alltså den inducerade potentialen vid stången enligt ovan men om vi nu placerar en spegellinjeladdning (-rho_L) inuti stången för att göra höljet konstant i potential så kan vi skriva summan av potentialerna som <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}(ln\frac{r_0}{r}-ln\frac{r_0}{r_i})</math> där r_i är det avstånd den speglade rho_L (image) har till höljet och r är avståndet från linjeladdningen till höljet, varken r_i eller r är konstant men man kan teckna <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi \epsilon_0}ln\frac{r_i}{r}</math> enligt bild är sedan rent geometriskt <math>\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> där a är radien hos stången, d är avståndet från den yttre linjeladdningen till centrum på stången och d_i är avståndet från stångens centrum till där vi placerat spegellinjeladdningen (-rho_L), på detta sätt får man sen att <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> för att höljet ska ha konstant potential och iom att man har dessa geometriska förhållanden så kan man spegla bort stången och får att avståndet blir cc-d_i, har man två stänger med samma radie är det enkelt att inse att avståndet mellan linjeladdningarna blir cc-2d_i och utifrån det kan man beräkna faktisk kapacitans för en transmissionskabel enligt <math>C=\frac{\rho_L}{V}...[F/m]</math> vi kallar nu cc-avståndet för D och konstaterar att avståndet mellan de båda linjeladdningarna är <math>D-2d_i</math> men d är avståndet från den ena linjeladdningen till centrum på den andra stången dvs vi kan skriva <math>D=d+d_i</math> där d_i alltså är <math>d_i=\frac{a^2}{d}</math> så att vi får att <math>D=d+\frac{a^2}{d}</math> nu kan vi lösa ut d genom att skriva om ekvationen genom att multiplicera upp d enligt <math>Dd-d^2-a^2=0</math> eller <math>d^2-Dd+a^2=0</math> som ger att <math>d=\frac{D}{2}+/-\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> där minus går bort för att d är större än D/2 och vi får <math>d=\frac{D}{2}+\sqrt{(\frac{D}{2})^2-a^2}</math> nu har vi alltså definierat d som en funktion av D och a dvs kända parametrar, nu kan vi nyttja potentailformeln enlig ovan och jag repeterar <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{r_i}{r}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{a}{d}</math> och få potentialen, den här potentialen är emellertid negativ då a<d, vi vänder på uttrycket och får <math>V=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{d}{a}</math> inversen av denna och borttagande av linjeladdningen ger kapacitansen per meter enligt <math>C=\frac{2 \pi\epsilon_0}{ln\frac{d}{a}}</math> som kan utvecklas till <math>C=\frac{2\pi\epsilon_0}{ln[D/2a+\sqrt{(D/2a)^2-1}]}</math> som tydligen är samma som <math>C=\frac{2\pi\epsilon_0}{cosh(D/2a)}</math> =Spegling, laddade klot= I detta fallet gäller tydligen samma sak dvs <math>\frac{R_i}{R}=\frac{a}{d}=\frac{d_i}{a}</math> men vi kan börja med att titta på potentialen för en laddad sfär, den är <math>V=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}</math> där R är radien, men om vi har en punktladdning utanför sfären så blir det potententialen vid ett visst avstånd från punktladdningen dvs på sfärens periferi (som dock inte är konstant), om vi nu placerar en negativ spegelladdning inuti sfären så får den avståndet R_i till sfärens periferi och eftersom den punkladdningen (Q_i) är negativ kan man skriva <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Q_i}{R_i})</math> eftersom sfären är jordad så ska detta uttryck bli noll eller <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Q_i}{R_i})=0</math> vilket innebär att <math>Q_i=\frac{R_i}{R}Q</math> och R_i/R är a/d vilket ger <math>V=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}(\frac{Q}{R}-\frac{Qa}{dR})</math> som gör att man kan skriva om formeln som <math>V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}(1-\frac{a}{d})</math> d är sedan avståndet från den externa punktladdningen till sfärens mitt, när vi nu har speglat bort höljet kan man få avståndet mellan den externa punktladdningen och den speglade punktladdningen inuti sfären som <math>d-d_i</math> eller <math>d- \frac{a^2}{d}</math> varvid man kan beräkna E-fältet och potentalen i rummet =Randvärdesproblem= Nedanstående randvärdesproblem är lite förenklade för dom handlar bara om olika enkla geometrier som passar med valt koordinatsystem, till exempel är randvärdesproblem i cartesiska koordinater rent rektangulära, i cylindriska koordinatsystem är dom sen cylindriska och i sfäriska koordinatsystem är dom sfäriska, när man gör så kan man alltså få separata isolerade funktioner hos varje parameter/koordinat som kan multipliceras. Randvärdesproblem av den här typen handlar sedan om laddningbefriade system dvs Laplace's ekvation <math>\nabla^2V=0</math> ==Randvärdesproblem i cartesiska koordinater== I cartesiska koordinater blir Laplace's ekvation <math>\frac{d^2V}{dx^2}+\frac{d^2V}{dy^2}+\frac{d^2V}{dz^2}=0</math> vilket kommmer av <math>\nabla\cdot \nabla V=\nabla \cdot E=0</math> där man för divergens i olika koordinatsystem allmänt kan skriva <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{h_1h_2h_3}[\frac{(d(h_2h_3E_x)}{dx}+\frac{d(h_1h_3E_y)}{dy}+\frac{d(h_1h_2E_z)}{dz}]=0</math> där h-parametrarna är så kallade metriska koefficienter, i fallet cartesiska koordinater är alla 1, om alltså det geometriska följer koordinatsystemet så kan man teckna <math>V(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)</math> om vi nu deriverar detta två gånger får vi att <math>X''YZ+XY''Z+XYZ''</math> delar vi sedan detta med <math>XYZ</math> så får vi <math>\frac{X''}{X} + \frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}</math> och potentialen har separerats i sina koordinater, man kan seda visa att dessa termer har olika konstanter där vi kan teckna <math>\frac{X''}{X}=-k_x^2</math> samma gäller övriga dimensioner, summerat blir det alltså <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> man kan alltsåteckna Laplace i en dimension enligt <math>X''+k_x^2X=0</math> om nu k_x är reell kan man teckna <math>V_x=Asin(k_xx)+Bcos(k_xx)</math> som allmän lösning, om däremot k_x är imaginär så gäller i princip <math>cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math> och enligt Euler gäller <math>cos(x)=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}</math> dvs <math>cos(x)=cosh(jx)</math> och eftersom vi har <math>k_x^2+k_y^2=0</math> kan man för den andra dimensionen teckna <math>V_y=Asinh(k_yy)+Bcosh(k_yy)</math> ===Exempel=== Om en låda har dimensionen a i x-led och dimensionen b i y-led och samtidigt dessa potentialer <math>V(0,y)=V_0</math> och <math>V(a,y)=0</math> och <math>V(x,0)=0</math> och <math>V(x,b)=0</math> så gäller alltså att plattan längst till vänster har 0V vid både y=0 och vid y=b, man kan då ansätta en sinusfunktion som ger att <math>V(0,y)=Asin(ky)=V_0</math> här är egentligen inte sinusfunktionen lika med Vo men det är dit vi ska dra den, här får man dock automatiskt att potentialen är noll i y=0, för y=b kan man bestämma k som <math>kb=n\pi</math> dvs <math>k=\frac{n\pi}{b}</math> eller så kan man se det som att minst lambda/2 måste finnas som puk och då kan man direkt skriva <math>k=\frac{2\pi}{2b}</math> där lambda är 2b och k kan tolkas som ett vågtal, vi kommer tillbaka till n senare men när vi nu har skapat en funktion i y som mappar till ändlägena så har vi dock kvar att potentialen är sinus-formad (halv våglängd) men det är den ju inte för den är konstant, då får man ta till en Fourierserie istället för att få den fyrkantformad, beviset är lite knöligt men jag visar grundprincipen <math>\int_0^b Asin(nky)sin(mky)dy=\int_0^b V_0sin(mky)dy</math> dvs man integrerar båda sidorna av ovanstående formel men med ett m skillt från n, ur detta kan man visa att <math>A=\frac{4V_0}{n\pi}</math> som i princip gör att <math>V(0,y)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nky)}{n}</math> där n är udda ty det är känt att fyrkantsignaler bara består av udda övertoner, nu har vi dock kvar randvärdena i x-led och eftersom potentialen har separerbara funktioner i x-led och y-led pga att geometrin följer koordinatsystemet så kan man bara hänga på funtionen för x, dock vet vi från ovan att k nu är imaginär dvs vi går över till sinh istället för sin, då gäller <math>X(x)=sinh(nk(x-a))</math> ty i a är potentialen noll, i 0 är denna sedan <math>sinh(-nka)=-sin(nka)</math> som egentligen skall införas i vår referensekvation ovan och som bidrar till att A istället blir <math>A=-\frac{4V_0}{nsinh(nka)\pi}</math> vilket medför att lösningen blir <math>V(x,y)=-\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nky)sinh(nk(x-a))}{nsinh(nka)}</math> ==Randvärdesproblem i polära koordinater== Gradienten av V i polära koordinater tecknas <math>\nabla V=\frac{dV}{dr}\hat r + \frac{dV}{rd\phi}\hat \phi + \frac{dV}{dz}\hat z</math> om vi tillfälligt kallar detta E (vilket dock är sant förutom ett tecken) så får vi divergensen av E som <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d(rE_r)}{dr}+\frac{d(E_\phi)}{d\phi}+\frac{d(rE_z)}{dz}]</math> nu kan vi slänga in uttrycket för gradienten av V som vi kallat E och får <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d(r\frac{dV}{dr})}{dr}+\frac{d(\frac{dV}{rd\phi})}{d\phi}+\frac{d(r\frac{dV}{dz})}{dz}]</math> som kan skrivas om som <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{1r1}[\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{rd\phi})+\frac{d}{dz}(r\frac{dV}{dz})]</math> som kan förtydligas till <math>\nabla \cdot E=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{d\phi})+\frac{d}{dz}\frac{dV}{dz}</math> att man kan göra så beror på att det är bara den variabel man deriverar med avseende på som påverkas, vid laddningsbefriade fall följer denna sedan Laplace's ekvation enligt <math>\nabla\cdot E=\nabla^2V=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}\frac{d}{d\phi}(\frac{dV}{d\phi})+\frac{d}{dz}\frac{dV}{dz}=0</math> denna är sedan lika med <math>\nabla^2V=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})+\frac{1}{r^2}(\frac{d^2V}{d\phi^2})+\frac{d^2V}{dz^2}=0</math> tricket här är sedan att vi kan nyttja separata funktioner i dom olika koordinaterna om geometrin följer koordinatsystemet dvs vi måste ha en radie med dito vinkel och sedan en höjd på "cylindern" men allt behövs naturligtvis inte samtidigt, vi kan alltså teckna potentialen som <math>V(r,\phi,z)=R(r)\Phi(\phi)Z(z)</math> om vi börjar med att titta på funktionen i r så är den alltså <math>R(r)=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})</math> tittar vi sen på funktionen i phi så är den uppenbarligen <math>\Phi(\phi)=\frac{1}{r^2}(\frac{d^2V}{d\phi^2})</math> och funktionen i z är <math>Z(z)=\frac{d^2V}{dz^2}</math> summerar vi dessa och erkänner att fuktionerna är "isolerade" från varandra samt primmar istället för skriver ut derivatan får vi <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}R'+ R'')\Phi Z + \frac{1}{r^2}\Phi'' R Z + Z''R \Phi=0</math> i regel är dock z>>r så Z(z) går bort och vi har <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}R'+ R'')\Phi + \frac{1}{r^2}\Phi'' R=0</math> delar vi detta med <math>R(r)\Phi(\phi)</math> så får vi <math>\nabla^2V=(\frac{1}{r}\frac{R'}{R}+ \frac{R''}{R})+\frac{1}{r^2}\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> här kan vi multiplicera med r^2 och får <math>\nabla^2V=r\frac{R'}{R}+ r^2\frac{R''}{R}+\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> om vi sedan återgår till ordinarie formel för R enligt ovan får vi istället <math>\nabla^2V=\frac{r}{R}\frac{d}{dr}(rR')+\frac{\Phi''}{\Phi}=0</math> konstanterna fås sedan av <math>\frac{r}{R}\frac{d}{dr}(rR')=k^2</math> och <math>\frac{\Phi''}{\Phi}=-k^2</math> den senaste kan bevisas på följande sätt och för att underlätta kodningen använder jag x istället <math>m\frac{d^2x}{dt^2}=-Cx</math> om vi tittar på hur en fjäder svänger där C är fjäderkonstanten, om vi sen ansätter <math>x=x_0e^{jwt}</math> för sinusial svängning då har vi att <math>x'=jwx_0e^{jwt}=jwx</math> och <math>x''=-w^2x_0e^{jwt}=-w^2x</math> vilket gör att fjäderformeln blir <math>m(-w^2)x=-Cx</math> där x kan förkortas bort och vi har <math>w=\sqrt{\frac{C}{m}}=k</math> dvs <math>\frac{x''}{x}=-\frac{C}{m}=-w^2=-k^2</math> vi får sen den allmänna lösningen för Phi som <math>\Phi(\phi)=A_nsin(n\phi)+B_ncos(n\phi)</math> där vi bytt ut k mot n, för R blir det sen <math>R(r)=A_nr^n+B_nr^{-n}</math> det är bara att sätta in i diffekvationerna för att bekräfta detta. ===Exempel=== Om man har två plattor i vinkeln alfa som är isolerade från varandra med potentialen Vo på "övre" plattan och potentialen noll på nedre plattan samt att dessa plattor är oändligt långa, då finns inget R(r)-beroende men det finns ett Phi(phi)-beroende enligt <math>V_n=A_nsin(n\phi)</math> att det bara har med sinus att göra beror på att potentialen vid phi=0 är noll, nu kan vi sen mappa den här funktionen mot verkligheten dvs vid phi=alfa ska vi ha att V_n är V_0 dvs vi får <math>n\alpha=\frac{\pi}{2}</math> så att <math>n=\frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{2}</math> dvs <math>V(\phi)=V_0sin(\frac{1}{\alpha}\frac{\pi}{2}\phi)</math> som är samma som <math>V(\phi)=V_0sin(\frac{\pi}{2}\frac{\phi}{\alpha})</math> ==Randvärdesproblem i sfäriska koordinater== =Källor= # David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics, Second Edition, 1989 # Jan Petersson, Lineär Algebra, omkring 1990 [[Kategori:Fysik]] qhxgp3doqo3hbh06u661tz137ig59ln 0 10859 52537 2022-08-21T19:53:42Z 2A02:3033:41A:E41B:B044:8DFF:FE8A:C6B Skapade sidan med '[[File:Umbrella.jpg]] '''U''' coma '''U''mbrella' wikitext text/x-wiki [[File:Umbrella.jpg]] '''U''' coma '''U''mbrella 5t17bme7eynyrk7fzwncx60pe31gvnq 52539 52537 2022-08-21T19:56:03Z 2A02:3033:41A:E41B:B044:8DFF:FE8A:C6B wikitext text/x-wiki [[File:Umbrella.jpg]] ''' U ''' coma '''U'''mbrella om87tb3bzn7me0pk0t3n5i1dhk79k1w 0 10860 52538 2022-08-21T19:55:35Z 2A02:3033:41A:E41B:B044:8DFF:FE8A:C6B Skapade sidan med '[[File:Goldfish.jpg]] ''' F '''coma''' F'''ishe' wikitext text/x-wiki [[File:Goldfish.jpg]] ''' F '''coma''' F'''ishe 6ln7uetzhf72ank6r3ci2ikng3xth5x 0 10861 52540 2022-08-21T19:57:17Z 2A02:3033:41A:E41B:B044:8DFF:FE8A:C6B Skapade sidan med '[[File:Yacht.jpg]] ''' Y '''coma''' Y'''acht' wikitext text/x-wiki [[File:Yacht.jpg]] ''' Y '''coma''' Y'''acht dyiifhkp5lj4qrisqcg9oyxvywrbyva