Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта TimedText TimedText talk Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 0 8426 41269 39976 2026-05-10T18:18:46Z Slavust 9295 Додані категорії 41269 wikitext text/x-wiki [[Category:Фізика]] [[Category:Частково розроблені підручники]] Цей підручник є перекладом книги [https://github.com/OSTP/PhysicsArtofModelling Introductory Physics: Building Models to Describe Our World] і розповсюджується за умовами ліцензії [https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ CC-BY-SA 4.0 International (Creative Commons)]. <span id="про-підручник"></span> == Про підручник == Цей підручник написаний для задовільнення кількох потреб, які, на нашу думку, ще не були задовільнені багатьма наявними вступними підручниками з фізики. По-перше, ми хотіли, аби підручник був безплатним для студентів та викладачів. По-друге, ми хотіли розробити підручник, який враховує нові техніки педагогіки, що використовують у вступній фізиці, написавши її у спосіб, адаптований до підходу перевернутого класу, де студенти виконують читання, розмірковують над прочитаним матеріалом, а потім обговорюють його у класі. По-третє, ми хотіли створити підручник, який звертається також до експериментального аспекту фізики, пропонуючи проведення експериментів вдома або в лабораторії, і надає рекомендації з планування експериментів та звітування про їх результати. Нарешті, ми хотіли створити підручник, який є свого роду «живим документом», який професори можуть редагувати та змішувати для власних потреб, і до якого студенти також можуть внести матеріал. Навчальний посібник розміщено на [https://github.com/OSTP/PhysicsArtofModelling GitHub], що дозволяє будь-кому вносити пропозиції, вказувати на проблеми та помилки й додавати матеріал. Цей підручник призначений для поєднання з супровідною «Бібліотекою Питань», яка містить велику кількість практичних проблем, багато з яких були внесені студентами. Підручник був би неможливий без підтримки Королівського Університету та кафедри фізики, інженерної фізики та Астрономії Королівського Університету, а також багатьох корисних дискусій зі студентами, техніками та викладачами Королівського Університету. <span id="привіт-від-авторів"></span> == Вітання від авторів == [[File:PhysicsArtOfModellingRyan.png|thumb|Райан Мартін, професор Фізики в Королівському Університеті]] '''Райан Мартін.''' Я професор фізики в Королівському Університеті. Моя основна область досліджень — астрофізика частинок, особливо вивчення властивостей нейтрино. Я виріс у Швейцарії, здобув ступінь бакалавра, магістра та доктора філософії у Королівському Університеті. Перш ніж повернутися до Королівського Університету, я був аспірантом Національної лабораторії імені Лоуренса Берклі та викладачем в Університеті Південної Дакоти. Я особливо захоплений освітою, і я завжди шукаю можливості залучити студентів до допомоги, аби зробити освіту більш доступною. Також люблю готувати й грати у волейбол. [[File:PhysicsArtOfModellingEmma.jpg|thumb|Емма Нірі, співавторка книги]] '''Емма Нірі.''' Наразі я магістр фізики другого курсу та студент QuARMS (прискорений шлях до медичної школи Королівського Університету), а також уродженка Сент-Джонсу, Ньюфаундленд. Я твердо вірю у важливість побудови фізичних моделей, чи це є фізика, медицина, наука чи мистецтво. Моєю метою було наповнити підручник темою моделювання у творчий та захопливий спосіб. Окрім занять фізикою, мені подобається ходити в походи, танцювати, читати та проводити дослідження в галузі гастроентерології та нейропсихіатрії. [[File:PhysicsArtOfModellingJosh.png|thumb|Джошуа Рінальдо, співавтор книги]] '''Джошуа Рінальдо.''' Я студент третього курсу факультету фізики й одночасно навчаюся на педагогічному факультеті. Вперше я познайомився з підходом перевернутого класу на першому курсі фізики у викладі Райана Мартіна, і виявив, що цей досвід мав вплив мій підхід до освіти. Я маю намір продовжувати використовувати підхід перевернутого класу під час мого кар’єрного руху. Бути співавтором цього підручника стало для мене дивовижною можливістю вирости як педагог, і я з нетерпінням чекаю на застосування навичок, отриманих під час роботи над ним. Крім фізики, мені подобається робити прикраси та займатися змішаними бойовими мистецтвами. [[File:PhysicsArtOfModellingOlivia.png|thumb|Олівія Вудман, співавторка книги]] '''Олівія Вудман.''' Наразі я студентка третього курсу в Королівському Університеті за спеціальністю фізика. Підхід перевернутого класу був корисним для мого власного навчання, і я думаю, що ми створили підручник, який дійсно доповнює такий стиль. Протягом книги я ділилася своїми думками на різні теми з фізики, а також деякими корисними порадами та рекомендаціями. Я сподіваюся, що студентам сподобається ця книга, а також, що вони будуть робити свої внески у неї в майбутньому. Робота над цим підручником також дозволила мені поєднати любов до фізики з моєю любов’ю до каракулів, тож я сподіваюся, що вам сподобаються малюнки! <span id="як-користуватися-цим-підручником"></span> == Як користуватися цим підручником == Цей підручник призначений для використання в перевернутому класі, де студенти завершують читання вдома, а потім матеріал обговорюється на занятті. Тож, матеріал подається досить стисло і містить '''контрольні питання''', на які студенти мають відповісти, коли закінчать читання. Ми пропонуємо включити ці контрольні питання як частину контролю до завдань з вивчення (відмічені на основі завершення, а не правильності), а потім використовувати їх як відправну точку для обговорення в класі. Для тем, які є особливо складними, ми включили '''блоки міркувань''', написані студентами, де вони намагаються представити матеріал в іншому світлі. Ми завжди раді, якщо студенти (або викладачі) бажають внести додаткові блоки. Розділи починаються з переліку '''цілей вивчення''' та '''вступного питання''', аби учні мали уявлення про зміст розділу. Протягом усього розділу є '''приклади''', також є додаткові задачі для практики в кінці. Для додаткових практичних задач слід використовувати '''бібліотеку запитань'''. Наприкінці розділу, '''підсумок''' представляє ключові моменти з глави. Ми пропонуємо студентам уважно читати підсумки, аби переконатися, що вони розуміють зміст глави (і потенційно ідентифікувати, перш ніж читати, чи є зміст глави знайомим для них). Наприкінці розділу ми також представляємо секцію для '''роздумів про матеріал'''. Сюди входять питання щодо застосування матеріалу або історичного контексту, які можуть бути призначені в опитуваннях після читання. Секція роздумів про матеріал також включає експерименти, які можна провести вдома (в рамках завдання з вивчення) або в лабораторії. Додатки охоплюють основні знання з математики (диференціальне та інтегральне числення і вектори), а також представляють вступ до програмування мовою Python, що, на нашу думку, є корисною навичкою в науці. Також є додаток, призначений для користування під час роботи в лабораторії. Він надає приклади того, як писати пропозиції експериментів та звіти, а також принципи розгляду пропозицій та звітів. Ми вважаємо, що вступні лабораторні повинні бути не «рецептурними», а такими, щоб студенти використовували підхід, подібний до підходу дослідника в розробці експерименту та його проведенні, а також у перегляді пропозицій та результатів своїх колег. <span id="зміст"></span> = Перелік розділів = * [[/Подяки/]] * [[/Науковий метод і фізика/]] * [[/Порівняння моделі та експерименту/]] * [[/Опис руху в одному вимірі/]] * [[/Опис руху в декількох вимірах/]] * [[/Закони Ньютона/]] * [[/Застосування законів Ньютона/]] * [[/Робота та енергія/]] * [[/Потенціальна енергія та збереження енергії/]] * [[/Гравітація/]] * [[/Лінійний імпульс і центр мас/]] * [[/Динаміка обертання/]] * [[/Енергія обертання і кутовий момент/]] * [[/Гармонічні коливання/]] * [[/Хвилі/]] * [[/Механіка рідини/]] * [[/Електричні заряди та поля/]] * [[/Закон Гауса/]] * [[/Електричний потенціал/]] * [[/Електричний струм/]] * [[/Електричні кола/]] * [[/Магнітне поле/]] * [[/Джерела магнітного поля/]] * [[/Електромагнітна індукція/]] * [[/Спеціальна теорія відносності/]] * [[/Додаток А: Вектори/]] * [[/Додаток Б: Диференціальне та інтегральне числення/]] * [[/Додаток В: Супровід у діяльності, пов'язаній з лабораторними роботами/]] * [[/Додаток Г: Мова програмування Python/]] cw4dhpi1jlrgil4f8prya1pgh7wvbts 0 8631 41267 41243 2026-05-10T17:14:04Z Slavust 9295 add link to next chapter 41267 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} s1jv746n1icrf84mss124aglcpu8wn4 41268 41267 2026-05-10T17:14:28Z Slavust 9295 41268 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} c9j4jliavyutp3xmzk4cuivhbsyn65o 0 8633 41261 2026-05-10T17:05:15Z Slavust 9295 Переклад розділу книги. Похідний код книги: https://github.com/OSTP/PhysicsArtofModelling 41261 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>? # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> rpzs1guzybhss4dkvw03ypy7m1zwtku 41262 41261 2026-05-10T17:06:50Z Slavust 9295 /* Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості */ 41262 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>? # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> pmsw9a9j7ujdiy4t8bfy5igx2wjuubu 41263 41262 2026-05-10T17:07:35Z Slavust 9295 /* Круговий рух */ 41263 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>? # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> 9pnv5prbiewabx13k6pzv4pt9atixml 41264 41263 2026-05-10T17:08:27Z Slavust 9295 /* Круговий рух */ 41264 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>? # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> ktlazex83qkqvb72psrcqo9ppqksrft 41265 41264 2026-05-10T17:10:09Z Slavust 9295 /* Круговий рух */ 41265 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> trc3de1l805ioc86xrh003fawqtncqi 41266 41265 2026-05-10T17:13:30Z Slavust 9295 add navigation 41266 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у 3D-просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|}} hu6lpqx0ywb1xgkebcj7hzer4jt25t6 41271 41266 2026-05-10T18:48:12Z Slavust 9295 41271 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|}} aps2aczx5aqd232855zw5pacternkj7 14 8634 41270 2026-05-10T18:19:44Z Slavust 9295 Створена сторінка: [[Category:Природничі науки]] 41270 wikitext text/x-wiki [[Category:Природничі науки]] kz4s8q1mvo95sl6uo8mqlc8gt2gtjch