Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта Субтитри Обговорення субтитрів Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 0 6136 41321 32533 2026-06-30T11:34:18Z Lxlalexlxl 2684 41321 wikitext text/x-wiki == [[Розв'язник вправ по дискретній математиці]]. Булева алгебра. Поліном Жегалкіна == '''Поліном Жегалкіна'''&nbsp;— довільна формула [[:w:Алгебра Жегалкіна|алгебри Жегалкіна]], яка має вигляд суми [[:w:кон'юнкція|кон'юнкцій]] булевих змінних. В зарубіжній літературі представлення полінома Жегалкіна зазвичай називається алгебраїчною нормальною формою (АНФ). '''Теорема Жегалкіна'''&nbsp;— стверджує існування і унікальність будь-якої булевої функції у вигляді полінома Жегалкіна. Формально поліном Жегалкіна можна представити у вигляді: : <math> P(X_1...X_n) = a ~\oplus~ a_1\wedge X_1 ~\oplus~ a_2\wedge X_2 ~\oplus~ ... ~\oplus~ a_n\wedge X_n ~\oplus~ a_{12}\wedge X_1\wedge X_2 ~\oplus~ a_{13}\wedge X_1\wedge X_3 ~\oplus~ ... ~\oplus~ a_{1...n}\wedge X_1...\wedge X_n, </math> : <math> a \ldots a_{1 \ldots n} \in \{0,1\} .</math> Для трьох змінних поліном Жегалкіна має вигляд : <math> f(x,y,z) = a_0~\oplus~a_1\wedge x~\oplus~ a_2\wedge y ~\oplus~a_3\wedge z ~\oplus~ a_{12}\wedge x\wedge y ~\oplus~ a_{13}\wedge x\wedge z ~\oplus~ a_{23}\wedge y\wedge z ~\oplus~ a_{123}\wedge x\wedge y\wedge z. </math> Побудуємо поліном для функції <math>f(x,y,z)=(1110 0010)</math>. Запишемо [[:w:таблиця істинності|таблицю істинності]] функції і будемо послідовно знаходити коефіцієнти <math>a_i</math> підставляючи у функцію <math>f(x,y,z)</math> замість <math>x,y,z</math> конкретні значення. {| class="wikitable" |- !<center><math>x</math></center>!!<center><math>y</math></center>!!<center><math>z</math></center>!!<center><math>f(x,y,z)</math></center>!!<center><math>a_i</math></center> |- | 0 || 0 || 0 || 1 || <math>a_0</math> |- | 0 || 0 || 1 || 1 || <math>a_3</math> |- | 0 || 1 || 0 || 1 || <math>a_2</math> |- | 0 || 1 || 1 || 0 || <math>a_{23}</math> |- | 1 || 0 || 0 || 0 || <math>a_1</math> |- | 1 || 0 || 1 || 0 || <math>a_{13}</math> |- | 1 || 1 || 0 || 1 || <math>a_{12}</math> |- | 1 || 1 || 1 || 0 || <math>a_{123}</math> |} У першому рядку <math>f(0,0,0)=a_0~\oplus~a_1\wedge 0~\oplus~ a_2\wedge 0 ~\oplus~a_3\wedge 0 ~\oplus~ a_{12}\wedge 0\wedge 0 ~\oplus~ a_{13}\wedge 0\wedge 0 ~\oplus~ a_{23}\wedge 0\wedge 0 ~\oplus~ a_{123}\wedge 0\wedge 0\wedge 0=a_0. </math> Так як, <math>f(0,0,0)=1</math>, то і <math>a_0=1. </math> Для другого рядка <math>f(0,0,1)=a_0~\oplus~a_1\wedge 0~\oplus~ a_2\wedge 0 ~\oplus~a_3\wedge 1 ~\oplus~ a_{12}\wedge 0\wedge 0 ~\oplus~ a_{13}\wedge 0\wedge 1 ~\oplus~ a_{23}\wedge 0\wedge 0 ~\oplus~ a_{123}\wedge 0\wedge 0\wedge 1=a_0~\oplus~a_3=1~\oplus~a_3. </math> Так як, <math>f(0,0,1)=1</math>, то і <math>1~\oplus~a_3=1,</math> отже <math>a_3=0.</math> Послідовно підставляємо значення усіх рядків і знаходимо відповідні коефіцієнти. ab4ltk7wfwk9lg4pg1qmi690kofmg80 0 8360 41318 41311 2026-06-29T12:18:46Z Aokoroko 9149 41318 wikitext text/x-wiki ==== Консольний рендерер Мандельброта з методом обурень та межі 10⁻³⁰⁸ (мовою програмування [[C++]]) ==== == Вступ == Даний практикум містить оригінальний вихідний код на C++ для високоточного рендерингу фрагментів множини Мандельброта з використанням алгоритмів оптимізації (включаючи теорію збурень) та глибокого згладжування (8x8 SSAA). Автор алгоритму та зображень: [[User:Aokoroko]]. == Ключові особливості == * Розрахунок опорної траєкторії на 5000 біт усього один раз. * Реактивний розрахунок мільярда пікселів на апаратному double. * При використанні чисел із плаваючою комою подвійної точності (порядку 10⁻¹⁵) теорія збурень дозволяє наблизитися до рівня 10⁻³⁰⁸ - не далі. * Революційний алгоритм Reference Reset to Zero. * Справжній SSAA 8x8 для ідеально згладженого зображення без аліасингу. * Паралелізм OpenMP для високошвидкісного багатопотокового рендерингу. == Вихідний код C++ == Ниже представлений вихідний код програми, що використовувався для генерації 100-мегапіксельних вибраних зображень на Вікісховищі. <syntaxhighlight lang="cpp"> #include <iostream> #include <fstream> #include <vector> #include <cmath> #include <cstdint> #include <string> #include <atomic> #include <omp.h> #include <cstdio> #include <iomanip> #include <gmp.h> #include <mpfr.h> using namespace std; const double PI = 3.14159265358979323846; const mpfr_prec_t MPFR_BITS = 5000; #pragma pack(push, 1) struct BMPHeader { uint16_t type{0x4D42}; uint32_t size{0}; uint16_t reserved1{0}; uint16_t reserved2{0}; uint32_t offBits{54}; uint32_t structSize{40}; int32_t width{0}; int32_t height{0}; uint16_t planes{1}; uint16_t bitCount{24}; uint32_t compression{0}; uint32_t sizeImage{0}; int32_t xpelsPerMeter{2834}; int32_t ypelsPerMeter{2834}; uint32_t clrUsed{0}; uint32_t clrImportant{0}; }; #pragma pack(pop) struct ComplexDouble { double re; double im; }; void save_bmp(const string& filename, const vector<uint8_t>& data, int w, int h) { int rowSize = (w * 3 + 3) & ~3; BMPHeader header; header.width = w; header.height = h; header.sizeImage = rowSize * h; header.size = header.sizeImage + 54; ofstream f(filename, ios::binary); f.write(reinterpret_cast<char*>(&header), 54); f.write(reinterpret_cast<const char*>(data.data()), data.size()); f.close(); } int main() { string absc_str, ordi_str, size_str; absc_str = "-1.74907816150520173167912454515663360420734509948112463480292338384"; ordi_str = "-0.00000550991906629096602513098567268615714673236269915508056068145"; size_str = "0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000153"; const int targetW = 10000; const int targetH = 10000; const int scale = 8; const int rawW = targetW * scale; const int rawH = targetH * scale; cout << "Step 1: Calculating Raw Map (" << rawW << "x" << rawH << ") using Perturbation..." << endl; vector<uint8_t> iterMap((size_t)rawW * rawH); mpfr_t rx, ry, zr, zi, zr2, zi2, tmp, sz, st; mpfr_inits2(MPFR_BITS, rx, ry, zr, zi, zr2, zi2, tmp, sz, st, NULL); mpfr_set_str(rx, absc_str.c_str(), 10, MPFR_RNDN); mpfr_set_str(ry, ordi_str.c_str(), 10, MPFR_RNDN); mpfr_set_str(sz, size_str.c_str(), 10, MPFR_RNDN); mpfr_div_ui(st, sz, rawW, MPFR_RNDN); double step_d = mpfr_get_d(st, MPFR_RNDN); double ref_rec_d = mpfr_get_d(rx, MPFR_RNDN); double ref_imc_d = mpfr_get_d(ry, MPFR_RNDN); vector<ComplexDouble> ref_orbit_double(50005); mpfr_set_ui(zr, 0, MPFR_RNDN); mpfr_set_ui(zi, 0, MPFR_RNDN); mpfr_set_ui(zr2, 0, MPFR_RNDN); mpfr_set_ui(zi2, 0, MPFR_RNDN); uint32_t ref_i = 0; bool escaped = false; while (ref_i < 50000) { ref_orbit_double[ref_i].re = mpfr_get_d(zr, MPFR_RNDN); ref_orbit_double[ref_i].im = mpfr_get_d(zi, MPFR_RNDN); mpfr_mul(tmp, zr, zi, MPFR_RNDN); mpfr_mul_ui(zi, tmp, 2, MPFR_RNDN); mpfr_add(zi, zi, ry, MPFR_RNDN); mpfr_sub(zr, zr2, zi2, MPFR_RNDN); mpfr_add(zr, zr, rx, MPFR_RNDN); mpfr_mul(zr2, zr, zr, MPFR_RNDN); mpfr_mul(zi2, zi, zi, MPFR_RNDN); if (escaped) { ref_i++; break; } mpfr_add(tmp, zr2, zi2, MPFR_RNDN); if (mpfr_cmp_d(tmp, 4.0) >= 0) { escaped = true; } ref_i++; } ref_orbit_double[ref_i].re = mpfr_get_d(zr, MPFR_RNDN); ref_orbit_double[ref_i].im = mpfr_get_d(zi, MPFR_RNDN); uint32_t max_valid_ref_iter = ref_i; mpfr_clears(rx, ry, zr, zi, zr2, zi2, tmp, sz, st, NULL); atomic<int> linesDone{0}; #pragma omp parallel for schedule(dynamic) for (size_t b = 0; b < (size_t)rawH; ++b) { for (size_t a = 0; a < (size_t)rawW; ++a) { double delta_rec = (double)((long long)a - (rawW / 2)) * step_d; double delta_imc = (double)((long long)b - (rawH / 2)) * step_d; uint32_t index = 0; double delta_re = 0.0; double delta_im = 0.0; double z_re = 0.0; double z_im = 0.0; uint32_t i = 0; const ComplexDouble* ref_ptr = ref_orbit_double.data(); while (i < max_valid_ref_iter) { if ((z_re * z_re + z_im * z_im) >= 40000.0) { break; } if ((z_re * z_re + z_im * z_im) < (delta_re * delta_re + delta_im * delta_im)) { index = 0; delta_re = z_re; delta_im = z_im; } for (int step = 0; step < 2; ++step) { double Ur = ref_ptr[index].re; double Ui = ref_ptr[index].im; double next_delta_im = 2.0 * Ur * delta_im + 2.0 * Ui * delta_re + 2.0 * delta_re * delta_im + delta_imc; delta_re = 2.0 * Ur * delta_re - 2.0 * Ui * delta_im + delta_re * delta_re - delta_im * delta_im + delta_rec; delta_im = next_delta_im; index++; } z_re = ref_ptr[index].re + delta_re; z_im = ref_ptr[index].im + delta_im; i += 2; } int final_t = 50000 - i; if (final_t == 0) { iterMap[b * (size_t)rawW + a] = 255; } else { iterMap[b * (size_t)rawW + a] = (uint8_t)(final_t % 254); } } if (++linesDone % 100 == 0) cout << "Progress: " << linesDone << "/" << rawH << "\r" << flush; } uint8_t pal[256][3]; for (int a = 0; a < 255; ++a) { pal[a][0] = (uint8_t)round(127.0 + 127.0 * cos(2.0 * PI * a / 255.0)); // Blue pal[a][1] = (uint8_t)round(127.0 + 127.0 * sin(2.0 * PI * a / 255.0)); // Green pal[a][2] = (uint8_t)round(127.0 + 127.0 * sin(2.0 * PI * a / 255.0)); // Red } pal[255][0] = 255; pal[255][1] = 255; pal[255][2] = 255; cout << "\nStep 2: Rendering frames..." << endl; int rowSize = (targetW * 3 + 3) & ~3; for (int frame = 0; frame < 255; ++frame) { vector<uint8_t> frameData(rowSize * targetH); #pragma omp parallel for schedule(static) for (int y = 0; y < targetH; ++y) { for (int x = 0; x < targetW; ++x) { uint32_t rSum = 0, gSum = 0, bSum = 0; for (int j = 0; j < scale; ++j) { size_t mapRowIdx = (size_t)(y * scale + j) * rawW; for (int i = 0; i < scale; ++i) { uint8_t t = iterMap[mapRowIdx + (x * scale + i)]; int colorIdx; if (t == 255) { colorIdx = 255; } else { colorIdx = (t - frame + 255) % 255; } bSum += pal[colorIdx][0]; gSum += pal[colorIdx][1]; rSum += pal[colorIdx][2]; } } int outIdx = y * rowSize + x * 3; frameData[outIdx + 0] = (uint8_t)(bSum >> 6); frameData[outIdx + 1] = (uint8_t)(gSum >> 6); frameData[outIdx + 2] = (uint8_t)(rSum >> 6); } } string filename = "Mandelbrot" + to_string(1000 + frame).substr(1) + ".bmp"; save_bmp(filename, frameData, targetW, targetH); cout << "Frame " << frame << "/254 saved. \r" << flush; } return 0; } </syntaxhighlight> == Приклади зображень == <gallery mode="packed" heights="200"> File:Mandelbrot Set Image 107.png|Фрагмент множини, теорія збурень. Роздільна здатність 10000 x 10000 пікселів. File:Mandelbrot Set Image 108.png|Фрагмент множини, теорія збурень. Роздільна здатність 10000 x 10000 пікселів. File:Mandelbrot Set Image 109.png|Фрагмент множини, теорія збурень. Роздільна здатність 10000 x 10000 пікселів. File:Mandelbrot Set Image 110.png|Фрагмент множини, теорія збурень. Роздільна здатність 10000 x 10000 пікселів. </gallery> == Посилання == * [https://github.com/Divetoxx/Mandelbrot Офіційний репозиторій проєкту Mandelbrot CLI на GitHub] — вихідний код, документація та готові релізи програми рендерингу. ==== Пишу мовою Flat Assembler ==== Ну, що. Потрібно писати код. Програмування. А я пишу мовою Flat Assembler! Вибір саме цього середовища розробки зовсім незвичайний, але вже склалося. Як написано: "Ця дія виключно проста - потрібно перетягнути мишкою значок файлу Mandelbrot.asm на значок FASM.EXE так, щоб відбулася дія "Відкрити за допомогою". В результаті в папці негайно з'явиться програма Mandelbrot.exe". https://flatassembler.net/download.php ОПИС ПРОГРАМИ Програма Mandelbrot малює на весь екран ділянку множини Мандельброта і показує анімацію. Напрямок руху анімації можна міняти стрілочними кнопками клавіатури комп'ютера. Дві різні палітри забарвлення можна вибирати клавішами F6 та F7. П'ять різних заздалегідь вибраних цікавих місць множини Мандельброта можна вибирати клавішами F1, F2, F3, F4, F5. Клік лівою кнопкою миші наближає (збільшує) зображення у 2 рази, клік правою кнопкою миші – віддаляє (зменшує) зображення у 2 рази. Інформацію про зображення, що сподобалося, можна зберегти на майбутнє у файл клавішею End і потім завантажити з файлу клавішею Ins. Щоб вийти, натисніть Esc. <syntaxhighlight lang="nasm"> format PE GUI 4.0 entry start macro invoke proc,[arg] { common if ~ arg eq reverse pushd arg common end if call [proc] } macro proc [args] { common match name params, args> \{ define@proc name,<params \} } prologue@proc equ prologuedef macro prologuedef procname,flag,parmbytes,localbytes,reglist { if parmbytes | localbytes push ebp mov ebp,esp if localbytes sub esp,localbytes end if end if irps reg, reglist \{ push reg \} } epilogue@proc equ epiloguedef macro epiloguedef procname,flag,parmbytes,localbytes,reglist { irps reg, reglist \{ reverse pop reg \} if parmbytes | localbytes leave end if if flag and 10000b retn else retn parmbytes end if } macro define@proc name,statement { local params,flag,regs,parmbytes,localbytes,current if used name name: match =stdcall args, statement \{ params equ args flag = 11b \} match =stdcall, statement \{ params equ flag = 11b \} match =c args, statement \{ params equ args flag = 10001b \} match =c, statement \{ params equ flag = 10001b \} match =params, params \{ params equ statement flag = 0 \} virtual at ebp+8 match =uses reglist=,args, params \{ regs equ reglist params equ args \} match =regs =uses reglist, regs params \{ regs equ reglist params equ \} match =regs, regs \{ regs equ \} match =,args, params \{ defargs@proc args \} match =args@proc args, args@proc params \{ defargs@proc args \} parmbytes = $ - (ebp+8) end virtual name # % = parmbytes/4 all@vars equ current = 0 match prologue:reglist, prologue@proc:<regs> \{ prologue name,flag,parmbytes,localbytes,reglist \} macro locals \{ virtual at ebp-localbytes+current macro label def \\{ match . type,def> \\\{ deflocal@proc .,label,<type \\\} \\} struc db [val] \\{ \common deflocal@proc .,db,val \\} struc du [val] \\{ \common deflocal@proc .,du,val \\} struc dw [val] \\{ \common deflocal@proc .,dw,val \\} struc dp [val] \\{ \common deflocal@proc .,dp,val \\} struc dd [val] \\{ \common deflocal@proc .,dd,val \\} struc dt [val] \\{ \common deflocal@proc .,dt,val \\} struc dq [val] \\{ \common deflocal@proc .,dq,val \\} struc rb cnt \\{ deflocal@proc .,rb cnt, \\} struc rw cnt \\{ deflocal@proc .,rw cnt, \\} struc rp cnt \\{ deflocal@proc .,rp cnt, \\} struc rd cnt \\{ deflocal@proc .,rd cnt, \\} struc rt cnt \\{ deflocal@proc .,rt cnt, \\} struc rq cnt \\{ deflocal@proc .,rq cnt, \\} \} macro endl \{ purge label restruc db,du,dw,dp,dd,dt,dq restruc rb,rw,rp,rd,rt,rq current = $-(ebp-localbytes) end virtual \} macro ret operand \{ match any, operand \\{ retn operand \\} match , operand \\{ match epilogue:reglist, epilogue@proc:<regs> \\\{ epilogue name,flag,parmbytes,localbytes,reglist \\\} \\} \} macro finish@proc \{ localbytes = (((current-1) shr 2)+1) shl 2 end if \} } macro defargs@proc [arg] { common if ~ arg eq forward local ..arg,current@arg match argname:type, arg \{ current@arg equ argname label ..arg type argname equ ..arg if dqword eq type dd ?,?,?,? else if tbyte eq type dd ?,?,? else if qword eq type | pword eq type dd ?,? else dd ? end if \} match =current@arg,current@arg \{ current@arg equ arg arg equ ..arg ..arg dd ? \} common args@proc equ current@arg forward restore current@arg common end if } macro endp { purge ret,locals,endl finish@proc purge finish@proc restore regs@proc match all,args@proc \{ restore all \} restore args@proc match all,all@vars \{ restore all \} } macro library [name,string] { forward local _label if defined name#.redundant if ~ name#.redundant dd RVA name#.lookup,0,0,RVA _label,RVA name#.address end if end if name#.referred = 1 common dd 0,0,0,0,0 forward if defined name#.redundant if ~ name#.redundant _label db string,0 rb RVA $ and 1 end if end if } macro import name,[label,string] { common if defined name#.referred name#.lookup: forward if used label if string eqtype '' local _label dd RVA _label else dd 80000000h + string end if end if common if $ > name#.lookup name#.redundant = 0 dd 0 else name#.redundant = 1 end if name#.address: forward if used label if string eqtype '' label dd RVA _label else label dd 80000000h + string end if end if common if ~ name#.redundant dd 0 end if forward if used label & string eqtype '' _label dw 0 db string,0 rb RVA $ and 1 end if common end if } macro directory [type,label] { common local max,count count = 0 max = 0 forward count = count + 1 if type > max max = type end if common root@resource dd 0,%t,0,count shl 16 repeat max forward if % = type dd type,80000000h+label-root@resource end if common end repeat } macro resource dir,[id,lang,label] { common dir: local min,max,count,current forward min = id max = id common count = 0 forward count = count + 1 if id < min min = id else if id > max max = id end if common dd 0,%t,0,count shl 16 repeat max-min+1 current = $ forward if min+%-1 = id if current = $ dd id,80000000h+label#.directory-root@resource end if end if common end repeat repeat max-min+1 current = $ forward if min+%-1 = id if current = $ label#.directory dd 0,%t,0,10000h,lang,label-root@resource count = 1 else dd lang,label-root@resource count = count + 1 end if end if label#.resid = id common local x,y,z,v1,v2 if count > 1 store word count at current+0Eh x = count shr 1 while x > 0 y = x while y < count z = y while z-x >= 0 load v1 dword from current+10h+z*8 load v2 dword from current+10h+(z-x)*8 if v1<v2 store dword v1 at current+10h+(z-x)*8 store dword v2 at current+10h+z*8 load v1 dword from current+10h+z*8+4 load v2 dword from current+10h+(z-x)*8+4 store dword v1 at current+10h+(z-x)*8+4 store dword v2 at current+10h+z*8+4 else break end if z = z-x end while y = y+1 end while x = x shr 1 end while end if end repeat } section '.code' code readable executable start: mov [snam],0 invoke CreateMutex,0,0,mutexname invoke GetLastError cmp eax,ERROR_ALREADY_EXISTS jne willwork invoke ExitProcess,0 willwork: invoke EnumDisplaySettings,0,-1,dmDeviceName mov eax,[dmPelsWidth] shr eax,2 shl eax,2 mov [wi],eax mov [wwi],eax mov eax,[dmPelsHeight] mov [he],eax mov [whe],eax invoke GetCommandLine mov esi,eax cld zikl: lodsb cmp al,0 je worki cmp al,'/' jne zikl lodsb cmp al,'p' jne nofinti nofin: lodsb cmp al,0 jne nofin mov ebx,1 mov ecx,10 calcul: dec esi dec esi xor eax,eax lodsb cmp al,' ' je calend sub al,30h mul ebx add [ifparent],eax mov eax,ebx mul ecx mov ebx,eax jmp calcul calend: invoke GetWindowRect,[ifparent],spleft mov ebx,[spright] mov edx,[spleft] sub ebx,edx mov [wi],ebx mov [wwi],ebx mov eax,[spbottom] mov ecx,[sptop] sub eax,ecx mov [he],eax mov [whe],eax mul ebx mov [proizv],eax mov [wstyle],WS_CHILD+WS_VISIBLE jmp worki nofinti: cmp al,'c' jne worki mov [cflag],1 mov [wwi],640 mov eax,[dmPelsWidth] sub eax,[wwi] shr eax,1 mov [le],eax mov [whe],302 invoke GetSystemMetrics,SM_CYCAPTION add [whe],eax invoke GetSystemMetrics,SM_CYFIXEDFRAME shl eax,1 add [whe],eax mov eax,[dmPelsHeight] sub eax,[whe] shr eax,1 mov [to],eax mov [wi],452 mov [he],300 mov [wstyle],WS_VISIBLE+WS_SYSMENU worki: cld mov edi,palet mov esi,qalet finit fild [sds] ;127 fild [dtp] ;255 127 fldpi ;pi 255 127 splpal: fild [gbs] ;0 pi 255 127 fadd st0,st0 ;0*2 pi 255 127 fmul st0,st1 ;0*2*pi pi 255 127 fdiv st0,st2 ;0*2*pi/255 pi 255 127 fld st0 ;0*2*pi/255 0*2*pi/255 pi 255 127 fcos ;cos 0*2*pi/255 pi 255 127 fmul st0,st4 ;cos*127 0*2*pi/255 pi 255 127 fadd st0,st4 ;cos*127+127 0*2*pi/255 pi 255 127 fistp [valb] ;0*2*pi/255 pi 255 127 fsin ;sin pi 255 127 fmul st0,st3 ;sin*127 pi 255 127 fadd st0,st3 ;sin*127+127 pi 255 127 fistp [valg] ;pi 255 127 mov ax,[seed1] mov bx,[seed2] mov cx,ax mul [cont] shl cx,3 add ch,cl add dx,cx add dx,bx shl bx,2 add dx,bx add dh,bl shl bx,5 add dh,bl add ax,1 adc dx,0 mov [seed1],ax mov [seed2],dx mov cx,dx mov bx,256 mul bx mov ax,cx mov cx,dx mul bx add ax,cx adc dx,0 mov ax,dx and eax,0FFh shl eax,8 or eax,[valg] shl eax,8 or eax,[valb] stosd ror eax,8 xchg al,ah rol eax,8 mov [esi],eax add esi,4 inc [gbs] cmp edi,palet+1020 jb splpal fstp st0 fstp st0 fstp st0 mov eax,00FFFFFFh stosd mov [esi],eax invoke GetModuleHandle,0 mov [clsHInstance],eax invoke LoadIcon,eax,9758 mov [clsHIcon],eax invoke LoadCursor,0,IDC_CROSS mov [clsHCursor],eax invoke RegisterClass,clsStyle invoke CreateWindowEx,0,splclassname,spltitlename,[wstyle],[le],[to],[wwi],[whe],[ifparent],0,[clsHInstance],0 mov [newhwnd],eax cmp [cflag],1 jne noconfig invoke CreateWindowEx,0,stname,sabout,WS_CHILD+WS_VISIBLE,460,0,172,302,[newhwnd],3961,[clsHInstance],0 mov [hmess],eax invoke CreateWindowEx,0,stname,0,SS_BITMAP+SS_SUNKEN+WS_CHILD+WS_VISIBLE,0,0,454,302,[newhwnd],3962,[clsHInstance],0 mov [newhwnd],eax invoke CreateFontIndirect,lfHeight mov [HNewFont],eax invoke SendMessage,[hmess],WM_SETFONT,[HNewFont],1 noconfig: invoke GetDC,[newhwnd] mov [MyDC],eax invoke CreateDIBSection,[MyDC],bhead,0,tut,0,0 mov [HBitmap],eax invoke CreateCompatibleDC,[MyDC] mov [CoDC],eax invoke SelectObject,[CoDC],[HBitmap] mov [OBitmap],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event1name mov [ehndl],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event2name mov [chndl],eax invoke CreateEvent,0,0,0,event3name mov [dhndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr1Proc,0,0,Thr1ID mov [t1hndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr2Proc,0,0,Thr2ID mov [t2hndl],eax invoke CreateThread,0,0,Thr3Proc,0,0,Thr3ID mov [t3hndl],eax invoke GetCurrentProcess invoke SetPriorityClass,eax,REALTIME_PRIORITY_CLASS invoke SetThreadPriority,[t1hndl],THREAD_PRIORITY_TIME_CRITICAL call pusk msg_loop: invoke GetMessage,msHWND,0,0,0 or eax,eax jz end_loop invoke DispatchMessage,msHWND jmp msg_loop end_loop: invoke SelectObject,[CoDC],[OBitmap] invoke DeleteObject,[HBitmap] invoke DeleteDC,[CoDC] invoke ReleaseDC,[newhwnd],[MyDC] invoke CloseHandle,[ehndl] invoke CloseHandle,[chndl] invoke CloseHandle,[dhndl] invoke CloseHandle,[t1hndl] invoke CloseHandle,[t2hndl] invoke CloseHandle,[t3hndl] invoke DeleteObject,[HNewFont] invoke ExitProcess,0 proc WndProc, hwnd,wmsg,wparam,lparam push ebx esi edi cmp [wmsg],WM_DESTROY je wmdestroy cmp [wmsg],WM_LBUTTONDOWN je ldown cmp [wmsg],WM_RBUTTONDOWN je rdown cmp [wmsg],WM_KEYDOWN je keypressed invoke DefWindowProc,[hwnd],[wmsg],[wparam],[lparam] jmp finish ldown: call coords fdivp st1,st0 fstp [size] call pusk jmp my rdown: call coords fmulp st1,st0 fstp [size] call pusk jmp my coords: mov eax,[lparam] mov [tempx],ax shr eax,16 mov edx,[he] sub dx,ax mov [tempy],dx finit fld [step] fild [tempx] fmul st0,st1 fld [labsc] faddp st1,st0 fstp [absc] fild [tempy] fmulp st1,st0 fld [bordi] faddp st1,st0 fstp [ordi] fld [size] fld1 fadd st0,st0 retn pusk: cld finit fild [wi] ;wi fld [size] ;size wi fdivrp st1,st0 ;size/wi fld st0 ;step step fstp [step] ;step fld1 ;1 step fld1 ;1 1 step fadd st0,st1 ;2 1 step fild [wi] ;wi 2 1 step fsub st0,st2 ;wi-1 2 1 step fdiv st0,st1 ;(wi-1)/2 2 1 step fmul st0,st3 ;(wi-1)/2*step 2 1 step fld [absc] ;absc (wi-1)/2*step 2 1 step fsub st0,st1 ;labsc (wi-1)/2*step 2 1 step fstp [labsc] ;(wi-1)/2*step 2 1 step fstp st0 ;2 1 step fild [he] ;he 2 1 step fsub st0,st2 ;he-1 2 1 step fdiv st0,st1 ;(he-1)/2 2 1 step fmul st0,st3 ;(he-1)/2*step 2 1 step fld [ordi] ;ordi (he-1)/2*step 2 1 step fsub st0,st1 ;bordi (he-1)/2*step 2 1 step fstp [bordi] ;(he-1)/2*step 2 1 step finit invoke SetEvent,[chndl] invoke SetEvent,[dhndl] retn keypressed: cmp [wparam],VK_LEFT jne noleft mov [Direction],1 jmp my noleft: cmp [wparam],VK_RIGHT jne noright mov [Direction],2 jmp my noright: cmp [wparam],VK_F1 jne nof1 finit fld [absc1] fstp [absc] fld [ordi1] fstp [ordi] fld [size1] fstp [size] call pusk jmp my nof1: cmp [wparam],VK_F2 jne nof2 finit fld [absc2] fstp [absc] fld [ordi2] fstp [ordi] fld [size2] fstp [size] call pusk jmp my nof2: cmp [wparam],VK_F3 jne nof3 finit fld [absc3] fstp [absc] fld [ordi3] fstp [ordi] fld [size3] fstp [size] call pusk jmp my nof3: cmp [wparam],VK_F4 jne nof4 finit fld [absc4] fstp [absc] fld [ordi4] fstp [ordi] fld [size4] fstp [size] call pusk jmp my nof4: cmp [wparam],VK_F5 jne nof5 finit fld [absc5] fstp [absc] fld [ordi5] fstp [ordi] fld [size5] fstp [size] call pusk jmp my nof5: cmp [wparam],VK_F6 jne nof6 mov [whatpal],palet jmp my nof6: cmp [wparam],VK_F7 jne nof7 mov [whatpal],qalet jmp my nof7: cmp [wparam],VK_F12 jne nof12 mov [iter],1048560 invoke SetEvent,[chndl] invoke SetEvent,[dhndl] jmp my nof12: cmp [wparam],VK_INSERT jne noins invoke GetOpenFileName,ofn cmp eax,0 je my invoke CreateFile,snam,GENERIC_READ,FILE_SHARE_READ,0,OPEN_EXISTING,0,0 mov [hfile],eax invoke ReadFile,[hfile],absc,10,hows,0 invoke ReadFile,[hfile],ordi,10,hows,0 invoke ReadFile,[hfile],size,10,hows,0 invoke CloseHandle,[hfile] call pusk jmp my noins: cmp [wparam],VK_END jne noend invoke GetSaveFileName,ofn cmp eax,0 je my invoke CreateFile,snam,GENERIC_WRITE,0,0,CREATE_ALWAYS,FILE_ATTRIBUTE_NORMAL,0 mov [hfile],eax invoke WriteFile,[hfile],absc,10,hows,0 invoke WriteFile,[hfile],ordi,10,hows,0 invoke WriteFile,[hfile],size,10,hows,0 invoke CloseHandle,[hfile] jmp my noend: cmp [wparam],VK_ESCAPE jne my wmdestroy: invoke PostQuitMessage,0 my: xor eax,eax finish: pop edi esi ebx ret endp proc Thr1Proc,Paramx align 16 again: cmp [Direction],1 je revers cld mov esi,[whatpal] mov edi,esi lodsd mov ecx,254 repe movsd stosd jmp endchoice revers: std mov esi,[whatpal] add esi,1016 mov edi,esi lodsd mov ecx,254 repe movsd stosd cld endchoice: invoke SetDIBColorTable,[CoDC],0,256,[whatpal] ; invoke WaitForSingleObject,[ehndl],16 invoke DwmFlush invoke BitBlt,[MyDC],0,0,[wi],[he],[CoDC],0,0,SRCCOPY jmp again endp proc Thr2Proc, paramx align 16 agaj: invoke WaitForSingleObject,[chndl],-1 finit mov [y1],0 mov edi,[tut] mov ebx,255 fld [t] ;t fld [step] ;step t vertp: mov [x1],0 fld [bordi] ;ordi step t fild [y1] ;y ordi step t fmul st0,st2 ;y*step ordi step t faddp st1,st0 ;imc step t horip: fld [labsc] ;absc imc step t fild [x1] ;x absc imc step t fmul st0,st3 ;x*step absc imc step t faddp st1,st0 ;rec imc step t fld st1 ;im rec imc step t fld st1 ;re im rec imc step t mov ecx,[iter] align 16 iterat: fld st1 ;im re im rec imc step t fmul st2,st0 ;im re im*im rec imc step t fld st1 ;re im re im*im rec imc step t fmul st2,st0 ;re im re*re im*im rec imc step t fmulp st1,st0 ;im*re re*re im*im rec imc step t fld st1 ;re*re im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st3 ;re*re+im*im im*re re*re im*im rec imc step t fcomip st7 ;im*re re*re im*im rec imc step t ja nook fadd st0,st0 ;im*re+im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st4 ;imnew re*re im*im rec imc step t fxch st2 ;im*im re*re imnew rec imc step t fsubp st1,st0 ;re*re-im*im imnew rec imc step t fadd st0,st2 ;renew imnew rec imc step t loop iterat mov dl,255 jmp nexxt nook: fstp st0 mov eax,ecx xor edx,edx div ebx nexxt: mov al,dl stosb fstp st0 fstp st0 fstp st0 inc [x1] mov eax,[wi] cmp [x1],eax jb horip fstp st0 add edi,[wi] inc [y1] inc [y1] mov eax,[he] cmp [y1],eax jb vertp mov [iter],40080 jmp agaj endp proc Thr3Proc, paramx align 16 agaj2: invoke WaitForSingleObject,[dhndl],-1 finit mov [y2],1 mov edi,[tut] add edi,[wi] mov ebx,255 fld [t] ;t fld [step] ;step t vertp2: mov [x2],0 fld [bordi] ;ordi step t fild [y2] ;y ordi step t fmul st0,st2 ;y*step ordi step t faddp st1,st0 ;imc step t horip2: fld [labsc] ;absc imc step t fild [x2] ;x absc imc step t fmul st0,st3 ;x*step absc imc step t faddp st1,st0 ;rec imc step t fld st1 ;im rec imc step t fld st1 ;re im rec imc step t mov ecx,[iter] align 16 iterat2: fld st1 ;im re im rec imc step t fmul st2,st0 ;im re im*im rec imc step t fld st1 ;re im re im*im rec imc step t fmul st2,st0 ;re im re*re im*im rec imc step t fmulp st1,st0 ;im*re re*re im*im rec imc step t fld st1 ;re*re im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st3 ;re*re+im*im im*re re*re im*im rec imc step t fcomip st7 ;im*re re*re im*im rec imc step t ja nook2 fadd st0,st0 ;im*re+im*re re*re im*im rec imc step t fadd st0,st4 ;imnew re*re im*im rec imc step t fxch st2 ;im*im re*re imnew rec imc step t fsubp st1,st0 ;re*re-im*im imnew rec imc step t fadd st0,st2 ;renew imnew rec imc step t loop iterat2 mov dl,255 jmp nexxt2 nook2: fstp st0 mov eax,ecx xor edx,edx div ebx nexxt2: mov al,dl stosb fstp st0 fstp st0 fstp st0 inc [x2] mov eax,[wi] cmp [x2],eax jb horip2 fstp st0 add edi,[wi] inc [y2] inc [y2] mov eax,[he] cmp [y2],eax jb vertp2 mov [iter],40080 jmp agaj2 endp section '.idata' import data readable writeable library kernel,'KERNEL32.DLL',\ user,'USER32.DLL',\ gdi,'GDI32.DLL',\ ddllgg,'COMDLG32.DLL',\ dwmapi,'DWMAPI.DLL' import kernel,\ GetModuleHandle,'GetModuleHandleA',\ GetCommandLine,'GetCommandLineA',\ CreateMutex,'CreateMutexA',\ CreateThread,'CreateThread',\ CreateEvent,'CreateEventA',\ SetEvent,'SetEvent',\ CreateFile,'CreateFileA',\ ReadFile,'ReadFile',\ WriteFile,'WriteFile',\ WaitForSingleObject,'WaitForSingleObject',\ CloseHandle,'CloseHandle',\ GetLastError,'GetLastError',\ GetCurrentProcess,'GetCurrentProcess',\ SetPriorityClass,'SetPriorityClass',\ SetThreadPriority,'SetThreadPriority',\ ExitProcess,'ExitProcess' import user,\ RegisterClass,'RegisterClassA',\ CreateWindowEx,'CreateWindowExA',\ DefWindowProc,'DefWindowProcA',\ GetMessage,'GetMessageA',\ SendMessage,'SendMessageA',\ DispatchMessage,'DispatchMessageA',\ LoadCursor,'LoadCursorA',\ LoadIcon,'LoadIconA',\ GetDC,'GetDC',\ ReleaseDC,'ReleaseDC',\ GetWindowRect,'GetWindowRect',\ EnumDisplaySettings,'EnumDisplaySettingsA',\ GetSystemMetrics,'GetSystemMetrics',\ PostQuitMessage,'PostQuitMessage' import gdi,\ CreateDIBSection,'CreateDIBSection',\ CreateCompatibleDC,'CreateCompatibleDC',\ SelectObject,'SelectObject',\ DeleteObject,'DeleteObject',\ DeleteDC,'DeleteDC',\ CreateFontIndirect,'CreateFontIndirectA',\ SetDIBColorTable,'SetDIBColorTable',\ BitBlt,'BitBlt' import ddllgg,\ GetOpenFileName,'GetOpenFileNameA',\ GetSaveFileName,'GetSaveFileNameA' import dwmapi,\ DwmFlush,'DwmFlush' section '.data' data readable writeable absc dt 0.23215767853857 ordi dt -0.54953856716295 size dt 0.000000000008 t dt 10000000000000.0 iter dd 40080 absc1 dt -0.8274339775534058 ordi1 dt 0.1863544535074837 size1 dt 0.000000000000023 absc2 dt -0.839415805050327289052 ordi2 dt 0.223484686429087973440 size2 dt -0.00000000000014 absc3 dt -0.7849958448296 ordi3 dt -0.14659449428125 size3 dt 0.000000000035 absc4 dt -1.1896303680411870529 ordi4 dt 0.304275733768362228928 size4 dt 0.0000000000000028 absc5 dt -0.737724728811921468701 ordi5 dt 0.289595161073595381255 size5 dt 0.00000000000024 whatpal dd palet clsStyle dd 0 clsLpfnWndProc dd WndProc clsCbClsExtra dd 0 clsCbWndExtra dd 0 clsHInstance dd ? clsHIcon dd ? clsHCursor dd ? clsHbrBackground dd COLOR_BTNFACE+1 clsLpszMenuName dd 0 clsLpszClassName dd splclassname wstyle dd WS_POPUP+WS_VISIBLE ifparent dd 0 mutexname db 'fdjfyyjdsjf',0 event1name db 'iidegfkdgpe',0 event2name db 'pyoupovppve',0 event3name db 'oyiotegfgwe',0 splclassname db 'ekjgddirkul',0 spltitlename db 'Spl Mandelbrot - Settings',0 stname db 'STATIC',0 sabout db 13,10,'Key:',13,10 db 'F1-F5 - Images',13,10 db 'F6,F7 - palettes',13,10 db 'arrows - direction',13,10 db 'Esc - Exit',13,10 db 'Ins - Loading',13,10 db 'End - preservation',13,10,13,10 db 'Mouse buttons:',13,10 db 'left - increase',13,10 db 'right - reduction',13,10,13,10 db 'Author site:',13,10 db 'https://splushka.narod.ru/',0 lfHeight dd -14 lfWidth dd 0 lfEscapement dd 0 lfOrientation dd 0 lfWeight dd FW_NORMAL lfItalic db 0 lfUnderline db 0 lfStrikeOut db 0 lfCharSet db RUSSIAN_CHARSET lfOutPrecision db OUT_TT_PRECIS lfClipPrecision db CLIP_DEFAULT_PRECIS lfQuality db PROOF_QUALITY lfPitchAndFamily db FIXED_PITCH+FF_MODERN lfFaceName db 'Courier New',0 Direction dd 1 seed1 dw 0 seed2 dw 0 cont dw 8405h gbs dd 0 sds dd 127 dtp dd 255 cflag dd 0 le dd 0 to dd 0 ofn dd 76 hWndOwner dd 0 hInstance dd 0 lpstrFilter dd sfilter lpstrCustomFilter dd 0 nMaxCustFilter dd 0 nFilterIndex dd 0 lpstrFile dd snam nMaxFile dd 1024 lpstrFileTitle dd 0 nMaxFileTitle dd 0 lpstrInitialDir dd 0 lpstrTitle dd 0 Flags dd OFN_LONGNAMES+OFN_HIDEREADONLY+OFN_OVERWRITEPROMPT+OFN_FILEMUSTEXIST+OFN_PATHMUSTEXIST nFileOffset dw 0 nFileExtension dw 0 lpstrDefExt dd exte lCustData dd 0 lpfnHook dd 0 lpTemplateName dd 0 sfilter db '*.plu params file \(^o^)/',0,'*.plu',0,0 exte db 'plu' bhead dd 40 wi dd ? he dd ? dw 1 dw 8 dd 0 proizv dd ? dd 2834 dd 2834 dd 0 dd 0 palet rd 256 qalet rd 256 HBitmap rd 1 OBitmap rd 1 MyDC rd 1 CoDC rd 1 Thr1ID rd 1 Thr2ID rd 1 Thr3ID rd 1 msHWND rd 1 msMESSAGE rd 1 msWPARAM rd 1 msLPARAM rd 1 msTIME rd 1 msPT rd 2 newhwnd rd 1 ehndl rd 1 chndl rd 1 dhndl rd 1 t1hndl rd 1 t2hndl rd 1 t3hndl rd 1 spleft rd 1 sptop rd 1 spright rd 1 spbottom rd 1 dmDeviceName rb 32 dmSpecVersion rw 1 dmDriverVersion rw 1 dmSize rw 1 dmDriverExtra rw 1 dmFields rd 1 dmOrientation rw 1 dmPaperSize rw 1 dmPaperLength rw 1 dmPaperWidth rw 1 dmScale rw 1 dmCopies rw 1 dmDefaultSource rw 1 dmPrintQuality rw 1 dmColor rw 1 dmDuplex rw 1 dmYResolution rw 1 dmTTOption rw 1 dmCollate rw 1 dmFormName rb 32 dmLogPixels rw 1 dmBitsPerPel rd 1 dmPelsWidth rd 1 dmPelsHeight rd 1 dmDisplayFlags rd 1 dmDisplayFrequency rd 1 wwi rd 1 whe rd 1 valg rd 1 valb rd 1 x1 rd 1 y1 rd 1 x2 rd 1 y2 rd 1 tut rd 1 step rt 1 labsc rt 1 bordi rt 1 HNewFont rd 1 hmess rd 1 snam rb 1024 hfile rd 1 hows rd 1 tempx rw 1 tempy rw 1 ERROR_ALREADY_EXISTS=183 SRCCOPY=00CC0020h IDI_ASTERISK=32516 IDC_CROSS=32515 WS_POPUP=080000000h WS_VISIBLE=010000000h WM_DESTROY=0002h VK_LEFT=025h VK_RIGHT=027h VK_ESCAPE=01Bh COLOR_BTNFACE=15 WS_CHILD=040000000h SM_CYCAPTION=4 SM_CXFIXEDFRAME=7 SM_CYFIXEDFRAME=8 WS_SYSMENU=000080000h SS_BITMAP=000Eh SS_SUNKEN=1000h WM_SETFONT=0030h REALTIME_PRIORITY_CLASS=100h THREAD_PRIORITY_TIME_CRITICAL=15 WM_LBUTTONDOWN=0201h WM_RBUTTONDOWN=0204h WM_KEYDOWN=0100h VK_F1=070h VK_F2=071h VK_F3=072h VK_F4=073h VK_F5=074h VK_F6=075h VK_F7=076h VK_F12=07Bh VK_INSERT=02Dh OPEN_EXISTING=3 FILE_SHARE_READ=00000001h GENERIC_READ=80000000h VK_END=023h FILE_ATTRIBUTE_NORMAL=080h CREATE_ALWAYS=2 GENERIC_WRITE=40000000h FW_NORMAL=400 RUSSIAN_CHARSET=204 OUT_TT_PRECIS=4 CLIP_DEFAULT_PRECIS=0 PROOF_QUALITY=2 FIXED_PITCH=1 FF_MODERN=30h OFN_LONGNAMES=200000h OFN_HIDEREADONLY=000004h OFN_OVERWRITEPROMPT=000002h OFN_FILEMUSTEXIST=001000h OFN_PATHMUSTEXIST=000800h RT_ICON=3 RT_GROUP_ICON=14 LANG_NEUTRAL=0 </syntaxhighlight> ad9m2qs6hcc06xpan2pj7a2ffphn36j 0 8633 41320 41271 2026-06-29T14:17:48Z Slavust 9295 додане посилання на наступний розділ 41320 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|прикладі]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> <div class="mdframed"> Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|Закони Ньютона}} 8y2zxk1dympwifdrylfe6q6k66mjquq 0 8641 41319 41317 2026-06-29T14:16:04Z Slavust 9295 Повний переклад розділу 41319 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|center|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 3]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 3]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|}} aix0xyi7yhl6ksrsi1uu228bs31obvp