Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта Субтитри Обговорення субтитрів Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 0 8668 41507 2026-11-01T16:26:23Z Slavust 9295 Переклад наступного розділу. Вичитка, форматування та зображення у процесі. 41507 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі. == Робота пов’язана з векторами, тому ми можемо спочатку розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Ми можемо вибрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (який може бути додатним або від’ємним). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається так: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{align*}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. Розгляньмо як приклад роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли ящик рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]){reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work1d”}. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work1d.png|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Ми можемо записати довжину вектора переміщення як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{align*}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на коробку, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work1d”}. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. Якою буде робота порівняно з тією, що виконана силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення від <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (яку ми обчислили вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> у <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, яка змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> і <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{align*}</math> як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work1d”}, де зображено силу, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_3</math> уздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work1dvarying.png|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума роботи, виконаної за кожне переміщення: <math display="block">\begin{align*} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{align*}</math> Якби замість 3 відрізків у нас було <math display="inline">N</math> відрізків, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{align*}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – це нескінченно малий вектор переміщення (довжини <math display="inline">dx</math>) у напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення? [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Сила, що діє з боку пружини на тіло, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{align*} \vec F(x) = -kx \hat x \end{align*}</math> і спрямована в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring”}, де початок координат розташований у точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу, виконану силою, на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{align*} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Щоб визначити роботу, яку брусок виконав на пружині, нам потрібно визначити силу <math display="inline">\vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x)</math>, яку прикладену до пружини бруском. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, що діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{align*} \vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{align*}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{align*} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{align*}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована в бік, протилежний напрямку переміщення, тож робота має бути від’ємною. </div> <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}, а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). [[File:figures/WorkEnergy/workangle.png|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] {#fig:workenergy:work1d} Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{align*}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}. <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, яка паралельна мотузці, використаній для тяжіння ящика. Хто виконав більше роботи над ящиком? # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work2d”}, ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що, як правило, робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work2d.png|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами, показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workfriction”}. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. [[File:figures/WorkEnergy/workfriction.png|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, якщо дивитися зверху.]] {#fig:workenergy:workfriction} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Сила кінетичного тертя завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме негативну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою кінетичного тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{align*} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{align*}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована в протилежному напрямку до вектора переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180{\degree}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{align*} W = \vec f_k \cdot\vec d = f_k d \cos\theta = -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати два вектори переміщення так: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{align*}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною й у зворотному напрямку до переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох ділянках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{align*}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя на другій ділянці шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{align*}</math> Більше, ніж робота, виконана вздовж ділянки 1. Це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. Порівняйте роботу, виконану силою тяжіння ящика, на двох можливих шляхах. [[File:figures/WorkEnergy/workgravity.png|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] {#fig:workenergy:workgravity} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Ми можемо скористатися системою координат, у якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g = -mg \hat y \end{align*}</math> Вона спрямована в напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{align*}</math> А потім можемо визначити роботу: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{align*}</math> Вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від відстані по горизонталі <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, який ми розбиваємо на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{align*}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення горизонтальної ділянки. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{align*}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося прикладу [[#ex:workenergy:workfriction|<math display="block">ex:workenergy:workfriction</math>]], оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]] {reference- type=“ref” reference=“fig:workenergy:slidecheckpoint”}. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:figures/WorkEnergy/slidecheckpoint.png|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] {#fig:workenergy:slidecheckpoint} Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила: виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (сила нормальної реакції виконує нульову роботу, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. Це проілюстровано на рисунку [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgeneral”}, де показано довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та силу <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). Загалом робота, виконана силою, що діє на тіло, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху, яким воно рухалося. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workgeneral.png|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи загалом однакова: ми розбиваємо шлях на малі прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:dldiagram”}), і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума роботи на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/elementoflengthdl.png|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, які ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) по конкретному шляху, який ми вибрали, переходячи від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Це називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola.png|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись по параболічній траєкторії <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola”}. Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), а напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, нам потрібно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок вздовж траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> у цій точці, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola_dr”}. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola_dr.png|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{align*}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, згідно з якою інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, якщо ми знаємо значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{align*} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{align*}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє нам визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{align*} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{align*}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\ left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Це легко перевірити, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Сумарна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «сумарну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботу, виконану кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що сумарна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити для будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, який розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workincline”}. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що ящик рухається з постійною швидкістю вгору по похилій площині. Яка сумарна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>? <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workincline.png|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають угору по похилій площині.]] </div> <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, застосована сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована в напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із вибраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:figures/WorkEnergy/workincline_fbd.png|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] {#fig:workenergy:workincline_fbd} З урахуванням нашої системи координат вектор переміщення визначається так: <math display="block">\begin{align*} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{align*}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (та, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{align*} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Тепер перейдемо до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана застосованою силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{align*} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{align*}</math> Таким чином, сумарна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{align*}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми знайшли, що сумарна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, сумарна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що якщо сумарна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, то цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли сумарна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: DELETE # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} нас попросили знайти '''сумарну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти сумарну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що сумарна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про сумарну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, сумарна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Сумарна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. '''DELETE''' '''DELETE''' DELETE </div> <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg стоїть на горизонтальній поверхні. До коробки застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². Що з наведеного нижче має найбільшу величину? # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Сумарна робота, виконана над ящиком. </div> <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати сумарну роботу, виконану над об’єктом, на який діють кілька сил. Як ми бачили в попередньому розділі, сумарна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням; якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді сумарна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цьому розділі ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити сумарну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, у просторі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:kepath”}. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:figures/WorkEnergy/kepath.png|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] {#fig:workenergy:kepath} Сумарну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> І, в загальному, це складний для обчислення інтеграл при довільній траєкторії. Наша мета – знайти спосіб обчислення цього інтеграла шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має таку властивість: <math display="block">\begin{align*} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{align*}</math> Тобто нам потрібно буде лише обчислити <math display="inline">K</math> у кінцевих точках шляху, щоб визначити значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати інтеграл для роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{align*} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{align*}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{align*}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не на швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{align*} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{align*}</math> де можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. І, таким чином, ми можемо записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{align*} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{align*}</math> Тоді інтеграл для сумарної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{align*}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по компоненту <math display="inline">x</math> швидкості становить: <math display="block">\begin{align*} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{align*}</math> Таким чином, ми можемо записати інтеграл сумарної роботи як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{align*}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Таким чином, ми досягли бажаного результату, а саме: ми знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити сумарну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку шляху <math display="inline">v_A</math> і швидкість наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то сумарна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова кінетична енергія). Важливо зазначити, що ми визначили кінетичну енергію таким чином, щоб вона дорівнювала виконаній сумарній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має бажану властивість дорівнювати сумарній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між виконаною сумарною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоча ми розглянули кінетичну енергію як спосіб обчислення інтеграла для визначення сумарної роботи, якщо ви знаєте значення сумарної роботи, виконаної над тілом, тоді для обчислення зміни швидкості тіла можна скористатися теоремою роботи-енергії. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що можна перетворити одну форму енергії в іншу. Теорема про роботу-енергію каже нам, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано сумарну роботу <math display="inline">W</math>. Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву швидкість: <math display="block">\begin{align*} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі[[#chap:ApplyingNewtonsLaws|<math display="block">chap:ApplyingNewtonsLaws</math>]] {reference-type=“ref” reference=“chap:ApplyingNewtonsLaws”} у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}, де ми розв’язали диференціальне рівняння, щоб знайти швидкість. Наш перший крок – це обчислення сумарної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло залишає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, сумарна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:spring”} як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, це дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні 1.18 {reference-type [[#fig:workenergy:spring3|]]=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Сумарна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F + W_f \end{align*}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{align*} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в бік, протилежний руху), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{align*}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу над блоком, зменшуючи його кінетичну енергію. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб розглянути це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка втрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то ця робота була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається так: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, мабуть, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю 1000 {W}$ споживає «електричну енергію» зі швидкістю 1000 {J}$ на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, що виділяється внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46e4{J}</math> на секунду і перетворює її у роботу, яку виконує автомобіль, і на тепло. <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу? # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{align*} W = P t \end{align*}</math> Потім, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдивою, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими буде час або потужність (тобто швидкість більша, якщо на автомобіль витрачається більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо маса автомобіля більша). </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви виявили, що вам потрібно застосовувати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. Яку потужність ви витрачаєте, штовхаючи ящик?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Нам потрібно обчислити швидкість, з якою сила <math display="inline">\vec F</math>, яку ви застосовуєте до ящика, виконує роботу. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, робота, виконана на цій відстані <math display="inline">d</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{align*}</math> Отже, потужність, що відповідає роботі, виконаній за цей проміжок часу, становить: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> Це досить загальний результат для швидкості, з якою сила виконує роботу, коли вона діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]]{reference-type =“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки <math display="inline">v</math> є постійною швидкістю, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову ж таки, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''сумарна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> odtplxckz9gcx1lzin990hh37kn0w7c 41508 41507 2026-11-01T16:56:47Z Slavust 9295 /* Робота в одному вимірі: редагування, зображення, форматування */ 41508 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі. == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, яка змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> і <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{align*}</math> як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work1d”}, де зображено силу, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_3</math> уздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work1dvarying.png|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> у положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума роботи, виконаної за кожне переміщення: <math display="block">\begin{align*} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{align*}</math> Якби замість 3 відрізків у нас було <math display="inline">N</math> відрізків, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{align*}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – це нескінченно малий вектор переміщення (довжини <math display="inline">dx</math>) у напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення? [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Сила, що діє з боку пружини на тіло, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{align*} \vec F(x) = -kx \hat x \end{align*}</math> і спрямована в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring”}, де початок координат розташований у точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу, виконану силою, на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{align*} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Щоб визначити роботу, яку брусок виконав на пружині, нам потрібно визначити силу <math display="inline">\vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x)</math>, яку прикладену до пружини бруском. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, що діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{align*} \vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{align*}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{align*} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}\mkern 2mu\vphantom{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{align*}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована в бік, протилежний напрямку переміщення, тож робота має бути від’ємною. </div> <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}, а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). [[File:figures/WorkEnergy/workangle.png|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] {#fig:workenergy:work1d} Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{align*}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}. <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, яка паралельна мотузці, використаній для тяжіння ящика. Хто виконав більше роботи над ящиком? # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work2d”}, ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що, як правило, робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work2d.png|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами, показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workfriction”}. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. [[File:figures/WorkEnergy/workfriction.png|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, якщо дивитися зверху.]] {#fig:workenergy:workfriction} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Сила кінетичного тертя завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме негативну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою кінетичного тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{align*} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{align*}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована в протилежному напрямку до вектора переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180{\degree}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{align*} W = \vec f_k \cdot\vec d = f_k d \cos\theta = -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати два вектори переміщення так: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{align*}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною й у зворотному напрямку до переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох ділянках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{align*}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя на другій ділянці шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{align*}</math> Більше, ніж робота, виконана вздовж ділянки 1. Це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. Порівняйте роботу, виконану силою тяжіння ящика, на двох можливих шляхах. [[File:figures/WorkEnergy/workgravity.png|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] {#fig:workenergy:workgravity} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Ми можемо скористатися системою координат, у якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g = -mg \hat y \end{align*}</math> Вона спрямована в напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{align*}</math> А потім можемо визначити роботу: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{align*}</math> Вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від відстані по горизонталі <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, який ми розбиваємо на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{align*}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення горизонтальної ділянки. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{align*}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося прикладу [[#ex:workenergy:workfriction|<math display="block">ex:workenergy:workfriction</math>]], оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]] {reference- type=“ref” reference=“fig:workenergy:slidecheckpoint”}. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:figures/WorkEnergy/slidecheckpoint.png|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] {#fig:workenergy:slidecheckpoint} Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила: виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (сила нормальної реакції виконує нульову роботу, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. Це проілюстровано на рисунку [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgeneral”}, де показано довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та силу <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). Загалом робота, виконана силою, що діє на тіло, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху, яким воно рухалося. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workgeneral.png|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи загалом однакова: ми розбиваємо шлях на малі прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:dldiagram”}), і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума роботи на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/elementoflengthdl.png|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, які ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) по конкретному шляху, який ми вибрали, переходячи від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Це називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola.png|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись по параболічній траєкторії <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola”}. Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), а напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, нам потрібно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок вздовж траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> у цій точці, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola_dr”}. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola_dr.png|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{align*}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, згідно з якою інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, якщо ми знаємо значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{align*} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{align*}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє нам визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{align*} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{align*}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\ left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Це легко перевірити, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Сумарна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «сумарну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботу, виконану кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що сумарна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити для будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, який розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workincline”}. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що ящик рухається з постійною швидкістю вгору по похилій площині. Яка сумарна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>? <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workincline.png|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають угору по похилій площині.]] </div> <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, застосована сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована в напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із вибраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:figures/WorkEnergy/workincline_fbd.png|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] {#fig:workenergy:workincline_fbd} З урахуванням нашої системи координат вектор переміщення визначається так: <math display="block">\begin{align*} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{align*}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (та, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{align*} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Тепер перейдемо до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана застосованою силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{align*} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{align*}</math> Таким чином, сумарна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{align*}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми знайшли, що сумарна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, сумарна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що якщо сумарна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, то цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли сумарна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: DELETE # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} нас попросили знайти '''сумарну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти сумарну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що сумарна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про сумарну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, сумарна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Сумарна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. '''DELETE''' '''DELETE''' DELETE </div> <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg стоїть на горизонтальній поверхні. До коробки застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². Що з наведеного нижче має найбільшу величину? # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Сумарна робота, виконана над ящиком. </div> <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати сумарну роботу, виконану над об’єктом, на який діють кілька сил. Як ми бачили в попередньому розділі, сумарна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням; якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді сумарна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цьому розділі ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити сумарну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, у просторі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:kepath”}. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:figures/WorkEnergy/kepath.png|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] {#fig:workenergy:kepath} Сумарну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> І, в загальному, це складний для обчислення інтеграл при довільній траєкторії. Наша мета – знайти спосіб обчислення цього інтеграла шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має таку властивість: <math display="block">\begin{align*} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{align*}</math> Тобто нам потрібно буде лише обчислити <math display="inline">K</math> у кінцевих точках шляху, щоб визначити значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати інтеграл для роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{align*} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{align*}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{align*}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не на швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{align*} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{align*}</math> де можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. І, таким чином, ми можемо записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{align*} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{align*}</math> Тоді інтеграл для сумарної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{align*}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по компоненту <math display="inline">x</math> швидкості становить: <math display="block">\begin{align*} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{align*}</math> Таким чином, ми можемо записати інтеграл сумарної роботи як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{align*}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Таким чином, ми досягли бажаного результату, а саме: ми знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити сумарну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку шляху <math display="inline">v_A</math> і швидкість наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то сумарна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова кінетична енергія). Важливо зазначити, що ми визначили кінетичну енергію таким чином, щоб вона дорівнювала виконаній сумарній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має бажану властивість дорівнювати сумарній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між виконаною сумарною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоча ми розглянули кінетичну енергію як спосіб обчислення інтеграла для визначення сумарної роботи, якщо ви знаєте значення сумарної роботи, виконаної над тілом, тоді для обчислення зміни швидкості тіла можна скористатися теоремою роботи-енергії. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що можна перетворити одну форму енергії в іншу. Теорема про роботу-енергію каже нам, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано сумарну роботу <math display="inline">W</math>. Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву швидкість: <math display="block">\begin{align*} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі[[#chap:ApplyingNewtonsLaws|<math display="block">chap:ApplyingNewtonsLaws</math>]] {reference-type=“ref” reference=“chap:ApplyingNewtonsLaws”} у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}, де ми розв’язали диференціальне рівняння, щоб знайти швидкість. Наш перший крок – це обчислення сумарної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло залишає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, сумарна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:spring”} як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, це дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні 1.18 {reference-type [[#fig:workenergy:spring3|]]=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Сумарна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F + W_f \end{align*}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{align*} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в бік, протилежний руху), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{align*}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу над блоком, зменшуючи його кінетичну енергію. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб розглянути це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка втрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то ця робота була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається так: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, мабуть, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю 1000 {W}$ споживає «електричну енергію» зі швидкістю 1000 {J}$ на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, що виділяється внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46e4{J}</math> на секунду і перетворює її у роботу, яку виконує автомобіль, і на тепло. <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу? # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{align*} W = P t \end{align*}</math> Потім, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдивою, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими буде час або потужність (тобто швидкість більша, якщо на автомобіль витрачається більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо маса автомобіля більша). </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви виявили, що вам потрібно застосовувати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. Яку потужність ви витрачаєте, штовхаючи ящик?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Нам потрібно обчислити швидкість, з якою сила <math display="inline">\vec F</math>, яку ви застосовуєте до ящика, виконує роботу. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, робота, виконана на цій відстані <math display="inline">d</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{align*}</math> Отже, потужність, що відповідає роботі, виконаній за цей проміжок часу, становить: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> Це досить загальний результат для швидкості, з якою сила виконує роботу, коли вона діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]]{reference-type =“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки <math display="inline">v</math> є постійною швидкістю, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову ж таки, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''сумарна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 19cw7tceujzn6dynkir2pl68eynryr5 41509 41508 2026-11-01T17:36:12Z Slavust 9295 /* Робота в одному вимірі – змінна сила */ Редагування, форматування, зображення, виправлення рівнянь 41509 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі. == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}, а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). [[File:figures/WorkEnergy/workangle.png|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] {#fig:workenergy:work1d} Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{align*}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workangle”}. <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, яка паралельна мотузці, використаній для тяжіння ящика. Хто виконав більше роботи над ящиком? # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:work2d”}, ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що, як правило, робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/work2d.png|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами, показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workfriction”}. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. [[File:figures/WorkEnergy/workfriction.png|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, якщо дивитися зверху.]] {#fig:workenergy:workfriction} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Сила кінетичного тертя завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме негативну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою кінетичного тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{align*} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{align*}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована в протилежному напрямку до вектора переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180{\degree}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{align*} W = \vec f_k \cdot\vec d = f_k d \cos\theta = -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{align*}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати два вектори переміщення так: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{align*}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною й у зворотному напрямку до переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох ділянках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки, становить: <math display="block">\begin{align*} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{align*}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя на другій ділянці шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{align*}</math> Більше, ніж робота, виконана вздовж ділянки 1. Це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. Порівняйте роботу, виконану силою тяжіння ящика, на двох можливих шляхах. [[File:figures/WorkEnergy/workgravity.png|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] {#fig:workenergy:workgravity} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Ми можемо скористатися системою координат, у якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g = -mg \hat y \end{align*}</math> Вона спрямована в напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{align*}</math> А потім можемо визначити роботу: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{align*}</math> Вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від відстані по горизонталі <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, який ми розбиваємо на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{align*}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення горизонтальної ділянки. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{align*}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося прикладу [[#ex:workenergy:workfriction|<math display="block">ex:workenergy:workfriction</math>]], оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]] {reference- type=“ref” reference=“fig:workenergy:slidecheckpoint”}. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:figures/WorkEnergy/slidecheckpoint.png|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] {#fig:workenergy:slidecheckpoint} Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила: виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (сила нормальної реакції виконує нульову роботу, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. Це проілюстровано на рисунку [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgeneral”}, де показано довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та силу <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). Загалом робота, виконана силою, що діє на тіло, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху, яким воно рухалося. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workgeneral.png|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи загалом однакова: ми розбиваємо шлях на малі прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:dldiagram”}), і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума роботи на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/elementoflengthdl.png|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, які ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) по конкретному шляху, який ми вибрали, переходячи від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Це називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola.png|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись по параболічній траєкторії <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola”}. Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), а напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, нам потрібно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок вздовж траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> у цій точці, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola_dr”}. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola_dr.png|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{align*}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, згідно з якою інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, якщо ми знаємо значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{align*} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{align*}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє нам визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{align*} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{align*}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\ left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Це легко перевірити, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Сумарна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «сумарну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботу, виконану кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що сумарна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити для будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, який розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workincline”}. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що ящик рухається з постійною швидкістю вгору по похилій площині. Яка сумарна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>? <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workincline.png|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають угору по похилій площині.]] </div> <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, застосована сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована в напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із вибраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:figures/WorkEnergy/workincline_fbd.png|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] {#fig:workenergy:workincline_fbd} З урахуванням нашої системи координат вектор переміщення визначається так: <math display="block">\begin{align*} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{align*}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (та, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{align*} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Тепер перейдемо до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана застосованою силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{align*} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{align*}</math> Таким чином, сумарна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{align*}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми знайшли, що сумарна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, сумарна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що якщо сумарна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, то цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли сумарна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: DELETE # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} нас попросили знайти '''сумарну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти сумарну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що сумарна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про сумарну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, сумарна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Сумарна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. '''DELETE''' '''DELETE''' DELETE </div> <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg стоїть на горизонтальній поверхні. До коробки застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². Що з наведеного нижче має найбільшу величину? # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Сумарна робота, виконана над ящиком. </div> <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати сумарну роботу, виконану над об’єктом, на який діють кілька сил. Як ми бачили в попередньому розділі, сумарна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням; якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді сумарна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цьому розділі ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити сумарну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, у просторі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:kepath”}. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:figures/WorkEnergy/kepath.png|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] {#fig:workenergy:kepath} Сумарну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> І, в загальному, це складний для обчислення інтеграл при довільній траєкторії. Наша мета – знайти спосіб обчислення цього інтеграла шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має таку властивість: <math display="block">\begin{align*} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{align*}</math> Тобто нам потрібно буде лише обчислити <math display="inline">K</math> у кінцевих точках шляху, щоб визначити значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати інтеграл для роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{align*} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{align*}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{align*}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не на швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{align*} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{align*}</math> де можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. І, таким чином, ми можемо записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{align*} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{align*}</math> Тоді інтеграл для сумарної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{align*}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по компоненту <math display="inline">x</math> швидкості становить: <math display="block">\begin{align*} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{align*}</math> Таким чином, ми можемо записати інтеграл сумарної роботи як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{align*}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Таким чином, ми досягли бажаного результату, а саме: ми знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити сумарну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку шляху <math display="inline">v_A</math> і швидкість наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то сумарна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова кінетична енергія). Важливо зазначити, що ми визначили кінетичну енергію таким чином, щоб вона дорівнювала виконаній сумарній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має бажану властивість дорівнювати сумарній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між виконаною сумарною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоча ми розглянули кінетичну енергію як спосіб обчислення інтеграла для визначення сумарної роботи, якщо ви знаєте значення сумарної роботи, виконаної над тілом, тоді для обчислення зміни швидкості тіла можна скористатися теоремою роботи-енергії. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що можна перетворити одну форму енергії в іншу. Теорема про роботу-енергію каже нам, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано сумарну роботу <math display="inline">W</math>. Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву швидкість: <math display="block">\begin{align*} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі[[#chap:ApplyingNewtonsLaws|<math display="block">chap:ApplyingNewtonsLaws</math>]] {reference-type=“ref” reference=“chap:ApplyingNewtonsLaws”} у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}, де ми розв’язали диференціальне рівняння, щоб знайти швидкість. Наш перший крок – це обчислення сумарної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло залишає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, сумарна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:spring”} як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, це дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні 1.18 {reference-type [[#fig:workenergy:spring3|]]=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Сумарна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F + W_f \end{align*}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{align*} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в бік, протилежний руху), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{align*}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу над блоком, зменшуючи його кінетичну енергію. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб розглянути це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка втрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то ця робота була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається так: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, мабуть, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю 1000 {W}$ споживає «електричну енергію» зі швидкістю 1000 {J}$ на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, що виділяється внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46e4{J}</math> на секунду і перетворює її у роботу, яку виконує автомобіль, і на тепло. <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу? # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{align*} W = P t \end{align*}</math> Потім, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдивою, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими буде час або потужність (тобто швидкість більша, якщо на автомобіль витрачається більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо маса автомобіля більша). </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви виявили, що вам потрібно застосовувати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. Яку потужність ви витрачаєте, штовхаючи ящик?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Нам потрібно обчислити швидкість, з якою сила <math display="inline">\vec F</math>, яку ви застосовуєте до ящика, виконує роботу. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, робота, виконана на цій відстані <math display="inline">d</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{align*}</math> Отже, потужність, що відповідає роботі, виконаній за цей проміжок часу, становить: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> Це досить загальний результат для швидкості, з якою сила виконує роботу, коли вона діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]]{reference-type =“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки <math display="inline">v</math> є постійною швидкістю, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову ж таки, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''сумарна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 65aydg988jn6idc6vdu8iiitoh8oprs 41510 41509 2026-11-01T18:32:05Z Slavust 9295 /* Робота в кількох вимірах */ - у процесі редагування та виправлення 41510 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі. == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. Порівняйте роботу, виконану силою тяжіння ящика, на двох можливих шляхах. [[File:figures/WorkEnergy/workgravity.png|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] {#fig:workenergy:workgravity} <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Ми можемо скористатися системою координат, у якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgravity”}. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g = -mg \hat y \end{align*}</math> Вона спрямована в напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{align*}</math> А потім можемо визначити роботу: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{align*}</math> Вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від відстані по горизонталі <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, який ми розбиваємо на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{align*} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{align*}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{align*} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{align*}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення горизонтальної ділянки. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{align*}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося прикладу [[#ex:workenergy:workfriction|<math display="block">ex:workenergy:workfriction</math>]], оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]] {reference- type=“ref” reference=“fig:workenergy:slidecheckpoint”}. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:figures/WorkEnergy/slidecheckpoint.png|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] {#fig:workenergy:slidecheckpoint} Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила: виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (сила нормальної реакції виконує нульову роботу, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. Це проілюстровано на рисунку [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workgeneral”}, де показано довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та силу <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). Загалом робота, виконана силою, що діє на тіло, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху, яким воно рухалося. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workgeneral.png|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи загалом однакова: ми розбиваємо шлях на малі прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:dldiagram”}), і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума роботи на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/elementoflengthdl.png|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, які ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) по конкретному шляху, який ми вибрали, переходячи від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Це називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola.png|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись по параболічній траєкторії <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola”}. Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), а напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, нам потрібно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок вздовж траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> у цій точці, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workparabola_dr”}. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workparabola_dr.png|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{align*}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, згідно з якою інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, якщо ми знаємо значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{align*} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{align*}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє нам визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{align*} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{align*}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{align*} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\ left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Це легко перевірити, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{align*}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Сумарна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «сумарну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботу, виконану кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що сумарна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити для будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, який розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:workincline”}. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що ящик рухається з постійною швидкістю вгору по похилій площині. Яка сумарна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>? <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/workincline.png|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають угору по похилій площині.]] </div> <br /> <br /> <span class="sans-serif">Рішення</span><br /> ----- Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку ми визначаємо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, застосована сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована в напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із вибраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:figures/WorkEnergy/workincline_fbd.png|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] {#fig:workenergy:workincline_fbd} З урахуванням нашої системи координат вектор переміщення визначається так: <math display="block">\begin{align*} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{align*}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (та, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{align*} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{align*}</math> Тепер перейдемо до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана застосованою силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{align*}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{align*} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{align*}</math> Таким чином, сумарна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{align*}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми знайшли, що сумарна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, сумарна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що якщо сумарна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, то цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли сумарна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: DELETE # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} нас попросили знайти '''сумарну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти сумарну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що сумарна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про сумарну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:networkramp”} ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, сумарна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Сумарна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. '''DELETE''' '''DELETE''' DELETE </div> <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg стоїть на горизонтальній поверхні. До коробки застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². Що з наведеного нижче має найбільшу величину? # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Сумарна робота, виконана над ящиком. </div> <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати сумарну роботу, виконану над об’єктом, на який діють кілька сил. Як ми бачили в попередньому розділі, сумарна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням; якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді сумарна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цьому розділі ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити сумарну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, у просторі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:kepath”}. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:figures/WorkEnergy/kepath.png|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] {#fig:workenergy:kepath} Сумарну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> І, в загальному, це складний для обчислення інтеграл при довільній траєкторії. Наша мета – знайти спосіб обчислення цього інтеграла шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має таку властивість: <math display="block">\begin{align*} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{align*}</math> Тобто нам потрібно буде лише обчислити <math display="inline">K</math> у кінцевих точках шляху, щоб визначити значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати інтеграл для роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{align*} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{align*}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{align*} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{align*}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не на швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{align*} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{align*}</math> де можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. І, таким чином, ми можемо записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{align*} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{align*}</math> Тоді інтеграл для сумарної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{align*}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по компоненту <math display="inline">x</math> швидкості становить: <math display="block">\begin{align*} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{align*}</math> Таким чином, ми можемо записати інтеграл сумарної роботи як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{align*}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Таким чином, ми досягли бажаного результату, а саме: ми знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити сумарну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку шляху <math display="inline">v_A</math> і швидкість наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то сумарна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> у точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова кінетична енергія). Важливо зазначити, що ми визначили кінетичну енергію таким чином, щоб вона дорівнювала виконаній сумарній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має бажану властивість дорівнювати сумарній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між виконаною сумарною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоча ми розглянули кінетичну енергію як спосіб обчислення інтеграла для визначення сумарної роботи, якщо ви знаєте значення сумарної роботи, виконаної над тілом, тоді для обчислення зміни швидкості тіла можна скористатися теоремою роботи-енергії. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що можна перетворити одну форму енергії в іншу. Теорема про роботу-енергію каже нам, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано сумарну роботу <math display="inline">W</math>. Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву швидкість: <math display="block">\begin{align*} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі[[#chap:ApplyingNewtonsLaws|<math display="block">chap:ApplyingNewtonsLaws</math>]] {reference-type=“ref” reference=“chap:ApplyingNewtonsLaws”} у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}, де ми розв’язали диференціальне рівняння, щоб знайти швидкість. Наш перший крок – це обчислення сумарної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло залишає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:applyingnewtonslaws:blockspring”}). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, сумарна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:spring”} як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, це дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні 1.18 {reference-type [[#fig:workenergy:spring3|]]=“ref” reference=“fig:workenergy:spring2”}. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. [[File:figures/WorkEnergy/spring.png|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] {#fig:workenergy:spring} Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Сумарна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{align*} W^{net} = W_F + W_f \end{align*}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{align*} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{align*}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в бік, протилежний руху), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{align*}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{align*} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу над блоком, зменшуючи його кінетичну енергію. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб розглянути це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка втрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то ця робота була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається так: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, мабуть, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю 1000 {W}$ споживає «електричну енергію» зі швидкістю 1000 {J}$ на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, що виділяється внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46e4{J}</math> на секунду і перетворює її у роботу, яку виконує автомобіль, і на тепло. <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу? # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{align*} W = P t \end{align*}</math> Потім, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдивою, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими буде час або потужність (тобто швидкість більша, якщо на автомобіль витрачається більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо маса автомобіля більша). </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви виявили, що вам потрібно застосовувати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. Яку потужність ви витрачаєте, штовхаючи ящик?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Нам потрібно обчислити швидкість, з якою сила <math display="inline">\vec F</math>, яку ви застосовуєте до ящика, виконує роботу. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, робота, виконана на цій відстані <math display="inline">d</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{align*}</math> Отже, потужність, що відповідає роботі, виконаній за цей проміжок часу, становить: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> Це досить загальний результат для швидкості, з якою сила виконує роботу, коли вона діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]]{reference-type =“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки <math display="inline">v</math> є постійною швидкістю, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову ж таки, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''сумарна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> blfeg9hjy56jqagfqtlvw0rc90vyrey