Вікіпідручник ukwikibooks https://uk.wikibooks.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Медіа Спеціальна Обговорення Користувач Обговорення користувача Вікіпідручник Обговорення Вікіпідручника Файл Обговорення файлу MediaWiki Обговорення MediaWiki Шаблон Обговорення шаблону Довідка Обговорення довідки Категорія Обговорення категорії Полиця Обговорення полиці Рецепт Обговорення рецепта Субтитри Обговорення субтитрів Модуль Обговорення модуля Подія Обговорення події 10 4146 41573 30318 2026-11-08T09:36:20Z Ziv 8857 ([[c:GR|GR]]) [[File:Go 99.png]] → [[File:Go 99.svg]] → File replacement: jpg/png/gif to svg vector image ([[c::c:GR]]) 41573 wikitext text/x-wiki ==Parameters== This template can be used to make [[Go (board game)|go]] board, with stones and various other marks. For example, {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background:transparent" |-valign="middle" |<pre><nowiki>{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}}</nowiki></pre> |produces |{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}} |} * The first parameters are one or two letters codes (sometimes three), that specify which tile is used. Though a preceding space is OK, be sure '''''not''''' to leave a space after that code. * On the last line, the "24" parameter is the size of each tile (in pixels), it should preferably be even for correct centering of cells. * The last four parameters ''|u=u|d=d|l=l|r=r'' specify which borders should be drawn (up, down, left and right). For instance, to draw an upper right corner, the final code is simply ''|u=u|r=r'' (and remember to place the hoshi point accordingly). NB: The last four parameters are not used in the 19×19 Goban template. ==Static stones and Joseki series == {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go b.png|24x24px]]<br />b |[[Image:Go bT.png|24x24px]]<br />bT |[[Image:Go b1.png|24x24px]]<br />b1 | ... |[[Image:Go b9.png|24x24px]]<br />b9 |-valign="top" |[[Image:Go w.png|24x24px]]<br />w |[[Image:Go wT.png|24x24px]]<br />wT |[[Image:Go w1.png|24x24px]]<br />w1 | ... |[[Image:Go w9.png|24x24px]]<br />w9 |} These stone series are available as black (''b'') and white (''w''). They can be marked by a triangle (T) or a number from 1 to 9 (allowing short sequences). ==Fuseki series== {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go 00.png|24x24px]]<br />00 |[[Image:Go 02.png|24x24px]]<br />02 |[[Image:Go 04.png|24x24px]]<br />04 | ... |[[Image:Go 96.png|24x24px]]<br />96 |[[Image:Go 98.png|24x24px]]<br />98 |-valign="top" |[[Image:Go 01.png|24x24px]]<br />01 |[[Image:Go 03.png|24x24px]]<br />03 |[[Image:Go 05.png|24x24px]]<br />05 | ... |[[Image:Go 97.png|24x24px]]<br />97 |[[Image:Go 99.svg|24x24px]]<br />99 |} These 100 tiles are used for game transcription, where the numbering goes beyond 10. Even numbers are always white, and odd numbers are always black (since black gets to make the first move of the game). The numbering is limited to the 00-99 range for practical reasons, it is assumed that there will be a figure change at least every 100 play. Note the difference between ''02'' (with a leading zero) and ''b2''. ==Board and board marks== The useful marks are: * Capital letters from A to I, create the corresponding marks; * An hyphen or a small x creates the hoshi point. * A Capital X creates an X-mark. * A lowercase c creates a small red circle. The available tiles are: {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="border:none;text-align:center;background:transparent" |-align="center" valign="middle" | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go A.png|24x24px]]<br /><tt>A</tt> |[[Image:Go B.png|24x24px]]<br /><tt>B</tt> |[[Image:Go C.png|24x24px]]<br /><tt>C</tt> |[[Image:Go D.png|24x24px]]<br /><tt>D</tt> |-valign="top" |[[Image:Go E.png|24x24px]]<br /><tt>E</tt> |[[Image:Go F.png|24x24px]]<br /><tt>F</tt> |[[Image:Go G.png|24x24px]]<br /><tt>G</tt> |[[Image:Go H.png|24x24px]]<br /><tt>H</tt> |-valign="top" |[[Image:Go I.png|24x24px]]<br /><tt>I</tt> | | |[[Image:Go X.png|24x24px]]<br /><tt>X</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ul.png|24x24px]]<br /><tt>ul</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go ur.png|24x24px]]<br /><tt>ur</tt> |-valign="top" |[[Image:Go l.png|24x24px]]<br /><tt>l</tt> |[[Image:Blank Go gameboard.png|24x24px]] |[[Image:Go -.png|24x24px]]<br /><tt>-</tt> |[[Image:Go r.png|24x24px]]<br /><tt>r</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dl.png|24x24px]]<br /><tt>dl</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go dr.png|24x24px]]<br /><tt>dr</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ulc.png|24x24px]]<br /><tt>ulc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go urc.png|24x24px]]<br /><tt>urc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go lc.png|24x24px]]<br /><tt>lc</tt> |[[Image:Go c.png|24x24px]]<br /><tt>c</tt> |[[Image:Go -c.png|24x24px]]<br /><tt>-c</tt> |[[Image:Go rc.png|24x24px]]<br /><tt>rc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dlc.png|24x24px]]<br /><tt>dlc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go drc.png|24x24px]]<br /><tt>drc</tt> |} | |-align="center" valign="top" |Mark letters (and X) are capital. |Empty board tiles |Circled board positions<br />(just add a "c" to the end) |} Note: the appropriate cell codes for the borders are generated automatically by default, so you can leave these parameters blank, and fill only the position of stones, or circled empty positions. <noinclude>[[Category:Go templates|{{PAGENAME}}]]</noinclude> eb07d5nw73svlls65q4u98lrxbuh9n2 41574 41573 2026-11-08T10:00:23Z Ziv 8857 ([[c:GR|GR]]) [[File:Go 96.png]] → [[File:Go 96.svg]] → File replacement: jpg/png/gif to svg vector image ([[c::c:GR]]) 41574 wikitext text/x-wiki ==Parameters== This template can be used to make [[Go (board game)|go]] board, with stones and various other marks. For example, {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background:transparent" |-valign="middle" |<pre><nowiki>{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}}</nowiki></pre> |produces |{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}} |} * The first parameters are one or two letters codes (sometimes three), that specify which tile is used. Though a preceding space is OK, be sure '''''not''''' to leave a space after that code. * On the last line, the "24" parameter is the size of each tile (in pixels), it should preferably be even for correct centering of cells. * The last four parameters ''|u=u|d=d|l=l|r=r'' specify which borders should be drawn (up, down, left and right). For instance, to draw an upper right corner, the final code is simply ''|u=u|r=r'' (and remember to place the hoshi point accordingly). NB: The last four parameters are not used in the 19×19 Goban template. ==Static stones and Joseki series == {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go b.png|24x24px]]<br />b |[[Image:Go bT.png|24x24px]]<br />bT |[[Image:Go b1.png|24x24px]]<br />b1 | ... |[[Image:Go b9.png|24x24px]]<br />b9 |-valign="top" |[[Image:Go w.png|24x24px]]<br />w |[[Image:Go wT.png|24x24px]]<br />wT |[[Image:Go w1.png|24x24px]]<br />w1 | ... |[[Image:Go w9.png|24x24px]]<br />w9 |} These stone series are available as black (''b'') and white (''w''). They can be marked by a triangle (T) or a number from 1 to 9 (allowing short sequences). ==Fuseki series== {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go 00.png|24x24px]]<br />00 |[[Image:Go 02.png|24x24px]]<br />02 |[[Image:Go 04.png|24x24px]]<br />04 | ... |[[Image:Go 96.svg|24x24px]]<br />96 |[[Image:Go 98.png|24x24px]]<br />98 |-valign="top" |[[Image:Go 01.png|24x24px]]<br />01 |[[Image:Go 03.png|24x24px]]<br />03 |[[Image:Go 05.png|24x24px]]<br />05 | ... |[[Image:Go 97.png|24x24px]]<br />97 |[[Image:Go 99.svg|24x24px]]<br />99 |} These 100 tiles are used for game transcription, where the numbering goes beyond 10. Even numbers are always white, and odd numbers are always black (since black gets to make the first move of the game). The numbering is limited to the 00-99 range for practical reasons, it is assumed that there will be a figure change at least every 100 play. Note the difference between ''02'' (with a leading zero) and ''b2''. ==Board and board marks== The useful marks are: * Capital letters from A to I, create the corresponding marks; * An hyphen or a small x creates the hoshi point. * A Capital X creates an X-mark. * A lowercase c creates a small red circle. The available tiles are: {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="border:none;text-align:center;background:transparent" |-align="center" valign="middle" | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go A.png|24x24px]]<br /><tt>A</tt> |[[Image:Go B.png|24x24px]]<br /><tt>B</tt> |[[Image:Go C.png|24x24px]]<br /><tt>C</tt> |[[Image:Go D.png|24x24px]]<br /><tt>D</tt> |-valign="top" |[[Image:Go E.png|24x24px]]<br /><tt>E</tt> |[[Image:Go F.png|24x24px]]<br /><tt>F</tt> |[[Image:Go G.png|24x24px]]<br /><tt>G</tt> |[[Image:Go H.png|24x24px]]<br /><tt>H</tt> |-valign="top" |[[Image:Go I.png|24x24px]]<br /><tt>I</tt> | | |[[Image:Go X.png|24x24px]]<br /><tt>X</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ul.png|24x24px]]<br /><tt>ul</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go ur.png|24x24px]]<br /><tt>ur</tt> |-valign="top" |[[Image:Go l.png|24x24px]]<br /><tt>l</tt> |[[Image:Blank Go gameboard.png|24x24px]] |[[Image:Go -.png|24x24px]]<br /><tt>-</tt> |[[Image:Go r.png|24x24px]]<br /><tt>r</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dl.png|24x24px]]<br /><tt>dl</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go dr.png|24x24px]]<br /><tt>dr</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ulc.png|24x24px]]<br /><tt>ulc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go urc.png|24x24px]]<br /><tt>urc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go lc.png|24x24px]]<br /><tt>lc</tt> |[[Image:Go c.png|24x24px]]<br /><tt>c</tt> |[[Image:Go -c.png|24x24px]]<br /><tt>-c</tt> |[[Image:Go rc.png|24x24px]]<br /><tt>rc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dlc.png|24x24px]]<br /><tt>dlc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go drc.png|24x24px]]<br /><tt>drc</tt> |} | |-align="center" valign="top" |Mark letters (and X) are capital. |Empty board tiles |Circled board positions<br />(just add a "c" to the end) |} Note: the appropriate cell codes for the borders are generated automatically by default, so you can leave these parameters blank, and fill only the position of stones, or circled empty positions. <noinclude>[[Category:Go templates|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 4q6rnsf1qcg70mqamdkf2hgws9i56nd 41575 41574 2026-11-08T10:46:44Z Ziv 8857 ([[c:GR|GR]]) [[File:Go 97.png]] → [[File:Go 97.svg]] → File replacement: jpg/png/gif to svg vector image ([[c::c:GR]]) 41575 wikitext text/x-wiki ==Parameters== This template can be used to make [[Go (board game)|go]] board, with stones and various other marks. For example, {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background:transparent" |-valign="middle" |<pre><nowiki>{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}}</nowiki></pre> |produces |{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}} |} * The first parameters are one or two letters codes (sometimes three), that specify which tile is used. Though a preceding space is OK, be sure '''''not''''' to leave a space after that code. * On the last line, the "24" parameter is the size of each tile (in pixels), it should preferably be even for correct centering of cells. * The last four parameters ''|u=u|d=d|l=l|r=r'' specify which borders should be drawn (up, down, left and right). For instance, to draw an upper right corner, the final code is simply ''|u=u|r=r'' (and remember to place the hoshi point accordingly). NB: The last four parameters are not used in the 19×19 Goban template. ==Static stones and Joseki series == {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go b.png|24x24px]]<br />b |[[Image:Go bT.png|24x24px]]<br />bT |[[Image:Go b1.png|24x24px]]<br />b1 | ... |[[Image:Go b9.png|24x24px]]<br />b9 |-valign="top" |[[Image:Go w.png|24x24px]]<br />w |[[Image:Go wT.png|24x24px]]<br />wT |[[Image:Go w1.png|24x24px]]<br />w1 | ... |[[Image:Go w9.png|24x24px]]<br />w9 |} These stone series are available as black (''b'') and white (''w''). They can be marked by a triangle (T) or a number from 1 to 9 (allowing short sequences). ==Fuseki series== {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go 00.png|24x24px]]<br />00 |[[Image:Go 02.png|24x24px]]<br />02 |[[Image:Go 04.png|24x24px]]<br />04 | ... |[[Image:Go 96.svg|24x24px]]<br />96 |[[Image:Go 98.png|24x24px]]<br />98 |-valign="top" |[[Image:Go 01.png|24x24px]]<br />01 |[[Image:Go 03.png|24x24px]]<br />03 |[[Image:Go 05.png|24x24px]]<br />05 | ... |[[Image:Go 97.svg|24x24px]]<br />97 |[[Image:Go 99.svg|24x24px]]<br />99 |} These 100 tiles are used for game transcription, where the numbering goes beyond 10. Even numbers are always white, and odd numbers are always black (since black gets to make the first move of the game). The numbering is limited to the 00-99 range for practical reasons, it is assumed that there will be a figure change at least every 100 play. Note the difference between ''02'' (with a leading zero) and ''b2''. ==Board and board marks== The useful marks are: * Capital letters from A to I, create the corresponding marks; * An hyphen or a small x creates the hoshi point. * A Capital X creates an X-mark. * A lowercase c creates a small red circle. The available tiles are: {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="border:none;text-align:center;background:transparent" |-align="center" valign="middle" | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go A.png|24x24px]]<br /><tt>A</tt> |[[Image:Go B.png|24x24px]]<br /><tt>B</tt> |[[Image:Go C.png|24x24px]]<br /><tt>C</tt> |[[Image:Go D.png|24x24px]]<br /><tt>D</tt> |-valign="top" |[[Image:Go E.png|24x24px]]<br /><tt>E</tt> |[[Image:Go F.png|24x24px]]<br /><tt>F</tt> |[[Image:Go G.png|24x24px]]<br /><tt>G</tt> |[[Image:Go H.png|24x24px]]<br /><tt>H</tt> |-valign="top" |[[Image:Go I.png|24x24px]]<br /><tt>I</tt> | | |[[Image:Go X.png|24x24px]]<br /><tt>X</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ul.png|24x24px]]<br /><tt>ul</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go ur.png|24x24px]]<br /><tt>ur</tt> |-valign="top" |[[Image:Go l.png|24x24px]]<br /><tt>l</tt> |[[Image:Blank Go gameboard.png|24x24px]] |[[Image:Go -.png|24x24px]]<br /><tt>-</tt> |[[Image:Go r.png|24x24px]]<br /><tt>r</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dl.png|24x24px]]<br /><tt>dl</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go dr.png|24x24px]]<br /><tt>dr</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ulc.png|24x24px]]<br /><tt>ulc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go urc.png|24x24px]]<br /><tt>urc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go lc.png|24x24px]]<br /><tt>lc</tt> |[[Image:Go c.png|24x24px]]<br /><tt>c</tt> |[[Image:Go -c.png|24x24px]]<br /><tt>-c</tt> |[[Image:Go rc.png|24x24px]]<br /><tt>rc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dlc.png|24x24px]]<br /><tt>dlc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go drc.png|24x24px]]<br /><tt>drc</tt> |} | |-align="center" valign="top" |Mark letters (and X) are capital. |Empty board tiles |Circled board positions<br />(just add a "c" to the end) |} Note: the appropriate cell codes for the borders are generated automatically by default, so you can leave these parameters blank, and fill only the position of stones, or circled empty positions. <noinclude>[[Category:Go templates|{{PAGENAME}}]]</noinclude> g7jb4axmjbxyw7b2tzlaei0hrp7apzr 41576 41575 2026-11-08T11:02:04Z Ziv 8857 ([[c:GR|GR]]) [[File:Go 98.png]] → [[File:Go 98.svg]] → File replacement: jpg/png/gif to svg vector image ([[c::c:GR]]) 41576 wikitext text/x-wiki ==Parameters== This template can be used to make [[Go (board game)|go]] board, with stones and various other marks. For example, {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="background:transparent" |-valign="middle" |<pre><nowiki>{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}}</nowiki></pre> |produces |{{Goban 5x5|= | | | | | b|= | b|bT| A|-c| b|= | | c|w2| | |= | w| -| w| b| w|= | | | w| w| |= |24|u=u|d=d|l=l|r=r}} |} * The first parameters are one or two letters codes (sometimes three), that specify which tile is used. Though a preceding space is OK, be sure '''''not''''' to leave a space after that code. * On the last line, the "24" parameter is the size of each tile (in pixels), it should preferably be even for correct centering of cells. * The last four parameters ''|u=u|d=d|l=l|r=r'' specify which borders should be drawn (up, down, left and right). For instance, to draw an upper right corner, the final code is simply ''|u=u|r=r'' (and remember to place the hoshi point accordingly). NB: The last four parameters are not used in the 19×19 Goban template. ==Static stones and Joseki series == {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go b.png|24x24px]]<br />b |[[Image:Go bT.png|24x24px]]<br />bT |[[Image:Go b1.png|24x24px]]<br />b1 | ... |[[Image:Go b9.png|24x24px]]<br />b9 |-valign="top" |[[Image:Go w.png|24x24px]]<br />w |[[Image:Go wT.png|24x24px]]<br />wT |[[Image:Go w1.png|24x24px]]<br />w1 | ... |[[Image:Go w9.png|24x24px]]<br />w9 |} These stone series are available as black (''b'') and white (''w''). They can be marked by a triangle (T) or a number from 1 to 9 (allowing short sequences). ==Fuseki series== {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go 00.png|24x24px]]<br />00 |[[Image:Go 02.png|24x24px]]<br />02 |[[Image:Go 04.png|24x24px]]<br />04 | ... |[[Image:Go 96.svg|24x24px]]<br />96 |[[Image:Go 98.svg|24x24px]]<br />98 |-valign="top" |[[Image:Go 01.png|24x24px]]<br />01 |[[Image:Go 03.png|24x24px]]<br />03 |[[Image:Go 05.png|24x24px]]<br />05 | ... |[[Image:Go 97.svg|24x24px]]<br />97 |[[Image:Go 99.svg|24x24px]]<br />99 |} These 100 tiles are used for game transcription, where the numbering goes beyond 10. Even numbers are always white, and odd numbers are always black (since black gets to make the first move of the game). The numbering is limited to the 00-99 range for practical reasons, it is assumed that there will be a figure change at least every 100 play. Note the difference between ''02'' (with a leading zero) and ''b2''. ==Board and board marks== The useful marks are: * Capital letters from A to I, create the corresponding marks; * An hyphen or a small x creates the hoshi point. * A Capital X creates an X-mark. * A lowercase c creates a small red circle. The available tiles are: {|border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" style="border:none;text-align:center;background:transparent" |-align="center" valign="middle" | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go A.png|24x24px]]<br /><tt>A</tt> |[[Image:Go B.png|24x24px]]<br /><tt>B</tt> |[[Image:Go C.png|24x24px]]<br /><tt>C</tt> |[[Image:Go D.png|24x24px]]<br /><tt>D</tt> |-valign="top" |[[Image:Go E.png|24x24px]]<br /><tt>E</tt> |[[Image:Go F.png|24x24px]]<br /><tt>F</tt> |[[Image:Go G.png|24x24px]]<br /><tt>G</tt> |[[Image:Go H.png|24x24px]]<br /><tt>H</tt> |-valign="top" |[[Image:Go I.png|24x24px]]<br /><tt>I</tt> | | |[[Image:Go X.png|24x24px]]<br /><tt>X</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ul.png|24x24px]]<br /><tt>ul</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go u.png|24x24px]]<br /><tt>u</tt> |[[Image:Go ur.png|24x24px]]<br /><tt>ur</tt> |-valign="top" |[[Image:Go l.png|24x24px]]<br /><tt>l</tt> |[[Image:Blank Go gameboard.png|24x24px]] |[[Image:Go -.png|24x24px]]<br /><tt>-</tt> |[[Image:Go r.png|24x24px]]<br /><tt>r</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dl.png|24x24px]]<br /><tt>dl</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go d.png|24x24px]]<br /><tt>d</tt> |[[Image:Go dr.png|24x24px]]<br /><tt>dr</tt> |} | {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="8" style="border:1px solid #AAAAAA;border-collapse:collapse;text-align:center" |-valign="top" |[[Image:Go ulc.png|24x24px]]<br /><tt>ulc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go uc.png|24x24px]]<br /><tt>uc</tt> |[[Image:Go urc.png|24x24px]]<br /><tt>urc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go lc.png|24x24px]]<br /><tt>lc</tt> |[[Image:Go c.png|24x24px]]<br /><tt>c</tt> |[[Image:Go -c.png|24x24px]]<br /><tt>-c</tt> |[[Image:Go rc.png|24x24px]]<br /><tt>rc</tt> |-valign="top" |[[Image:Go dlc.png|24x24px]]<br /><tt>dlc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go dc.png|24x24px]]<br /><tt>dc</tt> |[[Image:Go drc.png|24x24px]]<br /><tt>drc</tt> |} | |-align="center" valign="top" |Mark letters (and X) are capital. |Empty board tiles |Circled board positions<br />(just add a "c" to the end) |} Note: the appropriate cell codes for the borders are generated automatically by default, so you can leave these parameters blank, and fill only the position of stones, or circled empty positions. <noinclude>[[Category:Go templates|{{PAGENAME}}]]</noinclude> 8qj6gf8hi8n0mf0eff9re5jpxu8bqad 0 8428 41522 40046 2026-11-07T17:05:55Z Slavust 9295 Нумерація зображень, задач, узагальнення форматування 41522 wikitext text/x-wiki <span id="науковий-метод-і-фізика"></span> '''Цілі навчання:''' * Розуміння наукового методу. * Визначення сфери застосування фізики. * Розуміння різниці між теорією та моделлю. * Отримання уявлення про те, як мислить фізик. '''Наукова теорія…''' # повинна пояснювати фізичний світ, і може бути або не бути експериментально підтверджуваною. # доводить коректність наших моделей і має бути експериментально підтверджуваною. # описує фізичний світ і має піддаватися експериментальній перевірці. # має спростувати інші теорії, і може бути або не бути експериментально підтверджуваною. ----- <span id="наука-і-науковий-метод"></span> = Наука і науковий метод = Наука — це процес ''опису'' навколишнього світу. Важливо відзначити, що опис навколишнього світу — це не те саме, що ''пояснення'' світу навколо нас. Наука прагне відповісти на питання “Як?” а не питання «Чому?». Коли ми розробляємо наш опис фізичного світу, ми повинні пам’ятати цю важливу відмінність і протистояти бажанню запитати «Чому?». Науковий метод — це інструкція для створення опису фізичного світу, який кожен може оскаржити та вдосконалити, проводячи експерименти. Якщо ми створимо опис, який здатен відтворити багато спостережень, або результат багатьох різних експериментів, то ми зазвичай називаємо цей опис “Науковою теорією”. Ми можемо отримати деяке уявлення про Науковий Метод на простому прикладі. Уявіть, що ми хочемо описати, скільки часу потрібно для того, щоб тенісний м’яч досяг землі після того, як він був відпущений з певної висоти. Один зі способів це зробити — описати, скільки часу потрібно, щоб тенісний м’яч впав з 1 <math display="inline">m</math>, а потім описати, скільки часу потрібно, щоб тенісний м’яч впав з 2 <math display="inline">m</math> тощо. Ми могли б створити гігантську таблицю, яка показує, скільки часу потрібно тенісному м’ячу, скинутому з будь-якої заданої висоти. Тоді хтось зможе провести експеримент, аби виміряти, скільки часу потрібно тенісному м’ячу, щоб впасти з 1 <math display="inline">m</math> або 2 <math display="inline">m</math> і подивитися, чи їх вимірювання узгоджується з табличними значеннями. Якби ми зібрали описи для всіх можливих висот, ми б отримали дійсну і перевірювану наукову теорію, яка описує, скільки часу потрібно тенісним м’ячам, щоб впасти з будь-якої висоти. Припустимо, що перспективний вчений, назвемо її Хлоя, потім прийшов і помітив, що в теорії є закономірність, яку можна описати набагато лаконічніше та узагальнено, ніж за допомогою гігантської таблиці. Зокрема, припустимо, що вона помічає, що математично час, <math display="inline">t</math>, який потрібен для того, щоб тенісний м’яч впав з висоти, <math display="inline">h</math>, є пропорційним квадратному кореню висоти: <math display="block">t \propto \sqrt{h}</math> Використаємо теорію Хлої (<math display="inline">t \propto \sqrt{h}</math>), аби визначити, наскільки більше знадобиться часу, щоб об’єкт впав з висоти 2 <math display="inline">m</math>, ніж якби він впав з 1 <math display="inline">m</math>. Коли у нас є закон пропорційності (зі знаком <math display="inline">\propto</math>), ми завжди можемо змінити його на рівність, вводячи константу, яку ми назвемо <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} t &\propto \sqrt{h} \\ \rightarrow t&=k\sqrt{h} \end{aligned}</math> Нехай <math display="inline">t_1</math> - час падіння на відстань <math display="inline">h_1=1\ m</math>, а <math display="inline">t_2</math> - час падіння на відстань <math display="inline">h_2=2\ m</math>. З урахуванням нашої невідомої константи, <math display="inline">k</math>, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} t_1 &=k\sqrt{h_1}=k \sqrt{(1\ m})\\ t_2 &=k\sqrt{h_2}=k \sqrt{(2\ m})\\ \end{aligned}</math> Беручи співвідношення, <math display="inline">\frac{t_1}{t_2}</math>, наша невідома константа <math display="inline">k</math> скасовується: <math display="block">\begin{aligned} \frac{t_1}{t_2}&=\frac{\sqrt{(1\ m)}}{\sqrt{(2\ m)}}=\frac {1}{\sqrt 2}\\ \therefore t_2 &= \sqrt {2} t_1 \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що падіння з 2 <math display="inline">m</math> займе у <math display="inline">\sqrt {2}\sim 1,41</math> рази більше часу, ніж буде з 1 <math display="inline">m</math>. «Теорія часу падіння тенісного м’яча» Хлої приваблива, тому що вона локанічна, і також дозволяє нам робити '''перевірювані прогнози'''. Тобто, використовуючи цю теорію, ми можемо передбачити, що тенісний м’яч буде падати у <math display="inline">\sqrt 2</math> рази довше з 2 <math display="inline">m</math>, ніж з 1 <math display="inline">m</math>, а далі провести експеримент для перевірки цього прогнозу. Якщо експеримент збігається з прогнозом, то ми робимо висновок, що теорія Хлої адекватно описує результат цього конкретного експерименту. Якщо експеримент не узгоджується з прогнозом - ми робимо висновок, що теорія не є адекватним описом цього експерименту, і намагаємося знайти нову теорію. Теорія Хлої також приваблива, оскільки вона може описати не тільки тенісні м’ячі , а також час, необхідний для того, щоб впали інші предмети. Тоді вчені можуть продовжити перевірку її теорії з широким діапазоном об’єктів і висоти падіння, аби побачити, чи описує теорія ці експерименти також. Неминуче вони виявлять ситуації, коли Теорія Хлої не в змозі адекватно описати час, потрібний для предметів, щоб впасти (ви можете придумати приклад?). Тоді ми розробили б нову “Теорію падаючих предметів”, яка включає теорію Хлої, що описує більшість падаючих об’єктів, і додатково, набір описів часів падіння для випадків, які не описані теорією Хлої. В ідеалі, ми б шукали нову теорію яка також у стислій формі описувала б нові явища, не описані Хлоєю. Звичайно, немає ніякої гарантії, що така теорія існувала б; це просто оптимістична надія фізиків знайти найбільш загальний і стислий опис фізичного світу. Це загальна різниця між фізикою та багатьма іншими науками. У фізиці завжди намагаються прийти до стислої теорії (наприклад, рівняння), яка може описувати багато явищ, тоді як інші науки часто дуже описові. Наприклад, немає стислої формули того, як виглядають метелики; швидше, існує гігантська колекція спостережень за різними метеликами. Цей приклад підкреслює, що застосування наукового методу є ітераційним процесом. Загалом, рецепт для застосування наукового методу наступний: # Визначте та опишіть процес, який наразі не описаний теорією. # Подивіться на схожі процеси, аби побачити, чи можна їх описати подібним чином. # Покращіть опис, щоб прийти до “Теорії”, яку можна узагальнити, аби робити прогнози. # Перевіряйте передбачення теорії на нових процесах, поки передбачення не виявиться хибним. # Вдоскональте теорію. ----- '''Заповніть пропуски:''' Фізика - це галузь науки, яка ___ поведінку Всесвіту. Займаючись фізикою, ми намагаємося відповісти на питання про те, ___ речі працюють таким чином, яким вони працюють. # пояснює # описує # як # чому ----- <span id="теорії-гіпотези-та-моделі"></span> = Теорії, гіпотези та моделі = В даному підручнику (і науці в цілому) ми вводимо відмінність у тому, що мається на увазі під «теорією», «гіпотезою» та «моделлю». Ми будемо розглядати «теорію» як набір тверджень (або рівнянь) що дає нам широкий опис, застосовний до декількох явищ і що дозволяє нам робити верифіковані прогнози. Наприклад, Теорію Хлої (<math display="inline">t \propto \sqrt{h}</math>) можна вважати теорією. Зокрема, ми не використовуємо слово «теорія» в контексті “У мене є теорія про це…” «Гіпотеза» - це наслідок теорії, який можна перевірити. З теорії Хлої ми маємо гіпотезу про те, що об’єкт впаде у <math display="inline">\sqrt {2}</math> рази швидше з <math display="inline">1\ m</math>, ніж з <math display="inline">2\ m</math>. Ми можемо сформулювати гіпотезу на основі теорії, а потім перевірити цю гіпотезу. Якщо експеримент визнає гіпотезу недійсною, тоді або теорія неправильна, або гіпотеза не узгоджується з теорією. «Модель» - це специфічний для ситуації опис явища, ''заснований на теорії'', який дозволяє зробити конкретний прогноз. Використовуючи приклад з попередньої секції, наша теорія полягає в тому, що час падіння об’єкта пропорційний квадратному кореню висоти падіння, а модель буде застосовувати цю теорію для опису падіння тенісного м’яча з висоти 4,2 <math display="inline">m</math>. З моделі ми можемо сформулювати перевірювану гіпотезу скільки часу потрібно тенісному м’ячу, щоб впасти з цієї висоти. Важливо відзначити, що модель майже завжди буде наближенням теорії, що застосовується для опису конкретного явища. Наприклад, якщо теорія Хлої дійсна лише у вакуумі, а ми використовуємо її для моделювання часу що потрібний, аби об’єкт впав на поверхню Землі, ми можемо виявити, що наша модель не узгоджується з експериментом. Ми не обов’язково зробимо висновок, що теорія є недійсною, якщо наша модель не застосувала теорію для опису явища адекватно (наприклад, забувши включити вплив опору повітря). Цей підручник познайомить вас з теоріями з класичної фізики, які були в основному встановлені та перевірені між сімнадцятим і дев’ятнадцятим століттями. Будемо вважати, що читачі цього підручника навряд чи будуть проводити експерименти, які кидають виклик цим усталеним теоріям. Основним викликом буде, з огляду на теорію, визначити модель, яка описує конкретну ситуацію, а потім випробувати цю модель. Таким чином, цей вступний курс фізики зосереджений на “занятті фізикою” як процесі правильного моделювання ситуації. '''У чому різниця між моделлю та теорією?''' «Модель» та «Теорія» іноді використовуються як взаємозамінні серед науковців. У фізиці особливо важливо розрізняти ці два терміни. Модель забезпечує негайне розуміння чогось, засноване на теорії. Наприклад, якщо ви хочете змоделювати запуск вашої іграшкової ракети в космос, ви можете запустити комп’ютерне моделювання запуску на основі різних теорій руху, які ви вивчили. У такому випадку модель - це комп’ютерне моделювання, яке описує, що відбудеться з ракетою. Ця модель залежить від різних теорій, які були широко перевірені, таких як закони руху Ньютона, динаміка рідини тощо. * «Модель» - ваша саморобна комп’ютерна симуляція ракети * «Теорія»: закони руху Ньютона, динаміка рідини За допомогою цієї аналогії ми можемо швидко побачити, що терміни «модель» та «теорія» не є взаємозамінними. Якби вони були, ми б сказали, що всі Закони руху Ньютона залежать від успіху вашої іграшкової комп’ютерної симуляції ракети! ----- '''Моделі не можуть бути науково перевірені, можуть бути перевірені лише теорії.''' # так # ні ----- <span id="боротьба-з-інтуїцією"></span> = Боротьба з інтуїцією = Важливо пам’ятати про боротьбу з інтуїцією при застосуванні наукового методу. Деякі теорії, такі як квантова механіка, є дуже нелогічними. Наприклад, в квантовій механіці об’єкт може бути описаний як такий, що перебуває у двох місцях одночасно. У Спеціальній Теорії Відносності дві людини можуть не погодитися у тому, чи сталися дві події одночасно. Ці конкретні прогнози від цих теорій не були визнані недійсними жодним експериментом. У науці немає вимоги, щоб теорія була «гарною» чи інтуїтивно зрозумілою. Єдина вимога полягає у тому, щоб теорія описувала результати експериментів. Слід подбати про те, аби не впроваджувати свої упередження в інтерпретацію теорії. Наприклад, квантова механіка насправді не передбачає, що об’єкти можуть знаходитися у двох місцях одночасно, тільки що об’єкти поводяться так, ''ніби'' вони знаходяться у двох місцях одночасно. Відомим прикладом є кіт Шредінгера, який може бути змодельований як живий й одночасно мертвий. Однак, тільки те, що ми моделюємо таким чином, ще не означає, що він дійсно живий і мертвий одночасно. <span id="сфера-застосування-фізики"></span> = Сфера застосування фізики = Фізика описує широкий спектр явищ у науці, починаючи від поведінки мікроскопічних частинок і аж до еволюції всього Всесвіту. Ми часто розрізняємо «класичну» та «сучасну» фізику залежно від того, коли теорії були розроблені, і ми можемо додатково поділити ці галузі фізики залежно від масштабу або типу явищ, які вони описують. Слово фізика походить від давньогрецької і перекладається як «природа» або «знання про природу». Метою фізики є розробка теорій, з яких можуть бути отримані математичні моделі для опису наших спостережень. Однією з амбітних цілей фізиків є розробка єдиної теорії, яка описує всю природу, замість того, щоб мати кілька теорій, що описують різні категорії явищ. Це різко контрастує з іншими галузями науки, як сказав Резерфорд: «Вся наука це або фізика, або колекціонування марок». Тобто фізики сподіваються, що існує одна-єдина математична теорія (як теорія Хлої для падіння об’єктів), що описує весь фізичний світ. Наприклад, у біології це не було б розумною метою, оскільки потрібно описати кожну живу істоту, і немає всеосяжної «теорії того, як виглядають всі живі істоти». Нині фізики змогли звузити кількість теорій, необхідних для опису всього фізичного світу, лише до трьох, що вражає (теорія гравітації, теорії сильної ядерної сили, і тепер фізики додатково об ’єднали слабку ядерну силу з електромагнетизмом, й отримали “електрослабку силу”). <span id="класична-фізика"></span> == Класична фізика == Цей підручник орієнтований на класичну фізику, що відповідає теоріям, які були розроблені до 1905 року. <span id="механіка"></span> === Механіка === Механіка описує більшу частину нашого повсякденного досвіду, наприклад, як об’єкти, в тому числі планети рухаються під впливом сили тяжіння. Ісаак Ньютон був першим, хто формально розробив теорію механіки, використовуючи його «Три закони», щоб описати поведінку об’єктів із нашого повсякденного досвіду. Його знаменита праця, опублікована в 1687 році, «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» («Принципи») також включала теорію гравітації, яка описує рух небесних тіл. Після відкриття Вільямом Гершелем у 1781 році планети Уран, астрономи помітили, що орбіта планети не була добре описана теорією Ньютона. Це призвело до того, що Урбен Левер’є (в Парижі) та Джон Кауч Адамс (в Кембриджі), замість ствердження, що теорія Ньютона була неправильною, передбачили розташування нової планети, яка порушувала орбіту Урана. Згодом Левер’є відкрив планету Нептун у 1846 році, через рік після передбачення, що розглядалося як гучне підтвердження теорії Ньютона. У 1859 році Урбен Левер’є також зазначив, що орбіта Меркурія навколо Сонця відрізняється від передбаченої теорією Ньютона. Знову ж таки, була запропонована нова планета, «Вулкан», але ця планета так і не була відкрита, і відхилення орбіти Меркурія від передбачення Ньютона залишалося незрозумілим до 1915 року, коли Альберт Ейнштейн представив нову, більш повну, теорію гравітації, яку назвали «Загальною Теорію Відносності». Це гарний приклад наукового методу; те, що відкриття Нептуна було узгоджене з теорією Ньютона, не доводить, що теорія правильна, лише те, що вона правильно описала рух Урана. Розбіжність, яка виникла при погляді на Меркурій, зрештою показала, що теорія гравітації Ньютона не дає належного опису планетарних орбіт в безпосередній близькості до дуже масивних об’єктів (Меркурій - найближча до Сонця планета). ----- '''Що показала неможливість знайти планету Вулкан?''' # Вона показала, що модель Меркурія Ньютона була правильною. # Вона показала, що теорія Ньютона не описує правильно орбіти всіх планет. # Вона показала, що технології на той час були неадекватними. # Вона показала, що загальна теорія відносності Ейнштейна була правильною. ----- <span id="електромагнетизм"></span> === Електромагнетизм === Електромагнетизм описує електричні заряди та магнетизм. Спочатку не було зрозуміло, що електрика і магнетизм пов’язані. Шарль Огюстен де Кулон опублікував у 1784 році перший опис того, як електричні заряди притягуються і відштовхуються один від одного. Магнетизм був відкритий в стародавньому світі, коли люди помітили, що камені з намагніченого магнетитового мінералу можуть притягувати залізні інструменти. У 1819 році Ерстед виявив, що рухомі електричні заряди можуть впливати на голку компаса, і були приведені кілька наступних експериментів, щоб з’ясувати, як взаємодіють магніти та рухомі електричні заряди. У 1865 році Джеймс Клерк Максвелл опублікував «Динамічну теорію Електромагнітного поля», де він вперше запропонував теорію, яка об’єднала електрику і магнетизм як дві грані одного і того ж явища. Одна з важливих концепцій теорії Максвелла полягала у тому, що світло - це електромагнітні хвилі з чітко визначеною швидкістю. Це викрило деякі потенційні проблеми з теорією, оскільки вона вимагала абсолютну систему відліку, в якій можна описати поширення світла. Експерименти наприкінці 1800-х років не змогли виявити існування цієї системи відліку. <span id="сучасна-фізика"></span> == Сучасна фізика == У 1905 році Альберт Ейнштейн опублікував три важливі статті, які закладають основу того, що ми зараз називаємо “сучасною фізикою”. Ці публікації охоплювали наступні сфери, що не були добре описані класичною фізикою: * Опис броунівського руху, який передбачав, що вся матерія складається з атомів. * Опис фотоелектричного ефекту, який мав на увазі, що світло складається з частинок. * Опис руху дуже швидких об’єктів, який передбачав, що маса еквівалентна енергії, а час і відстань є відносними поняттями. Фізики мали кардинально переформулювати нові теорії задля узгодження з описами Ейнштейна. <span id="квантова-механіка-та-фізика-елементарних-частинок"></span> === Квантова механіка та фізика елементарних частинок === Квантова механіка - це теорія, яка була розроблена у 1920-х роках для узгодження з висновком Ейнштейна про те, що світло складається з частинок (або скоріше, квантованих грудок енергії, званих квантами), і описує природу на найдрібніших масштабах. Це можна було зробити лише за рахунок відмови від детермінізму, ідеї про те, що ми можемо передбачити, як конкретні ситуації розвиватися з часом. Це призвело до теорії, яка могла забезпечити лише ''ймовірності'' того, що певні результати будуть реалізовані. Квантова механіка переросла протягом двадцятого століття у квантову теорію поля, яка призвела до Стандартної Моделі фізики елементарних частинок, що описує наше сучасне розуміння матерії через теорії електрослабкої та сильної взаємодії. <span id="спеціальна-та-загальна-теорії-відносності"></span> === Спеціальна та загальна теорії відносності === У 1905 році Ейнштейн опублікував свою «Спеціальну теорію відносності», що описує, як світло поширюється з постійною швидкістю без потреби в абсолютній системі відліку, і тим самим розв’язав проблему, введену Максвеллом. Це вимагало від фізиків розглядати простір і час як рівні (“простір-час”), а не два незалежні аспекти світу природи, що призвело до шквалу дивних, але підтверджених експериментальних прогнозів. Одним з таких прогнозів є те, що час тече повільніше для об’єктів які рухаються швидко, що було експериментально перевірено польотом точних атомних годинників на літаках і супутниках. У 1915 році Ейнштейн ще більше вдосконалив свою теорію в Загальну Теорію Відносності, яка є нашим найкращим поточним описом сили тяжіння й узгоджується з орбітою, яка не була правильно описана теорією Ньютона. ----- '''До якого з цих науково-фантастичних сюжетів можна застосувати спеціальну теорію відносності?''' # Ексцентричний дует подорожує назад у часі, щоб змінити минуле. # Астронавт, який подорожує зі світловою швидкістю протягом багатьох років, повертається додому та виявляє, що він постарів менше, ніж його сім’я на Землі. # Супергерой використовує блискавку як зброю. ----- <span id="космологія-та-астрофізика"></span> === Космологія та астрофізика === Космологія описує процеси в найбільших масштабах і в основному базується на застосуванні загальної теорії відносності до масштабів Всесвіту. Наприклад, космологія описує, як наш Всесвіт почався з великого вибуху і як великомасштабні структури, такі як галактики і скупчення галактик, сформувалися та еволюціонували в наш сучасний Всесвіт. Астрофізика зосереджена на описі формування та еволюції зірок, галактик та інших «астрофізичних об’єктів», таких як нейтронні зорі та чорні діри. [[File:PhysicsArtofModelling Galaxies in Coma cluster.jpg|thumb|'''Зображення 1.1.''' Галактика в скупченні Кома (джерело: NASA)]] <span id="астрофізика-частинок"></span> === Астрофізика частинок === Астрофізика частинок є відносно новою галуззю, яка використовує субатомні частинки, вироблені астрофізичними об’єктами, для вивчення як об’єктів, так ''і'' частинок. Наприклад, Нобелівську Премію з Фізики у 2015 році отримав Арт Макдональд (канадський фізик з університету «Квінз») за використання нейтрино[[#introduction-note1|[1]]], вироблених Сонцем, аби дізнатися про природу нейтрино і про те, як працює Сонце. <span id="мислити-як-фізик"></span> = Мислити як фізик = У певному сенсі фізику можна вважати найфундаментальнішою з наук, оскільки вона описує взаємодії найдрібніших складових матерії. В принципі, якщо можна точно описати, як протони, нейтрони та електрони взаємодіють, можна повністю описати, як мислить людський мозок. На практиці теорії фізики елементарних частинок ведуть до рівнянь, які занадто складно вирішити для систем, що включають таку кількість частинок, як людський мозок. Насправді їх занадто складно розв’язувати точно навіть для досить малих систем частинок, таких як атоми більші, ніж гелій (містить кілька протонів, нейтронів та електронів). У нас є ряд інших галузей науки, які охоплюють складні системи взаємодіючих частинок. Хімія може бути використана для опису того, що відбувається з системою, яка складається з багатьох атомів і молекул. У живій істоті занадто складно відстежувати системи атомів і молекул, тому для опису живих систем ми використовуємо Біологію. Однією з ключових якостей, необхідних для того, щоб бути ефективним фізиком, є здатність розуміти, як застосовувати теорію та розробляти модель для опису явища. Як і з будь-якою іншою навичкою, потрібна практика, щоб стати успішним у розробці моделей. Студенти, які здобули вищу освіту з фізики, таким чином, часто шукають роботу, що вимагає критичного мислення і здатності розробляти кількісні моделі. Це охоплює багато галузей поза межами фізики, таких як фінанси або великі дані. Таким чином, цей підручник намагається підкреслити практику розробки моделей, а також надає міцну основу теорій класичної фізики. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Наука намагається ''описати'' фізичний світ (вона відповідає на питання «Як?», а не «Чому?»). Науковий метод забезпечує рецепт для досягнення теорій які описують фізичний світ, і які можна перевірити експериментально. Науковий метод обов’язково є ітераційним процесом, де теорії постійно оновлюються у міру отримання нових експериментальних даних. Експеримент може лише спростувати теорію, а не підтвердити її в будь-якому загальному сенсу. Фізика охоплює широкий спектр явищ, починаючи від Всесвіту і до субатомних частинок. Класична фізика охоплює теорії, розроблені до 1905 року, коли Ейнштейн ввів необхідність Квантової Механіки та Теорій Відносності. Однією з основних цілей фізики є прихід до єдиної теорії, яка описує весь наш природний світ. Зараз фізикам потрібні три теорії для опису світу природи. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = Подумайте та дослідіть: * Яка частинка допомагає надати масу всім масивним елементарним частинкам? * Назвіть фізика! Хто першим припустив, що Всесвіт розширюється? * Перш ніж відкрити космічне мікрохвильове фонове випромінювання, вчені Арно Пензіас і Роберт Вілсон намагалися виявити радіохвилі дуже чутливими антенами. Вперше, коли вони почули послідовний, низький рівень шуму на своїх детекторах, вони виявили, що це було (здебільшого) не реліктове випромінювання. Що викликало більшу частину цього шуму? * Фізикиня Лене Хау спочатку уповільнила промінь світла до <math display="inline">17\ m/s</math>, використовуючи дуже холодний, розбавлений газ бозонів. У 2001 році вона покращила цей результат; до якої швидкості вона змогла уповільнити промінь світла? * Подумайте про дві теорії, які ви використовуєте у своєму повсякденному житті. (Наприклад, коли ми миємо руки, ми робимо це через мікробну теорію хвороби!) <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == <span id="prob:introduction:chemtrails" label="prob:introduction:chemtrails"></span> '''Задача 1.1:''' Ваш друг Мартін любить досліджувати “теорії змови”. Його улюблена включає “Хіміотраси”. Він каже вам, що уряд таємно використовує авіалайнери для розповсюдження хімічних речовин в атмосфері з якоїсь невідомої причини. # Подумайте про 2 способи об’єктивної перевірки теорії Мартіна. # Після того як ви запропонували ваш експеримент Мартіну, він стверджує, що його теорія не може бути визнана недійсною будь-яким експериментом, незалежно від того, наскільки науково суворим є експеримент. Мартін правий? <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Задача 1.1:'''<span id="soln:introduction:chemtrails" label="soln:introduction:chemtrails"></span> # Ви можете провести дослідження, аби дізнатися, чи поширює уряд хімічні речовини та спробувати з’ясувати, чому. Можна зробити вимірювання вмісту атмосфери до і після того, як пролітає авіалайнер, щоб побачити, чи з’являються будь-які несподівані хімічні речовини. # Ні, він неправий, оскільки ви щойно запропонували два експерименти, які могли б спростувати його теорію. <span id="introduction-note1"></span> [1] Нейтрино - найлегші субатомні частинки, про які ми знаємо {{Гортання сторінок||Порівняння моделі та експерименту}} 1w1svdkyshkj2phpixm66luvioyzz42 41523 41522 2026-11-07T17:09:13Z Slavust 9295 нумерація прикладів 41523 wikitext text/x-wiki <span id="науковий-метод-і-фізика"></span> '''Цілі навчання:''' * Розуміння наукового методу. * Визначення сфери застосування фізики. * Розуміння різниці між теорією та моделлю. * Отримання уявлення про те, як мислить фізик. '''Наукова теорія…''' # повинна пояснювати фізичний світ, і може бути або не бути експериментально підтверджуваною. # доводить коректність наших моделей і має бути експериментально підтверджуваною. # описує фізичний світ і має піддаватися експериментальній перевірці. # має спростувати інші теорії, і може бути або не бути експериментально підтверджуваною. ----- <span id="наука-і-науковий-метод"></span> = Наука і науковий метод = Наука — це процес ''опису'' навколишнього світу. Важливо відзначити, що опис навколишнього світу — це не те саме, що ''пояснення'' світу навколо нас. Наука прагне відповісти на питання “Як?” а не питання «Чому?». Коли ми розробляємо наш опис фізичного світу, ми повинні пам’ятати цю важливу відмінність і протистояти бажанню запитати «Чому?». Науковий метод — це інструкція для створення опису фізичного світу, який кожен може оскаржити та вдосконалити, проводячи експерименти. Якщо ми створимо опис, який здатен відтворити багато спостережень, або результат багатьох різних експериментів, то ми зазвичай називаємо цей опис “Науковою теорією”. Ми можемо отримати деяке уявлення про Науковий Метод на простому прикладі. Уявіть, що ми хочемо описати, скільки часу потрібно для того, щоб тенісний м’яч досяг землі після того, як він був відпущений з певної висоти. Один зі способів це зробити — описати, скільки часу потрібно, щоб тенісний м’яч впав з 1 <math display="inline">m</math>, а потім описати, скільки часу потрібно, щоб тенісний м’яч впав з 2 <math display="inline">m</math> тощо. Ми могли б створити гігантську таблицю, яка показує, скільки часу потрібно тенісному м’ячу, скинутому з будь-якої заданої висоти. Тоді хтось зможе провести експеримент, аби виміряти, скільки часу потрібно тенісному м’ячу, щоб впасти з 1 <math display="inline">m</math> або 2 <math display="inline">m</math> і подивитися, чи їх вимірювання узгоджується з табличними значеннями. Якби ми зібрали описи для всіх можливих висот, ми б отримали дійсну і перевірювану наукову теорію, яка описує, скільки часу потрібно тенісним м’ячам, щоб впасти з будь-якої висоти. Припустимо, що перспективний вчений, назвемо її Хлоя, потім прийшов і помітив, що в теорії є закономірність, яку можна описати набагато лаконічніше та узагальнено, ніж за допомогою гігантської таблиці. Зокрема, припустимо, що вона помічає, що математично час, <math display="inline">t</math>, який потрібен для того, щоб тенісний м’яч впав з висоти, <math display="inline">h</math>, є пропорційним квадратному кореню висоти: <math display="block">t \propto \sqrt{h}</math> ----- '''Приклад 1.1.''' Використаємо теорію Хлої (<math display="inline">t \propto \sqrt{h}</math>), аби визначити, наскільки більше знадобиться часу, щоб об’єкт впав з висоти 2 <math display="inline">m</math>, ніж якби він впав з 1 <math display="inline">m</math>. Коли у нас є закон пропорційності (зі знаком <math display="inline">\propto</math>), ми завжди можемо змінити його на рівність, вводячи константу, яку ми назвемо <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} t &\propto \sqrt{h} \\ \rightarrow t&=k\sqrt{h} \end{aligned}</math> Нехай <math display="inline">t_1</math> - час падіння на відстань <math display="inline">h_1=1\ m</math>, а <math display="inline">t_2</math> - час падіння на відстань <math display="inline">h_2=2\ m</math>. З урахуванням нашої невідомої константи, <math display="inline">k</math>, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} t_1 &=k\sqrt{h_1}=k \sqrt{(1\ m})\\ t_2 &=k\sqrt{h_2}=k \sqrt{(2\ m})\\ \end{aligned}</math> Беручи співвідношення, <math display="inline">\frac{t_1}{t_2}</math>, наша невідома константа <math display="inline">k</math> скасовується: <math display="block">\begin{aligned} \frac{t_1}{t_2}&=\frac{\sqrt{(1\ m)}}{\sqrt{(2\ m)}}=\frac {1}{\sqrt 2}\\ \therefore t_2 &= \sqrt {2} t_1 \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що падіння з 2 <math display="inline">m</math> займе у <math display="inline">\sqrt {2}\sim 1,41</math> рази більше часу, ніж буде з 1 <math display="inline">m</math>. ----- «Теорія часу падіння тенісного м’яча» Хлої приваблива, тому що вона локанічна, і також дозволяє нам робити '''перевірювані прогнози'''. Тобто, використовуючи цю теорію, ми можемо передбачити, що тенісний м’яч буде падати у <math display="inline">\sqrt 2</math> рази довше з 2 <math display="inline">m</math>, ніж з 1 <math display="inline">m</math>, а далі провести експеримент для перевірки цього прогнозу. Якщо експеримент збігається з прогнозом, то ми робимо висновок, що теорія Хлої адекватно описує результат цього конкретного експерименту. Якщо експеримент не узгоджується з прогнозом - ми робимо висновок, що теорія не є адекватним описом цього експерименту, і намагаємося знайти нову теорію. Теорія Хлої також приваблива, оскільки вона може описати не тільки тенісні м’ячі , а також час, необхідний для того, щоб впали інші предмети. Тоді вчені можуть продовжити перевірку її теорії з широким діапазоном об’єктів і висоти падіння, аби побачити, чи описує теорія ці експерименти також. Неминуче вони виявлять ситуації, коли Теорія Хлої не в змозі адекватно описати час, потрібний для предметів, щоб впасти (ви можете придумати приклад?). Тоді ми розробили б нову “Теорію падаючих предметів”, яка включає теорію Хлої, що описує більшість падаючих об’єктів, і додатково, набір описів часів падіння для випадків, які не описані теорією Хлої. В ідеалі, ми б шукали нову теорію яка також у стислій формі описувала б нові явища, не описані Хлоєю. Звичайно, немає ніякої гарантії, що така теорія існувала б; це просто оптимістична надія фізиків знайти найбільш загальний і стислий опис фізичного світу. Це загальна різниця між фізикою та багатьма іншими науками. У фізиці завжди намагаються прийти до стислої теорії (наприклад, рівняння), яка може описувати багато явищ, тоді як інші науки часто дуже описові. Наприклад, немає стислої формули того, як виглядають метелики; швидше, існує гігантська колекція спостережень за різними метеликами. Цей приклад підкреслює, що застосування наукового методу є ітераційним процесом. Загалом, рецепт для застосування наукового методу наступний: # Визначте та опишіть процес, який наразі не описаний теорією. # Подивіться на схожі процеси, аби побачити, чи можна їх описати подібним чином. # Покращіть опис, щоб прийти до “Теорії”, яку можна узагальнити, аби робити прогнози. # Перевіряйте передбачення теорії на нових процесах, поки передбачення не виявиться хибним. # Вдоскональте теорію. ----- '''Заповніть пропуски:''' Фізика - це галузь науки, яка ___ поведінку Всесвіту. Займаючись фізикою, ми намагаємося відповісти на питання про те, ___ речі працюють таким чином, яким вони працюють. # пояснює # описує # як # чому ----- <span id="теорії-гіпотези-та-моделі"></span> = Теорії, гіпотези та моделі = В даному підручнику (і науці в цілому) ми вводимо відмінність у тому, що мається на увазі під «теорією», «гіпотезою» та «моделлю». Ми будемо розглядати «теорію» як набір тверджень (або рівнянь) що дає нам широкий опис, застосовний до декількох явищ і що дозволяє нам робити верифіковані прогнози. Наприклад, Теорію Хлої (<math display="inline">t \propto \sqrt{h}</math>) можна вважати теорією. Зокрема, ми не використовуємо слово «теорія» в контексті “У мене є теорія про це…” «Гіпотеза» - це наслідок теорії, який можна перевірити. З теорії Хлої ми маємо гіпотезу про те, що об’єкт впаде у <math display="inline">\sqrt {2}</math> рази швидше з <math display="inline">1\ m</math>, ніж з <math display="inline">2\ m</math>. Ми можемо сформулювати гіпотезу на основі теорії, а потім перевірити цю гіпотезу. Якщо експеримент визнає гіпотезу недійсною, тоді або теорія неправильна, або гіпотеза не узгоджується з теорією. «Модель» - це специфічний для ситуації опис явища, ''заснований на теорії'', який дозволяє зробити конкретний прогноз. Використовуючи приклад з попередньої секції, наша теорія полягає в тому, що час падіння об’єкта пропорційний квадратному кореню висоти падіння, а модель буде застосовувати цю теорію для опису падіння тенісного м’яча з висоти 4,2 <math display="inline">m</math>. З моделі ми можемо сформулювати перевірювану гіпотезу скільки часу потрібно тенісному м’ячу, щоб впасти з цієї висоти. Важливо відзначити, що модель майже завжди буде наближенням теорії, що застосовується для опису конкретного явища. Наприклад, якщо теорія Хлої дійсна лише у вакуумі, а ми використовуємо її для моделювання часу що потрібний, аби об’єкт впав на поверхню Землі, ми можемо виявити, що наша модель не узгоджується з експериментом. Ми не обов’язково зробимо висновок, що теорія є недійсною, якщо наша модель не застосувала теорію для опису явища адекватно (наприклад, забувши включити вплив опору повітря). Цей підручник познайомить вас з теоріями з класичної фізики, які були в основному встановлені та перевірені між сімнадцятим і дев’ятнадцятим століттями. Будемо вважати, що читачі цього підручника навряд чи будуть проводити експерименти, які кидають виклик цим усталеним теоріям. Основним викликом буде, з огляду на теорію, визначити модель, яка описує конкретну ситуацію, а потім випробувати цю модель. Таким чином, цей вступний курс фізики зосереджений на “занятті фізикою” як процесі правильного моделювання ситуації. '''У чому різниця між моделлю та теорією?''' «Модель» та «Теорія» іноді використовуються як взаємозамінні серед науковців. У фізиці особливо важливо розрізняти ці два терміни. Модель забезпечує негайне розуміння чогось, засноване на теорії. Наприклад, якщо ви хочете змоделювати запуск вашої іграшкової ракети в космос, ви можете запустити комп’ютерне моделювання запуску на основі різних теорій руху, які ви вивчили. У такому випадку модель - це комп’ютерне моделювання, яке описує, що відбудеться з ракетою. Ця модель залежить від різних теорій, які були широко перевірені, таких як закони руху Ньютона, динаміка рідини тощо. * «Модель» - ваша саморобна комп’ютерна симуляція ракети * «Теорія»: закони руху Ньютона, динаміка рідини За допомогою цієї аналогії ми можемо швидко побачити, що терміни «модель» та «теорія» не є взаємозамінними. Якби вони були, ми б сказали, що всі Закони руху Ньютона залежать від успіху вашої іграшкової комп’ютерної симуляції ракети! ----- '''Моделі не можуть бути науково перевірені, можуть бути перевірені лише теорії.''' # так # ні ----- <span id="боротьба-з-інтуїцією"></span> = Боротьба з інтуїцією = Важливо пам’ятати про боротьбу з інтуїцією при застосуванні наукового методу. Деякі теорії, такі як квантова механіка, є дуже нелогічними. Наприклад, в квантовій механіці об’єкт може бути описаний як такий, що перебуває у двох місцях одночасно. У Спеціальній Теорії Відносності дві людини можуть не погодитися у тому, чи сталися дві події одночасно. Ці конкретні прогнози від цих теорій не були визнані недійсними жодним експериментом. У науці немає вимоги, щоб теорія була «гарною» чи інтуїтивно зрозумілою. Єдина вимога полягає у тому, щоб теорія описувала результати експериментів. Слід подбати про те, аби не впроваджувати свої упередження в інтерпретацію теорії. Наприклад, квантова механіка насправді не передбачає, що об’єкти можуть знаходитися у двох місцях одночасно, тільки що об’єкти поводяться так, ''ніби'' вони знаходяться у двох місцях одночасно. Відомим прикладом є кіт Шредінгера, який може бути змодельований як живий й одночасно мертвий. Однак, тільки те, що ми моделюємо таким чином, ще не означає, що він дійсно живий і мертвий одночасно. <span id="сфера-застосування-фізики"></span> = Сфера застосування фізики = Фізика описує широкий спектр явищ у науці, починаючи від поведінки мікроскопічних частинок і аж до еволюції всього Всесвіту. Ми часто розрізняємо «класичну» та «сучасну» фізику залежно від того, коли теорії були розроблені, і ми можемо додатково поділити ці галузі фізики залежно від масштабу або типу явищ, які вони описують. Слово фізика походить від давньогрецької і перекладається як «природа» або «знання про природу». Метою фізики є розробка теорій, з яких можуть бути отримані математичні моделі для опису наших спостережень. Однією з амбітних цілей фізиків є розробка єдиної теорії, яка описує всю природу, замість того, щоб мати кілька теорій, що описують різні категорії явищ. Це різко контрастує з іншими галузями науки, як сказав Резерфорд: «Вся наука це або фізика, або колекціонування марок». Тобто фізики сподіваються, що існує одна-єдина математична теорія (як теорія Хлої для падіння об’єктів), що описує весь фізичний світ. Наприклад, у біології це не було б розумною метою, оскільки потрібно описати кожну живу істоту, і немає всеосяжної «теорії того, як виглядають всі живі істоти». Нині фізики змогли звузити кількість теорій, необхідних для опису всього фізичного світу, лише до трьох, що вражає (теорія гравітації, теорії сильної ядерної сили, і тепер фізики додатково об ’єднали слабку ядерну силу з електромагнетизмом, й отримали “електрослабку силу”). <span id="класична-фізика"></span> == Класична фізика == Цей підручник орієнтований на класичну фізику, що відповідає теоріям, які були розроблені до 1905 року. <span id="механіка"></span> === Механіка === Механіка описує більшу частину нашого повсякденного досвіду, наприклад, як об’єкти, в тому числі планети рухаються під впливом сили тяжіння. Ісаак Ньютон був першим, хто формально розробив теорію механіки, використовуючи його «Три закони», щоб описати поведінку об’єктів із нашого повсякденного досвіду. Його знаменита праця, опублікована в 1687 році, «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» («Принципи») також включала теорію гравітації, яка описує рух небесних тіл. Після відкриття Вільямом Гершелем у 1781 році планети Уран, астрономи помітили, що орбіта планети не була добре описана теорією Ньютона. Це призвело до того, що Урбен Левер’є (в Парижі) та Джон Кауч Адамс (в Кембриджі), замість ствердження, що теорія Ньютона була неправильною, передбачили розташування нової планети, яка порушувала орбіту Урана. Згодом Левер’є відкрив планету Нептун у 1846 році, через рік після передбачення, що розглядалося як гучне підтвердження теорії Ньютона. У 1859 році Урбен Левер’є також зазначив, що орбіта Меркурія навколо Сонця відрізняється від передбаченої теорією Ньютона. Знову ж таки, була запропонована нова планета, «Вулкан», але ця планета так і не була відкрита, і відхилення орбіти Меркурія від передбачення Ньютона залишалося незрозумілим до 1915 року, коли Альберт Ейнштейн представив нову, більш повну, теорію гравітації, яку назвали «Загальною Теорію Відносності». Це гарний приклад наукового методу; те, що відкриття Нептуна було узгоджене з теорією Ньютона, не доводить, що теорія правильна, лише те, що вона правильно описала рух Урана. Розбіжність, яка виникла при погляді на Меркурій, зрештою показала, що теорія гравітації Ньютона не дає належного опису планетарних орбіт в безпосередній близькості до дуже масивних об’єктів (Меркурій - найближча до Сонця планета). ----- '''Що показала неможливість знайти планету Вулкан?''' # Вона показала, що модель Меркурія Ньютона була правильною. # Вона показала, що теорія Ньютона не описує правильно орбіти всіх планет. # Вона показала, що технології на той час були неадекватними. # Вона показала, що загальна теорія відносності Ейнштейна була правильною. ----- <span id="електромагнетизм"></span> === Електромагнетизм === Електромагнетизм описує електричні заряди та магнетизм. Спочатку не було зрозуміло, що електрика і магнетизм пов’язані. Шарль Огюстен де Кулон опублікував у 1784 році перший опис того, як електричні заряди притягуються і відштовхуються один від одного. Магнетизм був відкритий в стародавньому світі, коли люди помітили, що камені з намагніченого магнетитового мінералу можуть притягувати залізні інструменти. У 1819 році Ерстед виявив, що рухомі електричні заряди можуть впливати на голку компаса, і були приведені кілька наступних експериментів, щоб з’ясувати, як взаємодіють магніти та рухомі електричні заряди. У 1865 році Джеймс Клерк Максвелл опублікував «Динамічну теорію Електромагнітного поля», де він вперше запропонував теорію, яка об’єднала електрику і магнетизм як дві грані одного і того ж явища. Одна з важливих концепцій теорії Максвелла полягала у тому, що світло - це електромагнітні хвилі з чітко визначеною швидкістю. Це викрило деякі потенційні проблеми з теорією, оскільки вона вимагала абсолютну систему відліку, в якій можна описати поширення світла. Експерименти наприкінці 1800-х років не змогли виявити існування цієї системи відліку. <span id="сучасна-фізика"></span> == Сучасна фізика == У 1905 році Альберт Ейнштейн опублікував три важливі статті, які закладають основу того, що ми зараз називаємо “сучасною фізикою”. Ці публікації охоплювали наступні сфери, що не були добре описані класичною фізикою: * Опис броунівського руху, який передбачав, що вся матерія складається з атомів. * Опис фотоелектричного ефекту, який мав на увазі, що світло складається з частинок. * Опис руху дуже швидких об’єктів, який передбачав, що маса еквівалентна енергії, а час і відстань є відносними поняттями. Фізики мали кардинально переформулювати нові теорії задля узгодження з описами Ейнштейна. <span id="квантова-механіка-та-фізика-елементарних-частинок"></span> === Квантова механіка та фізика елементарних частинок === Квантова механіка - це теорія, яка була розроблена у 1920-х роках для узгодження з висновком Ейнштейна про те, що світло складається з частинок (або скоріше, квантованих грудок енергії, званих квантами), і описує природу на найдрібніших масштабах. Це можна було зробити лише за рахунок відмови від детермінізму, ідеї про те, що ми можемо передбачити, як конкретні ситуації розвиватися з часом. Це призвело до теорії, яка могла забезпечити лише ''ймовірності'' того, що певні результати будуть реалізовані. Квантова механіка переросла протягом двадцятого століття у квантову теорію поля, яка призвела до Стандартної Моделі фізики елементарних частинок, що описує наше сучасне розуміння матерії через теорії електрослабкої та сильної взаємодії. <span id="спеціальна-та-загальна-теорії-відносності"></span> === Спеціальна та загальна теорії відносності === У 1905 році Ейнштейн опублікував свою «Спеціальну теорію відносності», що описує, як світло поширюється з постійною швидкістю без потреби в абсолютній системі відліку, і тим самим розв’язав проблему, введену Максвеллом. Це вимагало від фізиків розглядати простір і час як рівні (“простір-час”), а не два незалежні аспекти світу природи, що призвело до шквалу дивних, але підтверджених експериментальних прогнозів. Одним з таких прогнозів є те, що час тече повільніше для об’єктів які рухаються швидко, що було експериментально перевірено польотом точних атомних годинників на літаках і супутниках. У 1915 році Ейнштейн ще більше вдосконалив свою теорію в Загальну Теорію Відносності, яка є нашим найкращим поточним описом сили тяжіння й узгоджується з орбітою, яка не була правильно описана теорією Ньютона. ----- '''До якого з цих науково-фантастичних сюжетів можна застосувати спеціальну теорію відносності?''' # Ексцентричний дует подорожує назад у часі, щоб змінити минуле. # Астронавт, який подорожує зі світловою швидкістю протягом багатьох років, повертається додому та виявляє, що він постарів менше, ніж його сім’я на Землі. # Супергерой використовує блискавку як зброю. ----- <span id="космологія-та-астрофізика"></span> === Космологія та астрофізика === Космологія описує процеси в найбільших масштабах і в основному базується на застосуванні загальної теорії відносності до масштабів Всесвіту. Наприклад, космологія описує, як наш Всесвіт почався з великого вибуху і як великомасштабні структури, такі як галактики і скупчення галактик, сформувалися та еволюціонували в наш сучасний Всесвіт. Астрофізика зосереджена на описі формування та еволюції зірок, галактик та інших «астрофізичних об’єктів», таких як нейтронні зорі та чорні діри. [[File:PhysicsArtofModelling Galaxies in Coma cluster.jpg|thumb|'''Зображення 1.1.''' Галактика в скупченні Кома (джерело: NASA)]] <span id="астрофізика-частинок"></span> === Астрофізика частинок === Астрофізика частинок є відносно новою галуззю, яка використовує субатомні частинки, вироблені астрофізичними об’єктами, для вивчення як об’єктів, так ''і'' частинок. Наприклад, Нобелівську Премію з Фізики у 2015 році отримав Арт Макдональд (канадський фізик з університету «Квінз») за використання нейтрино[[#introduction-note1|[1]]], вироблених Сонцем, аби дізнатися про природу нейтрино і про те, як працює Сонце. <span id="мислити-як-фізик"></span> = Мислити як фізик = У певному сенсі фізику можна вважати найфундаментальнішою з наук, оскільки вона описує взаємодії найдрібніших складових матерії. В принципі, якщо можна точно описати, як протони, нейтрони та електрони взаємодіють, можна повністю описати, як мислить людський мозок. На практиці теорії фізики елементарних частинок ведуть до рівнянь, які занадто складно вирішити для систем, що включають таку кількість частинок, як людський мозок. Насправді їх занадто складно розв’язувати точно навіть для досить малих систем частинок, таких як атоми більші, ніж гелій (містить кілька протонів, нейтронів та електронів). У нас є ряд інших галузей науки, які охоплюють складні системи взаємодіючих частинок. Хімія може бути використана для опису того, що відбувається з системою, яка складається з багатьох атомів і молекул. У живій істоті занадто складно відстежувати системи атомів і молекул, тому для опису живих систем ми використовуємо Біологію. Однією з ключових якостей, необхідних для того, щоб бути ефективним фізиком, є здатність розуміти, як застосовувати теорію та розробляти модель для опису явища. Як і з будь-якою іншою навичкою, потрібна практика, щоб стати успішним у розробці моделей. Студенти, які здобули вищу освіту з фізики, таким чином, часто шукають роботу, що вимагає критичного мислення і здатності розробляти кількісні моделі. Це охоплює багато галузей поза межами фізики, таких як фінанси або великі дані. Таким чином, цей підручник намагається підкреслити практику розробки моделей, а також надає міцну основу теорій класичної фізики. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Наука намагається ''описати'' фізичний світ (вона відповідає на питання «Як?», а не «Чому?»). Науковий метод забезпечує рецепт для досягнення теорій які описують фізичний світ, і які можна перевірити експериментально. Науковий метод обов’язково є ітераційним процесом, де теорії постійно оновлюються у міру отримання нових експериментальних даних. Експеримент може лише спростувати теорію, а не підтвердити її в будь-якому загальному сенсу. Фізика охоплює широкий спектр явищ, починаючи від Всесвіту і до субатомних частинок. Класична фізика охоплює теорії, розроблені до 1905 року, коли Ейнштейн ввів необхідність Квантової Механіки та Теорій Відносності. Однією з основних цілей фізики є прихід до єдиної теорії, яка описує весь наш природний світ. Зараз фізикам потрібні три теорії для опису світу природи. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = Подумайте та дослідіть: * Яка частинка допомагає надати масу всім масивним елементарним частинкам? * Назвіть фізика! Хто першим припустив, що Всесвіт розширюється? * Перш ніж відкрити космічне мікрохвильове фонове випромінювання, вчені Арно Пензіас і Роберт Вілсон намагалися виявити радіохвилі дуже чутливими антенами. Вперше, коли вони почули послідовний, низький рівень шуму на своїх детекторах, вони виявили, що це було (здебільшого) не реліктове випромінювання. Що викликало більшу частину цього шуму? * Фізикиня Лене Хау спочатку уповільнила промінь світла до <math display="inline">17\ m/s</math>, використовуючи дуже холодний, розбавлений газ бозонів. У 2001 році вона покращила цей результат; до якої швидкості вона змогла уповільнити промінь світла? * Подумайте про дві теорії, які ви використовуєте у своєму повсякденному житті. (Наприклад, коли ми миємо руки, ми робимо це через мікробну теорію хвороби!) <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == <span id="prob:introduction:chemtrails" label="prob:introduction:chemtrails"></span> '''Задача 1.1:''' Ваш друг Мартін любить досліджувати “теорії змови”. Його улюблена включає “Хіміотраси”. Він каже вам, що уряд таємно використовує авіалайнери для розповсюдження хімічних речовин в атмосфері з якоїсь невідомої причини. # Подумайте про 2 способи об’єктивної перевірки теорії Мартіна. # Після того як ви запропонували ваш експеримент Мартіну, він стверджує, що його теорія не може бути визнана недійсною будь-яким експериментом, незалежно від того, наскільки науково суворим є експеримент. Мартін правий? <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Задача 1.1:'''<span id="soln:introduction:chemtrails" label="soln:introduction:chemtrails"></span> # Ви можете провести дослідження, аби дізнатися, чи поширює уряд хімічні речовини та спробувати з’ясувати, чому. Можна зробити вимірювання вмісту атмосфери до і після того, як пролітає авіалайнер, щоб побачити, чи з’являються будь-які несподівані хімічні речовини. # Ні, він неправий, оскільки ви щойно запропонували два експерименти, які могли б спростувати його теорію. <span id="introduction-note1"></span> [1] Нейтрино - найлегші субатомні частинки, про які ми знаємо {{Гортання сторінок||Порівняння моделі та експерименту}} lbsb71vfua3sezkddfckddm1zfu1gu2 0 8434 41524 41200 2026-11-07T17:11:48Z Slavust 9295 /* Порядок величини */ 41524 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центрального значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} 8c0w6ui4dhk1yafvn6piknbb8jwfflj 41525 41524 2026-11-07T17:12:49Z Slavust 9295 /* Порядок величини */ 41525 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центрального значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} bx2nywxvqzo7zd75084n90vkjsnzve6 41526 41525 2026-11-07T17:18:17Z Slavust 9295 /* Аналіз розмірностей */ 41526 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центрального значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} 9lwdelkgiqquy36wpg4daqacc3i89yv 41527 41526 2026-11-07T17:21:20Z Slavust 9295 /* Визначення центрального значення та невизначеності */ 41527 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} h959vpivvmlfsxtgan1u8li9t629ujs 41528 41527 2026-11-07T17:25:10Z Slavust 9295 /* Поширення невизначеності */ 41528 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} qtsa20ohuf4sylnpjathy0ovpi1w426 41529 41528 2026-11-07T17:25:42Z Slavust 9295 /* Невизначеність вимірювання */ 41529 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} hmervl9ac9b5dtmfbpp2h49nacxvc62 41530 41529 2026-11-07T17:27:07Z Slavust 9295 /* Використання графіків для візуалізації та аналізу даних */ 41530 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} 92l1hh52dyqio4kjralxldsmi2g9wz1 41531 41530 2026-11-07T17:28:16Z Slavust 9295 /* Приклади задач та рішень */ 41531 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 2.1.:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2.2.:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 2.1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2.2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} e3qjy72afd98yootpmi2hct7ptnlfxz 41532 41531 2026-11-07T17:29:15Z Slavust 9295 /* Рішення */ 41532 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 2.1.:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2.2.:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 2.1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2.2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|'''Зображення 2.4.''' Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} hlc6sh4u64dqcposh9jfywmjl8avtkd 41533 41532 2026-11-07T19:15:34Z Slavust 9295 /* Невизначеність вимірювання */ 41533 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні 2.2]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 2.1.:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2.2.:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 2.1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2.2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|'''Зображення 2.4.''' Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} kbrdypeebqelnwfczy7hv6zg3brytqh 41534 41533 2026-11-07T19:17:00Z Slavust 9295 /* Поширення невизначеності */ 41534 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні 2.2]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад 2.6]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на наступному [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 2.1.:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2.2.:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 2.1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2.2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|'''Зображення 2.4.''' Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} qh49y96s9c87owjr9inubgh32t9ix4k 41535 41534 2026-11-07T19:18:11Z Slavust 9295 /* Використання графіків для візуалізації та аналізу даних */ 41535 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми познайомимося з процесом заняття наукою та закладемо основи для розвитку навичок, які будуть корисні протягом усієї вашої наукової кар’єри. Зокрема, ми почнемо вчитися, як перевіряти модель за допомогою експерименту, а також навчимося оцінювати, чи має сенс конкретний результат або модель. '''Цілі навчання:''' * Вміти оцінювати порядок величини. * Розуміти одиниці вимірювання. * Розуміти процес побудови моделі та проведення експерименту. * Розуміти невизначеність вимірювань в експериментах. Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що об’єкти поблизу поверхні Землі падатимуть із прискоренням <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. Ваш друг повідомляє, що він виміряв прискорення кулі, що падає, та виявив, що воно було рівним <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math>. '''Чи спростовує цей результат передбачення теорії Ньютона?''' # Так, оскільки інтервал <math display="inline">9.0\pm 0.5\ m/s^2</math> не включає <math display="inline">9.8\ m/s^2</math>. # Не обов’язково, оскільки це залежить від того, чи правильно ваш друг врахував невизначеність у своєму вимірюванні. # Однозначно ні, оскільки універсальна теорія гравітації Ньютона була підтверджена багатьма експериментами. <span id="порядок-величини"></span> = Порядок величини = Хоча ви повинні намагатися боротися з інтуїцією при побудові моделі для опису конкретного явища, не варто відмовлятися від критичного мислення, і варто завжди запитувати, чи передбачення вашої моделі має сенс. Один з найпростіших способів оцінити, чи має модель сенс, полягає у перевірці, чи передбачає вона коректний порядок величини. Зазвичай порядок величини може бути визначений шляхом створення дуже простої моделі, в ідеалі такої, з якою ви можете працювати в умі. Коли ми кажемо, що передбачення дає правильний «порядок величини», ми зазвичай маємо на увазі, що прогноз знаходиться в межах «невеликого» множника (до 10) від коректної відповіді. Наприклад, якщо вимірювання дає значення 2000, то ми вважаємо, що передбачення моделі у 8000 має коректний порядок величини (відповідь відрізняється від правильної у 4 рази), тоді як прогноз у 24000 вважаємо неправильним (відрізняється в 12 разів). ----- '''Приклад 2.1.''' '''Скільки кульок для пінг-понгу можна помістити в шкільний автобус? Чи відповідає кількість порядку 10 000, чи 100 000, чи більше?''' Наша стратегія полягатиме в оцінці об’ємів шкільного автобуса та м’яча для пінг-понгу, а потім розрахунку, скільки разів об’єм м’яча для пінг-понгу вписується в об’єм шкільного автобуса. Ми можемо змоделювати шкільний автобус як коробку, скажімо <math display="inline">20\ \ m\times 2\ \ m\times 2\ \ m</math>, тобто об’єм <math display="inline">80\ m^3 \sim 100\ m^3</math>. Також, ми можемо змоделювати м’яч для пінг-понгу у вигляді сфери діаметром <math display="inline">0.03\ m</math> (<math display="inline">3\ cm</math>). При складанні кульок для пінг-понгу ми можемо моделювати їх як маленькі кубики зі стороною, заданою їх діаметром, тому об’єм м’яча для пінг-понгу, при складанні, дорівнює <math display="inline">\sim 0.00003\ m^3 = 3 \cdot 10^{-5}\ m^3.</math> Якщо ми поділимо <math display="inline">100\ m^3</math> на <math display="inline">3 \cdot 10^{-5}\ m^3,</math> використовуючи наукову нотацію: <math display="block">\begin{aligned} \frac{100\ \ m^3}{3 \cdot 10^{-5}\ \ m^3}=\frac{10^2}{3 \cdot 10^{-5}}=\frac {1}{3}\times 10^7\sim 3\times 10^6 \end{aligned}</math> Таким чином, ми розраховуємо вмістити близько трьох мільйонів м’ячів для пінг-понгу в шкільному автобусі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Schoolbusestimate.png|thumb|'''Зображення 2.1.''' Шкільний автобус і м'ячі для пінг-понгу, змодельовані як коробки.]] </div> '''Заповніть наступну таблицю, вказавши порядок величин (у метрах) розмірів різних фізичних об’єктів.''' Не соромтеся користуватися Інтернетом! {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| |} {| class="wikitable" |+ '''Відповідь''' |- ! style="text-align: center;"| '''Об’єкт''' ! style="text-align: center;"| '''Порядок величини''' |- | style="text-align: center;"| Протон | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁵ m |- | style="text-align: center;"| Ядро атома | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁴ m |- | style="text-align: center;"| Атом водню | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻¹⁰ m |- | style="text-align: center;"| Вірус | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁷ m |- | style="text-align: center;"| Клітина шкіри людини | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁵ m |- | style="text-align: center;"| Товщина людського волосся | style="text-align: center;"| 1 × 10⁻⁴ m |- | style="text-align: center;"| Людина | style="text-align: center;"| 1 m |- | style="text-align: center;"| Висота гори Еверест | style="text-align: center;"| 1 × 10³ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Землі | style="text-align: center;"| 1 × 10⁷ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Сонця | style="text-align: center;"| 1 × 10⁹ m |- | style="text-align: center;"| Радіус Чумацького Шляху | style="text-align: center;"| 1 × 10²¹ m |} ----- <span id="одиниці-вимірювання-та-розмірність"></span> = Одиниці вимірювання та розмірність = У 1999 році марсіанський кліматичний орбітальний апарат NASA зруйнувався у Марсіанській атмосфері через переплутані одиниці, що були використані для розрахунку тяги, потрібної аби сповільнити зонд і розташувати його на орбіті навколо Марса. Комп’ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів і секунд аби розрахувати зміну імпульсу зонда замість Ньютонів і секунд, очікуваних NASA. Як наслідок, зонд занадто сильно сповільнився та зруйнувався у марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність '''використання і зазначення одиниць''', якими ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між розмірністю та одиницями. «Розмірність» можна розглядати як тип вимірювань. Наприклад, довжина та час є розмірностями. Одиниця - це стандарт, який ми обрали для кількісного значення величини. Наприклад, метри та фути - це дві одиниці вимірювання довжини, тоді як секунди та миті [[#model-and-experiment:note1|[1]]] — одиниці вимірювання часу. Коли ми порівнюємо два числа, наприклад, прогноз моделі та результат вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність ''і'' виражатися в тих самих одиницях. ----- '''Обмеження швидкості на трасі…''' # має розмірність довжини на час і може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність довжини та може бути виражене в одиницях кілометрів на годину. # має розмірність часу на довжину і може бути виражене в одиницях метрів на секунду. # має розмірність часу і може бути виражене в одиницях вимірювання метрах. ----- <span id="базові-розмірності-та-їх-одиниці-в-системі-si"></span> == Базові розмірності та їх одиниці в системі SI == З метою полегшення комунікації наукової інформації, була розроблена Міжнародна система одиниць (SI, Système International d’unités французською). Вона дозволяє нам використовувати чітко визначену домовленість, які одиниці використовувати при описі кількості. Наприклад, SI одиницею вимірювання довжини є метр, а одиниця SI для часу — секунда. З метою спрощення системи одиниць SI, був обраний фундаментальний (базовий) набір розмірностей і визначені одиниці SI для цих розмірностей. Будь-яка інша розмірність завжди може бути виражена за допомогою базових розмірностей, наведених у Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Базові одиниці SI]], та одиниць, виражених відповідною комбінацією базових одиниць SI. <span id="tab:modelandexperiment:SIunits"><span> {| class="wikitable" |+ Одиниці SI |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' |- | style="text-align: left;"| Довжина [L] | style="text-align: left;"| метр [m] |- | style="text-align: left;"| Час [T] | style="text-align: left;"| секунди[s] |- | style="text-align: left;"| Маса [M] | style="text-align: left;"| кілограм [kg] |- | style="text-align: left;"| Температура [<math display="inline">\Theta</math>] | style="text-align: left;"| градуси Кельвіна, [K] |- | style="text-align: left;"| Електричний струм [I] | style="text-align: left;"| Ампер [A] |- | style="text-align: left;"| Кількість речовини [N] | style="text-align: left;"| моль [mol] |- | style="text-align: left;"| Сила світла [J] | style="text-align: left;"| кандела [cd] |- | style="text-align: left;"| Безрозмірна [1] | style="text-align: left;"| без одиниць [] |} З базових розмірностей можна отримати «похідні» розмірності, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко рухається об’єкт. Розмірність швидкості - <math display="inline">L/T</math> (довжина на час), і відповідні одиниці вимірювання SI - m/s (метри на секунду [[#model-and-experiment:note2|[2]]]). Багато похідних розмірностей мають відповідні похідні одиниці SI, які можуть бути виражені через базові. [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиця 1.1]] показує кілька похідних розмірностей та відповідні одиниці SI, а також те, як ці одиниці отримуються з базових. <span id="tab:modelandexperiment:derivedSIunits"></span> {| class="wikitable" |+ Приклад похідних розмірностей та їх одиниці SI з абревіатурами. |- ! style="text-align: left;"| '''Розмірність''' ! style="text-align: left;"| '''Одиниця SI''' ! style="text-align: left;"| '''Базові одиниці SI''' |- | style="text-align: left;"| Швидкість [L/T] | style="text-align: left;"| метр на секунду [m/s] | style="text-align: left;"| [m/s] |- | style="text-align: left;"| Частота [1/Т] | style="text-align: left;"| герц [Hz] | style="text-align: left;"| [1/s] |- | style="text-align: left;"| Сила [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| ньютон [N] | style="text-align: left;"| [kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Енергія [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-2}</math>] | style="text-align: left;"| джоуль [J] | style="text-align: left;"| [N<math display="inline">\cdot</math>m=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-2}</math>] |- | style="text-align: left;"| Потужність [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}</math>] | style="text-align: left;"| ват [W] | style="text-align: left;"| [J/s=kg<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}</math>] |- | style="text-align: left;"| Електричний заряд [I<math display="inline">\cdot</math> T] | style="text-align: left;"| колумб [C] | style="text-align: left;"| [A<math display="inline">\cdot</math> s] |- | style="text-align: left;"| Напруга [M<math display="inline">\cdot</math>L<math display="inline">^2\cdot</math>T<math display="inline">^{-3}\cdot</math>I<math display="inline">^{-1}</math>] | style="text-align: left;"| вольт [V] | style="text-align: left;"| [J/C=кг<math display="inline">\cdot</math>m<math display="inline">^2\cdot</math>s<math display="inline">^{-3}\cdot</math>A<math display="inline">^{-1}</math>] |} За домовленістю, ми можемо вказати розмірність величини, <math display="inline">X</math>, записуючи її у квадратних дужках, <math display="inline">\left[ X \right]</math>. Наприклад, <math display="inline">\left[ X\right] =I</math>, буде означати, що величина <math display="inline">X</math> має розмірність <math display="inline">I</math>, тобто вона має розмірність електричного струму. Аналогічно, ми можемо вказати одиниці SI величини <math display="inline">X</math> як <math display="inline">SI\left[ X \right]</math>. Відповідно до Таблиці [[#tab:modelandexperiment:SIunits|Одиниці SI]], оскільки <math display="inline">X</math> має розмірність струму, <math display="inline">SI\left[ X \right] =A</math>. <span id="аналіз-розмірностей"></span> == Аналіз розмірностей == Ми називаємо «аналізом розмірностей» процес розрахунку розмірності величини з урахуванням базових розмірностей та прогнозу моделі для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють нам легко порахувати розмірність похідної величини. Припустимо, що ми маємо дві величини, <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>, обидві з розмірностями. Далі ми маємо наступні правила для знаходження розмірності величини, яка залежить від <math display="inline">X</math> та <math display="inline">Y</math>: # Додавання/віднімання: ви можете додавати або віднімати дві величини, лише якщо вони мають однакову розмірність: <math display="inline">\left[X+Y\right] =\left[X\right]=\left[Y\right]</math> # Множення: розмірність множення, <math display="inline">\left[XY\right]</math>, є добутком розмірностей: <math display="inline">\left[XY\right]=\left[X\right]\cdot\left[Y\right]</math> # Ділення: розмірність співвідношення, <math display="inline">\left[X/Y\right]</math>, є співвідношенням розмірностей: <math display="inline">\left[X/Y\right]=\left[X\right]/\left[Y\right]</math> Наступні два приклади показують, як застосовувати аналіз розмірностей для отримання одиниць вимірювання або розмірності похідної величини. ----- <span id="ex:modelandexperiment:forceSI" label="ex:modelandexperiment:forceSI"></span> '''Приклад 2.2.''' Прискорення має одиниці SI <math display="inline">ms^{-2}</math>, а сила має розмірність маси, помноженої на прискорення. '''Яку розмірність та одиниці SI має сила, виражена за допомогою базових розмірностей та одиниць вимірювання?''' Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць SI, що воно повинно мати розмірність довжини на час у квадраті. <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{прискорення}\right] = \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> Оскільки сила має розмірність маси помноженої на прискорення, ми маємо: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] = \left[\text{маса}\right]\cdot\left[\text{прискорення}\right] = M \frac{L}{T^2} \end{aligned}</math> і одиниці сили SI таким чином: <math display="block">\begin{aligned} SI\left[\text{сила}\right] = kg\cdot m/s^2 \end{aligned}</math> Сила є настільки поширеною розмірністю, що вона, як і багато інших похідних розмірностей, має свою власну похідну одиницю SI, Ньютон [N]. ----- '''Приклад 2.3.''' '''Скористуйтеся [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]] аби показати, що напруга має ту саму розмірність, що й сила, помножена на швидкість і поділена на електричний струм.''' Згідно з [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблицею 1.1]], напруга має розмірність: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{напруга}\right] =M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned},</math> тоді як сила, швидкість і струм мають наступні розмірності: <math display="block">\begin{aligned} \left[\text{сила}\right] &=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ \left[\text{швидкість}\right] &=L\cdot T^{-1}\\ \left[\text{струм}\right] &=I \end{aligned}</math> Розмірність сили, помноженої на швидкість і поділеної на електричний заряд: <math display="block">\begin{aligned}\left[\frac{\text{сила}\cdot \text{швидкість}}{\text{струм}}\right] &=\frac{\left[\text{сила}\right]\cdot \left[\text{швидкість}\right]}{\left[\text{струм}\right]}=\frac{M\cdot L\cdot T^{-2} \cdot L\cdot T^{-1} }{I}\\ &=M\cdot L^2 \cdot T^{-3}\cdot I^{-1}, \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми об’єднали степені однакових розмірностей. Це та сама розмірність, що й у напруги. ----- Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, ви завжди маєте використовувати аналіз розмірностей, аби переконатися, що розмірність величини, яку передбачає ваша модель, є коректною. ----- '''Привлад 2.4.''' Ваша модель передбачає, що швидкість, <math display="inline">v</math>, об’єкта масою <math display="inline">m</math>, після падіння з висоти <math display="inline">h</math> на поверхню планети масою <math display="inline">M</math> і радіусом <math display="inline">R</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{mMh}{R} \end{aligned}</math> '''Чи є раціональним цей прогноз?''' По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо <math display="inline">h</math> більша, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об’єкт впаде з більшої відстані. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети, <math display="inline">M</math>, буде більшою, оскільки це надало б більшу силу тяжіння, як і передбачає ця модель. Ми також очікуємо, що об’єкт матиме більшу швидкість, коли він матиме більшу масу, <math display="inline">m</math>, якщо опір атмосфери планети є значним. Нарешті, якщо радіус планети <math display="inline">R</math> більший, ми очікуємо, що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною, і буде меншою сила тяжіння на її поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розмірність прогнозованого <math display="inline">v</math>, ми побачимо, що модель не передбачає розмірність швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \left[v\right] &= \frac{\left[m\right]\left[ M\right]\left[h\right]}{\left[R\right]}\\ &=\frac{MML}{L}=M^2. \end{aligned}</math> Натомість наша модель передбачає швидкість з розмірністю маси у квадраті. Виконуючи простий аналіз розмірностей, ми можемо легко підтвердити, що наша модель безумовно неправильна. Ви повинні завжди перевіряти розмірність будь-якого прогнозу моделі, аби переконатися, що він коректний. ----- У цьому розділі ми надали три правила комбінування розмірностей. Ви могли помітити, що ці правила такі ж самі, як правила алгебри, за винятком того, що використовуються розмірності замість <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Отже, ви можете підійти до задач аналізу розмірностей як просто до задач алгебри. Існує кілька основних кроків, яких ви можете дотримуватися, коли намагаєтеся знайти одиниці SI для значення/змінної у вашому рівнянні. Я пройдуся по прикладу з [[#ex:modelandexperiment:forceSI|силою]] трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння <math display="inline">F=ma</math>, але цього разу ви знаєте розмірність <math display="inline">F</math> та <math display="inline">m</math> і хочете знайти розмірність <math display="inline">a</math>: # Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з погляду їх розмірностей, лишаючи всі інші операції (множення, степені тощо) як є: <math display="inline">F=m\cdot a\rightarrow \left[F\right] =\left[m\right]\cdot\left[a\right]</math> # Виразіть невідомий параметр через відомі: <math display="inline">\left[ a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]}</math> # Підставте розмірності відомих: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{\left[F\right]}{\left[m\right]} \rightarrow \left[a\right] =\frac{MLT^{-2}}{M}=\frac{ML}{MT^2}</math> # Розв’яжіть, використовуючи правила алгебри: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}</math> (тут ми просто скасували <math display="inline">M</math>) # Замініть розмірності відповідними одиницями SI: <math display="inline">\left[a\right] =\frac{L}{T^2}\rightarrow SI\left[a\right] =\frac{m}{s^2}</math> ----- У теорії Хлої про падіння предметів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Розділу 1]], час, <math display="inline">t</math>, потрібний, щоб об’єкт впав з відстані, <math display="inline">x</math>, був заданий як <math display="inline">t=k\sqrt{x}</math>.'''Якими мають бути одиниці SI постійної Хлої, <math display="inline">k</math>?''' # <math display="inline">T\ L</math> # <math display="inline">T\ L-</math> # <math display="inline">s\ m</math> # <math display="inline">s\ m-</math> ----- Аналіз розмірностей також може бути використаний для визначення формул (зазвичай у межах порядку величини). Одним відомим прикладом цього є, коли Британський фізик на ім’я Г. І. Тейлор зміг визначити формулу, що показала, як росте з часом радіус вибуху атомної бомби. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, яка виділяється при вибуху, що на той час було засекреченою інформацією. ----- '''Приклад 2.5.''' '''Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху, <math display="inline">r</math>, збільшується з часом з моменту вибуху, <math display="inline">t</math>, де радіус також залежить від енергії, що виділяється під час вибуху, <math display="inline">E</math>, і густини середовища, <math display="inline">\rho</math>, у якому вибухає бомба.''' Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху збільшується з часом, тож ми хочемо вираз, який пов’язує <math display="inline">r</math> з деякою комбінацією <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> та <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} r \sim E^x\rho^y t^z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> - наші невідомі степені, оскільки ми ще не знаємо, як комбінувати <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>. Однак ми знаємо, що коли ми об’єднуємо ці величини, ми маємо отримати правильну розмірність (довжину) для радіуса: <math display="block">\begin{aligned} \left[r\right] =\left[E\right]^x\left[\rho\right]^y\left[t\right]^z \end{aligned}</math> Ми знаємо розмірність радіуса та часу, а розмірність <math display="inline">E</math> можна знайти в [[#tab:modelandexperiment:derivedSIunits|Таблиці 1.1]]. Густина - це маса, поділена на об’єм, тому її розмірність дорівнює <math display="inline">M/L^3.</math> Тому наше рівняння має вигляд: <math display="block">\begin{aligned} L&=(ML^2T^{-2})^x(ML^{-3})^y(T)^z\\ L&=(M^xL^{2x}T^{-2x})(M^yL^{-3y})(T^z)\\ \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, тож нам потрібно три рівняння. Ми можемо відзначити, що ліва сторона (з розмірністю довжини, <math display="inline">L</math>) еквівалентна <math display="inline">L^1\cdot M^0\cdot T^0</math>. Тож, ми можемо відокремити вищезазначений вираз у три рівняння, по одному для степенів <math display="inline">M</math>, <math display="inline">L</math> та <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} M^0&=M^xM^y \rightarrow 0 = x+y\\ L^1&=L^{2x}L^{-3y} \rightarrow 1=2x-3y\\ T^0&=T^{-2x}T^{z} \rightarrow 0=z-2x \end{aligned}</math> Розв’язуючи систему рівнянь, ми знаходимо, що <math display="inline">x=1/5</math>, <math display="inline">y=-1/5</math>, а <math display="inline">z=2/5</math>. Отже, комбінація <math display="inline">E</math>, <math display="inline">\rho</math> і <math display="inline">t</math>, яка дає нам розмірність довжини, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} r\propto E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{2/5}\\ \therefore r\propto t^{2/5} \end{aligned}</math> Ви також можете записати це рівняння як: <math display="block">\begin{aligned} r\propto \sqrt[5] {\frac{Et^2}{\rho}}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в певний час і знаючи густину повітря, можна оцінити кількість енергії, що вивільнилася під час вибуху. <span id="виконання-вимірювань"></span> = Виконання вимірювань = Ввівши деякі інструменти для аспекту моделювання, тепер звернімося до іншої сторони фізики, а саме до виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій та моделей є опис реального світу, нам потрібно розуміти, як робити вимірювання, які мають сенс, аби перевірити наші теорії та моделі. Припустімо, ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння об’єктів з [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Науковий метод і фізика#Наука і науковий метод|Глави 1]]: <math display="block">\begin{aligned} t=k\sqrt{x} \end{aligned}</math> яка стверджує, що час, <math display="inline">t</math>, для падіння будь-якого об’єкта з висоти, <math display="inline">x</math>, біля поверхні Землі задається наведеним вище відношенням. Теорія припускає, що константа Хлої, <math display="inline">k</math>, є однаковою для будь-якого об’єкта, що падає з будь-якої висоти на поверхню Землі. Одним із можливих способів перевірки теорії падіння об’єктів Хлої є вимірювання <math display="inline">k</math> для різних висот падіння, аби побачити, чи завжди ми отримуємо одне й те саме значення. Результати такого експерименту представлені в [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблиці 1.2]], де час, <math display="inline">t,</math> був виміряний для падіння м’яча для боулінгу з висоти <math display="inline">x</math> між 1 m та 5 m. У таблиці також вказані значення, обчислені для <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідні значення <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>: <span id="tab:modelandexperiment:kmes"></span> {| class="wikitable" |+ Вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, з різних відстаней, <math display="inline">x</math>, для кулі для боулінгу. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Розглядаючи на [[#tab:modelandexperiment:kmes|Таблицю 1.2]], можна побачити, що кожна висота падіння давала різне значення <math display="inline">k</math>, тож, на перший погляд, можна дійти висновку, що теорія Хлої неправильна, оскільки здається, що нема значення <math display="inline">k</math>, яке застосовується до всіх ситуацій. Однак, при цьому ми б поступили неправильно, якщо не розуміли ''точність вимірювань'', які ми виконали. Припустимо, що ми '''повторили''' вимірювання кілька разів при '''фіксованій''' висоті падіння <math display="inline">x=3\ m</math>, і отримали значення як у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. <span id="tab:modelandexperiment:kmes_3m"></span> {| class="wikitable" |+ Повторні вимірювання часу падіння, <math display="inline">t</math>, для кулі для боулінгу, з висоти <math display="inline">x=3\ m</math>. Ми також обчислили <math display="inline">\sqrt x</math> і відповідне значення <math display="inline">k</math>. |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 1.01 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.58 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.76 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.44 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.64 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.37 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.73 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.42 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.66 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.38 |} Цей простий приклад підкреслює критичний аспект виконання будь-якого вимірювання: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що якщо повторити той самий експеримент, ми, ймовірно, отримаємо різні значення для тієї ж самої величини. У даному випадку, для фіксованої висоти падіння, <math display="inline">x=3\ m</math>, ми отримали розмах значень часу падіння, <math display="inline">t</math>, приблизно від <math display="inline">0.6</math> до <math display="inline">1.0</math> s. Чи означає це, що займатися наукою безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак ми маємо у формальний спосіб працювати з невизначеністю, яка є невіддільною частиною вимірювань. <span id="невизначеність-вимірювання"></span> == Невизначеність вимірювання == Значення в [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]] показують, що для незмінної експериментальної установки (висота падіння з 3 m) ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї величини (часу падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у виміряному часі, вказавши виміряне значення <math display="inline">t</math> шляхом надання “центрального значення” та “невизначеності”: <math display="block">\begin{aligned} t = 0.76 \pm 0.15\ s \end{aligned}</math> де 0.76 s називається «центральним значенням», а 0.15 s “невизначеністю” або “похибкою”. Зауважте, що ми використовуємо слово похибка як синонім невизначеності, а не «помилки». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми “достатньо впевнені”, що справжнє значення знаходиться у вказаному діапазоні. У цьому випадку діапазон, який ми зазначаємо для <math display="inline">t</math> становить від <math display="inline">0.61\ s</math> до <math display="inline">0.91\ s</math> (тобто, <math display="inline">0.76\ s - 0.15\ s</math> та <math display="inline">0.76\ s + 0.15\ s</math>). Коли ми говоримо, що “достатньо впевнені”, що значення знаходиться в межах зазначеного діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що це вірно з ймовірністю 68%, і допускаємо можливість того, що справжнє значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми вказали. Значення 68% виникає зі статистики та нормального розподілу. '''«Прецизійність», «точність» та «невизначеність» - у чому різниця?''' Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи ви повинні описати своє вимірювання з погляду «точності», чи «прецизійності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» або «невизначеності»? Ви не одні. Прецизійність, точність і невизначеність стосуються помилки, але мають різні значення. Аби уточнити ці терміни, я думаю, є корисним вивчати їх пліч-о-пліч. '''Прецизійність''' стосується того, наскільки близькі ваші вимірювання одне до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі одне до одного, ваші вимірювання прецизійні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетбольного м’яча, скинутого з фіксованої висоти. Виконавши вимірювання кілька разів, ви побачили, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значеннями одне до одного. Тоді ви можете повідомити, що “Після повторення нашого вимірювання декілька разів, значення, які ми отримали, були дуже близькі одне до одного. Наші вимірювання були прецизійними!”. Звісно, ми маємо вказати, що мається на увазі під “близькі” (можливо, з погляду ділень на лінійці, яка використовувалась для вимірювання висоти відскоку). '''Точність''' характеризує узгодженість між виміряною величиною та її справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного, виміряне значення є точним. Наприклад, скажімо, ви розробили модель для відстані, яку подолав камінь, запущений рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення є близьким до прогнозованого, ви скажете, що ваша модель точна: “Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною”. Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під терміном “близьке”, як правило, з погляду невизначеності виміряного вами значення. '''Невизначеність''' - це оцінка кількості, на яку виміряне значення буде відрізнятися від справжнього. У науці ми прагнемо знизити невизначеність наших вимірювань, аби ми могли перевірити моделі та теорії з більшою точністю. Скажімо, ви вимірюєте кількість обертів дзиґи протягом певного періоду часу. Ваші вимірювання знаходяться близько одне до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність вимірювань. Було б розумно сказати: «Після декількох вимірювань ми побачили що наші значення схожі, і невизначеність охоплює діапазон значень, які ми виміряли». <span id="визначення-центрального-значення-та-невизначеності"></span> === Визначення центрального значення та невизначеності === Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як визначити центральне значення і невизначеність. Наприклад, як ми прийшли до <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> зі значень у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]? Оцінка невизначеності та центральног '''Приклад 2.5.'''о значення вимірювання значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання декілька разів, як ми зробили у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. З повторюваним вимірюванням, раціональний вибір для центрального значення та невизначеності полягає у використанні '''середнього значення''' та '''стандартного відхилення''' вимірювань, відповідно. Якщо ми маємо <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення <math display="inline">\bar t</math> та стандартне відхилення <math display="inline">\sigma_t</math> визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Середнє значення - це просто середнє арифметичне значень, а стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (<math display="inline">\sigma^2_t</math>, квадрат стандартного відхилення). Також треба пам’ятати, що для дисперсії ми ділимо на <math display="inline">N-1</math> замість <math display="inline">N</math>. Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, що походять зі статистики і є гарним показником того, як розподіляються значення <math display="inline">t</math> навколо середнього, і, таким чином, вони є гарною мірою невизначеності. ----- '''Приклад 2.6.''' '''Розрахуйте середнє значення та стандартне відхилення для <math display="inline">k</math> з [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]].''' <span id="ex:modelandexperiment:stdcalc" label="ex:modelandexperiment:stdcalc"></span> Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, нам спочатку потрібно розрахувати середнє для <math display="inline">N=5</math> значень <math display="inline">k</math>: <math display="inline">\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38 \}</math>. Середнє значення визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{0.58 + 0.44 + 0.37 + 0.42 + 0.38}{5}=0,44\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення: <math display="block">\begin{aligned} \sigma^2_k &= \frac{1}{4}[(0.58-0.44)^2+(0.44-0.44)^2\\ &+(0.37-0.44)^2+(0.42-0.44)^2+(0.38-0.44)^2]=7.3e-3\ s^2\ m \end{aligned}</math> а стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню дисперсії: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k=\sqrt{0.0073}=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, ми вкажемо значення для <math display="inline">k</math> як: <math display="block">\begin{aligned} k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> ----- Будь-яке виміряне значення завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити наскільки воно відтворюється, і стандартне відхилення цих значень зазвичай хороша перша оцінка невизначеності значення [[#model-and-experiment:note3|[3]]]. Іноді вимірювання не можуть бути легко відтворені; знайти обґрунтовану невизначеність все ще необхідно, але в цьому випадку, її, як правило, потрібно оцінювати. [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиця 1.4]] наводить кілька поширених типів вимірювань та способи встановлення невизначеностей у цих вимірюваннях. <span id="tab:modelandexperiment:uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Різні типи вимірювань та способи призначення невизначеностей та центральних значень. |- ! style="text-align: left;"| Вид вимірювання ! style="text-align: left;"| Як визначити центральне значення та невизначеність |- | style="text-align: left;"| Повторювані вимірювання | style="text-align: left;"| Середнє значення ± стандартне відхилення |- | style="text-align: left;"| Одиночне вимірювання за градуйованою шкалою | style="text-align: left;"| Найближче значення та половина найменшого ділення |- | style="text-align: left;"| Підрахована кількість | style="text-align: left;"| Підраховане значення та квадратний корінь значення |} <span id="fig:modelandexperiment:ruler"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Ruler.png|thumb|'''Зображення 2.2.''' Довжину сірого прямокутника можна було б визначити як L = (2,80 ± 0,05) см, використовуючи правило «половини найменшого ділення».]] Наприклад, ми б вказали довжину сірого об’єкта на [[#fig:modelandexperiment:ruler|Зображенні 2.2]] рівною <math display="inline">L=2.8\pm0.05\ cm</math> на основі правил з [[#tab:modelandexperiment:uncertainties|Таблиці 1.4]], оскільки 2.8 cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об’єкта, а 0.5 mm - це половина найменшого ділення на лінійці. Використання половини найменшого ділення лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зауважте, що для оцінки невизначеності зазвичай краще відтворювати вимірювання замість використання половини найменшого ділення, хоча половина найменшого ділення має бути максимумом невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання та отримуючи стандартне відхилення, ви повинні перевірити, чи не є невизначеність ''більшою'' за половину найменшого ділення. '''Відносна невизначеність''' у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення і вираженням результату у вигляді відсотків. Наприклад, відносна невизначеність у <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math> задається як <math display="inline">0.15/0 .76=20\%</math>. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було встановлене значення. Як правило, значення вище 10% означає, що вимірювання не було дуже точним, і ми, як правило, розглядаємо значення відносної невизначеності менше ніж 1% як досить точне вимірювання. <span id="випадкові-й-систематичні-джерела-помилокневизначеності"></span> === Випадкові й систематичні джерела помилок/невизначеності === Важливо відзначити, що існує два можливих джерела невизначеності у вимірюванні. Перше називається “статистичним” або “випадковим” і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимірювання. Наприклад, кожен раз, коли ви кладете лінійку для вимірювання чогось, ви можете трохи змістити її в ту чи іншу сторону, і це вплине на ваші вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що при відтворенні вимірювання багато разів вони мають тенденцію до скасування, і середнє значення, як правило, може бути визначене з високою точністю при достатній кількості вимірювань. Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити та оцінити. Одним з прикладів може бути спроба виміряти щось за шкалою, яка не була належним чином тарована. У кінцевому підсумку ви можете отримати дуже малі випадкові похибки при вимірюванні ваги об’єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі зважування були зсунуті на певну величину, якщо ви не маєте доступу до іншої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності - неправильно відкаліброване обладнання, похибка паралаксу при вимірювання відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо. Нагадаю, ми хочемо підкреслити різницю між «похибкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «похибка» у вимірюванні випливає з того факту, що неможливо виміряти будь-що з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але їй можна запобігти. Якщо «помилка» трапляється у фізиці, експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки він має на увазі, що була допущена помилка. Натомість якщо ви думаєте, що виміряли час неточно, наприклад, посилайтеся на «час реакції людини», а не «людську помилку». [[#tab:modelandexperiment:humanerror|Таблиця 1.5]] показує приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але які натомість повинні бути описані більш точно. <span id="tab:modelandexperiment:humanerror"></span> {| class="wikitable" |+ Деякі джерела похибки |- ! style="text-align: left;"| '''Ситуація''' ! style="text-align: left;"| '''Джерело похибки''' |- | style="text-align: left;"| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору не була повністю паралельною вимірювальному пристрою. | style="text-align: left;"| Це похибка паралакса - тип систематичної похибки. |- | style="text-align: left;"| Ви неправильно виконали розрахунки. | style="text-align: left;"| Помилка! Повторіть розрахунки. |- | style="text-align: left;"| Протяг вітру в лабораторії трохи змінив напрямок вашого м’яча, що котиться вниз по нахилу. | style="text-align: left;"| Це ефект/похибка середовища - може бути випадковим або систематичним, залежно від того, чи завжди він мав однаковий вплив. |- | style="text-align: left;"| Ваша рука послизнулася, тримаючи лінійку - об’єкт був виміряний удвічі більшим за початковий розмір! | style="text-align: left;"| Помилка! Відкиньте дані та повторіть цей експеримент. |- | style="text-align: left;"| Під час проведення експерименту ви не натиснули кнопку «СТОП» точно у момент, коли експеримент припинився. | style="text-align: left;"| Похибка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довшим, ніж він є). |} Не використовуйте термін «людська помилка», натомість використовуйте їх. <span id="поширення-невизначеності"></span> === Поширення невизначеності === Повертаючись до даних у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]], ми побачили, що для відомої висоти падіння <math display="inline">x=3\ m</math> ми виміряли різні значення часу падіння, який, як ми порахували (використовуючи середнє значення та стандартне відхилення), становить <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math>. Ми також розрахували значення <math display="inline">k</math> що відповідає кожному значенню <math display="inline">t</math>, і знайшли <math display="inline">k=0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> ([[#ex:modelandexperiment:stdcalc|Приклад 2.6]]). Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень <math display="inline">t</math>, а лише до значення <math display="inline">t=0.76 \pm 0.15\ s</math> з невизначеністю. Як розрахувати значення з невизначеністю для <math display="inline">k</math>? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як “поширювати” невизначеність виміряного значення до невизначеності у значенні, отриманому з виміряного. Ми коротко представимо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступити за використання комп’ютерів для виконання розрахунків замість вас. '''1. Оцінка з використанням відносних невизначеностей'''<br /> Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було встановлено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання повинна мати подібну точність; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде подібна до невизначеності в <math display="inline">t</math>. Для <math display="inline">t</math> ми знайшли, що відносна невизначеність становить приблизно 20%. Якщо ми візьмемо центральне значення <math display="inline">k</math> як центральне значення <math display="inline">t</math>, поділене на <math display="inline">\sqrt x</math>, знаходимо: <math display="block">\begin{aligned} k=\frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Оскільки ми очікуємо, що відносна невизначеність в <math display="inline">k</math> буде приблизно рівною 20%, абсолютна невизначеність знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k = (0.2) k= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> що є близьким до значення, отриманого шляхом усереднення п’яти значень <math display="inline">k</math> у [[#tab:modelandexperiment:kmes_3m|Таблиці 1.3]]. '''2. Метод Мінімума-Максимума'''<br /> Педагогічним способом визначення <math display="inline">k</math> та його невизначеності є використання «Метода Мінімума-Максимума». Оскільки <math display="inline">k=t/\sqrt x</math>, <math display="inline">k</math> буде найбільшим, коли <math display="inline">t</math> є найбільшим, і найменшим, коли <math display="inline">t</math> є найменшим. Таким чином, ми можемо визначити “мінімальне” та “максимальне” значення <math display="inline">k</math>, які відповідають мінімальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{min}=0,61\ s</math> та максимальному значенню <math display="inline">t</math>, <math display="inline">t^{max}=0.91\ s</math>: <math display="block">\begin{aligned} k^{min} &= \frac{t^{min}}{\sqrt x}=\frac{0.61\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.35 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ k^{max} &= \frac{t^{max}}{\sqrt x}=\frac{0.91\,s}{\sqrt{(3\,m)}} = 0.53 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \end{aligned}</math> Це дає нам діапазон значень <math display="inline">k</math>, які відповідають діапазону значень <math display="inline">t</math>. Ми можемо обрати середину діапазону як центральне значення <math display="inline">k</math> і половину діапазону як невизначеність: <math display="block">\begin{aligned} \bar k &= \frac {1}{2}(k^{min}+k^{max})= 0.44 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \sigma_k &= \frac {1}{2}(k^{max}-k^{min})= 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}\\ \text{отже}\ k&= 0.44 \pm 0.09 \ s\ m^{-\frac {1}{2}}, \end{aligned}</math> що в цьому випадку дає таке саме значення, як отримане шляхом усереднення індивідуальних значень <math display="inline">k</math>. Хоча метод Мінімума-Максимума корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеності, на практиці ми зазвичай не використовуємо його, оскільки він має тенденцію переоцінювати невизначеність. '''3. Метод похідних'''<br /> У наведеному вище прикладі ми припускали, що значення <math display="inline">x</math> було відоме точно (і ми обрали 3 m), що, звісно, не є реалістичним сценарієм. Припустимо, що ми виміряли <math display="inline">x</math> з точністю до 1 cm, так що <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math>. Тоді завдання полягає у тому, щоб обчислити <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math>, коли обидва <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math> мають невизначеність. Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність у загальному випадку, якщо відносні невизначеності всіх величин є “малими” (менші ніж 10-20%). Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задається: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> Тобто центральне значення функції <math display="inline">F</math> знайдено шляхом обчислення значення функції у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>. Невизначеність <math display="inline">F</math>, <math display="inline">\sigma_F</math>, знаходиться шляхом суми Піфагора часткових похідних <math display="inline">F</math>, обчислених у центральних значеннях <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, помножених на невизначеність відповідних змінних, від яких залежить <math display="inline">F</math>. Невизначеність міститиме один доданок на змінну, від якої залежить <math display="inline">F</math>. У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як легко це обчислити за допомогою комп’ютера, тому не турбуйтеся, якщо вам некомфортно з частковими похідними (поки що!). Зауважте, що часткова похідна, <math display="inline">\frac{\partial F}{\partial x}</math>, є просто похідною від <math display="inline">F(x,y)</math> відносно <math display="inline">x</math> обчисленою так, ніби <math display="inline">y</math> є константою. Крім того, коли ми говоримо про «суму Піфагора», ми маємо на увазі підвести величини у квадрат, скласти їх, а потім взяти квадратний корінь (так само, як ви робите при обчисленні гіпотенузи прямокутного трикутника). <span id="ex:modelandexperiment:derivprop" label="ex:modelandexperiment:derivprop"></span> ----- '''Приклад 2.7.''' '''Використайте метод похідних для оцінки <math display="inline">k=\frac{t}{\sqrt{x}}</math> для <math display="inline">x=3.00 \pm 0.01\ m</math> і <math display="inline">t=0.76\pm 0.15\ s</math>'''. Тут <math display="inline">k=k(x,t)</math> є функцією від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">t</math>. Центральне значення легко знаходиться, використовуючи центральні значення <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \bar k = \frac{t}{\sqrt{x}} = \frac{(0.76\ s)}{\sqrt{(3\ m)}}=0.44\ s\ m^{-\frac {1}{2}}\end{aligned}</math> Тепер нам необхідно визначити та оцінити часткові похідні <math display="inline">k</math> відносно <math display="inline">t</math> та <math display="inline">x</math>:<br /> <math display="block"> \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\ m)}}=0\ 8{m^{-\frac{1}{2}}}\\ \frac{\partial k}{\partial x}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}= -\frac{1}{2}(0.76\ s)(3.00\ m)^{-\frac{3}{2}}=-0.073\ s\ m^{-\frac{3}{2}} \end{aligned} </math> І, нарешті, ми підставляємо це до суми Піфагора, аби отримати невизначеність <math display="inline">k</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sigma_k&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial t}\sigma_t \right)^2 }\\ &= \sqrt{\left((0.073\ s\ m^{-\frac {3}{2}}) (0.01\ m) \right)^2 + \left((0.58\ m^{-\frac {1}{2}})(0.15\ s) \right)^2 } \\ &=0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> Отже, ми знайшли, що: <math display="block">\begin{aligned} k&= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}} \end{aligned}</math> і це узгоджується з результатами, отриманими двома іншими методами. ----- '''Обговорення:''' Ми маємо спитати себе, чи є отримане нами значення обґрунтованим, оскільки ми також включили невизначеність <math display="inline">x</math> і очікували більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність <math display="inline">t</math>. Причина того, що невизначеність в <math display="inline">k</math> залишилась незмінною полягає у тому, що відносна невизначеність <math display="inline">x</math> дуже мала, <math display="inline">\frac{0.01}{3.00}\sim 0.3\%</math>, тому вона має дуже малий вплив у порівнянні з 20% невизначеності <math display="inline">t</math>. При поширенні невизначеності для простих операцій, метод похідних приводить до декількох скорочень, як показано у [[#tab:modelandexperiment:prop_uncertainties|Таблиці 1.7]]. Кілька правил, на які слід звернути увагу: # Невизначеності мають бути поєднані у сумі Піфагора # Для додавання та віднімання складіть абсолютні невизначеності у сумі Піфагора # Для множення та ділення складіть відносні невизначеності у сумі Піфагора <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція отримання <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} ----- Ми виміряли, що лама може подолати відстань 20,0 ± 0.5 m у 4.0 ± 0.5 s. '''Яка швидкість (з невизначеністю) лами?''' '''Відповідь:''' 5.0 ± 0.6 m/s ----- <span id="використання-графіків-для-візуалізації-та-аналізу-даних"></span> == Використання графіків для візуалізації та аналізу даних == Таблиця [[#tab:modelandexperiment:kmes2|нижче]] відтворює наші вимірювання того, скільки часу (<math display="inline">t</math>) знадобилося, аби скинути об’єкт з певної висоти, <math display="inline">x</math>. Теорія гравітації Хлої передбачила, що дані мають бути описані наступною моделлю: <math display="block">\begin{aligned} t = k \sqrt{x} \end{aligned}</math> де <math display="inline">k</math> - невизначений коефіцієнт пропорційності. <span id="tab:modelandexperiment:kmes2"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''x''' [m] ! style="text-align: center;"| '''t''' [s] ! style="text-align: center;"| '''<math display="inline">\sqrt x</math>''' [m] ! style="text-align: center;"| '''k''' [s m⁻] |- | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 | style="text-align: center;"| 1.00 | style="text-align: center;"| 0.33 |- | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.74 | style="text-align: center;"| 1.41 | style="text-align: center;"| 0.52 |- | style="text-align: center;"| 3.00 | style="text-align: center;"| 0.67 | style="text-align: center;"| 1.73 | style="text-align: center;"| 0.39 |- | style="text-align: center;"| 4.00 | style="text-align: center;"| 1.07 | style="text-align: center;"| 2.00 | style="text-align: center;"| 0.54 |- | style="text-align: center;"| 5.00 | style="text-align: center;"| 1.10 | style="text-align: center;"| 2.24 | style="text-align: center;"| 0.49 |} Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - побудувати їх графік. Зокрема, якщо ми побудуємо графік залежності <math display="inline">t</math> від <math display="inline">\sqrt{x}</math>, ми очікуємо, що точки потраплять на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом <math display="inline">k</math> (якщо дані описуються теорією Хлої). У [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Додаток Г: Мова програмування Python|Додатку Г]] ми покажемо вам, як мождна побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил і зсув лінії, що найкраще відповідає даним, як показано на [[#fig:modelandexperiment:tvssqx|Зображенні 2.3]]. <span id="fig:modelandexperiment:tvssqx"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Tvssqx.png|thumb|'''Зображення 2.3.''' Графік залежності t від √x та наближена пряма з похибкою.]] При побудові графіка даних та прямої (або іншої лінії), що узгоджується з ними, важливо переконатися, що експериментальні значення мають невизначеність принаймні для величини, яка розташована на осі <math display="inline">y</math>. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність <math display="inline">0.15\ s</math>, і що вимірювання відстані не мають, або мають незначну невизначеність. Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде <math display="inline">k</math>, наближення всіх точок даних лінією дозволяє нам знайти <math display="inline">k</math>. У цьому випадку ми знаходимо, що <math display="inline">k=0.61\pm 0.13\ s.m^{-\frac {1}{2}}</math>. '''Наближення даних оптимальною прямою є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірюваннями'''. Зауважте, ми очікуємо, що згідно з нашою моделлю, пряма має перетинати нуль, проте наближена лінія перетинає вісь <math display="inline">y</math> на <math display="inline">-0.24\pm 0.22\ s</math>, що трохи нижче, але узгоджується з нулем. Виходячи з цих даних, ми б зробили висновок, що наші вимірювання узгоджуються з теорією Хлої. Знову ж таки, пам’ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише виключити її; у цьому випадку ми не можемо виключити теорію Хлої, маючи такі дані. Якби всі точки даних не знаходились вздовж прямої лінії, ми б дійшли висновку, що або теорія Хлої недійсна, або не була врахована якась форма похибки в даних. <span id="звітність-про-виміряні-значення"></span> == Звітність про виміряні значення == Тепер, коли ви знаєте, як задати невизначеність для виміряної величини а потім поширити цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світу. Аби робити «правильну науку», ваші вимірювання мають бути відтворюваними, чітко представленими і точно описаними. Нижче наведені загальні правила, яких слід дотримуватися під час звітування виміряного числа: # Вкажіть одиниці, бажано одиниці SI (використовуйте похідні одиниці SI, такі як ньютони, коли це доречно). # Включіть опис того, як була розрахована невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви поширювали невизначеність?). # Показуйте не більше 2 «значущих цифр» [[#model-and-experiment:note4|[4]]] у невизначеності та відформатуйте центральне значення до того ж знаку, що і невизначеність. # Використовуйте наукову нотацію, коли це доречно (зазвичай числа більше ніж 1000 або менше ніж 0.01). # Відокремте множник степеня 10 з центрального значення та невизначеності (наприклад, 10123 ± 310 m краще було б представити як 10.12 ± 0.31 × 10³ m або 101.2 ± 3.1 × 10² m). ----- Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії рівною 1.0535 m зі стандартним відхиленням 0.0525 m. '''Як найкраще представити цей показник?''' # 1.0535 ± 0.0525 m # 1.054 ± 0.053 m # 105.4 ± 5.3 × 10⁻² m # 105.35 ± 5.25 cm ----- <span id="порівняння-моделі-та-вимірювання-обговорення-результату"></span> == Порівняння моделі та вимірювання — обговорення результату == Для розвитку науки ми проводимо вимірювання та порівнюємо їх з теорією або прогнозуванням моделі. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань між собою та з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої <math display="inline">k= 0.44 \pm 0.09\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>. Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для <math display="inline">k</math>, лише те, що час падіння є пропорційним квадратному кореню висоти падіння. Універсальна теорія Ісаака Ньютона сили тяжіння прогнозує значення для <math display="inline">k</math> 0.45 s m⁻ з незначною невизначеністю. При цьому, оскільки (теоретичне) значення моделі легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом. Припустімо, що замість цього ми виміряли <math display="inline">k=0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, так, що найнижче значення, сумісне з нашим вимірюванням, <math display="inline">k=0.55\ s\ m^{-\frac {1}{2}}-0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}=0.47\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math>, не є сумісним з прогнозом Ньютона. Чи зробили б ми висновок, що наші вимірювання спростовують теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від… Те, від чого «це залежить», слід обговорювати кожен раз, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо вони ''сумісні'' з передбаченням — можливо, це випадковість). Нижче наведено кілька загальних моментів, які слід враховувати при представленні вимірювань, і які будуть направляти вас у прийнятті рішення, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу: * Як розраховувалась та/або поширювалася невизначеність? Чи був обраний спосіб доцільним? * Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані у невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось, що важко відтворити). * Чи є відносні невизначеності обґрунтованими на основі точності, яку ви обґрунтовано очікуєте? * Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення? * Які припущення були зроблені при визначенні прогнозу моделі? Вище наведене значення <math display="inline">k= 0.55 \pm 0.08\ s\ m^{-\frac {1}{2}}</math> є результатом поширення невизначеності з <math display="inline">t</math>. Таким чином можна припустити, що справжнє значення <math display="inline">t</math>, а отже і <math display="inline">k</math>, знаходиться за межами діапазону, який ми визначили. Оскільки наше значення <math display="inline">k</math> все ще досить близьке до прогнозованого, ми не будемо визнавати недійсною Теорію Ньютона на основі цього вимірювання. Різниця між нашими вимірюванням та прогнозованим значенням становить лише <math display="inline">1.25 \cdot \sigma_k</math>, тож вона дуже близька до інтервалу невизначеності. Аналогічним чином ми можемо обговорювати, чи є сумісними одне з одним два різних вимірювання, кожне з невизначеністю. Якщо інтервали, задані невизначеністю двох значень, перетинаються, то вони чітко сумісні. Якщо ж інтервали не перетинаються, вони можуть бути несумісними, або ж невідповідність може бути результатом того, як були розраховані невизначеності, і вимірювання все ще можуть вважатися узгодженими одне з одним. <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Вимірювані величини мають розмірність та одиниці вимірювання. Фізична величина має завжди повідомлятися з одиницями, бажано одиницями SI. Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви повинні завжди запитувати, чи є прогноз раціональним (Чи має він прийнятний порядок величини? Чи має він правильну розмірність?). Будь-яка величина, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви встановили з моделі або теорії, також матиме невизначеність. Найкращий спосіб встановити невизначеність - це повторити вимірювання і використати середнє значення і стандартне відхилення вимірювань як центральне значення і невизначеність. Якщо у нас є <math display="inline">N</math> вимірювань деякої величини <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\{t_1, t_2, t_3, \dots t_N\}</math>, тоді середнє значення, <math display="inline">\bar t</math>, і стандартне відхилення, <math display="inline">\sigma_t</math>, визначаються як: <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac {1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac {1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко встановити. Ви завжди повинні думати, з яких причин виміряні вами значення можуть виявитися неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність каже вам, чи є ваше вимірювання прецизійним. Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність з використанням відносної невизначеності або використовуючи метод Мінімума-Максимума, який має тенденцію переоцінювати невизначеність. Бажаним способом поширення невизначеності є метод похідних, який можна використовувати до тих пір, поки відносні невизначеності вимірювань невеликі. Якщо у нас є функція, <math display="inline">F(x,y)</math>, яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад, <math display="inline">x\pm\sigma_x</math>, <math display="inline">y\pm\sigma_y</math>), тоді центральне значення і невизначеність <math display="inline">F(x,y)</math> задаються наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2 } \end{aligned}</math> Це можна легко обчислити за допомогою комп’ютера. Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини мають бути лінійно пов’язані (одна з них пропорційна іншій), нанесіть їх на графік, аби підтвердити це! Використовуйте для цього комп’ютер! '''Центральне значення та невизначеність:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar t &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=N} t_i=\frac{t_1 +t_2 +t_3 +\dots+ t_N}{N} \\ \sigma_t^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_i-\bar t)^2 = \frac{(t_1-\bar t)^2+(t_2-\bar t)^2+(t_3-\bar t)^2+\dots+(t_N-\bar t)^2}{N-1} \\ \sigma_t &=\sqrt{\sigma_t^2} \end{aligned}</math> '''Метод похідних:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} \bar F &= F(\bar x, \bar y) \\ \sigma_F &= \sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_x \right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_y \right)^2} \end{aligned}</math> <span id="tab:modelandexperiment:prop_uncertainties"></span> {| class="wikitable" |+ Як поширювати невизначеність від виміряних значень <math display="inline">x\pm\sigma_x</math> та <math display="inline">y\pm\sigma_y</math> на величину <math display="inline">z(x,y)</math> для частих операцій. |- ! style="text-align: left;"| '''Функція <math display="inline">z</math>''' ! style="text-align: left;"| '''Невизначеність <math display="inline">z</math>''' |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x+y</math> (додавання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=x-y</math> (віднімання) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=xy</math> (добуток) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=xy\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=\frac{x}{y}</math> (ділення) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\frac{x}{y}\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}</math> |- | style="text-align: left;"| <math display="inline">z=f(x)</math> (функція від 1 змінної) | style="text-align: left;"| <math display="inline">\sigma_z=\left | \frac{df}{dx}\sigma_x \right |</math> |} <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте та дослідіть:''' # Часто фізики повідомляють виміряне число зі «стандартною» невизначеністю і зазначають, що існує ймовірність 68% того, що справжнє значення лежить в межах охопленого невизначеністю діапазону. Звідки взялося число 68%? # Чому метод похідних може бути використаний лише тоді, коли відносна невизначеність невелика? # Як би ви оцінили висоту високої будівлі? '''Експерименти, які можна спробувати вдома:''' # Оцініть об’єм вашої кімнати та кількість людей, що можуть бути складені в кімнаті. Сформулюйте ваші припущення та те, як ви встановили значення. '''Експерименти, які слід спробувати в лабораторії:''' # Універсальна теорія гравітації Ньютона передбачає, що відстань, <math display="inline">x</math>, пройдена об’єктом, що падає протягом часу <math display="inline">t</math>, задається як: <math display="block">\begin{aligned} x = \frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Встановіть значення <math display="inline">g</math> (із невизначеністю) шляхом виконання експерименту, який дозволить вам визначити <math display="inline">g</math> за допомогою знаходження кутового коефіцієнта оптимальної наближеної прямої. <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 2.1.:''' <span id="prob:modelandexperiment:juggling" label="prob:modelandexperiment:juggling"></span>Під час лекції з фізики, ви заглядаєте під своє сидіння і знаходите аркуш, що містить дані експерименту з вертикального кидання м’ячів (ймовірно, експеримент з жонглювання). У нижній частині аркуша наведено наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} =\frac{v_2^{2} -v_1^{2}}{2a} \end{aligned}</math> разом із описом: * <math display="inline">v_1</math> = початкова виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - різні показники. * <math display="inline">v_2</math> = кінцева виміряна швидкість м’яча <math display="inline">m/s</math> - здається, що кожен раз дорівнює нулю. * <math display="inline">a</math> = прискорення м’яча (<math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>). На жаль, учні розлили кетчуп з лівого боку їх рівняння, і це зробило його нерозбірливим. На щастя, ви володієте аналізом розмірностей. Що намагалися порахувати студенти на основі цієї моделі? ([[#soln:modelandexperiment:juggling|Розв’язок]]). '''Задача 2.2.:''' <span id="prob:modelandexperiment:chelseashoes" label="prob:modelandexperiment:chelseashoes"></span>Челсі ретельно готується до її майбутньої поїздки в Європу. Будучи самопроголошеним «Шопоголіком» і любителькою фізики, вона хоче з’ясувати, скільки пар взуття, яке можна придбати у відпустці, фізично поміститься у її шафі. Її шафа - це гардеробна з двома дверима. Оцініть кількість пар взуття, які можуть поміститися в шафі Челсі. ([[#soln:modelandexperiment:chelseashoes|Розв’язок]]). <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:juggling|Задачі 2.1]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:juggling" label="soln:modelandexperiment:juggling"></span> Ми можемо використати їх рівняння для визначення розмірності величини з лівої стороні: <math display="block">\begin{aligned} \left[?\right]&=\frac{\left[v_2^{2}\right]-\left[v_1^{2}\right]}{\left[a\right]}=\frac{\left(\frac{L}{T}\right)^{2}-\left(\frac{L}{T}\right)^2}{\frac{L}{T^{2}}}= L \end{aligned}</math> Тобто, розмірність невідомої величини — довжина. Враховуючи контекст, вони, ймовірно, намагалися змоделювати висоту, на яку вертикально кинутий м’яч підлетить, перш ніж зупиниться. '''Рішення [[#prob:modelandexperiment:chelseashoes|Задачі 2.2]]:''' <span id="soln:modelandexperiment:chelseashoes" label="soln:modelandexperiment:chelseashoes"></span> Ми почнемо з оцінки об’єму шафи Челсі та пари взуття. Шафа Челсі - це «гардеробна» з двома дверима. Якщо ми знаємо розміри дверей, ми можемо оцінити ширину та висоту шафи. Оцінюючи середній розмір великих дверей <math display="inline">1\ m\times 2\ m</math>, одна сторона об’єму матиме площину <math display="inline">4\ m^2</math>. Якщо ми оцінимо глибину шафи Челсі приблизно <math display="inline">3\ m</math>, об’єм її шафи становитиме <math display="inline">12\ m^3</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Chelseashoes.png|thumb|'''Зображення 2.4.''' Шафа Челсі]] Далі ми можемо оцінити розмір середньої пари взуття, моделюючи взуття у вигляді прямокутної коробки. Одиниця взуття має висоту і ширину близько <math display="inline">5\ cm</math> і довжину близько <math display="inline">25\ cm</math>. Пара взуття, таким чином, буде еквівалентно коробці з розмірами <math display="inline">5\ cm \times 10\ cm \times 25\ cm = 1250\ cm^3</math>. Це еквівалентно <math display="inline">0.00125\ m^3</math>. Тепер ми можемо визначити, скільки пар взуття, <math display="inline">N</math>, помістяться у шафі: <math display="block">\begin{aligned} N=\frac{(12\ m^3)}{(0.00125\ m^3)}= 9600\approx 10000 \end{aligned}</math> Ми порахували, що під час подорожі Челсі може придбати близько 10 000 нових пар взуття і все ще вмістить їх у свою шафу. Час робити покупки, Челсі! ----- <span id="model-and-experiment:note1"></span> [1] Мить тут - це одиниця, що використовується в електроніці та, як правило, відповідає або 1/50, або 1/60 секунди. <span id="model-and-experiment:note2"></span> [2] Зауважте, що ми також можемо записати метри на секунду як <math display="inline">m\cdot</math>s<math display="inline">^{-1}</math>, але ми часто використовуємо знак ділення, якщо дільник має степінь 1. <span id="model-and-experiment:note3"></span> [3] На практиці стандартне відхилення є занадто консервативною оцінкою похибки, і ми будемо використовувати стандартне відхилення, поділене на квадратний корінь з числа вимірювань. <span id="model-and-experiment:note4"></span> [4] Значущі цифри - це ті, які виключають провідні та кінцеві нулі. {{Гортання сторінок|Науковий метод і фізика|Опис руху в одному вимірі}} 1ww7mjcaaq6wp94hfccu3omg8d51de3 0 8631 41536 41268 2026-11-07T19:19:58Z Slavust 9295 41536 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустимо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} rskg3yfjocm5194cbquewaxaj56hqc7 41537 41536 2026-11-07T19:22:34Z Slavust 9295 /* Рух з постійним прискоренням */ 41537 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.1.''' '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустімо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} g78wedxip195jzyppkuuhuujuqrbn9r 41538 41537 2026-11-07T19:24:13Z Slavust 9295 /* Відносний рух */ 41538 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.1.''' '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустімо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.2.''' Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} bacrllmcthxotw6qc24v5m1ct70u04r 41539 41538 2026-11-07T19:26:14Z Slavust 9295 /* Візуалізація руху з постійним прискоренням */ 41539 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.1.''' '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустімо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу 3.1]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі 3.1]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|прикладі]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.2.''' Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} cv9j1cit8mkknzy4whavsfdsln8vklt 41540 41539 2026-11-07T19:27:49Z Slavust 9295 /* Візуалізація руху з постійним прискоренням */ 41540 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо інструменти, необхідні для опису руху в одному вимірі. У наступних розділах ми будемо використовувати теорії фізики для моделювання руху об’єктів, але спочатку нам потрібно переконатися, що ми маємо інструменти для опису руху. Зазвичай ми використовуємо слово “кінематика”, щоб позначити інструменти для опису руху (наприклад, швидкості, прискорення, положення тощо), тоді як ми посилаємося на “динаміку”, коли використовуємо закони фізики для передбачення руху (наприклад, який відбудеться рух, якщо до об’єкта прикладається сила). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух в одному вимірі, використовуючи функції та визначаючи вісь. * Визначати положення, напрямок, швидкість та прискорення. * Використовувати інструменти математичного аналізу для опису руху. * Вміти описувати рух у різних системах відліку. </div> <div class="mdframed"> Ви кидаєте м’яч вгору з початковою швидкістю <math display="inline">v</math>. Припустимо, що опору повітря немає. '''Коли ви ловите м’яч, його швидкість буде…''' # більшою за <math display="inline">v</math>. # рівною <math display="inline">v</math>. # меншою за <math display="inline">v</math>. # у зворотному напрямку. </div> ----- Найпростіший тип руху для опису — це частинка, обмежена рухом по прямій лінії (одновимірний рух); як потяг уздовж прямої ділянки колії. Коли ми кажемо, що хочемо описати рух частинки (або потягу), ми маємо на увазі, що прагнемо бути у змозі відповісти на питання «де частинка знаходиться у який момент часу». Формально, ми хочемо знати '''положення частинки як функцію часу''', яку будемо позначити <math display="inline">x(t)</math>. Функція матиме сенс лише в тому випадку, якщо: * ми вказуємо вісь <math display="inline">x</math> і напрямок, який відповідає збільшенню значень <math display="inline">x</math> * вказуємо точку відліку, де <math display="inline">x=0</math> * вказуємо одиниці вимірювання <math display="inline">x</math>. Якщо все це не зазначено, вам буде важко описати рух об’єкта одному з ваших друзів телефоном. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1daxis.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png" label="fig:DescribingMotionIn1D: 1daxis.png"></span>'''Зображення 3.1.''' Аби описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії, ми вводимо вісь <math display="inline">x</math>, представлену стрілкою для позначення напрямку збільшення <math display="inline">x</math>, і розташування початку відліку, де <math display="inline">x=0\ m</math>. Враховуючи наш вибір початку відліку, м’яч наразі знаходиться в положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>.]] </div> Розглянемо [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображення 3.1]], де ми хочемо описати рух сірої кулі вздовж прямої лінії. Щоб кількісно визначити, де знаходиться м’яч, введемо вісь “<math display="inline">x</math>”, проілюстровану чорною стрілкою. Напрямок стрілки відповідає напрямку, у якому <math display="inline">x</math> збільшується (тобто стає більш додатним). Ми також обрали точку, де <math display="inline">x=0</math>, і за домовленістю, ми обираємо виражати <math display="inline">x</math> в одиницях метрів (одиниця S.I. для довжини). Зверніть увагу, що ми повністю вільні у виборі напрямку осі <math display="inline">x</math> та розташування початку відліку. Вісь <math display="inline">x</math> є математичною конструкцією, яку ми вводимо, щоб описати фізичний світ; ми могли б так само легко обрати протилежний напрямок та інший початок відліку. Оскільки ми повністю вільні обирати, як визначати вісь <math display="inline">x</math>, ми маємо обрати найзручніший для нас варіант. <span id="рух-з-постійною-швидкістю"></span> = Рух з постійною швидкістю = Тепер припустимо, що м’яч на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1daxis.png|Зображенні 3.1]] котиться, і ми записували його позицію <math display="inline">x</math> кожну секунду та отримали значення в [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] (наразі ми проігноруємо невизначеності вимірювань і удамо, що значення є точними). <div class="center"> {| class="wikitable" |+ <span id="tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion" label="tab:DescribingMotionIn1D: 1dmotion"></span>'''Таблиця 3.1.''' Положення м’яча вздовж осі x в кожну секунду. |- ! style="text-align: left;"| '''Час [s]''' ! style="text-align: left;"| '''X-позиція [m]''' |- | style="text-align: left;"| 0.0 s | style="text-align: left;"| 0.5 m |- | style="text-align: left;"| 1.0 s | style="text-align: left;"| 1.0 m |- | style="text-align: left;"| 2.0 s | style="text-align: left;"| 1.5 m |- | style="text-align: left;"| 3.0 s | style="text-align: left;"| 2.0 m |- | style="text-align: left;"| 4.0 s | style="text-align: left;"| 2.5 m |- | style="text-align: left;"| 5.0 s | style="text-align: left;"| 3.0 m |- | style="text-align: left;"| 6.0 s | style="text-align: left;"| 3.5 m |- | style="text-align: left;"| 7.0 s | style="text-align: left;"| 4.0 m |- | style="text-align: left;"| 8.0 s | style="text-align: left;"| 4.5 m |- | style="text-align: left;"| 9.0 s | style="text-align: left;"| 5.0 m |} </div> Найпростіший спосіб візуалізувати значення з таблиці — це побудувати їх графік, як на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]]. Графік положення як функції часу є одним з найпоширеніших графіків у фізиці, оскільки він часто є повним описом руху об’єкта. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_1dxvst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1dxvst"></span>'''Зображення 3.2.''' Графік позиції як функції часу, використовуючи значення з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]].]] </div> Дані на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]] показують, що позиція <math display="inline">x</math> м’яча збільшується лінійно з часом (тобто це пряма лінія і позиція збільшується з постійною швидкістю). Це означає, що за рівні кроки часу, м’яч буде долати рівні відстані. Зверніть увагу, що ми також маємо свободу вибору при визначенні, у який момент <math display="inline">t=0</math>; в цьому випадку ми обрали час рівним нулю, коли м’яч знаходиться у положенні <math display="inline">x=0.5\ m</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Використовуючи дані з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]] визначте, в якій позиції вздовж осі x буде м’яч у час <math display="inline">t=9.5\ s</math>, якщо він продовжить незмінний рух?''' # 5.0 m # 5.25 m # 5.75 m # 6.0 m </div> ----- Оскільки позиція м’яча як функція часу, показана на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Зображенні 3.2]], є лінійною, опис руху може бути підсумований з використанням функції, <math display="inline">x(t)</math>, замість запису табличних значень, як ми це зробили у [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці 3.1]]. Ми знаємо, що функціональна форма буде наступною: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_x t \end{aligned}</math> Константа <math display="inline">x_0</math> є “зміщенням” функції, значенням, яке функція має при <math display="inline">t=0\ s</math>. Ми називаємо <math display="inline">x_0</math> «початковим положенням» об’єкта (його положенням при <math display="inline">t=0</math>). Константа <math display="inline">v_x</math> є “нахилом“ функції й дає швидкість зміни положення як функції часу. Ми називаємо <math display="inline">v_x</math> «швидкістю» об’єкта. Початкове положення — це просто значення положення в момент <math display="inline">t=0</math>, й надане таблицею як: <math display="block">\begin{aligned} x_0 = 0.5\ m \end{aligned}</math> Швидкість, <math display="inline">v_x</math>, є просто різницею в положенні, <math display="inline">\Delta x</math>, між будь-якими двома точками, поділеною на кількість часу, <math display="inline">\Delta t</math>, потрібного, щоб об’єкт перемістився між цими двома точками (відношення підйому графіка <math display="inline">x(t)</math> до пройденого часу <math display="inline">t</math>): <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Розглядаючи будь-які два рядки з [[#tab:DescribingMotionIn1D:1dmotion|Таблиці]], ми бачимо, що об’єкт долає відстань <math display="inline">\Delta x=0.5\ m</math> за час <math display="inline">\Delta t=1\ s</math>. Тому його швидкість становить: <math display="block">\begin{aligned} v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(0.5\ m)}{(1\ s)}=0.5\ m/s \end{aligned}</math> Таким чином, положення об’єкта як функція часу <math display="block">\begin{aligned} x(t) = (0.5\ m) + (0.5\ m/s) t \end{aligned}</math> Якщо швидкість <math display="inline">v_x</math> велика, об’єкт подолає більшу відстань у заданий час, тобто рухатиметься швидше. Якщо <math display="inline">v_x</math> - від’ємне число, значить об’єкт рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>. '''Швидкість''' («Speed») об’єкта - абсолютне значення його направленої швидкості («Velocity»). Таким чином, об’єкти, що рухаються у різних напрямках, матимуть різні направлені швидкості, але можуть мати однаковий модуль швидкості, якщо вони долають однакову відстань за однаковий проміжок часу. <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dturn.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dturn" label="fig: DescribingMotionIn1D:1dturn"></span>'''Зображення 3.3.''' Положення об’єкта як функція часу.]] </div> ----- '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dturn|Зображення 3.3]], що ви можете сказати про рух об’єкта?''' # Об’єкт рухався швидше і швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, потім сповільнився до зупинки у <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт перемістився у додатному напрямку x між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, а потім розвернувся і перемістився у від’ємному напрямку x між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. # Об’єкт рухався швидше між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=30\ s</math>, ніж між <math display="inline">t=30\ s</math> і <math display="inline">t=60\ s</math>. </div> <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1d2objects.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects" label="fig: DescribingMotionIn1D: 1d2objects"></span>'''Зображення 3.4.''' Положення як функція часу для двох об’єктів.]] </div> '''Розглядаючи [[#fig:DescribingMotionIn1D:1d2objects|Зображення 3.4.]], що ви можете сказати про рух двох об’єктів?''' # Об’єкт 1 повільніший за Об’єкт 2 # Об’єкт 1 більш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 # Об’єкт 1 менш ніж удвічі швидший, ніж Об’єкт 2 ----- </div> <span id="рух-з-постійним-прискоренням"></span> = Рух з постійним прискоренням = Дотепер ми розглядали рух, де швидкість є постійною (тобто, коли швидкість не змінюється з часом і положення об’єкта є лінійною функцією часу). Припустімо, ми хочемо описати падіння предмета, звільненого зі стану спокою в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>. Об’єкт розпочне рух зі швидкості 0 m/s і буде '''прискорюватися''' протягом падіння. Ми кажемо, що об’єкт «прискорюється», якщо його швидкість не є постійною. Як ми побачимо в наступних розділах, об’єкти що падають біля поверхні Землі отримують постійне прискорення (темп зміни їх швидкості є постійним). Формально ми визначаємо прискорення як темп зміни швидкості. Нагадаємо, що швидкість — це темп зміни положення, тому прискорення є для швидкості тим самим, чим є швидкість для положення. Зокрема, ми бачили, що коли швидкість, <math display="inline">v_x</math>, постійна, позиція як функція часу задається виразом: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0 + v_xt \end{aligned}</math> За аналогією, якщо прискорення постійне, швидкість як функція часу задається: <span id="eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t) = v_{0x} + a_xt \end{aligned}</math> де <math display="inline">a_x</math> - «прискорення», а <math display="inline">v_{0x}</math> - швидкість об’єкта у момент <math display="inline">t=0</math>. Ми можемо розрахувати розмірність прискорення, за якої це рівняння матиме сенс. Оскільки ми складаємо <math display="inline">v_{0x}</math> і <math display="inline">a_xt</math>, нам потрібно, щоб <math display="inline">a_xt</math> мало розмірність швидкості: <math display="block"> \begin{aligned} \left[a_xt\right] &= \frac{L}{T}\\ \left[a_x\right] &= \frac{L}{T^2}\\ \end{aligned} </math> Таким чином, прискорення має розмірність довжини на час у квадраті, з відповідними одиницями S.I. <math display="inline">m/s^2</math> (метрів на секунду у квадраті або метрів на секунду на секунду). Аби описати положення об’єкта, що прискорюється, ми не можемо використати попереднє [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]], оскільки воно коректно лише коли швидкість постійна. У секції [[#sec:DescribingMotionIn1D:calca|1.3.2]] ми покажемо, що положення як функція часу, <math display="inline">x(t)</math>, об’єкта з '''постійним прискоренням''', <math display="inline">a_x</math>, задається формулою: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst"></span> <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де при <math display="inline">t=0</math> об’єкт знаходився у положенні <math display="inline">x=x_0</math> та мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math>. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.1.''' '''М’яч кидається вгору зі швидкістю <math display="inline">10\ m/s</math>. За яку відстань м’яч зупиниться, перш ніж почати падати назад?''' Припустімо, що сила тяжіння викликає постійне прискорення униз <math display="inline">9.8 m/s^2</math>. <span id="ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown" label="ex:DescribingMotionIn1D: ballupandown"></span> Ми розв’яжемо цю проблему наступними кроками: # Визначимо систему координат (вісь x). # Ідентифікуємо стан, що відповідає м’ячу, коли він зупиняє рух вгору і починає падіння вниз. # Визначимо відстань, на якій настав цей стан. Оскільки ми кидаємо м’яч вгору з початковою швидкістю, має сенс обрати вісь x так, щоб вона вказувала вгору і мала початок в точці, де ми відпускаємо м’яч. З цим вибором, посилаючись на змінні в [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|рівнянні]], маємо: <math display="block">\begin{aligned} x_0&=0\\ v_{0x}&=+10\ m/s\\ a_x&=-9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> де початкова швидкість спрямована у напрямку х, а прискорення, <math display="inline">a_x</math>, знаходиться у від’ємному напрямку (швидкість буде ставати все меншою, тож темп її зміни є від’ємним). Умовою зупинки м’яча на вершині траєкторії є те, що його швидкість дорівнюватиме нулю (це й означає зупинитися). Ми можемо використати [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівняння]], аби дізнатися, якому часу це відповідає: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x}+a_xt\\ 0 &= (10\ m/s) + (-9.8\ m/s^2)t\\ \therefore, t&=\frac{(10\ m/s)}{(9,8\ m/s^2)}=1.02\ s \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо, що знадобилося 1.02 s, аби досягти вершини траєкторії, можна дізнатися, яка була пройдена відстань: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2\\ x &= (0\ m)+(10\ m/s)(1.02\ s)+\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)(1.02\ s)^2 = 5.10\ m \end{aligned}</math> і ми знаходимо, що м’яч підніметься на 5.10 m перш ніж почати падати вниз. </div> ----- <span id="візуалізація-руху-з-постійним-прискоренням"></span> == Візуалізація руху з постійним прискоренням == Коли об’єкт має постійне прискорення, його швидкість і положення як функції часу описуються двома наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v_{0x} + a_xt\\ x(t) &= x_0+v_{0x}t+ \frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> де швидкість змінюється лінійно з часом, а позиція змінюється квадратично з часом. [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]] показує графік положення та швидкості як функцій часу для м’яча з [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладу 3.1]] в перші три секунди руху. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling 1dxvvst aconst.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst" label="fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst"></span>'''Зображення 3.5.''' Положення та швидкість як функції часу для м’яча у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі 3.1]].]] </div> Ми можемо розділити рух на три частини (показані вертикальними пунктирними лініями на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]]): '''1) Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=1.02\ s</math>''' В момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, м’яч починає в положенні <math display="inline">x=0\ m</math> (лівий графік) і має швидкість <math display="inline">v_{0x}=10\ m/s</math> (правий графік). Протягом першої секунди руху, положення <math display="inline">(t)</math> збільшується (м’яч рухається вгору), поки не припинить зростати при <math display="inline">t=1.02\ s</math>, як показано у [[#ex:DescribingMotionIn1D:ballupandown|Прикладі 3.1]]. Протягом цього ж часу швидкість лінійно зменшується від 10 m/s до 0 m/s внаслідок постійного від’ємного прискорення, зумовленого силою тяжіння. При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість становить 0 m/s, і м’яч на мить перебуває в стані спокою (коли він досягає верхньої частини траєкторії, перш ніж почати падіння). '''2) Між <math display="inline">t=1.02\ s</math> і <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' При <math display="inline">t=1.02\ s</math> швидкість продовжує лінійно зменшуватися (стає все більш і більш від’ємною), і м’яч починає падати все швидше і швидше. Положення також починає зменшуватися відразу після <math display="inline">t=1.02\ s</math>, поки м’яч повертається назад до початкової точки. У <math display="inline">t=2.04\ s</math> м’яч повертається до точки, з якої він був кинутий, і рухається з тією ж швидкістю (10 m/s), з якою був кинутий, але напрямок швидкості від’ємний (рух вниз). '''3) Після <math display="inline">t=2.04\ s</math>''' Якщо немає нічого, щоб зупинити м’яч, він продовжує падати вниз з постійно збільшуваною (за модулем) швидкістю, і положення продовжує ставати все більш від’ємним. ----- <div class="mdframed"> '''Намалюйте графік прискорення як функції часу, що відповідає положенню та швидкості, показаним на [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображенні 3.5]].''' <div class="answer"> Це просто пряма лінія, оскільки прискорення є постійним й дорівнює <math display="inline">-9.8\ m/s^2</math>. </div> </div> ----- <span id="використання-математичного-аналізу-для-опису-руху"></span> = Використання математичного аналізу для опису руху = Об’єкти не обов’язково мають постійну швидкість або прискорення. Таким чином, нам потрібно розширити опис положення та швидкості об’єкта до більш загального випадку. Це можна зробити майже таким самим чином, як ми зробили для прискореного руху; а саме, вдаючи, що протягом дуже малого інтервалу часу, <math display="inline">\Delta t</math>, швидкість і прискорення є постійними, а потім розглядаючи рух як суму за багато малих проміжків часу. За умови, якщо <math display="inline">\Delta t</math> наближається до нуля, цей опис буде точним. <span id="миттєва-та-середня-швидкість"></span> == Миттєва та середня швидкість == Припустімо, що об’єкт рухається зі змінною швидкістю й охоплює відстань <math display="inline">\Delta x</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>. Ми можемо визначити '''середню швидкість''', <math display="inline">v^{avg}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^{avg}= \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Тобто, незалежно від нашого вибору часового інтервалу <math display="inline">\Delta t</math>, ми завжди можемо обчислити середню швидкість <math display="inline">v^{avg}</math>, об’єкта за певну відстань. Якщо ми зменшимо довжину часового проміжку, який використовується для вимірювання швидкості, і візьмемо границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>, ми можемо визначити '''миттєву швидкість''': <math display="block">\begin{aligned} v = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{aligned}</math> Миттєва швидкість — це швидкість лише в цей невеликий момент часу, в якому ми обрали <math display="inline">\Delta x</math> та <math display="inline">\Delta t</math>. Інший спосіб прочитати це рівняння полягає у тому, що швидкість <math display="inline">v</math>, є нахилом графіка <math display="inline">x(t)</math>. Нагадаємо, що нахил - це відношення підйому до пройденої відстані, іншими словами, зміна у <math display="inline">x</math>, поділена на відповідну зміну у <math display="inline">t</math>. Дійсно, коли у нас не було прискорення, положення як функція часу ([[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst_noa|рівняння]]) явно мало швидкість як нахил лінійної функції: <math display="block">\begin{aligned} x(t) = x_0+v_xt \end{aligned}</math> Якщо ми повернемося до [[#fig:DescribingMotionIn1D:1dxvvst_aconst|Зображення 3.5]], де швидкість більше не була є постійною, ми побачимо, що графік швидкості залежно від часу <math display="inline">v(t)</math>, відповідає миттєвому нахилу графіка позиції залежно від часу <math display="inline">x(t)</math>. Для <math display="inline">t<1.02\ s</math>, нахил Графіка <math display="inline">x(t)</math> є додатним, але зменшується (як і <math display="inline">v(t)</math>). При <math display="inline">t=1.02\ s</math>, нахил <math display="inline">x(t)</math> миттєво дорівнює 0 m/s (як і швидкість). Нарешті, для <math display="inline">t>1.02\ s</math> нахил <math display="inline">x(t)</math> є від’ємним і зростає за величиною, як і <math display="inline">v(t)</math>. Лейбніц і Ньютон були першими, хто розробив математичні інструменти для виконання розрахунків, які включають величини, що наближаються до нуля, як наш часовий інтервал <math display="inline">\Delta t</math>. Сьогодні ми називаємо цю область математики «диференціальним та інтегральним численням», і ми будемо їх використовувати. Використовуючи словниковий запас математичного аналізу, замість того, щоб казати, що «миттєва швидкість - це нахил графіка положення залежно від часу в певний часовий момент», ми говоримо, що «миттєва швидкість є похідною по часу положення як функції часу». Ми також використовуємо трохи інші позначення, аби нам не доводилося писати границю <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}</math>: <span id="eqn:DescribingMotionIn1D:vdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} v(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt} x(t) \end{aligned}</math> де ми дійсно можемо думати про <math display="inline">dt</math> як <math display="inline">\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t</math>, і <math display="inline">dx</math> як відповідну зміну положення за ''нескінченно'' малий часовий проміжок <math display="inline">dt</math>. Аналогічно введемо '''миттєве прискорення''', як похідну <math display="inline">v(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t) \end{aligned}</math> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling SpeedingSlowing.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing" label="fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing"></span>'''Зображення 3.6.''' Два графіка <math display="inline">x(t)</math> із зображеними дотичними. Ліворуч: об’єкт прискорюється (додатна швидкість, додатне прискорення). Праворуч: об’єкт сповільнюється (додатна швидкість, від’ємне прискорення). Звідси ви також можете з’ясувати напрямок прискорення. Якщо об’єкт прискорюється, прискорення та швидкість мають бути в одному напрямку (тобто обидва додатні або обидва від’ємні). Якщо об’єкт сповільнюється, вони мають бути в протилежних напрямках.]] </div> Дивлячись на графік положення залежно від часу, іноді важко, на перший погляд, сказати, чи збільшується швидкість об’єкта, чи зменшується. Ця секція надасть вам простий спосіб розібратися у цьому. Швидкість – це миттєвий нахил графіка <math display="inline">x(t)</math>, тому швидкість це “крутість” цього графіка. Просто намалюйте кілька дотичних ліній до кривої й подивіться, що станеться зі збільшенням часу. Якщо лінії стають крутішими, об’єкт прискорюється. Якщо вони стають більш плоскими, об’єкт сповільнюється. Уявіть собі, що графіки на [[#fig:DescribingMotionIn1D:speedingslowing|Зображенні 3.6]] описують рух людини, що біжить при сильному вітрі. На графіку зліва людина біжить за напрямком вітру і прискорюється (<math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">a(t)</math> додатні), а на другому графіку людина біжить проти вітру й сповільнюється (швидкість <math display="inline">v(t)</math> додатна, а прискорення <math display="inline">a(t)</math> від’ємне). <span id="використання-математичного-аналізу-для-отримання-прискорення-з-положення"></span> == Використання математичного аналізу для отримання прискорення з положення == Припустимо, що ми знаємо функцію положення залежно від часу, і що вона задається нашим попереднім результатом (для випадку, коли прискорення <math display="inline">a_x</math> є постійним): <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> Швидкість отримується взяттям похідної <math display="inline">x(t)</math> по часу: <math display="block">\begin{aligned} v(t)&=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\right)\\ &=v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> як ми знайшли раніше в одному з [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|рівнянь]]. Прискорення - задається похідною швидкості по часу: <math display="block">\begin{aligned} a_x &= \frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(v_{0x}t+a_xt\right)\\ &=a_x \end{aligned}</math> як і очікувалося. ----- <div class="mdframed"> Хлоя працювала над детальним вивченням того, як бігають вікуньї<ref>Ніколи не чули про вікуній? Інтернет!</ref>, і виявила, що їхнє положення як функція часу, коли вони починають бігти, добре моделюється функцією <math display="inline">x(t)=(40\ m/s^2)t^2+(20\ m/s^3)t^3</math>. '''Яким буде прискорення вікуній?''' # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2</math> # <math display="inline">a_x(t)=40\ m/s^2+(20\ m/s^3)t</math> # <math display="inline">a_x(t)=80\ m/s^2+(120\ m/s^3)t</math> </div> ----- <span id="sec:DescribingMotionIn1D:calca"></span> == Використання математичного аналізу для отримання положення з прискорення == Тепер, коли ми побачили, що можемо використовувати похідні для визначення прискорення з положення, ми подивимось, як зробити зворотне і використати прискорення для визначення позиції. Припустімо, що ми маємо постійне прискорення <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, і ми знаємо, що в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math> об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> та знаходився у положенні <math display="inline">x_0</math>. Оскільки ми знаємо лише прискорення як функцію часу, нам спершу потрібно знайти швидкість. Ми починаємо з: <math display="block">\begin{aligned} a_x(t)=\frac{d}{dt} v(t) \end{aligned}</math> що говорить про те, що ми знаємо нахил (похідну) функції <math display="inline">v(t)</math>, але не саму функцію. В цьому випадку ми повинні виконати операцію, зворотну до знаходження похідної. В математичному аналізі вона називається знаходженням «первісної» відносно <math display="inline">t</math> і позначається <math display="inline">\int dt</math>. Іншими словами, якщо: <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt} v(t) =a_x(t) \end{aligned}</math> тоді: <math display="block">\begin{aligned} v(t) =\int a_x(t) dt \end{aligned}</math> Оскільки в цьому випадку <math display="inline">a_x(t)</math> є сталою, <math display="inline">a_x</math>, первісну знайти легко: <math display="block">\begin{aligned} \int a_xdt = a_xt + C \end{aligned}</math> Швидкість, таким чином, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=\int a_x dt =a_xt+C \end{aligned}</math> Стала <math display="inline">C</math> задається тим, що ми називаємо «початковими умовами». У цьому випадку ми казали, що в момент часу <math display="inline">t=0</math>, швидкість має бути <math display="inline">v_{0x}</math>. Таким чином, константа <math display="inline">C</math> дорівнює <math display="inline">v_{0x}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &=C+a_x t =v_{0x}+a_xt \end{aligned}</math> і ми відтворили формулу для швидкості, коли прискорення постійне. Тепер, коли ми знаємо швидкість як функцію часу, ми можемо взяти ще одну первісну відносно часу, аби отримати положення: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore x(t) &= \int v(t)dt \end{aligned}</math> У випадку, коли прискорення постійне, маємо: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= \int v(t)dt\\ &=\int (v_{0x}+a_xt )dt\\ &=v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2+C' \end{aligned}</math> де <math display="inline">C'</math> - інша стала, ніж та, що була при визначенні швидкості. Вона також задана нашими початковими умовами. Якщо об’єкт знаходився в позиції <math display="inline">x=x_0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, тоді <math display="inline">C' =x_0,</math> і ми відтворюємо рівняння для положення як функції часу для постійного прискорення: <math display="block">\begin{aligned} x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2 \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Xfromacheckpoint.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:xfromacheckpoint" label="fig:DescribingMotionIn1D: xfromacheckpoint"></span>'''Зображення 3.7.''' Оберіть правильний графік залежності положення від часу.]] </div> '''Оберіть графік <math display="inline">x(t)</math> для випадку, коли прискорення задається <math display="inline">a(t)=A\omega^2\cos(\omega t)</math>, де <math display="inline">\omega</math> та <math display="inline">A</math> - додатні сталі.''' Швидкість та прискорення у <math display="inline">t=0</math> дорівнюють нулю. # Зображення А # Зображення Б # Зображення В </div> <div class="mdframed"> Спостерігається, що прискорення цвіркуна, який стрибає убік, збільшується лінійно з часом, тобто <math display="inline">a_x(t)=a_0+ jt</math>, де <math display="inline">a_0</math> і <math display="inline">j</math> - константи. '''Що ви можете сказати про швидкість цвіркуна як функцію часу?''' # вона постійна # збільшується лінійно з часом (<math display="inline">v(t)\propto t</math>) # збільшується квадратично з часом (<math display="inline">v(t)\propto t^2</math>) # збільшується з кубом часу (<math display="inline">v(t)\propto t^3</math>) </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> = Відносний рух = Для того щоб описати рух об’єкта, обмеженого прямою лінією, ми ввели вісь (<math display="inline">x</math>) із зазначеним напрямком (в якому <math display="inline">x</math> збільшується) і початок відліку (де <math display="inline">x=0</math>). Іноді може бути більш зручним використовувати вісь, що ''рухається''. Наприклад, розглянемо людину, Алісу, яка рухається в поїзді, що прямує до французького міста Ніцца. Поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math>, виміряною з землі. Припустімо, що інша людина, Брайз, який їде в тому ж поїзді, описує положення Аліси функцією <math display="inline">x^A(t)</math> за допомогою осі x, визначеної всередині вагона поїзда (<math display="inline">x=0</math> у місці, де сидить Брайз, і додатний напрямок <math display="inline">x</math> збігається з напрямом руху поїзда), як показано на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображенні 3.8]] нижче. До тих пір, поки будь-яка людина знаходиться в поїзді разом з Брайзом, вони легко зможуть описати рух Аліси за допомогою осі х, що рухається разом з поїздом. Припустимо, що поїзд проїжджає через французьке містечко Хоссегор, де третя людина, Ігор, спостерігає за ним. Якщо Ігор бажає описати рух Аліси, йому простіше використовувати іншу вісь, скажімо <math display="inline">x'</math>, яка закріплена на землі й не рухається разом з поїздом. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling TrainABC.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC" label="fig: DescribingMotionIn1D: TrainABC"></span>'''Зображення 3.8.''' Аліса йде в поїзді, і її положення описують Брайз, що сидить у поїзді (використовуючи вісь <math display="inline">x</math>), та Ігор, який знаходиться в стані спокою на землі (використовуючи вісь <math display="inline">x'</math>).]] </div> Оскільки Брайз вже виконав роботу з визначення функції <math display="inline">x^A(t)</math> в '''системі відліку''' поїзда, ми хочемо розібратися, як ''трансформувати'' <math display="inline">x^A(t)</math> в систему відліку станції, <math display="inline">x'^A(t)</math>, щоб Ігор також міг описати рух Аліси. Іншими словами, ми хочемо описати рух Аліси у двох різних системах ''відліку''. Система відліку - це просто вибір координат, у цьому випадку - вибір осі x. В ідеалі, у фізиці ми вважаємо за краще використовувати ''інерційні'' системи відліку, тобто такі, що знаходяться або “в стані спокою” або рухаються з постійною швидкістю відносно іншої системи, яка (ми вважаємо) знаходиться в стані спокою. В принципі, якщо ви заблокуєте всі вікна у поїзді, Аліса та Брайз не зможуть визначити, чи поїзд рухається з постійною швидкістю, чи він стоїть на місці. Таким чином, поняття “стан спокою” само по собі довільне. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно перебуває в стані спокою. Навіть система відліку Ігоря, залізнична станція, знаходиться на планеті Земля, що рухається навколо Сонця зі швидкістю 108000 km/h. Дивлячись на [[#fig:DescribingMotionIn1D:TrainABC|Зображення 3.8]], ми хочемо використати знайдений Брайзом опис руху Аліси, <math display="inline">x^A(t)</math>, і трансформувати його в опис <math display="inline">x'^A(t)</math>, який Ігор може використати на залізничному вокзалі. Оскільки Брайз в поїзді знаходиться в стані спокою, швидкість Брайза ''відносно'' Ігоря дорівнює <math display="inline">v'^B(t)</math> (швидкість поїзда, або швидкість руху системи відліку <math display="inline">x</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>). Першим кроком для Ігоря буде опис положення Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, (тобто положення початку відліку Брайза). Припустімо, що ми обираємо час <math display="inline">t=0</math> так, щоб він був моментом, коли два центри відліку збігаються. Оскільки поїзд рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> (як виміряно Ігорем), тоді положення початку відліку Брайза, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне від початку відліку Ігоря, буде визначене як: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt \end{aligned}</math> Тепер, коли Ігор може описати положення початку системи координат Брайза, він може використати опис Брайза для руху Аліси. Нагадаємо, що <math display="inline">x^A(t)</math> - це міра Брайза відстані до Аліси від його положення. Аналогічно, <math display="inline">x'^B(t)</math> є мірою Ігоря відстані від його положення до положення Брайза. Тоді, щоб отримати відстань до Аліси від положення Ігоря, ми просто складаємо відстань <math display="inline">x'^B(t)</math> від положення Ігоря до положення Брайза, та відстань <math display="inline">x^A(t)</math> від Брайза до Аліси. Таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t)=x'^B(t)+x^A(t)=v'^Bt+x^A(t), \end{aligned}</math> що говорить нам, як отримати позицію об’єкта A в системі відліку <math display="inline">x'</math>, якщо <math display="inline">x^A(t)</math> - це опис положення об’єкта системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається зі швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно системи відліку <math display="inline">x'</math>. Оскільки ми знаємо положення Аліси, виміряне в системі відліку Ігоря, тепер ми можемо легко знайти її швидкість і прискорення, які будуть виміряні Ігорем. Її швидкість <math display="inline">v'^A</math>, з погляду Ігоря, задається похідною по часу її положення, виміряного в системі відліку Ігоря: <math display="block">\begin{aligned} v'^A(t)&=\frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^Bt+x^A(t))\\ &=v'^B+\frac{d}{dt}x^A(t)\\ &=v'^B+v^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">v^A(t)=\frac{d}{dt}x^A(t)</math> - швидкість Аліси, виміряна Брайзом в поїзді. Тобто швидкість Аліси, яка буде виміряна Ігорем, є сумою швидкості поїзда відносно землі та швидкості Аліси відносно поїзда, що має сенс. Якщо ми тепер визначимо прискорення Аліси, <math display="inline">a'^A(t)</math>, виміряне Ігорем, ми знайдемо: <math display="block">\begin{aligned} a'^A(t)&=\frac{d}{dt}v'^A(t)\\ &=\frac{d}{dt}(v'^B+v^A)\\ &=0+\frac{d}{dt}v^A(t)\\ &=a^A, \end{aligned}</math> де ми явно використали той факт, що поїзд рухається з постійною швидкістю (<math display="inline">\frac{d}{dt}v'^B=0</math>). І тут ми знаходимо, що як Брайз, так і Ігор виміряють однакове значення прискорення Аліси (якщо поїзд рухається з постійною швидкістю). Це особливість «інерційної» системи відліку: прискорення не залежать від системи відліку, якщо системи відліку рухаються з постійною швидкістю відносно одна одної. Як ми побачимо пізніше, сили, що впливають на об’єкт, безпосередньо пов’язані з прискоренням, якому піддається цей об’єкт. Таким чином, сили, що впливають на об’єкт не залежать від вибору інерційної системи відліку.<br /> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 3.2.''' Великий човен пливе на північ зі швидкістю <math display="inline">v'^B=15\ m/s,</math> і неспокійний пасажир йде по палубі човна. Хлоя, ще один пасажир човна, виявляє, що пасажир йде з постійною швидкістю <math display="inline">v^A=3\ m/s</math> у південному напрямку (проти руху човна). Марсель спостерігає з берега, як човен проходить повз. '''Яку швидкість (величину та напрямок) неспокійного пасажира виміряє Марсель?''' По-перше, ми повинні обрати системи координат у човні та на березі. На човні визначимо додатну вісь <math display="inline">x</math> у північному напрямку та в такій позиції, щоб положення неспокійного пасажира було <math display="inline">x^A(t=0)=0</math> в момент <math display="inline">t=0</math>. В системі відліку Хлої, таким чином, пасажира описує рівняння: <math display="block">\begin{aligned} x^A(t)=v^At=(-3\ m/s)t, \end{aligned}</math> де ми відзначаємо, що швидкість <math display="inline">v^A</math> є від’ємною, оскільки пасажир рухається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math> (пасажир йде на південь, але ми обрали додатний <math display="inline">x</math> у північному напрямку). На березі ми обираємо вісь <math display="inline">x'</math>, яка також є додатною в північному напрямку. Ми можемо обрати початок відліку таким чином, щоб положення початку системи координат човна було <math display="inline">x'=0</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>. Положення початку координат човна, <math display="inline">x'^B(t)</math>, виміряне Марселем (на березі), таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x'^B(t)=v'^Bt=(15\ m/s)t \end{aligned}</math> Тоді положення пасажира, <math display="inline">x'^A(t)</math>, виміряне Марселем, розраховується сумою положення початку відліку човна і положення пасажира, виміряного від місця початку відліку човна: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= x'^B(t)+x^A(t)\\ &= v'^Bt + v^At \\ &= (v'^B+v^A)t\\ &= ((15\ m/s)+(-3\ m/s))t\\ &= (12\ m/s)t \end{aligned}</math> Щоб знайти швидкість пасажира, з погляду Марселя, візьмемо похідну по часу: <math display="block">\begin{aligned} v'^A &= \frac{d}{dt}x'^A(t)\\ &= \frac{d}{dt} \left((v'^B+v^A)t\right)\\ &=(v'^B+v^A)\\ &=((15\ m/s)+(-3\ m/s))\\ &=12\ m/s \end{aligned}</math> Оскільки це додатне число, Марсель все ще бачить пасажира, що рухається в північному напрямку (напрямок додатного <math display="inline">x'</math>), але зі швидкістю 12 m/s, що менша, ніж швидкість човна. На човні пасажир, здається, рухається на Південь, але сумарний рух пасажира відносно берега все ще знаходиться в північному напрямку, оскільки швидкість пасажира менша, ніж човна. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Щоб описати рух в одному вимірі, ми маємо визначити вісь із: # Початком відліку (де <math display="inline">x=0</math>). # Напрямком (у якому <math display="inline">x</math> збільшується). # Одиницями довжини. Ми описуємо положення об’єкта функцією <math display="inline">x(t)</math>, що ''залежить'' від часу. Темп зміни положення називається «швидкістю», <math display="inline">v_x(t)</math>, а темп зміни швидкості називається «прискоренням», <math display="inline">a_x(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt} \end{aligned}</math> Маючи прискорення, можна знайти швидкість і положення: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> З постійним прискоренням, <math display="inline">a_x(t)=a_x</math>, якщо об’єкт мав швидкість <math display="inline">v_{0x}</math> і положення <math display="inline">x_0</math> у момент часу <math display="inline">t=0</math>:<ref>Ми не отримали третє з цих кінематичних рівнянь в цьому розділі, але воно знаходиться в [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]].</ref> <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> Інерційна система відліку - це та, яка рухається з постійною швидкістю. Неможливо визначити систему відліку, яка дійсно знаходиться “у стані спокою”, тому ми розглядаємо інерційні системи відліку тільки відносно інших систем відліку, які також вважаємо інерційними. Якщо об’єкт має положення <math display="inline">x^A</math>, виміряне в системі відліку <math display="inline">x</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v'^B</math> відносно другої системи відліку <math display="inline">x'</math>, тоді у системі відліку <math display="inline">x'</math> кінематичні величини для об’єкта отримуються Перетворенням Галілея: <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення, швидкість та прискорення:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}\\ a_x(t)&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv_x}{dt}\\ v_x(t)&=\int a_x(t)dt\\ x(t)&=\int v_x(t)dt \end{aligned}</math> '''Кінематичні рівняння:''' <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}t+a_xt\\ x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ v^2-v_0^2&=2a(x-x_0) \end{aligned}</math> '''Відносний рух:'''<br /> <math display="block">\begin{aligned} x'^A(t) &= v'^Bt + x^A(t)\\ v'^A(t) &=v'^B+v^A(t)\\ a'^A(t) &= a(t) \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> '''Положення:''' Відстань між визначеним початком системи координат та об’єктом. Одиниці SI: [<math display="inline">m</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec x</math>, <math display="inline">\vec r</math>. '''Швидкість:''' темп, з яким положення змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-1}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec v</math>. '''Прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється відносно часу. Одиниці SI: [<math display="inline">ms^{-2}</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec a</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Подивіться на глибину басейну для змагань з дайвінгу. Який зв’язок між висотою платформи та мінімальною глибиною басейну? Чому? Якби дизайнери басейну припустили, що кожен дайвер йде прямо з дошки, чи басейн був би все ще безпечним для дайверів, які спочатку стрибають? # Коли Галілео Галілей вперше описав свої принципи Галілеєвої теорії відносності? # У «Діалозі про дві головні світові системи» Галілея, який приклад він використовував для опису відносного руху? # Уявіть, що ви суддя, який намагається звинуватити безвідповідального водія за перевищення швидкості на трасі. У залі суду він стверджує, що у власній системі відліку він сидів нерухомо відносно своєї машини. Насправді, він каже, це офіцер, припаркований збоку шосе, перевищив швидкість. Ви розумієте, що в його системі відліку він дійсно правий - але це не те, що має значення! Як ви поясните закони відносного руху при водінні цьому підлому злочинцю, аби здійснити правосуддя? </div> '''Спробуйте вдома:''' <div class="mdframed"> # Знайдіть спосіб виміряти значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) і опишіть, що ви зробили. </div> '''Спробуйте в лабораторії:''' <div class="mdframed"> # Виміряйте значення <math display="inline">g</math> (прискорення внаслідок Земної гравітації) за допомогою вимірювання часу, необхідного для падіння об’єкта з різних висот. Проаналізуйте свої дані таким чином, щоб побудувати лінійну відповідність даним та визначити <math display="inline">g</math> за нахилом цієї лінії. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 3.1:''' <span id="prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent" label="prob:describeingmotionin1d:derivtimeindependent"></span> Покажіть, що можна використати рівняння [[#eqn:DescribingMotionIn1DL1dvvst|Рівняння 1]] та [[#eqn:DescribingMotionIn1D:1dxvst|Рівняння 2]], аби отримати наступне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2=2a(x-x_0), \end{aligned}</math> яке не залежить від часу.([[#soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent|Розв’язок]]) '''Задача 3.2:''' <span id="prob:descriptionmotionin1d:velociraptor" label="prob:describeingmotionin1d:velociraptor"></span> Роб їде на велосипеді зі швидкістю <math display="inline">8\ m/s</math>. Він проїжджає, як це часто буває, повз велоцираптора, який їсть на узбіччі дороги. Велоцираптор починає його переслідувати. Велоцираптор прискорюється зі стану спокою з швидкістю <math display="inline">4\ m/s^2</math>. ([[#soln:describingmotionin1d:velociraptor|Розв’язок]]) # Припускаючи, що велоцираптору потрібно 3 секунди, аби відреагувати, скільки часу потрібно з моменту, коли Роб проїжджає повз, щоб велоцираптор наздогнав його? # Якщо є безпечне місце в 70 метрах від місця, де Роб проїхав велоцираптора, чи встигне Роб туди вчасно, щоб його не з’їли? '''Задача 3.3:''' <span id="prob:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling accelerationproblem.png|thumb|<span id="fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime"></span>'''Зображення 3.9.''' Графік прискорення як функції часу.]] </div> [[#fig:descriptionmotionin1d:accelerationtime|Зображення 3.9]] показує графік прискорення, <math display="inline">a(t)</math>, частинки, що рухається в одному вимірі. Намалюйте відповідні графіки швидкості та положення. Припускайте, що <math display="inline">v(0)=0</math> і <math display="inline">x(0)=0</math>, і будьте максимально точними. ([[#soln:describingmotionin1d:accelerationtime|Розв’язок]]) <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:derivtimeindependent|задачі 3.1]]:''' <span id="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent" label="soln:descriptionmotionin1d:derivtimeindependent"></span>Ми починаємо з рівняння для положення та швидкості, які отримали в цьому розділі: <math display="block">\begin{aligned} x&=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\ v&=v_0+at \end{aligned}</math> Перше рівняння можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2 \end{aligned}</math> Наша мета - знайти рівняння, яке не залежить від часу <math display="inline">t</math>. Почнімо з відокремлення <math display="inline">t</math> у нашому рівнянні для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v&=v_0+at\\ t&=\frac{v-v_0}{a} \end{aligned}</math> Тепер ми підставляємо це значення <math display="inline">t</math> у рівняння для <math display="inline">(x-x_0)</math>: <math display="block">\begin{aligned} (x-x_0)&=v_0t+\frac {1}{2}at^2\\ (x-x_0)&=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac {1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2 \end{aligned}</math> Ми хочемо, щоб ліва сторона була <math display="inline">2a(x-x_0),</math> тому помножимо кожен доданок на <math display="inline">2a</math>: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2a)v_0\left( \frac{v-v_0}{a}\right) +(2a)\frac {1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0)a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+a^2\left( \frac{v-v_0}{a}\right) ^2\\ 2a(x-x_0)&=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2 \end{aligned}</math> Занесемо <math display="inline">2v_0</math> у дужки. Потім розкладемо третій доданок і отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0-v^2)(v_0-v^2)\\ 2a(x-x_0)&=(2v_0v-2v_0^2)+(v_0^2-2v_0v+v^2) \end{aligned}</math> Залишилося лише зібрати подібні доданки, і ми отримуємо вираз, який шукали: <math display="block">\begin{aligned} 2a(x-x_0)&=2v_0v-2v_0^2+v_0^2-2v_0v+v^2\\ 2a(x-x_0)&=(v^2)+(2v_0v-2v_0v)+(v_0^2-2v_0^2)\\ 2a(x-x_0)&=v^2-v_0^2\\ \therefore v^2-v_0^2&=2a(x-x_0)\\ \end{aligned}</math> Якщо ви виберете таку систему координат, що <math display="inline">x_0=0</math>, це рівняння стає <math display="inline">v^2-v_0^2=2ax</math>. '''Рішення [[#prob:descriptionmotionin1d:velociraptor|задачі 3.2]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:velociraptor" label="soln:describingmotionin1d:velociraptor"></span> Ми починаємо з вибору системи координат. Рішення буде найпростішим, якщо вісь <math display="inline">x</math> буде додатною в напрямку руху і матиме початок в точці, де Роб проїжджає повз велоцираптора. Ми також обираємо <math display="inline">t=0</math> моментом, коли велоцираптор починає бігти.<br /> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling VelociraptorQuestion.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D" label="fig:DescribingMotionIn1D:velociraptorproblem1D"></span>'''Зображення 3.10.''' Роб переслідуваний велоцираптором. При <math display="inline">t=0</math> на відстані <math display="inline">x_{0R}</math> від велоцираптора. Безпека на відстані <math display="inline">70\ m</math> від місця початку координат.]] </div> # Що ми маємо на увазі під поняттям «наздогнати»? Це означає, що Роб і велоцираптор матимуть однакове положення одночасно. Отже, нас цікавить значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R=x_V</math>, де <math display="inline">x_R</math> це положення Роба, а <math display="inline">x_V</math> - положення велоцираптора. Нам потрібні два рівняння, одне з яких описує положення Роба, а інше описує положення велоцираптора. Роб рухається із постійною швидкістю, тому його положення описується наступним виразом: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t \end{aligned}</math> Велоцираптор має постійне прискорення, тому його положення описується: <math display="block">\begin{aligned} x_V&=x_{0V}+v_{0V}t+\frac {1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Ми можемо зробити таблицю для переліку числових значень, які нам відомі: <div class="center"> <span id="KnownsUnknownsSampleProb1D" label="KnownsUnknownsSampleProb1D"></span> {| class="wikitable" |- ! style="text-align: center;"| '''Роб''' ! style="text-align: left;"| '''Велоцираптор''' |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">x_{0R} = ?</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">x_{0V} = 0\ m</math> |- | style="text-align: center;"| <math display="inline">v_R = 8\ m/s</math> | style="text-align: left;"| <math display="inline">v_{0V} = 0\ m/s</math> |- | style="text-align: center;"| | style="text-align: left;"| <math display="inline">a_V = 4\ m/s^2</math> |} </div> <math display="inline">x_{0R}</math> - це положення Роба в момент початку руху велоцираптора. Значення <math display="inline">x_{0R}</math> невідоме, але його можна легко визначити. Для реакції велоцираптора потрібно 3 секунди, тому при <math display="inline">t=0</math> Роб перемістився <math display="inline">(8\ m/s)\times (3\ s) = 24\ m = x_{0R}</math> (ми використали формулу <math display="inline">x=vt</math>). Оскільки <math display="inline">v_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рухатись зі стану спокою) і <math display="inline">x_{0V}=0</math> (велоцираптор починає рух з початку координат), ми можемо записати наші рівняння для позицій як: <math display="block">\begin{aligned} x_R&=x_{0R}+v_{R}t\\ x_V&=\frac{1}{2}a_Vt^2 \end{aligned}</math> Нагадаємо, що ми хочемо знайти <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">x_R</math>=<math display="inline">x_V</math>. Прирівнення вищезазначених рівнянь одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} x_R &= x_V\\ x_{0R}+v_{R}t&=\frac {1}{2}a_Vt^2 \\ \therefore\frac{1}{2}a_Vt^2-v_{R}t-x_{0R} &=0 \end{aligned}</math> що є квадратним рівнянням для <math display="inline">t</math>. Підставлення числових значень і розв’язок для <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} \frac{1}{2}(4\ m/s^2)t^2-(8\ m/s)t-(24\ m) &=0\\ 2t^2 - 8t -24 &= 0\\ \therefore, t& = \frac{8\pm\sqrt {256}}{4}=6.0\ s \end{aligned}</math> Ми обрали додатний корінь, оскільки час має бути додатною величиною. Це ще не дає нам потрібну відповідь, оскільки ми маємо знайти, скільки часу ''з моменту, коли Роб проїжджає повз,'' займе у велоцираптора аби наздогнати його. Тобто, ми повинні додати час реакції <math display="inline">3\ s</math>, і отримаємо загальний час <math display="inline">9\ s</math>.<br /> <ol start="2" style="list-style-type: decimal;"> <li>Ми можемо використати це рішення, аби з’ясувати, чи встигне Роб до безпечного місця. Велоцираптор наздожене за 9 секунд. За цей час Роб подолає відстань у <math display="inline">(8\ m/s)\times (9\ s) = 72\ m</math>. Прихисток знаходиться лише за <math display="inline">70\ m</math>, тож Роб вчасно дістанеться до безпечного місця!</li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotionin1d:accelerationtime|задачі 3.3]]:''' <span id="soln:describingmotionin1d:accelerationtime" label="soln:describingmotionin1d:accelerationtime"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Velocitypositionsolution.png|thumb|<span id="fig:DescribingMotionIn1D:velocitypositionproblem1D" label="fig: DescribingMotionIn1D: velocitypositionproblem1D"></span>'''Зображення 3.11.''' Графіки <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">x(t)</math>, що відповідають графіку залежності прискорення від часу, наведеному в питанні.]] </div> Почнімо з того, що намалюємо графік <math display="inline">v(t)</math> на основі графіка <math display="inline">a(t)</math>. Рішення можуть відрізнятися, але необхідно враховувати кілька ключових присутніх особливостей: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> швидкість лінійно зменшується, оскільки прискорення постійне і від’ємне. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> швидкість лишається постійною, оскільки прискорення дорівнює нулю. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> швидкість збільшується лінійно, тому що прискорення є додатним. Оскільки прискорення удвічі більше, ніж у першому проміжку, швидкість збільшується з удвічі більшим темпом, ніж вона зменшувалася в першому інтервалі. Об’єкт змінює напрямок протягом цього проміжку, оскільки швидкість змінює знак. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> швидкість лінійно зменшується з таким самим темпом, як у першому інтервалі, і дорівнює нулю в кінці. Ми можемо отримати графік <math display="inline">x(t)</math> з графіка <math display="inline">v(t)</math>. Графік <math display="inline">x(t)</math> повинен мати наступні особливості: * Між <math display="inline">t=0\ s</math> і <math display="inline">t=3\ s</math> положення зменшується квадратично, оскільки швидкість від’ємна і лінійно зменшується. * Між <math display="inline">t=3\ s</math> і <math display="inline">t=6\ s</math> положення лінійно зменшується, оскільки швидкість від’ємна і постійна. * Між <math display="inline">t=6\ s</math> і <math display="inline">t=9\ s</math> положення продовжує зменшуватися, але з меншим темпом, оскільки швидкість наближається до нуля. Коли швидкість дорівнює нулю, положення перестає змінюватися, і починає збільшуватися квадратично, коли швидкість стає додатною та збільшується. * Між <math display="inline">t=9\ s</math> і <math display="inline">t=12\ s</math> положення продовжує зростати, але повільніше, оскільки швидкість зменшується назад до нуля. ----- <references /> {{Гортання сторінок|Порівняння моделі та експерименту|Опис руху в декількох вимірах}} f6qxahqlpibgunzt9e31gzj0wpux4kq 0 8633 41541 41320 2026-11-07T19:36:24Z Slavust 9295 /* Використання векторів для опису руху у двох вимірах */ 41541 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <span id="ex:describingmotioninnd:parabola"></span> <div class="mdframed"> '''Приклад 4.1.''' Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|Прикладі 4.1]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 4.2.''' Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. Що можна сказати про його вектор прискорення? # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|Закони Ньютона}} s6fh8s92gu1h3f6ot2qfbquv63xt6q1 41542 41541 2026-11-07T19:38:28Z Slavust 9295 /* Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості */ 41542 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <span id="ex:describingmotioninnd:parabola"></span> <div class="mdframed"> '''Приклад 4.1.''' Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|Прикладі 4.1]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 4.2.''' Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. '''Що можна сказати про його вектор прискорення?''' # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|Закони Ньютона}} 3udyjlbu6vbsvojp6dmzhgnrhw2i9e8 41543 41542 2026-11-07T19:39:53Z Slavust 9295 /* Задачі */ 41543 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <span id="ex:describingmotioninnd:parabola"></span> <div class="mdframed"> '''Приклад 4.1.''' Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|Прикладі 4.1]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 4.2.''' Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. '''Що можна сказати про його вектор прискорення?''' # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 4.1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 4.2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|Закони Ньютона}} ltfbfrfkfare5muh6ygad7drvz5s3hj 41544 41543 2026-11-07T19:40:50Z Slavust 9295 /* Рішення */ 41544 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Описувати рух у двовимірній площині. * Описувати рух у тривимірному просторі. * Описувати рух по колу. </div> <div class="mdframed"> Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. '''Що ви можете сказати про їх прискорення?''' # Обидва прискорення дорівнюють нулю. # Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. # Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. # Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення. </div> <span id="рух-у-двох-вимірах"></span> = Рух у двох вимірах = <span id="використання-векторів-для-опису-руху-у-двох-вимірах"></span> == Використання векторів для опису руху у двох вимірах == Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, <math display="inline">t</math>, використовуючи його '''вектор положення''', <math display="inline">\vec r(t)</math>, який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, які відповідають <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> координатам об’єкта в момент часу <math display="inline">t</math> відповідно: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y \end{aligned}</math> Припустимо, що за період часу <math display="inline">\Delta t</math> об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення <math display="inline">\vec r_1</math>, в положення, описане вектором положення <math display="inline">\vec r_2</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:xydrvec|Зображенні 4.1]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling xydrvec.png|thumb|'''Зображення 4.1.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:xydrvec" label="fig:describeingmotioninnd:xydrvec"></span>Ілюстрація вектора зміщення, <math display="inline">\Delta\vec r = \vec r_2 -\vec r_1</math>, для об’єкта, що знаходився в положенні <math display="inline">\vec r_1</math> в момент часу <math display="inline">t_1</math> і в положенні <math display="inline">\vec r_2</math> в момент часу <math display="inline">t_2=t_1+\Delta t</math>.]] </div> Ми можемо визначити '''вектор переміщення''', <math display="inline">\Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1</math>, і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити '''середній''' вектор швидкості <math display="inline">\vec v</math> як: <math display="block">\begin{aligned} \vec v = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} \end{aligned}</math> Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і <math display="inline">\Delta \vec r</math>, оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (<math display="inline">\Delta t</math>). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів). Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції <math display="inline">(x_1,y_1)</math> у позицію <math display="inline">(x_2,y_2)</math> за проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то середній вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &= \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ \end{pmatrix}\\ &=\frac {1}{\Delta t}\begin{pmatrix} \Delta x \\ \Delta y \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> <math display="block">\begin{aligned} &=\begin{pmatrix} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\ \frac{\Delta y}{\Delta t}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v &= v_x\hat x+v_y\hat y \end{aligned}</math> Тобто компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, <math display="inline">v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> відповідає середній швидкості в напрямку <math display="inline">x</math>, і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку <math display="inline">y</math>, <math display="inline">v_y</math>. Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v||&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac {1}{\Delta t}\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\frac{\Delta r}{\Delta t} \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta r</math> - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком. <div class="mdframed"> ----- <span id="cp:descriptionmotioninnd:llama" label="cp:descriptionmotioninnd:llama"></span> Лама пробігає полем із положення <math display="inline">(x_1,y_1)=(2\ m,5\ m)</math> у положення <math display="inline">(x_2,y_2)=(6\ m,8\ m)</math> за час <math display="inline">\Delta t=0.5\ s</math>, як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. '''Яка середня швидкість лами?''' # 1 m/s # 5 m/s # 10 m/s # 15 m/s ----- </div> Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо '''вектор миттєвої швидкості''', беручи границю <math display="inline">\Delta t\to 0</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt} \end{aligned}</math> що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math>, миттєва швидкість стає: <span id="eqn:describingmotioninnd:vvecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) \\ &=\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y \end{aligned}</math> де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж <math display="inline">x</math> та окремий рух вздовж <math display="inline">y</math>. Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння (<math display="inline">\vec v=\frac{d}{dt}\Delta \vec r</math>) для представлення двох рівнянь (одного для <math display="inline">x</math> і одного для <math display="inline">y</math>). Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \\ &=\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y \end{aligned}</math> Якщо об’єкт знаходиться в положенні <math display="inline">\vec r_0=(x_0,y_0)</math> із вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=v_{0x}\hat x + v_{0y}\hat y</math> в момент часу <math display="inline">t=0</math>, і має '''постійний вектор прискорення'''<ref>Де постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі.</ref>, <math display="inline">\vec a = a_x\hat x+a_y\hat y</math>, то вектор швидкості в якийсь пізніший час <math display="inline">t</math>, <math display="inline">\vec v(t)</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> Або, якщо ми явно випишемо компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{0x} \\ v_{0y} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_xt \\ a_yt \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} v_x(t)&=v_{0x}+a_xt \\ v_y(t)&=v_{0y}+a_yt \\ \end{aligned}</math> що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \end{aligned}</math> з компонентами: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2}a_xt^2\\ y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ \end{aligned}</math> це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків. ----- <span id="ex:describingmotioninnd:parabola"></span> <div class="mdframed"> '''Приклад 4.1.''' Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу <math display="inline">t=0\ s</math>, з початковим вектором швидкості <math display="inline">\vec v_0=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math>. Прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">0\ m/s^2</math>, а в напрямку <math display="inline">y</math> <math display="inline">-10\ m/s^2</math>. # '''Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу.''' # '''Визначте положення об’єкта у момент <math display="inline">t=10\ s</math>.''' # '''Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.''' <span id="приклад:descriptionmotioninnd:parabola" label="приклад:descriptionmotioninnd:parabola"></span> '''1)''' Ми можемо розглядати рух у напрямку <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> окремо. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t\\ &=(0\ m)+(10\ m/s)t\\ &=(10\ m/s)t \end{aligned}</math> В напрямку <math display="inline">y</math> маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y(t) &= y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0\ m)+(15\ m/s)t+\frac {1}{2}(-10\ m/s^2)t^2\\ &=(15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2\\ \end{aligned}</math> Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (10\ m/s)t \\ (15\ m/s)t-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)t^2 \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''2)''' Підставляння <math display="inline">t=10\ s</math> у наведене вище рівняння дає: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t=10\ s)&= \begin{pmatrix} (10\ m/s)(10\ s) \\ (15\ m/s)(10\ s)-\frac {1}{2}(10\ m/s^2)(10\ s)^2 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} (100\ m) \\ (-350\ m)\\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> '''3)''' Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на [[#fig:describingmotioninnd:parabola|Зображенні 4.2]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Parabola.png|thumb|'''Зображення 4.2.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:parabola" label="fig:descriptionmotioninnd:parabola"></span>Параболічна траєкторія об’єкта без прискорення в напрямку <math display="inline">x</math> та з від’ємним прискоренням в напрямку <math display="inline">y</math>.]] </div> Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним <math display="inline">y</math>) та горизонтальною (позитивним <math display="inline">x</math>) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь <math display="inline">y</math>, ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку <math display="inline">x</math>. В напрямку <math display="inline">x</math> об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, <math display="inline">\Delta t</math>, є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь <math display="inline">x</math>, ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж <math display="inline">x</math> рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> У [[#ex:describingmotioninnd:parabola|Прикладі 4.1]], '''який вектор швидкості у самому верху параболи на''' [[#fig:describingmotioninnd:parabola|зображенні 4.2]]? # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x+(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(15\ m/s)\hat y</math> # <math display="inline">\vec v=(10\ m/s)\hat x</math> # Жоден з наведених. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 4.2.''' Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан ([[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображення 4.3]]). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані <math display="inline">d</math> і висоті <math display="inline">h</math> від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. '''Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?''' <div class="figure"> [[File:MonkeyTreeExample.png|thumb|'''Зображення 4.3.''' <span id="fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample" label="fig:describeingmotioninnd:monkeytreeexample"></span> Годування мавпи на дереві.]] </div> Ця задача вимагає від нас знайти такий кут <math display="inline">\theta</math> між початковим вектором швидкості банана <math display="inline">\vec v_{0B}</math> і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною (<math display="inline">v_{B0x}</math>) та вертикальною (<math display="inline">v_{B0y}</math>) компонентами початкового вектора швидкості банана: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{v_{B0y}}{v_{B0x}} \end{aligned}</math> Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути '''в одному місці в один і той же момент часу''' <math display="inline">t</math>. Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (<math display="inline">\tan\theta=v_{B0y}/v_{B0x}</math>), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти <math display="inline">\theta</math>. Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо <math display="inline">y</math> у вертикальному напрямку (додатним вгору) і <math display="inline">x</math> в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на [[#fig:describingmotioninnd:monkeytreeexample|Зображенні 4.3]]. Ми розглядаємо незалежно <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента <math display="inline">y</math> прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, <math display="inline">a_y=-9.8\ m/s^2= -g</math>, яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. Компонента <math display="inline">y</math> початкового положення мавпи — <math display="inline">y_{M0}=h</math>, а компонента <math display="inline">y</math> її початкової швидкості — <math display="inline">v_{M0y}=0</math>. Компонента <math display="inline">y</math> позиції мавпи як функції часу, <math display="inline">y_M(t)</math>, задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} y_M(t)&=y_{M0}+v_{My0}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=h+(0)-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює <math display="inline">x_M(t)=d</math>. Рух банана має як <math display="inline">x</math>, так і <math display="inline">y</math> компоненти. В напрямку <math display="inline">x</math> прискорення немає, тому компонента <math display="inline">x</math> швидкості банана дорівнює <math display="inline">v_{B0x}</math> і є постійною. Ми визначили початкову координату <math display="inline">x</math> банана як <math display="inline">x_{B0}=0</math>, тому позиція <math display="inline">x</math> банана як функція часу, <math display="inline">x_B(t)</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x_B(t)&=x_{B0}+v_{B0x}\\ &=(0)+v_{B0x}t \end{aligned}</math> Ми визначили початкову <math display="inline">y</math> позицію банана як <math display="inline">y_{B0}=0</math>. Таким чином, <math display="inline">y</math> положення банана як функція часу, <math display="inline">y_B(t)</math>, може бути описане наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} y_B(t)&=y_{B0}+v_{B0y}t+\frac {1}{2}a_yt^2\\ &=(0)+v_{B0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_{B0y}</math> це <math display="inline">y</math> компонента початкової швидкості банана, а <math display="inline">a_y=-g</math> це <math display="inline">y</math> компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно <math display="inline">y_M(t)=y_B(t)</math> і <math display="inline">x_B(t)=x_M(t) =d</math> в якийсь момент <math display="inline">t</math>. Прирівнювання наших рівнянь <math display="inline">y_M(t)</math> і <math display="inline">y_B(t)</math> одне одному дає: <math display="block">\begin{aligned} h-\frac {1}{2} gt^2&=v_{0yB}t-\frac {1}{2}gt^2\\ \therefore h&=v_{0yB}t \end{aligned}</math> І прирівнювання <math display="inline">x_M(t)=d</math> до <math display="inline">x_B(t)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} \therefore d&=v_{xB} \end{aligned}</math> Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти: <math display="block">\begin{aligned} \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}t}{v_{xB}t}\\ \frac{h}{d}&=\frac{v_{0yB}}{v_{xB}} \end{aligned}</math> Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta&=\frac{h}{d}\\ \therefore \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{h}{d}\right) \end{aligned}</math> Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне <math display="inline">x=d</math>. </div> ----- <span id="відносний-рух"></span> == Відносний рух == У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, <math display="inline">A</math>, використовуючи вісь <math display="inline">x</math> як <math display="inline">x^A(t)</math>. Припустимо, що система відліку, <math display="inline">x</math>, рухається з постійною швидкістю, <math display="inline">v'^B</math>, відносно другої системи відліку, <math display="inline">x'</math>. Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку <math display="inline">x'</math> описується як: <math display="block">\begin{aligned} x '^A(t)=v'^Bt+x^A(t) \end{aligned}</math> якщо початки відліку двох систем збігаються при <math display="inline">t=0</math>. Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат <math display="inline">x'</math> є сумою відстані від початку координат <math display="inline">x'</math> до початку координат <math display="inline">x</math> '''та''' відстані від початку координат <math display="inline">x</math> до об’єкта. У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) = \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t) \end{aligned}</math> де <math display="inline">r^A(t)</math> - положення об’єкта, описане в системі відліку <math display="inline">xy</math>, <math display="inline">\vec{v} \vphantom{v}'^B</math> - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат <math display="inline">xy</math> відносно системи координат <math display="inline">x'y'</math>, а <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math> - положення об’єкта в системі координат <math display="inline">x'y'</math>. Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при <math display="inline">t=0</math>, і що осі систем координат паралельні (вісь <math display="inline">x</math> паралельна <math display="inline">x'</math> і <math display="inline">y</math> паралельна <math display="inline">y'</math>). Зауважте, що швидкість об’єкта в системі <math display="inline">x'y'</math> знаходять шляхом додавання швидкості <math display="inline">xy</math> відносно <math display="inline">x'y'</math> та швидкості об’єкта в системі <math display="inline">xy</math> (<math display="inline">\vec v^A(t)</math>): <math display="block">\begin{aligned} \frac{d}{dt}\vec{r}\vphantom {r}'^A(t) &=\frac{d}{dt}(\vec{v}\vphantom {v}'^Bt+\vec r^A(t))\\ &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t) \end{aligned}</math> Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на [[#fig:describingmotioninnd:2drel|Зображенні 4.4]]. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат <math display="inline">xy</math>, і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як <math display="inline">\vec r^A(t)</math> у системі координат <math display="inline">xy</math>. Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат <math display="inline">x'y'</math>, як човен Брайса рухається зі швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>. Для того, щоб знайти вектор положення Аліси <math display="inline">\vec{r}\vphantom {r}'^A(t)</math>, він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса (<math display="inline">\vec{v}\vphantom{v}'^B t</math>) і вектор від початку координат Брайса до Аліси <math display="inline">\vec r^A(t)</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtofModelling 2drel.png|thumb|'''Зображення 4.4.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:2drel" label="fig:describeingmotioninnd:2drel"></span> Приклад перетворення з однієї системи відліку в іншу у двох вимірах за допомогою векторного додавання.]] </div> Виписуючи це по координатах, маємо: <math display="block">\begin{aligned} {x'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{x}t+x^{A}(t)\\ {y'}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}t+y^{A}(t) \end{aligned}</math> і для швидкостей: <math display="block">\begin{aligned} {v'}_{x}^{A}(t)&={v'}^B_{x}+v_{x}^{A}(t)\\ {v'}_{y}^{A}(t)&={v'}^{B}_{y}+v_{y}^{A}(t) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. '''В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?''' # У північному напрямку # У західному напрямку. # Поєднання північного та західного напрямків. </div> ----- <span id="рух-у-трьох-вимірах"></span> = Рух у трьох вимірах = Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math>, <math display="inline">z(t)</math>, які утворюють три компоненти вектора положення <math display="inline">\vec r(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \end{aligned}</math> і прискорення визначається аналогічним чином: <math display="block">\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore\vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, <math display="inline">\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z</math>, і починає рух у <math display="inline">t=0</math> із позиції <math display="inline">\vec r_0</math> зі швидкістю <math display="inline">\vec v_0</math>, то його вектор швидкості задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> і вектор положення задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac {1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac {1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac {1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac {1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, <math display="inline">\vec v(t) = \vec v_0 + \vec y</math>) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти. <span id="прискорений-рух-при-зміні-напрямку-вектора-швидкості"></span> = Прискорений рух при зміні напрямку вектора швидкості = Однією з ключових відмінностей одновимірного руху є те, що у двох вимірах можна мати прискорення, навіть коли швидкість постійна. Нагадаємо, '''вектор''' прискорення визначається як похідна за часом '''вектора''' швидкості ([[#eqn:describingmotioninnd:avecdef|рівняння]]). Це означає, що якщо вектор швидкості змінюється з часом, то вектор прискорення ненульовий. Якщо довжина вектора швидкості (швидкість) постійна, все ще може бути, що '''напрямок''' вектора швидкості змінюється з часом, і, таким чином, вектор прискорення ненульовий. Це, наприклад, те, що відбувається, коли об’єкт рухається по колу з постійною швидкістю (напрямок вектора швидкості змінюється). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Deltav.png|thumb|'''Зображення 4.5.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:deltav" label="fig:describeingmotioninnd:deltav"></span> Ілюстрація того, як може змінюватися напрямок вектора швидкості при постійному модулі швидкості.]] </div> [[#fig:describingmotioninnd:deltav|Зображення 4.5]] ілюструє вектор швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, у два різних моменти часу, <math display="inline">\vec v_1</math> та <math display="inline">\vec v_2</math>, а також векторну різницю, <math display="inline">\Delta \vec v=\vec v_2 - \vec v_1</math>, між ними. При цьому довжина вектора швидкості не змінювалася з часом (<math display="inline">||\vec v_1||=||\vec v_2||</math>). Вектор прискорення заданий: <math display="block">\begin{aligned} \vec a = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \end{aligned}</math> Він матиме напрямок, паралельний <math display="inline">\Delta \vec v</math>, і величину, пропорційну <math display="inline">\Delta v</math>. Таким чином, навіть якщо вектор швидкості не змінює амплітуду (швидкість постійна) але змінює ''напрямок'', вектор прискорення буде ненульовим. Запишемо вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, як його величину, <math display="inline">v</math>, і одиничний вектор, <math display="inline">\hat v</math>, в напрямку <math display="inline">\vec v</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec v &=v_x\hat x+v_y\hat y= v \hat v\\ v&=||\vec v||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ \hat v &= \frac{v_x}{v}\hat x+\frac{v_y}{v}\hat y\\ \end{aligned}</math> У найзагальнішому випадку як величина швидкості, так і її напрямок можуть змінюватися з часом. Тобто і напрямок, і величина вектора швидкості є функціями часу: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t)&=v(t)\hat v(t) \end{aligned}</math> Коли ми беремо похідну за часом <math display="inline">\vec v(t)</math> для отримання вектора прискорення, нам потрібно взяти похідну добутку двох функцій часу, <math display="inline">v(t)</math> і <math display="inline">\hat v(t)</math>. Використовуючи правила взяття похідної добутку, вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:avecdef2"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a &= \frac{d}{dt}\vec v(t)= \frac{d}{dt}v(t)\hat v(t) \\ \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} \end{aligned}</math> і має два доданки. Перший член, <math display="inline">\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math>, дорівнює нулю, якщо швидкість постійна (<math display="inline">\frac{dv}{dt}=0</math>). Другий член, <math display="inline">v(t)\frac{d\hat v}{dt}</math>, дорівнює нулю, якщо напрямок вектора швидкості є постійним (<math display="inline">\frac{d\hat v}{dt}=0</math>). Однак, у загальному випадку вектор прискорення має два члени, що відповідають зміні швидкості та зміні напрямку швидкості відповідно. Конкретна функціональна форма вектора прискорення залежатиме від шляху, який проходить об’єкт. Якщо розглянути випадок, коли швидкість постійна, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} v(t) &= v \\ \frac{dv}{dt}&=0\\ v_x^2(t)+v_y^2(t) &=v^2 \\ \therefore v_y(t)&=\sqrt{v^2-v_x(t)^2} \end{aligned}</math> Іншими словами, якщо величина швидкості постійна, то <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти більше не є незалежними (якщо <math display="inline">x</math> компонента стає більшою, то <math display="inline">y</math> компонента повинна стати меншою, аби модуль швидкості залишався незмінним). Якщо швидкість постійна, то вектор прискорення задається формулою: <span id="eqn:describingmotioninnd:vecaconstv"></span> <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=0 + v\frac{d}{dt}\hat v(t)\\ &=v\frac{d}{dt}\left(\frac{v_x(t)}{v}\hat x+\frac{v_y(t)}{v}\hat y \right)\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac{d}{dt}\sqrt{v^2-v_x(t)^2}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x + \frac {1}{2\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}(-2v_x(t))\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{\sqrt{v^ 2-v_x(t)^2}}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ &=\frac{dv_x}{dt}\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\frac{dv_x}{dt}\hat y\\ \therefore\quad\vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де більша частина алгебри, яку ми виконали, полягала в тому, щоб розділити <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти вектора прискорення, і ми використали ланцюгове правило, щоб взяти похідну квадратного кореня. Отриманий вектор прискорення проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:aperpv|Зображенні 4.6]] разом з вектором швидкості<ref>Швидше, це вектор, паралельний вектору прискорення, який ілюструється, оскільки був упущений коефіцієнт <math display="inline">\frac{dv_x}{dt}</math> (як ви пам’ятаєте, множення на скаляр змінює лише довжину, а не напрямок вектора)</ref>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Aperpv.png|thumb|'''Зображення 4.6.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:aperpv" label="fig:describeingmotioninnd:aperpv"></span> Ілюстрація того, що вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна.]] </div> Вектор швидкості має компоненти <math display="inline">v_x</math> і <math display="inline">v_y</math>, що дозволяє обчислити кут, <math display="inline">\theta</math> який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\theta)=\frac{v_y}{v_x} \end{aligned}</math> Аналогічно, вектор, паралельний прискоренню, має компоненти <math display="inline">1</math> і <math display="inline">-\frac{v_x}{v_y}</math>, що дозволяє визначити кут, <math display="inline">\phi</math>, який він утворює з віссю <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \tan(\phi)=\frac{v_x}{v_y} \end{aligned}</math> Зауважте, що <math display="inline">\tan(\theta)</math> є функцією, оберненою до <math display="inline">\tan(\phi)</math>, або, іншими словами, <math display="inline">\tan(\theta)=\cot(\phi)</math>, і це означає, що <math display="inline">\theta</math> і <math display="inline">\phi</math> є комплементарними й, отже, мають сумуватися до <math display="inline">\frac{\pi}{2}</math> (90°). Це означає, що '''вектор прискорення перпендикулярний вектору швидкості, якщо швидкість постійна, а напрямок швидкості змінюється'''. Іншими словами, коли ми записуємо вектор прискорення, ми можемо визначити два складники, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> і <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ &=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\perp}(t)\\ \therefore \vec a_{\parallel}(t)&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)\\ \therefore \vec a_{\perp}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)</math> - частина прискорення, яка паралельна вектору швидкості й відповідає за зміну її величини, а <math display="inline">\vec a_{\perp}(t)</math> - частина, яка перпендикулярна вектору швидкості й відповідає за зміну напрямку руху. ----- <div class="mdframed"> Супутник рухається по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю. '''Що можна сказати про його вектор прискорення?''' # Він має нульову величину. # Він перпендикулярний вектору швидкості. # Він паралельний вектору швидкості. # Він знаходиться в іншому напрямку, ніж паралельно або перпендикулярно вектору швидкості. </div> ----- <span id="круговий-рух"></span> = Круговий рух = Ми часто розглядаємо рух об’єкта навколо кола з фіксованим радіусом, <math display="inline">R</math>. В принципі, це рух у двох вимірах, оскільки коло обов’язково знаходиться у двовимірній площині. Однак, оскільки об’єкт змушений рухатися по окружності, його можна розглядати як рух вздовж вигнутої одновимірної осі. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Circle.png|thumb|'''Зображення 4.7.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:circle" label="fig:descriptionmotioninnd:circle"></span> Опис руху об’єкта навколо кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> На [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]] показано, як можна описати рух по колу радіуса <math display="inline">R</math>. Ми могли б використовувати <math display="inline">x(t)</math> і <math display="inline">y(t)</math> для опису положення на колі, однак <math display="inline">x(t)</math> та <math display="inline">y(t)</math> більше не є незалежними, оскільки вони мають відповідати координатам точок на колі: <math display="block">\begin{aligned} x^2(t)+y^2(t)=R^2 \end{aligned}</math> Замість використання <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> ми можемо уявити вісь, вигнуту вздовж кола (як показано вигнутою стрілкою на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]], вісь <math display="inline">s</math>). Вісь <math display="inline">s</math> така, що <math display="inline">s=0</math> у місці, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>, а значення <math display="inline">s</math> збільшується, коли ми рухаємося по колу проти годинникової стрілки. Таким чином, відстань по осі <math display="inline">s</math> відповідає відстані вздовж кола. Іншою змінною, що може бути використана для позиції замість <math display="inline">s</math>, є кут, <math display="inline">\theta</math>, між вектором позиції об’єкта та віссю <math display="inline">x</math>, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:circle|Зображенні 4.7]]. Якщо виразити кут <math display="inline">\theta</math> в радіанах, буде легко конвертувати між <math display="inline">s</math> і <math display="inline">\theta</math>. Нагадаємо, кут у радіанах визначається як довжина дуги, що утворена цим кутом на колі, поділена на радіус кола. Таким чином, ми маємо: <span id="eqn:describingmotioninnd:raddef"></span> <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Зокрема, якщо об’єкт обійшов все коло, то <math display="inline">s=2\pi R</math> (периметр кола), а відповідний кут дорівнює, <math display="inline">\theta=\frac{2\pi R}{R}=2\pi</math>, тобто 360°. Використовуючи кут, <math display="inline">\theta</math>, замість <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, ми фактично використовуємо полярні координати з фіксованим радіусом. Як ми вже бачили, позиції <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> пов’язані з <math display="inline">\theta</math> таким чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t) &= R\cos(\theta(t))\\ y(t) &= R\sin(\theta(t))\\ \end{aligned}</math> де <math display="inline">R</math> - постійна. Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> і вектор швидкості, таким чином, задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t) =\frac{d}{dt} R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} \frac{d}{dt}\cos(\theta(t)) \\ \frac{d}{dt}\sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \\ &= R \begin{pmatrix} -\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned}</math> де ми використали правило ланцюга для обчислення похідних за часом тригонометричних функцій (оскільки <math display="inline">\theta(t)</math> є функцією часу). Ми можемо записати це в формі компонент: <span id="eqn:describingmotioninnd:vcircle"></span> <math display="block">\begin{aligned} v_x &= -R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\\ v_y &= R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> Величина вектора швидкості задається: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec v|| &=\sqrt{ v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{ \left(-R\sin(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2+\left(R\cos(\theta(t))\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\\ &=\sqrt{ R^2\left( \frac{d\theta}{dt}\right)^2[\sin^2(\theta(t))+\cos^2(\theta(t)]}\\ &=R\left |\frac{d\theta}{dt}\right| \end{aligned}</math> Вектори положення та швидкості проілюстровані на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]] для кута <math display="inline">\theta</math> у першому квадранті (<math display="inline">0<\theta<\frac{\pi}{2}</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling vcircle.png|thumb|'''Зображення 4.8.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:vcircle" label="fig:describeingmotioninnd:vcircle"></span> Вектор положення <math display="inline">\vec r(t)</math> завжди перпендикулярний вектору швидкості, <math display="inline">\vec v(t)</math>, для руху по колу.]] </div> В цьому випадку можна відзначити, що компонента <math display="inline">x</math> швидкості є від’ємною (з діаграми та з [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]]). З [[#eqn:describingmotioninnd:vcircle|рівняння]] також можна побачити, що <math display="inline">\frac{|v_x|}{|v_y|}=\tan(\theta)</math>, як проілюстровано на [[#fig:describingmotioninnd:vcircle|Зображенні 4.8]], що показує, що '''вектор швидкості дотичний до кола''' і перпендикулярний вектору положення. Це завжди застосовується до руху по колу. Ми можемо спростити наш опис руху по колу, використовуючи або <math display="inline">s(t)</math>, або <math display="inline">\theta(t)</math> замість векторів для позиції та швидкості. Якщо ми використовуємо <math display="inline">s(t)</math> для представлення положення вздовж кола (<math display="inline">s=0</math>, де коло перетинає вісь <math display="inline">x</math>), то швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} v_s(t)&=\frac{d}{dt}s(t)\\ &=\frac{d}{dt}R\theta(t)\\ &=R\frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\theta=s/R</math> для перетворення з <math display="inline">s</math> на <math display="inline">\theta</math>. Таким чином, швидкість вздовж осі <math display="inline">s</math> точно дорівнює величині двовимірного вектора швидкості (отриманого вище), що має сенс, оскільки вектор швидкості дотичний до кола (і, отже, у «напрямку» <math display="inline">s</math>). Якщо об’єкт має '''постійну швидкість''', <math display="inline">v_s</math>, по колу і стартував у положенні <math display="inline">s=s_0</math>, то його положення на осі <math display="inline">s</math> можна описати за допомогою 1-вимірної кінематики: <math display="block">\begin{aligned} s(t)=s_0+v_st \end{aligned}</math> або, в перерахунку на <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)&=\frac{s(t)}{R}=\frac{s_0}{R}+\frac{v_s}{R}t\\ &=\theta_0 + \frac{d\theta}{dt}t\\ &=\theta_0 + \omega t\\ \therefore \omega &= \frac{d\theta}{dt} \end{aligned}</math> де ми ввели <math display="inline">\theta_0</math> як кут, що відповідає положенню <math display="inline">s_0</math>, і <math display="inline">\omega=\frac{d\theta}{dt}</math>, що є аналогією швидкості, але для кута. <math display="inline">\omega</math> називається '''кутовою швидкістю''' і є мірою швидкості зміни кута <math display="inline">\theta</math> (оскільки це похідна за часом кута). Співвідношення між «лінійною» швидкістю <math display="inline">v_s</math> (величина вектора швидкості, що відповідає швидкості у напрямку, дотичному до кола) і <math display="inline">\omega</math> дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} v_s=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \end{aligned}</math> Аналогічно, якщо об’єкт прискорюється, ми можемо визначити '''кутове прискорення''', <math display="inline">\alpha(t)</math>, як темп зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> що може бути безпосередньо пов’язаним з прискоренням у напрямку <math display="inline">s</math>, <math display="inline">a_s(t)</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_s(t) &= \frac{d}{dt}v_s\\ &=\frac{d}{dt}\omega R=R\frac{d\omega}{dt}\\ a_s(t)&=R\alpha \end{aligned}</math> Таким чином, лінійні величини (ті, що вздовж осі <math display="inline">s</math>) пов’язані з кутовими шляхом множення кутових величин на <math display="inline">R</math>: <math display="block">\begin{aligned} s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha \end{aligned}</math> Якщо об’єкт починає рух у момент <math display="inline">t=0</math> з положення <math display="inline">s=s_0</math> (<math display="inline">\theta=\theta_0</math>), з початковою лінійною швидкістю <math display="inline">v_{0s}</math> (кутова швидкість <math display="inline">\omega_0</math>), і має '''постійне лінійне прискорення''' вздовж кола, <math display="inline">a_s</math> (кутове прискорення <math display="inline">\alpha</math>), то положення об’єкта можна описати за допомогою або лінійних, або кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s(t) &= s_0+v_{s0}t+\frac {1}{2}a_s t^2\\ \theta(t) &= \theta_0+\omega_0t+\frac {1}{2}\alpha t^2 \end{aligned}</math> Як ви пам’ятаєте з секції [[#sec:describingmotioninnd:accvconst|1.3]], ми можемо обчислити '''вектор''' прискорення та визначити компоненти, паралельні та перпендикулярні вектору швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\vec a_{\parallel}(t) + \vec a_{\bot}(t)\\ &=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v\frac{d\hat v}{dt}\\ \end{aligned}</math> Перший доданок, <math display="inline">\vec a_{\parallel}(t)=\frac{dv}{dt}\hat v(t)</math> — паралельний вектору швидкості <math display="inline">\hat v</math> і має величину, задану: <math display="block">\begin{aligned} ||\vec a_{\parallel}(t)||&=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}R\omega=R\alpha \end{aligned}</math> Тобто компонент вектора прискорення, паралельний швидкості, це саме прискорення в напрямку <math display="inline">s</math> (лінійне прискорення). Цей компонент прискорення відповідає за збільшення (або зменшення) швидкості об’єкта і дорівнює нулю, якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю (лінійною або кутовою). Як ми бачили раніше, перпендикулярний компонент прискорення, <math display="inline">\vec a_{\bot}(t)</math>, відповідає зміні напрямку вектора швидкості (оскільки під час руху по колу об’єкт безперервно змінює напрямок). Коли рух відбувається по колу, цей компонент вектора прискорення називається «доцентровим» прискоренням (тобто прискоренням, що вказує у центр кола, як ми побачимо). Ми можемо обчислити доцентрове прискорення через наші кутові змінні, зазначивши, що одиничний вектор у напрямку швидкості дорівнює <math display="inline">\hat v=-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=v\frac{d\hat v}{dt}\\ &=(\omega R)\frac{d}{dt}\left[-\sin(\theta)\hat x+\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\frac{d}{dt}\sin(\theta)\hat x+\frac{d}{dt}\cos(\theta)\hat y\right]\\ &=\omega R \left[-\cos(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat x-\sin(\theta)\frac{d\theta}{dt}\hat y\right]\\ &=\omega R [-\cos(\theta)\omega\hat x-\sin(\theta)\omega\hat y]\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega ^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> де ви можете легко переконатися, що вектор <math display="inline">[ -\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]</math> має одиничну довжину і вказує на центр кола (коли хвіст розміщений в точці кола, що відповідає куту <math display="inline">\theta</math>). Таким чином, доцентрове прискорення вказує на центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = ||\vec a_{\bot}(t)||=\omega^2(t) R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> де в останньому знаку рівності ми записали доцентрове прискорення з погляду швидкості навколо кола (<math display="inline">v=||\vec v||=v_s</math>). Якщо об’єкт рухається по колу, він завжди матиме доцентрове прискорення (оскільки його вектор швидкості повинен змінювати напрямок). Крім того, якщо швидкість об’єкта змінюється, він також матиме лінійне прискорення, яке вказує в тому ж напрямку, що і вектор швидкості (воно змінює довжину вектора швидкості, але не його напрямок). ----- <div class="mdframed"> Вікунья біжить за годинниковою стрілкою по колу, центр якого розташований в початку системи координат <math display="inline">xy</math>, яка знаходиться в площині кола. Вікунья біжить все швидше і швидше по колу. '''В якому напрямку вказує її вектор прискорення, коли вікунья знаходиться в точці, де коло перетинає додатну вісь <math display="inline">y</math>?''' # У від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>. # У додатному напрямку <math display="inline">y</math>. # Поєднання додатних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємного напрямку <math display="inline">y</math> та додатного <math display="inline">x</math>. # Поєднання від’ємних напрямків <math display="inline">y</math> та <math display="inline">x</math>. </div> ----- <span id="період-і-частота"></span> == Період і частота == Коли об’єкт рухається по колу, він, як правило, робить більше одного обороту. Якщо об’єкт обертається по колу з постійною швидкістю, ми називаємо рух «рівномірним круговим рухом», і ми можемо визначити '''період та частоту''' руху. Період, <math display="inline">T</math>, визначається як час, необхідний для завершення одного обороту навколо кола. Якщо об’єкт має постійну кутову швидкість <math display="inline">\omega</math>, ми можемо знайти час, <math display="inline">T</math>, потрібний для завершення одного повного обороту, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=2\pi</math>: <math display="block">\begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta \theta}{T}=\frac{2\pi}{T}\\ \therefore T&=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Ми отримаємо той самий результат, використовуючи лінійні величини; за один оборот об’єкт охоплює відстань <math display="inline">2\pi R</math> зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} v&=\frac{2\pi R}{T}\\ T&=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\omega R}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}</math> Частота, <math display="inline">f</math>, визначається як обернена функція періоду: <math display="block">\begin{aligned} f&=\frac {1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> і має одиниці SI <math display="inline">Hz=s^{-1}</math>. Думайте про частоту як про кількість обертів, виконаних за секунду. Таким чином, якщо частота <math display="inline">f=1\ Hz</math>, об’єкт обертається по колу один раз в секунду. Враховуючи частоту, ми, звичайно, можемо отримати кутову швидкість: <math display="block">\begin{aligned} \omega = 2\pi f \end{aligned}</math> яку іноді називають “кутовою частотою” замість кутової швидкості. Кутову швидкість дійсно можна розглядати як частоту, оскільки вона представляє “величину кута”, яку об’єкт охоплює при обертанні по колу за секунду. Кутова швидкість нічого не каже нам про фактичну швидкість об’єкта, яка залежить від радіуса <math display="inline">v=\omega R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Twocircles.png|thumb|'''Зображення 4.9.''' <span id="fig:descriptionmotioninnd:twocircles" label="fig:descriptionmotioninnd:twocircles"></span> Для заданої кутової швидкості лінійна швидкість буде більшою на більшому колі (<math display="inline">v=\omega R</math>).]] </div> Це показано на [[#fig:describingmotioninnd:twocircles|Зображенні 4.9]], де два об’єкти можуть рухатися навколо двох кіл радіуса <math display="inline">R_1</math> та <math display="inline">R_2</math> з однаковою кутовою швидкістю <math display="inline">\omega</math>. Якщо вони мають однакову кутову швидкість, для завершення обертання їм знадобиться однакова кількість часу. Однак зовнішній об’єкт повинен подолати набагато більшу відстань (більшу окружність), і, таким чином, повинен рухатися з більшою лінійною швидкістю. ----- Двигун обертається зі швидкістю 3000 об/хв, '''яка відповідна частота в Гц?''' # 5 Гц # 50 Гц # 500 Гц ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Коли рух об’єкта відбувається більш ніж в одному вимірі, ми описуємо положення об’єкта за допомогою вектора, <math display="inline">\vec{r}</math>. <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z \end{aligned}</math> де <math display="inline">x(t)</math>, <math display="inline">y(t)</math> і <math display="inline">z(t)</math> - координати положення об’єкта. Ми розглядаємо рух у кожному вимірі як незалежний. Вектор миттєвої швидкості та вектор прискорення задаються: <math display="block">\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> Якщо вектор прискорення постійний (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об’єкта описуються: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac {1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t \end{aligned}</math> де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> і <math display="inline">z</math> компонент векторів. Якщо об’єкт знаходиться у положенні <math display="inline">\vec{r}^A</math>, виміряному в системі відліку <math display="inline">xy</math>, яка рухається з постійною швидкістю <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'^B</math>, як виміряно в другій системі відліку <math display="inline">x'y'</math>, то в системі відліку <math display="inline">x'y'</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> Прискорення може змінювати величину та/або напрямок вектора швидкості. # Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює модуль швидкості. # Компонент вектора прискорення, перпендикулярний вектору швидкості, змінює напрямок швидкості. Вектор прискорення для руху у двох вимірах можна записати як суму двох векторів — паралельного (<math display="inline">\vec a_{\parallel}</math>) і перпендикулярного (<math display="inline">\vec a_{\perp}</math>) до вектора швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp} \end{aligned}</math> Якщо положення об’єкта, що рухається по колу радіусом <math display="inline">R</math>, описується його положенням вздовж вигнутої осі <math display="inline">s</math>, то його положення вздовж кола можна описати за допомогою кута, <math display="inline">\theta</math>, в радіанах: <math display="block">\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R} \end{aligned}</math> Для об’єкта, що рухається по колу, ми можемо записати його вектор положення, <math display="inline">\vec r(t)</math>, як: <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix} \end{aligned}</math> Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, є темпом зміни кута. Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, є темпом зміни кутової швидкості: <math display="block">\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt} \end{aligned}</math> Лінійні кінематичні величини можна вирахувати із кутових величин: <math display="block">\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha \end{aligned}</math> Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола, а перпендикулярний компонент прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує у центр кола і має величину: <math display="block">\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Доцентровий вектор прискорення можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y] \end{aligned}</math> Рівномірний круговий рух - це рух об’єкта по колу з постійною швидкістю. Період, <math display="inline">T</math>, - це час, який потрібен об’єкту для завершення одного обороту. Частота, <math display="inline">f</math>, обернено пропорційна періоду і може розглядатися як кількість обертів, виконаних за секунду: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Рух у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t) \end{aligned}</math> '''Відносний рух двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec{r}\vphantom{r}'^A(t) &= \vec{v}\vphantom{v}'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec{v}\vphantom{v}'^A(t) &=\vec{v}\vphantom{v}'^B+\vec v^A(t)\\ \vec{a}\vphantom{a}'^A(t)&=\vec a^A(t) \end{aligned}</math> '''Вектор прискорення у двох вимірах:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \text{(постійна швидкість:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}</math> '''Рух по колу:''' <math display="block">\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^ 2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac {1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi} \end{aligned}</math> '''Вектор положення:''' Вектор, <math display="inline">\vec r</math>, що описує положення об’єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається координатами <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> та <math display="inline">z</math> об’єкта, <math display="inline">\vec r = x\hat x + y \hat y+ z\hat z</math>. '''Вектор швидкості:''' Вектор, <math display="inline">\vec v</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора положення. '''Вектор прискорення:''' Вектор, <math display="inline">\vec a</math>, що відповідає темпу зміни з часом (похідна за часом) вектора швидкості. '''Кутове положення:''' кут, який вектор положення утворює з віссю <math display="inline">x</math> або <math display="inline">z</math>. Одиниці SI: відсутні. Поширені змінні: <math display="inline">\theta</math> (кут з віссю <math display="inline">z</math>), <math display="inline">\phi</math> (кут з віссю <math display="inline">x</math>). '''Кутова швидкість:''' темп, з яким кут змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-1}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \omega</math>. Кутову швидкість можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Кутове прискорення:''' темп, з яким швидкість змінюється з часом. Одиниці SI: [<math display="inline">s^{-2}</math>]. Поширені змінні: <math display="inline">\vec \alpha</math>. Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правило правої руки для осьових векторів. '''Рівномірний круговий рух''': рух об’єкта з постійною швидкістю вздовж кола. <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = '''Подумайте і дослідіть:''' # Колись вважалося, що існує абсолютна система відліку під назвою «світловий ефір». Як називався експеримент, який спростував існування цієї системи відліку? # Знайдіть доцентрове прискорення Землі навколо Сонця. '''Спробуйте вдома:''' # Опишіть та проведіть невеликий експеримент, аби підтвердити, що кількість часу, необхідного для падіння снаряда з певної висоти, не залежить від горизонтального компонента його швидкості. # Розробіть план для вимірювання, як швидко ви можете кинути м’яч, та проведіть експеримент. '''Спробуйте в лабороторії:''' <ol start="5" style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Розробіть пропозицію щодо вимірювання того, як далеко ви можете стрибнути з розбігу (наприклад, стрибок у довжину).</p></li> <li><p>Запропонуйте експеримент для визначення періоду обертального руху Сонця.</p></li></ol> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 4.1:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:hurdle"></span>Ітан виконує стрибки з перешкодами. Він бере розбіг, рухаючись зі швидкістю <math display="inline">3\ m/s</math>. Перешкода становить <math display="inline">0.5\ m</math> заввишки, а максимальна швидкість, яку він може мати при відриванні від землі, становить <math display="inline">5\ m/s</math>. (Припустіть, що Ітан є точковою частинкою, та ігноруйте опір повітря). ([[#soln:describingmotioninnd:hurdle|Розв’язок]]) # '''Яка найближча відстань до перешкоди, на якій Ітан може стрибнути й все ще подолати її?''' # '''Якої максимальної висоти досягає Ітан?''' '''Задача 4.2:''' <span id="prob:descriptionmotioninnd:cowboy"></span> Ковбой розмахує ласо над головою. Ласо рухається з постійною швидкістю по колу радіусом <math display="inline">1.5\ m</math> в горизонтальній площині. Яструб летить до ласо зі швидкістю <math display="inline">50\ km/h</math>. Яструб бачить кінець ласо, що рухається зі швидкістю <math display="inline">60\ km/h</math>, коли ласо знаходиться безпосередньо перед ним (див. [[#fig:describingmotioninnd:cowboyquestion|Зображення 4.11]]). '''У системі відліку ковбоя ...''' ([[#soln:describingmotioninnd:cowboy|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyQuestionGiven.png|thumb|'''Зображення 4.11.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyquestion"></span> Задача, вид зверху. Зображено момент, коли кінець ласо проходить перед яструбом.]] </div> # '''Скільки часу потрібно ласо, щоб завершити один оборот?''' (Підказка: з погляду яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використати свої знання про відносний рух для розв’язання цієї проблеми!) # '''Яке доцентрове прискорення кінця ласо?''' # '''Яке кутове прискорення ласо?''' <span id="рішення"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:hurdle|Задачі 4.1]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:hurdle" label="soln:describeingmotioninnd:hurdle"></span>Наш підхід полягатиме в тому, щоб розглянути <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти руху окремо. Почнемо з того, що намалюємо діаграму та оберемо систему координат. Ми виберемо <math display="inline">y</math> так, щоб він був вертикальним і додатним вгору, а <math display="inline">x</math>, щоб він був у напрямку, в якому біжить Ітан. Ми вибираємо початок відліку у місці, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на [[#fig:describingmotioninnd:hurdle|Зображенні 4.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling HurdleQuestion.png|thumb|'''Зображення 4.12.'''<span id="fig:describeingmotioninnd:hurdle" label="fig:describeingmotioninnd:hurdle"></span> Ітан хоче подолати перешкоду висотою 0.5 m і має початкову швидкість <math display="inline">\vec v_0</math> з компонентами <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>.]] </div> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Швидкість Ітана на початку стрибка становить <math display="inline">v_0=5\ m/s</math>, а горизонтальна (<math display="inline">x</math>) компонента його швидкості становить <math display="inline">v_x=3\ m/s</math>. Компонента <math display="inline">y</math> його початкової швидкості, <math display="inline">v_{0y}</math>, знаходиться наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\ m/s)^2-(3\ m/s)^2}=4\ m/s \end{aligned}</math> Ми обрали початок на старті стрибка, тож координати Ітана <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> в момент <math display="inline">t=0</math> дорівнюють <math display="inline">x_0=0</math> і <math display="inline">y_0=0</math> відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, в напрямку <math display="inline">x</math> не буде прискорення, і єдине прискорення відбуватиметься в напрямку <math display="inline">y</math> через гравітацію. Позицію Ітана в будь-який момент <math display="inline">t</math> можна описати наступними рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac {1}{2}gt^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">g</math> - прискорення під дією сили тяжіння, <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>.</p> <p>Ми хочемо знайти значення <math display="inline">x(t)</math>, коли вертикальне зміщення, <math display="inline">y(t)</math>, дорівнює висоті бар’єра, <math display="inline">h</math>. Тобто, ми знаходимо значення <math display="inline">t</math>, коли <math display="inline">y=0.5\ m</math>, а потім знаходимо значення <math display="inline">x</math> в цей час.</p> <p>Ми можемо розв’язати квадратне рівняння <math display="inline">y(t)</math> для <math display="inline">t</math> (отримаємо два розв’язки): <math display="block">\begin{aligned} 0&=-\frac {1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac {1}{2}(-9.8\ m/s^2)t^2+(4\ m/s)t-0.5\ m\\ t&=0.15\ s,\quad 0.66\ s \end{aligned}</math> Стрибок буде параболою, і Ітан двічі перетне висоту <math display="inline">0.5\ m</math> – один раз на шляху вгору, а інший - вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан вперше досягне <math display="inline">0.5\ m</math> (по дорозі вгору), тому обираємо <math display="inline">t=0.15\ s</math>. Горизонтальне зміщення в цей час становить: <math display="block">\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\ m/s)(0.15\ s)\\ &=0.45\ m \end{aligned}</math> Тож, Ітан може наблизитися на відстань <math display="inline">0.45\ m</math> до бар’єра, перш ніж доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість становить <math display="inline">3\ m/s</math>.</p></li> <li><p>Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо змоделювати тільки вертикальну частину руху, аби знайти значення <math display="inline">y</math>, коли <math display="inline">v_y=0</math>. Ми знаємо наступні значення: <math display="block">\begin{aligned} v_{0y}&=4\ m/s\\ v_y&=0\ m/s\\ g&=9.8\ m/s^2 \end{aligned}</math> Найпростіший спосіб визначити <math display="inline">y</math> - скористатися формулою, <math display="block">\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)} \end{aligned}</math> Підставляючи значення для <math display="inline">v_y</math>, <math display="inline">v_{0y}</math> і <math display="inline">g</math>, ми отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\ m/s)^2}{(2)(-9.8\ m/s^2)}\\ y_{max}&=0.82\ m \end{aligned}</math> Ітан досягає максимальної висоти <math display="inline">0.82\ m</math>.</p></li></ol> '''Рішення [[#prob:describingmotioninnd:cowboy|Задачі 4.2]]:''' <span id="soln:describeingmotioninnd:cowboy" label="soln:describeingmotioninnd:cowboy"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Нам потрібно визначити швидкість кінця ласо в системі відліку ковбоя, знаючи швидкість ласо в системі відліку яструба та швидкість яструба. Як тільки ми знайдемо швидкість ласо в системі відліку ковбоя, можна легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).<br /> </p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboySolution.png|thumb|'''Зображення 4.13.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution" label="fig:describeingmotioninnd:cowboysolution"></span>Дві системи координат вирівняні так, що додатні <math display="inline">y'</math> і <math display="inline">y</math> знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкості яструба та ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>Ми починаємо з введення систем координат для яструба (<math display="inline">xy</math>) і ковбоя (<math display="inline">x'y'</math>) і обираємо, щоб осі <math display="inline">x</math> (<math display="inline">y</math>) і <math display="inline">x'</math> (<math display="inline">y'</math>) були паралельними. Ми обираємо осі таким чином, щоб <math display="inline">x</math> вказував праворуч (якщо дивитися зверху, як на [[#fig:describingmotioninnd:cowboysolution|Зображенні 4.13]]), а <math display="inline">y</math> вказував у напрямку руху яструба, яким він спостерігається в системі відліку ковбоя. Вектор швидкості яструба в системі відліку ковбоя: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_H = v'_ H\hat y = (50\ km/h)\hat y \end{aligned}</math> У системі відліку яструба ласо матиме <math display="inline">y</math> компоненту швидкості у від’ємному <math display="inline">y</math> напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідому компоненту <math display="inline">v_ {Lx}</math> у напрямку <math display="inline">x</math>. Швидкість ласо в системі відліку яструба становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо швидкість ласо в системі відліку яструба (<math display="inline">v_L=60\ km/h</math>), можемо легко знайти <math display="inline">v_{Lx}</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-{v'}^2_H}=\sqrt{(60\ km/h)^2-(50\ km/h)^2}=33.17\ km/h \end{aligned}</math></p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling CowboyVectorAddition.png|thumb|'''Зображення 4.14.''' <span id="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector" label="fig:describeingmotioninnd:cowboyvector"></span> Сума векторів для визначення швидкості ласо в системі відліку ковбоя.]] </div> <p>В ковбойській системі відліку ласо матиме вектор швидкості ([[#fig:describingmotioninnd:cowboyvector|Зображення 4.14]]), <math display="inline">\vec{v}\vphantom {v}'_L</math>, що визначається: <math display="block">\begin{aligned} \vec{v}\vphantom{v}'_L &= \vec{v}\vphantom{v}'_H + \vec v_L\\ &= v'_H\hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H\hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\ km/h)\hat x \end{aligned}</math> Тобто, в системі відліку ковбоя ласо має швидкість, що знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Вона відповідає швидкості, <math display="inline">v_s</math>, кінця ласо при рівномірному круговому русі по колу радіусом <math display="inline">R=1.5\ m</math>. Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту: <math display="block">\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\ m)}{(33.17\ km/h)} = \frac{2\pi (1.5\ m)}{(9.2\ m/s)}=1.02\ s \end{aligned}</math> де ми перевели швидкість в одиниці <math display="inline">m/s</math>, перш ніж визначити час.</p></li> <li><p>Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R} \end{aligned}</math> Щоб знайти доцентрове прискорення кінця ласо, ми просто використаємо значення для <math display="inline">v_s</math> і <math display="inline">R</math>. <math display="block">\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\ m/s)^2}{1.5\ m}=56\ m/s^2 \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Кутове прискорення ласо дорівнює нулю. Кутове прискорення означає темп зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається ласо), яка є постійною для рівномірного кругового руху.</p></li></ol> ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в одному вимірі|Закони Ньютона}} m3dt43gsgh8m5o5qqgmri5q7cir4b2t 0 8641 41545 41462 2026-11-07T19:55:29Z Slavust 9295 /* Визначення сил */ 41545 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|center|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 3]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 3]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} a8wswres89gole9sorer2lmr2t6o2p9 41546 41545 2026-11-07T19:58:59Z Slavust 9295 /* Діаграми вільного тіла */ 41546 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.2]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 3]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 3]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} agqmdg8n6lekzy2ql9z45kdoxanwlur 41547 41546 2026-11-07T19:59:39Z Slavust 9295 /* Діаграми вільного тіла */ 41547 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.3]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 3]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 3]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} l4o9x7e8425nlbyl68vomtkregk2cku 41548 41547 2026-11-07T20:02:57Z Slavust 9295 /* Використання другого закону Ньютона */ 41548 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.3]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 5.4]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 5.4]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> '''Приклад 5.5''' Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} tfzowg15lb5jg8c766z58jqg2daqdr6 41549 41548 2026-11-07T20:04:39Z Slavust 9295 /* Неінерційні системи відліку та інерційні сили */ 41549 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.3]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 5.4]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 5.4]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> '''Приклад 5.5''' Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 5.6.''' Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} 3pmsg4v6uqcb47fpujdvto2obowyrm1 41550 41549 2026-11-07T20:05:31Z Slavust 9295 /* Задачі */ 41550 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.3]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 5.4]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 5.4]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> '''Приклад 5.5''' Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 5.6.''' Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 5.1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 5.2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|задачі 1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Розв’язок [[#prob:newtonslaws:twoboxes|задачі 2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} ft2jlksefn7gxm6sz6aajzvxk3wd70q 41551 41550 2026-11-07T20:06:49Z Slavust 9295 /* Розв’язки */ 41551 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо закони Ньютона, які є стислою теорією фізики, що описує неймовірно велику кількість явищ у природі. Закони Ньютона - це одне з можливих формулювань того, що ми називаємо “класичною фізикою” (на відміну від “сучасної фізики”, яка включає квантову механіку та спеціальну теорію відносності). Закони Ньютона встановлюють зв’язок між динамікою (причинами руху) і кінематикою (описом цього руху). <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти три закони Ньютона. * Зрозуміти концепцію сили та як її ідентифікувати. * Зрозуміти поняття маси та інерції. * Навчитися зображати діаграми вільного тіла. </div> ----- <div class="mdframed"> В супермаркеті ви штовхаєте кошик, повний продуктів. Ви помічаєте, що аби тримати кошик у русі, вам необхідно продовжувати прикладати до нього силу. Ви робите висновок, що для безперервного руху потрібне безперервне прикладання сили. '''Це твердження:''' # Коректне, оскільки природний стан всіх об’єктів - перебувати в спокої. З часом, всі об’єкти перебуватимуть у стані спокою, тому, щоб підтримувати об’єкт у русі, потрібно прикладати силу. # Некоректне. Сила, яку ви прикладаєте, щоб утримувати об’єкт у русі, полягає лише у протидії силі тертя. </div> ----- <span id="три-закони-ньютона"></span> = Три закони Ньютона = Класична фізична теорія Ньютона ґрунтується на трьох наступних законах: * '''Закон 1''': Об’єкт залишатиметься в поточному стані руху, хай то у спокою чи русі з постійною швидкістю, якщо до нього не буде застосована зовнішня сила. * '''Закон 2''': Прискорення об’єкта пропорційне рівнодійній силі, що '''діє на об’єкт''', обернено пропорційне масі об’єкта, і в тому ж напрямку, що і рівнодійна сила. * '''Закон 3''': Якщо один об’єкт діє силою на інший, то другий об’єкт діє на перший силою, рівною за величиною і протилежною за напрямком. Наведених вище трьох тверджень достатньо, аби описати майже всі природні явища, які ми спостерігаємо впродовж життя. Такі поняття, як енергія, центр маси, крутний момент тощо, і з якими ви, можливо, вже стикалися, природно випливають з цих трьох законів. Щоб будувати моделі для опису конкретних експериментів або спостережень з використанням законів Ньютона, потрібно зрозуміти два основні математичні поняття, які вводить теорія: сила і маса. Перед подальшим розвитком цих двох концепцій, надамо декілька коментарів до кожного з трьох законів Ньютона. <span id="перший-закон-ньютона"></span> == Перший закон Ньютона == Перший закон Ньютона часто називають законом інерції, який спочатку був сформульований Галілеєм. Перший закон не є інтуїтивним, оскільки наш досвід свідчить, що коли ви штовхаєте блок на столі та відпускаєте його, він в кінцевому підсумку зупиниться. Дійсно, Аристотель припустив, що природний стан об’єктів має бути спокоєм. У результаті теорії Ньютона тепер ми розуміємо, що коли ви моделюєте блок, що ковзає по столу, потрібно врахувати силу тертя між столом і блоком, яка уповільнює рух; таким чином, блок не знаходиться в ситуації, коли на об’єкт не діє зовнішня сила. Перший закон Ньютона корисний для визначення того, що ми називаємо “інерційною системою відліку”. Це система відліку, в якій перший закон Ньютона є істинним. Систему відліку можна розглядати як систему координат, яка може рухатися. Наприклад, якщо поїзд рухається з постійною швидкістю, ми можемо розглядати його як інерційну систему відліку, оскільки об’єкти в поїзді будуть слідувати першому закону Ньютона для спостерігачів, які знаходяться в поїзді. Якби пасажир поїзда поклав предмет на стіл, він би зауважив, що об’єкт не починає мимовільно рухатися; якщо він ковзає об’єктом по столу без тертя, він би зауважив, що об'єкт продовжує ковзати з постійною швидкістю. Однак, якщо поїзд прискорюється вперед, то об’єкт, поміщений на стіл без тертя, для спостерігачів у системі відліку поїзда буде прискорюватися в напрямку, протилежному руху поїзда, і порушувати перший закон Ньютона. Таким чином, поїзд, що прискорюється, не є інерційною системою відліку. Для спостерігача на землі, який дивиться у потяг крізь вікно, об’єкт, поставлений на стіл без тертя, здавався б таким, що рухається з тією ж постійною швидкістю, що й коли його помістили на стіл (швидкість поїзда в той момент). Аналогічним чином, коли ви перебуваєте в автомобілі, перший закон Ньютона виконується, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю, але якщо автомобіль рухається навколо кривої (і, таким чином, прискорюється, навіть коли його швидкість є постійною), ви побачите, що всі об’єкти в автомобілі раптово штовхнуться назовні кривої, що суперечить першому закону Ньютона; це пов’язано з тим, що автомобіль, що прискорюється, не є інерційною системою відліку, і тому перший закон Ньютона не має виконуватися. Таким чином, перший закон Ньютона дозволяє нам визначити інерційну систему відліку. Три закони Ньютона зберігаються лише в інерційних системах відліку. ----- <div class="mdframed"> '''Ви перебуваєте в ліфті, що прискорюється вгору.''' # Ліфт є інерційною системою відліку. # Ліфт не є інерційною системою відліку. </div> ----- <span id="другий-закон-ньютона"></span> == Другий закон Ньютона == Другий закон Ньютона часто записується як векторне рівняння: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де <math display="inline">\sum \vec F</math> - векторна сума сил, що діють на об’єкт, <math display="inline">\vec a</math> - вектор прискорення об’єкта, а <math display="inline">m</math> - «інерційна маса» об’єкта. Як ми побачимо, сила представлена вектором, а сума векторів сил, що діють на об’єкт, часто називається «рівнодійною сил». Нагадаємо, що використання векторів для запису рівняння є лише скороченим записом рівнянь для кожної компоненти. Таким чином, у трьох вимірах другий закон Ньютона відповідає трьом незалежним скалярним рівнянням (по одному для кожної компоненти векторів сили та прискорення): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Другий закон Ньютона є основою класичної фізики, в якій ми прагнемо кількісно описати рух будь-якого об’єкта. Рух об’єкта повністю визначається його прискоренням, якщо ми знаємо його положення та швидкість у певний момент часу. Тобто, знаючи положення та швидкість об’єкта в певний момент часу та його прискорення, ми можемо описати його рух як у майбутньому, так і в минулому; ми називаємо класичну фізику детермінованою теорією (на відміну, скажімо, від квантової механіки, яка каже нам лише ймовірність того, що частинка буде перебувати в певному конкретному положенні у майбутньому). Таким чином, права частина Другого закону Ньютона містить кінематичний опис об’єкта. Якщо ми знаємо прискорення об'єкта, ми знаємо все про його рух. Ліва частина рівняння містить всю «динаміку» для опису об’єкта; сила - це інструмент, який ввів Ньютон, щоб мати можливість визначити прискорення об’єкта. Отже, другий закон Ньютона каже, як визначити кінематику об’єкта, використовуючи поняття сил; він пов’язує динаміку з кінематикою. Оскільки ми вже розглянули кінематику, тепер зосередимося на розумінні динаміки та розробці моделей, які дозволять розрахувати рівнодійну силу, що впливає на об’єкт. Інерційна маса, <math display="inline">m</math>, є специфічною властивістю об’єкта, яка говорить нам, наскільки велике прискорення він отримає на основі заданої рівнодійної сили. Таким чином, об’єкти з різними масами отримають різні прискорення, якщо піддаватимуться одній і тій самій рівнодійній силі. ----- <div class="mdframed"> Об’єкт 1 має вдвічі більшу інерційну масу ніж об’єкт 2. '''Якщо обидва об’єкти мають однаковий вектор прискорення:''' # Рівнодійна сила на обидва об’єкти однакова. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 вдвічі більша, ніж на об’єкт 2. # Рівнодійна сила на об’єкт 1 становить половину сили, що діє на об’єкт 2. </div> ----- <span id="третій-закон-ньютона"></span> == Третій закон Ньютона == Третій закон Ньютона пов’язує сили, які два об’єкти чинять один на одного. Важливо розуміти, що сили, які згадуються в третьому законі Ньютона, діють на ''різні'' об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B також діятиме на об’єкт A. Дві сили матимуть однакову величину, але протилежні напрямки. Іноді ці сили називають силами «дії» та «протидії», хоча це вводить в оману, оскільки звучить так, ніби сила протидії є «відповіддю» на якусь добровільну силу дії. Проте, неживі предмети можуть впливати силами, тому це може призвести до непотрібної плутанини щодо того, яка з сил є протидією. Якщо блок натискає вниз на стіл (сила дії), то стіл натискає вгору на блок (сила протидії). Однак можна також сказати, що стіл штовхає блок вгору (сила дії), тому блок штовхає стіл вниз (сила протидії). Неважливо, яку силу ви назвете силою дії (протидії). Це може заплутати, тому що якщо ви вирішите тиснути на стіну (надаючи силу дії), то стіна чинитиме на вас силу (силу протидії). Якщо ви вирішите не тиснути на стіну (не застосовуючи силу), стіна не застосує силу протидії. Це призводить до того, що люди думають, ніби сила протидії є відповіддю на силу дії, яку надає розумна істота, проте це не так. Ви можете назвати силу, яку ви вирішите прикласти до стіни, силою протидії, й закони Ньютона все одно працюватимуть так само справно! Третій закон Ньютона часто призводить до плутанини при застосуванні другого закону Ньютона. Нагадаємо, що другий закон Ньютона передбачає суму сил, що впливають на конкретний об’єкт («рівнодійна сила» на цей об’єкт). '''Дві сили, що згадуються в третьому законі Ньютона, не впливають на один й той самий об’єкт''', тому вони ніколи не з’являться разом у сумі сил з другого закону Ньютона, і вони ніколи не скасовують одна одну. ----- <div class="mdframed"> Ви штовхаєте важкий блок у північному напрямку. Блок удвічі важчий за вас. '''Яке твердження вірне?''' # Блок чинить на вас половину сили, в північному напрямку. # Блок чинить на вас таку ж силу, але в південному напрямку. # Блок чинить на вас подвійну силу, у південному напрямку. # Блок неживий і тому не чинить на вас ніякого впливу. </div> ----- <span id="сила"></span> = Сила = Сила - це математичний інструмент, введений фізичною теорією Ньютона. Сила не є справжньою «річчю»; в реальному світі немає сил, ви не можете дати комусь силу або купити силу в супермаркеті. Сила - це суто математичний інструмент, тому важливо боротися зі своєю інтуїцією стосовно того, що це таке, і дотримуватися чітко визначених правил виявлення сил для побудови моделей. Математично '''сила представлена вектором''' і, таким чином, має величину та напрямок. Одиницею СІ для величини сили є «Ньютон», скорочено, <math display="inline">N</math>. Сила використовується для опису того, як на рух об’єкта впливають зовнішні чинники. Важливо відзначити, що сила може чинитися неживою істотою; тобто, немає ніякого наміру - ніякого свідомого рішення штовхати або тягнути - пов’язаного з силою. Коли ви штовхаєте блок вздовж горизонтальної поверхні, ми моделюємо рух блоку як пов’язаний із силою, якою ви дієте на блок у напрямку, в якому ви штовхаєте, і з величиною, пропорційною тому, наскільки сильно ви штовхаєте. Третій закон Ньютона стверджує, що блок чинитиме на вас силу такої ж величини, але в протилежному напрямку; якщо ми хочемо змоделювати ''ваш рух'', нам треба буде включити цю силу. Якщо ви тягнете візок, ми змоделюємо рух візка із урахуванням сили, якою ви дієте на нього. Сила буде представлена вектором у напрямку, в якому ви тягнете, з величиною, залежною від того, наскільки сильно ви тягнете. Аналогічно, щоб змоделювати ваш рух, ми б включили вектор сили, який дорівнює за величиною та протилежний за напрямком, аби представити силу, якою діє візок на вас. При моделюванні руху об’єкта важливо враховувати лише ті сили, що впливають на цей об’єкт. Одним зі способів кількісної оцінки сили є використання пружинних ваг. Пружини мають природну «довжину у стані спокою», якщо на них не впливають зовнішні сили. Якщо ви спробуєте розтягнути пружину, вона «захоче» повернутися до нормальної довжини спокою; вона діятиме на вашу руку силою в протилежному напрямку від того, в якому тягнете. Можливо, ви помітили, що чим більше ви розтягуєте пружину, тим важче її тягнути. Ми можемо кільнисно описати величину сили за відстанню, на яку вона змушує розтягуватися пружину, оскільки ця відстань збільшується з тим, що ми уявляємо як силу. Наприклад, можна оголосити «стандартну пружину» як таку, що розширюється (або стискається) на <math display="inline">1\ cm</math>, коли на пружину діє сила в <math display="inline">1\ N</math> у напрямку, паралельному осі пружини. Тоді ми могли б використовувати цю «стандартну пружину» для вимірювання величини будь-якої сили. <span id="види-сил"></span> == Види сил == При моделюванні динаміки об’єкта нам потрібно визначити всі сили, що діють на нього. Деякі сили можна класифікувати як «контактні сили», оскільки вони виникають внаслідок контакту чогось з об’єктом (наприклад, ви тиснете на об’єкт). Інші сили можуть діяти «на відстані»; наприклад, сила тяжіння Землі може діяти на птаха в польоті, навіть якщо він не контактує з Землею. Насправді контактні сили виникають тому, що електрони від двох об’єктів відштовхують один одного. Коли ви притискаєтеся до стіни, причина, по якій ви відчуваєте опір, полягає в тому, що електрони на вашій руці відштовхуються електронами стіни. Ви ніколи насправді не «торкаєтеся» стіни<ref>Насправді, неможливо нічого торкнутися, можна лише дуже сильно наблизитися!</ref>! В даному підрозділі ми перерахуємо та опишемо найпоширеніші види сил, які виникають при моделюванні руху об’єкта. При визначенні сил, що діють на об’єкт, зазвичай варто переглянути цей список, аби вирішити, чи слід включати якусь із них. Знову ж таки, спробуйте боротися зі своєю інтуїцією щодо того, якою сила «відчувається», і натомість будьте об’єктивним у визначенні, чи слід включати будь-яку з сил нижче, на основі опису їх характеристик. <span id="вага"></span> === Вага === Вага - це сила, спричинена гравітацією. Хоча всі об’єкти, що мають масу, притягають силою тяжіння всі інші об’єкти з масою, цією силою, як правило, можна знехтувати, поки маса кожного об’єкта не дуже велика. Для об’єкта поблизу поверхні Землі ми можемо, із доволі точним наближенням, припустити, що єдина сила тяжіння, що діє на об’єкт - від Землі. Зазвичай ми позначаємо силу тяжіння як <math display="inline">\vec F_g</math>. Всі об’єкти поблизу поверхні Землі будуть відчувати вагу, якщо вони мають масу. Якщо об’єкт має масу, <math display="inline">m</math>, і розташований поблизу поверхні Землі, на нього буде впливати сила (його вага), що визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec g</math> - вектор «гравітаційного поля» Землі й '''вказує у центр Землі'''. Біля поверхні Землі величина гравітаційного поля становить приблизно <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Гравітаційне поле - це міра сили тяжіння до Землі (це сила тяжіння на одиницю маси). Величина гравітаційного поля слабшає, коли ви рухаєтеся далі від центру Землі (наприклад, на вершині гори або на орбіті). Гравітаційне поле також відрізняється на різних небесних тілах; наприклад, на поверхні Місяця воно становить приблизно <math display="inline">g_m=1.62\ N/kg</math> (у шість разів менше) - таким чином, вага об’єкта на поверхні Місяця у шість разів менша (але його маса та сама). Як ми побачимо, величина гравітаційного поля від будь-якого сферичного тіла масою <math display="inline">M</math> (наприклад, планети) визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} g(r) = G\frac{M}{r^2} \end{aligned}</math> де <math display="inline">G=6.67 e-11\ </math> - гравітаційна стала Ньютона, а <math display="inline">r</math> - відстань до центру тіла. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:weight"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Weight.png|thumb|'''Зображення 5.1.''' Сила тяжіння, що впливає на об’єкт біля поверхні Землі, вказує у центр Землі (вниз).]] </div> Хоча ми ще не ввели поняття маси, варто підкреслити, що маса і вага є різними (вони мають різну розмірність). Маса є внутрішньою властивістю об’єкта, тоді як вага - це сила тяжіння, яка діє на цей об’єкт, оскільки він має масу і розташований поруч з іншим об’єктом з масою (наприклад, із Землею). На Землі, коли ми вимірюємо свою вагу, ми зазвичай робимо це, стоячи на пружинних вагах, які призначені для вимірювання сили шляхом стискання пружини. Таким чином, ми вимірюємо <math display="inline">mg</math>, що легко може бути пов’язано з нашою масою, оскільки на Землі вага та маса пов’язані коефіцієнтом <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>; зазвичай це призводить до плутанини між масою та вагою. ----- <div class="mdframed"> '''Людина, яка стоїть на вагах, бачить, що вона важить <math display="inline">80\ kg</math>.''' # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила вгору із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">80\ N</math>. # На поверхні Землі на людину діє сила униз із величиною <math display="inline">784\ N</math>. # На людину на поверхні Землі не діє жодна сила. </div> ----- <span id="сили-нормальної-опори"></span> === Сили нормальної реакції === <span id="fig:newtonslaws:normal"></span> <div class="image"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Normal.png|thumb|'''Зображення 5.2.''' Сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, з якою діють горизонтальна поверхня (зліва) та нахилена поверхня (справа) на блок. В обох випадках сила нормальної реакції, що прикладена до об’єкта, перпендикулярна поверхні дотику між об’єктами та вказує в напрямку від дотику до об’єкта.]] </div> Сили нормальної реакції виникають, коли дві поверхні контактують і «штовхають» одна одну. Наприклад, якщо блок спирається на горизонтальний стіл, стіл буде діяти силою нормальної реакції на блок, і вона буде спрямована вгору. Сила реакції називається «нормальною», оскільки вона є перпендикулярною (тобто нормаллю) до поверхні дотику між двома об’єктами. Сила нормальної реакції, з якою поверхня діє на об'єкт, вказує у напрямку '''від поверхні до об’єкта''' таким чином, що вона перпендикулярна поверхні дотику між поверхнею та об’єктом. Через третій закон Ньютона, щоразу, коли на об’єкт діє сила нормальної реакції від поверхні, об’єкт також чинить силу тієї ж величини (у протилежному напрямку) на поверхню. Величина сили нормальної реакції, якою поверхня діє на об'єкт, в загальному випадку залежить від інших сил, що діють на нього. Наприклад, якщо на столі знаходиться блок, на нього діятиме більша сила нормальної реакції, якщо ви застосуєте до блоку силу вниз. [[#fig:newtonslaws:normal|Зображення 5.2]] показує два приклади сили нормальної реакції на блок, яка прикладається поверхнею (припускається, що на блок також дія сила тяжіння униз, що не зображено). В обох випадках сила нормальної реакції, <math display="inline">\vec N</math>, перпендикулярна поверхні дотику і знаходиться в напрямку, який йде від дотику до об’єкта. <span id="сили-тертя"></span> === Сили тертя === Сила тертя може існувати на стику між двома поверхнями і завжди перпендикулярна силі нормальної реакції, яка відповідає дотику між ними. Сила тертя використовується для моделювання опору, який виникає, коли хтось намагається рухати об’єкт вздовж поверхні. Вона використовується для моделювання деталей взаємодії двох поверхонь на мікроскопічному рівні; оскільки поверхні ніколи не бувають ідеально рівними, дві поверхні ніколи не ковзатимуть без опору, тому що різні нерівності та ущелини поверхонь будуть взаємодіяти ([[#fig:newtonslaws:fsurfaces|Зображення 5.3]]). Крім того, навіть якби дві поверхні були ідеально гладкими, електрони на них все одно б взаємодіяли й призводили до наявності сил, коли одна поверхня рухається по іншій. <span id="fig:newtonslaws:fsurfaces" label="fig:newtonslaws:fsurfaces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Fsurfaces.png|thumb|'''Зображення 5.3.''' Ілюстрація того, що силу тертя між поверхнями можна вважати такою, що виникає через мікроскопічну недосконалість поверхонь, хоча навіть дві ідеально гладкі поверхні все одно будуть взаємодіяти.]] </div> Розрізняють два типи сил тертя: кінетичне та статичне, залежно від того, ковзають поверхні відносно одна одної (кінетичне) чи ні (статичне). В результаті третього закону Ньютона, сила тертя буде застосовуватись (однакова величина, протилежний напрямок) до обох об’єктів, яким належать кожна з поверхонь. Сила тертя, що діє на об’єкт, завжди паралельна поверхні об’єкта. Кінетична сила тертя діє в напрямку, протилежному руху об’єкта відносно поверхні. Статична сила тертя діє в напрямку, протилежному до ''руху, якому вона перешкодило''. Якщо блок на столі ковзає вправо ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], ліворуч), на нього буде діяти кінетична сила тертя, спрямована ліворуч. Тоді стіл зазнає сили тертя, спрямованої праворуч (Третій закон Ньютона). Якщо на землі є важкий ящик, який ви намагаєтеся штовхнути, але не вдається ([[#fig:newtonslaws:friction|Зображення 5.4]], праворуч), існує сила статичного тертя, що чиниться землею на об’єкт, і вона протилежна напрямку, в якому ви штовхаєте. <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:friction" label="fig: newtonslaws:friction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Friction.png|thumb|'''Зображення 5.4.''' (Ліворуч:) Блок, що ковзає вправо по горизонтальній поверхні (не показана). Сила кінетичного тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, завжди перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку руху. (Праворуч:) Блок, на який діє зовнішня сила <math display="inline">\vec F</math> в напрямку праворуч. Сила статичного тертя, <math display="inline">\vec f_s</math>, перпендикулярна силі нормальної реакції та протилежна напрямку «нездійсненого руху» - без сили статичного тертя блок почав би прискорюватися вправо, тому сила статичного тертя спрямована ліворуч.]] </div> Однією з ключових відмінностей між силами статичного та кінетичного тертя є те, що величина сили статичного тертя може змінюватися за модулем; сила статичного тертя, що діє на ящик, збільшується при сильнішому штовханні, поки ви не натиснете достатньо сильно, щоб подолати максимальну силу статичного тертя, яка може існувати між землею та ящиком. Часто сила кінетичного тертя менша за силу статичного тертя; ви, можливо, помітили, що вам потрібно дуже сильно штовхнути, щоб об’єкт почав рух, але як тільки він у русі, вам не потрібно так сильно штовхати для продовження його руху. Модуль кінетичної сили тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_k</math>, моделюється як пропорційний силі нормальної реакції між двома поверхнями: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_k</math> називається «коефіцієнтом кінетичного тертя» і залежить від обох поверхонь. Якщо ви натискаєте на об’єкт униз, його складніше рухати вздовж поверхні, тому що сила нормальної реакції, а отже, і кінетична сила тертя, збільшується. Аналогічно, максимальна величина сили статичного тертя між двома поверхнями, <math display="inline">f_s</math>, моделюється як: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> де <math display="inline">\mu_s</math> називається «коефіцієнтом статичного тертя», а знак нерівності використовується для позначення того, що сила статичного тертя має максимальне значення, але її величина залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Наприклад, якщо ви не штовхаєте ящик на горизонтальній поверхні, сила статичного тертя відсутня (якщо не діють інші сили, паралельні поверхні). <span id="сили-натягу"></span> === Сили натягу === Сила натягу - це «тягнуча» сила, якою діє мотузка або інші нежорсткі носії (наприклад, ланцюг), які зазвичай не можуть бути використані для штовхання<ref>Якщо ви прикріпили жорсткий стрижень до об’єкта та потягнули за стрижень, ви можете назвати силу, з якою стрижень діє на об’єкт, силою натягу, навіть якщо він жорсткий.</ref>. Якщо ви прикріплюєте мотузку до ящика і використовуєте її, щоб потягнути його, ми називаємо силу, якою мотузка діє на ящик, силою натягу. <span id="fig:newtonslaws:tension"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Tension.png|thumb|'''Зображення 5.5.''' Сила <math display="inline">\vec F</math> застосовується до мотузки, що обходить шків і кріпиться до ящика. Мотузка надає силу натягу <math display="inline">\vec T</math> ящику. Якби шків і мотузка були безмасовими, величина застосованої до ящика сили дорівнювала б величині сили натягу. Мотузка і шків дозволяють змінювати напрямок вектора прикладеної сили.]] </div> Коли ви тягнете за мотузку, прикріплену на іншому кінці до стіни, ми кажемо, що мотузка знаходиться під натягом, або що сила натягу присутня вздовж всієї мотузки. Якщо ви дуже сильно тягнете за мотузку, буде важче зсунути її центр (або будь-яку іншу точку), ніж якби ви не тягнули. Таким чином, має сенс розглядати натяг як присутній вздовж всієї мотузки. Сила натягу, якою мотузка може діяти на об’єкт, залежить від сили, з якою мотузка тягнеться на іншому кінці. Мотузка може бути використана для зміни напрямку сили, як показано на [[#fig:newtonslaws:tension|Зображенні 5.5]], що ілюстроє, як шків і мотузка використовуються для підйому блоку вертикально, застосовуючи горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, до мотузки. Однаковий натяг присутній на всіх ділянках мотузки, які можуть рухатися вільно. Тепер уявіть собі мотузку, що лежить на землі, і хтось натискає на неї посередині ногою. Якщо ви тягнете за один кінець мотузки рукою, в ділянці мотузки між вашою рукою та ногою, що тисне на мотузку, буде натяг, але інша сторона мотузки не буде натягнутою; таким чином, натяг на різних ділянках мотузки буде відрізнятися. Як ми побачимо в наступних розділах, якщо мотузка йде навколо шківа, який прискорюється і має масу, то натяг у мотузці з обох боків шківа відрізнятиметься; це схоже на натяг, який відрізняється з обох боків стопи, що тисне на мотузку. <span id="сили-аерогідродинамічного-лобового-опору"></span> === Сили аерогідродинамічного (лобового) опору === Сили лобового опору діють на об’єкт, що рухається через газ або рідину. Коли об’єкт рухається крізь рідину (або газ), рідина повинна бути витіснена, що призводить до того, що рівнодійна сила протидіє руху об’єкта. Таким чином, сили лобового опору завжди протилежні напрямку руху об’єкта відносно рідини, подібно до тертя. Часто можна почути термін «тертя повітря», який належить до сили лобового опору, що діє об’єкт, коли той рухається крізь повітря. Немає хорошої загальної моделі для обчислення величини сили опору на будь-який об’єкт, що рухається через будь-яку рідину. Зазвичай це потрібно вимірювати; хоча для імітації опору й існує хороше програмне забезпечення, щоб виміряти силу лобового опору вам все одно в кінцевому підсумку потрібно буде перевірити нову конструкцію літака в аеродинамічній трубі. Величина сили лобового опору, як правило, залежить від поперечного перерізу об’єкта (площі об’єкта, якщо дивитися на нього в напрямку руху), швидкості об’єкта та в’язкості рідини (наскільки важко витіснити рідину). Для невеликих об’єктів, що рухаються відносно повільно крізь рідину або газ (наприклад, пилок, що падає у повітрі), сила лобового опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта, тоді як для більших об’єктів, що рухаються швидше (наприклад, автомобіль або літак, що рухається крізь повітря), сила опору зазвичай пропорційна швидкості об’єкта у квадраті. <span id="сили-пружності"></span> === Сили пружності === Сили пружності - це сили, що впливають на ті матеріали та предмети, які можуть бути стиснуті або розширені. Поширеним прикладом є проста спіральна пружина, яка має природну довжину стану спокою. Якщо пружина розтягнута, вона буде чинити сили на обох її кінцях, спрямовані до центру пружини. Якщо пружина стиснута, вона буде надавати сили, спрямовані з центру пружини. В обох випадках пружина буде докладати зусиль, які дозволять їй повернутися до своєї довжини стану спокою. <span id="fig:newtonslaws:spring" label="fig: newtonslaws:spring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Spring.png|thumb|'''Зображення 5.6.''' Пружина прикріплена до нерухомої стінки зліва та до рухомого блоку справа. Вісь <math display="inline">x</math> обирається для опису положення кінця пружини, до якого прикріплений блок, а її початок відповідає точці, в якій пружина не витягнута і не стиснута (верхній ряд). Вісь <math display="inline">x</math> обирається так, щоб додатні значення <math display="inline">x</math> відповідали подовженій пружині. Зліва внизу пружина витягнута на відстань <math display="inline">x</math> (положення блоку має додатний <math display="inline">x</math>), а сила, що діє від пружини на блок, знаходиться у від’ємному <math display="inline">x</math> напрямку. У правому нижньому куті пружина стискається (положення блоку має від’ємний <math display="inline">x</math>), а сила, з якою пружина діє на блок, має додатний напрямок <math display="inline">x</math>.]] </div> Більшість пружин, якщо вони не розтягнуті або не стиснуті занадто сильно, будуть надавати силу, що описується законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F</math> - сила, яку надає пружина, <math display="inline">k</math> називається «коефіцієнтом жорсткості» пружини, а <math display="inline">x</math> - довжина, на яку пружина була розтягнута або стиснута. Від’ємний знак вказує на те, що сила відновлення до довжини стану спокою буде у напрямку, протилежному до того, в якому довжина пружини була змінена, вісь <math display="inline">x</math> визначається як колінеарна осі пружини, а початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою. Це показано на [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]]. ----- <div class="mdframed"> На [[#fig:newtonslaws:spring|Зображенні 5.6]] ми обрали додатну вісь <math display="inline">x</math> так, щоб вона відповідала положенням, де пружина розширена, і переконались, що закон Гука (<math display="inline">\vec F=-kx\hat x</math>) виконується. '''Якби ми обрали додатний напрямок відповідно стисненню (додатний <math display="inline">x</math> ліворуч), чи все ще закон Гука правильно описував би напрямок сили, якою пружина діє на блок?''' # Так. # Ні. </div> ----- <span id="сили-інерції"></span> === Сили інерції === Сили інерції діють на об’єкт, який моделюється в неінерційній системі відліку. Наприклад, в системі відліку ліфта, що прискорюється, або автомобіля, що рухається по кривій, для моделювання руху можна використовувати три закони Ньютона, якщо включити додаткову силу інерції. У системі відліку, яка має прискорення, задане <math display="inline">\vec a</math>, на об’єкт діє сила інерції <math display="inline">-m\vec a</math>. Це характер зовнішньої сили, яка відчувається, коли ваш автомобіль рухається по кривій, або сприйняття невагомості у ліфті, що має велике прискорення вниз. Більш детально сили інерції ми розглянемо у підрозділі [[#sec:newtonslaws:inertialforces|1.6]]. <span id="застосовані-сили"></span> === «Прикладені» сили === «Прикладені» сили - це лише «загальний» термін для визначення сил, які не описані вище. Наприклад, сила, з якою людина діє на об’єкт, часто називається силою, що прикладається. <span id="маса-та-інерція"></span> = Маса та інерція = Маса - це властивість об’єкта, що кількісно визначає, скільки об’єкт містить речовини. В одиницях SI маса вимірюється в кілограмах. Раніше один кілограм визначався як маса циліндра, виготовленого зі сплаву платина-іридій, який зберігається в Міжнародному бюро мір і ваг у Франції. Всі інші маси були отримані шляхом порівняння з цим стандартом. У 2019 році всі базові величини SI (наприклад, кілограм) були перевизначені на основі констант природи (наприклад, кілограм тепер визначається таким чином, що стала Планка має точне значення <math display="inline">h = 6.62607015 \cdot 10^{-34}\ kg\cdot m^2\cdot s^{-1}</math>). Другий закон Ньютона вводить поняття маси як властивості об’єкта, яка визначає, наскільки велике прискорення він отримає від рівнодійної сили, що діє на об’єкт. В принципі, можна порівняти прискорення різних тіл з міжнародним стандартом, щоб визначити їх масу в кілограмах. Наприклад, при заданій рівнодійній силі, якщо прискорення об’єкта становить половину від прискорення стандартного кілограма, об’єкт має масу <math display="inline">2\ kg</math>. У контексті другого закону Ньютона маса - це міра інерції об’єкта; тобто це міра того, як цей конкретний об’єкт протистоїть зміні руху під дією сили (ми можемо думати про велике прискорення як про велику зміну руху, оскільки вектор швидкості об’єкта буде змінюватися більше). З цієї причини масу, яка з’являється в другому законі Ньютона, називають «інерційною масою». Як ви пам’ятаєте, вага об’єкта задається його масою, помноженою на силу гравітаційного поля, <math display="inline">\vec g</math>. Немає причин, з яких маса, що використовується для розрахунку ваги, <math display="inline">F_g=mg</math>, повинна бути тією ж величиною, що й маса, яка використовується для розрахунку інерції <math display="inline">F=ma</math>. Таким чином, люди іноді розрізняють «гравітаційну масу» (масу, яку ви використовуєте для розрахунку ваги та сили гравітації) та «інерційну масу», яку описано вище. Були проведені дуже точні експерименти, щоб визначити, чи є рівними гравітаційна та інерційна маси. Досі експерименти не змогли виявити жодної різниці між ними. Ми побачимо, що як універсальна теорія гравітації Ньютона, так і загальна теорія відносності Ейнштейна припускають, що вони дійсно рівні. Насправді ключова вимога теорії Ейнштейна полягає в тому, щоб вони були рівними (припущення про те, що вони рівні, називається “Принципом еквівалентності”). Однак ви повинні мати на увазі, що немає фізичної причини, чому вони мають бути однаковими, і що, наскільки нам відомо, це збіг! Якщо не зазначено інше, ми не будемо розрізняти гравітаційну та інерційну масу і припустимо, що вони рівні. Ми будемо просто використовувати термін «маса» і уточнювати тип маси лише коли це доречно (наприклад, коли ми охоплюємо гравітацію). <span id="застосування-законів-ньютона"></span> = Застосування законів Ньютона = Тепер, коли ми ввели всі концепції з класичної теорії фізики Ньютона, представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, що використовують цю теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух усіх об’єктів, які нас цікавлять, ми описали все, що можна. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об’єкта на основі рівнодійної сил, що діють на об’єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об’єктів, що представляють інтерес, ми побудували повну модель. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є визначення сил, які діють на об’єкт. Тепер, коли ви прочитали це тричі, ви розумієте, що цей крок є важливим, так?! Стратегія побудови моделі руху об’єкта за допомогою теорії Ньютона проста: # Визначте інерційну систему відліку, в якій будете будувати модель. # Визначте сили, що діють на об’єкт (чи не згадували ми, що цей крок важливий?). # Намалюйте діаграму вільного тіла. # Застосуйте другий закон Ньютона. <span id="визначення-сил"></span> == Визначення сил == Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є ідентифікація всіх сил, що діють на об’єкт. Це можна зробити, спитавши себе: «що може штовхати чи тягнути об’єкт?», а також переглянувши перелік сил, який ми навели в підрозділі [[#sec:newtonslaws:typesofforces|1.2.1]], щоб визначити, чи є якісь з них актуальними тут. Для зручності нижче ми відтворюємо типи сил і включаємо деякі питання, які ви можете собі поставити, аби вирішити, чи включати відповідні сили: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:blockH"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH.png|thumb|'''Зображення 5.7.''' Блок на горизонтальному столі.]] </div> '''Приклад 5.1.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockH|Зображенні 5.7]]. '''Які сили діють на блок?''' Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockH_forces|Зображенні 5.8]] і є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє поверхня. Сила нормальної реакції перпендикулярна поверхні дотику між столом та блоком. Вона вказує вгору у «відповідь» на силу, спрямовану вниз, яку блок чинить на стіл. Сила вниз, якою блок діє на стіл, не показана, оскільки ця сила діє не на блок, а на стіл. <span id="fig:newtonslaws:blockH_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockH forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.8.''' Сили, що діють на блок на горизонтальному столі.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:blockI" label="ex:newtonslaws:blockI"></span> '''Приклад 5.2.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на похилій поверхні, як показано на [[#fig:newtonslaws:blockI|Зображенні 5.9]]. '''Які сили діють на блок?''' <div class="figure"> <span id="fig:newtonslaws:blockI" label="fig:newtonslaws:blockI"></span> [[File:BlockI.png|thumb|'''Зображення 5.9.''' Блок на похилій поверхні.]] </div> Сили, що діють на блок, проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:blockI_forces|Зображенні 5.10]], і це: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції зі сторони поверхні. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, якою діє похила площина. Без цієї сили блок ковзнув би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному руху, який не відбувся, і паралельна поверхні дотику (і перпендикулярна силі нормальної реакції). <span id="fig:newtonslaws:blockI_forces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws BlockI forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.10.''' Сили, що діють на блок на похилій поверхні.]] </div> </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:newtonslaws:2blockswedge" label="ex:newtonslaws:2blockswedge"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge.png|thumb|'''Зображення 5.11.''' Блок, що спирається на клиноподібний блок.]] </div> '''Приклад 5.3.''' Блок масою <math display="inline">m</math> знаходиться у стані спокою на клиноподібному блоці масою <math display="inline">M</math>, що теж у стані спокою на горизонтальному столі, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge|Зображенні 5.11]]. '''Які сили діють на кожний з двох блоків?''' Оскільки буде занадто заплутано намалювати всі сили на одній діаграмі, ми окреслили кожен блок окремо на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. Зазвичай, коли кілька блоків кладуться один на інший, найпростіше почати з сил на верхньому блоці. У цьому випадку верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з [[#ex:newtonslaws:blockI|Прикладу 1]]. Сили, що діють на верхній блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^m</math>, сила нормальної реакції від клиноподібного блоку. # <math display="inline">\vec f_s^m</math>, сила статичного тертя, яку надає клиноподібний блок. Сили, що діють на клиноподібний блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає малий блок. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна за напрямком <math display="inline">\vec N^m</math> (дві сили, <math display="inline">\vec N^m</math> та <math display="inline">\vec N^M</math>, які знаходяться на різних об’єктах, є парою дії/реакції). # <math display="inline">\vec f_s^M</math>, сила тертя, яку надає малий блок (знову ж таки, це утворює пару дії/реакції з <math display="inline">\vec f_s^m</math>). # <math display="inline">N_2^M</math>, сила нормальної реакції, яку надає стіл. Сили для обох блоків показані на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_forces|Зображенні 5.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge forces.png|thumb|center|'''Зображення 5.12.''' Сили, що діють на блок та клиноподібний блок.]] </div> </div> ----- <span id="діаграми-вільного-тіла"></span> == Діаграми вільного тіла == <span id="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd" label="fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blockswedge fbd.png|thumb|'''Зображення 5.13.''' Діаграми вільного тіла для блоку та клиноподібного блоку з [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 2]].]] </div> Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили, що діють на об’єкт, дуже гарною ідеєю буде намалювати «Діаграму вільного тіла». Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми зображаємо сили, що впливають на один об’єкт, і представляємо об’єкт як точку. Оскільки об’єкт є точкою, ми не хвилюємося, де саме до об’єкта застосовуються сили. У наступних розділах ми побачимо, що для подовжених тіл має значення, де сили застосовуються. Однак закони Ньютона, представлені досі, дійсні лише для об’єктів, які можна представити у вигляді невеликої точки. Для [[#ex:newtonslaws:2blockswedge|Прикладу 5.3]] вище ми намалюємо по одній діаграмі вільного тіла для кожного об’єкта (кожної маси), як показано на [[#fig:newtonslaws:2blockswedge_fbd|Зображенні 5.13]]. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI.png|thumb|'''Зображення 5.14.''' Два з’єднані блоки, що ковзають по нахиленій площині.]] </div> '''Приклад 5.4.''' Два блоки масою <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, розміщені на похилій площині, що утворює з горизонталлю кут <math display="inline">\theta</math>. Блоки з’єднані безмасовим ланцюгом, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображенні 5.14]]. Два блоки ковзають униз із прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, як показано на зображенні. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Намалюйте діаграму вільного тіла для кожного блоку.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksI" label="ex:newtonslaws:2blocksI"></span> Спочатку ми ідентифікуємо сили, що діють на кожну масу (кожен блок), і потім використаємо їх для створення діаграми вільного тіла, показаної на [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]]. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою діє похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від похилої поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, з якою діє похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному напрямку від руху, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_kN_2</math>. # <math display="inline">-\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Це та ж сила, що діє і на <math display="inline">m_1</math>, але в протилежному напрямку. Ми вирішили позначити силу як <math display="inline">-\vec T</math>, замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це лише вектор, зворотний до того, що представляє силу натягу для <math display="inline">m_1</math>. На [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображенні 5.15]] ми показали сили, які діють на кожний блок, використовуючи діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор прискорення (за допомогою товстішої стрілки). Також зобразили кут <math display="inline">\theta</math> на діаграмі, оскільки це корисно, коли діаграма використовується з другим законом Ньютона. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd.png|thumb|center|'''Зображення 5.15.''' Діаграми вільного тіла для блоків <math display="inline">m_1</math> та <math display="inline">m_2</math> з [[#fig:newtonslaws:2blocksI|Зображення 5.14]].]] </div> </div> ----- <span id="використання-другого-закону-ньютона"></span> == Використання другого закону Ньютона == Застосувати другий закон Ньютона легко, як тільки ідентифіковані всі сили, що діють на об’єкт. Відповідно, перш ніж продовжити, ви маєте переконатися, що проводите більшу частину свого часу, малюючи правильну і повну діаграму вільного тіла. Другий закон Ньютона - це векторне рівняння, яке пов’язує векторну суму всіх сил, що діють на об’єкт, з вектором прискорення об’єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на кожну компоненту вектора. <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Таким чином, щоб використовувати другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, аби в ній можна було працювати з компонентами векторів (сил та прискорення). Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь <math display="inline">x</math> (або <math display="inline">y</math>) паралельна вектору прискорення. [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]] показує діаграму вільного тіла для блоку <math display="inline">m_1</math> з попереднього прикладу ([[#ex:newtonslaws:2blocksI|Приклад 5.4]]) разом з хорошим вибором системи координат. <span id="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksI fbd m1.png|thumb|'''Зображення 5.16.''' Діаграма вільного тіла та вибір системи координат для блоку <math display="inline">m_1</math> із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd|Зображення 5.15]], [[#ex:newtonslaws:2blocksI|Прикладу 5.4]].]] </div> Щоб застосувати другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат із [[#fig:newtonslaws:2blocksI_fbd_m1|Зображення 5.16]], ми спочатку виписуємо всі вектори, а потім визначаємо їх <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компоненти. Векторами сил є: <math display="block">\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати компоненту <math display="inline">x</math> для другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore, T-f_{k1}+F_{g1}\sin\theta &= m_1 a \end{aligned}</math> де ми зазначимаємо, що сила нормальної реакції не має складової у напрямку <math display="inline">x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для маси <math display="inline">m_1</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}\cos\theta&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}\cos\theta&=0 \end{aligned}</math> де зазначимо, що сили натягу та тертя не мають <math display="inline">y</math>-складової. Два рівняння, які ми отримали вище для <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>, повністю визначають рух блоку <math display="inline">m_1</math>, якщо всі наведені величини відомі<ref>Оскільки ми маємо два рівняння, нам технічно потрібно вказати всі, окрім двох величин, щоб мати можливість повністю змоделювати рух блоку.</ref>. Кілька приміток про застосування другого закону Ньютона: * При застосуванні другого закону Ньютона аналізуйте кожну масу в задачі окремо. Неважливо, що блок <math display="inline">m_1</math> з’єднаний мотузкою з блоком <math display="inline">m_2</math>. Після того, як ви визначили всі сили, що діють на <math display="inline">m_1</math>, ви можете записати рівняння другого закону Ньютона для <math display="inline">m_1</math>. * Другий закон Ньютона є векторним рівнянням; це означає, що він істинний для кожної (скалярної) компоненти векторів, які беруть участь у рівнянні. * Ви можете самі обрати систему координат, тому оберіть ту, яка полегшує виписування компонент векторів. Хороший вибір - обрати <math display="inline">x</math> паралельним вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на компоненти. Вибір системи координат робиться лише для того, щоб можна було записати компоненти другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла. * Оскільки другий закон Ньютона справедливий лише для окремої маси, ви маєте обробляти кожну масу окремо. Це означає, що кожна маса матиме свою власну діаграму вільного тіла і що ви можете вибрати систему координат, яка найбільш зручна для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати одну й ту саму систему координат для різних мас у задачі. Наступний приклад показує, як записати другий закон Ньютона для системи з двох блоків. ----- <div class="mdframed"> <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI" label="fig:newtonslaws:2blocksHI"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI.png|thumb|'''Зображення 5.17.''' Два блоки, з’єднані безмасовою мотузкою та безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.]] </div> '''Приклад 5.5''' Блок маси <math display="inline">m_1</math> розміщується на нахилі, що складає кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю. Блок маси <math display="inline">m_1</math> з’єднаний безмасовою мотузкою через безмасовий шків із другим блоком маси <math display="inline">m_2</math>, який спирається на горизонтальну поверхню. Блоки прискорюються таким чином, що <math display="inline">m_1</math> прискорюється вниз по нахилу, як показано на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI|Зображенні 5.17]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між будь-яким блоком і поверхнею, на яку він спирається, становить <math display="inline">\mu_k</math>. '''Напишіть другий закон Ньютона для обох блоків.''' <span id="ex:newtonslaws:2blocksHI" label="ex:newtonslaws:2blocksHI"></span> Спочатку визначимо сили, що діють на кожну масу (кожен блок). Сили, що діють на масу <math display="inline">m_1</math>: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яку надає похила поверхня. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, яку надає похила поверхня. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, визначену як <math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від ланцюга. Сили, що діють на масу <math display="inline">m_2</math>: # <math display="inline">\vec F_{g2}</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя, що надається взаємодією із горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному від руху напрямку, і має величину, задану <math display="inline">f_{k2}=\mu_k N_2</math>. # <math display="inline">\vec T_2</math>, сила натягу від ланцюга. Ця сила має таку ж величину за модулем, як сила натягу <math display="inline">\vec T_1</math>, що діє на масу <math display="inline">m_1</math>, оскільки шків є безмасовим. Тепер ми можемо намалювати діаграму вільного тіла для кожної маси й використати її, щоб застосувати другий закон Ньютона. Для маси <math display="inline">m_1</math> діаграма вільного тіла наведена на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1|Зображенні 5.18]]. Ми вибрали систему координат, яка має вісь <math display="inline">x</math>, паралельну прискоренню блоку, і вісь <math display="inline">y</math> вгору і перпендикулярну осі <math display="inline">x</math>, як показано на зображенні. <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m1"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m1.png|thumb|center|'''Зображення 5.18.''' Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_1</math>.]] </div> Для <math display="inline">m_1</math> ми можемо записати другий закон Ньютона, починаючи з компонент <math display="inline">x</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1 \end{aligned}</math> де, в другому рядку, ми використали величину ваги (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та сили кінетичного тертя (<math display="inline">f_{k1}=\mu_kN_1</math>). Для компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, в якій прискорення не відбувається, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta \end{aligned}</math> що показує нам, що величину сили нормальної реакції можна легко виразити через вагу (<math display="inline">F_{g1}=m_1g</math>) та кут нахилу. Для <math display="inline">m_2</math> ми можемо діяти приблизно так само, обравши іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для <math display="inline">m_2</math> вказує в іншому напрямку (нам не обов’язково обирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо бачимо, що це полегшує розрахунки). Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math> показана на [[#fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2|Зображенні 5.19]] разом з нашим вибором системи координат. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws 2blocksHI fbd m2.png|thumb|center|'''Зображення 5.19.''' <span id="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2" label="fig:newtonslaws:2blocksHI_fbd_m2"></span> Діаграма вільного тіла для <math display="inline">m_2</math>.]] </div> Починаємо з виписування <math display="inline">x</math>-компонент другого закону Ньютона для <math display="inline">m_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2 \end{aligned}</math> де ми знову виразили кінетичну силу тертя, використовуючи силу нормальної реакції та коефіцієнт кінетичного тертя. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 - F_{g2} &=0\\ \therefore N_2 = m_2g \end{aligned}</math> де ми знову виразили вагу в через масу та <math display="inline">g</math>, і виявили, що сила нормальної реакції має ту ж величину за модулем, що й вага. Тепер, коли ми виразили другий закон Ньютона '''для кожної маси''', ми можемо записати всі чотири рівняння, отримані для опису '''системи двох мас'''. Слід також зазначити, що модуль сил натягу однаковий для двох мас (<math display="inline">T_1=T_2=T</math>), і що оскільки маси з’єднані мотузкою, величина їх векторів прискорення однакова (<math display="inline">a_1=a_2=a</math>). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему наступними 4 рівняннями: <math display="block">\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g \end{aligned}</math> З наведених вище змінних (<math display="inline">m_1</math>, <math display="inline">m_2</math>, <math display="inline">\mu_k</math>, <math display="inline">T</math>, <math display="inline">N_1</math>, <math display="inline">N_2</math>, <math display="inline">a</math>) потрібно вказати значення всіх, окрім чотирьох, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати обидві маси та коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні. ----- </div> <span id="прискорення-під-дією-сили-тяжіння"></span> = Прискорення під дією гравітації = Якщо ви вивчали фізику, перш ніж читати цей підручник, ви, можливо, були здивовані нашим вибором розмірності для <math display="inline">g</math> як сили на одиницю маси замість прискорення. Це дійсно нетрадиційний вибір, оскільки <math display="inline">g</math> зазвичай подається як «прискорення через гравітаційне поле Землі», а не «величина гравітаційного поля Землі». Наш вибір походить від потенційної різниці між інерційною масою, <math display="inline">m_I</math>, і гравітаційною масою, <math display="inline">m_G</math>, які ми розрізняємо в цьому підрозділі. Розглянемо просту модель маси, що вільно падає біля поверхні Землі за відсутності опору повітря. Єдиною силою, що діє на масу, є її вага, <math display="inline">m_G\vec g</math>, яка задається з погляду гравітаційної маси (маси, яка визначає, як на об’єкт впливає гравітація). І вага, і прискорення об’єкта вказують вниз. Діаграма вільного тіла для маси показана на [[#fig:newtonslaws:gravity_fbd|Зображенні 5.20]], де вісь <math display="inline">y</math> була обрана вертикально вгору (паралельно прискоренню). <span id="fig:newtonslaws:gravity_fbd" label="fig:newtonslaws:gravity_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Gravity fbd.png|thumb|'''Зображення 5.20.''' Діаграма вільного тіла для маси, яка вільно падає за відсутності опору повітря.]] </div> Виписуючи компоненту <math display="inline">y</math> для другого закону Ньютона, обережно розрізняючи інерційну та гравітаційну масу, помічаємо, що як вага, так і прискорення знаходяться в від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= -m_I a\\ \therefore m_Gg &= m_I a \end{aligned}</math> З цього рівняння можна побачити, що <math display="inline">g</math> не обов’язково є прискоренням під дією гравітації. Воно є прискоренням під дією гравітації лише за умови, що інерційна та гравітаційна маси однакові. Якщо <math display="inline">m_G=m_I</math>, то маємо: <math display="block">\begin{aligned} a = g \end{aligned}</math> і дійсно, прискорення об’єктів біля поверхні Землі має величину <math display="inline">g</math>. Зрозуміло, що розмірність <math display="inline">g</math> також можна записати як прискорення, і в більшості випадків пишуть, що біля поверхні Землі <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>. Однак ви повинні пам’ятати, що це вірно лише тоді, коли інерційна та гравітаційна маси однакові, і що <math display="inline">g</math> дійсно слід розглядати як силу гравітаційного поля, а не як прискорення. <span id="неінерційні-системи-відліку-та-інерційні-сили"></span> = Неінерційні системи відліку та інерційні сили = У попередніх підрозділах ми описали, як використовувати перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона є істинним), аби визначити сили, які діють на об’єкт, щоб можна було застосувати другий закон Ньютона. Закони Ньютона можливо застосовувати в неінерційній системі відліку, '''за умови, що вона включає додаткову «інерційну силу».''' Припустимо, що ми підвішуємо масу, <math display="inline">m</math>, до стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль прискорюється вперед з постійним прискоренням, <math display="inline">\vec a</math>, маса буде коливатися в бік задньої частини автомобіля, і мотузка не буде вертикальною, поки автомобіль підтримує постійне прискорення, як показано на [[#fig:newtonslaws:car|Зображенні 5.21]]. Оскільки автомобіль підтримує прискорення постійним, підвішена маса не буде рухатися відносно автомобіля. <span id="fig:newtonslaws:car" label="fig:newtonslaws:car"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 5.21.'''Маса, що висить на стелі автомобіля, який розганяється вправо.]] </div> Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку на землі. У цій системі відліку є дві сили, що діють на масу: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу, що діє з боку мотузки у напрямку мотузки. Ці дві сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:newtonslaws:car_fbd|Зображені 5.22]], поряд з системою координат, обраною так, що <math display="inline">x</math> вказує в напрямку прискорення маси (яке є таким же, як і прискорення автомобіля, оскільки маса не рухається відносно автомобіля). <span id="fig:newtonslaws:car_fbd" label="fig:newtonslaws:car_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd.png|thumb|'''Зображення 5.22.''' Діаграма сил, які діють на масу, підвішену до стелі авто, що розганяється.]] </div> Виписуючи <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона для маси, маємо: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0 \end{aligned}</math> Натомість ми можемо моделювати рух маси в системі відліку автомобіля, вдавши, що ми сидимо в ньому. У системі відліку автомобіля маса нерухома і, отже, не має прискорення. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було б замінити мотузку пружинними вагами, і спостерігачі в машині та на землі погодилися б, що шкала показує одне і те ж число. Ці спостерігачі також погодяться, що вага об’єкта та сама. Однак два спостерігачі не погодяться щодо того, чи прискорюється об’єкт, оскільки спостерігач в автомобілі бачить, що об’єкт не має прискорення. У системі відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Тож, якщо ми хочемо, щоб другий закон Ньютона виконувався, в системі відліку автомобіля сума сил, що діють на масу, має дорівнювати нулю: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Ми знаємо з аналізу руху з системи відліку на землі, що векторна сума сил <math display="inline">T</math> і <math display="inline">\vec F_g</math> дорівнює <math display="inline">m\vec a</math>. Єдиний спосіб мати суму сил в системі відліку автомобіля, рівну нулю - це якщо є додаткова сила, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка діє в цій системі відліку: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)} \end{aligned}</math> Оскільки ми знаємо, що <math display="inline">\vec T + \vec F_g=m\vec a</math>, ми можемо підставити це в рівняння вище: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(система відліку автомобіля)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a \end{aligned}</math> і ми виявляємо, що ця “інерційна сила”, <math display="inline">\vec F_I</math>, повинна діяти в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою <math display="inline">ma</math>. Діаграма вільного тіла для маси, що розглядається в системі відліку автомобіля, проілюстрована на [[#fig:newtonslaws:car_fbd2|Зображенні 5.23]]. <span id="fig:newtonslaws:car_fbd2" label="fig:newtonslaws:car_fbd2"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Car fbd2.png|thumb|center|'''Зображення 5.23.''' Діаграма сил, що діють на масу, підвішену до стелі авто, яке рухається постійним прискоренням, в системі відліку авто. Необхідно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>.]] </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 5.6.''' Ви перебуваєте в ліфті, який прискорюється вниз (з постійним прискоренням <math display="inline">\vec a</math>). Ви стоїте на пружинних вагах. '''Яке значення вашої ваги відобразиться на вагах?''' Припустіть, що ваша маса становить <math display="inline">m</math>. (Ваги відображатимуть вашу вагу як величину, рівну силі нормальної реакції, якою ваги діють на вас). Ми можемо змоделювати ваш рух у неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, що діють на вас: # <math display="inline">\vec F_g</math>, ваша вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, яка надається вагами вгору, і яка є величиною, виміряною вагами. # <math display="inline">\vec F_I</math>, інерційна сила по модулю <math display="inline">ma</math>, яка діє вгору (у напрямку, протилежному прискоренню системи відліку). Сили в системі відліку ліфта проілюстровані на [[#fig:newtonslaws:elevator_fbd|Зображенні 5.24]], разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були паралельні одній з осей (оскільки прискорення дорівнює нулю). <span id="fig:newtonslaws:elevator_fbd" label="fig:newtonslaws:elevator_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Elevator fbd.png|thumb|'''Зображення 5.24.''' Діаграма вільного тіла для сил, що діють на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.]] </div> Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно виписати лише компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, яку ми можемо легко розв’язати для сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a) \end{aligned}</math> Пам’ятайте, що ви маєте бути обережні зі знаками. Ми включили той факт, що <math display="inline">F_I</math> діє вгору зі знаком плюс у першому рівнянні (<math display="inline">y</math> компонента <math display="inline">\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y</math> рівна <math display="inline">+F_I</math>). Потім, в другому рядку, ми використали той факт, що величина інерційної сили дорівнює <math display="inline">F_I=ma</math>. Ви можете легко переконатися, що отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку на землі, де немає інерційної сили, але прискорення ненульове (і у від’ємному напрямку <math display="inline">y</math>, якщо ми використовуємо ту саму систему координат): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(система відліку на землі)} \end{aligned}</math> Таким чином, сила нормальної реакції, яка відповідає вазі, що зчитується вагами, становить <math display="inline">N=m(g-a)</math>. Ми повинні питати себе, чи має сенс отриманий результат: * Оскільки розмірність <math display="inline">a</math> і <math display="inline">g</math> однакові, <math display="inline">m(g-a)</math> має правильну розмірність сили. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, дорівнює нулю, то величина <math display="inline">N=mg</math>, як і має бути, якщо ліфт знаходиться в стані спокою відносно землі. * Якщо прискорення <math display="inline">a</math> дорівнює <math display="inline">g</math>, сила нормальної реакції, що відображається вагами, рівна нулю, тобто, ваша виміряна вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомістю», що не є гарним описом, оскільки сила ваги все ще діє, і насправді це сила нормальної реакції дорівнює нулю. * Якщо прискорення, <math display="inline">a</math>, більше, ніж <math display="inline">g</math>, то сила нормальної реакції буде від’ємною. Це відповідає тому, що прискорення ліфта є більшим, ніж сила тяжіння, і модель ламається, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся об стелю ліфта, яка далі буде діяти силою нормальної реакції вниз з величиною <math display="inline">m(a+g)</math>. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = Три закони Ньютона - це теорія класичної фізики, яка дозволяє повністю описати рух об’єкта шляхом введення понять сили та маси. Перший закон Ньютона стверджує, що об’єкт не прискорюватиметься, якщо його рівнодійна сил дорівнює нулю. Зокрема, це дозволяє визначити інерційні системи відліку як ті системи відліку, де Перший закон Ньютона є істинним. Другий закон Ньютона пов’язує динаміку та кінематику, надаючи залежність прискорення об'єкта від рівнодійної сил, що діють на нього (тобто векторної суми сил, що діють на об’єкт): <math display="block">\begin{aligned} \vec F^{net} = \sum_i \vec F_i = m\vec a \end{aligned}</math> Третій закон Ньютона стверджує, що сили завжди ходять парами, діючи на різні об’єкти. Якщо об’єкт A діє силою на об’єкт B, то об’єкт B діє силою, рівною за величиною, але протилежною за напрямком на об’єкт A. Сила - це математичний інструмент, представлений в теорії Ньютона для моделювання того, як різні об’єкти можуть впливати один на одного. Маса може розглядатися як кількість матерії і є внутрішньою властивістю об’єкта. Інерційна маса стосується того, як ця кількість речовини протистоїть прискоренню, тоді як гравітаційна маса стосується того, як на цю кількість маси впливає сила тяжіння. Наскільки ми можемо судити, інерційна та гравітаційна маси рівні. При застосуванні теорії Ньютона найважливішою частиною є виявлення сил, які діють на один об’єкт. Це можна представити графічно за допомогою діаграми вільного тіла. Нижче наведено загальний перелік сил, які слід враховувати при ідентифікації сил, що діють на об’єкт: * Вага (чи знаходиться об’єкт біля поверхні планети?). * Сили нормальної реакції (чи контактує об’єкт з будь-якою поверхнею? Їх може бути більше одної!). * Сили тертя (чи існують статичні або кінетичні сили тертя, пов’язані з силами нормальної реакції?). * Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне об’єкт?). * Сили лобового опору (чи рухається об’єкт крізь газ чи рідину?). * Сили пружності (чи є пружина, яка штовхає або тягне об’єкт?). * Прикладені сили (що-небудь ще штовхає або тягне об’єкт?). Щоб другий закон Ньютона можна було записати для кожної компоненти, необхідно обрати систему координат. Зазвичай добре обрати таку систему координат, щоб вісь <math display="inline">x</math> була паралельна вектору прискорення об’єкта. При використанні законів Ньютона для моделювання руху об’єкта маси <math display="inline">m</math> в неінерційній системі відліку, яка прискорюється відносно інерційної системи відліку з прискоренням <math display="inline">\vec a</math>, до дій на об’єкт повинна бути включена додаткова інерційна сила, <math display="inline">\vec F_I=-m\vec a</math>. <div class="mdframed"> Другий закон Ньютона, у векторній формі, може бути записаний як: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> що є просто скороченою нотацією для скалярних рівнянь, виписаних для кожної компоненти: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z \end{aligned}</math> Сила тяжіння (або вага), <math display="inline">\vec F_g</math>, біля поверхні Землі задається: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g \end{aligned}</math> де гравітаційне поле Землі має величину <math display="inline">g=9.8\ N/kg</math>. Сила кінетичного тертя, що чиниться однією поверхнею на іншу, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} f_k=\mu_kN \end{aligned}</math> де <math display="inline">N</math> - сила нормальної реакції між двома поверхнями, а <math display="inline">\mu_k</math> - коефіцієнт кінетичного тертя. Сила кінетичного тертя, що діє на об’єкт, знаходиться в протилежному напрямку від його руху. Максимальне значення величини сили статичного тертя між двома поверхнями, з коефіцієнтом статичного тертя <math display="inline">\mu_s</math> між ними, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} f_s\leq\mu_sN \end{aligned}</math> Сила статичного тертя діє в напрямку, протилежному руху, якому вона перешкоджає. Закон Гука для сили, що діє на пружину, задається наступним векторним рівнянням: <math display="block">\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - відстань, на яку пружина стискається або подовжується відносно її довжини у стані спокою. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Маса:''' властивість речовини, яка описує її стійкість до прискорення. Одиниці SI: [<math display="inline">kg</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">M</math>, <math display="inline">m</math>. '''Сила:''' математичний об’єкт, що використовується для опису взаємодії об’єкта з навколишнім середовищем. Одиниці SI: [<math display="inline">N</math>]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec F</math>. '''Коефіцієнт жорсткості:''' значення, що описує жорсткість пружини, коли сила її повернення до звичайної довжини моделюється за допомогою закону Гука. Одиниці SI: [<math display="inline">Nm^{-1}</math>]. Загальна змінна(і): <math display="inline">k</math>. '''Гравітаційне поле:''' величина сили гравітації на одиницю маси у певній локації. За принципом еквівалентності це чисельно дорівнює прискоренню об’єкта у вільному падінні. Одиниці SI: [<math display="inline">N/kg</math> (поле), <math display="inline">ms^{-2}</math> (прискорення)]. Типова змінна(і): <math display="inline">\vec g</math>. '''Коефіцієнт тертя:''' константа, що використовується для визначення величини (або максимальної величини у випадку статичного тертя) сили тертя між двома поверхнями на основі сили нормальної реакції, яка діє перпендикулярно цим двом поверхням. Одиниці SI: відсутні. Загальна змінна(і): <math display="inline">\mu</math>. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Поміркуйте та дослідіть:''' # Як називалася публікація, в якій Ньютон оприлюднив три свої закони, і коли вона була опублікована? # Коли Галілей запропонував свій принцип інерції? # Припустимо, що Ньютон виріс у потязі, що прискорюється, не знаючи, де він живе. Як би виглядав перший закон Ньютона в цьому світі? # Коли ви катаєтеся по льоду, між ковзанами та льодом виникає кінетичне тертя. Чи залежить коефіцієнт кінетичного тертя від температури льоду? Якщо так, то якою є оптимальна температура для катання з найменшою кількістю тертя? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Покладіть на горизонтальну долоню дві книжки, укладені одна на одну. Іншою рукою тисніть на верхню книгу вниз (і вперед) і спробуйте перемістити нижню книгу. Незалежно від того, наскільки сильно ви натискаєте вниз (щоб збільшити силу тертя між двома книгами), ви не можете змусити нижню книгу рухатися. Чому так стається? </div> </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент, щоб визначити, чи рівні гравітаційна та інерційна маси. # Запропонуйте експеримент для вимірювання коефіцієнтів статичного та кінетичного тертя між блоком та поверхнею. </div> <span id="приклади-задач-та-рішень"></span> = Приклади задач та рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 5.1:''' <span id="prob:newtonslaws:katiesnowboarding" label="prob:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <span id="fig:newtonslaws:katiesnowboarding" label="fig:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katiesnowboarding.png|thumb|'''Зображення 5.25.''' Кеті катається на сноуборді по схилу.]] </div> Кеті, сноубордистка-любителька, стоїть на вершині пагорба, нахиленого під кутом <math display="inline">\theta=50</math> градусів щодо горизонталі, як показано на [[#fig:newtonslaws:katiesnowboarding|Зображенні 5.25]]. Вона граціозно зісковзує з пагорба, поки не падає обличчям у велику купу снігу внизу, у <math display="inline">40\ m</math> від початку руху. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті та пагорбом дорівнює <math display="inline">\mu_k=0.45</math>, скільки часу пройшло між тим, як вона почала рух, і коли впала? ([[#soln:newtonslaws:katiesnowboarding|Розв’язок]]) '''Задача 5.2:''' <span id="prob:newtonslaws:twoboxes" label="prob:newtonslaws:twoboxes"></span> <span id="fig:newtonslaws:twoboxes" label="fig:newtonslaws:twoboxes"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes.png|thumb|'''Зображення 5.26.''' Два ящики, покладені один на інший.]] </div> Два ящики з масами, <math display="inline">m_1</math> і <math display="inline">m_2</math>, відповідно, розміщені один на одному, як показано на [[#fig:newtonslaws:twoboxes|Зображенні 5.26]]. Коефіцієнт статичного тертя між двома ящиками та між ящиками та землею становить <math display="inline">\mu_s=0.3</math>. Постійна сила, <math display="inline">\vec F</math>, прикладається до ящика 2, як показано на зображенні. Покажіть, що ящик 1 неможливо прискорити. ([[#soln:newtonslaws:twoboxes|Розв’язок]]) <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення [[#prob:newtonslaws:katiesnowboarding|Задачі 5.1]]:''' <span id="soln:newtonslaws:katiesnowboarding" label="soln:newtonslaws:katiesnowboarding"></span> Перш ніж спробувати розв’язати задачу, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення низу. Ми знаємо, що другий закон Ньютона пов’язує сили, що діють на Кеті, з її прискоренням. Якщо ми побудуємо модель сил, що діють Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використати кінематику, щоб визначити, скільки часу їй потрібно, аби подолати відстань <math display="inline">40\ m</math>. Сили, що діють на Кеті: # <math display="inline">\vec F_g</math>, її вага. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, якою відповідає пагорб. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, що надається пагорбом, з величиною <math display="inline">f_k=\mu_kN</math> Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил, що діють Кеті, як показано на [[#fig:newtonslaws:katieforces|Зображенні 5.27]]. Оскільки Кеті буде ковзати по схилу, її прискорення буде паралельним схилу і спрямованим униз, що ми відобразили товстішою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми вибрали — з віссю <math display="inline">x</math>, що йде паралельно прискоренню. <span id="fig:newtonslaws:katieforces" label="fig:newtonslaws:katieforces"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Katieforces.png|thumb|'''Зображення 5.27.''' Сили, що діють на Кеті, поки вона спускається на сноуборді.]] </div> За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Як сила тертя, так і вага мають складові в напрямку <math display="inline">x</math>. Сила тертя знаходиться у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">x</math> дорівнює <math display="inline">F_g\sin\theta</math>. Вектор прискорення також знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math>. Помістивши це разом у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що вага задається як <math display="inline">mg</math> (<math display="inline">m</math> - маса Кеті), а величина сили тертя як <math display="inline">f_k=\mu_k N</math>. Далі ми запишемо компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона. Сила нормальної реакції знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">y</math>, тоді як компонента гравітації в напрямку <math display="inline">y</math> дорівнює <math display="inline">-F_g\cos\theta</math>. Прискорення не має складової в напрямку <math display="inline">y</math>. Зібравши це у другий закон Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> Тепер у нас є два рівняння, що описують рух Кеті: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0 \end{aligned}</math> У нас є три невідомі, <math display="inline">m</math>, <math display="inline">N</math> і <math display="inline">a</math>, але тільки два рівняння! Сподіваємося, одна зі змінних скасується. На цьому моменті вся фізика для задачі виконана! Тепер ми можемо перейти до розв’язання цих рівнянь, аби знайти прискорення. З другого рівняння можна виразити силу нормальної реакції, <math display="inline">N=mg\cos\theta</math>, яку ми підставимо у перше рівняння: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\ \end{aligned}</math> Як бачимо, можна поділити обидві частини на масу <math display="inline">m</math>, і стає можливим знайти прискорення: <math display="block">\begin{aligned} a&=g\sin\theta -\mu_k g\cos\theta\\ &=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)\\ &=(9.8\ N/kg)\left(\sin(50)-(0.45)\cos(50)\right)\\ &=4.67\ N/kg \end{aligned}</math> На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми бачимо, що прискорення має одиниці <math display="inline">N/kg</math> замість <math display="inline">m/s^2</math>. Швидкий розгляд другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні: <math display="block">\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{N}{kg} \end{aligned}</math> Часто величину гравітаційного поля Землі записують як <math display="inline">g=9.8\ m/s^2</math>, оскільки вона має ту саму розмірність, що й прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке спостерігається в об’єктів, що падають біля поверхні Землі. Насправді <math display="inline">g</math>, як правило, визначається як прискорення об’єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна та гравітаційна маси були однаковими. Знаючи, що початкова швидкість Кеті дорівнює <math display="inline">v_{0x}=0\ m/s</math>, її прискорення дорівнює <math display="inline">a_x=a=4.67\ m/s^2</math> в напрямку <math display="inline">x</math> (той самий напрямок, що й нахил), а відстань, яку вона повинна подолати, дорівнює <math display="inline">x=40\ m</math>, ми можемо знайти час, потрібний для її падіння. Якщо ми встановимо початок осі <math display="inline">x</math> там, де Кеті стартує (так що її початкове положення вздовж осі <math display="inline">x</math> становить <math display="inline">x_0=0</math>), відстань, яку вона подолала за час, <math display="inline">t</math>, задається наступним чином: <math display="block">\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\ m&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(4.67\ m/s^2)t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\ m)}{(4.67\ m/s^2)}}=4.14\ s \end{aligned}</math> Кеті має <math display="inline">4.14\ s</math> блаженства перед посадкою у велику купу снігу. '''Рішення [[#prob:newtonslaws:twoboxes|Задачі 5.2]]:''' <span id="soln:newtonslaws:twoboxes" label="soln:newtonslaws:twoboxes"></span> Єдиний спосіб прискорити ящик 1 - це якщо ящик 2 “тягне” ящик 1 разом з собою через силу тертя, що діє на стик між ящиком 1 та ящиком 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, якою діє земля на ящик 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя між ящиком 2 та ящиком 1. Найбільша сила тертя, яку ящик 2 може чинити на ящик 1, — це сила статичного тертя, тому ми змоделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя. Сили, що діють на ящик 2: * <math display="inline">\vec F_{2g}</math>, його вага. * <math display="inline">\vec N_2</math>, нормальна реакція, яку надає ящик 1. * <math display="inline">\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя, з якою діє ящик 1. * <math display="inline">\vec F</math> - прикладена сила. Сили, що діють на ящик 1: * <math display="inline">\vec F_{1g}</math>, його вага. * <math display="inline">-\vec N_2</math>, сила нормальної реакції, якою діє ящик 2 (униз). * <math display="inline">-\vec f_{2s}</math>, сила статичного тертя від ящика 2. * <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. * <math display="inline">\vec f_{1s}</math> - сила статичного тертя землі. Сили проілюстровані на діаграмах вільного тіла у [[#fig:newtonslaws:twoboxes_fbd|Зображенні 5.28]] <span id="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd" label="fig:newtonslaws:twoboxes_fbd"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling NewtonsLaws Twoboxes fbd.png|thumb|'''Зображення 5.28.''' Сили, що діють на два ящики.]] </div> Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона для ящика 2 (верхній ящик), ми можемо знайти значення сили нормальної реакції, якою діє ящик 1: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g \end{aligned}</math> Максимальна величина сили статичного тертя, <math display="inline">f_{2s}</math>, між двома ящиками задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g \end{aligned}</math> Це максимальна величина сили, що діє на ящик 1. Розглядаючи компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона, застосованого до ящика 1, ми можемо знайти <math display="inline">N_1</math>, силу нормальної реакції, що діє на ящик з боку землі: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Сила статичного тертя, якою земля діє на ящик 1, буде протилежною силі статичного тертя, якою діє ящик 2. Максимальна величина сили статичного тертя, якою діє земля, визначається: <math display="block">\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g \end{aligned}</math> Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, якою діє земля, завжди перевищуватиме величину сили статичного тертя, що надається ящиком 2. Таким чином, неможливо штовхати ящик 2 так, щоб змусити рухатися ящик 1 (допоки сила статичного тертя між двома ящиками і ящиком та землею однакова). ----- <references /> {{Гортання сторінок|Опис руху в декількох вимірах|Застосування законів Ньютона}} jvv1mu7jn7453vkk80fdd9weph7c3wc 0 8655 41552 41466 2026-11-07T20:08:19Z Slavust 9295 /* Статика */ 41552 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} mogmdtwbvdjjhusbwry4r02vpjo1lq4 41553 41552 2026-11-07T20:11:01Z Slavust 9295 /* Лінійний рух */ 41553 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} dkpst4r0y0pxiykykf8hkhaehkes2oc 41554 41553 2026-11-07T20:13:05Z Slavust 9295 /* Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил */ 41554 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span>Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} t27h4zvjhth7kxbtomnt1j9th9oyd2t 41555 41554 2026-11-07T20:17:23Z Slavust 9295 /* Рівномірний круговий рух */ 41555 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span> '''Приклад 6.5.''' Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> '''Приклад 6.6.''' М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} tmnfyk5ecygam18uv9ncfhqz0eb0p8j 41556 41555 2026-11-07T20:18:23Z Slavust 9295 /* Нерівномірний круговий рух */ 41556 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span> '''Приклад 6.5.''' Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> '''Приклад 6.6.''' М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> '''Приклад 6.7.''' Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та розв’зки == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} akdv5c4cqpf32ecnel615bh5ecwu7mi 41557 41556 2026-11-07T20:19:06Z Slavust 9295 /* Задачі та розв’зки */ 41557 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span> '''Приклад 6.5.''' Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> '''Приклад 6.6.''' М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> '''Приклад 6.7.''' Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та рішення == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} 4r2kkswxnynv1i7uub10oavh9cfw3ke 41558 41557 2026-11-07T20:19:28Z Slavust 9295 /* Розв’язки */ 41558 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span> '''Приклад 6.5.''' Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> '''Приклад 6.6.''' М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> '''Приклад 6.7.''' Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та рішення == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|}} hpao9nzd1bi9ejj2pvvgyf5xuv4z8mj 41559 41558 2026-11-07T20:22:50Z Slavust 9295 41559 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми детальніше розглянемо, як використовувати закони Ньютона для побудови моделей задля опису руху. Тоді як попередній розділ був зосереджений на ідентифікації сил, що діють на об’єкт, цей зосереджується на використанні сил для опису руху об’єкта. Закони Ньютона призначені для опису «точкових частинок», тобто об’єктів, які можна розглядати як точку і, відповідно, без орієнтації. Блок, що ковзає по пагорбу, людина на каруселі, птах, що летить у повітрі, можуть бути змодельовані як точкові частинки, якщо нам не потрібно моделювати їх орієнтацію. У всіх цих випадках ми можемо моделювати сили, що діють на об’єкт, використовуючи діаграму вільного тіла, оскільки точне місце, в якому сили діють на об’єкт, не має значення. У наступних розділах ми представимо інструменти, необхідні для застосування другого закону Ньютона до об’єктів, які можуть обертатися, і побачимо, що місце, в якому діє сила, є важливим. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти, коли рух об’єкта можна моделювати як одновимірний (лінійний). * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у лінійному русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, що перебувають у круговому русі. * Вміти розробляти моделі для об’єктів, які перебувають у довільному тривимірному русі. * Розуміти сили, які беруть участь у круговому русі, і зрозуміти, що «доцентрові» та «відцентрові» сили насправді не є силами. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо людина розгойдується на гойдалці з пошкодженими канатами, '''коли вони найімовірніше розірвуться?''' # внизу траєкторії, коли швидкість найбільша. # у верхній частині траєкторії, коли швидкість дорівнює нулю. # в точці траєкторії, де швидкість становить половину її максимального значення. </div> ----- <span id="статика"></span> = Статика = Використовуючи закони Ньютона для моделювання об’єкта, можна визначити дві великі категорії ситуацій: статичні та динамічні. У статичних ситуаціях прискорення об’єкта дорівнює нулю. Згідно з другим законом Ньютона це означає, що векторна сума сил (і крутних моментів, як ми побачимо пізніше), що діють на об’єкт, має дорівнювати нулю. У динамічних ситуаціях прискорення об’єкта ненульове. Для статичних задач, оскільки вектор прискорення дорівнює нулю, ми можемо обрати систему координат таким чином, щоб якомога більше сил було вирівняно з осями (тож ми мінімізуємо кількість сил, які потрібно розбити на компоненти). ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.1.''' Ви давите горизонтально з силою <math display="inline">\vec F</math> на ящик масою <math display="inline">m</math>, який спирається на вертикальну стіну, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall|Зображенні 6.1]]. Коефіцієнт статичного тертя між стіною та ящиком становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''Яку мінімальну величину сили ви маєте прикласти, щоб ящик залишився нерухомим?''' <div class="figure"> [[File:PysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall.png|thumb|'''Зображення 6.1.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall"></span> Горизонтальна сила, яка діє на ящик, що спирається на стіну.]] </div> Оскільки прискорення ящика дорівнює нулю, векторна сума сил, що діють на нього, має дорівнювати нулю. Почнемо з визначення сил, це: # <math display="inline">\vec F</math> - горизонтальна сила, з якою ви дієте на ящик. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, з якою стіна діє на ящик. Сила знаходиться в горизонтальному напрямку, протилежному до <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec f_s</math>, вертикальна сила статичного тертя між стіною та ящиком. Сила вказує вгору, оскільки “перешкоджає руху” ящика вниз. Сила матиме модуль не більше <math display="inline">f_s\leq\mu_s N</math>, оскільки сила статичного тертя залежить від інших сил, що діють на об’єкт. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd|Зображенні 6.2]], разом з системою координат, обраною таким чином, щоб всі сили були в напрямку <math display="inline">x</math> або <math display="inline">y</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockwall fbd.png|thumb|'''Зображення 6.2.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockwall_fbd"></span> Діаграма сил, що діють на ящик.]] </div> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F - N &=0\\ \therefore N = F \end{aligned}</math> це каже нам, що сила нормальної реакції, якою діє стіна, має ту ж величину, що і прикладена сила, <math display="inline">\vec F</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = f_s - F_g &=0\\ \therefore f_s -mg &=0\\ \therefore f_s = mg\\ \end{aligned}</math> Це говорить нам, що сила тертя повинна мати ту ж величину, що і вага. Це має сенс, оскільки вони є єдиними силами з компонентами в напрямку <math display="inline">y</math>, і, таким чином, повинні компенсувати одна одну. Сила тертя буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s N</math>, і, таким чином, буде меншою або дорівнюватиме <math display="inline">\mu_s F</math>, оскільки <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">\vec N</math> мають однакову величину (з компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона). Крім того, оскільки <math display="inline">f_s=mg</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} f_s &\leq \mu_s F\\ \therefore mg &\leq \mu_s F\\ \therefore \frac{mg}{\mu_s} &\leq F \end{aligned}</math> що надає нам умову <math display="inline">F\geq mg/\mu_s</math>, і, отже, мінімальну величину <math display="inline">F</math>, потрібну, щоб запобігти ковзанню ящика вниз. Хоча ми використали знак менше або дорівнює в наведених вище рівняннях, ми могли б використати знак рівності, якби були впевнені, що сила тертя має максимальну величину, <math display="inline">f_s=\mu_sN</math>. Максимальна величина сили тертя пропорційна силі, яку ми прикладаємо (оскільки <math display="inline">N=F</math>); якщо ми хочемо прикласти найменшу кількість сили <math display="inline">F</math>, нам необхідно, щоб сила тертя дорівнювала її максимальній величині, яка має дорівнювати вазі ящика. '''Обговорення:''' Ця модель для мінімально необхідної сили є реалістичною, оскільки: * Розмірність <math display="inline">mg/\mu_s</math> - це сила. * Якщо маса ящика збільшується, на нього необхідно сильніше тиснути, щоб утримати нерухомим. * Якщо коефіцієнт статичного тертя, <math display="inline">\mu_s</math>, збільшується, не потрібно так сильно тиснути. </div> ----- <span id="лінійний-рух"></span> = Лінійний рух = Рух об’єкта, ''вектор швидкості якого не змінює постійно напрямок'', можна описати як «лінійний» рух. Наприклад, коли об’єкт рухається по прямій лінії в певному напрямку, а потім різко змінює напрямок і продовжує рухатися по прямій, рух може бути змодельований вздовж двох окремих відрізків. Рух об’єкта по колу, коли вектор швидкості постійно змінює напрямок, не вважатиметься лінійним. На [[#fig:applyingnewtonslaws:linearmotion|Зображенні 6.3]] наведені приклади шляху об’єктів, що рухаються лінійно та нелінійно. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Linearmotion.png|thumb|'''Зображення 6.3.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion" data-label="fig:applyingnewtonslaws:linearmotion"></span> (Ліворуч:) Шлях об’єкта вздовж трьох сегментів, що можна змоделювати як лінійний рух. (Праворуч:) Шлях об’єкта, вектор швидкості якого постійно змінюється, що не може розглядатися як лінійний рух.]] </div> Коли об’єкт рухається лінійно, ми завжди моделюємо його рух окремими прямими відрізками. На кожному такому відрізку вектор прискорення буде колінеарним вектору переміщення об’єкта (паралельним або з протилежним за напрямком - зверніть увагу, що прискорення може змінювати напрямок так, як це було б від сили пружності, але буде завжди колінеарним переміщенню). ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applyingnewtonslaws:block" data-label="ex:applyingnewtonslaws:block"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI.png|thumb|'''Зображення 6.4.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI"></span> Блок ковзає вниз по нахилу, потім по горизонтальній поверхні та зупинятися.]] </div> '''Приклад 6.2.''' Блок маси <math display="inline">m</math> розміщується на нахилі, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонталлю, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI|Зображенні 6.4]]. Блок трохи підштовхується, щоб подолати силу статичного тертя, і починає прискорюватися вниз по нахилу. Подолавши нахил, блок рухається горизонтальною поверхнею. Коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і нахилом становить <math display="inline">\mu_{k1}</math>, а між блоком і горизонтальною поверхнею — <math display="inline">\mu_{k2}</math>. Якщо припустити, що блок почав рух зі стану спокою на відстані <math display="inline">L</math> від нижнього кінця нахилу, '''як далеко блок пройде вздовж горизонтальної поверхні перед зупинкою?''' Ми можемо визначити, що це лінійний рух, який можна розбити на два відрізки: (1) рух вниз по нахилу та (2) рух вздовж горизонтальної поверхні. Таким чином, ми двічі, один раз для кожного відрізка, визначимо сили, намалюємо діаграми вільного тіла та використаємо другий закон Ньютона. Часто корисно описати рух словами, щоб визначити необхідні для побудови моделі кроки. У цьому випадку ми могли б сказати, що: # Блок ковзає вниз по нахилу і прискорюється в напрямку руху. Ідентифікуючи сили та застосовуючи другий закон Ньютона, ми можемо визначити прискорення блока, яке буде паралельним нахилу. # В нижній частині нахилу блок досягне певної швидкості, яку ми можемо визначити з кінематики, знаючи, що блок почав рух зі стану спокою і подолав відстань <math display="inline">L</math> із відомим прискоренням. # Вздовж горизонтальної поверхні блок буде сповільнюватися. Знову ж таки, ідентифікуючи сили та використовуючи другий закон Ньютона, ми зможемо визначити його прискорення. # Блок зупиниться після проходження невідомої відстані, яку ми можемо знайти, використовуючи кінематику і знаючи прискорення блоку та його початкову швидкість в нижній частині нахилу. Таким чином, наш перший крок полягає у визначенні сил, які діють на блок, поки він знаходиться на нахилі. Ними є: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага блока. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_{k1}</math>, сила кінетичного тертя, що створюється нахилом. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1|Зображенні 6.5]]. Як зазвичай, ми намалювали прискорення, <math display="inline">\vec a_1</math>, на діаграмі вільного тіла, та обрали напрямок осі <math display="inline">x</math>, паралельний прискоренню. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd1.png|thumb|'''Зображення 6.5.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd1"></span> Діаграма вільного тіла для блока, коли він знаходиться на нахилі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> компоненту другого закону Ньютона, і використовуємо той факт, що прискорення знаходиться в напрямку <math display="inline">x</math> (<math display="inline">\vec a=a_1\hat x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_{k1} &= ma_1\\ \therefore mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1 \end{aligned}</math> де ми виразили величину кінетичної сили тертя через силу нормальної реакції, з якою діє поверхня, а вагу через масу і гравітаційне поле, <math display="inline">g</math>. Компоненту <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_g\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1 = mg\cos\theta \end{aligned}</math> де сила нормальної реакції була виражена через вагу блока. Ми можемо підставити цей вираз для сили нормальної реакції в рівняння, отримане з компоненти <math display="inline">x</math>, щоб знайти прискорення вздовж нахилу: <math display="block">\begin{aligned} mg\sin\theta - \mu_{k1} N_1 &= ma_1\\ mg\sin\theta - \mu_{k1} mg\cos\theta&= ma_1\\ \therefore a_1 &= g(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta) \end{aligned}</math> Тепер, коли ми знаємо прискорення вздовж нахилу, можна легко знайти швидкість внизу нахилу за допомогою кінематики. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> рівним нулю там, де блок почав рух (<math display="inline">x_0=0</math>), тож блок знаходиться в позиції <math display="inline">x=L</math> у нижній частині нахилу. Використовуючи кінематику, ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v</math>, враховуючи, що початкова швидкість <math display="inline">v_0=0</math>: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2a_1(x-x_0)\\ v^2&=2a_1L\\ \therefore v &= \sqrt{2a_1L}\\ &=\sqrt{2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)} \end{aligned}</math> Тепер можна братися до побудови моделі для другого сегменту. Спочатку визначимо сили, що діють на блок, коли він на горизонтальній поверхні, це: # <math display="inline">\vec F_{g1}</math>, його вага. # <math display="inline">\vec N_2</math>, сила нормальної реакції від горизонтальної поверхні. Вона, в загальному випадку, відрізняється від сили нормальної реакції, що діяла, коли блок знаходився на схилі. # <math display="inline">\vec f_{k2}</math>, сила кінетичного тертя через взаємодію із горизонтальною поверхнею. Сила протилежна напрямку руху і має величину, задану <math display="inline">f_{k1}=\mu_{k1}N_1</math>. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2|Зображенні 6.6]], де ми зобразили вектор прискорення, <math display="inline">\vec a_2</math>, з напрямком вліво, оскільки блок сповільнюється. Ми також обрали систему координат <math display="inline">xy</math> так, щоб вісь <math display="inline">x</math> була колінеарна прискоренню, так, що рух знаходиться в додатному напрямку <math display="inline">x</math> (і прискорення у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws BlockI fbd2.png|thumb|'''Зображення 6.6.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockI_fbd2"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, коли він ковзає по горизонтальній поверхні. Ми (довільно) обрали додатний <math display="inline">x</math> в напрямку руху і зворотному напрямку прискорення. Ми могли б так само обрати протилежний напрямок.]] </div> Виписуємо компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -f_{k2} &= -ma_2\\ \therefore \mu_{k2}N_2 &= ma_2 \end{aligned}</math> де ми виразили силу кінетичного тертя, використовуючи силу нормальної реакції. Ми маємо бути обережними зі знаком прискорення: рівняння, яке ми написали, передбачає, що <math display="inline">a_2</math> є додатним числом, оскільки <math display="inline">\mu_{k2}</math> є додатним і <math display="inline">N_2</math> також є додатним (це величина сили нормальної реакції). <math display="inline">a_2</math> є величиною прискорення, і ми врахували той факт, що прискорення відбувається у від’ємному напрямку <math display="inline">x</math>, коли поставили від’ємний знак в першому рядку. Компонента <math display="inline">x</math> прискорення дорівнює <math display="inline">-a_2</math>, а вектор задається як <math display="inline">\vec a_2=-a_2\hat x</math>. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволить знайти силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N_2 -F_g &=0\\ \therefore N_2 = mg \end{aligned}</math> яку ми можемо підставити назад у рівняння <math display="inline">x</math> і знайти величину прискорення вздовж горизонтальної поверхні: <math display="block">\begin{aligned} ma_2 &=\mu_{k2}N_2 \\ \therefore a_2&=\mu_{k2}g \end{aligned}</math> Тепер, коли прискорення вздовж горизонтальної поверхні знайдене, можна використати кінематику, щоб знайти відстань, яку блок пройшов до зупинки. Ми обрали початок осі <math display="inline">x</math> внизу нахилу (<math display="inline">x_0=0</math>), прискорення від’ємне <math display="inline">a_x = -a_2 = -mu_{k2}g</math>, кінцева швидкість дорівнює нулю, <math display="inline">v=0</math>, а початкова швидкість, <math display="inline">v_0</math>, задається нашою моделлю для першого сегмента. Використовуючи одне з кінематичних рівнянь: <math display="block">\begin{aligned} v^2-v_0^2&=2(-a_2)(x-x_0)\\ v_0^2&=2a_2x\\ \therefore x &=\frac{1}{2a_2}v_0^2\\ &=\frac {1}{2\mu_{k2}g}2Lg(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)\\ \therefore x&=\frac{(\sin\theta-\mu_{k1}\cos\theta)}{\mu_{k2}}L \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' модель відстані <math display="inline">x</math>, на якій блок зупиняється, правдоподібна, оскільки: * Всі члени дроба є безрозмірними, тому значення <math display="inline">x</math> матиме ту ж розмірність, що і <math display="inline">L</math>. * Якщо ми зробимо <math display="inline">L</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде більшим (якщо ми відпустимо блок вище з нахилу, він матиме більше часу для прискорення і буде ковзати далі, перш ніж зупиниться). * Якщо ми зробимо <math display="inline">\mu_{k1}</math> більшим, то <math display="inline">x</math> буде меншим: якщо ми збільшимо тертя на нахилі, блок матиме менше прискорення і меншу швидкість внизу. * Якщо ми збільшимо тертя з горизонтальною поверхнею (збільшимо <math display="inline">\mu_{k2}</math>), <math display="inline">x</math> буде меншим (блок не буде ковзати так далеко, якщо на горизонтальній поверхні буде більше тертя). * Якщо ми збільшимо <math display="inline">\theta</math>, чисельник буде більшим, тому <math display="inline">x</math> збільшиться (блок прискориться більше на крутішому нахилі й зупиниться пізніше). </div> ----- <div class="mdframed"> Подарунок розміщується на похилій площині на відстані <math display="inline">L</math> від нижньої частини нахилу, подібно до [[#ex:applyingnewtonslaws:block|Прикладу 6.2]] вище. Визначено, що у нижній частині нахилу коробка має швидкість <math display="inline">v</math>. '''Якщо коробку замість цього відпустити з відстані <math display="inline">4L</math> від нижньої частини нахилу, якою буде її швидкість в нижній частині нахилу?''' # <math display="inline">v</math> # <math display="inline">2v</math> # <math display="inline">4v</math> # залежить від коефіцієнта тертя між подарунком і поверхнею. </div> ----- <span id="моделювання-ситуацій-коли-змінюється-величина-сил"></span> == Моделювання ситуацій, коли змінюється величина сил == Поки що розглянуті моделі залучали сили, що залишалися постійними за величиною. У багатьох випадках сили, що діють на об’єкт, можуть змінювати величину та напрямок. Наприклад, сила, з якою дія пружина, змінюється, коли пружина змінює довжину, або сила лобового опору змінюється, коли об’єкт змінює швидкість. В цих випадках, навіть якщо об’єкт виконує лінійний рух, нам необхідно розбити рух на багато невеликих відрізків, на яких ми можемо припустити, що сили постійні. Якщо сили змінюються безперервно, нам буде необхідно розбити рух на нескінченну кількість відрізків і використовувати математичний аналіз. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce.png|thumb|'''Зображення 6.7.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce"></span> Блок, який штовхається зі змінною силою вздовж горизонтальної поверхні без тертя.]] </div> Розглянемо блок маси <math display="inline">m</math> із [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображення 6.7]], який ковзає вздовж горизонтальної поверхні без тертя, і на який діє горизонтальна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>. Сила має різну величину на трьох відрізках довжини <math display="inline">\Delta x</math>, як показано на зображенні. Якщо блок починає рух з позиції <math display="inline">x=x_0</math> вздовж осі <math display="inline">\hat x</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми можемо знайти, наприклад, його швидкість в позиції <math display="inline">x_3=3\Delta x</math>, коли блок пройшов три відрізки. Горизонтальну силу, <math display="inline">\vec F</math>, що діє на блок, можна записати у вигляді: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \quad \text{(сегмент 1)}\\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \quad \text{(сегмент 2)}\\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x\quad \text{(сегмент 3)} \end{cases} \end{aligned}</math> оскільки вона залежить від місця розташування блоку. Щоб знайти швидкість блоку в кінці третього відрізка, ми можемо змоделювати кожен відрізок окремо. Сили, що діють на блок, однакові на кожному відрізку: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, застосована сила, яка змінює величину залежно від положення і відрізняється на трьох вказаних відрізках. Сили проілюстровані діаграмою вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd|Зображенні 6.8]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockvaryingforce fbd.png|thumb|'''Зображення 6.8.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для блоку, показаного на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockvaryingforce|Зображенні 6.7]].]] </div> Другий закон Ньютона може бути використаний для визначення прискорення блоку на кожному з трьох відрізків, оскільки сили постійні в межах одного відрізка. Для всіх трьох відрізків <math display="inline">y</math> компонента другого закону Ньютона просто каже нам, що сила нормальної реакції, з якою діє земля, дорівнює за величиною вазі блоку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_i = ma_i \end{aligned}</math> де ми використали індекс <math display="inline">i</math>, щоб вказати, на якому відрізку знаходиться блок (<math display="inline">i</math> може бути 1, 2 або 3). Прискорення блоку на відрізку <math display="inline">i</math> задається виразом: <math display="block">\begin{aligned} a_i = \frac{F_i}{m} \end{aligned}</math> Якщо швидкість блоку рівна <math display="inline">v_0</math> на початку відрізка 1 (<math display="inline">x=x_0</math>), ми можемо знайти його швидкість в кінці відрізка 1 (<math display="inline">x=x_1</math>), <math display="inline">v_1</math>, використовуючи кінематику і той факт, що прискорення на відрізку 1 становить <math display="inline">a_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_1^2-v_0^2 &= 2a_1(x_1 - x_0)\\ v_1^2 &=v_0^2+ 2a_1\delta x\\ \therefore v_1^2 &=v_0^2+2\frac{F_1}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Тепер ми можемо легко знайти швидкість в кінці відрізка 2 (<math display="inline">x=x_2</math>), <math display="inline">v_2</math>, оскільки знаємо швидкість на його початку (<math display="inline">x_1</math>,<math display="inline">v_1</math>) та прискорення <math display="inline">a_2</math>: <math display="block">\begin{aligned} v_2^2 -v_1^2 &= 2a_2(x_2 - x_1)\\ \therefore, v_2^2 &= v_1^2 + 2a_2\Delta x\\ &=v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Легко показати, що швидкість в кінці третього відрізка становить: <math display="block">\begin{aligned} v_3^2 = v_0^2+ 2\frac{F_1}{m}\Delta x + 2\frac{F_2}{m}\Delta x +2\frac{F_3}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Якби було <math display="inline">N</math> відрізків, з різною силою на кожному з них, ми могли б використати нотацію суми та записати: <math display="block">\begin{aligned} v_N^2 &= v_0^2 + 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x \end{aligned}</math> Нарешті, якби величина сили постійно змінювалася як функція від <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F(x)</math>, ми б змоделювали це, взявши відрізки довжиною, <math display="inline">\Delta x</math>, наближеною до нуля (і нам знадобилася б нескінченна кількість таких відрізків). Наприклад, якби ми хотіли знати швидкість об’єкта в положенні <math display="inline">x=X</math> вздовж осі <math display="inline">x</math>, з силою, заданою <math display="inline">\vec F(x)=F(x)\hat x</math>, і якби об’єкт починав рух з положення <math display="inline">x_0</math> зі швидкістю <math display="inline">v_0</math>, ми б взяли наступну границю: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F(x)}{m}\Delta x \end{aligned}</math> де <math display="inline">\Delta x = \frac{X}{N}</math> так, що <math display="inline">x</math>, <math display="inline">N\to\infty</math>. Звісно, інтеграли є саме тим інструментом, який дозволяє розрахувати це: <math display="block">\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} 2\sum_{i=1}^{i=N} \frac{F_i}{m}\Delta x =2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> і швидкість в положенні <math display="inline">x=X</math> задається формулою: <math display="block">\begin{aligned} v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{X}\frac{F(x)}{m}dx \end{aligned}</math> Само собою, ми можемо знайти вищезазначений результат, починаючи безпосередньо з диференціального та інтегрального числення. Якщо компонента (рівнодійної) сили в напрямку <math display="inline">x</math> задається <math display="inline">F(x)</math>, то прискорення задається <math display="inline">a(x) = \frac{F(x)}{m}</math>. Швидкість пов’язана з прискоренням: <math display="block">\begin{aligned} a(x) &= \frac{dv}{dt}\\ \therefore dv &= a(x)dt\\ \end{aligned}</math> Ми не можемо просто проінтегрувати останнє рівняння, щоб знайти <math display="inline">v=\int a(x)dt</math>, оскільки прискорення задається як функція положення, <math display="inline">a(x)</math>, а не функція часу, <math display="inline">t</math>. Через це ми не можемо взяти інтеграл по <math display="inline">t</math>, і маємо “замінити змінні”, щоб взяти інтеграл по <math display="inline">x</math>. <math display="inline">x</math> і <math display="inline">t</math> пов’язані через швидкість: <math display="block">\begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt}\\ \therefore dt &= \frac {1}{v}dx \end{aligned}</math> Таким чином, ми можемо написати: <math display="block">\begin{aligned} dv &= a(x)dt = a(x)\frac {1}{v}dx \\ \end{aligned}</math> Наведене вище рівняння називається «відокремлюваним диференціальним рівнянням», його також можна записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dx}=\frac {1}{v}a(x) \end{aligned}</math> Це рівняння називається диференціальним, оскільки воно пов’язує похідну функції (похідна <math display="inline">v</math> по <math display="inline">x</math>, ліворуч) з самою функцією (<math display="inline">v</math> також є праворуч). Диференціальне рівняння є «відокремлюваним», тому що ми можемо розділити всі величини, які залежать від <math display="inline">v</math> та <math display="inline">x</math>, в різні сторони рівняння: <math display="block">\begin{aligned} vdv = a(x)dx \end{aligned}</math> Це останнє рівняння говорить, що <math display="inline">vdv</math> дорівнює <math display="inline">a(x)dx</math>. Пам’ятайте, що <math display="inline">dx</math> - це довжина дуже маленького відрізка в <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dv</math> - зміна швидкості на цьому дуже маленькому відрізку. Оскільки члени зліва та справа рівні, якщо ми сумуємо (інтегруємо) величини <math display="inline">vdv</math> на багатьох відрізках, ця сума має дорівнювати сумі (інтегралу) величин <math display="inline">a(x)dx</math> на тих самих відрізках. Оберемо відрізки так, що на початку першого інтервалу позиція і швидкість будуть рівними <math display="inline">x_0</math> та <math display="inline">v_0</math> відповідно, а позиція і швидкість в кінці останнього інтервалу будуть <math display="inline">X</math> і <math display="inline">V</math> відповідно. Тоді маємо: <math display="block">\begin{aligned} \int_{v_0}^{V}vdv&=\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \frac {1}{2}V^2 - \frac {1}{2}v_0^2 &= \int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \therefore V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ \end{aligned}</math> що ми й отримали раніше. Якщо прискорення є постійним, ми відтворимо формулу з кінематики: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2+ 2\int_{x_0}^{X}adx\\ &=v_0^2+ 2a(X-x_0)\\ \therefore V^2- v_0^2 &= 2a(X-x_0) \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:applicationnewtonslaws:blockspring" data-label="ex:applicationnewtonslaws:blockspring"></span> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|'''Зображення 6.9.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:blockspring" data-label="fig:applyingnewtonslaws:blockspring"></span> Блок запускається вздовж поверхні без тертя за рахунок стиснутої на відстань <math display="inline">D</math> пружини. Верхня частина показує пружину в стані спокою, а нижня показу — пружину, стиснуту на відстань <math display="inline">D</math> безпосередньо перед звільненням блоку.]] </div> '''Приклад 6.3.''' Блок маси <math display="inline">m</math> може вільно ковзати по поверхні без тертя. Горизонтальна пружина з коефіцієнтом жорсткості, <math display="inline">k</math>, прикріплена до стіни на одному кінці, а інший кінець може вільно рухатися, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:blockspring|Зображенні 6.9]]. Система координат визначається таким чином, що вісь <math display="inline">x</math> є горизонтальною, а вільний кінець пружини знаходиться на рівні <math display="inline">x=0</math>, коли пружина знаходиться в стані спокою. Блок притискається до пружини так, що пружина стискається на відстань <math display="inline">D</math>. Далі блок відпускається. '''Яку швидкість матиме блок, коли він покине пружину?''' Як ви пам’ятаєте, сила, з якою діє пружина пружина, залежить від її стиснення або розширення й визначається законом Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx\hat x \end{aligned}</math> де <math display="inline">x</math> - положення вільного кінця пружини, а <math display="inline">x=0</math> відповідає пружині, коли вона знаходиться в стані спокою. В нашому випадку, коли край блоку розташований в точці <math display="inline">x_0=-D</math> (пружина стиснута), сила знаходиться у додатному напрямку <math display="inline">x</math> (оскільки <math display="inline">x_0</math> є від’ємним числом). Сили, що діють блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math>, сила пружності. Оскільки блок не рухається вертикально, величина сили нормальної реакції має дорівнювати вазі <math display="inline">N=mg</math>, тому що це єдині сили з компонентами у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає нам прискорення блоку (яке залежить від <math display="inline">x</math>): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = -kx &= ma(x)\\ \therefore a(x)&=-\frac{k}{m}x \end{aligned}</math> Знову ж таки, нагадаємо, що якщо <math display="inline">x</math> від’ємний, прискорення буде в додатному напрямку. Оскільки це саме той сценарій, який ми описали вище, а саме — сила, яка постійно змінюється залежно від положення, ми можемо застосувати знайдену вище формулу для визначення швидкості після того, як змінна сила була застосована з положення <math display="inline">x=x_0</math> до положення <math display="inline">x=X</math>: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx \end{aligned}</math> <math display="inline">V</math> - кінцева швидкість, яку ми хотіли б знайти, <math display="inline">v_0=0</math>, оскільки блок стартує зі стану спокою, а <math display="inline">x_0=-D</math> - початкове положення блоку. <math display="inline">X</math> - це положення вздовж осі <math display="inline">x</math>, де блок покидає пружину. Ми маємо трохи подумати, яким має бути значення <math display="inline">X</math>: коли пружина стиснута і блок прискорюється, пружина штовхає блок у додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Як тільки блок досягне <math display="inline">x=0</math>, пружина захоче потягнути блок назад, але оскільки вона не прикріплена до блоку, у цій точці пружина перестає чинити силу на блок. Таким чином, блок залишає пружину на рівні <math display="inline">x=0</math>, так що кінцева позиція <math display="inline">X=0</math>. Таким чином, швидкість блоку, коли він покидає пружину, становить: <math display="block">\begin{aligned} V^2 &= v_0^2 + 2\int_{x_0}^{X}a(x)dx\\ &= 0 + 2\int_{-D}^{0}a(x)dx\\ &= 2\int_{-D}^{0}-\frac{k}{m}xdx\\ &= 2\left[-\frac{k}{m}\frac{1}{2}x^2\right]_{-D}^{0}\\ &= \frac{k}{m}D^2\\ \therefore V &= \sqrt{\frac{k}{m}}D \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ця модель швидкості блоку в момент, коли він покинув пружину, правдоподібна, оскільки: * Розмірність для виразу <math display="inline">V</math> коректна (ви повинні перевірити це!). * Якщо пружина стиснута більше (більше значення <math display="inline">D</math>), швидкість буде вищою. * Якщо маса більша (більша інерція), то кінцева швидкість буде нижчою. * Якщо пружина жорсткіша (більше значення <math display="inline">k</math>), кінцева швидкість буде вищою. Якщо ви вивчали фізику раніше, ви, можливо, зрозуміли, що швидкість легко знайти за допомогою збереження енергії: <math display="block">\begin{aligned} \frac {1}{2}mV^2=\frac {1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> що дає те саме значення для <math display="inline">V</math>. Ми побачимо в наступному розділі, що кінетична та потенціальна енергія визначаються такими, якими вони є, саме тому, що це робить використання закону збереження енергії еквівалентним використанню сил, як ми щойно зробили. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 6.4.''' Об’єкт масою <math display="inline">m</math> звільняється зі стану спокою з вертольота. Величина опору повітря, що діє на об’єкт, може бути змодельована як <math display="inline">bv</math>, де <math display="inline">v</math> - швидкість об’єкта, а <math display="inline">b</math> - константа пропорційності. '''Як залежить швидкість об’єкта від часу?''' <span id="ex:applicationnewtonslaws:drag" data-label="ex:applicationnewtonslaws:drag"></span> Коли об’єкт падає у повітрі, на нього впливають наступні сили: # <math display="inline">F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>, спрямована вниз. # <math display="inline">F_d</math>, сила лобового опору, з величиною <math display="inline">bv</math>, що діє вгору. Оскільки об’єкт буде падати по прямій, це одновимірна задача, і ми можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> вертикальною, з додатним <math display="inline">x</math> спрямованим униз, і початком розташованим там, де об’єкт був звільнений. При такому виборі системи координат об’єкт буде мати додатне прискорення і рухатися в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. Це показано на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd|Зображенні 6.10]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.10.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_fbd" data-label="fig: applyingnewtonslaws:drag_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для вільного падіння об'єкта з лобовим опором.]] </div> Другий закон Ньютона для об’єкта дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = F_g - F_d &= ma\\ mg - bv &= ma\\ \therefore a &= g-\frac{b}{m}v \end{aligned}</math> У цьому випадку прискорення явно залежить від швидкості, а не від положення, як було в нас раніше. Однак ми можемо використати той самий підхід, щоб знайти, як швидкість змінюється з часом. По-перше, можна відзначити, що прискорення дорівнює нулю, якщо: <math display="block">\begin{aligned} g-\frac{b}{m}v &=0\\ \therefore v = \frac{mg}{b} \end{aligned}</math> Тобто, як тільки об’єкт досягне швидкості <math display="inline">v_{term}=mg/b</math>, він припинить прискорюватися, тобто досягне «кінцевої швидкості». Зверніть увагу, що це умова, яка вимагає, щоб сила опору (<math display="inline">bv</math>) мала ту ж величину, що і вага (<math display="inline">mg</math>). Підставивши прискорення як <math display="inline">a=\frac{dv}{dt}</math>, ми можемо записати: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= \left(g-\frac{b}{m}v \right) \end{aligned}</math> що, знову ж таки, є диференціальним рівнянням, в якому ми можемо записати члени, які залежать від <math display="inline">v</math> і від <math display="inline">t</math> по різні сторони знака рівності: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv}{g-\frac{b}{m}v}&= dt\\ \frac{dv}{v-\frac{mg}{b}}&= -\frac{b}{m}dt\\ \end{aligned}</math> де у другому рядку ми реорганізували рівняння, щоб було легше інтегрувати на наступному кроці. Ми можемо знайти швидкість, <math display="inline">v(t)</math>, в якийсь момент часу, <math display="inline">t</math>, зазначивши, що <math display="inline">v=0</math> при <math display="inline">t=0</math> і взявши інтеграли (суми) обох сторін. Знову ж таки, ми моделюємо рух, що складається з великої кількості дуже маленьких відрізків, де величини з обох сторін рівняння рівні. Таким чином, якщо ми підсумуємо (проінтегруємо) ці величини на цих однакових відрізках, ліва та права частини рівнянь мають все ще дорівнювати одна одній: <math display="block">\begin{aligned} \int_0^{v(t)}\frac{dv}{v-\frac{mg}{b}} &= -\int_0^t\frac{b}{m} dt\\ \left[\ln\left(v-\frac{mg}{b} \right)\right]_0^{v(t)} &=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left(v(t)-\frac{mg}{b} \right)-\ln\left(-\frac{mg}{b} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \ln\left( \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} \right)&=-\frac{b}{m}t\\ \end{aligned}</math> в останньому рядку ми використали властивість <math display="inline">\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)</math>. Беручи експоненту по обидві сторони рівняння (<math display="inline">e^{\ln(x)}=x</math>), можемо знайти вираз для швидкості як функцію часу: <math display="block">\begin{aligned} \frac{v(t)-\frac{mg}{b}}{-\frac{mg}{b}} &= e^{-\frac{b}{m}t}\\ v(t)-\frac{mg}{b} &= -\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ \therefore v(t) &= \frac{mg}{b}-\frac{mg}{b}e^{-\frac{b}{m}t}\\ &=\frac{mg}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right) \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Це рівняння каже нам, що швидкість збільшується як функція часу, але швидкість збільшення зменшується експоненціально з часом. В момент часу <math display="inline">t=0</math> швидкість дорівнює нулю, як і очікувалося. Коли <math display="inline">t</math> наближається до нескінченності, <math display="inline">v</math> наближається до <math display="inline">\frac{mg}{b}</math>, що є кінцевою швидкістю. Залежність швидкості від часу проілюстрована на [[#fig:applyingnewtonslaws:drag_vt|Зображенні 6.11]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Drag vt.png|thumb|center|'''Зображення 6.11.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt" data-label="fig:applyingnewtonslaws:drag_vt"></span> Швидкість як функція часу для об’єкта маси <math display="inline">m=10\ kg</math>, який вільно падає зі стану спокою з коефіцієнтом лобового опору <math display="inline">b=0.5\ Ns/m</math>.]] </div> </div> ----- <span id="рівномірний-круговий-рух"></span> = Рівномірний круговий рух = Як ми бачили в розділі [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах|Опис руху в декількох вимірах]], “рівномірний круговий рух” визначається як рух по колу з постійною швидкістю. Це може бути гарний момент для перегляду секції [[Вступ до фізики: побудова моделей для опису нашого світу/Опис руху в декількох вимірах#Круговий рух|Круговий рух]] щодо кінематики руху по колу. Зокрема, нагадаємо, що для рівномірного кругового руху об’єкта по колу радіуса <math display="inline">R</math>: * Вектор швидкості, <math display="inline">\vec v</math>, завжди дотичний до кола. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди перпендикулярний вектору швидкості, оскільки величина вектора швидкості не змінюється. * Вектор прискорення, <math display="inline">\vec a</math>, завжди вказує у центр кола. * Вектор прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. * Кутова швидкість, <math display="inline">\omega</math>, пов’язана з модулем вектора швидкості як <math display="inline">v=\omega R</math> і є постійною. * Кутове прискорення, <math display="inline">\alpha</math>, дорівнює нулю для рівномірного кругового руху, оскільки кутова швидкість не змінюється. Також, нагадаємо, що навіть коли швидкість постійна, вектор прискорення при рівномірному круговому русі завжди ненульовий, оскільки '''швидкість змінює напрямок'''. Відповідно до другого закону Ньютона, це означає, що '''на об’єкт має діяти рівнодійна сил, спрямована до центру кола'''<ref>Суму сил часто називають «рівнодійною сил», що діють на об'єкт, а в часному випадку рівномірного кругового руху, ця рівнодійна сил інколи зветься «доцентровою силою», однак, сама по собі вона не є силою - це сума сил, яка вказує у центр кола.</ref> (паралельно прискоренню): <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = m\vec a \end{aligned}</math> де прискорення має величину <math display="inline">a=v^2/R</math>. Оскільки прискорення спрямоване до центру кола, ми іноді називаємо його «радіальним» прискоренням (паралельним радіусу), <math display="inline">a_R</math>, або «доцентровим» прискоренням (спрямованим до центру), <math display="inline">a_c</math>. Розглянемо об’єкт з рівномірним круговим рухом у горизонтальній площині на поверхні без тертя, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH.png|thumb|'''Зображення 6.12.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH" data-label="fig: applyingnewtonslaws:circleH"></span> Об’єкт, що піддається рівномірному круговому руху на поверхні без тертя, вид зверху.]] </div> Єдиний спосіб для об’єкта знаходитися у рівномірному круговому русі полягає в тому, щоб рівнодійна сил, що діють на об’єкт, була спрямована до центру кола. Одним зі способів мати силу, спрямовану до центру кола, є прикріплення нитки між центром кола та об’єктом, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH|Зображенні 6.12]]. Якщо нитка знаходиться під натягом, сила натягу завжди буде спрямована до центру кола. Таким чином сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції від поверхні. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки. Сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображенні 6.13]] (якщо дивитися збоку), де ми також намалювали вектор прискорення. Зверніть увагу, що ця діаграма вільного тіла є «дійсною» лише в певний момент часу, оскільки вектор прискорення постійно змінює напрямок і не завжди вирівнюється з віссю <math display="inline">x</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleH fbd.png|thumb|'''Зображення 6.13.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd"></span> Діаграма вільного тіла (вид збоку) для об’єкта із [[#fig:applyingnewtonslaws:circleH_fbd|Зображення 6.13]], який знаходиться у рівномірному круговому русі.]] </div> Виписуємо <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> компоненти другого закону Ньютона: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= T = ma_R\\ \sum F_y &= N - F_g =0 \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> просто говорить нам, що сила нормальної реакції повинна мати ту ж величину, що і вага, оскільки об’єкт не прискорюється у вертикальному напрямку. Компонента <math display="inline">x</math> каже про зв’язок між величиною натягу в нитці та радіальним прискоренням. Використовуючи швидкість об’єкта, можна також записати співвідношення між натягом і швидкістю: <math display="block">\begin{aligned} T &= ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \end{aligned}</math> Таким чином, ми знаходимо, що натяг в нитці збільшується з квадратом швидкості, і зменшується з радіусом кола. ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws TrajectoryABCD.png|thumb|'''Зображення 6.14.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD" data-label="fig:applyingnewtonslaws:trajectoryABCD"></span> Можливі траєкторії (червоним кольором), за якими буде слідувати блок, якщо струна розірветься.]] </div> Об’єкт рухається рівномірно по колу в горизонтальній площині, коли струна, що з’єднує об’єкт із центром обертання, раптово розривається. '''Яким шляхом пойде блок після розриву струни?''' # А # B # C # D </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car.png|thumb|'''Зображення 6.15.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car"></span> Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіуса <math display="inline">R</math>.]] </div> <span id="ex:applyingnewtonslaws:car" data-label="ex:applyingnewtonslaws:car"></span> '''Приклад 6.5.''' Автомобіль рухається по кривій, яку можна апроксимувати як дугу кола радіусом <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:car|Зображенні 6.15]]. Коефіцієнт статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою становить <math display="inline">\mu_s</math>. '''З якою максимальною швидкістю автомобіль може об’їхати криву без заносу?''' Якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю по колу, то сума сил, що діють на нього, має бути спрямована до центру кола. Єдина сила, яка може бути спрямована до центру кола - це сила тертя між шинами та дорогою. Якби дорога була ідеально гладкою (подумайте про їзду в умовах криги), було б неможливо проїхати по кривій, оскільки не могло б бути сили тертя. Сили, що діють на автомобіль: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math> - сила нормальної реакції, що діє вгору від дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Ці сили показані на діаграмі вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:car_fbd|Зображенні 6.16]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Car fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.16.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:car_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для автомобіля, якщо дивитися на нього ззаду (центр кривої зліва).]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона говорить нам, що сила нормальної реакції, яка діє на дорогу, має дорівнювати вазі автомобіля: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g&=0\\ \therefore N &=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> пов’язує силу тертя з радіальним прискоренням (і, отже, зі швидкістю): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x = f_s =ma_R&=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Сила тертя має бути меншою або дорівнювати <math display="inline">f_s \leq \mu N =\mu_s mg</math> (оскільки <math display="inline">N=mg</math> з <math display="inline">y</math>-компоненти другого закону Ньютона), звідки маємо умову для швидкості: <math display="block">\begin{aligned} f_s = m\frac{v^2}{R}&\leq\mu_smg\\ v^2 &\leq \mu_s g R\\ \therefore v &\leq \sqrt{\mu_s g R} \end{aligned}</math> Таким чином, якщо швидкість менша <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math>, автомобіль не буде заносити, а величина сили статичного тертя, що призводить до прискорення у центр кола, буде меншою або дорівнюватиме її максимально можливому значенню. '''Обговорення:''' Модель максимальної швидкості, з якою автомобіль може рухатися по кривій, правдоподібна, оскільки: * Розмірність <math display="inline">\sqrt{\mu_s g R}</math> - це швидкість. * Швидкість може бути більшою, якщо радіус кривої більший (можна рухатися швидше без заносу). * Швидкість може бути більшою, якщо коефіцієнт тертя більший (якщо сила тертя більша, можна витримати більше радіальне прискорення без заносу). </div> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху в вертикальній площині.]] </div> '''Приклад 6.6.''' М’яч прикріплюється до безмасової мотузки та виконує круговий рух уздовж кола радіусом <math display="inline">R</math> у вертикальній площині, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]. '''Чи може швидкість м’яча бути постійною? З якою мінімальною швидкістю на вершині кола м'яч може пройти по колу?''' Сили, що діють на м’яч: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від мотузки. [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображення 6.18]] показує діаграму вільного тіла для сил, що діють на м’яч, в трьох різних місцях вздовж кола. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws CircleV fbd.png|thumb|'''Зображення 6.17.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:circleV" data-label="fig:applyingnewtonslaws:circleV"></span> Прикріплений до мотузки м’яч, що піддається круговому руху у вертикальній площині.]] </div> Для того щоб м’яч обертався по колу, в кожний момент часу має бути принаймні один компонент рівнодійної сили, спрямований до центру кола. У нижній половині кола (положення 1 і 2) лише сила натягу може мати компонент, спрямований до центру. Розглянемо, зокрема, позицію із позначкою 2, коли мотузка є горизонтальною, а натяг дорівнює <math display="inline">\vec T_2</math>. Діаграма вільного тіла на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]] також ілюструє векторну суму ваги та натягу в положенні 2 (червона стрілка з позначкою <math display="inline">\sum \vec F</math>), яка вказує вниз і вліво. Таким чином, явно неможливо, щоб вектор прискорення вказував у центр кола — прискорення матиме компоненти, які є як дотичними (<math display="inline">a_T</math>) до кола, так і радіальними (<math display="inline">a_R</math>), як показано вектором <math display="inline">\vec a_2</math> на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV_fbd|Зображенні 6.18]]. Радіальний компонент прискорення змінить напрямок вектора швидкості так, що м’яч залишиться на колі, а дотичний до кола компонент зменшить величину вектора швидкості. Таким чином, відповідно до нашої моделі, м’яч не може обертатися по колу з постійною швидкістю, і швидкість повинна зменшуватися, коли він переходить з позиції 2 в позицію 3, незалежно від того, як сильно натягується мотузка (ви можете переконати себе в цьому, намалювавши діаграму вільного тіла в будь-якій точці між 2 і 3). Мінімальна швидкість м’яча на вершині кола визначається умовою, що натяг в мотузці дорівнює нулю у самій верхній частині траєкторії (положення 3). М’яч все ще може йти по колу, тому що в положенні 3 гравітація спрямована до центру кола і, таким чином, може давати радіальне прискорення навіть без натягу. Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в позиції 3 дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y = -F_g &= ma_y\\ \therefore a_y &=-g \end{aligned}</math> Величина прискорення є радіальним прискоренням і, таким чином, пов’язана зі швидкістю у верхній частині траєкторії: <math display="block">\begin{aligned} a_R&=-a_y=g = \frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{min}&=\sqrt{gR} \end{aligned}</math> що є мінімальною швидкістю у верхній частині траєкторії, при якій м’яч виконає рух по колу. Поки м’яч переміщатиметься по колу, натяг в мотузці змінюватиметься, і буде найвищим у нижній частині траєкторії, оскільки він має бути більшим за гравітацію, щоб рівнодійна сил вказувала угору (до центру кола). '''Обговорення:''' Модель мінімальної швидкості м’яча у верхній частині кола реалістична, оскільки: * <math display="inline">\sqrt{gR}</math> має розмірність швидкості. * Мінімальна швидкість більша, якщо коло має більший радіус (спробуйте це з масою, прикріпленою до кінця мотузки). * Мінімальна швидкість більша, якщо маса більша (знов, спробуйте це вдома!). </div> ----- <div class="mdframed"> Розглянемо прикріплений до мотузки м’яч, що обертається по вертикальному колу (наприклад, на [[#fig:applyingnewtonslaws:circleV|Зображенні 6.17]]). Якщо ви скоротили мотузку, '''як зміниться мінімальна кутова швидкість (виміряна у верхній частині траєкторії), необхідна, щоб м’яч пройшов по колу?''' # Зменшиться # Залишиться такою ж # Збільшиться </div> ----- <span id="нахилені-криві"></span> == Нахилені криві == Як ми бачили в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], існує максимальна швидкість, з якою автомобіль може проїхати по кривій, перш ніж його почне заносити. Імовірно, ви звертали увагу, що дороги, особливо шосе, нахилені на поворотах. Гоночні траси для автомобілів, що їдуть по овалу (нудний вид автомобільних гонок), також мають нахилені криві. Як ми побачимо, це дозволяє збільшити швидкість транспортних засобів при їзді по кривій; або, точніше, це робить повороти безпечнішими, оскільки швидкість, при якій ''буде'' заносити транспортні засоби, вища. У [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]] ми бачили, що лише сила статичного тертя між шинами автомобіля та дорогою мала компонент у напрямку до центру кола. Ідея використання нахиленої кривої полягає в тому, щоб змінити напрямок сили нормальної реакції між дорогою та шинами автомобіля, аби вона також мала компонент у напрямку до центру кола. Розглянемо автомобіль на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank|Зображенні 6.19]] (вид ззаду), який робить поворот вліво по кривій, нахиленій під кутом <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, що може бути змодельована як дуга кола радіуса <math display="inline">R</math>. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank.png|thumb|'''Зображення 6.19.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank"></span> Автомобіль рухається по нахиленій кривій так, що він нахилений вліво (центр кола - ліворуч).]] </div> Сили, які впливають на автомобіль, ті самі, що і в [[#ex:applyingnewtonslaws:car|Прикладі 6.5]], але їх напрямок інший. Ці сили: # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага автомобіля, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє дорога, перпендикулярна поверхні дороги. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя між шинами та дорогою. Це тертя є статичним, оскільки поверхня шини не рухається відносно поверхні дороги, якщо автомобіль не заносить. Сила статичного тертя перпендикулярна силі нормальної реакції та має величину, що не перевищує <math display="inline">f_s\leq\mu_sN</math>. Сила може бути як вгору, так і вниз, ''залежно від інших сил, що діють на автомобіль''. Діаграма сил вільного тіла для автомобіля показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd|Зображенні 6.20]], поряд із прискоренням (яке знаходиться в радіальному напрямку, до центру кола) і нашим вибором системи координат (<math display="inline">x</math> паралельно прискоренню). Напрямок сили статичного тертя ''апріорі'' не відомий і залежить від швидкості автомобіля: * Якщо швидкість автомобіля дорівнює нулю, сила статичного тертя збільшується. При нульовій швидкості доцентрове прискорення дорівнює нулю, і, отже, сума сил має дорівнювати нулю. Рух автомобіля, якому перешкодило тертя, полягає в тому, щоб ковзати вниз по нахиленій кривій (так само, як блок по схилу). * Якщо швидкість автомобіля дуже велика, сила статичного тертя спрямована вниз, оскільки рух автомобіля, якому чиниться опір, полягав би у заносі вгору по схилу. Природний рух автомобіля полягає в тому, щоб їхати по прямій лінії (перший закон Ньютона). Якщо компоненти сили нормальної реакції та сили статичного тертя, спрямовані до центру кола, занадто малі, щоб дозволити автомобілю повернути, автомобіль занесе вгору по нахилу (тому рух, якому перешкодило статичне тертя - вгору по нахилу, а сила статичного тертя - вниз). <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carbank fbd.png|thumb|'''Зображення 6.20.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carbank_fbd"></span> Діаграма вільного тіла для сил, що діють на автомобіль. Напрямок сили статичного тертя неможливо визначити, оскільки він залежить від прискорення автомобіля, тому він показаний двічі (пунктирними лініями).]] </div> Таким чином, існує “ідеальна швидкість”, при якій сила статичного тертя дорівнює точно нулю, а <math display="inline">x</math> компонента сили нормальної реакції відповідає за доцентрове прискорення. На більш високих швидкостях сила статичного тертя спрямована вниз і збільшується у величині, щоб зберегти прискорення автомобіля до центру кола. При певній максимальній швидкості сила тертя досягне свого максимального значення і більше не зможе підтримувати прискорення автомобіля до центру кола. На швидкостях, нижчих за ідеальну, сила тертя спрямована вгору, щоб запобігти ковзанню автомобіля вниз по нахилу. Якщо коефіцієнт статичного тертя занадто низький, можливо, на низьких швидкостях автомобіль почне ковзати вниз до узбіччя (тому буде мінімальна швидкість, нижче якої автомобіль почне ковзати вниз). Змоделюємо ситуацію, коли сила статичного тертя дорівнює нулю, щоб визначити ідеальну швидкість для нахиленої кривої. Силами, що впливають на автомобіль, буде лише його вага та сила нормальної реакції. Компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>другого закону Ньютона дають: <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_x"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= N\sin\theta = ma_R=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N\sin\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> <span id="eq:applyingnewtonslaws:carbank_y"></span> <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta-F_g = 0\\ \therefore N\cos\theta&=mg \end{aligned}</math> Ми можемо поділити [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_x|Рівняння 1]] на [[#eq:applyingnewtonslaws:carbank_y|Рівняння 2]] та зазначивши, що <math display="inline">\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta</math>, отримаємо: <math display="block">\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{v^2}{gR}\\ \therefore v_{ideal} &=\sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math> За такої швидкості сила статичного тертя дорівнюватиме нулю. На практиці можна було б використати це рівняння, щоб визначити, який кут нахилу потрібний при проектуванні дороги, щоб ідеальна швидкість була біля обмеження або середньої швидкості руху. Ми залишимо як вправу визначити максимальну швидкість, з якою автомобіль може об’їхати криву, перш ніж його почне заносити. <span id="інерційні-сили-при-круговому-русі"></span> == Інерційні сили при круговому русі == Коли ви сидітимете в автомобілі, що рухається навколо кривої, ви відчуватимете, що вас виштовхує назовні від центру кола, по якому рухається автомобіль. Це пов’язано з вашою інерцією (Перший закон Ньютона) — ваше тіло пішло б по прямій лінії, якби авто не впливало на вас рівнодійною силою у напрямку до центру кола. Ви не стільки відчуваєте силу, яка штовхає вас назовні, скільки відчуваєте вплив крісла, яке штовхає вас всередину; якщо ви спираєтеся на бік авто, який знаходиться на зовнішній стороні кривої, ви відчуєте, що бік автомобіля штовхає вас всередину до центру кривої, навіть якщо «відчуваєте», що це ви штовхаєтеся назовні до боку автомобіля. Якщо ми змоделюємо ваш рух, дивлячись на вас з землі, ми будемо включати силу тертя між кріслом авто (або боком автомобіля, або обома) і вами, яка вказує у центр кола, так що сума сил, що впливають на вас, буде спрямована до центру кола. Ми також можемо змоделювати ваш рух з неінерційної системи відлвіку автомобіля. Як ви пам’ятаєте, оскільки це неінерційна система відліку, нам потрібно включити додаткову інерційну силу, <math display="inline">\vec F_I</math>, яка вказує проти прискорення автомобіля, з величиною <math display="inline">F_I=ma_R</math> (якщо сумарне прискорення автомобіля становить <math display="inline">a_R</math>). Всередині неінерційної системи відліку автомобіля ваше прискорення (відносно системи відліку, тобто автомобіля) дорівнює нулю. Це ілюструється діаграмами на [[#fig:applyingnewtonslaws:carinertial|Зображенні 6.21]]. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Carinertial.png|thumb|center|'''Зображення 6.21.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:carinertial" data-label="fig:applyingnewtonslaws:carinertial"></span>(Ліворуч:) Людина, яка сидить на кріслі в автомобілі, що повертає вліво. (Центр:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в інерційній системі відліку землі. (Праворуч:) Діаграма вільного тіла для людини, змодельована в неінерційній системі відліку автомобіля, включає додаткову інерційну силу.]] </div> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона в обох системах відліку однакова: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=N-F_g=0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> і просто каже нам, що сила нормальної реакції дорівнює вазі. У системі відліку землі компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дає: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s = ma_R\\ \therefore f_s &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> У системі відліку автомобіля, де ваше прискорення дорівнює нулю і на вас діє інерційна сила величиною <math display="inline">F_I=mv^2/R</math>, компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= f_s-F_I = 0\\ \therefore f_s - m\frac{v^2}{R} &= 0 \end{aligned}</math> що, звісно, математично еквівалентно. Інерційна сила не є реальною силою у тому сенсі, що вона ні на що не впливає. Вона вступає в гру тільки тому, що ми намагаємося використовувати закони Ньютона в неінерційній системі відліку. Однак вона забезпечує хорошу модель для опису відчуття, що нас виштовхує назовні, коли автомобіль рухається по кривій. Іноді люди називають цю силу «відцентровою», що означає «сила, яка вказує від центру». Однак ви маємо пам’ятати, що це не реальна сила, яка діє на об’єкт, а результат моделювання руху в неінерційній системі відліку. ----- <div class="mdframed"> Джеймі їде на своєму триколісному велосипеді навколо круглого ставка. Він відчуває відцентрову силу з величиною <math display="inline">F_I</math>. '''Якщо Джеймі крутить педалі вдвічі швидше, якою буде величина відцентрової сили, яку він відчуває?''' # <math display="inline">\sqrt {2} F_I</math> # <math display="inline">\frac {1}{2}F_I</math> # <math display="inline">2F_I</math> # <math display="inline">4F_I</math> </div> ----- <span id="нерівномірний-круговий-рух"></span> = Нерівномірний круговий рух = При нерівномірному круговому русі об’єкт рухається по колу, але його швидкість не є сталою. Зокрема, буде дійсним наступне: * Вектор швидкості об’єкта завжди дотичний до кола. * Швидкість і кутова швидкість об’єкта не є постійними. * Кутове прискорення об ’єкта не дорівнює нулю. * Вектор прискорення не буде вказувати у центр кола. Оскільки вектор прискорення не вказує у центр кола, зазвичай зручно розбити його на два компонента: <math display="inline">a_R</math>, радіальний компонент (спрямований до центру кола), та компонент <math display="inline">a_T</math>, дотичний до кола (і перпендикулярний до радіального компонента). '''Радіальний компонент «відповідає» за зміну напрямку швидкості''' так, щоб об’єкт йшов по колу. Величина радіального прискорення така ж, як і для рівномірного кругового руху: <math display="block">\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{r} \end{aligned}</math> де швидкість більше не є постійною в часі. Дотичний компонент прискорення відповідає за зміну модуля швидкості об’єкта: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \frac{dv}{dt} \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Ant.png|thumb|'''Зображення 6.22.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant"></span>Мураха на програвачі вінілу, який починає крутитися, вид зверху.]] </div> '''Приклад 6.7.''' Маленький мураха спить на програвачі вінілу. Програвач починає крутитися зі стану спокою, з кутовим прискоренням <math display="inline">\alpha=1\ rad/s^2</math>, яке є достатньо малим, щоб спочатку мураха залишалася на програвачі. Мураха на відстані <math display="inline">R=0.1\ m</math> від центру програвача, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant|Зображенні 6.22]], а коефіцієнт статичного тертя між “ніжками” мурахи та програвачем становить <math display="inline">\mu_s=0.5</math>. '''Через який час мураха злетить з програвача?''' У міру прискорення програвача сила статичного тертя між ним і мурахою буде підтримувати рух мурахи разом із програвачем. Коли програвач стане рухатися достатньо швидко, сила тертя більше не буде достатньою, щоб забезпечити загальне прискорення, необхідне для утримання мурахи в русі разом з приладом (з постійним дотичним складовим прискорення та зростаючим радіальним). Сили, що діють на мураху: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N</math>, сила нормальної реакції, з якою діє програвач на мураху. # <math display="inline">\vec f_s</math>, сила статичного тертя, що виникає між програвачем та мурахою. Сила тертя буде такою, що вона матиме як радіальний, так і дотичний компоненти. Діаграма вільного тіла для сил, що діють мураху в певний момент часу, показана на [[#fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd|Зображенні 6.23]], вид зверху та збоку. Ми обрали момент часу, коли мураха ось-ось почне зсуватися з програвача, коли сила статичного тертя утворить невідомий кут <math display="inline">\theta</math> з віссю <math display="inline">x</math>. Ми розмістили початок системи координат в центрі програвача і вибрали вісь <math display="inline">x</math> так, щоб мураха розташовувався на додатній осі <math display="inline">x</math> зі швидкістю в додатному напрямку <math display="inline">y</math>. Ми використали тривимірну систему координат, де вага та сила нормальної реакції діють у напрямку <math display="inline">z</math> (вертикальному), оскільки вектор прискорення мурахи матиме як радіальний (<math display="inline">x</math>), так і дотичний (<math display="inline">y</math>) компонент. <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyintNewtonsLaws Ant fbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.23.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:ant_fbd"></span>(Ліворуч:) Сили, що діють на мураху, вид зверху. Сила нормальної реакції спрямована за екран (<math display="inline">\odot</math>), тоді як вага спрямована від екрану (<math display="inline">\times</math>). (Праворуч:) Сили, що діють мураху, якщо дивитися збоку. Зверніть увагу, що вектор прискорення та сила статичного тертя також мають компоненти в напрямку <math display="inline">y</math>, тому їх величина показана меншою, ніж на зображенні зверху.]] </div> Другий закон Ньютона має бути записаний для трьох компонент. Компонента <math display="inline">z</math> пов’язує вагу та силу нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_z &= N - F_g = 0\\ \therefore N&=mg \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона така, що <math display="inline">x</math>-компонент прискорення є радіальною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= -f_s\cos\theta = -ma_R = -m\frac{v^2}{R}\\ \therefore f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона пов’язує дотичну складову сили статичного тертя з дотичною складовою прискорення: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= f_s\sin\theta = ma_T \\ \therefore f_s\sin\theta &= m\alpha R \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що (лінійне) дотичне прискорення, <math display="inline">a_T</math>, пов’язане з кутовим прискоренням, <math display="inline">\alpha</math>: <math display="block">\begin{aligned} a_T = \alpha R \end{aligned}</math> Підсумовуючи три отриманні з другого закону Ньютона рівняння: <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ N&=mg \end{aligned}</math> Також зверніть увагу, що швидкість, <math display="inline">v(t)</math> в якийсь момент часу <math display="inline">t</math> задається простою кінематикою: <math display="block">\begin{aligned} v(t)=v_0+a_Tt=(0)+\alpha R t \end{aligned}</math> Мураху почне зносити, коли сила тертя досягне максимальної амплітуди, <math display="inline">f_s=\mu_sN =\mu_smg</math>. Компоненту <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона можна використати для пошуку виразу часу, коли сила тертя досягає свого максимального значення (вираженого через невідомий кута <math display="inline">\theta</math>): <math display="block">\begin{aligned} f_s\cos\theta &= m\frac{v^2}{R}\\ \mu_sg\cos\theta &= R\alpha^2t^2\\ \therefore t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}} \end{aligned}</math> Ми можемо використати компоненту <math display="inline">y</math> для визначення кута <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} f_s\sin\theta &= m\alpha R\\ \mu_sg\sin\theta &= \alpha R\\ \therefore \sin\theta &= \frac{\alpha R}{\mu_s g}\\ \therefore \theta &= \sin^{-1}\left(\frac{\alpha R}{\mu_s g} \right)=\sin^{-1}\left(\frac{(1\ rad/s^2)(0.1\ m)}{(0.5)(9.8\ N/kg)}\right)\\ &=1.17\text{°} \end{aligned}</math> Кут дуже малий, і ми бачимо, що сила тертя здебільшого спрямована до центру кола. Таким чином, радіальне прискорення набагато більше, ніж дотичне прискорення. Тепер ми можемо використати кут, щоб з допомогою отриманого раніше виразу знайти час: <math display="block">\begin{aligned} t &= \sqrt{\frac{\mu_sg\cos\theta}{R\alpha^2}}= \sqrt{\frac{(0.5)(9.8\ N/kg)\cos(1.17\text{°})}{(0.1\ m)(1\ rad/s^2)^2}}\\ &=7.0\ s \end{aligned}</math> </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Коли швидкість об’єкта не змінює напрямок безперервно (“лінійний рух”), ми можемо моделювати його рух незалежно на декількох відрізках таким чином, щоб рух був одновимірним на кожному з них. Це дозволяє обрати систему координат на кожному відрізку, щоб вектор прискорення був співлінійний з однією з осей. Коли сили, що діють об’єкт, постійно змінюються, нам необхідно використовувати методи математичного аналізу для визначення руху об’єкта. Якщо вектор швидкості об’єкта постійно змінює напрямок, ми маємо моделювати рух у кожному вимірі незалежно. Якщо об’єкт виконує рівномірний круговий рух, вектор прискорення та сума сил завжди вказують у центр кола. У радіальному напрямку другий закон Ньютона дає <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F = ma_R = m\frac{v^2}{R} \end{aligned}</math> Якщо швидкість об’єкта змінюється під час його руху по колу, вектор прискорення матиме компонент, що знаходиться у напрямку до центру кола (радіальний компонент), і компонент, дотичний до кола. Дотичний компонент відповідає за зміну швидкості, тоді як радіальний — за зміну напрямку швидкості. У системі відліку, що обертається навколо кола, з’являється інерційна сила, яку іноді називають відцентровою, і яка штовхає всі об’єкти, що рухаються разом з системою відліку, до зовнішньої сторони кола. </div> <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Чи існує максимальна швидкість, з якою об’єкт може обертатися? (Щось про те, що об’єкт в кінцевому підсумку розлітається, якщо обертається занадто швидко, оскільки атоми більше не можуть бути утримані разом - можливо, є класне відео, яке можна подивитися?) </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу. Який буде натяг у нитці, коли маса знаходиться вгорі, якщо вона ледве зробила це коло? # Крутіть масу на нитці по вертикальному колу, як мінімальна швидкість у верхній частині кола залежить від радіуса кола або маси? # Обертайте масу на нитці по вертикальному колу, опишіть рух маси, якщо вона рухається по колу не з мінімальною швидкостю. Якщо вона доходить вгору, чи автоматично це означає, що буде виконаний рух по всьому колу? </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Побудуйте конічний маятник і визначте, чи пов’язаний початковий кут (з якого ви відпускаєте маятник) зі швидкістю маятника так, як ви очікуєте. # Запропонуйте експеримент для визначення впливу сили лобового опору на рух снаряда. # Запропонуйте експеримент, який досліджує рух об’єкта при розміщенні на вініловому програвачі. </div> <span id="задачі-та-розвзки"></span> == Задачі та рішення == '''Задача 6.1:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="prob:applyingnewtonslaws:pendulum"></span> Розглянемо конічний маятник масою <math display="inline">m</math>, прикріплений до нитки довжиною <math display="inline">L</math>. Маса виконує рівномірний круговий рух в горизонтальній площині, приблизно по колу радіуса <math display="inline">R</math>, як показано на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum|Зображенні 6.24]]. Можна уявити, що горизонтальне коло і точка, до якої прикріплена нитка, утворюють конус. Круговий рух такий, що (постійний) кут між ниткою і вертикаллю дорівнює <math display="inline">\theta</math>. ([[#soln:applyingnewtonslaws:pendulum|Розв’язок]]) * '''Виведіть вираз для натягу в нитці.''' * '''Виведіть вираз для швидкості підвишеної маси.''' * '''Виведіть вираз для періоду руху.''' <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulum.png|thumb|center|'''Зображення 6.24.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulum"></span> Конічний маятник.]] </div> '''Задача 6.2:''' <span id="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Барб і Кенні їдуть до парку розваг. Барб наполягає на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, звернувшись до техніка з американських гірок за додатковою інформацією. Технік каже, що вони будуть подорожувати перевернутими зі швидкістю <math display="inline">15\ m/s</math>, і що петля американських гірок має радіус <math display="inline">22\ m</math>. Кенні все ще скептично налаштований. Чи правий він у своєму скептицизмі? ([[#soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Розв’язок]]) <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Rollercoaster.png|thumb|center|'''Зображення 6.25.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="fig:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Американські гірки]] </div> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:pendulum|Задачі 6.1]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:pendulum" data-label="soln:applyingnewtonslaws:pendulum"></span>''' <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Почнемо з визначення сил, які діють на масу. Ними є:</p> <ul> <li><math display="inline">\vec F_g</math>, вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</li> <li><math display="inline">\vec T</math>, сила натягу від нитки.</li></ul> <p>Сили проілюстровані на [[#fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd|Зображенні 6.26]], разом з нашим вибором системи координат та напрямком прискорення маси (до центру кола).</p> <div class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Conicalpendulumfbd.png|thumb|center|'''Зображення 6.26.''' <span id="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd" data-label="fig:applyingnewtonslaws:conicalpendulumfbd"></span> Сили, що діють на конічний маятник]] </div> <p>Компонента <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дає співвідношення між натягом нитки, вагою та кутом <math display="inline">\theta</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\ \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Для того, щоб маса рухалася по колу, рівнодійна сила завжди має бути спрямована до його центру. Компонента <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона в поєднанні з нашим виразом для величини сили натягу, <math display="inline">F_T</math>, дозволяє визначити швидкість маси: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Тепер, коли ми знаємо швидкість, можемо легко знайти період руху <math display="inline">T</math>: <math display="block">\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} \end{aligned}</math></p></li></ol> '''Розв'язок [[#prob:applyingnewtonslaws:rollercoaster|Задачі 6.2]]:''' <span id="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster" data-label="soln:applyingnewtonslaws:rollercoaster"></span> Нам потрібно визначити, чи є швидкість Барба і Кенні достатньо великою, щоб вони могли обійти коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, буде такою, щоб їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечила доцентрову (рівнодійну) силу, необхідну для подолання петлі. Запис другого закону Ньютона у вертикальному напрямку для випадку, коли лише вага діє на Барбі або Кенні (маса <math display="inline">m</math>) при русі зі швидкістю <math display="inline">v</math>: <math display="block">\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\ m/s^2)(22\ m)}=14.68\ m/s \end{aligned}</math> Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб пройти її. Якщо вони йдуть швидше, сила нормальної реакції від сидіння (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої рівнодійної сили до центру кола. Ця ситуація відповідає силі нормальної реакції від сидіння, яка ледь досягає 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки у верхній частині петлі мають швидкість <math display="inline">15\ m/s</math>, цього ледве вистачить. Це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні має рацію, будучи скептиком! Інженери, які розробляли гірки, мали додати набагато більше запасу зядля безпеки! ----- <references/> {{Гортання сторінок|Закони Ньютона|Робота та енергія}} cfkev25tai948dhf6pe97rdknfcteo8 0 8668 41515 41514 2026-11-07T14:21:58Z Slavust 9295 /* Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію */ - вичитка, форматування, зображення 41515 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то ця робота була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається так: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, мабуть, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю 1000 {W}$ споживає «електричну енергію» зі швидкістю 1000 {J}$ на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, що виділяється внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46e4{J}</math> на секунду і перетворює її у роботу, яку виконує автомобіль, і на тепло. <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу? # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{align*} W = P t \end{align*}</math> Потім, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{align*} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{align*}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдивою, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими буде час або потужність (тобто швидкість більша, якщо на автомобіль витрачається більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо маса автомобіля більша). </div> <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви виявили, що вам потрібно застосовувати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. Яку потужність ви витрачаєте, штовхаючи ящик?<br /> <br /> [Рішення] {.sans-serif}<br /> ----- Нам потрібно обчислити швидкість, з якою сила <math display="inline">\vec F</math>, яку ви застосовуєте до ящика, виконує роботу. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, робота, виконана на цій відстані <math display="inline">d</math>, становить: <math display="block">\begin{align*} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{align*}</math> Отже, потужність, що відповідає роботі, виконаній за цей проміжок часу, становить: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> Це досить загальний результат для швидкості, з якою сила виконує роботу, коли вона діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]]{reference-type =“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{align*} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{align*}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки <math display="inline">v</math> є постійною швидкістю, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову ж таки, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''сумарна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] {reference-type=“ref” reference=“ex:workenergy:powerconstantv”} йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 73k63uor2rq9dswpw5819fadsh4qiyi 41516 41515 2026-11-07T15:39:47Z Slavust 9295 /* Потужність */ - вичитка, форматування, виправлення 41516 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{align*} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align*}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{align*} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу, що діє на тіло (векторну суму сил), і сумарна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> Якщо рівнодійна робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що сумарна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> у положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – це швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Швидкість виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{align*} P = \frac{dW}{dt} \end{align*}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, яка відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{align*} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{align*}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{align*} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align*}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{align*} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{align*}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{align*} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{align*}</math> </div> </div> <nowiki></nowiki>::: mdframed '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="block">Дж</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="block"> Дж</math>. Загальна змінна(і): <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="block">Вт</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. ::: <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 0mhqwwguemexioun70iogabs70tjubf 41517 41516 2026-11-07T15:56:32Z Slavust 9295 /* Короткий зміст */ - вичтика, виправлення, форматування 41517 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skijumpprob”}. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. [[File:figures/WorkEnergy/skijumpprob.png|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] {#fig:workenergy:skijumpprob} ([[#soln:workenergy:skijump|Розв’язок]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача -:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprob”}. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Розв’язок]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprob.png|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> d6sqwgz9zp52e7cqlqb1gnic2og2w67 41518 41517 2026-11-07T16:09:12Z Slavust 9295 /* Приклади задач і рішень */ задачі: вичитка, форматування, зображення 41518 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> gp59az7yzqc2a5nd3bpjz48fucajc74 41519 41518 2026-11-07T16:18:04Z Slavust 9295 /* Задачі */ 41519 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Розв’язки == '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:skijump|<math display="block">prob:workenergy:skijump</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку ми визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком угору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{align*}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це сумарна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{align*}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:skiprobdisplacement”}.</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/skiprobdisplacement.png|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{align*} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{align*}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{align*} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{align*}</math> Таким чином, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{align*} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Сумарна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{align*}</math> Сумарна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника, – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, сумарна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{align*} W^{net}=W_g+W_f \end{align*}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{align*} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{align*}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{align*} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{align*}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, сумарна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної чистої роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Розв’язання задачі [[#prob:workenergy:swingwork|<math display="block">prob:workenergy:swingwork</math>]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobfbd”}.</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:figures/WorkEnergy/swingprobfbd.png|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Схема сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{align*} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{align*}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{align*} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{align*}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{align*} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{align*}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{align*} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{align*}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobdl”}. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobdl.png|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]] {#fig:workenergy:swingprobdl}</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math> замість декартових координат ми можемо використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається так: <math display="block">\begin{align*} dl = L d\theta \end{align*}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{align*} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{align*}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{align*} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{align*}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{align*} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{align*}</math> Це можна проілюструвати, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]] {reference-type=“ref” reference=“fig:workenergy:swingprobgeometry”}, де показано, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:figures/WorkEnergy/swingprobgeometry.png|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що зображає геометрію задачі]] {#fig:workenergy:swingprobgeometry}</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому сумарна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> o3j26jxj8b49jai0c6y9r0bfr729q1q 41520 41519 2026-11-07T16:53:52Z Slavust 9295 /* Розв’язки */ - вичитка, форматування, зображення 41520 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> pli27knqhsosp1xshd4wv8qjhb5zpg0 41521 41520 2026-11-07T16:57:02Z Slavust 9295 /* Міркування про матеріал */ - вичитка і форматування 41521 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> dfz4bgm29447he2fgbn6lvs89vqldhm 41560 41521 2026-11-07T20:28:27Z Slavust 9295 /* Робота в одному вимірі – змінна сила */ 41560 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 4fhkqyb5yhhmg24o2varlqn0i9j1wrm 41561 41560 2026-11-07T20:32:56Z Slavust 9295 /* Робота в кількох вимірах */ 41561 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> qeso7dfqpoibjml97e2ags51245dncs 41562 41561 2026-11-07T20:34:17Z Slavust 9295 /* Загальна виконана робота */ 41562 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у прикладі[[#ex:workenergy:networkramp|<math display="block">ex:workenergy:networkramp</math>]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> h7qrkjhomw711v4lgo9yck1hnwecka9 41563 41562 2026-11-07T20:35:59Z Slavust 9295 /* Загальна виконана робота */ 41563 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]], де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в прикладі[[#ex:applyingnewtonslaws:blockspring|<math display="block">ex:applyingnewtonslaws:blockspring</math>]]). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в прикладі[[#ex:workenergy:spring|<math display="block">ex:workenergy:spring</math>]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> 8kkf2w25nlg589565k26kpg04tf40qr 41564 41563 2026-11-07T20:41:51Z Slavust 9295 /* Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію */ 41564 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span>Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> Приклад[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У прикладі[[#ex:workenergy:powerconstantv|<math display="block">ex:workenergy:powerconstantv</math>]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> gakkobaydu4z5rmw7k6z96tai6ugygh 41565 41564 2026-11-07T20:45:18Z Slavust 9295 /* Потужність */ 41565 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> ----- <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> dvrgueqvhrhp0lniqgyy8jj2brf03l8 41566 41565 2026-11-07T20:45:49Z Slavust 9295 /* Потужність */ 41566 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. Приклад [[#ex:workenergy:workparabola|<math display="block">ex:workenergy:workparabola</math>]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> qvbbzhl7dduyjfcotfltwg3ycfh25ws 41567 41566 2026-11-07T20:48:48Z Slavust 9295 /* Рішення */ 41567 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> ivmq6g6vlrqx2xfzlhq24rx34s5cix3 41568 41567 2026-11-07T20:50:27Z Slavust 9295 41568 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це можна проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> {{Гортання сторінок|Застосування законів Ньютона}} d3jjxptmqq1xc59649bz2tzkbip256q 41569 41568 2026-11-07T20:51:40Z Slavust 9295 /* Рішення */ 41569 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> Це проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> {{Гортання сторінок|Застосування законів Ньютона}} ntjphpbf8x2dw5gplxgmc383uea2dfc 41570 41569 2026-11-07T20:52:39Z Slavust 9295 /* Рішення */ 41570 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span> Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span> Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span> Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span> Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span> Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> {{Гортання сторінок|Застосування законів Ньютона}} d8q42lsta9of8hta9tlb410f7y4d9g5 41571 41570 2026-11-07T21:10:16Z Slavust 9295 Нумерація зображень 41571 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|1.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>'''Зображення 7.1.''' Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|1.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>'''Зображення 7.2.''' Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>'''Зображення 7.3.''' Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|1.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>'''Зображення 7.4.''' Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.5.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|1.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>'''Зображення 7.6.''' Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|1.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>'''Зображення 7.7.''' Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|1.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>'''Зображення 7.8.''' Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|1.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>'''Зображення 7.9.''' Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|1.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|1.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span>'''Зображення 7.10.''' Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|1.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>'''Зображення 7.11.''' Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|1.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>'''Зображення 7.12.''' Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>'''Зображення 7.13.''' Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|1.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|1.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>'''Зображення 7.14.''' Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span>'''Зображення 7.15.''' Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|1.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|1.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span>'''Зображення 7.16.''' Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|1.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span>'''Зображення 7.17.''' Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.18.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|1.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.19.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|7.19]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span>'''Зображення 7.20.''' Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|1.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>'''Зображення 7.21.''' Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|1.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|1.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>'''Зображення 7.22.''' Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|1.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>'''Зображення 7.23.''' Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|1.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>'''Зображення 7.24.''' Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>'''Зображення 7.25.''' Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це проілюстровано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|1.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> {{Гортання сторінок|Застосування законів Ньютона}} hwrn54ygjbs71oh678wn88r6w2qksux 41572 41571 2026-11-07T21:17:17Z Slavust 9295 виправлення тексту посилань на зображення 41572 wikitext text/x-wiki У цьому розділі ми представимо новий спосіб будування моделей, отриманий із класичної теорії фізики Ньютона. Ми ознайомимося з поняттями роботи та енергії, що дозволить моделювати ситуації, використовуючи скалярні величини, такі як енергія, замість векторних величин, як сили. Важливо пам’ятати, що навіть коли ми використовуємо поняття енергії та роботи, ці інструменти виводяться із законів Ньютона. Тобто можна не використовувати другий закон Ньютона безпосередньо, але моделі, які ми розробляємо, все одно ґрунтуються на тій самій теорії класичної фізики. <div class="mdframed"> '''Цілі навчання:''' * Зрозуміти поняття роботи і навчитися обчислювати роботу, виконану силою. * Зрозуміти поняття сумарної роботи, виконаної над тілом, і як вона пов’язана зі зміною швидкості тіла. * Зрозуміти поняття кінетичної енергії та її походження. * Зрозуміти поняття потужності. </div> ----- <div class="mdframed"> Витягнувши руку горизонтально, ви тримаєте важку книгу. Книга не рухається, бо ви намагаєтеся не дати їй впасти. '''Чи виконує ваша рука роботу над книгою? Якщо ви будете йти на урок, тримаючи книгу, чи виконає ваша рука над нею роботу?''' <div class="answer"> Ваші руки не виконують роботи над книгою. Переміщення відсутнє (книга не рухається вгору або вниз), тому ви не виконуєте роботу, навіть якщо це стомлює! Якщо ви йдете пішки, переміщення відбувається перпендикулярно до сили, що її докладають ваші руки, тому ваші руки не виконують роботи. </div> </div> ----- <span id="робота"></span> = Робота = Ми введемо поняття роботи як відправну точку для будування моделей з використанням енергії замість сил. Робота – це скалярна величина, яка показує, як сила, що діє на об’єкт протягом певної відстані, призводить до зміни швидкості об’єкта. Спочатку ми розглянемо поняття роботи, яку виконує сила, що діє на тіло, а потім розглянемо, як робота може вплинути на кінематику тіла. Це схоже на те, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (використовуючи другий закон Ньютона, який пов’язав поняття сили з прискоренням тіла). Робота, яку виконує сила <math display="inline">\vec F</math> над об’єктом під час його переміщення <math display="inline">\vec d</math>, визначається наступним чином: <math display="block">\begin{align} W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{align}</math> де <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли їх початок розташований один до одного, як на Зображенні [[#fig:workenergy:fddotproduct|7.1]]. Розмірність роботи, тобто добутку сили та переміщення, також називається «енергією». Одиницею вимірювання енергії в системі СІ є джоуль (скорочено <math display="inline">J</math>), що еквівалентно <math display="inline">Nm</math> або <math display="inline">kg m^2/s^2</math> в базових одиницях. <div id="fig:workenergy:fddotproduct" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling_Fddotproduct.png|thumb|<span id="fig:workenergy:fddotproduct" data-label="fig:workenergy:fddotproduct"></span>'''Зображення 7.1.''' Під час визначення скалярного добутку <math display="inline">\vec F\cdot \vec d = Fd\cos\theta</math>, <math display="inline">\theta</math> – це кут між векторами, коли вони розташовані початками один до одного.]] </div> Робота, «виконана» силою, – це скалярний добуток вектора сили та вектора переміщення об’єкта. Ми кажемо, що сила «виконує роботу», якщо вона діє на об’єкт у русі так, що скалярний добуток векторів сили та переміщення не дорівнює нулю. Сила, перпендикулярна до вектора переміщення об’єкта, не виконує роботи (скалярний добуток двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що діє в тому ж напрямку, що й переміщення, виконує додатну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> додатний), а сила, що діє в протилежному напрямку від переміщення, виконує від’ємну роботу (<math display="inline">\cos\theta</math> від’ємний). Як ми побачимо далі, додатна робота відповідає збільшенню швидкості об’єкта, тоді як від’ємна — зменшенню. Відсутність роботи відповідає відсутності зміни величини швидкості (але може відповідати зміні її напрямку). ----- <div class="mdframed"> Маятник довжиною <math display="inline">R</math> складається з маси, під'єднаної до мотузки (Зображення [[#fig:workenergy:pendulumtension|7.2]]). Мотузка діє на масу силою натягу <math display="inline">\vec F_T</math>. '''Яку роботу виконує сила натягу, коли маятник коливається на кут <math display="inline">\theta</math>?''' [[File:PhysicsArtOfModelling Pendulumworktension.png|thumb|center|<span id="fig:workenergy:pendulumtension" data-label="fig:workenergy:pendulumtension"></span>'''Зображення 7.2.''' Маятник гойдається на кут <math display="inline">\theta</math>.]] # <math display="inline">W=F_TR\theta</math> # <math display="inline">W=F_TR(1-\cos\theta)</math> # Натяг не виконує роботи. </div> Може виникнути питання: «Чому робота? Чому не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Чим це пояснюється?» Виглядає випадковістю, що ми ввели величину «роботи» й виявили, що вона призводить до зручного способу будування моделей. Однак ми взяли цю величину не просто зі стелі! Протягом багатьох років чимало теоретиків пробували всілякі величини та способи переформулювати теорію Ньютона, але це не давало результатів. До підручників потрапляють лише ті величини, які виявилися корисними. <span id="робота-в-одному-вимірі."></span> == Робота в одному вимірі == Робота пов’язана з векторами, тому спочатку можна розглянути це поняття в одному вимірі, а потім розширити його до двох і трьох. Можна обрати <math display="inline">x</math> як координату в одному вимірі, так що усі вектори матимуть лише компоненту <math display="inline">x</math>. Ми можемо записати вектор сили як <math display="inline">\vec F=F\hat x</math>, де <math display="inline">F</math> – це компонент сили вздовж осі <math display="inline">x</math> (додатний або від’ємний). Вектор переміщення можна записати як <math display="inline">\vec d = d \hat x</math>, де знову ж таки <math display="inline">d</math> – це компонент переміщення вздовж осі <math display="inline">x</math>, який може бути додатним або від’ємним. Отже, в одновимірному просторі робота визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd \end{aligned}</math> де <math display="inline">\hat x \cdot \hat x = 1</math>. <div id="fig:workenergy:work1d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>'''Зображення 7.3.''' Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] </div> Як приклад розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, що діє на ящик, коли він рухається вздовж осі <math display="inline">x</math> з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math> (Зображення [[#fig:workenergy:work1d|7.3]]). Довжину вектора переміщення можна записати як <math display="inline">||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0</math>. Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0) \end{aligned}</math> Це додатна величина, оскільки <math display="inline">x_1 > x_0</math>, згідно з нашою системою координат. ----- <div class="mdframed"> Постійна сила в напрямку додатного значення <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\vec F</math>, діє на ящик, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|7.3]]. Розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math>, якщо ящик переміщується з точки <math display="inline">x_1</math> в точку <math display="inline">x_0</math>. '''Якою буде робота''' порівняно виконаною силою <math display="inline">\vec F</math> при переміщенні з <math display="inline">x_0</math> до <math display="inline">x_1</math> (обчисленою вище)? # <math display="inline">\vec F</math> не виконує роботу над ящиком, коли він переміщується з <math display="inline">x_1</math> до <math display="inline">x_0</math>. # Робота має таку саму величину, як і раніше, але тепер від’ємна. # Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, однакова в обох випадках. </div> ----- <span id="робота-в-одному-вимірі-змінна-сила"></span> == Робота в одному вимірі – змінна сила == Припустімо, що замість сталої сили <math display="inline">\vec F</math> ми маємо силу, що змінюється залежно від положення, <math display="inline">\vec F(x)</math>, і може набувати трьох різних значень між <math display="inline">x=x_0</math> та <math display="inline">x=x_3</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec F (x)= \begin{cases} F_1\hat x & x<\Delta x \\ F_2\hat x & \Delta x \leq x< 2\Delta x \\ F_3\hat x & 2\Delta x \leq x \end{cases} \end{aligned}</math> як Зображенні [[#fig:workenergy:work1d|7.3]], де сила діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math> вздовж трьох (рівних) векторів переміщення, <math display="inline">\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x</math>. <div id="fig:workenergy:work1dvarying" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work1dvarying.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1dvarying" data-label="fig:workenergy:work1dvarying"></span>'''Зображення 7.4.''' Змінна сила <math display="inline">\vec F(x)</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_3</math>.]] </div> Загальна робота, виконана силою за три окремі переміщення, – це сума робіт, виконаних за кожне переміщення: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot}&=W_1+W_2+W_3\\ &=\vec F_1\cdot \vec d_1+\vec F_2\cdot \vec d_2+\vec F_3\cdot \vec d_3\\ &= F_1\Delta x +F_2\Delta x + F_3\Delta x \end{aligned}</math> Якби замість 3 відрізків ми мали <math display="inline">N</math>, а компонента <math display="inline">x</math> сили мала <math display="inline">N</math> відповідних значень <math display="inline">F_i</math> на <math display="inline">N</math> відрізках, то загальна робота, виконана силою, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = \sum_{i=0}^N\vec F_i \cdot \Delta \vec x \end{aligned}</math> де ми ввели вектор <math display="inline">\Delta \vec x</math>, який є має довжину <math display="inline">\Delta x</math> і спрямований в додатному напрямку <math display="inline">x</math>. У граничному випадку, коли <math display="inline">\vec F(x)</math> змінюється безперервно як функція положення, ми беремо межу нескінченної кількості нескінченно малих відрізків довжиною <math display="inline">dx</math>, і робота стає інтегралом: <math display="block">\begin{align} W^{tot} = \int_{x_0}^{x_f}\vec F(x) \cdot d\vec x \end{align}</math> де робота обчислюється при переміщенні з <math display="inline">x=x_0</math> до <math display="inline">x=x_f</math>, а <math display="inline">d\vec x=dx\hat x</math> – нескінченно малий вектор переміщення (довжиною <math display="inline">dx</math>) в напрямку додатного <math display="inline">x</math>. ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.5.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] <span id="ex:workenergy:spring" data-label="ex:workenergy:spring"></span> '''Приклад 7.1.''' Блок притискають до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|7.5]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. '''Яку роботу виконує сила пружності під час переміщення блоку від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math>? Яку роботу виконує блок на пружині під час того самого переміщення?''' Сила, що діє з боку пружини на блок, безперервно змінюється залежно від положення відповідно до закону Гука: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(x) = -kx \hat x \end{aligned}</math> і спрямована в напрямку додатного <math display="inline">x</math>, коли кінець пружини має від’ємне значення координати <math display="inline">x</math> (наша система координат показана на Зображенні [[#fig:workenergy:spring|7.5]], де початок координат розташований в точці, що відповідає довжині пружини в ненапруженому стані). Щоб обчислити роботу, виконану силою, ми підсумовуємо роботу сили на багатьох нескінченно малих переміщеннях <math display="inline">d\vec x</math> (використовуючи інтеграл): <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_{-D}^0 \vec F(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (-kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 -kxdx (\hat x \cdot \hat x)\\ &=-\int_{-D}^0 kx dx\\ &=-\left[\frac{1} {2}kx^2 \right]_{-D}^0\\ &=\frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам треба визначити силу <math display="inline">\vec{F}'(x)</math>, прикладену блоком до пружини. Згідно з третім законом Ньютона, ця сила дорівнює за величиною, але протилежна за напрямком силі, яка діє з боку пружини на тіло: <math display="block">\begin{aligned} \vec{F}'(x) = -\vec F(x) = kx \hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана блоком над пружиною за того самого переміщення, становить: <math display="block">\begin{aligned} W' &= \int_ {-D}^0 \vec{F}'(x) \cdot d\vec x\\ &=\int_{-D}^0 (kx \hat x) \cdot (dx \hat x)\\ &=\int_{-D}^0 kx dx=-\frac{1}{2}kD^2\\ \end{aligned}</math> що є від’ємним значенням. Це логічно, оскільки сила, якою блок діє на пружину, спрямована протилежний напрямку переміщення бік, тож робота має бути від’ємною. </div> ----- <span id="робота-в-кількох-вимірах"></span> == Робота в кількох вимірах == [[File:PhysicsArtOfModelling Workangle.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work1d" data-label="fig:workenergy:work1d"></span>'''Зображення 7.6.''' Сила <math display="inline">\vec F</math>, що діє на тіло, коли воно переміщується з положення <math display="inline">x=x_0</math> в положення <math display="inline">x=x_1</math>.]] Спершу розгляньмо роботу, виконану силою <math display="inline">\vec F</math> під час переміщення ящика на відстань <math display="inline">\vec d</math> у випадку, коли сила спрямована під кутом <math display="inline">\theta</math> над горизонтальною площиною, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|7.6]], а переміщення відбувається вздовж осі <math display="inline">x</math> (точніше, ми вибрали вісь <math display="inline">x</math> паралельною до напрямку переміщення). Робота, виконана силою, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_{\parallel}d\\ &= Fd_{\parallel}\\ \end{aligned}</math> де ми підкреслили той факт, що скалярний добуток «виділяє» паралельні один одному компоненти векторів. <math display="inline">F_{\parallel} = F\cos\theta</math> – це компонент <math display="inline">\vec F</math>, паралельний до <math display="inline">\vec d</math>, а <math display="inline">d_{\parallel}=d\cos\theta</math> – компонент <math display="inline">\vec d</math>, паралельний до <math display="inline">\vec F</math>. Вони також показані на Зображенні [[#fig:workenergy:workangle|7.6]]. ----- <div class="mdframed"> Богдан і Денис, докладаючи однакову силу, тягнуть два ящики за допомогою мотузок, які утворюють однаковий кут з горизонтальною площиною. Величина переміщення ящиків однакова, але ящик Дениса рухається горизонтально по землі, а ящик Богдана рухається вгору по похилій площині без тертя, паралельній мотузці Богдана. '''Хто виконав більше роботи над ящиком?''' # Денис, оскільки між його ящиком і землею існує тертя. # Богдан # Вони виконали однаковий обсяг роботи. </div> ----- <div id="fig:workenergy:work2d" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Work2d.png|thumb|<span id="fig:workenergy:work2d" data-label="fig:workenergy:work2d"></span>'''Зображення 7.7.''' Довільна двовимірна траєкторія руху об’єкта від точки <math display="inline">A</math> до точки <math display="inline">B</math>, розділена на три прямі відрізки.]] </div> Загалом, якщо об’єкт рухається довільною траєкторією, ми не можемо обрати вісь <math display="inline">x</math> паралельною до переміщення або до сили. Якщо траєкторію можна поділити на прямі відрізки, на яких сила є сталою, як на Зображенні [[#fig:workenergy:work2d|7.7]], ми можемо обчислити роботу, виконану силою на кожному відрізку, і скласти їх, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зауважте, що в загальному випадку робота, виконана силою, коли тіло переміщується з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, пройденого між цими положеннями, оскільки різні шляхи матимуть різну довжину. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workfriction" data-label="ex:workenergy:workfriction"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workfriction.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workfriction" data-label="fig:workenergy:workfriction"></span>'''Зображення 7.8.''' Два можливі шляхи переміщення ящика з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, вид зверху.]] '''Приклад 7.2.''' '''Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя під час ковзання ящика по горизонтальній поверхні з положення <math display="inline">A</math> (координати <math display="inline">x_A, y_A</math>) в положення <math display="inline">B</math> (координати <math display="inline">x_B, y_B</math>) двома різними шляхами''', показаними на Зображенні [[#fig:workenergy:workfriction|7.8]]. Припустіть, що маса ящика становить <math display="inline">m</math>, а коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і землею – <math display="inline">\mu_k</math>. Сила кінетичного тертя завжди спрямована в протилежному до руху напрямку. Таким чином, незалежно від обраного шляху, сила тертя виконуватиме від'ємну роботу. Спочатку обчислимо роботу, виконану силою тертя вздовж першого шляху (пряма лінія). Сила кінетичного тертя матиме таку величину: <math display="block">\begin{aligned} f_k = \mu_k N = \mu_k mg \end{aligned}</math> Сила нормальної реакції матиме таку саму величину, що й вага, оскільки ящик не рухається (не прискорюється) в напрямку, перпендикулярному до площини <math display="inline">xy</math>. Вектор переміщення від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d &= (x_B-x_A)\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d|| &=d= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> Сила кінетичного тертя буде спрямована протилежно до напрямку переміщення, тому кут між двома векторами становить <math display="inline">180\text{°}</math> (<math display="inline">\cos\theta=-1</math>). Робота, виконана силою кінетичного тертя, становить: <math display="block">\begin{aligned} W =& \vec f_k \cdot\vec d \\ =& f_k d \cos\theta \\ =& -\mu_k mg\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \end{aligned}</math> і є від’ємною, як і очікувалося. Для траєкторії 2 ми розбиваємо рух на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (уздовж <math display="inline">y</math>) і <math display="inline">\vec d_2</math> (уздовж <math display="inline">x</math>). Ми можемо записати ці два вектори як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= 0\hat x + (y_B-y_A) \hat y\\ \therefore ||\vec d_1||&=d_1=(y_B-y_A)\\ \vec d_2 &= (x_B-x_A)\hat x + 0 \hat y\\ \therefore ||\vec d_2||&=d_2=(x_B-x_A)\\ \end{aligned}</math> Уздовж кожної ділянки сила кінетичного тертя є паралельною і зворотною до напрямку переміщення (зауважте, що сила тертя змінює напрямок на двох відрізках), але її модуль становить <math display="inline">f_k=\mu_kmg</math>. Робота, виконана вздовж першої ділянки, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_1 = \vec f_k \cdot \vec d_1 = f_k d_1 \cos\theta = -\mu_k mg(y_B-y_A) \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж другої ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 = \vec f_k \cdot \vec d_2 = f_k d_2 \cos\theta = -\mu_k mg(x_B-x_A) \end{aligned}</math> А загальна робота, виконана силою кінетичного тертя вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -\mu_k mg \left((x_B-x_A) + (y_B-y_A)\right) \end{aligned}</math> Це більше, ніж робота, виконана вздовж першого шляху. І це логічно, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину й завжди спрямована в напрямку, протилежному напрямку руху, отже, що довший шлях, то більше роботи виконає сила. </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workgravity" data-label="ex:workenergy:workgravity"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgravity.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgravity" data-label="fig:workenergy:workgravity"></span>'''Зображення 7.9.''' Два можливі шляхи переміщення ящика з підлоги на стіл.]] '''Приклад 7.3.''' Ящик масою <math display="inline">m</math> переміщують із підлоги на стіл двома різними шляхами, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|7.9]]. Стіл розташований на горизонтальній відстані <math display="inline">L</math> від місця, де стоять ящик, і на висоті <math display="inline">H</math> над підлогою. '''Порівняйте роботу, виконану над ящиком силою тяжіння на двох можливих шляхах.''' Ми можемо скористатися системою координат, в якій початок збігається з початковим положенням ящика. <math display="inline">x</math> – це горизонтальна вісь, а <math display="inline">y</math> – вертикальна, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workgravity|7.9]]. Вагу ящика можна записати так: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat y \end{aligned}</math> Вона спрямована у напрямку від’ємних значень <math display="inline">y</math> і має величину <math display="inline">mg</math>. Щоб обчислити роботу, виконану силою тяжіння вздовж першого шляху, спочатку визначимо відповідний вектор переміщення <math display="inline">\vec d</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = L\hat x + H\hat y \end{aligned}</math> Тепер можна визначити роботу: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x + H\hat y)\\ &=F_xd_x+F_yd_y= (0)(L) + (-mg)(H)\\ &= -mgH \end{aligned}</math> Тож, вздовж шляху 1 робота, виконана силою тяжіння, є від’ємною і не залежить від горизонтальної відстані <math display="inline">L</math>. Тепер обчислімо роботу, виконану вздовж другого шляху, розбиваючи його на два відрізки з векторами переміщення <math display="inline">\vec d_1</math> (вертикальний) та <math display="inline">\vec d_2</math> (горизонтальний). Вектори переміщення: <math display="block">\begin{aligned} \vec d_1 &= H\hat y\\ \vec d_2 &= L\hat x \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж вертикальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_1 &= \vec F_g \cdot \vec d_1 = (-mg \hat y) \cdot (H\hat y)\\ &=-mgH \end{aligned}</math> Робота, виконана вздовж горизонтальної ділянки: <math display="block">\begin{aligned} W_2 &= \vec F_g \cdot \vec d_2 = (-mg \hat y) \cdot (L\hat x)\\ &=0 \end{aligned}</math> Це значення дорівнює нулю, оскільки сила тяжіння завжди спрямована вертикально і, отже, перпендикулярно до вектора переміщення на горизонтальній ділянці. Загальна робота, виконана під дією сили тяжіння вздовж другого шляху, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{tot} = W_1 + W_2 = -mgH \end{aligned}</math> що дорівнює роботі, виконаній вздовж шляху 1. Як ми побачимо далі, коли сила є сталою за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об’єктом під час його переміщення з одного положення в інше, не залежить від обраного шляху. Це не стосувалося [[#ex:workenergy:workfriction|прикладу]] із тертям, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення. </div> ----- <div class="mdframed"> Клер та Амелія спускаються з двох різних гірок, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:slidecheckpoint|7.10]]. Клер та Амелія мають однакову масу, а гірки мають однакові ненульові коефіцієнти тертя. [[File:PhysicsArtOfModelling Slidecheckpoint.png|thumb|<span id="fig:workenergy:slidecheckpoint" data-label="fig:workenergy:slidecheckpoint"></span>'''Зображення 7.10.''' Клер (<math display="inline">C</math>) та Амелія (<math display="inline">A</math>) спускаються двома різними гірками однакової висоти.]] '''Для кожної з наведених нижче сил визначте, чи ця сила:''' виконує більше роботи на Клер, виконує більше роботи на Амелі, або виконує однакову кількість роботи на обох. # Сила тяжіння... # Сила тертя... # Сила нормальної реакції від гірки... <div class="answer"> Сила тяжіння виконує однакову роботу в обох випадках, сила тертя виконує більшу роботу для Амелі, а сила нормальної реакції виконує однакову роботу в обох випадках (нульову, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення). </div> </div> ----- Найзагальніший випадок, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, – це випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж траєкторії, на якій переміщення також безперервно змінює напрямок. На Зображенні [[#fig:workenergy:workgeneral|7.11]] показаний довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> та сила <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>, яка залежить від положення (<math display="inline">\vec r</math>). В загальному випадку робота, виконана силою над тілом, яке переміщується з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, залежатиме від фактичного шляху. <div id="fig:workenergy:workgeneral" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workgeneral.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workgeneral" data-label="fig:workenergy:workgeneral"></span>'''Зображення 7.11.''' Довільний шлях між двома точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> із силою, яка залежить від положення, <math display="inline">\vec F(\vec r)</math>.]] </div> Стратегія обчислення роботи в загальному випадку та сама: ми розбиваємо шлях на дрібні прямі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math> (Зображення [[#fig:workenergy:dldiagram|7.12]]) і припускаємо, що на кожному окремому відрізку сила є сталою. Загальна робота – це сума робіт на кожному відрізку: <math display="block">\begin{align} W = \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{align}</math> Як зазвичай, ми використовуємо символ інтеграла, щоб зазначити, що для обчислення суми потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків <math display="inline">d\vec l</math>. <div id="fig:workenergy:dldiagram" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Elementoflengthdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:dldiagram" data-label="fig:workenergy:dldiagram"></span>'''Зображення 7.12.''' Ми поділяємо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами переміщення <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Слід зазначити, що це не такий інтеграл, як ті, що ми розглядали досі: інтеграл не по одній змінній інтегрування (зазвичай ми використовуємо <math display="inline">x</math>), а інтеграл (сума!) вздовж конкретного шляху, обраного нами рухаючись від <math display="inline">A</math> до <math display="inline">B</math>. Він називається «криволінійним інтегралом», і його, як правило, складно обчислити. ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:workparabola" data-label="ex:workenergy:workparabola"></span> <div id="fig:workenergy:workparabola" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola" data-label="fig:workenergy:workparabola"></span>'''Зображення 7.13.''' Параболічна траєкторія між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>.]] </div> '''Приклад 7.4.''' На тіло діє сила <math display="inline">\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y</math>. Тіло починає рух у точці <math display="inline">A</math> і закінчує його в точці <math display="inline">B</math>, рухаючись параболічною траєкторією <math display="inline">y(x) = a+bx^2</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola|7.13]]. '''Яку роботу виконує сила <math display="inline">\vec F</math> уздовж цієї траєкторії?''' В цьому випадку сила може змінюватися залежно від положення (якщо <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> не є сталими), і напрямок траєкторії змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на малі відрізки <math display="inline">d\vec l</math>, необхідно врахувати рівняння параболи, щоб <math display="inline">d\vec l</math> завжди був дотичним до неї. Розгляньмо один невеликий відрізок траєкторії та нескінченно малий вектор переміщення <math display="inline">d\vec l</math> в цій точці, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workparabola_dr|7.14]]. <div id="fig:workenergy:workparabola_dr" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workparabola dr.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workparabola_dr" data-label="fig:workenergy:workparabola_dr"></span>'''Зображення 7.14.''' Нескінченно малий вектор переміщення, <math display="inline">d\vec l</math>.]] </div> Ми можемо записати компоненти <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math> вектора як нескінченно малі відстані, <math display="inline">dx</math> і <math display="inline">dy</math> відповідно, вздовж осей <math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>. Таким чином, вектор <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Тоді загальна робота, виконана силою, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_A^B (F_x\hat x + F_y \hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)\\ &=\int_A^B (F_x dx + F_ydy)\\ \therefore W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy \end{aligned}</math> де в останньому рядку ми використали властивість, що інтеграл суми дорівнює сумі відповідних інтегралів. На цьому етапі ми маємо два інтеграли за змінними інтегрування, які мають сенс (<math display="inline">x</math> і <math display="inline">y</math>). Однак ми все ще не врахували той факт, що траєкторія є параболою, а загалом ми очікуємо, що форма траєкторії важлива. Кажучи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) вздовж певного шляху, ми насправді маємо на увазі, що <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, тобто, знаючи значення <math display="inline">x</math> у певній точці шляху, ми знаємо відповідне значення <math display="inline">y</math> (<math display="inline">y = a+bx^2</math>). Оскільки <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> не є незалежними, ми можемо скористатися «заміною змінних», щоб виразити <math display="inline">y</math> через <math display="inline">x</math>, а <math display="inline">dy</math> через <math display="inline">dx</math>: <math display="block">\begin{aligned} y(x) &= a + bx^2\\ \frac{dy}{dx} &= 2bx\\ \therefore dy &= 2bxdx \end{aligned}</math> Це дозволяє нам перетворити інтеграл по <math display="inline">y</math> на інтеграл по <math display="inline">x</math>, що також дозволяє визначити межі інтеграла (в нашому прикладі інтегрування відбувається на інтервалі від <math display="inline">x=0</math> до <math display="inline">x=x_1</math>): <math display="block">\begin{aligned} W&= \int_A^B F_x dx + \int_A^B F_ydy\\ &=\int_0^{x_1} F_x dx + \int_0^{x_1} F_y(2bxdx)\\ &=\int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx \end{aligned}</math> Нам знадобилось би знати, як <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math> залежать від <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>, щоб фактично обчислити інтеграл. Наприклад, якби сила була постійною (постійні <math display="inline">F_x</math> і <math display="inline">F_y</math>), то робота, виконана вздовж параболічної траєкторії, становила б: <math display="block">\begin{aligned} W &= \int_0^{x_1} (F_x + 2bxF_y)dx\\ &=\left[F_x x + bF_yx^2 \right]_0^{x_1}\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> Як ми зазначали раніше, '''якщо сила є постійною за величиною та напрямком''', виконана робота не залежить від шляху. Можна в цьому переконатись, використовуючи вектор переміщення <math display="inline">\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = (F_x\hat x+ F_y\hat y) \cdot (x_1\hat x + bx_1^2 \hat y)\\ &=F_x x_1 + bF_yx_1^2 \end{aligned}</math> як ми встановили вище. </div> ----- <span id="сумарна-виконана-робота"></span> == Загальна виконана робота == Досі ми розглядали роботу, виконану над тілом однією силою. Якщо на об’єкт діє більше однієї сили, кожна сила може виконувати над ним роботу, і ми можемо обчислити «загальну роботу», виконану над об’єктом, склавши роботи, виконані кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню рівнодійної сили, <math display="inline">F^{net}</math> (тобто векторної суми сил, що діють на тіло), а потім обчисленню роботи, виконаної рівнодійною силою. Припустімо, що три сили, <math display="inline">\vec F_1</math>, <math display="inline">\vec F_2</math> і <math display="inline">\vec F_3</math>, діють на тіло під час руху так, що вектор його переміщення дорівнює <math display="inline">\vec d</math>. Легко показати, що загальна робота, виконана над тілом, дорівнює роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= \vec F_1 \cdot \vec d + \vec F_2 \cdot \vec d + \vec F_3 \cdot \vec d \\ &=(F_{1x}d_x+F_{1y}d_y+F_{1z}d_z)+ (F_{2x}d_x+F_{2y}d_y+F_{2z}d_z) + (F_{3x}d_x+F_{3y}d_y+F_{3z}d_z)\\ &=(F_{1x} + F_{2x} + F_{3x})d_x+(F_{1y} + F_{2y} + F_{3y})d_y+(F_{1z} + F_{2z} + F_{3z})d_z\\ &=\vec F^{net} \cdot \vec d \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3</math> – рівнодійна сила. Результат легко узагальнити до будь-якої кількості сил, навіть якщо ці сили змінюються залежно від положення: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:networkramp" data-label="ex:workenergy:networkramp"></span> <div id="fig:workenergy:workincline" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline" data-label="fig:workenergy:workincline"></span>'''Зображення 7.15.''' Ящик, який штовхають вгору по схилу.]] </div> '''Приклад 7.5.''' Ви штовхаєте невідомою горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math> ящик масою <math display="inline">m</math>, розташований на похилій площині, що утворює кут <math display="inline">\theta</math> відносно горизонталі, як на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline|7.15]]. Коефіцієнт кінетичного тертя між ящиком і похилою площиною становить <math display="inline">\mu_k</math>. Ви штовхаєте так, що він рухається вгору з постійною швидкістю. '''Яка загальна робота виконується над ящиком, якщо він підіймається по похилій площині на відстань <math display="inline">d</math>?''' Хоча відповідь може бути очевидною, пройдімо довгий шлях і обчислимо роботу, виконану кожною силою, а потім складемо їх разом, щоб отримати загальну виконану роботу. Спочатку визначімо сили, що діють на ящик: # <math display="inline">\vec F</math>, прикладена сила, величина якої невідома, <math display="inline">\vec F</math>. # <math display="inline">\vec F_g</math>, вага ящика, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє нахил. # <math display="inline">\vec f_k</math>, сила кінетичного тертя, величина якої дорівнює <math display="inline">\mu_k N</math>, спрямована протилежно до <math display="inline">\vec d</math>. Вони відображені у діаграмі вільного тіла на Зображенні [[#fig:workenergy:workincline_fbd|7.16]], разом із обраною нами системою координат і вектором переміщення. [[File:PhysicsArtOfModelling Workincline fbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:workincline_fbd" data-label="fig:workenergy:workincline_fbd"></span>'''Зображення 7.16.''' Діаграма вільного тіла ящика на похилій площині.]] З урахуванням системи координат вектор переміщення визначається як: <math display="block">\begin{aligned} \vec d = d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y) \end{aligned}</math> Перш ніж обчислити роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину сили нормальної реакції (і, отже, сили кінетичного тертя). Оскільки ящик рухається з постійною швидкістю, його '''прискорення дорівнює нулю''', тому сума сил також має дорівнювати нулю. Запис компоненти <math display="inline">y</math> другого закону Ньютона дозволяє нам знайти величину сили нормальної реакції: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_y &= N\cos\theta -F_g - f_k\sin\theta = 0\\ \therefore mg &= N\cos\theta-\mu_kN\sin\theta = N(\cos\theta-\mu_k\sin\theta)\\ \therefore N &= \frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Запис компоненти <math display="inline">x</math> другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили <math display="inline">F</math>: <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F - N\sin\theta - f_k\cos\theta = 0\\ \therefore F &= N\sin\theta+\mu_kN\cos\theta = N(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \end{aligned}</math> Тепер можна перейти до обчислення роботи, виконаної кожною силою. Робота, виконана силою нормальної реакції, дорівнює нулю, оскільки вона перпендикулярна до вектора переміщення. Робота, виконана прикладеною вами силою, <math display="inline">\vec F = F\hat x</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_F &= \vec F \cdot \vec d = (F\hat x)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=Fd\cos\theta=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, <math display="inline">\vec F_g = -mg \hat y</math>, становить: <math display="block">\begin{aligned} W_g &= \vec F_g \cdot \vec d = (-mg \hat y)\cdot(d (\cos\theta \hat x + \sin\theta \hat y))\\ &=-mgd\sin\theta \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тертя, <math display="inline">\vec f_k</math>, з огляду на те, що <math display="inline">\vec f_k</math> і <math display="inline">\vec d</math> є паралельними й у різному напрямку: <math display="block">\begin{aligned} W_f &= \vec f_k \cdot \vec d = -f_kd = -\mu_kNd\\ &=-\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d \end{aligned}</math> Таким чином, загальна робота, виконана над ящиком, становить: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_F + W_g + W_f\\ &=mg\frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\cos\theta-mgd\sin\theta -\mu_k\frac{mg}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}d\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta+\mu_k\cos\theta}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta}\cos\theta - \sin\theta - \mu_k\frac{1}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{(\sin\theta+\mu_k\cos\theta)\cos\theta - \sin\theta(\cos\theta-\mu_k\sin\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\sin\theta\cos\theta+\mu_k\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta+\mu_k\sin^2\theta - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=mgd \left( \frac{\mu_k(\cos^2\theta+\sin^2\theta) - \mu_k}{\cos\theta-\mu_k\sin\theta} \right)\\ &=0 \end{aligned}</math> де ми використали той факт, що <math display="inline">\cos^2\theta+\sin^2\theta=1</math>. Тобто, ми виявили, що загальна робота, виконана над ящиком, дорівнює нулю! '''Обговорення:''' це логічно, оскільки рівнодійна сил, що діють на ящик, також дорівнює нулю, бо він не прискорюється. Тож, загальна виконана робота дорівнює нулю. Як наслідок, або, точніше, за визначенням, маємо умову, що коли загальна робота, виконана над об’єктом, дорівнює нулю, цей об’єкт не прискорюється. Таким чином, ми маємо скалярну величину (роботу), яка може розповісти щось про те, чи змінює об’єкт швидкість. В наступній секції ми введемо нову величину – «кінетичну енергію», – щоб описати, як змінюється швидкість тіла, коли загальна виконана робота не дорівнює нулю. </div> <div class="mdframed"> Зверніть особливу увагу на декілька підступних речей: # У [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] нас попросили знайти '''загальну роботу''', виконану '''над''' ящиком. Іноді в завданні не вказується, що треба знайти загальну роботу, а просто запитується: «Яка робота виконана '''над''' ящиком?» Коли вас просто запитують про роботу, виконану «над» тілом, то мається на увазі запитання про ''сумарну роботу'', виконану над тілом.<br /> # Те, що загальна робота, виконана '''над''' тілом, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана '''кожною із сил''', дорівнює нулю. Це може здаватися очевидним, але на тесті чи іспиті легко помилитися. Якщо ви читаєте запитання про роботу, і в ньому сказано, що тіло рухається з постійною швидкістю, виникає спокуса одразу перейти далі й сказати, що робота дорівнює нулю. Однак це можна сказати лише в тому разі, якщо йдеться про загальну роботу, виконану над об’єктом. Наприклад, у [[#ex:workenergy:networkramp|Прикладі 7.5]] ми дійшли висновку, що, оскільки ящик рухався з постійною швидкістю, загальна робота дорівнювала нулю. Але якби було запитано, яку роботу виконала '''сила тяжіння''' над ящиком, це б значило інше. Робота, виконана '''силою тяжіння''', в цьому випадку не дорівнює нулю (насправді вона є від’ємною).<br /> # Робота, виконана «над» об’єктом, не є тотожною роботі, виконаній «цим» об’єктом. Наприклад, уявіть, що ви берете участь у перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Загальна робота, виконана '''над вами''', дорівнює нулю, але робота, виконана '''вами''', не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, ви маєте чітко зазначати, чи виконується робота «над» об’єктом, чи «за допомогою» об’єкта. </div> ----- <div class="mdframed"> Ящик масою 2 kg знаходиться на горизонтальній поверхні. До нього застосовується постійна горизонтальна сила 6 Н. Ящик рухається з постійним прискоренням 2 m/s². '''Що з наведеного нижче має найбільшу величину?''' # Робота, виконана застосованою силою. # Робота, виконана силою тертя. # Загальна робота, виконана над ящиком. </div> ----- <span id="sec:workenergy:kinetic"></span> = Кінетична енергія і теорема про роботу та енергію = На цьому етапі ви вже маєте вміти впевнено обчислювати загальну роботу, виконану над об’єктом під дією кількох сил. Як ми бачили в попередній секції, загальна робота, виконана над об’єктом, пов’язана з його прискоренням: якщо рівнодійна сил, що діють на об’єкт, дорівнює нулю, тоді загальна робота та прискорення також дорівнюють нулю. У цій секції ми виведемо нову величину – кінетичну енергію, яка дозволить пов’язати роботу, виконану над об’єктом, зі зміною його швидкості. Це дозволить нам описати рух, використовуючи лише скалярні величини. Як і визначення роботи, виведення нижче, здається, «виникає з нічого». Однак пам’ятайте, що теоретики пробували безліч математичних хитрощів, аби переформулювати теорію Ньютона, і саме цей спосіб спрацював. Розгляньмо найзагальніший випадок, коли на тіло масою <math display="inline">m</math> впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}(\vec r)</math>, яка може змінюватися за величиною та напрямком. Ми хочемо обчислити загальну роботу, виконану над тілом, коли воно рухається довільною траєкторією між двома точками, <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:kepath|7.17]]. Миттєве прискорення об’єкта, <math display="inline">\vec a</math>, показано разом з «частинкою шляху», <math display="inline">d\vec l</math>. [[File:PhysicsArtOfModelling Kepath.png|thumb|<span id="fig:workenergy:kepath" data-label="fig:workenergy:kepath"></span>'''Зображення 7.17.''' Тіло, що рухається вздовж довільної траєкторії між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, і на яке впливає рівнодійна сила <math display="inline">\vec F^{net}</math>.]] Загальну роботу, виконану над тілом, можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> І, в загальному випадку, при довільній траєкторії це складний для обчислення інтеграл. Наша мета – знайти спосіб його обчислення шляхом визначення функції <math display="inline">K</math>, яка має наступну властивість: <math display="block">\begin{aligned} \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =K_B - K_A \end{aligned}</math> Тобто нам треба буде обчислити лише <math display="inline">K</math> в кінцевих точках шляху, щоб знайти значення інтеграла. Таким чином, функція <math display="inline">K</math> подібна до первісної. Щоб визначити форму функції <math display="inline">K</math>, спочатку зауважимо, що, використовуючи другий закон Ньютона, можна виразити інтеграл роботи через прискорення тіла: <math display="block">\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F^{net} = m\vec a\\ \therefore \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l &= \int_A^B m\vec a\cdot d\vec l =m\int_A^B \vec a\cdot d\vec l \end{aligned}</math> де ми припустили, що маса не змінюється вздовж шляху, й тому її можна винести за межі інтеграла. Розгляньмо скалярний добуток прискорення <math display="inline">\vec a</math> (записаного через вектор швидкості) та частинки шляху <math display="inline">d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z</math>: <math display="block">\begin{aligned} \vec a & = \frac{d\vec v}{dt}\\ \therefore \vec a\cdot d\vec l &= \frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec l\\ &=\left(\frac{dv_x}{dt}\hat x+ \frac{dv_y}{dt}\hat y + \frac{dv_z}{dt}\hat z\right) \cdot (dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z)\\ &=\frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz \end{aligned}</math> Будь-який із доданків у сумі можна переставити так, щоб похідна за часом діяла на частинку траєкторії (<math display="inline">dx</math>, <math display="inline">dy</math> або <math display="inline">dz</math>), а не швидкості, наприклад: <math display="block">\begin{aligned} \frac{dv_x}{dt}dx = \frac{dx}{dt}dv_x \end{aligned}</math> і можна врахувати, що <math display="inline">\frac{dx}{dt} = v_x</math>. Таким чином, можна записати скалярний добуток вектора прискорення та частинки шляху як: <math display="block">\begin{aligned} \vec a\cdot d\vec l&= \frac{dv_x}{dt}dx+\frac{dv_y}{dt}dy+\frac{dv_z}{dt}dz\\ &=\frac{dx}{dt}dv_x + \frac{dy}{dt}dv_y+\frac{dz}{dt}dv_z\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z \end{aligned}</math> Тоді інтеграл для загальної виконаної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \int_A^B F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l =m \int_A^B (v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)\\ &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z \end{aligned}</math> що відповідає сумі трьох інтегралів по трьох незалежних компонентах вектора швидкості. Компоненти вектора швидкості – це функції, які змінюються вздовж траєкторії та мають фіксовані значення на обох її кінцях. Нехай вектор швидкості об’єкта в точці <math display="inline">A</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})</math>, а вектор швидкості в точці <math display="inline">B</math> дорівнює <math display="inline">\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})</math>. Тоді інтеграл, скажімо, по <math display="inline">x</math> компоненті швидкості становить: <math display="block">\begin{aligned} m\int_A^B v_xdv_x &= m\int_{v_{Ax}}^{v_{Bx}} v_xdv_x= m\left[\frac{1}{2}v_x^2 \right]_ {v{_Ax}}^{v_{Bx}}\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) \end{aligned}</math> Таким чином, інтеграл для загальної роботи можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &=m\int_A^B v_xdv_x +m\int_A^B v_ydv_y + m\int_A^B v_zdv_z\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2-v_{Ax}^2) + \frac{1}{2}m(v_{By}^2-v_{Ay}^2) +\frac{1}{2}m(v_{Bz}^2-v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_{Bx}^2+v_{By}^2+v_{Bz}^2)-\frac{1}{2}m(v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2)\\ &=\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2 \end{aligned}</math> де ми врахували, що квадрат швидкості визначається як <math display="inline">v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2</math>. Тож, ми досягли бажаного результату - знайшли функцію швидкості <math display="inline">K(v)</math>, яка, якщо обчислена в кінцевих точках шляху, дозволяє обчислити загальну роботу, виконану над тілом на цьому шляху: <math display="block">\begin{align} K(v) = \frac{1}{2}mv^2 \end{align}</math> Тобто, якщо відома швидкість на початку <math display="inline">v_A</math> і наприкінці шляху <math display="inline">v_B</math>, то загальна робота, виконана над тілом на шляху між точками <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math>, визначається як: <math display="block">\begin{align} W^{net} = \Delta K = K(v_B) - K(v_a) \end{align}</math> Ми називаємо <math display="inline">K(v)</math> «кінетичною енергією» тіла. Можна сказати, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з точки <math display="inline">A</math> в точку <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні його кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова). Зверніть увагу, що ми визначили кінетичну енергію так, щоб вона дорівнювала загальній виконаній роботі. Можливо, ви вже стикалися з поняттям кінетичної енергії під час попереднього ознайомлення з фізикою як із величиною, яка просто надається. Тут ми вивели функцію, яка має шукану властивість дорівнювати загальній виконаній роботі, і назвали її «кінетичною енергією». Взаємозв’язок між загальною виконаною роботою та зміною кінетичної енергії називається «теоремою про роботу-енергію» (або принципом роботи-енергії). Це зв’язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми обчислюємо роботу) і кінематикою (зміною кінетичної енергії). На відміну від другого закону Ньютона, який пов’язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), теорема про роботу-енергію пов’язує дві скалярні величини (роботу і кінетичну енергію). Хоч ми розглянули кінетичну енергію як спосіб визначення загальної роботи, якщо ви знаєте значення загальної роботи, виконаної над тілом, теоремою роботи-енергії можна скористатися для обчислення зміни швидкості. Найважливішим є те, що теорема про роботу-енергію вводить поняття «енергії». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема про роботу-енергію є відправною точкою для ідеї про те, що одну форму енергії можна перетворити в іншу. Теорема про роботу-енергію показує, як сила, виконуючи роботу, може надати об’єкту кінетичну енергію або забрати її. ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.6.''' Над об’єктом масою <math display="inline">m</math>, який спочатку перебував у стані спокою, було виконано загальну роботу <math display="inline">W</math>. '''Якою буде швидкість тіла після виконання над ним роботи?''' Використовуючи теорему про роботу і кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_i</math> – початкова швидкість тіла, а <math display="inline">v_f</math> – його кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву: <math display="block">\begin{aligned} v_f = \sqrt{\frac{2W}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.18.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] '''Приклад 7.7.''' Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|7.18]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок відпускають зі стану спокою, і між блоком та горизонтальною поверхнею немає тертя, '''якою буде швидкість блока, коли він покине пружину?''' Це та сама задача, яку ми розглядали в розділі [[Вступ_до_фізики:_побудова_моделей_для_опису_нашого_світу/Застосування_законів_Ньютона|Застосування законів Ньютона]] у Прикладі 6.3, де для визначення швидкості ми розв’язали диференціальне рівняння. Перший крок – це обчислення загальної роботи, виконаної над тілом під час його переміщення від <math display="inline">x=-D</math> до <math display="inline">x=0</math> (що відповідає моменту, коли тіло покидає пружину, як описано в Прикладі 6.3). Сили, що діють на об’єкт: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Отже, загальна робота – це робота, виконана пружиною, яку ми обчислили в [[#ex:workenergy:spring|Прикладі 7.1]] як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Згідно з теоремою роботи-енергії, загальна робота дорівнює зміні кінетичної енергії. Враховуючи, що тіло спочатку перебувало в стані спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - 0\\ \frac{1}{2}kD^2 &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}} \end{aligned}</math> </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.8.''' [[File:PhysicsArtOfModelling ApplyingNewtonsLaws Blockspring.png|thumb|<span id="fig:workenergy:spring" data-label="fig:workenergy:spring"></span>'''Зображення 7.19.''' Блок притискають до горизонтальної пружини так, щоб стиснути її на відстань <math display="inline">D</math> відносно довжини в ненапруженому стані.]] Блок притискається до вільного кінця горизонтальної пружини з коефіцієнтом пружності <math display="inline">k</math> так, щоб стиснути пружину на відстань <math display="inline">D</math> відносно її довжини в ненапруженому стані, як на Зображенні [[#fig:workenergy:spring2|7.19]]. Другий кінець пружини прикріплений до стіни. Якщо блок, що перебував в стані спокою, відпустити, а коефіцієнт динамічного тертя між тілом і горизонтальною поверхнею дорівнює <math display="inline">\mu_k</math>, '''якою буде швидкість блока, коли він покидає пружину?''' Це такий самий приклад, що й попередній, але з кінетичним тертям. Сили, що діють на блок: # <math display="inline">\vec F_g</math>, його вага, з величиною <math display="inline">mg</math>. # <math display="inline">\vec N_1</math>, сила нормальної реакції, з якою діє земля. # <math display="inline">\vec F(x)</math> – сила, що діє з боку пружини, з величиною <math display="inline">kx</math>. # <math display="inline">\vec f_k</math> – сила кінетичного тертя з величиною <math display="inline">\mu_kN</math>. І сила нормальної реакції, і вага перпендикулярні до переміщення, тому вони не виконують роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, сила нормальної реакції матиме ту саму величину, що й вага (<math display="inline">N=mg</math>). Отже, величина сили кінетичного тертя становить <math display="inline">f_k = \mu_k mg</math>. Загальна виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною (<math display="inline">W_F</math>) і силою тертя (<math display="inline">W_f</math>): <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = W_F + W_f \end{aligned}</math> Ми вже визначили роботу, виконану пружиною: <math display="block">\begin{aligned} W_F = \frac{1}{2}kD^2 \end{aligned}</math> Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде від’ємною (оскільки вона спрямована в протилежний до руху бік), і її можна обчислити за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_f = \vec f_k \cdot \vec d = -f_kD = -\mu_kmgD \end{aligned}</math> Застосовуючи теорему про роботу-енергію та враховуючи, що блок почав рух зі стану спокою (<math display="inline">v_i=0</math>), кінцева швидкість <math display="inline">v_f</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} =W_F + W_f&= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \\ \frac{1}{2}kD^2-\mu_kmgD &=\frac{1}{2}mv_f^2\\ \therefore v_f &=\sqrt{\frac{kD^2}{m}-2\mu_kgD} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Ми можемо розглядати це з погляду поняття енергії. Пружина виконує додатну роботу над блоком, і таким чином збільшує його кінетичну енергію. Тертя виконує від’ємну роботу, зменшуючи його кінетичну енергію блоку. Лише пружина «надає» блоку енергію, оскільки тертя забирає її, виконуючи від’ємну роботу. Інший спосіб дивитися на це – пружина передає енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина втрачається через тертя. Енергію, що втрачається через тертя, можна вважати «тепловою енергією» (теплом), яка витрачається на нагрівання блоку та поверхні. Справді, якщо потерти долонею об стіл, ви помітите, що вона стає теплішою; під час виконання роботи, ваша рука витрачає частину енергії на нагрівання столу та долоні! Це показує, що ми можемо розглядати моделювання тертя з використанням теплової енергії, а не сили. </div> <span id="потужність"></span> ----- = Потужність = Ми завершуємо розділ, вводячи поняття «потужності», яке означає швидкість виконання роботи над об’єктом або, загалом, швидкість перетворення енергії з однієї форми в іншу. Якщо певна робота <math display="inline">\Delta W</math> була виконана за певний проміжок часу <math display="inline">\Delta t</math>, то вона була виконана зі швидкістю: <math display="block">\begin{align} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \end{align}</math> де <math display="inline">P</math> називається потужністю. Одиницею потужності в системі СІ є «ват», скорочено <math display="inline">W</math>, що відповідає <math display="inline">J/s=kg m^2/s^3</math> в основних одиницях СІ. Якщо швидкість виконання роботи змінюється з часом, то миттєва потужність визначається як: <math display="block">\begin{align} P = \frac{dW}{dt} \end{align}</math> Ви, напевно, вже стикалися з поняттям потужності в своєму повсякденному житті. Наприклад, ваш фен потужністю <math display="inline">1000 W</math> споживає «електричну енергію» зі швидкістю <math display="inline">1000 J</math> на секунду й перетворює її на кінетичну енергію вентилятора і теплову енергію для нагрівання повітря. Кінська сила (<math display="inline">hp</math>) – це одиниця потужності в імперській системі мір, яка часто використовується для транспортних засобів. Перетворення: <math display="inline">1{hp} = 746{W}</math>. Таким чином, автомобіль потужністю <math display="inline">100 {hp}</math> має двигун, який споживає хімічну енергію, виділену внаслідок згоряння бензину, зі швидкістю <math display="inline">7.46 \times 10^4{J}</math> на секунду і перетворює її в роботу, виконану автомобілем, і тепло. ----- <div class="mdframed"> Два крани підіймають з землі два однакові ящики. Один кран у два рази потужніший за інший. Обидва крани виконують однакову кількість роботи з ящиками та працюють на повній потужності. '''Яке з наведених тверджень є вірним щодо ящиків після того, як крани виконали над ними роботу?''' # Один ящик підняли вдвічі вище, ніж інший. # Ящики підіймаються на однакову висоту за однаковий проміжок часу. # Ящики підіймаються на однакову висоту, але одному з них потрібно вдвічі більше часу, щоб дістатися туди. # Один ящик підійняли удвічі вище, ніж інший, але на це витрачається однакова кількість часу. </div> ----- <div class="mdframed"> '''Приклад 7.9.''' Якщо двигун автомобіля може виконувати роботу над автомобілем з потужністю <math display="inline">P</math>, '''якою буде швидкість автомобіля у певний момент часу <math display="inline">t</math>, якщо автомобіль був нерухомим у момент часу <math display="inline">t=0</math>?''' Спочатку нам треба обчислити, скільки всього роботи було виконано над автомобілем: <math display="block">\begin{aligned} W = P t \end{aligned}</math> Далі, використовуючи теорему про роботу-енергію, ми можемо знайти швидкість автомобіля в момент часу <math display="inline">t</math>: <math display="block">\begin{aligned} W &= \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2\\ Pt &= \frac{1}{2}mv_f^2 \\ \therefore v_f &= \sqrt{\frac{2Pt}{m}} \end{aligned}</math> '''Обговорення:''' Модель кінцевої швидкості автомобіля є правдопоодібною, оскільки: * Розмірністю <math display="inline">v_f</math> є швидкість (вам слід це перевірити!). * Швидкість буде більшою, якщо більшими будуть час або потужність (тобто швидкість більша, якщо над автомобілем виконується більше роботи). * Швидкість буде меншою, якщо маса автомобіля більша (прискорення автомобіля буде меншим, якщо його маса більша). </div> ----- <div class="mdframed"> <span id="ex:workenergy:powerconstantv" data-label="ex:workenergy:powerconstantv"></span> '''Приклад 7.10.''' Ви штовхаєте ящик по горизонтальній поверхні з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>. Ви помітили, що вам необхідно прикладати силу <math display="inline">\vec F</math> до ящика, щоб подолати тертя між ящиком і землею. '''З якою потужністю ви штовхаєте ящик?''' Нам потрібно обчислити швидкість виконання роботи силою <math display="inline">\vec F</math>, яку ви прикладаєте до ящика. Якщо ящик рухається з постійною швидкістю <math display="inline">v</math>, то за час <math display="inline">\Delta t</math> він пройде відстань <math display="inline">d=v\Delta t</math>. Оскільки ви докладаєте силу в тому самому напрямку, що й напрямок руху ящика, виконана вздовж цієї відстані робота <math display="inline">d</math> становить: <math display="block">\begin{aligned} \Delta W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos(0) = Fv\Delta t \end{aligned}</math> Отже, потужність, що відповідає виконаній за цей проміжок часу роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> Це досить загальний результат для темпу викононання роботи силою, яка діє на об’єкт, що рухається з постійною швидкістю. </div> ----- <div class="mdframed"> [[#ex:workenergy:powerconstantv|Приклад 7.10]] пов’язаний із тим, про що ми говорили раніше. Якщо ви подумаєте собі: «Швидкість постійна, тому робота має дорівнювати нулю», то формула <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = Fv \end{aligned}</math> не матиме жодного сенсу. Оскільки швидкість <math display="inline">v</math> є постійною, потужність завжди дорівнюватиме нулю, що, звісно, неправда. Але, знову, пам’ятайте, що коли швидкість постійна, лише '''загальна робота''' дорівнює нулю. У [[#ex:workenergy:powerconstantv|Прикладі 7.10]] йдеться про потужність, яку '''ви''' витрачаєте, штовхаючи ящик (що є тим самим, що й запитання, з якою швидкістю '''ви''' виконуєте роботу '''над''' ящиком). Отже, формула справді має сенс. </div> <span id="короткий-зміст"></span> = Короткий зміст = <div class="mdframed"> Робота <math display="inline">W</math>, виконана над тілом силою <math display="inline">\vec F</math>, коли тіло пройшло шлях <math display="inline">\vec d</math>, визначається як скалярний добуток: <math display="block">\begin{aligned} W = \vec F \cdot \vec d &= Fd\cos\theta\\ &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z \end{aligned}</math> Якщо сила змінюється залежно від положення та/або тіло рухається довільною траєкторією в просторі, робота, виконана цією силою на шляху, визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W =\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо на тіло діють декілька сил, то можна обчислити рівнодійну силу (векторну суму сил), і загальна робота, виконана над тілом, буде дорівнювати роботі, виконаній рівнодійною силою: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> Якщо загальга робота, виконана над тілом, дорівнює нулю, це тіло не прискорюється. Кінетичну енергію <math display="inline">K(v)</math> тіла масою <math display="inline">m</math>, що має швидкість <math display="inline">v</math>, можна визначити як: <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> Теорема про роботу і кінетичну енергію стверджує, що загальна робота, виконана над тілом під час його переміщення з положення <math display="inline">A</math> в положення <math display="inline">B</math>, дорівнює зміні кінетичної енергії тіла: <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">v_A</math> і <math display="inline">v_B</math> – швидкості тіла в положеннях <math display="inline">A</math> і <math display="inline">B</math> відповідно. Темп виконання роботи називається потужністю і визначається як: <math display="block">\begin{aligned} P = \frac{dW}{dt} \end{aligned}</math> Якщо на тіло, яке має постійну швидкість <math display="inline">\vec v</math>, діє постійна сила <math display="inline">\vec F</math>, то потужність, що відповідає виконаній цією силою роботі, становить: <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{d}{dt} W = \frac{d}{dt}(\vec F \cdot \vec d)\\ &= \vec F \cdot \frac{d}{dt}\vec d = \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> <div class="mdframed"> <div class="multicols"> '''Робота:''' <math display="block">\begin{aligned} W &= \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta\\ W &= F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\\ W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ W^{net} &= \int_A^B \vec F^{net}(\vec r) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> '''Кінетична енергія:''' <math display="block">\begin{aligned} K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{aligned}</math> '''Теорема про роботу-енергію:''' <math display="block">\begin{aligned} W^{net} = \Delta K = \frac{1}{2} mv_B^2 - \frac{1}{2} mv_A^2 \end{aligned}</math> '''Потужність:''' <math display="block">\begin{aligned} P &= \frac{dW}{dt}\\ P &= \vec F \cdot \vec v \end{aligned}</math> </div> </div> <div class="mdframed"> '''Робота:''' скалярна величина, що визначає кількість енергії, яку сила може передати системі, коли вона діє на певному шляху. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">W</math>. '''Кінетична енергія:''' форма енергії, яку має об’єкт із певною масою з огляду на те, що його швидкість не дорівнює нулю. Одиниці СІ: <math display="inline">J</math>. Поширені змінні: <math display="inline">K</math>. '''Потужність:''' швидкість перетворення енергії відносно часу. Одиниці СІ: <math display="inline">W</math>. Загальні змінні: <math display="inline">P</math>. </div> ----- <span id="міркування-про-матеріал"></span> = Міркування про матеріал = <div class="mdframed"> '''Подумайте та дослідіть:''' # Коли вперше з’явилося поняття роботи? # Для будівництва пірамід стародавні єгиптяни використовували прості механізми, як-от важелі, щоб виконувати завдання, які б інакше виконати було неможливо. Застосуйте те, що ми знаємо про роботу, щоб з’ясувати, як важелі допомагають людям піднімати неймовірно важкі предмети. # Після ДТП слідчі використовують сліди гальмування, щоб з’ясувати, з якою швидкістю рухалися автомобілі перед зіткненням. Використовуючи знання про роботу, з’ясуйте, як вони це роблять. # Tesla Model S може розганятися від 0 до 100 км/год усього за 2.7 секунди. Обчисліть потужність автомобіля в кінських силах. Чому для 7-місного седана, як-от Model S, такий короткий час розгону – це незвично? Дослідіть, як Tesla може так швидко набирати швидкість. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте вдома:''' # Виміряйте потужність, яку ви можете видавати ногами, і опишіть, як ви виконали вимірювання. </div> <div class="mdframed"> '''Спробуйте в лабораторії:''' # Запропонуйте експеримент для вимірювання теплової енергії, пов’язаної із силою кінетичного тертя. # Запропонуйте експеримент для перевірки теореми про роботу і енергію. </div> <span id="приклади-задач-і-рішень"></span> = Приклади задач і рішень = <span id="задачі"></span> == Задачі == '''Задача 7.1:''' <span id="prob:workenergy:skijump" data-label="prob:workenergy:skijump"></span> [[File:PhysicsArtOfModelling Skijumpprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skijumpprob" data-label="fig:workenergy:skijumpprob"></span>'''Зображення 7.20.''' Лижник масою <math display="inline">m</math> стрибає з трампліна висотою <math display="inline">h</math>.]] Трамплін для стрибків на лижах можна змоделювати як похилу площину висотою <math display="inline">h=5{m}</math>, як на Зображенні [[#fig:workenergy:skijumpprob|7.20]]. Площадка для приземлення розташована на тій самій висоті, що й нижня частина трампліна. Лижник масою <math display="inline">m=80 {kg}</math> рухається зі швидкістю <math display="inline">v_i=15 {m/s}</math>, коли досягає нижньої частини трампліна. Коли лижник приземляється після стрибка, його швидкість становить <math display="inline">v_f=12{m/s}</math>. Не враховуйте опір повітря. ([[#soln:workenergy:skijump|Рішення]]). # Яка швидкість лижника в момент, коли він злітає на вершині трампліна? # Використовуючи відповідь із частини (а), знайдіть роботу, виконану силою тертя між трампліном і лижником. '''Задача 7.2:''' <span id="prob:workenergy:swingwork" data-label="prob:workenergy:swingwork"></span> <div id="fig:workenergy:swingprob" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprob.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprob" data-label="fig:workenergy:swingprob"></span>'''Зображення 7.21.''' Дитину на гойдалці штовхають від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math> із постійною швидкістю за допомогою горизонтальної сили <math display="inline">\vec F</math>.]] Дитина масою <math display="inline">m</math> сидить на гойдалці довжиною <math display="inline">L</math>, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprob|7.21]]. Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою <math display="inline">\vec F</math>. Ви прикладаєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (зверніть увагу, що <math display="inline">\vec F</math> не матиме постійної величини). ([[#soln:workenergy:swingwork|Рішення]]) <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Скільки роботи ви виконуєте, щоб перемістити дитину з <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>?</p></li> <li><p>Використовуючи детальну схему, покажіть, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, де <math display="inline">h</math> – це зміна висоти, на якій перебуває дитина.</p> </div></li></ol> <span id="розвязки"></span> == Рішення == '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:skijump|7.1]]:''' <span id="soln:workenergy:skijump" data-label="soln:workenergy:skijump"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо вісь <math display="inline">x</math> горизонтальною і додатною в напрямку руху, а вісь <math display="inline">y</math> – вертикальною, з додатним напрямком вгору.</p> <p>Визначимо швидкість у верхній точці трампліна, <math display="inline">v_t</math>, використовуючи теорему про кінетичну енергію: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2 \end{aligned}</math> де <math display="inline">W^{net}</math> – це загальна робота, виконана над лижником, поки він летить у повітрі. Коли лижник перебуває в повітрі, єдина сила, що діє на нього, — це сила тяжіння, <math display="inline">\vec F=-mg\hat y</math>. Траєкторія лижника – це парабола, тому вектор переміщення постійно змінює напрямок. Робота, виконана силою тяжіння, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l \end{aligned}</math> де <math display="inline">d\vec l</math> – нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії, як показано на Зображенні [[#fig:workenergy:skiprobdisplacement|7.22]].</p> <div id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Skiprobdisplacement.png|thumb|<span id="fig:workenergy:skiprobdisplacement" data-label="fig:workenergy:skiprobdisplacement"></span>'''Зображення 7.22.''' Нескінченно мале переміщення вздовж траєкторії стрибка.]] </div> <p>Вектор переміщення матиме компоненти <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math>: <math display="block">\begin{aligned} d\vec l = dx \hat x + dy \hat y \end{aligned}</math> Отже, скалярний добуток із силою тяжіння становить: <math display="block">\begin{aligned} \vec F_g \cdot d\vec l &= (-mg\hat y) \cdot (dx \hat x + dy \hat y)= -mgdy \end{aligned}</math> Тож, роботу, виконану силою тяжіння, можна перетворити на інтеграл по <math display="inline">y</math> (для якого ми знаємо початкове та кінцеве значення), і вона визначається як: <math display="block">\begin{aligned} W = \int \vec F_g \cdot d\vec l = \int_h^0 -mgdy = [-mgy]_h^0 = mgh \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння, є додатною, що цілком логічно, оскільки сила тяжіння спрямована в тому самому напрямку, що й результуюче переміщення (униз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, оскільки сила була постійною за величиною та напрямком (див. [[#ex:workenergy:workparabola|Приклад 7.4]]).</p> <p>Тепер, використовуючи теорему про роботу і енергію, ми можемо знайти швидкість лижника, коли він злітає з трампліна: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ mgh &= \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_t^2\\ \therefore v_t&=\sqrt{v_f^2-2gh}=\sqrt{(12{m/s})^2 - 2(9,8{m/s^2})(5{m})}=6.8{m/s} \end{aligned}</math></p></li> <li><p>Ми можемо знову скористатися теоремою про роботу і енергію, щоб визначити роботу, виконану силою тертя, коли лижник піднімається по схилу. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу схилу становить <math display="inline">v_i</math>, і ми щойно встановили, що швидкість лижника на вершині схилу становить <math display="inline">v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}</math>. Загальна робота, виконана над лижником, що піднімається по трампліну, дорівнює: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_i^2\\ &=\frac{1}{2}m(v_t^2-v_i^2) = \frac{1}{2}m(v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh \end{aligned}</math> Загальна робота також є сумою роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, поки він підіймається по трампліну. Сили, що діють на лижника – це сила тяжіння, сила тертя та сила нормальної реакції. Сила нормальної реакції не виконує роботи, оскільки вона завжди перпендикулярна до переміщення. Отже, загальна робота – це сума роботи, виконаної силою тяжіння, <math display="inline">W_g</math>, і роботи, виконаної силою тертя, <math display="inline">W_f</math>, вздовж відстані, що відповідає довжині похилої площини: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}=W_g+W_f \end{aligned}</math> Робота, виконана силою тяжіння: <math display="block">\begin{aligned} W_g = \vec F_g \cdot \vec d = (-mg\hat y) \cdot (d_x\hat x + h \hat y) = -mgh \end{aligned}</math> де <math display="inline">\vec d</math> – вектор переміщення вгору по похилій площині (невідома горизонтальна відстань, <math display="inline">d_x</math>, і вертикальна відстань, <math display="inline">h</math>). Тепер ми можемо визначити роботу, виконану силою тертя: <math display="block">\begin{aligned} W^{net}&=W_g+W_f\\ \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)-mgh &= -mgh + W_f\\ \therefore W_f &= \frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) = \frac{1}{2}(80{kg})((12{m/s})^2-(15{m/s})^2)=-3240{J} \end{aligned}</math> І ми бачимо, що сила тертя виконала від’ємну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).</p> <p>'''Обговорення:''' Під час стрибка лижник стартував унизу трампліна з певною кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, піднімаючись трампліном (у вигляді втрат на тертя та від’ємної роботи, виконаної під дією сили тяжіння). Під час фази польоту сила тяжіння виконувала додатну роботу, і лижник повернув собі частину кінетичної енергії, яку втратив, піднімаючись на трамплін. Таким чином, загальна робота, виконана силою тертя, – це різниця між кінетичними енергіями в кінцевій точці приземлення та на початку підйому, оскільки тертя – це єдина сила, яка виконала певну кількість (від’ємної) роботи на повній траєкторії (сила тяжіння не виконала жодної роботи на повній траєкторії). Цей приклад демонструє, що ми можемо думати про енергію як про щось, що «зберігається», що буде розглянуте докладніше в наступному розділі.</p></li></ol> '''Рішення Задачі [[#prob:workenergy:swingwork|7.2]]:''' <span id="soln:workenergy:swingwork" data-label="soln:workenergy:swingwork"></span> <ol style="list-style-type: decimal;"> <li><p>Ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою <math display="inline">\vec F</math>. Спочатку нам потрібно знайти вираз для величини <math display="inline">\vec F</math>, виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили, що діють на дитину:</p> <ul> <li><p><math display="inline">\vec F_g</math>, її вага, з величиною <math display="inline">mg</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F_T</math> – натяг троса, який змінюється залежно від кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li> <li><p><math display="inline">\vec F</math> – прикладена сила, величина якої змінюється зі зміною кута <math display="inline">\theta</math>.</p></li></ul> <p>Ці сили проілюстровані на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobfbd|7.23]].</p> <div id="fig:workenergy:swingprobfbd" class="figure"> [[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobfbd.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobfbd" data-label="fig:workenergy:swingprobfbd"></span>'''Зображення 7.23.''' Діаграма сил, що діють на дитину.]] </div> <p>Дитина рухається з постійною швидкістю, тому рівнодійна сил дорівнює нулю. Суми <math display="inline">x</math> та <math display="inline">y</math> компонент сил дорівнюють нулю (другий закон Ньютона): <math display="block">\begin{aligned} \sum F_x &= F-F_T\sin\theta =0\\ \sum F_y &= F_T\cos\theta -mg = 0 \end{aligned}</math> Отже, отримуємо: <math display="block">\begin{aligned} F&=F_T\sin\theta\\ mg&=F_T\cos\theta \end{aligned}</math> Нам потрібен вираз для <math display="inline">F</math>, який не залежить від <math display="inline">F_T</math> (оскільки <math display="inline">F_T</math> невідома), тому ми можемо поділити одне рівняння на інше: <math display="block">\begin{aligned} \frac{F}{mg} &= \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}=\tan\theta\\ \therefore F(\theta)&=mg\tan\theta \end{aligned}</math> де ми вказали, що сила <math display="inline">\vec F(\theta)</math> залежить від кута <math display="inline">\theta</math>. Робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, визначається за формулою: <math display="block">\begin{aligned} W_F=\int_A^B\vec F(\theta) \cdot d\vec l \end{aligned}</math> <math display="inline">d\vec l</math> – це «частинка шляху» вздовж частини дуги кола, якою рухається дитина, як на Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobdl|7.24]]. В нас є вираз того, як <math display="inline">\vec F</math> змінюється за величиною залежно від кута <math display="inline">\theta</math>, і тому було б зручно мати інтеграл по куту <math display="inline">\theta</math>.</p> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobdl.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobdl" data-label="fig:workenergy:swingprobdl"></span>'''Зображення 7.24.''' Частинка шляху вздовж кругової траєкторії гойдання.]]</p> <p>Для опису вектора переміщення <math display="inline">d\vec l</math>, замість декартових можна використати полярні координати <math display="inline">(r,\theta)</math>. Якщо вектор дотичний до дуги кола, яка утворює нескінченно малий кут <math display="inline">d\theta</math>, як показано на зображенні, то довжина вектора <math display="inline">d\vec l</math> визначається як: <math display="block">\begin{aligned} dl = L d\theta \end{aligned}</math> де <math display="inline">L</math> – радіус кола. Вектор <math display="inline">d\vec l</math> утворює кут <math display="inline">\theta</math> з горизонтальною площиною, а отже, і з вектором <math display="inline">\vec F</math>. Таким чином, скалярний добуток між <math display="inline">\vec F</math> і <math display="inline">d\vec l</math> можна записати як: <math display="block">\begin{aligned} \vec F(\theta) \cdot d\vec l = Fdl\cos\theta=(mg\tan\theta)(Ld\theta)\cos\theta=mgL\sin\theta d\theta \end{aligned}</math> Тепер ми можемо записати інтеграл для роботи, використовуючи область інтегрування, яка базуються на куті <math display="inline">\theta</math>, від <math display="inline">\theta=0</math> до <math display="inline">\theta=\theta_1</math>: <math display="block">\begin{aligned} W&=\int_0^{\theta_1}mgL\sin\theta d\theta\\ &= mgL[-\cos\theta]_0^{\theta_1}=mgL(1-\cos\theta_1) \end{aligned}</math></p></li> <li> <p>[[File:PhysicsArtOfModelling Swingprobgeometry.png|thumb|<span id="fig:workenergy:swingprobgeometry" data-label="fig:workenergy:swingprobgeometry"></span>'''Зображення 7.25.''' Схема, що ілюструє геометрію задачі]]</p> <p>Ми знаємо, що робота, виконана силою <math display="inline">\vec F</math>, дорівнює <math display="inline">W=mgL(1-\cos\theta_1)</math>. Отже, ми хочемо довести, що <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дорівнює <math display="inline">h</math>. Розкриття <math display="inline">L(1-\cos\theta_1)</math> дає: <math display="block">\begin{aligned} L(1-\cos\theta_1)&=L-L\cos\theta_1 \end{aligned}</math> Це проілюстровано у Зображенні [[#fig:workenergy:swingprobgeometry|7.25]], де видно, що <math display="inline">h</math> дорівнює <math display="inline">L-L\cos\theta</math>.</p> <p>'''Обговорення:''' Рівнодійна сил, що впливають на тіло, дорівнює нулю, тому загальна робота також має дорівнювати нулю. Дві сили, що діють на тіло, – це прикладена сила <math display="inline">\vec F</math> і сила тяжіння. Робота, виконана прикладеною силою, дорівнює <math display="inline">mgh</math>, тому робота, виконана силою тяжіння, має дорівнювати <math display="inline">-mgh</math>.</p></li></ol> {{Гортання сторінок|Застосування законів Ньютона}} fqi0s5bp6ueznpkjxafbmky6oekpj8j