Wikibooks zhwikibooks https://zh.wikibooks.org/wiki/Wikibooks:%E9%A6%96%E9%A1%B5 MediaWiki 1.39.0-wmf.21 first-letter Media Special Talk User User talk Wikibooks Wikibooks talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk Transwiki Transwiki talk Wikijunior Wikijunior talk Subject Subject talk TimedText TimedText talk Module Module talk Gadget Gadget talk Gadget definition Gadget definition talk 0 7262 168194 165789 2022-07-25T12:37:40Z 218.109.193.6 /* 附錄一─速算技巧 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ====开方==== {{main|算术/开方}} 开方是乘法的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 === 除法 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] opue8kihbqrtyr42vkjurkblzx40m1s 168195 168194 2022-07-25T12:40:22Z 218.109.193.6 /* 乘法 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ====开方==== {{main|算术/开方}} 开方是乘法的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法#方法}} === 除法 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] 9nv6io7plrw88j6qe8109eyj63suwy5 168196 168195 2022-07-25T12:46:49Z 218.109.193.6 /* 附錄一─速算技巧 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ====开方==== {{main|算术/开方}} 开方是乘法的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] e7im88dovn2dii13vnn1oxtr0bweipq 168197 168196 2022-07-25T14:23:23Z 218.109.193.6 /* 除法速算 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ====开方==== {{main|算术/开方}} 开方是乘法的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，再在下一个数位减去删除的数字，并记录删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，<math>2892-1000=1892</math>。记录<math>1</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，<math>892-100=792</math>。记录<math>1</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，<math>92-70=22</math>。记录<math>7</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，<math>2-2=0</math>。记录<math>2</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] mg2ahwkc292nuqlpkqnsz0hy9m1h4su 168198 168197 2022-07-25T14:42:50Z 218.109.193.6 /* 除法速算 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ====开方==== {{main|算术/开方}} 开方是乘法的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] sqsrtc7ipiyvir7rlm8fq1notmr2me9 168200 168198 2022-07-25T15:07:51Z 218.109.193.6 /* 开方 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ===开方=== {{main|开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] n3eu9umlg02442m0ax6pjgszmmq5ojp 168202 168200 2022-07-25T15:14:05Z 218.109.193.6 /* 开方 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 {| class="wikitable" |+ 一位数二次乘方表 |- ! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 |- | 1 || 4 || 9 || 16 || 25 || 36 || 49 || 64 || 81 |} ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] 5yqkuj6doq9kf38ppr68syq9wlvozb6 168203 168202 2022-07-25T15:46:48Z 218.109.193.6 wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 <!-- === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记[[#乘方表]]一节中的2次乘方。}} --> == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> ===除以7=== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] m7i5j7ds4o694juj4rssj3sws5j1z9o 168204 168203 2022-07-25T16:10:57Z 218.109.193.6 调整目录结构，使之更为合理 wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 <!-- === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记[[#乘方表]]一节中的2次乘方。}} --> == 乘法公式 == 「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> === 特殊公式 === *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] 9hcmx4gekz7rxc76qihupogvl3yfqr7 168205 168204 2022-07-25T16:14:10Z 218.109.193.6 调整目录结构（文中提到的公式是专门用于速算的） wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 <!-- === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记[[#乘方表]]一节中的2次乘方。}} --> === 公式 === 公式可以讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> ==== 特殊公式 ==== *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] n4nfc2g4vb8vhmdezcl4c0i0bacbef6 168211 168205 2022-07-25T17:18:29Z 218.109.193.6 /* 乘方表 */ wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22．4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 <!-- === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记[[#乘方表]]一节中的2次乘方。}} --> === 公式 === 公式可以讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> ==== 特殊公式 ==== *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 125 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 216 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 343 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 512 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 729 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] q16v0tpnwo9bsp0w9pexa0wsyxtq92n 168218 168211 2022-07-25T17:50:19Z 218.109.193.6 wikitext text/x-wiki {{Inuse}} [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22.4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记[[#乘方表]]一节中的内容。}} *10至19的乘方： **<math>(10+a)^2=10(10+a)+10a+a^2</math> === 公式 === 公式可以讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> ==== 特殊公式 ==== *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 125 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 216 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 343 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 512 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 729 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] 9ll76u6jdssd7g4m766q3rs5sjlycd3 168220 168218 2022-07-25T18:09:20Z 218.109.193.6 /* 乘方速算 */ wikitext text/x-wiki {{Inuse}} [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22.4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记{{slink|#乘方表}}一节中的内容。}} *10至19的乘方： **<math>(10+a)^2=10 \times (10+a) + 10a + a^2</math> *20至99的乘方： **同前式，但须将20至99之间的数取近似值至十位，并将原式中的10替换成此数。 === 公式 === 公式可以讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> ==== 特殊公式 ==== *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 125 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 216 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 343 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 512 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 729 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] 2cn5r2x22pqjz70zkrclf4ra7fb4dfy 168242 168220 2022-07-25T19:36:41Z 218.109.193.6 还有其他事情，这个先等会 wikitext text/x-wiki [[Wikibooks:首页|首页]] > [[Subject:索引|維基書架]] > [[数学书架]] > '''算术''' ---- {{Wikipedia|算术}} 以下習題另有[[算术/解答|解答]]，但強烈建議先練習習題，才看解答校正錯誤，而不是先偷看解答。 == 普通算术 == === 數的概念 === *O → 1個O *OO → 2個O *OOO → 3個O *OOOO → 4個O *OOOOO → 5個O *OOOOOO → 6個O *OOOOOOO → 7個O *OOOOOOOO → 8個O *OOOOOOOOO → 9個O *OOOOOOOOOO → 10個O ; {{小学数学-习题图标}}習題： # 以下的圖形共有幾個O？ ## OOOOO → ？個O ## OOO → ？個O ## OOOOOOOO → ？個O ## O → ？個O ## OOOOOO → ？個O # 試畫出指定個數的O： ## 4个O ## 2个O ## 7个O ## 10个O ## 9个O === 數的大小關係 === 哪邊的O比較多？ 1. OOOOOOOO、OOOOO 2. OOOO、OOOOOOOOO 3. OOOOOOOOOO、OOOOOOO 4. OOOOO、OOOOOO 假設有兩個數字，若該數字代表的O比較多，則該數字比較大。 大於、小於符號分別以“<math>></math>”、“<math><</math>”表示，開口一邊的數字比較大，若<math>A<B</math>則稱A小於B，若<math>A>B</math>則稱A大於B。 例子： <math>OOOO>O</math> → <math>4>1</math> → 4大於1 <math>OO<OOOOO</math> → <math>2<5</math> → 2小於5 <math>OOOOOO>OOOO</math> → <math>6>4</math> → 6大於4 <math>OOOOOOO<OOOOOOOO</math> → <math>7<8</math> → 7小於8 === 加法 === 加法的符號是「<math>+</math>」，讀作「加號」，加號前的數稱為「被加數」，加號後的數是「加數」，等號後面的答案稱為「和」，如下例題： <math>1+1=2</math> :<math>\begin{align} {1}\\ +\underline{ 1}\\ {2} \end{align}</math> 1是被加數，它被「加上」某個特定的數值1，也就是加數，得到和2。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>1+4=</math>? # <math>2+3=</math>? # <math>3+1=</math>? # <math>5+4=</math>? # <math>9+0=</math>? # <math>31+5=</math>? # <math>5+36=</math>? # <math>36+11=</math>? # <math>54+45=</math>? # <math>14+12=</math>? # <math>54+32=</math>? # <math>79+12=</math>? # <math>46+14=</math>? # <math>325+249=</math>? # <math>268+526=</math>? # <math>729+164=</math>? # <math>567+420=</math>? === 減法 === 減法的符號是「<math>-</math>」，讀作「減號」，減號前的數稱為「被減數」，減號後的數是「減數」，等號後面的答案稱為「差」，如例題：<math>36-11=25</math> 36是被減數，從这个数中被「減掉」11；导致别的数的数值减少的数就是減數（此例中的11）。36被11減，得到差25。 如果被减数小于减数，就會出現負數。如： <math>36-111=-75</math> 減法也是加法的逆算，若將減數加上差可得被減數，就拿上面的例子來說明： <math>36-11=25</math>，其中36是被減數，11是減數，25是差。 :<math>\begin{align} { 36 }\\ \underline{ -11 }\\ { 25 } \end{align}</math> 將減數11加給25，即<math>25+11=36</math>得到原来的被减数。 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>8-2=</math>? # <math>9-5=</math>? # <math>4-2=</math>? # <math>6-2=</math>? # <math>36-5=</math>? # <math>59-13=</math>? # <math>73-45=</math>? # <math>92-72=</math>? # <math>48-38=</math>? # <math>509-372=</math>? # <math>666-111=</math>? # <math>869-107=</math>? # <math>678-181=</math>? # <math>489-226=</math>? === 乘法 === 乘法的符號是「<math>\times</math>」或「<math>\cdot</math>」，在電腦上常以「<math>*</math>」表示，讀作「乘號」，乘號前的數稱為「被乘數」，乘號後的數是「乘數」，等號後面的答案稱為「積」，如例題：<math>7\times9=63</math>。若乘數及被乘數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。此外，也可於被乘數或乘數加上括號去代替乘號，如例題：<math>7(9)=63</math>。 附錄的[[#乘法表]]，被乘數是1時，不必背誦。背誦其他九九乘法的積時，由簡至難的被乘數順序一般認爲是2、5、4、8、3、6、9、7。 乘法的法則： *交換律：<math>x\cdot y = y\cdot x</math> *結合律：<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math> *分配律：<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math> *<math>x\cdot1 = x </math> *<math>x\cdot0 = 0 </math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\times9=</math>? # <math>4\times3=</math>? # <math>2\times7=</math>? # <math>7\times8=</math>? # <math>3\times9=</math>? # <math>36\times11=</math>? # <math>65\times45=</math>? # <math>12\times12=</math>? # <math>85\times74=</math>? # <math>31\times70=</math>? # <math>69\times45=</math>? # <math>67\times54=</math>? === 除法 === 除法的符號是「<math>\div</math>」，或以分線表示，在電腦上常以「<math>/</math>」表示，它們均讀作「除號」，除號前的數稱為「被除數」，除號後的數是「除數」，等號後面的答案稱為「商」，如例題：<math>63\div7=9</math>。若除數及被除數是10或以下，那麼我們便要依賴乘法表來計算。另外，部分數被除後可能出現循環小數或無限小數，那麼便需要轉化成分數來表示（有關小數和分數的資料，將會在下章介紹）。<br /> 另外，除的意義為「將一份平均地分為多份」，因此所有數除以零是無效(meaningless)的。 除法可以解讀成「重複的減法」。 例如 :<math>6 \div {\color{Orange}3} = 2 </math> ，就好像<math>6-{\color{Orange}3}-{\color{Orange}3}=0</math>，<math>6-{\color{Orange}3}=3,3-{\color{Orange}3}=0 </math>，<math>6</math>被<math>{\color{Orange}3}</math>減了兩次就變成<math>0</math> <math>36 \div {\color{Orange}11} </math> = ? <math>36-{\color{Orange}11}=25</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=14</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=3</math> <math>36-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}-{\color{Orange}11}=-8</math>，因值已經低於0了，不能採用！ <math>36</math>被<math>{\color{Orange}11}</math>連減了3次，<math>36-11-11-11=3</math>就是餘數。所以<math>36 \div 11</math> = 3餘3 除法的法則： *<math>x/1 = x </math> *<math>x/x = 1</math> (<math>x</math>≠<math>0</math>) *<math>x/0</math> = ∞，無窮大 *<math>0/0</math> = 不定值 *<math>-x/0</math> = 負無限 ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>9\div3=</math>? # <math>4\div1=</math>? # <math>7\div7=</math>? # <math>8\div4=</math>? # <math>5\div5=</math>? # <math>64\div8=</math>? # <math>72\div9=</math>? # <math>24\div6=</math>? # <math>56\div8=</math>? # <math>168\div4=</math>? # <math>750\div5=</math>? # <math>627\div3=</math>? # <math>50\div3=</math>? ===乘方=== <math>b^n</math>等同於<math>b</math>自乘 <math>n</math>次，即<math>b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n</math>。 ===开方=== {{main|算术/开方}} 开方是乘方的逆运算。 === 四則運算=== 所谓四则运算，是指数与数之间的加、减、乘、除这四种基本运算。括號<math>( )</math>之内的部份要先計算，然後四則運算要'''先乘除後加減'''。 例题：<math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> 上題為： <math>(36+5-1*5)*5/5+5</math> <math>=(41-5)*5/5+5</math> <math>=36 \times 5 \div 5+5</math> 在此步看見<math>\times 5</math>與<math>\div 5</math>可以把他們相約 改寫為<math>36+5=41</math>也稱跳步 <math>=180/5+5</math> <math>= 36+5=41</math> ;{{小学数学-习题图标}}習題： # <math>(10+3)\times5=</math>? # <math>6\times6+5=</math>? # <math>4\times6+39=</math>? # <math>396\div11+11=</math>? # <math>36+[(36+5)\times2-11\times7]=</math>? === 小數與分數 === *小數就是整數和整數之間的數。整數和小數之間會有一個點，稱為「小數點」。例：3.5 ,4.5 ,8.45. *分數類似小數，表示方式是在兩個數字之間加上一條線。通常下面是分母，代表共有多少份。上面是分子，也就是佔多少份。例:5/3 ;{{小学数学-习题图标}}習題： 請分辨出分數和小數. * 3.5 * 2/5 * 6.7 * 5/3 * 10/13 * 4.7 === 百分率 === 百分率亦類似小數，表示的方法是在一個數字後加上百分比符號"%"。100%亦等於1。百分率的用途有很多，包括：計算機率、表示數量等。例：35%, 48%.<br /> 注意："%"的意思是百分之一，並不是除以100。 <!-- === 小數、分數與的互換 === === 有向數 === ==== 習題 ==== === 率與比 === ==== 習題 ==== === 指數及其定律 === ==== 習題 ==== === 有理數及無理數 === ==== 習題 ==== == 代數 == === 代數的表示 === ==== 習題 ==== === 多項式的加法及減法 === ==== 習題 ==== === 一元一次方程 === ==== 習題 ==== === 一元一次不等式 === ==== 習題 ==== === 二元一次方程 === ==== 習題 ==== === 恆等式 === ==== 習題 ==== === 多項式乘法及因式分解 === ==== 習題 ==== === 多項式除法 === ==== 習題 ==== === 一元二次方程 === ==== 習題 ==== === 二元二次方程 === ==== 習題 ==== === 一元二次不等式 === ==== 習題 ==== == 幾何 == == 函數 == === 基本函數及概念 === === 指數函數及對數函數 === === 三角函數 === --> ==附錄一─速算技巧== 自古以来，人们总结了很多速算技巧。利用这些技巧，在很多情况下，能够极大地提高人们的计算速度。 === 减法速算 === *兩數交叉型減法速解法： **例如：<math>63-36=(6-3)*9=27</math>（由6和3所組成的算式，6用3去減，再乘以9）。 *10的n次方减某数： **<math>10000-1173</math>，速算法為将<math>10^n</math>视为<math>9 \times 10^{n-1} + 9 \times 10^{n-2} + 9 \times 10^{n-3} + ... + 9 \times 10^2 + 10</math>，并分拆各数位{{nowrap|（<math>10000-1173=(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)</math>）}}，然后各数位相减{{nowrap|（<math>(9000+900+90+10)-(1000+100+70+3)=(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)</math>）}}，得出最终结果{{nowrap|（<math>(9000-1000)+(900-100)+(90-70)+(10-3)=8827</math>）}}。 === 乘法速算 === *乘以5的数： **数字乘以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36乘以10{{nowrap|（<math>36 \times 10= 360 </math>）}}，再将结果除以2{{nowrap|（<math>360 \div 2 = 180</math>）}}。 *乘以11的數： **兩位數乘以11：<math>36 \times 11</math>，速算法為將６、３兩數之和{{nowrap|（<math>6+3=9</math>）}}，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 11=396</math>。 **三位數乘以11：<math>536 \times 11</math>，速算法為將<math>3+5</math>、<math>6+3</math>插入5、6的中間，即<math>536 \times 11=5896</math>。 **四位數乘以11：<math>3636 \times 11</math>，速算法為將<math>3636</math>拆成<math>3600+36</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>3600 \times 11=39600</math>，<math>36 \times 11=396</math>，故<math>3636 \times 11=39996</math>。 ***<math>1173 \times 11</math>，速算法為將<math>1173</math>拆成<math>1100+73</math>，再用<math>11</math>去乘它們，又<math>1100 \times 11=12100</math>，<math>73 \times 11=803</math>，故<math>1173 \times 11=12903</math>。 *乘以111的數： **兩位數乘以111：<math>36 \times 111</math>，速算法為將６、３兩數之和<math>6+3=9</math>，加兩次，插入36的中間，(如和超過10則進位)，即<math>36 \times 111=3996</math>。 **三位數乘以111：<math>536 \times 111</math>，速算法為將<math>536</math>拆成<math>500+36</math>，再用<math>111</math>去乘它們，又<math>500 \times 111=55500</math>，<math>36 \times 111=3996</math>，故<math>536 \times 111=59496</math>。 *兩位數乘以121：<math>36 \times 121</math>，速算法為將<math>36 \times 121</math>拆為<math>36 \times 11 \times 11=396 \times 11= 4356</math>。 ==== 格子乘法 ==== {{main|w:格子乘法}} 第一步：画带斜线的格子，将第一数（58）写在格子顶部，第二数（213）书写着格子的右侧如图，格子斜线下方写下乘积的个位数，格子斜线之上写入乘积的十位数。 [[File:Example of step 1 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第一步]] 第二步：将每个格子顶上数字与同一格子右边的数字相乘，将乘积逐个写入格子内，然后自下而上按斜线将数字相加，将所得的和写在格子图之下或左边： * <math>4 = 4</math>，将4写在斜线对齐的格子图下边。 * <math>8 + 2 + 5 = 15</math>，将和的个位数“5”写在斜线对齐的格子下边，十位数进位到下一位斜线中如图 * <math>6 + 5 + 1 + (1) = 13</math>，将和的个位数写在斜线对齐的格子边上（左边），将十位数进位。 * <math>1 + (1) = 2</math>，记入格子左边 * <math>1 = 1</math> [[File:Example of step 2 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第二步]] 第三步：从格子左边自上而下，接格子下边自左至右，读出乘积：12354 所以 <math>58 \times 213 = 12354</math> [[File:Example of step 3 of lattice (shabakh) multiplication algorithm.svg|center|frame|第三步]] === 除法速算 === *除以5的数： **数字除以5：<math>36 \times 5</math>，速算法為將36除以10{{nowrap|（<math>36 \div 10= 3.6 </math>）}}，再将结果乘以2{{nowrap|（<math>3.6 \times 2 = 7.2</math>）}}。 *除以11的数： **数字除以11：<math>12892 \div 11</math>，速算法为从左侧依序删除数字，并记录删除的数字，然后再在下一个数位减去删除的数字。 *#<math>12892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2892</math>，记录<math>1</math>。<math>2892-1000=1892</math>。 *#<math>1892</math>从左侧删除一位数字之后为<math>892</math>，记录<math>1</math>。<math>892-100=792</math>。 *#<math>792</math>从左侧删除一位数字之后为<math>92</math>，记录<math>7</math>。<math>92-70=22</math>。 *#<math>22</math>从左侧删除一位数字之后为<math>2</math>，记录<math>2</math>。<math>2-2=0</math>。 *#最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>1172</math>。 *#*下方为遇到特殊情况时的处理方式：<math>2134 \div 11</math>。 *##<math>2134</math>从左侧删除一位数字之后为<math>134</math>，记录<math>2</math>。 *##但<math>134-200</math>的结果为负数：此时将将原先记录的数字减1，改记录<math>2-1=1</math>；然后将减数的首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>1134-100=1034</math>。 *##但此时结果的前两位数字为<math>10</math>，无法进行下一步行动，否则会陷入死循环。此时应该将<math>10</math>视为一个独立的数位整体，然后执行下一步行动。 *##<math>1034</math>从左侧删除（技术上的）一位数字之后为<math>34</math>，记录<math>10</math>。<math>34-100</math>的结果为负数。 *##此时将原先记录的数字减1，改记录<math>10-1=9</math>。然后将减数的（技术上的）首数位减一，并在被减数的首数位前添加数位1，得<math>134-90=44</math>。 *##<math>44</math>从左侧删除一位数字之后为<math>4</math>，记录<math>4</math>。<math>4-4=0</math>。 *##最后将从左侧依序删除的数字按照数位顺序串联成一个完整的数字：<math>194</math>。 ====除以7==== 7是一个很特殊的数字，而求除以7的小数值往往令人头疼。其实除以7的计算中蕴藏着一个非常简单的规律。请看： <math>1\div7=0.142857142857...</math> <math>2\div7=0.285714285714...</math> <math>3\div7=0.428571428571...</math> <math>4\div7=0.571428571428...</math> <math>5\div7=0.714285714285...</math> <math>6\div7=0.857142857142...</math> 看出规律来了没有？<math>1\div7=0.14,28,57</math>，后面的数刚好是前面的两倍，<math>28\times2=56</math>，而<math>56\times2</math>刚好进一位就成57了。而后面<math>2\div7</math>，<math>3\div7</math>，<math>4\div7</math>，<math>5\div7</math>，<math>6\div7</math>正好都是这个串中的一段，只是起始位置不同而已。因此只要记住142857这个串，就可以很容易的算出所有除以7的值。<br /> 在高中化学中，这一规律是非常有用的。有这样一个定理：1摩尔任何气体的体积都接近于22.4升。而<math>22.4=3.2\times7</math>，<math>3.2\times10=32=2^5</math>，在计算中，3.2这个因子是很容易约去的，而知道除以7的规律，这种计算往往就变得很快了。 === 乘方速算 === {{Selfref|建议阁下在阅读此节前先阅读并熟记{{slink|#乘方表}}一节中的内容。}} *10至19的乘方： **<math>(10+a)^2=10 \times (10+a) + 10a + a^2</math> *20至99的乘方： **同前式，但须将20至99之间的数取近似值至十位，并将原式中的10替换成此数。 === 公式 === 公式可以讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。 #分配率：<math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!</math> #和平方：<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\!</math> #三數和平方：<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\!</math> #差平方：<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\!</math> #平方差：<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\!</math> #和立方：<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\!</math> #差立方：<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\!</math> #[[/立方和/]]：<math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> #[[/立方和/|立方差]]：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\!</math> #<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\,\!</math> #<math>a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\,\!</math> ==== 特殊公式 ==== *<math>1^2+1=2^2-2</math> *<math>2^2+2=3^2-3</math> *<math>3^2+3=4^2-4</math> *<math>4^2+4=5^2-5</math> *<math>99^2+99=100^2-100</math> {{小学数学-习题图标}} 已知<math>1134^2 + 1134 + 2270 + 1136 + 121 + (24200 + 792) = a^2 \quad (a >0)</math>，求a的值。 解答：<br /> <math> \begin{array}{l} a^2 & = 1135^2 - 1135 + 2270 + 1136 + 121 + (2200 + 72) \times 11 \\ & = 1135^2 + 2270 + 1 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = (1135 + 1)^2 + 121 + 2272 \times 11 \\ & = 1136^2 + 11^2 + 2272 \times 11 \\ & = (1136 + 11)^2 = 1147^2 \\ \Rightarrow & a = 1147 \end{array} </math> == 附錄二─各種表格 == === 加法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | + | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘法表 === {| border="0" width="100%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | × | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 35 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 42 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 32 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 40 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 48 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 56 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 45 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 54 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 63 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 72 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 　 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |} === 乘方表 === {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ^ | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 8 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 27 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 125 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 36 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 216 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 49 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 343 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 64 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 512 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 81 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 729 |} === 對數表 === ==== 常用對數表 ==== {| border="0" width="40%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | log | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 0 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0000 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0043 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0086 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0128 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0170 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0212 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0294 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0334 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0374 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0414 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0453 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0531 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0569 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0607 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0645 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0682 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0719 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0755 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0792 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0828 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0864 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0899 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0934 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0969 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1004 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1038 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1072 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1106 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1173 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1206 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1239 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1271 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1303 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1335 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1367 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1399 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1430 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1461 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1492 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1523 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1584 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1614 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1644 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1673 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1703 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1732 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1761 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1790 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1818 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1847 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1875 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1903 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1931 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1959 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1987 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2014 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 16 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2041 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2068 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2095 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2122 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2148 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2175 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2201 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2227 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2253 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2279 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 17 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2355 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2380 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2405 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2430 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2455 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2480 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2504 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2529 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 18 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2553 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2577 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2601 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2625 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2648 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2672 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2695 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2718 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2765 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 19 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2788 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2810 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2833 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2878 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2900 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2923 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2967 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2989 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 20 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3010 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3032 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3054 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3075 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3096 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3118 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3139 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3160 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3181 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3201 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 21 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3222 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3243 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3263 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3284 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3304 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3324 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3345 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3365 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3385 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3404 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 22 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3424 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3444 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3464 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3483 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3522 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3541 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3560 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3598 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 23 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3617 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3636 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3655 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3674 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3692 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3711 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3729 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3747 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3766 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3784 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 24 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3802 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3820 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3838 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3856 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3874 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3892 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3909 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3927 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3945 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3962 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 25 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3979 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 3997 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4014 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4031 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4048 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4065 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4082 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4099 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4116 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4133 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 26 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4150 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4166 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4183 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4200 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4216 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4232 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4249 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4265 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4281 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4298 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 27 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4314 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4330 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4346 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4362 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4378 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4393 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4409 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4425 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4440 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4456 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 28 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4472 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4487 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4502 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4518 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4533 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4548 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4561 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4579 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4594 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4609 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 29 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4624 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4639 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4654 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4669 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4683 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4698 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4713 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4728 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4742 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4757 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 30 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4771 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4786 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4800 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4814 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4829 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4843 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4857 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4871 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4886 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 4900 |} ==== 自然對數表 ==== {| border="0" width="15%" id="table1" cellpadding="0" style="background-color: #CCCCFF" |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | ln | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 1 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 2 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 0.693147180559945 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 3 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.09861228866811 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 4 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.386294361119891 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 5 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.6094379124341 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 6 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.791759469228055 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 7 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 1.945910149055313 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 8 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.079441541679836 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 9 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.19722457733622 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 10 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.302585092994046 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 11 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.397895272798371 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 12 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.484906649788 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 13 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.564949357461537 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 14 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.639057329615258 |----- | bgcolor="#C0C0C0" align="center" | 15 | bgcolor="#FFFFFF" align="center" | 2.70805020110221 |} <!-- == 附錄三─自然數的嚴格定義 == === Peano公理 === === 習題 === --> [[Category:數學]] tu0s4chmm4xpaejm2arlwrrnxb8sxor 10 9468 168289 134473 2022-07-26T04:35:03Z Ericliu1912 38749 wikitext text/x-wiki <div style="width: 100%; margin: 0.2em 0; padding: 0.3em 0 0.3em 0; border-top:1px solid #DDD; border-bottom:1px solid #DDD; font-size: 120%;">'''您好，{{PAGENAME}}！[[Wikibooks:欢迎|歡迎]]来到[[Wikibooks:关于维基教科书|维基教科书]]！'''</div> [[檔案:Wikibooks-logo.svg|100px|right]] 这里包括[[W:内容开放|内容开放]]的教科书及手册。目前总共有[[Special:Statistics|{{<includeonly>subst:</includeonly>NUMBEROFARTICLES}}]]页教科书及手册。 *在开始进入维基教科书的世界之前，请先浏览'''[[Wikibooks:欢迎|欢迎]]'''以及'''[[Wikibooks:关于|关于]]'''。 *如果您有什么问题，欢迎到'''[[Wikibooks:互助客栈|互助客栈]]'''，或在我的对话页面提出。亦可以參考'''[[Wikibooks:其他语言版的维基教科书|其他语言版]]'''與'''[[Help:目录|帮助手册]]'''。 *您可以在'''[[Wikibooks:首頁|首頁]]'''按主题浏览或參與編寫您所感興趣的維基教科書。 *编辑後加入某段讨论时请加入'''您的签名和签名时间'''，只需打上四个英文波浪号(<nowiki>~~~~</nowiki>)便可。 *最後，我們希望您可以'''[[w:Wikipedia:勇于更新页面|勇于编辑]]'''。希望您会喜欢这里！我是歡迎您的[[Wikibooks:維基教科書人|維基人]]：<includeonly>~~</includeonly><includeonly>~~</includeonly> *<div lang="en" style="font-style: italic; font-size: 90%;">Welcome to Chinese Wikibooks. Thank you for your contributions! If you don't prefer to use Chinese, you may leave a message [[wikibooks:Guestbook|Guestbook]]. When looking for further information, feel free to visit [[Wikibooks:互助客栈|Mutual Aid Center]]. Enjoy!</div><noinclude>[[Category:歡迎模板]]</noinclude> sma56kw6j2j46r2rv3iacf46i6yhssm 10 14044 168290 137535 2022-07-26T04:35:14Z Ericliu1912 38749 wikitext text/x-wiki <!---------- Welcomeip 模板开始 ----------> <div style="width: 100%; margin: 0.2em 0; padding: 0.3em 0 0.3em 0; border-top:1px solid #DDD; border-bottom:1px solid #DDD; font-size: 115%;">'''您好！[[Wikibooks:欢迎，新来者|欢迎]]来到维基教科书。'''</div> <div style="font-size:95%;"> 您可以继续以匿名身份參與，但這會暴露你的[[w:IP位址|-{zh-hans:IP地址;zh-hant:IP位址}-]]，不妨考虑'''[[Help:如何登录#.E4.B8.BA.E4.BB.80.E4.B9.88.E8.A6.81.E7.99.BB.E5.BD.95.E5.88.B0.E7.BB.B4.E5.9F.BA.E7.99.BE.E7.A7.91|登录]]'''。另請注意：''' #'''[[Wikibooks:版权信息|尊重著作权]]'''，不要随便转贴文章。'''侵权內容会被删除。''' #到[[Wikibooks:沙盒|沙盒]]进行试验和练习，熟悉[[Wikibooks:如何编辑页面|编辑]]操作，同時參閱[[Wikibooks:使用指南|使用指南]]。 #加入广告、有版权的文字、胡亂删改、或作出人身攻擊，均是[[Wikibooks:破坏|破坏行为]]，可能导致'''[[Wikibooks:封禁|封禁]]'''。 </div> 如果有任何问题，您可以編輯这一页，输入'''<nowiki>{{helpme}}</nowiki>'''，或者到[[Wikibooks:互助客栈|互助客栈]]查询，[[Wikibooks:維基教科書人|维基人]]很乐意帮助！<br/>''<span lang="en"><span style="font-size:small;">Welcome to the Chinese Wikibooks! If you have any questions, [[Wikibooks:互助客栈|please leave us a message]]. Thank you for visiting Chinese Wikibooks!</span></span>''<br/>我是歡迎您的[[Wikibooks:維基教科書人|維基人]]：<includeonly>~~</includeonly><includeonly>~~</includeonly><noinclude>[[Category:歡迎模板]]</noinclude> 48rrim24ydonp98g9jpzf3pwdyzo67x 4 22400 168333 125080 2022-07-26T08:10:14Z 218.109.193.6 /* 破坏类型 */ 改链接到维基百科 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WB:-(|WB:VAN|WB:VANDAL|WB:PH}} '''破壞'''經常是指通过增删或修改内容，'''故意'''危害维基教科书正确性与完整性。例如故意把正常内容替换成猥亵的、诽谤的、或者其他不相关的内容。 '''我们绝不容忍一切破坏'''。虽然我们鼓励维基人先[[#警告模板|警告]]再[[维基教科书:封禁方针|封禁]]破坏者，但管理员实施封禁之前，未必需要先行警告。 尽管有些维基人的行為可能違反維基社群的共識或守則，但只要他们怀有改进维基教科书的[[WB:假定善意|善意]]，那就'''不算'''破坏。另外，[[WP:编辑战|编辑战]]也不算破坏。您须仔细考虑，方能区分到底哪些改动有益，哪些是好心办了坏事，而哪些是破坏。如果把善意改动指认为破坏，反倒不妙。 任何人有权[[#如何認出破壞|发现]]并[[#處理破壞|处理]]破坏，如果阁下不能处理破坏，請[[WB:當前的破壞|汇报]]并寻求他人帮助。 2002年[[IBM]]的研究表明，英文維基百科全書大多數明显的或清空頁面的破坏會在五分鐘內被[[WB:如何把頁面恢復到早期版本|修復]]。但是，破坏仍然可能影响所有用户，在您編輯一個頁面之前，不妨先查看一下該頁面的歷史，看看是否有漏網的破壞。 不是所有破壞都是顯眼的，亦不是所有大量的或有爭議的修改皆是破壞，在確認新數據或資料是否正確，或是善意動機下的錯誤，或是全然的破壞時需小心。 == 破坏者級別 == '''破坏者'''的類別分為兩種： ===一般破坏者=== *添加一些乱七八糟的广告或无意义条目 *仅使用单一或者少量的IP地址 *破坏过程是手动的 *使用脏话辱骂他人 *一些比较无聊的人，一般沒有計劃 ===超级破坏者=== *了解HTTP协议和基本网络编程 *利用程序编写的机器人进行破坏 *破坏过程是大量的、自动的、电子化手段的 *一般有計劃地進行 == 破坏类型 == 下面列出維基百科最常見破坏类型。 ;{{anchors|d|D|delete|DELETE}}清空頁面： :將已創建好的頁面完全刪除或將部分資料移除，有些人會用一些褻瀆的言語將原來頁面覆蓋。 ;过度扩充页面： :加入过多重复的、无意义的内容。 ;[[WB:广告|广告]]性破坏： :在文中持续进行广告或自我宣传。但非为广告目的之编辑内容（如有可靠来源评述的经典广告词或书评等）不在此限。 ;{{anchors|bot|BOT}}机器人破坏： :指以[[WB:机器人|脚本或者“机器人”]]來试图破坏或者插入广告的形式修改“众多”（成百上千）的條目、空白，或者商業連結。（如[[WP:BOTVAND]]） ;稚氣的破坏： :在文中加插塗鴉、或把某些內容替換為某些言語。 ;无聊破坏： :用户有时候会创建一些笑话条目（[[WB:壞笑話和刪除的胡話|壞笑話]]，[[:en:WB:Bad jokes and other deleted nonsense|bad jokes]]）或者用看似有道理的无聊东西取代或者扩充原内容。 ;{{anchors|ghost|GHOST}}鬼祟破坏： :指那些很难被发现的破坏者。发布假消息，竄改数据，细看才能发现的掉包和排版错误。 :;隐藏可复制内容破坏： ::隐藏一些可复制的内容至页面，当复制粘贴的时候，隐藏的内容也会粘贴进去。注意：你也不能通过这个方法起到版权保护的目的！ :;添加过于冗长的注释： ::添加内容很长的注释内容，不会被复制，但是会影响编辑。 ;引人注目的破坏者： :加入一些攻击性文章，使用敌意帐号，和将文章改成笑话，引起維基人的關注。（参见[[WB:不要人身攻擊]]） ;{{anchors|user|USER}}用戶頁破坏： :惡意修改或移動他人（特别是管理员）的[[WB:用户页|用戶頁]]。（参见[[WB:不要人身攻擊]]） ;{{anchors|pic|PIC}}圖片破坏： :上載有版權的圖片，使用恶意的卡通GIF文档等等。 ;{{anchors|tmp|TMP|temp|TEMP}}模板破坏： :把上述破壞信息加入模板。 ;{{anchors|move|MOVE}}移動頁面的破坏： :用一些令人反感或毫無關係的名稱取代原來的頁面名稱，或胡亂將頁面移至其他名字空間，令其他用戶找不到該頁面；或者采用手工剪贴条目内容方式移动条目（警告用模板：{{tls|Uw-c&pmove}}）。事實上，维基教科书只容許[[WB:自動確認用戶|自動確認用戶]]移動頁面，而且必須列出移動的原因。無法一般移動的頁面應該至[[WB:移動請求]]申請。另外，利用移動，將頁面搬到用戶名字空間再提請速刪的做法亦屬破壞。 ;{{anchors|r|R|RDR}}破坏性重定向： :將一些頁面重定向至一些令人反感的圖像或頁面，或重定向到一些錯誤的頁面。此外，故意干扰頁面被移动后产生的重定向亦為破坏，例如清空原本指向讨论页的重定向，令关联页面不能通过重定向连往该讨论页等。如果你發現页面命名有误而必须移动，应於移動後直接把舊頁面提刪或速刪，用户不应自行把重定向页面的语法删除，使重定向失效。 ;{{anchors|link|LINK}}破坏性連結： :重寫頁面，使內裡的[[超連結]]看起來和原來的一樣，但連結至錯誤的版面，就像這樣：<nowiki>[[盤尼西林|香港]]</nowiki>（看起來它連至[[香港]]条目，但事實上却連結至[[盤尼西林]]条目。） ;{{anchors|warn|WARN|wt|WT}}未说明理由擅自加入警告模板： :未说明理由擅自将警告性[[Help:模板|模板]]（诸如<nowiki>{{vfd}}、{{copyvio}}、{{substub}}、{{notchinese}}</nowiki>等）加入页面，企图使管理员将这些条目删除。 ;{{anchors|remove|REMOVE}}移除警告模板： :將警告性[[Help:模板|模板]]（诸如<nowiki>{{vfd}}、{{copyvio}}</nowiki>等）移除，以阻止管理員將有問題的版面及條目修改或者刪除。 ;破坏他人留言： :擅自刪除或修改別人在討論頁中有签名的留言及評語，歪曲其意思。除了含有人身攻擊或侵权的討論留言我們需要將其刪除外，請尊重任何一位維基人在維基百科討論中的意見。 ;破坏正式方针： :对不同意的[[WB:方针与指引|维基教科书正式方针]]内容不经过讨论直接删除或者改动。但是，对方针正常的文字修改不是破坏。 ;{{anchors|copyvio|COPYVIO}}侵權性破壞： :将明知有版权的内容加入维基教科书，而违反维基教科书版权方针的行为是破坏。但因为用户可能不知道所添加的内容侵权或者不明了维基教科书反对侵权的方针，所以只有当用户被告知相关反对侵权方针内容之后仍重复侵权行为才是侵权性破坏。 ;{{anchors|es|ES|summary|SUMMARY|}}编辑摘要破坏： :在编辑摘要内写入令人反感的内容。 ;創建新用户破壞： :用一些令人反感的名字建立新用戶也被視為一種破壞，即使這用戶或許不會被使用，参见：[[WB:用户名]]。 ;{{anchors|lang|LANG}}繁简破坏： :無正當理由下，故意将页面的-{zh-hans:源代码;zh-hant:原始碼}-全部或部分替换成繁（简）体，在收到其他维基人提示后不作出合理的解释并依旧进行手工繁简替换的行为，会被视作破坏。但是，为了修正系統转换错误或繁简混杂造成的链接错误而将相应内容替换成繁（简）体的行为不是破坏。（參見[[Help:中文维基教科书的繁简处理]]） :<span style="color:red">'''请注意：若您的浏览器安装了[[w:同文堂]]等繁简转换软件或可以中文繁简转换的[[w:移动应用程序]]，请在编辑时将其关闭或移除。'''</span> ;{{anchors|lang2|LANG2}}地區名稱破壞： :刻意將原有的翻譯名稱、轉換標籤內容進行替換、取代、刪除動作，保留下某地區的名稱，經勸阻無效者，會被視為破壞。經討論取得共識後的-{zh-hans:操作;zh-hant:作業}-則不在此限。（參見[[Help:進階繁簡處理]]） ;{{anchors|npa|NPA|attack|ATTACK|harass|HARASS}}持续对其他用户进行不文明行为之破坏： :维基教科书有明确的[[WB:不要人身攻擊|不要人身攻擊]]方针，而[[WP:HARASS|骚扰]]其他维基人也是不允许的。 ;{{anchors|3rr|3RR|wheel|WHEEL}}持續編輯戰或違反回退不過三原則： :一些用户不能同别人达成共识，甚至不顾其他所有人的反对顽固地进行编辑，在一般情况下这属于编辑争议，并非破坏，请参考[[WB:争议的解决]]。但若用户违反[[WB:回退不过三原则|回退不过三原则]]，或在极端情况下持续进行[[WB:编辑战|编辑战]]，也属于破坏。 ;持续干犯其他方针与指引之破坏： :维基教科书有许多现行的方针与指引，这些规范都得到了社群的共识并应该被遵守。如果某一用户不断地违反某项方针或指引，这属于破坏。 ;游戏维基规则： {{main|WB:不要為闡釋觀點而擾亂維基百科}} :'''游戏维基规则'''是为了反对维基教科书政策，而使用维基教科书规则。通常这类行为是扰乱性，甚至破坏性的。一个简单的例子就是每天回退一个条目的编辑三次，而不违反任何规则以保持“清白”。这样做就是在没有违反维基教科书原则的情况下对维基发展进行扰乱（如[[Special:用户贡献/Histshin]]、[[Special:用户贡献/Naruto239377]]）。 ;页面显示破坏： :添加一些影响页面显示的内容。 :;鬼祟页面显示破坏： ::添加特定的代码使一些按钮和链接等内容无法使用而不影响显示。 ;不当签名： :使用违反[[WB:签名]]格式要求的签名。 ==哪些不是破坏行为== 下列事项不属于破坏行为，尽管有时有人这样认为。这些应当被区别对待： ;新用户的试验： :新用户点击“编辑本页”按钮看是否真的可以编辑页面，于是写入一些东西试验。这不是破坏！与之相反，对这些人要[[WB:不要伤害新手|热情鼓励]]，引导他们至[[WB:沙盒|沙盒]]（例如：使用[[Template:Uw-test1|test]][[Help:模板|模板]]），使他们能继续练习。 ;学习维基的标记语言和格式： :有些用户需要一段时间学习标记语言和维基内容的格式，在这段时间裡，他们可能进行一些试验。与其将其归入破坏行为，不如给他们一些积极的帮助，并引导他们阅读[[WB:如何編輯頁面]]等帮助文章。 ;違反[[WB:中立的觀點|中立的觀點]]： :我们很多人可能很难理解维基教科书这一方针，即使很多维基老手偶尔也会加入不适合中立观点的内容。其实，我们所有人都或多或少的被自己的信仰所影響，這方面不算破壞。 ;[[WB:勇于更新页面|勇敢的编辑]]： :维基人经常为改进文章而对其做改头换面的编辑，因为维基教科书就是这样鼓励我们的。有时候一个人看到自己辛辛苦苦撰写的内容被彻底删除或改写，或者转移到讨论页，很容易联想到破坏，但这些编辑行为不是破坏。 ;不可预料： :有的人用一种不寻常的编辑方法，也不算是破坏。打個比方，不熟悉[[現代標準漢語]]的用戶，可能會在擴充條目時會有些許文法上的問題，使得一般用戶不易理解。 如：「[[日本拉麵|拉麵]]興於日本，始由明治時代開港時，於[[橫濱]]出現的[[橫濱中華街|中國人街]]的中華料理店」。 這不能看作是古怪的破坏或是機器翻譯條目，只是新手，要友善地告訴他如何更適當的潤飾文字，不要全盤否定以及打击。 ==如何認出破壞== 這裡收集了一些如何認出破壞的提示。一旦你找到它，閱讀[[Help:如何把頁面恢復到早期版本]]。 ;通过监视检查破坏： :在自己的[[Special:监视列表|监视列表]]中的条目的修改会显示出来并有字节变化记录。如果发现字节数有大幅的减少，那么很可能是遭到了清空破坏。如果发现字节数大幅增加，也应该看一看（可能加入了侵犯版权的内容）。 :需要注意的是，監視列表只能顯示最後一次編輯的變化情況。不懷好意的破壞者可能會進行數次破壞，或者破壞後進行正常編輯以避免引起注意。 ;被匿名用戶破壞： :不少破壞均是由沒有帳戶的匿名IP所做的，欲查看在匿名IP所作出的破壞，可使用[[Special:Recentchanges|最近更改]]頁面內建的[[Special:Recentchanges/hideliu|隱藏已登入用戶]]功能，這可分流出一些可疑破壞的修改，由於匿名IP不可點選「小修改」，因此也可使用[[Special:Recentchanges/hideminor|隱藏小修改]]的功能，去查找破壞，點選「差異」即可看到新舊文章被修改的地方。 ;被新使用者破壞： :新使用者可疑的破壞[[Special:Contributions/newbies|用戶貢獻]]会显示出人们创建的维基条目最近的修改。请不要把故意破坏与[[WB:不知所措的新手|不知所措的新手]]相混淆。 ;新建條目的破壞： :像破壞存在的頁面，使用者常常新建充滿破壞的條目。[[Special:Newpages|新页面]]是一個容易發現破壞的地方。页面大小紧挨着标题，你可显著地发现很小的页面。具有荒谬标题的[[Special:Newpages|新页面]]也容易发现，可能到处都是。参见[[WB:检查新页面]]尝试调整新页面。 ;高知名度頁面的破壞： :一些經常被參觀的頁面是破壞者故意破壞的高危目標。最容易察覺破壞的方法是把這些頁面加入你的監視列表和並且通常檢查他們，要特別留意匿名編輯。 :任何一個頁面從[[首頁]]連結很可能成為破壞者的目標。[[WB:编辑首页]]给出了首页上的所有内容模板。检查这些模板可以发现对首页链接的页面进行的修改和有助于发现可能的破坏。 ;普通的破壞： :普通的破壞只是一些等同塗鴉的行為，例如在一個頁面內寫上添加不恰當的內容（例如：樂天愛小慧），把整個頁面的文字刪除，以帶有侮辱性的文字或口號替換，或其它不成熟的惡作劇。 :有些用户点击编辑工具条后直接将页面存档，这样造成的结果通常介于破坏和新手试验之间。比如如下的内容： :<nowiki> '''粗体文字'''''斜体文字''[[链接标题]]<math>此处插入公式</math></nowiki> :可以使用Google搜索相应的文字发现这类错误。 :类似于上述工具条错误，示例图像和媒体也存在同样的问题。检查那些条目中使用了[[:File:Example.jpg]] 和[[:File:Example.ogg]]可以发现这类错误。 ;反复的破坏： :如果你发现了涂鸦或破坏行为，你可以点击页面顶部的“历史”然后点击破坏者的用户名或IP地址。然后，点击屏幕左边的“用户贡献”，这样你就可以看到该用户所有的编辑历史。也许你会发现这个用户以往进行的破坏行为。 ==處理破壞== 如果您發現破壞，请[[Help:回退|修復]]它。但修復時請小心複查頁面的[[Help:页面历史|編輯紀錄]]，因為有時候條目會累積數次破壞，有時候用戶不留意破壞而繼續對被破壞的版本進行編輯，也有時候[[WB:機器人|機器人]]嘗試對被破壞的版本進行修復，但因故而令破壞加劇。因此，回退時請確保您已把條目回復到一個「清潔」的版本。如果您不清楚哪個版本才是最「清潔」的版本，請以您的常理推斷，並於回退後在條目討論頁留言通知其他關心同一條目的維基人協助處理。 此外，留下警告的-{zh-tw:訊息;zh-cn:消息}-在破壞者的討論頁面。如果破坏者在被警告后仍然继续的话，请在[[WB:管理员通告板]]页面通知管理员。管理员可按照[[WB:封禁方针|封禁方针]]对其封禁。 ===警告模板=== 記得要在警告消息后签名（使用 <nowiki>~~~~</nowiki>）。 *{{tls|uw-vandalism1}} *:{{uw-vandalism1}} *{{tls|uw-vandalism2}} *:{{uw-vandalism2}} *{{tls|uw-vandalism3}} *:{{uw-vandalism3}} *{{tls|uw-vandalism4}} *:{{uw-vandalism4}} *{{tls|uw-vandalism4im}} *:{{uw-vandalism4im}} *也可以加入一个参数来指明被破坏的页面，如{{tls|uw-vandalism1|维基教科书}}将显示为： *:{{uw-vandalism1|维基教科书}} 各種警告模板參見[[WB:UTM]]。 ==相關頁面== *[[WB:当前的破坏]] *[[:m:Anti-vandalism ideas|Anti-vandalism ideas]] *[[:m:Vandalbot|Vandalbot]] *[[:en:WB:Favorite pages of banned users|Favorite pages of banned users]] *[[WB:反破壞小組]] ([[:en:WB:Counter-Vandalism Unit]]) ==參見== <references/> * [[WB:当前的破坏]] * [[WB:快速刪除的標準]] * [[WB:請求保護頁面]] * [[WB:編輯戰]] * [[WB:回退、封禁、不理會]] * [[WB:不要製造惡作劇]] * [[:en:WB:Dealing with AOL vandals|處理AOL破壞]]（不活躍頁面） [[Category:维基教科书维护|P]] [[Category:維基教科書破壞|{{PAGENAME}}]] gsn22w6egaugl0xmht8dlgigavn1yxr 0 22784 168199 131998 2022-07-25T15:07:25Z 218.109.193.6 《开方是乘法的逆运算》。另外，删除投票早投完了。 wikitext text/x-wiki 开方是乘方的逆运算，是第5种算法，现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方，现在有开平方公式和开立方公式。 参考文献：【数学传播】136期，从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法 == 求方根公式 == :<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math>=<math>X_{n}+(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k</math> ===开立方公式=== 　<math>X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3</math>， 　　例如，A=5，k=3,即求：<math>\sqrt[3]{5}</math> 　　　5介于<math>1^{3}</math>至<math>2^{3}</math>之间（1的3次方=1，2的3次方=8） 　　初始值<math>X_{0}</math>可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取<math>X_{0}=2.</math>按照公式： 　　第一步：<math>X_{1}=2+(5/2^{2}-2)1/3</math>=1.75。输入值大于输出值，负反馈； 即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。 　　第二步：<math>X_{2}=1.7+(5/1.7^{2}-1.7)1/3</math>=1.71.输入值小于输出值，正反馈。 即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。 　　第三步：<math>X_{3}=1.71+(5/1.71^{2}-1.71)1/3</math>=1.709. 　　第四步：<math>X_{4}=1.709+(5/1.709^{2}-1.709)1/3</math>=1.7099 　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值 偏小，输出值自动转大。即<math>5=1.7099^{3}</math>. 　　当然初始值<math>X_{0}</math>也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是<math>X_{1}=1.7></math>。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。<math>X_{1}=1.5+(5/1.5^{2}-1.5)1/3</math>=1.7。 ===开平方公式=== 如果用這個公式開平方，只需將<math>X^{2}</math>改成<math>X^{1}</math>，1/3改成1/2。即 <math>X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.</math> 例如，A=5： 5介於<math>2^{2}</math>至<math>3^{2}</math>之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：<math>X_{1}=2.5+(5/2.5-2.5)1/2</math>=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。 第二步：<math>X_{2}=2.2+(5/2.2-2.2)1/2</math>=2.23； 即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。 第三步：<math>X_{3}=2.23+(5/2.23-2.23)1/2</math>=2.236； 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。 这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。 9ial5hbqksc45urpyi0lxa83bp6qrx8 168201 168199 2022-07-25T15:12:22Z 218.109.193.6 wikitext text/x-wiki 开方是乘方的逆运算，是第6种算法，现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方，现在有开平方公式和开立方公式。 参考文献：【数学传播】136期，从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法 == 求方根公式 == :<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math>=<math>X_{n}+(A/X^{k}_{n}-X_{n})1/k</math> ===开立方公式=== 　<math>X_{n+1}=X_{n}+(A/X^{2}_{n}-X_{n})1/3</math>， 　　例如，A=5，k=3,即求：<math>\sqrt[3]{5}</math> 　　　5介于<math>1^{3}</math>至<math>2^{3}</math>之间（1的3次方=1，2的3次方=8） 　　初始值<math>X_{0}</math>可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取<math>X_{0}=2.</math>按照公式： 　　第一步：<math>X_{1}=2+(5/2^{2}-2)1/3</math>=1.75。输入值大于输出值，负反馈； 即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。 　　第二步：<math>X_{2}=1.7+(5/1.7^{2}-1.7)1/3</math>=1.71.输入值小于输出值，正反馈。 即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。 　　第三步：<math>X_{3}=1.71+(5/1.71^{2}-1.71)1/3</math>=1.709. 　　第四步：<math>X_{4}=1.709+(5/1.709^{2}-1.709)1/3</math>=1.7099 　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值 偏小，输出值自动转大。即<math>5=1.7099^{3}</math>. 　　当然初始值<math>X_{0}</math>也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是<math>X_{1}=1.7></math>。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。<math>X_{1}=1.5+(5/1.5^{2}-1.5)1/3</math>=1.7。 ===开平方公式=== 如果用這個公式開平方，只需將<math>X^{2}</math>改成<math>X^{1}</math>，1/3改成1/2。即 <math>X_{n+1}=X_{n}+(A/X_{n}-X_{n})1/2.</math> 例如，A=5： 5介於<math>2^{2}</math>至<math>3^{2}</math>之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：<math>X_{1}=2.5+(5/2.5-2.5)1/2</math>=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。 第二步：<math>X_{2}=2.2+(5/2.2-2.2)1/2</math>=2.23； 即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。 第三步：<math>X_{3}=2.23+(5/2.23-2.23)1/2</math>=2.236； 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。 这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。 nxrvdiln03k8sh1qceqcatuapaon7c6 10 24457 168249 92948 2022-07-25T20:22:22Z 218.109.193.6 wikitext 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| description = 本分類中的模板適合放置於條目、主題、模板和其他頁面中，可幫助建立和編輯該頁面。 }} [[Category:维基教科书模板| 工具]] [[Category:各任务维基教科书模板|工具]] 394f2ny44k0f7o9fygwmsbxuljys1dy 14 32258 168247 2022-07-25T19:57:12Z 218.109.193.6 创建页面，内容为“{{template category}} 本分类下的模板用于[[WB:消歧义|消歧义]]。 参见{{tl|消歧义模板}} ==模板列表== {{Commonscat|Disambiguation and redirection templates}} [[Category:頁面訊息模板]] [[Category:消歧义| ]] [[Category:各任务维基教科书模板|消]]” wikitext text/x-wiki {{template category}} 本分类下的模板用于[[WB:消歧义|消歧义]]。 参见{{tl|消歧义模板}} ==模板列表== {{Commonscat|Disambiguation and redirection templates}} [[Category:頁面訊息模板]] [[Category:消歧义| ]] [[Category:各任务维基教科书模板|消]] 0h2ke3ctteye4geoj1ga73hfknhk7dj 14 32259 168248 2022-07-25T20:01:07Z 218.109.193.6 创建页面，内容为“[[Category:頁面訊息模板]]” wikitext text/x-wiki [[Category:頁面訊息模板]] jupifspai8nyp6mshrjt3f85ew63md0 14 32260 168251 2022-07-25T20:23:22Z 218.109.193.6 创建页面，内容为“{{Parent category|nocat=true}} {{Category header | first = [[Wikipedia:容器分类|容器分类]] | subcategories = no | class = admin | type = tracking | 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type = notice | text = <!-- --><p>本頁面是一個[[Wikipedia:維基百科維護|維護]][[Help:分类|分類]]，用以<!-- [[Wikipedia:頁面分類#非條目與維護分類| -->維護維基百科計劃<!-- ]] -->。由於並非百科全書的一部分，因此本分類或是不含[[Wikipedia:什么是条目|條目頁面]]，或是按狀態而非主題收錄條目頁面。請勿將本分類包含在常規的分類頁面中。</p><!-- -->{{#if:{{Yesno|{{{container|}}}}}{{Yesno|{{{hidden|}}}}}{{Yesno|{{{tracking|}}}}}<!-- -->| <!-- ----><p>本分類另有以下功能：<ul><!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{container|}}}}}<!-- ---->| <!-- ------><li>'''[[:Category:容器分类|容器分類]]'''：專門用於收錄[[WP:SUBCAT|子分類]]。</li><!-- ------>{{#ifeq:{{{container_category|}}}|no||{{Category other|{{{category|[[Category:容器分类]]}}}}}}}<!-- ---->}}<!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{hidden|}}}}}<!-- ---->| __HIDDENCAT__<!-- ------><li>'''[[:Category:隐藏分类|隱藏分類]]'''：除非在“[[Special:参数设置#mw-prefsection-rendering-advancedrendering|{{int:preferences}} → 外观]]”中勾选「顯示隱藏分類」，否則本分類將不會在常規頁面中顯示。</li><!-- ---->}}<!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{tracking|}}}}}<!-- ---->| __HIDDENCAT__<!-- ------><li>'''[[:Category:追踪分类|追蹤分類]]'''：將一批具有相同狀態或相同問題的頁面匯總於此，便於編者統一維護，並持續監視維護進度。</li><!-- 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text/x-wiki __EXPECTUNUSEDCATEGORY__ {{Cmbox | type = notice | text = <!-- --><p>本頁面是一個[[Wikibooks:维基教科书维护|維護]][[Help:分类|分類]]，用以<!-- [[Wikipedia:頁面分類#非條目與維護分類| -->維護维基教科书計劃<!-- ]] -->。由於並非教科书的一部分，因此本分類或是不含[[Wikibooks:Wikibooks:维基教科书是什么#维基教科书收录什么|教科书页面]]，或是按狀態而非主題收錄教科书页面。請勿將本分類包含在常規的分類頁面中。</p><!-- -->{{#if:{{Yesno|{{{container|}}}}}{{Yesno|{{{hidden|}}}}}{{Yesno|{{{tracking|}}}}}<!-- -->| <!-- ----><p>本分類另有以下功能：<ul><!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{container|}}}}}<!-- ---->| <!-- ------><li>'''[[:Category:容器分类|容器分類]]'''：專門用於收錄[[WP:SUBCAT|子分類]]。</li><!-- ------>{{#ifeq:{{{container_category|}}}|no||{{Category other|{{{category|[[Category:容器分类]]}}}}}}}<!-- ---->}}<!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{hidden|}}}}}<!-- ---->| __HIDDENCAT__<!-- ------><li>'''[[:Category:隐藏分类|隱藏分類]]'''：除非在“[[Special:参数设置#mw-prefsection-rendering-advancedrendering|{{int:preferences}} → 外观]]”中勾选「顯示隱藏分類」，否則本分類將不會在常規頁面中顯示。</li><!-- ---->}}<!-- ---->{{#if:{{Yesno|{{{tracking|}}}}}<!-- ---->| __HIDDENCAT__<!-- 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#'''[[Wikibooks:版权信息|尊重著作权]]'''，不要随便转贴文章。'''侵权內容会被删除。''' #到[[Wikibooks:沙盒|沙盒]]进行试验和练习，熟悉[[Wikibooks:如何编辑页面|编辑]]操作，同時參閱[[Wikibooks:使用指南|使用指南]]。 #加入广告、有版权的文字、胡亂删改、或作出人身攻擊，均是[[Wikibooks:破坏|破坏行为]]，可能导致'''[[Wikibooks:封禁|封禁]]'''。 </div> 如果有任何问题，您可以編輯这一页，输入'''<nowiki>{{helpme}}</nowiki>'''，或者到[[Wikibooks:互助客栈|互助客栈]]查询，[[Wikibooks:維基教科書人|维基人]]很乐意帮助！ ''<span lang="en"><span style="font-size:small;">Welcome to the Chinese Wikibooks! 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'''已重定向的分类'''包括已经被重定向到其他类别的分类，一般是因为类别重复、繁简混合等原因而进行这类处理的。被重定向并不说明该分类是错误的，而是根据先来先得或更常用名称等原则保留一个主类别，为了使分类集中才将其他辅类别进行重定向操作的。 由于新条目仍然有可能被分类到这些分类页面中，因此保留这些分类，并随时检查并移空其中的条目，参见[[Wikipedia:页面分类#分类重定向]]和[[Wikipedia:重定向]]。 将一个类别标识为已重定向的分类，请使用'''{{tl|分类重定向}}'''模板（简写为'''{{tl|cr}}'''）。用法<nowiki>{{分类重定向|目标分类|分类索引}}</nowiki>，举例：<nowiki>{{分类重定向|文学家|W}}</nowiki> 或 <nowiki>{{cr|目标分类|分类索引}}</nowiki>，举例：<nowiki>{{cr|文学家|W}}</nowiki>。 '''注意：本页面是用来方便编者或机器人处理的类别，不设置诸如“已重定向的人物分类”等子分类。''' ==待處理== *[[:Category:錯誤的已重定向分類]] *[[:Category:尚未清空的已重定向分類]] [[分类:不要刪除的分類| ]] [[Category:重定向|Category]] g9v4h1jrpvf5ll4pzk9tl4t01vro2dw 12 32309 168331 2022-07-26T08:06:57Z 218.109.193.6 重定向页面至[[w:Help:如何登录]] wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[w:Help:如何登录]] er5yy8ydezimpdxgjukzvy1376xj2vx 4 32310 168332 2022-07-26T08:08:14Z 218.109.193.6 重定向页面至[[w:Wikipedia:如何编辑页面]] wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[w:Wikipedia:如何编辑页面]] 2x0en3vg3sgxszwx0sbvz5injimrsz3 14 32311 168334 2022-07-26T08:21:28Z 218.109.193.6 创建页面，内容为“{{Template 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