Интерполация

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Интерполация е метод в математиката, при който функция, зададена таблично (чрез стойностите в отделни точки), се замества с аналитична функция y=f(x), така че стойностите на функцията f(x) във възлите на интерполиране да бъдат равни на съответните таблични стойности на наблюденията. В геометричен смисъл графиката на f(x) минава през точките на интерполиране в координатната равнина. Според вида на функцията f(x) в участъците между възлите, интерполацията може да бъде линейна, параболична и други.

Съдържание

[редактиране] Линейна интерполация

Нека функцията, която ще интерполираме, се нарича f(x). Отсечката от тази функция [X0 ; X1] се заменя с линейна функция, стойностите на която при X=X0 и X=X1 съвпадат със стойностите на дадената функция f(X0) и f(X1). Тоест в отрязъка [X0;X1] имаме два възела на интерполация X0 и X1, а интерполационният многочлен е от първа степен. Означаваме f(X0)=Y0, f(X1)=Y1, f(X)=Y. Интерполиращата линейна функция се намира, като се напише уравнението на права, минаваща през две точки (X0,Y0) и (X1,Y1):

f(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1} y_0 - \frac{x-x_0}{x_0-x_1} y_1 (Лагранж)

което може да се представи също

f(x) = y_0 + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)

[редактиране] Приложение в икономиката

Методът се използва в икономиката при изчисляването на някои оптимизационни задачи, като например намирането на вътрешната норма на възвращаемост на инвестиция.

Пример: Фирма има възможност да избира между два варианта за инвестиции:

  1. Първоначален инвестиционен разход – 20 млн. лева, очаквани нетни парични потоци 4 млн. лева годишно в продължение на четири години.
  2. Начална инвестиция – 15 млн. лева, нетни парични потоци по 3,8 млн. лева годишно през следващите пет години.

Кой от двата варианта е по-изгоден за фирмата?

Необходими формули:

\sum_{k=1}^n \frac{C_k}{(1+R)^k}-C_0 = 0
Irr = R_1+ (R_2-R_1)\frac{NPVR1}{NPVR_1-NPVR_2}

Irr – вътрешна норма на възвращаемост

NPV – нетна настояща стойност

C1..Cn – очаквани приходи

C0 – първоначална инвестиция

R – търсената дисконтова ставка, която привежда NPV към нула

[редактиране] Вижте още

[редактиране] Литература

  • И.И. Поляк, „Численные методы анализа наблюдений“