Естествено число
от Уикипедия, свободната енциклопедия
В математиката естествено число е или цяло положително число (1,2,3,...,n,...), или цяло неотрицателно число (0,1,2,3,...,n,...).
Естествените числа се използват при броенето („На масата има 3 ябълки.“) и при номерацията („Той завърши на 3-то място“).
[редактиране] Записване
Математиците използват N или за представяне множеството на естествените числа. По определение това множество е безкрайно и изброимо. За да се избегне объркването дали нулата се включва или не, се използват следните записвания:
- за целите положителни числа:
- N или
- Z+ или
- N или
- за целите неотрицателни числа:
- N0 или
- Z+0 или
, където
е множеството на целите числа.
- N0 или
По конвенция, в математическата литература, и по-специално в теорията на числата, под се разбира
, докато в логиката, теорията на множествата и информатиката,
често означава
.
[редактиране] Математическо определение
Следва точно математическо определение на естествените числа, предложено от Джузепе Пеано през 1889. Тези изказвания са познати като аксиоми на Пеано.
- 0 е естествено число.
- Всяко естествено число a има наследник a+1, който е също естествено число.
- Няма естествено число, чийто наследник е 0.
- Ако две естествени числа са различни, тогава и наследниците им са различни: ако a≠b, тогава a+1≠b+1.
- Ако за едно подмножество на естествените числа A важи: 0 ∈ A и за всяко a ∈ A важи a+1 ∈ A, то множеството A е равно на множестовото на естествените числа (Тази аксиома осигурява правилността на математическата индукция като доказателствен метод).
В теорията на множествата се използва следната конструкция на естествените числа, предложена от Джон фон Нойман:
- 0 := {}
- 1 := {{}}
- 2 := {0, 1} = {{}, {{}}}
- 3 := {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
- .
- .
- n+1 := {0, 1,..., n} = n U {n}
Единицата се представя като множество, чийто единствен елемент е празното множество.
Според това определение множеството n съдържа точно n елемента и n ≤ m тогава и само тогава, когато n е подмножество на m.
Въпреки че тази конструкция е доста удачна, тя не е единствената възможна. Например:
- 0 := {}
- n+1 := {n}
Тогава 1 := {0} = {{}}, 2 := {1} = {{{}}} и т.н.