نظریه اندازه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

اندازه در ریاضیات، به تابعی گفته می‌شود، که یک عدد یا مقدار را (به عنوان مثال اندازه، حجم یا احتمال) به هر زیرمجموعه از یک مجموعه خاص، نسبت می‌دهد. این نظریه به منظور، محاسبه انتگرالها بر روی مجموعه‌ها به جای برروی فاصله‌ها (یا همان بازه‌ها) که در معمول انجام می‌پذیرد، گسترش پیدا کرد و از این رو در آنالیز ریاضی و در نظریه احتمالات، بسیار دارای اهمیت می‌باشد.

نظریه اندازه، قسمت مهمی از آنالیز حقیقی است، به طوری که جبرهای سیگما، قیاس‌ها توابع قیاس‌پذیر و انتگرالها را مورد تحقیق، قرار می‌دهد و در نظریه احتمالات و آمار از اهمیت زیادی برخوردار است.

فهرست مندرجات

[ویرایش] تعریف

برطبق تعریف، اندازه μ تابعی است (یا به عبارتی نگاشتی است)، که برروی جبر سیگمای Σ بر مجموعه X، تعریف می‌شود و مقادیر بین [0,\infty[، می‌پذیرد و دارای خصوصیت‌های زیر است:

\mu(\varnothing) = 0

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)

در اینجا \varnothing مجموعه تهی و E_1,E_2,E_3\cdots تعداد شمارایی از مجموعه‌هایی در Σ هستند، که اشتراک هرکدام از آنها با دیگری تهی است (مجموعه‌ها مجزا هستند). در این حالت به (X,Σ,μ) فضای اندازه‌ای و به اعضای Σ، مجموعه‌های اندازه‌پذیر گفته می‌شود.

[ویرایش] خاصیت‌ها

از تعریفهای بالا، عبارت‌های زیر به دست می‌آیند:

[ویرایش] جستار وابسته

  • قیاس لبگ
  • انتگرال لبگ
  • اندازه هاسدورف

[ویرایش] منابع

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198


این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.