منحنی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

در ریاضیات، مفهوم منحنی برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف منحنی در نظر گرفته نمی‌شود. ولی در مکالمهٔ ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خط‌ها نیز منحنی‌اند. تعداد زیاد دیگری منحنی در هندسه مطالعه می‌شوند. عبارت منحنی همچنینی در حالاتی استفاده می‌شود که آن را تقریباً هم معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع می‌سازد.

[ویرایش] تعاریف

در ریاضیات، یک منحنی (توپولوژیکی) بدین صورت تعریف می‌شود. فرض کنید I یک بازه از اعداد حقیقی باشد (یک زیر مجموعه همبند ناتهی از \mathbb{R}). آنگاه منحنی \!\,\gamma یک نگاشت پیوسته \,\!\gamma : I \rightarrow X است که X یک فضای توپولوژیکی است. منحنی \!\,\gamma را ساده می‌گویند اگر که برای هر x,y در I داشته باشیم \,\!\gamma(x) = \gamma(y) \rightarrow x = y. اگر I بازه بسته و کراندار \,\![a, b] باشد، همچنین امکان \,\!\gamma(a) = \gamma(b) را اجازه می‌دهیم (این قرارداد این امکان را می‌دهد که راجع به منحنی سادهٔ بسته صحبت کنیم). اگر \,\!\gamma(x) = \gamma(y) برا ی برخی x\ne y (غیر از دوسر I)، آنگاه \,\!\gamma(x) یک نقطه دوتایی (یا چندتایی) از منحنی گفته می‌شود. منحنی \!\,\gamma را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر \,\!I = [a, b] و اگر \!\,\gamma(a) = \gamma(b). بنابراین یک منحنی بسته یک نگاشت پیوسته از دایره S1 است. یک منحنی ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود. یک منحنی صفحه‌ای منحنی‌ای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است -- اینها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند --. یک منحنی فضایی منحنی‌ای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک منحنی کج منحنی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد منحنی‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد منحنی جبر معمول است که منحنی را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم.

[ویرایش] قراردادها و اصطلاحات

تفاوت بین یک منحنی و تصویر آن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعتهای متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقمندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود. نامگذاری نیز همچنین یکسان نیست. اغلت توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. اصطلاح «منحنی» در حساب برداری و هندسه دیفرانسیل معمول است.

[ویرایش] طول منحنی

اگر X یک فضای متری با متر d باشد، آنگاه «طول» منحنی \!\,\gamma : [a, b] \rightarrow X را با

\mbox{Length} (\gamma)=\sup \left\{ \sum_{i=1}^n d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})) : n \in \mathbb{N} \mbox{ and } a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b \right\}.

تعریف کنیم. یک منحنی تصحیح پذیر یک منحنی با طول متناهیست. معادله پارامتری از \!\,\gamma طبیعی (یا سرعت واحد یا پارامتری شده با طول منحنی) نامیده می‌شود اگر برای هر t1, t2 در [a,b] داشته باشیم

\mbox{length} (\gamma|_{[t_1,t_2]})=|t_2-t_1|

اگر \!\,\gamma یک تابع پیوسته لسپشیتز باشد، آنگاه خودش تصحیح‌پذیر است. بعلاوه، در این حالت، می‌توان سرعت \!\,\gamma در t0 را به صورت

\mbox{speed}(t_0)=\limsup_{t\to t_0} {d(\gamma(t),\gamma(t_0))\over |t-t_0|}

تعریف کرد. و آنگاه

\mbox{length}(\gamma)=\int_a^b \mbox{speed}(t) \, dt.

به طور خاص، اگر X = \mathbb{R}^n یک فضای اقلیدسی و \gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n مشتق‌پذیر باشد آنگاه

\mbox{Length}(\gamma)=\int_a^b \left| \, {d\gamma \over dt} \, \right| \, dt.