سری لوران
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
در ریاضیات، سری لوران یک تابع مختلط f(z) یک نمایش از آن تابع به صورت سری توانی است که شامل جملاتی از درجه منفی است. این سری میتواد برای نمایش توابع مختلط در حالتی که یک بسط سری تیلور نمیتواند به کار رود استفاده شود. سری لوران پس از اینکه توسط پیر آلفونس لوران در 1843 انتشار یافت، نامگذاری شد. ابتدا کارل وایرشتراس آن را در 1841 کشف کرد ولی منتشر نکرد. سری لورال برای تابع مختلط f(z) حول نقطه c بوسیلهی:
که an ثابتهایی هستند که با یک انتگرال خطی که یک کلیت از فرمول انتگرال کوشی است تعریف میشوند:
مسیر انتگرالگیری γ پادساعتگرد حول یک منحنی تصحیح پذیر بسته که است هیچ همپوشانی ندارد و c را در بر گرفته است و درون طوقهی A است که در آن f(z) هولومورفیک است. بسط f(z) در هر جای این طوقه معتبر خواهد بود. در عمل، این فرمول بندرت استفاده میشود زیرا محاسبهی انتگرالها مشکل است. به جای آن، سری لوران بوسیله آمیختن با بسط تیلور قطعه به قطعه سر هم میشود. اعداد an و c معمولا عدد مختلط گرفته میشوند، اگرچه احتمالهای دیگری نیز وجود دارد.
[ویرایش] سری لوران همگرا
سری لوران با ضرایب مختلط ابزار مهمی در آنالیز مختلط است، مخصوصا برای تجسس رفتار تابع در نزدیکی نقاط تکین. برای نمنمه تابع f(x) = e−1/x² با f(0) = 0 را در نظر بگیرید. به عنوان یک تابع حقیقی، همه جا بینهایت بار مشتقپذیر است. با این وجود به عنوان یک تابع مختلط در x = 0 با جایگزینی x با −1/x2 در سری توانی تابع نمایی سری لوران آن را میسازیم که همگراست و برابر f(x) است برای تمام اعداد مختلط xبه جز در نقطه تکین x=0. به طور کلی تر سری لوران میتواد برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک طوقه به کار رود، اگر چه سری توانی برای نمایش توابع هولومورفیک تعریف شده روی یک دیسک استفاده شود. فرض کنید
یک سری لوران با ضرایب مختلط an و مرکز مختلط c است. آنگاه یک شعاع داخلی منحصربفرد r و یک شعاع خارجی منحصربفرد R وجود دارد که:
- سری لوران روی طوقهی باز A := {z : r < |z − c| < R} همگراست. وقتی میگوییم سری لوران همگراست، یعنی هردو سری توانی با درجه مثبت و سری توانی با درجه منفی همگرایند. بعلاوه، این همگرایی روی مجموعههای فشرده یکشکل خواهد بود. نهایتا سری همگرا یک تابع هولومورفیک روی طوقهی باز تعریف میکند.
- خارج از طوقه، سری لوران واگراست. یعنی برای هر نقطه خارج A سری با درجه مثبت یا سری با درجه منفی واگراست.
- راجع به مرز طوقه، نمیتوان اظهار نظر کرد.
ممکن است r صفر باشد یا R بینهایت. لزوما هم این صحیح نیست که r کوچکتر از R است. این شعاعها به صورت زیر میتوانند محاسبه شوند.
R را بینهایت میگیریم وقتی که lim sup صفر باشد. برعکس اگر با یک طوقه به شکل A = {z : r < |z − c| < R} و تابع هولومورفیک f(z) تعریف شده بر A شروع کنیم، آنگاه همیشه یک سری لوران منحصربفرد با مرکز c وجود دارد که (حداقل) روی A همگراست و نمایانگر تابع f(z) است.