قضیه نگاشت باز
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» وجود دارد.
[ویرایش] آنالیز تابعی
در آنالیز تابعی، قضیهی نگاشت باز که همچنین با نام قضیهی شوائر–باناخ شناخته شده است یک نتیجهی اصلی است که بیان می کند: اگر A : X → Y عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه A یک نگاشت باز است (اگر U یک مجموعه باز در X باشد، آنگاه A(U) یک مجموعه بازدر Y است).
برای اثبات از قضیه ی رسته ای بئر استفاده می شود.
قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:
- اگر A : X → Y یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ X و Y باشد، آنگاه عملگر وارون A-1 : Y → X یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
- اگر A : X → Y یک عملگر خطی در فضای باناخ X و Y باشد و اگر برای هر دنباله (xn) در X با xn → 0 و Axn → y تابعیت می کند که y = 0، آنگاه A پیوسته است (قضیه نمودار بسته).
[ویرایش] آنالیز مختلط
در آنالیز مختلط قضیه نگاشت باز بیان می کند که اگر U یک مجموعه باز همبند در صفحهی مختلط C باشد و f : U → C یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه f یک نگاشت باز است(زیر مجموعههای باز U را به زیرمجموعههای باز C مینگارد).
قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی تواند یک قرص باز را به توی بخشی از یک خط بنگارد.
[ویرایش] برهان
ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و U یک زیرمجموعه باز همبند در صفحه ی مختلط است. اگر هر نقطه در f(U) یک نقطهی داخلی f(U) باشد آنگاه f(U) باز است. بنابراین اگر هر نقطه در f(U) که محتوی یک دیسک است ، شامل f(U) باشد آنگاه f(U) باز است.
اطراف هر نقطه در U، یک گوی مناسب در U وجود دارد. یک z0 دلخواه در U و نقطهی تصویر آن w0 = f(z0) را در نظر بگیرید. اگر f(z0) − w0 = 0 آنگاه z0 یک ریشه تابع f(z) − w0 است. تابع f(z) − w0 ممکن است ریشه دیگری در فاصله d1 از z0 داشته باشد.فاصله از z0 تا یک نقطه که در U نیست نوشته می شود d2. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم d1 و d2 داخل U خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا d1,d2 > 0.
گوی B2 را اطراف w0 با شعاع e و عناصر w در نظر می گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع f(z) − w0 و f(z) − w برای هر w با فاصله e از f(z0)، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید z1 ریشه یا یکی از ریشه های f(z) − w باشد. بنابراین، برای هر w در B2، یک z1 در B وجود دارد که f(z1) = w، تصویر B2 یک زیر مجموعه از تصویر B است که یک زیر مجموعه f(U) است. پس w یک نقطه درونی f(U) بای هر w دلخواه، و قضیه ثابت شده است.