فضای متری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

فضای متری یا متریک یکی از مفاهیم آنالیز ریاضی و توپولوژی است.

مجموعه‌ای از نقاط مانند X را در نظر می‌‌گیریم. X فضای متری است اگر به ازاء هر دو نقطه p و q از X، عدد حقیقی (q,p)d وجود داشته باشد به طوریکه:

    1. 0 < (q,p)d
    2. 0 = (q,p)d اگر و تنها اگر p=q
    3. (q,p)d = (p,q)d (خاصیت تقارن)
    4. به ازاء هر r عضو X، (q,r)d + (r,p)d = > (q,p)d (نامساوی مثلث)

تابع d، از R به R+ را تابع فاصله یا یک متر روی X و (q,p)d را فاصله از p تا q می‌گوییم.

این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژی نیز هست.

[ویرایش] مثال

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً R (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله | y - x | = (y,x)d (به طوریکه x و y عضو X) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn با متر | | y - x | | = (y,x)d فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی Rn می‌‌نامیم.

[ویرایش] منابع

  • کتاب اصول آنالیز ریاضی، نوشته والتر رودین
این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.