معادله لاپلاس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

معادلهٔ لاپلاس معادله‌ای ا‌ست دیفرانسیل با مشتقّات جزئی که از اهمّیّت و کاربرد فراوانی در ریاضیّات، فیزیک، و مهندسی برخوردار است. به عنوان چند نمونه می‌شود به زمینه‌هایی همچون الکترومغناطیس، ستاره‌شناسی، و دینامیک سیّالات اشاره کرد که حلّ این معادله در آن‌ها کاربرد دارد.

در حالات سه بعدی میشود آن را به صورت زیر نمایش داد:

{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0

فهرست مندرجات

[ویرایش] تعریف

در قضای سه بعدی مسئله پیدا کردن مقادیر حقیقی تابع φ از متغیرهای x و y و z است مثل

{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0.

همچنین بدین صورت نوشته می‌شود

\nabla^2 \varphi = 0

یا

\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0,

کهdiv همان دیورژانس است و grad همان گرادیان، یا

\Delta \varphi = 0

که Δ عملگر لاپلاس است.

جواب‌های معادله‌ی لاپلاس توابع همسازی نامیده می‌شود.

اگر طرف راست، یک تابع سه متغیره (f(x , y , z در نظر گرفته شود، برای مثال

\Delta \varphi = f

.این معادله، معادله پواسون نامیده می‌شود. معادله‌ی لاپلاس و پواسون ساده‌ترین مثال‌های معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی‌اند. عملگر دیفرانسیل جزئی \nabla^2 یاΔ (که شاید در هر بعدی تعریف شده باشد) عملگر لاپلاس ، لاپلاس نما نامیده می‌شود.


[ویرایش] شرایط مرزی

مسائل دریکله برای معادلات لاپلاس شامل پیدا کردن جواب φ بر قسمی از دامنه‌ی D مثل \varphi بر حدودی از D برابر با بعضی توابع داده شده است. اپراتور لاپلاس در معادلات گرمایی ظاهر شده است. یکی از تعابیر فیزیکی از این مسئله به صورت زیر است. ثابت نگه داشتن دما در محدوده‌ای از دامنه و منتظر ماندن تا وقتی که دما در داخل دیگر تغییر نکند. توزیع دما در داخل بوسیله‌ی جواب مسئله دریکله معادل، داده می‌شود. شرایط مرزی نومن برای معادله‌ی لاپلاس خود تابع \varphi را در محدودی D مشخص نمی‌کند بلکه مشتق نرمال آن را مشخص می‌کند. هر دو تابع که جواب معادله‌ی لاپلاس باشند (یا هر معادله‌ی دیفرانسیل خط همگن) جمع آن‌ها نیز دارای جواب برای معادله‌ی لاپلاس است. این خاصیت که اصل برهم‌نهی نامیده می‌شود، بسیار مورد استفاده است. چون جواب مسائل پیچیده می‌تواند با جمع جواب‌های ساده ساخته شود.

[ویرایش] معادلات لاپلاس در مشتقلات دوم

فرم معادله‌ی لاپلاس در متغیرهای مستقل به صورت زیر است:

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.\,


[ویرایش] توابع تحلیلی

قسمت حقیقی و موهومی یک تابع تحلیلی پیچیده، هر دو در تابع لاپلاس صدق می‌کند. اگرz = x + iy و دیگر :f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\, شرط لازم و کافی برای اینکه (f(z تابع تحلیلی باشد این است که در معادله‌ی کوشی ریمان صدق کند.

u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\,

این منجر میشود به:

u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,

بنابراین u در معادله‌ی لاپلاس صدق می‌کند. یک محاسبه ساده نشان می‌دهد که v هم در معادله‌ی لاپلاس صدق می‌کند. برعکس، تابع همساز داده شده، بخش تحلیلی (f(z حداقل بطور موضعی) است اگر آزمون به فرم

f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y),\,

باشد، معادله کوشی ـ ریمان صدق می‌کند. اگر قرار دهیم :

:\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x.\,.

این رابطه ψرا مشخص نمی‌کند بلکه فقط رشد آن را مشخص می‌کند.

      :\psi_{xy} = \psi_{yx},\,

معادله لاپلاس برای ψ به طور ضمنی بیان می‌کند که شرایط انتگرال‌پذیری در ψ صدق می‌کند.

:\varphi = \log r, \,

و بنا براین ψ شاید، با یک انتگرال خط تعریف شود شرایط انتگرال‌پذیری و قضیه استوکس شاره دارد به اینکه مقدار انترگال خطی به دو نکته بستگی دارد، مستقل از مسیر است. جفت جواب‌های معادله لاپلاس توابع همساز مزدوج نامیده می‌شوند، این ساختار تنها ارزش موضعی یا شرطی است که مسیر به دورنقطه ای منفرد حلقه نمی‌زند. برای مثال اگر r و v مختصات قطبی باشند

\varphi = \log r, \,

یک تابع تحلیلی معادل است با

f(z) = \log z = \log r + i\theta. \,

در هر صورت زاویه‌ی θ فقط در ناحیه‌ای که مبدا را محصور نمی‌کند تک مقداری است.

رابطه نزدیک بین معادله لاپلاس و تابع تحلیلی نشان می‌دهد که هر جواب معادله لاپلاس از هر مرتبه‌ای مشتق دارد و می‌تواند در یک سری توانی بسط داده شود، حداقل در یک دایره که یک نقطه‌ی منفرد را محصور نمی‌کند. این با جواب معادله‌ی موج کاملاً در تضاد است، که معمولاً نظم کمتری دارد. یک رابطه‌ی نزدیک بین سری‌های توانی و سری‌های فوریه وجود دارد، اگر ما یک تابعf را بصورت سری توانی در یک دایره با شعاع R بسط دهیم، این به این معناست که

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,\,

با ضرایب تعریف شده مناسب که با قسمت های موهومی و حقیقی داده شده روبرو اند

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,\,

بنابر این

f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right],\,

که فرمول بالا، یک سری فوریه برای f است.


[ویرایش] جریان سیال

فرض کنیم u و v مولفه‌های عمودی و افقی سرعت یک موج تراکم پذیر، غیرچرخشی در فضای دو بعدی باشد، شرط اینکه معادله تراکم‌ناپذیر باشد به این صورت است که

:u_x + v_y=0,\,

و شرط اینکه معادله چرخشی باشد:

 :v_x - u_y =0. \,

اگر ما دیفرانسیل تابع ψرابا

\psi_x = v, \quad \psi_y=-u, \,

در این صورت شرط تراکم‌ناپذیری، شرط انتگرال‌پذیری برای این معادله دیفرانسیل است. تابع حاصل، تابع جریان نامیده می‌شود، چون آن در طول جریان ثابت است. اولین مشتق ψ به این صورت زیر داده می‌شود:

\varphi_x=-u, \quad \varphi_y=-v. \,

و شرط غیرچرخشی بودن اشاره به این دارد که؛ ψ در معادله‌ لاپلاس صدق می‌کند. تابع همساز φ که مزدوج ψ است، سرعت پتانسیل (پتانسیل سرعت) نامیده می‌شود. معددله کوشی ـ ریمان بیان می‌کند که:

\varphi_x=-u, \quad \varphi_y=-v. \,


بنابراین هر تابع تحلیلی برابر است با یک جریان سیال تراکم‌ناپذیر پایدار، غیرچرخشی در یک بخش حقیقی سرعت بالقوه و بخش موهومی تابع جریان است.


[ویرایش] الکترواستاتیک

با توجه به معادله ماکسول، یک میدان الکتریسیته(u,v) در فضای دو بعدی که مستقل از زمان است صدق می‌کند.

\nabla \times (u,v) = v_x -u_y =0,\,

و

\nabla \cdot (u,v) = \rho,\,

جایی که ρ چگالی بار باشد. اولین معادله ماکسول، شرط انتگرال‌پذیری برای معادله دیفرانسیل است.

d \varphi = -u\, dx -v\, dy,\,

پس پتانسیل بالقوه شاید ساخته شده برای قانع کردن:

\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v.\,

دومین معادله‌ی ماکسول دلالت دارد بر

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho,\,

معادله‌ی پواسون است.


[ویرایش] معادله لاپلاس در فضای سه بعدی

[ویرایش] جواب اصلی

یک جواب اصلی لاپلاس به صورت

\Delta u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z'), \,

جایی که تابع و مقادیر یک منبع واحد نشان می‌دهد که در نقطه‌ی (x',\, y', \, z').

 متمرکز شده استو هیچ تابعی این خاصیت را ندارد، اما می‌توان آن را به عنوان محدوده‌ای از توابع که انتگرال آنها بر فضا واحد است و پشتیبان آنها (در ناحیه‌ای که تابع در آن صفر نیست) در یک نقطه جمع شده است، در نظر گرفت پس تعریف جواب اصلی اشاره دارد بر اینکه اگر لاپلاسگر u بر هر مقداری (حجمی) که نقطه‌ی مبدا را محصور کند، داریم
\iiint_V  \operatorname{div} \nabla u dV =-1. \,

معادله‌ لاپلاس تحت یک دوران مختصات تغییرناپذیر است و از این رو ما می‌توانیم قبول کنیم که جواب اصلی می‌تواند از طریق جواب‌هایی که فقط به فاصله‌ی r از نقطه مبدا بستگی دارد، بدست آید، اگر ما حجم کره‌ای با شعاع a حول نقطه مبدا را انتخاب کنیم، قضیه دیورژانس گوس بیان می‌ کندکه :

   :-1= \iiint_V \operatorname{div} \nabla u \, dV = \iint_S u_r dS = 4\pi a^2 u_r(a).\,

این منجر می‌شود به

  :u_r(r) = -\frac{1}{4\pi r^2},\, 

که به یک کره با شعاع r که حول نقطه‌ی مبدا متمرکز شده و از این رو

u = \frac{1}{4\pi r}.\,

یک استدلال ساده نشان می‌دهد که در دو بعد

u = \frac{-\log r}{2\pi}. \,


[ویرایش] تابع گرین

یک تابع گرین (اصطلاحات بر طبق دستور زبان نیست) یک جواب اصلی است و همچنین در شرایط مناسب به محدوده‌ی s از v صدق می‌کند. برای مثال: ممکن است صدق کند.


\nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{in} \quad V, \,
G = 0 \quad \hbox{if} \quad (x,y,z) \quad \hbox{on} \quad S. \,


اکنون اگر u یکی از جواب‌های معادله‌ی پواسون باشد در v

\nabla \cdot \nabla u = -f, \,
و u محدوده‌ی مقدار g بر s را به خود می‌گیرد. در اینجا ما فرمول گرین را بکار می‌بریم (یک نتیجه از قضیه دیورژانس) که بیان می‌کند:
\iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV  = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS. \,

علائم un و Gn نشان‌دهنده مشتق نرمال بر s هستند. در منظر شرایطی که U و G درز آن صدق کنند این نتیجه ساده می‌شود که

u(x',y',z') =  \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS. \,

بنابراین تابع گرین تاثیر داده‌های f و g را به (x',y',z')\, توضیح می‌دهد. در مورد داخل کره‌ای با شعاع a. تابع گرین ممکن است بوسیله‌ی تصویر، نقطه مبداp که در فاصله ρ از مبدا کره در طول خط پرتوی انعکاس پیدا میکند به یک نقطه 'p که در فاصله زیر قرار دارد.

\rho' = \frac{a^2}{\rho}. \,

توجه کنید که اگر در داخل کره باشد در خارج کره خواهد بود. تابع گرین به این صورت داده می‌شود.

\frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}, \,

جایی که R فاصله تا نقطه‌ی مبدا p و 'R فاصله تا نقطه انعکاسی 'p را نشان می‌دهد. یک نتیجه از این عبارت برای تابع گرین، فرمول انتگرال پواسون است. فرض کنیم ρ و θ و φ مختصات کروی برای نقطه مبدا p باشند. در اینجا θ نشان‌دهنده زاویه‌ای است که با محور عمودی، که متقابل (متضاد) نشانه ریاضی آمریکایی معمولی است. اما با استاندارد اروپا و روال فیزیکی منطبق است. جواب معادله‌ لاپلاس درون کره برابر

u(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} },  \,

جایی که:

\cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\theta -\theta'). \,

یک نتیجه ساده از این فرمول این است که اگر u یک تابع همساز باشد، مقدار u در مرکز کره، مقدار میانگین از مقدارهای آن بر سطح کره است. این خاصیت مقدار میانگین فوراً نشان می‌دهد که یک تابع همساز غیر ثابت است و نمی‌تواند مقدار ماکزیمم خود را در یک نقطه‌ی داخلی بگیرد.