بسط تیلور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.
sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.

به وسیله بسط تیلور، می‌توان توابعی که بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر هستند را به صورت توابع توانی نوشت و یا به عبارتی بسط داد.



تعریف:اگرfدر همسایگی x0 و \mid {x-x_0}\mid بی نهایت بار مشتق پذیر باشد،آنگاه f را میتوان به صورت توانهایی از (xx0) نوشت. f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. البته این بسط متاسفانه برای همه توابع حقیقی، انجام‌پذیر نیست.


[ویرایش] مثال:

f(x) = e2x

در همسایگی 1 بی نهایت بار هشتق پذیر است.

میتوان گفت:


e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...

e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}

[ویرایش] منابع

  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996). Calculus and Analytic Geometry (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0201531747.
  • Greenber, Michael (1998). Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0133214311.


این نوشتار در زمینهٔ ریاضیات ناقص است. با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.