کره ریمان
از ویکیپدیا، دانشنامهٔ آزاد.
در ریاضیات , کره ریمان که به نام برنارد ریمان لقب گرفت; تنها راه برای نمایش صفحه گسترش یافته مختلط است (صفحه مختلط به اضافه ی یک نقطه در بینهایت) به طوری که دقیقا نقطه در بی نهایت به مانند یک عدد مختلط دیده می شود. کاربرد اصلی آن در رابطه با توابع مختلط گسترش یافته است (که می توانند در بینهایت تعریف شوند و یا به ازای اعداد مختلطی مقدار بی نهایت بگیرند). به همین طریق می توانند در نقطه ی بی نهایت به مانند هر عدد مختلط دیگر پیوستگی و مشتق پذیری را ملحوظ دارند. از دید هندسی صفحه که با نقاط ،خطوط ، و زوایا به استثنای فاصله ها سروکار دارد، کره ریمان با اضافه کردن یک نقطه در بی نهایت که تمام خطوط را قطع می کند ساخته می شود که در آن نفطه ، خطوط موازی مماس بایکدیگر و بقیه خطها با همان زاویهای که در نقطهی برخورد موجود دارند یکریگر را قطع می کنند. این هندسه به عنوان هندسهی کرهی دو بعدی شناخته می شود که از صفحهی گسترش یافتهی مختلط با استفاده از کنج نگاری شکل گرفته است. به فرمی که خطها، در صفحه ی مختلط به دایره هایی از میان بینهایت تبدیل می شوند. زاویهها در کرهی ریمان همان زاویهها در صفحه ی مختلط هستند (و به همان درستی، زوایا در بی نهایت همان زوایا با انتخاب طبیعی بین دو خط می باشند.) از نظر توپولوژیکی کره ریمان فشرده سازی تک نقطهای از صفحه ی مختلط است. کره ریمان را می توان به راحتی با یک کره دو بعدی هندسی تعریف کرد . در نگاه کلی نقطهی بی نهایت نقش یکسانی در قبال تمام نقاط واقع در صفحه ی مختلط دارد.
فهرست مندرجات |
[ویرایش] مقدمه ی هندسی
تعریف می کنیم (برای مثال صفحه ی مختلط گسترش یافته).کره ی زیمان بر اساس یک تبدیل از
به
در فرم است.
که
and
ما کره ی زیمان را به مثابه یک کره در فضای سه بعدی تصور می کنیم.مثلا در . در ارتباط با تبدیل بالا هر نقطه دو مولفه ی z و w است که f(z) کره را به خودش تبدیل می کند.
[ویرایش] کنج نگاری
برای بر قراری تناظر یک به یک بین نقاط روی صفحه ی مختلط گسترش یافته و کره ریمان ، ما نخست z صفحه را مماس با قطب شمال کره قرار می دهیم .و سپس کنج نکاری را از فطب جنوب کره اعمال می کنیم .به این طریق که از قطب جنوب خطی که صفحه ی مختلط و کره را قطع می کند را رسم می کنیم .که تناظر یک به یک منحصر به فرد مطلوب را ایجاد می کند. برای کامل کردن این تناظر یک به یک ما پیرو قاعده ی بالا قطب جنوب را . قرار می دهیم ، با توجه به این که z = 0 قطب شمال است .
تناظر بین صفحه ی w و کره ی ریمان از راه دیگگری نیز ممکن است . به سادگی "معکوس" می کنیم و صفحه w را مماس به قطب جنوب و به جهت مقابل صفحه ی z قرار می دهیم ، به گونه ای که w = 1,i, − 1, − i وصل می شود به z = 1, − i, − 1,i و سپس کنج نگاری را از قطب جنوب انجام می دهیم و قطب شمال را تعریف می کنیم .حالا هر نقطه روی کره zوw همپایه ی خود را در تبدیل بالا دارد . شکل سمت راست نمایش دو بعدی کنج نگاری را از سمت راست نشان می دهد . با وجود این که شباهت به هم خورده ای از نگاشتن به w است ، مخصوص به کره ی ریمان نیست .
[ویرایش] نوع دیگر از کنج نگاری
روش دیگر کنج نگاری صفحه ها را روی خط استوا قرار می دهد . اما تقابل آنها را حفظ می کند . لذا صفحه ها از نطر هندسی متمایز نیستند . این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است . اما به نظر می رسد که در فیزیک محبوب است . برای مثال Roger Penrose در پیشبرد نظریه ی حافظه ی پیچشی از آن استفاده کرده است .
[ویرایش] خصوصیات هندسی مطلب
الگو:مقاله ی اصلی تبدیلات موبیوس که از به
هستند یک خود ریختی از کره ریمان هستند
که,
, و
. اینها کره ی ریمان رت به خودش می نگارند و زاویه ها و جهت ها را حفظ می کنند . این می تواند مستقیما دیده شود ، زیرا آنها می توانند به صورت ترکیبی از نقشه ها در فرم بیان شوند .
(که r و θ اعداد حقیقی هستند و z0 یک عدد مختلط است ) اینها مرتب هستند .
اتساعها،چرخشهاو تبدیلهای ابتدایی و وارون سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایره ی واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند .استفاده از
:![]()
به ما اجازه می دهد که درستی آن را در بی نهایت چک کنیم . متن ایتالیک==ساختمان مختلط == ساختمان منیفلد مختلط رو صفحه ی ریمان به وسیله ی یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده است.
این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می افتند . در این روی هم افتادگی تابع گذار به صورت z → 1/zداده شده است . که به وضوح هلومورفیک است . و بدینگونه ساختمان مختلط را تعریف می کند . کره ریمان همان توپولوژی S2 را دارد . که کره به شعاع 1 در فضای اقلیدسی R3 است. یک همومورفیزم بین آنها به وسیله ی کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحه ی مختلط داده می شود . نقطه ها در S2 بصورت(x1, x2, x3) که همومورفیزم این است:
این ، قطب جنوب را به مرکز صفحه ی مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می کند . بر حسب مختصات کروی (θ, φ) ،با :
رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب رابه ∞ نقش می کند . با فرمول زیر :
یا در مختصات کروی :
[ویرایش] خط انعکاسی مختلط
کره ی ریمان را می توان با خط انعکاسی مختلط ,, CP1 فهمید.صریحا با رابطه زیر ایزومورفیزم داده می شود:
که [z1 : z2] مختصات متوافق روی CP1 هستند ، با توجه به اینکه صفحه ی مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می نشیند .
در حالی که نقطه در بینهایت به وسیله ی [1 : 0] در مختصات متوافق داده می شود .
[ویرایش] خصوصیات
در رده بندی رویه های زیمان گروه اتومورفیزم از کره ی ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است اینها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL2 C روی CP1 هستند . کره ی ریمان یکی از سه رویه ی متصل شده ی ساده ی ریمان است. دو تای دیگر صفحه ی مختلط و صفحه ی هایپربولیک هستند . این عبارت با قضیه ی یکنواخت سازی شناخته می شود و برای رده بندی رویه های ریمان مهم است .
[ویرایش] همچنین نگاه کنید به
صفحه مختلط