گروه (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

گروه در ریاضیات مجموعه‌ای است به همراه یک عمل دوتائی، مانند جمع یا ضرب که در مورد اعضای آن مجموعه تعریف شده است. مثلاً مجموعه اعداد صحیح همراه با عمل جمع (یا به اصطلاح رایج ریاضی‌دان‌ها "تحت عمل جمع") یک گروه است. آن بخش از ریاضیات که به بررسی ویژگی‌های گروه‌ها می‌پردازد نظریه گروه‌ها نام دارد.


از نظر تاریخی مبدا این نظریه به کارهای اولیست گالویس برمیگردد. او همچنین در کارهای قبلی خود به طور محسوس از جایگشت استفاده کرده بود. گروهها در خیلی از ساختارهای جبری از قبیل میدانها و فضای برداری دیده می‌شوند و ابزار مهمی برای مطالعه تقارن است. به همین دلیل است که نظریه گروهها به عنوان یکی از مهترین مباحث در ریاضیات مدرن است. بدون تردید یکی از جذاب‌ترین ویژگیهای ریاضیات جدید تداخلی است که بین شاخه‌های مختلف ریاضیات پیش می‌‌آید. برای مثال اگر جبر، آنالیز، توپولوژی و با منطق ریاضی را مطالعه کنیم، مشاهده کنیم که ایده‌های خاصی در تمام این شاخه‌ها مطرح شوند. مفهوم گروه یکی از همین ایده هاست که همه جا ظاهر می‌‌شود. بعلاوه در رشته‌های دیگری از علوم، مانند شیمی، مکانیک کوانتوم و فیزیک ذرات بنیادی، که در آنها ریاضیات به عنوان ابزار به کار می‌‌رود، گروهها اهمیت دارند.

[ویرایش] تعریف

فرض کنید که

  • عبارتست از یک مجموعه و * یک عمل دوتایی G است،
  • عمل * شرکت پذیری است،
  • عضو خنثی: عضوی مانند e در G وجود دارد به طوریکه به ازای هر x درG داریم: x*e=e*x=x
  • عضو معکوس: به ازای هر x عضو در G عضوی مانند y در G وجود دارد به طوریکه: x*y=y*x=e

در اینصورت G همراه با عمل دوتایی * گروه نامیده می‌‌شود و آن را با (G, *) نمایش می‌‌دهیم.

توجه کنید که از شرط سوم نتیجه میگیریم که G غیرتهی است. عضو e در G عضو همانی نام دارد (دیری نخواهد پائید که نشان خواهیم داد فقط یک عضو با چنین خاصیتی وجود دارد و در نتیجه خواهیم توانست آن را عضو همانی بنامیم). عضو y در شرط چهارم معکوس x نام دارد؛ خواهیم دید که هر عضوی مانند x فقط یک معکوس دارد، و از اینرو می‌‌توانیم آن را معکوس x بنامیم. در اینجا شایسته است بر این واقعیت تاکید کنیم که عضو منحصر بفرد همانی e معادلات x*e=e*x=x را به ازای هر x در G ارضا می‌‌کند. حال آنکه Y در شرط چهارم به x بستگی دارد. خواهیم دید که دو عضو متمایز G هیچوقت نمی‌توانند معکوس‌های برابری داشته باشند و در نتیجه اعضای متفاوت x, معکوس‌های متفاوتی همچون y خواهند داشت. همچنین مناسب است تاکید کنیم فرض ما این نیست که * یک عمل جابجائی است. گروههایی که عمل آنها جابجائی است گروههای آبلی نام دارند. این نامگذاری به افتخار ریاضیدان نروژی هنریک آبل (1829 ـ 1802) صورت گرفته است. قبل از اینکه خواص عمومی گروهها را بررسی کنیم تعدادی مثال را مطرح می‌‌کنیم تا بتوانیم کلیت این مفهوم را در ذهن خواننده روشن کنیم. البته از لحاظ تاریخی بعضی از مثال‌ها قبل از اینکه گروه به صورت مجرد تعریف شود وجود داشته اند؛ مفهوم مجرد گروه زمانی شکل گرفت که مردم متوجه شدند بسیاری از موضوعاتی که مطالعه می‌‌کردند دارای مشخصه‌های ساختاری مشترک هستند و این فکر در آنها قوت گرفت که شاید بتوان با مطالعه مجرد این ویژگیهای مشترک (نه هر کدام بصورت تک تک و جداگانه) به نوعی صرفه جوئی در وقت و دست یافت. در تحلیل پیشرفتهای این موضوع ای تی بل یادآور شده است که هر زمان گروهها خود را ظاهر می‌‌سازند و یا می‌‌توان آنها را معرفی کرد، سادگی و وضوح از لابلای درهمریختگی‌ها درخشش می‌‌یابد.

[ویرایش] چند مثال

ساده‌ترین گروه ممکن تک-عضوی است: G = {e}.

حال مجموعه دو-عضوی G = {e,a} را در نظر بگیرید. چون e عضو همانی است، ea = ae = a. برای این که G بسته باشد، aa یا باید برابر با e باشد و یا برابر با a. اما اگر aa\neq e برای a هیچ وارونی نخواهیم داشت، پس مجبوریم داشته باشیم aa = e، یعنی a وارون خودش است. پس به «جدول ضرب» زیر می‌رسیم:

e a
e e a
a a e


[ویرایش] منابع

بخشی از مطالب از دانشنامهٔ رشد [[Category:مقالات دانشنامهٔ رشد]].