قضیه پیکارد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

برای قضیه درباره وجود و یکتایی جواب های معادلات دیفرانسیل، قضیه وجودی پیکارد را ببینید.

در آنالیز مختلط، قضیه پیکارد ، که پس از چارلز امیل پیکارد نامگذاری شد، یکی از دو قضیهٔ همچنان ممتاز به هم مرتبط است که هر دوی آنها دربارهٔ برد یک تابع تحلیلی است.

[ویرایش] بیان قضایا

قضیه اول، که هم چنین به «قضیهٔ کوچک پیکارد» معروف است، بیان می کند که اگر تابع f(z) تام و غیر ثابت باشد، برد f(z)، یا تمام صفحه ی مختلط و یا تمام صفحه به جز یک نقطه است. قضیهٔ دوم، که هم چنین معروف به «قضیهٔ بزرگ پیکارد» است، بیان می کند که اگر نقطهٔ w نقطه تکین اساسی تابع f(z) باشد آن گاه در هر مجموعه باز شامل w،f(z) همه مقادیر ممکن را بینهایت بار ،به استثنای حداکثر یک نقطه، اختیار می‌کند. این قضیه صورت قوی تر قضیه‌ وایرشتراس-کاسوراتی است، که فقط تضمین می کند که برد f در صفحهٔ مختلط چگال است.

[ویرایش] نکات

  • این یک استثنای در حقیقت ضروری است.ez یک تابع تام است که در هیچ کجا صفر نمی شود و e1/z در صفر دارای تکین اساسی است ، اما باز هم در هیچ جا صفر نمی شود.
  • قضیه کوچک پیکارد از قضیه بزرگ پیکارد نتیجه می شود چون یک تابع تام، یا یک چند جمله‌ای است و یا اینکه در بینهایت تکین اساسی دارد.
  • حدس اخیر برنارد السنر به قضیه بزرگ پیکارد مرتبط است: فرض کنید D − {0} دیسک واحد بازی در صفحه ی مختلط باشد و فرض کنید U_1,U_2, \dots ,U_n یک پوشش بازمتناهی از D − {0} هستند. فرض کنید در هر Uj یک تابع هولومورفیک یک به یک موجود است به طوری که dfj = dfk در هر اشتراک UjnUk. آنگاه دیفرانسیل ها به هم متصل می شونند و به تابع مرومورفیک یک شکل روی دیسک تبدیل می شود. (در حالت خاصی که مانده صفر است ، حدسیهٔ مذکوراز قضیه ی پیکارد نتیجه می شود.)

[ویرایش] همچنین نگاه کنید به