Serie de Fourier

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right], onde an e bn denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistemáticamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análisis harmónico.

Índice

[editar] Converxencia a unha función periódica

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx, e b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \operatorname{sen} nx dx daquela a serie converxe a f(x).

[editar] Forma exponencial

Pola identidade de Euler(e^{ix} = \cos(x)+ i \operatorname{sen}(x)), e operando adecuadamente, se

C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

\sum_{n=0}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}.

En forma máis compacta:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}

[editar] Aplicacións

Traballo en progreso: Este artigo relacionado coas Matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel e contribúe a que a Galipedia mellore e medre.
Existen outros artigos de Matemáticas que tamén precisan ser ampliados.


[editar] Solución de ecuacións diferenciais

A ecuación a resolver Imagen:ec.jpg

[editar] Enxeñería

É común, reempraza-la variable x por ωt, resultando as compoñentes:

C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t)\,e^{-in\omega\,t}\,dt.

Polo tanto:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{in\omega\,t}

[editar] Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

  1. Se g(x) = f(xy) daquela \hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)
  2. A transformada de Fourier é un morfismo: (f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k) -- isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

[editar] Formulación xeral

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

[editar] Véxase tamén

[editar] Ligazóns externas