Identidade de Euler

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemáticas, a Identidade de Euler, un caso especial da fórmula de Euler, é a seguinte:

e^{i \pi} + 1 = 0\;

Esta ecuación aparece en Introdución de Leonhard Euler, publicada en Lausanne en 1748. (V. número e; unidade imaxinaria; número pi)

[editar] Demostración

Esta fórmula é un caso da fórmula de Euler, que asigna

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

para calquera número real x. Se consideramos que x = π, temos que

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!

e posto que cos(π) = -1 e sen(π) = 0, obtemos que

e^{i \pi} = -1 \,\!

e polo tanto

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!

[editar] Importancia desta identidade

É "a fórmula máis salientable en matemáticas" segundo Richard Feynman. Feynman sinalou a importancia desta fórmula porque enlaza algunhas constantes matemáticas fundamentais:

  • O número 0, o elemento neutro da suma (é dicir, para toda a, a+0=0+a=a).
  • O número 1, o elemento neutro da multiplicación (para toda a, a×1=1×a=a).
  • O número pi (π) é fundamental na trigonometría.
  • O número e (e) é fundamental nas conexións co estudio dos logaritmos e no cálculo.
  • A unidade imaxinaria i.

Ademais, tódolos operadores aritméticos fundamentais están presentes: igualdade, suma, multiplicación e potencias.

Houbo un debate substancial no campo da filosofía das matemáticas sobre o "significado real" ou o "significado profundo" debido a que inclúe múltiples constantes e operacións. Algúns afirman que describe propiedades cognitivas dunha mente - e advocan pola cognitividade das matemáticas. No outro extremo, afirman que representa o consenso racional entre os matemáticos ou simplemente é unha proba da realidade física do universo e a álxebra e unha consecuencia da súa estructura. Segundo isto, a fórmula non sería só salientable, senón divina.