Serie de Fourier
Na Galipedia, a wikipedia en galego.
En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:
onde an e bn denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).
Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistemáticamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análisis harmónico.
Índice |
[editar] Converxencia a unha función periódica
Se f(x) é unha función periódica de período 2π e , e
daquela a serie converxe a f(x).
[editar] Forma exponencial
Pola identidade de Euler(), e operando adecuadamente, se
a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:
En forma máis compacta:
[editar] Aplicacións
[editar] Solución de ecuacións diferenciais
A ecuación a resolver Imagen:ec.jpg
[editar] Enxeñería
É común, reempraza-la variable x por ωt, resultando as compoñentes:
Polo tanto:
[editar] Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp
Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:
- Se g(x) = f(x − y) daquela
- A transformada de Fourier é un morfismo:
-- isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.
[editar] Formulación xeral
As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.
Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".
Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.
[editar] Véxase tamén
- Transformada de Fourier
- Análisis harmónico
- Fenómeno de Gibbs