Distribución de probabilidade

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En estatística matemática a distribución de probabilidade F(x) é unha función da probabilidade que representa os resultados que se van obtendo de un experimento aleatorio.

Así, para un número dado x, a probabilidade P( X \le x ) é:

F(x) = P( X \le x )

A F(x) denomínaselle Función de Distribución de Probabilidade da variable X e representa a probabilidade de que a variable tome o valor dende -\infty ata x.

Tamén pódese definir como a acumulada da función de densidade de probabilidade, esta última máix coñecida comunmente como función de densidade

Para dous números reales calesquera a e b tal que (a < b), os sucesos ( X \le a ) e ( a < X \le b ) serán mutuamente excluintes e a súa suma é o suceso ( X \le b ) polo que temos entón que:

P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )
P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )

e finalmente

P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)

Polo tanto unha vez coñecida a Función de Distribución F(x) para tódolos valores da variable aleatoria x coñeceremos completamente a distribución de probabilidade da variable.

Como a probabilidade é sempre un número positivo entón a Función de Distribución será unha función non decrecente que cumple o seguinte:

F(\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 1

É decir, a probabilidade de todo o espazo mostral é 1 tal e como establece a teoría da probabilidade e por outra parte:

F(-\infty) = \lim_{n \to \infty} F(x) = 0

É decir, a probabilidade do suceso nulo é cero.

Para realizar cálculos é máis cómodo coñece-las distribucións de probabilidade, para ver unha representación gráfica da probabilidade é máis práctico o uso da función de densidade.


Índice

[editar] Distribucións de variable discreta

Distribución binomial.
Distribución binomial.

Denomínase variable discreta a aquela que só pode tomar uns determinados valores, o conxunto de valores que toma X é finito ou numerable. Neste caso, a Distribución de Probabilidade é o sumatorio da función de densidade, polo que temos entón que:

F(x) = P( X \le x_i ) =  \sum_{k=1}^i f(x_i)

E tal e como corresponde á definición de Distribución de Probabilidade esta expresión representa a suma de tódalas probabilidades dende -\infty ata o valor xi

[editar] Distribucións discretas con espazo mostral finito

  • Distribución de Bernoulli, a cal toma valor 1 con probabilidade p e valor 0 con probabilidade q = 1 − p.
    • Distribución Rademacher, a cal toma valor 1 con probabilidade 1/2 e valor −1 con probabilidade 1/2.
  • Distribución binomial, a cal describe o número de exitos nunha serie de experimentos SI/NON independentes.
  • Distribución uniforme discreta, onde tódolos elementos dun conxunto finito teñen igual probabilidade. Esta é a distribución que sigue unha moeda ou unha ruleta de casino. Estes son objectos "físicos" ou "mecánicos", suxetos a perturbacións, polo que a distribución uniforme é so unha aproximación do seu comportamento. En ordenadores dixitales, utilízanse xeradores de números pseudo-aleatorios para producir unha distribución uniforme discreta.
  • Distribución hiperxeométrica, que describe o número de éxitos nos primeiros m experimentos dunha serie de n experimentos SI/NON independentes, se o número total de éxistos é coñecido.
  • Distribución Zipf, o exemplo máis famoso é a descripción da frecuencia de palabras na lingua inglesa.
  • Lei Zipf-Mandelbrot, é a xeralización da Distribución Zipf.

[editar] Distribucións discretas con espazo mostral infinito

  • Distribución Boltzmann, unha distribución importante en física estatística que describe a probabilidade de niveles de enerxía discretos dun sistema en equilibrio térmico. Ten unha distribución continua análoga. Casos especiais son:
    • Distribución Gibbs
    • Distribución Maxwell-Boltzmann
    • Distribución Bose-Einstein
    • Distribución Fermi-Dirac
  • Distribución xeométrica, describe os intentos necesarios para obter o primeiro éxito nunha serie de experimentos SI/NON independentes.
Distribución Poisson
Distribución Poisson
  • Distribución logarítmica discreta
  • Distribución binomial negativa, xeralización da distribución xeométrica para o suceso nésimo.
  • Distribución fractal parabólica
  • Distribución de Poisson.
Distribución Skellam
Distribución Skellam
  • Distribución Skellam, distribución da diferencia entre duas variables aleatorias con distribución Poisson.
  • Distribución Yule-Simon
  • Distribución zeta ten uso en estatística e mecánica estatística, e tamén pode ter interés para a teoría dos números. É a distribución Zipf para un número infinito de elementos.

[editar] Distribucións de variable continua

Distribución normal.
Distribución normal.

Denomínase variable continua aquela que pode tomar calquera dos infinitos valores existentes dentro dun intervalo finito. No caso da variable continua a Distribución de Probabilidade é a integral da función de densidade, polo que temos entón que:

F(x) = P( X \le x_i ) = \int_{-\infty}^{x_i} f(x)\, dx

[editar] Con espazo mostral limitado a un intervalo

Distribución Beta
Distribución Beta
  • Distribución Beta en [0,1], na que a distribución uniforme é un caso especial, é útil na estimación de probabilidades de éxito.
Distribución uniforme continua
Distribución uniforme continua
  • Distribución uniforme continua en [a,b], onde tódolos puntos nun intervalo finito teñena mesma probabilidade.
    • Distribución rectangular e a distribución uniforme en [-1/2,1/2].
  • Función delta de Dirac, ainda que non é estrictamente unha función, é unha forma de limitación de moitas funcións de probabilidade continuas. Representa a distribución de probabilidade discreta centrada en 0.
  • Distribución Kumaraswamy é unha distribución Beta moi versatil, pero ten formas cerradas para a función de densidade e a función de distribución.
  • Distribución logarítmica continua
  • Distribución triangular en [a, b], un caso especial é a distribución da suma de duas variables aleatorias uniformemente distribuidas (a convolución de duas distribucións uniformes).
  • Distribución von Mises
  • Distribución semicircular de Wigner importante na teoría de matrices aleatorias.

[editar] Con espazo mostral nun intervalo semi-infinito, [0,∞)

Distribución chi-cadrada
Distribución chi-cadrada
  • Distribución chi
  • Distribución chi non centrada
  • Distribución chi-cadrada, que é a suma dos cadrados de n variables aleatoria independentes normalmente distribuidas. É un caso especial da distribución Gamma, é utilizase en test de bondade de axuste na estatística.
    • Distribución chi-cadrada inversa
    • Distribución chi-cadrada non centrada
    • Distribución chi-cadrada inversa escalada
Distribución expoñencial
Distribución expoñencial
  • Distribución expoñencial, describe o tempo entre dous eventos aleatorios consecutivos nun proceso sen memoria.
  • Distribución F, é a distribución do radio de duas variables aleatorias con distribución chi-cadrado, úsase en análise da varianza.
    • Distribución F non centrada
Distribución Gamma
Distribución Gamma
  • Distribución Gamma, describe o tempo ata n eventos aleatorios consecutivos nun proceso sen memoria.
    • Distribución Erlang, é un caso especial da distribución gamma con parámetro de forma integral, desenrolada para predecir tempos de espera en sistemas de colas.
    • Distribución gamma-inversa
  • Distribución z de Fisher
  • Distribución de Lévy
  • Distribución lognormal, describe variables que poden ser modeladas como o produto de moitas pequenas variables positivas independentes.
Distribución Pareto
Distribución Pareto
  • Distribución Pareto, usada en análise de datos financieiros e comporamento crítico.
  • Distribución Rayleigh
  • Distribución Rice
  • Distribución Gumbel tipo-2
  • Distribución Wald
  • Distribución Weibull, da cal a distribución expoñencial é un caso especial, úsase para modelar o tempo de vida de máquinas, pezas, etc.

[editar] Con espazo mostral toda a línea dos números reales

Distribución Cauchy
Distribución Cauchy
Distribución Laplace
Distribución Laplace
Distribución Levy
Distribución Levy
Distribución Normal
Distribución Normal
  • Distribución Cauchy, é un exemplo de distribución que non ten valor esperado nin varianza. En física sóese chamar perfil Lorentz, e está asociada con moitos procesos, como por exemplo a distribución da enerxía de resonancia.
  • Distribución Fisher-Tippett, distribución Weibull logarítmica.
    • Distribución Gumbel , caso especial da distribución Fisher-Tippett
  • Distribución secante hiperbólica
  • Distribución Landau
  • Distribución Laplace
  • Distribución normal, tamén chamada Gaussiana ou curva de campá. Aparece moi a miudo na natureza e en estatística debido ó teorema central do límite: toda variable que poda ser modelada como a suma de moitas vairables independentes aproxímase a unha normal.
  • Distribución t de Student, útil para estimar medias descoñecidas de pobobacións gaussianas.
    • Distribución t non centrada
  • Distribución Gumbel tipo 1
  • Distribución Voigt, ou perfil Voigt, é a convolución dunha distribución normal e unha distribución Cauchy.