Notation bra-ket

De Wikipedia, le encyclopedia libere

Sagittas fusionante


Le notation bra-ket de Dirac es un methodo concise de describer statos quantic. Illo permitte que le symbolo |α> representa un stato quantic. Iste symbolo es apellate un ket o un vector ket. Illo es un entitate abstracte e servi pro representar le stato de un systema quantic. Nos dice que le systema quantic es in le stato α, ubi α representa alicun quantitate physic, tal como momento linear, spin, etc. quando representate per le ket |α>.

Si nos ha duo statos quantic distincte α1 e α2, alora le sequente ket

|ψ>= c11> + c22>

ubi ci son numeros complexe, es deplus un stato possibile del systema. In iste caso on dice que le systema ha duo dimensiones e le probabilitate que le systema acquire le stato |α1> es proportional a |c1|2. Evidentemente, le probabilitate que le systema acquire le stato |α2> essera proportional a |c2|2. On dice que le ket es normalisate si

|c1|2 + |c2|2 = 1

In mechanica quantic le dimension de un systema pote esser infinite. Le collection del infinite kets es hic appelate un spacio de Hilbert. Le collection de kets linearmente independente |αi>, ubi i = 1, 2, ... n, forma un base de un spacio vectorial de n dimensiones. In le caso del spacio de Hilbert n es infinite. Tote ket o stato del spacio vectorial pote esser representate como un combination linear del kets o statos del base. Un ket pote esser multiplicate per un scalar pro resultar in un altere ket

c|α>=|β>

Si c=0, le ket resultante es dicite un ket nulle. Un ket nulle representa un stato de absencia absolute de particulas e de quantas de energia. Totevia, illo non es un "vacuo", proque un vacuo es le stato de menor energia de un systema, essente iste energia minime non-nulle. Alora le due kets |α> e c|α>, c non nulle, representa le mesme stato. Solmente interessa le direction del vector. Un mathematico dice que nos ha travaliante con radios in vice de vectors.

Nunc, associate con un spacio de Hilbert il ha un altere spacio appelate spacio dual. Le elementos de iste spacio son appelate bras, representate per <α|. Assi, il ha un correspondentia inter le kets del spacio de Hilbert e le kets del spacio dual

|ψ>= c11> + c22> <==> <ψ|= c1*<α1| + c2*<α2|

ubi ci* es le conjugato complexe de ci.

Alora es possibile definir le produto interne de un bra e un ket. Si le base del spacio de Hilbert forma un base orthonormal, le producto interne inter iste statos del base son date per

ij> = δij

ubi δij es le delta de Kronecker. Dunque, il es facile monstrar que

<ψ|ψ> = c1 c1* + c2 c2* = |c1|2 + |c2|2

Sia date un spacio representante le statos de un systema quantic. Sia A un operator in le spacio vectorial in question. Un operator in le spatio age super le kets del spacio a sinistra pro obetener altere kets del mesme spacio

A|α> = |β>

Le dual correspondente (DC) del operator A es scripte A+ e es appelate le Hermitian Adjunto del operator A. Iste operator age a dextra super un bra pro producer un altere bra, isto es

A|α> = |β> <==DC==> <α|A+ = <β|

Si A=A+, le operator A es dicite esser Hermitian.

Le eingenkets de A son le kets |a’>, |a’’>, ... del spacio vectorial date que satisface le sequente proprietate

A|a’> = a’|a’>

ubi a’ es dicite le autovalor del operator A associate al autoket o autovector |a’>. Se le collection de autovalores de A, {a’, a”, ...}, contine nulle repetite autovalores, le operator A es dicite non-degenerate. Le collection de autokets del operator A pote esser un base del spacio, se A es non-degenerate. De le definition de un base, il seque que tote ket del spacio pote esser representate como un combination linear del autokets de A, i.e., un summation de productos del kets |a’> per scalars o numeros complexe ca’

|α> = ∑ ca’|a’>

Memorante que un ket representa un stato, le que representa un operator? Le responsa es que un opetator Hermitian, dice A, representa un observabile, como spin, momento linear, position, etc. Alora, se le ket |α> representa le stato del systema antea su mesuration, postea le mesuration, le probabilitate de resultar le stato |a’> de le observabile A es proportional a |ca’|2.

(a esser continuate)