Pascal-þríhyrningur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Pascal-þríhyrningur er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem Einkenni Pascals:

{n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}.

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

Efnisyfirlit

[breyta] Eiginleikar Pascal þríhyrningsins

[breyta] Ellefu-veldið

Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

110 = 1
111 = 11
112 = 121
113 = 1331
114 = 14641

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós - 11^5 \ne 15101051, augljóslega, heldur 115 = 161051. Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

[breyta] Einkenni Vandermondes

Lát m, n, r \in \mathbb{N}; r < n; r < m. Þá gildir:

{m+n \choose r} = \sum^r_{k=0} {m \choose r-k}{n \choose k}.

Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

[breyta] Tvíliðureglan

Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er (a + b)4 = (1)a4 + (4)a3b + (6)a2b2 + (4)ab3 + (1)b4, en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar (a + b)0).

[breyta] Fibbonacci runan

Fibbonacci runan kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Fibbonacci runan í Pascal þríhyrningnum.

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

[breyta] Sönnun á einkenni Pascals

Ímyndum okkur að til sé mengi T sem hefur n + 1 stak. Lát a vera stak í T og lát S = T \setminus \left\{a\right\}. Sjáum að til eru {n+1 \choose k} hlutmengi í T sem innihalda k stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í T með k stökum ýmist a, ásamt k − 1 öðrum stökum úr S, eða það inniheldur k stök úr S en ekki a. Þar sem að það eru {n \choose k-1} hlutmengi af k − 1 staki úr S, þá eru til {n \choose k-1} hlutmengi með k stökum úr T sem innihalda a. Auk þess eru {n \choose k} hlutmengi af T með k stökum sem innhalda ekki a, þar sem að það eru {n \choose k} hlutmengi af S með k stökum. Þar af leiðir:

{n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}.
\Box (Fléttufræðileg sönnun).

[breyta] Tengt efni