Lema dal spazzi métrich

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Al síes (X,d) un spazzi métrich cumplett e M:X\rightarrow \mathbb R^+_0 una funziun lucalameent limitada. Al síes σ > 0: alura, par tücc u\in M^{-1}(\mathbb R^+) al esiist w\in X taal che:

  1. d(u,w)\leq 2({\sigma M(u)}^{-1}){\sigma M(u)}^{-1};
  2. M(w)\geq M(u);
  3. d(x,w)\leq  ({\sigma M(w)})^{-1} \Rightarrow M(x)\leq 2 M(w).

Demustrazziun Süpusemm par l'assüuurt che ul lema al síes faals: alura al esiist u \in X taal che, par tücc w\in X, vün almaanch di enuncjaa 1,2,3 al síes faals. In particülaar, v0: = u al gh'a da viulá la cundizziun 3. Dunca sa pöö truvá v_1\in X taal che M(v1) > 2M(v0) però d(v_1,v_0)\leq {1}/{v_0}, vargott ch'al implica che 1 e 2 i è veer par w = v1 e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par w = v1. Dunca sa pöö truvá v_2\in X taal che M(v2) > 2M(v1) però d(v2,v1) > [σM(v1)] − 1, dunca d(v_2,v_0)>\frac{1}{2}[\sigma M(v_0)]^{-1}.

Cheest-chí al implica che 1 e 2 i è veer par par w = v2 e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par w = v2 apó. Sigütaant cheest prucedimeent, sa pöö fa sü, par indüzziun, una suquenza {vn} tala che v0 = u, M(v_{n})\geq 2 M(v_{n-1})\geq 2^{n}M(v_0) e d(v_{n},v_{n-1})\leq {2^{1-k} \left[ \sigma M(v_0)) \right]^{-1} }. % Chesta sequénza-chí a l'è da Cauchy: en síes λ la valuur límit. Al sa veet che M a l'è mia limitada aprööf λ, vargott ch'al è una cuntradizziun.

[redatá] Refereenz

M.Gromov, Foliated plateau problem: part II: harmonic maps of foliations. GAFA, Vol. 1, No. 3 (1991), 253-320