Lema da Bohr

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Reguredemm che par cada funziun intrega g s'al definiss

M_r(g):=\max_{\vert z     \vert=r} \{\vert g(z)     \vert\}.

LEMA: Al síes {\mathcal K} ul cungjuunt di funziun ulumòorf h:\mathbb D(0,1)\to\mathbb C taal che h(0) = 0 e M_{1/2}(h)\geq 1; par cada h, al síes c(h):=\sup\{r>0:\partial\mathbb D(0,r)\}\subset h(\mathbb D(0,1)): alura \inf\{c(h):h\in {\mathcal K}\}>0 Demustrazziun: süpusemm par l'assüürt ch'al esiist una sequenza \{h_n\}\subset{\mathcal K} tala che \lim_{n\to\infty} c(h_n)=0; alura, par cada n assée graant, i círcul \mathbb D(0,1), \mathbb D(0,1/2) e \mathbb D(0,1/4) i è mia cuntegnüü in h_n(\mathbb D(0,1)); inscí la fameja {hn} a l'è tala che, par cada n assée graant, h_n(\mathbb D(0,1)) al lassa fö un cungjuunt an,bn,cn da trii puunt: a gh'emm apó \min\{ \vert a_n-b_n\vert, \vert b_n-c_n\vert, \vert c_n-a_n\vert \}\geq 1/4 par cada n; grazzia al teurema da Montel {hn} a l'è una fameja nurmala. A maanch d'estrazziun, sa pöö süponn che {hn} la cunveerg a una funziun ulumorfa h:\mathbb D\to\mathbb C: grazzia al lema da Hurwitz h\in{\mathcal K}, h a l'è mia custanta e al esiist r > 0 tal che \partial\mathbb D(0,r)\subset h(\mathbb D(0,1/2)). Aplicaant anmò ul lema da Hurwitz a s'uteegn, par cada n assée graant, c(h_n)\geq r, vargott ch'al è una cuntradizziun.