Cungjuunt cüntàbil
From Wikipedia
![]() |
Artícuj relazziunaa a matemàtica |
![]() |
Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. | ![]() |
Un cungjuunt E al è dii cüntàbil si al è equiputeent al cungjuunt di intreegh natüraj , i.e. si al esiist una bigezziú da E sü
(u
, vidé plüü in bass) ; cheest chí al equivaar a l'esistenza d'una bigezziú da
(u
) sü E.
Naïvemeent, dí che un cungjuunt E al è cüntàbil al signifía che al è pussíbil da cüntá ün a ün ognidü dij söö elemeent: sa i pöö nümerá i elemeent da E senza umissiú ni repetizziú , druvaant töcc i intreegh natüraj.
Ul cungjuunt di intreegh natüraj al è cüntàbil , par che un cungjuunt al è sémpar equiputent a sí-istess, e cada cungjuunt equiputent a un cungjuunt cüntàbil al è sí-istess cüntàbil .
Un cungjuunt cüntàbil al è infinii, par che equiputent a , ch’al è infinii. Però la recípruca a l’è falsa : al esiist di cungjuunt infinii mia cüntàbil . Ul matemàtich Cantor, ch’a l’a intrudüii la nuzziú da cüntabilitaa, al a demustraa che ul cungjuunt di nümar reaj, nutaa
, al è mia cüntàbil .
Cuntegnüü |
[redatá] Vucabülari
L'espressiú cungjuunt cüntàbil la gh'a dò definizziú :
- Vargüne püblicazziú i dröva chesta espressiú mia noma íntal sentüü vidüü chí-da-sura però apó par designá un cungjuunt fini
- D'òolt i dröva chesta espressiú ünicameent paj cungjuunt satisfaseent la definizziú, e i preferiss druvá l'espressiú cungjuunt al plüü cüntàbil par designá un cungjuunt u bé fini, u bé cüntàbil .
Al cuventa dunca töö atenziú a la cunvenzziú druvada a l’ura da la letüra d'una püblicazziú sül süget. In cheest artícul, al è la segunda acezziú ch’a la sarà druvada.
[redatá] Cungjuunt üsüaj e cüntabilitaa
Par definizziú , ul cungjuunt di intreegh naturaj al è cüntàbil .
Ul cungjuunt di intreegh naturaj mia nüj al è cüntàbil.
In efett, l'aplicazziú a l'è bigetia.
Ul cungjuunt di intreegh natüraj pari, nutaa , al è cüntàbil .
In efett, l'aplicazziú a l'è bigetiva.
Ul cungjuunt di quadraa parfett, nutaa chí , al è cüntàbil.
In efett, l'aplicazziúa l’è bigetiva.
Ul cungjuunt di intreegh relatiif al è cüntàbil .
In efet, l'aplicazziú a l'è bigetiva.
Ul cungjuunt di para d'intreegh naturaj al è cüntàbil, par che l'aplicazziú
a l'è bigetiva (tütt intreegh natüraal stregjameent pusitiif sa i faturiza da manera ünica sota furma dal prudüit d'una pudenza da 2, e d'un intreegh díspari).
Ul cungjuunt di nümar razziunaj al è cüntàbil (vidé plüü sota una demustrazziú da chesta afirmazziú ).
Ul cungjuunt di nümar algebraich (reaj u cumpless) al è cüntàbil . Cuma nissü di düü cungjuunt
e
al è cüntàbil , sa en dedüiss l'esistenza da nümar (reaj u cumpless) trascendeent.
[redatá] Vargüne prupietaa
[redatá] Paart d'un cungjuunt cüntàbil
Cada paart A da a l’è al plüü cüntàbil .
In efett, si A al è finii, alura a fortiori A al è al plüü cüntàbil .
Süpusemm adess A infinii. Cuma ch’al è una paart mia vöja da , A al amet dunca un plüü petit elemeent. Notemm-al a0.
Al síes . Sa süpusa da iga pruvaa l'esistenza d'elemeent da A nutaa
taj che:
-
- (i)
- (ii)
- (i)
Ul cungjuunt al è mia vöj par che A al è infinii, dunca A' al amet un plüü petit elemeent che sa l nota an + 1. Sa gh'a alura :
-
dunca an < an + 1
Sa a inscí mustraa par recürenza l'esistenza d'una sequenza stregjameent cressenta. Punemm
. B al è cüntàbil e cuntegnüü in A. Mustremm l'inclüsiú inversa. Al síes n elemeent da A. La sequenza
a l’è stregjameent cressenta, dunca sa gh'a
, dunca dapress (ii)
, dunca
e dunca
.
Sa a inscí pruvaa che A = B, e dunca che A al è cüntàbil .
In töcc i caas, A a l’è dunca al plüü cüntàbil .
Tüta paart d'un cungjuunt al plüü cüntàbil al è al plüü cüntàbil .
Al síes E un cungjuunt al plüü cüntàbil e F una paart da E. Al síes una bigezziú da E sü una paart da
. La restrizziú da
a F a l’è una bigezziú da F sü
ch’al è una paart da
, dunca al plüü cüntàbil dapress la prupietaa chí-da-sura. F étant equiputent a
al è sí-istess al plüü cüntàbil .
[redatá] Prudüit da cungjuunt cüntàbil
Tütt prudüit cartesià d'una famèja finida da cungjuunt cüntàbil al è cüntàbil .
I síes A e B düü cungjuunt cüntàbil . Al esiist una bigezziú da A sü
e una bigezziú ψ da B sü
. Definissemm:
Chesta aplicazziú a l’è bigetiva da sü
ch’al è cüntàbil . Dunca
al è cüntàbil .
Una recürenza la permett d'esteend cheest resültaa al prudüit cartesià da cada famèja finida da cungjuunt cüntàbil .
[redatá] Imàgen e imàgen recípruca da cungjuunt cüntàbil
I síes E e F düü cungjuunt mia vöj, e f una aplicazziú da E in F.
1. Si f al è ingetiva e si F al è al plüü cüntàbil , alura E al è al plüü cüntàbil
f a l’è ingetiva, dunca la indüiss una bigezziú da E sü f(E). Adess, f(E) al è una paart da F e al è dunca al plüü cüntàbil . E al è dunca al plüü cüntàbil .
2. Si f al è sürgetiva e si E al è al plüü cüntàbil , alura F al è al plüü cüntàbil
E al è al plüü cüntàbil , dunca al esiist bigetiva, cun
. Adess
al è bé urdenaa, dunca E al pöö vess münii d'un bun úrden (definii chí esplicitameent, senza ul recuurs abitüaal a l'assioma da la scèrnida), pusaant
; alura, tüta paart mia vöja da E la gh’a un mínim.
Al síes , f sürgetiva, f − 1({ga}) al è un sübcungjuunt mia vöj da E. Sa la definiss alura :
-
(
al è ul plüü petit antecedeent da y par f)
Par custrüzziú , par tütt , dunca l'aplicazziú g al è ingetiva. Ul cungjuunt E al è al plüü cüntàbil , dunca al risülta da 1. che F al è al plüü cüntàbil .
Curulari : le tré prupusizziú sigütante i è equivalente :
- ul cungjuunt E al è al plüü cüntàbil ;
- al esiist una ingezziú da E veers
;
- al esiist una sürgezziú da
veers E.
[redatá] Reüniú da cungjuunt cüntàbil
Tüta reüniú cüntàbil da cungjuunt cüntàbil a l’è cüntàbil
Plüü furmalameent, si I al è un cungjuunt cüntàbil e si a l’è una famèja da cungjuunt cüntàbil , alura
al è un cungjuunt cüntàbil . I al è cüntàbil , dunca al esiist una bigezziú f da
sü I, e par tütt i da I, Ai veseent cüntàbil , al esiist una bigezziú λi da
sü Ai. Sa l ponn alura :
-
.
a l’è bé una aplicazziú da che ul cungjuunt da rivada a l’è A gja che
, dunca
.
Mustremm che al è sürgetiva. Al síes
. Al esiist i taal che
. Al síes
taal che i = f(a).
e λi al è una bigezziú da
in Ai, dunca
, vargot ch’al dà bé
Inscí, al è sürgetiva e
al è cüntàbil , dunca A al è cüntàbil .
Tüta reüniú finida da cungjuunt cüntàbil al è cüntàbil
Íntal caas indúe I al è finii, al è assée da retöö la demustrazziú precedenta, però cun f sürgetiva da sü I.
Tüta reüniú al plüü cüntàbil da cungjuunt al plüü cüntàbil al è al plüü cüntàbil
Íntal caas indúe vargü Ai i è finii, al è assée da retöö la demustrazziú precedent<, però cun λi sürgetiva da sü Ai.
[redatá] Cüntabilitaa dal cungjuunt di razziunaj
Sa la gjüstífega chí, cul jütt da vargüne da le prupietaa sura stabilide, la cüntabilitaa dal cungjuunt . Tütt razziunaal
sa l scriif d'almaanch una manera sota la furma
, indúe
e
; cheest chí al signifía che l'aplicazziú
a l’è sürgetiva ; adess
e
i è cüntàbil : ul sò prudüit cartesià al è dunca da l’istessa manera cünàbil, e l'esistenza da la sürgezziú f la implica che
al è al plüü cüntàbil ; però al è infinii, dunca cüntàbil .
Sa pöö mustrá da l’istessa manera che la sequenza definida da la manera sigütaant la dà una bigezziú intra
e ul cungjuunt di razziunaj positiif u nüj :
-
- x0 = 0
cun
, indúe E(x) al designa la paart intrega da x.
Voici le prime valuur da la sequenza :
[redatá] Vidée apó
- Ipòtesi dal cuntínü
- Georg Cantor