Antecedeent (matemàtica)

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


Cuntegnüü

[redatá] Definizziú

In matemàtica, daa düü cungjuunt mia vöj E, F e una aplicazziú \ f : E \to F, sa l cjama antecedeent (par f) d'un elemeent y da F tütt elemeent x da E taal che \ f (x) = y.

Un antecedeent al è dunca, par definizziú , un elemeent da l'imàgen récipruca \ f^{-1}(\{ga\}).

[redatá] Esempi

  • I síes la funziú \ f : \R \to\R,\, x \mapsto x^2 e y un reaal.
Si y > 0, y al amet düü antecedeent, ch’i è \ \sqrt{y} e \ -\sqrt{y}
Si y = 0, y al amet noma un antecedeent, ch’al è 0
Si y < 0, y al amet nissü antecedeent
  • I síes E un cungjuunt mia vöj, e una aplicazziú \ f : E \to\mathcal{P}(E), indúe \ \mathcal{P}(E) al designa ul cungjuunt da le parte da E. Sa l definiss \ Y = \{x \in E\, /\, x \not\in f(x)\} : Y al è una paart da E, otrameent dii un elemeent dal cungjuunt \ \mathcal{P}(E).
Cheest elemeent al amet nissü antecedeent par f. In efett, süpusemm che un taal antecedeent \ x_0 \in E al esístes. Sa gh'a dunca \ f (x_0) = Y.
Düü caas i è pussíbil :
\ x_0 \in Y, vargot ch’al vöör dí (par definizziú da Y) che \ x_0 \not\in f(x_0), u \ x_0 \not\in Y
\ x_0 \not\in Y, vargot ch’al vöör dí (par definizziú da Y) che \ x_0 \in f(x_0), u \ x_0 \in Y
Int i düü caas, sa riva a una cuntradizziú , vargot ch’al pröva par l'assüürt che Y al gh'a mia d'antecedeent (cf. l'argümeent da la diagonala da Cantor).

[redatá] Imàgen d'un cungjuunt par una aplicazziú

I síes una aplicazziú \ f : E \to F e A un sübcungjuunt da E. Sa la cjama 'imàgen da A par f ul cungjuunt di elemeent y da F ch’i amett almaanch un antecedeent partegniint a A ; sa la nota \ f (A):

\ f (A) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}.

In particülaar, l'imàgen da E par f, cjamada imàgen da f, al è ul cungjuunt di elemeent y da F ch’i amett almaanch un antecedeent :

\ f (E) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}.

[redatá] Ingezziú, sürgezziú, bigezziú

Al síes una aplicazziú \ f : E \to F.

  • Sa diis che f a l’è ingetiva, u che al è una ingezziú, si tütt elemeent da F al amet al plüü un antecedeent.
  • Sa diis che f al è sürgetiva, u che al è una sürgezziú, si tütt elemeent da F al amet almaanch un antecedeent, i.e. si
\ f (E) = F.
  • Sa diis che f al è bigetiva, u che al è una bigezziú, si tütt elemeent da F al amet un antecedeent e noma ü, i.e. si f al è cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva.
In cheest caas, sa pöö definí l'aplicazziú \ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x, indúe x al è l'ünica antecedeent da ‘‘y’’ par f. Al è apó una bigezziú , cjamada recípruca da f.


(l'esempi vidüü plüü in òolt al mustra che al esiist vargüna aplicazziú sürgetiva \ f : E \to\mathcal{P}(E)).

[redatá] Vidée apó