Cuntinuazziun analítica massimala
From Wikipedia
![]() |
Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada. |
In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.
Síes la sfera da Riemann; una süperfiis da Riemann regülara sura un cungjuunt deerf
a l'è un para
intúe R a l'è una süperfiis da Riemann (i.e. una varietaa cumplessa a una dimensiun) e
a l'è un biulumurfiism lucaal sürgetiif. Una cuntinuazziun analítica regülara d'un elemeent da funziun ulumorfa la cunsistiss int una süperfiis da Riemann regülar sura un cungjuunt deerf
taal che
, int una imersiun ulumorfa
tala che
e int una funziun ulumorfa
tala che
.
Un murfiism intra dò cuntinuazziun analítich e
dal istess elemeent
al è una funziun ulumorfa
tala che
.
Un taal murfiism al è una funziun mia custanta, ünivocament determinada in j(U), (e dunca da-par-tütt in S) par . Da plüü,
e
in j(U) dunca da-par-tütt in S.
L'ünich murfiism intra una cuntinuazziun analítica e la istessa al è l'identitaa, la cumpusizziun da düü morfismes a l'è apó un murfiism; si un murfiism al amett una funziun ulumorfa cuma inversa, chesta-chí a l'è apó un murfiism: si al è ul caas, a parlemm d'un isumurfiism da cuntinuazziun analítich.
Definizziun: una cuntinuazziun analítica S da l'elemeent a l'è massimala si, par cada cuntinuazziun
da
al esiist un murfiism
.
Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca la cuntinuazziun analítica massimala a l'è ünica a maanch d'isumurfiism.
Teorema: cada elemeent da funziun ulumorfa al gh'a una cuntinuazziun analítica massimala
.
Demustrazziun: síes
ul cungjuunt formaa paj [[elemeent liàbil]] a ;
,
e
;
l'imersiun natürala.
Introdüssemm una relazziun d'equivalenza in S0: e
sa i dirà equivaleent si π0(z1) = π0(z2) e
in un intuurn da π0(z1) = π0(z2) in
.
Síes S ul cungjuunt quozzient e la prujezziun canònica: una basa par la tupulugía da S a l'è formada paj
. Definissemm
,
par
,
.
Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü, π al è un omeumurfiism lucaal.
Ul spazzi tupulògich S al è da Hausdorff: da fatt, si e
, cunsideremm un intuurn cuness V da
, taal che fi e fj i síes definii e difereent in V. I síes Vi e Vj les còpies disgjuunt da V in Ui e da Uj in S0: s'al veet che
. da fatt, si ga i füdess düü puunt
e
taal che
, s'aress apó fi = fj int un intuurn da
, dunca in V, vargott ch'al è una cuntradizziun.
Ul spazzi S al è cuness, par che par cada para da puunt p1,p2 cun e
, al esiist una cadena
da congjuunt deerf cuness mia vöj, taal che, par cada k = 0,....,n − 1,
, s'al gh'àbies
e
.
Dunca ul cungjuunt deerf al è connex e al cuntegn p1 e p2.
Gja che q al è un omeumurfiism lucaal intra Ui e , ul spazzi S al è cuness; però apó
al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal teurema da Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), apó S al è a basa nümeràbil.
L'atlaant al definiss una strütüra cumplessa S, par che, par cada para [Ui],[Uj] da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da transizziun
a l'è l'identitaa d'un cungjuunt deerf da
.
Par chesta strütüra, i aplicazziun π,j,F i è ulumòorf par custrüzziun, dunca a l'è una cuntinuazziun analítica da
.
Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è massimala: síes una cuntinuazziun analítica da
: a pudemm fa sü un recuvrimeent deerf da R par di {Vi} taal che, par cada i,
a l'è biulumorfa; alura ul para
al è un elemeent da funziun ulumorfa liàbil cun
.
Definissem par
: si
, hi = hj in
, dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí una aplicazziun ulumorfa
tala che
.
[redatá] Refereenz
narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago