Resürgenza

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz


h(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(\xi-\xi_0)^k,

representaant una funziun difereent da

\xi\mapsto c e^{\xi},

l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a ξ0 e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:

\sum_{k=1}^{\infty}k a_k(\xi-\xi_0) ^{k-1}=h^{\prime}(\xi),

vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa veers la suva derivada?

[redatá] La sulüzziun da Lewy

Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Sa cunsideri la funziun h(z)=\int_{\mathbb R^+}  \exp \left[ -zt-(\log t)^2/4\pi e  \right]\, dt; h a l'è ulumorfa par \Re(z)>0 e la pöö vess cuntinuada analiticameent aj semipian \Re(z e^{- e\vartheta})>0\ (\vartheta \in\mathbb R^+), da la manera segueent: al síes N\in\mathbb N taal che 0<\vartheta/N<\pi/2 e femm \eta:= \vartheta/N.

Scrivemm, par z\in \{\Re(z e^{- e\eta})>0\}\bigcup \{\Re(z)>0\},

h(z)=\int_{\mathbb R^+}exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t- \frac{\log( e^{- i\eta} e^{i\eta} t)^2}{4\pi i  } \right] \, dt
=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du
=\lim_{R \to\infty} \left\{ \int_0^{R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du+\right.
\ \qquad \left. +  \int_{\gamma_R} exp \left[-ze^{- i\eta} u- \displaystyle \frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du\right\}.


Chesta darera integrala, che numinemnm e2, la gh'a da vess calcülada sura la cürva \gamma_R: [0,1]\rightarrow\mathbb C definida par γ(t): = Reitη.

A emm e_2\leq C_1 R^{\alpha}e^{-C_2R} par di custaant reaal pusitiiv C1, C2 e α, dunca e2 al teent a 0 quan R\to\infty.

Inscí, par z\in \{\Re(z e^{- i\eta})>0     \}\bigcap \{\Re(z)>0     \} hom ha h(z)= \int_{\mathbb R^+} exp \left[-ze^{- i\eta} u-\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i } \right] e^{- i\eta} \, du; però chesta darera integrala la cunveerg in \Re(z e^{- e\eta})>0 e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da h. Repetemm ul prucedimeent N vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun analítica da h al semiplan \Re(z e^{- e\vartheta})>0; dunca h la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt p\in\mathbb C\setminus\{0     \}.

Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin \vert z\vert=1, 0\leq\arg(z)\leq 2\pi, utegnemm, designaant \widehat h l'element da funziun ulumorfa utegnüü (int un intuurn da z = 1) dapress una girada cumpleta, \widehat h(z) =  \int_{\mathbb R^+}  \exp \left[-e^{2\pi e}z t-(\log t+2\pi e)^2/4\pi e    \right]\, dt=

= \int_{\mathbb R^+}  \exp \left[-zt- \displaystyle \frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi e\log t}{4\pi e }  \right]\, dt=

=\int_{\mathbb R^+}  \exp \left[ \displaystyle -zt -e^{2\pi e} t-(\log t)^2/4\pi e - \pi e+ \log t \right]\, dt=

= \int_{\mathbb R^+} (-t)  \exp \left[-zt-(\log t)^2/4\pi e    \right]\, dt= h^{\prime}(z).

Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.

Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtica
Oltri leench-Otre lengue