Argümeent da la diagunala da Cantor

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


L'argümeent da la diagunala da Cantor al è una demustrazziú dal matemàtich Tudeesch Georg Cantor da la mia-cüntabilitaa dal cungjuunt di nümar reaj.

Chesta demustrazziú a l’è la segunda scrivüda par Cantor sü la mia-cüntabilitaa da \mathbb{R}. La prima demustrazziú la dröva mia ul desvilüpameent decimaal d'un nümar reaal.

Dapress che chesta tèg&midot;nica a l’è stada inventada, l’ è stada druvada in da nümeruse demustrazziú e ul druvameent da l'argümeent diagunaal al è inscí deventaa un clàssich da la demustrazziú in matemàtica.


In scambi da demustrá che \mathbb{R} al è mia-cüntàbil sa l cunsidera par cumuditaa ul sübcungjuunt [0,1] da \mathbb{R} sa l custrüiss, par tüta paart cüntàbil D da [0,1], un elemeent da [0,1] partegniint mia a D; sa l arà inscí pruvaa che [0,1] al pöö mia vess cüntàbil . Cunsideremm dunca una paart cüntàbil da [0,1] nümerada cul jütt d'una sequenza r = (ri) = {r1,r2,...,ri,...}. Cada tèrmin da chesta sequenza al gh'a una scritüra decimala cunt una infinitaa da scifre Dapress la vírgüla (una infinitaa da 0 par un nümar decimaal), i.e. : r_1=0,r_{i1} r_{i2} r_{i3}\cdots r_{in}\cdots \,


Custrüisemm adess un nümar reaal x in [0,1] cunsiderant la scifra da sit n dapress la vírgüla dal nümar rn, i.e cunsideraant le scifre sü la diagunala da la taula {rin}i,n. Síes-al sn un nümar da 0 a 9 difereent da rn e x:=0,s_{1} s_{2} s_{3}\cdots s_{n}\cdots.

Ul nümar x al è cjarameent in l'interval [0, 1] però al pöö mia vess in la sequenza { r1, r2, r3, ... }, par che al è iguaal a nissü di nümar da la sequenza : al pöö mia vess iguaal a r1 par che la prima scifra dapress ul puunt decimaal da x al è difereent da la prima scifra dapress ul puunt decimaal da r1; in l’istessa manera par r2, etc. dunca x al è mia elemeent da la sequenza ri.

Cunclüsiú : l'interval [0, 1] al è mia infinii cüntàbil e a fortiori \mathbb{R}.


Cantor al a druvaa una furma generalisada da l'argümeent da la diagunala par demustrá ul teurema da Cantor : par tütt cungjuunt S, ul cungjuunt da le parte da S, nutaa generalameent P(S), al è « stregjameent plüü graant » che S sí-istess, in d'òolt tèrmen al pöö mia esiist da sürgezziú da S veers P(S). In efett, si la esiist una tala sürgezziú f da SP(S), sa l pöö cunsiderá ul cungjuunt A di elemeent x da S cuma x partegniint a f(x). Cuma ca A al partegn a P(S), al esiist, dal fatt da la sürgetivitaa da f, un elemeent a da S taal che f(a)=A. Sa riva a una cuntradizziú apó bé íntal caas indúe a al partegn a A che íntal caas cuntrari.


[redatá] Vidée apó