Cuntinuazziun analítica massimala

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

In cheest artícul a femm vidé una furmalizazziun plüü astrata da la nuzziun da cuntinuazziun analítica.

Síes \mathbb S la sfera da Riemann; una süperfiis da Riemann regülara sura un cungjuunt deerf \ \Omega\subset\mathbb S a l'è un para \ \left(R,p\right) intúe R a l'è una süperfiis da Riemann (i.e. una varietaa cumplessa a una dimensiun) e p:R\rightarrow\Omega a l'è un biulumurfiism lucaal sürgetiif. Una cuntinuazziun analítica regülara d'un elemeent da funziun ulumorfa la cunsistiss int una süperfiis da Riemann regülar sura un cungjuunt deerf \Omega\subset\mathbb S taal che U\subset \pi(S), int una imersiun ulumorfa j\,\colon\, U\rightarrow S tala che \pi\circ  j=id\vert_{U} e int una funziun ulumorfa F\,\colon\, S\rightarrow \mathbb S tala che F\circ j=f.

Un murfiism intra dò cuntinuazziun analítich \left(S,\pi,j,F\right) e \left(T,\varrho,\ell,G\right) dal istess elemeent \left(U,f    \right) al è una funziun ulumorfa h\,\colon\, T\rightarrow S tala che h\circ\ell=j.

Un taal murfiism al è una funziun mia custanta, ünivocament determinada in j(U), (e dunca da-par-tütt in S) par \ell\circ j^{-1}. Da plüü, \varrho\circ h=\pi e G\circ h=F in j(U) dunca da-par-tütt in S.

L'ünich murfiism intra una cuntinuazziun analítica e la istessa al è l'identitaa, la cumpusizziun da düü morfismes a l'è apó un murfiism; si un murfiism al amett una funziun ulumorfa cuma inversa, chesta-chí a l'è apó un murfiism: si al è ul caas, a parlemm d'un isumurfiism da cuntinuazziun analítich.

Definizziun: una cuntinuazziun analítica S da l'elemeent \left(U,f    \right) a l'è massimala si, par cada cuntinuazziun \widehat S da \left(U,f    \right) al esiist un murfiism h\,\colon\, S\rightarrow \widehat S.

Remarchemm che dò cuntinuazziun massimaal dal istess elemeent i è necessariameent isumòorf; dunca la cuntinuazziun analítica massimala a l'è ünica a maanch d'isumurfiism.

Teorema: cada elemeent \left(U,f    \right) da funziun ulumorfa al gh'a una cuntinuazziun analítica massimala Q:= \left(S,\pi ,j,F    \right).

Demustrazziun: síes

  1. {\mathcal U}=\{\left(U_i,f_i    \right)\}_{e\in e}

ul cungjuunt formaa paj [[elemeent liàbil]] a \left(U,f    \right);

  1. S_0=\coprod_{e\in e}U_i,

\pi_0=\coprod_{e\in e}id\vert_{U_i} e F_0=\coprod_{e\in e}f_i;

  1. j_0\,\colon\, U\longrightarrow S_0 l'imersiun natürala.


Introdüssemm una relazziun d'equivalenza in S0: z_1\in U_{e_1} e z_2\in U_{e_2} sa i dirà equivaleent si π0(z1) = π0(z2) e f_{e_1}=f_{e_2} in un intuurn da π0(z1) = π0(z2) in U_{e_1} \cap U_{e_2}.

Síes S ul cungjuunt quozzient e q\,\colon\,S_0 \longrightarrow  S la prujezziun canònica: una basa par la tupulugía da S a l'è formada paj [U_i]:=\{q\left(U_i     \right)\}. Definissemm <math> j\,\colon\,U\longrightarrow S, \pi\,\colon\, S\longrightarrow \mathbb C^N F\,\colon\,  S\longrightarrow \mathbb C^N par j=q\circ j_0, \pi \left(q(z)    \right)=\pi_0(z) F\left(z_i    \right)=f_i\left(z_i    \right).


Sti aplicazziun i è ben definiit e cuntínüi; da plüü, π al è un omeumurfiism lucaal.

Ul spazzi tupulògich S al è da Hausdorff: da fatt, si q\left(z_i     \right)\not=q\left(z_j     \right) e \pi_0\left(z_i     \right)=\pi_0\left(z_j     \right), cunsideremm un intuurn cuness V da \pi_0\left(z_i     \right)=\pi_0\left(z_j     \right), taal che fi e fj i síes definii e difereent in V. I síes Vi e Vj les còpies disgjuunt da V in Ui e da Uj in S0: s'al veet che {q\left(V_i    \right) \cap q\left(V_j    \right) =\emptyset}. da fatt, si ga i füdess düü puunt w_i\in V_i e w_j\in V_j taal che {q\left(w_i    \right) =q\left(w_j    \right)}, s'aress apó fi = fj int un intuurn da {\pi_0\left(w_i     \right)=\pi_0\left(w_j     \right)}, dunca in V, vargott ch'al è una cuntradizziun.

Ul spazzi S al è cuness, par che par cada para da puunt p1,p2 cun p_1\in [U^{\prime}] e p_2\in [U^{\prime\prime}], al esiist una cadena {{\mathcal K}=\{U_{e_0},U_{e_1}  ..... U_{e_n}\}} da congjuunt deerf cuness mia vöj, taal che, par cada k = 0,....,n − 1, U_{e_k}\cap U_{e_{k+1}} \not=\emptyset, s'al gh'àbies U_{e_0}=U^{\prime} e U_{e_n}=U^{\prime\prime}.

Dunca ul cungjuunt deerf {[U_{e_0}]\cup\cdots \cup [U_{e_n}]} al è connex e al cuntegn p1 e p2.

Gja che q al è un omeumurfiism lucaal intra Ui e q\left(U_i    \right), ul spazzi S al è cuness; però apó \pi\,\colon\,  S\longrightarrow \mathbb C al è un omeumurfiism lucaal, dunca pal teurema da Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), apó S al è a basa nümeràbil.

L'atlaant {\left\{\left([U_i], \pi\vert_{[U_i]}    \right)     \right\}_{e\in e}} al definiss una strütüra cumplessa S, par che, par cada para [Ui],[Uj] da caart lucaal che sa i suraponn, l'aplicazziun da transizziun {\pi\vert_j\circ \pi\vert_i^{-1}} a l'è l'identitaa d'un cungjuunt deerf da {U_i\cap U_j}.

Par chesta strütüra, i aplicazziun π,j,F i è ulumòorf par custrüzziun, dunca { \left(  S, \pi,  j,   F\right)} a l'è una cuntinuazziun analítica da \left(U,f    \right).

Demustremm che chesta cuntinuazziun a l'è massimala: síes { \left(  T, \varrho,   \ell, G\right)} una cuntinuazziun analítica da \left(U,f    \right): a pudemm fa sü un recuvrimeent deerf da R par di {Vi} taal che, par cada i, \varrho \vert_{\{V_i\}} a l'è biulumorfa; alura ul para {\left(\varrho(V_i), G\circ\varrho\vert_{V_i}^{-1}    \right)} al è un elemeent da funziun ulumorfa liàbil cun \left(U,f    \right).

Definissem {h_i: V_i\longrightarrow S} par {h_i=q\circ \varrho\vert_{V_i}}: si V_i\cup V_j \not=\emptyset, hi = hj in V_i\cup V_j, dunca i definizziun lucaal sa i lazza a definí una aplicazziun ulumorfa h: T\rightarrow S tala che h\circ\ell=j.

[redatá] Refereenz

narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago

Oltri leench-Otre lengue