Kompleksan broj
From Wikipedia
Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika a + bi, gde su a i b realni brojevi, i jedan simbol.
Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:



U kompleksnom broju z = a + bi broj a se naziva realni deo, piše se a = Re(z), a broj b je imaginarni deo, piše se b = Im(z).
Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.
Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva (a,b). Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:



Par (0;1) se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i. Iz poslednjih formula proizilazi da je i2 = − 1. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

[uredi - уреди] Trigonometrijski oblik
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

, za a > 0 i
za a < 0; kada je a = 0 onda je
, ako je b > 0 i
, ako je b < 0. Broj ρ se naziva moduo kompleksnog broja, a φ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva a,b,ρ,φ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.
Dužina vektora ρ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: .
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i, takvog da je i2 = − 1.