Reálne číslo

Z Wikipédie

Reálne číslo je každé číslo patriace do množiny reálnych čísel.

Reálne čísla môžu byť:

[úprava] Množina reálnych čísel, axiomatické zadefinovanie

Množinu reálnych čísel označujeme písmenom R.

Pre každé dve reálne čísla x,y\in R je daný ich súčet x + y, rozdiel xy a súčin x.y. Číslice 0, 1 označujú konkrétne reálne čísla. Daný je vzťah usporiadania reálnych čísel podľa veľkosti x < y (x je menšie ako y). Zápis x < = y znamená x < y alebo x = y. Číslo a sa nazýva horné ohraničenie množiny X podmnožina R, ak pre každé x\in X platí x < = a. Množina X je zhora ohraničená, ak existuje jej horné ohraničenie. Číslo a sa nazýva supremum množiny X, píšeme a = supX, ak a je najmenšie horné ohraničenie množiny X.

Množina reálnych čísel má tieto vlastnosti:

  1. R, +, -, . , 0, 1 je teleso
  2. neexistuje x\in R také, že x<x
  3. ak x, y, z\in R, x<y a y<z, tak x<z
  4. pre každé dve rôzne reálne čísla x, y\in R platí buď x<y alebo y<x
  5. 0<1
  6. ak x, y, z\in R, x<y, tak x+z<y+z
  7. ak x, y\in R, x>0, y>0, tak x.y>0
  8. každá neprázdna zhora ohraničená množina reálnych čísel má supremum

Z týchto ôsmych axióm sa dajú odvodiť všetky ostatné vlastnosti množiny reálnych čísel.

Axióma 8 sa nazýva Dedekindov princíp.

Množinu prirodzených čísel N možno definovať, ako najmenšiu podmnožinu množiny R s vlastnosťami

  1. 0\in N
  2. ak x\in N, tak x+1\in N

V tejto definícii je aj nula prirodzené číslo.

[úprava] Pôvodný zdroj

  • Lev Bukovský: Množiny a všeličo okolo nich