Fourierov rad

Z Wikipédie

Fourier rad je pomenovaný po francúzskom lekárovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži k zápisu akéhokoľvek periodického priebehu pomocou funkcií sínus a cosínus. Pomocou tohto radu je možné rozložiť aj značne komplikované funkcie, ktoré by inak bol problém zobraziť.

[úprava] Kanonický tvar

Každú, všeobecne komplexnú funkciu f(x) reálnej premennej x, ktorá je po častiach spojitá, periodická s periódou 2π a kvadraticky integrovateľná v intervale (-π, π), t.j. pre ktorú platí

\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx<+\infty,

je možné zapísať ako

f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)],

kde pre výpočet jednotlivých koeficientov ak a bk použijeme vzorce

a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx,
b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx.

V praxi sa funkcia f(x) aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa vo všeobecnosti s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

[úprava] Pozri aj

  • Fourierova transformácia