Homomorfizmus (algebra)
Z Wikipédie
Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.
Formálne je to teda zobrazenie medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu f a pre všetky xi v A platí
Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:
- homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
- homomorfizmus okruhov
- homomorfizmus telies
- homomorfizmus algebier
- homomorfizmus vektorový priestorov = lineárne zobrazenie
[úprava] Druhy homomorfizmov
Existujú tieto druhy homomorfizmov:
- izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus (prostý a na)
- epimorfizmus je surjektívny homomorfizmus (na)
- monomorfismus je injektívny homomorfizmus (prostý)
- endomorfizmus je homomorfizmus z objektu do seba samého
- automorfizmus je endomorfizmus, ktorý je aj izomorfizmom
[úprava] Jadro homomorfizmu
Každý homomorfizmus definuje ekvivalenciu ˜ tak, že x˜y práve vtedy, keď f(x) = f(y). Ekvivalencia ˜ sa nazývá jadro f. Faktormnožine X / ˜ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže
. V tomto prípade je obraz X homomorfizmu f v Y nutne izomorfný X / ˜.