Homomorfizmus (algebra)

Z Wikipédie

Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.

Formálne je to teda zobrazenie \phi: A \rightarrow B medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu f a pre všetky xi v A platí

\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))

Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:

  • homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
  • homomorfizmus okruhov
  • homomorfizmus telies
  • homomorfizmus algebier
  • homomorfizmus vektorový priestorov = lineárne zobrazenie

[úprava] Druhy homomorfizmov

Existujú tieto druhy homomorfizmov:

[úprava] Jadro homomorfizmu

Každý homomorfizmus f:X \rightarrow Y definuje ekvivalenciu ˜ tak, že x˜y práve vtedy, keď f(x) = f(y). Ekvivalencia ˜ sa nazývá jadro f. Faktormnožine X / ˜ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže [x] \circ [y] = [x \circ y]. V tomto prípade je obraz X homomorfizmu f v Y nutne izomorfný X / ˜.