Gibalna količina

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Gibálna količína je fizikalna količina, enaka zmnožku mase in hitrosti točkastega telesa. Pri razsežnem telesu upoštevamo hitrost težišča.

Gibalna količina je naboj Noetherjeve za translacijsko invariantnost. Kot taka lahko imajo gibalno količino tudi polja in druge stvari in ne samo delci. V ukrivljenem prostor-času, ki ni asimptotično enak prostoru Minkowskega, gibalna količina sploh ni definirana.

Vsebina

[uredi] Gibalna količina v klasični mehaniki

V klasični mehaniki je gibalna količina (navadno jo označujemo z G, v angleški literaturi tudi s p) vektorska količina, enaka produktu mase in hitrosti telesa. V mednarodnem sistemu enot merimo gibalno količino v newton-sekundah, kar lahko izrazimo z osnovnimi enotami: kg·m/s.

Izrek o gibalni količini pove, da je skupni sunek zunanjih sil enak spremembi gibalne količine. Diferencialno obliko tega izreka lahko zapišemo kot:

\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{G}}{dt}

Gibalna količina telesa je enaka produktu mase telesa in njegove hitrosti:

\mathbf {G} = m  \mathbf {v}


Po analogiji z gibalno količino za premo gibanje je vpeljana tudi vrtilna količina za vrtenje.

[uredi] Gibalna količina v relativistični mehaniki

Splošno mnenje je, da morajo biti fizikalni zakoni invariantni na premik. Definicijo gibalne količine moramo zato v posebni teoriji relativnosti nekoliko prilagoditi, da bo ostala invariantna. Zato definiramo četverec gibalne količine:

Pμ = muμ

Ali, v komponentah,

P^\mu = \begin{bmatrix} \gamma m_0 c \\ \gamma m_0 v^1 \\ \gamma m_0 v^2 \\ \gamma m_0 v^3 \end{bmatrix}

Pri tem je m0 mirovna masa, c hitrost svetlobe, v = (v1, v2,v3) vektor hitrosti, γ pa relativistični Lorentzov faktor:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.

Časovni del četverca gibalne količine lahko zapišemo kot E / c, s čimer smo vpeljali polno energijo:

E = m_0 c^2 \gamma = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Skalarni produkt tako definiranega četverca je res invarianten:

g^{\mu\nu} P^\mu P^\nu = -E^2/c^2 + P^2 = -m_0^2 c^2

Pri tem je gμν metrični tenzor, P2 pa skalarni produkt krajevnega dela četverca gibalne količine s samim seboj, P = m0 γ v.

Tudi za četverec gibalne količine lahko zapišemo, da je njegov odvod po času enak sili, če vpeljemo silo Minkovskega:

\mathcal{F}^\mu = \frac{dP^\mu}{d\tau}

[uredi] Gibalna količina v kvantni mehaniki

V kvantni mehaniki ustreza gibalni količini operator gibalne količine, ki deluje v prostoru valovnih funkcij.

\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar \begin{bmatrix} \partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z \end{bmatrix} = -i\hbar\nabla

Heisenbergovo načelo nedoločenosti podaja omejitev, kako natančno lahko obenem poznamo vrednost lege in vrednost hitrosti oz. gibalne količine. To zvezo v matematični obliki podaja nekomutativnost operatorjev gibalne količine in lege:

[ \hat{p}_i, \hat{x}_j] = \hat{p}_i \hat{x}_j - \hat{x}_j\hat{p}_i = i\hbar\delta_{ij}

Pri tem je \hat{p}_i i-ta komponenta operatorja gibalne količine \hat{x}_j j-ta komponenta operatorja lege, \hbar Planckova konstanta, deljena z 2π, δij pa Kroneckerjev delta.

[uredi] Glej tudi