Legendrova transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Legendrova transformacija je v matematiki dvočlena aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.

Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:

df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy

Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v

u = \frac{\partial f}{\partial x}
v = \frac{\partial f}{\partial y}

Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot

df= u\,dx + v\,dy

Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):

g = f - ux

Popolni diferencial te funkcije je enak

dg = df - u\,dx - x\,du

Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo

df= -x\,du + v\,dy

Pri tem velja

x = -\frac{\partial g}{\partial u}
v = \frac{\partial g}{\partial y}

Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.

Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.