Diofantska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Diofantske enačbe so enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami, z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

  • ax + by = 1 \,: linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
  • x^{n} + y^{n} = z^{n}\,: Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
  • x^{2} - n y^{2} = 1\,: Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
  • x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3xyz \,: kvadratna enačba Markova
  • \sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c, kjer je n \geq 3 in c \neq 0: to so Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
  • 4/n = 1/x + 1/y + 1/z, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz). Erdös-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.