Linearna transformacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Poglavja v linearni algebri

Vektorji
Vektorski prostori
Linearna ogrinjača
Linearna transformacija
Linearna neodvisnost
Linearna kombinacija
Baza
Prostor stolpcev
Prostor vrstic
Dualni prostor
Ortogonalnost
Lastni vektor
Lastna vrednost
Metoda najmanjših kvadratov
Zunanji produkt
Vektorski produkt
Skalarni produkt
Transponiranje
Razcep matrike

Linearna transformacija je pojem iz linearne algebre in pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Če sta V in U vektorska prostora nad obsegom O in je A linearna transformacija iz V v U, velja:

  • A(x + y) = Ax + Ay, \forall x,y \in V (aditivnost)
  • A(\alpha x) = \alpha Ax, \forall \alpha \in O, \forall x \in V (homogenost)

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornje lastnosti zapišejo tudi kot

A(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n) = \alpha_1 Ax_1 + \alpha_2 Ax_2 + \cdots + \alpha_n Ax_n

Jedro in sliko preslikave A: V -> U definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

\ker(A)=\{\,x\in V:Ax=0\,\}
\operatorname{im}(A)=\{\,Ax:x\in V\,\}

Ker(A) je podprostor V, im(A) pa podprostor U.

Če V=U, potem je A endomorfizem. Množica End(V) vseh endomorfizmov iz V v V tvori asociativno algebro nad V z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo Aut(V) z operacijo kompozicije.

V drugih jezikih