Механіка Гамільтона
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Гамільтонова механіка це одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньотона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.
Зміст |
[ред.] Функція Гамільтона
Функція Гамільтона H(qi,pi,t) визначається через узагальнені координати qi і узагальнені імпульси pi виходячи з функції Лагранжа наступним чином.
Узагальнені імпульси визначаються, як

Функція Гамільтона визначається згідно з

Після цього всі узагальнені швидкості d H виражаються через узагальнені імпульси й координати.
За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.
У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил
тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.
[ред.] Канонічні рівняння Гамільтона
Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді


Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.
[ред.] Функція Гамільтона заряду в електромагнітному полі
Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

де e -- заряд частки, -- електростатичний потенціал,
-- векторний потенціал.
[ред.] Використання у квантовій механіці
У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів pi на оператори імпульсу
, де
-- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантуванння.
Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки -- рівняння Шредінгера.