Декартів добуток множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В теорії множин, декартів добуток (прямий добуток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині X, а друга — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X×Y:

X\times Y = \{(x,y) | x\in X \and y\in Y\}.

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

[ред.] Декартів квадрат та n-арний добуток

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел \mathbb R є двовимірний простір (площина) \mathbb R^2 = \mathbb R \times \mathbb R — множина усіх точок з координатами (x,y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, ..., Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

X_1\times X_2\times \cdots \times X_n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n)|  x_1\in X_1 \and x_2\in X_2 \and \cdots \and x_n\in X_n\}.

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою

n-арний декартів добуток однієї множини X × ... × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

[ред.] Властивості

Для операції декартового добутку не справджуються асоціативність та комутативність, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедливі такі тотожності:

  • (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)
  • (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
  • A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)
  • A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C)

[ред.] Проекції

Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на i-у вісь (або i-ою проекцією) називається i-а координата xi кортежу A, позначається Pri(A) = xi. Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на осі з номерами i1, i2,..., ik називається кортеж (xi1, xi2, ..., xik), позначається Рri1,i2,...,ik(A).

Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2, 3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.