Дроби

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дроби це один із способів представлення раціональних чисел у формі a \over b, де a,b — цілі числа. a називається чисельником, а b — знаменником дробу. Дріб спрощений, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1. Також використовують форму a:b. Дана стаття є спрощеним поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Зміст

[ред.] Операції над дробами

[ред.] 1. Додавання

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого, таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

{{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}}

[ред.] 2. Віднімання

По аналогії із додаванням дробів, визначається їх різниця:

{{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}}

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.


[ред.] 3. Множення

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників доданків-множників:

{{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}


[ред.] 4. Ділення

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

{{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}

[ред.] Пропорції

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

{ a \over b } = { c \over d }

[ред.] Похідні пропорції

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

{{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}

де

p a + q b \ne 0 p c + q d \ne 0

Вивід:

Із { a \over b } = { c \over d } слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

{ a } = { {c b} \over d }

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

{{m a + n b} \over {p a + q b}} =  {{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} =  {{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} =  {{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} =  {{{b(m c + n b)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}


[ред.] Часткові випадки

{{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d},

{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}

Очевидно,

a + b \ne 0

c + d \ne 0


[ред.] Джерела

  • Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"