Гомоморфізм груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гомоморфі́зм групвідображення φ групи \mathfrak{G} в групу \mathfrak{G}^\prime, що зберігає групову операцію, себто:

\phi : \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{G}^\prime: \quad \phi(g \cdot h) = \phi(g) \cdot \phi(h) \quad \forall \mathit{g,h} \in \mathfrak{G}. \qquad (*)

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно однозначним відображеням. Приклад гомоморфізму: співставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

\phi(A)=\operatorname{det}(A), \quad A\in \mathit{GL(n,\mathbb{R})},

що є відображенням групи \mathit{GL(n,\mathbb{R})} невироджених лінійних перетворень простору \mathbb{R}^n на мультиплікативну групу дійсних чисел \mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}. Як добре відомо, \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B), затим (*).

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів \mathfrak{G}, що відображаються в одиницю групи \mathfrak{G}^\prime:

ker \ \phi = \{ g \in \mathfrak{G} \ | \ \phi (\mathit{g}) = e^\prime \}.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів \mathfrak{G}^\prime, що є образами елементів \mathfrak{G}:

Im \ \phi = \phi ( \mathfrak{G} ).

Ядро гомоморфізму \phi:\mathfrak{G}\to\mathfrak{G'} є підгрупою \mathfrak{G}, у той час як образ φ є підгрупою \mathfrak{G'}.

[ред.] Дивіться також