Момент інерції
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Момент інерції (одиниця виміру в системі СІ [кг м2]) — в фізиці є мірою інерції обертального руху, аналогічно масі для поступального.
В загальному випадку, значення момента інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.
Зміст |
[ред.] Математичне визначення
Тверде тіло можна розглядати як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою mi. Якщо відстані від кожної точки до осі обертання дорівнюють ri, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:
За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:
де елемент маси визначається за допомогою просторового розподілу густини
.
[ред.] Тензор інерції
У загальнішому випадку обертання твердого тіла довільної форми складніше. Тіло характеризується тензором другого рангу
Iαβ = | ∑ | mirαrβ, |
i |
де індекси α та β пробігають значення координат x,y,z.
Тензор інерції симемтричний
- Iαβ = Iβα.
Як і для будь-якого іншого тенозра другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму (головної системи координат). Осі головної системи координат називають головними осями інерції.
[ред.] Момент кількості руху
Момент імпульсу тіла при обертанні залежить від вектора кутової швидкості й тензора інерціії
Lα = | ∑ | Iβαωα. |
β |
У головній системі координат
.
[ред.] Кінетична енергія
Кінетична енергія обертання тіла задається формулою
У головній системі координат
[ред.] Основне рівняння динаміки обертального руху
За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.
При одновісному обертанні
Тут Mi — моменти зовнішніх сил, — кутова швидкість,
— кутове прискорення.
[ред.] Дивись також
Таблиця моментів інерції деяких тіл