Гармонічний осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Малі коливання маятника є гармонічними
Малі коливання маятника є гармонічними

Гармонічним осцилятором називається фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

\ddot{q} + \omega^2 q = 0,

де q — узагальнена координата гармонічного осцилятора, t — час, ω — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина q здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем ведуть себе, як гармонічні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них належать математичний і фізичний маятники, коливання атомів у молекулах і твердих тілах, електричні коливні контури і багато інших.

Зміст

[ред.] Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

[ред.] Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

K = \frac{1}{2} \dot{q}^2.

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

U = \frac{1}{2} \omega^2 q^2.

Відповідно, вважаючи величину q узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується

L = \frac{1}{2} (\dot{q}^2 - \omega^2 q^2).

Узагальнений імпульс

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \dot{q}.

Функція Гамільтона

H = \frac{1}{2}(p^2 + \omega^2 q^2).

[ред.] Вимушені коливання

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково співпадає із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою ω0 під дією сили з частотою ωописуються рівнянням

\ddot{q} + \omega_0^2 q = f_0 \cos (\omega t - \varphi),

де f0 — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

q = \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos (\omega t - \varphi).

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою f_0/(\omega_0^2 - \omega^2). При \omega \rightarrow \omega_0 амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.


[ред.] Гармонічний осцилятор із затуханням

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до розсіяння енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора видозмінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили опору пропорційні швидкості зміни величини q. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

\ddot{q} - \gamma \dot{q} + \omega^2 q = 0.

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

q = q_0 e^{-\gamma t} \cos (\omega t - \varphi).

[ред.] Вимушені коливання гармонічного осцилятора із затуханням

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

q_0  =  \frac{ f_0 (\omega_0^2 - \omega^2)}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}.

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

[ред.] Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

\omega = \sqrt{\frac{g}{l}},

де g - прискорення вільного падіння, l - дожина маятника.

Тіло масою m, яке ковзає по прощині під дією пружини із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

[ред.] Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

[ред.] Спектр власних значень і власні функції

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5.  На осі ординат відкладена узагальнена координата
Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2}\frac{d^2}{dq^2} +  \frac{1}{2} \omega^2 q^2.

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).

Тут n — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega.

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу n задаються формулами

\psi_n = e^{-x^2/2}H_n(x),

де x = q\sqrt{\omega/\hbar}, а Hn(x) — поліноми Ерміта.

При парному n власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни x на x, а тому має спільні власні функції з цим оператором.

[ред.] Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператор народження

\hat{a}^+ = \frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q - i \hat{p})

та оператор знищення

\hat{a} =\frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q + i \hat{p}),

то

\hat{H} = \hbar \omega (\hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2}).

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

\hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = 1.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

\psi_n = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n \psi_0,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

|n> = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n |0>.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

\hat{a}^+ |n> = \sqrt{n+1}|n+1>.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

\hat{a} |n> = \sqrt{n}|n-1>

Оператор

\hat{N} = \hat{a}^+\hat{a}

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

\hat{N}|n> = n|n>

[ред.] Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі опричного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою ω.

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т.д.

[ред.] Див. також

гармонічні коливання

[ред.] Джерела

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка, Київ: Вища школа., 516 с.
  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки, Київ: Либідь.