Групова алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи G. За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.

Зміст

[ред.] Групова алгебра скінченої групи

Припустимо, що G — це скінчена група. Її групова алгебра \mathbb{Z}[G] — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

\sum_{g\in G}a_g g, \quad a_g\in\mathbb{Z},

які додаються покомпонентно і для добутку якіх виконується співвідношення

g\cdot h=gh,

де у лівій частині розглядається добуток елементів g=1\cdot g, h=1\cdot h\in\mathbb{Z}[G], а в правій частині — добуток g та h у G. Одиниця групової алгебри — це елемент e=1\cdot e, що походить з нейтрального елемента групи G. Аксіоми кільця в \mathbb{Z}[G] випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі G. Кільце \mathbb{Z}[G] — комутативне тоді і тільки тоді, коли G — комутативна група. Більш загальним чином, групова алгебра \mathbb{K}[G] для довільного кільця \mathbb{K} складається з лінійних комбінацій елементів G з коефіцієнтами з \mathbb{K}.

[ред.] Категорна характеризація

Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивостю. А саме, для будь-якого кільця R і гомоморфізма φ групи G у мультиплікативну групу R, існує єдиний гомоморфізм \tilde\phi:\mathbb{Z}[G]\to R, що продовжує φ,тобто задовільняє

\tilde\phi(g)=\phi(g)

для будь-якого елемента g\in G, який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент 1\cdot g\in\mathbb{Z}[G]. Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи G еквівалентне до модуля над груповою алгеброю \mathbb{Z}[G]. Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвiдніх і нерозкладних зображень G.

Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи G над кільцем \mathbb{K} від \mathbb{K}. Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях G, то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до \mathbb{R}, а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем \mathbb{F}_p із p елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів \mathbb{F}_p (замість \mathbb{Z}).

[ред.] Групова алгебра локально-компактної топологічної групи

Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи G, якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів G (тобто, ag = 0 за винятком скінченої підмножини g\in G). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи G, і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів G у певний клас топологічних кілець R (порів. вище). Зокрема, кільце \mathbb{Z} цілих чисел поширюється до поля \mathbb{C} комплексних чисел. У випадку локально-компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Напочатку розглядається банахова алгебра L1(G,dg) інтегрованих за Лебегом функцій на G. Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:

(f1 * f2)(g) = f1(h)f2(h − 1g)dh,
G

де dg — це ліва міра Хаара на G. Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

f^*(g)=\Delta_G(g)\overline{f(g^{-1})},

де ΔG(g) — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри C * (G) = C * (L1(G,dg)).

[ред.] Література

  • Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.
Іншими мовами