Гра безкоаліційна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гра безкоаліційна — гра, учасники якої, діючи ізольовано один від одного переслідують індивідуальні цілі.

Формально безкоаліційна гра може бути задана системою:

\Gamma = \langle I, \{s_i\}_{i \in I}, \{H_i\}_{i\in I} \rangle,

де I — {1, 2, ..., n} — множина гравців, si — множина стратегій гравця i, а Hi — його функція виграшів, визначена на декартовому добутку S = s1 × ... × sn і яка приймає дійсні значення.

Зміст

[ред.] Приклад безкоаліційної гри

В якості прикладу можна навести гру Морра з трьома гравцями. Кожний із трьох гравців показує двом іншим один або два пальці. Якщо всі гравці показали однакову кількість пальців, то виграш кожного із гравців дорівнює 0. Якщо ж один із гравців показав кількість пальців, відмінну від показаних його партнерами, то він отримує 1, а два інших по -1/2.

Однією із стратегій, які призводять до ситуацій рівноваги, є така змішана стратегія: кожний із гравців, з ймовірністю \frac{1}{1 + \sqrt{2}} показує один палець і з ймовірністю \frac{\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} — два.

[ред.] Розв'язки гри

Важливим принципом оптимальної поведінки гравців є принцип здійсненності мети, який приводить до ситуацій рівноваги. Ці ситуації, а також деякі їхні множини прийнято вважати розв'язками безкоаліційних ігор.

Ситуації рівноваги s і t називаються взаємозамінними, якщо будь яка ситуація r = (r1, ..., rn), де ri = si або ri = ti також рівноважна.

Вони називаються еквівалентними, якщо Hi(s) = Hi(t) для всіх iN.

Нехай Q — множина всіх ситуацій рівноваги, а Q&' — множина ситуацій рівноваги, оптимальних по Парето. Гра називається розв'язуваною по Нешу, якщо всі sQ еквівалентні і взаємозамінні.

Гра називається сильно розв'язуваною, якщо Q&' непорожнє і всі sQ&' еквівалентні та взаємозамінні.

Доведено, що безкоаліційна гра необов'язково має розв'язок по Нешу, але якщо вона його має, то цей розв'язок єдиний.

Існують інші підходи до визначення оптимальної поведінки в безкоаліційних іграх.

[ред.] Безкоаліційні ігри

До безкоаліційних ігор належать

та деякі інші.

[ред.] Джерела інформації

[ред.] Дивіться також


Статті теорії ігор

Типи ігор

антагоністичні · диференціальні · матричні · на виживання · рефлексивні · азартні · без побічних платежів · безкоаліційні · біматричні · вироджені · динамічні · з вибором моменту часу · кооперативні · на графі · на одиничному квадраті · опуклі · позиційні · прості · рекурсивні · стохастичні 

Ситуації

Безвиграшна ситуація · Парадокс Бертрана (економіка) · Ситуація рівноваги 

Стратегія

змішана · оптимальна · поведінки · чиста 

Теореми

Максіміна принцип · Мінімаксу теорема

Ігри

Дилема в'язня