Користувач:Скрипка Юлія
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Нескінченність у математиці
ПЕРЕДМОВА
Давід Гілберт, один з найвидатніших математиків всіх часів, сказав, що математика – це єдина симфонія не6скінченного. Справді, математика надзвичайно тісно переплелась з нескінченністю. І хоч в наш час бурхливо розвиваються і знаходять широке застосування теорії, об'єднувані під загальною назвою «скінченна математика», в математиці панує нескінченність. З усією повнотою розкрити її роль в математиці абсолютно неможливо.
ПЕРШІ КОНТАКТИ
1. ДОВГИЙ ШЛЯХ ДО ЗУСТРІЧІ
І наймогутніші річки починаються з ледве помітних струмків. Так, десь у первісному суспільстві, понад 50 тисяч років тому, несміливі сплески людської думки привели до формування спочатку уявлення, а потім і поняття натурального числа. Тривалий час натуральний ряд чисел був дуже коротким. Справді, що доводилося лічити первісній людині? Дітей, дні, дороги до сусіднього племені, забитих на полюванні звірів, зрубані дерева. Починали лічбу з одиниці, за якою скоро зайняло своє місце число 2. Кількісні оцінки чисельніших множин подавались словами «багато» або «багато-багато»: пальців на руці, зрубаних дерев —«багато», риби в річці, зірок на небі — «багато-багато». Та механізм теоретичних узагальнень вже спрацював — і не було сили, яка могла б його зупинити. Поступово людина відкривала для себе все нові й нові числа натурального ряду: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... В мовах, легендах, казках і прислів’ях різних народів зберігалося багато свідчень про те, яким довгим і складним був шлях до цих відкриттів. Іноді людина навіть лякалася, знайомлячись з новими представниками чисел, намагалась уникнути їх. Проте в голосному вона була послідовною – далі й далі подовжувала натуральний ряд чисел. Людині доводилося не тільки лічити, а й ділити на частини ціле, вимірювати різні величини — відстань, площіну, об'єм, масу тощо. Навіть за допомогою найпростіших засобів вимірювання результат не завжди вдавалося виразити натуральним числом. Потреба враховувати і частини одиниці виміру дала поштовх до відкриття дробів — спочатку виду , а потім і . Так людина опинилася на розгалуженні двох доріг: одна вела до чимдалі більших натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ..., п, п + 1, ...; друга — в потаємні глибини малого: 1, ,… , .Людина ще не знала, як далеко можна зайти по кожній з них. Той поклик був владний і всесильний, бо кожен крок відкривав щось нове, а крізь нагромадження випадковостей і несподіванок проглядали обриси кількісних характеристик, які чітко були з'ясовані лише наприкінці XIX століття. До чисел людина зверталася, щоб компенсувати своє безсилля в боротьбі з грізними силами природи, підкреслити масштаби різних легендарних подій та кількість їх учасників. Особливо багато таких числових гіпербол в індуській міфології. Так, у «Рамаяні» розповідається, що в одній битві на боці короля Сугрива брали участь десять тисяч секстильйонів (1025) мавп. Такої кількості цих тварин не змогли б вмістити і всі планети Сонячної системи, не те що Земля. В оповідях про життя Будди згадуються періоди в сотні мільйонів «.kalpa» — проміжок часу, який сам дорівнює 4 320 000 000 років. Зрозуміло, що все це — чиста фантазія. Числа-велетні, які рясніють в легендах різних народів, не відбивають реальної дійсності. Люди, які складали легенди, не мали жодного уявлення про масштаби згадуваних числових гігантів.
2. РАДІСТЬ ПІЗНАННЯ Спостерігаючи періодичність зміни дня і ночі та пір року, закономірності руху небесних тіл, астрономи стародавнього Вавілону і Єгипту помітили характерну особливість цих та безлічі інших найрізноманітніших явищ навколишнього світу: всі вони характеризуються певними числами. Можливо, вже тоді й виникла думка, що різні явища можна вивчати опосередковано — досліджуючи числа, які їх характеризують. Сьогодні неможливо встановити, як широко був поставлений експеримент, на основі якого Піфагор дійшов висновку, що «все є число», «все впорядковується у відповідності з числами». Спроба виразити в математичній формі кількісні закономірності процесів природи мала глибокий смисл. Але піфагорійці перебільшили роль числа. Вони оголосили, що числа керують світом, визначають порядок речей і відношень. Так число відірвалося від свого матеріального носія і зажило окремим життям, зазнаючи самих несподіваних метаморфоз в арифметичних діях. Майже незаймана цілина світу чисел відкривалася піфагорійцям таким багатством скарбів, такою дивовижною гармонією залежностей, що вони зрештою зробили свою найбільшу помилку увірували, що тільки числа і можуть відкрити всі таємниці світу. Це завело піфагорійців в тенета містики чисел, за що їх критикував великий старогрецький філософ Арістотель (384—344 pp. до н. є.). А втім, досліджуючи закономірності чисел і їх відношень, піфагорійці заклали підвалини важливої математичної дисципліни, науки про числа — теорії чисел. Вони відкрили багато цікавих властивостей натуральних чисел і виділили з множини всіх натуральних чисел ряд важливих підмножин: парних і непарних, простих і складених чисел. Розглядали різні ряди «фігурних» чисел: «трикутних» 1,1+2 = 3, 1+2 + 3 = 6,...,1 + 2 + 3 +…n = ; «квадратних» 1, 1+3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1+3 + 5 + ...+ (2n — 1) = n2; «кубічних» 1, 8, 27, ..., n3; ввели багато інших важливих теоретико-числових понять, які стали невід'ємною частиною математики. Піфагорійці ввели поняття так званих досконалих і дружніх чисел. Число п(п Є N) називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх натуральних дільників (виключаючи саме п). Наприклад: 6=1+2 + 3, 28 = 1+2 + 4 + + 7 + 14. Дружніми, або співдружніми піфагорійці назвали числа п і т (п є N, m є N), такі, що сума дільників числа п дорівнює т, а сума дільників т дорівнює п. Наприклад, 220 і 284 є парою співдружніх чисел, бо сума дільників числа 220 : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110= 284, сума дільників 284 : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Всього піфагорійці відшукали чотири пари співдружніх чисел. 3. ПЕРША ГРОЗА Почалося з простої задачі: відшукання спільної міри сторони і діагоналі квадрата. Піфагорійці, звісно, припустили, що така міра існує, тобто відношення довжини сторони АВ квадрата ABCD до довжини його діагоналі АС дорівнює відношенню двох натуральних чисел: (1) |АС|:|АВ| = m:n З'ясуємо, до чого приводить таке припущення. Нехай дріб нескоротний, тобто одне з чисел парне, а друге непарне. Згідно з теоремою Піфагора |АС|2 = 2 |АВ|2 А з (1) випливає, що |АС|2: | АВ|2 =m2:n2 . Звідки m2 = 2n2. (2) Отже, т — парне. Нехай т = 2t. Підставивши значення т в (2) дістанемо 4t2= 2n2 або 2t2= п2, тобто п теж має бути парним, що приводить до суперечності. Отже, наше припущення неправильне — АВ і АС не мають спільної міри. Це означає що не існує відрізка, навіть як завгодно малої довжини, який відкладався б ціле число разів на відрізках АВ і АС. Піфагорійців приголомшило це відкриття. Вони боялись, що про їхнє нещастя довідаються невтаємничені і з'ясується, що число не всесильне. Несумірності скоро посипалися, як з рогу достатку. Вони підірвали основи піфагорійського вчення про число.
ЖАР ХОЛОДНИХ ЧИСЕЛ 1. ЯК ЕВКЛІД ПІДРАХУВАВ, А ЕРАТОСФЕН ВИСІЯВ ПРОСТІ ЧИСЛА Вивчаючи властивості окремих чисел і певних їх сукупностей, вчені виявили стільки несподіванок і загадок, що залишили своїм нащадкам більше нерозкритого, ніж їм самим вдалося розгадати. Шукаючи першооснову речей, вчені звернули увагу, що числа можна подавати у формі добутку інших, вже неподільних чисел. Ці останні мають лише два дільники, тобто діляться тільки самі на себе і на одиницю. Такими є, наприклад, 2,3,5,7, 11, 13, 17, 19,... їх назвали простими, бо вони ніби числові цеглини, з яких можна утворити будь-яке велике число. Теорема Евкліда не містить вказівок, як виділити з N прості числа. МАТЕМАТИКА РУХІВ 1. ВСЕ ТЕЧЕ, ВСЕ МІНЯЄТЬСЯ В математику входили змінні. Одні коливалися навколо якихось невідомих чисел, не наважуючись наблизитися до жодного з них, інші прямували до конкретних чисел, а треті, зростаючи, йшли в нескінченність. Математики нарешті навчилися виражати найголовніші риси вічного і безперервного руху, що робить світ таким різноманітним, завжди молодим і прекрасним. Німецький математик Діріхле (1805-1859) побудував вперше дослідив функцію F(x)= названу згодом на його честь функцією Діріхле. Можна тільки уявити, яким є графік функції Діріхле, розривної скрізь на числовій осі. Всі ірраціональні точки його лежать на осі абсцис, а раціональні напрямній у=1. Нехай f(x)визначена в усіх точках деякого е-околу х0, крім, можливо, самої точки х0, де вона може и не існувати. Будемо шукати число , таке, що коли визначити (чи перевизначити) f(x) в точці х0, поклавши f(x)= , то f(x) стає неперервною в х0. Якщо таке існує, (воно називається границею функції f(x) в точці х0: lim f (х) = а.
Функція, границею якої є нуль, називається нескінченно малою функцією.
Тривалий процес формування ідей інтегрального та диференціального числення розпочався ще в Стародавньому світі. Потім, майже через 1800 років його продовжили піонери нескінченності Кеплер, Кавальєрі, Ферма, Декарт, Торічеллі, Паскаль, Валліс, учитель Ньютона — Барроу, Завершили його, Ньютон (1643-1727) і Г. Лейбніц (1646—1716). Офіційною датою народження нового числення можна вважати 1684 рік, коли Лейбніц опублікував статтю, в якій дав стислий, хоча й малодоступний, виклад головних його принципів. Нове числення давало вражаючі результати. Воно дозволило легко доводити нові складні теореми, розв'язувати важливі задачі геометрії, механіки, астрономії, оптики. 2. ТРІУМФ НЕСКІНЧЕННОСТІ Спочатку Кантору судилося пережити драму новатора, який не дістав визнання. Багато відомих математиків зайняли щодо теорії множин різко негативну позицію. Протест, з позиції «здорового глузду», викликали не тільки результати нової теорії, а й ті засоби, якими вони були здобуті. В доведеннях Кантора не було математики, до якої всі звикли з часів Евкліда і Архімеда. До Кантора теоретико-множинні ідеї певною мірою використовувалися в геометрії, алгебрі, теорії чисел і других розділах математики. Тоді, після надзвичайного творчого злету (1874—1885 р. р.) Кантора, коли він заклав основи загальної теорії множин, стало очевидно, що народжується новий розділ математичної науки. Невдовзі ідеї Кантора проникли в усі галузі математики і на базі їх поставали нові важливі розділи математики. В 1882 році німецький математик Ріхард Дедекшд в книзі «Що таке числа і для чого вони служать?» засобами абстрактної теорії множин розробив теорію натурального числа. А математик і логік Готлоб Фреге (1848-1925) приступає до великої програми обґрунтування засобами теорії множин всієї математики. В 1893 році він публікує перший том своєї праці «Основні закони арифметики, розвинуті за допомогою числення понять», в якій розпочав реалізацію свого задуму. А потребу в фундаменті для своєї науки математики наприкінці XIX ст. відчували гостріше, ніж будь-коли. По-перше, споруда математики досягла велетенських розмірів. По-друге, в ній з'являлося все більше фактів, які не можна було пояснити з якоїсь однієї точки зору, засобами однієї теорії. В 1806 році Ампер зробив спробу теоретично обгрунтувати, що неперервні функції можуть мати лише ізольовані особливості. В геометричній інтерпретації це означає, щодо графіка неперервної функції, лише за винятком окремих точок, скрізь можна провести дотичну. В 1861 році Вейєр-штрасс вразив математиків фактом абсолютно «неможливим», Він дав приклад функції, неперервної на єідрізку, яка нe мала дотичної в жодній своїй точці. ЗАГАДКА П'ЯТОГО ПОСТУЛАТУ 1. ЕВКЛІД ПРИЙМАЄ РІШЕННЯ Живучи в просторі і часі, людина дуже скоро усвідомила, що довколишні предмети характеризуються, крім всього іншого, своїми формами. Вона відкрила і широко використовувала найпростіші закономірності цих форі і їх відношень. Та тільки в ІІІ ст. до н. є. Евклід у своїй славетній книзі «Начала» створив одну з перших і таку досконалу математичну модель основних просторових форм і їх кількісних відношень, що понад два тисячоліття багато поколінь людей у всьому світі вивчали геометрію по цій дивовижній книзі. Грандіозна споруда евклідової геометрії вражала світ завершенністю і досконалістю. Евклід дав неперевершений протягом тисячоліть взірець аксіоматичної побудови математичної теорії. Математичні доведення є логічною дедукцією одних суджень з інших. Евклід прагнув описати в своїй аксіоматиці властивості первинних геометричних понять, а в постулатах дав правила виконання геометричних побудов за допомогою ідеальних циркуля і лінійки. Це був логічний фундамент монументальної математичної споруди Евклідової геометрії.
2. ДОРОГА ШУКАНЬ І ПОРАЗОК V постулат Евкліда про паралельні, як сильний магніт, притягував до себе видатних математиків, мислителів, багатьох шукачів легкої слави і авантюристів. Всі вони хотіли доступними їм засобами розгадати таємницю теорії паралельних ліній їхні пошуки —це неспокій людської думки, трагедії безталанних шукачів істини, зневіра навіть великих вчених і дуже рідко сурми перемоги, які часто лунали надто пізно щоб їх могли почути переможці. Александрійський астроном Клавдій Птолемей (бл.100 178), творець знаменитої геоцентричної (Птолемейової) системи світу був також автором першої відомої нам в історії спроби довести V постулат. Він прийняв як очевидне твердження: «коли дві прямі, які не перетинаються, перетнути третьою прямою, то суми внутрішніх односторонніх кутів по обидва боки від січної рівні». Це твердження еквівалентне тому, яке він доводив. Останній видатний філософ стародавнього світу Прокл Діадох (410-485)доводив V постулат, взявши за аксіому твердження: «відстань між двома прямими, які лежать в одній площині і не перетинаються, залишається обмеженою». Азербайджанський астроном, філософ і математик Мухаммед Насіреддін Тусі (1201—1274) прийняв при доведенні аксіому: «якщо дві прямі лежать в одній площині і сходяться в певному напрямі, то вони не можуть розходитися при продовженні в тому ж напрямі, якщо тільки не перетинаються». Знаменитий англійський математик Джон Валліс (1616—1703) скористався такою аксіомою: «існують подібні, але не конгруентні фігури. Перелік цей далеко не повний. Був і другий шлях штурму таємниці аксіоми про паралельні прямі — це метод зведення до протиріччя. Брали твердження, протилежне V постулату або одному з його еквівалентів і, виходячи з такої гіпотези, прагнули одержати протиріччя.
3. ЧЕРЕЗ 2000 РОКІВ ПІСЛЯ ЕВКЛІДА Багатьох драматичних сторінок історії V постулату не знав професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський (1792—1856), коли 23 лютого 1826 року піднімався на кафедру, щоб виголосити доповідь на тему «Стислий виклад початків геометрії із строгим доведенням теореми про паралельні». Він теж починав із спроб довести непокірний постулат, та скоро зрозумів, що зробити це ні йому, ні комусь іншому не вдасться, оскільки це припущення, твердження, логічно не залежне від інших аксіом і постулатів евклідової геометрії. А коли так, то може існувати й інша геометрія, в якій це твердження не справджується. Треба було мати неабияку мужність і далекоглядність вченого, щоб прийняти все, що продиктує логіка. Тільки логіка умовиводів, а не креслення і наші геометричні уявлення. Саме вони були чи не найбільш замаскованими пастками, які попадали його попередники.
Такий висновок — не довільне припущення чи плід поетичної фантазії, а результат діалектико-матеріалістичного розв’язання складних проблем математичного природознавства.. Тільки за допомогою абстрактного поняття нескінченності ми можемо розв'язати безліч задач нашої суто скінченної практики, збагнути масштабність і складність світу, в якому ми живемо і сміливо йти до горизонтів опанованих нами реальностей. І все-таки, горизонти реальності завжди будуть нескінченно малим острівцем між двома берегами океану нескінченності: нескінченно великим і нескінченно малим. Але ніщо не спинить людину в дорозі, якою вона йде до істини.