Аксіоматика теорії множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Сучасна теорія множин, яка лежить в основі математичної науки базується на системі аксіом, тверджень, які приймаються без доведення і з яких виводяться усі теореми та твердження теорії множин.

Передумовами до створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів, протирічь в так званій "наївній" теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокс Кантора, пов'язаний з проблемою існування "множини всіх множин", або парадокс Рассела, в якому розглядається "множина всіх множин, які не включають самі себе в якості елемента". Такі протиріччя обумовлені існуванням в "наївній" теорії множин неявного припущення про те, що для будь-якої властивості існує множина, яка складається зі всіх предметів, які мають цю властивість. Цей принцип отримав назву "принципа згортання".

Аксіоматичні теорії множин вносять деякі корективи в цей принцип або іншим чином знімають існуючі протиріччя.

Найбільш відомою з таких систем є система аксіом Цермело-Френкеля (ZF-система), яка накладає певні обмеження на принцип згортання, пропонуючи натомість низку спеціальних аксіом. В цій системі аксіом окремо виділяється аксіому вибору, відношення до якої в математичному співтоваристві є протирічивим. Аксіоматика Цермело-Френкеля з аксіомою вибору називається ZFC-системою.

ZF-аксіоми були сформульовані в сучасному стані Торальфом Сколемом в 1922 році, і є розвитком системи аксіом Адольфа Френкеля, яка в свою чергу базувалась на системі аксіом, сформульованій Ернестом Цермело.

Існують й альтернативні аксіоматики для побудови теорії множин, серед яких можна виділити аксіоматику Ноймана-Бернайса-Геделя, яка вводить поняття "класу" як множини, яка не може належати іншим множинам, таким чином вирішуючи проблеми "наївної" теорії. Серед інших слід відзначити також аксіоматику Рассела-Уайтхеда та NF-аксіоматику Квайна.

Зміст

[ред.] Фундаментальна роль аксіоматики теорії множин

В рамках теорії ZFC можна викласти всі загальноприйняті методи математичних міркувань. Можна навіть сказати, що на сучасному етапі розвитку математики така "узгодженість" з ZFC є з формальної точки зору таким собі універсальним мірилом математичної строгості (хоча, зважаючи на фундаментальний характер цього твердження, така позиція не є одностайною серед математиків).

[ред.] Аксіоми ZFC

[ред.] Аксіома екстенсіональності

Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.

Формально: ∀ (A, B) : A=B ⇔ ∀ C (C ∈ A ⇔ C ∈ B)

Тобто, множини А та B рівні тоді й тільки тоді, коли існує така множина C, яка належить множині A тоді й тільки тоді, коли вона належить і множині B.

// мабуть тут мається на увазі що множина С належить множині А тоді і тільки тоді, коли вона належить В.

По суті, ця аксіома стверджує, що множина повністю визначається своїми елементами.

[ред.] Аксіома порожньої множини

Існує множина без елементів.

Формально: ∃ A: ∀ B, ¬(B ∈ A)

Тобто, існує така множина A, що для будь-якої множини B, множина А не є її частиною (не належить їй).

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} і називають порожньою множиною.

[ред.] Аксіома пари

Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.

Формально: ∀ (A, B) ∃ C ∀ D, D ∈ C ⇔ (D = A ∨ D = B)

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).

[ред.] Аксіома об'єднання

Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.

Формально: ∀ A, ∃ B, ∀ C, C ∈ B ⇔ (∃ D, D ∈ A ∧ C ∈ D)

Тобто, для будь-якої множини A існує така множина B, що для будь-якої множини C, C належить B тоді й тільки тоді, якщо існує множина D така, що D належить A і, одночасно, C належить D

З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною.

Множина B називається об'єднанням A, і позначається A.

[ред.] Аксіома нескінченності

Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її сиглетону {B}.

Формально: ∃ A, ∅ ∈ A ∧ (∀ B, B ∈ A → B ∪ {B} ∈ A)

Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент x ∪ {x} як наступний елемент x (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {x}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент викорисовується, зокрема, для побудови теорії натуральних чисел за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця - наступний елемент за 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {{}} = {{}} = {0}.

Аналогічно, 2 - наступний елемент за 1.

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {{},{{}}} = {0,1}, і т.д.

Тобто, в такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.

[ред.] Схема сепарації (аксіома виділення)

Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які відповідають умові P.

Формально: ∀ A, ∃ B, ∀ C, C ∈ B ⇔ {C ∈ A ∧ P(C)}

Тобто, для будь-якої множини А існує множина B така, що для будь-якої множини С, С міститься в B тоді й тільки тоді, якщо С також належить А і властивість P є справедливою для C.

Для кожної такої властивості (предиката P, існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

[ред.] Схема підстановки

Нехай А - множина, і P(y,z) - предикат. Тоді якщо для кожного y існує єдиний z, такий що P(y,z) істинний, тоді існує множина всіх z, для яких знайдеться такий y ∈ X, що P(y,z) істинний.

Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.