Момент інерції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Момент інерції (одиниця виміру в системі СІ [кг м2]) — в фізиці є мірою інерції обертального руху, аналогічно масі для поступального.

В загальному випадку, значення момента інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Зміст

[ред.] Математичне визначення

Тверде тіло можна розглядати як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою mi. Якщо відстані від кожної точки до осі обертання дорівнюють ri, то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

I = \sum_i m_i r_i^2

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

I = \int r^2\,dm \,\!

де елемент маси dm \,\! визначається за допомогою просторового розподілу густини \rho \,\!.

dm=\rho dV \,\!

[ред.] Тензор інерції

У загальнішому випадку обертання твердого тіла довільної форми складніше. Тіло характеризується тензором другого рангу

Iαβ = mirαrβ,
i

де індекси α та β пробігають значення координат x,y,z.

Тензор інерції симемтричний

Iαβ = Iβα.

Як і для будь-якого іншого тенозра другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму (головної системи координат). Осі головної системи координат називають головними осями інерції.

[ред.] Момент кількості руху

Момент імпульсу тіла при обертанні залежить від вектора кутової швидкості й тензора інерціії

Lα = Iβαωα.
β

У головній системі координат

\begin{matrix} L_x = I_x\omega_x; &  L_y = I_y\omega_y; & L_z = I_z\omega_z \end{matrix}.

[ред.] Кінетична енергія

Кінетична енергія обертання тіла задається формулою

T = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta} I_{\alpha\beta}\omega_\alpha\omega_\beta.

У головній системі координат

T = \frac{1}{2} (I_x \omega_x^2 + I_y \omega_y^2 + I_z \omega_z^2).

[ред.] Основне рівняння динаміки обертального руху

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

\sum_i \mathbf{M_i} = I \frac{ d \vec{\omega} }{dt}=I \vec{\epsilon}

Тут Mi — моменти зовнішніх сил, \mathbf{\omega} — кутова швидкість, \mathbf{\epsilon} — кутове прискорення.

[ред.] Дивись також

Таблиця моментів інерції деяких тіл