Гамільтоніан
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Гамільтоніан — це оператор енергії в квантовій механіці.
Зміст |
[ред.] Значення
Оператор енергії чи гамільтоніан — найважливіший із усіх операторів квантової механіки. Саме він входить в основне рівняння еволюції квантовомеханічної системи — рівняння Шредінгера.
Спектр гамільтоніану визначає можливі значення енергій квантовомеханічної системи, а його власні функції — можливі хвильові функції стаціонарних станів.
[ред.] Побудова
Для побудови гамільтоніану виходять із класичної функції Гамільтона H(pi,qi,t), замінюючи в ній імпульси pi на оператори імпульсу .
Наприклад, для класичного гармонійного осцилятора.

де x — координата, p — імпульс, а ω0 — частота осцилятора.
Тоді гамільтоніан гармонійного осцилятора матиме наступний вигляд:

[ред.] Частинні випадки
Для вільної частки масою m в тривимірному просторі гамільтоніан дорівнює
,
де Δ - оператор Лапласа.
Для частки масою m в тривимірному просторі в полі потенціала :
Для електрона в полі електростатичного потенціалу
[ред.] Властивості
Гамільтоніан - Ермітів оператор, і внаслідок цього його власні значення дійсні, тобто енергія квантомеханічного стану - дійсна величина.
Спектр гамільтоніану може бути дискретним чи неперервним.
Відповідно, власні функції гамільтоніану можуть спадати на нескінченості, утворюючи локалізовані стани або ж вести себе як необмежена хвиля, утворюючи делокалізовані стани.
Гамільтоніан системи багатьох часток повністю симетричний відносно координат цих часток (див. принцип нерозрізнюваності часток).
[ред.] Джерела
- І. Р. Юхновський (2002). Основи квантової механіки, Київ: Либідь.