Кільце (в алгебрі)
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В абстрактній алгебрі, кільце́ — це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до властивостей додавання і множення цілих чисел. Більш докладні відомості про кільця згодом буде викладено у статті теорія кілець.
![]() |
Ця стаття в процесі редагування. Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені. |
Зміст |
[ред.] Означення кільця і нотація
Кільце R — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються " + " і "" і називаються додаванням та множенням (на зразок додавання та множення цілих або дійсних чисел), яка задовільняє наступній системі аксіом.
- (R, + ) є комутативною групою. Зокрема, в R існує нейтральний елемент 0 і для кожного
протилежний елемент − a із природними властивостями;
(асоціативність множення);
(дистрибутивність додавання відносно множення);
- в R існує мультиплікативний нейтральний елемент або одиниця 1, що задовільняє
Деякі автори не вимагaють наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею. Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями. Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення надходять до означення кільця.
Зважимо на те, що комутативний закон множення не входить до аксіом кільця. Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності,

називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними — див., наприклад, кільце матриць, описане нижче. Символ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, a + bc є скороченим записом
.
Зауважимо, що якщо кільце містить більш одного елемента, то
Якщо для двох елементів кільця a та b виконується рівність ab = ba = 1, то кажуть, що b є оберненим елементом до a відносно множення. В цьому випадку елемент b однозначно визначається елементом a і позначається b = a − 1 (звичайно, маємо також, що a = b − 1).
[ред.] Приклади
- Цілі числа
із звичайними додаванням і множенням утворюють комутативне кільце.
- Якщо N — будь-яке натуральне число, то множина
залишків
утворює комутативне кільце з N елементів. Якщо N = p — просте число, то
є полем.
- Раціональні, дійсні та комплексні числа є полями, тобто комутативними кільцями, у яких кожний ненульовий елемент має обернений.
- Поліноми однієї змінної x із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається
Додавання та множення поліномів — почлінні, тобто


Так само, комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної із раціональними, дійсними, або комплексними коефіцієнтами.
- Для будь-якого натурального N, множина всіх
матриць із цілими елементами утворює кільце, що позначається
Це кільце — некомутативне, якщо
- Кватерніони — це ще одне некомутативне кільце. На відміну від матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.
- Групова алгебра
довільної групи G — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце
— комутативне тоді і тільки тоді, коли G — комутативна група.
[ред.] Властивості кілець
З аксіом кільця випливає, що
- (ab) − 1 = b − 1a − 1, якщо a і b обидва мають обернені елементи. Звідси одержуємо, що множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається
. Наприклад,
— циклічна група порядка 2.
[ред.] Конструювання нових кілець з даних
- Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).
- Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного r ∈ R. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.
- Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями
- (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та
- (r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2).
- Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільцо відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями
- (a+I) + (b+I) = (a+b) + I та
- (a+I) * (b+I) = (a*b) + I.
- Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T.