Банаха алгебра
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Банахова алгебра — це топологічна алгебра A над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює A в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.
Найважніший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, тобто такі, в яких Див. приклад 1.
За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо тому норму в A можна замінити на еквівалентну, що задовільняє

Банахова алгебра A називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент 1 такий, що Якщо A не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру
з одиницею і нормою
що містить алгебру A в якості замкнутої підалгебри. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовільняє (*) і має одиницю.
[ред.] Приклади
1) Нехай X — компактний топологічний простір, C(X) — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на X. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

2) Пространство l1 підсумовувавних послідовностей для яких
з нормою | | x | | , звичайним додаванням і добутком за формулою

3) Множина B(L) всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі L утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі H.
4) Групова алгебра L1(G) локально компактної топологічної групи G, де добуток — це згортка функцій на G.
[ред.] Алгебри з інволюцією і C * − алгебри
У більшості природно виникаючих банахових алгебр є інволюція, тобто непреривне відображення A до себе, що задовільняє

для всіх і риска означає комплексне спряження. Елемент
називається:
* ермітовим, якщо x = x * ; * нормальним, якщо x * x = xx * ; * унітарним, якщо x * x = xx * = 1.
Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.
Aлгебра B(H) обмежених операторів на гільбертовому просторі H уявляє собою банахову алгебру з інволюцією, де T * — це спряжений до оператора T. Виникає природне питання, чи можна реалізовати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру B(H). Це питання було повністю розв'язано І.М.Гельфандом і М.А.Наймарком.
Банахова алгебра з інволюцією A називається C * − алгеброю, якщо виконується тотожність


Неважко побачити, що в алгебрі B(H) це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка C * − алгебра A допускає точне *-зображення у B(H). Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.
І.М.Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна C * − алгебра з одиницею має вигляд C(X) (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір X можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри A, або її максимальні ідеали, Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) C * − алгебру A як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі
.
Теорія C * − алгебр використовується в теорії зображеннь і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |