Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Еліпслінія другого порядку.

Зміст

[ред.] Аналітичне визначення

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс в прямокутній системі координат

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

[ред.] Визначальна властивість еліпса

Точки \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокальною відстанню, її позначають через \boldsymbol{2c}, отже, \left| F_1 F_2 \right| = 2c. Суму відстаней від будь-якої точки \left. M \right. еліпса до фокусів \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. позначимо \boldsymbol{2a}. Тоді за означенням маємо: \left. 2a > 2c,\;a>c \right.. Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок \left. M \right., які задовольняють умові: \left| F_1 M \right| + \left| F_2 M \right| = 2a

[ред.] Геометричне визначення

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. цієї площини є величина стала, більша за відстань між \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right..

[ред.] Елементи еліпса

[ред.] Вершини еліпса

Точки A,\;A_1,\;B,\;B_1 перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка \left| F_1 F_2 \right|, а вісь \left. Ox \right. збігалася з прямою \left( F_1 F_2 \right), називають вершинами еліпсу.

[ред.] Вісі еліпса

Відрізок \left| A A_1 \right| = 2a, що проходить через обидва фокуси \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right., називають великою віссю еліпсу, а перпендикулярний йому відрізок \left| B B_1 \right| = 2b, що перетинається з великою віссю в центрі еліпсу \left. O \right. – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові \left. a^2 - b^2 = c^2 \right.. Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

[ред.] Директриса та ексцентриситет

Число e = {c \over a} це ексцентриситет еліпсу, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу \boldsymbol{e} < 1. Прямі, рівняння яких x = - {a \over e}\quad \mbox{i} \quad x = {a \over e} називаються директрисами еліпсу; співвідношення відстані будь-якої точки еліпсу до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси постійно і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі \boldsymbol{a} і \boldsymbol{b}, відстань \boldsymbol{c} фокуса від центра, ексцентриситет \boldsymbol{e}. Залежність між ними виражається формулами: a^2 = b^2 + c^2,\;e = {c \over a}. Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі \left. a \right. і \left. b \right., або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. збігаються, то еліпс стає колом радіуса \left. a \right.. При цьому \left.a = b,\;e = 0\right.. Отже, коло є окремим випадком еліпса.

[ред.] Різні види рівнянь еліпса

Еліпс в полярній системі координат

[ред.] Канонічне рівняння еліпса:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

[ред.] Параметричне рівняння еліпса:

\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{matrix}\right.

[ред.] Нормальне рівняння еліпса

\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1

[ред.] Дотична

Рівняння дотичної до еліпса через точку \left. M_0 \right., яка належить еліпсу \frac{x*x_0}{a^2} + \frac{y*y_0}{b^2} = 1

[ред.] Дивись