Гармонічні коливання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

При проходженні хвилі в просторі кожна точка здійснює гармонійні коливання
При проходженні хвилі в просторі кожна точка здійснює гармонійні коливання

Гармонійними коливаннями називаються періодичні коливання фізичної величини, які відбуваються згідно із законом

y = y_0 \cos (\omega t - \varphi),

де y - це фізична величина, що коливається, t - час, y0 - це найбільше значення, яке приймає величина y під час коливань, яке називають амплітудою коливань, ω - циклічна частота коливань, \varphi - фаза коливань.

Періодом коливань називається величина

T = \frac{2 \pi}{\omega}.

Лінійна частота коливань визначається, як

\nu = \frac{1}{T}.

Зміст

[ред.] Диференційні рівняння

Фізична величина y, яка здійснює гармонійні коливання, задовільняє диференційному рівнянню

\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0.

У цьому випадку амплітуда коливань визначається початковими умовами.

Гармонійний осцилятор із частотою ω0 може здійснювати гармонійні коливання на іншій частоті ω під впливом зовнішньої дії з цією частотою. У такому випадку гармонійні коливання величини y задовільняє диференційному рівняню

\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega_0^2 y = f cos(\omega t - \varphi).

Такі коливання називаються вимушеними. Амплітуда вимушених коливань визначається величиною зовдішньої дії.

[ред.] Затухання гармонійних коливань

В результаті дії різноманітних сил, які призводять до втрати енергії, коливання можуть затухати. В такому випадку вони описуються формулою

y = y_0 e^{-\alpha t} \cos (\omega t - \varphi).

Величина α називається коефіцієнтом затухання коливань.

[ред.] Ангармонійні коливання

Періодичні коливання, що не описуються вказаним законом називаються ангармонійними. Якщо величина y здійснює коливання із періодом T таким чином, що

y(t + T) = y(t),

то їхня частота визначається, як ω = 2π / T.

Ангармонійні коливання, які є періодичною функцією, можна розкласти в ряд Фур'є, тобто записати у вигляді суми гармонійних коливань:

y = \sum_{n=1}^\infty a_n (\cos n\omega t - \varphi).

Члени цього розкладу назиються гармоніками. В акустиці вищі члени такого розкладу називаються такоє обертонами, визначаючи тембр звуку.


[ред.] Приклади

Гармонійні коливання дуже розповсюджені в природі й техніці. До них належать малі коливання підвішеного на пружині вантажу, малі коливання маятника, коливання в молекулах, якими зумовлене поглинання інфрачервоних променів, різноманітні коливання в електротехніці, наприклад у коливальному контурі та інші.

[ред.] Дивись також