Гармонічний осцилятор
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Гармонічним осцилятором називається фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням
,
де q — узагальнена координата гармонічного осцилятора, t — час, ω — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина q здійснює гармонічні коливання.
Задача про гармонічний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і у квантовій фізиці.
Велика кількість фізичних систем ведуть себе, як гармонічні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них належать математичний і фізичний маятники, коливання атомів у молекулах і твердих тілах, електричні коливні контури і багато інших.
Зміст |
[ред.] Гармонічний осцилятор у класичній фізиці
[ред.] Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона
Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом
.
Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом
.
Відповідно, вважаючи величину q узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується
.
Узагальнений імпульс
Функція Гамільтона
.
[ред.] Вимушені коливання
Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково співпадає із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.
Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою ω0 під дією сили з частотою ωописуються рівнянням
,
де f0 — амплітуда зовнішньої сили.
Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд
.
Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою . При
амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.
[ред.] Гармонічний осцилятор із затуханням
При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до розсіяння енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора видозмінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили опору пропорційні швидкості зміни величини q. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду
.
Такі коливання затухають із часом згідно із законом
.
[ред.] Вимушені коливання гармонічного осцилятора із затуханням
При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.
Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою
.
Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.
[ред.] Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів
Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою
,
де g - прискорення вільного падіння, l - дожина маятника.
Тіло масою m, яке ковзає по прощині під дією пружини із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою
[ред.] Гармонічний осцилятор у квантовій механіці
[ред.] Спектр власних значень і власні функції
Гамільтоніан гармонічного осцилятора
.
Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою
.
Тут n — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію
.
Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.
Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу n задаються формулами
,
де , а Hn(x) — поліноми Ерміта.
При парному n власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни x на − x, а тому має спільні власні функції з цим оператором.
[ред.] Оператори народження та знищення
Якщо визначити оператор народження
та оператор знищення
,
то
.
Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:
.
Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд
,
або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:
.
Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:
.
Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:
Оператор
називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.
[ред.] Правила відбору
При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі опричного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою ω.
У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т.д.
[ред.] Див. також
[ред.] Джерела
- Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка, Київ: Вища школа., 516 с.
- Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки, Київ: Либідь.