Аналітична геометрія
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Аналіти́чна геоме́трія, розділ геометрії, у якому властивості геометричних образів (точок, ліній, поверхонь) установлюються засобами алгебри за допомогою методу координат, тобто шляхом вивчення властивостей рівнянь, графіками яких є ці образи.
Аналітична геометрія — розділ геометрії, що вивчає властивості геометричних фігур засобами елементарної алгебри (в ширшому розумінні — засобами матем. аналізу), пов'язуючи їх з застосуванням методу координат. Осн. положення А. г. вперше сформулював філософ і математик Р. Декарт. Г. Лейбніц, І. Ньютон і Л. Ейлер надали А. г. сучасної структури.
Характерною особливістю А. г. є визначення геом. фігур рівняннями. Нехай на площині з осями координат OX і OYl (прямокутна декартова система координат) маємо лінію l. Якщо по l пересувати точку M, то координати x, y цієї точки будуть змінюватись, але між ними існуватиме певна залежність, яку можна записати у вигляді рівняння:
f(x, y) = 0, (1)
де f(x, y) є матем. вираз, що містить змінні x і y або одну з них.
Напр., з прямокутного трикутника OMP виводимо, що рівняння кола K радіуса г з центром в поч. координат 0 є x2 + y2 — l2 = 0. Розглянемо ще пряму АВ. Якщо М є довільна її точка і OA = a, OB = b, то PA = a — x. З подібності прямокутних трикутників MPA і BOA маємо: y : (a — x) = b : a. Звідси дістаємо рівняння прямої АВ: bх + ау — аb = 0. В А. г. приймають, що рівняння типу (1) визначає геом. фігуру як множину точок, координати х і у яких справджують це рівняння. Інакше кажучи, рівняння типу (1) розглядають як засіб для поділу точок площини на 2 класи: до 1-го належать точки, координати яких справджують дане рівняння (ці точки утворюють визначену рівнянням фігуру), до 2-го— всі ін. точки площини. Якщо рівняння (1) алгебраїчне, то воно визначає лінію — дійсну чи уявну (див. нижче), яку наз. алгебраїчною, а його степінь — порядком цієї лінії. Порядок алгебр, лінії не залежить від того, як розміщені відносно неї осі координат. Прямі і тільки прямі є лініями 4 го порядку; конічні перерізи (тобто лінії, що утворюються при перетині конусу площиною) і тільки вони є лініями 2-го порядку. Аналогічно рівняння f(x, y, z) = 0, де х, у, z -декартові координати точки у просторі, визначає просторову фігуру, зокрема алгебр. поверхню n-го порядку, якщо воно є алгебр, рівнянням n-го степеня. В сучас. курсах А. г. вивчаються тільки лінії і поверхні 1-го і 2-го порядків.
Розвиток А. г. привів до різних узагальнень поняття координат. Так, положення точки на площині можна визначити її однорідними координатами х, у, z, що пов'язані з її прямокутними декартовими координатами x, y залежностями:
Отже, мають значення не самі однорідні координати, а їх відношення; треба тільки вимагати, щоб принаймні одна з величин х, у, z була відмінною від нуля. При z = 0 однорідні координати визначають нескінченно віддалені точки площини; z = 0 є рівняння нескінченно віддаленої прямої.
Застосування в А. г. алгебр. методів привело до поняття уявної фігури. Сукупність двох чисел х, у, з яких принаймні одно уявне, можна розглядати як уявну точку. Якщо рівняння (напр , х2 + у2 + 1 = 0) справджують лише координати уявних точок, то вважають, що воно визначає уявну фігуру. Хоч поняттям нескінченно віддалених і уявних точок не відповідають жодні реальні образи, проте запровадження їх дозволило глибше досліджувати властивості фігур.
В сучас. курсах А. г. широко використовується апарат векторного числення.
[ред.] Література
- Українська радянська енциклопедія
- Білоусова В. П. та ін. Аналітична геометрія. К., 1957;
- Привалов И. И. Аналитическая геометрия. Изд. 22. М., 1957;
- Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, т. 1—2. М.—Л., 1948—49.