Ермітів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ермі́тів про́стір (на честь Шарля Ерміта) — комплексний векторний простір, на якому означена операція ермітoва скалярного добутка. Поняття ермітова простора є комплексним аналогом відповідного поняття для дійсних векторних просторів, евклідова простора.

Ермітови простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертoві простори. Поняття ермітова простора припускає алгебраїчне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.

[ред.] Приклад

Векторний простор \mathbb{C}^n з ермітoвим скалярним добутком, означеним за формулою

(z,w)=\overline{z_1}w_1+\overline{z_2}w_2+\ldots+\overline{z_n}w_n, \quad z,w\in\mathbb{C}^n

є n-вимірним ермітовим векторним простором. Виявляється, що будь-який n-вимірний ермітов векторний простір H є ізоморфним до \mathbf{C}^n. Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базиса в H.

[ред.] Узагальнення

В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями. Припустимо, що на полі E задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм \sigma:E\to E порядкa 2, \sigma^2=Id, \sigma\ne Id, з інваріантним підполем F = Eσ. Якщо уявити собі, що поле E aналогічно до поля комплексних чисел, інволюція σ — це комплексне спряження, тоді поле F аналогічно до поля дійсних чисел. У цій сітуації маємо змогу розглянути векторний простір V над E з сесквілінійною невиродженною ермітовою E-значною формою

V\times V\to E,\quad  u,v\mapsto(u,v), \quad (v,u)=(u,v)^{\sigma}.

Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над E. Якщо на додаток E\subseteq\mathbb{C}, \sigma є звуженням комплексного спряження на E і ермітова форма позитивно-означенна, тобто (v,v)\in F=E^\sigma\subseteq \mathbb{R} — додатне число для будь-якого ненульового v\in V, то V називається ермітовим векторним простором над E. Ще більшого узагальнення можна дістатися, якщо замінити поле E на (некомутативну) алгебру з інволюцією D над E і розглянути лівий D-модуль замість векторного простора V.

Викладена вище конструкція використовується у теорії алгебраїчних груп для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем E. А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітова простора V, тобто множину обертованих лінійних перетвореннь g:V\to V, які не змінюють форму, тобто виконується (gu,gv) = (u,v) для будь-яких u,v\in V. У такий спосіб будується сімійство близьких до простих алгебраїчних груп над полем E. Зокрема, для скінченого поля E отримуємо одне з нескінчених сімійств скінчених простих груп. Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті алгебро-геометричних кодів. Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями уявляють неабиякий інтерес у дискретній математиці.

[ред.] Дивись також

Гільбертів простір і