Ірраціональні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражени відношенням цілих чисел. Вперше виникли в геометрії при вивченні довжин. За легендою, піфагорейці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці, і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.


Зміст

[ред.] Альтернативні визначення

  • І р р а ц і о н а л ь н е ч и с л о — число, яке не сумірне з одиницею і тому не може бути точно виражене ні цілим числом, ні дробом.
  • Ірраціона́льне число́ — це дійсне число, яке не є раціональним, тобто не є числом виду n/m, де n і m цілі числа. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину \mathbb I =\R\backslash \mathbb Q, де \mathbb R - множина дійсних чисел, а \mathbb Q - множина раціональних чисел. Геометрично ірраціональнe числo виражає собою довжину відрізка, неспівмірного з відрізком одиничної довжини.

[ред.] Різниці в записі раціональних та ірраціональних чисел

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

{1\over 3}=0,(3), де (3) означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.
{22\over 7}=3,(142857), довжина періоду — шість.

Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. Відповідно до цього, розкладення ірраціональних чисел у десятковий дріб не мають такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі \pi=3,1415926\ldots — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому хоча окремі цифри і комбінації цифр π повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатніх дійсних чисел, за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними і ірраціональними числами полягає у тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а іррраціональних нескінченні, хоча для квадратичних іррраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади.

\frac{355}{113}=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{16}},

скінченний;

\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ldots}}}= [1;2,2,2\ldots]=[1;(2)],

з періодом довжини один;

\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\ldots}}}}= [1;1,2,1,2\ldots]=[1;(12)],

з періодом довжини два;

\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\ldots}}}}= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots]

(A001203 в енциклпедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

[ред.] Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізкі знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі і сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа \sqrt 2.

Піфагорове твердження, що всі речі — суть числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію в свою чергу можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число — дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1 не є раціональним числом, тобто \sqrt{2}\approx 1,4142135 (перше знайдене ірраціональне число), призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — древньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

[ред.] Властивості

  • Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
  • Ірраціональні числа визначають переріз Дедекінда в множині раціональних чисел, у яких в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого раціонального числа.
  • Кожне ірраціональное число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
  • Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число.
  • Множина ірраціональних чисел — незчисленна множина другої категорії.