Лінійне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Лінійне відображеннявідображення A з векторного простору M до векторного простору L (над тим же полем K), що має таку властивість: \forall x,y \in L, \alpha \in K

A(x + y) = Ax + Ay
Ax) = αA(x)

Інша назва — лінійний оператор

[ред.] Матриця лінійного відображення

Якщо в просторі L вибрано базис e_1, \ldots, e_n, в просторі M вибрано базис f_1, \ldots, f_m, то матрицею лінійного відображення A в даних базисах називається матриця

A = \begin{Vmatrix}  a_{11} & \cdots & a_{1n}  \\   & \cdots &  \\  a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{Vmatrix}

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора Aej, тобто координат образу j-го базисного вектора

A e_j = a_{1j} f_1 + \ldots + a_{mj} f_m

в базисі f_1, \ldots, f_m.

Координати y_1, \ldots, y_m образу Ax вектора x в базисі f_1, \ldots, f_m при лінійному відображенні A виражаються через координати x_1, \ldots, x_n вектора x в базисі e_1, \ldots, e_n за формулою

\begin{Vmatrix}  y_1  \\   \vdots  \\  y_m  \end{Vmatrix}  = A  \begin{Vmatrix}  x_1 \\   \vdots  \\  x_n  \end{Vmatrix}

[ред.] Матриці Л.в. в різних базисах

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення A в базисах e_1, \ldots, e_n ; f_1, \ldots, f_m і e_1', \ldots, e_n' ; f_1', \ldots, f_m' то

\tilde{A}=T^{-1}AS

де S і T — матриці переходу від базиса e_1, \ldots, e_n до базиса f_1, \ldots, f_m і від базиса e_1', \ldots, e_n' до базиса f_1', \ldots, f_m' відповідно:

(e_1', \ldots, e_n')=(e_1, \ldots, e_n)S,
(f_1', \ldots, f_m')=(f_1, \ldots, f_m)T.