Лінійний простір
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ліній́ний (веќторний) про́стір — основне поняття лінійнoї алгебри, абстрактне узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр. Елементи абстрактного лінійного простора називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження ціх елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простора, їх додавання і множення на скаляр задовільняють звичайним правилам шкільної алгебри.
У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного чи векторного добутку векторів. Ці операції вводяться окремо, певною мірою, незалежно від означення додавання векторів і множення вектора на скаляр. Інакше кажучи, скалярний добуток на векторному просторі — це додаткова структура, якої в принципі може і не бути. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.
[ред.] Означення
У наступному означенні йде мова про векторний простір над довільним полем але слід відзначити, що найбільш поширеніші випадки, де
— це поле
дійсних чисел або
комплексних чисел.
Лінійний (або векторний) простір над полем — це множина L, елементи якої називаються векторами, у якій визначені бінарна операція
додавання векторів,
і операція
множення вектора на скаляр,
що задовільняють наступній системі аксіом:
для будь-яких
(Комутативність додавання)
для будь-яких
(Асоціативність додавання)
- існує такий вектор
що
для будь-якого
(нульовий вектор)
- для будь-якого вектора
знайдеться вектор, що позначається
і для якого виконується
(Існування протилежного елемента для додавання)
для будь-якого
і скалярів
(Асоціативність множення на скаляри)
для будь-якого
де 1 це одиниця поля
(одиниця відносно множення на скаляр)
для будь-якого
і скалярів
(Дистрибутивність додавання і множення на скаляр)
для будь-яких
і скаляра
(Дистрибутивність додавання і множення на скаляр)
Аксіоми 1-4 означають, що L — комутативна (абелева) група відносно операції додавання векторів, a останні дві аксіоми пов'язують операції додавання векторів і множення векторів на скаляри.
З наведених аксіом випливають такі властивості операцій:
для будь-якого
і скаляра
[ред.] Дивись також
- Банахів простір
- Гільбертів простір
- Ермітів простір
- Евклідів простір
- Норма (функціонал)
- Tопологічний векторний простір