Комплексні числа
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Комплексні числа — поле, розширення числової системи дійсних чисел, позначається Для комплексних чисел означені алгебраїчні операції додавання та множення, які узагальнюють додавання та множення дійсних чисел із зберіганням властивостей aсоціативності,комутативності та дистрибутивності. Найбільш поширеним є запис комплексних чисел у вигляді виразів z = a + bi, де a,b — дійсні числа, дійсна Re(z) та уявна Im(z) частини z. Символ i — це уявна одиниця, для якій виконується рівність
.
Впровадження комплексних чисел спрощує чимало математичних теорій. Наприклад, за основною теоремою алгебри, будь-який поліном з дійсними або комплексними коефіцієнтами має комплексний корень. Комплексні числа утворюють природне середовище для визначення та дослідження багатьох математичних функцій, напр. поліномів, експонент, логарифмів. Основні поняття математичного аналізу, такі як збіжність, границя, неперервність, похідна, первісна, поширюються на випадок комплексних послідовностей і функцій комплексної змінної. Виявляється, що за використанням комплексної змінної, основні тригонометричні функції стають щільно пов'язані з експонентою. Не буде перебільшенням ствердити, що сучасна математика та природні науки не можуть обходитися без комплексних чисел.
Зміст |
[ред.] Арифметичні дії
Арифметичні дії, подібні діям з многочленами, з урахуванням i2 = − 1. Нехай z1 = a + ib та z2 = c + id - комплексні числа.
- z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
[ред.] Представлення комплексних чисел
[ред.] Матричне представлення комплексних чисел
Комплексні числа можна представити у вигляді матриць розміром 2 на 2.
а комплексноспряжене до z є
. Операція комплексного спряження, у цьому представлені еквівалентна транспонуванню матриці. Дійсна одиниця має вигляд одиничної матриці
, а уявна одиниця вигляд матриці
. Для такого представлення справджується твердження, що квадрат уявної одиниці дорівнює мінус одиниці
Для комплексних чисел у матричному представленні арифметичні операції це операції з матрицями:
[ред.] Геометричне представлення
Комплексне число можна також виразити у тригонометричному вигляді де
, і трактувати як точку на двовимірній площині або вектор. У цьому випадку r — це відстань між точкою (a,b) і початком координат, а кут
— кут між віссю дійсних величин і радіус-вектором r.
Формула Ейлера![]()
У цьому представленні:
1. Додавання це векторне додавання векторів.
2. Множення двох комплексних чисел
є еквівалентним повороту вектора, що відповідає комплексному числу z1 (або числу z2) на кут (або
), і збільшення довжини вектора на величину r1 (або r2).
3. Ділення двох комплексних чисел
є еквівалентним повороту вектора, що відповідає комплексному числу z1 на кут , і зменшення довжини вектора на величину r2.
Статті з математики пов'язані з числами |
|
Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Split-complex numbers | Bicomplex numbers | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніни | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | p-adic numbers | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність |