Математичне сподівання
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Математичне сподівання є однією з найважливіших числових характеристик випадкової величини. Воно вказує на середнє значення випадкової величини, тобто на те, чому ця величина дорівнює "всередньому". Не зважаючи на те, що клас інтегровних за Лебегом функцій досить широкий, все ж існують деякі досить відомі випадкові величини, що не мають математичного сподівання.
Зміст |
[ред.] Означення
Нехай — ймовірнісний простір, ξ — випадкова величина. Число (якщо воно існує)
Mξ = | ∫ | ξdP |
Ω |
називається математичним сподіванням (математичним очікуванням, середнім значенням випадкової величини ξ).
Випадкова величина, що має математичне сподівання, називається інтегровною.
[ред.] Деякі формули для обчислення математичного сподівання
Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок копозиції борелівської функції f і випадкової величини ξ:
, де Fξ(x) — фунція розподілу випадкової величини ξ.
З останньої формули випливають всі інші формули:
- 1.
- 2. Якщо випадкова величина ξ є абсолютно неперервною і має щільність pξ(x), то
- 3. Якщо випадкова величина ξ є простою, то
M(ξ) = | ∑ | pkxk |
k |
, де x_k - можливі значення випадкової величини ξ, а p_k — ймовірності їх набуття. Остання сума може містити як скінченну, так і нескінченну кількість доданків.
[ред.] Деякі властивості математичного сподівання
1. Якщо ξ і η — незалежні інтегровні випадкові величини, то M(ξ·η)=M(ξ)M(η).
2. Якщо ξ і η — інтегровні випадкові величини, то M(ξ+η)=M(ξ)+M(η).
3. Якщо ξ — інтегровна випадкова величина, то
.
[ред.] Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання
Нехай випадкова величина ξ розподілена за законом Коші з параметрами a та b, тобто . Ця випадкова величина має щільність:
. Знайдемо її математичне сподівання.
. Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини ξ.