Декартова система координат

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цю систему координат вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 р. у працях "Геометрія" та "Міркування про метод".

Зміст

[ред.] Двовимірна система координат

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис, вертикальна як y (вісь ординат. В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині -- вісь z. Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y -- як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x,y). В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x,y,z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Наприклад, точка P з наступного креслення має координати (5,2). Зображення:cartesiancoordinates2D.JPG.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів -- проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординаті -- позитивні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю:

Квадрант x y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0

[ред.] Тривимірна та n-вимірна система координат

Координати в тривимірному просторі формують трійку (x,y,z). На наступному малюнку точка P має координати (5,0,2), а точка Q -- координати (-5,-5,10)

Зображення:Cartesiancoordinates3D.png.

Координати x, y, z для тривимірної Декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних площин: yz, xz, та xy.

Тривимірна Декартова система координат є дуже популярною, тому що відповідає звичним уявам про просторові виміри -- висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від галузі застосування та особливостей матиматичного апарату, смисл цих трьох осей може бути зовсім іншим.

Системи координат вищих розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-вимірна система для зображення простору-часу в спеціальній теорії відносності).

Система декартових координат у абстрактному n-вимірному просторі є узагальненням викладених вище положень та має n осей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярні. Відповідно, положення точки в такому просторі буде визначатися кортежем з n координат, або n-кою.

[ред.] Орієнтація осей

В тривимірних Декартових координатах є неоднозначність: як тільки напрями осей x та у обрано, вісь z може буте направлена як в одну сторону від xy-площини, так і в іншу. Це потребує спеціального визначення поняття орієнтації системи координат. Для тривимірної системи ці дві можливості орієнтації осей прийнято називати "лівою" та "правою". Вони зображені на наступному малюнку.

Ліва орієнтація -- зліва, права орієнтація -- справа.
Ліва орієнтація -- зліва, права орієнтація -- справа.

Загальноприйнятою вважається "права" орієнтація, хоча ліва теж застосовується.

[ред.] Додаткова інформація

З часів Декарта було розроблено багато інших систем координат. Один з важливих різновидів полярної систему координат, а саме сферичну систему координат застосовують в астрономії та навігації. В математиці нерідко переходять від однієї системи координат до іншої, в якій математична модель досліджуваної системи може бути набагато простішою. Доступний виклад основних систем координат в елементарній математиці можна знайти у статті Системи координат в елементарній математиці.