Банаха алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Банахова алгебра — це топологічна алгебра A над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює A в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважніший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, тобто такі, в яких xy=yx\quad \forall x,y\in A. Див. приклад 1.

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо \|xy\|\leq C\|x\|\cdot \|y\|\quad\forall x,y\in A, тому норму в A можна замінити на еквівалентну, що задовільняє

\|xy\|\leq \|x\|\cdot \|y\| \quad \forall x,y\in A\qquad (*).

Банахова алгебра A називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент 1 такий, що 1\cdot x=x\cdot 1=x\quad \forall x\in A. Якщо A не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру A\oplus\mathbb{C} з одиницею і нормою ||x+r\cdot 1||=||x||+|r|, що містить алгебру A в якості замкнутої підалгебри. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовільняє (*) і має одиницю.

[ред.] Приклади

1) Нехай X — компактний топологічний простір, C(X) — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на X. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

\|f\|=\operatorname{max}\{|f(x)|:{x\in X}\}.

2) Пространство l1 підсумовувавних послідовностей x=(x_0,x_1,\ldots), для яких ||x||=\sum_{n=0}^{\infty}|x_n|< \infty, з нормою | | x | | , звичайним додаванням і добутком за формулою

(xy)_n=\sum_{k=0}^n x_k y_{n-k}.

3) Множина B(L) всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі L утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі H.

4) Групова алгебра L1(G) локально компактної топологічної групи G, де добуток — це згортка функцій на G.

[ред.] Алгебри з інволюцією і C * алгебри

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є інволюція, тобто непреривне відображення A до себе, x\mapsto x^*, що задовільняє

(1) (rx+sy)^*=\bar{r}x+\bar{s}y;\quad   (2) (xy)^*=y^*x^*; \quad (3) (x^*)^*=x \quad

для всіх x,y\in A, r,s\in\mathbb{C} і риска означає комплексне спряження. Елемент x\in A називається:

* ермітовим, якщо x = x * ;
* нормальним, якщо x * x = xx * ;
* унітарним, якщо x * x = xx *  = 1.

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Aлгебра B(H) обмежених операторів на гільбертовому просторі H уявляє собою банахову алгебру з інволюцією, де T * — це спряжений до оператора T. Виникає природне питання, чи можна реалізовати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру B(H). Це питання було повністю розв'язано І.М.Гельфандом і М.А.Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією A називається C * алгеброю, якщо виконується тотожність

\|x^*x\|=\|x\|^2 для всіх x\in A.

Неважко побачити, що в алгебрі B(H) це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка C * алгебра A допускає точне *-зображення у B(H). Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І.М.Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна C * алгебра з одиницею має вигляд C(X) (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір X можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри A, або її максимальні ідеали, X=\operatorname{Specm A}. Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) C * алгебру A як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі ''\operatorname{Spec}A''.

Теорія C * алгебр використовується в теорії зображеннь і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.