Група (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цей термін має також інші значення. Див. Група

Гру́па — одна з найважливіших концепцій сучасної математики, яка має числені застосування до суміжних дисциплін. Абстрактна група — це множина з бінарноєю операцією добутку, що задовільняє певним аксіомам (асоціативнoсті, існування нейтрального і оберненого елемента), але не обов'язково комутативна. У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати симетрії різного ґатунку або як групи перетворень.

[ред.] Означення

Групою називається множина G, на якій визначена бінарна операція G \times G \to G, що звичайно називається добутком і позначається (a,b) \to a \cdot b або (a,b) \to ab і має такі властивості:

  1. \forall a, b, c  \in G : a(bc) = (ab)c (Асоціативність)
  2. \exists \, e \in G \quad \forall a \in G : ea=ae=a (Існування одиниці або нейтрального елемента)
  3. \forall a \in G \; \exists \; a^{-1}\in G\;:\;a^{-1}a=aa^{-1}=e (Існування оберненого елемента).

Таким чином, група є моноїд, у якому для кожного елемента існує обернений. Якщо G це топологічний простір і операції добутка і оберненого — неперервні відображення, то G — це топологічна група. Якщо до того ж G має структуру багатостатності (en:manifold) і групові операції зумісні з цією структурою, то G називається групою Лі (раніше неперервною групою), на честь норвезьського математика Софуса Лі, який розпочав їх дослідження.

Властивості абстрактних груп вивчаються в теорії груп. Провідну роль в геометрії, зокрема в диференціальній геометрії і топології, відіграють дії груп на різноманітних просторах (див. також групи перетворень).

[ред.] Абелеві групи і адитивні групи

Група G називається комутативною або абелевою (на честь норвезьського математика Нільса Генріха Абеля), якщо додатково виконується тотожність

ab=ba \quad \forall a,b\in G

(закон комутативності).

Груповою операцією в комутативній групі може бути також додавання, наприклад звичайне додавання чисел або векторів. В такому випадку змінюється позначення a \cdot b на a + b. Роль нейтрального елемента e відіграє нульовий елемент 0, що задовільняє

0 + a = a \quad \forall a \in G.

Роль оберненого елемента a − 1 відіграє протилежний елемент a, що задовільняє

(-a) + a = a + (-a) = 0 \quad \forall a \in G.

[ред.] Приклади груп

1. \mathbb{Z}, адитивна група цілих чисел, із звичайними додаванням + , нульовим елементом 0 і протилежним елементом a. Так само утворюють адитивну групу всі раціональні, дійсні та комплексні числа. З іншого боку, натуральні числа \mathbb{N} не утворюють групу, тому що якщо a\in\mathbb{N}, -a\notin \mathbb{N}.

2. Для будь-якого натурального N, залишки \operatorname{mod}\,N утворюють скінчену адитивну групу з N елементів, цикличну групу порядка N.

3. S_n (n=1,2,3,\ldots), група перестановок n-елементної множини. Операція — це композиція перестановок. Ця група — некомутативна при n\geq 3 і нерозв'язна при n\geq 5. За теорією Галуа, з цього випливає нерозв'язність загального алгебраїчного рівняння степеня n\geq 5.

4. Ненульові кватерніони \mathbb{H}^*=\mathbb{H}\setminus\{0\}.

5. GL_n(\mathbb{R}), група n\times n матриць з дійсними елементами і ненульовим визначником. Операція — це добуток матриць, нейтральний елемент — одинична матриця. Взагалі, можна розглянути матриці над довільним полем замість \mathbb{R}. З іншого боку, всі n\times n матриці не утворюють групу за добутком, тому що нульова матриця не має оберненої.

6. SL_n(\mathbb{R}), група n\times n матриць з дійсними елементами і визначником 1. Ця група є підгрупою групи GL_n(\mathbb{R}) з попереднього прикладу.

Групи \mathbb{H}^*,GL_n(\mathbb{R}), SL_n(\mathbb{R}) — то топологічні групи і групи Лі. Останні дві групи діють на векторному просторі \mathbb{R}^n звичайним множенням n\times n матриць і n\times 1 векторів.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.