Гамільтоніан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гамільтоніан — це оператор енергії в квантовій механіці.

Зміст

[ред.] Значення

Оператор енергії чи гамільтоніан — найважливіший із усіх операторів квантової механіки. Саме він входить в основне рівняння еволюції квантовомеханічної системи — рівняння Шредінгера.

Спектр гамільтоніану визначає можливі значення енергій квантовомеханічної системи, а його власні функції — можливі хвильові функції стаціонарних станів.

[ред.] Побудова

Для побудови гамільтоніану виходять із класичної функції Гамільтона H(pi,qi,t), замінюючи в ній імпульси pi на оператори імпульсу -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}.

Наприклад, для класичного гармонійного осцилятора.

H(p,x) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\omega_0^2 x^2,

де x — координата, p — імпульс, а ω0 — частота осцилятора.

Тоді гамільтоніан гармонійного осцилятора матиме наступний вигляд:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2} \frac{d}{dx^2} +  \frac{1}{2}\omega_0^2 x^2.

[ред.] Частинні випадки

Для вільної частки масою m в тривимірному просторі гамільтоніан дорівнює

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta,

де Δ - оператор Лапласа.

Для частки масою m в тривимірному просторі в полі потенціала V(\mathbf{r}):

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(\mathbf{r})

Для електрона в полі електростатичного потенціалу \varphi(\mathbf{r})

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta - e\varphi(\mathbf{r})

[ред.] Властивості

Гамільтоніан - Ермітів оператор, і внаслідок цього його власні значення дійсні, тобто енергія квантомеханічного стану - дійсна величина.

Спектр гамільтоніану може бути дискретним чи неперервним.

Відповідно, власні функції гамільтоніану можуть спадати на нескінченості, утворюючи локалізовані стани або ж вести себе як необмежена хвиля, утворюючи делокалізовані стани.

Гамільтоніан системи багатьох часток повністю симетричний відносно координат цих часток (див. принцип нерозрізнюваності часток).

[ред.] Джерела

  • І. Р. Юхновський (2002). Основи квантової механіки, Київ: Либідь.