Механіка Гамільтона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гамільтонова механіка це одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньотона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Зміст

[ред.] Функція Гамільтона

Функція Гамільтона H(qi,pi,t) визначається через узагальнені координати qi і узагальнені імпульси pi виходячи з функції Лагранжа L(q_i,\dot{q}_i, t) наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}.

Функція Гамільтона визначається згідно з

H = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}  - L.

Після цього всі узагальнені швидкості \dot{q}_i d H виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

H = T + V,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

[ред.] Канонічні рівняння Гамільтона

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

\dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i},
\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

[ред.] Функція Гамільтона заряду в електромагнітному полі

Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

H = \frac{(\mathbf{p} - e\mathbf{A})^2}{2m} +e\varphi

де e -- заряд частки, \varphi -- електростатичний потенціал, \mathbf{A} -- векторний потенціал.

[ред.] Використання у квантовій механіці

У квантовій механіці оператор енергії \hat{H} будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів pi на оператори імпульсу -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i}, де \hbar -- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантуванння.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки -- рівняння Шредінгера.

[ред.] Дивись також

Механіка Лагранжа

Рівняння Гамільтона-Якобі

дужки Пуасона