Ін'єкція (в математиці)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

ІН'ЄКЦІЯ (ін'єктивне відображення, ін'єктивна функція) - в математиці таке співвідношення між елементами двох множин, яке одному елементу з першої множини співставляє один і тільки один елемент з другої множини.

Формально, відображення f: XY - ін'єктивне тоді й тільки тоді, коли для кожного y з Y, існує не більш як один x (або жодного) в X такий, що f(x) = y. Інакше: f є ін'єктивним, якщо для кожного x та x' з X, де f(x) = f(x'), виконується рівність x = x'.

[ред.] Приклади

Нехай функція f: RR визначена як f(x) = 2x + 1. Ця функція є ін'єктивною, тому що для будь-яких двох дійсних чисел x та x' , якщо 2x + 1 = 2x' + 1 , то обов'язково 2x = 2x' , таким чином x = x' .

З іншого боку, функція g :RR, визначена як g(x) = x2 не є ін'єктивною, тому що, наприклад, g(1) = 1 = g(−1).

Зображення:bijMap.png

Бієктивне відображення (сюр'єктивне та ін'єктивне)

Зображення:mathmap.png

Ін'єктивне, але не сюр'єктивне відображення

Зображення:ontoMap.png

Сюр'єктивне, але не ін'єктивне відображення

Зображення:mathmap2.png

Несюр'єктивне і неін'єктивне відображення

[ред.] Властивості

  • Функція f : XY є ін'єктивною тоді й тільки тоді, якщо X є порожня множина, або існує функція g : Y → X така, що композиція функцій g o f є тотожним відображенням на X.
  • За визначенням, функція є бієктивною, якщо вона є ін'єктивною та сюр'єктивною.
  • Якщо g o f є ін'єктивною, то f також ін'єктивна.
  • Якщо обидві f та g ін'єктивні, то g o f ін'єктивна.
  • f : X → Y ін'єктивна тоді й тільки тоді, коли для будь-яких функцій g, h : W → X, де f o g = f o h, виконується рівність g = h.
  • Якщо f : X → Y - ін'єктивна і A є підмножиною X, то f−1(f(A)) = A. Тобто, A може бути відновлений з образу функції f(A).
  • Якщо f : X → Y є ін'єктивним, і A та B є підмножинами X, то f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
  • Якщо f : X → Y - ін'єкція, то в Y щонайменше стільки ж елементів, скільки в X, в сенсі потужності множин.
  • Якщо X та Y - скінченні з однаковою кількістю елементів, то f : XY ін'єктивне тоді й тільки тоді, коли f є сюр'єктивним.

[ред.] Дивись також