Матриці Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Матриці Паулі - це три 2 \times 2 матриці - оператори спіну для часток із спіном 1/2.

\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}
\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}
\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}

Зміст

[ред.] Властивості

Матриці Паулі - ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

[ред.] Комутаційні співвідношення

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

xy] = 2iσz
yz] = 2iσx
zx] = 2iσy

[ред.] Власні значення і власні вектори

Найважливішим для практичного застосування є оператор σz. Його власні значення \pm 1, а власні вектори

\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} та \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}.

[ред.] Вклад у гамільтоніан

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частки записується у вигляді

\hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\mathbf{\sigma}}\cdot\mathbf{H},

де g - g-фактор Ланде, μB - магнетон Бора, \mathbf{H} - вектор напруженості магнітного поля, \hat{H}_0 - та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

\hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\sigma_z} H.

В такому випадку гамільтоніан частки комутує із оператором σz і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частки із спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією E_{n0} \pm g \mu_B H, де En0 - це вклад у енергію, зумовлений іншими не залежними від магнітного поля взаємодіями.