Векторний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Векторний добуток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простора, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

Зміст

[ред.] Алгебраїчне означення векторного добутку

Довільний вектор в \mathbb{R}^3 описується своїми координатами відносно стандартного базису \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}. Векторним добутком двох 3-векторів

\vec{u}=u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k}, \quad \vec{v}=v_1\vec{i}+v_2\vec{j}+v_3\vec{k},

називається 3-вектор

\vec{u}\times\vec{v}=(u_2 v_3 - u_3 v_2)\vec{i}+(u_3 v_1 - u_1 v_3)\vec{j}+(u_1 v_2 - u_2 v_1)\vec{k},

який також символично записується у вигляді 3\times 3 детермінанту:

\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\  v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.

Насправді ці формули для векторного добутку виконуються у будь-якому ортонормальному базисі \mathbb{R}^3.


[ред.] Геометричне означення векторного добутку

У науковій літературі з механіки і фізики розповсюджено дещо інше означення векторного добутку.

Векторним добутком двох 3-векторів \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 називається 3-вектор \vec{u}\times\vec{v}\in\mathbb{R}^3, який задовольняє наступним вимогам:

  1. |\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta, де θ —це кут між \vec{u} та \vec{v} (довжина або правило паралелограму);
  2. вектор \vec{u}\times\vec{v} — ортогональний до векторів \vec{u} та \vec{v} (ортогональність);
  3. вектори \vec{u}, \vec{v}, \vec{u}\times\vec{v} утворюють праву трійку векторів (орієнтація).

[ред.] Праві та ліві трійки векторів

Фундаментальна властивість тривимірного простора — це його ориєнтовність. Два упорядковані базиси (або лінійно-незалежні трійки векторів)\mathbb{R}^3 називаються еквівалентними, якщо існує неперервна деформація першого у другий (із збіганням порядку векторів базису), яка складається виключно з базисів (або лінійно-незалежних трійок векторів) \mathbb{R}^3. Тоді всі лінійно-незалежні трійки векторів \mathbb{R}^3 поділяються на два класи еквівалентності, що називаються лівими та правими трійками (базисами).

Праву (ліву) трійки векторів можна наочно уявити так. Після суміщення початків, вектори правої (лівої) трійка розташуються так як великий, незігнутий вказівний та середній пальці правої (лівої) руки.

[ред.] Властивості векторного добутку

  • Антикомутативність:
\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}
  • Білінійність:
(r\vec{u}+s\vec{v})\times\vec{w}=r\vec{u}\times\vec{w}+s\vec{v}\times\vec{w}, \quad \vec{u}\times(r\vec{v}+s\vec{w})=r\vec{u}\times\vec{v}+s\vec{u}\times\vec{w};
  • Тотожність Якобі:
\vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})+\vec{v}\times(\vec{w}\times\vec{u})+ \vec{w}\times(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{0}.

Наголосимо, що на відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи, тощо), векторний добуток не є асоціативним. Натомість, наведені властивості означають, що вектори у \mathbb{R}^3 з операцією векторного добутку утворюють алгебру Лі.

  • Правило паралелограму:
Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограму який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.
  • Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектору на себе — нульовий вектор.

[ред.] Дивись також