Геометрична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці, геометрична прогресія це послідовність чисел, таких що відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом що називається знаменником прогресії.


Приклади:

послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....
геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником -1: 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, 3, −3, ....


Знайдемо суму геометричної прогресії

s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,

Помножимо та поділимо обидві частини на (1-r)\, (r не може бути 1), добуток (1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\, на (1-r)\, дає (1-r^n)\,, оскільки решта елементів взаємно скорочуються, звідси отримаємо:


s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}


Геометрична прогресія має цiкаву властивiсть:

a(r^0+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8+...) = a(r^0+r^1+r^2)(r^0+r^3+r^6+...)\,

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +...) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +...)

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо Ви кладете $2,000 в банк кожного року під 5% річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.056 + 2,000 · 1.055 + 2,000 · 1.054 + 2,000 · 1.053 + 2,000 · 1.052 + 2,000 · 1.051
= 2,000 · (1.057 − 1.05)/(1.05 − 1)
= 14,284.02

[ред.] Джерела

Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"