Кубічне рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Кубі́чне рівня́ння - рівняння виду ax3 + bx2 + cx + d = 0, де a\ne 0.

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до вигляду z3 + pz + q = 0 (цей вигляд називається канонічним). Це можна зробити, наприклад, шляхом ділення рівняння на старший коефіцієнт a, після чого провівши заміну змінної x=z-\frac{b}{3a}.

Одним з розв'язків рівняння z3 + pz + q = 0 є значення z=^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+^3\!\!\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}. Ця формула також відома як формула Кардано.

Відомим також є той факт, що якщо p,q\in\mathbb{R} і:

  • \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}>0, то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
  • \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0, то всі корені рівняння є дійсними числами.
  • \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0, то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

[ред.] Див. також