Лінійний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ліній́ний (веќторний) про́стір — основне поняття лінійнoї алгебри, абстрактне узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр. Елементи абстрактного лінійного простора називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження ціх елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простора, їх додавання і множення на скаляр задовільняють звичайним правилам шкільної алгебри.

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного чи векторного добутку векторів. Ці операції вводяться окремо, певною мірою, незалежно від означення додавання векторів і множення вектора на скаляр. Інакше кажучи, скалярний добуток на векторному просторі — це додаткова структура, якої в принципі може і не бути. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

[ред.] Означення

У наступному означенні йде мова про векторний простір над довільним полем \mathbb{K}, але слід відзначити, що найбільш поширеніші випадки, де \mathbb{K} — це поле \mathbb{R} дійсних чисел або \mathbb{C} комплексних чисел.

Лінійний (або векторний) простір над полем \mathbb{K} — це множина L, елементи якої називаються векторами, у якій визначені бінарна операція L\times L\to L додавання векторів, (\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}+\vec{v} і операція K \times L \to L множення вектора на скаляр, (\lambda,\vec{u}) \mapsto \lambda \vec{u}, що задовільняють наступній системі аксіом:

  1. \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} для будь-яких \vec{u},\vec{v}\in L (Комутативність додавання)
  2. (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) для будь-яких \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in L (Асоціативність додавання)
  3. існує такий вектор \vec{0}\in L, що \vec{u}+\vec{0}=\vec{u} для будь-якого \vec{u}\in L(нульовий вектор)
  4. для будь-якого вектора \vec{u}\in L знайдеться вектор, що позначається -\vec{u}, і для якого виконується \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0} (Існування протилежного елемента для додавання)
  5. \lambda(\mu \vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u} для будь-якого \vec{u}\in L і скалярів \lambda,\mu\in\mathbb{K} (Асоціативність множення на скаляри)
  6. 1 \cdot u = \vec{u} для будь-якого \vec{u}\in L, де 1 це одиниця поля \mathbb{K} (одиниця відносно множення на скаляр)
  7. (\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u} для будь-якого \vec{u}\in L і скалярів \lambda,\mu\in\mathbb{K} (Дистрибутивність додавання і множення на скаляр)
  8. \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v} для будь-яких \vec{u},\vec{v}\in L і скаляра \lambda\in\mathbb{K} (Дистрибутивність додавання і множення на скаляр)

Аксіоми 1-4 означають, що Lкомутативна (абелева) група відносно операції додавання векторів, a останні дві аксіоми пов'язують операції додавання векторів і множення векторів на скаляри.

З наведених аксіом випливають такі властивості операцій:

0\cdot\vec{u} = \vec{0}, \quad \lambda\cdot\vec{0} = \vec{0}, \quad (-1)\cdot\vec{u}=-\vec{u}, \quad \lambda^{-1}(\lambda\vec{u})=\vec{u}\quad для будь-якого \vec{u}\in L і скаляра \lambda\in\mathbb{K}.

[ред.] Дивись також