Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Визначник або детермінант — одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. З точністю до знака, визначник матриці виражає коефіціент, на який множаться n мірні об'єми під дією цієї матриці. Матриця має обернену тоді і тільки тоді, коли її визначник відмінний від 0. Правило Крамера надає формули для розв'язання лінійної системи з n невідомими і n рівняннями за допомогою визначників.

Для n\times n матриці визначник має вигляд полінома степені n від елементів матриці, що уявляє собою суму добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців, причому в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Кожному добутку приписується знак плюс чи минус, в залежності віж парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник — також число. Взагалі, визначник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці.

Зміст

[ред.] Визначення

Визначник det(A) або |A|\quad n\times n матриці A задається формулою:

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)} \ldots a_{n\pi(n)},

де π це перестановка множини 1,..,n, і sgn(π) це знак (або парність) перестановки π, тобто дорівнює 1 чи − 1 залежно від того, чи число інверсій π парне чи непарне. Зазначимо, що кількість доданків у сумі дорівнює n!, і номери рядка і стовпця n елементів матриці, що входять у один добуток, не повторюються. До того ж, добуток a_{11}a_{22} \ldots a_{nn} елементів головної діагоналі матриці входить у суму з плюсом. Матриця називається виродженою або сінгулярною, якщо її визначник дорівнює нулю, а в іншому випадку невиродженою (несінгулярною).

Нижче подані наочні правила складання визначників для 2\times 2 та 3\times 3 матриць. Зауважимо, що для знаходження визначників більш високого порядку n вистосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меньшої кількості арифметичних операцій (O(n3) натомість n!).

[ред.] Визначник 2\times 2 матриці

Щоб знайти визначник 2\times 2 матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}.

На малюнку елементи, що входять до суми з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім.

[ред.] Визначник 3\times 3 матриці

Щоб знайти визначник 3\times 3 матриці, будуємо шість добутків наступним чином:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.

На малюнку добутки, що входять в суму з плюсом, помічені червоним, а з мінусом — синім, кожній замкненій фігурі з трьох точок відповідає один добуток з трьох множників.

[ред.] Властивості визначників

\det(AB) = \det(A)\det(B),\quad\det(A^T)=\det(A).


  1. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
  2. При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації кількох інших рядків визначник не зміниться.
  3. Якщо помножити якийсь рядок на константу a, то визначник також помножиться на a.
  4. У матриці з двома однаковими рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
  5. Квадратна матриця A невироджена (тобто \det A\ne 0) тоді і тільки тоді, коли існує обернена матриця A − 1.
  6. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само спроваджуються і для стовпців.
  7. Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.

В курсі лінійної алгебри доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у полі. А саме, якщо функція елементів матриці задовільняє 1,2,3, то така функція пропорціональна det.

[ред.] Історія визначників

Одне із найповніших джерел по історії визначників (до початку 20 століття) — це чотирьохтомна хрестоматія The theory of determinants in the historical order of development by Thomas Muir, New York, Dover Publications, 1960. Див. [[1]]

[ред.] Спеціальні види визначників

  • Визначник Якобі (Якобіан)
  • Визначник Вронського (Вронськіан)
  • Визначник Вандермонда
  • Визначник Грама
  • Власне значення


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.