Метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В розділах сучасної математики застосовуються метричні простори як сукупності елементів довільної природи, у яких для кожної пари a і b визначено число ρ(a, b), яке називається мірою (метрикою), або відстанню між a і b і задовольняє аксіоматиці, що складається з трьох аксіом:

  1. ρ(a,b) ≥ 0, причому ρ(а, b) = 0 тоді і тільки тоді, коли а = b;
  2. ρ(a,b) = ρ(b, a);
  3. ρ(a,b) ≤ ρ(a, c) + ρ(c, b).

Останні дві властивості можна замінити однією:

ρ(a,b) ≤ ρ(a, c) + ρ(b, c).

(другий пункт отримаємо поклавши a=c)

В математиці розглядаються метричні простори, «точками» яких можуть бути лінії, фігури, траекторії польоту космічних кораблів, планові завдання заводів і т. п. Довівши (на основі аксіом) якусь теорему про метричні простори, можна стверджувати, що вона буде справедлива для метричних просторів, що застосовуються у геометрії, алгебрі, астронавтиці, економіці і, взагалі, в усіх галузях, де з'являються метричні простори.