Групова алгебра
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи G. За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.
Зміст |
[ред.] Групова алгебра скінченої групи
Припустимо, що G — це скінчена група. Її групова алгебра — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

які додаються покомпонентно і для добутку якіх виконується співвідношення

де у лівій частині розглядається добуток елементів , а в правій частині — добуток g та h у G. Одиниця групової алгебри — це елемент
що походить з нейтрального елемента групи G. Аксіоми кільця в
випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі G. Кільце
— комутативне тоді і тільки тоді, коли G — комутативна група. Більш загальним чином, групова алгебра
для довільного кільця
складається з лінійних комбінацій елементів G з коефіцієнтами з
[ред.] Категорна характеризація
Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивостю. А саме, для будь-якого кільця R і гомоморфізма φ групи G у мультиплікативну групу R, існує єдиний гомоморфізм що продовжує φ,тобто задовільняє

для будь-якого елемента який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент
. Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи G еквівалентне до модуля над груповою алгеброю
Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвiдніх і нерозкладних зображень G.
Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи G над кільцем від
Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях G, то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до
а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем
із p елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів
(замість
).
[ред.] Групова алгебра локально-компактної топологічної групи
Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи G, якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів G (тобто, ag = 0 за винятком скінченої підмножини ). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи G, і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів G у певний клас топологічних кілець R (порів. вище). Зокрема, кільце
цілих чисел поширюється до поля
комплексних чисел. У випадку локально-компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Напочатку розглядається банахова алгебра L1(G,dg) інтегрованих за Лебегом функцій на G. Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:
(f1 * f2)(g) = | ∫ | f1(h)f2(h − 1g)dh, |
G |
де dg — це ліва міра Хаара на G. Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

де ΔG(g) — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри C * (G) = C * (L1(G,dg)).
[ред.] Література
- Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.