Гільбертове оснащення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гільбертовим оснащенням простору H0 просторами H і H + називається ланцюжок включень

H_- \supseteq H_0 \supseteq H_+

побудований наступним чином.

Нехай H0гільбертів простір зі скалярним добутком (\cdot,\cdot)_{H_0} і нормою \| \cdot \|_{H_0} і в H0 щільна лінійна множина H + , яка є гільбертовим простором відносно скалярного добутку (\cdot,\cdot)_{H_+} і норми \| \cdot \|_{H_+}, причому

\| u \|_{H_0} \leq \| u \|_{H_+} \quad (u \in H_+).

Кожний елемент f \in H_0 породжує антилінійний неперервний функціонал lf на H + за формулою

l_f(u)=(f, u)_{H_0} \quad (u \in H_+)

Гільбертів простір H одержимо поповненням простору H0 за новою нормою \| f \|_{H_-} := \|l_f \|