Лоренца перетворення
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Лоренца перетворення це лінійні перетворення координат, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца зв’язують координати подій в різних інерціальних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або релятивістська інваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.
Зміст |
[ред.] Форми запису перетворень Лоренца
[ред.] Перетворення Лоренца в системах з паралельними осями
Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв’язує координати події в інерціальній системі відліку K з координатами тієї ж в події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:
,
- де x, y, z, t – координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ – координати тієї ж події в системі K′; V – відносна швидкість двох систем; c – швидкість світла.
Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:
.
[ред.] Матричний запис перетворень Лоренца
Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці ||Λα′β||, що переводить компоненти 4-вектору xβ системи K в компоненти 4-вектору xα′ = Λα′βxβ, системи K′:
.
[ред.] Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем
У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r⊥, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r||:
Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′|| + r′⊥ формули будуть виглядати так:
,
.
[ред.] Гіперболічна форма запису
З математичної точки зору інтервал між двома подіями можна розглядати як "відстань" між двома точками в чотиривимірній системі координат. Отже, згідно визначення, перетворення Лоренца повинні зберігати незмінною будь-яку довжину в чотиривимірному просторі x, y, z, ct. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу та звичайним просторовим поворотам. Останні три повороти системи координат в площинах tx, ty, tz і є перетвореннями Лоренца.
Якщо ввести "кут повороту" ψ, такий що
,
то перетворення Лоренца для систем K та K′ з паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:
- ct′ = -x shψ + ct chψ,
- x′ = x chψ - ct shψ,
- y′ = y,
- z′ = z.
Ці формули відрізняються від звичайних формул перетворення при поворотах системи координат заміною тригонометричних функцій гіперболічними. В цьому виявляються відміни псевдоевклідової геометрії Мінковського від звичайної евклідової.
[ред.] Властивості перетворень Лоренца
З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході c→∞ до класичної механіці, або, що теж саме, при швидкостях значно менших швидкості світла, формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея у відповідності з принципом відповідності.
При V > c координати x, t станють уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю більшою за швидкість світла в вакуумі неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо при цьому знаменники в формулах дорівнювали б нулю.
На відміну від перетворень Галілея перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їх порядку. Математично це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Виключенням з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V1||V2, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.
[ред.] Історична довідка
Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона-Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступовому русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником , де
– зменшення розмірів в напрямку перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів в теорію.
Першим формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, вивів Лармор в 1900 році, та таким чином врахував змінення масштабу часу при русі. В 1904 Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвела відносно перетворень Лоренца, але в них ще входив невизначений множник та дві інерційні системи ще не розглядалися повністю рівноправними.
В 1905 Генрі Пуанкаре виправив пропуски в роботі Лоренца та досяг повної коваріантності електронної теорії. Принцип відносності був визначений їм як загальне та строге положення. Саме в работах Пуанкаре вперше зустрічаються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.
[ред.] Джерела
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. — М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
- Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.