Дзета-функція Рімана
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Дзе́та-фу́нкція Рі́мана ζ(s) визначена за допомогою ряду Діріхле:
.
У області , цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також вірне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ойлера)
,
де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.
Зміст |
[ред.] Властивості
- Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:
-
,
де B2m — число Бернуллі. Зокрема,
-
,
.
Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа ζ(3) (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне раціональне.
- При
де μ(n) — функція Мебіуса
де τ(n) — число дільників числа n
де ν(n) — число простих дільників числа n
- ζ(s) допускає аналітичне продовження на всю комплексну s-площину і є регулярною функцією для всіх значень s, крім s = 1, де вона має простий полюс із вычетом, рівним 1.
- Аналітичне продовжена дзета-функція при
задовольняє рівнянню:
- Аналітичне продовжена дзета-функція при
-
,
де Γ(z) — Гамма-функція Ойлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.
-
- Для функції
- введеною Ріманом для дослідження ζ(s) і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
- ξ(s) = ξ(1 − s)
[ред.] Нулі дзета-функції
-
- Основна стаття: Гіпотеза Рімана
Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині
,
функція ζ(s) має лише прості нулі в негативних парних точках: . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі
при дійсних
. Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і володіють властивістю симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі
і лежать у смузі
, яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функциі знаходяться на прямій 1 / 2 + it.
[ред.] Історія
Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розкладення у добуток.
Потім ця функція розглядалася Дирихле і, особливо успішно, Чебишевим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості функції дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи [[Ріман Бернгард |Рімана]] (1876) де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.
[ред.] Посилання
- Дзета-функція Рімана (from MathWorld)
![]() |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |