سلسلة ماركوف

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات، سلسلة ماركوف هي عملية عشوائية تحمل خاصية ماركوفية. في عملية كهذه، تكهُنُ المستقبل انطلاقا من الحاضر لا يحتاج إلى معرفة الماضي. ولقد أخذت اسم مكتشفها أندري ماركوف.

سلسلة ماركوف في وقت متقطع هي السلسلة X1, X2, X3, ... متكونة من متغيرات عشوائية. مجموعة القيمات الممكنة تدعي فضاء الحالات. وXn تدعى حالة العملية في الآن n.

إذا كان توزيع الاحتمال الشرطي لXn+1 على الحالات الفارطة دالة وحده إذن  P(X_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n) = P(X_{n+1}=x|X_n). \, . حيث x هي جالة ما في العملية. المعادلة هذه تعرف بالاحتمال الماركوفي.

نشر أندري ماركوف النتائج الأولى حول هذه العملية عام .1906

التعميم إلى فضاء حالات لامتناهية عدودة أتى من كلموكوروف في 1936.

[تحرير] خاصية سلاسل ماركوف

سلسلة ماركوف تتبع التوزيع الاحتمالي الشرطي  P(X_{n+1}| X_n)\, الذي يدعى احتمال الانتقال بخطوة للعملية. احتمال الانتقال بخطوتين أو ثلاثة أو أكثر يقع الحصول عليها انطلاقا من احتمال الانتقال بخطوة وخاصية ماركوف:

 P(X_{n+2}|X_n) = \int P(X_{n+2},X_{n+1}|X_n)\,dX_{n+1} 
 = \int P(X_{n+2}|X_{n+1}) \, P(X_{n+1}|X_n) \, dX_{n+1}

وبنفس الطريقة،

 P(X_{n+3}|X_n) = \int P(X_{n+3}|X_{n+2}) \int P(X_{n+2}|X_{n+1}) \, P(X_{n+1}|X_n) \, dX_{n+1} \, dX_{n+2}

هذه المعادلات يمكن تعميمها إلى مستقبل بعيد نسبيا n  +  k بضرب احتمالات الانتقال وبإجراء عملة التكامل k مرّات.

التوزيع الحافي ( P ( Xn هو توزيع الحالات في الوقت n. التوزيع الأول هو ( P ( X0 . تطور العملية الاحتمالية بعد خطوة يمكن كتابته :

 P(X_{n+1}) = \int P(X_{n+1}|X_n)\,P(X_n)\,dX_n

هذه هي كتابةمن كتابات معادلة فروبنيوس-برون. ويمكن أن توجد واحدة أو الكثير من توزيعات الحالات π بحيث:

 \pi(X) = \int P(X|Y)\,\pi(Y)\,dY

حيث Y هو اسم مختار لمتغير التكامل. هذا التوزيع π يدعى "توزيع غير مبدل". توزيع غير متبدل هو دالة مميزة للتوزيع الشرطي، المرتبطة بالقيمة الذاتية 1.

[تحرير] مواضيع متعلقة


هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.