Триъгълник на Паскал

от Уикипедия, свободната енциклопедия


\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1
\end{matrix}

Първите пет реда от Триъгълника на Паскал

Триъгълника на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през ХVІІ. век. Намерен е и в китайски писмени източници от ХІ. век.

Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него.

Всеки елемент в триъгълника е равен на {n \choose k} (комбинация от k елемента между n), където n е реда, а k е поредния елемент от реда. Математически, построяването на триъгълника на Паскал се записва по следния начин:

 {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} - това равенство се нарича Правило на Паскал.

Тази формула лесно се обобщава за пирамида, в триизмерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.

[редактиране] Комбинаторика

Триъгълникът на Паскал се явява като правило за бързо смятане на комбинации, откъдето идва и неговата важност в комбинаториката и теорията на вероятностите.

[редактиране] Нютонов бином

Едно от най-важните приложения на Триъгълника на Паскал е в използването на Нютоновия бином. Тази теорема ни дава развитието на (a+b)n:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}
или
(x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn, като a1, a2, a3, ... , an е поредният номер на елемента от реда n.

Например, ако искаме да развием :(x + y)2, трябва да разгледаме втория ред от триъгълника на Паскал (всъщност третия, защото първият отговаря на n=0). Коефициентите пред него са 1, 2 и 1. Откъдето и познатата ни формула:

(x + y)2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2 = x2 + 2xy + y2.

Биномната теорема е обща теорема, а използването на Триъгълника на Паскал идва в улеснение при прилагането на тази теорема.

Чрези биномната теорема можем да сметнем сбора на елементите от даден ред в Триъгълника на Паскал:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k} = \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^k1^{n-k} = (1 + 1)^n = 2^n

Тоест, сборът от всички елементи от даден ред прави 2n. Така, сборът на елементите от 2-рия ред е 4, а на тези от десетия - 1024.


[редактиране] Коефициенти до десети ред

На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n=10:


Картинка:Pascal_triangle.png