Правоъгълен триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Правоъгълен триъгълник
Правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник е вид триъгълник, на който един от ъглите е прав (90°).

Най-дългата страна в триъгълника е тази, която лежи срещу правия ъгъл и се нарича хипотенуза. Другите две страни се наричат катети.

Зависимостта на трите страни в правоъгълен триъгълник се изразява с Питагоровата теорема. Отношението на които и да е две страни се изразява с тригонометрични функции.

[редактиране] Свойства

AC2 = AB2 + BC2
  • Сумата от двата ъгъла, различни от правия е равна на π/2
α + β = π / 2
  • Медианата към хипотенузата е равна на 1/2 от хипотенузата.
Това лесно се доказва с помощта на насочени вектори (фиг.2)
Медиана към хипотенузата
Медиана към хипотенузата
Ако разгледаме насочените вектори \vec{AB}, \vec{BC}, \vec{AM}
то за триъгълника АМС е вярно \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} / 2 \,  
а за триъгълника АВС е вярно   \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}\, ,  
откъдето следва, че :  
\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{AC}) / 2 \,, тъй като \vec{BA} = -\vec{AB}
Ако повдигнем двете страни на квадрат, ще получим :     AM 2 = (AB 2 + AC 2)/4 (произведението на перпендикулярни вектори е 0).
От Питагоровата теорема знаем, че за триъгълника ABC е в сила равенството :  BC 2 = AB 2 + AC 2
Откъдето следва, че :   AM = BC / 2
  • Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на 1/2 от произведението на катетите.
  • Теорема на Талес - Центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи на хипотенузата.

[редактиране] Вижте също