Равнина (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлятворяват равенството:

ax + by + cz + d = 0,

където a, b, c и d са реални числа, различни от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

  • три точки, нележащи на една права
  • права и точка, нележаща на правата
  • точка и права, препрендикулярна на равнината
  • две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Съдържание

[редактиране] Равнина, определена от точка и нормален вектор

За точката P0 = (x0,y0,z0) и вектора \vec{n} = (a, b, c) , уравнението на равнината изглежда така:

ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0

за равнината, минаваща през т. P0 и перпендикулярна на вектора \vec{n}.

[редактиране] Равнина, определена от 3 точки

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки P1 = (x1,y1,z1), P2 = (x2,y2,z2) и P3 = (x3,y3,z3) може да бъде представено по следния начин:

 \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

[редактиране] Разстояните от точка до равнина

За точката P1 = (x1,y1,z1) и равнината ax + by + cz + d = 0, разстоянието от P1 до равнината е:

 D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

[редактиране] Ъгъл между две равнини

Основна статия: Ъгъл между две равнини

Ъгълът между равнините a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0 е

 \cos {(\alpha)} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} .