Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство: Нека и
Ако r има точка на сгъстяване l, то очевидно
.
Да допуснем, че r няма точка на сгъстяване. Тогава околност Ux на x, такава че Ux съдържа само краен брой членове на r.
Тогава обединението е покритие на интервала
. От теоремата на Хайне-Борел следва, че Ω има крайно подпокритие
състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на r. Но r има безброй много членове в интервала
, което е противоречие и следователно r има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази статия е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като я разширите. Просто щракнете на редактиране и добавете онова, което знаете.
|