Косинусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на произволна страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, минус удвоеното произведение на тези страни умножено по косинуса на ъгъла между тях.


 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha .

[редактиране] Доказателство

Нека да рагледаме триъгълника ABC. От върха C към страната AB е спусната височината CD (вж. Рис. 1). От триъгълника АDC следва:

Рис. 1
Рис. 1
 AD = b \cos \, \alpha ,
 DB = c - b \cos \, \alpha

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника ADC и BDC:

 h^2 = b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)
 h^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad (2)


Приравняваме десните части на уравненията (1) и (2) и:

 b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2

или

 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha .

За страните b и c косинусовата теорема изглежда така:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \, \beta
 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \, \gamma .

[редактиране] Вижте също