Конично сечение
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний от Пергам, който систематично да изследвал свойствата им.
Съдържание |
[редактиране] Геометрично представяне
Три са видовете конични сечения:
- елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
- парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
- хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.
Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „сравнявам“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή).
В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:
- права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
- двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
- точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.
[редактиране] Аналитично представяне
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.[1] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където ) и по-специално тяхното отношение:
, наречено ексцентрицитет.
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата d — директриса.
Нека е въведена декартова координатна система Oξη, такава че Oη съвпада с правата d, оста Oη минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение ξ = 0, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство следва, че
, което след преобразувание приема вида:
, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни ξ,η.
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред ξ2 се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
- При e = 1, уравнението приема вида
, което след полагането
а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата:
Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.[2] - Нека
. С полагането на
се прави транслация на координатната система, където α е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че
, оттук
и
. Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
- При e < 1,1 − e2 > 0 и като разделим на
, при полагане на
получаваме, че
, което се нарича канонично уравнение на елипсата.
Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).[2] - При
и като разделим на
, при полагане на
получаваме, че
, което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). [2]
- При e < 1,1 − e2 > 0 и като разделим на
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:
- при e < 1 коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
- при e = 1 коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
- при e > 1 коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.
[редактиране] Свойства
- Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.
[редактиране] История
Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.
Учителят на Александър Македонски, Менехъм, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. В негова чест Ератостен ги нарича „триада на Менехъм“. По времето на Менехъм и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.
Около 225 г. Аполоний от Пергам построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.[3]
През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.[4]
[редактиране] Методи и инструменти за чертане
Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.[3] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.
Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.
[редактиране] Приложения
Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.[5]
[редактиране] Източници
- ↑ „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
- ↑ 3,0 3,1 "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
- ↑
"The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
- ↑
„Информация за коничните сечения“. PlanetMath.org. Взето на 17/05/2007
[редактиране] Външни препратки
Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
Daina Taimina. „Historical Mechanisms for Drawing Curves“ (PDF). Cornell University. Взето на 20/05/2007