Евклидова геометрия

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: написване и на нещо смислено освен общите приказки. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Геометрията на Евклид е математическа система, разработена в Египет от древногръцкият математик Евклид. Неговият текст „Елементи“ е първият завършен системен текст, превърнал се в една от най-влиятелните книги в историята на човечеството.

Евклид въвежда използването на аксиоми и теореми. В последната част на „Елементи“ се разглежда геометрията на тримерно пространство, наричана още стереометрия. За повече от 2000 години геометрията на Евклид не бе променяна, понеже никой не можеше да си представи съществуването на други видове пространства. Аксиомите на Евклид са очевидни, ежедневната практиката ни убеждава по абсолютен начин във верността им. Но в последните 200 - 300 години бяха построени нови математически издържани теории. Вече знаем, че Евклидовите аксиоми не са в сила при движение със скорости доближаващи скоростта на светлината. Доказва го общата теория на относителността, потвърдено е от наблюдения и опити.

Евклидовата геометрия се основава на следните 22 аксиоми: 

  • Е1: Съществуват поне две различни точки. 
  • Е2: С всеки две различни точки е инцидентна точно една права. 
  • Е3: С всяка права са инцидентни поне две различни точки. 
  • Е4: За всяка права съществува поне една неинцидентна с нея точка. 
  • Е5: За всеки три точки, неинцидентни с една права, съществува точно една равнина, инцидентна с тях. 
  • Е6: С всяка равнина е инцидентна поне една точка. 
  • Е7: За всяка равнина съществува поне една неинцидентна с нея точка. 
  • Е8: Ако две точки, инцидентни с една права, са инцидентни с една равнина, то всяка точка, инцидентна с правата, е инцидентна с равнината. 
  • Е9: Ако две равнини са инцидентни с една точка, то те са инцидентни с още една точка. 

 

  • def: С "/" бележим релацията "между". 

 

  • Е10: Ако А/BC, то А, B, C са три различни колинеарни точки и A/CB. 
  • Е11: За всеки три различни колинеарни точки е в сила точно една от релациите: A/BC, B/AC, C/AB. 
  • Е12: Ако О и g са инцидентни точка и права, точките от g, различни от O, се разделят на две непразни множества(лъчи с начало О), като две точки са от различни лъчи тогава и само тогава, когато О е между тях. 
  • Е13: Ако правата g е инцидентна с равнината α, точките от α, неинцидентни с g, се разделят на две множества(полуравнини с контур g), като две точки A и B са от различни полуравнини тогава и само тогава, когато съществува точка O от g такава, че O/AB. 
  • Е14: Всяка еднаквост е еднозначно обратимо точково съответствие. 
  • Е15: Еднаквостите образуват група. 
  • Е16: Всяка еднаквост запазва релацията "между". 
  • Е17: За всеки два репера R и R' съществува точно една еднаквост φ, която трансформира R в R'. 
  • Е18: Ако една еднаквост запазва лъч, то тя запазва всяка точка от този лъч. 
  • Е19: За всяка отсечка (AB) съществува еднаквост φ такава, че φ(A)=B и φ(B)=A. 
  • Е20: За всеки ъгъл <(pq) съществува еднаквост φ такава, че φ(p)=q и φ(q)=p
  • E21: Нека ω и ω' са непразни подмножества на отсечката (AB) със свойствата: 
    • 1. ω∪ω'=(AB); 
    • 2. ако X∈ω, Y∈ω', то X/AY. Тогава съществува точка M∈(AB) такава, че всяка точка от (АМ) принадлежи на ω, а всяка точка от (MB) принадлежи на ω'. 
  • Е22: Ако M и g са неинцидентни точка и права, съществува най-много една права през М, успоредна на g. 

 

  • def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е21 се нарича *абсолютна геометрия
  • def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е22 се нарича *евклидова геометрия

[редактиране] Вижте още