Дзета-функция на Риман
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Дзета-функцията на Риман е функция от особена важност в теорията на числата поради връзката и с разпределението на простите числа. Тя също има приложения във физиката, в теорията на вероятностите и статистиката. Функцията носи името на немския математик Бернхард Риман.
Съдържание |
[редактиране] Дефиниция
Дзета-функцията на Риман ζ(s) е функция на една комплексна променлива (традиционно отбелязвана със s), която се дефинира посредством следния безкраен ред :
Този ред е ред на Дирихле и е сходящ за всички реални числа s> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни s ≠ 1 с помощта на аналитично продължение. Риман показва това в статията си „Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“ през 1859 година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни s с реална част Re(s) по-голяма от 1 и дефинира аналитична функция на проенливата s в областта {s ∈ C : Re(s) > 1} След това той показва как да продължи ζ(s) за всички комплексни s различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в мероморфна функция на s, която е холоморфна в областта {s∈C:s≠ 1} и има прост полюс в s=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(s) извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и функционално уравнение за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките s и 1 − s. Известната хипотеза на Риман, която е формулирана във същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че s е комплексно число, то често се записва във вида s=σ + it, където σ = Re(s) е реалната, а t = Im(s) - имагинерната част на s.
[редактиране] Отношение към простите числа
Още Ойлер открива връзката между дзета-функцията и простите числа. Той открива формулата
където отдясно стои безкрайно произведение по всички прости числа p. Това произведение е сходящо за Re(s) > 1. То е следствие на два основни резултата в математиката: формулата за геометрична прогресия и основната теорема на аритметиката.
[редактиране] Свойства на Дзета-функцията
[редактиране] Стойности в зададени точки
Следните числа са най-често използваните стойности на дзета-функцията на Риман.
; това е
хармоничния ред.
.
; Това число се нарича константа на Апери.
За положителните четни числа е валидна формулата
където , а Bn са числата на Бернули.
За отрицателните цели числа е валидна следната формула
за .
Bk = 0, когато k е нечетно и по-голямо от 1, от където следва, че
тоест четните отрицателни цели числа са нули (корени) на дзета-функцията. Тези нули се наричат тривиални нули. Стойностите за първите няколко отрицателни нечетни числа са
Стойността на дзета-функцията за n = 0 e .
[редактиране] Функционално уравнение
Дзета-функцията удоволетворява следното функционално уравнение:
което е изпълнено за всички комлпексни числа s освен 0 и 1. Тук, с Γ е обозначена гама-функцията. Тази формула се използва за построяване на аналитичното продължение на дзета-функцията. В точката s = 1, функцията има прост полюс с резидуум 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките −2, −4, ... . Това са така наречените тривиални нули.
Съществува и симетричен вариант на функционалното уравнение. Той се получава като първо се дефинира функцията
Тогава функционалното уравнение се задава чрез формулата
[редактиране] Нули на дзета-функцията на Риман
Дзета-функцията на Риман има нули в отрицателните цели числа. Това са така наречените тривиални нули. Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат нетривиални. Нетривиалните нули са обект на много по-голямо внимание, не само защото тяхното разпределение е много по-слабо изучено, но и защото информация за тях дава отговори на забележително много въпроси от различни области на математиката. Известно е че всички нетривиални нули лежат в отворената ивица {s ∈ C: 0 < Re(s) < 1}, която се нарича критичната ивица. Хипотезата на Риман, която се смята за един от най-важните нерешени проблеми в математиката, твърди, че за всяка нетривиална нула s е вярно Re(s) = 1/2. В теорията на дзета-функцията на Риман, множеството {s ∈ C: Re(s) = 1/2} се нарича критичната права.
Местоположението на нулите на дзета-функцията е от огромна важност за теорията на числата. От факта, че всички нетривиални нули лежат в критичната ивица може да се изведе законът за разпределение на простите числа. Най-добрия известен резултат за областта в която се намират критичните нули[1] е, че ζ(σ+it) ≠ 0 ако |t| ≥ 3 и
Този резултат е неизмеримо по-слаб от твърдението на римановата хипотеза. Той дори не гарантира, че съществува ивица {s ∈ C: ε ≤ Re(s) ≤ 1-ε} извън която дзета-функцията да няма нули.
Известно е, че има безброй много нули върху критичната права. Литълууд показва, че ако редицата (γn) се състои от имагинерните части на всички нули в горната полу-равнина в нарастващ ред, то
Теоремата за критичната права твърди, че положителен процент от нулите лежи върху критичната права.
Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е 1/2+i14,13472514... От функционалното уравнение може да се види, че множеството на нетривиалните нули е симетрично относно правата Re(s) = 1/2. Също така от факта, че ζ(s)=ζ(s*)* за всички комплексни s ≠ 1 (* означава комплексно спрягане) следва, че нулите на дзета-функцията са симетрични относно реалната права.
[редактиране] Реципрочна функция
Реципрочната функция на дзета-функцията на Риман може да се изрази като ред на Дирихле с коефициенти функцията на Мьобиус μ(n):
за всяко комплексно число s с реална част > 1.
[редактиране] Обобщения
Известен брой дзета-функции могат да бъдат считани за обобщения на дзета-функцията на Риман. Един такъв пример е дзета-функцията на Хурвиц
която съвпада с дзета-функцията на Риман когато q = 1. Други примери са L-функциите на Дирихле и дзета-функцията на Дедекинд.
[редактиране] Връзки
- Riemann Zeta Function, във Wolfram Mathworld - Математическо насочено изложение на английски
- [1] - (PDF) Записки на английски по теория на дзета-функцията на Риман