Функция на Мьобиус

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.


Функцията на Мьобиус (наречена на Август Мьобиус) е функция с дефиниционно множество \mathbb{N}^{+}. Тя се бележи с \mu\, и се дефинира като единственото решение на уравнението:

g(b)=\sum_{a|b}\mu(a)\,,

където

g(n)=\begin{cases}1  \text{,} & n=1 \\ 0  \text{,} & n>1 \end{cases}

[редактиране] Стойности

Стойностите на функцията на Мьобиус могат лесно да се определят като се съобрази, че за всяко k \ge 1 и всяко просто число p\,:

\mu(p^k)=\sum_{j=0}^{k-1}\mu(p^j)=0,

откъдето следва, че

\mu(p)=-1\,

и

\mu(p^i)=0\text{, } i > 1\,.

Функцията g(n)\, е мултипликативна. Това означава, че и функцията на Мьобиус \mu(n)\, също би трябвало да бъде мултипликативна. Следователно стойностите на \mu(n)\, могат да се пресметнат както следва:

  • \mu(1)=1\,,
  • \mu(n)=0\,, когато n\, се дели на квадрат на просто число, и
  • \mu(n)=(-1)^{r}\,, където r\, e броят на простите делители на n\,, в противен случай.