Конично сечение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола
Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола

Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний от Пергам, който систематично да изследвал свойствата им.

Съдържание

[редактиране] Геометрично представяне

Три са видовете конични сечения:

  • елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
  • парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
  • хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „сравнявам“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή).

В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:

  • права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
  • двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
  • точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

[редактиране] Аналитично представяне

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.[1] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където  \textstyle{M' \in d , MM' \perp d}) и по-специално тяхното отношение:  \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e , наречено ексцентрицитет.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата dдиректриса.

Нека е въведена декартова координатна система Oξη, такава че Oη съвпада с правата d, оста Oη минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение ξ = 0, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство  \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e следва, че \displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}, което след преобразувание приема вида:

\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни ξ,η.

Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред ξ2 се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.

  1. При e = 1, уравнението приема вида \displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}, което след полагането  \displaystyle{\xi = x + \lambda , \eta = y} а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата:  \displaystyle{y^2 = 2px}
    Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.[2]
  2. Нека  e \ne 1. С полагането на  \displaystyle{\xi = x + \alpha , \eta = y} се прави транслация на координатната система, където α е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че \displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}, оттук \alpha = \frac{p}{1 - e^2} и (1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}. Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
    1. При e < 1,1 − e2 > 0 и като разделим на \frac{p^2e^2}{1 - e^2}, при полагане на a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}} получаваме, че \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, което се нарича канонично уравнение на елипсата.
      Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).[2]
    2. При e > 1 , \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0 и като разделим на \frac{p^2e^2}{e^2 - 1}, при полагане на a = \frac{pe}{e^2 - 1} , b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}} получаваме, че \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
      Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). [2]

И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:

  • при e < 1 коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
  • при e = 1 коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
  • при e > 1 коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.

[редактиране] Свойства

  • Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.

[редактиране] История

Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.

Учителят на Александър Македонски, Менехъм, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. В негова чест Ератостен ги нарича „триада на Менехъм“. По времето на Менехъм и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.

Около 225 г. Аполоний от Пергам построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.[3]

През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.[4]

[редактиране] Методи и инструменти за чертане

Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.[3] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.

[редактиране] Приложения

Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.[5]

[редактиране] Източници

  1. „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
  2. 2,0 2,1 2,2 Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
  3. 3,0 3,1 "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
  4. Препратка към страница на английски "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
  5. Препратка към страница на английски „Информация за коничните сечения“. PlanetMath.org. Взето на 17/05/2007

[редактиране] Външни препратки