Базис

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Базис на дадено линейно пространство е система, състояща се от максимален брой линейно независими елементи, такива че всеки елемент на линейното пространство се представя като тяхна линейна комбинация, и то по единствен начин. Броят на елементите на базиса се нарича размерност на линейното пространство.

Примери за базиси:

Червеният и синият вектор формират стандартен базис в равнината
Червеният и синият вектор формират стандартен базис в равнината
  • Нека \mathbb{R}^2 е векторното пространство от всички координати (a,b), такива че a и b са реални числа. Тогава естествен начин за дефиниране на базис в пространството е изборът на двойката вектори e1 = (1,0) и e2 = (0,1). Тогава произволен вектор v = (a,b) от \mathbb{R}^2 може да се представи като линейна комбинация от елементите на базиса, т.е. v = a(1,0) + b(0,1). Всеки два линейно независими вектори могат да играят ролята на базис на пространството (без значение ъгъла, който сключват, и дължините им), например (1,1) и (−1,2) също формират базис в \mathbb{R}^2.
  • Нека \mathbb{R}[x] означава векторното пространство на полиномите с реални числа. Тогава базис на \mathbb{R}[x] е (1,x,x2,...).