Координата
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Координата (от лат. co + ordinatus, "нареден", "определен") - реално число или числа, с чиято помощ се определя положението на точка върху права, в равнината или в пространството. Понятието се обобщава както за случая на многомерни пространства, така и за определяне на положенията на обекти, различни от точки.
Съдържание |
[редактиране] Определения
Координата е обобщаващ термин за тези числа, с които се описва местоположението на точката, а именно: разстояние, абсциса, ордината, апликата, азимут, (ъгъл на) възвишение. Координатите може да са ъглови или линейни.
[редактиране] Разстояние
В най-простия едномерен случай, например един плъзгач извършващ праволинейно движение, за описване на положението ѝ е достатъчна една линейна координата: разстоянието, на което се намира точката от началото на координатната система. При сферичните координати разстоянието r е единствената координата с размерност дължина, докато двете ъглови координати Θ и φ служат да посочат посоката, в която се мери разстоянието.
[редактиране] Абсциса
Абсцисата е първата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на абсцисата е x. В координатна система оста, по която се измерва абсцисата се нарича абсцисна ос и се означава с х→.
[редактиране] Ордината
Ординатата е втората (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на ординатата е y. В координатна система оста, по която се измерва ординатата се нарича ординатната ос и се означава с y→.
[редактиране] Апликата
Апликатата е третата (правоъгълна или афинна) координата на една точка. Стандартното означение на апликатата е z. В координатна система оста, по която се измерва апликатата, се нарича респективно апликатна ос и се означава със z→. Апликата е слабо разпространено наименование, по-често се казва „по Z“
[редактиране] Видове координати
[редактиране] Афинни и Декартови координати
Нека в равнината е избрана произволна точка O, която служи за начало на два неколинеарни вектора e1→ и e2→. Така построената система наричаме афинна координатна система, а правите Oe1 и Oe2 - координатни оси. Тогава за всяка точка M от равнината на системата равенството OM→ = xe1 + ye2 задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките M върху множеството на наредените двойки (x, y). Още се казва, че M има афинни координати (x, y) спрямо системата Oe1e2 и се бележи с M(x, y). Координатите x, y са алгебрични проекции на вектора OM→ върху координатните оси, измеререни съответно с координатните вектори. Афинната координатна система Oe1e2 се означава още и с Oxy.
Дефиницията на афинна координатна система се обобщава лесно до тримерно и многомерни пространства.
Декартовата координатна система е частен случай на афинна координатна система е за която се изпълнени следните условия:
- координатните оси Oe1 и Oe2 са взаимно перпендикулярни (т.е. системата е ортогонална, правоъгълна), и
- координатните вектори имат равна дължина, която се приема за единична мярка в системата (т.е. системата е ортонормирана).
Декартовата (картезианската) координатна система е най-често използваната в обучението и практиката афинна координатна система. Исторически тя е и първата въведена - през ХVІІ в. от френския математик и философ Рене Декарт
[редактиране] Полярни координати
Редица криви могат да се опишат много по-лесно чрез полярни, отколкото чрез декартови координати. Полярните координати обаче важат за точки в равнината. За точки в пространството се използват сферичните и цилиндричните координати.
Нека в равнината е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез лъч ο→, минаващ през т. О, се задава нулева посока на системата и установява положителната посока на въртене - традиционно това е посоката на въртене обратна на часовниковата стрелка. Тогава на всяка точка M (≠ О) в равнината се съпоставят полярни координати (r,Θ) по следния начин:
- полярната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О
- полярната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, на който трябва да завъртим в положителна посока лъча ο→, така че да съвпадне с лъча ОM→.
Формулите, които показват връзката между полярни и Декартови координати, са следните:
- x = r.cosθ
- y = r.sinθ
-
(придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса O и когато положителната посока на оста x→ съвпадне с положителната посока на лъча o→.
В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), Исак Нютон и Якоб Бернули (1891). Първи Леонард Ойлер през 1748 г. стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд "Analysis infinitorum" се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини "полюс" и "полярни координати" навлизат едва през ХІХ в. с работите на Гаспар Монж и школата му. Полярният ъгъл Θ така и не получава устойчиво название: наричан е "аномалия", "амплитуда", "азимут" и дори "аргумент".
[редактиране] Сферични координати
Сферичните координати са пространствени полярни координати. Те са един от видовете тримерни пространствени координати.
Дефиниция 1, математическа: Нека в пространството е отбелязана точка О, която използваме за полюс (начало на полярна координатна система). Чрез два перпендикулярни лъча e1→ и e2→, минаващи през т. О, се задават съответно нулева и северна посока на системата. Установява се и положителна посока на въртене, по отношение на лъча e2→, наричан още полярна ос. Равнината, определена от двата лъча се нарича първична меридианна равнина. Равнината, която минава през лъча e1→ и е перпендикулярна на лъча e2→, се дефинира като екваториална равнина.
Нека в така дефинираното пространство е отбелязана втора точка M (≠ О). Тогава нейните сферични координати (r, Θ, φ) се определят по следния начин:
- сферичната координата r на M е равна на разстоянието от т. M до т. О.
- сферичната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча e1→ и проекцията OM* на лъча ОM→ върху екваториалната равнина. Ъгъл Θ още се нарича географска дължина. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
- сферичната координата φ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъчите e2→ и ОM→ в определената от тях меридианна равнина. Ъгъл φ още се нарича географска ширина. Дефиниционната област на φ е [-π/2; π/2].
Съответствието между точките в пространството и сферичните им координати е винаги еднозначно и обратимо освен в следните случаи:
- географската дължина не е определена за точки лежащи върху оста e1→,
- в полюса О не е определена и географската ширина.
Дефиниция 2, практическа: В разглеждана, подходящо ориентирана, (например хоризонтално) равнина се избира точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1. дължината на отсечката между полюса и точката, 2. ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора, и 3. ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.
За практическо използуваните системи, освен горните, принципно необходими неща, се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават астрономическа, геодезическа и две леко различаващи се - немска и руска артилерийски координатни системи, все варианти на сферичната координатната система. Линейната координата (важи поне за артилерийските) се нарича разстояние, ъгълът, мерен по равнината - азимут, а този, спрямо на нея - ъгъл на възвишение.
Географските координати също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди, в 2-те посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования - източна и западна дължина, северна и южна ширина. Разстоянието се мери в метри, но не от центъра на Земята, а от морското равнище, като знаците пак имат словесни наименования - надморска височина и дълбочина.
Трансформационните формули, които показват връзката между полярни и декартови координати, са следните:
-
(придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
Тези формули са валидни, когато началото на дясна декартова координатна система Ox→y→z→ съвпадне с полюса O и когато положителните посоки на осите x→ и z→ съвпадат с посоките на лъчите e1→ и e2→, съответно.
Независимо, че сферичните координати са се ползвали в астрономията на древността, първите опити да се дефинира крива върху сфера с уравнение между сферичните им координати е от ХVІІІ в. Трансформационните формули, които изразяват декартовите чрез сферичните, са дадени от Лагранж през 1773 г. Обратните трансформационни формули са изведени от Феликс Клайн през 1881 г.
[редактиране] Цилиндрични координати
Цилиндричните координати са обобщение на полярните координати в случая на тримерно пространство.
Нека в равнина е въведена полярна координатна система с полюс т. О и нулев лъч o→ и ортогонално на равнината е построен втори лъч ν→. Тогава в така получената цилиндрична координатна система произволна т. М в пространството има цилиндрични координати (r, Θ, h), дефинирани по следния начин:
- цилиндричната координата r на M е равна на разстоянието от т. О до проекцията на т. M в равнината (радиус на цилиндъра).
- цилиндричната координата Θ на M е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъча o→ и проекцията на M върху равнината. Дефиниционната област на Θ е [-π; π].
- цилиндричната координата h на M е равна на дължината на проекцията от точка M към равнината.
Този вид координати са наречени цилиндрични, понеже r играе ролята на радиус на цилиндър, а h - на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните - от един скалар и два ъгъла.
Формулите за трансформация на цилиндрични координати към Декартови и обратно са следните:
- x = r.cosθ
- x = r.sinθ
- z = h
-
(придружено от информация за квадранта, в който се намира точката)
- h = z
Те са в сила, когато за начало на Декартовата координатна система е избран полюсът O на цилиндричната, а лъчите x→ и z→ от Декартовата съвпадат съответно с o→ и ν→ от цилиндричната.
[редактиране] История
Потребността от използване на координати се появява под различни форми в географията, астрономията и математиката още във Вавилония и Древна Гърция. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през ХVІІ в. През ХІV в. френският математик Никола Орем е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал "дължина" и "широчина" в смисъла на абсциса и ордината. Терминът абсциса (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било "отсечка". Тази практика се запазва за последно в трудовете на Бонавентура Кавалиери от 1635 г. През 1675 г. Готфрид Лайбниц налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система. Аполоний (ок. 260-170 г.пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността "линии прекарани поред", като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като "ordinatum applicata". Оттук произхождат термините ордината и апликата, като в последствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга. Думата ордината в съвременния й смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата. Малко популярната дума апликата означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.
[редактиране] Източници
- "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, Абагар Холдинг, София, 1995
- "Математически термини", Н. В. Александрова, ДИ "Наука и изкуство", София, 1989
- "Физико-математическа и техническа енциклопедия, т. 2, Издателство на БАН, София, 2000