Теорема на Бейс
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Теорема на Бейс по името на Томас Бейс (Thomas Bayes) се използва в теорията на вероятностите за изчисляване на вероятността за настъпване на дадено събитие, след като вече е известна част от информацията за него.
Съдържание |
[редактиране] Формулировка
,
където
— вероятност за настъпване на събитието A;
— Условна вероятност за настъпване на събитието A при положение, че събитието B е настъпило (апостериорна вероятност);
— Условна вероятност за настъпване на B при положение, че A е настъпило;
— вероятност за настъпване на събитието B.
[редактиране] Извод
За да изведем теоремата, трябва да напишем определението за условна вероятност. Вероятността за настъпване на събитието A при положение, че B вече е настъпило е:
Аналогично, вероятността за настъпване на B при положение, че A се е сбъднало е:
Като комбинираме двете уравнения, получаваме:
Тази лема понякога се намира "правило за умножение на вероятности" Остава да разделим на P(B), при положение, че тази вероятност не е нулева, за да получим Теоремата на Бейс:
[редактиране] Примери
[редактиране] Тест за болест
Задача: Фармацевтична компания произвежда тест, за който се твърди че е надежден: ако пациентът е болен, този тест в 99% от случаите ще даде положителен резултат, а ако пациентът е здрав, в 99% от случаите теста ще е отрицателен. Ако тази болест засяга 0,5% от населението, то каква е вероятността пациента да е болен, ако теста е положителен?
Решение:
- Означаваме с Pr(B) вероятността даден пациент да е болен, която според данните от задачата е равна на 0.005
- Означаваме с Pr(Z) вероятността даден пациент да е здрав, която е очевидно 0.995
- Означаваме с Pr(+|B) вероятността теста да даде положителен резултат, ако пациента е болен, т.е. 0.99
- Означаваме с Pr(+|Z) вероятността теста да даде положителен резултат, a пациента да е здрав, т.е. 0.01
- Означаваме с Pr(+) теста да даде положителен резултат, независимо дали пациентът е болен или не
- Търсената вероятност е P(B|+) т.е. вероятността пациентът да е болен, ако теста е положителен
По теоремата на Бейс:
Вероятността Pr(+) е равна на вероятността теста да е положителен, независимо дали пациентът е здрав или болен. Тази вероятност е равна на вероятността теста да е положителен и пациента да е болен, плюс вероятността теста да е положителен, а пациента да е здрав. Или:
Или търсената вероятност е:
или в крайна сметка:
Което означава, че вероятността даден пациент да е болен, ако теста е положителен е само около 33%, което не е практично за нуждите на медицината, т.е. въпреки впечатляващите вероятности в условието, тестът е слаб. Това означава, че тестовете за болести следва да се произвеждат с точност, много по-голяма от 99%.
[редактиране] Анти-спам филтри
Съществуват анти-спам филтри за електронна поща, основаващи се на теоремата на Бейс. Тези програми изчисляват вероятността дадено електронно съобщение да е спам по следния начин:
Където е вероятността дадено съобщение да е спам, при положение че съдържа определени думи и изрази в него,
е вероятността тези думи или изрази да се съдържат в спам-съобщение,
е броят на спамовете към общия брой на съобщенията, т.е. вероятността всяко съобщение да е спам, а
е вероятността тези думи да бъдат намерени в нормално електронно съобщение. Способностите на филтъра зависят най-вече от капацитета на сървъра, на който е инсталиран. Идеята е предложена за пръв път от английския програмист Пол Греъм.
[редактиране] Външни препратки
- Условна вероятност, Формула на Бейс, лекции по вероятности на проф. Димитър Въндев
![]() |
Тази страница частично или изцяло, представлява превод на страницата „Bayes' theorem“ в Уикипедия на английски. Оригиналната статия, както и този превод, са защитени от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната статия, за да видите списъка на съавторите. |