Алтернативни дефиниции на топологично пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: донаписване и привеждане в еднциклопедичен вид, защото тя биде изтръгната от сърцевината на статията "Топологично пространство". Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.


Топологично пространство се задава според по-горе формулираната дефиниция, като се задават неговите отворени подмножества. Съществуват обаче и много други алтернативни начини за задаване на топологично пространство. Тогава първоначално се определят затворените подмножества, функциите затворена обвивка, вътрешност, контур или филтрите от околности, а понятието отворено множество бива дефинирано в последствие чрез тях.

Съдържание

[редактиране] Дефиниране чрез посочване на затворените множества

Фамилия F\, от подмножества на множеството \mathcal{X} се нарича (затворена) топология или фамилия на неговите затворени подмножества, ако изпълнява следните свойства:

  • самото множество \mathcal{X} и празното множество принадлежат на F\,,
  • сеченията на елементи на F\, са елементи на F\,,
  • обединенията на краен брой елементи на F\, са също елементи на F\,.

Наредената двойка (\mathcal{X},F) се нарича тополoгично пространство, а елементите на F\, - затворени множества.

Фамилията T\, на отворените подмножества на \mathcal{X} се дефинира както следва:

T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{B}\}_{\mathcal{B}\in F}

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки

Нека за всяко на множеството \mathcal{A}\subset\mathcal{X} е определено множеството \overline{\mathcal{A}}\subset\mathcal{X}, наречено затворена обвивка на \mathcal{A} и изпълняващо следните условия:

  • \overline{\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}=\overline{\mathcal{A}}\cup\overline{\mathcal{B}}
  • \overline{\varnothing}=\varnothing
  • \mathcal{A}\subset\overline{\mathcal{A}}
  • \overline{(\overline{\mathcal{A}})}=\overline{\mathcal{A}}

Множеството \mathcal{X} заедно с функцията затворена обвивка се нарича тополoгично пространство.

Фамилията F\, на затворените подмножества на \mathcal{X} се дефинира както следва:

F=\{\mathcal{B}:\overline{\mathcal{B}}=\mathcal{B};\mathcal{B}\subset\mathcal{X}\},

а фамилията T\, на отворените подмножества на \mathcal{X}:

T=\{\mathcal{A}:\mathcal{A}=\mathcal{X}\setminus \overline{(\mathcal{X}\setminus\mathcal{A})};\mathcal{A}\subset\mathcal{X}\}

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на вътрешност

Нека за всяко множеството \mathcal{A}\subset\mathcal{X} е определено множеството Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{X}, наречено вътрешност на \mathcal{A} и изпълняващо следните условия:

  • Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{A}
  • Int(Int(\mathcal{A}))=Int(\mathcal{A})
  • Int(\mathcal{X})=\mathcal{X}
  • Int(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=Int(\mathcal{A})\cap Int(\mathcal{B})

Множеството \mathcal{X} заедно с функцията вътрешност се нарича тополoгично пространство.

\mathcal{A}\, се нарича околност на x\, ако x\in Int(\mathcal{A}).

Oтворени са множествата, които са околности на всяка своя точка.

[редактиране] Дефиниране чрез задаване на филтри от околности

Нека за всяка точка x\in\mathcal{X} е зададена фамилия от подмножества \mathfrak{U}(x)\subseteq \mathcal{X} наречена филтър от околности на x\, със свойствата:

  • \mathcal{U}\in \mathfrak{U}(x) \Rightarrow x\in \mathcal{U}
  • \mathcal{U},\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)\Rightarrow\mathcal{U}\cap\mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)
  • \mathcal{V}\subseteq\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x) \Rightarrow \mathcal{V}\in\mathfrak{U}(x)
  • \forall \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x)\ \exists\mathcal{V} \in\mathfrak{U}(x) : y\in\mathcal{V}\Rightarrow \mathcal{U}\in\mathfrak{U}(y) .

\mathcal{X} заедно с филтирите от околности задават топологичното пространство: (\mathcal{X},\mathfrak{U}). Отворени в това топологично пространство са по дефиниция онези множества \mathcal{A}, за които:

x\in\mathcal{A} \Rightarrow \left\{\mathcal{U}:\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x),\ \mathcal{U}\subseteq  \mathcal{A}\right\}\neq\varnothing.
На други езици