Производна

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц

Съдържание

[редактиране] Определение

Нека функцията f е дефинирана в определен интервал. Ако вземем произволно число х в този интервал, то нарастването на аргумента (обозначава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}, то тя се нарича производна на функцията f в точка x0.

С други думи производна на функцията y=f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношениято на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 {(\Delta x\rightarrow 0}).

Производната може да се обозначи като:

  • f′(x) (означение на Лагранж)( произнася се "еф прим хикс")
  •  \frac{dy}{dx} (означение на Лайбниц) (де игрек де хикс)
  • \dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t), \ddot{x} = x''(t)

означения на Исак Нютон

  • D_x f(x) \;, за първа производна,
  • {D_x}^2 f(x) \; за втора производна, и
  • {D_x}^n f(x) \; за n-та производна, при n > 1

означение на Ойлер

Функция, която има производна в точка x се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие с което се намира производната на една функция се нарича диференциране.

[редактиране] Правила за диференциране

  1. Ако k — константа, то (ku)′ = ku′.
  2. (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
  3. (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) - u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) - u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv - u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
  4. (h(g(x)))' = h'[g(x)]g'(x)
  5. (uv)(n)=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)} — формула на Лайбниц.
  6. (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Докажем: Δ(u/v) = u(x+Δx)/v(x+Δx)−u(x)/v(x) = (u(x+Δx)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−u(x)v(x+Δx))/(v(x)u(x+Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v2.

[редактиране] Производни на някои функции

  1. (const)′ = 0 (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
  2. (ax)′ = ax ln a , в частност, (ex)′ = ex
  3. (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
  4. (xa)′ = axa−1
  5. (\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  6. (sin x)′ = cos x (синус)
  7. (cos x)′ = −sin x (косинус)
  8. (tg x)′ = \frac{1}{cos^{2}x} (тангенс)
  9. (ctg x)′ = -\frac{1}{sin^{2}x} (котангенс)
  10. (arcsin x)′ = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (аркуссинус)
  11. (arccos x)′ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (аркускосинус)
  12. (arctg x)′ = \frac{1}{1+x^{2}} (аркустангенс)
  13. (arcctg x)′ = -\frac{1}{1+x^{2}} (аркускотангенс)

[редактиране] Смисъл на понятието

Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло, или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- (t0)) (v=s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента (t0).

[редактиране] Геометрично представяне на понятието

Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абцисата.