Производна
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Производна на функция е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна се нарича диференцируема. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц
Съдържание |
[редактиране] Определение
Нека функцията f е дефинирана в определен интервал. Ако вземем произволно число х в този интервал, то нарастването на аргумента (обозначава се Δx) в този случай се определя като x−x0, а нарастването на функцията (Δy) — като f(x)−f(x0). Тогава, ако съществува граница , то тя се нарича производна на функцията f в точка x0.
С други думи производна на функцията y=f(x) за дадена стойност (x0) се нарича границата (ако съществува) на отношениято на нарастването на функцията и нарастването на аргумента х, когато нарастването на аргумента клони към 0 ).
Производната може да се обозначи като:
- f′(x) (означение на Лагранж)( произнася се "еф прим хикс")
(означение на Лайбниц) (де игрек де хикс)
,
означения на Исак Нютон
, за първа производна,
за втора производна, и
за n-та производна, при n > 1
означение на Ойлер
Функция, която има производна в точка x се нарича диференцируема в точка x. Математическото действие с което се намира производната на една функция се нарича диференциране.
[редактиране] Правила за диференциране
- Ако k — константа, то (ku)′ = ku′.
- (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
- (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) - u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) - u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv - u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
- (h(g(x)))' = h'[g(x)]g'(x)
- (uv)(n)=
— формула на Лайбниц.
- (u/v)′ = (u′v−uv′)/v2. Докажем: Δ(u/v) = u(x+Δx)/v(x+Δx)−u(x)/v(x) = (u(x+Δx)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−u(x)v(x+Δx))/(v(x)u(x+Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v2.
[редактиране] Производни на някои функции
- (const)′ = 0 (константа), защото нарастването на всяка константа е 0.
- (ax)′ = ax ln a , в частност, (ex)′ = ex
- (logax)′ = 1/(x ln a) (логаритъм), в частност, (ln x)′ = 1/x
- (xa)′ = axa−1
- (sin x)′ = cos x (синус)
- (cos x)′ = −sin x (косинус)
- (tg x)′ =
(тангенс)
- (ctg x)′ =
(котангенс)
- (arcsin x)′ =
(аркуссинус)
- (arccos x)′ =
(аркускосинус)
- (arctg x)′ =
(аркустангенс)
- (arcctg x)′ =
(аркускотангенс)
[редактиране] Смисъл на понятието
Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло, или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са t и (t0), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (t- (t0)) (v=s/t). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента (t0).
[редактиране] Геометрично представяне на понятието
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абцисата.