Факториел

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Факториел е функция на естествено число n (n∈ℕ0), която изразява произведението на всички естествени числа, по-малки или равни на n. Записва се n! и по дефиниция:

  • n! =1·2·3·...·(n-1)·n, за n>1;
  • 1! =1;
  • 0! =1.

[редактиране] Рекурсивно задаване на функцията факториел

Факториел може да бъде дефиниран и чрез рекурсия, т.е. n! може да се изрази чрез факториел от естествени числа, по-малки от n:

  • n!=(n-1)!·n;

Използвайки началната стойност 1! =1 и рекурсивното задаване на функцията, можем да я изчислим за всяка стойност на n∈ℕ.

[редактиране] Произволни реални и комплексни числа

Факториелът може да се дефинира и за произволното комплексно число z, по същия начин, както се дефинира факториела за естествени числа, но се нарича Гама-функция на Ойлер:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n)

която може и да се дефинира като :
\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\!
а предното определение следва от това след интегриране по части. Въведеното от самия Ойлер определение е:

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!, а днес използваното дължим на Адриан Мари Льожандър.

Интересно следствие от тези определения е, че \left( {1 \over 2}\right)! = {\sqrt{\pi}\over 2}


[редактиране] Приложения

Използва се в теорията на числата (например за изразяване на коефициентите на Нютоновия бином), при разлагането на аналитичните функции, например синус и косинус, в ред на Тейлър, което позволява практическото им изчисление с дадена точност, и т.н.