Бутилка на Клайн
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Бутилка на Клайн в математиката е двумерна повърхнина, която има само една страна, т.е. при нея не може да се разграничат „вътрешна“ от „външна“ страна. Тя не може да бъде конструирана в по-ниско от четиримерното пространство, макар че идея за нея може да бъде придобита от двумерните и тримерните й изображения.
За първи път обектът е описан от немския математик Феликс Клайн през 1882 г. Първоначално Клайн го нарича "повърхнина" ("Fläche"), което грешно е превеждано на английски като "бутилка" ("Flasche"). Тази грешка обаче лесно се обяснява и с известното изображение на повърхнината, което прилича на бутилка, чието дъно с дупка е закривено и минавайки през стената на бутилката отново се слива с нейното гърло.
В топологията бутилката на Клайн е двумерно затворено неориентируемо многообразие с ойлерова характеристика нула.
Съдържание |
[редактиране] Свойства и формулно представяне
Бутилката на Клайн е пример за повърхнина, която е едновременно едностранна и затворена. По подобие на листа на Мьобиус, бутилката е двумерно многообразие - диференцируемо и неориентируемо (т.е. такова, за което понятията ляво и дясно не са дефинирани). За разлика от листа на Мьобиус, бутилката е затворено многообразие - компактно и без граница. И докато листът на Мьобиус може да се реализира на практика в тримерното пространство, бутилката на Клайн не може. Тя обаче може да бъде успешно конструирана в четиримерно пространство, при което няма да се получи самопресичането и неизбежния отвор в повърхнината, които налагат ограниченията на двумерните и тримерните й изображения.
Топологически, Бутилката на Клайн се получава от квадрат [0,1] × [0,1] посредством отъждествяване на точките (x, − 1) с ( − x,1) и на ( − 1,y) с (1,y). Така отъждествяването на страните на квадрата става „с усукване“, а на
- „без усукване“.
Уравнението й се задава с уравнението:
- (x2 + y2 + z2 + 2y − 1)[(x2 + y2 + z2 − 2y − 1) − 8z2] + 16xz(x2 + y2 + z2 − 2y − 1) = 0
Друг вариант за конструирането на бутилката е, като се сгъне по дължина един лист на Мьобиус и ръбовете му се слепят. Обратно, чрез разрязване на бутилка на Клайн може да се получи отново лист на Мьобиус. В това си представяне бутилката на Клайн има следната проста параметризация:
При това представяне самопресичащата се окръжност е геометрична окръжност в равнината XY. Тук положителната константа r е радиусът на окръжността. Параметърът u задава ъгъла в равнината XY, а v фиксира положението спрямо сечението с форма на осморка.
[редактиране] Любопитно
- В телевизионния сериал "Футурама" на една полица е показана бира марка Клайн. Бутилката й, естествено, е бутилка на Клайн.
- В Британския музей на науката е изложена красива колекция от тримерни модели на бутилката на Клайн от ръчно духано стъкло.