Логаритъм

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Графики на функцията логаритъм при различни основи
Графики на функцията логаритъм при различни основи

Логаритъм е единственото решение на уравнението а х b, където а е положително и различно от единица число, а b е само положително число, a, b и x са реални числа. Логаритъмът е степенният показател x, на който повдигаме основата на степента a, за да получим числото b.

Това се записва така:

x = logab
Чете се: Хикс е равно на логаритъм от b при основа a .

Особено често се използват логаритми с основа числото e и с основа 10. Те имат собствени означения и наименования:

  • Логаритъм с основа числото e се нарича „натурален логаритъм“ и се бележи с ln.
  • Логаритъм с основа числото 10 се нарича „десетичен логаритъм“ и се бележи с lg.

Логаритъм с дадена основа е обратна функция на степенна функция със същата основа, например натуралния логаритъм е обратна на експонентата. Другото интересно свойство на натуралния логаритъм е, че неговата производна в спрямо променливата х е равна на 1/х.

Съдържание

[редактиране] Свойства на логаритмите

При всяка основа a, loga1 = 0, тъй като a0 = 1.

\forall a,b,c>0 и a \ne 1

  • \log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c
  • \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c
  • logabp = plogab
  • \log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b
  • \log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}
  • Основно логаритмично равенство:
a^{log_a b} = b

[редактиране] История

Логаритмите са „изобретени” от Джон Непер – шотландски математик, барон, и от Йобст Бюрги – приятел на Кеплер и кралски придворен часовникар в Прага, както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г, но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите” (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде. Логаритмите с основа е са въведени от лондонския учител по математика Джон Спийдъл; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми” на числата от 1 до 1000. тези логаритми възникват „естествено” при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (при интегрирането и); затова Николаус Меркатор нарича логаритмите при основа е „естествени” или „хиперболични”. Италианският математик Пиетро Менголи също отбелязва важността на логаритмите с основа е и ги нарича Logarithmi naturali (натурални логаритми). Термините „логаритъм” и „антилогаритъм”, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у Джон Уолис (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica” на Хенри Бригс през 1624 г; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знакът над характеристиката започва от Уилям Отред в изданието на „Clavis mathematicae” (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка”, „придатък”) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748). Думата „основа” е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теория на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от Роджър Коутс (1712). Глаголът „логаритмувам” се появява едва през ХIХ век. Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и естествените логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик Прингсхайм (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката, в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

[редактиране] Логаритмични таблици

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията”; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми в последствие започват да се наричат „бригови”, „десетични” или „обикновени”. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603-1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания”. Те остават незабелязани до 1856 г. Таблиците за десетичните антилогаритми са съставени от английските математици Пел и У.Уорнър между 1630 и 1640 г. Естествените антилогаритми са пресметнати от барон фон Вега – австрийски офицер и математик (1794).

[редактиране] Вижте също