Наслагване на трептения

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Наслагването на трептенията е понятие от класическата механика, което се получава при съвместното действие (суперпозиция) на няколко прости хармонични трптения.

Съдържание

[редактиране] Принцип на суперпозицията и резултантни трептения

От твърдотелната механика е известно, че различните движения на едно тяло могат да се наслагват. Разясненият там принцип на наслагването, показва, че при едновременни съществуващи различни единични движения, последните могат да образуват едно общо съставно движение на тялото. Това съставно движение се нарича още резултантно движение. Методът на непосредственото наслагване се нарича още суперпозиция. В кинематиката се разглеждат възникналите сумарни криви, като например циклоида, еволвента, балистична крива и други. Ако едно тяло се възбуджда едновременно от две или повече периодични сили докато започне да извършва линейни трептения, то тогава според принипа на суперпозицията тези трептения могат да се съберат до едно общо съставно трептене (движение): x=x1+x2. Фигура 1 показва наслагване на две трептения с еднаква амплитуда при отношение на честотите 2:1. На всяко място по продължение на синусоидите се извършва събиране с отчитане на знака. Оттук става ясно, че две или повече линейни единични трептения по принципа на суперпозицията могат да съставят едно резултантно трептене. При събирането на трептенията трябва да се съблюдава дали посоките на последните са паралелни (или перпендикулярни) или са различни. Фигура 1 показва също индиректно, че наслагваните трептения могат да се различават помежду си по амплитуда, честота и фаза, при което възникват различни явления.

[редактиране] Специални случаи на припокриване на хармонични трептения

[редактиране] Трептения в една пространствена посока и една и съща честота

[редактиране] Наслагване на повече от две трептения

Най-общ случай на припокриване на трептения е този, при който са налице повече от две трептения с еднаква честота, но различни амплитуди и различни начални фазови ъгли. Един такъв случай е решен на фигура 2. Заедно с графичното решение за съставното трептене, може да се получи и аналитично извеждане, което обаче за повече от две трептения е твърде сложно.

[редактиране] Наслагване на две трептения

В специалния случай на събиране на две трептения с различни амплитуди по x и различни начални фазови ъгли, за изчисление на резултантното трептене могат да се използват тригонометричните закони. Фигура 3 показва векторното събиране на две амплитуди x1 и x2 на две трептения с различни начални фази. Прилагайки косинусовата теорема и теоремата за събиране на вектори за амплитудата и фазата на съставното трептене съответно се получава:

x_e = \sqrt{x_1^2+2x_1x_2 \cos (\phi_{01}-\phi_{02})+x_2^2 }

\tan \phi_{0e} = \frac {x_1\sin\phi_{01}+x_2\sin\phi_{02}}{x_1\cos\phi_{01}+x_2\cos\phi_{02}}

При наслагването на хармонични трептения с еднаква честота, но различни амплитуди и начални фазови ъгли се получава едно ново съставно хармонично трептене със същата честота. Това означава още, че продължителността на периода Т0 на единичните трептения е равен на периода на съставното трептене (Фиг.4). Уавненията по-горе се отнасят за такива случаи.

[редактиране] Максимално усилване на трептенията

Ако е изпълнено φ01 = φ02 тоест фазовата разлика е нула, тогава възниква амплитуда xe с максимална стойност. Наслагването на трептенията в този случай е показано на фиг. 5. Когато: Δφ = 0,тогава xe = max. φ0e = φ01 = φ02, cos(φ01 − φ02) = 1,x_e = \sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 }

[редактиране] Затихване на трептенията

Друг специален случай на наслагване е когато амплитудите на единичните трептения са равни, а фазовата разлика e \Delta\phi=\pi = 180 ^\circ или нечетен брой пъти π, т.е. , и т.н. Тогава съставното трептене затихва, т.е. амплитудата става нула.

[редактиране] Честотно биене

Когато се припокриват две трептения с малка разлика в честотите, при резултантното трептене се получава така нареченото честотно биене. Това означава, че амплитудата на полученото трептене бавно затихва и отново се увеличава. Това е показано на фиг. 6. Забелязва се, че амплитудата става периодично нула в периода на биене Ts. Различават се два вида на възникване на такива трептения. Това са:

Просто биене - При малка разлика в честотите, амплитудите на единичните трептения са еднакви. Амплитудата на съставното трептене става периодично нула и се колебае от нула до 2x1.
Сложно биене - При малка разлика в честотите, амплитудите на единичните трептения не са еднакви. Амплитудата на съставното трептене става периодично минимална но различна от нула и се колебае от минимума до xe = x1 + x2.

Съгласно фиг. 6 се определят следните означения:

T_s=\frac{T_1T_2}{T_1-T_2}=\frac{1}{f_s} [s], период на биене

fs = f2f1 [Hz], честота на биене

T_s=\frac{2T_1T_2}{T_1+T_2}=\frac{1}{f_s} [s], период трептенето

xmax = x1 + x2, максимална амплитуда.

[редактиране] Синтез на Фурие и анализ на Фурие

На фиг. 1 и 2 е показано, че с подходящ избор на честоти и амплитуди, може да се произведе всякакво желано резултантно трептене. Този процес се нарича Синтез на Фурие по името на известния френски физик Жан Батист Жозеф Фурие (1768 - 1830). Принципно по този начин и по принципа на суперпозицията могат да се наслагват произволен брой единични трептения. На Фиг. 7 и 8 са показани примери на наслагване на трептенията 1 и 2. На двете фигури трептенията 1 и 2 са едни и същи, разликата е в това, че на Фиг. 8 има фазова разлика Δφ0 = 45°. Това води до едно напълно различно, но в същото време периодично съставно трептене. Също така, както е възможно добиването на резултантно трептене от наслагването на единични такива, така е възможно и обратното, всеки периодичен сигнал може да се разложи на елементарни трептения. Фурие показва: Всеки периодичен сигнал може еднозначно да се разложи на елементарни синусови и косинусови трептения. На Фиг.9 например е показано съставно трептене което се разлага в три синусоидални елементарни трептения. Методът се нарича Анализ на Фурие или Хармоничен анализ и се прилага за анализ на възникнали в практиката трептения, които често не са чисто синусоидални. Един такъв хармоничен анализ може да се осъществи след дълго (времеотнемащо) математическо изчисление. Съществуват и електромеханични устройства, които правят Фурие Анализ и се наричат Хармонични Анализатори.

[редактиране] Модулация

Докато при наслагването със Синтез на Фурие се получава събиране на определени амплитуди на единичните трептения, при модулацията моментните стойности (на амплитудите) на единичните трептения се умножават. Съответните резултати представляват амплитудите на съставните трептения. Модулацията служи за предаване на данни при безжичните комуникации, или за по-ефективно използване на проводящите линии.

[редактиране] Трептения с перпендикулярно едно спрямо друго разположение с целочислено отношение на честотите

На Фиг. 10 е показано двойно махало, което е закачено в точките А и В. Спрямо равнината на чертежа в точката С махалото може да се люлее (трепти) напред и назад, докато в точка D наляво и надясно. Степените на свобода спрямо тази конфигурация, гледано отгоре са представени на Фиг. 2. Вижда се, че точка С може да се люлее по оста y, докато точка D по оста x и по оста y. Двете уравнения за трептенията показват, че няма фазова разлика между последните, т.е. Δφ0 = 0:

x = xmsinωt
y = ymsinωt

При разделяне (едно на друго) на горните уравнения, се получава:

\frac{x}{y}=\frac{x_m}{y_m} или съответно x=\frac{x_m}{y_m}\cdot{y}

Това е уравнение на права представяща случая, когато двете движения протичат едновременно. Това е показано на Фиг. 11 за случая Δφ0 = 0 с различни амплитуди xm и ym. Когато двете трептения са с еднакви честоти, различни амплитуди и фазова разлика \Delta\phi_0=\frac{\pi}{2} за уранвенията на трептенията се получава:

x = xmsinωt
y=y_m\sin{(\omega{t}+\frac{\pi}{2})}

или

y = ymsinωt

Ако първото уравнение се раздели на xm, а второто на ym, след което уравненията се повдигнат на квадрат и се съберат, тогава се получава:

sin2ωt + cos2ωt = 1 (Тригонометрична Теорема на Питагор)
\frac{x^2}{x_m^2}+\frac{y^2}{y_m^2}=1

По този начин се получава уравнението на елипса, показана на Фиг. 13. Описаните гладки криви, които възникват при припокриването на две различни по посока трептения и се наричат фигури на Лисажу. Последните могат да се получат с описаното двойно махало, или с електронно лъчев осцилоскоп. Формата на кривите зависи от отношението на амплитудите и честотите, следователно първата зависи и от фазовата разлика. Когато отношението на честотите е рационално число (цяло число), тогава фигурите на Лисажу са затворени криви.

Например ако амплитудите xm и ym са равни, кривите лежат в квадрат със страни: 2xm=2ym. Този случай е показан на Фиг. 14, xm=ym, f1=f2. Фазовата разлики за различните криви са съотетно:

Крива 1: Δφ0 = 0
Крива 2: \Delta\phi_0=\frac{\pi}{6}
Крива 3: \Delta\phi_0=\frac{\pi}{2}
Крива 4: \Delta\phi_0=5\frac{\pi}{6}
Крива 5: Δφ0 = π

На Фиг.15 се разглежда случая xm=ym, f1=3f2.

Крива 1: Δφ0 = 0
Крива 2: \Delta\phi_0=\frac{\pi}{2}

[редактиране] Вижте също

На други езици