Функция на Дирихле

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Функцията на Дирихле (на името на Петер Густав Льожон Дирихле) е функция над множеството на реалните числа, която приема стойност 0 за всички рационални числа и стойост 1 за всички ирационални числа. Функцията се дефинирана по следния начин:

D(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q \\ 0, & x\in\mathbb R \setminus\mathbb Q \end{cases},

където \mathbb Q е множеството на рационалните числа, а \mathbb R — множеството на реалните числа.

Тя е пример за:

  • прекъсната във всяка точка функция,
  • функция, която не може да се интегрира по Риман, но може да се интегрира по Лебег,
  • функция от втори клас в класификацията на Бер с представяне:
D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x,