Хармоничен осцилатор

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: 1. Започване на статията с дефиниция: „Хармоничен осцилатор е едищоси“. 2. Преглед на статията от някой, който знае поне дефиницията.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Хармоничен осцилатор в класическата механика се нарича всяка система, която при отместване от нейното равновесно положение изпитва сила, възвръщаша я към равновесното положение.

[редактиране] Дефиниция

Всяко движение, което се повтаря през равни интервали от време се нарича периодично. Такова движение както ще видим по-долу се описва чрез функциите синус и косинус. В математиката тези функции се наричат "хармонични" - затова и движението на такива тела се нарича хармонично.

Когато едно тяло променя позицията си - напред, назад по един и същ път -такова движение се нарича вибрация или осцилация.


Нашият свят е пълен с примери на хармонично движение: - трептенията на струните на музикалните инструменти, движението на махалото, движението на въздушните молекули при преминаване на звукова вълна. Периодично движения се създават от сили, преместващи телата напред - назад. Тъй като при този процес винаги има някакво съприкосновение с други частици или триене - вследствие на това се отдава енергия - затова повечето от хармоничните движения са затихващи.

Ако вкарваме допълнителна енергия чрез външна сила - можем да компенсираме загубата на енергия от триенето и да постигнем незатихващо периодично движение.

[редактиране] Математическо описание на движението

тяло закачено за пружина
махало
въртящо се махало
звукова вълна
морска вълна
предаване на хармонично движение по въже


[редактиране] Уравнение за затихващо трептене

Разглеждаме тяло с маса m окачено на пружина с еластичност к. Тялото се намира в среда със съпротивление пропорционално на скоростта на движение с коефицент b. Движението се извършва само по координатната ос Х.

Формула за пружината:

\mathbf{ Fe= -k.x,   Fe} еластична сила на отблъскване на пружината

Формула за съпротивлението на средата:

Fc= - b.{dx \over dt},  Fc - сила на съпротивление на средата

Закон на Нютон:

F = m.a = m. {d^2x \over dt^2}, където
F - сила, приложена върху тяло с маса м и ускорение а.

Уравнението за движението на тяло, окаченото на пружина е:

 \mathbf{F = Fe + Fc}
    m. {d^2x \over dt^2} = -k.x - b.{dx \over dt}
    m. {d^2x \over dt^2}+ b.{dx \over dt}+ k.x =0

Това е диференциално уравнение от втори ред, описващо движението на хармоничен затихващ осцилатор. Разделяме на m:

   {d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}+ {k \over m}.x =0

За да го решим преобразуваме:    {d^2x \over dt^2}+ {b \over m}.{dx \over dt}= -  {k \over m}.x


Ползваме помощна функция: e^{{b \over m}.t}