Построения с линийка и пергел

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.
Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.

Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение на търсена отсечка само с помощта на два чертожни инструмента:

  • линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена; и
  • пергел, за който се приема, че може да изчертае окръжност с всякакъв (произволно голям или произволно малък) радиус.

Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за изчертаване на прав ъгъл).

Аналитичното погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални операции и образуване на корен квадратен.[1]

В България този вид задачи се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.

Съдържание

[редактиране] Решими задачи

Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:[2]

Основни построителни задачи
  • построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
  • построяване на симетрала на дадена отсечка,
  • построяване на перпендикуляр от точка към права,
  • построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
  • построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.
Построяване на триъгълник
Построяване на успоредник
  • по дадени две страни и ъгъл
  • по дадени два диагонала и ъгъл между тях

[редактиране] Нерешими задачи

Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:[1]

Делоска задача
Даден е куб с дължина на ръба a. Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина a\sqrt[3]{2}
Задача за квадратурата на кръга
Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина \sqrt{\pi}, което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.
Трисекция на ъгъл
Задачата изисква произволен ъгъл с големина α да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина cosα да се построи отсечка с дължина cos(α / 3). Това изисква решаването на уравнението 4(cos(α / 3))3 − 3cos(α / 3) − cosα = 0, което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.

[редактиране] Източници

  1. 1,0 1,1 "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  2. "Математика за 7 клас", Здравка Паскалева, Георги Паскалев, ИК Летера

[редактиране] Външни препратки