Триъгълник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Триъгълник.

Триъгълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла.

Съдържание

[редактиране] Видове триъгълници

Според страните си, триъгълникът може да бъде:

  • Равностранен триъгълник - когато дължинатите на трите страни са равни. В равностранните триъгълници ъглите също са равни (всеки от тях е 60°).
  • Равнобедрен триъгълник - когато две от страните са равни. Двете равни страни се наричат бедра, а третата основа. Този триъгълник има 2 равни ъгли при основата.
  • Разностранен триъгълник - когато всяка от страните е с различна дължина. Този триъгълник има три различни ъгъла.
Равностранен триъглъник Равнобедрен триъгълник Разностранен триъгълник
Равностранен Равнобедрен Разностранен

Триъгълникът може да бъде класифициран и според големината на най-големия му вътрешен ъгъл:

  • Правоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат катети.
  • Тъпоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл по-голям от 90°
  • Остроъгълен триъгълник е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90°
Правоъгълен триъгълник Тъпоъгълен триъгълник Остроъгълен триъгълник
Правоъгълен Тъпоъгълен Остроъгълен

[редактиране] Основни понятия

Основните понятия, свързани с триъгълниците са представени от Евклид в книги 1-4 от "Елементите" през около 300г. пр.Хр.

  • Подобие- Два триъгълника са подобни тогава и само тогава, когато ъглите на единия са равни на съответстващите ъгли на другия. В този случай, дължините на тяхните съответстващи страни са пропорционални. Има три признака за подобност:
  1. Ако три от ъглите на два триъгълника са еднакви, то триъгълниците са подобни. 1
  2. Ако съотношението на три съответстващи страни в два триъгълника е еднакво, то триъгълниците са подобни.
  3. Ако съотношението на две съответстващи страни в два триъгълника е еднакво и ъглите между тях са еднакви, то триъгълниците са подобни.

1 Доказано е, че ако само два от ъглите са еднакви, то и третия е еднакъв.

  • Синус, косинус - Като се използва правоъгълен триъгълник могат да се дефинират основните тригонометрични функции- синус и косинус. Синус в правоъгълния триъгълник е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, а косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Триъгълник с обозначени върхове, страни и ъгли
Триъгълник с обозначени върхове, страни и ъгли
  • В Евклидовата геометрия сумата на трите ъгъла на един триъгълник е равна на 180°. Това правило позволява третият ъгъл да бъде намерен, ако се знаят другите два.
Илюстрация на Питагоровата теорема
Илюстрация на Питагоровата теорема
  • Питагоровата теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата.
c^2 = a^2\,+\,b^2

Това означава, че ако е известна дължината на всеки две от страните, може да се намери дължината на третата страна. Това може да се види на илюстрацията (известна още и като "Гащите на Питагор"). Площта на големия квадрат е равна на сбора от площите на двата малки квадрата.

Изразена чрез косинус, Питагоровата теорема изглежда така:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните, или две от тях и ъгълът, сключен помежду им.

Синусовата теорема гласи:

\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d

където d е диаметърът на описаната окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.

[редактиране] Точки, прави и описани окръжности

  • Описана около триъгълник окръжност, се нарича тази окръжност, която преминава и през трите му върха.
Център на описаната окръжност
Център на описаната окръжност
Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаната около тях окръжност
Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаната около тях окръжност
  • Перпендикулярна бисектриса (симетрала) в триъгълник е правата линия, която минава препрендикулярно през средата на някоя от страните. Трите перпендикуляри бисектриси се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.
  • Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл е прав. Също така, ако центърът се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако е центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.
Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър
Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър
  • Височина в триъгълника е перпендикулярът, спуснат от всеки връх към срещуположната страна. Тази срещуположна страна се нарича основа към височината. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случаи, ортоцентърът се намира извън триъгълника.
Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност
Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност
  • Ъглополовящите в един тръгълник са тези прави, който минават през всеки от ъглъте, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглоповящи е център на вписаната в един триъгълник окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни до нея. Има и три други окръжности - това са външно вписаните окръжности, които лежат външно за триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно описаните окръжности формират ортоцентричната система.


Медицентърът е центъра на тежестта
Медицентърът е центъра на тежестта
  • Медианата в триъгълника е правата, която минава през върха и средата на срешулежащата му страна. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър. Това е също и центъра на тежестта. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от медицентъра по средата на отсрещната страна.
Девет-точкова окръжност
Девет-точкова окръжност
  • Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност - окръжността на деветте точки. Останалите три точки са средни точки за тези отсечки от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от този на описаната около триъгълника окръжност.


Права на Ойлер
Права на Ойлер
  • Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центъра на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една линия, позната като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равен на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази линия.
  • Симедиана - ако една права е симетрична спрямо ъглополовящата на един ъгъл относно ъглополовящата, тя се нарича симедиана. Трите симедиани се пресичат в точка на Лемуан.
  • Средна отсечка е отсечка, съединяваща средите на две от страните. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.


[редактиране] Лице на триъгълник

Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:

  • С метода на геометрията

Лицето S на триъгълника е S = ½bh, където b е дължината на която и да е неговата страна, а h (височината) е препендикуляра, спуснат от върха към основата.

Лице на триъгълник

За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта наg 180°, и се долепя по първия, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепя от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е bh, то лицето на триъгълника е  ½bh.

  • С вектори
Лице на триъгълник с вектори
Лице на триъгълник с вектори

Лицето на успоредника може да бъде изчислено с вектори. Ако AB и AC са насочените вектори от A към B и от A към C, съответно лицето на успоредника АBDC е |AB × AC|, е векторното прозиведение на AB и AC. |AB × AC| е също равно на |h × AC|, където h представлява височината h изразена като вектор.

Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава S = ½|AB × AC|.

  • Използвайки тригонометрични функции


Лице на триъгълник-тригонометрия

Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е h = a sin γ. Замествайки h във формулата S = ½bh the лицето на триъгълника може да бъде изразено като S = ½ab sin γ. Лицето на успоредника е ab sin γ.

  • Използвайки координатна система

Ако върхът A е с координати началото на координатната система (0, 0), а координатите на другите два върха са B = (x1y1) и C = (x2y2), тоагва лицето S може да бъде изчислено като 1/2 пъти абсолютната стойност на детерминантата.

\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}

или S = ½ |x1y2 − x2y1|.

Друг начин да се намери лицето на един триъгълник е Хероновата формула:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

където p = ½ (a + b + c) е полупериметъра на триъгълника.

[редактиране] Триъгълници в неевклидови геометрии

Ако триъгълника не лежи изцяло в една равнина, то той се подчинява на формулите в т.нар. неевклидови геометрии, а не на посочените по-горе. Пример за такъв триъгълник са точки от земната повърхност с 0° ш. и 0° д., 0° ш. и 90° и.д. и Северния полюс, които са вместо равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сбора им не е 180.


[редактиране] Аналози