Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Табела за ремонт

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Всяка безкрайна и ограничена редица r: \N\to\R притежава сходяща подредица.

Доказателство: Нека  r: \N\to\R и  \forall n\in\N \;\;
a \le r_n \le b Ако r има точка на сгъстяване l, то очевидно l\in\left[ a;b \right].

Да допуснем, че r няма точка на сгъстяване. Тогава \forall x \in \left[ a;b \right] \exists околност Ux на x, такава че Ux съдържа само краен брой членове на r.

Тогава обединението \Omega = \cup U_x е покритие на интервала \left[ a;b \right]. От теоремата на Хайне-Борел следва, че Ω има крайно подпокритие \Omega ^ \prime състоящо се от краен брои интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на r. Но r има безброй много членове в интервала \left[ a;b \right], което е противоречие и следователно r има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.