Алтернативни дефиниции на топологично пространство
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Топологично пространство се задава според по-горе формулираната дефиниция, като се задават неговите отворени подмножества. Съществуват обаче и много други алтернативни начини за задаване на топологично пространство. Тогава първоначално се определят затворените подмножества, функциите затворена обвивка, вътрешност, контур или филтрите от околности, а понятието отворено множество бива дефинирано в последствие чрез тях.
Съдържание |
[редактиране] Дефиниране чрез посочване на затворените множества
Фамилия от подмножества на множеството
се нарича (затворена) топология или фамилия на неговите затворени подмножества, ако изпълнява следните свойства:
- самото множество
и празното множество принадлежат на
,
- сеченията на елементи на
са елементи на
,
- обединенията на краен брой елементи на
са също елементи на
.
Наредената двойка се нарича тополoгично пространство, а елементите на
- затворени множества.
Фамилията на отворените подмножества на
се дефинира както следва:
[редактиране] Дефиниране чрез задаване на затворените обвивки
Нека за всяко на множеството е определено множеството
, наречено затворена обвивка на
и изпълняващо следните условия:
Множеството заедно с функцията затворена обвивка се нарича тополoгично пространство.
Фамилията на затворените подмножества на
се дефинира както следва:
,
а фамилията на отворените подмножества на
:
[редактиране] Дефиниране чрез задаване на вътрешност
Нека за всяко множеството е определено множеството
, наречено вътрешност на
и изпълняващо следните условия:
Множеството заедно с функцията вътрешност се нарича тополoгично пространство.
се нарича околност на
ако
.
Oтворени са множествата, които са околности на всяка своя точка.
[редактиране] Дефиниране чрез задаване на филтри от околности
Нека за всяка точка е зададена фамилия от подмножества
наречена филтър от околности на
със свойствата:
заедно с филтирите от околности задават топологичното пространство:
Отворени в това топологично пространство са по дефиниция онези множества
, за които: