Триъгълник на Паскал
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Триъгълника на Паскал съдържа биномните коефициенти. Носи името на Блез Паскал, който го открива през ХVІІ. век. Намерен е и в китайски писмени източници от ХІ. век.
Всяко число от вътрешността на триъгълника е сума от двете числа, непосредствено разположени над него.
Всеки елемент в триъгълника е равен на (комбинация от k елемента между n), където n е реда, а k е поредния елемент от реда. Математически, построяването на триъгълника на Паскал се записва по следния начин:
- това равенство се нарича Правило на Паскал.
Тази формула лесно се обобщава за пирамида, в триизмерното пространство, както и за други n-мерни обобщения на триъгълника.
[редактиране] Комбинаторика
Триъгълникът на Паскал се явява като правило за бързо смятане на комбинации, откъдето идва и неговата важност в комбинаториката и теорията на вероятностите.
[редактиране] Нютонов бином
Едно от най-важните приложения на Триъгълника на Паскал е в използването на Нютоновия бином. Тази теорема ни дава развитието на (a+b)n:
- или
- (x + y)n = a0xn + a1xn−1y + a2xn−2y2 + … + an−1xyn−1 + anyn, като a1, a2, a3, ... , an е поредният номер на елемента от реда n.
Например, ако искаме да развием :(x + y)2, трябва да разгледаме втория ред от триъгълника на Паскал (всъщност третия, защото първият отговаря на n=0). Коефициентите пред него са 1, 2 и 1. Откъдето и познатата ни формула:
- (x + y)2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2 = x2 + 2xy + y2.
Биномната теорема е обща теорема, а използването на Триъгълника на Паскал идва в улеснение при прилагането на тази теорема.
Чрези биномната теорема можем да сметнем сбора на елементите от даден ред в Триъгълника на Паскал:
Тоест, сборът от всички елементи от даден ред прави 2n. Така, сборът на елементите от 2-рия ред е 4, а на тези от десетия - 1024.
[редактиране] Коефициенти до десети ред
На долната фигура са показани елементите на триъгълника до n=10: