Матрица (математика)
от Уикипедия, свободната енциклопедия
- За филма, вижте Матрицата.
Матрицата представлява таблица от елементи, най-често числа (числова матрица). Тя се нарича матрица от тип m x n, когато има m реда и n стълба.
Матриците се отбелязват с главни латински букви, като типът им може да се запише като долен индекс — A4x3. Елементите на матрицата се записват с малки букви — aij, като първият индекс показва номера на реда, а вторият — номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата.
Две матрици са равни, когато са от един и същи тип и съответните им елементи са равни.
Матрицата е квадратна (от ред n), когато има равен брой редове и стълбове (n на брой).
В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (aii, i=1.. n) образуват главния й диагонал:
Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (aij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:
[редактиране] Видове матрици
- триъгълна матрица — квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:
- диагонална матрица — квадратна матрица, чиито елементи неучастващи в главния диагонал са нули:
- скаларна матрица — диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:
- единична матрица — скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:
[редактиране] Основни операции с матрици
- Транспониране
- Това е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с AT и се получава, като в матрицата A се разменят редовете и стълбовете, т.е. аTij = аji. Пример:
- Събиране
- Събират се матрици от един и същи тип. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:
- Умножение на матрица с число
- Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:
- Умножение на матрици
- Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, а това е изпълнено, когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението Cm x p на Am x n и Bn x p се дефинира с равенството:
- т.е. всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:
[редактиране] Детерминанта
Детерминантите на квадратни матрици от 1 на 1 до 3 на 3 са:
В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).
.