Tablica izvoda

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Oblasti u kalkulusu

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

Primarna operacija u diferencijalnom kalkulusu je računanje derivacije. Ova tabela sadrži derivacije nekih osnovnih funkcija. U sljedećem tekstu, f i g su diferencijabilne funkciju u skupu realnih brojeva, a c je realan broj. Ove formule su dovoljne za izračunavanje derivacija bilo koje elementarne funkcije.

Sadržaj

[uredi] Opća pravila diferenciranja

Linearnost
\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
\left({f - g}\right)' = f' - g'
Pravilo derivacije proizvoda
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
Pravilo derivacije količnika
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
Pravilo derivacije funkcije sa potencijom
(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f>0
Pravilo derivacije složene funkcije
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
Pravilo derivacije logaritma
f' = (\ln f)'f, \qquad f>0

[uredi] Derivacije jednostavnih funkcija

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} cx = c
{d \over dx} |x| = {|x| \over x} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{gdje su i } x^c \mbox{ i } cx^{c-1} \mbox { definisane}
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

[uredi] Derivacije eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0
{d \over dx} e^x = e^x
{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1
{d \over dx} \ln x = {1 \over x},\qquad x > 0
{d \over dx} \ln |x| = {1 \over x}
{d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)

[uredi] Derivacija trigonometrijskih funkcije

{d \over dx} \sin x = \cos x
{d \over dx} \cos x = -\sin x
{d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}
{d \over dx} \sec x = \tan x \sec x
{d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x}
{d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x
{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

[uredi] Derivacije hiperboličkij funkcija

{d \over dx} \sinh x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
{d \over dx} \cosh x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
{d \over dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arccsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}