Sabiranje i množenje racionalnih brojava
Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Za sabiranje dva racionalna broja vrijedi definicija (a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd); a za množenje (a,b) (c,d)) = (ac, bd)
- Teorema 1
(Q, +) je komutativna grupa*
- komutacija
(a,b) + (c,d ) = (ad +bc, bd) = (cb +da, db) = (c,d) + (a ,b)
- asocijacija
[ (a,b) + (c,d) ] + (e ,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]
- neutralni element
(a,b) + (0,1) =(a,b)
- inverzni element
(a,b) + (-a,b) = ( 0,b) < => (0,1)
(Q, x) je komutativna polugrupa
- komutacija
(a,b) (c,d) = (ac,bd) = (c,d) (a,b)
- asocijacija
[ (a,b) (c,d) ] (e ,f) = (a,b) [(c,d) (e,f)]
- neutralni element
(a,b) (1,1) =(a,b)
- Teorema 2
Svaki racionalni broj različit od 0 ima multiplukativni invers
(a, b) (b,a) = (1 ,1 )
- Korolar
U skupu Q vrijedi zakon kancelacije
Ako jednakost
(a, b) )m,n) = (c, d) (m,n) pmnožimo sa (n,m) dobijamo ( a,b) = ( c,d)
Za (Q, ,x) vrijedi zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje
[ (a,b) + (c,d) ] (e ,f) = (a,b) ((e,f) + (c,d) (e,f)
- Definicija 1
Područje cjelosti ( F, +, x) u kojem svaki element razlišit od 0 ima multiplikativni invers zovemo polje.
Multiplikativni element (a,b) označavamo sa ( a/b) na (-1) : ) 0,1) je jedini element iz Q nema unvers