تحويل لابلاس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

فهرست

[تحرير] مقدمة

إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator تحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي أي real number إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة أي complex number.
f(t)^{\rightarrow^{L}}_{\leftarrow_{l}}F(s)
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

L\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس رمزت له هنا ب l و هو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

l\left\{F(s)\right\}=\frac{1}{2\Pi j}\int^{c+j\infty}_{c-j\infty}F(s)e^{st}ds

[تحرير] بعض الدالات و مقابلها في تحويل لابلاس

صورة:Laplacetraf1.JPG

f(x)= {{1 \over {2 \pi j} }\int_{c+j\infty}^{c-j\infty} F(s) e^{st} ds} F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt
δ(t) 1
h(t) 1\over s
tn,n = 1,2,3 n! \over s^{n+1}
tne at n! \over {(s+a)^{n+1}}
cosw0t s \over {s^2 + w_0^2}
sinw0t w_0 \over {s^2 + w_0^2}
e atcosw0t s+a \over {(s+a)^2+w_0^2}
e atsinw0t w_0 \over {(s+a)^2+w_0^2}
tcosw0t s^2 - w_0^2 \over {(s^2+w_0^2)^2}
tsinw0t 2w_0s \over {(s^2+w_0^2)^2}

[تحرير] أهمية و فوائد تحويل لابلاس

[تحرير] تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

2\ddot{x(t)}+3\dot{x(t)}+4x(t) = f(t)

مع إعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الإعتبار:

\dot{x(0)}=a و x(0) = b

إعطاء الحل مبارشة لهذه المعادلة ( التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:

2(s^{2}X(s)-sx(0)-\dot{x(0)})+3(sX(s)-x(0))+4X(s) = F(S)

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول

صورة:Laplaceformula.JPG

و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة و هي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.