ميكانيك هاملتوني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

الميكانيك الهاميلتوني Hamiltonian mechanics هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي تم إيجاده من قبل ويليام روان هاميلتون عام 1833. نشأ ميكانيك هاميلتون من ميكانيك لاغرانج , و هوصياغة أخرى للميكانيك الكلاسيكي أوجده جوزيف لويس لاغرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788. لكن بجميع الحوال يمكن استقاق ميكانيك هاملتون دون الرجوع لميكانيك لاغرانج باستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.

[تحرير] إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج

اعتمادا على ميكانيك لاغرانج , تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة

\left\{\,   q_j     | j=1,...,N \,\right\}.

و التي تطابق السرعات :

\left\{\, \dot{q}_j | j=1,...,N \,\right\}.

يمكن لنا كتابة اللاغرانجي

L(q_j, \dot{q}_j, t),

يهدف ميكانيك الهاميلتوني الى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بعزم المزدوجة :

من اجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المزدوج الذي يكتب كما يلي :

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}.

في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة احداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي , في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .


الهاميلتوني هو عبارة [[]]:

H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t).

إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t , فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.


كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :

\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad  \\  \\   &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt. \end{matrix}

باستبدال التعريف السابق للعزم الإزدواجي ضمن المعادلة و مطابقة معاملات المعدلة , نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني


{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t  } = - {\partial L \over \partial t}.

معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى , لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود الى معادلات الحركة اكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة و ميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني , ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة الى عزم ازدواجي , لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم الإزدواجي.