Nilpotent matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I matematikken og i særdeleshed i lineær algebra er en nilpotent matrix en n×n kvadratisk matrix M, hvor

Mq = 0

for et naturligt tal q, hvor 0 betegner nulmatricen. På samme måde er en nilpotent transformation en lineær transformation L med Lq = 0 for et naturligt tal q.

Der er specielle tilfælde af et mere generelt nilpotensbegreb, der ikke kun gælder for matricer og lineære transformationer men for alle elementer i ringe.

[redigér] Eksempler

Betragt matricen

\begin{bmatrix}    0 & 1 & 0 & 0\\   0 & 0 & 1 & 0\\   0 & 0 & 0 & 1\\   0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}.

Den er et eksempel på en 4×4 nilpotent matrix. Bemærk ikke-nul-indgangene i superdiagonalen. Den karakteristiske egenskab ved denne matrix fremstår af potensopløftningen, idet

N^2 =   \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 1 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 1\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                   \end{bmatrix}   ;\  N^3 =   \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 0 & 1\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                 \end{bmatrix}  ;\  N^4 =  \begin{bmatrix}                      0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0\\                     0 & 0 & 0 & 0                 \end{bmatrix}.

Superdiagonalen 'rykker en tak op', indtil man til sidst opnår nulmatricen.

Den tilhørende nilpotente transformation L : R4R4 er defineret ved:

L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0). \,

[redigér] Egenskaber

Lad M være en n×n nilpotent matrix.

  • Det mindste heltal q, der opfylder, at Mq = 0 er mindre end eller lig med n.
  • Egenværdierne af M er alle nul. Faktisk gælder, at en matrix er nilpotent, hvis og kun hvis dens egenværdier er nul.
  • Det karakteristiske polynomium af M er λn.
  • Determinanten og sporet af M er begge nul.
  • Enhver streng øvre trekantsmatrix og streng nedre trekantsmatrix er nilpotent.

[redigér] Klassifikationssætning

Ovenstående eksempel er typisk, som det følgende resultat viser. Enhver nilpotent er kongruent til en blokdiagonalmatrix

\begin{bmatrix}     N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\     0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\    0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\    0 & 0 & 0 & \ldots & N_k  \end{bmatrix},

hvor blokkene Ni har ettaller på superdiagonalen og nultaller alle andre steder:

N_i = \begin{bmatrix}     0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\    0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{bmatrix}.