Forhold mellem ortogonale linjer

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I analytisk plangeometri findes der en sætning der beskriver forholdet mellem ortogonale (vinkelrette) linjer.

[redigér] Sætningen

Hvis vi kalder de to linier m1 og m2 siger sætningen om disse:


m_1 \perp m_2 \frac{}{}

\Updownarrow

\alpha_1 \cdot \alpha_2 = -1 \frac{}{}


Dette skal bevises.

[redigér] Beviset

Vi betragter tegningen. Kan vi se at;


m_1 \perp m_2 \frac{}{}


Vi benytter og af Pythagoras' læresætning. Og ovenstående må således medføre følgende, da vi må kunne danne en retvinklet trekant (ABC).


|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \frac{}{}


Vi ser på tegningen. Længden | BD | kan vi se er hældningskoefficienten af ligningen m1. Dette må være sandt, da vi går længden én ud af abscisseaksen (x-aksen) må vi gå α1 opaf ordinataksen (y-aksen). Dette gælder også for α2, med den undtagelse at denne er negativ i sig selv. Derfor skriver vi det negative fortegn, således at længden |DC| bliver positiv (da negative længder ingen mening giver). F.eks. − ( − 3) = 3.

Længderne |AB| og |AC| er hypotenuser i de to mindre retvinklet trekanter der er indtegnet. Så Pythagoras benyttes også til at beskrive disse. (Meget uformelt sagt, benytter vi nu Pythagoras inden i Pythagoras) Overstående udtryk medfører derfor:


\left(     1^2+\alpha_1 ^2     \right)  +   \left(   1^2+\alpha_2 ^2    \right)  =  \left(     \alpha_1 +  ( -\alpha_2) \right)^2


Dette udtryk reduceres nu bare med elementært algebra:


1^2+\alpha_1^2+1^2+\alpha_2^2=\alpha_1^2 + \alpha_2^2 - 2 \cdot \alpha_1 \cdot \alpha_2

\Updownarrow

2=-2 \cdot \alpha_1 \cdot \alpha_2 \frac{}{}

\Updownarrow

\frac{2}{-2}=\alpha_1 \cdot \alpha_2

\Updownarrow

-1=\alpha_1 \cdot  \alpha_2


Vi ser således at førse linje, m_1 \perp m_2, medfører den sidste linje, \alpha_1 \cdot \alpha_2 = -1.

Sætningen er dermed bevist.

Q.E.D. \frac{}{}