Naturlig logaritme

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Definitionen på den naturlige logaritme af a, givet ved arealet under 1/x, fra 1 til a
Forstør
Definitionen på den naturlige logaritme af a, givet ved arealet under 1/x, fra 1 til a

Den naturlige logaritme er en logaritme indenfor matematikken, som benytter sig af grundtallet e\approx 2.718281828, hvilket betyder at ln(e) = 1, hvor ln betegner den naturlige logaritme.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes logn(x), hvor n repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen ln(x) for den naturlige logaritme. Visse steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, log(x) til at betegne den naturlige logaritme.

[redigér] Definitioner

For funktionen y = ln(x) gælder følgende:

Definitionsmængden for funktionen er defineret i intervallet \mbox{Dm}(\ln)=]0;\infty[ samt følgende værdimængde \mbox{Vm}(\ln)=]-\infty;\infty[

Differentialkvotienten af ln(x) er givet ved følgende: {d\over dx} \left( \ln(x) \right) = {1\over x}

Dermed kan det som følge af ovenstående vises at: \ln(a) = \int_{1}^{a} {1 \over x} \textrm{d}x

Det ubestemte integral af ln(x) er givet ved \int{\left(\ln(x)\right) \textrm{d}x} = x\left(\ln  \left( x \right) -1\right) + c

[redigér] Regneregler

For den naturlige logaritme gælder de samme logaritmeregler, som for alle andre typer af logaritmer:

\ln{\left(ab\right)} = \ln{(a)} + \ln{(b)}

\ln \left({a \over b} \right) = \ln \left( a) - \ln(b \right)

\ln \left({a \over b} \right) = -\ln \left({b \over a} \right)

\ln{\left(a^x\right)} = x \cdot \ln{(a)}

e^{\ln{\left(a\right)}}  = a