Harmonisk oscillator

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I fysik betegner harmonisk oscillator en bestemt type svingende systemer. Eksempler på systemer der ofte betragtes som harmoniske oscillatorer er det svingende pendul, eller det hoppende lod ophængt i en fjeder. Lignende eksempler dukker op overalt i fysikken, hvor begrebet spiller en meget vigtig rolle.

Harmonisk svingning

En harmonisk oscillator er karakteriseret ved have en ligevægt med en kraft der bremser udsving. Det afgørende er at kraften er proportional med afvigelsen fra ligevægt. Et pendul er f.eks. i ligevægt når pendulet hænger lodret ned, og tyngdekraften bremser udsving ved at trække pendulet mod lodret med en kraft der (for små udsving) er proportional med afvigelsen fra lodret.

Løsningen af dette matematiske problem (se nedenfor) viser at oscillatoren vil udføre svingninger med en periode der kun afhænger af systemets opbygning og ikke af udsvingenes størrelse. (Amplituden)


[redigér] Den harmoniske oscillator som en tilnærmelse

Der findes ingen perfekte harmoniske oscillatorer, og enhver brug af begrebet vil derfor altid være en tilnærmelse.

For det første svinger ingen oscillatorer evigt som teorien beskriver. De dæmpes i stedet idet oscillatoren mister energi der bliver til varme. Et pendul vil f.eks. efterhånden falde til ro pga. gnidning i ophænget.

For det andet gælder det kun for tilstrækkeligt små udsving at kraften mod ligevægt har en styrke proportional med udsvinget. Når man f.eks. trækker i en fjeder, skal man i starten fordoble trækstyrken for at fordoble ændringen i fjederens længde. Hvis man bliver ved med at forøge styrken knækker fjederen, og man kan gøre den vilkårligt "lang" uden at trække hårdere.

[redigér] Matematisk teori bag den harmoniske oscillator

Hvis vi f.eks. betragter et lod ophængt i en fjeder kan vi skrive: F = - kx, hvor F er kraften på loddet, k er en konstant der afhænger af fjederen og x er loddets afstand fra ligevægtspositionen. Newtons 2. lov siger F = ma hvor a er accelerationen, a = \frac{d^2 x}{dt^2}. Idet vi indfører \omega = \frac{k}{m} får vi

\frac{d^2 x}{dt^2} = - \omega{}^2 x

Dette er en 2. ordens differential-ligning, og hvis loddet til tiden t = 0 er i positionen x0 med hastigheden 0, har denne løsningen:

x(t) = x0cos(ωt)

Vi ser at systemet udfører svingninger med uændret amplitude x0. Systemet vender tilbage til udgangspunktet efter en periode T hvor ωT = 2π og vi får altså en frekvens f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}. Vi kalder ω = 2πf for vinkelfrekvensen.