Andengradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)
Forstør
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

En andengradsligning er en matematisk ligning, hvori der indgår én variabel som er opløftet til anden potens. Andengradsligningens normalform er

ax2 + bx + c = 0

hvor a, b og c er vilkårlige tal (dog må a \ne 0 thi ellers er det ikke en andengradsligning, for så er det en linæer funktion med forskriften bx + c).

For andengradsligningen kan vi indføre størrelsen D, som kaldes diskriminanten og er defineret således:

D = b2 − 4ac

Ligningen vil så have løsninger givet ved følgende formel:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}


Løsningerne angiver nulpunkterne for polynomiet ax2 + bx + c og kaldes derfor polynomiets rødder.

Af løsningsformlen ses det, at der kan forekomme 3 forskellige tilfælde for løsningernes art:

  • D > 0: 2 løsninger, begge tilhørende de reelle tal.
  • D = 0: 1 løsning tilhørende de reelle tal; denne løsning kaldes en dobbeltrod, da den er et specialtilfælde af ovenstående.
  • D < 0: Ingen reelle løsninger; 2 løsninger i de komplekse tal.

At der ikke er nogen løsninger, betyder dog ikke at der ikke findes et grafisk udtryk for dette tilfælde, men blot at grafen ikke skærer x-aksen, ligesom en andengradsligning med to løsninger skærer aksen i to punkter og den med én løsning tangerer den i sit toppunkt.

Man kan altså allerede ved at kaste et blik på ligningen sige noget om det grafiske udtryk. Ligesom diskriminaten angiver antallet af skæringspunkter med x-aksen, således angiver størrelsen på a grafens 'stejlhed' (jo mindre jo stejlere) og a's fortegn fortæller om grafens grene vender op- eller nedad. En parabel med negativt fortegn foran både a og diskriminanten har derfor ingen løsningsmængde for y = 0, idet den ligger under x-aksen med nedadvendte grene.

Man kan også ud fra ligningen se toppunktet i forhold til y-aksen:

  • Har a og b samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen
  • Har a og b forskellige fortegn ligger toppunkt til højre for y-aksen
  • Er b = 0 ligger toppunktet på y-aksen

Ud fra ligningen kan man også se skæringen på y-aksen, hvilket er det samme som c

Indholdsfortegnelse

[redigér] Toppunkt i en andengradligning

For at finde koordinaterne for toppunktet i andengradligning skal man først finde x. Dette gøres ved at tage middeltallet/gennesnittet for de to nulpunkter

x = \frac{\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}}{2} = \underline{\frac{-b}{2a}}

Derefter finder vi y ved at sætte x-værdien som vi har fundet ind på x plads i standartforskriften.

y = a \left({{\frac{-b}{2a}}}\right)^2 + b{\left(\frac{-b}{2a}\right)} + c = -\frac{b^2}{4a}+c = \underline{\frac{-D}{4a}}

Man kan ret let overbevise sig om sidste omskrivning ved simpel algebra. Man skal blot huske definitionen på diskriminanten. Vi kan samle de to udtryk til et koordinatsæt for parablens toppunkt:

T_p = \left( \frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right)

[redigér] Udledning af løsningsformlen

En måde at udlede løsningsformlen på er som følger:

Vi starter med en andengradsligning på standardform: ax2 + bx + c = 0. Vi ønsker at skrive udtrykket på en form, der muliggør isolering af x. Vi vil anvende kvadratsætningen:

(p + q)2 = p2 + 2pq + q2.

Start med at gange ligningen med 4a og få

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

læg b2 − 4ac til på begge sider af lighedstegnet:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac

Nu bruges Kvadratsætningen på venstre side:

(2ax + b)2 = b2 − 4ac

Nu kan vi isolere x:

2ax+b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

[redigér] Se også

[redigér] Litteratur/Eksterne adresser

  • Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); ISBN 875675511-2.