Metrik (relativitetsteori)

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

For alternative betydninger, se Metrik.

En metrik er i generel relativitetsteori et længdemål på en mangfoldighed.

Enhver symmetrisk co-variant tensor af dimension 2, fx gab(x) definerer en metrik. En mangfoldighed udstyret med en metrik kaldes for en Riemann-mangfoldighed. En metrik kan bruges til at definere afstand og længden af vektorer. Den infinitesimale afstand (interval som det kaldes i relativitetsteori) som vi kalder ds, mellem to nabopunkter xa og xa + dxa er defineret som:

ds2 = gabdxadxb

Bemærk at dette giver kvadratet på den infinitesimale afstand, (ds)², hvilket normalt skrives ds². Ovenstående udtryk kaldes også for linjeelementet, og gab kaldes også for den metriske form eller første fundamental form. Kvadratet på længden, eller normen, af en kontra-variant vektor X^a er defineret som

X2 = gabXaXb

En metrik siges at være enten positiv eller negativ hvis der for alle vektorer, X, gælder hhv. enten at X² > 0 eller X² < 0. Hvis der både findes vektorer med positiv norm og vektorer med negativ norm, kaldes metrikken for ubestemt.

Vinklen mellem to vektorer Xa og Ya, med X^2 \neq 0 og Y^2 \neq 0 er givet ved:

\cos(X,Y) = \frac{g_{ab}X^aY^a}{(g_{cd}X^cX^d)^{1/2}(g_{ef}Y^eY^f)^{1/2}}

Specielt siges to vektorer at være ortogonale hvis gabXaYb = 0.

Hvis metrikken er ubestemt (som tilfældet er i relativitetsteori), så eksisterer der vektorer der er ortogonale på sig selv, altså vektorer for hvilke det gælder at gabXaXb = 0, sådanne vektorer kaldes nul-vektorer.

Determinanten af metrikken skrives som g = det(gab).

Metriken er ikke-singulær hvis g\neq 0, hvis dette er tilfældet, så er den inverse til gab, gab, givet ved

g_{ab}g^{ab}=\delta ^c_a

Det følger fra definitionen at gab er en kontra-variant vektor af dimension 2 og den kaldes for den kontra-variante metrik. Vi kan nu bruge gab og gab til at hæve og sænke indicies ved at definere,

T_{\ldots a \ldots}^{\ldots{ }\ldots} = g_{ab}T_{\ldots{ }\ldots}^{\ldots b \ldots}

og

T_{\ldots{ }\ldots}^{\ldots a\ldots} = g^{ab}T_{\ldots b\ldots}^{\ldots{ }\ldots}

Vi betragter fremover g, gab og gab som repræsentanter for det samme geometriske objekt, metriken g. Siden vi nu frit kan hæve og sænke indicies med metrikken, er det vigtigt at være forsigtig med hvile vektorer der er co-variante og hvilke der er kontra-variante. For eksempel vil X^{a}_b generelt være forskellig fra X_{a}^b

[redigér] Se også

Andre sprog