Kvadratsætningen
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Kvadratsætningen siger hvordan kvadratet af to adderede tal udregnes, eller reduceres.
Ligningen er:
Det er en regel man stifter bekendtskab med i gymnasiet. Generelt bruges den flittigt inden for det meste matematik. Et eksempel er udledningen af løsningen til andengradsligningen.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Varianter
Der er flere varianter af kvadratsætningen. F.eks. kan nævnes:
(Substraktion af b fra a)
[redigér] Udledning
Ligningen udledes forholdsvis nemt. Det kan gøres for et vilkårligt legeme, men mange gange er det de reelle tal man arbejder med.
(definition af heltallig potens,
)
(højre del betragtes som et selstændigt tal, og der ganges ind i parentesen – distributive love)
(ganger ind i parenteserne igen)
(flytter rundt – kommutative love – og samler sammen)
Bemærk at der er sat lighedstegn hele vejen ned igennem udledningen, og at de alle er gyldige, hvorfor man kan tage det første og sidste led ud. Det er sådan man skriver ligningen op:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
[redigér] Brug i reduktion
Da det er en ligning kan den bruges begge veje. Hvis man har noget på formen (a + b)2 og ønsker noget på formen a2 + 2ab + b2, så kan man gøre det – men også omvendt.
Her er et eksempel, hvor et udtryk sættes på fælles brøkstreg:
Her er et interessant eksempel, hvor en af varianterne af kvadratsætningen er brugt:
Som man kan se hjælper det meget i reduktion at kunne sine kvadratsætninger udenad, så man kan benytte dem når der er brug for det.
[redigér] Cirklens centrum og radius
Givet en cirkelligning kan man bruge kvadratsætningen til at finde dens centrum og radius. Et eksempel:
x2 − 4x + y2 − 2y − 4 = 0
Man ser først på x-leddene: Hvad skal der til for at de opfylder kvadratsætningens højre del? Svaret fås ved at se på leddet 4x. Da det led må have opstået fra noget på formen 2ab (fra kvadratsætningen), så må a være x og b være 2. Vi kan nu reducere x-leddene:
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 — Tilbage har vi cirkelligningen (x − 2)2 + y2 − 2y − 8 = 0.
Man gør nu præcis det samme for y-leddene. Se på leddet 2y. For at det opfylder kvadratsætningen, så må a være y og b være 1. Dvs. vi kan skrive:
y2 − 2y + 1 = (y − 1)2 — Tilbage har vi cirkelligningen (x − 2)2 + (y − 1)2 − 9 = 0 der omskrives til (x − 2)2 + (y − 1)2 = 32.
Man kan ud fra den sidste ligning aflæse at cirklens centrum er (2, 1) og den radius er 3.
[redigér] Kvadratet på et komplekst tal
Når mange stifter bekendtskab med komplekse tal synes de at de er forvirrende og svære at arbejde med, men det behøver slet ikke være så svært. Når man ved at , så kan man bruge kvadratsætningen til at finde kvadratet på et komplekst tal
:
(resultatet er splittet op i en real- og imaginærdel)
[redigér] Generalisering
Kvadratsætningen kan generaliseres til andre potenser. Her er et par stykker:
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (koefficienter 1, 2, 1)
- (a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3ba2 + b3 (koefficienter 1, 3, 3, 1)
- (a + b)4 = a4 + 4ba3 + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (koefficienter 1, 4, 6, 4, 1)
Det interessante er her at koefficienterne følger mønsteret fra Pascals trekant, hvilket gør det nemt at generalisere sætningen til en vilkårlig potens på en computer.
Man kan også generalisere sætningen på antallet af variable:
- (a + b + c)2 = a2 + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2
- (a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + 2ac + 2ad + b2 + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2