Cosinusrelation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Sider og vinkler i en retvinklet trekant

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning bruges:

{a^2} = {b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos A}
{b^2} = {a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos B}
{c^2} = {a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos C}

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter som den på billedet.

For at bruge formlen til noget nyttigt skal man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange vinkler hvis cosinus er lig med en given størrelse, men da vinkelsummen i en trekant altid er 180°, er det kun den såkaldt principale løsning (som altid ligger mellem 0 og 180°) der giver mening i trekantberegninger.

[redigér] Se også