Derivaĵo (ekzemploj)

El Vikipedio

Por fono plri la temo, vidu artikolon derivaĵo (matematiko).

Enhavo

[redaktu] Ekzemplo 1

Estu f(x) = 5:

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{5-5}{h} = 0

La derivaĵo de konstanta funkcio estas nulo.

[redaktu] Ekzemplo 2

Konsideru grafikaĵon de f(x) = 2x − 3. Per algebro kaj la karteziaj koordinatoj, eblas difini ke ĉi tiu linio havas inklinon 2 je ĉiu punkto. Uzante la pli supran rilatumon oni povas difini la inklinon je (4,5):

f'(4)\, = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

kaj vere la derivaĵo kaj inklino estas ekvivalento.

[redaktu] Ekzemplo 3

Tra diferencialado, oni povas trovi inklinon de kurbo. Estu f(x) = x2:

f'(x)\, = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x

Por ĉiu punkto x, la inklino de la funkcio f(x) = x2 estas f'(x) = 2x.

[redaktu] Ekzemplo 4

Estu f(x) = √x:

f'(x)\, = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}
= \frac{1}{2 \sqrt{x}}

[redaktu] Ekzemplo 5

La sama funkcio kiel en la antaŭa ekzemplo, sed nun oni serĉu derivaĵon de la derivaĵo.
Estu f(x) = √x:

f''(x)\, = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x+h}}-\frac{2 \sqrt{x+h}}{2 \sqrt{x}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}-\frac{x+h}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{-h}{\sqrt{x} \sqrt{x+h}}}{h(2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{x+h} (2 \sqrt{x+h}+2 \sqrt{x})}
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{2 \sqrt{x} (x+h) + 2 x \sqrt{x+h}}
= \frac{-1}{4 x \sqrt{x}}
Aliaj lingvoj