Determinanto

El Vikipedio

En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la krusta faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelajkompleksaj nombroj.

Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de AA * .

[redaktu] Ĝenerala difino kaj kalkulado

Estu A = (A_{i,j}) \, kvadrata matrico.

Se A estas 1-per-1 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1}. \,

Se A estas 2-per-2 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2}. \,

Por 3-per-3 matrico A, la formulo estas pli komplika:

\begin{matrix} \det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\ & & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}. \end{matrix}\,

Por ĝenerala n-per-n matrico, la determinanto estis difinita per leibniz-a formulo:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}.

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj σ de nombroj {1,2,...,n} kaj sgn(σ) estas signumo de la permuto σ: +1 se σ estas para permuto kaj −1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas n! (faktorialon) de termoj kaj pro tio uzin ĝi por kalkuli determinantojn por granda n maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

  • Se A estas triangula matrico, kio estas A_{i,j} = 0 \, ĉiam i > j, tiam \det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n}. \,
  • Se B rezultas de A per interŝanĝo du linioj aŭ kolumnoj, tiam \det(B) = -\det(A). \,
  • Se B rezultas de A per multipliko de unu linio aŭ kolumno kun la nombro c, tiam \det(B) = c\,\det(A). \,
  • Se B rezultas de A per adicio de unu linio kun iu koeficiento al la alia linio, aŭ de unu kolumno kun iu koeficiento al la alia kolumno, tiam \det(B) = \det(A). \,

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.


<!-- --> Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn.