Skup

Izvor: Wikipedija

Skup (množina) u matematici je osnovan pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva "svake vrste kolekcija razlikujemih predmeta" (Georg Cantor). Na pojmu skupa stoji današnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomima.

Skup možemo zadati njegovim elementima (članovima) konačnim ili beskonačnim:

S = {1,2,3,4,5,6},

T = {a1,a2,a3,a4,a5,a6,...}.

Često skup zadajemo i pomoću nekog pravila:

S=\lbrace n \in \mathbf N: n<7 \rbrace.

Pojam skupa objasnit ćemo aksiomatski odnosno pomoću definicija, aksioma i teorema

[uredi] Definicije

  1. Ako su A i B jednaki skupovi pišemo A=B,a u protivnom A≠B
  2. Za skup A kažemo da je podskup skupa B ako je a iz B za svako a iz A. Ako je A podskup od B i A≠B kažemo da je A pravi podskup od B

A \subset B

  1. Podskup P skupa A određen je uslovom U(x) i označavamo

A = \{x \mid U(x)\}

  1. Skup koji nema ni jedan element je prazan skup oznaka ø .
  2. Unija skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente skupova A i B .
  3. Uniju skupova označavamo sa AUB
  4. Presjek skupova A i B je skup elemenata koji se nalaze i u A i u B.
  5. Presjek skupova označavamo sa A∩B
  1. Skup S(P) čiji su elementi podskoupovi od S zovemo partitivni skup skupa S .
  2. Skup (b,a) i skup (a,b) zovemo uređeni par elemenata a i b. Ova definicija omogučava da se uređen par definiše pomoću skupova.
  3. Ako su A i B skupovi skup svih parova (a,b) kod kojih je a iz A i b iz B označavamo sa AXB nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B

[uredi] Aksiomi

  1. Postoji bar jedan skup.
  2. Ako su A i B skupovi sa osobinom da je svaki element skupa A element i skupa B i svaki element iz B da je i iz A onda su oni jednaki.
  3. Ako je A skup i U(x) dani uslov ( otvoreni sud na A) tada postoji podskup P od A ćiji su elementi oni elementi iz A koji zadovoljavaju uslov U(x).
  4. Ako je M neki skup skupova onda postoji skup sa osobinom da je x iz S ako je x iz Aa neki A iz M. ( napomena skup skupova ne postoji)
  5. Ako su A i B skupovi tada postoji skup kome su A i B članovi.

[uredi] Teoreme

  1. Postoji skup koji nema ni jedan element
  2. Za svaki skup A vrijedi prazan skup podskup od A
  3. Ako je M skup skupova tada postoji jedinstven skup sa osobinom x je iz S onda i samo onda ako je x iz A
  4. Ako su A i B skupovi onda postoji skup koji je unija ta dva skupa
  5. Dva uređena para (a,b) i ( c,d) jednaki su onda i samo onda ako je a0c i b=d
  6. Ako su A i B neprazni skupovi postoji skup S koji se sastoji od svih uređenih parova (a,b) za a iz A i b iz B



Nedovršeni članak Skup koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.