Grupa (matematika)

Izvor: Wikipedija

Grupa je uređeni par skupa i binarne operacije koji zadovoljava određena svojstva (aksiome). Npr., skup cijelih brojeva Z sa binarnom operacijom zbrajanja (+) je grupa, i to komutativna ili Abelova grupa. Grupa se označava sa (G, \circ ), gdje je G skup, a \circ binarna operacija snabdjevena grupi, ali još češće se grupa označava jednostavno sa G.

Sadržaj

[uredi] Definicija

Grupa je uređeni par (G, \circ), tj. skup G s operacijom \circ koja je definirana \forall a, b \in G,

(a, b) \mapsto a \circ b sa G \times G u G,


i ima sljedeća svojstva:

  1. (\forall a, b, c \in G)\quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\qquad (svojstvo asocijativnosti);
  2. postoji element e \in G takav da je (\forall a \in G)\quad a \circ e = e \circ a = a\qquad (postojanje neutralnog elementa);
  3. \forall a \in G postoji element a \in G takav da je a \circ a' = a' \circ a = e\qquad (postojanje suprotnog elementa).

    Ako je ispunjeno i sljedeće, četvrto svojstvo

  4. \forall a, b \in G vrijedi da je a \circ b = b \circ a (svojstvo komutativnosti) onda za grupu (G, \circ) kažemo da je komutativna ili Abelova grupa (po matematičaru Niels Abelu).

[uredi] Podgrupa

Skup H s operacijom \circ ', gdje je H \subseteq G a \circ ' operacija naslijeđena od G, koji je grupa, zove se podgrupa grupe G. Nužno i dovoljno da podskup H \subseteq G uz naslijeđenu operaciju iz G bude podgrupa jest da H bude zatvoren s obzirom na \circ, i da sadrži sve inverze u odnosu na \circ. Naslijeđenu operaciju \circ ' najčešće označavamo također s \circ.

[uredi] Morfizam grupe

Funkcija f : H \mapsto G je morfizam grupe (H, \circ') u (G, \circ) ako zadovoljava

(\forall a, b \in H)\qquad f(a \circ' b) = f(a) \circ f(b).


Ako je morfizam f bijekcija tj. jedan-na-jedan preslikavanje, tada se f zove izomorfizam.

[uredi] Literatura

  • prof. dr. sc. D. Butković: "Predavanja iz linearne algebre", stranica 65., Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, 2006