Ójafna Chebyshevs
Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu
Ójafna Chebyshevs er ójafna í líkindafræði sem segir að í líkindadreifingum eða úrtökum eru næstum öll gildi nálægt meðaltalinu. Til dæmis eru aldrei fleiri en 1/4 gildanna í meiri en 2 staðalfrávika fjarlægð frá meðaltalinu, og aldrei meira en 1/9 gildanna í meira en 3 staðalfrávika fjarlægð.
Ójafnan er nefnd eftir Pafnuty Chebyshev, sem sannaði hana fyrstur manna.
Ójafna Chebyshevs er mikið notuð í ályktunartölfræði, þá sér í lagi í tengslum við normaldreifingar. Þar gildir að 95% staka eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu.
[breyta] Ójafnan
Látum vera líkindarúm og X vera slembibreytu. Þá gildir:
Þar sem að E(X) táknar væntigildið á X, og Var(X) táknar dreifni þess.
[breyta] Einföld sönnun
Ein af einföldustu sönnunum á ójöfnu Chebyshevs notast við ójöfnu Markovs:
- Ef
gildir að
Sönnum að ójafna Chebyshevs gildi fyrir slembibreytuna X. Setjum fyrst Y = (X − E(X))2. Þá er Y slembibreyta. Þá gildir að væntigildið á Y er E(Y) = E((X − E(X))2) = Var(X).
Þá er sönnunin einföld:
- P( | X − E(X) | > ε) = P(Y > ε2)
- sem samkvæmt ójöfnu Markovs gefur:
Sem er ójafna Chebyshevs ef skipt er út E(Y) fyrir Var(X) og Y > ε2 fyrir X > ε.
[breyta] Sjá einnig
- Ójafna Markovs