Möbiova páska
Z Wikipédie
Möbiova páska alebo Möbiov pás alebo Möbiov list alebo Simonyho prstenec (len v staršej literatúre) je plocha, ktorá má len jednu stranu a jednu hranu. Roku 1858 ju nezávisle od seba objavili (resp. vynašli) matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing.
Obsah |
[úprava] Vlastnosti Möbiovej pásky
Möbiova páska nie je zložitý útvar, napriek tomu veľmi názorne demonštruje javy, ktoré spôsobujú deformácie dvojrozmerného priestoru do tretieho rozmeru.
V euklidovskom priestore jestvujú v skutočnosti dva druhy Möbiovej pásky v závislosti od smeru pootočenia konca pri jej realizácii – v smere hodinových ručičiek a v ich protismere. Preto je Möbiova páska chirálna (analogicky k pravej a ľavej ruke).
Na vytvorenie Möbiovej pásky je potrebný len dlhší úzky pruh papiera, pričom jeden koniec sa priečne pootočí o 180° a spojí sa s druhým koncom. Nevznikne tak bežný prstenec s dvomi stranami, ale objekt, ktorý hoci je trojrozmerný, má len jednu stranu (rubová a lícová strana na seba plynule nadväzujú, jedna strana prechádza na druhú).
[úprava] Geometria a topológia
Jednou z možností, ako matematicky popísať Möbiovu pásku ako podmnožinu je použitie parametrizácie:
kde a
. Tento predpis vytvorí pásku šírky 1, ktorej centrálna kružnica má polomer 1 ležiaci v rovine x–y so stredom v bode (0,0,0).
Vo valcovej sústave súradníc je Möbiova páska reprezentovaná nasledujúcim predpisom:
[úprava] Ďalšie efekty
Ak je Möbiova páska v strede roztrihnutá, potom vznike jeden dlhý, niekoľkokrát pretočený pruh.
Ak nie je prestrihnutá v strede, ale na okraji, vzniknú tak dva do seba vpletené pruhy, jeden dvakrát dlhší než pôvodný Möbiova páska a bez jej vlastností, druhý bude mať opäť jej vlastnosti. Ak sa bude v rozstrihovávaní pokračovať, vzniknuvšie pásky budú prepletené so všetkými predchádzajúcimi.
Ak necháme kráčať mravca po tejto páske, prvý okruh bude kráčať po vrchnej časti pásky a druhý po spodnej – bude sa nachádzať presne pod miestom kde začal. Hoci pojem spodná strana a vrchná strana je relatívny, pretože vrchná plynulo prechádza do spodnej a opačne. Táto zvláštnosť sa môže využívať pri návrhoch hnacích remeňov. Hnacie remene v tvare Möbiovej pásky sa opotrebúvajú na oboch stranách povrchu, čiže vydržia dvakrát tak dlho.
[úprava] Umenie a technológia
Möbiova páska inšpirovala viacerých umelcov. M. C. Escher vytvoril niekoľko obrazov s podobnou tématikou. Najznámejší z nich je Möbius Strip II, na ktorom kráčajú pro Möbiovej páske mravce.
Podobne sa Möbiova páska objavuje aj vo sci-fi literatúre.
- Arthur C. Clarke: The Wall of Darkness
- A. J. Deutsch: A Subway Named Möbius
Trojrozmerný ekvivalent pásky – Möbiovu kocku, použil spisovateľ Dan Simmons vo svojom sci-fi románe Kantos Hyperionu ako úložisko schopné uzavrieť predmety alebo bytosti s veľkou energiou.
V technickej praxi našla Möbiova páska uplatnenie najmä v podobe dopravníkových pásov, ako nekonečná prehrávacia slučka s dvojnásobou dĺžkou záznamu.
[úprava] Pozri aj
- Penroseov trojuholník
- Kleinova fľaša