Okolie (matematika)

Z Wikipédie

Okolie bodu je podmnožina topologického priestoru, ktorej otvorená podmnožina obsahuje tento bod. Okolie bodu je taká množina, že aj "blízke" body ležia stále v tejto množine. Pomocou okolia bodu sa dajú definovať pojmy uzáver a vnútro množiny, spojité zobrazenie, limita postupnosti a podobne.

Obsah

[úprava] Okolie v množine reálnych čísel

V množine reálnych čísel je ε-okolí (ε > 0) bodu x otvorený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové ε-okolie bodu x je potom okolie, ktoré neobsahuje bod x, teda zjednotenie intervalov (x - \epsilon, x) \cup (x, x + \epsilon).

[úprava] Okolie komplexného bodu

δ-okolím komplexného bodu z0 označujeme všetky body z komplexnej roviny, pre ktoré platí | zz0 | < δ, tzn. body ležiace na komplexnej rovine vo vnútri kružnice so stredom v bode z0 a polomerom δ.

[úprava] Okolie v metrických priestoroch

V metrickom priestore X máme pomocou metriky d definovanú vzdialenosť bodov a zavádzame ε-okolie bodu x ako

U_{\epsilon} (x) = \{y \in X: d(x, y) < \epsilon \}

[úprava] Všeobecná definícia

Podmnožinu U topologického priestoru (X,τ) nazveme okolím bodu x, ak existuje otvorená podmnožina O \in \tau taká, že x \in O. Okolie bodu x označujeme U(x).

Pretože vnútrajšok množiny je jej najväčšia otvorená podmnožina, je množina U(x) okolím bodu x práve vtedy, keď x leží v jej vnútri.

Iné jazyky