Sínus

Z Wikipédie

V medicíne sínus znamená dutinu nejakého orgánu.

Sínus patrí medzi trigonometrické funkcie. Je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony pravouhlého trojuholníka. Graf funkcie sínus sa nazýva sínusoida.

Graf funkce sinus

[úprava] Vlastnosti

Funkcia y=\sin x\,\! má následujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

  • Definičný obor: \mathbb{R} (reálne čísla)
  • Obor hodnôt: \langle-1;1\rangle
  • Rastúca: v každom intervale \langle-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\rangle
  • Klesajúca: v každom intervale \langle\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2(k+1)\pi\rangle
  • Maximum: \frac{\pi}{2}+2k\pi
  • Minimum: -\frac{\pi}{2}+2k\pi
  • Derivácia: y'=\cos x\,\!
  • Integrál: \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c
  • Taylorov polynóm: \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
  • Inverzná funkcia: arkus sínus (arcsin)
  • Sínus je funkcia:
    • nepárna
    • ohraničená zhora i zdola
    • periodická s periódou 2kπ

[úprava] Sínus v komplexnom obore

Funkcia sínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z1,z2 platí:

\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},
\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,
\sin iz = i \sinh z,\,

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Sínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

[úprava] Pozri aj

  • Sínusová veta