Laplaceov operátor
Z Wikipédie
Laplaceov operátor (alebo len Laplace) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze, definovaný ako divergencia gradientu daného skalárneho, alebo vo všeobecnosti tenzorového poľa. Ak aplikovaný na skalárne pole, výsledkem je opäť skalárne pole, ak je aplikovaný na tenzorové pole, výsledkom je tenzorové pole rovnakého suupňa. Označuje sa symbolom Δ.
Laplace je invariantný voči zámene súradníc - to znamená, že (ak je aplikovaný na vektorové či tenzorové pole), výsledok je opäť vektorové či tenzorové pole.
[úprava] Matematický popis
Definícia Laplaceovho operátora zapísaná pomocou operátoru nabla, resp. pomocou operátorov divergencie a gradientu, má tvar
.
Hoci je táto definícia nezávislá na sústave súradníc, väčšinou sa zapisuje špeciálne v karteziánskych súradniciach ako
v n-rozmernom priestore, alebo špeciálne
v trojrozmernom priestore.
Dôležitým špeciálnym prípadom Laplaceovho operátoru je jeho vyjadrenie v Minkowského štvorrozmernom priestore, ktoré sa často používa v teórii relativity pri popise dejov v časopriestore. Toto vyjadrenie se nazývá d'Alembertov operátor, označuje sa symbolom a má hodnotu
[úprava] Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách
Následujúce vzťahy udávajú hodnotu Laplaceovho operátora v nejrôznejších súradných sústavách v trojrozmernom prostoru. Ak je funkcia f skalárne pole v daných súradniciach, potom platí
Vo valcových súradniciach:
Vo sférických súradniciach:
alebo ekvivalentne:
Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x1,x2,x3, ktorej Laméovy koeficienty sú v tomto poradí h1,h2,h3, je vyjadrenie Laplaceovho operátora
V úplne všeobecných súradniciach sa Laplaceov operátor zapíše ako divergencia gradientu, teda