Guľa

Z Wikipédie

Drôtený model trojrozmernej gule
Drôtený model trojrozmernej gule

V matematike sa pod pojmom guľa obvykle rozumie teleso v trojrozmernom Euklidovskom priestore ohraničené sférickou plochou, t. j. plochou, ktorej body sú rovnako vzdialené od pevného bodu (tzv. stred gule). V širšom význame môže guľa znamenať množinu bodov v metrickom priestore, ktoré sú vzdialené od pevného bodu menej než nejaké pevne dané číslo.

Rozlišujeme guľu otvorenú (t.j. povrch tam nepatrí) a uzavrenú (t.j. povrch tam patrí).

V topológii znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí Bn) topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v Euklidovskom priestore \mathbb{R}^n. V takomto širšom zmysle sa niekedy hovorí, že zem je guľa (ak keď je trochu zdeformovaná v porovnaní s presne Euklidovskou guľou).

[úprava] Objem a povrch obecnej gule v Euklidovskom priestore

N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore \mathbb{R}^n má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom

V_{nD} = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^n

alebo tiež

V_{nD} = \begin{cases}    \left ( \frac{n}{2}! \right )^{-1} \pi^{\frac{n}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ parne} \\   \frac{2^{\frac{n+1}{2}}}{n!!} \pi^{\frac{n-1}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ neparne} \end{cases}

kde Γ(1 + n / 2) je prirodzené zobecnenie výrazu (n / 2)! pre nepárne n (viď Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t.j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (viď sféra). Veľkosť jej povrchu (t.j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je

S_{nD} = n\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^{n-1}

alebo

S_{nD} = \begin{cases}    n\left ( \frac{n}{2}!\right )^{-1}\pi^{\frac{n}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ parne} \\   2^{\frac{n+1}{2}}\frac{n}{(n!!)}\pi^{\frac{n-1}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ neparne} \end{cases}

Všeobecne pre n rozmernú guľu platí:

S_{nD}(r) = \frac{\mathrm{d}V_{nD}}{\mathrm{d}r} = V_{nD}'(r) = n\frac{V_{nD}(r)}{r}

[úprava] Vzorce pre 3-rozmernú guľu

3-rozmerná guľa a jej koordináty
Zväčšiť
3-rozmerná guľa a jej koordináty

Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v \mathbb{R}^3

Vzorce pre guľu
Obvod (najväčší) U \, = \, 2 \pi r
Plocha A_O  \, = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \, = \, 4 \pi r^2
Objem V \, = \, \frac{4}{3} \pi r^3
Projekčná plocha (plocha tieňa) A_{PF} \, = \, \pi r^2
Objem guľového výseku V_{KS} \, = \, \frac{h^2 \pi}{3} (3r - h)
Povrch guľového segmentu A_{KK} \, = \, 2 r h \pi = 2 r^2 \pi \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)
Polomer gule r\,
Výška guľového segmentu h \,
Moment zotrvačnosti (os prechádza cez stred gule) J \, = \, \frac{2}{5} mr^2
Steradián \alpha\,

[úprava] Pozri aj

Iné jazyky