Eulerjeva enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblja od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0
Povečaj
Gibanje točke na Gaussovi ravnini. Točka se giblja od točke z=1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0

Eulerjeva enačba (tudi Eulerjeva identiteta) povezuje pet za matematiko najpomembnejših števil 0, 1, π, i in e

e^{i \pi} + 1 = 0 \; .

Enačbo je zapisal Leonhard Euler.

Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:

e^{iy} = \cos y + i \sin y \; .

Ta enačba je del enačbe:

e^{z} = e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} \; .

kjer je z kompleksno število (x + iy).

Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto. Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje, množenje in potenciranje.

[uredi] Posplošitev

Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je n-ti enotski koren, pri n > 1, enak 0:

\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 \; .

Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.



Ta matematični članek je škrbina. Slovenski Wikipediji lahko pomagate tako, da ga dopolnite z vsebino.