Poissonova enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Poissonova enáčba [puasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je parcialna diferencialna enačba 2. reda

\nabla^{2} \phi (\mathbf{r}) = \rho (\mathbf{r}) \; ,

kjer je \nabla^{2} Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice \mathbb{R}^{n}.

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo

\nabla^{2} \phi = 0 \; .

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za \nabla^2\phi_1=\rho_1 in \nabla^2\phi_2=\rho_2 sledi \nabla^2(\phi_1+\phi_2)=\rho_1+\rho_2. To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρe:

\nabla^{2} \Psi = { \rho_{e}\over \varepsilon\varepsilon_{0} } \; .

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

\nabla^{2} \phi = \rho (x,y,z) \; .

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v \mathbb{R}^{3}. Ko se točka oddalji v neskončnost (\vert\mathbf r\vert\to\infty) je \phi(\mathbf r)\to 0. Splošna rešitev je Newtonov potencial:

\phi(\mathbf r)=-\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\vert\mathbf{r}-\mathbf{r'}\vert}\mathrm{d}^3\mathbf{r'}.

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

\square^{2} \phi_{\mu\nu} = \rho (ct,x,y,z) \; .

Takšne probleme rešuje splošna teorija relativnosti, ki gravitacijsko polje obravnava z lastnostmi prostor-časa.

Laplaceova in Poissonova enačba sta najpreprostejša primera eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.

[uredi] Glej tudi


Članek je dopolnjen s člankom iz PlanetMath.org