Haynes - Shockleyev eksperiment

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

V Haynes - Shockleyev eksperimentu v polprevodnik (recimo tipa n) vbrizgamo vrzeli, lahko s sunkom napetosti ali pa z laserskim pulzom. V našem primeru na polprevodnik na razdalji d priključimo elektrodi, na eni vbrizgamo vrzeli, z drugo pa opazujemo signal. Zanimajo nas gibljivost nosilcev električnega naboja, difuzijska konstanta in relaksacijski čas v polprevodniku, ki jih s tem poskusom lahko določimo. Problem bomo obravnavali v eni dimenziji.

Najprej si pogledamo enačbe za tok vrzeli in elektronov:

j_e=-\mu_n n E-D_n \frac{\partial n}{\partial x}

j_p=-\mu_p p E-D_n \frac{\partial p}{\partial x}

kjer je μ = eβD gibljivost, velja v = μE.

Velja tudi kontinuitetna enačba:

\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{-(n-n_0)}{\tau_n}-\frac{\partial j_e}{\partial x}

\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{-(p-p_0)}{\tau_p}-\frac{\partial j_p}{\partial x}

Upoštevamo, da se elektroni in vrzeli rekombinirajo z relaksacijskim čason τ.

Definiramo p1 = pp0 in n1 = nn0 in sestavimo zgornje enačbe v:

\frac{\partial p_1}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}- \mu_p E \frac{\partial p_1}{\partial x}-\frac{p_1}{\tau_p}

\frac{\partial n_1}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_1}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+ \mu_n E \frac{\partial n_1}{\partial x}-\frac{n_1}{\tau_n}

Upoštevali smo, da sta p0 in n0 konstantna, zato odpadeta pri odvodu.

Poglejmo si člen, v katerem nastopa gradient električnega polja. Laplaceova enačba nam pove:

\rho=-\epsilon \epsilon_0 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}= \epsilon \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial x}

\frac{\partial E}{\partial x}= \frac{\rho}{\epsilon \epsilon_0}=\frac{e_0 ((p-p_0)-(n-n_0))}{\epsilon \epsilon_0}

Zdaj uvedemo n2 = p1 + n1 in n3 = p1n1 < < n2. Gibalni enačbi lahko zapišem z uporabo novih spremenljivk:

\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}- \mu_p E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau_p}

\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+ \mu_n E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau_n}

Vidimo, da sta zgornji enačbi sklopljeni, saj v njiju nastopajo enake količine, razlikujejo pa se konstante. Zdaj ju bomo združili v eno enačbo:

\frac{\partial n_2}{\partial t}=D^* \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}+ \mu^* E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau^*},

kjer so D^*=\frac{D_n D_p(p+n)}{p D_p+nD_n}, \mu^*=\frac{\mu_n\mu_p(p-n)}{p\mu_p+n\mu_n} in \frac{1}{\tau^*}=\frac{p\mu_p\tau_p+n\mu_n\tau_n}{\tau_p\tau_n(p\mu_p+n\mu_n)}.

Če predpostavimo, da je n>>p oziroma p\rightarrow 0 (kar je seveda res v polprevodniku, v katerega smo vbrizgali samo nekaj vrzeli, ostalo so pa elektroni), vidimo, da D^*\rightarrow D_p, \mu^*\rightarrow \mu_p in \frac{1}{\tau^*}\rightarrow \frac{1}{\tau_p}. Vidimo, da se vrzeli takoj zasenčijo z elektroni, torej se polprevodnik obnaša, kot da po njem potuje samo oblak vrzeli.

Enačbo za gibljivost zdaj lahko rešimo in dobimo zvezo:

n_2(x,t)=A \frac{1}{\sqrt{4\pi D^* t}} e^{-t/\tau^*} e^{-\frac{(x+\mu^*Et-x_0)^2}{4D^*t}}

To lahko interpretiramo takole: ob začetnem sunku napetosti ali laserskem pulzu se ustvarijo vrzeli v obliki delta funkcije. Vrzeli potem začnejo potovati proti elektrodi, kjer jih zaznamo. Signal na drugi elektrodi ima torej obliko Gaussove krivulje.

Parametre μ,D in τ določimo iz oblike krivulje in količin t0, ki je čas, ki ga vrh sunka porabi do druge elektrode in δt, ki je širina sunka ob času t0.

\mu^*=\frac{d}{E t_0}

D^*=(\mu^* E)^2 \frac{(\delta t)^2}{16 t_0}

[uredi] Vir

  • Wang:Solid State Electronics
V drugih jezikih