Vozli Čebiševa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Vozli Čebiševa so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebiševa. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ognemo problemom Rungejevega pojava.

Za n vozlov na intervalu [-1, 1] lahko vozle Čebiševa določimo kot

x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right)

kjer je

1 \le i \le n.

Za poljuben interval [a, b] lahko uporabimo linearno transformacijo, da dobimo

x_i = \frac{1}{2} (a+b) + \frac{1}{2} (b-a) \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right).

[uredi] Dokaz

Naj je Tn polinom Čebiševa oblike

T_n(x) = \cos(n\cos^{-1}(x)). \,\!

Funkcija kosinus ima periodične ničle

r_i = (2i-1)\frac{\pi}{2}

za vsak cel i, kar da

T_n(x_i) = \cos(n\cos^{-1}(x_i)) = \cos(r_i) = 0. \,\!

Tako ničle polinomov Čebiševa nastopajo pri

n\cos^{-1}(x_i) = r_i, \,\!

kar lahko rešimo za xi, da dobimo

x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right).
V drugih jezikih