Erdös-Borweinova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Erdös-Borweinova konstanta je vsota obratnih vrednosti Mersennovih števil.

Po definiciji velja:

E_{B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1{,}60669\,51524\,15291\,763...

Dokazati je moč, da so naslednje oblike ekvivalentne prejšnji:

E_{B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E_{B} = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}

E_{B} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

Tu σ0(n) predstavlja aritmetično multiplikativno funkcijo, število pozitivnih deliteljev števila n.

Paul Erdös je leta 1948 dokazal, da je konstanta EB iracionalno število.

Neskončni verižni ulomek konstante je [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...]