Šnireljmanova gostota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Šnireljmanova gostota zaporedja v matematiki pove, kako »gosto« je to zaporedje. Pojem je uvedel ruski matematik Lev Genrihovič Šnireljman.

Intuitivno vemo, da obstaja »več« lihih števil kot kvadratnih števil. Množica lihih števil v bistvu ni »večja« od množice popolnih kvadratov, saj sta obe neskončni in števni. Med njima zatorej obstaja bijektivna preslikava - vsakemu elementu ene množice tako ustreza natančno en element druge množice. S Šnirejmanovo gostoto natančneje izrazimo naše intuitivno zapažanje.

Za vsako celo število n > 0 naj je število členov zaporedja

A(n) = A\cap \{1, 2, \ldots n\}

Šnireljmanova gostota podmnožice A množice N nenegativnih celih števil je potem največja spodnja meja ulomkov A(n)/n

\sigma A = \inf_{n > 0} \frac{A(n)}{n}

Šnireljmanovo gostoto označujejo še z α ali δ(A).

Ta definicija razrešuje očiten problem z enostavno določitvijo gostote kot limite A(n)/n, saj ni nujno, da ta obstaja. Šnireljmanova gostota na drugi strani vedno obstaja.

Šnireljmanova funkcija gostote σ ima naslednje lastnosti:

  1. Za vsak n, A(n) > n · σA.
  2. σA = 1, tedaj in le tedaj AN.
  3. Če 1 \notin A, je σA = 0.
  4. Če 0 ∈ A ∩ B, je σ(A + B) ≥ σA + σB - σA · σB
  5. Če je σA + σB ≥ 1, velja σ(A + B) = 1.
  6. Če je σA > 0, je A aditivna baza.

[uredi] Glej tudi

  • Mannov izrek

[uredi] Zunanje povezave

- v angleščini: