ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง (ตั้งชื่อโดย พอล แอร์ดิช หลังจากปัญหานี้ทำให้เกิดการแต่งงานของ George Szekeres และ Esther Klein) มีดังนี้
สำหรับจุดห้าจุดใดๆ ในระนาบ จะต้องมีจุดสี่จุดซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมนูน
[แก้] ปัญหาที่ใหญ่ขึ้น
แอร์ดิช และ Szekeres ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังนี้
สำหรับจำนวนเต็มบวก N ใดๆ มีเซตจำกัดของจุดบนระนาบที่มีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน
ให้ f(N) แทนค่า M ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เซตของจุด M จุดใดๆ จะต้องมีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน
- f(3) = 3
- f(4) = 5 (พิสูจน์โดย Esther Klein)
- f(5) = 9 (พิสูจน์โดย E. Makai ตีพิมพ์ครั้งแรกใน พ.ศ. 2513)
- f(6) = 17 (พิสูจน์โดย Szekeres and Lindsay Peters โดยใช้คอมพิวเตอร์)
สำหรับ F(N) เมื่อ N เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ยังไม่มีสูตรที่ใช้หา แอร์ดิชและ Szekeres ตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า
ในปี พ.ศ. 2504 แอร์ดิชและ Szekeres พิสูจน์ได้ว่า
ขอบเขตบนของ f(N) เมื่อ ที่ดีที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ