การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง (continuous Fourier transform) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูริเยร์นั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม
(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูริเยร์)
สารบัญ |
[แก้] นิยาม
สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย
การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง | การแปลงกลับ |
---|---|
![]() |
![]() |
โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่
สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ
เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ
(ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด
[แก้] รูปทั่วไป
คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้
![]() |
![]() |
โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก (a,b) = (0,1) ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ (a,b) = (0,2π) ซึ่งในกรณีนี้ ω จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ ν หรือ f ในการณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา bจะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที
[แก้] การแปลงในมิติที่สูงขึ้น
สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่องจะกำหนดโดย
โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:
เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:
[แก้] คู่ของการแปลง
ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ
คุณสมบัติ | ฟังก์ชัน | ผลการแปลงฟูริเยร์ | |
---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
|
ความเป็นเชิงเส้น | ![]() |
![]() |
![]() |
การสลับ * | ![]() |
![]() |
![]() |
การเลื่อน (translation) | ![]() |
![]() |
![]() |
การมอดูเลต (modulation) | ![]() |
![]() |
![]() |
การสเกล | ![]() |
![]() |
![]() |
การคอนโวลูท (convolution) * | ![]() |
![]() |
![]() |
การคูณ * | ![]() |
![]() |
![]() |
อนุพันธ์ของเวลา | ![]() |
![]() |
![]() |
อนุพันธ์ของความถี่ | ![]() |
![]() |
![]() |
หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง
![]() |
การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น |