ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี


  ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต ในภาษาอื่น สามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ๆ ด้านซ้ายมือ

ในคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต (fundamental theorem of arithmetic) หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (unique factorization theorem) คือประโยคซึ่งกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 23 · 3 · 172   หรือ   1200 = 24 · 3 · 52

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ

เพื่อที่จะให้ทฤษบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

[แก้] การประยุกต์

(รอเพิ่มเติมเนื้อหา)

[แก้] การพิสูจน์

การพิสูจน์จะประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวก ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้น จะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้น ให้จำนวนนั้นคือ n ดังนั้น n ไม่สามารถเป็น 1 ได้เพราะว่าจะขัดแย้งกับสมมติฐานข้างต้น และ n ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะจำนวนเฉพาะคือผลคูณของจำนวนเฉพาะตัวเดียว ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

n = ab

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า n แต่ n เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทผิด ดังนั้น a และ b ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ n = ab เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

ในส่วนของการพิสูจน์ว่า จำนวนทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้แบบเดียว เราจะใช้ข้อเท็จจริงว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ ถ้า p หาร a ไม่ลงตัวแล้ว p และ a จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จากเอกลักษณ์Bézout's จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้

px + ay = 1

คูณทั้งสองข้างด้วย b จะได้

pbx + aby = b

เนื่องจากฝั่งซ้ายมือหารด้วย p ลงตัว ดังนั้นฝั่งขวามือจึงหารด้วย p ลงตัวด้วย เป็นการพิสูจน์บทตั้ง

จากนั้น นำผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เท่ากันมา 2 ผลคูณ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะในผลคูณแรก p จะหารผลคูณแรกลงตัว และจะหารผลคูณที่สองลงตัวด้วย จากข้อเท็จจริงข้างต้น p จะต้องหารตัวประกอบในผลคูณที่สองลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น p จะต้องเท่ากับตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งของผลคูณที่สอง ดังนั้น เราจึงตัด p ออกจากทั้งสองผลคูณได้ และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอ

[แก้] ดูเพิ่ม

  • อัลกอริทึมในการแยกตัวประกอบ