ทฤษฎีการวัด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ทฤษฎีการวัด (Measure theory) เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของคณิตวิเคราะห์เชิงจริง เพื่อใช้อธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "ความยาว" "พื้นที่" "ปริมาตร" หรืออะไรก็ตามที่วัดได้ ตัวอย่างการนำทฤษฎีการวัดไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณการวัดประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีการวัดในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์เริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีการวัดคือ การนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์ เพื่อขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีการวัดในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน มารี คามิลเลอร์ จอร์แดน เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

สารบัญ

[แก้] นิยามทางคณิตศาสตร์ของการวัด

[แก้] คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ การวัด หรือ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

  1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
  2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
  3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีการวัดในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีการวัดนั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.

[แก้] นิยามอย่างเป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ การวัด: μ คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา Σ ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ∞] และ μ ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1. เซตว่างมีปริมาณที่วัดได้เท่ากับศูนย์ (หรือเรียกว่ามี เมเชอร์เท่ากับศูนย์):

\mu(\varnothing) = 0;

2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity): ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน Σ แล้ว,

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

เราจะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เพื่อนิยามปริภูมิการวัด หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิการวัดประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน Σ จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).

[แก้] หมายเหตุ: ปริภูมิความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันการวัดที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ

3.

μ(X) = 1.

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ (\Omega,\mathfrak{F},P) แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,Σ,μ) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ μ แทนค่าเฉลี่ย .

[แก้] คุณสมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

[แก้] Monotonicity

μ มีคุณสมบัติ monotonic: กำหนดให้ E1 และ E2 เป็นเซตที่สามารถวัดได้ (เป็นสมาชิกใน Σ) และ E1E2, แล้ว μ(E1) ≤ μ(E2).

คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ

[แก้] เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ E1,E2,E3,... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน Σ จะได้ว่า

\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ E1,E2,E3,... เป็นเซตใน Σ และ E_n \subseteq E_{n+1} ,\forall n \in \mathbb{N}, แล้วจะได้ว่า \bigcup_{n=1}^\infty E_n อยู่ใน Σ ด้วยและ

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

[แก้] เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ E1,E2,E3,... เป็นเซตใน Σ และ E_{n+1} \subseteq E_n ,\forall n \in \mathbb{N}, แล้วจะได้ว่า \bigcap_{n=1}^\infty E_n อยู่ใน Σ ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก En อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า

\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(E_i).

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก En ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ nN,

E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb{R}

เราจะได้ว่าทุก ๆ En มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์


[แก้] ตัวอย่างของการวัดต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

  • เมเชอร์การนับ นิยามจากการนับจำนวนสมาชิกของเซตนั่นเอง
  • เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ การวัดของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในการวัดที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
  • เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น. กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือการวัดธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง.
  • โบเรลเมเชอร์
  • จอร์แดนเมเชอร์


[แก้] หัวข้ออื่นที่เกี่ยวข้อง

[แก้] อ้างอิง

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
  • D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
  • F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.