Kovaryans

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Olasılık Teorisi ve İstatistikte, kovaryans beklenen değerleri E(X) = μ ve E(Y) = ν olan X ve Y olarak tanımlanmış iki gerçel değerli rastsal değişken arasındaki şu ilişkiyi tanımlar:

\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu)), \,
\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)  \operatorname{E}(Y) \,


E, beklenen değeri temsil etmektedir. Kovaryansın ne olduğu şu şekilde çok daha basitleştirilebilir: Kovaryans, iki değişkenin beraber değişimlerini inceleyen bir istatistiktir.

X ve Y gerçel değerli rastsal değişkenler, c ise bir sabit olmak üzere aşağıdaki ifadeler, kovaryansın tanımından elde edilebilir.

1) \operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)\,

İspat

Eğer i=j ise buna göre

\operatorname{cov}(X,X) = E(x_i,x_j)- E(x_i)E(x_j) = E(x^2_i) -[E(x_i)]^2 =  \operatorname{var}(X)\,


2) \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)\,

3) \operatorname{cov}(cX, Y) = c\, \operatorname{cov}(X, Y)\,

4) \operatorname{cov}\left(\sum_i{X_i}, \sum_j{Y_j}\right) =    \sum_i{\sum_j{\operatorname{cov}\left(X_i, Y_j\right)}}.\,