Liên thông (tô-pô học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bài này nói về tính liên thông chủ yếu trong tô-pô học. Về khái niệm này trong các lĩnh vực khác, xin xem Liên thông.

Một không gian topo X gọi là liên thông nếu nếu X không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau

-Một tập A trong không gian topo X gọi là liên thông nếu A là không gian liên thông với topo cảm sinh từ X .

Mục lục

[sửa] VD :

- Mọi tập lồi trong R^n ( bao gồm R^n , các hình cầu mở và đóng , các đơn hình ... ) là liên thông .

- Q là không gian không liên thông .

[sửa] Tính chất :

1 - X liên thông <=> X chỉ có 2 tập con vừa đóng vừa mở là X và tập rỗng .

2 - Bao đóng của tập liên thông là liên thông .

3 - Ảnh liên tục của tập liên thông là liên thông .

4 - Hợp của một họ các tập liên thông và có 1 điểm chung là tập liên thông

5 - Tích của một họ các không gian liên thông là liên thông

[sửa] Thành phần liên thông

Đ/n:

-Hai điểm x,y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông . Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X . Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau , mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X . Kí hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x) .

- VD : R^k chỉ có 1 thành phần liên thông là chính nó . Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông .

Tính chất :

- Không gian liên thông X chỉ có duy nhât 1 thành phần liên thông là X .

- C(x)là tập liên thông lớn nhất trong X chứa x và nó là tập đóng .

[sửa] Liên thông đường

Đ/n

- Không gian X gọi nlà liên thông đường nếu với 2 điểm x , y bất kì đều tồn tại một ánh xạ liên tuch f : [0,1]->X sao cho f(0)=x và f(1)=y . (Nói nôm na là 2 điểm bất kì đều có 1 đường đi nối chúng)

Vd : Các tập lồi là các không gian liên thông đường

Tính chất :

1- X liên thông đường thì liên thông , ngược lại không đúng .

2- Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường .