Ánh xạ
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. Hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5m/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.
Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y.
Bài này chỉ viết về các ánh xạ (hàm) đơn trị.
Mục lục |
[sửa] Các thuật ngữ cơ bản
Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa:
- Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu
) là một quy tắc cho mỗi phần tử x
X tương ứng với một phần tử xác định y
Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x,ký hiệu y = f(x).
- Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.
- Với mỗi
, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, kí hiệu là f − 1(y)
- Với mỗi tập con
, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của
qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A kí hiệu là f(A)
- Với mỗi tập con
, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh
được gọi là tạo ảnh của tập B kí hiệu là f − 1(B)
Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa:
- Một ánh xạ
từ tập X vào tập Y là một quan hệ
từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử
đều có quan hệ
với một và chỉ một phần tử
.
- Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ
,kí hiêu
, là một quan hệ
thoả mãn:
-
;
-
Nếu X và Y là các tập hợp số thì ánh xạ được gọi là hàm số. Khi đó X cũng được gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f(x),tập các ảnh f(X) được gọi là miền giá trị của hàm f(x).
[sửa] Vài tính chất cơ bản
- Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
- A =
- Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
- Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
- f(A
B)
f(A)
f(B)
- Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
- f(A
B) = f(A)
f(B)
[sửa] Toàn ánh, đơn ánh và song ánh
- Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y.Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y
-
- f(X) = Y
- hay
- Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y
- hay
- Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh còn được gọilà ánh xạ 1-1.
[sửa] Một số ánh xạ đặc biệt
- Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x
X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y0
Y.
- Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
- Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con
vào Y cho f(x)= x với mọi
. Khi đó ta ký hiệu f : X
Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu
là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con
, f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con
bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.
[sửa] Ánh xạ tích và ánh xạ ngược
- Ánh xạ tích
- Cho hai ánh xạ
và
. Tích của hai ánh xạ f,g, ký hiệu là
là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức:
- Một số tính chất của ánh xạ tích
-
- Nếu
là đơn ánh thì f là đơn ánh.
- Nếu
là toàn ánh thì g là toàn ánh.
- Nếu
là song ánh thì f và g đều là song ánh.
- Nếu
- Ánh xạ ngược (Inverse map)
-
- Cho ánh xạ
, nếu có ánh xạ
sao cho
- Cho ánh xạ
- thì g được gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f,kí hiệu là f − 1.
- Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
[sửa] Xem thêm
- Tập hợp
- Lý thuyết tập hợp
- Nhóm (đại số)
- Hàm số
- Ánh xạ xạ ảnh
- Tô pô