Lý thuyết hỗn loạn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Album Jumpsteady, xem Lý thuyết hỗn loạn(album).
Trò chơi điện tử, xem Splinter Cell: Lý thuyết hỗn loạn.

Trong lĩnh vực toán họcvật lý, Lý thuyết hỗn loạn mô tả những hệ tuyến tính hoặc phi tuyến (trong một số điều kiện) thể hiện hiện tượng hỗn loạn, đặc trưng bởi tính chất nhạy cảm với với điều kiện ban đầu (xem hiệu ứng bươm bướm). Với đặc tính này, những biến đổi quan sát được của các hệ thống vật lý có biểu hiện hỗn loạn trông có vẻ ngẫu nhiên, dù mô hình mô tả của hệ thống là 'xác định' theo nghĩa là được định nghĩa chính xác và không chứa những tham số ngẫu nhiên. Một vài ví dụ của những hệ thống như vậy là khí quyển trái đất, hệ mặt trời, kiến tạo học, đối lưu chất lỏng, kinh tế, tăng trưởng dân số.

Quỹ đạo của hệ Lorenz cho các giá trị r = 28, σ = 10, b = 8/3
Quỹ đạo của hệ Lorenz cho các giá trị r = 28, σ = 10, b = 8/3

Những hệ thống có biểu hiện hỗn loạn toán học là những hệ tất định (triết học) và do đó, có trật tự theo nghĩa nào đó; do vậy sử dụng từ hỗn loạn là không phù hợp. Khi ta nói lý thuyết hỗn loạn nghiên cứu các hệ xác định, cần phải nói tới một ngành liên quan của vật lý gọi là lý thuyết hỗn loạn lượng tử nghiên cứu các hệ bất định đi theo các quy luật của vật lý lượng tử.

Mục lục

[sửa] Mô tả về lý thuyết hỗn loạn

Một hệ động lực phi tuyến có thể, nói chung, biểu hiện một trong nhưng kiểu hành xử sau đây:

  • luôn luôn ở trạng thái nghỉ
  • luôn luôn mở rộng (chỉ cho những hệ không bị chặn)
  • chuyển động tuần hoàn
  • chuyển động giả tuần hoàn
  • chuyển động hỗn loạn

Kiểu hành xử mà hệ thống có thể có phụ thuộc vào trạng thái ban đầu của hệ và các giá trị của các tham số, nếu có. Kiểu hành xử khó phân loại và dự đoán là chuyển động hỗn loạn, một chuyển động phức tạp không tuần hoàn mà do đó có tên của lý thuyết này.

[sửa] Sự vận động hỗn loạn

Để phân loại hành vi của một hệ là hỗn loạn, hệ đó phải thể hiện những tính chất sau đây:

  • phải nhạy với điều kiện ban đầu
  • phải hòa lẫn nhau theo nghĩa topo
  • quỹ đạo của nó phải trù mật

Sự nhạy cảm với các điều kiện ban đầu nghĩa là hai điểm trong một hệ như vậy có thể di chuyển trên những quỹ đạo hoàn toàn khác biệt nhau trong không gian pha của chúng ngay cả nếu như sự khác nhau trong cấu hình ban đầu của chúng là rất nhỏ. Hệ này hành xử hoàn toàn giống nhau nếu như cấu hình ban đầu của chúng là giống nhau một cách chính xác. Một ví dụ về độ nhạy cảm như vậy là hiện tượng gọi là "hiệu ứng bướm", khi mà vẫy cánh của một con bướm được tưởng tượng là tạo ra những thay đổi nhỏ trong khí quyển mà sau một quãng thời gian đủ lớn sẽ tạo nên những thay đổi lớn như là một cơn bão có thể xảy ra. Cái vẫy cánh của con bướm biểu diễn một thay đổi nhỏ trong trạng thái ban đầu của hệ tạo ra một chuỗi các sự kiện để dẫn đến những hiện tượng ở phạm vi rộng lớn hơn như là một cơn bão. Nếu như một con bướm đã không vẫy cánh, quỹ đạo của hệ có thể rất khác xa. Các ví dụ phổ biến khác của các chuyển động hỗn loạn là sự pha trộn của thuốc nhuộm và các dòng khí chuyển động hỗn loạn.

Sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu liên quan đến hàm mũ Lyapunov.

Hòa lẫn nhau nghĩa là khi ta áp dụng phép biến đổi lên bất kì một đoạn bất kì I1 sẽ làm nó mở rộng ra cho đến khi đó chồng lên với một đoạn cho trước bất kì I2.

Tính hòa lẫn nhau, các điểm tuần hoàn trù mật, và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu có thể mở rộng ra bất kì không gian metric nào.

[sửa] Các sự hấp dẫn


One way of visualizing chaotic motion, or indeed any type of motion, is to make a phase diagram of the motion. In such a diagram time is implicit and each axis represents one dimension of the state. For instance, one might plot the position of a pendulum against its velocity. A pendulum at rest will be plotted as a point and a one in periodic motion will be plotted as a simple closed curve. When such a plot forms a closed curve, the curve is called an orbit. Our pendulum has an infinite number of such orbits, forming a pencil of nested ellipses about the origin.

Often phase diagrams reveal that most state trajectories wind up approaching some common limit. The system ends up doing the same motion for all initial states in a region around the motion, almost as though the system is attracted to that motion. Such attractive motion is fittingly called an attractor for the system and is very common for forced dissipative systems.

For instance, if we attach a damper to our pendulum, no matter what its initial position and velocity it will wind up being at rest - or more correctly: it will reach rest at the limit. The trajectories on the phase diagram will all spiral in towards the middle, rather than forming sets of ovals. This point in the middle - the state when the pendulum is at rest - is called an "attractor". Attractors are often associated with dissipative systems like this, where some element (the damper) dissipates energy.

Such an attractor may be called a "point attractor". Not all attractors are points. Some are simple loops, or more complex doubled loops (for which you need more than two degrees of freedom). And some are actually fractals: the so called "strange attractors". Systems with loop attractors exhibit periodic motion. Those with more complex split loops tend to exhibit quasiperiodic motion. And systems with strange attractors tend to exhibit chaotic behavior.

At any point on the phase diagram, the system will tend to evolve to another neighbouring state in some sort of deterministic way. If our pendulum is at a particular position and travelling with a particular velocity, we can calculate what its (infinitesimally) "next" position and velocity will be. That is, we can treat our phase diagram as being a vector field, and use vector calculus to understand it. Attractors in our phase diagram are simply those regions with a negative divergence.

[sửa] Phạm vi của các sự hấp dẫn

While most of the motion types mentioned above give rise to very simple attractors, such as points and circle-like curves called limit cycles, chaotic motion gives rise to what are known as strange attractors, attractors that can have great detail and complexity. For instance, a simple three-dimensional model of the Lorenz weather system gives rise to the famous Lorenz attractor. The Lorenz attractor is perhaps one of the best-known chaotic system diagrams, probably because not only was it one of the first, but it is one of the most complex and as such gives rise to a very interesting pattern which looks like the wings of a butterfly. Another such attractor is the Rössler Map, which experiences period-two doubling route to chaos, like the logistic map.

Strange attractors occur in both continuous dynamical systems (such as the Lorenz system) and in some discrete systems (such as the Hénon map). Other discrete dynamical systems have a repelling structure called a Julia set which forms at the boundary between basins of attraction of fixed points - Julia sets can be thought of as strange repellers. Both strange attractors and Julia sets typically have a fractal structure.

The Poincaré-Bendixson theorem shows that a strange attractor can only arise in a continuous dynamical system if it has three or more dimensions. However, no such restriction applies to discrete systems, which can exhibit strange attractors in two or even one dimensional systems.

[sửa] Lịch sử

The roots of chaos theory date back to about 1900, in the studies of Henri Poincaré on the problem of the motion of three objects in mutual gravitational attraction, the so-called three-body problem. Poincaré found that there can be orbits which are nonperiodic, and yet not forever increasing nor approaching a fixed point. Later studies, also on the topic of nonlinear differential equations, were carried out by G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov, M.L. Cartwright, J.E. Littlewood, and Stephen Smale. Except for Smale, who was perhaps the first pure mathematician to study nonlinear dynamics, these studies were all directly inspired by physics: the three-body problem in the case of Birkhoff, turbulence and astronomical problems in the case of Kolmogorov, and radio engineering in the case of Cartwright and Littlewood. Although chaotic planetary motion had not been observed, experimentalists had encountered turbulence in fluid motion and nonperiodic oscillation in radio circuits without the benefit of a theory to explain what they were seeing.

Chaos theory progressed more rapidly after mid-century, when it first became evident for some scientists that linear theory, the prevailing system theory at that time, simply could not explain the observed behavior of certain experiments like that of the logistic map. The main catalyst for the development of chaos theory was the electronic computer. Much of the mathematics of chaos theory involves the repeated iteration of simple mathematical formulas, which would be impractical to do by hand. Electronic computers made these repeated calculations practical. One of the earliest electronic digital computers, ENIAC, was used to run simple weather forecasting models.

An early pioneer of the theory was Edward Lorenz whose interest in chaos came about accidentally through his work on weather prediction in 1961. Lorenz was using a basic computer, a Royal McBee LGP-30, to run his weather simulation. He wanted to see a sequence of data again and to save time he started the simulation in the middle of its course. He was able to do this by entering a printout of the data corresponding to conditions in the middle of his simulation which he had calculated last time.

To his surprise the weather that the machine began to predict was completely different to the weather calculated before. Lorenz tracked this down to the computer printout. The printout rounded variables off to a 3-digit number, but the computer worked with 6-digit numbers. This difference is tiny and the consensus at the time would have been that it should have had practically no effect. However Lorenz had discovered that small changes in initial conditions produced large changes in the long-term outcome.

The term chaos as used in mathematics was coined by the applied mathematician James A. Yorke.

The availability of cheaper, more powerful computers broadens the applicability of chaos theory. Currently, chaos theory continues to be a very active area of research.

[sửa] Lý thuyết toán học

Mathematicians have devised many additional ways to make quantitative statements about chaotic systems. These include:

  • fractal dimension of the attractor
  • Lyapunov exponents
  • recurrence plots
  • Poincaré maps
  • bifurcation diagrams
  • Transfer operator

[sửa] Cực tiểu sự phức tạp của một hệ thống hỗn loạn

Many simple systems can also produce chaos without relying on differential equations, such as the logistic map, which is a difference equation (recurrence relation) that describes population growth over time.

Even discrete systems, such as cellular automata, can heavily depend on initial conditions. Stephen Wolfram has investigated a cellular automaton with this property, termed by him rule 30.

[sửa] Các ví dụ khác về các hệ thống hỗn loạn

  • Double pendulum
  • Logistic map
  • Hénon map
  • Lorenz model
  • Smale horseshoe
  • Dynamical billiards

[sửa] Xem thêm

  • Anosov diffeomorphism
  • Bifurcation theory
  • Complexity
  • Dynamical system
  • Fractal
    • Benoit Mandelbrot
    • Mandelbrot set
    • Julia set
  • Edge of chaos
  • Mitchell Feigenbaum
  • Predictability
  • Sensitive dependency on initial conditions

[sửa] Tham khảo

[sửa] Sách tham khảo có tính kỹ thuật

  • Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0198508409.
  • Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0471545716.
  • Gutzwiller, Martin (1990). Chaos in Classical and Quantum Mechanics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0387971734.
  • Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0387946772.
  • Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge University Press. ISBN 0521476852.
  • Baker, G. L. (1996). Chaos, Scattering and Statistical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 0521395119.
  • Strogatz, Steven (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Publishing. ISBN 0738204536.
  • Kiel, L. Douglas; Elliott, Euel W. (1997). Chaos Theory in the Social Sciences. Perseus Publishing. ISBN 0472084720.
  • "Wave Propagation in Ray-Chaotic Enclosures: Paradigms, Oddities and Examples", Vincenzo Galdi, et. al., IEEE Antennas and Propagation Magazine, February 2005, p. 62

[sửa] Các sách phổ thông ít có tính kỹ thuật

  • The Beauty of Fractals, by H.-O. Peitgen and P.H. Richter
  • Chance and Chaos, by David Ruelle
  • Computers, Pattern, Chaos, and Beauty, by Clifford A. Pickover
  • Fractals, by Hans Lauwerier
  • Fractals Everywhere, by Michael Barnsley
  • Order Out of Chaos, by Ilya Prigogine and Isabelle Stengers
  • Chaos and Life, by Richard J Bird
  • Does God Play Dice?, by Ian Stewart
  • The Science of Fractal Images, by Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe, Eds.
  • Explaining Chaos, by Peter Smith
  • Chaos, by James Gleick
  • Complexity, by M. Mitchell Waldrop
  • Chaos, Fractals and Self-organisation, by Arvind Kumar
  • Chaotic Evolution and Strange Attractors, by David Ruelle
  • Sync: The emerging science of spontaneous order, by Steven Strogatz
  • The Essence of Chaos, by Edward Lorenz
  • Deep Simplicity, by John Gribbin

[sửa] Phim ảnh

  • Ian Malcolm, a character from the movie and book Jurassic Park, was a chaos theory mathematician.

[sửa] Các liên kết ngoài