Bất đẳng thức Cauchy

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Đây là bài viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để đọc bài viết về bất đẳng thức trong tích vectơ, xin xem bài Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.


  • Với 2 số:
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b


  • Với n số:
\frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1.x_2. ... .x_n}
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x_1 = x_2 = ... = x_n\,

Mục lục

[sửa] Tổng quát hóa

[sửa] Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2, ..., xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2, ..., αn > 0.

Đặt \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n.

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

\frac{\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n}{\alpha} \geq \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}

Đẳng thức khi và chỉ khi x_1 = x_2 = \cdots = x_n

[sửa] Với các loại trung bình khác

Trung bình điều hòatrung bình nhân ≤ trung bình cộng

\frac {n} {\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

Đẳng thức khi và chỉ khi x_1 = x_2 = \cdots = x_n

[sửa] Ứng dụng trong lý thuyết toán

[sửa] Ứng dụng trong các lĩnh vực khác

[sửa] Xem thêm

[sửa] Liên kết ngoài