Vành
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
- Xin xem các mục từ khác có tên tương tự ở Vành (định hướng).
|
Trong toán học, vành cùng với nhóm, trường là những cấu trúc đại số cơ bản.
[sửa] Định nghĩa
Tập hợp R được gọi là vành nếu trên đó có hai phép toán hai ngôi mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "." (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:
- R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng, nghĩa là:
- Phép cộng có tính kết hợp:
:(
- Phép cộng có phần tử trung hòa, nghĩa là
:
- Mọi phần tử của R có phần tử đối:
- Phép cộng có tính giao hoán, nghĩa là :
- Phép cộng có tính kết hợp:
- Phép nhân có tính phân phối với phép cộng, nghĩa là
- Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa là
- Phép nhân có phần tử đơn vị, nghĩa là
Tuy nhiên, có trường phái khác, định nghĩa một vành không có điều kiện phép nhân phải có phần tử đơn vị. Trong trường phái này, vành có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.
Lại có trường phái khác định nghĩa một vành vừa không có phần tử đơn vị, vừa không có điều kiện phép nhân phải có tính kết hợp. Thí dụ, các loại vành Lie được gọi là vành nhưng phép nhân không có tính kết hợp. Người theo trường phái này dùng chữ vành kết hợp để gọi một vành trong đó phép nhân có tính kết hợp. Ngược lại, người theo định nghĩa như ghi ở trên gọi các loại vành không có tính kết hợp là vành không kết hợp.
- Một số loại vành đặc biệt
- Vành giao hoán là vành R trong đó phép nhân có tính chất giao hoán.
- Vành trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.
- Nếu trong vành R tồn tại hai phần tử
,
sao cho a.b=0 thì các phần tử a, b được gọi là ước của 0. Vành giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là vành nguyên hay miền nguyên.
- Vành chính
- Vành Euclid
[sửa] Ví dụ
- Tập hợp các số nguyên
với phép cộng và nhân thông thường là một vành.
- Tập các ma trận vuông cùng cấp n với phép cộng và nhân ma trận là một vành.
- Tập các đa thức với hệ số trên trường số thực là một vành.
- Tập các số dạng
, với
là một vành.
- Vành số nguyên Gauss
Một số nguyên Gauss (hay số nguyên phức) là một số phức mà các phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss, với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, thường kí hiệu là Z[i].
Trong vành số nguyên Gauss, ta cũng có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên như : chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư... Khái niệm đóng vai trò quan trọng đối với các số nguyên Gauss là chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa là: . Có những kết quả khá thú vị như : nếu
là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss.
[sửa] Vành con
[sửa] Định nghĩa
Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A' là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A.
- Các vành con đặc biệt:
- Tập gồm một phần tử {0} và chính R là vành con của R
- Cho phần tử a \in R. Tập các phần tử dạng n.a,
là vành con của R
[sửa] Các điều kiện tương đương
Cho R là một vành, tập con A R. Các mệnh đề sau là tương đương:
- A là vành con của R;
x,y
A, x+y
A, x.y
A, –x
A;
x,y
A, x–y
A.
[sửa] Giao của các vành con
Giao của họ bất kỳ các vành con của R là vành con của R
[sửa] Iđêan (Ideal)
[sửa] Các khái niệm
- Vành con A của vành R được gọi là iđêan trái (hoặc phải) của R nếu x.a
A ( hoặc a.x
A) với mọi a
A, với mọi x
R.
- Vành con A vừa là iđean trái, vừa là iđêan phải của R được gọi là iđean của R.
- Giao của họ bất kỳ các iđêan của R là iđean của R.
- Cho tập con X
R. Iđêan nhỏ nhất của R chứa X được gọi là iđêan sinh bởi X.
[sửa] Một số kết quả
- Nếu R là vành giao hoán, có đơn vị thì iđean sinh bởi tập con của R:
-
-
- {a1,a2,...,ak}
-
là tập hợp các phần tử dạng:
-
-
- a1.x1+a2.x2+...+ak.xk
-
trong đó x1,x2,...,xk R
- Nếu R là vành có đơn vị của R và A là iđeal của R chứa đơn vị thì A=R.
[sửa] Vành thương
- Cho A là một iđean của vành R và phần tử x
R.Tập con của R gồm các phần tử dạng x+a với mọi a
A được gọi là một lớp kề của A theo x.
- Ký hiệu R/A là tập hợp tất cả các lớp kề của A với mọi x
R:
- R/A={x+A | x
R}
- được gọi là tập thương của R theo A.
- Trên tập thương R/A có thể xác định hai phép toán cộng và nhân như sau:
- (x+A)+(y+A)=(x+y)+A
- (x+A).(y+A)=(x.y)+A
Khi đó có thể chứng minh R/A là một vành, vành này được gọi là vành thương của R theo A.
- Ví dụ:
Cho n là số nguyên dương. Tập là iđean của
. Vành thương
/
chính là vành các lớp đồng dư theo môđun n.
[sửa] Đồng cấu vành
[sửa] Khái niệm
- Cho R và R là hai vành. Ánh xạ f:R
R được gọi là đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R, nghĩa là với mọi a,b
R:
- f(a + b) =f(a) + f(b)
- f(a.b) =f(a).f(b)
- Nếu đồng cấu f là đơn ánh (hoặc toàn ánh) thì tương ứng f được gọi là đơn cấu vành(hoặc toàn cấu vành).
- Nếu đồng cấu f là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu vành.
- Nếu R'=R thì f được gọi là tự đồng cấu của vành R.
- Nếu có đồng cấu ( hoặc đẳng cấu)f từ vành R đến vành R thì R được gọi là đồng cấu (hoặc đẳng cấu) với R.
[sửa] Ví dụ
- Ánh xạ không f: R \to R' cho f(x) = 0 với mọi x
R là đồng cấu vành.
- Ánh xạ đồng nhất của R là một tự đồng cấu của R.
- Cho A là vành con của R. Ánh xạ nhúng j:A
R cho j(a)=a với mọi a
A là một đơn cấu vành. Nó được gọi là đơn cấu chính tắc từ A vào R.
- Cho A là iđean của R. Ánh xạ h:R \to R/A cho h(x)=x+A là một toàn cấu, nó được gọi là toàn cấu chính tắc.
- Tích (ánh xạ) của hai đồng cấu là đồng cấu.Tích (ánh xạ) của hai đẳng cấu là đẳng cấu.
[sửa] Ảnh và hạt nhân của đồng cấu
- Khái niệm
- Cho đồng cấu vành f: R
R'.
- Cho đồng cấu vành f: R
-
- Tập con của R gồm các phần tử của Rcó ảnh là phần tử không của R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)
-
- Ker(f)={x
R| f(x)=0}
- Ker(f)={x
-
- Tập con của R gồm các phần tử của Rcó ảnh là phần tử không của R' được gọi là hạt nhân của đồng cấu f, ký hiệu là Ker(f)
-
- Tập f(R) được gọi là ảnh của đồng cấu f, ký hiệu là Im(f).
- Tính chất
- Ker(f) là iđêan của R và Im(f) là vành con của R'.
- Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={0}
- Với mọi đồng cấu f:R
R', Im(f) đẳng cấu với vành thương R/Ker(f).
[sửa] Đặc số của vành
- Cho vành có đơn vị R. Nếu tồn tại số tự nhiên dương m sao cho m.1 = 0 thì số m nhỏ nhất có tính chất đó được gọi là đặc số của R. Nếu không tồn tại m như vậy R được gọi là có đặc số 0.
- Ví dụ : Vành số nguyên
có đặc số 0, vành thương
/
có đặc số n.