Pi

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En matemátiques y xeometría, π (pi) ye la relación ente la lonxitú de la circunferencia y el so diámetru. Ye un númberu trascendental, lo que significa que nun ye la raíz de ningún polinomiu non nulu de coeficientes enteros.

Alternativamente, π pue ser definíu como'l área d'un círculu de radiu 1, o como'l menor númberu x positivu tal que sen (x) = 0.

La notación cola lletra griega π foi popularizada pol matemáticu Leonhard Euler.

El valor de pi truncáu a 100 posiciones decimales ye:

π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 8939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170680

Tabla de conteníos

[editar] Fórmules que contienen a π

En Xeometría:

  • Circunferencia de radiu r: C = 2 π r
  • Área del círculu de radiu r: A = π r²
  • Área de la elipse con semiexes a y b: A = π ab
  • Área del cilindru: 2πr(r+h)
  • Área de la esfera: 4 π r²
  • Volumen de la esfera de radiu r: V = (4/3) π r³
  • Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes

En Probabilidá:

  • La probabilidá de que dos enteros positivos escoyíos al azar seyan primos ente si ye: 6/π²
  • Si s'escueyen al azar dos númberos positivos menores que 1, la probabilidá de que xunto col númberu 1 puedan ser los llaos d'un triángulu obtusángulu es: (π-2)/4
  • El númberu mediu de formes d'escribir un enteru positivu como suma de dos cuadraos perfectos ye π/4 (el orden ye relevante)
  • Aguya de Buffon: Si llanzamos, al azar, una aguya de lonxitú L sobre una superficie na qu'hai dibuxaes llinies paraleles separtaes una distancia D, la probabilidá de que l'aguya corte a una llínea ye: Lπ/2D

N'Análisis matemáticu:

\sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (fórmula de Leibniz)
\prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (producto de Wallis)
\sum_{n=0}^{\infty }{{{2^{n}\,n!^2}\over{\left(2\,n+1\right)!}}}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2} (Euler)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identidá d'Euler, tamién conocida como "la fórmula más importante del mundu")
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Fórmula de Stirling)


\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}


Amás, π tien varies representaciones como fracciones continues:

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}

(Hay otres doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ )

[editar] Historia del cálculu de π

Debido a la naturaleza trascendental de π, los cálculos deben facese con aprosimaciones más o menos precises. Normalmente tómense los valores 3,14 y 22/7, que s'estremen del auténticu valor nun 0,05%. Los físicos y inxenieros suelen tomar 3,1416 como aprosimación (cinco cifres significatives) o incluso 3,14159 (seis cifres significatives) pa obtener una mayor precisión de la circunferencia.

Esiste otra fracción qu'aprosima π: 355/113. Ye fácil de memorizar, porque tien dos unos, dos treses y dos cincos, y la precisión (7 cifres significatives) ye notable.

Nel sieglu XX antes de X.C. los babilonios utilizaron l'aprosimación 25/8 y los exipcios (16/9)2(=3.16049...) que yera una aproximación abondo buena. Nun foi hasta'l sieglu III a.d.X.C. cuando s'utilizó una meyor aprosimación: hacia'l 250 a.d.X.C., gracies a un métodu consistente n'encuadrar un círculu por dos polígonos, Arquímedes obtuvo: 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), o seya, dos decimales esactos.

N'Oriente Mediu en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, siempre con métodos xeométricos, l'holandés Ludolph van Ceulen calcula 20 decimales, depués 34 en 1609. Taba tan orgullosu de la so fazaña (a la que-y consagra una buena parte de la so vida) que pide que'l númberu seya escritu sobre la so tumba.

Darréu, gracies al desarrollu del Análisis matemáticu nel sieglu XVII, particularmente les sumes y productos infinitos, el cálculu de decimales de Pi acelérase. Por exemplu, Isaac Newton calcula 16 decimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Hacia 1760, Euler calcula 20 decimales nuna hora (comparaos colos 14 decimales obteníos por Van Ceulen en más de 10 años de cálculos).

El matemáticu eslovenu Jurij Vega calcula en 1789 los 140 primeros decimales de π de los cuales 137 yeren correctos. Esi record durará más de 50 años. Él meyorará la fórmula que John Machin topara en 1706 y el so métodu ye mencionáu siempre a día de güei.

El matemáticu William Shank dedica 20 años de so vida a calcular los decimales de Pi. Llega a calcular 707, pero solo los 528 primeros yere correctos. Aunque'l so error nun foi detectáu hasta 1945.

El cálculu de decimales de Pi entusiasma nel sieglo XX, cola apaición de la informática: 2037 son calculaos en 1949 pola calculadora americana ENIAC, 10.000 decimales en 1958, 100.000 en 1961, 1.000.000 en 1973, 10.000.000 en 1982, 100.000.000 en 1989, y 1.000.000.000 el mesmu añu. El record d'anguañu, obteníu en 2002 ye de 1.241.100.000.000 decimales.

Delles aprosimaciones históriques de π:

Añu Matemáticu o documentu Aprosimación Error

(en partes por millón)

~1650 adC Papiru de Ahmes (Exipto) 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 adC Tablina de Susa (Babilonia) 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 adC La Biblia (Reis I, 7,23) 3 45070 ppm
~500 adC Bandhayana (India) 3,09 16422 ppm
~250 adC Arquímedes de Siracusa ente 3 10/71 y 3 1/7

empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~200 Claudio Ptolomeo 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui (China) 3,1416 2,34 ppm
263 Wang Fan 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong (China) 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi (China) entre 3,1415926 y 3,1415929

empleó 355/113 ~ 3,1415929

<0,078 ppm

0,085 ppm

~500 Aryabhata 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 al Juarizmi 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava 3,14159265359
1424 Al-Kashi 6.2831853071795865 0,1 ppm
Añu Descubridor Ordenador utilizáu Númberu de cifres decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros ENIAC 2.037
1955   MORC 3.089
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967   CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud   2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky   2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky   4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi [1] HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi [2] Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi [3] Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi [4] Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros [5] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000

[editar] Aproximaciones xeométriques a π

Ye posible obtener un averamientu al valor de π de forma xeométrica. De fechu, yá los griegos intentaron obtener ensin ésitu una solución esacta al problema del valor de π mediante l'empleu de regla y compás. El problema griegu conocíu como cuadratura del círculu o, lo que ye lo mesmo, obtener un cuadráu d'área igual al área d'un círculu cualquiera, lleva implícitu'l cálculu del valor esactu de π.

Una vez demostrao que yera imposible la obtención de π mediante l'usu de regla y compás, desendolcáronse dellos métodos aprosimaos. Dos de les soluciones aprosimaes más fachendoses son les debíes a Kochanski (usando regla y compás) y la de Marcheroni (empleando únicamente un compás).

[editar] Métodu de Kochanski

Dibúxase una circunferencia de radiu R. Dientro d'ella inscríbese un hexágonu y tómase'l triángulu OEG. Trázase una paralela al segmentu EG que pase por A, prolongándola hasta que se corte col segmentu OE, obteniendo D. Dende'l puntu D y sobre esi segmentu trespórtase 3 veces el radiu de la circunferencia y obtiense'l puntu C. El segmentu BC ye aprosimadamente la mitá de la lonxitú de la circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

BC2 = AB2 + (3 − DA)2

OF= \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3}

Sustituyendo na primera fórmula:

BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533...

[editar] Métodu de Mascheroni

Desendolcáu por Lorenzo Mascheroni, dibúxase una circunferencia de radiu R y dientro d'ella inscríbese un hexágonu. El puntu D ye la intersección de los arcos de circunferencia A'B con centru en A' y l'arcu AC con centru n'A. El puntu E ye la intersección del arcu BD con centru en B cola circunferencia. El segmentu AE ye aprosimadamente un cuartu de la lonxitú de la circunferencia


Demostración (suponiendo R = 1)

AD=AC=\sqrt{3} OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}

BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}

Pol teorema de Ptolomeo nel cuadriláteru ABEB'

BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'

2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399...

Ver tamién: algoritmu de Borwein

[editar] Enllaces externos