Μαθηματική Ανάλυση
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Η ανάλυση είναι ένα πεδίο των μαθηματικών του οποίου τα θεμέλια ανάπτυξαν ο Γκόντφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς και ο Ισαάκ Νεύτων ανεξάρτητα.
Δίπλα στις απειροστικές τιμές ακολουθίων και σειρών αναφέρεται η ανάλυση βασικά και σε συναρτήσεις πραγματικών αριθμών καθώς και στη συνέχεια, την διαφορισιμότητα και την ολοκλήρωση τους.
Οι μέθοδες της ανάλυσης έχουν μεγάλη σημασία στις φυσικές και μηχανικές επιστήμες.
Η μαθηματική ανάλυση μπορεί να υποδιεριθεί στα εξής δύο κύρια υποπεδία: Διαφορικός λογισμός, Ολοκληρωτικός Λογισμός.
[Επεξεργασία] Διαφορικός Λογισμός
Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι g(x) = mx + b. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι
για δύο οποιαδήποτε σημεία . Ιδιαίτερα είναι η κλίση μιας ευθείας σταθερή.
Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας κοντινός τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης σε κάποιο σημείο
είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο
με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πως να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο
κοντά στο
η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία
και
έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι
Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο ποιό κοντά επιλεχτεί το σημείο στο σημείο
, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου
στο σημείο
και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθημτικά ως ακολούθως
ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης
στο σημείο
. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το
τείνει στο
. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση
ονομάζεται διαφορίσιμη, αν όχι μη διαφορίσιμη.