Μαθηματικά
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία.
Αυτές οι συγκεκριμένες δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τους τομείς που μελετούν για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα μαθηματικά ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.
Η λέξη προέρχεται από τον (αρχαίο) πληθυντικό τού ουδετέρου τού επιθέτου μαθηματικός < μαθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ γνώσεις, γνώση, παιδεία, πείρα, εμπειρία
Πίνακας περιεχομένων |
[Επεξεργασία] Γενική επισκόπηση και ιστορία των μαθηματικών
Οι κυριότεροι κλάδοι των μαθηματικών προέκυψαν από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών, μέτρησης του εδάφους και πρόβλεψης αστρονομικών γεγονότων. Αυτές οι τρεις ανάγκες σχετίζονται με την-υπό την ευρεία έννοια-υποδιαίρεση των μαθηματικών στη μελέτη της δομής, του χώρου και της μεταβολής.
Η μελέτη της δομής αρχίζει με τους γνωστούς αριθμούς, που είναι οι φυσικοί αριθμοί και οι ακέραιοι αριθμοί καθώς και τις αριθμητικές πράξεις μεταξύ τους, οι οποίες εξετάζονται από την στοιχειώδη άλγεβρα. Οι ιδιότητες των αριθμών γενικά εξετάζονται από την Θεωρία αριθμών. Η έρευνα για τις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων οδηγεί στο πεδίο που λέγεται Αφηρημένη άλγεβρα, η οποία, μεταξύ άλλων, μελετά τις δομές που γενικεύουν τις ιδιότητες των γνωστών αριθμών δηλαδή ομάδα, δακτύλιος και σώμα. Η σημαντική από φυσική άποψη έννοια διάνυσμα, που γενικεύεται από τη δομή που καλείται διανυσματικός χώρος και μελετιέται από την Γραμμική άλγεβρα, ανήκει στους δύο κλάδους της δομής και του χώρου.
Η μελέτη του διαστήματος προέρχεται από την Γεωμετρία, γνωστή ως Ευκλείδειος γεωμετρία, και την Τριγωνομετρία για τον αντιληπτό από τις αισθήσεις μας τρισδιάστατο χώρο, αλλά αργότερα γενικεύεται στις Μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες που παίζουν έναν κεντρικό ρόλο μέσα στην Γενική σχετικότητα. Μερικά προβλήματα που απασχόλησαν τον μαθηματικό κόσμο για αιώνες σχετιζόμενα με τις Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη λύθηκαν τελικά από την Θεωρία Γκαλουά. Οι σύγχρονοι κλάδοι που ονομάζονται Διαφορική γεωμετρία και Αλγεβρική γεωμετρία γενικεύουν τη γεωμετρία σε διαφορετικές κατευθύνσεις: στη διαφορική γεωμετρία βασικές έννοιες είναι οι συναρτήσεις, οι διαφορικοί τελεστές, η ομαλότητα και η διεύθυνση, ενώ στην αλγεβρική γεωμετρία τα γεωμετρικά αντικείμενα περιγράφονται ως σύνολα λύσεων που ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις. Η Θεωρία ομάδων ερευνά την έννοια της αφηρημένης συμμετρίας και συνδέει τη μελέτη του χώρου με αυτήν της δομής. Η Τοπολογία συνδέει τη μελέτη του χώρου και τη μελέτη της μεταβολής εστιάζοντας στην συνέχεια.
Η κατανόηση και η περιγραφή της μεταβολής στις μετρήσιμες ποσότητες είναι το κοινό θέμα των φυσικών επιστημών, και ο Απειροστικός λογισμός αναπτύχθηκε ως ένα χρήσιμο εργαλείο ακριβώς για αυτό. Η κεντρική έννοια που χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια μεταβολή είναι η Συνάρτηση. Πολλά προβλήματα αντιμετωπίζονται ως σχέσεις μεταξύ μιας ποσότητας και του ρυθμού μεταβολής της, και επιλύονται ως διαφορικές εξισώσεις. Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύσουν τις συνεχείς ποσότητες είναι οι πραγματικοί αριθμοί, και η λεπτομερής μελέτη των ιδιοτήτων τους και των ιδιοτήτων των πραγματικών συναρτήσεων είναι γνωστή ως Πραγματική ανάλυση. Η Συναρτησιακή ανάλυση εστιάζει σε χώρους συναρτήσεων, θέτοντας τη βάση μεταξύ άλλων για την Κβαντομηχανική. Πολλά φυσικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν ως Δυναμικά συστήματα και η Θεωρία του χάους εξετάζει το γεγονός ότι πολλά από αυτά τα συστήματα έχουν απρόβλεπτη πλην όμως αιτιοκρατική συμπεριφορά.
Προκειμένου να αποσαφηνιστούν και να διερευνηθούν τα θεμέλια των μαθηματικών, αναπτύχθηκε η Θεωρία συνόλων, η Μαθηματική λογική και η Θεωρία μοντέλων.
Όταν πρωτοεμφανίστηκαν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, οι μαθηματικοί διαμόρφωσαν διάφορες ουσιαστικές θεωρητικές έννοιες που οδηγούν σε κλάδους όπως Θεωρία πληροφοριών και Θεωρία αλγορίθμων. Πολλά από αυτά τα προβλήματα ερευνά τώρα σε θεωρητικό επίπεδο η Επιστήμη Υπολογιστών. Διακριτά μαθηματικά είναι το κοινό όνομα για εκείνα τα πεδία των μαθηματικών που είναι χρήσιμα στην επιστήμη των υπολογιστών. Ένα σημαντικό πεδίο μέσα στα Εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι η Στατιστική, που χρησιμοποιεί την Θεωρία των πιθανοτήτων ως εργαλείο και επιτρέπει την περιγραφή, την ανάλυση και την πρόβλεψη των φαινομένων και χρησιμοποιείται σε όλες τις επιστήμες. Η Αριθμητική ανάλυση αναζητεί αποτελεσματικές αριθμητικές μεθόδους επίλυσης διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων με τη χρήση υπολογιστών και υπολογίζει τα σφάλματα στρογγυλοποίησης
[Επεξεργασία] Αντικείμενα των Μαθηματικών
Ο παρακάτω αλφαβητικός κατάλογος αντικειμένων των μαθηματικών χρησιμεύει για να παρακολουθούνται τυχόν αλλαγές σε άρθρα μαθηματικού ενδιαφέροντος.
[Επεξεργασία] Ποσότητα
Αριθμοί -- Πραγματικοί Αριθμοί -- Ρητοί Αριθμοί -- Μιγαδικοί Αριθμοί -- Υπερπραγματικοί Αριθμοί
[Επεξεργασία] Μεταβολή
Αριθμητική -- Λογισμός -- Διανυσματικός Λογισμός -- Μαθηματική Ανάλυση -- Διαφορικές Εξισώσεις -- Δυναμικά συστήματα και χάος
[Επεξεργασία] Δομές
Άλγεβρα -- Άλγεβρα Μπουλ -- Θεωρία Αριθμών -- Αλγεβρική Γεωμετρία -- Θεωρία Ομάδων -- Τοπολογία -- Γραμμική Άλγεβρα -- Θεωρία Γράφων -- Θεωρία Κατηγοριών
[Επεξεργασία] Χώρος
Τοπολογία -- Γεωμετρία -- Τριγωνομετρία -- Αλγεβρική Γεωμετρία -- Διαφορική Γεωμετρία -- Διαφορική Τοπολογία -- Αλγεβρική Τοπολογία -- Γραμμική Άλγεβρα
[Επεξεργασία] Διακριτά Μαθηματικά
Πιθανότητες -- Πεπερασμένα Μαθηματικά -- Κρυπτογραφία -- Θεωρία Γραφημάτων -- Θεωρία Παιγνίων
[Επεξεργασία] Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Μηχανική -- Αριθμητική Ανάλυση -- Επιχειρησιακή Έρευνα -- Πιθανότητες -- Στατιστική -- Οικονομικά Μαθηματικά
[Επεξεργασία] Γνωστά Θεωρήματα και Υποθέσεις
Τελευταίο θεώρημα του Φερμά -- Υπόθεση του Riemann -- Υπόθεση του συνεχούς -- Πυθαγόρειο Θεώρημα -- Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας
[Επεξεργασία] Θεμέλια και Μέθοδοι
Φιλοσοφία των Μαθηματικών -- Θεμέλια των Μαθηματικών -- Θεωρία Συνόλων -- Λογική -- Θεωρία Μοντέλων -- Θεωρία Κατηγοριών -- Πίνακας Μαθηματικών Συμβόλων
[Επεξεργασία] Ιστορία και ο κόσμος των Μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών -- Μεγάλοι Μαθηματικοί -- Μαθηματικές Ενώσεις και Εταιρίες -- Μαθηματικές Ολυμπιάδες -- Διδακτική των Μαθηματικών
[Επεξεργασία] Αποσπάσματα
Αναφορικά με την αξιωματική μέθοδο, όπου θέτουμε κάποιες θεμελιώδεις αρχές μιας (αλλιώτικα άγνωστης) δομής και στη συνέχεια οι υπόλοιπες προτάσεις προκύπτουν λογικά, Ο Μπέρτραντ Ράσσελ (Bertrand Russell) έλεγε:
- Τα Μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως εκείνο το γνωστικό αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε ποτέ ούτε για τι πράγμα μιλάμε ούτε αν αυτό που λέμε είναι αληθές.
Αυτό εξηγεί γιατί ο Τζον φον Νόιμαν (John Von Neumann) είπε κάποτε:
- Στα Μαθηματικά δεν καταλαβαίνουμε πράγματα. Απλώς τα χρησιμοποιούμε.
[Επεξεργασία] Τα Μαθηματικά δεν είναι...
[Επεξεργασία] Βιβλιογραφία (στα αγγλικά)
- Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
- Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhδuser, Boston, Mass., 1980. Μια ευγενική εισαγωγή στον κόσμο των Μαθηματικών.
- Gullberg, Jan, Mathematics--From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Μια εγκυκλοπεδική επισκόπηση των μαθηματικών σε καθαρή, απλή γλώσσα.
- Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Μια μεταφρασμένη και επεκτεταμένη εκδοχή μιας Σοβιετικής εγκυκλοπαίδειας μαθηματικών, σε δέκα (ακριβούς) τόμους, το πιό πλήρες και αναγνωρίσιμο έργο διαθέσιμο. Επίσης σε χαρτόδετη έκδοση και σε CD-ROM.
- Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973);
[Επεξεργασία] Εξωτερικοί σύνδεσμοι
- Ένας μαθηματικός θησαυρός συντηρούμενος από το Πανεπιστήμιο του Cambridge (UK)
- Rusin, Dave: The Mathematical Atlas, μια περιήγηση στους διαφόρους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών.
- Weisstein, Eric: World of Mathematics, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών.
- Planet Math, μια online εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών υπό κατασκευή. Χρησιμοποιεί την άδεια GFDL, επιτρέποντας ανταλλαγή άρθρων με την Βικιπαίδεια, και συμβολισμό TeX.
- MathForge, ένα blog ειδήσεων με εύρος θεμάτων από τα εκλαϊκευμένα μαθηματικά έως την εκλαϊκευμένη Φυσική, την Επιστήμη Υπολογιστών και την Εκπαίδευση.
- Metamath, ένας ιστότοπος και μια γλώσσα, που τυποποιούν τα μαθηματικά από τις βάσεις τους.