Περιοχή κυρίων ιδεωδών

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Μια ακεραία περιοχή R καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο.

[Επεξεργασία] Παραδείγματα

  • Γνωρίζουμε ότι αν R σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το R = < 1 > και το μηδενικό ιδεώδες {0R} = < 0R > και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
  • Ο \mathbb{Z}[x] είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες < 2,x > υπάρχει h(x) \in \mathbb{Z}[x] τέτοιο ώστε < 2,x > = < h(x) > προκύπτει ότι h(x)=\pm 1 ήh(x)=\pm x.Στην πρώτη περίπτωση έχουμε \pm 1=2k(x)+x ,άτοπο, ενώ στη δέυτερη περίπτωση έχουμε ότι 2 \in <2,x>=<h(x)>=<x> και άρα 2 = xk(x) ,άτοπο.
  • Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος \{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{-19};a,b \in \mathbb{Z} ,a\equiv b \pmod{2} \}.