Συμμετρικό πολυώνυμο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

[Επεξεργασία] Ορισμός

\mathcal{R}[x_1,...,x_n] ο δακτύλιος των πολυωνύμων στις μεταβλητές x1,..,xn με συντελεστές απο το μοναδιαίο δακτύλιο \mathcal{R} και \mathcal{S}_n η συμμετρική ομάδα βαθμού n.


Ένα πολυώνυμο f \in \mathcal{R}[x_1,..,x_n] θα καλείται συμμετρικό (symmetric polynomial) αν ισχύει ότι


f (x_1,..x_n)=f(x_{\pi(x_1)},...,x_{\pi(x_n)}) για κάθε μετάθεση π\in \mathcal{S}_n.

[Επεξεργασία] Παράδειγματα

Τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι συμμετρικά

  • s1 = x1 + .. + xn
  • s2 = x1x2 + ... + x1xn + ....xn − 1xn

.....

  • sn = x1x2..xn

Τα πολυώνυμα αυτά καλούνται στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα (elementary symmetric polynomials) και προκύπτουν (με προσέγγιση προσήμου),ως συντελεστές του πολυωνύμου

(x-x_1)....(x-x_n)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-...+(-1)^ns_n\in \mathcal{R}[x_1...,x_n][x]

Άλλες γλώσσες