Πιθανότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες P(E) ανατίθενται στα γεγονότα E. Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Πίνακας περιεχομένων

[Επεξεργασία] Κλασική πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας οριστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.

[Επεξεργασία] Βασικές έννοιες

  • Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με \,\omega.
  • Δειγματοχώρος \Omega\, είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο \,\omega ισχύει \,\omega\in\Omega.
  • Γεγονός A\, είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του \Omega,\, A \sub\Omega\,. To \Omega\, είναι το ίδιο ένα γεγενος και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.

[Επεξεργασία] Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχοyμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω \,\omega_1 το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα \,\omega_i, i=2,\dots,6. Ο δειγματοχώρος ειναι ο \,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\} ή για λόγους απλότητας \,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Το γεγονός A\, να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) \,A=\{2, 4, 6\}. Το γεγονός B\, να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι \,B=\{1, 2\}.


[Επεξεργασία] Ορισμός

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}

[Επεξεργασία] Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5
P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333

[Επεξεργασία] Μέτρο πιθανότητας

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov).

[Επεξεργασία] Ορισμός

Έστω ένα σύνολο Ω και μία σ-άλγεβρά του \mathcal{F}. Πιθανότητα P\, ονομάζεται η συνάρτηση P:\mathcal{F}\to \R που ικανοποιεί:

  1. P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}
  2. P(\Omega)=1\,
  3. P(\cup_{i\in I}A_i)=\sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j=\emptyset \;\forall i\neq j

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον (\Omega, \mathcal{F}) με την ιδιότητα P(\Omega)=1\,.

Αν στην πιθανότητα P\, αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τοτέ η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

P(A)=\int_Af(x)dx\;

[Επεξεργασία] Ιδιότητες

  • P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)
  • P(\emptyset) = 0
  • P(A \cup B) = P(A) + P(B)  - P(A \cap B).

[Επεξεργασία] Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F η οποία ορίζεται, μόνο αν το F δεν είναι αδύνατο γεγονός (P(F) > 0), ως:

P(E|F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} .

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E με δεδομένο το F είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E, τότε τα E και F είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F).

H δεσμευμένη πιθανότητα P(\cdot|F)=:Q(\cdot) ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον (F,\mathcal{F}_F), όπου \mathcal{F}_F=\cup_{A\in\mathcal{F}}(A\cap F), αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.