Φυσικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από όλους τους θετικούς ακεραίους. Συμβολίζεται με \mathbb{N}.

\mathbb{N}=\{1,2,3...\}

.

Σε ορισμένες περιπτώσεις το 0 συμπεριλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς. Όταν χρειάζεται να διαφοροποιείσουμε τις δύο περιπτώσεις, χρησημοποιείται συνήθως το σύμβολο \mathbb{N}^* για το σύνολο χώρις το 0 και \mathbb{N}_0 για το σύνολο με το 0.

[Επεξεργασία] Ορισμοί

[Επεξεργασία] Αξιώμάτα Peano

Παραδοσιακά οι φυσικοί αρι8μοί ορίζονται συμφωνα με τα αξιώμάτα Peano:

  1. To 0 είναι φυσικός αριθμός
  2. Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'
  3. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο το 0
  4. Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n,m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n',m'
  5. Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς (μαθηματική επαγωγή)

Τα αξιώμάτα Peano περιγράφουν τους φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν αποδεικνύουν την ύπαρξή τους.

[Επεξεργασία] Συνολοθεωριτική προσέγγιση

0 = \emptyset
1 = 0' = \{0\} = \{\emptyset\}
2 = 1' = \{0,1\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}
\vdots
n' = \{0,1,\ldots ,n\} = n \cup \{n\}