Número alxébrico
Na Galipedia, a wikipedia en galego.
Sistema numérico en matemáticas. | |
Elementais | |
i Unidade imaxinaria
|
|
Extensións dos números complexos | |
Bicomplexos |
|
Especiais | |
Nominais |
|
Outros importantes | |
Secuencias de enteiros |
|
Sistemas de numeración | |
|
Un número alxébrico é calquera número real ou complexo que é solución dunha ecuación polinómica da forma:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x1 + a0 = 0
onde n > 0 , cada ai é enteiro e an é distinto de cero.
Tódolos números racionais son alxebraicos porque tódalas fraccións da forma a / b son solución de bx - a = 0. Algúns números irracionais como 21/2 (a raíz cadrada de 2) e 31/3/2 (a mitade da raíz cúbica de 3) tamén son alxebraicas porque son solucións de x2 - 2 = 0 e 8x3 - 3 = 0, respectivamente. Pero non tódolos números reais son alxebraicos. Os exemplos máis coñecidos son π e e. Se un número complexo non é alxebraico, dícese que é un número trascendente.
Se un número alxebraico é solución dunha ecuación polinómica de grao n, pero non pode selo de unha ecuación polinómica de grao menor, entón dícese que é un número alxebraico de grao n.
A suma, diferencia, producto ou cocente de dous números alxebraicos volve a ser alxebraico, e polo tanto os números alxebraicos constituen un campo. Pode demostrarse que se os coeficientes ai son números alxebraicos calesquera, a solución da ecuación volverá a ser un número alxebraico. En outras palabras, o campo dos números alxebraicos é alxebraicamente cerrado. De feito, é o campo alxebraicamente cerrado máis pequeño que conten os racionais.
Tódolos números que poden escribirse a partir dos racionais empregando soamente as operacións aritméticas +, -, *, /, potencias e raíces son alxebraicos. Nembargantes, existen números alxebraicos que non poden escribirse desta forma, e son todos de grao >5. Ésta é unha consecuencia da Teoría de Galois.
Un número alxebraico que satisface unha ecuación polinómica de grao n con an = 1 denomínase enteiro alxebraico. Algúns exemplos de enteiros alxebraicos son 3×21/2 + 5 y 6i - 2. A suma, diferencia e producto de enteiros alxebraicos volve a ser un enteiros alxebraicos, o que significa que os enteiros alxebraicos forman un anel. O nome de enteiro alxebraico provén do feito de que os únicos números racionais que son enteiros alxebraicos son os propios enteiros.
Tanto a noción de número alxebraico como a de enteiro alxebraico poden ser útilmente xeralizadas en outros campos, amáis do campo dos complexos, véxase extensión alxebraica.