홀함수와 짝함수
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수학에서 짝함수(even functions)와 홀함수(odd functions)는 특이한 대칭 관계를 만족하는 함수들이다. 해석학에서 자주 사용하며, 특히 멱급수나 푸리에 급수에서 중요하게 사용한다.
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[편집] 짝함수
짝함수는 우함수(偶函數)라고도 한다. 가 실수에서 정의된 실수값 함수라고 가정할 때, 모든 실수
에 대해서 다음 식이 성립한다면
는 짝함수이다.
그래프를 그려보면, 모든 짝함수는 y축을 기준으로 좌우대칭이다. 이 함수를 테일러 급수로 전개하면, 차수가 짝수인 항으로만 구성된다.
짝함수의 예로는 | x |, x2, x4, cos(x), and cosh(x)등이 있다.
짝함수는 일대일사상일 수 없다.
[편집] 홀함수
홀함수는 기함수(奇函數)라고도 한다. 마찬가지로, 가 실수에서 정의된 실수값 함수라고 가정할 때, 모든 실수
에 대해서 다음 식이 성립한다면
는 짝함수이다.
그래프로 그려보면, 모든 홀함수는 원점에 대해서 대칭이다. 즉, 그래프를 원점을 중심으로 180도 회전하면 원래 그래프 그대로를 얻을 수 있다. 이 함수를 테일러 급수로 전개하면, 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.
홀함수의 예로는 x, x3, sin(x), and sinh(x)등이 있다.
[편집] 홀함수와 짝함수의 성질
[편집] 기본 성질
- 짝함수이며 동시에 홀함수인 함수는
인 상수함수 밖에 없다.
- 일반적으로, 홀함수와 짝함수를 합하면 짝함수도 아니고 홀함수도 아닌 함수가 된다. 예:
- 두 짝함수를 합하면 짝함수가 되며, 임의의 상수를 곱해도 짝함수가 된다.
- 두 홀함수를 합하면 홀함수가 되며, 임의의 상수를 곱해도 홀함수가 된다.
- 두 홀함수를 곱하면 짝함수가 된다.
- 두 짝함수를 곱하면 짝함수가 된다.
- 홀함수와 짝함수를 곱하면 홀함수가 된다.
- 짝함수를 짝함수로 나눈 몫은 짝함수이다.
- 홀함수를 홀함수로 나눈 몫은 짝함수이다.
- 짝함수를 홀함수로 나눈 몫은 홀함수이다. 반대의 경우도 마찬가지로 홀함수이다.
- 짝함수의 미분은 홀함수이다.
- 홀함수의 미분은 짝함수이다.
[편집] 급수
- 짝함수의 테일러 급수는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다.
- 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.
- 짝주기함수의 푸리에 급수는 코사인 항으로만 구성된다.
- 홀주기함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성된다.
- 모든 함수
는 다음과 같이 짝함수와 기함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.