테일러 급수

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테일러 급수(Taylor series)


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[편집] 정의

함수 실수 공간 \mathbb{R}에서 정의된 함수f(x)가 공간 \left[a, b\right]에서 n번 미분 가능하고, f(n + 1)의 값이 구간 \left[a,b\right]에서 존재한다고 가정하자. 또한 x_0 \in \left[a,b\right]이라고 하자. 이 때 모든 x \in \left[a,b\right]에 대해 다음 식을 만족시키는 \epsilon(x) \in (x_0, x)이 존재한다:

f(x) = Pn(x) + Rn(x)이고, 이 때, P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)\left(x-x_0\right) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{\left(n\right)}(x_0)}{n!}\left(x-x_0\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\left(x-x_0\right)^k이고, R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}\left(\epsilon\left(x\right)\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_0\right)^{n+1} 이다.

[편집] 예제