정다각형

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정오각형
실제 크기로
정오각형

정다각형 은 모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 단순한(자기 자신과 교차하지 않는) 다각형이다. 변의 개수가 같은 정다각형 끼리는 모두 닮았다.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등, 정다각형의 종류는 무수히 많다. 퇴화된(degenerate) 경우인 정이각형, 즉 두 겹의 선분 역시 정다각형으로 취급되는 경우가 있다.

목차

[편집] 성질

정n각형의 한 내각의 크기는 (1-2/n)\times 180 도 (또는, (n-2)\times 180/n 도)이다. 호도법으로는 (1 − 2 / n 라디안이며, 이것은 (n−2)/(2n) 바퀴를 도는 각이다.

정다각형의 꼭지점은 모두 한 원위에 있다. 다시 말해 정다각형은 모두 원에 내접하는 다각형이다.

정n각형은 n의 홀수인수들이 모두 서로 다른 페르마 소수일 때, 그 때에만 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다.

n 이 3 이상의 정수일 때, 정n각형의 대각선의 수는 \frac{n(n-3)}{2} 이다. 다시 말해 정삼각형부터 차례로 0, 2, 5, 9, ... 개의 대각선을 갖는다. 이들 대각선에 의해 각 정다각형은 1, 4, 11, 24, ... 개의 영역으로 나누어진다.

[편집] 넓이

정육각형의 변심거리
실제 크기로
정육각형의 변심거리

정n각형의 넓이는

A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}

이다. 여기서 t 는 한 변의 길이이다. 이 식은 정다각형의 넓이는 둘레의 반과 변심거리(중심으로부터 한 변에 내린 수선의 길이)의 곱과 같다는 것을 말해 준다.

t=1 일 때 위 식은

{\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)

와 같이 간단히 할 수 있으며 이것을 가지고 각각의 정다각형의 넓이를 구해 보면 다음과 같다.

2   0 0.000
3   \frac{\sqrt{3}}{4} 0.433
4   1 1.000
5   \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1.720
6   \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2.598
7    3.634
8   2 + 2 \sqrt{2} 4.828
9    6.182
10   \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7.694
11    9.366
12   6+3\sqrt{3} 11.196
13    13.186
14    15.335
15    17.642
16    20.109
17    22.735
18    25.521
19    28.465
20    31.569
100    795.513
1000    79577.210
10000    7957746.893

이 넓이들은 각각 둘레의 길이가 같은 원의 넓이에 비해 약 0.26 만큼씩 작다. n < 8 인 경우 그 차이는 약간 더 크고, 그 차이는 n 이 커짐에 따라 줄어들며, 극한값은 π/12 이다.

[편집] 대칭성

정n각형의 대칭변환군 은 위수(order) 2n 인 정이면체군 Dn (D2, D3, D4,...) 이다. Dn 은 Cn 의 회전이동과 n 개의 축에 대한 선대칭이동으로 이루어진다. 다시 말해 정n각형은 위수 n 인 회전 대칭성이 있으며, n 개의 축에 대해 선대칭이다. n 이 짝수이면 대칭축 중에서 반은 마주보는 두 꼭지점을 지나는 직선이고 나머지 반은 마주보는 변들의 중점을 지나는 직선이다. n 이 홀수일 때는 대칭축은 모두 한 꼭지점과 그것과 마주보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

[편집] 볼록하지 않은 정다각형

정다각형의 개념을 확장하여 별 다각형를 포함하도록 하기도 한다. 별 다각형은 사실 볼록하지 않을 뿐 아니라 단순하지 않은 것이므로 이것을 "오목하다"고 말할 수는 없다(단순하면서 볼록하지 않은 다각형을 오목한 다각형이라고 하기 때문에). 별 다각형의 대표적인 예인 오각별은 정오각형의 꼭지점들을 (바로 이웃한 것과 연결하는 것이 아니라) 하나씩 걸러 변으로 연결함으로써 만들어진다.

[편집] 다면체

모든 면이 정다각형이고, 어떤 두 꼭지점을 잡더라도 그 중 하나를 다른 하나로 보내는 그 자신 위의 합동변환이 존재하는 다면체를 고른 다면체라 한다.

[편집] 같이 보기

  • 정다각형 타일

[편집] 바깥 고리