이차 방정식

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이차함수 y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2) 의 그래프.x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표인 x = -1과 x = 2는 x2 - x - 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.
실제 크기로
이차함수 y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2) 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표x = -1x = 2x2 - x - 2 = 0이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식이란, 최고차항의 계수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

ax^2 + bx + c = 0 , a \ne 0

와 같고, 여기에서 a와 b는 각각 x2, x의 계수라고 한다. c는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근이라고 한다.

[편집] 근의 공식

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다:

  • ax2 + bx + c = 0, a,b,c는 실수이고 a는 0이 아니라고 할 때, 이 방정식의 두 해 x_1\,\!, x_2\,\!
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}이다.

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 \Delta = b^2 - 4ac\,\!를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[편집] 유도

ax^2+bx+c=0 \,\!에서, a는 0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.

x^2 + \frac{b}{a}  x + \frac{c}{a}=0

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.

좌변을 x^2+2xy+y^2\,\!과 같은 모양으로 만들면, \frac{b}{a}x = 2xy이므로 y = \frac{b}{2a}가 된다. 양변에 y2를 더해주면,

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.

가 얻어진다. 여기에서 x2 + 2xy + y2 = (x + y)2이므로, 좌변은 \left(x + \frac{b}{2a}\right)의 제곱으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{|2a|}\Leftrightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}.

가 얻어진다.