라플라스 변환

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 f(t)에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

목차

[편집] 정의

함수 f(t)의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F(s)로 정의된다.

F(s)   = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)   =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

이때 0 \lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon의 약자이다. 실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않은 다음의 표기를 사용하기도 한다.

F(s)   = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}   =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

[편집] 성질

[편집] 선형성

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}   = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +     b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

[편집] 미분

\mathcal{L}\{f'\}   = s \mathcal{L}(f) - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}   = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}   = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
\mathcal{L}\{ t f(t)\}   = -F'(s)
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

[편집] 적분

해석 실패 (알 수 없는 오류\L): \L}\{f\}


[편집] s shifting

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}   = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}   = e^{at} f(t)

[편집] t shifting

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}   = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}   = f(t - a) u(t - a)

참고: u(t)는 층계 함수이다.

[편집] 합성곱

\mathcal{L}\{f * g\}   = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

[편집] 주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

\mathcal{L}\{ f \}   = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

[편집] 참조 항목

  • 푸리에 변환