활력방정식

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천체역학에서 어떤 두 물체의 질량이 주어지면, 물체의 궤도 속도는 오직 그 궤도의 장반경과 초점으로부터 물체까지의 거리에만 관계가 된다는 것이다. 또한 타원궤도를 그리는 경우와 같은 고립계에서는 총선운동량은 일정하다. 활력방정식에서 역학적 에너지의 합은 항상 일정하게 보존된다.

[편집] 활력방정식

어떤 두 물체의 운동(타원궤도,포물선궤도,쌍곡선궤도)은 활력방정식을 따른다.

v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)
  • v\,\! : 궤도 운동하는 물체의 속도
  • r\,\! : 초점으로부터의 거리
  • a\,\! : 장반경의 절반, 긴반지름 (a > 0 이면 타원, a=\infty 이거나 \frac{1}{a} = 0 이면 포물선, 그리고 a < 0 이면 쌍곡선)
  • \mu\,\! 궤도운동하는 물체와 중력상수의 곱, G M\,.

[편집] 유도하기

궤도운동하는 물체의 질량을 m이라 하자. 궤도에서 물체의 총에너지는 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합과 같다.:

E=\frac{1}{2}m v^2 - \frac{GM m}{r} \,

그리고 궤도를 원 또는 타원이라고 하면, 총에너지는 다음 식으로 놓을 수 있다.:

E = \frac{-G M m}{2 a} \,
a는 타원의 장축의 절반, 긴반지름이다. (또는 원의 반지름).

두 에너지식을 같다고 놓고 운동에너지식을 한 쪽으로 옳기면,

\frac{1}{2}m v^2 = \frac{G M m}{r} + \frac{-G M m}{2 a}
v^2 = \frac{2}{m} \left( \frac{G M m}{r} + \frac{-G M m}{2 a} \right)

동일한 항을 삭제하고, 식을 정리하면

v^2 = G M \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right).

GMμ로 놓을 수도 있다.