호몰로지 대수학

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

이 문서는 편집 지침에 맞춰 다듬어야 합니다.

호몰로지 대수학이란 수학의 한 분야로 대수적 위상수학에서 비롯된 호몰로지와 코호몰로지를 더 일반적인 상황에서 연구하는 것을 말한다.

코호몰로지 이론은 위상 공간, , , , 리 대수를 비롯한 수학의 여러 분야에서 나타나는 대상들에 대해 정의되어 중요한 역할을 하고 있다. 특히 층의 코호몰로지가 없다면 현대 대수기하학의 연구는 거의 불가능할 것이다.

호몰로지 대수의 중요한 개념 중에 완전열이란 것이 있어 실제 계산을 할 때 중요하게 쓰인다. Derived functor는 호몰로지 대수학에서 중심적인 역할을 하는데, 기본적인 예로는 Ext와 Tor가 있다.

[편집] Foundational aspects

With a diverse set of applications in mind, it was natural to try to put the whole subject on a uniform basis. There were several attempts before the subject settled down. An approximate history can be stated as follows:

  • Cartan-Eilenberg: In their 1956 book "Homological Algebra", these authors used projective and injective module resolutions.
  • 'Tohoku': The approach in a celebrated paper by Alexander Grothendieck which appeared in the Second Series of The Tohoku Mathematical Journal in 1957, using the abelian category concept (to include sheaves of abelian groups).
  • The derived category of Grothendieck and Verdier. Derived categories date back to Verdier's 1967 thesis. They are examples of triangulated categories used in a number of modern theories.

These move from computability to generality.

The computational sledgehammer par excellence is the spectral sequence; these are essential in the Cartan-Eilenberg and Tohoku approaches where they are needed, for instance, to compute the derived functors of a composition of two functors. Spectral sequences are less essential in the derived category approach, but still play a role whenever concrete computations are necessary.

There have been attempts at 'non-commutative' theories which extend first cohomology as torsors (important in Galois cohomology).