내부, 외부, 경계 (위상수학)

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위상수학에서, 위상공간 X에 속한 집합 A에 대하여 A내부, 외부, 경계가 정의된다.

  • 집합 A내부는 그 안에 포함된 모든 열린 집합합집합이다. 한 집합의 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다. 집합 A의 내부는 Ai 또는 Ao 또는 intA로 나타낸다.
  • 집합 A외부A와 만나지 않는 모든 열린 집합합집합이다. 한 집합의 외부는 그 집합과 만나지 않는 가장 큰 열린 집합이다. 두 집합이 만나지 않는다는 것은 두 집합이 겹치는 부분이 없다는 뜻이다. 즉 두 집합의 교집합공집합이라는 뜻이다. 집합 A의 외부는 Ae 또는 extA로 나타낸다.
  • 집합 A경계A의 원소들 중에서, 그 원소를 포함하는 열린 집합은 반드시 A에 속하지 않는 다른 원소를 포함하도록 하는, 그러한 원소들로 이루어진 집합이다. 집합 A의 경계는 Ab 또는 bdyA로 나타낸다.


[편집] 형식적 정의

X가 위상공간이고 A \subseteq X일 때,

  • A의 내부 Ai는 다음과 같이 정의된다.
O_{\beta} \subseteq A인 모든 열린 집합 Oβ에 대해서 A^i = \bigcup_{\beta} O_{\beta}
  • A의 외부 Ae는 다음과 같이 정의된다.
O_{\gamma} \cap A \neq \phi인 모든 열린 집합 Oγ에 대해서 A^e = \bigcup_{\gamma} O_{\gamma}
  • A의 경계 Ab는 다음과 같이 정의된다.
A^b =\{x| x \in X, 모든 열린 집합 O \ni x에 대해서 O \cap A \neq \phi이고 O \cap (X-A) \neq \phi\}