초월수

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수학 체계
기초

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

복소수의 확장
기타

i 허수단위 = \sqrt{-1}
π 파이 ≈ 3.14159 26535 ...
e (상수) ≈ 2.71828 (∉ \mathbb{Q})
무한대

주요 상수

π - e - √2 - √3 - γ -
φ - β* - δ - α - C2 -
M1 - B2 - B4 - Λ - K -
K - K - B´L - μ -
EB -
Ω - β - λ - D(1) - λμ -
Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L -
Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. -
Niv. - Sie. - Kin. - F - L

초월수(超越數)는 어떠한 정수계수의 다항식으로 이루어진 방정식도 될 수 없는 복소수이다. 대수방정식의 해가 될 수 있는 수인 대수적 수와 반대 개념이다.

대수적 수의 집합은 가산집합이고, 이에 비해 복소수의 집합은 비가산집합이고, 따라서 초월수의 집합은 비가산집합이 된다. 이것은 대수적 수의 갯수보다 초월수의 갯수가 많다는 것을 뜻한다. 하지만 지금까지 잘 알려진 초월수는 많지 않고, 어떤 수가 초월수임을 증명하는 것은 힘든 편이다.

초월수의 존재는 1844년 조제프 리우빌이 처음 발견했다. 그는 실제 초월수의 예를 제시하기 위해 리우빌 상수를 다음과 같이 정의했다.

\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....

초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수가 아닌 수 중에서 처음으로 초월수임이 증명된 수는 e로, 샤를 에르미트가 1873년에 증명했다. 1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 또한 초월수임을 증명했다. 1874년에는 게오르크 칸토어가 앞에 설명된 논리를 통해 초월수의 집합이 비가산임을 보여주었다.

[편집] 잘 알려진 초월수와 미해결 문제

  • ea, a \neq 0
  • π
  • eπ
  • 2^\sqrt2
  • sina,cosa,tana, a는 0이 아닌 유리수
  • lna, a는 1이 아닌 양의 유리수
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