초른의 보조 정리
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초른의 보조 정리 또는 쿠라토프스키-초른 보조 정리는 막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리로서, 그 내용은 다음과 같다.
여기에서 (P,≤)가 부분순서집합일 때 그 부분집합 T에 속하는 임의의 s와 t에 대해 언제나 s ≤ t이거나 t ≤ s일 경우 T를 완전순서집합이라 한다. 어떤 T의 원소 t에 대해서나 t ≤ u를 만족하는 P의 원소 u가 있으면, T가 상계 u를 갖는다고 한다. (여기에서 u가 T의 원소일 필요는 없다.) m이 P의 최대원소라 함은 m ≤ x를 만족하는 유일한 P의 원소 x가 바로 m 자신인 경우를 말한다.
[편집] 증명 요약
초른의 보조 정리에 대한 증명을 요약하면 다음과 같다. 먼저 이 보조 정리가 거짓이라고 가정하고, P가 그 반례 - 모든 완전순서 부분집합이 상계를 갖지만 모든 원소에 대해 그보다 더 큰 원소가 존재하는 부분순서집합 - 라 하자. 그러면 임의의 완전순서 부분집합 T에 대해, T의 상계를 하나 선택할 수 있으니, b(T)를 그 상계보다 더 큰 원소로 정의하자. 실제로 함수 b를 정의하기 위해서는 선택공리를 사용해야 한다.
함수 b를 이용해 P의 원소열 a0 < a1 < a2 < a3 < ...을 정의하겠다. 여기에서 첨자는 자연수들만이 아니라, 모든 서수들에 대해서 취해지는 것이다. 사실 이 원소열은 P에 속하기에는 너무 길다. 서수는 어떤 집합의 원소들 보다도 많이 있기 때문에, 이 원소열이 P에 포함된다는 사실로부터 모순이 발생하여 우리의 주장이 증명될 것이다.
각 ai들은 초한귀납법을 통해 정의된다. 먼저 P는 공집합에 대한 상계를 가지니 따라서 그 자신은 공집합일 수 없고, 따라서 a0를 P의 임의의 원소로 놓을 수 있다. 이제 임의의 다른 서수 w에 대해 aw = b({av: v < w})로 정의하면 된다. ({av: v < w}은 완전순서집합이다.)
이 증명을 통해, 약간 더 강한 형태의 조른의 보조정리 또한 사실임을 알 수 있다.
- P가 그 안의 모든 정렬순서 부분집합이 상계를 갖는 부분순서집합이라 하자. 이때 P의 임의의 원소 x에 대해 그보다 같거나 큰 (즉, x와 비교 가능한) 극대원소가 존재한다.
[편집] 역사
초른의 보조 정리는 카지미예 쿠라토프스키에 의해 1922년에, 그리고 막스 초른에 의해 1935년에 독립적으로 발견되었다.
[편집] 참고 자료
- Set Theory for the Working Mathematician. Ciesielski, Krzysztof. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0521594650