환 (수학)
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환(環, ring)이란 집합 R에 덧셈과 곱셈 연산자 +과 · 이 정의되어 있고 다음의 조건을 만족하는 대수적 구조이다.
- (R, +)가 아벨군이고, 항등원 0을 가진다.
- (R, *)가 모노이드이다.
- 1 * a = a * 1 = a
- (a * b) * c = a * (b * c)
- +, *에 대해 분배법칙이 성립한다.
- a * (b + c) = a * b + a * c
- (a + b) * c = a * c = b * c
덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 만약 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 경우에는 가환환이라고 부른다.
환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 단위라고 부른다.
[편집] 기본적 정리
- 0 * a = a * 0 = 0
- (−1) * a = −a
- (−a) * b = a * (−b) = −(a * b)
- (a * b)−1 = b−1 * a−1 (a와 b가 모두 단위인 경우)