집합

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집합이란, 어떤 특정한 물체들을 순서 없이 모아놓은 것을 뜻한다. 이때 각각의 물체를 원소라고 한다.

집합은 간단한 개념이고 집합론이 만들어진 것은 19세기이지만, 집합은 현대 수학의 토대를 쌓아 올리는 중요한 위치에 있다.

원소들이 들어있는 집합을 표기할 때에는 {1, 2, 3, 4}와 같이 중괄호를 사용한다.

목차

[편집] 집합의 정의

[편집] 집합의 표현

어떠한 집합을 표현하는 데에는 일반적으로 원소나열법과 조건제시법의 두 가지가 있다.

[편집] 원소나열법

이 방식은 집합에 들어있는 원소들을 직접 나열하는 방식이다.

  • {1, 2, 3}
  • {흰색, 검은색}

또한, 원소의 수가 많고 원소들 간에 규칙이 있을 때에는 중간을 생략할 수 있다.

  • {1, 2, 3, ..., 100} : 1부터 100까지의 자연수가 있는 집합
  • {2, 4, 6, ..., 40} : 2부터 40까지의 짝수가 있는 집합

이와 같은 표기를 사용할 때에는 규칙성을 알 수 있어야 한다. 예를 들어, {1, 4, 5, 7, ..., -4}와 같은 집합에서는 중간에 생략된 숫자들이 무엇인지 추측할 수 없다.

[편집] 조건제시법

이 방법은 원소들을 구체적으로 설명하는 대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술한다. 예를 들어,

{ x | x는 1부터 10까지의 자연수 }

와 같은 집합이 있다면, 이 집합은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}과 동일한 집합이 된다.

이것은 { (원소) | (원소의 조건) }과 같이 표기한다. 여기에서 앞의 원소 부분에 변수가 한 개만 있을 필요는 없다. 예를 들어, 다음의 설명 방식도 가능하다.

{ x+y | x는 1 또는 2, y는 3 또는 4 } = { 4, 5, 6 }
{ (x,y) | x ∈ {1,2}, y ∈ {1,2} } = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

[편집] 포함 관계

어떠한 원소가 집합에 속해 있는지를 표기할 때에는 \in, \notin 기호를 사용한다.

예를 들어, 집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다.

3 \in A

마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다.

5 \notin A

[편집] 특별한 집합

\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{C}와 같이 표기된 집합은 자주 사용되는 의미가 있다.