다양체
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다양체(多樣體) 혹은 매니폴드(manifold)는 '국소적으로' 유클리드 공간과 닮아 있는 도형을 말한다. 원이나 구, 다각형, 다면체등은 (성질은 각기 다르지만) 모두 다양체이다. 예를 들어, 구는 충분히 가깝이서 보면, 평면처럼 보인다. 이것은 중세 이전(고대 그리스를 제외하고)에 지구가 평평하다고 생각했던 것을 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 직관적으로 전혀 떠올려 보기 힘든 도형(이라고 하기 보다 집합이라고 하는 편이 좋음)도 다양체로 취급하여, 기하학적으로 다룰 수 있다. 물론, 다양체가 아닌 것 같은 도형(예를 들면, 뻬아노곡선, 프랙탈)도 있다. 다양체일 듯한 도형은 굉장히 좋은 성질을 갖고 있다. (잘 이해 못하고 번역함 -역자)
[편집] 정의
M 을 위상공간(하우스도르프공간)이라 하자. M 의 임임의 점 a 에 대하여, a 를 포함한 열린집합 U 가 있어서, U 가 m 차원 유클리드공간의 개집합 U' 과 동상(同相)일 때, M 을 (경계가 없는) 위상다양체라 한다. 나아가, a 가 두 개집합 U, V 에 포함되어 있고, 각각 유클리드 공간의 개집합 U' , V' 과 동상이라고 하자:
이 경우,
는 적당히 정의역을 잡으면, m 차원 유클리드 공간의 개집합에서 개집합으로의 사상이 된다. 이 사상이 Cn 급일 때, M 을 Cn급 m 차원(미분가능)다양체라고 한다. 위의 φ 와 ψ 를 국소좌표라 한다.
[편집] 예
- 사영공간
n 차원 벡터공간의 1차원 부분공간 전체를 사영공간이라 한다. 어찌 보아도 도형같지 않지만(그림으로 그려보기 힘들다), 좋은 다양체가 된다.