공역 (수학)
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수학에서 말하는 공역은 함수의 입력인 정의역에 대응(혹은 사상)되는 출력의 집합이다. 어떤 주어진 함수 에 대하여 함수 f가 집합 A에 정의되므로, 집합 A는 정의역이라고 불리고, B는 가능한 값들의 집합으로 f의 공역이라고 불린다.
에서 실제로 대응되는 값들의 집합은 f의 치역이라고 불린다. 치역과 공역의 차이점은 표기의 차이이지만, 어떤 함수가 다른 함수와 비교될 때 중요해진다. 한 가지 중요한 점은 공역은 함수의 특성의 일부분으로 정의되는 것이지만, 치역은 각각의 함수마다 구분되는 함수 구조의 결과물이라고 할 수 있다. 모든 공역은 치역을 포함하고 있다. 치역은 공역의 최소 영역이다. 정확히 말하면 치역이 B의 부분 집합이 아니라면, 3변수 (f, A, B)는 함수가 아니라는 것이다.
[편집] 예제
함수 f가 실수 집합이라고 하자:
는
로 정의된다.
f의 공역은 R이지만, 분명히 f(x)는 음수값은 가지지 않고, 따라서 치역은 집합 R0+ 즉, 음수가 아닌 실수, 예를 들어 구간 [0,∞)가 된다:
또 함수 g를 정의할 수 있다:
f와 g는 주어진 수에 대해 같은 효과가 있지만 현대적 관점에서는 두 함수는 같지 않은데, 그 이유는 공역이 다르기 때문이다.
함수를 하나 더 정의해 보면 왜 그런지 알 수 있다.
정의역은 반드시 로 정의되어야 한다:
.
이제 함수를 합성해 보자.
,
.
이 둘 중에서 어떤 합성 함수가 올바른 것인가?
밝혀진 대로, 첫 번째 것은 올바른 합성 함수가 아니다. f의 치역을 알지 못한다고 가정하면(확실히 알지 못하는 상황이라면 이렇게 가정해야 한다), 단지 치역이 의 일부가 된다는 것 밖에 알지 못한다. 그러면 제곱근이 음수에 대하여 정의되지 않았기 때문에 문제가 생기게 된다. 이제 모순점이 생길 수 있다는 것을 알았다.
이것은 분명치 못하며, 이런 것은 피해야 한다. 함수의 합성은 따라서 오른쪽 함수의 공역과 왼쪽 함수의 정의역이 같아야 할 수 있다는 것이다. 치역은 함수를 합성하는 시점에서는 결정되지 않을 수 있는 것이기 때문이다.
공역은 전사 함수인지 아닌지에 대해서도 영향을 줄 수 있다. g는 전사 함수인데, f는 그렇지 않다. 공역은 함수가 단사 함수인지 아닌지에는 영향을 미치지 않는다.
[편집] 읽을거리
- 정의역
- 치역