페르마 수
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페르마 수는 음이 아닌 정수 n에 대해
형태로 나타나는 양의 정수를 말한다.
첫 여덟 페르마 수는 다음과 같다 (OEIS의 수열 A000215):
- F0 = 21 + 1 = 3
- F1 = 22 + 1 = 5
- F2 = 24 + 1 = 17
- F3 = 28 + 1 = 257
- F4 = 216 + 1 = 65537
- F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
- F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
- F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
2n + 1 꼴의 수가 소수라면 n은 반드시 2의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 2n + 1 꼴의 소수는 모두 페르마 수가 된다. 이러한 소수를 페르마 소수라고 한다. 현재까지 알려진 페르마 소수는 F0,...,F4 뿐이다.
피에르 드 페르마는 1637년 위 행태로로 쓸 수 있는 정수는 소수일 것이라고 추측했다. 이는 1732년 레온하르트 오일러가 F5=4,294,967,297 를 641 과 6,700,417 로 소인수분해 함으로써 반증되었다.
4,294,967,297 (사십이억구천사백구십육만칠천이백구십칠)은 페르마 수이지만 소수가 아닌 수 중에서 가장 작은 수이다.
n > 4인 페르마 소수는 아직 알려져 있지 않다. 그밖에도
- n > 4인 Fn이 모두 합성수인가?
- 페르마 소수가 무한히 많은가?
- 합성수인 페르마 수가 무한히 많은가?
등에 대한 답이 아직 알려져 있지 않다.
5 ≤ n ≤ 32 사이의 모든 Fn은 합성수라는 것이 밝혀졌다. 이 중 5 ≤ n ≤ 11 사이의 수만이 소인수분해가 구해져 있다.