모멘트생성함수
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확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기대값이 존재한다면 X의 모멘트생성함수(moment generating function)는 다음과 같이 정의한다.
모멘트생성함수는 영어 머리글자를 따서 mgf라고 쓰기도 한다. t = 0 근처에서 모멘트생성함수가 존재한다고 가정할 때 모멘트생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.
X의 확률밀도함수가 이면 모멘트생성함수는 다음과 같이 구한다.
이때 는 i번째 모멘트이며
는
의 양측라플라스변환이다.
확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 모멘트생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.
n개의 확률변수 가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수
에 대해서
의 확률분포는
각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 모멘트생성함수는 다음과 같다.
[편집] 같이 보기
- 확률이론에서 모멘트생성함수와 같이 변환과 연관된 함수에는 특성함수와 확률생성함수등이 있다.
- 누적생성함수(cumulant-generating function)은 모멘트생성함수에 로그를 취한 함수이다..