원주율

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소문자 파이
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소문자 파이

원주율(圓周率)은 수학물리학의 여러 분야에 등장하는 수로 일반인들에게도 잘 알려져 있는 수학 상수 중의 하나이다. 공식이나 문장 중에서는 관습적으로 그리스 문자 π로 표기하고, 파이라고 읽는다. 이외에도, 그리스에서 π를 연구했던 것에서 '아르키메데스의 수'라고 부르기도 하며, 독일에선 루돌프 수라고 부르기도 한다. 원주율은 문자 그대로 지름 1인 원의 둘레, 즉 원주(圓周)의 길이로 정의하지만 반지름 1인 원의 넓이 sin(x) = 0 을 만족하는 가장 작은 양의 실수 등으로 정의할 수도 있다.

π의 값을 소수점 아래 64자리까지 써 보면 아래와 같다.

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592...

목차

[편집] 역사

원주율을 구한 역사를 보면, 아르키메데스가 부등식 223 / 71 < π < 22 / 7를 구하여 소수 둘째 자리까지 정확한 3.14를 구한 것이 그 시작이었다. 그 다음 5세기의 중국 조충지가 소수 6자리까지 계산하였다. 1893년 반 루멘은 15자리까지 계산하고 1896년에는 루돌프 반 콜렌이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다. 그 후 많은 계산이 나왔는데, 1949년 9월 최초로 컴퓨터에 의해 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2037자리까지 계산을 하였다.

π문자를 쓴 것은 스위스의 수학자 오일러가 최초이다. 인간의 머리로 원주율을 구한 사람 중 가장 많이 구한 사람은 션크스인데 소수점 아래 707자리까지 계산하였다고 하였다. 하지만 나중에 검산을 한 결과 소수 527자리까지만 정확한 결과였다고 한다.

[편집] 성질

π는 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고 무한히 계속된다. π무리수이며 이 사실은 1761년에 요한 하인리히 람베르트에 의하여 증명되었다. 더 나아가 π는 유리수를 계수로 삼는 유한 차원의 다항식의 해가 될 수 없다. 다시 말해 π초월수이다. 이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. 이로부터 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다.

π가 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제중의 하나였던 "컴퍼스만을 사용하여 과 같은 넓이를 갖는 정사각형작도하는 문제"가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.

[편집] 관련된 공식

[편집] 기하학

반지름 r 인 원의 둘레의 길이:C = 2πr
반지름 r 인 원의 넓이:A = πr2
반지름 r 인 공의 부피:V = 4 / 3πr3
반지름 r 인 공의 겉넓이:A = 4πr2
ab 를 반축으로 갖는 타원의 넓이:A = πab
각 180°는 π 라디안과 같다

[편집] 해석학

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots = \frac{2}{\pi} (비에트 1593년)
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (오일러, 1735년)
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (라이프니츠 공식 - 그러나 발견자는 라이프니츠가 아님)
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (John Wallis)
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (스털링 공식)
e^{\pi i} + 1 = 0\; (오일러 등식 - 세상에서 가장 멋진 식)

π는 다음과 같이 아름다운 연분수(continued fraction)으로 표현할 수 있다.

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

[편집] 수론

자연수에서 무작위로 두 개의 정수를 선택하였을 때, 그 둘이 서로소일 확률은 6/π2이 된다.
자연수에서 무작위로 한 개의 정수를 선택하였을 때, 그 수의 인수 중 제곱수가 없을(square-free) 확률은 역시 6/π2이다.
어떤 양의 정수를 두 완전 제곱수의 합으로 적을 수 있는 경우의 수는 평균적으로 π/4이다.

[편집] 동역학계

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}

[편집] 물리학

\Delta x \Delta p  \ge \frac{h}{4\pi} (불확정성 원리)
R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} (일반상대성이론아인슈타인의 장방정식)

[편집] 계산식과 계산의 역사

π무리수이기 때문에 소수점 아래로 끝없이 계속되는 수치로 표현할 수 밖에 없고 그 값은 근사값으로밖에 알 수 없다. 대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근사값을 사용해도 충분하다. 355/113은 외우기 좋고, 정밀도도 좋은 원주율의 근사값이다. 좀 더 정밀한 기술의 계산에서는 3.1416 또는 3.14159 등을 사용하기도 한다. 기상예보나 인공위성등의 계산에는 소숫점 아래 30자리까지 나아간 근사값을 사용하고 있다.

독일의 수학자 루돌프 판 쾰렌은 1600년대에 소숫점 아래 35자리까지의 원주율을 정확하게 계산했다. 그는 이 사실을 매우 자랑스럽게 여겨서 묘비에 새겨 넣을 정도였다. 독일에서는 그의 이름을 따 원주율을 루돌프 수라고 부르고 있다.

슬로베니아의 수학자 유리 베가는 1789년 소숫점 아래 140자리까지 계산했지만, 137자리까지만 맞고 나머지 세자리는 틀린 값이었다. 이 기록은 그 후 50년 동안 깨지지 않았다. 그는 원주율의 계산에 1706년 발표된 존 마틴의 식을 사용했다.

π의 근사값을 계산하는 대부분의 방법은 아래 소개되는 마틴의 공식을 변형한 것이다. 마틴의 식은 1949년에니악으로 2037자리까지 계산할 때에도 사용될 정도로, 비교적 간단하면서도 효율적인 방법이다.

4 \arctan \left( \frac{1}{5} \right) - \arctan \left( \frac{1}{239} \right) = \frac{\pi}{4}

arctan는 테일러 전개로 전개하여 계산한다. 마틴의 공식은 다음과 같은 복소수를 극형식으로 표현함으로써 유도할 수 있다.

( 5 + i )^4 \cdot (-239 + i ) = -114244 - 114244 i

π의 자리수를 매우 길게 계산할 때에는 가우스-르장드르 알고리즘이나 보어와인의 알고리즘을 사용하여 계산하는 경우가 많다.

π의 100만자리까지는 구텐베르크 프로젝트에서 찾을 수 있다. 2002년 12월 기록은 10진수 표기로 1,240,000,000,000자리까지의 계산이 되어 있었다. 이것은 2002년 11월 히다치의 슈퍼컴퓨터가 세운 기록이다.

이러한 컴퓨터로 파이의 소수점 아래 자릿수를 계산하는 것은 π의 정확한 값에 대한 흥미때문만은 아니고, 새로운 슈퍼컴퓨터를 개발하였을 때 성능을 평가하기 위한 한 척도로 생각하는 것이 좋다.

1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다.

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 n자리 값을 n-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다. 베일리의 홈페이지에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다.

틀:원주율의 역사

[편집] 기타

  • 일본에서는 파이를 외우기 위해 다음과 같은 말을 외우기도 한다.
産医師異国に向かう 産後厄なく 産婦みやしろに 虫散々闇に鳴く
3.14159265 358979 3238462 643383279 (30자리)
  • 영어권에서는 글자 수로 파이를 외우는데, 보통 다음과 같은 말을 한다.
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 (14자리)

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