페르마의 마지막 정리

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페르마의 마지막 정리는 다음의 명제를 가리킨다.

2보다 큰 자연수 n에 대해 다음과 같은 식을 만족하는 양의 정수 a, b, c는 존재하지 않는다.

an + bn = cn

위 식은 피타고라스 방정식 a2 + b2 = c2 의 일반화이다. 피타고라스 방정식은 고대부터 (3, 4, 5), (5, 12, 13) 등 무한히 많은 해가 존재함이 알려져 있으나, 이 명제에 의하면 n이 3 이상일 때 이를 만족하는 해는 존재하지 않는다. 이 명제 자체는 특별한 수학적 의미를 갖지 않으나, 다른 수학적 주제들과 긴밀하게 연결되어 있음이 밝혀졌다. 때문에 이 명제를 증명하고자 하는 노력은 단순한 수학적 호기심에서 비롯된 것이 아니며, 중요한 다른 주제들에 대한 출발점이 되기도 하였다.

[편집] 역사

17세기의 아마추어 수학자였던 피에르 드 페르마는 자기가 갖고 있던 디오판토스의 저서 《산술》의 여백에 "나는 이 명제에 관한 놀라운 증명을 찾아냈으나 여백이 부족해 적지 않는다"라고 썼다. 그러나 이후 357년간 이 명제에 관한 증명은 나오지 않았다. 증명되지 않은 명제이므로 페르마의 마지막 정리가 아니라 '페르마 가설'이라고 부르는 것이 옳지만, 이 명제를 증명했다는 페르마의 주장을 존중해 예전부터 '페르마의 마지막 정리'라고 불러왔다.

수학자들은 페르마가 제시한 문제들 중 유일하게 풀리지 않은 이 문제를 증명하거나 혹은 반증하기 위해 애썼으나 몇몇 특정한 n 값에 대해서만 증명되었을 뿐 일반적 증명은 존재하지 않았다. n = 4일 때의 증명은 페르마가, n = 3일 때의 증명은 레온하르트 오일러가 내놓았다.

소피 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 두 경우, 즉

(1) a, b, c 중 어느 것도 n 의 배수가 아닐 때 (2) a, b, c 중 하나만이 n 의 배수일 때로 나눌 수 있다는 것을 밝히고 100 이하의 n 에 대해 경우 (1)을 증명했다.

결국 페르마의 마지막 정리는 대수기하학의 여러 개념들을 사용하여 1994년 영국 의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다. 와일스는 7년간의 연구 끝에 1993년에 이 명제의 증명을 내놓았으나 논리적 오류가 발견되어 1994년 새로운 기법을 사용해 완벽히 증명하였다.

페르마의 마지막 정리는 페르마의 소정리와는 서로 다른 정리이다.

[편집] 참조