Интегрално сметање
Од Википедија, слободна енциклопедија
Интегралното сметање, заедно со диференцијалното сметање, е еден од основните и нејважни дисциплини на математичката анализа. Значењето на интегралното сметање е од огромна важност, не само за математиката, туку и општо за сите природни науки.
Интегралното сметање може да се разгледува од различни аспекти. На пример, од една страна, интегрирањето е инверзна операција на диференцирањето; од друга страна пак, интегралот на дадена функција бројно ја/го определува определува плоштината/волуменот на фигура/тело во рамнината/просторот.
Основен поим во теоријата на интегралното сметање е поимот интеграл, а основна задача е решавањето на интегралите и изнаоѓањето на начини за нивното решавање.
Условно, интегралите можат да се поделат на неопределени и определени. Што е разликата помеѓу нив, ќе видиме подолу.
Содржина |
[уреди] Неопределен интеграл
Вообичаено со разгледувањето на интегралите е да се почне со неопределените интеграли. Пред да го дефинираме неопределениот интеграл, ќе го воведеме поимот примитивна функција. Имено, нека е произволна функција; за функцијата
ќе речеме дека е примитивна за
на интервалот
ако за секоја точка
важи
, каде со
е означен првиот извод на функцијата
.
Ако и
се примитивни за
на даден интервал, тогаш тие се разликуваат за константа
, т.е.:
, или
,
Дефинираме неопределен интеграл на дадена функција : под неопределен интеграл на функција се подразбира множеството од сите примитивни функции на таа функција, т.е.:
каде е примитивна функција на
, а
е произволен. Функцијата
се нарекува подинтегрална функција или интегранд, а постапката на одредување на неопределениот интеграл, интегрирање.
Повообичаена ознака за интегралите (и неопределени и определени) е онаа која содржи „показател“ по која променлива е диференцирана подинтегралната функција:
наместо
Овие „додавки“ (во случајов ) се нарекуваат диференцијали и може да се рече дека потекнуваат од старата ознака за изводот на функцијата. Имено, имајќи в предвид дека:
,
се добива дека
Изразот на десната страна кажува дека изводот на функцијата е пресметан во однос на променливата
, а под знакот на интеграл ова означува по која променлива се врши интеграцијата. Оваа „назнака“ е небитна и излишна кај функции од една променлива, но клучна кај функции од повеќе променливи.
[уреди] Својства на неопределениот интеграл
Нека се функции дефинирани над исто множество. Интегрирањето ги има следниве својства:
1. Секоја функција е примитивна на својот (прв) извод. Навистина, согласно дефиницијата на примитивна функција:
Според последново равенство може да заклучиме дека одредувањето на неопределен интеграл на дадена функција е обратна постапка (операција) на одредувањето на нејзиниот извод, т.е. точно е:
каде е произволен реален број и се нарекува интеграциона константа. Ќе го оправдаме нејзиното постоење согласно дефиницијата за примитивна функција: за произволен реален број
важи:
Следи е примитивна за
, значи припаѓа во множеството од примитивни функции кое по дефиниција е неопределениот интеграл на функцијата.
2. Хомогеност: ако има примитивна функција, тогаш за реален број
, и функцијата
има примитивна функција и при тоа важи:
3. Адитивност: ако и
имаат примитивни функции, тогаш и функцијата
исто така има примитивна функција и при тоа важи:
Исто така за функцијата имаме:
Согласно својствата 2. и 3., исто како и за диференцирањето, може да заклучиме дека интегрирањето е линеарна операција.
[уреди] Основни правила за интегрирање
Постојат две основни правила за интегрирање: интегрирање по делови (парцијална интеграција) и интегрирање со замена на променливата.
1. Интегрирање по делови (парцијална интеграција): нека и
се диференцијабилни функции на даден интервал (или множество). Ако за функцијата
постои примитивна функција, тогаш таа постои и за
при што точно е следново равенство:
или, истото равенство изразено преку диференцијалите:
2. Интегрирање со замена на променливата: нека е примитивна за
на некој интервал, а функцијата
е диференцијабилна и определена така, што постои композицијата (составот, сложената функција):
Тогаш точно е равенството:
[уреди] Таблица на основни интеграли
- Степенска функција:
,
Специјално, за p = 0:
додека за p = − 1:
- Експоненцијална функција:
Специјално, за :
- Тригонометриски и инверзни тригонометриски функции:
Често пати, како табличен (елементарен, основен) се наведува и интегралот:
Од наведеното, се забележува дека елементарните функции како немаат едноставни - таблични интеграли, односно не се интегрираат директно, непосредно.
[уреди] Примери
Основната задача при решавањето на интегралите е со помош на разни трасформации на подинтегралните функции и секако со помош на двете основни правила за интегрирање, тие да се сведат до таблични интеграли. Меѓутоа оваа постапка не секогаш е куса, лесна и очигледна.
- Да се пресмета:
Според правилото за интгрирање по делово, ставаме:
1.
Напомена: изводот е помножен со зашто истиот се „бара“ по
!
2.
Така имаме:
Значи:
- Да се пресмета:
Го разложуваме тангенсот согласно неговата дефиниција, па имаме:
Ставаме смена:
, односно добиваме:
Конечно имаме:
Значи: