Множество

Од Википедија, слободна енциклопедија

Множеството претставува збир на објекти кои се нарекуваат елементи на даденото множество. Множеството кое не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се означува со \O. Понекогаш, поимите множество, елемент и припадност кон дадено множество, се прифаќаат како основни, интуитивно јасни и не се дефинираат. Доколку x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} се членови на множеството A кое е конечно или преброиво бесконечно, тогаш математички тоа се запишува на следниов начин:

A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}

Едно множество може да се опише ако се искористи и некое својство P(x) кое го исполнуваат сите елементи на тоа множество. Математички тоа се запишува вака:

A = \{x \mid P(x)\}

Ако некој елемент x му припаѓа на множеството A, тогаш тоа се означува со x \in A, а доколку x не е елемент на множеството A тоа се запишува x \notin A. За две множества A и B велиме дека се еднакви ако и само ако секој елемент на множеството А е елемент и на множеството B или ако и двете множества се празни:

A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)
A = B \Leftrightarrow (A = \O \land B = \O)

Меѓу две множества постои инклузија (\subseteq) ако и само ако, за секој елемент x важи дека ако x е елемент на A тогаш x е елемент и на B:

A \subseteq B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)

Дополнително, меѓу две множествата A и B постои строга инклузија (\subset) ако и само ако секој елемент на A е елемент и на B, но постои барем еден елемент на B којшто не е елемент на A:

A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B) \land (\exists x)(x \in B, x \notin A)

Ако меѓу A и B постои инклузија, тогаш се вели дека A е подмножество на B. Ако меѓу A и B постои строга инклузија, тогаш се вели дека A е вистинско подмножество на B.

Од дефинициите за еднаквост и инклузија следува дека

A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B \land B \subseteq A).