Număr prim

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Un număr prim este număr natural care are exact doi divizori: numărul 1 şi numărul în sine. Cel mai mic număr prim este 2, în afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare.

Un număr natural p > 1 se numeşte prim[1] dacă : p | ab atunci p | a sau p | b , unde a, b sunt naturale.

De exemplu 15 | 9 . 5 , dar 15 \nmid 9 , 15 \nmid 5 , adică 15 nu este număr prim.

Aceasta este o proprietate esenţială a numerelor prime, iar cele două definiţii sunt echivalente pentru inelul ({\mathbb{Z}},+,\cdot), dar nu sunt echivalente în orice inel integru.


  • În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime.
  • Nu se ştie dacă există o infinitate de numere prime gemene (impare consecutive ca : [3,5]; [41,43]; [59,61]; [101,103] etc.).
  • Şirul numerelor prime începe cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...
  • Descompunerea în factori primi: orice număr natural n, n > 1 poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a factorilor ) ca produs finit de numere prime, şi putem scrie n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} descompunerea în factori primi distincţi ai lui n unde p_j , j=\overline{1,r} sunt numere prime distincte.[2]
  • Teorema lui Dirichlet : În progresia aritmetică a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq,.., cu a>0, q>0, numere naturale prime înte ele există o infinitate de numere prime. Demonstraţii elementare există pentru progresiile 4n+1 şi 4n+3, iar cazul general are o demostraţie elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare.[3]
  • Postulatul lui Bertrand: dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim p cuprins între n şi 2n , adică n < p < 2n.

[modifică] Legături externe

[modifică] Note

  1. ^  I.D. Ion ş.a. "Algebra pentru perfecţionarea profesorilor" E.D.P. Bucureşti,1983, p. 77 , 152.
  2. ^  I.D. Ion ş.a. "Algebra pentru perfecţionarea profesorilor" E.D.P. Bucureşti,1983, p. 77 , 152.
  3. ^  I. Creangă ş.a.,"Introducere în teoria numerelor", E.D.P. Bucureşti,1965.