Număr complex

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Numerele iraţionale au apărut din necesitatea de a descrie soluţii ale ecuaţiilor ca \ x^2-2 = 0.

Numerele complexe descriu soluţii ale ecuaţiilor ca \ x^2+2 = 0.

Mulţimea numerelor complexe reprezinta mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale \ (a,b), înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai jos:

\ (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) ,
\ (a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,bc + ad) .

Mulţimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu \mathbb{C}.

Elementul neutru al operaţiei de adunare este \ (0,0) iar elementul neutru al operaţiei de inmulţire este \ (1,0).

Deoarece \ (a,0) + (c,0) = (a + c,0) şi \ (a,0)(c,0) = (ac,0), mulţimea numerelor reale, \mathbb{R}, poate fi privită ca submulţime a lui \mathbb{C}, identificînd numărul real \ a cu \ (a, 0).


Numărul complex \ (0,1) are proprietatea \ (0,1)(0,1) = (-1,0) , adică \ (0,1)^2 = (-1,0) identificat cu numărul real \ -1.

Nici un număr real nu are această proprietate.

Cuprins

[modifică] Forma algebrică

Numărul complex \ (0,1) este notat cu \ i şi \ i^2 = -1.

Ţinînd cont de cele de mai sus, un număr complex \ (a,b) poate fi scris \ (a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a + bi.

  • Forma algebrică a unui număr complex este \ z = a + bi, unde a şi b sunt numere reale.
  • \ (0,1)= i unitatea imaginară  ; \ (0,0)= 0 ; \ (1,0)= 1.
  • Pentru un număr complex \ z = a + bi, \ a se numeşte partea reală a lui \ z şi se notează \ a = Re (z) iar \ b se numeşte partea imaginară a lui \ z şi se notează \ b = Im (z).
  • Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c şi b = d.
  • Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
  • Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
  • Exemplu : pentru z = (2,3)= 2 + 3i şi w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i .

[modifică] Conjugatul unui număr complex

  • Conjugatul complex al numărului complex \ z = a + bi este numărul complex \bar{z} = a - bi .
  • Proprietăţile conjugatului complex :
    • \bar \bar {z} = z
    • {\bar {z}}{ \bar w} = \overline {zw}
    • {\bar {z}} + { \bar w} = \overline {z + w}
    • \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}

[modifică] Modulul unui număr complex

  • Modulul numărului complex \ z = a + bi este numărul real |z|=\sqrt{a^2+b^2}.
  • Proprietăţile lui |z|
    • |z| \ge 0 \forall z\in \mathbb{C}
    • |z|= 0 \Leftrightarrow z=0
    • |z_1 \cdot z_2|=| z_1| \cdot |z_2|
    • |z_1 + z_2|\le | z_1| + |z_2| (ingalitatea triunghiului)
    • |z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n|= | z_1| \cdot |z_2| \cdot ... \cdot |z_n|
    • |z_1^n|= {| z_1|}^n
    • |{z_1 \over z_2}|= {{| z_1|} \over {|z_2|}}
    • Are loc identitatea |z|^2= z\bar{z} şi {1 \over z}={{\bar{z}} \over {|z|^2}} , dacă \ z\ne o
    • |\pm i| = 1.

[modifică] Puterile lui i

[modifică] Forma trigonometrică

[modifică] Reprezentarea grafică a numerelor complexe

[modifică] Formula lui Euler

[modifică] Legături externe