Inegalitatea mediilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Fie numerele reale strict mai mari decât zero : a, b, x1, x2, ...,xn avem formulele :

  • Media aritmetică a numerelor a şi b este ma = {a+b}\over 2
  • Generalizare : formula mediei aritmetice este ma = {x_1+x_2+...+x_n}\over n
  • Media armonică a numerelor a şi b este mh = 2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}
  • Generalizare : formula mediei armonice este mh = n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}}
  • Media geometrică a numerelor a şi b este mg = \sqrt{a \ b}
  • Generalizare : formula mediei geometrice este mg = \sqrt[n]{x_1 \ x_2 \ ...\  x_n}
  • Media pătratică a numerelor a şi b este mp = \sqrt{{a^2+b^2}\over 2}
  • Generalizare : formula mediei pătratice este mp = \sqrt{{x_1^2+  x_2^2 +...  +x_n^2}\over n}

[modifică] Inegalitatea mediilor

  • \min (a, b)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(a,b)
  • \min (a, b)\le {2\over {{1 \over a}+{1 \over b}}} \le {\sqrt{a \ b}} \le {{a+b}\over 2} \le \sqrt{{a^2+b^2}\over 2} \le \max(a,b)
  • Egalitatea se obţine pentru a = b.

[modifică] Generalizare

  • \min (x_1,x_2,...,x_n)\le m_h \le m_g \le m_a \le m_p \le \max(x_1,x_2,...,x_n)
  • \min (x_1,x_2,...,x_n)\le {n\over {{1 \over x_1}+{1 \over x_2}+...+{1 \over x_n}}} \le {\sqrt[n]{x_1 \ x_2 \ ...\  x_n}} \le {{x_1+x_2+...+x_n}\over n} \le {\sqrt{{x_1^2+  x_2^2 +...  +x_n^2}\over n}} \le \max(x_1,x_2,...,x_n)
  • Egalitatea se obţine pentru x1 = x2 = ... = xn .

[modifică] Forma integrală