Număr hipercomplex
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Numerele hipercomplexe sunt obţinute prin generalizarea construcţiei numerelor complexe pornind de la numerele reale.
Ele formează algebre reale în care numărul de dimensiuni este o putere a lui 2 :
- cuaternioni : patru dimensiuni
- octonioni : opt dimensiuni
- sedenioni : şaisprezece dimensiuni
[modifică] Istorie
Cuaternionii au fost introduşi de către matematicianul irlandez William Rowan Hamilton în 1843. Hamilton a căutat modalităţi de generalizare a numerelor complexe (care puteau fi asimilate de punctele unui plan) la dimensiuniile mai complicate ale spaţiului. Nu a reuşit să facă acest lucru pentru trei dimensiuni, dar a reuşit pentru patru dimensiuni, introducând cuaternionii.
Această descoperire a încurajat renunţarea la folosirea exclusivă a legilor comutative, un progres important pentru acea epocă. Vectorii şi matricele erau la acea vreme de domeniul viitorului, însă Hamilton a reuşit să introducă într-o anumită măsură produsul vectorial şi produsul scalar al vectorilor.
Hamilton a descris cuaternionii ca fiind un cvadruplet de numere reale, în care primul număr constituie „scalarul“, iar celălalte trei elemente determină un „vector“ sau „partea imaginară“.
Spre sfârşitul anului 1843, John Graves şi Arthur Cayley au descoperit o algebră de opt dimensiuni : octonionii. Aceasta îşi pierde asociativitatea, care este conservată până la cuaternioni.
[modifică] Proprietăţi
n | 2n | nom | limite |
---|---|---|---|
0 | 1 | reale | - |
1 | 2 | complexe | se pierde comparaţia |
2 | 4 | cuaternioni | se pierde comutativitatea |
3 | 8 | octonioni | se pierde asociativitatea |
4 | 16 | sedenioni | se pierde alternativitatea |
Se pot crea o infinitate de algebre de acelaşi tip, aplicând algebrei de rang inferior construcţia Cayley-Dickson.
Obsevaţii:
- odată cu creşterea rangului cu o unitate, dimensiunile numerelor se dublează ;
- odată cu creşterea rangului cu o unitate, se pierde câte o proprietate.