Primitivele funcţiilor raţionale

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol face parte din seria de articole
Primitive ale diferitelor funcţii
Tabel de integrale
Raţionale
Logaritmice
Exponenţiale
Iraţionale
Trigonometrice
Hiperbolice
Invers trigonometrice
Hiperbolice reciproce


Următorul articol este o listă de integrale (primitive) de funcţii raţionale. Pentru o listă cu mai multe integrale, vezi tabel de integrale şi lista integralelor.

\int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} \qquad\mbox{(pentru } n\neq -1\mbox{)}\,\!
\int\frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a}\ln\left|ax + b\right|
\int x(ax + b)^n dx = \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1} \qquad\mbox{(pentru }n \not\in \{1, 2\}\mbox{)}


\int\frac{x dx}{ax + b} = \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\left|ax + b\right|
\int\frac{x dx}{(ax + b)^2} = \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\left|ax + b\right|
\int\frac{x dx}{(ax + b)^n} = \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}} \qquad\mbox{(pentru } n\not\in \{1, 2\}\mbox{)}


\int\frac{x^2 dx}{ax + b} = \frac{1}{a^3}\left(\frac{(ax + b)^2}{2} - 2b(ax + b) + b^2\ln\left|ax + b\right|\right)
\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^2} = \frac{1}{a^3}\left(ax + b - 2b\ln\left|ax + b\right| - \frac{b^2}{ax + b}\right)
\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^3} = \frac{1}{a^3}\left(\ln\left|ax + b\right| + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\right)
\int\frac{x^2 dx}{(ax + b)^n} = \frac{1}{a^3}\left(-\frac{(ax + b)^{3-n}}{(n-3)} + \frac{2b (a + b)^{2-n}}{(n-2)} - \frac{b^2 (ax + b)^{1-n}}{(n - 1)}\right) \qquad\mbox{(pentru } n\not\in \{1, 2, 3\}\mbox{)}


\int\frac{dx}{x(ax + b)} = -\frac{1}{b}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|
\int\frac{dx}{x^2(ax+b)} = -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|
\int\frac{dx}{x^2(ax+b)^2} = -a\left(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{ax+b}{x}\right|\right)
\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\,\!
\int\frac{dx}{x^2-a^2} =
  • -\frac{1}{a}\,\mathrm{arctanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x} \qquad\mbox{(pentru }|x| < |a|\mbox{)}\,\!
  • -\frac{1}{a}\,\mathrm{arccoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a} \qquad\mbox{(pentru }|x| > |a|\mbox{)}\,\!


\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} =
  • \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2>0\mbox{)}
  • \frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2<0\mbox{)}
  • -\frac{2}{2ax+b}\qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2=0\mbox{)}
\int\frac{x dx}{ax^2+bx+c} = \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}


\int\frac{(mx+n) dx}{ax^2+bx+c} =
  • \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2>0\mbox{)}
  • \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|+\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{artanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2<0\mbox{)}
  • \frac{m}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \qquad\mbox{(pentru }4ac-b^2=0\mbox{)}


\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!
\int\frac{x dx}{(ax^2+bx+c)^n} = \frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^{n-1}}\,\!
\int\frac{dx}{x(ax^2+bx+c)} = \frac{1}{2c}\ln\left|\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\right|-\frac{b}{2c}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}


Orice funcţie raţională poate fi integrată folosind ecuaţiile de mai sus şi descompunerea parţială a funcţiei, descompunerea funcţiei raţionale în sumă de funcţii de forma:

\frac{ex + f}{\left(ax^2+bx+c\right)^n}.