Primitivele funcţiilor logaritmice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Acest articol face parte din seria de articole
Primitive ale diferitelor funcţii
Tabel de integrale
Raţionale
Logaritmice
Exponenţiale
Iraţionale
Trigonometrice
Hiperbolice
Invers trigonometrice
Hiperbolice reciproce

Următorul articol este o listă de integrale (primitive) de funcţii logaritmice. Pentru o listă cu mai multe integrale, vezi tabel de integrale şi lista integralelor.

Notă: Se presupune x>0 .

\int\ln cx\;dx = x\ln cx - x
\int\ln (ax + b)\;dx = x\ln (ax +b) - x + \frac{b}{a}\ln (ax + b)
\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x
\int (\ln cx)^n\; dx = x(\ln cx)^n - n\int (\ln cx)^{n-1} dx
\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{i=2}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}
\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(pentru }n\neq 1\mbox{)}
\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(pentru }m\neq -1\mbox{)}
\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx  \qquad\mbox{(pentru }m\neq -1\mbox{)}
\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}  \qquad\mbox{(pentru }n\neq -1\mbox{)}
\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(pentru }m\neq 1\mbox{)}
\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(pentru }m\neq 1\mbox{)}
\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}}  \qquad\mbox{(pentru }n\neq 1\mbox{)}
\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|
\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}
\int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(pentru }n\neq 1\mbox{)}
\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))
\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))
\int e^x (x \ln x - x - \frac{1}{x})\;dx = e^x (x \ln x - x - \ln x)