Număr complex
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Numerele iraţionale au apărut din necesitatea de a descrie soluţii ale ecuaţiilor ca .
Numerele complexe descriu soluţii ale ecuaţiilor ca .
Mulţimea numerelor complexe reprezinta mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale , înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai jos:
,
.
Mulţimea numerelor complexe formează un corp, corpul numerelor complexe, notat cu .
Elementul neutru al operaţiei de adunare este iar elementul neutru al operaţiei de inmulţire este
.
Deoarece şi
, mulţimea numerelor reale,
, poate fi privită ca submulţime a lui
, identificînd numărul real
cu
.
Numărul complex are proprietatea
, adică
identificat cu numărul real
.
Nici un număr real nu are această proprietate.
Cuprins |
[modifică] Forma algebrică
Numărul complex este notat cu
şi
.
Ţinînd cont de cele de mai sus, un număr complex poate fi scris
.
- Forma algebrică a unui număr complex este
, unde a şi b sunt numere reale.
unitatea imaginară ;
;
.
- Pentru un număr complex
,
se numeşte partea reală a lui
şi se notează
iar
se numeşte partea imaginară a lui
şi se notează
.
- Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c şi b = d.
- Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
- Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi şi w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
- Exemplu : pentru z = (2,3)= 2 + 3i şi w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i .
[modifică] Conjugatul unui număr complex
- Conjugatul complex al numărului complex
este numărul complex
.
- Proprietăţile conjugatului complex :
[modifică] Modulul unui număr complex
- Modulul numărului complex
este numărul real
.
- Proprietăţile lui |z|
(ingalitatea triunghiului)
- Are loc identitatea
şi
, dacă
.
[modifică] Puterile lui i
[modifică] Forma trigonometrică
[modifică] Reprezentarea grafică a numerelor complexe
[modifică] Formula lui Euler
[modifică] Legături externe
- wikipedia en
- John and Betty's Journey Through Complex Numbers
- SOS Math - Complex Variables
- Algebraic Structure of Complex Numbers de la situl cut-the-knot
- A history of complex numbers.
- numere complexe pe mathworld
Categorii: Fizică | Algebră | Matematică