Teorema lui Thales

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Thales din Milet este cel care a demonstrat două teoreme din geometria plană, teoreme care-i poartă numele.

Cuprins

[modifică] Prima teoremă a lui Thales

Fie două drepte (d) şi (d'), neparalele, care se intersectează în punctul O. Fie A şi A' două puncte ale dreptei (d), şi B y B' două puncte ale dreptei (d'). Dacă,

\frac {\overline{OA'}} {\overline{OA}} = \frac {\overline{OB'}} {\overline{OB}}

atunci,

(AB)\  /\!/ \ (A'B')

Image:teorema_de_Tales_1.png

[modifică] Variantă

Într-un triunghi, o paralelă dusă la una dintre laturi determină segmente proporţionale pe celelalte două.

O aplicaţie interesantă a acestei teoreme este calcularea înălţimii unui obstacol, când se cunoaşte înălţimea unui etalon şi se măsoară lungimea umbrei sale.

Aplicaţia teoremei lui Thales
Extinde
Aplicaţia teoremei lui Thales
Extinde
  • A = Lungimea etalonului;
  • C = Lungimea umbrei obstacolului la o anumită oră;
  • B = Lungimea umbrei etalonului la aceiaşi oră, la aceiaşi latitudine;
  • D = Înălţimea obstacolului.
D = C \left(\frac{A}{B}\right)

.

Thales a folosit această aplicaţie pentru a calcula înălţimea piramidei lui Keops. Baza piramidei măsura 232 m. De la marginea bazei piramidei, umbra mai măsura încă 40 m. Lungimea totală a umbrei este astfel:

C = \frac{232} {2} + 40 = 156metri

Atunci,

\frac{D}{156} = \frac{2}{2,13}

Adică,

D = \frac{2\cdot 156}{2,13} \approx 146 metri

[modifică] A doua teoremă a lui Thales

Teorema lui Thales: dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept.
Extinde
Teorema lui Thales: dacă AC este diametrul, atunci unghiul B este unghi drept.
Dacă A, B şi C sunt puncte situate pe un cerc, iar linia AC este diametrul cercului, atunci unghiul ABC este un unghi drept.

Generalizare: Această teoremă este un caz particular al următoarei afirmaţii:

Dacă A, B şi C sunt puncte situate pe un cerc cu centrul în O, atunci măsura unghiului AOC este de două ori mai mare decât a unghiului ABC.

[modifică] Demonstraţie

Demonstraţia teoremei lui Thales
Extinde
Demonstraţia teoremei lui Thales

Se ştie că:

  • Suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu 180°,
  • Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale.

Fie O centrul cercului. Întrucât OA=OB=OC, atunci ΔOBC şi ΔOAB sunt triunghiuri isoscele, iar unghiurile acestora vor satisface relaţiile \widehat{OBC}=\widehat{OCB} şi \widehat{BAO} =\widehat{ABO}.

Fie \widehat{a} = \widehat{BAO} şi \widehat{b} = \widehat{OBC}.

Cele trei unghiuri interne ale triunghiului ABC sunt: a, a + b şi b. De vreme ce suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180° avem:

\widehat{a} + (\widehat{a} + \widehat{b}) + \widehat{b} = 180^\circ

Şi atunci:

2\widehat{a} + 2\widehat{b} = 180^\circ

Sau:

\widehat{a} + \widehat{b} = 90^\circ

Q.E.D.

[modifică] Teorema reciprocă

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul cercului său circumscris.

Teorema şi reciproca sa pot fi enunţate şi astfel:

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi se află pe una dintre laturile triunghiului dacă şi numai dacă triunghiul este dreptunghic.

[modifică] Legături externe

[modifică] Consultaţi şi:

  • Geometrie sintetică