Tabel de derivate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Găsirea derivatei este operaţia primară în calculul diferenţial. Acest tabel conţine derivatele celor mai importante funcţii, precum şi reguli de derivare pentru funcţii compuse.

În cele ce urmează, f şi g sunt funcţii de x, iar c este o constantă. Funcţiile sunt presupuse reale de variabilă reală. Aceste formule sunt suficiente pentru a deriva orice funcţie elementară.

Cuprins

[modifică] Reguli generale de derivare

\left({cf}\right)' = {cf}'
\left({f + g}\right)' = {f}' + {g}'
\left({f - g}\right)' = {f}' - {g}'
\left({fg}\right)' = {f}'{g} + {f}{g}'
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
(f^g)' = (g f^{g-1})f' + (f^g\ln f)g' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0

[modifică] Derivatele funcţiilor simple

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
{d \over dx} x^c = cx^{c-1},\qquad x > 0
{d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}

[modifică] Derivatele funcţiilor exponenţiale şi logaritmice

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0
{d \over dx} e^x = e^x
{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1
{d \over dx} \ln x = {1 \over x},\qquad x > 0

[modifică] Derivatele funcţiilor trigonometrice

{d \over dx} \sin x = \cos x
{d \over dx} \cos x = -\sin x
{d \over dx} \tan x = {1 \over \cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x
{d \over dx} \sec x = {\sin x \over \cos^2 x} = \tan x \sec x
{d \over dx} \cot x = {-1 \over \sin^2 x} = -\csc^2 x = -1 - \cot^2 x
{d \over dx} \csc x = {-\cos x \over \sin^2 x} = -\cot x \csc x

[modifică] Derivatele funcţiilor trigonometrice inverse

{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arccsc x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

[modifică] Derivatele funcţiilor hiperbolice

{d \over dx} \sinh x = \cosh x
{d \over dx} \cosh x = \sinh x
{d \over dx} \tanh x = \mbox{sech}^2\,x
{d \over dx} \,\mbox{sech}\,x = -\tanh x\,\mbox{sech}\,x
{d \over dx} \,\mbox{coth}\,x = -\,\mbox{csch}^2\,x
{d \over dx} \,\mbox{csch}\,x = -\,\mbox{coth}\,x\,\mbox{csch}\,x

[modifică] Derivatele funcţiilor hiperbolice inverse

{d \over dx} \,\mbox{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx} \,\mbox{arccosh}\,x = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \,\mbox{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx} \,\mbox{arcsech}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \,\mbox{arccoth}\,x = {-1 \over 1 - x^2}
{d \over dx} \,\mbox{arccsch}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}