Teorema lui Stewart

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relaţie între lungimile laturilor unui triunghi şi lungimea segmentului dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b şi c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în puctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y. \,
Reprezentare grafică
Reprezentare grafică

[modifică] Demonstraţie

Vom numi P punctul în care latura a şi segmentul p se intersectează. Începem prin aplicarea legii cosinusurilor pentru unghiurile suplementare APB şi APC.

b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,
c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta } \,

Înmulţim prima relaţie cu x, iar a doua cu y :

x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,
y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta } \,

Acum adunăm cele două ecuaţii:

x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y), \,

şi obţinem teorema lui Stewart.

[modifică] Vezi şi

  • Teorema lui Apollonius

[modifică] Legături externe

În alte limbi