Gambaran kongkrit teorema central limit

Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas

Jejer ieu ngagambarkeun tiori central limit ngaliwatan conto keur penghitungan bisa diitung sacara gancang ku leungeun dina kertas, teu saperti conto-intesip dina jejer gambaran dina teorema central limit. Anggap sebaran probabiliti variabel random X beuratna sarua dina 1, 2, jeung 3:

X=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/3, \\ 2 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/3, \\ 3 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/3. \end{matrix}\right.

Fungsi probabiliti massa tina variabel random X digambarkeun ku:

    o    o    o
   -------------
    1    2    3

Katembong jelas teu siga kurva bentuk-bel.

Ayeuna tempo jumlah dua kopi-an X bebas:

\left\{\begin{matrix} 1+1 & = & 2 \\ 1+2 & = & 3 \\ 1+3 & = & 4 \\ 2+1 & = & 3 \\ 2+2 & = & 4 \\ 2+3 & = & 5 \\ 3+1 & = & 4 \\ 3+2 & = & 5 \\ 3+3 & = & 6 \end{matrix}\right\} =\left\{\begin{matrix} 2 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/9 \\ 3 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 2/9 \\ 4 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 3/9 \\ 5 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 2/9 \\ 6 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/9 \end{matrix}\right\}

Fungsi probabiliti massa tina jumlah ieu digambarkeun ku:

              o
         o    o    o
    o    o    o    o    o
   ----------------------------
    2    3    4    5    6

Ieu oge can katembong leuwih siga tina kurva bentuk-bell, tapi, saperti bentuk-bel sarta teu saperti fungsi probabiliti massa X eta sorangan, leuwih luhur dibagian tengah tinimbang di dua sisina.

Ayeuna tempo jumlah tilu kopian bebas ieu random variabel:

\left\{\begin{matrix} 1+1+1 & = & 3 \\ 1+1+2 & = & 4 \\ 1+1+3 & = & 5 \\ 1+2+1 & = & 4 \\ 1+2+2 & = & 5 \\ 1+2+3 & = & 6 \\ 1+3+1 & = & 5 \\ 1+3+2 & = & 6 \\ 1+3+3 & = & 7 \\ 2+1+1 & = & 4 \\ 2+1+2 & = & 5 \\ 2+1+3 & = & 6 \\ 2+2+1 & = & 5 \\ 2+2+2 & = & 6 \\ 2+2+3 & = & 7 \\ 2+3+1 & = & 6 \\ 2+3+2 & = & 7 \\ 2+3+3 & = & 8 \\ 3+1+1 & = & 5 \\ 3+1+2 & = & 6 \\ 3+1+3 & = & 7 \\ 3+2+1 & = & 6 \\ 3+2+2 & = & 7 \\ 3+2+3 & = & 8 \\ 3+3+1 & = & 7 \\ 3+3+2 & = & 8 \\ 3+3+3 & = & 9  \end{matrix}\right\} =\left\{\begin{matrix} 3 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/27 \\ 4 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 3/27 \\ 5 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 6/27 \\ 6 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 7/27 \\ 7 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 6/27 \\ 8 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 3/27 \\ 9 & \mbox{with}\ \mbox{probability}\ 1/27 \end{matrix}\right\}

Fungsi probabiliti tina jumlah ieu digambarkeun ku:

                   o
              o    o    o
              o    o    o
              o    o    o
         o    o    o    o    o
         o    o    o    o    o
    o    o    o    o    o    o    o
   ---------------------------------
    3    4    5    6    7    8    9

Ieu heunteu ngan leuwih gede di tengah tinimbang dua sisina, tapi pindah ka arah tengah ti sisi nu sejen, miring nu mimiti naek sarta saterusna turun, siga kurva bentuk-bel.

Urang bisa ngitung tingkatna tina susnan kana kurva bentuk-bel siga di handap ieu. Tempo

Pr(X1 + X2 + X3 ≤ 7) = 1/27 + 3/27 + 6/27 + 7/27 + 6/27 = 23/27 = 0.851 851 851 ... .

Sakumaha raket hal ieu ngadeukeutan kana normal? Ieu bisa ditempo tina nilai ekspektasi Y = X1 + X2 + X3 nyaeta 6 sarta simpangan baku Y ngarupakeun akar kuadrat 2. Saprak Y ≤ 7 (kateusaruaan lemah) lamun jeung lamun Y < 8 (kateusaruaan kuat), bisa make koreksi kontinyu sarta ditembongkeun ku

\mbox{Pr}(Y\leq 7.5) =\mbox{P}\left({Y-6 \over \sqrt{2}}\leq{7.5-6 \over \sqrt{2}}\right) =\mbox{Pr}(Z\leq 1.606602\dots)\approx 0.8555778

numana Z ngarupakeun standar normal sebaran. Beda antara 0.85185... sarta 0.8556... katempo beuki ngaleutikan waktu eta ditempo salaku wilangan variabel random bebas nu ditambahkeun ngan tilu.

[édit] Conto dina simulasi

Gambar dihandap nembongkeun hasil simulasi dumasar kana conto di luhur. Data dicokot tina sebaran seragam ku cara "pengulangan" 1'000 kali tur hasilna dijumlahkeun.

Conto ieu dumasar kana [Monte Carlo method], proses "pengulanganna" 10'000 kali. Hasilna nembongkeun yen sebaran jumlah 1'000 nu dicokot sacara saragam nembongkeung bentuk kurva nu siga bel kacida alusna.

[[Image:Gambar:Central theorem 2.png]]

[édit] Rujukan

Wikipedia Basa Inggris, disunting panungtung, 24 Juli 2006