دترمینان

وکیپیڈیا سے

ایک 2\times 2 میٹرکس A = \left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right] کا دترمینان یوں تعریف کیا جاتا ہے: \ \det(A) = ad - bc
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔

تعریف: ایک n \times n میٹرکس A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی \ n-1 \times n-1 میٹرکس \ A_{i,j} کو کہتے ہیں جو \ n \times n میٹرکس کی i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔ انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس A = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3}\\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{matrix}\right] کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے A_{1,2} = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} &  a_{0,3}\\ a_{2,0} & a_{2,1} &  a_{2,3}\\ a_{3,0} & a_{3,1} &  a_{3,3}\\ \end{matrix}\right]

تعریف: میڑکس A کے چھوٹے Ai,j اور 2 \times 2 میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک n \times n میٹرکس A = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1}\\ a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1}\\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\ a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1}\\ \end{matrix}\right]
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):
\det(A)  = a_{0,0} A_{0,0} - a_{1,0} A_{1,0} + \cdots + (-1)^{n} a_{n-1,0} A_{n-1,0}

فہرست

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو،

  • اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو α سے ضرب دے کر میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

\  \det(B) = \alpha \det(A)

  • اگر میٹرکس A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کی جائے تو:

\  \det(B) = -\det(A)

  • اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے، اور اس نئی میٹرکس کو B کہا جائے تو:

\ \det(B) = \det(A)

  • شناخت میٹرکس کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:

\ \det(I) = 1

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو،

  • اگر کسی میٹرکس A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

\ \det(A) =0

  • اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

\ \det(A) =0

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

میٹرکس جن کا سائیز n \times n ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان: \ \det(AB) = \det(A) \det(B)

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

میٹرکس تفاعل f(X) = AX : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 ، جہاں میٹرکس A کا سائیز 2 \times 2 ہے، اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے ۔ یہ "میٹرکس تفاعل" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کے ابسلوٹ قیمت کے برابر ہو گی: \frac{\mathrm{Area \ of \ } f(E)}{\mathrm{Area \ of \ } E} = |\det(A)|

[ترمیم کریں] مسلئہ اثباتی

میٹرکس تفاعل f(X) = AX : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ، جہاں میٹرکس A کا سائیز 3 \times 3 ہے، اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے۔ یہ "میٹرکس تفاعل" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکسA کےدترمینان کے ابسلوٹ قیمت کے برابر ہو گی: \frac{\mathrm{Volume \ of \ } f(E)}{\mathrm{Volume \ of \ } E} = |\det(A)|


[ترمیم کریں] اور دیکھو

\ E=mc^2              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ 
دیگر زبانیں