Matrix function

وکیپیڈیا سے

یہاں ہم ایسی فنکشن کا بیان کریں گے، جس فنکشن کا میدان عمل (ڈومین) مختلط میدان \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n پر مربع میٹرکس ہو، اور حیطہ (رینج) بھی \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n پر مربع میٹرکس ہو۔

ایک مختلط متغیر \ z کی اینالٹک (analytic) فنکشن \ f(z)، \ z کے گرد ٹیلر سیریز (Taylor series) کے زریعہ لکھی جا سکتی ہے:

f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k \,,\,\, z \in \mathbb{C}

اوپر کی سیریز کی تقل کرتے ہوئے ایک مربع میٹرکس A کے لیے یہی فنکشن یوں لکھا جا سکتا ہے

f(A) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k   \,,\,\, A \in \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n

اب ہم اس میٹرکس فنکشن کو میٹرکس کی ویژہ قیمت کی مدد سے نکالنے کا ایک آسان طریقہ بتاتے ہیں۔

جیسا کہ یہاں بیان ہؤا کہ اگر ایک n \times n مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں (اصل یا مختلط عدد) \ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1} منفرد ہوں، تو ایسی "ویژہ سمتیہ" پر مشتمل میٹرکس \ U نکالی جا سکتی ہے، جس کی مدد سے میٹرکس \ A کو ویژہ وتر میٹرکس کے ساتھ رشتہ اس مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے:

A = U \left[\begin{matrix}  \lambda_0  &    0              &      \cdots  &       0    \\ 0                &  \lambda_1  &      \cdots  &       0    \\ \vdots         &                    & \ddots       &    \vdots \\ 0                &   0               &       \cdots & \lambda_{n-1} \end{matrix}\right] U^{-1}

اب

f(A) = U \left[\begin{matrix}  f(\lambda_0)  &    0              &      \cdots  &       0    \\ 0                &  f(\lambda_1)  &      \cdots  &       0    \\ \vdots         &                      & \ddots       &    \vdots \\ 0                &   0                  &       \cdots & f(\lambda_{n-1}) \end{matrix}\right] U^{-1}

اوپر دیے طریقہ سے میٹرکس کی پڑھائی میں ویژہ قیمت کی اہمیت کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس \ f(A) کے ویزہ سمتیہ وہی ہیں جو کہ مربع میٹرکس \ A کے ویزہ سمتیہ ہیں۔ اور اگر میٹرکس \ A کی ویژہ قیمت \ \lambda ہے تو میٹرکس \ f(A) کی ویژہ قیمت \ f(\lambda) ہے۔


[ترمیم کریں] مثال

  • میٹرکس ایکسپونینشل

A =  \left[ \begin{matrix} 3  & 4\\ 4  & 3 \end{matrix}\right]  = \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} 7  & 0\\ 0  & -1 \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]^{-1}

\exp(A) =  \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} \exp(7)  & 0\\ 0  & \exp(-1) \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]^{-1}  = \left[ \begin{matrix} 548.50  & 548.13\\ 548.13  & 548.50 \end{matrix}\right]

  • میٹرکس اُلٹ

A^{-1} =  \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} 1/7  & 0\\ 0  & 1/-1 \end{matrix}\right]  \left[ \begin{matrix} 1  & 1\\ 1  & -1 \end{matrix}\right]^{-1}  = \left[ \begin{matrix} -0.429  & 0.571\\ 0.571  & -0.429 \end{matrix}\right]

[ترمیم کریں] اور دیکھو

\ E=mc^2              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ