勒讓德符號

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勒讓德符號者,法國數學家勒讓德創之,書之曰\left( \frac {q}{p}\right),以示q之為p二次剩餘與否也

[編修] 定義與性質

勒讓德符號之定義(假設 p不整除d,下同):

\left( \frac{d}{p}\right) = 1,若d為模p之二次剩餘


\left( \frac{d}{p}\right) = -1,若d不為模p之二次剩餘

勒讓德符號之性質:

  • \left( \frac{d}{p}\right) = \left( \frac{d+p}{p}\right)
  • \left( \frac{d^2}{p}\right) = 1
  • \left( \frac{d}{p}\right) \equiv d^{(p-1)/2} \pmod{p}
  • \left( \frac{de}{p}\right)=\left( \frac{d}{p}\right)\left( \frac{e}{p}\right)(p不能整除de),由是知,勒讓德符號者,為一完全積性函數也
  • \left( \frac{1}{p}\right) = 1
  • \left( \frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}


勒讓德符號之推廣,雅可比符號(Jacobi symbol)是謂也。

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